´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Sommaire
Groupes, anneaux, corps, arithm´ etique Sommaire I
Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . . I.3 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Commutativit´e et associativit´e . . . . . . . . . . . I.5 Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6 El´ement neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.7 Structure de mono¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . I.8 Sym´etrique d’un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . I.9 El´ements simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . . I.10 Propri´et´es transport´ees par un morphisme surjectif II Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement . . . . . . . II.5 Groupes monog`enes, groupes cycliques . . . . . . . III Le groupe sym´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Cycles et transpositions . . . . . . . . . . . . . . . III.3 D´ecompositions d’une permutation . . . . . . . . . III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . . IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 El´ements remarquables dans un anneau . . . . . . IV.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Arithm´ etique ´ el´ ementaire . . . . . . . . . . . . . . V.1 Bases de num´eration dans N . . . . . . . . . . . .
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V.2 V.3 V.4 V.5 V.6 V.7 V.8
Divisibilit´e dans Z . . . . . . . . . . . . . . . Pgcd de deux entiers relatifs . . . . . . . . . Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . R´esolution dans Z de l’´equation ax+by=c . . Ppcm de deux entiers relatifs . . . . . . . . . Extension au cas de plusieurs entiers relatifs . Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . .
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie I : Lois de composition
I
Lois de composition
I.1
G´ en´ eralit´ es
D´ efinition Une loi de composition sur un ensemble E est une application de E × E vers E. Notations – Plutˆot que loi de composition, on dit aussi op´eration, ou plus simplement loi. – Plutˆot que de noter par exemple f (u, v) (notation pr´efix´ee) l’image du couple (u, v), on la note u ∗ v, uTv, u + v, etc. (notation infix´ee) et on parle alors des lois ∗, T, +, etc. – On note souvent (E, ∗) pour d´esigner un ensemble E muni d’une loi de composition ∗. Exemples – Les lois ∪ (union), ∩ (intersection) et ∆ (diff´erence sym´etrique) sur P(E). – La loi ◦ (loi de composition) sur F(E), ensemble des applications de E dans E. – Les lois + et × sur IN, ZZ, Q, l IR, et C. l La loi ×est not´ee par juxtaposition : ab plutˆot que a × b. – Sur IN, ZZ, Q, l IR (ou sur tout ensemble totalement ordonn´e) les lois min et max (minimum et maximum). Elles sont not´ees de fa¸con pr´efix´ee : min(x, y), max(x, y). – Deux autres lois not´ees de fa¸con pr´efix´ee sont les lois pgcd et ppcm sur IN ou ZZ. – La “soustraction” (op´eration −) est une loi de composition sur ZZ, Q, l IR, et C, l mais ce n’est pas une loi de composition sur IN (elle n’est pas partout d´efinie). – Si E est muni de la loi ∗ et si X est un ensemble, on d´efinit une loi, encore not´ee ∗, sur l’ensemble F(X, E) des applications de E vers X, en posant : ∀ (f, g) ∈ F(E, X)2 , ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) On d´efinit ainsi + et × sur l’ensemble des applications de X vers IR (ou IN, ZZ, Q, l C). l Quand X = IN, on d´efinit ainsi la loi ∗ sur l’ensemble des suites de E.
I.2
Partie stable pour une loi
D´ efinition Soit E un ensemble muni de la loi ∗, et F une partie de E. On dit que F est stable pour la loi ∗ si : ∀ (x, y) ∈ F × F, x ∗ y ∈ F . La restriction `a F × F de la loi ∗ d´efinit alors une loi de composition sur F , appel´ee loi induite, en g´en´eral encore not´ee ∗.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie I : Lois de composition
Exemples – IR− et IR+ sont deux parties stables de IR, pour la loi +. – Pour la loi ×, IR+ est encore une partie stable, mais ce n’est pas le cas de IR− . – Toujours pour la loi ×, [−1, 1] est une partie stable de IR.
I.3
Homomorphismes
D´ efinition Soient E et F deux ensembles, munis respectivement des lois ∗ et T. Soit f une application de E dans F . On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y). Cas particuliers – Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appel´e un endomorphisme de (E, ∗). – Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appel´e un isomorphisme. – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´ematique, deux ensembles isomorphes ont exactement les mˆemes propri´et´es, relativement `a leurs lois respectives, et peuvent ˆetre consid´er´es comme deux repr´esentations diff´erentes d’une mˆeme situation. – Un isomorphisme de (E, ∗) sur lui-mˆeme est appel´e un automorphisme de (E, ∗). Proposition (Isomorphisme r´eciproque) Soit f un isomorphisme de (E, ∗) sur (F, T). Alors f −1 est un isomorphisme de (F, T) sur (E, ∗). Exemples – Le “passage au compl´ementaire” est un isomorphisme de (P(E), ∪) sur (P(E), ∩). Il est son propre isomorphisme r´eciproque. – L’application x → exp(x) est un isomorphisme de (IR, +) sur (IR+∗ , ×). L’application x → ln(x) est l’isomorphisme r´eciproque, de (IR+∗ , ×) sur (IR, +).
I.4
Commutativit´ e et associativit´ e
D´ efinition Soit ∗ une loi sur un ensemble E. On dit que la loi ∗ est commutative si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x. On dit que la loi ∗ est associative si : ∀ (x, y, z) ∈ E 3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
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Exemples – Les lois + et × sur IN, ZZ, Q, l IR, et C, l sont commutatives et associatives. – Il en est de mˆeme avec les lois min et max sur IN, ZZ, Q, l IR. – Mˆeme chose avec les lois ∪, ∩, ∆ sur P(E). – La loi − (sur ZZ, Q, l IR, et C) l n’est ni commutative, ni associative. – La loi ◦ (composition des applications) est associative sur F(E). Elle n’est pas commutative d`es que E poss`ede au moins deux ´el´ements (consid´erer les applications constantes). – Si X est un ensemble et si E est muni de ∗ commutative (resp. associative), alors la loi ∗ d´efinie sur F(X, E) par ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) est commutative (resp. associative). Remarques – Mˆeme si la loi ∗ sur E n’est pas commutative, il peut se trouver des ´el´ements x et y de E qui v´erifient x ∗ y = y ∗ x. On dit alors que x et y commutent. Par exemple, dans un plan affine euclidien P, les rotations de mˆeme centre commutent deux `a deux (pour la loi ◦). – Quand une loi ∗ est associative, une expression comme a ∗ b ∗ . . . ∗ x ∗ y ∗ z est d´efinie sans ambiguit´e : les parenth`eses qui indiquent dans quel ordre on combine les ´el´ements deux `a deux sont en effet inutiles. Si de plus la loi ∗ est commutative, alors on peut changer l’ordre des termes et en particulier regrouper ceux d’entre eux qui sont identiques. On notera ainsi x ∗ y ∗ x ∗ y ∗ z ∗ y ∗ x ∗ y = x3 ∗ y 4 ∗ z, `a condition de poser, pour tout n de IN, an = a ∗ a ∗ . . . ∗ a (a apparaissant n fois). – L’associativit´ e permet de noter : min(x, y, z, . . .) ou max(x, y, z, . . .) pour tous r´eels x, y, z, etc. ppcm(a, b, c, . . .) ou pgcd(a, b, c, . . .) pour tous entiers a, b, c, etc.
I.5
Distributivit´ e
D´ efinition Soit E un ensemble muni de deux lois ∗ et T. On dit que la loi ∗ est distributive par rapport `a la loi T si, pour tous x, y, z de E : x ∗ (yTz) = (x ∗ y)T(x ∗ z) (distributivit´e ` a gauche) (xTy) ∗ z = (x ∗ z)T(y ∗ z) (distributivit´e ` a droite) Exemples et remarques – Si la loi ∗ est commutative, l’une de ces deux propri´et´es implique l’autre. – Dans P(E), les lois ∪ et ∩ sont distributives l’une par rapport `a l’autre. – Dans P(E), la loi ∩ est distributive par rapport `a la loi ∆. En revanche la loi ∆ n’est pas distributive par rapport `a la loi ∩. – Dans IN, ZZ, Q, l IR et C, l la loi × est distributive par rapport `a la loi +.
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– Si X est un ensemble et si E est muni de deux lois ∗ et T (∗ ´etant distributive par rapport `a T), on d´efinit des lois homonymes sur F(X, E) : ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x), et (f Tg)(x) = f (x)Tg(x). Alors, dans F(E, X), ∗ est encore distributive par rapport `a T. – La distributivit´e de ∗ par rapport `a T (suppos´ee ici associative) permet d’´ecrire : (aTb) ∗ (cTd) = (a ∗ c)T(a ∗ d)T(b ∗ c)T(b ∗ d).
I.6
El´ ement neutre
D´ efinition Soit E un ensemble muni d’une loi de composition ∗. Soit e un ´el´ement de E. On dit que e est ´el´ement neutre, pour la loi ∗, si : ∀ a ∈ E, a ∗ e = e ∗ a = a. Remarque Si la loi ∗ est commutative, l’´egalit´e a ∗ e = e ∗ a est automatiquement r´ealis´ee. Proposition (Unicit´e de l’´el´ement neutre) L’´el´ement neutre de E pour la loi ∗, s’il existe, est unique. Remarques – Il est beaucoup plus juste de dire que c’est E qui poss`ede un ´el´ement neutre e pour la loi ∗, plutˆot que de dire que c’est la loi ∗ qui poss`ede l’´el´ement neutre e. – La notation + peut ˆetre employ´ee en dehors des ensembles IN, ZZ, Q, l IR, Cl : elle doit cependant ˆetre r´eserv´ee aux lois commutatives. Dans ce cas, l’´el´ement neutre, s’il existe, sera not´e 0. De mˆeme, pour une loi not´e multiplicativement (ou par juxtaposition), on pourra noter 1 l’´el´ement neutre ´eventuel (s’il n’y a pas de risque d’ambiguit´e). Exemples et remarques – Dans P(E) : ∅ est neutre pour la loi ∪ (et pour la loi ∆), et E est neutre pour la loi ∩. – Dans IN, ZZ, Q, l IR et Cl : 0 est neutre pour la loi + et 1 est neutre pour la loi ×. – Dans F(E) : l’application Identit´e idE est neutre pour la loi ◦ (composition). – Dans IN : 0 est neutre pour la loi max, et il n’y a pas de neutre pour la loi min. – Dans ZZ, Ql et IR : les lois min et max n’ont pas d’´el´ement neutre. – Soit X un ensemble quelconque, et E un ensemble muni d’une loi ∗ avec un neutre e. On munit F(X, E) de la loi ∗, d´efinie par : ∀ (f, g) ∈ F(X, E)2 , ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x). Alors l’application constante, qui `a tout x de E associe e, est neutre pour cette loi. Ainsi, sur l’ensemble F(IN, IK) des suites (`a valeurs dans IK = IR ou C), l la suite constante 0 est neutre pour l’addition, et la suite constante 1 est neutre pour le produit.
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I.7
Structure de mono¨ıde
D´ efinition Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. On dit que E poss`ede une structure de mono¨ıde pour La loi ∗ est associative. la loi ∗, ou encore que (E, ∗) est un mono¨ıde, si : Il existe un ´el´ement neutre e. Exemples et remarques – De par la d´efinition, un mono¨ıde est toujours non vide. – (IN, +) et (IN, ×) sont des mono¨ıdes (idem en rempla¸cant IN par ZZ, Q, l IR ou C). l – (P(E), ∪), (P(E), ∩) et (P(E), ∆) sont des mono¨ıdes. – (F(E), ◦) est un mono¨ıde. – Si (E, ∗) est un mono¨ıde, et si X est un ensemble, (F(X, E), ∗) est un mono¨ıde. En particulier, l’ensemble (F(IN, E), ∗) des suites `a valeurs dans le mono¨ıde E, muni de la loi homonyme ∗, est lui-mˆeme un mono¨ıde. – Si (E, ∗) est un mono¨ıde, et si F est une partie stable de E contenant le neutre e, alors (F, ∗) (avec la loi induite) est encore un mono¨ıde.
