50

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CHAPITRE : 7

Cinétique Des Solides 2eme année SM version 2013-2014

I.

Torseur cinétique

I.1

Définition

Le torseur cinétique d’un système matériel S dans son mouvement par rapport à un repère R au point A est le torseur suivant : Z  Z 

I.2 Si S

I.3



=

CS=R A

P 2S

~P=R dm V

;

P 2S

Cas de plusieurs solides

=

Sn

i=1 Si alors :

PR

~ Pi 2Si VPi =R dm

=

R

~ P 2S VP=R dm et

PR

! ^ V~

AP

P=R dm

A

! ^ V~

Pi 2Si APi

=

Pi =R dm

R

! ^ V~

P 2S AP

P=R dm

Résultante cinétique

!i d R h dOP S dt R dm : Dans cette écriture la dérivation dt R est indépendante de la répartition R d R d d ~ c (S=R) = ~ ~ de masse ce qui nous permet d’écrire : R P 2S VP=R dm = dt S OP dm = dt [M OG] = M dt (OG) = M VG=R . ~ c (S=R) R

=

R

~ P 2S VP=R dm

=

!

!

!

In fine nous définissons la résultante cinétique comme suit : ~ c (S=R) R

=

Z

P 2S

~P=R dm V

= M V~G=R

elle est égale à la quantité de mouvement qu’aurait toute la masse si elle était concentrée au centre de masse. Application Soit un pendule simple qui se présente sous la forme d’une tige de masse m de longueur l homogène et à laquelle on associe le repère R1 (O; ~x1 ; y ~1 ; ~ z ). Le bâti étant relié au repère R (O; ~x ; y ~; ~ z ). Déterminer la résultante cinétique du pendule dans son mouvement par rapport au bâti.

~y1 O

~y

θ

G

~x1

~x

I.4

Moment cinétique

Vérifions l’existence d’un champ antisymétrique de quantité de mouvement, en effet : ~A (S=R) = ! ! ! AP = AB + BP ce qui nous permet d’écrire : ~ A (S=R)

=

Z

P 2S

! ~ AB ^ V

P=R dm +

Z

! ~ BP ^ V

P=R

Z ! dm = AB ^

!

= ~B (S=R) + AB ^ M V~G=R 51

! ^ V~

AP

P=R dm or

~P=R dm + ~ V B (S=R)

nous en concluons que le champs des moments cinétique est antisymétrique et vérifie ~ A (S=R)

R

8 A et B de l’espace :

Chapitre 7 - Cinétique Des Solides

I.5

Section I. Torseur cinétique

Expression généralisée du moment cinétique

Pour un quelconque mouvement d’un solide S par rapport à un repère R nous avons : ~A (S=R) = A 2 S nous pouvons donc écrire :

R

!

! ^ V~

AP

P=R dm or

~ S=R ^ AP = V~A=R +

~P=R V

ce qui nous donne : ~ A (S=R)

=

! ^ V~

Z

A=R dm +

AP

Donc si ! ! ! A 2 S ! ! ! alors :

! ^ [ ~

Z

!]dm = Z AP !dm ^ V~ + J~ (S; ~ ) ^ AP A S=R A=R S=R

AP

~ A (S=R)

!

~ S=R ) = M AG ^ V~A2S=R + J~A (S;

Application Reprenons l’exemple du pendule et déterminons le moment cinétique au centre O du pendule (S ) dans son mouvement par rapport au repère R.

I.5.1

Cas du mouvement de translation

~G=R Un mouvement de translation est tel que : V ~ A (S=R)

=

Z

! ^ V~

AP

P=R dm

=

Z

= V~P=R , ce qui nous permet d’écrire :

! ^ V~

AP

Or nous avons établi précédemment que : ~A (S=R) mouvement de translation nous avons :

=[

AP dm]

! ^ V~ ^ V~G=R = M AG G=R

!

= ~G (S=R) + AG ^ M V~G=R . Nous en concluons que pour tout

~ G (S=R)

I.5.2

!

Z

G=R dm

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

= ~0




‫ݕ‬Ԧ

 

‫ݔ‬Ԧ

ܱ

Soit S un système en mouvement de rotation par rapport à un axe fixe
et R1 un repère lié à S . Prenons le cas de
 O~z alors : ~ O (S=R)

!

~ S=R ) = [IO ]:

~ S=R = M OG ^ V~O2S=R + J~O (S;

car O fixe sur
, et particulièrement si R1 est un repère principal d’inertie pour le solide S alors : ~ O (S=R)

~ S=R = IOz :

‫ݖ‬Ԧ 

 

~ S=R est Remarque Les propriétés d’inertie de S sont exprimées dans le repère R1 tournant avec le solide, donc [IO ]:

exprimé dans R1

52

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Chapitre 7 - Cinétique Des Solides

Section II. Torseur dynamique

II.

