Matemática en Contexto IV Manual de referencia

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Copyright © 2008, 2009 by CORD Waco, Texas USA Program Director and Chief Implementation Specialist: Agustín Navarra, Ph.D. Authors (at CORD): John Chamberlain, Leno S. Pedrotti, and Agustín Navarra Technical Editors (Spanish language): Gladys G. Navarra and Agustín Navarra Production, art work and formatting: Mark Whitney and Kathy Kral

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ÍNDICE Unidad 1: Inecuaciones lineales y con valor absoluto .....................................................................1  Capítulo 1: Intervalos y representación gráfica de los mismos .................................................. 2  Capítulo 2: Resolución y gráfica de inecuaciones lineales con dos incógnitas ........................ 10  Unidad 2: Polígonos y circunferencias ..........................................................................................23  Capítulo 1: Generalidades (definición, clasificación, líneas y puntos notables) ...................... 24  Capítulo 2: Teorema fundamental del triángulo y teoremas afines – Congruencia de triángulos LLL, LAL, ALA) – Semejanza de triángulos ................................................ 30  Capítulo 3: Triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y teoremas afines)......................... 34  Capítulo 4: Cuadriláteros (clasificación, ángulos y teoremas afines) ....................................... 51  Capítulo 5: La circunferencia, líneas y ángulos (posiciones relativas, definición de líneas notables, definición y medida de ángulos central. Inscrito, semi-inscrito, exterior e interior) ................................................................................................................ 60  Unidad 3: Nociones de lógica proposicional .................................................................................71  Capítulo 1: Generalidades ......................................................................................................... 72  Capítulo 2: Proposiciones simples y compuestas ..................................................................... 72  Capítulo 3: Tablas de verdad .................................................................................................... 72  Capítulo 4: Negación de las proposiciones compuestas: ~(~p), ~(p∧q), ~(p∨q),~(p→q), ~(p↔q)...................................................................................................... 72 

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Unidad 1: Inecuaciones lineales y con valor absoluto

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Capítulo 1: Intervalos y representación gráfica de los mismos Objetivos •

Ordenar dos o más números racionales usando símbolos apropiados tales como <, >, =, ≤ y ≥.

•

Representar gráficamente esas relaciones de números ordenados e interpretar esa forma gráfica para hacer proposiciones y estimaciones aproximadas.

•

Verificar las respuestas analíticas a problemas reales mediante comprobaciones gráficas (y viceversa) para asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 1.1: El trabajo y las inecuaciones

Hay muchos problemas del mundo real que involucran expresiones desiguales. Estas expresiones desiguales son las que usan palabras tales como mayor que, menor que, o como máximo. En términos matemáticos, este tipo de “proposiciones” se representa mediante inecuaciones. Hay textos que hablan de desigualdades y otros de inecuaciones, para nosotros serán equivalentes. Veamos el problema siguiente: Como máximo, ¿cuántos pedazos de 11⁄2 pies podemos cortar de una tabla de madera de 14 pies de largo?

¿Cómo expresarías este problema matemáticamente? ¿Sería correcto escribir 1.5 p = 14, donde p representa cantidad de pedazos? ¿O sería

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mejor escribir 1.5 p ≤ 14, dónde el símbolo ≤ significa igual o menor que 14? ¿Qué piensas? Ejemplo 1.2: Uso de inecuaciones para comparar cargas

La Compañía Mat-Con entrega una carga de ladrillos que mide 5 pies por 6 pies por 4 pies. ¿Cuál es el volumen, en pies cúbicos, de la carga?

La Compañía Superior entrega una carga de ladrillos que mide 6 pies por 8 pies por 4 pies. ¿Cuál es el volumen, en pies cúbicos, de esta carga?

Identifica cuál de los cinco símbolos describe la relación entre los volúmenes de las dos cargas:

?

 Carga de Mat-Con <, ≤ , =, ≥ , > Carga Superior Si cada compañía volvió con otros 8 pies cúbicos de ladrillos, ¿cuál sería la relación? Carga de Mat-Con + 8

pies3

?

 <, ≤ , =, ≥ , > Carga Superior + 8 pies3

Si una cantidad “a” (carga de la empresa Mat-Con) es menor que otra cantidad “b” (carga de la empresa Superior), y si se suma la misma cantidad a cada una, la cantidad “nueva a” es todavía menor que la cantidad “nueva b”. Usando símbolos, esto se escribe como: Si a < b, luego a + c < b + c Lo mismo se aplica a la resta de cantidades: Si a < b, luego a – c < b – c

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Esta propiedad de las inecuaciones proporciona una pista para la solución de proposiciones algebraicas que incluyen las relaciones <, ≤, =, ≥, >. Cuando se pide resolver la inecuación x+3 < 9 estamos pidiendo hallar los valores de x que, cuando son sumados a tres, dan una cantidad que es menor que nueve. El balancín en desequilibrio mostrado a continuación representa esta situación.

x+3<9 (x + 3) – 3 < 9 – 3 x<6

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ACTIVIDADES Actividad 1.1: Veamos quien es más alto Materiales Cinta de medir, de acero o tela con escala graduada (cm o pulgadas) Calculadora con funciones estadísticas Enunciado del Vamos a graficar las estaturas de los estudiantes de la clase en una Problema recta numérica. Luego haremos comparaciones entre inecuaciones basadas en las medidas del grupo y en la distribución de las medidas de la clase. Procedimiento Usando la cinta de medir, determina la estatura de cada miembro de tu grupo. Registra en tu cuaderno las medidas, al centímetro más cercano. (¿Preferirías más bien registrar tus medidas usando fracciones de pulgada? ¿Por qué?) Cálculos a. Dibuja una recta numérica que incluya todas las medidas de las estaturas de tu grupo. Grafica las medidas de las estaturas en tu recta numérica y pon el nombre de cada miembro sobre cada punto. A continuación mostramos un ejemplo usando centímetros, pero puedes también usar pulgadas. Si dos miembros tienen la misma estatura, “apila” los puntos y sus nombres unos sobre otros.

b. Luego, usando las relaciones de desigualdad, escribe una expresión de desigualdad que relacione varios pares de estaturas. Usa la medida de cada miembro de tu grupo por lo menos una vez. Por ejemplo, usando la recta numérica y los datos de más arriba, podrías escribir “Isabel > Judy”. c. Selecciona tres estaturas y escribe una inecuación combinada “menor que”, usando las tres medidas. Selecciona otras tres medidas y escribe una inecuación combinada “mayor que”. Por ejemplo, si usas Juan, Patricio y Roberto, podrías escribir “Roberto < Juan < Patricio”. d. Muestra tus inecuaciones a la clase. e. Tu maestro dibujará una recta numérica en el pizarrón donde todos los grupos pueden registrar sus resultados. Un miembro de tu grupo debe pasar al frente y agregar los datos a la recta numérica de la clase. f. Determina cuántos estudiantes representarían el 80% de toda la clase. En otras palabras, para una clase con n miembros, calcula 0.8n. Luego escribe una inecuación que describa un rango de estaturas que incluya por 5

lo menos un 80% de los estudiantes de tu clase. Por ejemplo, “152 cm < Estatura < 166 cm”, o “Estatura ≤ 164 cm”. Compara tu respuesta con la del resto de la clase. g. ¿Cómo piensas que se puede usar tu respuesta al Paso f para predecir las estaturas de otros estudiantes del mismo grupo de edades en tu escuela? Explica.

Desafío Calcula la media ( x ) y la desviación estándar (σ) de las medidas de Adicional las estaturas de la clase. Puedes hacer esto con una calculadora científica usando las “teclas estadísticas” o mediante un programa como Excel en una computadora. También puedes trabajar directamente con las fórmulas. ¿Recuerdas que ya vimos esto en un curso anterior? Si las estaturas tienen una distribución normal (¿piensas que es así?), sabes que el intervalo para dos desviaciones estándar hacia ambos lados del valor de la media incluirá aproximadamente el 95% de las estaturas de los estudiantes. Es decir, el 95% de las estaturas debe estar entre x – 2σ y ( x ) + 2σ. Escribe una inecuación que defina los límites de las estaturas del 95% de los estudiantes que tienen tu misma edad, basándote en los datos de tu clase.

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EJERCICIOS Ejercicio 1.1:

Las oraciones o proposiciones siguientes contienen “desigualdades”. Escríbelas nuevamente como expresiones matemáticas con el signo de “desigualdad” adecuado. a. Guillermo es más alto que Santiago, pero no tan alto como Samuel. b. Este auto costará por lo menos RD$ 367,500. c. Lo máximo que puedo gastar en un traje nuevo es RD$ 5,600. d. Felipe tiene la misma edad que Janet, pero es mayor que Ricardo. e. El nivel del agua nunca llegará a la cima de la represa. f. Se cancelará el viaje a menos que por lo menos 12 personas se inscriban para ir.

Ejercicio 1.2:

Une con una línea cada inecuación de la izquierda con la recta numérica correspondiente de la derecha. (Ayuda: no es necesario usar todas las rectas numéricas mostradas.) a. n ≤ 0 b. n > 0 c. n = 0 d. n < 5 e. n ≥ 5 f. 5 < n g. 0 ≤ n ≤ 5

Ejercicio 1.3:

Las longitudes en centímetros de peces incluidos en una muestra, proveniente de un lago en dos momentos diferentes (por ejemplo, abril y junio de un cierto año) son las siguientes: Peces en muestra de abril = Conjunto A = {20 , 22.5 , 25.4 , 30.5 , 33} Peces en muestra de junio = Conjunto B = {27.9 , 25.4 , 30.5 , 27.9 , 38.1} a. ¿Cuál es la unión de los conjuntos A y B, o sea, A ∪ B?

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b. ¿Cuál es la intersección de los conjuntos A y B, o sea, A ∩ B? c. Si la longitud de un pez en la muestra de abril (conjunto A) se representa por f, escribe una “proposición de desigualdad” que indique el rango o recorrido de medidas de f. d. De manera similar, escribe una proposición de desigualdad para g, el rango o recorrido de medidas de las longitudes de los peces de la muestra de junio (conjunto B). e. Muestra tus inecuaciones en una recta numérica e indica la intersección entre ellas.

