Centrum voor Wiskunde en Informatica

MAS Modelling, Analysis and Simulation

Modelling, Analysis and Simulation An improved front tracking method for the Euler equations J.A.S. Witteveen, P.G. Bakker, B. Koren REPORT MAS-E0605 JANUARY 2006

Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) is the national research institute for Mathematics and Computer Science. It is sponsored by the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO). CWI is a founding member of ERCIM, the European Research Consortium for Informatics and Mathematics. CWI's research has a theme-oriented structure and is grouped into four clusters. Listed below are the names of the clusters and in parentheses their acronyms. Probability, Networks and Algorithms (PNA) Software Engineering (SEN) Modelling, Analysis and Simulation (MAS) Information Systems (INS)

Copyright © 2006, Stichting Centrum voor Wiskunde en Informatica P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam (NL) Kruislaan 413, 1098 SJ Amsterdam (NL) Telephone +31 20 592 9333 Telefax +31 20 592 4199 ISSN 1386-3703

An improved front tracking method for the Euler equations ABSTRACT In this paper an improved front tracking method for the Euler equations is presented. The method is improved by assigning wave types to the fronts. These wave types determine the velocities of the fronts and their mutual interactions. This results in a physically more consistent, a more accurate and a faster simulation. The method is applied to the Euler equations for onedimensional unsteady and supersonic two-dimensional steady flow. 2000 Mathematics Subject Classification: 35L67, 65M25, 76J20, 76L05 Keywords and Phrases: front tracking; gas dynamics; Euler equations; supersonic flows; shock waves; rarefaction waves; contact discontinuities


     
 
 ! " # $ %&  '# (*)+, -.(*/) 0 1 2
3 465875:9;5=A@B@DCFE&C1C,GIHJKL5NMO5IPRQTSUSTC,VBWXQYG6Z[P\5^] _YVBC,G=W `Xacb dfeXgihkjmlnacofpfjmerqtsud"vkafwfxhYsybzs|{yqD}'v&xka~Xa€ex‚acoƒbz„yhY…Dp ¥‰fŠYŠY†ˆ‡O•–“\F‰ƒ¡:y”kŠ&‰ƒ™D‹NŠYŒŽ‹:‰f”k&‹:—tF,Œ‹N‘Œ ”y‹m˜I’R“t‰ƒ,ŠY&‡OX’€”1‹m˜•–“\’€F”–&—§‡‚’€‰ƒ¦T”FŒ¨•–,1‡&—OŒƒ—Œƒ˜A‹:’€‰ƒœ–”–ŠY‡Y‡kF‹N‡Y‰Ž‹:’£œ£‰f“¬’€©ª,ŸYy™›‰ƒ•–škŸYL‹N‡Y,‰ˆœ¡i¨k‹:‘“\‡k1‰fyyŒ^‰ƒ’€‰fŠY”£”k™›‰ƒ‰ƒ—OŠY‹:”–ª˜‡&”,˜ŒB’’€¤ ”–‰ƒ¥‡‚ŠY‰ƒ"Š&ŒB‹N¤ ž ŒL¥ Ÿ&’€1¡zŠYFŒƒF’XŸYŒf¡:LF‰ƒ¢TŒ©ªŸY‹:y‡­1•–‰ƒ¬‹:”–‰«‡Y®¨TŒXŠ‚‘¨Y‹NFŒ£ŒƒŒ;‹:™B&—T’€F¡NF‰|z¨ŒfF1’›‡‚“t“"‰f”‹:F‡Y’€—i ¤ F™›”–¢k‡&ŸYŒƒ,‹N‰fŒf‹:‰f”–F‡&‡‚Œ'‰B¯^˜A”’Ž“\”–‡Y”n’€²u—&‹N“\™D™BFŸY‡&’€Œƒ,‹:”–‰f ‡Y,¡I‡YŸ&—2‡&Œf­‰fy˜,,Œf—Y‰f¨ y’¬‡&Œƒ‹m—±“tŒƒŸYŸT¡:,U‰ƒy‹z’c”–Œf‡i”–¤ ‡&‹:¥ ™RŠY‰ˆ©L ”,“\²u—&y‹N‰ƒ“\ŠT”TF—2‡&Œƒ‹N‹:Œ”–‡Y1,&¡I®Œf¡N‰f‹:Fy—°—Y‰|¨”±³®‰ƒ”FŠY© ¤ ž;Ÿ&¡:y’ ´kµ ´1¶;·–¸‚¹»ºL¼ª½Y·–¾«¹¿¶ ΀іÆ1ÌNˈÂkÎcˈÀ ÆFÉcÂ,Å|ÁF҈ÐDÂ,Ì:ÁyÂí҈؂Ì:ĂÆFÌz҈§ňÌ:Æ1ɛÈNǂ˛ÁDÔ$È:ÓÉcʧË^ۂÆFÆFË ÅR×m҈Ì:ÂOÉcÜkÂ\ÝĂÉBňÍÑÉBÃË«ÞßˈØkÏFÌNÅ|È8ÎcÒfÌ:ˎÑ2Ë¿ÁFÌ:¬ÊRňÉRɀÍ҈ÃÏFÍkÆnÄTÆÐ1ɛÑkÉcňËRÇYÅ|‚ÆF҈ɛÈ:͂ÌÑ0ÎLÉBË«ÇÄkÉÃ0ÁyňіÎc҈ÌNÌNÆFË|Áy΀ÂkÈYÆFˈіÂ,ÉcÌzÅ|Ò|ÙYÐnÌzÂɛÁn؂ň҈ɛÌ:ÌzÆF҈Â1Ì:ÂÒ|ɛÌ:ˬÁFÈNÁDÈ&ÁFÓɛňÚ,É"ËcØkÔtÍkÁnÕÖÁFÒ|ÌzÅ|ÍkÆ1ÑɬÂkË^҈ʧÆOÆFÁnבÅ|҈ӻɛÍkˈÉc͂ÆFʧÌNÈ:ÎfÐFͬÁnÉ-Ò|҈Ì:ÁFΛÍkΛÁyɪ΀ÈI؂ˈׁÆFÅfÆ1È:ÁnňؖÒ|ÊX҈ÉcÌ:È:؂ÆFÃFÈ:ÂkÔÁyˠ҈Ì:àLÎcÆFÁF±˧ÂtÆ1Æy΀ĂנÆ1ÄYÂ,҈Æ1ÍkÒ|ˈÁyɛɛˈÌ:ÂÑ É ÒˆÑ–Æ-ÌNˈÎcÒ|ÍkÆFÂ,Án҈ÒBÌ:á‘Âׁ؂Å|ÌzÆF҈Â,Ì:É›Ò Ëi҈ÌzÅf ÁFÒ|Îf͂âÉÖÌ:‚˫Ï"Æ1ÈzÊؖÒ|ÉcÌz҈Æ1͂ŽƖÁFтËUˣ҈ÎcÅ|؂ÁyÂOÉ;тÁ1Ì:ÎcË|΀΀ØkÆ1Å|Â1ÁyÒ|҈ÌzÂÉc؂È:ÃÌz҈Å|Ì:ɛɛËiˈÆFÇÈ:ÃÐFÉR҈Å|іɛÌ:ÁnË|Ò|΀ÌzÆ1ÂkÂ,ϻ҈҈Ì:Â,͂ØkɛÊãÌ8Ò|ÌzÉBÁFˎËUɀÚ,Ý؂҈Ì8Ò|ÅfɧÁLіɛÁ1ɛÏFË«Ì:Å|ÈzÉcÃ1ÉBԬˑÕÖÆyזׁ͂ɛÅ|ˈÉcɧÉBіÊRÆFÊ-ɀÒ|͂Ô6ƖàÑ‚Ë Ñ–Ì:Å|ÐFɛɛˈÅ|ÆFˈÈ:Ì8ÐFÒuÃ É Æy΀Æ1×=ÂÅ|ÐFɛÉcˈɛÅ|ÏFÁyɛÅfÎfÂkÍt΀É1ÍTáUÁFÍkË»Á1ÇYˎÉcÇYɛÂ-ÉcɛтÂÉcÐFіÆFÆF҈ÂkÉBÉtÑtÇÒ|ÃÆRׁä ÅˆÆ1Å|ɛÂ,Ë|һˈÁF҈Åf‘ÁFÔ Îfå âÌzÕÖÂkÏÍkÉtÊRÂÉc؂҈͂ÊRƖÉcтÅ|˛Ì:ΛÔ;ÁyÕÖÈ;͂ÌzÊRɛÆFĂÅ|È:ɀÉcÒ|ÊRÌ:ΛÉcÁyÂ,È®ÒfÓ Án҈ÆFÌ:Å|ÆFâYÂáÌ:ÆyÂk×Ö΀È:҈Øk͂іÉtÌ:‚ׁňϬÆ1Â,ÄkңňÆ҈ÆyÅf×AÁFËÖÎfÆFâ×=Ì:‚˫ÏÒ|ÁFÊRǂÌ:ɀÈzÒ|Ì Òu͂Ã\ƖÑOÁFÂkÌ:Ñ Ë ÇіÁyÈNÃ2Ì:ˈÊRÆOêiÉcÂkÓ;Áy‚ˈɛÌzÏ,ÈzÆ1'Ë«ÂkÉcËuÁy҈Ò|ȑ͑Økˈá Ñ–Ä‚Ì:ë»È:ɛÌ8Ñ®Ì:҈ˈ҈ÔçÉcÌ:‚ÇkϧňæßÒ|ÆOË"Ì:Â-ÁyÁyÂTÎcĂѰÆFĂÊXÈ:ÕÖÌNǂÎcÐ1ÁnÌzÂTÉcÒ|ÌzÁnÌz҈Æ1҈ÆTÂèÌ:ÆFÔ ì Â"҈í îÆéÓ»í ï ÍÌzí ҈ðÃÍ-ÄYÉcÏFÕÖÅ|Å|ÍkÇTÌ:Ñ"ÉÆ1ÈzÁFÌNÊÎ ÑkÉcÁy΀҈ĖÆ1͂Ò|ÂkƖÌzÆ1ˈÑèÉcÂ\Å|ÍkÐDÇÁ1ÁyÃtËR҈Ì:êUÆFÇTÌzÂèÉ›É Écñ ÈNÂèÁDÁyÓÂkɀˬÝÑ"Ò|Ì:òÉcÂ$ÂkÆ1іÈ:ÆFіÉB‚ѰɛÉ0Â‘ÒˆÔ Ñ–óƱÌzÊRÊRɛÆFÂkÅ|Ë«ÉÌ:ÆFË«ÂÄkÁyÍk҈ÁFÌNÁyËtÈLÇTтɛÌzÉcÊRÂ$ÉcÂTĂ˫Å|Ì:ɛÆFˈÂkÉcÂ,ËRÒ|ÇɛÃÑ ÒˆËˆÅfÉcÁFɬÎfôõâÌ:ÆnÈz‚ÓÖÌ:ÊRÏÁFÊ-ÑkׁÆFÁDá6ÅtÃÀ ˛тáyÌ:ΛÒuË|ä Ó Î€Æ1ňÆÃ,Â1ÊRÁyÒ|ÌzÂ0ÂÁF؂ÌzÁFÂTÌzÂk҈ËuÌ:ÑÒ|ɛňË\ÉB΀ÁyÆy΀ʧÞßÆ1Ӡʣ˿ÆFǂÌ:Å|Â\âFÌ:‚ÉcׁɛÅfňѰÆ1˛ÔÂ1ö Ó»Ò Ìz÷–ÒˆÒˆÅfɛÍ$ÁF΀ÎfÆ1Á±âÂkÌ:і‚ÜkÈ:Ï£ÝÃFÉBáiÊRÑÊÞßÉcÏF҈Éc͂Å|҈Ì:Ɩ͂Ñ2тƖËÖтÊRˎÎcɀÁF҈ӻÂ\Ík͂ÆÇYÌ:Ñ°ÎfÉͱׁÌ:Æ1ііÅtɛÆ-Â,Å|҈‚ɛÌzÆFˈÜkÆFҎɛÈ:Ñ®ÐØkÔ^Ìz˫‚ɬÛ6ÏÌ:ˈÅ|ØkÒ|˫͂Îfқͱɭá–ÊRÁy΀Æ1Éc±҈Â,͂ÁF҈Ì:ƖтÂ,ттØkËÖÌ8ÆFÒ|Ó»ÌzØkÆ1ËR͂ÂkÌNÁyĂÎfÈ=ÍtÍk܂ÉcØT‚ݖ˫Æ1ÉBÉÊÑׁÞrÅ|ɛÏ1ÆFÂkňÂ,ÌNÁ‚Ñ Ò á ÊR΀Æ1ɀÂkÒ|˫͂Ò|ƖÁyÑ®Â,ÒLÔ6ÕÖ˫҈ÍkɛÉ^ĖޝÈ:ׁÁyØkÒ«ÂkÒ|Éc΃ÅUÒ|ÌzÊRÆ1 Éc҈Áy͂ĂƖĂтÅ|ËiÆDіݖÌ:ÌzË|ʧ΀Å|Áyɀ҈Ò|Ì:ÆFÌzø›Â"É¿Èz΀Ì:Æ1âFÂ,Ɏ҈Ì:Ì: Â,Økë»ÆFØkÉc×uˮԻÄkùn͂ÞûÉcú‚‚ԠÆ1ÕÖÊRÍkÉcɎÂkÁ»ÌzÊRÇĂÃ'Å|Ë«ÆnʧÐFÉBÁFѬÈz,ׁіÅ|Ì:ÆFË|Â,΀ÒÆ1Â,Ò|҈Å|Ì:Á1Â,ÎfØkâÌ8ÌzÒ|‚ÌzÉBÏRˑÊRÅ|ɛɀˈÒ|؂͂È8ƖÒ|ÌzÑ-ÂkϻĂÌzÅ|£ɛˈÁÖÉcÂ,Äk҈ÌzÉBÉBÑ-΀Écӻ͂ÉcÌNÅ|ˈÉÉ ÌNËÖÆy×6ÕÖÒˆÍ‚Í‚ÉªÉ ÏFÈNÉcÁnÂk҈҈ÉcÉcÅfÅÁyÈTÎcÎcÈ:Á1ÆFˈÂkËÖÎcÉcÆFĖ×UҠׁÅ|ÆyÆF×®Â,ׁһÅ|ÆF҈Â,ÅfÁFÒ¿ÎfÒ|âÅ|Ì:Á1‚ÎfÏâÌzÊÂ‚Ï Éc҈ÊR͂ƖÉcт҈͂˛ÔƖтˠÌNË;іÉBˈÎcňÌ:ÇYɛѧÌ:¬Ò|͂ɪÎcÆFÂ,҈ÉcÝ,Ò Æy×UÁ£ÏFÉcÂkÉcÅfÁyÈkÍÃÄYÉcÅ|ÇTÆ1ÈzÌNÎLÎcÆFÂkˈÉcÅˆÞ ÐnÁnÒ|ÌzÆ1Â\ÈNÁDÓ$ׁÆ1ÅˈΛÁyÈNÁyÅfË üYüTý þ§ÿ ü
ü A ý   ý      ý   ÕÌ:Ö‚͂Ì8Ò|É Ì:ÁFÊRÈUÆ1΀Æ1Ë«Ò»Âkіׁ؂Ìz҈ÂkÌ:ÆFÑk ÁyÊR ÉcÂ,Ò|ÁFȑĂÅ|ÆFǂÈ:ÉcÊ ×ÆFÅ»Ò|͂Ì:ËɛÚ,ØkÁnÒ|ÌzÆ1Â\ÌNËÖÒ|͂ɣë»Ì:ÉcʧÁyÂkÂ"ÄkňÆ1ǂÈzɛÊ ӻ͂ÌNÎfÍ-Ì:ËтɀÜk‚ÉBÑ"Ç,Ãt҈͂É'ׁÆ1Èz:ÆnÓ»Ì:Â‚Ï ý    ýý      ù   ҈ÕÖÅf͂ÁFÌNÎfË'âÌ:ÂÅ|Ï£ÆFǂÊRÈ:ÉcÉcÊ?҈͂ƖΛÑ"Áy­˫Æ1ÍTÈzÐ1ÁDÐFɛ˿ÉR҈Á\͂É'ÎcÈ:ë»Á1ˈÌ:ˈÉcÌ:ʧΛÁyÁyÈI‚΀Â"Æ1Â,Ă҈Å|Ì:ÆFÂ,ǂØkÈ:ÆFÉcÊØkË'ÁyËˆÒ ÆFÈ:þ ؖ҈Ì:ÆF Â0ɀÆF݂ŠÁ1΃Át҈È:ӠìɛÁyÁFÂTâ ÑtііÌNˈÉcÎc҈ÆFÉcÅ|Â,ÊR҈Ì:ÂÌzÂk؂ɛÆFË;Øk҈Ë'͂ÉˈÆFׁÈ:Å|ؖÆF҈Â,Ì:ÆFÒ|ÂUË;ÔXÒ|Íkà ÁnÒ»ËuÁyÒfÁyÅ|ÉÂkÑkÎcňÁyÉBÅfÁnÑ-Ò|ɛׁňѬÆ1Â,ÁyÒÒ

"!#%$ &'$(*)*+,-./)10%&2-35476*)*89-./);:7<=;-6>:?(>347@1-BA.DC?EF.--16*EF.C0G!H$ I'$5J:KML?N?L?OD0P?Q?N?NSRJ&2-T TZ47.,D(0%[/)*+,-./)]\^-18'_W-16 =2`a=;='$ b !6>:7(*:?60D&2-35476*)*89-./)d:7< =2-6*:?(>3547@-]A.DC?EF.--16*EF.C05! $ I'$J:1KeL?N?L?OD0WP?Q?N?NfRJg&2-T TZ47.,(10G[i-.EF:?6d\^-8j_W-6
=2`a=;='$ k :7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