Torseur dynamique

II.1

Définition

Le torseur dynamique d’un système matériel (S) dans son mouvement par rapport à un repère R relativement aux champs de vitesse et accélération est : 



=

DS=R A

II.2 Si S

II.3

Z

P 2S

!^~

Z

;

~ P=R dm

P 2S

AP

Cas de plusieurs solides

=

Sn

i=1 Si alors :

PR

~ Pi 2Si Pi =R dm

=

R

!^~

PR

~ P 2S P=R dm et



P=R dm

Pi 2Si APi

A

Pi =R dm

=

R

!^~

P 2S AP

P=R dm

La résultante dynamique

Nous partons de l’expression de la résultante cinétique, nous avons : ~ c (S=R) R

=

~G=R MV

Z

=

P 2S

~P=R dm V

en dérivant les termes de droite et de gauche nous remarquons que la dérivation peut passer à l’intérieur de l’intégrale et on aura : Z ~ d (S=R) R

= M ~ G=R =

P 2S

~ P=R dm

Application Reprenons l’exemple du pendule et déterminons la résultante dynamique du pendule (S ) dans son mouvement par rapport au repère R.

II.4

Le moment dynamique

Vérifions l’existence d’un champ antisymétrique : ~A (S=R) =

~ A (S=R)

=

R

!^

R

!^~

AB ~ P=R dm + BP dynamiques A et B de l’espace :

II.5

8

P=R dm

!

= AB ^

~ A (S=R)

R

!^~

!

!

!

P=R dm or AP = AB + BP d’où : R ~ P=R dm + ~ B (S=R) ce qui donne la distribution des moments AP

!

= ~B (S=R) + AB ^ M ~ G=R

Relation entre moment cinétique et moment dynamique

La détermination de la matrice d’inertie nous a simplifié l’accès au moment cinétique. La dérivation de ce dernier nous permet-elle d’aboutir au moment dynamique ? d

dt

~ A (S=R)

=

d R

dt

! ^ V~

AP

P=R dm

R d

= [

=

R

dt

~P=R V

|

! ^ V~

AP ]

P=R dm +

^ V~P=R} dm {z

R

R

! ^ d [V~

AP

~A=R V

^

P=R ]dm

dt ~P=R dm + ~ V A (S=R)

=0

en conclusion nous écrivons : ~ A (S=R)

=



d~ A (S=R) dt



R

R

= [V~P=R =

~A=R ] V

^ V~P=R dm + ~A (S=R)

^

~P=R dm +~ V A (S=R)

~A=R V

Z |

{z

M V~G=R

}

+ V~A=R ^ M V~G=R

Nous constatons, à partir de ce résultat, que le moment dynamique n’est égal à la dérivée du moment cinétique que dans deux cas : A point fixe ou A  G Nota. on appelle cr résultat : Théorème du moment cinétique.

53

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Chapitre 7 - Cinétique Des Solides

Section III. Energie Cinétique

Application Reprenons l’exemple du pendule et déterminons le moment dynamique au centre O du pendule (S ) dans son mouvement par rapport au repère R.

II.5.1

Cas de la translation

~A ==V ~G V

=) ~A (S=R) =

~ G (S=R)

=



d~G (S=R) dt R



d~A (S=R) particulièrement pour le centre de masse : dt R = ~0 et pour tout point A du solide, compte-tenu de la relation de champ : ~ A (S=R)

II.5.2

!

= M AG ^ ~ G=R

Cas de la rotation

Soit S un solide en rotation par rapport à un axe fixe et O un point appartenant à cet axe, alors la dérivation du moment cinétique doit être faite avec certaines précautions, en effet, comme l’opérateur d’inertie est calculé dans un repère tournant avec le solide alors sa dérivation se calcule plus aisément en faisant un changement de repère : ~ S=R ) dJ~A (

dt

%

=

~ S=R ) dJ~A (

%

dt

R

S

~ S=R ^ J~A (

~ S=R ) +

Remarque 1 L’application du principe fondamental de la dynamique fera souvent appel au calcul de la projection du moment dynamique sur un des axes définis dans le problème. Une attention particulière doit être observée lors du calcul, en effet, il faudrait calculer directement la projection du vecteur moment dynamique et non le contraire (i.e. calcul du vecteur puis sa projection). Exemple : ~ z :~ A (S=R)

= ~z :



d~ A (S=R)

dt

R

+ ~z :(V~A=R ^ M V~G=R )

(S=R) il y a forte chance ici que le produit mixte soit nul dès le départ. Par ailleurs, le calcul de ~z : d~A dt se fera plutôt R comme suit :

d[~ z :~ A (S=R)] dt



R

d~ z

dt R

:~ A (S=R)

Remarque 2 Si le calcul de la projection d’un moment dynamique se ramène au calcul de la dérivée d’un seul terme alors il ne faudrait pas le dériver car il pourra servir tel qu’il est à l’établissement d’une intégrale première du mouvement (chapitre suivant).

III.

