9
Les incertitudes
/B-I CALCUL DES INCERTITUDES
:( grandeur physique) . ()!
*
+ #
/1
, (&"
$
!
"
#
$
)
/2
:(notion de mesure) :
+ . / (
6
)7 2
5 3
$6
1
. " 0,
$
) ( 2
$1 "
&" 6 ,
0
" 1
(2$
1 "
8
,
#
3
$4
3 9$
3
$4
( : .1 " ?1 "
+
( x <
. "
68 0, =
6) x
(erreur absolue)
. "
(2; 0
"
3
x0
4 " 1"
> X ""
x :
"
.@ !
x = x - x0
" ."
)
(2 & =
"8
/
"8
.x + x :
A.FIZAZI
.
(.
x
8
1 "8 8.
8
(6.1)
x
. @8
7 "
9
/ z
Univ-BECHAR
)
6)
(incertitude absolue)
x
@
A
$
x
.+ .
(5.1)
2 0 7 .X
$
= 9$ :
y
x
B
""
"
>
!
$
X = f ( x, y , z )
"
LMD1/SM_ST
10
Les incertitudes
.
X
B .
dX
dX
.+/: ! 8 "8
:!
8
9
D"
$ ( .
X
:7 f x
7
0
. .)
"
A 8
:!
:C$
x+
f y
4 @8
X
A3
y+
4
X
f z
;
X
0
, $ .
@8
$ .
7
0
) :
X C$ < X X dX = X X
. "
C )
"
@8 (8.1)
/3
(théorèmes des incertitudes) (incertitude absolue d’une somme algébrique)
& " !
C )
:
! " ! @8
!" ! 7
p
"8
y = nu + pv
n
!"# $% &"' ( w : % y *& " +"'
v
#
E :$
.* q
qw + k
% +.
/
C .2 F 2
u w
v u :$ . y= n u+ p v+ q w
y= n u+ p v+ q w
(9.1)
: ./ !"# 0 * 1 2
. :
y0 = ( y ± y ) u y : u :
A.FIZAZI
&
, k
,-
y = nu + pv - qw + k
>
(7.1)
z
(incertitude relative)
8
7
f f f dx + dy + dz x y z
dX =
X
C$
& 5*
Univ-BECHAR
(10.1) y0 : & &
&
:
y :+"'
LMD1/SM_ST
11
Les incertitudes
!"# %
m2
m1
& ' M " . 1 & : 6.1 "# :;. m2 = 57.327 g m1 = 12.762 g . M M m = ±2mg :
6 - 7# 8 . +"' M = m2
M = 44.565 g
m1
M = m1 + m2 = 4mg = 0.004 g
*
5
< 2 = **#
.
"> :+"'
./ !"# 0 * $- > %
.
,- :.% & $- "6 >
&
M = (44.565 ± 0.004) g
: (- M M 0.004 = M 44.565
M = 9.10 M
m1 + m2 M = M m2 m1
! +
.
5
:
:"# $%# &' ( @* $ .A* * * .
: :
*
n p
k
. w
5
M = 9.10 M
(incertitude relative d’un produit ou d’un quotient)
v
6 * *# q p n y = ku v w u :$ !"# $% &"' ( w v : * $- ' !"# log y = log ku n v p w
log y = log k + n log u + p log v
: )
: % @*
& .
u
B "
* +'
B " C
q log w
: / < $
Univ-BECHAR
q
? % !
q
:<
A.FIZAZI
$
B "
8>
D
.
LMD1/SM_ST
12
Les incertitudes
dy dk du dv = +n +p y k u v
<& : I
(+ 5 /E ! ; – 5 /E
F *
q
dw w
) $
5 # !; 6 :* *#J &"'
y u v w =n + p +q y u v w
:
A:%
(11.1)
5
5*# & C
.
L di . K + 5 /; ! ; – 5 /E F K !"# $ *& : I K i
. &"'
( & :$
- ,
: y=k
log y = log k + dy dk = + y k
:+ 5 /E – 5 /E
0 (.
(u + v ) '
log u + log v log ( u + v ) log t du dv du dv dt + u v u+v u+v t ' 1> ( $ * * * di 1>
y = y u
(#
u v
:
dy dk = + du y k u
u+v
u+v
+ dv
u+
v+
.
t
1> M
.M
dt t
u+v
u+v
v
2 '" +"'
v
!
t
(12.1)
t
:7.1
< $
2
:
.
. @*
$
Q R I t = +2 + Q R I t R I t +2 + :+"' R I t
. Q = RI t N :
&
Q = RI 2t Q =Q
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
5 #O
:%
LMD1/SM_ST
13
Les incertitudes
**
EXERCICES Exercice 1.7 Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on mesure
les
diamètres
( D1 ) et
intérieur
extérieur ( D2 ) et on trouve :
D1 = (19,5 ± 0,1) mm , D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm
7.1
( D2 ) D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm
Soit à déterminer la masse volumique
( )
de la
substance d’un cube homogène à partir de la mesure de sa masse
(m)
(a)
et de son arête
( )
"! #
(m)
. Ecrire le
8.1
!
!
$
La densité (
) d’un corps solide par application
Où
m2 m3
=
du théorème d’Archimède est :
(
m1 m1
masses effectuées, successivement, avec la même balance. Trouver l’incertitude relative sur .
"
Exercice 1.10 Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la
(C )
d’un condensateur équivalent à deux
condensateurs montés: a/ en parallèle b/ en série précisions sur
( C1 ) et ( C2 ) .
Exercice 1.11 Soit l’expression :
µ=
2
m
Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues
m
,
2
m)
:7
,
m1
en fonction des 1
, m2 , m1 .
/ 5
.$' 01 . 3
7
"! + 8* ;
µ=
1
µ
m2 m3
y = y0 .e
wt
Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues
A.FIZAZI
9.1
'!
m1 : & m1 2' m3 , m2 , m1 .
4
2
* 2! . 6 *
m2 (
*
" 8 " & 4'! 1 ! 4'! ( C ) 2 /" : 4 / . ( C2 ) ( C1 ) 2! 7
m
2
m
)
11.1 m1 : # *
!
1
8* µ 7 ) " . m , 2 , 1 , m2 , m1
Exercice 1.12 Soit la relation :
%
10.1
, et cela en fonction des
m2 (
( )
)* * "+ , =
m1 , m2 , m3 sont les résultats de trois mesures de
capacité
" !&. ( a )
.
résultat de la mesure. Exercice 1.9
D1 = (19,5 ± 0,1) mm
.
Donner le résultat de la mesure et sa précision.
Exercice 1.8
( D1 )
:
8
" & /* 8
12.1 .
y en fonctions des
, t , y0 .
y = y0 .e
8*
;
y 7
. Univ-BECHAR
)
y0 , t , ,
wt
: $ 789: " 8 " & /* 8
LMD1/SM_ST
14
Calcul des incertitudes
Corrigés des exercices 1.7 à 1.12:
12.1
7.1 7.1
e=
D2
D1
D2 + D1 ; 2
e=
; e=3,6mm :
2
e = ±0,1mm : e = ( 3, 6 ± 0,1) mm :
e 0,1 = e 3, 6
e = 0, 03 = 3% : e
: 8.1 =
m m = V a3
=3,041g/cm3 :
: =
m a +3 m a
m a +3 m a
=
0, 02 g / cm3
= 0, 0063 = 6,3 0 / 00 :
!
= ( 3, 04 ± 0.02 ) g / cm3
6) 1$ - 3 4 %% "0 ' 1 % $ ( %$ ( -8' $ < -) 1$ - 3 4 * 3
) .
9
:" # #
# : :$ ,;( ) < # # . > -=' # : 9.1
. log = log ( m2
m1 ) log ( m3
d
= d
A.FIZAZI
)') *
d ( m2 m1 ) m2 m1 =
dm2 m2 m1
& ' ( =
m1 ) : % $
d ( m3 m1 ) : m3 m1 dm1 m2 m1
Univ-BECHAR
m2 m3
,
m1 : $ m1 , %
*/ 0
dm3 dm1 + m3 m1 m3 m1
%
.
: 1
-)
2
LMD1/SM_ST
15
Calcul des incertitudes
d
'$ 1 : % *<
1
= dm1
m3
* $ ( ) ( 8 "0 = m
1 m1
m2
9 A i @ di * % 4 ) m1 = m2 = m3 = m :
1. $ 1 m3
m1
: 1 * $ 9? % % dm3 dm2 + m2 m1 m3 m1
1 m1
m2
m1
+
>
-)
. 2 ( (+)
m m + m2 m1 m3 m1 =
2 m : m3 m1
*<
B4 : 10.1
C = C1 + C2 : $ : , */ 0
D 0 . -) % $
<
C
C2
C1 C2 C = + C C1 + C2 C1 + C2
: C1
C2
:
,
$
/ E
0)
$
,
log C = log ( C1 + C2 )
C1
: 0)
% dC1 dC2 dC = + C C1 + C2 C1 + C2 : 6 F G
C C1 C2 C2 C = 1 + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2
: 0)
* C
/ $
< E 0) CC 1 1 1 = + C= 1 2 C C1 C2 C1 + C2
*/ 0 . -) % $ , % C1C2 log C = log log C = log C1 + log C2 log ( C1 + C2 ) C1 + C2 dC1 dC2 dC dC1 dC2 = + C C1 C2 C1 + C2 C1 + C2 : 1 * $ 9? % % > dC 1 = dC1 C C1
A.FIZAZI
1 1 + dC2 C1 + C2 C2
Univ-BECHAR
1 C1 + C2
LMD1/SM_ST
16
Calcul des incertitudes
:* 1
#
$
C1 dC C2 dC dC1 = 1 + 2 1 C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2
: 6 ?. C1 C1 C2 C2 C 1 1 = + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2
m2 (
µ + m1 =
2
m
m
: *< log ( µ + m1 ) = log m2 + log ( d ( µ + m1 ) dm2 = + µ + m1 m2
d 2
µ + m1 µ + m1 + dm2 +d µ + m1 m2
2
2
d
2
)
:* 1
)
d
m m
$
1
log ( : 6 #
m
2
m
m
1
,
d
1
m
)
µ + m1 m2
+
2
*/ 0
1 1
m
d 2
d
2
2
m
µ + m1
d
m
m
2
d
m m
1
m
µ + m1
d
m
1 1
m
µ + m1 2
+
m
µ + m1
m
2
m
+
m
:H
µ + m1
m
2
d
+
m
µ + m1
1
F
B4
m
+
1
1
m
µ + m1
+d
1
:H µ = + m1 + m2
% * B%F
$ +
m
,
:
dm1 dm2 dµ = + + µ + m1 µ + m1 m2 d µ = dm1
%$
: 11.1
1
µ + m1 1
m
: 12.1
: /0 ( %$ t log y = log y0 + log e log y = log y0 d ( log y ) = d ( log y0 ) d ( t ) X= t
dX d dt d = + dX = X X t dy dy0 d dt = t + y y0 t :
y y = 0+ t y y0
A.FIZAZI
+
t t
y= y
Univ-BECHAR
+
dt t
,
% * B%. %$
t
: X = t >/ :G
I y0 +t y0
-)
.J +
t
LMD1/SM_ST
17
Rappel sur le calcul vectoriel
9 9 9 9 : 9 9 9 9 9 ,9 / II RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL
(grandeur scalaire)
/1
: .
( "# * +%
..... $& ' (,& )
%$.
1.2 /. &
.(
(grandeur vectorielle)
$
)
....... . % / (1.2 /
V
O
!
4* 5 *
*
.
4
:/
4* $
5
!
.
&
/2 / 0 :
:
/3
:
V
)
5 5
:
! -
2 *)
)' !
:
)' !
(vecteur unitaire)
:
V = V =V
:
/4
u
V
O
2.2 /
6
,
- 7 .
V = u.V = V .u
(1.2)
:
/5
(somme vectorielle)
% 7 :$
- 7
V2
:
V
V = V1 + V2 V = V2 + V1 V1
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
18
Rappel sur le calcul vectoriel
:
) .
; > %
=
5 &
(
=
sin
sin
(
2 ; @
=
CD CD = AC V CD CD = BC V2
!
?
V
)
(/
(2.2)
4*) %
ACD
V V = 2 sin sin
/<
(loi des cosinus)
V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos V1 ,V2 4.2/
)
: @"
$* (3.2)
= V 2 .sin
V .sin
C
V2
V
E
& A
4.2 -./01
: A sin sin loi des )
BE BC BE = AB =
D
B
V1
V2 V = 1 sin sin
:
@"
/"
V2 .sin
= V1 .sin
BEC
)
;
B
(4.2)
(4.2)
(3.2)
(sinus V V V = 1 = 2 sin sin sin tg =
A.FIZAZI
V2 V1
2
V = V1 + V2
2
Univ-BECHAR
A
(5.2)
=
2
+
,* : ! "
LMD1/SM_ST
19
Rappel sur le calcul vectoriel
(5.2 /
V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5
2 >) :
V
V3 V2 V4
V5
V1
O
5.2 / V1
6 ?
V2
6.2/
D
: $2 ;
D = V2 + ( V1 )
D'=
D
:/
)
5
/"
&:
D = V2
V1 :
/ ,&
)
+
(module du vecteur) : D
D = V12 + V2 2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2VV cos 1 2
&
' ( @
(,& - C ) (6.2)
LMD1/SM_ST
20
Rappel sur le calcul vectoriel
$* )
5
/
(composantes d’un vecteur)
(. . % > + 0 : R (O; i , j ) Y
:
V
Vy
:
" * *) :-
+
@
V y = V sin
i
:7.2 OY
,
V x = V cos
u
O
5
/
V = Vx + Vy j
* + /6
X
Vx
/ (
OX
j
Vx = i .Vx , Vy = j .V y
i
: *2 ;
;
V = Vx + V y ; V = i .Vx + j .V y ; V = i .V cos
+ j .V sin
V = V (i .cos
(7.2)
+ j .sin )
: A V = u.V : *
D-
u = i .cos + j .sin 2
V = Vx + V y
(8.2)
V = x2 + y2
. R (O ; i , j ) V = V1 + V2
V1
V
:E D* !
x1 x ; V2 2 y1 y2
; V = i (x 1 + x 2 ) + j ( y1 + y 2 )
. R (O ; i , j )
A.FIZAZI
V1
: %
2
:
x1 x ; V2 2 y1 y2
Univ-BECHAR
:
5
* / <
* :1.2
V = ( x1 + x 2 ) 2 + ( y1 + y 2 ) 2
6 ?
:/
* :2.2
LMD1/SM_ST
21
Rappel sur le calcul vectoriel
V = V1 V2
; V = i (x 1
x 2 ) + j ( y1
:(
V = ( x1
y2 )
x 2 ) 2 + ( y1
) R (O; i , j , k ) V = Vx + V y + Vz
:. /(
y2 ) 2
:/
,
: *2 ;
V = i .V x + j .V y + k .V z
Z
Vz
r
k
V
Vy
j
i
Y
Vx X
:8.2
: * cos = sin
=
cos
=
sin
=
Vz r r Vx Vy
&6
Vz = r . cos = r. sin ; Vx = . cos
Vx = r . sin . cos
V y = . sin
V y = r sin . sin
: %
V x = V sin . cos V y = V . sin . sin
(9.2)
V z = V . cos
V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2 V =
A.FIZAZI
x2 + y2 + z 2
Univ-BECHAR
:
: % 5 + "
0
* *
LMD1/SM_ST
22
Rappel sur le calcul vectoriel
7 9.2
V
;
5
% <
" "
! )' < /"
)
9
! )
,' : 0 1 OY
OX
: Vx = V .cos
, Vy = V .cos
(10.2)
, Vz = V .cos
: + cos 2
cos 2
)
"
+ cos 2
: & %
:
@
=u
* .D 5
D = i ( x2
x1 ) + j ( y 2
) A
&
y1 ) + k ( z 2
D = ( x2
z1 )
D = i (0) + j (10) + k (4)
: D = V2 V1
x1 ) 2 + ( y 2
y1 ) 2 + ( z 2
z1 ) 2
D = 116 = 10.77u
: V1 = (4i
(11.2)
=1
B(10,6,8) u ; A(10,-4,4)u
.
F
D
3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i
-
6 j )u;V4 = (7i
* :4.2
<
8 j )u;V5 = (9i + j )u
: V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j Vy ! & ; tg = Vx
tg = 14
19
V = 19i
6
V
5
/
* )
: OX
36,38°
0,737
V = 361 + 196 = 23.60u
14 j
7
(produit scalaire) V1 .V2
V2
=
V1
:2
0 V
% <
.
/7
:@
V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 )
(12.2)
: * V1.V2 =
1 V 1 + V2 2
2
V1
2
V2
2
(13.2)
: ! " *3 V1 .V2 = 0
A.FIZAZI
A : A
Univ-BECHAR
*
V2 = 0 V2
0
V1 = 0 V1
0
,' ,'
LMD1/SM_ST
23
Rappel sur le calcul vectoriel
V1
(V1 , V2 ) =
cos = 0 V1.V2 = 0 2 2 (V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2
V2
V1 // V2
@
= ( F ; AB)
: ;
W = F .AB. cos
::
)
AB
( AB
W = F . AB
F
@ =
9
/ :1 & W :* )
F
W=F.AB.cos
2
G
(2.2)
: 2
>
2
&
2
V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ; V 2 = V12 + V2 2 + 2VV 1 2 cos(V 1V 2 )
V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 )
(expression analytique du produit scalaire)
: R (O ; i , j )
V1
x1 x ; V2 2 y1 y2
:@
:
.
4
V2
V1
+
V1 .V2 = ( x1 .i + y1 . j ) .( x2 .i + y 2 . j ) = x1 . x 2 .i .i + x1 . y 2 .i . j + x 2 . y1 . j .i + y1 . y 2 . j . j i
j
j .i = i . j = 0 V1 .V2 = x1 . x2 + y1 . y 2 .
(14.2)
i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1 (dans l’espace) .
: R (O ; i , j ; k ) i . j = i .k = j .k = 0 i = j = k =1
V2
x1
x2
9& V1 y1
; V2 y2 z2
z1
V1
/( +
V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2 (15.2)
(propriétés du produit scalaire):
.5
(
&B
-
)
(
V1. V2 .V3
V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3
V 1 = 3i + 2 j
k
) :
,
.
45 !"
V 1 .V 2 = V 2 .V 1 :(commutatif)
9
> :(non associatif) 7
:
6
(distributif) <
!
:
7 *
:5.2
. V 2 = i + 2 j + 3k
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
24
Rappel sur le calcul vectoriel
: cos(V 1V 2 ) =
V1 .V 1 : V1V2
! :
=
; :$
V1 .V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3.74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3.74 cos(V 1V 2 ) =
V1 .V 1 2 = = 0.143 V1V2 14
= (V 1V 2 ) = 96.2°
.
: = :2 4 ) : ; < :
(produit vectoriel)
4
W
5
V2
V1
. % W = V1
/8
V2 = V1 × V2
W V1 O V2
W
: 9.2 /
=
(caractéristiques du vecteur) : W
$&
V2
: i
i = j
i
j =k ;i
i
j = i
A.FIZAZI
/ $
V1
:
j =k
) W)'
W
%0) )
k =0
k = j ;j k = j
4 * (
*7
k =i
:8 99:
W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 )
(16.2)
k =1
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
25
Rappel sur le calcul vectoriel
/" W = W = V1.V2 .sin(V1 ;V2 ) . 5
: 5;H- 4! x1
x2
B
V1 y1 ; V2 y 2 z1 z2
=
E D*
: R (O ; i , j , k )
+ "
+i
j
W = x1
y1
z1 = i
x2
y2
z2
W = ( y1 z2
+k
y2 z1 ) i
y1
z1
y2
z2
(x z
1 2
j
(y z
W=
y2 z1 ) + ( x1 z2
z1
x2
z2
V1
(V + V ) = (V 2
B
3
1
"
+k
x2 z1 ) j + ( x1 y2
x2 z1 ) + ( x1 y2
2
1 2
0 /
x1
:
V1
: 0 1 A
x1
y1
x2
y2
x2 y1 ) k
:
x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 ) (17.2)
2
2
( propriétés du produit vectoriel): V 1 V 2 = V 2 V 1 :(anticommutatif) / (V2 V3 ) (V1 V2 ) V3 :(non associatif)
) (
V2 + V1 V3
)
:
7
V1 = (2,1, 1);V2 = (1,0, 2)
:
A
. 6
(distributif) =
W
5
45 !"
7 : ' :6.2 . % & ! :
W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i
(2 ×
2) (1 × 1) . j +
( 2 × 0)
(1 × 1) .k
W = 2i + 3 j
k
V1 = 22 + 12 + 12 = 6
V2 = 12 + 0 + 22 = 5 W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74 W = V1 .V2 .sin = 3,74
A.FIZAZI
sin =
W V1 .V2
Univ-BECHAR
sin =
3,74 = 0,683 30
= 43,06°
LMD1/SM_ST
26
Rappel sur le calcul vectoriel
(produit mixte):)
:9 I
(
V1. V2
x1 V3 = x2 x3
)
& y1 y2 y3
z1 z 2 = ( y 2 z3 z3
V3
y3 z2 ) x1
* ";"
V 2 ,V 1
( x2 z3
/9
.
