Ejercicios de Matemáticas II

Hoja 6

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES I 1. Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x − y = 2 a)  2 x − y = 0

3x − y − z = 1   b) 2 x − y + 2 z = 2 x − 3 y + 6 z = 3 

x + 3 y − z = −1  c) x − y − z = −1 2 x + y + 3z = 5 

2 x − y + z = 3  x + y + z = −1 a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema tenga infinitas soluciones.

2. Dado el sistema

3x − y + 2 z = 1   3. Dado el sistema de ecuaciones: x + y + z = 3  averigua cuál o cuales de las 2 x − 2 y − 3z = −2 ternas siguientes son solución: a) (4, 0, 3) ; b) (1, -1, 2) ; c) (1, 2, 0)

4. Clasifica según sus soluciones, utilizando el método de Gauss, los sistemas siguientes. Resuelve los casos de compatibilidad:

x − 2 y − 3z = 1   a) 3x + 2 y + 2 z = 1  − 2 x + 3 y + z = −9

3x − 2 y + z = 5  b) x + 2 y − z = 3 − x + 6 y − 3z = 1 

x − 3 y + 7 z = 10   c) 5 x − y + z = 8  x + 4 y − 10 z = −11

x − 3y − 2z = 7   d ) 2 x − y + 15 z = 3  x − 8 y − 21z = 11

x + y + z = 2  e) 3 x − 2 y − z = 4  − 2 x + y + 2 z = 2

3x − 4 y + 2 z = 1   f ) − 2 x − 3 y + z = 2 5 x − y + z = 5 

y + z = −1  g) x− y =1  x + 2 y + 3 z = −2 5. Clasifica, mediante el teorema de Rouché-Frobenius, los sistemas siguientes:

x + 2 y + z = 0  a) 2 x + y + 2 z = 1  5 x + 7 y + 5 z = 1 

2 x + y − 3z = 1   b) x − 2 y + z = 3  3x − y − 2 z = 0

c)

x + y − z = 0  2 x − y + z = 3

6. Comprueba que los siguientes sistemas son resolubles por Cramer, y halla sus soluciones aplicando la regla de Cramer:

2 x + 4 y + 6 z = 18   a) 4 x + 5 y + 5 z = 21 3 x + y − 2 z = 4 

2 x + 3 y − 7 z = −1   b) 3 x + 4 y − 6 z = 5  5 x − 2 y + 4 z = −7

y + z =1   c) x + y − 3 z = 8  x − 2 y = −1

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Hoja 6

7. Clasifica y resuelve mediante la regla de Cramer los siguientes sistemas compatibles:

2x + 3 y + z = 1  2x − y + z = 3    a) 2 x + 2 y + z = 1  b) − x + 2 y + z = −3 4 x + 5 y + 2 z = 2 3x − y + 2 z = 4  8. Determina el valor de a para que sea compatible el sistema:  3 x − 2 y − z = 4   − x + y + 2 z = 3 2 x − y − z = a  x+ y+z=2

9. a) ¿Para qué valor de a es el siguiente sistema compatible determinado? =1  y + z = a   − 3z = −1 y − z = 2 

x − 2y x

b) ¿Puede ser compatible indeterminado?

SOLUCIONES: 3 4 8 , y= , z= 5 15 15

1.

a) x = -2 , y = -4. b) x =

2. 3. 4.

Respuesta libre. c) a) S.C.D.; x = 1 , y = -3 , z = 2 b) S.C.I.; x = 2 , y = λ , z = -1 + 2 λ 2 17 c) S.C.I.; x = 1 + λ , y = −3 + λ , z = λ 7 7 d) S.I. e) S.C.D.; x = 1 , y = -2 , z = 3. f) S.I. g) S.C.I.; x = −λ , y = −1 − λ , z = λ S.C.I. ; b) S.I. ; c) S.C.I. a) x = 4 , y = -2 , z = 3 b) x = -1 , y = 5 , z = 2 c) x = 3 , y = 2 , z = -1. a) S.C.I.: x = λ , y = 0 , z = 1 - 2 λ b) S.C.D.: x = 1 , y = −1 , z = 0 a = 1. a) a = 14 ; b) No.

5. 6.

7. 8. 9.

c) x =

2 7 , y=0, z= 5 5