Congruence properties of the partition function Tony Forbes ADF040c 1.11 Talks for LSBU Mathematics Study Group, 24 Sep, 8 Oct & 19 Nov 2008

The functions pk (n) For any k, define pk (n) by ∞ X

pk (n)x

n

=

n=−∞

∞ Y

(1 − xn )k ,

|x| < 1,

n=1

so that pk (n) = 0 for negative n. The partition function p(n) is p−1 (n). We will be interested in three congruence properties stated and proved by Ramanujan: p(5k + 4) ≡ 0 (mod 5), n p(n) n p(n)

p(7k + 5) ≡ 0 (mod 7),

p(11k + 6) ≡ 0 (mod 11).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 101 135 176 231 297 385 490 627 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 792 1002 1255 1575 1958 2436 3010 3718 4565 5604 6842 8349 10143

Ramanujan’s tau function τ (n) is p24 (n − 1). n 1 2 τ (n) 1 −24

3 4 5 6 7 252 −1472 4830 −6048 −16744

8 9 10 84480 −113643 −115920

Apart from the silly case, p0 (n) = 0|n| , there are only two values of k for which pk (n) has a simple expression, k = 1, 3. For k = 1 we have p1 (n) = (−1)r

if n =

3r2 ± r , 2

p1 (n) = 0 otherwise.

(1)

3r2 − r are the pentagonal numbers. 2 Equality (1) can be used to compute values of p(n) thus: n X (p1 ∗ p)(n) = p1 (i)p(n − i) = p0 (n) = 0|n| ; This is Euler’s pentagonal number theorem. The

i=0

p(n) = p(n−1)+p(n−2)−p(n−5)−p(n−7)+p(n−12)+p(n−15)−p(n−22)−p(n−26)+. . . . The other case is p3 (n) = (−1)r (2r + 1) if n = The

r2 + r , 2

p3 (n) = 0 otherwise.

(2)

r2 + r are the triangular numbers. Useful property of p3 (n): 2 p3 (n) 6= 0 ⇒ p3 (n)2 = 8n + 1.

n p1 (n) p2 (n) p3 (n)

0 1 2 3 1 −1 −1 0 1 −2 −1 2 1 −3 0 5

4 0 1 0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 2 −2 0 −2 −2 1 0 0 2 3 −2 2 0 0 −2 −2 0 0 −7 0 0 0 9 0 0 0 0 −11 0 0 0 0 0 13

Identities (1) and (2) are corollaries of Jacobi’s triple product identity.

1

Theorem 1 For |x| < 1, ∞ Y

1−x

2n




1 + zx

2n−1

∞ X

  x2n−1 1+ = z




n=1

2

xn z n .

(3)

n=−∞

Proof See Apostol’s book [5] (or M500 212). For the p1 (n) identity, (1), replace x by x3/2 , z by −x1/2 . Then ∞ Y

1−x

3n




1−x

3n−1




1−x

3n−2




∞ X

=

n=1

2 /2+n/2

(−1)n x3n

,

n=−∞

and (1) follows. For the other one, replace x by x1/2 and z by wx1/2 . Then (3) becomes ∞ Y

  xn−1 (1 − x ) (1 + wx ) 1 + = w n=1 or

∞ Y

n

n

(1 − xn ) (1 + wxn ) 1 + w−1 xn




=

n=1

∞ X

2 +n)/2

wn x(n

,

n=−∞

∞ X 1 n (n2 +n)/2 w x . 1 + w−1 n=−∞

The right-hand side can be rearranged thus ∞ X wn + w−n−1 n=0

1 + w−1

x

(n2 +n)/2

∞ X

=

w−n

n=0

w2n+1 + 1 (n2 +n)/2 x . w+1

Let w → −1 and use l’Hˆopital’s rule to get (2). More corollaries of Jacobi’s identity. Replace x and z by x1/2 : ∞ Y

1−x

2n




n=1

and

∞ 1 X n(n+1)/2 x , (1 + x ) = 2 n=−∞ n

∞ ∞ Y 1 X n(n+1)/2 1 − x2n = x . 1 − x2n−1 2 n=−∞ n=1

Replace x by x5/2 , z by x3/2 : ∞ Y

1 − x5n−1




1 − x5n−4




1 − x5n




=

n=1

∞ X

(−1)n x(5n+3)n/2 .

n=−∞

Replace x by x5/2 , z by x1/2 : ∞ Y

1−x

5n−2




1−x

5n−3




1−x

n=1

5n




=

∞ X n=−∞

2

(−1)n x(5n+1)n/2 .

Congruence properties of pk (n) Lemma 1 Suppose for some k, b and prime h, pk (th + b) ≡ 0 (mod h) for all t ≥ 0. Then pk±h (th + b) ≡ 0 (mod h) for all t ≥ 0. Proof We have ∞ X

pk+h (n)x

n

=

n=0

≡

∞ Y

∞ Y

n k+h

(1 − x )

=

n=1

n k

∞ Y

(1 − xn )k (1 − xn )h

n=1

nh

(1 − x ) (1 ± x ) ≡

n=1

∞ X

pk (n)x

n=0

n

∞ Y

(1 ± xnh ) (mod h).

n=1

When n = th + b, pk (n) ≡ 0 (mod h). Moreover, only powers of xh appear when the product on the right is expanded. Therefore the coefficient of xth+b will be a sum of terms of the form cj pk (jh + b) with integer coefficients cj for various integer values of j. Hence the coefficient of xn on the right is going to be zero modulo h. The case pk−h (th + b) is treated in a similar manner.  Theorem 2 p(5t + 4) ≡ 0 (mod 5) for all t ≥ 0. Proof Consider p9 (n). We have ∞ X n=0

p9 (n)xn =

∞ Y

(1 − xn )9 =

n=1

So p9 (n) = (p3 ∗ p3 ∗ p3 )(n) =

∞ X

!3 p3 (n)xn

.

n=0

n X n−r X

p3 (r)p3 (s)p3 (n − r − s).

r=0 s=0

Only terms on the right where all three factors are non-zero contribute to p9 (n). Recalling that p3 (n)2 = 8n + 1 for non-zero p3 (n), we have p3 (r)2 + p3 (s)2 + p3 (n − r − s)2 = 8r + 1 + 8s + 1 + 8(n − r − s) + 1 = 8n + 3. Now suppose n = 5t + 4. Then 8n + 3 ≡ 0 (mod 5). Moreover, you cannot have three squares summing to zero modulo 5 unless one of the squares is zero modulo 5. Hence p9 (5t + 4) ≡ 0 (mod 5). Recall that p(n) = p−1 (n) and use Lemma 1 twice.  Ramanujan has a similarly elementary proof but involving p4 (n). Ramanujan’s proof Write (1) and (2) thus (1 − x)(1 − x2 ) . . . = 1 − x − x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + . . . =

∞ X

(−1)n x(3n+1)n/2 ,

n=−∞

(1 − x)3 (1 − x2 )3 . . . = 1 − 3x + 5x3 − 7x6 + 9x10 − . . . =

3

∞ 1 X (−1)n (2n + 1)x(n+1)n/2 . 2 n=−∞

Then ∞ ∞ 1 X X x(1 − x) (1 − x ) . . . = (−1)m+n (2n + 1)x1+(3m+1)m/2+(n+1)n/2 . 2 m=−∞ n=−∞ 4

2 4

The coefficient of x5t on the left is p4 (5t − 1). Now look at the exponent of x on the right. If this is a multiple of 5 then   (3m + 1)m (n + 1)n 8 1+ + = 8 + 4(3m + 1)m + 4(n + 1)n ≡ 0 (mod 5). 2 2 Hence 8 + 4(3m + 1)m + 4(n + 1)n − 10m2 − 5 = 2(m + 1)2 + (2n + 1)2 ≡ 0 (mod 5). But this is impossible unless m + 1 and 2n + 1 are both zero. Hence the coefficient of x5t on the right is zero modulo 5, and hence also on the left.  Theorem 3 p(7t + 5) ≡ 0 (mod 7) for all t ≥ 0. Proof Consider p6 (n). Similarly to before, we have n X p6 (n) = (p3 ∗ p3 )(n) = p3 (r)p3 (n − r). r=0

Only terms on the right where the two factors are non-zero contribute to p6 (n). Recalling that p3 (n)2 = 8n + 1 for non-zero p3 (n), we have p3 (r)2 + p3 (n − r)2 = 8r + 1 + 8(n − r) + 1 = 8n + 2. But if n = 7t+5, then 8n+2 ≡ 0 (mod 7). Moreover, two non-zero squares modulo 7 cannot sum to zero modulo 7. Hence p6 (7t + 5) ≡ 0 (mod 7). The result follows using Lemma 1.  However there is no simple proof of the third congruence, p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11). Ramanujan stated without proof two amazing identities: ∞ ∞ X Y (1 − x5n )5 t p(5t + 4)x = 5 (4) (1 − xn )6 t=0 n=1 and

∞ X

p(7t + 5)xt = 7

∞ Y (1 − x7n )3 n=1

t=0

(1 − xn )4

+ 49x

∞ Y (1 − x7n )7 n=1

(1 − xn )8

.

(5)

One can use these to construct simple proofs of p(25t + 24) ≡ 0 (mod 25),

p(49t + 47) ≡ 0 (mod 49).

Take the first one. Rewrite the (4) as p(4)x + p(9)x2 + . . . 5 (1 − x5 )(1 − x10 )(1 − x15 ) . . .


4

x (1 − x5 )(1 − x10 )(1 − x15 ) . . . =
(1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 ) . . . (1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 ) . . . 5 x ≡ (mod 5). (1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 ) . . .

For each non-negative integer m, the coefficient of x5m+5 on the right is p(5m + 4), and this is congruent to 0 modulo 5; hence the coefficient of x5m+5 on the left is also congruent to 0 modulo 5. Since the coefficient of x5m+5 in the numerator of the left-hand side is p(25m + 24) and ((1 − x5 )(1 − x10 )(1 − x15 ) . . . )−4 is a power series in x5 , it then follows that p(25t + 24)/5 ≡ 0 (mod 5) for all t ≥ 0. The other congruence can be proved similarly using (5).

4

Dyson’s rank and crank In 1919, Ramanujan gave elementary proofs of the two congruences p(5t + 4) ≡ 0 (mod 5) and p(7t + 5) ≡ 0 (mod 7). But what was lacking from his proofs (and ours) was a simple property of the partitions of 5t+4 and 7t+5 that distributes them equitably over the residue classes modulo 5 and 7, respectively. Writing in the 1944 edition of Eureka, Freeman Dyson defined the rank of a partition, largest part minus number of parts, and conjectured that it does just that. For x = 0, 1, 2, 3, 4, exactly p(5k + 4)/5 partitions of 5t + 4 have rank ≡ x (mod 5), and for x = 0, 1, ..., 6, exactly p(7k + 5)/7 partitions of 7k + 5 have rank ≡ x (mod 7). Oliver Atkin and Peter Swinnerton-Dyer proved Dyson’s conjecture in 1953. However the rank function fails to work for Ramanujan’s third congruence, p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11). In the same Eureka article, Dyson predicted the existence of another function c(P ) such that the c(P ) of the partitions P of 11t + 6 are distributed uniformly over the residue classes modulo 11. Dyson named this property the crank of a partition but at the time he was unable to define it. He expressed the hope that the crank would not have to suffer the same fate as the planet Vulcan and that one day somebody would discover the correct definition and thereby prove it does exist. That had to wait until 1987, when George Andrews and Frank Garvan discovered the true definition of the crank—on the last day of the Ramanujan Centenary Conference at the University of Illinois.

partition P

rank rank r(P ) mod m

largest number # parts part of 1s > M (P ) L(P ) M (P ) N (P )

crank crank c(P ) mod m

n

m

4

5

1111 112 13 22 4

−3 −1 1 0 3

2 4 1 0 3

1 2 3 2 4

4 2 1 0 0

0 0 1 2 1

−4 −2 0 2 4

1 3 0 2 4

5

7

11111 1112 113 122 14 23 5

−4 −2 0 −1 2 1 4

3 5 0 6 2 1 4

1 2 3 2 4 3 5

5 3 2 1 1 0 0

0 0 1 2 1 2 1

−5 −3 −1 1 0 3 5

2 4 6 1 0 3 5

6

11 1 1 1 1 1 1 11112 1113 1122 114 123 15 222 24 33 6

−5 −3 −1 −2 1 0 3 −1 2 1 5

6 8 10 9 1 0 3 10 2 1 5

1 2 3 2 4 3 5 2 4 3 6

6 4 3 2 2 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 2 1 3 2 2 1

−6 −4 −3 −2 −1 1 0 2 4 3 6

5 7 8 9 10 1 0 2 4 3 6

5

Given a partition P , let L(P ) denote the largest part of P , let M (P ) denote the number of ones in P and let N (P ) denote the number of parts of P larger that M (P ). The crank, c(P ), is defined as follows: if M (P ) = 0, then c(P ) = L(P ), otherwise c(P ) = N (P ) − M (P ). It is easy to see that the ranks of a partition sum to zero. Is the same true for the cranks? (No, it’s not the home of Star Trek’s Mr Spock. Vulcan was a hypothetical member of the solar system invented by 19th century astronomers to account for deviations from the theoretical orbit of Mercury that could not be explained by gravitational effects of the other known planets. However, Vulcan became unnecessary when a young employee of the Swiss Patent Office developed a new theory of gravitation which correctly predicted Mercury’s erratic behaviour.)

Congruence p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11): Ramanujan’s method The third partition congruence appears to be in a different league from the other two. Ramanujan [1,3] defines the following functions, which are fundamental to a lot of his work. Sr

∞ X 1 n r xn = ζ(−r) + , 2 1 − xn n=1

Φr,s =

∞ X ∞ X

(6)

mr ns xmn ,

(7)

m=1 n=1 ∞ ∞ X X nxn σ(n)xn , = 1 − 24 = 1 − 24 n 1 − x n=1 n=1

P = 1 − 24Φ0,1 Q = 1 + 240Φ0,3

(8)

∞ ∞ X X n 3 xn = 1 + 240 = 1 + 240 σ3 (n)xn , n 1−x n=1 n=1

(9)

∞ ∞ X X n5 xn = 1 − 504 σ5 (n)xn . n 1 − x n=1 n=1

(10)

R = 1 − 504Φ0,5 = 1 − 504

The P , Q and R are related to the Eisenstein series ∞

X

Gs (τ ) =

(m,n)6=(0,0)

n ζ(n)

0 1 − 2

−1 1 − 12

−3 1 120

2(2πi)s X 1 = 2ζ(s) + σs−1 (n)e2πinτ . s (m + nτ ) (s − 1)! n=1

−5 1 − 252

−7 1 240

−9 1 − 132

−11 691 32760

−13 1 − 12

−15 3617 8160

−17 43867 − 14364

−19 174611 6600

Ramanujan begins by proving two interesting identities involving elementary trigonometry, !2 !2 ∞ ∞ ∞ X cot 2θ X xn sin nθ cot 2θ xn cos nθ X nxn (1 − cos nθ) + = + + , 4 1 − xn 4 (1 − xn )2 n=1 2(1 − xn ) n=1 n=1 cot2 8

θ 2

∞

X nxn (1 − cos nθ) 1 + + 12 n=1 1 − xn

!2 =

cot2 8

θ 2

1 + 12

!2 +

∞ X n3 xn (5 + cos nθ) n=1

12(1 − xn )

,

and he uses them to derive two formulae involving Sr , (n − 2)(n + 5) Sn+3 = 12(n + 1)(n + 2)

n/2−1 

X i=1

 n S2i+1 Sn+1−2i , 2i

6

n even, n > 2,

(11)

and  n/2  X n (n + 3) S2i−1 Sn+1−2i , Sn+1 = Φ1,n + 2i − 1 2(n + 1) i=1

n even, n > 0.

(12)

Then from (11) and (12) he shows that when rP+ s is odd and r < s, Φr,s is expressible as a polynomial in P , Q and R of the form Φr,s = al,m,n P l Qm Rn , where l − 1 ≤ min(r, s) and 2l + 4m + 6n = r + s + 1. In particular, Q2 = 1 + 480Φ0,7 , QR = 1 − 264Φ0,9 , 3 441Q + 250R2 = 691 + 65520Φ0,11 .

(13) (14) (15)

For instance, to get (13), observe that Sr = Φ0,r + 21 ζ(−r).

(16)

Then put n = 4 in (11) and use (9) to obtain 1 20

   2 1 1 6 Φ0,7 − = 6 Φ0,3 + = Q2 , 480 240 2402

which is essentially (13). Similarly, put n = 6 and n = 8 in (11) to get (14) and (15) respectively. Next, denoting the differential operator xd/dx by ϑ, Ramanujan obtains P2 − Q = 12ϑP, P Q − R = 3ϑQ, P R − Q2 = 2ϑR,

(17)

as well as the important identity 3

Q −R

2

3

= 12 x

∞ Y

(1 − xn )24 .

(18)

n=1

To prove (18), observe that ∞   Y (1 − xn )24 ϑ log(Q − R ) = P = ϑ log x 3

2

n=1

and then equate coefficients of x to get the factor 123 . To deal with p(11k + 6), Ramanujan uses the above identities to derive Q(P Q − R) = 23 ϑ(Q2 ) = 720Φ1,8 , ϑ2 (R) = 1728Φ2,7 , 2P Q2 − P 2 R − QR = − 24 7 P 3 Q − 3P 2 R + 3P Q2 − QR = 72 ϑ3 (Q) = 3456Φ3,6 5 and 15P Q2 − 20P 2 R + 10P 3 Q − 4QR − P 5 = − 864ϑ4 (P ) = 20736Φ4,5 . Then he obtains this formula involving a linear combination of the last four: (Q3 − R2 )5 ≡ − 5Φ1,8 + 3Φ2,7 + 3Φ3,6 − Φ4,5

7

(mod 11).

This is what we want because the coefficient of x11t in the Φi,j s on the right has to be a multiple of 11 since in each case both subscripts i and j are positive. Hence the coefficient of x11t on the left must also be congruent to 0 modulo 11. By (18), that coefficient is 1215 p5·24 (11t − 5). So p120 (11t + 6) ≡ 0 (mod 11) and therefore p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11). 

Congruence p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11): another method There is another way that uses only the identities (17) involving ϑP , ϑQ, ϑR and the product expression (18) for Q3 − R2 [4]. Let us take a typical simple example. We will prove that p10 (19n + 17) ≡ 0 (mod 19),

n ≥ 0.

By Lemma 1, it suffices to show that the same is true of p48 (19r − 2), r > 0. Suppose we find an identity such as (Q3 − R2 )2 ≡ 12ϑF (x) + 19G(x), where F (x) and G(x) are power series in x with integer coefficients. Then the coefficient of x19r on the right will be a multiple of 19. So the coefficient of x19r on the left must also be a multiple of 19. By (18), the coefficient of x19r on the left is 126 p48 (19r − 2). We succeed because of the existence of the equality 12ϑ(9P 3 Q4 + 16P 3 QR2 + 13P 2 Q3 R + 7P 2 R3 + 5P Q5 + 13P Q2 R2 + 18Q4 R + 14QR3 ) = (Q3 − R2 )2 + 19(9P 4 Q4 + 16P 4 QR2 − 4P 3 Q3 R + 4P 3 R3 − 3P 2 Q2 R2 + 6P Q4 R + 10P QR3 − 6Q6 − 29Q3 R2 − 3R4 ). (19) And we can deal with p(11t + 6) by means of this identity: 12ϑ (10P 3 Q13 + P 3 Q10 R2 + 7P 3 Q7 R4 + 7P 3 Q4 R6 + 5P 3 QR8 + 4P 2 Q12 R + 10P 2 Q9 R3 + 8P 2 Q6 R5 + 9P 2 R9 + 5P Q14 + 6P Q11 R2 + 8P Q8 R4 + 2P Q5 R6 + 3P Q2 R8 + 10Q13 R + Q10 R3 + Q7 R5 + 10Q4 R7 + 3QR9 ) = (Q3 − R2 )5 + 11 (50P 4 Q13 + 5P 4 Q10 R2 + 35P 4 Q7 R4 + 35P 4 Q4 R6 + 25P 4 QR8 − 28P 3 Q12 R + 32P 3 Q9 R3 − 32P 3 Q3 R7 + 44P 3 R9 + 21P 2 Q14 − 3P 2 Q11 R2 − 15P 2 Q8 R4 − 9P 2 Q5 R6 − 30P 2 Q2 R8 + 20P Q13 R − 38P Q10 R3 − 26P Q7 R5 + 36P Q4 R7 + 12P QR9 − 6Q15 − 49Q12 R2 − 8Q9 R4 − 40Q6 R6 − 30Q3 R8 − R10 ).

(20)

Thus p120 (11t − 5) ≡ 0 (mod 11) and hence p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11).  Identity (20) looks rather complicated, but with a bit more work we can replace it with an expression where the left-hand side takes a simpler form: ϑ4 (2Q13 + 9R2 Q10 + 8R4 Q7 + 8R6 Q4 + R8 Q) ≡ (Q3 − R2 )5

(mod 11).

Moreover, we can treat the other two congruences in the same way. For p(5t+4) ≡ 0 (mod 5), we use the identity 12ϑ(4QR) = Q3 − R2 − 5(5Q3 − 8P RQ + 3R2 ) and for p(7t + 5) ≡ 0 (mod 7), we have 12ϑ(5P Q5 + 6RQ4 + 5P R2 Q2 + 5R3 Q) ≡ (Q3 − R2 )2

8

(mod 7),

or the simpler formula, 122 ϑ2 (2Q5 + 2R2 Q2 ) ≡ (Q3 − R2 )2

(mod 7).

But how do we find identities like (19) and (20)? Let h be a prime greater than 3 and let s be a positive integer. Let Aα,β,γ λ,µ,ν denote the matrix x y z defined by equating coefficients in expressions of the form P Q R in X λ µ ν = 12ϑP α Qβ Rγ Aα,β,γ λ,µ,ν P Q R λ, µ, ν ≥ 0 λ + 2µ + 3ν = 6s

as α, β and γ run through the non-negative integers satisfying α + 2β + 3γ = 6s − 1. Then we solve the system of linear congruences X (mod h) Aα,β,γ λ,µ,ν aα,β,γ ≡ tλ,µ,ν α, β, γ ≥ 0 α + 2β + 3γ = 6s − 1

for aα,β,γ , where t0,µ,ν = (−1)

ν/2



 s , ν/2

tλ,µ,ν = 0 for λ > 1

and, as before, λ + 2µ + 3ν = 6s. The t0,µ,ν are merely the binomial coefficients of Qµ Rν in the expansion of (Q3 − R2 )s . One can now see that aα,β,γ are the required coefficients; for X 12 ϑ aα,β,γ P α Qβ Rγ α, β, γ ≥ 0 α + 2β + 3γ = 6s − 1

X

X

α, β, γ ≥ 0 α + 2β + 3γ = 6s − 1

λ, µ, ν ≥ 0 λ + 2µ + 3ν = 6s

≡

≡

X

≡

X

P λ Qµ R ν

λ, µ, ν ≥ 0 λ + 2µ + 3ν = 6s

X

P λ Qµ Rν Aα,β,γ λ,µ,ν aα,β,γ

Aα,β,γ λ,µ,ν aα,β,γ

α, β, γ ≥ 0 α + 2β + 3γ = 6s − 1

P λ Qµ Rν tλ,µ,ν

λ, µ, ν ≥ 0 λ + 2µ + 3ν = 6s

≡

X

Qµ Rν t0,µ,ν

µ, ν ≥ 0 2µ + 3ν = 6s

≡ (Q3 − R2 )s

(mod h).

9

Example with h = 19, s = 2 and everything mod 19. Nineteen equations, 16 variables. For instance, the first column of the matrix says that 12ϑQR3 ≡ 15R4 +Q3 R2 +3P QR3 (mod 19). λµν     0 0 4 15 1   17 1 3 18 032  a0,1,3       060   a0,4,1   1   0 13 0 18       1 1 3  3 0 11 0 17   a1,2,2   0        3 7 18 0 17 141  a  0 1,5,0   0 2 0 1 7 16 222  a     2,0,3       2 0 13 0 16 250  a  0 2,3,1       1 0 15 0 303  a  0   3,1,2     1 7 3 15 331   0   a3,4,0     0 0 11 14 412   ≡ 0   a4,2,1     0 13 0 14 440   0   a5,0,2       0 18 7 7 13 521   a5,3,0       0 17 0 15 602   a6,1,1           17 13 12 630   a7,2,0   0      16 11 11 711   a8,0,1   0         15 13 820   a9,1,0   0    0 14 15 901  a11,0,0   0 13 8  10 1 0  11 12 0 0 0 α β γ

0 1 3 14

0 4 1 18

1 2 2 13

1 5 0 5

2 0 3 7

2 3 1 13

3 1 2 16

3 4 0 9

4 2 1 0

5 0 2 0

5 3 0 0

6 1 1 0

7 2 0 0

8 0 1 0

9 1 0 0

11 0 0 0

References [1] S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Transactions of the Cambridge Philosophical Society XXII No. 9 (1916), 159–184 (No. 18 in [3]). [2] S. Ramanujan, Congruence properties of partitions, Mathematische Zeitschrift IX (1921), 147–153 (No. 30 in [3]). [3] S. Ramanujan, Collected Papers, Cambridge 1927. [4] A. D. Forbes, Congruence properties of functions related to the partition function, Pacific Journal of Mathematics 158 no. 1 (1993), 145–156. [5] T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer 1976.

10

Identities for proving congruence properties This is a collection of identities of the form 12e ϑe F = (Q3 − R2 )s − hG,

(∗)

where h is a prime greater than 3, e and s are positive integers, F is a linear combination of terms P α Qβ Rγ , α + 2β + 3γ = 6s − e, and G is a linear combination of terms P λ Qµ Rν , λ + 2µ + 3ν = 6s. When e = 1 the identity is given in full; otherwise the identity is replaced by a congruence modulo h. There are a some occasions where there is no identity of the form (∗) with s < h. However, in these cases we can achieve a proof of the relevant congruence property with a more general expression: 12e ϑe F = P ah Qbh Rch (Q3 − R2 )s − hG, which reduces to (∗) when a = b = c = 0. p4 (5t + 4) ≡ 0 (mod 5)
12ϑ 4QR = Q3 − R2 − 5(5Q3 − 8P RQ + 3R2 )
124 ϑ4 4P 2 ≡ Q3 − R2 (mod 5)
125 ϑ5 4P ≡ Q3 − R2 (mod 5) p3 (5t + 3) ≡ 0 (mod 5)
12ϑ 3P Q5 + RQ4 + 3P 2 RQ3 + 3P R2 Q2 + R3 Q + 4P 2 R3 = (Q3 − R2 )2 − 5(2Q6 − 9P 2 Q5 + 16P RQ4 + 7R2 Q3 − 12P 3 RQ3 + 9P 2 R2 Q2 + 2P R3 Q + R4 − 16P 3 R3 )
123 ϑ3 4RQ3 + 2R3 ≡ (Q3 − R2 )2 (mod 5)

p3 (7t + 6) ≡ 0 (mod 7) 12ϑ 5QP 3 + 6RP 2 + Q2 P + 2QR
124 ϑ4 5Q ≡ Q3 − R2 (mod 7)




= Q3 − R2 − 7(−5QP 4 − 4RP 3 + 6Q2 P 2 + 2Q3 + R2 )

p6 (7t + 5) ≡ 0 (mod 7)
12ϑ 5P Q5 + 6RQ4 + 5P R2 Q2 + 5R3 Q = (Q3 − R2 )2 − 7(6Q6 − 15P 2 Q5 + 4P RQ4 + 27R2 Q3 − 15P 2 R2 Q2 − 10P R3 Q + 3R4 )
122 ϑ2 2Q5 + 2R2 Q2 ≡ (Q3 − R2 )2 (mod 7)

p4 (11t + 9) ≡ 0 (mod 11)
12ϑ 9RQ4 + 8R3 Q = (Q3 − R2 )2 − 11(5Q6 − 18P RQ4 + 26R2 Q3 − 16P R3 Q + 3R4 )

11

p6 (11t + 8) ≡ 0 (mod 11)
12ϑ 3P Q8 + 3RQ7 + 6P R2 Q5 + 8R3 Q4 + 10P R4 Q2 + 3R5 Q = (Q3 − R2 )3 − 11(2Q9 − 9P 2 Q8 + 6P RQ7 + 21R2 Q6 − 18P 2 R2 Q5 + 8P R3 Q4 + 21R4 Q3 − 30P 2 R4 Q2 − 2P R5 Q + R6 )
122 ϑ2 8Q8 + 5R2 Q5 + R4 Q2 ≡ (Q3 − R2 )3 (mod 11) p8 (11t + 7) ≡ 0 (mod 11) 2 9 10 8 2 2 6 3 5 4 2 3 5 2 6 12ϑ 7P Q11 + 3P
Q R + 6Q R + 6P Q R + 9P Q R + 5P Q R + 8P Q R + 9P Q R + 2 7 7 5P R + 8QR = (Q3 − R2 )4 − 11(−27P 2 Q11 + 4Q12 − 12P 3 Q9 R + 10P Q10 R + 22Q9 R2 − 36P 3 Q6 R3 + 30P Q7 R3 + 21P 2 Q5 R4 + Q6 R4 − 32P 3 Q3 R5 + 40P Q4 R5 − 9P 2 Q2 R6 + 31Q3 R6 − 20P 3 R7 − 26P QR7 + 3R8 )
123 ϑ3 7RQ9 + 10R3 Q6 + 4R5 Q3 + 8R7 ≡ (Q3 − R2 )4 (mod 11)

p10 (11t + 6) ≡ 0 (mod 11) 12ϑ 10P 3 Q13 + 5P Q14 + 4P 2 Q12 R + 10Q13 R + P 3 Q10 R2 + 6P Q11 R2 + 10P 2 Q9 R3 + Q10 R3 + 7P 3 Q7 R4 + 8P Q8 R4 + 8P
2 Q6 R5 + Q7 R5 + 7P 3 Q4 R6 + 2P Q5 R6 + 10Q4 R7 + 5P 3 QR8 + 3P Q2 R8 + 9P 2 R9 + 3QR9 = (Q3 − R2 )5 − 11(−50P 4 Q13 − 21P 2 Q14 + 6Q15 + 28P 3 Q12 R − 20P Q13 R − 5P 4 Q10 R2 + 3P 2 Q11 R2 +49Q12 R2 −32P 3 Q9 R3 +38P Q10 R3 −35P 4 Q7 R4 +15P 2 Q8 R4 +8Q9 R4 +26P Q7 R5 − 35P 4 Q4 R6 +9P 2 Q5 R6 +40Q6 R6 +32P 3 Q3 R7 −36P Q4 R7 −25P 4 QR8 +30P 2 Q2 R8 +30Q3 R8 − 44P 3 R9 − 12P QR9 + R10 )
124 ϑ4 2Q13 + 9R2 Q10 + 8R4 Q7 + 8R6 Q4 + R8 Q ≡ (Q3 − R2 )5 (mod 11) p3 (11t + 4) ≡ 0 (mod 11) 12ϑ P Q20 + 6P 3 Q19 + 7RQ19 + 4P 5 Q18 + 5P 2 RQ18 + 6P 4 RQ17 + 2R3 Q16 + 8P 3 R2 Q16 + 8P 2 R3 Q15 +4P 5 R2 Q15 +8P R4 Q14 +4P 4 R3 Q14 +R5 Q13 +P 3 R4 Q13 +3P 5 R4 Q12 +10P R6 Q11 + 2P 4 R5 Q11 + 8R7 Q10 + 2P 3 R6 Q10 + 5P 2 R7 Q9 + 4P 5 R6 Q9 + 2P R8 Q8 + 8P 4 R7 Q8 + 5R9 Q7 + 2 11 3 6P 3 R8 Q7 +3P 2 R9 Q6 +10P 5 R8 Q6 +2P R10 Q5 +8P 4 R9 Q5 +8R11 Q4 +8P 3 R10 Q4 +7P R Q +
5 10 3 12 2 4 11 2 13 3 12 2 13 5 12 2P R Q + 5P R Q + 10P R Q + 3R Q + 3P R Q + 4P R + 5P R = (Q3 −R2 )7 −11(4Q21 −3P 2 Q20 −38P 4 Q19 −44P RQ19 −28P 6 Q18 +51R2 Q18 +16P 3 RQ18 + 48P 2 R2 Q17 − 12P 5 RQ17 + 4P R3 Q16 − 12P 4 R2 Q16 + 17R4 Q15 − 8P 3 R3 Q15 − 28P 6 R2 Q15 − 15P 2 R4 Q14 + 66P R5 Q13 + 20P 4 R4 Q13 + 33R6 Q12 + 12P 3 R5 Q12 − 21P 6 R4 Q12 − 54P 2 R6 Q11 + 12P 5 R5 Q11 − 10P R7 Q10 + 26P 4 R6 Q10 + 57R8 Q9 − 28P 6 R6 Q9 + 18P 2 R8 Q8 − 20P R9 Q7 + 24P 4 R8 Q7 + 59R10 Q6 + 40P 3 R9 Q6 − 70P 6 R8 Q6 + 36P 2 R10 Q5 − 24P 5 R9 Q5 − 22P R11 Q4 + 18P 4 R10 Q4 + 34R12 Q3 − 16P 3 R11 Q3 − 14P 6 R10 Q3 − 36P 5 R11 Q2 − 18P R13 Q − 12P 4 R12 Q + R14 − 28P 3 R13 − 35P 6 R12 )
126 ϑ6 4Q18 +4R2 Q15 +3R4 Q12 +4R6 Q9 +10R8 Q6 +2R10 Q3 +5R12 ≡ (Q3 −R2 )7 (mod 11)

p3 (13t + 8) ≡ 0 (mod 13) 12ϑ 9P Q14 + 9P 3 Q13 + 7RQ13 + 3P 5 Q12 + 3P 2 RQ12 + 2P 4 RQ11 + R3 Q10 + 9P 3 R2 Q10 + 7P 6 RQ10 + 10P 2 R3 Q9 + 7P R4 Q8 + 6P 4 R3 Q8 + 2R5 Q7 + 3P 3 R4 Q7 + 9P 6 R3 Q7 + P 2 R5 Q6 +

12

8P 5 R4 Q6 + 2P R6 Q5 + 6P 4 R5 Q5 + 10R7 Q4 + 4P 6 R5 Q4 + 4P 2
R7 Q3 + 3P 5 R6 Q3 + 10P R8 Q2 + 7P 4 R7 Q2 + 10R9 Q + 3P 3 R8 Q + 10P 6 R7 Q + 3P 2 R9 + P 5 R8 = (Q3 −R2 )5 −13(4Q15 −36P 2 Q14 −36P 4 Q13 +8P RQ13 −9P 6 Q12 +29R2 Q12 +32P 3 RQ12 + 27P 2 R2 Q11 + 6P 5 RQ11 + 10P R3 Q10 − 23P 4 R2 Q10 − 28P 7 RQ10 + 9R4 Q9 − 8P 3 R3 Q9 + 34P 6 R2 Q9 −6P 5 R3 Q8 +14P R5 Q7 +19P 4 R4 Q7 −36P 7 R3 Q7 +36R6 Q6 +4P 3 R5 Q6 −4P 6 R4 Q6 + 6P 2 R6 Q5 −4P R7 Q4 +33P 4 R6 Q4 −16P 7 R5 Q4 +55R8 Q3 −4P 3 R7 Q3 +25P 6 R6 Q3 −27P 2 R8 Q2 − 18P 5 R7 Q2 − 38P R9 Q − 8P 4 R8 Q − 40P 7 R7 Q + 3R10 − 12P 3 R9 − P 6 R8 )
127 ϑ7 4RQ10 + 7R3 Q7 + 6R5 Q4 + 2R7 Q ≡ (Q3 − R2 )5 (mod 13)

p14 (17t + 15) ≡ 0 (mod 17) 12ϑ 10P 5 Q3 +P
3 Q4 +2P Q5 +9P 4 Q2 R+15P 2 Q3 R+8Q4 R+12P 5 R2 +15P 3 QR2 +6P Q2 R2 + 3P 2 R3 + 4QR3 = (Q3 − R2 )2 − 17(−10P 6 Q3 + 5P 4 Q4 + 3P 2 Q5 + 3Q6 + 6P 5 Q2 R − 4P 3 Q3 R − 2P Q4 R − 12P 6 R2 − 9P 4 QR2 + 9P 2 Q2 R2 + 12Q3 R2 − 2P QR3 + R4 )
126 ϑ6 7Q3 + 5R2 ≡ (Q3 − R2 )2 (mod 17) p4 (17t + 14) ≡ 0 (mod 17)
12ϑ 14RQ7 + 2R3 Q4 + 13R5 Q = (Q3 − R2 )3 − 17(5Q9 − 28P RQ7 + 25R2 Q6 − 4P R3 Q4 + 25R4 Q3 − 26P R5 Q + 3R6 ) p8 (17t + 11) ≡ 0 (mod 17) 12ϑ 14P Q17 +8P 2 Q15 R+6Q16 R+11P Q14 R2 +7P 2 Q12 R3 +2Q13 R3 +15P Q11 R4 +8P 2 Q9 R5 + 8Q10 R5 + 10P Q8 R
6 + 12P 2 Q6 R7 + 8Q7 R7 + 13P Q5 R8 + 16P 2 Q3 R9 + Q4 R9 + 15P Q2 R10 + 12P 2 R11 + 4QR11 = (Q3 − R2 )6 − 17(−54P 2 Q17 + 3Q18 − 32P 3 Q15 R + 40P Q16 R − 9P 2 Q14 R2 + 25Q15 R2 − 28P 3 Q12 R3 + 50P Q13 R3 − 27P 2 Q11 R4 + 22Q12 R4 − 32P 3 Q9 R5 + 28P Q10 R5 + 6P 2 Q8 R6 + 38Q9 R6 −48P 3 Q6 R7 +24P Q7 R7 +15P 2 Q5 R8 +18Q6 R8 −64P 3 Q3 R9 +66P Q4 R9 −3P 2 Q2 R10 + 17Q3 R10 − 48P 3 R11 − 8P QR11 + R12 )
123 ϑ3 4RQ15 + 12R3 Q12 + 4R5 Q9 + 6R7 Q6 + 8R9 Q3 + 6R11 ≡ (Q3 − R2 )6 (mod 17) p3 (17t + 2) ≡ 0 (mod 17) 12ϑ 14P Q44 + 8P 3 Q43 + 6RQ43 + 15P 5 Q42 + P 2 RQ42 + 8P 7 Q41 + 11P R2 Q41 + 14P 4 RQ41 + 9R3 Q40 + 3P 3 R2 Q40 + P 6 RQ40 + 2P 2 R3 Q39 + P 5 R2 Q39 + 7P 8 RQ39 + 7P R4 Q38 + 9P 4 R3 Q38 + 8P 7 R2 Q38 + 14R5 Q37 + 13P 3 R4 Q37 + 8P 6 R3 Q37 + 16P 2 R5 Q36 + 10P 5 R4 Q36 + 4P 8 R3 Q36 + P R6 Q35 + 11P 4 R5 Q35 + 11P 7 R4 Q35 + 6R7 Q34 + 16P 3 R6 Q34 + 6P 6 R5 Q34 + 15P 2 R7 Q33 + 15P 5 R6 Q33 + P 8 R5 Q33 + P R8 Q32 + 10P 4 R7 Q32 + 14P 7 R6 Q32 + 15R9 Q31 + 6P 3 R8 Q31 + 4P 6 R7 Q31 + 5P 2 R9 Q30 + 3P 5 R8 Q30 + 15P 8 R7 Q30 + 15P R10 Q29 + 9P 4 R9 Q29 + 14R11 Q28 + 13P 3 R10 Q28 +2P 6 R9 Q28 +12P 2 R11 Q27 +8P 5 R10 Q27 +12P 8 R9 Q27 +12P R12 Q26 +8P 4 R11 Q26 + 3P 7 R10 Q26 + 13R13 Q25 + 3P 3 R12 Q25 + 2P 2 R13 Q24 + 13P 5 R12 Q24 + 9P 8 R11 Q24 + 9P R14 Q23 + 7P 4 R13 Q23 +6P 7 R12 Q23 +12R15 Q22 +10P 3 R14 Q22 +15P 6 R13 Q22 +9P 2 R15 Q21 +P 5 R14 Q21 + 6P 8 R13 Q21 +6P R16 Q20 +6P 4 R15 Q20 +9P 7 R14 Q20 +11R17 Q19 +13P 6 R15 Q19 +16P 2 R17 Q18 + 6P 5 R16 Q18 + 3P 8 R15 Q18 + 3P R18 Q17 + 5P 4 R17 Q17 + 12P 7 R16 Q17 + 10R19 Q16 + 7P 3 R18 Q16 + 11P 6 R17 Q16 +6P 2 R19 Q15 +11P 5 R18 Q15 +10P 8 R17 Q15 +4P 4 R19 Q14 +13P 7 R18 Q14 +9R21 Q13 +

