TEMA 5: ONDAS MECÁNICAS. ONDAS SONORAS
ÍNDICE:
Física 2 bachillerato. IES Blas Cabrera Felipe. Curso 16-17
1 – GENERALIDADES SOBRE LAS ONDAS 2 – ECUACIÓN DE ONDAS 3 – PROPIEDADES DE LAS ONDAS 4 – ONDAS SONORAS
1 – GENERALIDADES SOBRE LAS ONDAS La perturbación producida en la superficie del agua al dejar caer un objeto, las olas que llegan a la playa, la sacudida vertical de una cuerda horizontal tensa, el sonido, la luz, la radio, la TV, la telefonía, los movimientos sísmicos, etc. son ejemplos de fenómenos que aparentemente tienen poca relación unos con otros. Pero un estudio más atento pone de manifiesto que no es así: en todos los casos existe una perturbación (modificación del valor de una magnitud en un punto del espacio) que se transmite con un cierto retraso a los restantes puntos. Y la realidad es que todos admiten un tratamiento teórico formalmente análogo, que desemboca en una ecuación general e independiente de la variable física de que se trate, conocida como ecuación de ondas. Las soluciones de esta ecuación, las ondas, nos describen como se propaga en el espacio y en el tiempo la perturbación, o lo que es lo mismo, nos permitan obtener el valor de la variable en un instante dado en cualquier punto del espacio, a la vez que nos informan sobre otros pormenores de la propagación. El estudio del movimiento ondulatorio constituye pues una parte de la física del máximo interés, y la ecuación de ondas una ecuación fundamental de la física, ya que describe multitud de fenómenos. En lo que sigue, se abordará su estudio, comenzando con la descripción cualitativa de los fenómenos ondulatorios, continuando con la caracterización matemática de una onda, y se acabará con la descripción a un nivel, también muy cualitativo, de los principales fenómenos asociados al movimiento ondulatorio. Conceptos básicos sobre las ondas Las características más importantes del movimiento ondulatorio pueden extraerse del análisis de un caso tan familiar como es el de las ondas producidas en el agua. Para ello imagínese una piscina con el agua completamente en calma. Imagínese un corcho que flota completamente inmóvil en un punto de la piscina. Si a continuación se comienza a golpear con regularidad la superficie del agua en un punto alejado del corcho, se estará de acuerdo en que: - El oleaje se propaga progresivamente a toda la piscina. - El corcho, que permanecía en reposo, al llegar la ola se pone en movimiento. - El corcho adquiere un movimiento regular de sube y baja, pero permanece prácticamente en el mismo punto. En física, las observaciones anteriores se interpretan como: - La perturbación producida en un punto se propaga en forma de onda. - La onda es capaz de transportar energía y cantidad de movimiento de un lugar a otro. - Las partículas que constituyen el medio no se propagan con la perturbación. Se limitan a vibrar en torno a su posición de equilibrio con un movimiento periódico. Esta experiencia, aunque muy simple, encierra toda la esencia de los fenómenos ondulatorios, y podemos decir que: Una onda es una perturbación que se propaga en el tiempo a través del espacio, asociada a la cual existe un transporte de energía y de cantidad de movimiento, que no va acompañada de transporte de materia, y que se describe mediante la ecuación de ondas. Es necesaria la precisión del último párrafo, pues no siempre que haya transporte de energía sin transporte de materia se trata de una onda. Un ejemplo es la transmisión de la energía térmica (“calor”) por conducción. Se denomina frente de onda el lugar geométrico de todos los puntos del medio con el mismo estado de perturbación. Tipos de ondas Las ondas admiten distintas clasificaciones dependiendo de la propiedad que se tome en consideración. 1.- Dependiendo de que la perturbación necesite un medio material para propagarse o no: - Ondas elásticas o mecánicas. Son aquellas que necesitan un medio material para propagarse. La perturbación producida en un punto del espacio se transmite a los restantes debido a las propiedades elásticas del medio. Se considera que son las propiedades elásticas del medio la responsables de que la perturbación se propague de un punto al siguiente. Así, por ejemplo, el sonido se propaga en el aire, en el agua, etc., pero no en el vacío. Respecto al medio en el que se propaga la perturbación, se considerará completamente elástico; es decir, un medio que devuelva toda la energía que recibe. Así, si una partícula de este medio recibe una cierta cantidad de energía, la devuelve íntegramente a las partículas siguientes. - Ondas no mecánicas o electromagnéticas. Son aquellas que no necesitan un medio material para propagarse. La luz es un caso particular de este tipo de ondas, y llega a nosotros después de atravesar el espacio que nos separa del Sol, que está prácticamente vacío de materia.
