830966 _ 0048-0079 copia.qxd
2
19/1/09
10:00
Página 48
Potències i radicals POTÈNCIES D’EXPONENT ENTER
NOTACIÓ CIENTÍFICA
RADICALS
EQUIVALENTS
SEMBLANTS
OPERACIONS AMB RADICALS
PRODUCTE I QUOCIENT
SUMA I RESTA
POTÈNCIA I ARREL
RACIONALITZACIÓ
DENOMINADOR AMB RADICAL
48
DENOMINADOR AMB BINOMI RADICAL
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 49
Prova de valor No eren bons temps per a la gent corrent, les ciutats estat italianes s’esfondraven en un riu d’intrigues, traïcions i guerres violentes, del qual no se salvaven ni tan sols els Estats Pontificis. En una d’aquestes ciutats, Brescia, en Niccolò Fontana començava a explicar la història de la seva ferida, una lletja cicatriu que li solcava la mandíbula. –Va ser fa dos anys, el 1512, quan la ciutat havia caigut i grups de soldats descontrolats campaven amunt i avall pertot arreu. –Ma mare corria davant meu en direcció a l’església. –Va aturar la narració per aconsellar als més petits: – No ho oblideu mai: en cas de perill, l’únic indret segur és l’església! Després de l’obligada pausa, en Niccolò va continuar amb la dramàtica escena. –De sobte, ma mare va ensopegar i un soldat s’hi va acostar brandant l’espasa. La tragèdia semblava inevitable. En aquell moment, sense dubtar-ho ni un instant, vaig saltar damunt d’ell per defensar-la i vam rodolar per terra. –En Niccolò feia gestos com si lluités amb l’enemic imaginari.– Però era més fort que jo, es va regirar i d’un cop d’espasa em va tallar la cara, tal com veieu. La ferida va trigar temps a guarir-se i em va deixar tartamut, però no me’n penedeixo pas d’haver-ho fet. El noi, Niccolò Fontana, conegut amb el nom de Tartaglia, es va convertir en un dels matemàtics més importants del segle XVI. Tartaglia va trobar la solució d’una equació cúbica mitjançant radicals. Discuteix el valor numèric d’aquests radicals segons el valor de a: 3 a i a . Per a a < 0: a no existeix. 3
a té un únic valor.
Per a a = 0: a =
3
a = 0
Per a a > 0: a té dos valors, que són oposats. 3
a té un únic valor.
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 50
Potències i radicals EXERCICIS 001
Simplifica i calcula: a) z ⋅ z ⋅ ... ⋅ z
b) x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
60 vegades
150 vegades
a) z 60
002
b) x 150
1 32
c) 22
b) −3 a)
d) −
1 32
1 2
b) −
1 3
c)
d) −2−2
1 22
d) −22
Expressa aquestes fraccions com a potències d’exponents enters: a)
004
c)
d) −3−2
Escriu l’invers dels nombres següents com a potència d’exponent enter: a) 2
003
c) (−3)−2
225 64
b)
22 121
a)
32 ⋅ 52 = 32 ⋅ 52 ⋅ 2−6 26
b)
2 ⋅ 11 2 = = 21 ⋅ 11−1 112 11
c)
23 ⋅ 7 = 23 ⋅ 71 ⋅ 5−3 53
c) −
56 125
Indica quant val (−1)n per als valors positius i negatius de n. Per fer-ho, comença donant valors petits i troba una regla general. 1 si n és parell Independentment de si n és positiu o negatiu, (−1)n = −1 si n és imparell
005
Aplica les propietats de les potències i expressa el resultat com a potència d’exponent positiu: −1 5 c) (8 ⋅ 4)−4 e) − a) 8−3 ⋅ 8−6 2 −2 −3 5−8 15 b) −2 d) f) (24−21)2 72 5 Indica quina propietat has fet servir en cada cas. a) 8−9 =
3
1 89
b) (5−8−(−2))−2 = (5−6)−2 = 512 c) (23 ⋅ 22 )−4 = (25 )−4 = 2−20 =
50
1 220
3
24 72 = d) 5 15 2 e) − 5 1 f) 24−42 = 24 42
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 51
SOLUCIONARI
2
Les propietats que s’han fet servir són les següents: a) producte de potències de la mateixa base b) quocient de potències de la mateixa base c) potència d’un producte d) potència d’un quocient e) potència d’una potència f) potència negativa d’un nombre 006
Calcula. a) (x 5 y −2) : (x 6 y −1)
b) (6x 4 y 2) : (3x 2 y −2)
−2− −1 a) x 5−6 y ( ) = x −1 y −1 =
007
1 xy
b) 2x 4−2y 2−(−2) = 2x 2y 4
Simplifica i expressa el resultat com a potència: a)
57 ⋅ 33 ⋅ 6 –4 6 ⋅ 3−3 ⋅ 5–14
c) 92 ⋅ 3−2 ⋅ 27
−2
1 3 d) 5
2
b) 2 ⋅
3 2–3 3 ⋅ 2 ⋅ 8 4 3
–2
⋅ 25
a) 57−(−14) ⋅ 33−(−3) ⋅ (2 ⋅ 3)−4−(−2) = 521 ⋅ 36 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 = 521 ⋅ 34 ⋅ 2−2 = b) 2 ⋅
3 1 33 32 ⋅ 3 2 ⋅ 6 = 10 2 2 2 ⋅3 2 2
521 ⋅ 34 22
c) 34 ⋅ 3−2 ⋅ 33 = 35 d) 008
1 ⋅ 52 = 5 8 5−6
Expressa en notació científica: a) b) c) d) e) f)
9.340.000 0,000125 789.200 1 bilió Mitja desena 4 a) 9,34 ⋅ 106 b) 1,25 ⋅ 10−4 c) 7,892 ⋅ 105
009
g) h) i) j) k) l) d) 1 ⋅ 106 e) 5 ⋅ 100 f) 4
0,0089 137 1 deumil·lèsim 5 centèsims 9 mil·lèsims 6 trilions g) 8,9 ⋅ 10−3 h) 1,37 ⋅ 102 i) 1 ⋅ 10−4
j) 5 ⋅ 10−2 k) 9 ⋅ 10−3 l) 6 ⋅ 1018
Aquests nombres no estan escrits correctament en notació científica. Corregeix-los. b) 11,2 ⋅ 10−3 a) 0,7 ⋅ 106 a) 7 ⋅ 105
b) 1,12 ⋅ 10−2
51
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 52
Potències i radicals 010
Calcula. a) 2,3 ⋅ 104 + 5 ⋅ 103
b) (5 ⋅ 10−2) ⋅ (3,1 ⋅ 10−4)
a) 2,8 ⋅ 104 = 28.000 b) 1,55 ⋅ 10−5 = 0,0000155 011
Efectua les operacions següents i expressa el resultat en notació científica: a) b) c) d)
9,34 ⋅ 104 + 7,6 ⋅ 102 7,8 ⋅ 10−3 + 8 ⋅ 10−5 3 ⋅ 10−7 − 7 ⋅ 10−4 (9 ⋅ 104) ⋅ (8,5 ⋅ 102)
(5,2 ⋅ 10−4) ⋅ (8 ⋅ 10−5) (4 ⋅ 10−6) : (2 ⋅ 10−8) (7 ⋅ 104) : (1,4 ⋅ 105) (4 ⋅ 105) ⋅ (2 ⋅ 103) : (8 ⋅ 10−2)
a) 9,416 ⋅ 104
e) 4,16 ⋅ 10−8
b) 7,88 ⋅ 10
f) 2 ⋅ 102
c) 6,997 ⋅ 10−4
g) 5 ⋅ 10−1
−3
7
h) 1 ⋅ 1010
d) 7,65 ⋅ 10 012
e) f) g) h)
Un microorganisme fa 3,5 micres. Si saps que 1 micra és la milionèsima part d’1 metre, expressa, en metres i en notació científica, la longitud de 4 milions de microorganismes posats en renglera. (4 ⋅ 106) ⋅ (3,5 ⋅ 10−6) = 1,4 ⋅ 101 = 14 metres
013
Efectua aquesta suma, primer amb calculadora i després sense: 9,23 ⋅ 1099 + 1,78 ⋅ 1099. Quines diferències observes entre les dues maneres de fer la suma? En el cas que la calculadora només admeti dues xifres a l’exponent, no podrà fer-ho i indicarà un error. Si es fa manualment, el resultat és 1,101 ⋅ 10100.