҈ˈÍkÍ‚É Æ–ÎfÌzât‚ÌzÓÖ҈ÌNÁDÁyÐFÈiÉ Ñ–Ì:ÌzË|ÒL΀Ì:Æ1˪Â,і҈Ì:ÌNÂ,ˈØkÎcňÌ8ÒuÉcÃ1҈Ì:Ô^øcÕÖɛÑ-͂Ì:ÉcËL݂˫ÁFÆ1΃ÈzÒ|ؖÈzÃ"Ò|ÌzÆ1ÇÂ"ÃtΛÆ1Áy‚Â"É ÇTׁÅ|É ÆFɛÂ,Ì8ÒLÒ|͂ӻÉcÌzÅªÒˆÍ ÁÁ§ËˆÍ‚Ð1ƖÉcÎfÈ:â¬ÆÎcÓÖÌ8ÒuÁDÃ\ÐFÉɛÚ,ÆFØkÅÁFÁRȑ҈ÅfƬÁyÅ|҈ɀ͂×AÉÁ1΃˫҈͂Ì:ÆFƖÂ\Îfâ\Ó ÐFÁDÉcÐ1È:ÉFƖÔ6΀ÌzæßÒu×iÃFÒ|ÔÖ͂æßÉ£×=ˈ҈ÆF͂È:Éؖ҈˫Ì:Æ1ÆFÈzÂ"؂҈ÌNÌ:Ë»ÆFÂÁ ÌNÀËL؂Á¬Èz҈ÎcÌ:ÆFĂÂ,È:ɠ҈Ì:ׁÂň؂Æ1ÆFÂ1ØkÒfË=ËLÁyÅ|Å|ÁFɿňÉcÌ:Â1×AÁFÒ|΀ňƖ҈Ì:іÆFØTÂ-΀ӠɛÑXÁDÐ1ÁnÉÒIӻ҈͂͂ÉÌNÎf΀͎ÆFÂ,Ò|͂Ò|ÌzÉ»Â˫؂Æ1Æ1ÈzØkؖËÒ|ÌzĂÆ1£ÍkÉcÎf‚ÍkÆ1ÁFÊ‚ÏFɛÉB‚ËiÆFÂіÌNË|ÌNËL΀ÆFÁFÂ,ĂÒ|ĂÌzÂÅ|؂ÆDݖÆ1ÌzØkʧ˫È:Ánà Ò|ɛÅ|ɛÑ"ˈ؂ÇÈ8Ã"Ò|ÌzÂkÁtÏL˫ɛÌ:ÂňÌ:ɛÁªËLĂÆyÌ:ɛ×^΀ËuɛÒ|Ó»ÉcÄÌ:ˈÉÖׁØk΀ÂkÆF΃ÂTÒ|ËuÌzÒfÆ1ÁyÂkÂ,ËcÒ Ô ÁyÄkĂà ňÆDݖÊRÌ:ʧÆFÅ|ÁnÉ҈Ì:Ï1ÆFÉcÂ\‚ɛÆyÅ|×iÁF҈È&͂ÌzÉ Â‚ÌzÅf҈ÁyÌNÁyÅ|ÈUɀ×AÐDÁ1ÁF΃Èz҈ØkÌ:ÆFÉ Â\ĂňӠÆ1ÁDǂÐ1È:ÉFÉcÊáÓ»ÌN͂ˠÌNÎf҈Í-͂oÉ Ì:ËÖn ÆFÁF×iØkÜkÎfÍÅf˫ìÒÖĂÆ1Å|Å|ÆFтǂÉcÈ:ÅÖÉcÊÌzÂ"ׁÒ|ÆF͂ŻÉmÓ»l Í‚åªÌNÎf‚Í"Æ1ň҈Ê-Í‚É Ô î Ì:‚Ìz҈ÌNÁyȑ΀Æ1ÂkіÌz҈Ì:ÆFÂ-ÌN˻іɀÜkÂkɛÑ-ÁFË ý      pý %    ÛÇ6ÎÌzÅfË«Ë«Æ1қáTÈzÐÁ1Ì:ˈ‚ˈÏ؂ÊRÈzƖÉ'ÎcÁF҈ȖÍTë»ÁnÌzÒ É›Ê§ý  Áy ‚ÂX ĂÌNËňÆ1ĂǂÌ:ɛÈ:ÉcÎcʧÉcÓ»Ë=ÌNÁn˫ɎÒ6҈Îc͂ÆFÉ»Âk˫іÒ|ÌNÁFˈÂ,ÎcÆFқÔ;Â,҈ÕÖÌ:ÂÍk؂ÉcÌz ҈Ì:ɛÁ§Ë=Ë«Ì:Ò|ŽÁy҈ÂTÍkтɠÁyÅfÌ:‚Ñ\Ìz҈ׁÌNňÁyÆ1ȂÂ1ÎcÒ»ÆFÒ|ÂkÅ|іÁ1ÌzÎf҈âÌ:ÆFÌz‚ÂUÏRÔ6à ÊRÒ=ɀÒ|҈͂ÍkƖɛˈÑÉ;Ë«ÄYÆ1Æ1ÈzÐ1ˈÌ8ɛÒ|ËÖÌzÆ1Ò|Âk͂ËiÌNËׁňĂÆ1Å|Â,ÆFÒ|ǂË=È:ÁyÉcÅ|Ê É ÆF΀΀Å|Æ1ÂkɛÂ,ÈzÁyÃé҈҈Ì:Â,ÉBÆ1ÑtØk‚ÆFÉ"іØkÉBׁˬˈňÎcÆ1ˈňÂ,ÆFÌ:ÒǂÈ:ؖÌ:ÌN‚Ò|ˬÌzώÆ1΀ÂÒ|Å|Í‚É›Ó»É Áy҈Ì8Ë«Ò|ÉBÆ1ÍÑÈzؖÁéÁyÒ|ÌzÂTÆ1ˈÑÂtÉcÅ|ÌzÆFÌzתÉBב˧Ò|҈͂͂ÆyÉÉ'ף˫È:˫ƖÆ1҈ÎcɛÈz؂ÁyÄè҈È&Ì:ׁë»ÆF؂°Ì:ÂkÉc΃ʧÌ:Ò|˧ÌzÁyÆ1ÎcÂkÂkÆFÂ\˛Â,Ôã҈ĂÌ:Å|ÂÕÖÆF؂Çk͂ÆFÈzÉ0Økɛ˧ÊRіÁ­Ë›ÌzÙ&Ô6Éc×AæßÁyÅ|×6ÂèÉcˈÂkØkÆFÎcÎfÉ ×LÍ\ׁÇTÅ|ÁÉcÆFÒuË«Â,Ó;Æ1Ò|ÈzËɛ؂Éc҈ÌNÂ$ˬÌ:ÆFÂ\΀qÁ Å|Îcɛn ÆFÁyÁFÂk҈ɛØkˈÑéÌNÎfËuÍÒf҈Ã2Ë¿ÆOÆFÄkÁy×6ňÄkÁÆ1ĂǂіňÈzÆDÌ:ɛË|Ý–Ê Î€Ì:Æ1ʧÂ,ÁFÁn҈ÂkÌ:҈Â,Ñ°É\Øk҈҈Ì8ÒuÍkÍkÃ1ÉÉ á ë»Î€Æ1Ì:ÈzÉc:ʧÌNіÁyÉ ÂkÓ»Â"Ì8Ò|ÄkÍ ÅˆÆ1ɛǂÁ1ÈzÎfɛÍ-Ê ÆyÌN҈ËÖÍk҈ÉcÍkÅLÁyÁyÒ»ÒLׁÁ§ÆFÅÈ:ÁyÂk҈ÆFɛ‚ŻÈ:҈ÌzÂkÌ:ÊRɛÁyÉFÅ»ÔÖÉBà Ú,ÒªØkÁnË«Ò|ØTÌzÎfÆ1Í ÂkË ÁyÂ-҈͂ÌzÉ'Â,Ò|ׁÅ|ÉcÆFÅfË«Â,ÉBÒf΃˻҈Ì:΀ÆFÅ|Â-ɛÁnÆFÒ|×6ɛÑ\ÒuÓ ÇƧìÆF҈ÅLÍkÉ ÊÌzÆ1‚ňÌzÉ҈ÌNÁyׁÅ|ÈiÆF΀Â,ÆFÒ|ÂT˛іá‚Ì8Ò|Ò|͂ÌzÆ1ɛˈÂÉ ÎcׁÁyÅ|Â-ÆFÂ,Ì:Ò|Â,Ë҈ÉcÌzÂ,Åfˈ҈ɛɛ΃Å|Ò»Á1΃Æ1ÒBÅ Ô Ì҈Nä Ë ÍkɛÉcіΛÃ\ÁyɀÒ|ØkΛÉcˈÁyÅ|ɎÂ-ÊÁn΀Ì:Ò‚Æ1ÉBÈzÒ|:Ñ­Í‚Ì Ñ‚ÉŽÇÉÌ:íÂ,ӻ҈ˈÌzÉcÆF҈ÅfÍ-È:ˈÐɛÆFÌz΃‚҈Ò|Ï\͂ÌzÆ1ɛ҈Â-ÅÖÍTׁÁnÄTÅˆÒ Æ1Æ1ÌzÂ1ÈzÂ,ƖÒfÒ˻ΛÁyÒ|ÁnÈ^͂ÒLÉ£ë»ÁˈÌ:ÉcÆFÈNÁnʧÈ:ؖ҈Áyɛ҈ÅÖÂkÌ:ÆFÂ0҈ÂÌ:ÊRĂÅ|Å|ɛɎÆFˈÇkÉcÁyÊXÂkÈzɛÑ"ǂÊ"ÈzË«ÉBÔsÆRË»rªÆ1Á§Â‘Ø‚È:ÉÔ ÆΛ҈ÁyÆ"ÈU҈ë͂ÌzÌNɛË'ÊRÌ:Â1ÁFÒ|‚ÉcÂÅfÁFĂ΀Å|҈ÆFÌ:ÆFǂ­È:ÉcÊ-ÂkÉcákÓ ÒˆÍ‚×ÉŽÅˆÆ1Ì:Â1Â,Òf҈Ë'ɛÅ|ÁyÁ1Å|΃É҈Ì:ÎcÆFňÂ-ÉBÁnÆF҈×6ÉBѭׁÅ|ÆFÁFÂ,ÂkÒfÑ Ë ËÌNˆË ÉcÅ|҈Ìz͂ÉB÷ɎËiÉB΀ÆFË|ÆF×YÁyÂTÊRÄkіÌzÉ ÉBÈzÃ1΀ÁFá,Éc˻ӻÁ£Ñ–ÌN΀ˈÉBÆFÉÖˈÂ,ÎcÎcÒ|ňÆFÌzÌ:ÂÂkÇY؂˫ɛÒ|Æ1Ñ-ÁFØkÂ,ÁyË^ÒIÇYÌ:‚˫Æn҈ÐFÌzɛ҈É1ÌNÄ£ÁyÔ È&ׁØk΀ÂkÆF΃ÂTÒ|іÌzÆ1Ì8Ò|ÂkÌzÆ1Ëc¬á1Ó»ÌN˿͂ÌN΀ÎfÆ1ÍÂkˈÅ|Ì:ɛіˈɛ؂ňÈzÉBÒ|Ë=Ñ®Ô=Ì:ÂÕÖÁªÍ‚ÜkÌ:Ë;ÅfË«Ì:‚Ò^Ì8ÆFÒ|Ì:ÅfÁFіÈYÉcÎcÅ=ÆFÉcÂkÅ|тÅ|ÆFÌ8Ò|ÅBÌzÔUÆ1¬ۂ؂ÍkňÁF҈ÍkË^Éc҈Å=ÆX҈ÇTÍkÉÉÁy˫ĂÆ1ÈzĂؖÅ|Ò|ÆDÌzݖÆ1ÂXÌzʧÄkÁyň҈Ɩɛ΀ÑÉBіÇ؂ÃRÅ|ÁÉ ÒˆÁyÅfÅ|ÁFÉ'Îfä ÏFâÌ:ɀÌ:ÐF‚ׁÆ1ɛÏRÂtňÉXÊRÇĂɀà ҈ňÍkÉBË«ÆɛÑÂ,҈҈Ì:ÆR‚Ït҈ÍkÒ|Éu͂ÉRt^؂ÌzÊRÈ:ÉcĂÅLÅ|ɛÆnÚ,ÐFØkÉBÁn
üÑ-Ò|z ÌzׁÆ1Å|ÆFÂkÂ,ËÖÒªüׁÆ1Ò|{|ÅÅ|Á1>ÆFzMÎf‚â ÉcÌz‚ÞßтÏ\ÌzÊRÊRÉcɀÂT҈˫ÍkÌ:ÆÆFёÂkÁFá‘È‘Ó;؂ÉRÂk΀˫Æ1҈ÉBÂkÁFˈіÌ:іÃwɛÅvkÆn҈Ó͂ɧ˻ÁyÈ:ÌzÄkâ1ĂɎÈzÌ:ÌN ÎcÁyë»ÒˆÌ:ÆFɀ×u ÔyÆFx‚× ÔÖÁ"ÕÖ͂ËuÒfɛÁyˈÂkɎÑkÉBÁyÚ1ÅfØTÑÁnׁ҈Å|Ì:ÆFÆFÂTÂ,ÒË   üYþÿ ü    zs     z%   x ý z ý „/…  { ‡}€ ˆ ÿ ý‰ ý ì „/…  ~}€‚ †  †  ý Ó»Ìz҈ Í  å Ò|͂ɭÿ іɛå Âký ˈìyÌ8Òuá®Ã1Ó»á Ìz҈Í ҈͂ŽÉ0Ò|͂ÐFÉɛÈzƖÅ|Áy΀Ìz҈ÒuÌ:ÃFÆtá Æyˆ × Ë«Ò|ÄYÍ‚É›É %ÎcÌ8ƒÄ‚ÜTÅ|ÎɛË|͂˫ÉBØkÁnňÒfÉ1Ë á ƒ Ž ‘Ò|Í‚É “’ Ì:Â,á‘ÒˆÉcÁF Å|ÂkÂkÑ ÁFÈÓ»ÉcÌzÒˆÂ‚Í É›Åˆ‰Ï1ÃFáÖÒ|͂ӻÉX͂ɛÌNÎfÂ,Íè҈ÍkׁÁFÆFÈzÅtÄÃFÁ±á ‰ÄYÉcň ׁɛ΀Ò\ÿÏ,ÁFËRÔ£Å|ɛÕÖÁFÍkÑkÉË Ä‚Å|ƒ ÆFÅ|È:ÌzɎÂT΀ÌzÌ:­ŠË Èz҈ÉBå͂ËiŒÉX ׁÆFׁÅIÅ|ÆFË«ì Â,Æ1ÒÈzÐ҈Ì:Åf‚ÁFϪÎfâ҈͂Ì:‚ÌNË6ÏtĂÁFňÈzÆ1Ï1ǂÆFÈ:Å|ÉcÌ8Ò|Êã͂Ê-ÁyÅ|ÔªÉ;ÕÖ҈͂͂ɻÉË|Ë«ÁyÆ1ÊRÈzؖɠÒ|Á1ÌzÆ1ËU Ì:ÂXÆy׿҈͂Á\É»ë»Ë|ÎcÌ:ÁyÉc>ʧÈN”ÁyÅ=Áy‚ÎcÂ0Á1Ë«É1ĂÔiÅ|ÆFÕÖǂ͂È:ÉcÉÖÊë»Ì:ׁÉcÆFʧŪÁy҈͂ÂksÉÂXt^ĂÅ|ØkÆFÈzÇkɛÅLÈzɛɛÊãÚ,ØkÁyÁyÏ1҈ÁFÌ:ÌzÆF£ƒÂkĂ˪È:ÏFÁDɛ֌ ‚Ë=ÉcÁªÅfÁyâFÈ:ÉcÃà ÇYӻ΀Æ1ɀ͂ÂkÒuɛӠˈňÌ:Écɧ˫ÉcÒ|Ò|ËÂU͂ÔÆyÉ\×;÷–Òu҈ÆkÓ;͂áiÆ Å|ׁÉcÆFÉÄY؂Æ1ÓÖÅË«ÁDҫіÞûÐFÌ8˫ɛÙ&Ò|iË ÁnÉcLÒ|Å|ɛÉcà Â,Ë£ÒXÆFÈ:ɀ‚Îc×mÆFÈ:ҎÃOÂkÁy˫іÂTÒ|ÁFÌ8Ñ­Ù&Â,ÉcÒ£Å|ÅÌzÏ1ËuÌ:ÒfÍ,ÂOÁnÒ҈҈ÉBÅ|͂؂ˎɛ‚ÎcÌz‚ÅRÁFÌ:ÂO‚іÏ-ɛÇTÂkÉtË«Ë«ÍkÌzÌ:ÒuÆіà ÎfɛâÂ,҈Æ1ÌzÜkÅ'ɛÁyÅ|ÑOÂkÁFÅˆÑ Ì:Éc±×AÁF҈΃ÍkÒ| ÉtÌzÔÆ1 ˫ÕÖÆ1ÈzÓÖ͂؂ÉtÁD҈ÐFÌ:ÆFĂÉXÂOÅ|ɛÁFË|ÆyÂkˈנѭ؂҈ňÁ-ÍkɬÌ:ÎcËXÁFÆFÂkĂÂ,ѱÅ|Ò|ÆFÁ1Ò|Ç‚ÎƒÍ‚Ò È:ÉtÉcÊ-іÐ1Ì:Ë|á=Éc΀È:Ë«ÆÆ1ɛÎcÂ,ÉRÌ8҈ÒuÌ:ÜkÃÂ,ÏFØkÌ:؂Ì8ÂéÒuÅ|ÃÉ ÒˆÍkÌ: Â É á ÄÒuYÓ Æ1Æ\Ë«Ò«Þû΀ËuØkÒfňÁnÐ1҈ɛÉBËË ˆÅ|Éc• ÄkňÁFÉBÂkË«ÑɛÂ1ýÒ|Ìz• ÂkÏRÎcÁy҈͂Â-ÉÇYÈzɎÉc×mË«Ò'Æ1ÁFÈzÐ1ÂkɛÑ-ÑtÒ|ׁ͂ÆFÉXÅ»Ì:Å|Â"Ì:ÏF҈Í,͂ÒLÉ Å|ˆØ‚‚ ý ‚ÞßÌ:˫‚Ò|ÏtÁy҈ÓÖÉ'• ÁDË«ÐFÄTÉBÁFËc΀ԪÉ'àçǁÃ\•Â‚Æ1т–ɀ҈ÞßɛÌ:ˈňÉcÊRÂ,҈Ì:‚Å|ÆFÌ:‚ÄkÏRÌ:Ύ҈͂ÎcÆFÉ ÊRÌ:Â,Ă҈Å|ɛɛÅ|Ë|ˈ˫ɛÌ:΀ÆF҈Â-Ì:ÆFÇÂ"Ã-ÄTÊRÆ1ÌzɛÂ,ÁyÒÂTÆyËL×6ÆF҈׿ÍkÁÉ ËˆÍ‚Æ–Îfâ¬Ó ÁDÐ1ɪÌNËÖÅ|ÉcĂÅ|ɛˈÉcÂ,҈ÉBÑtÇçÒ|͂ɎòØkÏFÆFÂkÌzÆFÒ»Îc؂Å|ÐFÉ  œ ý  œ7  œ5ž  Ž ÿ ˆ  £¤ ˆ   œ ˜  e — ™  š ™  ÿ  – ˆ – ›Ÿ aˆ ¡¢ › ù 5 Ž › › ™ Ó»ÄYÆ1͂˫ɛҿňÉňÉcׁÉcÅIÌ:Ò|˪Æ'҈҈Ík͂ÉSÉ Ê§vkÆnÁ1ӰˈSË Ø‚vkÄkؖ˫Ý҈Å|Ò|ɛ͂ÁyÅˆÊ Æ1؂ÁyÏFÂkͭѧ҈т͂ÆnÉRӻˈÂk͂ËuƖÒ|ÎfňâÉBÁyÓ ÊãÁDÐ1ÆF×&ÉFá ҈͂ ÉL҈Íkˈ͂ÉRƖˈÎfÄYâ&ÉcáFɛÅ|ѭɛˈÆyÄT×ÖÉB΃˫Ò|Æ1Ìz؂Ð1ÂkÉcÈ:Ñ ÃFÔiÁF› à$ÂkÑ­Å|ÁFӻňÍkÉc×AÉcÁFÅ|΃ɎÒ|Ìz҈Æ1ÍkÂRÉRӠˈ؂ÁDÐ1ÇkÉ Ë|΀ÌNÅ|ËIÌ:ĖÅ|ÉcÒ|Ă˪Å|ĂɛÅ|ˈÉÉcÂ,ÁFÒ|ÂkɛÑÑ Çç҈ÍkÉm¥=ÆFÌNˈˈÆFÂ"΀؂Å|ÐFÉ   ’1¦>§c¨ ý    œ   œ Ž Œ ’©Uª ™š  – ˆ  —e™ –  ú ¢ ¢ù Ž  Œ  › › ’1¦>§c¨ ± Œ ’©Uª­j®D¯%° ¢¬« Œ

Pj:7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

®

contact discontinuity rarefaction wave

t shock wave Uml Umr

Ul Ur

x

²d³U´µ¤¶"·w¸G¹»º¬¼½¤¾ ³U¿ÁÀGÂdÃ1ÄÂcµ¼?³ZÄ%ÅgÄWÆ]¼7Ç%·|ÈS³U·DÉoÀGÅÊÅg¾Ê¶"ÄGË ÂU·DÉÌÆaÄG¶Í¼7Ç%·|εÊÂZ·D¶^·iϤµ%À¼7³UÄŤÃeÆaÄG¶ÍÄÅ%·ÁÐ“Ñ ³cÉo·DŤÃ"³ZÄ%Å%ÀGÂ;µÊŤÃ¼·/ÀWѤ½ Ò ÄÓ

