Descartes es mejor
conocido como un gran filósofo moderno. También fue un René
fundador de Ia biologIa moderna, René Descartes 1596-1650
fIsico y matemático. Descartes nació en Touraine,
Francia; hijo de un modesto abogado que lo enviO a una escuela jesuita a Ia
edad de ocho años. Debido a su delicada salud, a Descartes se le
.yhoyendIa La idea de utilizar coordenadas para obtener una figura (grafica) de una ecuación es el principio fundamental explotado por las nuevas calculadoras que grafican.
permitiO pasar las mañanas estudiando
en cama, una práctica que encontró
tan ütil que Ia adoptó para el resto de su vida. A los 20 años obtuvo el tItulo
de abogado y de aIII en adelante vivió Ia vida de un caballero de su época,
sirviO en el ejército durante algunos años y vivió unas veces en Paris y otras en los PaIses Bajos. Invitado como instructor de Ia reina Cristina, fue a
Suecia, donde muriO de pulmonIa en 1650. Descartes buscO un método general de pensamiento que diera coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a Ia verdad. La
investigación lo condujo a las matemáticas, de las que concluyO que eran el medio para establecer Ia verdad en todos los campos. Su trabajo matemático de mayor trascendencia fue La Géométrie, publicado en 1637. En éI, intentó Ia unificaciôn de Ia antigua y venerable geometrIa con el algebra, aün en pañales. Junto con otro frances, Pierre Fermat
(1 601-1665), tiene crédito por Ia union que Ilamamos hoy geometrIa
analItica, o geometrIa coordenada. Sin ella, no hubiese podido surgir el pleno desarrollo del cálculo.
I
I
I
Preliminares 1.1 1 .2
1.3 1 .4
1.5
1.6 1 .7
1.8
1.1
El sistema de los nümeros reales
El sistema de Los nmeros reales Decimales, calculadoras y estimación Desigualdades Valores absolutos, ralces cuadradas y cuadrados El sistema de coordenadas rectangulares La Ilnea recta Gráficas de ecuaciones Revision del capItulo Proyecto de tecnologIa 1.1 GraficaciOn Proyecto de tecnologIa 1.2 ResoluciOn de ecuaciones por medlo de acercamiento
El cálculo está basado en el sistema de los nümeros reales y sus propiedades. Pero, ,cuáles son los nOmeros reales y cuáles son sus propiedades? Para responder, iniciamos con algunos sistemas numéricos más sencillos.
Los enteros y los nUmeros racionales son los nümeros naturales,
I
Los nUmeros más sencillos de todos
1,2,3,4,5,6,... Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si incluimos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros 4
Figura 1
3,-2,-1,O,1,2,3,...
4
Cuando medirnos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Están espaciados demasiado uno de otro para dar suficiente precision. Esto nos ileva a considerar cocientes (razones) de enteros (véase La figura 1), nOmeros tales como
3 7 21 4' Observe que incluimos
y
8 '
19
16
5 '-2' 2
17 1
aunque normalmente los escribirlamos como 8 y
17 ya que son iguales a aquellos por el significado ordinario de Ia divisiOn. No incluimos o ya que es imposible dar significado a estos sImbolos (véase el problema 36). De hecho, convenimos de una vez por todas desterrar La division entre cero de Figura 2
este libro (véase Ia figura 2). Los niImeros que pueden escribirse en la forma rn/n, donde rn y n son enteros con n son llamados nümeros racionales.
6
CAPíTULO
1
Preliminares
mismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuerdo con el Teorema fundamental de Id aritmética, todo número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un único conjunto de primos. Por ejemplo, 45 = 3 . 3 . 5. Escriba cada uno de los siguientes números como un producto de primos. Nota: El productor es trivial si el número es primo -esto es, tiene un solo factor. (a) 243 (c) 5100
49. ¿Cuál de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales? (a) - V9 (c) 1 - 0 (e) (30)(50)
V3)2
50. La suma de dos números irracionales, ¿necesariamente es irracional? Explique.
(b) 127 (d) 346
51. Demuestre que si el número natural do perfecto, entonces m es irracional.
44. Utilice el teorema fundamental de la aritmética (véase el problema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un conjunto único de primos, cada uno de los cuales aparece un número par de veces. Por ejemplo (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.
Viii no es un cuadra-
v'6 + V3 es irracional. 53. Demuestre que 0 - V3 + v'6 es irracional. 52. Demuestre que
54. Demuestre que log105 es irracional.
45. Demuestre que v2 es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción. Suponga que v2 = p / q, donde p y q son números naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el problema 44 para obtener una contradicción.
55. Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de los enuncia: dos siguientes. (a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A en este curso. (b) Si x es un número real, entonces x es un entero. (c) Si MBC es un triángulo equilátero, entonces MBC es un triángulo isósceles.
46. Demuestre que v3 es irracional (véase el problema 45). 47. Demuestre que la suma de dos números racionales es racional. 48. Demuestre que el producto de un número racional (distinto de O) y un número irracional es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción.
,. .2 Decimales, calculadoras y estimación
(b) 0.375 (d) (1 + (f) 50
Respuestas a la revisión de conceptos: 2. v2; 1T 3. reales 4. teoremas
1. racionales
Cualquier número racional puede escribirse como decimal, ya que por definición siempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos un decimal (véase la figura 1). Por ejemplo, 1 2
13
11 =
3 8
0.5 1.181818 ...
0.375
3
0.428571428571428571 ...
7
También los números irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejemplo,
V2 = 1.4142135623 ... , 7T
Figura 1
V3 = 1.7320508075 ...
= 3.1415926535 ...
Decimales periódicos y no periódicos La representación decimal de un número racional o bien termina (como en ~ = 0.375) o bien se repite hasta el infinito en ciclos regulares (como en = 1.181818 ...). Un poco de experimentación con el algoritmo de la división le mostrará el porqué. (Observe que sólo puede haber un número finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse como un decimal periódico con ceros que se repiten. Por ejemplo,
H
8"3 =
0.375
= 0.3750000 ...
Así, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. En otras palabras, si x es un número racional, entonces x puede escribirse como un decimal periódico. Es notable el hecho de que el recíproco también es verdadero, si x puede escribirse como un decimal periódico, entonces x es un número racional. Esto es obvio en el caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fácil demostrar para el caso de decimales periódicos.
SECCIÓN
1.2
Decimales, calculadoras y estimación
7
EJEMPLO 1 (Decimales periódicos son racionales.) Demuestre que x
= 0.136136136... y y = 0.27171717 ...
representan números racionales. Solución
Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.
1000x = 136.136136 x = 0.136136 999x = 136 136 x = 999
. .
100y = 27.17171717 y = 0.27171717 99y = 26.9 26.9 269 Y = 99 = 990
. .
De manera análoga,
Los números reales
•
Las representaciones decimales de los números irracionales no se repiten en ciclos. Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar a un número irracional. Así, por ejemplo, 0.101001000100001 ...
Figura 2
debe representar un número irracional (observe que el patrón de más y más ceros entre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.
Figura 3
~
lA
1.41 lA14
Figura 4
Densidad Entre cualesquiera dos números reales diferentes a y b, no importa qué tan cercanos se encuentren, existe otro número real. En particular, el número Xl = (a + b )/2 es un número real que está a la mitad entre a y b (véase la figura 3). Ya que existe otro número real, x 2' entre a y Xl' Y otro número real, x 3' entre Xl y x 2' y puesto que este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un número infinito de números reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor número real mayor que 3". En realidad, podemos decir más. Entre cualesquiera dos números reales distintos, existe tanto un número racional como un número irracional. (En el ejercicio 29 le pedimos demostrar que existe un número racional entre cualesquiera dos números reales.) De aquí que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos (racionales e irracionales). Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos expuesto, es decir, que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta real. Todo número tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos a él. Los dos tipos de números están inseparablemente entrelazados e inexorablemente aglomerados entre sí. Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional-de hecho, por medio de un número racional con una representación decimal finita. Como un ejemplo tome \12. La sucesión de números racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421, 1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (véase la figura 4). Avanzando lo suficiente en esta sucesión, podemos estar tan cerca como queramos de \12. Calculadoras y computadoras Hubo una época cuando todos los científicos e ingenieros caminaban por el campus con dispositivos mecánicos llamados reglas de cálculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras que podían realizar las operaciones básicas y obtener raíces cuadradas, y en los principios de los 80 una calculadora barata podría evaluar funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios de los 90, estas calculadoras pueden expandir (x - 3y)12, pueden resolver x 3 - 2x2 + X = O Y pueden aproximar una solución a x 2 - cos \IX = O.
8
CAPíTULO
1
Preliminares
Muchos problemas en este texto están marcados con un símbolo especial.
[g significa UTILICE UNA CALCULADORA. IGCI significa UTILICE UNA CALCULADORA GRÁFICA. I CAS I significa UTILICE UN SISTEMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. [;] significa HAGA UNA ESTIMACIÓN DE LA RESPUESTA ANTES DE TRABAJAR EN EL PROBLEMA; LUEGO VERIFIQUE SU RESPUESTA CONTRA ESTA ESTIMACIÓN. I EXPL I significa EL PROBLEMA LE PIDE EXPLORAR E IR MÁS ALLÁ DE LAS EXPLICACIONES DADAS EN EL TEXTO.
Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especial en los problemas marcados con un [Q . Ahora existe una gran cantidad de poderosos paquetes de cómputo que puede realizar cálculos tales como ( 1T - v2)100, manipulaciones simbólicas como el desarrollo de (2x - 3y)22 Ygráficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarle en el proceso de aprendizaje y comprensión del cálculo, pero no debe depender de ellos para hacer cálculo por usted. Los paquetes de cómputo tienen la ventaja sobre las calculadoras gráficas de ser más poderosos y capaces de mostrar los resultados en una pantalla de alta resolución. Las calculadoras gráficas tiene la ventaja de que cuestan menos y caben en su bolsillo. Por lo común, las calculadoras y las computadoras trabajan con números racionales en la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dígitos. Algunos paquetes de cómputo son capaces de almacenar algunos números irracionales en formato simbólico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maple como Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones subsecuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificará la entrada 4/Sqrt [2] y regresará 2 Sqrt [2]. Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es ésta: Haga los cálculos que puedan realizarse con facilidad a mano sin una calculadora, especialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimos la respuesta exacta V3/2 para el seno de 60° al valor de la calculadora 0.8660254. Sin embargo, en cualquier cálculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.
Estimación Dado un problema aritmético complicado, un estudiante descuidado podría presionar unas cuantas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin darse cuenta de la falta de paréntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado erróneo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los números presionará las mismas teclas, inmediatamente se dará cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiado grande o demasiado pequeña, y la recalculará de manera correcta. Es importante conocer cómo hacer una estimación mental. EJEMPLO 2
Calcular
(V430 + 72 + V73)/2.75.
Una estudiante juiciosa aproximó lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijo que la respuesta debería ser cercana a 30. Así, cuando su calculadora dio 93.448 como respuesta, ella desconfió (lo que en realidad había calculado fue V430 + 72 + "V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434. _
Solución
Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cúbicas, dúdelo. Usted podría estimar su volumen de esta manera. Él tiene una estatura aproximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturón es 30 pulgadas, dando un radio de la cintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro, encontramos que el volumen será 1Tr2h = 3(5 2)70 = 5000 pulgadas cúbicas. Él no es tan grande como dice. Aquí hemos utilizado = para querer decir "aproximadamente igual". Utilice este símbolo en su trabajo de borrador cuando esté haciendo una aproximación a una respuesta. En un trabajo más formal nunca debe utilizar este símbolo sin saber qué tan grande podría ser el error. A continuación está un ejemplo más relacionado con cálculo. Figura 5
EJEMPLO 3 Suponga que la región sombreada R mostrada en la figura 5, gira alrededor del eje x. Estime el volumen del anillo sólido resultantes.
La región R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de alto. Estimamos su área como 3(0.9) = 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sólido S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr = 2(3)(6) = 36 unidades de longitud. El volumen de una caja es el área de su sección transversal por su longitud. Así, estimamos que el volumen de la caja sería 3(36) = 108 unidades cúbicas. Si la calculó y obtuvo 1000 unidades cúbicas, necesita verificar su trabajo. _
Solución
16
CAPíTULO
1
Preliminares
Por tanto, elegimos
o=
8/6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que
Ix - 31 <
o =>
Ix - 31 <
8
6 => 16x - 181 < e
•
A continuación está un problema práctico que utiliza el mismo tipo de razonamiento.
Figura 5
EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centímetros cúbicos) tiene un radio interno de 4 centímetros. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1 %, esto es, un error de menos de 5 centímetros cúbicos? Véase la figura 5. Solución El volumen V de agua en el vaso está dado por la fórmula V = 161Th. Queremos que IV - 5001 < 5 o, de manera equivalente, 1161Th - 5001 < 5. Ahora
1167Th - 5001 < 5
~ [167T( h - i2~) I < 5 161T1 h - 500
#
161T
~
[h -
#
Ih -
I<
i~[
<
5
1¿7T
9.9471 < 0.0947 ::::; 0.1
Así, debemos medir la altura con una precisión de alrededor de 1 milímetro.
•
Raíces cuadradas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 9 son 3 y - 3. Algunas veces representamos estos dos números como ±3. Para a 2:: O, el símbolo ~, denominado raíz cuadrada principal de a, denota la raíz cuadrada no negativa de a. Así, V9 = 3 Y v'i2I = 11. Es incorrecto escribir \116 = ±4 ya que \116 representa la raíz cuadrada no negativa de 16, es decir, 4. El número 7 tiene dos raíces cuadradas, que pueden escribirse como ±Y7, pero Y7 representa a un solo número. Aquí está un hecho muy valioso qué recordar.
La mayoría de los estudiantes recordarán la fórmula cuadrática. Las soluciones a la ecuación cuadrática ax2 + bx + e = Oestán dadas por
Ix=
-b±
~:2
-
4ac
I
El número d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Esta ecuación tiene dos soluciones reales si d > O, una solución real si d = OYsoluciones no reales si d < O. Con la fórmula cuadrática, fácilmente podemos resolver desigualdades cuadráticas incluso si no se pueden factorizar por inspección. EJEMPLO 6 Solución
Resuelva x2
-
2x - 4 ::;
Las dos soluciones de x2
-
o. 2x - 4 = Oson
-( -2) -2 V4+16 = 1 -
V5 ::::; -1.24
20
CAPíTULO 1
Preliminares
I
d(P,
Q)
vh -
=
XI)' + (y, - YI)' I
Ésta se denomina fórmula de la distancia. EJ EM PLO 1 Encuentre la distancia entre
(a)
p( -2,3) Y Q(4, -1)
p( V2,
(b)
v'3) y
Q( 1T, 1T)
Solución x
Figura 5
(a) d(P,
Q)
V(4 -
(-2))2
(b) d(P,
Q)
V(1T -
V2)2
+
(-1 - 3)2
= \136 + 16 = V52 ~ 7.21
v'3)2 ~ \14.971 ~ 2.23
+ (1T -
•
La fórmula es válida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta horizontal o a la misma recta vertical. Así, la distancia entre P( - 2,2) Y Q(6, 2) es
V( -2 x
Figura 6
- 6)2
~
Ecuacíón
es la ecuación del círculo de radio 3 con centro en (-1,2) significa dos cosas: 1. Si un punto está en el círculo, entonces sus coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación.
2. Si x y y son números que satisfacen la ecuación, entonces son las coordenadas de un punto que está en el círculo.
= 8
1)2
+ (y -
2)2 = 3
Cuando elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos
(x +
Decir que
(x + 1)2 + (y-2)2 = 9
V64
- 2)2 =
La ecuación de un círculo Es un paso pequeño pasar de la fórmula de la distancia a la ecuación de un círculo. Un círculo es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere el círculo de radio 3 con centro en (-1,2) (véase la figura 6). Sea (x, y) un punto cualquiera de este círculo. Por medio de la fórmula de la distancia,
V(x + Círculo
+ (2
1)2
+ (y -
=
2)2
9
que llamamos la ecuación de este círculo. En forma más general, el círculo de radio r y centro (h, k) tiene la ecuación
(1)
I (x -
h)' + (y - k)2
=
r'l
Llamamos a esta la ecuación estándar de un CÍrculo. EJEMPLO 2 Determine la ecuación estándar de un círculo de radio 5 y centro en (1, -5). También, encuentre las ordenadas de los dos puntos en este círculo con abscisa 2. Solución
La ecuación buscada es
(x -
1) 2 +
(y + 5)2
= 25
Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuación y despejamos ay. (2 - 1)2
+ (y + (y + y
5)2 = 25 5)2
+5
= 24 =
y =
±V24 -5 ± V24
=
-5
± 2V6
•
Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) Yreducimos las constantes, entonces la ecuación adquiere la forma
x2
+
ax
+l +
by = c
Esto sugiere la pregunta de si toda ecuación de la última forma es la ecuación de un círculo. La respuesta es sí, con algunas excepciones obvias.
SECCIÓN
1.6
La línea recta
23
40. Considere un círculo e y un punto P exterior al círculo. Sea PT el segmento de recta tangente a e en T, y suponga que la recta que pasa por P y por el centro de e, intersecta a e en M y en N. Demuestre que (PM)(PN) = (PTf
G 41. Una banda se ajusta alrededor de los tres círculos x 2 + i = 4, (x - 8)2 + y2 = 4 Y(x -6)2 + (y - 8)2 = 4, como se muestra en la figura 12. Determine la longitud de esta banda. 42. Estudie los problemas 28 y 41. Considere un conjunto de círculos de radio r y que no se intersectan, con centros en los vértices de un polígono convexo de n lados, que tiene lados de longitudes di' d 2 , •.• ,dn. ¿Cuál es la longitud de la banda que se ajusta alrededor de estos círculos (de la misma forma que se muestra en la figura l2)?