13

14P 3 R20 Q13 + 13P 6 R19 Q13 + 13P 2 R21 Q12 + 9P 5 R20 Q12 + 12P 8 R19 Q12 + 14P R22 Q11 + 8P 4 R21 Q11 + P 7 R20 Q11 + 8R23 Q10 + 9P 3 R22 Q10 + P 6 R21 Q10 + 4P 2 R23 Q9 + 8P 5 R22 Q9 + 15P 8 R21 Q9 + 15P R24 Q8 + 5P 4 R23 Q8 + 15P 7 R22 Q8 + 14R25 Q7 + 15P 3 R24 Q7 + 16P 6 R23 Q7 + 11P 2 R25 Q6 + 14P 5 R24 Q6 + P 8 R23 Q6 + 6P R26 Q5 + 12P 4 R25 Q5 + 11P 7 R24 Q5 + 9R27 Q4 + 4 27 2 2P 3 R26 Q4 + 8P 6 R25 Q4 + 3P 2 R27 Q3 + 7P 5 R26 Q3 + 10P 8 R25 Q3 + 10P R28 Q2 + 14P R Q +
7 26 2 29 3 28 6 27 2 29 5 28 8 27 13P R Q + 13R Q + P R Q + 12P R Q + 12P R + 16P R + 7P R = (Q3 − R2 )15 − 17(3Q45 − 144P 2 Q44 − 73P 4 Q43 + 90P RQ43 − 149P 6 Q42 + 70R2 Q42 + 76P 3 RQ42 − 78P 8 Q41 − 102P 2 R2 Q41 + 6P 5 RQ41 + 22P R3 Q40 + 114P 4 R2 Q40 + 76P 7 RQ40 + 116R4 Q39 +28P 3 R3 Q39 +11P 6 R2 Q39 −70P 9 RQ39 −24P 2 R4 Q38 −66P 5 R3 Q38 −12P 8 R2 Q38 − 80P R5 Q37 − 31P 4 R4 Q37 + 8P 7 R3 Q37 + 110R6 Q36 − 16P 3 R5 Q36 − 17P 6 R4 Q36 − 40P 9 R3 Q36 + 165P 2 R6 Q35 +6P 5 R5 Q35 −75P 8 R4 Q35 −50P R7 Q34 −45P 4 R6 Q34 +60P 7 R5 Q34 +176R8 Q33 − 8P 3 R7 Q33 −89P 6 R6 Q33 −10P 9 R5 Q33 +123P 2 R8 Q32 +24P 5 R7 Q32 −96P 8 R6 Q32 −96P R9 Q31 + 43P 4 R8 Q31 +72P 7 R7 Q31 −12R10 Q30 +40P 3 R9 Q30 +5P 6 R8 Q30 −150P 9 R7 Q30 −72P 2 R10 Q29 − 42P 5 R9 Q29 +144P 8 R8 Q29 +8P R11 Q28 −39P 4 R10 Q28 −4P 7 R9 Q28 +447R12 Q27 −24P 3 R11 Q27 − 67P 6 R10 Q27 − 120P 9 R9 Q27 − 39P 2 R12 Q26 + 24P 5 R11 Q26 + 81P 8 R10 Q26 − 18P R13 Q25 + 54P 4 R12 Q25 + 48P 7 R11 Q25 − 238R14 Q24 + 48P 3 R13 Q24 − 61P 6 R12 Q24 − 90P 9 R11 Q24 − 33P 2 R14 Q23 + 12P 5 R13 Q23 + 18P 8 R12 Q23 − 42P R15 Q22 − 33P 4 R14 Q22 − 72P 7 R13 Q22 + 507R16 Q21 − 40P 3 R15 Q21 + 140P 6 R14 Q21 − 60P 9 R13 Q21 + 78P 2 R16 Q20 − 18P 5 R15 Q20 − 45P 8 R14 Q20 − 66P R17 Q19 + 60P 4 R16 Q19 − 20P 7 R15 Q19 − 178R18 Q18 − 120P 3 R17 Q18 + 68P 6 R16 Q18 − 30P 9 R15 Q18 + 78P 2 R18 Q17 + 48P 5 R17 Q17 − 48P 8 R16 Q17 − 92P R19 Q16 − 22P 4 R18 Q16 + 24P 7 R17 Q16 + 281R20 Q15 + 64P 3 R19 Q15 + 22P 6 R18 Q15 − 100P 9 R17 Q15 + 120P 2 R20 Q14 + 66P 5 R19 Q14 − 15P 8 R18 Q14 + 16P R21 Q13 − 69P 4 R20 Q13 − 76P 7 R19 Q13 + 13R22 Q12 − 20P 3 R21 Q12 − 44P 6 R20 Q12 − 120P 9 R19 Q12 − 75P 2 R22 Q11 + 6P 5 R21 Q11 + 135P 8 R20 Q11 + 80P R23 Q10 − 29P 4 R22 Q10 + 116P 7 R21 Q10 + 170R24 Q9 + 108P 3 R23 Q9 + 57P 6 R22 Q9 − 150P 9 R21 Q9 − 48P 2 R24 Q8 + 90P 5 R23 Q8 − 111P 8 R22 Q8 − 62P R25 Q7 − 35P 4 R24 Q7 −40P 7 R23 Q7 +103R26 Q6 −68P 3 R25 Q6 −41P 6 R24 Q6 −10P 9 R23 Q6 −18P 2 R26 Q5 − 36P 5 R25 Q5 −21P 8 R24 Q5 +12P R27 Q4 +129P 4 R26 Q4 +56P 7 R25 Q4 +143R28 Q3 −16P 3 R27 Q3 + 56P 6 R26 Q3 −100P 9 R25 Q3 +21P 2 R28 Q2 +24P 5 R27 Q2 −57P 8 R26 Q2 −130P R29 Q+P 4 R28 Q− 112P 7 R27 Q + 3R30 − 124P 3 R29 − 160P 6 R28 − 70P 9 R27 ) 11 24 129 ϑ9 11RQ39 + 16R3 Q36 + 4R5 Q33 + 9R7 Q30 + 14R9 Q27 + 2R Q + 7R13 Q21 + 12R15 Q18 +
6R17 Q15 + 14R19 Q12 + 9R21 Q9 + 4R23 Q6 + 6R25 Q3 + 11R27 ≡ (Q3 − R2 )15 (mod 17)

p10 (19t + 17) ≡ 0 (mod 19)
12ϑ 9P 3 Q4 + 5P Q5 + 13P 2 Q3 R + 18Q4 R + 16P 3 QR2 + 13P Q2 R2 + 7P 2 R3 + 14QR3 = (Q3 − R2 )2 − 19(−9P 4 Q4 + 6Q6 + 4P 3 Q3 R − 6P Q4 R − 16P 4 QR2 + 3P 2 Q2 R2 + 29Q3 R2 − 4P 3 R3 − 10P QR3 + 3R4 )
124 ϑ4 8Q4 + 10R2 Q ≡ (Q3 − R2 )2 (mod 19) p6 (19t + 14) ≡ 0 (mod 19) 13 2 11 3 10 4 8 5 7 6 5 7 4 12ϑ 6P Q14 + 2RQ
+ 7P R Q + 11R Q + 9P R Q + 17R Q + 12P R Q + 4R Q + 8 2 9 3P R Q + 5R Q = (Q3 −R2 )5 −19(Q15 −18P 2 Q14 +16P RQ13 +16R2 Q12 −21P 2 R2 Q11 −6P R3 Q10 +51R4 Q9 − 27P 2 R4 Q8 −14P R5 Q7 +34R6 Q6 −36P 2 R6 Q5 +8P R7 Q4 +18R8 Q3 −9P 2 R8 Q2 −14P R9 Q+R10 )
122 ϑ2 13Q14 + 12R2 Q11 + 10R4 Q8 + 7R6 Q5 + 16R8 Q2 ≡ (Q3 − R2 )5 (mod 19)

14

p12 (19t + 9) ≡ 0 (mod 19) 12ϑ 5P 3 Q28 +4P Q29 +4P 4 Q26 R+9P 2 Q27 R+15Q28 R+P 3 Q25 R2 +6P Q26 R2 +16P 4 Q23 R3 + 7P 2 Q24 R3 +4Q25 R3 +8P 3 Q22 R4 +P Q23 R4 +12P 4 Q20 R5 +13P 2 Q21 R5 +13Q22 R5 +2P 3 Q19 R6 + 14P Q20 R6 + 17P 4 Q17 R7 + 2P 2 Q18 R7 + 16Q19 R7 + 5P 3 Q16 R8 + 8P Q17 R8 + 10P 4 Q14 R9 + 7P 2 Q15 R9 + 3Q1 6R9 + 5P 3 Q13 R10 + 8P Q14 R10 + 8P 4 Q11 R11 + 5P 2 Q12 R11 + 10Q13 R11 + 4P 3 Q10 R12 + 16P 4 Q8 R13 + 7P 2 Q9 R13 + 15Q10 R13 + 7P 3 Q7 R14 + P Q8 R14 + 6P 4 Q5 R15 + 16P 2 Q6 R15 + 5Q7 R15 + 2P 3 Q4 R16 + 13P Q
5 R16 + 13P 4 Q2 R17 + 15P 2 Q3 R17 + 7Q4 R17 + 9P 3 QR18 + 12P Q2 R18 + 18P 2 R19 + 14QR19 = (Q3 − R2 )10 − 19(−29P 4 Q28 − 21P 2 Q29 + 5Q30 − 24P 5 Q26 R − 24P 3 Q27 R − 64P Q28 R + 31P 4 Q25 R2 + 21P 2 Q26 R2 + 92Q27 R2 − 96P 5 Q23 R3 − 24P 3 Q24 R3 + 10P Q25 R3 + 48P 4 Q22 R4 + 51P 2 Q23 R4 + 44Q24 R4 − 72P 5 Q20 R5 − 36P 3 Q21 R5 − 48P Q22 R5 + 76P 4 Q19 R6 − 24P 2 Q20 R6 + 90Q21 R6 − 102P 5 Q17 R7 + 12P 3 Q18 R7 − 20P Q19 R7 + 59P 4 Q16 R8 − 21P 2 Q17 R8 + 84Q18 R8 − 60P 5 Q14 R9 −8P 3 Q15 R9 +36P Q16 R9 +27P 4 Q13 R10 −9P 2 Q14 R10 +32Q15 R10 −48P 5 Q11 R11 − 38P Q13 R11 + 60P 4 Q10 R12 + 42P 2 Q11 R12 + 100Q12 R12 − 96P 5 Q8 R13 − 88P Q10 R13 + 13P 4 Q7 R14 + 84P 2 Q8 R14 + 49Q9 R14 − 36P 5 Q5 R15 − 76P 3 Q6 R15 + 38P Q7 R15 + 64P 4 Q4 R16 + 21P 2 Q5 R16 + 48Q6 R16 − 78P 5 Q2 R17 − 36P 3 Q3 R17 + 40P Q4 R17 − 49P 4 QR18 + 45P 2 Q2 R18 + 90Q3 R18 − 108P 3 R19 − 80P QR19 + 3R20 ) 26 125 ϑ5 16RQ + 7R3 Q23 + 10R5 Q20 + 11R7 Q17 + 2R9 Q14 + 13R11 Q11 + 7R13 Q8 + 5R15 Q5 +
14R17 Q2 ≡ (Q3 − R2 )10 (mod 19)

p3 (19t + 7) ≡ 0 (mod 19) 12ϑ 16P Q35 +15P 3 Q34 +13RQ34 +17P 5 Q33 +17P 2 RQ33 +12P 7 Q32 +15P R2 Q32 +4P 4 RQ32 + 15P 9 Q31 +4R3 Q31 +8P 3 R2 Q31 +10P 6 RQ31 +P 2 R3 Q30 +6P 5 R2 Q30 +10P 8 RQ30 +18P R4 Q29 + 4P 7 R2 Q29 + 6R5 Q28 + 12P 3 R4 Q28 + 9P 6 R3 Q28 + P 9 R2 Q28 + 11P 2 R5 Q27 + P 5 R4 Q27 + 4P 8 R3 Q27 + 2P R6 Q26 + 13P 4 R5 Q26 + 5P 7 R4 Q26 + 10R7 Q25 + 4P 3 R6 Q25 + 4P 6 R5 Q25 + 5P 9 R4 Q25 + 8P 2 R7 Q24 + 5P 5 R6 Q24 + 18P 8 R5 Q24 + 17P R8 Q23 + 18P 4 R7 Q23 + 3P 7 R6 Q23 + 10R9 Q22 + 4P 3 R8 Q22 + 9P 6 R7 Q22 + 13P 9 R6 Q22 + 12P 2 R9 Q21 + 5P 5 R8 Q21 + P 8 R7 Q21 + P R10 Q20 + 14P 4 R9 Q20 + 18P 7 R8 Q20 + 7R11 Q19 + 6P 3 R10 Q19 + 8P 6 R9 Q19 + 13P 9 R8 Q19 + 3P 2 R11 Q18 + 13P 5 R10 Q18 + 17P 8 R9 Q18 + P R12 Q17 + 18P 4 R11 Q17 + 2P 7 R10 Q17 + 3R13 Q16 + 8P 3 R12 Q16 + 12P 9 R10 Q16 + 17P 2 R13 Q15 + 12P 5 R12 Q15 + 15P 8 R11 Q15 + 12P R14 Q14 + 9P 4 R13 Q14 + 7P 7 R12 Q14 + 4R15 Q13 + P 3 R14 Q13 + 9P 6 R13 Q13 + 3P 9 R12 Q13 + 3P 2 R15 Q12 + 11P 5 R14 Q12 +9P 8 R13 Q12 +4P R16 Q11 +8P 4 R15 Q11 +13R17 Q10 +13P 3 R16 Q10 +5P 6 R15 Q10 + 3P 9 R14 Q10 +11P 2 R17 Q9 +14P 5 R16 Q9 +12P 8 R15 Q9 +4P R18 Q8 +16P 4 R17 Q8 +14P 7 R16 Q8 + R19 Q7 + 18P 3 R18 Q7 + 17P 6 R17 Q7 + 6P 9 R16 Q7 + 8P 2 R19 Q6 + 18P 5 R18 Q6 + 16P 8 R17 Q6 + 6P R20 Q5 + 2P 7 R18 Q5 + 17R21 Q4 + 14P 3 R20 Q4 + 2P 6 R19 Q4 + 13P 2 R21 Q3 + 2P 5 R20 Q3 + 7P 8 R19 Q3 + 12P R22 Q2 + 3P 4 R21 Q2 + 4P
7 R20 Q2 + 14R23 Q + 12P 3 R22 Q + 2P 6 R21 Q + 17P 9 R20 Q + 15P 2 R23 + 2P 5 R22 + 11P 8 R21 = (Q3 − R2 )12 − 19(5Q36 − 111P 2 Q35 − 104P 4 Q34 + 32P RQ34 − 115P 6 Q33 + 97R2 Q33 − 12P 3 RQ33 − 75P 8 Q32 + 9P 2 R2 Q32 + 96P 5 RQ32 − 105P 10 Q31 + 94P R3 Q31 − 30P 4 R2 Q31 + 16P 7 RQ31 + 40R4 Q30 + 60P 3 R3 Q30 + 32P 6 R2 Q30 + 28P 9 RQ30 − 108P 2 R4 Q29 + 42P 5 R3 Q29 + 39P 8 R2 Q29 + 70P R5 Q28 − 67P 4 R4 Q28 − 32P 7 R3 Q28 − 7P 10 R2 Q28 + 46R6 Q27 + 54P 6 R4 Q27 − 16P 9 R3 Q27 +66P 2 R6 Q26 −78P 5 R5 Q26 +18P 8 R4 Q26 −20P R7 Q25 +83P 4 R6 Q25 +12P 7 R5 Q25 − 35P 10 R4 Q25 +108R8 Q24 −24P 3 R7 Q24 +6P 6 R6 Q24 −76P 9 R5 Q24 −51P 2 R8 Q23 −90P 5 R7 Q23 + 78P 8 R6 Q23 + 12P R9 Q22 + 99P 4 R8 Q22 − 4P 7 R7 Q22 − 91P 10 R6 Q22 + 29R10 Q21 − 48P 3 R9 Q21 + 35P 6 R8 Q21 + 86P 9 R7 Q21 + 57P 2 R10 Q20 − 36P 5 R9 Q20 − 69P 8 R8 Q20 − 44P R11 Q19 + 81P 4 R10 Q19 + 32P 7 R9 Q19 − 91P 10 R8 Q19 + 89R12 Q18 + 36P 3 R11 Q18 − 61P 6 R10 Q18 − 30P 9 R9 Q18 + 75P 2 R12 Q17 − 36P 5 R11 Q17 + 108P 8 R10 Q17 + 36P R13 Q16 + 46P 4 R12 Q16 +

15

40P 7 R11 Q16 − 84P 10 R10 Q16 − 12R14 Q15 − 92P 3 R13 Q15 − 47P 6 R12 Q15 − 54P 9 R11 Q15 − 21P 2 R14 Q14 + 24P 5 R13 Q14 + 36P 8 R12 Q14 + 26P R15 Q13 + 60P 4 R14 Q13 − 40P 7 R13 Q13 − 21P 10 R12 Q13 + 107R16 Q12 + 48P 3 R15 Q12 − 31P 6 R14 Q12 − 42P 9 R13 Q12 + 39P 2 R16 Q11 + 42P 5 R15 Q11 + 81P 8 R14 Q11 − 64P R17 Q10 + 13P 4 R16 Q10 + 40P 7 R15 Q10 − 21P 10 R14 Q10 + 22R18 Q9 + 52P 3 R17 Q9 + 6P 6 R16 Q9 − 48P 9 R15 Q9 + 42P 2 R18 Q8 + 18P 5 R17 Q8 + 12P 8 R16 Q8 + 38P R19 Q7 −100P 4 R18 Q7 −80P 7 R17 Q7 −42P 10 R16 Q7 +118R20 Q6 +56P 3 R19 Q6 −92P 6 R18 Q6 − 104P 9 R17 Q6 + 54P 2 R20 Q5 + 36P 5 R19 Q5 + 48P 8 R18 Q5 − 36P R21 Q4 − 82P 4 R20 Q4 + 16P 7 R19 Q4 + 116R22 Q3 + 2P 6 R20 Q3 + 58P 9 R19 Q3 + 30P 2 R22 Q2 − 6P 5 R21 Q2 + 57P 8 R20 Q2 − 98P R23 Q − 86P 4 R22 Q − 8P 7 R21 Q − 119P 10 R20 Q + 3R24 − 108P 3 R23 − 14P 6 R22 − 74P 9 R21 ) 1210 ϑ10 15Q31 + R
2 Q28 + 5R4 Q25 + 13R6 Q22 + 13R8 Q19 + 12R10 Q16 + 3R12 Q13 + 3R14 Q10 + 6R16 Q7 + 17R20 Q ≡ (Q3 − R2 )12 (mod 19)

p4 (23t + 19) ≡ 0 (mod 23)
12ϑ 19RQ10 + 4R3 Q7 + 16R5 Q4 + 17R7 Q = (Q3 − R2 )4 − 23(5Q12 − 38P RQ10 + 36R2 Q9 − 8P R3 Q7 + 26R4 Q6 − 32P R5 Q4 + 42R6 Q3 − 34P R7 Q + 3R8 ) p6 (23t + 17) ≡ 0 (mod 23) 12ϑ 3P Q17 + 7RQ16 + 20P R
2 Q14 + 5R3 Q13 + 12P R4 Q11 + 5R5 Q10 + 4P R6 Q8 + 5P R8 Q5 + 9R9 Q4 + 5P R10 Q2 + 17R11 Q = (Q3 −R2 )6 −23(2Q18 −9P 2 Q17 −2P RQ16 +24R2 Q15 −60P 2 R2 Q14 +46P R3 Q13 +19R4 Q12 − 36P 2 R4 Q11 +14P R5 Q10 +8R6 Q9 −12P 2 R6 Q8 +16P R7 Q7 +22R8 Q6 −15P 2 R8 Q5 −10P R9 Q4 + 55R10 Q3 − 15P 2 R10 Q2 − 50P R11 Q + 3R12 )
122 ϑ2 20Q17 + 3R2 Q14 + 11R4 Q11 + 19R6 Q8 + 18R8 Q5 + 18R10 Q2 ≡ (Q3 − R2 )6 (mod 23) p8 (23t + 15) ≡ 0 (mod 23) 12ϑ 22P Q23 + 19P 2 RQ21 + 16P R2 Q20 + 20R3 Q19 + 17P 2 R3 Q18 + 14P R4 Q17 + 20R5 Q16 + 21P 2 R5 Q15 +8P R6 Q14 +9R7 Q13 +14P 2 R7 Q12 +P R8 Q11 +16R9 Q10 +11P 2 R9 Q9 +14P R10 Q8 +
20P 2 R11 Q6 + 6P R12 Q5 + 9R13 Q4 + P 2 R13 Q3 + 13P R14 Q2 + 17R15 Q + 11P 2 R15 = (Q3 − R2 )8 − 23(Q24 − 84P 2 Q23 + 98P RQ22 + 16R2 Q21 − 76P 3 RQ21 + 18P 2 R2 Q20 − 10P R3 Q19 + 94R4 Q18 − 68P 3 R3 Q18 + 24P 2 R4 Q17 − 26P R5 Q16 + 70R6 Q15 − 84P 3 R5 Q15 + 48P 2 R6 Q14 − 14P R7 Q13 + 61R8 Q12 − 56P 3 R7 Q12 + 51P 2 R8 Q11 − 26P R9 Q10 + 26R10 Q9 − 44P 3 R9 Q9 + 18P 2 R10 Q8 + 40P R11 Q7 + 32R12 Q6 − 80P 3 R11 Q6 + 16P R13 Q4 + 73R14 Q3 − 4P 3 R13 Q3 − 9P 2 R14 Q2 − 64P R15 Q + 3R16 − 44P 3 R15 ) 123 ϑ3
21RQ21 + 20R3 Q18 + 22R5 Q15 + 7R7 Q12 + 17R9 Q9 + 10R11 Q6 + 12R13 Q3 + 17R15 ≡ (Q3 − R2 )8 (mod 23) p10 (23t + 13) ≡ 0 (mod 23) 12ϑ 4P Q29 +7P 3 Q28 +3RQ28 +17P 2 RQ27 +11P R2 Q26 +3R3 Q25 +7P 3 R2 Q25 +22P 2 R3 Q24 + 17P R4 Q23 + 14R5 Q22 + 12P 3 R4 Q22 + 20P 2 R5 Q21 + 9P R6 Q20 + 10R7 Q19 + 7P 3 R6 Q19 + P 2 R7 Q18 + 22P R8 Q17 + 14R9 Q16 + 22P 3 R8 Q16 + 17P 2 R9 Q15 + 12P R10 Q14 + 4R11 Q13 + 14P 3 R10 Q13 + P 2 R11 Q12 + 17P R12 Q11 + 13R13 Q10 + 3P 3 R12 Q10 + 11P R14 Q8 + 10R15 Q7 + 15P 3 R14 Q7 + 2R17 Q4 + 10P 3 R16 Q4 + 20P 2 R17 Q3 + 18P R18 Q2 + 17R19 Q + 20P 3 R18 Q +

16


11P 2 R19 = (Q3 − R2 )10 − 23(Q30 − 15P 2 Q29 − 35P 4 Q28 + 12P RQ28 + 17R2 Q27 − 48P 3 RQ27 + 42P 2 R2 Q26 + 54P R3 Q25 − 35P 4 R2 Q25 + 34R4 Q24 − 68P 3 R3 Q24 + 33P 2 R4 Q23 + 12P R5 Q22 − 60P 4 R4 Q22 + 67R6 Q21 − 44P 3 R5 Q21 + 30P 2 R6 Q20 + 26P R7 Q19 − 35P 4 R6 Q19 + 76R8 Q18 + 64P 3 R7 Q18 −66P 2 R8 Q17 +26P R9 Q16 −110P 4 R8 Q16 +40R10 Q15 +12P 3 R9 Q15 −12P 2 R10 Q14 + 62P R11 Q13 − 70P 4 R10 Q13 + 63R12 Q12 + 36P 3 R11 Q12 − 84P 2 R12 Q11 + 6P R13 Q10 − 15P 4 R12 Q10 + 57R14 Q9 + 60P 3 R13 Q9 − 54P 2 R14 Q8 − 36P R15 Q7 − 75P 4 R14 Q7 + 23R16 Q6 + 60P 3 R15 Q6 + 90P 2 R16 Q5 + 76P R17 Q4 − 50P 4 R16 Q4 + 86R18 Q3 − 24P 2 R18 Q2 − 80P R19 Q − 100P 4 R18 Q + 3R20 − 52P 3 R19 ) 124 ϑ4 18Q28 + 18R
2 Q25 + 21R4 Q22 + 18R6 Q19 + 4R8 Q16 + 13R10 Q13 + 11R12 Q10 + 9R14 Q7 + 6R16 Q4 + 12R18 Q ≡ (Q3 − R2 )10 (mod 23) p14 (23t + 9) ≡ 0 (mod 23) 12ϑ 18P Q41 +17P 3 Q40 +16RQ40 +20P 5 Q39 +15P 2 RQ39 +15P R2 Q38 +12P 4 RQ38 +20R3 Q37 + 5P 3 R2 Q37 + 22P 2 R3 Q36 + 17P 5 R2 Q36 + 7P R4 Q35 + 21P 4 R3 Q35 + 10R5 Q34 + P 3 R4 Q34 + 11P 2 R5 Q33 + 11P 5 R4 Q33 + 17P R6 Q32 + 16P 4 R5 Q32 + 6R7 Q31 + 19P 3 R6 Q31 + 21P 2 R7 Q30 + P 5 R6 Q30 + 10P R8 Q29 + 15P 4 R7 Q29 + 2R9 Q28 + 8P 3 R8 Q28 + 9P 2 R9 Q27 + 5P 5 R8 Q27 + 2P R10 Q26 + 20P 4 R9 Q26 + 6R11 Q25 + 16P 3 R10 Q25 + 22P 5 R10 Q24 + 2P R12 Q23 + 14P 4 R11 Q23 + 16R13 Q22 + 6P 2 R13 Q21 + 6P 5 R12 Q21 + 3P R14 Q20 + 12P 4 R13 Q20 + 13R15 Q19 + 21P 3 R14 Q19 + 13P 2 R15 Q18 +4P 5 R14 Q18 +13P R16 Q17 +9P 4 R15 Q17 +9R17 Q16 +10P 3 R16 Q16 +19P 2 R17 Q15 + 5P 5 R16 Q15 + 7P R18 Q14 + 5P 4 R17 Q14 + 7R19 Q13 + 4P 3 R18 Q13 + 20P 2 R19 Q12 + 6P 5 R18 Q12 + 8P R20 Q11 + 3P 4 R19 Q11 + 9R21 Q10 + 14P 3 R20 Q10 + 8P 2 R21 Q9 + 12P 5 R20 Q9 + 4P R22 Q8 + 6P 4 R21 Q8 +5R23 Q7 +9P 3 R22 Q7 +5P 2 R23 Q6 +2P 5 R22 Q6 +8P R24 Q5 +8P 4 R23 Q5 +5R25 Q4 +
5P 3 R24 Q4 + P 2 R25 Q3 + P 5 R24 Q3 + 9P R26 Q2 + 12P 4 R25 Q2 + 17R27 Q + 2P 3 R26 Q + 18P 2 R27 = (Q3 − R2 )14 − 23(5Q42 − 123P 2 Q41 − 113P 4 Q40 + 22P RQ40 − 140P 6 Q39 + 127R2 Q39 + 16P 3 RQ39 + 12P 2 R2 Q38 + 60P 5 RQ38 − 36P R3 Q37 + 64P 4 R2 Q37 + 146R4 Q36 − 120P 3 R3 Q36 − 119P 6 R2 Q36 +102P 2 R4 Q35 −30P 5 R3 Q35 −2P R5 Q34 +144P 4 R4 Q34 +55R6 Q33 −40P 3 R5 Q33 − 77P 6 R4 Q33 − 18P 2 R6 Q32 − 48P 5 R5 Q32 + 74P R7 Q31 − 18P 4 R6 Q31 + 81R8 Q30 − 28P 3 R7 Q30 − 7P 6 R6 Q30 + 60P 2 R8 Q29 − 90P 5 R7 Q29 + 42P R9 Q28 + 67P 4 R8 Q28 − 60R10 Q27 + 20P 3 R9 Q27 − 35P 6 R8 Q27 + 30P 2 R10 Q26 − 60P 5 R9 Q26 − 28P R11 Q25 + 22P 4 R10 Q25 + 211R12 Q24 + 72P 3 R11 Q24 − 154P 6 R10 Q24 + 6P 2 R12 Q23 + 12P 5 R11 Q23 − 96P R13 Q22 + 98P 4 R12 Q22 − 37R14 Q21 + 36P 3 R13 Q21 − 42P 6 R12 Q21 + 54P 2 R14 Q20 − 48P 5 R13 Q20 − 28P R15 Q19 − 71P 4 R14 Q19 + 214R16 Q18 + 20P 3 R15 Q18 − 28P 6 R14 Q18 + 33P 2 R16 Q17 − 30P 5 R15 Q17 + 8P R17 Q16 −21P 4 R16 Q16 −27R18 Q15 −88P 3 R17 Q15 −35P 6 R16 Q15 +99P 2 R18 Q14 +6P 5 R17 Q14 + 10P R19 Q13 + 109R20 Q12 − 60P 3 R19 Q12 − 42P 6 R18 Q12 + 30P 2 R20 Q11 + 54P 5 R19 Q11 − 26P R21 Q10 −58P 4 R20 Q10 +30R22 Q9 +20P 3 R21 Q9 −84P 6 R20 Q9 +15P 2 R22 Q8 −12P 5 R21 Q8 + 20P R23 Q7 − 7P 4 R22 Q7 + 43R24 Q6 + 8P 3 R23 Q6 − 14P 6 R22 Q6 − 45P 2 R24 Q5 − 48P 5 R23 Q5 + 32P R25 Q4 + 50P 4 R24 Q4 + 123R26 Q3 + 12P 3 R25 Q3 − 7P 6 R24 Q3 + 63P 2 R26 Q2 − 84P 5 R25 Q2 − 118P R27 Q − 10P 4 R26 Q + 3R28 − 128P 3 R27 ) 126 ϑ6 19Q39 + 15R2 Q36 + 7R4 Q33 + 9R6 Q30 + 22R8 Q27
+ 14R10 Q24 + 8R12 Q21 + 13R14 Q18 + 22R16 Q15 + 8R18 Q12 + 16R20 Q9 + 18R22 Q6 + 9R24 Q3 ≡ (Q3 − R2 )14 (mod 23) p18 (23t + 5) ≡ 0 (mod 23) 12ϑ 14P Q53 + 4P 3 Q52 + 9RQ52 + 20P 5 Q51 + 12P 2 RQ51 + 20P 7 Q50 + 7P R2 Q50 + 9P 4 RQ50 + 18R3 Q49 + 17P 3 R2 Q49 + 14P 6 RQ49 + 13P 2 R3 Q48 + 6P 5 R2 Q48 + 11P R4 Q47 + 12P 4 R3 Q47 + 9P 7 R2 Q47 + 18R5 Q46 + 20P 3 R4 Q46 + 7P 6 R3 Q46 + 9P 2 R5 Q45 + 15P 5 R4 Q45 +

17

12P R6 Q44 + 7P 4 R5 Q44 + 17P 7 R4 Q44 + 6R7 Q43 + 19P 3 R6 Q43 + 7P 6 R5 Q43 + 16P 2 R7 Q42 + 3P 5 R6 Q42 + 7P R8 Q41 + 11P 4 R7 Q41 + 11P 7 R6 Q41 + 8R9 Q40 + 17P 3 R8 Q40 + 14P 6 R7 Q40 + 5P 2 R9 Q39 + 10P 5 R8 Q39 + 10P R10 Q38 + P 4 R9 Q38 + 2P 7 R8 Q38 + 12R11 Q37 + 6P 3 R10 Q37 + 14P 6 R9 Q37 + 16P 2 R11 Q36 + 6P 5 R10 Q36 + 9P R12 Q35 + 22P 4 R11 Q35 + 22P 7 R10 Q35 + 16R13 Q34 + 8P 3 R12 Q34 + 2P 6 R11 Q34 + 8P 2 R13 Q33 + 6P 5 R12 Q33 + 19P R14 Q32 + 3P 4 R13 Q32 + 9P 7 R12 Q32 + 9R15 Q31 + 6P 3 R14 Q31 + 5P 6 R13 Q31 + 20P 2 R15 Q30 + P 5 R14 Q30 + 13P R16 Q29 + 10P 4 R15 Q29 + 14P 7 R14 Q29 + 17R17 Q28 + 13P 3 R16 Q28 + 13P 6 R15 Q28 + 10P 2 R17 Q27 + 4P 5 R16 Q27 +14P R18 Q26 +16P 4 R17 Q26 +17P 7 R16 Q26 +11R19 Q25 +3P 3 R18 Q25 +2P 6 R17 Q25 + 16P 2 R19 Q24 +4P 5 R18 Q24 +3P R20 Q23 +16P 4 R19 Q23 +19P 7 R18 Q23 +22R21 Q22 +3P 3 R20 Q22 + 3P 6 R19 Q22 + 18P 2 R21 Q21 + 12P 5 R20 Q21 + 11P R22 Q20 + 4P 4 R21 Q20 + 19P 7 R20 Q20 + 14R23 Q19 +P 3 R22 Q19 +10P 6 R21 Q19 +7P 2 R23 Q18 +15P 5 R22 Q18 +13P R24 Q17 +19P 4 R23 Q17 + 14P 7 R22 Q17 +2R25 Q16 +15P 3 R24 Q16 +3P 6 R23 Q16 +P 2 R25 Q15 +22P 5 R24 Q15 +18P R26 Q14 + 7P 4 R25 Q14 +22P 7 R24 Q14 +4R27 Q13 +8P 3 R26 Q13 +17P 6 R25 Q13 +P 2 R27 Q12 +18P 5 R26 Q12 + P R28 Q11 +10P 4 R27 Q11 +13P 7 R26 Q11 +21R29 Q10 +21P 3 R28 Q10 +4P 6 R27 Q10 +22P 2 R29 Q9 + 22P 5 R28 Q9 + 14P R30 Q8 + 19P 4 R29 Q8 + P 7 R28 Q8 + 4R31 Q7 + 6P 3 R30 Q7 + 10P 6 R29 Q7 + 5P 2 R31 Q6 + 9P 5 R30 Q6 + 21P R32 Q5 + 19P 4 R31 Q5 + 17P 7 R30 Q5 + 19R33 Q4 + 10P 3 R32 Q4 + 5P 6 R31 Q4 + 18P 2 R33 Q3 + 8P 5 R32 Q3 + 8P R
34 Q2 + 9P 4 R33 Q2 + 7P 7 R32 Q2 + 17R35 Q + 20P 3 R34 Q + 10P 6 R33 Q + 16P 2 R35 + 20P 5 R34 = (Q3 − R2 )18 − 23(3Q54 − 126P 2 Q53 − 30P 4 Q52 + 50P RQ52 − 172P 6 Q51 + 95R2 Q51 − 64P 3 RQ51 − 180P 8 Q50 + 54P 2 R2 Q50 + 102P 5 RQ50 − 94P R3 Q49 − 67P 4 R2 Q49 + 52P 7 RQ49 + 184R4 Q48 +48P 3 R3 Q48 +73P 6 R2 Q48 +21P 2 R4 Q47 −42P 5 R3 Q47 −81P 8 R2 Q47 −58P R5 Q46 − 73P 4 R4 Q46 +28P 7 R3 Q46 +120R6 Q45 +108P 3 R5 Q45 −66P 6 R4 Q45 −9P 2 R6 Q44 +60P 5 R5 Q44 − 153P 8 R4 Q44 +52P R7 Q43 −100P 4 R6 Q43 +84P 7 R5 Q43 +197R8 Q42 +32P 3 R7 Q42 +54P 6 R6 Q42 + 66P 2 R8 Q41 −54P 5 R7 Q41 −99P 8 R6 Q41 +2P R9 Q40 −73P 4 R8 Q40 −44P 7 R7 Q40 −282R10 Q39 + 88P 3 R9 Q39 + 40P 6 R8 Q39 − 12P 2 R10 Q38 + 78P 5 R9 Q38 − 18P 8 R8 Q38 − 16P R11 Q37 + 16P 4 R10 Q37 − 56P 7 R9 Q37 + 939R12 Q36 − 80P 3 R11 Q36 + 48P 6 R10 Q36 + 45P 2 R12 Q35 − 144P 5 R11 Q35 − 198P 8 R10 Q35 − 24P R13 Q34 + 72P 4 R12 Q34 + 144P 7 R11 Q34 − 1253R14 Q33 − 4P 3 R13 Q33 − 23P 6 R12 Q33 − 51P 2 R14 Q32 + 12P 5 R13 Q32 − 81P 8 R12 Q32 + 78P R15 Q31 + P 4 R14 Q31 + 56P 7 R13 Q31 + 2027R16 Q30 − 96P 3 R15 Q30 + 73P 6 R14 Q30 + 30P 2 R16 Q29 − 66P 5 R15 Q29 − 126P 8 R14 Q29 − 26P R17 Q28 + 3P 4 R16 Q28 + 24P 7 R15 Q28 − 1976R18 Q27 − 12P 3 R17 Q27 + 41P 6 R16 Q27 − 3P 2 R18 Q26 − 108P 5 R17 Q26 − 153P 8 R16 Q26 − 22P R19 Q25 + 125P 4 R18 Q25 + 148P 7 R17 Q25 + 2071R20 Q24 − 116P 3 R19 Q24 − 7P 6 R18 Q24 + 138P 2 R20 Q23 − 66P 5 R19 Q23 − 171P 8 R18 Q23 − 128P R21 Q22 + 61P 4 R20 Q22 + 148P 7 R19 Q22 − 1215R22 Q21 − 148P 3 R21 Q21 − 37P 6 R20 Q21 + 6P 2 R22 Q20 + 96P 5 R21 Q20 − 171P 8 R20 Q20 − 10P R23 Q19 + 122P 4 R22 Q19 + 56P 7 R21 Q19 + 867R24 Q18 + 36P 3 R23 Q18 − 81P 6 R22 Q18 − 90P 2 R24 Q17 + 12P 5 R23 Q17 − 126P 8 R22 Q17 + 142P R25 Q16 − 31P 4 R24 Q16 + 152P 7 R23 Q16 − 338R26 Q15 + 88P 3 R25 Q15 − 74P 6 R24 Q15 − 156P 2 R26 Q14 + 120P 5 R25 Q14 − 198P 8 R24 Q14 + 14P R27 Q13 + 18P 4 R26 Q13 − 12P 7 R25 Q13 + 301R28 Q12 + 164P 3 R27 Q12 − 93P 6 R26 Q12 + 162P 2 R28 Q11 + 108P 5 R27 Q11 − 117P 8 R26 Q11 − 82P R29 Q10 − 25P 4 R28 Q10 − 4P 7 R27 Q10 + 34R30 Q9 − 116P 3 R29 Q9 − 117P 6 R28 Q9 − 54P 2 R30 Q8 − 66P 5 R29 Q8 − 9P 8 R28 Q8 + 158P R31 Q7 + 127P 4 R30 Q7 +44P 7 R29 Q7 +176R32 Q6 +48P 3 R31 Q6 −24P 6 R30 Q6 −33P 2 R32 Q5 −96P 5 R31 Q5 − 153P 8 R30 Q5 −86P R33 Q4 +4P 4 R32 Q4 +28P 7 R31 Q4 +168R34 Q3 +20P 3 R33 Q3 +19P 6 R32 Q3 + 84P 2 R34 Q2 + 102P 5 R33 Q2 − 63P 8 R32 Q2 − 154P R35 Q − 176P 4 R34 Q − 88P 7 R33 Q + 3R36 − 144P 3 R35 − 180P 6 R34 ) 128 ϑ8 Q50 + 20R2 Q47 + 2R4 Q44 + 4R6 Q41 + 7R8 Q38 + 8R10 Q35 + 20R12 Q32 + 3R14 Q29 + 2R16 Q26
+ 9R18 Q23 + 9R20 Q20 + 3R22 Q17 + 8R24 Q14 + 11R26 Q11 + 15R28 Q8 + 2R30 Q5 + 13R32 Q2 ≡ (Q3 − R2 )18 (mod 23)

18

p3 (23t + 20) ≡ 0 (mod 23) via Q23 (Q3 − R2 )3 12ϑ 7P 3 Q30 + 19RQ30 + 8P 2 RQ29 + 12P 7 Q28 + 18P R2 Q28 + 17P 4 RQ28 + 10P 9 Q27 + 22R3 Q27 + 7P 3 R2 Q27 + 9P 6 RQ27 + 10P 11 Q26 + 2P 2 R3 Q26 + 15P 5 R2 Q26 + 16P 8 RQ26 + 16P R4 Q25 + 12P 4 R3 Q25 + 21P 7 R2 Q25 + 8P 10 RQ25 + 16R5 Q24 + 19P 3 R4 Q24 + 8P 6 R3 Q24 + 7P 9 R2 Q24 + 8P 2 R5 Q23 + 17P 5 R4 Q23 + 2P 8 R3 Q23 + 6P 11 R2 Q23 + 6P R6 Q22 + 9P 4 R5 Q22 + 17P 7 R4 Q22 +14P 10 R3 Q22 +4P 3 R6 Q21 +16P 6 R5 Q21 +22P 9 R4 Q21 +11P 2 R7 Q20 +P 5 R6 Q20 + 11P 8 R5 Q20 + 14P 11 R4 Q20 + P R8 Q19 + 13P 4 R7 Q19 + 17P 7 R6 Q19 + 12P 10 R5 Q19 + 20R9 Q18 + 5P 3 R8 Q18 + 2P 6 R7 Q18 + 21P 9 R6 Q18 + 13P 2 R9 Q17 + 11P 5 R8 Q17 + 3P 8 R7 Q17 + 5P 11 R6 Q17 + 15P R10 Q16 + 4P 4 R9 Q16 + 14P 7 R8 Q16 + 7P 10 R7 Q16 + 2R11 Q15 + 16P 3 R10 Q15 + P 6 R9 Q15 + 7P 9 R8 Q15 +4P 5 R10 Q14 +11P 8 R9 Q14 +6P 11 R8 Q14 +17P R12 Q13 +11P 4 R11 Q13 +4P 7 R10 Q13 + 18P 10 R9 Q13 + 18R13 Q12 + 18P 3 R12 Q12 + 6P 6 R11 Q12 + 17P 9 R10 Q12 + 18P 2 R13 Q11 + 8P 5 R12 Q11 + 21P 8 R11 Q11 + 20P 11 R10 Q11 + 4P R14 Q10 + 17P 4 R13 Q10 + 15P 7 R12 Q10 + 6P 10 R11 Q10 + 20R15 Q9 + 10P 3 R14 Q9 + 5P 9 R12 Q9 + 9P 5 R14 Q8 + 14P 8 R13 Q8 + 15P R16 Q7 + 12P 4 R15 Q7 + 20P 7 R14 Q7 + 7R17 Q6 + 13P 3 R16 Q6 + 20P 6 R15 Q6 + 18P 2 R17 Q5 + 11P
5 R16 Q5 + 18P R18 Q4 + 15P 4 R17 Q4 + 2R19 Q3 + 7P 3 R18 Q3 + 17P 2 R19 Q2 + 9P R20 Q + 20R21 = Q23 (Q3 − R2 )3 + 23(−5Q32 − 3P 2 Q31 + 33P 4 Q30 + 94P RQ30 − 6P 6 Q29 − 117R2 Q29 + 54P 8 Q28 + 55P 2 R2 Q28 + 80P 5 RQ28 + 44P 10 Q27 + 16P R3 Q27 − 58P 4 R2 Q27 − 28P 7 RQ27 + 50P 12 Q26 − 125R4 Q26 − 44P 3 R3 Q26 + 24P 6 R2 Q26 + 28P 9 RQ26 + 65P 2 R4 Q25 − 24P 5 R3 Q25 + 32P 8 R2 Q25 − 8P 11 RQ25 + 8P R5 Q24 + 34P 4 R4 Q24 − 68P 7 R3 Q24 − 13P 10 R2 Q24 − 67R6 Q23 − 44P 3 R5 Q23 + 30P 6 R4 Q23 − 48P 9 R3 Q23 + 30P 12 R2 Q23 − 20P 2 R6 Q22 − 26P 5 R5 Q22 + 57P 8 R4 Q22 +32P 11 R3 Q22 −26P R7 Q21 −37P 4 R6 Q21 −12P 7 R5 Q21 +36P 10 R4 Q21 −47R8 Q20 + 32P 3 R7 Q20 − 62P 6 R6 Q20 − 62P 9 R5 Q20 + 70P 12 R4 Q20 − 64P 2 R8 Q19 + 42P 5 R7 Q19 + 36P 8 R6 Q19 +4P 11 R5 Q19 +66P R9 Q18 −28P 4 R8 Q18 −76P 7 R7 Q18 +52P 10 R6 Q18 −69R10 Q17 + 12P 3 R9 Q17 + 45P 6 R8 Q17 − 68P 9 R7 Q17 + 25P 12 R6 Q17 + 41P 2 R10 Q16 − 22P 5 R9 Q16 + 35P 8 R8 Q16 +8P 11 R7 Q16 −84P R11 Q15 +42P 4 R10 Q15 −48P 7 R9 Q15 −29P 10 R8 Q15 −67R12 Q14 − 100P 3 R11 Q14 − 14P 9 R9 Q14 + 30P 12 R8 Q14 + 29P 2 R12 Q13 + 22P 5 R11 Q13 − 73P 8 R10 Q13 + 24P 11 R9 Q13 + 44P R13 Q12 + 12P 4 R12 Q12 − 32P 7 R11 Q12 + 19P 10 R10 Q12 − 116R14 Q11 + 20P 3 R13 Q11 + 25P 6 R12 Q11 + 54P 9 R11 Q11 + 100P 12 R10 Q11 − 14P 2 R14 Q10 + 42P 5 R13 Q10 − 12P 8 R12 Q10 −8P 11 R11 Q10 +40P R15 Q9 −25P 4 R14 Q9 −104P 7 R13 Q9 +15P 10 R12 Q9 −63R16 Q8 − 72P 3 R15 Q8 −37P 6 R14 Q8 +64P 9 R13 Q8 +84P 8 R14 Q7 −66P R17 Q6 −14P 4 R16 Q6 +80P 7 R15 Q6 − 18R18 Q5 + 48P 3 R17 Q5 + 37P 6 R16 Q5 − 3P 2 R18 Q4 + 70P 5 R17 Q4 − 50P R19 Q3 + 27P 4 R18 Q3 − 111R20 Q2 + 88P 3 R19 Q2 + 43P 2 R20 Q + 108P R21 )
1212 ϑ12 13Q26 + 17R2 Q23 + 9R4 Q20 + 18R6 Q17 + 17R8 Q14 + 3R10 Q11 ≡ Q23 (Q3 − R2 )3 (mod 23)

p14 (29t + 26) ≡ 0 (mod 29) 12ϑ 7P Q8 + 2P 3 Q7 + 18RQ7 + 22P 5 Q6 + 23P 2 RQ6 + 14P R2 Q5 + 21P 4 RQ5 + 2R3 Q4 +
11P 3 R2 Q4 + 27P 2 R3 Q3 + 23P 5 R2 Q3 + P R4 Q2 + 15P 4 R3 Q2 + 22R5 Q + 2P 3 R4 Q + 22P 2 R5 = (Q3 − R2 )3 − 29(4Q9 − 3P 2 Q8 + 6P 4 Q7 − 6P RQ7 − 22P 6 Q6 + 19R2 Q6 − 16P 3 RQ6 + 21P 2 R2 Q5 + 6P 5 RQ5 + 10P R3 Q4 + 16P 4 R2 Q4 + 24R4 Q3 − 20P 3 R3 Q3 − 23P 6 R2 Q3 + 33P 2 R4 Q2 − 6P 5 R3 Q2 − 24P R5 Q + 2P 4 R4 Q + 3R6 − 24P 3 R5 )
126 ϑ6 9Q6 + 16R2 Q3 ≡ (Q3 − R2 )3 (mod 29) p4 (29t + 24) ≡ 0 (mod 29)

