เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่ งเสริมโอลิมปิ กวิชาการฯ ศู นย์ สอวน. มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
[ ค่ายที่ 1 ] เรขาคณิต (Geometry) ================================================== ชื่อ-สกุล ............................................... โรงเรียน................................ จังหวัด.....................
==================================================
อ. วัฒนา เถาว์ ทิพย์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
2
1. บทนา และ ความรู้ พนื้ ฐาน 1.1 ประวัตคิ วามเป็ นมาโดยสังเขป เรขาคณิ ต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรี กว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิ ตในปัจจุบนั มีความแตกต่างออกไปมาก เพราะว่าวิชาเรขาคณิ ตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเนื่องและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และ เรขาคณิ ตที่ศึกษาในระดับมัธยมก็เป็ นเพียงเรขาคณิ ตของยูคลิด (Euclidean Geometry) ซึ่งถือว่าเป็ น พื้นฐานที่ทาให้มีวิวฒั นาการไปสู่เรขาคณิ ตแบบอื่นๆ จนเป็ นที่ยอมรับกันว่า ยูคลิดเป็ นบิดาแห่งวิชา เรขาคณิ ต เรขาคณิ ตสมัยก่อนเป็ นการศึกษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่ ทราบประวัติที่ สมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึ กว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหา พื้นที่ของสี่เหลียมผืนผ้าโดยใช้กว้างคูณยาว ชาวอียปิ ต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างปิ รามิดได้ซ่ึงถือ ได้ว่าเป็ นความสาเร็ จทางเรขาณิ ตจนกลายเป็ นสิ่งมหัศจรรย์ของโลก การศึกษาเรขาคณิ ตเริ่ มชัดเจนขึ้นโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียปิ ต์ (1650 B.C.) ต่อมาได้พฒั นาไปสู่กรี ก โดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีธากอรัส (Pythagorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุ งเอเธนส์ โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนัก คณิ ตศาสตร์ผยู้ งิ่ ใหญ่ ยูคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งเขียนหนังสือ 13 เล่มในชื่อว่า Elements จนเป็ นที่ ยอมรับว่าเป็ นตาราเรี ยนเล่มแรกของโลกที่ใช้กนั อย่างแพร่ หลาย และถือได้ว่าเป็ นแบบฉบับในการ เขียนตาราอื่นๆในสมัยนั้น และนิวตัน (Isaac Newton) ก็ได้เขียนหนังสือที่ยงิ่ ใหญ่อีกเล่มหนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements นี้ หลังจากสิ้นสุดยุคของยูคลิด โรมันเริ่ มเรื องอานาจแต่ไม่ได้พฒั นาทางคณิ ตศาสตร์เท่าที่ควร จน กล่าวกันว่าเป็ นยุคมืด (Dark ages)ของเรขาคณิ ต คณิ ตศาสตร์อยูใ่ นสภาพเกือบคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่งจะมาเจริ ญรุ่ งเรื องอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 ซึ่งเน้นไปทางดาราศาสตร์ และ ตรี โกณมิติ อย่างไรก็ ตามเรขาคณิ ตในแถบเอเชีย เช่นจีน และ อินเดีย ก็มีความเจริ ญรุ่ งเรื องเช่นกัน แต่การจารึ กหลักฐาน ไม่มนั่ คงถาวรเหมือนทางยุโรปจึงยากที่ทราบประวัติที่ชดั เจน ในศตวรรษที่ 17-18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิ ต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่ วมกัน จนได้ก่อกาเนิด วิชาแคลคูลสั และ เรขาคณิ ตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้น โดยนักคณิ ตศาสตร์ที่ สาคัญในยุคนี้ได้แก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz ในศตวรรษที่ 19 นักคณิ ตศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณิ ตอย่างจริ งจังอีกครั้ง จนเกิดมีเรขาคณิ ต ที่แตกต่างจากเรขาคณิ ตของยูคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
3
Geometry และ Spherical Geometryเป็ นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิ ต ทุกชนิดในปัจจุบนั โดยนักคณิ ตศาสตร์ที่สมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ Riemann อย่างไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยงั ถือว่าเป็ นต้นแบบของเรขาคณิ ตอื่นๆ และมีความสาคัญ ต่อชีวิตประจาวันเป็ นอย่างมาก และเนื่องจาก Elements เป็ นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่ องเป็ น ธรรมดา จนทาให้นกั คณิ ตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะ มีการเสริ มสร้างให้มีความสมบูรณ์ยงิ่ ขึ้น และนักคณิ ตศาสตร์ที่ได้รับการยกย่องว่างทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิ ตยูคลิดมีความสมบูรณ์ ขึ้นมาก็คือ David Hilbert (1862-1943) 1.2 สัจพจน์ ข้อที่ 5 ของยูคลิด ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิ ตของยูคลิด ประกอบด้วย นิยาม และสัจพ จน์ คานิยามที่ได้รับ การวิจารณ์มากเป็ นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง สิ่งที่ไม่มีความกว้ าง ความ ยาวและความหนา จนในที่สุดในปัจจุบนั ก็ให้ถือเป็ นคาอนิยาม ส่วนสัจพจน์ที่ได้รับการ วิพากษ์วิจารณ์มากที่สุด จนเกิดเป็ นเรขาคณิ ตชนิดอื่นๆขึ้นมาก็คือ สัจพจน์ขอ้ ที่ 5 ในสัจพจน์ ต่อไปนี้ 1. A straight line can be drawn from any point to any point 2. A finite straight line can be produced continuously in a straight line 3. A circle may be described with any point as center and any distance as radius 4. All right angles are equal to one another 5. If a transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the angles are less than two right angles. โดยใช้สจั พจน์ดงั กล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่นๆในเรขาคณิ ตของยูคลิต ที่ไม่ได้ นามากล่าวไว้ในที่น้ ี เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรู ปสามเหลียมย่อมรวมกันได้ สองมุม ฉาก แต่ถา้ มีการเปลี่ยนแปลงสัจพจน์ขอ้ ที่ 5 เป็ นอย่างอื่น เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้น ขนาน ตัดกันได้ ก็จะทาให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็ นอย่างมากในการคานวณระยะทางเกี่ยวกับการเดินเรื อรอบโลก โดยที่ เรขาคณิ ตของยูคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาในระยะทางใกล้ๆเท่านั้นเอง เรายกตัวอย่างนี้ข้ ึนมา เพียงเล็กน้ อยเพื่อให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิ ตชนิดอื่นที่นอกเหนือจากเรขาคณิ ตของยูคลิดที่เรี ยนใน ระดับมัธยมศึกษา ผูท้ ี่สนใจสามารถเลือกเรี ยนได้ในระดับที่สูงขึ้น และต่อไปนี้เราจะกล่าวถึง