014
Transforma aquestes potències en arrels: a) 163 = 4.096 b) 43 = 64 a) 16 = b) 4 =
015
3
4.096
64
c) −2 =
5
−32
d) −2 =
8
256
Calcula el valor numèric dels radicals següents, si en tenen: a)
52
3
c) (−2)5 = −32 d) (−2)8 = 256
4
16
b)
3
c)
−8
4
−100
a) 2 i −2
c) No existeix
b) −2
d) 3
d)
5
243
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 53
SOLUCIONARI
016
2
Troba, amb la calculadora, el valor numèric d’aquestes expressions: a) 1 +
b)
6
5
c) (−2) ⋅ 4 −16
15 − 7
a) 1 + 2,4494897 = 3,4494897 b) 1,7187719 − 7 = −5,2812281 c) No existeix 017
Posa dos exemples de radicals amb arrels 3 i −3. Hi ha cap radical amb arrels 3 i −5? Exemples: 9 i 4 81 No és possible que un radical tingui com a arrels 3 i −5, ja que si tingués dues arrels, han de ser oposades.
018
Expressa les potències següents com a radicals i troba’n el valor numèric: 3
4
3
a) 5 2
c) 3 7
e) 4 4
1
1
4
b) (−2) 3
d) (−7) 6
f) (−6) 5
5 3 = 11,18033989
d)
6
−7 no existeix 4 3 = 2,8284271 (−6)4 = 4,1929627
a)
019
b)
3
−2 = −1,2599210
e)
4
c)
7
34 = 1,8734440
f)
5
Dóna dos radicals equivalents a cadascun: a)
4
a) 020
b)
32 3 i
8
5
c)
63
34
b)
10
7
66 i 15 6 9
c)
14
520 i 21 5 30
Raona si aquests radicals són equivalents: a)
4
36 i
33
c)
4
510 i
b)
5
210 i
2
d)
4
4 i
54 2
6
3
c) 5 4 ⫽ 5 2 → No equivalents
10
1
d) 4 4 = 2 4 = 2 2 → Equivalents
10
a) 3 4 = 3 2 → Equivalents
1
b) 2 5 ⫽ 2 2 → No equivalents 021
510
4
2
1
Expressa en forma de potència: a)
3
b)
x
1 3
1
a) x 3
c)
x
b) x
−
3
d) 4 3 x 2
6 xy
1
1
3
c) (6 xy ) 3
2
2
d) 4 x 3 = (8 x ) 3
53
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 54
Potències i radicals 022
Compara els radicals següents:
3 5
023
5
30
b)
512
5
5 <
4
c)
311 7 c) a 6 a 5
4 b) 32 33
6 d) b 5 b 5
5
5
7
d)
a 47
6
b 35
Introdueix factors dins del radical: b) 2 3 6 62 ⋅ 2 =
b)
3
3
23 ⋅ 6 =
c) 4 4 7
d) 2 5 5
72
c)
4
44 ⋅ 7 =
4
1.792
48
d)
5
25 ⋅ 5 =
5
160
Simplifica, si és possible: a)
4
b)
7.776 4
a)
65 = 6 4 6
6
1.024
b)
6
210 =
Opera i simplifica: a) 4 6 3 + 3 6 3 − b)
3 2
4
7 −
5 3
1 2
6
3
c)
4
7
d)
7 +
6
3 =
13 2
3 5 5 b) − + 1 ⋅ 4 7 = 2 3 6 c)
12 5
d)
4
4
5 4
1 a) 4 + 3 − ⋅ 2
54
3
2 <
5 a) 52 52
a)
026
3
3 i
30
a) 6 2
025
3
Simplifica aquests radicals: a)
024
215 10 → 3 5 = 30 56 2 = 3 =
2,
33 ⋅ 12 4 4 = 25 ⋅ 7 2 32 ⋅ 22
=
12
6
4
3 ⋅
4
3 7
3⋅2
= 2 ⋅ 10
4
1.568
33 ⋅ 4 4
2 5 72
3
74 25 ⋅ 35
36
3
25 = 2 3 22
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 55
SOLUCIONARI
027
2
Calcula. 2
a) 3 3 ⋅
5
5
b) (2 4 7 )
9 2
2
5
c)
22 ⋅ 3 11
d)
5
37 4
16
a) 3 3 ⋅ 3 5 = 3 15 =
15
316
4 b) 25 ⋅ 75 = 32 ⋅ 7 ⋅ 4 7 = 224 4 7 1
1
3
5 15
c) (2 ⋅ 11) 5 ⋅ 11 3 = (2 ⋅ 11) 15 ⋅ 11 15 = d) 028
5 7
35
4 ⋅ 37 =
4 ⋅ 37 =
35
23 ⋅ 118
8.748
Fes aquesta operació: 2
2 5 9 − (7 5 3 ) + 2
2
2 5 9 − (7 5 3 ) + 029
2
9
2
2
9 = 2 ⋅ 3 5 − 7 ⋅ 3 5 + 3 5 = −4 ⋅ 3 5 = −4 5 32 = −4 5 9
Transforma aquestes fraccions en altres d’equivalents sense radicals al denominador: a)
1 3
3
b)
5 3
a)
b)
3
5
d)
e)
f)
5
3
5 ⋅ 5 5
3 ⋅
3
2 2
=
2 ⋅ 2 2 5 24 5
2 ⋅ 5 24 4
4
3
3 ⋅
3
5
35 ⋅ 36 310 3 = = 3 3
2
4
e)
4
f)
64
5 2 3
=
2 2
10
3
2
2 5 24 = 2
=
2 2
5 2 ⋅
2
2 2 = 2
4
=
26
=
3
2
d)
52 5 10
33
5
2
9 =
2
2
c) 3
52
3 ⋅
c)
030
5
5
5
=
24 2 2 2 ⋅ 2
=
2 2 = 2
2
5 6 3
=
Racionalitza: a)
3 3
b)
3
a)
3 6
3
=
7 4
63
3 6 35 6
3 ⋅
6
35
=
3 6 35 = 3
6
35
b)
74 6 4
63 ⋅ 4 6
=
74 6 6
55
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 56
