CÁLCULO DE PROBABILIDADES 2º BACHILLERATO CCSS

Carmen Soguero IES Valle del Jiloca Calamocha - Teruel

1.- EXPERIENCIAS ALEATORIAS Experiencia determinista Conocemos de antemano el resultado. Suceso determinista (ocurre seguro) Ej: Movimiento de un coche a cierta velocidad durante determinado tiempo.

Sucesos que, de forma individual son deterministas, si te toman muchos resultados, se comportan como aleatorios.

Experiencia aleatoria El resultado depende del azar. Suceso aleatorio (ocurre o no dependiendo del azar) Ej: Lanzamiento de un dado

Conceptos básicos

Espacio muestral: Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Se designa por E Suceso: cualquier subconjunto de E Suceso elemental: cualquier elemento de E. También se llaman sucesos individuales o casos. Suceso imposible: es el vacío (no se da ningún caso del espacio) Suceso seguro: es el propio E (se cualquiera de los casos del espacio) Sucesos incompatibles: los que no tienen elementos comunes. A  B  Ø

Conjunto de todos los sucesos: S Si E tiene n elementos, el número de sucesos en total es 2n

Exp.: Lanzar un dado Espacio muestral: E={1,2,3,4,5,6} Suceso: {2,3} (que salga 2 ó 3) Suceso elemental: {5} Sucesos imposible: {Ø} (no sale ni 1, ni 2,… ni 6} Suceso seguro: E (sale 1 ó 2 ó,… ó 6) Sucesos incompatibles: S1={sale par} y S2 ={sale impar} Conjunto de todos los sucesos: como E tiene 6 elementos, hay 26= 64 sucesos: {1}, {par}, …

Operaciones con sucesos Se verifica cuando ocurre A o B o ambos. Etá formado por todos los elementos de A y todos los de B

UNIÓN:

Se verifica cuando ocurre A y B. Está formado por los elementos de A que a la vez lo son de B Se verifica cuando ocurre A pero no B. Está formado por los elementos de A que no son de B

INTERSECCIÓN:

DIFERENCIA:

COMPLEMENTARIO: También se representa por

A

A’

Se verifica cuando no se verifica A. A veces leeremos “no A”

Propiedades de las operaciones con sucesos

A B  B Si A  B =>

A

B

A B  A

A  B   A  B Leyes de Morgan:

A  B   A  B Imágenes tomadas de la web: http://132.248.48.14:3003/lmendez/uapa_cab/conjuntos_05_1.ht ml

2.- PROBABILIDAD Definición

Supongamos que repetimos un experimento N veces, y que estudiamos si se da un suceso S: Frecuencia absoluta de S: nº de veces que ocurre S f(S) Frecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S en el total de N: fr(S)= f(S)/N Probabilidad de que ocurra S: Número al que se acerca fr(S) cuando N se hace muy grande P[S]

Ley de los grandes números Ver una simulación de lanzamiento de un dado en el applet Ley de los Grandes números en GeogebraTube de José Luis Muñoz Casado

Axiomas de las probabilidades

Axioma 1: Para cualquier suceso S, P[ S ]  0 Ya que la frecuencia relativa del suceso siempre es positiva. Axioma 2: Si A y B son sucesos incompatibles, (es decir, A  B  Ø ) =>

PA  B  PA  PB Axioma 3:

P[ E ]  1

Ej.: Experimento: lanzar un dado Ax.1: S={sacar un 1} P[S]=1/6 S={no sacar ninguno}=0 Ax.2: A={Sacar par} B={Sacar impar} AUB={Sacar paro o impar} P[A] = 3/6 P[B] = 3/6 P[A] +P[B] = 3/6 + 3/6 =6/6 P[AUB] =6/6 Ax.3: P[E]=P[sacar 1 ó 2 ó … ó 6] =1

Teoremas de las probabilidades T 1:

P[ A]  1  P A

T 2: P[ Ø ] = 0

T 3: Si A  B  PB  PA  PB  A

T 4: Si

A  B  PA  PB

T 5:Si A1… Ak son incompatibles =>P[unión]=P[A1]+…+P[Ak] T 6: PA  B  PA PB PA  B

T 7: Si E es finito y S={x1, … xk} =>P[S]=P[x1]+…+P[x2]

Ley de Laplace

Si E{x1, x2, … xn} y P[x1] = P[x2] = … =P[xn] => Nº casos favorables Nº elementos de S P[S] = = Nº casos posibles n Instrumento de Laplace: el que produce experimentos con sucesos elementales equiprobables:

NO se puede usar la Ley de Laplace: • Instrumentos irregulares: Calculamos la probabilidad experimentalmente midiendo fr • Sucesos no equiprobables: Cambiamos el enfoque de la experiencia para que lo sean.