I.8
Sym´ etrique d’un ´ el´ ement
D´ efinition Soit (E, ∗) un mono¨ıde d’´el´ement neutre e. Soit x un ´el´ement de E. On dit que x est sym´etrisable (ou inversible) pour la loi ∗, s’il existe un ´el´ement x0 de E tel que x ∗ x0 = x0 ∗ x = e. Si un tel ´el´ement x0 existe, il est unique. On l’appelle le sym´etrique (ou l’inverse) de x. Notation additive Dans le cas d’une loi + (n´ecessairement commutative, d’´el´ement neutre 0), le sym´etrique d’un ´el´ement x est appel´e son oppos´e, et est not´e −x. Pour tous ´el´ements x et y (x poss´edant un oppos´e), on note y − x plutˆot que y + (−x). Notation multiplicative Dans le cas d’une loi multiplicative × (´eventuellement not´ee par juxtaposition), le sym´etrique d’un ´el´ement x est en g´en´eral appel´e son inverse, et est not´e x−1 . 1 Si ce produit est commutatif et si on note 1 son neutre, on peut ´ecrire plutˆot que x−1 . x y −1 Le produit yx peut alors ˆetre not´e (notamment dans les ensembles de nombres). x
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie I : Lois de composition
Propri´ et´ es et remarques – Soit (E, ∗) un mono¨ıde, de neutre e. Alors e est inversible et est son propre inverse. – Si x et y sont inversibles, leur compos´e x ∗ y est inversible et (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 (attention `a l’ordre des facteurs si la loi ∗ n’est pas commutative). – Si F est une partie stable du mono¨ıde (E, ∗) contenant le neutre e (un “sous-mono¨ıde“ de (E, ∗)) et si x appartient `a F , alors l’inversibilit´e de x doit ˆetre examin´ee relativement `a l’appartenance de x : Si x est inversible dans F , il est inversible dans E (avec le mˆeme inverse). La r´eciproque est fausse : pour le produit, 2 est inversible dans IR mais pas dans ZZ. Exemples – Dans (IN, +) seul 0 est sym´etrisable. Mais tous les ´el´ements de (ZZ, +), (Q, l +), (IR, +) et ( C, l +) le sont. – Les ´el´ements inversibles de (IR, ×) sont les ´el´ements non nuls. C’est la mˆeme chose avec (Q, l ×) et ( C, l ×). Le seul ´el´ement inversible de (IN, ×) est 1. Ceux de (ZZ, ×) sont −1 et 1. – On se place dans l’ensemble F(IN, IR) des suites `a valeurs dans IR. Toutes les suites (un ) sont sym´etrisables pour l’addition : l’oppos´e de la suite de terme g´en´eral un est la suite de terme g´en´eral −un . Seules les suites ne s’annulant jamais sont sym´etrisables pour le produit : l’inverse de la suite 1 . de terme g´en´eral un est alors la suite de terme g´en´eral un – Dans (F(E), ◦), une application est inversible si et seulement si elle est bijective. Son inverse est alors sa bijection r´eciproque. La notation f −1 est donc justifi´ee.
I.9
El´ ements simplifiables
D´ efinition Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Soit x un ´el´ement de E. On dit qu’un ´el´ement x de E est simplifiable (ou encore r´egulier ) si : x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z (1) 2 ∀ (y, z) ∈ E : y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z (2) Remarques – x est simplifiable ⇔ les applications t → x ∗ t et t → t ∗ x sont injectives de E dans E. – On pourrait traduire (1) en disant : x est simplifiable ` a gauche. De mˆeme, (2) signifie : x est simplifiable ` a droite. – Quand la loi ∗ est commutative, les propri´et´es (1) et (2) sont ´equivalentes.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie I : Lois de composition
Propri´ et´ es et exemples – Si la loi ∗ est associative, et si a et b sont simplifiables, alors a ∗ b est simplifiable. – Si (E, ∗) est un mono¨ıde et si x est inversible, alors x est simplifiable. Il suffit par exemple de composer par x−1 `a gauche pour simplifier x dans l’´egalit´e x∗y = x∗z. – La r´eciproque de cette propri´et´e est fausse. En effet, dans (ZZ, ×) par exemple, tous les ´el´ements non nuls sont simplifiables, mais seuls −1 et 1 sont inversibles. – Dans (P(E), ∪), seul ∅ est inversible, donc simplifiable. De mˆeme, seul E est inversible, donc simplifiable dans (P(E), ∩).
I.10
Propri´ et´ es transport´ ees par un morphisme surjectif
Soit f un morphisme de (E, ∗) sur (F, T). – L’ensemble image f (E) est stable pour T. Dans la suite de cette sous-section, on suppose que f est surjectif de E sur F . – Si e est neutre dans (E, ∗) alors f (e) est neutre dans (F, T). Si x0 est le sym´etrique de x dans (E, ∗) alors f (x0 ) est celui de f (x) dans (F, T). – Si la loi ∗ est commutative alors la loi T est commutative. Si la loi ∗ est associative alors la loi T est associative. Un morphisme surjectif “transporte” donc les propri´et´es principales des lois de composition. – Soit x un ´el´ement simplifiable de E. L’´el´ement f (x) peut ne pas ˆetre simplifiable dans F . En revanche, si on suppose que f est bijective, alors f (x) est simplifiable.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie II : Groupes, sous-groupes
II II.1
Groupes, sous-groupes Structure de groupe
D´ efinition Soit G un ensemble muni d’une loi de composition ∗. On dit que (G, ∗) est un groupe si : – (G, ∗) est un mono¨ıde, c’est-`a-dire : La loi ∗ est associative, et il y a un neutre e. (en particulier G 6= ∅.) – Tout ´el´ement de G poss`ede un sym´etrique. Si la loi ∗ est commutative, on dit que (G, ∗) est un groupe commutatif (ou ab´elien). Exemples et remarques – (ZZ, +), (Q, l +), (IR, +) et ( C, l +) sont des groupes commutatifs. – Idem avec ({−1, 1}, ×), (Ql ∗ , ×), (Ql +∗ , ×), (IR∗ , ×), (IR+∗ , ×) et ( Cl ∗ , ×). – Si E est un ensemble et si on note B(E) l’ensemble des bijections de E dans lui-mˆeme (on dit aussi les permutations de E), alors B(E) est un groupe pour la loi de composition des applications (non commutatif d`es que E poss`ede au moins trois ´el´ements). – Dans un groupe, tout ´el´ement est simplifiable (car inversible). – Si a et b sont deux ´el´ements du groupe (G, ∗), les ´equations a ∗ x = b et x ∗ a = b admettent une solution unique, respectivement x = a−1 ∗ b et x = b ∗ a−1 . On peut exprimer cette propri´et´e en disant que les applications x → a ∗ x et x → x ∗ a sont des bijections de G dans lui-mˆeme. Proposition Groupe produit Soit (G, ∗) un groupe, de neutre e. On d´efinit une loi ∗ sur G × G en posant : (a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c, b ∗ d). Muni de cette loi, G × G est un groupe : – Le neutre est (e, e). – L’inverse de (a, b) est (a−1 , b−1 ). G´ en´ eralisation On peut facilement g´en´eraliser `a Gn , pour tout n de IN∗ . Par exemple (IRn , +) est un groupe. Ordre d’un groupe fini Soit (G, ∗) un groupe fini. Le cardinal de l’ensemble G est appel´e l’ordre du groupe. Par exemple, si E de cardinal p, le groupe des permutations de E est d’ordre p!
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie II : Groupes, sous-groupes
Table d’un groupe fini La table d’un groupe fini G = {a1 , a2 , . . . , an } d’ordre n est le tableau (de dimension n × n) des compos´es ai ∗ aj , pour tous les couples (i, j) de [[1, n]]2 . Dans ce tableau, le r´esultat ai ∗ aj vient se placer `a l’intersection de la ligne d’indice i et de la colonne d’indice j. Dans la table de G, chaque ligne et chaque colonne contient une fois et une seule chaque ´el´ement du groupe.
II.2
Sous-groupes
D´ efinition Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de (G, ∗) si : – H est stable pour la loi ∗ : ∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H. – Muni de la loi induite, (H, ∗) poss`ede lui-mˆeme une structure de groupe. Remarque On v´erifie facilement que si H est un sous-groupe de (G, ∗) : – Les groupes (H, ∗) et (G, ∗) partagent le mˆeme ´el´ement neutre. – Le sym´etrique d’un ´el´ement x de H est le mˆeme, que l’on consid`ere x comme un ´el´ement du groupe (H, ∗) ou un ´el´ement du groupe (G, ∗). Proposition (Premi`ere caract´erisation des sous-groupes) Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie de G. H est un sous-groupe de (G, ∗) ⇔ : – H est non vide – H est stable pour la loi ∗ : ∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H. – H est stable pour le “passage `a l’inverse” : ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H. Proposition (Seconde caract´erisation des sous-groupes) Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie de G. ( H est non vide H est un sous-groupe de (G, ∗) ⇔ : ∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y −1 ∈ H. Cas de la notation additive Pour un groupe(G, +) (n´ecessairement commutatif), ces caract´erisations s’´ecrivent : H 6= ∅ H 6= ∅ H sous-groupe de (G, +) ⇔ ∀ x ∈ H, −x ∈ H ⇔ ∀ (x, y) ∈ H 2 , x − y ∈ H ∀ (x, y) ∈ H 2 , x + y ∈ H
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Exemples – Soit (G, ∗) est un groupe de neutre e. Alors {e} et G en sont deux sous-groupes (dits triviaux ). – Dans (ZZ, +), (Q, l +), (IR, +), ( C, l +), chacun est un sous-groupe du suivant. – Mˆeme chose avec ({−1, 1}, ×), (Ql ∗ , ×), (IR∗ , ×), ( Cl ∗ , ×). – De mˆeme, (IR+∗ , ×) est un sous-groupe de (IR∗ , ×). – L’ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de ( Cl ∗ , ×). Proposition (Intersection de sous-groupes) Une intersection quelconque de sous-groupes de G est encore un sous-groupe de G. Remarque C’est faux pour la r´eunion ! Plus pr´ecis´ement, si H et K sont deux sous-groupes de G, H ∪ K est un sous-groupe de G ⇔ H ⊂ K (auquel cas H ∪ K = K) ou K ⊂ H (auquel cas H ∪ K = H). D´ efinition Soit n un ´el´ement de IN. On note nZZ = {kn, k ∈ ZZ}. Remarques – En particulier 0ZZ = {0} et 1ZZ = ZZ. – ∀ (n, p) ∈ IN2 , nZZ ⊂ pZZ ⇔ p | n , et nZZ = pZZ ⇔ n = p. – On pourrait d´efinir les nZZ, n ∈ ZZ, mais c’est sans int´erˆet : ∀ n ∈ ZZ, nZZ = (−n)ZZ. Proposition (Sous-groupes de ZZ) Les sous-groupes de (ZZ, +) sont les nZZ , n ∈ IN. Th´ eor` eme (Th´eor`eme de Lagrange) Soit (G, ∗) un groupe fini, et H un sous-groupe de G. Alors l’ordre de H divise l’ordre de G. Cas particulier Si G est d’ordre premier, ses seuls sous-groupes sont {e} et G.
II.3
Morphismes de groupes
Proposition (Image d’un groupe par un morphisme) Soit (G, ∗) un groupe, et H un ensemble muni d’une loi de composition T. Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T). Alors (f (G), T) est un groupe. On peut donc dire que l’image d’un groupe par un homomorphisme est un groupe.