Ó»Áy±͂ÌNÌNÎfË«Í É›Â,і҈ɛÅ|Ë|ÆF΀ĂÅ|ÌNÌ:ΧÇTÉB΀ËÆ1ÊÁyÂ-ÄkňÌNÉB˫ɛˈˈÂ1ÌzÒ|Æ1ň‘Æ1ÔtĂÌNæûΠ±ÎfÍkÏ1ÁyÉc‚‚ɛÏ1Å|É'ÁFÆyȝáU×^҈Ëu͂ÒfÁnÉtÒ|ëɛ˛ÌzԠɛÊRôLÁFÆy‚҈ɎÂO҈ĂÍkÅ|ÁyÆFÒǂ҈È:ÉcÍ‚Ê Éo¥=ÍkÆFÁFÌNË ËˆËˆÒˆÆFÆ Â"ÇY΀Ét؂Å|ˈÐFÆFɎÈ:ÐFΛɛÁyÑ0ÂÌzÁy҈ÉcÈNË«ÅfƧÁnÒ|ÇYÌzÐ1ɎÉcØkÈ:ÃFˈá=ɛÑ"Án×mÒ|ׁÆ1ÉcÅLŎіӻÉB͂ˈÌNÎcÎfňͱÌ:ǂ҈Ì:‚ÍkÏÉ ÆF͂ˈÆFÅÆnÈ:ÓؖÎcÆF҈҈Ì:Â,ÆFƧÒ|Â"Á1і΃ÌzÌNÒLÂ\ˈÎcі҈ňɛÌNÉcË|ň҈΀ʧÌ:ÆFøcɎÂ,ËÖÒ|ÆFÁÌzÂ×iÅ|؂ÓÖÁFÌzňÒuÁDÉcÃ\ÐF×AÉÁFÁF΀Âkׁ҈Å|Ñ-Ì:ÆFÆFÂ,ÁRÂtÒfË Å|ÓÖÁFΛÁDňÁyÐFÉcÂ"É1×AÁFÔ ÇT΃Ò|É ÌzÆ1ÎcÂ\ÆFÂkÓÖ˫҈ÁDÅ|ÐFØkÉ'΃Ò|ÌNËɛѮіÔ^ÌNˈàLÎcňÏ1ÉcÁF҈ÌzÌ:Â\øcÉBÆFÑ\‚ÇÉÃ\ׁÅ|Ê£ÆFÂ,؂ҠÈz҈ÌNÌ:ËÖĂÈ:ØkÉ ËˆÉ›×ÅˆÑtÆ1ׁÂ,ÆFÒ|Å˛Ô;ÁR÷іÉcÌNÉXˈÎcë»ÆFÂ,ɀ×u҈yÔÌ:Âx؂ÆFׁÆFØTÅË ÁFˈÂ͂ƖɀÎf݂â§ÁyÓÖÊRÁDĂÐFÈ:ÉÉ É›÷Ú,ÉBØk΀ÆFôÁyÂT҈ÉcÌ:іÝÆFÈzÂkқÃ1áFËUá»ÎcÌzÈzÆFÂXƖÂkΛÆFˈÁy‚Ì:ȪтɠÉcëіÅ6Ì:Ìz҈Êɛ͂ÊRɛɻÂkÁFÁF‚ˈĂÌzÂ$Æ1ÑÈ:Ä‚Ì ÔiΛÅ|ÁnÛ6ÆF҈ÇkÌ:Ì:Å|ÆFÈz˫ɛÂқÊRáDÆyÒ|Ë\×T͂҈ɿÁy͂Å|Ì:É»É Â‚Ìz˫҈˫Ò|ÌNÆ1ÁFÁyÈzÂkȖÐ1тɛ΀Æ1ÑÁyÂkÅfÑ ÁyіҬÌzׁ҈Å|Ì:҈ÆFÆF͂Â,ŽÉÒ=ÌN҈ËiіÅfÁFÌNÁFˈĂÎfÎcĂâÆFÅ|Ì:Â,‚ÆD҈ÏLݖÌ:ÂÌzÊRʧ؂Ì8ÉcÁnÒ|҈ÌzÒ|͂ÉBɛˬƖÑ'ÑXÌ:ÇÂ҈à ƪ҈ÁÍk҈Ă͂É0Ì:eÉ É›ÁyÎcn ÄkÉcÁFĂӻØkňÌNÎfÆDË«Íݖɠà Ì:΀ʧÆ1ĂÂkÁnÅ|҈ÆFËuÉÒfǂÁyÈ:Ì:Â,Éc‚ÊÒiÌz҈˫ÌN҈ׁÁyÆ1ɛÈÄ Å=΀҈ׁÆF͂؂ÂT9ÉÂkі΀t^҈Ì8Ò|ØkÌ:ÆFÌzÈzÆ1Â‘É›Â Å Ô Å|ÕÖɛ͂ˈ؂ÉBË«È8Ò|É\ÌzÂkׁώňÆ1ÌzÂ,Â\Ò|Ë˫͂ÎcƖÁyÎfÂ2âÌzÓ Â,ÁDÒ|ÉcÐ1Åfɛ˫˛ÉBáF΃΀ÒÆ1Â,ׁÆFÒ|ÅÁF΀Ôþ Ò;іÌNˈ ÎcÆFÔéÂ,҈à Ì:ÂÒ؂҈Ìz͂҈Ì:ÉBɛ˫ˠÉ"ÁyÌzÂkÂ,ÑRÒ|ÉcÅfÅfÁyË«ÉBÅ|ɀ΃×A҈Á1Ì:ÆF΃Â2҈Ì:ÆFÄTÂRÆ1ÓÖÌzÂ,ÁDÒfÐFËXÉBÈ:ËcƖá1ÎcÓ»ÁFȠ͂Ì:ë»ÎfͬÌ:ÉcÁFʧňÁFɪ‚іÂ2Ì:Ë|΀ÄkÅ|ňɀÆ1Ò|ǂÌzø›ÈzɛɛʧÑRËXÇÃRÁFňӠÉ"ÁDÐ1Ë«Æ1ÉÖÈzÐ1ׁňɛÆ1ѱÂ,Ò|Ò|Ë›Æ Ô ÅfіÁyÉcÅ|҈ɀÉc×AÅ|ÁFÊR΀҈ÌzÂkÌ:ÆFÉ Â\҈Ӡ͂ɣÁDÐ1ӠɛÁDË Ð1ÌzÉ Â\Ìz҈Â,Ík҈ɎɛÅ|Ë«Á1Æ1΃ÈzÒ|ؖÌzÒ|Æ1ÌzÂkÆ1Ë»Â-Å|Æyɛ×Uˈ؂Ò|͂È8Ò|É ÌzÂkÈ:ϧÆΛÌzÁyÂȑ‚ë»É›Ì:Ó ÉcʧׁňÁFÆ1‚Â1Â-ÒfËLĂňіÆ1ÉBǂˈÎcÈ:ÉcňÖÊÌ:ǂÌ:Õu‚ØkϬ˫Òˈ͂È:ÌzƖâ1ÎfɪâtׁÆ1ÓÖÅÖÁD҈ÐFÍ‚É›É Ë›á‚Ì:‚΀Æ1Ìz҈Â,ÌNÒ|ÁyÁFÈU΀ˈҪÆFÈ:іؖÌNÒ|ˈÌzÎcÆ1ÆFÂ"Â,҈ÁFÌ:ÂkÂ؂Ñ-Ìz҈˫Ì:ÆRɛËÆFÂUÁFÂkÔ Ñ ´–´Tµ ×ÙØfÚ¾ ÛÝܪ¸‚;¹ ÞBÚU̺ ß|¸k¹¿¶;·é·– ¸ àI ½ Ỿ«S¶ âãÛãÚ® · ع»º ׁÅ|ÆFɛÅ|ˈʣÆFà È:ØkÐFɬÈ:ׁÁyÅ|҈ÆFÌNË«Ì:Â,ÆFÉ›Ò Â,Â҈҈Å|ÆFÅfÆFÁF×ĂÎf҈âÌNÍkάÌ:‚É"΀Ï-Æ1ÊRÊRÊÉcĂ҈Éc͂ň҈ÉB͂ƖˈѰƖˈѱÌ:ÆFÁyÂkÈ:ÌNzË Ë'ÆnÓÌ:Þ'ÂOËÓ»ÏF˫͂ÉcÆ1ÂkÌNÊRÎfÉcÍ2ÅfÉ\ÁyΛÈI‚ÁyÆ1Á-ÂO–ÐFÞßƖĂɛÎcňÍÎcÃ0Ã؂ˈÅXĂÌNÎcÍÌ:ÁyÂÃȠˈÅ|ÌNÇYÎcɛÉcÁyÁFÍkÈIÈhÁDÓÖvkÐÆnÁDÌ:ÆFÓÃÅBáIÒ|ÜTÆ ×ÉcÆFÈNË«ÅRтÌ:ʣˎɀ݂؂Þ'ÁFÈNÇYÁnÊÒ|ɛÉRÄkÎcÁFÈz҈É Øk͂ ˈäÉ É\ ÌvkÁ­ ÆnÓ ÒˆÎc͂ÆFÔtÉ-ÊRòÊRĂÆnÅ|ɀӠɛÒ|Ë|͂ÉcË«Ð1ƖÌ:ÆFÉcѱÅBá®ÌNÌ:ËR҈ÂéÍk؂ÉtÒ|Âk͂΀ÁFÉ\؂ǂÅ|È:È:ÉtƖÅ|ÉcÎcÒ|Â,ÁFÆ Ò È ëÅf»ÁyÌ:Å|Écɀʧ×AÁFÁy΀Âk҈Â"Ì:ÆFŽÄkňÓÖÆ1ÁDǂÐFÈzɛɠʧÌNËiË»Å|Ì:ÉcËLÄkÁyňÈ:ÉBӠ˫ɛÁDÂ1ÖÒ|ˠɛѣňɛÇ,ĂÃXÅ|ɛÁªËˆÉcÎcÂ,Éc҈Â,ÉB҈ÑtɛňÇÉBÃ\Ñ£ÁRÉcÝÂkÄTÆFÁy–ÂkÞßˈÌ:ÌzˈÆ1ÉcŽÂ,Ò|×AňÁFÆ1ÂXĂÈ:Ì:ÌzÎâ1É;ˈ͂Ì:Ɩ§ÎfÁªâ¬Ë«Ó Ò|ÁFÁDÂkÐ1тÉFáÁFÅ| ÑXÌz  ë»ÁnÌz×mɛÒ|ʧÉcÅÁy‚ɛÐFÂɛĂňìÅ|ÆFÓÖǂÈ:ÁDÉcÐFÊ-ÉÔ=Ì:Â1òÒ|ÉcÆnÅfÓ ÁFÉc΀ÐF҈ɛÌ:ÆFśÂ-áDÌ:ÂÁ ÏFɀݖɛ‚ÄkÉcÁFÅfÂkÁyˈÈkÌzÆ1҈Â0͂ÌNË ×AÁFÌ:ÂOˠĂіÍÉcÖÄYˈÉcÌ:ÂkΛÑkÁyÈ:ˎzÃÆFÂÌzÂTÁFÒ|͂ÎcÎcɧ؂ÒuÅfÃÁnÄT҈É1Étá1ÆyÇY×ÖɛΛӠÁyÁDØkÐ1ˈɛÉLËӻ҈ÍkÍTɀÁn҈ңÍkÌ:ÉcÂ,Ż҈ÁŽÉcÅfÅfÁFÁy΀Å|қɀÔ"×AÁ1ÕÖ΃҈͂Ì:ɧÆF§ÌzÊRÓÖĂÁDÅ|ÐFÆnÉLÐFÌ:ɛˠÊR΀ÉcÅ|Â,ɛÁyÒ|Ë ÒˆÉ›Ó»Ñ¬ÍkÌzÂtÌ:ÎfÍO҈͂ÁyɪÅ|ׁɧÆFÅ|Ä‚Ê Å|ɛˈÆyÉc×UÂ,Á҈ÉB΀ѭÉcÂ,ÇYÒ|ÉcÉcÈ:Å|ÆnÉ›Ó Ñ Î€Æ1Âk΀ÕÖɛ͂ňɻÂ"ׁɛÅ|ˈÆFÄYÂ,ɛÒI΀Ò|ÌNÁyÅ|Á1È: Îfçâ,Ì:ÒˆÂ‚Í‚Ï ÉBË«ÊRÉɀÒuÒ|Ӡ͂ÆRƖÑRÄTÆ1Ì:Ë¿ÌzÂ,ɀÒ|ÝË›ÒˆÔ É›ÂkіÉBÑRÇ,ÃÌ:Â1Ò|ňƖіØT΀Ì:Â‚Ï Ó ÁDÐ1É ÒuÃ,ÄYɛ˿ӻ͂ÌNÎfͬÁyÅ|ÉÁFË|Ë«Ì:ÏF‚ÉBÑXÒˆÆ Ò|͂ɻׁÅ|ÆFÂ,Ò|˛Ô6Û6Ì:Å|˫қá ҈ë»ÍkÌ:ɛÉcˈʧÉÁyÓ ÂkÁDÂtÐ1ɠĂÅ|ÒuÆFÃ,ǂÄYÈ:ɛÉcË;ʧÁyËÖÅ|ɻіÆØkɛˈË;ɛÑ‚Æ҈ƎÈzÆ1т‚ɀÏF҈ɛɛŠňÊRтÌ:Éc‚ÄYÉ»ÉcÂkÒ|͂Ñ\ɪÆFÎcÂtÆFÅ|҈ň͂ÉBeÉ ÎƒÒIvkÐFÆnÓɛÈzƖÎc΀ÆFÌz҈ÂkÌ:іɛÌzË^҈Ì:ÆyÆF×&ÂT҈Ë^͂Ò|ÉLƣׁňÒ|Æ1͂Â,É'Ò|˛ÈzÉcÔ6×mÒÖ÷ÉBÁF΀ÂkÆFѧÂTіÒ|͂ÈzÃ1É'áFňÒ|Ì:͂ÏFÉLÍ,Ò;ˈÆFÆFÈ:בؖ҈҈Ì:ÍkÆFɧÌ:ÆFÂ,×T҈ɛÒ|Å|͂ˈÉLɛ΀È:Ɩ҈Ì:ÎcÆFÁFÂ È ÄYˈÆFÆFÈ:Ì:ÐFÂ1ÉcÒ"ÅfËÆF‚ÁyÈ:Å|ÃFÉ\á»Ì:ÇkÂ,ؖ҈Å|Ò"ÆтÁFÈ:Økˈ΀ÆéÉBÑ®ÆFÔÂèæûÒ|Âè͂ɭë»ÓÖɀ×uÁDÔ ÐFÉ-£ ÒuÁyÃÈ:ÄYňÉBɛÁFË\іÆyñ×'ׁ҈Æ1Ík؂ɭŧÌ:іÂ1Ì8Ò|Ù&ÉcÉcÅfÅ|Ë«ÉcÉBÂ,΃Ò|Ò¬Ìz‚ë»ÏéÌ:ÉcׁʧňÆ1ÁyÂ1ÂkÒf°ËcÔãˈÆFÕÖÈ:ÐFÍkɛÉcÅ|Å|ËXɀׁÓ;ÆFÅ|ɛÉFňÉ"á»ËˆÌ:ÉcÂ1Ð1Ò|ÉcňƖÅfÁyіÈLØT΀іɛÌzÙ&ÑéÉcׁÅ|ÆFÉcŬÂ,Ò"іÉBë»Î€Ì:Å|ÉcɛʧÁ1Ë«ÁFÌ:‚‚ÂÏ Òˆë»ÍkÌ:ÉRÉcʧÎcÆFÁyÊRÂkÂ-ĂؖˈÆFÒfÁnÈ:ÐFÒ|ɛÌzÆ1Å|ÂkË;ÁyÌ:Â1È6Ò|Ó;ňƖÆ1іňâ-ØT΀ÆFɛ×^Ñ"҈͂͂ÉRɛňÊRÉ Ñ–É€Ò|ÌzÙ&͂ÉcÆ–Å»Ñ ×Ó»Å|ÆFÍ‚Ê ÌNÎfÍÒ|͂Ì:Æ1ËˈÉ'͂Ì:ÌzÏFÂ,͂Ò|È:ňà ƖііØkÆ1ÎcÊɛÑ\Ì:ÂkÌzÁyÂ"҈ɛÒ|Ñ­Í‚É Çà È:ÁyÒ«Ë«Ò|Æ1ÉcÈzÅ»ÐÌ:Å|‚ɀϬׁÉcÒ|Å|͂ÉcÂTɧ΀ë»ÉFÔ ÌzɛʧÁy‚Â0ĂňÆ1ǂÈ:ÉcʧËcԎÕÖÍkÉ å :7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

æèçêémë2ìíuîïpìð"ñ
ò'ì%ó

ªÑ–ÌNÌ:ˈË|Îc΀ňÆ1ÉcÂ1҈Ò|Ì:øcÌzÂÉBÑ؂Ìz҈ɀÌ:݂ɛÁFˬ΀Ìz҈°È:Ã\҈ÇÍkÃÉ ÁtË«Æ1ˈÈzÌ:ؖ‚Ò|ÏFÌzÆ1È:É ÂèׁÅ|ÆyÆF×LÂ,Ò|қ͂ÔÉ­ÕÖë»Í‚É›Ì:ÉcˈʧɎÁFÒuӠ‚ÂèƬÓÖĂňÁDÆ1ÐFǂɛÈ:ËLÉcÊÁyÅ|É£È:ÌzÁFâ1Ë|É Ë«Ì:Ë«ÏFÍkÂkÆɛÎfÑ"â҈ÍkÓ ÉÁDÐ1Á1ɛÎcËR΀Æ1ÁyÅ|ÂkтѰÌz‚΀ϧÆ1ÓÖÂ,Ò|ÁDÁFÐF΀É'ÒtÒuіÃÌNÄYˈɣÎcÆFÆFÂ,׿҈Ì:Ë«Â͂؂ƖÌ8ÎfÒ|â-ÌzÉB˧ÓÖÁDÁyÐFÅ|ÉÉ   ËÓֈÁDÓ ÐFÉFÔ=ÁFÂkÕÖÑé͂ɎÎcÆFˈ͂Â,Ò|ƖÁ1Îf΃â¬ÒXÓÖіÁDÌNË|ÐF΀ÉÆFÐFÂ,ÉcÒ|È:ÌzƖÂ؂΀ÌzÌzÒuÒuà à ý  ÎcÑ ÌNËÖ Ô0ÏFÌ:Û6ÐFÉcÌ:Å|Â"˫қÇá=ìÒ|͂Ò|͂ɛˈɎÉtëÓÖÁyÁDÂkÐFâ,ÉRÌ:‚ÒuÉcÃÞßÄYòLɛ؂ËÏFіÆ1‚ɀÒ|ÌzÆFÉcÅ|Ò ÊÅ|ÉcÌ:‚ÈNÁnÉtÒ|Ìz҈Æ1͂ É\ÐFÉcÈ:Ɩ΀ÌzÒuÃ0ÆF׻҈͂É"΀Æ1ňÅ|ɛˈÄTÆ1ÂkіÌ:Â‚Ï   ý z z  œõ  { {  œ"õ  ö% ÁÜkyÂTÏ1؂ѱňÉ҈͂ É"ÔIÐF÷–ɛɛÈz΀ƖÆ1ÎcÂkÌ8ÒuіÃÈ:ÃFÆyá–×»Ò|͂Ò|Í‚É É"ÓÖÎcÁDÆFÐFÂ,ɪÒ|Á1ÒuÃ,΃ÄYÒXɛтËÖÌ:Ë|ÆF΀×iÆ1Ò|Â1͂ ÁÒ|É'ôÌzÂׁ؂›DÅ|Ÿ"ÌzÆFÒu aÂ,ñ¡ Ò|¢ ËÖÌ:ËXÌ:Ê ÏF›vkÌ:ÐF؂ɛɛÂOÂk΀ÇÉ'ô Ã0Ò|›͂Ò|Ÿ͂Éc  Ì:¡ÉtÅ»¢ Ð1Ì:Â1ÉcÒ|È:ÉcƖ› Åf΀ÁFÌzÒu΀à ҈Ì:ÆFý Â"• ӻׁňÌ8Ò|Æ1Í"Ê ÆF҈Ò|͂͂ɛÉ-Å»ë»Ó ÌzÁDɛÐ1ʧɛÁy˛Ô‚ÂˈÆFÈ:ؖÒ|ÌzÆ1‘áIË«É›É ÇYÎfÍkÉ-ÁFÁ1Å|ÕÖÁ1ˈ͂ˈ΃ƖÉ\҈ɛ΀ׁňÌNňÁnÌNË«Æ1Ò|҈Â,ɛÌNÑOÒ|Î Ë Ó»ÅfӻΠÌz҈͂ ÍèÌNÁFÎfÂkÍ2ÎfѬÍkÎcÁyÁFÁFÅf¬Â2ÁF΀Ìzі҈Â,ɛÌNÒ|Ë|ňÉc΀ÌNÅ|ËuÅ|ÌzÒ|ɀÆ1Ì:҈ΛſÌ:ˎøcÎfÉ-ÍkÆFÁy×LÁ0Åf҈ÁFÅ|Ík΀ÁFÉ"҈ňɛÉcÅfň×AÌNÁyÁFËuÅ|Ò|΃ɀÌ:Ò|×AÎ ÌzÁ1Æ1΃ÂéÌ:Ò|Î ÌzÓÖÆ1Ô^ÂOÁDàLÐFÓ É\Ï1ÁDÁyÁFÐ1Ì:ň§ÉGÉ"§Ò|͂ÁFÒ|Ë|É͂˫É-ׁÌ:ÏFÅ|ÆFÈzÂkÉcÂ,ɛ×mÒ|҈ѱ˿ÊRÒ|Ó»Æ1͂˫Ì8ňÒ|ҬɛÍ\É"ÎfіÍkтÌzÁyÙ&Ì8ÅfÙ&ÉcÁFÉcÅ|΀Å|Éc҈ÉcÂ,ÉcÂ,Ò;Å|Ò§ÌNÓÖËuÒ|Ó ÁDÌ:ÎÐFÁDÉÖÐ1 ɬÒuÈNÎÃÒu ÄYÃá¿É›ÄY҈ˠɛ͂ËÁyÉ-Å|Ó»ÉLÅ|Ìz͂ÁFÏ1ÌNË|Í,Îf˫҈Í2Ì:ÊRÏFÂkÎcÆ1ÁFɛ˫ÂÑ Ò Ñ–ÌzÙYɛňɛÂ,ÒňɛÈ:Áy҈Ì:ÆFÂkË;ׁÆFÅÖÒ|͂ÉcÌ:ÅÐ1ÉcÈ:ÆÎcÌ8Ò|ÌzÉB/Ë  ýp ÷ ý /  —  >ùG pý  ÷ ý iY  —  pý ø ÷ ý /  Aý /    å — ÿ —  ì Ó»Å|ɛ͂ˈÄTɛňÉBÉX΃҈҈Ì:͂ÐFɧɛÈzÃ1ˈjÔ؂Çkt;Ë|ÁF΀ÎfÅ|Í-ÌzĂÒ|Æy˪×=È^Ò|͂ÁyɛÂkËˆÑ­É ÒˆÅ'ÍkтňɛÉcɎ‚ÆFӠ҈ÉXÁDÐ1҈É͂úÉÒuÃ,vkÄYÆnɛÓç˪ÁyÎcÈNÆF˫ƧÂkтÌ:Â,Ì8Ò|҈ÌzɛÆ1Å|ÂkÁ1ËL΃Ò|Ì:ÊRËLіÊRÌ8Ù&ɛіÉcÅ|ÌNÁnÉcÒ|Â,ÉcÒ|È:ÈzíÃ"ÁnÓ»ÒÌ8Ò|ÒˆÍ Í‚ÉRÆyÒ|È:͂ɀ×mÉcҎÅÁyׁňÂTÆ1ÑÂ1Òf҈ËcÍkÔ»Éä Å|Ã-Ì:ÏFÍ,ÁFÒªË|Ë«ÆFÌ:ÏF׿‚҈Ì:Ík‚ɣÏׁ҈Å|ÍkÆFɛÂ,ËˆÒ›É á ׁɀÅ|ݖÆFÄkÂ,ÁFÒtÂkÐFˈÌzɛÆ1ÈzÂtƖÎc×AÌ8ÁFÒ| ÌzÉB˧ÎcÁy҈Â-ÍkÉ­ÇYɣɀ݂іÁ1ÌN΃ËuÒ|Ò"ňÌ:тǂÌzؖÊRÒ|ɛÉcÂTÑ-Ë«Ì:Ì:Â-ÆFÂÐDÁFÆFÅˆ× Ì:ÆF҈ØT͂˻É0ӠɀÁDݖÖÄk˛ÁyÔ^ÂTæûË«ÂÌ:ÆFë»Âèɀ×A×uÁFyÔ Âkx§Ë¬ÁyÌNÂ-ËtÉBÆ1Ú1ǖØkÒ|ÁFÌ:іÌzÂkÌN˫ɛÒ|Ñ®ÁyÔçÂ,ÒÕÖÄkÍkÁFÉ Å|ÁFÊRÌzÂ,Ò|ɀÉc҈Å|ɛÌzňÆ1Ì:ø›ÅtÁyÓÖ҈Ì:ÆFÁDÐFÂ"É-Æyׁ×6Å|҈ÆF͂Â,oÉ Ò|Ët¥=ÆyÆF× ÌNˈˈ҈ÆFÍkÂ É ÓÖ΀ØkÁDňÐFÐ1Û6ÉɎÌzÂTňÌ:ÉBËÁyË«È:؂ØkzÃ1Èzˈ҈á É›Ì:ё‚Ì:Â$ÏRÔòLÌ:ÁOÂ-ÉcË«Å|ÁÒ|É£ÁyÊRÂTÌzҪтÌ:‚ÌNÁyËÌzÅfÊRÑ2ÎfÌ:Íkø›ëÆ1Áyˈ҈ÌzɛÉcÌ:ÆFÊRÂ-Â-ÁF҈Æ\‚Æy×iÂÐn҈Áy͂ĂÅ|É Å|Ã\ÆFÐ1ǂÒ|Éc͂È:È:ÉcÉ£ÆÊ ÎcÐ1Ì8ÒuÉcÆFÃ\È:Ɩ‚Áy΀È:Ã2ÌzĂÒuĂÃ"тÅ|Ì:ÆDÆFË|ݖ×I΀ÌzÆ1҈ʧÂ1͂Ò|ÉXÁyÌz҈ÂׁÌ:Å|؂ÆFÆFÂtÆ1Â,ØkɛÒ|˧ËLňÅ|ÐnÓ»ÆFÁyÅBÌ8Å|Ò|Ô ÌNÍ­Án҈؂Ì:ÆF‚ÂTÌzׁËRÆFÅ|ÆyÊ ×'҈Ëu͂Ò|É­ÉcÄkÉcËÂ,Ì:҈ÂkÅ|ˈÆFÌ:ÄіÃéɣ҈Æn͂Ð1ÉÉcŬÅfÁyÁOÅ|ɀ΀×AÆ1ÁFÂ,΀Ò|҈Ì:ÁFÆFÎ€Â Ò Ñ–ÎcÁFÌNˈ£ÎcÆFÉcÂ,Ý҈ÌNË«Ì:ÂқÔ=؂ÌzۂÒuÆFìÅ6ÎcɀÁy݂Â"ÁFÊƖÎcÄkÎcÈz؂É1śáFÔI΀Æ1òLÂkÆnË«Ó;ÌNіɛɛÐFÅ6ÉcÁªÅBá,ÈzÌzÉcÂ"×mÒI҈ňÍk؂É'Âkˈ‚ÆFÌzÂkÈ:ؖÏÒ|ÌzˈÆ1͂Â\ƖÎfÆFâ ×6Ó äÁ ÁDn Ð1ÁyÉ^ØkÌ:ÎfÂ1ÍÒ|ÉcçÅf˫ĂÉBÅ|΃ÆFÒ|ÇkÌz‚ÈzɛÏ'Ê ÁªÎ€ÅˆÆFÌ:ÏFÂ,Í,Ò|ÒiÌzÂÅ|؂؂Æ1‚ØkÂkË Ìz‚ÐDÏ'ÁFň΀ÌNÆ1ÁnÂ,Ò|Ìz҈Æ1Ì:Â,ÂkØkË ÆFÆyØk×iË6҈Åf͂ÁyÉ'Å|ɀÉc×AÂ,ÁFÒ|΀ň҈Æ1Ì:Ä,ÆFÂà ÓÖÌ:Â-ÁDÁRÐFÉFÎcá1ÆF҈Â,Ík҈ÉcÌ:¬Â؂Ò|ÆF͂ØkÉ'˻˫Îf͂ÍTƖÁyÎf‚â§Ï1˫ɪ҈Å|ÆFÉc×6‚ɛÏFÂ1҈Ò|ÍtňÆ1Ì:¬ÄçÒ|ÉcÇTÅ|ɛʧ͂˿ÌzÂTÆFÑt×UÉcÒ|͂Â,҈ɎÅ|ÆFˈ͂ÄƖÃRÎfÈ:â¬Æ1Ë|Ó Ë;ÁDÎfÐ1ÍkÉFÁFá–‚ˈÏFÉcÉBÉË¿ÜkÎcÏFÆFØkÂ,ÅˆÒˆÉ Ì:Âù Ø‚Ô ÆFØkˈÈ:ÃRт؂ňÌ:‚ϣ҈͂É'Ì:Â1Ò|ÉcÅfÁF΀҈Ì:ÆF¬Å|ɛˈ؂Èz҈Ì:Â‚Ï r

