SUITES ARITHMETIQUES et GEOMETRIQUES COURS : 1ère Partie I. Définitions et propriétés A- Suites arithmétiques Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : un+1 = un + r Le nombre r est appelé raison de la suite. Exemple : Considérons une suite numérique (un) telle que : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 …, un , un+1 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 et on a un+1 = un + 5 Propriétés : 1) (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 + n × r 2) (un) est une suite arithmétique de raison r dont on connaît le terme au rang p. Son terme au rang n s’exprime : un = up + (n – p) × r Exemples : 1) Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison 5. Calculons u17 u17 = …………………………………………………. 2) Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u1 = 6 et de raison 5. Calculons u17 u17 = …………………………………………………. B - Suites géométrique : Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : un+1 = un × q Le nombre q est appelé raison de la suite. Exemple : Considérons une suite numérique (un) telle que : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40………, un , un+1 Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5 et on a un+1 = un × 2 Propriétés : 1) (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 × q n 2) (un) est une suite géométrique de raison q dont on connaît le terme au rang p. Son terme au rang n s’exprime : un = up × q n-p Exemples : 1) Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 0,5. Calculer u5 u5 = …………………………………………………………………………….. 2) Soit (un) une suite géométrique de premier terme u1 = 4 et de raison 7. Calculons u5 u5 = ……………………………………………………………………………..

II. Sens de variation 1) Variations d’une suite arithmétique Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. Cas particulier : Si r = 0 alors la suite (un) est constante Exemples : 1- La suite arithmétique (un) définie par un = 5 – 4n est décroissante car r = - 4 < 0 2- La suite arithmétique (un) définie par un = 5 + 4n est croissante car r = 4 > 0 Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés sur une droite dont le coefficient directeur est la raison. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite arithmétique de raison -0,5 et de premier terme u0 = 4.

2) Variations d’une suite géométrique Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0. Pour u0 > 0 : - Si q > 1 alors la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante. Cas particulier : Si q = 1 alors la suite (un) est constante. n

Exemples : 1- La suite géométrique (un) définie par un = 4 × 2 est croissante car q = 2 > 1 n 2- La suite géométrique (un) définie par un = 4 × 0,5 est décroissante car q = 0,5 < 1

Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite géométrique sont sur une courbe d’allure exponentielle. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme u0 = 1.