BAB I PENDAHULUAN
Simulasi adalah dari kata “simulate” yang berarti “as to assume the appearance of without reality”. Simulasi reservoar didefinisikan sebagai proses pemanfaatan model buatan yang menggambarkan kelakuan reservoar yang sebenarnya, sehingga dapat digunakan untuk mempelajari, mengetahui ataupun memperkirakan kinerja aliran fluida pada sistem reservoar tersebut. Tujuan dari simulasi reservoar dapat dilihat pada Gambar 1.1.
OBJECTIVES OF SIMULATION
Original Oil in Place Determination
Production Schedules
Gas Storage Design
Economic Parameters
Optimization of Petroleum System
Fluid Movement in Reservoir Single Well Studies
Gambar 1.1. Tujuan yang dapat dicapai dengan Simulasi Reservoir Secara umum simulasi reservoir digunakan sebagai acuan dalam perencanaan manajemen reservoir, antara lain sebagai berikut : 1 Memperkirakan kinerja reservoir pada berbagai tahapan dan metode produksi yang diterapkan sembur alam (primary recovery) pressure maintenance reservoir energy maintenance (secondary recovery) enhanced oil recovery (EOR) 2 Mempelajari pengaruh laju alir terhadap perolehan minyak dengan menentukan laju alir maksimum (maximum efficient rate, MER) 3 Menentukan jumlah dan lokasi sumur untuk mendapatkan perolehan minyak yang optimum.
2
4 Menentukan pola sumur injeksi dan produksi untuk mengoptimalkan pola penyapuan. 5 Memperhitungkan adanya indikasi coning dalam menentukan interval komplesi yang optimum serta pemilihan jenis sumur, vertikal atau horizontal. 6 Menganalisa akuifer dan pergerakan air pada proses pendorongan. Tahapan-tahapan dalam perencanaan dan pelaksanaan suatu simulasi reservoir adalah sebagai berikut : 1. Persiapan Data Karakterisasi Reservoir Karakterisasi Batuan dan Fluida Model Geologi 2. Penentuan dan Pembuatan Model 3. Validasi Data 4. Peramalan, Analisa dan Evaluasi Gambar 1.2. berikut ini, menunjukkan hubungan antar tahapan-tahapan dalam simulasi reservoir.
Set Objectives and Prioritize
Roc k and Fluid Characterization
Reservoir Characterization
Geologic Mod el
Model Selec tion and Construc tion
Model Validation Avoid arbitrariness in history matching Apply engineering control
Predic tion, Evaluation and Doc umentation
Ensure consistency among geologic, simulation, lab, and field data. Recognize limitations
Gambar 1.2. Hubungan antar Tahapan dalam Simulasi Reservoir.
BAB II KONSEP DASAR RESERVOAR DALAM SIMULASI 2.1. Hukum Darcy Kemampuan untuk memperkirakan kelakuan dari reservoir tergantung kepada kemampuan seorang engineer untuk memperkirakan karakteristik aliran fluida didalam reservoir. Untuk mendefinisikan kemampuan batuan melewatkan fluida, diperkenalkan sebuah konsep. Konsep ini adalah konsep dari permeabilitas batuan yang merupakan konstanta petrofisik yang dikenal dengan hukum Darcy yang berbunyi sebagai berikut : “laju aliran fluida homogen melalui media berpori berbanding lurus dengan tekanan atau gradient hidrolik dan penampang area normal sesuai dengan arah aliran dan berbanding terbalik dengan viskositas”. Dengan persamaan sebagai berikut : Vs = − Dimana:
k ⎛ ∂P ∂z ⎞ + ⎟ ⎜υ µυ ⎝ ∂s ∂s ⎠
.................................................................... (2-1)
Vs
= kecepatan makroskopik
µ
= viskositas absolut
z
= elevasi
υ
= spesific volume
ρ
= densitas
g
= percepatan gravitasi
Persamaan diatas adalah persamaan definitive untuk permeabilitas madia berpori. Nilai dalam kurung merupakan potensial dari fluidanya sehingga persamaan (2-
1) dapat ditulis:
Vs = −
k ∂Φ µυ ∂s
.................................................................................. (2-2)
dimana : ∂Φ = potensial fluida total Hukum darcy merupakan persamaan empiris, seperti tertulis pada persamaan
sebelumnya
yang
merupakan
persamaan
differensial
yang
menunjukkan suatu titik tertentu. Ada kemungkinan bahwa variabel k, Φ, µ , υ bervariasi untuk setiap lokasi, dan variasi ini harus diperhitungkan.
4
Dalam percobaan Darcy ada beberapa keterbatasan dan asumsi yang dipergunakan sebagai berikut : Fluida homogen dan satu fasa Tidak ada reaksi kimia antara media dan fluida Permeabilitas tidak tergantung terhadap fluida, temperature, tekanan, dan lokasi
Aliran laminar bukan turbulen Tidak ada efek Klinkenberg Tidak ada efek elektromagnetik Rumus Darcy sebenarnya dipakai untuk sistem linier, walaupun demikian telah diperluas penggunaannya untuk sistem multidimensional. Persamaan (2-2) dapat diketahui satuannya dengan analisa dimensi dalam system MLT yaitu : Vs =
L M ∂P M M L , ρ= 3, = 2 2, µ= , g = 2 ............................. (2-3) T L ∂s L T LT T
dengan membuat substitusi dalam persamaan (2-1) akan menghasilkan sebagai berikut : L k ⎛ M M L⎞ = ⎜ 2 2 − 3 2⎟ T M LT ⎝ L T L T ⎠ kLT ⎛ M M ⎞ = ............................................................... (2-4) ⎜ 2 2 − 2 2⎟ M ⎝LT LT ⎠ k = LT jika k/LT sama dengan L/T, maka k = L2, jadi satuan permeabilitas adalah L2.
2.2. Potensial Aliran Prinsip dasar mekanika fluida dari media berpori adalah bahwa vektor kecepatan makroskopik fluida selalu normal terhadap permukaan equipotensial dan besarnya vektor ini berbanding lurus dengan gradient potensial. Karena distribusi potensial didalam fluida menentukan kecepatan makroskopis fluida dan juga keseluruhan aliran. Hubert menyatakan potensial Φ sebagai energi mekanik
5
per unit massa fluida pada tiap lokasi. Untuk mendapatkan fluida pada lokasi ini, beberapa usaha harus dilakukan terhadap fluida. Total kerja yang dilakukan terhadap fluida tercermin dari energi mekanik didalam fluida. Pertimbangkan bahwa sebuah partikel fluida pada datum tertentu dengan potensial nol ( Φ = 0), kemudian potensial dari fluida ini bergerak ke lokasi baru Φ 1 (lihat gambar 2.1) , Φ 1 dapat dihitung dengan persamaan berikut : v1
2
µ Φ 1 = −P' V1 + ∫ P dV + z1 + P1 V1 + 1 2g v1 '
........................................... (2-5)
dapat disederhanakan menjadi : P1
Φ1 = ∫ VdP + z1 + P'
2
µ1 2g
...................................................................... (2-6)
karena kecepatan diabaikan dalam media berpori, maka : P1
Φ1 = ∫ VdP + z1
............................................................................... (2-7)
P'
untuk fluida incompressible maka V bukan fungsi tekanan sehingga dapat ditulis: P1
Φ1 = V ∫ dP + z1
................................................................................ (2-8)
P'
atau : Φ1 = V (P1 − P') + z1
.......................................................................... (2-9)
P1V1
…Location 1
VP´ ...Location “Prime” or Some Datum
Gambar 2.1. Lokasi Partikel
6
Contoh : Perhatikan gambar 2.1. dimana arah akhir dan koordinat z berkurang dalam arah yang sama, selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2-9) : Φ 1 = V (P1 − P') + z
(P − P ) + z = '
1
ρg
bila arah akhir sama dengan arah koordinat z maka ds = dz jadi V + Z = −
k ∂Φ . µV ∂z
Jika arah aliran s berlawanan arah dengan arah koordinat z maka ds = - dz dan V−Z=
k ∂Φ . µ V ∂z
Dalam contoh diatas V − Z =
=
k ∂Φ …… potensial aliran µ V ∂z
q ……….... aliran pipa A
bila diintegralkan menjadi : L
L
qL k q k = (Φ L − Φ o ) dz = dΦ sehingga ∫ ∫ A µV A0 µV 0 dari persamaan (2-9)
Φ L = V(P ' − P ' ) + L = L Φ O = V(P ' − P ' ) + O = O sehingga :
q=
kA µV
flow rate adalah q =
kA ρg µ
sehingga permeabilitas, k dapat ditulis sebagai berikut : k=
qµV A
7
2.3. Konsep Steady dan Unsteady
Mari kita perhatikan aliran partikel yang berbelok-belok mengikuti ruang pori batuan seperti pada gambar berikut: Konsep steady dan unsteady flow dibatasi pada pengaruh tekanan
butiran pasir Partikel fluida Ruang pori
Gambar 2.2. Aliran Partikel Melalui Media Porous Anggap velocity partikel adalah Vs, akselerasi partikel dapat diperoleh dengan
menentukan laju perubahan velocity. V = f(s,t) ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ dV = ⎜ ⎟ dt + ⎜ ⎟ ds ............................................................. (2-10) ⎝ ∂t ⎠ s ⎝ ∂s ⎠ t persamaan untuk akselerasi total dapat ditentukan sebagai berikut : dV ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ds =⎜ ⎟ ⎟ +⎜ dt ⎝ ∂t ⎠ s ⎝ ∂s ⎠ t dt
.............................................................. (2-11)
dV ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ V dt ⎝ ∂t ⎠ s ⎝ ∂s ⎠ t
............................................................... (2-12)
dimana : ds dt
= velocity
⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂t ⎠ s
= akselerasi pada suatu titik lokal
⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟ V ⎝ ∂s ⎠ t
= akselerasi konveksi (akibat adanya gerakan fluida)
8
atau dapat ditulis sebagai berikut : akselerasi total = akselerasi lokal + akselerasi konveksi apabila : ⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂t ⎠ s
regim aliran steady
⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂t ⎠s
⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟ ≠0 ⎝ ∂t ⎠ s
regim aliran unsteady
⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ ≠0 ⎝ ∂t ⎠ s
anggap suatu reservoar yang diwakili dengan sumur, simetri radial dan jari-jari sumur terbatas, jari-jari terluar terbatas seperti pada gambar berikut :
inner boundary Rw
Re outer boundary
Gambar 2.3. Sistem Reservoar Radial Kondisi batas Pada kondisi batas dalam ¾ Constant wellbore pressure (Pwf = konstan) P(rw, t) = konstan
¾ Constant flow rate r
∂p(rw , t) = konstan ......................................................... (2-13) ∂r
¾ variable wellbore pressure P(rw, t) = f1 (t) .................................................................... (2-14)
¾ variable flow rate
9
r
∂p(rw , t) = g1 (t) .............................................................. (2-15) ∂t
¾ shut in well
r
∂p(rw , t) = 0 .................................................................... (2-16) ∂t
Pada kondisi batas luar ¾ Constant pressure
P(re, t) = konstan ................................................................ (2-17) ¾ Constant influx across the boundary
∂p(re , t) = konstan ............................................................ (2-18) ∂r ¾ Variable influx rate
∂p(re , t) = f2 (t) .................................................................. (2-19) ∂r ¾ Closed outer boundary
∂p(re , t) = 0 ....................................................................... (2-20) ∂t ¾ Infinite reservoir system
lim P)r, t) = Pi ...................................................................... (2-21) r ∞ untuk mencapai regim aliran steady state maka sistem harus didukung dalam term influx atau tekanan konstan
aquifer
2.4. Tipe-tipe Fluida
Fluida reservoir dapat diklasifikasikan kedalam tiga tipe tergantung pada komprsibilitasnya. Klasifikasi fluida tersebut yaitu : Incompresible
Mempunyai densitas konstan Slightly compressible
Mempunyai perubahan densitas terukur terhadap tekanan Compressible
Mempunyai perubahan densitas terhadap tekanan sangat besar
10
Compressible ρ Slightly compresible
ρo
Incompressible P Gambar 2.4. Tipe-tipe Fluida
Persamaan keadaan digunakan dalam pengembangan persamaan tipe difusi yang melibatkan hubungan densitas-tekanan. ρ = ρoec ( P − Po ) ................................................................................... (2-22) dimana : c
= compressibility
Po = tekanan @ datum P = tekanan @ sembarang Untuk fluida incompressible
c=0 ρ = ρo , untuk semua harga P Untuk fluida slightly compressible
c≈0 ρ = ρo ec ( P − Po ) dimana : ex = 1 + x +
x2 x3 + + ... ................................................................. (2-23) 2! 3!