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Si le groupe (G, ∗) est commutatif, alors le groupe (f (G), T) est commutatif. D´ efinition (Morphismes de groupes) Soient (G, ∗) et (H, T) deux groupes ; on note eH le neutre de H. Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T). On dit que f est un morphisme de groupes. Si f est bijective, f est appel´ee un isomorphisme de groupes. On dit alors que (G, ∗) et (H, T) sont deux groupes isomorphes. Proposition Soit f un morphisme de groupes de (G, ∗) dans (H, T). – Soit G0 un sous-groupe de (G, ∗). Alors f (G0 ) est un sous-groupe de (H, T). -1
– Soit H 0 un sous-groupe de (H, T). Alors f (H 0 ) est un sous-groupe de (G, ∗). Cas particuliers : image et noyau – f (G) est un sous-groupe de (H, T), appel´e image de f , et not´e im (f ). -1
– f ({eH }) = {x ∈ G, f (x) = eH } est un sous-groupe de (G, ∗). Ce sous-groupe est appel´e noyau de f , et not´e ker(f ). Proposition (Caract´erisation de l’injectivit´e d’un morphisme de groupes) Soient (G, ∗) et (H, T) deux groupes. Soit eG le neutre de G. Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T). f est injective ⇔ ker(f ) = {eG }. Remarque On retiendra plus g´en´eralement que : ∀ (x, y) ∈ G 2 , f (x) = f (y) ⇔ x ∗ y −1 ∈ ker(f ), et en notation additive : f (x) = f (y) ⇔ x − y ∈ ker(f ).
II.4
Sous-groupe engendr´ e par un ´ el´ ement
D´ efinition (Puissances enti`eres d’un ´el´ement) Soit (G, ∗) un groupe, d’´el´ement neutre e, et a un ´el´ement de G. On d´efinit les puissances enti`eres an (n ∈ ZZ) de a de la mani`ere suivante : – a0 = e. – ∀ n ∈ IN, an+1 = a ∗ an . – ∀ n ∈ IN, a−n = (a−1 )n = (an )−1 .
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Remarques et propri´ et´ es – ∀ (n, m) ∈ ZZ2 , an ∗ am = an+m , et (an )m = anm . – Si a et b commutent, (a ∗ b)n = an ∗ bn . – En notation additive, la notation an devient na, n ∈ ZZ. Proposition (Sous-groupe engendr´e par une partie) Soit (G, ∗) un groupe, et X une partie non vide quelconque de G. Il existe un plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de (G, ∗) qui contient X : C’est l’intersection de tous les sous-groupes de (G, ∗) qui contiennent X. On l’appelle le sous-groupe de (G, ∗) engendr´e par X. On dit aussi que les ´el´ements de X en constituent un syst`eme g´en´erateur. Proposition Le sous-groupe de (G, ∗) engendr´e par une partie X de G est l’ensemble des produits finis a ∗ b ∗ . . . ∗ z, o` u a, b, . . . , z sont des ´el´ements de X ou des inverses d’´el´ements de X. Proposition (Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement) Soit (G, ∗) un groupe, et a un ´el´ement de G. Le sous-groupe engendr´e par a est not´e (a) et v´erifie : (a) = {am , m ∈ ZZ}. En notation additive, (a) = {ma, m ∈ ZZ}. Proposition (Ordre d’un ´el´ement dans un groupe) Soit (G, ∗) un groupe, de neutre e. Soit a un ´el´ement de G. L’application f d´efinie par f (m) = am est un morphisme de (ZZ, +) dans (G, ∗). L’image de f n’est autre que le sous-groupe (a) de (G, ∗), engendr´e par a. Il existe un unique entier naturel n tel que ker(f ) = nZZ. L’entier n est appel´e l’ordre de a. Premier cas a est d’ordre 0, c’est-`a-dire ker(f ) = {0}. L’application f est donc injective : ∀ (m, p) ∈ ZZ2 , m 6= p ⇒ am 6= ap . f est un isomorphisme du groupe (ZZ, +) sur le groupe ((a), ∗). Le groupe (a) est donc infini et isomorphe `a ZZ. Deuxi` eme cas a est d’ordre n strictement positif. Par d´efinition, on a : ∀ m ∈ ZZ, am = e ⇔ n | m ⇔ ∃ k ∈ ZZ, m = kn. ∀ (m, p) ∈ ZZ2 , am = ap ⇔ n | m − p ⇔ ∃ k ∈ ZZ, m − p = kn. Pour tout entier relatif m, am = ar , o` u r est le reste dans la division de m par n. Le sous-groupe engendr´e par a est fini, d’ordre n : (a) = {ak , 0 ≤ k ≤ n − 1}.
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II.5
Groupes monog` enes, groupes cycliques
D´ efinition On dit qu’un groupe G est monog`ene s’il est engendr´e par l’un de ses ´el´ements a, donc si G = (a) = {am , m ∈ ZZ} (ou {ma, m ∈ ZZ} en notation additive). Un tel groupe est commutatif. Premier cas G est infini (l’´el´ement a est d’ordre 0). Le groupe (G, ∗) est isomorphe `a (ZZ, +) par l’application m → am . Deuxi` eme cas G est fini d’ordre n (l’´el´ement a est d’ordre n > 0). On dit dans ce cas que G est un groupe cyclique : G = {e, a, a2 , . . . , an−1 }. Soit k ∈ [[1, n − 1]] : b = ak est un g´en´erateur de G ⇔ k et n sont premiers entre eux. Proposition Tout groupe fini d’ordre premier est cyclique. Un exemple de groupe cyclique – Soit n un entier naturel non nul. On note Un = {z ∈ C, l z n = 1}. Les ´el´ements de Un sont appel´es racines n-i`emes de l’unit´e. – (Un , ×) est un sous-groupe de ( C, l ×). 2ikπ 2iπ – Un = {exp , k ∈ ZZ} = {ω k , k ∈ ZZ} = (ω), o` u ω = exp . n n – ω ´etant d’ordre n, Un est un groupe cyclique d’ordre n : Un = {1, ω, ω 2 , . . . , ω n−1 }. 2ikπ – Les g´en´erateurs de Un sont les ω k = exp , avec 1 ≤ k ≤ n − 1, et k premier avec n. n – En particulier, si n est premier, tous les ´el´ements de Un (sauf ω 0 = 1) engendrent Un . Remarques et exemples – Cet exemple montre que pour tout n de IN∗ , il existe au moins un groupe d’ordre n . . . D’autre part, tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe au groupe (Un , ×). On peut donc dire que (Un , ×) est le mod`ele du groupe cyclique d’ordre n. – Il existe des groupes finis qui ne sont pas cycliques. Par exemple, pour tout n de IN∗ , le groupe des permutations d’un ensemble `a n ´el´ements est fini d’ordre n! mais il n’est pas cyclique si n > 2 (tout simplement parce qu’il n’est pas commutatif). – U1 = {1} ; U2 = {1, −1} (seul g´en´erateur : −1). 2iπ U3 = {1, j, j 2 }, avec j = exp : les g´en´erateurs sont j et j 2 . 3 U4 = {1, i, −1, −i} : les g´en´erateurs sont i et −i.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie III : Le groupe sym´etrique
III III.1
Le groupe sym´ etrique Le groupe sym´ etrique
D´ efinition Pour tout entier n ≥ 1, on note En = {1, . . . , n}. On appelle groupe sym´etrique d’indice n le groupe not´e Sn de toutes les permutations de En , c’est-`a-dire de toutes les bijections de En sur lui-mˆeme. Sn est effectivement un groupe pour la loi de composition des applications, non commutatif d`es que n ≥ 3, et il est d’ordre n! Notation
Un ´el´ement σ de Sn est repr´esent´e par σ =
1 2 ... n . σ(1) σ(2) . . . σ(n)
1 2 ... n . 1 2 ... n
En particulier l’application identit´e, neutre du groupe Sn , se note Id = 1 2 3 4 5 6 Par exemple, repr´esente l’´el´ement σ de S6 d´efini par : 3 5 1 4 6 2 σ(1) = 3,
σ(2) = 5,
σ(3) = 1,
σ(4) = 4,
σ(5) = 6,
σ(6) = 2
Exemples Si n = 1, le groupe S1 se r´eduit `a l’application identit´e de E1 dans lui-mˆeme. Si n = 2, S2 = {Id, σ}, o` u σ est d´efinie par : σ(1) = 2 et σ(2) = 1. Si n = 3, S3 est form´e de six ´el´ements, qui sont : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ0 = Id = , σ1 = , σ2 = , 1 2 3 1 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ3 = , σ4 = , σ5 = = σ42 2 1 3 2 3 1 3 1 2 On v´erifie par exemple que σ1 ◦ σ3 = σ5 et σ3 ◦ σ1 = σ4 . Donc S3 n’est pas commutatif.
III.2
Cycles et transpositions
D´ efinition (Cycles) Soit σ un ´el´ement de Sn , avec n ≥ 2. Soit p un entier de {2, . . . , n}. On dit que σ est un cycle de longueur p s’il existe p ´el´ements a1 , a2 , . . . , ap distincts de En = {1, . . . , n} tels que : σ(a1 ) = a2 , σ(a2 ) = a3 , . . . , σ(ap−1 ) = ap , σ(ap ) = a1 , et si pour tout ´el´ement b de En \ {a1 , . . . , ap } on a σ(b) = b. On dit alors que l’ensemble {a1 , . . . , ap } est le support du cycle σ (c’est l’ensemble des ´el´ements qui ne sont pas invariants par σ). En g´en´eral, on repr´esente un tel cycle en ´ecrivant σ = ( a1 a2 . . . ap ). Dans Sn , un cycle de longueur n est appel´e une permutation circulaire.
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Exemples 1 2 3 4 5 6 7 σ1 = est le cycle ( 1 5 2 6 4 ). 5 6 3 1 2 4 7 Cette derni`ere notation ne dit pas que la permutation σ1 est un ´el´ement de S7 , mais qu’elle pourrait en fait ˆetre un ´el´ement de Sn pour tout n ≥ 6 (en principe le contexte est clair, mais de toutes fa¸cons c’est sans grande importance). Le support de σ1 est {1, 2, 4, 5, 6}. Les ´el´ements 3 et 7 sont fixes par σ1 . On remarque qu’on peut aussi ´ecrire σ1 = ( 5 2 6 4 1 ), ou σ1 = ( 2 6 4 1 5 ) . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 En revanche σ2 = n’est pas un cycle. 6 5 3 8 7 4 2 1 Cependant on a visiblement σ = s ◦ t = t ◦ s, o` u s = ( 1 6 4 8 ) et t = ( 2 5 7 ). 1 2 3 4 5 6 7 σ3 = est la permutation circulaire ( 1 7 3 6 2 5 4 ). 7 5 6 1 4 2 3 Propri´ et´ es – Si σ = ( a1
a2
. . . ap ) alors σ −1 est le cycle ( ap
ap−1
. . . a1 ).
– Les puissances d’un cycle ne sont pas toujours des cycles. Consid´erons par exemple le cycle σ = ( 1 2 3 4 5 6 ). On constate que σ 2 = ( 1 3 5 ) ◦ ( 2 4 6 ) et σ 3 = ( 1 4 ) ◦ ( 2 5 ) ◦ ( 3 6 ). En revanche σ 5 est le cycle ( 1 6 5 4 3 2 ). Pour ˆetre pr´ecis, et si σ est un cycle de longueur p, on montre que σ k est un cycle si et seulement si k et p sont premiers entre eux. – Soit σ un cycle de longueur p ≥ 2. Alors σ p = Id et ∀ k ∈ {1, . . . , p − 1}, σ k 6= Id. Cela permet de calculer les puissances quelconques du cycle σ. En effet, pour tout entier relatif m, si m = qp + r est la division euclidienne de m par p, alors σ m = σ r . – Deux cycles σ1 et σ2 dont les supports sont disjoints commutent : σ2 ◦ σ1 = σ1 ◦ σ2 . D´ efinition (Transpositions) Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On dit qu’un ´el´ement σ de Sn est une transposition si σ est un cycle de longueur 2, c’est-`a-dire s’il existe deux indices distincts i et j de En tels que σ(i) = j et σ(j) = i, les autres ´elements de En ´etant invariants par σ. Une telle transposition est not´ee ( i j ), ou ( j i ), ou τi,j . Remarques – Une transposition est donc une permutation qui se contente d’´echanger deux ´el´ements. On ne confondra pas les mots “permutation” et “transposition”. −1 2 – On a bien sˆ ur : τi,j = τj,i , τi,j = Id, τi,j = τi,j .