Figura 9
G [TI 37. Encuentre la longitud de la banda cruzada de la figura 10, la cual se ajusta estrechamente alrededor de los círculos (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 Y(x - 10)2 + (y - 8)2 = 9. Nota: Para resolver este problema se necesita un poco de trigonometría. Figura 10 38. Muestre que el conjunto de puntos que están al doble de distancia de (3,4) que de (1,1) forma un círculo. Determine su centro y radio.
39. El teorema de Pitágoras dice que las áreas A, B Y e de los cuadrados en la figura 11, satisfacen A + B = C. Demuestre que los semicírculos y triángulos equiláteros satisfacen la misma relación y luego sugiera un teorema general de estos hechos.
Figura 12
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. II; IV 2. V(x + 2)l + (y - 3)l 3. (x + 4)l + (y - 2)l = 25 4 (1.5,5)
Figura 11
1.6 La línea recta
y
De todas las curvas, la línea recta, por muchas razones, es la más simple. Suponemos que usted tiene una buena noción intuitiva de este concepto, al mirar una cuerda tensa u observando a lo largo del borde de una regla. En cualquier caso, aceptamos que dos puntos, por ejemplo, A(3, 2) YB(8, 4) mostrados en la figura 1, determinan una única línea recta que pasa por ellos. Y de ahora en adelante utilizaremos la palabra línea o recta como sinónimo de línea recta. Una línea es un objeto geométrico. Cuando se coloca en un plano coordenado, debería tener una ecuación, como el círculo la tiene. ¿Cómo encontraremos la ecuación de una recta? Para responder, necesitaremos la noción de pendiente.
La pendiente de una recta Considere la recta de la figura 1. Del punto A al punto B, existe una elevación (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 5 unidades. Decimos que la recta tiene una pendiente de ~. En general (véase la figura 2), para una recta que pasa por A(X1' Y1) y B(x 2, Y2), en donde Xl *- Xz, definimos la pendiente m de esa recta como m = elevación = Y2 - Y1 avance X 2 -Xl
Figura 1
24
CAPíTULO 1
Preliminares
Inmediatamente surge una pregunta. Una recta tiene muchos puntos. ¿El valor que obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que utilicemos para A y B? Los triángulos semejantes en la figura 3 nos muestran que Y2 - Yí X2 - xí
Y2 - YI X2 - Xl
Así, los puntos A' y B ' darían lo mismo que A y B. Incluso no importa si A está a la izquierda o a la derecha de B, ya que
x
YI - Y2 Xl - X2
Figura 2
Y2 - YI X2 - Xl
Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el numerador y el denominador. La pendiente m es una medida de la inclinación de una recta, como se ilustra en la figura 4. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que se eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva, y una recta que desciende a la derecha tiene pendiente negativa. Entre mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya que implicaría la división entre cero. Por tanto, la pendiente para una recta vertical se deja indefinida. x
y
111
= 2~ =3 4-2
Figura 3
Grado e inclinación
El símbolo internacional para la pendiente de un camino (llamado grado) se muestra abajo. El grado está dado como porcentaje. Un grado de 10% corresponde a una pendiente de ± 0.10. ----------+-----3l~-----_t.._---111 = ~=;
=O x
Los carpinteros utilizan el término inclinación. Una inclinación de 9:12 corresponde a una pendiente de -12.
Rectas con varias pendientes
Figura 4
Forma punto-pendiente Nuevamente, considere la recta de nuestro estudio inicial, se reproduce en la figura 5. Sabemos que esta recta 1. pasa por (3,2) Y 2. tiene pendiente ~. Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si utilizamos este punto y el punto (3,2) para medir la pendiente, debemos obtener~, esto es, y-2 2 X - 3 5 x
o, después de multiplicar por x - 3, Y- 2
Figura 5
=
Hx -
3)
Observe que esta última ecuación es satisfecha por todos los puntos de la recta, incluso (3, 2). Además, ningún punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer esta ecuación. Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La recta que pasa por el punto (fijo) (Xl' YI) con pendiente m tiene ecuación
SECCION 1.8
RevisiOn del capitulo
35
En los problemas del 35 al 38, bosqueje lii grafica de cada ecuación.
34. Cuá1 ecuación puede representar a la curva de la figura 10?
35. 3y - 4x I
36. x2 - 2x + y2
6
3
-
2x
Gd 38. x 3 x2 + 2 39. Determine los puntos de intersección de las gráficas de
Gd Gd
x2 - 2x + 4yy - x
y
4.
40. Entre todas las rectas perpendiculares a 4x - y = 2, encuentre la ecuaciOn de aquella que,junto con la parte positiva del eje x y del eje y, forma un triangulo de area 8. Figura 10
y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c > 0
y = ax2 + bx + c,cona < 0,b > Oyc >0 ax2 + bx + c, con a < 0, b > 0 y c < 0 y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c < 0 y
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I.J
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Ei'. cicio 1 'uando utiliza i'ria ah. 1-u dora gráfica
I
ul (CAS) para grafi....... ua ' ecuaciór ne ;ita seleccionar una yentana (J c gra!cicación que proporcione odos los 1etaIk importantes. T "S " ciones siguientes .L darán algu'ia expenci para seleccinJnar una vei ritann exsdecuada. En ca 'a o, usted d Lt' )erimentar -con "enia"nas de d ifererwr imaflos para asegut rs q 'iiSec 1,puerc'fc d ver todos i s ui.al1es de la gaic.a. comi
Un sistem;' a ie ál.Teora ig.
'
C
p ra 'i = 0.1, cJLión, ii' Lu;e esta. iectas lien 0.5, 1.,1 2.0 y .0. .en I estis rectas en comi (inc'Expi i .e por qu .
i
L
-
Ejercicio 3 Coi sii i re lac recta.. y = -+ l . En ia mism2 t- v..eli'11Lana de gr,aficacii.ii., cIiii bue s rectas ar a b = 1.0, j .
2'
1.0, 2.,1 2.0, 3.0, 3.0, 4.0 y 4.0. j,Qué t.ie.e n ..n estas rectas eun comUn? brcia para P.rcpor..'inn e una naz.i algL lo que muestran las gráficas. .
(a., y
(b)
III. REFLT
'.L)
(
.
-
Ejercicio 4 Explique cmo el valor de b en
y-
yL +bx2+x+ 1
DflSid" as :ecta = jerciciG . nx + 4 En IaLrnllm a "entana de graf: i1
afecta Ia forma de la curv v Hum '1 - ero de veces que Ia curva cruza e I e"je x.
PROViECTO DE TECNOLOG(A 1.2 I
I
I
ResoluciOn de ecuaciones por medio de acercamiento
r'a.a ritantener Ia genc ralidad, deno Ic-
I. I REPARACION
mu, Cu]. (j q) ci pun 10 dado, en 1 ugar
del")C,. (2. )
En el bachillerato usted aprendió la fOrmula cuadrática para resolver las ecua-
.i " .. - La-,penc'ic ntedela recta gi'aLinio que onecta (a, a2) y ;1. punto dadc rt,rIproco aegati"c'delapendi entedel a r' eta (angerLte a la parabola en (a, c 2) wtuestre que igualar estas ex pre-r "aciOn cábica "&CflfS conduce a Ia ecu; 1
cione cuadráticas ax2 + bx + c = 0.
r embargo, podrIa no conocer métodos para resolver ecuaciones más
-
complicadas. Con frecuencia puede aproximar las soluciones de tal ecua-
\
ción por medio de "acercamientos" a La
1' 1
raIz bucada. EjeirriçJo 1
Escriba una ecuación de la recta L que pasa por (-2,4) y es perihr a la recta con ecuación x + p.eidicL.
,-'y 1/. 1
1
-3
-2
/
-1
2a3 2q i)a p=0
a2)
\''rfique 'i ara ver que esto coinci 1
',3
2
1
ejerciclo 3.
Figura 1 Bosquejo para el ejercicio 3.
.Ejerricio 6
"-''- la o'ni'ntn de a ecta Ahora igate i- conecta (a, 2) y ' pu'r_t C, rlado (2, qL.. 0) con "! recIproco ii gaiLivo de Ia pendiente ae. 1a re' ta tangente. a la p arábola en (a, a2 ). jLUr 'lt Uc" uaia,ido estas (Ins'expresioltesi onu:e ecuaciOn
rj tar:iqente pendie'..teie a:-r -Il aipiuoIay =; er : puru
I' ed'_a'i.ón cUbica P; aprL.. 1, ximi darnente
S
I.,
L:
c1
.
cubi :a.-, 2a-'
1
La
I
1
'
(a, a2 ,es2a.
qui pendiei. ... o"e,la rtedelcrectat--gentc a Iari. i ábola enex'u' 1ç nto(il es L1r. I
I
-
2, er (3 32) es '5, y as..i
La2=0
peroe ta noes L sclucóxit.l, 'x'ica (pruebelc' Kecue de, cuar ido us1Led deterni i un valor de i T1' . iie a aI1 iface 2a3 + = 0, usteo habrá .ncontrado ur valo' de a ta rue !a r 't- iue conect. 1
rra a-3 (
flje-.'cicio 3
cjer icw 4 TErI)lLb rir a enL, :i...., üia_ r'ler L :ecuri.
.
0) S PC 1JCfl(1' cul if a- Ia rectan gente a ia paráhob a2). ,
.1
LJtiiice i'ar sug!e ien cia
:
guielntes p ara deterrnina r Ia ecuaciO: r. de la recta n,ur pasa p01 el p -unto rT) .2 0) ' a la recta tany qu ' es p.., rpeudicuIar geIk la r'arábc!a ,I y = x2, 'I1 S.
ie d
punt
II. U.
DF I
.1)LOG1A
i
-
2es2a, m )(. Jo que la pendiente de la rerth I rn endicular es el redproco negativo de 2a, o -. en x ..:
:
Ej'
icio 7 Muestre que existen tres
purtr' is (a1, a), (a2, a) y (a3, a) en Ia' i tar ábola,
con la propiedad de que la
re :1 c
a tangente en (a1, a) es perpendi cular aila recta que conecta (a1, a) y la que abre hacia arriba, "dentro de la p aroi"t" o "el interior de Ia parabola" " 'iere decir aquelLos puntos que están "r arriba de la parabola.) Determine t y a por medio de acercamientos. L'iego, enCuentre las parejas ordenadas
', afl, (a2, a) y (a3, a). Encuentre
(1]
las ecuaciones de las tres rectas y grafIquelas junto con la parabola en la misma ventana de graficación. II'. " REFLEXION
-
Si'O y error para dk rminar .. ia solucii in de 2a3 + a - 2 = 0, grafjcarenios estas ecuación cerca de a = 1 yluego realizar " we . rcamientos" a a raIz. Pon drIa empezar graliicauc1.( : 1 ,rfica en el s
.ugerencia: Dihuj uafigura(vc. la L'gi ira 1) que inc.' 1aya Ia perpendicular iiinto d do. Utilice a para deteren mirtar I, a hscis i del punto en donde la ii pert eiidicdar orta a la parabola. AsI, nuno a, el . i ' a2' está tanto en la parábola ciDfl o ria recta perpendicular a Ia p iráboia, L pendiente de la parabola
y = XL.
'1, 17/4). Observe que el punto dado está
Laiglu icira 1 indica qu:e la sni.uctOn a esta
y
Determ":ie la ecuación de
Ia recta ii e pasa por (p, q) = (4,0) que es perpf n Ji.cular a la recta tangente a
d ntro de Ia parabola. (Para una parábo-
.uu,siva: t ii Por -aFa,ac ior epto este- hccho;lo'ieduciremos,junto Con mi ch 15 otras co s pareci das,enel capItuk) 3. r
n ci caso especIf o realizado en
ci
f(e uelva Ia version geneializr da j'r,u:ente cd ejercicio IL [!scri ba Ia cLlciOn ue la recta L que pn a pore! punto (p, q,) y es perpendicular a La recka coi ecuaci6i1 ax + by = c. Veri:ic1ueque su respueia h "funciona"2US S. tit1J\i: s niimeios especI4 'cos d J I C.. ejercicic 1. En el capituo 3 aprenderá el siguient 1iecho: Ljercici' 2
-
q)a1.
Ce star en intervalo (0, 2); la :rIz )r .eI algUn lugar cercano a a = U.o. trace 2a3 + a - 2 = 0 en el inten'a!o (C.8, 0.9). Haga acercamientos t!a ' i que pueda obtener una aproximai iOn a Ia raIz que sea correcta a dos lu ares
cimales.
Ejercicio 5 Una maxima en a1resolución de problemas que hemos igiorado en la solución anterior es la de 1:ratar de
evitar el uso de némeros L skJecificos.
Ala luz de los resultados obtenidos en -
lo ejercicios precedentes, una conjetu-
ra a tural es que existen tres rectas perpeli diculares para puntos en el interiord e la parabola y solo una para puntos -
ex. '-teriores a la parabola. Ejerci icio 8 Investigue un caso especia! de est'l conjetura para el caso en el qt el 'unki 'sta en el ejey (i.e.,p 0 y q > 0). -
-
-
-
Ejercicio 9 irv 2stigue la conjeti ura 1 general por n dl' ho Je 1 puntos de prueba (p. q) que ci :én dci '.. ritro de Ia parabola, jP.Jla. ,Es cierto 01jJ, :j inos c peromuyce-r existe trs reclas rpendiculares paira cada pun to intei ior cle la parabola? -
L
CAP TULO
I'V
Funciones y Iimites 2.1
2.2 2.3
Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones
Las funciones trigonométricas Introducción al tema de Ilmites Estudio formal de lImites Teoremas de Ilmites LImites que incluyen funciones trigonométricas LImites en infinito, IImites infinitos Continuidad de funciones 2.10 RevisiOn del capItulo 2.11 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 2.1 Desplazamiento y escalamiento de Ia gráfica de una funciOn Proyecto de tecnologIa 2.2 LImites 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
Li
2.1
Funciones y sus gráficas
El concepto de funciOn es uno de Los más básicos en todas las matemáticas, y desempena un papel indispensable en cálculo.
Definición Una función
Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un co junto, denominado dominlo, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto
f
de todos los valores asI obtenidos se denomina rango de La función. (Véase la figura 1.)
Dominio
Rango
Figura 1
f(x) Figura 2
Piense en una funciOn como una máquina que toma como entrada un valor x y produce una salida f(x). (Véase la figura 2.) Cada valor de entrada se hace corresponder con un solo valor de salida, pero puede suceder que diferentes valores de entrada den el mismo valor de salida. La definición no pone restricción sobre los conjuntos del dominio y del rango. El dominio podrIa consistir en eL conj unto de personas en su curso de cálculo, el rango el conjunto de calificaciones {A, B, C, D, F} que obtendrán, y La regla de correspondencia la asignaciOn de calificaciones. Casi todas las funciones que encontrará en este texto serán funciones de uno o más nümeros reaLes. Por ejempLo, la función g podrIa tomar un nümero real x y elevarlo al cuadrado, produciendo el nümero real x2. En este caso tenemos una formula que da la regla de correspondencia, esto es, g(x) = x2. Un diagrama esquemático de esta función se muestra en la figura 3.
SECCIÓN
37. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales. Determine una fórmula para el área encerrada por la pista, A(d), en términos del diámetro d de los semicírculos. ¿Cuál es el dominio natural para esta función? 38. Sea A( c) el área de la región acotada por arriba por la recta y = x + 1, del lado izquierdo por el eje y, por abajo por el eje x y por el lado derecho por la recta x = c. Tal función se conoce como función de acumulación. (Véase la figura 13.) Determine (a) A ( 1) (b) A (2 ) (c) A(O) (d) A(c) (e) Esboce la gráfica de A(c). (f) ¿Cuáles son el dominio y el rango de A?
2.2
Operaciones con funciones
43
42. Un diamante de béisbol es un cuadrado con lados de 90 pies. Un jugador, después de conectar un cuadrangular, corrió alrededor del diamante con una velocidad de 10 pies por segundo. Sea s la distancia del jugador al home después de t segundos. (a) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con cuatro partes. (b) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con tres partes. [§g Para utilizar la tecnología de manera eficiente, usted necesita des-
cubrir sus capacidades, fortalezas y debilidades. Le pedimos que practique la graficación de funciones de varios tipos por medio de su propio paquete de cómputo o su calculadora. Los problemas del 43 al 48 están diseñados para este fin.
43. Sea f(x)
=
(x 3 + 3x - 5)/(x 2 + 4).
(a) Evalúe f(1.38) y f(4.12). (b) Para esta función, construya una tabla de valores correspondiente a x = -4, -3, ... ,3,4. Figura 13
44. Siga las instrucciones del problema 43 para f(x)
=
(sen 2x - 3
tan x)/cos x. 39. Sea B(c) el área de la región acotada por arriba por la gráfica de la curva y = x(l - x), por abajo por el eje x, y por la derecha por la recta x = c. El dominio de B es el intervalo [0,1]. (Véase la figura 14.) Dado que B(l) = (a) Determine B(O) (b) Determine BG) (c) Haga una gráfica de B(c), como mejor pueda.
L
y
45. Dibuje la gráfica de f(x) = x 3 - 5x 2 + x + 8 en el dominio
[-2,5]. (a) Determine el rango de f. (b) En este dominio, ¿en dónde f (x)
O?
46. Superponga la gráfica de g( x) = 2x 2 - 8x - 1 con dominio [-2, 5J sobre la gráfica de f(x) del problema 45. (a) Estime los valores en donde f(x)
.1.
2:
=
g(x) .
4
(b) En [-2, 5J, ¿en dónde f(x)
2:
g(x)?
(c) En [-2, 5J, estime el valor más grande de If(x) - g(x)l. 47. Grafique f(x) = (3x - 4)/(x2 + x - 6) en el dominio [-6,6].
x
(a) Determine las intersecciones con el eje x y con el eje y.
Figura 14
(b) Determine el rango de f para el dominio dado.
40. ¿Cuál de las siguientes funciones satisface f(x + y) f(x) + f(y) para toda x y y en ~? (a) f(t) = 2t (b) f(t) = t 2 (c) f(t) = 2t + 1 (d) f(t) = - 3t
=
f(x) + f(y), para toda x y y en~. Demuestre que existe un número m tal que f(t) = mt para todos los números racionales t. Sugerencia: Primero decida cuánto tiene que valer m. Luego proceda por pasos, iniciando con f(O) = O,f(p) = mp para p en N,f(l/p) = mip, etcétera. 41. Sea f(x
+ y)
(c) Determine las asíntotas verticales de la gráfica.
