I.E.S ALONSO CANO. DÚRCAL. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS II.

REPASO PRIMERA EVALUACIÓN 1. a) [2,5 puntos] Sabiendo que lim x 1



x a − x−1 ln x



es finito, calcula a y el valor del límite

(ln denota el logaritmo neperiano). b) [1 punto] Sea f :ℝ  ℝ la función definida por f(x) = x3 − 3x2 − x + 3. Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y= 3 − x. 2. Sea g la función definida por

g  x=

m⋅x 3

 x−n 

2

para

x≠n .

a) [2 puntos] Halla m y n sabiendo que la recta y = 2x - 4 es una asíntota de la gráfica de f. b) [0,5 puntos] Determina si la gráfica de g es simétrica respecto del origen. c) [1,5 puntos] Para m=2, n=-1, estudia la monotonía y los extremos de g. 3. [2,5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto. Sugerencia: Calcula la ecuación de la recta donde se apoya el vértice P. (0,4) P(x, y) -x

x (3,0)

tanx −senx . x −sen x x 0 3 2 b) [1’5 puntos] Sea f : R → R definida por f (x) = x + ax + bx + c. Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = ½ y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 tenga por ecuación y = 5 − 6x.

4. a) [2’5 puntos] Calcula lim

5. [2’5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de √5 cm. de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible. Sugerencia: Calcula la ecuación de la curva donde se apoya el vértice P. P(x, y) -x

x

6. Sea Sea f la función definida por

f  x =

x para x > 0, (donde ln x denota el logaritmo ln x

neperiano de x). a) [2 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e.

I.E.S ALONSO CANO. DÚRCAL. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS II.

REPASO SEGUNDA EVALUACIÓN- PARTE I 1

1. a) Realiza el cambio de variable

x=sen t para obtener

∫  1− x 2 dx

(1,5 puntos).

0

−1

b)

2x3 dx (1 punto) −3  x −1  x1 

∫

2

8

1 dx . Exprésala aplicando el cambio de 3 √ 1+ x−1 variable √ 1+ x −1=t y calcula el valor de I (2,5 puntos).

2. Considera la integral definida

I =∫

3. La recta tangente a la gráfica de la función f : ℝ→ℝ definida por f ( x)=mx2 +nx−3 en el punto (1,-6) es paralela a la recta de ecuación y=-x. a) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente (1,25 puntos). b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas (1,25 puntos). 4. a) Calcula el área de la región plana limitada por y= Ln x, su recta tangente en x= e y el eje OX (1,25 puntos). b) Calcula el área de la región limitada por f  x =x 22x y g  x= x2 (1,25 puntos).

{

x si x< 0 5. Sea f : ℝ→ℝ la función definida por f (x)= 1+α −x e si x≥0 a) Determina el valor de α sabiendo que f es derivable (1 punto). b) Haz un esbozo de la gráfica de f (0,5 puntos).

}.

1

c) Calcula

∫ f ( x )dx

(1 punto).

−1

6. Considera las funciones f , g :ℝ ℝ definidas por f  x =∣ x∣ y a) Esboza el recinto limitado por sus gráficas. (1 punto) b) Calcula el área de dicho recinto. (1,5 puntos)

g  x=6−x 2 .

7. Sea f :ℝ  ℝ la función definida por f  x =x · e−x . Esboza el recinto limitado por la curva y=f(x), los ejes coordenados y la recta x=-1. Calcula su área (2,5 puntos). cosx

2 8. Sea G: ℝ ℝ la función definida por G x= ∫  t −1  dt . Justifica que G es derivable 1

en ℝ enunciando el teorema que has usado, y obtén la expresión de G'(x) (1,5 puntos). 9. Calcula un número positivo a, menor que 4, para que el recinto limitado por la parábola de 28 ecuación y=x² y las dos rectas de ecuaciones y=4 e y=a, tenga un área de 3 unidades cuadradas (2,5 puntos). 10. Sean f: ℝ ℝ y g: ℝ ℝ las funciones definidas por f  x =x² ∣x∣ , g(x)=2. a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y de g. Esboza dichas gráficas (1 punto). b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas (1,5 puntos).