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
4
เฉพาะเรขาคณิ ตของยูคลิดเท่านั้น ส่วนเนื้อหาและกิจกรรม ในเอกสารประกอบการอบรมครั้งนี้ โดยส่ วนใหญ่จะยึดตามแนวเอกสารประกอบการอบรมวิชาคณิ ต ศาสตร์ ในโครงการส่งเสริ ม โอลิมปิ กวิชาการและพัฒนามาตรฐานวิทยาศาสตร์ศึกษา ปี การศึกษา 2543 ของ ร .ศ.เที่ยง ภูมิ สะอาด และ เอกสารเสริ มความรู้วิชาคณิ ตศาสตร์ (เรขาคณิ ต ) ของ สถาบันส่งเสริ มการสอน วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี จึงขอขอบคุณไว้ ณ โอกาสนี้ อย่างไรก็ตามผูเ้ ขียนได้พยายามเพิ่มเติม ความรู้และประสบการณ์อื่นๆ ที่ได้รับมาจากการเรี ยน การสอนเรขาคณิ ตในระดับมัธยมศึกษา ตลอดจน การสอนคณิ ตศาสตร์ในระดับอุดมศึกษา ในส่วนที่คิดว่าจะส่งเสริ มความรู้ ทักษะ และ ประสบการณ์ให้กบั นักเรี ยนในโครงการ สอวน. ตลอดจนผูส้ นใจ ได้ตามสมควร 1.3 ลักษณะการศึกษาวิชาเรขาคณิต การศึกษาวิชาเรขาคณิ ต มีลกั ษณะเด่นในเรื่ องการพิสูจน์ มากว่าการคิดคานวณ ดังนั้นจึงนับว่า เป็ นวิชาพื้นฐานคณิ ตศาสตร์ทีสาคัญ โดยทัว่ ไปแล้วข้อความที่จะพิสูจน์ในทางเรขาคณิ ตจะเป็ น ข้อความที่จดั ให้อยูใ่ นรู ป “ ถ้า ……..แล้ว ………..” หรื ออาจจะเขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ทาง ตรรกศาสตร์ได้เป็ น “ p q ” และการพิสูจน์ขอ้ ความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ ได้ท้งั ในทางตรงและโดยทางอ้อม แต่ในทางเรขาคณิ ตส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โด ย ถือว่า p เป็ นเหตุ หรื อ สิ่งกาหนดให้ และ q เป็ นผล หรื อสิ่งที่ตอ้ งพิสูจน์ สิ่งที่นามาอ้างอิงในการ พิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท ที่ทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับสิ่งที่ กาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรื อสิ่งที่ตอ้ งพิสูจน์ นั้นเป็ นจริ ง ซึ่งถือว่าเป็ นทักษะ ทางความคิดที่สาคัญ และ แน่นอนที่สุด ทักษะดังกล่าวจะได้รับการส่งเสริ ม และ พัฒนาได้ตอ้ ง อาศัยการฝึ กฝนอยูเ่ ป็ นประจา ด้วยใจรัก เชื่อหรื อไม่ว่า ในตอนเป็ นเด็ก ของเล่นที่ ไอน์สไตน์ ประทับใจที่สุด สิ่งแรก คือ ...... ......เข็มทิศ ............และ ลาดับต่อมา ก็คือ ............. เรขาคณิ ต......... นี่เอง
1.4 ความรู้พนื้ ฐาน ความรู้พ้นื ฐานทางเรขาคณิ ตที่เรี ยนในระดับมัธยมศึกษา สรุ ปไว้เป็ นหมวดหมู่ ในลักษณะ ของนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท โดยนักเรี ยนควรฝึ กพิสูจน์ดว้ ยตัวเองให้ได้ทุกทฤษฎีบท
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
5
1.4.1 มุม นิยาม มุมขนาด 1 องศา หมายถึงมุมที่เกิดจากการแบ่งมุมรอบจุดออกเป็ น 360 ส่วนเท่าๆกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 1 มุมตรงทุกมุมมีขนาด 180 องศา ………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 2 มุมฉากทุกมุมมีขนาด 90 องศา ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.2 เส้ นขนาน นิยาม เส้นตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงสองเส้นอยูบ่ นระนาบเดียวกัน และไม่ตดั กัน ไม่ว่าจะต่อออกไปให้ยาวเท่าไรกตาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 3 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วขนาดของมุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… สัจพจน์ (สัจพจน์ ข้อที่ 5 ของยูคลิด) เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่น้ นั จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของขนาดของมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากับ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 4 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง แล้วมุมแย้งที่เกิดขึ้นย่อมมีขนาดเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 5 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง และมุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากัน แล้ว เส้นตรงคู่น้ นั ย่อมขนานกัน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.3 ทฤษฎีบทพืน้ ฐานเกีย่ วกับด้ าน และ มุม ของรูปสามเหลีย่ ม ทฤษฎีบท 6 ผลบวกของมุมภายในของรู ปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 7 ขนาดของมุมภายนอกของรู ปสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุม ภายในที่อยูต่ รงข้ามกับมุมภายนอก ………………………………………………………………………………………………………
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
6
นิยาม การเคลื่อนที่ของรู ปเรขาคณิ ต คือ การเปลี่ยนตาแหน่งของรู ปเรขาคณิ ตบนระนาบ โดยที่ ระยะห่างระหว่าจุดสองจุดใดๆของรู ปนั้นไม่เปลี่ยนแปลง ……………………………………………………………………………………………………… สัจพจน์ รู ปเรขาคณิ ตสามารถเคลื่อนที่ได้ สัจพจน์ เส้นตรงที่ไม่ขนานกันย่อมตัดกัน และตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น สัจพจน์ ระหว่างจุดสองจุด จะมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้น นิยาม รู ปเรขาคณิ ตเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อเคลื่อนที่รูปหนึ่งให้ทบั อีกรู ปหนึ่งได้สนิท ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 8 ถ้าสามเหลี่ยมสองรู ปใดๆ มีดา้ นยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่เท่ากันมี ขนาดเท่ากันแล้ว รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ด.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 9 ถ้าสามเหลี่ยมสองรู ปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่เป็ นแขนร่ วมระหว่าง มุมคู่ที่เท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ม.ด.ม.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 10 ถ้าสามเหลี่ยมสองรู ปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่อยูต่ รงข้ามมุมคู่ เท่ากันมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่ แล้ว รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ม.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 11 ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีดา้ นยาวเท่ากันทั้งสามด้าน แล้ว รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้น จะเท่ากันทุกประการ (ด.