=
2.2 Operaciones con funciones
(d) Determine la asíntota horizontal para la gráfica, cuando el dominio se amplía a toda la recta real. 48. Siga las instrucciones del problema 47 para g(x) (3x 2 -4)/(x 2 + x-6).
=
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. dominio, rango 2. 12u 2 ; 3(x + h? = 3x2 + 6xh + 3h 2 3. asíntota 4 par; impar; eje y; origen
Las funciones no son números. Pero al igual que dos números a y b puede sumarse para producir un nuevo número a + b, también dos funciones f y g pueden sumarse para producir una nueva función f + g. Ésta es sólo una de las diferentes operaciones sobre funciones que describiremos en estas secciones.
Sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias Considere las funciones f y g con fórmulas
f(x)
x - 3 2
g(x) = \IX
44
CAPíTULO
2
Funciones y límites
Podemos construir una nueva función f (x - 3)/2 + VX; esto es,
(f
Dominio
de!
Figura 1
Dominio de g
+ g)(x) =
f(x)
+g
asignando a x el valor f(x)
+ g(x)
x - 3
+ g(x) = - 2 - + VX
Por supuesto, debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramente, x debe ser un número en el que tanto f como g funcionen. En otras palabras, el dominio de f + g es la intersección (parte común) de los dominios de f y g (véase la figura 1). Las funciones f - g, f . g y f / g se introducen de una manera completamente análoga. Suponiendo que f y g tienen sus dominios naturales, tenemos lo siguiente:
Fórmula (f
+ g)(x)
= f(x)
Dominio
+ g(x)
=
x - 3 -2-
+ vX
x -3 (f - g)(x) = f(x) - g(x) = - 2 - x - 3
(f. g)(x) = f(x) . g(x) = - 2 -
[0,00)
vX
[0,00)
vX
[0,00)
L)(x) = f(x) = x - 3 (g g(x) 2 vX
(0,00)
Hemos excluido al Odel dominio de f / g para evitar la división entre cero. También podemos elevar una función a una potencia. Con fn representamos a la función que a cada x asigna el valor [f ( x) Jn. Así,
F(x) = [¡(x)]' = [x ~ 3
r
= x' - ~x + 9
y
Existe una excepción en la convención anterior sobre exponentes, a saber, cuando n = -1. Reservamos el símbolo f - 1 para la función inversa, que se estudiará en la sección 7.2. Por tanto,f- 1 no significa 1/f. EJEMPLO 1 Sean F(x) = V x + 1 y G(x) = ~, con dominios naturales resp'ectivos [-1,00) y [-3,3]. Determine fórmulas para F + G, F - G, F . G, F /G Y F 5 Yproporcione sus dominios naturales. Solución Fórmula (F +G)(x) = F(x) +G(x) = ~
Dominio
+~
[-1,3J
(F -G)(x) = F(x) -G(x) = ~ - ~
[-1,3J
(F· G)(x) = F(x) . G(x) = ~ ~
= F(x) = ( ~)(x) G G(x)
~
[-1,3)
~
F 5 (x) = [F(x)Y = (~)5 = (x
[-1,3J
+ 1)5/4
[-1,00)
•
SECCIÓN
33. Sea f( x)
= _x_. Determine y simplifique cada valor. (b) f(¡(x))
(a) f(l/x) 34. Sea f(x) =
(a)
x -1
vXx
x -1
f(~)
(c) f(l/f(x))
. Encuentre y simplifique. (b) f(¡(x))
35. Sean fl(x) = x, f2(X) = l/x, f3(X) = 1 - x, f4(X) = 1/(1 - x), fs(x) = (x - l)/x y f6(X) = x/ex - 1). Observe que f3(f4(X)) = f3(1/(1-x)) = l-l/(l-x) = x/(x-1) = f6(X); esto es, f 3 o f 4 = f 6' De hecho, la composición de cualquier par de estas funciones es otra función de la lista. Llene la tabla de composiciones de la figura 11. o
ti
f,hf~j~f;,
fl f~ j~, f~
t,
Figura 11
2.3 Las funciones trigonométricas
e = ~ .op hlp
c. ady cos e = hliJ tan
Figura 1
c.op
e = c. ady
El círculo unitario
49
36. Demuestre que la operación de composición de funciones es asociativa, esto es, fl o (f2 o f3) = (fl o f2) o f3' [§g Utilice una computadora ó una calculadora gráfica en los problemas 37-40. 37. Sea f(x) = x 2 - 3x. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficasdey = f(x),y = f(x-O.5)-0.6yy = f(1.5x),todassobre el dominio [-2, 5J. 38. Sea f( x) = Ix3 1. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f(x), y = f(3x) y y = f(3(x - 0.8)), todas sobre el dominio [-3, 3J. 39. Sea f(x) = 2 vX - 2x + 0.25x 2. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f( x), y = f(1.5x) y y = f( x -1) + 0.5, todas en el dominio [O, 5J. 40. Sea f(x) = 1/(x 2 + 1). Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f(x),y = f(2x)yy = f(x-2) + 0.6,todasenel dominio [-4, 4J. ~ 41. Su sistema de álgebra computacional (CAS) puede permitir el uso de parámetros en la definición de funciones. En cada caso, dibuje la gráfica de y = f (x) para los valores especificados del parámetro k, utilice los mismos ejes y -5:::; x :::; 5. (a) f(x) = Ikxlo. 7 parak = 1,2,0.5y0.2. (b) f(x) = Ix - klo. 7 para k = 0,2, -0.5 Y-3. (c) f(x) = [xl k para k = 004,0.7,1 Y 1.7.
42. Utilizando los mismos ejes, dibuje la gráfica de f( x) - e) In para la siguiente elección de parámetros. (a) c=-1,k=1.4,n=0.7.
=
Ik( x
(b) e = 2, k = lA, n = 1. (c) c=O,k = 0.9,n = 0.6.
Respuesta a la revisión de conceptos:
1. (x 2 + 1)3 2. f(g(x))
3. 2, la izquierda 4. un cociente de dos funciones polinomiales
Probablemente ha visto la definición de las funciones trigonométricas, con base en triángulos rectángulos. La figura 1, resume las definiciones de las funciones seno, coseno y tangente. Debe revisar con cuidado la figura 1, ya que estos conceptos son necesarios para muchas aplicaciones posteriores en este texto. Con mayor generalidad, definimos las funciones trigonométricas con base en el círculo unitario. El círculo unitario, que denotamos con e, es el círculo con radio 1 y centro en el origen; tiene ecuación x 2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, O) Y sea t un número positivo. Existe un solo punto P en el círculo e tal que la distancia, medida en contra del sentido de las manecillas del reloj alrededor del arco AP, es igual a t. (Véase la figura 2.) Recuerde que la circunferencia de un círculo con radio res 277r, de modo que la circunferencia de e es 277. Por lo que, si t = 77, entonces el punto P está exactamente a la mitad del camino alrededor del círculo iniciando en el punto A; en este caso, P es el punto (-1, O). Si t = 377/2, entonces P es el punto (O, -1) Ysi t = 277, entonces P es el punto A. Si t > 277, entonces le tomará más de un circuito completo del círculo para trazar el arco AP. Cuando t < 0, trazamos el círculo en dirección del sentido de las manecillas del reloj. Habrá un solo punto P en el círculo e tal que la longitud del arco medida en dirección de las manecillas del reloj iniciando en A sea t. Así, para cada número real t, podemos asociar un único punto P( x, y) en el círculo unitario. Esto nos permite construir las definiciones clave de las funciones seno y coseno. Las funciones seno y coseno se escriben como sen y cos, en lugar de una sola letra como f o g. Los paréntesis alrededor de la variable independiente por lo regular se omite, a menos que exista alguna ambigüedad.
Definición Figura 2
Las funciones trigonométricas
~
Después utilice esta tabla para determinar cada una de las siguientes funciones. Con base en el problema 36, sabe que es válida la ley asociativa. (b) f 1 o f 2 o f 3 o f 4 o f s o f 6 (a) f3 o f3 o f3 o f3 o f3 (d) G si G o f 3 o f 6 = f 1 (c) F si F o f 6 = f 1 (e) H si f 2 o f s o H = f s
sen
2.3
Funciones seno y coseno
Sea t un número real que determina el punto P(x, y), como se explicó anteriormente. Entonces sen t = Y Y cos t = x.
SO
CAPíTULO
2
Funciones y límites y
(1,
o)
x
Propiedades básicas del seno y del coseno Varios hechos son casi inmediatos a partir de las definiciones dadas anteriormente. Primero, como t puede ser cualquier número real, el dominio de las funciones seno y coseno es IR. Segundo, x y y siempre están entre -1 y 1. Así, el rango para las funciones seno y coseno es el intervalo [-1,1]. Puesto que el círculo unitario tiene 21T de circunferencia, los valores de t y t + 21T determinan el mismo punto P(x, y). Por tanto, sen(t + 21T) = sen t y cos(t + 21T) = cos t (Obsérvese que los paréntesis son necesarios para dejar claro que queremos sen(t + 21T) en lugar de (sen t) + 21T. La expresión sen t + 21T sería ambigua.) Los puntos PI y P 2 que corresponden a t y - t, respectivamente, son simétricos con respecto al eje x (véase la figura 3). Por tanto, las abscisas para PI y P 2 son las mismas y las ordenadas sólo difieren en el signo. En consecuencia,
Figura 3
sen( -t) = -sen t y cos(-t) = cos t
y
En otras palabras, seno es una función impar y coseno es una función par. Los puntos correspondientes a t y 1T /2 - t son simétricos con respecto a la recta y = x y por tanto tenemos sus coordenadas intercambiadas (véase la figura 4). Esto significa que x
sen ( ; -
Figura 4
y
x
y
cos ( ; -
t)
= sen
t
Gráficas de seno y coseno Para graficar y = sen t y Y = cos t, seguimos nuestro procedimiento usual de construir una tabla de valores, trazar los puntos correspondientes y unir estos puntos con una curva suave. Sin embargo, hasta ahora, conocemos los valores de seno y coseno sólo para pocos valores de t. Otros valores pueden determinarse a partir de argumentos geométricos. Por ejemplo, si t = 1T/ 4, entonces t determina el punto medio del camino, si se recorre el círculo unitario en sentido contrario a las manecillas del reloj, entre los puntos (1, O) Y(0,1). Por simetría, x y y estarán en la recta y = x, de modo que y = sen t y x = cos t serán iguales. Así, los dos catetos del triángulo rectángulo OBP son iguales, y la hipotenusa es 1 (véase la figura 5). Puede aplicarse el teorema de Pitágoras para obtener: 1
Figura 5
sen t
cos t
O
O
7r/6 7r/4
1/2 \/2/2 \/3/2 1 \/3/2 \/2/2 1/2
1 \/3/2 \/2/2
7r/2 27r/3 37r/4 57r/6 7r
t
para todo número real t. Esta identidad se deriva del hecho de que el punto (x, y) está en el círculo unitario, de aquí que x y y deben satisfacer x 2 + y2 = 1. (0,1)
7r/3
= cos
Por último, mencionamos una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno:
y=x
t
t)
O
1T
= x 2 + x 2 = cos 2 - + 4
1T
cos2 -
4
De esto concluimos que cos(1T/4) = 1/V2 = V2/2. De manera análoga, sen (1T /4) = V2 /2. Podemos determinar sen t y cos t para otros valores de t. Algunos de éstos se muestran en la tabla siguiente. Utilizando estos resultados, junto con varios resultados de una calculadora (en modo de radianes), obtenemos las gráficas que se muestran en la figura 6. y
1/2 O
-1/2 -\/2/2 -\/3/2 -1
---jL-----.::llIr--~,__-_i(L_-----,otL---~--+_-~<---_T__-.-
Figura 6
SECCIÓN
EJEMPLO 5
y
2.3
Las funciones trigonométricas
55
Demuestre que la tangente es una función impar.
Solución tan (-t) EJEMPLO 6
sen ( -t ) cos ( -t )
-sen t cos t
•
- - - = - - = -tant
Verifique las siguientes identidades.
11 + tan t = sec t 2
2
1+ cot t = csc 2
2
t
Solución
tan
sen2 t cos 2 t + sen2 t 1 2 1 + tan 2 t = 1 + - = = --= sec t cos 2 t cos 2 t cos 2 t
¡
cos 2 t sen2 t + cos 2 t 1 = = -= csc 2 t 1 + cot 2 t = 1 + - 2 sen t sen2 t sen2 t
Figura 11
x
Cuando estudiamos la función tangente (figura 11), nos encontramos con dos pequeñas sorpresas. Primera, notamos que hay asíntotas verticales en ± 7T'/2, ::±::37T'/2, etc. Debimos haber anticipado esto, ya que cos t = Oen estos valores de t, lo cual significa .que (sen t) / (cos t) implicaría una división entre cero. Segunda, parece que la tangente es periódica (lo cual esperábamos), pero con periodo 7T' (que podríamos no haber esperado). Verá la razón analítica para esto en el problema 33.
Relación con la trigonometría del ángulo Los ángulos se miden por lo común en grados o en radianes. Por definición, un radián es el ángulo que corresponde a un arco de longitud uno en un círculo unitario. Véase la figura 12. El ángulo que corresponde a una vuelta completa mide 360°, pero sólo 27T' radianes. De manera equivalente, un ángulo de lados colineales mide 180° o 7T' radianes, un hecho importante para recordar.
Figura 12
Grados Radianes
O 30 45 60 90 120 135 150 180 360
•
O n/6 n/4 n/3
n/2 2n/3 3n/4 5n/6
n 2n
Figura 13
11800 = 7T' radianes:::::; 3.1415927 radianes Esto conduce a los resultados
1 radián :::::; 57.29578°
1° :::::; 0.0174533 radián
La figura 13 muestra algunas otras conversiones comunes entre grados y radianes. La división de una vuelta en 360 partes es muy arbitraria (debida a los antiguos babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60). La división en 27T' partes es más fundamental y yace en el uso casi universal de la medida en radianes en cálculo. En particular, obsérvese que la longitud s del arco que corta un círculo de radio r por medio de un ángulo central de t radianes satisface (véase la figura 14). s 2'TTr
t 2'TT
Esto es, la fracción de la circunferencia total 27T'r correspondiente a un ángulo t es la misma fracción del círculo unitario que corresponde al mismo ángulo t. Esto implica que s = rt. Cuando r = 1, esto da s = t. Esto significa que la longitud de arco en el círculo unitario cortado por un ángulo central de t radianes es t. Esto es correcto incluso si t es negativo, con tal que interpretemos la longitud como negativa cuando se mide en dirección de las manecillas del reloj.
s
Figura 14
= rt
EJ EM PLO 7 Determine la distancia recorrida por una bicicleta con ruedas de radio de 30 centímetros cuando las ruedas han girado 100 revoluciones.
Solución Utilizamos el hecho de que s = rt, reconociendo que 100 revoluciones corresponden a 100 . (27T') radianes s = (30)(100)(2'TT) = 6000'TT
:::::; 18849.6 centímetros :::::; 188.5 metros
•
58
CAPíTULO
2
Funciones y límites
(a) y
= sen ( x + ~ )
(b) y
= cos ( x + ~ )
(c) y
=
-sen(x + 17)
(d) Y
=
(e) y = -sen (17 - x)
(f) Y
= cos ( x
-
~)
-cos (17 - x)
(h) Y
= sen ( x
-
~)
(g) y
=
cos (x - 17)
40. Sean .el y .e2 dos rectas no verticales, con pendientes mI Y m b respectivamente. Si e, el ángulo de.e l a.e b no es un ángulo recto, entonces tan e = _m_2_-_m_l_ 1 + mlm2 Demuestre esto utilizando el hecho de que e =
25. ¿Cuáles de las siguiente son funciones impares?, ¿cuáles funciones pares? y ¿cuáles ninguna de éstas?
(a) t sen t
(b) sen2 t
( c) csc t
(d) Isentl
(e) sen(cost)
(f) x + senx
1]
26. ¿Cuáles de las siguiente son funciones impares?, ¿cuáles funciones pares? y ¿cuáles ninguna de éstas?
(a) cott + sen t
(b) sen 3 t
(c) sec t
(d) Vsen 4 t
(e) cos(sent)
(f) x 2 + senx
Utilice las identidades del medio ángulo para determinar los valores exactos en los problemas del 27 al 31. 27. cos 2 '!3!.-
17
29. sen 3 (;
= =
e2 - el en la figura 16.
x
Figura 16
W
41. Determine el ángulo (en radianes) de la primera a la segunda recta (véase el problema 40).
(a) y = 2x, y = 3x
(b) y
x
= 2' y
=-x
28• sen 2 '!6!.-
(c) 2x - 6y
2 17 30. cos 12
42. Deduzca la fórmula A = r 2 t para el área de un sector circular. Aquí r es el radio y t es la medida en radianes del ángulo
= 12,2x + y = O
1
central (véase la figura 17). 31. sen2 '!8!.32. Determine identidades análogas a las identidades de suma de ángulos para cada expresión. (b) cos (x - y) ( c) tan (x - y) (a) sen (x - y)
33. Utilice la identidad de suma de ángulo para la tangente a fin de demostrar que tan(t +'17) = tan t, para toda t en el dominio de tan t. 34. Demuestre que cos (x - 17) = -cos x, para toda x.
G W 35. Suponga que la llanta de un camión tiene un radio exterior de 2.5 pies. ¿Cuántas revoluciones por minuto da la llanta cuando el camión está viajando a 60 millas por hora?
G 36. ¿Cuánto avanza una rueda, de radio 2 pies, que rueda al nivel del piso dando 150 revoluciones? (Véase el ejemplo 3.)
G W 37. Una banda pasa por dos poleas, como se muestra en la figura 15. ¿Cuántas revoluciones por segundo gira la polea pequeña cuando la polea grande gira a 21 revoluciones por segundo?