11
2
e
c ( P − Po )
⎡ c(P − Po) ⎤ = 1 + c(P − Po) + ⎢ ⎥⎦ + ... 2! ⎣
...................................... (2-24)
karena c ≈ 0, maka term order yang lebih tinggi diabaikan sehingga menjadi : ec ( P−Po ) = 1 + c(P − Po)
ρ = ρo [1 + c(P − Po)] ρ = ρo + ρo c(∆P) catatan : kebanyakan reservoar minyak dan air dianggap dikelompokkan pada
fluida slightly compressible. Sedangkan untuk fluida compressible yaitu gas, maka kesalahan dari seri ekspansi dan eksponensialnya adalah tidak valid sehingga harus digunakan persamaan yang lengkap.
2.5. Aliran Dalam Media Berpori Aliran Multi fasa dalam media berpori yang disaturasifluida kemungkinan bisa hadir 3 fasa
fluida yaitu minyak, air, dan gas persamaan aliran muti fasa adalah persamaan differensial parsial yang non-
linier yang mana tidak dapat diintegrasikan secara analitis. Permeabilitas Relatif Pada batuan yang disaturasi oleh lebih dari satu fluida, kemampuan dari
masing-masing fluida untuk mengalir di bawah gradien tekanan tertentu merupakan fungsi dari permeabilitas relatif dari fasa tersebut. permeabilitas relatif didefinisikan sebagai rasio dari permeabilitas batuan yang
disaturasi oleh fluida tertentu terhadap permeabilitas bila satuan disaturasi oleh 100% fluida tersebut. k ro =
ko k abs
....................................................................................... (2-25)
12
permeabilitas relatif merupakan fungsi saturasi fluida dan kurva permeabilitas
relatif mempunyai bentuk karakteristik
1,0
1,0
krw
kro
0
0 0
Swirr
Sw
Soc
1
Gambar 2.5. Kurva Permeabilitas Relatif
Permeabilitas Relatif Dua Fasa
1. Pendekatan Corey Permeabilitas relatif fasa yang didesak : Ko = (1 - S)4 .................................................................................... (2-26) Permeabilitas relatif fasa pendesak : KD = S3 (2 - S) dimana
13
S=
SD 1 − Swc
...................................................................................... (2-27)
Pendekatan ini baik untuk proses drainage yaitu gas drive dimana saturasi fasa wetting berkurang. 2. Pendekatan Naar-Henderson ko =
(1 − 2S)
3
2
2 − (1 − 2S)
1
......................................................................... (2-28) 2
kD = S4 dimana : S=
SD − Swc 1 − Swc
................................................................................... (2-29)
pendekatan ini baik untuk proses imbibisi yaitu water drive dimana saturasi dari fase wetting bertambah. persamaan umum : ko = (1 - S)n proses drainage koD = Sk (2 - S) dan
k=
(1 − 2S) m [2 − (1 − 2S)]P proses imbibisi
koD = Sq dimana : n, k, m, p, dan q adalah eksponen yang dapat ditentukan dengan proses trial dan error. proses iniakan dicari lebih jauh dalam history matching bila kurva permeabilitas relatif yang dicari di match dengan performance reservoar.
14
Permeabilitas Relatif Tiga Fasa
Stone mengembangkan model 3 fasa dengan mengkombinasikan teori aliran channel pada media porous dengan konsep probabilitas. Data yang diperlukan berasal dari satu set data permeabilitas relatif minyak-air dan data minyak-gas. Harga krw dari gambar 2.6. dan krg dari gambar 2.7. dan digunakan secara langsung dalam model tiga fasa. krg = f(Sg) kr
krw = f(Sw)
kr
krow
krg krw
krog Sg
Sw
Gambar 2.7.
Gambar 2.6.
0 Gas
kro = 0,1
Gas
0,4 0,7 0 Oil
water 100 Gambar 2.8. Kurva Komposisi Tiga Fasa
15
permeabilitas relatif minyak diperoleh dengan persamaan berikut : kro = (krow + krw) (krog + krg) - (krw + krg) .......................................... (2-30) sehingga kro ≥ o dimana : kro = permeabilitas relatif terhadap minyak krg = permeabilitas relatif terhadap gas krw = permeabilitas relatif terhadap air krow = permeabilitas relatif minyak dalam sistem minyak-air krog = permeabilitas relatif minyak dalam sistem gas-minyak dengan menggunakan konsep probabilitas, yaitu :
σ w = krow + krw harga σ w = 1 pada Sw = 1 - Swc term σ w(Sw) adalah fraksi dari permeabilitas relatif total pada Sw yang diberikan demikian pula berlaku :
σ g = krog + krg karena air mendesak minyak dan gas mendesak minyak terjadi pada tempat yang berbeda dan waktu yang sama, maka dua proses ini dianggap merupakan peluang yang bebas. sehingga probabilitas total dari peluang terjadinya merupakan hasil kali dari masing-masing probabilitasnya. kro + krw + krg =
σw σg
= (krow + krw) (krog + krg) ......................................... (2-31) dan kro = (krow + krw) (krog + krg) - (krw + krg) ........................................ (2-32)
BAB III PENURUNAN PERSAMAAN-PERSAMAAN ALIRAN DALAM SIMULASI RESERVOAR Aliran fluida pada media berpori merupakan suatu fenomena yang sangat kompleks, yang tidak dapat dideskripsikan secara eksplisit, sebagaimana halnya aliran fluida pada pipa ataupun media dengan bidang batas yang jelas lainnya. Mempelajari aliran fluida dalam media berpori dibutuhkan pemahaman mengenai beberapa sistem persamaan matematik yang berpengaruh terhadap kelakuan fluida. Rangkaian persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial yang merupakan fungsi dari perubahan tekanan dan saturasi pada suatu waktu tertentu. Akibat kompleksnya sistem persamaan tersebut untuk mendapatkan solusinya secara analitis diperlukan kondisi batas yang khusus dan harus diselesaikan secara numerik dari persamaan diferensial menggunakan persamaan finite difference. Penurunan Persamaan Menurut H.B. Crichlow (1977), prinsip dasar yang digunakan dalam penurunan persamaan pada simulasi terdiri dari : Kesetimbangan Massa Besarnya massa fluida yang terakumulasi pada suatu sistem harus sebanding dengan selisih antara massa fluida yang memasuki dan massa fluida yang keluar dari sistem tersebut. Kesetimbangan Energi Besarnya peningkatan energi pada suatu sistem harus sama dengan selisih antara besarnya energi yang memasuki dan energi yang keluar dari sistem tersebut. Hukum Darcy Persamaan yang menggambarkan pergerakan fluida memasuki ataupun keluar dari elemen reservoar.
17
Persamaan Keadaan Persamaan yang menunjukkan karakteristik tekanan, volume dan temperatur (PVT) dari fraksi aliran fluida pada elemen reservoar. 3.1. Persamaan Aliran Satu Fasa Persamaan pada sistem satu fasa terdiri dari prinsip kesetimbangan massa, persamaan aliran dan persamaan keadaan. x y
z
Min
M out M accum z y x
Gambar 3.1. Differential Volumetric Balance Satu Fasa Berdasarkan pada Gambar 3.1. diatas, besarnya laju massa yang memasuki sistem merupakan fungsi dari kecepatan fluida (v), densitas fluida (ρ), serta luasan penampang dari sistem, yaitu sebagai berikut : Min = v x . ρ x . ∆y ∆z
....................................................................... (3-1)
sedangkan besarnya laju massa yang meninggalkan sistem adalah :
Mout = (v x + ∆x ). (ρ x + ∆x ). ∆y ∆z
...................................................... (3-2)
sehingga besarnya akumulasi massa dalam sistem merupakan fungsi dari volume sistem, densitas fluida serta besarnya waktu yang diperlukan fluida untuk melalui sistem, yang secara matematik adalah sebagai berikut :
Maccum = (∆x ∆y ∆z φ)
(ρ ) t + ∆t
∆t
.......................................................... (3-3)
Sesuai dengan prinsip kesetimbangan massa, maka akan diperoleh hubungan antara Persamaan (3-1), (3-2) dan (3-3) sebagai berikut :
18
v x . ρ x . ∆y ∆z - (v x + ∆x ). (ρ x + ∆x ). ∆y ∆z = (∆x ∆y ∆z φ)
(ρ ) t + ∆t
∆t
...... (3-4)
Pembagian Persamaan (3-4) dengan ∆x.∆y.∆z , akan menghasilkan :
(v x + ∆x ). (ρ x + ∆x ) φ (ρ t + ∆t − ρ t ) v x . ρx = ..................................... (3-5) ∆t ∆x ∆x
Persamaan diatas dapat diubah dalam bentuk limit simultan terhadap harga ∆x dan
∆t, sebagai berikut : ⎡ (v x + ∆x ). (ρ x + ∆x )− v x . ρ x ⎤ ⎡ φ (ρ t + ∆t − ρ t )⎤ = lim ⎢ lim − ⎢ ⎥ ⎥ ................ (3-6) ∆x → 0 ∆x ∆t ⎣ ⎦ ∆x → 0 ⎣ ⎦
sehingga menghasilkan : ∂( v ρ ) ∂ρ = −φ ................................................................................. (3-7) ∂x ∂t
Persamaan (3-7) diatas merupakan prinsip kesetimbangan massa yang juga disebut sebagai Persamaan Kontinyuitas (continuity equation). Dengan cara yang sama, penurunan rumus seperti diatas juga diterapkan pada persamaan kesetimbangan energi. Dengan cara yang sama diperoleh :
∂ ( vρ) ∂ρ = −φ ∂g ∂t
............................................................................... (3-8)
∂ ( vρ) ∂ρ = −φ ∂z ∂t
............................................................................... (3-9)
selanjutnya untuk aliran tiga fasa : ∂ ( vρ) ∂ ( vρ) ∂ ( vρ) ∂ρ + + = −φ ∂x ∂y ∂z ∂t
.................................................. (3-10)
Persamaan Laju Aliran υ=−
k ∂P µ ∂x
.................................................................................... (3-11)
substitusi persamaan (3-11) ke dalam persamaan (3-7) menghasilkan :
19
⎛ k ∂P ⎞ ⎟⎟ ∂⎜⎜ − ⎝ µ ∂x ⎠ = −φ ∂P ∂x ∂t
......................................................................... (3-12)
Persamaan Keadaan
Persamaan keadaan diperlukan untuk menyatakan densitas dalam term tekanan. Pada umumnya di lapangan minyak dianggap tipe fluida slightly compressible. Dalam hal ini persamaan keadaan ditulis sebagai berikut :
ρ = ρ o e c ( P − Po )
................................................................................. (3-13)
dimana : ρ = densitas pada tekanan P ρo = densitas pada tekanan Po c = faktor kompresibilitas isothermal
c≡−
1 ⎛ dV ⎞ ⎜ ⎟ V ⎝ dP ⎠ T
............................................................................. (3-14)
Persamaan (3-12) dapat ditulis sebagai berikut dengan mengabaikan ruas kiri : ⎛ k ∂ 2P k ∂P ∂ρ ⎞ ∂ρ ⎟⎟ = −φ − ⎜⎜ ρ+ 2 µ ∂x ∂x ⎠ ∂t ⎝ µ ∂x
sebagai catatan bahwa :
∂ρ ∂ρ ∂P = ∂x ∂P ∂x dan ∂ρ ∂ρ ∂P = ∂t ∂P ∂t jadi
20
⎛ k ∂ 2P k ∂P ∂P ∂ρ ⎞ ∂ρ ∂P ⎟⎟ = −φ − ⎜⎜ ρ+ 2 µ ∂x ∂x ∂P ⎠ ∂P ∂t ⎝ µ ∂x
........................................ (3-15)
2 ⎛ k ∂ 2P k ∂ρ ⎛ ∂P ⎞ ⎞⎟ ∂ρ ∂P ⎜ ρ+ − ⎜ ⎟ ⎟ = −φ ⎜ µ ∂x 2 µ ∂P ⎝ ∂x ⎠ ⎠ ∂P ∂t ⎝
....................................... (3-16)
2
⎛ ∂P ⎞ dengan mengabaikan ⎜ ⎟ karena dianggap gradient tekanan kecil, persamaan ⎝ ∂x ⎠ (3-15) dengan mengalikan (-1) menjadi :
k ∂ 2P ∂ρ ∂P ρ=φ 2 µ ∂x ∂P ∂t
........................................................................ (3-16)
Persamaan (3-16) dibagi densitas menjadi : k ∂ 2P 1 ∂ρ ∂P =φ 2 ρ ∂P ∂t µ ∂x
....................................................................... (3-17)
definisi faktor kompresibilitas, c adalah : c=
1 ∂ρ ρ ∂P
....................................................................................... (3-18)
Persamaan (3-18) dapat ditunjukkan dengan grafik hubungan antara densitas
terhadap tekanan dengan gambar 3.2.