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Estas ondas electromagnéticas se interpretan de una manera distinta a las mecánicas, pero sus formalismos son iguales. Por tanto, los resultados obtenidos en el estudio de las ondas materiales valdrán tanto para éstas como para las EEMM. 2.- Dependiendo de la dirección del movimiento de las partículas del medio respecto a la dirección de propagación de la onda: - Ondas longitudinales. Son aquellas en que las partículas del medio se mueven paralelamente a la dirección de propagación. Ejemplos de este tipo son las ondas de sonido o las ondas producidas al comprimir un muelle. Y en general, aquellas en que la propiedad física que se propaga varía en la misma dirección que la de propagación de la onda. - Ondas transversales. Son aquellas en que las partículas del medio (en general, la dirección de variación de la perturbación) se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Ejemplos son las ondas en el agua o las ondas producidas al provocar una perturbación transversal a una cuerda tensa. Y en general, aquellas en que la propiedad física que se propaga varía en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. 3.- Dependiendo de la forma del frente de ondas: - Ondas planas. Los frentes de ondas son superficies planas. - Ondas esféricas. Los frentes de ondas son superficies esféricas 4.- Dependiendo de cómo es el suministro de energía en el foco de la perturbación: - Pulsos. El suministro de energía es instantáneo. - Tren de ondas. El suministro de energía es continuo.
2 - ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO. MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS Anteriormente se ha definido una onda como una perturbación que se desplaza. Tomando como base esta noción de onda, se aborda a continuación la descripción matemática de una onda viajera, monodimensional, plana y transversal. Para ello, supóngase una variable física Ψ (Psi), que puede ser por ejemplo la intensidad de un campo eléctrico, el valor de una presión, la posición de una partícula, etc. En condiciones estáticas, el valor de la propiedad vendrá dado por una función Ψ = Ψ(x). Si se produce una perturbación de esa propiedad, aparece entonces una variación temporal de la misma, y la propiedad podrá ser descrita por una función Ψ = Ψ(x, t). Si la perturbación se propaga con velocidad constante v según el sentido positivo del eje de abscisas, en un instante posterior t+Δt, la perturbación habrá alcanzado la posición x+Δx. Si además, la perturbación se propaga reproduciéndose exactamente (el medio es elástico), se debe verificar que: Ψ (x + Δ x , t + Δ t) Ψ (x , t) , con Δ x v Δ t lo cual sólo es posible si la relación entre las variables es de la forma: Ψ (x , t) = Ψ (x vt)
(ó también, Ψ (x , t) = Ψ [ (x v t)] Ψ (v t x) )
pues, en efecto: Ψ (x + Δ x , t + Δ t) = Ψ (x + Δ x v (t + Δ t)) = Ψ (x + Δ x vt v Δ t) = Ψ (x + Δ x vt Δ x) = Ψ (x vt) = Ψ (x , t) Análogamente, como puede comprobarse, si la perturbación se propaga en el sentido de las X negativas, Ψ será de la forma: Ψ = Ψ (x + vt) Luego, la variable física Ψ se reproduce exactamente en el punto (x + Δx) para el instante (t + Δt). Representa lo que se conoce como una onda monodimensional (sólo interviene una dimensión espacial), plana (el lugar geométrico de todos los puntos con Ψ constante es un plano), y progresiva o viajera (se propaga con velocidad v). La función Ψ no se conoce exactamente. Se sabe que depende de (vt ± x) pero no como es esa dependencia. Es decir, que cualquier función de la forma Ψ = f (vt ± x) con f totalmente arbitraria es una solución de la ecuación de ondas. No obstante, se elige como f una función armónica, es decir, una función sinusoidal, seno o coseno, lo que equivale a suponer que ψ varía en cada punto del espacio sinusoidalmente con el tiempo, o bien, que en cada punto del espacio se tiene una vibración armónica. El escoger este tipo de solución se justifica tanto práctica como teóricamente. En la práctica muchas e interesantes perturbaciones de variables físicas son periódicas y sinusoidales por la forma de producirse, como ocurre con las tensiones eléctricas producidas por generadores mecánicos al girar una espira en un campo magnético, las oscilaciones elásticas o pendulares cuando suponemos la fuerza proporcional a la deformación, etc. Pero no es menor la importancia que este tipo de soluciones tiene desde el punto de vista matemático. En primer lugar, las funciones sinusoidales son susceptibles de una notación exponencial que se maneja con mucha más facilidad que las funciones trigonométricas, además toda función periódica de frecuencia f, cualquiera que sea su gráfica, puede descomponerse por series de Fourier en suma de funciones armónicas de frecuencias múltiplos de f, y cualquier perturbación no periódica, como un único pulso, puede descomponerse por medio de la integral de Fourier en suma de infinitas funciones armónicas con variación continua de la frecuencia. 2