19


12ϑ 24RQ13 + 26R3 Q10 + 23R5 Q7 + 7R7 Q4 + 22R9 Q = (Q3 − R2 )5 − 29(5Q15 − 48P RQ13 + 59R2 Q12 − 52P R3 Q10 + 60R4 Q9 − 46P R5 Q7 + 32R6 Q6 − 14P R7 Q4 + 45R8 Q3 − 44P R9 Q + 3R10 ) p8 (29t + 19) ≡ 0 (mod 29) 12ϑ 11P Q29 +27RQ28 +26P 2 RQ27 +5P R2 Q26 +24R3 Q25 +7P 2 R3 Q24 +16P R4 Q23 +4R5 Q22 + 11P 2 R5 Q21 + 28P R6 Q20 + 9R7 Q19 + 27P 2 R7 Q18 + 13P R8 Q17 + 2R9 Q16 + 26P 2 R9 Q15 + 14 8 27P R10 Q14 + 23R11 Q13 + 15P 2 R11 Q12 + 5P R12 Q11 + 15R13 Q10 + 15P 2 R13 Q9 +
25P R Q + 15 7 2 15 6 16 5 17 4 2 17 3 19 2 19 25R Q + 12P R Q + P R Q + 16R Q + 6P R Q + 7R Q + 7P R = (Q3 − R2 )10 − 29(6Q30 − 39P 2 Q29 − 62P RQ28 + 119R2 Q27 − 104P 3 RQ27 + 81P 2 R2 Q26 − 66P R3 Q25 + 89R4 Q24 − 28P 3 R3 Q24 − 30P 2 R4 Q23 + 70P R5 Q22 + 22R6 Q21 − 44P 3 R5 Q21 − 42P 2 R6 Q20 + 64P R7 Q19 + 35R8 Q18 − 108P 3 R7 Q18 + 63P 2 R8 Q17 + 80P R9 Q16 + 49R10 Q15 − 104P 3 R9 Q15 − 21P 2 R10 Q14 − 28P R11 Q13 + 89R12 Q12 − 60P 3 R11 Q12 + 45P 2 R12 Q11 + 20P R13 Q10 + 95R14 Q9 − 60P 3 R13 Q9 − 45P 2 R14 Q8 − 70P R15 Q7 + 82R16 Q6 − 48P 3 R15 Q6 + 27P 2 R16 Q5 − 64P R17 Q4 + 36R18 Q3 − 24P 3 R17 Q3 + 30P 2 R18 Q2 − 28P R19 Q + R20 − 28P 3 R19 ) 123 ϑ3 13RQ27 +
18R3 Q24 + 20R5 Q21 + 28R7 Q18 + 13R9 Q15 + 22R11 Q12 + 22R13 Q9 + 6R15 Q6 + 3R17 Q3 + 18R19 ≡ (Q3 − R2 )10 (mod 29)

p10 (31t + 28) ≡ 0 (mod 31) 12ϑ 21P Q8 + 7P 3 Q7 + 17RQ7 + 19P 2 RQ6
+ 20P R2 Q5 + 26R3 Q4 + 24P 3 R2 Q4 + 28P 2 R3 Q3 + 23P R4 Q2 + 8R5 Q + 11P 3 R4 Q + 13P 2 R5 = (Q3 − R2 )3 − 31(4Q9 − 18P 2 Q8 − 7P 4 Q7 + 12P RQ7 + 31R2 Q6 − 4P 3 RQ6 + 12P 2 R2 Q5 + 4P R3 Q4 − 24P 4 R2 Q4 + 22R4 Q3 − 8P 3 R3 Q3 − 2P R5 Q − 11P 4 R4 Q + R6 − 12P 3 R5 )
124 ϑ4 4Q7 + 27R2 Q4 + 24R4 Q ≡ (Q3 − R2 )3 (mod 31) p6 (31t + 23) ≡ 0 (mod 31) 12ϑ 8P Q23 + 14RQ22 + 7P R2 Q20 + 16R3 Q19 + 29P R4 Q17 + 2R5 Q16 + 9P R6 Q14 +
18R7 Q13 + 17P R8 Q11 + 2P R10 Q8 + 29R11 Q7 + 12P R12 Q5 + R13 Q4 + 30P R14 Q2 + 23R15 Q = (Q3 − R2 )8 − 31(3Q24 − 24P 2 Q23 − 16P RQ22 + 49R2 Q21 − 21P 2 R2 Q20 − 8P R3 Q19 + 43R4 Q18 − 87P 2 R4 Q17 + 68P R5 Q16 + 27R6 Q15 − 27P 2 R6 Q14 − 12P R7 Q13 + 33R8 Q12 − 51P 2 R8 Q11 + 28P R9 Q10 + 60R10 Q9 − 6P 2 R10 Q8 − 58P R11 Q7 + 30R12 Q6 − 36P 2 R12 Q5 + 86P R13 Q4 + 68R14 Q3 − 90P 2 R14 Q2 − 62P R15 Q + 3R16 ) 122 ϑ2
23Q23 + 24R2 Q20 + 2R4 Q17 + 22R6 Q14 + 14R8 Q11 + 29R10 Q8 + 19R12 Q5 + R14 Q2 ≡ (Q3 − R2 )8 (mod 31)

p14 (41t + 37) ≡ 0 (mod 41) 12ϑ 18P Q11 + 10P 3 Q10 + 31RQ10 + 40P 5 Q9 + 7P 2 RQ9 + 38P R2 Q8 + 11P 4 RQ8 + 34R3 Q7 + 16P 3 R2 Q7 + 10P 2 R3 Q6 + 21P 5 R2 Q6 + 6P 4 R3 Q5 + 20R5 Q4 + 26P 3 R4 Q4 +
14P 2 R5 Q3 + 10P 5 R4 Q3 + 2P R6 Q2 + 7P 4 R5 Q2 + 10R7 Q + 23P 3 R6 Q + 17P 2 R7 + 39P 5 R6 = (Q3 − R2 )4 − 41(5Q12 − 18P 2 Q11 − 4P 4 Q10 − 4P RQ10 − 40P 6 Q9 + 46R2 Q9 + 8P 3 RQ9 − 30P 2 R2 Q8 +30P 5 RQ8 −8P R3 Q7 −3P 4 R2 Q7 +38R4 Q6 +16P 3 R3 Q6 −21P 6 R2 Q6 +18P 2 R4 Q5 + 12P 5 R3 Q5 − 20P R5 Q4 − 18P 4 R4 Q4 + 18R6 Q3 + 16P 3 R5 Q3 − 10P 6 R4 Q3 + 21P 2 R6 Q2 +

20

30P 5 R5 Q2 − 10P R7 Q − 18P 4 R6 Q + R8 − 16P 3 R7 − 39P 6 R6 )
126 ϑ6 27Q9 + 7R2 Q6 + 17R4 Q3 + 13R6 ≡ (Q3 − R2 )4 (mod 41) p4 (41t + 34) ≡ 0 (mod 41)
12ϑ 34RQ19 + 14R3 Q16 + 20R5 Q13 + 20R7 Q10 + 2R9 Q7 + 15R11 Q4 + 31R13 Q = (Q3 − R2 )7 − 41(5Q21 − 68P RQ19 + 69R2 Q18 − 28P R3 Q16 + 37R4 Q15 − 40P R5 Q13 + 45R6 Q12 − 40P R7 Q10 + 23R8 Q9 − 4P R9 Q7 + 25R10 Q6 − 30P R11 Q4 + 65R12 Q3 − 62P R13 Q + 3R14 ) p8 (41t + 27) ≡ 0 (mod 41) 12ϑ 9P Q41 + 12RQ40 + 22P 2 RQ39 + 12P R2 Q38 + 21R3 Q37 + 15P 2 R3 Q36 + 27P R4 Q35 + 10R5 Q34 + 15P 2 R5 Q33 + 20P R6 Q32 + 9R7 Q31 + 8P 2 R7 Q30 + 27P R8 Q29 + 18R9 Q28 + 26P 2 R9 Q27 +35P R10 Q26 +21R11 Q25 +17P 2 R11 Q24 +27P R12 Q23 +32R13 Q22 +22P 2 R13 Q21 + 39P R14 Q20 + 26R15 Q19 + 25P 2 R15 Q18 + 35P R16 Q17 + 24R17 Q16 + 4P 2 R17 Q15 + 33P R18 Q14 + 2R19 Q13 + 23P 2 R19 Q12 + 15P R20 Q11 + 23R21 Q10 + 6P 2 R21 Q9 + 17P R22 Q8 +
11R23 Q7 + 25P 2 R23 Q6 + 4P R24 Q5 + 20R25 Q4 + 25P 2 R25 Q3 + P R26 Q2 + 10R27 Q + 6P 2 R27 = (Q3 − R2 )14 − 41(2Q42 − 33P 2 Q41 − 8P RQ40 + 56R2 Q39 − 88P 3 RQ39 + 42P 2 R2 Q38 − 24P R3 Q37 + 86R4 Q36 − 60P 3 R3 Q36 − 45P 2 R4 Q35 + 70P R5 Q34 + 34R6 Q33 − 60P 3 R5 Q33 − 24P 2 R6 Q32 + 58P R7 Q31 + 76R8 Q30 − 32P 3 R7 Q30 − 51P 2 R8 Q29 + 56P R9 Q28 + 35R10 Q27 − 104P 3 R9 Q27 − 45P 2 R10 Q26 + 52P R11 Q25 + 186R12 Q24 − 68P 3 R11 Q24 − 27P 2 R12 Q23 + 12P R13 Q22 + 43R14 Q21 − 88P 3 R13 Q21 − 57P 2 R14 Q20 + 54P R15 Q19 + 182R16 Q18 − 100P 3 R15 Q18 − 87P 2 R16 Q17 + 48P R17 Q16 − 5R18 Q15 − 16P 3 R17 Q15 − 63P 2 R18 Q14 + 82P R19 Q13 + 98R20 Q12 − 92P 3 R19 Q12 − 15P 2 R20 Q11 − 22P R21 Q10 + 51R22 Q9 − 24P 3 R21 Q9 + 21P 2 R22 Q8 − 16P R23 Q7 + 83R24 Q6 − 100P 3 R23 Q6 + 90P 2 R24 Q5 − 74P R25 Q4 + 47R26 Q3 − 100P 3 R25 Q3 + 27P 2 R26 Q2 − 40P R27 Q + R28 − 24P 3 R27 ) 123 ϑ3 11RQ39 +28R3 Q36 +28R5 Q33 +4R7 Q30 +13R9 Q27 +29R
11 Q24 +11R13 Q21 +33R15 Q18 + 2R17 Q15 + 32R19 Q12 + 3R21 Q9 + 33R23 Q6 + 33R25 Q3 + 3R27 ≡ (Q3 − R2 )14 (mod 41)

p10 (43t + 39) ≡ 0 (mod 43) 12ϑ 14P Q11 +42P 3 Q10 +19RQ10 +41P 2 RQ9 +29P R2 Q8 +40R3 Q7 +39P 3 R2 Q7 +27P 2 R3 Q6
+ 25P R4 Q5 + 29R5 Q4 + 4P 3 R4 Q4 + 37P 2 R5 Q3 + 2P R6 Q2 + 32R7 Q + 10P 3 R6 Q + 40P 2 R7 = (Q3 − R2 )4 − 43(3Q12 − 6P 2 Q11 − 42P 4 Q10 + 4P RQ10 + 35R2 Q9 + 8P 3 RQ9 + 18P 2 R2 Q8 − 6P R3 Q7 −39P 4 R2 Q7 +47R4 Q6 +15P 2 R4 Q5 −16P R5 Q4 −4P 4 R4 Q4 +42R6 Q3 −28P 3 R5 Q3 + 48P 2 R6 Q2 − 32P R7 Q − 10P 4 R6 Q + 3R8 − 40P 3 R7 )
124 ϑ4 36Q10 + 15R2 Q7 + 28R4 Q4 + 27R6 Q ≡ (Q3 − R2 )4 (mod 43) p6 (43t + 32) ≡ 0 (mod 43) 12ϑ 30P Q32 + 2RQ31 + 17P R2 Q29 + 5R3 Q28 + 13P R4 Q26 + 2R5 Q25 + 27P R6 Q23 + 19R7 Q22 + 14 11 23P R8 Q20 + 27R9 Q19 + 35P R10 Q17 + 6R11 Q16 + 16P R12 Q14 + 11R13 Q13 + 34P
R Q + 15 10 16 8 17 7 18 5 19 4 20 2 21 17R Q + 37P R Q + 4R Q + 5P R Q + 7R Q + 39P R Q + 11R Q = (Q3 −R2 )11 −43(Q33 −90P 2 Q32 +88P RQ31 +8R2 Q30 −51P 2 R2 Q29 +38P R3 Q28 +16R4 Q27 − 39P 2 R4 Q26 + 48P R5 Q25 + 20R6 Q24 − 81P 2 R6 Q23 + 26P R7 Q22 + 81R8 Q21 − 69P 2 R8 Q20 + 10P R9 Q19 +47R10 Q18 −105P 2 R10 Q17 +64P R11 Q16 +40R12 Q15 −48P 2 R12 Q14 +54P R13 Q13 +

21

42R14 Q12 − 102P 2 R14 Q11 + 66P R15 Q10 + 30R16 Q9 − 111P 2 R16 Q8 + 28P R17 Q7 + 20R18 Q6 − 15P 2 R18 Q5 + 90P R19 Q4 + 36R20 Q3 − 117P 2 R20 Q2 − 26P R21 Q + R22 ) 122 ϑ2 13Q32 + 26R2 Q29 + 30R
4 Q26 + 16R6 Q23 + 20R8 Q20 + 8R10 Q17 + 27R12 Q14 + 9R14 Q11 + 6R16 Q8 + 38R18 Q5 + 4R20 Q2 ≡ (Q3 − R2 )11 (mod 43)

p4 (47t + 39) ≡ 0 (mod 47)
12ϑ 39RQ22 + 3R3 Q19 + 4R5 Q16 + 40R7 Q13 + 42R9 Q10 + 11R11 Q7 + 21R13 Q4 + 35R15 Q = (Q3 −R2 )8 −47(5Q24 −78P RQ22 +74R2 Q21 −6P R3 Q19 +8R4 Q18 −8P R5 Q16 +40R6 Q15 − 80P R7 Q13 +94R8 Q12 −84P R9 Q10 +50R10 Q9 −22P R11 Q7 +42R12 Q6 −42P R13 Q4 +74R14 Q3 − 70P R15 Q + 3R16 ) p6 (47t + 35) ≡ 0 (mod 47) 12ϑ 29P Q35 + 42RQ34 + 2P R2 Q32 + 7R3 Q31 + 19P R4 Q29 + 45R5 Q28 + 4P R6 Q26 + 6R7 Q25 + 13P R8 Q23 + 23R9 Q22 + 11P R10 Q20 + 36R11 Q19 + 17P R12 Q17 + 33R13 Q16 + 23P R14 Q14 + 42R15 Q13 +35P R16 Q11 +25R17 Q10 +16P R18 Q8 +26R19 Q7 +3P R20 Q5 +3R21 Q4 +22P R22 Q2 +
35R23 Q = (Q3 − R2 )12 − 47(6Q36 − 87P 2 Q35 − 40P RQ34 + 124R2 Q33 − 6P 2 R2 Q32 − 6P R3 Q31 + 49R4 Q30 − 57P 2 R4 Q29 − 86P R5 Q28 + 108R6 Q27 − 12P 2 R6 Q26 + 4P R7 Q25 + 50R8 Q24 − 39P 2 R8 Q23 −30P R9 Q22 +77R10 Q21 −33P 2 R10 Q20 −64P R11 Q19 +133R12 Q18 −51P 2 R12 Q17 − 34P R13 Q16 +109R14 Q15 −69P 2 R14 Q14 −28P R15 Q13 +112R16 Q12 −105P 2 R16 Q11 −6P R17 Q10 + 80R18 Q9 − 48P 2 R18 Q8 − 60P R19 Q7 + 25R20 Q6 − 9P 2 R20 Q5 + 54P R21 Q4 + 104R22 Q3 − 66P 2 R22 Q2 − 102P R23 Q + 3R24 ) 122 ϑ2 18Q35 +45R2 Q32 +28R4 Q29 +43R6 Q26
+34R8 Q23 +36R10 Q20 +30R12 Q17 +24R14 Q14 + 12R16 Q11 + 31R18 Q8 + 44R20 Q5 + 25R22 Q2 ≡ (Q3 − R2 )12 (mod 47) p8 (47t + 31) ≡ 0 (mod 47) 12ϑ P Q47 + 31RQ46 + 8P 2 RQ45 + 43P R2 Q44 + 8R3 Q43 + 19P 2 R3 Q42 + P R4 Q41 + 30R5 Q40 + 8P 2 R5 Q39 + 28P R6 Q38 + 17R7 Q37 + 9P 2 R7 Q36 + 37P R8 Q35 + 40R9 Q34 + 35P 2 R9 Q33 + 45R11 Q31 + 24P 2 R11 Q30 + 28P R12 Q29 + 5R13 Q28 + 2P 2 R13 Q27 + 14P R14 Q26 + 33R15 Q25 + 27P 2 R15 Q24 +30P R16 Q23 +43R17 Q22 +44P 2 R17 Q21 +31P R18 Q20 +17R19 Q19 +40P 2 R19 Q18 + 33P R20 Q17 +30R21 Q16 +30P 2 R21 Q15 +30P R22 Q14 +40R23 Q13 +26P 2 R23 Q12 +29P R24 Q11 + 27 7 23R25 Q10 + 16P 2 R25 Q9 + 13P R26 Q8 + 27R Q + 9P 2 R27 Q6 + 19P R28 Q5 + 27R29 Q4 +
4P 2 R29 Q3 + 30P R30 Q2 + 35R31 Q + 9P 2 R31 = (Q3 − R2 )16 − 47(4Q48 − 3P 2 Q47 − 110P RQ46 + 125R2 Q45 − 32P 3 RQ45 − 135P 2 R2 Q44 + 130P R3 Q43 + 51R4 Q42 − 76P 3 R3 Q42 + 69P 2 R4 Q41 − 96P R5 Q40 + 106R6 Q39 − 32P 3 R5 Q39 − 78P 2 R6 Q38 + 60P R7 Q37 + 139R8 Q36 − 36P 3 R7 Q36 − 81P 2 R8 Q35 − 50P R9 Q34 + 86R10 Q33 − 140P 3 R9 Q33 + 132P 2 R10 Q32 − 138P R11 Q31 + 298R12 Q30 − 96P 3 R11 Q30 − 48P 2 R12 Q29 + 74P R13 Q28 − 168R14 Q27 − 8P 3 R13 Q27 − 40P R15 Q25 + 438R16 Q24 − 108P 3 R15 Q24 + 30P 2 R16 Q23 − 42P R17 Q22 − 121R18 Q21 − 176P 3 R17 Q21 + 51P 2 R18 Q20 + 70P R19 Q19 + 279R20 Q18 − 160P 3 R19 Q18 + 9P 2 R20 Q17 + 12P R21 Q16 + 66R22 Q15 − 120P 3 R21 Q15 − 6P 2 R22 Q14 −36P R23 Q13 +157R24 Q12 −104P 3 R23 Q12 −39P 2 R24 Q11 −22P R25 Q10 +101R26 Q9 − 64P 3 R25 Q9 − 9P 2 R26 Q8 − 32P R27 Q7 + 119R28 Q6 − 36P 3 R27 Q6 − 57P 2 R28 Q5 + 14P R29 Q4 + 148R30 Q3 − 16P 3 R29 Q3 − 84P 2 R30 Q2 − 136P R31 Q + 3R32 − 36P 3 R31 )

22

15 24 123 ϑ3 4RQ45 + 33R3 Q42 + 4R5 Q39 + 28R7 Q36 + 41R9 Q33 + 12R11 Q30 + R13 Q27 + 37R Q +
17 21 19 18 21 15 23 12 25 9 27 6 29 3 31 22R Q +20R Q +15R Q +13R Q +8R Q +28R Q +2R Q +28R ≡ (Q3 − R2 )16 (mod 47)

p10 (47t + 27) ≡ 0 (mod 47) 12ϑ 45P Q59 +16P 3 Q58 +8RQ58 +7P 2 RQ57 +P R2 Q56 +5R3 Q55 +32P 3 R2 Q55 +21P 2 R3 Q54 + 15P R4 Q53 + 27R5 Q52 + 15P 3 R4 Q52 + 41P 2 R5 Q51 + 20P R6 Q50 + 25R7 Q49 + 15P 3 R6 Q49 + 10P 2 R7 Q48 + 3P R8 Q47 + 4R9 Q46 + 31P 3 R8 Q46 + 2P 2 R9 Q45 + 44P R10 Q44 + 18R11 Q43 + 35P 3 R10 Q43 +42P 2 R11 Q42 +3P R12 Q41 +40R13 Q40 +41P 3 R12 Q40 +40P 2 R13 Q39 +17P R14 Q38 + 2R15 Q37 + 41P 3 R14 Q37 +43P 2 R15 Q36 +31P R16 Q35 +46R17 Q34 +19P 3 R16 Q34 +8P 2 R17 Q33 + 21P R18 Q32 + 26R19 Q31 + 4P 3 R18 Q31 + 38P 2 R19 Q30 + 16P R20 Q29 + 6R21 Q28 + 33P 3 R20 Q28 + 39P 2 R21 Q27 + 4P R22 Q26 + 12R23 Q25 + 46P 3 R22 Q25 + 6P 2 R23 Q24 + 26P R24 Q23 + 35R25 Q22 + 4P 3 R24 Q22 + 24P 2 R25 Q21 + P R26 Q20 + 13R27 Q19 + 22P 3 R26 Q19 + 33P 2 R27 Q18 + 3P R28 Q17 + 16R29 Q16 +42P 3 R28 Q16 +44P 2 R29 Q15 +7P R30 Q14 +25R31 Q13 +25P 3 R30 Q13 +11P 2 R31 Q12 + 21P R32 Q11 + 32R33 Q10 + 42P 3 R32 Q10 + 14P 2 R33 Q9 + 17P R34 Q8 + 42R35 Q7 + 31P 3 R34 Q7 + 15P 2 R35 Q6 + 31P R36
Q5 + 46R37 Q4 + 35P 3 R36 Q4 + 31P 2 R37 Q3 + 24P R38 Q2 + 35R39 Q + 42P 3 R38 Q + 27P 2 R39 = (Q3 − R2 )20 − 47(2Q60 − 225P 2 Q59 − 80P 4 Q58 + 186P RQ58 + 41R2 Q57 + 52P 3 RQ57 + 39P 2 R2 Q56 − 12P R3 Q55 − 160P 4 R2 Q55 + 45R4 Q54 + 52P 3 R3 Q54 + 48P 2 R4 Q53 − 52P R5 Q52 − 75P 4 R4 Q52 +118R6 Q51 −128P 3 R5 Q51 +87P 2 R6 Q50 −38P R7 Q49 −75P 4 R6 Q49 +212R8 Q48 + 44P 3 R7 Q48 + 30P 2 R8 Q47 + 48P R9 Q46 − 155P 4 R8 Q46 − 288R10 Q45 + 156P 3 R9 Q45 − 153P 2 R10 Q44 + 80P R11 Q43 − 175P 4 R10 Q43 + 957R12 Q42 − 20P 3 R11 Q42 + 204P 2 R12 Q41 − 160P R13 Q40 − 205P 4 R12 Q40 − 1509R14 Q39 + 12P 3 R13 Q39 + 132P 2 R14 Q38 + 110P R15 Q37 − 205P 4 R14 Q37 + 2787R16 Q36 − 48P 3 R15 Q36 − 6P 2 R16 Q35 − 92P R17 Q34 − 95P 4 R16 Q34 − 3377R18 Q33 + 24P 3 R17 Q33 + 9P 2 R18 Q32 − 32P R19 Q31 − 20P 4 R18 Q31 + 4016R20 Q30 − 96P 3 R19 Q30 + 123P 2 R20 Q29 + 22P R21 Q28 − 165P 4 R20 Q28 − 3524R22 Q27 + 12P 3 R21 Q27 + 90P 2 R22 Q26 + 28P R23 Q25 − 230P 4 R22 Q25 + 2818R24 Q24 + 80P 3 R23 Q24 − 42P 2 R24 Q23 − 122P R25 Q22 − 20P 4 R24 Q22 − 1539R26 Q21 − 40P 3 R25 Q21 + 153P 2 R26 Q20 − 52P R27 Q19 − 110P 4 R26 Q19 + 905R28 Q18 + 20P 3 R27 Q18 + 201P 2 R28 Q17 − 48P R29 Q16 − 210P 4 R28 Q16 − 209R30 Q15 − 68P 3 R29 Q15 + 66P 2 R30 Q14 − 32P R31 Q13 − 125P 4 R30 Q13 + 266R32 Q12 + 144P 3 R31 Q12 − 33P 2 R32 Q11 − 68P R33 Q10 − 210P 4 R32 Q10 + 191R34 Q9 + 100P 3 R33 Q9 − 6P 2 R34 Q8 −58P R35 Q7 −155P 4 R34 Q7 +247R36 Q6 +104P 3 R35 Q6 −102P R37 Q4 −175P 4 R36 Q4 + 190R38 Q3 + 60P 3 R37 Q3 + 24P 2 R38 Q2 − 172P R39 Q − 210P 4 R38 Q + 3R40 − 132P 3 R39 ) 124 ϑ4 13Q58 + 26R2 Q55 + 21R4 Q52 + 21R6 Q49 + 34R8 Q46 + 2R10 Q43 + R12 Q40 + R14 Q37 + 36R16 Q34 +15R18 Q31 +18R20 Q28 +8R22 Q25 +15R24 Q22 +12R26 Q19 +40R28 Q16 +35R30 Q13 +
40R32 Q10 + 34R34 Q7 + 2R36 Q4 + 40R38 Q ≡ (Q3 − R2 )20 (mod 47) p14 (47t + 19) ≡ 0 (mod 47) 12ϑ 4P Q83 + 35P 3 Q82 + 7RQ82 + P 5 Q81 + 40P 2 RQ81 + 7P R2 Q80 + 3P 4 RQ80 + 12R3 Q79 + 8P 3 R2 Q79 + 27P 2 R3 Q78 + 32P 5 R2 Q78 + 44P R4 Q77 + 17P 4 R3 Q77 + 35R5 Q76 + 46P 3 R4 Q76 + 15P 2 R5 Q75 + 41P 5 R4 Q75 + 31P R6 Q74 + 5P 4 R5 Q74 + 22R7 Q73 + P 2 R7 Q72 + 41P 5 R6 Q72 + 3P R8 Q71 + 8P 4 R7 Q71 + 31R9 Q70 + 18P 3 R8 Q70 + 20P 2 R9 Q69 + 44P 5 R8 Q69 + 12P R10 Q68 + 5P 4 R9 Q68 + 30R11 Q67 + 42P 3 R10 Q67 + 22P 2 R11 Q66 + 46P 5 R10 Q66 + 41P R12 Q65 + 37P 4 R11 Q65 +2R13 Q64 +24P 3 R12 Q64 +40P 2 R13 Q63 +44P 5 R12 Q63 +39P R14 Q62 +P 4 R13 Q62 + 28R15 Q61 +20P 3 R14 Q61 +5P 2 R15 Q60 +23P 5 R14 Q60 +23P R16 Q59 +22P 4 R15 Q59 +25R17 Q58 + 38P 3 R16 Q58 + 24P 5 R16 Q57 + 14P R18 Q56 + 27P 4 R17 Q56 + 32R19 Q55 + 34P 3 R18 Q55 + 40P 2 R19 Q54 + 24P 5 R18 Q54 + 9P R20 Q53 + 24P 4 R19 Q53 + 41R21 Q52 + 35P 3 R20 Q52 +

23

26P 2 R21 Q51 +4P 5 R20 Q51 +7P R22 Q50 +10P 4 R21 Q50 +18R23 Q49 +37P 3 R22 Q49 +41P 2 R23 Q48 + 6P 5 R22 Q48 +6P R24 Q47 +41P 4 R23 Q47 +44R25 Q46 +13P 3 R24 Q46 +P 2 R25 Q45 +37P 5 R24 Q45 + 2P R26 Q44 + 45P 4 R25 Q44 + 30R27 Q43 + 23P 3 R26 Q43 + 40P 2 R27 Q42 + 29P 5 R26 Q42 + 21P 4 R27 Q41 +15R29 Q40 +8P 3 R28 Q40 +5P 2 R29 Q39 +24P 5 R28 Q39 +33P R30 Q38 +5P 4 R29 Q38 + 25R31 Q37 + 2P 3 R30 Q37 + 45P 2 R31 Q36 + 15P 5 R30 Q36 + 12P R32 Q35 + 16P 4 R31 Q35 + 3R33 Q34 + 26P 3 R32 Q34 + 7P 2 R33 Q33 + 28P 5 R32 Q33 + 39P R34 Q32 + 21P 4 R33 Q32 + 2R35 Q31 + 13P 3 R34 Q31 + 21P 2 R35 Q30 + 20P 5 R34 Q30 + 22P R36 Q29 + 24P 4 R35 Q29 + 32R37 Q28 + 28P 2 R37 Q27 + 36P 5 R36 Q27 + 14P R38 Q26 + 40P 4 R37 Q26 + 11R39 Q25 + 31P 3 R38 Q25 + 6P 2 R39 Q24 +26P 5 R38 Q24 +37P R40 Q23 +45P 4 R39 Q23 +21R41 Q22 +15P 3 R40 Q22 +4P 2 R41 Q21 + 8P 5 R40 Q21 +46P R42 Q20 +3P 4 R41 Q20 +43R43 Q19 +44P 3 R42 Q19 +4P 2 R43 Q18 +27P 5 R42 Q18 + 18P R44 Q17 +10P 4 R43 Q17 +30R45 Q16 +15P 3 R44 Q16 +10P 2 R45 Q15 +3P 5 R44 Q15 +10P R46 Q14 + 28P 4 R45 Q14 +14R47 Q13 +17P 3 R46 Q13 +P 2 R47 Q12 +41P 5 R46 Q12 +12P R48 Q11 +16P 4 R47 Q11 + 22R49 Q10 + 7P 3 R48 Q10 + 10P 2 R49 Q9 + 35P 5 R48 Q9 + 7P R50 Q8 + 18P 4 R49 Q8 + 31R51 Q7 + 3P 3 R50 Q7 + 23P 2 R51 Q6 + 25P 5 R50 Q6 + 4P R52 Q5 + 20P 4 R51 Q5 + 41R
53 Q4 + 36P 3 R52 Q4 + 3P 2 R53 Q3 + 12P 5 R52 Q3 + 42P R54 Q2 + 31P 4 R53 Q2 + 35R55 Q + 16P 3 = (Q3 − R2 )28 − 47(Q84 − 21P 2 Q83 − 246P 4 Q82 − 18P RQ82 − 7P 6 Q81 + 53R2 Q81 − 36P 3 RQ81 + 237P 2 R2 Q80 − 6P 5 RQ80 − 14P R3 Q79 − 26P 4 R2 Q79 + 112R4 Q78 − 112P 3 R3 Q78 − 224P 6 R2 Q78 − 120P 2 R4 Q77 + 114P 5 R3 Q77 + 64P R5 Q76 − 205P 4 R4 Q76 + 177R6 Q75 + 192P 3 R5 Q75 − 287P 6 R4 Q75 − 123P 2 R6 Q74 + 258P 5 R5 Q74 + 42P R7 Q73 + 43P 4 R6 Q73 + 608R8 Q72 +12P 3 R7 Q72 −287P 6 R6 Q72 +9P 2 R8 Q71 +240P 5 R7 Q71 −186P R9 Q70 −68P 4 R8 Q70 − 1864R10 Q69 + 20P 3 R9 Q69 − 308P 6 R8 Q69 + 66P 2 R10 Q68 + 282P 5 R9 Q68 − 80P R11 Q67 − 210P 4 R10 Q67 + 8191R12 Q66 + 124P 3 R11 Q66 − 322P 6 R10 Q66 − 99P 2 R12 Q65 + 66P 5 R11 Q65 + 284P R13 Q64 + 42P 4 R12 Q64 − 25127R14 Q63 − 116P 3 R13 Q63 − 308P 6 R12 Q63 − 51P 2 R14 Q62 + 270P 5 R13 Q62 + 54P R15 Q61 − 91P 4 R14 Q61 + 66330R16 Q60 + 148P 3 R15 Q60 − 161P 6 R14 Q60 − 135P 2 R16 Q59 + 12P 5 R15 Q59 − 30P R17 Q58 − 96P 4 R16 Q58 − 146754R18 Q57 + 268P 3 R17 Q57 − 168P 6 R16 Q57 − 18P 5 R17 Q56 − 136P R19 Q55 − 50P 4 R18 Q55 + 279475R20 Q54 − 32P 3 R19 Q54 − 168P 6 R18 Q54 +192P 2 R20 Q53 − 48P 5 R19 Q53 − 230P R21 Q52 − 111P 4 R20 Q52 − 456663R22 Q51 + 76P 3 R21 Q51 − 28P 6 R20 Q51 + 186P 2 R22 Q50 − 36P 5 R21 Q50 − 78P R23 Q49 − 97P 4 R22 Q49 + 647487R24 Q48 − 92P 3 R23 Q48 − 42P 6 R22 Q48 + 129P 2 R24 Q47 − 150P 5 R23 Q47 − 282P R25 Q46 + 220P 4 R24 Q46 −796366R26 Q45 +124P 3 R25 Q45 −259P 6 R24 Q45 +129P 2 R26 Q44 −78P 5 R25 Q44 − 204P R27 Q43 + 82P 4 R26 Q43 + 853710R28 Q42 − 168P 3 R27 Q42 − 203P 6 R26 Q42 + 162P 2 R28 Q41 + 42P 5 R27 Q41 + 20P R29 Q40 + 38P 4 R28 Q40 − 796491R30 Q39 − 168P 6 R28 Q39 − 39P 2 R30 Q38 + 102P 5 R29 Q38 − 20P R31 Q37 + 67P 4 R30 Q37 + 647363R32 Q36 − 204P 3 R31 Q36 − 105P 6 R30 Q36 + 84P 2 R32 Q35 + 48P 5 R31 Q35 + 184P R33 Q34 − 44P 4 R32 Q34 − 456879R34 Q33 + 84P 3 R33 Q33 − 196P 6 R32 Q33 − 162P 2 R34 Q32 + 18P 5 R33 Q32 + 194P R35 Q31 + 75P 4 R34 Q31 + 279372R36 Q30 − 112P 3 R35 Q30 − 140P 6 R34 Q30 + 30P 2 R36 Q29 + 48P 5 R35 Q29 − 104P R37 Q28 + 252P 4 R36 Q28 − 146824R38 Q27 − 44P 3 R37 Q27 − 252P 6 R36 Q27 − 3P 2 R38 Q26 − 72P 5 R37 Q26 + 142P R39 Q25 + 97P 4 R38 Q25 + 66264R40 Q24 + 104P 3 R39 Q24 − 182P 6 R38 Q24 − 228P 2 R40 Q23 − 222P 5 R39 Q23 + 170P R41 Q22 − P 4 R40 Q22 − 24916R42 Q21 + 236P 3 R41 Q21 − 56P 6 R40 Q21 − 294P 2 R42 Q20 + 138P 5 R41 Q20 − 126P R43 Q19 − 247P 4 R42 Q19 + 8258R44 Q18 + 128P 3 R43 Q18 − 189P 6 R42 Q18 − 63P 2 R44 Q17 − 12P 5 R43 Q17 − 128P R45 Q16 + 70P 4 R44 Q16 − 1966R46 Q15 + 52P 3 R45 Q15 − 21P 6 R44 Q15 − 51P 2 R46 Q14 + 48P 5 R45 Q14 − 14P R47 Q13 + 14P 4 R46 Q13 + 589R48 Q12 + 56P 3 R47 Q12 − 287P 6 R46 Q12 − 21P 2 R48 Q11 + 144P 5 R47 Q11 − 100P R49 Q10 + 82P 4 R48 Q10 + 151R50 Q9 − 44P 3 R49 Q9 − 245P 6 R48 Q9 + 108P 2 R50 Q8 + 60P 5 R49 Q8 − 188P R51 Q7 + 124P 4 R50 Q7 +304R52 Q6 +80P 3 R51 Q6 −175P 6 R50 Q6 +6P 2 R52 Q5 −48P 5 R51 Q5 −34P 4 R52 Q4 + 260R54 Q3 +104P 3 R53 Q3 −84P 6 R52 Q3 −36P 2 R54 Q2 +6P 5 R53 Q2 −240P R55 Q−104P 4 R54 Q+ 3R56 − 260P 3 R55 − 224P 6 R54 ) 126 ϑ6 9Q81 + 6R2 Q78 + 40R4 Q75 + 40R6 Q72 + 20R8 Q69 + 38R10 Q66 + 20R12 Q63 + 19R14 Q60 +

24

28R16 Q57 + 28R18 Q54 + 36R20 Q51 + 7R22 Q48 + 4R24 Q45 + 26R26 Q42 + 28R28 Q39 + 41R30 Q36 + 17R32 Q33 +39R34 Q30 +42R36 Q27 +46R
38 Q24 +25R40 Q21 +8R42 Q18 +27R44 Q15 +40R46 Q12 + 33R48 Q9 + 37R50 Q6 + 14R52 Q3 + 6R54 ≡ (Q3 − R2 )28 (mod 47) p26 (47t + 42) ≡ 0 (mod 47) via Q47 (Q3 − R2 )5 12ϑ 13P Q61 + 16P 3 Q60 + 29RQ60 + 9P 5 Q59 + 45P 2 RQ59 + 42P 7 Q58 + 25P R2 Q58 + 6P 4 RQ58 + 23P 9 Q57 + 30R3 Q57 + 29P 3 R2 Q57 + 7P 6 RQ57 + 26P 11 Q56 + 17P 2 R3 Q56 + 11P 5 R2 Q56 + 17P 8 RQ56 + 37P R4 Q55 + 3P 4 R3 Q55 + 6P 7 R2 Q55 + 7P 10 RQ55 + 7R5 Q54 + 30P 3 R4 Q54 +38P 6 R3 Q54 +4P 9 R2 Q54 +14P 2 R5 Q53 +16P 5 R4 Q53 +28P 8 R3 Q53 +44P 11 R2 Q53 + 22P R6 Q52 + 46P 4 R5 Q52 + 18P 7 R4 Q52 + 29P 10 R3 Q52 + 4R7 Q51 + 9P 3 R6 Q51 + 45P 6 R5 Q51 + 22P 9 R4 Q51 +38P 2 R7 Q50 +43P 5 R6 Q50 +11P 8 R5 Q50 +14P 11 R4 Q50 +45P R8 Q49 +34P 4 R7 Q49 + 16P 7 R6 Q49 + 24P 10 R5 Q49 + 24R9 Q48 + 15P 3 R8 Q48 + 2P 6 R7 Q48 + 38P 9 R6 Q48 + 33P 2 R9 Q47 + 39P 5 R8 Q47 +35P 8 R7 Q47 +43P 11 R6 Q47 +2P R10 Q46 +31P 4 R9 Q46 +25P 7 R8 Q46 +5P 10 R7 Q46 + 32R11 Q45 +34P 3 R10 Q45 +14P 6 R9 Q45 +44P 9 R8 Q45 +13P 2 R11 Q44 +3P 5 R10 Q44 +45P 8 R9 Q44 + 5P 11 R8 Q44 + 19P R12 Q43 + 25P 4 R11 Q43 + 36P 7 R10 Q43 + 21P 10 R9 Q43 + 41R13 Q42 + 36P 3 R12 Q42 + P 6 R11 Q42 + 43P 9 R10 Q42 + 38P 2 R13 Q41 + 27P 5 R12 Q41 + 28P 8 R11 Q41 + 46P 11 R10 Q41 +12P R14 Q40 +33P 4 R13 Q40 +3P 7 R12 Q40 +3P 10 R11 Q40 +33R15 Q39 +P 3 R14 Q39 + 34P 6 R13 Q39 + 14P 9 R12 Q39 + 13P 2 R15 Q38 + 3P 5 R14 Q38 + 18P 8 R13 Q38 + 33P 11 R12 Q38 + 31P R16 Q37 + 41P 4 R15 Q37 + 36P 7 R14 Q37 + P 10 R13 Q37 + 40R17 Q36 + 16P 3 R16 Q36 + 45P 6 R15 Q36 + 26P 9 R14 Q36 + 9P 2 R17 Q35 + 39P 5 R16 Q35 + 25P 8 R15 Q35 + 8P 11 R14 Q35 + 18P R18 Q34 + 38P 4 R17 Q34 + 4P 7 R16 Q34 + 46P 10 R15 Q34 + 26R19 Q33 + 15P 3 R18 Q33 + 3P 6 R17 Q33 + 27P 9 R16 Q33 + 26P 2 R19 Q32 + 44P 5 R18 Q32 + 10P 8 R17 Q32 + 27P 11 R16 Q32 + 45P R20 Q31 + 28P 4 R19 Q31 + 27P 7 R18 Q31 + 16P 10 R17 Q31 + 25R21 Q30 + 37P 3 R20 Q30 + 38P 6 R19 Q30 + 45P 9 R18 Q30 + 5P 2 R21 Q29 + 28P 5 R20 Q29 + 41P 8 R19 Q29 + 43P 11 R18 Q29 + 37P R22 Q28 +8P 4 R21 Q28 +25P 7 R20 Q28 +25P 10 R19 Q28 +41R23 Q27 +P 3 R22 Q27 +35P 6 R21 Q27 + 17P 9 R20 Q27 + 24P 2 R23 Q26 + 2P 5 R22 Q26 + P 8 R21 Q26 + 17P 11 R20 Q26 + 22P R24 Q25 + 33P 4 R23 Q25 + 21P 7 R22 Q25 + 12P 10 R21 Q25 + 33R25 Q24 + 39P 3 R24 Q24 + 36P 6 R23 Q24 + 29P 9 R22 Q24 + 37P 2 R25 Q23 + 14P 5 R24 Q23 + 31P 8 R23 Q23 + 28P 11 R22 Q23 + 23P R26 Q22 + 31P 4 R25 Q22 + 45P 7 R24 Q22 + 29P 10 R23 Q22 + 45R27 Q21 + 15P 3 R26 Q21 + 29P 6 R25 Q21 + 9P 9 R24 Q21 + 28P 2 R27 Q20 + 11P 5 R26 Q20 + 44P 8 R25 Q20 + 44P 11 R24 Q20 + 44P R28 Q19 + 3P 4 R27 Q19 + 23P 7 R26 Q19 + 25P 10 R25 Q19 + 18R29 Q18 + 4P 3 R28 Q18 + 16P 6 R27 Q18 + 42P 9 R26 Q18 + 22P 2 R29 Q17 + 36P 5 R28 Q17 + 9P 8 R27 Q17 + 2P 11 R26 Q17 + 11P R30 Q16 + 40P 7 R28 Q16 + 2P 10 R27 Q16 + 19R31 Q15 + 23P 3 R30 Q15 + 13P 6 R29 Q15 + 31P 9 R28 Q15 + 46P 2 R31 Q14 + 22P 5 R30 Q14 + 22P 8 R29 Q14 + 2P 11 R28 Q14 + 6P R32 Q13 + 10P 4 R31 Q13 + 46P 7 R30 Q13 + 13P 10 R29 Q13 + 17R33 Q12 + 7P 3 R32 Q12 + 15P 6 R31 Q12 + 29P 9 R30 Q12 + 33P 2 R33 Q11 + 16P 5 R32 Q11 + 20P 8 R31 Q11 + 30P 11 R30 Q11 + 38P R34 Q10 + 2P 4 R33 Q10 + 27P 7 R32 Q10 +4P 10 R31 Q10 +21R35 Q9 +8P 6 R33 Q9 +33P 9 R32 Q9 +41P 2 R35 Q8 +42P 5 R34 Q8 + 20P 8 R33 Q8 + 40P R36 Q7 + 21P 4 R35 Q7 + 19P 7 R34 Q7 + 7R37 Q6 + 32P 3 R36 Q6 + 3P 6 R35 Q6 + 45P 2 R37 Q5 + 12P
5 R36 Q5 + 41P R38 Q4 + 41P 4 R37 Q4 + 21R39 Q3 + 35P 3 R38 Q3 + 31P 2 R39 Q2 + 6P R40 Q + 15R41 = Q47 (Q3 − R2 )5 − 47(4Q62 − 61P 2 Q61 − 81P 4 Q60 − 76P RQ60 − 39P 6 Q59 + 2 59 160R Q − 144P 3 RQ59 − 207P 8 Q58 + 104P 2 R2 Q58 + 18P 5 RQ58 − 109P 10 Q57 − 14P R3 Q57 − 118P 4 R2 Q57 +176P 7 RQ57 − 130P 12 Q56 +151R4 Q56 +68P 3 R3 Q56 − 7P 6 R2 Q56 +28P 9 RQ56 − 101P 2 R4 Q55 + 50P 5 R3 Q55 + 62P 8 R2 Q55 + 100P 11 RQ55 + 154P R5 Q54 − 110P 4 R4 Q54 − 152P 7 R3 Q54 + 34P 10 R2 Q54 + 36R6 Q53 + 76P 3 R5 Q53 + 124P 6 R4 Q53 − 106P 9 R3 Q53 − 220P 12 R2 Q53 − 17P 2 R6 Q52 − 126P 5 R5 Q52 + 46P 8 R4 Q52 + 60P 11 R3 Q52 + 124P R7 Q51 + 192P 4 R6 Q51 − 136P 7 R5 Q51 + 36P 10 R4 Q51 + 46R8 Q50 − 140P 3 R7 Q50 − 21P 6 R6 Q50 + 74P 9 R5 Q50 −70P 12 R4 Q50 −34P 2 R8 Q49 +48P 5 R7 Q49 +4P 8 R6 Q49 −28P 11 R5 Q49 +66P R9 Q48 +

