REPUBLIKA E SHQIPERISË UNIVERSITETI POLITEKNIK FAKULTETI I INXHINIERISË MATEMATIKE DHE INXHINIERISË FIZIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS INXHINIERIKE PUNIM I DOKTORATURËS

Paraqitur nga

Udhëheqës Shkencor

Msc. Qefsere GJONBALAJ

Prof asc Dr. Luigj GJOKA

      Tiranë  2009 

   

 

 

REPUBLIKA E SHQIPERISË UNIVERSITETI POLITEKNIK FAKULTETI I INXHINIERISË MATEMATIKE DHE INXHINIERISË FIZIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS 

      Qefsere Doko Gjonbalaj     HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE,   KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE  TË MATEMATIKËS INXHINIERIKE       

  PUNIM I DOKTORATURËS 

          Tiranë  2009       

   

            Mirënjohje           U  jam  shumë  mirënjohëse  të  gjithë  atyre  kolegëve  matematikanë,  të  cilët,  me   këshillat,  mbështetjen,  kurajën  dhe  sjelljen  miqësore,  dhanë  ndihmesë  të  çmuar  për  mbarëvajtjen  e këtij disertacioni.      Më  së  pari  i  shpreh  falënderimet    e  mia  të  thella  mentorit  tim,  udhëheqësit   shkencor  Prof  asc  Dr.  Luigj  GJOKA  për  njohuritë  e  tija,  mbikqyrjen  dhe  këshillat  gjatë  kohës së përgatitjes së tezës si dhe për bashkpunimin e pa ndërprerë "on line", madje  edhe ato herë kur ai gjendej për vizitë private jashtë Shqipërisë.       U  shpreh  falenderime  gjithashtu  profesorëve  Shpëtim  Leka,  Lulzim  Hanelli,  Sandër  Kovaçi  dhe  Qëndrim  Gashi  për  këshillat  dhe  sugjerimet  në  lidhje  me  referimet  dhe artikujt.      U  jam  mirënjohëse  Dekanes  së  Fakultetit  të  Inxhinierisë  Elektrike  dhe  Kompjuterike  në  Prishtinë,  Pr.  Dr.  Mizafere  Limani,  kolegëve  të  mi  të  Katedrës  së  Matematikës  në  FIEK  si  dhe  anëtarëve  të  Këshillit  Mësimor  të  këtij  fakulteti,  që  më  mundësuan shkëputjen nga procesi mësimor për një përiudhë një vjeçare, kohë të cilën  besoj ta kemë shfrytëzuar me efikasitet të plotë për hartimin e tezës së disertacionit.      Në fund, dëshiroj të falenderoj familjen time, bashkëshortin dhe tre fëmijtë, për  përkrahjen morale, materiale dhe financiare.                    

 

     

Përmbledhje e shkurtër        HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE,   KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE  TË MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Qefsere Doko Gjonbalaj  Mentor‐ Luigj Gjoka 

     Ky disertacion përbëhet prej dy pjesëve. Pjesa e parë ka të bëjë me hulumtimet  rreth aspekteve metodologjike, kurikulare dhe teknologjike të matematikës inxhinierike,  ndërsa pjesa e dytë shqyrton aspektet teoriko‐shkencore dhe aplikative të matematikës  inxhinierike.   Pjesa  e  pare  e  disertacionit  është  rezultat  i  punës  njëzetvjeçare  në  fakultet  inxhinierike, studimit, hulumtimeve dhe zhvillimit në drejtim të gjetjes së zgjidhjeve të  problemeve  në  të  cilat  kam  hasur  gjatë  kësaj  periudhe.  Kjo  pjesë,  nga  njëra  anë,  pasqyron  arritjet  e  hulumtimeve  bashkëkohore  për  zgjidhjen  e  problemeve  të  mësimdhënies  dhe,  nga  ana  tjetër,  ofron    argumente  shkencore  në    përkrahje    të  kërkimit dhe zgjidhjeve praktike. Kështu, përveç ofrimit të  ideve dhe mjeteve të reja të  punës,  është  gjithashtu  e  nevojshme  të  mendohet  se  si  këto  ide  dhe  mjete  mund  të  bëhen pjesë e kurikulave dhe kulturës mësimore.  Pjesa  e  pare  përbëhet  prej  tre  kapitujve.  Kapitulli  1  është  më  shumë  si  pjesë  hyrëse dhe qëllimi i këtij kapitulli është inspirimi  i mësimit të matematikës. Në kapitujt  2  dhe  3  bëhet  fjalë  për  shqyrtimin  metodave  të  reja  dhe  teknologjisë  moderne  në  mësimdhënien  e  matematikës  në  fakultetet  inxhinierike.  Kapitulli  4  merret  me  hulumtime rreth problemeve të kurikulave, probleme që duhet të na preokupojnë më  së  shumti,    nëse  duam  të  jemi  në  një  hap  me  ndryshimet  teknologjike  dhe  metodologjike, në rajon dhe më gjerë.    Pjesa e dytë e këtij disertacionit përbëhet prej dy kapitujve. Kapitulli 5, shqyrton  disa  aspekte  teorike‐shkencore  mbi  disa  probleme  që  kanë  të  bëjnë  me  funksionet  gjysmë  të  derivueshme.  Këtu  kemi  arritur  edhe  disa  rezultate  modeste.  Kapitulli  6,  kapitulli shtesë, ka të bëjë me aspekte aplikative. Këtu janë shqyrtuar fraktalet, objekt i  një fushe relativisht të re  të matematikës, dhe  aplikimet e tyre ne inxhinieri.      

      II 

 

 

PËRMBAJTJA     

KAPITULLI  1 ............................................................................................ 1  SI TË RRISIM  INTERESIN DHE SUKSESIN E STUDENTËVE NE LËNDËT MATEMATIKE ...................................................... 1  1.1.  Matematika për të gjithë ...................................................................................................................................... 1  1.1.1. Programi që inspiron mësimin e matematikës ............................................................................................... 3  1.2.  Pse dhe si të mësohet matematika ....................................................................................................................... 4  1.3.  Përgatitja e studentëve për vitin e parë të  studimeve.......................................................................................... 6  1.3.1. Përshkrimi i sistemit mbështetës ................................................................................................................... 7 

KAPITULLI  2 .......................................................................................... 10  IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE ...................................... 10  2.1. Faktorët që ndikojnë në procesin e mësimit të matematikës .............................................................................. 10  2.1.1. Inxhinieria urë lidhëse e  shkencave natyrore dhe  matematikës ................................................................. 10  2.1.2. Eksperimentimi në lidhje me  madhësinë e grupeve të studentëve ............................................................. 11  2.1.3. Shumë faktorë ndikojnë në procesin e mësimit të matematikës .................................................................. 14  2.2. Të përmirësojmë mësimdhënien e matematikës për studentët e inxhinierisë ..................................................... 16  2.2.1. Ti shoqërojmë konceptet e reja abstrakte me shembuj numerikë ............................................................... 16  2.3. Implementimi i disa metodave të reja në mësimdhënien  e matematikës inxhinierike ........................................ 19  2.3.1. Si të shpjegojmë limitin e funksionit ............................................................................................................ 21  2.3.2. Zbatimi i metodës grafike ne mësimdhënien e matematikes inxhinierike .................................................... 27  2.3.3. Derivati ........................................................................................................................................................ 30  2.3.4. Diferenciali ................................................................................................................................................... 32  2.3.5. Si të shpjegojmë integralin e caktuar të funksionit ....................................................................................... 33  2.4. Zbatime gjeometrike te integralit te caktuar (Përdorimi i elementit diferencial) ................................................. 37  2.4.1. Syprina e sektorit vijëpërkulur në koordinata polare ................................................................................... 38  2.4.2. Syprina e trapezit vijëpërkulur ..................................................................................................................... 39  2.4.3. Syprina e trapezit vijëpërkulur Gjatësia e harkut të një vije ......................................................................... 40  2.4.4. Vëllimi i trupit me prerje tërthore të njohura ............................................................................................... 42  2.4.5. Syprina e sipërfaqes së rrotullimit ................................................................................................................ 43 

KAPITULLI 3 ........................................................................................... 47  TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE .......................................................... 47  3.1. Lidhja në mes të matematikës dhe teknologjisë është e  dyanshme .................................................................... 47  3.1.1. Roli i matematikës vendimtar në zhvillimin e teknologjisë ........................................................................... 47  3.1.2. Roli i teknologjisë në hulumtimet matematikore ......................................................................................... 48  3.1.3. Roli i hulumtimeve matematikore në teknologji .......................................................................................... 49  3.1.4. Bashkëveprimi spiral në mes të teknologjisë dhe matematikës ................................................................... 50  3.1.5. Anët negative të teknologjisë moderne ....................................................................................................... 50  3.2. Mësimdhënja e matematikës .............................................................................................................................. 52  3.2.1. Përgatitja e mësimdhënësve për të shpjeguar matematikën me anë të  teknologjisë .................................. 52  3.2.2.  Përdorimi i kompjuterit në mësimin e matematikës inxhinierike ................................................................ 53  3.3. Teknologjia moderne në mësimdhënien e matematikës ..................................................................................... 54 

145

3.3.1. Krijimi, shpërndarja dhe kontrollimi i detyrave të shtëpisë me anë  të  internetit "Web‐Work" ................... 54  3.3.2. Ndikimi  i kompjuterit në shpjegimin (të mësuarit) e konceptit të limitit ..................................................... 55  3.3.3. Paraqitja e disa eksperimenteve nga Analiza I .............................................................................................. 62  3.3.4. A është teknologjia mjaft bindëse? .............................................................................................................. 64  3.4. Vizualizimi interaktiv i analizës komplekse ........................................................................................................... 65  3.4.1. Paraqitja grafike e funksioneve me anë të pasqyrimeve me ngjyra .............................................................. 68 

KAPITULLI  4 .......................................................................................... 71  KURIKULAT .............................................................................................................................................................. 71  4.1. Kurikula për shekullin  XXI .................................................................................................................................... 71  4.1.1. Kurikula themelore e Matematikës për Inxhinierët e Evropës ...................................................................... 71  4.1.2. Procesi i Bolonjës  dhe Kurikula Bërthamë e  Matematikës .......................................................................... 72  4.1.3. Ndikimi i teknologjisë në ndryshimin e kurikulave ....................................................................................... 76  4.2. Lami  të  matematikës  të  nevojshme për inxhinierinë  elektrike ........................................................................ 79  4.3. Krahasime Kurikulash ........................................................................................................................................ 84  4.4. Disa hulumtime në lidhje me kurikulat dhe aftësitë e studentëve në matematikë .............................................. 89 

KAPITULLI 5 ........................................................................................... 94  DISA  REZULTATE PËR FUNKSIONET  GJYSMË TË DERIVUESHME ................................................................................ 94  5.1. Lidhja ndërmjet derivueshmërisë dhe  vazhdueshmërisë .................................................................................... 94  5.1.1. Funksionet Veiershtras  (Weierstrass) .......................................................................................................... 94  5.2. Sjellja e funksioneve veiershtras si fraktale .......................................................................................................... 96  5.2.1. Kuptimi i fraktalit ......................................................................................................................................... 96  5.2.2. Shembuj të thjeshtë fraktalesh .................................................................................................................... 96  5.2.3. Përkufizimi i dimensionit .............................................................................................................................. 99  5.2.4. Dimensioni i një fraktali të vetëngjashëm .................................................................................................. 101  5.2.5. Funksioni Veiershtrasit paraqet një fraktal ................................................................................................. 101  5.3.  Lidhja ndërmjet derivueshmërisë dhe derivueshmërisë së njëanshme ............................................................. 102  5.3.1.  Shënime  për  lidhjen ndërmjet derivatit të njëanshëm dhe derivatit të një funksioni .............................. 102  5.3.2. Funksionet e vazhdueshme me derivat të djathtë të kufizuar janë pothuajse kudo të derivueshëm .......... 104  5.4.  Studimi i funksioneve konvekse të një ndryshori me anë të derivateve të njëanshme...................................... 107  5.4.1. Hyrje .......................................................................................................................................................... 107  5.4.2. Përkufizimi i funksionit konveks ................................................................................................................. 107  5.4.3. Lema e Ber‐it (Baire) .................................................................................................................................. 110  5.4.4. Përdorimi i lemës së Berit për nxjerrjen e vetive kryesore të funksioneve konvekse .................................. 111  5.4.5. Karakterizime të funksioneve konvekse .......................................................................................................... 116 

KAPITULLI 6 ......................................................................................... 126  SHTOJCË – ASPEKTE APLIKATIVE DHE REZULTATE TE FITUARA ................................................................................ 126  Fraktalet dhe zbatimet e tyre në inxhinieri ............................................................................................................. 126  Një  metodë e re për llogaritjen e determinantave të rendit të katërt dhe rendit nxn ............................................. 132  Një formulë e re e përafërt për llogaritjen e vlerës së sinusit për kënde nga 00  në 700 ............................................ 138  Computing the determinants of  n x n  ( n≥ 5) matrices by reducing the order of the determinant by four .............. 144 

 

146

KAPITULLI  1  SI TË RRISIM  INTERESIN DHE SUKSESIN E STUDENTËVE NE  LËNDËT MATEMATIKE    

1.1. Matematika për të gjithë   Si  matematikanë  besojmë  se  matematika    është  e  dobishme,  argëtuese  dhe  e  domosdoshme për të zgjidhur ose për t’u dhënë kahe të drejtë shkencore problemeve të ndryshme  me të cilat përballet shoqëria. Ne të gjithë do të dëshironim që të kemi qytetërim matematikisht të  arsimuar.  Shumë    prej  nesh,  vazhdimisht  ankohen  për  numrin  e  vogël  të  studentëve  të  cilët  dëshirojnë të studiojnë për matematikë ose të ndjekin fakultetet që përmbajnë lëndë matematike.  Është interesant fakti se ka pasur përpjekje të konsiderueshme për rritjen e këtij numri studentësh  dhe, për fat të keq,  këto përpjekje shpesh kanë rezultuar pa sukses.    Qëllimi  i  këtij      paragrafi    është  që  të  njihemi  me  këto  përpjekje  dhe  mënyrën  se  si  të  integrojmë këto përpjekje në kulturën e departamentit të matematikës në fakultetet e ndryshme, e  veçanërisht, në fakultetet inxhinierike.    Në vitet e fundit të shekullit të XX, ka pasur  përpjekje shumë intensive për të përmirësuar  mësimdhënien e matematikës . Edukatorët, ekspertët , arsimtarët, prindërit, psikologët, autorët e  teksteve  shkollore  dhe  shumë  të  tjerë  kanë  shprehë  brengosjen  për  gjendjen  dhe  interesimin  shumë  të  vogël  ndaj  matematikës në  të gjitha  nivelet  e shkollimit.  Janë  bërë shumë  përpjekje  në  lidhje  me  këtë çështje.  Pas  më shumë  se  një çerek  shekulli  reformash të  mundimshme,  shihet  se  janë bërë shumë pak përparime. Parashtrohet pyetja se ku jemi ende duke gabuar. Pse matematika  edhe  më  tej  mbetet  si  lënda  më  problematike  për  aq  shumë  njerëz?  Ky  problem  është  kudo  i  përhapur. Nëse nuk arrijmë të gjejmë së paku përgjigje të pjesshme të këtij problemi, nuk ka arsye  që të presim që përpjekjet në të ardhmen do të jenë më të suksesshme se ato në të kaluarën. Është  e qartë se nuk ekziston vetëm një përgjigje e vetme për këtë problem dhe se jo vetëm një person  mund ti dijë të gjitha përgjigjet [1].        Ekzistojnë mënyra  të shumta krijuese për të  bërë matematikën tërheqëse, dhe pse jo  dhe  argëtuese, për nxënësit e shkollimit fillor.  Në fakt, argëtimi mund të shërbejë si mjet kujtese, i cili  na shpie në përmbajtjen e materialit. Si për shembull, Gisele Glosser1 i ka përpunuar  disa nga këto  ide krijuese, duke i zbatuar me nxënësit e vet . Le të përmendim tri syresh.    "Vallëzimi i Decimaleve (Dhjetorëve)". Në përgjithësi, kur nxënësit mësojnë të shumëzojnë  numrat dhjetorë ata shpesh habiten  në  përcaktimin  e vendit  të presjes dhjetore.  Për  ti ndihmuar  nxënësit  në  të  mbajturit  mend  të  përcaktimit  të  vendit  të  presjes  dhjetore,  ajo  ka  përdorur  të  ashtuquajturin    "Vallëzim  i  Dhjetorëve".  Pasi  llogarit  prodhimin  e  numrave  në  tabelën  e  zezë,  ajo  vizaton një hark të bardhë nën secilën shifër, deri sa të arrijë në vendin e presjes dhjetore. Duke  emërtuar këtë proces " Vallëzimi  i dhjetorëve", nxënësit e mbajnë mend më me lehtësi përcaktimin  e vendit të presjes dhjetore pas shumëzimit të numrave dhjetorë. Kjo mund të duket për të qeshur,  por ia vlen të eksperimentohet.  

1

Pedagoge e Matematikës në New York

1

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

           "Front  Loading".    Shumica  e  arsimtarëve  fillojnë  vitin  shkollor  (mësimin)  duke  përsëritur  materialin e vitit të kaluar, edhe pse kjo është koha kur nxënësit janë më së shumti të motivuar që  të  mësojnë.  Pse  mos  tu  shpjegohen  pjesë  të  reja  për  të  cilat    nuk  kanë  dëgjuar  asnjëherë?  Kjo  teknikë e njohur si "Front Loading", u tregon nxënësve se mësuesi ka për qëllim që ti sfidojë ata.     "Tregime  për  Matematikanë  të  njohur".    Deri  sa  jeni  duke  shpjeguar  një  njësi  mësimore,  pushoni pak duke ju treguar nxënësve ndonjë  anekdotë për ndonjë matematikan të njohur, i cili ka  kontribuar  në  fushën  për  të  cilën  jeni  duke  bërë  fjalë.  Është  me  rëndësi  për  nxënësit  të  jenë  të  vetëdijshëm për anën “njerëzore” të këtyre personave të famshëm [3].    Një nga shkaqet që pengojnë nxënësit apo dhe studentët të tërhiqen pas matematikës është  "frika matematike" e cila përkufizohet si "tensionim i ndjenjave", i cili shfaqet gjatë veprimeve me  numra  dhe  gjatë  zgjidhjeve  të  problemeve  të  ndryshme  matematike.    Kërkimet  e  ndryshme  tregojnë se tensionimi gjatë kohës së testeve dhe frika nga turpi publik, kanë qenë për një kohë të  gjatë të njohura si burim i punës jo produktive te shumica e studentëve [4].     Mosha  kritike  për  zhvillimin  e  traumës  matematike  është  në  mes  të  9‐11  vjeç  (McLeod,  1993) [8]. Edhe pse trauma mund të thellohet ose të ndryshojë gjatë shkollimit, vetitë negative dhe  shqetësimet, njëherë të formuara, është vështirë të ndryshohen dhe mund ti  shoqërojnë ata  edhe  në  moshën  e  rritur,  me  pasoja  të  paparashikueshme  në  formë  të  largimit  dhe  frikës  nga  matematika.     Mbi  hyrjen  e  Akademisë  të  Platonit  gjendej  mbishkrimi    i  çuditshëm:  “Nuk  u  lejohet  hyrja  atyre që nuk kanë njohuri nga gjeometria”. A ka qenë ky një  besim se vetëm filozofët më të mirë të  kohës mund të vazhdojnë punën, apo  ka pasur faktor të tjerë?  Një ndalim i tillë i perceptimit të  matematikës e ka përcjellë shoqërinë deri në ditët e sotme. Mbi 2500 vjet, nga Greqia Antike deri  në  fillim  të  mileniumit  të  tretë,  njerëzit  e  zakonshëm  e  kanë  përcjellë  këtë  shqetësim  (frikë)  te  fëmijët  e  tyre:  Matematika  është  e  panjohur  dhe  e  padepërtueshme  (  e  pazbulueshme).  Por  nuk  ishte  i  këtij  mendimi  qytetari  thjeshtë      Zenon2,    i  cili  më  vonë  u  bë  shumë  i  njohur,  jo  aq  si  themelues  i  rrymës  filozofike  të  stoicizmit  se  sa  si  krijues  i  grackave  kundërthënëse  logjike  (paradokseve), me të cilat ai sfidonte filozofët më në zë të kohës. Disa prej paradokseve të tij kanë  arritur deri më ditët e sotme, ku më i njohuri është ai, sipas të cilit "Akili nuk e zë kurrë breshkën".  Në një kohë kur filozofët e Akademisë, me vetëbesim të plotë, e shpallnin vetveten si elitë në këtë  punët intelektuale, Zenoni i qortonte ata me thënien e tij se" masa mundet me sukses të kuptojë  dhe të marrë pjesë në aktivitetet intelektuale". Publiku nuk ka mundur të jetë i informuar si duhet  për fushën e matematikës, për metodat e të menduarit matematik, për qëllimin e matematikës dhe  karakteristikat e saj, dhe se si kjo ndërlidhet me natyrën dhe shoqërinë. Në vend të informimit real,  nga gjenerata në gjeneratë,  është përcjellë mendimi për matematikën  si e vështirë, abstrakte dhe  që  kërkon  një  inteligjencë  të  rrallë.  Prandaj  është  pranuar  në  mënyrë  të  përgjithshme  se  matematika  nuk  është  për  njerëz  të  zakonshëm;  një  mendim  që  fatkeqësisht  vjen  deri  në  ditët  e  sotme.  Si  rezultat,  në  vend  të  strategjisë  për  hulumtim,  paraqitet  diçka  jotërheqëse  dhe  e   pavolitshme, si zhvillimi i rregullave dhe metodave mekanike.  Në përgjithësi ekziston mendimi se  njerëzit janë të mirë në numra ose në fjalë, por jo në të dyja. Për më tepër, ka dominuar mendimi  se  matematika  është  “e  mërzitshme,  asnjëherë  argëtim”  [7].    Në  qoftë  se  arrijmë  që  nxënësit  ta  shohin  matematikën  si  diçka  argëtuese  që  nga  klasat  e  ulëta,  atëherë  ajo  do  tu  pëlqejë  si  lëndë  mësimore dhe ky fakt do ti përcjelli gjatë gjithë jetës.     Njerëzit nuk arrijnë të bëjnë punën e tyre më së miri kur janë të frikësuar. Shqetësimi dhe  trauma matematike paraqiten si rezultat i pasigurisë dhe mungesës së vetëbesimit. Mësimdhënësit  mund  të  shkaktojnë  ndjenjën  e  shqetësimit  (frikës)  duke  i  dhënë  rëndësi  të  madhe  të  mbajturit  2

Zeno (490-425 BC) filozof dhe matematicien Grek

2

KAPITULLI 1: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

mend  të  formulave,  mësimit  nëpërmjet  ushtrimeve,  duke  aplikuar  rregullat  e  memories    rutinore   dhe duke bërë punën në mënyrë tradicionale, në vend të nxitjes së të menduarit  dhe të kuptuarit  logjik. Meqenëse mësimdhënësit këmbëngulin në parashtrimin e pyetjeve, truri i nxënësit pushon  së funksionuari krejtësisht. Në vend të metodave dhe rregullave matematikore, nxënësit duhet të  rrisin aftësitë e tyre që të analizojnë, pyesin, testojnë dhe gjejnë zgjidhjet; dituri dhe aftësi të tilla  më  vonë  mund të zbatohen në çdo situatë që ka të bëjë me çfarëdo procesi. Por kush do  ti  bëjë  këto  ndryshime  dhe  si?    Cilat  metoda  të  mësimdhënies  dhe  qasjes  në  mësim  mund  ta  sjellin  matematikën më afër një numri më të madh të njerëzve dhe në veçanti te mendjet e reja? ([7], [9],  [10], [11], [12]). Me fjalë  të tjera,  çfarë duhet bërë që të vlejë motoja  “Matematika është  për të  gjithë”.     Përvoja  ka  treguar  se  nxënësit  mësojnë  shumë  më  mirë  kur  ata  janë  aktivë  gjatë  orës  së  mësimit  e jo kur janë pasivë. Çdo nxënës është në gjendje të mësojë, mirëpo jo të gjithë mësojnë  në mënyrë të njëjtë. Prandaj, njësitë mësimore duhet të prezantohen në mënyra të ndryshme. Për  shembull, ekzistojnë mënyra të ndryshme për të mësuar njësitë e reja si me anë të përdorimit të  teknologjisë,  paraqitjes vizuale, mësimit në grupe ose me anë të lojërave të ndryshme [5].     Nxënësit sot nuk janë të njëjtë me ata të para 40‐viteve. Nxënësit sot bëjnë pyetje pse diçka  është bërë në këtë ose atë mënyrë e jo në mënyrë tjetër? Derisa para shumë vitesh nxënësit nuk  kanë  bërë  këto  pyetje,  ata  thjesht  kanë  mbajtur  mend  dhe  mekanikisht  kanë  zbatuar  veprimet  e  nevojshme  (gjë që tek ne në shumicën e rasteve ndodh edhe në ditët e sotme). Sot nxënësit kanë  nevojë  për  matematikë  praktike.  Prandaj,  matematika  duhet  ti  përshtatet  jetës  së  përditshme.  Nxënësve  u  pëlqen  që  të  eksperimentojnë.  Për  të  mësuar  matematikën,  nxënësit  duhet  të  inkuadrohen  në  eksplorimin,  vërtetimin  dhe  në  të  menduarit,  në  vend  që  të  mësojnë  vetëm  rregullat dhe procedurën e punës.       Për sa i përket mësimit të matematikës në sistemin parauniversitar, rëndësi e veçantë duhet  tu  jepet  metodave  që  përfshijnë  më  pak  njësi  mësimore,  më  shumë  nxënës  të  marrin  pjesë  në  diskutim  gjatë  orës  së  mësimit  dhe  më  shumë  diskutime.  Me  fjalë  të  tjera,    duhet  të  formohen  klasat në atë mënyrë që nxënësit të ndihen sa më të suksesshëm. Nxënësit duhet të kenë shkallë të  suksesit të lartë ose numri i  nxënësve të dobët të jetë i tolerueshëm.      “Nuk është e nevojshme të punohet gjatë dhe me shumë mundim që të arrihen rezultatet e  dëshiruara, por të punohet me mençuri.”     

1.1.1. Programi që inspiron mësimin e matematikës    Në lidhje me këtë janë bërë shumë përpjekje nga shoqata të ndryshme të matematikanëve,  institute të ndryshme etj. Një ndër përpjekjet, e cila ka pasur shumë sukses, është puna që ka bërë  shoqata  e  matematikanëve  e  klubit  të  studentëve  në  Institutin  Teknologjik  të  Izmirit  në  Turqi  (IZTECH) , në zhvillimin e të ashtuquajturit “Shfaqje Matematikore” program që frymëzon mësimin  e matematikës elementare [13].   Në  këto  shfaqje,  përveç  nxënësve,  kanë  marrë  pjesë  edhe  studentë,  mësimdhënës  dhe  prindër.  Qëllimi  i  kësaj  shfaqjeje  matematikore  ishte  krijimi  i  mundësisë  për  një  bashkëpunim  shoqëror, hulumtim dhe studim të pavarur, kreativitet (krijimtari) si dhe përgatitje për metodat e  ndryshme  të  mësimit.  Në  dhjetë  minutat  e  para  parashtrohen    pyetjet  “Çfarë  është  matematika”  dhe çka dini për “Historinë e Matematikës”, sepse gjatë zhvillimit të matematikës  në minimumi 3  orë  në  javë  për  8‐9  vite  radhas,  nxënësve  u  jepen    njohuri  të  mjaftueshme  për  historinë  e  matematikës dhe për atë se çfarë është matematika.    Çelësi  kryesor  i  këtyre  shfaqjeve  ka  qenë  muzika.  Njëri  nga    anëtarët  e  shoqatës  ka  qenë  muzikant,  i cili ka luajtur në kitarë ose flaut për të tërhequr vëmendjen audiencës për teoritë e reja 

3

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

si dhe për të larguar shqetësimin (frikën). Çdo anëtar i audiencës që dëshiron të provojë të zgjidhë  një problem ose të përgjigjet në ndonjë pyetje, del në skenë për të sqaruar arsyetimin e vet.     Shfaqja  e  parë  është  mbajtur  në  vitin  1998,  duke  rritur  në  mënyrë  të  shpejtë  interesimin,  deri  atëherë  shumë  të  vogël,    për  matematikën.  Prej  Tetorit  të  1998  deri  në  Qershor  të  2001  përmbi 10 000 nxënës, mësimdhënës dhe prindër në 15 shkolla dhe institucione kanë përcjellë këto  shfaqje.  Mbas  shfaqjes  500  nxënës  (250  nxënës  nga  shkollat  fillore  publike  dhe  250  nga  shkollat  private) janë anketuar me anë të dhjetë pyetjeve në lidhje me shfaqjen përkatëse. Si rezultat i kësaj  ankete 90% e  nxënësve u përgjigjën se mësimet nga matematika mund të jenë argëtuese kur ata  punohen në formën jo‐tradicionale.     Si përfundim, nga kjo shfaqje kanë përfituar mësimdhënësit, nxënësit e shkollave fillore dhe  të  mesme  si  dhe  studentët  e  universiteteve  të  ndryshme.  Nxënësit  jo  vetëm  që  kanë  zhvilluar  vetëdije më të lartë për mënyrën e tyre të nxënit, por gjithashtu kanë mësuar që me çdo kusht të  përparojnë në zgjidhjen e problemeve dhe të mos frikohen nga bërja e gabimeve (nga mundësia e  të  gabuarit).  Për  më  tepër,  ata  kanë  filluar  të  jenë  në  gjendje  të  kuptojnë  se  çfarë  ka  bllokuar  procesin  e  të  menduarit  të  tyre  pra,  edhe    si  mund  të  shmangin  pengesat.  Ata  gjithashtu  janë  bindur (kanë kuptuar) se vetëbesimi  dhe  mundësia  për të  krijuar  idenë në lidhje me  zgjidhjen e   problemit  janë më të rëndësishme se gjetja e përgjigjes ose zgjidhjes. Shqetësimi matematik është  reduktuar ose eliminuar krejtësisht me përvetësimin e koncepteve matematikore me anë të kësaj  metode.     Studentët  të  cilët  kanë  marrë  pjesë  në  shfaqjet  matematikore    gjithashtu  kanë  përfituar  eksperiencë pozitive. Ata  kanë filluar të bëhen studiues më efektivë, individualisht  dhe në grup.  Kanë mundur të zhvillojnë dhe të  shfrytëzojnë teknika të ndryshme të  nxënit.  Kuptimi themelor i  çdo problemi është marrë si thelb i të mësuarit dhe është diskutuar në lidhje me atë. Për më tepër,  kanë zhvilluar aftësinë e të menduarit të pavarur dhe vetëbesim më të madh.    

1.2. Pse dhe si të mësohet matematika   Akoma  shumë  njerëz  pyesin  “A  kam  nevojë  të  di  matematikën?  …  dhe  nëse  po,  pse  ?”    Ndikimi i këtyre pyetjeve (dhe përgjigjeve, nëse ato ekzistojnë) nuk ndihet vetëm në shkallët  e edukimit, nga shkolla fillore deri në fakultet, por edhe në të gjitha poret e jetës. Merni parasysh  këto situata:    ‐Nxënësit e klasës së tretë pyesin pse është i nevojshëm mësimi i tabelës së shumëzimit kur  mund të përdoret kalkulatori.    ‐Nxënësit e klasës së nëntë pyesin a ka nevojë fare të mësohet algjebra.    ‐Nxënësit  e  shkollës  së  mesme  habiten  pse  teorema  e  Pitagorës  ka  nevojë  të  vërtetohet  përsëri, kur çdokush e di se ajo është e vërtetë. Pra , duke folur në përgjithësi, ato pyesin jo rrallë se  pse duhet të rivërtetohen teoremat, pse të rizbulohet rrota etj.     ‐Në  shumë  universitete,  studentët  e  vitit  të  pare  gjatë  mësimit  të  Analizës  I    në  degët  e  inxhinierisë  rezistojnë  të  mësojnë  rregullat  e  diferencimit  dhe  integrimit,  sepse  versioni  i  fundit  i  paketës softuerike është instaluar në laptopin e tij.    ‐Një kandidat i doktoraturës në kiminë‐fizike përdor  programin "eksel" dhe kalkulatorin për  çdo gjë. Pse jo?    ‐Arkëtari në supermarket asnjëherë nuk bën llogarinë me dorë. Pse të humbim kohë?    Pyetja themelore për nevojën e nxënit të matematikës  është bërë për mijëra vjet me radhë.  Kujtojmë  këtu  studentët  që  kanë  pyetur  Pitagorën  për  zbatueshmërinë  e  mësimeve  nga 

4

KAPITULLI 1: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

matematika.  Një  gjeometër  antik,  në  mënyrë  sarkastike,  urdhëroi  asistentin  e  tij  që  ti  japë    një  monedhë studentit që pyeti, ashtu që ai të mundet “të mbledh frutat e punës së vet” [14].    Tani, megjithatë, kjo pyetje ka arritur kulmin. E ashtuquajtura "Reforma e Analizës I ", që ka  filluar pothuajse një  gjeneratë më herët,   me  të gjitha implikimet dhe  pasojat  ka qenë  vetëm një  nga  komponentët  e  këtij  problemi.  Por  kur  flasim  për  reforma,  zgjidhjet  nuk  do  të  vijnë  nga  riorganizimi  i  njësive  mësimore  në  plan‐programet,  ose  nga  shtimi  i  më  shumë  temave  në  një  kurikul, duke e mbingarkua. Një nga pyetjet qendrore është se “Duke pasur parasysh faktin se sa  shumë  teknologji  ka  në  disponim,  sa  duhet  ta  dijë  studenti  matematikën”.  Teknologjia  e  fundit  e  avancuar  dhe  paketat  softuerike  janë  të  tilla  që  matematikanët  dhe  pedagogët  e  matematikës  e  kanë të vështirë ta mbajnë hapin me ndryshimet, dhe aq më pak ti zbatojnë ato.    Vërtet,  disa  ekstremistë  mundohen  të  argumentojnë  se  vetëm  studentët  e  matematikës  kanë  nevojë  të  studiojnë  matematikën;  inxhinierët  dhe  shkencëtarët  thjeshtë  mund  të  shtypin  tastet  e  kompjuterit  të  tyre.  Në  fund  të  fundit  ata  nuk  kanë  nevojë  të  dinë  arsyen  pse,  ata  kanë  nevojë të dine vetëm përgjigjen.     Në  vazhdim  do  të  tentojmë  të  ofrojmë  disa  arsyetime  në  favor  të  nevojës  së  studimit  të  matematikës. Disa nga argumentet e zakonshme që përkrahin qëndrimin e matematikës janë:  ‐  Matematika është gjuhë universale.    ‐  Matematika përdoret në art dhe muzikë.    ‐  Matematika  është  logjike;  ajo  i  ndihmon  njerëzit  të  zgjidhin  problemet  në  mënyrë  sistematike.    ‐ Matematika është objektive (reale); nuk ka fusha të përhime (gri). Për shembull, 1+1=2 ose  është deklarim i saktë ose i pasaktë por jo kombinim i tyre.    ‐ Matematika është e nevojshme në studimin e shkencave  natyrore, si fizika dhe kimia. A  mund të imagjinohet një kimist apo fizikan që të mos dijë dallimin në mes të  10 −9 m   dhe  10 9 m .    ‐Studimi i matematikës është i nevojshëm për tu bërë inxhinier. Paramendo ndërtimin e një  ure pa dije nga matematika.    ‐Ekonomistët dhe agjentët e bursave i dinë disa gjëra nga matematika shumë mirë.     Le ti kthehemi pyetjes:  Çfarë është matematika?  Kjo pyetje bëhet rrallë, por studentët nuk  ndjehen mirë nëse nuk  u jepet përgjigje. Ata e dinë që matematika ka zbatim shumë  të gjerë  dhe  kjo  është një arsye e mirë për studimin e saj. Por kjo e le të hapur pyetjen:   Çfarë është ajo që e  bën matematikën aq të zbatueshme?    Matematika nuk ka të bëjë vetëm me numrat , aritmetikën, algjebrën, analizën, llogaritjet.  Thelbi  i  matematikës  janë  strukturat,    konceptet  mbi  strukturat,  teoria  e  formës,  forma  e  të  menduarit dhe përgjithësimi i tyre.     Matematika nuk ka të bëjë vetëm me formula, simbole dhe ekuacione por edhe me ide, ka  të bëjë me të menduarit dhe të kuptuarit të saj.     Shpesh herë ne jo vetëm që dëshirojmë  të dimë se diçka  është e saktë ose e  vërtetë, por  edhe  pse  është  ashtu.  Vetë  kërkesa  e  të  kuptuarit  të  matematikës  është  baza  për  zhvillimin  e  matematikës.     Një  nga  arsye  e  studimit  të  matematikës  në  një  nivel  të  avancuar  është  edhe  fakti  se  ajo  është interesante dhe argëtuese. Studentëve u pëlqen sfida dhe qartësia matematikore, dhe fakti  se e  dinë  kur  kanë  të  drejtë.  Është  e  padiskutueshme se  zgjidhja e  problemit  krijon  emocion  dhe  kënaqësi.      Duhet me qenë të vetëdijshëm për rëndësinë e gjerë të matematikës dhe mënyrën se si ajo  është duke u avancuar në një shkallë të lartë. Matematika ka të bëjë me modelin dhe strukturën; ka  të  bëjë  me  analizën  logjike,  me  të  menduarit  dhe  njehsimin  me  këto  metoda  dhe  struktura.  Kur  janë gjetur modelet, zakonisht në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë, matematika e 

5

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

këtyre  modeleve  mund  të  shfrytëzohet  që  të  shpjegohet  dhe  kontrollohen  ndodhitë  dhe  situatat  natyrore.  Pjesa më e madhe e studentëve të matematikës, kur janë duke zgjidhur një problem nuk e  dinë çka janë duke bërë dhe pse. Ata e dinë se vetëm duhet të mësojnë se si të zgjidhin atë dhe të  arrijnë deri te rezultati. Vetëm në disa universitete tentohet të shpjegohet arsyeja ose shkaku për  zhvillimin e një fushe  të veçantë të matematikës, kjo për shkak se në disa raste mësimdhënësit nuk  janë të vetëdijshëm për këto shkaqe.   Thuhet  se "dallimi mes një profesionalisti dhe një amatori është se amatori mund të zgjidhë  probleme, në shumicën e rasteve si një profesionalist, por profesionalisti  për dallim nga amatori e di  pse zgjidhen ashtu". Kjo është dituri e bazuar në traditën, eksperiencën, perceptimin, gjykimin dhe  analizën  që  i  jep  profesionalistit  vetëbesimin  të  krijojë  punë  sipas  kërkesës  dhe  një  standardi  të  caktuar. 

1.3. Përgatitja e studentëve për vitin e parë të studimeve (Periudha tranzitore "Shkollë e Mesme‐Universitet")  Gjatë  viteve  të  fundit,  njohuritë  themelore  nga  matematika,  me  të  cilat  studentët  në  përgjithësi kanë qenë pajisur, janë vazhdimisht në rënie. Vit pas viti, studentët tanë vijnë çdo herë e  më pak të përgatitur. Jo vetëm që nuk kanë njohuri të mjaftueshme  nga matematika, por ata nuk  posedojnë  as  metoda  të  mira  të  punës  dhe  nuk  janë  të  vetëdijshëm  se  sa  shumë  punë  duhet  të  bëjnë  për  të  plotësuar  boshllëqet  që  kanë.  Kjo  nuk  do  të  thotë  se  ata  janë  të  paaftë,  por  pa  një  ndihmë  shtesë,  shumica  e  tyre  do  të  përballen  me  vështirësi  për  të  ndjekur    kurikulat  (plan‐ programet) e vitit të parë. Kjo dukuri shkaktohet  nga faktorë të ndryshëm, të cilët do të tentojmë ti  sqarojmë në vijim.  Një  problem  tjetër  brengosës  është  se,  ndërsa  disa  studentë  kanë  zgjidhur  problemin  e  dhënë matematikor dhe kërkojnë sfida të reja, të tjerët as që kanë marrë lapsin në dorë. Përderisa  disa studentë tentojnë të zgjidhin problemet e reja matematikore me entuziazëm dhe kreativitet, të  tjerët as që kanë filluar të punojnë dhe nuk kanë kurrfarë besimi në aftësitë e tyre.  Ky  dallim  mes  studentëve  është  një  nga  problemet  kryesore  që  hasim  në  orët  e  matematikës. Mirëpo, përbërja e larmishme e studentëve nuk është e vetmja vështirësi në të cilën  hasin  mësimdhënësit  e  matematikës.    Është  me  rendësi  të  kuptojmë  se  studentët  jo  vetëm  që  ndryshojnë në ritmin e punës dhe shkallën e tyre të aftësisë, por në shumë dimensione të tjera, si  përvoja paraprake, konceptimi, motivimi dhe strategjia.    Megjithatë  ky  përshkrim  brengosës  nuk  duhet  të  ndikojë  në  regjistrimin  e  studentëve  në  fakultete. Kjo është edhe arsyeja kryesore që, si asnjëherë më parë, duhet ti jepet mundësia  secilit,  por pa ulur kriteret e nevojshme për regjistrim. Për të pasur sukses do të ishte e nevojshme tu jepet  studentëve një përkrahje e veçantë dhe është e qartë se kjo punë kërkon një investim të madh, si  pedagogjik ashtu edhe material.  Me qëllim që ti jepet mundësi çdonjërit, që nga fillimi i viteve të nëntëdhjeta, janë përpiluar  programe speciale të ndryshme të përkrahjes. Karakteristikat kryesore të këtyre programeve janë:  shtimi  i  një  kursi  plotësues  në  kurikulat  e  vitit  të  parë,  formimi  i  qendrave  mbështetëse  të  matematikës, organizimi i testeve të ashtuquajtura “teste diagnostike”, të cilat organizohen javën e  parë  të  semestrit  etj.  Qëllimi  kryesor  i  këtyre  programeve  është  që  të  përforcojnë  njohuritë  e  matematikës  nga  shkolla  e  mesme.  Gjatë  këtyre  programeve  studentët  përfitojnë  nga  ndihma  e  mësimdhënësve por edhe nga vetë studentët e avancuar.  

6

KAPITULLI 1: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Për  ti  ndihmuar  studentët  tanë  në  përforcimin  e  njohurive  të  matematikës  nga  shkolla  e  mesme, si dhe për ti sjellë ata pak a shumë në një nivel përafërsisht të barabartë të njohurive, do të  marrim  si  model  programin  që  është  shfrytëzuar  në  Belgjikë  që  nga  fillimi  i  vitit  1999  [16].  Do  të  përmendim këtu çfarë ka ndikuar që ky program të ketë efekte  pozitive duke u bazuar në suksesin  e studentëve.    Me  nismën  e  qeverisë  franceze,  në  vitin  1999  është  themeluar  një  sistem  përkrahës  në  universitete për shkak të mungesës së njohurive themelore nga matematika të një numri të  madh  studentësh  belgë,  e  sidomos  të  atyre  frëngjisht‐folës.  Këto  përfundime  janë  konfirmuar  nga  Organizata  për  Kooperim  Ekonomik  dhe  Zhvillim  (OECD)  nëpërmjet  Programit  Internacional  për  Vlerësimin e Studentëve (PISA 2000), qëllimi i të cilit ka qenë vlerësimi i njohurive të nxënësve 15‐ vjeçar të shteteve anëtare të OECD, në fushën e gjuhës, matematikës dhe shkencës. Në mesin e 32  shteteve  performanca  e  studentëve  belgë,  që  flasin  frëngjisht,  ka  qenë  poshtë  mesatares.  Rezultatet  e  nxënësve  më  të  mirë  belgë  kanë  qenë  më  të  dobëta  se  ato  të    shteteve  anëtare  të  OECD‐së.  Në  vazhdim  do  të  përshkruajmë  njërin  nga  këto  sisteme,  të  zhvilluar  në    “Université  de  Mons‐Hainaut”  në  Belgjikë,  të    ashtuquajturin  “Sistemi  Tranzitor  Shkollë  e  Mesme‐Universitet”,  gjithashtu do ti analizojmë karakteristikat kryesore të këtij sistemi dhe mënyrat se si funksionon ai.   

1.3.1. Përshkrimi i sistemit mbështetës    Qëllimi i shkollës së mesme të Belgjikës ka qenë të mbajë një trajnim të përgjithshëm gjatë  një  periudhe    6‐vjeçare.  Studentët  mund  të  zgjedhin  të  përcaktohen  për  fusha  të  veçanta  si  shkenca, ekonomia, gjuhë të huaja. Kështu, studentët të përfshirë në studimet shkencore dhe, në  veçanti, në matematikë vijnë nga shkolla të ndryshme të vendit dhe për këtë arsye kanë njohuri të  ndryshme matematikore.    Karakteristika  e  parë  e  këtij  sistemi  mbështetës  ka  qenë  shtimi  i  një  kursi  elementar  të  matematikës në kurikulat e vitit të parë. Qëllimi kryesor i programit ka qenë sjellja e  studentëve në  një nivel të njëjtë matematikor. Materiali që mësohet konsiderohet të jetë bazë e nevojshme për të  vazhduar studimet në vitin e parë. Materialet më të rëndësishme të përfshira në këtë kurs janë:    ‐Numrat kompleksë  ‐Hyrje në algjebrën lineare  ‐Hyrje në logjikë  ‐Mjetet për vërtetim  ‐Funksionet elementare  ‐Gjeometria analitike 2 dhe 3 përmasore  ‐Përdorimi i simbolit të shumës.      Nënkuptohet se studentët nuk duhet të mësojnë gjëra të reja në kurs (gjëra që nuk i kanë  mësuar  në  shkollë  të  mesme),  sepse  qëllimi  i  kursit  është  freskimi  i  njohurive  nga  shkollimi  i  mesëm. Kjo është edhe arsyeja pse mësimi bëhet me ritëm të shpejtuar. Trajtimi i kursit nuk bëhet  në detaje. Asnjë teoremë nuk vërtetohet. Krejt puna është e fokusuar në të kuptuarit e koncepteve  matematikore,  në  përdorimin  e  tyre  të  suksesshëm  dhe  zhvillimin  e  intuitës.  Pikat  kryesore  paraqiten  në  dërrasën  e  zezë  pastaj  menjëherë  aplikohen  në  shembuj  të  ndryshëm  me  qëllim  të  përballimit  të  studentit  me  vështirësitë  dhe  mangësitë  në  formimin  matematik  .  Në  mënyrë  vullnetare  është  marrë  vendimi  që  gjatë  procesit  mësimor  të  mos  përdoret  teknologjia.  Për  shembull,  nuk    përdoren  kompjuteri,  kalkulatori  etj.  Mjetet  e    vetme  të  studentit  janë  lapsi  dhe  fletorja, kështu që kursi është më shumë i përqendruar  në analizën dhe përpilimin e problemeve, 

7

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

por gjithashtu edhe në dinamikën e prezantimit në tabelë.  Kjo metodë e punës që përdoret gjatë  këtij kursi e bën mësimin shumë më efektiv.      Gjatë gjashtë javëve të para, çdo të hënë organizohen teste dy orësh në lidhje me Kursin e  Matematikës Elementare. Këto teste kontrollohen menjëherë, kështu që studentët munden aty për  aty  të  plotësojnë  mangësitë    në  njohurit  e  tyre,  gjë  që  mundëson  vazhdimin  e  kursit  në  mënyrë  efektive.  Në  nëntor  organizohet  provimi.  Studentët,  që  arrijnë  12  pikë  nga  20  të  mundshmet,  e  kalojnë testin. Atyre që nuk e kalojnë atë, u jepet edhe një mundësi në janar, gjë që në fakt lë për të  dëshiruar, sepse u mbetet vetëm edhe një mundësi për të vazhduar studimet, nëse e dëshirojnë një  gjë  të  tillë.  Për  ti  ndihmuar  këta  studentë  që të  përgatisin  provimin  e  janarit,  organizohet seanca  fakultative për çdo javë prej nëntorit deri në dhjetor.    Rezultatet  e  mira  të  këtij  sistemi  tregojnë  se  përpjekjet  e  bëra  nuk  kanë  qenë  të  kota.  Studentët duken shumë aktivë që nga fillimi i vitit. Aq më tepër, secili aktivitet e ka ndikimin e vetë  të  dobishëm.  Kursi  i  Matematikës  Elementare  i  pajis  studentët  me  njohuri  themelore  të  matematikës,  si  dhe  u  mundëson  atyre  të  kuptuarit    e  materialit  të  shkollës  së  mesme  në  një  mënyrë tjetër. Testet javore i detyrojnë studentët të bëjnë një punë më sistematike dhe të pavarur.  Studentët janë në gjendje të përcjellin përparimin e  tyre, sepse ata çdo javë u nënshtrohen testeve  përkatëse. Shpesh ndodh që të vërehet një përparim real i një numri jo të vogël  studentësh gjatë  muajve nëntor e dhjetor. Dy javë para provimit fillon i ashtuquajturi  "Sezon i Përgatitjes". Në këtë  kohë studentët janë shumë të interesuar të venë në punë të gjitha këshillat e fituara gjatë kohës së  kursit.  Provimet  janë  të  korrigjuara  në  mënyrë  speciale  në  mënyrë  që  të  mundë  ti  tregohet  studentit shkalla e përvetësimit të njohurive të dhëna dhe se çfarë lloji angazhimi duhet të bëjnë   për të arritur sukses.    Për  të  analizuar  në  mënyrë  objektive  sistemin  e  lartpërmendur,  është  bërë  anketimi  i  këndvështrimit të studentëve. Të gjitha rezultatet çojnë në të njëjtin drejtim. Studentët shprehen  se  mënyrat  e  ndryshme  të  mbështetjes  që  u  janë  dhënë,  kanë  kontribuar  në  rritjen  e  aftësive  matematikore  të  tyre  dhe  i  kanë  ndihmuar  të  zhvillojnë  metodat  e  tyre  të  punës.  Ky  hulumtim  gjithashtu tregon qëllimin që ne duam të theksojmë: rreptësia e Kursit të Matematikës Elementare  (punë vazhdimisht e mbikëqyrur, teste javore, …) nuk është ndierë si dënim. Përkundrazi, studentët  e vlerësojnë shumë punën dhe kujdesin që është bërë për tu mundësuar atyre baza të mira për të  filluar universitetin.    Në  tetor  2001  Komisioni  i  ekspertëve  ndërkombëtarë  ka  vlerësuar  kualitetet  e  mësimit  të  seksionit  të  matematikës  në  Universitetet  Belge  frëngjisht‐folëse.  Raporti  e  ka  përshkruar  këtë  sistem si shumë të suksesshëm dhe inovator.      Përfundime    Eksperienca e përshkruar është specifike për Universitetet në Belgjikë, por, nga fakti se me  të njëjtin problem përballen edhe shumë universitete të tjera nëpër vende të ndryshme, një sistem  i  ngjashëm  mund  të  aplikohet  edhe  tek  ne.    Kjo  është  edhe  arsyeja  që  ne  duhet  të  tentojmë  të  zhvillojmë një program të ngjashëm mbështetës. Ka shumë arsye që të mendojmë se kjo punë do të  ketë efekte pozitive.     Së  pari,  sistemi  do  të  integrohet  plotësisht  në  plan‐programet  tona  mësimore,  çka  do  të  kontribuojë në një pjesëmarrjen të lartë të studentëve. Me matematikën elementare dhe testet, të  cilat do të mbahen për çdo javë, do të jemi në gjendje të ndjekim ecurinë e edukimit matematikor  të  çdo  studenti.  Në  qoftë  se  studentët  arrijnë  një  shkallë  të  lartë    suksesi  në  provim,  atëherë  shumica prej tyre do të arrijnë nivelin e nevojshëm për të  ndjekur jo vetëm lëndët matematike, por  edhe  në  lëndët  ku  matematika  zbatohet.  Me  fjalë  të  tjera,  do  të  arrijmë  qëllimin  që  të  kemi  studentë më të aftë dhe më të pavarur në punë.    8

KAPITULLI 1: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT   [1] Vijayalakshmi, Ch. (1994). ‘Implications of Brain‐research for Teachers & Teacher Educators’, Edu‐Vision,  18‐20.  [2] Bell, E.T.(1937). Men of Mathematics (Touchstone Edition, !986). New York: Simon & Schuster. ISBN 0‐ 671‐62818‐6 PBK  [3] Voolich, E. (1993). ‘Using biographies to ‘humanize’ the mathematics class’. Arithmetic Teacher, 41(1),16‐ 19.  [4] Tobias, S. (1993). Overcoming math anxiety. New York: W.W. Norton & Company.  [5] Spikell, M. (1993). Teaching mathematics with manipulative: A resource of activities for the K‐12 teacher.  New York: Allen and Bacon.  [6]  Furinghetti,F., 2000, “History of mathematics as a coupling link”, Int.J.Math.Edu. Sci. Technol., Vol. 31,  No:1, 43‐51  [7]  Greenwood, J, 1984, “My Anxieties about Math Anxiety”, Mathematics Teacher 77, 662‐663.  [8] McLead,  D.B;  1993,  “Research  on  Affect  in  Mathematics  Education:  A  Reconceptualisation”.  In  D.A.Grouws (Ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, Macmillan Publishing Co.,  London, 575‐596  [9]  Newstead, K, 1998, “Aspects of Children’s Mathematics Anxiety”, Educational Studies in Mathematics 36:  53‐71.  [10]    Hembree,  R,  1990,  “The  Nature,  Effects,  and  Relief  of  Mathematics  Anxiety”,  Journal  for  Research  in  Mathematics Education 21, 33‐46.  [11]    Hopko.  D.R,  Ashcraft,  M.H.,  1998,  “Mathematics  Anxiety  and  Working  Memory:  Support  for  the  Existence of a Deficient Inhibition Mechanism”, J. of Anxiety Disorders, Vol. 12,No.4, pp. 343‐355.  [12]  Tobias, S, 1978, “Overcoming Math Anxiety”, Norton, New York.  [13]  Ünal  UFUKTEPE,  Claire  THOMAS  ÖZEL  2002  “AVOIDING  MATHEMATICS  TRAUMA:  ALTERNATIVE  TEACHING METHODS” Izmir Institute of Technology, Department of Mathematics, 35435 Izmir‐TURKEY.  [14] Gabriel B. Costa and John A. Picciuto, 2004, “Do I really need to know mathematics?”  [15] Paul Dawkins , 2006. “How to Study Mathematics”  pp.1‐10.  [16] Stephanie Bridoux, 2002. “How to prepare students for a successful first year at university” Universite de  Mons‐Hainaut , Mons, Belgique. 

    

9

KAPITULLI  2   

IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E  MATEMATIKËS INXHINIERIKE   

2.1. Faktorët që ndikojnë në procesin e mësimit të matematikës 2.1.1. Inxhinieria urë lidhëse e  shkencave natyrore dhe  matematikës  Inxhinieria shërben si urë që lidh  shkencat natyrore dhe  matematikën  me  nevojat teknike  e teknologjike të njerëzimit. Në të gjitha disiplinat inxhinierike, zgjidhja e problemeve të ndryshme  arrihet përmes përdorimit të teknikave dhe metodave matematike. Prandaj matematika luan një rol  shumë të rëndësishëm në formimin dhe edukimin e studentëve të inxhinierisë.  Studentët që kanë  njohuri dhe shkathtësi matematike, kanë një shans të mirë të jenë inxhinierë shumë të suksesshëm.  Studentët  duhet  të  dinë  dhe  të  ndjejnë  se  sa  e  rëndësishme,  e  dobishme  dhe  kuptimplote  është  matematika.   Mësimdhënësit, në fakultetet inxhinierike, duhet ti pajisin studentët me aftësi konceptuale  për të shprehur ose formuluar, zhvilluar,  zgjidhur, përcaktuar dhe vërtetuar. Studentët, përveçse   të njohin teknikat e ndryshme për zgjidhjen e problemeve, duhet edhe  të dinë ti aplikojnë ato për  një spektër  të gjerë problemesh. Prandaj, mendojmë se studentëve u nevojitet ajo matematikë që i  ndihmon  ata  të  kenë  aftësi  zbatuese  e  krijuese,  një  matematikë,    ku  i  jepet  më  shumë  përparësi  përvetësimit konceptual të teknikave për zgjidhjen e problemeve se sa zgjidhjes së problemeve në  mënyrë mekanike.     Në  përgjithësi,  është  me  rëndësi  të  veçantë  që  studentët  e  inxhinierisë  të  kuptojnë  rëndësinë dhe bukurinë e matematikës në profesionin e tyre. Studentëve duhet tu tregohet shpesh  se çka do të mësojnë, pse duhet ta mësojnë dhe si do të zbatohet ajo në profesionin inxhinierik.    Është  e  rëndësishme  të  zhvillojmë  aftësitë  e  studentëve  për  tu  përballur  me  problemet  e  paparashikueshme,  duke u mbështetur në atë çka kanë mësuar dhe kuptuar në Universitet.     Mendojmë  se  studenti  e  ka  përvetësuar  një  kuptim  matematikor,  në  qoftë  se  ai  zotëron   këto aftësi:      ‐ Të jetë në gjendje të japë përkufizimin e atij koncepti;    ‐ Të jetë në gjendje të identifikojë atë koncept;    ‐ Të jetë në gjendje të sjellë shembuj në lidhje me atë koncept;    ‐ Të dijë vetitë kryesore të atij koncepti;  ‐  Të  jetë  në  gjendje  të  përdorë  konceptin  dhe  vetitë  e  tij,  për  të  sqaruar  situatat  dhe  problemet e dhëna;  ‐ Të jetë në gjendje të sistemojë konceptin e dhënë në strukturën hierarkike të koncepteve  matematikore.  Në fakultetin ku jap mësim, matematika zhvillohet në tre semestrat e parë. Kemi vënë re se  studentët    hasin  shumë  vështirësi  me  matematikën  që  në  semestrin  e  parë,  megjithëse  në  këtë  semestër trajtohen probleme të matematikës, të cilat, ku më pak e ku më shumë, janë trajtuar në  10

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

shkollën  e  mesme,  madje  në  mënyrë  të  përsëritur.  Në  lidhje  me  problemet  e  mësimdhënies  që  hasen  në  shkollën  e  mesme  po  citoj  një  paragraf    nga  një  referat  i  paraqitur  në  konferencën  kombëtare të matematikës në Tiranë [ 2 ]:    "Nga bisedat me nxënës, mësues dhe prindër të gjitha niveleve, por edhe me pedagogë të  shkollave të larta, fitohet lehtë bindja se programet dhe tekstet e lëndëve të shkencave të natyrës  në shkollat e mesme, si Kimia, Fizika, Biologjia dhe Matematika, janë të mbingarkuara, madje të pa  asimilueshme nga një numër i konsiderueshëm nxënësish. Është zor të gjesh sot një nxënës që të  arrijë  rezultate  maksimale,  pa  ndjekur  mësime  private  plotësuese,  gjë  që  në  brezat  tonë  nuk  ngjante kurrë një gjë e tillë. Është njëlloj si një prind t'i ofrojë më zor ushqim fëmijës, më tepër sesa  i  pranon  stomaku.  Rezultati  dihet:  fëmija  e  nxjerr  ushqimin  pra,  përsëri  ai  bëhet  i  pangrënë.  Ndërkohë  jam  i  mendimit  se  është  tepruar  shumë  me  të  ashtuquajturin  "  trajtim  spiral  "    të  koncepteve  matematike  në  shkollën  e  mesme.  Mjafton  t'ju  kujtoj  se  vija    parabolike  shtjellohet  katër  herë  në  kurset  e  matematikës  së  kësaj  shkolle,  por  një  përqindje  shumë  e  vogël  nxënësish  dinë  të  dallojnë  dhe  ndërtojnë  një  parabolë,  kur  jepet  ekuacioni  i  saj.  Unë,  personalisht,  përkrah  tezën se në rastin e Matematikës,  është më e dobishme t'i përmbahemi kryesisht "trajtimit linear"  të  koncepteve.  Për  t'ju  bindur  për  këtë,  mjafton  të  theksojmë  se  studentët  e  vitit  të  parë  në  fakultetet  inxhinierike,  paraqesin  dobësi  gjatë  përdorimit  të  funksioneve  dhe  ekuacioneve   trigonometrike,  si  dhe  në  punën  me  vijat  e  gradës  së  dytë,  megjithëse  në  shkollën  e  mesme  ato  janë trajtuar gjerë , thellë dhe në mënyrë të përsëritur. Dhe së fundi, asnjë farë efekti pozitiv nuk  ndjehet  në  të  mësuarit  e  Probabilitetit  dhe  Statistikës,  megjithëse  elemente  të  kësaj  lënde  janë  trajtuar  pothuajse  në  të  katër  vitet  e  shkollës  së  mesme.."Trajtimi  spiral",  sipas  mendimit  tim,  i  shkon për shtat kryesisht lëndës së Fizikës."  Pavarësisht  këtij  fakti,    do  të  propozoja  që  studentët  e  vitit  të  parë  ti  nënshtroheshin  në  fillim të semestrit të parë një testi, me anën e të cilit do të vlerësohej shkalla e përgatitjes së tyre.  Testi  duhet  të  përqendrohet  kryesisht  tek  ato  koncepte  të  rëndësishme,  që  shoqërojnë  kurset  matematike  në  universitet,  të  tilla  si:  "funksioni  dhe  studimi  elementar  i  tij",  "funksionet  elementare e vetitë e tyre",  "ekuacionet trigonometrike  themelore" , "ekuacioni i fuqisë së dytë",  "inekuacionet"  dhe "elemente të gjeometrisë analitike".    Në qoftë se njohuritë e studentëve në lidhje me  këto koncepte nuk janë të mjaftueshme,  atëherë  duhen  udhëzuar  dhe  ndihmuar  ata  që  ti  kapërcejnë  mangësitë  e  konstatuara.    Kjo  do  tu  mundësonte  atyre një vijim më të suksesshëm,  besojmë pa probleme, të temave në vazhdim.   