Figura 17 43. Determine el área del sector de un círculo de radio 5 centímetros y ángulo central de 2 radianes (véase el problema 42).
44. Un polígono regular de n lados está inscrito en un círculo de radio r. Determine fórmulas para el perímetro, P, y el área, A, del polígono en términos de n y r. 45. Un triángulo isósceles está coronado por un semicírculo, como se muestra en la figura 18. Encuentre una fórmula para el área A de la figura completa, en términos de la longitud del lado r y el ángulo t (radianes). (Decimos que A es una función de las dos variables independientes r y t.)
Figura 15
38. El ángulo de inclinación a de una recta, es el ángulo positivo más pequeño, a partir del eje x a la recta (a' = O, para una recta horizontal). Demuestre que la pendiente m de la recta es igual a tan a'. 39. Determine el ángulo de inclinación de las rectas siguientes (véase el problema 38).
(a) y =
v'3 x
-
7
(b)
v'3 x + 3y = 6
Figura 18
SECCiÓN
x
sen
1
~
2/n 2/(2n) 2/(3n) 2/(4n) 2/(5n) 2/(6n) 2/(7n) 2/(8n) 2/(9n) 2/(10n)
2/(1 In) 2/(12n)
t O
-n -n -n
2.4
Introducción al tema de límites
63
Utilice su calculadora para evaluar sen(1/x) en estas x.A menos que corra con mucha suerte, sus valores oscilarán de manera desordenada. Segunda, intente construir la gráfica de y = sen(1/ x). Nadie hará esto muy bien, pero la tabla de valores en la figura 6 da una buena pista acerca de lo que está sucediendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la gráfica oscila hacia arriba y hacia abajo entre -1 y 1 un número infinito de veces (véase la figura 7). Claramente, sen( 1/ x) no está cerca de un solo número L, cuando x está cerca de cero. Concluimos que lím sen(1/x) no existe. • x---+O
2 7f
t
x
?
Figura 6 Figura 7
Límites unilaterales Cuando una función da un salto (como lo hace [x] en cada entero en el ejemplo 6), entonces el límite no existe en los puntos de salto. Para tales funciones, es natural introducir límites unilaterales. El símbolo x ~ c+ significa que x se aproxima a c por la derecha, y x ~ c- significa que x se aproxima a c por la izquierda.
Límites por la derecha y por la izquierda
Definición
Decir que lím f(x) x---+c+
= L significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de
c, entonces f(x) está cerca de L. De manera análoga, decir que lím_f(x) = L sigx---+c
nifica que cuando x está cerca, pero a la izquierda de c, entonces f(x) está cerca de L. Por tanto, mientras que lím [ x] no existe, es correcto escribir (vea la gráfica en la fix---+2
gura 5) límJx]
x---+2
=1
y
lím [x]
x---+2+
=2
Creemos que usted encontrará el teorema siguiente muy razonable.
La figura 8 le debe dar una comprensión adicional. Dos de los límites no existen, aunque todos, con excepción de uno de los límites unilaterales existen. lím f(x) =4
y
\"----,)-]+
lím f(x) no existe. 1;----,)-1
• ~4
Figura 8
-3
-2
-1
x
66
CAPíTULO
2
Funciones y límites
L - e < f(x) < L
¡(x)
+e
Esto significa que f (x) pertenece al intervalo abierto (L - e, L + e) que se muestra en la gráfica de la figura 1. Ahora, decir que x está suficientemente cerca, pero diferente de e, es decir que, para alguna delta D, x pertenece al intervalo (e - D, e + D), con e eliminado de éste. Tal vez la mejor forma de decir esto es escribir
L+E L L-E
O < Ix - el < D I¡(x)-LI<
Obsérvese que Ix - el < D describiría al intervalo e - D < x < e + D, mientras que Ix - el requiere que se excluya x = e. El intervalo con la e eliminada que estamos describiendo se muestra en la figura 2. Ahora estamos preparados para lo que algunas personas han denominado la definición más importante del cálculo.
x €
O<
Figura 1 ¡(x)
Significado preciso de límite
Definición
Decir que lím f (x) = L significa que para cada e > Odada (no importa qué tan pex~c
queña) existe una correspondiente D > O, tal que If(x) - el < D; esto es, c-8
c
c+o
O < Ix - el < D~ If(x) -
x
LI <
LI <
e, siempre que O < Ix
e
Las gráficas de la figura 3 pueden ayudarle a comprender esta definición.
o
Figura 2 ¡(x)
¡(x)
• Lj
¡(x)
•
~
L~
e
e
x
¡(x)
•
~
x
L-€
x
e e+o
e-O
O <5
L+~j
e
x
Figura 3
Debemos recalcar que el número real e se debe dar primero; el número D debe producirse y por lo regular depende de e. Supóngase que David desea demostrar a Emilia que lím f (x) = L. Emilia puede retar a David con cualquier e particular que x~c
ella elija (e.g., e = 0.01) Ypedir a David que obtenga una Dcorrespondiente. Apliquemos el razonamiento de David al límite lím3 (2x X~
+ 1).
Por inspección, David conjunturaría
que e1límite es 7. Ahora, ¿podrá David determinar una Dtal que I(2x siempre que O < Ix - 31 < D? Un poco de álgebra muestra que
1(2x
+ 1)
-
71 < 0.01
+ 1) - 71 < 0.01
31 < 0.01
#
21x -
#
Ix -31 <2-
0.01
Por tanto, la respuesta a la pregunta es ¡sí! David puede elegir D = 0.01/2 ( o cualquier valor más pequeño) y esto garantizará que I(2x + 1) -71 < 0.01 siempre que O < Ix31 < 0.01/2. En otras palabras, David puede hacer que 2x + 1 esté a menos de 0.01 del 7, siempre que x esté a menos de 0.01/2 del 3.
68
CAPíTULO
Funciones y límites
2
Ahora, David, conoce una regla para elegir el valor de 8 dada en el reto de Emilia. Si Emilia hubiera retado a David con e = 0.01, entonces David respondería con 8 = 0.01/3. Si Emilia dijese e = 0.000003, entonces David diría 8 = 0.000001. Si él diese un valor más pequeño para 8, también estaría bien. Por supuesto, si considera la gráfica de y = 3x - 7 (una recta con pendiente 3, como en la figura 4), sabe que para forzar a que 3x - 7 esté cercano a 5 tendría que hacer a x aún más cercano (más cercano en un factor de un tercio) del 4. • x
-1 -2
-3
lím (3x - 7) , -;4
Mire la figura 5. Luego convénzase de que 8 = 2e sería una elección apropiada para 8 en la demostración de que lím x + 3) = 5. x~4
=5
EJEMPLO 2
Demuestre que lím
G
2x 2
x~2
ANÁLISIS PRELIMINAR
- 3x - 2 2 x-
= 5.
Estamos buscando una 8 tal que
Figura 4
O < Ix - 21
< (;
2X2 =?
:
1
~x2 -
si <
2 -
€
Ahora, para x =/=- 2, 2X2 1
(2x + 1) (x - 2) ------- - 5 x -2
51
- 3x - 2 _ x - 2
I
I(2x
2
3
4
5
+ 1)
I< e
51 < 12(x - 2)1 < 211 x - 21 < -
1
J~n¡ Cf- x + 3) = 5
Ix -
Figura 5
Esto indica que 8
=
e e
e e 2
21 <-
e/2 funcionará (véase la figura 6). Sea e > Odada. Elegimos 8 = e/2. Entonces O < Ix -
DEMOSTRACIÓN FORMAL implica que
2X2_3X-2 I 1(2X+l)(X-2) I x - 2 - 5 = x _ 2 - 5 = 12x
+1
21 <
8
- 51
1
12(x - 2)1 x
Figura 6
= 21x - 21 < 28 =
e
La cancelación del factor x - 2 es válida ya que O < Ix - 21 implica que x=/=-2 Y x -2 - - = 1 siempre que x =/=- 2. • x - 2
EJEMPLO 3
Demuestre que lím(mx x~c
ANÁLISIS PRELIMINAR
+
b)
= me +
b.
Queremos encontrar una 8 tal que
O < Ix -
el <
8 ~ I(mx
+ b) - (me + b) I <
e
Ahora
I(mx + b) - (me +
b)1
= Imx - mel =
1m (x
-
e)1
=
Imllx - el
Parece que 8 < e/lml funciona, con tal que m =/=-0. (Observe que m podría ser positiva o negativa, así que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Recuerde del capítulo 1 que labl = lallbl.) DEMOSTRACIÓN FORMAL 8 implica que
Sea
e > O dada. Elegimos
a8
=
e/lml. Entonces O < Ix -
el <
I(mx + b) - (me +
b)1
= Imx - mel =
Imllx - el < Iml8
=
e
SECCiÓN
2.5
Estudio formal de límites
69
y en caso de que m = 0, cualquier 8 funcionará bien ya que
¡(x)
I(Ox + b) - (Oe + b)1 = 101 =
° •
Esto último es menor que e para toda x. EJEMPLO 4
ANÁLISIS PRELIMINAR [)
[)
Ahora
entonces lím x~c
ve.
\IX =
Con respecto a la figura 7. Debemos determinar una 8 tal que
°< Ix - el <
I\IX - vel
Figura 7
°
Demuestre que si e >
8
==?
I\IX - vel
ve)( \IX + ve) I = I x - e I ve \IX+ve
= I(\IX -
\IX +
Ix - el
Ix - el
----<---
.ve
\IX+ve-
Para hacer lo último menor que e se requiere que tengamos Sea e >
DEMOSTRACIÓN FORMAL el < 8 implica que
1\IX - vel
°
dada. Elegimos a 8 = e
Ix - el <
e
ve.
ve. Entonces °<
Ix-
ve)( \IX + ve) I = I x - e I \IX+ve \IX+ve Ix - el Ix - el 8 ----< <-=e \IX+ve- ve ve
= I(\IX -
Aquí hay un punto técnico. Empezamos con e > 0, pero podría suceder que e esté muy cercano a sobre el eje x. Deberíamos insistir que 8 :::::: e, para que entonces Ix el < 8 implique que x > 0, de modo que \IX esté definida. Así, para un rigor absoluto, elegimos 8 como el más pequeño entre e y e
°
ve.
•
Nuestra demostración en el ejemplo 4 depende de la racionalización del numerador, un truco que con frecuencia es útil en cálculo. EJEMPLO 5
Demuestre que lím(x 2 x~3
ANÁLISIS PRELIMINAR O<
+x
-
5) =
7.
Nuestra tarea es encontrar una 8 tal que
Ix - 31 <
8
==?
l(x 2 + x -
5) -
71
< e
Ahora I
(x 2 + x - 5) - 71 = Ix 2 + x - 121 = Ix + 411x - 31
El factor Ix - 31 puede hacerse tan pequeño como queramos y sabemos que Ix + 41 será alrededor de 7. Por tanto buscamos una cota superior para Ix + 41. Para hacer esto, primero convenimos en hacer 8 :::::: 1. Entonces Ix - 31 < 8 implica que Figura 8
Ix + 41 = Ix -
3
+ 71
: : : Ix - 31 + 171
(Desigualdad del triángulo)
<1+7=8 (La figura 8 ofrece una demostración alternativa de este hecho.) Si también requerimos que 8 :::::: e/8, el producto Ix + 411x - 31 será menor que e.
°
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e > dada. Elegimos a 8 = mín {1, e/8}; esto es, elegimos a 8 como el más pequeño entre 1 y e/8. Entonces O < Ix - 31 < 8 implica que
l(x 2 + x - 5) - 71 = Ix 2 + x - 121 = Ix + 411x - 31 < 8 . E = e 8
•
70
CAPíTULO
2
Funciones y límites
Demuestre que lím x 2
EJEMPLO 6
x~c
=
e 2•
DEMOSTRACIÓN Reproducimos la demostración en el ejemplo 5. Sea e > O dada. Elegimos como o = mín{l, e/(l + 2Iel)}. Entonces O < Ix - el < o implica que
Ix 2
e2
= Ix + ellx - el = Ix - e + 2ellx - el :::; (Ix - el + 2I e!)lx - el (Desigualdad del triángulo) (1 + 21el) . e < 1 + 21el = e Aunque parezca increíblemente perspicaz, no sacamos a o "de la manga", en el ejem-
1
•
plo 6. Simplemente, esta vez no le mostramos el análisis preliminar. , 1 1 EJEMPLO 7 Demuestre que hm - = -, e O. x~c X e
"*
¡(x)
ANÁLISIS PRELIMINAR
Estudie la figura 9. Debemos determinar una O<
Ahora
o tal que
-
Ix - el < 8 => I~ ~I < e
x
El factor l/lxl es problemático, en especial si x está cerca de cero. Podemos acotar este factor si podemos mantener a x alejado de O. Con ese fin, observe que lel = le -
x + xl :::;
le -
xl + Ixl
de modo que Figura 9
lel - Ix - el Así, si elegimos a o :::; lel/2, resultando en hacer Ixl 2::lel/2. Por último, si también peIxl 2::
dimos que
o :::; ee 2 /2, entonces 1
1
~ . ~ . Ix - el <
1 1 ee 2 lel/2 . ~ . 2 = e
DEMOSTRACIÓN fORMAL Sea e > O dada. Elegimos a ces O < Ix - el < o implica que
-
I~ ~I
=
le
:o xl
=
o = mín{lel/2, ee 2 /2}. Enton-
I~I . 1:1 • Ix - el < le~2 . 1:1 • e~2 = e
•
Límites unilaterales No se necesita mucha imaginación para dar las definiciones e-O del límite por la derecha y del límite por la izquierda. Definición
Límite por la derecha
Decir que l~+f(x) = L significa que para cada e > O existe una correspondiente
o > O tal que o< x -
e <
o ==> If(x) - LI
< e
Al lector le dejamos la definición e-o para el límite por la izquierda. (Véase el problema 5.) El concepto e-O presentado en esta sección es probablemente el tema más intrincado y elusivo en un curso de cálculo. Le podría tomar algún tiempo entender este concepto, pero vale el esfuerzo. El cálculo es el estudio de límites, de modo que una clara comprensión del concepto de límite es una meta valiosa.
72
CAPíTULO
2
Funciones y límites
27. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la definición de límite? (a) Para algún e > Oytodao > 0,0 <
lx-el <
~
29. Suponga que deseamos dar una demostración con e-O de
que lím
o=}lf(x)-LI < e.
x->3
(b) Para toda o > O, existe una correspondiente e > Otal que
x4
-
4x 3
.
Empezamos escnbiendo O < Ix -
el <
e
=}
(x-3)(g(x)).
If(x) - LI < O
(c) Para todo entero positivo N, existe un entero correspondiente positivo M tal que O < Ix - el < l/M::::} If(x) - LI < l/N. (d) Para toda e > O, existe una correspondiente o > Otal que O < Ix - el < o y If(x) - LI < e para alguna x. 28. En lenguaje e-O qué significa decir lím f (x) x----+c
2.6 Teoremas de límites
4
+6 + x2 + x + 6 x +6 3 2
x
=-1.
x -4x +x +x+6
+ 1 en la forma
(a) Determine g(x). (b) ¿Podríamos elegir o = mín (1, e/n) para alguna n? Explique. (c) Si elegimos o = mín (1/4, e/n), ¿cuál es el entero más pequeño m que podríamos utilizar?
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. L 2. O < Ix - al < o;lf(x) - LI < e 3.e/3 4.ma + b
* L.
e; L
+
e
La mayoría de los lectores coincidirán en que demostrar la existencia y valores de los límites utilizando la definición e-O de la sección anterior consume tiempo y es difícil. Esto es por lo que son bienvenidos los teoremas de esta sección. Nuestro primer teorema es el principal. Con él, podemos manejar la mayoría de los problemas de límites con los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.
Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Por ejemplo, la afirmación 4 se traduce como: El límite de una suma es la suma de los límites. Por supuesto el Teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta el final de la sección, preferimos mostrar primero cómo este teorema con varias partes se utiliza.
Aplicaciones del Teorema principal sobre límites
En los siguientes ejemplos, los números que están en el interior de un círculo se refieren al número de la afirmación de la lista anterior. Cada igualdad está justificada por la afirmación indicada. EJEMPLO 1
Determine x.-.3 lím 2x
4 •
Solución
lím 2x 4 x-3
T T =2
lím x 4
x-3
=2
lím [x-3
,~
x] = 2[3t = 162
•
74
CAPíTULO
2
Funciones y límites
La demostración del Teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del Teorema A. Observe que el Teorema B nos permite encontrar límites de funciones polinomiales y racionales con la simple sustitución de c por x en toda la expresión, siempre y cuando el denominador de la función racional no sea cero en c. EJEMPLO 5
Encuentre lím
7x 5
10x 4 - 13x + 6 -----3x 2 - 6x - 8
-
-------c-
x-c>2
Solución 7x 5 - 10x 4 - 13x + 6 lím - - - - - - - - x-c>2 3x 2 - 6x - 8
7(2)5 - 10(2t - 13(2)
+
6
11 2
3(2)2 - 6(2) - 8
•
x + 3x + 7 x + 3x + 7 Encuentre lím -2- - - - = lím - - - - 1 X 2x + 1 x-c> 1 (x - 1)2 3
EJEMPLO 6
3
X-C>
Solución No se aplica ni el Teorema B ni la afirmación 7 del Teorema A, ya que ellímite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, vemos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho, el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficientemente cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo, (véase la sección 2.8) nos permitiremos decir que el límite es +00.) • (2
EJEMPLO 7
Encuentre lím t-c>2
(
+ 3( - 10 +(- 6 .
2
Solución Nuevamente, no se aplica el Teorema B. Pero esta vez, el cociente toma una forma carente de significado O/O en t = 2. Siempre que esto suceda uno debe buscar una simplificación algebraica (factorización) del cociente antes de intentar tomar el límite. ,
hm ¿Opcional?