Potències i radicals 031
Resol i racionalitza: a)
2 5
032
b)
125
2
a)
b)
2
−
−
5
(1 +
2 5 5
2)⋅ 2 2 ⋅ 2
5⋅2
=
5 5
2
−
5 5
1+
2 2
8
=
5 5
=
8 5 5 5 ⋅ 5
b)
2 +2 2
=
5
c)
2 − 5 2
5 − 2 6
d)
33 − 11
a) Conjugat → 1 − 5
(1 +
5 ) ⋅ (1 − 5 ) = 1 − 5 = −4
b) Conjugat →
5 + 6
2
5 5 − 2 ⋅ + 6 6 c) Conjugat →
2 + 2
5 −7 2 = −2 = 6 6 5
2 2 + − 5 ⋅ 2 2 d) Conjugat →
−9 −18 2 = −5 = 5 = 2 4 4
33 + 11
( 33 − 11 ) ⋅ ( 33 + 11 ) = 33 − 11 = 22 Racionalitza les expressions següents: a)
−3
b)
4− 3 a)
b)
56
8 5 25
Calcula el conjugat d’aquests nombres i efectua el producte de cada nombre pel seu conjugat: a) 1 +
033
=
−3 ⋅ (4 +
3)
(4 − 3 ) ⋅ (4 + 3 ) −3 ⋅ (4 − 3 )
(4 +
3 ) ⋅ (4 −
3)
−3 4+
=
−3 ⋅ (4 + 13
3)
=
−3 ⋅ (4 − 3 ) 13
3
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 57
2
SOLUCIONARI
034
Efectua aquestes operacions i racionalitza’n el resultat si calgués: 2 + 3
a)
035
b)
2 2 ⋅ 2
a) b)
3
(1 + (1 −
9
+
3 2
13
=
3 2
2
1− 2 13 2
=
3 2
1+
=
3 2 ⋅ 2
13 2 6
2 ) ⋅ (1 +
2) 1+ 2 2 + 2 = = −3 − 2 2 ) ( ) 1− 2 2 ⋅ 1+ 2
Calcula l’invers d’aquests nombres: 1
a)
b)
2
1
b)
d)
3
c)
3
d) 100 +
100
555
2
a)
c)
6 +
6 +
6 − 3
( 3
1 3
=
3 =
100
3
555
3
=
=
6 − 3 3
3
10
100 ⋅ 10
1 100 +
3)⋅( 6 − 3)
6 +
10 10
=
100 − 555
(100 +
555 ) ⋅ (100 − 555 )
=
100 − 555 9.445
ACTIVITATS 036
Calcula les potències següents:
l a) 2−3
c) 105 d) 8−2
b) 7
−4
1 1 = 23 8 1 1 b) 4 = 7 2.401 a)
c) 100.000
037 l
e) (−3)−4 f) (−2)−5 1 = 82 1 e) (−3)4 1 f) (−2)5
d)
g) (−12)−2 h) (−6)3 1 64
g)
1 81 1 =− 32
i) (−1)−3 1 1 = (−12)2 144
h) −63 = −216
=
i) −1
Troba l’invers d’aquests nombres: a) 3
b) − a)
1 3
1 3
b) −3
d) 33
c) −3 c) −
1 3
d)
e)
1 1 = 3 3 27
1 3
f) −3−3 e) 3
f) −33
57
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 58
Potències i radicals 038
Expressa aquestes fraccions com a potències de nombres enters;
l si cal, fes servir exponents negatius:
−3 4 5 d) − 9
12 5 11 b) 65 a)
2 −5 −33 f) −55
c)
e)
a) 22 ⋅ 3 ⋅ 5−1 b) 11 ⋅ 13
⋅5
−1
039
−1
c) −3 ⋅ 4−1
e) −2 ⋅ 5−1
d) −5 ⋅ 3
f) 3 ⋅ 5−1
Simplifica i expressa-ho com a única potència:
l a) 2−5 ⋅ 23 ⋅ 2−4
c) (−4)−4 : (−4)5 : (−4)−6 d) 7−2 ⋅ 7−3 : 7−5
b) (−3)−6 : (−3)5 ⋅ (−3)−7 a) 2−5+3−4 = 2−6 b) (−3)−6−5−7 = (−3)−18 040 l
c) (−4)−4−5−(−6) = (−4)−3 d) 7−2−3−(−5) = 70 = 1
Opera i expressa el resultat en forma d’una sola potència: −2
3 a) 2
−3
−1
5 c) 4
−5
3 ⋅ 10
−2
5 : 4
−5
−1 d) 5
−5
4
3 3 ⋅ ⋅ 2 2
3 b) 10
0
3 : 10 8
5 ⋅ 4 −4
−1 : 5
7
−1 ⋅ 5
−3
9
3 a) 2
5 c) 4
6
−8
3 b) 10 041
−1 d) 5
Efectua aquestes operacions:
l a) 46 : 24 4
4
b) (−3) ⋅ (−3 ) c) (−26) : (−2−6) d) (−23)4 ⋅ (−24)−3 a) b) c) d)
58
−2
e) f) g) h)
212 : 24 = 28 (−3)8 −26 : (−2−6) = 26−(−6) = 212 (−1)4 ⋅ 212 ⋅ (−1)−3 ⋅ 2−12 = −1
2−3 : (−2−3) [(−5)3]2 ⋅ 5−4 [(24 ⋅ 2−8)−1]−4 −(−23) : (−24) e) f) g) h)
2−3 : [(−1) ⋅ 2−3] = −1 (−5)6 ⋅ 5−4 = 56 ⋅ 5−4 = 52 [(2−4)−1]−4 = 2−16 −(−23) : [(−1) ⋅ 24] = −2−1
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 59
SOLUCIONARI
042
2
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM OPERACIONS AMB POTÈNCIES FACTORITZANT LES BASES? Resol aquesta operació amb potències i simplifica tant com puguis. 44−3 ⋅ 225 PRIMER.
Descomponem les bases de les potències en factors primers. 44 = 22 ⋅ 11 22 = 2 ⋅ 11
Apliquem aquesta descomposició a l’operació. 44−3 ⋅ 225 = (22 ⋅ 11)−3 ⋅ (2 ⋅ 11)5 = (2−6 ⋅ 11−3) ⋅ (25 ⋅ 115)
SEGON.
TERCER.
