ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
ÍNDICE PÁG
1. ESTATÍSTICA, CONCEITO e HISTÓRIA
06
1.1. O QUE É ESTATÍSTICA
07
1.2. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA
07
2. FASES PARA UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
11
2.1. COLETA DOS DADOS
12
2.2. CRÍTICA SOBRE OS DADOS
13
2.3. APURAÇÃO DOS DADOS
13
2.4.EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS
13
2.5.ANÁLISE DOS RESULTADOS
13
3. POPULAÇÃO E TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
14
3.1. POPULAÇÃO e AMOSTRA
15
3.2. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM
16
3.2.1
Amostragem Casual
17
3.2.2 Amostragem Proporcional Estratificada
19
3.2.3 Amostragem Sistemática
21
3.3. EXERCÍCIOS
23
4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
25
4.1. GRÁFICO EM LINHA OU CURVA
26
4.2. GRÁFICO EM COLUNA
28
4.3.GRÁFICO EM BARRA
29
4.4.GRÁFICO DE SETORES
30
4.5. CARTOGRAMA
33
4.6. PICTOGRAMA
35
4.7.EXERCÍCIOS
36
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
37
5.1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
38
5.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE
39
5.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
41
5.3.1.
Classe
41
5.3.2.
Limite de Classe
42
5.3.3.
Amplitude
42
5.3.4.
Ponto Médio
43
5.4. EXERCÍCIOS
44
6. TIPOS DE FREQUÊNCIA
45
6.1.TIPOS DE FREQUÊNCIA
46
6.1.1.
Freqüência simples ou absoluta
46
6.1.2.
Freqüência relativa
46
6.1.3.
Freqüência acumulada
47
6.1.4.
Freqüência acumulada relativa
47
6.2. EXERCÍCIOS
48
7. REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA
DE
UMA
DISTRIBUIÇÃO
49
DE FREQUÊNCIA
7.1.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 50 7.1.1.
Histograma
50
7.1.2.
Polígono de Freqüência
51
7.1.3.
Polígono de Freqüência acumulada
53
7.2. EXERCÍCIOS
55
8. MEDIDAS DE POSIÇÃO
56
8.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA
57
8.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO
57
8.2.1.
Média Aritmética
58
8.2.2.
Média Ponderada
60
8.2.3.
Média para distribuição de frequência
62
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3
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 8.2.4.
Mediana
63
8.2.5.
Moda
65 66
8.3.EXERCÍCIOS
9. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 9.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO
67 68
9.1.1.
Amplitude
69
9.1.2.
Variância e Desvio Padrão
70
9.1.3.
Desvio Padrão com intervalo de classe
73 76
9.2.EXERCÍCIOS
10. MEDIDAS DE ASSIMETRIA
77
10.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA
78
10.1.1.
Distribuição Simétrica
78
10.1.2.
Distribuição Assimétrica á esquerda
79
10.1.3.
Distribuição Assimétrica á direita
80
10.2.EXERCÍCIOS
82
11. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
83
11.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
84
11.2.EXERCÍCIOS
89
11.3.REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
84
11.4.EXERCÍCIOS
89
12. NÚMEROS - ÍNDICES
91
12.1 NÚMEROS - ÍNDICES
92
12.1.1
Elos de relativo
95
12.1.2
Relativo em cadeia
96
12.1.3
Índices Agregativos
98
12.2 INDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO
99
12.3EXERCÍCIOS
101
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13. PROBABILIDADE
104
13.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO
105
13.2 ESPAÇO AMOSTRAL
105
13.3 EVENTOS
106
13.3.1
Eventos complementares
108
13.3.2
Eventos independentes
109
13.3.3
Eventos mutuamente exclusivos
111
13.4 EXERCÍCIOS
113
13.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL
115
13.6EXPERIMENTO ALEATÓRIO
116
13.7 EXERCÍCIOS
121
14. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
122
14.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA
123
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
123
14.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
125
14.4 EXERCÍCIOS
129
14.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
130
14.6 EXERCÍCIOS
133
15. TESTE DE HIPÓTESE
134
15.1. Componentes de um teste de hipótese
136
15.2. 3 passos para definir os sinais das hipóteses H0 e H1
136
15.3. Tipos de tetse de hipóteses
138
15.4. Valores para as regiões de rejeição
139
15.5. Fórmulas para os testes de hipóteses
140
15.6. EXERCÍCIOS
149
ANEXOS
150
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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O QUE É ESTATÍSTICA?
É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA
A necessidade de um conhecimento numérico sobre os recursos disponíveis, começaram a surgir quando as sociedades começaram a se organizar.
Os estados, desde a antiguidade, precisavam conhecer determinadas características da população. Efetuar sua contagem, saber sua composição e seus rendimentos.
Para que os governantes das grandes civilizações antigas, tivessem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos habitantes, surgiram o esboço das primeiras “Estatísticas”.
Ainda não possuía esse nome e era utilizada para determinar Leis sobre os impostos e número de homens disponíveis para guerras. Estas “estatísticas” eram limitadas á população adulta masculina.
O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido pelo Imperador Egípcio
Heródoto em 3.050 a.c. O levantamento Estatístico teve
como finalidade,
averiguar as riquezas do Egito e seus recursos humanos para a construção das pirâmides.
Existem relatos na Bíblia de recenseamentos realizados por Moisés em 1.490 a.c.. Durante o Império Romano, era comum o Recenseamento da população e seus bens.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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No início da Idade Média, após a queda do império Romano, fora realizada estatística sobre as terras que eram propriedades da Igreja Católica, para saber a riqueza de seu poderio.
No Sec. XI, a Inglaterra realizou seu levantamento estatístico, onde incluía informações sobre a terra, seus proprietários, o uso dessa terra, a quantidade de animais e serviria de base para cálculo de impostos
Podemos observar, que até o início do sec. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos assuntos de Estado. A Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem, traduzindo numericamente, fatos ou fenômenos observados.
Esse tipo de coleta, organização e descrição dos dados, fazem parte da ESTATÍSTICA DESCRITIVA, ou seja, que apenas descreve em números o cenário dos fatos existentes.
Então, ESTATÍSTICA DESCRITIVA, é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados existentes.
Durante o sec. XVII, inicia-se uma nova fase da Estatística iniciada pelo inglês John Graunt (1.620 – 1674), voltada agora para a análise do resultado dos dados observados, chamada de Estatística Analítica ( ou indutiva ou inferencial).
ESTATÍSTICA ANALÍTICA é nada menos do que a análise e a interpretação dos dados existentes auferidos pela Estatística descritiva.
Em 1.660, John Graunt publicou um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos habitantes de Londres, procurando dar interpretações sociais ao seu estudo. Em 1.692, o inglês e astrônomo Edmund Halley (1.658 – 1.744), famoso pela descoberta do cometa que leva o seu nome, baseando-se em dados sobre nascimento e falecimento, foi o precursor das Tábuas de Mortalidade, bastante utilizada nos ramos de Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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seguros de vida e planos de previdência.
Ainda no séc. XVII surge O Cálculo das Probabilidades pelo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662), dando uma nova dimensão para a Estatística. O estudo das probabilidades tem a finalidade em deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes.
A palavra ESTATÍSTICA surge somente no Séc. XVIII pelo alemão Godofredo Achenwall ( 1.719 – 1772)
Na atualidade, a Estatística não se limita apenas ao Estado e ao estudo da Demografia e da Economia. Hoje, ela estende-se para a análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Metereologia, Educação, Tecnologia de Informação e principalmente na administração e nos planejamentos estratégicos das empresas.
RESUMO ESTATÍSTICA É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA É a parte da Estatística que coleta, organiza e descreve numericamente o cenário dos dados existentes.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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ESTATÍSTICA ANALÍTICA É a parte da Estatística que interpreta e analisa o resultado dos dados descritos pela Estatística Descritiva.
PROBABILIDADE É o estudo que tem por finalidade, deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
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FASES PARA A ELABORAÇÃO DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
Para realizarmos uma pesquisa que envolva um trabalho estatístico é necessário observar 5 fases para esse trabalho.
A coleta dos dados; A crítica sobre os dados; A apuração dos dados; A exposição ou apresentação dos dados E a análise dos resultados
1 - COLETA DOS DADOS
Depois de definido o objetivo da pesquisa ( qual o motivo para ela ser realizada), damos início a primeira fase da pesquisa que é a Coleta dos dados e que pode ser:
Contínua: Feita com freqüência. EX: A chamada em sala de aula
Periódica: Em intervalos constantes. EX: O censo ( feito a cada 10 anos)
Ocasional: Quando é feito a fim de atender uma emergência. EX: Uma epidemia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
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2 - CRÍTICA SOBRE OS DADOS Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, á procura de falhas que possam influir sensivelmente no resultado da pesquisa.
EXEMPLO: Alguma idade informada com 250 anos.
3 - APURAÇÃO DOS DADOS
É a Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. EXEMPLO: Se vamos tentar descobrir em uma população, a média de idade, o mais velho, o mais novo.
4 - EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS
É a forma de apresentação dos dados de forma mais adequada .
EXEMPLO: Uso de Tabelas, Gráficos.
5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS
É o objetivo da pesquisa. É onde tiramos conclusão sobre os resultados da nossa pesquisa. EXEMPLO: Constatamos que a população de alunos é envelhecida e etc... Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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POPULAÇÃO E AMOSTRA
VARIÁVEIS
É o conjunto das possibilidades que possui um fenômeno.
O fenômeno SEXO por exemplo, só possui duas possibilidades: Masculino ou Feminino.
TIPOS DE VARIÁVEIS
Qualitativa: Sexo, cor de um objeto, nomes ... Quantitativa: Expressa em números. altura, qtde de filhos, idade ...
Quantitativa discreta: Nº Naturais Ex: Qtde de filhos, idade... Quantitativa contínua: Nº não Naturais Ex: Altura, nota dos alunos.
POPULAÇÃO
População estatística (Universo) é o conjunto de fenômenos que possuem pelo menos uma variável em comum.
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica, limitamos as observações de uma pesquisa á apenas uma parte da população. Essa parte, chamamos de AMOSTRA.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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AMOSTRA
Amostra é um subconjunto retirado de uma população.