Ejercicio 1.4:

Ahora vamos a suponer que obtienes una tercera muestra de longitudes de peces (conjunto C) en agosto de ese mismo año. Los conjuntos de longitudes de peces son ahora los siguientes: Peces en muestra de abril = Conjunto A = {20 , 22.5 , 25.4 , 30.5 , 33} Peces en muestra de junio = Conjunto B = {27.9 , 25.4 , 30.5 , 27.9 , 38.1} Peces en muestra de agosto = Conjunto C = {20 , 27.8 , 30.4 , 17.9 , 35.6} a. Halla la unión de los conjuntos A y B con el Conjunto C, o sea, (A ∪ B) ∪ C. b. Halla la unión de los conjuntos B y C, o sea, B ∪ C. c. Halla la unión del conjunto A con la unión de los conjuntos B y C, o sea, A ∪ (B ∪ C). d. Compara tu respuesta de c. con el resultado de la a. ¿Piensas que la igualdad siguiente es una proposición verdadera para cualquier conjunto A, B y C? A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) c. De la misma manera, determina si la igualdad siguiente es verdadera o falsa para cualquier conjunto A, B y C. A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

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Ejercicio 1.5:

Francisco trata de determinar su nota semestral en Matemática. Hasta el momento ha tenido 3 pruebas durante el semestre y necesita rendir el examen del 40% al final del semestre. El maestro dice que el examen del 40% representará dos notas, o sea, será computado dos veces al calcular la nota semestral del curso. Las tres notas de Francisco en las pruebas pasadas son 77, 80 y 70 (suponemos escala de calificación de 0 a 100). Su promedio de notas semestral necesita ser de por lo menos 80 para continuar recibiendo ayuda financiera escolar. a. Escribe una fórmula que el maestro pueda usar para determinar el promedio semestral de notas de Francisco, si en el examen del 40% obtiene una nota que llamaremos E. b. Escribe una “proposición” de desigualdad respecto al promedio semestral de notas que describa la necesidad de Francisco de obtener un promedio de por lo menos 80. c. Combina los resultados de las Partes a y b para obtener una inecuación que indique la nota que Francisco necesita sacar en el examen del 40% para mantener la ayuda financiera. d. Resuelve la inecuación de la parte c. y escribe el resultado en forma de proposición escrita.

Ejercicio 1.6:

Vamos a suponer que tú eres el dueño de una compañía de diseño de espacios verdes y han contratado los servicios de tu empresa para desmalezar un campo que tiene un área de 150,000 yardas cuadradas. La empresa dispone en estos momentos de dos cortadoras de malezas, pero como este trabajo es grande y necesita ser hecho en un día (8 horas), necesitas alquilar cortadoras adicionales. Por supuesto que sólo quieres alquilar las cortadoras que vayas a necesitar. Cada cortadora puede cortar la maleza a razón de 2500 yardas cuadradas por hora. a. Determina cuántas yardas cuadradas puede cortar cada cortadora en 8 horas. b. Escribe una expresión matemática del área que puede ser cortada (en ocho horas) por tus dos cortadoras y por n cortadoras adicionales arrendadas. c. Escribe una expresión de desigualdad que relacione los resultados de la Parte b con el área a cortar. d. Resuelve tu inecuación para determinar cuántas cortadoras debes alquilar para terminar el trabajo en ocho horas.

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Capítulo 2: Resolución y gráfica de inecuaciones lineales con dos incógnitas Objetivos •

Resolver inecuaciones lineales en una variable, graficar la ecuación correspondiente, hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del gráfico, e interpretar gráficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

•

Resolver inecuaciones que involucran valores absolutos, graficar la ecuación correspondiente, hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del gráfico, e interpretar gráficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

•

Resolver inecuaciones lineales en dos variables, graficar la ecuación correspondiente, hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del gráfico, e interpretar gráficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

•

Trabajar con inecuaciones combinadas.

•

Verificar que la forma gráfica, la forma escrita y la notación funcional son diferentes expresiones del mismo fenómeno.

•

Resolver problemas del mundo real expresados en término de inecuaciones y problemas de programación lineal.

•

Verificar las respuestas analíticas a los problemas mediante comprobaciones gráficas (y viceversa) para asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 1.3: Uso de inecuaciones para comparar velocidades

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En la figura siguiente vemos un gráfico de distancia versus tiempo de un automóvil que viaja a una velocidad de 55 millas por hora.

aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa

a. Identifica la región del gráfico en la cual la velocidad está limitada, o sea, la región del gráfico donde d < 55t, es decir, d es menor que 55t para cualquier par ordenado (t, d). b. Identifica la región del gráfico en la cual la velocidad es riesgosa, o sea, la región del gráfico donde d > 55t, es decir, d es mayor que 55t para cualquier par ordenado (t, d). Ejemplo 1.4: Inecuaciones en la venta de automóviles

Un distribuidor de automóviles obtiene una ganancia de RD$ 17,500 por cada auto familiar vendido y RD$ 21,000 por cada auto deportivo vendido. En función de un convenio con la fábrica, el distribuidor tiene que vender por lo menos 3 autos familiares por cada auto deportivo. Para lograr el punto de equilibrio, o sea no perder dinero, el distribuidor debe producir una ganancia de por lo menos RD$ 105,000 por semana. Sea F el número de autos familiares vendidos en una semana y D el número de autos deportivos vendidos. a. Escribe una inecuación para indicar la relación autos familiares/autos deportivos (acuerdo con la fábrica). b. Escribe una inecuación para indicar la mezcla de ventas para obtener una ganancia de por lo menos RD$ 105,000 c. Haz un gráfico para representar las inecuaciones de las partes a. y b. d. En una determinada semana, el distribuidor vendió tres autos deportivos y siete autos familiares. ¿Satisfacen estas cifras de ventas el acuerdo firmado con la fábrica? ¿Está el punto en la región sombreada del gráfico correspondiente? e. En una determinada semana, el distribuidor vendió un auto deportivo y cuatro autos familiares. ¿Satisfacen estas cifras de ventas el acuerdo firmado con la fábrica? ¿Está el punto en la región sombreada del gráfico correspondiente? f. Identifica por lo menos tres combinaciones de autos familiares y autos deportivos vendidos que satisfagan ambos requisitos (el acuerdo con la fábrica y la ganancia total). g. En una semana determinada, el distribuidor vendió ocho autos familiares, ¿cuántos autos deportivos deberá vender para cumplir el acuerdo con la fábrica? h. ¿Cuál es la menor cantidad total de autos que el comerciante puede vender en una semana para satisfacer ambos requisitos? i. ¿Cómo hiciste para ir desde una ecuación hacia una inecuación? ¿Qué información obtienes en cada caso? j. Utilizando la resolución gráfica, conversa con tu maestro sobre el uso y la utilidad de la programación lineal y de los sistemas de optimización de problemas.

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ACTIVIDADES Actividad 1.2: Calidad de un producto Materiales 20 tornillos y tuercas de máquinas grandes, por ejemplo 1⁄ 4" – 20 × 1" Calibrador Vernier Calibrador o tornillo micrómetro Calculadora Enunciado del La mayoría de los productos que se usan tanto a nivel industrial como Problema también en el hogar, incluye características técnicas en cuanto a dimensiones. Pero como normalmente no es posible obtener productos “exactamente iguales” se definen lo que llamamos “tolerancias” en sus características técnicas. Por ejemplo, conocemos el espesor “ideal” de un tornillo, pero siempre se permite algo de variación o variabilidad sin que se vea afectada la funcionalidad del producto. Esto da un rango de espesores aceptables. En esta actividad medirás las dimensiones de una muestra de tornillos y luego, basado en tus medidas, escribirás inecuaciones para mostrar cómo se relacionan con las tolerancias y las características técnicas. Procedimiento a. Procúrate 20 tornillos “idénticos” para medirlos. Conviene que sea como el de la ilustración adjunta. Medirás la longitud de cada tornillo con el calibrador Vernier y el ancho de la cabeza del tornillo con el calibrador micrómetro. Quizás vas a necesitar un repaso de cómo usar estas herramientas. b. Usa el calibrador micrómetro para medir y registrar el ancho de la cabeza de cada uno de los 20 tornillos. Registra los resultados en una tabla como la que mostramos aquí. c. Usa el calibrador Vernier para medir y registrar la longitud de cada uno de los 20 tornillos. Anota los resultados en la tabla.

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Tabla de Datos Ancho de la cabeza del tornillo (pulgadas)

Longitud (cm)

Cálculos a. Dibuja un histograma o un gráfico de columnas con las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Determina la amplitud del intervalo de clase, ajustando el ancho de cada celdilla de manera que los datos entren en aproximadamente 6 a 8 celdillas. Por ejemplo, supongamos que el rango de medidas es de 0.032 pulgada, o sea, que va desde 0.760'' hasta 0.792''. Por lo tanto el ancho de cada celdilla podría ser de 0.032”⁄8 = 0.004”. El histograma puede parecerse al que mostramos a continuación. b. Usa tu calculadora para determinar la media de las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Puedes usar tu calculadora o trabajar con la fórmula mostrada a continuación. Registra la media de cada conjunto de datos en una tabla de datos. Media = x =

(x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn ) n

c. Determina ahora la desviación estándar de las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Puedes usar tu calculadora o trabajar con la fórmula mostrada a continuación. Registra las desviaciones estándar en una tabla de datos. Desviación estándar, s =

(

Σ x−x n

)

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d. Usa tus datos para escribir tres inecuaciones de la distribución de los valores medidos: 1. Una relación “mayor que”. Por ejemplo, Ancho de la cabeza del tornillo > 0.759 pulgadas 2. Una relación “menor que”. Por ejemplo, Ancho de la cabeza del tornillo < 0.793 pulgadas 3. Una relación de inecuación combinada. Por ejemplo, 0.759 pulgadas < Ancho de la cabeza del tornillo < 0.793 pulgadas e. Si trabajaras en el Departamento de Control de Calidad de una empresa, tendrías que establecer las tolerancias para un proceso de producción (como puede ser el proceso de producción de tornillos). Para eso, debes comenzar tomando una muestra del producto en condiciones ideales de producción. Para determinar la tolerancia recomendada para la

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máquina o proceso, podrías informar “la media más o menos dos desviaciones estándar: x ± 2s”. Con los valores que obtuviste para la x y la s y de la muestra que tomaste, informa la tolerancia para el ancho de la cabeza del tornillo y para la longitud de los tornillos. f. Escribe esa tolerancia obtenida como una relación de desigualdad o inecuación combinada para: 1. el ancho de la cabeza y 2. la longitud de un tornillo. Muestra tus inecuaciones combinadas en los ejes horizontales de tus gráficos. g. ¿Hay alguna de las medidas que tomaste “fuera” de la tolerancia que escribiste en el Paso f? h. Compara tus inecuaciones con las de los otros grupos en la clase. ¿Hay alguna de las medidas obtenidas por los otros grupos “fuera” de los intervalos de tolerancia (o sea, fuera de las inecuaciones combinadas)?

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EJERCICIOS Ejercicio 1.7:

Santiago tiene 2800 acres de tierra en los que puede plantar dos tipos diferentes de semillas. Él necesita tu ayuda para determinar cuánto plantar de cada uno de los dos tipos de semillas. La semilla tipo A deja ganancias de RD$ 8,400 por acre, mientras que la semilla tipo B deja ganancias de RD$ 9,450 por acre. De acuerdo a sugerencias de agencias de protección del medio ambiente, no puedes plantar más de 2000 acres de la semilla A y más de 1200 acres de la semilla B. Sea x el número de acres plantados con la semilla A e y el número de acres plantados con la semilla B. a. Escribe una inecuación del número total de acres que se puede plantar plantando x acres con la semilla A e y acres con la semilla B. b. Escribe una inecuación del número total de acres que se pueden plantar de cada tipo de semilla. c. Como Santiago quiere saber cuáles serán sus ganancias por la venta de estas semillas, escribe una ecuación de la cantidad de ganancias (G) obtenida de la venta de x acres A e y acres de B. d. Construye un gráfico cartesiano de acres de A versus acres de B. Grafica todas las inecuaciones y sombrea el área que contiene los puntos que satisfacen todas las condiciones dadas por tus inecuaciones de las Partes a y b. En otras palabras, sombrea la intersección de todas las regiones definidas por tus inecuaciones. e. Usa las técnicas de programación lineal para determinar la mezcla adecuada de semillas A y B que satisfagan las condiciones de las inecuaciones y calcula el máximo de ganancias (fíjate en la Parte c).

