Matemáticas 2016 – 2017 ÁREAS Y VOLÚMENES. 1.- ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cilindro?
Solución: a) No es el desarrollo de un cilindro porque la base del rectángulo es menor que la longitud de la circunferencia. b) Si es el desarrollo de un cilindro. c) No es el desarrollo de un cilindro porque el círculo no puede estar en ese lado del rectángulo. d) Si es el desarrollo de un cilindro. e) No es el desarrollo de un cilindro porque el desarrollo lateral no es un rectángulo. 2.- ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cono?
Solución: a) No es el desarrollo de un cono porque el desarrollo lateral no es un sector circular, es un triángulo. b) No es el desarrollo de un cono porque el arco es menor que la longitud de la circunferencia. c) Si es el desarrollo de un cono. d) No es el desarrollo de un cono porque el círculo no puede estar en ese lado del sector. e) No es el desarrollo de un cono porque el arco es menor que la longitud de la circunferencia. 3.- Comprobar la relación de Euler en: a) Un prisma pentagonal. b) Una pirámide hexagonal. Solución: Relación de Euler: c + v = a + 2 a) En un prisma pentagonal: 7+10=15+2 b) En una pirámide hexagonal: 7+7=12+2 4.- ¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros al girar en torno a uno de sus lados engendra un cilindro?
Solución: Los cuadriláteros que al girar en torno a uno de sus lados engendran un cilindro son a), b), y e). 8.- ¿Cuáles de las siguientes figuras al girar alrededor de un lado engendran una esfera?
Solución: Engendran una esfera las figuras c) y e) porque son los únicos semicírculos
Matemáticas 2016 – 2017 9.- Haz el desarrollo en superficie de: a) Un prisma triangular. Solución:
b) Una pirámide cuadrangular.
10.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura. Solución:
SL = 2(SA+SC) = 4 Sr Sr = 5·12 = 60 cm
2
SL = 4·60 = 240 cm
2
11.- Calcula la superficie lateral de la figura siguiente, sabiendo que la base es un pentágono regular de 20 cm de lado y el apotema de la pirámide mide 50 cm.
Solución:
SL
Pb ·a 5 20 50 2 500cm2 2 2
12.- Calcula la superficie lateral de un cilindro de radio de la base 3 cm y altura 4 cm. 3cm
4cm
Solución:
SL = 2 π r h = π·2·3·4 = 75,40 cm
2
Matemáticas 2016 – 2017 13.- En al figura tienes el desarrollo de un prisma de base cuadrada. Calcula su superficie total.
2
So.: ST = 4(SA)+ 2SB = 4 · 1,5+ 2 · 1 = 8 m SA = 1 · 1,5 = 1,5 m
2
SD = 1 · 1 = 1 m
2
14.- Calcula la superficie total del sólido cuyo desarrollo plano se presenta a continuación:
ST S B S L 6 1 7 m 2 Solución:
Pb ·a 4 1 3 6 m2 2 2 2 2 SB 1 1m SL
15.- Calcula la superficie total de un cilindro de diámetro de la base 2 m y altura 5 m.
S L 2 πr h 2·π·π·1 31,42 m 2 Solución:
S B πr 2 1·π 3,14 m 2 S T S L 2 S B 37,70 m 2
16.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura. 2 2 2 Solución: SL = 2(SA+SC) SA = 2 · 7= 14 cm SB = 8 · 7 = 56 cm SL= 2(14+56) = 140cm
18.- Calcula la superficie lateral de un cono de radio 2 m y generatriz 1 m. Solución: S π r g π · 2 ·1 2 π 6,28 m
2
19.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base hexagonal regular de 10 cm de lado y 20 cm de altura. 2 2 Solución: SL = 6·SA SA = 10 · 20 = 200 cm SL = 6 · 200 = 1 200 cm
21.- Una empresa de señales marítimas ha fabricado estas boyas de poliestireno. Calcula la cantidad de film transparente necesario para recubrir mil boyas.
S T Ss S co Solución:
Matemáticas 2016 – 2017
1 4 π r 2 2 π 5 2 157,08cm 2 2 S co π r g π 5 12 188,50cm 2 Ss
Calculemos la superficie:
S T 157,08 188,50 345,58cm 2 2 2 2 Para cubrir mil boyas necesitaremos: 1000·345,58 cm 345580 cm 34,558m de film transparente. 22.- Para las fiestas de mi pueblo han montado una carpa como la de la imagen. Calcula la superficie de tela necesaria para su fabricación si las medidas están en metros.
Solución:Calculemos en primer lugar la generatriz del cono superior:
g 2 1,5 6,25 2,5 m S T S co S ci 2
2
Calculemos ahora su superficie:
S co π r g π 1,5 2,5 11.78m 2 S ci 2 π r h 2 π 1,5 3 28,27 m 2 S T 11,78 28,27 40,05m 2 23.- En una ciudad se ha construido un obelisco piramidal de base triangular de cristal con el lado de la base de 5 m y una altura de 50 m. Calcula la superficie de cristal necesaria para recubrirlo teniendo en cuenta que la base no está recubierta de cristal.
