L’expérience de Carnal et Mlynek Document 1 : Principe de l’expérience En 1991, O.Carnal et J.Mlynek publient un article dans la revue scientifique Physical Review Letters. Voici le schéma très simplifié de l’expérience qui se déroule dans une enceinte dans laquelle règne un vide poussé (les échelles ne sont pas respectées).

Un réservoir, situé à gauche, émet des atomes d’hélium !!𝐻𝑒. Ces atomes rencontrent une première fois une fente F réalisée dans une feuille d’or. Ils rencontrent ensuite une autre feuille d’or percée de deux fentes F1 et F2. Le détecteur, situé à droite et placé à l’arrière de l’écran, compte les impacts individuels des atomes d’hélium. Le vide qui règne dans l’enceinte est suffisamment poussé pour que la probabilité d’une collision entre atomes d’hélium et molécules résiduelles de N2 et O2 soit extrêmement faible. Document 2 : Nombre d’atomes détectés en fonction de la position du détecteur

1. En considérant que, dès la sortie du réservoir, les atomes se déplacent en ligne droite, pensez-vous que les particules peuvent atteindre les fentes F1 et F2 ? Avec cette hypothèse, le détecteur placé après les fentes F1 et F2 peut-il détecter des atomes ? 2. Comme le montre le document 2, le détecteur compte effectivement des atomes pour différentes positions du détecteur. On se propose d’interpréter ces observations en s’appuyant sur une analogie avec l’optique.

2.1. On éclaire une fente suffisamment fine, d’épaisseur a, à l’aide d’une source lumineuse monochromatique, un laser He-Ne par exemple ; on observe une figure sur un écran placé à la distance D de la fente. 2.1.1. Représenter le dispositif sur votre copie. 2.1.2. Compléter votre schéma en représentant la figure obtenue sur l’écran et l’annoter. 2.1.3. Nommer la figure obtenue sur l’écran. 2.2. Donner l’expression de la largeur s de la tache centrale lumineuse observée sur l’écran en fonction de λ, a et D. On rappelle que la demi-largeur angulaire de cette tache centrale de diffraction est donnée par : λ θ = et que pour les petites angles exprimés en radian on peut faire l’approximation : tan  (𝜃) = 𝜃. a 2.3. En transposant le résultat de la question 2.2. à l’expérience de Carnal et Mlynek décrite sur le document 1, et en associant à chaque atome d’hélium une onde (dualité onde-corpuscule), proposer une explication à la détection d’atomes d’hélium par le détecteur placé après les fentes F1 et F2. 3. Comme pour les ondes lumineuses, on associe à toute particule une longueur d’onde appelée longueur d’onde de De Broglie λDB. Elle s’exprime par la relation : ℎ 𝜆!" = 𝑚⋅𝑣 où m désigne la masse de la particule, v sa vitesse et h la constante de Planck. Données : h = 6,63.10-34 J.s ; m = 4,0 u.a ; 1 u.a = 1,66.10-27 kg ! 3.1. En utilisant l’expression de l’énergie cinétique 𝐸! = ! ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣 ! , vérifier la cohérence de la relation donnant λDB à l’aide des unités. 3.2. Calculer λDB dans l’expérience de Carnal et Mlynek pour une vitesse typique, reliée à la température qui règne dans le réservoir, égale à v = 9,70.102 m.s-1 3.3. Montrer, à l’aide du document 1 que les fentes F1 et F2 sont toutes deux contenues dans la tache centrale de la figure de diffraction obtenue par la fente F. On utilisera pour cela l’expression de la largeur de la tache centrale lors de la diffraction d’une onde lumineuse à la traversée d’une fente de largeur a établie à la question 2.2. Données : Largeur de la fente F : 2 µm ; largeur des fentes F1 et F2 : 1 µm ; L = L’ = 64 cm. 4. Le document 2 représente le nombre d’atomes détectés en fonction de la position du détecteur. 4.1. Justifier en quoi cette répartition illustre un phénomène d’interférences atomiques. 4.2. Dans le cas des fentes d’Young éclairées par une onde lumineuse monochromatique, l’interfrange est la distance séparant deux franges consécutives de même nature (claires ou sombres). En transposant cette définition au cas des interférences atomiques, réaliser plusieurs évaluations de l’interfrange i grâce au document 2 et proposer un encadrement sous la forme 𝑖!"# ≤ 𝑖 ≤ 𝑖!"# . λ .L' 4.3. Par analogie avec l’optique, l’interfrange est donnée par : i = DB F1F2 En considérant négligeables les incertitudes sur L’ et sur F1F2, déterminer la valeur de la longueur d’onde de De Broglie expérimentale sous la forme 𝜆!"# ≤ 𝜆 ≤ 𝜆!"# . Donnée : F1F2 = 8,0 µm 4.4. La longueur d’onde de De Broglie calculée à la question 3.2 appartient-elle à l’encadrement précédent ?