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Luego en general: Ψ (x, t) = A sen k (v t x) donde A se conoce como amplitud o elongación máxima de la onda, y corresponde al máximo valor que puede alcanzar la magnitud física, k es el número de onda, k (x – v t) es lo que se conoce como fase de la onda, y v es la velocidad de la fase o velocidad de propagación de la perturbación. La doble periodicidad, espacial y temporal, de las ondas armónicas La función seno es una función periódica, y al tener en este caso una dependencia de las variables x y t, tendrá una doble periodicidad, espacial y temporal. Si representamos la función Ψ(x,t) para un instante dado, t = 0 por ejemplo, se obtiene una función periódica en x. La periodicidad espacial o longitud de onda λ es el intervalo espacial entre estados de perturbación idénticos sucedidos en el mismo instante. Por lo tanto será: 2π ψ (x, t) = ψ (x + λ , t) λ = k Dicho de otra manera, para un instante determinado, el valor de la perturbación se repite en las posiciones: x , x + λ , x + 2 λ , x + 3 λ , ... Se dice entonces que esos puntos, separados por una distancia igual a un número entero de longitudes de onda, están en fase. Y se dice que están en oposición de fase todos los puntos separados por una distancia igual a un número impar de semilongitudes de onda. x , x + λ /2 , x + 3 λ /2 , x + 5 λ /2 , ... Por otra parte, si representamos la función Ψ(x, t) para un punto dado, kx = cte, se obtiene una gráfica donde se observa una función periódica en t. La periodicidad temporal o periodo T propiamente, es el intervalo temporal entre dos estados idénticos de perturbación sucedidos en el mismo punto. Por lo tanto será: 2π ψ (x, t) = ψ (x , t + T) T = kv Dicho de otra manera, para un punto determinado, el valor de la perturbación se repite en los instantes: t , t + T , t + 2T , t + 3T , ... Se dice entonces que esos instantes, separados en el tiempo por un número entero de períodos, están en fase. Y se dice que están en oposición de fase todos los instantes separados en el tiempo por un número impar de semiperíodos. t , t + T/2 , t + 3T/2 , t + 5T/2 , ... Es fácil percatarse de que ambos periodos, espacial y temporal, están relacionados de la forma λ = v T. Otros parámetros muy utilizados para a la hora de describir una onda son la frecuencia, f, y la frecuencia angular o pulsación, ω, definidos de la siguiente manera: 1 2π f= ω= =2πf T T Teniendo en cuenta los diferentes parámetros definidos, la función de onda puede escribirse de las siguientes maneras: t x x ψ (x, t) A sen k (v t x) = A sen 2π = A sen 2 π f t = A sen (ω t kx) T λ v Si en el origen (x = 0, t = 0) se verifica que Ψ0 ≠ 0, entonces en la ecuación de la onda habrá que incluir lo que llamaremos la fase inicial (o corrección de fase, o también diferencia de fase φ0), y la ecuación tomará la forma más general: ψ (x, t) = A sen (ω t kx + 0 )
3 - PROPIEDADES DE LAS ONDAS Intensidad Ya se ha comentado que en el movimiento ondulatorio no hay transporte de materia sino transporte de movimiento y energía. Tanto el movimiento como la energía tienen su origen en un determinado sistema que se conoce como foco emisor. Si el suministro de cantidad de movimiento y energía se produce durante un corto intervalo de tiempo se origina un pulso. Si el suministro es continuo se produce un tren de ondas. 3
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Para caracterizar el transporte de energía por parte de una onda se introduce el concepto de intensidad de una onda, I, como la energía que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación . Por lo tanto, si el paso de energía se produjese de forma uniforme tanto espacial como temporalmente, la intensidad de una onda que al atravesar una superficie SN ha transportado una energía ΔE en un tiempo Δt será: I=
ΔE P Δt S N S N
donde la energía transmitida por unidad de tiempo (ΔE/Δt) es la potencia emisora P, que en el S.I. se expresa en vatios. La unidad de intensidad en el S.I. será por tanto el W/m 2. Mientras que la potencia es una característica del foco emisor y puede considerarse constante, la intensidad es un atributo de la onda y puede variar de un punto a otro del medio. Con el objeto de obtener una expresión de la intensidad de una onda en función de los parámetros propios de la onda, considérese una onda plana, y una sección de control circular de superficie S N, orientada perpendicularmente a la dirección de propagación. Cuando la onda alcanza esta sección, en el tiempo Δt, la perturbación, que avanza con velocidad v, alcanzará a todas las partículas del medio comprendidas dentro del cilindro de área S N y altura Δx. O sea, que Δt segundos después de alcanzar la sección de control, estarán vibrando todas las partículas del cilindro. Por lo tanto, la energía que habrá atravesado la sección S N en el tiempo Δt es la suma de las energías de todas las partículas contenidas en el cilindro de base S N y altura Δx = v Δt. Suponiendo el medio perfectamente elástico, esta energía vendrá dada por:
1 1 m ω2 A2 M ω2 A 2 2 2 Y recordando que M = V ρ = SN Δx ρ (ρ es la densidad del medio), quedaría: ΔE E C máx
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cilindro
ΔE 2π 2 S N Δx ρ f 2 A 2 2 π2 ρ v f 2 A 2 S N Δt S N Δt
Es decir, la intensidad de un movimiento ondulatorio depende de las características del medio definidas por su densidad e, indirectamente, por la velocidad v de propagación de la onda. Y, sobre todo, varía con el cuadrado de la frecuencia y con el cuadrado de la amplitud. Atenuación En el caso de un foco emisor puntual se generan ondas esféricas. Si el medio es además perfectamente elástico (no hay pérdidas de energía), la energía que, en un tiempo Δt, atraviesa el frente de ondas situado en R 1, una esfera de radio R 1, atravesará el frente de ondas situado en R2, una esfera de radio R2. Por lo tanto:
ΔE 1 = ΔE 2
ΔE1 ΔE 2 = Δt Δt
I1 S N1 = I2 S N2 I1 4 π R12 = I2 4 π R 22
I1 R 2 I2 R1