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 12 ถ้ารู ปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรู ปมีดา้ นตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีดา้ นอีกด้าน หนึ่งยาวเท่ากัน แล้ว รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ฉ.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 13 ในรู ปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ มุมที่อยูต่ รงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… สัจพจน์ ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ ผลบวกของด้านสองด้าน ย่อมยาวกว่าด้านที่สาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 14 ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ ด้านที่อยูต่ รงข้ามกับมุมที่มีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านที่ อยูต่ รงข้ามกับมุมที่มีขนาดเล็กกว่า ………………………………………………………………………………………………………
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
7
ทฤษฎีบท 15 ในรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากย่อมยาวที่สุด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 16 ในบรรดาส่วนของเส้นตรงทั้งหลายที่ลากจากจุดภายนอกของเส้นตรงเส้นหนึ่งไป ยังเส้นตรงเส้นนั้น จะมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่เป็ นเส้นตั้งฉาก และเส้นตรงนี้จะ เป็ นเส้นที่ส้ นั ที่สุด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 17 ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนสูงของสามเหลี่ยมทั้งสามย่อมพบกันที่จุดๆหนึ่ง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 18 ในรู ปสามเหลี่ยมมุมใดๆ เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ทั้งสามย่อมพบกันที่จุดๆและ จุดนั้นจะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็ นอัตราส่วน 2:1 ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 19 ในรู ปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ เส้นมัธยฐานที่ลากจากจุดยอด ย่อมตั้งฉากกับฐาน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.4 สามเหลีย่ มคล้าย นิยาม รู ปเรขาคณิ ตที่คล้ายกัน หมายถึงรู ปทีม่ ุมเท่ากันทุกคู่ และ อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน มี ค่าเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 20 ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีอตั ราส่ วนของด้านที่สมนัยกันมีค่าเท่ากัน แล้วสามเหลี่ยม สองรู ปย่อมคล้ายกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 21 ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมเท่ากันทั้งสามคู่ แล้วสามเหลี่ยมสองรู ปย่อมคล้ายกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 22 ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมเท่ากัน 1 คู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้าน ประกอบมุมนั้นเท่ากัน แล้วสามเหลี่ยมสองรู ปจะคล้ายกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 23 เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรู ปสามเหลี่ยมใดๆย่อมขนาน และ ยาว เป็ นครึ่ งหนึ่งของด้านที่สามของสามเหลี่ยมนั้น ………………………………………………………………………………………………………
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
8
1.4.5 สี่เหลีย่ มด้ านขาน นิยาม รู ปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หมายถึงรู ปสี่เหลี่ยมที่มีดา้ นขนานกันสองคู่ ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 24 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมยาวเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 25 ถ้ารู ปสี่เหลี่ยมรู ปหนึ่งมีดา้ นตรงข้ามยาวเท่ากันทั้งสองคู่ แล้ว สี่เหลี่ยมรู ปนั้นย่อม เป็ นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 26 ผลบวกของมุมภายในของรู ปสี่เหลี่ยมใดๆย่อมเท่ากับ 360 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 27 มุมตรงข้ามของรู ปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมมีขนาดเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 28 เส้นทแยงมุมของรู ปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมแบ่งครึ่ งซึ่งกันและกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 29 เส้นทแยงมุมของรู ปสี่เหลี่ยมด้านเท่าย่อมตั้งฉากกัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 30 เส้นขนานตั้งแต่สามเส้นขึ้นไป ตัดเส้นขวางสองเส้น อัตราส่วนของส่วนตัดย่อม เท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… นิยาม พื้นที่ 1 หน่วย หมายถึงพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ 1 หน่วย ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 31 พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า เท่ากับ กว้าง คูณ ยาว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 32 พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ สูง คูณ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 33 พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ ครึ่ งหนึ่งของ ผลคูณของสูง กับ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 34 (Pythagoras Theorem) ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุม ฉาก ย่อมเท่ากับ ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ………………………………………………………………………………………………………
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
9