25

104P 4 R8 Q48 + 88P 7 R7 Q48 − 77P 10 R6 Q48 + 143R10 Q47 − 64P 3 R9 Q47 − 172P 6 R8 Q47 + 24P 9 R7 Q47 − 215P 12 R6 Q47 + 142P 2 R10 Q46 + 2P 5 R9 Q46 + 73P 8 R8 Q46 + 152P 11 R7 Q46 − 130P R11 Q45 − 19P 4 R10 Q45 + 80P 7 R9 Q45 − 177P 10 R8 Q45 + 191R12 Q44 + 120P 3 R11 Q44 + 45P 6 R10 Q44 − 25P 12 R8 Q44 + 15P 2 R12 Q43 − 76P 5 R11 Q43 + 33P 8 R10 Q43 − 28P 11 R9 Q43 − 122P R13 Q42 − 37P 4 R12 Q42 + 136P 7 R11 Q42 − 125P 10 R10 Q42 + 210R14 Q41 − 64P 3 R13 Q41 − 78P 6 R12 Q41 + 34P 9 R11 Q41 − 230P 12 R10 Q41 + 95P 2 R14 Q40 − 66P 5 R13 Q40 + 115P 8 R12 Q40 + 196P 11 R11 Q40 − 68P R15 Q39 + 186P 4 R14 Q39 − 96P 7 R13 Q39 − 51P 10 R12 Q39 + 197R16 Q38 − 28P 3 R15 Q38 + 189P 6 R14 Q38 + 2P 9 R13 Q38 − 165P 12 R12 Q38 − 99P 2 R16 Q37 − 116P 5 R15 Q37 − 72P 8 R14 Q37 + 116P 11 R13 Q37 − 70P R17 Q36 + 133P 4 R16 Q36 − 104P 7 R15 Q36 − 38P 10 R14 Q36 + 186R18 Q35 + 40P 3 R17 Q35 − 55P 6 R16 Q35 + 18P 9 R15 Q35 − 40P 12 R14 Q35 − 3P 2 R18 Q34 + 22P 5 R17 Q34 + 81P 8 R16 Q34 − 152P 11 R15 Q34 + 32P R19 Q33 + 105P 4 R18 Q33 + 60P 7 R17 Q33 + 38P 10 R16 Q33 + 141R20 Q32 + 4P 3 R19 Q32 − 121P 6 R18 Q32 + 132P 9 R17 Q32 − 135P 12 R16 Q32 − 148P 2 R20 Q31 + 52P 5 R19 Q31 − 2P 8 R18 Q31 + 92P 11 R17 Q31 + 92P R21 Q30 − 93P 4 R20 Q30 − 52P 7 R19 Q30 − 114P 10 R18 Q30 + 185R22 Q29 + 72P 3 R21 Q29 + 51P 6 R20 Q29 − 44P 9 R19 Q29 − 215P 12 R18 Q29 − 110P 2 R22 Q28 + 38P 5 R21 Q28 − 20P 8 R20 Q28 + 24P 11 R19 Q28 − 58P R23 Q27 + 111P 4 R22 Q27 − 60P 7 R21 Q27 + 10P 10 R20 Q27 + 200R24 Q26 + 179P 6 R22 Q26 + 118P 9 R21 Q26 − 85P 12 R20 Q26 + 59P 2 R24 Q25 − 118P 5 R23 Q25 − 8P 8 R22 Q25 + 56P 11 R21 Q25 − 48P R25 Q24 − 31P 4 R24 Q24 + 4P 7 R23 Q24 − 29P 10 R22 Q24 + 223R26 Q23 − 60P 3 R25 Q23 + 101P 6 R24 Q23 − 64P 9 R23 Q23 − 140P 12 R22 Q23 + 50P 2 R26 Q22 − 92P 5 R25 Q22 − 26P 8 R24 Q22 + 44P 11 R23 Q22 − 34P R27 Q21 − 8P 4 R26 Q21 + 20P 7 R25 Q21 + 99P 10 R24 Q21 + 148R28 Q20 − 104P 3 R27 Q20 + 54P 6 R26 Q20 − 62P 9 R25 Q20 − 220P 12 R24 Q20 − 100P 2 R28 Q19 + 134P 5 R27 Q19 − 3P 8 R26 Q19 − 44P 11 R25 Q19 + 20P R29 Q18 − 12P 4 R28 Q18 + 100P 7 R27 Q18 − 164P 10 R26 Q18 + 103R30 Q17 − 20P 3 R29 Q17 − 106P 6 R28 Q17 + 130P 9 R27 Q17 − 10P 12 R26 Q17 + 158P 2 R30 Q16 + 138P 5 R29 Q16 − 103P 8 R28 Q16 − 58P R31 Q15 − 77P 4 R30 Q15 + 168P 7 R29 Q15 − 105P 10 R28 Q15 + 96R32 Q14 − 180P 3 R31 Q14 − 30P 6 R30 Q14 + 42P 9 R29 Q14 − 10P 12 R28 Q14 + 163P 2 R32 Q13 + 42P 5 R31 Q13 − 123P 8 R30 Q13 + 52P 11 R29 Q13 + 84P R33 Q12 − 15P 4 R32 Q12 + 88P 7 R31 Q12 − 109P 10 R30 Q12 + 112R34 Q11 − 164P 3 R33 Q11 − 29P 6 R32 Q11 + 64P 9 R31 Q11 − 150P 12 R30 Q11 + 16P 2 R34 Q10 + 188P 5 R33 Q10 − 28P 8 R32 Q10 + 8P 11 R31 Q10 + 108P R35 Q9 + 100P 4 R34 Q9 + 68P 7 R33 Q9 − 163P 10 R32 Q9 + 50R36 Q8 − 64P 3 R35 Q8 − 193P 6 R34 Q8 − 76P 9 R33 Q8 + 34P 2 R36 Q7 − 24P 5 R35 Q7 −83P 8 R34 Q7 +188P R37 Q6 +42P 4 R36 Q6 −4P 7 R35 Q6 +109R38 Q5 −44P 3 R37 Q5 − 60P 6 R36 Q5 −38P 2 R38 Q4 −206P 5 R37 Q4 −64P R39 Q3 −167P 4 R38 Q3 +84R40 Q2 −152P 3 R39 Q2 − 26P 2 R40 Q − 78P R41 ) 1212 ϑ12 38Q56 + 39R2 Q53 + 6R4 Q50 + 5R6 Q47 + 29R8 Q44 + 13R10 Q41 + 41R12 Q38 + 37R14 Q35
+25R16 Q32 +5R18 Q29 +14R20 Q26 +12R22 Q23 +39R24 Q20 +21R26 Q17 +21R28 Q14 + 33R30 Q11 ≡ Q47 (Q3 − R2 )5 (mod 47)

p14 (53t + 48) ≡ 0 (mod 53) 12ϑ 47P Q14 +5P 3 Q13 +45RQ13 +18P 5 Q12 +20P 2 RQ12 +39P R2 Q11 +22P 4 RQ11 +33R3 Q10 + 29P 3 R2 Q10 + 30P 2 R3 Q9 + 27P 5 R2 Q9 + 19P R4 Q8 + 45P 4 R3 Q8 + 31R5 Q7 + 23P 3 R4 Q7 + 19P 2 R5 Q6 + 21P 5 R4 Q6 + 32P R6 Q5 + 26P 4 R5 Q5 + 52R7 Q4 + 50P 3 R6 Q4 +
29P 2 R7 Q3 + 25P 5 R6 Q3 + 24P R8 Q2 + 11P 4 R7 Q2 + 40R9 Q + 3P 3 R8 Q + 4P 2 R9 + 26P 5 R8 = (Q3 − R2 )5 − 53(6Q15 − 48P 2 Q14 − P 4 Q13 + 10P RQ13 − 18P 6 Q12 + 56R2 Q12 − 8P 3 RQ12 − 12P 2 R2 Q11 + 6P R3 Q10 + 6P 4 R2 Q10 + 43R4 Q9 + 4P 3 R3 Q9 − 27P 6 R2 Q9 + 12P 2 R4 Q8 − 18P 5 R3 Q8 + 20P 4 R4 Q7 + 58R6 Q6 + 28P 3 R5 Q6 − 21P 6 R4 Q6 − 22P R7 Q4 − 31P 4 R6 Q4 + 57R8 Q3 − 12P 3 R7 Q3 − 25P 6 R6 Q3 − 15P 2 R8 Q2 + 18P 5 R7 Q2 − 40P R9 Q + P 4 R8 Q + 3R10 − 4P 3 R9 − 26P 6 R8 )

26

126 ϑ6 29Q12 + 17R2 Q9 + 25R4 Q6 + 2R6 Q3 + 36R8




≡ (Q3 − R2 )5 (mod 53)

p4 (53t + 44) ≡ 0 (mod 53) 25 12ϑ 44RQ + 24R3 Q22 + 45R5 Q19 + 19R7 Q16 + 36R9 Q13 + 41R11 Q10 + R13 Q7 + 26R15 Q4 +
40R17 Q = (Q3 − R2 )9 − 53(5Q27 − 88P RQ25 + 91R2 Q24 − 48P R3 Q22 + 66R4 Q21 − 90P R5 Q19 + 78R6 Q18 −38P R7 Q16 +62R8 Q15 −72P R9 Q13 +84R10 Q12 −82P R11 Q10 +34R12 Q9 −2P R13 Q7 + 44R14 Q6 − 52P R15 Q4 + 85R16 Q3 − 80P R17 Q + 3R18 )

p8 (53t + 35) ≡ 0 (mod 53) 12ϑ 47P Q53 + 45RQ52 + 52P 2 RQ51 + 43P R2 Q50 + 41R3 Q49 + 52P 2 R3 Q48 + 25P R4 Q47 + 23R5 Q46 + 9P 2 R5 Q45 + 41P R6 Q44 + 30R7 Q43 + 52P 2 R7 Q42 + 21P R8 Q41 + 27R9 Q40 + 30P 2 R9 Q39 + 22P R10 Q38 + 3R11 Q37 + 29P 2 R11 Q36 + 50P R12 Q35 + 3R13 Q34 + 30P 2 R13 Q33 + 46P R14 Q32 + 7R15 Q31 + 26P 2 R15 Q30 + 52P R16 Q29 + 13R17 Q28 + 25P 2 R17 Q27 + 46P R18 Q26 + 20R19 Q25 + 26P 2 R19 Q24 + 36P R20 Q23 + 37R21 Q22 + 36P 2 R21 Q21 + 48P R22 Q20 + 30R23 Q19 + 13P 2 R23 Q18 + 17P R24 Q17 + 33R25 Q16 + 2P 2 R25 Q15 + 29P R26 Q14 + 40R27 Q13 + 5P 2 R27 Q12 + 31 7 4P R28 Q11 + 21R29 Q10 + 9P 2 R29 Q9 + 18P R30 Q8 + 22R Q + 24P 2 R31 Q6 + 29P R32 Q5 +
4R33 Q4 + 5P 2 R33 Q3 + 33P R34 Q2 + 13R35 Q + 40P 2 R35 = (Q3 − R2 )18 − 53(6Q54 − 183P 2 Q53 + 18P RQ52 + 191R2 Q51 − 208P 3 RQ51 + 45P 2 R2 Q50 + 10P R3 Q49 + 168R4 Q48 − 208P 3 R3 Q48 + 93P 2 R4 Q47 + 24P R5 Q46 + 89R6 Q45 − 36P 3 R5 Q45 − 93P 2 R6 Q44 +36P R7 Q43 +183R8 Q42 − 208P 3 R7 Q42 +111P 2 R8 Q41 − 18P R9 Q40 − 76R10 Q39 − 120P 3 R9 Q39 + 36P 2 R10 Q38 + 120P R11 Q37 + 364R12 Q36 − 116P 3 R11 Q36 − 78P 2 R12 Q35 + 194P R13 Q34 − 580R14 Q33 − 120P 3 R13 Q33 − 66P 2 R14 Q32 + 178P R15 Q31 + 868R16 Q30 − 104P 3 R15 Q30 − 102P 2 R16 Q29 + 156P R17 Q28 − 846R18 Q27 − 100P 3 R17 Q27 − 78P 2 R18 Q26 + 92P R19 Q25 + 952R20 Q24 − 104P 3 R19 Q24 − 12P 2 R20 Q23 + 34P R21 Q22 − 460R22 Q21 − 144P 3 R21 Q21 − 102P 2 R22 Q20 − 2P R23 Q19 + 487R24 Q18 − 52P 3 R23 Q18 − 45P 2 R24 Q17 − 26P R25 Q16 +R26 Q15 −8P 3 R25 Q15 −99P 2 R26 Q14 −118P R27 Q13 +166R28 Q12 −20P 3 R27 Q12 + 18P 2 R28 Q11 − 20P R29 Q10 + 78R30 Q9 − 36P 3 R29 Q9 + 18P 2 R30 Q8 + 28P R31 Q7 + 30R32 Q6 − 96P 3 R31 Q6 − 87P 2 R32 Q5 + 122P R33 Q4 + 53R34 Q3 − 20P 3 R33 Q3 + 27P 2 R34 Q2 − 46P R35 Q + R36 − 160P 3 R35 ) 123 ϑ3 26RQ51 +26R3 Q48 +31R5 Q45 +26R7 Q42 +15R9 Q39 +41R11 Q36 +15R13 Q33 +13R15 Q30 + 39R17 Q27 + 13R19
Q24 + 18R21 Q21 + 33R23 Q18 + R25 Q15 + 29R27 Q12 + 31R29 Q9 + 12R31 Q6 + 29R33 Q3 + 20R35 ≡ (Q3 − R2 )18 (mod 53)

p4 (59t + 49) ≡ 0 (mod 59) 12ϑ 49RQ28 + 30R3
Q25 + 46R5 Q22 + 2R7 Q19 + 37R9 Q16 + 18R11 Q13 + 8R13 Q10 + 24R15 Q7 + 19R17 Q4 + 44R19 Q = (Q3 − R2 )10 − 59(5Q30 − 98P RQ28 + 102R2 Q27 − 60P R3 Q25 + 75R4 Q24 − 92P R5 Q22 + 68R6 Q21 − 4P R7 Q19 + 40R8 Q18 − 74P R9 Q16 + 56R10 Q15 − 36P R11 Q13 + 30R12 Q12 − 16P R13 Q10 + 40R14 Q9 − 48P R15 Q7 + 45R16 Q6 − 38P R17 Q4 + 90R18 Q3 − 88P R19 Q + 3R20 ) p6 (59t + 44) ≡ 0 (mod 59) 12ϑ P Q44 + 39RQ43 + 23P R2 Q41 + 53R3 Q40 + 54P R4 Q38 + 9R5 Q37 + 23P R6 Q35 + 46R7 Q34 + 15P R8 Q32 + 5R9 Q31 + 32P R10 Q29 + 24R11 Q28 + 34P R12 Q26 + 56R13 Q25 + 26P R14 Q23 +

27

28R15 Q22 + 27P R16 Q20 + 49R17 Q19 + 40P R18 Q17 + 29R19 Q16 + 41P R20 Q14 + 7R21 Q13 +
43P R22 Q11 + 42R23 Q10 + 6P R24 Q8 + 5R25 Q7 + 37P R26 Q5 + 52R27 Q4 + 24P R28 Q2 + 15R29 Q = (Q3 − R2 )15 − 59(4Q45 − 3P 2 Q44 − 110P RQ43 + 130R2 Q42 − 69P 2 R2 Q41 − 74P R3 Q40 + 151R4 Q39 − 162P 2 R4 Q38 + 126P R5 Q37 + 48R6 Q36 − 69P 2 R6 Q35 − 72P R7 Q34 + 134R8 Q33 − 45P 2 R8 Q32 +50P R9 Q31 −13R10 Q30 −96P 2 R10 Q29 +32P R11 Q28 +205R12 Q27 −102P 2 R12 Q26 − 72P R13 Q25 + 29R14 Q24 − 78P 2 R14 Q23 + 236R16 Q21 − 81P 2 R16 Q20 − 38P R17 Q19 + 35R18 Q18 − 120P 2 R18 Q17 + 42P R19 Q16 + 98R20 Q15 − 123P 2 R20 Q14 + 114P R21 Q13 + 82R22 Q12 − 129P 2 R22 Q11 −80P R23 Q10 +49R24 Q9 −18P 2 R24 Q8 +86P R25 Q7 +144R26 Q6 −111P 2 R26 Q5 − 76P R27 Q4 + 59R28 Q3 − 72P 2 R28 Q2 − 42P R29 Q + R30 ) 122 ϑ2 58Q44 + 36R2 Q41 + 5R4 Q38 + 36R6 Q35 + 44R8 Q32 + 27R10 Q29 + 25R12 Q
26 + 33R14 Q23 + 32R16 Q20 +19R18 Q17 +18R20 Q14 +16R22 Q11 +53R24 Q8 +22R26 Q5 +35R28 Q2 ≡ (Q3 −R2 )15 (mod 59) p8 (59t + 39) ≡ 0 (mod 59) 12ϑ 6P Q59 +48RQ58 +P 2 RQ57 +57P R2 Q56 +25R3 Q55 +20P 2 R3 Q54 +24P R4 Q53 +18R5 Q52 + 22P 2 R5 Q51 + 42P R6 Q50 + 55R7 Q49 + 29P 2 R7 Q48 + 8P R8 Q47 + 35R9 Q46 + 50P 2 R9 Q45 + 39R11 Q43 + 46P 2 R11 Q42 + 8P R12 Q41 + 10R13 Q40 + 16P 2 R13 Q39 + 32P R14 Q38 + 29R15 Q37 + 29P 2 R15 Q36 +28P R16 Q35 +38R17 Q34 +38P 2 R17 Q33 +38P R18 Q32 +51R19 Q31 +35P 2 R19 Q30 + 3P R20 Q29 + 17R21 Q28 + 58P 2 R21 Q27 + 3P R22 Q26 + 22R23 Q25 + 38P 2 R23 Q24 + 14P R24 Q23 + 21R25 Q22 + 45P 2 R25 Q21 + 58P R26 Q20 + 37R27 Q19 + 20P 2 R27 Q18 + 7P R28 Q17 + 34R29 Q16 + 45P 2 R29 Q15 +11P R30 Q14 +44R31 Q13 +29P 2 R31 Q12 +16P R32 Q11 +22R33 Q10 +30P 2 R33 Q9 + 52P R34 Q8 + 51R35
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28

9P R18 Q47 + 21R19 Q46 + 31P 3 R18 Q46 + 2P 2 R19 Q45 + 39P R20 Q44 + R21 Q43 + 40P 3 R20 Q43 + 53P 2 R21 Q42 +46P R22 Q41 +22R23 Q40 +56P 3 R22 Q40 +23P 2 R23 Q39 +51P R24 Q38 +7R25 Q37 + 8P 3 R24 Q37 +12P 2 R25 Q36 +49P R26 Q35 +50R27 Q34 +53P 3 R26 Q34 +17P 2 R27 Q33 +2P R28 Q32 + 48R29 Q31 +32P 3 R28 Q31 +51P 2 R29 Q30 +27P R30 Q29 +9R31 Q28 +12P 3 R30 Q28 +30P 2 R31 Q27 + 25P R32 Q26 +50R33 Q25 +54P 3 R32 Q25 +23P 2 R33 Q24 +19P R34 Q23 +12R35 Q22 +15P 3 R34 Q22 + 33P 2 R35 Q21 + 24P R36 Q20 + 58R37 Q19 + 26P 3 R36 Q19 + 40P 2 R37 Q18 + 7P R38 Q17 + 4R39 Q16 + 6P 3 R38 Q16 +26P 2 R39 Q15 +48P R40 Q14 +2R41 Q13 +58P 3 R40 Q13 +25P 2 R41 Q12 +21P R42 Q11 + 41R43 Q10 + 38P 3 R42 Q10 + 28P 2 R43 Q9 + P R44 Q8 + 42R45 Q7 + 31P 3 R44 Q7 + 18P 2 R45 Q6 +
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29

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30

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31

42P 10 R29 Q28 + 49R33 Q27 + 10P 3 R32 Q27 + 21P 6 R31 Q27 + 44P 9 R30 Q27 + 16P 2 R33 Q26 + 55P 5 R32 Q26 + 44P 8 R31 Q26 + 50P 4 R33 Q25 + 27P 7 R32 Q25 + 5P 10 R31 Q25 + 22R35 Q24 + 6P 3 R34 Q24 + 42P 6 R33 Q24 + 23P 9 R32 Q24 + 42P 2 R35 Q23 + 54P 5 R34 Q23 + 19P 8 R33 Q23 + 20P 11 R32 Q23 + 57P R36 Q22 + 42P 4 R35 Q22 + 42P 7 R34 Q22 + 55P 10 R33 Q22 + 58R37 Q21 + 36P 3 R36 Q21 + 45P 6 R35 Q21 + 42P 9 R34 Q21 + 7P 2 R37 Q20 + 23P 5 R36 Q20 + 39P 8 R35 Q20 + 6P 11 R34 Q20 + 18P R38 Q19 + 3P 4 R37 Q19 + 21P 7 R36 Q19 + 13P 10 R35 Q19 + 26R39 Q18 + 25P 3 R38 Q18 + 22P 6 R37 Q18 + 3P 9 R36 Q18 + 21P 2 R39 Q17 + 30P 5 R38 Q17 + 46P 8 R37 Q17 + 44P 11 R36 Q17 + 14P R40 Q16 + 30P 4 R39 Q16 + 40P 7 R38 Q16 + 12P 10 R37 Q16 + 12R41 Q15 + 54P 3 R40 Q15 + 16P 6 R39 Q15 + 10P 9 R38 Q15 + 32P 2 R41 Q14 + 20P 5 R40 Q14 + 54P 8 R39 Q14 + 48P 11 R38 Q14 + 22P R42 Q13 + 30P 4 R41 Q13 + 39P 7 R40 Q13 + 48P 10 R39 Q13 + 36R43 Q12 + 44P 3 R42 Q12 + 48P 6 R41 Q12 + 36P 9 R40 Q12 + 3P 2 R43 Q11 + 21P 5 R42 Q11 + 23P 8 R41 Q11 + 48P 11 R40 Q11 + 11P R44 Q10 + 2P 4 R43 Q10 + 39P 7 R42 Q10 + 47P 10 R41 Q10 + 20R45 Q9 + 58P 3 R44 Q9 +20P 6 R43 Q9 +55P 9 R42 Q9 +22P 2 R45 Q8 +18P 5 R44 Q8 +11P 8 R43 Q8 +17P R46 Q7 + 46 5 26P 4 R45 Q7 + 29P 7 R44 Q7 + 34R47 Q6 + 18P 3 R46 Q6 + 9P 6 R45 Q6 + 18P 2 R47 Q5 + 36P 5 R
Q + 48 4 4 47 4 49 3 3 48 3 2 49 2 50 51 45P R Q + 27P R Q + 35R Q + 54P R Q + 13P R Q + 34P R Q + 7R = Q59 (Q3 − R2 )6 − 59(Q77 − 235P 2 Q76 − 13P 4 Q75 + 232P RQ75 − 3P 6 Q74 + 26R2 Q74 − 116P 3 RQ74 −110P 8 Q73 +28P 2 R2 Q73 −92P 5 RQ73 −137P 10 Q72 −154P R3 Q72 +98P 4 R2 Q72 − 104P 7 RQ72 −200P 12 Q71 +266R4 Q71 −132P 3 R3 Q71 +69P 6 R2 Q71 +48P 9 RQ71 +191P 2 R4 Q70 − 126P 5 R3 Q70 + 42P 8 R2 Q70 + 124P 11 RQ70 − 162P R5 Q69 + 30P 4 R4 Q69 − 8P 7 R3 Q69 − 162P 10 R2 Q69 + 189R6 Q68 + 52P 3 R5 Q68 − 140P 6 R4 Q68 + 82P 9 R3 Q68 − 165P 12 R2 Q68 + 164P 2 R6 Q67 + 132P 5 R5 Q67 + 71P 8 R4 Q67 + 48P 11 R3 Q67 − 228P R7 Q66 − 74P 4 R6 Q66 − 80P 7 R5 Q66 + 79P 10 R4 Q66 + 269R8 Q65 + 184P 3 R7 Q65 − 73P 6 R6 Q65 − 190P 9 R5 Q65 − 200P 12 R4 Q65 + 16P 2 R8 Q64 + 222P 5 R7 Q64 + 229P 8 R6 Q64 − 96P 11 R5 Q64 − 246P R9 Q63 − 208P 4 R8 Q63 − 44P 7 R7 Q63 + 131P 10 R6 Q63 + 242R10 Q62 + 208P 3 R9 Q62 − 28P 6 R8 Q62 − 78P 9 R7 Q62 − 30P 12 R6 Q62 + 12P 2 R10 Q61 − 102P 5 R9 Q61 + 62P 8 R8 Q61 − 48P 11 R7 Q61 + 24P R11 Q60 + 44P 4 R10 Q60 − 28P 7 R9 Q60 + 100P 10 R8 Q60 + 58R12 Q59 + 56P 3 R11 Q59 − 62P 6 R10 Q59 − 164P 9 R9 Q59 − 290P 12 R8 Q59 + 174P 2 R12 Q58 + 102P 5 R11 Q58 + 44P 8 R10 Q58 + 56P 11 R9 Q58 + 26P R13 Q57 − 157P 4 R12 Q57 + 36P 7 R11 Q57 + 198P 10 R10 Q57 + 51R14 Q56 − 52P 3 R13 Q56 − 8P 6 R12 Q56 − 38P 9 R11 Q56 − 220P 12 R10 Q56 − 15P 2 R14 Q55 − 30P 5 R13 Q55 + 79P 8 R12 Q55 +104P 11 R11 Q55 +212P R15 Q54 +144P 4 R14 Q54 −104P 7 R13 Q54 −107P 10 R12 Q54 + 99R16 Q53 + 80P 3 R15 Q53 − 47P 6 R14 Q53 + 126P 9 R13 Q53 − 50P 12 R12 Q53 − 70P 2 R16 Q52 − 26P 5 R15 Q52 − 212P 8 R14 Q52 + 48P 11 R13 Q52 − 110P R17 Q51 − 103P 4 R16 Q51 + 156P 7 R15 Q51 − 157P 10 R14 Q51 + 281R18 Q50 + 88P 3 R17 Q50 + 84P 6 R16 Q50 + 182P 9 R15 Q50 − 60P 12 R14 Q50 − 78P 2 R18 Q49 − 40P 5 R17 Q49 − 86P 8 R16 Q49 − 16P 11 R15 Q49 − 30P R19 Q48 + 186P 4 R18 Q48 + 12P 7 R17 Q48 − 19P 10 R16 Q48 + 232R20 Q47 − 136P 3 R19 Q47 − 54P 6 R18 Q47 − 46P 9 R17 Q47 − 165P 12 R16 Q47 + 173P 2 R20 Q46 − 68P 5 R19 Q46 − 88P 8 R18 Q46 − 132P 11 R17 Q46 − 158P R21 Q45 − 77P 4 R20 Q45 + 184P 7 R19 Q45 + 191P 10 R18 Q45 + 267R22 Q44 + 104P 3 R21 Q44 − 74P 6 R20 Q44 − 202P 9 R19 Q44 − 10P 12 R18 Q44 + 87P 2 R22 Q43 + 110P 5 R21 Q43 − 100P 8 R20 Q43 − 48P 11 R19 Q43 − 140P R23 Q42 − 148P 4 R22 Q42 + 92P 7 R21 Q42 + 121P 10 R20 Q42 + 311R24 Q41 + 200P 3 R23 Q41 + 21P 6 R22 Q41 + 98P 9 R21 Q41 − 225P 12 R20 Q41 − 252P 2 R24 Q40 − 50P 5 R23 Q40 − 26P 8 R22 Q40 + 16P 11 R21 Q40 − 120P R25 Q39 + 42P 4 R24 Q39 − 172P 7 R23 Q39 − 66P 10 R22 Q39 + 236R26 Q38 + 136P 3 R25 Q38 + 130P 6 R24 Q38 + 70P 9 R23 Q38 − 115P 12 R22 Q38 − 21P 2 R26 Q37 − 112P 5 R25 Q37 + 40P 8 R24 Q37 − 104P 11 R23 Q37 − 30P R27 Q36 + 179P 4 R26 Q36 − 176P 7 R25 Q36 + 26P 10 R24 Q36 + 209R28 Q35 + 148P 3 R27 Q35 + 41P 6 R26 Q35 + 106P 9 R25 Q35 − 15P 12 R24 Q35 − 141P 2 R28 Q34 + 26P 5 R27 Q34 + 80P 8 R26 Q34 − 16P 11 R25 Q34 − 38P R29 Q33 − 92P 4 R28 Q33 − 168P 7 R27 Q33 + 50P 10 R26 Q33 + 240R30 Q32 + 204P 3 R29 Q32 − 115P 6 R28 Q32 − 44P 9 R27 Q32 − 165P 12 R26 Q32 − 25P 2 R30 Q31 − 94P 5 R29 Q31 + 214P 8 R28 Q31 − 56P 11 R27 Q31 − 138P R31 Q30 − 107P 4 R30 Q30 + 72P 7 R29 Q30 − 27P 10 R28 Q30 + 254R32 Q29 − 124P 3 R31 Q29 + 84P 6 R30 Q29 + 38P 9 R29 Q29 − 190P 12 R28 Q29 +122P 2 R32 Q28 +176P 5 R31 Q28 +74P 8 R30 Q28 −136P 11 R29 Q28 −246P R33 Q27 +

32

123P 4 R32 Q27 + 44P 7 R31 Q27 − 126P 10 R30 Q27 + 168R34 Q26 − 40P 3 R33 Q26 − 98P 6 R32 Q26 − 66P 9 R31 Q26 + 178P 2 R34 Q25 + 32P 5 R33 Q25 + 8P 8 R32 Q25 + 40P 11 R31 Q25 + 96P R35 Q24 + 208P 4 R34 Q24 − 20P 7 R33 Q24 + 81P 10 R32 Q24 + 255R36 Q23 − 72P 3 R35 Q23 − 42P 6 R34 Q23 + 96P 9 R33 Q23 − 100P 12 R32 Q23 − 201P 2 R36 Q22 − 42P 5 R35 Q22 − 38P 8 R34 Q22 − 224P 11 R33 Q22 − 146P R37 Q21 − 109P 4 R36 Q21 − 84P 7 R35 Q21 − 82P 10 R34 Q21 + 186R38 Q20 + 112P 3 R37 Q20 + 32P 6 R36 Q20 − 124P 9 R35 Q20 − 30P 12 R34 Q20 + P 2 R38 Q19 + 134P 5 R37 Q19 + 120P 8 R36 Q19 + 104P 11 R35 Q19 − 54P R39 Q18 − 3P 4 R38 Q18 + 76P 7 R37 Q18 + 55P 10 R36 Q18 + 82R40 Q17 + 144P 3 R39 Q17 − 58P 6 R38 Q17 − 188P 9 R37 Q17 − 220P 12 R36 Q17 + 88P 2 R40 Q16 − 36P 5 R39 Q16 + 66P 8 R38 Q16 + 176P 11 R37 Q16 + 48P R41 Q15 − 118P 4 R40 Q15 + 128P 7 R39 Q15 + 162P 10 R38 Q15 + 170R42 Q14 + 80P 3 R41 Q14 + 119P 6 R40 Q14 − 108P 9 R39 Q14 − 240P 12 R38 Q14 − 68P 2 R42 Q13 − 40P 5 R41 Q13 − 45P 8 R40 Q13 − 118P R43 Q12 − 189P 4 R42 Q12 − 40P 7 R41 Q12 + 66P 10 R40 Q12 + 121R44 Q11 + 280P 3 R43 Q11 + 24P 6 R42 Q11 + 156P 9 R41 Q11 − 240P 12 R40 Q11 + 49P 2 R44 Q10 + 88P 5 R43 Q10 − 124P 8 R42 Q10 − 200P 11 R41 Q10 − 16P R45 Q9 − 176P 4 R44 Q9 + 56P 7 R43 Q9 − 245P 10 R42 Q9 +175R46 Q8 +8P 3 R45 Q8 −35P 6 R44 Q8 −22P 9 R43 Q8 +11P 2 R46 Q7 +46P 5 R45 Q7 − 141P 8 R44 Q7 + 52P R47 Q6 + 52P 4 R46 Q6 − 32P 7 R45 Q6 + 189R48 Q5 + 180P 3 R47 Q5 − 180P 6 R46 Q5 −159P 2 R48 Q4 −126P 5 R47 Q4 +4P R49 Q3 −270P 4 R48 Q3 +44R50 Q2 −56P 3 R49 Q2 − 174P 2 R50 Q − 34P R51 ) 1212 ϑ12 10Q71 +23R2 Q68 +10R4 Q65 +31R6 Q62 +44R8 Q59 +11R10 Q56 +32R12 Q53 +3R14 Q50 + 24 35 23R16 Q47 +30R18 Q44 +26R20 Q41 +50R22 Q38 +45R Q +23R26 Q32 +39R28 Q29 +5R32 Q23 +
34 20 36 17 38 14 40 11 31R Q + 11R Q + 12R Q + 12R Q ≡ Q59 (Q3 − R2 )6 (mod 59)

p22 (61t + 55) ≡ 0 (mod 61) 12ϑ Q14 + 16P 9 Q13 + 52R3 Q13 + 8P 3 R2 Q13 + 56P 6 RQ13 + 57P 2 R3 Q12 + 55P 5 R2 Q12 + 5P 8 RQ12 + 26P R4 Q11 + 44P 4 R3 Q11 + 52P 7 R2 Q11 + 25P 3 R4 Q10 + 20P 6 R3 Q10 + 48P 9 R2 Q10 + 21P 2 R5 Q9 + 6P 5 R4 Q9 + 43P 8 R3 Q9 + 45P R6 Q8 + 33P 4 R5 Q8 + 25P 7 R4 Q8 + 27R7 Q7 + 15P 3 R6 Q7 + 11P 6 R5 Q7 + 26P 9 R4 Q7 + 20P 2 R7 Q6 + 12P 5 R6 Q6 + 48P 8 R5 Q6 + 6P R8 Q5 + 54P 4 R7 Q5 + 7P 7 R6 Q5 + 50R9 Q4 + 10P 3 R8 Q4 + 58P 6 R7 Q4 + 15P 9 R6 Q4 + 5P 2 R9 Q3 + 6P 8 R7 Q3 +46P R10 Q2 +15P 4 R9
Q2 +48P 7 R8 Q2 +15R11 Q+2P 3 R10 Q+15P 6 R9 Q+18P 9 R8 Q+ 36P 2 R11 + 15P 5 R10 + 11P 8 R9 = (Q3 − R2 )6 − 61(4Q18 − 15P 2 Q17 − 20P 4 Q16 − 16P RQ16 − 32P 6 Q15 + 56R2 Q15 + 20P 3 RQ15 − 24P 8 Q14 − 36P 2 R2 Q14 + 18P 5 RQ14 − 16P 10 Q13 + 2P R3 Q13 + 39P 4 R2 Q13 − 24P 7 RQ13 + 45R4 Q12 − 44P 3 R3 Q12 + P 6 R2 Q12 + 18P 9 RQ12 + 27P 2 R4 Q11 − 30P 8 R2 Q11 + 46P R5 Q10 + 21P 4 R4 Q10 + 32P 7 R3 Q10 − 48P 10 R2 Q10 + 19R6 Q9 + 4P 3 R5 Q9 + 15P 6 R4 Q9 − 2P 9 R3 Q9 − 24P 2 R6 Q8 − 24P 5 R5 Q8 + 27P 8 R4 Q8 − 2P R7 Q7 + 39P 4 R6 Q7 + 12P 7 R5 Q7 − 26P 10 R4 Q7 + 57R8 Q6 − 4P 3 R7 Q6 + 33P 6 R6 Q6 − 28P 9 R5 Q6 + 6P 2 R8 Q5 − 48P 5 R7 Q5 + 18P 8 R6 Q5 − 10P R9 Q4 + 20P 4 R8 Q4 − 20P 7 R7 Q4 − 15P 10 R6 Q4 + 30R10 Q3 + 34P 6 R8 Q3 + 12P 9 R7 Q3 − 12P 2 R10 Q2 − 36P 8 R8 Q2 − 10P R11 Q + P 4 R10 Q − 8P 7 R9 Q − 18P 10 R8 Q + R12 − 40P 3 R11 − 15P 6 R10 − 10P 9 R9 )
1210 ϑ10 56qq 1 3 + 46qq 1 0rr2 + 30qq 7 rr4 + 22qq 4 rr6 + 2qqrr8 ≡ (Q3 − R2 )6 (mod 61)

p10 (67t + 61) ≡ 0 (mod 67) 12ϑ 3P Q17 + 41P 3 Q16 + 44RQ16 + 14P 2 RQ15 + 14P R2 Q14 + 59R3 Q13 + 17P 3 R2 Q13 + 60P 2 R3 Q12 +6P R4 Q11 +2R5 Q10 +55P 3 R4 Q10 +53P 2 R5 Q9 +42P R6 Q8 +55R7 Q7 +39P 3 R6 Q7 + 16P 2 R7 Q6 +32P R8 Q5 +19R9 Q4 +39P 3 R8 Q4 +13P 2 R9 Q3 +20P R10 Q2 +50R11 Q+49P 3 R10 Q+

33


62P 2 R11 = (Q3 − R2 )6 − 67(4Q18 − 41P 4 Q16 − 40P RQ16 + 58R2 Q15 + 28P 3 RQ15 + 15P 2 R2 Q14 − 46P R3 Q13 − 17P 4 R2 Q13 + 47R4 Q12 − 28P 3 R3 Q12 + 63P 2 R4 Q11 + 26P R5 Q10 − 55P 4 R4 Q10 + 36R6 Q9 −3P 2 R6 Q8 −14P R7 Q7 −39P 4 R6 Q7 +39R8 Q6 +28P 3 R7 Q6 −15P 2 R8 Q5 +8P R9 Q4 − 39P 4 R8 Q4 + 54R10 Q3 + 40P 3 R9 Q3 + 45P 2 R10 Q2 − 48P R11 Q − 49P 4 R10 Q + 3R12 − 60P 3 R11 )
124 ϑ4 49Q16 + 53R2 Q13 + 2R4 Q10 + 27R6 Q7 + 27R8 Q4 + 3R10 Q ≡ (Q3 − R2 )6 (mod 67) p6 (67t + 50) ≡ 0 (mod 67) 12ϑ 38P Q50 +27RQ49 +11P R2 Q47 +19R3 Q46 +57P R4 Q44 +49R5 Q43 +58R7 Q40 +4P R8 Q38 + 52R9 Q37 + 22P R10 Q35 + 56R11 Q34 + 25P R12 Q32 + 38R13 Q31 + 15P R14 Q29 + 5R15 Q28 + 58P R16 Q26 + 42R17 Q25 + 50P R18 Q23 + 2R19 Q22 + 3P R20 Q20 + 33R21 Q19 + 3P R22 Q17 + 4R23 Q16 + 47P R24 Q14 + 34R25 Q13 + 22P R26 Q11 + 45R27 Q10 + 30P R28 Q8 + 21R29 Q7 +
16P R30 Q5 + 58R31 Q4 + 44P R32 Q2 + 17R33 Q = (Q3 − R2 )17 − 67(3Q51 − 114P 2 Q50 + 34P RQ49 + 84R2 Q48 − 33P 2 R2 Q47 − 6P R3 Q46 + 77R4 Q45 − 171P 2 R4 Q44 + 2P R5 Q43 + 152R6 Q42 − 172P R7 Q40 + 216R8 Q39 − 12P 2 R8 Q38 −128P R9 Q37 +78R10 Q36 −66P 2 R10 Q35 −96P R11 Q34 +343R12 Q33 −75P 2 R12 Q32 − 48P R13 Q31 − 213R14 Q30 − 45P 2 R14 Q29 + 94P R15 Q28 + 436R16 Q27 − 174P 2 R16 Q26 + 44P R17 Q25 −296R18 Q24 −150P 2 R18 Q23 +68P R19 Q22 +355R20 Q21 −9P 2 R20 Q20 −90P R21 Q19 − 139R22 Q18 −9P 2 R22 Q17 +92P R23 Q16 +173R24 Q15 −141P 2 R24 Q14 −12P R25 Q13 +100R26 Q12 − 66P 2 R26 Q11 − 46P R27 Q10 + 92R28 Q9 − 90P 2 R28 Q8 − 6P R29 Q7 + 168R30 Q6 − 48P 2 R30 Q5 − 44P R31 Q4 + 65R32 Q3 − 132P 2 R32 Q2 − 46P R33 Q + R34 ) 122 ϑ2 29Q50 + 56R2 Q47 + 10R4 Q44 + 63R8 Q38 + 45R10 Q35 + 42R12 Q32 + 52R14 Q29 + 9R16 Q26
+ 17R18 Q23 + 64R20 Q20 + 64R22 Q17 + 20R24 Q14 + 45R26 Q11 + 37R28 Q8 + 51R30 Q5 + 23R32 Q2 ≡ (Q3 − R2 )17 (mod 67)

p4 (71t + 59) ≡ 0 (mod 71) 12ϑ 59RQ34 + 44R3 Q31 + 10R5 Q28 + 9R7 Q
25 + 57R9 Q22 + 7R11 Q19 + 5R13 Q16 + 51R15 Q13 + 13R17 Q10 + 31R19 Q7 + 14R21 Q4 + 53R23 Q = (Q3 − R2 )12 − 71(5Q36 − 118P RQ34 + 124R2 Q33 − 88P R3 Q31 + 82R4 Q30 − 20P R5 Q28 + 18R6 Q27 − 18P R7 Q25 + 63R8 Q24 − 114P R9 Q22 + 66R10 Q21 − 14P R11 Q19 + 26R12 Q18 − 10P R13 Q16 + 58R14 Q15 − 102P R15 Q13 + 63R16 Q12 − 26P R17 Q10 + 54R18 Q9 − 62P R19 Q7 + 38R20 Q6 − 28P R21 Q4 + 106R22 Q3 − 106P R23 Q + 3R24 ) p6 (71t + 53) ≡ 0 (mod 71) 12ϑ 60P Q53 + 49RQ52 + 15P R2 Q50 + 69R3 Q49 + 11P R4 Q47 + 36R5 Q46 + 54P R6 Q44 + 43R7 Q43 + 44P R8 Q41 + 58R9 Q40 + 44P R10 Q38 + 66R11 Q37 + 52P R12 Q35 + 53R13 Q34 + 23P R14 Q32 + 50R15 Q31 + 66P R16 Q29 + R17 Q28 + 56P R18 Q26 + 4R19 Q25 + 58P R20 Q23 + 30R21 Q22 + 62P R22 Q20 + 68R23 Q19 + 39P R24 Q17 + 55R25 Q16 + 63P R26 Q14 + 54R27 Q13 +
63P R28 Q11 +21R29 Q10 +64P R30 Q8 +69R31 Q7 +30P R32 Q5 +70R33 Q4 +51P R34 Q2 +53R35 Q = (Q3 − R2 )18 − 71(5Q54 − 180P 2 Q53 + 34P RQ52 + 161R2 Q51 − 45P 2 R2 Q50 − 162P R3 Q49 + 208R4 Q48 − 33P 2 R4 Q47 − 52P R5 Q46 + 108R6 Q45 − 162P 2 R6 Q44 + 34P R7 Q43 + 192R8 Q42 −132P 2 R8 Q41 −36P R9 Q40 +72R10 Q39 −132P 2 R10 Q38 −52P R11 Q37 +458R12 Q36 − 156P 2 R12 Q35 − 30P R13 Q34 − 283R14 Q33 − 69P 2 R14 Q32 − 20P R15 Q31 + 706R16 Q30 − 198P 2 R16 Q29 + 190P R17 Q28 − 676R18 Q27 − 168P 2 R18 Q26 + 168P R19 Q25 + 676R20 Q24 −