Energie Cinétique

III.1

Définition

L’énergie cinétique d’un système matériel dans son mouvement par rapport à un repère R est égal à : Ec (S=R)

III.2

= 1=2

Z

S

~ 2 dm V P=R

Propriétés S

)

P

? S = i Si = Ec (S=R) = i Ec (Si =R) découle des propriétés de l’intégrale, ? Ec (S=R) est un scalaire indépendant du point de calcul.

54

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Chapitre 7 - Cinétique Des Solides

III.3

Section IV. Les Théorèmes de Kœnig

Autre écriture de Ec

Nous avons : Ec (S=R) =

1 2

R




~P=R V ~P=R dm V Ec (S=R)

=

1 2

Z

!

~P=R V

or




~P=R V ~O=R dm + V

1 2

Z

~ S=R ^ OP d’où : = V~O=R +

~P=R V

!]dm
[ ~ S=R ^ OP

Nous pouvons ainsi faire une rotation dans le produit mixte du deuxième membre :

1~ Ec (S=R) = V 2 O=R en fin :

Z

1~ Ec (S=R) = V 2 O=R

~P=R dm + V Z

1 2

~P=R dm + V

Z

!

~ S=R
[OP ^ V ~P=R ]dm

1~

2 S=R

Z

! ^ V~

OP

P=R dm

Cette écriture utilise les résultantes et moments de deux torseurs connus, en effet :

1~ V
M V~G=R + 21 ~ S=R
~O (S=R) 2 O=R   c’est en effet le produit des deux torseurs : Ec (S=R) = 12 VS=R CS=R Ec (S=R)

Rappel

fT1 gA =

=

le est un scalaire indépendant du point de calcul :  produit  de deux torseurs  (Comoment)  R1 M1

A

et

fT2 gA =

R2 M2

A

. Le produit est : fT1 g fT2 g = R1 M2 + R2 M1

Application Reprenons l’exemple du pendule et déterminons l’énergie cinétique du pendule (S ) dans son mouvement par rapport au repère R.

III.3.1

Cas du mouvement de translation

Si S un système matériel en mouvement de translation par rapport à un axe fixe alors : Ec (S=R)

III.3.2

= 1=2

Z

S

~ 2 dm V P=R

= 1=2V

Z

2

S

dm

d’où

Ec (S=R)

= 1=2M V 2

Cas du mouvement de rotation par rapport à un axe fixe

Nous pouvons utiliser la deuxième forme de l’énergie cinétique et établir que pour une rotation par rapport à un _z ) : axe fixe dans l’espace (par exemple ~ Ec (S=R)

IV.

Les Théorèmes de Kœnig

IV.0.3

Théorème de Kœnig (1)

= 1=2IOz _2

Le moment cinétique en un point d’un système matériel dans son mouvement par rapport à un repère R est égale au moment cinétique du système au centre de masse augmenté du moment cinétique qu’aurait toute la masse si elle était concentrée au centre de masse. ~ A (S=R)

IV.0.4

!

= ~G (S=R) + AG ^ M V~G=R

Théorème de Kœnig (2)

Le moment dynamique en un point d’un système matériel dans son mouvement par rapport à un repère R est égale au moment dynamique du système au centre de masse augmenté du moment dynamique qu’aurait toute la masse si elle était concentrée au centre de masse. ~ A (S=R)

55

!

= ~G (S=R) + AG ^ M ~ G=R c MRABET Kais [IPEIT ]

Chapitre 7 - Cinétique Des Solides

IV.1

Section IV. Les Théorèmes de Kœnig

Théorème de Kœnig (3)

Si on remplace dans la définition de l’énergie cinétique la vitesse absolue par une vitesse par rapport à un repère barycentrique lié au centre de gravité augmentée de la vitesse d’entraînement 1 :

! V

Ec (S=R)

en développant : Ec (S=R) R

! V

! dm = M V

=

1 2

P=R

=

!

Z

S

1 2

=

! V

P=RG

!

+ V G2RG =R

!

Z

S

!

[ V P=RG + V G2RG =R ]2 dm

!

[ V P=RG ]2 dm + V G2RG =R

Z

S

! V

P=RG dm +

1 ! M [ V G2RG =R ]2 2

Or S P=RG G=RG = ~0 Ce qui nous permet d’écrire finalement : Ec (S=R)

= Ec (S=RG ) +

1 ! M [ V G2RG =R ]2 2

Enoncé L’énergie cinétique d’un système matériel dans son mouvement par rapport à un repère R est égale à l’énergie cinétique du système par rapport à un repère barycentrique lié au centre de masse augmenté de l’énergie cinétique qu’aurait toute la masse si elle était concentrée au centre de masse.

1. le repère barycentrique a les mêmes axes que le repère initial,

~ RG =R = ~0 ce qui fait que :

! !=! V P 2RG =R = ! V G2RG =R + ~ RG =R ^ GP V G2RG =R

56

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