ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN A3 Mã môn học: 1001113 Ngày thi: 13/01/2015 Nội dung

Câu

Điểm

Vẽ hình

0.25 2 −x 2

1

1.

I1 =

∫ dx ∫ f (x, y )dx −2

0.5

x

y

2

− 2−y

1

1

I1 =

2−y

∫ dy ∫ f (x, y )dx + ∫ dy ∫ −2

f (x , y )dx .

0.5

− 2−y

Vẽ hình

0.25

x = r cos ϕ  y = r sin ϕ  z = z 2π 2 4−r  2 2 3 x + y zdz = ∫ dϕ ∫ dr ∫ r zdz

I

4− x 2 +y 2

2.

I2 = 2

∫

∫ (

dxdy

2

x +y ≤4

2

x +y

4 −r    1 2  dr = r  z  2  r  

2

= 2π ∫

3

0

Đường

2

∫ r (16 − 8r )dr = 3

0

x + y 2 = 4x

π 2

K =

0

2

tròn

2.5 0.5

)

2

x = 2 + 2 cos t, y = 2 sin t, 1.

0

r

64π . 5

có

0.5

phương

trình

tham

số:

−π π ≤t ≤ . 2 2

0.5

  ∫ (2 + 2 cos t ) − (2 sin t )  2dt = 8π + 32 2

2

0.5

π − 2

II

Đặt P = e x −y (1 + x + y ),Q = e x −y (1 − x − y ). Ta có Py′ = Qx′ = −e x −y (x + y ) , do đó tích phân đã cho không phụ thuộc vào đường đi. 2.

(−5,−5)

K =

∫

(

d e

(−1,−1)

1.

(−5,−5)

x −y

(x + y )) = ∫

(−1,−1)

(

)

d u (x, y )

2.5 0.5

0.5

= u (−5, −5) − u (−1, −1) = 10 + 2 = 12.

0.5

divF = x 2 + z 2 + z , rotF = −2yzi + (x − 2xz ) j + 0k

0.5

Gọi Ω là vật thể giới hạn bởi mặt cong S. Khi đó thông lượng của trường F qua S O −G Φ=

III

∫∫ xzdydz + yz dxdz + x zdxdy 2

2

=

∫∫∫ (x

2

)

+ z 2 + z dxdydz

0.5

Ω

S

2.

Tổng

2.0

Đổi biến sang hệ tọa độ trụ, ta được 1

Φ=

∫∫

x 2 +z 2 ≤1

dxdz

∫ (x

2

)

+ y + z dy = 2

x 2 +z 2

2π

1

1

∫ dϕ ∫ dr ∫ r dy (do ∫∫∫ zdxdydz = 0 ). 2

0

0

r

0.5

Ω

0.5 IV

1.

xy ′ − y y y y = tan ⇔ y ′ = + tan . x x x x

0.5

3.0

y dz , phương trình trở thành x = tan z . x dx tan z = 0 ⇔ z = n π ⇔ y = n πx , n ∈ ℕ là nghiệm của phương trình. tan z ≠ 0 phương trình trở thành: dz dx = ⇔ ln | sin z |= ln | x | + ln | C | hay sin z = Cx . Thay vào ta có tích tan z x phân tổng quát của phương trình đã cho là: y sin = Cx hay y = x arcsin (Cx ). x Nghiệm của phương trình thuần nhất: y = C 1 cos (2x ) + C 2 sin (2x ).

Đặt z =

y ′′ + 4y = 3 cos x yr = a cos x + b sin x . Thay vào ta tìm được yr = cos x .

Một

nghiệm

riêng

của

phương

1

2.

trình

có

0.5

0.5

0.5

dạng 0.5

1

Một nghiệm riêng của phương trình y ′′ + 4y = 4e −2x có dạng yr = ke −2x . Thay vào 2

1 ta tìm được yr = e −2x . 2 2 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

0.5

1 y = y + yr = C 1 cos (2x ) + C 2 sin (2x ) + cos x + e −2x . 2 Tổng điểm

10.0