‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪z = −3 + 3i :‬‬ ‫‪ .1‬ﺣﺪد ﻣﻌﻴﺎر وﻋﻤﺪة اﻟﻌﺪد ‪z‬‬

‫‪‬‬ ‫‪17π‬‬ ‫‪17π ‬‬ ‫‪zZ = 6 2  cos‬‬ ‫‪+ i sin‬‬ ‫‪ .2‬ﺣﺪد اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪ Z‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17π‬‬ ‫‪17π‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪ cos‬و‬ ‫‪ .3‬أﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪z 1 = 1 − i‬‬

‫;‬

‫‪z 2 = 1+ 2 + i‬‬

‫‪ (1‬ﺣﺪد اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪد ‪z 1‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪z 1 z 2 = 2 z 2‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ] ‪[ 2π‬‬

‫‪arg ( z 1 ) + 2 arg ( z 2 ) ≡ 0‬‬

‫‪ (3‬ﺣﺪد ﻋﻤﺪة اﻟﻌﺪد ‪z 2‬‬

‫)‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪3 − 1‬‬

‫‪(1‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن )‬

‫‪3 +i‬‬

‫(‬

‫( )‬

‫‪3 +1 + i‬‬

‫(‬

‫)‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫= ‪ z 1‬و ‪3 +1‬‬

‫(‬

‫( )‬

‫‪3 −1 + i‬‬

‫= ‪z2‬‬

‫‪ z 12 = 4‬و أن ‪z 2 = i z 1‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬أﻛﺘﺐ اﻟﻌﺪد ) ‪ 4 ( 3 + i‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻠﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪z 2 ; z 1‬‬

‫ب‪-‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ) ‪ ( P‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ B , A‬ﻟﺤﺎﻗﻬﻤﺎ ‪ z 2 ; z 1‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪z ‬‬ ‫أﺣﺴﺐ ‪ arg  2 ‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪OA B‬‬ ‫‪ z1 ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪاد ‪ b = 2i ، a = 1 − i 3‬و ) ‪c = 1 + i ( 2 − 3‬‬

‫‪b  5π ‬‬ ‫‪= 1,‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪد ‪ a‬و ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪a  6 ‬‬ ‫





‬ ‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ OACB‬ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺤﺪدا ﻗﻴﺎس ﻟﻠﺰاوﻳﺔ ‪OA,OC‬‬

‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ] ‪[2π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪12‬‬

‫≡ ) ‪ arg (c‬ﺛﻢ ﺣﺪد‬

‫)‬

‫)‬

‫‪π‬‬

‫‪12‬‬

‫(‬

‫‪tan‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫(‬

‫‪ (1‬ﺣﺪد اﻟﺠﺬرﻳﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد ‪6 1 + i 3‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ℂ‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪2z 2 − 3 3 − i z + 4 = 0 :‬‬

‫) ‪(E‬‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد ‪ z 2 ; z 1‬ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ) (E‬ﻧﺄﺧﺬ ‪ z 2‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ ( im ( z 2 ) < 0‬ﺛﻢ أﻛﺘﺒﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫ب‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪z 16 + z 26 + 65 = 0‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ) ‪ (P‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ D ; C ; B ; A‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ‪+ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ O BC‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻠﻊ و أن ‪ A‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪O C ‬‬ ‫‪ z − zA ‬‬ ‫‪ arg  D‬وﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( A D‬واﺳﻂ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪O C ‬‬ ‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪‬‬ ‫‪ zC − z A ‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪O BC D‬‬

‫; ‪2i ; 3 + i ; 3 − i‬‬