Stability of C­Modes on Accretion Disks  Around Black Holes

Giovanni Sáenz A., Manuel Ortega R. PhD.

School of Physics, UCR.

Nicolas Figueroa H., Abraham Madrigal R.

School of Electrical Engineering, UCR.

 

 

26 de Noviembre del 2004

Abstract 

 

We compute numerically the sign and value of the  viscosity­induced damping rate of fundamental c­, or  corrugation, mode oscillations in the inner part of  accretion disks around black holes.  The damping  of these oscillations has been studied analytically by  Ortega–Rodriguez & Wagoner (2000), who obtained  order­of­magnitude estimates.  However, their work  did not determine the sign of the damping rate for  the c­modes.  We start from their results and  calculate the damping rate for different values of the  black hole´s angular momentum.  Stability  considerations might be important as these (or  similar) modes could explain certain QPOs (quasi­ periodic oscillations) measured by the Rossi X­ray  Timing Explorer (see, e.g., Strohmayer).  

Accretion Disk

 

 

 

 

Experimental Proof Rossi X­ray Timing Explorer  Strohmayer,T.E. 2001, ApJ, 554, L169 Wagoner, R.V. et al. 2001, ApJ, 559, L25 

 

 

Accretion Disk Conditions   Weakly viscous

  r, z 

 Barotropic  Newtonian Fluids   Rotational,    Stationary,  Axial Symetry.

 Geometrically thin, 

optically thick.

 

 

 dp 5  p d 3

Movement equations of a  Newtonian Fluid t 

  t v a  vb

 ab   

a

a

a v   b

v 

a b

 v   0

b a

v

a

p

a

ab  b



 

ab  g  2 

 3

c v c

v a  r a  v r r a  v z z a

  r, z   

 d  d



2.4 10 b  1  y 13  

2

Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. &  Ortega­Rodríguez, M. 2000, ApJ, 548, 335 



3

2

y

z  1 h 2

Ortega­Rodríguez, M. & Wagoner, R.V. 2000, ApJ, 537, 922 (Erratum 543,1060)

Effects of Viscosity  Changes the unperturbed value of the fluid 

variables characteristic in its equilibrium  state.

 Considerably changes the dynamic 

description of the movement.

 

 

Eulerian Perturbation  Assuming small viscosity terms (αρ*h*2Ω*, given 

α<<1)

a   v t

v  v a

t

a

v v a

a

b

a  

 p  a p  b ab   2   2

v  a

b

a

  1   

a  v  0 a

a v  a

a



b



a

2   3  

 vb 

b

 va  

c  c v

a

b

 

2    3

v 

a b

c

vc

b a

v



Oscillation Modes  P Modes (Inertial­pressure):  They are characterized by the restoration force of the 

pressure gradients.

 G Modes (Inertial­gravity):  Is characterized by a restoration force between 

gravity and centrifugal forces.

 C Modes (Corrugation):  Vertically incompresible near de inner edge of the 

disk.

 

 

Solution for the Eigenfrequencies 1  

 F1  F2  F3  F4  d  F0  d 3 x

3

τ  <0   >0 

x

 V0  2 2 F0  2  v0   S p r F1    2  2      2 F2   1  2   

 V0 z

2

 V0 S r r

2

2



F3     2  S 2   2   2   2 S       

r F4   S    1 p

 Estable  Crece  Decrece

2 2      2 r z



 V0 r

 V0 r z

2

2

2



 r  r

3

2

a



1

  r     r  1 

a: Black Hole´s Angular Momentum σ: Oscillation frequency on Earth.

4a r

3

2

2

3a  2 r

6 8a 3a   r     r  1  3  2 r r 2 r p 

 V0  r , y 

S





2   3

 

2



Vr  r  Vy  y 

2

ω: Corrotation frequency. κ: Vertical radial epyciclic angular  velocity.

2

  r     r

1

1

2

Ω: Rotation angular velocity. Ω⊥: Vertical epyciclic angular  velocity.. δVr: Radial Amplitude. δVy: Vertical Amplitude.



2 1

 

Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. &  Ortega­Rodríguez, M. 2000, ApJ, 548, 335 

Magnitude order approximation m 1

S 



2

z

 1 1 ~ h*

 F3  F4  d x h* 1  ~  2 3 2  r 2  cs   V0 d x 3

 

 

Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. &  Ortega­Rodríguez, M. 2000, ApJ, 548, 335 

2 z

~0

2

*

Ortega­Rodríguez, M. & Wagoner, R.V. 2000, ApJ, 537, 922 (Erratum 543,1060)

Black Hole Types a

ri

σ

ro

10­5

5.99996734009787

7.799967340097872 ­4.3x10­8

10­4

5.99967339747862

6.479673397478621 ­7.4x10­7

10­3

5.99673362466632

6.146733624666323 ­8.6x10­6

10­2

5.96730105006149

6.020301050061486 ­9.1x10­5

10­1

5.66930257120862

5.686302571208621 ­1.1x10­3

0.5

4.23300252952703

4.238102529527025 ­0.011

a: Black Hole´s angular momentum. σ: Oscillation frequency on Earth. ri: Initial radius of the C Mode. ro: Final radius of the C Mode.  