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es decir, que la intensidad de una onda esférica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor. O dicho de otra manera, la intensidad de las ondas esféricas decrece con el cuadrado de la distancia al foco. Además, teniendo en cuenta que I µ A2, la expresión anterior también conduce a: A1 R = 2 A2 R1 es decir, que la amplitud de una onda esférica en un punto es inversamente proporcional a la distancia desde ese punto al centro emisor. La explicación de estos resultados es clara: la onda a medida que se aleja del centro emisor se va amortiguando, las partículas vibran con menos energía, ya que la misma energía se reparte, en cada frente de onda, entre mayor número de partículas. A este fenómeno, es decir, a la disminución que experimenta la amplitud de una onda al alejarse del foco emisor es lo que se llama atenuación. Para el caso de ondas planas no existe atenuación, pues dado que una onda plana puede considerarse el caso extremo de una onda esférica de radio infinito, por lo que: R1 R 2 I1 = I2 A 1 A 2 Absorción Hasta ahora se han considerado condiciones ideales, un medio perfectamente elástico que devuelve toda la energía que recibe. Pero en la propagación real de un movimiento ondulatorio en un medio material siempre hay una pérdida de energía debido a que el medio nunca es perfectamente elástico y hay pérdidas de energía. Esta pérdida de energía conlleva una disminución en la intensidad, y el fenómeno se conoce como absorción.
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Para encontrar una forma analítica para esta pérdida de energía, puede suponerse una onda plana que se propaga según el eje de abscisas y que en un cierto punto x tiene una cierta intensidad I. Cuando esta onda llegue al punto x + dx la I habrá disminuido en dI; este dI ha de ser proporcional a I, a dx y depender del medio. Es decir: dI β I dx donde el signo menos nos indica disminución de intensidad, β es el coeficiente de absorción, que depende exclusivamente del medio. Integrando la ecuación anterior queda: I I0 e β x Principio de Huygens "Todo punto de una superficie o frente de onda puede considerarse como fuente (foco emisor) de nuevas ondas (ondas secundarias) que se propagan hacia delante con la misma velocidad que la principal. La envolvente de estas ondas constituye en cada instante un nuevo frente de onda" En las figuras se observa como cada punto del frente se convierten en foco emisor de ondas, de acuerdo con el principio de Huygens. Después de un tiempo t, cada una de las ondas emitidas por los puntos será una circunferencia de radio vt (siendo v la velocidad de propagación de la onda) centrada en cada uno de los puntos considerados. La curva tangente, llamada envolvente, a todas las circunferencias anteriores constituye el nuevo frente de onda.
Los frentes de onda son perpendiculares a unas rectas denominadas rayos de onda, cuya dirección es la de propagación de la onda, y que en medios isótropos coincide con la dirección en que se propaga la energía. Reflexión y refracción Cuando una onda se propaga por un medio material homogéneo e incide sobre la superficie de separación con otro medio da lugar a dos fenómenos característicos conocidos como reflexión y refracción. La reflexión consiste en el retorno del movimiento ondulatorio por el mismo medio por donde se propaga al chocar con la superficie de un medio distinto. Para ello es necesario que el nuevo medio tenga un tamaño mucho mayor que la longitud de onda que se propaga. Leyes de la reflexión: - La dirección de propagación de la onda incidente, de la onda reflejada y la recta normal a la superficie en el punto de contacto están en el mismo plano. - El ángulo que forma la dirección de propagación de la onda incidente con la recta normal, ángulo de incidencia ^i , es igual al ángulo que forma la dirección de propagación de la onda reflejada con la recta normal, ángulo de reflexión ^r . O sea: ^i = r^ Por refracción se entiende el conjunto de cambios que experimenta una onda al pasar de un medio de propagación a otro distinto. Normalmente la onda cambia su velocidad de propagación, y ello lleva aparejado un cambio en su dirección de propagación, o también puede cambiar su longitud de onda, etc, ... Lo que permanece constante es la frecuencia de la onda, que es una característica del emisor. Leyes de la refracción: - Las direcciones de propagación de la onda incidente, de la onda refractada y la recta normal a la superficie en el punto de contacto están en el mismo plano. - La relación que existe entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción, ángulo que forma la onda refractada con la normal, es la misma que la que existe entre las velocidades de propagación de la onda en los dos medios. O sea: sen ˆi v 1 n12 sen rˆ v 2
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ley conocida como ley de Snell o ley de la refracción, donde v1 y v2 son las velocidades de propagación de la onda en cada uno de los medios en que se propaga ^i y ^r son los ángulos de incidencia y refracción respectivamente, y donde n se conoce como índice de refracción del segundo medio con relación al primero y es el cociente entre las velocidades en el primer medio y el segundo. Normalmente se utiliza el índice de refracción para caracterizar el comportamiento de un determinado medio respecto a la propagación de fenómenos ondulatorios en él. Con ayuda del principio de Huygens y sencillas consideraciones geométricas se puede explicar con facilidad los fenómenos de la reflexión y refracción de ondas.