ρ
c
P Gambar 3.2. ρ versus P
21
k ∂ 2P ∂P = φc 2 µ ∂x ∂t selanjutnya
k dianggap tidak tergantung dengan dimensi spasional sehingga : µ
∂ 2 P φµc ∂P = k ∂t ∂x 2 bila
.............................................................................. (3-19)
.............................................................................. (3-20)
k mempunyai fungsi dimensi spasional, selanjutnya : µ
⎛ k ∂P ⎞ ⎟⎟ ∂⎜⎜ ⎝ µ ∂x ⎠ = φc ∂P ∂x ∂t
......................................................................... (3-21)
persamaan (3-20) dikenal sebagai persamaan difusivitas. Persamaan difusivitas
dapat ditulis juga sebagai berikut : •
Aliran radial ∂ 2 P 1 ∂P φµc ∂P + = k ∂t ∂r 2 r ∂r
•
(3-22)
Dua dimensi ∂ 2 P ∂ 2 P φµc ∂P + = k ∂t ∂x 2 ∂y 2
•
..................................................................
.................................................................... (3-23)
Tiga dimensi ∂ 2 P ∂ 2 P ∂ 2 P φµc ∂P = + + k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
......................................................... (3-24)
22
Gambar 3.3. Sistem Radial, Areal, dan Tiga Dimensi
3.2. Persamaan Aliran Multi Fasa
Persamaan aliran untuk masing-masing fasa dikembangkan identik dengan fluida satu fasa. Minyak :
persamaan
dasar
untuk
aliran
minyak
dihasilkan
dengan
mengkondisikan persamaan kontiunuitas, persamaan Darcy dan persamaan keadaan. (lihat gambar 3.3.) mass rate accumulation
oil mass rate
oil mass rate
in
out
Gambar 3.4. Kesetimbangan Masa Minyak dalam Elemen
23
Dengan menggunakan kesetimbangan masa pada sistem aliran linier : laju masa masuk - laju masa keluar = laju masa akumulasi jadi
⎛ k ∂P ⎞ ⎛ k ∂P ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ − A o ⎜⎜ − A o B x B x µ ∂ µ ∂ o o o o ⎠ x + ∆x ⎠x ⎝ ⎝
⎡ ⎛ (φS ) ⎞ n +1 ⎛ (φS ) n ⎞ ⎤ o o ⎟⎥ ⎟⎟ − ⎜ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎥ ⎜ B B ⎢⎝ o ⎠ o ⎠ (3-25) ⎝ = V⎢ ⎥ ∆t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
dimana A = ∆y∆z V = ∆x ∆y ∆z
persamaan (3-25) dalam batasan : ∂ ⎛ k o ∂P ⎞ ∂ ⎛ φSo ⎜ ⎟= ⎜ ∂x ⎜⎝ µ o B o ∂x ⎟⎠ ∂t ⎜⎝ B o
⎞ ⎟⎟ ⎠
.......................................................
(3-26)
untuk sistem radial ekuivalen sistemnya adalah : 1 ∂ ⎛ k o ∂P ⎞ ∂ ⎛ φSo ⎜r ⎟= ⎜ r ∂r ⎜⎝ µ o B o ∂r ⎟⎠ ∂t ⎜⎝ B o
Gas :
⎞ ⎟⎟ ⎠
.................................................... (3-27)
keseimbangan masa pada fasa gas harus memasukkan semua kemungkinansumber gas (gambar 3.11). untuk sistem linier dapat kita tuliskan: laju masa masuk - laju masa keluar = laju masa akumulasi
Tiap sumber gas yang diindikasikan pada (gambar 3.11) digabungkan dalam term laju masa. jadi :
⎡ ⎛ kg ⎛ kg R k R k ⎞ ∂P ⎤ ⎡ R k R k + so o + sw w + so o + sw w ⎟ ⎥ − ⎢− A⎜ ⎢− A⎜⎜ ⎜µ B ⎟ ⎢⎣ ⎝ g g µ o Bo µ w B w ⎝ µ g Bg µ o Bo µ w B w ⎠ ∂x ⎥⎦ x ⎢⎣
⎞ ∂P ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ∂x ⎥ ⎠ ⎦ x + ∆x
24
n +1 n ⎡ ⎛S R S R S ⎛ S g R so S o R sw S w ⎞ ⎤ ⎞ g so o sw w ⎢ φ⎜ +⎟ ⎥ +⎟ − ⎜ ⎜B B ⎟ ⎥ ⎟ Bw B ⎢ ⎜⎝ B g B o g o w ⎝ ⎠ ⎠ = V⎢ ⎥ t ∆ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣
......... (3-28)
mass rate free gas
mass rate free gas
mass rate gas in oil
mass rate gas in oil
mass rate gas in water
mass rate of accumulation of free gas gas in oil gas inwater
mass rate gas in water
Gambar 3.5. Keseimbangan Masa Gas pada Elemen
dalam batasan menjadi : R k R k ∂ ⎡⎛⎜ k g + so o + sw w ⎢⎜ ∂x ⎢⎣⎝ µ g B g µ o B o µ w Bw
⎞ ∂P ⎤ ∂ ⎡ ⎛ S g R so R sw ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎥ = ⎢φ⎜ + + ⎟ ⎟ ∂x ⎥ ∂ t ⎢ ⎜ B B B o w ⎠⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ g ⎦
(3-29)
untuk sistem radial persamaannya ditulis sebagai berikut : R k R k 1 ∂ ⎡ ⎛⎜ k g + so o + sw w ⎢r⎜ r ∂r ⎣⎢ ⎝ µ g B g µ o B o µ w Bw
⎞ ∂P ⎤ ∂ ⎡ ⎛ S g R so S o R sw K w ⎟ ⎥ = ⎢φ⎜ + + ⎟ ∂r ⎥ ∂t ⎢ ⎜ B Bo Bw ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ g
⎞⎤ ⎟⎥ (3-30) ⎟⎥ ⎠⎦
Air : fasa air pada dasarnya sama dengan fasa minyak. untuk sistem linier : ∂ ⎛ k w ∂P ⎞ ∂ ⎛ S w ⎜ ⎟ = ⎜φ ∂x ⎜⎝ µ w B w ∂x ⎟⎠ ∂t ⎜⎝ B w untuk sistem radial :
⎞ ⎟⎟ ⎠
....................................................... (3-31)
25
1 ∂ ⎛ k w ∂P ⎞ ∂ ⎛ S w ⎜r ⎟ = ⎜φ r ∂r ⎜⎝ µ w B w ∂r ⎟⎠ ∂t ⎜⎝ B w
⎞ ⎟⎟ ⎠
................................................... (3-32)
Ekspansi dalam bentuk radial
Penyamaan persamaan aliran multi fasa untuk aliran unsteady state pada minyak,
gas
dan
air
pada
media
berpori
dikembangkan
dengan
mengkombinasikan tiga persaman aliran single fasa ke dalam persamaan dasar. untuk melakukannya, penelitian lain dilakukan. pertama, untuk semua fasa persamaannya : So + Sg + Sw = 1 ............................................................................. (3-33) jadi
∂ [So + Sg + Sw ] = 0 ................................................................... (3-34) ∂t gradien tekanan diasumsikan kecil dan diabaikan : 2
⎛∂⎞ ⎜ ⎟ ≅0 ⎝ ∂t ⎠
..................................................................................... (3-35)
derivatif persamaan seperti dalam koordinat radial. Persamaan minyak (persamaan 3-27) dikalikan dengan Bo :
Bo r
⎡ ko ∂ 2 P ∂P ⎛ 1 ⎞ ∂Bo ∂P 1 ko ∂P ⎤ ⎟ ⎜− +r + ⎢r ⎥ 2 ∂r ⎜⎝ Bo2 ⎟⎠ ∂P ∂r r µo Bo ∂r ⎥⎦ ⎣⎢ µo Bo ∂r
⎛ 1 ∂So S ∂B ∂P ⎞ ⎟⎟ .................................................... (3-36) = φ Bo ⎜⎜ + o2 o B t B P t ∂ − ∂ ∂ o ⎝ o ⎠
jadi 2 S ∂Bo ∂P ⎞ ⎛ ∂S ko ∂ 2 P ko ∂Bo ⎛ ∂P ⎞ 1 ko ∂P ⎟⎟ = φ ⎜⎜ o − − ⎜ ⎟ 2 µo ∂r µo Bo ∂P ⎝ ∂r ⎠ r µo ∂r ⎝ ∂t Bo ∂P ∂t ⎠
.......