Ejercicio 1.8:

Eres representante de una agencia de viajes y te han pedido que organices un viaje para un grupo juvenil de una iglesia. El grupo de jóvenes ha juntado RD$ 192,500 para gastar en el viaje. Tu agencia cobra RD$ 8,750 por organizar el viaje y el costo por persona es de RD$ 17,500. a. Escribe una expresión de desigualdad que muestre la relación entre el costo máximo del viaje y los costos que la agencia va a cobrar. b. Resuelve la inecuación para hallar el número máximo de jóvenes que puede ir al viaje, sabiendo que el costo total es RD$ 192,500.

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Ejercicio 1.9:

Tu tienda de computadoras vende dos tipos diferentes de computadoras. La ganancia por venta de cada modelo Xantum es de RD$ 8,750, mientras que la ganancia por la venta del modelo Yazir (con más capacidad) es de RD$ 12,250. Los gastos mensuales de tu tienda son RD$ 70,000. Si denotamos a x como la cantidad de computadoras modelo Xantum vendidas en un mes y a y como la cantidad de computadoras modelo Yazir vendidas en un mes: a. Escribe una expresión que muestre la ganancia por la venta de x computadoras modelo Xantum e y computadoras modelo Yazir durante un mes dado. b. En momentos de crisis, lo que tú quieres es que las ganancias por las ventas de estos dos modelos sea por lo menos igual a tus gastos mensuales. Usa el resultado de la Parte a para escribir una inecuación que describa esta situación. c. Expresa la inecuación de la Parte b en forma explícita y dibuja un gráfico de la misma. d. Usa tu gráfico para identificar tres combinaciones de ventas de computadoras modelo Xantum y modelo Yazir que te permitirían pagar tus gastos mensuales. e. Usa tu gráfico para listar tres combinaciones de ventas de computadoras modelo Xantum y modelo Yazir que no te permitirían pagar tus gastos.

Ejercicio 1.10:

Una tienda de ropa quiere reabastecer la sección ropa de hombres con dos tipos de trajes. El traje tipo X cuesta RD$ 3,500 cada uno y el traje tipo Y cuesta RD$ 4,550 cada uno. La tienda necesita tener en inventario por lo menos RD$98,000 en trajes para competir con otras tiendas (para no perder ventas por falta de stock). El presupuesto de compra de la tienda es de RD$140,000. Sea x el número de trajes tipo X de RD$ 3,500 e y el número de trajes tipo Y de RD$ 4,550. a. Escribe una expresión del costo de compra de x trajes tipo X e y trajes tipo Y. b. Escribe una inecuación que muestre la relación entre la mínima cantidad que se debe gastar y el costo de los trajes comprados. c. Escribe una inecuación que muestre la relación entre la cantidad máxima que se debe gastar y el costo de los trajes comprados. d. Haz un gráfico de las inecuaciones de las Partes a y b en un sistema de ejes coordenados. e. Halla la región que satisface ambas inecuaciones y sombrea la misma. Menciona una combinación de compras x e y que no exceda el presupuesto máximo, pero que proporciona más que el inventario mínimo.

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Ejercicio 1.11:

Una fórmula química exige una solución con un nivel de pH de 6.3 y una tolerancia de ±0.4. a. Usa el signo de valor absoluto y escribe una inecuación de los valores de pH permitidos. b. Aplica el significado de la expresión del valor absoluto de la Parte a para obtener dos inecuaciones. c. Para cada una de las inecuaciones de la Parte b, menciona dos valores de pH que satisfagan la misma.

Ejercicio 1.12:

Un técnico de laboratorio debe clasificar muestras de roca según su cantidad de minerales. Las muestras del Grupo I tienen un contenido mineral de menos del 2.5%. Las muestras del Grupo II tienen un contenido mineral entre el 2.5% y el 7.0%. Y las muestras del Grupo III tienen un contendio mineral mayor que el 7.0%. La tabla muestra los resultados de la pruebas de laboratorio en relación al contenido mineral de varias muestras de rocas. a. Escribe expresiones de desigualdad que muestren el porcentaje de contenido mineral de cada uno de los tres grupos de rocas.

Resultados de la Prueba de Laboratorio Contenido Muestra de mineral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.3% 4.8% 2.4% 10.0% 12.1% 5.9% 15.7% 7.4% 2.5% 7.0%

b. Identifica cuáles muestras de la tabla pertenecen al Grupo I, cuáles pertenecen al Grupo II y cuáles pertenecen al Grupo III. Ejercicio 1.13:

La especificación del diámetro D de una barra de metal perteneciente a un cierto motor es de 2.775" ± 0.025". a. Escribe una inecuación compuesta que indique los valores aceptables del diámetro D de la barra. b. Usa la inecuación combinada para hallar las dimensiones aceptables del radio R de la barra de metal.

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Ejercicio 1.14:

Un técnico que trabaja en una planta automotriz está probando la potencia de frenado de nuevos modelos de automóviles. Una fórmula utilizada para estimar la distancia de frenado en asfalto seco es d = 0.039v2, siendo d la distancia de frenado expresada en pies y v la velocidad del vehículo en millas por hora. Se lleva a cabo una prueba de frenado a tres velocidades diferentes. Un automóvil no pasa la prueba de frenado si su distancia de frenado excede la distancia estimada mediante la fórmula, cualquiera sea la velocidad a la que se realiza la prueba. a. Escribe una inecuación que muestre la distancia de frenado que debe lograr un auto para pasar la prueba, a una velocidad dada. b. Se conduce la prueba de frenado a velocidades de 30 millas por hora, 45 millas por hora y 60 millas por hora. Escribe una proposición que especifique los requisitos para pasar la prueba completa de frenado. (Ayuda: usa el conector lógico adecuado, O ó Y.) c. Dibuja un gráfico de la inecuación de la Parte a para velocidades de hasta 60 millas por hora. Muestra la región que indica una situación aceptable de frenado.

Ejercicio 1.15:

Susana es electricista. El cable que usa en un cierto trabajo de construcción viene en bobinas de 100 pies. Para un cierto trabajo en una obra en construcción, ella necesita longitudes de 141⁄2 pies y de 12 pies. a. Escribe una expresión para indicar la longitud de cable usado si ella necesita hacer un trabajo que lleva una cierta cantidad x de cable de longitud 141⁄2 pies. b. De manera similar escribe una expresión para indicar la longitud de cable usado si ella necesita hacer un trabajo que lleva una cierta cantidad y de cable de longitud 12 pies. c. Escribe una inecuación que muestre que la cantidad de cable a ser usado no debe superar los 100 pies que hay en una bobina. d. Dibuja un gráfico que muestre los valores de x e y que satisfacen la inecuación. e. Identifica cinco pares ordenados (x, y) que satisfagan la inecuación y que den la cantidad más pequeña posible de desecho o pérdida de cable.

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Ejercicio 1.16:

Brenda trabaja en la sección de máquinas de un taller que fabrica piezas de metal según especificaciones de los clientes. Un cliente ha solicitado una barra de un cierto metal cuyas medidas especificadas son: longitud de 15.00 cm y ancho de 2.00 cm. Según la especificación dada por el cliente y en función del uso que se le dará a esa barra, la longitud L y el ancho A de la misma pueden variar en 0.01 cm. Esta variación se llama tolerancia de las dimensiones. a. Escribe una inecuación para indicar los límites de las dimensiones aceptables de dicha barra de metal. b. Si una barra producida tiene una longitud mide 14.997 cm, y un ancho de 1.993 cm, ¿es aceptable? ¿Por qué? c. Si una barra producida mide 15.097 cm, y un ancho de 1.993 cm, ¿es aceptable? ¿Por qué? d. Si una barra producida tiene una longitud mide 14.997 cm, y un ancho de 2.033 cm, ¿es aceptable? ¿Por qué? e. Si una barra producida tiene una longitud mide 15.07 cm, y un ancho de 2.33 cm, ¿es aceptable? ¿Por qué?

Ejercicio 1.17:

Considera la inecuación combinada –3 < (2x – 3) ≤ 5. a. Para la inecuación de la izquierda –3 < 2x – 3, ¿cuáles son los valores que la hacen verdadera? Es decir, ¿qué valores satisfacen esa inecuación? Llamemos a esos valores el Conjunto A. b. Para la inecuación de la derecha, 2x – 3 ≤ 5, ¿cuáles son los valores que la hacen verdadera? Es decir, ¿qué valores satisfacen esa inecuación? Llamemos a esos valores el Conjunto B. c. ¿Cuáles son los valores que satisfacen la inecuación combinada? d. Representa gráficamente (en una recta numérica) las respuestas a las partes a., b. y c. e. Representa mediante notación de conjuntos (diagramas de Venn) las respuestas a las partes a., b. y c.. f. El conjunto de soluciones de la inecuación combinada, ¿es la intersección o la unión de los Conjuntos A y B? g. El valor de x = –2, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo. h. El valor de x = 6, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo. i. El valor de x = 3, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo.

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Ejercicio 1.18:

Considera la inecuación combinada –3 > (2x – 3) ≥ 5. a. Para la inecuación de la izquierda –3 > 2x – 3, ¿cuáles son los valores que la hacen verdadera? Es decir, ¿qué valores satisfacen esa inecuación? Llamemos a esos valores el Conjunto A. b. Para la inecuación de la derecha, 2x – 3 ≥ 5, ¿cuáles son los valores que la hacen verdadera? Es decir, ¿qué valores satisfacen esa inecuación? Llamemos a esos valores el Conjunto B. c. ¿Cuáles son los valores que satisfacen la inecuación combinada? d. Representa gráficamente (en una recta numérica) las respuestas a las partes a., b. y c. e. Representa mediante notación de conjuntos (diagramas de Venn) las respuestas a las partes a., b. y c.. f. El conjunto de soluciones de la inecuación combinada, ¿es la intersección o la unión de los Conjuntos A y B? ¿Existe un conjunto solución? e. El valor de x = 2, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo. h. El valor de x = –6, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo. i. El valor de x = 0, ¿satisface totalmente o parcialmente la inecuación combinada? Muestra tu trabajo.

Ejercicio 1.19:

El diámetro especificado de una varilla de aluminio anodizado para hacer barandales de un edificio expuesto a la atmósfera salina de la cercanía del mar es de 1.00 cm. La tolerancia es ± 0.001 cm. a. Escribe una inecuación que permita calcular las dimensiones aceptables de esa varilla de aluminio, utilizando la nomenclatura de valor absoluto. b. ¿Cómo escribirías eso mismo mediante una inecuación combinada, o sea, si no usaras la nomenclatura de valor absoluto? c. Un diámetro de 1.002, ¿es aceptable? ¿Por qué? d. Un diámetro de 0.989, ¿es aceptable? ¿Por qué?