2.1.2. Eksperimentimi në lidhje me  madhësinë e grupeve të studentëve    Semestri i parë është koha vendimtare për rritjen e angazhimit të studentëve. Përkundrazi,  është bërë shprehi që në këtë semestër, bile edhe në institucionet e vogla, ligjëratat të mbahen me  grupe  të  mëdha  të  studentëve.  Zakonisht,  madhësia  e  grupit  reduktohet  në  semestrat  e  tjerë  e  sidomos  kur  ligjëratat  mbahen  ndaras  për  drejtime  të  caktuara.  Mirëpo,  praktika  e  grupeve  të  mëdha në fillim të semestrit të parë është treguar kundër produktive. Grupet e mëdha krijojnë te  studenti anonimitet dhe ndjenjën se mosprania e tyre nuk do të vërehet edhe nëse nuk i ndjekin  me  rregull  ligjëratat  (gjë  që  ndodh  shpesh).  Atëherë  studentët  detyrohen  që  edhe  përkundër  vullnetit  të  tyre  të  ndjekin  kurse    të  ndryshme  (orë  plotësuese),  ose  të  shkojnë  në  orë  të  konsultimeve për arsye se mbesin shumë mbrapa të tjerëve. Grupet e vogla të studentëve mund ta  zgjidhin këtë problem, por ato nuk janë ekonomike.     Shumë shpesh, në universitete të ndryshme inxhinierike, është eksperimentuar në lidhje me   madhësinë  e  grupeve  të  studentëve  dhe  ndikimin  e  tyre  në  mësimdhënien  e  matematikës.  Një 

11

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

eksperiment i tillë, të cilin do ta analizojmë, është aplikuar edhe në Institutin Indian i Teknologjisë  në Bombei (IITB) nga viti 1997‐2000 [4].    Do të njihemi këtu me dy eksperimente, qëllimi i të cilëve ishte përshkrimi përparësive   dhe  mangësive në mësimdhënien  e matematikës. Njëri eksperiment u bë  me grupet e mëdha me nga  250 studentë, ku u  përdor metoda e prezantimeve. Eksperimenti tjetër u krye  me grupet  me nga  40  studentë,  ku  më  shumë  është  përdorur  metoda  interaktive  (ndërvepruese).  Janë  diskutuar  mendimet e studentëve për disa aspekte të këtyre metodave.      (1) Mësimi në grupe të mëdha    Në  IITB,  rreth  450‐500  studentë  për  çdo  vit  kalojnë  nëpër  programe  të  ndryshme  inxhinierike.  Të  gjithë  studentëve  të  vitit  të  parë  u  jepen  kurse  themelore  nga  matematika,  fizika  dhe  kimia.  Deri  në  vitin  1997  këta  studentë  kanë  qenë  të  ndarë  në  katër  divizione.  Metoda  e  mësimit  ka  qenë  metoda  tradicionale  “tabela  e  zezë‐shkumës".  Në  vitin  1997,  për  shkaqe  të  ndryshme, është vendosur të ndërmerret eksperimentimi i mësimdhënies në grupe të mëdha (diku  rreth 250 studentë) me ndihmën e “teknologjisë moderne”.     Duke  pasur  parasysh  dendësinë  e  grupit  të      madh,  metoda  tradicionale  e  dhënies  së  instruksioneve  me  anë  të  “tabelës  së  zezë‐  shkumës”  është  dashur  të  zëvendësohet.  Është  propozuar, mandej edhe aprovuar, që mësimdhënia të bëhet me anë të prezantimeve. Gjithashtu  për të pasur një njëtrajtshmëri nëpër grupe të ndryshme, është ndjerë nevoja që i njëjti material të  përdoret në të gjitha degët (divizionet). Për më tepër, meqë vendi ku mbahet mësimi duhet të jetë  me pak dritë (për të qenë prezantimi më efektiv), është menduar që studentët do të kenë vështirësi  të  marrin  shënime  gjatë  ligjëratave.  Kështu  që  paraprakisht  duhej    përgatitur    në mënyrë  precize  kompleti i shënimeve për studentët.     Që të sendërtohet  ky lloji mësimi, 3 muaj para se të fillonte kursi, u caktua  ekipi prej dy  instruktorësh (nga një për secilin grup prej 250 studentëve). Ata kanë arritur të kryejnë përgatitjen  e  nevojshme,  dhe  kursi  ka  filluar  të  mbahet  në  vitin  1997.  Eksperimenti  është  përsëritur  në  vitet  1998 dhe 1999. Në të gjithë këto eksperimente, mbajtja e mësimit në klasë do të thotë shpjegimi i  matematikës prej shënimet të nxjerra  nga prezantimet.    Përparësitë dhe mangësitë të këtij kursi janë paraqitur në vijim.       Përparësitë     Nga pikëpamja administrative:    ‐Numrit të madh të studentëve mund tu jepet mësim me më pak staf (pedagogë)  .    Nga pikëpamja e mësimdhënësve:  ‐Mësimdhënësit  kanë  kohë  të  mjaftueshme  të  planifikojnë,  diskutojnë  dhe  përgatiten  për  mësim paraprakisht.  ‐Gjatë  ligjëratave  mësimdhënësit  kanë  më  shumë  kohë  të  sqarojnë  meqë  ata  nuk  kanë  nevojë të shkruajnë në tabelë.    ‐Është më pastër, pasi që nuk përdoret shkumësi dhe shpuza.     Nga pikëpamja e studentëve:  ‐Ata  kanë  më  shumë  kohë  të  dëgjojnë  dhe  kuptojnë  ligjëratat  meqë  nuk  kanë  nevojë  të  marrin shënime.    Mangësitë    a) Nga pikëpamja administrative:    ‐ Asnjë (nuk ka mangësi)    b) Nga pikëpamja e mësimdhënësve:    ‐ Ka më shumë ngurtësi në ligjërata, sepse përmbajtja është e ilustruar. Nuk ka spontanitet.    ‐ Stili  vetjak  i ligjëruesit nuk shpaloset lirisht. është i shtypur.   12

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

 

‐ Nuk ka ndërveprim ndërmjet  mësimdhënësit dhe studentit. Ai kryesisht është i njëanshëm  (në një kahe) .  ‐ Vështirësitë  e menaxhimit të auditorit për shkak të madhësisë së tij dhe të rrethanave të  mjedisit.  c) Nga pikëpamja e studentëve:  ‐Ligjëratat janë më të shpejta,  krahasuar me ato tradicionale, kështu  që studentët kanë më  pak kohë që të kuptojnë konceptet e shpjeguara.  ‐Bukuria e zhvillimit të mësimit ka humbur, gjë që ekziston në metodat tradicionale.   ‐Disponimi  i  shënimeve,  edhe  pse  i  ngjeshur,  u  jep  studentëve  një  ndjenjë  të  rrejshme  të  sigurisë. Ata bëhen më pak të vëmendshëm.  ‐Studentëve të mirë nuk u jepet shansi të komunikojnë me mësimdhënësit.  ‐Ambienti në klasë i vë në gjumë. 

        Një  përfundim  pozitiv  nga  ky  eksperiment  është  ai  që  disa  mësimdhënës  kanë  filluar  të  përdorin prezantimet pjesërisht duke plotësuar mësimin e tyre me metoda klasike.    (2) Eksperimenti i dytë‐grupet e vogla dhe Workshopet (Takime pune) në matematikë.    Në vitin 1993 stafi matematikor në IITB e ka parë të nevojshme që duhen bërë përpjekje për  të tërhequr studentët e mirë në programet për Master. Kjo ka qenë edhe arsyeja e propozimit të  konceptit të "Workshopeve" në departamentet e matematikës. Që nga viti 1994 "Workshopet" janë  bërë aktivitete vjetore të këtyre departamenteve. Qeveria e Indisë ka financuar 4 "Workshope" të  departamentit të shkencave të Teknologjisë.      •Objektivat    “Eksperienca  ka  treguar  se  është  e  kotë  të  priten    njohuri  të  mëdha  matematikore  paraprake nga studentët fillestarë. Shumë syresh tmerrohen nga matematika. Studentët duhet të  sigurohen se matematika nuk është aq e vështirë dhe ajo do të jetë interesante nëse studiohet  me kujdes.”                                                                            American Mathematicl Monthly, 40(1993)      “Mos u krenoni duke shpjeguar gjëra të mëdha. Zgjoni kureshtjen e tyre. Mjafton të veni  në  punë  trurin  e  tyre,  por  mos  e  mbingarkoni  atë.  Hidhni  vetëm  një  shkëndijë.  Nëse  ka  lëndë  djegëse, ajo do të merr flakë vetë.”                                                                              Anatole France      Qëllimi kryesor i grupeve të vogla dhe "Workshopeve" është të inkurajojë studentët e viteve  të fundit për studimet e mëtejshme të matematikës. Dhe kjo mund të arrihet më së miri si vijon:    ‐ "Workshopet" duhet të mbahen në një ambient të lirë.  ‐Temat për "Workshopet" nuk duhet të jenë as të vështira, as të shkëputura dhe as jashtë  kurikulës së lëndës.  ‐Ligjëratat  duhet  të  analizojnë  jo  vetëm  përmbajtjen  e  temës,  por  edhe  të  përgjigjen  në  pyetjet që kanë të bëjnë me temën: pse dhe si?  ‐Duhet  të  bëhet  përpjekje  që  të  ngjallim  vetëbesimin  për  zgjidhjen  e  problemeve  dhe  të  inkurajojmë te ata të menduarit e pavarur.      Përfundime    Siç  doli  e  qartë  nga  përparësitë  dhe  mangësitë  e  treguara  në  eksperimentin  e  parë,  as  mësimdhënësi dhe as studentët nuk e kanë parë të arsyeshme vazhdimin e këtij eksperimenti. Të  13

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

dy  palët  e  konsiderojnë  këtë  si  monoton,  si  një  proces  pa  komunikim  njerëzor.  Suksesi  i  eksperimentit  të  dytë  mbështetet  kryesisht  në  faktin  që  në  këtë  program  ka  mjaft  ndërveprim  jo  vetëm  ndërmjet  mësimdhënësit  dhe  studentit,  por  gjithashtu  ndërmjet  vetë  studentëve.  Ndërveprimi  jo  vetëm  që  ndihmon  studentët  të  kuptojnë  lëndën  më  mirë,  por  është  gjithashtu  i  dobishëm për vetë mësimdhënësit. Ajo i ndihmon ata ti vërejnë pengesat që hasin studentet gjatë  procesit mësimor  si dhe të gjejnë metoda të reja të prezantimit të lëndës. Studentët nuk janë nën  presion që të shprehin aftësitë e tyre dhe të garojnë me njëri ‐tjetrin. Ata kanë rastin të diskutojnë  dhe  ti  sqarojnë  paqartësitë  që  kanë.  Mësimdhënësit  gjithashtu  ndihen  të  kënaqur  kur  ata  shohin  një shkëndijë të kënaqësisë në sytë e studentëve, dhe për ta kjo është një arritje. Krejt kjo ndodh  për  shkak  të  mësuarit  aktiv.  Këtu  ka  një  raport  njerëzor  që  shkakton  këtë  diferencë.  Çfarëdo  lloj  teknologjie  që    mund  të  sjellim  në  mësimdhënie,  kurrsesi  ajo  nuk  mund  ta  zëvendësojë  mësimdhënësin. Teknologjia duhet konceptuar si një mjet ndihmës me anë të cilës mësimdhënësi  krijon raporte sa më reale, njerëzore dhe efektive me studentët.    

2.1.3. Shumë faktorë ndikojnë në procesin e mësimit të matematikës  Është  e  qartë  se  mësimdhënësit  (ligjëruesit)  kanë  ndikim  shumë  të  madh  në  procesin  e  mësimdhënies  së  matematikës.  Prandaj,  janë  bërë  përpjekje  të  konsiderueshme  dhe shumë  kohë  është kaluar duke u përpjekur për të kontribuar në zhvillimin dhe përmirësimin e mësimit bazik të  matematikës në institucionet e shkollimit të lartë teknik në Evropë. Seminaret e rregullta të Grupit  Punues  të  Matematikës  SEFI  (Shoqata  Evropiane  për  Edukimin  Inxhinierik)  paraqesin  bazën  themelore për diskutimin serioz dhe të vlefshëm që merret me ndikimin e ligjëruesve në procesin e  mësimit dhe me përdorimin  e kompjuterëve dhe paketave softuerike në mësimin e matematikës  [5].    Është  e  qartë se  të gjitha  përpjekjet  dhe  diskutimet  plotësuese  për  punën  në  fjalë  janë  të  dënuara të dështojnë paraprakisht,  përderisa të dy palët “student‐ligjërues” nuk kanë konsideratë  adekuate  ndaj  njëri  tjetrit.  Nënkuptohet,  studenti  duhet  të  jetë  i  përgatitur  dhe  të  zotërojë  mirë  konceptet  e  matematikës.  Vullneti  i  mirë  i  studentit  është  konditë  e  nevojshme  për  mësim  të  suksesshëm të matematikës. Por, kjo nuk mjafton. Ne jemi të vetëdijshëm për atë se studentët e  inxhinierisë  nuk  munden  ta  ndjejnë  dhe  ta  kuptojnë  matematikën  në  po  atë  mënyrë,  siç  e  bëjnë  profesionistët e matematikës.    Gjatë  viteve  të  fundit,  njohuritë  themelore  nga  matematika,  me  të  cilt  studentet  në  përgjithësi  kanë  qenë  të  pajisur,  janë  vazhdimisht  në  rënie.  Kjo  dukuri  shkaktohet  nga  faktor  të  ndryshëm, disa nga të cilët i kemi paraqitur në Fig. 1    Kërkesa e fundit, për mendimin tonë, është mjaft e rëndësishme (Fig. 2). Së pari, aktivitetet  e  kërkimeve  shkencore  u  japin  të  drejtë  ligjëruesve  të  matematikës  të  ngarkohen  me  statusin  e  shkencëtarit.  Së  dyti,  ligjëruesi  i  matematikës,  i  cili  është  i  angazhuar  në  një  punë  progresive  shkencore,  do  të  jetë,  pa  dyshim,  më  mirë  i  përgatitur  për  tu  përgjigjur  në  pyetjet  e  studentëve  kureshtarë të inxhinierisë. Ligjëruesi shkencëtar do të jetë në gjendje që çdoherë të japë shpjegime   serioze,  të  bazuara  në  studimet  dhe  eksperimentet  e    tij,  rreth  pyetjeve  të  zakonshme  të  studentëve fillestarë, të tilla si: “Çka përfitojnë nga matematika ata si inxhinierë në përgjithësi? Pse  njohuritë nga matematika janë esenciale për punën e tyre praktike të mëtutjeshme?”    Vëmendja drejtohet kah ligjëruesit e matematikës, ndaj të cilëve  janë parashtruar kërkesa  të mëdha (Fig. 2), si:  ‐shkathtësi në mësimdhënie dhe përgatitje psikologjike,  ‐aftësi pedagogjike,  ‐të kuptuar të shkëlqyeshëm të lëndës,  14

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

‐dëshirë  për  njohuri,  dëshirë  për  të  qenë  i  përkryer  jo  vetëm  në  mësimdhënien  e  matematikës, por gjithashtu edhe në kërkimet shkencore dhe në zbatimet e matematikës.   

             

  Fig. 1. Shumë faktorë ndikojnë në procesin e mësimit të matematikës     

              

  Fig. 2.Aktivitetet kërkimore shkencore të ligjëruesve të matematikës janë shumë të vlefshme 

15

 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Është  evidente,  se  rruga  e  vetëpërsosjes  nuk    pajtohet  me  mbylljen  në  vetvete.  Puna  përsoset  me  anë  të    kontakteve  personale,  shkëmbimit  të  këndvështrimeve  dhe  mendimeve.  Gjithashtu,  interesimi  shkencor,  puna  kërkimore  shkencore  si  dhe  arritjet  shkencore  të  ligjëruesit  stimulojnë  bashkëpunimin  dhe  bashkëveprimin  në  mes  të  shkencëtarëve‐matematikanë  në  mundësimin  e  zbatimit  të  detyrave  (punëve)  të  ndryshme‐projekteve  kërkimore  ndërkombëtare,  programeve ndërkombëtare, duke përfshirë edhe studentët në këto punë.      Ne mendojmë se të dhënat e mbledhura do të krijojnë një bazë të vërtetë për përgatitjen e  një  serie  ligjëratash  për  zbatimin  e  suksesshëm  të  matematikës  në  zgjidhjen  e  një  morie  problemesh  inxhinierike.  Më  vonë,  këto  ligjërata  mund  të  shpërndahen,  duke  përdorur  "mësimin  (edukimin)  në  distancë"  për  ata  studentë,  të  cilët  mendojnë  se  zgjidhja  e  problemeve  është  një  provë e mirë për të kuptuar matematikën.   Në  të  njëjtën  kohë  kjo  do  të  ishte  një  përkrahje  e  vërtetë  për  shumë  departamente  të  matematikës,  jo  vetëm  në  realizimin  e  kurikulave  të  tyre,  por  gjithashtu  edhe  në  mundësinë  e  bashkëpunimit me institucionet të tjera akademike.    

2.2. Të përmirësojmë mësimdhënien e matematikës për studentët e inxhinierisë 2.2.1. Ti shoqërojmë konceptet e reja abstrakte me shembuj numerikë  Problemet  e  mësimdhënies    janë  të  hershme  dhe  ato  do  të  na  përcjellin  vazhdimisht.  Ato  kanë lindur së bashku me mësimdhënien, prandaj përpjekjet tona duhet të synojnë për ti zbutur sa  do pak këto probleme. Qëllimi i ynë kryesor, i të gjitha përpjekjeve në këtë drejtim, është zhvillimi i  mëtejshëm i kulturës së përgjithshme të mësimdhënies në lëndën e matematikës.  Në shkollat e mesme janë bërë përpjekje për të kaluar në formën e hapur të mësimdhënies,  në të cilën mësimdhënësi nuk luan më rolin dominues, por është një “menaxher” i mësimdhënies,  në  qendër  të  cilës  qëndron  nxënësi.  Në  fakultet,  lëndët  e  specialitetit  mësohen  nga  fillimi,  nga  objekti, ndërsa matematika rimerret, duke pasur themelet në njohuritë e shkollës së mesme.     Për  të  pasur  një  qasje  më  të  mirë  në  mësimdhënien  e  matematikës,  do  të  duhej  që   studentëve të inxhinierisë tu bëhet e qartë arsyeja pse njohuritë nga matematika janë esenciale për  punën  praktike  të  tyre  të  mëtejshme.  Ora  e  mësimit  duhet  të  organizohet  mirë.  Së  pari,  pjesa  teorike duhet të përshtatet me zbatimin praktik. Së dyti, në fillim të kursit duhet tu sqarohet mirë  nevoja  për  pjesën  teorike.  Matematika  duhet  të  shihet  si  gjuhë  për  të  shprehur  ligjet  e  fizikës,  kimisë  dhe  inxhinierisë.  Të  gjithë    ekuacionet  e  përgjithshme  duhet  të  paraqiten  me  anë  të  shembujve numerikë  dhe praktikë, me qëllim që ti mundësojë studentit afrim sa më të plotë dhe  më  të  thellë  me  procesin  mësimor.  Theks  të  veçantë  duhet  ti  jepet  hapësirës  së  nevojshme  për  veprimet  me  ekuacionet  algjebrike.  Zgjidhjet  rigoroze  të  ekuacioneve  diferenciale  mund  të  zëvendësohen  duke  provuar  (vërtetuar  )  se  ndonjë  funksion  i  veçantë  e  plotëson  ekuacionin  e  dhënë etj.   Nuk  mund  të  presim  që  studentët  e  inxhinierisë  ta  shohin  matematikën  njëlloj  si  profesionistët  e  matematikës,  edhe  pse  inxhinierët  profesionistë  duhet  të  përvetësojnë  jo  vetëm  kuptimin  empirik  por  edhe  atë  abstrakt  të  matematikës.  Siç  mund  të  kuptohet,  qëllimi  i  mësimdhënies  së  matematikës  për  studentët  e  inxhinierisë  është  gjetja  e  baraspeshës  ndërmjet  zbatimit praktik të ekuacioneve matematikore dhe të kuptuarit me themel të tyre.   Matematika është e domosdoshme për inxhinierët, por thellësia e studimit të saj duhet të  ketë  kufi.  Mënyra  më  praktike  e  afrimit    me  matematikën,    është  të  kuptohet  ajo  si  gjuhë  për  përshkrimin e ligjeve fizike dhe kimike. Nga ky këndvështrim, të kuptosh problemet inxhinierike do  16

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

të  thotë    ti  shndërrosh  ato  në  probleme  fizike  ose  kimike,  dhe  pastaj  ti  shprehësh  në  ekuacione  matematikore.      Numrat dhe formulat    Në qoftë se studentëve  të inxhinierisë u propozohet të zgjidhin një problem të thjeshtë për  gjetjen e shpërndarjes së temperaturës midis dy pllakave paralele me temperatura  T1 dhe  T2 , duke  ditur  që  përçueshmëria  e  nxehtësisë  midis  këtyre  pllakave  është  konstante,  një  numër  jo  i  vogël  syresh  nuk  është  në  gjendje  ta  zgjidhë  këtë  problem.  Nga  ana  tjetër,  po  ky  problem  mund  të  riformulohet me numra:    “Dy pllaka paralele mbahen në temperaturat  200 0 C  dhe   300 0 C  , 6m larg njëra prej tjetrës.  Përcjellshmëria termike midis këtyre pllakave është  10 wmK. Llogaritni temperaturën  në  pikën që  është në largësinë  3m  nga pllaka e parë.”     Në këtë rast, gati secili, pa vonesë, do të përgjigjet se temperatura do të jetë  250 0 C    Arsyeja  për  këtë  është  shumë  e  thjeshtë.  Shumica  e  studentëve  të  inxhinierisë  mendojnë  më  shumë  në  gjuhën    e  shprehur  në  terma  numerikë    sesa  në  terma  abstraktë.  Për  këtë  arsye,   studentët që kanë vështirësi në llogaritjet e thjeshta analitike, mund të ndodhë që të jenë të mirë  në  llogaritjet  numerike.  Kjo  nuk  do  të  thotë  se  ne  duhet  ti  shmangemi  marrjes  me  konceptet  abstrakte, por , sa më shumë që është e mundur,  konceptet e reja abstrakte duhet ti shoqërojmë  me shembujsh numerikë.     Për shembull, në qoftë se u shpjegojmë studentëve një ligj ose një rregull të matematikës,  dhe menjëherë  kalojmë në temën tjetër, shumica e studentëve do ta kenë harruar atë ligj deri në  ligjëratën  tjetër.  Nga  ana  tjetër,  në  qoftë  se  mësimdhënësi  e  paraqet  me  anë  të  disa  shembujve  praktikë  ligjin  në  fjalë,  atëherë  studentët  do  ta  regjistrojnë  atë  në  memorien  e  tyre.  Me  fjalë  të  tjera, duke u mbështetur në eksperiencën e studentëve, numrat i shpijnë  studentët e inxhinierisë  nga  njohuritë  sipërfaqësore  në  ato  me  themel  (  të  thella).  Duke  u  mbështetur  në  aspektet  organizative  të  eksperiencës  së  tyre,  numrat  mundësojnë  kalimin  nga  qasja  e  të  mësuarit  në  mënyrë të pjesshme në atë të kuptuarit të plotë. Kjo do të thotë se studentët fillojnë të kuptojnë  problemin në tërësi dhe jo pjesërisht. Është e qartë që procesi i kundërt ndodh në komunitetin e  studentëve të matematikës: mësimi i plotë dhe me themel mbështetet në shumicën e rasteve në  fokusimin  e  studentëve  në  formula,  ndërsa  të  mësuarit  sipërfaqësor  e  të  pjesshëm  shfaqet  në  shkallën e të mësuarit me numra [6,7].        Ekuacionet algjebrike     Zakonisht,  nga  përvoja  shumëvjeçare,  në  fillim  të  kursit  të  Algjebrës  lineare,  fitojmë  përshtypjen  se  studentët  ndihen  shumë  rehat  (nuk  kanë  probleme)  me  veprimet  algjebrike.  Pas  disa ligjëratave (njësive mësimore) vërejmë se ky vlerësim jo çdo herë vlen. Gati asnjë student nuk  b ka problem gjatë zgjidhjes së ekuacionit  ax = b dhe e jep  zgjidhjen  x =  . Mirëpo, në qoftë se i  a njëjti ekuacion shkruhet në mënyrë pak më të komplikuar, si për shembull:  αφ 2 x + βx = γ   gjetja  e  zgjidhjes    tij    x =

γ

αφ + β 2

    shkakton  vështirësi  në  mes  të  studentëve,  nëse  kjo  zgjidhje 

shkruhet menjëherë. Në vend të saj, ana e majtë e ekuacionit duhet të rishkruhet në trajtën :   αφ 2 x + βx = (αφ 2 + β )x = δx = γ  

17

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

γ δ

ku   δ = αφ 2 + β , para se të shkruhet zgjidhja e tij   x = . Kjo nënkuptohet i merr disa minuta orës së  mësimit  (ligjëratës),  por  nëse  kjo  nuk  bëhet,  atëherë  për  shumë  studentë  kjo  ligjëratë  do  të  jetë  humbur.    Problem tjetër te ekuacionet algjebrike paraqet edhe shënimi. Na pëlqen ose jo, shumica e  studentëve  kanë  prirje  (tentojnë)  ti  mbajnë  mend  ekuacionet  me  shënime  të  veçanta  (posaçme).  Për shembull, në qoftë se distancën e kemi shënuar me  d  njëherë, atëherë këtë shënim duhet ta  përdorim  deri  në  fund  të  kursit  (asaj  lënde).  Edhe  pse,  shumë  shpesh  u  tërhiqet  vëmendja  studentëve  se  me  më  rëndësi  është  të  kuptohet  struktura  e  ekuacionit  se  sa  të  mbahet  mend  mënyra e të shkruarit të tij, kjo ka pak sukses te studentët. Prandaj, mendojmë se shënimet duhet  të jenë të njëjta (të mos ndryshojnë) për të larguar keqkuptimet, sidomos me studentët e vitit të  parë [8].      Vektorët     Edhe veprimet më të thjeshta me vektorët, si shuma dhe zbritja e tyre mund të shkaktojnë  probleme në qoftë se studentët nuk janë të përgatitur për këtë. Trajtimi në rastin njëdimensional  mund të jetë një pikë nisje e mirë. Produkti i vektorit me skalar dhe produkti skalar i vektorëve nuk  shkaktojnë probleme të mëdha, nëse ato sqarohen në detaje. Zakonisht, pengesë kryesore paraqet  produkti vektorial. Në praktikë, duket që është më efikase të punohet  me komponentët e produktit  vektorial se sa me formën e përgjithshme të tij.     Metodat e mësimit    Ligjëratat  formale.  Edhe  përkundër  të  gjithë  kritikave  ndaj  ligjëratave  formale,  ato  ende  mbeten  metodat  më  të  përdorura  të  mësimdhënies.  Këto  lloj  ligjëratash  nuk  janë  plotësisht  efektive për mësimin e matematikës për shumë arsye. Kurset e matematikës janë të ndërtuara në  atë  mënyrë  që  në  qoftë  se  studenti  mungon  në  fillim  të  ligjëratës,  ku  zakonisht  jepen  konceptet  kyçe,  atëherë  pjesa  tjetër  e  ligjëratës  do  të  jetë  e  humbur  për  të.  Përveç  kësaj,  çdo  student  ka  normën (hapin) e vet të përvetësimit të njohurive të matematikës. Mënyra e ligjërimit mund të jetë  shumë  e  ngadaltë  për  disa  studentë  dhe  shumë  e  shpejtë  për  të  tjerët.  Përfundimisht,  ligjërata  formale mund ti largojnë studentët nga përdorja e vetë iniciativës. [9].     Mënyra  më  e  natyrshme  për  ti  tejkaluar  shumicën  e  këtyre  problemeve,  është  tu  jepet  motivim studentëve edhe pse në terma praktikë kjo zakonisht është vështirë të arrihet. Në mënyrë  alternative, këto probleme mund të zgjidhen në qoftë se ligjëratat formale përdoren së bashku me  metodat tjera të mësimit [6].  Nxjerrja e studentit në tabelë    Ngandonjëherë  është  e  dobishme  ti  thërrasim  një  nga  një  studentët  në  tabelë  për  të  zgjidhur  një  problem  të  caktuar.  Kjo  i  detyron  studentët  që  gjenden  në  auditor  për  punë   individuale, kështu klasa gati asnjëherë nuk mbetet pasive. Si rezultat vendoset një dialog produktiv  me  të  gjithë  grupin.  Menjëherë  mund  të  vërehen  pasojat  (ndryshimet  )  në  auditor,  dhe  kjo  gjithashtu i mban syhapur studentët, meqë cilido mund të thirret në tabelë. Metoda e nxjerrjes në  tabelë  të  studentëve  mund  të  praktikohet  në  bashkëpunim  me  të  ashtuquajturën  koha  e  “qetësisë”, kur secili është inkurajuar të mendojë për zgjidhjen e problemit në qetësi pa zë.  Mësimi me anë të kundërshembujve     Një  pjesë  e  madhe  e  studentëve  duket  se  janë  në  gjendje  të  gjejnë  zgjidhjet  korrekte  (të  sakta)  duke  përdorur  hapa  dhe  procedura  të  njohura  mirë  për  ta.  Megjithatë  atyre  u  mungon  të  kuptuarit  të  thellë  dhe  konceptual  të  brendësisë  së  teoremave  dhe  ngandonjëherë  hasin  në  moskuptim.  Me  qëllim  që  të  eliminohen  këto  moskuptime,  dhe  për  një  kuptim  më  të  thellë  të  18

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

koncepteve në fjalë, studentëve u jepen pohime jo të sakta matematikore dhe nga ta kërkohet të  konstruktojnë kundërshembuj që të vërtetojnë se pohimet kanë qenë të pasakta. Ata kanë njohuri  të  mjaftueshme  për  të  bërë  këtë.  Mirëpo,  për  shumicën  e  studentëve,  ky  lloj  aktiviteti  ka  qenë  shumë  i  dyshimtë  dhe  ka  krijuar  konflikt.  U  bë  një  eksperiment  me  127  studentë  nga  dy  universitete, në Gjermani dhe në Zelandë të Re. Studentët u  anketuan rreth  pikëpamjeve të tyre  për metodën e përdorimit të kundërshembujve, për të eliminuar moskuptimet dhe për një kuptim  më  të  thellë  e  konceptual.  Një  numër  i  madh  i  studentëve   (96%  në  grupin  Gjerman  dhe  84%  në  grupin  e  Zelandës  së  Re)  kanë  deklaruar  se  kjo  metodë  ka  qenë  shumë  efikase.  Shumica  e  studentëve  kanë  dhënë  komente  pozitive  se  përdorimi  i  kundërshembujve  i  ka  ndihmuar  ato  të  eliminojnë moskuptimet,  të parandalojë gabimet në të ardhmen, të kuptojnë konceptet më mirë,  dhe të zhvillojnë mendimin logjik dhe kritik.    Si përfundim, shumica dërmuese e statistikave të këtyre studimeve dhe komentet e shumta   të  studentëve  kanë  treguar  se  studentët  janë  deklaruar  pozitivisht  për  përdorimin  e  kundërshembujve  në  vitin  e  parë  të  studimeve.  Shumica  e  tyre  kanë  deklaruar  se  metoda  e  përdorimit të kundërshembujve u ka ndihmuar atyre të kuptojnë konceptet më mirë, tu shmangen  gabimeve në të ardhmen dhe të zhvillojnë mendimin kritik dhe logjik. Eksperienca  ka treguar se ajo  mundëson  edhe  pjesëmarrjen  më  aktive  të  studentëve  gjatë  ligjëratave.  E  gjithë  kjo  na  jep  siguri  (vetëbesim)  të  rekomandojmë  këtë  strategji  pedagogjike  kolegëve  tanë  që  ta  provojnë  me  studentët  e  tyre.  Kjo  strategji  mund  të  përdoret  në  mënyra  të  ndryshme:  tu  jepen  studentëve  përzierje  të  pohimeve  të  sakta  dhe  jo  të  sakta;  duke  bërë  gabime  të  paramenduara  gjatë  ligjëratave;  duke  kërkuar  nga  studentët  të  gjejnë  gabimet  në  faqe  të  caktuara  të  tekstit  të  tyre;  duke  i  vlerësuar  studentët  me  një  notë  më  shumë  për  paraqitjen  e  një  kundërshembulli  të  shkëlqyeshëm, të një pyetje të vështirë gjatë ligjëratave, e kështu me radhë.   

2.3. Implementimi i disa metodave të reja në mësimdhënien e matematikës inxhinierike    “Në kushtet e një bote që ndryshon, herë më shpejt dhe herë më ngadalë, i vetmi mjet për të  mbijetuar si individ, si institucion, si komb etj, është të përfshihesh në këtë ndryshim”  [ 2].   Roli  vendimtar  i  matematikës  në  zhvillimin  dhe  thellimin  e  dijeve  për  botën  reale  është  pranuar që në lashtësi nga filozofët, hulumtuesit dhe zbatuesit e teorisë .   Ndërsa  rreth  viteve  300  p.e.s.,  mbi  hyrjen  e  Akademisë  së  themeluar  nga  filozofi  i  madh  Greqisë së Lashtë, Platoni, gjendej mbishkrimi  i çuditshëm: “Nuk u lejohet hyrja atyre që nuk kanë  njohuri nga gjeometria”, disa shekuj më vonë, pikërisht në Mesjetë, piktori i famshëm Leonardo da  Vinçi porosiste: "O studiues, lexoni matematikën e mos ndërtoni pa themele."  Në  kohët  e  sotme  roli  i  matematikës  jo  vetëm  që  nuk  është  zvogëluar,  përkundrazi  është  rritur  dhe,  madje,    mund  të  thuhet  që  pothuajse  nuk  ka  fushë    të  kërkimit  e  të  zbatimit  ku  nuk  përdoret  matematika.  Mirëpo  nuk  mund  të  thuhet  e  njëjta  gjë  për  interesin  e  gjeneratave  për  matematikën.  Madje  ky  interes  është  shumë  larg  kërkesave  që  parashtron  zhvillimi  teknik  e  teknologjik  i  kohës.  Kësaj  prirje  i  duhet  ndërruar  kahja  në  të  kundërt  dhe  kjo  gjë  mund  arrihet  kryesisht me anë të reformimit të thellë të metodave dhe teknikave të mësimdhënies.   Problemet që paraqet si procesi i mësimdhënies  në përgjithësi, ashtu edhe ai i matematikës  në veçanti,  janë sa të hershme aq edhe aktuale.   Në këtë kontekst, është  kuptimplote thënia e një filozofi: "Të nxënit i ka rrënjët e hidhura,  por ama frutat e tij janë të ëmbla."  Prandaj përpjekjet e mësimdhënësve  duhet të synojnë që t'i   zbusin  sa  më  shumë  që  është  e  mundur    këto  probleme.  Qëllimi  kryesor  i  përpjekjeve  në  këtë  19

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

drejtim, duhet të  jetë zhvillimi i mëtejshëm i kulturës së përgjithshme të mësimdhënies në lëndën  e matematikës.  Gjithashtu, jemi të ndërgjegjshëm për dobinë e padiskutueshme të revolucionit telematik, i  cili  shprehet  në  zhvillimin  e  vrullshëm  të  televizionit  dhe  informatikës,  por  njëherësh  jemi  edhe  dëshmitarë të përdorimit të paktë produkteve të tij në procesin e mësimdhënies.  “Çdo kurikulum i Matematikës në fakultetet inxhinierike të botës tradicionale ka filluar me  fjalët: “Matematika ka qenë gjithmonë një lëndë qendrore në kurikulumet e studimeve inxhinierike,  duke  siguruar  teknika  e  mjete  të  progresit  teknologjik  dhe  duke  qenë  një  shkencë  teorike  dhe  e  zbatuar autonome”. Megjithëse ky formulim vazhdon të qëndrojë,  duhet  ta  pranojmë se ai nuk e  ka më kuptimin e dikurshëm dhe se matematika e shekullit XXI ka projektuar një vizion goxha larg  atij  klasik.  Këtu, së  pari duam  të  theksojmë  se departamenti  i  matematikës  ka  detyrën  e  vështirë  për t’u adaptuar dhe për të zënë vendin e vet  në strukturën e Fakulteteve Inxhinierike, e cila pritet  të  ketë  ndryshime  të  ndjeshme.  Si  nevojë  e  domosdoshme  e  integrimit,    matematika  duhet  të  konvertohet në Matematikë Inxhinierike”[ 2 ].    Një  individ  përfiton  nga  një  proces  i  caktuar  mësimor    ose  shkencor  vetëm  atëherë  kur  ai  bëhet pjesë e këtij procesi. Vetëm kështu ai mund të fitojë dije të qëndrueshme, fiton pavarësi të  menduarit e të vepruarit, gjë që nuk ndodh shpesh me studentët tanë.               Në  vazhdim  të  këtij  paragrafi  do  të  përshkruajmë  eksperimentin  tonë  (në  Fakultetin  e  Inxhinierisë  Elektrike  dhe  Kompjuterike  në  Prishtinë)  për  ndryshimin  e  metodave  tradicionale  të  mësimdhënies dhe  implementimin e metodave të reja (aktive), metoda të cila kanë filluat të bëhen  pjesë e rëndësishme e bashkësisë së metodave bashkëkohore të mësimdhënies.    Në  fillim  do  ti  paraqesim  karakteristikat  e  mësimdhënies së  matematikës    në  universitetin  tonë,  FIEK  (Fakulteti  i  Inxhinierisë  Elektrike  dhe  Kompjuterike).  Ne  jemi  të  mendimit  se  mësimdhënia tradicionale, ku në qendër të vëmendjes është mësimdhënësi, duhet të përmirësohet  me anë të trupëzimit të metodave dhe teknikave moderne. Do ti diskutojmë disa metoda moderne,  përfshirë  këtu  "instruksionet  me  ndihmën  e  kompjuterit",    "diagramën    koncepteve"    ,  dhe  disa  shembuj të tjerë.  Viteve  të  fundit,  jemi  përpjekur    të  bëjmë  më  të  mirën  për  ti  mësuar    studentët,    dhe  ti  bindim ata që të mësojnë sa më shumë që munden. Mirëpo, meqë nuk kemi pasur trajnim formal  profesional mësimdhënieje në universitetet perëndimore, shpesh herë mësimdhënia  ka mbetur e  bazuar në eksperiencën tonë, dhe jo çdoherë ka funksionuar ashtu si kemi pritur ose shpresuar.   Në  universitetin  tonë,  të  gjithë  studentët  e  vitit  të  parë  dhe  të  dytë  janë  të  obliguar  të  studiojnë matematikën e avancuar, të përbërë nga Matematika I, Matematika II dhe Matematika III.  Këto janë ndër lëndët më të rëndësishme dhe të domosdoshme gjatë kohës së studimeve të tyre.  Për  arsye  të  numrit  të  madh  të  studentëve,  mësimdhënia  ndeshet  me  probleme  dhe  është  e  pamundur  të  punohet  individualisht  në  klasë,  as  gjatë  ligjëratave,  e  as  pas  tyre.  Kjo  gjithashtu  i  detyron ligjëruesit të zbatojnë metodat tradicionale të mësimdhënies, ku roli i mësimdhënësve dhe  i  studentëve  është  i  thjeshtë:  mësimdhënësit  jep  informata  dhe  studentët  i  pranojnë  ata.  Megjithatë, mësimdhënësit në këtë grup kanë bë çmos për një mësimdhënie sa më të mirë.     Idetë e reja që duhet të zbatohen   Në disa raste, metodat tradicionale të mësimdhënies i bëjnë studentët të ndihen keq, sepse,  një gjë shumë e rëndësishme nuk ka ndryshuar ende; ne vazhdojmë të zhvillojmë konceptet në çdo  kapitull,  duke  filluar  me  përkufizimet,  mandej  rezultatet  dhe  në  fund  teknikat  për  zgjidhjen  e  problemeve.   Për të përmirësuar mësimdhënien e matematikës, duhet të marrim parasysh principet bazë  të  mësimit.  Është  i  nevojshëm  ndryshimi  i  mësimdhënies,  ku  në  qendër  të  vëmendjes  është  20

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

mësimdhënësi,  me  atë,  ku  në  qendër  është  studenti.  Qëllimi  ynë  është  të  kombinojmë  metodat  tradicionale  të  mësimdhënies  me  ide  dhe  teknika  të  reja  dhe  të  themelojmë  një  metodologji  të  mësimdhënies,  të  përshtatshme  për  universitetin  tonë.  Nuk  mund  të  supozohet  se  ato  mund  të  zbatohen  në  të  gjitha  disiplinat,  gjithkund  dhe  në  çdo  kohë.  Për  arsye  të  karakteristikave  të  matematikës,  mendojmë  se  metodat  tradicionale  nuk  duhet  të  përjashtohen  krejtësisht.  Nga  metodat e reja ne mund të huazojmë të zhvilluarit e orës së mësimit në mënyrë sa më interesante  dhe sa më interaktive (ndërvepruese).   Që t'iu mundësojmë studentëve një qasje sa më të mirë dhe ti bëjmë ata pjesëmarrës aktivë  gjatë përvetësimit të koncepteve matematike, duhet bërë një kalim i butë nga  konceptet e njohura  në  përkufizimet  rigoroze  të  koncepteve  të  reja.  Për  këtë,  është  mirë  të  fillohet  me  paraqitjen  numerike të konceptit të caktuar, të vazhdohet, nëse është e mundur, me interpretimin gjeometrik,   dhe, së fundi, të kalohet në dhënien e përkufizimit rigoroz të tij . Në këtë mënyrë, kur të arrijmë te  përkufizimi rigoroz, studenti do ta ketë të qartë se për çfarë bëhet fjalë dhe do ta kuptojë më lehtë  atë. Gjithashtu është mirë të merren disa shembuj të paraqitur me anë të softeve matematike, që  përdoren më së shumti në inxhinieri si dhe ndonjë animacion, në mënyrë që të zgjojmë kureshtjen  e  studentëve  dhe  të  rrisim  interesimin  për  matematikën.  Po  ashtu,  është  e  nevojshme  të  ndryshojmë edhe karakterin e detyrave të cilat ua parashtrojmë studentëve. Detyrat duhet të jenë  logjike, të kenë kryesisht karakter zbatues, pa harruar ushtrimet me përmbajtje teorike.  Në këtë pjesë, do të përmendim disa metoda për të cilat mendojmë se janë të përshtatshme  për mësimdhënien e matematikës, dhe do ti sjellim disa shembuj konkretë për ti ilustruar ato.   

2.3.1. Si të shpjegojmë limitin e funksionit  Metodat aktive i kemi përdorur këtu për shpjegimin e konceptit të limitit, i cili qëndron në  themel të njërit prej njehsimeve më të rëndësishme matematike, siç është  "Njehsimit Diferencial e  Integral".  Studentët,  tradicionalisht,  hasin  vështirësi  gjatë  të  kuptuarit  të  konceptit  të  limitit  të  funksionit. Këto vështirësi, përveç tjerash,  lindin edhe për arsye të mungesës së  paraqitjes vizuale  të problemeve dhe koncepteve matematikore.     Diagrama e koncepteve  Diagrama e koncepteve, është teknikë që përdoret për të prezantuar njohuritë grafikisht, ku  grafi  i  njohurive  paraqet  lidhjen  e  koncepteve  që  janë  të  ndërlidhura.  Zakonisht,  diagrama  e  koncepteve përbëhet prej blloqeve dhe lidhjeve në mes tyre. Blloqet paraqesin konceptet brenda  një  lamie,  dhe  lidhjet  paraqesin  relacionet  ndërmjet  koncepteve  (Lanzing,  1997).  Kjo  mund  të  përdoret për të ndihmuar të mësuarit, për të rikonstruktuar njohuritë, të prodhuar ide, dhe për të  vlerësuar  të  kuptuarit  ose  të  dalluar  keqkuptimet.  Diagrama  e  koncepteve  mund  të  përdoret  në  orët e matematikës së avancuar dhe besojmë se ka efekte pozitive.    Shembulli 1. ‐ Koncepti i limitit është një ndër pjesët më të rëndësishme në matematikë. Për  të mësuar shkencat moderne, limiti duhet kuptuar shumë mirë. Mirëpo, kjo pjesë është e vështirë  për tu  shpjeguar ,  madje   edhe më  vështirë për tu kuptuar. Këtu mund të përdorim diagramën e  koncepteve që ka të bëj me limitin. 

21

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

 

  Fig.3.   

Duke  përdorur  këtë  skemë,  ne  shumë  qartë  mund  ti  paraqesim  kushtet  në  përkufizimin  e  limitit, dhe mund tu sqarojmë studentëve se derivati është përkufizuar me anë të limitit, se integrali  i caktuar në fakt është limiti i shumës së Rieman‐it, dhe se seria është limit i shumës pjesshme. Të  gjitha këto paraqesin konceptet më të rëndësishme të matematikës së avancuar, dhe janë mjete të  dobishme për mësime të veçanta.  Kjo do tu mundësojë studentëve të shohin rëndësinë e konceptit  të limitit, dhe ti shtyjë ata të mësojnë më shumë.          Paraqitja numerike e limitit              Përkufizimi rigoroz i limitit është vështirë të kuptohet në qoftë se më parë nuk marrim disa  shembuj numerikë. Prandaj, që tu mundësojmë studentëve një qasje sa më të mirë dhe ti bëjmë  ata  pjesëmarrës  aktivë  gjatë shpjegimit  të  konceptit  të  limitit,  do  të  bëjmë  një  kalim  të  butë  dhe  shkallë‐ shkallë nga  konceptet themelore në përkufizimin rigoroz të limitit.      Çfarë është limiti?    Për të kuptuar se çfarë është limiti, po shqyrtojmë fillimisht dy shembuj të thjeshtë.    Shembulli 2. ‐ Supozojmë se duam të llogarisim syprinën e katrorit. E dimë se ajo është  e  barabartë me katrorin e brinjës së tij.     Për shembull, nëse kemi katrorin me brinjë  5cm , atëherë syprina e tij do të jetë  25cm2 .              Le ta ndryshojmë pak  problemën, duke e marrë  brinjën e katrorit përafërsisht  5cm . Lind  pyetja  e  natyrshme:  A  mund  të  thuhet  se  syprina  e  katrorit  është    përafërsisht  25cm2 ?    Po  arsyetojmë në mënyrë praktike, duke marrë disa shembuj konkretë si në tabelën e mëposhtme.     brinja  syprina  5.1  26.01  5.01  25.1001  5.001  25.010001  5.0001  25.00100001  5.00001  25.0001       

22

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Nga tabela shihet qartë se  në qoftë se brinja e  katrorit i afrohet numrit  5 , atëherë syprina  e  tij  i  afrohet  numrit  25 .  Në  këtë  shembull,  nxjerrim  përfundimin  praktik  se  limiti  i  syprinës  së  katrorit është  25 , kur brinja e tij i afrohet numrit  5 .  Le të shënojmë me  x  gjatësinë e brinja dhe me  S (x ) = x 2  syprinën, atëherë do të themi se  "limiti (caku) i  S ( x)  është  25  ,  kur  x   tenton (afrohet) te numri  5 ".     Shembulli 3. ‐ Shqyrtojmë funksionin  g  me formulë  g(x) = 9x 2 + 3x + 2  . Shohim se  g(7) = 464  dhe pyesim: " A tenton  g(x ) te numri (vlera)  g(7) = 464 , nëse  x  tenton te numri  7 ?"   Për t'iu përgjigjur praktikisht kësaj pyetjeje, ndërtojmë përsëri një tabelë si ajo që vijon.    g(x ) x    476.99  7.1    465.2909  7.01    464.129009  7.001    464.01290009  7.0001    464.0012900009  7.00001    464.000129000009  7.000001    Nga tabela, vëmë re se sa më shumë që   x  i afrohet  7 , aq më shumë  g(x ) i afrohet  464 .  Këtë fakt e shprehim kështu: "limiti (caku) i  g(x ) është  464 , kur   x   tenton te numri  7.      Në  secilin  nga  këto  shembuj,duke  folur  në  përgjithësi,  kemi  të  bëjmë  me  një  funksion    f   dhe dy numra  a  dhe   L :    ‐Në shembullin e parë:  f (x) = S(x) = x 2; a = 5 dhe L = 25.     ‐Në shembullin e dytë:  f (x) = g(x) = 9x 2 + 3x + 2; a = 7 dhe L = 464.  Në të dy shembujt e mësipërm, vërmë re  se kur   x  tenton në  a , atëherë  f (x ) tenton në  L .     Deri këtu, duket sikur puna me limitin nuk paraqet ndonjë problem. Megjithatë, po shohim  edhe një shembull tjetër.    x −1 Shembulli 4. ‐ Marrim në shqyrtim funksionin me formulë:  f (x ) = 2  dhe të shohim se  x −1 çka ndodh me vlerat  f (x ) , kur   x  tenton në  1.      Në  ndryshim  nga  dy  shembujt  e  mëparshëm,  funksioni  këtu  nuk  është  i  përcaktuar  për x = 1. Për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar, ndërtojmë tabelën e mëposhtme.    f (x)  f (x) x <1  x >1 0.400000  1.5  0.666667  0.5  0.476190  1.1  0.526316  0.9  0.497512  1.01  0.502513  0.99  0.499750  1.001  0.500250  0.999  0.499975  1.0001  0.500025  0.9999      Nga  tabela,  na  krijohet  praktikisht  bindja  se  limiti  i    f (x)    kur    x   tenton  në  1,  nga  ana  e  djathtë dhe nga ana e majtë, është i barabartë me  0.5 . Për këtë fakt bindemi edhe gjeometrikisht,  duke ndërtuar grafin e funksionit  f (shih fig. 1 ). 

23

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  Le të bëjmë një ndryshim në formulën e funksionit  f , duke e marrë në pikën  x =1 vlerën e  funksionit  të  barabartë  me  2 .  Teorikisht  e  kemi  ndryshuar  funksionin    (sepse  kemi  ndryshuar  bashkësinë  e  përcaktimit  të  tij)  pra,  kemi  formuar  një  funksion  të  ri,  të  cilin  po  e  shënojmë  me   shkronjën  g :   ⎧ x −1 ⎪ per x ≠ 1 g(x ) = ⎨ x 2 −1   ⎪⎩2 per x = 1     Kur   x  tenton në  1 ,  edhe funksioni i ri  g  ka limit të njëjtë me funksionin   f  , gjë për të  cilën bindemi edhe nga figura 2 [18].            

            Nga ky shembull, del një përfundim shumë i rëndësishëm: Vlera e funksionit në një pikë, si  në rastin kur ajo ekziston, ashtu edhe në rastin kur ajo nuk ekziston,  nuk luan rol në vlerën e limitit  të  funksionit  në  atë  pikë.    Në  rastin  e  funksionit  f ,  vlera  f (1)   nuk  ekziston,  ndërsa  në  rastin  e  funksionit    g ,    kemi  g (1) = 2 .  Megjithatë,  të  këto  dy  funksione  ,  që  ndryshojnë  vetëm  në  pikën  x = 1 , kanë limit të njëjtë kur  x  i afrohet numrit  1 , më konkretisht, si limit shërben numri  0.5 . Me  sa  duket,  ishte  kjo  arsyeja  që gjatë  hetimit  të  limitit  të  secilit  prej  këtyre  funksioneve, shqyrtuam  vetëm vlera të  x − it , që ishin të ndryshme nga  1 , d.m.th. shqyrtuam  x ≠ 1 .    Duke folur në përgjithësi, ky fakt na jep të drejtën që kur duam të hetojmë për limitin e një  funksioni  f  në një pikë   x = a , mjafton të shqyrtojmë vetëm vlera të  x − it që i afrohen  a − s‘ ,  por  që janë të ndryshme nga  a  (d.m.th.  x ≠ a ).       Një gjë tjetër që duhet theksuar,  është fakti se në  shembujt e mësipërm, studentëve mund  tu krijohet përshtypja e gabuar se çdo funksion ka limit dhe se vetëm mbetët të gjendet ai. Prandaj  duhet te sillet edhe një shembull funksioni, i cili të mos ketë limit në një pikë të caktuar.    3x − 15 Shembulli 5. ‐Të shqyrtohet limiti i funksionit  f  me formulë  f ( x) =  , kur  x   2 x − 10 x + 25 tenton në  5 .  f (x)  f (x)   x  x  ‐3    4  3  6  ‐2.999999999999222  4.9  3.0000000000002878  5.1  ‐3.000000000056723  4.99  2.9999999999501417  5.01  ‐2.999999998458179  4.999  3.0000000037872496  5.001  ‐3.000026521480153  4.9999  2.9999998758824593  5.0001  ‐2.997206021408321  4.99999  3.0000265214801534  5.00001  24

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

        Vërejmë se kemi dy tabela. Njëra përmban vlerat e  x − it ,  të cilat tentojnë në  5  nga ana e  djathtë, ndërsa tabela tjetër vlerat e  x  që tentojnë në  5  nga ana e majtë. Arsyeja pse kemi marrë  dy tabela është se ky është një shembull kur fitohen rezultate të ndryshme në qoftë se  x  tenton në  a  nga ana e majtë ose e djathtë. Në këtë rast limiti nuk ekziston.    Në  shembujt  e shqyrtuar më lart,  ishin kryesisht tabelat e vlerave të funksionit ato që na  sugjeruam të shkruanim vlerën e limitit të funksionit, kuptohet, kur ai ekziston.   Në  këto  tabela,  tregohet, siç e përmendëm edhe më lart, se kur   x  tenton në  a  në mënyrën e treguar në tabelë,  atëherë  f (x )  tenton  në  L .  Ky  fakt  u  jep  karakter  intuitiv  arsyetimeve  për  njehsimin  e  limitit.  Vërtet, nuk mund të thuhet me saktësi se çfarë ndodh me vlerat  f (x), për vlerat  x − it  që tentojnë  në  a , por që nuk ndodhen në tabelën e shqyrtuar. Kjo mënyrë, po qe se përdoret sa herë na duhet  të njehsojmë limitin e funksionit, mund të na çojë në përfundim të gabuar.     Prandaj,  pas  analizës  që  u  bëmë  shembujve  të  zgjedhur,  ndihet  nevoja  për  të  kaluar  në  përkufizimin rigoroz të kuptimit të limitit.      Fakti  që vlerat e funksionit  f  i afrohen numrit  L , sido që vlerat e  x − it  t'i afrohen numrit  a  (duke qëndruar të ndryshme nga  a ) , shënohet simbolikisht  në njërën nga mënyrat    lim f ( x ) = L       ose         f ( x) → L   kur    x → a   x→a

     

Përkufizimi rigoroz i limitit    Para se të arrijmë te përkufizimi rigoroz i limitit, po  shqyrtojmë funksionin  f me formulë   ⎧2x −1 per x ≠ 3 f (x ) = ⎨   per x = 3 ⎩6 Në mënyrë intuitive, është e qartë se kur  x  i afrohet numrit  3 , vlerat  f (x) i  afrohen numrit  5 ,  kështu që   lim f (x ) = 5 .  x→3

  Për  të  fituar  informacione  më  të  detajuara  për  atë  se  si  ndryshon  f (x)  kur  x   i  afrohet  numrit  3  , studentëve duhet t'u  bëjmë pyetjen:  Sa afër  3  duhet të jetë  x , në mënyrë që  f (x) të  jetë larg nga numri   5   për më pak se  0.1 ?    Largesa e  pikës  x  nga pika  3 , siç dihet,  është   x − 3  , ndërsa largesa e  f (x) nga  5  është  

f ( x) − 5 , kështu  që na mbetët të zgjidhim këtë  problemë: Të gjejmë numrin  pozitiv  δ  ,  të tillë që   f (x ) − 5 < 0.1    nëse   x − 3 < δ     ( x ≠ 3 )          (δ = ?)     Në qoftë se   x − 3 > 0 , atëherë   x ≠ 3 , kështu që formulimi ekuivalent i problemës tonë është : Të  gjejmë numrin pozitiv   δ   të tillë që    f (x ) − 5 < 0.1   nëse    0 < x − 3 < δ                   (δ = ?)     0.1 = 0.05 ,  atëherë   Vërejmë se në qoftë se    0 < x − 3 < 2 f (x ) − 5 = (2x −1) − 5 = 2x − 6 = 2 x − 3 < 0.1  që do të thotë se:   0.01 = 0.05 .  f (x ) − 5 < 0.1   në qoftë se    0 < x − 3 < 2 25

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Pra,  vlera  e  kërkuar  në  problemë  për  numrin   δ është  δ = 0.05 .     Në  qoftë  se  në  problemën  tonë,  në  vend  të  numrit  0.1 ,  marrim  0.01 ,  atëherë  duke  vepruar  në  të njëjtën mënyrë si më parë, do të gjejmë se  f (x)   do të jetë larg nga  5  për më pak se  0.01 , nëse  x  do  0.01 = 0.005 :  të jetë larg  3  për më pak se   δ = 2 0.01 = 0.005   f (x ) − 5 < 0.01  nëse   0 < x − 3 < 2 Gjetëm kështu se:  f (x ) − 5 < 0.01 nëse   0 < x − 3 < 0.005 .      Mirëpo,  dy  numrat  ( 0.1   dhe  0.01 )  nuk  mjaftojnë për të nxjerrë një përfundim për limitin e  funksionit  f  kur  x → 3 . Kështu që për gjykuar për këtë limit, në vend të një numri konkret , të tillë  si  0.1  dhe  0.01 , do të shqyrtojmë një numër pozitiv të çfarëdoshëm, të cilin do ta shënojmë  me  shkronjën greke  ε  . Kështu,  detyra jonë e re është : Të gjejmë numrin pozitiv  δ , të tillë që 

ε

f (x ) − 5 < ε   nëse    0 < x − 3 < δ =      (1)  2 Kjo trajtë të shprehuri, paraqet në mënyrë precize (korrekte) faktin që   f (x) gjendet afër numrit  5  

( f ( x) → 5), kur  x  i afrohet numrit  3   (x → 3), sepse (1) tregon se vlerat  f (x)  mund të sillën në 

një largesë të çfarëdoshme   ε   nga numri  5 ,  duke  sjellë vlerat  e  x − it  në largesën    δ =

ε 2

   nga 

numri  3  [18].      Vërejmë se (1) mund të shkruhet si vijon:  ( sjell )

3 − δ < x < 3 + δ   ( x ≠ 3 )          ⇒           5 − ε < f (x ) < 5 + ε     dhe ky fakt është paraqitur në figurën 3.       Duke marrë  trajtën  (1) si model, do të japim përkufizimin rigoroz të limitit.     Le  të  jetë  x a f (x )   një    funksion  i  përcaktuar  në  një  zonë  rrethuese  të  pikës  a ,  me  përjashtim ndoshta të vetë kësaj pike.      Përkufizimi  3.1.1. ‐ Do të  themi se  lim f (x) = L ,  në qoftë  se për çdo numër  ε > 0  (sa do  i  x→a

vogël që të jetë),  mund të gjejmë numrin  δ > 0  të tillë  që :  ( sjell ) 0 < x − a < δ           ⇒             f (x ) − L < ε       Në mënyrë që studentët të familjarizohen sa më shumë me përkufizimin e limitit, është mirë  që atyre t'u jepet ky  përkufizim edhe  në trajta të tjera, analitike ose gjeometrike.   

26

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

Përkufizimi  3.1.1'.  ‐Barazimi  lim f (x) = L   do  të  thotë  se  për  çdo  ε > 0   (  sa  do  i  vogël  që  x→a

është),    mund  të  gjejmë  numrin  δ > 0   të  tillë    që  kur  x     të  ndodhet  në  intervalin  (a − δ, a + δ )  

(x ≠ a ) , vlerat  f (x) të ndodhen në intervalin  (L − ε, L + ε). 

   

Përkufizimi 3.1.1''. ‐ Barazimi  lim f (x) = L do të thotë që për numrin e dhënë   ε > 0  (sa do i  x→a

vogël që të jetë),  mund të gjejmë numrin  δ > 0 , të tillë që për   (a − δ, a + δ )  , grafi i funksionit  f  të  ndodhet  në  drejtkëndëshin  me  qendër  në  pikën  (a; L) dhe  të  kufizuar  nga  çiftet  e  drejtëzave  x = a ± δ  dhe  y = L ± ε (shih figurat) [18] 

  Fig.4         Fig.5      Fig.6    Në  përfundim,  theksojmë  se,    megjithëse  trajta  gjeometrike  e  limitit  të  funksionit  paraqet  një pamje të ngrirë të faktit që   lim f (x) = L   (vetëm   për një çift nunrash  (ε ; δ ) ),  ajo  është e  x→a

dobishme për ilustrimin vizual të konceptit të limitit.        Përfundim    Metoda  didaktike  e  ofruar  më  lart,  si  një  metodë  ndihmëse,  mundëson  studentët    për  të  pasur një pasqyrë sa më të qartë për konceptet në fjalë. Mendojmë se kjo metodë nuk do të marrë  shumë kohë nga ora e mësimit, kuptohet nëse pjesa e paraqitjes numerike do të bëhet me anë të  prezantimit  në  Power  Point.  Në  fund,  do  të  ishte  mirë  që  argumentet  gjeometrike  të  lartpërmendura  të  përshtaten  me  animacione  kompjuterike,  të  cilat  do  të  kishin  dhënë  efekte  vizuale dhe përshtypje më të mira te studentët.      

2.3.2. Zbatimi i metodës grafike ne mësimdhënien e matematikes inxhinierike  Paraqitja vizuale zvogëlon dukshëm vështirësitë në matematikë  Ky  paragraf  bën  fjalë  për  ndryshimet  themelore  në  mënyrën  e  mësimdhënies  së  matematikës për inxhinierët dhe drejtimet shkencore, ndryshe nga metodat tradicionale. Përdorimi  i këtyre metodave ka zbatim të gjerë në mësimdhënien e temave inxhinierike. Arsyetojmë faktin se  mësimi i metodave të ndryshme të matematikës do të jetë më i dobishëm dhe më i  pranueshëm   se sa përqendrimi i plotë në mësimin e teknikave të matematikës. Në këtë paragraf do të përdorim  metodën grafike për kompozimin e funksionit. Studentët mund të kenë vështirësi gjatë të kuptuarit  të konceptit dhe nocionit të kompozimit të funksionit. Këto vështirësi mund të lindin për arsye se  paraqitja vizuale e kompozimit të funksionit është e vështirë. 