Mas para que a pesquisa esteja correta é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, precisa possuir as mesmas características básicas da população e para isso, existem técnicas especiais para recolher amostras chamadas de AMOSTRAGEM.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são: Amostragem Casual; Amostragem Proporcional Estratificada; Amostragem sistemática.
Para facilitar o nosso entendimento vamos dar o seguinte exemplo para as três técnicas de Amostragem.
Um escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos seus 135 alunos e obteve as seguintes idades:
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
OBS: Os alunos que em negrito e com um traço nas idades representam alunos do sexo feminino.
AMOSTRAGEM CASUAL
Ex: Queremos saber a média de idade entre os 135 alunos (POPULAÇÃO) e decidimos retirar somente 20% como amostra.
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POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
135
=
X X
=
100% 20%
135 x 20 2700
X =
100
X =
27
Então, vamos retirar 27 alunos aleatoriamente para compor a nossa amostra. Para que o seu resultado e o resultado dos seus colegas tenham o mesmo resultado, vamos selecionar os 27 primeiros alunos.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
X=
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608 27
X = 22,52 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,52 anos, baseado na amostra casual de 27 alunos.
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA
Seria retirar a amostra, proporcionalmente as características da população.
Continuando com o mesmo exemplo dos 135 alunos e tiraremos 20% deles como amostra.
Podemos observar, que dos 135 alunos, 77 são do sexo masculino e 58 são do sexo feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos alunos, proporcionalmente a quantidade de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e 20% das mulheres.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
População
20%
Amostra
Masculino
77
15,4
15
Feminino
58
11,6
12
135
27
27
Dessa forma, iremos extrair 15 alunos do sexo masculino e 12 alunos do sexo feminino.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
X=
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618 27
X = 22,89 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,89 anos, baseado na amostra proporcional estratificada de 27 alunos.
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de se construir um sistema de referência. São exemplos os prédios de uma rua ou os produtos que passam em uma linha de produção.
Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra, pode ser feita por um sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de Amostragem Sistemática.
Aproveitando o nosso exemplo, será necessário colocar todas as idades em ordem crescente ou descrente e poderemos, por exemplo, retirar um aluno á cada 6 alunos para compor a amostra.
Outro exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50 casas para entrevistarmos as pessoas que moram nela. A cada 18 casas, paramos em uma delas para compor a amostra. Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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Vamos ao nosso exemplo dos alunos. Antes de tudo é necessário colocar os números ordenadamente de forma crescente ou decrescente. Agora, iremos retirar á cada 6 alunos, um para compor a nossa amostra.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 23; 23; 23; 23 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25 25; 25; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 29; 29; 30; 30
X=
559 27
X = 20,70
Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 20,70 anos, baseado na amostra sistemática de 27 alunos. Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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EXERCÍCIOS 1) Responda as perguntas abaixo. 1) O que é Estatística e para quê ela serve. 2) O que é Estatística Descritiva. 3) O que é Estatística Analítica 4) O que é Probabilidade
2) Classifique as variáveis em Qualitativas, Quantitativa Contínua e Quantitativa discreta. 1) Cor dos cabelos. 2) Número de filhos. 3) Número de peças produzidas por uma fábrica 4) Média de idade 5) Sexo 6) Diâmetro de uma bola 7) dinheiro
3) Descreva as cinco fases para a elaboração de uma pesquisa estatística e explique cada uma delas.
4) Arredonde os números abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal. 1) 22,38. 2) 24,65. Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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3) 3,7423 4) 1,442 5) 1,08 6) 9,483
5) Um fisioterapeuta, resolveu fazer uma pesquisa para saber a altura de seus clientes e identificou as seguintes alturas:
1,75
1,68 1,65 1,73 1,67 1,82 1,84 1,70 1,76
1,91
1,77 1,69 1,80 1,78 1,68 1,81 1,72 1,70
1,71
1,77 1,65 1,83 1,87 1,78 1,68 1,75 1,71
1,68
1,70 1,66 1,78 1,82 1,69 1,75 1,72 1,70
1,81
1,72 1,73 1,79 1,78 1,85 1,81 1,69 1,75
OBS: As alturas que estejam em negrito e com um traço representam clientes do sexo feminino.
Descubra a média de altura dos clientes desse fisioterapeuta e depois descubra a média de altura, usando as seguintes técnicas de amostragem: (As amostras serão de 30% sobre a população)
a) Amostragem Casual (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros) b) Amostragem Proporcional Estratificada (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros homens e 30% primeiras mulheres)
c) Amostragem Sistemática (Retirar para compor a amostra 30% da população, á cada 4 pessoas.)
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
É uma forma de apresentarmos os dados estatísticos, cujo o objetivo é o de produzir, para o público que apresentaremos os resultados, um entendimento mais rápido e fácil do fenômeno estudado.
Existem várias formas de apresentarmos os resultados em gráfico. As mais utilizadas são:
Gráfico em linha ou em curva; Gráfico em colunas; Gráfico em barras; Gráfico em setores; Cartograma; Pictograma.
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO EM LINHA OU CURVA
Uma fazenda, produziu em 2001, 20.000 litros de leite, em 2002, 25.000 litros, em 2003, 32.000 mil litros e em 2004, 45 mil litros.
PRODUÇÃO DE LEITE ANOS
QTDE (1.000 L)
2001 2002 2003 2004
20 25 32 49
Qtde (1.000) L
50 40 30 20 10 2.001
2.002
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-
2.003
2.004
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anos
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO EM COLUNA
Uma fazenda, produziu em 2000, 18.000 toneladas de soja, em 2001, 11.000 toneladas, em 2002, 10.000 toneladas e em 2004, 15 mil toneladas.
PRODUÇÃO DE SOJA ANOS
QTDE (1.000 T)
2000 2001 2002 2003
18 11 10 15
Qtde (1.000) T
20 15
10 5
0
2.000
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2.001
-
2.002
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2.003
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO EM BARRA Segundo o IBGE, em 2002, a produção de soja em Rondônia foi de 100 mil toneladas, no Mato Grosso do sul 214 mil toneladas, no Mato Grosso 1,200 Milhão de toneladas, em Goiás 212 mil toneladas.
PRODUÇÃO DE SOJA - 2002 ANOS
QTDE (1.000 T)
Rondônia Goiás Mato Grosso do Sul Mato Grosso
100 212 214 1.200
Estados RO GO
MS MT
0
200
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400
-
600
800 1.000 1.200
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Qtde (1.000) T
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO DE SETORES
Segundo o IBGE, em 2006, a população de bovinos em Mato Grosso era de 20 Milhões, no Mato Grosso do Sul era de 17 Milhões, em Goiás 16 Milhões e em Rondônia 8 milhões de cabeças de gado.
POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006 ESTADOS
QTDE (Milhões) 8 16 17 20 61
Rondônia Goiás Mato Grosso do Sul Mato Grosso TOTAL
O gráfico de Setores, também conhecido como “pizza” é apresentado sobre uma figura circular.
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-
25%
25%
25%
25%
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
61
100%
16
X
61 X = 16 x 100 1600
X =
61
GO
X =
26%
61
100%
17
X
61 X = 17 x 100 X =
1700 61
MS
X = Prof: Igor França Garcia
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28%
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
100%
61 8
X
61 X = 8 x 100 800
X =
61
RO
X =
13%
61
100%
20
X
61 X = 20 x 100 X =
2.000 61
X =
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MT 33%
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006 26% 33% GO MS RO MT
13%
28%
CARTOGRAMA
É a representação sobre uma carta geográfica ( um mapa).
Esse tipo de gráfico é utilizado quando o objetivo é o de mostrar dados relacionadas as áreas geográficas ou políticas.
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
PICTOGRAMA
É uma das formas gráficas mais utilizadas pela mídia. Consiste em informar o gráfico para o público utilizando-se de figuras.
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
EXERCÍCIOS 1) A loja de Xerox da faculdade, deseja saber como anda distribuído sua receita com as cópias. Apurou-se que durante o primeiro semestre de 2008, a loja obteve uma receita com as cópias de R$ 800,00; R$ 3.500; R$ 6.000; R$ 4.500,00; R$ 5.500 e R$ 1.200,00 respectivamente. Represente essa distribuição graficamente.
2) A LACBOM solicitou uma pesquisa, para saber quais os seus três segmentos de produtos são mais comercializados. Foi feita uma pesquisa em um supermercado e foram retirado a opinião de 200 pessoas como amostra e o resultado foi o seguinte:
Leite Longa Vida - 98 pessoas Queijo
- 62 pessoas
Lacbinho
- 40 pessoas
Construa um gráfico para representar a participação dos segmentos no mercado.
3) Em 2006, o IBGE divulgou como anda distribuída a utilização da terra no Mato Grosso por hactare. Para a lavoura são utilizados 7 milhões de Hac, para a pecuária são utilizados 23 milhões de Hac e 18 milhões são matas e florestas. Construa um gráfico mostrando a utilização das terras do Mato Grosso.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Serve para analisarmos a freqüência que acontece os fatos individualmente ou por classes.
EXEMPLO Vamos supor que coletamos a estatura de 40 alunos de uma sala de aula e temos a seguinte tabela.
ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
166; 160; 161; 150; 162; 160; 165; 167; 164; 160 162; 161; 168; 163; 156; 173; 160; 155; 164; 168 155; 152; 163; 160; 155; 155; 169; 151; 170; 164 154; 161; 156; 172; 153; 157; 156; 158; 158; 161
Os dados descritos aleatoriamente, chamamos de tabela primitiva, dessa forma, fica quase impossível analisarmos qual é o aluno mais alto, qual é o mais baixo ou quais estaturas mais se repetem.
A maneira apropriada para analisarmos os dados é através de uma ordenação (crescente ou decrescente) dos dados. A tabela, depois de ordenada, passa a se chamar TABELA PRIMITVA ROL.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
150; 151; 152; 153; 154; 155; 155; 155; 155; 156 156; 156; 157; 158; 158; 160; 160; 160; 160; 160 161; 161; 161; 161; 162; 162; 163; 163; 164; 164 164; 165; 166; 167; 168; 168; 169; 170; 172; 173 Agora podemos saber com certa facilidade, a menor estatura (150 cm), a maior estatura (173 cm) e a estatura que mais se repete (160 cm e 165 cm).
