ENCUENTRO # 38 TEMA: Logaritmos. Propiedades CONTENIDOS: 1. Propiedades de los logaritmos
Ejercicio reto √
√ 1+x− 1−x 1. El dominio de f (x) = es: x A)[−1, 1] − {0} B)(−1, 1) − {0} C)(−1, 1)
D)[−1, 1]
2. Examen UNI 2015 Si xx = 3, entonces el valor de √ √ √ B) 3 C)3 2 D)2 E)6 A)2 3
E)R − {0}
q
xxx+1 − x2x es de:
1. Introducción El término logaritmo lo acuñó el matemático escocés John Napier, a partir de los términos griegos lógos (razón) y arithmós (número) para designar a la correspondencia, que había descubierto, entre los términos de una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó "números artificiales", pero luego cambió de opinión. Al logaritmo que tiene por base el número e se le llama, en su honor, neperiano. Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: "Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además, el cálculo de las raíces también se realiza con gran facilidad".
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Definición 1. Logaritmo El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. logb N = a
⇔
ab = N
con N y b números reales positivos y b diferente de 1. Nota: El logaritmo de base 10 se puede omitir la escritura de la base Ejemplo 1.1. log10 a = log a Nota: El logaritmo de base e se escribe como ln y se nombra logaritmo natural
Ejemplo 1.2. loge a = ln a Ejemplo 1.3. Calcula 1. log3 9
Propiedades de los logaritmos Si a > 0; a 6= 1; b > 0; c > 0 1. loga b = x si y solo si ax = b (Definición) 2. loga 1 = 0 3. loga a = 1 4. aloga b = b 5. loga b + loga c = loga (a · b) 6. loga b − loga c = loga (b ÷ c) (c 6= 0) 7. x · loga b = loga bx 8. loga c · logc b = loga b, (c 6= 1) 9. 10.
loga b loga c 1 x
= logc b, (c 6= 1)
loga b = logax b
11. loga b = loga c ←→ b = c Ejemplo 1.5. Desarrolla la expresión log3 x12 aplicando propiedades de los logaritmos solución log3 x12 = 12 log3 x
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Ejemplo 1.6. √ Desarrolla la expresión log2 3x4 y aplicando propiedades. Solución 1 √ log2 3x4 y = log2 3 + log2 x4 + log2 y 2 = log2 3 + 4 log2 x + 21 log2 y
Ejemplo 1.9. i h 3x (x+1) 3 Desarrolla la expresión ln e 2x aplicando propiedades. 2 Solución
e3x (x+1) 3 2x2
(ex )3 (x+1) 2x2
= 3 ln ln = 3[ln(ex)3 (x + 1) − ln 2x2 ] = 3[3 ln ex + ln(x + 1) − (ln 2 + 2 ln x)] = 3[3x + ln(x + 1) − (ln 2 + 2 ln x)] Ejercicios de las propiedades de los logaritmos I-Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes: 1. log3 x3 y 2 z 2. ln(3e4 x2 )2
8. log2
2
3. ln exy 3z4 4.
3x2 (1−2x)6 log5 2x y (x2 −y 2 )
5. log4 6. log
√
9. log
3x2 y 4 10. ln
√ 3x √ y
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√ a3 b √ 3 2 c d
7. log
4
√ 3
r
s 3
x2 x−3(x+z)2
(x+3)(y−5) √ (x+6)4 y−2
e2
√
(x+1)4 (x−1)3
√
ex 5
(x2 −1)4
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II-Aplica las propiedades de los logaritmos para expresar los siguientes logaritmos como el logaritmo de un solo argumento: 1. 2 ln 5 + 2 ln x 2. 3 log m − 2 log n 3.
1 5
log m + 4 log n
4. − 32 logb (x + 1) − 41 logb (x + 2) 5. log 3 + log y − log x 6. log2 x − log2 y − log2 z 7. 1 − log4 (m − 1) − log4 (m + 1) 8.
1 8
log x + 31 log y − 41 log z
9. ln 5 + 1 + ln y − 7 ln x 10. 2 − x + 3 ln(x + y) − 3 ln(x − y) 11.
2 3
log(x − 2) − 54 log(x + 2) + 2 log(x + 1)
12. x2 + x + 1 − 2 log x + 3 log(x + 1) 13. 2 ln 9 + 4 ln m + ln p − 2 ln 7 − 2 ln x − 6 ln y