D
x3 z2 ) y1 + ( x2 y3
:. /(
" =
x3 y2 ) z1
(18.2)
87 /10
)
(moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace)
:9 2
: . /(
87 :2
)
! O = OA V
(J*J10.2/
(19.2)
). AOB ;
2/
= !O
: 0 1
!O
!"
!O
u O
O
!"
B
! O'
B
O'
V A
V A
(")
87 /11
(moment d’un vecteur par rapport à un axe):
=: 87 ) -
u?
O>
-
87 : & 2 .* +
"
87 :
V
(
)
! " = ! O .u = OA V .u
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2 :) "
) . (20.2)
LMD1/SM_ST
27
Rappel sur le calcul vectoriel
5
!
5
& = H?
5 J:J10.2/
! :2 ; %
.
:
/12
@A
(gradient, divergence, rotationnel)
:2 . .
+
f ( x, y , z )
+
V ( x, y , z )
:9
#(nabla )
,'
,' H? #=
F
I
%
.
; ;
f ( x, y , z )
/" I
V ( x, y , z )
(opérateur)
"K
$ $ $ i + j+ k $x $y $z
.!
+
A
&
f ( x, y , z )
(21.2) $ $y
$ $x
. "K
,&
$ $z
+
,'
@
(gradient)
: grad f = #( f ) =
:A I
$f $f $f i+ j+ k $x $y $z
f ( x, y , z ) = f = 3 x 2 y 3 z
F
(22.2)
:
grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k
&
A $
V = (V x ,V y ,V z )
divV = #.V =
+
,' (divergence) : : I
$Vx $Vy $Vz + + $x $y $z
(23.2)
: V ( x, y, z ) = 2 xyi
* :7.2 ::
:
* :8.2
3 yz 2 j + 9 xy 3 k
:B divV = 2 y 3 z + 0 = 2 y 3 z 2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2
LMD1/SM_ST
28
Rappel sur le calcul vectoriel
: &$
A
,' (rotationnel) :
V = (V x , V y , V z )
rot (V ) = # V =
$Vz $y
:
$Vy $z
+
$Vy $Vx .j + $z $x
$Vz $x
.i
D 5 '
L
)' / < :
rotV =
+i
j
$ $x Vx
$ $y Vy
$Vx .k (24.2) $y
/
/
+k $ = A+ B +C $z Vz
:
7
C , B, A :
/:
+i $ $y Vy
A=
$ $Vz = +i $z $y Vz
$Vy $z
-j B=
$ $x Vx
$ $Vz = -j $z $x Vz
$Vx $z
k C=
$ $x Vx
$ $y Vy
= +k
$Vy $x
$Vx $y
:(24.2)
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
)
/<
%
/F
LMD1/SM_ST
29
Rappel sur le calcul vectoriel
+i
j
$ $x Vx
$ $y Vy
+k $Vy
$Vz $ = +i $z $y Vz
$z
. V ( x, y, z ) = 2 xyi
-j
$Vz $x
3 yz 2 j + 9 xy 3 k
( rot (V ) = ( 27 xy
) 6 yz ) .i
rot (V ) = 27 xy 2
6 yz .i
2
$Vx $Vz +k $z $x
:5
$Vx $z
*:9.2
:
:B (9 y 3
0). j + (0 2 x).k
9 y3 j
2 xk
1 3 /13
(le laplacien)
:
FM
#.# ( f ) = # 2 ( f ) =
:
( )
#.# V = # 2 (V ) =
2 "
A.FIZAZI
,
13
@
: 7 &
+ *
:2 C
, ;>J
$2 f $2 f $2 f + + $x 2 $y 2 $z 2
FM
(25.2)
&
;>J
$ 2Vy $ 2 Vx $ 2Vz i + j + k $x 2 $y 2 $z 2
@A 4" B + .( + ) & @ 7
Univ-BECHAR
(26.2)
, + )*
C
LMD1/SM_ST
30
Rappel sur le calcul vectoriel
**
EXERCICES .
! ! "#$
Exercice 2.1 On considère , dans un repère orthonormé OXYZ, les
trois
V1 = 3i 4 j + 4k ,
vecteurs :
j + 3k .
V2 = 2i + 3 j 4k et V3 = 5i
a/ calculer les modules de V 1 & V 2 et V 3 , b/ calculer les composantes ainsi que les modules des
A = V1 +V 2 +V 3
vecteurs :
B = 2V 1 V 2 + V 3 ,
c/
déterminer
le
vecteur
unitaire
et porté
par
d/ calculer le produit scalaire V 1 .V 3 l’angle formé par les deux vecteurs. e/ calculer le produit vectoriel V 2
et en déduire
V3.
Exercice 2.2 Montrer que les grandeurs de la somme et de la
Ax
Bx
différence de deux vecteurs A = Ay et B = B y Az Bz exprimées en coordonnées rectangulaires sont respectivement :
(A
D=
(A
+ Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2
2
x
x
Bx ) + ( Ay
By ) + ( Az 2
2
Exercice 2.3 Trouver la
sommes
V1 = 5i 2 j + 2k
3
des
Bz )
2
B = 2V 1 V 2 + V 3
E!F
G
A = V1 +V 2 +V 3
J @)<,)
K '
8+F
/D
trois
3
Exercice 2.4 a/ Montrer que la surface d’un parallélogramme est sont
les côtés du
parallélogramme formé par les deux vecteurs . b/ Prouver que les vecteur
2.2
8+F l, m$n,)
K
C +-) @o T HSPF $% H,)
A et B
Bx
Ax
B = By
A = Ay
Bz
Az
: Hp ",)< ,) E!F *!+q ?H,) S=
( Ax + Bx )
D=
( Ax
2
+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2
Bx ) + ( Ay 2
By ) + ( Az 2
2
Bz )
2
1/ 2
1/ 2
3.2
vecteurs :
V2 = 3i + j 7k
B tels que A et B
*; )N,) O P QR - V 1 .V 3 "H!?,) M) ,) >?@A /L . HSP+T JU
1/ 2
Calculer le module de la résultante ainsi que les angles qu’elle forme avec OY , OX et OZ .
A.FIZAZI
$% & OXYZ ! "# 3 V1 = 3i 4 j + 4k :*+, ,) *-./,) * '() . V3 = 5i j + 3k 3 V2 = 2i + 3 j 4k . V 3 V 2 & V 1 8 9: *!;<= >?@A /) * '() C.;<= C %:$ >?@A /B
1/ 2
2
V3 = 4i + 7 j + 6k .
A
1.2
C = V1 +V 3
C = V1 +V 3,
S=
%& '( :
: 3
V2 = 3i + j 7k
V1 = 5i 2 j + 2k 3
. V3 = 4i + 7 j + 6k u S PVk " ,) ;) N,) *!VIH,) *!;<= >?@A . OZ OY , OX 8 9:
"p K.w() gx)< gx)< " !w B
sont
Univ-BECHAR
:4.2 *@ ? iA 8p$T /) A y+@ A B
.8+F l,) 8 9zlH,) K.w()
LMD1/SM_ST
31
Rappel sur le calcul vectoriel perpendiculaires si
Exercice 2.5 Soit le vecteur :
(
E!F ;L
A+ B = A B
5.2
) (
) (
)
V = 2 xy + z 3 i + x 2 + 2 y j + 3 xz 2 Montrer que
grad
V =
2 k
V =0
(
) (
:K l,) i : )•R
) (
V = 2 xy + z i + x + 2 y j + 3 xz 2 3
grad
2
V = 0 iA 8p$T
V =
Exercice 2.6
1 Soient les deux vecteurs
A=
6.2
2 , B=
)
2 k
2
3
B=
4
1 3
;
A=
i F l,) 8z+,
4
Trouver , pour que B soit parallèle à A , puis déterminer le vecteur unitaire pour chacun des deux vecteurs.
- & A K l,) B K l,) gx)<; y+IT , 8+F . HSP 9z, *h#)
Exercice 2.7 La résultante de deux vecteurs a 30 unités de long et forme avec eux des angles de 25° et 50°. Trouver la grandeur des deux vecteurs.
7.2 uPVk J @ 30 S,<= 8+F ' *!VI .50° 25° 8+ ; )x .8+F l,) *!;<= ‚ A
A.FIZAZI
HS
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
32
Rappel sur le calcul vectoriel
Corrigés des exercices 2.1 à 2.7 :
7.2
1.2 : 1.2
V1 = 6, 40 A = 10i
V2 = 5,38
, 2 j + 3k
B = 9i 15 j + 15k
,
C = uc C
C = 8i 5 j + 7 k
V3 = 5,91
,
8 i 35
uc =
/ /
5 7 j+ k 35 35
/ /
V 1.V 3 = x1 x3 + y1 y3 + z1z3 cos =
V 1.V 3 V1V3
V 1.V 3 = 15 + 4 + 12 , V 1.V 3 = 31
cos =
31 31 = , cos 41. 35 37,88 V 3 = 5i
V2
= 79,86°
0,176
26 j 17 k
/ :2.2
Ax A = Ay
Bx ;
B = By
Az
Bz
S = A + B = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz ) k
( Ax + Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2
2
2
D = A B = ( Ax
Bx ) i + ( Ay
By ) j + ( Az
S=
D=
( Ax
Bx ) + ( Ay 2
By ) + ( Az 2
Bz )
2
1/ 2
Bz ) k 1/ 2
:3.2 V = V 1 + V 2 + V 3 , V = 6i + 6 j + k Vx 6 = , cos V 8,54 Vy 6 , cos = = V 8,54
V
8,54
Vx = V .cos
cos =
0,70
45,6°
Vy = V .cos
cos
0,70
45,6°
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
33
Rappel sur le calcul vectoriel
Vz = V .cos
cos =
Vz 1 = , cos V 8,54
83,1°
0,70
:4.2 S = h. B A
h
:
S = A B sin
B
S= A
1 A 2
/
h = A sin
h
S0 =
:
B=
: !"#
B = A B sin
1 A B sin 2
:
B
A
"
%"&
Ax B = Ay
A+ B =
( Ax + Bx )
A B=
( Ax
A = By
;
+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) By ) + ( Az 2
2
Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 :*"# ! +
/ 0/
,
( A.B ) = 0
! /(
Bz
2
Bx ) + ( Ay
' Bx
Az 2
$
Bz )
-
)
A
B ,"
2
2
1/ 2
1/ 2
. ! )
!)
1 2 3!
4)
)
:5.2 x =
2 xy + z 3 V = x2 + 2 y
y
2 xz 2
: !#
, )# (
2
z i V=
-j x
2 xy + z 3
k
y
z
x2 + 2 y
2 xz 2
= 0 . 5-
/$
2 (
)6 7
2 :6.2
.;) &
A.FIZAZI
%! ) B = . A
9
:7
(2! !!
Univ-BECHAR
B
A
#
!,
LMD1/SM_ST
34
Rappel sur le calcul vectoriel
:)
! /
2 B
B
=A
1
3
=
=
4
: 2
=1
3 4
=2
=
2
= 1,5
=
B=
;
3
B=0 ( A !#
:B
B = 2i 3 j + 4k
180
A=
uA =
B = uB B
( 25 + 50 ) = 105°
1,5 2
A
A = uA A
!9 $
&
1
4
=2
A = i 1,5 j + 2k
, !9
1 i 7, 25
uB =
2 i 29
) ! 2! :
:7 <
1,5 2 j+ k 7,25 7, 25
3 4 j+ k 29 29
:7.2 :,/ !#
!) !
; !4
$
Vy V V : 9.2 9 :)4 = x = sin105° sin 50 sin 25 V V sin 50 = x Vx = V Vx = 23,8 sin105° sin 50 sin105° V sin 25 V = y Vy = V V y = 13,1 sin105° sin 25 sin105°
A.FIZAZI
!
Univ-BECHAR
!
LMD1/SM_ST
35
Principaux systèmes de coordonnées
h L#La 6LOsL L#LXL#L&NL
L L1Gl /III
PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES !
"#$ "% &'% !% "##!( )*+ +, % -./ 012
345
6+62 :
(repères d’inertie ou galiléens)
" ( $
,
:(1642 ) $
$ &"
S 1% 2 $ 3 - .# .S 1 % 2 $
.9 :
2
. " =+
"
4 5
MNO PQF t
!" # # , + /
$ 5
:
6 (référentiel)
(repère)
= " 3+( $ ) " : > " 3+ ( $ ) 9 :
2 ;<# =
. 4 ? * " =" * > .# " )* - . # CD. $ M /; " 6D. ( X ,Y , Z , t ) ? ? # #E E 0F M
/1
) ' () * + .- . # "
1564
%
:
$ = =" A 2 * ? !" = 6B R $ ## )" =F* "6 G ## . #/%D #& EF M !" -./ 345 r = OM ( x, y, z, t ) L$ GH%I JK . t r (t ) R#S- $ T UN!( R !
12 0F M
@
/2
:
( Copernic ( 1473-1543) W K SXG) (repère de Copernic):1 20+ ,-./ _5 * -_ HMN% "% . -/% I 2% ['\$ TN!% ! ]^ .(1.3 efd ) + /!$ `I % $ a b5*G ['a 52G c* % #X d .)M 5f `N$ ! #& E h SMN )M 5f MNO g I6 ! ]^ e ! X+ . /g i'm n d i5O I 6( 6O b5+ i'm o5/p-i j )-. i5O I 6( kIl : CD. B
(repère géocentrique)
"
>$ " 9 :
A.FIZAZI
EG
=
?
Univ-BECHAR
"
G
"$ 2
LMD1/SM_ST
36
Principaux systèmes de coordonnées
!: "
?
# 2 /; 5 . E 24 5D' > 5"
.+ " 2 . 2"$ CD. "# 9 : .9 : 5" E %& (repère terrestre)
"9 : =
?
=
?
* .9 :
"
CD. B
2 $:
+
# 2
2
: /;
/; 5 .
.@#
;
9 : 2
/;
" 2
nd
.
M’
9 :
M
G
"$ 2
1.3 5
!" /3
(coordonnées cartésiennes):
Z
:4 56 ,-. / •N2 345% 6+62( "f + ‚ #& EF MN2 ƒG M JK OM …!45% † !d$ R (O; i , j , k ) ! 0F M 0-./ ) # " G …( #a 6OQ$ ‡ rené : ;" " ( Descartes :1596-1650 (repère spatial)
z
M
r
k
i
x X
Š :x (ordonnée) )#(N :y (altitude)5 ! :z (abscisse)
O
y
j
Y
m
:efd $ M 345% † !j $ M "f +
+H#(I f h #a 6O• :2.3 efd
OM = r = x.i + y. j + z.k
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(1.3)
LMD1/SM_ST
37
Principaux systèmes de coordonnées
(repère plan):
!
$ /# 0F M 0-./ •N2 345% 6+62( "f + ‚ +5 X% MN2 ƒG M JK : OM …!45% † !d$ ‡ y x …# #a 6OQ$ (3.3 efd ) R(O; i , j ) OM = x.i + y. j
(2.3)
)#(N : y
Š :x
:C
:, 89 ,-. /7 #. X% MN2 ƒG M JK
(repère rectiligne)
: ) fG ’#O OX I52 $ • M‘ "f + OM = r = x.i Y
Y
M j
(3.3)
M
y
r
u
x
r
X
x
X
: % & !" /4 M •N2 012 345 "##!( "f + ‚“ ]M /^ ‚5 X% W K I X 0 /+ "#O .(4.3 efd ) . ( r , ) "# #S-. "# #a 6O• $ (angle polaire) #S-. + H : (rayon polaire) 0S-. N-. ”•G : (coordonnées polaires)
:efd $ 345 OM = r = r.ur
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
=
(8.2) !D
† !j $ M //f + ’#O (4.3) E
%
5.
LMD1/SM_ST
38
Principaux systèmes de coordonnées
u = i .sin + j .cos
:5
E
" ur = i .cos + j .sin
? - .#
* )"
I
=
, E"
OM = r = Ar .ur + A .u
( u , u ) `6_ . r
(5.3)
0F OM ( SMN% ^ ( Ar , A ) :’#O
: ;
? - .#
"
- .#
x = r.cos
= arccos x
y = r.sin
= arcsin y
=
r
!D
(6.3)
r
: ' $ !" /5 ‚•N2 345% 6+62( 0F H# % I , P S! ( oz ’#O #& EF I X P M JK :’#O ( , , z ) #G 5-gl h #a 6O• i ! g "X2 X+ (angle polaire) ( om, ox ) #S-. + H :— ‚ (rayon polaire) 0S-. N-. ”•G : (altitude) 5 ! : z (coordonnées cylindriques)
Z
z
r
uz
z
u M
u
u
O X
m
Y
OM = r = Om + mM = r.u : #
$ f
2Š "% R.2 G
r = .u + z.k u = i .cos + j .sin
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(7.3)
= J?
5.3 5
=
LMD1/SM_ST
39
Principaux systèmes de coordonnées
:efd $ 345
† !j `I S_ $ M P˜ //f + . ur "
u =
' =
OM = r = i . .cos + j . sin + k .z
/ (8.3)
OM = r = i .x + j . y + k .z
:efd W _ P5f( ’#O #G 5-gl h #a 6O• W K OM † !d `I S_ e+52( "f + M OM = r = A .u + A .u + Az .u z
E 5"%
. ( u , u , u z = k ) `6_ . 0F OM h SMN% 0^ ( A , A , Az = z ) :’#O
u =F* , E " @#
(u ,u ,u
u = uz
h #a 6O•
(9.3)
z
=k
)
@#E ? = , u @# " I @ E :=/ . u " u z = E ( #$ ";
u = i .sin + j .cos
(10.3)
+H#(I f h #a 6O• "#$ ™'! š / XG ( 8.3) x = cos y = sin z=z
(1.3) "#(I S!
.$ - $ : #G 5-gl
= x2 + y2 = arctgy / x = arccos x / = arcsin y /
. #S-. h #a 6O• W _ TN! G : 6!S
(coordonnées sphériques)
( r,
,
) + Nf h #a 6O• i ! g PQF ‚H# % I 6$
O "_
(11.3)
z=0
P M JK : 1O'%
!" /6 O ? b5.( :’#O :eE œS•+
.(coaltitude) kN! b ( :—‚(azimut) ‚ƒ g :• ‚(rayon polaire):0S-. N-. ”•G : : + Nf h #a 6O• +H#(I f h #a 6O• "#$ h ™'! "% #g6/^ R.2 G x=
cos y = sin = r sin
A.FIZAZI
x = r sin cos y = r sin sin z = r cos
Univ-BECHAR
(12.3)
LMD1/SM_ST
40
Principaux systèmes de coordonnées
r=
x2 + y2 + z2
= arccos z = arctg y
(13.3)
r
x
:0cF #G 5-gl h #a 6O• = r sin
+ Nf h #a 6O• "#$ ™'! %‡
r=
=
+ z2
2
=
z = r cos
(14.3)
= arctg
z
Z z Z
r
u
u M r O
r
u
M y
O
Y
Y
m X
x
m
X
"
- .#
@#E ! 8.35
"
- .#
:7.3 5
OM = r = x.i + y. j + z.k : #(I f+6 h #a 6O• 0F 345
† !j ) fG :efd W _ ) f#F + Nf h #a 6O• 0F %‡ OM = r = Ar .ur + A .u + A .u (15.3)
( u , u , u ) `6_ . r
0F OM h SMN% 0^ ( Ar , A , A ) :’#O
:N#Ÿ( eS.G ‚ + Nf h #a 6O• $ ž N eM #-Ÿ : . 2¡ W K 0 "% —
A.FIZAZI
‚ ¡ W K 0 "% •
Univ-BECHAR
=/
‚ W K 0 "% r
LMD1/SM_ST
41
Principaux systèmes de coordonnées
: $ M //f + RSg % ef , / g :C
0
.AB
> ?@
r = r.u r = Om + mM Om = .u =
i.cos + j sin
mM = z.k = k .r cos . = r.sin
r = r i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos
:š / XG …/%
: u @# " I
$ (16.3)
u r = i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos
:I
B
u = i .sin + j .cos
5^ u `6O 5 † !j PQF `6% ! % ( ur , u , u
)
@#E ? = :u
u =u
" 6u I = ? u "#$ 0_ !d • 6* eŠ O
ur = i .cos cos + j .cos sin
(coordonnées curvilignes):
,
,
E + +
M
O
)" # #
s - .#
2 :9.3 5
'!'
!" /7
=
% :(abscisse curviligne) E ,$" ' . EO . ? $ #? > N .# BO :M O = 3"?