– Soient τa,b et τc,d deux transpositions : τa,b ◦ τc,d = τc,d ◦ τa,b ⇔ – Dans Sn , il y a C 2n =
{a, b} ∩ {c, d} = ∅ ou {a, b} = {c, d}
n(n−1) transpositions. 2
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III.3
D´ ecompositions d’une permutation
Proposition (D´ecomposition en produit de cycles) Toute permutation de Sn (avec n ≥ 2) se d´ecompose en un produit de cycles `a supports deux `a deux disjoints. Cette d´ecomposition est unique `a l’ordre pr`es des facteurs. Un exemple
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Soit la permutation σ = 10 5 9 4 14 3 1 11 12 7 13 6 2 8 On a σ(1) = 10, σ(10) = 7, et σ(7) = 1. Il apparaˆıt donc le cycle σ1 = ( 1 10 7 ). En consid´erant les images successives de 2, on trouve le cycle σ2 = ( 2 5 14 8 11 13 ). En consid´erant les images successives de 3 (qui n’est pas apparu dans les cycles σ1 et σ2 ) on trouve le cycle σ3 = ( 3 9 12 6 ). On constate enfin que σ(4) = 4 et que les autres ´el´ements de {1, . . . , 14} sont tous apparus une fois dans l’un des cycles σ1 , σ2 , σ3 . On peut donc ´ecrire σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 . Les supports de ces cycles sont respectivement {1, 7, 10}, {2, 5, 8, 11, 13, 14} et {3, 9, 6, 12}. Ils sont disjoints deux `a deux : les cycles σ1 , σ2 , σ3 commutent entre eux. On pourrait donc aussi ´ecrire : σ = σ3 ◦ σ2 ◦ σ1 = σ1 ◦ σ3 ◦ σ2 = σ2 ◦ σ3 ◦ σ1 = · · · On en d´eduit ´egalement le calcul des puissances de σ : σ n = (σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 )n = σ1n ◦ σ2n ◦ σ3n . Compte tenu des longueurs des cycles σ1 , σ2 , σ3 , on a : σ13 = Id, σ26 = Id, σ34 = Id. Le ppcm de 3, 6, 4 est 12. On a donc σ 12 = (σ13 )4 ◦ (σ26 )2 ◦ (σ34 )3 = Id. On v´erifie que pour tout entier k compris entre 1 et 12 on a σ k 6= Id. Ainsi la permutation σ est un ´el´ement d’ordre 12 dans S14 : dans ce groupe, σ engendre un groupe cyclique d’ordre 12 : (σ) = {Id, σ, σ 2 , . . . , σ 11 }. Si on veut calculer une puissance particuli`ere de σ, par exemple σ 2000 , on calcule les restes de 2000 dans les divisions euclidiennes par 3, 6, 4. On observe que 2000 ≡ 2 mod 3, 2000 ≡ 2 mod 6 et 2000 ≡ 0 mod 4. On en d´eduit σ 2000 = σ12 ◦ σ22 ◦ σ30 . Or σ12 = ( 1 7 10 ) et σ22 = ( 2 14 11 ) ◦ ( 5 8 13 ). On trouve donc : σ 2000 = ( 1 7 10 ) ◦ ( 2 14 11 ) ◦ ( 5 8 13 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2000 Finalement : σ = 7 14 3 4 8 6 10 13 9 1 2 12 5 11 Alors que σ n’a qu’un point fixe, on constate que σ 2000 en a cinq. Enfin le calcul de σ −1 peut s’effectuer en ´ecrivant : σ −1 = σ1−1 ◦ σ2−1 ◦ σ3−1 = ( 1 7 10 ) ◦ ( 2 13 11 8 14 5 ) ◦ ( 3 6 12 9 ) On pouvait aussi trouver σ −1 directement (en lisant dans σ `a partir de la ligne du bas) : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 −1 σ = 7 13 6 4 2 12 10 14 3 1 8 9 11 5
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Proposition (D´ecomposition d’une permutation en produit de transpositions) Tout cycle de Sn peut s’´ecrire comme un produit de transpositions. Il en d´ecoule que toute permutation de Sn peut s’´ecrire comme un produit de transpositions. Remarques et exemples – Pour d´ecomposer une permutation σ en un produit de transpositions, il est plus commode en g´en´eral d’´ecrire σ comme un produit de cycles `a supports disjoints pour ensuite d´ecomposer chaque σk en un produit de transpositions. Par exemple : 1 2 3 4 5 6 7 8 σ= = (1 4 8)(2 7 5 6) = (1 4)(4 8)(2 7)(7 5)(5 6) 4 7 3 8 6 2 5 1 – Il n’y a pas unicit´e de la d´ecomposition d’une permutation en un produit de transpositions. Par exemple : σ = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) = ( 2 3 ) ( 1 3 )
III.4
Signature d’une permutation
D´ efinition (Inversions d’une permutation) Soit σ un ´el´ement de Sn , avec n ≥ 2. Soient i < j deux ´el´ements distincts de En . On dit que la paire {i, j} est une inversion de σ si σ(i) > σ(j). On note Inv(σ) le nombre d’inversions de la permutation σ. Exemples – Soit σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 . On a Inv(σ) = 19. En effet les inversions de σ sont : 4 7 3 8 6 2 5 1
{1, 3} {1, 6} {1, 8} {2, 3} {2, 5} {2, 6} {2, 7} {2, 8} {3, 6} {3, 8} {4, 5} {4, 6} {4, 7} {4, 8} {5, 6} {5, 7} {5, 8} {6, 8} {7, 8} – Inversions d’une transposition Soient i < j deux ´el´ements distincts de En , et τ la transposition qui ´echange i et j. Les inversions de τ sont {i, i + 1}, {i, i + 2}, . . . , {i, j}, {i + 1, j}, {i + 2, j}, . . . , {j − 1, j}. On constate donc que Inv(τ ) = 2(j − i) + 1. Conclusion : une transposition pr´esente toujours un nombre impair d’inversions. D´ efinition (Signature d’une permutation) Soit σ un ´el´ement de Sn , avec n ≥ 2. Soit Inv(σ) le nombre de ses inversions. La quantit´e ε(σ) = (−1)Inv(σ) est appel´ee signature de σ. On dit que σ est une permutation paire si ε(σ) = 1 donc si σ a un nombre pair d’inversions. Dans le cas contraire, c’est-`a-dire si ε(σ) = −1, ou encore si σ a un nombre impair d’inversions, on dit que σ est une permutation impaire.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie III : Le groupe sym´etrique
Remarques – L’application identit´e est une permutation paire. Elle ne pr´esente en effet aucune inversion. – On sait qu’une transposition pr´esente toujours un nombre impair d’inversions. Toute transposition est donc une permutation impaire. Proposition (Une expression de la signature) Q σ(j)−σ(i) . Soit σ un ´el´ement de Sn . Alors ε(σ) = j−i i
Proposition (Signature de la compos´ee de deux permutations) Soient σ et σ 0 deux ´el´ements de Sn . Alors ε(σ 0 ◦ σ) = ε(σ 0 ) ε(σ). Remarques et propri´ et´ es – La proposition pr´ec´edente peut s’interpr´eter en disant que la signature est un morphisme du groupe (Sn , ◦) sur le groupe ({−1, 1}, ×). Ce morphisme est surjectif puisqu’il existe des permutations paires (par exemple l’identit´e) et des permutations impaires (par exemple les transpositions). – Une permutation σ et son inverse σ −1 ont la mˆeme signature. La compos´ee de deux permutations de mˆeme parit´e est une permutation paire. La compos´ee de deux permutations de parit´es oppos´ees est une permutation impaire. Si σ est une permutation paire, alors pour tout p de ZZ la permutation σ p est paire. Si σ est une permutation impaire, alors la permutation σ p a la parit´e de l’entier relatif p. – La signature d’un cycle de longueur p est (−1)p−1 . Autrement dit : Un cycle de longueur paire est une permutation impaire. Un cycle de longueur impaire est une permutation paire. – Pour calculer la signature de σ ∈ Sn , le plus simple est souvent de d´ecomposer σ en cycles `a supports disjoints σ = σ1 ◦ σ2 ◦ · · · ◦ σp et d’´ecrire ε(σ) = ε(σ1 ) ε(σ2 ) · · · ε(σp ) 1 2 3 4 5 6 7 8 σ1 = ( 1 4 8 ) Par exemple : σ = = σ1 ◦ σ2 avec 4 7 3 8 6 2 5 1 σ2 = ( 2 7 5 6 ) 2 ε(σ1 ) = (−1) = 1 On a . On en d´eduit ε(σ) = −1 : σ est une permutation impaire. ε(σ2 ) = (−1)3 = −1 – La d´ecomposition d’une permutation σ en un produit de transpositions n’est pas unique. Cependant la parit´e du nombre de transpositions apparaissant dans les d´ecompositions de σ est toujours la mˆeme : c’est la parit´e de σ. Par exemple : σ = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) = ( 2 3 ) ( 1 3 ) Le cycle ( 1 2 3 ) est pair : il est toujours le produit d’un nombre pair de transpositions. D´ efinition (Groupe altern´e) Soit n ≥ 2. On appelle groupe altern´e d’indice n et on note An le sous-groupe de Sn form´e des permutations paires.
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Remarques Le groupe altern´e An est le noyau du morphisme “signature”. Il y a autant de permutations paires que de permutations impaires. Ainsi Card(An ) = 21 n!.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV IV.1
Anneaux, sous-anneaux, corps Structure d’anneau
D´ efinition Soit A un ensemble muni de deux lois de composition, not´ees + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau si : – (A, +) est un groupe commutatif (son neutre est en g´en´eral not´e 0). – La loi × est associative et distributive par rapport `a l’addition. – Il existe un ´el´ement neutre pour le produit × (en g´en´eral not´e 1). Si de plus la loi × est commutative, on dit que (A, +, ×) est un anneau commutatif. Exemples – (ZZ, +, ×), (Q, l +, ×), (IR, +, ×) et ( C, l +, ×) sont des anneaux commutatifs. – Si E est un ensemble, (P(E), ∆, ∩) est un anneau commutatif. – Soient (A, +, ×) un anneau et X un ensemble non vide. Soit F(X, A) l’ensemble des applications de X vers A. F(X, A), muni des lois + et × d´eduites de celles de A, est un anneau. ( Le neutre pour l’addition est l’application constante ´egale `a 0. Celui du produit est l’application constante ´egale `a 1. En particulier F(IR, IR) et F(IN, IR) (suites r´eelles) sont des anneaux. – Soit A l’ensemble des applications de Cl dans C, l de la forme z → αz + β z¯. (A, +, ◦) est un anneau non commutatif (le produit est la loi de composition). Anneau nul Soit (A, +, ×) un anneau de neutres 0 (pour la loi +) et 1 (pour la loi ×). Il est possible que les deux ´el´ements 0 et 1 de A soient identiques. Mais dans ce cas A se r´eduit `a {0} (anneau nul, sans grand int´erˆet). Anneau produit Soit (A, +, ×) un anneau.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). On d´efinit des lois + et × sur A × A en posant : (a, b)(c, d) = (ac, bd). ( Le neutre additif est (0, 0). On v´erifie que (A × A, +, ×) est un anneau : Le neutre multiplicatif est (1, 1). On peut g´en´eraliser `a An , pour tout n de IN∗ . Par exemple (IRn , +, ×) est un anneau.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV.2
Calculs dans un anneau
R` egles de calcul Soit (A, +, ×) un anneau (on note 0 le neutre pour +, et 1 le neutre pour ×). Rappelons qu’on note a − b plutˆot que a + (−b). Pour tout (a, b, c) de A3 , et tout entier relatif m, on a : (−a)b = a(−b) = −(ab) a0 = 0a = 0, (−a)(−b) = ab, a(b − c) = ab − ac (a − b)c = ac − bc, a(mb) = (ma)b = m(ab) Sommes et produits. D´ eveloppements Soit (A, +, ×) un anneau. Pour toute famille finie am , am+1 , . . . , an d’´el´ements de A, on pose : am + · · · + an =
n X
et am × · · · × an =
ak
k=m
Si m > n, on pose encore
n X
ak = 0 et
k=m
n Y
ak
k=m n Y
ak = 1.