Resolem l’operació. (2−6 ⋅ 11−3 ) ⋅ (25 ⋅ 115 ) = 2−6+5 ⋅ 11−3+5 = 2−1 ⋅ 112 =
043 l
Opera i simplifica el resultat: a) (30−5 : 10−5)3 b) (6−2 ⋅ 3−2)−1
c) (90 : 9−3)2 d) (10−10 ⋅ 10−6)−2
a) (3−5)3 = 3−15 b) (2−2)−1 = 22 c) (93)2 = 96 044 l
121 2
e) (123 : 23)−4 f) (20−5 : 10−5)−3
d) (10−16)−2 = 1032 e) (33 ⋅ 26 : 23)−4 = (33 ⋅ 23)−4 = 6−12 f) (2−5)−3 = 215
Calcula i simplifica el resultat: 2
−4
9 b) 4
−2
3
3
−3 5 ⋅ c) 2 4
−2 −4 : a) 5 8
−3
−2
3
6 ⋅ 10
−7 5 : d) 2 −2
2
3
−2 −1 = [(−2)2 ⋅ 5−2 ] : [(−2)−3 ] = (−2)5 ⋅ 5−2 : a) 5 2 b) (3−8 ⋅ 28) ⋅ (2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 23 ⋅ 53) = 28 ⋅ 3−11 ⋅ 53 c) [(−3)3 : 23] ⋅ (5−2 : 2−4) = (−3)3 ⋅ 21 ⋅ 5−2 d) [(−7)3 : 23] : [5−2 : (−2)−2] = (−7)3 ⋅ 2−5 ⋅ 52 045 l
Efectua i simplifica: −2
16 a) 25
4
3
125 10 : ⋅ 32 8 −2
24 a) 2 5 −3 26 b) 3 3
−3
64 b) 27
2
−2
9 6 : : 16 18
3
5 3 5 4 59 ⋅ 6 : 2 = 18 2 2 2 2 32 1 −2 : 4 : = 2−12 ⋅ 33 2 3
59
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 60
Potències i radicals 046 l
Simplifica: 36 ⋅ 28 ⋅ 53 93 ⋅ 252 ⋅ 4 4 3−4 ⋅ 16 ⋅ 9−1 b) 2 8 ⋅ 3−5 ⋅ 2−3 a)
c)
(−5)3 ⋅ (−8)4 ⋅ 9−2 (−3)−4 ⋅ 27 ⋅ 255
d)
32−1 ⋅ 36−2 ⋅ 18−2 8−5 ⋅ 6−3 ⋅ 94
a) 36−6 ⋅ 28−8 ⋅ 53−4 = 5−1 b) 3−4+5−2 ⋅ 24−6+3 = 3−1 ⋅ 21 c) −53−10 ⋅ 212−7 ⋅ 3−4−(−4) = −5−7 ⋅ 25 d)
047 l
2−5 ⋅ 2−4 ⋅ 3−4 ⋅ 2−2 ⋅ 3−4 = 27 ⋅ 3 3 2−15 ⋅ 2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 3−8
Efectua aquestes operacions amb potències; en primer lloc, fes les de dins dels claudàtors. Comprova que si ho fas al revés el resultat no varia. a) b) c) d)
[24 ⋅ (−5)]−2 [(−3) ⋅ 8]−3 [4 : (−2)3]−4 [(−10)2 : (−5)]−5
e) f) g) h)
1 802 1 b) [−24]−3 = − 3 24 c) [−2−1]−4 = 24 a) [−80]−2 =
d) [−20]−5 = −
048 l
[103 : (−2)]−3 [92 : (−3)5]−1 [25−1 ⋅ 103]−2 [36−2 ⋅ 25]−4 e) [−500]−3 = −
1 500 3
f) [−3−1]−1 = −3 1 g) [40]−2 = 402 98 h) [9−2 ⋅ 2]−4 = 4 2
1 205
Opera i expressa el resultat en forma de potència d’exponent enter: 3 −4 2 3 2 6 a) ⋅ ⋅ 3 3 2 −1 −4 : 43 : b) 4 7 2 1 −2 c) 2 : 2 2 4+ 3+6 a) 3
−5
1 4
−1
3
−1
5 −1 5 −3 6 5 d) ⋅ ⋅ 5 6 6 2 25 −2 25 −6 2 8 e) ⋅ : 2 25 2 −2 2 1 f) 92 ⋅ : 2 3
−2
13
3 = 2
b) [44−3−5]−2 = (4−4)−2 = 48
3
27 5 −1−3−5 = 6 d) 5 6 2 −2−(−6)− 8 8 25 = 2 e) 2 25 2
c) [2−2−(−2)]7 = 20 = 1
60
f) [34−2 ⋅ 2−1 ]−2 =
2 22 = 4 9 3
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 61
SOLUCIONARI
049
2
FES-HO AIXÍ COM EFECTUEM OPERACIONS COMBINADES AMB POTÈNCIES? Efectua aquesta operació: −2
5 − 3 2 4 PRIMER.
−1
−3 ⋅ 5
−2
17 − − 2 8
Fem les operacions que hi ha dins dels parèntesis. −2
−2
−1
−2
−1
−2
5 − 3 ⋅ −3 − 17 − 2 = 7 ⋅ −3 − 1 8 2 4 5 8 4 5 SEGON.
Calculem les potències. −2
−1
2
−2
1
1 4 −5 7 −3 16 ⋅ − 82 = − = ⋅ 8 7 3 4 5 49 TERCER.
Efectuem les operacions d’acord amb la jerarquia que correspon. −5 9.488 −80 − 64 = ⋅ − 64 = 3 147 147
16 49
050 l
−5 − 64 ⋅ 3
Fes les operacions següents: −2
−1
−2
−7 3 5 1 1 + 2 : − a) + ⋅ 2 2 5 3 6 −2
−1
1 3 5 b) − − − 1 3 2 4
−2
−1
1 3 2 −3 : 1 − − c) − 5 10 5 2 −2
−1
14 −7 +2 a) ⋅ 15 2
−2 32 ⋅ 52 ⋅ 2 2 ⋅ 72 7 + : = − 2 2 3 2 ⋅ 7 ⋅ 7 32
=− −2
=
−34 ⋅ 52 + 22 ⋅ 75 32 ⋅ 5 2 2 ⋅ 72 31.589 + = = 3 2 6.174 2⋅7 3 2 ⋅ 7 3 ⋅ 32
−1
2 1 3 19 = b) − − = 8 + 3 4 2 2 −1 1 3 22 : − 2 c) − 10 5 3
= − 50 − 4 = −154 3 9 9
61
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 62
Potències i radicals 051 l
Indica quines igualtats són verdaderes i escriu el resultat correcte en les falses: a)
a 3 ⋅ b −4 ⋅ c 4 =1 a −3 ⋅ b 4 ⋅ c −4 −2
c)
3−3 ⋅ 2−4 ⋅ 5−2 1 = 3−4 ⋅ 2−5 ⋅ 5−3 3⋅2⋅5
−2 −2 d) 3
5
−1 1 =1 b) ⋅ 3−3 ⋅ 3 3
−3
2 3 2 = 3
a) Falsa → a 6 ⋅ b−8 ⋅ c 8 ≠ 1 −2
5
1 b) Falsa → ⋅ 3−3 3
−1 = −32−3+5 = −34 ≠ 1 ⋅ 3
c) Falsa → 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ≠
1 3⋅2⋅5 6
6
2 −2 = d) Verdadera → 3 3 052
Escriu en notació científica els nombres següents i indica’n l’ordre
l de magnitud:
a) b) c) d)
15.000.000.000 0,00000051 31.940.000 0,0000000009
e) f) g) h)
4.598.000.000 0,0967254 329.000.000 111.000
a) 1,5 ⋅ 1010 → Ordre de magnitud: 10
b) 5,1 ⋅ 10−7 → Ordre de magnitud: −7 c) 3,194 ⋅ 107 → Ordre de magnitud: 7
d) 9 ⋅ 10−10 → Ordre de magnitud: −10
e) 4,598 ⋅ 109 → Ordre de magnitud: 9
f) 9,67254 ⋅ 10−2 → Ordre de magnitud: −2
g) 3,29 ⋅ 108 → Ordre de magnitud: 8
h) 1,11 ⋅ 105 → Ordre de magnitud: 5
053
Desenvolupa aquests nombres escrits en notació científica:
l a) 4,8 ⋅ 108
b) 8,32 ⋅ 10 c) 5,659 ⋅ 10−6 d) 7,925 ⋅ 109 −11
62
e) f) g) h)
6,23 ⋅ 10−18 3,5 ⋅ 10−12 2,478 ⋅ 1015 1,9385 ⋅ 10−7
a) 480.000.000
e) 0,00000000000000000623
b) 0,0000000000832
f) 0,0000000000035
c) 0,000005659
g) 2.478.000.000.000.000
d) 7.925.000.000
h) 0,00000019385
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 63
SOLUCIONARI
054 l
2
Indica quins dels nombres següents estan escrits en notació científica: a) b) c) d)
54 ⋅ 1012 0,75 ⋅ 10−11 243.000.000 0,00001
e) f) g) h)
7,2 ⋅ 10−2 0,5 ⋅ 1014 0,01 ⋅ 10−30 18,32 ⋅ 104
Només està escrit en notació científica el nombre de l’apartat e) 7,2 ⋅ 10−2. 055
Efectua aquestes operacions:
l a) 1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104
b) c) d) e)
8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 a) 3,89 ⋅ 104
d) 2,303975 ⋅ 102
b) 1,0335 ⋅ 104
e) 5,93830346 ⋅ 104 4
c) 3,620000585 ⋅ 10 056
Calcula.