OM = s
A.FIZAZI
(17.3)
k .sin
Univ-BECHAR
(18.3)
LMD1/SM_ST
42
Principaux systèmes de coordonnées
**
EXERCICES Exercice 3.1 Convertir le
vecteur
cartésiennes polaires
(u , u ) r
(i , j )
suivant
des
en
1.3
coordonnées coordonnées
: V = Xi + Yj
(i , j ) : (u , u )
V = Xi + Yj
r
Exercice 3.2 Convertir le vecteur suivant des coordonnées
(u , u
sphériques cartésiennes:
(i , j, k )
Exercice 3.3 Convertir le
(u
Exercice 3.4 Convertir le
sphériques
vecteur
r
suivant
(i , j, k ) ,u
)
vecteur
(u , u r
en
(u , u r
,u
des en
(
(i , j, k )
V = Xi + Yi + Zi
): A =
2
: (u , u , uz ) #
(i , j, k ) V = Xi + Yj + Zk
: ( ur , u , u
(
i , j, k
)
A.FIZAZI
(u
.u + cos .u
A=
2
.u + cos .u : ( ur , u , u
)
6.3
, u , u z ) en coordonnées cartésiennes
: V = Vr ur + V u + Vz u z
)
5.3
coordonnées
Exercice 3.6 Convertir le vecteur suivant des coordonnées cylindriques
%$:4.3
coordonnées coordonnées
en
)
3.3
: V = Xi + Yj + Zk
suivant
)
,u
V = Vr ur + V u + V u : i , j , k
coordonnées
, u , u z ) : V = Xi + Yi + Zi
(u , u
Exercice 3.5 Convertir le
coordonnées
V = Vr ur + V u + V u
(i , j, k )
cartésiennes sphériques
en
2.3
vecteur suivant des coordonnées
cartésiennes cylindriques
)
,u
r
!
(u V = Vr ur + V u + Vz u z
Univ-BECHAR
, u , uz ) #
: (i , j, k )
LMD1/SM_ST
%$ 43
Principaux systèmes de coordonnées Exercice 3.7 Trouver la
M(
M
,
M
distance
entre
, zM ) et N (
N
,
les N
deux
points
, z N ) par les deux
méthodes : 1/ en convertissant l’expression du vecteur coordonnées cartésiennes. 2/ par le calcul direct. Montrer que la distance entre les points s’écrit :
MN =
A.FIZAZI
2 N
2
+ N
.
2 M M
+ ( zN
.cos (
zM ) M
!# '(
&$
N
,
N
, zN )
M(
:
MN en
M
,
) *
M
, zM )
! /1
MN M et N
2
N
N(
:7.3
)
&$ :
/ MN =
Univ-BECHAR
, -$
. 2 N
2
N
+ N
.
2 M M
M
+ ( zN
.cos (
/2 !# zM )
M
2
N
LMD1/SM_ST
)
44
Principaux systèmes de coordonnées
Corrigés des exercices 3.1 à 3.7
7.3
1.3 :1.3
V = Xi + Yj
. V = Vr .ur + V .u .V " V ur = i .cos + j .sin
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos V = i Vr cos V sin
u " u
i .sin + j .cos
:
)
%$&'
Y
=X
Vr sin + V cos = Y
:V " V
:* .
")*
+*
*
Vr = X cos + Y sin
V = ( X cos + Y sin
. /+
) +V (
+ j Vr sin + V cos
V sin X
Vr cos
(i , j )
#
V " V
#-
"
,"
"."
; V = X sin + Y cos
) ur + (
1 * -+ ". + / 0 3 .) 0
)u
X sin + Y cos
*
:
0 "6. - 5"*+ :
X = Vr cos
-+
/, V 1 )* " 0 2 3 4 1% " )1 " . +. / +
)
V sin
Y = Vr sin + V cos X cos = sin Y
sin cos
Vr V
Vr cos = V sin
sin cos
X : Y
"6. 5
", :/, *
Vr = X cos + Y sin
; V = X sin + Y cos
: V = ( X cos + Y sin
. V = Xi + Yj + Zk
-+
V = Xi + Yj
/,
) ur + (
)u 2.3
(i , j, k )
:/, " i , j , k
X sin + Y cos
/ V = Vr .ur + V .u + V .u 4
(u , u r
,u
)
"
2
7 8
ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin
k .sin
u = i .sin + j .cos
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
45
Principaux systèmes de coordonnées
(
V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V
(
)
i .sin + j .cos
:
) + V ( i .cos
:
cos + j .cos sin
-+
V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin
.
%$)+
&' &
+ j Vr sin sin + V cos sin + cos
+
Y
X
k Vr cos
k .sin
"
V sin Z
:
X = Vr sin cos + V cos cos
)'
V sin
Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos
V sin
: (i , j, k )
V = (Vr sin cos + V cos cos
( Vr cos
V sin
V sin
V = Vr .ur + V .u + V .u
/ 7
) i + (V sin
)j+
sin + V cos sin + V cos
r
)k
V = V .u + V .u + Vz .u z :
:
-+ 4
i , j, k
u = i .cos + j .sin
(u
(u
, u , uz )
/ V
, u , uz )
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
:3.3
"
) +V (
7
2
i .sin + j .cos
) +V k z
uz = k V = i V cos
V sin
+ j V sin + V cos
X
+ Vz k :9 . Z
Y
: Vz " V < V
, * :;
X = Vr cos
&'
4
:; + *
"
V sin
Y = Vr sin + V cos Z = Vz
"6.
$
. "*
*
-
"."+ )
: 4 X
A.FIZAZI
cos
sin
0 V
V
Y = sin 0 Z
cos 0
0 V 1 Vz
V = Vz
Univ-BECHAR
+*
/ #;
:/
0
cos
sin
0
X
sin 0
cos 0
0 1
Y Z
$ 0+ " + "6. =
LMD1/SM_ST
46
Principaux systèmes de coordonnées
:/, * V = X cos + Y sin
; V = X sin + Y cos
V = ( X cos + Y sin
)u
+ ( X sin + Y cos
V = Vr .ur + V .u + V .u :
:
(u , u
-+
r
(u , u
4
i , j, k
r
)u
,u
,u
; Vz = Z
)
+ Zu z :4.3
)
/ V "
7
2
ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin
k .sin
u = i .sin + j .cos
(
V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V
(
)
i .sin + j .cos
) + V ( i .cos
cos + j .cos sin
:* V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin
%$&' &
+ j Vr sin sin + V cos sin + cos
+
Y
X
k Vr cos
)+
k .sin
V sin Z
:V " V < V
, * :;
X = Vr sin cos + V cos cos
4
:; + * 3"
V sin
Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos
"6.
$
V sin
. "*
*
-
"."+ )
: 4 X
+*
/ #;
:/
0
$ 0+ " + "6.
sin cos
cos cos
sin
Vr
Vr
sin cos
sin sin
cos
X
Y = sin sin cos Z
cos sin sin
cos 0
V V
V V
= cos cos sin
cos sin sin
sin 0
Y Z
:/, * Vr = X sin cos + Y sin sin + Z cos
; V = X cos cos + Y cos sin
"
Z sin
V = X sin + Y cos V = Xi + Yj + Zk
:/, "
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
$% /
LMD1/SM_ST
47
Principaux systèmes de coordonnées
V = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos
(
) ur + ( X cos
)u
X sin + Y cos
cos + Y cos sin
)u
Z sin
+
5.3
: A=
2
- B=
( i .cos
2
) + cos (
+ j .sin
:
.u + cos .u i sin + j cos
-
A
A=i
2
.cos
+ j
cos .sin X
X =
2
.cos
; Y=
2
A = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos
(
X sin + Y cos
)u
A=
( ( (
2
.cos
2
.cos 2
>, :4.3
) ur + ( X cos
cos + Y cos sin
)
X ,Y , Z A "
4
) sin cos + ( sin + cos ) sin sin cos .sin ) cos cos + ( sin + cos ) cos sin + cos .sin ) sin + ( sin + cos ) cos u cos .sin
.cos
? + @1
; Z=0
-
:>; 2 )
"
Z
sin + cos 2
: "
)
+ 0k
Y
cos .sin
2
. )' &
sin + cos 2
2
"
2
2
2
2
2
i , j, k
u = i .cos + j .sin
4
(u
, u , uz )
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
Z sin
)u
?
+
+
ur + u +
2
6.3
V = V .u + V .u + Vz .u z :", ( u , u , u z )
:
*
/ V "
) +V (
2
i .sin + j .cos
) +V k z
uz = k V = i V cos
+ j V sin + V cos
V sin X
+ Vz k :9 . Z
Y
X = Vr cos
&'
:-
.
V sin
Y = Vr sin + V cos Z = Vz
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
48
Principaux systèmes de coordonnées
V = i (Vr cos
"
N(
N
,
N
) + j (V
V sin
, zN ) " M (
M
,
M
r
MN = ON
, zM )
1
MN = ON
(
(
OM =
N
N
u
u
) (
+ zN uz
N
M
N
u
M
) + (z
M N
u
uz
/1
* :
- MN 1 2 C3 + zM uz ) : 2 ' ;
+ " D" 1 N " M OM =
:/, *
z
:7.3 .
: MN
) + kV
sin + V cos
M
zM u z )
(1)
zN Z
N
zM
OM M
uz = k O
y N yM
j
i
Y
M M
u
xM N
M
N
xN X
u
N
:/, u z " u , u N
u u
N
= i .cos
N
M
= i .cos
M
+ j .sin + j .sin
uz = k MN =
A.FIZAZI
N
( i .cos
N
+ j .sin
N
)
M
( i .cos
Univ-BECHAR
2
N M
: (1) M
"
M
+ j .sin
M
) + (z
/ u ,u N
N
uz
zM u z )
M
A"
LMD1/SM_ST
49
Principaux systèmes de coordonnées
MN = (
N
cos
N
cos
M
M
:9 . :
)i + (
N
sin
: MN
(
MN =
N
cos
N
M
cos
M
)
N
M
sin
) j + ( zN
M
71
N(
+
2 N
N
,
N
2
2
M
N
, zN ) " M (
MN = ON MN =
(
N
:
<
u
N
"
& cos
A.FIZAZI
+
/6 N
.cos
,
M
2
+(
sin
N
N
M
u
+
N
.cos
sin
M
2
u
N
+ zN uz
2
N
.
D" 1 u , u N
2 M
2
sin
N
.
M
# N
sin
M
N
.sin
.sin
) (
M
u
N
zM ) uz
M
cos(u N , u
M
)
)
cos(
M
N
= cos (
Univ-BECHAR
M
;
1
& 2
2
M
( 2) /2
: :
zM )
zM )
) = cos (
2
)
( 3) " ( 2 ) M
zM )
2
"
) + ( zN
. N
zM )
+ ( zN
+ zM u z
) + ( zN
1
+ ( zN
2
*
" /
M
)+ M
M
1
) + (z
M
M
" M
N
, zM )
(
M
M
2 N
M
N
2 N
MN =
( cos
M
OM =
MN =
/+
.
zM ) k
+ " D" 1 N " M :*
MN =
&'
2E
( 3) * " :: ( 2 ) N
-
)
LMD1/SM_ST
/
50
Caractéristiques du mouvement
'"nn(nnnn nnnn nnnn +nnnn,nnnn-/ IV CINEMATIQUE
' d(#8/A-IV CARACTERISTIQUES DU MOUVEMENT
/1
: ! "# $%& '"( ) * +,.(.....678 9:% " ) '"../# 0 1 2 34 "! => 8 ?38 @ "3A* ".4- BC#! D "8 +/E F ! "# $%& . -:$%# G"/# "A > "%8 "(,#- ,#H8
/2
: J&C 2 K ./& "A B " F.I "G : G "H(,- "8 F (L M N C 9 ! DO
2 M B- ?(3A PQ # ./& "A R 48 . ) F, T DO (+,38) 3E 8 S"=> B((3T ) DM U ? 0,- PI! :B(,CV ?)* 0,? @O +4T .J ./& "A a ] "/4 v - / \ OM [L:# 3Y* S ?Z4 "A : -"3Y .B^(38 "/8 _G "38 ?!? 4A : D .E (position du mobile):
/3
(vecteur position):'()
Dd(T "
e"fG +,38
*+,= , G M ! "8 $%> [L:8 c 3! : OM [L:# ]"3VA ( 1.4 ) (O; i , j , k )
G t
Z z M
OM = r = x.i + y. j + z.k
k
O i
j
y
(1.4)
Y
x
X
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
51
Caractéristiques du mouvement
(équations horaires):
.
/0+, B- ,%4/8 x, y, z '"({ ?)| }>" ~1 (repos) :C G M $%& :CT ) G :CT \B8d .B8d, [A :T '"({ ?)| @O } .•* ~1 (mouvement) :nA "H d8 > (2.4)
x (t ), y (t ), z (t )
:FCV "A "H&- (.34 BC#!
, (&8d '‚ "3# • ? @O
#/> (3.4)
x = f (t ), y = g (t ), z = h (t ) (trajectoire):1+2
. .Q"348 &8…* •6† "H4,4)
4 ( "44# [L :# ]:#I8 : ! "8 $%> "/8 .( #% "/8) "(# * (_! $ ) "! "8 :C! * "/#, BC#! ‡.ˆ! ‰() R(O; i , j ) +,3# G ,($4/# '"({ ?)|"A +4T !:4/# . x(t ), y (t ) :"# B(4({ ?)ŠA c 38 [L:#
(équation cartésienne de la trajectoire).1+2
.7 8 . x = 2t y =0
:
7 8 0+,
4 5 61+3 0+, 79+ 7 :; 9 1+2
‹"fŒ
G }GOQ ! "8 $%>
(&8d '‚ "3# :1.4A+B .( ( ? ,#I G ' ?): F ) •J,CY "8 \ "/#, !d(T "C "3# ?E */1 . t = 2s = , G [L:# ]"3Y N ".- P4 * /2
z = -5t 2 + 4t
"/#
"38 0,- Fˆ &G z N ".- G 2:3> +{ x ‚?A B8d Ž Z4/> /1 :D )E .•G"C8 [$Q B- N ".- : x 2 2 z = 1.25.x + 2.x
x = 2t
t=
OM = (2t ).i + ( 5t 2 + 4t ).k
:B(4(&8d B(4 "3# "A T "C!? +,3#
A.FIZAZI
0#/T x y(x) ? 0+, <4= >? @
OM (t =2) = 4i
G G 38 ! "8 $%>
Univ-BECHAR
:[L:# ]"3Y N ".-/2 12k
) }>" ~1 :2.4 A+B
LMD1/SM_ST
52
Caractéristiques du mouvement
x = a sin( t + ) y = a cos( t + )
•[.4#
"/# FCY : "#G
"38 0,- Fˆ &G c $ c • "#H3#I> +{ B(4 "3# [A > :D )E : a " $Q
‘ˆ> N e
x 2 = a 2 sin 2 ( .t + ) y = a cos ( .t + ) 2
2
2
x2 + y 2 = a2
(vecteur vitesse)
.B8d N?) •6† -:$%#
/4
:
G"/#
- / * .43> (vecteur vitesse moyenne) : FG)8 = 2 *+,M [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t = , B(A : 2.4 FCV “)6> c 38 $ :4# - / ]"3Y ŠG M ' [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t' = , : ( "4 N ".3 "A "/# M
vmoy =
T
MM ' ; t' t
MM '
vmoy =
(4.4)
t
v (t)
O
.•"%4>| ]"3Y 0#/!
M’
MM '
2.4 (vecteur vitesse instantanée):
"t
! : $ OM ' OM = lim t ' t' t t'
vt = lim t
t
%&
#
(dérivée)
OM dOM = t dt
vt =
dOM dt
(5.4)
: + 4F?
) (*
+ #( %&
A.FIZAZI
M
!
'
/
# /
Univ-BECHAR
:
v(t )
.(3.4 0* * $*
) 1
LMD1/SM_ST
53
Caractéristiques du mouvement
:2 !* OM = r = x.i + y. j + z.k
34
v = x.i + y. j + z.k
(6.4)
v
:3.4 (conventions):
5 ! %& 89 7* : !* . 7* 5 6 $ 4 4=
$
!* 56 $ :(Newton) 46 . 7* 5 6 $ 4 ' < %& = $ >
;
. dy :@ B8d, ./& "A y
7*
dt
x=
!*
dx dy ; y= ; dt dt
z=
:(Leibnitz)
56 $ dz dt
1
:
x
x = vx
OM y
v y = vy z = vz
R
:
$ (7.4)
x2 + y2 + z2
m / s = m.s
z
" !# "
:A*
(module du vecteur vitesse instantanée)
v=
! "
(
MKS
:
OM
v
/ ; B
R
/5
(vecteur accélération):
. $ / OM '
OM
*
%& *
<8
7*
! (vecteur accélération moyenne):HG)8 * t' t * *8 * > (4.4 ) v' v
* * *1+28 *+,* 46 :/
A.FIZAZI
6
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
54
Caractéristiques du mouvement
v
M
amoy = O
v' v v = ; t' t t
amoy =
v t
(8.4)
amoy M’
v'
4.4 (vecteur accélération instantanée)
!*
a = lim t '
$
t
v' v = lim t ' t' t
*
#
t
/$
C
v dv d 2 OM = = t dt dt 2
:
*8
OM = r = x.i + y. j + z.k
a=
; E<
)
(9.4)
dv d 2 OM = dt dt 2
( / :$*
v = x.i + y. j + z.k
*
D *
a = x.i + y. j + z.k
d2x d2y d2z a= .i + 2 . j + 2 .k (10.4) dt 2 dt dt
dx dy dz v = .i + . j + .k dt dt dt
.(5.4
:IJ 4 *1+28 *+,* : $
!*
+
(
a=
*
: (11.4)
x2 + y2 + z2
a(t )
*
:5.4
(module du vecteur accélération instantanée):&
:(11.4) / A.FIZAZI
Univ-BECHAR
*
/
A
LMD1/SM_ST
*
55
Caractéristiques du mouvement
: *
. a.v 0
1
x
x = vx
x = vx = a x
r= y z
v y = vy
a y = vy = ay
z = vz
R
OM = r = x.i + y. j + z.k
) (*
*
R
z = vz = az
v = v x .i + v y . j + vz .k
46 * #
a.v
0
:
'(
(12.4)
R
a = a x .i + a y . j + a z .k
46
* :) #! ) (* #
.v
F
x = 2t 2
0* * 6 . OM
y = 4t 5
46 :3.4+ ,
= %&
z = t3
. : *( * 5 6 G v = 4t.i + 4 j + 3t 2k v = 16t 2 + 16 + 9t 4
A.FIZAZI
/
A
1B
*
* ** 2 !*
*
1 ! :- .
a = 4i + 0j + 6tk ,
Univ-BECHAR
a = 16 + 36t 2
LMD1/SM_ST
56
Caractéristiques du mouvement
**
EXERCICES Exercice 4.1 Le mouvement rectiligne d’un point est défini par l’équation horaire : s = 2t 9t + 12t + 1 . a/ Calculer la vitesse et l’accélération à la date t . b/ Etudier le mouvement du point lorsque t croît de 0 à + .(Dire dans quel sens se déplace le point et si le mouvement est accéléré ou retardé). 3
1.4
2
s = 2t 3
.t " t "
Dans un repère orthonormé
(
. x = sin t ; y=1+cos2t :" . Oxy 0 1. 0
)
(
3
)
1 x = ln t ; y=t+ . t a/Ecrire l’équation de la trajectoire. b/ Calculer les valeurs algébriques de la vitesse et de l’accélération au temps t .
Univ-BECHAR
:
0
M3 x = t 3t ; y=-3t 2 ; z=t 3 + 3t 6 4 7 $ t / 2 a 6 2 v .M 3 1. " " v 6 / . Oz 8 7 89 6
Exercice4.4 Un point est mobile dans le plan à partir de la date t = 1 . Ses équations horaires sont :
A.FIZAZI
:3.4
O, i , j , k , le 2 O, i , j , k ! )
suivantes : x = t 3t ; y=-3t ; z=t + 3t a/ Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur vitesse v , et celles du vecteur accélération a , du mobile M. b/ Calculer la norme du vecteur v et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec Oz . 2
() * .( -
/ #$ 0 '.
"
Oxy .
mouvement d’un mobile M est défini par les équations 3
'
! +, ). +
2
x = sin 2 t ; y=1+cos2t
Exercice 4.3
/
2.4:
Exercice 4.2 Déterminer la trajectoire du mouvement plan défini par les équations : Dessiner cette trajectoire dans le repère
9t 2 + 12t + 1 :
45
3
:4.4
" :
; : ."
x = ln t ; y=t+
.
) 0
(
' .t = 1
1 t
.t
/
/
LMD1/SM_ST
57
Caractéristiques du mouvement Exercice 4.5
(
)
Dans un repère orthonormé O, i , j , un mobile
M décrit
dans 2
le
sens
direct
l’ellipse
2
2 ( O, i , j , ) ! ) 8 < =9 6
0 -
x y d’équation : 2 + 2 = 1 . Le point M est repéré sur 8 a b l’ellipse par l’angle
.
Exercice 4.6 Soit, dans un plan
(P) ,
un repère orthonormé
xOy et un mobile M se déplaçant dans ce plan. A la date t , ses coordonnées sont définies par : t t x = 2 cos ; y= 2 2 sin 2 2
positions du mobile et les coordonnées de avoir un vecteur accélération de longueur
5 . 4
"
M
.