k=m
On v´erifie les ´egalit´es, pour tout b de A : " n # n X X b ak = (bak ) et k=m
"
k=m
n X
# ak b =
k=m
n X
(ak b)
k=m
Plus g´en´eralement (notations analogues) : " n #" q # " # q q n n X X X X X X aj bk = aj bk = aj b k j=m
k=p
j=m
k=p
j=m k=p
"
#
Si a et b commutent, alors, pour tout n de IN : an+1 − bn+1 = (a − b)
n X
an−k bk
k=0
En particulier : ∗
n
∀ q ∈ A, ∀ n ∈ IN , 1 − q = (1 − q)
n−1 X
q k = (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 )
k=0 n
On en d´eduit que si q = 0, 1 − q est inversible et (1 − q)−1 = 1 + q + · · · + q n−1 Si a et b commutent, on a la formule du binˆome : n
∀ n ∈ IN, (a + b) =
n X
C kn ak bn−k
k=0
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV.3
El´ ements remarquables dans un anneau
Proposition (Groupe des ´el´ements inversibles) Soit A un anneau non nul. On note A∗ l’ensemble des ´el´ements de A inversibles pour le produit. A∗ est un groupe pour la loi ×. Remarques – On note que A∗ ⊂ A − {0}. Il peut y avoir inclusion stricte. Par exemple, ZZ∗ = {−1, 1}. – Dans l’anneau (F(IR), +, ×) des fonctions de IR dans IR, les fonctions qui sont inversibles pour le produit sont celles qui ne s’annulent jamais. 1 L’inverse d’une telle fonction f est . f On ne confondra pas avec la bijection inverse pour la composition des applications. D´ efinition (Diviseurs de z´ero) Soit A un anneau non r´eduit `a {0}. Soit a un ´el´ement non nul de A. On dit que a est un diviseur de z´ero s’il existe b dans A, non nul, tel que ab = 0 ou ba = 0. Exemples et remarques – Dans (A2 , +, ×) les couples (a, 0) et (0, a), o` u a 6= 0, sont des diviseurs de z´ero. – a est un diviseur de z´ero ⇔ a est non simplifiable pour le produit. – Si a est inversible, il est simplifiable, et n’est donc pas un diviseur de z´ero. En prenant la contrapos´ee : si a est un diviseur de z´ero, il n’est pas inversible. – Ces deux notions ne sont cependant pas ´equivalentes. Par exemple 2 n’est pas inversible dans l’anneau (ZZ, +, ×), et pourtant ce n’est pas un diviseur de z´ero (il est simplifiable). D´ efinition (Anneau int`egre) On dit qu’un anneau (A, +, ×) est int`egre s’il est commutatif et sans diviseur de z´ero. Un anneau int`egre est donc un anneau commutatif A dans lequel ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0. Exemples – (ZZ, +, ×), (Q, l +, ×), (IR, +, ×) et ( C, l +, ×) sont des anneaux int`egres. – Si (A, +, ×) est non nul, les anneaux (An , +, ×) (n ≥ 2) ne sont pas int`egres. – Soit E un ensemble contenant au moins deux ´el´ements. L’anneau commutatif (P(E), ∆, ∩) n’est pas int`egre : ∀ X ⊂ E, X ∩ X = ∅.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
D´ efinition (El´ements nilpotents) Soit A un anneau non r´eduit `a {0}. Soit a un ´el´ement non nul de A. On dit que a est nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que an = 0. Avec ces notations, ∀ p ≥ n, ap = 0. Le plus petit entier n tel que an = 0 est appel´e indice de nilpotence de a. Propri´ et´ es et exemples – Si a est nilpotent, alors a est un diviseur de 0. Il n’est donc pas inversible. – Si a et b commutent et sont nilpotents, a + b est nul ou nilpotent. – Soit (A, +, ◦) l’anneau des applications z → αz + β z¯, avec (α, β) ∈ Cl 2 . L’application f : z → iz + z¯ est nilpotente, car f ◦ f = 0 (application nulle).
IV.4
Sous-anneaux
D´ efinition Soit (A, +, ×) un anneau (on note 1 le neutre pour le produit). Soit B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de (A, +, ×) si : – 1∈B – ∀ (a, b) ∈ B 2 , a + b ∈ B (stabilit´e pour la loi +) – ∀ (a, b) ∈ B 2 , ab ∈ B (stabilit´e pour la loi ×) – Muni des lois induites, (B, +, ×) poss`ede lui-mˆeme muni d’une structure d’anneau. Proposition (Caract´erisation d’un sous-anneau) B est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si : • 1 ∈ B • ∀ (a, b) ∈ B 2 , a − b ∈ B • ∀ (a, b) ∈ B 2 , ab ∈ B Exemples – Dans (ZZ, +, ×), (Q, l +, ×), (IR, +, ×), ( C, l +, ×), chacun est un sous-anneau du suivant. – Le seul sous-anneau de (ZZ, +, ×) est (ZZ, +, ×) lui-mˆeme. – Soit D l’ensemble {m10−n , m ∈ ZZ, n ∈ IN} de tous les nombres d´ecimaux. D est un sous-anneau de (Q, l +, ×). √ – L’ensemble {r + s 2, (r, s) ∈ Ql 2 } est un sous-anneau de (IR, +, ×). D´ efinition (Morphismes d’anneaux) Soient (A, +, ×) et (B, +, ×) deux anneaux. On note 1A et 1B les neutres multiplicatifs. On note 0A et 0B les neutres additifs. On dit qu’une application f de A vers B est un morphisme d’anneaux si : – f (1A ) = 1B – ∀ (a, b) ∈ A2 , f (a + b) = f (a) + f (b) – ∀ (a, b) ∈ A2 , f (ab) = f (a)f (b)
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
Remarques – En particulier, f est un morphisme de groupes, de (A, +) vers (B, +). – On note encore ker(f ) = {a ∈ A, f (a) = 0B }. ∀ (a, b) ∈ A2 , f (a) = f (b) ⇔ b − a ∈ ker(f ). – Le morphisme f est injectif ⇔ ker(f ) = {0A }.
IV.5
Structure de corps
D´ efinition Soit K un ensemble muni de deux lois + et ×. On dit que (K, +, ×) est un corps si : – (K, +, ×) est un anneau commutatif non r´eduit `a {0}. – K ∗ = K − {0}, c’est-`a-dire tout ´el´ement non nul de K est inversible pour le produit. Exemples et remarques – (Q, l +, ×), (IR, +, ×) et ( C, l +, ×) sont des corps, mais pas (ZZ, +, ×). – Dans un corps, tous les ´el´ements non nuls sont simplifiables. Il n’y a donc pas de diviseur de 0, et `a fortiori pas d’´el´ement nilpotent. – Un corps est un cas particulier d’anneau int`egre (xy = 0 implique x = 0 ou y = 0). – Si (K, +, ×) est un corps, (K 2 , +, ×) n’est pas un corps (idem avec K n , si n ≥ 2). D´ efinition (Sous-corps) Soit (K, +, ×) un corps. On dit qu’une partie L de K est un sous-corps de (K, +, ×) si : – L est un sous anneau de (K, +, ×) – ∀ x ∈ L, avec x 6= 0, x−1 ∈ L. – Muni des lois induites, (L, +, ×) poss`ede alors lui-mˆeme une structure de corps. Proposition (Caract´erisation des sous-corps) L est un sous-corps de (K, +, ×) ⇔ : – 1∈L – ∀ (x, y) ∈ L2 , x − y ∈ L – ∀ (x, y) ∈ L2 , avec y 6= 0, xy −1 ∈ L. Remarques et exemples – Si L est un sous-corps de (K, +, ×), on dit que K est une extension de (L, +, ×). – Dans (Q, l +, ×), (IR, +, ×), ( C, l +, ×), chacun est un sous-corps du suivant. – Le seul sous-corps de (Q, l +, ×) est lui-mˆeme. √ – L’ensemble {r + s 2, (r, s) ∈ Ql 2 } est un sous-corps de (IR, +, ×).
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
D´ efinition (Morphisme de corps) Soient (K, +, ×) et (L, +, ×) deux corps. On dit qu’une application f de K dans L est un morphisme de corps si f est un morphisme de l’anneau (K, +, ×) dans l’anneau (L, +, ×), c’est-`a-dire si : – f (1K ) = 1L – ∀ (x, y) ∈ K 2 , f (x + y) = f (x) + f (y) – ∀ (x, y) ∈ K 2 , f (xy) = f (x)f (y) Si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de corps. Proposition (Corps des fractions d’un anneau int`egre) Soit (A, +, ×) un anneau int`egre. Il existe un corps (K, +, ×), unique `a un isomorphisme pr`es, tel que (A, +, ×) est un sousanneau de K, et tel que K = {ab−1 , (a, b) ∈ A2 , b 6= 0}. On dit que K est le corps des fractions de l’anneau int`egre A. Remarques et exemples – Dire que K est unique `a un isomorphisme pr`es, c’est dire que si K et K 0 r´epondent `a la question, alors il existe un isomorphisme f de corps de (K, +, ×) sur (K 0 , +, ×). – (Q, l +, ×) est le corps des fractions de l’anneau int`egre (ZZ, +, ×). – C’est la proposition pr´ec´edente qui permet de construire le corps (K(X), +, ×) des fractions rationnelles `a coefficients dans K, `a partir de l’anneau int`egre (K[X], +, ×) des polynˆomes `a coefficients dans K.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie V : Arithm´etique ´el´ementaire
V V.1
Arithm´ etique ´ el´ ementaire Bases de num´ eration dans N
Proposition (Num´eration en base b) Soit b un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. p P Tout entier n ≥ 1 s’´ecrit de mani`ere unique n = cp bp + cp−1 bp−1 + · · · + c1 b + c0 = c k bk , k=0 avec : p ∈ IN, ∀ k ∈ {0, . . . , p}, ck ∈ [[ 0, . . . , b−1 ]] et cp 6= 0. On pose alors n = cp cp−1 . . . c1 c0 et on parle de l’´ecriture de n en base b. On dit que cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 sont les chiffres de la repr´esentation de n en base b. Exemples – On utilise le plus souvent les bases b = 2 (num´erotation binaire, les chiffres sont 0 et 1), b = 8 (num´erotation octale, les chiffres sont 0, 1, . . . , 7), b = 10 (num´erotation d´ecimale, les chiffres sont 0, 1, . . . , 9), ou b = 16 (num´erotation hexad´ecimale, les chiffres sont 0, 1, . . . , 9 puis A, B, C, D, E, F qui remplacent respectivement 10, 11, 12, 13, 14, 15). – L’entier n = 2001 (en num´eration d´ecimale) s’´ecrit n = 11111010001 en num´eration binaire, n = 3721 en num´eration octale, et n = 7D1 en num´eration hexad´ecimale. Interpr´ etation et calcul des chiffres en base b – Si n = cp cp−1 . . . c1 c0 , alors c0 est le reste dans la division euclidienne de n par la base b, et q = cp cp−1 . . . c1 est le quotient dans cette division. Les chiffres c0 , c1 , . . . , cp sont donc les restes obtenus successivement dans des divisions r´ep´et´ees par b (jusqu’`a obtenir un quotient nul, cp ´etant le reste dans cette derni`ere division). L’´ecriture de b en base b est 10. Celle de bm est 10 . . . 0 (le chiffre 1 suivi par m chiffres 0). – Si n = cp cp−1 . . . c1 c0 et si 1 ≤ m ≤ p, les entiers cp cp−1 . . . cm et cm−1 . . . c1 c0 repr´esentent respectivement le quotient et le reste dans la division de n par bm . Comparaison de deux nombres ´ ecrits en base b – Soient n = cp cp−1 . . . c1 c0 et m = dq dq−1 . . . d1 d0 , avec la convention cp 6= 0 et dq 6= 0. Si p 6= q, alors n et m sont dans le mˆeme ordre que p et q. Si p = q, alors n et m sont dans le mˆeme ordre que les (p + 1)-uplets (cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 ) et (dp , dp−1 , . . . , d1 , d0 ) class´es suivant l’ordre lexicographique (c’est-`a-dire d´epartag´es par la premi`ere in´egalit´e entre chiffres de mˆeme rang, dans une lecture de gauche `a droite.) – Les entiers qui s’´ecrivent n = cp−1 . . . c1 c0 (c’est-`a-dire avec p chiffres) sont ceux compris entre bp−1 = 10 . . . 0 (le chiffre 1 suivi de p − 1 fois le chiffre 0) et bp − 1 = αα . . . α (p fois le chiffre not´e ici α et correspondant `a la valeur b − 1.)