34

174P 2 R20 Q23 + 100P R21 Q22 − 278R22 Q21 − 186P 2 R22 Q20 − 56P R23 Q19 + 451R24 Q18 − 117P 2 R24 Q17 + 10P R25 Q16 + 53R26 Q15 − 189P 2 R26 Q14 + 36P R27 Q13 + 135R28 Q12 − 189P 2 R28 Q11 + 138P R29 Q10 + 182R30 Q9 − 192P 2 R30 Q8 − 98P R31 Q7 + 225R32 Q6 − 90P 2 R32 Q5 − 56P R33 Q4 + 173R34 Q3 − 153P 2 R34 Q2 − 154P R35 Q + 3R36 ) 122 ϑ2 11Q53 +56R2 Q50 +60R4 Q47 +17R6 Q44 +27R8 Q41 +27R10 Q38 +19R12 Q35 +48R14 Q32 + 5R16 Q29 + 15R18 Q26
+ 13R20 Q23 + 9R22 Q20 + 32R24 Q17 + 8R26 Q14 + 8R28 Q11 + 7R30 Q8 + 41R32 Q5 + 20R34 Q2 ≡ (Q3 − R2 )18 (mod 71) p8 (71t + 47) ≡ 0 (mod 71) 12ϑ 68P Q71 + 24RQ70 + 35P 2 RQ69 + 10P R2 Q68 + 14R3 Q67 + 24P 2 R3 Q66 + 16P R4 Q65 + 64R5 Q64 + 26P 2 R5 Q63 + 68P R6 Q62 + 25R7 Q61 + 62P 2 R7 Q60 + 11P R8 Q59 + 49R9 Q58 + 31P 2 R9 Q57 +52P R10 Q56 +17R11 Q55 +40P 2 R11 Q54 +21P R12 Q53 +64R13 Q52 +67P 2 R13 Q51 + 23P R14 Q50 + 22R15 Q49 + 18P 2 R15 Q48 + 35P R16 Q47 + 39R17 Q46 + 66P 2 R17 Q45 + 3P R18 Q44 + 42R19 Q43 + 21P 2 R19 Q42 + 35P R20 Q41 + 38R21 Q40 + 63P 2 R21 Q39 + 11P R22 Q38 + 68R23 Q37 + 58P 2 R23 Q36 +26P R24 Q35 +46R25 Q34 +42P 2 R25 Q33 +55P R26 Q32 +18R27 Q31 +6P 2 R27 Q30 + 36P R28 Q29 +46R29 Q28 +23P 2 R29 Q27 +52P R30 Q26 +23R31 Q25 +48P 2 R31 Q24 +30P R32 Q23 + 50R33 Q22 + 7P 2 R33 Q21 + 21P R34 Q20 + 37R35 Q19 + 47P 2 R35 Q18 + 25P R36 Q17 + 42R37 Q16 + 37P 2 R37 Q15 + 53P R38 Q14 + 61R39 Q13 + 5P 2 R39 Q12 + 52P R40 Q11 + 2R41 Q10 + 61P 2 R41 Q9 + 53P R42 Q
8 +R43 Q7 +36P 2 R43 Q6 +67P R44 Q5 +62R45 Q4 +62P 2 R45 Q3 +61P R46 Q2 +53R47 Q+ 22P 2 R47 = (Q3 − R2 )24 − 71(3Q72 − 270P 2 Q71 + 178P RQ70 + 98R2 Q69 − 140P 3 RQ69 + 102P 2 R2 Q68 − 12P R3 Q67 + 84R4 Q66 − 96P 3 R3 Q66 + 36P 2 R4 Q65 − 164P R5 Q64 + 218R6 Q63 − 104P 3 R5 Q63 − 144P 2 R6 Q62 + 146P R7 Q61 + 273R8 Q60 − 248P 3 R7 Q60 + 189P 2 R8 Q59 − 116P R9 Q58 − 422R10 Q57 − 124P 3 R9 Q57 − 72P 2 R10 Q56 + 118P R11 Q55 + 2019R12 Q54 − 160P 3 R11 Q54 + 111P 2 R12 Q53 − 166P R13 Q52 − 4659R14 Q51 − 268P 3 R13 Q51 + 123P 2 R14 Q50 + 24P R15 Q49 + 10476R16 Q48 − 72P 3 R15 Q48 + 3P 2 R16 Q47 − 58P R17 Q46 − 18247R18 Q45 − 264P 3 R17 Q45 + 189P 2 R18 Q44 − 102P R19 Q43 + 27793R20 Q42 − 84P 3 R19 Q42 + 21P 2 R20 Q41 − 50P R21 Q40 − 34939R22 Q39 − 252P 3 R21 Q39 + 207P 2 R22 Q38 − 196P R23 Q37 + 38326R24 Q36 − 232P 3 R23 Q36 + 102P 2 R24 Q35 − 12P R25 Q34 − 35027R26 Q33 − 168P 3 R25 Q33 − 129P 2 R26 Q32 + 112P R27 Q31 + 27768R28 Q30 − 24P 3 R27 Q30 − 78P 2 R28 Q29 + 6P R29 Q28 − 18282R30 Q27 − 92P 3 R29 Q27 − 48P 2 R30 Q26 + 66P R31 Q25 + 10531R32 Q24 − 192P 3 R31 Q24 − 36P 2 R32 Q23 − 102P R33 Q22 − 4703R34 Q21 − 28P 3 R33 Q21 + 63P 2 R34 Q20 − 48P R35 Q19 + 2067R36 Q18 − 188P 3 R35 Q18 + 63P 2 R36 Q17 + 26P R37 Q16 − 359R38 Q15 − 148P 3 R37 Q15 − 165P 2 R38 Q14 − 28P R39 Q13 + 202R40 Q12 −20P 3 R39 Q12 +6P 2 R40 Q11 +214P R41 Q10 −23R42 Q9 −244P 3 R41 Q9 −51P 2 R42 Q8 + 270P R43 Q7 +241R44 Q6 −144P 3 R43 Q6 −21P 2 R44 Q5 +8P R45 Q4 +225R46 Q3 −248P 3 R45 Q3 − 147P 2 R46 Q2 − 206P R47 Q + 3R48 − 88P 3 R47 ) 123 ϑ3 53RQ69 + 12R3 Q66 + 13R5 Q63 + 31R7 Q60 + 51R9 Q57 + 20R11 Q54 + 69R13 Q51 + 9R15 Q48 + 33R17 Q45 + 46R19 Q42 + 67R21 Q39 + 29R23 Q36 + 21R25 Q33 + 3R27 Q30 + 47R29 Q27 + 24 33 21 24R31 Q Q + 59R35 Q18 + 54R37 Q15 + 38R39 Q12 + 66R41 Q9 + 18R43 Q6 + 31R45 Q3 +
+ 39R 47 3 11R ≡ (Q − R2 )24 (mod 71) p10 (71t + 41) ≡ 0 (mod 71) 12ϑ 46P Q89 + 9P 3 Q88 + 4RQ88 + 70P 2 RQ87 + 21P R2 Q86 + 13R3 Q85 + 14P 3 R2 Q85 + 43P 2 R3 Q84 + 55P R4 Q83 + 2R5 Q82 + 49P 3 R4 Q82 + 26P 2 R5 Q81 + 24P R6 Q80 + 23R7 Q79 + 44P 2 R7 Q78 + 60P R8 Q77 + 5R9 Q76 + 66P 3 R8 Q76 + 52P 2 R9 Q75 + 68P R10 Q74 + 46R11 Q73 + 12P 3 R10 Q73 +47P 2 R11 Q72 +9P R12 Q71 +27R13 Q70 +22P 3 R12 Q70 +17P 2 R13 Q69 +20P R14 Q68 +

35

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R56 Q5 + 67R57 Q4 + 53P 3 R56 Q4 + 25P 2 R57 Q3 + 5P R58 Q2 + 53R59 Q + 6P 3 R58 Q + 24P 2 R59 = (Q3 − R2 )30 − 71(Q90 − 225P 2 Q89 − 45P 4 Q88 + 216P RQ88 + 23R2 Q87 − 304P 3 RQ87 + 249P 2 R2 Q86 +56P R3 Q85 −70P 4 R2 Q85 +70R4 Q84 −132P 3 R3 Q84 −60P 2 R4 Q83 +260P R5 Q82 − 245P 4 R4 Q82 −34R6 Q81 +96P 3 R5 Q81 +24P 2 R6 Q80 +34P R7 Q79 +493R8 Q78 −176P 3 R7 Q78 − 66P 2 R8 Q77 + 294P R9 Q76 − 330P 4 R8 Q76 − 1942R10 Q75 + 32P 3 R9 Q75 − 78P 2 R10 Q74 + 62P R11 Q73 − 60P 4 R10 Q73 + 8582R12 Q72 − 164P 3 R11 Q72 + 165P 2 R12 Q71 − 76P R13 Q70 − 110P 4 R12 Q70 − 28550R14 Q69 + 24P 3 R13 Q69 − 21P 2 R14 Q68 + 106P R15 Q67 − 95P 4 R14 Q67 + 82579R16 Q66 + 100P 3 R15 Q66 − 252P 2 R16 Q65 + 18P R17 Q64 − 290P 4 R16 Q64 − 201168R18 Q63 + 32P 3 R17 Q63 − 132P 2 R18 Q62 − 32P R19 Q61 − 110P 4 R18 Q61 + 423443R20 Q60 + 152P 3 R19 Q60 − 219P 2 R20 Q59 + 148P R21 Q58 − 315P 4 R20 Q58 − 769278R22 Q57 + 164P 3 R21 Q57 − 75P 2 R22 Q56 + 106P R23 Q55 − 265P 4 R22 Q55 + 1218410R24 Q54 + 88P 3 R23 Q54 − 15P 2 R24 Q53 − 124P R25 Q52 − 220P 4 R24 Q52 − 1686457R26 Q51 +144P 3 R25 Q51 − 201P 2 R26 Q50 − 64P R27 Q49 − 80P 4 R26 Q49 + 2048383R28 Q48 −36P 3 R27 Q48 +243P 2 R28 Q47 −36P R29 Q46 −265P 4 R28 Q46 −2184699R30 Q45 + 44P 3 R29 Q45 +129P 2 R30 Q44 +186P R31 Q43 −340P 4 R30 Q43 +2048374R32 Q42 +116P 3 R31 Q42 − 51P 2 R32 Q41 − 96P R33 Q40 − 290P 4 R32 Q40 − 1686583R34 Q39 + 12P 3 R33 Q39 + 144P 2 R34 Q38 + 54P R35 Q37 −125P 4 R34 Q37 +1218418R36 Q36 −148P 3 R35 Q36 +192P 2 R36 Q35 −224P R37 Q34 − 215P 4 R36 Q34 − 769224R38 Q33 − 20P 3 R37 Q33 + 312P 2 R38 Q32 − 70P R39 Q31 − 270P 4 R38 Q31 + 423258R40 Q30 +291P 2 R40 Q29 +58P R41 Q28 −350P 4 R40 Q28 −201267R42 Q27 −104P 3 R41 Q27 + 9P 2 R42 Q26 − 90P R43 Q25 − 150P 4 R42 Q25 + 82669R44 Q24 + 108P 3 R43 Q24 − 54P 2 R44 Q23 − 22P R45 Q22 − 230P 4 R44 Q22 − 28410R46 Q21 + 32P 3 R45 Q21 + 96P 2 R46 Q20 − 18P R47 Q19 − 200P 4 R46 Q19 + 8463R48 Q18 − 148P 3 R47 Q18 − 186P 2 R48 Q17 + 48P R49 Q16 − 80P 4 R48 Q16 − 1929R50 Q15 + 156P 3 R49 Q15 + 186P 2 R50 Q14 + 180P R51 Q13 − 215P 4 R50 Q13 + 506R52 Q12 + 20P 3 R51 Q12 + 48P 2 R52 Q11 + 12P R53 Q10 − 295P 4 R52 Q10 + 31R54 Q9 − 284P 3 R53 Q9 − 72P 2 R54 Q8 + 208P R55 Q7 − 15P 4 R54 Q7 + 336R56 Q6 + 252P 3 R55 Q6 − 174P 2 R56 Q5 − 296P R57 Q4 −265P 4 R56 Q4 +279R58 Q3 −84P 3 R57 Q3 +99P 2 R58 Q2 −266P R59 Q−30P 4 R58 Q+ 3R60 − 120P 3 R59 ) 124 ϑ4 34Q88 +45R2 Q85 +51R4 Q82 +60R8 Q76 +69R10 Q73 +20R12 Q70 +56R14 Q67 +14R16 Q64 + 20R18 Q61 + 25R20 Q58 + 3R22 Q55 + 40R24 Q52 + 21R26 Q49 + 3R28 Q46 + 36R30 Q43 + 14R32 Q40 + 55R34 Q37 +52R36 Q34 +62R38 Q31 +12R40 Q28 +66R42 Q
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40

124P 5 R41 Q28 + 37P 8 R40 Q28 + 196P 11 R39 Q28 + 96P R43 Q27 + 12P 4 R42 Q27 − 20P 7 R41 Q27 − 128P 10 R40 Q27 + 182R44 Q26 − 88P 3 R43 Q26 + 56P 6 R42 Q26 + 162P 9 R41 Q26 − 260P 12 R40 Q26 − 26P 2 R44 Q25 − 92P 5 R43 Q25 + 90P 8 R42 Q25 + 32P 11 R41 Q25 − 142P R45 Q24 + 58P 4 R44 Q24 + 76P 7 R43 Q24 + 56P 10 R42 Q24 + 322R46 Q23 + 168P 3 R45 Q23 + 37P 6 R44 Q23 − 36P 9 R43 Q23 − 185P 12 R42 Q23 + 10P 2 R46 Q22 − 86P 5 R45 Q22 − 129P 8 R44 Q22 − 104P 11 R43 Q22 − 58P R47 Q21 − 160P 4 R46 Q21 + 260P 7 R45 Q21 + 96P 10 R44 Q21 + 202R48 Q20 + 84P 3 R47 Q20 − 15P 6 R46 Q20 + 102P 9 R45 Q20 − 180P 12 R44 Q20 − 277P 2 R48 Q19 + 268P 5 R47 Q19 + 84P 8 R46 Q19 + 4P 11 R45 Q19 − 84P R49 Q18 − 212P 4 R48 Q18 + 276P 7 R47 Q18 − 109P 10 R46 Q18 + 233R50 Q17 + 44P 3 R49 Q17 − 187P 6 R48 Q17 + 2P 9 R47 Q17 − 140P 12 R46 Q17 + 277P 2 R50 Q16 + 206P 5 R49 Q16 + 2P 8 R48 Q16 − 164P 11 R47 Q16 − 200P R51 Q15 + 133P 4 R50 Q15 + 8P 7 R49 Q15 − 242P 10 R48 Q15 + 219R52 Q14 − 132P 3 R51 Q14 + 113P 6 R50 Q14 − 128P 9 R49 Q14 − 80P 12 R48 Q14 + 92P 2 R52 Q13 − 10P 5 R51 Q13 + 213P 8 R50 Q13 + 216P 11 R49 Q13 − 158P R53 Q12 + 64P 4 R52 Q12 − 152P 7 R51 Q12 − 43P 10 R50 Q12 + 69R54 Q11 + 160P 3 R53 Q11 + 7P 6 R52 Q11 − 124P 9 R51 Q11 − 300P 12 R50 Q11 + 28P 2 R54 Q10 − 228P 5 R53 Q10 + 187P 8 R52 Q10 − 28P 11 R51 Q10 + 172P R55 Q9 − 2P 4 R54 Q9 + 92P 7 R53 Q9 − 229P 10 R52 Q9 + 63R56 Q8 + 240P 3 R55 Q8 + 172P 6 R54 Q8 − 314P 9 R53 Q8 − 170P 2 R56 Q7 + 12P 5 R55 Q7 − 167P 8 R54 Q7 − 34P R57 Q6 − 227P 4 R56 Q6 − 228P 7 R55 Q6 + 34R58 Q5 + 72P 3 R57 Q5 −238P 6 R56 Q5 +258P 2 R58 Q4 −42P 5 R57 Q4 +42P R59 Q3 −110P 4 R58 Q3 +94R60 Q2 − 268P 3 R59 Q2 − 66P 2 R60 Q − 92P R61 ) 1212 ϑ12 43Q86 +6R2 Q83 +59R4 Q80 +17R6 Q77 +34R8 Q74 +65R10 Q71 +37R12 Q68 +33R14 Q65 + 33R16 Q62 +60R18 Q59 +13R20 Q56 +47R22 Q53 +44R24 Q50 +27R26 Q47 +65R28 Q44 +58R30 Q41 + 42R32 Q38 +39R34 Q35
+16R36 Q32 +52R38 Q29 +25R40 Q26 +41R42 Q23 +61R44 Q20 +8R46 Q17 + 35R48 Q14 + 7R50 Q11 ≡ Q71 (Q3 − R2 )7 (mod 71)

p10 (79t + 72) ≡ 0 (mod 79) 12ϑ 69P Q20 + 20P 3 Q19 + 41RQ19 + 13P 2 RQ18 + 55P R2 Q17 + 70R3 Q16 + 39P 3 R2 Q16 + 31P 2 R3 Q15 + 61P R4 Q14 + 27R5 Q13 + 52P 3 R4 Q13 + 58P 2 R5 Q12 + 38P R6 Q11 + 6R7 Q10 + 45P 3 R6 Q10 + 32P 2 R7 Q9 + 7P R8 Q8 + 65R9 Q7 + 29P 3 R8 Q7 + 49P 2 R9 Q6 + 15P R
10 Q5 + 18R11 Q4 + 36P 3 R10 Q4 + 60P 2 R11 Q3 + 41P R12 Q2 + 20R13 Q + 6P 3 R12 Q + 24P 2 R13 = (Q3 − R2 )7 − 79(4Q21 − 69P 2 Q20 − 20P 4 Q19 + 36P RQ19 + 56R2 Q18 + 12P 3 RQ18 − 36P 2 R2 Q17 − 6P R3 Q16 − 39P 4 R2 Q16 + 68R4 Q15 + 16P 3 R3 Q15 − 15P 2 R4 Q14 + 34P R5 Q13 − 52P 4 R4 Q13 + 21R6 Q12 − 4P 3 R5 Q12 + 15P 2 R6 Q11 + 20P R7 Q10 − 45P 4 R6 Q10 + 48R8 Q9 + 8P 3 R7 Q9 + 42P 2 R8 Q8 − 52P R9 Q7 − 29P 4 R8 Q7 + 38R10 Q6 − 12P 3 R9 Q6 + 51P 2 R10 Q5 + 24P R11 Q4 − 36P 4 R10 Q4 + 24R12 Q3 − 48P 3 R11 Q3 − 9P 2 R12 Q2 − 16P R13 Q − 6P 4 R12 Q + R14 − 24P 3 R13 )
124 ϑ4 23Q19 + 33R2 Q16 + 44R4 Q13 + 32R6 Q10 + 61R8 Q7 + 73R10 Q4 + 78R12 Q ≡ (Q3 − R2 )7 (mod 79) p6 (79t + 59) ≡ 0 (mod 79) 12ϑ 8P Q59 +38RQ58 +17P R2 Q56 +59R3 Q55 +38P R4 Q53 +39R5 Q52 +56P R6 Q50 +17R7 Q49 + 32P R8 Q47 + 25R9 Q46 + 70P R10 Q44 + 66R11 Q43 + 69P R12 Q41 + 16R13 Q40 + 31P R14 Q38 + 68R15 Q37 + P R16 Q35 + 7R17 Q34 + 39P R18 Q32 + 17R19 Q31 + 54P R20 Q29 + 10R21 Q28 + 40P R22 Q26 + 34R23 Q25 + 69P R24 Q23 + 54R25 Q22 + 66P R26 Q20 + 45R27 Q19 + 69P R28 Q17 + R29 Q16 +13P R30 Q14 +29R31 Q13
+5P R32 Q11 +3R33 Q10 +76P R34 Q8 +6R35 Q7 +29P R36 Q5 + 10R37 Q4 + 37P R38 Q2 + 59R39 Q = (Q3 − R2 )20 − 79(3Q60 − 24P 2 Q59 − 88P RQ58 + 125R2 Q57 − 51P 2 R2 Q56 −

41

118P R3 Q55 +182R4 Q54 −114P 2 R4 Q53 +10P R5 Q52 +98R6 Q51 −168P 2 R6 Q50 +110P R7 Q49 + 121R8 Q48 − 96P 2 R8 Q47 + 54P R9 Q46 − 82R10 Q45 − 210P 2 R10 Q44 + 20P R11 Q43 + 651R12 Q42 − 207P 2 R12 Q41 + 128P R13 Q40 − 871R14 Q39 − 93P 2 R14 Q38 − 144P R15 Q37 + 1731R16 Q36 − 3P 2 R16 Q35 + 34P R17 Q34 − 2089R18 Q33 − 117P 2 R18 Q32 + 94P R19 Q31 + 2382R20 Q30 − 162P 2 R20 Q29 + 116P R21 Q28 − 2052R22 Q27 − 120P 2 R22 Q26 + 76P R23 Q25 + 1741R24 Q24 − 207P 2 R24 Q23 + 48P R25 Q22 − 828R26 Q21 − 198P 2 R26 Q20 + 78P R27 Q19 + 537R28 Q18 − 207P 2 R28 Q17 + 86P R29 Q16 − 127R30 Q15 − 39P 2 R30 Q14 − 66P R31 Q13 + 88R32 Q12 − 15P 2 R32 Q11 + 190P R33 Q10 + 4R34 Q9 − 228P 2 R34 Q8 + 92P R35 Q7 + 33R36 Q6 − 87P 2 R36 Q5 + 84P R37 Q4 + 177R38 Q3 − 111P 2 R38 Q2 − 174P R39 Q + 3R40 ) 122 ϑ2 71Q59 + 62R2 Q56 + 41R4 Q53 + 23R6 Q50 + 47R8 Q47 + 9R10 Q44 + 10R12 Q41 + 48R14 Q38 + 24 23 26 20 78R16 Q35 +40R18 Q32 +25R20 Q29 +39R22 Q26 Q +10R28 Q17 +66R30 Q14 +
+10R 3Q +13R 32 11 34 8 36 5 38 2 2 20 74R Q + 3R Q + 50R Q + 42R Q ≡ (Q − R ) (mod 79)

p4 (83t + 69) ≡ 0 (mod 83) 12ϑ 69RQ40 + 33R3 Q37 + 14R5 Q34 + 74R7 Q31 + 59R9 Q28 + 61R11
Q25 + 61R13 Q22 + 8R15 Q19 + 24R17 Q16 + 7R19 Q13 + 3R21 Q10 + 15R23 Q7 + 6R25 Q4 + 62R27 Q = (Q3 − R2 )14 − 83(5Q42 − 138P RQ40 + 140R2 Q39 − 66P R3 Q37 + 65R4 Q36 − 28P R5 Q34 + 56R6 Q33 − 148P R7 Q31 + 161R8 Q30 − 118P R9 Q28 + 104R10 Q27 − 122P R11 Q25 + 167R12 Q24 − 122P R13 Q22 + 32R14 Q21 − 16P R15 Q19 + 73R16 Q18 − 48P R17 Q16 + 4R18 Q15 − 14P R19 Q13 + 21R20 Q12 − 6P R21 Q10 + 22R22 Q9 − 30P R23 Q7 + 17R24 Q6 − 12P R25 Q4 + 122R26 Q3 − 124P R27 Q + 3R28 ) p6 (83t + 62) ≡ 0 (mod 83) 12ϑ 21P Q62 + 24RQ61 + 66P R2 Q59 + 18R3 Q58 + 78P R4 Q56 + 67R5 Q55 + 3P R6 Q53 + 66R7 Q52 + 40P R8 Q50 + 20R9 Q49 + 33P R10 Q47 + 12R11 Q46 + 80P R12 Q44 + 39R13 Q43 + 69P R14 Q41 + 63R15 Q40 + 41P R16 Q38 + 6R17 Q37 + 73P R18 Q35 + 2R19 Q34 + 2P R20 Q32 + 6R21 Q31 + 22P R22 Q29 + 76R23 Q28 + 22P R24 Q26 + 63R25 Q25 + 15P R26 Q23 + 29R27 Q22 + 30P R28 Q20 + 20R29 Q19 + 79P R30 Q17 + 81R31 Q16 + 4P R32 Q14 + 19R33 Q13 + 23P
R34 Q11 + 64R35 Q10 + 74P R36 Q8 + 30R37 Q7 + 56P R38 Q5 + 7R39 Q4 + 13P R40 Q2 + 21R41 Q = (Q3 − R2 )21 − 83(2Q63 − 63P 2 Q62 + 75R2 Q60 − 198P 2 R2 Q59 + 156P R3 Q58 + 78R4 Q57 − 234P 2 R4 Q56 +10P R5 Q55 +195R6 Q54 −9P 2 R6 Q53 −168P R7 Q52 +251R8 Q51 −120P 2 R8 Q50 + 60P R9 Q49 − 188R10 Q48 − 99P 2 R10 Q47 + 108P R11 Q46 + 718R12 Q45 − 240P 2 R12 Q44 + 122P R13 Q43 − 1251R14 Q42 − 207P 2 R14 Q41 − 6P R15 Q40 + 2581R16 Q39 − 123P 2 R16 Q38 + 152P R17 Q37 − 3527R18 Q36 − 219P 2 R18 Q35 + 120P R19 Q34 + 4262R20 Q33 − 6P 2 R20 Q32 + 20P R21 Q31 − 4114R22 Q30 − 66P 2 R22 Q29 − 160P R23 Q28 + 3758R24 Q27 − 66P 2 R24 Q26 − 134P R25 Q25 − 2319R26 Q24 − 45P 2 R26 Q23 − 10P R27 Q22 + 1474R28 Q21 − 90P 2 R28 Q20 + 140P R29 Q19 − 453R30 Q18 − 237P 2 R30 Q17 − 170P R31 Q16 + 353R32 Q15 − 12P 2 R32 Q14 + 2P R33 Q13 +102R34 Q12 −69P 2 R34 Q11 +12P R35 Q10 +128R36 Q9 −222P 2 R36 Q8 +92P R37 Q7 + 28R38 Q6 − 168P 2 R38 Q5 + 30P R39 Q4 + 64R40 Q3 − 39P 2 R40 Q2 − 62P R41 Q + R42 ) 122 ϑ2 62Q62 + 17R2 Q59 + 5R4 Q56 + 80R6 Q53 + 43R8 Q50 + 50R10 Q47 + 3R12 Q44 + 14R14 Q41 + 42R16 Q38 +10R18 Q35 +81R20 Q32 +61R22 Q29 +61R24 Q26 +68R26 Q23 +53R28 Q20 +4R30 Q17 +
79R32 Q14 + 60R34 Q11 + 9R36 Q8 + 27R38 Q5 + 70R40 Q2 ≡ (Q3 − R2 )21 (mod 83) p8 (83t + 55) ≡ 0 (mod 83)

42

12ϑ 42P Q83 +62RQ82 +7P 2 RQ81 +23P R2 Q80 +74R3 Q79 +9P 2 R3 Q78 +10P R4 Q77 +21R5 Q76 + 34P 2 R5 Q75 + 29P R6 Q74 + 34R7 Q73 + 76P 2 R7 Q72 + 20P R8 Q71 + 13R9 Q70 + 50P 2 R9 Q69 + 12P R10 Q68 +63R11 Q67 +25P 2 R11 Q66 +71P R12 Q65 +55R13 Q64 +11P 2 R13 Q63 +54P R14 Q62 + 3R15 Q61 + 3P 2 R15 Q60 + 68P R16 Q59 + 80R17 Q58 + 5P 2 R17 Q57 + 48P R18 Q56 + 20R19 Q55 + 21P 2 R19 Q54 +75P R20 Q53 +18R21 Q52 +14P 2 R21 Q51 +28P R22 Q50 +13R23 Q49 +18P 2 R23 Q48 + 6P R24 Q47 + 36R25 Q46 + 60P 2 R25 Q45 + 18P R26 Q44 + 76R27 Q43 + 81P 2 R27 Q42 + 71P R28 Q41 + 22R29 Q40 + 82P 2 R29 Q39 + 49P R30 Q38 + 43R31 Q37 + 31P 2 R31 Q36 + 72P R32 Q35 + 63R33 Q34 + 8P 2 R33 Q33 +74P R34 Q32 +81R35 Q31 +72P 2 R35 Q30 +40P R36 Q29 +10R37 Q28 +48P 2 R37 Q27 + 23P R38 Q26 + 67R39 Q25 + P 2 R39 Q24 + 39P R40 Q23 + 62R41 Q22 + 19P 2 R41 Q21 + 50P R42 Q20 + 48R43 Q19 + 68P 2 R43 Q18 + 35P R44 Q17 + 30R45 Q16 + 61P 2 R45 Q15 + 11P R46 Q14 + 70R47 Q13 + 68P 2 R47 Q12 + 29P R48 Q11 + 50R49 Q10 + 48P 2 R49 Q9 + 19P R50 Q8 + 57R
51 Q7 + 37P 2 R51 Q6 + 45P R52 Q5 + 79R53 Q4 + 78P 2 R53 Q3 + 50P R54 Q2 + 62R55 Q + 28P 2 R55 = (Q3 − R2 )28 − 83(5Q84 − 168P 2 Q83 − 78P RQ82 + 261R2 Q81 − 28P 3 RQ81 − 63P 2 R2 Q80 − 206P R3 Q79 + 294R4 Q78 − 36P 3 R3 Q78 + 6P 2 R4 Q77 − 34P R5 Q76 + 55R6 Q75 − 136P 3 R5 Q75 + 45P 2 R6 Q74 −20P R7 Q73 +375R8 Q72 −304P 3 R7 Q72 +216P 2 R8 Q71 +26P R9 Q70 −1090R10 Q69 − 200P 3 R9 Q69 + 138P 2 R10 Q68 − 152P R11 Q67 + 4795R12 Q66 − 100P 3 R11 Q66 − 195P 2 R12 Q65 + 56P R13 Q64 − 14092R14 Q63 − 44P 3 R13 Q63 − 180P 2 R14 Q62 + 228P R15 Q61 + 37555R16 Q60 − 12P 3 R15 Q60 − 258P 2 R16 Q59 − 66P R17 Q58 − 82964R18 Q57 − 20P 3 R17 Q57 − 150P 2 R18 Q56 + 158P R19 Q55 + 158191R20 Q54 − 84P 3 R19 Q54 − 225P 2 R20 Q53 + 164P R21 Q52 − 258658R22 Q51 − 56P 3 R21 Q51 − 48P 2 R22 Q50 + 26P R23 Q49 + 366623R24 Q48 − 72P 3 R23 Q48 + 126P 2 R24 Q47 − 96P R25 Q46 − 450882R26 Q45 − 240P 3 R25 Q45 + 216P 2 R26 Q44 − 122P R27 Q43 + 483537R28 Q42 − 324P 3 R27 Q42 + 51P 2 R28 Q41 + 160P R29 Q40 − 450971R30 Q39 − 328P 3 R29 Q39 + 27P 2 R30 Q38 + 84P R31 Q37 + 366755R32 Q36 − 124P 3 R31 Q36 − 216P 2 R32 Q35 + 50P R33 Q34 − 258416R34 Q33 − 32P 3 R33 Q33 − 102P 2 R34 Q32 − 106P R35 Q31 + 158258R36 Q30 − 288P 3 R35 Q30 + 72P 2 R36 Q29 + 80P R37 Q28 − 83013R38 Q27 − 192P 3 R37 Q27 − 27P 2 R38 Q26 − 128P R39 Q25 + 37712R40 Q24 − 4P 3 R39 Q24 − 99P 2 R40 Q23 − 54P R41 Q22 − 14050R42 Q21 − 76P 3 R41 Q21 + 30P 2 R42 Q20 − 32P R43 Q19 + 4681R44 Q18 − 272P 3 R43 Q18 + 117P 2 R44 Q17 − 54P R45 Q16 − 923R46 Q15 − 244P 3 R45 Q15 + 231P 2 R46 Q14 − 172P R47 Q13 + 468R48 Q12 − 272P 3 R47 Q12 + 93P 2 R48 Q11 − 116P R49 Q10 +195R50 Q9 −192P 3 R49 Q9 +81P 2 R50 Q8 −52P R51 Q7 +327R52 Q6 −148P 3 R51 Q6 + 129P 2 R52 Q5 − 110P R53 Q4 + 262R54 Q3 − 312P 3 R53 Q3 − 78P 2 R54 Q2 − 244P R55 Q + 3R56 − 112P 3 R55 ) 123 ϑ3 45RQ81 +46R3 Q78 +17R5 Q75 +38R7 Q72 +25R9 Q69 +54R11 Q66 +47R13 Q63 +43R15 Q60 + 44R17 Q57 + 52R19 Q54 + 7R21 Q51 + 9R23 Q48 + 30R25 Q45 + 82R27 Q42 + 41R29 Q39 + 57R31 Q36 + 24 41 21 43 18 4R33 Q33 +36R35 Q30 +24R37 Q27 +42R39 Q Q +72R45 Q15 +34R47 Q12 +
+51R3 Q 2 +34R 49 9 51 6 53 3 55 28 24R Q + 60R Q + 39R Q + 14R ≡ (Q − R ) (mod 83) p10 (83t + 48) ≡ 0 (mod 83) 12ϑ 77P Q104 + 72P 3 Q103 + 70RQ103 + 45P 2 RQ102 + 52P R2 Q101 + 43R3 Q100 + P 3 R2 Q100 + 60P 2 R3 Q99 + 57R5 Q97 + 55P 3 R4 Q97 + 74P 2 R5 Q96 + 26P R6 Q95 + 14R7 Q94 + 41P 3 R6 Q94 + 47P 2 R7 Q93 + 49P R8 Q92 + 74R9 Q91 + 17P 3 R8 Q91 + 26P 2 R9 Q90 + 26P R10 Q89 + 3R11 Q88 + 55P 3 R10 Q88 + 69P 2 R11 Q87 + 76P R12 Q86 + 13R13 Q85 + 56P 3 R12 Q85 + 58P 2 R13 Q84 + 7P R14 Q83 + 59R15 Q82 + 25P 3 R14 Q82 + 53P 2 R15 Q81 + 31P R16 Q80 + 6R17 Q79 + 82P 3 R16 Q79 + 17P 2 R17 Q78 +74P R18 Q77 +47R19 Q76 +10P 3 R18 Q76 +71P 2 R19 Q75 +39P R20 Q74 +24R21 Q73 + 5P 3 R20 Q73 +35P 2 R21 Q72 +27P R22 Q71 +5R23 Q70 +59P 3 R22 Q70 +65P 2 R23 Q69 +18P R24 Q68 + 79R25 Q67 +50P 3 R24 Q67 +39P 2 R25 Q66 +67P R26 Q65 +10R27 Q64 +33P 3 R26 Q64 +13P 2 R27 Q63 + 7P R28 Q62 +57P 3 R28 Q61 +17P 2 R29 Q60 +4P R30 Q59 +55R31 Q58 +69P 3 R30 Q58 +6P 2 R31 Q57 + 43P R32 Q56 +47R33 Q55 +23P 3 R32 Q55 +33P 2 R33 Q54 +39P R34 Q53 +7R35 Q52 +49P 3 R34 Q52 +

43

76P 2 R35 Q51 +3P R36 Q50 +41R37 Q49 +50P 3 R36 Q49 +17P 2 R37 Q48 +52P R38 Q47 +82R39 Q46 + 39P 3 R38 Q46 +58P 2 R39 Q45 +2P R40 Q44 +3R41 Q43 +7P 3 R40 Q43 +55P 2 R41 Q42 +15P R42 Q41 + 80R43 Q40 +32P 3 R42 Q40 +45P 2 R43 Q39 +12P R44 Q38 +76R45 Q37 +49P 3 R44 Q37 +63P 2 R45 Q36 + 10P R46 Q35 +39R47 Q34 +35P 3 R46 Q34 +52P 2 R47 Q33 +7P R48 Q32 +46R49 Q31 +24P 3 R48 Q31 + 38P 2 R49 Q30 +52P R50 Q29 +30R51 Q28 +14P 3 R50 Q28 +7P 2 R51 Q27 +82P R52 Q26 +46R53 Q25 + 49P 3 R52 Q25 + 35P 2 R53 Q24 + 20P R54 Q23 + 65R55 Q22 + 79P 3 R54 Q22 + 77P 2 R55 Q21 + 69P R56 Q20 +41R57 Q19 +45P 3 R56 Q19 +59P 2 R57 Q18 +34P R58 Q17 +46R59 Q16 +13P 3 R58 Q16 + 61P 2 R59 Q15 + P R60 Q14 + 30R61 Q13 + 11P 3 R60 Q13 + 55P 2 R61 Q12 + 23P R62 Q11 + 5R63 Q10 + 68P 3 R62 Q10 + 33P 2 R63 Q9 + 45P R64 Q8 + 6R65 Q7 + P 3 R64 Q7 + 54P 2 R65 Q6 + 15P R
66 Q5 + 13R67 Q4 + 3P 3 R66 Q4 + 47P 2 R67 Q3 + 27P R68 Q2 + 21R69 Q + 12P 3 R68 Q + 48P 2 R69 = (Q3 − R2 )35 − 83(6Q105 − 381P 2 Q104 − 360P 4 Q103 + 42P RQ103 + 357R2 Q102 + 132P 3 RQ102 − 27P 2 R2 Q101 + 38P R3 Q100 − 5P 4 R2 Q100 + 235R4 Q99 − 280P 3 R3 Q99 + 315P 2 R4 Q98 − 274P R5 Q97 − 275P 4 R4 Q97 + 195R6 Q96 − 96P 3 R5 Q96 + 237P 2 R6 Q95 + 78P R7 Q94 − 205P 4 R6 Q94 + 743R8 Q93 − 40P 3 R7 Q93 − 18P 2 R8 Q92 − 136P R9 Q91 − 85P 4 R8 Q91 − 3584R10 Q90 − 16P 3 R9 Q90 + 39P 2 R10 Q89 + 164P R11 Q88 − 275P 4 R10 Q88 + 19582R12 Q87 − 64P 3 R11 Q87 − 36P 2 R12 Q86 + 258P R13 Q85 − 280P 4 R12 Q85 − 80901R14 Q84 − 36P 3 R13 Q84 + 258P 2 R14 Q83 − 232P R15 Q82 − 125P 4 R14 Q82 + 283805R16 Q81 − 72P 3 R15 Q81 + 75P 2 R16 Q80 + 186P R17 Q79 − 410P 4 R16 Q79 − 850604R18 Q78 + 240P 3 R17 Q78 − 210P 2 R18 Q77 + 96P R19 Q76 − 50P 4 R18 Q76 + 2212009R20 Q75 − 312P 3 R19 Q75 + 114P 2 R20 Q74 + 62P R21 Q73 − 25P 4 R20 Q73 − 5026725R22 Q72 − 64P 3 R21 Q72 + 96P 2 R22 Q71 + 100P R23 Q70 − 295P 4 R22 Q70 + 10053796R24 Q69 − 40P 3 R23 Q69 + 198P 2 R24 Q68 − 212P R25 Q67 − 250P 4 R24 Q67 − 17786927R26 Q66 + 28P 3 R25 Q66 − 186P 2 R26 Q65 + 174P R27 Q64 − 165P 4 R26 Q64 + 27951349R28 Q63 + 152P 3 R27 Q63 + 42P 2 R28 Q62 + 30P R29 Q61 − 285P 4 R28 Q61 − 39131722R30 Q60 + 232P 3 R29 Q60 + 45P 2 R30 Q59 − 166P R31 Q58 − 345P 4 R30 Q58 + 48915073R32 Q57 + 216P 3 R31 Q57 − 120P 2 R32 Q56 − 24P R33 Q55 − 115P 4 R32 Q55 − 54669347R34 Q54 + 16P 3 R33 Q54 + 84P 2 R34 Q53 + 74P R35 Q52 − 245P 4 R34 Q52 + 54669617R36 Q51 − 128P 3 R35 Q51 + 219P 2 R36 Q50 − 56P R37 Q49 − 250P 4 R36 Q49 − 48914478R38 Q48 + 140P 3 R37 Q48 − 57P 2 R38 Q47 − 288P R39 Q46 − 195P 4 R38 Q46 + 39132036R40 Q45 − 184P 3 R39 Q45 + 279P 2 R40 Q44 + 36P R41 Q43 − 35P 4 R40 Q43 − 27951063R42 Q42 − 164P 3 R41 Q42 + 177P 2 R42 Q41 − 334P R43 Q40 − 160P 4 R42 Q40 + 17787604R44 Q39 − 8P 3 R43 Q39 + 231P 2 R44 Q38 − 326P R45 Q37 − 245P 4 R44 Q37 − 10053368R46 Q36 − 112P 3 R45 Q36 + 237P 2 R46 Q35 − 154P R47 Q34 − 175P 4 R46 Q34 + 5027045R48 Q33 − 120P 3 R47 Q33 + 183P 2 R48 Q32 − 32P R49 Q31 − 120P 4 R48 Q31 − 2211620R50 Q30 −104P 3 R49 Q30 −180P 2 R50 Q29 +230P R51 Q28 −70P 4 R50 Q28 +850910R52 Q27 + 168P 3 R51 Q27 − 267P 2 R52 Q26 − 50P R53 Q25 − 245P 4 R52 Q25 − 283250R54 Q24 +192P 3 R53 Q24 + 249P 2 R54 Q23 − 24P R55 Q22 − 395P 4 R54 Q22 + 81257R56 Q21 − 120P 3 R55 Q21 − 24P 2 R56 Q20 + 4P R57 Q19 − 225P 4 R56 Q19 − 19322R58 Q18 − 200P 3 R57 Q18 + 141P 2 R58 Q17 − 198P R59 Q16 − 65P 4 R58 Q16 + 4079R60 Q15 − 248P 3 R59 Q15 + 282P 2 R60 Q14 − 46P R61 Q13 − 55P 4 R60 Q13 − 589R62 Q12 + 36P 3 R61 Q12 + 69P 2 R62 Q11 + 196P R63 Q10 − 340P 4 R62 Q10 + 110R64 Q9 − 128P 3 R63 Q9 + 42P 2 R64 Q8 + 60P R65 Q7 − 5P 4 R64 Q7 + 58R66 Q6 − 256P 3 R65 Q6 + 168P 2 R66 Q5 + 72P R67 Q4 − 15P 4 R66 Q4 + 108R68 Q3 − 176P 3 R67 Q3 + 111P 2 R68 Q2 − 102P R69 Q − 60P 4 R68 Q + R70 − 240P 3 R69 ) 124 ϑ4 71Q103 +69R2 Q100 +60R4 Q97 +7R6 Q94 +11R8 Q91 +60R10 Q88 +46R12 Q85 +65R14 Q82 + 14R16 Q79 +26R18 Q76 +13R20 Q73 +4R22 Q70 +47R24 Q67 +36R26 Q64 +32R28 Q61 +30R30 Q58 + 10R32 Q55 +61R34 Q52 +47R36 Q49 +35R38 Q46 +68R40 Q43 +50R42 Q40 +61R44 Q37 +8R46 Q34 + 79R48 Q31 +53R50 Q28 +61R52 Q
25 +56R54 Q22 +34R56 Q19 +67R58 Q16 +12R60 Q13 +44R62 Q10 + 69R64 Q7 + 41R66 Q4 + 81R68 Q ≡ (Q3 − R2 )35 (mod 83)

