PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. I.Công thức lũy thừa và căn thức.

a m .a n  a m  n a m  a n  a mn a

m n

n

a

n

a.n b 

n

a m.n  a m

m n

m

a 

n

m.n

a.b

a

II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. 1) Đƣa về dạng cơ bản.

b  0 a f ( x )  b(0  a  1)    f ( x)  log a b 2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số. Biến đổi phƣơng trình về dạng :

 f  x   a g ( x )  f ( x)  g ( x)  0  a  1

Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))  a  x   0 a ( x) g ( x )  a ( x) f ( x )    (a( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0 3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ. Đặt t= a f ( x ) chọn cơ số a thích hợp Điều kiện t >0 Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0 Giải tiếp suy ra x 4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích. -Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích 5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về.  0  a  1  Dạng a f ( x )  b g ( x )     0  b  1  Lấy logarit cơ số a 2 vế f ( x).log a a  g ( x) log a b

 f ( x)  g ( x).log a b

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x) Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu Đoán nhận 1 nghiệm x= x0 Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x= x0 III.Một số ví dụ. (0, 2) x 0,5  5.(0, 04) x 1 VD1:Giải phƣơng trình 5 Giải: 1 x 

(1) 

5 1

52 5

1 1  x  2 2

1 2

 1   5.    25 

x 1

 5.52( x 1)

 5  x  5 2 x  3   x  2 x  3  x3 VD2: Giải phƣơng trình:

2x

x2  4

 5.

 

x  2 x2  4

2

6  0

Giải: Điều kiện x2  4  0  x  2 hoặc x  2

(1)  2 x 

x2  4

Đặt t= ( 2) x 

 5.

    2

2

x  x2  4

2

6  0

x2  4

. Điều kiện t>0 t  4 5 2  t  t  6   3 t  2  2 3 t (loai) 2

t=4  ( 2) x 

x2  4

4

 x  x2  4  4  x2  4  4  x 0  4  x  2 2  x  4  16  8 x  x x  4   5  x  2

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 5 2 VD3.Giải phƣơng trình 8.3x  3.2x  24  6x (1) Giải: (1)  8.(3x  3)  2 x (3x  3)  (3x  3)(2 x  8)  0 ĐS: x 

3x  3  x  1  x 2  8  x  3 ĐS: x=1;x=3 VD4.Giải phƣơng trình 2 3x 4  52 x (1) Giải: Lấy logarit cơ số 3 hai vế ( x 2  4) log 3 3  2 x.log 3 5  x 2  4  2 x log 3 5

 x 2  2 x log 3 5  4  0  x  log 5  log 2 5  4 3 3   x  log 5  log 2 5  4 3 3  VD5.Giải phƣơng trình x

3 7 x    2 5 5

Giải: Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình x

3 7 Đặt f ( x)     là hàm số giảm trên R 5 5 x g ( x)  2 là hàm số tăng trên R Mà f(1)=g(1) Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1 VD6. Giải phƣơng trình: 2x  3x  5x1  21 x  31 x  5 x Giải: Đặt f ( x)  2x  3x  5x 1 là hàm số tăng trên R g ( x)  21 x  31 x  5 x là hàm số giảm trên R 1 1 1 Mà f    g   nên phƣơng trình có nghiệm x= 2 2  2

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT VD7 Giải phƣơng trình: 3.25x2  (3x  10).5x2  3  x  0(1) Giải : Đặt t= 5x2 (t>0)  1 t 2 (1)  3t  (3x  10)t  3  x  0(2)   3  t  3  x Với 1 1 1 t   5x  2   x  2  log 5 3 3 3  x  2  log5 3 Với t  3  x  5x2  3  x(3) (3) có 1 nghiệm x=2 Đặt f ( x)  5x2 là hàm số tăng trên R g ( x)  3  x là hàm số giảm trên R Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2 Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; x  2  log5 3 IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình: 4x1  2x4  2x2  16 Bài 2: Giải phƣơng trình: log 2 9 x  5.3x1  4 Bài 3: Giải phƣơng trình:





2 3

  x





2 3

 4 x

Bài 4: Giải phƣơng trình: 4 x2  x.3x  3x1  2 x2 .3x  2 x  6 1 x

1 x

1 x

Bài 5: Giải phƣơng trình: 9  6  4  0 VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất. I. Tìm m để phƣơng trình mũ: F(x,m)=0 (1) có nghiệm x  D. Cách giải: -Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t. -Chuyển điều kiện x  D thành điều kiện t  T. -Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2). *Cách 1. -Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t  T. -Tính f’(t), lập bảng biến thiên. -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t  T điều này cũng tƣơng đƣơng với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) -Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m.