27

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Numri i studentëve që kanë studiuar  matematikën, qoftë të nivelit të ulët qoftë  atij të lartë,   është zvogëluar dukshëm, për shembull, në Londër nga viti 1970 deri në vitin 1994 ky numër ka ra  nga  14  200  në    5  400  [19].  Kjo  ka  ndikim  jo  vetëm  në  numrin  e  studentëve  që  ndjekin  degët  e  specializuara të matematikës por edhe në degët e inxhinierisë dhe shkencave që kanë mjaft lëndë  të  matematikës.  Për  shkak  të  kësaj  dukurie  (rrënja  e  interesimit)  e  cila  është  dokumentuar  nga  Lawson [20,21], edhe studentët me një shkallë të lartë të njohurive në matematikë nuk kanë qenë  të përgatitur sa duhet për të ndjekur studimet në universitetet inxhinierike tradicionale.  Që nga shkolla e mesme shumë studentë zgjedhin degë tjera pjesërisht për arsye të lëndës  të matematikës, të cilën e konsiderojnë si shumë të vështirë në krahasim me lëndët e tjera. Edhe  ata pak studentë që studiojnë matematikën, ndikojnë negativisht në mënyrë indirekte  te studentët  që  zgjedhin  të  studiojnë  matematikën,  gjë  që  ndikon  në  zvogëlimin  e  numrit  të  tyre.  Nëse  dëshirojmë  që  kjo  dukuri  të  ndërpritet,  duhet  të  merren  masat  e  duhura.  Me  përdorimin  e  teknologjisë  moderne,  metodës  grafike,  paraqitjes  vizuale  etj.,  vështirësitë  në  lidhje  me  matematikën  do  të  zvogëloheshin  dukshëm.  Nuk  duhet  t'ia  fshehim  vetes  se  edhe  ne  mësimdhënësit e kemi bërë atë të vështirë.  Kjo situatë serioze nuk është në dobi të shtetit, qoftë në nga pikëpamja  intelektuale qoftë  nga  ajo    ekonomike.  Mirëpo  me  një  qasje  të  drejtë  kjo  situatë  mund  të  ndryshojë.  Thënë  shkurt,  duhet ta bëjmë matematikën më të lehtë dhe më atraktive se sa ka qenë në të kaluarën. Duhet ta  zhdukim  frikën  nga  matematika.  Duhet  ta  përqendrojmë  vëmendjen  te  studentët  që  kanë  vetëm  njohuri sipërfaqësore  në  lëndët e matematikës.      Metoda grafike e kompozimit të funksionit  Nga  përvoja  shumëvjeçare  kam  zbuluar  (kuptuar)  se  shumica  e  studentëve  i  rikujtojnë  shumë  më  lehtë  ato  koncepte  nga  matematika  në  të  cilat  ka  pasur qasje vizuale ose grafike. Për shembull, edhe pse  kompozimi i funksionit është një proces i rëndësishëm  për  formimin  e  një  funksioni  të  ri  nga  dy  funksione  të  dhëna (fatkeqësisht, studentët hasin në vështirësi  për  të  kuptuar  këtë  koncept),  në  asnjë  tekst  të  matematikës  nuk  kemi  hasur  në  interpretimin  gjeometrik  të  këtij  koncepti.  Prandaj,  qëllimi  i  këtij  punimi  është  implementimi  i  metodës  grafike,  konkretisht  në  përkufizimin  e  kompozimit  të  funksioneve si dhe në vërtetimin e teoremave.   Do  të  shënojmë  me  ( f o g)(x ) = f (g(x ))  kompozimin e dy funksioneve reale  f  dhe  g . Me qëllim që të paraqesim grafikisht   f (g(x ))  për  një vlerë të caktuar   x = a , ne do të veprojmë si vijon.    1.  Në  të  njëjtin  sistem  koordinativ  do  të  vizatojmë  grafet  e  funksioneve    y = f (x )  dhe  y = g(x ) si dhe drejtëzën   y = x .    2.  Vizatojmë  drejtëzën  vertikale  nga  pika  x = a     e  boshtit    x    në  pikën    (a,g(a))  të  grafit  y = g(x ).    3.  Vizatojmë  drejtëzën  horizontale  nga  pika    (a,g(a))  në  pikën  (g(a),g(a))  të  drejtëzës   y = x . 

28

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

(

y = f (x).   

)

4.  Vizatojmë  drejtëzën  vertikale  nga  (g(a),g(a))  në  pikën  g(a), f (g(a))   në  grafin  e 

(

)

(

)

5. Vizatojmë drejtëzën horizontale nga  g(a), f (g(a))  në pikën  0, f (g(a))  të boshtit y. 

  Drejtëza   y = x  transformon vlerën e  g(a) nga rangu i  g(x ) në domenën e  f (x ) . Ky proces  gjeometrik është paraqitur në figurën 1.    Gjithashtu,  autorët  e  teksteve  të  matematikës  përdorin shembuj numerikë për të treguar se kompozimi i  dy funksioneve të ndryshëm nuk është çdoherë komutativ  (ndërrues),  pra  se  f (g(x )) ≠ g( f (x )).  Për  shembull,  në 

f (x) = 2x , g(x) = −x 2,   dhe  x 0 =1,  lehtë  vërtetohet    numerikisht  se    f (g(1)) = 12   dhe 

qoftë  se 

g( f (1)) = −4 ;  prej  nga    f (g(1)) ≠ g( f (1)).  Mirëpo,  në  shumicën  e  rasteve,  shembujt  numerikë  nuk  munden  të  japin  kuptimin  gjeometrik  të  faktit  që  kompozimi  i  funksioneve  nuk  është  proces  komutativ.  Duke  përdorur  paraqitjen  grafike  të  kompozimit  të  funksionit,  fig.  1,  ne  jemi  në  gjendje  të  paraqesim  natyrën  jokomutative  të  kompozimit  të  funksioneve.  Në  fig.  2.  kemi  f (x) = 2x ,  g(x) = −x 2 , dhe   a =1. Grafikisht, fakti se   f (g(1)) ≠ g( f (1))  është  i qartë.    Paraqitja grafike e limitit të funksionit të kompozuar  Nuk  është  e  vështirë  për  studentin    të  besojë  se  limiti  i  shumës  të  dy  funksioneve    është  shuma  e  limiteve  të  funksioneve  përkatëse,  ngjashëm  për  limitin  e  ndryshimit,  prodhimit  dhe  herësit të dy funksioneve. Mirëpo, teorema në vazhdim ( [23] , paragrafi 2.4 Teorema 8), e cila lejon  llogaritjen e limitit të funksionit të fituar si kompozim i dy funksioneve, nuk është e qartë sa duhet  për studentët.    Teorema 3.2.1. ‐ Në qoftë se f  është i vazhdueshëm në  b  dhe   lim g(x) = b , atëherë  

(

)

lim f (g(x )) = f lim g(x ) = f (b).  x →a

x →a

x →a

Meqenëse vërtetimi rigoroz me anë të delta‐epsiloneve është pak sa më i komplikuar (për  studentët e inxhinierisë), mund të përdorim metodën grafike të kompozimit të funksioneve për të  dhënë një argument gjeometrik për saktësinë e teoremës. Duhet të kemi parasysh edhe dobësitë e  metodës grafike sepse nuk është e përshtatshme për vërtetime rigoroze.       Paraqitja grafike    Do  të  vizatojmë  grafet  e  ekuacioneve    y = f (x)  dhe  y = g(x ) në të njëjtin sistem koordinativ. Të përmendim se do  të  zgjedhim  funksionin  g   në  atë  mënyrë  që  të  mos  jetë  i   vazhdueshëm  në  pikën    a     për  të  paraqitur  faktin  se  g     nuk  është e thënë të jetë i vazhdueshëm në pikën  a .     Duke  u  bazuar  në  paraqitjen  grafike  të  kompozimit  të  funksioneve,  do  të  ndërtojmë  dy  bashkësi  të  drejtëzave  horizontale  dhe  vertikale,  sikur  në  figurën  3.  Njëra  bashkësi 

29

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

fillon me drejtëzën vertikale të hequr  nga pika  (a,0) e boshtit   x  në pikën   (a,b), ku   b = lim g(x),  x →a

dhe  përfundon  me  drejtëzën  horizontale  të  hequr  nga  pika    (b, f (b))  të  grafit  y = f (x)  në  pikën   (0, f (b))  të  boshtit  Oy .  Bashkësia  tjetër  fillon  me  drejtëzën  vertikale  të  hequr  nga  një  pike  e  çfarëdoshme  (x,0),  e  cila  gjendet  afër  pikës  (a,0)  të  boshtit    x   dhe  përfundon  me  drejtëzën 

(

)

(

)

horizontale  të  hequr  nga  g(x ), f (g(x ))   të  grafit  y = f (x )  në  pikën  0, f (g(x ))   të  boshtit  y.  Tani, studenti mund të parafytyrojë se ashtu siç drejtëza vertikale nga   (x,0) në   (x,g(x )) i 

 

(

)

afrohet drejtëzës vertikale që kalon nëpër  (a,0), drejtëza horizontale përkatëse nga  g(x ), f (g(x ))   

(

)

në   0, f (g(x ))   i afrohet drejtëzës horizontale që kalon nëpër  (0, f (b)), që do të thotë se,  f (g(x )) 

është çdoherë më afër   f (b) kur x  i afrohet a.     Në këtë mënyrë, ne mund tu paraqesim studentëve në mënyrë grafike arsyen pse teorema  është e vërtetë.  Edhe  pse  metoda  grafike  nuk  preferohet  për  vërtetimin  rigoroz,  besojmë  se  ajo  ka  një  përparësi  ndaj  vërtetimit  rigoroz;  do  me  thënë,  metoda  grafike  u  mundëson  studentëve  të  parafytyrojnë teoremën, dhe të shohin qartë se pse hipoteza që funksioni  f  është i vazhdueshëm  është e nevojshme.      

2.3.3. Derivati    Derivimi është njëri ndër proceset më të rëndësishme në matematikën inxhinierike. Derivimi  është  studim  i  mënyrës  së  ndryshimit  të  funksioneve.  Funksionet  mund  të  paraqesin  trysninë,  tensionin,  volumin  apo  variabla    të  tjera  fizike.  Për  shembull  trysnia  e  gazit  në  një  enë  mund  të  varet nga temperatura. Me rritjen e temperaturës të enës, rritet edhe shtypja. Inxhinierët duhet të  dinë shkallën e ndryshimit të variablave të tilla, si për shembull, shkallën e ndryshimit të tensionit  përgjatë kondensatorit ose shkallën  e ndryshimit të  temperaturës  në reaksionet kimike.  Shkalla e  madhe e ndryshimit të variablit mund të tregojë që sistemi nuk është duke operuar normalisht ose  është duke ju afruar vlerave kritike.     Shkalla  e  ndryshimeve  mundet  të  jetë  pozitive,  negative  ose  zero.  Shkalla  pozitive  e  ndryshimeve do të thotë se variabli është duke u rritur; shkalla negative e ndryshimeve do të thotë  se  variabli  është  duke  u  zvogëluar;  shkalla  zero  e  ndryshimeve  do  të  thotë  se  variabli  nuk  është  duke ndryshuar.    Teknika  e  llogaritjes  të  shkallës  së  ndryshimit  të  madhësive  quhet  diferencim.  Shpesh  nuk  është e mjaftueshme të përshkruhet shkalla e ndryshimit si për shembull “pozitive dhe të mëdha”  dhe  “negative  dhe  të  vogla”.  Është  e  nevojshme  vlera  precize.  Shfrytëzimi  i  diferencialit  jep  një  vlerë precize të shprehjes të shkallës së ndryshimit të funksionit.  Kur themi se “derivati i një funksioni  f është  një  funksion  tjetër  f ' ”  do  të  ishte  mirë  të  marrim  disa  shembuj  vizualë  ku,  në  të  njëjtën  figurë,  të  paraqesim  grafikisht    funksionet    f    dhe    f '   ose  edhe   f ".      Shembulli  1.  ‐  Të  paraqiten  në  mënyrë  vizuale  grafet  e  funksionit    f (x) = x   dhe  derivatit  të tij në intervalin e mbyllur   [−2,2]. 

30

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

⎧ 1 per x > 0   Paraqitja vizuale  e funksionit   f (x) = x   dhe   f ' (x ) = ⎨ ⎩−1 per x < 0 Paraqitja e këtij grafi është bërë me programin  Microcalc (fig. 4).      Shembulli  2.  ‐  Të  paraqiten  në  mënyrë  vizuale  grafet  e  2 funksionit    f (x) = e−2x + x     dhe  derivatit  të  dytë  të  tij  në  intervalin e mbyllur   [−3,3].    Paraqitja vizuale  e funksionit      2 2 2 f (x) = e−2x + x   dhe   f '' (x ) =16x 2e−2 x − 4e−2x .    Grafi  i  gjelbër  paraqet  funksionin    f    ndërsa  grafi  i  kuq  derivatin e dytë të tij.    Paraqitja  e  këtij  grafi  (fig.  5)  është  bërë  me  programin  Maple.      Gjithashtu, do të ishte mirë, që gjatë vërtetimit të teoremave, ndonjë vërtetim të bëhet me  anë  të  prezantimit  ku  do  të  përdoren  edhe  animacione,  kështu  që  vërtetimi  do  të  jetë  lehtë  i  kuptueshëm  dhe  bindës  për  studentët.  Në  këtë  mënyrë  do  të  arrijmë  qëllimin  që  t’ua  bëjmë  matematikën më tërheqëse.   Kur bëhet fjalë për ndryshime të nevojshme në metodat e mësimdhënies, mendohet edhe  për ndryshimet në llojet dhe përmbajtjen e detyrave. Zakonisht, detyrat, edhe kur bëhet fjalë për  zbatimin  e  derivatit,  në  shumicën  e  rasteve  janë  mekanike.    Për  shembull,  “të  gjenden  vlerat  ekstreme,  asimptotat  dhe  të  llogaritet  derivati”  etj.  Përveç  këtij  lloji  detyrash  dhe  detyrave  aplikative  (për  drejtimin  përkatës  inxhinierik),  duhen  punuar  edhe  detyra  logjike,  të  cilat  do  t’u  mundësojnë  studentëve  të  përforcojnë  pjesën  teorike  dhe  të  plotësojnë  boshllëqet  që  kanë  në  koncepte të caktuara.    Shembulli 3. ‐  Janë dhënë grafet e funksionit  f , derivatit  ' f  dhe derivatit të dytë  f '' . Të tregohet se cili është grafi i  f , cili  i  f '   dhe cili  i  f ''  (fig. 6).    Zgjidhje.     Kur grafi i gjelbërt pret boshtin  Ox  (ose kur ai e ndryshon  shenjën),  grafi  i  kaltërt  e  ndyshon  shenjën  e  koeficientit  këndor  (që  do  të  thotë  se  ndryshon  monotoninë).  Në  qoftë  se  grafi  i  kaltërt  ka  koeficient  këndor  negativ  (pra  është  monotono  zvogëlues), funksioni me graf të gjelbërt ka vlera negative (gjendet  nën  boshtin    Ox  ),  dhe  anasjellas.  Prandaj  funksioni  me  graf    të  gjelbër është derivati i funksionit me graf të kaltërt. Meqë grafi i  kuq është monoton zmadhues në të gjithë inervalin e përcaktimit , derivati i tij çdoherë do të jetë  pozitiv (gjendet mbi boshtin  Ox ), kështu që funksioni me graf të kaltërt është derivati i funksionit  me graf të kuq.    Prandaj, grafi i  f  është i kuq, i   f '  është i kaltër dhe   f ''  i gjelbër.     

31

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

2.3.4. Diferenciali  Për të mundësuar një përvetësim sa më të mirë dhe më të lehtë të konceptit të diferencialit,  do të japim interpretimin simbolik dhe gjeometrik të tij.    Përkufizim 3.4.1. ‐ Le të jetë   f : y = f (x ) funksion i derivueshëm.   

Diferenciali i  ndyshorit të pavarur  x  është   dx = Δx .   Diferenciali i ndyshorit të varur  y  është përkufizuar:  dy = f ' (x )Δx = f ' (x )dx . 

   

Le të kujtojmë  përkufizimin e derivatit:  f (x + Δx ) − f (x ) Δy f ' (x ) = lim = lim   Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δy Pra,  në  qoftë  se  Δx   tenton  në  zero    atëherë      tenton  në    f ' (x)    dhe    ndryshesa  Δy   Δx tenton  te   f ' (x )Δx = dy  , që do të thotë se ndryshesa  dy   shërben si përafrues  ekuivalent i   Δ y  . 

Shënojmë me  dy ≈ Δy  këtë përafrim.     Ky  pohim  i  fundit  behet  shumë  më  i  qartë  nëse,  nëpërmjet  të  paktën    dy  shembujsh,  shqyrtojmë kuptimet gjeometrike të madhësive si dhe vlerat numerike të  dx = Δx ,  Δy  dhe  dy .  

   Shembulli  1.  ‐  Le  të  jetë    f (x) = x 2   syprina  e  sipërfaqes  së  katrorit  me  brinjë    x.  Atëherë   mund të shkruajmë  2   •   f (x + Δx ) = (x + Δx)  : është sipërfaqja  e katrorit  me brinjë  x + Δx .  •    Δ y :  paraqet ndryshimin e syprinave të dy katrorëve, e cila është ngjyrosur me të kuqe në 

figurën 8, pra   Δ y = f (x + Δx ) − f (x )= (x + Δx )  ‐ x 2   •    dy = f ' (x)dx = 2xΔx , që gjeometrikisht paraqet syprinën e pjesës së verdhë të katrorit  në figurën 9.    2

  2 Δx   Gabimi në përafrimin e   dy  me  Δy  është    ( )  që paraqet syprinën e katrorit të kuq të  vogël në figurën 9.     Që këtej rrjedh se, kur  Δx → 0 , madhësia   Δ y  dhe  dy  janë pambarimisht madhësi të vogla  ekuivalente, çka do të thotë se:  dy ≈ Δy   ose   f (x + Δx) − f (x) ≈ f ' (x)Δx   ndërkohë, sa më e vogël të jetë   Δx , aq më i madh do të jetë përafrimi ndërmjet   Δ y  dhe  dy . 

32

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

1     do  të  njehsojmë    Δy   ,  dy   dhe    ndryshesën  x Δy − dy  në pikën   x =1,   nëse   Δx  (ose  dx ) merr vlerat  0.1 ,  0.01  dhe  0.001 .  1   Zgjidhje. Duke pasur parasysh se   f (1) = 1 , f ' (x ) = − 2   dhe   f ' (1) = −1, formojmë tabelën  x e më poshtme.    Δy dy   dy  ‐ Δ y   Δx   0.1  ‐0.1000000  ‐0.0901000  ‐0.1901000    0.01  ‐0.0100000  ‐0.0901000  ‐0.1001000     0.001  ‐0.0010000  ‐0.0009990  ‐0.0000010    Nga tabela shihet qartë se njehsimi i diferencialit   dy   është shumë më i lehtë se njehsimi i  ndryshesës   Δ y  dhe se sa më e vogël të jetë   Δx  aq më pak  ndryshojnë ndërmjet tyre   Δ y  dhe  dy .    Qëllimi i mësimit të diferencialit është në përdorimin e tij për të përafruar vlerat e funksionit  afër vlerave të njohura,  që do të thotë se diferenciali ka zbatim në llogaritjet e përafërta.     

Shembulli  2.  ‐    Për  funksionin    f (x ) =

2.3.5. Si të shpjegojmë integralin e caktuar të funksionit  Theksuam më parë se rëndësinë dhe bukurinë e matematikës mund ti vemë në dukje  edhe  duke  hedhur  një  vështrim  prapa  në  historinë  e  saj,  duke  u  lejuar  studentëve  që  të  kuptojnë  se  matematika dhe shkenca janë kontribut i të gjitha gjeneratave. Kjo është edhe arsyeja kryesore që  shumë  autorë  i  shoqërojnë  trajtesat  e  koncepteve  të  reja  me  një  hyrje  të  shkurtër  historike.  Gjithashtu do të konsiderojmë disa shënime biografike të matematikanëve më të shquar në fushat  për  të  cilat  bëhet  fjalë.  Si  shembull,  në  këtë  punim  ne  do  të  zhvillojmë  historinë  në  lidhje  me  integrimin dhe disa shënime biografike.    Mbi historinë e integralit të caktuar    Historia e llogaritjes së integralit ka një zhvillim shumë interesant, e cila ka filluar prej para  2500 vitesh. Ajo fillon në Greqinë Antike dhe përfundon në shekullin e 19‐të në Evropë.   Civilizimi i parë që është marrë me matjen e sipërfaqeve të rrafshta dhe të përkulura  është  padyshim  ai  Grek.  Në  fakt,  grekët  kanë  qenë  të  parët  që  kanë studiuar  matematikën  si  lëndë më  vete.  Ka  pasur  nga  ata  filozofë,  si  Platoni  ,  që  matematikën  e  vështronin    si  pjellë  të  mendjes  së  njeriut, si diçka që qëndron mbi botën reale. Matematikanët grekë, që kanë të bëjnë më së shumti  me llogaritjen e syprinave, janë Antifoni, Eudoksi, Euklidi dhe Arkimedi. Secili prej tyre, në bazë të  njohurive ekzistuese që ka pasur, ka kontribuar me diçka të re në këtë fushë.     Para më shumë se 2000 vjetësh, Arkimedi (287‐212 P.E.) ka gjetur formulat për llogaritjen e  syprinës së sipërfaqes të kufizuar nga sfera, koni, paraboloidi etj. Metoda e tij e integrimit ka qenë  çuditërisht moderne, duke pasur parasysh se nuk ekzistonte algjebra, koncepti i funksionit, madje   as koncepti i numrit dhjetor. Gjithsesi, kjo paraqet një shembull të hershëm të integrimit, i cili jep  përfundime të përafërta [24].          Në  rrethin  me  rreze  1  jashtëshkruajmë    shumëkëndëshin  e  rregullt  prej  K = 3 × 2 n −1    brinjësh,  me  gjysmë  perimetër  an   dhe  brendashkruajmë  shumëkëndëshin  e  rregullt  prej    K = 3 × 2 n −1   brinjësh, me gjysmë perimetër  bn . 

33

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Diagrami për rastin   n = 2  është dhënë në  figurë, ku  OA = 1

( K )  AT = tan(π K )

AB = sin π

K = 3 × 2 n−1     Qëllimi  i  kësaj  procedure  është  që  të  përcaktohen  vargu  zvogëlues  a1 , a2 , a3 ,.... dhe  vargu  zmadhues  b1 , b2 , b3 ,....   në mënyrë që të dy vargjet të kenë limit numrin   π .    Duke u bazuar në njohuritë nga trigonometria, shihet se dy gjysmë perimetrat shprehen me  formulat     an = K tan π , bn = K sin π K K nga të cilat gjejmë:  an +1 = 2K tan π 2K , bn +1 = 2K sin π 2K  

(

( )

( )

)

(

)

  Nga formulat e mësipërme,  mund të nxirren me lehtësi formulat e mëposhtme:    2 ⎛ 1 + 1 ⎞= 2         (1)                    an +1bn = (bn +1 )         (2)  ⎜ a ⎟ b a n n⎠ n +1 ⎝

 

( )

Arkimedi,  duke  filluar  nga    a1 = 3tan π 3 = 3 3

( )

dhe b1 = 3sin π 3 = 3

3 ,  ka  llogaritur   2 a2     duke  përdorur    (1),  dhe    b2     duke  përdorur  (2),  pastaj    a3   duke  përdorur    (1)  dhe    b3   duke  përdorur (2),  dhe ka vazhduar në mënyrë të ngjashme deri sa ka llogaritur  a6   dhe  b6 .   Përfundimi  i tij ishte:  b6 < π < a6     Është  e  rëndësishme  të  theksohet  se  përdorimi  i  trigonometrisë  këtu  është  johistorik  (joreal); Arkimedi nuk ka pasur përparësitë  e njohurive algjebrike dhe trigonometrike dhe i është  dashur  të  arrijë  te  (1)  dhe  (2)  me  mënyra  thjeshtë  gjeometrike.  Për  më  tepër,  ai  nuk  ka  pasur   mundësinë e shfrytëzimit të numrave dhjetorë, për atë kohë të panjohura, kështu që llogaritja e  a6    dhe  b6  nga (1) dhe (2) nuk ka qenë detyrë e lehtë.    Kjo  ka  qenë  një  zotësi  e  jashtëzakonshme  si  nga  pikëpamja  e  imagjinatës  ashtu  edhe  nga  pikëpamja  e  llogaritjes  dhe,  për  çudi,  ai  nuk  ndaloi  në  shumëkëndëshin  me  96  brinjë  por  ka  vazhduar edhe më tej.      Mandej,  asnjë  progres  i  dukshëm  nuk  është  bërë  deri  në  shekullin  e  16‐të,  kur  mekanikët  kanë filluar të nxisin matematikanët të zgjidhin probleme, si për shembull, përcaktimi i qendrës së  gravitetit.  Luca  Valerio  (1552‐1618)  ka  publikuar    veprën  “De  quadratura  parabolae”  në  Romë  (1606), e cila ka qenë vazhdim i metodave greke për problemet e llogaritjes së syprinave.    Roberval  (1602‐1675),  syprinën  e  figurës  ndërmjet  një  lakoreje  dhe  një  drejtëze  (  trapezi  vijëpërkulur  ),  e  ka  shqyrtuar  si  një  numër  të  pafundmë  të  shiritave  të  ngushtë  në  formë   

34

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

drejtkëndëshi. Ai e ka zbatuar këtë fakt në integralin e funksionit  x m  nga 0 në 1 dhe ka fituar vlerat  e përafërta   0m + 1m + 2m + ... + (n − 1)m   n m+1 1 Roberval ka theksuar se kjo vlerë tenton në     kur   n → ∞  , që paraqet edhe syprinën e  m +1 kërkuar.    Leibnici  (1646‐1716)  dhe  Njutoni  (1642‐1727),  në  mënyrë  të  pavarur  nga  njëri  tjetri,  kanë  zbuluar "Njehsimin diferencial" dhe "Njehsimin integral". Ideja kryesore e tyre ka qenë se derivimi  dhe  integrimi  janë  veprime  "reciprokisht  të  anasjellë  të  njeri‐  tjetrit".  Duke  përdorur  këtë  lidhje  simbolike, ata kanë qenë në gjendje të zgjidhin një numër të madh problemesh të rëndësishme për  matematikën, fizikën dhe astronominë [25].     Gausi (1777‐1855) ka krijuar tabelën e parë të integrimit. Koshi (Cauchy) (1789‐1857) është  marrë me integralet e funksioneve  komplekse. Rimani (1826‐1866) dhe Lebegu (Lebesgue) (1875‐ 1941) kanë themeluar integralin e caktuar.     Hermiti  (1822‐1902)  ka  gjetur  algoritmin  për  integrimin  e  funksioneve  racionale.  Ostrogradski e ka zgjeruar këtë algoritëm në shprehjet racionale, duke përfshirë edhe logaritmin.    Në  vitin  1969,  Ritzi  ka  bërë  një  zbulim  të  madh  në  lidhje  me  integralin  e  pacaktuar  për  funksionet  elementare.  Në  vitin  1980,  gjithashtu  ai  ka  bërë  një  progres  tjetër,  duke  zgjeruar  metodën e tij në klasa të caktuara të funksioneve speciale.     Në  vitin  1988,  për  herë  të  parë  u  përdor  programi  "Mathematica",  i  cili  i  rriti  aftësitë  për  llogaritjen  e  integralit  të  caktuar.  Ajo  mundësoi  llogaritjen  e  një  numri  të  madh  të  integraleve  të  reja, të cilat nuk kanë qenë të përfshira në tekstet e publikuara.    Paraqitja numerike e konceptit të integralit   (Llogaritja e përafërt e syprinave)  Një  metodë  për  të  llogaritur  syprinat  në  mënyrë  të  përafërt,  është  përdorimi  i  drejtkëndëshave të brendashkruar dhe të jashtëshkruar.    Së  pari, bëhet përafrimi i syprinës me anë të drejtkëndëshave të brendashkruar dhe mandej  me ato të jashtëshkruar. E mesmja aritmetike e këtyre dy shumave paraqet syprinën e kërkuar. Sa  më i madh të jetë numri i drejtkëndëshave ( numri n i segmenteve ndarës) aq më i madh do të jetë  përafrimi (gabimi është më i vogël).  Shembull  1.  ‐  Të  gjendet  syprina  A  e  kufizuar  me  lakoren    y = sin x   dhe  boshtin    x    nga  x = 0 ne x = π .    Zgjidhje. Në figurat në vazhdim (me anë të prezantimit, në animacion), mund të vërehet se  me rritjen e numrit të intervaleve me madhësi të njëjtë, shuma e syprinave të drejtkëndëshave të  brendashkruar  i  afrohet  syprinës  A  (fig.  1).  Në  vazhdim,  mund  të  vërejmë  të  njëjtën  gjë  për  drejtkëndëshat e jashtëshkruar (fig. 2).    

35

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

 

Fig. 1   

 

Fig. 2   

  Tabela në vazhdim tregon shumën e syprinave në të dy rastet e drejtkëndëshave së bashku  me mesataren e tyre. (Shkronja n tregon numrin e drejtkëndëshave.)    n  Shuma  e  syprinave  të  Shuma  e  syprinave  të  Mesatarja  e  të  dy  të  shumave  drejtkëndëshave  të  drejtkëndëshave  jashtëshkruar  brendashkruar  2  0  3.14159265 1.57079633  4 

1.11072073 

2.68151706 

1.89611890 

8  16  32  64  128  256  512  1024 

1.58153252  1.79722080  1.90021859  1.95051100  1.97535591  1.98770306  1.99385780  1.99693047 

2.36693068  2.18991988  2.09656813 2.04868577 2.02444329 2.01224674  2.00612964 2.00306640 

1.97423160  1.99357034  1.99839336  1.99959839  1.99989960  1.99997490  1.99999372  1.99999844 

    Mund të vërejmë se mesatarja e të dy shumave mund ta ketë  numrin  2   si “limit të tyre”.  Gjithashtu mund të vërejmë se me rritjen e vlerave të n,  fitojmë përafrim më të mirë të syprinës. 

36

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Pas paraqitjes numerike dhe grafike do të kalojmë në përkufizimin rigoroz të integralit, sipas  mënyrës tradicionale. Në këtë mënyrë, studenti  do ta ketë shumë  të qartë se për çka bëhet fjalë  dhe do ta kuptojë më lehtë atë.    Përfundim  Duke  pasur  parasysh  fondin  e  kufizuar  të  orëve  të  matematikës  në  fakultetet  tona  inxhinierike, këto shtesa në kurikul ndoshta dikujt do ti dukeshin të tepërta. Mirëpo, kemi menduar  që pjesa e historisë dhe paraqitja numerike e konceptit të integralit të bëhet vetëm brenda një ore  mësimi. Kjo për arsye se, sa i përket historisë, mund të përmendet në pika të shkurtra nga ana e  mësimdhënësit, ndërsa  pjesa tjetër i lihet studentit ta lexojë vetë. Pjesa e  paraqitjes numerike të  bëhet  me  anë  të  prezantimit,  kështu  që  llogaritjet  i  përgatit  mësimdhënësi  më  herët  dhe  u  prezantohet studentëve, mundësisht me animacione.  

 

2.4. Zbatime gjeometrike te integralit te caktuar (Përdorimi  i  elementit diferencial)    Ndërtimi    i    formulave  për  njehsimin  e  madhësive  gjeometrike,  fizike  etj.    me  anë  të  integralit të caktuar kalon, duke folur në përgjithësi,  nëpër proceduara të ndërlikuara. Kjo ndodh  kur formulat i ndërtojmë me anë të shumave të Riman‐it   

σ n   = f (x1* )Δx1 + f (x2* )Δx2 + ... + f (xn* )Δxn =     ∑ f ( x k* )Δx k   n

k =1

  b

∫

f ( x)dx =   

n

lim λ = max{Δxk }→ 0

∑ f (x k =1

* k

) Δx k

    Procesi  i  nxjerrjes  së  formulave  me  këtë  mënyrë  është  i  ndërlikuar  sepse  ai  përbehet  nga  këto procedura:     • Copëtimi i çfarëdoshëm i segmentit  [ a, b] në segmentet elementarë  [xk −1 , xk ]:  a

n

[a, b] = U [xk −1 , xk ]  k =1

 

• Zgjedhja e çfarëdoshme e pikave ndërmjetëse  xk* (k = 1,..., n) . 

   

• Përkufizimi ( i natyrshëm) i madhësisë që kërkohet të njehsohet.  • Njehsimi i limitit  i=n

lim

λ =max{Δxk }→0

∑ f ( xk* )Δx i =1

k

=I

  dhe verifikimi i pavarësisë së këtij limiti nga mënyra e copëtimit dhe nga mënyra e zgjedhjes.    Por  nuk  janë  të  paktë  ligjëruesit  (lektorët)  e  matematikës    në  fakultetet  inxhinierike  që  preferojnë rrugë tjetër në ndërtimin e formulave njehsuese të lartpërmendura. Në themel të kësaj  rruge qëndron përdorimi  i elementit diferencial.    Për të qenë më qartë, nuk përkufizojmë vetë madhësinë e kërkuar me anë të integralit të  caktuar,  por  përkufizojmë  elementin  diferencial  (diferencialin)  e  kësaj    madhësie;  kuptohet  që  përsëri përkufizimi duhet të duket i natyrshëm.     

37

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

2.4.1. Syprina e sektorit vijëpërkulur në koordinata polare    Nga  kursi  i  gjeometrisë  shkollore  dimë  që  syprina  e  sektorit  qarkor  me  rreze  R   dhe  kënd  qendror   δ   njehsohet me formulën  1 S = R 2δ   2   Shtrohet pyetja: si mund të përcaktohet dhe njehsohet syprina e një sektori të rrafshët, kur  vija kufizuese  e tij është një vijë e përkulur e çfarëdoshme?    Le të shqyrtojmë sektorin vijëpërkulur të kufizuar nga vijat me ekuacione polare:  ρ = f (θ ), θ = α   dhe    θ = β   ku  ρ   shënon  rrezen  polare  dhe  θ   këndin  polar.  Për  të  njehsuar  këtë  syprinë  do  të  ndjekim  procedurën që vijon [33].    Pranojmë që funksioni   f  është i vazhdueshëm për  θ ∈ [α, β ].   Shënojmë me  σ  syprinën e sektorit vijëpërkulur dhe  σ (θ )  syprinën e pjesës së këtij sektori  që i përgjigjet segmentit  [α ,θ ].  Përftohet kështu funksioni:  θ a σ (θ )       ku    σ (α ) = 0   dhe  σ ( β ) = 0 .  Kur kalojmë nga  θ  në  θ + dθ ,  funksioni  θ a σ (θ ) pëson ndryshesën:    Δσ (θ ) = σ (θ + dθ ) − σ (θ )            (syprina e sektorit OMP)                                                                                                                                                             Sektorit  elementar  OMP   i  mbivendosim  sektorin  rrethor  OMQ   me  rreze  ρ = f (θ )   dhe  kënd  1 qendror  dθ ,  i cili e ka syprinën  ρ 2 dθ .  Kështu mund të shkruajmë:  2 1 Δσ (θ ) ≈ ρ 2 ⋅ dθ         (i)  2    Sa më i vogël të jetë  dθ , aq më shumë sektori  OMP  përputhet me sektorin  OMQ  që do të  1 thotë  se  aq  më  shumë  ρ 2 dθ   përafron  ndryshesën Δσ (θ ) .  Duke  u  nisur  nga  ky  fakt,  është  e  2 natyrshme diferencialin e  σ (θ ) ta përcaktojmë me anë të formulës:                                       1 dσ (θ ) = ρ 2 ⋅ dθ         (ii)  2 Diferenciali  dσ (θ ) quhet “element diferencial i syprinës së sektorit vijë përkulur”  Duke integruar anë për anë barazimin (ii) nga  α  në  β  gjejmë:    β

β

1 2 ∫ dσ (θ ) = ∫ 2 ρ ⋅ dθ   α α 38

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

ose       

σ=

β

β

1 1 ρ 2 dθ = ∫ f 2 (θ )dθ     ∫ 2α 2α

 

(iii) 

  Ekzistenca  e  σ ,  pra  edhe  matshmëria  e  sektorit  vijëpërkulur,  sigurohen  nga  vazhdueshmëria  e  funksionit  f.    Në secilën nga dy mënyrat e njehsimit të syprinës  jepet një përkufizim. Në mënyrën e parë  përkufizohet madhësia  σ  me anë të procesit që përmendem në fillim të këtij paragrafi, ndërsa në  mënyrën  e  dytë  përkufizojmë  dσ ,  d.m.th.  diferencialin  e  syprinës.  Theksojmë  se  mënyra  e  dytë  përdoret më shpesh në praktikën e njehsimeve.  Sa  herë  jepet  një  përkufizim  i  kësaj  natyre,  duhet  të  mbahen  parasysh  dy  parime  të  rëndësishme:  1º.  Natyrshmëria,  në  kuptimin  që  përkufizimi  të  jetë  në  pajtim  me  përfytyrimet  tona  gjeometrike, fizike, etj...,  2º. Karakteri përgjithësues, në kuptimin që përkufizimi të përfshijë në vetvete rastet më të  thjeshta të madhësisë që njehsohet.    Të dyja këto parime i respektuam gjatë përcaktimit të syprinës  σ  të sektorit vijëpërkulur.   

2.4.2. Syprina e trapezit vijëpërkulur    Le t’i kthehemi përsëri kuptimit të syprinës së trapezit vijëpërkulur dhe le të  përpiqemi ta  përcaktojmë atë  me po atë mënyrë që përdorem për syprinën e sektorit vijëpërkulur.    Shënojmë  me  σ   syprinën  e  trapezit  vijëpërkulur,  të  paraqitur  në  figurë  dhe  me  σ (x) ,  syprinën e pjesës së këtij trapezi që mbështetet në segmentin  [a, x] . Atëherë syprina e pjesës së  trapezit që mbështetet mbi segmentin  [ x, x + dx]  do të jetë:    Δσ = σ ( x + dx) − σ ( x)          ( syprina e pjesës x, x + dx, P, Q, M )  Kështu, mund të shkruajmë:  Δσ ≈ f ( x ) dx   Nga figura duket qartë se sa më i vogël të jetë  dx  aq më shumë do të përputhen midis tyre  katërkëndëshi  x, x + dx, P, M   dhe  pjesa  x, x + dx, P, Q, M   që  do  të  thotë  se  sa  më  i  vogël  të  jetë  dx ,aq më shumë  f ( x)dx  e përafron ndryshesën  Δσ  të trapezit vijëpërkulur.          Kështu, është e natyrshme që diferencialin e  σ (x)  ta përcaktojmë me anë të formulës:  dσ ( x ) = f ( x ) dx   Që këtej, duke integruar anë për anë nga  a  në  b ,  gjejmë  formulën,  tashmë  të    njohur  për  trapezin  vijëpërkulur:  b

b

a

a

σ = ∫ dσ = ∫ f ( x)dx   Është  e  qartë  se  edhe  përkufizimi  i  elementit  diferencial  të  syprinës  së  trapezit  vijëpërkulur  është  i  natyrshëm  dhe  ka  karakter  përgjithësues,  ai  është  përgjithësim i syprinës së drejtkëndëshit. 

39

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

2.4.3. Syprina e trapezit vijëpërkulur Gjatësia e harkut të një vije   Në  lëndën  e  gjeometrisë  shkollore  jemi  njohur  me  kuptimin  e  gjatësisë  për  segmentin  drejtvizor, vijën e thyer dhe harkun rrethor. Këtu do të trajtojmë kuptimin e gjatësisë për një vijë  plane me formë të çfarëdoshme. Dallojmë tri raste.    1°   Vija plane ka ekuacion  y = f ( x )       ( Shqyrtojmë    harkun    A B     të  një  vije  plane  të  lëmuar. E zëmë se ekuacioni i tij është  y = f ( x )             ( a ≤ x ≤ b )   Fakti që vija është e lëmuar do të thotë që funksioni  f ′   është  i  vazhdueshëm  në  segmentin  [a, b].  Marrim  në  ( harkun  A B     pikat  M ( x, y )   dhe  N ( x + Δx, y + Δy )   dhe  shënojmë:  (            l  :            gjatësia  e  harkut A B ;      (           l (x) :       gjatësia  e  harkut  AM ;  (          Δl ( x ) :     gjatësia  e  harkut  MN .    Në fakt, madhësia  Δl (x )  shpreh ndryshesën e gjatësisë së harkut kur kalojmë nga pika  x  në  pikën  x + Δx .  Është  e kuptueshme se  l (a ) = 0    dhe      l (b) = l   ( Meqenëse korda  MN  përafron harkun  MN , mund të shkruajmë :  Δl ( x ) ≅   MN = Δx 2 + Δy 2   Ndërkohë dimë që  Δ y ≅ dy dhe ky barazim i përafërt është gjithnjë e më i saktë, kur   Δx   është gjithnjë e më e vogël. (Kujtojmë  këtu që  Δx = dx )  Kështu, mund të shkruajmë:  Δl ( x ) ≅   ( dx ) 2 + ( dy ) 2   Që këtej  del se është e natyrshme që diferncialin e funksionit  l ( x)  ta përcaktojmë me anën  e formulës 

dl   = ( dx ) 2 + ( dy ) 2                   (∗)   Diferenciali  dl  quhet “element diferencial i gjatësisë së harkut”.  Integrojmë barazimin  (∗)  nga  a  në  b ; do të gjejmë:  b

b

b

l = ∫ dl = ∫ (dx) + (dy ) = ∫ (dx) + ( y ′dx) = 2

a

2

2

a

a

( Pra, gjatësia e harkut  A B  shprehet me anë të formulës 

2

b

∫

1 + y ′ 2 dx  

a

b

l = ∫ 1 + y ′ 2 dx   a 2

Nga vazhdueshmëria e funksionit  f rrjedh vazhdueshmëria e funksionit   1 + f '  dhe, për rrjedhojë,  rrjedh ekzistenca e gjatësisë  l . Provuam kështu që vija e dhënë është e matshme.           '

40

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

2° Vija plane ka ekuacione parametrike  x = ϕ (t ) ,  y = ψ (t )   Le  të  jetë  dhënë  vija  me  ekuacione  parametrike  x = ϕ (t ) ,  y = ψ (t ) .  Fakti  që  vija  është  e  lëmuar  do  të  thotë  që  funksionet    dhe ψ '  janë të vazhdueshme.  Kërkojmë të njehsojmë gjatësinë  ( e harkut A B  që u përgjigjet vlerave të parametrit  α ≤ t ≤ β . Duke  arsyetuar si në rastin  1°  mund të shkruajmë:    

β

β

l = ∫ dl = ∫ α

α

β

(dx )2 + (dy )2 = ∫ α

β

(x dt ) + (y dt ) = ∫ '

2

2

'

α

β

x ' (dt ) + y ' (dt ) = ∫ x ' + y ' dt 2

2

2

2

2

2

α

 

 

β ( Pra, gjatësia e harkut  A B  shprehet me anë të formulës   l = ∫ x ′ 2 + y ′ 2 dt                                      α

Nga vazhdueshmëria e funksioneve

β

 dhe ψ '  rrjedh ekzistenca e integralit   ∫ x ′ 2 + y ′ 2 dt   α

që do të thotë se vija e lëmuar e dhënë është e lëmuar.        3°   Vija plane ka ekuacion polar  ρ = f (θ )              ( E  zëmë  se  na  është  dhënë  harku  A B   i    një  vije  plane  të  lëmuar  me  ekuacion  polar  ρ = f (θ ) ,  i    cili  ndodhet  midis  rrezeve   θ = α  dhe  θ = β .  Duke u nisur nga formulat që lidhin koordinatat polare  ρ  dhe  θ  me koordinatat kënddrejta  x  dhe  y   x = ρ cos θ        x = ρ sin θ   ( mund të shkruajmë ekuacionet parametrike të harkut  A B  :  x   = f (θ ) cos θ     y   = f (θ ) sin θ ,     (α ≤ θ ≤ β )        ku rolin e parametrit e luan ndryshori  θ . Në këtë mënyrë , jemi në kushtet e rastit  2 ° , prandaj për  elementin diferencial të gjatësisë së harkut mund të shkruajmë:   

dl = x ′ 2 + y ′ 2 ⋅ dθ = [ f ′(θ ) cos θ − f (θ ) sin θ ] 2 + [ f ′(θ ) sin θ + f (θ ) cos θ ] 2 ⋅ dθ   =

f ′ 2 (θ ) cos 2 θ + f 2 (θ ) sin 2 θ + f ′ 2 (θ ) sin 2 θ + f 2 (θ ) cos 2 θ ⋅ dθ  

= f 2 (θ ) + f ′ 2 (θ ) ⋅ dθ =   Si përfundim, gjejmë:   

ρ 2 + ρ ′ 2 ⋅ dθ  

β

dl   =

ρ + ρ ′ 2 dθ    dhe       l   = 2

∫

α

 

41

ρ 2 + ρ ′ 2 dθ  

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

2.4.4. Vëllimi i trupit me prerje tërthore të njohura    Në  kursin  shkollor  të  gjeometrisë  është  trajtuar  njehsimi  i  vëllimit  të  trupave  të  thjeshtë  prizmatikë,  piramidalë,  sferikë,  cilindrikë  apo  konikë.  Këtu  do  të  mësojmë  të  njehsojmë  vëllimin  e  një  klase  të  veçantë  trupash.  Le të jetë dhënë trupi  Ω, i kufizuar nga një sipërfaqe  e  mbyllur,  dhe  le  ta  zëmë  se  këtij  trupi  i  njohim  syprinën  e  çdo  prerjeje  të  tij  me  plane  pingule  me  boshtin  Ox   (  shih  figurën).  Le  të  jenë  x = a   e  x = b   ekuacionet  e  planeve  kufizuese të këtij trupi.   Të njohësh syprinën e çdo prerjeje tërthore  të trupit  Ω.   me    plane  pingule,  do  të  thotë  të  njohësh  për  çdo  x ∈ [a, b] syprinën σ (x)  të prerjes së  trupit  me  planin  pingul  që kalon nga pika  x .  Shënojmë  v(x ) vëllimin e pjesës së trupit që i përgjigjet segmentit  [a, x].  Kur kalojmë nga  x   në x + dx ,vëllimi  v  pëson ndryshesën  Δv.   Pjesën e trupit që ndodhet midis prerjeve në pikat x  dhe  x + dx  e zëvendësojmë me trupin  cilindrik me syprinë  σ (x) dhe lartësi  dx,  i cili e ka vëllimin  σ (x)dx.  Kështu, mund të shkruajmë:  Δv( x) ≈ σ (x )dx   Sa më i vogël të jetë   dx ,  aq  më shumë përputhet trupi cilindrik me trupin elementar që do  të  thotë  se  sa  më  i  vogël  të  jetë  dx ,  aq  më  shumë  σ (x)dx   e  përafron  ndryshesën  Δv.   Atëherë  është e natyrshme që diferencialin e  v(x) ta përcaktojmë me anë të barazimit: 

dv( x) = σ (x)dx   

 

 

(i) 

 

 

(ii) 

Pas integrimit nga  a  në  b  marrim:  b

v = ∫ σ (x )dx     a

Është e qartë se ekzistenca e vëllimit, pra matshmëria e trupit  Ω, sigurohet meqenëse funksioni  σ   është i vazhdueshëm në segmentin  [a,b] .      Zbatim. Vëllimi i trupit të rrotullimit  Shqyrtojmë  trupin  e  rrotullimit  që  përftohet  nga  rrotullimi  i  trapezit  vijëpërkulur  të  kufizuar  nga  vijat  y = f ( x); y = 0; x = a  e  x = b  përreth boshtit  Ox .   Meqenëse  prerja  e  trupit  që  kalon  nga  pika  x   është  qark  me rreze  f (x ),  pra me syprinë        

σ (x ) = πf 2 (x ),             (i)  vëllimi i trupit të rrotullimit do të jetë:        b

v =π∫ f

2

(x )dx          (ii) 

a

 

42

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Vazhdueshmëria  e  funksionit  f   na  siguron  ekzistencën  e  vëllimit  v   pra,  na  siguron  matshmërinë e trupit të rrotullimit.   

2.4.5. Syprina e sipërfaqes së rrotullimit        Jepet vija e lëmuar me ekuacionin  y = f (x) . Në qoftë  ( se  harkun    A B të  kësaj  vije,  që  ndodhet  midis  drejtëzave  x = a   dhe  x = b ,  e  rrotullojmë  rreth  boshtit    Ox   ,  atëherë  formohet një sipërfaqe rrotullimi.    Këtu do të mësojmë se si njehsohet syprina e saj.        Shqyrtojmë  elementin  e  kësaj  sipërfaqeje,  i  cili  ndodhet  midis  pikave  x     dhe  x + dx ,  dhe  shënojmë me   Δσ  syprinën e këtij elementi. Ky element përfitohet nga rrotullimi i harkut të lakuar  me  gjatësi  Δl .  E  përafrojmë  këtë  hark  me  një  hark  drejtvizor  me  gjatësi    dl ,  ku    dl     është  diferenciali i gjatësisë së harkut (shih figurën)                        Është  e  qartë  se  sipërfaqja  që  përfitohet  nga  rrotullimi  i  harkut  drejtvizor  rreth  boshtit  Ox është  realisht  një  trung  koni.  Kur  dl     është  shumë  i  vogël,  syprinë  e  këtij  trungu  koni  është  shumë e përafërt me syprinën e sipërfaqes së një cilindri me rreze  f (x ),  dhe lartësi   dl  , dhe ky  përafrim është gjithnjë më i madh kur  dl   është gjithnjë e më i vogël. Kështu, mund të shkruajmë  barazimin  e  përafërt    Δσ ≅ 2π f (x ) dl .  Ndërkohë  dimë  se  diferenciali  i  gjatësisë  së  harkut  dl   shprehet me formulën   dl = 1 + f ' 2 (x ) . Kështu, shprehjen e përafërt për  Δσ  mund ta shkruajmë  në trajtën   (i)  Δσ ≅ 2π f (x ) dl = 2π f (x ) 1+ f ' 2 (x ) dx       Duke mbajtur parasysh faktin se sa më i vogël të jetë  dx,  aq më i saktë  është përafrimi i  mësipërm, është e natyrshme që diferencialin   d σ  ta përcaktojmë me anë të formulës    

dσ = 2π f (x ) 1 + f '2 ( x ) dx          

43

 

 

(ii) 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

                  Po të integrojmë barazimin (ii) nga  a  në  b,  gjejmë 

σ = 2π ∫ a f (x) 1+ f '2 (x ) dx b

    Është  e  kuptueshme  që  ekzistenca  e  syprinës  σ ,  pra  edhe  matshmëria  e  sipërfaqes  së  rrotullimit, sigurohet po të pranojmë që funksioni   f '  është i vazhdueshëm në segmentin   [ a, b] .     Duke u mbështetur në formulat  

σ = 2π

∫

b a

y dl

dhe dl =

(dx ) + (dy ) 2

2

 

mund të njehsojmë syprinën e sipërfaqes edhe në rastet kur vija, që rrotullohet rreth boshtit  Ox   jepet në koordinata polare ose në trajtë parametrike.      Përfundime    Metodat  e  reja  në  mësimdhënien  e  matematikës  të  cilat  mendojmë  t’i  zbatojmë  në  Universitetin tonë:    ‐Qëllimi  ynë  është  të  kombinojmë  metodat  tradicionale  të  mësimdhënies  me  ide  dhe  teknika të reja.    ‐Besojmë  se,  madhështinë  e  matematikës  mund  ta  theksojmë    edhe  duke  hedhur  një  vështrim prapa në historinë e saj.    ‐Nga metodat e reja ne mund të huazojmë të zhvilluarit e orës së mësimit në mënyrë sa më  interesante  dhe  sa  më  interaktive  (ndërvepruese).  Edhe  pse,  i  gjithë  edukimi  është  interaktiv  (ndërveprues), por shprehja “edukim interaktiv” zakonisht i referohet përdorimit të materialeve për  mësimdhënie dhe mësim të ofruar përmes CD ose internetit, me fjalë të tjera nëpërmjet mediumit  elektronik.    ‐Të bëjmë integrimin e matematikës me lëndët inxhinierike.     ‐Gjithashtu është mirë të merren disa shembuj të paraqitur me anë të softeve matematike,  që përdoren më së shumti në inxhinieri si dhe ndonjë animacion.    ‐Po  ashtu,  është  e  nevojshme  të  ndryshojmë  edhe  karakterin  e  detyrave  të  cilat  ua  parashtrojmë studentëve.     ‐Tu mundësojmë studentëve një qasje sa më të mirë, duke i  bërë ata pjesëmarrës aktivë  gjatë përvetësimit të koncepteve matematike.    Dhe në fund, kryesisht vëmendja jonë si mësimdhënës dhe e institucioneve të ndryshme, që  kanë të bëjnë me mësimdhënien, por edhe e Qeverisë, duhet të përqendrohet fillimisht në zbutjen  sadopak  të  këtyre  dy  problemeve  kyçe  për  momentin:  organizimi  i  trajnimeve  të  ndryshme  për  mësimdhënësit  e  matematikës  dhe  rishqyrtimi  i  plan‐programeve  (kurikulave)  të  lëndëve  të  matematikës  në  të  dy  ciklet  e  shkollës  parauniversitare.  Duhet  ta  kemi  të  qartë  se  studentët  e  sotëm dallojnë shumë nga ato para 40 ose edhe 20 viteve. Studentët e sotëm janë shumë më të  prirë nga metoda vizuale e mësimdhënies.    “Truri  i  njeriut  është  mësuar  ti  regjistrojë  figurat  dhe  të  incizojë  zërat  ma  shumë  se  sa  leximin.” 

44

KAPITULLI  2: IMPLEMENTIMI I METODAVE TË REJA NË  MËSIMDHËNJEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT  [1]  Artique,  M.,  Learning  mathematics  inCAS  environment:  the  genesis  of  reflection  about  instrumentation  and  the  dialectics  between  technical  and  conceptual  work.  International  Journal  of    Computers  for  Mathematical Learning, 7, pp. 245‐274, 2002  [2]    Luigj  Gjoka.  Seminari  Kombëtar    “Metodat  e  mësimit  në  matematikë  dhe  roli  i  tyre  në  edukimin  inxhinierik” Tiranë, 12 Mars 2004  [3] ELECTRICAL ENGINEERING, CRAFTY Curriculum Foundations Project, Clemson University, May 4‐7, 2000  [4] Inder K. RANA, “Thre Experimentes in Teaching Undergraduate Students in Mathematics” Indian Institute  of Technology Bombay, India, 2000  [5] Vytautas Janilionis and Jonas Valantinas, “ The Scientific Interests of a Lecturer  Influence the Process of  Mathematical Learning” Departament of Applied Mathematics, Kaunas University of Technology, Lithuania,  2004  [6]  G. Gibbs, Twenty Terrible Reasons for Lecturing, Oxford Politechnic (1981)  [7]    F.  Maraton  and  R.  Säljö  Approaches  to  learning,  in  The    Experience  of  Learning  (ed.  F.  Marton,  D.  Hounsell and N. Entwistle), pp. 59‐71 (1997)  [8]  M. Evans, Developing Professional Knowledge and Confidence, Falmer Press (1994)  [9] G. Gibbs, Improving the quality of student learning, manuscript (1992)  [10]  King, M, (2005) Lecture Notes: Teaching Science in English. The University of Sydney  [11] Vijayalakshmi, Ch. (1994). ‘Implications of Brain‐research for Teachers & Teacher Educators’, Edu‐Vision,  18‐20.  [12] Bell, E.T.(1937). Men of Mathematics (Touchstone Edition, !986). New York: Simon & Schuster. ISBN 0‐ 671‐62818‐6 PBK  [13] Gabriel B. Costa and John A. Picciuto, 2004, “Do I really need to know mathematics?”  [14] Paul Dawkins , 2006. “How to Study Mathematics”  pp.1‐10.  [15] Stephanie Bridoux, 2002. “How to prepare students for a successful first year at university” Universite de  Mons‐Hainaut , Mons, Belgique.  [16]  Sean  Mauch  October  12,  2002.  Introduction  to  Methods  of  Applied  Mathematics  or  Advanced  Mathematical Methods for Scientists and Engineers  Sean Mauch October 12, 2002  [17]  Anthony  Croft,  Robert  Davison,  2004,    “Mathematics  for  Engineers‐A  modern  Interactive  Approach”  Loughborough University   [18] James Stewart,  2008,  “CALCULUS Early Transcendentals” 6e  McMASTER UNIVERSITY, Thomson Higher  Education Belmont, USA   [19]  Working  Group  of  London  Mathematical  Society  (1995)  Tackling  the  Mathematics  Problem.  Report,  London: the London Mathematical Society, the Institute of Mathematics and its Applications and the Royal  Statistical Socety.    [20] Hunt, D. N. & Lawson, D. A. (1996) Trends in mathematical competency of A level students on entry to  university. Teaching Mathematics and its Applications, 15, 167‐173.  [21] Lawson, D. A. (1997) What can we expect of A‐level mathematics students. Teaching Mathematics and  its Applications, 16, 151‐156.  [22] Hansen, W., An attractive view of composite fuctions. Mathematics Teacher 1993, 86, 415‐417.  [23] Stewart, J. (2001) Calculus, Concepts and Contexts, 2nd edition, Brooks/Cole , CA.  [24]. Eames, C. (1966) Men of Modern Mathematics: A history chart of mathematicians from 1000 to 1900,  New York : IBM  [25]. Swetz, F.J. (1997) Mathematicians and Mathematics History (set of 12 posters),  Portland : J.Weston Walch  [26]. T Guitard, On an episode in the history of the integral calculus, Historia Mathematica 14 (2) (1987), 215‐ 219.  [27].  Jones, P.S.  (Ed.). (1970). A History of Mathematics Education in  the  United  States and Canada. (32nd  Yearbook). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.  [28].  28.    D  T  Whiteside,  Patterns  of  mathematical  thought  in  the  later  seventeenth  century,  Archive  for  History of Exact Sciences 1 (1960), 179‐388.  