En un primer curso de cálculo, ¿cuántos teoremas deben demostrarse? Los profesores de matemáticas han discutido largo y tendido acerca de esto y acerca del balance correcto entre: • lógica e intuición • demostración y explicación • teoría y aplicación Un gran científico de hace mucho tiempo dio un sabio consejo. "Quien ama la práctica sin teoría es como el marinero que se embarca sin timón ni brújula y nunca sabe dónde ir." Leonardo da Vinci
t-c>2
{2
+ 3( - 10. , (( - 2) (( + 5) =hm +(- 6 t-c>2 (( 2) (( + 3)
(2
,(
+5 +3
7 5
=hm--=t-c>2 (
•
Demostración del Teorema A (opcional) No debe sorprenderse cuando le decimos que las demostraciones de algunas partes del Teorema A son muy complicadas. En consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco partes, dejando las otras al apéndice (sección A.2, Teorema A). Para que se dé cuenta, podría intentar con los problemas 31 y 32. Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de lím (mx + b) = mc + b (véase el ejemplo 3 de la sección 2.5) utilizando primero x-c>c
m = OYluego m = 1, b = O. • Demostración de la afirmación 3 Si k = O, el resultado es trivial, así que suponemos que k =1= O. Sea e > Odada. Por hipótesis, x-c>c lím f (x) existe; llamemos L a su valor. Por definición de límite, existe un número D tal que O<
Ix - cl < D ==} If(x) - LI < 1:1
Es seguro que algunos reclamarían el cambio de e/lkl en lugar de e al final de la desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso no es e/lkl un número positivo? Sí. ¿Acaso no, la
SECCIÓN
2.6
Teoremas de límites
75
definición de límite requiere que para cualquier número positivo exista una correspondiente 07 Sí. Ahora, para una oasí determinada (nuevamente vez por medio de un análisis preliminar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que O < Ix - el < o implica que
€
L+M -
< Ik l
Ikf(x) - kLI = Ikllf(x) - L/
: = l 1
e
Esto muestra que lím kf(x) x~c
= kL = k lím f(x) • x~c
Con respecto a la figura 1. Sea lím f (x) = L Y
Demostración de la afirmación 4 ,
x~c
lím g( x) = M. Si e es cualquier número positivo, entonces el 2 es positivo. Como x~c
lím f (x) = L, existe un número positivo 01 tal que
x~c
O<
Ix -el <
01=}
If(x) -
LI
Como lím g(x) = M, existe un número positivo O2 tal que x~c
x
O<
Ix - el <
O2
=}
Ig( x) - MI
Elegimos o = mín {0 1' 02}; esto es, elegimos como O < Ix - el < o implica que
Figu,ra 1
If(x)
+ g(x) - (L + M)/
<~
o a la menor de 01 y O2, Entonces
+ [g(x) - MJI ::; If(x) - LI + Ig(x) - MI = I[f(x) - LJ
e 2
e 2
<-+-=e En esta cadena, la primera desigualdad es la desigualdad del triángulo (véase la sección 1.4); la segunda resulta de la elección de o. Acabamos de demostrar que O < Ix -
el < o =}
If(x) + g(x) - (L + M)I < e
Por tanto,
lím[f(x)
x~c
+ g(x)] = L + M = límf(x) + límg(x) • x~c
x~c
Demostración de la afirmación 5
lím[f(x) - g(x)] = lím[(f(x)
x~c
x~c
+ (-l)g(x)]
= lím f (x) + lím ( -1 )g ( x ) x~c
= lím f (x) x~c
x~c
+ (-1) lím g ( x ) x~c
= lím f(x) - lím g(x) • x~c
y
x~c
El teorema del emparedado Probablemente ha oído decir a alguien: "Me encuentro entre la espada y la pared." Esto es lo que le sucede a g en el teorema siguiente (véase la figura 2).
e
x
Demostración Figura 2
(Opcional) Sea e > Odada. Elegimos 01 tal que O < Ix -
el <
01 =}
L - e < f(x) < L + e
SECCIÓN
23. lím
x~a
V g ( x) [¡(x)
24. lím [¡(x) - 3
+ 3J
x~a
t~a
JI (x -
37. lím
2)
= Ig(x)[¡(x) -
LJ
:s Ig(x)llf(x) -
LI +
ILllg(x) - MI
Ahora demuestre que lím g(x) = M, entonces existe un número 01 x~c
Ix -
V 1T3 +
V1h
41. lím - - - -
42. límJx - [x])
, x 43. x~o hm_ ~I xI
44. lím [x 2
x~2·
x3
X
(3x - 1)2
x~3
x~3+
+ 2x]
45. Suponga que f(x )g(x) = 1 para toda x y que lím g(x) = O. Demuestre que límf(x) no existe. x~a X----?-ll
tal que
o<
,
(x 2 + l)[x]
MJI
+ L[g(x) -
lím
X~-1T"
40. 11m - - x~l- 4 + 4x
x~3+~
If(x)g(x) - Lg(x) + Lg(x) - LMI
=
38.
X
x-3 39. lím - - -
1 3 29. f(x) = 30. f(x) = 2 x x 31. Demuestre la afirmación 6 del Teorema A. Sugerencia:
If(x)g(x) - LMI
~
x~-3'
28. f(x) = 3x2 + 2x + 1
3x2
77
En los problemas del37 al 44, encuentre cada uno de los límites unilaterales o establezca que no existen.
u~a
En los problemas del27 al 30, encuentre lím [¡( x) - f(2) para cada función f dada. x~2 =
Límites que incluyen funciones trigonométricas
26. lím [¡(u) + 3g(u) J3
25. lím[[f(t)1 + 13g(t)IJ
27. f(x)
t
2.7
el <
01 =9- Ig(x)1
<
¡MI +
46. Sea R el rectángulo que une los puntos medios de los lados del cuadrilátero Q, el cual tiene vértices (± x, O) y (O, ± 1). Calcule
1
32. Demuestre la afirmación 7 del Teorema A, primero dando una demostración e-O de que lím [11 g( x) J = 1/[lím g( x) J y luego aplicar la afirmación 6. x~c x~c 33. Demuestre que lím f(x)= L ~ lím [f(x) x~c
x~c
34. Demuestre que límf(x) x~c
= O ~ lím If(x)[ = X----1-C
35. Demuestre que lím Ixl = x~c
LJ =
O.
o.
leI-
47. Sea y = \/X y considere los puntos M, N, O Y P con coordenadas (1,0),(0,1),(0,0) y(x,y) en la gráfica de y = \/X,respectivamente. Calcule: (a) lím
36. Encuentre ejemplo para demostrar que si (a) lím [J( x) + g( x) J existe, esto no implica que exista lím f( x) o x~c
perímetro de R lím----perímetro de Q
x~o-
x~o+
perímetro de /j.NOP perímetro de /j.MOP
(b) l' área de /j.NOP 1m - - - - x~o- área de /j.MOP
x~c
lím g(x); x~c
(b) lím [J( x) . g( x) J existe, esto no implica que exista lím f( x) o x~c
x~c
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. 48 2. 4 3. -8;
-4 + 5c 4. O; L;2L
lím g(x). x~c
2.7 Límites que incluyen funciones trigonométricas
El Teorema B de la sección anterior dice que los límites de funciones polinomiales siempre pueden encontrarse por sustitución, y los límites de funciones racionales pueden encontrarse por sustitución siempre y cuando el denominador no sea cero en el punto límite. Esta regla de sustitución se aplica también a las funciones trigonométricas. Este resultado se establece a continuación.
y (0.1) P( cos
o
r. sen t)
Demostración de la afirmación 1 Primero establecemos el caso especial donde t > Oy que los puntos A, B YP están definidos como en la figu-
e = O. Supóngase que ra 1. Entonces
O < ¡BPI < IAPI < arc (AP) Pero,IBPI = sen t y arco AP
= t, de modo que O < sen t < t
Figura 1
Si t < O, entonces t < sen t < O. Por lo que podemos aplicar el Teorema del emparedado (Teorema 2.6C) y concluir que lím sen t = O. Para completar la demostración, t~O
78
CAPíTULO
Funciones y límites
2
también necesitaremos el resultado de que lím cos t
=
1. Ésta se deduce aplicando
1-+0
una identidad trigonométrica y el Teorema 2.6A: ~----lím cos t = lím VI - sen2 t = " /1 - (lím sen t)2 = 1-+0 1-+0 V 1-+0
V1=()2 = 1
Ahora, para demostrar que lím sen t = sen e, primero hacemos h = t - e de moI-+c do que h ----7 cuando t ----7 e. Entonces lím sen t = lím sen (e + h)
°
I-+c
h-+O
= lím (sen ecos h + cos e sen h) (Identidad de la suma de los ángulos) h-+O
(sen e )(lím cos h) + (cos e)(lím sen h) h-+O
h-+O
(sen e) (1) + (cos e) ( O) = sen e • Demostración de la afirmación 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con el Teorema 2.6A. Si cos e > 0, entonces para t cercano a e tenemos cos t = Yl- sen 2t. Por tanto,
límcost = lím VI - sen2t = " /1 -(límsent)2 = VI - sen2 e = cose I-+c I-+c V I-+C Por otra parte, si cos e < O, entonces para t cercano a e tenemos cos t = - VI - sen2 t . En este caso límcost = lím(-Vl - sen2t) = -" /1 - (límsent)2 = -VI - sen2 e I-+C I-+c V I-+c
= -Vcos 2 e = -Icosel = cose El caso e = Ose trabajó en la demostración de la afirmación 1. • Las demostraciones de las demás afirmaciones se dejan como ejercicios. (Véase los problemas 15 y 16.) El Teorema A puede utilizarse junto con el Teorema 2.6A para evaluar otros límites. t 2 cos t EJEMPLO 1 Encuentre lím --1-· 1-+0 t + Solución
2
2
t cos lím - -t = ( lím -t - ) (lím cos t) = O • 1 = O 1-+0 t + 1 1-+0 t + 1 1-+0
•
Dos límites importantes que no pueden evaluarse por sustitución son
sent
lím-1-+0
t
y
1 - cost lím---1-+0
t
En la sección 2.4 nos encontramos el primero de estos límites, en donde conjeturamos que el límite era 1. Ahora demostramos que en verdad 1 es el límite.
y (O. 1)
Demostración de la afirmación 1 En la demostración del Teorema A de esta sección, demostramos que lím cos t = 1 y lím sent = O 1-+0
1-+0
Para -77"/2::; t::; 77"/2, t *0 (recuerde, no importa qué suceda en t = O), dibuje el segmento de recta vertical BP y el arco circular BC, como se muestra en la figura 2. (Si t < 0, entonces considere la región sombreada reflejada con respecto al eje x.) Es evidente de la figura 2 que Figura 2
área (sector OBC) ::; área (dOBP) ::; área (sector OAP)
80
CAPíTULO
2
Funciones y límites
4 sen4x 4x , sen 4x l' 11m - - - = 1m - - x~o tanx x~o senx xeosx
(e)
' sen4x 411 m - - x~o 4x
1)
' ' sen x ) (hm-hm-( x~o x x~o eos x 4 =-=4
•
1.1
Revisión de conceptos 1. lím sen t
=
_
=
_
t~O
que 2. lím tan t t~7r/4
' . l'Im-sen t no pued Ipor " , pore eva uarse sustltuclOn 3. EllImIte t~O t _
4. lím sen t t~O
t
=
----
Conjunto de problemas 2.7 En los problemas del] al 13, evalúe cada límite.
cosx 1. lím-x~o
2.
x + 1
cos 2 t 3.lím----
lím
tJ~7r/2
y P( cos 1,
e cos e
senx 5. lím-x~o 2x sen3e 7. lím-tJ~O tane cot 7Te sen e 9. l í m - - - - tJ~O 2 sece tan 2 3t 11. lím-t~O 2t sen(3t) + 4t 13. lím------.:.--t~O tsect
8
¡)
Q
, 3x tan x 4. 1I m - - x~o senx , sen 3e 6. 1I m - tJ~o 2e
t~ol+sent
sen
;\(1.
r
tan5e • tJ~ sen2e , sen 2 3t 10. 1I m - t~O 2t
r tan 2t 12. t~ sen2t - 1
o)
x
Figura 3
y
14. Demuestre que lím cos t
=
cos c utilizando un argumento si-
t~c
milar al utilizado en la demostración de que lím sen t
=
sen c.
PI COS
{,
sen t)
t~c
15. Demuestre las afirmaciones 3 y 4 del Teorema A utilizando el Teorema 2.6A. 16. Demuestre las afirmaciones 5 y 6 del Teorema 2.6A. 17. Con base en área( OBP) :::::; área(sector OAP) :::::; área( OBP) + área(ABPQ) en la figura 3, demuestre que t cos t ::; - - ::; 2 - cos t sent y así obtenga otra demostración de que lím (sen t) /t = O. t~O 18. En la figura 4, sea D el área del triángulo ABP y E el área de la región sombreada.
(a) Haga una conjetura acerca del valor de lím+ DE observando • t~O la figura.
;\(1 O)
x
Figura 4 ~
19. Vuelva a hacer los problemas del 1 al 13 en su computadora y así verifique las respuestas.
(b) Encuentre una fórmula para D/ E en términos de t. (c) Utilice una calculadora para obtener una estimación precisa de lím+ DE' t~O
Respuestas a la revisión de conceptos: nador es cero cuando t = O4. 1
1. O2. 1 3. el denomi-
SECCiÓN
2.8 Límites en infinito, límites infinitos y
g(x)
=:
2.8
Límites en infinito, límites infinitos
81
El concepto del infinito ha inspirado y complicado a los matemáticos desde tiempo inmemorial. Los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas con frecuencia están entrelazados con el uso de esta palabra. No obstante el progreso matemático, en parte, puede medirse en términos de la comprensión del concepto de infinito. Ya hemos utilizado los símbolos 00 y -00 en nuestra notación para ciertos intervalos. Así, (3,00) es nuestra forma para denotar al conjunto de todos los números reales mayores que 3. Observe que nunca nos hemos referido a 00 como un número. Por ejemplo, nunca lo hemos sumado a un número ni dividido entre algún número. Utilizaremos los símbolos 00 y -00 de una manera nueva en esta sección, pero ellos aún no representan números.
Un ejemplo Considere la función g(x) = x/(1 + x2 ) cuya gráfica se muestra en la figura 1. Hacemos esta pregunta: ¿ Qué le sucede a g( x) cuando x se hace cada vez más grande? En símbolos, preguntamos por el valor de lím g(x).
+
x-?oo
Cuando escribimos x ----7 00, no queremos dar a entender que en un lugar muy, muy alejado a la derecha del eje x exista un número, más grande que todos los demás números, al cual x se aproxima. En lugar de eso utilizamos x ----7 00 como una forma breve de decir que x se hace cada vez más grande sin cota. En la tabla de la figura 2, hemos listado valores de g(x) = x/(l + x2 ) para varios valores de x. Parece que g( x) se hace cada vez más pequeño conforme x se hace cada vez más grande. Escribimos , x hm - - -2 = O X-?-CXJ 1 + x
Figura 1 x
x
1 +x'
10
0.099
100
0.010
1000
0.001
10000
0.0001
J,
J,
00
?
Al experimentar con números negativos grandes nos conduciría a escribir , x hm - - = 0 2 X-?-CXJ 1 + x
Figura 2
Definiciones rigurosas de límites cuando x ~ ±oo En analogía con nuestra definición c, o para límites ordinarios, hacemos la definición siguiente. Definición
y
x
~
00
Sea f definida en [c, (0) para algún número c. Decimos que lím f (x) = L, si para x-?-oo cada c > O existe un correspondiente número M tal que
1
E
T
x > M => If(x) - LI < c M
Figura 3
Límite cuando
x
Note que M puede depender de c. En general, entre más pequeña es c, más grande tendrá que ser M. La gráfica en la figura 3 puede ayudarle a comprender lo que estamos diciendo.
Definición
Límite cuando x ~
-00
Sea f definida en (-00, cJ para algún número c. Decimos que lím f (x) = L si para cada c > O existe un correspondiente número M tal que x-?-oo
x < M => If(x) - LI < c EJEMPLO 1 Demuestre que si k es un entero positivo entonces
, 1 O y 1lm kX =
x-?oo
l'Imk=O 1
X-?-CXJ
X
Sea c > O dada. Después de un análisis preliminar (como en la sección 2.5), elegimos M = ~. Entonces x > M implica que
Solución
I ~ - 01 = ~ <
_1k = c xk xk M La demostración de la segunda proposición es similar.
•
86
CAPíTULO
Funciones y límites
2
2.9 Continuidad de funciones Un buen ejemplo de una máquina de discontinuidades es la máquina de servicio postal, que (en 1999) cobraba 0.33 dólares por una carta de 1 onza pero 0.55 dólares por una carta de un poco más de una onza.
En matemáticas y ciencias, utilizamos la palabra continuo para describir un proceso que sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer esto como una característica esencial de muchos procesos naturales. Es esta noción, con respecto a funciones, la que ahora queremos precisar. En las tres gráficas que Se muestran en la figura 1, sólo la tercera exhibe continuidad en c. En las primeras dos gráficas, lím f (x) no existe, o bien existe pero no es igual a f (c). Sólo en la tercer gráfica x--+ e
lím
x--+ e
= f (x) = f (c ). y
y
y
e lím f(x) no existe
x
X-1C
x e lím f(x) existe, pero
lím f(x)
X""c
X""c
*
e
x
=f(c)
~r:;/(x) f(c)
Figura 1
He aquí la definición formal.
Definición
Continuidad en un punto
Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f eS continua en c si
f (x)
lím x--+
=
f (c )
C
Queremos decir con esta definición que necesitamos tres cosas: (1) que lím f (x) x--+c
exista, (2) que f(c) exista (p. ej., c esté en el dominio de f) y (3) lím f(x) = f(c). Si x--+c
cualquiera de estas tres no se cumple, entonces f es discontinua en c. Así, las funciones representadas por la primera y segunda gráficas de la figura 1 son discontinuas en c. Sin embargo, no parecen ser discontinuas en otros puntos de sus dominios.
x2 - 4 EJEMPLO 1 Sea f(x) = x _ 2 ,x
=1=
2. ¿Cómo debe definirse f en x = 2 para hacer
que sea continua allí? Solución
1/ (x - 2) (x + 2) 1/ ( ) / X2 - 4 = 1m x+2 =4 11 m - - = 1m x - 2 x--+2 X - 2 x--+2
x--+2
f(x)
Por tanto, definimos f(2) = 4. La gráfica de la función resultante se muestra en la figu• ra 2. De hecho. vemos que f (x) = x + 2 para toda x.