Correction 1. Si les particules qui sortent du réservoir se déplacent en ligne droite, elles n’ont aucune chance de frapper les fentes F1 et F2 puisque les fentes F1 et F2 sont en dehors de l’axe de la fente principale. Dans ces conditions, le détecteur placé après les fentes ne peut pas détecter d’atomes. 2.1.1. Schéma du dispositif. a.

a

s

2.1.2. Noter sur le schéma a, D, 𝜃 ; la tache principale de diffraction et quelques taches secondaires. 2.1.3. Il s’agit d’une figure de diffraction. 2.2.Dans le triangle rectangle de côté adjacent D et de côté opposé s/2 pour  θ : tan θ = !

! !

!

!

!

= !∙! = 𝜃 = !

On en déduit la largeur s de la tâche principale de diffraction : 𝑠 = 2 ⋅ D ∙ ! 2.3.Si l’on associe à chaque atome d’hélium une onde, on peut envisager que ces ondes soient diffractées par la fente F, puis à nouveau diffractées par les fentes F1 et F2. Dans ces conditions, le détecteur peut détecter des ondes correspondant à des atomes d’hélium. ℎ 𝐽⋅𝑠 𝑚 ⋅ 𝑣! ⋅ 𝑠 3.1. 𝜆!" = = = = 𝑣 ⋅𝑠 =𝑚 𝑚⋅𝑣 𝑚⋅𝑣 𝑚⋅𝑣 !

!,!"×!"!!"

!,!"×!"!!

3.2    𝜆!" = !⋅! 𝐴. 𝑁:  𝜆!" = !,!×!,!!×!"!!" ×!,!×!"! = !,!×!,!!×!,! =1,0.10-10 m (2 c.s)

3.3 Calculons la largeur s de la tache principale de diffraction pour la fente F : 𝜆 𝑠 =2⋅L∙ 𝑎 1,03. 10!!" 𝐴. 𝑁:  𝑠 = 2 ⋅ 0,64 ∙ = 6,59. 10!! 𝑚 = 65,9  𝜇𝑚 2. 10!! La largeur de la tache de diffraction est telle que les fentes F1 et F2 situées à 8 µm de l’axe sont contenues dans la tache principale de diffraction de la fente F. 4.1.On observe une alternance de minimums et de maximums du nombre d’atomes d’hélium détectés, analogue aux maximums et minimums de lumière des interférences lumineuses. 4.2.On mesure un interfrange 7,7  𝜇𝑚 ≤ 𝑖 ≤ 10  𝜇𝑚 !∙! ! 4.3.En adaptant la formule de l’optique à la situation d’interférence des particules : 𝜆!" = !!! ! 7,7. 10!! ∙ 8,0. 10!! 10. 10!! ∙ 8,0. 10!! ≤ 𝜆!" ≤ 0.64 0.64 0,96. 10!!" 𝑚 ≤ 𝜆!" ≤ 1,3. 10!!" 𝑚 4.4 La longueur d’onde de 1,0.10-10 m déterminée à la question 3.2 est bien dans cet encadrement car 0,96. 10!!" 𝑚 ≤ 1,0. 10!!" 𝑚 ≤ 1,3. 10!!" 𝑚 N.B : Les franges brillantes correspondent à des interférences constructives qui se produisent lorsque les ondes cohérentes qui interfèrent sont en phase ; le déphasage entre les ondes est alors un multiple entier de 2 π, ou la différence de marche entre les ondes est un multiple entier de la longueur d’onde λ. Les franges sombres correspondent à des interférences destructives qui se produisent lorsque les ondes cohérentes qui interfèrent sont en opposition de phase ; le déphasage entre les ondes est alors un multiple entier de 2 π plus π/2 (ou un multiple entier impair de π/2), ou la différence de marche entre les ondes est un multiple entier de la longueur d’onde λ plus λ/2 (ou un multiple entier impair de λ/2).