Solución: Calculemos en primer lugar la apotema: a 50 2,5 2
2
2 506,25 50,06 m
La superficie lateral será: P ·a 3 ·5 ·50,06 SL B 375,47 m 2 2 2
Matemáticas 2016 – 2017 24.- Calcula la superficie de un huso horario en una esfera terrestre de 10 cm de radio.
Solución: La superficie de la esfera será 2 2 2 S= 4πr = 4π·10 = 400π =1 256,64 cm La superficie de un huso horario será la parte correspondiente a 15º: 360º : 15º = 24 husos horarios 2 SH = S : 24 = 52,36 cm 25.- Calcula lo que costará empapelar las cuatro paredes de una habitación con forma de prisma de base rectangular de 5 m x 6 m y altura 3,5 m, si el metro cuadrado de papel pintado se vende a 0,75 €. Solución: SL = 2(SA + SC) 2 SA = 5 · 3,5= 17,5 m 2 SC = 6 · 3,5 = 21 m 2 SL = 2(17,5 + 21) = 77 m 2 2 Precio : 77 m · 0,75 €/ m = 57,75 € 26.- Las farolas de una ciudad están culminadas en un fanal con forma de pirámide pentagonal, en el que el lado del pentágono es 25 cm y la apotema de las caras es 30 cm. Calcula la superficie de cristal necesaria para cada farola, si la base es una pieza metálica. Solución:
SL
P· a 5 · 25 ·30 1875 cm 2 2 2
27.- Una apisonadora tiene por rueda un rodillo con forma de cilindro de 1 m de radio y 4 m de largo. Calcula la superficie de carretera que pisa en cada vuelta. Solución: 2 S = 2πrh = 2π·1·4 = 8π =25,13 m 28.- Calcula la superficie total de una pirámide cuadrangular recta, sabiendo que el lado de la base es 4 m y la altura es 6 m.
a 2 2 3 3 13 3,61m P · a 4 4 3,61 SL b 28,88 m 2 2 2 S B 4 2 16 m 2 S T S B S L 28,88 16 44,88 m 2
Solución: Calculemos en primer lugar la apotema: 29.- Deseamos construir una caja de madera sin tapa que tenga por base un rectángulo de 12 x 15 cm y altura 9 cm. Calcula la superficie de madera que necesitas para su construcción. Solución: ST = SL+1SB SL = 2(SA+SC) 2 SA = 12 · 9= 108 cm 2 SB = 12 · 15 = 180 cm 2 SC = 15 · 9 = 135 cm 2 ST = 2(SA+SC)+ SB = 2(108+135)+180 = 666 cm
Matemáticas 2016 – 2017 30.- La Pirámide de Keops tiene base cuadrada con un lado de 232,805 m y altura 148,208 m. Quedándote sólo con las unidades en metros, calcula su superficie lateral.
Solución: Calculemos en primer lugar la apotema: a 148 2 116 2 35 360 188,04 m
SL
PB ·a 4 · 232 ·188,04 87 250,56 m 2 2 2
La superficie lateral será: 31.- Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura.
Solución: V = a · b · c = 5 · 5 · 12 = 300 cm
3
32.- Calcula la capacidad de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura. Solución: V a b c 2 8 7 112 cm
3
33.- Calcula el volumen de un prisma con altura 30 cm y base triangular de las siguientes dimensiones: 10 cm de base y 20 cm de altura. Solución: V SB h 100 30 3 000 cm3 3 dm3 3 l
SB
b·a 10·20 100 cm 2 2 2 2
34.- Calcula el volumen de la figura siguiente sabiendo que la base es un pentágono regular de 20 cm de superficie y la altura de la pirámide es de 50 cm.
V
1 1 S B ·h 20 ·50 333,333 cm 3 3 3
Solución: 35.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular recta sabiendo que el lado de la base es 4 m y la altura es 6 m. Solución: V
1 1 ·S B ·h 4 2 ·6 32 m 3 3 3
Matemáticas 2016 – 2017 36.- Calcula el volumen de una pirámide que tenga por base un cuadrado de lado 4 dm y una altura de 36 cm. Solución: V
1 1 ·S B ·h 40 2 ·36 19 200 cm 3 3 3
37.- Calcula el volumen de un cilindro de radio de la base 3 cm y altura 4 cm. Solución: V π·r h π·9·4 113,10cm 38.- Calcula el volumen de un cono de diámetro de la base 2 m y altura 4 m. 2
3
π·r 2 h π·1·4 4,19 cm 3 Solución: V 3 3 39.- Calcula el volumen de un cono de radio 4 m y generatriz 5 m.