En la anterior ilustración, figura primera, se observa que el punto A del frente de onda AB alcanza la superficie reflectora SS´. En el tiempo en que el punto B ha avanzado la distancia BC, segunda figura, el frente de la onda reflejada es CA´. La figura también muestra cómo se ha obtenido este frente de onda a partir de las ondas secundarias. Los triángulos ABC y AA´C son rectángulos e iguales: tienen igual hipotenusa e iguales catetos, puesto que BC = AA´, ya que en el tiempo que la onda incidente se propaga de B a C, la reflejada avanza la misma distancia pues el medio de propagación es el mismo. Del mismo modo se deduce la ley de la refracción. Si la onda incidente pasa a propagarse en el medio 2, el frente de onda originado en él es la envolvente de las ondas secundarias producidas en el mismo. En la figura que sigue se observa la evolución de los frentes de onda incidente y refractado en un ejemplo en el que el movimiento ondulatorio se propaga con menor velocidad en el medio de refracción: en el tiempo t en que la onda avanza la distancia BC en el medio 1, en el 2 se propaga la distancia AA´.
En la figura siguiente se muestra con más detalle la situación cuando B alcanza la superficie de separación. Nótese que el ángulo î del triángulo ABC y el ángulo r del AA´C son iguales a los de incidencia y refracción, respectivamente, como puede deducirse por simples consideraciones geométricas y teniendo en cuenta que los rayos son perpendiculares a los frentes de onda. Atendiendo a dicha figura: Δ ABC : sen ˆi
BC AC
v1 t AC
Δ AA´C : sen ˆr
AA´ AC
v2t AC
siendo v1 y v2 las velocidades de propagación. Dividiendo estas ecuaciones se obtiene la expresión matemática de la ley de la refracción: sen ˆi v 1 sen ˆr v 2 6
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Principio de superposición Se trata de un principio experimental. Puede enunciarse de la siguiente manera: "Si en un medio se propagan dos o más ondas, estas superpondrán sus efectos en los puntos donde coincidan y continuarán después independientemente la una de la otra como si no se hubiesen superpuesto". Como ejemplo de su gran importancia podemos decir que, si la superposición de dos ondas diese lugar a una deformación permanente, nunca veríamos ningún objeto, ya que los rayos de luz que salen de un objeto se cortan con infinidad de otros rayos y, si después de superponerse con estos dieran lugar a ondas diferentes a las iniciales, los rayos que veríamos no se parecerían en nada a los del objeto. Este principio también justifica que dos personas puedan entenderse cuando hablan en un sitio con ruidos y que se puedan distinguir las diferentes voces de una coral o los instrumentos de una orquesta. Principio de superposición
Interferencia Es el conjunto de fenómenos físicos que resultan al superponerse dos o más trenes de ondas en una misma región del espacio y bajo ciertas condiciones. Se caracterizan porque en la región del espacio en que se superponen las ondas se producen variaciones de amplitud y por tanto una distribución de intensidades, zonas de intensidad máxima, intensidad mínima, e incluso nula, formando lo que se conocen como figuras o patrones de interferencia. Las condiciones que deben cumplirse para que se produzca interferencia son: 1- Que los movimientos oscilatorios sean paralelos. 2- Que las ondas tengan igual frecuencia, o al menos, muy parecida. 3- Que las amplitudes sean parecidas, para que las figuras de interferencia que aparezcan sean muy definidas. 4- Y quizás la más importante, que la diferencia de fase entre las ondas sea constante en el tiempo para cualquier punto. En general, estudiar la interferencia de dos o más ondas cualesquiera es siempre difícil. Uno de los casos más sencillos es el de la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero de distinta fase, que se mueven en el mismo medio y en la misma dirección. Las ecuaciones de cada una de las ondas se puede expresar como: ψ1 (x, t) = A sen (k x ω t) ψ 2 (x, t) = A sen (k x ω t + δ) De acuerdo con el principio de superposición la onda resultante es la suma de las anteriores: ψ ψ1 ψ 2 A sen (k x ω t) A sen (k x ω t + δ) Teniendo en cuenta que la relación trigonométrica: sen A sen B 2 sen
AB A B cos 2 2
la expresión para la onda resultante puede escribirse como: δ δ sen (k x ω t + ) 2 2 que resulta ser otra onda armónica de igual frecuencia y longitud de onda que las originales, pero que difiere de ellas en amplitud y fase. Las ondas cuya superposición hemos considerado (idéntica ω y diferencia de fase fija) se denominan coherentes. ψ 2 A cos
Pueden considerarse tres casos: 1- Si cos δ/2 = ±1 (δ = ±2nπ, con n = 0, 1, 2, 3, …); las dos ondas están en fase y la amplitud resultante es el doble de las originales. La interferencia es totalmente constructiva. 2- Si cos δ/2 = 0 (δ = ±(2n + 1)π, con n = 0, 1, 2, 3, …) las dos ondas se contrarrestan y la interferencia es totalmente destructiva. 3- Si no se verifica ninguna de estas dos condiciones de diferencia de fase, la interferencia es parcial.