(3-37)
26
2
⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟ diabaikan, persamaan (3-37) menjadi ⎝ ∂r ⎠ ⎛ ∂S ko ∂ 2 P 1 ko ∂P S ∂B ∂P ⎞ ⎟⎟ + = φ ⎜⎜ o − o o 2 r µ o ∂r µo ∂r ⎝ ∂t Bo ∂P ∂t ⎠
................................... (3-38)
dimana ⎛ ∂S ∂ ⎛ 1 ∂P ⎞ ko S ∂B ∂P ⎞ ⎟⎟ ............................................ (3-39) = φ ⎜⎜ o − o o ⎜ ⎟ ∂r ⎝ r ∂r ⎠ µ o ∂ ∂ ∂ t B P t o ⎝ ⎠
persamaan gas (persamaan (3-30) dikalikan dengan Bg : B g ⎧⎪ ⎛ Rso k o Rsw k w kg + + ⎨r ⎜⎜ r ⎪⎩ ⎝ µ o Bo µ w Bw µ g B g
⎞ ∂2P ∂P ⎡ k o ⎟ +r ⎢ 2 ⎟ ∂r ∂r ⎢⎣ µ o ⎠
⎛ 1 ∂Rso ∂P Rso ∂Bo ∂P ⎞⎤ ⎫⎪ ⎟⎟⎥ ⎬ ⎜⎜ − 2 ⎝ Bo ∂P ∂r B2 ∂P ∂r ⎠⎥⎦ ⎪⎭
+
k w ⎛ 1 ∂Rsw ∂P Rsw ∂Bw ∂P ⎞ k g ⎛⎜ 1 ∂B g ∂P ⎞⎟⎤ ⎜ ⎟− − ⎥ µ w ⎜⎝ Bw ∂P ∂r Bw2 ∂P ∂r ⎟⎠ µ g ⎜⎝ B g2 ∂P ∂r ⎟⎠⎥⎦
+
kg ∂P ⎛⎜ Rso k o Rsw k w + − ∂r ⎜⎝ µ o Bo µ w Bw µ g B g
−
Rso S o ∂Bo ∂P S w ∂Rsw ∂P Rsw Rsw S w ∂Bw ∂P + + − ∂t Bo2 ∂P ∂t Bw ∂P ∂t Bw2 ∂P ∂t
+
1 ∂S g S g ∂B g ∂P ⎞ − 2 ⎟ B g ∂t B g ∂P ∂t ⎠
⎞⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎟⎬ = φ B g ⎜ S o ∂Rs ∂P + Rso ∂S o ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎪ ⎝ Bo ∂P ∂t Bo ∂t ⎠ ⎠⎭
............................................................
(3-40)
pengumpulan term : ⎛ k o Rso B g k w Rsw B g k g ⎞ ∂ 2 P k o B g ∂Rso ⎛ ∂P ⎞ 2 k w B g ∂Rsw ⎛ ∂P ⎞ 2 ⎜ ⎟ + + + + ⎜ ⎟ ⎜µ ⎟ 2 µ B ∂P ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ B B µ µ µ w Bw ∂P ⎝ ∂r ⎠ o w w g ⎠ ∂r o o ⎝ o
27
2 2 k g 1 ∂B g ⎛ ∂P ⎞ 2 k o Rso ∂Bo ⎛ ∂P ⎞ k w B g ∂Bw ⎛ ∂P ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − µ o Bo2 ∂P ⎝ ∂r ⎠ µ w Bw2 ∂P ⎝ ∂r ⎠ µ g B g ∂P ⎝ ∂r ⎠
⎛ k Rso B g k w Rsw B g k g ⎞ 1 ∂P ⎛ S o B g ∂Rso Rso S o B g ∂Bo ⎟ +⎜ o + + = φ ⎜⎜ − ⎜µ ⎟ µ w Bw µ g ⎠ r ∂r ∂P Bo2 ⎝ Bo ∂P ⎝ o Bo +
S w B g ∂Rsw Rsw S w B g ∂Bw S g ∂B g − − Bw ∂P ∂P B g ∂P Bw2
⎞ ∂P ⎟⎟ ⎠ ∂t
⎛ B g Rso ∂S o Rsw B g ∂S w ∂S g ⎞ ⎟⎟ ........................................... (3-41) + φ ⎜⎜ + + B t B t t ∂ ∂ ∂ o w ⎝ ⎠ 2
⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟ diabaikan : ⎝ ∂r ⎠ ⎛ k o Rso B g k w Rsw B g k g ⎜ + + ⎜µ µ w Bw µg ⎝ o Bo S w B g ∂Rsw Rsw S w B g ∂Bw + − Bw ∂P ∂P Bw2
⎞⎛ ∂ 2 P 1 ∂P ⎞ ⎛ S o B g ∂Rs Rso S o B g ∂Bo ⎟⎜ ⎜ ⎟ φ + = ⎜ B ∂P − B 2 ⎟⎜ ∂r 2 r ∂r ⎟ ∂P ⎝ ⎠ o ⎝ o ⎠ S g ∂B g ⎞ ∂P ⎟ − B g ∂P ⎟⎠ ∂t ⎛ Rso B g ∂S o Rsw B g ∂S w ∂S g ⎞ ⎟⎟ ........................................... (3-42) + φ ⎜⎜ + + ∂ B ∂ t B ∂ t t o w ⎠ ⎝
persamaan air (persamaan 3-32) dikalikan Bw : ⎛ ∂S S ∂Bw ∂P ⎞ k w ∂ 2 P k w ∂P 1 ⎟ ................................ (3-43) + = φ ⎜⎜ w − w 2 Bw ∂P ∂t ⎟⎠ µ w ∂r µ w ∂r r ⎝ ∂t
persamaan minyak dan air dikombinasikan (persamaan 3-42) dan (persamaan 343), kita dapatkan :
⎡ ∂S ⎛ k o k w ⎞⎛ ∂ 2 P 1 ∂P ⎞ ⎛ S ∂Bo ∂P S w ∂Bw ∂P ⎞⎤ ∂S ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ 2 + ⎟⎥ ⎟⎟ = φ ⎢ o + w − ⎜⎜ o + + r ∂r ⎠ ∂t ⎝ Bo ∂P ∂t Bw ∂P ∂t ⎟⎠⎦ ⎝ µ o µ w ⎠⎝ ∂r ⎣ ∂t (3-44)
persamaan (3-42) dan (3-44) dikombinasikan, didapat :
28
⎛ ∂ 2 P 1 ∂P ⎞⎛ k o k w k g k o Rso B g k w Rsw B g ⎜⎜ 2 + ⎟⎜ + + + + µ w Bw r ∂r ⎟⎠⎜⎝ µ o µ w µ g µ o Bo ⎝ ∂r
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎡⎛ ∂S ∂S g ⎞ S o ∂Bo ⎛ Rs B g ⎞ S o B g ∂Rs ∂S ⎟+ ⎟− ⎜1 + = φ ⎢⎜⎜ w + o + Bwo ⎟⎠ Bo ∂P ∂t ⎟⎠ Bo ∂P ⎜⎝ ∂t ⎣⎢⎝ ∂t R B ⎞ S B ∂Rsw S g ∂B g ⎞ ∂P S ∂Rw ⎛ ⎟ ⎜⎜1 + sw g ⎟⎟ + w g − − w Bw ∂P ⎝ Bw ⎠ Bw ∂P B g ∂P ⎟⎠ ∂t +
Rso B g ∂S o Rsw B g ∂S w + Bo ∂t Bw ∂t
........................................................... (3-45)
sisi kanan persamaan (3-45) dikurangi :
⎡ S ∂Bo ⎛ Rso B g ⎜⎜1 + RHS = φ ⎢− o Bo ⎢⎣ Bo ∂P ⎝ +
⎞ S o B g ∂Rso S w ∂Bw ⎛ Rsw B g ⎜⎜1 + ⎟⎟ + B P B P Bw ∂ ∂ o w ⎝ ⎠
S w B g ∂Rsw S g ∂B g ⎤ ∂P Rso B g ∂S o Rsw B g ∂S w + + ⎥ Bw ∂P B g ∂P ⎦ ∂t Bo ∂t Bw ∂t
⎞ ⎟⎟ ⎠
............. (3-46)
dengan mengalikan persamaan (3-39) dan (3-43) kedalam persamaan (3-46), bagian kiri dipecah dalam bentuk
∂ ⎛ 1 ∂P ⎞ ⎜ ⎟ dan saturasi tergantung waktu : ∂ r ⎝ r ∂r ⎠
1 ∂ ⎛ ∂P ⎞⎛⎜ k o k w k g ⎞⎟ ⎡ Rso B g ⎛ ∂S o S o ∂Bo ∂P ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥φ + + +⎢ − ⎜r ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠⎜⎝ µ o µ w µ g ⎟⎠ ⎣ Bo ⎜⎝ ∂t Bo ∂P ∂t ⎟⎠⎦ ⎡ Rsw B g ⎛ ∂S w S w ∂Bw ∂P ⎞⎤ ⎛ S ∂Bo S o B g ∂Rso ⎜⎜ ⎟⎟⎥ φ = φ ⎜⎜ - o +⎢ − + Bw ∂P ∂t ⎠⎦ Bo ∂P ⎝ B o ∂P ⎣ Bw ⎝ ∂t S g ∂B g ⎞ ∂P Rso B g S o ∂Bo ∂P S w ∂Bw S w B g ∂Rsw ⎟ + + − Bw ∂P Bw ∂P B g ∂P ⎟⎠ ∂t Bo Bo ∂P ∂t S ∂Bw R sw B g ∂P Rso B g ∂S o Rsw B g ∂S w .......................... (3-47) − w + + Bw ∂P Bw ∂t Bo ∂t Bw ∂t −
ct = −
S o ∂Bo S o B g ∂Rso S w ∂Bw S w B g ∂Rsw S g ∂B g .... (3-48) + − − − Bo ∂P Bo ∂P Bw ∂P Bw ∂P B g ∂P
kemudian persamaan (3-47) menjadi :
29
−
S w ∂Bw R sw B g ∂P Rso B g ∂S o Rsw B g ∂S w ........................... (3-49) + + Bw ∂P Bw ∂t Bo ∂t Bw ∂t
kg k k ⎛k⎞ dimana ⎜⎜ ⎟⎟ = o + w + mobilitas total1. ⎝ µ ⎠t µo µw µg mengumpulkan seperti persamaan (3-49) dan menyederhanakan persamaan dengan mengabaikan term yang sama dengan tanda yang berlawanan : 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞⎛ k ⎞ ∂P ............................................................ (3-50) ⎜r ⎟⎜⎜ ⎟⎟ = φ ct r ∂r ⎝ ∂r ⎠⎝ µ ⎠ t ∂t akhirnya
φ ct ∂P 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ ............................................................... (3-51) ⎟= ⎜r r ∂r ⎝ ∂r ⎠ (k / µ )t ∂t persamaan ini mengasumsikan bahwa mobilitas tidak berhubungan dengan radius. Persamaan (3-51) adalah persamaan aliran tiga fasa unsteady state untuk minyak,
gas, dan air dalam sistem radial. Penyelesaian persamaan memberikan harga tekanan dalam radius manapun setiap waktu. Bentuk persamaan ini dijadikan dasar analisa tekanan dari aliran multi fasa. Ekspansi dalam bentuk satu dimensi : memberikan persamaan untuk setiap fasa fluida dalam sistem satu dimensi : Ax
∂ ⎛ ko ∂ Φ o ⎞ ∂ ⎛ φS ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + q o = V R ⎜⎜ o ⎟⎟ ........................................ (3-52) ∂x ⎝ µ o Bo ∂ x ⎠ ∂t ⎝ Bo ⎠
Ax
∂ ⎛ kw ∂ Φo ⎞ ∂ ⎛ φS ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + q w = VR ⎜⎜ w ⎟⎟ ...................................... (3-53) ∂x ⎝ µ w Bw ∂ x ⎠ ∂t ⎝ Bw ⎠
Ax
∂ ⎛⎜ k g ∂ Φ g Rso k o ∂ Φ o Rsw k w ∂ Φ w ⎞⎟ + + + qg ∂x ⎜⎝ µ g B g ∂ x µ o Bo ∂ x µ w Bw ∂ x ⎟⎠
= VR
∂ ⎡ ⎛⎜ S g Rso S o Rsw S w + + ⎢φ ∂t ⎣⎢ ⎜⎝ B g Bo Bw
⎞⎤ ⎟⎥ ................................................ (3-54) ⎟⎥ ⎠⎦
30
kita dapat mengkombinasikan persamaan ini untuk mendapatkan persamaan untuk aliran dalam reservoar. untuk melakukannya, kita memerlukan beberapa kondisi : term potensial didefinisikan sebagai : Φ o = Po + p o gh .............................................................................. (3-55) Φ g = Pg + p g gh ............................................................................. (3-56) Φ w = Pw + p w gh ............................................................................ (3-57) tekanan kapiler : Pcw = Po − Pw ................................................................................. (3-58)
Pcg = Pg − Po
................................................................................. (3-59)
persamaan (3-52) sampai (3-59) dapat gunakan secara kombinasi, persamaan
saturasi (persamaan 3-34) didapat : Ax
∂P ⎞ ∂ ⎛ ∂ ( p g gh ) ∂ ⎛ ∂Pcg ∂ ⎛ ∂Po ⎞ − λ cw ⎟⎟ + Ax ⎜⎜ λ g ⎟ + Ax ⎜⎜ λ r ⎜λr ∂x ⎝ ∂x ∂x ⎝ ∂x ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠
+ λo
∂ ( po gh ) ∂ ( p w gh ) ⎞ ∂P + λw ⎟ = β1 o + β 2 ∂x ∂x ⎠ ∂t
.................................