region with continuous change in entropy

t

shock wave rarefaction wave

x

²d³U´µ¤¶"·úû%¹ýüjÇ%·o¿Á¶"·/À¼?³ZÄ%ÅgÄWÆ]Àä¶"·/´³UÄÅgÓf³F¼?ÇgÀä¿?ÄÅW¼7³þŵ%Ä%µ¤ÃS¿?Ç%ÀGÅ%´W·ú³þÅg·DÅW¼"¶"ÄG¾½ÿËG½g¼7Ç%·s³cÅW¼·D¶"ÀW¿7¼7³UÄÅÔÄWÆ]ÀwÂU·/Æ ¼Í¶?µÊÅÊÅʳþÅ%´ ÃÇ%Ĥ¿
sÓBÀ W·ÍÀGŤÑäÀo¶?³U´ÇW¼j¶?µÊÅÊÅʳcÅ%´s¶"ÀW¶"·/ÆaÀW¿7¼?³ZÄÅúÓ'À G·



:7< k N

=289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

ÊRÁyÄkɀĂÒ|Õiň͂ÆDÆ'ƖݖÑRтÌ:ʧÌ:҈Ë|͂Án΀ÌNÅ|҈˿ɀÌ:ÆFÒ|ÎcÂtÌzÆFø›Â,ÉÖÆy҈×U҈Ì:͂ÂÒ|͂؂ÌNËIÉ ÆFĂØTÐn͂Ë^ÁyɛÎfÅ|‚ÍkÌ:ÁyÆFÁy҈ÊRÂkÌ:ÆFÏFɛÂ\ɻ‚ÆFÌzÆyÂ"§׮ɛÉcÁFÂ1Â,ΛÒ|҈΀ňÅ|؂Æ1ÆFÅfÄÄÁnãÃ1Ò|Ô=ÉcÌNÈ:Ë¿òLÃ'іÉc҈ÌNÅ|͂ˈÉLÅ|ÎcÉcňÒ|Écɻ͂҈ɎÊRÌ:øc΀ÉBÆ1Æ1ÑRňÂ,ÉÖÇ,҈ÓÖÌ:ÃRÂ,ÁDØkÁŽÐFÆFɠˈØkÉcÒuËÖÅ|ÃÌzÎfÄTÉBÍkËIÉBÁFË^Æy‚×&ÁyÏFÅ|ׁÉÅ|ÉÖÆFÌz‚Â,Â"ÉcÒ|ÉBË^ÉcіÂ,ňɛÒ|ÉBѮň˫Æ1؂Ô6Ä,Èzæû҈ç§Ì:‚ÌNÁ ώ˻ËuіÌ:Òf¬ÌNÁyˈÁ ÂkÎcňÑkĂÉcÁy҈Ì:ɛÅfÌ:øcюÎcÉBÉcׁÑtÓ»Å|ÆFÌNÌ:Ë«ÂtÂ,ɪÒIÒ|΀҈͂ÆFÅfɎÁFÂTÎfËuË|âÒfÁyÁyÌ:ÊR‚Â,ÏÉÒ ÓÖ΀Æ1ÁDÂ,ÃF҈áIÌ:Â,͂ØkÆnÆFÓ ØkÉcËÖÐ1ĂÉcÅBÍká=Éc‚҈͂Æ1É"ÊׁɛÅ|‚ÆFÆFÂ,Â-Ò|ËÁyÂTÁyÅ|ÑtÉt‚‚ÆFÆFÒLÒ¬ÁRÁF΀Ë|ÆFË«Ì:Â,ÏFÒf‚ÁFÉB΃ѱÒі҈ÍkÌNË|É-΀ÆFÎcÂ,ÆFÒ|Â,ÌzÂÒ|Á1؂΃ÌzÒuÒRìіӻÌ:Ë|͂΀ÌNÆ1ÎfÂ,Í"҈Ì:ÁyÂ,ÙYØkÉBÌ8΃ÒuÃOÒfËÖÓÖ҈͂ÁDɛÐFÌzÉtÅ»ÒuÌ:Â,Ã,҈ÄYɛÉFÅ|Ô2Á1΃ÕÖ҈Ì:͂ÆFÂ"ɛˈÉtÓ»Ìzׁ҈Å|Í-ÆFÂ,ÆyÒfÒ|ˣ͂ÉcÅ|ÅÖÉcĂׁÅ|Å|ÆFɛˈÂ,ÉcÒ|Â,˛ÒRÔ Á æûɀÂ-ݖÄk҈ÁFn;ÍTÂkÁnÆFˈҪÂTÌzÆ1˫ΛÌNÂOÁFіˈÉc×AɎÅBÁyá–Â2Á¬×Æ1Ë«Ì:ÅLËRÍkÆɀÅ|Îf݂ÁÉ â\vkÁFÊÉBӠ΃ÄkÁDÒ|ɛÐ1ÈzÉ1ÑÉ áT΀Á§ÁyÆFÒXÈ:Â,ɀÒ|Ò|×m͂ÌzÒÂÉ"؂ň؂ÉBňÌ:ÂkËÏF‚ÁnÍ,ÌzÒÒRÂkÏtÒ|Æy͂×˫ɎÍkÒ|È:Æ͂ɀÎfÉ"×mâ"ÒLÎcÆFÓÖÆF×=Â,ÁD҈Ò|ÐF͂Á1É'΃Éҧӻ΀͂ÆFіÌNÂ,ÌNÎfˈÒfÍÎcÁFÆF΃ÌzÂ,Â,ÒL҈҈Ì:тɛÂÌ:Å|؂Ë|ˈ΀Ì8ɛÒuÆ1΀Ã1Â1Ò|ÔéÒ|˪ÌzÂÁ¬ò؂Æn΀ÌzÓ ÒuÆ1Ã\Â1ÉcÒfÐ1ÁFÁFÉcÂk΀ÅBÑÒLáIіÌ8Á§×Ì:Ë|ˈÒ|΀͂͂Æ1ƖÉ-Â,Îf҈âtÈzÌ:ÉcÂ,×mÓÖØkÒRÁDÌ8ÒuׁÐFňÃ1É'Æ1áYÂ1ÆFˈÒRÉcÅLÉ'ÌNÁtËÜk΀Ï1Á1Éc؂΃Â,Ò|Å|Ò|ØkÉ ÉcÁyÅ|x È:ɛzÁkÑÃ Ô ÒˆÆyÍk× É\Áy­Å|ÌzÏ1ÌNˈÍ,ÉcÒXÂ,҈ÉcÅ|ÂTÆFÑéĂÌNÆyΎ×ÉcÁ0ݖÄkÎcÁyÆFÂkÂ,ˈ҈Ì:Ì:ÆF ؂ÆFÆ1ØkÅËÎcÆFÎfÍkÊRÁFÂÅ|ÏFɛɬË|Ë«ÆFÌ:ÆF×LÂÉcÂ,×AÁFÒ|ň­Æ1Ä,ӻà Ìz҈Í ÜkÓ ÏF؂ÁDÅ|Ð1É É xÒuÃÇ ÄT á^ÉR҈Åf͂ÎyÉ-Ԏ˫ÕÖÍk͂ÆɛÎfňâ±ÉcׁÓÖÆFÅ|ÁDÉFÐFáTÉ\҈͂ӻÉÌzÈ:ÖׁÅ|ňÆFÉ/Â,vkÒ|ɛË΀іÒÌNˈÁFÎcˣňÉc҈҈ÍkÌ:É"øcÌ:‚Å|Ï-Ì:ÏFÍ,Ë«ØkÒXÎfɛÍ0ÂkÑÁ Îǂ€Æ1ؖÂ,Ò Òˆ¬Ì:Â,Ì:ØkÂkÆFË«Øk҈ɛˠÁ1ÎfÑ ÍkÁy\ÂkˈÏFÌ:ÉÊÆFÌ:ÈN×UÁyÉcÅ Â,҈҈ÆRÅ|ÆFÒ|Ä͂ÃÉÍkׁňÁDÆ1ÐFÂ1ÉLÒf҈ËÖÆXňɛÇTĂÉ'Å|ɛÁFˈË|ÉcË«Â,Ì:ÏF҈ÂkÌ:‚ɛÏRѧÁXÆF҈Åf͂ÁyɛÅ|Å;ɀ×AÓÖÁ1ÁD΃Ò|ÐFÌzÉ»Æ1ÂtÒuÃÓÖÄYɛÁDË;ÐFÉG҈iÍTÁy҈ÍkÂ¬É Ò|Èz͂Écɪ×m҈҈ÊRÅ|؂Æ1ɪ˫һÎcÆFׁňÂ,Æ1Ò|Â,Á1Ò ÎƒÒ  È:тΛÑÌ:Ë| ΀á‚Æ1҈Â1͂Ò|É ÌzÂÅ|؂ÌzÌzÏ1ÒuÍ,à ҈ÊR ΛÆ1Ñ Ë« Ò á ׁ҈Å|ÍkÆFɪÂ,Ë|Ò ÁyÊRÅfÎcÉÑ ÐF ɛÁyÈzƖÂkÎcÑÌ8ÒuÁFà Âý ÌzÂ,҈á,ɛӻňÌ:͂ÆFÌ:ÅÖÎfÍtׁÅ|Ì:ÆFË^Â,ÒˆÒ Í‚Éª Ì:ΛÐFÑ ÉcÈ:ƖÆF΀×IÌzÒuÁ§ÃXÎcÌ:§ÆFÂ,Ò|҈͂Ì:ÉLÂ؂ÊRÆFÌNØTтËіÎfÈ:ɪÍkÁyË«ÂkÒ|ÁnÏFÒ|É ÉLÆyÆF×=×YÉcÒ|Â,͂Ò|ɪňÆ1ˈÆFÄ,È:Ã1ؖԠÒ|ÌzÕÖÆ1Ík§ɛÆyËˆ×®É ÒˆÓ ÍkÁDÉLÐ1È:ɪÆΛÒuÁyÃÈYÄYë»É›ËªÌzɛÁyʧÅ|ɎÁy‚Áy¬È:UÄkÁFňË|Æ1˫ǂÌ:ÏFÈzÂkɛÊ-É›Ñ Ô • 



t contact discontinuity

t

centered expansion fan

region with continuous change in entropy

rightmost characteristic of isentropic expansion or compression

shock wave

shock wave

shock wave

shock wave

x

4 EF.Á)*-16>47@Y)>EF:?. dE )*#Í4'@1:?.Á)>47@)2,EF(>@:?.Á)>EF./+E )

x

 _ 
EF./)*-6“47@Y)*EF:?. dE )>#e4j@:?./)*EF./+:?+(2@>#547.C?-B:7< -1.Á)*6>:?3 

²d³U´µ¤¶"·¤¹ ü'Ç%·s³cÅW¼·D¶ÀW¿?¼7³UÄÅ|ÄWÆ]ÀäÂU·/Æ ¼^¶7µÊÅÊÅʳþÅ%´äÃÇ%Ĥ¿
wÓ'ÀG·mÀGŤÑ ÀyÀ|¿?Ä%Å5¼"ÀW¿7¼eÑ ³cÃ1¿?ÄÅW¼7³þÅ%µÊ³F¼½äÀGŤÑ*ËyÀä¿?ÄÅW¼7³þÅ%µ%ĵ¤Ã ¿?Ç%ÀGÅ%´W·^ÄWÆd·Å5¼7¶"ÄG¾G½|¶"·iÃ"µÊÂF¼?³cÅ%´s³cÅwÑ ³·i¶"·DÅW¼f¶"·ÁÒ ·i¿?¼7³UÄŤÃ