0 ()5 .
3 2
x y + 2 = 1> 2 a b
6 . " 6 5
5
-
2 ( P ) 6789: ;< =>?@ 1. ' M 3 xOy :? " ( 7 $2 t
! ) .;
0
x = 2 cos v .t
. @ !C "
v pour
"
2 t2 #
t t ; y= 2 2 sin 2 2
@( . / 6 4 7 $ / 3 1A a 6 a OM " )
A.FIZAZI
2
:6.4
a/ Quelle est la trajectoire ? b/ Calculer les coordonnées à la date t du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a de ce mobile. Quelle relation y a- t- il entre OM et a ? Au bout de combien de temps le mobile repasse-il par une même position sur la courbe ? c/ Entre les dates t1 = 0 et t2 = 4 , déterminer les
# v
Déterminer les vecteurs vitesse et accélération v et en fonction des dérivées et .
:5.4
Univ-BECHAR
5 4
LMD1/SM_ST
58
Caractéristiques du mouvement
Corrigés des exercices 4.1 à 4.7
7.4
1.4 :1.4
v=
ds = 6t 2 18t + 12 : dt a=
(
dv = 12t 18 : dt
. s = 2t 3 9t 2 + 12t + 1 ! " .v + , / 0 1 2 * 3
v = 6t 2 18t + 12 = 0 t
/1
0
t = 1 ; t=2
+
/2 -% (. :4 5 ( * #
a = 12t 18 = 0
;
1
v
# $% &! . . av ) * + ,
1,5
2
0
0
0
a
+
+
+
+
a.v
t = 1,5
+
+
+
:2.4 7 cos 2t = 2 cos t 1 : 6 6 ( . 1 8( 7 y = 2 cos 2 t :9 y + 7 y = 2 ( sin 2 t 1) : , ( :; 6 6 ( 1 x = sin 2 t 8!( . 3, < ( . y = 2 (1 x ) > 2
y +2 B
( O
A +1 x
( 7 0 sin 2 t = x +1 ? 0 x +1 . . B ( 0, +2 ) ( A ( +1, 0 ) % %B (>
:t D
1&
4 6
E 4
(
)
,
FG
vx = x = 3 t 2 1 v v y = y = 6t
(
)
A.FIZAZI
)
2
@ A>
:3.4 B , /1
a= a y = y = 6 az = z = 6t
vz = z = 3 t 2 + 1 v 2 = 18 1 + t 2
43
#
ax = x = 6t ;
(
,2 3 * C1 / ( . t 4
(
)
v = 3 2 1 + t 2 :F(
Univ-BECHAR
(% /2
LMD1/SM_ST
59
Caractéristiques du mouvement
:
) *
(%
#(
( )
A> *.
( )
v .k = v.k .cos v , k = v.cos v , k
x
0
v y z
, k 0 1
( )
cos v , k =
,
(
(
(
)
(
( )
2 2
cos v , k =
)
<
v .k v
; v . k= ( x.0 ) + ( y.0 ) + ( z.0 ) =3 1+t 2
3 1+ t2 v .k = cos v , k = v 3 2 1+ t2
( )
. Oz ( v
)
( v , Oz ) =
4
rad
:4.4
:
HA x = ln t 1 y = ex + x e
t =e
y = ex + e
:t D
vx =
1 t
v=
1 t2
vy = 1
1 t
1 t2 2t 2 ay = 4 = 3 t t ax =
2
1 t2
a=
2
x
1
(
2
1 + 1 2 t
/
x
1 t4
; v=
2 + 3 t
2
; a=
/ 1 +1 t2
4 1 + t6 t4 :5.4
: x2 + y2
Y
2
M
a
O
(1)
a2 = 0
2
x y + 2 1= 0 2 a b x1 = a cos
M1
y1 j
BI% :
( 2) M
y1 = a sin x1
i
X
2
(1)
M , a cos
2
+ a sin 2
2
a =0 2
cos 2
+ sin 2
1= 0
( 3)
( 3) , ( 2 )
( 2 ) = ( 3) : cos
cos
=
x a
; sin =
y b
OM = a cos .i + b sin . j
A.FIZAZI
=
x a
:L
x=acos
(
, sin =
JB
K%
v = a sin .i + b cos . j
Univ-BECHAR
y b
y=bsin
M
%
:M %
LMD1/SM_ST
60
Caractéristiques du mouvement
= a
(
sin +
2
) .i + b (
cos
2
cos
:
sin
). j : M
% :6.4 ( /1
HA t x = 2 2 t y sin = 2 2 2 cos
. :
x2 y2 + =1 2 8
(>
A, /2
1 2 t sin 2 2 t v y = y = 2 cos 2 vx = x =
:
1 2 t cos 4 2 2 t sin 2 2
ax = vx = ay = vy =
:K"( a=
.
( 0
1 x.i 4
1 y. j 4
5 *. .K"( M
(/
BI
a=
1 ( x.i 4
@ 3 M & x = 2 cos
:
)
;
cos
5 / (% 4
*
t 2
+
y. j ) ;
,
x ' = 2 cos
cos =cos ( +2
<
a=
2
(t + T ) t = cos 2 2 *.
1 OM 4
C1 JB K%B
(
(t + T )
Univ-BECHAR
T
1&
1
:t + T D
1&
1
:/
( 7 x = x' (
T =2 2
T =4
.
*
K" ( /3
,(&
5 @1 ( 4 2 t 2 t 5 t t 2 cos 2 + 8sin 2 = 5 a 2 = cos 2 + sin 2 = 16 2 4 2 16 2 2 t t t t 1 2 1 sin 2 + 8sin 2 = 5 6sin 2 = 3 sin 2 = 2 2 2 2 2
A.FIZAZI
+
#
:t D
4 6 :a =
<
D
LMD1/SM_ST
61
Caractéristiques du mouvement
+ 2k 4 3 + + 2k 4 (7 0 t 4
t 2 , t sin = ± 2 2
:
(*
t 0 ; = 2
1 O-
k 0
1
t
2 3 2
+
vx
x
y
+1
+2
1
+2
%
3
A:N
vy
1 2 1 2
+1 1
:7.4 OM = x.i + y. j :/
.
K"(
+
.
/1
Y A
A'
b
2b
y
M b
O
:
x
B'
3
6
E
B X
F.
<
x = OA + b cos
, x = 2b cos + b cos
x = 3b cos
y = AA ' b sin
, y = 2b sin
y = b sin
b sin
OM = i .3b cos + j .b sin
: x 2 = 9b 2 cos 2
.JB K%B : a=
+ 2
d OM = dt 2
2
A.FIZAZI
O
y 2 = b 2 sin 2
x2 y 2 = =1 9b b 2
FG
K"(
,
( i .3b.cos
a = 9b 2 .cos 2 t + b 2 .sin 2 t
HA
t + j .b.sin t )
a=
a = b 9 cos 2 t + sin 2 t : @1
Univ-BECHAR
6 2
/2
.OM
(% ! .
LMD1/SM_ST
62
Mouvements rectilignes
! /B-IV
! 0
MOUVEMENTS RECTILIGNES
/1
:
(mouvement rectiligne uniforme)
: . :
! !"
! "#$% & '( ) *
!
OX
"#
% :
t = 0 ; x = x0
X . /01% 23045 6%7 89( .: ;0<= .:
:A;E% .%!
v=x= x
x x0
dx = v0 dt
= v0 t
) .5#>% ?@# = A; 0BCD( x
dx = v0 .dt
t
dx = v0 .dt
x0
t0
x-x0 = v0 t
t 0
: &(! " ! " '! - . !
&! !
! '( )*
+
% %,
x = v0 .t + x0
.
..:
(13.4)
! . /01%
.
x0
O
!
!
)!
O
A.FIZAZI
t
(! (* /! X
(diagrammes du mouvement):
"! ) # !
! 0 % .(7.4 ) ! )
&! !1 " ) 2
v = C te
( x0 = 0)
O
x
:6.4 ) !
x = v0 t + x0
x = v0 t + x0
.
"
x t
t=0
! (
x0
t
O
Univ-BECHAR
t
O
a=0
t
LMD1/SM_ST
63
Mouvements rectilignes
! ) ) x = 2t ; y = 2t + 4; z = 0 : ! &! 01 ! :4.4 . ! 5 " .( ! ! ( .! . % ! y = 0; z = 0 . ! z=0 : . 67 ! z 0; y 0; x 0 :. ! ! 8 " 9! ).5 : ! 51 5 " : . ! ; ! y = x+4 ! < : "# ! 5 "1 ! ' : ! + < # =7 ! > . ! v = 2i + 2 j v = 22 + 22 v = 8 = 2.83ms 1
0
(mouvement rectiligne uniformément varié)
!
a=
/2
: :
" + ?
@A
: 6 "2
t = 0 ; v = v0 v
dv dt
dv = adt
. "# " " :
!
t
dv = adt v0
'! - . !
v
v v0
= at
t 0
:<
! " ! B
!
0
(!
! !
'(
%-
)* : &(!
v = v0 .t + v0
>"
@A
(14.4)
%5
t = 0 ; x = x0
dx v= = at + v0 dt
:
! x
dx = (at + v0) )dt
t
dx = (at + v0) )dt x0
:<
0
:
&! !
!
C
1 x = at 2 + v0 t + x0 2
.) 2
x
x=
!
!
1 2 at + v0 t + x0 2
v
)!
: % 8.4 ) !
! 0
A
a a= Cte
v0 = 0 t
O
O
t
! 0
A.FIZAZI
(15.4)
v = at + v 0
x0 O
"
t
% : 8.4 ) !
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
64
Mouvements rectilignes
2
v 0 = 2a ( x
v2
" (accéléré)
a.v > 0
" (retardé)
a.v < 0
. v = 2t 5 (
0:
6 (ms -1 ) ; t
! E !
! &!
!
dv = 2ms dt
2
:
! F
(! ( 6 "
! + "
>
"
"# % ! " : & !
! > .9 :5.4 ! ! D / ! " . t = 0 , x = 5m ) - " /<
" OX
. a=
:"# "$ ! 6 "
x0 )
!
!
'(
)*
/ : .0" #
:
! + " )
"
! )*
t t dx x = x0 + vdt x = x0 + (2t dt 0 0 2 x = x0 + t 6t ; t = 0 , x = 5 x0 = 5
v=
(! 6)
x = t2
:0 ? (! 1 . t
0
1 + 0 !
v a x av
6 "
&! ! 6t + 5
:
3 0
!
!
5/<
5 + + 0
-4 0 *
b
+ !
1.4 0 ? ! ) . (mouvement rectiligne à accélération variable)
! ( .!
/3
:'
! + ? 0
! ))
a=4
: ! !
: .( a = t2 : !
f (t ) ):
&(! "
" %
! >
&! !1 " ) 2
. ) :6.4 .( MKS ! ! ! " . 5
t = 3s ; v = 2ms -1 ; x = 9m
:
A.FIZAZI
! + " )
(!
Univ-BECHAR
! + " ! '( ) * (!
:% (
LMD1/SM_ST
65
Mouvements rectilignes t
t
v = adt + v0
v = v0 + (4 t 2 )dt
0
0
v = 4t
1 3 t + v0 3
:) H! t
x = x0 + vdt
x=
0
<
. .(!
6 "1 : t = 3s
!"
t = 3s
: x = 2t 2
1 4 t + 2t 2 12
! &!
v0
! + " ! '( )* ! (* /! ! )* !
3 x0 = m ; v0 = 1ms 4
1 4 t 12
t+
)
v0 t + x0
) "!
x0
(! ) 2
.
I ! J ;0
" !
1
!
" <
3 4
%1 3 t 1 3
v = 4t
: )* .:g;E% .%&0 % . 0 A<;h i7 .@&0; .Djg% .:4:k . :j >; . #'% lm<= :,- ./ :8<$%0 0n #'%
/4
(mouvement rectiligne sinusoïdal)
x = X m .cos( .t + )
(16.4)
:6 o )h (élongation ou abscisse instantanée) * p' % q0D % )h . /01% : x ! #:t @ :(amplitude ou élongation maximale) p5r q0D % )h . >% : X m 1 cos( t + ) +1 Xm x +Xm : @ x = X m. sin( .t + )
")
* (pulsation du mouvement). #'% u4( : * (phase initiale).: v .'19% )h v 3mD% : . (phase instantanée).:p' % .'19% )h p' % 3mD% : (yt+x) v=x=
dx : dt
&! !
! >
:
v = X m . sin( t + )
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(17.4)
@
"
! E
?
LMD1/SM_ST
66
Mouvements rectilignes
1 sin( t + )
+1
X m.
+ X m.
v
a= x=v=
dv : dt
a = Xm
cos( .t + )
2
! !
2
a
@
: ! ! 2
"
! E
?
2
Xm
a=
:' (18.4)
: +Xm
>
! '(
! + "
" (19.4)
.x
.E . 1 C ) ! = < ! ( )* /! 5 " ) & ! =7 9 ! ! ; ! K . - C! 9 ! L (" 5 : " .! ! ! M6 *% 5 9.4) ! '( *%!
(équation différentielle du mouvement)
:" d 2x + dt 2 a=x=
2
x
. x = A cos t + B sin t :) ! . x = X m cos( t + ) ) ! '(
A.FIZAZI
2
! ! !
.x = 0 x+
@A (20.4)
2
.x = 0
(7 / ! #(# ! 0A
Univ-BECHAR
!) *
!
! E ) 7 ! " ! ! E "
LMD1/SM_ST
67
Mouvements rectilignes
x0
)
! N
! )! ! . 0
6 "2 !
! " ( . '( )*
!
;
8
"# v0 Xm
! "
x0 = X m cos
t=0
(!
)7 / ! : 6 "1 .
Xm
v0 = X m sin
! ; ) 2 .(
) 0 % =0
%
:
) ! )# " (! ) " .! 10.4
!
X,V,a a=h(t)
+amax V=g(t)
+Vmax
x=f(t)
+Xm 0
T/2
-Xm
3T/4
T
t(s)
2T
-Vmax -amax
% :10.4 ) !
! 0
"
!
! =
" . & & :7.4 .( MKS 0 . (! 6 "2 /*! ! ; ! ; ! / : . 5 . ! ! /< . 6 "2 ! /O ! ! ;=7 ! / . t = 5s . ! 0 % 5 /P " .! ! (! ! &! ! ! >" : . ! M + ! &! : (! 6 "2 /*! ! ; ! ; ! / ! ) ) x = 4 sin(0.1t + 0.5) : !
X m = 4m ; T = N=
1 T
2
! " )#
T = 20 = 62.8s ;
N = 1.59.10 2 Hz ;
:
= 0.5rad .
!
! <
v = x = 0.4cos(0.1t + 0.5) ; a = v = -0.04sin(0.1t + 0.5) = -0.01x A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/< a=-0.01x LMD1/SM_ST
68
Mouvements rectilignes
: 6 "2 t =0
x0 = 4sin 0.5 = 1.92m
v0 = 0.4cos 0.5 0.35ms
v0 = 0.35m
!
t = 5s : x = 4sin(0.5 + 0.5) v = 0.4cos1 a = -0.04sin1
!" Q/ 2
"
! ;=7 !
/
x = 3.36m ;
v = 0.22ms -1 ; a = 0.034ms -2 .
! "
! '(
/O
x0 = 1.92m ;
1
: t = 5s
!
! 0
% /P
. !
x,v,a x=4sin(0.5t+0.5)
4
2
0
t
t+T t+T/2
-2
a=-0.04sin(0.5t+0.5) t+3T/4
t(s)
v=2cos(0.5t+0.5)
-4
:11.4
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
69
Mouvements rectilignes
**
EXERCICES Exercice 4.8 La position d’un mobile en fonction du temps est indiquée sur la figure ci-dessous. Indiquer : 1/ en quel endroit le mouvement se fait dans la direction des X positifs ou négatifs ? 2/ à quel instant le mouvement est retardé ou accéléré ? 3/ quand le corps passe par l’origine ? 4/ quand la vitesse est nulle ? 5/ faire un graphique de la vitesse et de l’accélération en fonction du temps, 6/ estimer d’après le graphique, la vitesse moyenne pour les intervalles de temps :
1s t 1,8s , 1s t
2, 2 s , 1s t
:8.4
!" #$
:
& #$ /1 " X ' ) * & #$ /2 ( +,) ( ' % " /3 ( % ./ /4 0 ) #/) % %1 /5 2 % 1 2#/) % )13,/ /6 : / ' " ,
3s
1s X ( m)
% ( )
.
t
3s , 1s
t
2, 2 s , 1s
t
1,8s
1m
0, 2s
t (s)
0
Exercice 4.9 Un point matériel se déplace sur l’axe x ' ox de 2
façon qu’entre le carré v de sa vitesse et son abscisse
x , il existe la relation v 2 = Ax + B ,où A et B sont des constantes. 1/ Calculer l’accélération du mobile. Que peut on dire du mouvement ? 2/ Connaissant la nature du mouvement, trouver par une autre méthode les valeurs de A et B en fonction des caractéristiques du mouvement.
A.FIZAZI
9.4
5
4/ 4 x )! ')$ v )! 2 " 2 . ) )6 B A 2 v = Ax + B 13. 8) . 0 ) 7 /1 ( 4/ 4 , " 2 . , $ . /2 . ; B A # 19 :
Univ-BECHAR
)
x ' ox
,4/
2
LMD1/SM_ST
70
Mouvements rectilignes
Exercice 4.10 Une pierre est lancée verticalement vers le haut depuis le toit d’un immeuble avec une vitesse de
29, 4ms 1 .On laisse tomber une seconde pierre 4s après avoir jeté la première. Démontrer que la première pierre dépassera la seconde 4s exactement après que l’on ait lâché la seconde.
g = 9,8ms 2 .
:10.4
< - ) 1) = )" >84 4s . .= ) ?, )13,/ 29, 4ms 1 /)6 = )" / < = )" >81 )" < = )" @ .,4 . /)6 )/ . , ) 4s /)6 = )" g = 9,8ms
2
Exercice 4.11 Un homme au sommet d’un immeuble lance une boule verticalement vers le haut avec une vitesse
:11.4 = < - ) 1) = ) 1 " >84 A < - = ' . 12m.s 1 12m.s 1 . La boule atteint le sol 4, 25s plus tard. .)!$81 4, 25s . 1/ Quelle est la hauteur maximale atteinte par la boule ? (= B &8 # * < 0) @ ) /1 2/ Quelle est la hauteur de l’immeuble ? (= ) . @ % /2 3/ Avec quelle vitesse atteint-elle le sol ? = )! % ,' # #@ ) /3 g = 9,8ms 2 (A < 2 g = 9,8ms Exercice 4.12 L’unité de longueur est le centimètre, l’unité de temps la seconde. Une automobile se déplace en mouvement rectiligne. Son accélération est donnée par
a=
2
1/ déterminer la nature du mouvement, écrire son équation horaire. 2/ calculer toutes les constantes qui caractérisent le mouvement, 3/ montrer que x peut s’écrire sous la forme :
).
Exercice 4.13 Un corps est animé d’un mouvement rectiligne dont l’accélération est donnée par a = 32 4v ( avec comme conditions initiales x = 0 et v = 4 pour t = 0 ). Trouver v en fonction de t , x en fonction de t et x en fonction de v .
A.FIZAZI
#@
x , tel C )!
4 que , à la date t = 1s , on ait l’abscisse x = 4cm et la 1 vitesse v = 2 cm.s .
x = X m cos ( t +
:12.4
t = 1s
= )
2 ,. .
*
#$
/
#@
4 5
2
, = . /)6 = ) 4/ a=
x = 4cm
2
4
x
') . v = 2 cm.s 1 . / )! ). 7 2 . , /1 2 # ; 6 7 /2 : x ) / /3 . x = X m cos ( t + ) :13.4
0 )
v=4
Univ-BECHAR
4
x=0
x
+ t
% " 4/ , ) a = 32 4v .( t = 0 " x 2 t v " .v
LMD1/SM_ST
71
Mouvements rectilignes
Corrigés des exercices 4.8 à 4.13
13.4
8.4 :8.4
/1
X
%! &
%!' %
#$
%! &
.
/2
t = 1,8s %! &
* t = 2.8s
() '
2, 2 s t 2,8s : . t = 1,8s t = 0,8s
!
. t = 0,3s , t=2,8s , t=3,2s + & ,' . t = 1,8s & / t = 0,8s :%! & v=
(
v m.s1
x t
&
!0
)
:%
2m.s
v = 10, 62m.s
. t = 2.8s t = 1,8s % #$ $ ! /3 - . /4
'
/5
+
/6
1
0, 2s
1
v = 3, 75m.s
1
v = 5ms
1
v=0
0
!' -
t (s)
v = 15ms
1
:) 1 t 1,8s , vmoy = 0
1s t 1s t
1,5 = 1, 25ms 1 1, 2 1,5 9 + 2 = = 2, 25ms 1 2
2, 2 s , vmoy =
3s , vmoy
:9.4 2v
dv dx =A , 2v.a = A.v dt dt
. :' '
8 ! 97
v = at + v0
A.FIZAZI
a=
A :% 2
'
%3 -!0 -& '
' !0
.