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE
Para observarmos a frequência em que se repete as estaturas podemos construir uma tabela distribuindo as idades.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
Estatura
Frequência
150 151 152 153 154 155 156 157 158 160 161
Estatura
1 1 1 1 1 4 3 1 2 5 4
162 163 164 165 166 167 168 169 170 172 173
Frequência 2 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1
40
Mas esse formato de distribuição é inconveniente, devido a quantidade de estaturas. Para resolver esse problema, o mais aconselhável é agruparmos as estaturas em intervalos de classes, conforme a tabela abaixo.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm) QTDE 150
├
154
4
154
├
158
9
158
├
162
11
162
├
166
8
166
├
170
5
170
├
174
3
TOTAL
40
O sinal ├ simboliza um intervalo fechado á esquerda e um intervalo aberto á direita, ou seja, no intervalo 150 ├ 154, entende-se que estamos analisando somente os valores maiores e iguais á 150 cm e menores que 154.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
CLASSE
São os intervalos de variação. Representamos as classes por i, sendo: i = 1, 2, 3, 4, ... k
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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ESTATURAS DOS ALUNOS
i
ESTATURAS (cm)
QTDE
1
150
├
154
4
2
154
├
158
9
3
158
├
162
11
4
162
├
166
8
5
166
├
170
5
6
170
├
174
3
TOTAL
40
LIMITES DE CLASSE
São os valores extremos de uma distribuição. O menor valor é o limite inferior da classe ( li ) e o maior valor é limite superior da classe ( Li ). Os limites da nossa distribuição são ( li ) = 150 e ( Li ) = 173 Os limites do SEGUNDO intervalo de classe, representamos como ( l2 ) = 154 e (L2 ) = 158
AMPLITUDE
É a diferença entre o limite superior e o limite inferior. A amplitude da distribuição é de 23 cm.
Amplitude total = Li Prof: Igor França Garcia
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(173)
- li
(150) = 23.
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A amplitude do TERCEIRO intervalo de classe é de 4 cm. Amplitude da classe = L3 (162) - l3 (158) = 4
PONTO MÉDIO
É o ponto que divide os dados em duas partes iguais ou que encontra o ponto central dos dados.
O ponto médio da distribuição é 161,5 cm.
P.M. = Li +
li
2 P.M. =
173 +
150
161,5
2
O ponto médio do QUARTO intervalo de classe é de 164 cm.
P.M. =
166 +
162
164
2
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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EXERCÍCIOS 1)
O A. C. Milan interessado em saber como está o desempenho do time durante os 90
minutos de um jogo, separou em minutos, todos os 70 gols que saíram durante os jogos no campeonato italiano de 2008/2009 e obteve o seguinte resultado.
5; 5; 10; 15; 15; 15; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22 23; 23; 24; 25; 26; 26; 28; 29; 30; 30; 30; 30; 30; 31 31; 31; 31; 32; 34; 35; 35; 35; 35; 35; 36; 36; 36; 36 36; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40; 42; 42; 42; 43; 56; 60 63; 66; 68; 68; 68; 68; 70; 70; 70; 73; 77; 81; 82; 83
a) Monte uma distribuição de frequência com intervalo de classe. A amplitude entre os intervalos será de 15 minutos.
b) Identifique o limite Superior e o limite inferior da distribuição e do terceiro intervalo de classe.
c) Descubra o ponto médio da distribuição e do segundo intervalo de classe.
d) Se você fosse o treinador do A.C Milan, qual seria sua interpretação já com os resultados acima
O Intervalo entre as classes será um |--
OBS: Na Europa e nos outros países, o reinício dos jogos tem os cronômetros apenas paralisados, retomando o segundo tempo com os minutos corridos e não zerando o cronômetro como no Brasil.
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TIPOS DE FREQUÊNCIA
TIPOS DE FREQUÊNCIA
Existem quatro tipos de frequência em uma distribuição.
Frequência simples ou absoluta Frequência relativa (
( fi )
fri )
Frequência acumulada (
Fi )
Frequência acumulada relativa (
Fri ).
FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA É a frequência com que se repete os dados da distribuição. Simbolizamos por ( fi ).
FREQUÊNCIA RELATIVA É a representatividade da frequência sobre o total de entrevistados em uma distribuição
(fri).
fri =
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fi Σ fi
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TIPOS DE FREQUÊNCIA
FREQUÊNCIA ACUMULADA É total da frequência dos dados acumulando-se as classes (
F i ).
Fk = f1 + f2 + f3 ... + fk FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA É a frequência acumulada de uma classe, divida pelo somatório da frequência simples de uma distribuição ( Fri ).
Fi
Fri =
Σ fi
ESTATURAS DOS ALUNOS fi Fi ESTATURAS (cm) fri
Fri
150
├
154
4
0,100
4
0,100
154
├
158
9
0,225
13
0,325
158
├
162
11
0,275
24
0,600
162
├
166
8
0,200
32
0,800
166
├
170
5
0,125
37
0,925
170
├
174
3
0,075
40
1
40
1
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TIPOS DE FREQUÊNCIA
EXERCÍCIOS 1) Aproveitando o exemplo do exercício anterior, encontre a freqüência simples, a freqüência relativa, a freqüência acumulada e a freqüência relativa acumulada dos gols do time do A. C. Milan.
2) Baseado na tabela dos tipos de freqüência, interprete os resultados que você encontrou. O que os números dos gols do time do A. C. Milan demonstram?
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente por:
HISTOGRAMA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
HISTOGRAMA Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.
ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)
QTDE
150
├
154
4
154
├
158
9
158
├
162
11
162
├
166
8
166
├
170
5
170
├
174
3
TOTAL Prof: Igor França Garcia
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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Qtde
12 9 6 3
150
154
158
162
166
170
174 Estatura
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)
QTDE
PM
150
├
154
4
152
154
├
158
9
156
158
├
162
11
160
162
├
166
8
164
166
├
170
5
168
170
├
174
3
172
TOTAL
40
Qtde
12 9 6 3
0
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152
-
156
160
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168
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)
fi
Fi
150
├
154
4
4
154
├
158
9
13
158
├
162
11
24
162
├
166
8
32
166
├
170
5
37
170
├
174
3
40
TOTAL
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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Qtde
40 30 20 10
150
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154
-
158
162
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166
170
174
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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EXERCÍCIOS 1) Monte um Histograma, um polígono de frequência e um polígono de frequência acumulada.
IDADE DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)
Qtde
40
├
44
2
44
├
48
5
48
├
52
9
52
├
56
6
56
├
60
4
TOTAL
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA
O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, nos permite descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma pesquisa pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se a maioria se encontra no início, no meio ou no final.
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, necessitamos de algumas informações (expressas em números) que nos permitem traduzir essas tendências.
Essas informações denominadas elementos típicos da distribuição são:
Medidas de Posição; Medidas de Dispersão ou Variabilidade; Medidas de Assimetria; Medidas de Curtose.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Serve para nos mostrar, a tendência central da concentração dos números. As medidas mais utilizadas são:
Média aritmética, Mediana; Moda.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARTIMÉTICA
FORMULA:
X = Σ xi n
x +x +x
X =
1
2
3
.... +
x
n
n
EXEMPLO 1: A produção diária de leite de uma vaca durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros respectivamente. Qual a média de produção dessa vaca na semana?
X = 10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 12 7 X =
98 7
X =
14 Litros
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MEDIDAS DE POSIÇÃO EXEMPLO 2:
Durante essa produção,a cotação diária do litro de leite foi de R$ 1,00; R$ 1,30; R$ 1,50; R$ 1,80; R$ 1,50; R$ 1,20 e R$ 1,40 respectivamente. Qual foi o preço médio do litro de leite durante essa semana?
X =
1,00 + 1,30 + 1,50 + 1,80 + 1,50 + 1,20 + 1,40 7
X = 9,70 7 X = R$ 1,39 Podemos dizer que essa vaca, em média, nos rendeu um lucro de R$ 19,46.
14 Litros x R$ 1,39 = R$ 19,46
Mas essa média não leva em consideração a quantidade produzida por dia pela vaca e o preço por dia do leite.
Para solucionarmos esse problema, fazemos a média ponderada.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA PONDERADA FORMULA:
X = Σ (xi . pi)
Σ pi
X = x1 . p1 + x2 . p2 + .... + xn . pn p1 + p2 + p3 + ... + pn 16/31
X = são os números. P = são os números que dão peso ou freqüência em uma distribuição.
EXEMPLO 3:
Aproveitando o Exemplo 1 e 2, iremos encontrar então a média ponderada do lucro de leite durante a semana.
ATENÇÃO!! O ponto crucial Para realizarmos o cálculo de média ponderada é definir qual distribuição será a letra x e qual distribuição definiremos para a letra p.
Como acabamos de estudar, a letra p simboliza a distribuição que dá peso ou que representa a freqüência observada.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
No nosso exemplo, temos uma vaca que produziu diferentes litros de leite durante a semana e temos o preço da cotação diária do litro de leite durante á mesma semana. Pois bem. Você irá observar que no sexto dia da semana, foi o dia em que a nossa vaca produziu mais leite. Se multiplicarmos esses 18 litros de leite pelo preço de venda do dia, chegaremos á uma receita de R$ 21,60.
Analisando o quarto dia da semana, a nossa vaca produziu um pouco menos, produziu 15 litros de leite, o que nos gerou uma receita de R$ 27,00. Perceba que o que está influenciando na nossa receita não é a quantidade produzida de leite e sim o preço do produto. No quarto dia, a cotação do litro de leite era de R$ 1,80, enquanto no sexto dia, quando a vaca produziu mais, era de R$ 1,20. ( R$ 0,80 á mais em relação ao sexto dia).
Portanto, definiremos a cotação diária do litro de leite como sendo a letra p, devido ela possuir mais peso sobre a nossa análise.
TOTAL
xi 10 pi 1,00
14
13
15
16
18
12
1,30
1,50
1,80
1,50
1,20
1,40
9,70
xi . pi 10,00 18,20 19,50 27,00 24,00 21,60 16,80 137,10
X = Σ (xi . pi) Σ pi 137,10 X =
R$ 14,13
9,70
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Para descobrimos a média de uma distribuição com intervalo de classe é preciso encontrar o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.