45

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

[29]. A. Morgan and L. Beaty, The ëorld of learner, in The Experience of Learning (ed. F. Marton, D. Hounsell  and N. Entëistle), pp. 217±237 (1997).  [30].  L.  Beaty,  G.  Gibbs  and  A.  Morgan,  Learning  orientation  and  study  contracts,  in  The  Experience  of  Learning (ed. F. Marton, D. Hounsell and N. Enteistle), pp. 72±86 (1997)  [31]. Ambrus A.: The theoretical background of problem solving, Új Pedagogiai Szemle, 2002  [32]. Artique, M., Learning mathematics in CAS environment: the genesis of reflection about instrumentation  and  the  dialectics  between  technikal  and  conceptual  work.  International  Journal  of  Computers  for  Mathematical Learning, 7, pp. 245‐274, 2002    [33]. Luigj Gjoka  , 2008, “ Analiza Matematike 1 (Teori + ushtrime të zgjedhura)” Universiteti UFO , Tiranë,  Shqipëri   

 

46

KAPITULLI 3   

TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS  INXHINIERIKE   

3.1. Lidhja në mes të matematikës dhe teknologjisë është e dyanshme 3.1.1. Roli i matematikës vendimtar në zhvillimin e teknologjisë    Në  shkencën  e  matematikës,  metodat  analitike  dhe  metodat  llogaritëse  numerike  janë  zhvilluar  paralelisht  gjatë  gjithë  historisë  së  zhvillimit  të  saj.  Nevoja  për  të  kryer  llogaritje  matematikore të shpejta dhe të menjëhershme, të diktuara nga teknologjia ushtarake (balistikë dhe  dekodimi), eksplorimi i hapësirës kozmike etj, ka qenë një nxitje e fortë për zhvillimin e industrisë  elektronike  në  përgjithësi  dhe  atë  të  kompjuterëve  në  veçanti.  Ndërtimi  i  kompjuterëve  me  shpejtësi të lartë i ndihmon matematikanët të llogarisin dhe të bëjnë situatën më të qartë se kurrë  më parë.     Kuptimi  i  llogaritjes  nuk  do  të  kishte  kuptim  pa  matematikën,  dhe  ajo  që  çoi    te  krijimi  i  konceptit  të  kompjuterit  të  programuar  ishte  analiza  e  metodave  matematikore  nga  matematikanët, filozofët dhe inxhinierët.    Vërtet,  dy  matematikanët  von  Neumann  në  SHBA  dhe  Turing  në  Angli,  janë  të  njohur  si  themelues  të  kompjuterëve  modernë.  Për  analizën  e  llogaritjeve  kompjuterike  dhe  tentimet  që  bëjnë  atë  sa  më  të  besueshme  që  është  e  mundur,  nevojitet  matematika  e  lartë,  dhe  kjo  nevojë  është  duke  u  rritur.  Kompjuteri  deri  sa  nuk  është  i  programuar  është  vetëm  një  kuti  prej  metali,  xhami  e  silikoni  etj.  Programi  paraqet  algoritme  në  formë  të  përshtatshme  për  kompjuterin.  Matematika është e nevojshme si gjuhë për përshkrim të hollësishëm, për atë çka duhet të bëhet, si  duhet të bëhet dhe kur duhet të bëhet, dhe për verifikimin që programi dhe algoritmi të punojnë në  mënyrë korrekte.    Roli  i  matematikës,  e  sidomos  matematikës  së  avancuar,  është  vendimtar  në  zhvillimin  e  teknologjisë  moderne  [2].  Edhe  njohuritë  jomatematikore,  të  cilat  e  mundësojnë  zhvillimin  e  teknologjisë,  nuk  do  të  jenë  të  mundura  pa  matematikën  e  avancuar.  Për  shembull,  gjeometria  analitike ka bërë të mundshëm programin e avancuar   CAD1, dhe këto programe kanë kontribuar  shumë,  si  në  faktin  se    motori  në  makinat  e  reja  zë  shumë  më  pak  hapësirë  se  sa  në  modelet  e  vjetra  të  makinave,  llogaritjen  e    sipërfaqeve  prerëse  etj.  Gjithashtu,  kompjuterët  dhe  rrjetat  mbështeten në matematikën e avancuar për rruajtjen e shënimeve , për kodimin e informatave etj.  Ne  të  gjithë  përdorim  rezultate  të  përkryera  matematikore  pa  të  cilat  on‐line  banking,  WebTV,  interneti, radio etj.,  thjesht nuk do të jenë të mundura.   Teknologjia moderne do të ketë efekte absolute (ndikim të plotë) në atë se si gjeneratat e  ardhshme  të  matematikanëve  do  ti  zbulojnë  dhe  publikojnë  rezultatet  e  tyre  matematikore,  të  ndajnë mendime dhe të mësojnë matematikën. Teknologjia gjithashtu do ta ndërrojë mënyrën se si  1

CAD Computer Aided Design –paket softverik për dizajnim

47

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

studentët do të mësojnë (nxënë) matematikën dhe mënyrën se si do të aplikohet ajo në disiplinat e  tjera.  Mirëpo teknologjia moderne, me gjithë përparësitë e saj, nuk mundet, në asnjë mënyrë, të  zëvendësojë  mësimdhënësin  e  mirë.  Një    mësimdhënësi  i  mirë,  i  pajisur  me  mjete  efektive  dhe  strategji për të mbizotëruar teknologjinë, mund të bëhet mësimdhënës i shkëlqyer.   Shekspiri ka thënë ([5],vol.7.fq 21) “Asgjë nuk është as e mirë as e keqe‐vetëm mendimi e  bën atë të tillë”. Në rastin e përdorimit të teknologjisë moderne në mësimdhënien e matematikës,  kjo thënie mund të perifrazohet: “Kalkulatorët dhe kompjuterët nuk janë mjete  pune as të mira as  të këqij‐vetëm përdorimi i tyre i bën ato të tilla”.Gjatë vozitjes së makinës, më i rëndësishëm është  vozitësi–makina është dytësore. Po ashtu, gjatë përdorimit të teknologjisë moderne në procesin e  mësimdhënies, rol të dorës së parë luan mësimdhënësi‐teknologjia është e dorës së dytë.    Fjala  teknologji  rrjedh  nga  fjala  greke  “technikos”  që  do  të  thotë  “artistike,  ekspert,  profesional”. Duke u bazuar në kompjuterët, teknologjia zë vend çdo ditë e më shumë nëpër fusha  (lami)  të ndryshme në jetën e përditshme. Dy nga ato fusha janë matematika  (intelektuale) dhe  lëvizja/ transporti (fizike). Ky krahasim është stimuluar nga Frank Demona.    Mënyra  më  e  thjeshtë  e  lëvizjes  është  të  ecurit.  Aktiviteti  korespondues  në  matematikë  është  llogaritja  mendore  (aritmetika  mendore  dhe  algjebra  mendore).  Edhe  vozitja  e  biçikletës  është një mënyrë e lëvizjes. Krahasuar me ecjen, ne mund të lëvizim më shpejt dhe në një distance  më të madhe. Aktiviteti korespondues në matematikë është llogaritja me anë të lapsit dhe fletës.  Ne përdorim lapsin dhe fletën “memorja e jashtme” e cila na mundëson që të përdorim fuqinë tone  mendore në mënyrë më efikase.    Mënyra tjetër e të lëvizurit është vozitja e makinës. Këtu vozitësi duhet të jetë në gjendje që  ta  nisë  makinën,  ta  rrisë  shpejtësinë,  të  tejkalojë,  të  frenojë,  t'iu  përmbahet  rregullave  të  komunikacionit  etj.  Aktiviteti  korespondues  në  matematikë  është  kalkulatori/  kompjuteri.  Kompjuteri ose kalkulatori jep rezultate, por vetëm nëse personi që e përdor është në gjendje  të  operojë me të.     

3.1.2. Roli i teknologjisë në hulumtimet matematikore    Kërkesat  dhe  nevojat  e  teknologjisë  ndikojnë  në  parashtrimin  e  problemeve  të  reja  për  hulumtuesit e matematikës. Edhe pse ky ndikim është shumë më i vogël se ndikimi që teknologjia  ka në shkencat dhe fushat e tjera, megjithatë është i rëndësishëm.    Gjithsesi, matematika ka disa koherenca (lidhje) të brendshme, që i lejojnë asaj të zhvillojë  problemet e saja dhe t’i zgjidhë ata pa asnjë referencë nga bota e jashtme. Në mesin e shkencave të  tjera, matematika është e vetmja që e zotëron këtë teknikë‐nuk ka nevojë të eksperimentojë.    Edhe përkundër faktit, se ky izolim është i mundshëm, nuk do të thotë se kjo ndodh shpesh,  që do të thotë se ky izolim nuk është i nevojshëm dhe as i dobishëm.    Edhe    pse  matematika  mund  ti  trajtojë  problemet  e  saja  në  një  shkallë  më  të  lartë  se  shkencat e tjera, ka një numër të madh të disiplinave matematikore që më vonë janë zhvilluar në  bazë të bukurisë dhe karakterit interesant të tyre. Mjafton të përmendet shembulli i gjeometrisë.  Ka filluar si mjet praktik për topografët, mirëpo, kur u zbulua rëndësia e saj, ajo filloi të zhvillohet si  degë  në  vete.  Pas  një  zhvillimi  shumëvjeçar,  janë  zhvilluar  edhe  degë  të  tjera  të  saj,  disa  prej  të  cilave janë formuar për arsye të bukurisë së tyre të fshehtë‐të cilat më vonë janë aplikuar‐të tjerat  janë propozuar nga përdoruesit. Për shembull, gjeometrinë diferenciale e ka themeluar i famshmi  Gauss  për  të  përmbushur  nevojat  e  topografisë,  ndërsa  gjeometria  e  Rimanit,  në  mënyrë  të  papritur,  gjeti zbatim në teorinë e relativitetit.      Ne mund të përmendim edhe shumë degë të tjera të matematikës, si analizën, ekuacionet  me derivate të pjesshme, analizën Fourier etj.  48

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Sigurisht që ka fusha që ende nuk kanë njohur zbatim ose që zbatimi i tyre ka filluar shumë  vonë.  Ndër  më  të  njohurat  në  këtë  aspekt  është  teoria  e  numrave,  e  cila  deri  vonë  ka  qenë  krejtësisht e pazbatuar në praktikë.      Algoritmika  (teoria  e  algoritmeve),  programimi  linear,  teoria  e  lojnave  etj,  janë  të  gjitha  disiplina që linden dhe u zhvilluan si nevojë e zgjidhjes praktike të shumë problemeve të realitetit  praktik të ditëve të sotme.     Duhet theksuar se jo të gjitha që ne dëshirojmë të bëjmë janë të vlefshme. Nganjëherë, të  kuptuarit  e matematikës dhe mundësia për zbatimin e saj janë synimet kryesore për avancimin e  vetë matematikës.    

3.1.3. Roli i hulumtimeve matematikore në teknologji    Jo  rrallë,  zbatimet  vijnë  në  mënyrë  të  papritur.  Ne  shqyrtuam  rastin  kur  zbatimi  i  teknologjisë i shtron problemet ashtu që matematikanët i zgjidhin ato.    Është  i  habitshëm  fakti  se  mjetet  matematikore  i  paraprijnë  zbatueshmërisë  nganjëherë  edhe me shekuj.  Si shembull ilustrues, mund të merret “Teoria e numrave”. Edhe pse kjo fushë  është lëvruar  prej  shekujsh,  vetëm  disa  zbatues  të  njohur  të  kohëve  moderne  kanë  vërejtur  se,  megjithëse  ajo  nuk  ishte  zbatuar  më  parë,  pjesë  të  teorisë  së  numrave  janë  shumë  të  rëndësishme  për  kriptografinë2, komunikimin digjital dhe informatat elektronike komerciale.    Kishte të drejtë Puig‐Adam3 ([3],vol.1.fq 6) kur shkruante “Mjetet e vetme matematikore që  mbeten të pazbatueshme nganjëherë janë ato që nuk i zotëroni”.   Shembujt nga fizika janë shumë më të suksesshëm dhe më të njohur. Shumë fusha i kanë  gjetur të zhvilluara mjetet matematikore që atyre u nevojiteshin. Teoria e Relativitetit e ka gjetur të  gatshme gjeometrinë e Riman‐it, Mekanika Kuantike ‐ hapësirat e Hilbert‐it etj.  Është e qartë se ka një lidhje inteligjente në mes të hulumtimit të diçkaje abstrakte, si teoria  logjike,  dhe asaj teknologjike, si zhvillim i kompjuterit, i cili vërtet ka ndryshuar jetën moderne.    Zhvillimi i kompjuterit është  një ndër realitetet më të rëndësishme. Ideja kryesore, e cila i  bën  kompjuterët  të  mundshëm  (funksionalë)  është  se  programet  mund  të  konsiderohen  si  shënime. Kjo ide lajmërohet së pari në teoremën Gödel. Turingu zhvilloi makinën Turing që të japë  një  vërtetim  të  thjeshtë  dhe  konceptual  të  teoremës  Gödel.  Zbatimi  në  kompjuter  filloi  kur  Von‐ Neuman e mor përsipër zhvillimin e EINAC4.    ‐Zbatueshmëria kërkon zhvillimin në një front të gjerë:    Nuk  është  lehtë  të  parashikohen  nevojat  që  mund  të  zbatohen  në  praktikë.  Një  nga  industritë më të reja është animacioni kompjuterik.    Në SHBA nga animacionet kompjuterike në vit qarkullojnë  biliona dollarë, dhe vetëm dy ose  tre qind milion dollarë si përkrahje totale në hulumtimet matematikore.    Fakti që kohët e fundit aplikimet serioze kanë si qëllim paraqitjen e figurave imagjinare, për  shembull  të  dinozaurëve  duke  lëvizur  në  ekran,  japin  një  përshtypje  te  njerëzit  se  vërtetimi  i  teoremave është një aktivitet i pa vlerë.    Është me interes të veçantë të shënohet se zbatimet e grafikës kompjuterike kërkojnë një  fushë të gjerë të matematikës. Pa dyshim, zhvillimi i kompjuterit ishte shumë i rëndësishëm, por pa  gjeometrinë diferenciale klasike, grafika kompjuterike nuk do të bënte dot asnjë hap. Nëse dikush  dëshiron  të  fitojë  shpejtësi  të  mirë  dhe  të  arrijë  efekte  interesante,  ai  ka  nevojë  edhe  për  2 3 4

Shëndrrimi i të dhanave në kode sekrete për transmetimin në rrjetin publik Pedro Puig Adam (Barcelona, May 12, 1900 - Madrid, January 12 1960), Ingjinier i industris dhe Dr. i Matematikes EINAC- 1946 Kompjuteri i parë elektronik në &n bsp

49

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

matematikë  të  sofistikuar.  Si  përfundim,  mund  të  themi  se  lidhja  në  mes  të  matematikës  dhe  teknologjisë është komplekse dhe e dyanshme. Ajo mund të jetë me dobi të ndërsjellët.    Kjo lidhje ndryshon me kohën dhe ka befasitë e veta. Prandaj, për ta kuptuar këtë, kërkohet  një  horizont  i  gjerë  dhe  dialog  i  vazhdueshëm  si  dhe  një  vështrim  kritik  i  problemeve  dhe  rezultateve. Duhet lënë dera hapur për të papriturat dhe idetë e reja.   

3.1.4. Bashkëveprimi spiral në mes të teknologjisë dhe matematikës    1.  Në  ditët  e  sotme,  madje  edhe  matematikanët  teorikë  e  pranojnë  këtë,  teknologjia  kompjuterike me përdorimin e LaTex5, e‐mail, Web‐Surfing6, e‐konferencat etj gjatë organizimit të  jetës shkencore, e bën jetën e matematikanëve shumë më të lehtë,dhe, në këtë mënyrë, vërejmë  se bashkëpunimi global me kolegët është në rritje për sa i përket rezultateve tona, si në publikime  ashtu  edhe  në  hulumtime.  Ky  lloj  i  ndikimit  të  teknologjisë  kompjuterike  në  matematikë,  nuk  ndryshon shumë nga ndikimi i kësaj teknologjie në fushat tjera të shkencës dhe inxhinierisë.    2. Ekzistenca  e softeve matematike, të tilla  si Mathematica, Maple, Derive, Matlab etj. në  dy dekadat e kaluara, ka filluar të ndryshojë mënyrën se si matematika mund të shpjegohet. Softet  matematikore kanë bërë një progres të madh, qoftë në matematikën e avancuar (sofistikuar) ashtu  edhe  në  atë  të  thjeshtën.  Thënë  shkurtimisht,  parimisht  të  gjitha  matematikat  që  shpjegohen  në  shkollat  e  mesme  dhe  të  larta  si  dhe  kurikulat  inxhinierike,  janë  tashmë  në  dispozicion  në  çdo  kompjuter.  Çdoherë  e  më  shumë,  mësimdhënësit  e  matematikës  kanë  filluar  të  përdorin  këto  sisteme  për  riorganizimin  e  të  mësuarit  të  matematikës,  por  edhe  më  tutje,  pjesa  më  e  madhe  e  kurikulave të matematikës nuk janë duke i shfrytëzuar përparësitë e teknologjisë së re, që është në  disponim.    3.  Theks  i  veçantë  duhet  t’i  kushtohet  nivelit  të  bashkëveprimit  midis  hulumtimit  matematikor dhe teknologjisë kompjuterike, që mund të konsiderohet si bashkëveprim  i rëndësisë  themelore, natyrale dhe frymëzuese. Por nuk mund të lemë pa përmendur gjithashtu faktin se ky  bashkëveprim, fatkeqësisht, nuk ka tërhequr në mënyrë të mjaftueshme vëmendjen e komunitetit  matematikor.    Raporti ndërmjet teknologjisë kompjuterike dhe hulumtimeve matematikore nuk shprehet  vetëm si bashkëveprim i dyanshëm, por mundet gjithashtu të kuptohet si një spirale e hapur, ku në  secilin  rreth  të  spirales,  teknologjia  e  njohur  përdoret  dhe  në  të  njëjtën  kohë  teknologjia  e  re  krijohet (lind).    

3.1.5. Anët negative të teknologjisë moderne    Teknologjia  moderne  ka  ndikim  të  madh  në  zhvillimin  e  matematikës  si  në  aspektin  edukativ, hulumtues ashtu edhe në publikime. Shumë anë pozitive të këtyre ndikimeve për zhvillim  janë  evidente.  Mirëpo,  ekzistojnë  edhe  disa  anë  negative  si  dhe  disa  aspekte  pozitive  të  cilat  pa  dyshim nuk janë aq evidente, të cilat do ti përmendim në vazhdim.    Sa i përket edukimit, në qoftë se kërkojmë nga studenti të shumëzojë dy numra të thjeshtë  dhe  ai  përdor  kalkulatorin,  cili  do  të  ishte  reagimi  i  jonë  si  mësimdhënës?  Mund  të  ndodhë  që  studenti  më  vonë  të  ketë  vështirësi  me  të  mësuarit,  p.sh.  te  teoria  e  grupeve,  për  arsye  se  perceptimi i tij i drejtë për operacionet abstrakte binare si funksion i dy variablave mund të jetë i  turbullt dhe ti përkujtojë atij butonat e kalkulatorit.  5 6

LaTeX Pakete softverik për radhitje të teksteve Eksplorim i Web Faqeve

50

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Shembull i ngjashëm: a mund ta konsiderojmë si të mjaftueshëm vërtetimin e një teoreme  nga gjeometria e Euklidit me anë të kompjuterit. Matematikani zakonisht nuk kërkon të dijë vetëm  saktësinë e një formulimi, por gjithashtu edhe pse ai formulim është i saktë. Kjo dëshirë i ndihmon  ata  të  zbulojnë  ndërveprimet  e  fshehta  të  objekteve  matematikore.  Pa  këtë,  studimet  e  matematikës do tu përngjanin studimeve të një gjuhe për të mësuar shkrimin e letrave të biznesit.    Një tjetër fakt; numri i publikimeve matematikore është duke u rritur në mënyrë të shpejtë,  sikurse edhe numri i rezultateve të reja. Problemi qëndron aty se, edhe raporti në mes të këtyre dy  numrave  është  duke  u  rritur.  Kjo  do  të  thotë  se,    në  esencë,    rezultatet  e  njëjta  publikohen  në  shumë revista dhe në forma të ndryshme. Revistat elektronike/ arkivat janë shumë të dëmshme në  këtë këndvështrim. Gabimet në punime të publikuara në revistat klasike do të qëndrojnë aty  aq sa  do  të  jetojnë  edhe  vetë  bibliotekat.  Kjo  dhe  kufizimi  i  natyrshëm  i  vëllimit  dhe  numrit  të  publikimeve  e  shtyn  autorin  të  shkruajë  në  mënyrë  ekzakte  dhe  të  kujdesshme,  të  verifikojë  gabimet dhe të mendojë në mënyrë precize, gjë që e bën punimin shumë më të vlefshëm.        Puna  qëndron  pak  më  ndryshe  në  lidhje  me  arkivat  elektronike:  çdoherë  mundeni  të  vendosni versionin e përmirësuar, ose disa versione të njëpasnjëshme, dhe askujt nuk do ti kujtohet  versioni  i  vjetër.  Kjo  aktualisht  stimulon  paraqitjen  e  publikimeve  të  shkruara  në  mënyrë  të  parregullt dhe sipërfaqësore të një natyre konkurruese, gjë që është e dëmshme për matematikën.    Komunikimi:  përderisa  shpejtësia  dhe  lehtësia  e  mënyrës  së  re  të  komunikimit  elektronik  (posta  elektronike)  rrit  shkëmbimin  e  informatave  dhe  ideve,  ato  gjithashtu  krijojnë  edhe  mbingarkesën  e  kutive  postare  (mail‐box).  Disa  nga  mesazhet  mund  të  jenë  të  interesit  dhe  rëndësisë së veçantë, të cilave duhet tu kushtohet rëndësi më e madhe, ndërsa është e tepërt tu  kushtohet kujdes atyre më pak të rëndësishme. Sa më tepër të rritet fluksi i informatave qasja në  kutinë  postare  merr  më  shumë  kohë  dhe  përpjekje.  Sa  më  i  fuqishëm  të  jetë  ky  servis  i  komunikimit,  efekti  i  saj  zbehet  duke  marrë  formën  e  hedhjes  të  një  pike  uji  në  det.  Padyshim  shfrytëzimi dhe vështirësitë e këtij lloji aktiviteti krijojnë përshtypjen e një pune produktive dhe të  rëndë. Megjithatë puna e marrësit mundet me ra pasi që nuk lihet vend për problemet e mëdha, të  cilat kërkojnë më shumë punë dhe përqendrim.    Nga  ana  tjetër,  sasia  e  informatave  të  mundshme  përmes  llojeve  të  komunikimit  si  e‐mail  dhe interneti krijon ndenjën e frikës dhe  të paaftësisë së të qenit i aftë për të mësuar, çka është  duke  ndodhur  edhe  në  fushat  e  ngushta  të  studimit.  Dhe  vërtet,  aftësitë  njerëzore  për  ti  mësuar  gjërat e reja janë të kufizuara dhe ky kufizim mund të tejkalohet me anë të komunikimeve të reja  teknologjike. Fluksi i tepërt i informatave nuk është i dëmshëm por është i padobishëm.    Hulumtimet: në vazhdim janë disa pyetje që mund të konkretizojnë disa aspekte të ndikimit  të teknologjisë në matematikën e pastër.    1. A mundet vërtetimi i teoremës me anë të kompjuterit të konsiderohet si i plotë? Për të  qenë më të qartë, çfarë do të mendonim për vërtetimin, i cili përbëhet nga hapat në vazhdim:     a) Thjeshtimi teorik i një formulimi për verifikimin e numrit të caktuar të mundësive    b) Pohimi se formulimi është i saktë për të gjithë numrat duke u mbështetur në rezultatet e  softit kompjuterik    2. A duhet të konsiderohet paraqitja vizuale e matematikës si pjesë e matematikës teorike?  Sigurisht,  metodat  kompjutrike  matematike  dhe  teknikat  e  paraqitjes vizuale  kërkojnë  përpunime   të qarta të koncepteve teorike dhe algoritmeve matematikore. Në një mënyrë, paraqitja vizuale e  matematikës është martesë e matematikës dhe shkencave kopjuterike. Por a mundet rezultati final  (p.sh. programi kompjuterik që tregon një sipërfaqe të ngjyrosur të notojë dhe degëzohet në ekran)  të konsiderohet si rezultat matematikor.      51

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

3.2. Mësimdhënja e matematikës 3.2.1.  Përgatitja  e  mësimdhënësve  për  të  shpjeguar  matematikën  me  anë  të   teknologjisë    Pothuajse  të  gjitha  universitetet  në  SHBA  dhe  në  Evropë  janë  duke  zhvilluar  mënyrat  e  ofrimit  të  kurseve  (lëndëve  të  ndryshme)  në  web.  Kjo  do  të  ndryshojë  mënyrën  e  të  mësuarit  të  matematikës dhe, së shpejti një numër i vogël i universiteteve virtuale të sofistifikuara do të joshë  një numër të madh të studentëve. Në këtë mënyrë edukimi themelor do tu ofrohet studentëve me  një çmim më të volitshëm. Kjo do të jetë më  e favorshme për studentët që nuk kanë mundësi të  ndjekin orët e zakonshme të mësimit për arsye pune ose për ndonjë arsye tjetër. Kjo gjithashtu do  të krijojë mundësitë e studimeve me një kosto më të ulët. Nga ky aspekt teknologjia do të jetë një  ekuilibrues, që u ofron mundësi edukative njerëzve, që, në kushte tjera, nuk do të kishin mundur të  studiojnë.    Që  të  gjenden  rrugë  të  përshtatshme  për  shfrytëzimin  e  teknologjisë  në  edukim  është  gjithashtu një sfidë e madhe jo vetëm për profesorët e matematikës por edhe për të tjerët. Është e  nevojshme  një  përpjekje  dhe  rezultatet  fillestare  do  të  jenë  në  shumë  raste  ndoshta  edhe  zhgënjyese. Mirëpo këtu të gjithë jemi studentë që kemi nevojë të mësojmë gjëra të reja.    Paraqitja e teknologjisë në  të gjitha nivelet  e edukimit ka  nxitur nevojën për ndryshimin e  praktikave  të  mësimdhënies.  Së  bashku  me  zhvillimin/modernizimin  e  projekteve  të  mësimit  fakultativ  për  lëndët  inxhinierike  dhe  shkencore,  është  e  rëndësishme  të  përqendrohemi  në  përgatitjen e mësimdhënësve të ardhshëm të matematikës.    Përdorimi  i  teknologjisë  në  aktivitetet  e  mësimdhënies  së  matematikës  mund  të  konsiderohet si një gjuhë e re e komunikimit në zhvillimin e ndërtimit të njohurive. Njohuritë për  rolin  e  teknologjisë  në  procesin  edukativ  mund  të  kontribuojnë  në  përgatitjen  më  të  mirë  të  mësimdhënësve të ardhshëm në zgjidhjen e drejtë jo vetëm të teknologjisë por edhe të mënyrës së  të shpjeguarit.    Gjithashtu,  një  nga  përparësitë  e  teknologjisë,  si  mjet  pune  në  mësimdhënie,  është  edhe  mundësia e zgjidhjes së  problemeve me anë të modelimit dhe aktiviteteve ndërdisiplinore, kështu  që  lindin  disiplina  të  reja  dhe  të  riformuluara  për  përgatitjen  e  mësimdhënësve  të  matematikës.  Duke  pasur  parasysh  këtë  aspekt,  mund  të  themi  se  interpretimi  i  informacioneve  që  jep  kompjuteri/kalkulatori  kërkon  njohuri  për  llojin  e  matematikës  së  nevojshme  për  shfrytëzimin  e  teknologjisë.  Shfrytëzimi  i  kujdesshëm  i  teknologjisë  si  strategji  e  mësimdhënies  përmirëson  ligjëratat dhe përgatitjen e aktiviteteve nga mësimdhënësit.    Për rëndësinë e teknologjisë në lidhje me  ngritjen profesionale të mësimdhënies, Oldknow7  (2000)  ka  thënë  “Përdorimi  efektiv  i  teknologjisë  kompjuterike  personale  në  mbështetjen  e  kurikulave të matematikës është në duart e mësimdhënësve. Ata kanë nevojë të dinë më shumë për  përdorimin  e  teknologjisë,  të  cilat  mund  të  gjenden  në  manualet  e  ndryshme,  në  materiale  mësimiore të ndryshme dhe nga burimet tjera informative” [7].    Gjithashtu  Cornu8  jep  vlerësimin“Matematika  është  duke  evoluar  dhe  ndryshuar  nën  ndikimin  e  kompjuterit  dhe  informatikës.  Kështu  që  për  këtë  arsye  mësimdhënësit  kanë  nevojë  të  zhvillojnë njohuritë e tyre matematikore dhe të ushtrojnë matematikën nga pikëpamja informatike.  Matematika  është  duke  u  bërë  më  shumë  eksperimentale,  algoritmike,  numerike;  mësimdhënësit  duhet të jenë në gjendje të shoqërojnë zhvillimet matematikore si dhe të sigurojnë kompetenca dhe  qasje të reja që të mund të kryejnë aktivitete të reja në matematikë” [8].  Prandaj  janë  parashtruar  disa  pyetje  të  natyrshme  si:  “Çka  është  mësimdhënia  përmes  teknologjisë?  Çka  mund  të  ndryshojë  nëse  përdoret  teknologjia  në  mësimdhënie?  Cilat  janë  52

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

mënyrat  e  përdorimit  të  teknologjisë  në  mësimdhënie  dhe  cilat  nga  ato  janë  më  efektive  që  të  arrihen objektivat edukative?”  Një  nga  sfidat  e  mëdha  në  të  cilat  hasin  mësimdhënësit  e  matematikës  kur  tentojnë  ti  njoftojnë studentët me teknologjinë është se ata nuk dinë kur, pse dhe si ta përdorin atë, edhe pse  kanë  njohuri  paraprake për sa  i  përket  pajisjeve  dhe softeve  edukative.  Kjo  sfidë haset gjithashtu  edhe  nga  mësimdhënësit  e  nivelit  universitar,  të  cilët  kanë  përgjegjësinë  për  të  përgatitur  mësimdhënësit  e  ardhshëm  me  njohuri  matematikore  dhe  pedagogjike,  të  kërkuara  në  mësimdhënien moderne.   

3.2.2.  Përdorimi i kompjuterit në mësimin e matematikës inxhinierike    Përdorimi  i  kompjuterit  si  mjet  pune  në  përkrahjen  e  mësimdhënies  ka  filluar  të  përdoret  para  disa  viteve  edhe  nëpër  universitete,  kryesisht  në  lëndët  praktike.  Sidoqoftë  duhet  të  parashtrojmë  pyetjen:  A  përdoren  kompjuterët  sa  duhet  në  mësimdhënien  e  matematikës?  Përgjigja është e qartë. Në shumicën e rasteve ato përdoren si kalkulatorë, pasi që ata përdoren si  mjete  për  kalkulimin  (njehsimin)  e  numrave,  edhe  pse  ata  gjithashtu  përdoren  për  operacione  algjebrike, paraqitjen e lakoreve etj.    Ky  lloj  i  përdorimit  plotëson  ose  thjeshton  metodat  tradicionale  të  mësimdhënies,  por  kjo  nuk paraqet një përmirësim të rëndësishëm në mësimdhënien e matematikës.    Kjo pjesërisht është për shkak se mësimdhënësit janë shkolluar në një sistem edukativ në të  cilin nuk kanë pasur asnjë trajnim që ka të bëjë me teknologjinë. Për këtë arsye mësimdhënësit nuk  kanë kulturë të mjaftueshme kompjuterike që të përgatisin  ligjëratat që ti mësojnë studentët në  mënyrë  adekuate  për  të  ardhmen  e  tyre  profesionale.  Megjithatë  është  arritur  një  përmirësim  i  dukshëm: deri para disa viteve nxënësit e shkollave të mesme kanë mësuar si të përdorin tabelat  logaritmike.  Tani  kjo  nuk  është  e  nevojshme  dhe  nuk  mësohet  më;  në  vend  të  asaj  ata  përdorin  kompjuterin ose kalkulatorin. Pa asnjë dyshim me përdorimin e kompjuterit kjo është më e shpejtë,  por duhet ta kemi të qartë se me këtë nuk kemi përmirësuar mënyrën e shpjegimit të konceptit dhe  përdorimit  të  logaritmit.  Në  këtë  mënyrë  matematikanët  kanë  kontribuar  me  punën  e  tyre  në  krijimin  e  mjeteve  teknologjike,  që  janë  përdorur  nga  profesionalistë  të  profesioneve  të  tjera  të  rëndësishme për punën e tyre.     Thënë  shkurt,  sfida  me  të  cilën  duhet  të  përballemi  në  të  ardhmen  është  tejkalimi  i  kësaj  gjendjeje  me  qëllim  të  përdorimit  të  kompjuterit  si  mjet  për  ngritjen  e  kreativitetit  matematikor.  Meqë kjo nuk është një punë e lehtë, është e këshillueshme që së paku ushtrimet me kompjuter të  përfshihen  në  çdo  degë  ku  shfrytëzohet  matematika  dhe,  në  mënyrë  të  veçantë,  në  fakultetet  inxhinierike. Kështu, do të jetë e mundur që profesionistët (ekspertët) e ardhshëm të jenë të aftë të  zhvillojnë  programe,  që  do  të  ndryshojnë  në  mënyrë  thelbësore  mënyrën  e  të  shpjeguarit  të  matematikës.    Fakti që studentët mund të kryejnë këto lloje të ushtrimeve me softe matematikore, do t'iu  ndihmojë atyre jo vetëm në lëndët e matematikës, por gjithashtu edhe në lëndët tjera. Gjithashtu,  ai do të jetë i gatshëm të përballet me problemet profesionale që do ti hasë në të ardhmen.  Aspektet inovative të praktikës    Çdo  gjë  që  është  komentuar  më  herët  do  të  përputhet  me  zhvillimin  e  detyrave  praktike  klasike për lami të ndryshme të matematikës. Tani do të prezentojmë kontributin që ka të bëjë me  krijimin e shembujve inovativë dhe  detyrave praktike të reja, pasi që studentët marrin pjesë aktive  në krijimin e tyre. Duhet të theksojmë se, në këto detyra praktike (practicals‐shembuj të zhvilluar  me  kompjuter  me  anë  të  softeve),  përveç  zgjidhjes  së  problemeve  tipike  të  lëndës  përkatëse, 

53

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

studentët  krijojnë  makro  (program  i  vogël)  për  zgjidhjes  e  këtyre  problemeve.  Krijimi  i  makrove  kërkon nga studentët që të kenë njohuri për lëndën.    Kështu për shembull, për krijimin e një makroje që vërteton nëse diferenciali është i saktë,  studenti duhet të dijë cili është kushti i parë që diferenciali të jetë i saktë. Ndërsa për krijimin e një  makroje  për  llogaritjen  e  një  integrali  të  trefishtë,    ai  duhet  të  marrë  parasysh  këto  elemente:  funksioni që duhet të integrohet, sistemi i koordinatave dhe tri variabla të integrimit së bashku me  vlerat  kufitare  koresponduese.  Përveç  kësaj,  pasi  që  hapat  e  integrimit  janë  me  rëndësi,  studenti  duhet të ketë parasysh këtë kur krijon një makro të tillë. Fakti që studenti është ai që krijon makron  ka një ndikim pozitiv kur vjen koha e aplikimit të makros për zgjedhjen e ndonjë detyre konkrete.    Me këto detyra praktike studentët jo vetëm që zgjedhin probleme, por krijojnë edhe makro  për  zgjidhjen  e  tyre.  Qëllimi  është  se  përdorimi  i  kompjuterit  nuk  do  të  kufizohet  vetëm  në  aplikacionet klasike të zakonshme por kompjuteri do të shfrytëzohet gjithashtu edhe si mjet i cili do  të inkurajojë aktivitetet matematikore.  Shfrytëzimi  i  CAS(  Computer  Algebra  Systems)  në  laboratorët  matematikore  në  shkollat  inxhinierike është në rritje. Për këtë arsye është paraqitur nevoja e një qasjeje të re edukative në  mësimdhënien  e  shumë  lamive  matematikore.  Është  e  qartë  se  nuk  është  e  mundur  që  mësimdhënia të mbahet si në vitet e 50‐ta . CAS na lejon të eksperimentojmë dhe të shpjegojmë në  mënyra  të  ndryshme.  Njohuritë  matematikore  të  studentëve  në  fillim  të  studimeve  dallojnë  rrënjësisht.   

3.3. Teknologjia moderne në mësimdhënien e matematikës 3.3.1.  Krijimi,  shpërndarja  dhe  kontrollimi  i  detyrave  të  shtëpisë  me  anë    të   internetit "Web­Work"    Një ndër problemet që paraqiten gjatë mësimit të matematikës janë edhe detyrat e shtëpisë  ose problemet e ndryshme që u jepen studentëve për ti punuar. Ky problem është zgjidhur në pjesë  të madhe nëpër institucionet mësimore në të cilat përdoret sistemi "Web –Work"   [9].    "Web‐Worku" është një sistem i bazuar në internet, për të krijuar dhe shpërndarë detyra të  shtëpisë  për  studentët.  Ky  sistem  bën  shpërndarjen  e  detyrave  studentëve  përmes  një  web‐ browseri standard, duke u dhënë atyre një përgjigje të menjëhershme për sa i përket saktësisë së  detyrës.    Një  thënie  e  vjetër  e  komunitetit  matematikor  thotë  “matematika  nuk  është  sport  për  spektatorë”. Mjeshtëria në llogaritje dhe zgjidhjen e problemeve arrihet përmes ushtrimeve, që do  të  thotë  me  kryerjen  e  detyrave  të  shtëpisë,  por  çka  nëse  jemi  duke  i  bërë  detyrat  e  shtëpisë  gabim? Disa studentë janë në gjendje të tregojnë që përgjigjja e tyre është duke përfunduar saktë  ndërsa shumë të tjerë nuk kanë idenë nëse përgjigjja e tyre është e arsyeshme ( e saktë ose jo). Kur  studentët  i  dorëzojnë  detyrat  e  tyre,  mësimdhënësi  i  kontrollon  dhe  derisa  nuk  u  konfirmohet  rezultati, ata nuk mendojnë fare për ato probleme. Kjo mënyrë e komunikimit të rezultateve nuk ju  ndihmon atyre shumë.    "Web‐Worku"  ndryshon  situatën  rrënjësisht  duke  ofruar  përgjigje  të  menjëhershme  për  detyrat  me  ndihmën  e  metodave  të  bazuara  në  internet.  Kjo  u  ofron  studentëve  përgjigje  të  menjëhershme për saktësinë e përgjigjeve të tyre dhe, kështu, krijon atmosferë mësimi me të cilën  studentët vazhdojnë të punojnë derisa të arrijnë te rezultati i saktë.      Çdo bashkësi "Web‐Work"  e problemeve është individuale, ashtu që çdo student ka version  të  ndryshëm  të  detyrave.    Studentët  kompletojnë  detyrat,  kyçen  në  internet  dhe  shkruajnë  54

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

përgjigjet  e  tyre  në  web‐browser.  Sistemi  "Web‐Work"  u  përgjigjet  atyre,  duke  iu  treguar  studentëve, nëse përgjigjja e tyre është e saktë ose e pasaktë; studentët janë të lirë të provojnë ti  bëjnë  detyrat  sa  herë  të  duan,  deri  në  një  datë  të  caktuar.  Sapo  të  shkruhen  të  hyrat,  sistemi  regjistron korrektësinë e çdo përgjigjeje të kërkuar, kështu që mësimdhënësi (instruktori) mundet  lehtësisht të njihet me progresin e çdo studenti të tij.  "Web‐Work"  mundëson  bashkëpunimin  e  teknologjisë  së  re  me  praktikën  ekzistuese  edukative. Vlerësimi dhe klasifikimi i detyrave është më efektiv, më efikas si  dhe i njëtrajtshëm kur  përdoret  Web‐Worku,  se  sa  kur  përdoret  metoda  tradicionale  “letër‐  laps”.  Kjo  u  mundëson  mësimdhënësve ti kushtojnë më shumë kohë punës me studentë si për konsultime dhe zgjidhjen e  problemeve nga lëndët përkatëse.  "Web‐Work"  sistemi  aplikohet  në  shumë  universitete.  Një  ndër  universitetet  e  para  që  ka  filluar aplikimin e këtij sistemi që në vitin 1996,  është Universiteti i Rochester‐it. Në "Web‐Workun"  e  këtij  universiteti  figurojnë  mbi  2500  detyra  që  përfshinë  Analizën  I,  Analizën  II,  Analizën  vektoriale, Ekuacionet diferenciale dhe Statistikën elementare.  Lista e koleksionit të problemeve është në dispozicion në web faqen:  http:/webhost.math.rochester.edu/webworkdocs/ww/listLib?command=sets Only.  Edhe më tej, sistemi Web‐Work mbetet si cak i lëvizshëm, meqë në mënyrë të vazhdueshme  inkorporohen përmirësimet (zhvillimet–të rejat) dhe mësimdhënësit në Universitetin e Rochester‐it  si dhe institucionet e tjera mund të shtojnë probleme të reja në lamitë përkatëse.    Për  të  vlerësuar  efikasitetin  e  këtij  sistemi  nga  ana  e  studentëve  si  dhe  për  të  mbledhur  informacione  se  sa  angazhohen  studentët  në  këtë  sistem,  janë  organizuar  intervista  dhe  analiza  elektronike.  Reagimet pozitive,  të mbledhura gjatë  intervistave dhe analizës elektronike, mund të  grupohen  në  disa  kategori  kyçe:  studentët  çmojnë  Web‐Workun,  sepse  ai  eliminon  metodën  e  detyrave të bazuara në letër, ofron tentime të pakufishme për zgjidhjen e problemit, përkrah ose  ndihmon  orvatjet  e  vazhdueshme  kah  kompletimi  i  detyrës  dhe  shërben  si  një  ndihmesë  për  përkatëse  e  provimit  përfundimtar.  Për  shembull,  në  analizën  e  vitit  1999,  pothuajse  90%  e  studentëve të Universitetit të Rochester‐it, të përfshirë në Web‐Work,  kanë përkrahur këtë sistem     Nga intervistat me studentë janë nxjerrë këto përfundime:    1.  Pjesa  që  më  së  shumti  u  pëlqen  te  Web‐Worku  është  ajo  se  sapo  shkruhet  përgjigjja,  studenti menjëherë e di nëse detyra është e saktë ose jo. Ata mund ta zgjidhin një detyrë sa herë të  kenë nevojë.    2.  Web‐Worku  u  pëlqen  studentëve  ,sepse  përmes  këtij  sistemi  ata  mund  ti  vërejnë  shkathtësitë dhe dobësitë e tyre dhe se ku qëndrojnë me materialin e mësuar.    3.  Një  numri  të  vogël  të  studentëve  nuk  i  pëlqen  "Web‐Worku",  nga  fakti  se  detyra  nuk  mund  të  vlerësohet  pjesërisht,  që  do  të  thotë  se  edhe  për  gabime  të  vogla,  detyra  merret  si  e  pasaktë.    4.  Të  pasurit  mundësi  të  arrihet  në  rezultate  të  sakta  edhe  pas  shumë  tentimeve  dhe  për  këtë  mos  të  ndëshkohen  (nuk  kanë  pikë  negative).  Kjo  inkurajon  studentët  që  të  mos  dorëzohen  dhe të mësojnë deri sa ta zgjidhin problemin.   

3.3.2. Ndikimi  i kompjuterit në shpjegimin (të mësuarit) e konceptit të limitit    Në  këtë  studim  është  hulumtuar  nëse  ndihma  e  kompjuterit  kontribuon  në  të  mësuarit  e  konceptit të limitit. Fillimisht janë zgjedhur 52 studentë,  Universitetin e Turqisë, të cilët kanë qenë  të ndarë në dy grupe. Koncepti i limitit për njërin grup është shpjeguar me metodën klasike, ndërsa  për grupin tjetër me ndihmën e kompjuterëve. 

55

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  E  dimë  se  ndër  temat  kryesore  në  Analizën  I  (Calculus)  janë  diferencimi  dhe  integrimi  i  funksioneve  me  një  variabël  dhe  zbatimi  i  tyre  në  inxhinieri  dhe  shkencë.  Së  bashku  me  diferencimin  dhe  integrimin,  disa  koncepte  të  matematikës  përkufizohen  me  anë  të  limitit.  Kjo  është edhe arsyeja pse limiti është një ndër konceptet më të rëndësishme në matematikë.    Limiti i funksionit në një pikë fitohet nga përafrimi në pikën e dhënë dhe duhet të dimë se si  sillet  funksioni  në  rrethinën  e  asaj  pike.  Limiti  është  veti  lokale.  Me  fjalë  të  tjera,  në  këtë  situatë  vlera e funksionit rreth pikës është më e rëndësishme se vlera e funksionit në vetë pikën.    Në përgjithësi përkufizimi formal  (ε − δ ) në shumë vende nuk jepet në nivelin e Analizës I,  përderisa  limiti  u  jepet  studentëve  në  mënyrë  intuitive  dhe  koncepti  zhvillohet  me  ndihmën  e  shembujve dhe teoremave. Kështu, studentët e anashkalojnë pjesën konceptuale të limitit dhe ata  e  marrin  në  konsideratë  vetëm  pjesën  llogaritëse  të  limitit  gjë  që  vështirëson  kuptimin  e  koncepteve të përkufizuara me anë të limitit dhe zbatimin e tyre [10,12]. Për shembull, studentët  mund të gjejnë asimptotën horizontale të funksionit me anë të limitit, por ato me vështirësi mund  të kuptojnë se si ka mundësi që funksioni të ketë asimptotë horizontale për vlera pambarimisht të  mëdha të variablës së pavarur.    Shumë shtete janë duke u përballur me të njëjtin problem, dhe kjo është arsyeja që në këtë  fushë janë kryer një numër i madh i hulumtimeve. Kjo tregon se kompjuteri mund të ketë dhënë një  kontribut te studentët në të kuptuarit e limitit dhe koncepteve tjera të analizës. Në këto kërkime, së  bashku  me  disa  efekte  pozitive  të  kompjuterit,    janë  vërejtur  edhe  disa  efekte  negative[13].  Si  përfundim, qëllimi i këtij hulumtimi ka qenë të zbulojë nëse studentët mund të mësojnë konceptin  e limitit dhe të tejkalojnë vështirësitë me ndihmën e kompjuterit.      Metoda e punës të projektit:    Në fazën e parë të këtij projekti, janë zgjedhur 52 studentë në vitin e parë në Universitetin e  Turqisë. Fillimisht është mbajtur një provim kualifikues për këta studentë dhe, bazuar në rezultatet  e fituara, ata janë ndarë në dy grupe  të nivelit  përafërsisht të njëjtë. Grupet janë quajtur grupi A  dhe grupi B.     Koncepti i limitit është shpjeguar duke përdorur metodën klasike nëpër klasa për grupin A  ndërsa  për  grupin  B  në  laboratorë  kompjuterik  përmes  kompjuterëve  individual,  përmes  programeve të përgatitura në MATLAB nga mësimdhënësit. Secili student në këtë grup i ka përcjellë  mësimet nga kompjuteri i vetë në mënyrë individuale.    Programi i përgatitur për grupin B    Hapi 1:                        Fig. 1: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 1  56

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 1    Një  nga  arsyet  themelore  pse  koncepti  i  limitit  nuk  mund  të  mësohet  lehtë,  është  ajo  se  studentët nuk mund të kuptojnë  “përafrimin e numrit” [11]. Qëllimi i këtij hapi është të tregojë se  “përafrimi  i  një  numri”  ka  kuptim.  Programi  kompjuterik  i  përgatitur  në  këtë  hap  paraqet  futjen  (vendosjen)  e  numrave  të  dhënë  në  boshtin  real.  Fillimisht  janë  zgjedhur  p.sh.  numri  a,  të  cilit  dëshirojmë t’i afrohemi, dhe një numër tjetër më i madh se a. Studentët i paraqesin këto numra në  boshtin real (Fig. 1). Mandej kërkohet nga studentët që të fusin një numër më të madh se a por i cili  është  më  i  vogël  se  numri  i  përparshëm.  Kjo  procedurë  përsëritet  shumë  herë,  në  mënyrë  që  të  bëjmë  studentin  të  kuptojë  (të  ndjejë)  se  një  numër  i  tillë  mund  të  vendoset  secilën  herë.  Në  mënyrë të ngjashme, procedura e njëjtë zbatohet për numrat më të vegjël se a.       Hapi 2:    Në këtë hap, është bërë një përpjekje të shihet nëse studentët mund të përcaktojnë se ku  tenton  vlera  e  funksionit    f (x) = x 2   nëse  x    tenton  në  2.  Programi  i  përgatitur  për  këtë  qëllim  printon grafikun e funksionit dhe shënon vlerat e funksionit në boshtin y  që i përgjigjet vlerës së  dhënë x. Përmes tastierës studentët japin vlera të përafërta me 2 dhe ata kanë kuptuar se vlerat e  funksionit i afrohen 4‐shit.                     

            Fig. 2: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 2     Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 2  Në  vazhdim,  përkufizimi  i  limitit  të  funksionit  në  një  pikë  është:  “nëse  f (x )  është  përkufizuar për të gjithë vlerat e x‐it  në afërsi të  a‐së, përveç mundësisë në pikën a, dhe nëse ne  mund  të  sigurojmë  që  f (x )  është  aq  afër  sa  ne  dëshirojmë  me  L  duke  marrë  x  sa  më  afër  a‐së,  mund  të  themi  se  funksioni  f (x )  i  afrohet  vlerës  (limitit)  L  kur  x  i  afrohet  a‐së    dhe  shkruajmë   lim f (x ) = L ”.  x →a

 

  Hapi 3:    Qëllimi i këtij hapi është të shpjegohet se limiti i funksionit në një pikë nuk do të thotë  të  jetë vlera e funksionit në atë pikë. Është zbatuar programi i njëjtë për të gjetur limitin e funksionit:  57

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

⎧x2 , x ≠ 2 f (x ) = ⎨ ⎩3 , x = 2  

per

x = 2 

Fig. 3: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 3     

 

  Hapi 4:    Me qëllim që të diskutohet ekzistenca e limitit të funksionit në një pikë funksioni duhet të  jetë  i  përkufizuar  për  të  gjitha  pikat  në  rrethinën  e  pikës  a.  Për  ti  dhënë  theks  të  veçantë  kësaj,  është pritur nga studentët që të tregojnë nëse funksioni  f : [0,2]∪ {5} → R , ku  f (x) = x 2 , ka limit  në pikën x=5. Në programin kompjuterik të përdorur në këtë hap është sajuar grafi i funksionit dhe  është  kërkuar  nga  studentët  që  të  japin  përmes  tastierës  disa  numra  në  rrethinën  e  pikës  5.  Por  numrat e dhënë më të mëdhenj se 2 nuk janë pranuar nga programi. Dhe studentët kanë ardhur në  përfundim se nuk mund ti afrohen x=5 me numrat në rrethinën e saj dhe si rezultat nuk mund të  llogarisin limitin. 

Fig. 4: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 4  58

 

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Hapi 5:    Bazuar në vrojtimet të bëra në klasë, duket se studentët besojnë se “nëse funksioni ka limit  në një pikë atëherë funksioni duhet të jetë i përkufizuar në atë pikë”. Me qëllim të ndryshimit të  këtij keqkuptimi, është analizuar limiti i funksionit  f : R \ {2} → R,  ku  f (x) = x 2  kur x tenton në 2.  Është  qartësuar  se  funksioni  mund  të  ketë  limit  në  një  pikë  në  të  cilën  funksioni  nuk  është  i  përkufizuar.   

Fig. 5: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 5     

 

  Hapi 6:    Si hapi i fundit, merren shembuj që zgjidhen duke përdorur programet kompjuterike për të  përforcuar konceptet e limitit.  ⎧x2 , x ≥ 2 lim f (x ) = ?. Shembulli 1:    f : R → R ; f (x ) = ⎨ x →2 ⎩−x , x < 2    

Fig. 6: Zbatimi i programit të përdorur në Hapin 6   

59

 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  Në fund, grupit B vetitë e limitit iu shpjegohen me metodën klasike, sikur grupit A. Pas dy  javësh është mbajtur  provimi  me të dy grupet e studentëve, për të bërë krahasimin në lidhje  me  kuptimin e konceptit të limitit.    Pyetjet:    1. Të gjinden limitet e funksioneve  f  grafet e të cilëve janë dhënë në vazhdim.    a)   f : R − {1} → R    

   

 b)  f : {−1}∪ [0,∞) → R  

   

c)  f : R → R  

 

d)  f : R → R  

 

 

 

  60

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

2. Le të jetë   lim f (x) = π . Gjykoni këto fakte. 

     

a) f  është i përkufizuar në pikën x=1.  b) f  është i vazhdueshëm në pikën x=1.  c)  lim[ f (x ) − f (1)] = 0  

       

x →1

x →1

d) Në qoftë se g është funksion i vazhdueshëm dhe  g(1) = −π  atëherë            lim[ f (x ) − g(x )] = 2π . 

 

x →1

f (0.001) ≈ ?  3) Le të jetë   f (x) = e−x + 2. 3 − 2x 2 4) Le të jetë    f (x ) = . f (−2005) ≈ ?   x (x 2 + 21)(1− x 2 )

  Përgjigjet  e  studentëve  janë  ndarë  në  dy  grupe,  në  ato  të  sakta  dhe  të  pasakta.  Përgjigjja  është marrë e saktë në qoftë se është dhënë rezultati dhe sqarimi i saktë, përndryshe  është marrë  si  e  pasaktë.  Shënimet  e  fituara  nga  rezultatet  e  provimit  janë  paraqitur  në  tabelë  me  anë  të  përqindjes.       Pyetje  1 

2  3  4   

   a  b  c  d  a  b  c  d         

GRUPI A                  Klasë  Përgjigje e saktë (%)  36  40  71  44  16  12  12  80  19  24  35.4% 

GRUPI  B                Laboratori  Kompjuterik  Përgjigje e saktë (%)  62  57  80  71  24  14  19  81  28  28  46.4% 

  Nga tabela mund të nxjerrim këtë përfundim:      Në pyetjen e parë, shihet nga tabela se, grupi B ka qenë më i suksesshëm. Mund të thuhet  se  mësimi  (shpjegimi)  i  konceptit  të  limitit,  duke  përdorur  mbështetjen  e  kompjuterit,  ka  pasur  efekt  pozitiv  në  kuptimin  e  këtij  koncepti.  Një  nga  arsyet  e  këtij  efekti  pozitiv  mund  të  jetë  kontributi i kompjuterit në paraqitjen vizuale.  Pyetja  e  dytë  përmban  katër  pjesë,  që  kanë  të  bëjnë  me  lidhjen  ndërmjet  limitit  të  funksionit në një pikë dhe vazhdueshmërisë së funksionit në atë pikë. Mund të shihet nga tabela se  të  dy  grupet  kanë  përqindje  të  përafërt  të  përgjigjeve  të  sakta  në  të  katër  rastet.  Edhe  pse  tre  pjesët e para kanë shkallë të ulët të përqindjes, pjesa e katërt ka shkallë të lartë të përqindjes në  përgjigjet e sakta. Vështirësia në të kuptuarit e lidhjes ndërmjet limitit dhe vazhdueshmërisë në një  pikë,  paraqet  shpesh  një  problem  nxitës  në  lëndën  e  analizës.  Rezultatet  e  fituara  tregojnë  se  programet  kompjuterike  të  përdorura  nuk  kanë  pasur  ndonjë  efekt  të  konsiderueshëm  në  këtë  pjesë.  Në pyetjen e tretë dhe të katërt është pritur që grupi B të jetë shumë më i suksesshëm se  grupi  A.  Duke  u  bazuar  në  rezultatet  e  fituara  nga  tabela,  grupi  B  ka  qenë  për  9%  dhe  4%  më  i  suksesshëm  në  pyetjen  e  3‐të  dhe  të  4‐të  përkatësisht.  Prandaj,  përgjigjet  në  këto  pyetje  61

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

demonstrojnë  se  studentët  në  të  dy  grupet  nuk  e  kanë  të  qartë  si  duket  limiti  në  një  pikë  si  dhe  sjellja e funksionit në rrethinën e pikës limite.     Është  evidente  se  programi  kompjuterik  nuk  ka  pasur  kontribut  të  dukshëm.  Në  fakt,  studentët i kushtojnë më shumë rëndësi proceseve operacionale se sa të kuptuarit të konceptit dhe  relacioneve konceptuale.   Mesatarja  e    përgjigjeve  të  sakta  në  përqindje  është    35.4%  për  grupin  A  dhe    46.4%  për  grupin  B,  çka  tregon  se  nuk  ka  ndonjë  dallim  të  madh  në  mes  të  këtyre  grupeve.  Prandaj  si  përfundim  mund  të  themi  se  sa  i  përket  rezultateve  mund  të  konkludohet  se  përdorimi  i  kompjuterit ka ndikim pozitiv në të shpjeguarit vizual të konceptit të limitit.     

3.3.3. Paraqitja e disa eksperimenteve nga Analiza I 

 

Është pranuar në mënyrë të gjerë se softet matematikore mund të kontribuojnë dukshëm  në  të  mësuarit  dhe  të  kuptuarit  e  matematikës.  Veçanërisht,  me  anë  të  mundësive  vizuale  të  paketave softuerike dhe sistemet algjebrike  kompjuterike, studentët mund të hulumtojnë sjelljen e  funksioneve  dhe  fenomeneve  të  cilat  do  të  ishin  të  pamundura  pa  ndihmën  e  kompjuterëve.  Mësimdhënësi ka një mundësi të gjerë zgjedhjesh të mjeteve softuerike që mund ti përdorin gjatë  kohës  së  studimeve.  Sidoqoftë  mbetet  edhe  më  tutje  problem  si  të  përpilohen  probleme  ose  eksperimente  interesante,  të  cilat  do  ti  sfidojnë  studentët  dhe  ku  teknologjia  është  mjet  i  rëndësishëm  për  hulumtim  të  problemit,  që  lejon  studentin  të  pasqyrojë,  arsyetojë,  analizojë,  modifikojë mendimin (idenë) e tij, deri sa të arrihet një konkluzion i duhur. Karakteristikë e këtyre  eksperimenteve është se pa teknologji do të ishte vështirë për studentët të bëjnë analizat dhe të  arrijnë  te  rezultati,  ashtu  që  teknologjia  dhe  mundësitë  e  sajë  vizuale  u  ofrojnë  studentëve  mekanizmat për eksperimentim dhe testim, duke u lejuar atyre të modifikojnë hipotezat e tyre dhe  idenë e tyre që i çon ato deri te zgjidhja.        Eksperiminti 1‐Derivati    Qëllimi  i  këtij  eksperimenti  është  që  ti  ndihmojë  studentët  që  të  kuptojnë  konceptin  e  derivatit  si  limit  të  herësit  të  ndryshesës  së  funksionit  dhe  argumentit  si  dhe  si  ekuacioni  i  tangjentes  të  funksionit  në  pikën  e  dhënë.  Nga  studentët  kërkohet  që  të  përdorin  një  soft  kompjuterik, p.sh  “Autograph” në rastin konkret, për të paraqitur grafikun e funksionit   y = x 2  dhe  të  shqyrtojnë  se  çka  ndodh  kur    x =1.  Gjithashtu  kërkohet  nga  ata  që  të  koncentrohen  dhe  të  analizojnë pikën   (1,1) duke zmadhuar (me anë të zumit) grafin e funksionit në atë pjesë. Ideja se  funksioni  është  i  diferencueshëm  në  një  pikë  nëse  është  lokalisht  i  drejtë  është  një  ide  e  rëndësishme  (shih  Tall  [6]),  e  cila  është  shumë  më  e  lehtë  për  ta  kuptuar  se  sa  koncepti  i  limitit.  Faktikisht ata mund të shohin se nëse zmadhojnë grafin e këtij funksioni në cilën do pikë ai do të  jetë  lokalisht  i  drejtë  në  të  gjithë  intervalin.  Megjithatë,  nëse  nga  studentët  kërkohet  që  të  paraqesin grafikun e funksionit  y = x sin x ,  ata do të jenë në gjendje të vërejnë se në pikën   (0,0)  funksioni  është  lokalisht  i  drejtë  ndërsa  në  pikën  (π ,0)  funksioni  nuk  është lokalisht  i  drejtë,  dhe  kështu jo i diferencueshëm në atë pikë (Fig.1). Figura mund të animohet, çka ndihmon studentin që  të përforcoj edhe më shumë konceptin gjeometrik të derivatit.           62

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

 

   

 

(animacion)       

Eksperiminti 2‐Derivati si limit  Ky eksperiment është i dizajnuar që ti ndihmojë studentët të kuptojnë konceptin e derivatit  në një pikë si limit të herësit të ndryshesës së funksionit dhe argumentit. Nga studentët kërkohet që  të vizatojnë grafikun e funksionit   y = x 2  dhe të zgjedhin dy pika: pikën  (1,1) dhe një pikë afër saj,  dhe të vizatojnë gradientët duke i selektuar që të dy pikat, pastaj të selektojnë gradientitn ashtu si  është treguar në Fig.2. Figura mund të animohet dhe në fund të grafikut është treguar vlera e x‐it ,  y‐it, gradientit, ndryshimet në x dhe y, si dhe ekuacioni i vijës së sekantes. Gjithashtu nga studentët  është kërkuar që këto vlera ti paraqesin në tabelë dhe të shkruajnë për këtë analizë.     

Fig. 2.  63

 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

   

 

(animacion)   

Ky  ushtrim  është  përsëritur  por  me  grafin  e  një  funksioni  tjetër    y = x sin x   dhe  është  kërkuar nga studentët të përsërisin pikat ku funksioni është i diferencueshëm dhe pikat ku funksioni  nuk është i diferencueshëm (Fig.3).   

 

 

Fig. 3      Është  e  qartë  se  studentët  të  cilët  i  kanë  punuar  këto  eksperimente,  kanë  zhvilluar  një  kuptim të fortë gjeometrik në lidhje me konceptin e derivatit.     