3.3. Sistem Multi Komponen Apabila transfer masa dari masing-masing komponen dipertimbangkan Terdapat persamaan masing-masing komponen dalam seluruh fasa
Dianggap konsentrasi masa diaplikasikan ke satu komponen Coj = transfer masa komponen j dalam fasa minyak Cgj = transfer masa komponen j dalam fasa gas Cwj = transfer masa komponen j dalam fasa air Kesetimbangan masa untuk masing-masing komponen j :
(3-60)
31
Q well Flow in
Flow out
δx Flow in = ρ o C o u o + ρ g C g u g + ρ w C w u w Flow out = flow in +
...................................... (2-61)
∂ ( ρ o C o u o + ρ g C g u g + ρ w C w u w )δx ........ (2-62) ∂x
Rate of accumulation =
∂ ∂t
( φS o ρ o C o u o + φS g ρ g C g u g + φS w ρ w C w u w ) δx ............................... (2-63) Hukum Darcy :
u=−
k ∂p µ ∂x
.................................................................................... (2-64)
sehingga kesetimbangan materi menjadi : k gρg ∂p g k w ρ w ∂p ∂p ∂ ⎛⎜ k o ρ o C oj o + C gj Cwj w + ∂x ⎜⎝ µ o ∂x µg ∂x µw ∂x =
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
∂ [ φ(S o ρ o C oj + S g ρ g C gj + S w ρ w C wj ) ] ...................................... (2-65) ∂t
terdapat N persamaan seperti persamaan (2-65) dimana variabel-variabelnya adalah Coj
Cgj
Cwc
So
Sg
Sw
Po
Pg
Pw
32
Dimana j = 1, ...N Dimana berlaku hubungan seperti So + Sw + Sg = 1 N
∑C j=1
oj
=1
gj
=1
wj
=1
N
∑C j=1 N
∑C j=1
Kuantitas Coj, Cgj dan Cwj berhubungan dengan kesetimbangan fasa juga tergantung pada tekanan dan temperatur. C gj C oj C gj C wj
= K jgo (T, p o , p g , C, gj C oj )
= K jgw (T, p w , p g , C, gj C wj )
dimana : Kjgo dan Kjgw adalah konstanta distribusi
3.4. Jenis-jenis Simulator
Berdasarkan jenis dan kegunaannya, simulator dibedakan menjadi tiga jenis. Ketiga jenis simulator tersebut yaitu : a. Black Oil Simulation Simulasi reservoir jenis ini digunakan untuk kondisi isothermal, aliran simultan dari minyak, gas dan air yang berhubungan dengan viskositas, gaya gravitasi dan gaya kapiler. Black oil disini digunakan untuk menunjukkan bahwa jenis cairan homogen, tidak ditinjau komposisi kimianya. b. Thermal Simulation
33
Simulasi ini banyak digunakan untuk studi aliran fluida, perpindahan panas maupun reaksi kimia. Simulasi ini banyak digunakan untuk studi injeksi uap panas dan pada proses perolehan minyak tahap lanjut (in situ combustion). c. Compositional Simulation Simulasi ini digunakan jika komposisi cairan atau gas diperhitungkan terhadap perubahan tekanan. Simulasi jenis ini banyak digunakan untuk studi perilaku reservoir yang berisi volatile-oil dan gas condensate.
BAB IV MODEL FINITE DIFFERENCE
4.1.Proses Diskritisasi Pemecahan sistem persamaan aliran
pada umumnya akan menghadapi
penentuan variable yang tergantung terhadap waktu dan ruang. Spatial domain dipecahkan ke dalam sejumlah cells, grids, atau blocks serta menentukan tipe grid yang digunakan. Grid ini pada umumnya berbentuk rectangular tapi tidak harus selalu demikian. Time domain juga dipisahkan menjadi timesteps. Ukuran selang waktu tersebut tergantung persoalan yang akan dipecahkan, pada umumnya semakin kecil selang waktu maka solusi yang diperoleh akan semakin akurat. Contoh dari time discretization adalah Gambar 4.1 berikut.
P (t)
t Gambar 4.1. Time Discretization
Finite Difference Persamaan differensial parsial dapat digantikan dengan finite difference. Persamaan finite diffence dapat diperoleh dengan membuat deret Taylor, seperti berikut :
35
P( x + ∆x ) = P( x) + ∆xP( x) +
1 2 1 ∆x P' ' ( X ) + ∆x 3 P' ' ' ( x) ........................ (4-1) 2 6
P( x − ∆x ) = P ( x) − ∆xP( x) +
1 2 1 ∆x P ' ' ( X ) − ∆x 3 P ' ' ' ( x) 2 6
dimana: P ' =
∂P ∂x
P' ' =
....................... (4-2)
∂2P ∂x 2
Derivative Pertama Persamaan (4-1) dan (4-2) dapat diselesaikan dengan derivative pertama atau
kedua sesuai kebutuhan, contoh : Forward Difference....:
∂P P( x + ∆x) − P( x) = ∆x ∂x
Backward Difference :
∂P P( x) − P( x − ∆x) = ………………………………... (4-4) ∆x ∂x
Central Difference
∂P P ( x + ∆x) − P( x − ∆x) …………………………... (4-5) = ∂x ∆x
:
……………………………… (4-3)
P
x- ∆ x
x
x+ ∆ x
Gambar 4.2. Derivative Pertama
36
Derivative Kedua Untuk P' ' ( x) :
P' ' ( x) =
P( x + ∆x) − 2( x) + P ( x − ∆x) + 0∆x 2 …………….. (4-6) 2 ∆x
P
x- ∆ x
x
x+ ∆ x
Gambar 4.3 Derivative Kedua
4.2. Konsep Formulasi Explicit dan Implicit
Formulasi Eksplisit Pada formulasi eksplisit, solusi ditentukan secara langsung untuk satu titik yang
tidak diketahui pada suatu waktu tertentu dengan menggunakan harga dari titik-titik dari waktu sebelumnya Gambar 4.4.
Gambar 4.4. Skema Penyelesaian dengan Metode Eksplisit
37
Penyelesaian persamaan dengan metode eksplisit adalah sebagai berikut :
∂2P ∂ 2 P ∂P = + ∂t ∂x 2 ∂y 2 diubah ke bentuk finite difference
Pi,nj+1 − 2Pi,nj + Pi,nj−1
+
∆x 2 =
Pi,nj+1 − Pi,nj ∆t
Pin+1, j − 2Pi,nj + Pin−1, j ∆y 2
............................................................................................... (4-7)
dimana :
i, j
= lokasi sel dalam grid
n
= tingkatan waktu lama
n+1
= tingkatan waktu baru
dengan mengeluarkan faktor tekanan, didapat persamaan :
Pi,nj+1 = Pi,nj +
(
∆t Pi,nj+1 − 2Pi,nj + Pi,nj−1 2 ∆x
)
+
∆t ∆y 2
(P
n i +1, j
)
− 2Pi,nj + Pin−1, j .... (4-8)
Persamaan (4-8), menggambarkan metode eksplisit, dimana solusi dapat diperoleh secara langsung (tekanan pada time level yang baru merupakan fungsi dari tekanan sebelumnya). Setiap harga pada bagian sebelah kanan persamaan diatas diketahui, sehingga persamaan diatas merupakan satu persamaan dengan satu bilangan tak diketahui. Gambar 4-5., memperlihatkan kedudukan sel pada kondisi 2-dimensi.
38
Gambar 4.5. Pengaturan Sel pada 2 Dimensi untuk Metode Eksplisit Metode eksplisit tidak lazim digunakan didalam simulasi reservoar, karena sangat tergantung sekali pada time step. Pemakaian motode ini meskipun tergantung pada time step waktu yang digunakan hingga mendapatkan hasil lebih singkat dibandingkan dengan metode implisit.
Formulasi Implisit
Metode implisit memerlukan penyelesaian secara simultan.
Gambar 4.6. Skema Penyelesaian dengan Metode Implisit Penyelesaian persamaan dengan metode eksplisit adalah sebagai berikut :
∂ 2P ∂x
2
=
∂P ∂t
39
diubah ke bentuk finite diffence :
Pi −1 − 2Pi + Pi +1 ∆x 2
=
Pin +1 − Pin .................................................................... (4-9) ∆t
Persamaan untuk menentukan harga P pada n+1, adalah sebagai berikut :
Pin−+11 − 2Pin +1 + Pin++11 ∆x 2
=
Pin +1 − Pin ............................................................. (4-10) ∆t
selanjutnya dengan menggabungkan bentuk yang sama didapat persamaan : ⎛ ∆x 2 ⎞⎟ n +1 ∆x 2 n + Pin−+11 = − Pin++11 − ⎜ 2 + Pi P ⎜ ∆t ⎟⎠ ∆t i ⎝
............................................ (4-11)
Secara umum persamaan dapat ditulis menjadi a i Pi −1 + b i Pi + c i Pi +1 = di ........................................................................... (4-12)
Koefisien a, b, dan c pada Persamaan (4-12) tergantung dari geometri system dan (di) adalah konstanta yang diketahui. Pengamatan terhadap n sel, maka akan ada n persamaan dengan n harga yang tidak diketahui. Contoh perhitungan adalah sebagai berikut : Sel
1
ai P0 – bi P1 + ci P2
2
= d1
a2 P1 – b2 P2 + c2 P3
3 ..
n
= d2
a3 P2 – b3 P3 + c3 P4 ………………...