1.4.6 วงกลม นิยาม วงกลมหมายถึงทางเดินของจุด (Locus) ซึ่งอยูห่ ่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็ นระยะทางคงตัว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 35 ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และมุมที่เส้นรอบวงของวงกลม รองรับด้วยส่วน โค้งเดียวกัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางย่อมมีขนาดเป็ นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 36 มุมในครึ่ งวงกลมย่อมเป็ นมุมฉาก ……………………………………………………………………………………………………… นิยาม รู ปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมหมายถึงรู ปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมทั้งสี่อยูบ่ นเส้นรอบวงของ วงกลม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 37 ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมเท่ากับ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากัน หรื อวงกลมเดียวกัน มุมที่เส้นรอบวงของวงกลมที่รองรับด้วย ส่วนโค้งที่เท่ากัน หรื อ ส่วนโค้งเดียวกัน ย่อมมีขนาดเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 39 ถ้าส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และตั้งฉากกับคอร์ดใดๆ แล้ว ส่วน ของเส้นตรงนั้นย่อมแบ่งครึ่ งคอร์ด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 40 ถ้าส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และแบ่งครึ่ งคอร์ดใดๆ แล้ว ส่วน ของเส้นตรงนั้นย่อมตั้งฉากกับคอร์ด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 41 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดที่ยาวเท่ากันย่อมอยูห่ ่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 42 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดที่อยูห่ ่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ย่อมยาวเท่ากับ ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 43 ในวงกลมที่เท่ากัน หรื อวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รองรับด้วย ส่วนโค้งที่เท่ากัน ย่อมมีขนาดเท่ากับ ………………………………………………………………………………………………………
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
10
1.4.7 ตัวอย่างข้ อสอบคัดเลือก เข้ า ค่ายที่ 1 ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่น (1) วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในที่จุด O จุด A อยูภ่ ายนอกวงกลมทั้งสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัสวงกลมวงเล็กที่จุด O และ P ตามลาดับ ถ้า AP ตัดวงกลมวงใหญ่ที่จุด T และต่อ ˆ SOP ˆ AP ไปตัดเส้นรอบวงที่จุด S จงพิสูจน์ว่า TOP
(2) ABC เป็ นรู ปสามเหลี่ยมใดๆ AD แบ่งพื้นที่ของ ABC ออกเป็ นสองส่วน โดยที่ พื้นที่ ˆ ˆ 2 ACD ของ ABD โตเป็ นสองเท่าของ ADC จากจุด D ลาก DE // BA พบ ถ้า ADB ˆ 30 จงแสดงวิธีหาขนาดของ AED ˆ พร้อมทั้งให้เหตุผลทุกขั้นตอน และ DAC A
30 E B
C
D
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
11
(3) D และ E เป็ นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ AC ของ ABC ตามลาดับ BE และ CD ตัด กันที่จุด P โดยที่ EDP มีพ้นื ที่ 4 ตารางนิ้ว PBC มีพ้นื ที่ 9 ตารางนิ้ว จงหาพื้นที่ ของ ABC
(4) ABC เป็ นสามเหลี่ยมแนบในวงกลมที่มี AB เป็ นเส้นผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็ นเส้น ˆ และ ABC ˆ ตามลาดับ PM และ QN ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M และ N แบ่งครึ่ ง BAC ˆ พร้อมทั้งให้เหตุผลทุกขั้นตอน ตามลาดับ จงแสดงวิธีหาขนาดของ MCN A
N
Q M C
P
B
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
12
2. สามเหลีย่ ม และ สามเหลีย่ มคล้ าย 2.1 บทนา รู ปสามเหลี่ยมถือว่าเป็ นพื้ นฐานในการศึกษารู ปหลายเหลี่ยมอื่นๆ เช่นการหาผลบวกของมุม ภายใน และ พื้นที่ ของรู ปหลายเหลี่ยม เราสามารถหาได้โดยการลากเส้นทแยงมุมที่ไม่ตดั กัน เพื่อ แบ่งย่อยเป็ นรู ปสามเหลี่ยม แล้วก็สามารถแก้ปัญหาได้ นอกจากนั้นปัญหาต่างๆในทางธรรมชาติก็ เกี่ยวของกับรู ปสามเหลี่ยมม ากมาย อย่างเช่น ทฤษฎีบทของปี ทา กอรัส การหาจุดรวมมวล และ อื่นๆ ในบทนี้เราจะเน้นศึกษาสมบัติพ้นื ฐานของรู ปสามเหลี่ยม ส่วนปัญหาต่างๆที่กาลังเป็ นที่สนใจ ในปัจจุบนั จะศึกษาในค่ายที่ 2 ต่อไป
2.2 สมบัติและทฤษฎีบทที่สาคัญเกี่ยวกับสามเหลี่ยม พืน้ ที่ของรูปสามเหลี่ยม นิยาม พื้นที่ 1 ตารางหน่วย หมายถึงพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ 1 หน่วย ทฤษฎีบท 1 พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่ งหนึ่งของผลคูณของสูงและฐาน พิสูจน์
ทฤษฎีบท 2 ถ้า a, b และ c เป็ นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของ ABC ตามลาดับ แล้ว พื้นที่ ABC =
1 1 1 bc sin A ac sin B ab sin C 2 2 2 A พิสูจน์ b
c
B B
a
C
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
ทฤษฎีบท 3 (Law of Sine) ถ้า a, b และ c เป็ นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของ ABC sin A sin B sin C a b c
ตามลาดับ แล้ว
พิสูจน์
A b
c
B B
C
a
ทฤษฎีบท 4 (Law of Cosine) ถ้า a, b และ c เป็ นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของ ABC ตามลาดับ แล้ว a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
พิสูจน์
A b
c
B B
a
C
13
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
ทฤษฎีบท 5 (Heron's Formula) ถ้า a, b และ c เป็ นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของ ABC ตามลาดับ แล้ว พื้นที่ ABC
s(s a)(s b)(s c)
2
พิสูจน์
A b
c
B B
เมื่อ s a b c
a
C
ทฤษฎีบทของ พีธากอรัส ทฤษฎีบทของพีธากอรัส ถือได้ว่าเป็ นทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดทฤษฎีหนึ่งในวิชา เรขาคณิ ต และมีผเู้ สนอวิธีการพิสูจน์มากมาย แต่ในที่น้ ีเราจะนามากล่าวพอสังเขป
14
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
15
ทฤษฎีบท 6 (Pythagoras's Theorem)ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้าม มุมฉาก ย่อมเท่ากับ ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก พิสูจน์ (1)
พิสูจน์ (2)
พิสูจน์ (3)
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
16
ทฤษฎีบท 7 (บทกลับของพีธากอรัส) ถ้า a, b และ c เป็ นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของ ABC ตามลาดับ และ c2 a2 b2 แล้ว ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม C เป็ นมุมฉาก พิสูจน์
จุดศูนย์ กลางวงล้ อม จุดรวมมวล และจุดออร์ โทเซนเตอร์ ในส่วนนี้จะกล่าวถึง เส้นแบ่งครึ่ งมุมภายในของสามเหลี่ยม เส้นมัธยฐาน (Median) และ ส่วนสูง (Altitude) ของรู ปสามเหลี่ยมพร้อมทั้งศึกษาคุณสมบัติบางประการของเส้นเหล่านั้น ทฤษฎีบท 8 เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมย่อมขนานกับด้านที่สามและ ยาวเป็ นครึ่ งหนึ่งของด้านที่สาม พิสูจน์