Solución:
5 h 4 h 25 16 3 cm 2
2
2
π·r 2 h π·16·3 V 50,27 cm 3 3 3
40.- Calcula el volumen de la siguiente figura:
V Vp1 Vp2 72 6 78 m 3 Vp1 12 · 2 ·(4 1) 72 m 3 Vp2 3 · 2 ·1 6 m 3 Solución: 41.- Calcula el volumen del sólido de la figura:
V Vp1 Vp2 1,836 5,202 7,038 m 3 Vp1 0,3 ·1,8 ·3,4 1,836 m 3 Vp2
1 1,8 ·(2 0,3)·3,4 5,202 m 3 2
Solución: 42.- Calcula el volumen del sólido de la figura:
V Vp1 Vp 2 16 4 20 m 3 Solución:
Vp1 4 · 4 ·1 16 m 3 1 Vp 2 · 4 · 4 ·0,75 4 m 3 3
44.- Tenemos un vaso como el de la figura. Calcula cuál será capacidad si el vaso es obtenido después de cortar un cono de 25 cm de alto, dejando un vaso de 10 cm de altura.
Matemáticas 2016 – 2017
π·r 2 h π·64·25 Solución: V1 1 675,52cm3 3 3
π·r2 h π·9·15 V2 141,37cm3 3 3 V V1 V2 1675,52 141,37 1543,13cm3 1,543dm 3 1,543litros. 45.- Fabricamos un rodillo de apisonadora como el de la imagen. Calcula su peso sabiendo que está fabricado con acero y cada centímetro cúbico de cemento pesa 30 gramos (unidades en metros):
Solución: V VC 2·Vc 37,70 2 · 0,785 39,27 m 3 39 270 dm 3 39 270 000 cm 3 VC π·22 ·3 37,70 m 3 Vc π·0,52 ·1 0,785 m 3 P 39 270 000 cm 3 ·30 g/cm 3 1 178 100 000 g 1178 Tm
46.- A continuación te presentamos una celda de una colmena de abejas. Calcula cuál será la cantidad total de polen que cabe sabiendo que 1 g de polen ocupa 1 centímetro cúbico.
V S B · h 10,38· 2,24 23,2512cm 3 Solución:
P·a 6·2,00·1,73 20,76 10,38cm 2 2 2 2 Polen : 23,2512cm 3 ·1g/cm 3 23,2512g
SB
47.- Calcula cuánto pesa una lápida de granito fabricada con la forma de paralelepípedo de la figura si un decímetro cúbico de granito pesa 2 kg.
Matemáticas 2016 – 2017
Solución:
V a · b ·c 120·30·50 180 000 cm3 180 dm 3 Peso 180 dm 3 · 2 kg/dm 3 360 kg
48.- Calcula cuánto pesará el aire que cabe en una habitación con forma de prisma de base rectangular de 5 m x 6 m y altura 3,5 m, si el metro cúbico de aire pesa 0,75 g.
Solución:
V a · b · c 5 · 6 · 3,5 105 m 3 P 105 m 3 · 0,75 g/m 3 78,75 g
49.- En al figura tienes el desarrollo de un prisma de base cuadrada. Calcula su volumen.
V a b c 1 1 1,5 1,5 m3 Solución: 50.- Calcula el volumen del prisma pentagonal que tiene el siguiente desarrollo plano.
Solución:
V SB h 5,611 2,75 15,43025m3 SB
P·a 5·1,81·1,24 11,222 5,611m 2 2 2 2
52.- La Pirámide de Keops tiene base cuadrada con un lado de 232,805 m y altura 148,208 m. Calcula su volumen.
Matemáticas 2016 – 2017
S B 232,8052 54198,168m 2 Solución:
1 1 V S B ·h 54198,168·148,208 2 677 534,029m 3 3 3
54.- Calcula el volumen del tronco de cono de la figura si la altura del cono mayor era de 25 cm y la altura del tronco de cono es 10 cm.
Solución: V1
π·r 2 h π·64·25 1 675,52cm3 3 3
π·r 2 h π·9·15 141,37cm3 3 3 V V1 V2 1 675,52 141,37 1534,415cm3 1,534dm 3 1,534litros. V2
56.- Calcula el volumen del sólido que aparece a continuación:
Solución:
V Vc Vs 8 620,53 1436,75 10 057,28 cm 3 Vc π·72 ·(70 2·7) π·72 ·56 8 620,53 cm 3 Vs
4 4 π·r3 π·73 1436,75 cm 3 3 3
57.- Calcula el volumen de un prisma de base hexagonal regular de 2 cm de lado; 1,75 cm de apotema y 76 mm de altura. Solución: V SB h 10,5 7,6 79,8 cm3
SB
P·a 6·2·1,75 21 10,5 cm 2 2 2 2
Matemáticas 2016 – 2017