Produção de Leite por vaca Litros
10 14 18 22
– – – –
Qtde
14 18 22 26
5 2 8 5
TOTAL
20
PM = Li + li 2 PM = 14 + 10
12
2 Portanto, 12 é o ponto médio do primeiro intervalo de classe.
Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Produção de Leite por vaca Litros
10 14 18 22
– – – –
Qtde
14 18 22 26
( pi )
PM
5 2 8 5
( xi ) 12 16 20 24
60 32 160 120
20
TOTAL
(xi . pi )
372
X = Σ (xi . pi) Σ pi 372 X =
X = 18,60 Litros
20
MEDIANA É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando dispostos seguindo uma ordem.
50% 0
n EXEMPLO 1: Foi realizada uma pesquisa com 11 alunos de uma sala, para saber a média de
idade dos mesmos. Prof: Igor França Garcia
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
20; 22; 18; 25; 22; 21; 24; 22; 21; 23; 25 Para facilitar a análise, devemos colocar os números em uma ordem crescente ou decrescente.
18; 20; 21; 21; 22; 22; 22; 23; 24; 25; 25
Portanto, 22 é a Mediana, por ser o número que se encontra na posição central dessa distribuição.
EXEMPLO 2: Foi realizada uma pesquisa com 10 alunos de uma sala, para saber a média de idade dos mesmos.
20; 22; 18; 25; 20; 21; 24; 21; 23; 27 18; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 24; 25; 27 Quando a série de números nos mostra uma série par, a mediana se encontra em dois pontos centrais da série. Nesse caso, a mediana será o ponto médio entre as duas.
PM = 22 + 21
21,5
2
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de números. Para facilitar o encontro da moda, devemos colocar a série em uma ordem.
20; 25; 18; 25; 22; 21; 24; 22; 21; 23; 25 18; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 24; 25; 25; 25
MO = 25
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm, respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a sua média.
2) Encontre a média de altura da seguinte distribuição de alunos: Altura dos alunos Altura (cm)
150 154 158 162 166 170
– – – – – –
Qtde
154 158 162 166 170 174
4 9 11 8 5 3
TOTAL
3) Baseado em uma amostra, descobriu-se que a idade dos alunos de uma sala era: 20; 22; 20; 18; 21; 20; 25; 32; 21; 25; 20; 22; 23; 27. Descubra a média de idade dessa sala, a mediana e a moda.
4) Uma pesquisa realizada sobre a concentração de álcool no sangue de motoristas envolvidos em acidente fatais é dada abaixo. Descubra se a média, a mediana e a moda dos níveis apresentados estão acima do nível permitido. (permissão até 0,20)
0,27 0,17 0,27 0,46 0,13 0,24 0,39 0,24 0,52 0,84 0,16 0,92 0,46 0,21 0,46 1,18 0,80 0,15
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
As medidas de posição, como podemos observar, nos mostra qual a tendência entre os números de uma distribuição.
A média aritmética mostra uma observação média e central entre todos os números, a mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que ocorrem com maior freqüência.
As medidas de posição ( ou tendência central), não observam a variação (ou a dispersão) entre os números de uma distribuição.
EXEMPLO: Foi realizada uma pesquisa, onde se registrou a temperatura de 3 cidades durante uma semana. E o resultado foi o seguinte:
CIDADE
TEMPERATURA
X
A
23; 24; 22; 22; 23; 23; 24
23
B
26; 31; 16; 23; 20; 23; 22
23
C
20; 26; 23; 21; 25; 21; 25
23
Podemos observar, que mesmo que a média de temperatura entre as três cidades sejam iguais, a temperatura registrada em uma semana na cidade A foi a mais homogênea, enquanto a cidade B registrou uma variação maior.
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
TEMPERATURAS A
B
C
33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
Domingo
Para resolvermos esse problema, podemos recorrer as medidas de dispersão ou variabilidade. Dessas medidas, estudaremos:
Amplitude Total, Variância; Desvio Padrão.
AMPLITUDE TOTAL
“É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DE UMA DISTRIBUIÇÃO.”
A T = L i - li Prof: Igor França Garcia
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MEDIDAS DE DISPERSÃO EXEMPLO:
18; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 24; 25; 30;
AT = 30 - 18
12
Mas podemos observar que a Amplitude é falha, por ser influenciada apenas pelos valores extremos, desprezando os demais números que compõem a distribuição.
Para analisarmos melhor a variabilidade ou a dispersão entre os números, usamos a Variância e o Desvio Padrão.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa falha da amplitude, pois levam em consideração a totalidade dos números de uma série, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis.
VARIÂNCIA FORMULA:
s
2
Σ ( xi - x ) Σ fi
=
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO PADRÃO
FORMULA:
s= s
2
Σ ( xi - x ) Σ fi
2
s=
ou
s
=
Σx
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Σ xi Σ fi Σ fi 2 i
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2
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
EXEMPLO: Qual a variação da nota de um aluno que tirou 6 em matemática, 8 em geografia; 9 em português e 2 em inglês, utilizando a Amplitude Total e o Desvio Padrão?
AT = Li - li AT = 9 - 2
7
Para facilitar o cálculo do Desvio Padrão é aconselhável montar uma tabela para acharmos o valor de cada xi elevado ao quadrado.
S =
Σ
xi
xi2
6 9 8 2
36 81 64 4
25
185
Σ xi
xi2
Σ fi
2
Σ fi
2
Perceba a diferença entre substituir a soma do xi e de substituir a soma do xi. A segunda fração está substituindo a soma do
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xi
e depois de resolvido a divisão, elevando-o ao
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MEDIDAS DE DISPERSÃO quadrado.
S =
185
25
4
4
2
S=
46,25 - 39,06
S =
7,19
2,68
DESVIO PADRÃO COM INTERVALO DE CLASSE
FORMULA:
s
Σ ( f . x ) i = Σ fi
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2 i
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Σ ( fi.xi ) Σ fi
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
EXEMPLO: Produção de Leite por vaca Litros
10 14 18 22
– – – –
Qtde
14 18 22 26
5 8 2 5
TOTAL
20
Para descobrimos quem representará a letra
xi e fi é preciso encontrar o ponto médio de
cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.
PM = L1 + l1 2
PM = 14 + 10
12
2 Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula.
Precisamos também da soma de (fi . xi2), dessa forma, resolve-se primeiro o xi2, para depois multiplicar pelo valor de fi e substituir o resultado na fórmula.
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
(f1 . x12)
( 5 . 122)
( 5 . 144 )
720
Produção de Leite por vaca Litros
s
( fi ) PM ( xi )
Qtde
(fi . xi )
(fi . xi2 )
10 – 14
5
12
60
720
14 – 18 18 – 22 22 – 26
8 2 5
16 20 24
128 40 120
2.048 800 2.880
TOTAL
20
348
6.448
2 Σ ( f . x ) i i = Σ fi
S =
6448
348
20
20
S=
322,40 - 302,76
S =
19,64
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Σ ( fi.xi )
2
Σ fi 2
4,43 -
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5, 8, 3, 6 e 4 calcule a amplitude de suas notas e o desvio padrão e descubra se a variação entre essas notas é elevada.
2) Encontre a variação da altura da seguinte distribuição de alunos, usando o desvio padrão. Altura dos alunos Altura (cm)
150 154 158 162 166 170
– – – – – –
154 158 162 166 170 174
Qtde
4 9 11 8 5 3
TOTAL
3) Nos seis últimos treinamentos de Usain Bolt, velocista medalha de ouro nos 100 m rasos nas olimpíadas de Pequim com 9s69, registra a marca de 9s73, 9s76, 9s74, 9s72, 9s72 e 9s70. Descubra a variabilidade das marcas dos últimos treinamentos de Bolt antes das olimpíadas, usando o desvio padrão.
4) Em um restaurante, observou-se que foram consumidos durante os primeiros cinco dias da semana, 21 Kg, 23 kg, 20 kg, 22 kg e 24 kg de arroz. Descubra qual a média de consumo de arroz por dia e a variabilidade do consumo de arroz.
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Uma distribuição pode possuir três características.
Ser SIMETRICA, quando a média e a moda são as mesmas.
EXEMPLO: MÉDIA = 50;
MODA = 50
DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 60 50 40 30 20 10 0
MÉDIA = MODA
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Ser ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA OU NEGATIVA, quando a média é menor do que a moda.
EXEMPLO: MÉDIA = 25;
MODA = 60
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA 70 60 50 40 30 20 10 0
MÉDIA < MODA
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Ser ASSIMÉTRICA Á DIREITA OU POSITIVA, quando a média é maior do que a moda.
EXEMPLO: MÉDIA = 60;
MODA = 25
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á DIREITA 70 60 50 40 30 20 10 0
MÉDIA > MODA
Para que serve a análise de assimetria de uma distribuição?
Serve para descobrirmos a tendência em medidas da nossa distribuição e assim, analisar quais os impactos podemos sofrer, caso ocorra alguma variação na distribuição.
EXEMPLO: Dois investidores possuem a seguinte carteira de ações.
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA PETRÓLEO
MINERAÇÃO
BANCOS
AVIAÇÃO
TOTAL
A
R$ 15.000
R$ 12.000
R$ 14.000
R$ 9.000
R$ 50.000
B
R$ 35.000
R$ 1.000
R$ 12.000
R$ 2.000
R$ 50.000
A média de recursos aplicados por segmento pelo investidor A é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 15.000,00.
Já o aplicador B, a média de recursos aplicados por segmento é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 35.000,00.
Podemos observar que os investimentos do aplicador A está melhor distribuído do que do aplicador B. Caso ocorra alguma desvalorização onde está a maior parte dos investimentos de um dos investidores, o investidor B será o mais afetado. No mercado financeiro, chamamos isso de pulverizar o risco. Qualquer variação brusca nas aplicações, o investidor B sofrerá um impacto maior do que o investidor A.
DISTRIBUIÇÃO DE ASSIMETRIA Investidor A
Investidor B
35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 -
MÉDIA – A e B
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MODA – A
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MODA – B
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
EXERCÍCIOS 1) Analisando os resultados abaixo relativos a três distribuições de freqüência, analise o seu nível de assimetria. Esboce o gráfico de cada um.