Interferencia constructiva
Interferencia destructiva
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En la práctica, se pueden producir interferencias con una cubeta de ondas en la que se dispone de dos vibradores idénticos, por lo que producirán dos ondas de la misma frecuencia, y por lo tanto, del mismo periodo y de la misma longitud de onda. Se supone además que la distancia entre las fuentes es lo suficientemente pequeña como para considerar que ambas ondas tienen la misma amplitud en un punto alejado. Entonces, la diferencia de fase con que llegan las dos ondas a un punto común P se deberá a la diferencia que hay entre las distancias que recorre cada una hasta el punto de encuentro. En efecto: ψ1 (d, t) = A sen (k d ω t) 2π Δ (k d' ω t) (k d ω t) k Δ d Δd λ ψ 2 (d' , t) = A sen (k d' ω t) ▪ La interferencia será constructiva cuando la diferencia entre las distancias recorridas por las ondas sea un múltiplo entero de la longitud de onda pues: 2π Δd Δ d n λ; n 0, 1, 2, 3,... λ En los puntos en los que se satisfaga esta condición, se producirán máximos. 2nπ
▪ La interferencia será destructiva cuando la diferencia entre las distancias recorridas por las ondas sea de media longitud de onda o un múltiplo impar de ella pues: (2n 1)π
2π Δd λ
λ Δ d (2n 1) ; 2
n 0, 1, 2, 3,...
En los puntos en los que se satisfaga esa condición, las ondas se anularán mutuamente, dando lugar a mínimos. Difracción. Es el cambio en la dirección de propagación que experimenta una onda cuando se encuentra con obstáculos o aberturas de dimensiones comparables a su longitud de onda. Las ondas parecen capaces de contornear y superar los obstáculos que encuentra a su paso, propagándose detrás de los mismos como se ilustra en los siguientes dibujos:
La difracción es la razón por la que somos capaces de oír fuera de una habitación, incluso aunque no estemos situados justo enfrente del foco emisor de sonido. En cambio, detrás de una esquina no pueda verse lo que sucede pues al tener la luz longitudes de onda muy pequeñas, del orden de 10−7 m, no se produce difracción. Las ondas de radio tienen longitudes de onda muy grandes: las de la banda estándar (onda media, OM o AM) abarcan de 180 a 6 000 metros, lo que les permite superar con facilidad los objetos que podrían perturbar su propagación (edificios, montañas, etc.). En cambio, la banda de FM (frecuencia modulada) comprende valores de λ entre 2,7 y 3,7 metros; este hecho es una de las razones por las que, a menudo, la recepción de FM es deficiente en lugares la de AM se capta de forma clara. Asimismo, la falta de difracción de las ondas de televisión (λ entre 0,10 y 10 m) por los obstáculos urbanos o geográficos explica que sea preciso instalar equipos de repetición de estas ondas (y en lugares elevados). La difracción es característica de los movimientos ondulatorios, por lo que se ha utilizado para determinar si un fenómeno es o no es de naturaleza ondulatoria.
