Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Départements de M&I

SMIA/2 lundi 27 mars 2017 https ://sites.google.com/site/probatetouan/

Analyse 3 TD N°1  Exercice 1.


En utilisant les DL., montrer les équivalences suivantes : (a) sin x − tg x ∼ − x2 , 3

 Exercice 2.


0

(b) arctg x ∼ x 0

(c) ln(1 + x) − x ∼ − 0

x2 2

2

(d) ln x − (x − 1) ∼ − (x−1) 2 1

arcsin x i) Calculer le DL. à l’ordre 5 de la fonction f (x) = √ . 1 − x2 ii) En déduire le DL. à l’ordre 6 de la fonction g(x) = (arcsin x)2

 Exercice 3.


Calculer les DL. à l’ordre 4 des deux fonctions suivantes :

 Exercice 4.


1 , cos x

ln(cos x)

Déterminer la position de la courbe relativement à la tangente au voisinage de zéro pour chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = tg x (b) g(x) = arccos x (c) h(x) = argsh x

 Exercice 5.


On considère la fonction f (x) = −x2 sin x. (a) Écrire la formule de Taylor-Maclaurin de f à l’ordre 4, et en déduire la formule de Taylor-Young de f en π. (b) Vérifier à l’aide du DL. de f en π que f (x) ∼ π 2 (x − π). π

(c) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe Cf en (π, f (π)). (d) En déduire l’équation de la tangente au même point à la courbe de la fonction g(x) = 1 + f (x)

 Exercice 6.


On considère la fonction f (x) = (5 + x2 + 8x3 )1/3 . a) Déterminer l’équation de l’asymptote de f en +∞ b) En déduire la position de la courbe Cf par rapport à cette asymptote.

 Exercice 7.


Soit f une fonction définie et deux fois dérivable au voisinage d’un point a. On suppose que f 0 (a) = 0 et que f 00 (a) 6= 0. a) Démontrer les propositions suivantes : i) Si f 00 (a) > 0, alors f admet un minimum en a. ii) Si f 00 (a) < 0, alors f admet un maximum en a. b) On considère les rectangles ayant un périmètre égal à P = 44 cm. Déterminer, parmi ces rectangles, ceux dont la surface S est maximale. c) On considère les cylindres ayant un volume égal à V = 86.86 cm3 . Déterminer, parmi ces cylindres, ceux dont la surface totale S est minimale.

 Exercice 8.


Soit f la fonction définie par f (x) = sin x ch(x − π) et soit F une primitive de f. a) Calculer f (x) + f (2π − x), f 0 (x) et f 00 (x). b) On définit les fonctions g et h par g(x) = F (x + 2π) − F (x) et h(x) = F (x) − F (2π − x). i) Montrer que h est constante ii) Calculer h(π) et en déduire que g(0) = 0 c) En calculant g 0 (0), g 00 (0) et g 000 (0), donner la formule de Taylor-Maclaurin de g à l’ordre 3.

  Développements limités de quelques fonctions usuelles   2 5 tg x = x + 13 x3 + 15 x + x6 ε (x) 3 5 x2k+1 2k+2 arcsin x = x + 16 x3 + 40 x + · · · 1×3×···2k−1 ε(x) 2×4×···2k 2k+1 + x 1×3×···2k−1 x2k+1 2k+2 ε(x) 2×4×···2k 2k+1 + x 2k+1 1 3 1 5 kx 2k+2 arctg x = x − 3 x + 5 x + · · · (−1) 2k+1 + x ε(x) 2 5 th x = x − 13 x3 + 15 x + x6 ε(x) 2k+1 argth x = x + 13 x3 + 15 x5 + · · · + x2k+1 + x2k+2 ε (x) 3 5 x2k+1 2k+2 argsh x = x − 16 x3 + 40 x + · · · (−1)k 1×3×···(2k−1) ε (x) 2×4×···2k 2k+1 + x

arccos x = 12 π − x − 16 x3 −

3 5 40 x

··· −