) 1 2 /1
+' 4 5
%6 ' %6 7 ' /2
v = a t + v + 2a.v0 .t 2
2 2
Univ-BECHAR
2 0
LMD1/SM_ST
72
Mouvements rectilignes
1 v 2 = 2a ( at 2 + v0 t ) + v02 2
v 2 = a (at 2 + 2v0 t ) + v02
x
( 2)
v = Ax + B 2
A=
(1)
2a.x + v02
a ; B=v02 :: 2
:+ !).
( 2)
(1) %! '. 0' ) ' :10.4
./ > / , OZ : OZ
= /
1 2 gt1 ; 2
z1 =
. A 9B %
.- & ' ; !< A 6
!0
%! 4 4 ?@ ! 4 ;
' ' A .)B
z1 = 78, 4m
4 8 .' ! 4 ;
/ > ;
%6 :
1 2 gt2 +v0 t2 ; z2 = 78, 4m 2 / > D9B .' 4 8 ( z = z1 = z2 ) . C
+ !). :& 97
A
z2 =
#
.'
4 4
/ .$
% ) 0 )0
! 4
:11.4
DB
A
.; . D0 6 ' / > / , = OZ & > A ; E ' .- & ' ; !< !0
-.
v02 = 2 gh
v2
.( t = 4, 25s
h=
v02 2g
;
1 2 gt + v0 .t ; 2
!;
> / , )0
.
/2
z =37,5m
:F > I ; v = gt + v0 ;
:
;
, h 7,35m
6 )F > ' A ) z=
@ /1
/3
- )
v=-29,65ms -1
( OZ
=!
%
– ; 2J ) :12.4
!
a=
2
4
x+
x
2
4
x = 0 :/ >
% . !'!
. x = A cos v= A
A.FIZAZI
2
sin
2
t+B
2
cos
2
2
t + B sin
t : !
2
!L
.
!0
t :
.
Univ-BECHAR
2 %
; $! 7 C
1 0 2 ' !&
!
$%6 & ? /1 !L !6
. AM
; ' :
LMD1/SM_ST
73
Mouvements rectilignes
:%3 !( ' t = 1s , x=4cm , 4=0+Bsin
B = 4cm
2
t = 1s , v=-2 cm.s -1 , -2 = A x = 4 cos
2
t + 4sin
2
x = 4 cos
t
.
2
2
t + sin
!"
sin
2
x = X m cos ( t +
: 2 / x=4
:!
t
)
.
'
(1)
2 2
:/ 2 =4 2
A = 4cm
2
: 7 !'! !0 . ! % ' +' 4
: 2 /, !
x
0
!
+ ! 97 -!B
/2 !J
)
L
2 2 cos t + sin t 2 2 2 2
0'
.
'
% !
sin
4
= cos
4
2 %6 2
=
'
2 cos t.cos + sin t.sin = 4 2 cos t.cos + sin t.sin 2 4 2 4 2 4 2 4 2
x = 4 2 c os x = 4 2 cos
%! !0 /
2 2
t.cos t
4
+ sin
2
t.sin
4
!
2
t
2
t
: 2 /
4
2
t
=
9A ! 4
D) %! !0'
@O %! !
)
:
!A
x = 4 2102.cos
' %N - 0
( 2)
1 = X m .cos ( t + 2
X m = 4 2cm
rad :
1 2
t
2
!
. ; ' /, (1) %! . 0' ) ' # 9
: ( 2)
x = 4 2 cos
= 4 2 cos
4
x = 4 2 cos
A ?@ % %M
4
%N
.
: 44
=
) 2
2
rad .s
1
:" /3
.
( m) :13.4
:/ >
%
!L
v + 4v = 32 4 v = Ae 4t + 32
.
75
; ' %6 & ?
a = 32 4v
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
: 2 % AM
LMD1/SM_ST
74
Mouvements rectilignes
t = 0 , v= 4 , 4= Ae0 +8
: !( '
A=-4
: dx = 4e dt
4t
+8
dx =
(
4e
x=e
4t
!
)
+ 8 dt
' .
x=
(
4e
)
+ 8 dt
) 2 % B?) B +' 4
0=e 0 +B
: ( 2)
4t
+ 8t 1
(1) %! . %!'
v= -4e-4t +8
x=e
:+,-./*0 1 !
A.FIZAZI
4
1 8 v ln 4 4
+ 8.
x = 2 ln
8 v 4
x=
1
x
( 2) %
D9
' x #$% &'()$* : (1) %
v
1 8 v t = - ln 4 4
1 8 v ln 4 4
!B
B= 1
:678 9: t x=e
.
%3 =! /
/ 4t
!B
+ 8t + B
4t
: !( ' t = 0 , x=0
A +' 4
(1) : 7 %
v= -4e-4t +8 v=
) 2 P
8 v 4
: ( 2) 2 ln
8 v 4
F .
1
1 v +1 4
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
75
Mouvement dans le plan
/ C-IV MOUVEMENT DANS LE PLAN
. Y
/1
:
v
:
M
v
v
.( C ) !
$ :
M
r
j
O
(21.4)
OM = r = xi + yj
C
ur
u
%
: '( X
i
.
(22.4)
OM = r = r.ur
:12.4+ ,
:)
ur = i .cos + j .sin
:! OM = r = r (i .cos + j .sin )
. = g (t ) r = f (t ) : $
*
:
r
: : $ (23.4)
v = r = xi + yj ur
-
!. *, !
.
12.4
+, :
ur = i .cos + j .sin A.FIZAZI
j
;
Univ-BECHAR
: i
-
!. *, /
u = i .sin + j .cos
u
(24.4) LMD1/SM_ST
76
Mouvement dans le plan
: ' , 0 dur d d d = i .sin . + j cos . =u . dt dt dt dt du d = i .cos . dt dt
:(25.4) - * v =r =r
dur d =u . dt dt
d d = ur j .sin . dt dt
du d = ur dt dt
*
dur dr + ur dt dt
.
v=
dr d ur + r u dt dt
: vr v = r.ur + r. .u v = vr + v
.
v
vr = r.ur v = r. .u
- . 1 0 (26.4)
v = r.ur + r. .u
3
(25.4)
.
2
v = r 2 + ( r. ) 2
: +*
$
a = v = r = xi + yj : (26.4) - * % , :
.
:(25.4) - *
du dur + r .ur + r. . + r. .u + r. .u dt dt d d a = r.(u . ) + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u dt dt a = v = r.
7
7 *,
8' - *
+9
$
+ *
- * 4
56
: a = r.u . + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u a = (r r. 2 ).ur + (2r. + r. ).u ar
:a
A.FIZAZI
(27.4)
a
.
ar
3
7
'
6 :
a = ar + a
(28.4)
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
77
Mouvement dans le plan
:!'( ; , a = (r
(29.4)
r. 2 ) 2 + (2r. + r. ) 2
: : ! 7 *, <( = r = R = C te
(mouvement circulaire)
:. v=R u
(30.4)
:7
7 *, - .
a = R. 2 ..ur + R. .u
;>?
56 :
: 7 ; 2 (accélération normale)" # $ A ,B = a 4? @ . $
a N = ar = R 2u r
!(
@
;
ar = a N = R
2 .
%
(32.4)
"
A
. ,B
M
a = aT = R
(mouvement circulaire uniforme)
.
te
6 :
2
(accélération tangentielle)
a = aT = R u
<( = r = R = C
(31.4)
.
(33.4)
: # -,
!
:
6
8
!( :.
v=R =R
-
+:D
$ +
a = ar = aN = R
:(Frenet) = MT 2 * +,
A.FIZAZI
MN
! .( rad .s 1 ) 2
( )*+ "( + , 5* = v . 6 : .!
=R
2
v2 = R
(34.4)
$
. .
aN = R
* ' * = 7 *, + .
MN
MT
Univ-BECHAR
. C * ) ' $ : '( 7 2
.ur
# C M
%( -
(35.4)
/2 1 D @
'&
(C )
!( . MT !. *, u N :0
. uT
.
LMD1/SM_ST
78
Mouvement dans le plan
v = v.uT
(36.4) a = aT + aN
:0 ( 7 : <( !
a = aT .uT + aN .u N
(37.4)
N aN a
(C ) uN uT
M
( 5 * !( 7
aT
v
.
T
:13.4 + ,
: <( % dv dt v2 aN = R
aT =
v2 a = v.uT + .u N R
( 5 * !( 7
.
v2 a= v + R
*
2
2
!
(37.4)
* !
(36.4)
. :8G HI8JA4 K2@L 1M NOPQRA4 S7 189:; <=>?@A4 B2CDEF4 8G ds 123 456 r = uT .ds
(38.4)
:8.4$ :
*
2 .cos 2
)
v=k
:
0 ..
A.FIZAZI
4 7 *,
2
*
=a
v
Univ-BECHAR
.
v
*
-, I J . v
6
a
)
.k > 0 0
LMD1/SM_ST
79
Mouvement dans le plan
v = .u +
.(!! C
6J
/
)
K
v =v +v :
.u
K
(
r
6 /
: cos 2 ( / 2) = a
=
:v v =
d d d = . dt d dt
5
.
. +9
2
+v
2
3:
v2 = k 2 .
2
3:
- .%,
a.cos( / 2).sin( / 2) . cos 4 ( / 2)
:!'(
v = . v2 = v
*
a cos 2 ( / 2)
6
v =
C *
:$
' = k 2.
0?
=
*
'? : <(
. L *
0
a2 cos 4 ( / 2)
:; . a2 a 2 .sin 2 ( / 2) k . 4 = . cos ( / 2) cos6 ( / 2) 2
2
a2 + . cos 4 ( / 2) 2
:0
+9 v =
sin 2 ( / 2) k = +1 . cos 2 ( / 2) 2
= k 2 .cos 2 ( / 2)
v
a.k .sin( / 2) cos2 ( / 2)
v =
A.FIZAZI
2
!
v
. !( (
2
= k .cos( / 2) : ;
'
I *
v = v.sin( / 2)
a.k cos( / 2)
Univ-BECHAR
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80
Mouvement dans le plan
**
EXERCICES Exercice 4.14 Une particule se déplace dans un plan XY selon la
:14.4 XY
loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t . 3
Si le mobile se trouvait au point
(1, 2 )
. v y = 4t
à l’instant
(1, 2 )
!t = 0
t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en
. "
coordonnées cartésiennes.
Exercice 4.15 Une particule se déplace dans un plan loi :
vx = 4
t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0 y
XY ) . a y = 3cos t
(
1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ?
t=
4
,( #-
s.
.t =
Exercice 4.16 Soit le mouvement défini par sa trajectoire
y = 3( x + 2)
y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 .
Sachant que que
x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et
s croit avec la croissance de y :
1/ trouver les équations paramétriques
y ( t ) du mouvement,
x ( t ) et
2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération tangentielle du mouvement.
x= 2
:y
xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées
x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j )
t=0 : /1
!
s
4
. /2
)
'
:16.4 #
). s ( t ) = 2t 2
"
/
" s
x (t )
.#
2
# ! s ( 0) = 0
# 0
'
y=0
/1 !# /2
2
:17.4 4
3 . y = 4t 4t x = 2t :1 ' ' ,( #! /1 ! ) 5 /2 !$' % () / ' /3 2 '# /4 !$ .7 8 . 9: ; /5 2
2
Exercice 4.18 Le plan est rapporté à un repère orthonormé
" 1
y (t )
Exercice 4.17 On donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel : x = 2t et y = 4t 4t 1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est son allure ? 2/Calculer la vitesse du mobile, 3/Montrer que son accélération est constante, 4/Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet. 5/En déduire le rayon de courbure.
&'
ax = 4sin t
vx = 4 ! y = 3 ! x = 0
v y = 0 ! trouver :
2/ la valeur de la vitesse à l’instant
# $ % :15.4
XY selon la
ax = 4sin t et a y = 3cos t .
Sachant que pour
vx = 4t 3 + 4t
6
:18.4 xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK
y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N;
varient avec le temps suivant la loi:
A.FIZAZI
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81
Mouvement dans le plan
x = 2 cos
d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB
t t et y = 2sin . 2 2
1/ Déterminer la nature de la trajectoire, 2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v ,
ds , ainsi dt que celle de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t , en prenant comme condition initiale s = 0 quand t = 0 , 3/ Déterminer l'expression de la vitesse
4/ Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet, 5/ En déduire le rayon de courbure de la trajectoire. 6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le point M subit une accélération angulaire
d2 = dt 2
= 0, 2t . A quelle date le point M 1
atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ?
t t < x = 2 cos : SE78_BH IFV 2 2 .g8FGBH ]>TNh i=V /1 l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2 ds s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb < ]QXFBH mg8NQ i=V /3 dt `pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH l t = 0 8GB s = 0 ?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4 lxJKXa .y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5 jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6 d2 M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a . = = 0, 2t €^R `:BH ]a8FGBH
. y = 2sin
Exercice 4.19 Une particule soumise à des champs électriques et magnétiques complexes est en mouvement dans un référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en
:19.4 m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP ]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a t t t t b b .S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G… coordonnées polaires : r = r0 e et = , 0 et b b l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1 b sont des constantes positives. 1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule, †]Kk IFVM /3 vaut cet angle ? Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K:F7)†]K
uT
u M
u
uN O
Exercice 4.20 Un bras OA tournant avec une vitesse
A.FIZAZI
x
autour
Univ-BECHAR
'%
" )
'
:20.4 OA
LMD1/SM_ST
82
Mouvement dans le plan
d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB . La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière
. AB 5 =. 1 A ) :< ' - !O ' . .8" ' B ) :< AB 5 = OA ' = # . Ox 3 ) 8" > :< 9 ? .8" AB l’articulation en O . Sachant que AB = L : OA = R AB = L # . O et OA = R : A ) B # " /1 1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B , ! t = 0 " ) A0 sachant que B passe en A0 au temps t = 0 , ,) 6 $ 4 /2 2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ?
Y
A L
R
t O
Exercice 4.21 Dans le plan
( XOY ) d’un repère
X
( O, i , j , k ) , un
P se déplace sur un cercle de rayon R et de centre I ( R, 0, 0 ) . point
A l’instant t = 0 ,
B
A0
(
! O, i , j , k . I ( R, 0, 0 ) /"#
possède la vitesse positive
v0 ( 0, v0 , 0 ) .
On désigne par et les coordonnées polaires de P . 1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son équation cartésienne.
repère
;
( ur , u )
( O, u , u , k ) . r
3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en A). • Donner l’expression de s en fonction de . • Représenter sur la figure la base intrinsèque
(u
T,
u N ) de P .
• Calculer en fonction de et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes de v0 et a dans cette base. • Calculer les composantes polaires de
. P B
(u
"
'
'
'
uT et de u N .
4/ On désigne par la vitesse angulaire de P , dont on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.
A.FIZAZI
T,
uN )
'
Univ-BECHAR
) 5 # & 3 " # /1 . # @) #- 3 ) C% /2 0 8' 5 v ) ) - $ %
(
. O, u r , u , k
. uN '#
- F/
. )
)6
:< # /3 ! 8 ' s @ ') ) • @) #- 3 ) C% •
0 .6 / uT '
!P B
Retrouver dans ces conditions les composantes polaires de v0 et a .
lt = 0
' ) PB s
:( A
. 9: @ A 3 ) P
P
. P B ( ur , u ) ' " ' ' de P . Calculer en fonction de et de ses dérivées P B a 2 successives par rapport au temps les composantes polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le 2/ Représenter sur la figure la base polaire
( XOY )
6
. v0 ( 0, v0 , 0 ) ' B' P B ' $ % !@ A '
. 0
)
R /
A ( 2 R, 0, 0 )
P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et
:21.4
8' 5 • a v0 $ % '# 5 • •
. a v0 B " ) B' " /4 . ' % 1' # / ' 6% ') ! t 8 ' ) • a v ') ; •
LMD1/SM_ST
83
Mouvement dans le plan
• Donner en fonction de t , les expressions de puis de . • En déduire les expressions de v et a en fonction de t de
.$
@ ).
v0 et a dans les bases polaire et de Frenet.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
84
Mouvement dans le plan
21.4
Corrigés des exercices 4.14 à 21.4
14.4 :14.4
:
( 4t
vx = 4t 3 + 4t , x =
3
)
+ 4t dt
v y = 4t , y= 4t.dt
t = 0 , x=1 , y=2: Cx = 1 , C y = 2
: Cy
x = t 4 + 2t 2 + C x
y=2t 2 + C y
!"
Cx
x = t 4 + 2t 2 + 1 , y=2t 2 + 2
: #
: $
(
)
x = t2 +1
2
(
)
, y=2 t 2 + 1
"
%& '
y=2 x
:15.4
/1
: ax = 4sin t
vx = 4 cos t + v0 x , x = 4sin t + v0 x .t + C x
a y = 3cos t
v y = 3sin t + v0 y , y = 3sin t + v0 y .t + C y
: Cy t = 0 , x=0 , y=-3 , vx =4
C x * v0 y * v0 x )
!"
v0x = 0 , v0y = 0 , C x = 0 , C y = 0
, v y =0
: # vx = 4cos t , v y = 3sin t x = 4sin t , y = -3cos t
: $ x = 4sin t, y=-3cost
"
%& '
y 2 x2 + =1 9 16
. v = vx2 + v y2
A.FIZAZI
v = 16sin 2
4
+ 9 cos 2
4
v = 3,53ms
Univ-BECHAR
1
:t =
4
s
+
" &
" /2
LMD1/SM_ST
85
Mouvement dans le plan
:16.4 v=
ds : $ dt
&
-"
.
s ( t ) = 2t 2
"
$ y
1
x
2
, /$ . v =
#
ds = 4t : dt
" ./$ -"
: x = t 2 + t + x0
vx = 2 t +
y = t + t + y0
vy = 2 t +
2
(
v2 = 4
t +
2 2
2
+4
.t ) + ( 4 2 t 2 +
:
(
v2 = 4
2
+4
2
)t + (4
+4
2
)t +
' 2
+ 4 .t
3 45 +
2
)
+
2
v 2 = 4t 2
: $2
6 )/ )
(4
+4
2
(4 x0 = 2
)t
2
= 4t 2
)t = 0 = 0 ( 3)
+4
2
. y0 = 0
2
76
+
2
2
(1) ( 2)
18 "
*
=
( 3)
=0 : 8 "
: $
x= t y = ( x + 2) = 3
(
2+2
t2
)
y = 3 t2 = t2
2
2 , y= t
:
.
(5) :
y = 3 t2
=3
/#
( 4)
2
"
( 5)
< 4
+4
2
2
=4
& x 9:
( 4) (1)
; " : /#
=3 4
: ( 4)
2
+4
2
&9
=4
* x=
=±
2 2 t 5
2 , 5
2
= ±3
/2 > # 2 , y=3
2 5 y
=
s
1
2 2 t 5
:17.4 t=
1 x 2
y = x2
2x : y
&
?/ : " .