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TEMA 5: ONDAS MECÁNICAS. ONDAS SONORAS
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La difracción puede explicarse a partir del principio de Huygens: los puntos del frente de ondas incidente, al llegar al orificio, se transforman en emisores de ondas secundarias; la relación entre la longitud de onda y el obstáculo determina la forma del nuevo frente de onda (la envolvente de las ondas secundarias). Si el orificio es de diámetro mucho mayor que la longitud de onda del movimiento, la difracción es despreciable. En una pantalla paralela al plano de la rendija y a gran distancia de ella se obtendrá un diagrama de difracción, resultado de la interferencia de las ondas producidas por las infinitas fuentes puntuales del frente de ondas difractado. Según esto, ¿cuál es la diferencia entre un diagrama de difracción y un diagrama de interferencia? En realidad se puede afirmar que no hay ninguna diferencia, aunque por razones históricas se sigue considerando como de interferencia el diagrama que resulta de la superposición de contribuciones que provienen de un número discreto (dos, tres, cuatro, …) de fuentes coherentes, reservándose el nombre de difracción para cuando dichas contribuciones provienen de una distribución continua de fuentes, también coherentes. Así, se habla del diagrama de interferencias producidas por dos fuentes puntuales y del diagrama de difracción producido por una rendija. 4. ONDAS SONORAS. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA El sonido es una onda mecánica. Por lo tanto, puede propagarse en medios materiales, ya sean sólidos, líquidos o gaseosos, pero no en el vacío. Las ondas sonoras consisten en una sucesión de compresiones y dilataciones del medio material, y por consiguiente en una variación de la densidad del medio. A su vez, las variaciones de densidad llevan aparejadas variaciones en la presión, que a su vez, originan un movimiento. Luego, puede decirse que una onda sonora es el resultado de la propagación en un medio material de tres perturbaciones relacionadas entre sí, correspondientes a presión, densidad y desplazamiento. Las ondas de presión y de densidad corresponden a magnitudes escalares y no tiene sentido adjetivarlas en función de la dirección de propagación. Sin embargo, si se piensa en una onda sonora creada en el aire interior de un tubo, el desplazamiento que experimentan las partículas de una sección al ser perturbadas por el movimiento ondulatorio tiene la misma dirección que la propagación de éste. Se trata pues de una onda mecánica longitudinal. De ahí que se hable de "onda longitudinal de desplazamientos". Este desplazamiento de los puntos materiales del medio, originado en el lugar donde se encuentre localizada la fuente sonora, llega al oído de los seres vivos, penetra en el canal auditivo y origina la vibración de la membrana auditiva o tímpano, produciendo en el área cerebral correspondiente la percepción del sonido. La velocidad de propagación viene dada por la expresión: v = √ K/ ρ0 , donde K es lo que se conoce como el módulo de elasticidad en volumen y ρ0 la densidad del gas en equilibrio. La velocidad de propagación es mayor cuanto mayor es su módulo de elasticidad y menor es la densidad del medio. En general, se propaga más rápidamente en los sólidos y líquidos que en los gases. En el aire, la velocidad de propagación del sonido es de unos 340 m/s. El eco Las ondas sonoras, como ondas que son, también presentan las propiedades generales de las ondas, y por ello, pueden reflejarse, refractarse, interferir con otras ondas y difractarse. La reflexión del sonido da lugar a dos fenómenos interesantes: el eco y la reverberación. Cuando las ondas sonoras se reflejan en un obstáculo, en una montaña, en las nubes, en un muro, en un edificio, etc., se produce el fenómeno del eco. Al hablar frente al obstáculo se oye en primer lugar el sonido directo y luego el reflejado. El oído no percibe dos sonidos separados si no transcurre entre ellos una décima de segundo, lo que corresponde a una distancia de 34 m, distancia recorrida por el sonido directo y el reflejado. Por lo tanto, el obstáculo ha de estar como mínimo a 17 m para percibir el eco. Cuando el tiempo que tarda en llegar el sonido reflejado es menor que una décima de segundo, no percibimos eco, pero si un peculiar efecto sonoro como si el sonido reflejado se superpusiera y alargase el sonido inicial. Es esa extraña sensación la que se produce al hablar en una habitación sin amueblar, donde las reflexiones del sonido con las paredes no llegan a producir eco sino lo que se conoce como reverberación.
Es el fenómeno de la reverberación el que determina las cualidades acústicas de los locales, y en muchas ocasiones es necesaria la existencia de cierta reverberación cuidadosamente calibrada para garantizar la adecuada acústica, como sucede en los auditorios.