ทฤษฎีบท 9 ส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมย่อมแบ่งรู ป สามเหลี่ยมออกเป็ นรู ปสามเหลี่ยมย่อยสี่รูปที่เท่ากันทุกประการ พิสูจน์
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
17
ทฤษฎีบท 10 เส้นตรงที่แบ่งครึ่ งมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมย่อมพบกันที่จุดๆหนึ่ง และเรี ยกจุดนั้น ว่า จุดศูนย์กลางภายใน (Incenter) พิสูจน์
หมายเหตุ เราสามารถใช้จุดศูนย์กลางภายในสร้างวงกลมให้สมั ผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมได้ ทฤษฎีบท 11 เส้นตรงที่แบ่งครึ่ งและตั้งฉากกับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมย่อมพบกันที่จุดๆหนึ่ง และเรี ยนจุดจุดนั้นว่าจุดศูนย์กลางวงล้อม (Circumcenter) พิสูจน์
หมายเหตุ เราสามารถใช้จุดศูนย์กลางวงล้อมสร้างวงกลมให้ผา่ นจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมได้ ทฤษฎีบท 12 เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆย่อมตัดกันที่จุดจุดหนึ่งภายในสามเหลี่ยม และเรี ยก จุดนั้นว่าจุดรวมมวล (Centroid) พิสูจน์
ทฤษฎีบท 13 จุดรวมมวลจะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็ นอัตราส่วน 2 : 1 พิสูจน์
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
18
ทฤษฎีบท 14 เส้นมัธยฐานทั้งสามเส้น จะแบ่งรู ปสามหเลี่ยมนั้นออกเป็ น 6 ส่วนที่มีพ้นื ที่เท่ากัน พิสูจน์
ทฤษฎีบท 15 เส้นส่วนสูงของสามเหลี่ยมใดๆย่อมพบกันที่จุดจุดหนึ่ง และเรี ยกจุดนั้นว่า จุดออร์โท เซนเตอร์ (Orthocenter) พิสูจน์
หมายเหตุ ถ้าเราลากเส้นตรงผ่านจุดตั้งฉากทั้งสามจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็ นสามเหลี่ยมคล้ายที่ คล้ายกับรู ปเดิมด้วย ทฤษฎีบท 16 ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆ ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านสองด้าน เท่ากับ สอง เท่าของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนครึ่ งหนึ่งของด้านที่สามรวมกับสองเท่าของจัตุรัสบนเส้นมัธยฐาน พิสูจน์
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
2.3 สามเหลี่ยมคล้ าย 2.3.1 รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน(Similar Figures) ◙ แนวความคิด (Concept) เกีย่ วกับความคล้ าย
รู ปเรขาคณิ ตเป็ นรู ปที่คล้ายกัน เมื่อรู ปเรขาคณิ ตทั้งสองนั้นมีรูปร่ างเหมือนกัน รู ปเรขาคณิ ต m เหลี่ยม จะคล้ายกับ รู ปเรขาคณิ ต n เหลี่ยม ก็ต่อเมื่อ m n รู ปเรขาคณิ ต A คล้ายกับ รู ปเรขาคณิ ต B เขียนแทนด้วย รู ปเรขาคณิ ต A รู ปเรขาคณิ ต B สมบัติของความคล้าย 1) สมบัติสะท้อน (Reflexive) : A A 2) สมบัติสมมาตร (Symmetric) : ถ้า A B แล้ว B A 3) สมบัติถ่ายทอด (Transitive) : ถ้า A B และ B C แล้ว A C จากสมบัติท้งั สามข้อ แสดงว่าความคล้ายเป็ นความสัมพันธ์สมมูล (Equivalent relation) รู ปเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันทุกมุมไม่จาเป็ นต้องเป็ นรู ปเหลี่ยมที่คล้ายกัน รู ปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันต้องเท่ากันทุกคู่ จากแนวคิดข้างต้นเราสามารถกาหนดนิยามของรู ปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันดังนี้ : นิยาม รู ปหลายเหลี่ยมสองรู ปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รู ปหลายเหลี่ยมสองรู ปนั้น มีสมบัติท้งั สองข้อ ต่อไปนี้ 1) ขนาดของมุมเท่ากันเป็ นคู่ๆ ทุกคู่ 2) อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็ นอัตราส่วนที่เท่ากัน 2.3.2 รูปสามเหลีย่ มที่คล้ายกัน(Similar Triangles โดยทัว่ ไปแล้ว รู ปหลายเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันทุกคู่ ไม่จาเป็ นต้องคล้ายกัน ดังรู ป
และรู ปหลายเหลี่ยมที่มีอตั ราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากัน ไม่จาเป็ นต้องคล้ายกัน ดังรู ป
19
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
20
แต่ ในกรณี ของรู ปสามเหลี่ยม เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า รู ปสามเหสี่ยมที่มีมุมเท่ากันทุกคู่ ย่อมเป็ นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน หรื อ รู ปสามเหลี่ยมที่มีอตั ราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากัน ย่อม เป็ นสามเหลี่ยมคล้าย ดังรายละเอียดต่อไปนี้ สมบัตขิ องอัตราส่ วน และ สัดส่ วนที่ควรทราบ 1) ถ้า
a b x x
แล้ว a b
………………………………………………………………………………………………….. 2) ถ้า
a x b y
แล้ว
a b x y
และ ay bx
………………………………………………………………………………………………….. 3) ถ้า
a x b y
แล้ว
ab x y b y
และ
a b x y b y
………………………………………………………………………………………………….. 4) ถ้า
a x b y
แล้ว
ab x y a b x y
และ
a b x y ab x y
………………………………………………………………………………………………….. 5) ถ้า
a b c ... x y z
แล้ว
a a b c ... x x y z ...
………………………………………………………………………………………………….. ทฤษฎีบท 17 ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากขนานกับด้านด้านหนึ่งของรู ปสามเหลี่ยม จะแบ่งด้านที่ เหลือออกเป็ นสัดส่วนกัน
ทฤษฎีบท 18 ส่วนของเส้นตรงที่ลากแบ่งครึ่ งมุมภายในหรื อภายนอก จะแบ่งฐานออกเป็ น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่เหลืออีกสองด้าน
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
21
ทฤษฎีบท 19 สามเหลี่ยมสองรู ปที่มีมุมเท่ากันทุกคู่ยอ่ มเป็ นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
และในอีกด้านหนึ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปที่มีอตั ราส่วนของด้านคู่ที่ สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ จะได้ว่าสามเหสี่ยมสองรู ปคล้ายกัน ดังนี้ ทฤษฎีบท 20 สามเหลี่ยมสองรู ปที่มีอตั ราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ ย่อมเป็ น สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
22
เราสามารถนาความรู้เกี่ยวกับความคล้ายไปแก้ปัญหาต่างๆได้ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้ : การหาสูตรของเส้นรอบวงของวงกลม โดยอาศัยความคล้ายของวกลม
การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีธากอรัส (Pythagoras’s Theorem) โดยอาศัยรู ปสามเหลี่ยมคล้าย
การหาความสูงของเสาธง ความสูงของพีระมีด หรื อ สิ่งที่มีความสูงต่างๆ โดยอาศัยรู ป สามเหลี่ยมคล้าย
การหาความกว้างของแม่น้ า ระยะห่างของเรื อกับชายฝั่ง หรื อสิ่งอยูห่ ่างไกลในแนวราบต่างๆ โดยอาศัยรู ปสามเหลี่ยมคล้าย