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT *Cách 2. -Ta có (1)  f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t) -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t  T Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T. II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất *Cách 1. Điều kiện cần. -Giả sử phƣơng trình có nghiệm x0. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x1 . -Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1. -Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m. Điều kiện đủ. -Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình. -Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm duy nhất. Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn. *Cách 2. -Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m. -Đặt y=f(t) với t  T -Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T. -Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t). -Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm. III.Một số ví dụ : VD1: Định m để phƣơng trình:  m 1 4x  2  m  3 2x  m  3  0 1 có nghiệm Giải: Đặt: t=2x (t>0) 1   m  1 t 2  2  m  3 t  m  3  0

 mt 2  2m  m  t 2  6t  3  m  t 2  2t  1  t 2  6t  3 t 2  6t  3  2  t  0  t 2  2t  1 t 2  6t  3 Đặt f  t   2 t  0 t  2t  1 4t 2  8t  12 f  t   2  t 2  2t  1 m

t  1 f   t   0  4t 2  8t  12  0   t  3

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bảng biến thiên:

Để (1) có nghiệm x  R   2  có nghiệm t>0  Đƣờng thẳng y=m cớ điểm chung với đồ thị y  f  x  . Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3  m 

3 2

3 2 Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:  x  316x   2m  1 4x  m  1  0 1 Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Giải: Đặt: t  4x  t  0  phƣơng trình (1) trở thành f  t    m  3 t 2   2m  1 t  m  1  0  2  Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu x1  0  x2  4x1  40  4x2  t1  1  t2  (2) có nghiệm t1, t2 thõa 0 < t1 < 1 < t2 a. f 1  0  a. f  0   0  m  3 4m  3  0   m  3 m  1  0 3  3  m   4 3    1  m   m   3 4     m  1 ĐS: 3  m 

Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: . 1  m  

3 4

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất: Giải: Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

1 2

x 1

 3m  2 1

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 3m  2  0  m 

2 3

1 1  x  1  log 2 3m  2 3m  2  x  1  log 2  3m  2    x  1  log 2  3m  2  Phƣơng trình có nghiệm duy nhất  1  log 2  3m  2   1  log 2  3m  2 

1  2 x 1 

 log 2  3m  2   0  3m  2  1  m  1 IV.Một số bài tập: Bài 1: Tìm m để phƣơng trình  m  4 9x  2  m  2  3x  m  1  0 có nghiệm. Bài 2: Tìm m để phƣơng trình m.2x  2 x  5  0 có 1 nghiệm duy nhất.



Bài 3: Định m để phƣơng trình: 3  2 2

  3  2 2  tgx

tgx

m

   Có đúng 2 nghiệm trong   ,   2 2 Bài 4:Tìm k để phƣơng trình  k  1 4 x   3k  2  .2 x1  3k  1  0 có 2 nghiệm trái dấu. Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình m.3x  m.3 x  8 B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. I.Dạng cơ bản: log a x  N  x  a N  a  0, a  1

log a a x  x, x; a loga x  x; x  0 Công thức đổi cơ số:

log a x  log a b logb x  logb x 

log a x log a b

1 ; alog b c  clog b a log a x 1 x  log a x

log x a  log a



log a x3 

3



log a x

II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. 1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số -Biến đồi phƣơng trình về dạng:

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT log a f  x   log a g  x  0  a  1  f  x   0     g  x   0   f  x   g  x  2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: -Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số. 3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích: -Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích. 4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. -Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất.  0  a  1 5.Dạng: log a f  x   a m  logb g  x     0  b  1 -Suy đoán nghiệm x0 và chứng minh nghiệm duy nhất.  f  x0   a m -Nghiệm duy nhất x0 thõa:  n  g  x0   a 6.Dùng phƣơng pháp đối lập.