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TEMA 5: ONDAS MECÁNICAS. ONDAS SONORAS
Física 2 bachillerato. IES Blas Cabrera Felipe. Curso 16-17
Cualidades del sonido Las cualidades del sonido son la intensidad, el tono y el timbre. La intensidad. Definida de manera general para una onda como la energía del frente de ondas que atraviesa la unidad de área en la unidad de tiempo. Permite distinguir entre sonidos fuertes y débiles. Está determinada por la amplitud de la onda. La sensación fisiológica de audición del oído humano se encuentra íntimamente relacionada con la intensidad de la onda sonora incidente. La sensibilidad del oído es tal que para cada frecuencia existe una intensidad mínima, el umbral de audición, por debajo del cual no se percibe el sonido. También existe una intensidad máxima, umbral de sensación dolorosa, por encima del cual se produce una sensación de dolor. El nivel de intensidad sonora se suele expresar en decibelios, db, nombre derivado de A. Graham Bell, a partir de la relación: N.I. = 10 log
I
I0 −12 2 donde I0 = 10 w/m es una intensidad de referencia arbitraria para el sonido en el aire, que corresponde a los niveles más bajos del umbral de audición. Son niveles típicos de intensidad sonora los siguientes: < 0 db 10 db 60 db 120 db > 120 db
Umbral mínimo de audición Murmullo de hojas Conversación ordinaria Arma de fuego, música en discotecas, ... Umbral de dolor
Tono. Está determinado por la frecuencia del sonido. Atendiendo al tono, los sonidos pueden clasificarse en: - Agudos. Con frecuencia superior a 1000 Hz. - Graves. Con frecuencia inferior a 1000 Hz. El oído humano percibe sonidos con frecuencias comprendidas en el intervalo de 16 a 20 000 Hz, si bien tiene capacidad variable para percibirlos. Timbre. Esta característica depende del contenido en armónicos de una cierta onda sonora. Los sonidos en general no son puros o monocordes, sino que están constituidos por una mezcla de varios sonidos de distinta frecuencia. El más característico se llama "sonido fundamental" y el resto "armónicos" es decir, ondas de frecuencia múltiplo de la fundamental: 2ω 0, 3ω0, 4ω0, ... El timbre es una cualidad que permite distinguir el mismo sonido, con la misma amplitud y frecuencia, pero producidos por diferentes instrumentos. La forma acampanada del extremo de algunos instrumentos musicales suprime ciertos armónicos con respecto a otros, de modo que el instrumento adquiere un timbre característico, y ello permite distinguir los sonidos de la misma intensidad y tono (frecuencia) producidos por diferentes instrumentos. Efecto Doppler El efecto Doppler es un fenómeno ondulatorio que se produce cuando hay un movimiento relativo entre un foco emisor y un observador. La frecuencia percibida por el observador es distinta de la frecuencia emitida por el foco productor de ondas. Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia el otro, la frecuencia escuchada por el observador es mayor que la frecuencia de la fuente. Cuando la fuente y el observador se mueven alejándose uno del otro, el observador escucha una frecuencia que es menor que la frecuencia emitida por la fuente. La relación general entre las frecuencias de la fuente y el observador viene dada por:
f'=f
v ± v0 v ± vF
donde:
{
f ' = frecuencia percibida por el observador f = frecuencia emitida por la fuente v 0 = velocidad del observador respecto del aire v F = velocidad de la fuente respecto del aire v = velocidad del sonido
Observador en reposo fuente en reposo
Observador en reposo fuente que se acerca 1
2
3
4
5
vF
1 2 34 5
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Física 2 bachillerato. IES Blas Cabrera Felipe. Curso 16-17
Aplicación: Los ultrasonidos Las ondas sonoras de frecuencias altas (ν > 20000 Hz) se denominan ultrasonidos. Son el fundamento de múltiples técnicas e instrumentos de gran utilidad como el sonar o la ecografía. En el sonar, los ultrasonidos se utilizan para la detección de objetos o distancias en las profundidades marinas. Un transmisor emite un pulso sonoro a través del agua y un detector recibe su reflexión o eco posteriormente. Midiendo tiempos y conociendo la velocidad del sonido en el agua se determina la distancia a la que se encuentra un banco de peces, unas rocas o un submarino. El rango de frecuencias utilizado está entre 20 y 100 kHz. Dentro del cuerpo humano, los ultrasonidos se reflejan en los contornos y superficies de separación de los distintos órganos. Así, mediante ecografías se detectan tumores, bolsas de fluidos y otras anormalidades. Al no dañar a los tejidos, sustituyen a los peligrosos rayos X en el seguimiento del desarrollo del feto. Las frecuencias utilizadas están comprendidas entre 1 y 10 MHz. La naturaleza se sirve también de los ultrasonidos. Los murciélagos emiten ultrasonidos en la frecuencia de 120 kHz. y, detectando su reflexión, localizan pequeñas presas. Contaminación acústica. El ruido puede tener varios efectos indeseables sobre los seres humanos: - Efectos auditivos. Por encima de 150 db, lesiones del oído y sordera súbita. Por debajo de 150 db, dolor. La exposición prolongada a un nivel superior a 90 db produce disminución de sensibilidad e incluso, en algunos casos, sordera. - Efectos fisiológicos. Perturbaciones del sueño, alteraciones funcionales varias, e incluso aumento de la frecuencia de algunas enfermedades. - Efectos sicológicos. Estrés, sensación de descontento, insatisfacción e irritación. - Efectos sobre la actividad laboral y escolar. Aumento de errores y accidentes, disminución del rendimiento. - Efectos sobre el clima social. Aumento de la agresividad, disminución del interés por el prójimo y de la comunicación verbal. Por tanto, el ruido, al igual que el humo, los pesticidas, el petróleo, etc provoca efectos nocivos sobre la salud, por lo que por se habla también de contaminación acústica. Hay tres caminos para combatir la contaminación acústica: 1- Reducir el ruido en origen. 2- Amortiguar el ruido. 3- Proteger los oídos.
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