3.3.4. A është teknologjia mjaft bindëse?    Teknologjia  e  re  i  ka  mundësuar  çdo  kujt  një  grafik  me  kualitet  të  lartë  .  Këtu  nuk  i  referohemi grafikës në matematikë por grafikës që hasim në jetën e përditshme: DVD, Videolojrat,  Enciklopeditë elektronike, Web faqet, shpalljet në TV etj. Truri i njeriut është mësuar ti regjistrojë  figurat dhe të incizojë zërat ma shumë se sa leximin. Figura i bartë idetë menjëherë (në moment).  Në  matematikë  figurat  në  dërrasën  e  zezë  (tabelë)  çdoherë  janë  të  shoqëruara  me  vërtetime  formale  me  qëllim  ilustrativ  që  tu  mundësojnë  studentëve  që  të  krijojnë  ide  për  to.  Nga  mësimdhënësi kërkohet të jetë edhe vizatues i mirë. Me ndihmën e softeve të përshtatshme, tani  kemi mundësinë që të paraqesim figura të bukura dy ose tredimensionale si dhe të krijojmë dhe të  paraqesim grafe me animacione. Gjithashtu shfrytëzimi i ngjyrave na jep një dimension të ri. Nëse  ne përdorim grafet, ne jemi duke përdorur gjuhën që studentët e kuptojnë lehtë, dhe nëse figurat  64

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

janë mirë të  krijuara, të kuptuarit e  studentëve rritet dhe përqendrimi është më  i plotë dhe më i  gjatë. Për më tepër, kur është nevoja të paraqitet një temë, e cila mund të jetë më familjare për  shumicën e studentëve, ne jemi në gjendje ta bëjmë këtë në mënyrë jotradicionale, e cila është më  shumë  tërheqëse  dhe  argëtuese.  Ne  gjithashtu  nuk  duhet  të  harrojmë  se  figurat  matematikore  mund  të  jenë  befasuese  edhe  kur  ne  e  njohim  plotësisht  temën.  Vetë  Mandelbroti,  përderisa  shikonte fotografitë e para të bashkësisë së fotografive të  famshme të tij,  mendoi për problemet  softverike.  Kështu  që  bashkësia  e  Mandelbrotit  në  ekran  ishte  e  ndryshme  nga  bashkësia  e  Mandelbrotit  në  mendjen  e  vetë  “krijuesit”.  Që  të  bindim  studentin  për  një  teoremë  me  anë  të  kalkulatorit grafik, është një nga mundësitë aktuale të një rruge të gjatë edukative.    Një thënie e vjetër kineze thotë: “Çka dëgjova e harrova, çka punova e kuptova, çka pashë  e mbajta mend”     

3.4. Vizualizimi interaktiv i analizës komplekse   Vizualizimi është një fushë e hulumtimit, qëllimi i së cilës është të japë zgjidhje, të gjenerojë  figura ose imazhe nga një numër të dhënash/numrash në atë mënyrë, që  rezulton në të kuptuarit e  vetive të rëndësishme.    Të  kuptuarit  e  vetive  të  funksionit  me  variabla  komplekse  është  shumë  më  i  vështirë  se  funksionit  me  variabla  reale.  Ky  paragraf  afron  një  qasje  në  fushën  e  vizualizimit  dhe  mundësinë  reale e të kuptuarit të këtyre vetive. Teknikat vizuale të aplikuara (zbatuara) shfrytëzojnë elementet  themelore  të  pamjeve  të  grafeve  3D,  funksioni  kompleks  mund  të  shihet  dhe  kuptohet  përmes  pozitës,  formës,  ngjyrës  dhe  po  ashtu  animimit  vizual  të  objektit  të  fituar.  Përdorimi  i  duhur  (me  vend)  i  këtyre  funksioneve  vizuale  jep  një  paraqitje  grafike  të  funksionit  dhe  shfaq  vetitë  e  rëndësishme të një funksioni të veçantë.    Matematika  komplekse  ka  një  rol  të  rëndësishëm  në  inxhinierinë  elektrike.  Një  aplikim  shumë i përhapur janë llogaritjet që kanë të bëjnë me qarqet e rrymës alternative. Këtu një numër  kompleks mund të paraqes një amplitudë të sinusoidës dhe fazën. Për shembull, impedanca e një  qarku  elektrik  mund  të  llogaritet  lehtë  me  anë  të  numrave  kompleksë.  Në  një  qark  pasiv  elektrik  ekziston  lidhja  (herësi)  në  mes  të  vlerës  efektive  komplekse  (vlera  e  amplitudës)  të  tensionit  U sinusoidal dhe vlerës efektive komplekse të rrymës elektrike sinusoidale:  Z e = .  I   Të  gjitha  llogaritjet  mund  të  bëhen  duke  përdorur  numrat  kompleksë,  pa  pasur  nevojë  të  zhvillohen  shprehjet  cos   dhe  sin .  Kjo  e  bën  ekuacionin  më  të  shkurtër  dhe  më  të  lehtë  për  ta  lexuar dhe kuptuar.    Funksioni  analitik  i  variablit  komplekse  tregon  (paraqet)  disa  nga  bukuritë  më  të  mahnitshme të para ndonjëherë‐por, në vitet kur tekstet kanë qenë të shtypura në bardhë e zi, ky  fakt ka qenë i paarritshëm për shumicën.    Pra, teknologjia moderne jep më shumë mundësi. Implementimi në sistemet kompjuterike  algjebrike  CAS  dhe  veçanërisht    në  programin  JAVA,  me  metodat  interaktive  të  tyre,    e  transformojnë çdo student në një eksperimentues dhe hulumtues.    Shqyrtimi  i  funksionit  analitik  të  një  variabli  komplekse  paraqet  thelbin  e    matematikës  klasike. Disa nga karakteristikat e saj të veçanta janë  bukuria dhe simetria e saj, e cila nxit shumë  hulumtues  ti  qasen  analizës  komplekse  thjesht  nga  arsyet  estetike.  Nga  ana  tjetër,  një  numër  i  madh i studentëve të mësimit tradicional të analizës komplekse, asnjëherë nuk kanë arritur nivelin 

65

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

që të shijojnë bukurinë e saj, por përkundër kanë ngelur (ngecur) në kaosin e veprimeve simbolike  të algjebrës.    Kështu që, nuk është i befasues fakti që për më shumë se një shekull, analizës komplekse i  janë  qasur  në  mënyrë  ekskluzivisht  simbolike/algjebrike.  Sidoqoftë  dy  dekadat  e  fundit  është  vërejtur një shtim i paraqitjes grafike të analizës komplekse. Figurat hipnotizuese të fraktaleve  dhe  bashkësitë  e  Julia‐s,  e  veçanërisht  bashkësia  e  Mandelbrotit  (Fig.1)  mund  të  konsiderohen  si  pikënisje e këtij revolucioni. Megjithëse bashkësia  e Julia‐s ishte e njohur për disa dekada më parë,   qe  rritja  dramatike  e  fuqisë  kompjuterike  ajo  që  mundësoi  të  ndërtohej  kjo  bashkësi,  me  anë  të   funksioneve komplekse.     

 

  Fig. 1.  Shembuj të bashkësive të Julia‐s dhe Mandelbrot‐it 

      Sfida  e  parë  që  haset  te  funksionet  me  variabla  komplekse  është  vështirësia  e  paraqitjes  vizuale të grafikut të atij funksioni. Meqenëse edhe bashkësia e përcaktimit dhe ajo e vlerave të një  funksionit  kompleks  janë  secila  dydimenzionale,  grafiku‐bashkësia  e  pikave  (z, f (z))‐është  katër  dimenzional.  Duke  përdorur  shprehjen  f (z) = f (x + iy ) = u + iv ,  grafi  është  bashkësia  e  4‐shes  së  renditur  (x, y,u,v ).

4   f (z) (program softuerik) mundet ta rrotullojë grafin në  R (dhe e projekton 

atë  në  ekranin  dy‐dimensional).  Me  identifikimin  e  vijës  komplekse  me  rrafshin  real,  grafet  janë  thjesht sipërfaqe (reale) dy dimensionale në hapësirën (reale) katër dimensionale‐ e vështirë për tu  kuptuar  pothuajse  për  çdo  mendje  njerëzore.  Forma  klasike  identifikon  vlerën  e  funksionit  kompleks    f    me  variabël  komplekse    z = x + iy   me  fushë  vektoriale    (x, y ) → (Re f ,−Im f ),  të  ashtuquajtur  fusha  vektoriale  e  Polya‐s  [19,20],  për  shembull  si  në    Fig  2.a.    për  funksionin  f (z) = cos z 2 .  Kjo  qasje  ndihmon  në  mënyrë  të  veçantë  për  të  bërë  lidhjen  në  mes  të  integralit 

( )

vijëpërkulur  nga  analiza  komplekse  me  integralin  linear  nga  analiza  vektoriale.  Mirëpo  deri  në  shfaqjen e softeve të fuqishme grafike në vitin 1990, vizatimet e fushës janë bërë shumë rrallë dhe  me  dorë,  dhe  vetëm  disa  shembuj  statikë  të  figurave  janë  gjetur  nëpër  libra.  Sidoqoftë,  mësimi  modern i analizës vektoriale dhe ekuacioneve diferenciale mbështeten në të vizatuarit (paraqitjen)  e  fushave  vektoriale,  prandaj  fusha  vektoriale  e  Polya‐s  konsiderohet  si  shumë  e  rëndësishme  në  analizën komplekse.     

66

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

                 a)                                                  b)                                   c)   

( )

Fig.2. Tre paraqitje të ndryshme të funksionit  f (z) = cos z 2  

    Këtu  do  të  përqendrohemi  në  dy  mënyra  tjera  të  vizualizimit  të  funksionit  me  variabla  komplekse.  Qasja  e  parë  dhe  tradicionale  shqyrton  fytyrat  (imazhet)  të  lakoreve  specifike  (dhe  rrethinave)  me  anë  të  pasqyrimit    f.  Për  shembull,  funksioni  eksponencional  kompleks  pasqyron  cilin  do  segment  me  gjatësi    2π  nga  boshti  imagjinar  në  rrethin  njësi.  Ngjashëm,  ai  pasqyron  çdo  rrethinë katërkëndëshe me kulmet në pikat  r ,  R ,  R + 2π i  dhe  r + 2π i  (ku r > 0  dhe   R > 0 ) në  unazën me rrezet  r  dhe  R   me qendër në zero. Studimi (mësimi ) i rasteve të tilla specifike përbën  pjesën hyrëse të çdo teksti, dhe konsiderohet si esenciale për të fituar njohuri intuitive (spontane)  të funksioneve elementare.     Mjetet  llogaritëse  (kompjuterike)  dhe  softet  e  ndryshme  të  këtyre  kohëve  (sistemet  algjebrike  kompjuterike  CAS,  si  MAPLE,  MATLAB,  MATHEMATIKA    për  zbatime  të  thjeshta)  i  lehtësojnë dhe automatizojnë detyrat e këtij lloji. [17]      Përparësia  kryesore  e  përdorimit  të  CAS‐it  është  se  studenti  duhet  të  përballet,  për  shembull,  me  përkufizimin  e  saktë  të  lakores,  rrethinës  dhe  kompozimin  e  funksioneve  të  nevojshme për formimin e figurës (shih Fig. 2. b për shembullin  f (z) = cos z 2 .) 

( )

   E  meta  kryesore  është  që  kjo  kërkon  mundim  dhe  kohë  në  mënyrë  që  të  modifikohen  (ndryshohen)  inputet.  Megjithatë,  studentët  kalojnë  një  kohë  të  gjatë  duke  hulumtuar  këto  pasqyrime, duke përdorur CAS‐in, kalojnë kohë të gjatë duke u munduar të kuptojnë ku lajmërohen  pikat e prerjes, ku bëhet ndryshimi i orientimit “palosja” që mundëson që kufiri i figurës (fytyrës) të  mos jetë nënbashkësi e kufirit të figurës (fytyrës) të rrethinës origjinale etj. Arritja kryesore që ka  bërë të suksesshëm këtë zbatim është detajimi, si ngjyrosja e teheve të kundërta (përballë) me të  kuqe/purpurt dhe e gjelbër/kaltër së bashku me rrjetat shoqëruese të brendshme e shprehur me  ngjyrë  roze  dhe  kaltër  (cyan‐mes  gjelbër  dhe  kaltër).  Është  vërtetuar  se  kjo  ka  ndihmuar  në  përcaktimin  e  vetive  të  pasqyrimeve  të  komplikuara  dhe  që  në  mënyrë  efikase  të  bëjë  transformimin e figurës. Nga ana tjetër, zbatimi i JAVA si në [17] dhe softet e ngjashme mundësojnë  njëhershmëri dhe  qasje  të problemit  në  formë argëtimi  . Këto  janë mjete të  mrekullueshme që e  mbajnë klasën aktive, por ato në përgjithësi kërkojnë më shumë mbikëqyrje (udhëheqje) nga ana e  mësimdhënësit që të arrijnë qëllimin në problemet e ndryshme matematikore. Përdorimi kryesor i  tyre  është  në  arritjen  e  shpejtë  të  kuptuarit,  perceptimit,  që  në  mënyrë  të  shpejtë  të  zbulohen  rastet  specifike,  dhe,  më  e  rëndësishmja,  të  zbulohen  rastet  interesante  të  cilat  arsyetojnë  hulumtimet e mëtutjeshme dhe përforcojnë studimet teorike. Përfitimi kryesor është se studentët  në përgjithësi janë më aktivë.   

67

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

3.4.1. Paraqitja grafike e funksioneve me anë të pasqyrimeve me ngjyra     Një  qasje  alternative  stimuluese,  që  jep  një  imazh  global  të  menjëhershëm  fillon  me  përdorimin e pasqyrimeve me ngjyra. Ideja kryesore është që ti përcaktohet ngjyra secilës pike të  bashkësisë  së  vlerave  R f ,  dhe  mandej  të  ngjyroset  secila  pike  z     e  zonës  së  përcaktimit D f   me 

ngjyrën e fytyrës së saj f (z) (shih  [21] për detaje). Përderisa, pasqyrimet me ngjyra janë përdorur  vetëm  për  një  kohë  të  shkurtër,  për  shembull  për  vizualizimin  (paraqitjen)  e  lakores  në  sipërfaqe  [16]  nëpërmjet  të  funksionit  me  ngjyra  në  MAPLE,  përdorimi  i  parë  i  pasqyrimeve  me  ngjyra  për  funksionet  komplekse  në  WWW  i  referohet  Farris‐it  [15].  Ai  ka  paraqitur  një  mënyrë  të  re  për  përdorimin e ngjyrave në vizualizimin e funksionit me variabla komplekse në rrafsh.       E ardhmja    Teknologjia  do  të  vazhdojë  të  luaj  një  rrol  kryesor  në  procesin  edukativ,  e  në  veçanti  në  matematikë. Ndryshimet në mënyrën e vlerësimit si dhe në drejtimin e kurikulave në atë mënyrë që  matematikës të mos i bjerë efekti por përkundrazi të përmirësohet mu për shkak të përdorimit të  teknologjisë paraqet sfidë për mësimdhënësit. Ky proces mund të jetë i ngadalshëm e nganjëherë  edhe i vështirë mirëpo me siguri që në kohë të fundit shihen disa shenja inkurajuese.    Kompjuteri mund ti bëjë gjërat shumë më shpejt. Diçka që ka qenë e mundur por ka marrë  kohë, më vonë u bë e mundur që të demonstrohet në orë të mësimit nga ana e  mësimdhënësit me  ndihmën e kompjuterit. Tani, kjo është e mundur edhe për vetë studentët si dhe mundësia për të  marrë pjesë në eksperimentet llogaritëse në matematikë.    Është  krijuar  përshtypja  se  nga  teknologjia  përfitojnë  studentët  me  aftësi  më  të  larta.  Në  vitet e fundit është vërejtur se ajo i ndihmon edhe studentët e dobët për të tejkaluar pengesat me  operacionet  algjebrike  ashtu  që  ata  mund  të  vazhdojnë  të  mësojnë  matematikën  e  avancuar  pa  pengesë. Kjo definitivisht është një fushë me shumë lami hulumtuese.    Fusha,  e  cila  ka  nevojë  për  një  vëmendje  të  veçantë,  është  mënyra  e  vlerësimit  në  matematikë. Edhe pse kurikulat e matematikës kanë pësuar ndryshime të mëdha, si dhe mënyra e  implementimit e kurikulave dhe shpjegimi i lëndëve kanë evoluar dukshëm, mënyrat e vlerësimit në  matematikë kanë ndryshuar shumë pak për vite me radhë. Kjo ka të ngjarë të mbetet e tillë edhe në  të ardhmen. Përderisa vlerësimet në matematikë nuk udhëhiqen nga zbulimet, do të jetë e vështirë  të binden mësimdhënësit dhe studentët të harxhojnë kohë dhe mund të përvetësojnë risitë.        Përfundime  ‐Teknologjia  e  re  do  të  ofrojë  mjete  të  cilat  u  mundësojnë  matematicienëve  të  eksperimentojnë me formulime dhe rezultate, të cilat u mundësojnë atyre të arrijnë njohuri më të  thella. Qëllimi i matematikës është lëvizja prej aktivitetit “laps, letër dhe gomë” në aktivitetin, në të  cilin  element themelor është sistemi i  avancuar matematik, siç  janë Maple, Matlab,  Mathematica  etj. Ky ndryshim është i ngadalshëm dhe gradual.    ‐Publikimet  matematikore  do  të  ndryshojnë  shumë  shpejtë,  dhe  revistat  do  të  bëhen  elektronike.  Kjo  kryesisht  është  për  shkak  se  së  shpejti  do  të  jetë  e  mundur  që  aktivitetet  matematikore të kryhen nëpërmjet web‐it në mënyrë të përshtatshme. Ky ndryshim  është i shpejtë  dhe do të ndikojë te të gjithë matematicienët.     ‐Edukimi  matematikor  do  të  ndryshojë  dhe  web‐universitetet  virtuale  do  të  ofrojnë  kosto  më  të  lirë  përballë  universiteteve  tradicionale  (por  nuk  do  të  mund  ti  zëvendësojnë  ato).  Ky  ndryshim do të jetë i shpejtë. Për lëndët themelore si analiza, gjeometria etj, do të zhvillohet një  sistem i ri të mësuari. Ky sistem të mësuari lë gjurmë në materialet që studenti i zotëron dhe i ofron 

68

KAPITULLI 3: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

ati probleme në ato fusha, në të cilat ai ka nevojë të ushtrohet më shumë. Kjo do të përmirësojë të  mësuarit tradicional në klasë dhe do të bëjë të mundëshme mbajtjen e orëve të matematikës on‐ line.  Këto  kurse  on‐line  nuk  janë  për  çdokënd;  ato  janë  të  përshtatshme  vetëm  për  studentët  e  motivuar.    ‐Komuniteti matematikor ka nevojë ti rishikojë mënyrat e evoluimit të aktiviteteve të punës  individuale drejtë zbatimit të teknologjisë së re në matematikë. Kjo punë, jo çdo herë rezulton me  publikime  e  kështu,  edhe  personi  që  kryen  punën,  jo  çdoherë  do  të  marrë  kreditet  e  duhura.  Shpesh  puna  qëndron  në  implementimin,  edhe  pse  disa  aspekte  të  kësaj  pune  mund  ti  takojnë  fushës  së  matematikës  klasike.  Mekanizmi  i  vlerësimit  tradicional  çon  nganjëherë  në  situatën,  ku  personi që ka kryer një punë të rëndësishme matematikore të avancimit dhe implementimit të një  algoritmi specifik ose të zhvillimit të një algoritmi të ri, do të jetë i papranuar dhe nuk do të gjejë  fonde për të vazhduar punën e tij, e, në rastin më të keq, nuk do të gjejë punë të përshtatshme. Kjo  ngadalëson zhvillimin.    Këto  janë  kohra  të  mrekullueshme  me  plotë  mundësi  dhe  sfida.  Mënyrën  se  si  punojmë,  shfrytëzojmë, publikojmë dhe e shpjegojmë matematikën është duke ndryshuar [1].    Pra,  mund  të  vim  në  përfundim  se:  se  dikur  matematika  e  avansuar  e  ka  ndryshuar  teknologjinë, ndërsa tashti teknologjia e avancuar e ndryshon matematikën!     Krejt  këtë  që  thamë  në  këtë  paragraf  mund  ta  përmbledhim  me  këtë  thënje:  Komuniteti  i  matematicienëve është duke ndërtuar ura që ndërlidhin disciplina të ndryshme matematikore, dhe  disa nga këto ura janë të hapura për komunikim. Një numër i madh i tyre nuk do të jetë i mundur pa  shfrytëzimin e teknologjinë së re [23]. 

69

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

REFERENCAT   [1]  Heid  M.  Kathleen,  Ferrini‐Mundy  Joan,  Graham  Karen  and  Harel  Guershon,  “The  Role  of  Advanced  Mathematical thinking in Mathematics Education Reform”, Proceedings of the Annual   Meeting of the North  American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, 1999  [2] Ang, K.C., 2006, Mathematical Modelling, Technology and H3 Mathematics, The Mathematics Educator,  Singapore, Vol. 9, No. 2, pp. 33‐47.  [3]  Bruno  Buchberger  ,  (2002)  “New  Technologies  on  Mathematical  Research”  Research  Institute  for  Symbolic Computation, Johannes Kepler University Linz. Austria  [4]  Gretton H.W. and Challis N.V., 2000, "What is "doing mathematics" now that technology is here? Proc.  ATCM2000, Chai Mai Thailand pp 285‐293, ISBN 974‐657‐362‐4  [5]  Bernhard  Kutzler,  “The  Algebraic  Calculator  as  a  Pedagogical  Tool  for  Teaching  Mathematic”,  International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, v7 n1 p5‐23 2000  [6]  Tall  D.,  Intuition  and  Rigour:  The  role  of  Visualization  in  the  Calculus,  Visualization  in  teaching  and  Learning  Mathematics,  Eds.  W.  Zimmermann,  S.  Cunningham,  the  Mathematical  Association  of  America,  1991.  [7] Oldknow,A., 2000, “Personal computing technology – use and possibilities”, in Hand‐held Technologies in  Mathematics  and  Science  Education:  a  collection  of  papers,  Laughbaum  ,E.D,  (editor),  The  Ohio  State  University  [8] Waits, B., Demana, F.,2000, “Calculators in mathematics teaching and learning: past, present, and future”  ,in Hand ‐held Technologies in Mathematics and Science Education: a collection of papers, Laughbaum ,E.D,  (editor), The Ohio State University.  [9]    Michael  E.  GAGE,  Arnold  K.  PIZER,  Arnold  K.  PIZER,  “WEBWORK‐  Generating,  Delivering,  and  Checking  Math Homework via the Internet” University of Rochester USA, 2004.  [10] Bezuidenhout, J., “Limit and Continuity: Some Conceptions of First‐Year Students”, International Journal  of Mathematics Education in Science and Technology, 32(4),487‐500, 2001.  [11]  Cornu,  B.,  “Limits”,  in  Advanced  Mathematical  Thinking,  editet  by  D.  Tall  (Dordrecht:Kluwer),  65‐79,  1991.  [12] Davis, R. B., and Vinner, S., “The Notion of Limit; Some Seemingly on Avoidable Misconception Stages”,  The Journal of Mathematics Behaviour, 5,281‐303,1986.   [13] Wu,  D.  T.,  (   )  “CAS  and  Teaching  of  Calculus”,  ICME‐10 , Copenhagen, July 2004. [14] Akers, D.,  ”g(z): A Tool For Visual Complex Analysis”, Brown University,  http://ftp.cs.brown.edu/people/dla/ma126/intro.html  [15] Frank Farris, “Complex Function Visualization”, Santa Clara University,  [16]  Baldin, YY, 2002, "Analyzing the limitation of technology in teacher preparing courses", in preparation  to Vienna International Symposium on Integrating Technology into Mathematics Education, VISIT‐ME 2002.  [17] Kawski, M., JAVA and Complex Analysis,  http://math.la.asu.edu/~kawski/javaprojects/laurentdemo.html  [18] “f(z) ‐ The Complex Variables Program, Lascaux Graphics,  http://www.primenet.com/~lascaux/11windem.html  [19] Polya, G., Latta, G., Complex Variables, New York, 1974, Wiley.  [20]  Gluchoff,  A.,  A  simple  interpretation  of  the  complex  contour  integral,  Amer.  Math.  Monthly,  vol.  98  (1991) 641‐644.  [21]    Lundmark  ,  H.,  “Visaulizing  complex  analytic  functions  using  domain  coloring.  Linkoping  University,  Sweden  [22] Websites related to "Visual Complex Analysis", http://www.usfca.edu/vca/websites.html  [23] Ang, K.C., 2006, Mathematical Modelling, Technology and H3 Mathematics, The Mathematics Educator,  Singapore,Vol.9,No.2,pp.33‐47. 

70

 

KAPITULLI  4   

KURIKULAT   

4.1. Kurikula për shekullin XXI 4.1.1. Kurikula themelore e Matematikës për Inxhinierët e Evropës    Simbioza midis matematikës dhe inxhinierisë ekziston prej kohësh. Pothuajse të gjitha degët  e  inxhinierisë  mbështeten  në  matematikë  ‐  si  gjuhë  e  përshkrimit  dhe  analizës  së  marrëdhënieve  sasiore dhe hapësinore të botës materiale. Nga ana tjetër, matematika ka përfituar nga problemet  e  vazhdueshme  inxhinierike  që  kërkojnë  zgjidhje,  gjë  që  ka  ndikuar  në  krijimin  e  degëve  dhe  degëzimeve të reja  matematike.  Inxhinieria  mbështetet  fuqimisht  në  disiplinat  matematike,  fizike  e  informatike.    Të  gjitha  këto disiplina janë të rëndësisë së njëjtë. Ndërkohë theksojmë se progresi i shpejtë i informatikës  dhe  i  mjeteve  llogaritëse  (  kompiutërave)  ka    ndikuar  fuqimisht  në  zhvillimin  e  vrullshëm  të  metodave dhe teknikave llogaritëse, duke bërë të mundur lindjen e  teknologjisë llogaritëse, pa të  cilën do të ishte praktikisht e  pamundur zgjidhja e shumë problemeve komplekse inxhinierike.    Në inxhinieri, matematika është e domosdoshme, sepse asnjë disiplinë teknike nuk mund të  ekzistojë pa të. Në esencë, kjo gjithmonë ka qenë e domosdoshme, por rëndësia e saj rritet aq më  shumë, sa më shumë që rritet kompleksiteti i detyrave inxhinierike. Është pikërisht ky rol në rritje i  përdorimit të matematikës nga inxhinierët që dikton rishikimin e kurikulave universitare, me qëllim  që të gjejnë pasqyrim adekuat kërkesat e reja të zhvillimit teknik e teknologjik të shoqërisë dhe që  arsimi  i  lartë  inxhinjerik  të  orientohet  gjithnjë  e  më  shumë  drejt  tregut  të  punës.  Mënyra  se  si  matematika është përfshirë në kurikulat e degëve të ndryshme të inxhinierisë ndryshon, por ka disa  kërkesa themelore që duhet të plotësohen.    Për të planifikuar të ardhmen është e nevojshme të kuptohet si kemi arritur të tashmen.   Shoqata  Evropiane  për  Edukimin  Inxhinierik,  SEFI  (organizatë  jo  qeveritare  e  themeluar  në  vitin  1973),  i  ka  bashkuar  shumë  prej  mësimdhënësve  të  njohur  të  matematikës  të  shkencave  inxhinierike në një grup aktiv punues. Ky grup, "Grupi Punues i Mtematikës" (SEFIMWG), i cili është  themeluar  në  vitin  1982,  ka  nxjerrë  një  raport:  "Matematika  për  Inxhinierët  Evropian‐  një  Kurikul  për  shekullin    XXI."  Kjo  kurikul  qendrore  (kurikula  bërthamë),  e  cila  është  rezultat  i  një  pune  të  madhe  të shumë  ekspertëve,  pasqyron opinionet më të vlefshme të personaliteteve  të njohur në  fushën  e  mësimdhënies  së  matematikës      inxhinierike.  Prandaj,  edhe  pse  kjo  “kurikul  bërthamë”  nuk  është  dhe  nuk  mund  të  jetë  e  detyrueshme,  çdo  profesor  dhe  çdo  institucion  i  edukimit  inxhinierik do të ndjejë siguri nëse vendos zbatimin e saj.     Disa nga qëllimet e këtij grupi janë:   ‐Të  sigurojë  një  forum  për  shkëmbimin  e  ideve  dhe  pikëpamjeve  për  të  interesuarit  në  matematikën inxhinierike.  ‐Të ndihmojë në kuptimin më të plotë të rolit të matematikës në kurikulat inxhinierike dhe  lidhjen e saj me nevojat e industrisë.  71

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  ‐Të përkrahë bashkëpunimin në zhvillimin e kurseve (lëndëve) dhe të mbështesë materialin,  në bashkëpunim me industrinë.  ‐Të njohë dhe promovojë rolin e matematikës në edukimin e pandërprerë të inxhinierëve.  Për  të  plotësuar  këto  kushte,  Grupi  Punues  i  Matematikës  ka  organizuar  një  seminar,  që  i  bashkoi matematikanët e disa shteteve, për të shkëmbyer idetë dhe praktikat më të mira të tyre.  Seminari i parë është mbajtur në Kasel në vitin 1984 dhe ka vazhduar të mbahet edhe në vendet të  tjera.  Në  vitin  1988,  në  seminarin  e  mbajtur  në  Plymouth,  ka  pasur  një  nxitje  kah  fokusimi  i  aktiviteteve  të  Gupit  Pnues  për  hartimin  e  një  kurikule  qendrore  të  matematikës  për  inxhinierët  evropianë.   Në vitin 1992 SEFI publikoi dokumentin “Kurikula themelore e Matematikës për Inxhinierët e  Evropës”  [1]  .  Mirëpo,  ndryshimet  e  mëdha  që  nga  ajo  kohë,  jo  vetëm  për  shkak  të  fuqisë  kompjuterike, e cila tashmë është në dispozicion të studentëve , kërkon një version të ri.   

4.1.2. Procesi i Bolonjës  dhe Kurikula Bërthamë e  Matematikës   Procesi i Bolonjës është një iniciativë ndërqeveritare që ka për qëllim krijimin, deri në vitin  2010, të një "Zone të Edukimit të Lartë Evropian" (EHEA‐"European Higher Education Area") dhe të  promovojë  sistemin  e  edukimit  të  lartë  evropian  anembanë.  Tani  ka  46  shtete  anëtare  dhe  udhëhiqet  në  mënyrë  të  pavarur  nga  korniza  formale  e  vendimmarrjes  të  Unionit  Evropian.  Vendimmarrja në procesin e Bolonjës mbështetet në miratimin e shteteve anëtare.  Ky proces është iniciuar në vitin 1999, kur ministrat e 29 shteteve të Evropës, përfshirë edhe  Mbretërinë  Bashkuara  (UK),  janë  takuar  në  Bolonjë  dhe  kanë  nënshkruar  deklaratën  për  themelimin që ishte e nevojshme për krijimin e EHEA deri në fund të dekadës. Objektivat kryesore  të  procesit  të  Bolonjës  janë:  të  mënjanohen  pengesat  për  lëvizjen  e  lirë  të  studentëve  nëpër  Evropë; të rritet interesimi i edukimit të lartë Evropian; të themelohet një strukturë e përbashkët e  sistemit të edukimit të lartë në mbarë Evropën dhe struktura e përbashkët të bazohet në dy cikle  kryesore, Baçëler dhe Mastër.  Për programin Baçëler, Procesi i Bolonjës parashikon 180 kredite ECTS (Europian Credits), që  duhet të fitohen brenda 3‐viteve ose 6‐7 semestrave (afati minimal), dhe vazhdon me 120 kredite  ECTS në nivelin Mastër, gjatë dy viteve ose 4‐semestrave.  Ndarja e programeve të gjata inxhinierike në dy programe çon drejt zvogëlimit të orëve të  mësimdhënies së matematikës. Përfshirja e sistemit të Bolonjës duhet të merret parasysh në lidhje  me  kurikulat,  si  dhe  efektet  e  mundshme  që  mund  të  ketë  në  mësimdhënien  e  matematikës  për  inxhinierët.   Në vitin 2002 Grupi Punues i Matematikës SEFI ka botuar “MATEMATIKA PER INXHINIERET E  EUROPES”,  Kurikulumi  për  shekullin e XXI [2]. Ky dokument bëri ndarjen e njohurive të nevojshme  për inxhinierët e ardhshëm në nivele të ndryshme. Kursi fillestar, i ashtuquajtur "Bërthama  Zero"   ("Core Zero"),  përmban njohuritë themelore që duhet të fitohen gjatë shkollës së mesme; "Niveli i  Parë Bërthamë" ("Core Level One") jep përmbajtjen e studimeve inxhinierike të vitit të parë. Niveli i  Dytë  (Level Two)  i  dedikohet  listës së  temave  të  avancuara  të  matematikës,  e  cila  parashihet për  studentët e degëve të ndryshme.     BËRTHAMA ZERO  "Kursi fillestar" (core zero) nuk paraqet minimumin që mund të parashihet në çdo shtet të  Evropës, por përfshin temat që krijojnë një bazë themelore për kursin e Nivelit të Parë Bërthamë  (Core Level One) dhe të tjerat. Është e qartë që shumica e institucioneve do të kenë nevojë që në  mënyrë  të  shtjelluar  (eksplicite)  të  mësojnë  disa  tema  të  pjesës  qendrore  zero,  përderisa  72

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

institucionet tjera mund të kenë programe paralele që ti ndihmojnë studentët që kanë mangësi në  disa fusha.  "Kursi  fillestar"  (core  zero)  përmban  materialin,  i  cili  do  të  ishte  dashur  të  mësohej  para  hyrjes  në  universitet.  Edhe  pse  pjesa  më  e  madhe  e  materialit  që  mësohet  në  shkollimin  para  universitar nëpër Evropë është e përbashkët, ka mjaft fusha ku ka dallime të mëdha. Ky kurs nuk  përmban  vetëm  elemente  që  janë  mësuar  në  shkollat  e  mesme  nëpër  Evropë,  por  përmban  material  që  krijon  një  platformë  të  mirë,  e  cila  do  të  jetë  bazë  për  studimet  e  mëtutjeshme  universitare.  Prandaj,  është  e  nevojshme    që  në  shumë  shtete  gjatë  vitit  të  parë  të  studimeve  të  përfshihen materiale nga ky kurs.  Materiali në Bërthamën Zero  është grupuar në pesë fusha:   algjebra, analiza, matematika  diskrete, gjeometri dhe trigonometri dhe statistika me probabilitet.    Algjebra    ‐ Aritmetika e numrave realë;    ‐ Shprehjet algjebrike dhe formula;    ‐ Ligjet lineare;    ‐ Polinomet e shkallës së dytë dhe të tretë;      Analiza    ‐ Funksionet dhe funksionet e anasjella;    ‐ Vargjet, seritë dhe "seria e binomit";    ‐ Funksioni logaritmik dhe eksponencial;    ‐ Funksionet e anasjellka trigonometrike;    ‐ Derivati dhe shkalla e ndryshimit të funksionit;    ‐ Pikat kritike, vlerat ekstreme;    ‐ Integrali i pacaktuar;    ‐ Integrali i caktuar, zbatime;    ‐ Numrat kompleksë;    ‐ Vërtetimet (dallimi mes teoremës dhe aksiomës)      Matematika Diskrete     ‐ Bashkësitë;    ‐ Vërtetimet      Gjeometria dhe Trigonometria    ‐ Gjeometri;    ‐ Trigonometri;    ‐ Funksione trigonometrike dhe zbatime;     ‐ Identitete trigonometrike      Statistika dhe Probabiliteti    ‐Trajtimi i të dhënave;    ‐Probabiliteti         

73

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

NIVELI I PARË BËRTHAMË (Core Level One);   Matematika në programet "Baçëler"        Implementimi  i  deklaratës  së  Bolonjës  ka  sjellë  edhe  disa  vështirësi  të  papritura  për  matematikën.  Veçanërisht,  numri  i  orëve  në  dispozicion  për  mësimdhënien  e  matematikës  në  tri  vitet  e  programit  Baçëler  është  zvogëluar  dukshëm  në  krahasim  me  programin  5‐vjeçar.  Shumë  programe  Mastër  nuk  kanë  matematikë  në  kurikulat  e  tyre  dhe  si  pasojë  të  gjithë  inxhinierët  (Baçëler ose Mastër) marrin njohuri nga matematika më pak se para implementimit të sistemit të  Bolonjës [4].  Materiali  “MATEMATIKA  PER  INXHINIERET  E  EUROPES”,  "Kurikula  për    shekullin  e  XXI",  e  specifikuar  për  të  ashtuquajturin  "Niveli  i  Parë  Bërthamë",    përmban  materialin  që  duhet  të  mbulohet  nga  të  gjithë  studentët  e  inxhinierisë.  Mirëpo,  me  futjen  në  përdorim  të  "Programit  Baçëler" ( i cili zgjat 3 ose 4 vjet‐6 deri 8 semestra) dhe me reduktimin e matematikës për "Baçëler",  një gjë e tillë është e pamundur dhe nuk mund të arrihet. Prandaj, është sugjeruar që ky material të  ndahet  në  dy  pjesë:  pjesa  e  parë  përmban  materialin  thelbësor,  që  duhet  të  mbulohet  nga  çdo  baçëler  i  inxhinierisë,  ndërsa  pjesa  e  dytë  përmban  tema,  nga  të  cilat  degë  të  ndryshme  të  inxhinierisë do të zgjedhin ato me të nevojshmet për ta.    Materiali në këtë nivel bazohet në pjesën "Bërthamë Zero" dhe ai konsiderohet si bazë për  të  gjitha  disiplinat  inxhinierike  si  dhe  mundëson  të  kuptuarit  me  themel  të  shumë  principeve  matematikore.  Materiali  në  "Nivelin  e  Parë  Bërthamë"  mund  të  shfrytëzohet  nga  inxhinierët  për  kuptimin  dhe  zhvillimin  e  teorisë  dhe  në  përzgjedhjen  me  kujdes  të  pajisjeve  teknologjike  për  analizën  e  problemeve  inxhinierike.  Ky  material  do  të  shpjegohet  në  etapën  e  parë  të  programit  universitar (vitin e parë).      PJESA e PARE    Analiza    ‐ Funksionet me një variabël    ‐ Derivimi     ‐ Vargjet dhe seritë    ‐ Metodat e integrimit    ‐ Zbatimi i integralit    ‐ Zgjidhja e ekuacioneve jo lineare    ‐ Funksionet me dy ose më shumë variabla    ‐ Ekuacionet diferenciale të zakonshme    Algjebra lineare    ‐ Aritmetika e vektorëve    ‐ Algjebra vektoriale dhe zbatimet e saj    ‐ Matricat dhe përcaktorët    ‐ Hapësirat lineare      Statistika dhe Probabiliteti    ‐ Trajtimi i të dhënave;    ‐ Njohuri themelore të probabilitetit;    ‐ Modele të probabilitetit;    ‐ Shpërndarja  normale;    ‐ Mostra të zgjedhura;    ‐ Konkluzione statistikore  74

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

       

PJESA e DYTE  Analiza  ‐ Ekuacionet diferenciale të zakonshme  ‐ Ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të parë  ‐ Ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë‐ Zgjidhja (Integrali) e përgjithshme  dhe zgjidhjet (integralet) e  veçanta  ‐ Funksionet me shumë variabla  ‐ Seritë Furie  ‐ Integralet e dyfishta 

          Matematika Diskrete    ‐ Logjika Matematike     ‐ Bashkësitë    ‐ Induksioni matematik dhe arsyetimi    ‐ Sistemet Numerike    ‐ Strukturat Algjebrike    ‐ Ekuacionet me Diferenca     ‐ Relacionet    ‐ Grafet    ‐ Algoritmet      Gjeometria    ‐ Prerjet konike    ‐ Gjeometria në hapësirën tredimensionale      MATEMATIKA NE PROGRAMET MASTER    Mësimdhënia e matematikës në "Programet Mastër" duhet të jetë  e ndërtuar mbi themelet  e "Programeve Baçëler". Kjo do të thotë se studentët që ndjekin studimet e inxhinierisë në Mastër  duhet të kenë njohuri gjithëpërfshirëse të koncepteve themelore të matematikës. Gjithashtu, është  e  rekomandueshme  që  së  paku  një  pjesë  e  mësimdhënies  të  bëhet  me  anë  të  softeve  matematikore, ashtu që të jenë në gjendje të zgjidhin probleme nga jeta praktike. Gjithashtu, është  e  mundur  që  gjatë  studimeve  Mastër  të  shtohen  edhe  disa  tema  shtesë.  Shkalla  e  zgjerimit  të  mësimdhënies së matematikës varet kryesisht nga lloji i  degës inxhinierike.  Materiali  në  këtë  nivel  bazohet  në  Nivelin  e  Parë  Bërthamë.  Ky  material  është  mjaft  i  avancuar për zgjidhjen e problemeve praktike të inxhinierisë. Materiali në këtë nivel nuk mund të  konsiderohet  si  i  domosdoshëm  për  çdo  inxhinier.  Disiplina  të  ndryshme  do  të  zgjedhin  tema  të  ndryshme  nga  materiali  i  paraqitur  në  këtë  nivel.  Në  disa  degë  inxhinierike,  që  më  shumë  mbështeten  te    matematika,  si  inxhinieria  elektrike  dhe  kimike,  kërkohet  nga  studentët  që  të  studiojnë  më  shumë  tema  të  nivelit  të  dytë,  se  sa  në  degët  inxhinierike  prodhuese,  të  cilat  mbështeten më pak te matematika.      Analiza    ‐ Analiza vektoriale    ‐ Integralet vijpërkulta dhe sipërfaqësore    ‐ Formulat e Grin‐it dhe Gaus‐it    ‐ Optimizimi (Programimi) linear 

75

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  ‐ Metoda simplekse    ‐ Optimizimi jolinear    ‐ Transformimi i Laplasit    ‐ Z‐transformimi     ‐ Funksionet komplekse    ‐ Seritë komplekse dhe integralet eliptike    ‐ Hyrje në ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme    ‐ Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme      Matematika Diskrete    ‐ Teoria e Grafeve    ‐ Grupet     ‐ Fusha dhe unaza     ‐ Rrjetat      Gjeometri    Materiali  në  këtë  kapitull  përfshin  zhvillimet  themelore  të  gjeometrisë,  si  vazhdimësi  e  materialit të nivelit qendror të parë.    ‐Hapësirat  gjeometrike dhe transformimet     Algjebra lineare    ‐ Metoda matricore    ‐ Disa metoda numerike      Statistika dhe Probabiliteti    ‐ Variablat një‐dimenzionale të rastit    ‐ Variablat dy‐dimenzionale të rastit    ‐ Statistika  thjeshtë      Lëndë tjera    ‐ Teoria e kaosit    ‐ Fazi matematika      Nënkuptohet  se  kurikula  e  shqyrtuar  nuk  ka  për  synim  që  inxhinierët  të  jenë  ekspertë  të  matematikës,  por  edukimi  matematik  duhet  tu  mundësojë  atyre  të  përballen  me  kërkesat  që  u  parashtron koha. Megjithëse nuk ka nevojë për matematikë të një niveli të lartë, duhet të ekzistojë  një  bazë  solide  matematikore  në  bazë  të  së  cilës  ato  do  të  aftësohen.  Rezultatet  e  arritura  që  mbështeten në matematikë, mund të verifikohen në karrierën e tyre profesionale inxhinierike, gjatë  së  cilës  ato  duhet  të  jenë  në  gjendje  të  zgjidhin  probleme  në  disiplinat  e  tyre,  duke  përdorur  formimin (edukimin) matematik si dhe mjetet inteligjente softuerike të avancuara për dizajnim dhe  analiza.   

4.1.3. Ndikimi i teknologjisë në ndryshimin e kurikulave  Në  tridhjetë  vitet  e  fundit  mund  të  thuhet  se  ka  pasur  një  revolucion  në  teknologjinë  kompjuterike,  e  cila  është  në  përdorim  të  gjerë.  Ekzistojnë  dy  probleme  të  ndërlidhura,  por  të  ndryshme,  që  kanë  të  bëjnë  me  zgjerimin  e  përdorimit  të  fuqisë  kompjuterike,  që  janë  të  një  76

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

rëndësie  të  veçantë  në  lidhje  me  kurikulat  e  matematikës  inxhinierike.  Së  pari,  është  bërë  e  mundshme një qasje e re në mësimdhënien dhe në të nxënit e matematikës. Së dyti, ekzistenca e  një numri të madh softesh matematikore ka mundësuar analizën e problemeve komplekse, të cilat,   vetëm pak vite më parë, ishin objekte të  hulumtimit shkencor.  Këto kurikula, duke  përfshirë përdorimin e paketave softuerike, ofrojnë shumë mundësi për  mësimdhënien  në  një  mënyrë  të  re.  Shkalla  e  përdorimit  të  tyre  do  të  varet,  ndër  të  tjera,  nga  disponueshmëria e këtyre pajisjeve në institucionet arsimore. Gjithashtu, një  ndër objektivat e reja  është aftësimi i studentëve  në përdorimin e softeve matematikore, të cilat mund të përdoren gjatë  kryerjes së detyrave me anë  të kompjuterit. Është me rëndësi të theksohet se studentët jo vetëm  që  mësojnë  komandat  kryesore  në  paketat  softuerike  që  kanë  në  dispozicion,  por  ato  duhet  të  mësojnë  të  përdorin  këto  paketa  në  mënyrë  precize  si  dhe  të  jenë  në  gjendje  të  vlerësojnë  saktësinë  e  rezultatit  në  saje  të  njohurive    matematikore  të  fituara.  Është  e  kuptueshme  që  studentët  kanë  nevojë  për  njohuri  nga  matematika  që  të  jenë  në  gjendje  të  shfrytëzojnë  softet  matematikore në mënyrë të besueshme dhe atraktive.  Prandaj, teknologjia është duke u bërë pjesë përbërëse në mësimdhënien e matematikës në  disa institucione, ndërkohë shumë institucione të tjera ende e bazojnë mësimdhënien në laps dhe  fletore.    Probleme që brengosin mësimdhënien  Shumica e degëve të inxhinierisë bazohen te matematika si gjuhë e përshkrimit dhe analizës.  Gjatë  viteve  të  fundit,  departamentet  e  inxhinierisë  përballen  me  një  numër  më  të  madh  të  problemeve  edukative,  që  kanë  të  bëjnë  me  matematikën.  Ndryshe  nga  shumë  disiplina  të  tjera  universitare, degët e inxhinierisë vazhdojnë të kenë probleme  me rekrutimin e studentëve të rinj  [6,7].  Kjo  ka  ndikuar  gjithnjë  e  më  shumë  në  shumëllojshmërinë  e  niveleve  dhe  llojeve  të  kualifikimit gjatë regjistrimit në degët inxhinierike. Ka të dhëna se është në rritje numri i studentëve  fillestarë,  të  cilët    nuk  posedojnë  njohuri  themelore  të  matematikës,  gjë  që  është  dokumentuar  gjatë viteve të fundit [8,9,10].    Një numër i konsiderueshëm i universiteteve kanë ndërmarrë masa me qëllim që të zbusin  këtë problem. Ka pasur ndryshime kurikulash, por më së shumti është bërë rishikimi i materialit të  vitit  të  parë.    Këto  masa  janë  ndërmarrë  për  “njësi  mësimore  të  veçanta”,  të  cilat  duhet  të  studiohen  paralelisht  me  kurikulat  tradicionale.  Për  këtë  qëllim  janë  formuar  qendra  përkrahëse  matematikore [11].      Edhe  atëherë  kur  departamentet  e  matematikës  kanë  vazhduar  mësimdhënien  e  matematikës në mënyrë të pandërprerë,  ka pasur presione për reduktimin e orëve. Ka pasur lëvizje  për “zgjerimin e kurikulave”, duke e plotësuar atë me fusha, të tilla si menaxhimi, ekonomia etj. Që  tu  bëhet  vend  këtyre  fushave,  diçka  duhet  të  largohet.  Si  zakonisht,  matematika  është  e  para  në  listë. Arsyeja që nganjëherë matematikën  e japin inxhinierët është se “inxhinierëve nuk ju duhet aq  shumë  matematikë"  dhe  se  çdo  punë  llogaritëse  mund  të  punohet  në  kompjuter”.  Përveç  kësaj,  detyra  e  përkrahjes  të  mësimdhënies  së  matematikës  në  mënyrë  të  pandërprerë  duket  që  nuk  përfillet  nga  ata  që  mbështesin  projektin  e  ashtuquajtur  “just  in  time”  (matematika  të  ligjërohet  nga inxhinierët).  Pyetja  “Kush  duhet  tu  mësojë  matematikën  inxhinierëve”,‐  ka  një  histori  të  gjatë.  Qëllimi  kryesor është se mësimdhënësit duhet të kenë njohuri të gjera në matematikë dhe zbatimet e saj  në  disiplinat  kryesore  inxhinierike,  si  dhe  të  jenë  të  vetëdijshëm  për  ndryshimet  që  ndodhin  në  edukimin e  mesëm dhe efektet e saj. Ekziston një rrezik, siç është filozofia “just in time”, të cilën  disa inxhinierë e proklamojnë për mësimdhënien e disa njësive mësimore të matematikës nga vetë  ata pra, inxhinierët. Kjo mund të ketë pasoja katastrofike. Matematika është një subjekt hierarkik 

77

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

dhe ideja se ajo mund të mësohet në mënyrë të copëtuar është e pakuptimtë. Është e nevojshme  të  ndërtohen  njohuri  bazë  me  ndërlidhje  midis  temave  të  trajtuara,  në  vend  të  një  bashkimi   mekanik dhe jo koherent metodash të veçuara.  Gjithashtu, ekziston një presion i vazhdueshëm në shumë shtete për zvogëlimin e numrit të  orëve  të matematikës në degët e inxhinierisë, edhe përkundër faktit që vlerësohet se ka një rënie  të  aftësive  matematikore  të  studentëve.  Prandaj,  mendojmë  se  duhet  t’i  lejohet  më  shumë  kohë  matematikës, e jo të shkohet në zvogëlimin e orëve. Siç kemi theksuar, bazat e matematikës duhet  të vendosen me kujdes dhe kjo kërkon kohë. Nëse këto baza nuk vendosen mirë, atëherë studentët  do të hasin vështirësi më vonë. Ato njohuri matematike që edukimi parauniversitar ka dështuar ti  transmetojë, e japin pasojën negative në universitet. Është e palogjikshme të pritet nga studenti që  të mësojë këto baza, në të njëjtën kohë kur nga ai kërkohet të punojë në një nivel më të lartë.  Me rastin e vendimit për reduktimin e orëve të matematikës ka pasur reaksione të shumta  publike.  Për  shembull,  do  të  ilustrojmë  këtë  për  rastin  e  reduktimit  të  orëve  të  matematikës  në  Universitetin e Roçesterit [12]:  • 31 profesorë nga Departamenti i Fizikës të Harvardit (duke përfshi edhe 3 Nobelistë) kanë  shkruar  “Historia  bashkëkohore  vërteton  lidhshmërinë  në  mes  të  koncepteve  themelore  të  matematikës  dhe  arritjeve  në  avancimin  në  shkencë  dhe  teknologji.  Mendojmë  se  është  e  pamundur  të  kemi  një  universitet  që  mund  të  konsiderohet  si  shembull  në  shkencë  dhe  teknologji, pa pasur një departament të matematikës të tillë.”  •  Norman  Ramsey,  nobelist  i  shquar  në  fizikë,  është  shprehur:  “Nëse  keni    vetëm  një  departament  të  shkencave  në  universitet,  ai  duhet  të  jetë  i  matematikës,  dhe  nga  ai  mund  të  krijoni”.  • Të gjithë anëtarët e departamentit të kimisë në Harvard, duke përfshirë edhe një nobelist  të  famshëm,  shkruajnë:  “Shekuj  me  radhë,  matematika  është  konsideruar  me  të  drejtë  "mbretëresha  e  shkencës",  gjë  që  vlen  edhe  sot.  Në  veçanti,  kimia  ka  përfituar  shumë  nga  zhvillimi i matematikës dhe koncepteve të saj. Universitetet që pretendojnë të kenë programe të  vlefshme  në  shkencë  dhe  teknologji,  thjesht  duhet  të  kenë  një  departament  të  mirëfilltë  të  matematikës,  i cili gjurmon për hulumtime origjinale.”  •  Joel  Moes,  shkencëtar  i  kompjuterikes    dhe  dekan  në  MIT,  shkruan:  “Nuk  mund  të  imagjinoj  funksionimin  e  shkollës  inxhinierike  në  mungesë  të  një  departamenti  të  fortë  dhe  hulumtues  të  matematikës.  E  njëjta  gjë  mund  të  thuhet  për  shkollat  me  orientim  të  pastër  shkencor”   Një  problem  tjetër  shqetësues  është  ai  që  ka  të  bëjë  me  mësimdhënien  e  metodave  numerike.  Nga  integrimi  i  metodave  numerike  me  ato  analitike,  ndihen    përfitime  të  konsiderueshme. Dhe vërtet, për shumë inxhinierë në jetën praktike,  metodat numerike janë më të  rëndësishme se ato analitike.  Paralajmërimi  i  Mustoe’s  [13]  ka  vërtetuar  parashikimet;  shumë  departamente  të  matematikës  kanë  pasur  humbje  nga  mësimdhënia  e  lëndëve  të  matematikës  në  degët  e  inxhinierisë;  kështu  shumë  departamente  të  matematikës  janë  mbyllur  si  rezultat  zvogëlimit  i  numrit të regjistruar. Në vitet e mëparshme, shkëmbimi i mësimdhënies, në shumicën e rasteve, ka  qenë  i  motivuar  nga  aspekti  edukativ;  sot  aspekti  financiar  ka  zënë  vend  në  këtë  problem  (ekuacion).  Si  përfundim,  "Kurikula  Qendrore"  (bërthamë)  është  hartuar  që  të  japë  një  edukim  bazik  dhe të sigurt matematikor. Sa më gjerësisht të pranohet kjo kurikul  qendrore, aq më i madh është  fleksibiliteti i zgjedhjes së fushës së studimeve të mëtejshme. 

78

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

"Grupi Punues i Matematikës" SEFI ka përgatitur këtë dokument, si kontribut në edukimin  profesional të inxhinierëve për ndryshimet në shekullin XXI. I njëjti grup punues ka botuar versionin  e përpunuar të "Kurikules Bërthamë për Inxhinierët e Evropës" [5] dhe, cila do qoftë , më pak se kjo  nuk do të jetë e mirëpritur. Ne duhet të bashkëpunojmë me kolegët tanë inxhinierë me qëllim që ta  mbrojmë këtë bërthamë.   Ndër  të  tjera,  besojmë  se  implementimi  i  kësaj  kurikule  nga  shumë  vende,    u  ofron  studentëve  mundësinë  e  lëvizjes  në  hapësirën  evropiane    të  arsimit  universitar  si  dhe  njohjen  reciproke të kualifikimeve apo diplomave inxhinierike. Gjithashtu, do të ishte me vend pyetja, edhe  pse ndoshta shpejt pas paraqitjes së saj, a ka nevojë për përmirësime "Kurikula Bërthamë".   

4.2. Lami elektrike

të

matematikës

të

nevojshme për inxhinierinë

Arsyeja që jam përqendruar në këtë degë të inxhinierisë është ajo se prej fillimit të karrierës  sime  shumëvjeçare  jam  duke  punuar  me  studentë  të  inxhinierisë  elektrike.  Prandaj,  ofrimi  i  një  vizioni të ri të mësimdhënies së matematikës inxhinierike është, ndër të tjera, një detyrim personal  dhe akademik ndaj studentëve dhe kolegëve të mi. Është fakt që studentët e mi harxhojnë shumë  kohë  për  të  përfituar  nga  matematika,  pa  pasur  mundësi  të  kryejnë  shumicën  e  hulumtimeve  të  tyre, sepse ata nuk i kanë mjetet që ofron sot teknologjia moderne e mësim‐nxënies.   Gjithashtu,  mendoj  për  mësimdhënësit,  të  cilët  përballen  me  vështirësitë  e  qartësimit  të  koncepteve të vështira, dhe dëshiroj t’i ndihmoj ata të gjejnë mënyrat më efektive për tu ardhur në  ndihmë studentëve në procesin e edukimit matematik dhe hulumtimit inxhinierik.  Inxhinieria elektrike merret me vënien nën kontroll të elektroneve dhe fotoneve në shërbim  të  njerëzimit.  Ky  proces  bazohet  në  ato  teori  dhe  principe  shkencore,  të  cilat  më  së  miri  përshkruhen  me  anë  të  matematikës.  Matematika  pra  është  gjuhë  universale  e  shkencës  së  inxhinierisë elektrike.  Në përgjithësi, është me rëndësi të veçantë që studentët e inxhinierisë elektrike të kuptojnë  rëndësinë  dhe  bukurinë  e  matematikës  në  profesionin  e  tyre.  Jemi  të  bindur  se  studentët  do  ta  çmojnë fuqinë e matematikës, nëse çdo lami e matematikës shpreh qartazi objektivat që në fillim.  Studentëve duhet tu tregohet se çka do të mësojnë, pse duhet ta mësojnë dhe si do ta zbatojnë atë  në profesionin e tyre.  Shumë  kurikula  aktuale  matematikore  universitare  që  janë    në  përdorim,  mund  të  ndryshohen  në  mënyrë që të plotësojnë sa më mirë  kërkesat e kësaj kurikule që po prezantojmë  këtu. Mirëpo, kurikulat ekzistuese shpesh shoqërohen me dobësitë e tyre, si:     • Pjesë nga kurikulat aktuale matematikore për inxhinieri, ashtu siç janë paraqitur në plan‐ programe,  shpesh  janë  të  parakohshme  (mësohen  para  kohe)  dhe,  meqenëse  nuk  mund  të  aplikohen menjëherë, studentët i harrojnë ato.  •  Shpesh  ekziston  një  shkëputje  në  mes  të  njohurive  që  studentët  fitojnë  gjatë  orëve  të  matematikës dhe aftësive për zbatimin e tyre në punën e mëtejshme të tyre. Ndoshta, përdorimi  më i madh i shembujve të inxhinierisë nga jeta e përditshme, do ta zvogëlojë këtë dukuri.    •  Gjithashtu,  shpjegimi  i  matematikës  shpesh  shndërrohet  ose  në  listë  procedurash  apo  algoritmesh, ose në vërtetime të detajuara teoremash, pa i shoqëruar ato me zbatime në praktikë.  Edhe pse nga mësimdhënësit e matematikës nuk kërkohet të jenë të përgatitur shumë mirë për të  gjitha zbatimet në inxhinieri, do të ishte mirë që shembuj të teknikave matematikore të shpjegohen  në  realitetin  që  paraqesin.  Pra,  duhet  të  insistohet  në  bashkëpunimin  e  mësimdhënësve  të  matematikës me mësimdhënësit e lëndëve të inxhinierive.  79

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

       

Nëndisiplinat e Inxhinierisë Elektrike  Për  të  përshkruar  në  detaje  aparatin  matematik  e  nevojshëm,  kurikula  universitare  për  inxhinierinë elektrike është ndarë në disa fusha [3]:  1. Qarqet elektrike  2. Elektromagnetizmi   3. Sistemet (Kontrollin e Sistemeve, Qarqet lineare dhe jolineare, dhe Energjinë Elektrike)  4. Sinjalet  5. Mikroprocesorë/ Inxhinieria kompjuterike        1. Qarqet elektrike    Kursi (lënda) i qarqeve elektrike paraqet hyrjen në inxhinierinë elektrike. Janë me rëndësi të  veçantë  aftësitë  e  të  menduarit  logjik  për  analizën  e  qarqeve  elektrike.  Në  këtë  kurs  studentët  njihen  me  aplikimin  e  ligjeve  të  fizikës  në  inxhinierinë  elektrike,  si  ligji  i  Omit,  ligji  i  Faradeit  dhe  Kirkofit.  Studentët  njihen  gjithashtu  me  nocionet  elementare  themelore  të  inxhinierisë  elektrike:  me rezistencën R, induktivitetin L, kapacitetin C dhe koeficientin e humbjeve G, si dhe reagimet e  tyre  në  rrymën  e  vazhduar,  gjendjen  stacionare  dhe  gjendjen  kalimtare  të  rrymës  alternative.  Në  shumicën  e  fakulteteve,  kurset  e  qarqeve  elektrike  përbëhen  nga  dy  pjesë;  në  semestrin  e  parë  trajtohen analizat e qarqeve të rrymës së vazhduar dhe përgjigjet e rastit dhe, në semestrin e dytë,  këto kurse ofrojnë qarqet e rrymës alternative dhe përgjigjet në gjendjen stacionare.    (a) Qarqet e rrymës së vazhduar   Kjo  pjesë  përfshin  problemet  tipike  si  thjeshtësimin  e  qarqeve  në  seri,  paralel  dhe  të  kombinuara.  Analiza  e  këtyre  qarqeve  kërkon  zhvillimin,  përdorimin  dhe  gjetjen  e  zgjidhjeve  të  ekuacioneve  algjebrike.  Aftësitë  matematikore  në  të  kuptuarit  e  qarqeve  përfshinë  përpjesëtueshmërinë    e  drejtë    dhe  të  anasjelltë,  në  mënyrë  që  t’iu  mundësojë  studentëve  të  kuptojnë rregullat e pjesëtimit, tension dhe rrymë, respektivisht.     Në  fushat  e  qarqeve  që  kanë  të  bëjnë  me  energjinë,  dhe  rrjedhën  (transferimin)  e  saj,  njohuritë  për  llogaritjen  e  integraleve  dhe  derivateve  janë  të  nevojshme  kryesisht  për  analizat  e  rrjedhave maksimale të energjisë.    (b) Qarqet e rrymës alternative  Kjo pjesë ka të bëjë me njohjen e qarqeve me konfigurim të ndryshëm dhe elementeve të  gjendjes  stacionare  me  sinjale  sinusoidale  në  hyrje.  Për  ta  kuptuar  këtë  pjesë,  janë  të  nevojshme  teknika  të  ndryshme  matematikore.  Aparati  matematik  bazë,  i  nevojshëm  për  këtë  analizë,  përfshin:    ‐Konceptin  e  funksionit,  kryesisht  të  funksionit  sinusoidal.  Studentët  kanë  nevojë  të  kuptojnë dhe të dallojnë grafikët e funksioneve elementare; gjatë mësimit të tyre , rekomandohet  përdorimi i shembujve nga jeta e përditshme.    ‐ Aplikimi i identiteteve trigonometrike të analizës sinusoidale.    ‐ Algjebra komplekse.  (c)Gjendja kalimtare    Kjo  pjesë ka të  bëjë me njohjen e  elementeve  të qarqeve diskrete ose kombinimin e tyre  nën  ndikimet  e  fushave  elektrike.  Baza  matematikore  që  kërkohet  për  këto  analiza  përfshin  funksionet eksponenciale dhe njohjen me ekuacionet diferenciale. Në temat e mëvonshme, duhet  përqendruar në zgjidhjet standarde të ekuacioneve diferenciale të shkallës së parë dhe të dytë me  koeficient  konstant,  më  mirë  se  sa  në  teknikat  e  përgjithësuara  për  zgjidhjen  e  ekuacioneve  80