= d3 =…
ab Pn-1 – bn Pn + cn Pn+1 = dn
Sel dengan nomor 0 dan n+1 biasanya adalah sel fiktif, sel tersebut tidak termasuk dalam model dan dapat dihilangkan dengan menggunakan kondisi batas. Solusi dari persamaan diatas dapat didapat dengan menggunakan notasi matrik, sebagai berikut :
AP=d dimana bentuk matriksnya:
40
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
a1
b1
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ∗ ⎢ P1 ⎥ = ⎢d 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
c1
......................................................... (3-13)
Sistim ini dapat diselesaikan untuk tekanan tekanan yang tak diketahui menggunakan algoritma Thomas yang merupakan modifikasi eleminasi Gauss. Contoh penggunaan persamaan diferensial parsial 2 dimensi sebagai berikut: ∂ 2P ∂x
2
+
∂2P ∂y
2
=
∂P ..................................................................................... (4-14) ∂t
maka persamaan finite difference fully implicit dalam grid dapat dituliskan : Pi,nj+−11 − Pi,nj+1 + Pi,nj++11 ∆x 2
+
Pin−1,+1j − Pi,nj+1 + Pin++1,1j ∆y 2
=
Pi,nj+1 − Pi,nj ∆t
............................ (4-15)
Mengingat semua tekanan pada saat time level baru, dan merupakan variabel yang tak diketahui, persamaan sekarang memiliki lima variabel yang tak diketahui. Dan persamaan umum menjadi (diasumsikan ∆x = ∆y): e i Pi,nj−−11 + a i Pin++1,1j + b i Pi,nj+1 + c i Pin−1,+1j + f i Pi,nj++11 = d i ...................................... (4-16)
dimana koefisien e,a,b,c,f dan d didefinisikan seperti pada satu dimensi. Persamaan di atas akan membentuk matriks dengan five tridiagonal system :
A P = d ...................................................................................................... (4-17) dan matriksnya :
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
d c b a e
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ∗ ⎢ P ⎥ = ⎢d ⎥ ............................................. (4-18) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
41
Bentuk implisit memiliki kestabilan untuk semua nilai pada ∆t/∆x2.
4.3. Gridding Desain grid harus memperhatikan batas antara gas dan air pada reservoar, juga luas reservoar (batas-batas reservoar) atau batas dimana ketebalan pasir bernilai nol. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penentuan sel adalah sebagai berikut : Perbedaan panjang sumbu x maupun y sel yang berdampingan tidak boleh melebihi 3 kali.
Ukuran sel tidak harus seragam.
Tiap sumur harus dipisahkan minimum oleh satu sel.
Perubahan maksimum saturasi sel tidak boleh melebihi 5%.
Perubahan maksimum tekanan sel tidak boleh melebihi 200 psi.
Pembuatan grid dalam simulasi harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut :
1. Posisi Grid Penempatan grid pada simulasi reservoar yang menjadi pedoman adalah bahwa reservoar yang disimulasikan harus terlingkupi oleh grid. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan grid adalah :
Grid harus melingkupi seluruh bagian reservoar
Grid harus melingkupi semua sumur yang aktif
Grid sejajar dengan ketebalan lapisan produktif
2. Ukuran Grid Ukuran grid sangat mempengaruhi tingkat ketelitian perhitungan cadangan dan pergerakan fluida reservoar yang dilakukan simulator. Ukuran sel yang semakin kecil akan menghasilkan perhitungan yang dilakukan simulator semakin teliti. Semakin kecil sel akan menambah jumlah sel keseluruhan sehingga akan membutuhkan waktu yang lebih lama pada saat dijalankan karena kerja simulator semakin berat. Penentuan ukuran
grid yang baik perlu memperhatikan :
Dapat mengidentifikasikan saturasi dan tekanan pada suatu posisi yang spesifik sesuai dengan kebutuhan studi
42
Dapat menggambarkan geometri, geologi dan properti reservoar awal dengan jelas
Dapat menggambarkan saturasi dinamis dan profil tekanan cukup detail untuk mendapatkan hasil yang obyektif
Pergerakan fluida pada model cukup pantas
Dapat cocok dengan pernyelesaian matematis simulator sehingga hasil aliran fluida akurat dan stabil
3. Sel Pasif Pengertian sel pasif adalah bila dalam sel mempunyai harga mempunyai ketebalan lapisan nol, maka sel tersebut harus dinonaktifkan, sehingga simulator secara otomatis tidak akan melakukan perhitungan apapun terhadap sel tersebut.
4. Tipe Grid Grid pada model simulasi digunakan untuk menterjemahkan bentuk discrette pada persamaan finite difference. Jenis grid yang digunakan pada pemodelan ditentukan berdasarkan tujuan dari simulasi. Sistem grid yang dapat digunakan pada model simulasi adalah sebagai berikut :
Block Centered, parameter yang saling bergantungan dihitung pada tengah tengah sel atau blok. Tidak ada titik pada boundary.
Lattice atau Corner Point, parameter yang saling bergantung dihitung pada titik perpotongan garis grid. Ada beberapa titik pada batas
43
Gambar 4.7. Sistem Grid pada Model Simulasi (a) Block Centered Grid, (b) Lattice Grid
Gambar 4.8. Jenis Ukuran Grid pada Model Simulasi (a) coarse grid, (b) fine grid Ukuran grid dapat dibedakan menjadi 2 jenis yaitu coarse grid (grid kasar) dan
fine grid (grid halus) seperti yang terlihat pada Gambar 4.8. Coarse grid biasanya digunakan pada simulasi sederhana ataupun digunakan pada tahap awal untuk menguji model konsep yang akan digunakan. Fine grid digunakan setelah konsep model sesuai, serta pada simulasi reservoar berlapis.
44
Bentuk grid dapat dibedakan menjadi 5 jenis, yaitu:
Cartesian Grid Grid jenis ini dibentuk oleh garis-garis horisontal dan vertikal yang membentuk bujur sangkar, dan merupakan jenis grid yang paling umum digunakan dalam pemodelan reservoar.
Curvilinear Grid Grid ini digunakan untuk menyesuaikan model dengan batas reservoar, adanya patahan serta untuk mengikuti arah pola aliran fluida, terutama pada reservoar miring, atau adanya perbedaan kedalaman antara sumur injeksi dan produksi.
Radial Grid Grid jenis ini biasanya digunakan pada simulasi satu sumur (single-well), untuk memperkirakan kinerja sumur, terjadinya coning, mengetahui pengaruh komplesi serta memperkirakan karakteristik permeabilitas ditempat dengan pressure build-
up.
Gambar 4.9. Cartesian Grid dan Curvlinear Grid
45
Lubang sumur Gambar 4.10. Radial Grid
Locally-refined Cartesian Grid Grid jenis ini di bentuk dengan membuat fine grid pada bagian-bagian tertentu dari coarse grid. Hal ini dilakukan untuk mempercepat proses simulasi yaitu dengan memperkecil jumlah sel yang disimulasikan.
Gambar 4.11. Locally-refinement Cartesian Grid Pembuatan grid juga memperhatikan penentuan arah grid. Penentuan arah grid dipengaruhi oleh distribusi permeabilitas vertikal dan horisontal (pada reservoar anisotropi), serta arah aliran fluida yang dominan. Gambar 4.12. menunjukkan pengaruh arah grid terhadap proses aliran fluida pada simulasi.
46
aliran fluida pada reservoir
aliran fluida pada simulasi
Gambar 4.12. Pengaruh Arah Grid terhadap Proses Aliran pada Simulasi Pengertian Consistency
Pendekatan finite difference dikatakan konsisten bila truncation error mendekati 0 (nol).
Hubungan antara persamaan differensial dengan formulasi diskrit disebut consistency.
Pengertian Convergency
Kesalahan antara solusi eksak dari persamaan finite difference-nya disebut discritization error.
Formulasi finite difference disebut convergent bila discritization mendekati 0 (nol)
4.4. Kriteria Stabilitas Konsep stabilitas penting dalam permasalahan-permasalahan yang bergantung pada waktu. Definisi : Suatu algoritma numeric dianggap stabil bila kesalahan-kesalahan yang dihasilkan pada beberapa tingkatan perhitungan tidak bertambah besar selama tahapan perhitungan. Dalam pengertian yang lebih umum, stabilitas berarti bahwa solusi perhitungan dengan mesin bergantung secara kontinyu pada kondisi awal dan kondisi batas. Untuk persamaan eliptik, pendekatan selalu akan stabil bila ia konsisten (termasuk pendekatan
47
dari kondisi batas) dan jika metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan matrik, ia sendiri tabil melawan kesalahan pembatasan.
unstable ∆Pk stable
0 1
k ∆Pk = change in pressure during time step “k” = Pk+1 - Pk
Gambar 4.13 Stabilitas Metode Matrik Pada umumnya, metode matrik melibatkan kesalahan karena penggunaan aljabar matrik. Pada kenyataannya, proses dimulai dengan mendefinisikan kesalahan yang berhubungan dengan solusi dari sistem persamaan linier yang simultan
dan
menghubungkan dengan kesalahan tadi untuk melanjutkan perkalian dari koefisien matrik A yang diberikan : en+1 = Aen = A(A en-1) ............................................................................. (4-19) Jadi en+1 = An+1 e0 ........................................................................................... n+1
Kemudian matrik A harus memiliki property tertentu untuk kesalahan e
(4-20) untuk
mempertahankan batas. Perilaku dari matrik A dianalisa dalam harga λ dan verktor. Hal ini dimungkinkan karena definisi dari harga untuk tiap verktor V : AV = λV ................................................................................................. (4-21) Jadi kesalahan pesamaan (persamaan (4-20)) dapat ditulis :
48
en+1 = An+1 e0 = λn+1 e0 Jadi untuk kestabilan en+1
........................................................................... (4-22)
0 sebagai pertambahan n + 1 :
׀λ ≤ ׀1 ................................................................................................... (4-23) Jadi persamaan (4-23) dapat ditulis : ׀λmax ≤ ׀1 Harga terbesar dinamakan radius spktrum dari matrik. Pertimbangkan bahwa perlakuan stabilitas untuk kasus persamaan parabolic dalam dua dimensi :
∂ 2 u ∂ 2 u ∂u = + ∂x 2 ∂y 2 ∂t
..................................................................................... (4-24)
Penulisan formula implicit secara keseluruhan untuk system ini dalam dua dimensi digunakan untuk menentukan persamaan linier yang simultan. Persamaan simultan didapat dari persamaan finite difference untuk setiap titik dalam mes : Au = b ....................................................................................................... (4-23)
Dalam bentuk matrik ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢u ⎥ = ⎢b ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
system matrik dinormalisasi dengan mengacu pada tiap elemen diagonal aii. Kemudian A dapat disederhanakan menjadi segitiga matrik yang lebih rendah atau lebih tinggi sebagai berikut : (I – H – K)u = b ........................................................................................ (4-24) dimana ⎡0 ⎢ 0 ⎢ −H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
. .
⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ 0⎥⎦
⎡0 ⎢ 0 ⎢ −K =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
. .
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥⎦
49
dan I adalah identitas matrik :
⎡1 ⎢ 1 ⎢ I =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
.
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . ⎥ 1⎥⎦
persamaan (4-24) dapat ditulis : Iu = u = (H + K)u + b kemudian
u* = (H + K)u* + b .................................................................................. (4-25) dimana * menandakan harga sebenarnya. Seperti
ditunjukan
sebelumnya,
Skema
LSOR
(the
line
successive
overrelaxation) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4-22). Untuk skema LSOR skema umum finite-difference yang digunakan dalam model dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :
Aun+1 = Bun + Cun+1 + b .......................................................................... (4-26) Dimana:
⎡ ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ B=⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎤ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ C=⎢ dan b dikenal sbagai vector kolom ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Kesalahan pada iterasi didefinisikan sebagai : en = u* - un .............................................................................................. (4-27) Dimana un adalah bilangan ke-n dari nilai sebenarnya.