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Ejercicio 1.20:

La tienda de bicicletas “Pedaleando por el país” gana RD$ 3,500 por cada modelo Andino vendido y RD$ 1,750 por cada modelo Alpino vendido. Llamaremos x a la cantidad de bicicletas modelo Andino e y a la cantidad de bicicletas modelo Alpino. Los gastos fijos del negocio ascienden a RD$ 52,500 por mes. El dueño de la tienda, en función de la situación crítica actual, está buscando la manera de por lo menos mantenerse en el negocio, es decir, no está pretendiendo ampliar el negocio ni expandir a corto plazo su capacidad de producción. Eso podría venir después que pase la situación crítica. Por eso, él quiere saber lo siguiente: ¿cuántas bicicletas (por lo menos) debe vender por mes de cada modelo para no perder? a. Escribe una expresión de desigualdad que muestre que el ingreso por ventas debe superar, por lo menos, los RD$ 52,500. Desde el punto de vista práctico comercial, ¿puede la inecuación contener también el signo igual (=)? b. ¿Cómo representarías gráficamente esa inecuación? ¿Qué parte o región del gráfico debiera estar sombreada para indicar pares ordenadas que satisfagan esa inecuación? c. ¿Puede considerarse la parte sombreada como el conjunto de soluciones posibles de esa inecuación? ¿Por qué? d. La recta que representa la ecuación, ¿forma parte del conjunto de pares ordenados que satisfarían la inecuación? ¿Por qué? e. En la vida práctica de esta fábrica de bicicletas, ¿hay alguna restricción para los valores que las variables x e y pueden asumir? Ayudas: 1) el par ordenado (x, y) = (20, -10) es matemáticamente posible, pero ¿qué estaría indicando en la realidad? Explica. f. Para las siguientes situaciones de ventas combinadas (x, y): (7, 12), (10, 10), (15, 0), (0, 29), (20, 20), localiza gráficamente esos pares ordenados y explica cuales de esas situaciones permiten mantenerse en el negocio.

Ejercicio 1.21:

Sigamos con el ejemplo anterior. Vamos a suponer que la crisis grave ya pasó y que el dueño de la tienda quiere ahora comenzar un proceso de maximización de ganancias. Sabemos que la tienda de bicicletas gana RD$ 3,500 por cada modelo Andino vendido y RD$ 1,750 por cada modelo Alpino vendido y que los gastos fijos del negocio ascienden a RD$ 52,500 por mes. a. Escribe una expresión matemática que indique la función de beneficios de la tienda. Llamaremos x a la cantidad de bicicletas modelo Andino e y a la cantidad de bicicletas modelo Alpino. A esta función la llamaremos función objetivo (recuerda que el objetivo del dueño ahora es maximizar su beneficio).

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b. Suponemos que la capacidad de producción mensual es de hasta 20 bicicletas Modelo Andino y de hasta 30 bicicletas Modelo Alpino. Además, por razones de personal, materiales y equipamiento, la tienda no puede producir mensualmente más de 40 bicicletas en total. Representa analítica y gráficamente (mediante inecuaciones) estas restricciones de producción. c. Sabemos que sería imposible producir bicicletas negativas. ¿Cómo representarías analítica y gráficamente (mediante inecuaciones) esta restricción? d. ¿Podrías representar las inecuaciones de las partes b. y c. en un solo gráfico? ¿Cuál sería la región sombreada? Muestra tu trabajo. e. ¿Cómo relacionas la función objetivo (parte a.) con la región obtenida en la parte d.? Buscar el punto donde la tienda obtiene el mayor beneficio posible. Explica. Tu maestro te ayudará en esto, ya que esto pertenece al concepto de programación lineal.

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Unidad 2: Polígonos y circunferencias

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Capítulo 1: Generalidades (definición, clasificación, líneas y puntos notables) Objetivos •

Identificar figuras geométricas simples (tales como rectángulos, cuadrados, triángulos, paralelogramos, trapezoides y círculos) en objetos del mundo real y del trabajo.

•

Reconocer, designar, dibujar y medir las diferentes partes de rectas (paralelas y perpendiculares), puntos y ángulos que encontramos en polígonos y círculos.

•

Solucionar problemas relacionados al trabajo, que involucren el trabajo con figuras geométricas y el cálculo del perímetro y del área de dichas figuras comunes.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 2.1: Reconocimiento de formas

Fíjate en las ilustraciones siguientes cómo se pueden identificar figuras geométricas en algunos elementos que nos rodean o que nos son conocidos. Trata de identificar más formas de las que se mencionan en las figuras. Además fíjate si algunas fotografías aparecidas en periódicos, libros, etc. o fotos de tu casa muestran figuras geométricas aproximadamente identificables.

Tipo de casilla o depósito para guardar cachivaches. Figuras identificadas: rectángulos, planos y rectas, cuadrados, mitad de un cilindro. Pide ayuda al maestro de inglés si los necesitas.

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Edificio moderno (en realidad es en MIT). Figuras identificadas: muchos paralelogramos (principalmente rectángulos). La fachada responde a la forma de un paralelogramo. Pide ayuda al maestro de inglés si los necesitas.

Pirámides en Indianápolis (tres dimensiones y bases cuadradas). Figuras identificadas: Las ventanas son cuadradas y el borde exterior de las paredes y de las ventanas son formas de tres dimensiones. Pide ayuda al maestro de inglés si los necesitas.

La geometría en los automóviles. Figuras identificadas: Las ruedas son círculos, las puertas “se asemejan” a prismas rectangulares. Hay muchas más formas dentro del auto. Pide ayuda al maestro de inglés si los necesitas.

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Ejemplo 2.2: Armado de un rectángulo en la industria de la construcción

Sigamos los siguientes pasos (trabajaremos en el patio de la escuela): Paso 1. Clava o posiciona firmemente una estaca para denotar un punto, que llamaremos A. Ata una cuerda al mismo y despliégala con una longitud determinada (lado AB) hasta llegar al lugar donde clavaremos o posicionaremos la próxima estaca, indicando el punto B. Paso 2. Despliega una cuerda de longitud determinada para indicar el lado AD, hasta una estaca clavada en D. Esta estaca puesta en el “punto” D se posiciona para que el ángulo BAD sea lo más recto posible. Paso 3. Para lograr este ángulo “recto”, haremos lo siguiente. Mide una distancia de 3 pies desde el punto A, por la cuerda AB y haz una marca de tiza en un punto que llamaremos E. Ahora mide una distancia de 4 pies a lo largo de la cuerda AD (también desde el punto A) y haz una marca de tiza en el punto F. Manteniendo tensa la línea AD, desplaza la estaca clavada en el punto D para un lado o para el otro hasta que la distancia entre los puntos E y F (las dos marcas de tiza) sea exactamente de 5 pies. Ahora clava definitivamente la estaca D, habiendo obtenido el ángulo EAF lo más recto posible. Paso 4. Repite el mismo procedimiento en la estaca D para convertir el ángulo ADE en un ángulo “recto”. Con esto podemos fijar la posición de la estaca C. Todas las estacas están ahora bien fijadas. En la construcción, la cuerda puede ser reemplazada con tablas, formando un marco de madera con forma de rectángulo. Paso 5. Para verificar que hemos trabajado bien, como lo haría un albañil o un carpintero, debemos asegurarnos que la forma ABCD es un rectángulo. Podemos hacer esto usando lo que vimos acerca de las diagonales de un rectángulo. ¿Cómo harías? ¿Qué medidas habría que tomar para convencerse de que la forma obtenida es verdaderamente un rectángulo? Nota: una estaca puede ser hecha con una lata de pintura vacía que se rellena de cemento y se le introduce una pequeña varilla vertical de madera en el medio, para que al fraguar, la varilla vertical cumpla funciones de “punto”.

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Ejemplo 2.3: Identificación de figuras geométricas

Identifica figuras geométricas en las siguientes ilustraciones.

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Ejemplo 2.4: Algunas preguntas

Responde las siguientes preguntas: 1. Calcular el área de un billete de RD$ 100. ¿Cuál puede ser la unidad de medida de tu respuesta? 2. ¿Cuál es la forma y el perímetro de la sala de clases, de la sala de audiovisuales, del campo de basquetbol? 3. En caso de tener forma rectangular: ¿cuánto valen las diagonales de la sala de clases, de la sala de audiovisuales, del campo de basquetbol?

Ejemplo 2.5: Aislamiento de un caño

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Un caño cuyo diámetro exterior mide 5.75 pulgadas está por ser envuelto con un pedazo rectangular de aislamiento. ¿De qué largo necesitas cortar el aislamiento?

Ejemplo 2.6: Geometría y jardinería

Un jardinero quiere sembrar semilla de césped sobre una sección triangular de tierra. Mide la distancia a pasos y halla que un lado del triángulo mide aproximadamente 60 pies. Luego mide la altura con respecto a ese lado y le da aproximadamente 20 pies. ¿Cuántos pies cuadrados de espacio de tierra hay?

Ejemplo 2.7: Pirámide de papel

Queremos hacer una pirámide pequeña con una delgada hoja de papel de 8" × 11.5". La pirámide puede ser hecha cortando a través de la forma mostrada a continuación.

a. ¿Cuáles formas reconoces en esta construcción? b. Usando las medidas dadas, calcula el área total de papel usado para construir la pirámide. c. Si tuviera a mano una hoja cuadrada de papel de 50 cm. de lado, ¿Cuánto te sobraría (área) después de cortar lo necesario para la pirámide?

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Capítulo 2: Teorema fundamental del triángulo y teoremas afines – Congruencia de triángulos LLL, LAL, ALA) – Semejanza de triángulos Objetivos •

Identificar triángulos que nos rodean y como se los mide para resolver problemas del mundo real.

•

Reconocer, designar, dibujar y medir las diferentes partes de un triángulo.

•

Solucionar problemas relacionados al trabajo, que involucren triángulos, sus características y el cálculo del perímetro y del área de los mismos.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 2.8: Más preguntas

Fíjate en la ilustración siguiente y responde las siguientes preguntas: a. ¿Puedes identificar si hay algún triángulo semejante? b. ¿Puedes identificar triángulos que forman rectángulos? c. ¿Qué otras figuras o cuerpos geométricos pueden identificar?

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Ejemplo 2.9: Identificación de triángulos semejantes

Identifica triángulos semejantes en la siguiente fotografía. Explica cómo probablemente debieron trabajar los que construyeron esa tribuna, para formar esos triángulos.