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie V : Arithm´etique ´el´ementaire
Somme de deux nombres ´ ecrits en base b – Soient x et y deux entiers naturels non nuls. Quitte `a rajouter en tˆete des chiffres ´egaux `a 0, on peut supposer que les ´ecritures en base b des entiers x et y ont la mˆeme longueur. p p p P P P Si x = xp . . . x1 x0 = xk bk et y = yp . . . y1 y0 = yk bk , on a z = x + y = (xk + yk )bk . k=0
k=0
k=0
Dans cette ´ecriture, les entiers xk +yk sont compris entre 0 et 2b−2. Ils peuvent ˆetre sup´erieurs `a b − 1 et ne repr´esentent donc pas en g´en´eral les chiffres zk de z = x + y. Pour obtenir cette repr´esentation, il faut utiliser et reporter une retenue de 1 `a chaque fois que la somme interm´ediaire obtenue est sup´erieure ou ´egale `a b. La proc´edure Maple suivante additionne deux entiers repr´esent´es par les listes X et Y de leurs chiffres (aucun test n’est effectu´e sur la validit´e des arguments). On place dans x la plus longue des deux listes (l’autre est compl´et´ee par des 0) et on forme la somme dans la liste x : somme:=proc(X,Y) global base; local x,y,n,r,k: if nops(X)>=nops(Y) then x:=X: y:=Y else x:=Y: y:=X fi; n:=nops(x): y:=[0$n-nops(y),op(y)]; r:=0; for k from n to 1 by -1 do x[k]:=x[k]+y[k]+r; if x[k]>=base then x[k]:=x[k]-base: r:=1 else r:=0 fi; od; if r=1 then [1,op(x)] else x fi; end: Produit de deux nombres ´ ecrits en base b – Le produit de n = cp cp−1 . . . c1 c0 par la base b s’´ecrit cp cp−1 . . . c1 c0 0. Plus g´en´eralement le produit par bm s’obtient en ajoutant m fois le chiffre 0 `a la droite de la repr´esentation de n. – Soient x et y deux entiers naturels non nuls, ´ecrits en base b : p q P P Si x = xp . . . x1 x0 = xj bj et y = yq . . . y1 y0 = yk bk (avec xp 6= 0 et yq 6= 0). j=0
Alors le produit z = xy peut s’´ecrire z =
k=0 p P
x j bj y =
j=0
Notons tj =
q P
p P q P
xj yk bk+j .
j=0 k=0
xj yk bk+j le produit de y par xj bj .
k=0
En base b, on peut ´ecrire tj = (xj yq ) . . . (xj y1 )(xj y0 )0 . . . 0 (il y a j chiffres 0 `a la fin). En fait, il n’en est pas exactement ainsi car les produits xj yk peuvent atteindre et d´epasser la valeur de b : le calcul des chiffres de tj s’effectue donc en utilisant une retenue r. Contrairement `a l’op´eration d’addition, o` u r ne pouvait prendre que les valeurs 0 et 1, la retenue peut ici prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et b − 1, c’est-`a-dire ˆetre un chiffre quelconque dans la base de num´eration b. En effet : le produit de deux entiers a, b de [[0, b−1]], s’il est affect´e d’une retenue r de [[0, b−1]], conduit `a un r´esultat inf´erieur ou ´egal `a (b − 1)2 + r donc inf´erieur ou ´egal `a b(b − 1). Modulo b, ce r´esultat produit donc `a son tour une retenue inf´erieure ou ´egale `a b − 1.
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´matiques Cours de Mathe ´tique Groupes, anneaux, corps, arithme Partie V : Arithm´etique ´el´ementaire
L’algorithme de multiplication consiste donc `a former et `a additionner successivement les produits partiels tj . Voici une proc´edure Maple effectuant le produit de deux entiers rep´esent´es par les listes x et y de leurs chiffres (aucun test n’est effectu´e sur la validit´e des arguments). > produit:=proc(x,y) global base; local nx,ny,j,k,r,z,xj; nx:=nops(x); ny:=nops(y); z:=[0$nx+ny]; for j from nx to 1 by -1 do xj:=x[j]: r:=0; for k from ny to 1 by -1 do z[j+k]:=irem(z[j+k]+xj*y[k]+r,base,’r’); od; z[j]:=r; od; if r=0 then subsop(1=NULL,z) else z fi; end: Voici un exemple d’utilisation de la proc´edure produit (en base 10, ce qui permet de v´erifier facilement que le r´esultat est correct) : > base:=10: produit([9,9,7,3,8,2],[9,3,1,5]), 997382*9315; [9, 2, 9, 0, 6, 1, 3, 3, 3, 0],
9290613330
Exponentiation rapide – Soit E un mono¨ıde, dont la loi est not´ee par juxtaposition. Soit a un ´el´ement de E et n un entier naturel non nul. Pour calculer an il est inefficace d’effectuer le produit de n exemplaires de a, car on peut obtenir le mˆeme r´esultat avec beaucoup moins d’op´erations en utilisant la repr´esentation de l’exposant n en base 2. p P – Posons en effet n = bp . . . b1 b0 = bk 2k (pour tout k, bk = 0 ou bk = 1.) k=0 P k Q 2k a . Notons S l’ensemble des k de {0, . . . , p} tels que bk = 1. Alors n = 2 puis an = k∈S 2k
k∈S
u2k .
Il suffit donc de calculer les uk = a . Or u0 = a et pour tout k on a uk+1 = On calcule donc les uk (pour k ∈ S) par des ´el´evations au carr´e successives, et on les multiplie. On calcule les chiffres binaires bk de n par divisions successives par 2 (le premier dividende est n, le suivant est le quotient entier de n par 2, etc.) Le chiffre bk est le reste dans la (k + 1)-i`eme division : k est dans S si le dividende de la (k + 1)-i`eme division est impair. – Par exemple 1234 = 10011010010. Pour calculer a1234 , il suffit donc de calculer u1 = a2 (une ´el´evation au carr´e) 4
u4 = a2 = ((u21 )2 )2 (trois ´el´evations au carr´e) 6
u6 = a2 = (u24 )2 (deux ´el´evations au carr´e) 7
u7 = a2 = u26 (une ´el´evation au carr´e)
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10
u10 = a2 = ((u27 )2 )2 (trois ´el´evations au carr´e) On a alors a1234 = u10 u7 u6 u4 u1 (quatre produits). Ainsi 14 produits suffisent `a calculer a1234 . – La proc´edure Maple suivante calcule la puissance n-i`eme d’un ´el´ement a. Pour garder toute sa g´en´eralit´e au calcul, on appelle une fonction nomm´ee produit pour effectuer les multiplications interm´ediaires. On utilise ´egalement une variable globale nomm´ee neutre pour repr´esenter l’´el´ement neutre du mono¨ıde. > puissance:=proc(a,N::nonnegint) global neutre;local n,u,p; n:=N; u:=a; p:=neutre; while n<>0 do if type(n,odd) then p:=produit(u,p) fi; u:=produit(u,u); n:=iquo(n,2); end; eval(p); end: Voici un exemple d’exponentiation d’un entier ´ecrit dans une base de num´eration (ici la base 10 pour v´erifier le r´esultat). On utilise la fonction produit d´efinie pr´ec´edemment. > neutre:=[1]: base:=10: > puissance([4,2,8,3],5),4283^5; [1, 4, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 9, 0, 1, 1, 0, 5, 8, 1, 6, 4, 3], 1441253490110581643 Programmation r´ ecursive de l’exponentiation rapide On peut aussi utiliser une programmation r´ ecursive, en notant que an peut ˆetre d´efini par 2 2 an = an/2 si n est pair et an = a a(n−1)/2 si n est impair. Voici une proc´edure Maple utilisant cette m´ethode, avec le mˆeme exemple d’utilisation : > rec_puissance:=proc(a,n::nonnegint) local t; if n=0 then neutre else t:=rec_puissance(a,iquo(n,2)); t:=produit(t,t); if type(n,odd) then produit(a,t) else eval(t) fi; fi; end: > neutre:=[1]: base:=10: > rec_puissance([4,2,8,3],5),4283^5; [1, 4, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 9, 0, 1, 1, 0, 5, 8, 1, 6, 4, 3], 1441253490110581643 Application au calcul matriciel On peut utiliser les proc´edures pr´ec´edentes pour calculer les puissances d’une matrices carr´ee. Voici d’abord comment modifier la d´efinition de la proc´edure produit et de l’´el´ement neutre : > produit:=(A,B)->evalm(A&*B): neutre:=&*(): On calcule ici la puissance quinzi`eme d’une matrice carr´ee d’ordre 2 (´evidemment il y a une fonction int´egr´ee `a Maple pour v´erifier le r´esultat) :
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> A:=matrix([[4,-1],[2,-3]]): > puissance(A,15),rec_puissance(A,15),evalm(A&^15); " # " # " # 351343134 −52871731 351343134 −52871731 351343134 −52871731 , , 105743462 −18758983 105743462 −18758983 105743462 −18758983 Si A =
1
1
1
0
! n
alors A =
Fn+1
Fn
Fn
Fn−1
!
, o` u Fn est terme d’indice n de la suite de Fibonacci,
d´efinie par F1 = F2 = 1 et Fn = Fn−1 + Fn−2 . > A:=matrix([[1,1],[1,0]]): puissance(A,125); " # 96151855463018422468774568 59425114757512643212875125 59425114757512643212875125 36726740705505779255899443 On v´erifie le r´esultat avec la fonction int´egr´ee fibonacci du package combinat : > with(combinat): fibonacci(124); fibonacci(125); fibonacci(126); 36726740705505779255899443 59425114757512643212875125 96151855463018422468774568
V.2
Divisibilit´ e dans Z
D´ efinition Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que b est un diviseur de a, ou encore que a est un multiple de b, et on note b | a, s’il existe un entier relatif q tel que a = qb. D´ efinition Pour tout n de ZZ, on note nZZ = {qn, q ∈ ZZ} l’ensemble des multiples de n. On note D(n) l’ensemble des diviseurs de n. Pour tous a, b dans ZZ, on a donc : a | b ⇔ b ∈ aZZ ⇔ a ∈ D(b). Remarques et propri´ et´ es – On a bien sˆ ur nZZ = (−n)ZZ et D(n) = D(−n) ce qui permettrait de se limiter `a n ≥ 0. Par exemple 2ZZ est l’ensemble des entiers relatifs pairs. On rappelle que les nZZ sont les sous-groupes de (ZZ, +). – 0 est multiple de tout entier b (car 0 = 0b) mais ne divise que lui-mˆeme (car a = q0 ⇒ a = 0.) Les entiers 1 et −1 divisent tous les entiers relatifs (a = a1 = (−a)(−1)) mais ils ne sont multiples que d’eux mˆemes (qb ∈ {−1, 1} ⇒ b ∈ {−1, 1}). Ainsi 0ZZ = {0}, 1ZZ = ZZ, D(0) = ZZ et D(1) = {−1, 1}.