= \.
Figura 2
Continuidad de funciones conocidas La mayoría de las funciones con las que nos enfrentaremos en este texto son (1) continuas en todas partes o (2) continuas en todas partes, excepto en algunos puntos. En particular, el Teorema 2.6B implica el resultado siguiente. y
-4
-3
-2
-1
f(x) =!x
Figura 3
2
3
4
x
Recuerde la función valor absoluto f(x) = Ixl; su gráfica se muestra en la figura 3. Para x < 0, f(x) = -x, una función polinomial; para x > 0, f(x) = x, otra función polinomial. Así, por el Teorema A, Ixl es continua en todos los números diferentes de cero. Pero
SECCIÓN
y
2.9
Continuidad de funciones
87
límlxl = O = 101
x~o
(véase el problema 23 de la sección 2.5). Por tanto, Ixl también es continua en cero; es continua en todas partes. Por medio del Teorema principal sobre límites (Teorema 2.6A) f(x)
Figura 4
lím
x~c
=:
vx = "n~ = ve V ~~~.A
con tal que c > O, cuando n es par. Esto significa que f (x) = VX es continua en cada punto en donde tiene sentido hablar acerca de continuidad. En particular, f (x) = es continua en cada número real c > O (véase la figura 4). Se puede resumir lo siguiente:
vx
Continuidad en operaciones con funciones ¿Las operaciones ordinarias entre funciones preservan la continuidad? Sí, de acuerdo con el teorema siguiente. En él, f y g son funciones, k es una constante y n es un entero positivo.
Demostración Todos estos resultados son consecuencias fáciles de los correspondientes hechos para límites del Teorema 2.6A. Por ejemplo, ese teorema combinado con el hecho de que f y g son continuas en c, produce lím f (x) g ( x) = lím f (x) . lím g ( x) =
x~c
x~c
x~c
Esto es precisamente lo que significa decir que f EJEMPLO 2
f (c )g (c )
. g es continua en c. •
¿En qué números F(x) = (31xl - x 2 )/(
vx + \o/X) es continua?
No necesitamos considerar números no positivos, ya que F no está definida en tales números. Para cualquier número positivo, todas las funciones VX, \o/X, Ixl Yx 2 son continuas (Teoremas A y B). Se deduce, con base en el Teorema C que 31xl31xl - x 2 , VX + \o/X, y por último, (31 x x 2)
Solución
l
-
(VX + \YX) son continuas en cada número positivo. • La continuidad de funciones trigonométricas se deduce del Teorema C y del Teorema 2.7A.
Demostración El Teorema 2.7A dice que para todo número real c lím sen x
x~c
= sen c y
lím cos x
x~c
= cos c
Éstas son exactamente las condiciones requeridas para que sen x y cos x sean continuas en c. Como sen x y cos x son continuas en cada número real c, el Teorema C implica sen x que el cociente - - = tan x es continua siempre que el denominador, cos x, no sea cosx
88
CAPíTULO
2
Funciones y límites
/
.
d
/
1
cero. A SI, tan x, es contmua en to o numero rea , excepto en e = ± 2 ' ± 2' ... , que 7T
37T
son precisamente los puntos que no pertenecen al domino de tan x. Un argumento similar se aplica a cot x, sec x y csc x.• Existe otra operación con funciones, composición, que será muy importante en el trabajo posterior. También preserva la continuidad.
Demostración del Teorema E (opcional)
Demostración Sea e > Odada. Como f es continua en L, existe una 01 > Ocorrespondiente tal que ¡(L)
It - LI < 01 => If(t) - f(L)1 < e
f(g(x))
y así (véase la figura 5)
Ig(x) - LI < 01 => If(g(x)) - f(L)1 < e Figura 5
Pero ya que lírn g( x) = L ,para una 01 > Odada, existe una correspondiente O2 > O x~c
tal que
Cuando reunimos estos dos hechos, tenemos
o<
el <
Ix -
O2 =>
1I (g(x ))
-
1(L ) I < e
Esto demuestra que
lírnf(g(x)) = f(L)
x~c
La segunda proposición en el Teorema E se deduce de la observación de que si g es continua en e entonces L = g( e ). • EJEMPLO 3
Demuestre que h(x)
= Ix 2 - 3x + 61 es continua en todo número real.
Sea f (x) = Ixl y g( x) = x2 - 3x ro real, y por tanto su composición
Solución
+ 6. Ambas son continuas en cada núme-
h(x) = f(g(x)) = Ix 2
-
3x +
61
•
también lo es. EJEMPLO 4
Demuestre que
x 4 - 3x + 1 h(x) = sen - 2 - - - x - X - 6 es continua excepto en 3 y -2. Solución
x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). Así, la función racional g (x)
=
X4 -
x2 -
3x + 1 X -
6
SECCIÓN
2.9
Continuidad de funciones
89
es continua excepto en 3 y -2 (Teorema A). Sabemos del Teorema D que la función seno es continua en todo número real. Así, con base en el Teorema E, concluimos que, como h(x) = sen(g(x)),h también es continua excepto en 3 y -2. •
Continuidad en un intervalo Hasta ahora, hemos estudiado continuidad en un punto. Deseamos analizar la continuidad en un intervalo. La continuidad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo. Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto. Cuando consideramos un intervalo cerrado [a, b], nos enfrentamos a un problema. Podría ser que f incluso no esté definida a la izquierda de a (e.g., esto ocurre para f (x) = \IX en a = O), así que hablando estrictamente, lím f (x) no existe. Elegimos darle la vuelta a este problema diciendo que f es continua en [a, b] si es continua en b) y si lím_f(x) = f(a) y x~b lím_f(x) = f(b). Resumimos esto en cada punto de (a 'x~a una definición formal. x~a
Definición
Continuidad en un intervalo
La función f es continua por la derecha en a si lím+ f (x) = f (a) y continua por la izquierda en b si límb_f( x) = f( b) . x~a Decimos que f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto de ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. x~
y
Por ejemplo, es correcto decir que f(x) = l/x es continua en (O, 1) Y que g( x) = \IX es continua en [O, 1]. x
EJEMPLO 5 Utilizando la definición anterior, describa las propiedades de la continuidad de la función cuya gráfica está dibujada en la figura 6.
La función parece que es continua en los intervalos (-00, O), (0,3) Y(5,00) y también en el intervalo cerrado [3, 5]. •
Solución
Figura 6
EJEMPLO 6 ¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función definida por g(x) = ~ es continua?
El dominio de g es el intervalo [-2,2]. Si e pertenece al intervalo (-2,2), entonces, por el Teorema E, g es continua en e; de aquí que, g es continua en (-2,2). Los límites unilaterales son
Solución
lím ~ = "V /4 lím . - (x~-2+
x~-2+
x)2 ~ = O = g(-2)
y
Esto implica que g es continua por la derecha en -2 Ycontinua por la izquierda en 2. Así, g es continua en su dominio, el intervalo cerrado [-2, 2]. •
y
De manera intuitiva, que f sea continua en [a, b] significa que, cuando Xl y x2 están cerca uno del otro y ambos en [a, b], entonces f(xd y f(x 2 ) están cerca uno del otro. La gráfica de f en [a, b] no debe tener saltos, de modo que debemos de ser capaces de "dibujar" la gráfica de f desde el punto (a, f( a)) al punto (b, f( b)) sin levantar nuestro lápiz del papel. Así, la función f debe tomar todos los valores entre f( a) y f (b ). Esta propiedad se establece de manera más precisa en el Teorema F.
f(b)
lt; - + - - - - - - - - - 1
w; -+-----.=-..::--.. f(a)
x
Figura 7
La figura 7 muestra la gráfica de una función f(x) que es continua en [a, bJ. El Teorema del valor intermedio dice que para toda W en (f( a), f( b)) debe existir una
92
CAPíTULO
Funciones y límites
2
17. A partir de la gráfica de h dada en la figura 13, indique los intervalos en los que h es continua.
39. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que (cos t )1 3 + 6 sen5 t - 3 = Otiene una solución real entre Oy 27r.
40. Demuestre que la ecuación x 5 + 4x3 - 7x + 14 = Otiene al menos una solución real. Sugerencia: Teorema del valor intermedio. 41. Pruebe que f es continua en c si, y sólo si lím f(t + c) f(c).
=
HO
42. Demuestre que si f es continua en c y f (c) > O, existe un intervalo (c - D, c + D) tal que f (x) > O en este intervalo.
43. Demuestre que si f es continua en [0,1] Yahí satisface O:::::::: f(x) : : : : 1, entonces f tiene un punto fijo; esto es, existe un número c en [0,1] tal que f( c) = c. Sugerencia: Aplique el Teorema del valor intermedio a g(x) = x - f(x).
Figura 13
En los problemas del 18 al 23, la función dada no está definida en cierto punto. ¿Cómo debe definirse para hacerla continua en ese punto? (Véase el ejemplo 1.)
18.
f (x)
x 2 - 49
x - 7
=
19.
sen (e)
20. g(e) = - e -
f (x) =
21. H(t) =
Vt t -
1
1
+7 28. f(u) = " r-:-; vu + 5
29. g(u)
30. F(x)
=
v4 + x X
f (x) = {
x2 2 - x
34. f(t)
=
{
2
u2 + =
lu - 11
,,3~
\/ u + 1 1
=
" r;--;)
v4 - x 2
si x < o si o =:; x =:; 1 si x > 1
si x < o :x si o =:; x =:; 1 si x > 1 X
33. g(x) =
31. G(x)
" r:-:-?
1
-3 yf (2)
=
1. ¿El
Teorema del valor intermedio implica la existencia de un número c entre -2 Y2 tal que f (c) = O? Explique.
27. r( e) = tan e
1
si' x < 1
46. Seaf(x) = x _ 1·Entoncesf(-2) =
26. h( e) = Isen e + cos el 2u
{
+1
ax + b si' 1 : : : : x < 2 3x si' x::::: 2
45. Una liga estirada cubre el intervalo [O, 1]. Los extremos se sueltan y la liga se contrae de modo que cubre el intervalo [a, bJ con a :2: OY b : : : : 1. Demuestre que esto resulta en un punto de la liga (en realidad exactamente un punto) que estará en donde estaba originalmente. Véase el problema 43.
3x + 7 (x) = (x - 30) (x - 7T)
33 - x 2 25. f (x) = -x-7T-+-3-x---3-7T---X-2
32.
f (x) =
1
x2 - 1 x 4 + 2x 2 - 3 23. F(x) = sen ~ 1 x+ _En los problemas del 24 al 35, ¿en qué puntos, si los hay, las funciones son discontinuas?
f
X
2x 2 - 18 3 - x
22. 4>(x) =
24.
44. Encuentre los valores de a y b de modo que la función siguiente sea continua en todas partes.
47. Iniciando a las 4 a.m., un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña, llegando al mediodía. Al día siguiente, él regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 a.m., y llegando al pie de la montaña a las 11 a.m. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba la misma hora en ambos días. 48. Sea D una región acotada, pero arbitraria en el primer cuadrante. Dado un ángulo e, O:::::::: e:: : : : 7r/2, D puede ser encerrada por medio de un rectángulo cuya base forme un ángulo e con el eje x como se muestra en la figura 14. Demuestre que para algún ángulo este rectángulo es un cuadrado. (Esto significa que cualquier región acotada puede ser encerrada dentro de un cuadrado.)
2
y
35. g ( t) = [t +
[t]
36. Dibuje la gráfica de una función condiciones siguientes.
f
H
que satisface todas las
(a) Su dominio es [-2,2].
(b) f(-2) = f(-l) = f(l) = f(2) = 1. (c) Es discontinua en -1 y 1. (d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1. 37. Sea
f (x) =
X { - X
si x es racional ... SI X es IrracIOnal
Dibuje la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida en dónde es continua. 38. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que x 3 + 3x - 2 = Otiene una solución real entre Oy 1.
()
x
Figura 14
49. Seaf(x + y) = f(x) + f(y) para todo x y y en ga que f es continua en x = O.
~
y supon-
(a) Demuestre que f es continua en todas partes. (b) Demuestre que existe una constante m tal que f(t) toda t en ~ (véase el problema 41 de la sección 2.1).
= mt para
SECCIÓN
En los problemas del 50 al 53, estudiaremos funciones lineales. Tales funciones tiene la forma y( x) = mx + b, donde m y b son constantes. 50. Demuestre que la suma de dos funciones lineales también es una función lineal. 51. Demuestre que la composición de dos funciones lineales también es una función lineal. 52. Demuestre que el producto de dos funciones lineales por lo general no es una función lineal. 53. Demuestre que el cociente de dos funciones lineales por lo general no es una función lineal.
2.10
Revisión del capítulo
93
58. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado de longitud 1 unidad, tiene su cara en la vertical del plano xy con un vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor de V hasta que un lado golpee el piso, en el eje x (véase la figura 15). Denótese con x la abscisa inicial x del punto medio M, del lado opuesto a V, Y sea f (x) la abscisa x final de este punto. Suponga que el bloque queda en equilibrio cuando M está directamente arriba de V. (a) Determine el dominio y rango de f. (b) En el dominio de f, ¿en dónde es discontinua? (c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f (véase el problema 43). y
54. Pruebe que si f (x) es una función continua en un intervalo entonces también lo es la función If(x)1 = V(¡(x))2.
y
55. Demuestre que si g(x) = If(x)1 es continua, no necesariamente es cierto que f(x) sea continua. 56. Algunas veces se dice que la continuidad de una función f está definida para ser capaz de pasar ellím "a través" de la función. Por X-K
ejemplo, si f es continua en c, entonces lím f(x) = f(lím x). Demuestre o refute esta afirmación. x---+c x---+c 57. (Problema famoso) Sea f( x) = 0, si x es irracional y sea f(x) = 1/q si x es un número racional p/q en su mínima expresión
o
-1
Posición inicial
Posición final
Figura 15
1. lím f (x )
2. todos
3. lím f(x) = f(a); lím f(x) = f(b)
4. a; b;
(q > O).
Respuestas a la revisión de conceptos:
(a) Dibuje, lo mejor que pueda, la gráfica de f en (O, 1).
los enteros
(b) Demuestre que f es continua en cada número irracional en (O, 1), pero es discontinua en cada número racional en (0,1).
f(c) = W
x---+a
x---+c
x---+b
2.10 Revisión del capítulo A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o
11. El rango de la función f (x) = csc x - sec x es el intervalo (-00, -1J u [1,00).
falso. Justifique sus respuestas.
12. La suma de dos funciones pares es una función par.
1. La ecuación xy + x = 3y determina una función con fórmula de la forma y = f(x).
13. La suma de dos funciones impares es una función impar.
2. La ecuación xi + x2 = 3x determina una función con fórmula de la forma y = f(x).
15. El producto de una función par con una función impar es una fun-
3. La ecuación Osen O + t - cos O = ción de O.
16. La composición de una función par con una función impar es una función impar.
Examen de conceptos
2
4. La ecuación <1> de 'IJI.
+ 'IJI =
1<1>
°
determina a t como una fun-
+ 'IJII determina a <1> como una función
14. El producto de dos funciones impares es una función impar. ción impar.
17. La composición de dos funciones impares es una función par. 18. Lafunciónf(x) = (2x 3 + x)/(x 2 + 1) es impar.
5. La ecuación T = sen(O) determina a Ocomo una función de T.
19. La función
6. El dominio natural de
f(t) f(x) =
~4 ~ x
es el intervalo [0,4).
(sen t}2 + cos t tan t csc t
es par. 20. Si el rango de una función consiste en sólo un número, entonces su dominio también consiste de sólo un número.
7. El dominio natural de
f(x)
=
= V-(x 2 + 4x + 3)
es el intervalo -3 ::; x ::; -1.
21. Si el dominio de una función contiene al menos dos números, entonces el rango también contiene al menos dos números.
22. Sig(x) = [x/2],entoncesg(-1.8) =-1.
8. El dominio natural de T( O) = sec( O) + cos( O) es todo valor de O.
23. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces f
9. El rango de f (x) = x
24. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces (f o g)(x) = f(x).g(x).
2
-
6 es el intervalo [-6,00).
10. El rango de la función f(x) = tan x - sec x es el intervalo (-00, -1 J u [1, 00).
o
g = g
o
f.
25. Si f y g tiene los mismos dominios, entonces f / g también tiene ese dominio.
'PRYECTGSi I
r.
sp(azamie
i:o I
I
FiECNOL(A 2.1
I-
esr:dlaI:rnk nto de I g.áti r cadeuri ffiflciOfl
Preparación
Ly
segurese dc qe ustec conoza Cól ml 10 utilizar ci software aroçu para lefiy graficar funciones. También invesLigue Ia capacidad de su software para anirnar graficas.
\
orjIa '1 Uso de Ia tecnor IT propOsito de este proyecto .s recoocer los efectos de ccnsark a y b soIa grafa dc X) + a, ± ). f(''
;'bx) y bf(x).
I
) Seaf(x)
N
-I
jercicio 1
H-
sen(x).DiL.Ia 'rafti-
ca de f(x a) = sen( -- a) para varios valores dc a, de 4 a 4. Si u software tide Ia capacivad de an mar graficas. grafique y anir1lc f (x + a) para a = 4 a 'i= 4 en inLI
crementos dc 0.1.
) Repita Ia pane (a) para (x) +
I
4
6
-2
-3
:Hrf
-4
J
a = sen x + a. Asegürese de c1ue entiende la diferencia entre sen(x + a) y sen x + a. Repita Ia parte (a) para f(bx) = sen(bx). (d) Repita La parte (a) para bf(x) = b
J.