l a) 9,5 ⋅ 104 − 3,72 ⋅ 104
b) c) d) e)
8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 a) 5,78 ⋅ 104
d) 4,65261 ⋅ 106
b) 8,055 ⋅ 103
e) 4,9977 ⋅ 102
c) 7,887 ⋅ 10
−4
057
Fes aquestes operacions:
l a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3
b) 8,91 ⋅ 10
−5
14
⋅ 5,7 ⋅ 10
c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103
a) 3,8325 ⋅ 102
c) 1,5456 ⋅ 104
10
b) 5,0787 ⋅ 10 058 l
d) 2,9688 ⋅ 10−9
Simplifica: a)
6,147 ⋅ 10−2 ⋅ 4, 6 ⋅ 103 7, 9 ⋅ 108 ⋅ 6, 57 ⋅ 10−5
b)
3, 92 ⋅ 104 ⋅ 5, 86 ⋅ 10−6 7 ⋅ 10−8 ⋅ 9, 2 ⋅ 1013
a) 5,448 ⋅ 10−3 b) 5,567 ⋅ 10−8
63
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 64
Potències i radicals 059 l
060
Calcula, si és possible, el valor numèric dels radicals següents: a)
4
b)
5
c)
3
d)
5
32
e)
4
−27
f)
3
81
g)
4
625
−256
h)
4
1.296
−216
i)
7
−128
−100.000
a) ±3
d) −10
g) ±5
b) 2
e) No és possible
h) ±6
c) −3
f) −6
i) −2
Indica l’índex i el radicand d’aquests radicals. Després, expressa’ls
l com a potència d’exponent fraccionari.
a)
6
b)
7
3 −3
c)
9
d)
5
e)
5
f)
−2
33 4
25
1
a) Índex: 6. Radicand: 3 → 3 6
1
b) Índex: 7. Radicand: −3 → (−3) 7 1
c) Índex: 9. Radicand: 5 → 5 9
1
d) Índex: 5. Radicand: −2 → (−2) 5 1
e) Índex: 2. Radicand: 33 → 33 2 1
f) Índex: 4. Radicand: 25 → 25 4 061 l
Transforma els radicals en potències, i les potències, en radicals: 1
3
a) 3 4
d) 7 5
g)
3
25
e) 10 7
h)
5
32
4
i)
6
75
2
2
b) 5 3 1
c) 2 6
f)
57
5
a)
4
3
d)
5
73
g) 2 3
b)
3
52
e)
7
102
h) 3 5
7
5
c)
6
2
f) 5 4
i) 7 6
2
062 l
D’aquests radicals, quins són equivalents? 4
23 ,
5
32 ,
3
72 ,
8
26 ,
12
12
29 =
74 ,
Són equivalents:
64
4
23 =
8
5
32 =
10
26 = 34
20
215
10
34 ,
12
29 ,
20
215 y
10
32
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 65
SOLUCIONARI
063 l
064
2
Extreu factors dels radicals següents: 5
a)
3
23 a 5
d)
b)
3
a 3b 5c 6
e)
26 a 4b 8
c)
4
24 a 7
f)
22 a 2b 4
a 6b10
a) 2a 3 a 2
d) ab 2 5 a
b) abc 2 3 b 2
e) 23a 2b 4
4 c) 2a a 3
f) 2ab 2
FES-HO AIXÍ COM EXTRAIEM FACTORS D’UN RADICAL DESCOMPONENT EL RADICAND EN FACTORS PRIMERS? Simplifica el radical 3 10.800 . Factoritzem el radicand.
PRIMER.
10.800 = 24 ⋅ 33 ⋅ 52 SEGON.
Expressem el radical com a potència d’exponent fraccionari. 1 3
4
3
2
10.800 = (24 ⋅ 33 ⋅ 52 ) 3 = 2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3
Si alguna de les fraccions dels exponents és impròpia, el posem com la suma d’un nombre enter i una fracció.
TERCER.
4
3
1 1+ 3
2
2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 = 2 QUART.
2
⋅ 31 ⋅ 5 3
L’expressem com a producte de potències i el tornem a transformar en ra-
dical. 1 1+ 3
2
2
1
2
⋅ 3 ⋅ 5 3 = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 3 52 = = 6 ⋅ 3 2 ⋅ 52 = 6 3 50
065 l
Extreu factors d’aquestes arrels: a) b) c)
8 18 50
d) e) f)
98 12 75
g)
3
1.000
h)
3
40
i)
3
320
a) 2 2
d) 7 2
g) 10
b) 3 2
e) 2 3
h) 2 3 5
c) 5 2
f) 5 3
i) 4 3 5
65
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 66
Potències i radicals 066 l
Simplifica aquests radicals: a)
3
b)
3
54
c)
4
128
d)
16
27 128
h)
f)
3
32
i)
12
d) 3 3 5
3 5
h)
4 c) 2 22
3 f) 2 22
i)
f)
1 2
4
a)
3
40
d)
b)
4
1.280
e)
c)
5
3.645
f)
4a − 1 2a
b) 5 + a)
2
c)
6
2
g) 2 3 7 1 5
h) 5 3
1 2
i)
3 5
3
2 3
18 25
g)
3
56
4
3 8
h)
3
52
4
1 32
i)
3
18 125
4ab c
4
c 2b 8a
3a 8
2 a
2 d) −a
4a 2 − a 2
b) No és possible
c)
3
e)
2 f) −2ab
a 3 2a
3 d) − a 7
e)
4
3
ab
32a 3b 5 c2
3 f) − 8a 4b 7
Efectua les operacions següents: a) −4 5 + 5 5
c) 3 5 − 20
b) 17 2 − 9 8
d) 4 2 + 3 18
a)
66
g)
Introdueix factors al radical, si és possible: a) a
l
4
e) 2 2
Introdueix factors al radical: 3 2 a) 2 3 5 d) 5 14 6 b) 4 4 20 e) 2
ll
069
625
e)
b) 3 2
c) 3 5 15
068
27
8
3
l
6
5
a) 2 3 2
067
g)
5
b) − 2
c)
5
d) 13 2
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 67
SOLUCIONARI
070 l
2
Fes aquestes operacions: a) 5 12 + 7 27 − 243 −
75
8 18 + 4 98 3
b) 4 8 − 7 50 + c) 12 3 16 −
1 2
33 128 + 7 3 54 5
a) 10 3 + 21 3 − 9 3 −
5 2
3 =
39 2
3
b) 8 2 − 35 2 + 8 2 + 28 2 = 9 2 c) 24 3 2 −
071 l
14 5
3
l
073 l
211 3 2 5
Opera i simplifica: a)
2 ⋅
3
c)
3
2 ⋅
b)
3 ⋅
8
d)
4
3 ⋅
a)
6
c)
12
24 ⋅ 33
e)
6
d)
4
75
f)
20
b) 2 6
072
2 + 213 2 =
4
3
e)
3
3 :
5
f)
5
4 :
4
3
g)
6
5 :
7
h)
4
2 :
1 3
g)
6
1 52
28 75
h)
12
1 2
5 3
2
Calcula: a) 2 ⋅ ( 2 +
3)
d) (5 3 − 8 2 ) ⋅ (−7)
b) 3 ⋅ ( 5 − 7 )
e) (−3 5 − 9 7 ) ⋅ 4
c) −5 ⋅ ( 3 − 2 )
f) (8 5 − 7 2 ) ⋅ 2 3
a) 2 2 + 2 3
d) −35 3 + 56 2
b) 3 5 − 3 7
e) −12 5 − 36 7
c) −5 3 + 5 2
f) 16 15 − 14 6
Opera i simplifica: a)
(
3 +
2) ⋅( 3 − 2)
b) (5 2 − 3) ⋅ (5 2 + 3)
c) (6 7 +
5 ) ⋅ (6 7 − 5 )
d) (2 5 − 10 ) ⋅ (2 5 + 10 )
a) 3 − 2 = 1
c) 36 ⋅ 7 − 5 = 247
b) 50 − 9 = 41
d) 4 ⋅ 5 − 10 = 10
67
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 68
Potències i radicals 074 l
Calcula i simplifica: 2
2
a) (2 5 − 3 2 ) + (2 5 + 3 2 ) 2
2
b) (3 2 + 1) − (3 2 − 1) 2