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– En posant a | b, on d´efinit une relation binaire sur ZZ qui est r´eflexive et transitive. Contrairement `a sa restriction `a IN, elle n’est pas antisym´etrique (donc ce n’est pas une a|b ⇔ | a | = | b |. relation d’ordre). En effet : ∀ (a, b) ∈ ZZ2 , b|a – Pour tous entiers relatifs a, b, on a : aZZ ⊂ bZZ ⇔ b | a ⇔ D(b) ⊂ D(a). On en d´eduit aZZ = bZZ ⇔ | a | = | b | ⇔ D(a) = D(b). D´ efinition (division euclidienne dans ZZ) Soit (a, b) dans ZZ × IN∗ . Il existe un unique couple (q, r) de ZZ × IN tel que a = bq + r et 0 ≤ r ≤ b − 1 Le passage du couple (a, b) au couple (q, r) s’appelle division euclidienne de a par b. Dans cette division, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient, et r le reste. Remarques – Soient a, b deux entiers relatifs, avec b > 0. Dire que b divise a (ou encore que a appartient `a bZZ) c’est dire que le reste dans la division de a par b est nul. – Le quotient entier dans la division de a par b est la partie enti`ere du rationnel ab . – Soit n dans IN∗ . La relation x ≡ y ⇔ y − x ∈ nZZ (c’est-`a-dire⇔ n | y − x) est une relation d’´equivalence sur ZZ (appel´ee relation de congruence modulo n). On a x ≡ y ⇔ x et y ont le mˆeme reste dans la division par n. Tout entier x est en relation avec un unique r de {0, . . . , n − 1}, l’entier r ´etant le reste dans la division de x par n. On note ZZ/nZZ = {0, 1, . . . , n − 1} l’ensemble des classes d’´equivalence.
V.3
Pgcd de deux entiers relatifs
Proposition Soit (G, +) un groupe ab´elien. Soient H et K deux sous-groupes de G. On note H + K = {h + k, h ∈ H, k ∈ K}. Alors H + K est un sous-groupe de G qui contient H et K. Plus pr´ecis´ement H + K est le plus petit sous-groupe de G qui contient H et K : c’est donc le sous-groupe de G engendr´e par H ∪ K. Remarque Ce r´esultat peut ˆetre g´en´eralis´e `a une famille finie H1 , . . . , Hn de sous-groupes de (G, +) : n S H1 + · · · + Hn = {h1 + · · · + hn , hk ∈ Hk } est le sous-groupe de G engendr´e par Hk . k=1
D´ efinition (pgcd de deux entiers) Soient a et b deux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturel n tel que aZZ + bZZ = nZZ. On dit que n est le pgcd de a et de b. On note n = pgcd(a, b), ou n = a ∧ b.
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Remarque Par construction, il existe des entiers u et v tels que a ∧ b = au + bv. R´eciproquement tout entier qui s’´ecrit au + bv est un multiple de a ∧ b. Proposition (caract´erisation du pgcd) Soient a et b deux entiers relatifs, et soit n = a ∧ b. D’une part n divise a et b. D’autre part tout diviseur de a et b divise n. Ces propri´et´es caract´erisent enti`erement l’entier n = a ∧ b. Autrement dit, a ∧ b est l’unique entier naturel n tel que D(n) = D(a) ∩ D(b). Remarques et propri´ et´ es – Si a = b = 0 alors n = 0 ∧ 0 = 0 (les diviseurs communs `a a et b sont tous les entiers relatifs.) – Si a et b ne sont pas tous deux nuls, alors n = a ∧ b est strictement positif. L’entier n est alors le plus grand ´el´ement de D(n) c’est-`a-dire le plus grand des diviseurs communs des entiers a et b. Cette propri´et´e justifie l’appellation “pgcd”. – Pour tous entiers relatifs a et b, on a : a ∧ b = b ∧ a = | a | ∧ b = a ∧ | b | = | a | ∧ | b |. Pour tout a de ZZ : a ∧ 0 = | a |, et a ∧ 1 = 1. On a l’´egalit´e a ∧ b = | a | si et seulement si a divise b. – Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : a ∧ b = (a − kb) ∧ b. – Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : (ka) ∧ (kb) = | k| (a ∧ b). De mˆeme, si k est un diviseur commun `a a et b, on a : ka ∧ kb = a∧b |k|. Proposition (Algorithme d’Euclide) Soient a et b deux entiers relatifs. On veut calculer a ∧ b. On suppose b 6= 0 (sinon a ∧ b = | a |) et mˆeme b > 0 (quitte `a remplacer b par −b). Soit a = bq1 + r1 la division euclidienne de a par b : on sait que 0 ≤ r1 < b. On a pgcd(a, b) = pgcd(b, r1 ). Si r1 = 0 alors pgcd(a, b) = b. Sinon, soit b = r1 q2 + r2 la division euclidienne de b par r1 . On a 0 ≤ r2 < r1 . Si r2 = 0, alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r1 ) = r1 . Sinon on divise r1 par r2 , et le proc´ed´e se poursuit. On forme ainsi une suite b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 strictement d´ecroissante d’entiers. On peut passer de rk `a rk+1 tant que rk 6= 0. Cette suite de premier terme b est n´ecessairement finie. Il existe donc un entier naturel n tel que rn > 0 et rn+1 = 0. On a alors pgcd(a, b) = rn . Ainsi pgcd(a, b) est le dernier reste non nul dans cette succession de divisions.
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Utilisation de Maple La proc´edure suivante calcule le pgcd de deux entiers naturels a et b. > euclide:=proc(A::nonnegint,B::nonnegint) local a,b,r; a:=A; b:=B; while b>0 do r:=irem(a,b); a:=b; b:=r; od; a; end: Voici un exemple d’utilisation, et la confirmation du r´esultat avec la fonction int´egr´ee igcd : > euclide(267914296,317811), igcd(267914296,317811); 377, 377 Voici le d´etail des calculs, qui ne demandent que trois divisions : 267914296 = 842 ∗ 317811 + 317434,
317811 = 1 ∗ 317434 + 377 317434 = 842 ∗ 377
On peut ´egalement utiliser une m´ethode r´ecursive tr`es simple : > euclide_rec:=proc(a::nonnegint,b::nonnegint) if b=0 then a else euclide_rec(b,irem(a,b)) fi end: > euclide_rec(267914296,317811); 377
V.4
Entiers premiers entre eux
D´ efinition Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont premiers entre eux (ou encore ´etrangers) si a ∧ b = 1. Cela ´equivaut `a dire que les seuls diviseurs communs `a a et b sont 1 et −1. Il revient au mˆeme d’´ecrire D(a) ∩ D(b) = {−1, 1}. Proposition (identit´e de Bezout) Soient a et b deux entiers relatifs. a et b sont premiers entre eux⇔il existe deux entiers relatifs u, v tels que au + bv = 1. Th´ eor` eme (Th´eor`eme de Gauss) Soient a, b, c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
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Remarques et propri´ et´ es – Deux entiers relatifs a et b non nuls sont premiers entre eux si et seulement si le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide des divisions successives est ´egal `a 1. – Soient a et b deux entiers relatifs (non tous deux nuls), et d leur pgcd. Les deux entiers a0 et b0 tels que a = da0 et b = db0 sont premiers entre eux. a a0 Le rationnel r = admet donc la forme simplifi´ee (on dit aussi irr´eductible) r = 0 . b b La forme irr´eductible de r ∈ Ql ∗ est unique si on impose au d´enominateur d’ˆetre > 0. – Soient u, v deux entiers relatifs premiers entre eux. Pour tout entier δ > 0, le pgcd des entiers a = δu et b = δv est ´egal `a δ. – Soient a, b, c trois entiers relatifs. Si a est premiernavec b et avec c, alors il est premier avec bc. a∧b=1 ⇒ a ∧ (bc) = 1. Autrement dit a∧c=1 Plus g´en´eralement si pour tous indices j et k les entiers aj et bk sont premiers entre eux, alors les produits a1 a2 . . . am et b1 b2 · · · bn sont premiers entre eux. En particulier : a ∧ b = 1 ⇒ am ∧ bn = 1. – R´eciproquement si un entier a est premier avec le produit bc, il est premier avec b et avec c. Plus g´en´eralement si les produits a1 a2 . . . am et b1 b2 · · · bn sont premiers entre eux, alors chacun des aj est premier avec chacun des bk . – Soient a, b, c trois entiers relatifs. On suppose que a et b divisent c et que a ∧ b = 1. Alors le produit ab divise c. Plus g´en´eralement si les entiers a1 , a2 , . . . , an sont premiers entre eux deux `a deux, et si chacun des ak divise l’entier c, alors le produit a1 a2 . . . an divise c.
V.5
R´ esolution dans Z de l’´ equation ax+by=c
Proposition (r´esolution de ax + by = 1) Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. Alors il existe une infinit´e de couples (x, y) de ZZ2 tels que ax + by = 1. x = x0 + kb Si (x0 , y0 ) est l’un d’eux, les autres sont donn´es par avec k ∈ ZZ. y = y0 − ka Proposition (r´esolution de ax + by = a ∧ b) Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soient a0 et b0 les entiers (premiers entre eux) tels que a = (a ∧ b)a0 et b = (a ∧ b)b0 . Il existe une infinit´e de couples (x, y) de ZZ2 tels que ax + by = a ∧ b. Chacun d’eux est appel´e un couple de coefficients de Bezout de (a, b). x = x0 + kb0 Si (x0 , y0 ) est l’un d’eux, les autres sont donn´es par avec k ∈ ZZ. y = y0 − ka0
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Recherche d’un couple de coefficients de Bezout – On applique l’algorithme d’Euclide au couple (| a |, | b |). On forme ainsi des divisions successives rk−1 = qk rk +rk+1 avec au d´epart r0 = | a | et r1 = | b |. La derni`ere de ces divisions s’´ecrit rn−1 = qn rn (donc rn+1 = 0). Le pgcd de a et b est ´egal `a rn (dernier reste non nul). L’avant derni`ere division rn−2 = qn−1 rn−1 + rn donne alors a ∧ b = rn−2 − qn−1 rn−1 . La division pr´ec´edente rn−3 = qn−2 rn−2 + rn−1 permet alors d’exprimer rn−1 et donc a ∧ b en fonction de rn−2 et de rn−3 . En “remontant” les calculs, on obtient ainsi une expression de a ∧ b sous la forme ax + by, ce qui fournit une solution particuli`ere au probl`eme. – Voici comment calculer une solution de ax + by = a ∧ b, avec a = 14938 et b = 9471. On effectue d’abord les calculs de la premi`ere colonne, qui donnent a ∧ b = 77. On effectue ensuite ceux de la deuxi`eme colonne, qui donnent 26a − 41b = 77. 14938 = 9471 = 5467 = 4004 = 1463 = 1078 = 385 = 308 =
1 · 9471 + 5467 1 · 5467 + 4004 1 · 4004 + 1463 2 · 1463 + 1078 1 · 1078 + 385 2 · 385 + 308 1 · 308 + 77 4 · 77
77 = 77 = 77 = 77 = 77 = 77 = 77 =
385 − 308 385 − (1078 − 2 · 385) = 3 · 385 − 1078 3(1463 − 1078) − 1078 = −4 · 1078 + 3 · 1463 −4 · (4004 − 2 · 1463) + 3 · 1463 = 11 · 1463 − 4 · 4004 11 · (5467 − 4004) − 4 · 4004 = −15 · 4004 + 11 · 5467 −15 · (9471 − 5467) + 11 · 5467 = 26 · 5467 − 15 · 9471 26 · (14938 − 9471) − 15 · 9471 = 26 · 14938 − 41 · 9471
– M´ethode r´ecursive Soit a = bq + r la division euclidienne de a par b. Soit (x0 , y 0 ) un couple v´erifiant bx0 + ry 0 = b ∧ r. Alors a ∧ b = b ∧ r = bx0 + (a − bq)y 0 = ay 0 + b(x0 − qy 0 ). Autrement dit, le couple (x = y 0 , y = x0 − qy 0 ) v´erifie ax + by = a ∧ b. Voici donc une proc´edure Maple utilisant cette id´ee, en notant que si b = 0 une solution (x, y) de l’´equation ax + by = a ∧ b = a est (1, 0) : > coeffbezout_rec:=proc(a::nonnegint,b::nonnegint) local q,t: if b=0 then 1,0 else t:=coeffbezout_rec(b,irem(a,b,’q’)); t[2],t[1]-q*t[2]; fi; end: On reprend ici l’exemple a = 14938, b = 9471. On v´erifie le r´esultat avec la fonction int´egr´ee igcdex : > A:=14938: B:=9471: coeffbezout_rec(A,B); igcdex(A,B,’x’,’y’): x,y; 26, −41 26, −41