A  B A  m  A  m   B  m B  m 

7.Dạng: log a x  f  x   log a x  g  x 

a  x   0  a  x   1   f  x  0 f x g x      III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:

1 log 2

2

 x  3 

1 log 4  4 x 1 4

Giải: x  0 ĐK:  x  1 1 1 . .8log 2 x  1  log 2  4 x  4 2  log 2  x  3 x  1  log  4 x 

1  log 2  x  3 

 x  3 x  1   4 x  2 

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 

Nếu 0< x <1 :



Nếu x>1

ĐS: x  3; x  3  2 3 Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 1 2   11 4  lg x 2  lg x Giải:  x  0 x  0   ĐK: lg x  4   x  104 lg x  2  1  x  100  Đặt: t  lg x  t  4  t  2 

1 2  1 4t 2t  2  t  2  4  t    4  t  2  t 

1 

 10  t  8  4t  2t  t 2  t 2  3t  2  0 t  1  t  2 

t  1  lg x  1  x  10



t  2  lg x  2  x  102  100

ĐS: x=10; x=100 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: log3 x  log 2 1  x 1





PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải: Điều kiện: x  0 Đặt: t  log 2 x  x  3t

1  t  log 2 1   2t  1 

 3

3t



t

t

t 1  3        1 2   2   2  Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2) Vế trái là hàm số giảm. Vế phải là hàm số hằng. Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là t  2  log3 x  2  x  32  9 ĐS: x=9 IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình log 2 x2  x  1  log 2 x2  x  1  log 2 x 4  x 2  1  log 2 x 4  x 2  1

















x 2 1 2x 1 2 x 2  9 x  9  log3 x 4 x 2  12 x  9  4  0 4

Bài 2: Giải phƣơng trình: log 2 x 1 Bài 3: Giải phƣơng trình: log32 x









9 0 2 1 Bài 5: Giải phƣơng trình: log 2  3x  1   2  log 2  x  1 log x 3 2 VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: I.Tìm m để phƣơng trình: F  x, m   0 1 có nghiệm x  D Bài 4: Giải phƣơng trình: log x  x  1  lg

-Đặt ẩn số phụ: t  log a x thích hợp. -Chuyển điều kiện x  D  t T -Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng: f t   m  2 -Tính f   t  , t  T . Lập bảng biến thiên -Để (1) có nghiệm trên D  (2) có nghiệm trên T. -Dựa vào bảng biến thiên  điều kiên của m II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất: Cho phƣơng trình ( chứa logarit ) F  x, m   0 1 -Đặt: t  p  x  -Tìm điều kiện của t  T -Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng: f t   m  2

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT -Tính f   t  với t  T -Lập bảng biến thiên trên T -Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất  (2) có nghiệm duy nhất trên T. -Dựa vào bảng biến thiên  Đk của m.  Cách khác: Phƣơng trình (1)  (2) là phƣơng trình bậc hai với x   Để (1) có nghiệm duy nhất   2  có 1 nghiệm kép

x1  x2  

b   hoặc có 2 nghiệm x1    x2 2a

  0  hoặc af    0  b  2a   III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình: lg  x 2  2mx   lg  x  1  0 1 có nghiệm. Giải: Ta có: 1  lg  x 2  2mx   lg  x  1 x 1  0  2  x  2mx  x  1 x  1     x2  x  1  m  2  2x   x2  x  1 Đặt: f  x    x  1 2x 2 x 2  2 f  x   0 vì x>1 4x2 Bảng biến thiên:

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1  m  

1 2

Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình:  m  1 log 21  x  4   2m  1 log 1  x  4   m  2  0 1 2

2

Có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: 4 < x1 < x2 < 6 Giải: Đặt: t  log 1  x  4  2

Điều kiện: 4 x 6 0 x4 2  t  log 1  x  4   log 1 2  1 2

2

1  f t    m 1 .t 2   2m  1 .t  m  2  0  2 (1) có 2 nghiệm thõa mãn : 4  x1  x2  6

  2  có 2 nghiệm t1 , t2 thõa 1  t1  t2

    9  0   0    af  1  0   m  1 4m  2   0 S  4m  1  1  0  0 2  2m  2 1  m   2  m  1 1   m    m 1 2 m  1  m  1  4 1 Vậy: m    m  1 2 IV.Một số bài tập



Bài 1: Tìm m để phƣơng trình 4 log 2 x



2

 log 1 x  m  0

có nghiệm thuộc khoảng  0,1 Bài 2: Giải và biện luận phƣơng trình theo m 2log3 x  log3  x  1  log3 m  0





2

Bài 3: Tìm m để phƣơng trình lg 2 x 2  mx  lg 2  x  3  0 có nghiệm.









Bài 4: Cho phƣơng trình: log 2 mx3  5mx 2  6  x  log 2 m 3  x  1 1 Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi m  0





Bài 5: Với giá trị nào của a thì phƣơng trình: log a a  a  x  Có nghiệm duy nhất.

2 log x a