2
4
Il/
8
I-
Sen x. 4-
-
Ejercicio 2 Repita las cuatro partes del ejercicio para Ia función g(x) = sen v. 1
L
I:jercicio 3 Las graficas de las funcicnes
f (x) = sen(2x)
I
-3
-4FigL-a it 2
= sen(x --
f3(x) = 3sen(2x) [4(x) = 3 sen(x + 1)
f(x) = 3 sen x sc muestran en desorden en la figura 1. 'eIacione cada iunción con su gráfica.
1jercicio 4 Identque 1a funciones c!.yas gráficas se uuestran en a figui 2.
Figura 1
I
le*IL ic
's crUaunreporte bieve que explioue I efecu I.e las constantes a y b sobre 'is i. jticas de las funciones (x + a J
.
1O
b-v-
,
f(x,
+
,j'(,x),bf(x). Li
9/
PRYEC1O DE TECNOLOGfA 2.2 'Si
I-
[
1
I
I
I
i
I
A
LImit Prepara(:IC,n '. deiCiniic-ion de ilmite de Ia seeRi. vie ia I L.teoremas sobre ilmites de c' 'In 2.5 y- DS la seixio n2. 6.
de Ia t 'cnologIa 1 Utilice la factorización paEj.rCjcjo ra ayudar .. ncr ntrar los ilmites guien.150 L'
-
RE.
tá definida en ci punto lImite.
i-a nota rj qu eiriuchos IiJ11A hes -pruedeii obtenerse con solo valuar
(b) Construya una tabla airededor de x = 0. Evalüe cada uno de los iimites siguientes cuando x - 0, por medio de tabias y gráficas. - x2 - 4x + 4 (a) Ejerciclo 3
tes:
.x3 - 9x2 - 45x - 91
hut-- -x - 13
(b)
Ii fl
- 9x2 - 39x - 86 x - 13
lIni 13
(") c' ilni
x-,13
- 26.'x3 + 178x2 - 234x + 1521 x - 13
sen x X
(Este es Un lImite importan-
te). (c)
(d)
1cosx (Este también 10 es.) x
Ej.ercicio 2':
urn
x -*0
-- / V'25 + ix v25-2r X
rnedio de Ja uno de los métodos sigiientes 'a) 1-lagaunagráfica de la fracción cer'a del pun x = 0. Con frecuenc ia, eslo "fi.nciona" aun cuando,
98
Laf.unciOi. lada en eL punto dano. Estabi zc -tc1.e manera precisa uiia cLjdiCjOfl j" là cua sto .s válido. ,Cua1cs de los b'3' tii te iguintcs pueden eva1arse de lIrnLss e .a.ie ,Jam r'ra encil1a? Justifique sus res-
uL ;tas.
-x+5
(a) lInI
(b' im
-
- 25
c-*5 X -
(c) x-*5 lIm \/i6
5
sen5 x
(e) (1 + X)h/X (Otro ilmite importante.)
e Eii"utre
-. I fI X.ilr L. eirckk', 5
como en este caso, la función no es-
Ejerciclo 4 Como hemos visto, en ocasiones gunas herramientas comunes, '-orización puede utilizartales 'nm se de fona provechosa. Utihce ci truco de multiplicar arriba y abajo por una suma de las raIcc cuadradas ("racionaiización u I iv"erador") para verificar de manera aig jraica ci resultado del ejercicio 2y /Lrificar que sus resultados fueron correctos.
Eercicio 6 P roporcionc ejemptos
"uient.ti)TJno ifuncjon racional (que u sea '') cuyo lImite en c pueda p'olinc mK,,
lo
va1uarse por sustitución.
(1,Lii-t función :acional (juL no sea .
'our )mn) cuyo lImite ciS1 e no pue-- sustitwiOn daevaL.arse ".! por
(e) Uiu. fun.ciói i aciona1 cuyo 1Iinte en T
C
SCd C'O.
(d) Una lunci )L'i no racionai cuyo unite en 0
'sta. i:
CAPITULO
3
La derivada Dos problemas con el mismo tema La derivada Reglas para encontrar derivadas Derivadas de funciones trigonométrica1 La regla de Ia cadena 3.5 Notación de Leibniz 3.6 3.7 Derivadas de orden superior Derivación impilcita 3.8 3.9 Tasas de cambio relacionadas 3.10 Diferenciales y aproximaciones 3.11 Revision del capItulo 3.12 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 3.1 Rectas secantes y tangentes Proyecto de tecnologIa 3.2 AproximaciOn lineal de una funciOn 3.1
3.2 3.3 3.4
3.1
Nuestro primer problema es muy antiguo; se remonta a la época del gran cientIfico
Dos problemas con el mismo tema
griego ArquImedes (287-212 a.C.). Nos referimos al problema de la pendiente de Ia recta tangente.
fl /
Recta tangente en P
Figura 1
Nuestro segundo problema es más reciente. CreciO con los intentos de Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), NeWton (1642-1727) y otros para describir Ia velocidad de un cuerpo en movimiento. Es ci problema de La velocidad instantánea.
Los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no estar muy reLacionados. En este caso las apariencias engafian. Los dos problemas son gemelos idénticos.
La recta tangente La noción de Euclides de una tangente, como una recta que toca a una curva en un solo punto es totaimente correcta para cIrculos (véase la figura 1) pero completamente insatisfactoria para otras curvas (véase la figura 2). La idea de una tangente, en P, a una curva como la recta que mejor aproxima a la curva cerca de P es mejor, pero aün es muy vaga para la precision rnatemática. El concepto de lImite proporciona una manera de obtener una mejor descripción. Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en esa curva. Considere la recta que pasa por P y Q, liamada recta secante. La recta tangente en P es la posición lImite (si ésta existe) de Ia recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de Ia curva (véase La figura 3). Suponga que la curva es la gráfica de la ecuación y = f(x). Entonces P tiene coordenadas (c,f(c)), un punto cercano Q tiene coordenadas (c + h,f(c + h)) y la recta secante de P a Q tiene pendiente msec dada por (véase La figura 4):
f(c + h) - f(c)
Recta tangente en P
Figura 2
msec
=
h
102
CAPíTULO
3
La derivada 250
.g
·6
200
o
u
~
150
ro
·u ~
es
lOO
50 0""'--""""'----+----+----+------+-
Figura 9
Durante el segundo segundo (p. ej., en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2), P cae (64 - 16) pies. Su velocidad promedio fue 64 - 16 . 2 _ 1 = 48 pIeS por segundo
vprom =
Durante el intervalo de t = 1 a t = 1.5, cae 16(1.5)Z - 16 = 20 pies. Su velocidad promedio fue vprom =
16(1.5)2 - 16 20 . 1.5 _ 1 = 0.5 = 40 pIes por segundo
De manera similar, en los intervalos de tiempo t = 1 a t = 1.1 Y t = 1 a t = 1.01, calculamos las velocidades promedio respectivas vprom =
16(1.1)2 - 16 3.36 . 1.1 _ 1 = 0.1 = 33.6 pIeS por segundo
vprom =
16(1.01)2 - 16 0.3216 . 1.01 _ 1 = ~ = 32.16 pIes por segundo
Cambio en el tiempo
c+h
!(c) Cambio en la posición /(c+h)
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños, cada uno iniciando en t = 1. Entre más breve es el intervalo de tiempo, mejor aproximamos la velocidad instantánea en el instante t = 1. Mirando los números 48,40,33.6 Y32.16, podríamos suponer que 32 pies por segundo es la velocidad instantánea. Pero seamos más precisos. Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posición en el instante testá dada por s = f(t). En el instante e el objeto está en f( e); en un instante cercano, e + h, está en f( e + h) (véase la figura 10). Así la velocidad promedio en este intervalo es
f(c + h) - f(c) v prom = Figura 10
h
Ahora podemos definir la velocidad instantánea.
Definición
Velocidad instantánea
Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f(t), entonces su velocidad instantánea en el instante e es
/
/
v = h~O hm vprom = h~O hm
f(c +
siempre que el límite exista y no sea 00 o -oo.
h) - f(c) h
11 O
CAPíTULO
3
La derivada
EJ EM PLO 6 qué punto?
Cada una de las siguientes es una derivada, pero ¿de qué función? y ¿en 2
(a) h--.+O lím
2 x 3 ( b) l í m - -
(4+h)2_16 h
3
x--.+3X -
Solución
(a) Ésta es la derivada de f(x) = x 2 en x = 4. (b) Ésta es la derivada de f(x) = 2/x en x = 3.
•
Diferenciabilidad implica continuidad Si una curva tiene una recta tangente en un punto, entonces esa curva no puede dar un salto u oscilar demasiado en ese punto. La formulación precisa de este hecho es un teorema importante.
Demostración Necesitamos demostrar que lím f(x) = f(e).Empezamos escribiendo f (x) de una manera especial. x--.+c f(x) = f(e) + f(x) - f(e) . (x - e), x - e
x"*
e
Por tanto, lím f (x)
x--.+c
=
lím [ f (e)
X--.+C
+
f(x) - f(e)
= lím f (e) + lím x--.+c
e
X -
. (x - e)
f(x) - f(e)
X--.+C
e
X -
]
. lím (x - e) x--.+c
= f(e) + I'(e) . O = f(e) • El recíproco del teorema es falso. Si una función f es continua en e, no se sigue que Ixl en el origen (véase la figura 3). Esta función en verdad es continua en cero. Sin embargo, no tiene una derivada allí, como se muestra a continuación. Observe que
f tenga una derivada en e. Esto es fácil de ver considerando f(x) =
f(O + h) - f(O)
10 + hl - 101
Ihl
h
h
h
y
Así,
f(O + h) - f(O)
~
hm------h
h--.+O+
-1
Figura 3
x
fcn =
Ihl
lím -
h--.+O+
h
h h
= lím - = 1 h--.+O+
mientras que lím h--.+O-
f (O +
h) -
f (O) =
h
lím h--.+O-
~ = lím -h = -1 h
h--.+O-
h
Ya que los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, ~
hm
h--.+O
f(O + h) - f(O) h
no existe. Por tanto, f' (O) no existe. Un argumento similar muestra que cualquier punto en donde la gráfica de una función continua tenga un esquina o vértice la función no es diferenciable. La gráfica en la figura 4 indica algunas formas para que una función no sea diferenciable en un punto.
SECCIÓN
(a) En este intervalo, ¿en dónde f' (x) < O? (b) En este intervalo, ¿en dónde f( x) disminuye cuando x aumenta? (c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras funciones para sustentar esta conjetura.
l' J •
Salida Un operador
Figura 1 y
r(\)-+-----41....---*"----
x
x+h
x
113
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. [f(e + h) - f(e)]/h, [¡(t) - f(e)]/(t - e) 2. [¡(x + h) - f(x)]/h 3. continuos; Ixl 4. 2x2 ; e
52. Dibuje las gráficas de f(x) = cosx - sen(x/2) y su derivada f'(x) en el intervalo [0,9] utilizando los mismos ejes. (a) En este intervalo, ¿en dónde f'(x) > O?
Reglas para encontrar derivadas
Reglas para encontrar derivadas
(b) En este intervalo, ¿en dónde ¡(x) aumenta cuando x aumenta? (c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras funciones para sustentar esta conjetura.
~
3.3
3.3
El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de la definición de la derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferencias
f(x + h) - f(x) h y evaluando su límite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herramientas que nos permitan acortar este largo proceso de hecho, nos permitirá encontrar derivadas de funciones que en apariencia son más complicadas. Recuerde que la derivada de una función f es otra función 1'. En la sección anterior vimos que, si f(x) = x 3 + 7x es la fórmula para f, entonces f'(x) = 3x 2 + 7 es la fórmula para 1'. Cuando tomamos la derivada de f, decimos que estamos diferenciando a f. La derivada opera sobre f para producir 1'. Con frecuencia utilizamos el símbolo D x para indicar la operación de diferenciación (véase la figura 1). El símbolo D x indica que estamos tomando la derivada (con respecto a la variable x) de lo que sigue. Así, escribimos Dxf(x) = f'(x) o (en el caso antes mencionado) D x(x 3 + 7x) = 3x2 + 7. Este D x es un ejemplo de un operador. Como sugiere la figura 1, un operador es una función cuya entrada es una función y cuya salida es otra función.
Las reglas para la constante y para la potencia La gráfica de la función constante f (x) = k es una recta horizontal (véase la figura 2), que, por tanto, tiene pendiente cero en todas partes. Esto es una manera de entender nuestro primer teorema.
Figura 2
Demostración
f' (x) =
lím f (x + h) - f (x) = lím k - k = lím O = O • h h---->O h h---->O
h---->O
Figura 3
La gráfica de f (x) = x es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1 (véase la figura 3); de modo que debemos esperar que la derivada de esta función sea 1 para toda x.
Demostración
f' (x) =
lim f (x + h) - f (x) = lím x + h - x = lím ~ = 1 • h h---->O h h---->O h
h---->O
Antes de iniciar con nuestro siguiente teorema, recordemos algo de álgebra; cómo elevar un binomio a una potencia.
114
CAPíTULO
3
La derivada
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab 3 + b4
Demostración , f(x + h) - f(x) , ( x + h)n - x n f'(x) = hm = hm - - - - h-.O h h-.O h x n + nx n- 1 h +
= lím
n(n - 1) n 2 2 x - h + ... + nxhn- 1 + hn - x n 2 h
h-.O
, k[
nx n- 1 + n(n; 1) x n- 2 h + ... + nxhn- 2 + hn-1 ]
=h-.O hm------------------)( Dentro de los corchetes, todos los términos excepto el primero tiene a h como factor, y así que para todo valor de x cada uno de estos términos tiene límite cero cuando h se aproxima a cero. Por tanto, f' (x) = nxn-1 • Como ejemplos del Teorema C, note que
D x (x 9 ) = 9x 8
D x (x 3 ) = 3x2
D x (x lOO) = 100X99
Dx es un operador lineal El operador D x se comporta muy bien cuando se aplica a múltiplos constantes de funciones o a sumas de funciones.
Demostración Sea F (x) = k . f (x). Entonces , F(x + h) - F(x) , k · f(x + h) - k· f(x) F'(x) = hm = hm--------h-.O h h-.O h , f(x + h) - f(x) ,f(x + h) - f(x) = hmk· = k· h m - - - - - - h-.O
h
h-.O
h
= k . f'(x) El penúltimo paso fue el paso crítico. Pudimos pasar k a través del signo de límite a consecuencia del Teorema principal de límites parte 3. • Ejemplos que ilustran este resultado son D x ( -7x 3 ) = -7D x (x 3 ) = -7 . 3x 2 = -21x 2
y
SECCiÓN
3.3
Reglas para encontrar derivadas
115
Demostración Sea F(x) = f(x) + g(x). Entonces,
F'(x)
=
,
[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]
hm - - - - - - - - - - - - - h
h~O
= lím [f(X + h) - f(x) + _g(_X_+_h)_-_g_(X_)]
h
h~O
,
= hm
h~O
=
h
f(x + h) - f(x) ,g(x + h) - g(x) + hm - - - - - - h h~O h
f'(x) + g'(x)
Nuevamente, el penúltimo paso fue el paso crítico. Está justificado por el Teorema principal de límites parte 4. •
Operador lineal
El significado fundamental de la palabra lineal, como se utiliza en matemáticas es el dado en esta sección. Un operador L es lineal si satisface las dos condiciones clave: • L(ku) = kL(u) • L(u + v) = L(u) + L(v) Los operadores lineales desempeñan un papel central en el curso de álgebra lineal, que muchos lectores de esta obra cursarán.
Cualquier operador L con la propiedad establecida en los Teoremas D y E se denomina lineal; esto es, L es un operador lineal si para todas las funciones f y g:
1. L(kf) = kL(f), para toda constante k;
2. L(f + g) = L(f) + L(g) . Los operadores lineales aparecen una y otra vez en este texto; Dx es un ejemplo particularm~nte importante. Un operador lineal siempre satisface la regla de diferencia L(f - g) = L(f) - L(g), establecida en seguida para Dx-
Funciones de la forma f (x) = mx + b se denominan funciones lineales a consecuencia de su relación con líneas rectas. Esta terminología puede ser confusa, ya que no todas las funciones lineales son lineales, en el sentido de operadores. Para ver esto, observe que
f(kx) = m(kx) + b
EJEMPLO 1 Encuentrelasderivadasde5x2 + 7x - 6y4x6
mientras que
kf(x) = k(mx + b) Por lo que f(kx) que b sea cero.
La demostración del Teorema F se deja como ejercicio (véase el problema 54).
-=1=
-
3x5
-
10x2
+ 5x +
16.
Solución
kf(x), a menos
D x (5x 2 + 7x -
6)
=
D x (5x 2 + 7x) - DA6)
(Teorema F)
=
D x (5x 2 ) + DA7x) - DA6)
(Teorema E)
= 5D x (x 2 ) + 7DAx) - DA6)
(Teorema D)
= 5 . 2x + 7 . 1 + O
(Teoremas C, B, A)
= 10x + 7 Para encontrar la siguiente derivada, notamos que los teoremas de sumas y diferencias se extienden a cualquier número finito de términos. Así,
116
CAPíTULO
3
La derivada
D x(4x 6
-
3x 5
-
1üx2 + 5x + 16)
= D x(4x 6 )
-
D x(3x 5 )
-
D x(1üx 2 ) + DA5x) + DA16)
= 4D x(x 6 )
-
3D x(x 5 )
-
1ÜD x(x 2 ) + 5DAx) + DA16)
= 4(6x 5 ) = 24x5
-
-
3(5x4 ) 15x4
-
-
1ü(2x) + 5(1) +
Ü
2üx + 5
•
El método del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier polinomio. Si conocemos la regla de las potencias y hacemos que se vuelva natural, casi seguramente usted obtendrá resultados correctos. También, con la práctica, encontraremos que se puede escribir la derivada de manera inmediata, sin tener que escribir todos los pasos intermedios.