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– M´ethode it´erative Notons Ed l’´equation ax + by = d, o` u d est un entier relatif quelconque. Soient α et β deux ´el´ements de ZZ, avec β 6= 0. Soient (x1 , y1 ) une solution de Eα et (x2 , y2 ) une solution de Eβ . Soit α = qβ + r la division euclidienne de α par β. ax1 + by1 = α Les ´egalit´es impliquent a(x1 − qx2 ) + b(y1 − qy2 ) = α − qβ = r. ax2 + by2 = β Autrement dit le couple (x3 = x1 − qx2 , y3 = y1 − qy2 ) est solution de Er . On remarque que (1, 0) est une solution de Ea et que (0, 1) est une solution de Eb . Si on applique l’id´ee pr´ec´edente et l’algorithme d’Euclide au couple (a, b), on va former, pour chacun des restes successifs rk de cette m´ethode, une solution (xk , yk ) de l’´equation Erk . Si rn est le dernier reste non nul (donc rn = a ∧ b) alors on obtient une solution (xn , yn ) de l’´equation Ern , c’est-`a-dire de l’´equation ax + by = a ∧ b. Voici une pro´edure Maple utilisant cette m´ethode, et un exemple d’utilisation : > coeffbezout:=proc(A::nonnegint,B::nonnegint) local a,b,xy1,xy2,q,r,t; a:=A; b:=B; xy1:=[1,0]; xy2:=[0,1]; while b<>0 do q:=iquo(a,b,’r’); a:=b; b:=r; t:=xy1; xy1:=xy2; xy2:=t-q*xy2; od; op(xy1); end: > A:=14938: B:=9471: coeffbezout(A,B); 26, −41 R´ esolution de l’´ equation ax + by = c dans le cas g´ en´ eral On veut r´esoudre dans ZZ2 l’´equation (E) ax+by = c, o` u a, b, c sont dans ZZ, avec (a, b) 6= (0, 0). – Si l’entier c n’est pas un multiple de a ∧ b, alors l’´equation (E) n’a pas de solutions dans ZZ2 . – Supposons au contraire que l’entier c s’´ecrive λ(a ∧ b), avec λ ∈ ZZ. Soit (x0 , y0 ) un couple de coefficients de bezout de (a, b). On a ax0 + bx0 = a ∧ b donc a(λx0 ) + b(λy0 ) = c. Ainsi le couple (λx0 , λy0 ) est une solution particuli`ere de (E). L’´equation (E) s’´ecrit alors ax + by = a(λx0 ) + b(λy0 ), c’est-`a-dire a(x − λx0 ) = b(λy0 − y). – En notant a0 et b0 les entiers (premiers entre eux) d´efinis par a = a0 (a ∧ b) et b = b0 (a ∧ b), cette derni`ere ´equation ´equivaut `a : a0 (x − λx0 ) = b0 (λy0 − y). On peut alors appliquer le th´eor`eme de Gauss. x = λx0 + kb0 Les solutions de (E) sont donc les couples (x, y) d´efinis par avec k ∈ ZZ. y = λy0 − ka0
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V.6
Ppcm de deux entiers relatifs
D´ efinition (ppcm de deux entiers) Soient a, b dans ZZ. Il existe un unique n dans IN tel que aZZ ∩ bZZ = nZZ. On dit que n est le pgcd de a et b. On note n = ppcm(a, b), ou n = a ∨ b. Remarques et propri´ et´ es – Caract´erisation du ppcm Soient a et b deux entiers relatifs, et soit n = a ∨ b. D’une part n est multiple de a et b. D’autre part tout multiple de a et b est multiple de n. Ces propri´et´es caract´erisent enti`erement l’entier naturel n = a ∨ b. – Si a = 0 ou b = 0 alors a ∨ b = 0 (le seul multiple commun `a a et b est 0). – Si a 6= 0 et b 6= 0, alors n = a ∨ b > 0. L’entier n est alors le plus petit entier strictement positif de nZZ, c’est-`a-dire le plus petit multiple commun strictement positif de a et b (ce qui justifie l’appellation “ppcm”). La condition “strictement positif” est importante car dans IN le plus petit multiple commun de deux entiers quelconques a et b est toujours 0... – Pour tous entiers relatifs a et b, on a : a ∨ b = b ∨ a = | a | ∨ b = a ∨ | b | = | a | ∨ | b |. On a l’´egalit´e a ∧ b = | a | si et seulement si a est un multiple de b. – Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : (ka) ∨ (kb) = | k| (a ∨ b). De mˆeme, si k est un diviseur commun `a a et b, on a : ka ∨ kb = a∨b |k|. – Si a et b sont premiers entre eux, alors a ∨ b = | ab |, et la r´eciproque est vraie. – Pour tous entiers relatifs a et b, on a l’´egalit´e : (a ∧ b)(a ∨ b) = | ab |.
V.7
Extension au cas de plusieurs entiers relatifs
Proposition Les lois (a, b) 7→ a ∧ b et (a, b) 7→ a ∨ b sont commutatives et associatives dans ZZ. a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an Soient a1 , a2 , . . . , an dans ZZ, avec n ≥ 2. Les notations ont donc un a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an sens, ind´ependamment de l’ordre des facteurs ak et de celui dans lequel on effectue les calculs. D´ efinition Soit a1 , a2 , . . . , an une famille de n entiers relatifs, avec n ≥ 2. On note pgcd(a1 , a2 , . . . , an ) = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an et ppcm(a1 , a2 , . . . , an ) = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an .
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Caract´ erisation du pgcd et du ppcm – d = pgcd(a1 , a2 , . . . , an ) est l’unique entier naturel tel que a1 ZZ + a2 ZZ + · · · + an ZZ = dZZ. En particulier, il existe des entiers relatifs uk tels que a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = d. d est ´egalement l’unique entier naturel tel que D(a1 ) ∩ D(a2 ) ∩ · · · ∩ D(an ) = D(d). Ainsi un entier x divise a1 , a2 , . . . , an si et seulement s’il divise leur pgcd. – m = ppcm(a1 , a2 , . . . , an ) est l’unique entier naturel tel que a1 ZZ ∩ a2 ZZ ∩ · · · ∩ an ZZ = mZZ. Ainsi un entier x est multiple de a1 , a2 , . . . , an si et seulement s’il est multiple de leur ppcm. D´ efinition (entiers premiers entre eux dans leur ensemble) On dit que les n entiers relatifs a1 , a2 , . . . , an (avec n ≥ 2) sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est ´egal `a 1. Cela ´equivaut `a dire que les seuls diviseurs communs `a a1 , a2 , . . . , an sont 1 et −1. Cela ´equivaut ´egalement `a l’existence de n entiers relatifs u1 , u2 , . . . , un tels qu’on ait l’´egalit´e a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = 1 (identit´e de Bezout). Remarques et propri´ et´ es – Si deux au moins des entiers a1 , . . . , an sont premiers entre eux, et `a fortiori si a1 , . . . , an sont premiers entre eux deux `a deux, alors ils le sont dans leur ensemble. D`es que n ≥ 3, la r´eciproque est fausse comme le montre l’exemple de 6, 10, 15 : le pgcd de ces trois entiers est ´egal `a 1, mais 6 ∧ 10 = 2, 6 ∧ 15 = 3, 10 ∧ 15 = 5. – Soient λ, a1 , . . . , an des entiers relatifs. Soit µ un diviseur de a1 , . . . , an . On a les ´egalit´es : ( ( pgcd( aµ1 , . . . , aµn ) = | µ1 | pgcd(a1 , . . . , an ) pgcd(λa1 , . . . , λan ) = | λ | pgcd(a1 , . . . , an ) ppcm( aµ1 , . . . , aµn ) = | µ1 | ppcm(a1 , . . . , an ) ppcm(λa1 , . . . , λan ) = | λ | ppcm(a1 , . . . , an ) – Soit µ > 0 un diviseur de a1 , . . . , an . µ = pgcd(a1 , . . . , an ) ⇔les entiers aµk sont premiers entre eux dans leur ensemble. – Si a1 , . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble, alors ppcm(a1 , . . . , an ) = | a1 . . . an |. – Attention : l’´egalit´e (a ∧ b)(a ∨ b) = | ab | ne se g´en´eralise pas `a plus de deux entiers.
V.8
Nombres premiers
D´ efinition Soit p un entier naturel. On dit que p est premier si p ≥ 2 et si ses seuls diviseurs dans IN sont 1 et p. On note P l’ensemble des nombres premiers.
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Remarques et propri´ et´ es – On remarque que 1 n’est pas consid´er´e comme un nombre premier. – On peut aussi adopter la d´efinition suivante : un entier naturel p est dit premier s’il poss`ede exactement deux diviseurs distincts dans IN (ce qui exclut les entiers 0 et 1.) – Les dix “premiers” nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. A l’exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs. – Dans la phrase “a est premier avec b”, il n’y en g´en´eral pas de nombre premier... – Soit p un nombre premier, et a un entier relatif. Si p ne divise pas a, alors p est premier avec a. En particulier, p est premier avec tous les entiers de {1, . . . , p − 1}. Une autre cons´equence est que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux. – Soit p un nombre premier, et soit a1 , a2 , . . . , an une famille d’entiers relatifs. Alors p divise le produit a1 a2 . . . an si et seulement si p divise l’un au moins des ak . Proposition Tout entier naturel n ≥ 2 est divisible par au moins un nombre premier. Proposition L’ensemble P des nombres premiers est infini. Th´ eor` eme (d´ecomposition en produit de facteurs premiers) Tout entier n ≥ 2 s’´ecrit n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm , o` u: – m est un entier strictement positif. – p1 , p2 , . . . , pm sont des nombres premiers distincts deux `a deux. – α1 , α2 , . . . , αm sont des entiers strictement positifs. Une telle ´ecriture de n est unique `a l’ordre pr`es des facteurs. On l’appelle d´ecomposition de n en produits de facteurs premiers. Remarques et propri´ et´ es – Dans l’´ecriture pr´ec´edente de n, les pk sont les diviseurs premiers de n. – Supposons qu’en fait {p1 , p2 , . . . , pm } contienne l’ensemble des diviseurs premiers de n. Alors on peut encore ´ecrire n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm , o` u les αk sont seulement suppos´es ≥ 0. Pour un ensemble {p1 , p2 , . . . , pm } donn´e, il y a encore unicit´e de l’´ecriture. L’entier 1 peut s’´ecrire sous cette forme, avec des αk tous ´egaux `a 0. – Soit n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm dans IN∗ (ici les pk sont premiers disctincts, et les αk sont ≥ 0). Soit m un entier strictement positif. On a m | n ⇔ m s’´ecrit pβ1 1 pβ2 2 . . . pβmm , avec 0 ≤ βk ≤ αk pour tout k. En particulier, l’entier n poss`ede (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αm + 1) diviseurs distincts dans IN.
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– Soient x et y deux entiers naturels. Soit {p1 , p2 , . . . , pm } l’ensemble des nombres premiers distincts qui divisent x ou y. On peut donc ´ecrire x = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm et y = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβmm , o` u les αk , βk sont ≥ 0. γk = min(αk , βk ) x ∧ y = pγ11 pγ22 . . . pγmm Dans ces conditions avec pour tout k. δk = max(αk , βk ) x ∨ y = pδ11 pδ22 . . . pδmm Ce r´esultat peut se g´en´eraliser au calcul des pgcd et ppcm de n entiers x1 , x2 , . . . , xn . – Le r´esultat pr´ec´edent permet de retrouver l’´egalit´e (x ∧ y)(x ∨ y) = xy. On a en effet γk + δk = αk + βk pour tout indice k. – On peut ´etendre aux entiers n de ZZ (sauf −1, 0, 1) le principe de la d´ecomposition en produits de facteurs premiers : il suffit d’´ecrire n = εpα1 1 pα2 2 . . . pαmm , avec ε = ±1.
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