44

p14 (83t + 34) ≡ 0 (mod 83) 12ϑ 2P Q146 + 74P 3 Q145 + 41RQ145 + 46P 5 Q144 + 75P 2 RQ144 + 11P R2 Q143 + 14P 4 RQ143 + 9R3 Q142 + 41P 3 R2 Q142 + 81P 2 R3 Q141 + 48P 5 R2 Q141 + 20P R4 Q140 + 72P 4 R3 Q140 + 48P 3 R4 Q139 + 41P 2 R5 Q138 + 37P 5 R4 Q138 + 14P R6 Q137 + 17P 4 R5 Q137 + 51R7 Q136 + 51P 3 R6 Q136 + 26P 2 R7 Q135 + 81P 5 R6 Q135 + 64P R8 Q134 + 18P 4 R7 Q134 + 68R9 Q133 + 55P 3 R8 Q133 + 66P 2 R9 Q132 + 54P 5 R8 Q132 + 57P R10 Q131 + 52P 4 R9 Q131 + 49R11 Q130 + 24P 3 R10 Q130 + 78P 2 R11 Q129 + 79P 5 R10 Q129 + 21P R12 Q128 + 56P 4 R11 Q128 + 49R13 Q127 + 32P 3 R12 Q127 + P 2 R13 Q126 + 11P 5 R12 Q126 + 32P R14 Q125 + 72P 4 R13 Q125 + 6R15 Q124 + 59P 3 R14 Q124 + 4P 2 R15 Q123 + 6P 5 R14 Q123 + 67P R16 Q122 + 75P 4 R15 Q122 + 16R17 Q121 + 38P 3 R16 Q121 + 5P 2 R17 Q120 + 66P 5 R16 Q120 + 13P R18 Q119 + 13P 4 R17 Q119 + 43R19 Q118 + 53P 3 R18 Q118 + 53P 2 R19 Q117 + 58P 5 R18 Q117 + 69P R20 Q116 + 14P 4 R19 Q116 + 59R21 Q115 + 49P 3 R20 Q115 + 67P 2 R21 Q114 + 16P 5 R20 Q114 + 41P R22 Q113 + 25P 4 R21 Q113 + 26R23 Q112 + 57P 3 R22 Q112 + 45P 2 R23 Q111 + 21P 5 R22 Q111 + 3P R24 Q110 + 9P 4 R23 Q110 + 75R25 Q109 + 81P 3 R24 Q109 + 13P 2 R25 Q108 + 65P 5 R24 Q108 + 39P R26 Q107 + 45P 4 R25 Q107 + 33R27 Q106 + 68P 3 R26 Q106 + 5P 2 R27 Q105 + 23P 5 R26 Q105 + 73P R28 Q104 + 58P 4 R27 Q104 + 8R29 Q103 + 42P 3 R28 Q103 + 28P 2 R29 Q102 + 13P 5 R28 Q102 + 47P R30 Q101 + 47P 4 R29 Q101 + 16R31 Q100 + 49P 3 R30 Q100 + 16P 2 R31 Q99 + 81P 5 R30 Q99 + 76P R32 Q98 + 52P 4 R31 Q98 + 54R33 Q97 + 70P 3 R32 Q97 + 28P 2 R33 Q96 + 58P 5 R32 Q96 + 56P R34 Q95 + 69P 4 R33 Q95 + 27R35 Q94 + P 3 R34 Q94 +4P 2 R35 Q93 +12P 5 R34 Q93 +60P R36 Q92 +63P 4 R35 Q92 +82R37 Q91 +74P 3 R36 Q91 + 36P 2 R37 Q90 + 73P 5 R36 Q90 + 67P R38 Q89 + 49P 4 R37 Q89 + 42R39 Q88 + 30P 3 R38 Q88 + 12P 5 R38 Q87 + 17P R40 Q86 + 12P 4 R39 Q86 + 2R41 Q85 + 72P 3 R40 Q85 + 77P 2 R41 Q84 + 20P 5 R40 Q84 + 50P R42 Q83 + 61P 4 R41 Q83 + 54R43 Q82 + 25P 3 R42 Q82 + 35P 2 R43 Q81 + 49P 5 R42 Q81 +41P R44 Q80 +6P 4 R43 Q80 +78R45 Q79 +P 3 R44 Q79 +21P 2 R45 Q78 +21P 5 R44 Q78 + 68P R46 Q77 +42P 4 R45 Q77 +42R47 Q76 +9P 3 R46 Q76 +78P 2 R47 Q75 +54P 5 R46 Q75 +56P R48 Q74 + 38P 4 R47 Q74 + 27R49 Q73 + 49P 3 R48 Q73 + 24P 5 R48 Q72 + 8P R50 Q71 + 17P 4 R49 Q71 + 55R51 Q70 + 55P 3 R50 Q70 + 53P 2 R51 Q69 + 78P 5 R50 Q69 + 18P R52 Q68 + 56P 4 R51 Q68 + 37R53 Q67 + 47P 3 R52 Q67 + 36P 2 R53 Q66 + 61P 5 R52 Q66 + 48P R54 Q65 + 30P 4 R53 Q65 + 28R55 Q64 + 82P 3 R54 Q64 + 48P 2 R55 Q63 + 38P 5 R54 Q63 + 45P R56 Q62 + 12P 4 R55 Q62 + 12R57 Q61 +5P 3 R56 Q61 +27P 2 R57 Q60 +16P 5 R56 Q60 +81P R58 Q59 +44P 4 R57 Q59 +66R59 Q58 + 6P 3 R58 Q58 +74P 2 R59 Q57 +74P 5 R58 Q57 +53P R60 Q56 +55P 4 R59 Q56 +5R61 Q55 +63P 3 R60 Q55 + 13P 5 R60 Q54 + 13P R62 Q53 + 52P 4 R61 Q53 + 78R63 Q52 + 55P 3 R62 Q52 + 21P 2 R63 Q51 + 39P 5 R62 Q51 + 75P R64 Q50 + 49P 4 R63 Q50 + 79R65 Q49 + 44P 3 R64 Q49 + 75P 2 R65 Q48 + 73P 5 R64 Q48 + 82P R66 Q47 + 8P 4 R65 Q47 + 28R67 Q46 + 20P 3 R66 Q46 + 40P 2 R67 Q45 + 82P 5 R66 Q45 + 12P R68 Q44 + 42P 4 R67 Q44 + 29R69 Q43 + 82P 3 R68 Q43 + 11P 2 R69 Q42 + 75P 5 R68 Q42 +67P R70 Q41 +50P 4 R69 Q41 +82R71 Q40 +P 3 R70 Q40 +7P 2 R71 Q39 +63P 5 R70 Q39 + 80P R72 Q38 +41P 4 R71 Q38 +4R73 Q37 +31P 3 R72 Q37 +49P 2 R73 Q36 +59P 5 R72 Q36 +76P R74 Q35 + 4P 4 R73 Q35 + 57R75 Q34 + 81P 3 R74 Q34 + 61P 2 R75 Q33 + 22P 5 R74 Q33 + 38P R76 Q32 + 59P 4 R75 Q32 + 82R77 Q31 + 60P 3 R76 Q31 + 40P 2 R77 Q30 + 46P 5 R76 Q30 + 46P R78 Q29 + 33P 4 R77 Q29 + 38R79 Q28 + 16P 3 R78 Q28 + 56P 2 R79 Q27 + 75P 5 R78 Q27 + 80P R80 Q26 + 32P 4 R79 Q26 + 26R81 Q25 + 42P 3 R80 Q25 + 59P 2 R81 Q24 + 24P 5 R80 Q24 + 29P R82 Q23 + 59P 4 R81 Q23 + 14R83 Q22 + 32P 3 R82 Q22 + 16P 2 R83 Q21 + 56P 5 R82 Q21 + 32P R84 Q20 + 60P 4 R83 Q20 + 69R85 Q19 + 52P 3 R84 Q19 + 24P 2 R85 Q18 + 56P 5 R84 Q18 + 8P R86 Q17 + 28P 4 R85 Q17 + 43R87 Q16 + 18P 3 R86 Q16 + 17P 2 R87 Q15 + 45P 5 R86 Q15 + 46P R88 Q14 + 20P 4 R87 Q14 + 41R89 Q13 + 63P 3 R88 Q13 + 43P 2 R89 Q12 + 49P 5 R88 Q12 + 66P R90 Q11 + 14P 4 R89 Q11 +35R91 Q10 +68P 3 R90 Q10 +62P 2 R91 Q9 +55P 5 R90 Q9 +44P R92 Q8 +69P 4 R91 Q8 + 23R93 Q7 + 74P 3 R92 Q7 + 81P 2 R93 Q6 + 43P 5 R92 Q6 + 27P R94 Q5 + 52P 4 R93 Q5 + 22R95 Q4 + 71P 3 R94 Q4 + 58P 2
R95 Q3 + 43P 5 R94 Q3 + 76P R96 Q2 + 71P 4 R95 Q2 + 21R97 Q + 50P 3 R96 Q + 39P 2 R97 + 6P 5 R96

45

= (Q3 − R2 )49 − 83(3Q147 − 6P 2 Q146 − 516P 4 Q145 − 272P RQ145 − 322P 6 Q144 + 288R2 Q144 − 4P 3 RQ144 + 462P 2 R2 Q143 + 228P 5 RQ143 + 20P R3 Q142 − 173P 4 R2 Q142 + 76R4 Q141 − 272P 3 R3 Q141 − 336P 6 R2 Q141 + 426P 2 R4 Q140 − 168P 5 R3 Q140 + 142P R5 Q139 + 157P 4 R4 Q139 − 196R6 Q138 + 56P 3 R5 Q138 − 259P 6 R4 Q138 + 189P 2 R6 Q137 + 162P 5 R5 Q137 − 230P R7 Q136 − 232P 4 R6 Q136 + 2932R8 Q135 + 184P 3 R7 Q135 − 567P 6 R6 Q135 − 237P 2 R8 Q134 + 432P 5 R7 Q134 − 24P R9 Q133 − 233P 4 R8 Q133 − 22499R10 Q132 − 92P 3 R9 Q132 − 378P 6 R8 Q132 + 81P 2 R10 Q131 +36P 5 R9 Q131 +34P R11 Q130 +209P 4 R10 Q130 +168833R12 Q129 −368P 3 R11 Q129 − 553P 6 R10 Q129 + 339P 2 R12 Q128 + 108P 5 R11 Q128 − 184P R13 Q127 + 189P 4 R12 Q127 − 1034640R14 Q126 + 252P 3 R13 Q126 − 77P 6 R12 Q126 − 213P 2 R14 Q125 − 432P 5 R13 Q125 + 228P R15 Q124 + 101P 4 R14 Q124 + 5433527R16 Q123 + 372P 3 R15 Q123 − 42P 6 R14 Q123 − 441P 2 R16 Q122 − 414P 5 R15 Q122 + 298P R17 Q121 + 194P 4 R16 Q121 − 24752325R18 Q120 + 256P 3 R17 Q120 − 462P 6 R16 Q120 + 12P 2 R18 Q119 + 366P 5 R17 Q119 − 128P R19 Q118 − 275P 4 R18 Q118 + 99010245R20 Q117 − 406P 6 R18 Q117 − 84P 2 R20 Q116 + 252P 5 R19 Q116 + 36P R21 Q115 − 227P 4 R20 Q115 − 351034765R22 Q114 − 108P 3 R21 Q114 − 112P 6 R20 Q114 + 156P 2 R22 Q113 − 54P 5 R21 Q113 + 46P R23 Q112 − 248P 4 R22 Q112 + 1111611539R24 Q111 + 132P 3 R23 Q111 − 147P 6 R22 Q111 + 246P 2 R24 Q110 + 162P 5 R23 Q110 − 440P R25 Q109 − 436P 4 R24 Q109 − 3163816213R26 Q108 + 464P 3 R25 Q108 − 455P 6 R24 Q108 − 195P 2 R26 Q107 + 66P 5 R25 Q107 + 116P R27 Q106 − 131P 4 R26 Q106 + 8135528771R28 Q105 + 400P 3 R27 Q105 − 161P 6 R26 Q105 − 429P 2 R28 Q104 − 264P 5 R27 Q104 + 412P R29 Q103 + 95P 4 R28 Q103 − 18982899955R30 Q102 + 120P 3 R29 Q102 − 91P 6 R28 Q102 − 156P 2 R30 Q101 − 90P 5 R29 Q101 + 292P R31 Q100 + 6P 4 R30 Q100 + 40338662773R32 Q99 + 288P 3 R31 Q99 − 567P 6 R30 Q99 − 390P 2 R32 Q98 + 156P 5 R31 Q98 + 116P R33 Q97 − 78P 4 R32 Q97 − 78304462307R34 Q96 + 136P 3 R33 Q96 −406P 6 R32 Q96 −255P 2 R34 Q95 −186P 5 R33 Q95 +222P R35 Q94 +469P 4 R34 Q94 + 139207933904R36 Q93 + 172P 3 R35 Q93 − 84P 6 R34 Q93 − 306P 2 R36 Q92 − 198P 5 R35 Q92 − 128P R37 Q91 − 105P 4 R36 Q91 − 227128733227R38 Q90 + 156P 3 R37 Q90 − 511P 6 R36 Q90 − 315P 2 R38 Q89 + 6P 5 R37 Q89 + 40P R39 Q88 + 34P 4 R38 Q88 + 340693100743R40 Q87 + 336P 3 R39 Q87 − 84P 6 R38 Q87 + 111P 2 R40 Q86 + 24P 5 R39 Q86 + 210P R41 Q85 − 274P 4 R40 Q85 − 470480948214R42 Q84 − 168P 3 R41 Q84 − 140P 6 R40 Q84 + 69P 2 R42 Q83 − 198P 5 R41 Q83 − 50P R43 Q82 + 90P 4 R42 Q82 + 598793934783R44 Q81 − 144P 3 R43 Q81 − 343P 6 R42 Q81 − 84P 2 R44 Q80 + 216P 5 R43 Q80 − 166P R45 Q79 + 154P 4 R44 Q79 − 702932009408R46 Q78 − 112P 3 R45 Q78 − 147P 6 R44 Q78 − 135P 2 R46 Q77 − 36P 5 R45 Q77 + 152P R47 Q76 + 225P 4 R46 Q76 + 761509677586R48 Q75 − 344P 3 R47 Q75 − 378P 6 R46 Q75 − 111P 2 R48 Q74 + 12P 5 R47 Q74 + 38P R49 Q73 − 147P 4 R48 Q73 − 761509677038R50 Q72 + 372P 3 R49 Q72 − 168P 6 R48 Q72 + 141P 2 R50 Q71 + 246P 5 R49 Q71 − 292P R51 Q70 − 117P 4 R50 Q70 + 702932010176R52 Q69 − 8P 3 R51 Q69 − 546P 6 R50 Q69 + 189P 2 R52 Q68 + 96P 5 R51 Q68 − 14P R53 Q67 − 28P 4 R52 Q67 − 598793934084R54 Q66 + 220P 3 R53 Q66 − 427P 6 R52 Q66 − 30P 2 R54 Q65 + 132P 5 R53 Q65 + 136P R55 Q64 − 432P 4 R54 Q64 + 470480948527R56 Q63 − 64P 3 R55 Q63 − 266P 6 R54 Q63 − 60P 2 R56 Q62 + 96P 5 R55 Q62 + 390P R57 Q61 + 183P 4 R56 Q61 − 340693100241R58 Q60 − 148P 3 R57 Q60 − 112P 6 R56 Q60 − 177P 2 R58 Q59 + 48P 5 R57 Q59 − 4P R59 Q58 + 322P 4 R58 Q58 + 227128733913R60 Q57 − 228P 3 R59 Q57 − 518P 6 R58 Q57 − 168P 2 R60 Q56 − 126P 5 R59 Q56 + 166P R61 Q55 − 64P 4 R60 Q55 − 139207933193R62 Q54 + 416P 3 R61 Q54 − 91P 6 R60 Q54 + 6P 2 R62 Q53 − 156P 5 R61 Q53 − 170P R63 Q52 − 28P 4 R62 Q52 + 78304463196R64 Q51 + 196P 3 R63 Q51 − 273P 6 R62 Q51 − 123P 2 R64 Q50 + 90P 5 R63 Q50 + 16P R65 Q49 − 149P 4 R64 Q49 − 40338662243R66 Q48 − 328P 3 R65 Q48 − 511P 6 R64 Q48 − 210P 2 R66 Q47 + 504P 5 R65 Q47 + 48P R67 Q46 + 86P 4 R66 Q46 + 18982900238R68 Q45 + 168P 3 R67 Q45 − 574P 6 R66 Q45 + 60P 2 R68 Q44 + 252P 5 R67 Q44 + 160P R69 Q43 − 233P 4 R68 Q43 − 8135528103R70 Q42 + 100P 3 R69 Q42 − 525P 6 R68 Q42 − 414P 2 R70 Q41 + 120P 5 R69 Q41 − 30P R71 Q40 + 306P 4 R70 Q40 + 3163816852R72 Q39 + 116P 3 R71 Q39 − 441P 6 R70 Q39 − 291P 2 R72 Q38 + 138P 5 R71 Q38 + 526P R73 Q37 − 118P 4 R72 Q37 − 1111610946R74 Q36 + 144P 3 R73 Q36 − 413P 6 R72 Q36 −

46

117P 2 R74 Q35 +192P 5 R73 Q35 −64P R75 Q34 −241P 4 R74 Q34 +351035686R76 Q33 +36P 3 R75 Q33 − 154P 6 R74 Q33 +54P 2 R76 Q32 −126P 5 R75 Q32 −260P R77 Q31 −144P 4 R76 Q31 −99009570R78 Q30 − 100P 3 R77 Q30 − 322P 6 R76 Q30 + 54P 2 R78 Q29 + 258P 5 R77 Q29 + 260P R79 Q28 + 121P 4 R78 Q28 + 24752682R80 Q27 −128P 3 R79 Q27 −525P 6 R78 Q27 −144P 2 R80 Q26 +12P 5 R79 Q26 +90P R81 Q25 + 92P 4 R80 Q25 − 5433355R82 Q24 − 172P 3 R81 Q24 − 168P 6 R80 Q24 − 39P 2 R82 Q23 − 54P 5 R81 Q23 + 128P R83 Q22 +204P 4 R82 Q22 +1035386R84 Q21 +240P 3 R83 Q21 −392P 6 R82 Q21 −60P 2 R84 Q20 − 24P 5 R83 Q20 − 406P R85 Q19 − 132P 4 R84 Q19 − 168146R86 Q18 − 8P 3 R85 Q18 − 392P 6 R84 Q18 + 72P 2 R86 Q17 + 132P 5 R85 Q17 − 4P R87 Q16 + 25P 4 R86 Q16 + 23272R88 Q15 + 296P 3 R87 Q15 − 315P 6 R86 Q15 − 33P 2 R88 Q14 + 204P 5 R87 Q14 + 172P R89 Q13 − 336P 4 R88 Q13 − 2296R90 Q12 + 180P 3 R89 Q12 − 343P 6 R88 Q12 − 30P 2 R90 Q11 + 288P 5 R89 Q11 + 82P R91 Q10 − 13P 4 R90 Q10 + 394R92 Q9 + 92P 3 R91 Q9 − 385P 6 R90 Q9 + 264P 2 R92 Q8 − 174P 5 R91 Q8 + 40P R93 Q7 − 141P 4 R92 Q7 + 145R94 Q6 − 60P 3 R93 Q6 − 301P 6 R92 Q6 + 234P 2 R94 Q5 − 60P 5 R93 Q5 + 380P R95 Q4 + 4P 4 R94 Q4 + 153R96 Q3 − 44P 3 R95 Q3 − 301P 6 R94 Q3 − 252P 2 R96 Q2 − 450P 5 R95 Q2 − 140P R97 Q − 344P 4 R96 Q + R98 − 272P 3 R97 − 42P 6 R96 ) 126 ϑ6 Q144 + 66R2 Q141 + 82R4 Q138 + 18R6 Q135 + 12R8 Q132 + 36R10 Q129 + 67R12 Q126 + 29R14 Q123 + 70R16 Q120 + 59R18 Q117 + 22R20 Q114 + 60R22 Q111 + 79R24 Q108 + 42R26 Q105 + 49R28 Q102 +18R30 Q99 +59R32 Q96 +58R34 Q93 +7R36 Q90 +58R38 Q87 +69R40 Q84 +57R42 Q81 + 60R44 Q78 +12R46 Q75 +33R48 Q72 +45R50 Q69 +32R52 Q66 +73R54 Q63 +22R56 Q60 +81R58 Q57 + 49R60 Q54 + 64R62 Q51 + 7R64 Q48 + 9R66 Q45 + 72R68 Q42 + 14R70 Q39 + 50R72 Q36 + 51R74 Q33 + R76 Q30 + 72R78 Q27 + 33R80 Q
24 + 77R82 Q21 + 77R84 Q18 + 10R86 Q15 + 57R88 Q12 + 3R90 Q9 + 28R92 Q6 + 28R94 Q3 + 29R96 ≡ (Q3 − R2 )49 (mod 83) p26 (83t + 75) ≡ 0 (mod 83) via Q71 (Q3 − R2 )7 12ϑ 7P Q106 + 59P 3 Q105 + 54RQ105 + 59P 5 Q104 + 79P 2 RQ104 + 45P 7 Q103 + 38P R2 Q103 + 71P 4 RQ103 + 58P 9 Q102 + 11R3 Q102 + 11P 3 R2 Q102 + 48P 6 RQ102 + 56P 11 Q101 + 61P 2 R3 Q101 + 54P 5 R2 Q101 + 26P 8 RQ101 + 22P R4 Q100 + 34P 4 R3 Q100 + 7P 7 R2 Q100 + 55P 10 RQ100 + 59R5 Q99 +55P 3 R4 Q99 +57P 6 R3 Q99 +36P 9 R2 Q99 +74P 2 R5 Q98 +55P 5 R4 Q98 +64P 8 R3 Q98 + 49P 11 R2 Q98 +30P R6 Q97 +64P 4 R5 Q97 +71P 7 R4 Q97 +66P 10 R3 Q97 +53R7 Q96 +75P 3 R6 Q96 + 25P 6 R5 Q96 +9P 9 R4 Q96 +68P 2 R7 Q95 +78P 5 R6 Q95 +42P 8 R5 Q95 +67P 11 R4 Q95 +21P R8 Q94 + 58P 4 R7 Q94 + 52P 7 R6 Q94 + 5P 10 R5 Q94 + 81R9 Q93 + 65P 3 R8 Q93 + 15P 6 R7 Q93 + 26P 9 R6 Q93 + 9P 2 R9 Q92 +60P 5 R8 Q92 +66P 8 R7 Q92 +33P 11 R6 Q92 +78P R10 Q91 +6P 4 R9 Q91 +38P 7 R8 Q91 + 17P 10 R7 Q91 +21R11 Q90 +42P 3 R10 Q90 +6P 6 R9 Q90 +55P 9 R8 Q90 +5P 2 R11 Q89 +72P 5 R10 Q89 + 68P 8 R9 Q89 + 5P 11 R8 Q89 + 71P R12 Q88 + 42P 4 R11 Q88 + 68P 7 R10 Q88 + 14P 10 R9 Q88 + 71R13 Q87 + 20P 3 R12 Q87 + 32P 6 R11 Q87 + 75P 9 R10 Q87 + 60P 2 R13 Q86 + 12P 5 R12 Q86 + 66P 8 R11 Q86 + P 11 R10 Q86 + 71P R14 Q85 + 65P 4 R13 Q85 + 59P 7 R12 Q85 + 62P 10 R11 Q85 + 54R15 Q84 + 43P 3 R14 Q84 + 71P 6 R13 Q84 + 72P 9 R12 Q84 + 75P 2 R15 Q83 + 51P 5 R14 Q83 + 25P 8 R13 Q83 + 3P 11 R12 Q83 + 16P R16 Q82 + 57P 4 R15 Q82 + 15P 7 R14 Q82 + 77P 10 R13 Q82 + 62R17 Q81 + 2P 3 R16 Q81 + 13P 9 R14 Q81 + 78P 2 R17 Q80 + 69P 5 R16 Q80 + 63P 8 R15 Q80 + 77P 11 R14 Q80 + 7P R18 Q79 + 34P 4 R17 Q79 + 68P 7 R16 Q79 + 69P 10 R15 Q79 + 72R19 Q78 + 10P 3 R18 Q78 + 71P 6 R17 Q78 + 78P 9 R16 Q78 + 77P 2 R19 Q77 + 9P 5 R18 Q77 + 39P 8 R17 Q77 + 70P 11 R16 Q77 + 27P R20 Q76 + 16P 4 R19 Q76 + 22P 7 R18 Q76 + 52P 10 R17 Q76 + 29R21 Q75 + 74P 3 R20 Q75 + 64P 6 R19 Q75 + 33P 9 R18 Q75 + 19P 2 R21 Q74 + 77P 5 R20 Q74 + 77P 8 R19 Q74 + 56P 11 R18 Q74 + 11P R22 Q73 + 77P 4 R21 Q73 + 58P 7 R20 Q73 + 56P 10 R19 Q73 + 71R23 Q72 + 54P 3 R22 Q72 + 47P 6 R21 Q72 + 69P 9 R20 Q72 + 13P 2 R23 Q71 + 11P 5 R22 Q71 + 67P 8 R21 Q71 + 56P 11 R20 Q71 + 40P R24 Q70 + 4P 4 R23 Q70 + 70P 7 R22 Q70 + 68P 10 R21 Q70 + 77R25 Q69 + 27P 3 R24 Q69 + 48P 6 R23 Q69 + 20P 9 R22 Q69 + 50P 2 R25 Q68 + 18P 5 R24 Q68 + 12P 8 R23 Q68 + 41P 11 R22 Q68 + 41P R26 Q67 + 31P 4 R25 Q67 + 77P 7 R24 Q67 + 4P 10 R23 Q67 + 32R27 Q66 +

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32P 3 R26 Q66 + 82P 6 R25 Q66 + 70P 9 R24 Q66 + 43P 2 R27 Q65 + 44P 5 R26 Q65 + 27P 8 R25 Q65 + 54P 11 R24 Q65 + 34P R28 Q64 + 76P 4 R27 Q64 + 19P 7 R26 Q64 + 2P 10 R25 Q64 + 81R29 Q63 + 9P 3 R28 Q63 + 5P 6 R27 Q63 + 74P 9 R26 Q63 + 63P 2 R29 Q62 + 9P 5 R28 Q62 + 35P 8 R27 Q62 + 26P 11 R26 Q62 + 8P R30 Q61 + 51P 4 R29 Q61 + 55P 7 R28 Q61 + 38P 10 R27 Q61 + 58R31 Q60 + 24P 3 R30 Q60 + 19P 6 R29 Q60 + 42P 9 R28 Q60 + 16P 2 R31 Q59 + 18P 5 R30 Q59 + 78P 8 R29 Q59 + 32P 11 R28 Q59 + 44P R32 Q58 + 22P 4 R31 Q58 + 53P 7 R30 Q58 + 11P 10 R29 Q58 + 72R33 Q57 + 36P 3 R32 Q57 + 12P 6 R31 Q57 + 24P 9 R30 Q57 + 48P 2 R33 Q56 + 76P 5 R32 Q56 + 9P 8 R31 Q56 + 72P 11 R30 Q56 + 38P R34 Q55 + 14P 4 R33 Q55 + 31P 7 R32 Q55 + 51P 10 R31 Q55 + 75R35 Q54 + 56P 3 R34 Q54 + 75P 6 R33 Q54 + 4P 9 R32 Q54 + 17P 2 R35 Q53 + 32P 5 R34 Q53 + 2P 8 R33 Q53 + 68P 11 R32 Q53 + 3P R36 Q52 + 12P 4 R35 Q52 + 20P 7 R34 Q52 + 62P 10 R33 Q52 + 56R37 Q51 + 54P 3 R36 Q51 + 48P 6 R35 Q51 + 31P 9 R34 Q51 + 40P 2 R37 Q50 + 3P 5 R36 Q50 + 33P 8 R35 Q50 + 46P 11 R34 Q50 + 20P R38 Q49 + 77P 4 R37 Q49 + 79P 7 R36 Q49 + 59P 10 R35 Q49 + 27R39 Q48 + 32P 3 R38 Q48 + 72P 6 R37 Q48 + 38P 9 R36 Q48 + 45P 2 R39 Q47 + 63P 5 R38 Q47 + 21P 8 R37 Q47 + 28P 11 R36 Q47 + 16P R40 Q46 + 3P 4 R39 Q46 + 80P 7 R38 Q46 + 68P 10 R37 Q46 + 18R41 Q45 + 58P 3 R40 Q45 + 65P 6 R39 Q45 + 29P 9 R38 Q45 + 58P 2 R41 Q44 + 29P 5 R40 Q44 + 49P 8 R39 Q44 + 34P 11 R38 Q44 + 42P R42 Q43 + 50P 4 R41 Q43 + 66P 7 R40 Q43 + 75P 10 R39 Q43 + 78R43 Q42 + 58P 3 R42 Q42 + 12P 6 R41 Q42 + 66P 9 R40 Q42 + 9P 2 R43 Q41 + 79P 5 R42 Q41 + 52P 8 R41 Q41 + 11P 11 R40 Q41 + 6P R44 Q40 + 2P 4 R43 Q40 + 26P 7 R42 Q40 + 8P 10 R41 Q40 + 16R45 Q39 + 58P 3 R44 Q39 + 39P 6 R43 Q39 + 9P 9 R42 Q39 + 31P 2 R45 Q38 + 18P 5 R44 Q38 + 51P 8 R43 Q38 + 10P 11 R42 Q38 + 24P R46 Q37 + 50P 4 R45 Q37 + 46P 7 R44 Q37 + 32P 10 R43 Q37 + 67R47 Q36 + 49P 3 R46 Q36 + 40P 6 R45 Q36 + 17P 9 R44 Q36 + 21P 2 R47 Q35 + 38P 5 R46 Q35 + 75P 8 R45 Q35 + 17P 11 R44 Q35 + 14P R48 Q34 + 51P 4 R47 Q34 + 22P 7 R46 Q34 + 32P 10 R45 Q34 + 14R49 Q33 + 23P 3 R48 Q33 + 44P 6 R47 Q33 + 38P 9 R46 Q33 + 34P 2 R49 Q32 + 49P 5 R48 Q32 + 69P 8 R47 Q32 + 36P 11 R46 Q32 + 62P R50 Q31 + 64P 4 R49 Q31 + 68P 7 R48 Q31 + 37P 10 R47 Q31 + 16R51 Q30 + 57P 3 R50 Q30 + 79P 6 R49 Q30 + 63P 9 R48 Q30 + 32P 2 R51 Q29 + 36P 5 R50 Q29 + 72P 8 R49 Q29 + 19P 11 R48 Q29 + 80P R52 Q28 + 52P 4 R51 Q28 + 2P 7 R50 Q28 + 29P 10 R49 Q28 + 48R53 Q27 + 6P 3 R52 Q27 + 44P 6 R51 Q27 + 57P 9 R50 Q27 + 67P 2 R53 Q26 + 71P 5 R52 Q26 + 31P 8 R51 Q26 + 55P 11 R50 Q26 + 54P R54 Q25 + 17P 4 R53 Q25 + 79P 7 R52 Q25 + 64P 10 R51 Q25 + 46R55 Q24 + 66P 3 R54 Q24 + 58P 6 R53 Q24 + 82P 9 R52 Q24 + 76P 2 R55 Q23 + 49P 5 R54 Q23 + 47P 8 R53 Q23 + 67P 11 R52 Q23 + 25P R56 Q22 + 3P 4 R55 Q22 + 23P 7 R54 Q22 + 6P 10 R53 Q22 + 29R57 Q21 + 78P 3 R56 Q21 + 20P 6 R55 Q21 + 9P 9 R54 Q21 + 66P 2 R57 Q20 + 31P 5 R56 Q20 + 40P 8 R55 Q20 + 2P 11 R54 Q20 + 35P R58 Q19 + 62P 4 R57 Q19 + 20P 7 R56 Q19 + 17P 10 R55 Q19 + 65R59 Q18 + 79P 3 R58 Q18 + 69P 6 R57 Q18 + 6P 9 R56 Q18 + 33P 2 R59 Q17 + 33P 5 R58 Q17 + 81P 8 R57 Q17 + 68P 11 R56 Q17 + 26P R60 Q16 + 7P 4 R59 Q16 + 78P 7 R58 Q16 + 13P 10 R57 Q16 + 52R61 Q15 + 11P 3 R60 Q15 + 30P 6 R59 Q15 + 6P 9 R58 Q15 + 31P 2 R61 Q14 + 13P 5 R60 Q14 + 33P 8 R59 Q14 + 49P 11 R58 Q14 + 50P R62 Q13 + 29P 4 R61 Q13 + 37P 7 R60 Q13 + 25P 10 R59 Q13 + 61R63 Q12 + 27P 3 R62 Q12 + 76P 6 R61 Q12 + 44P 9 R60 Q12 + 67P 2 R63 Q11 + 73P 5 R62 Q11 + 36P 8 R61 Q11 + 60P 11 R60 Q11 + 13P R64 Q10 + 56P 4 R63 Q10 + 4P 7 R62 Q10 + 67P 10 R61 Q10 + 28R65 Q9 + 51P 3 R64 Q9 + 9P 6 R63 Q9 + 12P 9 R62 Q9 + 79P 2 R65 Q8 + 82P 5 R64 Q8 + 61P 8 R63 Q8 + 2P R66 Q7 + 10P 4 R65 Q7 +73P 7 R64 Q7 +33R67 Q6 +22P 3 R66 Q6 +27P 6 R65 Q6 +32P 2 R67 Q5 +25P 5 R
66 Q5 + 72P R68 Q4 + 24P 4 R67 Q4 + 34R69 Q3 + 48P 3 R68 Q3 + 64P 2 R69 Q2 + 18P R70 Q + 82R71 = Q83 (Q3 −R2 )8 −83(4Q107 −28P 2 Q106 −292P 4 Q105 −234P RQ105 −292P 6 Q104 +276R2 Q104 − 100P 3 RQ104 − 219P 8 Q103 + 215P 2 R2 Q103 − 54P 5 RQ103 − 280P 10 Q102 + 140P R3 Q102 + 307P 4 R2 Q102 − 16P 7 RQ102 − 280P 12 Q101 + 76R4 Q101 − 240P 3 R3 Q101 − 25P 6 R2 Q101 + 166P 9 RQ101 + 213P 2 R4 Q100 + 110P 5 R3 Q100 + 109P 8 R2 Q100 + 4P 11 RQ100 − 182P R5 Q99 − 90P 4 R4 Q99 − 228P 7 R3 Q99 + 105P 10 R2 Q99 + 308R6 Q98 − 80P 3 R5 Q98 + 8P 6 R4 Q98 − 140P 9 R3 Q98 − 245P 12 R2 Q98 + 233P 2 R6 Q97 − 30P 5 R5 Q97 − 40P 8 R4 Q97 − 80P 11 R3 Q97 − 118P R7 Q96 − 49P 4 R6 Q96 + 232P 7 R5 Q96 + 274P 10 R4 Q96 + 299R8 Q95 + 40P 3 R7 Q95 − 268P 6 R6 Q95 − 158P 9 R5 Q95 − 335P 12 R4 Q95 + 212P 2 R8 Q94 + 98P 5 R7 Q94 − 34P 8 R6 Q94 +

48

296P 11 R5 Q94 − 264P R9 Q93 − 61P 4 R8 Q93 + 188P 7 R7 Q93 − 95P 10 R6 Q93 + 380R10 Q92 + 276P 3 R9 Q92 − 230P 6 R8 Q92 − 182P 9 R7 Q92 − 165P 12 R6 Q92 − 354P 2 R10 Q91 + 288P 5 R9 Q91 + 151P 8 R8 Q91 + 64P 11 R7 Q91 + 296P R11 Q90 − 150P 4 R10 Q90 + 192P 7 R9 Q90 − 192P 10 R8 Q90 + 159R12 Q89 + 176P 3 R11 Q89 − 308P 6 R10 Q89 − 48P 9 R9 Q89 − 25P 12 R8 Q89 − 285P 2 R12 Q88 + 108P 5 R11 Q88 + 9P 8 R10 Q88 − 48P 11 R9 Q88 + 10P R13 Q87 + 138P 4 R12 Q87 + 184P 7 R11 Q87 − 268P 10 R10 Q87 + 357R14 Q86 − 176P 3 R13 Q86 + 145P 6 R12 Q86 + 52P 9 R11 Q86 − 5P 12 R10 Q86 − 32P 2 R14 Q85 − 224P 5 R13 Q85 + 7P 8 R12 Q85 − 304P 11 R11 Q85 + 34P R15 Q84 + 112P 4 R14 Q84 − 100P 7 R13 Q84 − 35P 10 R12 Q84 + 295R16 Q83 − 204P 3 R15 Q83 + 30P 6 R14 Q83 + 188P 9 R13 Q83 − 15P 12 R12 Q83 + 314P 2 R16 Q82 − 6P 5 R15 Q82 + 94P 8 R14 Q82 − 296P 11 R13 Q82 − 244P R17 Q81 + 261P 4 R16 Q81 + 144P 7 R15 Q81 + 324P 10 R14 Q81 + 341R18 Q80 − 376P 3 R17 Q80 − 257P 6 R16 Q80 − 168P 9 R15 Q80 −385P 12 R14 Q80 +371P 2 R18 Q79 +110P 5 R17 Q79 −44P 8 R16 Q79 +32P 11 R15 Q79 − 302P R19 Q78 + 101P 4 R18 Q78 − 68P 7 R17 Q78 − 56P 10 R16 Q78 + 315R20 Q77 − 248P 3 R19 Q77 + 311P 6 R18 Q77 +146P 9 R17 Q77 −350P 12 R16 Q77 +179P 2 R20 Q76 +68P 5 R19 Q76 +143P 8 R18 Q76 + 72P 11 R17 Q76 − 32P R21 Q75 − 197P 4 R20 Q75 − 152P 7 R19 Q75 + 109P 10 R18 Q75 + 223R22 Q74 + 260P 3 R21 Q74 − 83P 6 R20 Q74 − 162P 9 R19 Q74 − 280P 12 R18 Q74 + 35P 2 R22 Q73 − 96P 5 R21 Q73 + 91P 8 R20 Q73 − 256P R23 Q72 + 3P 4 R22 Q72 + 84P 7 R21 Q72 − 39P 10 R20 Q72 + 386R24 Q71 + 168P 3 R23 Q71 + 193P 6 R22 Q71 − 58P 9 R21 Q71 − 280P 12 R20 Q71 − 69P 2 R24 Q70 + 52P 5 R23 Q70 − 102P 8 R22 Q70 − 84P 11 R21 Q70 − 182P R25 Q69 − 67P 4 R24 Q69 + 128P 7 R23 Q69 + 141P 10 R22 Q69 + 319R26 Q68 − 104P 3 R25 Q68 + 223P 6 R24 Q68 + 128P 9 R23 Q68 − 205P 12 R22 Q68 + 39P 2 R26 Q67 − 10P 5 R25 Q67 − 293P 8 R24 Q67 + 208P 11 R23 Q67 + 38P R27 Q66 + 88P 4 R26 Q66 − 128P 7 R25 Q66 − 328P 10 R24 Q66 + 272R28 Q65 − 96P 3 R27 Q65 + 49P 6 R26 Q65 + 226P 9 R25 Q65 − 270P 12 R24 Q65 + 93P 2 R28 Q64 − 230P 5 R27 Q64 + 65P 8 R26 Q64 + 208P 11 R25 Q64 − 292P R29 Q63 + 296P 4 R28 Q63 + 148P 7 R27 Q63 − 288P 10 R26 Q63 + 376R30 Q62 − 240P 3 R29 Q62 + 14P 6 R28 Q62 + 138P 9 R27 Q62 − 130P 12 R26 Q62 + 184P 2 R30 Q61 − 192P 5 R29 Q61 − 5P 8 R28 Q61 − 48P 11 R27 Q61 − 172P R31 Q60 + 78P 4 R30 Q60 + 188P 7 R29 Q60 − 72P 10 R28 Q60 + 340R32 Q59 + 72P 3 R31 Q59 − 5P 6 R30 Q59 − 218P 9 R29 Q59 −160P 12 R28 Q59 −64P 2 R32 Q58 +116P 5 R31 Q58 −23P 8 R30 Q58 +192P 11 R29 Q58 − 152P R33 Q57 − 84P 4 R32 Q57 + 160P 7 R31 Q57 + 34P 10 R30 Q57 + 388R34 Q56 − 8P 3 R33 Q56 − 171P 6 R32 Q56 + 36P 9 R31 Q56 − 360P 12 R30 Q56 − 20P 2 R34 Q55 + 218P 5 R33 Q55 − 127P 8 R32 Q55 + 96P 11 R31 Q55 − 276P R35 Q54 − 216P 4 R34 Q54 − 248P 7 R33 Q54 + 272P 10 R32 Q54 + 345R36 Q53 + 200P 3 R35 Q53 + 156P 6 R34 Q53 + 84P 9 R33 Q53 − 340P 12 R32 Q53 + 137P 2 R36 Q52 + 32P 5 R35 Q52 − 9P 8 R34 Q52 − 24P 11 R33 Q52 − 224P R37 Q51 − 39P 4 R36 Q51 + 16P 7 R35 Q51 + 155P 10 R34 Q51 + 214R38 Q50 + 20P 3 R37 Q50 + 302P 6 R36 Q50 + 16P 9 R35 Q50 − 230P 12 R34 Q50 + 122P 2 R38 Q49 − 206P 5 R37 Q49 − 259P 8 R36 Q49 − 112P 11 R35 Q49 − 44P R39 Q48 + 31P 4 R38 Q48 + 44P 7 R37 Q48 + 134P 10 R36 Q48 + 116R40 Q47 + 12P 3 R39 Q47 + 37P 6 R38 Q47 + 70P 9 R37 Q47 − 140P 12 R36 Q47 + 194P 2 R40 Q46 +216P 5 R39 Q46 −215P 8 R38 Q46 −184P 11 R37 Q46 +72P R41 Q45 −139P 4 R40 Q45 + 44P 7 R39 Q45 + 221P 10 R38 Q45 + 282R42 Q44 + 8P 3 R41 Q44 + 35P 6 R40 Q44 + 16P 9 R39 Q44 − 170P 12 R38 Q44 − 62P 2 R42 Q43 + 48P 5 R41 Q43 − 68P 8 R40 Q43 − 272P 11 R39 Q43 − 294P R43 Q42 − 181P 4 R42 Q42 + 160P 7 R41 Q42 − 151P 10 R40 Q42 + 210R44 Q41 + 256P 3 R43 Q41 − 253P 6 R42 Q41 − 100P 9 R41 Q41 − 55P 12 R40 Q41 + 90P 2 R44 Q40 + 206P 5 R43 Q40 + 131P 8 R42 Q40 + 12P 11 R41 Q40 + 10P R45 Q39 − 128P 4 R44 Q39 + 4P 7 R43 Q39 + 71P 10 R42 Q39 + 258R46 Q38 + 116P 3 R45 Q38 + 116P 6 R44 Q38 − 182P 9 R43 Q38 − 50P 12 R42 Q38 + 7P 2 R46 Q37 − 92P 5 R45 Q37 + 107P 8 R44 Q37 − 88P 11 R43 Q37 − 252P R47 Q36 + 15P 4 R46 Q36 − 40P 7 R45 Q36 + 78P 10 R44 Q36 + 166R48 Q35 + 60P 3 R47 Q35 + 28P 6 R46 Q35 − 218P 9 R45 Q35 − 85P 12 R44 Q35 + 85P 2 R48 Q34 − 22P 5 R47 Q34 + 254P 8 R46 Q34 − 12P 11 R45 Q34 + 176P R49 Q33 + 196P 4 R48 Q33 + 56P 7 R47 Q33 − 8P 10 R46 Q33 + 82R50 Q32 + 72P 3 R49 Q32 + 107P 6 R48 Q32 − 64P 9 R47 Q32 − 180P 12 R46 Q32 − 145P 2 R50 Q31 − 114P 5 R49 Q31 + 25P 8 R48 Q31 − 64P 11 R47 Q31 + 312P R51 Q30 − P 4 R50 Q30 − 284P 7 R49 Q30 − 156P 10 R48 Q30 + 208R52 Q29 − 56P 3 R51 Q29 + 94P 6 R50 Q29 − 62P 9 R49 Q29 − 95P 12 R48 Q29 − 108P 2 R52 Q28 + 56P 5 R51 Q28 + 211P 8 R50 Q28 + 80P 11 R49 Q28 + 74P R53 Q27 + 109P 4 R52 Q27 + 80P 7 R51 Q27 − 4P 10 R50 Q27 + 246R54 Q26 − 76P 3 R53 Q26 − 74P 6 R52 Q26 + 234P 9 R51 Q26 −