yÁÁyÂTÅ|ɬѧà΀Å|Å|ÁFˈɛňɛÁyÉc΀҈×AÆ1ÉBÁFÂkÑO΀ÑX҈Ì:ÁFÆFÌzË ÊRÂRÈ:ÄYӠɀ×mÆFÁDÒňÐ1Ò|ÆFɛÁyÅ£Ë^Â,Ò^ΛÅ|ÁyÌ:ĂÏF§Å|Í,ÆFҎÅ|ÄY؂ӠÉc§ňÁDÒuÒ|Ð1ÎƎɛÆFË ÒˆÍk×TÌ:ÉLÒ|Âé͂È:É»Áɀ×mÓ Ò;È:ƖÁDÆ1ÎcÐ1Å^ÁyÉ Ò|ȠƎׁë»ÅˆÆ1҈Ì:ÍkÂ1ÉcÉLʧÒfË=Å|ÁyÌ:Ìz‚ËIÏ1ÂOÍ1҈͂Ò;ÄkɛӻňÌzÅ^Æ1Ì8Ò|ǂÐ1ÍtÈzÉcɛÈ:Å|Ê-Æ–É›Î€ËˆÔ ÌzÄTÒuÉBÎà΃ňÒ^È:ɛ;Ò|È:΀ÁyƎÆ1҈҈Ì:Â,ÐFÍkÒ|É ÉfÁF΀҈vkÆ'ÒX؂Ò|іÌNѬ͂ÌNˈÉyіÎcvkÆFɛÄTÆnÂ,Ӱ҈ɛÌ:ÂkÂÐFі؂ɛÌ:Ìz‚Èz҈ƖÌ:Ïɛ΀ˎÌzÆFÒu§ÃFÍTÔ=ÁDÓ»÷ÐF͂ÉR͂ÉcƖ҈҈Îf͂Íkâ£É›É\Å¿ÓÖË|Ò|ÁDÁy͂ÐFÊRÉcÉBà ÉË ÐFÅ|؂ɛÈz‚Ɩ‚ÎcÌ:Ì8‚ÒuÃϧÓÖÁFË'ÁDÐFÒ|É›Í‚Ë Éä vkØkDÌ:Ñ® ákÔ Å|Ìz÷Ï1ÆTÍ1áIÒÁyÅ|È:؂I‚ׁÂkňÆ1Ìz‚Â,ÏtÒ|ˣӠΛÁDÁyÐ1ÂOÉ›Ë ÁyÈNˈÆ ÇTÁyÂkÉtÑ-Á1ˈÓÖˈÁDÌ:ÏFÐF‚ÉBÉBËÖÑ0Ó»Æ1͂‚ÌNÎfɬÍÆFÍk× ÁDÒ|ÐF͂É'ɧ‚ׁƬÆ1ÈzÅ|:ÆnÉcÓ»ÈNÁnÌzÒ|ÂkÌzÐ1Ï-É'҈ÐF͂ÉcÅ|È:ÉcƖɧ΀Ìz×AÒuÁFÃtÊRÓ»ÌzÈ:ÌzÌz҈ÉBÍ ËŽÅ|ÆFɛ×ÖˈÄYÓÖɛÁD΃ÐFÒ»ÉBË/Ò|Ƨ È:҈ɀÍk×mÉÒ ËˆØ‚ÅˆÅ|÷ÆF؂ØkÊRÂkіʧÌ:‚ÁyÏuÅ|Ì:øcvTÌ:؂‚Ì:ÏkÑ¢ ái҈ ͂ ÉtÔ ÒˆÆFÒ|ÁyÈ Â؂ʣÇYÉcÅXÆy×ÓÖÁDÐFÉBËׁňÆ1Â1ÒXÒuÃÄTÉBˎÌNË H  ˫͂ƖÎfâ0Ó ÁDÐ1ÉRÒuÃ,ÄYÉ  Ë«Ó  há xÓÖÁDÐFÉRÒuÃÄTÉBË£Å|ÉcÄ‚Þ Å|ۂɛØkˈūÉcÒ|Â,͂҈ÉcÌ:‚Å|ÊRÏOÆFÎfÅ|ÍkÉFÁyá‚ÅfÒ|ÁF͂΀Éc҈Å|ɛɣňÌNÁFËuÒ|ňÌ:ÉmÎ›Ë x§ ÓÖÈ:ÎFÁDáÖÐFÉ'Å|ÎFׁá;Å|ÆFÌNÎÂ, Ò»ÁF×AÁFÂkÊÑ Ì:È £ ÌzÉBËLÓÖÓ»ÁDÐFÌzÉ\҈ÍÒuÃÅ|ɛÄTˈÉBÄT˧ÉB΃Å|ÒÉcĂÒ|Å|ƬɛˈÒ|Éc͂Â,Éc҈Ì:Ì:ÅL‚Ð1ϱÉcÈ:ÎfÆÍkÎcÁyÌ8ÒuÂkÃ\ÏFÉ-ňɛÆyÈ:Áy×'҈ÉcÌ:ÐFÂ,É'҈Å|Ò|ÆFƬÄÃ҈ÍkÉM ÎcvkѮ؂áÖÌNÈNÑ®ÎcÔÍÑ®áÖn;ÅfÆ1ÎcʣѮǂá Ì:Ì:‚ΛÌ:Ñ Â‚ Ï Ô Òˆ×AÁyÍkÊRɛˈÌ:É ÈzÌ:ɛÒuËXÓ;ƬÎcÁFˈÂO؂Ç&ÇTіÉ\Ì:Ð,Ì:іÌNˈɛÌzÆ1Â,Âk҈ÌzË»ÜkɛÆy
Ñ×6¬×Å|ÆFùÂ,ˈÒ|͂˛ákƖÌ:ÎfÂ-â҈ӠÆFÁDÒ|ÁyÐ1ÈÉR ÒuùRÃ,ÄYіɛÌzÙY˛áɛňö ɛÂ,ÎfÒLÍkÁFÓ Å|ÁDÁ1Ð1΃É҈ɛׁňňÌNÆ1˫҈Â1ÌNÒ»ÎcË ÒuÃÁyÄYÂTÉ›Ñ ËLÌz£ ÂÓÖ΀Æ1ÁDÐFÊ£ÉǂÒuÌ:ÂkÃÁyÄT҈ÉBÌ:Ë£ÆFÂ-Å|ÉcӻĂÅ|Ì8Ò|ɛÍˈÉcňÂ,ɛÒ|È:ÌzÁyÂ‚ÒˆÏ Ì:ÐFÎfÉ ÍTÐ1ÁyÉc‚È:Ï1ÆɧÎcÌ8ÒuÆyÃ × ÉcÂ,Ò|ňÆ1Ä,Ã1Ô 

Lj:7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

ÊRÌ:‚ÆFÌ8Ò|Å|Ì:ôɎÁFÆFÈUÁF҈ÁyΛÌNÂT΀΀ÉX؂ÑtÅf҈ÇYÁnÍkÒ|ÆFÁyÉc؂ҪÈ:ÂTÃtÒ|т͂ÇÁyɛÃtÅ|ˈÃtÉÒfÁy΀ӠâÆ1Ì:ÁDÂk‚Ð1Ñ–Ï¬É Ìz҈Ì:ÒuÌ:Â1ÆFÃÒ|ÂkÄTÆtË»ÉBËÁFΛΛÁyΛ΀Â"ÁyÆ1Â؂ňÉBÂ,ÁyË«Ò»ÈNɛ˫҈ʣÆ\ÍkǂÁyÇTÈ:ÒÉRÉ Ñ–Øk΀ÌNÆ1ˈˈɛÂ1ÎcÑ ÆFÒ|ÌzÂ,Â҈҈Æ\؂Ì:ÂÆ1т؂ØkÌ:ÌzËÖË|҈΀Ì:ĂɛÅ|͂ɀËÒ|ɛÌ:Ìz‚Â-ø›ÆFÉ҈ÊRÍkÎcÆFɛɣÂkÂ,Ă҈Á‚Ì:Ì:Ô É›ÂÎc؂ÉcÆFÓ»ØkÌN˪˫ɣÌ:‚ÎcÌ8ÆFÒ|Ì:ÂkÁFË«ÈIÒ|ÁFÁyÂ,ÂkÒLÑ­ÁyÇTĂÆ1Ă؂Å|ÂkÆDтݖÁFÌzʧňà Áy҈ÎcÌ:ÆFÆFÂkÂ"іÆyÌz҈×IÌ:ÆF҈ÍkÂTÉË ç

émë2ìíuîïpì!ðiì#"5î$Gð!%&2ó

ÖÓÆFÕÖÅ'ÁD͂ÐFÉ ÊRɎÓÖÆFÌ:Å|Â,ÁDÉ£ÐF҈ÉcɪÓÖÅfÒuÁDÁFÃÐF΀ÄT҈ÉBÌ:ËLÉBÆFËÂkÌNË ÁyËLÅ|іÇTÉ'ÉcÉc҈‚ÒuÉcÓ;ÆyÅ|ÒÊRɛÉcÌ:ÌzÂ,ÂÂk҈ɛÅ|Ò|Ñ Æ͂тÉXÇØkíׁ΀ňÆ1ÉBˈÑtÂ1ÆFÒfÈ:Ò|ÐËLƬÌzÎcÂkÁFÆFÏ\ΛÅ|ň΀Á\ÉB؂΃ÈzÅfƖ҈ÁnÈ:ÎcÒ|ÃFÁFÉcÔªÈIÈ:ìæûë»Â­Ë«ÌzÌ:ɛÁtʣʧ؂˫ÁyÒ|ÈNÁF‚ÁnÂkÒ|ÂÉ'тĂÁF҈Å|͂Å|ÆFÑ"É Ç‚×ÓÖÈ:Å|ÉcÆFÁDÊ ÐFÂ,É'ÒLÌ:­Ð1Ò|Å|ÉcÒ|Á1È:͂ÆÎfâÉRÎcÌ8ÌzÒ|‚ÌzÂ,ÌzÏtÉBÒ|ËÖÉcÊÅfÆFË«Éc‚ÉB҈È:΃͂ÃF҈ákƖÌ:ÆFÑ Ç‚Â­Ø–ÒˆÒLÄT͂Æ1ÁyÉXÈNÌzˈÂ,ÌzÂ,ÆXқ҈ÔXÒ|ɛƬÅ|æßÁ1Ò|Ë«Ë ÎƒÌ:Ò|ʣˈÌzÆ1ÆFØk È:È:ؖÁy҈Æy҈Ì:×IÉ'ÆFÂ0Òu҈ӠÍkÌ:ÆÉË Ì:ÌNÂ1Ë£Ò|ÁyÉcÈ:Å|ÓÖĂÁDÅ|ɀÃ҈ˣÉBÑRÁ ÁF΀ËIɛÂ1Ì:¬Ò|ÉcÁ Å|ɛËuÑÒfÁyɀÂkݖÑkÄkÁyÁFÅfÂkÑˈëÌzÆ1Ìz±ɛÊR×AÁyÁFÂ邧ÁyÂTĂÑÅ|ÆF҈ǂ͂È:ÉcÉ\Ê ÊË«ÌNØTтÎfіÍXÈ:ÉtÒ|ÍkÓÖÁnÁDÒ ÐFÁ ɧ΀ÌNË£ÆFÊRÁFÈzĂÓÖÅ|ÁDɛÖË|ËˆË ÌzÆ1Á ÂX΀ÌNÆ1Ë¿Â,ÁFÒ|ÈzÁFÓÖ΀ÁDÒXÖіËIÌNÁ ˈÎcË«ÆF͂Â,Ɩ҈ÎfÌ:ÂâX؂ӠÌzÒuÁDÃFÐ1Ô ÉFáFòÁFÆnÂÓ ÉcÉcݖÐ1ÄkÉcÁyÅBÂká‘ˈÒ|Ì:͂ÆFÌ:Â Ë ÌNÓÖ˪ÁDÄkÐFÍ,ɎÖׁˈÅ|Ì:ÆFΛÂ,ÁyÒªÈ:zÃ-ÒuÃ,‚ÄYÆFɛҪË'Ò|ÁF͂ÂkÉRÑÊRÒ|͂Æ1ÉRË«Ò'ňɛÁ1È:ÎcÁy΀҈ØkÌ:ÐFÅ|Áyɣ҈Ð1É£ÉcÅ|È:ƖÉcÄk΀ÌzňÒuÉBÃ\˫ɛ×AÂ1ÁFÒfÊRÁnÒ|ÌzÈ:ÌzÌzÆ1ÉBÂËÆyÌz±׿Ò|Îc͂Á1ÉË«ÉXÌzÂ,Æy҈׿ɛÌ:Å|Â,ˈ҈ɛÉc΀Åf҈ÁFÌ:‚΀Ï"҈Ì:ÆFÓ ÂkÁD˪Ð1ÇYɛËɀÒuÌ:Ó Â,҈ÉcÆ-ÉcÂ0ÁFΛӠ΀ÁDÆFÐ1ØkɎÂ1ÒׁÅ|ňÆFÉBÂ,Ë«Ò|Øk˛È8Ô Òf˪ÕiÌ:ÁFÂ0âÌzÁ\‚Ï\ÊR҈ÆFÍkÅ|ÉÉ ÁFΛ΀؂LÅfˈÁnÌ:Ò|‚ÉÏ ËˆÌ:Ï1Ê£Á1ˣ؂ÈNіÁnÃÒ|ÌzÂkÆ1ÁFÂ\ÊRÆFÌ:×iΛˎÒ|͂Ò|É Í‚ÉcÓ Æ1ÁDňÐ1Ã0ɪ҈Ì:͂Â,É\҈ɛÌzÅ|Â,Á1Ò|΃Éc҈ÅfÌ:ÁFÆF΃ÂTÒ|ËcÌzÔÆ1ÂkˎÇYɀÒuÓ ÉcɛÂÁyÈ:ÖіÌ8Ù&ÉcÅ|ÉcÂ,ÒÓ ÁDÐ1ÉRÒuÃ,ÄYɛËXÌ:Â1Ò|ňƖіØT΀ɛÑÁyÇYÆnÐFɬÎcÁFÂéÇYÉ ËˆÎ€ÆFÅ|ɛÈ:ÐFÁyÉ›ÒˆÑ ÉBÑOׁÆFÁnÅ ÒXÇÁFíÂOÎcÌzÆFÂ,Âk҈ɛˈÌ:Å|тÁ1Éc΃Å|Ò|ÌzÌz‚Æ1Ï\Âé҈ÎcÍkÁyɧÂUá6Ó Ì:ÁDÂéÐ1É£Ï1ÉcÒu‚ÃɛÄYÅ|ɛÁFË'ȝá6ÆyÇT× É"҈ÍkіɧɀÒ|ÌzÉcÂ,Å|҈ÊRɛÅ|Ìzˈ‚ɛÉB΀ѱ҈Ì:‚ÇTÏ\ÉcׁׁÆFňÅ|Æ1É\Â1ÒfˈËcÆFÔ§È:ÐàªÌz‚΃Ï-҈ØTÒ|Áy͂È:ÉtzÃ1È:á‘Æ–ÒˆÎcÍkÁFÉÈ;ÓÖë»ÁDÌ:ÉcÐFʧÉXÁyÒuÂkÃÂOÄTÉBÄ‚Ë ÅˆÆyÆ1×;ǂÈ:҈Éc͂Ê*ÉRׁÌ8Å|ÒfÆFË«Â,ɛÈ8Òf×uË Ô Å|ۂÎf؂ÍkÆ1‚ÁFÅ-Å|‚Á1ɀÌ:‚΃݂҈ϣÁyɛÊRňÎfÌNÍkĂ˫ÁF҈È:ÉFÌNÅ|ÎcÁ1áªË=΃Ì8Ò|і×XÉcÆ Å|ÒuÌ:Ó;‚˫ÆF҈ưÌNÒ^Î ÈzÆÉc ΛÅf×mÒ΀Π؂ ňÅ;Áy؂ÁnÂkÂkÒIѧ‚҈ÌzÁ£ÂkÍkÏ°ÉcňÌ:Ì:Å¿ÏFÎfÍ,ÆnÍk҈ӻÁFÊRÅ|ÂÁ1Æ,΃ÌzËuÂRÒ|Ò;ÉcÒ|ÎcÅ|͂Ì:ÆFË«yÉÂ,҈҈ÌNvkÎcÌ:ÂÆnËtÓ2؂ÌzÆFÂ,ÜkØT҈ÉcɛË^ÈNÅ|Ñ®ÎfˈÍkɛá1Áy΀҈қ͂ÂkáɛÏFÃXÉÁÌ:Áy¬È:Å|ɀÉ×mÉcÒÂ,ÁyÒ|È:Å|ÓÖň؂Æ1ÁD‚Ä,Âà Ë6Ì:‚Äk ÅfÏèÁFÎcÅ«Ñ Ë«Ò^͂ÆFƖӻ×&ÎfÌzÁ âèÈ:YÎcÇTÓÖÆFÉÊRÁDÐF΀ĂÉFÅ|Å|ɛáɛÁnË|ÁéÒ|˫ɛÌ:ÆFÅ|Ñ®ÌzÂÔ=Ï1Í,ë»ÆF҈ÅIɛÊRÊÉcݖÆ1Ì:Ë«ÄkÂkÒ"ÁyѬÂkÅ|҈ˈÌ:ÍkÏFÌ:ÆFÍ,Áy ÒÒ ×AÁyÂ-ÕÖÆF×6͂ÉÖÎfÍkÜkÁFÅfÅ|Ë«Á1ҿ΃Ëu҈Ò|ɛÉcňÄRÌN˫҈Ìz¬ÌNÎcË›Ñ‚Ô É€ÒˆÉ›ÅˆÊRÌ:‚Ì:‚Ï'҈͂ɻÅ|ɛˈ؂Èz҈Ì:Â‚Ï ÓÖÁDÐFÉÖÄkÁn҈҈ɛňÂkËIׁÆFÅ^ÁyÈ:‚ÄYÆ1Ë|Ë«Ì:ǂÈ:ɻӠÁDÐ1ÉÖÌzÂ,҈ɛÅ|Á1΃Ò|ÌzÆ1ÂkË=Ì:ËI҈ƎіÉc҈ÉcÅ|ÊRÌzÂkÉ Ó»Ì:Â1͂Ò|ÉcÌNÎfÅfÍË«ÉB΃ÓÖÒ|ÁDÌzÆ1ÐFÂkÉ\ËÌzÂ,Ì:Ë҈ɛÒ|Å|͂ˈɧɛ΀ˈ҈Ú,Ì:ÆFØkÂkÁFËňÉÎcÁFÆyÂ2×;҈Á1͂΃ÉR҈ØTÂÁy؂È:Ê£zñÇYƖÉcÅ ÎcÎcÆF؂×;ÅRÓÖÌz°ÁDÐFèÁÉBË vk ÆnùyÓ ì ÜT ÉcÈNiÑ®£GÔé£ Ôæû°òĂÆnӠňÌ:ÉcÂkÐ1ÎcÉcÌzĂÅBÈ:áYÉFÂká^Æy҈Ҏ͂É-ÁyÈ:IʧÆyÁn×;ݖ҈Ì:ʣ͂ÉB؂˫ÊÉRÓÖÆFÁD×LÐFÄTÉ£Æ,Ì:ˈÂ,ˈ҈Ì:ɛǂÅ|ÈzÁ1É"΃҈ÓÖÌ:ÆFÁDÂTÐFÉË Îc ÁFÂÎcƖÁFÎcÂ\΀Øk‚ÅLɛÐFÌ: ɛŻÁ§ÌzÂ,ň҈ÉBɛÁyÅ|dÈ ËˆÉ›vk΀ÆnÒ»ÓɛÁFÜTÎfÉcÍ\ÈNÑ®ÆyÔÒ|͂æßÒÉcÅBׁÆ1Ô Èz:ÆnÓË»Ò|ÍkÁnÒLÆ1‚È:à ù ÎcÁF‘ÔۂÆ1Åɀ݂ÁyÊRĂÈ:ÉFáTׁÅ|ÆFÂ,Ò|˻ӻÌz҈ͭňɛÈ:Áy҈Ì:ÐFɎÐ1ÉcÈ:ÆÎcÌ8ÒuÃt×AÁyÊRÌ:Èzà Ä҈‚ÍkÅ|ÉɛË|ÕÖ΀ ͂Å|ùRÌzÉ ÇkÁDÌzË«Ðn‚ÉBÁFϣ΀ÌzÆFÈN҈ÁyÂTÍ‚Ç‚Ñ ÉÈ:ɎËuÈ:Ò|ɀÓÖÉc×mқĎÁDá–ÐFÌNÅ|ˑÉÌ:ÏFÒ|ÒuƪÍ,ÃÒ ÄTіÉBÉcÁFËL҈ÂkɛѬÌ:ň ÊRÊR΀Ì:ÌNÆ1‚тʣÉ^іÒ|ǂÈ:͂ÉÌ:ÂkÉ;ÓÖÁyÅ|ÁD҈ɛÐFÌ:ˈÆFÉ؂ÂÈzÒu҈Ã,Ó»Ì:‚ÄYÌzÏ҈ÉÍÓÖÆyבÒ|ÁD͂ÐFÒ|ɣ͂ÉIÉ ÄkÅ|ÉcÁyË«ÈNÆ1Ò«ÁnÒ|ÈzÒ|ؖÉcÌzÅ|Ð1Ò|ÂkÌzÉ Æ1ËU¬ÐFÆFÉc×kÆyÈ:Ɩ×UÁy΀È:҈1Ìz͂ÒuÄYÉ'ÃtÆ1È:Ë|×AÆÁFˈΛÌzÊRǂÁyÈ:È&ÌzÉ^È:ÃFë»ÓÖÔÌ:ÉcÁDÀʧÐFÉ^Æ,ÁyËuÌ:‚Â,ÒªÂ\҈ÆyɛĂ×IÅ|Á1Å|҈ÆF΃Ík҈ǂɛÌ:È:ÆFˈÉcɎÂTÊ ËcÓ ÔUÎfÁDÕÖ͂Ð1ÆÍkÉ'Æ,Ì:ÒuËiË«ÃÌ:Ìz‚ÄTÂTÏ ÉB΀ËLÈ:ׁØkÅ|ÎcіÆFÁFÉ›Ê Â Ë ÇYÎfÍkÉLÁFÂÅ|ÏFɛÉBË|˿΀Å|Ì:Â,ÌzÇY҈ɛÆRÑRÁXÇYÎcɀÉcׁÂ,Æ1҈ňɛÉň˫ÉBÆ1ѬÈzÐɀÌ:ݖ‚ÄkÏ ÁFÒ|Âk͂ˈɪÌzÆ1ë»Â¬Ì:×AÉcÁyʧÂ\ÁFÌ8‚×iÂ¬ÒˆÍ‚Ä‚É Å|ÆFˈǂÆFÈ:È:ؖÉcÊ-҈Ì:ÆFÔ=Â\ÕÖÆy͂בÉLÒ|Æ1Í‚Â‚É È:Ãë»Ì:ÉcÉc݂ʧ΀ÉcÁyÂ҈Â"Ì:ÆFçÅ|ÆFÌNË^ǂÒ|È:ÉcÍ‚Ê ÉªËˆÄk͂ňƖÉBÎfˈâXÎcňÓÖÌ:ÇTÁDÉBÐFË;É1ÁXáFÇYÅfɛÁyΛÅ|ÁyɀØk×AÁFˈ΀É҈Ò|Ì:ÆF͂¬Ì:Ë;ÓÖÓÖÁDÁDÐFÐFÉ1É Ô ÆyÁn×Ò ÌzÁyÒ|ÕÖÂ0ËX͂ÌzÓÖÌNÂ,Ë ÁDÒ|ňÐFÉcÉBÅfɬ˫ÁF؂і΃ÈzÒ|ÃÒ|ÌzËÖÂkÆ1­ÁFÌ:Â-ÊÁyÁXÌNÅ|ÎcÉ£ÓÖ˛ÔÌNÁDˈÐFÉcÂ,É҈ÌzіÅ|҈ÆFÃÍOĂÂkÒ|ÌNÁyΎ͂ÊRÌNÆ1Ë£ÌNŪÎcÓÖË ÄYÁDʧÆ1ÐFË|ÁnɬˈÒ|ÌzǂňіÌzÈ:ÃÝ\Ã-ÂkіÁF‚ÉBÊRÆFˈ‚ÎcÌ:ΛÞrňÌNË£Ì:˫ǂɛʧÌ:Â,‚҈ÁnÏ£Å|Ò|ÆFÒ|ňĂ͂ÌzݱÌNÉ'ΎÌ8ĂÒRÇYÍɀÎcÖׁÁyÆ1Ë«ÂOÌNňÎcÉRÁFÇYÈYË«É\Æ1ÇYÈzтÉcÐÍTɀÌ:‚҈ÁDɛϬÐ,ňÌ:ÊRÆFÒ|͂ÅÖÌ:É‚ÆFɛ×UÈzÑéƖ҈ÎcÍkÓ»ÁF^É È6͂t¿ëɀÒ|؂Ìz͂ɛÈ:ÉcÊRÉcÅÖÅXÁFɛ҈‚Ú,͂­ØkÉ\ÁyÄkӠ҈ňÌ:Æ1ÁDÆFÐ1ǂÂkɛÈzˠɛˎÊ-Ì:ÂtÎcԎňÒ|ÉBÉcÕÖÁnÅ|Ò|ÊR͂ɛÌ:Ñ ËË â‚ÆnÓ»È:ɛіÏ1ɪÍkÁ1ˠ҈ƧÇYÉ'Ò|ÁFâFÉcÂ"Ì:Â1Ò|ƧÁFÎcÎcÆF؂Â,Ò»Ì:Â-ˈÆFÈ:ÐÌzÂkÏ£Ò|Í‚É ÈzƖΛÁyȑë»Ì:ÉcʧÁyÂkÂ"ÄkňÆ1ǂÈzɛʧËcÔ 