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

diferenciale.  Transformimi  i  Laplasit  është  një  qasje  më  e  preferuar  dhe  më  e  përshtatshme  për  zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale në inxhinierinë elektrike. Metodat e transformimit të Laplasit,  reduktojnë  problemet  e  ekuacioneve  diferenciale  në  formë  algjebrike,  në  të  cilat  studentët  përshtaten më lehtë. Këto tema duhet të shpjegohen gjatë vitit të parë.      2. Elektromagnetika  Studimet  nga  fusha  e  valëve  elektromagnetike  paraqesin    një  lami  të  rëndësishme  në  inxhinierinë elektrike, për të cilën janë të nevojshme njohuritë nga algjebra vektoriale dhe analiza  vektoriale.  Ligjet  themelore  të  elektromagnetizmit  mund  të  përmblidhen  në  ekuacionet  e  Maksvellit:  ur ur ur ∂ B       Ligji i Faradeit:      V × E = ;  ∂t ur ur uur ur ∂ D       Ligji i Amperit:       V × H = J + ;  ∂t v r       Ligji Gausit:            V ⋅ D = ρ ;    v v       Ngarkesë Magnetike e paizoluar:   V ⋅ B = 0 ,    ur uur ur uur uuruur ku  V ; E; B; H ; J ; D dhe  ρ   janë  përkatësisht:  vëllimi,  fusha  elektrike,  induksioni  magnetik,  intensiteti i fushës magnetike, dendësia e rrymës, induksioni elektrostatik apo vektori i zhvendosjes  elektrike dhe rezistenca specifike.     Barazimet  e  mësipërme  janë  ekuacione  diferenciale  me  derivate  të  pjesshme,  të  cilat  kërkojnë  njohuri  të  thella  teorike  mbi  fushat  vektoriale  dhe  operatorët  vektorialë  diferencialë,  si  gradienti,  divergjenca  dhe  rotori.  Me  rritjen  e  fuqisë  dhe  disponueshmërisë  së  softeve  si  "Mathematica",  "Maple"  dhe  "Matlab",  etj.  është  e  rëndësishme  që  studentët  të  zhvillojnë  njohuritë  konceptuale  për  "Fushën  Vektoriale"  dhe  "Operatorët  Vektorialë  Diferencialë".  Për  shembull, është më pak e rëndësishme që studentët të fillojnë me"Fushën Vektoriale"  dhe të jenë  në  gjendje  të  llogarisin  (me  kompjuter)  "divergjencën"  ose  "rotorin""  se  sa  të  interpretojnë  gojarisht dhe grafikisht tablotë e "Fushën Vektoriale".    Studimi  i    elektromagnetizmit  kërkon  njohuri  teorike  mbi  ekuacionet  diferenciale  me  derivate të pjesshme dhe teknikat e zgjidhjes numerike të tyre.       3. Sistemet   ‐Sistemet e kontrollit ‐ Qarqet lineare dhe jolineare. Një nga qëllimet e analizës së qarqeve  është paraqitja e realitetit në mënyrë matematikore.     ‐Qarqet e vazhduara mund të modelohen me ekuacione diferenciale të zakonshme. Paketat  softuerike, si Matlab etj, shfrytëzohen në mënyrë të gjerë në shumicën e kurseve.   ‐Për  qarqet  diskrete  në  vend  të  ekuacioneve  diferenciale  përdoren  ekuacionet    me  diferenca.    Kurset  matematikore  që  mbështesin  këto  sisteme  janë  algjebra  lineare  dhe  ekuacionet  diferenciale  të  zakonshme.  Kurset  e  ekuacioneve  diferenciale  të  zakonshme  kanë  për  qëllim  të  theksojnë,  krahas  metodave  analitike,  gjetjen  e  zgjidhjeve  me  anë  të  metodave  numerike  për  ekuacionet  diferenciale  të  rendit  të  parë  dhe  të  dytë.  Në  fakt,  sistemet  elektrike  trajtohen  me  ekuacionet  diferenciale  të  rendeve  më  të  larta,  dhe,  për  sisteme  te  vazhduara  SISO,  përdorimi  i  transformimit të Laplasit është gati çdoherë metoda më e preferuar për të arritur deri te rezultatet.  Sistemet diskrete shfrytëzojnë metodën e Z‐transformimeve.  81

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  ‐Sistemet  elektroenergjetike  merren  me  studimin  e  transmetimit  dhe  shpërndarjes  së  energjisë  elektrike.  Studimi  i  sistemeve  energjetike  mbështetet  në  njohuritë  themelore  të  qëndrueshme  të  matematikës  për  përdorimin  dhe  manipulimin  me  anë  të  funksioneve  trigonometrike si edhe veprimeve algjebrike me numrat kompleksë. Përdorimi i fazorëve (aplikimi i  koordinatave  polare)  luan  rol  qendror  në  analizën  e  sistemeve  energjetike.  Studentët,  gjithashtu,  duhet  të  dinë  formulën  e  Eulerit  si  dhe  kalimin  nga  koordinatat  polare  në  ato  karteziane  dhe  anasjellas.      Mjetet e nevojshme matematikore për sistemet janë:      (a) Sistemet e vazhdueshme      ‐  Transformimet e Laplasit dhe teknikat;  ‐  Integrimi me pjesë dhe zëvendësim;  ‐  Integrimi i thyesave racionale;  ‐  Variablat e gjendjes;  ‐  Matricat (Vlerat e veta dhe vektorët e vetë);    ‐ Ekuacionet diferenciale themelore ‐ përqendrimi në zgjidhjet standarde të     problemeve të  caktuara      (b) Sistemet diskrete    ‐ Ekuacionet me diferenca    ‐ Sistemet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë    ‐ Z‐transformimet    ‐ Transformimi diskret Furie (Z‐transformimi)    ‐ Analizat dhe teknikat Furie      (c) Sistemet elektroenergjetike    ‐ Funksionet sinusoidale;    ‐ Algjebra e numrave kompleksë.         4. Sinjalet/komunikimi   Ndër problemet themelore të inxhinierisë elektrike janë transmetimi, modifikimi dhe marrja  e  sinjaleve.  Shpërndarja  digjitale  e  sinjaleve  është  një  fushë  e  rëndësishme  brenda  inxhinierisë  elektrike. Digjitalizimi, modulimi, transmetimi, demodulimi dhe shpërndarja e sinjaleve janë jetike  për komunikimin modern.    Komunikimi dhe shpërndarja e sinjaleve mësohen zakonisht gjatë dy ose tre semestrave të  fundit  të  studimeve.  Të  kuptuarit  e  koncepteve  matematikore  është  esenciale  brenda  fushës  së  komunikimit. Disa fusha matematikore të rëndësisë së veçantë për trajtimin e teorisë së sinjaleve  janë:    ‐ Teknikat elementare algjebrike    ‐ Identitetet elementare trigonometrike     ‐ Teknikat e integrimit    ‐ Seria e Teilorit    ‐ Transformimi Furie    ‐ Seria Furie    ‐ Transformimi i Laplasit    ‐ Përdorimi i Z‐transformimit    ‐ Probabiliteti dhe proceset stokastike (e rastit)  82

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

     

5. Inxhinieria kompjuterike/mikroprocesorët  Dizenjimi  digjital  logjik  dhe  mikroprocesorët  kërkojnë  njohuri  matematike,  të  cilat  janë  të  ndryshme nga njohuritë e nevojshme për fushat që diskutuam më lart. Qarqet, elektromagnetizmi,  sinjalet dhe sistemet përdorin aparatin matematik,  në të cilin variablat mund të jenë numra real të  çfarëdoshëm  pra,  “Matematikën  e  vazhdueshme  (jo  diskrete)”.  Dizenjimi    digjital  logjik  dhe  mikroprocesorët përdorin atë aparat matematik, në të cilin variablat marrin vlera nga bashkësitë e  fundme  pra,  përdorin  të  ashtuquajturën  “Matematikë  diskrete”.  Studentët  kanë  nevojë  për  sqarime, që theksojnë dallimet themelore midis “Matematikës së vazhdueshme (jo diskrete)” dhe  “Matematikës diskrete”.    Studentëve u nevojitet veçanërisht algjebra e Bul‐it dhe sistemet në gjendje të fundme. Për  algjebrën  e  Bul‐it,  ato  duhet  të  kuptojnë  tabelat  e  vërtetësisë  në  lidhje  me  veprimet  themelore:  NOT, AND, OR, NAND dhe NOR . Ata duhet të analizojnë rrjetat e kombinuara, të konstruktuara nga  këto veprime themelore, dhe metodat me anë të  cilave rrjetat mund të thjeshtohen. Shembujt, të  cilët u ndihmojnë studentëve të bëjnë lidhjen e rrjetave të kombinuara me zbatimet përkatëse, do  ti ndihmojë ata në rritjen e motivimit dhe të kuptuarit.    Për sistemet me gjendje të fundme, studentët duhet të kuptojnë konceptin e makinave me  gjendje të fundme dhe "Diagramin e Gjendjes Kalimtare" ("State Transition  Diagram). Prandaj, të  kuptuarit  e  koncepteve  nga  algjebra  e  Bul‐it  dhe  makinave  me  gjendje  të  fundme,  do  ti  pajisin  studentët me njohuri nga matematika, të nevojshme për të studiuar inxhinierinë kompjuterike dhe  mikroprocesorët.      Cilat tema të matematikës duhet të zotërojnë studentët në dy vitet e para?    Dy  vitet  e  para  të  matematikës,  që  shërbejnë  si  mbështetje  për  lëndët  e  inxhinierisë  elektrike, duhet të përgatisin studentin me njohuri konceptuale të disiplinave matematikore dhe jo,  si deri vonë, vetëm me analizën e funksioneve me një ose disa variabla dhe ekuacionet diferenciale  të  zakonshme.  Lëndët  e  tjera,  që  janë  të  rëndësishme  për  inxhinierinë  elektrike,  përfshijnë  algjebrën  lineare,  probabilitetin  dhe  proceset  stohastike,  statistikën  dhe  matematikën  diskrete.  Gjithashtu, është i nevojshëm përdorimi i softeve matematikore.  Në  vazhdim  do  të  përmendim  temat  më  të  rëndësishme,  që  mendojmë  se  inxhinierët  e  elektrikes do të duhet ti zotërojnë në dy vitet të para të studimeve universitare. Të gjitha këto tema  janë identifikuar më herët në këtë pjesë.  ‐ Manipulimi, zgjidhja dhe analiza e numrave real dhe ekuacioneve algjebrike         komplekse  ‐ Derivimi dhe integrimi  ‐ Zgjidhja  e  ekuacioneve  themelore  diferenciale,  në  veçanti  ekuacioneve       diferenciale  të  shkallës së parë dhe të dytë me koeficient konstantë  ‐ Transformimet e Laplasit, Furie dhe Z‐transformimi  ‐ Analiza vektoriale  ‐ Seria e Tejlorit  ‐ Struktura e sistemeve diskrete dhe jo diskrete  ‐ Ekuacionet me diferenca  ‐ Probabiliteti dhe proceset stohastike  ‐ Statistikë  ‐ Verifikimi i hipotezave statistikore  ‐ Vlerësimi i parametrave ‐ teknika dhe zbatime 

83

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

‐ Algjebra e Bul‐it – analiza dhe zbatimi    Gjithashtu,  është  i  nevojshëm  përdorimi  i  softeve  matematikore  për  studentët  e  inxhinierisë.   

4.3. Krahasime Kurikulash  Arsimi i lartë evropian karakterizohet nga shumëllojshmëria  në lidhje me gjuhët, sistemet  kombëtare,  tipat  dhe  profilet  institucionale  dhe  orientimet  e  kurikulave.  Në  të  njëjtën  kohë,  e  ardhmja e këtij sistemi varet nga aftësia për të organizuar këtë shumëllojshmëri të vlefshme për të  prodhuar në mënyrë efektive rezultate pozitive dhe jo vështirësi, fleksibilitet dhe jo paqartësi.    Universitetet  –  veçanërisht  në  Evropë  –  e  konsiderojnë  shkëmbimin  e  ndërsjellët  të  informacionit  e  dokumentacionit  si  dhe  projektet  e  shpeshta  të  përbashkëta  për  përparimin  e  të  mësuarit, si thelbësore për progresin e qëndrueshëm të njohurive. Ashtu si në vitet e hershme të  historisë  së  tyre,  ata  inkurajojnë  lëvizshmërinë  midis  nxënësve  dhe  studentëve;  më  tej,  ata  konsiderojnë  një  politikë  të  përgjithshme  të  statusit,  titujve,  ekuivalentimin  e  provimeve  dhe  dhënien e bursave si esenciale për realizimin e misionit të tyre në kushtet që mbizotërojnë sot.     Universitetet  lindën  në  Evropë,  pothuajse  para  një  treçerek  mijëvjeçari,  sikundër  është  Universiteti  i  Parisit,  i  cili  para  dhjetë  vjetësh  festoi  800  vjetorin.  Në  ato  kohëra,  studentët  dhe  akademikët qarkullonin lirisht dhe përhapnin dijen në gjithë kontinentet. Në ditët e sotme, shumë  nga  studentët  tanë  vazhdojnë  të  diplomohen,  pa  pasur  mundësinë  e  një  periudhe  studimi,  qoftë  dhe minimale, jashtë kufijve kombëtarë.    Ne duhet të shkojmë drejtë një periudhe ndryshimesh të mëdha të kushteve në arsim dhe  punë,  drejt  një  ndryshimi  të  orientimit  të  karrierave  profesionale,  kur  arsimi  dhe  trajnimi  gjatë  gjithë  jetës  po  shndërrohet    në  një  detyrim  evident.  Ne  i  kemi  borxh  studentëve  tanë,  dhe  shoqërisë në përgjithësi, një arsim të lartë në të cilin atyre t’u ofrohen mundësitë më të mira për të  kërkuar dhe gjetur fushën e vërtetë të realizimit apo shkëlqimit të tyre. Në këtë drejtim, do të duhej  angazhimi në nxitjen e një kuadri të përbashkët reference, me qëllim përafrimin me standardët e  hapësirës  evropiane  të  arsimit  të  lartë,  lehtësimin  e  lëvizjes  së  studentëve  si  dhe  të    rritjes  së  mundësive për punësim.    Për  këtë  qëllim,  do  të  bëjmë  krahasimin  e    kurikulave  të  lëndëve  të  matematikës  në  Fakultetet e Inxhinierisë Elektrike në disa qendra të Evropës. Në tabelën në vazhdim janë marrë në  shqyrtim gjashtë qendra: Prishtina, Zagrebi, Vjena, Shkupi, Sarajeva dhe Berlini.   Përveç Fakultetit Elektroteknik të Shkupit, i cili është katër vjeçar, të tjerët janë tre vjeçar.  Mirëpo, edhe përkundër këtij fakti, ato dallojnë dukshëm në lëndët e matematikës, si nga numri i  lëndëve, përmbajtja e tyre, numri i kredive(ECTS) dhe radhitja e tyre nëpër drejtime të ndryshme. 

84

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

    Se m est ri  I 

II 

III 

  PRISHTINA   

  ZAGREBI 

Matematika I    7  ECTS 

Matematika I    7  ECTS 

Matematika II  7  ECTS 

Matematika  II  7  ECTS  Matematika  III   Matematika  (E)  III  (E)  5  ECTS  5  ECTS  Matematika  III   Matematika  III  (K)  (K)  5  ECTS  5  ECTS   

IV 

 

    Probabilitet  e Statistikë    5  ECTS   

V 

 

 

VI 

 

 

VIJENA 

SHKUPI 

SARAJEVA 

Matematika I 

Matematika  I    7,5 ECTS 

Matematika  II 

Matematika II 7,5 ECTS 

Matematika  III  (E)  Matematika  III  (K) 

1. Transformime  lineare  7,5 ECTS  2.  Matematika  III   7,5 ECTS  3.  Metodat  matematike  për  Inxhinier  I    7,5 ECTS  1. Matematika  IV   6,5 ECTS  2.  Matematika  Diskrete  7,5 ECTS  3.  Metodat  matematike  për Inxhinier II    7  ECTS  4.  Metoda  numerike në EE  7  ECTS  Probabilitet  me  Statistikë  7 ECTS  Metoda numerike 7 ECTS 

1. Matematikë  Inxhinierie I  6,5 ECTS    2.  Algjebër  lineare  dhe  gjeometri  5 ECTS  Matematik  Inxhinierie II  7,5 ECTS  1. Matematikë  Inxhinierie  III    5  ECTS  2.  Matematikë  Diskrete  5 ECTS  3.  Probabilitet  eStatistikë  4 ECTS 

  BERLINI 

1. Analiza I 8 ECTS    2.  Algjebër  lineare  6 ECTS 

Analiza II 8 ECTS    Ekuacione  diferenciale  parciale  dhe  transformime t‐integrale  6 ECTS 

    Analiza III  6 ECTS 

 

 

      (a)Në Prishtinë dhe Vjenë janë vetëm tri lëndë nga matematika. Nga përmbajtja e lëndëve  shihet  se  ky  program  i  matematikës  është  reformuar,  kështu  që  në,  kuadër  të  këtyre  lëndëve,  ligjërohet edhe hyrja në teorinë e probabilitetit dhe elementet e algjebrës lineare. Matematika III   ka dy nënndarje: e para për degën elektrike M III (E) dhe e dyta për  kompjuteriken M III (K).        Përmbajtja e programit:   Matematika I  Numrat real dhe numrat kompleks. Algjebra lineare. Funksionet me një variabël. Limiti dhe  vazhdueshmëria. Derivati, njehsimi diferencial dhe integral. Seritë numerike.  85

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

 

Matematika II  Algjebra  vektoriale  dhe  gjeometria  analitike  në  hapësirë.  Ekuacionet  diferenciale  të  zakonshme. Funksionet me disa variabla (ndryshore). Derivatet dhe diferencialet e funksioneve me  disa variabla. Integralet e shumëfishta.      Matematika III (E)  Seritë  Furie.  Analiza  vektoriale.  Integralet  parametrike.  Integralet  vijëpërkulura  dhe  sipërfaqësore.  Funksionet  komplekse.  Hapësirat  lineare.  Hapësirat  e  normuara.  Hapësirat  e  Hilbertit. Probabiliteti e statistika.    Matematika III (K)  Bashkësitë dhe veprimet me to. Pasqyrimet dhe Relacionet. Bashkësitë e renditura. Grupet,  Unazat dhe Fushat. Teoria e grafeve. Probabiliteti e Statistika. Seritë Furie.    Përmbajtja  e  programit  të  lëndëve  të  matematikës  në  këto  dy  qendra  është  e  ngjashme;  ndryshimi qëndron vetëm ndoshta në zhvendosjen e ndonjë lënde ose kapitulli nga një semestër në  semestrin tjetër.    Në  Zagreb,  në  semestrin  e  katërt,  në  të  gjitha  drejtimet,  mësohet  lënda  e  Probabilitetit  e  Statistikë.  Kjo  është  një  lami  e  rëndësishme  për  inxhinierët  dhe  meriton  të  mësohet  si  lëndë  më  vete, sepse në të njëjtën kohë le  hapësirë M II(në Vjen) ose M III (në Prishtinë) për lami të tjera me  rëndësi të veçantë për inxhinierin.         Përmbajtja e programit:   Matematika I    Numrat real dhe funksionet me një variabël. Matricat dhe sistemet lineare. Diferencimi dhe  integrimi.  Matematika II    Algjebra  vektoriale  dhe  gjeometria  analitike  në  hapësirë.  Derivati  i  funksionit  me  shumë  variabla. Ekuacionet diferenciale.    Matematika III (E)    Hyrje në "Analizën Furie", "Transformimi e Laplasit" dhe "Z‐ transformimi" si dhe zbatimet e  tyre. Mësohen të gjitha konceptet e rëndësishme të "Analizës vektoriale", "Integrali Vijëpërkulura  dhe Sipërfaqësore" së bashku me "Teoremën për Divergjencën" dhe "Formulën e Stoksit".     Matematika III (K)    Mësohen  "Seritë  Furie",  "Transformimet  Furie"  e  "të  Laplasit"  si  dhe  zbatimet  e  tyre,   koncepte  dhe  metoda  nga  "Kombinatorikes"  si  dhe  disa  njohuri  elementare    nga  "Ekuacionet  me  Diferenca". Përshkruhet gjithashtu modelimi i problemeve të "Matematikës Diskrete" me ndihmën  e "Teorisë së Grafeve".    Nëse  bëjmë  një  krahasim  kurikulash  të  matemematikës  për  Prishtinën  (ose  Vjenën)  dhe  Zagrebin,  përveç  lëndës  "Probabilitetit  e  statistikë",    që  përmendëm  edhe  më  lart,  do  të  vërejmë  ndryshime edhe në "Matematikën III". Edhe përkundër faktit se "Transformimi e Laplasit" dhe "Z‐  transformimi"  janë  shumë  të  rëndësishme  për  inxhinierët  e  elektrikes,  ato  nuk  parashihen  në  kurikulat  e  Prishtinës  (ose  Vjenës).  Është  shumë  më  e  preferueshme  që  shumica  e  ekuacioneve  diferenciale për inxhinierë të zgjidhen me anë të "Transformimit të Laplasit", se sa me metoda të  tjera,  si  p.sh.  me  metodën  e  variacionit  të  konstanteve,  metodë  që  merr  shumë  kohë.  Metoda  e  "Ttransformimit të Laplasit" redukton problemet e ekuacioneve diferenciale në formë algjebrike, në  të cilat studentët përshtaten më lehtë.    Prandaj,  do  të  ishte  e  preferueshme  që  kjo  pjesë  e  programit  të  përfshihet  në  lëndën  e  Matematikës III, që edhe ashtu është e mbingarkuar, ose, në marrëveshje me profesorët e lëndëve  inxhinierike, tu lihet atyre ta ligjërojnë.    86

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Në  Sarajevë,  në  semestrin  e  parë,  përveç  Matematikës  I,  ligjërohet  edhe  lënda  "Algjebra  lineare e gjeometri".  Karakteristikë e Fakultetit të Sarajevës është se këtu ka drejtime që nuk kanë  matematikë  në  semestrin  e  tretë.  Lënda  "Matematikë    Inxhinierike  III  "  trajtohet  në  degëzimin  “Automatikë dhe elektronikë”, ndërsa  "Matematika Diskrete" është lëndë me zgjedhje (opsionale)  për këtë degëzim (drejtim). "Matematika Diskrete" është obligative (e detyrueshme) për drejtimin  “Kompjuterikë e Informatikë”, ndërsa "Probabiliteti e Statistika" është lëndë me zgjedhje për këtë  drejtim.  Drejtimet  e  “Elektroenergjetikës”  dhe  “Telekomunikacionit”  nuk  kanë  asnjë  lëndë  matematike në semestrin e tretë.    Fakulteti i Berlinit, edhe pse trevjeçar, për dallim nga fakultetet e lartpërmendura, zhvillon  pesë disiplina matematike. Në semestrin e parë  zhvillohen "Analiza I" dhe  "Algjebër Lineare", në  semestrin e dytë "Analiza II", në semestrin e tretë "Ekuacione Diferenciale me Derivate të Pjesshme  e Transformimet‐integrale" dhe në semestrin e katërt "Analiza III".      Fakulteti  i  Shkupit  ka  tetë  drejtime  dhe  studimet  zgjasin  katër  vjet.  Në  vitin  e  parë  "Matematika I " dhe "Matematika II" është e përbashkët për të gjitha drejtimet, ndërsa,  prej vitit  të  dytë,    drejtimet,  duke  folur  në  përgjithësi,    zhvillojnë  lëndë  të  ndryshme  të  matematikës.  Për  ilustrim, po sjellim disa shembuj:    ‐Drejtimet  “Telekomunikacioni”,  “Shndërrimi  dhe  Shfrytëzimi  i  Rrymës  Elektrike”  dhe  “Elektronika,  Radioteknika  e  Transmetimi  i  Sinjaleve”  në  semestrin  e  tretë  zhvillojnë  lëndën  "Matematika III", ndërsa në semestrin e katërt‐ "Matematikën IV".  ‐Drejtimet  “Sistemet  Elektroenergjetike”  dhe  “Elektroenergjetika  dhe  Menaxhimi  i  saj”  në  semestrin  e  tretë  zhvillojnë  "Metodat  Matematike  për  Inxhinier  I  "  dhe  në  semestrin  e  katërt  –  "Metodat  Matematike  për  Inxhinier II".  ‐ “Pajisjet Elektroenergjetike” në semestrin e tretë trajtojnë lëndë "Matematika III",  ndërsa  në semestrin e katërt trajton "Metodat Numerike në EE".   ‐  Drejtimet  “Inxhinieria  e  Sistemeve  Kompjuterike  e  Automatika”  dhe  “Informatika  dhe  Inxhinieria  Kompjuterike”  në  semestrin  e  tretë  zhvillojnë  lëndën  "Transformime  Lineare".    Në  semestrin  e  katërt,  drejtimi  “Inxhinieria  e  Sistemeve  Kompjuterike  dhe  Automatika”  ka  lëndën  "Matematika  IV",  kurse  drejtimi  “Informatika  dhe  Inxhinieria  Kompjuterike”  zhvillon  lëndën  "Matematika  Diskrete."  Në  semestrin  e  pestë,  të  dy  drejtimet  kanë  lëndën  "Probabilitet  e  Statistikë".  Drejtimi  “Informatika  dhe  Inxhinieria  Kompjuterike”    në semestrin  e gjashtë  ka  lëndën   "Metoda Numerike".  Nëse krahasojmë këto gjashtë qendra universitare, pa analizuar qendrat e  tjera Evropiane,  do  të  vëmë  re  se  ka  shumë  pak  harmonizim  sa  u  përket  kurikulave  dhe  lëndëve  të  matematikës.   Dallimet në kurikula janë drastike, si p.sh. në Universitetin e Sarajevës ka drejtime inxhinierike që  në  semestrin  e  tretë  nuk  kanë  asnjë  lëndë  matematike,  ndërsa  në  Universitetin    e  Shkupit  ka  drejtime që kanë lëndë matematike në gjashtë semestra pa ndërprerje. Mirëpo, mendojmë se një  kurikul adekuate për inxhinierët e elektrikes do të ishte diçka midis kurikules së Sarajevës dhe asaj  të Shkupit.   Për shembull, sa i përket Fakultetit të Inxhinierisë  Elektrike dhe Kompjuterike në Prishtinë  (por  edhe  për  vendet  tjera),  mendoj  se  do  të  ishte  mirë  të  ketë  në  programet  e  veta  këto  lëndë  matematike:  1.  Në  semestrin  e  parë:    "Algjebër  Lineare  e  Gjeometri"  dhe  "Matematika  I".  Ndarja  e  matematikës  së  semestrit  të  parë  në  këto  dy  kurse,    besoj  se  do  ta  bënte  më  të  lehtë  qasjen  e  studentëve në matematikë. Studentët, e sidomos ata që nuk kanë baza themelore të mjaftueshme,  shumë  më  lehtë  do  të  mësojnë  njëherë  "Algjebër  e  Gjeometri"  e  mandej  "Analizën",  ose  të  kundërtën.  Në  të  njëjtën  kohë,  kjo  do  të  mundësonte  që  "Matematika  I"  (Analiza  I)  të  mos  jetë  tepër  e  ngarkuar.  Nga  përvoja,  për  shkak  të  materialit  të  papërballueshëm  brenda  një  semestri, 

87

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

shpesh  na  është  dashtë  që  një  pjesë  e  materialit  të  kalohet  shumë  shpejt  (për  të  mos  thënë    në  mënyrë sipërfaqësore) ose nga ndonjëherë të vazhdohet në semestrin tjetër, në vend që të fillohet  me Matematikën II.   Gjithashtu, edhe suksesi në provime do të ishte më i madh, sepse studentët   do ti përgatisnin më lehtë këto lëndë të ndara dhe të pakushtëzuara nga njëra tjetra. E vetmja anë  negative e kësaj ndarje është ana financiare, për shkak të shtimit të fondit të orëve. Kjo është edhe  arsyeja pse nuk aprovohet kjo kërkesë e kamotshme e jona (mësimdhënësve të matematikës).   2.Në semestrin e dytë: Matematika II. Nëse realizohet ndarja në semestrin e parë, atëherë  edhe Matematika II do të shkarkohet nga plan‐programi i mbingarkuar sa i përket fondit të orëve.  Ndërkohë, edhe ekuacionet diferenciale do të zhvilloheshin më ngadalë dhe do të përfundoheshin  në kohë, e jo si deri më sot që mbesin për në fund të semestrit, duke u zhvilluar nxitimthi. Nga ne  vazhdimisht  kërkohen  reforma,  dhe  vazhdimisht  bëjmë  reforma,  por  më  duket  asnjëherë  të  suksesshme.  3.Në  semestrin  e  tretë:  Matematika  III.  Këtu  do  të  duhej  të  përfshiheshin  edhe  transformimet  e  Laplasit  e  të  Furie    dhe  Z‐transformimi,  që  ,  për  momentin,  nuk  figurojnë  në  kurikulat e matematikës në fakultetin tonë.  4.  Në  semestrin  e  katërt:  Probabilitet  e  Statistikë.  Kjo  lëndë  është  paraparë  në  kurikulat  tona  të  zhvillohet  në  "Matematika  III  "  ,  ku  është  shumë  vështirë    ti  bëhet  vend.  Prandaj,  duke  pasur  parasysh  rëndësinë  e  kësaj  lënde  në  fakultetet  inxhinierike,  e  sidomos  për  inxhinierët  e  elektroteknikës, do të ishte mirë të mësohet si lëndë  më vete  për drejtime të caktuara.    Ndoshta  do  të  duket  i  tepruar  edhe  një  propozim  tjetër  shtesë,  por  e    ndiej  si  detyrim  ta  përmend.  Duke pasur parasysh se njohuritë themelore e studentëve fillestarë janë të pakta, shpesh  kemi kërkuar që “Matematika Elementare” të caktohet si lëndë me zgjedhje (opsionale), gjë që do ti  ndihmonte  dukshëm  studentët  që  të  rimarrin  veten  (sa  u  përket  njohurive  themelore  të  matematikës), por çdoherë kemi hasur ose me shurdhërinë e vendimmarrësve ose me  arsyetimin  se  problemi ka karakter financiar.    Përfundime    Nga  studimet  hulumtuese  për  mësimin  në  përgjithësi  dhe  mësimin  e  matematikës  në  veçanti  (me  ose  pa  teknologji)  ,  duke  përfshirë  këtu  edhe  mësimdhënien  dhe  zhvillimin  e  eksperiencës në dy dekadat e fundit, mund të  konkludojmë në sa vijon:  ‐Kurikulat  duhet  të  rishikohen  (përmirësohen)  në  mënyrë  periodike,  duke  marrë  parasysh  mjetet e teknologjisë elektronike që kemi  në dispozicion.   ‐  Shumë  përpjekje  në  drejtim  të  përpilimit  të  kurikulave  mund  të  shkojnë  kot,  nëse  nuk  mendohet edhe për strategjinë pedagogjike dhe për dallimin në mes të mënyrës të mirë dhe asaj  më të keqe  për nxitjen e një qasje të re në mësimdhënien e matematikës . Nuk mjafton të shkruhet  një libër i ri, ose një libër + paketa softuerike.     ‐  Gjatë  pesë  viteve  të  ardhshme  do  të  jemi  dëshmitarë  të  rritjes  të  përdorimit  të  "Word  Wide  Web"  për  përhapjen  kurikulave  të  përpunuara,  qoftë  me  pagesë  ose  pa  pagesë,  duke  anashkaluar  publikuesit  tradicionalë  dhe  duke  krijuar  qasje  të    drejtpërdrejtë  të  "kurseve  interaktive".  Një  shembull  i  kësaj  është  "Web  Publisher  Math  Everywhere,  Inc"  (http://matheverywhere.com/),  një  ndërmarje  e  krijuar  nga  Bill  Davis  dhe  kolegët  komercialë  të  kurseve interaktive, përfshirë Calculus & Mathematica (1994) , i cili është një nga prodhimet më të  suksesshme, të lindur nga reformimi i Analizës [14].  Së  fundi,  nga  krahasimi  i  këtyre  kurikulave,  mund  të  vërejmë  se  edhe  përkundër  asaj  që  shpallet në një kurikul të përbashkët të matematikës për inxhinierët e Evropës, ekzistojnë dallime të  konsiderueshme.  Kjo  vështirëson  lëvizjen  e  studentëve  nëpër  universitete  të  ndryshme.  Shtrohet  pyetja: "Sa janë të përgatitur studentët (të disa fakulteteve) për të vazhduar studimet në programin  88

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Mastër? A mos ndoshta do të duhej të ndahen studimet me program Baçëler në dy grupe, në ato që  do  ti  përfundonin  studimet  me  programin  Baçëler    dhe  në    ato  që  do  të  vazhdojnë  studimet  në  programin Mastër. Studentët të cilët do të vazhdojnë studimet në programin Mastër do të krijojnë  baza të forta të matematikës në tri vitet e para të studimeve, kështu që, në studimet e mëtejshme,  ata do të jenë në gjendje të përdorin edhe softet e ndryshme të matematikës.     

4.4. Disa hulumtime në lidhje me kurikulat dhe aftësitë e  studentëve në matematikë  Metodologjia  e  hulumtimit,  e  përdorur  në  këtë  punë,    është  bazuar  në  studimin  që  kam  realizuar FIEK (Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike) të Prishtinës. Qëllimi ka qenë që  të njihem me  reagimet (mendimet) në lidhje me lëndët ekzistuese të matematikës që ofrohen në  plan‐programet  në FIEK, mandej të analizoj dhe përcaktoj mangësitë e këtyre lëndëve (kurseve) në  kuptimin  e  përmbajtjes,  koordinimit  dhe  shpërndarjes  së  materialit  nëpër  kurse  të  ndryshme.  Rezultati (vlerësimi i reagimeve të mbledhura ) është arritur me anë të vlerësimit të dy anketave të  kryera:  njëra  me  ligjërues  dhe  tjetra  me  studentë.  Anketat  e  përgatitura  kanë  të  bëjnë  :  (1)  me  kurikulat e matematikës dhe (2) me aftësitë e studentëve në matematikë. Për çdo deklarim lejohet  mundësia  e  shprehjes  së  shkallës  së  kënaqësisë  me  njërën  nga  këto  tre  shprehje:  PAJTOHEM,  PAJTOHEM  PJESERISHT dhe NUK PAJTOHEM. Ky studim ka përfshi 20 ligjërues dhe 32 studentë.    Kurikula e matematikës  Lëndët (kurset) ekzistuese të matematikës në FIEK janë shpërndarë në tre semestrat e parë  dhe përfshijnë njësitë mësimore e nevojshme për inxhinierët. Mirëpo, ka mendime përbrenda FIEK‐ ut  se  disa  nga  këto  kurse  përmbajnë  njësi  të  cilat  janë  punuar  në  shkollë  të  mesme  dhe  kanë  të  bëjnë shumë pak me kërkesat (nevojat) moderne të inxhinierisë. Gjithashtu, ka vërejtje nga ana e  mësimdhënësve  se  shumë  njësi  nga  këto  kurse  të  matematikës  shpjegohen  shumë  më  herët,  të  cilat u hynë në punë inxhinierëve më vonë, ashtu që studentët zakonisht i harrojnë ato, tamam në  kohën kur duhet ti zbatojnë në lëndët inxhinierike. Kështu, lind pyetja e natyrshme se a mos duhet  këto njësi të punohen (shpjegohen) në një periudhë të mëvonshme apo  të shpjegohen në lëndët  profesionale të inxhinierisë elektrike.  Një qëllim tjetër  i studimit ishte të zbulohej se sa i plotëson kërkesat e degës inxhinierike të  zgjedhur,  kurikula  ekzistuese  e  matematikës.  Këtë  gjë  e  arritëm  duke  studiuar  plan‐programet,  numrin  e  lëndëve  dhe  koordinimin  e  kurseve  të  matematikës.  Tabela  1  përshkruan  reagimet  e  ligjëruesve  dhe  studentëve  në  lidhje  me  plotësimin  e    kërkesave    të    inxhinierëve  nga      lëndët  matematike aktuale.    Nga reagimi i ligjëruesve (i shprehur në përqindje) në pyetjen 1.Tab.1 mund të vërejmë se  lëndët ekzistuese plotësojnë pjesërisht kërkesat aktuale (të tanishme) të inxhinierëve. Ky rezultat le  të  kuptojmë  se  ka  vend  për  ndryshime.  Një  këshillë  mund  të  jetë,  shtimi  i  numrit  të  lëndëve  të  matematikës  nga  tre  në  katër  lëndë,  por  me  një  gjë  të  tillë  nuk  janë  pajtuar  ligjëruesit  që  shihet  edhe nga reagimet ne 2.Tab.1.     Kur është fjala për kohëzgjatjen dhe koordinimin e lëndëve të matematikës me programet e  lëndëve  të  inxhinierisë  elektrike,  si  që  shihet  nga  3.Tab.1.,  shumica  e  ligjëruesve  mendojnë  se  ndryshimet janë të nevojshme. Një propozim do të ishte, transferimi i disa njësive të matematikës  nga  lëndët  e  matematikës  në  lëndët  themelore  të  inxhinierisë  elektrike  (Sinjalet  dhe  Sistemet, 

89

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Sistemet  e  kontrollit  etj).  Duke  u  bazuar  në  4.  Tab.1.,  kjo  zgjidhje  duket  e  pranueshme  për  një  numër të konsiderueshëm të ligjëruesve.    Pyetjet anketuese  Reagimi (Përgjigja) Reagimi  i  Reagimi  i  ligjëruesve  studentëve‐  ‐Përqindja  Përqindja  

  1.  Tri  lëndët  ekzistuese  të  matematikës  plotësojnë  kërkesat  (nevojat)  aktuale  (të  tanishme) të inxhinierëve.   

PAJTOHEM  40%    PAJTOHEM    PJESE  40% Ë RISHT  NUK PAJTOHEM  20% 

  2.    Tri  lëndët  ekzistuese  të  matematikës  do  të duhej të rrishikohen dhe të zgjërohen në  katër lëndë të matematikës?   

PAJTOHEM    PAJTOHEM  PJESËRISHT  NUK PAJTOHEM    PAJTOHEM   PAJTOHEM  PJESËRISHT  NUK PAJTOHEM    PAJTOHEM   PAJTOHEM  PJESERISHT  NUK PAJTOHEM 

3.  Është  i  papërshtatshëm  dhe  duhet  të  rishikohet  koordinimi  i  lëndëve  të  matematikës  me  programet  e  lëndëve  të  inxhinierëve të elektrikes, në tre semestrat e  parë.  

     

30% 

 

0% 

 

70% 

 

85%

 

15% 

 

0% 

 

55%   4.  Disa  njësi  të  matematikës  (p.sh.  transformimet  e  Laplasit  etj)  do  të  duhej  të  transferohen  nga  lëndët  e  matematikës  në  30%    lëndët  themelore  të  inxhinierisë  elektrike  (Sinjalet  dhe  Sistemet,  Sistemet  e  kontrollit  15%    etj).  PAJTOHEM    15.5%    5.  Njësitë  që  keni  mësuar  në  lëndën   "Matematika  I"  kanë  qenë,  në  shumicën  e  PAJTOHEM    78.3%  rasteve, përsëritje e asaj që keni mësuar në  PJESERISHT  shkollë të mesme.  NUK PAJTOHEM 6.2%      Tabela 1      Si  që  është  vlerësuar  edhe  më  herët  disa  nga  temat  e  "Matematikës  I",  në  shumicën  e  rasteve, janë përsëritje e asaj që nxënësit kanë mësuar në shkollë të mesme. Kjo është pohuar edhe  nga  studentët  në    5.Tab.1.  Duke  analizuar  këtë  fakt,  shihet  nevoja  e  ndryshimit  (rishikimit)  të  programeve të këtyre lëndëve me qëllim të korigjimit të këti problemi.     Aftësitë e studentëve në matematikë  Nga  stafi  pedagogjik  është  vërejtur  se  studentët  kur  vijnë  nga  shkollat  e  mesme  duket  se  kanë suksesin disi të “fryrë”, dhe notat e tyre në fakt nuk reflektojnë aftësitë e vërteta të tyre në  90

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

matematikë. Gjithashtu, ka mendime nga ana e ligjëruesve se studentët e tyre shumë shpesh janë  të paaftë të zbatojnë koncepte të matematikës në problemet inxhinierike.   Në  tabelën  2  del    në  pah    se  sa  janë  mundësitë  e  studentëve  në  zbatimin  e    njohurive  matematike të fituara në zgjidhjen e problemeve inxhinierike.    Reagimi  i  Reagimi  i    Pyetjet anketuese  Reagimi    ligjëruesve  studentëve‐  (Përgjigja)  ‐Përqindja Përqindje    PAJTOHEM  100%        1. Shumë rralllë mund të gjinden studentë të      inxhinierisë  të  cilët  vlerësojnë  (çmojnë)  PAJTOHEM  0%      kuptimin fizik të veprimeve matematikore.     PJESERISHT      NUK PAJTOHEM  0%        PAJTOHEM  55%      2.  Studentët  kanë  aftësi  të  mangëta  në      përdorimin  e  matematikës  për  zgjidhjen  e  PAJTOHEM    45%    problemeve inxhinierike.    PJESERISHT      NUK PAJTOHEM 0%     PAJTOHEM    59.7%      3.  Në  lëndët  e  matematikës,  nuk  ju  janë      dhënë  shembuj  të  mjaftueshëm  për  PAJTOHEM    31%    problemet inxhinierike.  PJESERISHT     NUK PAJTOHEM    9.3%    PAJTOHEM    37.2%      4.  Ju  i  keni  kuptuar  disa  mësime  (njësi)  të      matematikës përmes lëndëve të inxhinierisë  PAJTOHEM  21.7%    elektrike    më  mirë  se  në  lëndët  e  PJESERISHT    matematikës.  NUK PAJTOHEM    41.1%      PAJTOHEM  30%  41.1%    5.  Studentët    nuk  janë  të  aftë  të  përdorin    softe  matematikore  në  zbatimet  PAJTOHEM  40%  37.2%    inxhinierike.  PJESERISHT      NUK PAJTOHEM 30% 21.7%    PAJTOHEM 60%       6. Notat e larta të nxënësve në matematikën      e  shkollës  së  mesme  janë  dukshëm  jo  reale  PAJTOHEM  40%      dhe  nuk  paraqesin  realitetin  e  aftësive  të  PJESERISHT   tyre në matematikë.    NUK PAJTOHEM 0%     PAJTOHEM  90%        7. Gjatë regjistrimit në FIEK studentët duhet      ti  parashtrohen  provimit  pranues  në  lëndën  PAJTOHEM  10%     e matematikës.  PJESERISHT      NUK PAJTOHEM  0%      Tabela 2     

91

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

  Në këtë pjesë (Tab.2) dëshirojmë të analizojmë efektin e lëndëve të matematikës në aftësitë  e  studentëve  për  zbatime  në  zgjidhjen  e  problemeve  inxhinierike.  Nga  reagimi  i  ligjëruesve  në  1.Tab.2  dhe  2.Tab.2,  shihet  qartë  se  studentët  kanë  probleme  të  shumta  në  të  kuptuarit  fizik  të  veprimeve  matematikore  si  dhe  në  përdorimin  e  matematikës  për  zgjidhjen  e  problemeve  inxhinierike. Kjo ndodh pjesërisht për shkak të metodologjisë të aplikuar nga matematikanët, ku ata  tentojnë ti japin rëndësi matematikës abstrakte në vend të asaj të aplikuar. Mund të themi se, edhe  mungesa  e  shembujve  inxhinierik  në  lëndët  e  matematikës,  e  pohuar  në  3.Tab.2,  mund  të  jetë  shkaktar i këtyre problemeve. Për më tepër, nga eksperienca është vërtetuar se, studentët tentojnë  të kuptojnë më mirë tema të  matematikës kur  shpjegohen dhe  zbatohen në lëndët e inxhinierisë  elektrike, edhe pse studentët pjesërisht nuk janë pajtuar me një gjë të tillë (4.Tab.2).    Nga 5.Tab.2 mund të shihet se studentët kanë mungesë të aftësive të shfrytëzimit të softeve  matematikore në zbatimet inxhinierike. Kjo, është kryesisht, për shkak të shfrytëzimit të kufizuar të  kurseve të matematikës.    Notat e larta të nxënësve në matematikën e shkollës së mesme janë dukshëm jo reale dhe  nuk paraqesin realitetin e aftësive të tyre në matematikë, çka është pohuar edhe nga ligjëruesit në   6.Tab.2. Një gjë e tillë, gjithashtu, dëshmohet edhe nga suksesi i dobët i studentëve gjatë provimit  pranues  nga  lënda  e  matematikës.  Për  këtë  shkak,  ligjëruesit  të  FIEK‐ut  njëzëri  pajtohen  se  studentët duhet ti parashtrohen provimit pranues në lëndën e matematikës për regjistrim në këtë  fakultet (7.Tab.2).        Përfundime    Ky hulumtim ka qenë i përqëndruar në problemet që shoqërojnë përmbajtjen, kohëzgjatjen  si dhe koordinimin e lëndëve të matematikës me programet e lëndëve të inxhinierisë elektrike.     Në  bazë  të  reagimeve  të  ligjëruesve  dhe  studentëve,  të  shprehura  në  përqindje,  mund  të  nxjerrim  këto  përfundime.  Së  pari,  lëndët  ekzistuese  plotësojnë  pjesërisht  kërkesat  aktuale  (të  tanishme)  të  inxhinierëve  gjë  që  le  të  kuptojmë  se  ka  vend  për  ndryshime.  Së  dyti,  Fakulteti  i  Inxhinierisë  Elektrike  dhe  Kompjuterike  (FIEK)  është  i  vetëdijshëm  për  dobësitë  e  shkathtësive  të  studentëve në lëndët e matematikës. Prandaj, duhen ndërmarrë masa për zbutjen sadopak të këtij  problemi.  Mendojmë  se  një  zgjidhje  do  të  ishte  implementimi  i  një  kursi  të  “Matematikës  Elementare” në semestrin e parë të vitit të parë të studimeve si dhe njoftimi i stafit të matematikës  me nevojat e inxhinierëve në lidhje me matematikën. Në vazhdim, të kuptuarit e matematikës nga  ana e studentëve është plotësisht në mënyrë abstrakte pa pasur mundësinë për të kuptuar  anën  aplikative  të  saj  në  inxhinieri.  Dhe  në  fund,  ligjëruesit  e  matematikës  dhe  inxhinierisë  duhet  të  bashkëpunojnë më shumë në drejtimin, zhvillimin dhe vlerësimin e matematikës.     

92

KAPITULLI 4: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT  [1] Barry, M D J and Steele, N C (Eds) (1992), A core curriculum in mathematics for the European engineer,  Document 92.1, SEFI, Brussels.  [2] MATHEMATICS FOR THE EUROPEAN ENGINEER, A Curriculum for the Twenty‐first  Century, Mustoe, L R and Lawson, D A (Eds), (2002), published by SEFI HQ, ISBN 2‐  87352‐045‐0  [3] ELECTRICAL ENGINEERING, CRAFTY Curriculum Foundations Project, Clemson University, May 4‐7, 2000  [4] Alpers, B: The mathematical expertise of mechanical engineers, Proceedings of 13th SEFI  Mathematics Working Group Seminar, Kongsberg, 2006, pp 11‐17  [5] The Royal Society, 1998. Engineers ‐ The Supply Side, The Royal Society,  http://www.royalsoc.ac.uk/displaypagedoc.asp?id=11312.  [6] SEFI Mathematics Working Group, 2002. Mathematics for the European Engineer:  A curriculum for the twenty‐first century, SEFI, Brussels, ISBN 2‐87352‐045‐0.  [7] IMA, 1999. Engineering Mathematics Matters, The Institute of Mathematics and  its Applications, Southend‐on‐Sea, ISBN 0‐905091‐09‐4.  [8] Mustoe, L. R., 1992. Clinging to the Wreckage – Mathematics for Engineers in  the 1990’s, Bull. IMA, 28, 6/7/8, 99‐102.  [9]  Mustoe,  L.  R.,  2002.  “Papering  over  the  cracks?  Mathematics  for  engineering  undergraduates,  Mathematics Today, 38, 3, 67‐69.  [10] Engineering Council, 2000. Measuring the Mathematics Problem, Engineering  Council, London.  [11] Lawson, D., Halpin, M. and Croft, A., 2001. After The Diagnostic Test – what  next?, LTSN Maths, Stats & OR Network, Birmingham, Ref 3/01.  [12] Jaffe,A., Baouendi, S., and Lipman, J, 1996, “Demotion of mathematics meets groundswell of protest”  February 1, 1996, appeared in Notices of the American Mathematical Society.  [13] Mustoe, L. R., 1978. Where There’s a Will, There’s a Way, Bull. IMA, 14, 11/12,  302‐306.  [14] Smith, D. A., 2001, ”The Active/Interactive Classroom”, pp. 167‐178 in D. Holton (ed.), The Teaching and  Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 

    

93

KAPITULLI 5     

DISA  REZULTATE PËR FUNKSIONET  GJYSMË TË DERIVUESHME   

5.1. Lidhja ndërmjet derivueshmërisë dhe vazhdueshmërisë 5.1.1. Funksionet Veiershtras  (Weierstrass)    

Funksionet  fα  me formulë  

fα ( x) =

∞ sin(π k α x)

∑

 

 

 

 

(1) 

π kα quhen  "funksione  Veiershtras".    Për  α = 2   përftohet  funksioni  origjinal,  të  cilin  e  publikoi  k =1

Veiershtras në vitin 1861.    Në figurën e mëposhtme jepet grafi i  fα  për  α = 2 ( me ngjyrë të kuqe),  α = 3  (me ngjyrë  jeshile) dhe  α = 4 ( me ngjyrë blu).                                  Funksioni  fα  është quajtur në fillim "funksioni patologjik", sepse është  i vazhdueshëm kudo në R  dhe  i  derivueshëm  vetëm  në  një  bashkësi  me  masë  zero.  Por  Riman‐i  (Rieman),  i  mbështetur  në    leksionet dhe shkrimet  e Kroneker–it (Kronecker) dhe Veiershtrasit, pretendonte se funksioni  fα   nuk  është  i  diferencueshëm    në  një  bashkësi  të  ngjeshur  në  R  .  Gjithsesi,  Ulrik  (Ullrich)  (1997)  shënonte se nuk kishte aktualisht të dhëna  të mjaftueshme që Rimani të kishte bërë përpjekje për  të bërë një vërtetim të detajuar të faktit të shpallur prej tij.  Në vitin 1875,  Dy Bua‐ Reimond  (Du  Bois‐Reymond)  shpalli  pa  vërtetim  se  "në  çdo  interval  të  drejtëzës  reale  ka  pika  në  të  cilat  funksioni fα  nuk ka derivat të fundmë", dhe në vitin 1916 Hardi (Hardy) provoi se ky funksion nuk  ka  derivat  të  fundmë  në  pikat  irracionale    dhe në  disa  pika  racionale.  Gerver   (1970)  dhe  më  pas 

94

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Smith (1972) , provuan se  funksioni  fα  ka derivat të fundmë , të barabartë me  0.5 , në bashkësinë  ⎧ 2m + 1 ⎫ e pikave    ⎨ / m dhe n : numra natyrore⎬ .  ⎩ 2n ⎭

2m 2m + 1 ose .  2n + 1 2n Këto rezultate, së bashku me rezultatin e Hardit, e plotësuan tablonë e studimit të derivueshmërisë  së këtij funksioni.    Formula më e përgjithshme e funksioneve të Veiershtrasit është   

 

Gerver (1971) provoi se  fα  nuk është i derivueshëm në pikat e trajtës  

  ∞

cos(λ k x)

k =1

λ sk

f ( x) = ∑

         ( 0 < s < 1 dhe λ > 1)  

(2) 

  Këto funksione , me parametra  λ  dhe  s , janë kudo të vazhdueshëm dhe askund të derivueshëm.  Pamja grafike e këtij funksioni për  λ = 2  dhe  s = 0.5  jepet në figurën e mëposhtme [3].                                                             Këtu është paraqitur grafiku i një shumë të pjesshme të serisë (pra, jo vetë funksioni f ) ; kjo  është  arsyeja  që  nga  ana  vizuale  nuk  krijohet  përshtypja  gjeometrike  se  funksioni  f   nuk  është  askund  i  derivueshëm.  Në  përfytyrimin  tonë,  grafiku  i  këtij  funksioni  përbëhet  prej  majash  të  mprehta, sepse në asnjë pikë nuk ka tangjente.    Në  [1] jepet shembulli i një funksioni kudo të vazhdueshëm  dhe askund të derivueshëm në  drejtëzën reale  R ,  

w( x) =

∞

b k cos ( a k π x ) ,  ∑ k =0

 

 

 

(3) 

  i cili rrjedh nga funksioni i përgjithësuar i Veiershtrasit.  Grafiku i këtij funksion për   b = 0.2     a = 5 + 7.5π  ka trajtën e treguar në figurë.          Ky  grafik  është  në  pajtim  me  përfytyrimet  tona  për  grafikun  e  një  funksioni askund të derivueshëm.     

95

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

5.2. Sjellja e funksioneve veiershtras si fraktale  5.2.1. Kuptimi i fraktalit    Fraktalet    janë  figura  të  cilat  paraqesin  interes  të  madh  për  shkak  të  kombinimeve  të  përkryera të bukurisë, kompleksitetit dhe strukturës së pafundme.      

  Fraktali i parë i përket Sylvie Gallet, ndërsa i dyti i përket Linda Allison.      •Fraktalet  zakonisht  karakterizohen  nga  vetëngjashmëria,  që  do  të  thotë  se  po  të  vëzhgojmë  një  pjesë  të  fraktalit,  do  të  vëmë  re  se  ajo  ka  ngjashmëri  me  të  tërën  (pjesa  është  reminishencë  e  së  tërës).  Kjo  vetëngjashmëri  mund  të  jetë  ekzakte,  e  përafërt  ose  statistikore  (  Shih  në  figurë  një  vetngjashmëri ekzakte: "Trekëndëshi i Serpinskit").    •  Fraktale  janë  kopje  e  vetvetes  për  çfarëdo  shkallë  zvogëlimi apo zmadhimi.     

5.2.2. Shembuj të thjeshtë fraktalesh   

1.  Bashkësia e Kantorit 

⎛1 2⎞ Segmentit  [ 0, 1] i heqim një të tretën e tij, më konkretisht i heqim intervalin,  ⎜ , ⎟ . Pastaj  ⎝3 3⎠ këtë veprim e përsërisim për dy segmentet e mbetur  dhe, në mënyrë suksesive (të njëpasnjëshme),  veprimin e mendojmë të përsëritur pafundësisht.                        

96

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Përkufizimi 2.2.1. ‐ Limiti i bashkësisë  Cn   kur numri  n   rritet pambarimisht quhet bashkësia  e Kantorit, dhe shënohet me shkronjën  C , d.m.th.   C = C∞ = lim Cn n →∞     Dihet që masa e bashkësisë së Kantorit është zero. Është e kuptueshme që  bashkësia (vija)  C  nuk mund të vizualizohet, por figura e mësipërme na lejon ta perceptojmë atë të përbërë prej  një  bashkësie  të  pafundme  segmentesh  pambarimisht  të  vegjël,  të  ndarë  nga  hapësira  boshe  me  përmasa të ndryshme.    Ndërkohë, mund të thuhet që  C  është një fraktal, sepse është një strukturë e pafundme  e   komplekse që ka vetëngjashmëri  dhe ruan trajtë në çdo shkallë zvogëlimi.  (Kur zmadhojmë një hark të një lakoreje, ky hark fillon të ngjajë me segmentin drejtvizor, gjë që nuk  ndodh me një fraktal.) Bashkësia e Kantorit është fraktali më i thjeshtë.      2. Vija Van Koch  Vija Van Koch mund të formohet në disa mënyra, dy nga të cilat i kemi paraqitur në figurat e  mëposhtme.   

 

     

 

   

    .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................   

97

 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

.........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................   

 

    Në mënyrë të ngjashme ndërtohet një vijë e tipit Van Koch, duke  ndarë segmentin fillestar në tre  pjesë të barabarta dhe duke vepruar në mënyrë si në figurën e mëposhtme.                              .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................  ......................................................................................................................................... 

98

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

    .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................  .........................................................................................................................................   

        Shënim‐  Nga  shembujt  e  fraktaleve  që  sollëm  më  lart,  mund  të  thuhet  që  ndërtimi  i  një  fraktali    është  një  proces  rekurent.    Çudia  me  farktalet  qëndron  në  faktin  se  Natyra  ofron  me  shumicë fraktale në plan dhe hapësirë (shih në figurë: "timoni i një makine", një degë "fieri" (bot)  dhe  "brokolo romano").                      

5.2.3. Përkufizimi i dimensionit     Pyetja "Cili është dimensioni i një bashkësie pikash ?", nuk është më aq e qartë sa mund të  jetë dukur para zbulimit të  fraktaleve. Për disa objekte gjeometrike, të  cilat  janë shumë familjare  për ne , përgjigja e kësaj pyetjeje është e qartë. Për shembull      •   Drejtëzat dhe lakoret e lëmuara janë njëdimensionale.    •   Planet dhe sipërfaqet e lëmuara janë dydimensionale.    •   Trupat e ngurtë janë tredimensionalë. 

99

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

                 

 

          Por lind pyetja e natyrshme: Si përkufizohet dimensioni i një bashkësie?    Duke u shprehur me një gjuhë të thjeshtë, dimensioni i një bashkësie mund të përkufizohet  si “numri minimal i koordinatave  të nevojshme për të përcaktuar çdo pikë të bashkësisë”.       Për  shembull,  çdo  vijë  e  lëmuar    e  orientuar  është  njëdimensionale, sepse çdo pikë  M  e saj mund të përcaktohet  me anë të numrit që shpreh largësinë e pikës nga një pikë  A  e  zgjedhur e vijës, e marrë me shenjën plus kur pika  M  ndodhet  në  anën  e  djathtë  të  pikës  A ,  dhe  me  shenjën  minus  kur  ajo  ndodhet në anën e kundërt.      Po ta zbatojmë këtë përkufizim të dimensionit për një fraktal do të arrijmë në një përfundim  absurd.       Për  shembull,  le  të  përpiqemi  të  gjejmë  dimensionin  e  vijës  Van  Koch  (1).  Nga  figura  del  qartë se gjatësitë e vijave  C 0 ,  C1 ,  C 2 , ..., Cn ,... janë  përkatësisht:  2 n 4 ⎛4⎞ ⎛4⎞ L ,      L ,          ⎜ ⎟ L ,  ...  ,    ⎜ ⎟ L , ...  3 ⎝3⎠ ⎝3⎠ Që  këtej  del  se  gjatësia  e  vijës  Van  Koch,  d.m.th.  e  vijës  C = C∞ = lim C n ,  është  gjatësia  e   n →∞

n

⎛4⎞ C = lim ⎜ ⎟ L = ∞ n→∞ ⎝ 3 ⎠       Sa çudi (!), gjatësia e një "vije" që bashkon dy pika (skajet) ka gjatësi të pafundme.    Meqenëse  çdo  pjesë  e  vijës  Van  Koch,  është    nga  ana  e  vet  një  vijë  Van  Kosh    (pjesa  e  ngjashme me të tërën), rrjedh se edhe gjatësia e një pjese të vijës Van Kosh është e pafundme.  Që  këtej rrjedh se nuk mund ta përcaktojmë vendndodhjen e një pike mbi vijën Van Koch, me anë të  gjatësisë së orientuar, sepse kjo gjatësi është e pafundme.     Atëherë,  dimensioni    i vijës Van  Koch,  nuk  mund  të  jetë  as  1dhe  as  2.  Do  të  tregojmë  më  poshtë se dimensioni i kësaj vije është midis numrave  1 dh 2.     

100

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

5.2.4. Dimensioni i një fraktali të vetëngjashëm    Fraktalet  më  të  thjeshtë  janë  fraktalet  e  vetëngjashëm;  ato  formohen  prej  kopjesh  të  zvogëluara  të  vetvetes.  Përkufizimi  i  dimensionit  të  fraktaleve  të  tilla  mund  të  behet  me  anë  të  përgjithësimit  të  vrojtimit  të  bashkësive  të  vetëngjashme  klasike,  të  tilla  si  segmenti,  katrori  dhe  kubi.    Për  shembull,    në  qoftë  se  duam  të  krijojmë  kopje  të  vogla  të  segmentit,  katrorit  apo kubit, mjafton  të të ndajmë në një numër  pjesësh  të  barabarta  segmentin,  brinjën  e  katrorit  apo  të  kubit.    Një  gjë  të  tillë  e  kemi  paraqitur  në  figurën  e  mëposhtme,  ku  kemi  shënuar:         l : numri i ndarjeve (pjesëtuesi) ,                N : numri i kopjeve ,                D : dimensioni i figurës     Nga  figura  duket  qartë  se  lidhja  ndërmjet   numrave      l ,   D   dhe  N ,    shprehet  me  anë  të  formulës 

N = lD  

  Atëherë  supozojmë  se  një  fraktal  i  vetëngjashëm  është  formuar  prej  N   kopjesh    me  pjesëtues numrin  l . Atëherë  dimensionin  D   të këtij fraktali e përcaktojmë me anë të njërës nga   formulat e njëvlershme:             lnN N = l D     ⇔    lnN = D ⋅ lnl    ⇔        D =   lnl Po të mbështetemi në formulën e dimensionit të një fraktali të vetëngjashëm, gjejmë se   ln2   •  Dimensioni i bashkësisë së Kantorit është   D =  .   ln3 ln4 •  Dimensioni i  vijës Van Kosh (1) është          D = .    ln3 ln5 •  Dimensioni i  vijës Van Kosh (2) është          D = .     ln3   

5.2.5. Funksioni Veiershtrasit paraqet një fraktal  

  Shkruam në 5.2.1. se funksioni i Veiershtrausit u quajt "funksion patologjik"  për arsye se ai  është kudo i vazhdueshëm në drejtëzën reale dhe, njëherësh, askund i derivueshëm. Por në ditët e  sotme  ,  ky  funksion  nuk  është  i  çuditshëm  vetëm  për  faktin  e  mësipërm.  Çudia  e  dytë  e  këtij  funksioni është se ai paraqet një fraktal me dimension  1.5 . Me fjalë të tjera, vija Veirshtras është  një vijë më e "gjerë" se vijat e zakonshme. Në përcaktimin intuitiv, vija konsiderohet si një objekt  gjeometrik  që  ka  gjatësi,  por  që  nuk  ka  gjerësi  dhe  thellësi.  Madje  mund  të  thuhet  se  fraktalet  e  mëvonshme e kanë origjinën pikërisht nga grafi i funksionit të Veiershtrasit.     

101

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

                       

 

5.3. Lidhja ndërmjet derivueshmërisë dhe derivueshmërisë së njëanshme 5.3.1.  Shënime  për  lidhjen ndërmjet derivatit të njëanshëm dhe derivatit të  një funksioni    Problemi  i  lidhjes  ndërmjet  derivatit  dhe  derivateve  të  njëanshme  të  funksionit  është  një  problem  sa  i  hershëm  po  aq  edhe  i  studiuar.  Objekt  këtij  paragrafi  është  qasja  e  një  mënyre  shqyrtimi të kësaj lidhjeje për funksionet e ndryshorit  real me vlera në një hapësirë Banahu.    ∗∗∗  • Duke u bazuar tek artikulli i Knight [8], ku pohohet se "në qoftë se funksioni i vazhdueshëm  f : [ a, b] → R   ka  derivat  të  djathtë  të  barabartë  me  zero  në [a, b) ,  atëherë    funksioni  f   është  konstant në  [a, b) ", kemi arritur në rezultatin: 

 

Teoremë  3.1.1.  ‐  (Rezulatati  1)    Le  të  jetë    f : [ a, b] → R   një  funksion  i  vazhdueshëm  në 

segmentin  [ a, b] . Në qoftë se  derivati i djathë   f +'   është i vazhdueshëm në  [a, b) ,  atëherë funksioni     

f  ka derivat të vazhdueshëm në  [a, b) .  Vërtetimi. Së pari  le të kujtojmë që derivati i djathtë përcaktohet nga barazimi  f +' ( x) = lim

h →0 ( h > 0)

 

f ( x + h) − f ( x )   h

Funksionet   u

  (u ∈ [a, b))               kanë si derivat të djathtë funksionin  u a f +' (u ) , që do të thotë se funksioni  i vazhdueshëm f − φ  

u a f (u )      dhe      u a φ (u ) = ∫ f +' ( x)dx a

ka  derivatin  e  djathtë  të  barabartë  me  zero  në    [a, b) .  Kështu,  nga  pohimi  i  Knight  [3],  rrjedh  se  funksionet  f  dhe  φ  ndryshojnë nga një konstante, që do të thotë se:    u

∀u ∈ [a, b) ,       f (u ) = C + ∫ f +' ( x )dx      

a

ku  C  është konstante.  