49

275P 12 R50 Q26 +112P 2 R54 Q25 +198P 5 R53 Q25 −171P 8 R52 Q25 −68P R55 Q24 −301P 4 R54 Q24 − 104P 7 R53 Q24 − 303P 10 R52 Q24 + 173R56 Q23 + 4P 3 R55 Q23 − 100P 6 R54 Q23 − 106P 9 R53 Q23 − 335P 12 R52 Q23 + 231P 2 R56 Q22 + 166P 5 R55 Q22 + 96P 8 R54 Q22 + 52P 11 R53 Q22 + 26P R57 Q21 − 137P 4 R56 Q21 + 8P 7 R55 Q21 + 29P 10 R54 Q21 + 307R58 Q20 + 76P 3 R57 Q20 + 149P 6 R56 Q20 − 166P 9 R55 Q20 −10P 12 R54 Q20 +28P 2 R58 Q19 −142P 5 R57 Q19 +272P 8 R56 Q19 +192P 11 R55 Q19 − 188P R59 Q18 − 314P 4 R58 Q18 + 4P 7 R57 Q18 + 48P 10 R56 Q18 + 286R60 Q17 − 52P 3 R59 Q17 + 27P 6 R58 Q17 − 376P 9 R57 Q17 − 340P 12 R56 Q17 + 31P 2 R60 Q16 + 50P 5 R59 Q16 − 186P 8 R58 Q16 + 196P 11 R57 Q16 − 22P R61 Q15 + 78P 4 R60 Q15 + 72P 7 R59 Q15 + 93P 10 R58 Q15 + 316R62 Q14 − 28P 3 R61 Q14 + 294P 6 R60 Q14 + 32P 9 R59 Q14 − 245P 12 R58 Q14 + 71P 2 R62 Q13 + 194P 5 R61 Q13 − P 8 R60 Q13 + 168P 11 R59 Q13 − 220P R63 Q12 + 140P 4 R62 Q12 − 340P 7 R61 Q12 + 98P 10 R60 Q12 + 167R64 Q11 − 88P 3 R63 Q11 − 285P 6 R62 Q11 − 94P 9 R61 Q11 − 300P 12 R60 Q11 + 342P 2 R64 Q10 + 134P 5 R63 Q10 + 278P 8 R62 Q10 − 304P 11 R61 Q10 − 126P R65 Q9 − 181P 4 R64 Q9 + 300P 7 R63 Q9 − 28P 10 R62 Q9 + 172R66 Q8 − 276P 3 R65 Q8 − 279P 6 R64 Q8 − 302P 9 R63 Q8 + 176P 2 R66 Q7 + 102P 5 R65 Q7 − 345P 8 R64 Q7 + 186P R67 Q6 + 9P 4 R66 Q6 − 112P 7 R65 Q6 + 180R68 Q5 + 80P 3 R67 Q5 − 119P 6 R66 Q5 − 40P 2 R68 Q4 − 116P 5 R67 Q4 − 68P R69 Q3 − 240P 4 R68 Q3 + 426R70 Q2 − 320P 3 R69 Q2 − 86P 2 R70 Q − 420P R71 ) 1212 ϑ12 21Q101 +8R2 Q98 +77R4 Q95 +2R6 Q92 +33R8 Q89 +73R10 Q86 +53R12 Q83 +60R14 Q80 + 47R16 Q77 +21R18 Q74 +21R20 Q71 +5R22 Q68 +41R24 Q65 +72R26 Q62 +12R28 Q59 +27R30 Q56 + 67R32 Q53 +38R34 Q50 +52R36 Q47 +75R38 Q44 +56R40 Q41 +66R42 Q38 +79R44 Q
35 +55R46 Q32 + 59R48 Q29 +31R50 Q26 +77R52 Q23 +63R54 Q20 +67R56 Q17 +8R58 Q14 +64R60 Q11 ≡ (Q3 −R2 )8 (mod 83)

p14 (89t + 81) ≡ 0 (mod 89) 12ϑ 13P Q23 +63P 3 Q22 +57RQ22 +55P 5 Q21 +81P 2 RQ21 +7P R2 Q20 +79P 4 RQ20 +23R3 Q19 + 14P 3 R2 Q19 + 86P 2 R3 Q18 + 74P 5 R2 Q18 + 67P R4 Q17 + 65P 4 R3 Q17 + 78R5 Q16 + 52P 3 R4 Q16 + 5P 2 R5 Q15 + 44P 5 R4 Q15 + 62P R6 Q14 + 9P 4 R5 Q14 + 59R7 Q13 + 38P 3 R6 Q13 + 13P 2 R7 Q12 + 53P 5 R6 Q12 + 13P R8 Q11 + 28P 4 R7 Q11 + 29R9 Q10 + 63P 3 R8 Q10 + 37P 2 R9 Q9 + 44P 5 R8 Q9 + 5P R10 Q8 + 15P 4 R9 Q8 + 25R11 Q7 + 79P 3 R10 Q7 + 48P 2 R11 Q6 + 5P 5 R10 Q6 + 81P R12 Q5 + 13 3 77P 4 R11 Q5 + 25R13 Q4 + 56P 3 R12 Q4 + 42P 2 R Q + 13P 5 R12 Q3 + 31P R14 Q2 + 71P 4 R13 Q2 +
22R15 Q + 15P 3 R14 Q + 20P 2 R15 + 17P 5 R14 = (Q3 −R2 )8 −89(4Q24 −6P 2 Q23 −56P 4 Q22 −44P RQ22 −55P 6 Q21 +61R2 Q21 −16P 3 RQ21 + 87P 2 R2 Q20 − 18P 5 RQ20 + 2P R3 Q19 + 74P 4 R2 Q19 + 47R4 Q18 − 60P 3 R3 Q18 − 74P 6 R2 Q18 + 3P 2 R4 Q17 + 6P 5 R3 Q17 − 6P R5 Q16 + 2P 4 R4 Q16 + 84R6 Q15 + 48P 3 R5 Q15 − 44P 6 R4 Q15 − 54P 2 R6 Q14 + 42P 5 R5 Q14 − 16P R7 Q13 − 17P 4 R6 Q13 + 53R8 Q12 + 44P 3 R7 Q12 − 53P 6 R6 Q12 + 18P 2 R8 Q11 + 24P 5 R7 Q11 − 20P R9 Q10 − 39P 4 R8 Q10 + 31R10 Q9 + 44P 3 R9 Q9 − 44P 6 R8 Q9 + 48P 2 R10 Q8 + 6P 5 R9 Q8 + 42P R11 Q7 − 18P 4 R10 Q7 + 31R12 Q6 + 24P 3 R11 Q6 − 5P 6 R10 Q6 − 33P 2 R12 Q5 − 66P 5 R11 Q5 + 22P R13 Q4 + 23P 4 R12 Q4 + 27R14 Q3 − 16P 3 R13 Q3 − 13P 6 R12 Q3 − 6P 2 R14 Q2 − 54P 5 R13 Q2 − 20P R15 Q − 8P 4 R14 Q + R16 − 20P 3 R15 − 17P 6 R14 ) 126 ϑ6
70Q21 + 78R2 Q18 + 56R4 Q15 + 27R6 Q12 + 56R8 Q9 + 63R10 Q6 + 57R12 Q3 + 54R14 ≡ (Q3 − R2 )8 (mod 89) p4 (89t + 74) ≡ 0 (mod 89) 12ϑ 74RQ43 + 70R3 Q40 + 83R5 Q37 + 68R7 Q34 + 82R9 Q31 + 60R11 Q28 + 6R13 Q25 +
50R15 Q22 + 36R17 Q19 + 16R19 Q16 + 86R21 Q13 + 71R23 Q10 + 70R25 Q7 + 77R27 Q4 + 67R29 Q = (Q3 − R2 )15 − 89(5Q45 − 148P RQ43 + 157R2 Q42 − 140P R3 Q40 + 155R4 Q39 − 166P R5 Q37 +

50

165R6 Q36 − 136P R7 Q34 + 169R8 Q33 − 164P R9 Q31 + 125R10 Q30 − 120P R11 Q28 + 137R12 Q27 − 12P R13 Q25 − 15R14 Q24 − 100P R15 Q22 + 163R16 Q21 − 72P R17 Q19 − 5R18 Q18 − 32P R19 Q16 + 167R20 Q15 −172P R21 Q13 +145R22 Q12 −142P R23 Q10 +155R24 Q9 −140P R25 Q7 +161R26 Q6 − 154P R27 Q4 + 145R28 Q3 − 134P R29 Q + 3R30 ) p8 (89t + 59) ≡ 0 (mod 89) 12ϑ 49P Q89 + 51RQ88 + 23P 2 RQ87 + 64P R2 Q86 + 49R3 Q85 + 83P 2 R3 Q84 + 44P R4 Q83 + 25R5 Q82 + 39P 2 R5 Q81 + 78P R6 Q80 + 14R7 Q79 + 57P 2 R7 Q78 + 53P R8 Q77 + 26R9 Q76 + 26P 2 R9 Q75 +78P R10 Q74 +29R11 Q73 +61P 2 R11 Q72 +74P R12 Q71 +13R13 Q70 +45P 2 R13 Q69 + 33P R14 Q68 + 79R15 Q67 + 73P 2 R15 Q66 + 29P R16 Q65 + 4R17 Q64 + 67P 2 R17 Q63 + 79P R18 Q62 + 68R19 Q61 + 22P 2 R19 Q60 + 60P R20 Q59 + 42R21 Q58 + 73P 2 R21 Q57 + 77P R22 Q56 + 70R23 Q55 + 7P 2 R23 Q54 + P R24 Q53 + 16R25 Q52 + 19P 2 R25 Q51 + 18P R26 Q50 + 74R27 Q49 + 52P 2 R27 Q48 + 53P R28 Q47 + 49R29 Q46 + 13P 2 R29 Q45 + 38P R30 Q44 + 64R31 Q43 + 46P 2 R31 Q42 + 8P R32 Q41 + 56R33 Q40 + 59P 2 R33 Q39 + 52P R34 Q38 + 14R35 Q37 + 70P 2 R35 Q36 + 42P R36 Q35 + 43R37 Q34 + 51P 2 R37 Q33 +85P R38 Q32 +83R39 Q31 +45P 2 R39 Q30 +87P R40 Q29 +85R41 Q28 +75P 2 R41 Q27 + P R42 Q26 + 74R43 Q25 + 15P R44 Q23 + 44R45 Q22 + 5P 2 R45 Q21 + 63P R46 Q20 + 59R47 Q19 + 83P 2 R47 Q18 +12P R48 Q17 +16R49 Q16 +56P 2 R49 Q15 +16P R50 Q14 +8R51 Q13 +74P 2 R51 Q12 + 80P R52 Q11 + 48R53 Q10 + 82P 2 R53 Q9 + 12P R54 Q8 + 14R
55 Q7 + 72P 2 R55 Q6 + 25P R56 Q5 + 10R57 Q4 + 39P 2 R57 Q3 + 3P R58 Q2 + 22R59 Q + 10P 2 R59 = (Q3 − R2 )30 − 89(4Q90 − 195P 2 Q89 + 212R2 Q87 − 92P 3 RQ87 − 150P 2 R2 Q86 + 64P R3 Q85 +201R4 Q84 −332P 3 R3 Q84 +150P 2 R4 Q83 +96P R5 Q82 +54R6 Q81 −156P 3 R5 Q81 − 144P 2 R6 Q80 + 254P R7 Q79 + 374R8 Q78 − 228P 3 R7 Q78 + 3P 2 R8 Q77 + 132P R9 Q76 − 1490R10 Q75 − 104P 3 R9 Q75 − 180P 2 R10 Q74 + 204P R11 Q73 + 6779R12 Q72 − 244P 3 R11 Q72 − 60P 2 R12 Q71 + 216P R13 Q70 − 22753R14 Q69 − 180P 3 R13 Q69 + 81P 2 R14 Q68 − 184P R15 Q67 + 66006R16 Q66 −292P 3 R15 Q66 +177P 2 R16 Q65 +166P R17 Q64 −160655R18 Q63 −268P 3 R17 Q63 − 99P 2 R18 Q62 + 28P R19 Q61 + 337831R20 Q60 − 88P 3 R19 Q60 − 78P 2 R20 Q59 + 106P R21 Q58 − 613571R22 Q57 − 292P 3 R21 Q57 − 111P 2 R22 Q56 − 86P R23 Q55 + 972034R24 Q54 − 28P 3 R23 Q54 + 45P 2 R24 Q53 − 30P R25 Q52 − 1345444R26 Q51 − 76P 3 R25 Q51 + 66P 2 R26 Q50 − 156P R27 Q49 + 1634222R28 Q48 − 208P 3 R27 Q48 − 75P 2 R28 Q47 − 8P R29 Q46 − 1742658R30 Q45 − 52P 3 R29 Q45 − 30P 2 R30 Q44 − 164P R31 Q43 + 1634211R32 Q42 − 184P 3 R31 Q42 + 186P 2 R32 Q41 − 90P R33 Q40 − 1345482R34 Q39 −236P 3 R33 Q39 +60P 2 R34 Q38 +136P R35 Q37 +971965R36 Q36 −280P 3 R35 Q36 + 72P 2 R36 Q35 + 112P R37 Q34 − 613505R38 Q33 − 204P 3 R37 Q33 − 147P 2 R38 Q32 + 24P R39 Q31 + 337936R40 Q30 −180P 3 R39 Q30 −81P 2 R40 Q29 −224P R41 Q28 −160433R42 Q27 −300P 3 R41 Q27 + 87P 2 R42 Q26 − 252P R43 Q25 + 65980R44 Q24 − 45P 2 R44 Q23 + 34P R45 Q22 − 22643R46 Q21 − 20P 3 R45 Q21 + 15P 2 R46 Q20 − 140P R47 Q19 + 6775R48 Q18 − 332P 3 R47 Q18 + 204P 2 R48 Q17 − 1562R50 Q15 − 224P 3 R49 Q15 + 228P 2 R50 Q14 + 260P R51 Q13 + 485R52 Q12 − 296P 3 R51 Q12 + 12P 2 R52 Q11 −108P R53 Q10 +28R54 Q9 −328P 3 R53 Q9 +252P 2 R54 Q8 +44P R55 Q7 +48R56 Q6 − 288P 3 R55 Q6 + 69P 2 R56 Q5 − 22P R57 Q4 + 89R58 Q3 − 156P 3 R57 Q3 + 33P 2 R58 Q2 − 88P R59 Q + R60 − 40P 3 R59 ) 123 ϑ3 56RQ87 +86R3 Q84 +64R5 Q81 +73R7 Q78 +13R9 Q75 +75R11 Q72 +67R13 Q69 +81R15 Q66 + 78R17 Q63 +11R19 Q60 +81R21 Q57 +48R23 Q54 +54R25 Q51 +26R27 Q48 +51R29 Q45 +23R31 Q42 + 74R33 Q39 +35R35 Q36 +70R37 Q33 +67R39 Q30 +82R41
Q27 +47R45 Q21 +86R47 Q18 +28R49 Q15 + 37R51 Q12 + 41R53 Q9 + 36R55 Q6 + 64R57 Q3 + 5R59 ≡ (Q3 − R2 )30 (mod 89)

p14 (101t + 92) ≡ 0 (mod 101)

51

12ϑ 15P Q26 + 59P 3 Q25 + 31RQ25 + 39P 5 Q24 + 31P 2 RQ24 + 4P R2 Q23 + 4P 4 RQ23 + 2R3 Q22 + 45P 3 R2 Q22 + 2P 2 R3 Q21 + 25P 5 R2 Q21 + 27P R4 Q20 + 73P 4 R3 Q20 + 56R5 Q19 + 84P 3 R4 Q19 + 30P 2 R5 Q18 + 46P 5 R4 Q18 + 92P R6 Q17 + 12P 4 R5 Q17 + 62R7 Q16 + 9P 3 R6 Q16 + 12P 2 R7 Q15 + 43P 5 R6 Q15 + 65P R8 Q14 + 36P 4 R7 Q14 + 67R9 Q13 + 11P 3 R8 Q13 + 90P 2 R9 Q12 + 48P 5 R8 Q12 + 85P R10 Q11 +11P 4 R9 Q11 +32R11 Q10 +38P 3 R10 Q10 +91P 2 R11 Q9 +51P 5 R10 Q9 +74P R12 Q8 + 68P 4 R11 Q8 + 23R13 Q7 + 28P 3 R12 Q7 + 41P 2 R13 Q6 + 54P 5 R12 Q6 + 72P R14 Q5 + 60P 4 R13 Q5 + 71R15 Q4 + 53P 3 R14 Q4 + 41P 2 R15
Q3 + 43P 5 R14 Q3 + 92P R16 Q2 + 18P 4 R15 Q2 + 76R17 Q + 18P 3 R16 Q + 24P 2 R17 + 39P 5 R16 = (Q3 − R2 )9 − 101(2Q27 − 12P 2 Q26 − 58P 4 Q25 − 16P RQ25 − 39P 6 Q24 + 31R2 Q24 + 32P 3 RQ24 + 27P 2 R2 Q23 + 36P 5 RQ23 + 8P R3 Q22 − 28P 4 R2 Q22 + 19R4 Q21 + 60P 3 R3 Q21 − 25P 6 R2 Q21 − 15P 2 R4 Q20 − 42P 5 R3 Q20 − 4P R5 Q19 − 22P 4 R4 Q19 + 68R6 Q18 + 36P 3 R5 Q18 − 46P 6 R4 Q18 − 69P 2 R6 Q17 + 36P 5 R5 Q17 + 28P R7 Q16 + 16P 4 R6 Q16 + 77R8 Q15 − 43P 6 R6 Q15 − 12P 2 R8 Q14 +12P 5 R7 Q14 +18P R9 Q13 +17P 4 R8 Q13 +55R10 Q12 −64P 3 R9 Q12 −48P 6 R8 Q12 + 15P 2 R10 Q11 +42P 5 R9 Q11 +58P R11 Q10 +13P 4 R10 Q10 +32R12 Q9 −56P 3 R11 Q9 −51P 6 R10 Q9 − 12P 2 R12 Q8 − 12P 5 R11 Q8 + 60P R13 Q7 + 42P 4 R12 Q7 + 70R14 Q6 + 12P 3 R13 Q6 − 54P 6 R12 Q6 − 27P 2 R14 Q5 − 12P 5 R13 Q5 + 28P R15 Q4 − 24P 4 R14 Q4 + 89R16 Q3 − 16P 3 R15 Q3 − 43P 6 R14 Q3 − 66P 2 R16 Q2 + 24P 5 R15 Q2 − 72P R17 Q − 15P 4 R16 Q + 3R18 − 24P 3 R17 − 39P 6 R16 ) 126 ϑ6
83Q24 + 4R2 Q21 + 72R4 Q18 + 19R6 Q15 + 40R8 Q12 + 93R10 Q9 + 45R12 Q6 + 19R14 Q3 + 83R16 ≡ (Q3 − R2 )9 (mod 101) p4 (101t + 84) ≡ 0 (mod 101) 12ϑ 84RQ49 +57R3 Q46 +97R5 Q43 +47R7 Q40 +86R9 Q37 +57R11 Q34 +32R13 Q31 +71R15 Q28 + 58R17 Q25 +72R19 Q22 +15R21 Q19 +58R23 Q16 +35R25 Q13 +87R27 Q10 +62R29 Q7 +100R31 Q4 +
76R33 Q = (Q3 −R2 )17 −101(5Q51 −168P RQ49 +173R2 Q48 −114P R3 Q46 +134R4 Q45 −194P R5 Q43 + 178R6 Q42 − 94P R7 Q40 + 144R8 Q39 − 172P R9 Q37 + 102R10 Q36 − 114P R11 Q34 + 224R12 Q33 − 64P R13 Q31 −90R14 Q30 −142P R15 Q28 +378R16 Q27 −116P R17 Q25 −102R18 Q24 −144P R19 Q22 + 274R20 Q21 − 30P R21 Q19 − 32R22 Q18 − 116P R23 Q16 + 150R24 Q15 − 70P R25 Q13 + 134R26 Q12 − 174P R27 Q10 + 148R28 Q9 − 124P R29 Q7 + 200R30 Q6 − 200P R31 Q4 + 165R32 Q3 − 152P R33 Q + 3R34 ) p8 (101t + 67) ≡ 0 (mod 101) 12ϑ 35P Q101 + 95RQ100 + 90P 2 RQ99 + 85P R2 Q98 + 80R3 Q97 + 84P 2 R3 Q96 + 59P R4 Q95 + 22R5 Q94 + 95P 2 R5 Q93 + 97P R6 Q92 + 37R7 Q91 + 29P 2 R7 Q90 + 31P R8 Q89 + 34R9 Q88 + 56P 2 R9 Q87 +51P R10 Q86 +75R11 Q85 +59P 2 R11 Q84 +71P R12 Q83 +31R13 Q82 +64P 2 R13 Q81 + 24P R14 Q80 +77R15 Q79 +19P 2 R15 Q78 +18P R16 Q77 +52R17 Q76 +49P 2 R17 Q75 +89P R18 Q74 + 93R19 Q73 + 57P 2 R19 Q72 + 10P R20 Q71 + 55R21 Q70 + 75P 2 R21 Q69 + 70P R22 Q68 + 38R23 Q67 + 73P 2 R23 Q66 +23P R24 Q65 +66R25 Q64 +73P 2 R25 Q63 +82P R26 Q62 +81R27 Q61 +69P 2 R27 Q60 + 33P R28 Q59 +29R29 Q58 +60P 2 R29 Q57 +63P R30 Q56 +77R31 Q55 +62P 2 R31 Q54 +75P R32 Q53 + 95R33 Q52 + 72P 2 R33 Q51 + 52P R34 Q50 + 100R35 Q49 + 39P 2 R35 Q48 + 45P R36 Q47 + R37 Q46 + 47P 2 R37 Q45 +44P R38 Q44 +94R39 Q43 +40P 2 R39 Q42 +17P R40 Q41 +82R41 Q40 +29P 2 R41 Q39 + 11P R42 Q38 +92R43 Q37 +15P 2 R43 Q36 +70P R44 Q35 +87R45 Q34 +97P 2 R45 Q33 +42P R46 Q32 + 60R47 Q31 + 45P 2 R47 Q30 + 13P R48 Q29 + 36R49 Q28 + 15P 2 R49 Q27 + 51P R50 Q26 + 99R51 Q25 + 83P 2 R51 Q24 +9P R52 Q23 +37R53 Q22 +35P 2 R53 Q21 +81P R54 Q20 +28R55 Q19 +40P 2 R55 Q18 + 60P R56 Q17 +97R57 Q16 +52P 2 R57 Q15 +46P R58 Q14 +18R59 Q13 +13P 2 R59 Q12 +17P R60 Q11 + 84R61 Q10 + 8P 2 R61 Q9 + 6P R62 Q8 + 78R63 Q
7 + 73P 2 R63 Q6 + 100P R64 Q5 + 95R65 Q4 + 17P 2 R65 Q3 + 79P R66 Q2 + 25R67 Q + 12P 2 R67

52

= (Q3 − R2 )34 − 101(6Q102 − 135P 2 Q101 − 230P RQ100 + 391R2 Q99 − 360P 3 RQ99 + 27P 2 R2 Q98 + 24P R3 Q97 + 320R4 Q96 − 336P 3 R3 Q96 + 111P 2 R4 Q95 + 170P R5 Q94 + 39R6 Q93 − 380P 3 R5 Q93 − 27P 2 R6 Q92 + 220P R7 Q91 + 611R8 Q90 − 116P 3 R7 Q90 + 9P 2 R8 Q89 + 4P R9 Q88 − 2587R10 Q87 − 224P 3 R9 Q87 + 27P 2 R10 Q86 − 76P R11 Q85 + 13593R12 Q84 − 236P 3 R11 Q84 − 39P 2 R12 Q83 + 130P R13 Q82 − 53094R14 Q81 − 256P 3 R13 Q81 + 126P 2 R14 Q80 − 216P R15 Q79 + 180058R16 Q78 − 76P 3 R15 Q78 + 36P 2 R16 Q77 − 58P R17 Q76 − 519057R18 Q75 − 196P 3 R17 Q75 − 147P 2 R18 Q74 − 100P R19 Q73 + 1298636R20 Q72 − 228P 3 R19 Q72 +216P 2 R20 Q71 −100P R21 Q70 −2832446R22 Q69 −300P 3 R21 Q69 +24P 2 R22 Q68 + 70P R23 Q67 +5429447R24 Q66 −292P 3 R23 Q66 +207P 2 R24 Q65 −78P R25 Q64 −9187660R26 Q63 − 292P 3 R25 Q63 −36P 2 R26 Q62 −68P R27 Q61 +13782183R28 Q60 −276P 3 R27 Q60 +135P 2 R28 Q59 + 74P R29 Q58 −18375707R30 Q57 −240P 3 R29 Q57 −3P 2 R30 Q56 −26P R31 Q55 +21821755R32 Q54 − 248P 3 R31 Q54 − 27P 2 R32 Q53 − 118P R33 Q52 − 23104608R34 Q51 − 288P 3 R33 Q51 + 18P 2 R34 Q50 − 202P R35 Q49 + 21821597R36 Q48 − 156P 3 R35 Q48 − 3P 2 R36 Q47 + 180P R37 Q46 − 18375696R38 Q45 − 188P 3 R37 Q45 − 260P R39 Q43 + 13782297R40 Q42 − 160P 3 R39 Q42 + 69P 2 R40 Q41 − 274P R41 Q40 − 9187593R42 Q39 − 116P 3 R41 Q39 + 39P 2 R42 Q38 − 170P R43 Q37 + 5429616R44 Q36 −60P 3 R43 Q36 −136P R45 Q34 −2832366R46 Q33 −388P 3 R45 Q33 +84P 2 R46 Q32 − 150P R47 Q31 + 1298477R48 Q30 − 180P 3 R47 Q30 + 45P 2 R48 Q29 + 22P R49 Q28 − 518979R50 Q27 − 60P 3 R49 Q27 + 63P 2 R50 Q26 − 316P R51 Q25 + 179979R52 Q24 − 332P 3 R51 Q24 + 153P 2 R52 Q23 + 120P R53 Q22 − 53139R54 Q21 − 140P 3 R53 Q21 − 165P 2 R54 Q20 + 152P R55 Q19 + 13666R56 Q18 − 160P 3 R55 Q18 − 36P 2 R56 Q17 − 190P R57 Q16 − 2630R58 Q15 − 208P 3 R57 Q15 − 108P 2 R58 Q14 + 14P R59 Q13 + 773R60 Q12 − 52P 3 R59 Q12 − 33P 2 R60 Q11 − 308P R61 Q10 + 266R62 Q9 − 32P 3 R61 Q9 + 252P 2 R62 Q8 + 70P R63 Q7 + 395R64 Q6 − 292P 3 R63 Q6 − 318P 2 R64 Q5 − 52P R65 Q4 + 115R66 Q3 − 68P 3 R65 Q3 − 267P 2 R66 Q2 − 94P R67 Q + R68 − 48P 3 R67 ) 123 ϑ3 45RQ99 +42R3 Q96 +98R5 Q93 +65R7 Q90 +28R9 Q87 +80R11 Q84 +32R13 Q81 +60R15 Q78 + 75R17 Q75 +79R19 Q72 +88R21 Q69 +87R23 Q66 +87R25 Q63 +85R27 Q60 +30R29 Q57 +31R31 Q54 + 36R33 Q51 +70R35 Q48 +74R37 Q45 +20R39 Q42 +65R41 Q39 +58R43 Q36 +99R45 Q33 +73R47 Q30 + 24 53 21 58R49 Q27 + 92R51 Q + 20R55 Q18 + 26R57 Q15 + 57R59 Q12 + 4R61 Q9 + 87R63 Q6 +
Q + 68R 3 65 3 67 ≡ (Q − R2 )34 (mod 101) 59R Q + 6R

p10 (103t + 94) ≡ 0 (mod 103) 12ϑ 98P Q26 + 30P 3 Q25 + 35RQ25 + 52P 2 RQ24 + 52P R2 Q23 + 95R3 Q22 + 29P 3 R2 Q22 + 4P 2 R3 Q21 + 74P R4 Q20 + 61R5 Q19 + 14P 3 R4 Q19 + 61P 2 R5 Q18 + 69P R6 Q17 + 69R7 Q16 + 78P 3 R6 Q16 +55P 2 R7 Q15 +18P R8 Q14 +30R9 Q13 +101P 3 R8 Q13 +77P 2 R9 Q12 +92P R10 Q11 + 83R11 Q10 + 94P 3 R10 Q10 + 58P 2 R11 Q9 + 10P R12 Q8 + 83R13 Q7 + 43P 3 R12 Q7 + 92P 2 R13 Q6 +
8P R14 Q5 +34R15 Q4 +26P 3 R14 Q4 +32P 2 R15 Q3 +91P R16 Q2 +26R17 Q+99P 3 R16 Q+87P 2 R17 = (Q3 − R2 )9 − 103(3Q27 − 96P 2 Q26 − 30P 4 Q25 + 70P RQ25 + 51R2 Q24 − 20P 3 RQ24 − 3P 2 R2 Q23 − 34P R3 Q22 − 29P 4 R2 Q22 + 100R4 Q21 + 24P 3 R3 Q21 − 54P 2 R4 Q20 + 20P R5 Q19 − 14P 4 R4 Q19 + 73R6 Q18 − 24P 3 R5 Q18 − 3P 2 R6 Q17 − 16P R7 Q16 − 78P 4 R6 Q16 + 60R8 Q15 + 40P 3 R7 Q15 +57P 2 R8 Q14 +34P R9 Q13 −101P 4 R8 Q13 +68R10 Q12 +28P 3 R9 Q12 −18P 2 R10 Q11 − 38P R11 Q10 − 94P 4 R10 Q10 + 96R12 Q9 + 8P 3 R11 Q9 + 81P 2 R12 Q8 − 74P R13 Q7 − 43P 4 R12 Q7 + 52R14 Q6 − 60P 3 R13 Q6 + 42P 2 R14 Q5 + 52P R15 Q4 − 26P 4 R14 Q4 + 32R16 Q3 + 64P 3 R15 Q3 − 18P R17 Q − 99P 4 R16 Q + R18 − 84P 3 R17 ) 124 ϑ4 98Q25 + 81R2 Q22 + 32R4 Q19 + 90R6 Q16 + 69R8 Q13 + 53R10 Q10 + 10R12 Q7 + 30R14 Q4 + 35R16 Q ≡ (Q3 − R2 )9 (mod 103)

53

p6 (103t + 77) ≡ 0 (mod 103) 12ϑ 2P Q77 + 51RQ76 + 13P R2 Q74 + 95R3 Q73 + 11P R4 Q71 + 101R5 Q70 + 102P R6 Q68 + 63R7 Q67 + 22P R8 Q65 + 9R9 Q64 + 37P R10 Q62 + 42R11 Q61 + 82P R12 Q59 + 64R13 Q58 + 99P R14 Q56 + 69R15 Q55 + 24P R16 Q53 + 34R17 Q52 + 81P R18 Q50 + 28R19 Q49 + 6P R20 Q47 + 78R21 Q46 + 81P R22 Q44 + 21R23 Q43 + 2P R24 Q41 + 61R25 Q40 + 28P R26 Q38 + 71R27 Q37 + 102P R28 Q35 + 55R29 Q34 + 44P R30 Q32 + 71R31 Q31 + 22P R32 Q29 + 12R33 Q28 + 34P R34 Q26 + 53R35 Q25 + 74P R36 Q23 + 20R37 Q22 + 66P R38 Q20 + 54R39 Q19 + 22P R40 Q17 + 43R41 Q16 + 2P R42 Q14 +83R43 Q13
+51P R44 Q11 +12R45 Q10 +77P R46 Q8 +96R47 Q7 +49P R48 Q5 +5R49 Q4 + 74P R50 Q2 + 77R51 Q = (Q3 − R2 )26 − 103(3Q78 − 6P 2 Q77 − 146P RQ76 + 167R2 Q75 − 39P 2 R2 Q74 − 246P R3 Q73 +302R4 Q72 −33P 2 R4 Q71 −238P R5 Q70 +276R6 Q69 −306P 2 R6 Q68 +90P R7 Q67 + 314R8 Q66 −66P 2 R8 Q65 +50P R9 Q64 −589R10 Q63 −111P 2 R10 Q62 +20P R11 Q61 +2384R12 Q60 − 246P 2 R12 Q59 + 76P R13 Q58 − 6181R14 Q57 − 297P 2 R14 Q56 + 30P R15 Q55 + 15349R16 Q54 − 72P 2 R16 Q53 + 32P R17 Q52 − 30235R18 Q51 − 243P 2 R18 Q50 + 80P R19 Q49 + 51719R20 Q48 − 18P 2 R20 Q47 − 120P R21 Q46 − 74843R22 Q45 − 243P 2 R22 Q44 + 78P R23 Q43 + 93888R24 Q42 − 6P 2 R24 Q41 − 138P R25 Q40 − 100770R26 Q39 − 84P 2 R26 Q38 − 6P R27 Q37 + 93960R28 Q36 − 306P 2 R28 Q35 + 50P R29 Q34 − 74810R30 Q33 − 132P 2 R30 Q32 − 118P R31 Q31 + 51679R32 Q30 − 66P 2 R32 Q29 + 56P R33 Q28 − 30214R34 Q27 − 102P 2 R34 Q26 + 30P R35 Q25 + 15263R36 Q24 − 222P 2 R36 Q23 + 152P R37 Q22 − 6246R38 Q21 − 198P 2 R38 Q20 − 60P R39 Q19 + 2378R40 Q18 − 66P 2 R40 Q17 − 110P R41 Q16 − 404R42 Q15 − 6P 2 R42 Q14 − 118P R43 Q13 + 219R44 Q12 − 153P 2 R44 Q11 + 192P R45 Q10 + 243R46 Q9 − 231P 2 R46 Q8 − 128P R47 Q7 + 44R48 Q6 − 147P 2 R48 Q5 + 210P R49 Q4 + 230R50 Q3 − 222P 2 R50 Q2 − 226P R51 Q + 3R52 ) 122 ϑ2 101Q77 + 90R2 Q74 + 92R4 Q71 + R6 Q68 + 81R8 Q65 + 66R10 Q62 + 21R12 Q59 + 4R14 Q56 + 79R16 Q53 +22R18 Q50 +97R20 Q47 +22R22 Q44 +101R24 Q41 +75R26 Q38 +R28 Q35 +59R30 Q32 + 81R32 Q29 +69R34 Q26
+29R36 Q23 +37R38 Q20 +81R40 Q17 +101R42 Q14 +52R44 Q11 +26R46 Q8 + 54R48 Q5 + 29R50 Q2 ≡ (Q3 − R2 )26 (mod 103)

p4 (107t + 89) ≡ 0 (mod 107) 12ϑ 89RQ52 +102R3 Q49 +24R5 Q46 +6R7 Q43 +55R9 Q40 +97R11 Q37 +91R13 Q34 +33R15 Q31 + 47R17 Q28 + 3R19 Q25
+ 7R21 Q22 + 23R23 Q19 + 90R25 Q16 + 53R27 Q13 + 17R29 Q10 + 41R31 Q7 + 88R33 Q4 + 80R35 Q = (Q3 − R2 )18 − 107(5Q54 − 178P RQ52 + 190R2 Q51 − 204P R3 Q49 + 195R4 Q48 − 48P R5 Q46 + 36R6 Q45 − 12P R7 Q43 + 66R8 Q42 − 110P R9 Q40 + 62R10 Q39 − 194P R11 Q37 + 374R12 Q36 − 182P R13 Q34 −154R14 Q33 −66P R15 Q31 +492R16 Q30 −94P R17 Q28 −402R18 Q27 −6P R19 Q25 + 420R20 Q24 − 14P R21 Q22 − 262R22 Q21 − 46P R23 Q19 + 316R24 Q18 − 180P R25 Q16 + 54R26 Q15 − 106P R27 Q13 + 82R28 Q12 − 34P R29 Q10 + 70R30 Q9 − 82P R31 Q7 + 175R32 Q6 − 176P R33 Q4 + 170R34 Q3 − 160P R35 Q + 3R36 ) p6 (107t + 80) ≡ 0 (mod 107) 12ϑ 30P Q80 +84RQ79 +63P R2 Q77 +57R3 Q76 +90P R4 Q74 +39R5 Q73 +19P R6 Q71 +63R7 Q70 + 65P R8 Q68 + 3R9 Q67 + 46P R10 Q65 + 56R11 Q64 + 13P R12 Q62 + 50R13 Q61 + 31P R14 Q59 + 69R15 Q58 + 46P R16 Q56 + 30R17 Q55 + 105P R18 Q53 + 22R19 Q52 + 59P R20 Q50 + 67R21 Q49 + 40P R22 Q47 + 60R23 Q46 + 76P R24 Q44 + 70R25 Q43 + 56P R26 Q41 + 50R27 Q40 + 59P R28 Q38 + 51R29 Q37 + 64P R30 Q35 + 35R31 Q34 + 2P R32 Q32 + 20R33 Q31 + 45P R34 Q29 + 102R35 Q28 + 9P R36 Q26 + 14R37 Q25 + 87P R38 Q23 + 56R39 Q22 + 40P R40 Q20 + 81R41 Q19 + 39P R42 Q17 +

54

46 11 47 10 48 8 49 7 67R43 Q16 + 66P R44 Q14 + 78R45 Q13 + 59P R
Q + 89R Q + 63P R Q + 84R Q + 50 5 51 4 52 2 53 92P R Q + 4R Q + 97P R Q + 27R Q = (Q3 − R2 )27 − 107(5Q81 − 90P 2 Q80 − 156P RQ79 + 258R2 Q78 − 189P 2 R2 Q77 + 30P R3 Q76 + 177R4 Q75 − 270P 2 R4 Q74 + 138P R5 Q73 + 104R6 Q72 − 57P 2 R6 Q71 − 110P R7 Q70 + 331R8 Q69 − 195P 2 R8 Q68 + 182P R9 Q67 − 712R10 Q66 − 138P 2 R10 Q65 − 48P R11 Q64 + 2937R12 Q63 − 39P 2 R12 Q62 − 96P R13 Q61 − 8127R14 Q60 − 93P 2 R14 Q59 − 98P R15 Q58 + 20927R16 Q57 − 138P 2 R16 Q56 + 112P R17 Q55 − 43716R18 Q54 − 315P 2 R18 Q53 + 208P R19 Q52 + 78966R20 Q51 − 177P 2 R20 Q50 − 42P R21 Q49 − 121649R22 Q48 − 120P 2 R22 Q47 − 8P R23 Q46 + 162668R24 Q45 − 228P 2 R24 Q44 − 4P R25 Q43 − 187272R26 Q42 − 168P 2 R26 Q41 + 28P R27 Q40 + 187619R28 Q39 − 177P 2 R28 Q38 + 38P R29 Q37 − 162334R30 Q36 − 192P 2 R30 Q35 − 18P R31 Q34 + 121931R32 Q33 − 6P 2 R32 Q32 + 28P R33 Q31 − 78620R34 Q30 − 135P 2 R34 Q29 − 240P R35 Q28 + 43938R36 Q27 − 27P 2 R36 Q26 + 152P R37 Q25 − 20612R38 Q24 − 261P 2 R38 Q23 − 4P R39 Q22 + 8532R40 Q21 − 120P 2 R40 Q20 − 122P R41 Q19 − 2547R42 Q18 − 117P 2 R42 Q17 − 14P R43 Q16 + 992R44 Q15 − 198P 2 R44 Q14 − 48P R45 Q13 + 109R46 Q12 − 177P 2 R46 Q11 − 74P R47 Q10 + 292R48 Q9 − 189P 2 R48 Q8 +24P R49 Q7 +31R50 Q6 −276P 2 R50 Q5 +288P R51 Q4 +82R52 Q3 −291P 2 R52 Q2 − 74P R53 Q + R54 )

122 ϑ2 77Q80 +44R2 Q77 +17R4 Q74 +88R6 Q71 +42R8 Q68 +61R10 Q65 +94R12 Q62 +76R14 Q59 + 61R16 Q56 +2R18 Q53 +48R20 Q50 +67R22 Q47 +31R24 Q44 +51R26 Q41 +48R28 Q38 +43R30 Q35 + 105R32 Q32 +62R34 Q29 +98R36 Q
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8 +92R67 Q7 +6P 2 R67 Q6 +75P R68 Q5 +28R69 Q4 +89P 2 R69 Q3 +69P R70 Q2 +80R71 Q+ 18P 2 R71 = (Q3 − R2 )36 − 107(6Q108 − 231P 2 Q107 − 144P RQ106 + 399R2 Q105 − 396P 3 RQ105 + 111P 2 R2 Q104 − 54P R3 Q103 + 344R4 Q102 − 168P 3 R3 Q102 − 18P 2 R4 Q101 + 52P R5 Q100 + 109R6 Q99 −204P 3 R5 Q99 −9P 2 R6 Q98 −168P R7 Q97 +943R8 Q96 −232P 3 R7 Q96 +144P 2 R8 Q95 − 320P R9 Q94 − 3131R10 Q93 − 231P 2 R10 Q92 + 50P R11 Q91 + 18397R12 Q90 − 36P 3 R11 Q90 − 285P 2 R12 Q89 + 308P R13 Q88 − 77911R14 Q87 − 360P 3 R13 Q87 + 177P 2 R14 Q86 − 90P R15 Q85 + 283077R16 Q84 −384P 3 R15 Q84 +111P 2 R16 Q83 +112P R17 Q82 −879683R18 Q81 −328P 3 R17 Q81 + 249P 2 R18 Q80 − 238P R19 Q79 + 2375883R20 Q78 − 108P 3 R19 Q78 − 15P 2 R20 Q77 − 32P R21 Q76 − 5614739R22 Q75 − 240P 3 R21 Q75 − 141P 2 R22 Q74 + 116P R23 Q73 + 11698073R24 Q72 − 272P 3 R23 Q72 + 141P 2 R24 Q71 + 258P R25 Q70 − 21596019R26 Q69 − 372P 3 R25 Q69 −

