

FORMULARIO CALCULO DIFERENCIAL

Fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas

Máximos y mínimos *Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) < 0, tiene un máximo

Fórmulas de derivadas algebraicas. 𝑑 𝑑𝑥

Derivada de una constante

𝑑 𝒅

𝑑𝑥

𝒄=𝟎

𝒅𝒙

𝑑

𝑠𝑒𝑛 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠𝑤 ∗

𝑑𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑤 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑤 ∗

𝑑

𝑤

𝑑 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑤 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 ∗

𝑑𝑥

𝑑

𝑤

𝑑 𝑑𝑥

𝒅

𝒙=𝟏

𝑑

Derivada de una constante por una variable 𝒅 𝒅𝒙

𝒄𝒙 = 𝒄

Derivada de una variable elevada a un exponente 𝒅 𝒅𝒙

𝑠𝑒𝑐 𝑤 = 𝑠𝑒𝑐 𝑤 ∗ tan 𝑤 ∗

𝑑𝑥

𝑤

𝒅 𝒅𝒙

√𝒙 =

𝑤



𝑼𝒏 = 𝒏𝑼𝒏−𝟏

𝒅 𝒅𝒙

𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑤 =

𝒅

𝒅

𝑑 𝑑𝑥

𝑤

√1−𝑤 2 𝑑 𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑤 =

𝑑 𝑑𝑥

Derivada de la raíz cuadrada de una función.

𝑑 𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑤 = −

𝑑 𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑤 =

𝑤

𝑑

1 + 𝑤2

𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥

𝑑

𝑤

𝑤√𝑤 2 − 1

𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝑤 = −

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑐 𝑤 = −

𝑑 𝑑𝑥

𝑑 𝒅 𝒅𝒙

𝒏

√𝒖 =

𝑑𝑥

𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒏 𝒏−𝟏 𝒏 √𝒖

ln 𝑤 =

𝑑 𝒅𝒙

𝑑𝑥

𝑼𝑽 = 𝑼 ∗ 𝑽´ + 𝑽 ∗ 𝑼´

Derivada del cociente de dos funciones. 𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒗

=

𝑑

𝑤

𝑑𝑥

𝑤

log 𝑎 𝑤 =

𝑑 𝑤∗log𝑎 𝑑𝑥

𝑤

Derivada implícita

𝒗∗𝒖´−𝒖∗𝒗´

𝒅𝒚

𝒗𝟐

𝒅𝒙

=

−𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝑒

𝑑 𝑑𝑥

𝑢−𝑎 (𝑛−1)

𝑛=

𝑑 𝑑𝑥

𝑎𝑤 = 𝑎𝑤 ln 𝑎

𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝑑 𝑑𝑥

𝑎𝑔(𝑥) = 𝑎𝑔´(𝑥)

𝑑

𝑎

𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

=

−𝑎∗𝑔´(𝑥) [𝑔(𝑥)]2

𝑑 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

=

𝒇′ (𝒂) 𝒈′ (𝒂)

𝑟

𝑛

𝑆 = [2a + (n − 1)r]

+1

2

(a+u)n 2

𝑤

Progresiones Geométricas. Término enésimo 𝒖 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏

𝑤

N° términos

𝑑 𝑑𝑥

log 𝑢 − log 𝑎 + 1 log 𝑟

𝑤

Primer término 𝑎=

Recta tangente 𝒅𝒚

𝒚 − 𝒚𝟏 = (𝒙 − 𝒙𝟏 ) 𝒅𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝒎𝒕𝒈

𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 𝟏+ 𝒎𝟏 ∗𝒎𝟐

𝑔´(𝑥) 𝑎

[email protected]

𝑢

𝑆=

La razón 𝑟=

𝑟 𝑛−1

Suma finita

𝑆=

Ángulo entre curvas: Fórmulas de reducción

𝑢−𝑎

𝑆=

𝑤√𝑤 2 − 1

𝑒𝑤 = 𝑒𝑤

𝑟=

𝑛=

Derivada del producto de dos funciones. 𝒅

𝑑 𝑑𝑥

=

Primer término 𝑎 = 𝑢 − (𝑛 − 1)𝑟 Suma

1 + 𝑤2 𝑑 𝑑𝑥

𝒇′ (𝒙) 𝒈′ (𝒙)

SERIES Y PROGRESIONES

𝑤

√𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐√𝒖

Derivada de la raíz enésima de una función.

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝑤

√1 − 𝑤 2

Derivadas d funciones logarítmicas y exponenciales

𝒖

𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

Término enésimo 𝒖 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒓 La razón N° términos

𝑑

𝑼

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

Derivadas de funciones trigonométricas inversas.

𝟏

Derivada de una función elevada a un exponente

Regla d L´hopital

Progresiones Aritméticas.