102

 

 

 

(1) 

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

  Po të derivojmë të dyja anët e barazimit (2) në pikën  u ∈ [a, b) , gjejmë:  f ' (u ) = f +' (u ) , që do  të thotë se teorema është e vërtetë.   *    *    *  • Për ta përgjithësuar këtë teoremë në rastin funksionit të ndryshorit real me vlera nga një    hapësirë Banahu, do të mbështetemi në pohimin: Le të jetë   f : [ a, b] → B  funksion i vazhdueshëm  në  segmentin  [ a, b] ,  ku  B   është  një  hapësirë  Banahu  (hapësirë  e  normuar  e  plotë)  Në  qoftë  se 

derivati i djathtë  f +'  është i kufizuar në  [a, b) , d.m.th. në qoftë se ekziston konstantja  K > 0 ,  e tillë  ' që për çdo  x ∈ [a, b) të kemi  f + ( x) ≤ K , atëherë është i vërtetë mosbarazimi 

 

f (b) − f (a) ≤ K (b − a)          

 

 

 

 

 

(2) 

Ky  pohim dhe vërtetimi i tij gjenden në  [1] (faqe  46).  Teoremë 3.1.2.‐ (Rezulatati 2)  Në qoftë se funksioni  f : [ a, b] → B  është i vazhdueshëm në 

[ a, b]   dhe  ka  derivat  të  djathtë    të  vazhdueshëm  në  [a, b) ,  atëherë  funksioni  vazhdueshëm në  [a, b) .      

f   ka  derivat  të 

Vërtetimi. ‐ Fillimisht shkruajmë mosbarazimin (2)  në trajtën  

f (b) − f (a) ≤ (b − a) sup

t∈⎡⎢a,b⎡⎢ ⎣

f +' (t )   

 

 

 

(2') 

⎣

Shqyrtojmë pikën e fiksuar  x0 ∈ [a, b )  dhe pikën e çfarëdoshme  x ∈ [a, b) .    

     

  Po të shkruajmë mosbarazimin (2') në segmentin [ x0 , x]  (  x > x0 ) për funksionin 

x a F ( x) = f ( x) − f+' ( x0 )( x − x0 )   gjejmë mosbarazimin:    F ( x) − F ( x0 ) ≤ ( x − x0 ) sup

t∈⎡⎣ x0 , x⎤⎦

F+' (t )   

 

 

 

(3) 

ose    

f ( x) − f ( x0 ) − f +' ( x0 )( x − x0 ) ≤ ( x − x0 ) sup

t∈⎡⎣ x0 , x ⎤⎦

     

f +' (t ) − f +' ( x0 )  

(3') 

Pas pjesëtimit me  ( x − x0 ) , mosbarazimi (3') merr trajtën   f ( x) − f ( x0 ) − f +' ( x0 ) ≤ sup f (t ) − f +' ( x0 )   x − x0 t∈⎡⎣ x0 , x ⎤⎦

103

 

 

(4) 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

  Është  e  qartë  se  mosbarazimi  (4)  ruan  të  njëjtën  trajtë  edhe  nëse  mosbarazimin  (3')  e  shkruajmë për  funksionin  F  në  segmentin [ x, x0 ]  (  x < x0 ) .   

Po  të  kalojmë  në  limit  kur  x → x0 ( x ≠ x0 )   në  të  dyja  anët  e  mosbarazimit  (4)  dhe  të 

marrim parasysh faktin se funksioni  f +'   është i vazhdueshëm në pikën  x0 , do të gjejmë   f ( x ) − f ( x0 ) − f +' ( x0 ) ≤ 0    x → x0 x − x0 lim

 

 

 

 

(5) 

 

 

(6) 

që do të thotë se  f ' ( x0 ) − f +' ( x0 ) = 0       ose       f ( x0 ) = f+ ( x0 )   '

   

'

Meqenëse  pika  x0   është  e  çfarëdoshme,  rrjedh  se  derivati  f '( x)   ekziston  për  çdo 

x ∈ [a, b) dhe se derivati  f '  është i vazhdueshëm në  [a, b) , njëlloj si edhe derivati i djathtë  f +'  .      

     

Shënim‐ Teorema 3.1.1 mund të merret si rrjedhim i teoremës 3.1.2. 

5.3.2.  Funksionet  e  vazhdueshme  me  derivat  të  djathtë  të  kufizuar  janë  pothuajse kudo të derivueshëm  Në  këtë  paragraf,  kemi  dhënë  përgjithësimin  e    një  teoreme  që  bën  fjalë  për  integrueshmërinë  në kuptimin e Lebegut të  derivatit të një funksioni, duke zëvendësuar kushtin e  derivueshmërisë me derivueshmërinë e njëanshme, konkretisht me derivueshmërinë e djathtë.  Me  tej, duke u mbështetur në këtë teoremë të përgjithësuar, është provuar se në qoftë se një funksion  i  vazhdueshëm  ka  derivat  të    djathtë  të  kufizuar,  atëherë  ky  funksion  është  pothuajse  kudo  i  derivueshëm, që do të thotë se masa e bashkësisë së pikave ku ai nuk është i derivueshëm është  zero.    Lema 3.2.1. ‐ Le të jetë   f : [ a, b] → R  një funksion i vazhdueshëm në segmentin  [ a, b] . E 

zëmë se për çdo pikë  x ∈ [a, b) ekziston derivati i djathtë  f +' ( x) . Atëherë ekzistojnë në (a, b)   pikat  c   dhe  d  të tilla që   f (b) − f (a) ≤ f +' (d )     f +' (c) ≤         (1)  b−a Një variant i vërtetimit të kësaj leme gjendet në [5] .      Teorema 3.2.1. ‐ Le të jetë   f : [ a, b] → R  një funksion i vazhdueshëm në segmentin  [ a, b] , i  cili ka derivat të djathtë   f +' (t ) në çdo pikë  t ∈ [a, b) . Në qoftë se funksioni  D + f  është i kufizuar në 

[a, b) ,  atëherë  ai  është  i  integrueshëm  sipas  Lebegut  në  çdo  segment  [a, x] ⊂ [a, b)   dhe  është  i 

vërtetë barazimi:  x

(L ) ∫ f +' (t )dt = f ( x) − f (a )    

 

a

 

 

 

(2) 

  Vërtetimi. ‐ Fiksojmë një  x ∈ [a, b) dhe shqyrtojmë vargun e funksioneve  ϕn , të përcaktuar  nga formula  1 ⎡ ⎤ ϕn (t ) = n ⎢ f (t + ) − f (t ) ⎥         ( t ∈ [ a, x] ,  n = 1; 2;... )     (3)  n ⎣ ⎦ 104

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Në çdo  pikë  x ∈ [a, b) është i vërtetë barazimi  1 f (t + 1 n) − f (t ) ⎡ ⎤ =   f +' (t )   lim ϕ (t )    = lim n ⎢ f (t + ) − f (t ) ⎥ = lim n→∞ ⎣ n →∞ n →∞ n n 1n ⎦  

Funksionet  ϕn , duke qenë të vazhdueshëm, janë të matshëm në segmentin  [ a, x ] . Në saje 

të teoremës së Lebegut mund të themi që edhe funksioni  f +'  është i matshëm në  [ a, x ] . Meqenëse  f +'  është edhe i kufizuar, atëherë ai është i integrueshëm sipas  Lebegut në  [ a, x ] . 

 

(

)

Në saje të lemës ekzistojnë në intervalin  t , t + 1

 pikat  cn  dhe  d n , të tilla që   n  f (t + 1 n) − f (t ) ≤   f +' ( d n )   f +' (cn ) ≤ 1n

Që  këtej  rrjedh  se  funksionet  ϕn   janë  të  kufizuar  në  segmentin  [ a, x ]   prej  të  njëjtit  numër 

{

}

K = sup f '+ (x ) :   x∈[a ,b )

∀n ∈ N   dhe   ∀t ∈[ a, x] ,     ϕn (t ) ≤ K  

  Kështu, në saje të teoremës së Lebegut mbi futjen e shenjës së limitit brenda shenjës së integralit,  mund të shkruajmë:   x

∫ a

 

x

f +' (t )dt = lim ∫ ϕn (t )dt   n →∞

 

 

 

 

 

(4) 

a

Mirëpo   x

x

x

x +1 n

a

a

a

a +1 n

∫ ϕn (t )dt    = n ∫ f (t + 1 n)dt − n ∫ f (t )dt = n        =   n

x +1 n

∫x

∫

x

f (t ) dt − n ∫ f (t ) dt =   a

a +1 n

f (t ) dt − n

∫a

f (t ) dt

      Po  të  përdorim    teoremën    mbi    të    mesmen  e  integralit    të    caktuar  për  secilin  prej  dy  integraleve të fundit, të cilat janë  njëherësh "integrale Rimani" dhe "integrale Lebegu" , dhe do të  gjejmë:  x

∫ ϕn (t )dt = f (c

1n

) − f (c2 n )        (  c1n ∈ [ x, x + 1 n

]

c2n ∈ [ a, a + 1 n ] ) 

a

Që këtej, në saje të vazhdueshmërisë së funksionit  f  gjejmë:  x

lim ∫ ϕn (t )dt = f ( x) − f (a)    

n→∞

 

 

 

 

(5) 

a

Nga krahasimi i formulave (4) dhe (5), përftohet formula (2).    Shembulli  1.  ‐  Nuk  ekziston  në  bashkësinë  C⎡a ,b⎤   ndonjë  funksion  që  ta  ketë  derivatin  e  ⎣

⎦

djathtë në   [a, b)  të barabartë me funksionin Dirihlè  ⎧0 nëse x është racional χ ( x) = ⎨ ⎩1 nëse x është irracional  

105

 

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

 

Vërtetimi.  ‐  E zëmë se ekziston funksioni   f ∈ C⎡a,b⎤  i tillë që   ⎣

⎦

∀x ∈ [a, b)     ,      f ( x) = χ ( x)   ' +

  Jemi në kushtet e teoremës  3.2.1, pra mund të shkruajmë formulën (2) në trajtën:     x

∀x ∈ [a, b) ,       f ( x) = f (a) +   (L ) ∫ f +' (t )dt    

 

 

(6) 

 

 

(7) 

a

x

Meqenëse     (L ) ∫ f +' (t )dt = 0 , pohimi (6) merr trajtën    a

∀x ∈ [a, b) ,       f ( x) = f (a)    

 

 

= 0 ≠ χ ( x) ,  gjë që është e papranueshme. Ky fakt na tregon  që do të thotë se    ∀x ∈ [a, b) ,      se shembulli 1  është i vërtetë.     Teorema  3.2.2.  ‐  Në  qoftë  se  derivati  i  djathtë  f +'   i  funksionit    të  vazhdueshëm  f +' ( x )

f : [ a, b] → R  është i kufizuar në gjysmë‐segmentin  [a, b) , atëherë është e vërtetë formula  b

( L ) ∫ f +' (t )dt = f (b) − f ( a )    

 

 

 

 

(8) 

a

  Barazimi  (8)  përftohet  nga  barazimi    (6),  duke  kaluar  në  limit  në  të  dyja  anët  e  tij  kur  − x → b .    Formula (8) është një formulë e tipit Njuton‐Leibnici.    Teorema 3.2.3. ‐ (Rezultati 2) Në qoftë se derivati i djathtë f +'  i funksionit  të vazhdueshëm  

f : [ a, b] → R ,    është  i  kufizuar  në  gjysmë  segmentin  [a, b) ,  atëherë  funksioni f   është  pothuajse 

kudo i derivueshëm në  [a, b) . 

x

 

Vërtetim i teoremës 3.2.3. ‐ Dimë që  derivati i funksionit   x a φ ( x)  =  ( L ) ∫ f (t )dt  , ku  f   a

është  i  integrueshëm  në  [ a, b ] ,  është  pothuajse  kudo  i  barabartë  me  funksionin f ;  kjo  teoremë  gjendet në [6] ose [15]. Po të derivojmë barazimin (2) në pikën x ∈ [a, b) ,  dhe të zbatojmë pohimin  x

e  mësipërm për integralin  (L ) ∫ f +' (t )dt  ,  gjejmë:  a

f +' ( x) = f ' ( x) ( pothuajse kudo në [ a, b ] )     

 

 

(9) 

  çka provon se teorema 3.2.3  është e vërtetë.  Shtrohet pyetja: Çfarë kushtesh duhet të gëzojë derivati i djathtë  f +'  që barazimi (7) të jetë i  vërtetë  në  çdo  pikë  x ∈ [a, b) ?    Meqenëse  derivati  i  një  funksioni  e  ka  cilësinë  Darbú,  mund    të  mendonim që mjafton që edhe derivati i djathtë ta kishte këtë cilësi, gjë që, siç do ta tregojmë më  poshtë, nuk është e vërtetë. Për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar, na vijnë në ndihmë dy pohimet e  mëposhtme, të cilat i kemi huazuar nga [9].      Lema 3.2.2. ‐ Në qoftë se   f  është  funksion i matshëm, i kufizuar dhe ka cilësinë  Darbú në 

[ a, b] , atëherë  për  çdo nënsegment  I = [ p, q] ⊂ [ a, b]  ekziston të paktën një pikë  ξ ∈ I e tillë që   106

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

q

( L ) ∫ f ( x ) dx = f (ξ ) I        ( I = q − p ) 

 

 

 

(10) 

p

Siç dihet,  pika  ξ  quhet "pikë mesatare e intervalit  I në lidhje me funksionin  f " .   

Lema 3.2.3. ‐ Le të jetë   f  një funksion i kufizuar që ka cilësinë Darbú në  [ a, b] . Atëherë  f  

është derivat i një funksioni në  [ a, b ]  në qoftë se dhe vetëm në qoftë se :     

(i)  f  është i matshëm dhe 

(ii) për çdo  x ∈ [ a, b]  dhe për çdo varg nënsegmentesh  I n = [ pn , qn ] ⊂ [ a, b]  

që  konvergjon tek pika  x   ( I n → x ) kemi  f ( xn ) → f ( x) , ku  xn  është pikë mesatare e  I n në lidhje  me funksionin  f .     Teoremë 3.2.4. ‐ (Rezultati 3) Në qoftë se derivati i djathtë   f +'   i funksionit  të vazhdueshëm  

f : [ a, b] → R  plotëson kushtet: 

 

(i)  është  funksion Darbú në gjysmë segmentin  [a, b)  dhe,  

(ii)   për çdo  x ∈ [ a, b]  dhe për çdo varg nënsegmentesh  I n = [ pn , qn ] ⊂ [ a, b]     ' ' që  konvergjon tek pika  x   ( I n → x ) kemi  f+ ( xn ) → f+ ( x) , ku  xn  është pikë mesatare e  In  në  lidhje 

 

me funksionin  f , atëherë funksioni  f  është kudo i derivueshëm në  [a, b) .     Vërtetimi i teoremës 3.2.4. ‐  Në lidhje me funksionin  f +'   jemi në kushtet e teoremës 3.2.1,   kështu që është i vërtetë barazimi    x

(L ) ∫ f +' (t )dt = f ( x) − f (a )    

 

 

 

 

(11) 

 

 

 

(12) 

a

Me tej, duke arsyetuar si në [9], mund të tregojmë që    

x ∈ [a, b) ,             f +' ( x) = f ' ( x)   

 

   

5.4. Studimi i funksioneve konvekse të një ndryshori me anë të derivateve të njëanshme 5.4.1. Hyrje   Objekt studimi do të jenë funksionet konvekse. Një pjesë e pohimeve  që do të ndeshim në  vazhdim janë të njohura, por këtu kemi treguar se do të përdorim lemën e Berit si dhe një trajtë të  teoremës  së  shtesave  të  fundme  për  funksionet  gjysmë  të  derivueshme.  Ndërkohë  kemi  përmirësuar një rezultat të  artikullit të  Hugo Álvarez mbi karakterizimin e funksioneve konvekse. 

5.4.2. Përkufizimi i funksionit konveks    Koncepti i funksionit konveks është  koncept qendror në teorinë e optimizmit.  Kujtojmë  që segmenti drejtvizor që bashkon dy pika të çfarëdoshme të  graf ( f )  quhet kordë e graf ( f ) .    Përkufizimi gjeometrik    E zëmë se f është një  funksion me  vlera  reale  i një  ndryshori  real, i përcaktuar në ndonjë  interval. Atëherë  funksioni  f  është 

107

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

•  "konveks nga poshtë" në qoftë se çdo kordë e graf ( f )  nuk ndodhet sipër  graf ( f ) ;        •  "konveks nga sipër" në qoftë se çdo kordë e graf ( f )  nuk ndodhet poshtë  graf ( f ) .                                                 Funksion “konveks                         Funksion “konveks                         Funksion “jokonveks”                                  nga poshtë”                                 nga sipër” 

  Për ta bërë konceptin e funksionit konveks të dobishëm, do ta shprehim  përkufizimin e tij  në terma algjebrike.    E  zëmë  se  funksioni  f     është  i  përcaktuar  në  intervalin  (a, b) .  Sipas  përkufizimit  të  funksionit  konveks,  për  çdo  çift  numrash x1 e  x2 ,    ku  a < x1 < b   dhe a < x2 < b ,  korda  që  bashkon 

pikat    ( x1 , f ( x1 ) ) dhe ( x2 , f ( x2 ) )   nuk  ndodhet  sipër  graf ( f )   në  rastin  kur f është      konveks  nga  poshtë , dhe  nuk ndodhet poshtë  graf ( f )  në rastin kur f është   konveks nga sipër                         Shënojmë  me hx1x2 ( x) ordinatën    e  kordës  M 1M 2   në  pikën  x .  Kështu  që,    funksioni  f   është   "konveks nga poshtë" në intervalin  (a, b) , vetëm nëse  ∀x ∈ (x1 , x2 )            f ( x) ≥ hx x ( x)     1 2

 

 

 

(1) 

dhe do të jetë "konveks nga sipër" në intervalin  (a, b) , vetëm nëse  ∀x ∈ (x1 , x2 )         f ( x) ≤ hx1x2 ( x) (2)          uuuur   uuur Ndërkohë,  meqenëse  vektorët  x1 x   e    x1 x2   janë  bashkëvijorë  (kolinearë)  dhe  me  kahe  të  njëjtë  , 

ekziston numri  t ∈ [ 0,1] i tillë që  

uuuur uuuur x1 x2 = t ⋅ x1 x2       ⇔    x2 − x1 = t ( x − x1 )         ⇔  

 

x   =    tx1 + (1 − t ) x2

 

 

 

 

   Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, gjejmë      

108

 

 

 

(3)

 

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

hx1x2 ( x) =    tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )         

 

 

 

 

 

(4)

 

Tani mund  të  japim  përkufizimin e funksionit konveks në trajtë algjebrike.  Përkufizimi algjebrik  E  zëmë  se  f është  një    funksion  me    vlera    reale    i  një    ndryshori    real,  i  përcaktuar  në 

ndonjë interval  (a, b) . Atëherë  funksioni  f  është  •  "konveks nga poshtë" vetëm në qoftë se:     ∀x1 , x2 ∈ (a, b )  dhe   ∀t ∈ (0,1) ,  f ( tx1 + (1 − t ) x2 ) ≥ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )  

(5) 

•  "konveks nga sipër" " vetëm në qoftë se:  ∀x1 , x2 ∈ (a, b )  dhe   ∀t ∈ (0,1) ,  f ( tx1 + (1 − t ) x2 ) ≤ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )  

(6) 

 

    Duke u nisur nga përkufizimi i mësipërm, mund të shënojmë këto raste të veçanta:      (a)  Në  qoftë  se  në  mosbarazimin  (5)  ose  (6),  mosbarazimi  i  zbutur  ka trajtën e barazimit, do të thotë  ∀t ∈ (0,1)  ,       f ( tx1 + (1 − t ) x2 ) = tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )  ,     atëherë funksioni f  është  funksion  afin  në  [ x1 , x2 ] , d.m.th.  

∀x ∈ [ x1 , x2 ] ,       f ( x) = kx + b ,  ku  k dhe  b janë konstante reale.      (b) Në qoftë se në përkufizimin e "funksionit konveks nga sipër", mosbarazimi (5)  ( ose (6))  është rigoroz, atëherë funksioni konveks quhet rigoroz  ("nga poshtë", përkatësisht "nga sipër").      c)  Shpesh  ekonomistët    pretendojnë  se      prodhimi  i  firmave  të  ndryshme  shprehet  matematikisht  me anë të funksioneve  "jozvogëluese" dhe "konvekse nga poshtë".    Të shprehësh  prodhimin e firmës me anë të një  funksioni  jozvogëlues,  do të thotë që me  rritjen e "imput‐it"  (të hyrat, të dhëna, lëndë e parë ) rritet edhe  "output‐i"  (të dalat, rezultati,  prodhimi). Fakti që prodhimi i firmës shprehet me anë të një funksioni "konveks nga poshtë", do të  f ( x + Δx) − f ( x) thotë që ritmi i rritjes  së  prodhimit  zvogëlohet,  d.m.th.     ( apo, më saktë,  f ' ( x) ),  Δx zvogëlohet  me  rritjen  e  x − it .    Ndryshe,themi  që  këndi  që  formon  tangjentja    e  graf ( f )     me  boshtin e abshisave, zvogëlohet me rritjen e  x − it  (shih figurën)                      109

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

  Kuptimi i funksionit konveks, siç dihet,  është shumë i rëndësishëm në teorinë e optimizmit,  sepse  çdo  zero  e    derivatit    të  funksionit    "  konveks  nga  sipër"  shërben  si  pikë  minimumi  e  funksionit, dhe çdo zero e derivatit të funksionit  " konveks nga poshtë"  shërben si pikë maksimumi  e funksionit. 

5.4.3. Lema e Ber­it (Baire)    Kemi  konstatuar  se  disa  nga  pohimet  e  rëndësishme  për  funksionet  konvekse,  mund  të  vërtetohen më me lehtësi po qe se përdorim të ashtuquajturën " Lema e Berit".     Le të jetë  x a f ( x ) një funksion i përcaktuar në intervalin  (a, b)  dhe   u    e    v  dy pika të  ndryshme të këtij intervali. Shënojmë me  K   funksionin e  dy ndryshoreve, të përcaktuar nga formula:  f (u) − f (v) K (u, v) =   u −v   Ky  funksion,  i  cili  shpreh  koeficientin  këndor  të  kordës  së  graf ( f )   që  bashkon  pikat ( u, f (u) )   dhe 

( v, f (v) ) ,  ka një veti interesante dhe të dobishme.     (a) Lema e Berit për një funksion çfarëdo   Në qoftë se   u ,  v  dhe  w  janë tri pika të segmentit  [ a, b] , të radhitura si vijon 

  

u < v < w,  atëherë  është i vërtetë njëri nga mosbarazimet e dyfishta:    K (u , v) ≤ K (u, w) ≤ K (v, w)           ose          K (u , v) ≥ K (u, w) ≥ K (v, w)       Pra, lema e Berit pohon se për funksionin  f  është i vërtetë njëri nga mosbarazimet      f (u ) − f ( v ) u−v

≤

f (u ) − f ( w) u−w

≤

f (v) − f ( w) v−w

  f (u ) − f ( v ) u−v

        

≥

f (u ) − f ( w) u−w

≥

 

 

 

 

 

 

 

 

f (v) − f ( w) v−w

 

(1) 

(2) 

(b)  Lema e Berit për një funksion  konveks    E zëmë se  x a f ( x )  është  funksion " konveks  nga poshtë"  në segmentin  [ a, b]  dhe  le të 

jenë   u ,  v  dhe  w  tri pika të segmentit  [ a, b ] , të radhitura si vijon 

u < v < w, 

 

Meqenëse   f   është  "konveks  nga poshtë",  për pikat  u  dhe  w mund të shkruajmë:  

∀t ∈[ 0,1] ,            f ( tu + (1 − t )w) ≥ tf (u) + (1 − t ) f (w)   

 

(3) 

  Zgjedhim atë vlerë të  t − së ,  për të cilën  tu + (1 − t ) w = v , që do të thotë se  del se  w−v t= ∈ (0,1)   w−u Për  këtë vlerë të  t − së ,  mosbarazimi (3) merr trajtat e njëvlershme 

110

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

f (v) ≥  

⇔     

w−v w−v ⎛ w−v ⎞ f (u ) + ⎜1 − ( f (u) − f (w) )   ⎟ f ( w)     ⇔    f (v) − f ( w) ≥ w−u w−u ⎝ w−u ⎠

f (v) − f ( w) f (u ) − f ( w) f (v) − f (w) f (u ) − f ( w) ≥ ≥ ⇔         ( β ≥ γ ) w−v w−u v −u u−w      

  Që këtej del se trajta e lemës së Berit për funksionin "konveks nga poshtë "është:  f (u) − f (v) f (u) − f (w) f (v) − f (w) ≥ ≥ (4)  (α ≥ β ≥ γ )     u −v u−w v−w          Tani është e qartë se për funksionet " konvekse nga sipër", lema e Berit ka trajtën:    f (u) − f (v) f (u) − f (w) f (v) − f (w) ≤ ≤ (5)  (α ≤ β ≤ γ )     u −v u−w v−w            Mosbarazimi (4) (përkatësisht (5)) shërben si kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm  që  funksioni  f  të jetë  "konveks  nga poshtë "). ( përkatësisht, "konveks  nga sipër ")   

5.4.4. Përdorimi i lemës së Berit për nxjerrjen e vetive kryesore të funksioneve  konvekse     Këtu do të shohim se si disa nga vetitë e njohura të funksionit konveks, mund të nxirren me  anë të lemës së Berit.     Le të jetë  f : [ a, b] → R  "funksion konveks nga sipër".      Teoremë  4.4.1.  ‐  Funksioni  konveks  nga  sipër  ka  derivate  të  njëanshme  në  çdo  pikë  të  intervalit  (a, b) , të cilat i binden mosbarazimit    f −' ( x0 ) ≤ f +' ( x0 )  .    Vërtetimi.  ‐  Shqyrtojmë  pikat  x0 ,  x1   dhe  x2 të  tilla    që  a < x0 < x1 < x2 < b ,  dhe  shkruajmë  lemën e Berit për  këto pika:    f ( x0 ) − f ( x1 ) f ( x0 ) − f ( x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ ≤   x0 − x1 x0 − x2 x1 − x2   Mosbarazimi i parë i këtij mosbarazimi të dyfishtë mund të shkruhet në trajtën    f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x2 ) − f ( x0 ) ≤ x1 − x0 x2 − x0     që  tregon se funksioni i një ndryshori     f ( x) − f ( x0 ) x a F ( x) =              x ∈ ( x0 , b )         (1)  x − x0 është    "funksion  monoton    jozvogëlues"    në  (x0 , b ) .  Meqenëse  pika  x0 ∈ (a , b )   është  e 

çfarëdoshme, rrjedh se funksioni  F është monoton  jozvogëlues në  (a, b) . Që këtej rrjedh se  F  ka 

111

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

limite të njëanshme në çdo pikë të intervalit  (a, b) , pra edhe në pikën  x0 . Por, limitet e njëanshme    të funksionit  monoton  F  në pikën  x0  janë derivatet e njëanshme           

⎧ f ( x) − f ( x0 ) ⎫ f −' ( x0 ) = sup { F ( x)} = sup ⎨ ⎬    x − x0 x < x0 x < x0 ⎩ ⎭

 

 

(2) 

⎧ f ( x) − f ( x0 ) ⎫ f +' ( x0 ) = inf { F ( x)} = inf ⎨ ⎬  x > x0 x > x0 x − x0 ⎩ ⎭

 

 

(3)

   

 

  të funksionit "konveks  nga sipër" f dhe  se    f −' ( x0 ) ≤ f +' ( x0 )               (4)      Shënim.‐ Në   qoftë se shqyrtojmë pikat   x1 ,   x0  dhe   x2 , të tilla që  a < x1 < x < x2 < b,  dhe  shkruajmë    lemën  e  Berit  për  funksionin  "konveks  nga  sipër" f ,  përftohet  mosbarazimi  i  katërfishtë:     f ( x0 ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x0 ) − f ( x2 ) f +' ( x1 ) ≤ ≤ ≤ ≤ f −' ( x2 )   (5)  x0 − x1 x2 − x1 x0 − x2        Teoremë 4.4.2.  ‐ Funksioni  f +'  është monoton jozvogëlues  në  [a, b) .    Vërtetimi.  ‐  Po  të  mbajmë  parasysh  mosbarazimit  (4),  kemi  f −' ( x2 ) ≤ f +' ( x2 ) ,  dhe  po  të  mbajmë parasysh mosbarazimin (5), mund të shkruajmë      f +' ( x1 ) ≤ f −' ( x2 ) ≤ f +' ( x2 )  

që do të thotë se  

f −' ( x2 ) ≤ f +' ( x2 )        

 

 

 

Mënyra e dytë e vërtetimit.  nga mosbarazimi bashkësior     ⎧ f ( x) − f ( x1 ) ⎫ ⎧ f ( x) − f ( x2 ) ⎫ / x > x1 ⎬ ⊃ ⎨ / x > x2 ⎬   ⎨ x − x1 x − x2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

  rrjedh mosbarazimi numerik    ⎧ f ( x) − f ( x1 ) ⎫ ⎧ f ( x) − f ( x2 ) ⎫ inf ⎨ ≤ inf ⎨ ⎬ ⎬  x > x1 x − x1 x − x2 ⎩ ⎭ x > x2 ⎩ ⎭

  që do të thotë se  f +' ( x1 ) ≤ f +' ( x2 ) . 

 

112

(6) 

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

Teoremë  4.4.3.  ‐    Në  qoftë  se    f : [ a, b] → R   është  "funksion  konveks  nga  sipër",  atëherë 

është e vërtetë formula   

f +' (a) ≤

f ( x2 ) − f ( x1 ) − ' ≤ f − (b)   x2 − x1

 

 

(7) 

  e cila mund të konsiderohet si "formula e shtesave të fundme" për funksionet konvekse (nga sipër).    Vërtetimi. ‐ Formula (7) përftohet duke  zëvendësuar  në  (5)   x1 = a  dhe  x2 = b .     Teoremë 4.4.4. ‐   Funksioni  f +'  është i kufizuar në gjysmë‐intervalin  [a, b) .   

Vërtetimi. ‐  Zëvendësojmë në (7)  x2 = x  dhe   x1  çfarëdo  në  (a, b)   dhe kalojmë në limit 

kur  x → x1+ : 

f ( x) − f ( x1 ) ≤ f −' (b)          ⇒       f +' ( a ) ≤ f +' ( x1 ) ≤ f −' (b )   x − x1 Meqenëse  pika   x1  është e çfarëdoshme, rrjedh se teorema 4.4.4  është i vërtetë.        Teoremë  4.4.5.  ‐    Në  qoftë  se  f : [ a, b] → R   është    funksion  konveks,  atëherë  ai  plotëson  f +' (a ) ≤

kushtin e Lipshitz‐it .    Vërtetimi. ‐  Nga (7) rrjedh se për çdo dy numra të  ndryshëm  x1  e  x2  nga  [ a, b ] , mund të  shkruajmë  f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ max f −' (a ) , f +' (b) = K   x2 − x1

{

}

 

⇔       f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ K x2 − x1      

 

 

 

 

(8) 

Teoremë  4.4.6.  ‐  Në  qoftë  se  f : [ a, b] → R   është    funksion  konveks,  atëherë  ai  është  i 

vazhdueshëm në  [ a, b] .    

Vërtetimi.  ‐ Shkruajmë mosbarazimin (9) për pikat x0  dhe  x nga  [ a, b] : 

f ( x) − f ( x0 ) ≤ K x − x0  

 

 

 

 

 

(9) 

  dhe  të kalojmë në limit kur  x → x0 . Nga ky veprim do të gjejmë  lim f ( x) = f ( x0 )  çka do të thotë  x → x0

se funksioni  f  është i vazhdueshëm në pikën  x0 .     Teoremë  4.4.6'.  ‐  Në  qoftë  se  f : [ a, b] → R   është    funksion  konveks,  atëherë  ai  është  absolutisht i vazhdueshëm në  [ a, b] .     Vërtetimi.  ‐  Ky  fakt  rrjedh,  siç  dihet  nga  përkufizimi  i  funksioneve  absolutisht  të  vazhdueshme.    Teoremë  4.4.7.  ‐    Në  qoftë  se  f : [ a, b] → R   është    funksion  konveks,  atëherë    derivati  i 

djathtë   f +'  është i vazhdueshëm nga e djathta në  [a, b) .  

113

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

  Vërtetimi.  ‐  Meqenëse  funksioni  f +'   është  monoton    jozvogëlues,  mund  të  pohojmë  se  ekziston limiti i djathtë i funksionit     f +' ( x0 +) = lim+ f +' ( x) = inf f +' ( x)            (10)  x → x0

x > x0

{

}

   Në bazë të lemës 1, paragrafi 5.3.2, ekzistojnë numrat  cx  dhe  d x  në  [ x0 , x] , të tillë që 

f +' (cx ) ≤

f ( x) − f ( x0 ) ≤ f +' (d x )   x − x0

Po të kalojmë në limit në (11) kur  x → x0+   :   

lim f +' (cx ) ≤ lim+

x → x0+

x → x0

 

 

 

 

(11) 

f ( x) − f ( x0 ) ≤ lim+ f +' (d x )   x → x0 x − x0

   dhe të mbajmë parasysh që  cx → x0+  dhe   d x → x0+  , gjejmë    f +' ( x0 + ) ≤ f +' ( x0 ) ≤ f +' ( x0 + )    ose  f +' ( x0 + ) = f +' ( x0 ) ,            (12)    çka provon se limiti i djathtë i derivatit të djathtë në pikën  x0 , është i barabartë me vlerën e këtij  derivati në pikën  x0 . Pra, funksioni  f +'  është i vazhdueshëm nga e djathta në pikën  x0 . Njëlloj mund  të vërtetohet se derivati i majtë  f −'  është  funksion i vazhdueshëm nga e majta në pikën  x0 .      Teoremë 4.4.8. ‐  Në qoftë se funksioni  konveks  f : [ a, b] → R  është   i derivueshëm në  një  interval  I ⊂ [ a, b] , atëherë derivati  f '  është i vazhdueshëm në intervalin  I .    Vërtetimi.  ‐  Vërtetësia  e  kësaj  teoreme  rrjedh  drejtpërdrejt  nga  teorema  4.4.7.  Vërtet,  meqenëse  ekziston derivati  f '  në  Ι , rrjedh se në  Ι  ekzistojnë edhe derivatet e njëanshme  f −'  dhe  ' f +'  , të cilët janë të barabartë me derivatin   f   

f−' = f+' = f '   Meqenëse  f −'   është  i  vazhdueshëm  nga  e  majta  dhe  f +'   i  vazhdueshëm  nga  e  djathta,  rrjedh  se  edhe  f '  është i vazhdueshëm njëherësh nga e majta dhe e djathta në  Ι  pra, është i vazhdueshëm  në këtë interval.    Teoremë  4.4.9.  ‐    Në  qoftë  se  funksioni  f : [ a, b] → R   është    konveks,  atëherë  derivati  f '   është i vazhdueshëm në  [ a, b] , me përjashtim ndoshta të një bashkësie të numërueshme pikash të  këtij segmenti.    Vërtetimi.  ‐    Meqenëse    funksioni  f +'   është    jozvogëlues  në  [a, b) ,  atëherë  bashkësia  e  pikave të këputjes së tij është  të shumtën e numërueshme. Me fjalë të tjera, funksioni f +'  është i  vazhdueshëm në  [a, b) , me përjashtim ndoshta të një bashkësie të numërueshme pikash    x1 ,    x2  , ... ,  xn  , ... 

114

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

E njëjta gjë mund të thuhet për derivatin e majtë : funksioni f −'  është i vazhdueshëm në  (a, b], me  përjashtim ndoshta të një bashkësie të numërueshme pikash   x '1 ,    x ' 2  , ... ,  x 'n  , ... 

Që  këtej  rrjedh  se  derivati  f '   është  i  vazhdueshëm  në  [ a, b ] ,me  përjashtim  ndoshta  të  një  bashkësie të numërueshme pikash 

x1 ,   x '1 ,   x2 .  x ' 2 , ... ,  xn  ,  x 'n , ... 

 

Teoremë 4.4.10. ‐ Në qoftë se  f : [ a, b] → R  është  funksion konveks, atëherë funksioni  f '   

është i integrueshëm sipas Rimanit në çdo segment [a, x] ⊂ [a, b) , ndërkohë  x

f ( x) = f (a ) + (R ) ∫ f ' (t )dt ,          x ∈ [a, b)     a  

 

 

(13) 

    Vërtetimi. ‐ Sipas  teoremës 4.4.9, bashkësia e pikave të këputjes së derivatit  f ' , duke qenë  e numërueshme, e ka masën (sipas Lebegut)  zero. Tani,  vërtetësia e teoremës 4.4.10 rrjedh nga  fakti se në teorinë e integralit të Rimanit, sikurse dihet, provohet se:    (I)    Derivati  f '   është  i  integrueshëm    sipas    Rimanit      atëherë  dhe  vetëm  atëherë  kur  bashkësia  e  pikave  të  këputjes  së  tij,  e  cila  është  e  tipit  Fσ ,  të  ketë  masën  sipas  Lebegut  të  barabartë me zero.    (II)  Çdo funksion  f : [ a, b] a R që e ka derivatin   f '   të  integrueshëm  sipas  Rimanit  në  

segmentin  [ a, b ] , është i integral i pacaktuar  (i Rimanit) i derivatit të vet:  x

 

∀x ∈ [ a, b] ,   f ( x) = f (a ) + (R ) ∫ f ' (t )dt       (14)  a     Teoremë 4.4.10’. ‐ Në qoftë se  f : [ a, b] → R  është  funksion konveks, atëherë funksioni  f '  

është i integrueshëm sipas Lebegut në çdo nënsegment  [a, x] ⊂ [a, b) , ndërkohë  x

f ( x) = f (a) + (L ) ∫ f ' (t )dt           x ∈ [ a, b]     a  

 

 

(15) 

  që do të thotë se funksioni konveks mund të shprehet me anë të derivatit të nëpërmjet operatorit të  integrimit të Lebegut.    Vërtetimi. ‐ Në saje të teoremës 4.4.6' funksioni  f  është absolutisht i vazhdueshëm. Nga  ana tjetër,  dihet që çdo funksion absolutisht i vazhdueshëm është integral i pacaktuar i Lebegut i  derivatit të vet [5].     Teoremë 4.4.11. ‐ (Rezultati 1) Në qoftë se  f : [ a, b] → R  është  funksion konveks, atëherë  funksioni  f +'  është i integrueshëm sipas Lebegut në çdo nënsegment  [a, x] ⊂ [a, b) , ndërkohë  x

f ( x) = f (a) + (L ) ∫ f +' (t )dt           x ∈ [a, b)     a  

 

 

(16) 

  që  do  të  thotë  se  funksioni  konveks  mund  të  shprehet  me  anë  të  derivatit  të  djathtë  nëpërmjet  operatorit të integrimit të Lebegut. 

115

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

 

 Vërtetimi.  ‐  Derivati  i  djathtë  f +'   ekziston  kudo  në  [a, b)   dhe  është  funksion  monoton 

jozvogëlues, që do të thotë se në segmentin  [ a, x ] kemi  

f +' ( a ) ≤ f +' (t ) ≤ f +' ( x )  

Pra,  mund  të  thuhet  që  funksioni  f +'   është  i  kufizuar  në  [ a, x ] .  Në  bazë  të  teoremës  4.4.1,  nënparagrafi 5.3.2, rrjedh se është e vërtetë teorema 4.4.11.        Shënim.  ‐  Në  vijim  do  të  japim  një  variant  të  dobët  të  teoremës  4.4.9,  ku  bashkësinë  e  numërueshme e zëvendësojmë me një bashkësi me masë zero (sipas Lebegut).      Teoremë 4.4.12. ‐ (Një variant i dobët i teoremës  4.4.9).  Në qoftë se  f : [ a, b] → R  është  

funksion konveks, atëherë  ai është i pothuajse kudo i derivueshëm në  (a, b) dhe ky derivat është i  vazhdueshëm.    Vërtetimi. ‐  Po të derivojmë anë për anë barazimin  (16) në një pikë   x ∈ (a, b) , përftohet   barazimi   ⎛

f ' ( x) = f+' ( x)    ⎜⎜ pothuajse kudo në ⎝

⎞ ⎡ a ,b⎤ ⎟⎟ ⎣ ⎦⎠

 

 

 

 

(17) 

që do të thotë se funksioni  f   është pothuajse kudo i  derivueshëm në  (a, b) . Barazimi  (17) mund  të  shkruhet  edhe  për  derivatin  e  majtë.  Duke  pasur  parasysh  vazhdueshmerinë  e  njëanshme  të  derivateve  të  njëanshme,  rrjedh  se  derivati  është  i  vazhdueshëm  pothuajse  kudo  në  segmentin   [ a, b] .     

5.4.5. Karakterizime të funksioneve konvekse Në  qoftë  se  në  përkufizimin  e  funksionit  konveks  (nga  sipër)  zëvendësojmë  t = 1 2 ,   përftohet mosbarazimi    ⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ (a, b)            f ⎜ 1 2 ⎟ ≤       (1)  2 ⎝ 2 ⎠   që  do  të  thotë  se  në  qoftë  se  funksioni  f është  "konveks  nga  sipër",  atëherë  është  i  vërtetë  mosbarazimi  (1).  Shtrohet  pyetja    e  natyrshme:  A  është  i  vërtetë  pohimi  i  anasjellë,  d.m.th.  nga  vërtetësia e mosbarazimit  (1) a rrjedh që funksioni  f   është  konveks f  ?  Përgjigjen negative të  kësaj pyetjeje e gjejmë në kundërshembullin e mëposhtëm [11].                    

116

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

           

Kundërshembull. Funksioni  f ,  i përcaktuar nga formula 

 

⎧ x 2 , nëse x është numër racional;   f ( x) = ⎨ nëse x është numër irracional. ⎩0, Funksioni  f  e plotëson mosbarazimin (1). Vërtet le të marrim dy pika  x1 ≠ x2 . 

  Rasti 1.    x1  e  x2 : "numra racionalë"  Atëherë  2

 

f ( x1 ) + f ( x2 ) x12 + x2 2 ⎛x +x ⎞ ⎛x +x ⎞ = f ⎜ 1 2 ⎟ = ⎜ 1 2 ⎟  ,         2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠   2 Duke u nisur nga  mosbarazimi i vërtetë  ( x1 − x2 ) ≥ 0 , mund të provojmë se  

 

⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) f ⎜ 1 2 ⎟<     2 ⎝ 2 ⎠

 

 

(2) 

    Rasti 2.    x1  e  x2 : "numra irracionalë"       Atëherë  f ( x1 ) + f ( x2 ) ⎛x +x ⎞ =0  f ⎜ 1 2 ⎟ = 0,             2 ⎝ 2 ⎠ që do të thotë se   ⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) f ⎜ 1 2⎟=          (3)  2 ⎝ 2 ⎠   Rasti 3.    x1 : "numër  racional"    dhe  x2 : "numër  irracional"       Atëherë   f ( x1 ) + f ( x2 ) x12 ⎛x +x ⎞ =   f ⎜ 1 2 ⎟ = 0,             2 2 ⎝ 2 ⎠ që do të thotë se  ⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) f ⎜ 1 2 ⎟<         (4)  2 ⎝ 2 ⎠   Rasti 4.    x1 : "numër  irracional"    dhe  x2 : "numër  racional"     Njëlloj si në rastin (3) provohet se është i vërtetë mosbarazimi (1).     Megjithatë  ,    funksioni f   nuk  është  funksion  konveks,  sepse,    siç  dihet,    çdo  funksion  konveks  në një interval është i vazhdueshëm në atë interval  [3], ndërkohë, funksioni  f  nuk  është  i vazhdueshëm në asnjë  interval; ai është i vazhdueshëm vetëm në pikën  x = 0 .     Përgjigjen e një pyetjeje tjetër  se çfarë kushti plotësues, përveç mosbarazimit (1), mjafton  të plotësojë funksioni  f  për të  qenë konveks, e gjejmë në teoremën vijuese.   

117

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

 

Teoremë  4.5.1.  ‐  Në  qoftë  se  funksioni  f : [ a, b] a R është    i    vazhdueshëm    në [ a, b] , 

atëherë       

(Ι )      

(f

⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) është konveks )    ⇔     (ΙΙ )    f ⎜ 1 2 ⎟ ≤   2 ⎝ 2 ⎠

Vërtetimi:  • Të vërtetojmë  që  (Ι)   ⇒   (ΙΙ ) . Sikur e përmendem më lart,  kjo rrjedh drejtpërdrejt nga 

(6) për  t = 1 2 .  •  Të vërtetojmë  që   (ΙΙ )   ⇒ (Ι) . Vërtetimi i këtij fakti është i lehtë, megjithatë  po japim    një vërtetim interesant të cilin e kemi gjetur te [14]. Mund të provohet me metodën e induksionit  të plotë matematik se    ∀n ∈ N ,   ∀x1 , x2 ∈ R 2 ,  ∀k ∈ N ,    ⎛ k ⎞ k k ⎞ ⎛ k n f ⎜ n x1 + (1 − n ) ⎟ ≤ n f ( x1 ) + (1 − n ) f ( x2 ) ⎟   (5)   ⇒ ⎜k ≤ 2 2 ⎠ 2 2 ⎝2 ⎝ ⎠  

Fiksojmë  t ∈ [ 0,1] . Atëherë, për çdo  n ∈ N , gjendet  k n ∈ {0, 2,..., 2 n }  e tillë që 

kn k +1 k ≤ t ≤ n n      (në veçanti   lim nn = t  )    n n→∞ 2 2 2

 

 

(6) 

k k ⎛k ⎞ k f ⎜ nn x1 + (1 − nn ) x2 ⎟ ≤ nn f ( x1 ) + (1 − nn x2 ) f ( x2 )    2 2 ⎝2 ⎠ 2

 

(7) 

Nga (5) kemi 

    Po të kalojmë në limit në (7) kur  n →∞ dhe të marrim parasysh (6), gjejmë:    f ( tx1 + (1 − t ) ) ≤ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )          

(8) 

çka tregon se funksioni  f  është konveks.      Teoremë  4.5.2.  ‐  (Rezultati  2)    Le  të  jetë  f : [ a, b] → R   funksion  i  vazhdueshëm  dhe  i 

derivueshëm nga e djathta në  [a, b) .    Kusht    i    domosdoshëm  dhe  i  mjaftueshëm  që  funksioni  f   të  jetë  konveks  (nga  sipër)  në  

[ a, b]  është që  

∀x ∈ (a, b) ,     f ( x) ≥ f ( x0 ) + f +' ( x0 )( x − x0 )    

 

 

(9) 

   ku  x0  është një pikë çfarëdoshme (e fiksuar) e  [a, b) .    Vërtetimi:     •Të  provojmë që kushti (9) është i domosdoshëm.     Le të jenë  x ∈ [ a, b] ,  x0 ∈ [a, b )  dhe  t ∈ [ 0,1] . Nga përkufizimi algjebrik i funksionit konveks  kemi     

f ( tx + (1 − t ) x0 ) ≤ tf ( x) + (1 − t ) f ( x0 )   Mosbarazimin (10) e rishkruajmë në trajtën  118

 

 

 

(10) 

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

f ( tx + (1 − t ) x0 ) − f ( x0 ) ≤ t ( f ( x) − f ( x0 ) )    

 

 

(11) 

Dimë që funksioni konveks ka derivate të  njëanshme  f ( x )  dhe  f ( x) në  çdo pikë x ∈ (a, b)  dhe se  këto derivate i binden mosbarazimit  f −' ( x ) ≤ f +' ( x )  .     Dallojmë dy raste.      Rasti 1.  x > x0 .   ' −

' +

  U  zbresim  të  dyja  anëve  të    mosbarazimit  (11)  shprehjen  tf +' ( x0 )( x − x0 )   dhe  pastaj  pjesëtojmë me  t :    f ( tx + (1 − t ) x0 ) − f ( x0 ) − tf +' ( x0 )( x − x0 ) ≤ f ( x) − f ( x0 ) − f +' ( x0 )( x − x0 )   t ose       f ( tx + (1 − t ) x0 ) − f ( x0 ) ( x − x0 ) − tf +' ( x0 )( x − x0 ) ≤ f ( x) − f ( x0 ) − f +' ( x0 )( x − x0 )   t ( x − x0 ) Po të kalojmë në limit në mosbarazimin e fundit kur  t → 0+ , ana e majtë do të tentojë drejt zeros.  Kështu që, pas kalimit në limit,  ky mosbarazim merr trajtën                          f ( x) ≥ f ( x0 ) + f +' ( x0 )( x − x0 )   Rasti 2.  x < x0 .     Duke vepruar njëlloj si në rastin e parë, gjejmë:  f ( x) ≥ f ( x0 ) + f −' ( x0 )( x − x0 )     Meqenëse   f −' ( x ) ≤ f +' ( x )  dhe x < x0 , mund të shkruajmë : 

f −' ( x)( x − x0 ) ≥ f +' ( x)( x − x0 )   ose   f ( x) ≥ f ( x0 ) + f +' ( x0 )( x − x0 )   që do të thotë se në të dyja rastet plotësohet mosbarazimi (8).    Për   x = x0 mosbarazimi (9) shndërrohet në barazim.    •Të  provojmë që kushti (9) është i mjaftueshëm. Pra, e zëmë se plotësohet mosbarazimi    (9) dhe të provojmë që funksioni  f është konveks. Marrim  në intervalin   (a, b)  pikat  x1 e  x2 . Shënojmë  x0 = x1 + x2 . Mund të shkruajmë   2   f ( x1 ) ≥ f ( x0 ) + D + f ( x0 )( x1 − x0 )     dhe        f ( x2 ) ≥ f ( x0 ) + D + f ( x0 )( x2 − x0 )       Po të mbledhim anë për anë dy mosbarazimet e fundit, gjejmë:    f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) ≥ 2 f ( x0 )       ⇔           f ( x0 ) ≤   2    x +x f ( x1 ) + f ( x2 ) ⇔             f ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟ ≤   2 ⎝ 2 ⎠       çka provon, në saje të teoremës 4.5.1, se funksioni është konveks në (a, b)  .    Shënim 1. ‐ Mosbarazimi (8) mund të shkruhet ndryshe:  119

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

 

∀x, y ∈ (a, b)   ,        f ( x) ≥ f ( y ) + f +' ( y )( x − y )     

 

 

(9') 

    Shënim 2. ‐ Në qoftë se funksioni    f  është konveks rigoroz, atëherë edhe mosbarazimi (9)  është rigoroz.    Teoremë  4.5.3.  ‐  (Rezultati  3)  Le  të  jetë  f : [ a, b] → R   një    funksion  i  vazhdueshëm  dhe  i 

derivueshëm nga  e djathta në  (a, b) . Kusht i domosdoshme dhe i  mjaftueshëm që funksioni  f  të  jetë konveks në  [ a, b]  është që   f +'  të jetë jozvogëlues në  [a, b) .   

  Vërtetimi:    • Fakti që kushti është i domosdoshëm është treguar në teoremën 4.5.2.    •  Le  të  tregojmë  që  kushti  është  edhe  i  mjaftueshëm.  Pra,  le  të  supozojmë  që  derivati  i    djathtë është funksion jozvogëlues në  [a, b) dhe le të provojmë se    

∀x1 , x2 ∈ (a, b )  dhe   ∀t ∈ (0,1)  ,      f ( tx1 + (1 − t ) x2 ) ≤ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 )

     

 

Dallojmë dy raste.     Rasti 1.  x > x0 . Në saje të lemës  3.2.1, paragrafi 5.3.2,  ekzistojnë në  (x0 , x )  pikat  cx   dhe  d x  të tilla që   f ( x) − f ( x0 ) f +' (cx ) ≤ ≤ f +' (d x )           (12)  x − x0

Në saje të monotonisë së derivatit e djathtë  f +'    ,  kemi   f +' ( x0 ) ≤ f +' (cx ) , kështu që mosbarazimi  i  dyfishtë (12) shkruhet në trajtat  e njëvlershme:      f ( x) − f ( x0 ) f +' ( x0 ) ≤      ⇔     f ( x) ≥ f ( x0 ) + f +' ( x0 )( x − x0 )   (13)  x − x0   Rasti 2.  x < x0 . Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme si në rastin e parë, mund të tregohet  se  mosbarazimi  (13)  mbetet  i  vërtetë  edhe  në  këtë  rast.  Në  bazë  të  teoremës  4..5.2,  rrjedh  se  funksioni  f  është konveks (nga sipër) në  [ a, b] .   

Teoremë 4.5.4. ‐ Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm  që  funksioni  f : [ a, b] → R  të 

jetë konveks (nga sipër) në  [ a, b ] është që ky funksion të paraqitet në trajtën  x

f ( x) = C + (R ) ∫ g (t )dt  

 

 

 

 

 

(14) 

a

 ku   g është funksion jozvogëlues në  [ a, b] dhe  C  konstante reale.       

Vërtetimi:  • Të vërtetojmë që kushti është i domosdoshëm.   E zëmë se funksioni   f : [ a, b] → R  është konveks (nga sipër) në  [ a, b] .  Nga teorema 4.4.10 

(nënparagrafi  5.4.4.) rrjedh se     x

f ( x) = f ( a) + (R ) ∫ f ' (t )dt ,                x ∈ [a, b)   a  

120

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

Po  të  zëvendësojmë  në  këtë  formulë  derivatin  f ' (t )   me  derivatin  e  djathtë  f +' (t ) ,  formula  merr  trajtën   x

f ( x) = f (a) + (R ) ∫ f +' (t )dt

(15) 

a

            ku funksioni  g (t ) = D + f (t ) është funksion jozvogëlues dhe  C = f (a)  është një konstante reale.  • Të vërtetojmë që kushti është i mjaftueshëm.       E zëmë se funksioni   f : [ a, b] → R  paraqitet në trajtën (15)  dhe të provojmë se  f  është  funksion konveks  (nga sipër) në  [ a, b] .       

Për të treguar se  f është funksion konveks, mjafton të vërtetojmë se  a ≤ u < v < w ≤ b     ⇒     

   

f (u) − f (v) f (u) − f ( w) f (v) − f ( w) ≤ ≤  (16)  u −v u−w v−w

Meqenëse  f   është  funksion  monoton,    ai  është  i  integrueshëm  sipas  Rimanit  në  [ a, b] , 

kështu që (16) shkruhet në trajtën e njëvlershme:  a≤u
(17) 

(18) 

  Në saje të teoremës për vlerën mesatare të integralit të Rimanit, ekzistojnë numrat   ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ μ1 ∈ ⎢ inf g , sup g ⎥ dhe       μ 2 ∈ ⎢ inf g , sup g ⎥ ,        v , w ⎡⎣u ,v ⎤⎦ ⎡ ⎤ ⎣⎡u ,v ⎦⎤ ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣⎡v , w⎦⎤ ⎦  të tilla që:  v

w

∫ g ( x)dx = μ ( v − u ) ,       ∫ g ( x)dx = μ ( w − v )   1

2

u

v

 Kështu që (18) merr trajtën e njëvlershme    μ (v − u ) + μ 2 ( w − v ) ≤ μ2   μ1 ≤ 1       (19)  w−u   Mosbarazimi  i  dyfishtë    (19)  është  i  vërtetë,  dhe  ky  fakt  rrjedh  nga  fakti  që  funksioni  f është  monoton jozvogëlues. Vërtet, nga mosbarazimi  μ1 ≤ μ2 rrjedhin mosbarazimet e vërteta:    μ (v − u ) + μ 2 ( w − v ) μ 2 (v − u ) + μ 2 ( w − v ) ≤ ≤ μ2 •            1 w−u w−u  

121

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

 

•              

μ1 (v − u) + μ2 (w − v) w−u

≥

μ1 (v − u) + μ1 (w − v) w−u

≥ μ1  

    Shënim.  ‐  Teoremën  4.5.3  e  gjejmë  të  vërtetuar  në  [12]  nga    Hugo    Álvarez,  por  në  një  mënyrë tjetër. Autori i artikullit , kishte si qëllim të  tregonte se karakterizimi integral i funksioneve  konvekse me anë të funksioneve jozvogëluese, duhet bërë duke përdorur operatorin  e integralit të  Rimanit  dhe jo atë të integralit të Lebegut, sepse ky i fundit ka një përformancë të ndërlikuar.      Është e kuptueshme që një arsyetim i tillë nuk qëndron. Problemi i karakterizimit integral të  funksioneve konvekse duhet trajtuar cilido qoftë operatori integral. Më poshtë do të vëmë re së ky  problem mund  të trajtohet me lehtësi në rastin kur si operator integral  shërben ai i Lebegut. Këtë  gjë e kemi bërë në teoremën e mëposhtme.      Teoremë  4.5.5.  ‐  (Rezultati  4)    Kusht  i  domosdoshëm  dhe  i  mjaftueshëm    që    funksioni  f : [ a, b] → R  të jetë konveks (nga sipër) në  [ a, b ] është që ky funksion të paraqitet në trajtën  x

f ( x) = C + (L ) ∫ g (t )dt  

 

 

 

(20) 

a

 ku   g është funksion jozvogëlues në  [ a, b] dhe  C  konstante.         

Vërtetimi:   • Të vërtetojmë që kushti është i domosdoshëm.   E zëmë se funksioni   f : [ a, b] → R  është konveks (nga sipër) në  [ a, b ] .  Nga teorema 4.4.11 

(nënparagrafi  5.4.4.) rrjedh se     x

f ( x) = f (a) + (L ) ∫ f +' (t )dt             x ∈ [a, b)   a  

  ku funksioni  g (t ) = f +' (t ) është funksion jozvogëlues dhe  C = f (a) është një konstante.  • Të vërtetojmë që kushti është i mjaftueshëm.       E zëmë se është i vërtetë barazimi (20) dhe të provojmë që funksioni  g  është konveks në 

[ a, b] .  Për  këtë  do  të  përdorim  teoremën  4.5.1  të  këtij  nënparagrafi  si  dhe  teoremën  mbi  të 

mesmen  e  integralit  të  caktuar  sipas  Lebegut    që  thotë:    Në  qoftë  se  funksioni  i  matshëm  g   në  bashkësinë e matshme  E i bindet mosbarazimit   A ≤ g ( x) ≤ B ,               (21)  atëherë  

A ⋅ m(E) ≤ ∫ g ( x)dx ≤ B ⋅ m(E)  

 

 

 

 

(22) 

E

  Tani mund  të provojmë që funksioni  plotëson kushtet e teoremës 4.5.1, d.m.th. që funksioni  f   është i vazhdueshëm dhe se   ⎛ x + x ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) ⎛x +x ⎞ f ⎜ 1 2 ⎟≤ (23)          apo       2 f ⎜ 1 2 ⎟ − f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ 0   2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠  

122

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

x

Meqenëse integrali i pacaktuar  (L ) ∫ g (t )dt është funksion absolutisht i vazhdueshëm (pra, edhe i  x0

vazhdueshëm) rrjedh se funksioni f  është i vazhdueshëm. Më tej mund të shkruajmë:   

⎛x +x ⎞ 2 f ⎜ 1 2 ⎟ − f ( x1 ) − f ( x2 ) = 2 ⎝ 2 ⎠  

x1 + x2 2

∫a

g (t ) dt −

x1

x2

∫a g (t )dt − ∫a g (t )dt  

⎛ x1 +2 x2 ⎞ ⎛ x1 +2 x2 ⎞ x1 x2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ∫ g (t )dt − ∫ g (t )dt ⎟ + ⎜ ∫ g (t )dt − ∫ g (t )dt ⎟     = a a ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x1 + x2 2

∫

x1

g (t ) dt −

x2

∫

g (t )dt  

x1 + x2 2

 

x1 + x2 ⎞ ⎛ x1 + x2 x +x ⎞ ⎞ ⎛ x + x ⎞⎛ − x1 ⎟ − g ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ x2 − 1 2 ⎟ = 0 .  ⎟⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝

≤ g ⎛⎜

       Përfundime       1.  Megjithëse problemi i  lidhjes së  vazhdueshmërisë me derivueshmërinë është i vjetër,  përsëri ka vend për hulumtim.      2.    Fraktalet  u  zbuluan  rastësisht  gjatë  zgjidhjes  së  ekuacioneve  reale  e  komplekse  me  metodën e Njutonit. Ishin zhvillimi dhe përsosja e kompjuterëve dhe  e grafikës kompjuterike  ato  që bënë të mundur evidentimin e fraktaleve.       3.    Duke  folur  në  përgjithësi,  dimensioni  i  një  fraktali  nuk  është  numër  natyror  .  Nga  pikëpamja metodologjike, ky fakt mund të konstatohet edhe me një mënyrë  të thjeshtëzuar, duke  shmangur përdorimin e hapësirave metrike të Hausdorfit si dhe përkufizimin rigoroz të dimensionit  të një fraktali. Kështu, disa  njohuri mbi fraktalet mund të trajtohen edhe në fakultetet inxhinierike.     Mund të thuhet që fraktali më i vjetër është grafiku i funksionit të Veiershtrasit, i cili është  kudo i vazhdueshëm dhe askund i derivueshëm.      5.  Për funksionet e vazhdueshme  f : [ a, b] → B , ku  B është hapësirë Banahiane, kërkesa që  funksioni  të  ketë  "derivat  të  njëanshëm"  të  vazhdueshëm  është  e  njëvlershme  me  kërkesën  që  funksioni të ketë "derivat" të vazhdueshëm.      6.    Formula  e  Njuton‐Leibnicit  për  integralin  e  Lebegut  mund  të  përgjithësohet,  duke  zëvendësuar kushtin që funksioni të ketë derivat të kufizuar me kushtin që funksioni të ketë derivat  të njëanshëm (të djathtë ) të kufizuar.    7.  Në qoftë se funksioni  i vazhdueshëm  f : [ a, b] → R  ka derivat të njëanshëm   (të djathtë  të kufizuar), atëherë ai është pothuajse kudo i derivueshëm.   