c) ( 4 6 − 2 ) − ( 4 6 +
2
2)
a) (4 ⋅ 5 + 9 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ) + (4 ⋅ 5 + 9 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ) = 146 b) (9 ⋅ 2 + 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ) − (9 ⋅ 2 + 1 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ) = 12 2 c) (16 ⋅ 6 + 4 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 2 ) − (16 ⋅ 6 + 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 2 ) = −32 3 075 l
Fes aquestes operacions i simplifica: a) (3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3) b) (2 7 + 3 2 ) ⋅ (5 − 2 2 ) c) (7 5 + 4) ⋅ (5 5 − 3 6 ) d) (7 2 − 3) ⋅ (5 3 + 2) a) 3 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 39 − 29 2 b) 2 ⋅ 5 ⋅ 7 − 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = = 10 7 − 4 14 + 15 2 − 12 c) 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = = 175 − 21 30 + 20 5 − 12 6 d) 7 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅
3 +7⋅2⋅ 2 −3⋅5⋅
3 −3⋅2 = = 35 6 + 14 2 − 15 3 − 6
076 l
Calcula: a)
4
a3 ⋅
3
b)
3
3a 2b ⋅
2ab 3
c)
5
2a 3b 4 :
3
d)
3
ab ⋅ 3
a) a 4
68
a5 ⋅
+
6
a4
4ab 2
a3 b 5 3
+
4 6
37
= a 12 =
12
a 37
b)
6
32 a 4b 2 ⋅ 6 23 a 3b 9 =
c)
15
23 a 9b 12 : 15 210 a −5b 10 =
15
d)
6
ab ⋅ 6 a 3b =
a 2b
6
6
72a 7b 11 = ab 6 72ab 5
a 4b 2 =
3
2−7 a 4b 2
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 69
SOLUCIONARI
077 l
2
Efectua i simplifica: a) (5 2 +
2 ⋅ (3 2 − 3 )
3) ⋅ 2
3 ) ⋅ (2 − 3 )
b) (2 +
3 ) − (2 +
c) (3 +
5 ) ⋅ (3 − 5 ) + (2 − 4 5 ) ⋅ (2 + 4 5 )
d)
(
5 −4 7)⋅( 3 − 5 + 4 7)
3 +
6 ) ⋅ (3 2 − 3 ) = 30 2 − 10 3 + 3 12 − 18 =
a) (10 +
= 27 2 − 4 3 b) (4 + 4 3 + 3) − (4 − 3) = 4 3 − 6 c) (9 − 5) + (4 − 80) = −72 d) 3 − 5 + 16 ⋅ 7 − 3 5 +
3 5 + 4 21 − 4 21 − 4 35 − 4 35 = = 110 − 8 35
078 l
Efectua i expressa el resultat com a potència: 6
a)
(3 5 ⋅ 5 )
b)
5
3 ⋅ a)
5
d)
32 3
( 6 52
3
c)
⋅ 6 53
6
)
3
22 ⋅
2
8 5 81
= 55 7
b)
10
c)
6
32 ⋅ 10 35 = 3 10 11
22 ⋅ 8 2 =
24
28+ 3 = 2 24
4 15 d) 2 34 = 2 ⋅ 3 15
079
Escriu els radicals següents com a potències d’exponent fraccionari:
ll
3
−1
a) a 4 b)
3
d) a 7
a 4 a3 = 1
c)
4
a2 = a4 a
12
a 7 = a 12
3 −1
e) a
2
−1
g) a
4 5
h) a 4
3
3
f) a 2
i) a 4
69
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 70
Potències i radicals 080
Expressa mitjançant un sol radical:
ll
a)
5
3 5
c)
3
d)
b)
081 ll
a)
10
32 ⋅ 5 =
b)
8
3
10
2 3
e)
2 1
2
1
f)
2
45
3 4
5 c) d)
23 22
6
4
= 12 2
1 2
e)
12
f)
4
2 1 5
Raona si aquestes igualtats són verdaderes o falses: a)
n
a ⋅mb =
n ⋅m
b)
n
a ⋅mb =
n +m
c)
n
a+b =
d) a n b m = a)
n
n
n
e)
a2 + b2 = a + b
a ⋅b
f)
a ⋅
n
g)
ab
a +
b
a ⋅
n ·m
am ⋅ m·n b n =
n ·m
b = a a ⋅b
a 8b 2 = a b
h) a b + c =
( a ⋅ b )m
a ⋅mb =
4
a ⋅
ab + ac
a m ⋅ b n ⫽ n ·m ab → Falsa
ab → Falsa b) n a ⋅ m b = n ·m am ⋅ m·n b n = n ·m a m ⋅ b n ⫽ c) Falsa, excepte quan n = 1. I es demostra provant qualsevol valor de a, b i n. n +m
d) a n b m = n a nb m ⫽ n a mb m → Falsa, excepte si n = m. e) Falsa, ja que si elevem al quadrat els termes:
( f) g)
a2 + b 2
2
)
= a 2 + b 2 ⫽ a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2
a ⋅ a ⋅ a ⋅ b = 4
a 4b = a 2 b ⫽ a b → Falsa
a 8b 2 =
a 2b + a 2c ⫽
h) a b + c = 082 l
ab + ac → Falsa, excepte per a a = 1.
Racionalitza els denominadors i simplifica: a)
1
b)
6 a)
b)
70
a 2 ⋅ a ⋅ b = a ab → Verdadera
6 6 ⋅ 6 −5 5 2 5 ⋅ 5
=
=
−5 2 5
c)
4 5
d)
2
3
6 6
c)
−5 5 − 5 = 2⋅5 2
d)
4 5 33 5
32 ⋅
5
33
−3 4 73 4
4
7 ⋅ 73
−6 24 7 =
=
4 5 33 3 −3 4 73 7
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 71
SOLUCIONARI
083
Racionalitza els denominadors i simplifica:
l
a)
b)
1− 2
5 3 −4 3
d)
32
b)
c)
d)
l
c)
2
a)
084
2
7+ 4
5 3
6 6 −6 6
(1 − 2 ) ⋅ 2 2 ⋅ 2
(5 3 − 4) ⋅ 3 3 3
(7 + 4
3
3
5)⋅
4
32 ⋅
3 ⋅
4
33
33
(6 6 − 6) ⋅ 6 6 ⋅ 6
2 −2 2
=
=
5 6 35 − 4 3 3 3
=
7 4 33 + 4 5 2 ⋅ 33 3
=
36 − 6 6 = 6− 6 6
Racionalitza els denominadors i simplifica: a)
b)
1
7
d)
2 +1
11 − 3
−5
−5
e)
6 +
3 −2 c)
4 2
f)
3 2 − 5 a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 −1
(
2 + 1) ⋅ ( 2 − 1)
7 8
5( 10 − 6 ) 2 −1
=
−5 ⋅ ( 3 + 2) −5 3 − 10 = = 5 3 + 10 ( 3 − 2) ⋅ ( 3 + 2) −1 4 2 ⋅ (3 2 +
5)
(3 2 − 5 ) ⋅ (3 2 + 5 ) 7 ⋅ ( 11 + 3)
( 11 − 3) ⋅ ( 11 + 3)
=
−5 ⋅ ( 6 − 7 )
(
6 +
7)⋅(
6 − 7)
=
24 + 4 10 13
7 11 + 21 2 =
−5 6 + 5 7 = 5 6 −5 7 −1
8 ⋅ ( 10 + 6 ) 8 10 + 8 6 2 10 + 2 6 = = ( ) ( ) 20 5 5 ⋅ 10 − 6 ⋅ 10 + 6
71
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 72
Potències i radicals 085
Racionalitza:
l
a)
b) c)
d)
1 3+6 4 3 +
5 6 − 2 18 3 6 +2 2 2+3 3 1
a)
(4
1 3
=
9
b)
7)⋅
3 + 2 3 ⋅
3
3
(5 6 − 2 ) ⋅ 2
c)
3 2 ⋅ 2
d)
086
7
12
=
12 + 21 6
=
10 3 − 2 5 3 −1 = 6 3
(3 6 + 2 2 ) ⋅ (2 − 3 3 ) (2 + 3 3 ) ⋅ (2 − 3 3 )
=
6 6 − 27 2 + 4 2 − 6 6 = −23
=
−23 2 = −23
2
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM OPERACIONS DE FRACCIONS AMB DENOMINADORS EN FORMA DE RADICAL? 10
Resol: PRIMER.