 

Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. &  Ortega­Rodríguez, M. 2000, ApJ, 548, 335 

Density and Pressure Definitions 

0  1  y

2



3

p Vr  r   

e



0

2

2.4 106

cs  

 r  rm 

Vy  y 

l2

 

2y

Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. &  Ortega­Rodríguez, M. 2000, ApJ, 548, 335 

Results Damping Rate (τ) µ

b

1,E­05

1,E­04

1,E­03

1,E­02

1,E­01

0,5

0

­7,06E+06

­2,60E+07

­6,61E+06

­4,62E+06

­1,71E+06

­1,31E+05

 

1

­2,32E+06

­1,47E+06

­7,73E+05

­6,25E+05

­3,14E+05

­4,08E+04

 

2

­5,41E+05

­2,52E+05

­1,39E+05

­1,14E+05

­5,96E+04

­8,44E+03

 

3

­2,28E+05

­1,01E+05

­5,61E+04

­4,60E+04

­2,42E+04

­3,46E+03

0

­4,87E+06

­7,94E+06

­3,08E+06

­2,30E+06

­9,68E+05

­9,03E+04

 

1

­2,28E+06

­1,56E+06

­8,10E+05

­6,51E+05

­3,23E+05

­4,14E+04

 

2

­7,73E+05

­3,84E+05

­2,10E+05

­1,72E+05

­8,92E+04

­1,26E+04

 

3

­3,61E+05

­1,66E+05

­9,19E+04

­7,53E+04

­3,94E+04

­5,63E+03

0

­2,82E+06

­3,03E+06

­1,37E+06

­1,06E+06

­4,82E+05

­5,22E+04

 

1

­2,18E+06

­1,84E+06

­9,11E+05

­7,23E+05

­3,47E+05

­4,27E+04

 

2

­2,68E+09

1,78E+06

1,10E+06

9,35E+05

5,50E+05

9,25E+04

 

3

9,78E+05

3,35E+05

1,89E+05

1,56E+05

8,32E+04

1,20E+04

0

0,3

1

 

 

 -4

|τ| vs µ (a = 10 ) 4.00E+06 1,00E+08

4.00E+04 1,00E+ 06



|τ|

4.00E+05 1,00E+07

1,00E+ 05 4.00E+03

1,00E+04 4.00E+02

1

2

3

4

µ 4.00E+01

b{0}

4.00E+00 Row 2

b{0.3}

b{1}

Row 3

Row 4 

 

 

Column L

1 .0 0 E + 7

τ

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 5

a 1 .0 0 E + 4

1 .0 0 E + 3

µ 0

1

2

1 .0 0 E + 4

−τ

1 .0 0 E + 5

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 7

1 .0 0 E + 8 1 .0 0 E + 9

 

  1 .0 0 E + 1 0

3

b

10­5

Negro

1

10­4

Azul

0.3

10­3

Verde

1

10­2

Amarillo

10­1

Rojo

0.5

Morado

1 .0 0 E + 7

τ

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 5

µ

a 1 .0 0 E + 4

1 .0 0 E + 3

b 0 .0 0

0 .2 0

0 .4 0

1 .0 0 E + 4

−τ

1 .0 0 E + 5

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 7

1 .0 0 E + 8 1 .0 0 E + 9

 

  1 .0 0 E + 1 0

0 .6 0

0 .8 0

1 .0 0

10­5

Negro

1

10­4

Azul

2

10­3

Verde

3

10­2

Amarillo

4

10­1

Rojo

0.5

Morado

1 .0 0 E + 7

τ

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 5

µ 1 .0 0 E + 4

1 .0 0 E + 3

a 1 .0 0 E ­6

1 .0 0 E ­5

1 .0 0 E ­4

1 .0 0 E ­3

1 .0 0 E + 4

−τ

1 .0 0 E + 5

1 .0 0 E + 6

1 .0 0 E + 7

1 .0 0 E + 8 1 .0 0 E + 9

 

  1 .0 0 E + 1 0

1 .0 0 E ­2

1 .0 0 E ­1

1 .0 0 E + 0

b

0

Café

0

1

Verde

0.3

3

Rosado

1

4

Naranja

Conclusions  Generally, one can see that for most of the 

combinations of a,b and µ, the value of τ is  negative, then the C mode has a simliar  behavior to the p and g modes where the  viscosity effects cause an increase.

 For all the ¨a¨ values the absolute value of 

τ tends to decrease, but for the b=1 and µ =2 one can notice an increment.

 

 

 The values for a decreasing T (positive) 

are found when the volumetric part of the  viscosity increases for values of the  parameter of b=1.

 For higher values of ¨b¨the slope of | τ | vs 

µ tends to be lower, which means that the  slope of the curve is inverse to the value of  ¨b¨.

 

 

References      

 

Ortega­Rodríguez, M. & Wagoner, R.V.2000, ApJ, 537,  922 (Erratum 543,1060). Silbergleit, A. S. & Wagoner, R.V. & Ortega­Rodríguez,  M. 2000, ApJ, 548, 335 Strohmayer,T.E. 2001, ApJ, 554, L169. Wagoner, R.V. & Silbergleit, A. S. & Ortega­Rodriguez,  M. 2001, ApJ, 559,L25. Ortega­Rodríguez, M. Ph.D. thesis, Physics Dept.,  Stanford Univ. Shapiro, S.L., & Teukosky, S.A. 1983, Black Hole, White  Dwarfs, and Neutron Stars, The Physics of Compact  Objects.  

Regards  To the Ministry of Science and Technology 

(MICIT) and the National Council of  Technology (CONICIT) in Costa Rica.

 To the Research Vicerrectory of the 

University of Costa Rica.