3.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Si A y C son sucesos, la probabilidad de A condicionada a C es la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre C:

PA  C  PA / C    PA  C   PC ·PA / C  PC 

Podríamos leerlo como: “Probabilidad de que ocurra A habiendo ocurrido C” = “Probabilidad de que ocurran A y C” / “Probabilidad de que ocurra C” A y C son sucesos independientes si se cumple que

PA / C   PA y PC / A  PC 

En ese caso:

PA  C   PA·PC 

Ejemplo 1:

P par 

8

5 1

6 2

7 3

4

Pv  

3 8

4 1  8 2

4 1 Pr    8 2 1 Pn  8

1 Probabilidad de que, siendo verde, sea par P par  verde 8 1   P par / v    (= probabilidad de que sea par condicionada 3 3 Pv  a que sea verde) 8 1 Pverde par 8 1 Probabilidad de que, siendo par, sea verde (= Pv / par    4 4 probabilidad de que sea verde condicionada a que P par sea par) 1 8 Probabilidad de que, siendo negra, sea par P par  n 8  1 (= probabilidad de que sea par condicionada a P par / n  1 Pn que sea negra) 8 2 Probabilidad de que, siendo roja, sea par(= probabilidad P par  r  8 1 P par / r     de que sea par condicionada a que sea roja) 4 2 Pr  8 1 OBSERVA:     P par / r  P par  par y r son sucesos independientes porque 2 1 1 P par / v   ; P par  par y v son sucesos dependientes porque 3 2

La resolución de estos ejercicios es más sencilla si creamos una tabla de contingencia que refleje claramente todos los datos:

8

5 1

6 2

7 3

4

Por ejemplo:

4 1 Pr    8 2

Par

Impar

Total

Verde

1

2

3

Rojo

2

2

4

Negro

1

0

1

Total

4

4

8

1 Pverde par 8 1 Pv / par    4 4 P par 8

Las tablas de contingencia son útiles cuando el conjunto de elementos responde a dos criterios, y en cada uno hay dos o más posibilidades excluyentes entre sí (color (r, v, n) y paridad (par, impar))

4.- EXPERIENCIAS COMPUESTAS En una experiencia compuesta se pueden distinguir dos o más pruebas (partes). Lanzar varios dados, extraer varias cartas, extraer bolas de varias urnas… (Si las partes son simultáneas, podemos “verlas” como consecutivas) Experiencias independientes Exp. compuestas en las que el resultado de una parte NO influye en la probabilidad del resultado de la otra parte.

Experiencias dependientes Exp. compuestas en las que el resultado de una parte SÍ influye en la probabilidad del resultado de la otra parte.

Ej.: Lanzar dos dados. Lanzar un dado y sacar una carta.

Ej.: Lanzar un dado y extraer bolas de una urna u otra dependendo del resultado. Sacar dos cartas consecutivas mirando la 1ª antes de sacar la 2ª

Experiencias independientes Si dos pruebas son independientes, los sucesos de una son independientes de los sucesos de la otra. En este caso, la probabilidad de que ocurra un suceso dado en cada una de ellas es el producto de las probabilidades de que ocurran por separado.

P[S1 en la 1ª y S2 en la 2ª] = P[S1] · P[S2] Ej: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados?

1 1 1 1 P4,4,4  P4 P4 P4      0,0046 6 6 6 216 En estos casos puede ser interesante usar diagramas de árbol: Ej: Si lanzamos un dado y una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y tres?

1 1 1 PC ,3  PC  P3     0,083 2 6 12

Dado Moneda

1/6

1/2

P[3,C] = 1/6 · 1/2 = 1/12 = 0,083

Experiencias dependientes Si dos pruebas son dependientes, la probabilidad de los sucesos de la segunda depende del resultado de la primera.

P[S1 en la 1ª y S2 en la 2ª] = P[S1] · P[S2/S1 ]

Para calcular estas probabilidades suele ser interesante usar diagramas de árbol: 1ª Ext. 2ª Ext. 3ª Ext. De una urna que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, extraemos tres bolas, sin devolver a la urna la bola extraída. ¿Son experiencias dependientes o independientes? Calcular la probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean: 3 2 1 1 a) Las tres rojas PRRR      8 7 6

b) Las dos primeras rojas y la 3ª blanca

56

3 2 5 5 PRRB      8 7 6 56 c) La 1ª roja y las otras dos blancas 3 5 4 10 5 PRBB       d) 3 blancas 5 4 3 10 5 8 7 6 56 28

PBBB       8 7 6 56 28

Urna I

Urna II

10

Probabilidad total Dados n sucesos incompatibles entre sí, tales que su unión es el espacio muestral completo, para cualquier suceso S de dicho espacio se cumple que: P[S] = P[A1]·P[S/A1] + P[A2]·P[S/A2] + … + P[An]·P[S/An] A esta expresión de P[S] en función de los sucesos A1, … An (que cumplen las condiciones indicadas se le llama PROBABILIDAD TOTAL de S. Si pensamos en términos de diagrama en árbol, la probabilidad total de que se dé un suceso es la suma de las probabilidades de todos los “caminos” por los que puede suceder.

Probabilidad “a posteriori” Supongamos una experiencia compuesta en la que A es un suceso de la 1ª y S un suceso de la 2ª. Hasta ahora, hemos considerado P[S/A], es decir la probabilidad de que en la 2º salga S, suponiendo que en la 1ª haya salido A.

P[A/S] es la probabilidad de que en la 1ª salga A, habiendo salido S en la 2ª. Es decir, la probabilidad de que el resultado final sea S, pero pasando por el “camino” de A en la primera prueba. PA  S  Se le llama probabilidad a posteriori. PA / S  

PS 

Aplicando la probabilidad total, nos queda la fórmula de Bayes:

P[ Ai / S ] 

PAi  PS / Ai  PA1 PS / A1  ...  PAn  PS / An

En la práctica, con un diagrama en árbol, podemos decir: P[“llegar a S pasando por el camino de A”] P[A/S] = P total de S (suma de las probabilidades por todos los caminos)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES 2º BACHILLERATO CCSS

http://catedu.es/matryc