123

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIK 

  8.   Për funksionet konvekse ekziston një literaturë shumë e gjerë. Këto funksione kanë një  varg vetish të rëndësishme, të cilat mund të zbulohen në mënyra të ndryshme. Përdorimi i lemës së  Berit lehtëson  shumë zbulimin e këtyre vetive.      9.  Disa prej vetive të funksioneve konvekse, ku ndërhyn derivati, mund të vërtetohen duke  zëvendësuar derivatin me derivatin e njëanshëm.      10.  Lidhja  biunivoke  (një‐për‐një)  ndërmjet  funksioneve  konvekse  dhe  funksioneve  jozvogëluese mund të bëhet fare lehtë dhe fare mirë me anë të operatorit integral të Lebegut, në  kundërshtim me atë që pohohet në artikullin e Hugo Álvarez [12].      11.  Problematika e shqyrtuar në këtë kapitull është e hapur dhe e larmishme , gjë që lejon  rishqyrtim  dhe  nxjerrje  rezultatesh  të  reja.  Gjithsesi,  nuk  e  mohojmë  se  rezultatet  e  arritura  janë  modeste, pasi pesha kryesore e punës është përqendruar në çështjet që kanë të bëjnë me aspektet  metodike,  metodologjike  dhe  teknologjike  të  reformës  së  mësimdhënies    së  Matematikës  Inxhinierike.  

124

KAPITULLI 5: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT  [1]  Gelbaum, B.R. and Olmsted, J.M.H., Theorems and Counterexamples in                           Mathematics, Springer‐Verlag, New York, 1990   [2]   Ning Lu, Fractal Imaging, Copyrigt © 1997 by Acadenic Press   [3]  Steven  H.  Strogatz  ,  Nonlinear  Dynamics  And  Chaos  (With  Applications  To  Physics,  Biology,  Chemistry  And Engineering ),1994  [4]  Longman, R. and Thompson, L., Continuous Nowhere Differentiable Functions, Class‐Project, UNO, 1999.  [5]  Wade, W.R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 2000.  [6]  A. N.  Kolmogorov,  S. V. Fomin. Elements of the Theory of Functions and   Functional Analysis ( In Russian language) "Nauka" 1981  [7]  H. Cartan. Calcul Différenciel ‐ Formes Différenciel, Herman Paris, 1967  [8]  William J. Knight.  Functions with zero right hand derivatives are constant, Monthly 1980   (657‐ 658)   [9]  Michel W. Botsko.  Exactly ëhich Bounded Darboux Functions Are Derivatives? Monthly 2007  ( 242 ‐ 245)  [10]    Hiriart‐Urruty,  J.  ‐B,  Théorème  de  valeur  moyenne  sous  forme  d'égalité  por  les  fonctions  a  valeurs  vectorielles,  Revue  de  Mathématiques      Spéciales,    Université  Paul  Sabatier    (Toulouse  III)  Mars  1983‐ mensuel n° 7, (290‐293)  [11]   L. Gjoka,Veti të funksioneve gjysmë të derivueshme, Rev. B.SH.N, Tiranë 1985       [12]      Hugo  Álvarez,  On  the  characterization  of  convex  functions,  Rev.  Unión  Mat.  Argent. v.48 n.1 Bahía  Blanca ene./jun. 2007  [13]    Mishel  Fundo,  Një  vërejtje  për  problemin  e  primitivës  në  integrimin  e  Rimanit,  Rev.  B.SH.N,    Tiranë  1984  [14]   Éric Sorozina , Système D  Analise, Dunod , Paris, 1999  [15 ]  Natanson  I.P.  Theory of real‐valued functions,  Nauka (translated in Albanian language), Tiranë 1966  [16]    Demianov  V.F.,    Vasiliev  L.V.,    Nondifferentiable  optimizati,  Optimizacia,  Nauka,  Moscow,  1981  (in  Russian)   [17]  Robert M. McLeod,  Mean Value Theorems For Vector Valued Functions, Proc. Edinburgh math. Soc,.14,  series (II)  [18]      Douglas  S.  Kurtz,  Charles  W  Swartz.  THEORIES  OF  INTEGRATION  New  Mexico  State  University,  USA,  2004       

125

KAPITULLI 6  

SHTOJCË – ASPEKTE APLIKATIVE DHE REZULTATE TE FITUARA     Fraktalet dhe zbatimet e tyre në inxhinieri   Për  herë  të  parë  "Fraktalet"  janë  shpjeguar  nga  matematikani  Benoit  Mandelbrot  në  vitin  1975.     Në kuptimin  më të gjërë, në termin "Fraktalet"  nënkuptohet ajo  degë e matematikës që  merret  me  objektet  që posedojnë veti të shkallës së përpjestimit, d.m.th., me objekte që janë të  ngjajshme me vetëveten pas ndryshimit të shkallëzimit.    Në  kuptimin    më    të    kufizuar,  fraktalet    janë  objekte  gjeometrike  që  e  kanë  dimensionin  numër jo të plotë  (fraktal).  Përkufizimi   matematikor  i  fraktalit  përqëndrohet  në vetinë  që objektet  fraktale kanë  dimension jo të plotë.      Gjenerimi i fraktaleve    Ndërtimi  i  shumë  formave  ideale  të  fraktaleve  bëhet  me  aplikimin  e  një  algoritmi  që  përsëritet pafundësisht herë. Në këtë procedurë përsëritëse,  forma fillestare e quajtur gjenerator  përsëritet  shumë  herë,  me  shkallë  të  përpjesëtimit,  pozicion  dhe  drejtim  tjetër,  për  të  fituar  formën  përfundimtare.     

     

Gjenerimi i fraktalit të Mandelbrotit  Fraktali  i  Mandelbrotit  është  gjeneruar   me  iteracionin   (përsëritjen)  e  funksionit zn+1  =zn2+c      ku  z  është  numër  kompleks  z0  =0.  Ky  gjenerim  është  paraqitur  në  figurën  1  me  anë  të  animacionit  .  Në  figurën  2  është  paraqitur  procesi  i  gjenerimit  në  planin  kompleks,  ku  numrat  e  gjelbër shënojnë numrin e iteracionit (përsëritjeve).   

    126

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

                                                        fig.1                                                                                               fig.2    Gjeometria Fraktale    "Gjeometria Fraktale" është gjeometri e natyrës. Ajo pasqyron format e paregullta por reale  të saj, ashtu si e shohim dhe përjetojmë.     "Gjeometria  Fraktale"  është  e  ndryshme  nga  format  e  idealizuara  të  "Gjeometrisë  Euklidiane".     Fraktalet  shihen  çdo  kund.  Edhe  ne  vetë  jemi  fraktalë.  Duke  përdorur  kompjuterin,  "Gjeometria Fraktale" mund të prodhojë modele precize të strukturave fizike si: fieri, arteriet, truri,  deri te galaktika.      Fraktalet në inxhinieri    Principet  e  "Gjeometrisë  Fraktale"  dhe  modelet  matematikore,  të  bazuara  në  teorinë  e  Mandelbrotit,  përdoren kryesisht në simulimin më realist të fenomeneve natyrore.    Matematika e fraktaleve është duke u bërë çdo herë e më shumë vegël e inxhinierisë dhe  gjen zbatim në:     Ndërtimtari, Arkitekturë,  Hidroteknikë, Industrinë e Tapeteve,  "Elektronikë" etj      Industria e tepihave (Tapetet  e rinj fraktalë)    Matematicienti  polak  Waclaw  Sierpinski  (1882‐1969)  në  vitin  1916  ka  paraqitur  të  ashtuquajturin  "Tapeti  Serpinski".  Përveç  që  është  vlerësuar  si  një  nga  kreacionet  (zbulimet)  më  brialiante në historinë e fraktaleve, ai gjithashtu ka gëzuar një rëndësi të veçantë në topologji.    Tepihu i Serpinskit është një objekt i përkryer, i cili fsheh në vete, në kuptimin topologjik, të  gjithë objektet e mundshme një dimensionale në rrafsh. Kjo do të thotë se, në rrafsh, çdo objekt një  dimensional  mund  të  shfaqet  (paraqitet)  në  "Tapetin  e  Serpinskit"  si  një  nga  format  ekuivalente  topologjike  të  tij  [1].  Ideja  themelore  e  zbulimit  të  "Tapetit  të  Serpinskit"  ka  qenë  që  të  krijohet  (gjenerohet  )  një  objekt  i  cilësisë  së  lartë,  i  cili  mund  ti  fsheh  të  gjithë  objektet  njëdimenzionale.  Rezultati  i  saktë  i  punës  së  Serpinskit  është:  "Tapeti  i  Serpinskit"  si  një  objekt  universal  (i  përgjithshëm) për të gjithë objektet kompakte një dimensionale në rrafsh.   "Tapeti  i  Serpinskit" duket i rregullt dhe i butë por natyra e tij e vërtetë është shumë larg asaj që shihet. Me  qëllim  që  të  konstruktojmë  "Tapetin  e  Serpinskit",  fillojmë  me  katrorin  si  gjenerues.  E  ndajmë  katrorin në nëntë pjesë të barabarta dhe e largojmë atë të mesit. Përsërisim procesin e njëjtë me  tetë  katrorët  e  mbetur.  Pas  përsëritjes  së    një  numri  të  konsiderueshëm  herësh  të  këtij  procesi  fitojmë "Tapetin Serpinski (fig.1) [1,2].    

127

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

                                                Dimensioni fraktal i "Tapetit të Serpinskit" në bazë të metodës së vetëngjajshmërisë llogaritet me  D anë të formulës n = 1 ,dhe dimenzioni është  D = (log8)/(log 3) ≈ 1.89  (shif [1,2]).  s     Antenat fraktale‐Dizajnimi    Përpjekjet  e  shumta  nga  disa  hulumtues  që  të  kombinojnë    "Gjeometrinë  Fraktale"  me  teorinë elektromagnetike, ka sjellë deri te inovacionet e reja të projektimit të antenave.  Si rezultat, dizajnimi  i antenave ka përfituar shumë nga studimi i "Gjeometrisë Fraktale ".         Hulumtimet inxhinierike për "antenat fraktale" janë fokusuar kryesisht në dy fusha:  analizat  dhe  dizajnimin  e  elementeve  të  "antenave  fraktale"  si  dhe  në  konceptet  e  aplikimit  të  fraktaleve për dizajnimin (projektimin) e formave të ndryshme të antenave.         Fraktalet    nuk  kanë  madhësi  të  caktuar,  kryesisht  formohen  nga  shumë  kopje  të  vetvetes  të  madhësive  të  ndryshme.  Kjo  veti  unike  e  vetëngjajshmërisë  së  fraktaleve  është  shfrytëzuar  me  qëllim të zhvillimit të elementeve të antenave të llojit të ri, që janë me një brez të gjërë dhe/ose  kompakte për nga madhësia.          Studimi  i  këtyre  formave  gjeometrike,  fraktaleve,  dimensionet  e  të  cilave  nuk  janë  numër  numër i çojnë kah zbulimi i antenave me veti më të mira nga ato ekzistuese. Antenat fraktale kanë  mundësuar  minimalizimin  (zvogëlimin)  e  antenave  dhe  avancimin  e  kapjes  së  valëve.  Mund  të  konfigurohen antena fraktale të llojeve të ndryshme në mënyrë  që të operojnë në mënyrë efektive  në frekuenca të ndryshme.     

( )

128

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

Cilat Fraktale dhe pse ? 

 

    Antenat e vogla të fraktaleve qarkore  Përparësit kryesore: Rritja e impedances hyrëse    

 

129

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

 

 Antenat Dipole të Koch‐it  Përparësit kryesore: Zvogëlimi i kërkuar i lartësisë në Rezonancë 

 

      Sita e Serpinskit ‐Antena Dipolare  Përparësit kryesore: Shumëbrezësh (Multi Band) 

  130

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT   

[1] H. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Fractals for the Classroom, Part One: Introduction to Fractals and  Chaos. New York: Springer‐Verlag, 1992.  [2] H. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals. New York: Springer‐Verlag, 1992.  [3]. Queiros‐Conde, D., Vassilicos, J.C., "Turbulent Wakes of 3‐D Fractal Grids,"  Intermittency in Turbulent Flows and Other Dynamical Systems (ed. J.C. Vassilicos),  Cambridge University Press, Cambridge, (2000).  [4]. Petko, S.J. and D. Werner, 2004. Miniature reconfigurable three‐dimensional fractal tree  antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52:1945‐1956.  [5]. Zainud‐Deen, S.H., K.H. Awadalla, S.A. Khamis and N.D. El‐shalaby, 2004. Radiation and  scattering from koch fractal antennas. 21st National Radio Science Conference (NRSC), March 16‐18,  B8‐ 1‐9. 

131

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Një    metodë  e  re  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendit  të  katërt dhe rendit nxn    Në këtë punim është hulumtuar një metodë e re për llogaritjen e determinantave të rendit  të katërt. Kjo metodë jep të njejtin rezultat sikur edhe metodat që janë shfrytëzuar edhe më herët,  por mendojmë se është më e përshtatshme për llogaritje. Përparsia e kësaj metode krahasuar me  metodat  ekzistuese  është  mundësia  e  krijimit  të  skemave  të  përshtatshme  për  llogaritjen  më  të  lehtë dhe më të shpejtë të determinantave të rendit të katërt. Rezultatet e fituara me anë të kësaj  metode janë bazuar në rregullën e Sarrusit, për llogaritjen e determinantave të rendit të tretë.  Kjo  metodë  e  re  krijon  mundësinë  për  gjetjen  e  metodave  tjera  të  reja  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendeve  më  të  larta  si  dhe  mundësinë  e  konstruktimit  të  klasëve  të  ekuivalencës, çka është edhe qëllimi i hulumtimit tonë të mëtutjeshëm.     Një metodë e re për llogaritjen e determinantave  të rendit  n × n     Le të jetë    ai1 1 ai1 2 ai1 3 . . . ai1 n

An×n = Ai1 i2 ...in

ai2 1 ai2 2 . = . . . ain 1 ain 2

ai2 3 . . ain 3

. . . .

. . . .

. ai2 n . .                        (1)  . . . ain n

  një determinantë e rendit  n × n , ku  i1i2 ...in  është një permutacion i bashksisë  {1, 2,..., n}.  Le  të  përshkruajmë  n −1  shtyllat  e  para  pas  shtyllës  së    n‐të.  Atëherë  fitohet  një  skemë  drejtëkëndore  Ai1 i2 ...in     (3),  të  cilën  do  ta  quajm  skema  e  Sarrusit,  me  2n   diagonale  me  nga    n   elemente.    ai1 1 ai1 2 ... ai1 n ai1 11 ... ai1 n −1

Ai1 i2 ...in

ai2 1 ai2 2 . = . . . ain 1 ain 2

... ai2 n ... . ... . ... ain n

ai2 1 . . ain 1

... ai2 n −1 ... .                          (2)  ... . ... ain n −1

  Skema 2 

  Atëherë, duke u bazuar në  rregullën e Sarrusit  e cila vlenë për determinantat e rendit të  tretë, vlera e secilës skeme të Sarrusit (determinante) të formës  Ai1 i2 ...in , do të jetë e barabartë me  shumën  e  2n   termave  me  nga    n    elemente  ,  të  cilat  fitohen  nga  produktet  e  elementeve  të 

132

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

diagonaleve. Nga këto terma, n marrin shenjën “+” ndërsa  n  të tjerat shenjën “‐“; varësisht nga  permutacioni  j1, j2 ,..., j n  kur është çift ose tek.   Problemi  kryesor  që  paraqitet  këtu  është  mënyra  e  ndërimit  të  shenjave  te  skemat  e  Sarrusit të formës  Ai1 i2 ...in , te determinantat e rendit   n > 3 .  Teorema  6.1.  ‐  Çdo  detrminantë  e  rendit  n × n   mund  të  shprehet  si  shumë  e   

(n −1)!   

determinantave të formës (3) (skemave të Sarrusit ) të rendit  n × n :   

2

(n−1)!

det An× n = An×n =

2

∑ A                                         (4)  k

k=1

  ku me   Ak  kemi shënuar skemat e Sarrusit   Ai1 i2 ...in   të formës (3).    Vërtetimi:  Në  bazë  të  përkufizimit  të  determinantës  të  rendit  n × n   (Përkufizimi  1),  çdo  determinantë  e  rendit  n × n   është  e  barabartë  me  shumën  e  n!  termave  të  trajtës  ε j , j ,..., jn a1 j a2 j ...an jn ,    ku  j1, j2 ,..., j n   është  një  permutacion  i  bashksisë  {1, 2,..., n};  ndërsa  një  1 2

1

2

determinantë e formës (3), e rendit  n × n , është e barabartë me shumën e   2n  termave të trajtës   ε j , j ,..., jn a1 j a2 j ...an jn . Prandaj, numri k i determinantave  Ai1 i2 ...in  të formës (3), shuma e të cilave  1 2

1

2

është e barabartë me determinantën e rendit  n × n , do të jetë e barabartë me herësin e termave të  determinantës  An×n  dhe termave të determinantës  Ai1 i2 ...in , dmth    n! n (n −1)! (n −1)! k= = =   2n 2 2n   çka edhe deshtëm të vërtetojmë.    Vërejtje: Edhepse numri i permutacioneve  i1i2 ...in  të  bashksisë  {1, 2,..., n} është i barabartë  me  n!, për zbërthimin e determinantës të rendit  n × n  përdoren vetëm 

(n −1)!  permutacione. 

2 Në bazë të llogaritjeve  (me kusht që të mos përsëritet ndonje nga termat  ε j , j

a a ...an jn 1 2 ,..., jn 1 j1 2 j2

kemi arit në rezultatin se 

(n −1)!   permutacionet në fjalë duhet  të plotësojnë kushtet:  

)  

2 Element i pare   i1 , i permutacionit  i1i2 ...in  , duhet të jetë i barabartë me 1  Elementi i dytë   i2 , i permutacionit  i1i2 ...in , duhet të jetë më i madh se element i fundit   in .    Rrjedhimi 1: Çdo determinantë e rendit  n × n  mund të llogaritet duke u bazuar në rregullën   e  Sarusit  dhe  ajo  është  e  barabartë  me  shumën  e   n!  termave   të  trajtës   ε j , j ,..., jn a1 j a2 j ...an jn ,  ku  j1, j2 ,..., j n  është një permutacion i bashksisë  {1, 2,..., n} dhe   1 2

1

2

  ⎧ +1, n.q.s j1 , j2 ,..., jn eshte permutacion cift   ⎩ −1, n.q.s j1 , j2 ,..., jn eshte permutacion tek

ε j1 , j2 ,..., jn = ⎨       

133

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

d.m.th. 

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

. ... . = det An×n = An×n = . . . ... . an1 an 2 ... ann

∑

j1 , j2 , ..., jn

ε j1 , j2 ,..., jn a1 j a2 j ...anj          (5)  1

2

n

  Vërtetimi:  Me  të  vërtet,  duke  u  bazuar  në  T.1.,  çdo  detrminantë  e  rendit  n × n   mund  të  (n −1)!     determinantave  të  formës  (3)  të  rendit  n × n .  Mirëpo,  çdo  shprehet  si  shumë  e    2 detrminantë e formës (3) mund të zbërthejmë sipas metodës së Sarus‐it, në mënyrë të ngjajshme  me zbërthimin e determinantit të rendit të tretë, në  2n  terma me nga  n  elemente , të cilat fitohen  nga  produktet  e  elementeve  të  diagonaleve.  Atëherë  numri  i  përgjithshëm  i  termave  të  detrminantës të rendit  n × n  do të jetë :    (n −1)! ⋅ 2n = n ⋅ n −1 != n!  ( ) 2   Shenja e  n! termave përcaktohet duke u bazuar në përkufizimin 1.      Një metodë  e  re  për  llogaritjen  e determinantave të rendit të katërt 

  Metoda  e  re  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendit  të  katërt  mund  të  jetë  një  ndër  metodat më të lehta për llogaritjen e determinantave të rendit të katërt.  Le të jetë     a11 a12 a13 a14

A=

a21 a31 a41

a22 a32 a42  

a23 a33 a43

a24   a34 a44

një determinantë e rendit të katërt.  Duke  u  bazuar  në  përkufizimin  e  determinantës  të  rendit  n × n   ,  determinanta  e  rendit  të  katërt  (për n=4) mund të llogaritet në këtë mënyrë:    a11 a12 a13 a14 a a22 a23 a 24 det A = A4×4 = 21 =  a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a 44  

134

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

= a11a22 a33 a44 − a12 a23 a34 a41 + a13 a24 a31a42 − a14 a21a32 a43 + a14 a23 a32 a41 − a11a24 a33 a42 + + a12 a21a34 a43 − a13 a22 a31a44 − a11a22 a43 a34 + a12 a23 a44 a31 − a13 a24 a41a32 + a14 a21a42 a33 −   − a14 a23 a42 a31 + a11a24 a43 a32 − a12 a21a44 a33 + a13 a22 a41a34 − a11a32 a23 a44 + a12 a33 a24 a41 − − a13 a34 a21a42 + a14 a31a22 a43 − a14 a33 a22 a41 + a11a34 a23 a42 − a12 a31a24 a43 + a13 a32 a21a44 .   Pra,  për  të  llogaritur  determinantën  e  rendit  të  katërt,  nevoiten  4!  terma  të  ndryshme  të  cilat formohen nga elementet e matricës A. 

  Metoda e re  (Rregulla e Sarusit për llogaritjen e determinatave të rendit të katërt) 

  Le të jetë  

A4×4 = Ai1 i2 i3 i4 =

ai1 1

ai1 2

ai1 3

ai1 4

ai2 1

ai2 2

ai2 3

ai2 4

ai3 1

ai3 2

ai3 3

ai3 4

ai4 1 ai4 2

ai4 3

ai4 4

 

   një determinantë e rendit  4 × 4 , ku  i1i2i3i4  është një permutacion i bashksisë  {1,2,3,4}.     Duke  u  bazuar  në  Teoremen  6.1,  determinantën  e  rendit  të  katërt  mund  ta  paraqesim  si  (4 −1)! = 3  skemave të Sarusit:  shumën e   2 (4 −1)!

det A4 × 4 = A4 × 4 =

2

∑A

k

= A1234 + A1243 + A1324  

k =1

  Në  qoftë  se  këto  skema  i  zbërthejmë  sipas  regullës  së  Sarusit,  ashtu  si  i  zbërthejmë  determinantat e rendit të tretë do të kemi:        a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13

A4×4 =

a21 a22 a31 a32 a41 a42

a23 a33 a43

a24 a a = A1234 + A1243 + A1324 = 21 22 a34 a31 a32 a44 a41 a42

a14 a24 a44 a34

a11 a21 a41 a31

a23 a33 a43

a24 a34 a44

a21 a22 a31 a32 a41 a42

a11 a31 a21 a41

a12 a32 a22 a42

a13 a33 =  a23 a43

  

a11 a21 + a41 a31  

a12 a22 a42 a32

a13 a23 a43 a33

a12 a22 a42 a32

a13 a11 a23 a31 + a43 a21 a33 a41

a12 a32 a22 a42

a13 a33 a23 a43

135

a14 a34 a24 a44

a23 +  a33 a43

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

= a11a22 a33 a44 − a12 a23 a34 a41 + a13 a24 a31a42 − a14 a21a32 a43 + a14 a23 a32 a41 − a11a24 a33 a42 + +a12 a21a34 a43 − a13 a22 a31a44 − a11a22 a43 a34 + a12 a23 a44 a31 − a13 a24 a41a32 + a14 a21a42 a33 − −a14 a23 a42 a31 + a11a24 a43 a32 − a12 a21a44 a33 + a13 a22 a41a34 − a11a32 a23 a44 + a12 a33 a24 a41 −

 

−a13 a34 a21a42 + a14 a31a22 a43 − a14 a33 a22 a41 + a11a34 a23 a42 − a12 a31a24 a43 + a13 a32 a21a44 .     Produkti i elementeve të diagonales kryesore dhe i elementeve të diagonaleve paralele me  të  fillojnë  me  shenjën  “+”  dhe  vazhdojnë  me  shenjën  “‐“  duke  ndryshuar  në  mënyrë  alternative,  ndërsa produkti i elementeve të diagonales anësore dhe i elementeve të diagonaleve paralele me  të,  gjithashtu  fillojnë  me  shenjën  “+“  dhe  vazhdojnë  me  shenjën  “‐“duke  ndryshuar  në  mënyrë  alternative.  Këtu  shenja  e  fillimit  ndryshon  varësisht  nga  numri  i  inversioneve  në  permutacionet  i1i2 ...in  të skemës  Ai1 i2 ...in , për numër çift të inversioneve fillohet me shenjen “+” (p.sh.  A1234 ) ndërsa  për numër tek të inversioneve fillohet me shenjen “‐” (p.sh.  A1324 , A1243).    Vërejtje:  Rezultatet e fituara me “Metodën e re për llogaritjen e determinantave të rendit të katërt”  janë plotësisht ekuivalente me rezultatet e fituara me metodat ekzistuese. Duke u bazuar në këtë  fakt mund të konkludojmë se kjo metodë e re, për llogaritjen e determinantave të rendit të katërt,  është e saktë.    Rezultatet  e  fituara  me  anë  të  kësaj  metode  janë  bazuar  në  rregullën  e  Sarrusit,  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendit  të  tretë.  Me  zbatimin  e  disa  kombinimeve  është  arritur  që  rregulla e Sarrusit të vlejë edhe për determinantat e rendit të katërt. 

  Përfundimi  Zbatimi i kësaj metode jep të njejtin rezultat sikur edhe metodat që janë shfrytëzuar edhe  më  herët,  por  mendojmë  se  është  më  e  përshtatshme  për  llogaritje.  Përparsia  e  kësaj  metode  krahasuar  me  metodat  ekzistuese  është  mundësia  e  krijimit  të  skemave  të  përshtatshme  për  llogaritjen më të lehtë dhe më të shpejtë të determinantave të rendit të katërt. Rezultatet e fituara  me  anë  të  kësaj  metode  janë  bazuar  në  rregullën  e  Sarrusit,  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendit të tretë.   Kjo  metodë  e  re  krijon  mundësinë  për  gjetjen  e  metodave  tjera  të  reja  për  llogaritjen  e  determinantave  të  rendeve  më  të  larta  si  dhe  mundësinë  e  konstruktimit  të  klasëve  të  ekuivalencës, çka është edhe qëllimi i hulumtimit tonë të mëtutjeshëm. 

 

136

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

REFERENCAT  [1] Hamiti, Ejup: Matematika 1, Universiteti i Prishtinës: Fakulteti Elektroteknik,  Prishtinë 2000  [2]  Gashi,  Emrush:  Kursi  i  algjebrës  së  lartë  –Fakulteti  i  Shkencave  Matematiko‐Natyrore,  Universiteti i Prishitnës, Prishtinë  [3] Eves, H. "Chio's Expansion." §3.6 in Elementary Matrix Theory. New York:  Dover, pp. 129‐136, 1996.  [4] Scott, Robert Forsyth: The theory of determinants and their applications,  Ithaca, New York: Cornell University Library, Cambridge: University Press, 1904  [5] Weld, Laenas Gifford: A short course in the theory of determinants, Ithaca,  New York: Cornell University Library, New York, London: Macmillan and  Co, 1893  [6] S. Barnard, J. M. Child: Higher Algebra, London Macmillan LTD New York,  ST Martin*s Press 1959  [7] Dodgson, C. L. "Condensation of Determinants, Being a New and Brief  Method for Computing their Arithmetic Values." Proc. Roy. Soc. Ser. A 15, 150‐  155, 1866.  [8] Chió, F. "Mémoire sur les fonctions connues sous le nom de résultantes ou  de déterminants." Turin: E. Pons, 1853.           

137

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

Një formulë e re e përafërt për llogaritjen e vlerës së sinusit për  kënde nga 00  në 700    Në  këtë  punim  kemi  paraqitur  një  formulë  të  re  të  përafërt  që  paraqet  herësin  e  dy  polinomeve të shkallës së dytë, për llogaritjen e vlerës së sinusit për vlera të këndit nga  0o  deri në  7π 70 o ose në  [0, ]  . Ndërkohë gabimi relativ që bëhet gjatë llogaritjeve me këtë formulë është më i  18 vogël se 0.013%  .    1. HYRJE    Për llogaritjen  e përafërt të vlerave  të sinusit të një  këndi të caktuar deri më tani  janë të  njohura disa metoda,  të cilat i afrohen shumë vlerave të sakta të llogaritjes së sinusit. Në  vazhdim  do  të paraqesim disa metoda të përafërta të  llogaritjes së sinusit të cilat janë të njohura deri më  tani .  Qysh në shekullin  e shtatë pas erës sonë  matematicienti indian Bhaskara I [1],[2],[6] gjeti formulën   për  llogaritjen  e  përafërt  të  sinusit  të  këndit  të  ngushtë  nga    0o   në  90o   shkallë  ku  gabimi  në  llogaritje është më i vogël se 1.9 %. Kjo është formula e  Bhaskara I ( shih [1],[2],[6]),  ku këndi është  i shprehur me pi radian :  16 x(π − x) π sin x ≈ 2 , (0 ≤ x ≤ )   5π − 4 x(π − x) 2   Një formë tjetër e llogaritjes së sinusit është edhe ajo përmes serisë së Tejllorit [2], [12].  x3 x5 x 7 x3 x5 x7 sin x ≈ x − + −      ose        sin x ≈ x − + −   3! 5! 7! 6 120 5040     Po  ashtu  ekzistojnë  edhe  disa  mënyra  të  llogaritjes  së  saktë  ose  të  përafërt  të  vlerës  së  sinusit si në vijim [3],[4],[7].   

 

sin

 

sin

 

sin

 

sin

 

sin

π 60

= sin 3o =

2(1 − 3 ) 5 + 5 + 2 ( 5 − 1)( 3 + 1)   16

   

π 30

= sin 6 o =

6 5 − 5 − ( 5 + 1)   8

= sin 9 o =

2 ( 5 + 1) − 2 5 − 5   8

   

π 20

   

π 15

= sin 12o =

2 5 + 5 − 3 ( 5 − 1)   8

= sin 15o =

2 ( 3 − 1)   4

   

π 12

  138

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

π

= sin 18o =

5 −1   4

 

sin

 

sin

2( 3 + 1) 5 − 5 − 2 ( 3 − 1)(1 + 5) 7π   = sin 21o = 60 16

 

sin

2π 3 ( 5 + 1) − 2 5 − 5 = sin 24 o =   15 8

 

 

sin

( 5 + 1) 5 + 5 − 2 ( 5 − 1) 3π = sin 27 o =   8 20

   

 

 

 

sin

7π 6 5 + 5 − ( 5 − 1) = sin 42 o =   30 8

10

         

   

     

1.  Një formulë  e re për llogaritjen e përafërt të vlerës së sinusit   7π      për vlera të këndit nga  0o  në  70 o  ose në  [0, ]   18

7π ]  kemi paraqitur  18 një formulë të re të përafërt (formula (1) ose (2)), e cila paraqet herësin e dy polinomeve të shkallës  së dytë dhe që e ka gabimin në llogaritje përafërsisht 0.000070165 ose 0.013% :   π ⋅ x(360 − x) sin x ≈                           (1)  π ⋅ x 2 + 180(360 − x)   π ⋅ 30(360 − 30) ku vlera e  x − it  është dhënë në gradë,  për shembull:   sin 30 ≈  ,  π ⋅ 30 2 + 180(360 − 30) ose   π ⋅ x(2π − x) sin x ≈                          (2)  π ⋅ x 2 + π (2π − x)   π π π ⋅ (2π − ) π 6 6  kur vlera e  x − it është dhënë në pi radian,  për shembull:   sin ≈   π 2 π 6 π ⋅ ( ) + π (2π − ) 6 6 .    Në mënyrë grafike, në figurat 1 dhe 2, kemi paraqitur formulën përafruese (2). Është marrë  kjo formulë, sepse për krahasimin e lakoreve kemi marrë në boshtin Ox  vlerat e  x − it të shprehura  në pi radian.   

 

Për llogaritjen e përafërt të vlerës së sinusit prej  0o  deri në  70 o ose  [0,

139

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE 

(*) 7π 18

(**)  

 

Fig.1.

(*)

       

(**)

 

Fig.2.

Nga Fig. 1. shihet qartë se si lakorja (*), që paraqet formulën (2) ,  pothuajse përputhet me  7π lakoren (**), që paraqet vlerat e sakta të sinusit apo sinusoidën në intervalin  [0, ] . E njëjta gjë  18 është paraqitur edhe në figurën Fig. 2,  por këtu kemi bërë ngushtimin e boshtit Ox, pra lakoret i  kemi krahasuar në një interval më të gjerë , në mënyrë që përputhshmëria  e lakoreve (*) dhe (**)  të shihet më qartë.  7π   Nga  këto  dy  paraqitje  grafike  mund  të  vëreni  se  për  x ∈ [0, ]   lakorja  (*),  apo  vlerat  e  18 formulës (2),  dhe lakorja (**),  apo vlerat e  sin x , pothuajse përputhen,  çka do të thotë se vlerat e  përfituara nga formula (1) ose (2) janë mjaft të përafërta me vlerat e sakta të  sin x .    Në vazhdim po japim një tabelë ku krahasohet saktësia e llogaritjes së formulës (1) ose (2)  me vlerat e sakta të sinusit ( sin x ). Krahasimi është bërë deri në 9 shifra dhjetore.   

140

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

 

sin x ≈ o

Këndi ( ) 

π ⋅ x(360 − x) π ⋅ x 2 + 180(360 − x)

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 

sin x   0.017452406  0.034899497  0.052335956  0.069756474  0.087155743  0.104528463  0.121869343  0.139173101  0.156434465  0.173648178  0.190808995  0.207911691  0.224951054  0.241921896  0.258819045  0.275637356  0.292371705  0.309016994 

  0.017452444  0.034899779  0.052336849  0.06975845  0.087159335  0.104534216  0.121877775  0.139184662  0.156449504  0.173666908  0.190831469  0.207937773  0.2249804  0.241953936  0.258852973  0.275672114  0.292405984  0.30904923 

19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48 

0.325568154  0.342020143  0.35836795  0.374606593  0.390731128  0.406736643  0.422618262  0.438371147  0.4539905  0.469471563  0.48480962  0.5  0.515038075  0.529919264  0.544639035  0.559192903  0.573576436  0.587785252  0.601815023  0.615661475  0.629320391  0.64278761  0.656059029  0.669130606  0.68199836  0.69465837  0.707106781  0.7193398  0.731353702  0.743144825 

0.325596528 0.342042592 0.358382174 0.374610072 0.390721138 0.406710277 0.422572461 0.438302725 0.453896179 0.46934801 0.484653489 0.499807972 0.514806908 0.529645844 0.544320427 0.558826409 0.573159651 0.58731613 0.601291936 0.615083284 0.628686508 0.642098073 0.655314573 0.668332732 0.681149412 0.693761613 0.706166471 0.718361265 0.730343419 0.742110497

 

141

HULUMTIM RRETH ASPEKTEVE METODOLOGJIKE, KUURIKULARE, TEKNOLOGJIKE DHE SHKENCORE TË MATEMATIKËS  INXHINIERIKE  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70 

0.75470958  0.766044443  0.777145961  0.788010754  0.79863551  0.809016994  0.819152044  0.829037573  0.838670568  0.848048096  0.857167301  0.866025404  0.874619707  0.882947593  0.891006524  0.898794046  0.906307787  0.913545458  0.920504853  0.927183855  0.933580426  0.939692621 

0.753660211 0.76499042 0.776099127 0.786984484 0.797644791 0.808078495 0.818284191 0.828260619 0.838006669 0.847521373 0.856803908 0.865853598 0.874669904 0.883252429 0.891600917 0.899715246 0.907595428 0.91524161 0.922654066 0.929833201 0.936779542 0.943493739

                                                                 Tabela 1      2. Diskutimi i rezultateve    Nga  paraqitjet  grafike  në  figurat  Fig.  1.  dhe  Fig.  2.  dhe  nga  paraqitja  tabelore  (Tabela  1)  7π shihet  qartë  se  vlerat  që  jep  formula  (1),  ose  formula  (2),  në  intervalin  [0, ]   janë  mjaft  të  18 7π përafërta  me  vlerat  e  sakta  të  sinusit  në  po  të  njëjtin  interval  [0, ] me  gabim  në  llogaritje  18 përafërsisht  0.000070165  ose  0.013%.  Po  ashtu  nga  këto  të  dhëna  shihet  edhe  devijimi  ose  mospërputhja në mes të vlerave që jep formula (1) ose (2) dhe vlerave të sakta të sinusit. Pra në  7π qoftë se dalim nga ky interval  [0, ] ,  kemi gjithnjë e më shumë mospërputhje në mes të vlerave  18 të sakta të sinusit dhe vlerave që jep formula (1) ose (2). Për këtë qëllim po japim edhe një tabelë  7π (Tabela 2) me krahasimin e këtyre vlerave jashtë intervalit  [0, ] .  18   sin x   π ⋅ x(360 − x)       Këndi ( o )  sin x ≈   π ⋅ x 2 + 180(360 − x) 71  0.94551 0.94997 72  0.95106 0.95623 73  0.95630 0.96225 74  0.96126  0.96805  79  0.98163  0.99364  84  0.99452  1.01375  90  1  1.03098  Tabela 2.  142

KAPITULLI 6: TEKNOLOGJIA MODERNE NË MËSIMDHËNIEN E MATEMATIKËS INXHINIERIKE 

    

Siç shihet nga tabela (Tabela 2 ), duke dalë jashtë intervalit  [0 0 ,70 0 ] , pra duke e shqyrtuar 

vlera  të    këndit  mbi  70 0 ,    mospërputhja  ndërmjet    vlerave  të  sakta  të  sinusit  dhe  vlerave  të  llogaritura me formulën (1) ose (2), gjithnjë e më tepër  zmadhohet.      Përfundim    Në këtë punim kemi paraqitur një formulë të re të përafërt për llogaritjen e vlerës së sinusit   7π të këndit në intervalin  [0 0 ,70 0 ]  ose  [0, ] ,  e cila paraqet herësin e dy polinomeve të shkallës së  18 dytë.    Kjo formulë e re e përafërt e llogaritjes së vlerës së sinusit  të këndit në intervalin  [0 0 ,70 0 ]   7π ose  [0, ] , siç shihet nga të dhënat në këtë punim,  jep vlera mjaft të përafërta me vlerat e sakta  18 7π të sinusit në intervalin  [0 0 ,70 0 ]  ose  [0, ] ,  me gabim në llogaritje përafërsisht 0.000070165 ose  18 0.013%.    Studimi  i  kësaj  formule të  përafërt  duhet  vazhduar  që  të  gjendet  një  formulë,  e cila  do  të 

π

vlente  në  intervalin  0  deri  90 o   ose  [0, ] .  Shpresojmë  se  këtë  do  ta  bëjmë  në  ndonjë  punim  të  2 ardhshëm.   

  REFERENCAT    [1]  Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.. ISBN  0471543977.   [2]  Abramowitz,  M.  and  Stegun,  I. A.  (Eds.).  Handbook  of  Mathematical  Functions  With  Formulas,  Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. NeW York: Dover, p. 880, 1972.  [3] Gauchet, L. (1917). Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou‐King.   [4]  Joseph,  George  G.,  The  Crest  of  the  Peacock:  Non‐European  Roots  of  Mathematics,  2nd  ed.  Penguin Books, London. (2000). ISBN 0‐691‐00659‐8.   [5]  Needham,  Joseph  (1986).  Science  and  Civilization  in  China:  Volume  3,  Mathematics  and  the  Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.   [6] O'Connor, J.J., and E.F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics  Archive. (1996).   [7]  O'Connor,  J.J.,  and  E.F.  Robertson,  "Madhava  of  Sangamagramma",  MacTutor  History  of  Mathematics Archive. (2000).   [8]  Pearce,  Ian  G.,  "Madhava  of  Sangamagramma",  MacTutor  History  of  Mathematics  Archive.  (2002).  [9]    H.‐W.  Alten,  A.  Djafari  Naini,  M.  Folkerts,  H.  Schlosser,  K.‐H.  Schlote,  H.  Wußing:  4000  Jahre  Algebra. Springer‐Verlag Berlin Heidelberg 2003 [ISBN 3‐540‐43554‐9], §3.2.1  [10]  Eric W. Weinstein, Constructible polygon at  Math World   [11]  Eric W. Weinstein, Trigonometry angles at Math World.   [12]  Eric W. Weisstein, Taylor Series at MathWorld 

143

Computing the determinants of n × n (n ≥ 5) matrices by reducing the order of the determinant by four∗ Qefsere Gjonbalaj†, Armend Salihu‡ August 14, 2009

Abstract We present a new method to compute the determinants of n × n (n ≥ 5) matrices by reducing the size of the determinant by four. To prove our results we use the so-called “cornice determinants”, i.e, square determinants of order n (n ≥ 5) where, with the exception of the first and last entries, the entries of the 2nd row and (n − 1)th row, as well the 2nd column and (n − 1)th column are all zero. The method introduced here has the advantage of reducing the size of a determinant by four, and thus enabling their quicker and easier computation.

1

Introduction

Let A be an n × n matrix    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

an1

an2

···

ann

Definition 1. A determinant of order n, sum ¯ ¯ a11 a12 · · · ¯ ¯ a21 a22 · · · ¯ D = det(A) = |A| = ¯ . .. .. ¯ .. . . ¯ ¯ an1 an2 · · ·

   . 

or size n × n, (see [5], [9], [10], [11]) is the

∗ Mathematics

a1n a2n .. . ann

¯ ¯ ¯ ¯ X ¯ εj1 ,j2 ,...,jn aj1 aj2 . . . ajn , ¯= ¯ Sn ¯ ¯

Subject Classifications: 15A15, 11C20, 65F40. of Mathematics, Faculty of Electrical and Computer Engineering, University of Prishtina, Pristina 10000, Kosovo; E-mail: [email protected] ‡ Department of Telecommunication, Faculty of Electrical and Computer Engineering, University of Prishtina, Pristina 10000, Kosovo; E-mail: [email protected] † Department

1

144

ranging over the symmetric permutation group Sn , where ( +1, if j1 , j2 , . . . , jn is an even permutation εj1 ,j2 ,...,jn = −1, if j1 , j2 , . . . , jn is an odd permuation.

1.1

Properties characterizing determinants

Let A and B be any n × n matrices; see [3], [7], [8]. 1. If A is a triangular matrix, i.e. aij = 0 whenever i > j or, alternatively, whenever i < j, then det(A) = a11 a22 · · · ann . 2. If B results from A by interchanging two rows or columns, then det(B) = − det(A). 3. If B results from A by multiplying one row or column with a number c, then det(B) = c det(A). 4. If B results from A by adding a multiple of one row to another row, or a multiple of one column to another column, then det(B) = det(A). These four properties can be used to compute determinants of any matrix, using Gaussian elimination. This is an algorithm that transforms any given matrix to a triangular matrix, only by using the operations from the last three items above. Since the effect of these operations on the determinant can be traced, the determinant of the original matrix is known, once Gaussian elimination is performed. It is also possible to expand a determinant along a row or column using Laplace’s formula, which is efficient for relatively small matrices. To do this along the row i, say, we write n n X X det(A) = aij Cij = aij (−1)i+j Mij , j=1

j=1

146 represent the matrix cofactors, i.e., Cij is (−1)i+j times the minor Mij ,

where the Cij which is the determinant of the matrix that results from A by removing the i-th row and the j-th column, and n is the size of the matrix. 5. If I is identity matrix, i.e. ( aij =

1, if i = j 0, if i 6= j

,

then the determinant of the identity matrix is one, det(I) = 1. 6. Multiplying a matrix by a number r affects the determinant as follows: det(ra) = rn det(A). 7. If A contains a zero row (or column), then det(A) = 0. 8. If A contains two identical or proportional rows (or columns), then det(A) = 0. 2

145

9. A matrix and its transpose have the same determinant: det(AT ) = det(A). PROPOSITION 1. Let B be obtained from A by one of the following elementary row (column) operations: 1) Two rows (or columns) of A are switched, or 2) A row (or column) of A is multiplied by a number α, or 3) A multiplier of a row (or column) of A is added to another row (or column). Then we have, respectively, det(B) = − det(A), or det(B) = α det(A), or det(B) = det(A).

1.2

Chio’s condensation method

Chio’s condensation is a method for evaluating an n × n determinant in terms of (n − 1) × (n − 1) determinants; see [1], [4]:

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21 ¯ A=¯ . ¯ .. ¯ ¯ an1

1.3

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

an2

...

ann

¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ = n−2 ¯ a11 ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21

¯ a12 ¯¯ a22 ¯

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21

¯ a13 ¯¯ a23 ¯

···

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a31

¯ a12 ¯¯ a32 ¯

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a31

¯ a13 ¯¯ a33 ¯

···

¯ ¯ a11 ¯ ¯ a31

.. . ¯ ¯ a11 a12 ¯ ¯ an1 an2

¯ ¯ ¯ ¯

.. . ¯ ¯ a11 a13 ¯ ¯ an1 an3

¯ ¯ ¯ ¯

..

.

···

¯ ¯ a11 ¯ ¯ an1

¯ ¯ a1n ¯¯ ¯¯ a2n ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1n ¯ ¯¯ a3n ¯ ¯¯ . ¯ .. ¯ . ¯ ¯ a1n ¯¯ ¯¯ ann ¯ ¯

Dodgsons condensation method

Dodgson’s condensation method computes determinants of size n × n by expressing them in terms of those of size (n − 1) × (n − 1), and then expresses the latter in terms of determinants of size (n − 2) × (n − 2), and so on (see [2]).

2

A new method to compute the determinant of a matrix

Let |An×n | be an n × n determinant: ¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21 ¯ |An×n | = ¯ . ¯ .. ¯ ¯ an1

a12 a22 .. .

a13 a23 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

an2

an3

···

ann

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(1)

Let us now analyze determinants of size n × n (n ≥ 5), where, with the exception of the first and last entries, the entries of the 2nd row and (n − 1)th row, as well the 3

146

2nd column and (n − 1)th column are all zero. We call such determinants “cornice determinants” and write them down as |Cn×n | (n ≥ 5): ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ··· a1,n−2 a1,n−1 a1n ¯¯ ¯ ¯ a21 0 0 ··· 0 0 a2n ¯¯ ¯ ¯ a31 0 a33 ··· a3,n−2 0 a3n ¯¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. .. .. .. |Cn×n | = ¯ (2) ¯ . . . . . . . ¯ ¯ ¯ an−2,1 ¯ 0 an−2,3 · · · an−2,n−2 0 an−2,n ¯ ¯ ¯ an−1,1 0 0 ··· 0 0 an−1,n ¯¯ ¯ ¯ an1 an2 an3 ··· an,n−2 an,n−1 ann ¯ By using elementary row and column operations and based on determinants properties, a considerable number of determinants of size n × n can be transformed into cornice determinants. We will prove that any cornice determinant of size n(n ≥ 5) can be computed by reducing the size of determinant by four, thus transforming it to an (n − 4) × (n − 4) determinant. For example, a determinant of size 5 × 5 is transformed to a number, one of size 6 × 6 to a determinant of size 2 × 2, etc. THEOREM 1. Every cornice determinant |Cn×n | of size n×n(≥ 5) can be computed by reducing the order of the determinant by four: |Cn×n | = (a12 a21 an,n−1 an−1,n − a12 an2 a1,n−1 an−1,n + +a1,n−2 a2n an2 an−1,1 )|C(n−4)×(n−4) |, where

¯ ¯ a33 ¯ ¯ .. |C(n−4)×(n−4) | = ¯ . ¯ ¯ an−2,3

··· .. . ···

(3)

a3,n−2 .. . an−2,n−2

We illustrate this using the following picture: ¯ ¯ a11 a12 a13 ··· a1,n−2 ¯ ¯ a21 0 0 · · · 0 ¯ ¯ a31 0 a · · · a 33 3,n−2 ¯ ¯ .. .. .. .. .. |Cn×n | = ¯ . . . . . ¯ ¯ an−2,1 0 an−2,3 · · · an−2,n−2 ¯ ¯ an−1,1 0 0 ··· 0 ¯ ¯ an1 an2 an3 ··· an,n−2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯

a1,n−1 0 0 .. .

a1n a2n a3n .. .

0 0

an−2,n an−1,n ann

an,n−1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

PROOF. Let n = 5. We will prove that Theorem 1 holds for |C5×5 | cornice determinants. Based on Laplace’s formula, the determinant |C5×5 | can be expanded along the first row:

4

147

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |C5×5 | = ¯¯ ¯ ¯ ¯

a11 a21 a31 a41 a51 ¯ ¯ ¯ ¯ 1+2 +(−1) a12 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1+4 +(−1) a14 ¯¯ ¯ ¯

a12 0 0 0 a52

a13 0 a33 0 a53

a14 0 0 0 a54

a15 a25 a35 a45 a55

a21 a31 a41 a51

0 a33 0 a53

0 0 0 a54

a25 a35 a45 a55

a21 a31 a41 a51

0 0 0 a52

0 a33 0 a53

a25 a35 a45 a55

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a33 0 ¯ = a11 ¯ ¯ ¯ 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ a52 a53 a54 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a21 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ a31 0 0 ¯ + a13 ¯ ¯ ¯ a41 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ a51 a52 a54 ¯ ¯ ¯ a21 0 ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + a15 ¯ a31 0 a33 ¯ a41 0 ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ a51 a52 a53

¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯

a25 a35 a45 a55

¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ 0 ¯¯ = 0 ¯¯ a54 ¯ a25 a35 a45 a55

(based on property 8 from the first section, the first, third and fifth determinants are zero) ¯ ¯ a33 ¯ = −a12 (−1)1+1 a21 ¯¯ 0 ¯ a53 

¯ ¯ 0 ¯ 1+1  −a14 (−1) a21 ¯¯ 0 ¯ a52 

0 0 a54 a33 0 a53

¯ ¯ ¯ ¯ a31 ¯ ¯ ¯ + (−1)1+4 a25 ¯ a41 ¯ ¯ ¯ ¯ a51

a35 a45 a55 a35 a45 a55

¯ ¯ ¯ ¯ a31 ¯ ¯ ¯ + (−1)1+4 a25 ¯ a41 ¯ ¯ ¯ ¯ a51

a33 0 a52 0 0 a52

0 0 a54 a33 0 a53

¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯

= −a12 [a21 (−a33 a45 a54 ) − a25 (−a33 a41 a54 )] − a14 [a21 (a33 a45 a52 ) − a25 (a33 a41 a52 )] = = a12 a21 a33 a45 a54 − a12 a25 a33 a41 a54 − a14 a21 a33 a45 a52 + a14 a25 a33 a41 a52 = = (a12 a21 a54 a45 − a12 a25 a54 a41 − a21 a52 a14 a45 + a41 a52 a25 a14 ) a33 , which has the desired form (3). Next, we prove that the theorem holds for n ≥ 6. Based on Laplace’s formula, the determinant |Cn×n | can be expanded along the second column: ¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21 ¯ ¯ a31 ¯ ¯ .. |Cn×n | = ¯ . ¯ ¯ an−2,1 ¯ ¯ an−1,1 ¯ ¯ an1

a12 0 0 .. .

a13 0 a33 .. .

··· ··· ··· .. .

a1,n−2 0 a3,n−2 .. .

a1,n−1 0 0 .. .

a1n a2n a3n .. .

0 0 an2

an−2,3 0 an3

··· ··· ···

an−2,n−2 0 an,n−2

0 0

an−2,n an−1,n ann

5

148

an,n−1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1+2 = (−1) a12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n+2 +(−1) an2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

a21 a31 .. .

0 a33 .. .

··· ··· .. .

0

0 0 .. .

a2n a3n .. .

a3,n−2 .. .

an−2,1 an−1,1 an1

an−2,3 0 an3

··· ··· ···

an−2,n−2 0 an,n−2

0 0 an,n−1

an−2,n an−1,n ann

a11 a21 a31 .. .

a13 0 a33 .. .

··· ··· ··· .. .

a1,n−2 0 a3,n−2 .. .

a1,n−1 0 0 .. .

a1n a2n a3n .. .

an−2,1 an−1,1

an−2,3 0

··· ···

an−2,n−2 0

0 0

an−2,n an−1,n

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(4)

(the determinants in (4) are expanded along the (n − 1)th column) ¯ ¯ a21 ¯ ¯ a31 ¯ ¯ .. 1+2 n−1+n−2 = (−1) a12 (−1) an,n−1 ¯ . ¯ ¯ an−2,1 ¯ ¯ an−1,1 ¯ ¯ a21 ¯ ¯ a31 ¯ ¯ .. n+2 1+n−2 +(−1) an2 (−1) a1,n−1 ¯ . ¯ ¯ an−2,1 ¯ ¯ an−1,1

0 a33 .. .

··· ··· .. .

0 a3,n−2 .. .

a2n a3n .. .

an−2,3 0

··· ···

an−2,n−2 0

an−2,n an−1,n

0 a33 .. .

··· ··· .. .

a3,n−2 .. .

a2n a3n .. .

an−2,3 0

··· ···

an−2,n−2 0

an−2,n an−1,n

¯ ¯ a21 ¯ ¯ a31 ¡ ¢ ¯¯ .. 2n 2n+1 = (−1) a12 an,n−1 + (−1) an2 a1,n−1 ¯ . ¯ ¯ an−2,1 ¯ ¯ an−1,1

0

0 a33 .. .

··· ··· .. .

0 a3,n−2 .. .

an−2,3 0

··· ···

an−2,n−2 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯

a2n a3n .. . an−2,n an−1,n (5)

(the determinant in (5) is expanded along the first row) ¯ ¯ a33 ¯  ¯ ..  ¯ 1+1 . = (a12 an,n−1 − an2 a1,n−1 ) (−1) a21 ¯ ¯ an−2,3  ¯ ¯ 0 

6

149

··· .. . ··· ···

a3,n−2 .. .

a3n .. .

an−2,n−2 0

an−2,n an−1,n

¯  ¯ ¯ ¯  ¯  ¯ + ¯  ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ a31 ¯  ¯ ..  ¯ . +(−1)1+n−2 a2n ¯ ¯ an−2,1  ¯ ¯ an−1,1 

a33 .. . an−2,3 0

··· .. . ··· ···

a3,n−2 .. . an−2,n−2 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(6)

(the determinants in (6) are expanded along the last row) ¡ ¢ = (a12 an,n−1 − an2 a1,n−1 ) a21 (−1)n−3+n−3 an−1,n + (−1)n−1 a2n (−1)n−2 an−1,1 · ¯ ¯ a33 ¯ ¯ a43 ¯ ·¯ .. ¯ . ¯ ¯ an−2,3

a34 a44 .. .

··· ··· .. .

a3,n−2 a4,n−2 .. .

an−2,4

···

an−2,n−2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯

= (a12 an,n−1 − an2 a1,n−1 ) (a21 an−1,n − a2n an−1,1 ) · ¯ ¯ a33 ¯ ¯ a43 ¯ ·¯ .. ¯ . ¯ ¯ an−2,3

a34 a44 .. .

··· ··· .. .

a3,n−2 a4,n−2 .. .

an−2,4

···

an−2,n−2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯

= (a12 a21 an,n−1 an−1,n − a12 an2 a1,n−1 an−1,n + a1,n−2 a2n an2 an−1,1 )|C4×4 | which proves that Theorem 1 holds. COROLLARY. If a matrix A of size n × n(n ≥ 5) can be transformed into a cornice determinant |Cn×n |, then it can be computed using the formula (3). To illustrate the usefulness of our method in computing cornice determinants, we give an example. EXAMPLE 2.1. Compute the following determinant ¯ ¯ ¯ 7 1 −3 11 9 −6 ¯ ¯ ¯ ¯ 8 0 0 0 0 2 ¯¯ ¯ ¯ −5 0 5 −5 0 1 ¯ ¯. |C6×6 | = ¯¯ 7 0 2 ¯¯ ¯ 12 0 3 ¯ 3 0 0 0 0 11 ¯¯ ¯ ¯ 10 9 −2 1 5 7 ¯ Solution 1. (Known method) Based on Laplace’s formula, can be expanded along the second column: ¯ ¯ ¯ ¯ 8 ¯ 7 0 0 0 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −5 5 −5 0 1 ¯ ¯ 8 ¯ ¯ ¯ 1+2 ¯ 6+2 ¯ ¯ 3 7 0 2 ¯ + (−1) 9 ¯ −5 |C6×6 | = (−1) ¯ 12 ¯ 3 ¯ 12 0 0 0 11 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 10 −2 1 5 7 ¯ ¯ 3 7

150

the given determinant −3 0 5 3 0

¯ 11 9 −6 ¯¯ 0 0 2 ¯¯ −5 0 1 ¯¯ = 7 0 2 ¯¯ 0 0 11 ¯

¯ ¯ ¯  ¯ 1+1 ¯  = − (−1) 8 ¯ ¯ ¯ 

¯ ¯ ¯  ¯ 2+1 ¯ +9  (−1) 8 ¯  ¯ ¯ 

5 3 0 −2 −3 5 3 0

¯ ¯ ¯ −5 0 1 ¯¯ ¯ ¯ 7 0 2 ¯¯ 1+5 ¯ + (−1) 2 ¯ 0 0 11 ¯¯ ¯ ¯ 1 5 7 ¯

−5 12 3 10

5 3 0 −2

−5 7 0 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)2+5 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

7 −5 12 3

−3 5 3 0

¯ 11 9 ¯¯ −5 0 ¯¯ = 7 0 ¯¯ 0 0 ¯

11 −5 7 0

¯ ¯ ¯ 4+3 ¯  = − 8(−1) 5 ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ 1+3 ¯  +9 −8(−1) 9 ¯ ¯ 

¯ ¯ 5 = (−1)8(−5)11 ¯¯ 3

−5 7

9 0 0 0

−6 1 2 11

¯ ¯ ¯ −5 ¯ ¯ ¯ ¯ + 2(−1)4+4 ¯ 12 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ −5 −5 1 ¯¯ ¯ 1+4 ¯ ¯ 7 2 ¯ − 2(−1) 9 ¯ 12 ¯ 3 0 11 ¯

5 −5 1 3 7 2 0 0 11 5 3 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯−1·2·5·3 ¯ 5 ¯ ¯ 3

¯ ¯ 5 = (440 − 30 − 7128 + 486) ¯¯ 3

−5 7

¯ ¯ ¯ ¯ ¯−8·9·9·11 ¯ 5 ¯ ¯ 3

5 3 0

−5 7

0 0 0 5

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ −5 ¯¯ 7 ¯¯ = 0 ¯

−5 7 0

5 3 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯−2·9·(−9)·3 ¯ 5 ¯ ¯ 3

¯ −5 ¯¯ = 7 ¯

¯ −5 ¯¯ = −6232 · (35 + 15) = −6232 · 50 = −311600. 7 ¯

Solution 2. (New method) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |C6×6 | = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ −3 11 9 −6 ¯¯ 0 0 0 2 ¯¯ 5 −5 0 1 ¯¯ = 3 7 0 2 ¯¯ 0 0 0 11 ¯¯ −2 1 5 7 ¯ ¯ ¯ 5 = [8 · 1 · 5 · 11 − 1 · 2 · 3 · 5 − 8 · 9 · 9 · 11 + 9 · 2 · 3 · 9] ¯¯ 3 7 8 −5 12 3 10

1 0 0 0 0 9

¯ −5 ¯¯ = 7 ¯

= (440 − 30 − 7128 + 486) · 50 = −311600.

References [1] F. Chi´o, M´emoire sur les fonctions connues sous le nom de r´esultantes ou de d´eterminants. Turin: E. Pons, 1853.

8

151

[2] C. L. Dodgson, Condensation of Determinants, Being a New and Brief Method for Computing their Arithmetic Values. Proc. Roy. Soc. Ser. A 15, (1866), 150–155. [3] H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, pages 405, 493494, Saunders College Publishing, 1990. [4] H. Eves, Chio’s Expansion. §3.6 in Elementary Matrix Theory. New York: Dover, (1996), 129–136. [5] E. Hamiti, Matematika 1, Universiteti i Prishtin¨es: Fakulteti Elektroteknik, Prishtin¨e, (2000), 163–164. [6] P. H. Hanus, An elementary treatise on the theory of determinants. A textbook for colleges, Ithaca, New York: Cornell University Library, Boston, Ginn and Company (1886), 13, 14, 18. [7] J.R. Bunch and J.E. Hopcroft, Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication, Mathematics of Computation, 28 (1974) 231-236. [8] Pierre-Simon (de) Laplace, Expansion of determinants in terms of minors, Researches sur le calcul int´egral et sur le syst´eme du monde, Histoire de l’Acad´emie Royale des Sciences (Paris), seconde partie, pages 267–376 (1772). [9] S. Barnard, J. M. Child, Higher Algebra, London Macmillan LTD New York, ST Martin’s Press (1959), 131. [10] Robert F. Scott, The theory of determinants and their applications, Ithaca, New York: Cornell University Library, Cambridge: University Press, (1904), 3–5. [11] W. L. Ferrar, Algebra, A Text-Book of determinants, matrices, and algebraic forms, Second edition, Fellow and tutor of Hertford college Oxford, (1957), 7.

9

152