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
23
◙ตัวอย่ างโจทย์ ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ...................... (1) ในรู ปสามเหลี่ยม
ABC
จงแสดงว่า
Aˆ 2 Bˆ
ก็ต่อเมื่อ
a 2 b(b c)
พิสูจน์
(2) ให้ F เป็ นจุดบนด้าน AB ของรู ปสามเหลี่ยม ABC ให้ D เป็ นจุดตัดของ BC กับเส้น ตรงที่ลากจากจุด A และขนานกับ FC ในทานองเดียวกันให้ E เป็ นจุดตัดของ CA กับเส้นตรงที่ ลากจากจุด B และขนานกับ FC จงพิสูจน์ว่า
1 1 1 CF AD BE
พิสูจน์
(3) ให้ ABCD เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต่อด้าน DA ไปทาง A ไปยังจุด P และให้ AB ที่จุด Q และ DB ที่ R ถ้า PQ 525 และ QR 80 จงหาความยาวของ RC
PC
ตัด
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
(4) BC
24
ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A
เป็ นมุมฉาก ให้ D และ F เป็ นจุดอยูบ่ น AC และ ตามลาดับ โดยที่ AF BC และ BD DC FC 3 จงหาความยาวของ AC
(5) ให้
เป็ นรู ปสามเหลี่ยม มีพ้นื ที่ 28 ตารางนิ้ว จุด D, E และ F เป็ นจุดบนด้าน DBEF มีพ้น ื ที่ AB, BC และ CA ตามลาดับ และ AD 3 นิ้ ว DB 4 นิ้ ว ถ้า ABE และ□ เท่ากัน แล้ว ABE มีพ้นื ที่เท่าไร ABC
(6) กาหนดให้ cos C
m n
ABC
เป็ นรู ปสามเหลี่ยมที่มี
Aˆ Bˆ 90
เมื่อ ห.ร.ม. (m, n) 1 จงหา m n
และ
BC CA 2 AB
ถ้า
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
(7) สามเหลี่ยมรู ปหนึ่งมีเส้นมัธยฐานยาว
(8) ให้
3, 4
และ 5 หน่วย จงหาความยาวของด้านที่ส้ นั ที่สุด
เป็ นสี่เหลี่ยม โดยมีจุด O เป็ นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AOB 3 , BOC 6 และ COD 2 จงหาพื้นที่ของ DOA ABCD
25
AC
และ BD ถ้า
ˆ 90 โดยมี AB BC 4 จุด D และ E เป็ นจุด (9) ให้ ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ ABC บนด้าน AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD BE 3 ลาก AC และ CD ตัดกันที่จุด F จงหา พื้นที่ของสามเหลี่ยม AFC
(10) ในรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูป สามเหลี่ยมที่เกิดขั้นทั้งสองรู ปจะคล้ายกัน และ คล้ายกับรู ปเดิมด้วย
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
26
(11) ถ้าสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมเท่ากันหนึ่งมุม แล้ว พื้นที่รูปสามเหลี่ยมคู่น้ ีจะเป็ นสัดส่วนกับพื้นที่ รู ปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีดา้ นกว้าง และ ด้านยาว เท่ากับด้านประกอบมุมเท่า นั้น
(12) พื้นที่ของรู ปสามเหลี่ยมคล้าย เป็ นสัดส่วนกับจัตุรัสซึ่งตั้งอยูบ่ นด้านที่สมนัยกัน
(13) จุด
แบ่งด้าน BC ของ ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC 1: 2 ถ้า ˆ ˆ 60 จงหาขนาดของ ACP APC P
ˆ 45 ABC
และ
(14) D และ E เป็ นจุดที่อยูบ่ นด้าน AB และ AC ของ ABC ตามลาดับ BE และ CD ตัด กันที่จุด P ทาให้ BPD มีพ้นื ที่ 2 ตารางนิ้ว CPE มีพ้นื ที่ 3 ตารางนิ้ว และ BCP มีพ้นื ที่ ADPE 4 ตารางนิ้ ว จงหาพื้นที่ของ □
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
27
3. วงกลม ในหัวข้อนี้จะศึกษาพื้นฐานของวงกลมเกี่ยวกับ ความยาวของเส้นรอบวง พื้นที่วงกลม พื้นที่ของเซกเตอร์ มุมในส่วนของวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ความยาวของคอร์ด ความ ยาวของเซกเมนต์ และ เส้นสัมผัสของวงกลม
3.1 ความรู้พนื้ ฐาน เกี่ยวกับวงกลม นิยาม วงกลมหมายถึงทางเดินของจุด (Locus) ซึ่งอยูห่ ่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็ นระยะคงตัว ทฤษฎีบท 1 ในวงกลมใดๆ อัตราส่วนของเส้นรอบวง และ เส้นผ่านศูนย์กลาง ย่อมมีค่าคงตัว และ ค่าคงตัวดังกล่าวจะแทนด้วย
ทฤษฎีบท 2 ในวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย จะมีความยาวของเส้นรอบวงเท่ากับ 2 r หน่วย ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 3 ในวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย จะมีพ้นื ที่เท่ากับ 2 r ตารางหน่วย
นิยาม มุม 1 เรเดียน (radian) หมายถึง มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาว เท่ากับรัศมีของวงกลมนั้น หมายเหตุ ในวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาว a หน่วย จะมีขนาด
a r
เรเดียน
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
28
ทฤษฎีบท 4 มุมรอบจุด มีขนาด 2 เรเดียน ........................................................................................................................................................ หมายเหตุ เราสามารถเปลี่ยนการวัดมุมโดยอาศัยความสัมพันธ์ เรเดียน = 180 องศา ทฤษฎีบท 5 ในวงกลมที่เท่ากัน หรื อวงกลมเดียวกัน ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางที่เท่ากัน ย่อมมีขนาดเท่ากัน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 6 ในวงกลมที่มีรัศมี มุม
เรเดียน จะมีพ้นื ที่
r 2
r 2
หน่วย พื้นที่ของเซกเตอร์ (Sector) ที่มีมุมที่จุดศูนย์กลาง เป็ น
ตารางหน่วย
ทฤษฎีบท 7 ในวงกลมที่มีรัศมี
r
เป็ นมุม
r2 ( sin ) 2
เรเดียน จะมีพ้นื ที่
หน่วย พื้นที่ของเซกเมนต์ (Segment) ที่มีมุมที่จุดศูนย์กลาง ตารางหน่วย
นิยาม ระยะทางจากจุดใดๆมายังเส้นตรงเส้นหนึ่ง ระยะทางที่ส้ นั ที่สุดคือเส้นตั้งฉาก ……………………………………………………………………………………………………… นิยาม เส้นสัมผัสวงกลมหมายถึงเส้นเตรงที่ตดั เส้นรอบวงของวงกลมได้เพียงจุดเดียว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎีบท 8 เส้นสัมผัสย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
29
ทฤษฎีบท 9 ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมย่อมยาวเท่ากัน
ทฤษฎีบท 10 มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสของวงกลมใดๆ ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลม ที่อยูต่ รงข้ามกับคอร์ดนั้น
3.2 ทฤษฎีบทที่สาคัญเกี่ยวกับวงกลม ทฤษฎีบท 11 ให้ Q เป็ นจุดภายในวงกลม ถ้า QX QY จะมีค่าคงตัว
XY
เป็ นคอร์ดใดๆที่ผา่ นจุด Q แล้ว ผลคูณ
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
30
ทฤษฎีบท 12ให้ P เป็ นจุดเป็ นจุดบนคอร์ด AB (หรื อส่วนต่อ) ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ O และรัศมี r แล้ว PA PB OP2 r 2 ถ้า P อยูภ่ ายนอกวงกลม (เรี ยก OP2 r 2 ว่า Powerของ P) หรื อ PA PB r 2 OP2 ถ้า P อยูภ่ ายในวงกลม