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ACTIVIDADES Actividad 2.1: Construcción de Triángulos Especiales Materiales Caja de pajillas (para sorber refrescos) Caja de ganchos o clips sujetapapeles Regla Tijeras Alicates Enunciado del Se usan varios triángulos rectángulos porque tienen relaciones útiles entre Problema sus lados y sus ángulos. Tres de estos triángulos son conocidos como triángulos “45-45-90”, “30-60-90%” y “3-4-5”. En esta actividad, hacemos e identificamos estos triángulos. Procedimiento a. Corta secciones de pajillas que tengan 3 pulgadas, 4 pulgadas y 5 pulgadas de largo. Usa el alicate para ajustar el ancho de la parte redondeada del sujetapapeles para que así quepan ceñidamente en la pajilla sin alterarle la forma. Ajusta los ángulos de los ganchos hasta que no haya tensión en el triángulo. Dobla los ganchos como se muestra en el dibujo para que el vértice de los ángulos esté en la intersección del interior del triángulo formado por las pajillas. Dobla los ángulos, de a uno por vez, hasta que se alinee correctamente el triángulo con solamente dos de los tres ganchos en su lugar. Junta el tercer gancho y suelta uno de los dos ganchos originales. Si el alineado del triángulo permanece igual, no hay tensión en el triángulo.

b. Corta ahora secciones de pajilla que tengan 3 pulgadas, 3 pulgadas y 41⁄4 pulgadas de largo. Haz los ganchos como se indicó más arriba. Ajusta los ángulos para aliviar la tensión en el triángulo.

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c. Corta secciones de pajilla que tengan 2 pulgadas, 4 pulgadas y 3 7/16 pulgadas de largo. Haz los ganchos como se indicó más arriba. Ajusta los ángulos para aliviar la tensión en el triángulo. d. Los triángulos hechos son o de “45º-45º-90º”, o de “30º-60º-90º”, o “34-5”. Hay un triángulo de cada tipo. Mide los ángulos en cada triángulo e identifica cada triángulo. Dibuja y denota cada triángulo.

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Capítulo 3: Triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y teoremas afines) Objetivos •

Nombrar las partes del triángulo rectángulo.

•

Usar la fórmula de Pitágoras para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo.

•

Usar algunas características de algunos triángulos rectángulos especiales 3 : 4 : 5, 45°– 45° y 30°– 60° para solucionar problemas relacionados al trabajo.

•

Usar las razones del seno, coseno y tangente de un ángulo para solucionar problemas que incluyen triángulos.

•

Verificar las respuestas analíticas a los problemas mediante comprobaciones gráficas (y viceversa) para asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 2.10: Triángulos rectángulos en la vida diaria y profesional

Vemos a continuación algunas fotografías y dibujos para comentar algunas características de los triángulos rectángulos y su uso en la vida diaria.

(http://62.15.226.148/fot/2007/01/10/4121446.jpg)

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http://www.todocontenedores.com/images/productos/52138.jpg

http://www.todacultura.com/talleres/taller_dibujo/ imagenes/calle_subida.jpg

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http://www.meditea.com/images/modulo-marcha2507.jpg

http://www.mercadolibre.com.ar/jm/ img?s=MLA&f=35883152_3727.jpg&v=P

Ejemplo 2.11: La electricidad y el triángulo rectángulo

La figura siguiente muestra un circuito en serie que contiene una fuente de voltaje, una resistencia y una bobina. Sabemos por física, que el voltaje de la resistencia y el voltaje de la bobina se relacionan con el voltaje de la fuente por medio de la fórmula siguiente. VR2 + VB2 = VF2 Observa que esta relación es similar a la relación que existe entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Debido a esto, a

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menudo representamos estos voltajes mediante un “triángulo de voltaje”, como vemos a continuación.

Si en este circuito aplicamos un voltaje de 185 V y el voltaje de la resistencia es 76 V, calcula el voltaje de la bobina.

Ejemplo 2.12: Refuerzo diagonal

Supongamos que estamos construyendo un marco de madera como el que vemos a continuación y queremos ponerles un refuerzo en diagonal. Suponemos que el lado del marco (cuadrado) mide 60 centímetros. Determina la longitud de la diagonal. Ayuda: haz un dibujo en tu cuaderno indicando el ángulo recto y la hipotenusa.

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ACTIVIDADES Actividad 2.2: Medición de la Pendiente del Estacionamiento Materiales Brújula Nivel de línea Cinta de medir Cinta de enmascarar (masking tape) Cuerda Plomada Calculadora Enunciado del Sabemos que cuando llueve demasiado, las aguas fluyen hacia el nivel Problema mas bajo. Si el suelo está “a nivel”, el agua no fluye sino que forma charcos de agua. Si queremos tener una pendiente apropiada para evitar charcos, debemos nivelar los lugares de estacionamiento para permitir un drenaje adecuado. En esta actividad, vamos a extender una línea norte-sur y una línea este-oeste, y mediremos la pendiente de cada línea. Procedimiento a. Elije un sitio en el patio de la escuela que tanga suficiente espacio para medir por lo menos 25 pies desde el mismo en cualquier dirección. Marca este sitio (punto A de la figura 1) con cinta de enmascarar.

Figura 1 Marcamos las líneas N-S y E-O.

b. Usa la brújula para divisar una línea directamente al sur del punto A y mide una distancia de 25 pies a lo largo de esta línea norte-sur. Marca este otro punto (punto B de la Figura 1) con cinta de enmascarar. c. Extiende la cuerda entre el punto A y el punto B. Pídele a dos de los miembros de tu grupo que sujeten las puntas de la cuerda. La cuerda tiene que estar tiesa. Pide al estudiante que está en el punto A que sujete la cuerda a una altura cómoda, ya que vamos a medir esta elevación y no 38

debemos mover esta punta de la cuerda después que hayamos medido la elevación. Usa la plomada, como vemos en la figura 2, para encontrar el punto en la cuerda exactamente arriba del punto A. Mide la distancia vertical (usando la plomada) desde el punto A hasta la cuerda. Denota esta distancia como HA y anota su valor en tu cuaderno.

Figura 2 Medición de la pendiente

d. Pon el nivel de línea casi al final de la cuerda en el punto B. Ajusta la altura de la cuerda cerca del punto B, hasta que el nivel de línea indique que la cuerda está a nivel. e. Después que hayas nivelado la cuerda, usa la plomada para encontrar el punto que esté exactamente sobre el punto B en la cuerda. Mide la distancia vertical del punto B hasta la cuerda. Llamaremos HB a esta distancia y la anotas en tu cuaderno. f. Vuelve al punto A. Usa la brújula para divisar una línea que esté directamente al oeste del punto A, y mide una distancia de 25 pies a lo largo de esta línea este-oeste. Marca este sitio (punto C de la Figura 1) con cinta de enmascarar. g. Repite los pasos d a f para medir las alturas relativas de la cuerda que mide el nivel sobre el punto A y el punto C. Cálculos a. Usa la fórmula siguiente para calcula la pendiente de la línea nortesur. Pendiente =

Elevación × 100% Distancia AB

En este caso: Distancia AB = 25 pies Elevación = HA – HB

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nos da una Pendiente =

HA − HB × 100% 25

Fíjate en la figura 3 para ver la geometría que se aplica en el cálculo de la pendiente, cuando HA es mayor que HB. Más adelante veremos que éste no siempre es el caso.

Figura 3 Cálculo de la pendiente del estacionamiento

Asegúrate de estar trabajando con las unidades de medida adecuadas al trabajar con HA y HB. Si HA es mayor que HB, la pendiente de la línea norte-sur desde A hasta B es cuesta arriba y la pendiente es positiva. Si HA es menor que HB, la pendiente de la línea norte-sur es cuesta abajo y la pendiente es negativa. Anota la pendiente que calculaste en tu cuaderno. b. Usa la misma fórmula para calcular la pendiente de la línea este-oeste. En este caso: Desplazamiento = 25 pies Elevación = HA – HC y Pendiente =

HA − HC × 100% 25

Asegúrate de estar trabajando con las unidades de medida adecuadas al trabajar con HA y HC. Si HA es mayor que HC, la pendiente de la línea este-oeste desde A hasta C es cuesta arriba y la pendiente es positiva. Si HA es menor que HC, la pendiente de la línea este-oeste desde A hasta C es cuesta abajo y la pendiente es negativa. Anota la pendiente que calculaste en tu cuaderno. c. La pendiente es igual al seno del ángulo que se forma por dicha pendiente multiplicado por 100%. Observa la figura 3. El ángulo de la pendiente es ∠ A. Supongamos que la elevación medida (HA – HB) es 6 pulgadas, haríamos: (HA – HB) = 0.5 pie y seno A =

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opu 0.5 elevación = = = 0.02 hip desplazamiento 25

Para encontrar el ángulo ∠ A, haz lo siguiente: • • • •

Pon tu calculadora en el “modo de grado”. Anota el valor 0.02 y presiona la tecla de inversa o la de segunda función. Presiona ahora la tecla seno. Lee la pendiente (del ángulo) ∠ A que aparece en el visor (en grados). Cuando el seno A = 0.02, el ángulo ∠ A (redondeado) es 1.1°.

Un ángulo positivo significa que la línea va “hacia arriba o sube” desde A hacia C o desde A hacia B. Por el contrario, si el ángulo hubiera sido negativo, la línea iría “hacia abajo”.

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Actividad 2.3: Cálculo de la Longitud del Edificio de la Escuela Materiales Escuadra de carpintero Cuerda (de 100 pies) Brújula Calculadora Enunciado del Las razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo Problema son útiles para estimar y medir distancias. En esta actividad, usaremos la razón llamada “tangente” para medir la longitud del edificio de la escuela. Procedimiento a. Elije una esquina del edificio de la escuela. Fíjate en el dibujo de abajo. Extiende la cuerda de 100 pies desde la esquina del edificio de la escuela, de tal manera que quede perpendicular a la pared. Usa la escuadra de carpintero para que te ayude a obtener un ángulo de 90°. Ajusta la punta de la cuerda hasta que la pared y la cuerda formen un ángulo de 90° (o lo más cerca de 90° que se pueda medir). b. Camina hasta el otro extremo de la cuerda alejándote del edificio. Usa la brújula y determina el rumbo u orientación de la misma desde el final de la cuerda hasta la esquina que hemos elegido del edificio Y también hasta la otra esquina del edificio (la opuesta, no la de la pared perpendicular a la cuerda). Fíjate en el dibujo. Registra las dos orientaciones o rumbos de la brújula en tu cuaderno.

Cálculos a. Resta las dos orientaciones de la brújula. Si la diferencia en las orientaciones es menor a 90°, esta diferencia es la medida del ángulo ∠ A del dibujo. Si la diferencia es mayor a 90°, resta esta diferencia de 360° para obtener la medida del ángulo. Por ejemplo, con referencia al dibujo, suponte que las orientaciones eran 41° y 326°. Esto da una diferencia de 326° – 41° = 285°. Como 285° es mayor que 90°, resta 285° de 360° para obtener 75°. La medida del ángulo ∠ A es 75°.

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b. Usa ahora tu calculadora y la fórmula de la tangente para calcular la distancia entre las dos esquinas

tan A =

opu Largo del edificio de la escuela = ady 100 pies

tan A =

L 100 pies

∴ L = 100 tan A c. Describe cómo podrías usar este método para medir la distancia entre dos puntos en lados opuestos del Río Chavón.

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EJERCICIOS Ejercicio 2.1:

Imagínate que vas viajando y te estás acercando a la zona más alta de la cordillera central. De acuerdo a las indicaciones de tránsito, estás a 20 millas de la cima (en línea recta). Ya puedes ver esa parte desde tu automóvil y, usando un transportador, estimas que el mismo parece estar a aproximadamente 7° por encima del horizonte. Dibuja un esbozo de esta información. Usa lo que sabes acerca de la tangente de un ángulo para estimar la altura (redondeando a los 1000 pies más cercano) del pico de la montaña.