PRODUÇÃO DE CANA DE AÇUCAR FAZENDA
2005
2006
2007
2008
2009
Α
5
10
30
10
5
5
20
10
5
5
5
10
20
30
5
B C
2) Um fazendeiro, possui 20 porcos, 45 galinhas, 12 patos, 6 Cavalos, 15 gados e 22 carneiros. Descubra a assimetria dessa distribuição e esboce o gráfico.
3) Um agricultor planejou cultivar 55 t de semente de milho, 120 t de semente de soja e 65 t de semente de feijão. Já um segundo agricultor, resolveu cultivar 70 t de semente de milho, 90 t de semente de soja e 80 t de semente de feijão. Esboce um gráfico de assimetria referente ao planejamento de cultivo de cada agricultor e aponte qual está mais exposto ao risco.
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
CORRELAÇÃO
Nos estudos anteriores, nos preocupamos apenas com uma variável. Quando fazemos a análise sobre duas variáveis, temos o problema da relação entre elas.
Quando analisamos, por exemplo, a ALTURA e o PESO de uma população, procuramos identificar se existe alguma relação em que um pode influenciar o outro.
O instrumento para medir essa relação chamamos de CORRELAÇÃO.
É claro que a altura de uma pessoa pode não influenciar o seu peso, mas, uma observação sobre uma população, em média, quanto maior a altura, maior o peso de uma pessoa.
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
Serve para medir a intensidade da correlação entre duas variáveis e se o sentido dessa correlação é positiva ou negativa.
r=
n . Σ xi.yi - Σ xi . Σ yi n . Σ xi2 - Σ xi
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2
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.
n . Σ yi2 - Σ yi
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2
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
0 -1
1
Se r = 1 a correlação é perfeita e positiva. Se r = -1 a correlação é perfeita e negativa. Se r = 0 não á correlação.
EXEMPLO: Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em uma sala de aula. As notas desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses alunos.
Para facilitar o cálculo de correlação é aconselhável montar uma tabela com as informações obtidas.
Notas de Matemática e Estatística
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MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
5 8 2 10
6 9 6 10
25
31
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.
MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
( xi )
( yi )
5
(xi . yi )
( xi2 )
( yi2 )
6
30
25
36
8 2 10
9 6 10
72 12 100
64 4 100
81 36 100
25
31
214
193
253
Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.
CUIDADO!! Ah uma diferença entre a soma do
xi2 e a soma do ( xi )2. No primeiro,
você irá somar todos os xi que você elevou ao quadrado, no segundo, você irá somar todo os xi e jogar na fórmula. Na fórmula é que se eleva o resultado do xi. A mesma coisa se aplica ao yi.
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
n . Σ xi . yi - Σ xi . Σ yi
r=
n . Σ xi2 - Σ xi
r=
2
.
n . Σ yi2 - Σ yi
4 . 214 - 25 . 31 { 4 . 193 - (25)2 } . { 4 . 253 - (31)2 }
r
856 - 775
=
{ 772 - 625 } . { 1012 - 961 }
r
81
=
{ 147 } . { 51 }
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87
2
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
r=
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81 7497
r=
81 86,59
r
= 0,94
RESPOTA TÉCNICA Há uma correlação altamente significativa entre as notas de matemática e estatística
RESPOTA INFORMAL Existe uma forte relação de que, quem obtém uma nota boa ou uma nota ruim em matemática, também obtém a mesma nota em estatística e vice-versa.
94% dos alunos que tiram notas boas ou ruins em matemática, também obtém a mesma nota em estatística e vice-versa.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
EXERCÍCIO 1) Foi medido a altura e o peso entre 5 alunos. Existe alguma correlação entre eles?.
Altura e Peso dos alunos PESO (Kg)
ALTURA (cm)
50,00
160
60,00
172
49,00
170
80,00
168
65,00
168
2) Em 2000, um grupo em defesa dos peixes-boi na Flórida, apresentaram um estudo, onde mostravam que o aumento da navegação á lazer em um determinado rio, estava aumentando a matança dos animais. Esse fato levou uma longa discussão entre os ambientalistas e as pessoas que queriam se divertir. Para tentar solucionar o caso, o Instituto de pesquisa Marinha da Flórida, fez uma pesquisa sobre o número de mortes de peixes-boi e o número de barcos de passeio entre os anos de 1991 e 2000. Com a ajuda da correlação, descubra se existe alguma ligação entre as mortes dos peixes-boi e a navegação amadora.
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ANO
BARCOS (Mil)
MORTES PEIXES-BOI
1991
68
53
1992
68
38
1993
67
30
1994
70
50
1995
71
51
1996
73
60
1997
76
54
1998
81
67
1999
83
82
2000
84
78
3) Uma linha de produção de um frigorífico observou que a esteira que transportava as carnes travava algumas vezes. Os administradores do frigorífico Levantaram duas hipóteses para esse problema. Primeiro, que a quantidade demasiada de carne transportada, ajudava á travar a esteira, no segundo, que o aumento do transporte de costela é que estava travando a esteira. Durante 4 horas em um determinado dia de trabalho, verificou-se que a esteira travou á cada hora 10, 15, 25 e 8 vezes e durante o mesmo período analisado, a quantidade de carne transportada á cada hora era de 150 Kg, 120 Kg, 180 Kg e 120 Kg e a quantidade de costela transportada foi de 20 Kg, 24 Kg, 33 Kg e 12 Kg. Encontre a correlação entre o travamento da esteira com a quantidade de carne e o travamento da esteira com a quantidade de costela transportada e indique se as duas hipóteses ou qual das duas hipóteses dos administradores está ajudando a travar a esteira.
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Sempre que desejamos estudar a função de determinada variável com outra, fazemos uma análise de regressão.
Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo, descrever qual a relação entre duas variáveis, partindo de testes sobre uma variável e o resultado que essa variável influencia a outra.
A variável sobre a qual desejamos fazer os testes recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.
Aproveitando o exemplo anterior entre a altura e o peso estudado em Correlação, faremos um estudo de Regressão Linear Simples.
Assim, X será a variável independente e Y a variável dependente. Vamos procurar o ajustamento entre elas, definidos pela função:
FUNÇÃO:
Y = a. X + b Vamos então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:.
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
a=
n . Σ xi.yi - Σ xi . Σ yi n . Σ xi2 - Σ xi
2
b = -y - a.xn é a quantidade de observações (freqüência).
-
X é a média dos valores xi.
-
Y é a média dos valore yi.
EXEMPLO: Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em uma sala de aula. A nota desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses alunos.
Para facilitar o cálculo da regressão é aconselhável montar uma tabela com as informações obtidas.
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
Notas de Matemática e Estatística MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
5 8 2 10
6 9 6 10
25
31
Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.
MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
( xi )
( yi )
5 8 2 10
25
=
(xi . yi )
( xi2 )
6 9 6 10
30 72 12 100
25 64 4 100
31
214
193
Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.
a= a=
4 . 214 - 25 . 31 4 . 193 - (25)2
856
- 775
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
a
=
81 147
a
=
0,551
Agora, encontraremos o valor das médias.
x
=
25
6,25
4
y
=
31
7,75
4
Agora substituiremos na fórmula b = y – a.x.
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b = 7,75 - 0,55 . 6,25
b = 7,75 - 3,44
b = 4,31
logo, substituindo na fórmula Y = a.X + b.
Y = 0,55.X + 4,31
Dessa forma, podemos determinar qual deverá ser a Nota de Estatística, testando várias notas em Matemática. Se o aluno tirar uma nota 4 em Matemática (que não se encontra entre as notas extraídas pela amostra) a probabilidade do aluno tirar em Estatística é:
X= 4
Y = 0,55 . (4) + 4,31
Y = 6,51
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Nesse caso, dizemos que foi feita uma INTERPOLAÇÃO, pois 4 está entre a menor nota tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)
E se o aluno tirar uma nota 1 em Matemática?Qual de sua nota em Estatística?
X= 1
Y = 0,55 . (1) + 4,31
Y = 4,86 Nesse caso, dizemos que foi feita uma EXTRAPOLAÇÃO, pois 1 NÃO está entre a menor nota tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)
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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
EXERCÍCIO 1) Encontre a Regressão Linear Simples dos Exercícios n. 1 e n. 2, da página 91, testando as seguintes hipóteses:
No exercício número 1, caso o peso da pessoa seja de 70 Kg e caso o peso da pessoa seja de 40 Kg.
No exercício número 2, caso navegue 75 mil barcos e caso navegue 90 mil barcos.
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NÚMEROS - ÍNDICES
NÚMEROS – ÍNDICES Um candidato á Deputado Estadual na região do Vale do Jauru, pediu que um certo jornal fizesse uma pesquisa com intenção de votos nas quatro maiores cidades da região e o resultado foi o seguinte.
Pesquisa de intenção de voto Município
Candidato A
Araputanga
1.200
Candidato B 920
Jauru
1.100
1.250
50
2.400
Mirassol
2.200
2.410
90
4.700
S. J. 4 Marcos
1.300
880
20
2.200
5.800
5.460
240
11.500
TOTAL
Brancos/ Nulos 80
TOTAL
2.200
Para um estudo comparativo das variações dos votos brancos, essa tabela em
números absolutos em nada nos ajuda. Porém, montando uma nova tabela com números relativos, obtemos o seguinte resultado:
Do total de entrevistados, qual a porcentagem de pessoas que irão votar em branco em cada uma das cidades?.
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NÚMEROS - ÍNDICES
Pesquisa de intenção de voto Município
Candidato A
Araputanga
1.200
Candidato B 920
Jauru
1.100
1.250
50
2.400
Mirassol
2.200
2.410
90
4.700
S. J. 4 Marcos
1.300
880
20
2.200
5.800
5.460
240
11.500
TOTAL
Brancos/ Nulos 80
TOTAL
2.200
Pesquisa de intenção de voto
Araputanga
Brancos / Nulos 80
Jauru
50
0,43%
Mirassol
90
0,78%
S. J. 4 Marcos
20
0,17%
Município
0,70%
80 X 100 11.500
240
TOTAL
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Porcentagem
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100
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NÚMEROS - ÍNDICES
Do total de entrevistados por cidade, qual a porcentagem de pessoas que irão votar em branco em cada uma das cidades?