55

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56

60P 2 R81 Q12 + 53P R82 Q11 + 51R83 Q10 + 37P 3 R82 Q10 + 104P 2 R83 Q9 + 77P R84 Q8 + 6R85 Q7 + 86 5 72P 3 R84 Q7 + 11P 2 R85 Q6 + 6P R Q + 36R87 Q4 + 83P 3 R86 Q4 + 55P 2 R87 Q3 + 48P R88 Q2 +
27R89 Q + 29P 3 R88 Q + 9P 2 R89 = (Q3 − R2 )45 − 107(4Q135 − 90P 2 Q134 − 225P 4 Q133 − 242P RQ133 + 343R2 Q132 − 136P 3 RQ132 + 213P 2 R2 Q131 + 14P R3 Q130 − 265P 4 R2 Q130 + 167R4 Q129 + 224P 3 R3 Q129 − 327P 2 R4 Q128 + 198P R5 Q127 − 480P 4 R4 Q127 + 92R6 Q126 + 212P 3 R5 Q126 − 69P 2 R6 Q125 − 144P R7 Q124 − 25P 4 R6 Q124 + 1846R8 Q123 + 40P 3 R7 Q123 − 102P 2 R8 Q122 − 360P R9 Q121 − 355P 4 R8 Q121 −10955R10 Q120 +72P 3 R9 Q120 +219P 2 R10 Q119 −42P R11 Q118 −235P 4 R10 Q118 + 76233R12 Q117 + 136P 3 R11 Q117 − 201P 2 R12 Q116 + 364P R13 Q115 − 140P 4 R12 Q115 − 424023R14 Q114 − 348P 3 R13 Q114 + 156P 2 R14 Q113 − 146P R15 Q112 − 335P 4 R14 Q112 + 2015030R16 Q111 − 90P 2 R16 Q110 − 76P R17 Q109 − 335P 4 R16 Q109 − 8281485R18 Q108 + 220P 3 R17 Q108 − 324P 2 R18 Q107 + 252P R19 Q106 − 60P 4 R18 Q106 + 29814964R20 Q105 − 72P 3 R19 Q105 + 129P 2 R20 Q104 + 78P R21 Q103 − 405P 4 R20 Q103 − 94865199R22 Q102 − 140P 3 R21 Q102 + 21P 2 R22 Q101 + 92P R23 Q100 − 280P 4 R22 Q100 + 268785571R24 Q99 + 184P 3 R23 Q99 − 189P 2 R24 Q98 − 86P R25 Q97 − 185P 4 R24 Q97 − 682300624R26 Q96 + 168P 3 R25 Q96 − 312P 2 R26 Q95 + 46P R27 Q94 − 305P 4 R26 Q94 + 1559545545R28 Q93 − 64P 3 R27 Q93 + 243P 2 R28 Q92 − 322P R29 Q91 − 310P 4 R28 Q91 − 3223059688R30 Q90 + 92P 3 R29 Q90 +333P 2 R30 Q89 −56P R31 Q88 −525P 4 R30 Q88 +6043237858R32 Q87 −72P 3 R31 Q87 − 39P 2 R32 Q86 + 58P R33 Q85 − 135P 4 R32 Q85 − 10309052167R34 Q84 − 160P 3 R33 Q84 + 174P 2 R34 Q83 + 82P R35 Q82 − 275P 4 R34 Q82 + 16036303835R36 Q81 + 304P 3 R35 Q81 − 174P 2 R36 Q80 + 208P R37 Q79 − 385P 4 R36 Q79 − 22788431334R38 Q78 − 140P 3 R37 Q78 − 12P 2 R38 Q77 + 76P R39 Q76 − 90P 4 R38 Q76 + 29624961352R40 Q75 − 240P 3 R39 Q75 + 324P 2 R40 Q74 − 332P R41 Q73 − 490P 4 R40 Q73 − 35267810282R42 Q72 + 92P 3 R41 Q72 + 231P 2 R42 Q71 − 360P R43 Q70 − 255P 4 R42 Q70 + 38473975789R44 Q69 + 56P 3 R43 Q69 − 27P 2 R44 Q68 − 176P R45 Q67 − 310P 4 R44 Q67 − 38473975160R46 Q66 + 152P 3 R45 Q66 + 372P 2 R46 Q65 + 2P R47 Q64 − 450P 4 R46 Q64 + 35267810812R48 Q63 − 256P 3 R47 Q63 + 99P 2 R48 Q62 + 178P R49 Q61 − 55P 4 R48 Q61 − 29624960959R50 Q60 + 272P 3 R49 Q60 − 192P 2 R50 Q59 + 158P R51 Q58 − 485P 4 R50 Q58 + 22788431853R52 Q57 + 248P 3 R51 Q57 − 150P 2 R52 Q56 − 118P R53 Q55 − 245P 4 R52 Q55 − 16036303457R54 Q54 + 196P 3 R53 Q54 − 159P 2 R54 Q53 + 288P R55 Q52 − 240P 4 R54 Q52 + 10309052631R56 Q51 − 120P 3 R55 Q51 − 210P 2 R56 Q50 − 40P R57 Q49 − 115P 4 R56 Q49 − 6043237160R58 Q48 + 28P 3 R57 Q48 − 186P 2 R58 Q47 − 28P R59 Q46 − 140P 4 R58 Q46 + 3223060444R60 Q45 + 72P 3 R59 Q45 − 453P 2 R60 Q44 +36P R61 Q43 −95P 4 R60 Q43 −1559544937R62 Q42 +64P 3 R61 Q42 −234P 2 R62 Q41 + 256P R63 Q40 − 185P 4 R62 Q40 + 682301284R64 Q39 + 176P 3 R63 Q39 − 507P 2 R64 Q38 + 72P R65 Q37 − 210P 4 R64 Q37 − 268784785R66 Q36 + 84P 3 R65 Q36 − 93P 2 R66 Q35 − 70P R67 Q34 − 35P 4 R66 Q34 +94865874R68 Q33 −192P 3 R67 Q33 −39P 2 R68 Q32 −164P R69 Q31 −65P 4 R68 Q31 − 29814563R70 Q30 −432P 3 R69 Q30 +264P 2 R70 Q29 −4P R71 Q28 −75P 4 R70 Q28 +8281954R72 Q27 − 232P 3 R71 Q27 +270P 2 R72 Q26 +64P R73 Q25 −295P 4 R72 Q25 −2014105R74 Q24 −140P 3 R73 Q24 + 408P 2 R74 Q23 − 226P R75 Q22 − 290P 4 R74 Q22 + 424353R76 Q21 − 352P 3 R75 Q21 + 21P 2 R76 Q20 + 274P R77 Q19 − 60P 4 R76 Q19 − 76010R78 Q18 + 156P 3 R77 Q18 − 135P 2 R78 Q17 + 52P R79 Q16 − 495P 4 R78 Q16 + 11716R80 Q15 − 264P 3 R79 Q15 + 216P 2 R80 Q14 − 62P R81 Q13 − 25P 4 R80 Q13 − 1124R82 Q12 − 128P 3 R81 Q12 + 246P 2 R82 Q11 + 130P R83 Q10 − 185P 4 R82 Q10 + 181R84 Q9 − 168P 3 R83 Q9 − 297P 2 R84 Q8 + 22P R85 Q7 − 360P 4 R84 Q7 + 168R86 Q6 + 364P 3 R85 Q6 + 243P 2 R86 Q5 + 58P R87 Q4 − 415P 4 R86 Q4 + 141R88 Q3 − 120P 3 R87 Q3 − 189P 2 R88 Q2 − 132P R89 Q − 145P 4 R88 Q + R90 − 44P 3 R89 ) p14 (107t + 44) ≡ 0 (mod 107) [Identity unavailable at present]

57

p26 (107t + 97) ≡ 0 (mod 107) via Q107 (Q3 − R2 )10 12ϑ 35P Q136 + 42P 3 Q135 + 101RQ135 + 5P 5 Q134 + 73P 2 RQ134 + P 7 Q133 + 72P R2 Q133 + 34P 4 RQ133 + 67P 9 Q132 + 22R3 Q132 + 17P 3 R2 Q132 + 93P 6 RQ132 + 4P 11 Q131 + 45P 2 R3 Q131 + 71P 5 R2 Q131 + 25P 8 RQ131 + 51P R4 Q130 + 47P 4 R3 Q130 + 58P 7 R2 Q130 + 15P 10 RQ130 + 59R5 Q129 + 14P 3 R4 Q129 + 67P 6 R3 Q129 + 15P 9 R2 Q129 + 83P 5 R4 Q128 + 92P 8 R3 Q128 + 103P 11 R2 Q128 + 69P R6 Q127 + 99P 4 R5 Q127 + 24P 7 R4 Q127 + 82P 10 R3 Q127 + 33R7 Q126 + 38P 3 R6 Q126 + 57P 6 R5 Q126 + 65P 9 R4 Q126 + 29P 2 R7 Q125 + 39P 5 R6 Q125 + 15P 8 R5 Q125 + 62P 11 R4 Q125 + 63P R8 Q124 + 85P 7 R6 Q124 + 34P 10 R5 Q124 + 2R9 Q123 + P 3 R8 Q123 + 8P 6 R7 Q123 + 24P 9 R6 Q123 + 74P 2 R9 Q122 + 101P 5 R8 Q122 + 18P 8 R7 Q122 + 85P 11 R6 Q122 + 87P R10 Q121 + 76P 4 R9 Q121 + 29P 7 R8 Q121 + 13P 10 R7 Q121 + 80R11 Q120 + 87P 3 R10 Q120 + 103P 6 R9 Q120 + 11P 9 R8 Q120 + 83P 2 R11 Q119 + P 5 R10 Q119 + 14P 8 R9 Q119 + 30P 11 R8 Q119 + 76P R12 Q118 + 100P 4 R11 Q118 + 92P 7 R10 Q118 + 68P 10 R9 Q118 + 50R13 Q117 + 101P 3 R12 Q117 + 94P 6 R11 Q117 +69P 9 R10 Q117 +22P 2 R13 Q116 +25P 5 R12 Q116 +33P 8 R11 Q116 +77P 11 R10 Q116 + 35P R14 Q115 + 47P 4 R13 Q115 + 15P 7 R12 Q115 + 72P 10 R11 Q115 + 56R15 Q114 + 31P 3 R14 Q114 + 58P 6 R13 Q114 + 11P 9 R12 Q114 + 26P 5 R14 Q113 + 46P 8 R13 Q113 + 16P 11 R12 Q113 + 75P R16 Q112 + 6P 4 R15 Q112 + P 7 R14 Q112 + 70P 10 R13 Q112 + 38R17 Q111 + 13P 3 R16 Q111 + 49P 6 R15 Q111 + 89P 9 R14 Q111 + 29P 2 R17 Q110 + 31P 5 R16 Q110 + 30P 8 R15 Q110 + 9P 11 R14 Q110 + 37P R18 Q109 + 77P 4 R17 Q109 + 50P 7 R16 Q109 + 84P 10 R15 Q109 + R19 Q108 + 66P 3 R18 Q108 + 104P 6 R17 Q108 + 42P 9 R16 Q108 + 36P 2 R19 Q107 + 78P 5 R18 Q107 + 22P 8 R17 Q107 + 80P 11 R16 Q107 + 96P R20 Q106 + 54P 4 R19 Q106 + 51P 7 R18 Q106 + 101P 10 R17 Q106 + 51R21 Q105 + 95P 3 R20 Q105 + 94P 6 R19 Q105 + 65P 9 R18 Q105 +13P 2 R21 Q104 +68P 5 R20 Q104 +22P 8 R19 Q104 +101P 11 R18 Q104 +71P R22 Q103 + 56P 4 R21 Q103 + 63P 7 R20 Q103 + 101P 10 R19 Q103 + 73R23 Q102 + 9P 3 R22 Q102 + 66P 6 R21 Q102 + 25P 9 R20 Q102 +103P 2 R23 Q101 +71P 5 R22 Q101 +66P 8 R21 Q101 +101P 11 R20 Q101 +96P R24 Q100 + 75P 4 R23 Q100 + 11P 7 R22 Q100 + 63P 10 R21 Q100 + 79R25 Q99 + 97P 3 R24 Q99 + 78P 6 R23 Q99 + 7P 9 R22 Q99 + 83P 2 R25 Q98 + 10P 5 R24 Q98 + 85P 8 R23 Q98 + 31P 11 R22 Q98 + 43P R26 Q97 + 6P 4 R25 Q97 + 67P 7 R24 Q97 + 36P 10 R23 Q97 + 16R27 Q96 + 65P 3 R26 Q96 + 56P 6 R25 Q96 + 9P 9 R24 Q96 + 80P 2 R27 Q95 + 21P 5 R26 Q95 + 78P 8 R25 Q95 + 8P 11 R24 Q95 + 46P R28 Q94 + 80P 4 R27 Q94 + 4P 7 R26 Q94 + 2P 10 R25 Q94 + 21R29 Q93 + 78P 3 R28 Q93 + 103P 6 R27 Q93 + 19P 9 R26 Q93 + 91P 5 R28 Q92 + 3P 8 R27 Q92 + 45P 11 R26 Q92 + 33P R30 Q91 + 71P 4 R29 Q91 + 29P 7 R28 Q91 + 50P 10 R27 Q91 + 70R31 Q90 + 75P 3 R30 Q90 + 96P 6 R29 Q90 + 55P 9 R28 Q90 + 23P 2 R31 Q89 + 40P 5 R30 Q89 + 13P 8 R29 Q89 + 10P 11 R28 Q89 + 17P R32 Q88 + 68P 4 R31 Q88 + 98P 7 R30 Q88 + 27P 10 R29 Q88 + 58R33 Q87 + 97P 3 R32 Q87 + 35P 6 R31 Q87 + 51P 9 R30 Q87 + 98P 2 R33 Q86 + 71P 5 R32 Q86 + 11P 8 R31 Q86 + 63P 11 R30 Q86 + 62P R34 Q85 + 72P 4 R33 Q85 + 32P 7 R32 Q85 + 51P 10 R31 Q85 + 86R35 Q84 + 42P 3 R34 Q84 + 13P 6 R33 Q84 + 94P 9 R32 Q84 + 12P 2 R35 Q83 + 3P 5 R34 Q83 + 54P 8 R33 Q83 + 83P 11 R32 Q83 + 86P R36 Q82 + 21P 4 R35 Q82 + 44P 7 R34 Q82 + 39P 10 R33 Q82 + 42R37 Q81 + 18P 3 R36 Q81 + 41P 6 R35 Q81 + 14P 9 R34 Q81 + 4P 2 R37 Q80 + 41P 5 R36 Q80 + 29P 8 R35 Q80 + 66P 11 R34 Q80 + 20P R38 Q79 + 81P 4 R37 Q79 + 100P 7 R36 Q79 + 2P 10 R35 Q79 + 89R39 Q78 + 52P 3 R38 Q78 + 75P 6 R37 Q78 + 66P 9 R36 Q78 + 88P 2 R39 Q77 + 103P 5 R38 Q77 + 73P 8 R37 Q77 + 34P 11 R36 Q77 + 80P R40 Q76 + 26P 4 R39 Q76 + 59P 7 R38 Q76 + 78P 10 R37 Q76 + 66R41 Q75 + 28P 3 R40 Q75 + 44P 6 R39 Q75 + 10P 9 R38 Q75 + 18P 2 R41 Q74 + 36P 5 R40 Q74 + 28P 8 R39 Q74 + 83P 11 R38 Q74 + 99P R42 Q73 + 62P 4 R41 Q73 + 59P 7 R40 Q73 + 27P 10 R39 Q73 + 56R43 Q72 + 47P 3 R42 Q72 + 6P 6 R41 Q72 + 75P 9 R40 Q72 + 66P 2 R43 Q71 + 6P 5 R42 Q71 + 65P 8 R41 Q71 + 15P 11 R40 Q71 + 35P R44 Q70 + 39P 4 R43 Q70 + 80P 7 R42 Q70 + 24P 10 R41 Q70 + 19R45 Q69 + 89P 3 R44 Q69 + 85P 6 R43 Q69 + 2P 9 R42 Q69 + 47P 2 R45 Q68 + 96P 5 R44 Q68 + 98P 8 R43 Q68 + 80P 11 R42 Q68 + 25P R46 Q67 + 69P 4 R45 Q67 + 52P 7 R44 Q67 + 90P 10 R43 Q67 + 72R47 Q66 + 29P 3 R46 Q66 + 74P 6 R45 Q66 + 71P 9 R44 Q66 + 52P 2 R47 Q65 + 23P 5 R46 Q65 + 15P 8 R45 Q65 + 16P 11 R44 Q65 + 46P R48 Q64 + 2P 4 R47 Q64 + 83P 7 R46 Q64 + 54P 10 R45 Q64 + 32R49 Q63 + 30P 3 R48 Q63 + 98P 6 R47 Q63 + 78P 9 R46 Q63 +

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63P 2 R49 Q62 + 30P 5 R48 Q62 + 104P 8 R47 Q62 + 96P 11 R46 Q62 + 15P R50 Q61 + 83P 4 R49 Q61 + 9P 7 R48 Q61 + 73P 10 R47 Q61 + 25R51 Q60 + 38P 3 R50 Q60 + 90P 6 R49 Q60 + 96P 9 R48 Q60 + 12P 2 R51 Q59 + 67P 5 R50 Q59 + 15P 8 R49 Q59 + 74P 11 R48 Q59 + 34P R52 Q58 + 4P 4 R51 Q58 + 43P 7 R50 Q58 + 13P 10 R49 Q58 + 14R53 Q57 + 52P 3 R52 Q57 + 28P 6 R51 Q57 + 21P 9 R50 Q57 + 98P 2 R53 Q56 + P 5 R52 Q56 + 16P 8 R51 Q56 + 82P 11 R50 Q56 + 103P R54 Q55 + 101P 4 R53 Q55 + 49P 7 R52 Q55 + 23P 10 R51 Q55 + 50R55 Q54 + 95P 3 R54 Q54 + 29P 6 R53 Q54 + 41P 9 R52 Q54 + 69P 2 R55 Q53 + 103P 5 R54 Q53 + 4P 8 R53 Q53 + 41P 11 R52 Q53 + 79P R56 Q52 + 55P 4 R55 Q52 + 11P 7 R54 Q52 + 62P 10 R53 Q52 + 73R57 Q51 + 64P 3 R56 Q51 + 18P 6 R55 Q51 + 91P 9 R54 Q51 + 86P 2 R57 Q50 + 75P 5 R56 Q50 + 105P 8 R55 Q50 + 48P 11 R54 Q50 + 33P R58 Q49 + 63P 4 R57 Q49 + 40P 7 R56 Q49 + 98P 10 R55 Q49 + 73R59 Q48 + 47P 3 R58 Q48 + 88P 6 R57 Q48 + 52P 9 R56 Q48 + 26P 2 R59 Q47 + 91P 8 R57 Q47 + 87P 11 R56 Q47 + 29P R60 Q46 + 49P 4 R59 Q46 + 16P 7 R58 Q46 + 23P 10 R57 Q46 + 104R61 Q45 + 22P 3 R60 Q45 + 65P 6 R59 Q45 + 40P 9 R58 Q45 + 20P 2 R61 Q44 + 18P 5 R60 Q44 + 53P 8 R59 Q44 + 45P 11 R58 Q44 + 45P R62 Q43 + 75P 4 R61 Q43 + 18P 7 R60 Q43 + 44P 10 R59 Q43 + 65R63 Q42 + 27P 3 R62 Q42 + 82P 6 R61 Q42 + 99P 9 R60 Q42 + 78P 2 R63 Q41 + 77P 5 R62 Q41 + 86P 8 R61 Q41 + 34P 11 R60 Q41 + 10P R64 Q40 + 11P 4 R63 Q40 + 87P 7 R62 Q40 + 11P 10 R61 Q40 + 68R65 Q39 + 93P 3 R64 Q39 + 88P 6 R63 Q39 + 88P 9 R62 Q39 + 102P 2 R65 Q38 + 3P 5 R64 Q38 + 47P 8 R63 Q38 + 86P 11 R62 Q38 + 33P R66 Q37 + 75P 4 R65 Q37 + 62P 7 R64 Q37 + 72P 10 R63 Q37 + 43R67 Q36 + 93P 3 R66 Q36 + 85P 6 R65 Q36 + 99P 9 R64 Q36 + 47P 2 R67 Q35 + 84P 5 R66 Q35 + 5P 8 R65 Q35 + 62P 11 R64 Q35 + 38P R68 Q34 + 77P 4 R67 Q34 + 44P 7 R66 Q34 + 51P 10 R65 Q34 + 17R69 Q33 + 70P 3 R68 Q33 + 27P 6 R67 Q33 + 43P 9 R66 Q33 + 91P 2 R69 Q32 + 93P 5 R68 Q32 + 105P 8 R67 Q32 + 59P 11 R66 Q32 + 97P R70 Q31 + 61P 4 R69 Q31 + 83P 7 R68 Q31 + 95P 10 R67 Q31 + 47R71 Q30 + 80P 3 R70 Q30 + 4P 6 R69 Q30 + 32P 9 R68 Q30 + 2P 2 R71 Q29 + 60P 5 R70 Q29 + 55P 8 R69 Q29 + 100P 11 R68 Q29 + 37P R72 Q28 + 81P 4 R71 Q28 + 55P 7 R70 Q28 + 90P 10 R69 Q28 + 85R73 Q27 + 38P 3 R72 Q27 + 92P 6 R71 Q27 + 77P 9 R70 Q27 + 88P 2 R73 Q26 + 56P 5 R72 Q26 + 56P 8 R71 Q26 + 21P 11 R70 Q26 + 76P R74 Q25 + 101P 4 R73 Q25 + 68P 7 R72 Q25 + 103P 10 R71 Q25 + 17R75 Q24 + 62P 3 R74 Q24 + 41P 6 R73 Q24 + 6P 9 R72 Q24 + 77P 2 R75 Q23 + 46P 5 R74 Q23 + 60P 8 R73 Q23 + 95P 11 R72 Q23 + 24P R76 Q22 + 88P 4 R75 Q22 + 46P 7 R74 Q22 + 33P 10 R73 Q22 + 52R77 Q21 + 48P 3 R76 Q21 + 33P 6 R75 Q21 + 75P 9 R74 Q21 + 84P 2 R77 Q20 + 9P 5 R76 Q20 + 4P 8 R75 Q20 + 51P 11 R74 Q20 + 75P R78 Q19 + 56P 4 R77 Q19 + 78P 7 R76 Q19 + 39P 10 R75 Q19 + 36R79 Q18 + 73P 3 R78 Q18 + 11P 6 R77 Q18 + 29P 9 R76 Q18 + 12P 2 R79 Q17 + 49P 5 R78 Q17 + 33P 8 R77 Q17 + 20P 11 R76 Q17 + 21P R80 Q16 + 80P 4 R79 Q16 + 90P 7 R78 Q16 + 78P 10 R77 Q16 + 97R81 Q15 + 43P 3 R80 Q15 + 22P 6 R79 Q15 + 3P 9 R78 Q15 + 15P 2 R81 Q14 + 10P 5 R80 Q14 + 105P 8 R79 Q14 + 91P 11 R78 Q14 + 37P R82 Q13 + 57P 4 R81 Q13 + 11P 7 R80 Q13 + 35P 10 R79 Q13 + 86R83 Q12 + 97P 3 R82 Q12 + 12P 6 R81 Q12 + 72P 9 R80 Q12 + 9P 2 R83 Q11 + 95P 5 R82 Q11 + 69P 8 R81 Q11 + 57P 11 R80 Q11 + 77P R84 Q10 + 98P 4 R83 Q10 + 77P 7 R82 Q10 + 47P 10 R81 Q10 + 104R85 Q9 + 105P 3 R84 Q9 + 61P 6 R83 Q9 + 84P 9 R82 Q9 + 49P 2 R85 Q8 + 90P 5 R84 Q8 + 45P 8 R83 Q8 + 62P R86 Q7 + 77P 4 R85 Q7 + 39P 7 R84 Q7 + 87R87 Q6 + 23P 3 R86 Q6 + 90P 6 R85 Q6 + 70P 2 R87 Q5 + 39P 5
R86 Q5 + 9P R88 Q4 + 35P 4 R87 Q4 + 64R89 Q3 + 70P 3 R88 Q3 + 22P 2 R89 Q2 + 39P R90 Q + 92R91 = Q107 (Q3 − R2 )10 − 107(6Q137 − 173P 2 Q136 − 211P 4 Q135 − 328P RQ135 − 20P 6 Q134 + 514R2 Q134 − 156P 3 RQ134 + 2P 8 Q133 + 7P 2 R2 Q133 − 134P 5 RQ133 − 335P 10 Q132 + 258P R3 Q132 + 94P 4 R2 Q132 − 456P 7 RQ132 − 20P 12 Q131 + 126R4 Q131 − 140P 3 R3 Q131 + 115P 6 R2 Q131 + 208P 9 RQ131 − 39P 2 R4 Q130 + 132P 5 R3 Q130 − 153P 8 R2 Q130 − 44P 11 RQ130 − 30P R5 Q129 + 189P 4 R4 Q129 − 44P 7 R3 Q129 + 22P 10 R2 Q129 + 297R6 Q128 + 84P 3 R5 Q128 − 79P 6 R4 Q128 − 368P 9 R3 Q128 − 515P 12 R2 Q128 − 339P 2 R6 Q127 − 88P 5 R5 Q127 + 329P 8 R4 Q127 + 96P 11 R3 Q127 + 188P R7 Q126 + 279P 4 R6 Q126 − 144P 7 R5 Q126 + 79P 10 R4 Q126 + 159R8 Q125 + 32P 3 R7 Q125 + 80P 6 R6 Q125 + 242P 9 R5 Q125 − 310P 12 R4 Q125 − 148P 2 R8 Q124 + 228P 5 R7 Q124 − 349P 8 R6 Q124 +148P 11 R5 Q124 +332P R9 Q123 +38P 4 R8 Q123 +368P 7 R7 Q123 + 51P 10 R6 Q123 + 57R10 Q122 − 320P 3 R9 Q122 − 420P 6 R8 Q122 + 26P 9 R7 Q122 − 425P 12 R6 Q122 −

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60

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p26 (179t + 163) ≡ 0 (mod 179) 12ϑ 69P Q47 + 71P 3 Q46 + 48RQ46 + 81P 5 Q45 + 169P 2 RQ45 + 32P 7 Q44 + 158P R2 Q44 + 57P 4 RQ44 + 122P 9 Q43 + 118R3 Q43 + 108P 3 R2 Q43 + 163P 6 RQ43 + 14P 11 Q42 + 130P 2 R3 Q42 + 124P 5 R2 Q42 +77P 8 RQ42 +63P R4 Q41 +33P 4 R3 Q41 +129P 7 R2 Q41 +15P 10 RQ41 +99R5 Q40 + 30P 3 R4 Q40 + 154P 6 R3 Q40 + 63P 9 R2 Q40 + 6P 2 R5 Q39 + 110P 5 R4 Q39 + 84P 8 R3 Q39 + 29P 11 R2 Q39 + 86P R6 Q38 + 36P 4 R5 Q38 + 122P 7 R4 Q38 + 141P 10 R3 Q38 + 120R7 Q37 + 73P 3 R6 Q37 + 103P 6 R5 Q37 + 24P 9 R4 Q37 + 91P 2 R7 Q36 + 80P 5 R6 Q36 + 157P 8 R5 Q36 + 153P 11 R4 Q36 + 87P R8 Q35 + 19P 4 R7 Q35 + 56P 7 R6 Q35 + 144P 10 R5 Q35 + 17R9 Q34 + 85P 3 R8 Q34 + 125P 6 R7 Q34 + 128P 9 R6 Q34 + 77P 2 R9 Q33 + 176P 5 R8 Q33 + 113P 8 R7 Q33 +

61

108P 11 R6 Q33 + 75P R10 Q32 + 73P 4 R9 Q32 + 118P 7 R8 Q32 + 103P 10 R7 Q32 + 49R11 Q31 + 175P 3 R10 Q31 + 127P 6 R9 Q31 + 104P 9 R8 Q31 + 4P 2 R11 Q30 + 77P 5 R10 Q30 + 166P 8 R9 Q30 + 134P 11 R8 Q30 + 150P R12 Q29 + 164P 4 R11 Q29 + 44P 7 R10 Q29 + 44P 10 R9 Q29 + 47R13 Q28 + 48P 3 R12 Q28 + 138P 6 R11 Q28 + 150P 9 R10 Q28 + 25P 2 R13 Q27 + 75P 5 R12 Q27 + 174P 8 R11 Q27 + 43P 11 R10 Q27 + 52P R14 Q26 + 167P 4 R13 Q26 + 163P 7 R12 Q26 + 156P 10 R11 Q26 + 76R15 Q25 + 163P 3 R14 Q25 + 11P 6 R13 Q25 + 155P 9 R12 Q25 + 32P 2 R15 Q24 + 68P 5 R14 Q24 + 41P 8 R13 Q24 + 57P 11 R12 Q24 + 168P R16 Q23 + 128P 4 R15 Q23 + 40P 7 R14 Q23 + 162P 10 R13 Q23 + 96R17 Q22 + 74P 3 R16 Q22 + 25P 6 R15 Q22 + 145P 9 R14 Q22 + 100P 2 R17 Q21 + 33P 5 R16 Q21 + 41P 8 R15 Q21 + 103P 11 R14 Q21 + 130P R18 Q20 + 73P 4 R17 Q20 + 36P 7 R16 Q20 + 10P 10 R15 Q20 + 157R19 Q19 + 5P 3 R18 Q19 + 13P 6 R17 Q19 + 37P 9 R16 Q19 + 137P 2 R19 Q18 + 159P 5 R18 Q18 + 96P 8 R17 Q18 + 130P 11 R16 Q18 + 94P R20 Q17 + 129P 4 R19 Q17 + 174P 7 R18 Q17 + 28P 10 R17 Q17 + 20R21 Q16 + 58P 3 R20 Q16 + 11P 6 R19 Q16 + 100P 9 R18 Q16 + 121P 2 R21 Q15 + 104P 5 R20 Q15 + 126P 8 R19 Q15 + 139P 11 R18 Q15 + 106P R22 Q14 + 72P 4 R21 Q14 + 65P 7 R20 Q14 + 58P 10 R19 Q14 + 115R23 Q13 + P 3 R22 Q13 + 54P 6 R21 Q13 + 121P 9 R20 Q13 + 112P 2 R23 Q12 + 68P 5 R22 Q12 + 111P 8 R21 Q12 + 107P 11 R20 Q12 + 12P R24 Q11 + 137P 4 R23 Q11 + 3P 7 R22 Q11 + 8P 10 R21 Q11 + 41R25 Q10 + 152P 3 R24 Q10 + 142P 6 R23 Q10 + 178P 9 R22 Q10 + 55P 2 R25 Q9 + 126P 5 R24 Q9 + 160P 8 R23 Q9 + 151P 11 R22 Q9 + 156P R26 Q8 + 21P 4 R25 Q8 + 107P 7 R24 Q8 + 119P 10 R23 Q8 + 178R27 Q7 + 13P 3 R26 Q7 + 66P 6 R25 Q7 + 147P 9 R24 Q7 + 27P 2 R27 Q6 + 138P 5 R26 Q6 + 69P 8 R25 Q6 + 111P 11 R24 Q6 + 118P R28 Q5 + 74P 4 R27 Q5 + 34P 7 R26 Q5 + 46P 10 R25 Q5 + 42R29 Q4 + 103P 3 R28 Q4 + 74P 6 R27 Q4 + 81P 9 R26 Q4 + 27P 2 R29 Q3 + 34P 5 R28 Q3 + 27P 8 R27 Q3 + 36P 11 R26 Q3 + 17P R30 Q2 + 22P 4 R29 Q2 + 178P 7 R28 Q2 + 110P 10 R27 Q2 + 134R31 Q
+ 118P 3 R30 Q + 123P 6 R29 Q + 64P 9 R28 Q + 132P 2 R31 + 82P 5 R30 + 145P 8 R29 + 13P 11 R28 = (Q3 − R2 )16 − 179(2Q48 − 66P 2 Q47 − 70P 4 Q46 + 34P RQ46 − 77P 6 Q45 + 62R2 Q45 − 96P 3 RQ45 − 24P 8 Q44 + 18P 2 R2 Q44 + 36P 5 RQ44 − 122P 10 Q43 + 40P R3 Q43 − 50P 4 R2 Q43 − 124P 7 RQ43 − 14P 12 Q42 + 131R4 Q42 − 28P 3 R3 Q42 + 49P 6 R2 Q42 + 44P 9 RQ42 + 57P 2 R4 Q41 + 102P 5 R3 Q41 −48P 8 R2 Q41 −30P R5 Q40 +8P 4 R4 Q40 −20P 7 R3 Q40 −34P 10 R2 Q40 +114R6 Q39 + 36P 3 R5 Q39 + 46P 6 R4 Q39 − 18P 9 R3 Q39 − 29P 12 R2 Q39 − 63P 2 R6 Q38 + 78P 5 R5 Q38 − 24P 8 R4 Q38 − 96P 11 R3 Q38 − 30P R7 Q37 − 39P 4 R6 Q37 + 16P 7 R5 Q37 + 129P 10 R4 Q37 + 115R8 Q36 − 12P 3 R7 Q36 + 34P 6 R6 Q36 − 106P 9 R5 Q36 − 153P 12 R4 Q36 + 6P 2 R8 Q35 + 96P 5 R7 Q35 +102P 8 R6 Q35 +76P R9 Q34 −47P 4 R8 Q34 −48P 7 R7 Q34 +14P 10 R6 Q34 +7R10 Q33 + 44P 3 R9 Q33 − 44P 6 R8 Q33 + 16P 9 R7 Q33 − 108P 12 R6 Q33 − 18P 2 R10 Q32 + 84P 5 R9 Q32 + 18P 8 R8 Q32 + 12P 11 R7 Q32 + 62P R11 Q31 − 68P 4 R10 Q31 − 24P 7 R9 Q31 − 10P 10 R8 Q31 + 100R12 Q30 + 140P 3 R11 Q30 + 61P 6 R10 Q30 − 44P 9 R9 Q30 − 134P 12 R8 Q30 − 144P 2 R12 Q29 − 84P 5 R11 Q29 + 138P 8 R10 Q29 + 60P 11 R9 Q29 + 72P R13 Q28 + 131P 4 R12 Q28 − 40P 7 R11 Q28 − 63P 10 R10 Q28 + 4R14 Q27 + 84P 3 R13 Q27 + 20P 6 R12 Q27 − 12P 9 R11 Q27 − 43P 12 R10 Q27 − 21P 2 R14 Q26 − 96P 5 R13 Q26 − 36P 8 R12 Q26 − 108P 11 R11 Q26 + 40P R15 Q25 − 7P 4 R14 Q25 + 104P 7 R13 Q25 + 8P 10 R12 Q25 + 170R16 Q24 + 100P 3 R15 Q24 − 50P 6 R14 Q24 + 122P 9 R13 Q24 − 57P 12 R12 Q24 − 102P 2 R16 Q23 − 78P 5 R15 Q23 + 9P 8 R14 Q23 − 84P 11 R13 Q23 + 64P R17 Q22 + 31P 4 R16 Q22 + 16P 7 R15 Q22 − 52P 10 R14 Q22 + 84R18 Q21 − 64P 3 R17 Q21 − 13P 6 R16 Q21 + 50P 9 R15 Q21 − 103P 12 R14 Q21 − 3P 2 R18 Q20 + 36P 5 R17 Q20 + 39P 8 R16 Q20 + 108P 11 R15 Q20 − 44P R19 Q19 + 114P 4 R18 Q19 + 112P 7 R17 Q19 − 9P 10 R16 Q19 + 126R20 Q18 − 100P 3 R19 Q18 − 145P 6 R18 Q18 − 20P 9 R17 Q18 − 130P 12 R16 Q18 + 42P 2 R20 Q17 − 54P 8 R18 Q17 + 108P 11 R17 Q17 + 94P R21 Q16 + 42P 4 R20 Q16 + 104P 7 R19 Q16 − 45P 10 R18 Q16 + 72R22 Q15 − 104P 3 R21 Q15 − 63P 6 R20 Q15 − 8P 9 R19 Q15 − 139P 12 R18 Q15 + 15P 2 R22 Q14 + 12P 5 R21 Q14 + 60P 8 R20 Q14 + 60P 11 R19 Q14 − 78P R23 Q13 + 129P 4 R22 Q13 − 28P 7 R21 Q13 − 92P 10 R20 Q13 + 78R24 Q12 + 8P 3 R23 Q12 + 55P 6 R22 Q12 + 54P 9 R21 Q12 − 107P 12 R20 Q12 + 66P 2 R24 Q11 − 18P 5 R23 Q11 + 159P 8 R22 Q11 + 132P 11 R21 Q11 + 96P R25 Q10 − 104P 4 R24 Q10 − 52P 7 R23 Q10 − 77P 10 R22 Q10 + 168R26 Q9 − 12P 3 R25 Q9 − 39P 6 R24 Q9 + 2P 9 R23 Q9 − 151P 12 R22 Q9 − 129P 2 R26 Q8 + 126P 5 R25 Q8 −12P 8 R24 Q8 −50P R27 Q7 +61P 4 R26 Q7 −16P 7 R25 Q7 −82P 10 R24 Q7 +70R28 Q6 +

62

72P 3 R27 Q6 − 64P 6 R26 Q6 + 26P 9 R25 Q6 − 111P 12 R24 Q6 − 93P 2 R28 Q5 − 24P 5 R27 Q5 + 3P 8 R26 Q5 −14P R29 Q4 −77P 4 R28 Q4 +96P 7 R27 Q4 +25P 10 R26 Q4 +143R30 Q3 +100P 3 R29 Q3 + 98P 6 R28 Q3 + 46P 9 R27 Q3 − 36P 12 R26 Q3 + 123P 2 R30 Q2 + 66P 5 R29 Q2 − 36P 8 R28 Q2 − 96P 11 R27 Q2 − 140P R31 Q − 120P 4 R30 Q − 112P 7 R29 Q − 59P 10 R28 Q + 3R32 − 136P 3 R31 − 82P 6 R30 − 146P 9 R29 − 13P 12 R28 )

p24 (2411t + 2410) ≡ 0 (mod 2411) 12ϑ 2315R1609 + 2171P QR1608 + 2141P 2 Q2 R1607 + 100Q3 R1607 + 2231P 3 Q3 R1606 + 759P Q4 R1606 + 524P 4 Q4 R1605 + 221P 2 Q5 R1605 + 2086P 5 Q5 R1604 + 479Q6 R1605 + 730P 3 Q6 R1604 + 1841P 6 Q6 R1603 + 1061P Q7 R1604 + 72P 4 Q7 R1603 + 263P 7 Q7 R1602 + 402P 2 Q8 R1603 + 520P 5 Q8 R1602 + 100P 8 Q8 R1601 + 2099Q9 R1603 + 219P 3 Q9 R1602 + 614P 6 Q9 R1601 + 1345P 9 Q9 R1600 + 1879P Q10 R1602 + 1527P 4 Q10 R1601 + 734P 7 Q10 R1600 + 335P 10 Q10 R1599 + 59P 2 Q11 R1601 + 1489P 5 Q11 R1600 + 1012P 8 Q11 R1599 + 43Q12 R1601 + 1435P 3 Q12 R1600 + 283P 6 Q12 R1599 + 703P 9 Q12 R1598 + 235P Q13 R1600 + 1815P 4 Q13 R1599 + 1229P 7 Q13 R1598 + 382P 10 Q13 R1597 + 862P 2 Q14 R1599 + 473P 5 Q14 R1598 + 512P 8 Q14 R1597 + 1269Q15 R1599 + 1207P 3 Q15 R1598 + 1257P 6 Q15 R1597 + 931P 9 Q15 R1596 + 1011P Q16 R1598 + 1287P 4 Q16 R1597 + 1542P 7 Q16 R1596 + 799P 10 Q16 R1595 + 218P 2 Q17 R1597 + 534P 5 Q17 R1596 + 518P 8 Q17 R1595 + 164Q18 R1597 + 2097P 3 Q18 R1596 + 2376P 6 Q18 R1595 + 46P 9 Q18 R1594 + 507P Q19 R1596 + 1430P 4 Q19 R1595 + 1704P 7 Q19 R1594 + 271P 10 Q19 R1593 + 509P 2 Q20 R1595 + 1709P 5 Q20 R1594 + 1442P 8 Q20 R1593 + 1177Q21 R1595 + 2252P 3 Q21 R1594 + 15P 6 Q21 R1593 + 1481P 9 Q21 R1592 + 2377P Q22 R1594 + 490P 4 Q22 R1593 + 2405P 7 Q22 R1592 + 1131P 10 Q22 R1591 + 123P 2 Q23 R1593 + 1255P 5 Q23 R1592 + 76P 8 Q23 R1591 + 1209Q24 R1593 + 661P 3 Q24 R1592 + 1561P 6 Q24 R1591 + 851P 9 Q24 R1590 + 477P Q25 R1592 + 1080P 4 Q25 R1591 + 1401P 7 Q25 R1590 + 1141P 10 Q25 R1589 + 2164P 2 Q26 R1591 + 1407P 5 Q26 R1590 + 1893P 8 Q26 R1589 + 1695Q27 R1591 + 2380P 3 Q27 R1590 + 96P 6 Q27 R1589 + 481P 9 Q27 R1588 + 892P Q28 R1590 + 1483P 4 Q28 R1589 + 1858P 7 Q28 R1588 +2395P 10 Q28 R1587 +1919P 2 Q29 R1589 +2123P 5 Q29 R1588 +2367P 8 Q29 R1587 + 1417Q30 R1589 + 132P 3 Q30 R1588 + 490P 6 Q30 R1587 + 2314P 9 Q30 R1586 + 987P Q31 R1588 + 518P 4 Q31 R1587 + 1679P 7 Q31 R1586 + 664P 10 Q31 R1585 + 2111P 2 Q32 R1587 + 2302P 5 Q32 R1586 + 720P 8 Q32 R1585 + 2251Q33 R1587 + 2347P 3 Q33 R1586 + 104P 6 Q33 R1585 + 1620P 9 Q33 R1584 + 2040P Q34 R1586 + 2185P 4 Q34 R1585 + 690P 7 Q34 R1584 + 1588P 10 Q34 R1583 + 1731P 2 Q35 R1585 + 1815P 5 Q35 R1584 + 772P 8 Q35 R1583 + 520Q36 R1585 + 1385P 3 Q36 R1584 + 143P 6 Q36 R1583 + 136P 9 Q36 R1582 + 1548P Q37 R1584 + 777P 4 Q37 R1583 + 680P 7 Q37 R1582 + 981P 10 Q37 R1581 + 940P 2 Q38 R1583 + 174P 5 Q38 R1582 + 620P 8 Q38 R1581 + 4Q39 R1583 + 2384P 3 Q39 R1582 + 418P 6 Q39 R1581 + 1654P 9 Q39 R1580 + 1343P Q40 R1582 + 1712P 4 Q40 R1581 + 746P 7 Q40 R1580 + 1401P 10 Q40 R1579 + 617P 2 Q41 R1581 + 91P 5 Q41 R1580 + 579P 8 Q41 R1579 + 2019Q42 R1581 + 79P 3 Q42 R1580 + 1642P 6 Q42 R1579 + 103P 9 Q42 R1578 + 456P Q43 R1580 + 592P 4 Q43 R1579 + 274P 7 Q43 R1578 + 334P 10 Q43 R1577 + 206P 2 Q44 R1579 + 49P 5 Q44 R1578 + 134P 8 Q44 R1577 + 82Q45 R1579 + 1461P 3 Q45 R1578 + 778P 6 Q45 R1577 + 673P 9 Q45 R1576 + 199P Q46 R1578 + 575P 4 Q46 R1577 + 378P 7 Q46 R1576 + 2234P 10 Q46 R1575 + 2327P 2 Q47 R1577 + 1091P 5 Q47 R1576 + 1604P 8 Q47 R1575 + 1591Q48 R1577 + 1374P 3 Q48 R1576 + 2372P 6 Q48 R1575 + 1363P 9 Q48 R1574 + 1171P Q49 R1576 + 2142P 4 Q49 R1575 + 1428P 7 Q49 R1574 + 1517P 10 Q49 R1573 + 691P 2 Q50 R1575 + 440P 5 Q50 R1574 + 1962P 8 Q50 R1573 + 220Q51 R1575 + 2055P 3 Q51 R1574 + 752P 6 Q51 R1573 + 2203P 9 Q51 R1572 + 1781P Q52 R1574 + 2068P 4 Q52 R1573 + 1683P 7 Q52 R1572 + 180P 10 Q52 R1571 + 1202P 2 Q53 R1573 + 2090P 5 Q53 R1572 + 1905P 8 Q53 R1571 + 2232Q54 R1573 + 1909P 3 Q54 R1572 + 365P 6 Q54 R1571 + 1792P 9 Q54 R1570 + 514P 4 Q55 R1571 + 1603P 7 Q55 R1570 + 55P 10 Q55 R1569 + 2210P 2 Q56 R1571 + 755P 5 Q56 R1570 + 2051P 8 Q56 R1569 + 367Q57 R1571 + 913P 3 Q57 R1570 + 1120P 6 Q57 R1569 + 338P 9 Q57 R1568 + 2096P Q58 R1570 + 37P 4 Q58 R1569 + 1912P 7 Q58 R1568 +

63

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972P 2 Q2390 R15 + 1499P 5 Q2390 R14 + 1728P 8 Q2390 R13 + 1030Q2391 R15 + 782P 3 Q2391 R14 937P 6 Q2391 R13 + 902P 9 Q2391 R12 + 602P Q2392 R14 + 1325P 4 Q2392 R13 + 995P 7 Q2392 R12 186P 10 Q2392 R11 + 1976P 2 Q2393 R13 + 511P 5 Q2393 R12 + 1441P 8 Q2393 R11 + 1443Q2394 R13 386P 3 Q2394 R12 + 856P 6 Q2394 R11 + 160P 9 Q2394 R10 + 99P Q2395 R12 + 68P 4 Q2395 R11 1246P 7 Q2395 R10 + 340P 10 Q2395 R9 + 765P 2 Q2396 R11 + 692P 5 Q2396 R10 + 2029P 8 Q2396 R9 677Q2397 R11 + 2114P 3 Q2397 R10 + 2050P 6 Q2397 R9 + 418P 9 Q2397 R8 + 1520P Q2398 R10 2372P 4 Q2398 R9 + 2334P 7 Q2398 R8 + 1736P 10 Q2398 R7 + 899P 2 Q2399 R9 + 222P 5 Q2399 R8 1311P 8 Q2399 R7 + 1598Q2400 R9 + 1839P 3 Q2400 R8 + 451P 6 Q2400 R7 + 243P 9 Q2400 R6 2046P Q2401 R8 + 2004P 4 Q2401 R7 + 848P 7 Q2401 R6 + 1877P 10 Q2401 R5 + 1593P 2 Q2402 R7 439P 5 Q2402 R6 + 515P 8 Q2402 R5 + 1103Q2403 R7 + 2008P 3 Q2403 R6 + 1839P 6 Q2403 R5 225P 9 Q2403 R4 + 2194P Q2404 R6 + 1463P 4 Q2404 R5 + 2008P 7 Q2404 R4 + 367P 10 Q2404 R3 2216P 2 Q2405 R5 + 1958P 5 Q2405 R4 + 1984P 8 Q2405 R3 + 15Q2406 R5 + 1574P 3 Q2406 R4 1043P 6 Q2406 R3 + 14P 9 Q2406 R2 + 1889P Q2407 R4 + 2365P 4 Q2407 R3 + 1935P 7 Q2407 R2 412P 10 Q2407 R + 1503P 2 Q2408 R3 + 844P 5 Q2408 R2 + 1900P 8 Q2408 R + 2402Q2409 R3 785P 3 Q2409 R2 + 800P 6 Q2409 R + 61P 9 Q2409 + 53P Q2410 R2 + 77P 4 Q2410 R
+ 1572P 7 Q2410 1689P 2 Q2411 R + 1232P 5 Q2411 + 1233Q2412 R + 946P 3 Q2412 + 2245P Q2413 ≡ Q2411 (Q3 − R2 ) (mod 2411)

100

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