Ejercicio 2.2:

Supongamos que un avión monomotor pierde su único motor. Las condiciones técnicas de dicho avión le permiten planear formando un ángulo de 18° con respecto a la tierra. Si la falla del motor se dio a una altura de 6000 pies, ¿cuál es la distancia horizontal máxima que podrá desplazarse antes de “tocar” tierra?

Ejercicio 2.3:

Supongamos que una intersección de dos calles ocurre a un ángulo de 60°, como mostramos más abajo. Cada calle tiene 35 pies de ancho, pero en la intersección, la distancia de esquina a esquina es mayor que 35 pies.

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a. Copia el dibujo de la intersección en tu cuaderno. Dibuja un triángulo rectángulo usando la distancia entre las dos esquinas como si fuera la hipotenusa y la distancia de una de las calles como uno de los catetos. Identifica la medida de los ángulos dentro de tu triángulo rectángulo. b. Halla la distancia entre las dos esquinas de la calle en tu triángulo. c. Repite las partes a y b con la esquina siguiente que está a la derecha de la que seleccionaste arriba.

Ejercicio 2.4:

Si medimos el ángulo que el sol forma con la vertical exactamente al mediodía, podríamos determinar la latitud de tu ubicación. La determinación exacta de esto es complicada, ya que depende de la inclinación de la tierra, de la rotación de la tierra y de la fecha, entre otras cosas. No obstante, podemos determinar el ángulo midiendo la sombra que arroja un objeto de altura conocida, puesto perpendicular a la tierra. Supongamos que usamos una vara de un metro de longitud y su sombra se extiende 22.5 cm de la base de la vara. a. Dibuja un esbozo que muestre las dimensiones del triángulo formado y el ángulo que se forma entre la luz del sol y la vara. Si se trata de un triángulo rectángulo, identifica los catetos y la hipotenusa. b. ¿Cuál es el valor de la tangente del ángulo que se forma entre la luz del sol y la vara de un metro? c. Conociendo el valor de la tangente de ese ángulo, calcula el valor del ángulo.

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Ejercicio 2.5:

Para tomar una radiografía, la fuente de rayos X se pone sobre un fragmento de película (ver dibujo). Centramos la fuente a 40 pulgadas de la película que tiene 10 pulgadas de ancho. a. ¿Qué distancia deben recorrer los rayos X para llegar a los bordes de la película? b. Sabemos que los rayos X disminuyen en intensidad según la fórmula 1⁄ 2 d , siendo d la distancia desde la fuente. Calcula esta razón tanto para el centro de la película como para el borde de la película desde esta fuente de rayos X. c. En relación a la distancia desde la fuente, ¿cuánto más fuertes son los rayos X en el centro de la película que en los bordes de la película? (Ayuda: Examina la razón de las dos razones que encontraste en la Parte b.)

Ejercicio 2.6:

Cuando tomamos una radiografía de la columna vertebral en la zona lumbar, una toma de la serie requiere que la espalda del paciente forme un ángulo de 45°, como vemos en el dibujo. Normalmente se utilizan almohadas para mantener la espalda en esta posición difícil. Si la distancia desde la base de la columna vertebral a la parte de atrás del cuello es 66 cm, ¿a qué distancia debemos levantar el cuello para formar un ángulo de 45°?.

Ejercicio 2.7:

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Supongamos que en una sala de exhibición de arte hay que instalar dos parlantes para lograr ciertos efectos sonoros. Queremos ubicarlos en la pared de tal manera que cuando nos paramos en el medio entre los parlantes, no haya más de 7 pies de distancia de cualquiera de los dos parlantes (ver dibujo). Además queremos que cada parlante esté a la misma distancia del rincón. ¿A qué distancia del rincón debemos ubicar cada parlante?

Ejercicio 2.8:

Los trabajadores que realizan tendidos eléctricos utilizan cables especiales para estabilizar los postes instalados (ver dibujo). Por ejemplo, se puede fijar el cable al poste a una altura de 25 pies sobre el suelo y atarlo a una estaca en la tierra a 4 pies desde la base del poste. Sin embargo, otro instalador nos recomienda poner la estaca a 6 pies desde la base del poste ya que así se puede lograr mayor estabilidad.

a. ¿Cuál es la longitud de cable necesario para estabilizar el poste? b. ¿Cuánto más largo tendría que ser el cable de acuerdo a la recomendación de nuestro colega?

Ejercicio 2.9:

En los circuitos eléctricos con corrientes y voltajes variables, el efecto combinado de la resistencia y la reactancia se llama impedancia. La impedancia se relaciona a la resistencia y a la reactancia mediante la fórmula que mostramos a continuación. Z2 = R2 + X 2 donde Z es la impedancia, en ohms, R es la resistencia, en ohms y X es la reactancia, también en ohms. a. La relación de arriba es equivalente a la fórmula de Pitágoras que relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Dibuja y denota un triángulo rectángulo para representar la relación entre la impedancia, la resistencia y la reactancia.

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b. Supongamos que un parlante de un equipo de sonido tiene una impedancia de 8 ohms. Medimos la resistencia con un multímetro (ver dibujo) y nos da una resistencia de 1.5 ohms. ¿Cuál es la reactancia del parlante?

Ejercicio 2.10:

En el manual del fabricante de escaleras se muestra la siguiente ilustración como una pauta para el uso correcto y seguro de una escalera extensible. Supongamos que una escalera tiene un largo máximo extendido de 24 pies. Las instrucciones dicen que la escalera debe apoyarse a 4 pies desde la posición vertical sin extender, en ese caso: a. ¿cuál es la distancia desde el suelo al primer descanso (punto más alto sin extender? b. ¿Cuál es la altura máxima que puedes alcanzar con tu escalera una vez extendida y cuán separada de la pared (o posición vertical) debiera estar?

Ejercicio 2.11:

Necesitamos cargar un cierto material hasta una plataforma que está a 21 pulgadas sobre la tierra. Por el tipo de material, será necesario usar una rampa (no se lo puede subir en forma vertical). Al mismo tiempo, y también por la naturaleza del material a cargar, el ángulo de elevación no puede ser superior a 25° (ver ilustración a continuación). a. Dibuja un triángulo que represente esta situación y determina cuál es la longitud más corta que debiera tener esa rampa de carga. b. En este caso, ¿a qué distancia de la plataforma descansaría el borde inferior de la rampa?

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Ejercicio 2.12:

En un registro catastral oficial, se detectó un error proveniente de la medición de una serie de lotes rectangulares de 350 pies de fondo. El error encontrado es de 0.05°, como se ve en la ilustración. ¿Cuál es el efecto de ese margen de error en la dimensión (ancho) de la parte de atrás del lote?

Ejercicio 2.13:

Estamos diseñando un cobertizo pequeño con un techo inclinado para guardar herramientas, como se ve a continuación.

a. Escribe una fórmula que relacione la tangente del ángulo del techo y la razón de la altura con el desplazamiento (horizontal) en un techo como éste. b. Usando la distancia de 12 pies en la fórmula obtenida podemos despejar la variable “altura”. Usa esta expresión para elaborar una tabla que indique las alturas correspondientes a ángulos de 5°, 10°, 15°, 20°, 25° y 30°. c. Luego, para cada ángulo, calcula el largo de techo necesario para cubrir la distancia entre la pared y la cumbrera (Ayuda: ésta será la hipotenusa del triángulo rectángulo). Agrega estos valores a la tabla. d. ¿Cuáles son algunas de las consecuencias de usar un ángulo demasiado grande? (Ayuda: considera los valores de la altura y la hipotenusa.)

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Ejercicio 2.14:

El paso de rosca de un tornillo es la distancia que existe entre dos crestas consecutivas del mismo. Vamos a suponer un tornillo con una abertura de 60° para formar la cresta. También vemos que 10 pasos de rosca miden 1.50 pulgadas. (Ver ilustración a continuación)

a. Dibuja un triángulo rectángulo que muestre los ángulos ya conocidos y las dimensiones. b. ¿Cuál es la profundidad d de este “valle” o rosca? Puedes ver más información sobre formas de tornillos y sus usos en: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.iesmarenostrum. com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ima genes/ope_tornillo05.gif&imgrefurl=http://www.iesmarenostrum.com/dep artamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ope_tornillo .htm&usg=__Rdwv6UE8PKDSuhesdQwapthTnKE=&h=218&w=374&sz =22&hl=es&start=10&um=1&tbnid=gpJRrJAdz5ONsM:&tbnh=71&tbnw =122&prev=/images%3Fq%3Dpaso%2Bde%2Brosca%26um%3D1%26hl %3Des%26lr%3Dlang_es.

Ejercicio 2.15:

Un avión puede mantener una velocidad de 600 km⁄hr mientras asciende en un ángulo de 30°. a. Como la velocidad del avión es un vector, es decir, es una velocidad de desplazamiento a un cierto ángulo, parte de la velocidad es horizontal y parte es vertical. Dibuja un triángulo rectángulo que muestre estos dos componentes y cómo se relacionan con la velocidad real (la hipotenusa) de 600 km⁄hr . b. Determina el valor de los componentes horizontales y verticales de la velocidad del avión. (Ayuda: halla los catetos del triángulo que dibujaste en la Parte a.) c. Usa el componente vertical de la velocidad para saber cuánto tiempo le tomará al avión alcanzar una altura de crucero de 10 km (o sea, 10,000 m).

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Capítulo 4: Cuadriláteros (clasificación, ángulos y teoremas afines) Objetivos •

Solucionar problemas del hogar y del trabajo que involucren cuadriláteros y sus medidas.

•

Usar sus representaciones analíticas y gráficas para tomar decisiones.

•

Verificar las respuestas analíticas a los problemas mediante comprobaciones gráficas (y viceversa) y asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 2.13: Arado rectangular

Un arado de profundidad 5-16 puede arar un ancho de 80 pulgadas en cada pasada. Tu tractor y arado pueden viajar a una velocidad de 5 millas por hora. a. ¿Cuál es el ancho del arado en pies? b. ¿Que distancia podrá arar en una hora? c. ¿Cuántos pies cuadrados serán arados en una hora? d. Si un acre tiene 43,560 pies cuadrados, ¿cuántos acres serán arados durante esta hora?

Ejemplo 2.14: Cancha de basquetbol

Haz una medición a pasos de la cancha de basquetbol del Instituto Politécnico Loyola y determina la distancia que caminarías si dieras 11 vueltas alrededor de la cancha de basquetbol. Haz un informe del proceso que llevaste a cabo y algunas conclusiones (incluyendo mediciones, calorías que se gastan, etc.).