'

)(

*wç

émë2ì)+,ì.-ýî/qó%&0 ïpì#"5ó

æûÕÖÂ͂ɛÁ ňÉc˫ׁÒ|ÆFÁFÅ|ÂkÉFтá&ÁFÓ»Å|ѱ͂ɀë»Ò|͂Ì:ÉcÉcʧÅ'ÌNÁyË«ÂkɛÂéÂ,҈Å|ĂÆFÅ|ĂÆFÌNǂΣÈ:ÉcÆ1Ê-ŪáiÂk҈ÆF͂–É\ÞßÌ:ˈӠÉcÁDÂ,Ð1Ò|ÉRňÆ1ÒuĂÃ,Ì:ÄYΣɛӠˣÁDĂÐ1Å|ɛɛ˪ˈÉcÁyÂ,Å|ңɣÌ:ĂÂOÅ|ɛ҈ˈ͂ÉcÉ"Â,Ò'Ë«Æ1ÌzÂ0Èz؂҈҈͂Ì:ÆFÉRÂéˈÆFÁyÈ:Å|ؖɧ҈Ì:‚ÆFÆFÂ0Ò£Ì:âË'‚іÆnÉcӻ҈ÉcÂOÅ|ÊRÇTÉcÌzÂkׁÆFɛÅ|ÑÉtіˈ؂ÆFÅ|È:Ð,Ìz‚Ì:‚Ï\Ï ÒˆÍkÌzÒ›É Ô ÌzÌ:҈Â1ÉcÒ|ÅfÉcÁnÅfÒ|Ë«ÌzÉBÐ1΃ɣÒ|ÌzÆ1ˈÆFÂOÈ:ؖÄT҈Æ1Ì:ÆFÌzÂ, ңÄkÆFň׻Ɩ΀҈ÉB͂ˈÉ"˛Ԫ΀؂ÕÖÅ|ÍkÐFÉÉBË ë»ÅˆÌ:ɛÉcĂʧÅ|ɛÁFˈ‚Éc Â,҈ĂÌ:‚Å|ÆFÏ-ǂ҈È:ÉcÍkÊ ÉtÈ:ΛɀÁy×mÒ ÁFÇYÂkÉѱˈÆFÒ|͂È:ÐFÉtÉBÑ-Å|ÌzÏ1Ìz­Í,Ò£ÒˆÍ‚Ó É ÁDÐ1ˆ ÉFá ý ÔÞßË«ôÒ|ÁyÆ1҈–ɣÞßÌ:ˈˈÄkÉcÂ,ÁF҈ÎcÅ|ÉFÆFÔÄkÕÖÌ:Χ͂ˈÉ͂ˈƖÆFÎfÈ:â­Ø–Ò|ÓÖÌzÆ1ÁDÂÐFÉBÌ:˪ˎ҈ÁyÍkÅ|ÉÉ Åˆ|Écá ýĂÞßÅ|˫ɛÒ|ˈÁyÉc҈Â,É'҈ÉBË«ÑtÄkÁ1Ç΀çÉ1ÔIÒ|͂æûÂ\ɎÏ1òÉcØk‚ÏFɛÆFÅ|ÂkÁFȝÌzÆFá‚ÒLˈÆF΀È:؂ÐÅ|Ìz‚ÐFÉÏX҈ £Ík ɎÁyë»ÂkÌzÑ"ɛʧÌNË«Áyɛ‚Â1Â-Ò|ňÆ1ĂĂÅ|ÆFÌNΪǂÈ:ÓÖÉcÊÁDÐFÉBňËÖÉBÚ1ÁyØkÅ|ÉÌzÅ|ɛÅ|ËÖÉcÄkÁyňÂ"ÉBË«Ìzɛ҈Â1ÉcÅfÒ|ÁnɛÒ|ÑtÌzÆ1Ç,Â\ÃtÄk҈ň͂ƖÉm΀ÉB¥=ˈÆ1˛Ì:Ô Ë|ˈÆFÂ\Îc؂Å|ÐFÉ  ú  ÌzÂ"҈ÍkÉ ÇYÕÖɀׁ͂ÌNÆFæûË^Å|±ÉXÌ:ÊRÆFˈ؂ĂÆFŎÈzÈ:Ì:ÐɛΛÌzË¿ÂkÁFÏt҈ˈÍTÉFÌzáiÁnқҿÌzԎ±ׁÕÖÆ1ÏF؂͂ɛÅ;ɛ‚ňтÉcÉcÅfÌ8ׁÙ&ÁyÆFÉcÈrÅ|á®Å|ÉFÉcÒ|áTÂ,͂҈Ò;ɧ͂ë»ÉÓ Ì:ňÁDÉcɛÐ1ʧĂÉÅ|ÁFɛÒu‚ˈÃ,ÂtÉcÄYÂ,ˈɛÒ|ÆFˎÁyÈ:҈ÐFÆyÌ:Éc׿ÆFÅfÂÒ|Ë=͂ÍkÆyɧ׿ÁDÐ1ׁ҈Å|ÉÖ͂ÆFÉ҈Â,ƎÒ|Ó Ë ÇYÁDÎcÉLÐ1ňɛÌ:ÉBÊRËLÁnÒ|ÌzĂ­ɛÈzÑɛ҈ÊR͂ÁnÉcÉÒ Â,ˆÒˆÒˆÍkÉBá ý ɬѬÞûË«ÈzÁyƖÒ|ÂkÁnΛÑRÒ|ÁyÉXÈ^Æ1ˈ‚ë»ÄkÉÌ:ÁFÉcÆFÎcʧ׮ÉXÁy҈Λ͂ÂkÁyÉB ˫ÉÄkÇYňÍTÉÆ1ÁFǂÎfËIÈzÍkɛÒ|Æ1ÊƎˈÉcÇYÂ2ÁFɪňÉRˈ„ ÉcâÈ:&ɛ‚oƒÎƒjAÆnÒ|snɛӻoƒÑ®ÂjmÔá Éc΀ÌzÆ1҈ÊRÍkÉcĂDŠň ÉBˈ ËˆÌ Ì:ÆF҈­ÍkɎÁFÂk‚ѭÆFÅ|ÇʧíÁyÁgȑ뻥=Ì:ÆFÉcÌNʧË|Ë«ÁFÆ1‚­Â΀˫؂Æ1Å|ÈzÐFÐ1ÉÉcÅ»Ìz× Ì:Â"ÌzÒ Ó»ÅˆÍkɛĂÌ:ÎfÅˆÍ ÉBË«ÁRɛÂ,ÓÖÒ|Ë'ÁDÐFÁyÉÂ0Ì:ËɀݖňÄkɛĂÁyňÂTÉBË«Ë«Ì:ɛÆFÂ,‘҈á®É›Æ1Ñ\Å Ç Ã\Ì:  Á§Ò|òL͂؂ɧÏFÌ:Æ1ˈÉc‚Â,ÌzÆFÒ|ňÒLÆ1΀Ă؂Ì:Å|ÎXÐFë»É'Ì:ÌzÉc×IʧÌ8ÒLÁy‚Å|ÉcÂOÄkňˈÉBÆFË«È:ɛÐFÂ1ɛÒfŪËÖÌ:ÂÁ ӻ͂ÌNÎfͧÇTÆF҈ͬÓÖÁDÐFÉBËIÁyÅ|ÉÅ|ÉcĂÅ|ɛˈÉcÂ,҈ÉBÑÇ,sà ¥=ÆFÌNË|Ë«Æ1ÂÎc؂ňÐ1ɛË^ÁFÂkѧӻ͂ÌNÎfͧÍkÁ1Ë¿Áy¬ÁFÂkÁyÈ:Ã,҈ÌNÎcÁFÈkË«Æ1Èz؂҈Ì:ÆF‘á1ÆFÅ  Ìz:Ì  ÁŽë»Ì:ÉcʧÁF‚ 1

Qj:7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

ÇˈÆFìÈ:ÐFÉcÕÖÉcÌz҈Åi͂ÍkÌzÉ¿ÂXÉcÎcÅLÓ»ÆFÁRÊR͂òÌNĂÎfؖØkÍ ÒfÏF҈ÁnÆF͂Ò|ÂkÉ ÌzÆ1ÌzÆFÈ:ÂkɀÒÖ×mÁyÒ=Æ1ÈFÓ Å҈Ì:ÁDÊÁsÐ1É;¥=É^ÆFÆyÌ:ËiזÌNˈÒ|ÌNˈ˫͂ÆFɛÉ^ÂtÂ1ׁÒ|ÎcÅ|ňÆF؂Æ1Â,Å|ĂÐFґÌNοÉ'Ò|Å|ÁyÆFÁ1ÂTÅ ÎfÑ â, ÌzÌ:ňЂɛϻĂÈ:Å|ÊRÌzɛâ1ËˆÉ€É ÉcÒ|Â,͂ ҈ÌzƖ:ÉBÌюÑ' ÌNǂÇ,ËUؖà іһÆ1ÁeÊRÒ|¥=͂ÌzÆFÉ ÂkÌNÁyˈÆyˈ҈Ò|ÆFÉBÍ‚Ñ ÂŽÉcÅ»ÇÎc؂ÃÓÖňÁDˈÐ1ÆFìɿÈ:ÐÁyÁyÌzÅ|ÂT‚ÆFÑ Ï؂҈ÂT҈ÍkÍ‚Ñ®É¿É Ô Å|ë»ÌzÏ1ÌzɛÍ1ʧÒ6Ó Áy‚ÁDŽÐ1É^ÄkÌNňËUÆ1Å|ǂÉcÈzĂɛʧÅ|ɛËcˈÉcÔUÂ,ÕÖÒ|ÍkÉ›Ñ É Ì:Ó»Â1͂Ò|ňɛƖ¬іÁyØTĂ΃Ă҈Ì:Å|ÆFÆFÂ\ÄkňÆyÌNבÁnÒ|Ò|ÉÖ͂ÉÞiÓ Ì:¬ÁDÁ Ð1ÉĂÒuÍÃÖÄTË«ÉBÌNÎcË ÁFňÈzÉB:ÃXіØkÎcÆF΀ÉBÂkË^ˈÌ:Ò|˫͂҈ɛÉ'Â,Âҿ؂ӠʣÁDÇYÃXÉcÇÅÖÃXÆy×iÌN˫‚ɛÆFÂ,–҈Å|ÞßÆFÌN˫ĂɛÌNÂ1λÒ|΀ňÆ1Æ1ÊĂÌNÄkÎň΀ÉBÆ1ˈÊˈÌzÆ1ÄkÂRňÉBӠˈˈÁDÌzÐ1Æ1ɛ¬˛ÓÖÔiÕÖÁDÐF͂ɛɛ˿ňÉcÇׁçÆFÅ|ňÉFɛánĂÒ|È:͂Á1ÉL΀Ì:‚ÌN˫ώɛÂ,Ò|҈͂Å|ÉcÆFÊ Ä‚ÌNÎÞ ëÌz»ÒˆÉcÌ:ÉcÅfʧÁnÒ|ÁyÌzÆ1ÂkÂkÂË'ˈÄYÆFÉcÈ:ÐFţɛë»Å Ì: ÉcÌzʧ á‘ÁF‚ӻ±ÍkÌ:ĂÎfÍňÆ1ÍkǂÈ:ÁFÉcË'Ê ÁFÂ0ÌNË ÁyÅ|ÂTɛÁyіÈ:ØTÃ1΀Ò|ɛÌ:ΛѱÁyÈIÎcÆFˈÆFÊRÈ:ؖÄk҈ÁyÌ:Å|ÆFɛ‘ѭá‘ÒˆÎ›Æ ÁyÂ0Á-ÇTË«ÉRÒ|ÁFØkÂkˈтɛÁyÑ0ÅfÑ­ÊRׁÆFňÅ|Æ1É£Â1Ò Æy×mÒ|Ò|Å|ÉcÁ1‘ÎfÔ§âÌz÷‚ÆTÏ-á&ÊR҈͂ɀɧÒ|͂ÁDƖÐFѮɛÅ|Ô\ÁFÏFÛkɎÆFŎÂ؂ë»ÊXÌ:ÉcÇTʧɛÁFÅ'‚ÆyÂ × ËˆÆFÈ:ÐFÉcÅfË  Ì  á  Ìz:Ì  ÁyÂkÑ  Ì:Ð  ÁyÂ"É ¬Î€Ì:ÉcÂ,ÒÌz҈ɛÅ|Áy҈Ì:ÐFÉ ÁyÈ:ÏFÆ1ňÌzÒˆÍ‚Ê ÌNË»ØkˈɛÑ"ˈÌzÊRÌ:È ÁFÅÖ҈ÆR҈ÍTÁnÒіɛË|΀Å|Ì:ÇTÉBÑ\Çwà t¿Ê§ÁyÂ؂ÉcÈrÔ ´–´–´kµ ׏ØSÚ¶ e¼ Ûãڑ¸k¾«½ à £ ¸ Ú ¼ u· ؂ӻÂkÌ:‚˫҈ϧÉBÁFË«É;ÉBіĂ΃äà ҈Å|Ì:ɛt¿ÆFˈÂT؂ÉcÂ,ËcÈ:ÉcÔÒ6jÅ Â,vkØkÆnÊÓ É›ÔIňÌNÕÖÎcÁF͂È1É'Å|ÆyɛˈÒ|؂͂ÈzÉcÒ|Å ËUÒuׁӠÆFÅiÆ҈ÁF͂ňÅ|É'ÉcÉ;Ë«Øk҈ÉBÄTËuɛÒ=Å|ĂˈÆFÅ|‚ÆFǂÌNÎLÈ:ÉcÒuʧÓ;ÆF˛ÔiÞßіÕÖÌ:ÊR͂É;ÉcÂkÜkˈÅfÌ:ËuÆFÒ6ÂkÆFÁF‚ÈYɠ˫҈ÌNËiÉBÁFSÁ іvkäà Ænt¿ÓO؂ĂÈzɛÅ|jÅÆFǂvkÈ:ÆnÉcÓÊ ËÖÓ»ÁyÌzÅ|҈ÆFÍX؂ÆFÂk‚ѬÉcÞßÒuіÓ;Ì:ÆRÊRіÉcÂkÌzÙYˈɛÌ:ÆFňɛÂkÂ,ÁFÒ È 2

3

54

76 84 96

(

æèçêémë2ì;:/0*î óiðúíoîGïìèðiì¤óiðsò<"=%>:/0*ì#-

ÖÌ:Õ Â‚Í‚Ì8Ò|É Ì:ÁFÇkÈ8ÞßÈ:ÇYÁ1ÆFËuÒt؂ÂkÓÖÑkÁDÁyÐFÅ|É"ÃtÒ|ÐnɛÁyË«È:ÒtØ‚É Ä‚Å|ĂÆFÅ|ǂÆFÈ:ǂÉcÈ:Ê ÉcÊÆyÌ:× ËLÌ:тÆ,ɛÁyƖÈ:іÃ\ÓÖÁyˈÅf؂ÑèÌ8Ò|ɛÁyÑ"ÂkÑ Ò|Ƨn;ÌzÂÆ1ÐFÈz:ÉBÉcËuÈNÒ|Á Ìzå Ï, ÁnÒ|ÌNÉ'Ët҈΀͂Æ1É ÂkˈÄYÌ:ÉcіňɛׁňÆFÉBÅ|Ñ®Ê§Ô ÁyÂkÕÖÎcÍ‚É Ì:ËtÆy×^ÆFÁR‚ÉcÂÞß؂тÊRÌzÊRÉcÉcÅ|ÂTÌ:Λ˫ÁyÌ:ÆFÈ®ÂkÊRÁFɀȻÒ|͂؂ƖÂkÑ˫҈ÉBÓ»ÁFÌ8іÒ|Íà Å|Ì:Â1ɛÒ|ˈÉcÄTÅfÉBÁF΃΀Ҡ҈Ì:҈ÆFÆXÂkÒˆË›Í‚Ô ÉňÉBË«Æ1Èz؂҈Ì:ÆF¬ÆF×iËuÒ|ňÆ1‚ÏXˈ͂ƖÎfâRÓ ÁDÐ1ɛ˛á1ÉcݖÄkÁyÂkˈÌ:ÆF§×AÁFÂkË;ÁFÂkÑtÎcÆFÂ,Ò|Á1΃һіÌNˈÎcÆFÂ,҈Ì:Â؂Ì8Ò|ÌzÉBË;ÁFÂkѧÒ|͂ÉcÌ:ÅÖʣؖÒ|ØkÁyÈ ÉcÂTтÕÖËcÔI͂æûɪÂkÆFÌ8Ò|‚Ì:ÁFÉcÞßÈz:іÃFÌ:á–ÊRÒ|Éc͂Âk^É ËˆvkÌ:ÆF؂ÂkÌNÑ"ÁFÈTÌ:ˈ˻ÄkтÁnÌzÒ|ÐÌ:ÁFÌNіÈYɛіÑ"Æ1ʧÌ:Â1ÁyÒ|ÆÌ:¬҈Ík͂Å|ÁFÉcË;É Ø‚Ø‚Â‚ÂkÌzÒÖÌ8ׁÈzÆ1É›ÅˆÂ‚Ê ÏyÒ|тÍtqÆFÁyʧÂkÁyѬÌ: Âk҈͂ËÖÉeÓ» vkÌz҈؂Í-ÌNѧøcɛÌNˠňÆRÉcÂkÐFÎcɛÈzÈzÆ,Ɩ˫ÎcÉBÌ8ÒuѧÃ1á–Ç؂ÃR‚Á£ÌzÒLňÉ/іvkÉcɛÂk΀ˈ҈ÌzÌ:Òu‚Ã\Ï£ÁyÓÖÂTÑtÁyÈ:TĂÁyÅ|ɛҠË|ÇYˈ؂ÆyňÒ|ÉÍ ?(

@A

ˆ 

B AC





 G 

 ^q    q   D D 





  