50
Penyelesaian persamaan 4-26 untuk un+1 : un + 1 = A-1 Bun + A-1 Cun-1 + A-1 b .......................................................... (4-28) Pengurangan persamaan (4-28) dari persamaan (4-25), term pertambahan kesalahan menjadi :
en + 1 = (H – A –1C) (u* - un + 1) + (K – A-1 B)(u* - un)................................ (4-29) Karena vektor kolom b dianggap konstan. Jadi :
en + 1 = (H – A –1C) en + 1 + (K – A-1 B)en .................................................. (4-30) Penyelesaian untuk en+1
en +1 = [I – (H – A-1C)] [K – A-1B]en = {[I (H – A-1 C)][K – A –1 B]}neo
....................................................... (4-31) ................................................... (4-32)
Matrik {[I – (H – A-1 C)] [K – A-1 B]}, harus mempunyai harga kurang dari penggabungan untuk konvergensi system. Saat iterasi bertambah, term kesalahan berkurang dan akhirnya mendekati nol. En+1
0
N
∞
BAB V SOLUSI UNTUK PERSAMAAN SIMULATOR
5.1. Proses Pengerjaan Setelah mendapatkan persamaan untuk aliran yang simultan untuk berbagai fasa, maka diperlukan system untuk menyelesaikan parameter yang tidak diketahui. Nilai yang diketahui adalah : Tekanan minyak Tekanan gas Tekanan air Saturasi minyak Saturasi gas Saturasi air Parameter yang dapat diperoleh dari variable diatas : Laju alir minyak Laju alir gas Laju alir air Proses penyelesaian persamaan tergantung
seberapa besar system yang
dimodelkan. Untuk penyelesaian persamaan simulator, terdapat dua metode persamaan yaitu : Metode Implicit Pressure – Explicit Saturation (IMPES) Metode Implicit Pressure – Implicit Saturation
5.2. Metode Implicit Pressure – Explicit Saturation (IMPES) Metoda ini dengan cara mengkombinasikan tiga persamaan : minyak, air, dan gas menjadi satu persamaan dengan satu variable tekanan (misalnya tekanan minyak). Metoda ini juga mengkombinasikan persamaan single phase ke dalam single multiphase beradasarkan tekanan, kemudian menyelesaikan persamaan tekanan dengan implisit pada pendistribusian tekanan yang terjadi, sedangkan saturasi diperhitungkan secara ekplisit untuk setiap titik.
52
Perhatian terhadap potensial aliran dan tekanan kapiler untuk setiap fluida berikut: potensial aliran: minyak
: Φ = Po + ρogh
gas
: Φ = Pg + ρggh
air
: Φ = Pw + ρwgh
tekanan kapiler: air/minyak : Pcw = Po - Pw gas/minyak: Pcg = Pg – Po sehingga diperoleh suatu persamaan: Ax
∂Pcw ⎞ ∂ ⎛ ∂Po ⎞ ∂ ⎛ ∂Pcg ⎟+ ⎜λg λ − ⎜λT ⎟ + Ax w ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎜⎝ ∂x ∂x ⎟⎠
Ax
∂ (ρ w h )⎤ ∂P0 ∂ (ρ o h ) ∂ ⎡ ∂ ρgh + B 2 ......... (5-1) + λw + λo ⎢λ g ⎥ = B1 ∂x ⎦ ∂t ∂x ∂x ⎣ ∂x
( )
dimana λ merupakan “mobility”, yang merupakan fungsi dari saturasi dan tekanan : λ=
ki µiBi
......................................................................................... (5-2)
Pada akhirnya menimbulkan pertanyaan bagaimana menghitung tekanan jika penyelesaian persamaan itu sendiri memerlukan data mobilitas yang tergantung pada tekanan?, untuk menjawabnya maka ada dua jalan , yaitu dengan mengevaluasi mobilitas, Pog dan Pow pada kondisi tekanan sebelumnya, dengan harapan tak ada perubahan saturasi dan tekanan terlalu besar. Pendekatan tersebut dapat diuraikan sebagai berikut : (mobilitas, data kapilaritas)n (tekanan)n+1 = ruas kanan n+1.k+1
....... (5-3)
sehingga pendekatan diatas adalah dengan cara iterasi, dengan mengasumsikan data tekanan, saturasi dan kapilaritas dari perhitungan terbaru komputer, yang tentunya merupakan nilai dari old time step / selang waktu yang terdahulu. Pendekatannya sebagai berikut: (mobilitas, data kapilaritas)n+1.k(tekanan)n+1.k+1 = ruas kanan n+1.k+1
. (5-4)
53
Finite Difference Analog Bentuk finite difference pada persamaan tekanan dapat dipecahkan dengan menggunakan sistem alogaritma seperti, Gaussian Elemination, Line Succesive
Over Relaxation (LSOR), Conjugate Gradient – Like, Coordinate System untuk memperoleh distribusi tekanan, lalu potensial tekanan dapat diperhitungkan. Potensial distribusi menghasilkan nilai saturasi yang baru dapat diperhitungkan sebagai berikut:
⎛ So ⎞ ⎜φ ⎟ ⎝ Bo ⎠
n +1
n ∆t ⎡ ∂ ⎛ ko ∂Φo ⎞⎤ ⎛ So ⎞ ⎟⎟⎥ = S on + ∑ Flux term = ⎜ ⎟ + ⎢ ⎜⎜ φ ⎣ ∂x ⎝ µoBo ∂x ⎠⎦ ⎝ Bo ⎠
Gambar 5.1. Skema Penyelesaian dengan Metode IMPES
.. (5-5)
54
5.3. Metode Implicit Pressure – Implicit Saturation
Metoda ini juga disebut metode Fully Implicit, pada metode ini ketiga persamaan aliran (gas, minyak dan air) diselesaikan secara simultan, tanpa terlebih dahulu mengurangi jumlah persamaan. Setiap sel terdapat tiga variable yang harus dihitung ; Po, Pw, dan Pg, sehingga akan menghasilkan sistem persamaan yang komplek, demikian pula dengan koefisien matriks dari persamaan tersebut. Metode ini selain komplek juga memerlukan waktu komputer yang lama. Pada metode ini persamaan diferensial parsial satu dimensi untuk setiap fasa akan menggambarkan aliran fluida untuk masing masing fasa fluida yang mengalir dalam reservoir, seperti berikut ini terdapat dua fasa imcompressible 1D: ∂S ∂ ⎛ k o ∂Φ o ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = φ o ∂x ⎝ µ o ∂x ⎠ ∂t
.................................................................. (5-6)
∂ ⎛ kw ∂Φw ⎞ ∂Sw ⎜⎜ ⎟⎟ = φ ∂x ⎝ µw ∂x ⎠ ∂t
.................................................................... (5-7)
dimana :
Φ = P + ρgh = potensial aliran h
= ketinggian di atas horizontal plane yang dideferensikan
g
= percepatan gravitasi
ρ
= densitas air atau minyak
P
= fasa tekanan minyak atau air
kemudian :
Φ =
Po + ρogh
Φ =
Pw + ρwgh
Selain itu perlu diingat bahwa dikarenakan ada dua fluida yaitu : minyak dan air maka berlaku: So + Sw = 1 So = 1- Sw
Kemudian tekanan kapiler pada setiap titik juga harus didefinisikan secara matematik sebagai: Pc = Po - Pw
55
Perubahan saturasi dinyatakan dalam bentuk tekanan kapiler dan kemudian dalam bentuk potensial aliran dipergunakan hukum rantai sehingga pada akhirnya didapatkan penurunan saturasi. ∂S S n +1 − S n = n +1 ∂Pc Φ o − Φ nw
…..…………………………………………...
(5-8)
sehingga : ∂P ∂S = S' c ∂t ∂t
................................................................................. (5-9)
persamaan (5-6) dan (5-7) dapat ditulis : ∂ ⎛ k o ∂Φ o =⎜ ∂x ⎜⎝ µ o ∂x
⎞ ⎛ ∂Φ o ∂Φ w ⎞ ⎟⎟ = −φS ' ⎜ − ⎟ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠
..................................... (5-10)
∂ ⎛ k o ∂Φ w ⎞ ⎛ ∂Φ o ∂Φ w ⎞ ⎟⎟ = −φS ' ⎜ = ⎜⎜ − ⎟ ∂x ⎝ µ o ∂x ⎠ ∂t ⎠ ⎝ ∂t
.................................... (5-11)
Persamaan ini dapat dikembangkan untuk perhitungan derivatif S pada kondisi waktu n + ½, dengan memperhitungkan persamaan diferensial parsial setiap fasa pada setiap sel dengan mempergunakan formulasi fully implicit, maka diperoleh 2 parameter yang tak diketahui pada waktu yang baru, yaitu: Φon+1 dan Φwn+1. 1 ⎡⎛ k o ⎢⎜ ∆x ⎢⎜⎝ µ o ⎣
=−
⎛ Φ ont+−11 − Φ ont+1 ⎞ ⎛ k o ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ µ o ∆ x ⎠ i +1 / 2 ⎝ ⎠
[(
ΦS' Φ on t+1 − Φ on t − Φ nw+t 1 − Φ nw t ∆t
) (
⎛ Φ ont+1 − Φ ont+−11 ⎞ ⎜ ⎟⎟ ∆x ⎠ i −1 / 2 ⎜⎝
)]
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
............................................ (5-12)
untuk fasa air : ⎛ Φ nw+t −11 − Φ nw+t 1 ⎞ ⎛ k w ⎞ ⎛ Φ nw+t 1 − Φ nw+t −11 1 ⎡⎛ k w ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎢⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ µ w ⎟⎠ ⎜ ∆x ⎢⎝ µ w ⎠ i +1 / 2 ⎜⎝ ∆x ∆x i −1 / 2 ⎝ ⎠ ⎣
=+
[(
ΦS ' Φ ont+1 − Φ ont − Φ nw+t 1 − Φ nwt ∆t
) (
)]
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
............................................ (5-13)
pertimbangkan persamaan (5-12) dan (5-13) ditulis dalam bentuk tipikal dimana faktor yang belum diketahui ditulis pada ruas kiri dan faktor yang diketahui ditulis diruas kanan. Untuk persamaan minyak (persamaan (3-12)) ditulis dalam bentuk finite different :
56
eΦ otn +−11 + fΦ otn +1 − gΦ otn +−11 − hΦ nwt+1 = Dot
.......................................... (5-14)
untuk persamaan air : eΦ otn +−11 + fΦ otn +1 − gΦ otn +−11 − hΦ nwt+1 = Dot ............................................. (5-15)
Gambar 5.2. Skema Penyelesaian dengan Metode Simultan
BAB VI TAHAP-TAHAP SIMULASI
6.1. Preparasi Data Ada ungkapan populer dalam dunia komputer yang menggambarkan pentingnya data dalam suatu simulasi, yaitu "GIGO : garbage in, garbage out". Persiapan data bertujuan untuk mendapatkan data yang valid dan sesuai kebutuhan didasarkan pada tujuan dan prioritas simulasi. Prosentase keakuratan hasil simulasi yang dilakukan, ditentukan oleh validitas data yang dipergunakan, sehingga tanpa data yang memadai gambaran yang diharapkan tidak akan tercipta atau bahkan akan memberikan informasi yang menyesatkan. Data-data yang dibutuhkan untuk melakukan simulasi dapat diperoleh dari berbagai sumber data yang memungkinkan. Meskipun demikian, sebagian besar dari data tersebut tidak dapat langsung dipakai, tetapi memerlukan proses pengolahan sehingga dihasilkan data yang siap pakai. Pemilihan sumber data serta pengolahan juga sangat berpengaruh terhadap kesiapan data itu sendiri, yang pada alkhirnya juga berpengaruh terhadap hasil simulasi secara keseluruhan. Berdasarkan jenisnya, data yang diperlukan dalam simulasi dapat dikelompokkan sebagai berikut :
Data Fluida Reservoar ( Bo, Bg, Bw, µo, µg, µw, Rs, Rsw )
Data Batuan Reservoar ( k, φ, Sw, h, kedalaman )
Data Produksi ( qo, qg, qw, Pbph )
Data Flow Rate ( PI, MER )
Data Mekanik ( ukuran casing dan tubing, kapasitas pengankatan )
Data Ekonomi ( $/bbl, $/well, economic limit )
Data Penunujang ( skin, rekahan, workover )
Karakterisasi Reservoar Karakterisasi reservoar merupakan integrasi dari tiga komponen yang mempunyai saling keterkaitan, yaitu :
Karakterisasi fluida reservoar.
