1º BACHILLER

Departamento de Matemáticas

SESIÓN 27 1ª EVALUACIÓN : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

3.9...Ecuaciones trigonométricas ( puedes consultar la página 76 y 83 del libro) Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la variable x se encuentra dentro de un seno, coseno, o cualquier otra razón trigonométrica. Por lo tanto la solución de x será siempre uno o más ángulos EJEMPLO 1 : Sen x = ½ . En esta ecuación sencilla, la solución es el ángulo cuyo seno vale ½. La solución que nos da la calculadora o la que podemos saber nosotros ya que se trata de un valor que pertenece a un ángulo notable es la de x = 30º OJO : Existe otro ángulo que tiene también el seno ½, ese ángulo es 150º y no es una solución tan buena como la de x= 30º ( ver dibujo )

30º

150º

OJO : En realidad podemos decir que existen infinitas soluciones ya que si al ángulo 30º le damos una vuelta completa tendremos el 390º que también tiene el seno ½ , o podemos dar 2 vueltas y entonces tendremos el 750º que también tiene el seno ½, y así sucesivamente cuaquier ángulo que se consigue sumando vueltas al 30 y al 150 es solución de esa ecuación SOLUCIONES :

30 + 360.K

150 + 360K

donde K = nº vueltas

 1  EJEMPLO 2 : cos x    , 4 2  En esta ecuación sencilla, la solución es el ángulo cuyo coseno vale ½. La solución que nos da la calculadora o la que podemos saber nosotros ya que se trata de un valor que pertenece a un ángulo notable es la de x = 60º + 360K, pero también por lo que hemos visto x = 300º + 360K 60º

300º

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Por lo tanto, tendremos dos posible soluciones x + 45º = 60 + 360K , es decir

x = 15º + 360K

x + 45º = 300 + 360K , es decir

Ejemplo 3 : Resuelve la ecuación

x = 255º + 360K

cos 2   sen 2  1

2

Fíjate que el ángulo que queremos encontrar está en 2 sitios al mismo tiempo. La ecuación es algo más complicada y no podremos resolverla simplemente usando la calculadora. En este tipo de problemas tenemos que tener muy presentes los mismos consejos que te dí cuando hablábamos de simplificar expresiones trigonométricas 1º No podemos tener juntos sen2α,cos2α,…. Con senos y cosenos de ángulo simples. 2ª no podemos tener senos y cosenos mezclados, ya que son cosas distintas y por tanto serían dos incógnitas en lugar de una. Tendremos siempre presente la ecuación fundamental de la trigonometría que nos permitirá escribir el seno como coseno o al revés 3ª Pasaremos de senos a cosenos según el problema pero básicamente pasaremos siempre el que esté al cuadrado, por ejemplo si tenemos senx + cos 2 x pasaremos siempre de cosenos a senos, ya que para lo contrario tendríamos que escribir el seno como una raíz o elevar todo al cuadrado para que aparezca sen 2 x . 4º Si no hay ningún termino al cuadrado, por ejemplo senx + cosx = 1 deberemos elevar todo al cuadrado En el ejemplo en el que estamos, si queremos resolver deberemos escribir el coseno en función del seno o al revés. En principio el sistema es igual para senos y cosenos, aunque el seno tiene un signo – delante que nos puede confundir a la hora de realizar el cambio, Despejaremos coseno en función del seno cos 2   sen2  (1  sen2 )  sen2  1  2sen2  1 / 2 

sen2  1 / 4  senα   1/2

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SESIÓN 27 1ª EVALUACIÓN : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos con seno igual a ½ son el 30 y el 150 30º

150º

Ángulos con seno igual a –1/2 son el 210 y el 330

330º

Las soluciones serán 330º+360K

30º + 360K

Ejemplo 4 : Resuelve la ecuación

210º

150ª + 360K

210º + 360K

cos   sen  1

Como ya hemos visto, no podemos tener senos y cosenos mezclados, ya que son cosas distintas y por tanto serían dos incógnitas en lugar de una. Tendremos que utilizar la ecuación fundamental de la trigonometría sen2α + cos2α = 1 para escribir el seno como coseno o al revés. Sin embargo, en la fórmula seno y coseno están al cuadrado y en nuestro ejercicio ninguno de los términos está al cuadrado Si no hay cuadrados tendremos que hacerlos, para ello igual que hacíamos con las ecuaciones con raíces : 1º separaremos el coseno y el seno pasando uno de los dos al otro lado de la ecuación 2º elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado cos   1  sen  cos 2   (1  sen ) 2  cos 2   1  2sen  sen 2

Ahora ya podemos aplicar la ecuación fundamental para pasar el cos 2  a 1 - sen 2

1  sen 2  1  2sen  sen 2  2sen 2  2.sen  0  Aunque se trate de una ecuación con senos, sigue siendo una ecuación de 2º grado incompleta por lo que podemos sacar factor común : 2.sen α (sen α – 1 ) = 0