𝑑

𝟐√𝒙

*Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) > 0, tiene un mínimo

𝑑 𝑑 𝑐𝑠𝑐 𝑤 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑤 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑤 ∗ 𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝒅

𝑤

𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

Derivada de la raíz cuadrada de una variable.

𝒅𝒙

𝑑 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑡 𝑤 = − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑤 ∗

𝑑𝑥

Derivada de una variable 𝒅𝒙

𝑑

𝑢𝑟−𝑎 𝑟−1

𝑎1 (𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1

𝑛−1

𝑢

√𝑎

Suma infinita 𝑺=

𝒂 𝟏−𝒓



FORMULARIO CALCULO INTEGRAL L545

1. ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶

2. ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝐶

INTEGRALES POR PARTES

3. ∫[𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑢)] 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 + ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 4. ∫ 𝒖𝒏 𝒅𝒖 = 5. ∫

𝒅𝒖 𝒖

𝒖𝒏+𝟏 𝒏+𝟏

+𝑪

CAMBIO DE VARIABLE ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢

𝑎𝑢 ln 𝑎

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

INTEGRALES DEFINIDAS

SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA

CASO

CAMBIO

DERIVADA

TRANSFORMACION

√𝑎 2 − 𝑥 2

𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝜃

√𝑎 2 − 𝑥 2 = 𝑎 cos 𝜃

√𝑥 2 + 𝑎2

𝑥 = 𝑎 tan 𝜃

𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

√𝑥 2 + 𝑎2 = 𝑎 sec 𝜃

√𝑥 2 − 𝑎 2

𝑥 = 𝑎 sec 𝜃

𝑑𝑥 = asec 𝜃 tan 𝜃

√𝑥 2 − 𝑎 2 = 𝑎 tan 𝜃

𝒏 ≠ −𝟏 

= 𝐥𝐧|𝒖| + 𝑪

6. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢



+𝐶

INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES

CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

A cada factor lineal 𝒂𝒙 + 𝒃, del denominador de una fracción

7. ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶

racional propia, le corresponde una fracción de la forma

8. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

9. ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶

siendo A una constante por determinar.

10. ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

11. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶

CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES

𝑨 𝒂𝒙+𝒃

12. ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶

A cada factor cuadrático de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏 , donde 𝑛 ≥ 1 que figure en el denominador de una fracción racional propia, le

13. ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶

corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma 𝑩

14. ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶

(𝒂𝒙+𝒃)𝟐

+

𝑪 (𝒂𝒙+𝒃)𝟑

𝑨 𝒂𝒙+𝒃

+

+ ⋯ siendo A, B, C,.. Constantes a determinar.



INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

15. ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶

CASO 3: FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS

1. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1

2. 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥

16. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶

A cada factor cuadrático irreducible 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde

3. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥

4. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

17. ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶 𝑑𝑢

18. ∫ √𝑎2

una fracción de la forma

𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄

siendo A, B las constantes a

= sen−1 + 𝐶 𝑎 > 0 𝑎

1

7. 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − cos 𝑥

CASO 4: FACTORES CUADRATICOS IGUALES 19. ∫ 21. ∫

𝑑𝑢 𝑎2 +𝑢

1

𝑢

𝑎

𝑎

= 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝐶 2

𝑑𝑢 𝑢2 −𝑎2

=

1 2𝑎

ln |

𝑢−𝑎 𝑢+𝑎

|+𝐶

20. ∫ 22. ∫

𝑑𝑢 𝑢√𝑢2 −𝑎 𝑑𝑢 𝑎2 −𝑢2

1

𝑢

𝑎

𝑎

= 𝑠𝑒𝑐 −1 + 𝐶 2

=

1 2𝑎

ln |

𝑎+𝑢 𝑎−𝑢

|+𝐶

𝑑𝑢 +𝑢2

𝑑𝑢

24. ∫ √𝑢2

−𝑎2

𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄

= ln(𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 ) + 𝐶

+

𝑪𝒙+𝑫 (𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄)

𝟐 +

constantes a determinar. 𝑑𝑢 = ln|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 1

1

𝑢

2

2

𝑎

1

1

2

2

25. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑎2 − 𝑢2 + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛−1 + 𝐶

1

1

𝑬𝒙+𝑭 (𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄)

𝟑 + …

siendo

1

6. 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 2

1

8. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + cos 𝑥 2

1 2

10. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥

A, B, C,… 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =

1

𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =

1

𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =  

2

9. 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑦 = [𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)]

𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =

26. ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑢2 + 𝑎2 + 𝑎2 ln(𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 ) + 𝐶 27. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 ln|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 2 2

2

A cada factor cuadrático irreducible (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒏 que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n factores de la forma: 𝑨𝒙+𝑩

23. ∫ √𝑎2

1

5. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2

determinar.

𝑢

−𝑢2

𝑨𝒙+𝑩

1

2

[ 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) ]

2 1 2 1 2

11. cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

[𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) – 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵)] [cos(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)] [𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵)]