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/1 "
LMD1/SM_ST
86
Mouvement dans le plan
: vx = 2 v y = 8t
"
v = vx2 + v y2
4
=A
(8t
v=
: dvx =0 dt dv y =8 ay = dt
dv dt
a = 8ms
( 8t
1
:@
" /2
:@
B " /3
"
B " /4
)
C
= C te
2
" B
8 ( 8t 4 )
aT =
(
2
" B
: aT =
C
4 ) + 4 ms
"
ax =
B
"
( ms ) 2
4) + 4 2
:; " aN2 = a 2
aN =
aT2
16
( 8t
+
( ms ) 2
4) + 4 2
:D aN =
2
v r
, r=
2
v aN
(8t
r=
B "
4) + 4 2
16
/5
3
( m)
:18.4
* ? #$
&
O
E 2 E ! " $ @:
@/ * < =:
" "
. x2 + y 2 = 4 :
vx = sin
t t , v y = cos ; v 2 = vx2 + v y2 2 2
:
)
.R = 2 " B
/2
"
ds = 1ms -1 dt ds " v= dt
/3
v =t +C
s=t : $
C = 0 %& s = 0 * t = 0
:B "
A.FIZAZI
/1
v2 = 1 , v =
,
s = v.dt
?/
Univ-BECHAR
"
& 1 " C
/4
LMD1/SM_ST
87
Mouvement dans le plan
1 t 1 t ; a 2 =a x2 + a y2 = 0, 25ms 2 cos ; a y = sin 2 2 2 2 dv aT = = 0 , aN = a 2 aT2 aN = 0,5ms 2 :) dt
ax =
v2 R= aN =
d = 0, 2t : dt
" C "
v = R = 0,1Rt 2 10 = 0, 2t 2
&"
-" =
/5
B " /6
; " ; "
%& '
C = 0 %& * s = 0 * t = 0
& 1
v = 0, 2t 2 :
4
t = 7,1s : +
:
< &
= 0,1t 2 + C : $
= 0,1t 2 :; "
:
R = 2m :D
" = 0, 2t.dt
&3
& 10ms &
"
0,1 3 0,1 3 t , s=R = .2. ( 7,1) 3 3
" F "
s
G " H "
2
23, 9m
:19.4
:@: r = r.ur = v=
"B
r0 bt e .ur ; b
dr = r.ur + r.ur dt
=
t b
v=
-"
&
ur = .u
;
) u =
;
t r0 bt r e .ur + 0 .e b .u b b
:
v .u = v.u .cos
r0 e b
t b
(
ur + u
=
cos
-"
/2
)
4 J " (v, u ) =
" D 2 I
/1
.ur
v=
;
<6
? 4
v .u v.u
: E
v
9
v
t b
r0 e ( ur + u ) .u v .u b cos = = v.u r0 bt e .u b ur .u = 0 ; u .u = 1 , u = 1
cos
.( :(L
& E
(
a= r
r
2
$
)
3
(
ur + 2 r + r
)
)
(v, u ) =
) E2 LM
E u
" u
a= a=
A.FIZAZI
1 =1 u
=
" B r0 e b2
t b
r 2 02 e b
t b
Univ-BECHAR
r0 e b2
C t b
ur +
= 0 ; v // u
v
1
K
B " B 2
r0 e b2
-" t b
2 /3
u
u
LMD1/SM_ST
88
Mouvement dans le plan
:
4 J " ( a , uN ) =
" D 2 I
a.u N = a.u N .cos
a.u N a.u N
=
cos
: E cos
%& '
* v = v.uT
1
=
r0 bt e .u .u N u .u N b = t uN r 2 0 e b .u N b ;1 E2 LM E u
2
a.u N = a.u N
* ( v = v.u )
/4
-"
:
a
9
a
(1) 1 ( 2)
v
P"
!" :
& uT
1 u
u = u .uT
=0
cos
=
2
u uT .u N : (1) uN
=
cos rad
a
& u
G 9:
%& uT .u N = 0
uN
1
:20.4
:; "
$ B
2
(
AB = OB OA
AB 2 = OB 2 + OA2 2.OA.OB.cos t L2 = x 2 + R 2 2 Rx cos t
M
(
L2 = x 2 + R 2 sin 2 t + cos 2 t
(
L2 = ( x R cos t ) + R 2 sin 2 t 2
Y
)
+
x = R cos t + L2
)
2 Rx cos t
R 2 sin 2 t
)
1/ 2
A L
R
t
B
A0
O
X
.t = 0 :
dx = R v= dt
+ 6 /1
1
2
sin t +
R sin 2 t
(
2 L2
R 2 sin 2 t
)
1/ 2
x= R+L : 1 C
:
"
)+
:
" 3 :
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/2
1 -" "
LMD1/SM_ST
89
Mouvement dans le plan
v= R
sin t +
sin t +
R sin 2 t
(
2
2 L
R sin 2 t
(
2
2 L
2
R sin
2
t
2
)
1/ 2
R sin t
=0
)
1/ 2
=0
.t = k .
t=k
:21.4
IP = OP OI
R2 = R2 + r 2
Y
uT
u P
y
r
=2 O
I
r 2 = 2 R.r.cos
u
s
uN
R
+ 6 /1
: 1
2 R.r.cos
x
r = 2 R.cos
A0 X
: $3
/#
r = 2 R cos r 2 = x2 + y2 x cos = R
x2 + y 2
x2 + y 2 = 2R
:=A
B
2 R.x = 0 :3
x R
3
C
. B "
P
"
)
3 /2 -"
r = OP = r.u
:
A.FIZAZI
" B
Univ-BECHAR
3
"
5 C
LMD1/SM_ST
90
Mouvement dans le plan
dr = r.ur + r u dt r = 2 R cos
v=
v = 2 R .sin .ur + 2 R .cos .u
r = 2 R sin v = 2R
(
sin .ur + cos .u
:B " B dv = r dt r = 2 R cos
(
a=
r
2
) .u + ( 2r r
r = 2 R sin r = 2R
(
sin +
2
cos
"
C
)u
+r
) (
L +1.
(1)
3
)u
a = 2 R 2 2 .cos + .sin
* 3 :
)
LM
r
+ 2R
(
.cos 2
1 :3 I4 Q 45 ? A ; "
E"1 =
2
sin
)u
( 2)
/3 • : s 3 " $ 4 $ >/ & E"1 = $ #
s = AP = R. = 2 R
=2
.
P R
(u
T,
( 3) :
v = v.uT = 2 R .uT
uN )
•
/ 3
•
" B
a = aN + aT v2 u N = 4 R 2u N R dv aT = uT = 2 R uT dt aN =
3
M
a = 4R
3
u N = cos .ur
2
u N + 2 R uT
aN
( 4 ) :B "
•
"
aT
& B "
"
2
:
) , :8 "
( 4)
( 3)
2, / 3
sin .u
uT = sin .ur + cos .u
: ( 2)
A.FIZAZI
(1)
"
Univ-BECHAR
&9
LMD1/SM_ST
91
Mouvement dans le plan
v = v.uT = 2 R . ( sin .ur + cos .u
) = (1)
:
(
a = 2 R 2. 2 .cos + sin
) .u
r
+ 2R
(
cos
8 & 3 45 2
. =2 = t
=
t 2
: $ t 3
64 P
2
sin
? 4
=
& 9
1
2
= ( 2)
1 G
<
" 2
:B "
a=
2R
2
.cos
A.FIZAZI
2
.u N
: % & '
1 •
( 3) , ( 2 ) , (1) (%
t t .ur + cos .u 2 2
2
t .ur
R
2
.sin
( 4 ) , ( 3) & 9 a=R
3
"
( 4)
( 2 ) , (1) & 9 sin
•
t : E&
: E
v=R
" /4
)
r = 2 R cos
)
) .u
./$ +
:('
2
t u
)
) '
(%
v = R .uT
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
92
Mouvement dans l’espace
/D-IV
#
MOUVEMENT DANS L’ESPACE !"
.
#
(étude du mouvement en coordonnées cylindriques)
$
% #
$ /1
: (14.4 ( ) : M
Z z
z
z
uz M
O X
m
XOY
u
(t ) OM
u Y
m
(t ) z (t )
(u , u , u z ) (i , j , k )
u = cos .i + sin . j u = sin .i + cos . j uz = k
OM = Om + mM = .u + z.u z
(40.4)
OM = i . .cos + j . .sin + k .z
(41.4)
.(6.3) *
ds 2 = d
#
$ 45 ;2 /<
A.FIZAZI
6 0
7 ,
+ , :* 2
+
2
*
-". / ! 2
1 d
2
+ dz 2
(42.4)
:
8 ( 9 ( : + = 5 / 1> . 4
Univ-BECHAR
0 $
.
%
LMD1/SM_ST
93
Mouvement dans l’espace
7
uz = k / 6 "
=5 #
u
@
.
7
/?
. ./
r = .u + z.u z
:
v=r=
du
du
dt
dt
(v )
( vr )
+
a=
5 ( *
:#
2
+ / 0 A
$
5
*( (44.4)
9 (A
: + 5 +2
du du dv = .u + . + . .u + . .u + . . + z.u z dt dt dt
a=(
1+5 2 .
2
(25.4) *
a=(
(31.4)
/
).u + ( . + 2. . ) u + z.u z
:
A.FIZAZI
5
+ ( . )2 + z 2
1+5 2
: ,B *
8
(43.4)
% #
v=
dz dt
.u + z.u z
:*
:8
dt
+ uz
(25.4)
v = .u +
. ( vz )
du
dr d =u + dt dt
2
.
*
).u +
(45.4)
( 1+5 * 1 d ( dt
2
B0
Univ-BECHAR
=
/
. ) u + z.u z
(46.4)
= R = C te
z=0 /
. 0
,
">
LMD1/SM_ST
94
Mouvement dans l’espace
. ( az )
(a )
( ar ) (étude du mouvement en coordonnées sphériques):
:#
8
+ / 0 A /2
(15.4 ( )
:D
;
6
7
/< : 0
".
r (t ) OM
OM = r = r.ur
(t )
(47.4)
(t )
: (i , j , k ) (ur , u , u ) * 5
( /
17.4 # D
18.4
E"
ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k u = sin .i + cos . j u = cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
r
u
u
u
:*
1
! 2
$ (48.4)
ds 2 = dr 2 + (r sin .d ) 2 + (rd ) 2
= (OX , Om) / 0 A : B A
> ; . ". = 5 F G 7@
v = r = r.u r + r.u :7
:1+5 2
A.FIZAZI
0 @ D
A/
1+5
= (OZ , OM )
8 ( * 5 9( : * @ * :0 : u 8 ( 9 (
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
95
Mouvement dans l’espace
ur =
i.cos cos + j cos sin
+ sin
k sin
i.sin + j cos
u
u
ur = .u + sin .u
:5
8 (
B *
:/ ! 1> 2 H
v = r.ur + r .u + (r sin ) .u
:5 v = vr + v + v
/ + : 1>
M
2
8 (
v=
7
/
.
(t )
5
#
1+@
dr d d ur + r u + r sin u dt dt dt
( I
8 (
* (
(t )
8 (
* r (t )
#
(49.4)
* 5 (ur , u , u ) #A
+ v
@
vr
v
.5 :8
* 5 1> 2 a=
9 (A
dv d = r.ur + (r sin ) .u + r .u dt dt
a = a2r + a2 + a2
a = ar + a + a
:@
-". /
:
J / a = (r
! r.
2
( r. + 2r .
5 r. r.
2
8 (9 ( @
+
.sin 2 ).ur + 2
.sin .cos ).u +
(50.4)
( r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos )u
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
96
Mouvement dans l’espace
@ :
1> 2
(t )
.a 8 (
(t )
#A
r (t )
8
8 (
6"
#
+ a
.
ar
a
:9.4 " 7
8 ( % # a, b, c / +5 OM = a.u + bt.k ;
$ =ct
./ . OZ
+
M
*
(
dOM d =v = au + btk dt dt du dt
+ bk
:K
OM
A 8
8 ( 9(
:" /1
5
v
)
v = a. u + bk = ct 2
= 2ct
v = 2actu + bk
v = 4 a 2 c 2t 2 + b 2 : 5
:5 =
dv d = (2act.u + bk ) dt dt
= 2ac
t. .u + u
. @ # /1 /2
5 D ;2
$
:7
v =a
2
= 2ac = 2ac
d (t.u ) dt
8 (*(
8 ( 9( 8 = 2ac t.
t.2ct.u + u
du + u .1 dt 2ct 2 .u + u
= 2ac
:8
8 (*(
= 2ac 4c 2t 4 + 1
:(rayon de courbure) (= = 2 = ct 2
:
A.FIZAZI
$
D ;2
t=
c
=
.(!!! " $
2 c
) :
0 8 " %
Univ-BECHAR
$
/2
D ;2
: + / &' ( ) *
* H
: ! )
LMD1/SM_ST
97
Mouvement dans l’espace
R=
v2
;
N
2
=
2 T
;
N
T
dv 4 a 2 c 2t = = dt 4 a 2 c 2t 2 + b 2
R(t ) =
v
2
N
R
A.FIZAZI
2 c
dv = !!!!! dt
( 4a c t
2 2 2
=
+b
N
2
)
3
=
(
2ac(128a 2c
3
(
)
3
1
2
2
+ b 2 1 + 16
Univ-BECHAR
a 2c 2t 2 + b 2
2
2ac(16a 2c 4t 6 + 4c 2b 2t 4 + b 2 ) 8 a 2ct 2 + b 2
= 2ac
16a 2c + b 2
2
)
)
1
2
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
98
**
EXERCICES Exercice 4.22 On donne les équations du mouvement d’un point
(
M dans un repère O, i , j , k
:22.4 M
):
1 3 x = bt 2 , y = ct , z = bt 2 2 2 Où b, c sont des constantes positives. 1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs modules. 2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m qui représente la projection verticale du point mobile M sur le plan XOY .
(
: O, i , j , k
1 2 3 bt , y = ct , z = bt 2 2 2 . c, b . ! " # $ # % /1 # ' m # & /2 . XOY ) # $ M ( x=
Exercice 4.23 Soit la trajectoire définie par :
:* +,
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire. 2/ Si est le vecteur position d’un point se déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas
x = R cos
; y = R sin
, z=h
R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice, h est une constante et l’angle que fait avec OX la projection OM ' de OM sur XOY . 1/ Donner en coordonnées cylindriques les expressions de la vitesse et de l’accélération. 2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan XOY un angle constant. 3/ Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le rayon de courbure.
. # $ 4/&
# 12 % 5
T . " " - & 6 t 3
% /1 /0 /2 C # . v = v.T
:24.4 1 OZ ' 8 7 # # : & 7 9 x = R cos ; y = R sin , z = h # #: ; +< ' R ! < 7 h 6 7 ! $ . XOY $ OM * OM ' # OX $ # $ #: = $0 /1 ." # 1 7 1 < $ # " - % , /2 . XOY ) # " - % 6 3 % , /3 ) # (7 #: , " # .> ; +< ?# % . XOY
Exercice 4.25 Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi :
x = R cos t ; y = R sin t , z = t Où , , R sont des constantes positives. 1/ Soit m la projection de M dans le plan XOY :
A.FIZAZI
:23.4 C #
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
v = v.T . Exercice 4.24 Un point M décrit une hélice circulaire d’axe OZ . Ses équations horaires sont :
)
Univ-BECHAR
:25.4 : 5 > 2@ A, ' x = R cos t ; y = R sin t , z = t . , , R 9:;
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
99
a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans le plan XOY ? b/ Quelle est la nature du mouvement de m suivant l’axe OZ ? c/ En déduire la nature de la trajectoire du mobile M . 2/ dans le système des coordonnés cylindriques :
OM et représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de
: XOY ) # M B XOY m B OZ 5 m .M A # : #: 'E OM 12 " .> 2@ M
.$
a/ écrire l’expression du vecteur position
l’espace. b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi que leurs modules. Déterminer leurs directions puis les représenter en un point de l’espace. d/ en déduire le rayon de courbure. Exercice 4.26 1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base
(u , u
)
,u
r
en coordonnées cartésienne,
6M * " # $ # .> 2@ $ !
. !
.>
(u , u
,u
r
2/
Montrer
( ur , u , u
)
(
a= r
r
( +(r
que
.ur + cos .u
l’accélération
)
dans
+ r + 2r
r
2
sin 2
r
2
)u
r
la
base
sin + 2r .sin + 2r
r
) , un point
,u
)u
)u
d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées sphériques sont:
(
)
6
rad ,
( +(r
+
cos
= t2 ,
(u , u r
&
(u , u r
,u
2
r
2
)u
r
/2
% &
+
)u
sin .cos
sin + 2r .sin + 2r
+
cos
)u
:27.4
)
= H #
(
=
" #
sin 2
r
)
.ur + cos .u
) .$
)
6 = OZ , OM = 12 4/!
,u ) ,
b/ calculer les modules de la vitesse et de l’accélération, d/ en déduire l’accélération normale. 2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes : a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la
A.FIZAZI
2
; +< .
Avec constante positive. 1/ Partant de l’expression du vecteur position en coordonnées sphériques : a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile dans la base
r
,u
+ r + 2r
M se déplace sur la surface
= OZ , OM =
r
(
Exercice 4.27 Dans le système des coordonnées sphériques
(u , u
(u , u
:? a= r
+
sin .cos
( sin
u =
s’écrit : 2
) =>?@ABC =>;CD EFGH ICJ@K? LM @NOPQC /1
ur = .u + .sin .u
ur = .u + .sin .u
( sin
; +< D #0 /C
;F E G 6 ERS:TJ@UBC I@:VC>;W@X u = .ur + .cos .u
:
.ur + .cos .u
u =
% /? ! ! ,
:26.4
s’assurer des expressions suivantes :
u =
# m /1 # & / " & /? $ D #0 /C = /2 . $ ? % / $ (u , u , uz )
$ M : & 6
&
A 0 .R
= t2
rad ,
.? " - . $
1
;F /1 : $ # % / 6 ( ur , u , u ) . $
" #
6" #
12
$ # ?# % /? . 3 " # D #0 /C " - . $ . 4/& ;F /2 : I=
(i , j, k ) . $
Univ-BECHAR
" #
$ #
%/
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace base
100
( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules
D8
et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la question 1/b, 3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la représenter qualitativement, b/ Quelle est la nature du mouvement du point M ?
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
1
! . @
G #
' BM BM
!
?# 6?/1 ' J# # & / /3 /?
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
101
Corrigés des exercices 4.22 à 4.27
27.4
22.4 :22.4
/1
: 1 2 3 bt .i + ct. j + bt 2 .k : 2 2
r=
:
x = vx = bt , y = v y = c , z = vz = 3bt v = bt.i + c. j + 3bt.k
v = 10 ( bt ) + c 2 2
;
:
x = ax = b , y = a y = 0 , z = az = 3b . y (t )
a = b.i + 3b.k
x (t ) " "
x=
a = 2b
; " !
1 2 bt 2
t=
"
#$
/2
!
:m
2x 2x , y=c b b
:23.4
(v = v=
d dt
&
/1
'
dr = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k : & dt v = 36 + 64 v = 10m.s 2 :)
:v
*
" C
'
v 3 3 4 sin 2t.i + cos 2t. j + .k = v 5 5 5 d v= /. t - '. M dt
*"
T +!
T=
dr = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k dt 3 3 4 sin 2t.i + cos 2t. j + .k v = 10 5 5 5
v=
v = 10.uT = 10T
$, /2
&
v = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k
v = v.T :24.4
OM = r = .u + z.u z :
" " v=
A.FIZAZI
0 1 "2 ! 3
dOM = .u + .u + z.u z : dt
Univ-BECHAR
45
/1 6
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
102
=R
=0
u = u
v = R u + h uz
z=h d 2 OM = v = R. .u + R. .u + h. .u z : dt 2
a=
=0 u =
8 9:
&
a = R. 2 .u + R. .u + h. .u z
.u
" ' OXY )
"
( OXY 7 ) " u /2 8 " ' " ) OXY ) , . 3 ( . u uz
/. *" u
v
Z
v
uz
=R
z
u
vz uz
M
u
r
M
y
O
x
Y
M'
u
X
)=
vz h = v R
. a = R. 2 .u ' " u . 0 . OXY 7
=
tg ( v , u
7
r=
a=R . 2
2 2
+ h2 .
2
tg ( v , u = Cte
: " *< 4 !< =" ) *4
v2 v2 = aN a
v2 = R2 .
A.FIZAZI
uv
r=
R2
2
+ h2
R
2
Univ-BECHAR
)=
h = Cte R
4 ' " $& ( " ! /3 ) )4 u ; ) a > !" $8. u ; ) a 4 ( OXY : $, ( ) 4 & 2
, r=
R2 + h2 , R
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
103 :25.4
#$ ?$8 + @ ! XOY '. m
!
. XOY 7 '. x + y = R : y (t ) x (t ) " " .R & " 4 :" z = .t " )4 " A " :" 2
." A .'
-
2
r = OM = .u + z.u z
v = r = .u + .u + z.u z
v = R .u + b.u z
u = .u = R .u a = R .u u =
a= R
.u = R .u
/. * E 4
2
.u z
,
v = R2
,
a=R
2
+ b2
2
8
"'
"
vz b = v R
=
.) @ !
*D
)4 ) :F
8.
3
4 /B
A#
2
v aN
aN2 = a 2
aT2
a =R .
2
2 T
2
aN2 = R 2 .
+b
(R .
4
2
2
+ b2
2
=R
u
R2 .
2
(
+ b2
2 2
)
1
b2
uz
u
r
X
R2 .
vz
M
x
r=
v
uz
z
O
)
v
Z
A.FIZAZI
/ /1
m
:u tg
r=
5
" ! " A# ( 0, 0 ) & / ! ( OZ " & C: /B 0 1 "2 ! 3 D '. /2 / r = OM = R.u + z.u z : :M /
2
uv M
y Y
M'
u
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
104
:'& " "
(u , u
1 "2 ! 3
r
)
,u
:26.4
+!
+!
/1
41
ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k u = cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
u = sin .i + cos . j
:u + ur = cos .cos .i ur =
.sin .sin .i + cos .sin . j + .sin .cos . j
cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
sin .k
sin .i + .cos . j
.sin .
u
u
ur = .u + .sin .u
:u + u = sin .cos .i u =
sin .sin . j + .cos .cos . j
.cos .sin .i
sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k + .cos .
cos .k
sin .i + .cos . j
ur
u
u =
.ur + .cos .u
:u + u =
.cos .i
u =
.sin . j
(1)
. cos .i + .sin . j
.... :
cos
'. " 2
( sin '.
0
.u
ur .sin = sin 2 .cos .i + sin 2 .sin . j + sin .cos .k u .cos = cos 2 .cos .i + cos 2 .sin . j
'& 1 " D" ?$& ,! u '
cos .sin .k
( 2) ( 3)
:6 ". " !"!D
" !
D
ur .sin + u .cos = cos .i + sin . j
(1)
:9 u =
.[sin .ur + cos .u
:"
u +
'. G H
]
1 "2 ! 3 '.