Karakterisasi batuan reservoar, dan
57
58
Model geologi RFT and DST Test
Production Data
Core Analysis and Description
Seismic Surveys
Production Test Open and Cased Hole Logging
Interpret, Integrate and Corelate (areally and vertically)
Geologic Model • • • • •
Fluid Characterization
Volumetric Maps Stratific ation Barrier Maps Reservoir Continuity Depositional Model
• Areal and Vertical Variation
Rock Characterization • • • •
Residual Oil Relative Permeability Capillary Pressure Oil and Water Fingerprinting
Re se rvo ir Cha ra c te riza tio n Integrate Data / Simulation Re se rvo ir Ma na g e me nt De sic io ns
Gambar 6.1. Flowchart Karakterisasi Reservoar dan Hubungannya dengan Simulasi Reservoar Grambar 6.1. diatas, menunjukkan proses karakterisasi reservoar, datadata yang berperan, serta kedudukannya dalam simulasi reservoar. Berdasarkan pada proses diatas, karakterisasi reservoar mempunyai empat tujuan pokok, yaitu :
Identifikasi ciri pokok (karakteristik) reservoar,
Identifikasi mekanisme pendorong,
Menentukan volume reservoar (OOIP, OGIP, OWIP), dan
Mengamati kinerja (performance) reservoar.
59
Karakterisasi reservoar akan memberikan dua deskripsi reservoar, yaitu deskripsi yang mempunyai harga tetap (statis) dan deskripsi yang cenderung berubah (dinamis). Deskripsi statis digunakan untuk menentukan besarnya hidrokarbon yang terdapat dalam reservoar (seperti porositas, ketebalan formasi, water connate saturation, dan sebagainya). Sedangkan deskripsi dinamis digunakan dalam menentukan besarnya hidrokarbon yang dapat diproduksikan.
6.2. Membangun Model Pemilihan model dilakukan secara sistematik yang disertai dengan analisa terhadap parameter-parameter terkait, sehingga didapatkan model yang optimum untuk mensimulasikan reservoar sesuai dengan tujuan dan prioritas simulasi. Pembuatan model meliputi pembuatan grid dan dimensi dari model. Jenis grid yang digunakan pada pemodelan ditentukan berdasarkan tujuan dari simulasi. Berdasarkan besar cakupannya, grid dapat dibedakan menjadi 2 jenis yaitu coarse grid (grid kasar) dan fine grid (grid halus). Pembuatan sebuah grid dalam simulasi harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut :
Posisi grid
Ukuran grid
Sel pasif
Tipe grid Parameter-parameter teknis yang berpengaruh dalam pemilihan model
adalah sebagai berikut : Jenis reservoar. Geometri dan dimensi reservoar. Data yang tersedia. Jenis proses scondary atau tertiary recovery yang akan dimodelkan. Selain
keempat
parameter
diatas,
pemilihan
model
juga
mempertimbangkan sumber daya manusia, kemampuan teknologi (komputer) serta pertimbangan besarnya investasi biaya yang digunakan.
60
Jenis Reservoar Secara umum jenis reservoar terdiri dari tiga jenis, yaitu gas, minyak dan kondensat. Reservoar gas dapat disertai adanya aquifer, atau bisa juga tanpa aquifer. Pada sistem reservoar gas tanpa aquifer, simulasi cukup dengan menggunakan model satu fasa (single-phase model). Reservoar minyak yang hanya terdapat perpindahan massa minimal antara minyak dengan gas terasosiasi dapat ditangani dengan simulator black-oil, sedangkan reservoar minyak dengan adanya aquifer akan membutuhkan model dua fasa. Kondisi-kondisi yang berpengaruh terhadap pemilihan model simulasi pada tiap-tiap jenis reservoar adalah sebagai berikut : Gas o gas fasa tunggal, tanpa adanya aquifer Minyak o tidak terdapat perpindahan massa o pertimbangan ada atau tidaknya aquifer o kondisi diatas atau dibawah bubble point Kondensat o adanya pengaruh perpindahan massa antar fasa o sistem hidrokarbon yang cenderung mengalami penguapan o kemungkinan diberlakukannya injeksi gas
Geometri dan Dimensi Reservoar Jenis model dimensi yang dapat digunakan pada simulasi reservoar ada empat, yaitu mulai dari model 0-dimensi yang paling sederhana, model 1-dimensi, model 2-dimensi sampai model 3-dimensi yang paling kompleks.
Model 0-Dimensi Model 0-dimensi menunjukkan bahwa sifat-sifat reservoar tidak mengalami perubahan, merupakan reservoar yang homogen, isotropik dan seragam. Simulator 0-dimensi yang terkenal adalah persamaan material balance.
61
Model 1-Dimensi Model 1-dimensi biasanya digunakan pada simulasi pilot project, ataupun pada bagian dari reservoar yang lurus dan sederhana. Gambar 6.2., menunjukkan aplikasi simulator model 1-dimensi yang umum pada sistem mendatar. Sedangkan Gambar 6.3., menunjukkan model 1-dimensi yang disesuaikkan untuk sistem reservoar dengan kemiringan. Model 1-dimensi dapat digunakan pada kondisi-kondisi sebagai berikut :
Simulasi per-bagian dari reservoar
Simulasi dengan tujuan khusus, seperti line drive behavior, miscible flooding, simulati pilot-flood, dan sebagainya.
gas oil water
Gambar 6.2. Model 1-Dimensi Horizontal
gas oil water
Gambar 6.3. Model 1-Dimensi dengan Kemiringan
62
Model 2-Dimensi Model simulator 2-dimensi merupakan pilihan terbaik untuk simulasi dengan cakupan yang luas dan dipengaruhi oleh perubahan parameter areal. Gambar 6.4., menunjukkan model reservoar yang umum dengan 2-dimensi horizontal. Model reservoar 2-dimensi horizontal digunakan dalam simulasi struktur multi-well dengan ukuran besar, simulasi reservoar sistem multi-unit, penentuan sifat-sifat heterogenitas batuan, analisa migrasi fluida melalui leaseline, kondisi variasi vertikal sifat fluida yang tidak dominan, serta dalam pemilihan pola operasi yang optimum untuk secondary recovery maupun pressure maintenance.
Gambar 6.4 Model 2-Dimensi Horizontal Jenis model 2-dimensi yang lain adalah penggabungan beberapa model 2dimensi sehingga membentuk lapisan-lapisan yang menggambarkan model 3dimensinya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.5. Model jenis ini digunakan pada reservoar berlapis ataupun pada operasi produksi dengan multiple-completions.
63
Gambar 6.5 Model 3-Dimensi Layered
GAS
OIL
WATER
Gambar 6.6 Model 2-Dimensi Vertikal (x-z) Gambar 6.6., menunjukkan model 2-dimensi dengan sumbu koordinat utama x-z, atau model 2-dimensi vertkal. Model jenis ini digunakan dalam analisa cross-section reservoar, analisa well completion baik untuk single maupun multiple-well, menentukan gravity segregation serta dalam mempelajari pengaruh cross-flow dan anisotropi terhadap proses pendesakan frontal.
64
Model 3-Dimensi Model 3-dimensi dibutuhkan pada kondisi-kondisi tertentu, dimana terdapat keragaman sifat fluida secara vertkal dan adanya sisipan shale yang akan berpengaruh terhadap pola aliran. Gambar 6.7., dan Gambar 6.8., menunjukkan model 3-dimensi pada configurasi reservoar normal, serta aplikasi model 3dimensi pada reservoar dengan patahan.
GOC
WOC
Gambar 6.7. Model 3-Dimensi
65
gas
oil oil water water
Gambar 6.8 Aplikasi Model 3-Dimensi pada Patahan 6.3. History Matching History matching merupakan proses memodifikasi parameter yang digunakan dalam pembuatan model, agar tercipta keselarasan antara model dengan kondisi nyata, yang didasarkan pada data parameter terukur selama periode waktu tertentu. Tahap ini sangat menentukan dalam melakukan simulasi reservoar. Proses ini dilakukan untuk membuat kondisi dan kinerja model reservoar hasil simulasi menyerupai kondisi dan kinerja reservoar sesungguhnya. Data lapangan menunjukkan kondisi dan kinerja sesungguhnya. Keselarasan ditunjukkan dengan grafik tekanan terhadap waktu dan produksi terhadap waktu. Penyelarasan dilakukan apabila keselarasan antara model dengan reservoar sesungguhnya belum terjadi, dengan cara :
Penyelarasan Produktifitas Simulator akan menghitung laju alir minyak, gas dan air setelah harga tekanan sebenarnya dimasukkan. Penyelarasan perlu dilakukan bila grafik laju alir fluida yang diperoleh tidak sesuai dengan grafik laju alir aktual. Penyelarasan ini dilakukan dengan menentukan salah satu fluida sebagai patokan atau dapat juga menggunakan jumlah total liquid sebagai patokan penyelarasan, kemudian
66
penyelarasan dimulai dengan merubah nilai permeabilitas relatif yang ada sampai terjadinya keselarasan antara model simulasi dengan model sebenarnya. Perubahan permeabilitas relatif yang dilakukan tidak akan merubah apa yang telah dikerjakan pada proses inisialisasi.
Penyelarasan Tekanan Tekanan alir dasar sumur akan dihitung setelah data laju alir minyak aktual dimasukkan, dengan menggunakan parameter reservoar yang dimiliki oleh setiap sel. Penyelarasan tercapai apabila garis grafiknya memilki trend yang sama atau mendekati dengan data aktual, dan apabila tidak maka harus dilakukan penyelarasan dengan cara sebagai berikut: 1. Trend antara model dengan aktual sama tapi beda level, maka untuk penyelarasannya volume pori diatur dengan memodifikasi data porositas disekitar sel sumur tersebut. Perubahan harga porositas ini dibatasi dengan besarnya harga standar deviasi porositas tersebut. 2. Trend antara tekanan model dan aktual berbeda tetapi levelnya sama, maka modifikasi dilakukan dengan cara memperbesar atau memperkecil harga permeabilitas absolutnya. Perubahan ini juga dibatasi oleh harga standar deviasi dari permeabilitas yang dihitung terlebih dahulu.
6.4. Peramalan Perilaku Reservoar Prediksi atau peramalan merupakan tahap akhir dalam melakukan simulasi reservoar setelah proses production history macth selesai. Tahap ini bertujuan untuk mengetahui atau melihat perilaku reservoar yang disimulasi pada masa yang akan datang berdasarkan kondisi yang diharapkan. Dalam hal ini dilakukan production run sampai waktu yang dikehendaki Model reservoar yang telah selaras dengan keadaan reservoar sebenarnya dapat digunakan untuk peramalan perilaku reservoar untuk skenario produksi seperti yang dapat diterapkan pada reservoar yang sebenarnya di lapangan. Ketetapan hasil peramalan melaui model sangat dipengaruhi oleh kualitas keselarasan yang dihasilkan, sedang kualitas keselarasan dipengaruhi oleh
67
banyaknya besaran produksi yang dijadikan dasar penyelarasan dan cara modifikasi parameter fisik batuan dan fluida reservoar. Peramalan perilaku reservoar yang dapat dilakukan melalui model simulasi reservoar antara lain:
Hubungan tekanan reservoar dengan produksi kumulatif fluida.
Hubungan tekanan reservoar dengan laju produksi fluida
Hubungan laju produksi dengan waktu
Besarnya ultimate recovery untuk berbagai skenario dan cara produksi.
Jumlah dan penyebaran titik serap yang optimum.