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SESIÓN 27 1ª EVALUACIÓN : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Tenemos 2 posibilidades : * sen α = 0 , los ángulos con seno 0 son el 0º + 360K y el 180º + 360K * sen α - 1 = 0 , sen α = 1 , los ángulos con seno 1 son el 90º + 360K OJO : SE DEBE COMPROBAR QUE LAS SOLUCIONES QUE SE OBTIENEN CUMPLEN LA ECUACION ORIGINAL Para poder resolver hemos tenido que hacer cuadrados en ambos lados de la ecuación pero eso nos puede generar soluciones no válidas. Tendremos que sustituir en la ecuación inicial * Para 0º : sen 0º +cos 0º = 1

cierto

* Para 180º : sen 180º +cos 180º = -1 * Para 90º : sen 90º +cos 90º = 1 SOLUCIONES Ejemplo 5

0º + 360k

No válida

cierto

90º + 360k

sen2x = senx

1º No podemos tener ángulos dobles y sencillos al mismo tiempo 2.senx.cosx = senx 

Podemos pensar que al tener senx en ambos lados de la igualdad podemos eliminarlos, 2.senx cosx = 1senx , quedando 2cosx = 1 pero entonces estaríamos perdiendo soluciones como ya veremos después. NUNCA SIMPLIFICAR



Podríamos pensar que al no tener ningún cuadrado deberíamos generarlos elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad

(2.senx.cosx)2 = (senx)2 pero eso supondría un trabajo innecesario y además luego tendríamos que comprobar las soluciones 

Una operación que nunca deberemos perder de vista por todo lo que hemos dicho es la de sacar factor común cuando algún término está repetido

2.senx.cosx = senx

se convertirá en

2.senx.cosx - senx = 0

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SESIÓN 27 1ª EVALUACIÓN : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Sacando factor común : senx( 2cosx – 1 ) = 0 Tenemos 2 posibilidades : * sen x = 0 , los ángulos con seno 0 son el 0º + 360K y el 180º + 360K * 2cosx - 1 = 0 , cosx =1/2, los ángulos con coseno 1/2 son el 300º+360K

60º+360K y el

-- EJERCICIOS DEL LIBRO PARA PRACTICAR : Página 90 Ejercicios 91 y 93 -- EJERCICIOS PARA PRACTICAR: Pb 46 Resuelve las ecuaciones siguientes  1  a) cos x    4 2  3 b) cosx.cotgx  2

1 3 cosx .senx  0 2 2

e) (tgx - 1)(4sen 2 x - 3)  0

1 1 1 f) senx.cos 2 x - senx  cos 2 x -  0 2 2 4

c) senx  cosx  2

1 2 b) tgx.tg2x  1 47a) sen2x 

c) sen 2 2x  cos 2 x 

d)

d) tg2x  3tgx e) sen 2 2x  2cos 2 x  2  0 1 2

f) tgx  cos2x  1

23 Resuelve la ecuación sen2x  sen x

24 Resuelve la ecuación cosx  cos2x  0

25 Resuelve la ecuación senx  cosx  1 26 Resuelve las ecuaciones : a) 2senxcosx  1 d) senx  cosx  secx

b) sen2x  tgx

c) 2sen 2 x  4 cos 2 x  sen 2 x  0

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SESIÓN 27 1ª EVALUACIÓN : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Sol Pb 46 a) ( sol: a) 15º +360K y 255º + 360K ) 46 b) ( sol: 30º +360K , 150º + 360K ) 46 c) ( sol: 45º +360K ) 46 d) ( sol: 30º +180K ) 46 e) ( sol: 60º +180K , 45º + 180K , 120º + 360K ) 46 f) ( sol: 45º +180K , 135º + 180K, 210º + 360K y 330º + 360K ) Sol : Pb 47 a) ( sol: a) 15º + 180K y 75º + 180K ) 47 b) ( sol: 30º +180K , 150º + 180K ) 47 c) ( sol: 60º +180K , 45º + 180K , 135º + 180K , 120º + 360K , 300º + 360K) 47 d) ( sol: 0º +180K, 30º +180K , 150º + 180K ) 47 e) ( sol: 0º +180K , 45º + 180K , 135º + 180K ) 47 f) ( sol: a) 0º +180K , 45º + 180K )

Sol : Pb 23 ( sol: a) 60º +360K y 300º + 360K ) Pb 24 ( sol: a) 60º +360K , 300º + 360K y 180º + 360K) Pb 25 ( sol: a) 0º +360K , 90º + 360K ) Pb 26 ( sol: a) 45º + 360K y 225º + 360K o bien 45 + 180K b) 0 + 360K , 180 + 360K o bien 0 + 180K , 45º + 360K y 135º + 360K c) 45º + 360K y 225º + 360K o bien 45 + 180K d) 0 + 360K , 180 +360K o bien 0 +180K , 45º + 360K y 225º + 360K o bien 45º + 180K