+ :
/2
& +
v = r.ur + r. .u + r. .sin .u
:
I 5
a = r .ur + r.ur + r. .u + r. .u + r. .u + r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .u
: /1 '. +! D a = r .ur + r.
.u + .sin .u
8
+ r. .u + r. .u + r. .
r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
H
u , u , ur .ur + .cos .u
+
.[sin .ur + cos .u
]
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
105
: a= r
2
r.
. + "J0
.ur + r.
r. 2 .sin 2
.u + .sin .u
!
5- 52
+
r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos .u .u + r. + 2r.
r. 2 .sin cos
.u
27.4
r = OM = r.u :
/1
1 "2 ! 3 v = r.ur + r.u : D KE '.
r = R = Cte
" "
/
r =0
ur = .u + .sin .u = Cte
=0
= t2
=2 t
v = R t.u
:1 "2 ! 3 L KE v = R t.u a = R .u + R t. (
a = v = R .u + R t.u u = a=
.[sin .ur + cos .u
]
.R t sin .ur R .u
.[sin .ur + cos .u
a= R
.R t cos .u
2 2
t .ur
3.R
])
t .u + R .u
2 2
v=R t :
" "
: a=
(
R
2 2
t
) +( 2
a=R
3.R 4
)
2 2
t
2
+ (R
)
2
t +1
2 4
:' a =a 2 N
2
/
/B
2 T
a
dv =R dt a2 = R2 2 4 aT =
aN = 2 R
2 2
t
t +1
2 4
:" "
/2
1 "2 ! 3
OM = x.i + y. j + z.k 1 R cos t 2 1 y = R sin sin = R sin t 2 3 z = R cos = R 2
x = R sin cos
A.FIZAZI
=
OM = r =
Univ-BECHAR
1 1 R cos t 2 .i + R sin 2 2
2
t. j +
3 R.k 2
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
106
(
: i , j, k
)
+!
'.
/
v = r = R t sin t 2 .i + R t cos t 2 . j a=v =
R sin t 2
2R
t cos t 2 .i + R cos t 2
2 2
2R
2 2
t sin t 2 . j
: v=R t
a=R
;
1+ 4
. /1
=
"
2 4
t
D"
" /3
: x2 + y 2 + z 2 = R2 x2 + y2 =
3 z= R 2
4 . 0, 0,
3 R 2
R & 2
& .+
" @!
$
A#
1 2 R 4
+ @! 5
M
+ @! *. O * A 2 +! ( ) @ !
$, (1 2 '
4 $&
6
J 5 " 8. : " /4 .5 "M
Z
3 O' R/2 .R 2
O
Y R
X
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
107
Mouvement relatif
B B B /E-IV
BBB BB
MOUVEMENT RELATIF /1
: :
. ! " ! + %' , . )* ' ( ) ' $ % & / 0 1 2 3 ' .! 2 4 %, $ 5 ! 3 6 + 7 7 " 1 .5 : $ + - ) + 89 $ - : 3 : ; / < %" $ .(cycloïde) . ?$ / : $ &/ 0 %' 1 , '@ . 4 $ %, / 0 $
A
. OXYZ
: $
%,
/2 16.4
B
A ; .O -
%,
Z
VB
B•
rB
rAB rA
O
rBA
VA
VA
•A
VAB
VB
Y
X
:B B B
+
1C
VA =
drA :%' O / 0 dt
. rAB = BA = rA rB D
+
A
7 VAB =
drAB dt
::
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
108
Mouvement relatif
VAB =
:B A B
drAB drA = dt dt
drB dt
+
VB =
1C
VAB = VA VB
(52.4)
drB :%' O / 0 dt
rBA = AB = rB
B +
7 VBA =
rA D
drBA dt
:: drBA drB = dt dt B B
VBA =
+ %
+
;
drA VBA = VB VA dt A + E VAB = VBA .A B
$
-
(53.4) B
+
)+ 8 +
: F a AB =
dVAB dVA = dt dt
aBA =
3
B B
110km.h
:
1
%+ %, B B
-
- )+ .A I
dVBA dVB = dt dt A 6 E
dVB dt
a AB = a A
(54.4)
aB
dVA aBA = aB a A dt a AB = aBA " ' .A B B 6
(55.4)
:11.4 C )+ B A ! /1 A B + 6 ; $$ .% ) + 90km.h 1 7H 9 3 %, / . ' %, /5 + 3 & /2 F B I + %' , 7 30° :
6 ; e H
+
. v AB = v A vB :%' B I 7(L L17.4 ; ) H 9 3
v AB = v A
A.FIZAZI
vB = 110e
90e
v AB = 20e
Univ-BECHAR
A I
F
+ v AB = 20km.h
+ / /1 J, K e I$ :% 1
LMD1/SM_ST
109
Mouvement relatif
vB
vB
vBA
e
vB
e
vA
30°
vA
vA
: J, (L5L17.4 ; ) H v AB = v A
9
F
vB = 110e
(
90e )
v AB = 200e
(LML17.4 ; ) 30° ' $ vBA = vB
(
vBA = vB2 + v A2
vA
(
v AB = 1102 + 902
- ! vBA v = B sin 30° sin
sin
54,5km.h 1 + B I %, 5
F :
=
%
vB sin 30° vBA B I . 55,1°
3
%, $
1/ 2
v AB
sin
=
$ O -
- /2
-
)
1/ 2
, v AB = 54,5km.h
+
1
)
90 .0,5 0,82 54,5
'
.!
!
$$ :5 = 55,1°
+
H'&
/ 0 .% %, : + 5 :
.
1
N A I %, 5 % ' F ) * (LML17.4 ; 5 ) 54,5km.h 1 + A I N .180 ( 30° + 55,1° ) = 94,9°
)*
1 ,. '2 4
F
)
( /5
v AB = 200km.h
2v AvB cos30°
2.110.90.0,87
F
+
( Rr ) ( Ra )
$
/3
; )* / (repère absolu) : Ra (repère relatif)% :R %, (point matériel) $ - : M .18.4
. . -
A.FIZAZI
.
H H
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
110
Mouvement relatif
.
z
M
Z’
(Ra)
k'
k
A
Y’
j ' (Rr)
i'
O i
y
j
X’
x
%
:%
( Rr ) (Ra)
I U
-
$
:18.4
%, S?
H'
%,
( Ra )
i ', j ', k '
Ra %,
+
.:
/ 0
7 t =t' 9 F 9 .H$ I U8 & + .%
5
/ 0
%, T i , j,k
" +
r = OM dr va = dt dv aa = a dt
r ' = AM dr ' vr = dt dv ar = r dt
/ 0 ./ 0
;
6
%, " , : ! " % ' 7 F 3 0 < 7 $ ' $ %, 9* 9 ) A ,9 %, H 1 ' ' 7V " :
18.4
: #$ ; / 0
% #
(56.4)
OM = OA + AM
(
x.i + y. j + z.k = ( xA .i + y A . j + z A .k ) + x '.i '+ y '. j '+ z '.k ' OM
OA
AM
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
)
% #
LMD1/SM_ST
111
Mouvement relatif
0
)+ 8
(56.4) I
F
; :& +
1
dOM dOA di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt dOM dOA di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt va
& : ( Rr )
ve
vr
. ( Ra ) ( Rr ) ! * ( Ra ) 9: M !
+
: va (vitesse d’entraînement) : ve - + ' + 7 ( Ra ) * T ( Rr ) 9: M & T $ *
M
+ va
M
%
M
( Rr )
-
-
(vitesse absolue)
+
-
va
ve = 0
&
+
ve = va
+
: vr
'
%
. ( Rr )
+
vr = va : ( Ra )
%)
+ +
vr = 0 (vitesse relative)
* ( Ra ) 9: M ! :%'
(57.4)
T0T & +
0 (58.4)
va = ve + vr
.
J, ( ve = 0 ) %+ ; <
" D
+
( Ra )
+ 4
(9
%+ ; 6 $ 3
-
( Rr ) ( Ra ) %
7
/ ) .M +
di ' dj ' dk ' = = =0 dt dt dt
ve =
Univ-BECHAR
6 ; : " *
+ 3 .( OM OA ) * %, ( Rr ) ve J, 7 T i ', j ', k '
dOA dt
:
A.FIZAZI
+
% #
LMD1/SM_ST
112
Mouvement relatif
1
0
)* 8
/
T
F
(57.4) I
;
:
&+
d 2 OM dva d 2 OA d 2i ' d2 j ' d 2k ' aa = = = + x' 2 + y' 2 + z' 2 dt dt 2 dt 2 dt dt dt d2x' d2 y' d2z' ' ' j k + + dt 2 dt 2 dt 2
ar
+2
dx '.di ' dy '.dj ' dz '.dk ' + + dt 2 dt 2 dt 2
aC
-
6
+ i'
. ( Ra )
M
. ( Rr )
M -
( Rr ) )*
'
6 6
' '
(59.4)
-
(accélération absolue) (accélération relative)
ae
%
6
: aa
6
(accélération d’entraînement)
: ar 6
: ae
. ( Ra ) (accélération de Coriolis) ( ' ) % 6 : aC :" .(Gaspard Coriolis 1792-1843) 1832 :(
dx ' dy ' dz ' = = =0 dt dt dt
: ( Ra )
(I U
aC = 0 : ( Rr )
' M
%, ( Rr )
) )
d 2i ' d 2 j ' d 2 k ' d 2 OA = 2 = 2 = 0 ae = dt 2 dt dt dt 2 di ' dj ' dk ' = = = 0 ac = 0 dt dt dt
)# * *
aa = ar + ae
:12.4 &
A.FIZAZI
H' 5 "
+
O . 8ms 1 + 2 50km.h
Univ-BECHAR
1
; ST & W + I % @ M F
LMD1/SM_ST
113
Mouvement relatif
: ve va v
v
va
ve
va = ve + v r vr = va ve 1 50km.h = 13,9ms 1
ve
(
vr = va2 + ve2
)
1/ 2
vr = 16ms
tg =
vr = va +
;
%, A X .A X
ve = 1,74 va
= 60,1°
O
ve
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60° 30°
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20.4ABCDE
S
16ms
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23,6°
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A.FIZAZI
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Univ-BECHAR
V
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+ + +
vr
ve = 2,52km.h ve sin 30°
' .
ve = va 2 +vr 2 -2va .vr .cos30°
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5
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va = ve + vr
vr sin
1
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+
4km/h
ve
1
= 60,1°
.V 5 U H
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= 0,4
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$$
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6 ;
%
'
LMD1/SM_ST
114
Mouvement relatif
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v = R sin
; )+ F + " $$ H %, N )+ $ + $ H %+ ; V $ +S 6 ; . : 21.4 ; ) + / 0 v = .R 1 R = r.sin : *
J, :
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dr = dt
v = .r.sin
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O' / 0
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(60.4)
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r = x.i + y. j + z.k
A.FIZAZI
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N / 0 O / 0 : " 6 ;I +
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Univ-BECHAR
r
(61.4)
LMD1/SM_ST
115
Mouvement relatif
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O'
3 : "
/ 9) OX 'Y ' Z ' 6 ;I + ; M -
r ' = r = x '.i '+ y '. j '+ z '.k '
I U
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T
(63.4) $ z '.k '
di ' dj ' dk ' = + y '. + z '. dt dt dt
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r
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Univ-BECHAR
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A.FIZAZI
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J, % : R'
dr dx ' dy ' dz ' di ' dj ' dk ' = .i '+ . j '+ .k '+ x '. + y '. + z '. dt dt dt dt dt dt dt
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LMD1/SM_ST
116
Mouvement relatif
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dv y d va dv dv = i. x + j. + k. z dt dt dt dt O' 5 : % M !
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$ 7 OX 'Y ' Z '
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$
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$
dv y ' dvx ' dv ' + j '. + k '. z dt dt dt T " 7 (65.4) I
6 +9
a r = i '.
:) + 8
7
aa =
d va d v r = + dt dt
;
dr dt
(66.4)
vr = v ' = i '.vx '+ j '.v y '+ k '.vz ' : dv y ' dv ' dv ' d vr di ' d j' dk ' = i '. x + j '. + k '. z + vx ' + vy ' + vz ' : J, dt dt dt dt dt dt dt :) + 8 J, (64.4) $ )+ 8 T dv y ' dv ' dv ' i '. x + j '. + k '. z = v dt dt dt di ' d j' dk ' vx ' + vy ' + vz ' =a :! dt dt dt
$
: J, : d vr = ar + dt
(67.4)
v'
:" dr = va = v r + dt
$ (68.4)
v
:D va =
A.FIZAZI
dr = dt
Univ-BECHAR
(v
r
+
r
)
LMD1/SM_ST
117
Mouvement relatif
dr = dt
)+ 1-
aa =
(
vr +
%, 8 (69.4) $ M ! &+ 1 . / $ d vr + dt
dr dt
( "#
r
)
(69.4)
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aa = ar + 2
.
r
(
vr +
r
$ (70.4) $ / 0 1 -
)
(70.4)
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N
O
O
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S
S
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<
3 (
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@+ (59.4) ( #?
2/ : 1 3<
d 2 OA d 2i ' d2 j ' d 2k ' ae = + x' 2 + y' 2 + z' 2 dt 2 dt dt dt
:"#
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
OA = r '
# 5 #
LMD1/SM_ST
118
Mouvement relatif
d 2 OA d di ' dj ' dk ' d 2 OA d ae = x' 2 + y' 2 + z' 2 = + + ( dt dt dt 2 dt dt dt dt 2
r ')
r'
d 2 OA d ae = + dt dt 2
r+
dr ' dt r'
d 2 OA d ae = + dt dt 2
(
r '+
r ')
:B
( Ra ) ,7 E
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C ( Ra )
# ( Rr )
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"% ;
, A 3 # , "#
# ( Rr )
:$
(71.4)
D "
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*
: va =
va
aa = d 2 OM d 2 AM +2. = dt 2 dt 2 aa
A.FIZAZI
ar
ac
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' #+ # * 2
d dt
r'
:
r'
< <
, - . / *! # *3
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vr + ve
d 2 OA : 2 dt
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8
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C$ %
<
E
( Rr ) .
<
vr
,
(72.4)
AM ve
ar +ac + ae
d 2 OA d vr + + dt dt 2
AM +
(
AM
)
(73.4)
ae
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
119
Mouvement relatif
**
EXERCICES Exercice 4.28
28.4
1
En roulant sous la pluie à 100km.h sur une route plane, un conducteur remarque que les gouttes de pluie ont, vues à travers les vitres latérales de sa voiture, des trajectoires qui font un angle de 80° avec la verticale. Ayant arrêté sa voiture, il remarque que la pluie tombe en fait verticalement. Calculer la vitesse de la pluie par rapport à la voiture immobile et par rapport à la voiture se déplaçant à 100km.h
dans
chaque
cas
la
80°
/*
!" -
0
1
Exercice 4.29 On laisse tomber d’un immeuble de hauteur h une bille sans vitesse initiale. La chute de celle-ci s’effectue à la verticale selon un mouvement uniformément accéléré d’accélération g . 1/ Quelle est la trajectoire de la bille dans un référentiel lié à une voiture se déplaçant suivant un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v et passant à la verticale de chute au moment du lâcher ? 2/ Quelle est la trajectoire de la bille dans le même référentiel si on admet que la voiture entame au moment du lâcher et à partir de la verticale de chute un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération ae ? (représenter demandée).
100km.h
# ! 1 . 100km.h
# .*
$% & ' ( .) * + . *+ $ 0 !
29.4 3 4 ! h 1 / 3 ) *+ 5 6 ( 1 .g7 0 ( $5 3 ) *+ : v ! ; <= 3< ( >/! $5 3 ! 3 4 0 ; ae 7 8 ! .( 2
! . 2 8 ! /1 3 3 4 /2 !% 5 3 )3 $5 )@ )
trajectoire
Exercice 4.30 On considère dans le repère fixe OXY le système de deux axes Oxy mobiles tel que l’axe Ox forme l’angle avec l’axe OX . Un point matériel M se déplace sur l’axe Ox , sa position est définie par r = OM . Calculer : 1/ la vitesse et l’accélération relatives du point, 2/ la vitesse et l’accélération d’entraînement, 3/ l’accélération coriolis. 4/ En déduire la vitesse et l’accélération du point M dans les coordonnées polaires.
Oxy Ox M
M
Exercice 4.31 Dans le plan
30.4 ( OXY @ 6 $5 &! Ox )3+ B 3 M 2 !4 . OX : . r = OM 5: & $ ! ! 7 /1 :( 7 /2 > 37 /3 7 D ! = /4 . @2 E
XOY , une droite OX ' tourne autour ) OX ' 8 2 de l'axe OZ avec une vitesse angulaire = ) ! . = @ constante. Un mobile M ( OM = r ) se déplace sur la 3 OX ' 8 droite OX ' d'un mouvement rectiligne uniformément 2 $5 . a 7 accéléré d’accélération a . A l'instant initial M se .O 2& 8@ 3 trouve en M 0 , au repos, puis s'éloigne de O . ! &+ 1/Déterminer les expressions littérales vectorielles
A.FIZAZI
1
Univ-BECHAR
31.4 XOY -
$5
OZ M ( OM = r ) 4 8 ! 0 F $5 M 0 $5 2( M 5 & : /1
LMD1/SM_ST
120
Mouvement relatif
des vitesses relative, d'entraînement et absolue de M . Déterminer les expressions littérales donnant la norme et la direction du vecteur vitesse absolue du point M . 2/ Si l'axe OX ' est confondu avec l'axe OX à l'instant initial, calculer les coordonnées du point M à la date t = 3s . Dessiner les trois vecteurs vitesses à cette date. 3/ Déterminer les expressions littérales vectorielles dans une base polaire des accélérations relative, d'entraînement et de Coriolis de M . Déterminer les expressions littérales donnant la norme et la direction du vecteur accélération absolue du point M . Dessiner ces vecteurs accélérations à t =3s. Données:
OM 0 = 1cm ; =
=
a = 2cm.s 5
2
.M
( : 7 &+ 1( 3 <= /2 2 E $5 . t = 3s $5 @G@ &+ 8 5 & : /3 ! @2 H .M $ 5 & : ! 7 7 &+ 1( $5 < &+ 8 OM 0 = 1cm : &
(02+ ) & $ & $ 5 .M ! OX ! OX ' $5 M ! @2 = .M 02 * $5 > 3
< &+ (
(02+ ) & $ & .M .M a = 2cm.s 2
;
rad .s 1 .
=
Exercice 4.32 Un disque circulaire de centre A et de rayon R roule sans glisser sur l’axe OX avec une vitesse angulaire constante. Au départ t = 0 , un point M de la circonférence coïncide avec l’origine O . 1/ Quelles sont les coordonnées du point M au temps t en fonction de , R et t ? En déduire la nature de la trajectoire. 2/ Calculer la vitesse absolue et la vitesse relative en précisant leurs directions par rapport à l’axe OX . 3/ A partir des expression des vecteurs de la vitesse absolue et la vitesse relative, vérifier la norme et la direction du vecteur vitesse d’entraînement.
=
5
rad .s
&
1
32.4 ! 2 2 ) ' 2 XOY 6 $5 A 3 R * ."! 6 2 I * t = 0 2 $5 . @ OX . O =2 I M ! ! 2 t $5 M ! $ @2 = $ /1 ; & D ! = ;t ,R J% ! /2 . OX ! 1 1( $ &+ $ *G ! /3 . ( 1( 23K ! (
Y
R
M
A
O
X
Exercice 4.33 Dans le plan
XOY , une droite tourne autour de OZ avec une vitesse constante = . Un point mobile M ( OM = r ) se déplace sur la droite OX ' suivant la loi : r = r0 ( cos t + sin t ) avec r0 = cte . 1/ Déterminer à l’instant
t en fonction de
et
0
vitesse relative et la vitesse d’entraînement de
A.FIZAZI
, la
M par
OZ )
3
r0 = cte !
Univ-BECHAR
33.4 8 2 XOY 6 $5 . = @ ( OM = r ) M ! ) ! : ! 5 OX ' 8 r = r0 ( cos t + sin t ) 0
2 t
$5 2:2 /1
LMD1/SM_ST
121
Mouvement relatif
leurs projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En déduire la vitesse absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celuici est constant. 2/ Déterminer à l’instant t en fonction de 0 et , l’accélération relative l’accélération d’entraînement et l’accélération complémentaire de M par leurs projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En déduire l’accélération absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celle-ci est constant. Exercice 4.34 Une mouche M se déplace sur l’aiguille des secondes d’une montre accrochée à un mur vertical avec un mouvement uniforme de vitesse v . La mouche part du point O à l’instant t = 0 pour atteindre l’extrémité de l’aiguille de longueur 20cm une minute plus tard. 1/ Ecrire les expressions de la vitesse vM et de
l’accélération aM
de
M dans la base mobile
( ur , u ) associée à la mouche.
M ( D ! = . X ' O 'Y ' 4 E 02 * >/! $5 7 2 t $5 22 /2 0 M $ 3 7 ( 7 $ ! D ! = . X ' O 'Y ' 4 8& $5 1 L E 02 * >/! $5 #! & 7 . @ < 02+
8& 1!