ˆÒÅ|ۂÆnÉÁÅ|vkÓÖÆFÉBÊ Áy΃ÅfқтáT҈ˣ͂˫ØkÉB҈˫͂ÎfÉ Í\Éт҈ÎcÍTÌ:ÉcË|ÁnÂ,΀Ҫ҈Æ1ɛÂ1ÁFÅXÒ|Èz&ÌzÆFÂÒ|×L؂͂Ìz҈ɛ҈ÍkˈÌ:ɛÉ^É-ËtvkтÌzÆnÆFÂ°Ó Ê§Ò|ÁyĂ͂Ì:Í‚É Â2ÉcÌ:ÂkÁF‚ÆFÂkÌ8ÊRÒ|ÑOÌ:ÁFÉcÒuȪÂkÓ ÁÎcÆÆFÌ:ÂkÂ,Îcі҈ÉcÉcÌzÂ,҈Åf҈Ì:ÁFÆFɛ΀ňÂUÒÉBá;ÑéÓ»ÒuÌ8Ó ÉcÒ|ÝÍ-ÆOÄTɛÁyË«ÁFÍkÂkÎfÆˈÍ"ÌzÎfÆ1â2ÆyÂOÒ|Ӡ͂×AÁyÉcÁDÂTÅLÐ1ËRɛÌzÂ"˧ň؂ÁF҈ÍkÂÂkÉ Ñ2҈ÌzÆnÂ,ÒuÓÖÓ;҈ɛÁyÆOňÅfÌ:тÆF΀ˣÆ1Å»Â,ÆF҈Ò|͂×iÁFÉ"Ò|΀͂ÒtÓ É^іÁFvkÌNÈzˈNÆnËRÎcÓ ÆFÁnÂ,ÒRі҈ÆFÌ:Ó»Âʧ؂͂ÁyÌ8ÌNÒ|ÎfÌ:Ìz‘ÍÉBԿ˧Ò|ÕÖ͂Å|؂ÍkÉcÂÃ É Ì:˫‚҈Å|Ì8Ò|ÆFÌ:‚ÁFϧȑÁyіÂkɛÑtÄTɛÇTÂkÆ1і؂ÉcÂkÂTт΀ÁFɎňÆFç×iÎcÒ|ÆF͂ÂkɎіÁFÌz҈ΛÌ:΀ÆF؂ÂTÅfË;ÁFÆFÎc×UìÒ|Æy͂×6Ì:Ë;҈͂Ò|É›É Ë«ÆnÒÖÐ1ÄkÉcňÅfÆ1ÁyǂÈ:ÈzɛvkÊ ÆnÓ ÍkÁDˈÐFÆFɪÈ:ؖÇTÒ|ÌzɛÆ1ÉcÂ\Â-Æ1ÎfÂ-͂Æ1Á1ˈÎcÉcÎcÂ\؂ÌzÅ|Â"Áy҈˫ɛØTÈzìÎfÍ\Å|ɛÁXˈÆFÓ È:ÐÁDÃÌzÂk҈ÏXÍTÒ|Án͂ÒÖɎ҈͂іɛÌNˈìÎcÆFÌ:ÈzÂ,:Øk҈Ì:Ë«Â҈؂ÅfÁnÌz҈҈Ì:ɪɛ˻҈ÍkÌ:Â É ÒˆÍkÉ^ÕÖvk͂ÆnÓ$É»ÁFÜkΛɛ΀È:؂ёÅfÔ ÁFÎcÃ'Æy×kÒ|͂ɠׁňÆ1Â,ÒiÒ|Å|Á1Îfâ,Ì:‚ÏÊRɀ҈ÍkÆÑÎcÁFÂXÇYÉÖÌz  vk؂ÉcÂT΀ɛÑÇà ĂÅ|ɛË|΀Å|ÌzÇkÌz‚Ϫ҈ÍkÉ ÐnÁFÈz؂ÉÖÆF×YˈÉcÐFɛÅ|ÁFÈ,ÎcÆFÂkË«Ò|ÁFÂ,Ò|Ë›Ô Û6ˈÊRÌzÅfÁF˫қÈz:á1Éc҈ſ͂҈ɪÍkÁFÌ8Ò| ÉcÅf Án ҈Ì:‹ ÆFñyÂRÔIׁ÷–Æ1ɛÅ;΀ˈÆ1ÆFÂkÈ:іÐÈ:ÌzÃF‚á–ÏŽÁŽÒˆÍ‚ÓÖÉÁDÐFë»É»ÌzɛÌNʧˠ‚ÁyÉc‚Ï1¬ÈzÉBÄk΃ňÒ|Æ1ɛǂѧÈzɛÌz×‘Ê ÒˆÍkÌNˠɪËuÎfÒ|ÍkÆFÁFÂÄYÏFɛÉѧÆFÌz××®vk҈ÍkÆnÓɪі΀ÌzÆ1ÙYÂkɛіňɛÌz҈ÂkÌ:ÆF΀ÉLÂkË;ÇTÆnÉcÒuÐFÓ;ɛÅ;ɛÉcÁ£Â§Ó Ò|ÁD͂Ð1ÉÉ»ÒuÓ Ì:ËÖƎˈÊRĂÅ|ÁFɛÈzË|:Ë«ÉcØkſň҈ÉBÍkËIÁFÌ:Â Ë ÆF΀ɛÂkÂ,ɬ҈ÉcÄTÅ|ɛɛÅ|ÑXÎcÉcɀÂ,ݖҎÄkÁFÒ|Æ­ÂkˈÁDÌzÆ1ÐF£Æ1Ì:×AÑ0ÁFÂňÉBÌNË«Ë6Æ1Ò|ÈzÁFÐâFÌ:‚ɛÂÏÎcʧÆFÂkÁyÂË«Ò|ÃÁFÂ1ÌzÂkÒBˈÔ6Ì:ÕÖÏF‚ÍkÌzÌ:ÜTËIÎcÂÁF؂Â,ÊXҎÇTӠɛÁDÅIÐ1Íkɛ˛ÁFÔ"ËIÁ'Û6Ì:ʧÂkÁyWÁ È:ÕuzÆFÃ1Å=á6Ìz҈  ͂vkɬ؂ÉcÂÂT؂΀ÊXÉ»ÇTÆFɛÂÅ£Ò|ÆF͂×ÖÉÓÖÁFÁDΛ΀ÐF؂ÉBË'ÅfÁFÓ»Îcà ͂ÌNÆyÎf×kÍéÒ|͂ňɛÉLĂˈÅ|ÆFɛÈ:ˈؖÉc҈Â,Ì:ÆFҎÂUÁ Ô £ û æ   k Ü F Ï k Ø ˆ Å É É҈›ÍkÚ,ÉtØkÁFÐFÈIɛ҈ÈzÆ–Æ Îc҈Ì8Òu͂ñɬÁyÏ1ÂkáUňÑOÌN҈Ѯ͂ái҈ɬ͂Ì:ËXÉ"ˈÆF˫іÈ:͂ؖÉcÆnÒ|ÂkÓ»ÌzˈÆ1ÌzÂ0ÂÒuñׁÆFÆFт×;ÅXÌ:Ò|Ë«Á ͂҈Å|ÉRіÌzÇk҈ÌNˈؖÉBÎcËu҈ňҎÌ:ÉcÆF҈ÄkÂÌ:ňø›Æ1ÁyÁnǂÒÒ|ÌzÈzÆ1ɛþ ÊÂ0šÆFÌ:×Ö ҈ ҈͂Écx ÉtÅ|-ʧÎcÌNÉcË ËXÂ,Æy҈ˈɛ͂נňÆn҈ÉBÓ»ÍkÑɧ±ɀӠݖׁÆFÄkÁDsÅ Ð1ÁyɛÂTx ËË« Ì:ÌzÆF±ӠÂÁDÒ|×AÐ1͂ÁyɛɬÂTË Ë ËˆÄYÄkÓ»ÉcÁFÅRÌ8ÎcÒ|ɀÍ΀Þrɛ҈Â1Ì:ÊÒ| ÉcɧÅ|ÓÖɛіÁDѱÆ1ÐFʧÉBÉcËcÝÁyÔ¬ÄTÌ:‘ÁyæûÂk±áUˈӻÌzÜTÆ1͂ÏF±ÌN؂ÎfÅ|×AͱÉÁy‘Ì:ú Ë Ô äÄY Æ1Ã\ˈÌ8ÎcÒ|ÆFÌzÆ1ÊRÂtÄkÆyÁy×®Å|Ì:Ò|‚͂ÏÉ҈Ӡ͂ÁDÉBÐ1Ë«É'ɛË^ÒuÓ ÌNË ÆRÐFɛÜkňÏFÃRØkňÁFÉBΛËÖ΀؂ӻÅfÌ8ÁnÒ|Ò|ÍÉFÔ6ňÉBæû˫¬؂҈ÈzÒ|ÍkËɛˈÌz ÉLÜkë»Ï1Éc؂×uÔÅ| ɛ Ë; Ó;á‚ɪÌzÒªÍkÎcÁDÁFÐFÂ-ɪÇTØkɣ˫ÉBÎcѬÆFÂkÁy±ÎcÈzØT„ і‚É›snÑ\pƒeß҈acÍToƒÁnjAÒsnoƒÒ|j^͂È:ÉŽÌ Â‚Ë«É›Æ1ÁFÈz؂ňÌ:҈ø›Ì:ÁyÆF҈Â-Ì:ÆFÌzÂtÂT΀˫È:҈ØkɛіÄtÌ:‚Ì:¬ϧ҈҈ÍkÍkÉÉ ÁyÄkĂôňÆ1ÆFĂ҈Å|ÌN΀Ì:Áyɣ҈É'҈Ík΀ÁyÉcÒÈ:NË Ò|͂҈ÉRƧ˫Å|Æ1ÉcÈzĂؖÅ|Ò|ɛÌzÆ1ˈÉc Â,Ò ÍkÁ1҈͂˪ɎÇYˈÉcÆFɛÈ:­ؖ҈Æ1Ì:ǖÆFÂ"Ò|ÁFĂÌz‚Ì:ɛÉBÎcÑÉcÓ»ÇÃÌNË«É'ØkˈÈ:ÌzÌz‚‚ÉBÏ-ÁyÁ¬Å|ÈzÃ1Ð1Ô ÉcÅ|Ã˫ʧÁyÈ:6Â,ØkÊ£ÇYÉcÅ'Æy×;ÎcÉcÈ: ËL҈Æ-іÌNˈÎcňÉc҈Ì:øcɣ҈͂ÉúvkÆnÓ ÑÆF–ÂkÆ1ÈzÊRà ÁF£ ÌzxÂRùÌ:£ §ÔUË«ÕÖÄk͂Á1΀ɻÉc΀ޝÆ1Ò|ÌzÊRÊRĂÉFؖá1Ò|ÂkÁyÁy҈ÊRÌ:ÆFɛÂkÈzÁFà È,ׁ҈Æ1Ì:ÊBÅ x ÉÖ ÌNË=ÓÖіÁDÆFÐFÊRÉBËiÌ:ÂkÄYÁnÉcÒ|Šɛ΀ÑXɛÂ1Ç,Ò|ÎÉcˈÅ|ÆFɛÑXÈ:ÐɀÌzÂkݖÏÄkÁF҈ÍkÂkÉÖË«Ì:ëÆFÂXÌzɛ×AÊRÁyÂÁF‚Ò|Â͂ɻĂ҈ňÆFÆ1Ò|ǂÁFÈ:ȂÉcʧÂ؂Ë6Ê£Ìz£ÇY҈Éc͂Å^ÉÖÆF×&Ì:Â1ˈÒ|ÄkÉcÁ1Åf΀˫ÉBɀ΃Þr҈Ò|Ì:ÌzÊRÆ1£ɻÄY΀ÆFÉcÈ:Ì:NÂ1ËIÒfÌ:ËcË Ô æûÌN˪Â\Æ1҈‚ÆyÈ:Òfà ÁyÈ  £Hi£¤áYù ÇTëÉBÌzÎcɛÁFÊRØkÁFË«ÉX‚Â"ʧĂÁyňÂÆ1ÃǂÈ:Ó ÉcʧÁDÐ1˿ɎÍTÌ:Â1ÁDÐFÒ|ÉcÉÅfÒ|ÁFÆR΀҈ÇTÌ:ÆFÉ Âkˈ˪ÆFÁyÈ:ÐFÅ|ɛÉXёіÔ6ÉBÕÖˈÎc͂ňÉ'Ì:ÇTÁDÉBÐFÑɛÅ|ÇÁFÃ-ÏFÉÒuÓ;Â؂gÆ ÊX¥=ÇTÆFɛÌNˈÅÖˈÆyÆF×U Ìz҈Îcɛ؂Å|Å|ÁyÐF҈ɛÌ:˪ÆFÂkË«Ë ÆtÄY҈ÉcÍkÅ»ÁyÒªë»Ò|Ì:Éc͂ʧÉRÁy˫‚Æ1Â"ÈzؖÒ|ĂÌzÅ|Æ1ÆF­ǂÈ:ÎcÉcÁFÊ Â ÇYɎіɀÒ|ÉcÅ|Ê Ì:‚ÉBÑ"ÁFÂkÁyÈ:Ã,҈ÌNÎcÁFÈz:ÃFÔ 

81

D

E

:7< k N

=289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

0.04

0.035

0.03

0.025

t

0.02

0.015

0.01

0.005

shock wave characteristic contact discontinuity piston path

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 x

0.6

0.7

0.8

0.9

1

²d³U´µ¤¶"G · Fʹ ü'Ç%·oÃ1ÄÂþµ¼7³UÄÅÔÆaÄG¶f¼?Ç%·m¼Ó'Ä|³þÅW¼·i¶"ÀW¿7¼?³cÅ%´|Ë ÂUÀWÃY¼SÓ'À G·iÃj¼·DÃY¼^¾Ê¶ÄË ÂZ·É ³þÅÿÃ1¾¤ÀW¿?·/м7³þÉo·MÄGË%¼ÀG³þÅ%·iÑ˽ä¼?Ç%·uÆ ¶"ÄÅW¼ ¼"¶"ÀW¿
¤³cÅ%´oÉo·/¼7Ç%ĤÑ|Óf³F¼?Çÿ¸HuÓBÀW·iÃj¾ ·D¶S¿?·Å5¼"·i¶"·iÑw·JI¤¾¤ÀGŤÃ³UÄÅ|ÆaÀGÅ

7

12

6

10

5

8

4

u

ρ

14

6

3

4

2

2

1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 x

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0

0.1

0.2

0.3

4 LKÁ-TF:/@1E )

0.4

0.5 x

0.6

0.7

0.8

0.9

= _ 
,D-1.D(>E )

²d³U´µ¤¶"·NM%¹sü'Ç%·eÃ1ÄÂþµ¼7³UÄÅoÆaÄG¶NÀ2¼7Ç%·NW·DÂUĤ¿/³F¼½oÀGŤÑO˼?Ç%·eѤ·ŤÃ³Z¼½uÄWƼ?Ç%·f¼ÓBÄm³þÅ5¼"·i¶"ÀW¿7¼?³cÅ%´MË ÂUÀWÃY¼BÓ'ÀW·Dü·DÃY¼y¾Ê¶ÄË ÂZ·É À¼PRQ NS N å O ÄGË%¼"ÀG³cÅ%·DÑä˽s¼7Ç%·^Æ ¶"ÄÅ5¼j¼"¶"ÀW¿
¤³cÅ%´sÉu·/¼7Ç%ĤÑ|Óf³F¼?Ç HoÓBÀW·iÃj¾ ·D¶f¿?·Å5¼"·i¶"·iÑw·JI¤¾¤ÀGŤÃ³UÄÅ|ÆaÀGÅ

Oj:7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

1

ç

émë2ìèóTdòBì#"5ó%>/!$Ôð7í%UV<W-ýì.;ó!%&2î0hóiðiì¤îV;ñYXZ%¤í[%¤ïpì#"äð7í% í W<\ óDì#$GðW%>2ó

æût^ŽØkÒ|Èzɛ͂ÅyÉ vk‚ÆnɀÓ[ÝÒ6ÁF҈ňɛÆ1˫؂Ò=ÂkĂÑtňÆ1ÁRǂÈ:Ó»ÉcÊ-Ì:‚áBÏR҈͂ĂɠÅ|ÆyÌzÜkÊRÈ:ÉFĂÔIÅ|ÆnÕÖÐF͂ÉBÑ'Émׁt¿Å|ÆF؂Â,È:ÉcÒUÅÖÒ|ɛÅ|Á1Ú,ÎfØkâ,ÁyÌ:҈‚Ì:ÆFÏÂkÊRËÖÉcÆF҈×i͂ÒuƖӠюÆyÌNÞûË=іÁyÌ:ÊĂÄkɛÈzÂkÌ:ɛˈÑ'ÌzÆ1Ò|ÂkÆÁyȮˈ؂˫҈ÄYɛÉcÁ1Åfі˫Æ1Ã|‚vkÌNÎIÆnÓ ÒuÓ ÁyÆyÅ|ÞûɪіÌzÏ1ÊRÌzÐ1ɛÉcÂkÂ"Ë«Ì:ÇÆFÂTà ÁyÈ1˫҈ÉBÁFіà ü { ü   ü  ÿ ü  H ý ý „ …… „ …… ý … … {   ÿ } }     ˆ ý ì     € €    ÿ ì ˆ † † ý ‰ ¤‰   Ó»Ó»Ìz͂҈Æ1Í ÈzÍÉ ý vkÁFÆnÂkÓÑ ÜTÉcÈNѮ҈Íkáɬ҈͂ÐFÉBɛ˫ÈzÉ'Ɩ΀ÉBÌzÚ1ÒuØTíÁnÎc҈ÆFÌ:ÆFÊRÂTÄTË Æ1ÁF‚ňÉcÉÂ,ÍÒfÃË ÄTÌzɛ  ňÇY ÆFÞªÈ:ÌÁyÎÂTÌ:Ñ ÂtÒ|͂ÞûіÍÉ Ì:ňvkÉBÆn΃ÓÒ|ÌzÆ1і‘Ì:Å|á‘É›Å|΃ɛÒ|ˈÌzÄTÆ1 ‘ÉB΃á‚҈ˈÌ:ØkÐFɛÎfÈzͬÃ1ÔtÒ|ÍkæßÁn×ÖÒL҈Á£ÍksÉ ×ÅˆvkÆ1ÆnÂ,ÓÒ Ò|ÌNÅ|ˎÁ1Îfˈâ؂ÌzÄY‚ÉcÏXÅfË«ÊRÆ1‚ɀ҈Ì:ÍkÎRÆÌ:Ñ"±Îc҈ÁFÍkÂ É ÇYÁyÂTÉÑØT҈˫͂ÉBÑ®ÉÔXÓÖÛkÁDÐFÆFÉÖÅÌ:҈Â,Ík҈ÁyÉcÒ ÅfÁFĂ΀؂҈Ì:Å|ÆFÄT§Æ,˫іÉÃÂkÆF‚ÁFÊÈ:ÃÌNÎcÊRË¿ÌzňÂkɛÆFʧŠÁyÎfÌ:ÍkÂXÁyÒ|Âk͂ÏFÉLɛ˪Ë|ÁyÌ:ÊR­ÉFÒ|Ô=͂ɧÕÖ͂ÁyÉLÈ:ÏFëÆFÅ|ÌzÌzɛ҈ÊR͂ÊÁF‚¬ÍkÁDˈÐ1ÆFɎÈ:ÐFÒ|ÉcÆ"ÅfË=ÇYÍkÉRÁDÐ1ʧÉÖÁF҈іƎÉ1ÇYá®ÉÇTÉBÅ|ÎcÉcÁyĂØTÈNÁFË«ÎcÉXɛ҈Ñ͂ÇÉRÃÓÖˈÁDÆFÐFÈ:ÐFɣɛÒuÅ|Ã,Ë6ÄYׁÆ1ɛËŠ҈҈ÍkƧɪіë»ÉBˈÌ:ÎcÉcňʧÌ:ÇYÁyÉ'Âk§҈͂ĂɎňÆ1ˈɛǂÎcÈ:ÆFÉcÊÂkÑ"ׁÆF΀Æ1Å¿Êˈ؂ÄYÄYÆFÉcÂkÅfÉcË«Â,Æ1һ‚Ì:Æyλ×6Òu҈Ó;͂ÆFÉ ÞßіÐ1Ì:ÉcÊRÈ:ÆÉcÎcÂkÌ8ÒuˈçÌ:ÆFÐ1ÂkɛÁF΀Ȃ҈ËuÆFÒ|ÅBÉ›Ô ÁFтuà vkÆnÓèÁyÂTѬÁyÂRɀÝÒ|Å|Á ÐnÁFňÌNÁyǂÈ:É»ÍkÁ1ËI҈ƣÇTÉÌ:Â,҈Å|ƖіØk΀ÉBÑ ÁÄYyÄkÉcňĂׁÕÖňÆFÆD͂Å|ݖÊÉ\Ì:ʧÉBňÑRÉBÁn˫҈ӻ؂Ì:ÆFÈzÌ8Ò|Ò|±ˣÍtׁÆyˈÆ1ɛ׻ţ΀Ò|Æ1Ò|͂͂ÂkɬÉ-ÑׁÆFË«Å|ÍkÆFÅfіÂ,ÁFÉcÒ£ÄTÅ;É"Ò|ÁFÅ|ÆyÎcÁ1×LÎcÎf؂â҈ÅfÌz͂‚ÁFÉ-Ï΀ÃXË«ÊRÍkÇÆÉcÃXÎf҈â±Í‚ØkƖˈÓÖÌ:Ñ‚ÁDÏ£ÁFÐFňÉBÁ'É\ËcÈ:ÔÌz΀ÊRÆFÕÖÊRÌz҈͂ÉcÄkÉ"ÅÖÁFÎcË|ňÎfÆFÉB͂ÑÊRÉcĂÊR҈ƭؖÉÒfÁÁnÆ1Ò|¬õÌzÆ1Á ƖÂkіˣ£ ؂ӻ‚ÌzÆn҈Ð,£Í2ÞrnÒuÞß҈Ã,ÏFÍkÄYÅ|É-Ì:ɬёõÊRԑƖۂɀі؂Ò|؂͂ň҈ÂkƖ͂ÆnÑɛÐ1ňÞrÁFÊRÒuÂkÃÆ1ÑOÄTňÉ\É1Áyá1ÂÊRÁ'ÁFɀʣ҈ÂkÍkØkÁyÆÈ:È8Ã,Ò|Ñ2Ìz҈Ï1ÌNÁyňÎcÅ|ÌNÁFÑ É È ÊRɀÒ|æû͂ÂOƖÑ\Ò|͂ÌNÉ"Ë»ØkÁFÂkˈɛÁyÑtÈ:Ã,҈҈ƬÌNÎcÁFˈÄYÈ¿ÉcÊRɛÑ\ɀÒ|؂͂Ä"ƖѮ҈áIÍkɎ҈ÍkË«É\Æ1Èzˈؖ͂Ò|ƖÌzÆ1ÎfÂ\âÄkÓÖňÁDƖÐF΀ÉBÉBˎˈ˛ÁyÔIÅ|ÕÖÉ\͂ÁFɎĂĂ΀ƖÅ|ÆDіݖÉ'ÌzʧÍkÁ1ÁnËÖÒ|ɛÇTÑɛÉcÇÂ-ÃOÓ»ÁyÅ|ÂéÌ8҈҈ÌNÉc˫ɛÂ-Â,Ç҈Å|à ÆFĂ'ÌNÎtÆ1ňˈɛÌz‘ÊRÔ å|Ăå È:í Étå«ì ÓÖÁDÐFÉ1áIË«ØkÎfÍé҈ÍkÁyÒ ÁyÄkĂňÆDݖÌ:ʧÁn҈É'ÁyÂTÁyÈ:Ã1Ò|Ì:ΛÁyÈ&Å|ÉcÈNÁn҈Ì:ÆFÂTˠׁÆFÅÖ҈ÍkɎ˫ÍkÁFÄTÉ'ÆF×iÒ|Í‚É ÈzÉBÁFіÌ:‚ϧÁyÂTѬÒ|Å|ÁFÌzÈ:ÌzÂkÏÉBіÏFÉ ËˆÍ‚Æ–Îfâ¬ÓÖÁDÐFÉ'ÎcÁyÂ"ÇYɎіÉcÅ|ÌzÐ1É›Ñ®Ô 

^]

&_

D

`

&`

]

&`

`

`

`

_

a



cb

6

6

analytical expressions numerical shock wave wall

analytical expressions numerical shock wave wall

1.6

5

1.6

5 1.55

1.55

4

4 1.5

y

y

1.5 3

3

1.45 1.45 2

2

1.4

1.4 1.35

1

1 1.35

1.3 0 −1

0

1

2 x

3

4

0 −1

5

4 ,:?+D_TF-Z
-,C?-5 dEF.Cj(*-1@Y)*EF:?.