ทฤษฎีบท 13 ถ้า P เป็ นจุดบนส่วนต่อของคอร์ด AB ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี แล้ว PA PB PT 2 เมื่อ PT เป็ นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด T
r
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
31
◙ตัวอย่ างโจทย์ ปัญหาเกี่ยวกับวงกลม ...................... (1) จากรู ป จงหาความยาวของ 4 3
x
x 6
(2) ให้แสดงวิธีหาพื้นที่บริ เวณที่อยูร่ ะหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางกับคอร์ดที่ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม
(3) วงกลม C1 และวงกลม C2 ตัดกันที่จุด P และ Q ซึ่งแตกต่างกัน ให้เส้นตรงที่ผา่ นจุด P ตัด วงกลม C1 และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็ นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1 และวงกลม C2 ที่จุด X และ Z ตามลาดับ จงพิสูจน์ว่า Y เป็ นจุดกึ่งกลางด้าน XZ
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
32
(4) ให้ X , Y เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันที่ A เส้นสัมผัสที่จุด A กับวงกลมทั้ง สองพบวงกลมอีกครั้งหนึ่งที่ B, C ตามลาดับให้ P เป็ นจุดที่ทาให้ PXAY เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมด้าน ขนาน จงแสดงว่า P เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลอ้ มรอบรู ปสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์
(5) รู ปสามเหลี่ยม ABC มี I เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมนี้สมั ผัสด้าน BC, CA ที่จุด D, E ตามลาดับ ถ้า BI ตัด DE ที่ G แล้ว AG BG พิสูจน์
(6) ให้ ABCD เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD
AB BC 2CD 2DA
(7) วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็ก แล วงใหญ่ มีรัศมี หน่วยตามลาดับ จงหาความยาวของเส้นสัมผัสของวงกลมทั้งสอง
3
และ 8
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
33
(8) ให้ O เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลม E เป็ นจุดภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้นรอบวงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดที่สองที่ A และ C ตามลาดับ ˆ 50 จงหาขนาดของมุม AOC ˆ ˆ 30 และ BOD ถ้า BED
(9) คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายในวงกลม พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ด ย่อมเท่ากัน
(10) คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของ คอร์ดย่อมเท่ากัน และเท่ากับจัตุรัสบนเส้นสัมผัสที่ลากจากจุดตัดนั้น
(11) สร้างครึ่ งวงกลมรู ปหนึ่งบนด้าน AB ให้ X เป็ นจุดใดๆบนด้าน AB ลากเส้นตั้งฉากกับ AB ที่จุด X ไปตัดกับเส้นรอบวงที่จุด M จงพิสูจน์ว่า AX . XB MX 2
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
(12) ให้ O เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ พิสูจน์ว่า AO แบ่งครึ่ งและตั้งฉากกับ BC
(13) จุด
AC
34
เป็ นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ C จง
เป็ นจุดอยูภ่ ายนอกวงกลม ลากเส้นตรงตัดเส้นรอบจุดแรกที่ B และ จุดที่สองที่ C ถ้า AB 5 และ BC 8 ลาก AP สัมผัสวงกลมที่ P จงหาขนาดของ AP
(14) AB
A
เป็ นสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมที่มีรัศมี 5 นิ้ว โดยมี AC เป็ นเส้นผ่านศูนย์กลาง ˆ จงหาความยาวของ AD เป็ นคอร์ดที่ยาว 6 นิ้ว และ AD เป็ นคอร์ดที่แบ่งครึ่ ง BAC ABC
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
35
4. สามเหลีย่ ม และวงกลม ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงทฤษฎีบท และ โจทย์ปัญหาต่างๆ ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ ระหว่าง สามเหลี่ยม และวงกลม ทฤษฎีบท 1 ถ้า AD เป็ นเส้นแบ่งครึ่ งมุมภายใน ที่จุด D แล้ว AB AC BD DC AD2
A
ของรู ปสามเหลี่ยม
ABC
และพบด้าน BC
ทฤษฎีบท 2 ถ้า a, b และ c เป็ นด้านทั้งสามของรู ปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมรัศมี r และ เป็ นพื้นที่ของรู ปสามเหลี่ยมดังกล่าว แล้ว
A*
abc 4r
A*
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
36
ทฤษฎีบท 3 เส้นแบ่งครึ่ งมุมภายนอกสองมุมของรู ปสามเหลี่ยม จะพบกันที่จุดเดียวกันกับเส้นแบ่ง ครึ่ งมุมภายในของมุมที่สามของรู ปสามเหลี่ยมนั้น
นิยาม จุด I a ในทฤษฎีบทข้างต้นเรี ยกว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกของรู ปสามเหลี่ยม ่ รงข้ามด้าน A (Excenter opposite to A ) และ จุด I b และ I c ก็สามารถในนิยามใน ABC ที่อยูต ลักษณะเดียวกัน ทฤษฎีบท 4 ให้
I
เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน และ
แนบนอก ของรู ปสามเหลียม
ABC
ถ้า
AI a
ตัดด้าน
BC
Ia
ที่จุด
เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลม U
แล้ว
AI AI a IU I aU
ทฤษฎีบท 5 ให้ I เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน และ I a เป็ นจุดศูนย์กลางของวงกลม แนบนอก ของรู ปสามเหลียม ABC ดังนั้น AI AI a AB AC
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
ทฤษฎีบท 6 ถ้าวงกลมแนบในรู ปสามเหลี่ยม X , Y , Z ตามลาดับ แล้ว แล้ว BX s b , ยาวด้านทั้งสามของรู ปสามเหลี่ยม
ABC
และ s a b c ดังนั้น 2
สัมผัสด้าน BC , CA , AB ที่จุด CY s c , AZ s a เมื่อ a, b, c เป็ นความ
ABC
และ
ทฤษฎีบท 7 ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆที่มีพ้นื ที่
37
A*
s
abc 2
ตารางหน่วย มีรัศมีของวงกลมแนบในเป็ น r
A* rs
ทฤษฎีบท 8 ในรู ปสามเหลี่ยมใดๆที่มีพ้นื ที่ A* ตารางหน่วย และ ra เป็ นรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยูต ่ รงข้ามจุด A rb เป็ นรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยูต ่ รงข้ามจุด B rc เป็ นรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยูต ่ รงข้ามจุด C จะได้ว่า A* ra (s a) rb (s b) rc (s c)
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
38
◙ตัวอย่ างโจทย์ ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม และ วงกลม ...................... (1) ให้ a, b, c เป็ นความยาวด้านทั้งสามของรู ปสามเหลี่ยมที่มี r เป็ นรัศมีของวงกลมแนบใน เป็ นรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยูต่ รงข้ามมุม A ดังนั้น rra (s a)(s b)