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ACTIVIDADES Actividad 2.4: Trazado de un Cimiento Materiales Cinta métrica Cuerda Cuatro estacas movibles, hechas con una lata de pintura de 1 galón, rellena con arena y con una varilla de 1 pulgada de diámetro y 18 pulgadas de largo Tiza Plomada Calculadora Enunciado del En esta actividad, necesitamos trazar los cimientos de un cobertizo Problema rectangular. Los cimientos consistirán de una losa rectangular de 12 pies de largo, 8 pies de ancho y 4 pulgadas de espesor. Procedimiento a. Mide y traza los cimientos usando el “triángulo 3-4-5” para construir ángulos de 90 grados. b. Mide las diagonales de los cimientos. ¿Son iguales? ¿Cuánto miden? c. ¿Que largo total de madera (de 3/4 pulgada de ancho) es necesaria para construir los moldes para los cimientos? Piensa cuidadosamente en esto. El dibujo de los cimientos y de los moldes pueden ayudarte. d. El techo del cobertizo es a una sola agua (tiene pendiente para un solo lado.) El techo se extenderá (en voladizo) un pie más allá de cada borde de la construcción. El techo tiene declive a lo largo de los 8 pies de construcción. El lado alto del techo tiene 2 pies más alto que el lado bajo. ¿Cuál es la superficie del techo? e. Los proveedores venden el concreto por yardas cúbicas. El volumen de la losa es “el largo por el ancho por el espesor”. ¿Cuánto concreto necesitarán los cimientos?

Actividad 2.5: Cálculo de las Diagonales de un Rectángulo Materiales Cinta de medir Calculadora Enunciado del Si dibujamos una diagonal en un rectángulo, obtendremos dos triángulos Problema rectángulos idénticos. En esta actividad, mediremos largo, ancho y diagonales de varios objetos rectangulares. Luego, calcularemos las diagonales con la fórmula de Pitágoras y las compararemos con las diagonales medidas. También mediremos el largo de una diagonal del aula, de una esquina del techo hasta la esquina opuesta en el piso.

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Procedimiento Realiza los Pasos a, b y c (mencionados a continuación) con cada uno de los siguientes objetos rectangulares. • La puerta del aula • El escritorio del maestro • El pizarrón • El piso del aula. a. Mide el ancho del objeto y anota esta medida en tu cuaderno. b. Mide el largo del objeto y anota esta medida en tu cuaderno. c. Mide la diagonal del objeto y anota esta medida en tu cuaderno Cálculos a. Usa la fórmula de Pitágoras para calcular la longitud de la diagonal de cada objeto. La fórmula de Pitágoras nos dice que: c2 = a2 + b2, siendo a y b el largo (cateto mayor) y ancho (cateto menor) y c la diagonal (hipotenusa). Ayuda: recuerda que para obtener el valor de c debes calcular la raíz cuadrada de la suma (a2 + b2). b. Compara las longitudes calculadas de las diagonales con las longitudes medidas de las diagonales de cada objeto. c. Toma las medidas apropiadas para determinar la diagonal del aula. Puedes dibujar un esbozo tridimensional del aula para identificar la diagonal del aula cuya longitud queremos determinar y las medidas que se necesitan para calcular esa diagonal. Anota el esbozo y las medidas en tu cuaderno. d. Usa las medidas apropiadas y la fórmula de Pitágoras para calcular la diagonal del aula. ¿Hay alguna forma de comparar el largo de la diagonal con el largo, ancho o altura del aula? ¿Cómo?

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EJERCICIOS EJERCICIO 2.16:

Se muestra a continuación la realización de una obra de embellecimiento urbano. Si la escala de la fotografía (por la distancia a la que fue tomada) es de 1:20 (es decir, 1 centímetro en el dibujo es igual a 20 cm en la realidad): a. Dibuja un esquema de la forma del jardín que se está construyendo. b. ¿Cuál es, en la realidad, el perímetro y el área de ese arriate? (Ayuda: trata de identificar figuras geométricas conocidas que juntas formen el arriate).

Consulta con tu maestro y determina la cantidad de mortero de cemento necesaria para hacer el perímetro, como se ve en la figura.

EJERCICIO 2.17:

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A continuación vemos el mapa de la República Dominicana. Usando la escala que figura en el mapa y dividiendo el mapa en figuras geométricas conocidas, determina el área estimada de la República Dominicana. Compara tu resultado con el de algún libro de geografía o pregúntale a tu maestro de geografía.

EJERCICIO 2.18:

Tú eres un agente inmobiliario que debes contestar preguntas acerca del plano de planta de una casa. Usa las medidas dadas en el plano de planta que figura a continuación para responder las siguientes preguntas. (Recuerda que en algunos países, en lugar del punto decimal se usa la coma decimal.)

a. ¿Cuál es el área total de la casa, incluyendo área de vivienda y de garaje? (Ayuda: divide el dibujo de la casa en figuras que reconozcas, tales como cuadrados y rectángulos y luego suma sus áreas.) b. De acuerdo a los usos y costumbres en la República Dominicana, cuando un corredor inmobiliario informa el área de vivienda de una casa, ¿incluye el área de garaje? c. Según el registro catastral de propiedades de la República Dominicana, ¿las escrituras de casas informan el área en metros cuadrados o pies cuadrados o en qué unidad de medida?

EJERCICIO 2.19:

Los diseñadores de textos tienen que considerar la cantidad de texto y de figuras que son colocadas en una página. Demasiado texto sobrecarga al lector, mientras que demasiado poco texto en una página es muy caro. A continuación vemos una página con texto e ilustraciones. (Para este ejercicio mide la ilustración con tu regla.)

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a. ¿Cuál es el área de la página completa en la ilustración? (Informa tus medidas con un lugar decimal.) b. Calcula las áreas de los espacios que tienen figuras y de los espacios con texto. c. ¿Cuál es la fracción (expresada en porcentaje) del área total de la página que está ocupada con texto y cuál es la fracción ocupada con figuras? d. Hay expertos que dicen que un 331⁄3% es un nivel aceptable de espacio en blanco (área sin texto ni figuras), ¿tiene esta página más, o menos espacio en blanco que el nivel aceptable?

EJERCICIO 2.20:

El Instituto Politécnico Loyola va a renovar el piso de una de las aulas. El mismo tiene 24 pies de ancho y 40 pies de largo. Recibe una oferta de pisos cerámicos en piezas de 12" × 12" que le costaría RD$ 31 cada una. a. ¿Cuántos pies cuadrados de cerámicos hacen falta para cubrir el piso del aula? b. ¿Qué puedes hacer con descartes o pérdidas? c. ¿Cuántos pies cuadrados cubre cada cerámico? d. Sin considerar la mano de obra, ¿cuál será el costo estimado de este trabajo?

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EJERCICIO 2.21:

Se está pensando pintar las paredes de la sala de audiovisuales. La etiqueta de la lata de pintura que se piensa usar dice que cubre aproximadamente 300 pies cuadrados de pared. a. Mide las paredes de la sala de audiovisuales (ten en cuenta los espacios de ventanas y puertas) b. ¿Qué formas has identificado en las paredes a la hora de calcular el área? c. ¿Cuál es el total a pintar? d. ¿Cuántas latas de pintura necesitas para pintar todo eso?

EJERCICIO 2.22:

Una cierta plancha de madera terciada de 4' × 8' pesa alrededor de 32 libras. (En el taller de carpintería puedes encontrar algo así).

a. El pedazo de madera, ¿es cuadrado, rectangular o circular? b. ¿Cuál es el área de esa plancha de madera? c. ¿Cuál es el peso de cada pie cuadrado de esa madera? d. Si se corta un pedazo de cinco pies cuadrados, ¿Cuánto pesará el resto de madera?

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EJERCICIO 2.23:

Una antena vertical de una emisora de radio debe instalarse de tal manera que pueda resistir el viento. Mientras más voluminosa sea la antena, más resistencia ejercerá frente al viento. Una forma de medir el “tamaño” de una antena es calcular el área total de la misma. Podemos considerar que la antena se comporta como una superficie plana enfrentando al viento. Recuerda que esto es solamente una aproximación, ya que la antena no es en realidad plana. Supongamos una antena vertical de aproximadamente 18' de alto, 3" de ancho en la base y 1⁄2" de ancho en la parte de arriba, parecida a la que vemos a continuación.

Identifica la figura de la superficie plana y calcula la superficie total de la antena.

EJERCICIO 2.24:

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Un techo, tal como el que se ve a continuación, está siendo cubierto con material impermeabilizante para evitar goteras. De acuerdo a las especificaciones, el material impermeabilizante cubre 36 pies cuadrados por galón.

a. ¿Cuáles son las formas que identificas en el techo? b. Vamos a suponer que la escala del dibujo es 1 cm = 1.5 m. y que el área del techo a ser revestida es el doble de lo que se ve en la figura. ¿Cuál es entonces el área a impermeabilizar? c. ¿Cuántos galones de impermeabilizante son necesarios? d. Si tienes que redondear la respuesta al galón mas cercano,¿lo harías “hacia arriba” o “hacia abajo”? ¿Por qué?

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Capítulo 5: La circunferencia, líneas y ángulos (posiciones relativas, definición de líneas notables, definición y medida de ángulos central. Inscrito, semi-inscrito, exterior e interior) Objetivos •

Solucionar problemas relacionados al trabajo, que involucren el cálculo de la circunferencia y del área de círculos.

•

Representar gráficamente la situación e interpretar la misma.

•

Verificar las respuestas analíticas a los problemas mediante comprobaciones gráficas (y viceversa) y asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejercicio 2.15: Medición de instrumentos que hacen falta

Fíjate en la ilustración siguiente y responde las siguientes preguntas: a. ¿Qué instrumentos de medición utilizarías para medir la longitud, el diámetro y la circunferencia de estos elementos? b. Explica cómo los medirías. c. ¿Es importante la precisión en la medición de estos elementos? ¿Por qué?

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Ejemplo 2.16: Objetos con formas circulares que nos rodean

Las siguientes fotografías son de escenarios agrícolas, industriales, comerciales, etc. en donde circunferencias y círculos forman parte del trabajo. Identifica y comenta, en cada caso, el uso del elemento mostrado y la geometría necesaria para calcular, por ejemplo, volúmenes, áreas de superficie exterior, etc.

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ACTIVIDADES Actividad 2.6: ¿Dónde está Pi? Materiales Varios objetos circulares de tamaños diferentes, tales como latas de productos alimenticios, vasos circulares, envases circulares o platillos circulares Un pedazo de cuerda de largo suficiente para envolver el objeto circular más grande Calibrador Vernier Tornillo micrómetro Regla con escala métrica Calculadora Enunciado del En esta actividad vamos a determinar empíricamente el valor de la Problema relación entre el perímetro (circunferencia) de un círculo y su radio. Procedimiento 1. Trabajando en equipo, crea una tabla de 5 columnas. 2. Deja en blanco por el momento la primera fila de la tabla. 3. En la primera columna de la tabla, anota el nombre de cada objeto circular que tenemos a disposición para la actividad. El encabezado de esta columna puede decir “objeto”. 4. Usa el pedazo de cuerda para medir la distancia “alrededor” del objeto, o sea, la circunferencia del mismo. Luego mide el pedazo de cuerda (de la circunferencia del objeto medido) con la regla. Escribe ese valor (la circunferencia de ese círculo) en la segunda columna de la tabla, bajo el nombre de “circunferencia”. 5. Ahora vamos a medir el diámetro (distancia más larga a través de un círculo) de cada objeto. Podemos usar el pedazo de cuerda, o el calibrador Vernier o el micrómetro. a. Usaremos la misma para medir el diámetro de los objetos a disposición. Con una mano, sujeta la cuerda firme en un punto del borde del círculo y con la otra mano estira bien la cuerda a través del círculo. Para encontrar la distancia mas larga, desplaza la cuerda por el borde del círculo, haciendo que la cuerda se deslice a través de tus dedos hasta que no sea necesaria más cuerda. Mantén la distancia en la cuerda pellizcada entre tus dedos y mídela con la regla. Registra la medida del diámetro en la tercera columna de la tabla, bajo el nombre diámetro. b. Ahora haremos las mismas mediciones utilizando, cuando sea apropiado, el calibrador Vernier y el micrómetro. Registra las mediciones en las columnas cuarta y quinta.