0

1

2 x

3

4

5

= _ @:?.Á)>EF./+:?+(*T Í@+6!KÁ-1,N ;EF.DCj(>-@Y)*EF:?.

²d³U´µ¤¶"·cd¤¹ ü'Ç%·Ô¶"·DõÊÂZ¼"ÃmÆaĶm¼?Ç%·feeÄ%Ñ µÊÅ%Ägм½¤¾ ·ÿÉu·/¼7Ç%Ä¤Ñ ³cÅ ¼·D¶?ÉoÃmÄWÆj¼7Ç%·gÂUĤ¿?ÀGÂih ÀW¿7Ç Å%µÊÉmËH·i¶ú¿?ÄÉú¾¤ÀW¶"·iя¼Äÿ¼?Ç%· ¾ ÄóZ¼7³UÄÅsÄWÆd¼7Ç%·mÃÇ%Ĥ¿
|ÓBÀW·DÃBÀW¿Á¿ÁÄG¶7Ñ ³cÅ%´u¼Äo¼7Ç%·MÆ ¶"ÄÅW¼'¼7¶ÀW¿
¤³cÅ%´úÉu·/¼7Ç%ĤÑj Ðk'ÀGŤÑ|¼?Ç%·MÀGÅ%ÀGÂZ½¼7³c¿?ÀGÂHÀW¾Ê¾Ê¶ÄgIʳcÉoÀ¼?³ZÄÅ,aÐÐl ÆaÄGm ¶  À j¼?Ç%·uѤĵ¤Ë ÂU·uÓ'·iѤ´W·oÓ9³þÅ%´ä÷D¿7¼7³UÄÅgÀGŤn Ñ Ë 9¼7Ç%·u¿ÁÄÅ5¼?³cÅ%µ%ĵ¤Ã"ÂZ½g¿/µ¤o¶ W·iÑÿÓf³þÅ%´ä÷i¿?¼7³UÄ>Å pÆaĶfÀ|Æ ¶"·/·úÃY¼"¶"·iÀGq É hèÀW¿?Ç Å%µÊÉmË ·D¶yÄWÆh¸G¹M

r

:7< k N

=289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(

ÜkÕÖÅf͂ËuÉLÒÕÖÎcӻ͂ÆFɪÌ:Â,‚҈ÒuϬÌ:Ó;Âˈƣ؂ɛÆF΀҈ØT҈ÉBÌ:ËuË«ÆFÒÖÈ:Â-ãĂ΀Ì:Å|ËLØkÆFňǂÁ§Ð1È:ÉcɛіʧÑÆF؂Ë;Ó»ÇkÓ»ÌzÈzÂkÉ Ì8Ï£Ò|Ó Í"˫ɛÉBˈі΃؂Ò|Ï1ÄYÌzÉ Æ1ÉcÂÅfӻ˫ÌNÌzÆ1Ë¿Âk‚ϬÁFÌ:ÎĂ˫ĂÉBÒuÓ;΃Å|ÆD҈ÆFÌ:ݖÆFÞßÌzтÂ-ʧÌzÊRÁyÁnÂTÒ|ÉcɛÑ"ÂTÑX˫҈Ì:ĂÆF͂Ì:ÂkɎɛÁF΀ˈÈTɛɛӻ˫Îc҈ÆFÌ:ÉBˈÂkÁFÉ»Ñ"іÈ:sÃÌzÆF‚ÂkvkÉBÉ ÁyÆnÅ|Ó$Ì:ÈzËÃ1ÁFÔ6Á§ÅˆòLSÉÎcÆFÆnvkÂ,Ó;Æn҈ɛÓÌ:ÐFÂËÖɛ؂śÁyÆFáDÅ|ØTÒ|ÆF˫͂؂È:ÉLÃtÂTѧі΀ÌNØkӻˈňÎcÐ1ÌzÆFÂkɛÂ,ÏXÑ\҈Ì:ˈӻÂɛ؂΃Ìz‚ÌzÒ|҈ÌzϬÌ:Æ1ɛÂkˈË^ɛ˛Ì:΀Ô=ÂR҈ÕÖÌ:҈ÆFÍkÍk‘ÉÉ Ô Ñ҈–ÍkÉ›É ÅˆÌ:ÐnÈzÉBÁnÁF҈іÌ:ÐFÌ:‚ÉXϧÆy×IÁyÂkÒ|͂ÑtÌ:Ë҈ÅfĂÁyÌ:Ì:É›È ÌzÎc‚ÉcÏRÓ»ÉBÌN˫іÉXÏFÉÈzÌ: ‚Ô^ÉBÕÖÁyŪ͂Ɏׁ؂À Âk΃Á1Ò|ÎfÌzÆ1Í\Â0ÂÁF؂ňÊXÉ£ÇT҈ɛÅ|ŻɛÁnÆyÒ|×iÉ›Ñ ÒˆÍ‚Á1É ËªØ‚ÎcÂTÆFіÂ,Ì:҈˫Ì:҈ÂØk؂ňÆFÇYØTɛgÑ˪ÎfvkÍkÆnÁFÓ[‚ÏFÌ:ËÉBË Ì:Ô ú‚Â0Ô Ñ–Ì:Å|ɛ΃Ò|ÌzÆ1­ÁyÂkÏFÈ:É  Éc݂΀ÉcĂҪׁÆ1Å ö û æ 0  k Ü F Ï ‚ Ø | Å É Î€ÁyÆ1ÄkÊRĂňÄkÆDÁyݖÅ|Ì:ɛʧÑéÁn҈҈Ì:ÆÆFÂ0҈á®Í‚ׁÒ|ÉÆF͂ţÉRÄY҈Æ1Â,͂ˈØkÉtÌz҈ÊÌ:ÒuÆFɛÓ;°ňÆÌNÎcÆyÁFÓ»×LÈ=Ì:Ò|‚ň͂ÉBÏ­É Ë«Ø‚ËˆËˆÉ›Èz͂Ò|΀ËƖ҈Ì:ÎfÆFÆFâO׿Âk˛҈ӠÍkÔÁDÉtÐ1ÕÖɛõ͂ËRÆ|É ÁFтvkΛ؂Æn΀‚ÆFÓ ÆnÅfÐ,іÄkޝÌ:ÒuÁy‚ÃÒ«Ï ÄYÒ|ÉcÉXÒ|Å|ÆÂOÊR҈ÉcÌ:͂ËX҈É-͂˫ƖÌ:ׁÏFÅ|Ñ0‚ÆFÂ,ÌzÌzÜTÂÒRΛ҈Áy҈ɛÅfÂ,ňÁF҈ʧÎfÈ:Ã0âËÌ:‚ˈÆyÊRÏ0×;ɛ҈ÊRÁy͂Å|Écɧɛ҈Ñ͂È:ƖƖÎcÆ1Ñ°ÁFؖÈ=Ò£ÁyÀ­ÂkÇÑíÁFÎf҈Ò|Í­Í‚Í‚É ÉtÂ؂ÂÁFÊXÂk؂ÁyÊRÇTÈ:ɛÃ,ɛŎň҈ÌNÌNÁyÎcÎcÅ|ÁFÁFÉ ÈÈ Ñ–ÌzÙYØTË«Ì:ÆFÂ-Ì:Â\Ò|͂ɣõƖі؂‚ÆnÐ,ÞrÒuÃÄTÉ'ÊRɀÒ|͂ƖѮá‚ӻ͂ɛňÉBÁFË Â؂ÊRÉcÅ|Ì:ΛÁyȑіÌzÙYØTË«Ì:ÆFÂ-ÌNË»ÁyÇkˈÉcÂ,Ò»ÌzÂ"Ò|͂É'ׁňÆ1Â,Ò Ò|Å|Á1ÎfâÌz‚ÏÊRɀÒ|Í‚Æ–Ñ®Ô ´ ãµ 0¹¿¶ª½ «¼ ,¾«¹¿¶ Á҈yÍkÂTÉLÑRׁÊÅ|ÆFÉXÆ1Â,ňÍkÒ|ɪÁDË^Ð1ÁFׁÉXÆFÎcÅÖÎcÌ:؂Â,ÁŽÅf҈ÁnÅ|ĂƖ҈ÍÉÖіÖØkÒ|ˈÍkÌ:΀ΛÁyÉBÁyÑ­Â\È:zÃÁŽÁF­ÊRËuÒfÌ:ÁyÆFÊÂkÅ|ɪÄkÑkňÁy΀ÆnÅfÆ1Ð1ÑňɛÅ|ׁÑ-ɛň΀Æ1ׁÒ;Â1Å|ÆFˈҿÌzÂ,ÊX҈ÒÅf؂ÁF҈È:ÎfÅfÁyâÁF҈ÌzÎfÌ:ÂkÆFâÏ Â‘ÌzÂkÔ=ÊÏtÕÖÉcÊR҈͂͂ÉBɀƖ˫Ò|ÉªÑ®Í‚Æ–Ô Ó Ñ ±ÁDÐ1ׁÁDÆ1É»ÐFŪÒuÉ»ÃÒ|Òu͂ÄTÃ|ÉÉBÄYË;ɛt^ÁFË;؂ňÁyÈ:ɪÉcÅ|ÅÉØk˫ɛÌzÉBÂ,Ú,ÑRÒ|ØkňÁyׁƖÆF҈іÅÖÌ:ÆFØkіÂkÎcÉcɛ˛҈ÑRÔ£ÉcÅ|Ó»ÕÖÊR͂͂ÌzÌNÉÂkÎfÌzͬÊR‚ϣÁyɀÅ|Ò|҈ÉL͂͂ƖÁ1ÉѭˈÐFˈÌzÌNɛÏ1ËÈzƖ‚×AÎcɛÁFÌ8ÑXË«Ò|҈ÌzÒ|ɛÉBÆ ÅË ÆyÁDÐF×=ɛÒ|Å|͂ÁFÉ ÏFɠׁÅ|ÂÆF؂Â,Ò|Ê£ËÇYÁFÉcÂkÅ;Ñ"Æy׮҈ÍkÌ8Ò|ÉcÉcÌ:ÅfÅÁnÊ£Ò|ÌzÆ1ؖÂkÒ|ØkË^ÁyÄYÈiÉcÌzÅ Â,Ò|ë»ÉcÌzÅfɛÁFʧ΃Ò|ÁyÌz‚Æ1Âk§˛ĂÔ;Å|ۂÆFØkÇkÅ«ÈzɛÒ|Ê"͂ÉcÔ Å|ÊRÆFÉLÅ|ÉFÍká‚ÁDÒ|Ð1͂ÉɎÁyØkÄ‚ËˆÄ‚É È:Ì É›ÆyÑ×IÓÖ҈ÍkÁDÉÐFÉÌzÊRÒuÃĂÄTÅ|ÆnÉBÐFËÉBÅ|ÑXɛˈׁ؂ňÆ1ÈzÒ|Â1˻ҿÌ:҈ ÅfÁFÁ¬ÎfâіÌzÉBÂkÎ€Ï Å|ɛÊÁFˈÉcÉ'҈͂ÆyƖ×=Ñ҈ÍkÒ|ÆÉ ÒˆÁyÉBÅ|ËuÉ'Ò;ɀĂ݂ň΀Æ1ɛǂÈz:È:ÉcÉcÂ,ʧһËIÓ»Ó»Ìz҈Ìz҈Í-ͧňÆFÉBÂkË«ÄYɀÞûɛі΀ÒÖÌzÊR҈ƧɛÂkÇYË«Ì:ÆyÆF҈ÂTÍÁyÁ1ȖÎc؂΀ÂkØkË«Å|҈Á1ÉB΀ÁFìіÃÁyÂTÁyÑ\ÂkѧÎcÆFˈÊR؂ÄYĂÉcؖÅfÒfË«ÁnÆ1҈‚Ì:ÌNÆFοÂTÒuÁyÓ È®ÆyÉ Þû¬Ñ–Ì:ÎcÊRÌzɛÉcÂkÂk΀ˈÃ1ÌzÔ Æ1ÂkÁyȂ˫҈ÉBÁFіÃút^؂È:ÉcÅhvkÆnÓ Ô6ÕÖÍkÉňÉBË«ØkÈ8ÒfË Údß"ÚU ¸ ÚU¶L½ Ú s

t

L4 N6

86

(

Z(

/(

2

u

<6

v ='$J6>-(>(>47.%05! $gw¤-yx TF:/@“#%0z;.DE{i+-.-(*(;:7<
-14|S(>:?TF+D)*EF:?.e)*:9(Wi(*)*-89(d:7:0G='$VLKÁ-1E )*:0.x56*:?./)2)>6>47@k|iEF.DC^4733TFEF-,M)*:^4f.:?.(*)*6>EF@Y)*T M# D3W-6>_W:?TFEF@y(!D()>-8 :7<
@:?.(>-6!K?4")*EF:?.oTZ4y ;(10”g•!~ZŽ—–g‚R”“€}ˆ‰‚ ”†„‡†‰ˆ™˜k†š‚L›RŠ œ<ž†š‚F0 ¸Dû 0 k  N k }k r‡rDk Y$ Ÿ XB$ ‘h $ ’dEF(*-_6>:0G='$WLV KÁ-E )*:0%=Ù:?.Á)2)*6“47 @ |iEF.CS89-Y)>#D:i,^EF:?.%0 –‚/›RŠ œ<ž†š‚¡&¢‡˜l‚Z0 ¸ Hʸ 0 k1å N

}k r‡r P Y$ £‡¤ $ I'# $ w¤47.C?(>-Y)*#%0pXB$ ‘B#$ ’EF(>-_6>:0%='$LV KÁ-1E )*:0 =ý@:?.(>-W6 K74")>E KÁ-9:?.Á)])>6>47k@ |/EF.C^(>@>#-89-j<þ:?6 k &ý # D3W-6>_W:?TFEF@9@:?.(>-!6 K?4")*EF:?.sTZ}4 d(0%EF. : }†„‡‚F0ÁA,(1$ Y0/Xd:7)>-(Xd+89-6§$ x TF+EF, ¥ Š‡Œ= ˆ‹Œk„‡…¦5¢l§}¨ Š‡ ˆ‹€7¡…!ŠJ¨} §œ©˜yª¬«#kŠ‡W}†‰ˆ‹€k„‡ ­9~…  ˆ‹k®o­>„‡Œ®›RŠ œ<ž†„‡†‰ˆ‹Š‡Œ„ ~5˜‰ €§†‰˜ ='$/&;:?.54")>¯ \^-@“#%$F0 F“ 0 å O?L ‹° EFl-
-C0WJ6“47+.D(>@“ #
-EFC0 }k r‡r?å “$ ± ¤ $ I' $ wÊ47.C?(*-)*#%0I2.f47.9EF893TF-89-./)>4")>EF:?.j:7<¤4:?.Á)p)*6“47k@ |/EF.CB89-Y)>#:/,y_W:?TFEF@;@1:?.D(>-W6 K74")>EF:?.fTZ}4 d(10 ~<®‡²‡‚³…Œ´‡µ´‚”“ŠW¶l†µ·&„‡!0 û d 0  L }k r‡r Q Y$ = ¸‡¹ $ ºa=B= $ w¤EF-?0 ° “$ ‘247+C?(*-Á0 ¹ $ ‘7KiEF(*)*-.,547#T ¹ 476>TF(*-.%0&2EF89-.(>EF:?.547TÊ(*3TFE ))>EF.» C dE )>#^:?.Á)2)*6“47 @ |iEF.Ce47.,u47,5473D)*E KÁ-yC?6*EF,M6>l- ¼5.-89-./)10 ¸ F 05Q?P E }k r‡r O “$ ¥ žœ}}‚9Ž}†‹Š§®‡˜<¡7„‡l†‰ˆ‹„‡#½iˆ ¾<§!§Œ=†µˆµ„‡³…¿‚F0 J À ‘Bg $ ‘;:?TF,-.%0 ¹ $ º ='$ w¤EF-?0WXB$ ‘h=$ ’EF(>-_6>:0=2.Í+D.@:?.,E )*EF:?.547TFT Í()“47_DTF-B89-Y)*#:/,eŠ‡œ<ž†š‚9¡&¢‡˜l‚Z0 ¸ M=H 0 E Q }k r‡r‡r Y$ Á ¤ $iR2TFEF898^0 ¤ $iR26*§: KÁ-?0i J w¤EF.g, {/+EF(*)10DI'$Á\^@1JW6 /47.%0DR'$?VÊ!6 DC K747(>:?.%0iV#-_E @14")*EF:?.y:7<)*6“47 @ |?-1,f(*@47TZ47R6 }4 KÁ-(1=0 ”g•!~ZŽÃ–‚”“€§ˆµ‚”†„‡†š‚ ›RŠ‡œ/ž†š‚F 0 Ĥ05Q k }k r O? O “$ Å R'$Ap8f47.i+D-1T = 0 ~/Œ„  ¢‡†‰ˆ‹€k„‡Æ& žˆ‹®»½5¢‡Œ„ œ©ˆµ€}˜ ‰Ç ’ Ç !6>-(*(0DJ:i@1¯ 4 ’d4")>:?.%05P?N?N k Y$ v!È ! $ ’h‡ $ Éu:/:i,
476>,%0D!H$ Ç :?TF-TFTZ4D0/Vd#D-2./+89-6>EF@147T5(>EF8'+TZ4")>EF:?.j:7<%)
: ºa,DEF89-1.D(>EF:?.547gT Ê5}: f dE )*#9(*)*6>:?.CB(>#:/k@ |/(0 –g‚&›RŠ‡œ/ž†š‚¡^¢‡˜y‚F0 MgF 0 k?k L }k r O  Y$ vlv J2$ ¹ :?6>-.%0&2-Y-@Y)>EF:?.u47.,m8j+DT )>EFC?6*EF,e4")>EF:?.m:7<47EF6*0 –‚/›RŠ œ<ž†š‚R¡^¢‡˜y‚F0 O Y$ ÌÌ 0 k O å }k r O? vW J2$ ¹ :?6*-1.0Ap+TF-7 6 ʧ: (>:?TF+D)*EF:?.(;6>47.(>:?.EF@B(>#D:ik@ |8 }4 KÁk- Í/_W:?+.,47W6 MTZy4 Á-162EF./)*-6“47@Y)>EF:?..0 •kŒ=†š‚>–‚ ¥ žœ}}‚Ž}†‹g‚Rˆ™Œ?Æ& žˆµ®‡˜“#0 Ĥ0 L r }k r O r Y$

k Ny:7< k N =289-6*EF@47.f`a.()>E )*+D)*-':7< =;-6>:?.547+D)*EF@(47.,e=2()>6*:?.547+D)*EF@1(