Pesquisa de intenção de voto Município
Candidato A
Araputanga
1.200
Candidato B 920
Jauru
1.100
1.250
50
2.400
Mirassol
2.200
2.410
90
4.700
S. J. 4 Marcos
1.300
880
20
2.200
5.800
5.460
240
11.500
TOTAL
Brancos/ Nulos 80
TOTAL
2.200
Pesquisa de intenção de voto
Araputanga
Brancos / Nulos 80
Jauru
50
2,08%
Mirassol
90
1,91%
S. J. 4 Marcos
20
0,91%
Município
3,64%
80 X 100 2.200
240
TOTAL
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Porcentagem
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NÚMEROS - ÍNDICES
Essas comparações representam o caso mais simples de medidas estatísticas, que denominamos números-índices, usados principalmente nos negócios e na economia.
Números-Índices ou simplesmente índice é a relação entre dois estados de uma variável ou de um grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço ( ou de grupo de indivíduos para grupo de indivíduos).
ELOS DE RELATIVO É quando criamos números relativos, tomando como base sempre o ano anterior. Esse tipo de Elo de Relativo é chamado de relativos de base móvel.
Preço do Agrotóxico Ano
Agrotóxico
2001
240
Relativo -
2002
300
125%
25%
2003
360
120%
20%
540
150%
50%
2004
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Variação -
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NÚMEROS - ÍNDICES
=
Px P x- 1
P
=
300 240
P
= 1 25%
P x -1 , x 2001, 2002
2001, 2002
Variação2001,
2002
x 100 x 100
= 125% - 100%
RELATIVOS EM CADEIA O relativo em cadeia é o índice de base fixa: Todos os relativos são calculados tomado-se uma determinada data como base para todos os anos.
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NÚMEROS - ÍNDICES
Preço do Agrotóxico Ano
Agrotóxico
2001
240
Relativo -
2002
300
125%
25%
2003
360
150%
50%
540
225%
125%
2004
=
Px P base
P
=
360 240
P
= 1 50%
P
base,
x
2001, 2003
2001, 2003
Variação base, 2003
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Variação -
x 100 x 100
= 150% - 100%
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NÚMEROS - ÍNDICES
ÍNDICES AGREGATIVOS Os índices que estudamos até agora, servem apenas para caracterizar a marcha do preço de um só bem. No entanto, a variação de preços exige um índice que sintetize a variação dos preços de um conjunto de bens (agregado).
Para esse tipo de estudo, utilizamos um índice chamado índice agregativo.
Um modo de determinar o índice agregativo simples é calcular a média artimética dos relativos, obtendo o índice médio de relativos.
Preço da Safra Produto
2001
(Kg)
2002
(Kg)
Relativo
Milho
20
25
125%
Arroz
30
42
140%
Soja
25
30
120%
385%
I
a
=
385% 3
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128,33%
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NÚMEROS - ÍNDICES
ÍNDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO Os índices econômicos e índices de inflação são usados para medir a variação dos preços e os níveis de desenvolvimento de regiões ou países e o impacto no custo de vida da população. Os índices ajudam a compreender e prever o comportamento de uma economia.
Os índices econômicos mais utilizados são:
PIB – Produto Interno Bruto;
PNB – Produto Nacional Bruto;
PIB - Produto Interno Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos na economia dentro de um país, num determinado período de tempo, independentemente de ser realizada por empresas nacionais ou estrangeiras.
PNB - Produto Nacional Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos pelas empresas de mesma nacionalidade de um país, num determinado período de tempo, independentemente de ser realizada em terras nacionais ou estrangeiras.
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NÚMEROS - ÍNDICES E os índices inflacionários mais utilizados são:
IGP – FGV (Índice Geral de Preços) - É calculado pela Fundação Getúlio Vargas. É a média ponderada dos seguintes índices: Índice de Preços por Atacado (60%), Índice de custo de vida (30%) e índice de custo da construção civíl na cidade do RJ (10%). É utilizado para corrigir valores de alugueis, tarifas públicas, planos de saúde, seguro e etc.
INCC – FGV (Índice Nacional de Custo da Construção) - É calculado pela Fundação Getúlio Vargas. São avaliados os preços do setor da construção civil ( material, mão de obra e etc..).
INPC - (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) - É calculado pelo IBGE. Geralmente é utilizado para reajuste salarial. É composto da seguinte forma: Alimentação (33,10%), Despesa Pessoal (13,30%) Vestuário (13,16%), Habitação (12,53%), Transporte e Comunicação (11,44%), Artigos residenciais (8,85%) e Saúde (7,56%).
IPCA - (Índice de Preços ao Consumidor Amplo) - É calculado pelo IBGE. É o índice de inflação oficial adotado pelo governo federal. Sua composição é da seguinte forma: Alimentação (25,21%), Despesa Pessoal (15,68%) Vestuário (12,49%), Habitação (10,91%), Transporte e Comunicação (18,77%), Artigos residenciais (8,09%) e Saúde (8,85%).
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NÚMEROS - ÍNDICES
EXERCÍCIOS 1) Em uma pesquisa sobre o preço da latinha de cerveja nos últimos 9 anos, descobriu-se os seguintes preços:
ANO
Preço da Cerveja (R$)
2000
1,25
2001
1,38
2002
1,42
2003
1,35
2004
1,50
2005
1,63
2006
1,65
2007
1,70
a) Encontre o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano e construa um gráfico para essa variação.
b) Encontra o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano, tomando como base o ano de 2003.
29/3
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NÚMEROS - ÍNDICES
2) Uma associação de donas de casa realizou uma pesquisa sobre os seguintes alimentos que compõe o café da manhã nos últimos três anos e descobriram-se os seguintes preços:
Produtos básicos do Café da manhã 2006
2007
2008
(R$)
(R$)
(R$)
PÃO (Kg)
1,00
1,25
1,75
CAFÉ (gr)
3,10
3,15
3,22
MANTEIGA (Pote)
2,20
2,32
2,35
AÇUCAR (Kg)
0,80
1,05
1,15
PRODUTO
Essa associação resolveu criar um índice chamado de ICMB – Índice do café da manhã básico. Baseado nas informações dos preços descubra:
a) Encontre o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano.
b) Encontra o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano, tomando como base o ano de 2006.
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NÚMEROS - ÍNDICES
3) O Ibope quis saber qual o canal mais assistido na região do Vale do Jauru, descobriu-se a seguinte escolha entre os moradores das quatro maiores cidades da região.
Pesquisa de IBOPE Município
GLOBO
S BT
RECORD TOTAL
Araputanga
2.300
1.500
1.200
5.000
Jauru
1.800
900
1.300
4.000
Mirassol
4.200
2.400
1.400
8.000
S. J. 4 Marcos
1.300
880
820
3.000
9.600
5.680
4.720
20.000
TOTAL
a) Com relação ao total dos entrevistados, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem a Globo em cada cidade.
b) Com relação aos entrevistados por cidade, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem o SBT em cada cidade.
c) Com relação aos entrevistas que escolheram a RECORD, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem a RECORD em cada cidade.
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PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar: Que ele ganhe; Que ele perca; Que ele empate.
Ou seja, o resultado final pode ter três possibilidades.
ESPAÇO AMOSTRAL ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.
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PROBABILIDADE
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos as duas opções possíveis ou o espaço amostral S = {cara, coroa}.
No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos seis opções possíveis ou o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
No experimento aleatório "dois lançamentos de uma moeda" temos o espaço amostral :
S = {(ca,ca); (co,co); (ca,co); (co,ca)}
EVENTOS
EVENTOS
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. É o resultado esperado em um experimento.
No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de tirarmos uma cara?
E={
cara }.
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de tiramos um número par? E = { 2, 4,
6}
E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?
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PROBABILIDADE
FORMULA:
Ε
P(E) =
Número de casos favoráveis
S
Número de casos possíveis
E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?
S = { CA ; CO }
S={2}
E = { CA }
E={1}
P(E) =
P(E) =
E
P(E) =
S
0, 50
ou
1 2
50%
Qual a probabilidade de tirarmos um número par no lançamento de um dado?
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PROBABILIDADE
S={1, 2, 3, 4, 5, 6 }
S={6}
E={2, 4, 6}
E={3}
P(E) =
P(E) =
E
P(E) =
S
0, 50
ou
3 6
50%
EVENTOS COMPLEMENTARES
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo ocorra (sucesso) e
p a probabilidade de que ele
q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um
mesmo evento existe sempre a relação:
FORMULA:
P +q = 1 Qual a probabilidade de tirarmos o número 4 no lançamento de um dado e a probabilidade de não tiramos o 4? Prof: Igor França Garcia
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PROBABILIDADE
E
P(E) =
P(E) =
S
P(E) =
ou
0,17
P + q
=
0,17 +
q
q
=
1
q
= 0, 83
6
17%
1 =
-
1
1
0,17 ou
83%
EVENTOS INDEPENDENTES EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes, quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afete a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Assim, sendo
P(1)
a probabilidade de realização do primeiro evento e
P(2)
a
probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:
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PROBABILIDADE
FORMULA:
P(1 e 2) = P (1) x P (2) EXEMPLO
Quando lançamos 2 dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?
P(1 e 2) = P(1)
P(2)
=
=
P(1) 1 6 1 6
x
=
0,17
=
0,17
P(1 e 2) =
0,17
P(1 e 2) =
0, 0289
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P(2)
x
0,17 ou
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2, 89%
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PROBABILIDADE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
FORMULA:
P(1 e 2) = P (1) + P (2) EXEMPLO
Quando lançamos 1 dado, qual seria a probabilidade de obtermos, o nº 4 OU o nº 3?
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PROBABILIDADE
P(1 e 2) = P(1)
P(2)
=
=
P(1) 1 6 1 6
P(1 e 2) =
0,17
P(1 e 2) =
0, 34
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+
P(2)
=
0,17
=
0,17
+ ou
0,17 34%
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PROBABILIDADE
EXERCÍCIOS 1) Uma fazenda, possui 12 gados, sendo 4 deles vacinados. Qual a probabilidade de sorteamos 1 gado vacinado e 1 gado não vacinado?
2) Em uma pesquisa, foram entrevistadas aleatoriamente 840 pessoas e feita a seguinte pergunta: “Você já viajou de avião?”. 210 pessoas disseram que não viajaram. Qual a probabilidade de encontrarmos uma pessoa que tenha viajado de avião?