3 6 2
= =
10 ⋅
3
3 ⋅
3
6 ⋅ 2 2 ⋅ 2
=
=
30 3 12 = 2
4⋅3 2 3 = = 2 2
Resolem l’operació. 10 3
72
2
Racionalitzem les fraccions. 10
SEGON.
6
−
3
−
6 2
=
30 − 3 = 3
30 − 3 3 3
3
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 73
SOLUCIONARI
087
Racionalitza i opera:
l
a)
1 2
1
+
3
b)
5
5
−
3
9
c)
2
−
7
6
d)
8
1 10
b)
3 3 5 2 − = 3 2
c)
9 7 6 8 9 7 3 2 18 7 − 21 2 − = − = 7 8 7 2 14
2 12
3 −
5 2 2 3 −5 2 = 2 2
10 2 3 3 10 + 10 3 + = 10 2⋅3 30
d)
Racionalitza i efectua les operacions:
l
a)
3 3 − 2 a)
−
2 3 +
5 5
b)
2
8 − 6
+
9 5− 3
3⋅( 3 + 2) 2⋅( 3 − 2) − = ( 3 − 2)⋅( 3 + 2) ( 3 + 2)⋅( 3 − 2) = 3 3 +3 2 −2 3 +2 2 =
b)
3 +5 2
5 5 ⋅( 8 + 6) 9 ⋅ (5 + 3 ) + = ( 8 − 6 ) ⋅ ( 8 + 6 ) (5 − 3 ) ⋅ (5 + 3 ) =
089
+
2 5 5 2 +2 5 + = 2 5 10
a)
088
2
10 10 + 5 30 45 + 9 3 110 10 + 55 30 + 45 + 9 3 + = 2 22 22
Racionalitza i opera:
ll
a)
b)
32 3 50 − + 5 2
5
− 27 +
c)
18
48 + 5 75
2 75 − 3
3 8 + 18 − 2 72 4 8 + a) b)
c)
2
4 2 15 2 5 2 24 2 − 225 2 + 25 2 −38 2 − + = = 5 2 3⋅2 30 15 6 2 + 3 2 − 12 2 8 2 +
2
=
−3 3 + 4 3 + 25 3 10 3 − 3
−3 2 9 2 =
=
26 3 9 3
−1 3 =
26 9
73
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 74
Potències i radicals 090
FES-HO AIXÍ n COM RACIONALITZEM FRACCIONS AMB DENOMINADOR DEL TIPUS a (b +
2
Racionalitza: PRIMER.
3
2 (2 − 3 )
n Multipliquem per a n −1 .
2 3
SEGON.
2 (2 − 3 )
3
22
2− 3
ll
=
2 ⋅ 3 22 3
=
2 (2 − 3 ) ⋅ 22 3
2 ⋅ 3 22
3
2 (2 − 3 )
=
22
2− 3
Multipliquem pel conjugat del denominador que en resulta.
3
091
c )?
=
22 ⋅ (2 +
3)
3
(2 − 3 ) ⋅ (2 + 3 )
=
22 ⋅ ( 2 + 3 ) = 22 − 3
3
22 ⋅ (2 +
3)
Racionalitza les expressions següents: a)
4 3
3 a)
⋅(
2 +
4⋅ 3
3 ⋅
3
3
4
b)
3)
4
32
32 ⋅ ( 2 + =
3)
5 =
4⋅
3
⋅ (3 + 4⋅
3) 3
32
3⋅( 2 +
3)
=
32 ⋅ ( 2 − 3 )
3⋅( 2 +
3)⋅( 2 − 3)
=
4 6 34 ⋅ 23 − 4 6 37 = −3
6
= b)
−4 34 ⋅ 23 + 12 6 3 3
4 4 53 4
5 ⋅ 5 3 ⋅ (3 + 4
3)
=
=
092 l
74
4 4 53 5 ⋅ (3 +
3)
=
5 ⋅ (3 +
3 ) ⋅ (3 − 3 )
=
12 4 5 3 − 4 4 5 3 ⋅ 32 6 4 5 3 − 2 4 5 3 ⋅ 32 = 30 15
Escriu en notació científica: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
4 4 5 3 ⋅ (3 − 3 )
Distància Terra-Lluna: 384.000 km. Distància Terra-Neptú: 4.308.000.000 km. Diàmetre d’un electró: 0,0000000003 m. Superfície de la Terra: 150.000.000 km2. Longitud d’un virus (grip): 0,0000000022 m. Radi del protó: 0,00000000005 m. Pes d’un estafilococ: 0,0000001 g. Un any llum: 9.460.000.000.000 km. Distància de l’univers observable: 25.000 milions d’anys llum.
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 75
SOLUCIONARI
a) 3,84 ⋅ 105 km b) 4,308 ⋅ 109 km c) 3 ⋅ 10−10 m 093 l
d) 1,5 ⋅ 108 km2 e) 2,2 ⋅ 10−9 m f) 5 ⋅ 10−11 m
2
g) 1 ⋅ 10−7 g h) 9,4 ⋅ 1012 km i) 2,5 ⋅ 1010 anys llum
Les unitats de mesura amb les quals mesurem la quantitat d’informació són: byte = 23 bits quilobyte = 210 bytes megabyte = 210 quilobytes gigabyte = 210 megabytes Expressa, en forma de potència i en notació científica, aquestes quantitats d’informació en bits i bytes: a) Un disc dur de 120 Gb. c) Un disquet d’1,44 Mb. b) Una targeta de memòria de 512 Mb. d) Un CD-ROM de 650 Mb. a) 120 Gb = 120 ⋅ 230 bytes = 1,2884901888 ⋅ 1010 bytes = = 1,03079215104 ⋅ 1011 bits b) 512 Mb = 512 ⋅ 220 bytes = 5,36870912 ⋅ 108 bytes = = 4,294967296 ⋅ 109 bits c) 1,44 Mb = 1,44 ⋅ 220 bytes = 1,509949 ⋅ 106 bytes = = 1,2079595 ⋅ 107 bits d) 650 Mb = 650 ⋅ 220 bytes = 6,815744 bytes ⋅ 108 = = 5,4525952 ⋅ 109 bits
094 ll
La massa de Plutó és 6,6 ⋅ 10−9 vegades la massa del Sol, la qual, alhora, és 3,3 ⋅ 106 la massa de la Terra. Si la massa de la Terra és 6 ⋅ 1024 kg, calcula la massa de Plutó i del Sol. Massa del Sol: 6 ⋅ 1024 ⋅ 3,3 ⋅ 106 = 1,98 ⋅ 1031 kg Massa de Plutó: 1,98 ⋅ 1031 ⋅ 6,6 ⋅ 10−9 = 1,3068 ⋅ 1023 kg
095 l
S’ha observat que la població d’alguns bacteris es duplica cada hora. Si el nombre inicial és de 8 ⋅ 1012 bacteris: a) Quants bacteris hi haurà al cap de 3 hores? b) I al cap de 6 hores? c) Quantes hores hauran de passar perquè hi hagi 1,024 ⋅ 1015 bacteris? a) 8 ⋅ 1012 ⋅ 23 = 6,4 ⋅ 1013 bacteris b) 8 ⋅ 1012 ⋅ 26 = 5,12 ⋅ 1014 bacteris c) 1,024 ⋅ 1015 : 8 ⋅ 1012 = 128, per tant 2n = 128 → n = 7. Hauran de passar 7 hores.