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c. Compara los diámetros obtenidos por el paso 5a. y 5b. ¿Qué puedes concluir a este respecto? 6. En la columna sexta de la tabla anota el resultado de dividir el valor de la circunferencia (distancia alrededor del círculo) medida en el paso 4 entre el valor medido del diámetro en el paso 5a. Redondea el resultado a 3 lugares decimales. El encabezado de esta columna es “circunferencia medida/diámetro medido con cuerda”. 7. En la columna séptima de la tabla anota el resultado de dividir el valor de la circunferencia (distancia alrededor del círculo) medida en el paso 4 entre el valor medido del diámetro en el paso 5b (con Vernier). Redondea el resultado a 3 lugares decimales. El encabezado de esta columna es “circunferencia medida/diámetro medido con Vernier”. 8. En la columna octava de la tabla anota el resultado de dividir el valor de la circunferencia (distancia alrededor del círculo) medida en el paso 4 entre el valor medido del diámetro en el paso 5b (con micrómetro). Redondea el resultado a 3 lugares decimales. El encabezado de esta columna es “circunferencia medida/diámetro medido con micrómetro.

Cuando tu equipo haya terminado de llenar la tabla (todas las columnas), compara tu tabla con las tablas de otros equipos y responde a las siguientes preguntas: ¿Hallaste algo para comentar? ¿Hay alguna relación entre los resultados obtenidos y los tamaños de los objetos medidos? ¿Puedes indicar algo acerca de los elementos de medición utilizados? ¿Hay algún patrón que debas extraer de este trabajo? ¿Los resultados tienen algo que ver con una constante que descubrieron los matemáticos hace ya un par de siglos? Haz algo de investigación en Internet para averiguar algo acerca de esta relación matemática constante.

Actividad 2.7:

Área de Sección Transversal de Canales de Ventilación

Materiales Varias muestras de canales o conductos de ventilación, redondos, cuadrados y rectangulares Cinta métrica Calculadora

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Enunciado del En esta actividad, mediremos las dimensiones interiores de varias Problema muestras de conductos de ventilación redondos, cuadrados y rectangulares. Compararemos las áreas de sección transversal de los conductos. El área de sección transversal está relacionada con la resistencia del conducto al flujo de aire. Procedimiento a. Mide las dimensiones interiores de cada conducto. b. Calcula el área de sección transversal de cada conducto. c. Haz un gráfico que relacione el diámetro y el área de sección transversal de los conductos que sean circulares. ¿Te da un gráfico de línea recta? ¿Puedes usar tu gráfico para encontrar un diámetro o área más grande que los valores medidos? Explica. ¿Puedes usar el gráfico para encontrar un diámetro o un área más pequeños que los valores medidos? Explica. d. Haz un gráfico que relacione la dimensión del lado con el área de sección transversal de los ductos cuadrados. Compara este gráfico con el gráfico de los ductos circulares. ¿Son semejantes? ¿Son diferentes? Analiza las semejanzas y diferencias con otros gráficos hechos por compañeros de clase.

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EJERCICIOS EJERCICIO 2.25:

Un neumático de un vehículo, como el que se ve a continuación, tiene 23 pulgadas de alto. a. ¿Cuál es el diámetro de este neumático? b. ¿Qué distancia se desplazara el neumático si gira una revolución completa? c. Si el vehículo viaja 10,000 millas durante un año, ¿alrededor de cuántas revoluciones completas rodó el neumático? (Ayuda: convierte unidades si es necesario.)

EJERCICIO 2.26:

Una pista de atletismo tiene generalmente la forma que se muestra a continuación. La longitud de una pista estándar de carreras es de 400 metros. Vamos a suponer que cada pedazo recto mide 100 metros y que la pista tiene dos curvas cuyos radios serán iguales.

a. ¿Pueden los extremos de la pista ser colocados juntos para formar un círculo? Si es así, calcula la circunferencia del círculo formado. (Ayuda: la longitud total de la pista es de 400 metros). b. Mide la figura (con tu regla o con lo que creas conveniente) y determina el diámetro de este círculo y la longitud de las secciones rectas. c. Conociendo la longitud de la pista en la realidad y en la figura, ¿cuál es la escala del dibujo?

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d. ¿Cuántas vueltas necesitarías dar, en la realidad, para correr una milla? e. Hallando el equivalente a una milla según la escala determinada en el punto c., ¿necesitarías la misma cantidad de vueltas (esta vez en la figura) para cubrir el equivalente a una milla?

EJERCICIO 2.27:

El retículo en cruz del microscopio que estás usando te dice que el campo que estás viendo con la presente amplificación es de 0.20 milímetro. Dentro de este campo circular, cuentas 48 células de un cierto tipo.

a. ¿Cuál es la superficie (en milímetros cuadrados) del campo visual? (Redondea tu respuesta a tres lugares decimales.) b. En promedio, ¿Cuántas células están presentes en cada milímetro cuadrado de la muestra?

EJERCICIO 2.28:

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Un neumático de un equipo grande para la construcción tiene un diámetro exterior de seis pies. ¿Cuál es la circunferencia del mismo? Primero da tu respuesta en términos de π y luego usa 3.14 como una aproximación decimal de π para obtener una respuesta decimal. Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

EJERCICIO 2.29:

Una boquilla de riego está adherida a un caño de agua, en un punto determinado. Al ser accionado, el brazo arroja agua alrededor del caño, en círculo, regando una cierta área de un campo. Si el chorro de agua llega a 20 yardas desde la boquilla: a. ¿Cuántas yardas cuadradas de campo son irrigadas? Redondea la respuesta aproximada a la yarda cuadrada más cercana. b. Según la ilustración siguiente, ¿crees que hay partes del campo que están siendo irrigadas más de una vez? Explica.

EJERCICIO 2.30:

El marcador de presión de un gato hidráulico muestra una presión de 22 libras por pulgada cuadrada (psi). La parte del pistón (para levantar el gato hidráulico) que está en contacto con el fluido (que ejerce presión) es circular y tiene un diámetro de 1.45". a. ¿Qué significa esa cifra de 22 psi? b. ¿Cuál es la superficie del pistón que soporta la presión del fluido? (Informa tu respuesta con dos lugares decimales.) c. ¿Cuál es la fuerza total que el fluido ejerce sobre el pistón?

EJERCICIO 2.31:

Un ducto rectangular (para aire acondicionado) va a ser reemplazado por un ducto redondo. El conducto rectangular tiene 12" de ancho y 6" de alto. Tienes disponibles para usar varios ductos redondos con diámetros de 4", 6", 8" y 10". a. Haciendo un corte de sección transversal de ambos ductos, ¿qué formas geométricas reconocemos? b. ¿Cuál es el área de sección transversal del ducto rectangular?

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c. ¿Cuál es el área de sección transversal de cada uno de los ductos redondos? d. ¿Cuál ducto redondo tienes que elegir para que funcione en el espacio rectangular que se dispone y tengas la mayor cantidad de circulación de aire?

EJERCICIO 2.32:

Fuiste contratado para hacer la planificación de la zona de entretenimiento de un nuevo hotel en la zona norte del país. Dentro de tu tarea está la planificación de un espacio de piscina. Entre los modelos que viste, el que más te gustó es el que figura a continuación. Fíjate que la piscina tiene una acera de material “anti resbalón” de 5 pies de ancho alrededor de todo el borde de la misma. En función de la ilustración, responde las siguientes preguntas: a. Escoge una cierta escala (en el dibujo) para determinar el área (en la realidad) de la piscina. b. Suponiendo que la piscina tiene una profundidad de 5 pies en la parte profunda (la más grande) y de 1 pie en la parte más pequeña, determina el volumen aproximado de agua que contiene la piscina. c. ¿Cuál es el área de la acera que bordea la piscina? d. Determina el volumen aproximado de tierra que hubo que extraer para poder construir esta piscina.

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EJERCICIO 2.33:

Una rueda dentada (como la que vemos más abajo, que no está a escala) tiene un diámetro hasta la base de los dientes de 9". Las extremidades de los dientes están a ¾" uno de otro.

a. ¿Cuál sería la circunferencia aproximada de esta rueda? b. Dado que la distancia entre cada par de dientes es ¾", ¿aproximadamente cuántos dientes hay en la rueda completa?

EJERCICIO 2.34:

Un cierto tipo de acero puede resistir una presión de 16,000 libras por pulgada cuadrada (psi). Tenemos disponibles varillas con los siguientes diámetros: 2", 3" y 4". Como es necesario disponer de una varilla capaz de soportar 125,000 libras, analizaremos algunas cifras para determinar cuál de ellas seleccionarías. a. ¿Cuál es el área de la sección transversal de la varilla de 2", de la varilla de 3" y de la varilla de 4"? b. ¿Qué presión puede resistir (por pulgada cuadrada) la varilla de 2" de diámetro, de 3" de diámetro y de 4" de diámetro? c. ¿Cuál es la varilla más pequeña que puede resistir esa presión?

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EJERCICIO 2.35:

Una máquina lijadora tiene dos poleas idénticas (rodillos de los extremos) que están a 24 pulgadas de distancia, como se muestra más abajo. Cada polea tiene un diámetro de 6¼ ". Calcula el largo necesario de cinta.

EJERCICIO 2.36: Es muy común en la agricultura y en la industria utilizar tanques de almacenamiento como el de la ilustración. En este caso, te piden que ayudes en el diseño de un tanque de 24 pies de diámetro, con techo de forma cónica, que se levantará hasta una distancia de 5 pies por encima del borde superior del tanque. El tipo de acero utilizado para el techo cónico del tanque pesa 40 libras/pie2. a. ¿Cuál es la distancia desde la cúspide al borde del tanque? b. ¿Cuál es el área de la superficie del techo? (Ayuda: calculamos el área de la superficie del cono con la fórmula A = 1⁄2 πsd, donde s es la altura lateral y d es el diámetro del tanque.) c. Multiplica el área de la superficie (en pies cuadrados) por el peso del acero por pie cuadrado, para encontrar el peso estimado de la cubierta de acero del tanque.

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Unidad 3: Nociones de lógica proposicional

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Capítulo 1: Generalidades

Capítulo 2: Proposiciones simples y compuestas

Capítulo 3: Tablas de verdad

Capítulo 4: Negación de las proposiciones compuestas: ~(~p), ~(p∧q), ~(p∨q),~(p→q), ~(p↔q)

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