3) Uma urna A contém: 3 Bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes, uma urna B, contém 5 Bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Em cada urna, será retirada uma bola. Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas da urna A e da urna B serem: a) Respectivamente Branca e preta. b) Respectivamente Branca e verde. c) Respectivamente Verde e Preta.
4) Qual a probabilidade de um casal ter três filhos e: a) exatamente dois deles sejam meninos. b) exatamente três deles sejam meninos. c) Pelo menos um deles sejam meninos.
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PROBABILIDADE
5) Qual a probabilidade de:
CURSO
Masculino
Feminino
TOTAL
MATEMÁTICA
70
40
110
PORTUGUÊS
15
15
30
ESTATÍSTICA
10
20
30
FILOSOFIA
20
10
30
115
85
200
a) Sortearmos 1 aluno de matemática? b) Sortearmos uma mulher? c) Sortearmos 1 aluno de português e que ele seja homem? d) Sortearmos 1 aluno de português ou de matemática? e) Sortearmos 1 aluno de matemática e filosofia? f) E em Matemática, sortearmos 1 homem
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PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL PROBABILIDADE CONDICIONAL
É quando a probabilidade da ocorrência de um evento, está condicionado á ocorrência de outro evento.
EXEMPLO - 1
Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas bolas SEM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?
1/4 2/5 3/4
BB BV VB VV
= = = =
2/5 2/5 3/5 3/5
x x x x
1/4 3/4 2/4 2/4
2/4
3/5
RESULTADOS 2/4
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RESULTADOS
-
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BB BV VB VV
= 0,40 x 0,25 = 0,10 = 0,40 x 0,75 = 0,30 = 0,60 x 0,50 = 0,30 = 0,60 x 0,50 = 0,30
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PROBABILIDADE EXEMPLO - 2
Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas bolas COM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?
2/5 2/5 3/5
RESULTADOS BB BV VB VV
= = = =
2/5 2/5 3/5 3/5
x x x x
2/5 3/4 2/5 3/5
2/5
3/5
RESULTADOS 2/5
BB BV VB VV
= 0,40 x 0,40 = 0,16 = 0,40 x 0,60 = 0,24 = 0,60 x 0,40 = 0,24 = 0,60 x 0,60 = 0,36
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. EXEMPLO
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PROBABILIDADE
Foram entrevistadas 50 pessoas e descobriu-se que:
15 moram em Araputanga; 15 moram em Mirassol; 10 pessoas fazem faculdade, mas não moram nem em Mirassol e nem em Araputanga; Dos 15, 8 pessoas que moram em Araputanga, fazem faculdade; Dos 15, 5 pessoas que moram em Mirassol, fazem faculdade; 5 pessoas moram e trabalham em Mirassol e Araputanga 5 pessoas fazem faculdade, moram e trabalham em Mirassol e Araputanga.
MIRASSOL
ARAPUTANGA
15
15 FACULDADE
10 3/31
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PROBABILIDADE
ARAPUTANGA
MIRASSOL
15
15
10 FACULDADE
ARAPUTANGA
MIRASSOL
7 8
5 5
10 5
10 FACULDADE
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PROBABILIDADE EXEMPLOS
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade?
ARAPUTANGA
7 8
5 5
MIRASSOL
10 5
P(E) =
Ε S
10
28 50 0,56
FACULDADE
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que tenha algum contato com Araputanga?
ARAPUTANGA
7 8
5 5
MIRASSOL
10 5
P(E) =
10
Ε S
13 50 0,26
FACULDADE
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PROBABILIDADE
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que somente tenha algum contato com Araputanga?
ARAPUTANGA
MIRASSOL
10
5 5
7 8
P(E) =
5
Ε S
10
8 50 0,16
FACULDADE
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade ou que tenha algum contato com Araputanga?
ARAPUTANGA
7 8
MIRASSOL
5 5
10 5
P(E) = Ε + Ε - Ε S
P(E) =
10
S
S
13 50
28 + 25 50 50
FACULDADE
P(E)
= 0,56 + 0,50 - 0,26 = 0,80
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PROBABILIDADE
EXERCÍCIOS 1)
Foram entrevistadas 80 pessoas e descobriu-se que:
20 estudam Matemática; 15 estudam Estatística; 30 estudam Português; Dos 20, 5 estudam Matemática e Estatística; Dos 30, 8 estudam Português e Matemática; 10 pessoas estudam Estatística e Português; 5 pessoas estudam Matemática, Português e Estatística.
Qual a probabilidade de:
a. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática? b. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática e português? c. Sortearmos uma pessoa que estuda estatística ou estuda matemática? d. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática e português? e. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática, português e estatística? f. Sortearmos uma pessoa que faz matemática ou português ou estatística?
2)
Uma urna possui 5 bolas, 3 triângulos e 2 quadrados. Será retirado três figuras sem
reposição. Qual a probabilidade de tirarmos respectivamente:
a)
1 triângulo, 1 quadrado e 1 bola;
b)
3 bolas;
c)
1 quadrado, 1 triângulo e 1 quadrado;
d)
3 quadrados;
e)
1 bola, 1 quadrado e 1 bola;
f)
1 triângulo e 2 bolas.
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Vamos descrever o ESPAÇO AMOSTRAL relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas:
S = { (KA, KA); (KA, CO); (CO, KA); (CO, CO)
}
Agora montaremos uma tabela, onde X representa o número de caras em cada lançamento simultâneo de duas moedas.
LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS PONTO AMOSTRAL
X
( KA , KA)
2
( K A , C O)
1
( CO , KA)
1
( CO , CO)
0
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Então, X é uma variável aleatória que pode assumir os valores x1 , x2 , x3 , ..., xn.
Associamos á cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de cada espaço amostral. Assim temos: Prof: Igor França Garcia
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Σ pi = 1 LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS P(X )
Números de CARAS (X) 2 1 0 TOTAL
¼
0,25
2/4
0,50
¼
0,25 1
Ao definir a Distribuição de Probabilidade, estabelecemos uma correspondência entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável aleatória P. Esta correspondência chamamos de função. Os valores de x1 , x2 , x3 , ..., xn formam o domínio da função e os valores p1 , p2 , p3 , ..., pn o seu conjunto imagem.
Essa função, chamamos de função probabilidade e representamos da seguinte forma:
FÓRMULA
f (x ) = P ( X = x i ) Prof: Igor França Garcia
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A distribuição Binomial resolve problemas de experimentos que são repetidos em números finitos (n).
Qual a probabilidade de obtermos k sucessos em n tentativas.
Vamos dar um exemplo. Qual a probabilidade de conseguirmos “caras” ao lançarmos cinco moedas?
Relembrando que o evento sucesso representamos com a letra p e conseqüentemente o insucesso representamos com a letra q. (q = 1- p)
A forma mais fácil de obtermos os resultados é utilizando a seguinte fórmula:
FÓRMULA
f(x) = P ( X = k ) =
n k
pk . qn - k
P ( X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas p – probabilidade de ocorrer o evento em uma SÓ PROVA q – É a probabilidade de que esse evento não ocorre nessa mesma PROVA.
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
n k
n! k ! (n – k )!
É o coeficiente binomial de n sobre k ( a probabilidade de ocorrer o evento em inúmeras vezes).
EXEMPLO Exemplo 1 Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas. Calcule a probabilidade de obtermos 3 caras em 5 tentativas.
n P(X=k)
=
pk. qn-k
q
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
P(X=3)
5
=
3
1 . 1 5-3 2 2
3
n!
.
k! (n – k)!
.
8
5!
.
3! (5 – 3)!
1
.
3! . (2)!
1
.
.
3! x 2 x 1
1 8
-
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1 4
.
8
5 x 4 x 3!
1 4
8
5 x 4 x 3!
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1
1 4
.
1 4
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
20
.
1
.
2
8
20
0,3125
1 4 31,25%
64
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
EXERCÍCIOS 1)
O Flamengo e Corinthians, jogam esse ano entre si 6 vezes. Qual a
probabilidade do Flamengo ganhar 4 jogos?
2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade dele acertar 2 tiros?
3) Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal:
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é da seguinte forma:
_ X
A área toda da curva tem valor igual á 1 ( ou 100%)
A probabilidade de ocorrer um valor maior do que a média é a mesma para ocorrer um valor menor do que a média.
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso objetivo é obter a probabilidade dessa variável assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos um exemplo
EXEMPLO Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por uma fábrica. Vamos supor que esse parafuso (variável aleatória) tenha distribuição normal de Prof: Igor França Garcia
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
média igual á 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm, ou seja, é aceitável que o diâmetro do parafuso seja maior do que 2 cm, mas não sendo maior do que 2,05 cm.
P (2 < X < 2,05)
2
2,05
Então, qual a probabilidade dessa fábrica produzir parafusos com diâmetros entre 2 á 2,05?
x - x s
z = z =
2,05 - 2 0,04
z =
0,5 0,04
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
z = 1 ,25 P (0 < Z < 1,25)
0
Z = 0,3944
1,25
Então, a probabilidade dessa fábrica produzir um parafuso com diâmetros entre 2 cm á 2,05 cm é de 0,3944 ou 39,44%.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXERCÍCIOS
1) As embalagens de leite da LACBOM são vendidas com 300 ml de leite, mas podendo ser comercializada com menos 15 ml. Descubra qual a probabilidade de ser comercializada embalagens de leite com 285 ml de leite?
2) A Michelin, produz pneus com 15 cm de diâmetro. Observou-se em algumas amostras de pneus, que os mesmo possui uma variação de mais de 1,48 cm (podendo chegar á 16,48 cm) e menos de 0,50 cm (podendo chegar á 14,5 cm). Descubra qual a probabilidade da Michelin produzir pneus entre 14,5 cm á 16,48 cm?.
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TESTE DE HIPÓTESE
TESTE DE HIPÓTESE
Iniciaremos esse capítulo utilizando um exemplo verídico.
As indústrias PROCARE nos EUA, comercializava um produto chamado “GENDER CHOICE” (escolha de sexo) que prometia um produto que aumentava em 85% ás chances de um casal ter um menino e 80% ás chances de um casal ter uma menina.
Se fizermos um experimento com 100 casais que querem ter meninas sem a utilização de algum medicamento, o bom senso nos mostra que os casais têm 50% de chances de terem meninas, ou seja, a probabilidade de nascerem 50 meninas é aceitável e provável.