75
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 76
Potències i radicals Quant fa l’aresta d’un cub de 6 m3 de volum? Expressa el resultat l en forma de radicals.
096
Aresta3 = 6 m3 → Aresta =
3
6 m
Quant fa l’àrea de la cara d’un cub de 9 cm3 de volum? Expressa el resultat com a radical i com a potència. l
097
Aresta3 = 9 m3 → Aresta = Àrea de la cara = 098 l
3
9 ⋅
3
3
9 m 4 3
9 =
92 =
3
81 m2 = 3 3 m2
Si el volum d’un cub és 20 cm3, calcula el valor de la suma de les arestes. Aresta3 = 20 cm3 → Aresta =
3
20 cm
3
Suma d’arestes = 12 ⋅ 20 cm 099 l
Amb les dades de l’activitat anterior, calcula la superfície lateral del cub. Aresta3 = 20 cm3 → Aresta = Àrea de la cara =
3
2
3
20 cm
2
20 cm
3
Àrea lateral = 6 202 = 12 3 50 cm2 100 ll
Generalitza els resultats de les activitats anteriors i dóna el valor de l’aresta i la superfície lateral d’un cub en funció del volum. Aresta3 = Volum → Aresta = Àrea de la cara =
3
3
Volum
2
Volum
3
Àrea lateral = 6 Volum2 101 ll
Expressa en notació científica: b) 5−10 a) 2−30
c) 3−20
d) 7−15
a) 2−30 = 0,000000000931322574615478515625 = = 9,31322574615478515625 ⋅ 10−10 −10 b) 5 = 0,0000001024 = 1,024 ⋅ 10−7 c) 3−20 = 2,8679719907924413133222572312408 ⋅ 10−10 d) 7−15 = 2,1063444842276644111559866596517 ⋅ 10−13 102 ll
Reflexiona i contesta: a) En quins casos passa que b) I en quins casos passa que
76
a < a? a > a?
a)
a < a, quan 0 < a < 1.
b)
a > a, quan a > 1.
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 77
SOLUCIONARI
103 ll
Racionalitza: a)
1 1+ a)
b)
104
2
3
1
b)
a 1
1+
3
a
1 3
1− a
=
=
1−3 a 3
1− 3 a +
a2
(1 + 3 a ) ⋅ (1 − 3 a 3
1+
3
a +
+
3
a2
)
a2 3
3
2
Explica com es racionalitzen les fraccions del tipus
1 2n
ll 2n
(2
a +2 b)
n
1 n
a −2 b
=
n
(2 a − 2 b ) ⋅ (2 a + 2 b ) n
n
n
n
.
n
a −2 b
(2
a +2 b)
n
=
a + 3 a2 1− a
3
1+
=
(1 − a ) ⋅ (1 + a + a ) 3
1 − 3 a + 3 a2 1+ a
=
n
2n −2
n
a −2
−2
b
Tornem a racionalitzar fins que eliminem totalment les arrels de denominador. 2n
a −
(2
a +2 b)
n
1 2n
b
=
n
2n −2
a −
(2
n
…=
2n −2
b
(2
n
=
a + 2 b ) ⋅ (2 n
2n − 4
n
a −
−2
n
a +2
2n − 4
−2
b)
b
=…
a + 2 b ) ⋅ ( 2 − 2 a + 2 −2 b ) ⋅ … ⋅ ( a + b ) a −b n
n
n
A LA VIDA QUOTIDIANA 105 ll
Un equip d’enginyers aeronàutics presentarà un projecte per fabricar un nou avió. Per fer-ho volen construir una maqueta. Però s’han trobat amb un problema. T’has fixat en aquesta peça? És un rectangle de 6 cm de llargada, però l’amplada...
Sí, és veritat; deu fer
5 cm.
77
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 78
Potències i radicals Podem traçar un triangle rectangle amb els catets d’1 cm i 2 cm, i fer servir el teorema de Pitàgores.
Per no cometre cap error en la construcció, es plantegen com traçar un segment que faci exactament
5 cm.
D’aquesta manera, l’equip ha solucionat el problema per poder fer la maqueta. Una altra peça serà un rectangle de 7+ 7 cm de llargada 2 i 4 2 cm d’amplada. Com aconseguiran dibuixar-lo amb precisió? Un cop conegut el segment de 5 cm, tracem el segment de 6 cm a partir d’un triangle rectangle, de catets 1 cm i 5 cm, i fem el mateix amb el segment de 7 cm, amb un triangle de catets 1 cm i 6 cm. Al segment de 7 cm, li afegim 7 cm perllongant la recta, i en resulta un segment de 7 +
7 cm.
Tracem la mediatriu del segment i aconseguim un segment de
7+ 7 cm. 2
Per a l’altre costat del rectangle, tracem primer un segment de 2 cm, a partir d’un triangle rectangle de catets 1 cm, projectem quatre vegades el segment fent servir un compàs i obtenim un segment de 4 2 cm. 106 ll
Per conscienciar els alumnes d’una escola sobre el consum excessiu que es fa de l’aigua, els professors han organitzat una visita a l’embassament de la comarca.
Perquè us feu una idea precisa de la capacitat de l’embassament, imagineu que és la mateixa que la d’un cub de 210 metres d’aresta... El doble de la llargada d’un camp de futbol!
EMBASSAMENT DEL PICAFLOR
78
830966 _ 0048-0079 copia.qxd
19/1/09
10:00
Página 79
SOLUCIONARI
2
Els alumnes miren sorpresos el tauler amb les dades de l’embassament. No n’estic segur.
Ens diu la veritat?
Informació sobre l’embassament CAPACITAT 9,7 hm3
a) Justifica si el guia ha fet bé els càlculs. b) Al final de la visita, el professor decideix entregar-los aquest fullet.
La despesa d’aigua a l’any d’una família
és d’uns 1.452.000 litres.
Quants metres farà el costat d’un cub amb aquesta capacitat? a) Si el cub fa 210 m d’aresta, la seva capacitat és de 2103 m3 = 9.261.000 m3 = 9,261 hm3. Per tant, el guia no ha fet bé el càlcul de l’aresta. b) 1.452.000 litres = 1.452.000 dm3 = 1.452 m3 3 L’aresta del cub fa 1.452 = 11, 324 m.
79