(2) จงพิสูจน์ Heron Formula ที่กล่าวว่าในรู ปสามเหลี่ยม หน่วย ถ้า
A*
เป็ นพื้นที่ และ
s
abc 2
แล้ว
2) 3)
1 1 1 1 r ha hb hc 1 1 1 1 r ra rb rc 1 1 1 1 1 1 ra rb rc ha hb hc
ที่มีดา้ นทั้งสามยาว
a, b, c
A* s(s a)(s b)(s c)
(3) ให้ r เป็ นรัศมีของวงกลมที่แนบในรู ปสามเหลี่ยม จาก A, B, C มายังด้านตรงข้ามตามลาดับ จะได้ว่า 1)
ABC
ra
ABC
ให้
ha , hb , hc
เป็ นส่วนสูงที่ลาก
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
(5) ให้ r เป็ นรัศมีของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม สาม และมีพ้นื ที่
A*
จงพิสูจน์ว่า
r
ABC
ที่มี
a, b, c
39
เป็ นความยาวของด้านทั้ง
2A* abc
(6) ให้ ABC เป็ นสามเหลี่ยมที่มี AB 2 , AC 3 และ BC 4 จงหาความยาวของรัศมีของ วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ดา้ น BC และ สัมผัสด้าน AB และ AC
(7) จงพิสูจน์ว่า จุดยอดของรู ปสามเหลี่ยม และ จุดปลายส่วนสูงที่ลากจากอีกสองจุดยอดที่เหลือ ตลอดจนจุดตัดของส่วนสูงทั้งสาม ทั้งสี่จุดนี้มีวงกลมล้อมรอบได้
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
40
(8) ให้ ABC แนบในวงกลมโดยมี AB เป็ นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยูบ่ นด้าน BC และ AC ที่ทาให้ AP และ BQ เป็ นเส้นแบ่งครึ่ งมุม A และ มุม B ตามลาดับ ลากเส้นตรงจาก ˆ P และ Q ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M และ N ตามลาดับ จงหาขนาดของ MCN
(9) ให้ ABC แนบในวงกลมที่มี O เป็ นจุดศูนย์กลาง และ BC เป็ นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB 3 , AC 4 จงหา BO OC
(10) รู ปสามเหลี่ยมรู ปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรู ปสามเหลี่ยม ยาวเป็ น
7 2
เท่าของรัศมีของ
วงกลมแนบในรู ปสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็ น จานวนเต็มหน่วย จงหาความยาวของด้านที่เหลือนั้น
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
41
5. สี่เหลีย่ ม และ วงกลม ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง ทฤษฎีบท และ โจทย์ปัญหา ที่มีความสัมพันธ์กนั ระหว่าง สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม
5.1 รู ปสี่ เหลี่ยมที่มีวงกลมล้ อมรอบได้ ทฤษฎีบท 1 รู ปสี่เหลี่ยมใดๆจะมีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของมุมภายในที่อยูต่ รงข้าม รวมกันได้ 180
ทฤษฎีบท 2 รู ปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจัว่ เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้
ทฤษฎีบท 3 รู ปสี่เหลี่ยมที่มีดา้ นขนานกันคู่หนึ่งเป็ นรู ปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ รู ปสี่เหลี่ยมนั้นเป็ นรู ปสี่เหลี่ยมมุมฉาก หรื อ รู ปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจัว่
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
42
ทฤษฎีบท 4 (Ptolemy Theorem) รู ปสี่เหลี่ยมจะมีวงกลมล้อมรอบได้ก็ต่อเมื่อผลคูณของความยาว ของเส้นทแยงมุม เท่ากับผลบวกของผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามของรู ปสี่เหลี่ยมนั้น
5.2 วงกลมแนบในรู ปสี่ เหลี่ยม ทฤษฎีบท 5 รู ปสี่เหลี่ยมจะมีวงกลมแนบในได้ ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามของ รู ปสี่เหลี่ยมนั้นมีค่าเท่ากัน
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
43
◙ตัวอย่ างโจทย์ ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม สี่ เหลี่ยม และ วงกลม ...................... (1) ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เส้นแบ่งครึ่ งมุม A, B, C, D ตัดกันเกิดเป็ น รู ปสี่เหลี่ยมรู ปใหม่ภายในรู ปสี่เหลี่ยม ABCD โดยจุดยอดเป็ นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ งมุมแต่ละรู ป จงพิสูจน์ว่า รู ปสี่เหลี่ยมรู ปใหม่น้ ีมีวงกลมล้อมรอบได้
(2) ให้
A
เป็ นพื้นที่ของรู ปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มีเส้นทแยงมุม ยาว a และ b หน่วย จงพิสูจน์ว่า a 2 b2 4 A
(3) วงกลมแนบในรู ปสี่เหลี่ยม ABCD สัมผัสด้าน AB, BC, CD, DA ที่จุด P, Q, R, S ตามลาดับ ถ้า AB 3 , DS 4 , PB 6 และ BC 10 จงหา DC และ RC
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
44
(4) รู ปสี่เหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ที่จุด X จงพิสูจน์ว่า AC เป็ นเส้นสัมผัสวงกลมที่ลอ้ มรอบสามเหลี่ยม CXD
(5) ถ้ารู ปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากซึ่งกันและกันที่จุด P แล้ว เส้นตรงที่ลาก ผ่านจุด P ไปตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่ง ย่อมแบ่งครึ่ งด้านตรงข้าม
(6) ABCD เป็ นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน วงกลมที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AP.PB CP.PD
AB
และ
(7) ABCD เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมแนบใน และสัมผัสด้านทั้งสี่ที่จุด ตามลาดับ จงพิสูจน์ว่า PR และ QS ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
DC
ตัดกันภายนอก
P, Q, R
และ S
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
6. การพิสูจน์ กฎ และทฤษฎีบางอย่ าง โดยใช้ เรขาคณิต ในหัวข้อนี้จะแสดงให้เห็นว่า เราสามารถประยุกต์ใช้เรขาคณิ ตในการพิสูจน์กฎพื้นฐาน ทางคณิ ตศาสตร์ โดยไม่ตอ้ งแสดงรายละเอียดในการพิสูจน์ (Proof without words)
■ พีชคณิต 7.1
(a b)2 a 2 2ab b2
7.2
(a b)2 a 2 2ab b2
7.3
a 2 b2 (a b)(a b)
■ ตรีโกณมิติ 7.4
sin cos(90 )
45
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
7.5 7.6
sin( ) sin cos cos sin
7.7
sin 2 A 2sin A cos A
cos( ) cos cos sin sin
■ แคลคูลัส n
7.8
1 lim 1 e n n
7.9
lim
x
x 0 ex
46
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
■ อสมการ 7.11
ab ab 2
7.12
ab 2ab ab 2 ab
■ อนุกรม 2
3
7.15
1 1 1 1 ... 4 4 4 3
7.15
1 1 1 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 32 64 3
47
● โอลิมปิ กวิชาการ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่ น ค่ ายที่ 1 ■ วิชา เรขาคณิ ต ■ ….. อ.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
48
บันทึก ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… << พบกันใหม่ ...... ค่าย 2 ......... ศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยขอนแก่น >>