Vamos supor que fizemos um experimento sobre 100 casais que utilizaram o GENDER CHOICE, e descobrimos que 52 desses casais tiveram meninas. Em geral, esperamos que de 100 nascimentos, nasçam cerca de 50 meninas. No nosso caso, o resultado foi de 52 meninas. Um resultado próximo de 50 é provável de acontecer. Com esse resultado, não podemos concluir que o GENDER CHOICE seja eficaz.
E se o resultado fosse o nascimento de 97 meninas? O resultado de 97 meninas em 100 nascimentos é EXTREMAMENTE IMPROVÁVEL DE OCORRER POR ACASO. Poderíamos tirar duas conclusões. Ou ocorreu um evento extremamente raro por acaso ou o GENDER CHOICE realmente é eficaz.
O ponto-chave desse exemplo é que só podemos concluir a eficácia do produto se obtivermos um resultado ALTAMENTE SIGNIFICATIVO de meninas do que em geral esperaríamos. O resultado de 52 meninas e 97 meninas estão acima da média ( 50 meninas), mas o resultado de 52 meninas não é tão significativo, enquanto o de 97 meninas é. Esse tipo de análise é que levou á retirada do produto no mercado.
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TESTE DE HIPÓTESE
40
50
60
90
COMPONENTES DE UM TESTE DE HIPÓTESE
Em um teste de hipóteses, precisamos definir dois tipos de Hipótese. Quem será a Hipótese nula ( H0 ) e quem será a Hipótese alternativa ( H1 ).
A hipótese nula é a hipótese que será testada. Se ACEITARMOS H0, diremos que o produto é eficaz. Se REJEITARMOS H0, afirmamos que o produto não é eficaz. No exemplo anterior, REJEITAMOS H0 e afirmamos que o produto não é eficaz.
3 PASSOS PARA DEFINIR OS SINAS DAS HIPÓTESES H0 E H1 1 – Identifique a afirmativa (ou a hipótese) a ser testada e expresse-a com um sinal de <, > ou =.
2 – Identifique a falsidade da afirmativa acima e expresse-a com um sinal <, > ou =. 3 – Das duas expressões deixe que H1 seja a afirmativa que não possui a igualdade ou seja <, > ou = e H0 a expressão que possui o sinal = . Prof: Igor França Garcia
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TESTE DE HIPÓTESE
Quando nossas análises envolverem proporção utilizaremos p. Se nossas análises envolverem média utilizaremos µ e se nossas análises envolverem desvio padrão utilizaremos σ.
EXEMPLO 1:
Foram entrevistados alguns motoristas e mais de 50% disseram que ultrapassam o sinal vermelho.
H1:
p
H0: p
>
0,50
<=
0,50
EXEMPLO 2:
O desvio padrão dos QI’s dos alunos especiais na Universidade de Princeton é de 15 pts.
σ
=
15
H1: σ
=
15
H0:
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TESTE DE HIPÓTESE
TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESE Um Teste de Hipóteses pode assumir três formas:
(H1) <
-
Unilateral á esquerda
Região de Rejeição
Região de Aceitação
(H1) >
-
Unilateral á direita
Região de Aceitação
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TESTE DE HIPÓTESE
(H1) =
-
Bilateral
Região de Rejeição
Região de Aceitação
Região de Rejeição
VALORES DAS REGIÕES DE REJEIÇÃO
Com o Auxílio de uma Tabela de Distribuição Normal Padrão Z, vamos descobrir o valor de Z para um nível de significância de 5%, isso é, admitimos a probabilidade de estarmos afirmando uma hipótese erroneamente em 5%.
Nível de significância = 5%
Região de Rejeição
Região de Aceitação
- 1,645 Prof: Igor França Garcia
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TESTE DE HIPÓTESE
Nível de significância = 5%
Região de Aceitação
Região de Rejeição
1,645
Nível de significância = 5%
2,5
Região de Aceitação
- 1,96
2,5
1,96
FÓRMULAS PARA TESTE DE HIPÓTESE
PROPORÇÃO
Quando o problema se tratar de proporção, utilizaremos a seguinte fórmula:
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TESTE DE HIPÓTESE
^-p p
z =
p .q n
MÉDIA
Quando o problema se tratar de valores médios, utilizaremos uma das seguintes fórmulas:
x µ z= σ n
x µ t= s n
DESVIO PADRÃO
Quando o problema se tratar de desvio padrão, utilizaremos a seguinte fórmula:
2
χ
2
( n – 1) . s = 2 σ
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TESTE DE HIPÓTESE
EXEMPLOS EXEMPLO 1:
O DETRAN informou que mais de 50% das pessoas ultrapassam o sinal vermelho. Uma pesquisa feita com 880 motoristas selecionados aleatoriamente mostrou que mais de 56% admitiram passar o sinal vermelho. No nível de significância de 10%, descubra se o resultado encontrado pela amostra foi um resultado por acaso.
H1:
p
H0: p
>
0,50
<=
0,50
Nível de significância = 10%
Região de Aceitação
Região de Rejeição
1,289
z
^- p p p.q n
=
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TESTE DE HIPÓTESE
z
z
0,56 - 0,50
=
0,50 . 0,50 880
0,06
=
z =
0,25 880
0,06
3,59
0,01673
H1: p > 0,50 H0: p <= 0,50 Região de Rejeição
Região de Aceitação
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TESTE DE HIPÓTESE RESPOSTA
Rejeitamos H0. Há indícios que a amostra coletada, demonstra a realidade apontada pelo Detran, sendo que o resultado de 56% não é um resultado que ocorra por acaso em um nível de significância de 10%.
EXEMPLO 2:
Uma cia aérea estabeleceu que pelo menos 95% dos seus vôos cheguem no horário. Para averiguar essa condição, foi retirada uma amostra de 120 vôos dessa cia em uma semana e verificou-se que 110 chegaram no horário. Existe alguma evidência de que a amostra selecionada condiz com o objetivo da cia aérea em um nível de significância de 5%.
H0:
p
>= 0,95
H1: p
<
0,95
Nível de significância = 5%
Região de Rejeição
Região de Aceitação
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TESTE DE HIPÓTESE
z
^ p =
z
z
^- p p p.q n
= 110 120
0,9167
0,9167 - 0,95
=
0,95 . 0,05 120
- 0,03330
=
0,04750 120
z = - 0,03330
-1,67
0,0200
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TESTE DE HIPÓTESE
Nível de significância = 10% H1: p < 0,95 H0: p >= 0,95 Região de Aceitação
Região de Rejeição
-1,645
-1,67 RESPOSTA
Rejeitamos H0. Há indícios que o tamanho da amostra não é suficiente para analisarmos a realidade da cia aérea em um nível de significância de 5%.
EXEMPLO 3:
Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos. Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 3 pontos. Verifique se a amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.
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TESTE DE HIPÓTESE
µ
=
8
H1: µ
=
8
H0:
Nível de significância = 5%
2,5
2,5
Região de Aceitação
-1,96
1,96
z= x - µ σ n
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TESTE DE HIPÓTESE
7 - 8
z =
3 15 1
z =
1,29
0,7746 H0: µ H1: µ
= 8 / 8 =
2,5
2,5
Região de Aceitação
-1,96
1,29
1,96
RESPOSTA
Aceitamos H0. Há indícios suficientes que a amostra coletada condiz com a realidade e a média de notas da nova turma realmente diminuiu de 8 para 7 pontos um nível de significância de 5%. Prof: Igor França Garcia
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TESTE DE HIPÓTESE
EXERCÍCIOS 1) Nas duas ultimas eleições, o candidato A obteve 65% dos votos válidos. Em uma pesquisa de intenção de voto para a próxima eleição, de uma amostra de 120 pessoas o candidato A obteve 66 votos dos entrevistados. Descubra se a amostra coletada condiz com o resultado das ultimas eleições á um nível de significância de 5%.
2) Uma certa revista semanal, alega que 25% dos seus leitores pertencem á classe alta. Uma amostra de 740 leitores, 156 pertenciam a classe alta. Descubra se a amostra coletada mostra a realidade apontada pela revista á um nível de significância de 5%.
3) Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos. Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 1 pontos. Verifique se a amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.
4) Uma empresa, utilizando-se de testes vocacionais, analisou como anda o nível de seus funcionários. Os últimos testes vocacionais mostraram uma pontuação média de seus funcionários em 115 pts. Para analisar se a média do novo teste continua o mesmo, retirou-se aleatoriamente como amostra, a nota de 20 funcionários, onde a média das notas fora de 120 pts e o desvio-padrão de 20. Baseado na amostra descubra se a média do novo teste alterou ou se a amostra coletada não serve para analisar a realidade desse novo teste.
Erro de
significância de 10%.
5) Na região do Vale do Jauru, verificou-se que na década de 70, a mortalidade dos gados por doenças era mais de 60%. Para reduzir esse número, foi feita uma campanha de vacinação, para reduzir os prejuízos dos pecuaristas. Para ver se a campanha deu resultado, foi retirado como amostra, 1.000 gados na região e verificou-se que 430 morreram por doenças. Verifique Prof: Igor França Garcia
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se a amostra coletada, demonstra se a campanha teve resultado, em um nível de siginificância de 8%.
6) Nos últimos 5 anos, 60% ou menos de 60% dos alunos da faculdade que cursaram a disciplina Estatística, foram aprovados. Para averiguar se a porcentagem desse ano de alunos que são aprovados foi alterada, a faculdade fez um novo experimento, onde coletou aleatoriamente a nota de 90 alunos, sendo que 40 deles foram aprovados. Em um nível de significância de 1%, descubra se essa porcentagem foi alterada ou se a amostra coletada não serve para a análise.
7) Uma fábrica de auto-peças, determinou que o diâmetro de seus parafusos para as rodas de um automóvel, fossem de aproximadamente de 12,5 polegadas, mas podendo variar até 1 polegada.
Para analisar se a máquina que fábrica os parafusos continua em perfeito
funcionamento, fora retirado 15 parafusos como amostra, onde a média das polegadas entre eles fora de 12,2 polegadas e o desvio-padrão de 1,61. Descubra se a máquina possui algum problema, baseado na amostra coletada. Nível de Significância de 10%.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2002
TRIOLA, Mário F. Introdução á Estatística. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005
DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2006
BUSSAB, Wilton; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva, 2002
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