Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Kénitra

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(Filière SMP-S4)

SOLUTION Exercice Complémentaire 1.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, dans le cas ou la  ρ J densité de charge et le vecteur densité de courant sont nuls et en déduire l'équation générale de propagation:

 ΔE

−

 1 ∂2E c 2 ∂t 2

 0

=

c étant la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de densités de charges et de courants s'écrivent:

 1. div E = 0

 (théorème de Gauss Φ Sfermée (E ) =

  ∂B 2. rot E = − ∂t

   ∂A ( E dérive d’un potentiel E = − grad V − ) ∂t

  ∂E 3. rot B = ε 0 µ0 ∂t

(Théorème d’Ampère

 4. div B = 0

   (flux de B conservatif B = rot A )

∫

C

∑q

int

ε0

)

  B . dl = µ0 ∑ Iint )

Calculons le rotationnel de l'équation de Maxwell - Faraday en utilisant la relation d'analyse vectorielle:

   rot rot E = grad div E − ΔE

avec

    ΔE = ΔE x ex + ΔEy ey + ΔEzez

en coordonnées cartésiennes, il vient:

   ∂B ∂ rot rot E = rot ( − ) = − (rotB ) ∂t ∂t l'équation de Maxwell - Faraday conduit alors à:

et

  grad div E = 0

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   1 ∂2E  ΔE − 2 2 = 0 c ∂t

2.

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1 = µ0 ε 0 c2

avec

Un guide d'ondes est constitué par un parallélépipède conducteur dont

la section intérieure est rectangle. On considère que le milieu est parfait et que le milieu dans le guide est le vide. L'axe longitudinal est pris pour axe Oz. Les axes Ox et Oy forment avec Oz un trièdre orthonormé direct Oxyz. Les côtés parallèles à Ox et Oy ont pour longueurs respectivement a et b. La solution du problème ne nécessite aucune connaissance préalable des guides d'ondes. Le tube étant conducteur, le champ électrique doit être normal aux parois (éventuellement nul en tout point de ces parois). Montrer que le champ dont les composantes de l'amplitude complexe sont:

⎧E x = 0 ⎪ x − i (ωt − kz ) ⎪ ⎨E y = E0 cos(π )e a ⎪ ⎪⎩E z = 0

y

x

O

b

a

satisfait à cette condition. Quelle est sa direction de propagation ?

ü sur les parois x = ±

⎧E x = 0 ⎪ ⎨E y = 0 ⎪ ⎩E z = 0

 a E est nul sur les parois x = ± 2

ü sur les parois y = ±

⎧E x = 0 ⎪ ⎨E y ≠ 0 ⎪ ⎩Ez = 0

a (parois latérales du tube) 2

  E = Ey

b (parois supérieurs et inférieures du tube) 2  b ; E est alors perpendiculaire aux parois y = ± 2

z

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La direction de propagation de l'onde peut être déduite à partir du résultat du   produit k ⋅ r . En effet on constate dans l'expression du champ électrique que ce terme vaut:

        k ⋅ r = (k x ⋅ ex + k y ⋅ ey + kz ⋅ ez ) ⋅ ( x ⋅ ex + y ⋅ ey + z ⋅ ez ) = k x ⋅ x + ky ⋅ y + kz ⋅ z = k ⋅ z

Par identification on en conclut que les composantes du vecteur d'onde sont les suivantes:

kx = ky = 0

et

kz = k  par conséquent le vecteur d'onde s'écrit kz = k ⋅ ez et la direction de propagation est celle de l'axe Oz.

3.

 Montrer que l'équation de propagation impose la valeur de k ; la

calculer en fonction de a, ω et c et en déduire la vitesse de phase c' de l'onde. Estelle plus grande ou plus petite que c ? Quelle est la valeur de ω en dessous de laquelle il n'est pas possible d'avoir de propagation ? L'équation de propagation étant:

d'où

et

   1 ∂2E  ΔE − 2 2 = 0 c ∂t     ∂2E ∂2E or E = Ey ( x, z ) + 2 + 2 ∂y ∂z  2  ∂2E ⎛ π ⎞  + 2 = −⎜ ⎟ ⋅ E − k 2 ⋅ E ∂z ⎝ a ⎠

   ∂2E ΔE = 2 ∂x    ∂2E ΔE = 2 ∂x   ∂2E = − ω2 ⋅ E 2 ∂t

2

l'équation de propagation se réduit alors à:

2

⎛ π ⎞ ⎛ ω ⎞ − ⎜ ⎟ − k 2 + ⎜ ⎟ = 0 ⎝ a ⎠ ⎝ c ⎠

ainsi l'expression imposée au vecteur d'onde k est:

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2 2 2 2 ⎛ ω ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎡ ⎛ π c ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ k = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜⎜ ⎝ c ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ c ⎠ ⎢⎣ ⎝ a ω ⎠ ⎥⎦ 2

⎛ π c ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ k = ⎜ ⎟ 1 − ⎜⎜ a ω ⎝ c ⎠ ⎝ ⎠ On peut alors écrire k sous la forme:

2

k=

ω

avec

c'

c' =

c ⎛ π c ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ a ω ⎠

2

〉c

La vitesse de phase est supérieure à la vitesse c de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide; en fait, cette limitation est valable pour les particules, ou les signaux transportant une certaine énergie. Elle ne s'applique pas à la vitesse de phase, qui apparaît comme une grandeur mathématique qui n'est pas soumise à la limitation relativiste. L'expression trouvée pour k impose que celle-ci n'admet de solutions réelles

⎛ π c ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ a ω ⎠

que si :

2

〉

0

et

ω

〉

πc a

= ωc

ωc est appelée pulsation de coupure et représente la valeur critique de ω en dessous de laquelle il n'y a pas de propagation possible.

4.

 Calculer les composantes Bx , By et Bz de l'induction magnétique B de

l'onde. Que devient-elle sur les parois x = ±

a ? 2

Nous pouvons déterminer les composantes du l'induction magnétique à partir de   ∂B l'équation de Maxwell suivante rot E = − ∂t

∂ ∂ ∂

∂x ∂y ∂z

∧

0 E 0

∂E − ∂z = 0 ∂E ∂x

=−

∂B x ∂t ∂B y ∂t ∂Bz ∂t

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x −i (ωt −kz ) )e dt a kE kE x x B x = − 0 cos(π )e −i (ωt −kz ) = − 0 cos(π ) cos(ωt − kz ) ω a ω a B x = ∫ ikE 0 cos(π

x −i (ωt −kz ) )e dt a a π E0 π E0 x x Bz = − sin(π )e −i (ωt −kz ) = sin(π ) sin(ωt − kz ) iaω a aω a Bz = ∫ E 0

5.

π

sin(π

 Calculer les composantes Rx, Ry et Rz du vecteur de Poynting R à

l'intérieur du guide. Quelle est la valeur moyenne, de Rz(z,t) de Rz sur la section  droite d'abscisse z? En déduire le flux φ ( z, t ) de R à travers une section droite orientée dans le sens des z croissants et sa valeur moyenne dans le temps φ

 R=

  E ∧B

µ0

kE 0

x ) cos(ωt − kz ) ω a 1 x E 0 cos(π ) cos(ωt − kz ) ∧ 0 == µ0 a π E0 x sin(π ) sin(ωt − kz ) 0 aω a 0

 R=

−

cos(π

π E 02 x sin 2(π ) sin 2(ωt − kz ) 2 µ 0 aω a 0 x cos (π ) cos 2 (ωt − kz ) µ0ω a

kE 02

2

La valeur moyenne de la composante Rz du vecteur de poynting sur une section du tube perpendiculaire à l'axe Oz peut être retrouvée à partir de la relation:

RZ =

1 R z ⋅ dS S∫

sachant que dS = dx.dy

et S= ab

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Rz =

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1 a 2 b 2 kE 02 x cos 2 (π ) cos 2 (ωt − kz ) ⋅ dx ⋅ dy ∫ ∫ a b ab − 2 − 2 µ 0 ω a

a kE 02 = cos 2 (ωt − kz )∫ a2 − aµ 0 ω 2

1 + cos 2

2π x a dx a

kE 02 ⎡ a ⎛ 2πx ⎞⎤ 2 = cos 2 (ωt − kz )⎢ x + sin⎜ ⎟⎥ 2 aµ 0 ω 2π ⎝ a ⎠⎦ −a ⎣ =

2

2 0

kE cos 2 (ωt − kz ) 2 µ0ω

Le flux du vecteur de poynting à travers une section droite orientée dans le sens des z croissants est:

φ = ∫∫

S

  R . dS

   R = R x + Rz    dS = dS ez = dx ⋅ dy ⋅ ez

or

φ = ∫∫ Rz . dS = ∫∫ Rz . dx ⋅ dy = ab ⋅ Rz S

S

abkE 02 φ= cos 2 (ωt − kz ) 2 µ0ω Sa valeur moyenne dans le temps vaut:

1 φ= T =

T

∫

0

abkE 02 cos 2 (ωt − kz ) ⋅ dt 2 µ0ω

abkE 02 2 µ 0 ωT

abkE 02 = 4 µ 0 ωT =

abkE 02 4 µ0ω

T

∫

0

1 + cos 2(ωt − kz ) dt 2 T

1 ⎡ ⎤ ⎢t + 2ω sin 2(ωt − kz )⎥ ⎣ ⎦ 0