$5 1 & . @ < 02+
< 02 M
. $5
, xM , yM de la instants 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s .
2/ Calculer les coordonnées
34.4 @ $! @ I * M < ) ! ! .v 1 ! 3 62 2( *2 2& )" t = 0 $5 O ! . 20cm # 6< I * 1! = aM 7 vM $ 3 /1 <
( ur , u )
<
3
02
, xM , yM @ 2 E 8 . 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s M
$5 vM . t = 60s
7 &+ $5 aM 7
/2
. 2( )@ /3
M
mouche aux Dessiner la trajectoire sur le mur. 3/ Représenter sur la trajectoire le vecteur vitesse vM au temps t = 45s et le vecteur accélération aM
$5
7 &+
t = 45s
au temps t = 60s . Exercice 4.35 Dans le plan OXY , un cercle de rayon R , de diamètre OA , tourne à la vitesse angulaire constante autour du point O . On lie à son centre mobile O ' deux axes rectangulaires O ' X ' Y ' (l’axe O ' X ' est dirigé suivant OA ). A l’instant t = 0 , A est sur OX , OX et OX ' étant colinéaires. Un point M , initialement en A , parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire . 1/ Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le repère OXY (en
dérivant les composantes de OM ). 2/ Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération relatives de M dans le repère O ' X ' Y ' puis dans OXY . 3/ a/ Calculer les composantes de la vitesse d’entraînement dans le repère OXY par la loi de composition des vitesses. b/ Calculer de même les composantes de l’accélération d’entraînement dans le repère OXY ; en déduire l’accélération complémentaire (Coriolis).
A.FIZAZI
35.4 R .O
* ."! I * 2 OXY 6 $5 ! ) @ OA * O'4 3 4 +! .( OA 5 #( O ' X ' ) O ' X 'Y ' OX OX A t=0 $5 . M 5 OX ' ) ! A $5 2 $5 ! 3 M ! . >/! ( ( $5 $ &+ $ 3 0 + /1 .( OM 3 +!) OXY 8 & $5 M 7 M ! 7 3 /2 . OXY $5 8@ O ' X ' Y ' 8 & $5 OXY 8 & $5 ( 3 / /3 . 3 !* ) & $5 ( 7 3 )@ / .(> 3)$ 3 7 D ! = N OXY 8 & ( 7 ( 3 23K /4 . 2 7 &+ 8 $ & ) & $ 3
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
122
Mouvement relatif
4/ vérifier les expressions des composantes de la vitesse d’entraînement et celle de l’accélération complémentaire en utilisant les expressions faisant intervenir le vecteur rotation . Y
Y'
M
A
X'
O' O
A.FIZAZI
X
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
123
Mouvement relatif
Corrigés des exercices de 4.28 à 4.35
4.35
4.28 :4.28
ve
v
va
.
va vr = sin10° sin 90°
80° v
10°
90°
va
va =
ve vr = sin 90° sin 80°
ve
sin10° vr ; va sin 90°
vr =
1
17, 4km.h
sin 90° ve ; vr sin 80°
117 km.h
1
:4.29 z=
. z )*
1 2 gt + h 2 x ' = vt
(1) :
( 2) :
/1 "#$
t
( + , - ., :/
2 : t=
. x' =
% /
1 2 ae t 2
( 3) :
( 2 ) (1)
"3
x' v
2 : t2 =
.
"
( Z
h
h
g x' ae
g 2 x' 2v 2
01
1 x ' = aet 2 2
A.FIZAZI
"5
g z
z'
ae X'
Univ-BECHAR
( %
Z'
x ' = v.t O'
/2
(
"5
Z'
z' = h
'
g x '+ h ae
z = z'=
.
z'
( 3) (1)
"3
2x ' ae
(
g 2 x' + h 2v 2
z = z' =
&
:/
'
01
"#$ 4
t
z' = h
& (
O'
O x'
v
X'
LMD1/SM_ST
124
Mouvement relatif
. ( ur , u , u z )
5* . M 6
ur , u , u z
( M (" 5 ) .
OM = r = r ' = r.ur
vr = r.ur
+
4.30 .
+ 5 /1
:9:
ar = r .ur
= %
*
> dOO ' + dt d OO ' = 0 (O dt = k = .u z
ve =
O'M O' )
ur O'M = 0
ve =
r
z Z
k = uz O, O ' i X
OXY = %
*
/2 : OXY
)* ; <
Oxy
u 0 0
uz v e = r .u
0
y
u
ur j • M
Y x
>
+
Oxy
)* ; < + :
ae =
2
d OO ' + dt 2
dO ' M d dO ' M + O'M , = dt dt dt d 2 OO ' d ae = + O'M + O'M 2 dt dt
(
O ' M = .u z d dt
ur O'M = 0 r
O'M
)
r .u = r 2 ur u 0 0
uz =r u
ae = r 2 ur + r u
0
:.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
+
/3
LMD1/SM_ST
125
Mouvement relatif
ac = 2
:
OXY = %
ur
u
v r =2. 0 r
0 0
*
OXY = %
(i , j, k )
ur = i .cos + j .sin
0
va = r.ur + r .u
>
(
aa = r
"
/
:6 & @
3
/4
)*
M
*
aa = ae + ar + ac
(
a c = 2r u
>
va = ve + v r
:
uz
M +
r
2
) .u + ( r
)* ?
) .u
+ 2r
r
= =
+
* 1@: =
AB
( u
u
u = i .sin + j .cos
: OX ' Y ' / OM = r = r.i
'
r=
i = ur '
vr = r = at.ur :
+ 52
dOO ' O'M + dt d OO ' = 0 ( O O' ) dt = k = .u z
:4.31 + 5
9:
/1
1 2 at + r0 .ur 2
"3 (
( 9: : <
+ 5?5 + 5
ve =
ve =
ve =
va = ve + v r
va =
( at )
2
A.FIZAZI
0
0
1 2 at + r0 2
0
uz
0
.u
1 2 at + r0 2
1 + at 2 + r0 2
(", D
u
O'M =
1 2 at + r0 2
va = at.ur +
ur
("5
Univ-BECHAR
:
.u
+ 5
2
.
:C
2
4 *)
"
* &<
LMD1/SM_ST
126
Mouvement relatif
1 2 at + r0 v 2 tg = = vr at
: t = 3s 4 = t,
(/
@ /2
= %
1 2 at + r0 , r = 0,1m 2 ; y = r.sin , y = 0, 095m
= 1,884rad = 108° ; r =
x = r.cos , x = -0, 031m vr = at , vr = 0, 06m.s
1 2 at + r0 2
; ve =
1
:
+
, ve = 0,0628m.s
+ 52
ar = a.i = a.ur
+ 5 ? 5 /3
"3 (
ar = a.ur
'
va = vr2 + ve2 , va = 0, 087m.s tg =
1
v = 1, 047 vr
1
= 46,3°
:;< + ae =
2
d OO ' + dt 2
dO ' M d + dt dt
O'M
0
,
dO ' M = dt
O'M
0
ae =
O'M ve
1 2 at + r0 2
O ' M = .u z
.u = r
2
ae =
ur
1 2 at + r0 2
2
.u
r
Y va
v
X'
a v
aa M
Y'
M0
a
X
O
:. ac = 2
A.FIZAZI
ur
u
v r =2. 0 at
0 0
+
/3
uz a c = 2at .u 0
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
127
Mouvement relatif
:? aa = ae + ar + ac
1 2 at + r0 2
aa = a
aa =
a
2
:? tg =
+ ( 2at.
C< a = ar
(
.ur + ( 2at.
2
2
1 2 at + r0 2
+
)
) .u
:?
+
+
("
2
?
*) &<
2at 1 2 at + r0 2
a
:4.32 ;
OM = OA + AM : * 4 # ( ) " 5 t M E t
&:
. OA ' = vt (
. x = OA ' + xM' :C
B
9
@ /1
:M % "#$ :
)1 ='
(
=
2
t
OA ' = v.t = R t xM' = R.cos cos = cos cos
2
2
x = R ( .t .sin .t )
t
t = sin .t y = R + yM' :( )" 5
y = R + R.sin sin
0
2
9
.t = cos .t OM 9:
)
y = R (1 .cos t )
+ 5
& C
)1 2
x = R ( t sin t )
:
C-
F1&
"% /2
OM y = R (1 cos t ) z=0 .(cycloïde)!
dOM va = dt
A.FIZAZI
"
=x = vx = R
(1
:M
cos t )
va y = v y = R sin t z = vz = 0
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
128
Mouvement relatif
va =
dOM =R dt
(1
cos t ) .i + R sin t. j
: va = x 2 + y 2 + z 2 ; va =
R
va = 2 R 2
va = R
2 1 cos t = R 2.sin 2
(1
(1
+ [ R sin t ]
2
2
cos t )
t 2
2.2 sin 2
=x
cos t )
+ 5 &< 4 *) va + 5 i
(1
= 2R
va .cos
t 2
va = 2 R sin
, K 1& .(GHG" 5
va .i = va .i.cos x = 2R
cos t )
t 2
+ 5 )* OX 3 : I < JB 3$ " x = va .cos
2
(1
+ 5
cos t )
:2 2 R .sin
t .cos 2
(1
=R
cos t )
: 2 R.sin
vr =
t .cos 2
cos
= sin
cos
= cos (
d AM :C dt
= 2 R.sin 2 +
t 2
'2
= sin
cos
"3
=
3
t 2 +
2
t 2
=
2
,
=
2
t 2
)
X ' AY ' /
9<
M
: X ' AY ' xM' = R.cos = R.cos
2
xM' = R. s cos t
L *
"3 (
%
M ?5
yM' = R. .sin t
;
vr = R. s cos t.i
%
t = R.cos t
2
:
( M
t = R.sin t
2
yM' = R sin = R.sin
A.FIZAZI
"3
R. .sin t. j :H
Univ-BECHAR
(
+ 5 *
LMD1/SM_ST
129
Mouvement relatif
vr =
+ 5 &< &
( R.
s cos t ) + ( R. .sin t ) 2
;
., 9 .
2
vr = R
:
+ 5 &< . :H– " 5 2 @ 4
v
i
:C
vr .i = vr .i.cos vr .cos
= xM' = R cos t
= cos t
cos
=
;
t=2
vr
cos t = cos (
t)
0:) ( * 0 . 2.M ' A ' M = 2
(
(
)
B B
. .,
.
(
v . M ' AM = 2 = vr , OX
) B
: ve < /3 – H – " 5 2@ 4 & JB 3$ 2 3 2 '
))
& #:* .M
Y
M'
Y'
v=R
ve = v
M
y
2
yM'
va
A
t
v
(
M
R
xM'
A
R
X' /2
A'
ve = va ve = 4 R 2 cos
9 ?(
1
O
X
2
vr sin 2
ve = va2 + vr2 t + R2 2
2
A'
2va .vr .cos
2 R .2 R sin
:
t cos 2 2
X
x
– H – " 5 2@ 4 t 2
ve = R = v
t t = sin 2 2
2 XOY = %
B
H
) . OX
< )
1@ ve .?
33.4
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
130
Mouvement relatif
: X ' O 'Y ' /
(
OM = r = r ' = r.ur
= %
M 9:
+ 5
/1
?
r = r0 ( cos t + sin t ) .ur
r = r0 ( cos t + sin t )
. % u
+ 5
vr = r.ur
(
vr = r0
r = r0 ( cos t + sin t )
/ sin t + cos t ) .ur
: dOO ' + dt OO ' = 0 ve =
(:
+ 5 "$
O'M
ve =
<
H
r
: ur
u
ve = 0 r
0 0
uz
t + sin t ) u
0
: va = ve + v r
( cos
v e = r0
va = r0
( cos
O
t + sin t ) u + r0
: va = r0 ar = r .ur
d 2 OO ' + dt 2
ar = r0
2
ve =
r' =
ae =
r0
O'M +
( cos
d dt
F1
ae =
O'M
t + sin t ) .u
u 0
uz
( cos
t + sin t )
0
ur
5H
:
+
C
< +
*
r'
v r =2.
(
u
0 sin t + cos t )
2
: '#
?
2
( cos
( cos
a c = 2r0
0 0
5 I < H
t + sin t ) u
+
uz 2
(
Q H
sin t + cos t ) u
0
:? a a = 2r0
:0 :
ae = r0
aa = ae + ar + ac :=
A.FIZAZI
P
t + sin t ) .ur
( cos t + sin t )
r = r0
( cos
r0
r0
% &*
0
ur ae = 0
ac = 2
'"
sin t + cos t ) .ur
01
0
0
(
H
2 = Cte
: ae =
=
H +
'
? <
+
A
# =
t + sin t ) ur + ( sin t + cos t ) u
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
131
Mouvement relatif
: a a = 2r0
% &
*
P
2 = Cte
2
35.4 OM = r = r.ur =
0
* 2@ C
0
*
:/ ( . % J' C( "
vM = r = v.ur + vt.ur ur = (
aM = r = v.ur u =
(
) .ur
vM = v.ur
) .u v
.u
, ur = (
:
( 1 9: + 5 /1 1 + )1 H F < # 9< 1
r = v.t..ur :/
vt
.u
vt
aM = v
) .u " <
( AB
.u 2
t.ur
3
.
M
2v
.u
/2
M H
, xM , yM = %
0, 2 10 2 2 = ( m / s ) ; = = ( rad / s ) 60 3 60 30 2 10 10 2 xM = vt cos t = .t cos .t ; y M = vt sin t = .t cos .t 3 30 3 30
v=
t (s) M
0
=
(
t rad .s
(
rM = vt ms -1
xM ( m )
)
1
)
15
0
yM ( m )
30
/2
0
5.10
0
0
0
5.10
2
10.10 10.10
2
2
( H
2
t = 45s : vM = v.ur
A.FIZAZI
+ 5
2
15.10
&
2
20.10
2
20.10
2
2
0
(
1 + .
% "% (
=4
/3
t=60s:
aM = v
v.t. .u
vr = 0,33.ur ; v = 1,57.u
+
3 /2
0
0
/
60
15.10
." "
45
+
1$*
2
t..ur
2v .u
ar = 0, 22.ur ; a = , 07.u
.
Univ-BECHAR
+ 5
. :
1$*
LMD1/SM_ST
132
Mouvement relatif
y vr = 0.33ur 15.10
vM
2
v = 1,57u
3. vr .u
5.10 2 m 5.10 2 m
ar = 0.22ur
O
10.10 2
3. a .ur
x
aM
5.10
:" 5 /1
)
4 #
2
:
:36.4 + 5 H
( 9:
OXY
"#$
t
& E M
/1
= t
+ : L( " 5 2 @
OM = ( R cos t + R cos 2 t ) i + ( R sin t + R sin 2 t ) j
O ' M = R cos 2 t.i + R sin 2 t. j
+
2
dOM , va = R ( sin t + 2sin 2 t ) i + R dt dv aa = a , aa = R 2 ( cos t + 4 cos 2 t ) i R dt va =
A.FIZAZI
a = 0, 07u r
OM = OO ' + O ' M . = t : = % A & O ' X 'Y ' / t C , "#$ M . OXY 2 =2 t . + OXY
OO ' = R cos t.i + R sin t. j
20.10 2
Univ-BECHAR
OM 6
' 5
( cos
t + 2 cos 2 t ) j
(1)
( sin
t + 4sin 2 t ) j
( 2)
"3
2
LMD1/SM_ST
133
Mouvement relatif Y
X'
M
y
A
Y' x'
y'
j'
i'
O' j j' O
:" 5
i' i
X
x
4 #
O ' X 'Y ' /
( 9:
+ 5
O ' M = x '.i '+ y '. j ' = R ( cos t.i '+ sin t. j ')
' 5
.
+
O ' X 'Y '
: dO 'M , vr ' = R dt dv ar ' = r ' , ar ' = R dt
vr ' =
:" 5
4 #
( 2
2
"3
"3
2 O'M 6 .% " & !'
( cos
t.i '+ sin t. j ' )
( 9:
O ' XY
' 5 () * +
O'M 6
sin t.i '+ cos t. j ')
+ 5
O ' M = x.i + y. j = R ( cos 2 t.i + sin 2 tj )
2
/2
+
M
+
H
$ . OXY , '- . OXY 6
Q H
M
+
+
.(57.4) " / 0
/ $
&
dOM dOO ' di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt va
ve vr = i '
vr dx ' dy ' dz ' + j' +k' dt dt dt 0
: i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t
x ' = R sin t
j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t
y ' = R cos t
:2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
"5
"3
LMD1/SM_ST
134
Mouvement relatif
vr = ( cos t.i + sin t. j ) . ( R sin t ) + ( sin t.i + cos t. j ) ( R cos t ) vr = 2 R .sin t.cos t. i + R
sin 2 t + cos 2 t j cos 2 t
1 sin 2 t 2
:)
(
vr = R
"
@
M /
OXY 6
sin 2 t.i + cos 2 t. j )
5 )
v
$D
(
( 3)
- OXY 6
M /
+ :(59.4)
ar = i '
2
2
2
d x' d y' d z' + j' 2 +k' 2 2 dt dt dt 0
i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t
x' = R
2
cos t
j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t
y' = R
2
sin t
ar = ( cos t.i + sin t. j ) ar =
(
2
R
ar = R
2
cos 2 t.i
(
2
R
2
R
)
cos t + ( sin t.i + cos t. j )
cos 2 t sin 2 t .i
R
2
ar = R
OXY 6
2
( cos 2
+R
( cos
2
2
sin t
)
cos t sin t. j
)
t + sin 2 t ) .i + R
H
'" R
( cos
+
$D
(
<
/ / /3
( 4)
t + 2 cos 2 t ) j
:= ae =
R
M /
t.i + sin 2 t. j )
:=
( sin
s in 2 t.i
R
1 sin 2 t 2
:)
ve = R
2
(
2 cos t sin t . j
cos 2 t
(1) ( 3) = ve = va vr ve = R ( sin t + 2sin 2 t ) i
) (
cos t sin t. j + R
:2 @ "3
(
sin 2 t.i + cos 2 t. j )
t + cos 2 t ) . j
H
'"
< +
/H /3
d 2 OO ' d 2i ' d2 j ' d 2k ' + x ' + y ' + z ' dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 0
OO ' = R.cos t.i + R sin t. j ,
A.FIZAZI
d 2 OO ' = R dt 2
Univ-BECHAR
2
.cos t.i
R
2
sin t. j
LMD1/SM_ST
135
Mouvement relatif
i '= j'= ae =
(
R
2
2 2
.cos t.i
2
cos t.i 2
sin t.i 2
R
sin t. j ; x ' = R cos t y ' = R sin t
c os t. j ;
)
sin t. j + R cos t
R sin t
(
2
:2 @ "3
(
2 2
sin t.i
2
cos t.i
c os t. j
)
:M / ae =
2
R
.cos t
R
sin 2 t + cos 2 t
2
i
R
2
)
sin t. j +
< +
2
1 sin 2 t 2
. ( cos t + cos 2 t ) i
2
R
: ac = 2
dx '.di ' dy '.dj ' + dt 2 dt 2
:59.4
( sin
t + sin 2 t ) j
+
*.
* aa = ar + ar + ac
+ ac = + aa
O ar
i '=
sin t.i +
cos t. j ; x ' = R sin t
j'=
cos t.i
sin t. j ; y ' = R cos t
ac = 2
dx '.di ' dy '.dj ' + = ar + ar + ac dt 2 dt 2 R sin t (
cos t. j ) + R cos t (
sin t.i +
ac = 2 R
2
.sin 2 t.i
ac = 2 R
2
. sin 2 t cos 2 t .i
R
2
.sin t cos t. j 2R
2
R
2
2
( cos 2
t.i + sin 2 t. j )
aa = ar + ar + ac
( C
" ve =
dOO ' + dt
Univ-BECHAR
)0
. = .k
0"*
34 5
+ 5 Q "$ : < + 5
/4
O'M
i ve = R .sin t.i + R .cos t. j + 0 R cos 2 t
A.FIZAZI
.cos t sin t. j
1 sin 2 t 2
ac = 2 R
(72.4).
2
.sin t cos t . j
cos t
H
R
<
sin t. j )
cos t.i
.cos 2 t.i
@
ar
:
ac = 2
(
sin t + 2sin t.c os t j
cos 2 t
ae = R
$D
j 0 R sin 2 t
k 0
LMD1/SM_ST
136
Mouvement relatif
ve = R .sin t.i + R .cos t. j
R .sin 2 t.i + R .sin 2 t. j
ve = R . ( sin t + sin 2 t ) .i + R . ( cos t + sin 2 t ) . j
:.
+
* ac =2
< M ( 73.4 ).
+
i ac = 2 0 R .sin 2 t
vr
ac = 2 R
2
.cos 2 t.i
ac = 2 R
A.FIZAZI
2
2R
2
(C
j 0 R .cos 2 t
" k
0
.sin 2 t. j
. ( cos 2 t.i + sin 2 t. j )
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