Reglas para el producto y el cociente Ahora tendremos una sorpresa. Hasta aquí, hemos visto que el límite de una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los límites. (Teoremas 2.6A, partes 4 y 5), el límite de un producto o de un cociente es el producto o el cociente de los límites (Teoremas 2.6A, partes 6 y 7) Yque la derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas (Teoremas E y F). Así, ¿qué podría ser más natural que tener que la derivada de un producto es el producto de las derivadas? Esto podría parecer natural, pero es erróneo. Para ver por qué, mírese el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 2 g(x) = x, h(x) = 1 + 2x y f(x) = g(x) . h(x) = x(1 + 2x). Encuentre Dxf(x), Dxg(x) Y Dxh(x), y muestre que Dxf(x) =1= [Dxg(x)][Dxh(x)J. Solución
Dxf(x) = DAx(1 + 2x)]
= Dx(x + 2x 2 )
= 1 + 4x Dxg(x) = Dxx = 1 Dxh (x) = Dx (1 + 2x) = 2 Obsérvese que mientras que
Dxf(x) = Dx[g(x)h(x)] = 1 + 4x Por tanto, Dxf (x)
=1=
[Dxg ( x )][Dxh(x )].
•
Que la derivada de un producto debe ser el producto de las derivadas parecía tan natural que incluso engañó a Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno de los descubridores del cálculo. En un manuscrito del 11 de noviembre de 1675, él calculó el producto de la derivada de dos funciones y dijo (sin verificarlo) que era igual a la derivada del producto. Diez días después, se dio cuenta del error e indicó la regla correcta para el producto, que presentamos como Teorema G.
SECCIÓN
Memorización
Algunas personas dicen que la memorización está pasada de moda, y que sólo el razonamiento lógico es importante en matemáticas. Están equivocadas. Algunas cosas, (incluyendo las reglas de esta sección) deben convertirse en una parte de nuestro aparato mental que puedan utilizarse sin detenerse a reflexionar. "La civilización avanza extendiendo el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar acerca de ellas." Alfred N Whitehead
3.3
Reglas para encontrar derivadas
117
Esta regla debe ser memorizada en palabras como sigue: La derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.
Demostración Sea F(x) = f(x)g(x). Entonces
F'(x) = h-.O lím
F(x + h) - F(x) h
/ f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) = hm - - - - - - - - - - - h
h-.O
/ f(x + h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x)g(x) =hm-------------------------h-.O h / [ g(x + h) - g(x) f(x + h) - f(X)] = l~ f(x + h) . h + g(x) . h / f( + h) 1/ g(x + h) - g(x) + ( ) 1/ f(x + h) - f(x) = 11m x . 1m g x • 1m h-.O h-.O h h-.O h
= f(x)g'(x) + g(x)f'(x) La deducción que se acaba de dar depende, primero del truco de sumar y resta la misma cosa, es decir, f(x + h)g(x). Segundo, casi al final, utilizamos el hecho de que
lím f (x + h) =
h-.O
f (x )
Esto es sólo una aplicación del Teorema 3.2A (que dice que la diferenciabilidad en un punto implica continuidad allí) y la definición de continuidad en un punto. •
EJEMPLO 3 Encuentre la derivada de (3x 2 - 5)(2x4 - x) mediante el uso de la regla del producto. Verifique su respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.
Solución
5)DA2x 4 - x) + (2x 4 - x)D x (3x 2 3 4 - 5)(8x - 1) + (2x - x)(6x) 2 3 5 2 - 3x - 40x + 5 + 12x - 6x 3 2 - 40x - 9 x + 5 Para verificar, primero multipliquemos y luego tomemos la derivada (3x 2 - 5)(2x4 - x) = 6x 6 - lüx4 - 3x 3 + 5x
DA(3x 2
-
5)(2x4
-
-
5)(2x4
-
x)] = = = =
(3x 2 (3x 2 24x 5 36x 5
-
-
5)
Así,
DA(3x 2
x)] = D x (6x 6 ) - D x (10x 4 ) - D x (3x 3 ) + DA5x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5
•
Le recomendamos ampliamente que lo memorice en palabras, como sigue: La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.
120
CAPíTULO
La derivada
3
GJ 57. Existen dos rectas tangentes a la curva y
2 = 4x - x que pasan por el punto (2,5). Encuentre las ecuaciones de ambas. Sugerencia: Sea (x o , Yo) un punto de tangencia. Determine dos condiciones que debe satisfacer (x o , Yo) . Véase la figura 4.
Figura 5 x y= 4x - x 2
Figura 4
GJ 58. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva Y = x 2• Cuando ella apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella esté en ese momento. ¿En qué momento debe apagar los motores para que alcance el punto (4, 15)?
GJ 59. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de
en A. Demuestre que el triángulo AOP es isósceles y determine su área. 61. El radio de una sandía esférica está creciendo a una velocidad constante de 2 centímetros por semana. El grosor de la cáscara siempre es la décima parte del radio. ¿Qué tan rápido está creciendo el volumen de la cáscara al final de la quinta semana? Suponga que el radio inicialmente es cero.
rn 62. Vuelva a resolver los problemas del 29 al 44 en una computadora y compare su respuesta con las obtenidas de forma manual.
2
la parte superior de la curva Y = 7 - x (véase la figura 5). Una araña espera en el punto (4, O). Determine la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. 60. Sea P( a, b) un punto, en la parte del primer cuadrante, de la curva Y = l/x y suponga que la recta tangente en P intersecta al eje x
3.4 Derivadas de funciones trigonométricas y
(1,0)
x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. la derivada de la segunda; segunda; f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x) 2. denominado, denominador; cuadrado del denominador; [g(x)Dxf(x) - f(x)Dxg(x) Jj g2(X) 3. nx n -1 h; nx n -1 4. kL(f); L(f) + L(g); Dx
Nuestro mundo moderno corre sobre ruedas. Las preguntas acerca de ruedas que giran y velocidades de puntos sobre ellas conducen de manera inevitable al estudio de senos y cosenos y sus derivadas. Otros fenómenos periódicos que están relacionados con senos y cosenos son el clima y las mareas. Para preparar este estudio, sería adecuado revisar las secciones 2.3 y 2.7. La figura 1 nos recuerda la definición de las funciones seno y coseno. En lo que sigue, t debe considerarse como un número que mide la longitud de un arco en el círculo unitario o, de forma equivalente, como el número de radianes en el ángulo correspondiente. Por tanto,f(t) = sen t y g(t) = cos t son funciones cuyo dominio y rango pertenece al conjunto de números reales. Podemos considerar el problema de determinar sus derivadas.
Fórmulas de las derivadas Elegimos utilizar x en lugar de t como nuestra variable básica. Para determinar DxCsen x), apelamos a la definición de la derivada y utilizamos la identidad de suma de ángulos para sen (x + h).
DAsenx) = h~O lím ,
Figura 1
= 11m
sen(x + h) - senx h senxcosh + cosxsenh - senx
h .
h~O
= lím ( -senx h~O
senh) 1 - cosh + cosx-h h
= (-sen x)!~ [
1 - cos h
h]
+ (cos x)
[,!1!!6 -hsen h]
Obsérvese que los dos límites en esta última expresión son exactamente los límites estudiados en la sección 2.7. En el Teorema 2.7B demostramos que
SECCIÓN
3.4
Derivadas de funciones trigonométricas
lím sen h = 1 Y h----+O
lím
h
h----+O
121
1 - cos h O = h
Por consiguiente, DAsen x)
= (-sen x) . O + (cos x) . 1 = cos x
De manera análoga, DAcosx) = lím
cos(x
+
h) - cosx h
h----+O
¿Podría haber adivinado?
cos x cos h - sen x sen h - cos x h
=lím-------------
La curva con línea continua es la gráfica de y = sen x. Observe que la pendiente es 1 en O, Oen 1T/2, -1 en 1T y así sucesivamente. Cuando graficamos la función de las pendientes (la derivada), obtenemos la curva con línea discontinua. ¿Podría adivinar que D xsen x = cos x?
h----+O
=
lí.!R ( -cos x 1 -
sen h ) cos h h - sen x -h-
= (-cos x) . O - (sen x) . 1 = -sen x Resumimos estos resultados en un teorema importante.
Trate de graficar estas dos funciones en la misma ventana en su CAS o en su calculadora gráfica.
EJEMPLO 1 Encuentre D x (3 sen x - 2 cos x).
Solución DA 3 sen x - 2 cos x) = 3 DA sen x) - 2 DA cos x)
= 3 cos x + 2 sen x
•
EJ EM PLO 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 3 sen 2x en el punto (7T /2, O) (véase la figura 2).
y
Solución Necesitamos la derivada de sen 2x; desafortunadamente, en este momento sólo sabemos cómo determinar la derivada de sen x. Sin embargo, sen 2x = 2 sen x cos x. Por tanto, DA3 sen 2x) = D x (6 sen x cos x)
= 6 DA sen x cos x) = 6[senx DAcosx) + cosx DAsenx)] y
Figura 2
-' sen 2x
= 6[ (sen x)( -sen x) + cos x cos x] = 6[cos 2 X
-
sen 2 x ]
= 6 cos2x En x = 7T /2, esta derivada tiene el valor de -6, que por tanto es la pendiente de la recta tangente deseada. La ecuación de esta recta es
• EJEMPLO 3 Considere una rueda de la fortuna de radio de 30 pies, que está girando en contra del sentido de las manecillas del reloj, con una velocidad angular de 2 radianes por segundo. ¿Con qué rapidez se eleva (en dirección vertical) un asiento que está en el borde de la rueda, cuando éste se encuentra a 15 pies del eje horizontal que pasa por el centro de la rueda?
Solución Podemos suponer que la rueda tiene centro en el origen y que el asiento P estaba en (30, O) en el instante t = O(ver figura 3). Así, en el instante t, P se ha movido
122
CAPíTULO
La derivada
3 y
un ángulo de 2t radianes, de modo que tiene coordenadas (30 cos 2t, 30 sen 2t). La tasa a la cual P está elevándose es justo la derivada de la coordenada vertical 30 sen 2t medida en un valor apropiado de t. Por el ejemplo 2,
DA30 sen 2t) = 60 cos 2t no. O)
x
La t apropiada para evaluar esta derivada es t = 1T/12, ya que 30 sen (2 . 1T/12) = 15. Concluimos que en t = 1T /12 el asiento P está elevándose a 60 cos ( 2 .
~)
= 60 \13/2 '" 51.96 pies por segundo
•
Una vez que conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, las derivadas de las otras funciones trigonométricas pueden encontrarse aplicando la regla del cociente. Los resultados se resumen en el Teorema B. Para demostrarlo pueden consultarse los problemas 5 al 8.
Figura 3
Revisión de conceptos 1. Por definición, D xC sen x) = lím
y
Los dos límites mostrados tienen los valores respectivamente.
_
h-+O
.
2. Para evaluar el límite en la proposición anterior, primero utilizamos la identidad de la suma de ángulos para la función seno y luego aplicamos un poco de álgebra para obtener
3. El resultado del cálculo en la proposición anterior es la impor. La correspondiente tante fórmula de la derivada D xC sen x) = se obtiene de manera fórmula para la derivada D xC cos x) = análoga.
' sen h ) ' 1 - cos h ) DAsenx) = (-senx) ( l1!!1 h + (cosx) (l1!!1-h-
4. En x = 7T /3, DA sen x) tiene el valor . Por tanto, la ecuación de la recta tangente a y = sen x en x = 7T /3 es _
Conjunto de problemas 3.4 En los problemas del] al]4, encuentre DxY.
1. y
=
2 sen x + 3 cos x
2. y
=
2
sen x
3. y = sen x + cos x
4. y = 1 - cos 2 X
5. Y
6. y
2
2
=
secx
=
l/cosx
=
cscx
=
l/senx
senx 7. Y = tan x = - cosx
cosx 8. Y = cot x = - senx
9. Y = senx + cosx cosx
senx + cosx 10. y = - - - - tan x
2
11. Y = x cos X
12. y =
xcosx + senx 2
X 2
13. Y = tan x
14. Y
= sec
3
+1
x
W
15. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cos x en x=1. 16. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cot x en 7T
x
=4'
17. Considere la rueda de la fortuna del ejemplo 3. ¿Con qué velocidad se mueve horizontalmente el asiento en el borde de la rueda cuando t = 7T/ 4 segundos (p. ej., cuando el asiento aicanza la parte más alta de la rueda)? 18. Una rueda de la fortuna de 20 pies está girando en contra del sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular de 1 ra-
dián por segundo. Un asiento en el borde de la rueda está en (20, O) en t = O. (a) ¿Cuáles son sus coordenadas en t = 7T/6? (b) ¿Qué tan rápido se está ascendiendo (verticalmente) en t = 7T/6? (c) ¿Qué tan rápido está ascendiendo (verticalmente) cuando se eleva a la velocidad máxima?
19. Encuentre la ecuación de la recta a y = tan x en x = O. 20. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = tan 2 x, en donde la recta tangente sea horizontal.
21. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y en donde la recta tangente sea horizontal.
=
9 sen x cos x,
22. Sea f( x) = x - sen x. Encuentre todos los puntos en la gráfica dey = f(x), en donde la recta tangente sea horizontal. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = f(x) en donde la recta tangente tenga pendiente 2.
23. Demuestre que las curvas y = v2 sen x y y = v2 cos x se intersectan en ángulo recto en cierto punto con < x < 7T /2.
°
24. En t segundos, el centro de un corcho que se balancea está 2 sen t centímetros arriba (o abajo) del nivel del agua. ¿Cuál es la velocidad del corcho en t = 0, 7T /2, 7T? 25. Utilice la definición de la derivada para demostrar que D x( sen x 2 ) = 2x cos x 2 • 26. Utilice la definición de la derivada para demostrar que DAsen 5x) = 5 cos 5x.
SECCIÓN
27. Sea X o el menor valor positivo de x en el que las curvas y = sen x y y =sen 2x se intersectan. Encuentre X o y también el ángulo agudo que forman las dos curvas al intersectarse en Xo (véase el problema 40 de la sección 2.3). 28. Un triángulo isósceles está coronado por un semicírculo, como se muestra en la figura 4. Sea D el área del triángulo AOB y E el área de la región sombreada. Determine una fórmula para DIE en términos de t y después calcule
, D , D hm-yhmE t~7r- E
t~O+
3.5
La regla de la cadena
123
[§g Los problemas 29 y 30 son ejercicios para computadora o calculadora gráfica.
29. Sea f(x) = x sen x. (a) Dibuje las gráficas de f(x) y de f'(x) en [7T, 67T J. (b) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = O en [7T, 67T J? ¿Cuántas soluciones tiene f'(x) = O en este intervalo? (c) En la siguiente conjetura, ¿qué es incorrecto? Si f y f' son funciones continuas y diferenciables en [ a, bJ, si f (a) = f (b) = O, Y si f (x) = Otiene exactamente n soluciones en [a, bJ, entonces f' (x) = Otiene exactamente n - 1 soluciones en [a, bJ. (d) Determine el valor máximo de If(x) - f'(x)1 en [7T, 67T J. 30. Seaf(x) = cos3 x - 1.25 cos2 x + 0.225. Encuentref'(xo) en el punto X o en [7T/2, 7TJ donde f( x o) = o.
A
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. [sen (x + h) sen x ]/h 2. O; 1 3. cos x; -sen x 4. y - V3ji = +(x - 7T/3)
+;
o Figura 4
3.5
Imagínese tratando de encontrar la derivada de
La regla de la cadena
F(x) = (2x 2
-
4x
+ 1)60
Podríamos encontrar la derivada, pero primero tendríamos que multiplicar los 60 factores cuadráticos de 2x 2 - 4x + 1 y después derivar el polinomio resultante. O qué hay de tratar de encontrar la derivada de G(x) = sen 3x
Podríamos ser capaces de utilizar algunas identidades trigonométricas para reducirla a algo que dependa de sen x y cos x, y usar después las reglas de la sección anterior. Por fortuna, existe un método mejor. Después de aprender la Regla de la Cadena, seremos capaces de escribir las respuestas F'(x) = (2x 2
-
4x
+ 1)59(4x - 4)
y
G'(x) = 3 cos 3x
La regla de la cadena es tan importante que rara vez usted derivará alguna función sin utilizarla. Para establecer la regla de manera apropiada, necesitamos enfatizar el significado de x en nuestra notación D X"
La notación Dx El símbolo DxY significa la derivada de y con respecto a x; indica qué tan rápido está cambiando y con respecto a x. El subíndice x indica que x está siendo considerada como la variable básica. Así, si y = S2 x 3 , podemos escribir DxY = 3s 2 x 2
y DsY = 2sx 3
En el primer caso, s es tratada como una constante y x es la variable básica; en el segundo caso, x es constante y s es la variable básica. El ejemplo siguiente es más importante. Suponga que y = u 60 y U = 2x2 4x + 1. Entonces DuY = 60U 59 y Dxu = 4x - 4. Pero obsérvese que cuando sustituimos u = 2x 2 - 4x + 1 en y = u 60 , obtenemos y = (2x 2
-
4x
+ 1)60
de modo que tiene sentido preguntar por DxY. ¿Cuál es DxY y cómo está relacionada con DuY y Dxu? Con mayor generalidad, ¿cómo derivamos una función compuesta?
124
CAPíTULO
3
La derivada
Derivada de una función compuesta Si David puede mecanografiar dos veces más rápido que María y María puede mecanografiar tres veces más rápido que Jack, entonces David puede mecanografiar 2 . 3 = 6 veces más rápido que Jack. Las dos velocidades se multiplican. Considere la función composición y = f(g( x)). Puesto que una derivada indica una tasa de cambio, podemos decir que y cambia D u y veces tan rápido como u
u cambia D x u veces tan rápido como x Parece razonable concluir que
y cambia D u y . D x u veces tan rápido como x Este hecho, en realidad, es cierto y sugerirá una demostración formal en la sección siguiente. El resultado se denomina la Regla de la Cadena.
Puede recordar la regla de la cadena de esta manera: La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.
Aplicaciones de la regla de la cadena 4x + 1 )60 introducido al inicio de esta sección. EJEMPLO 1 Siy = (2x 2
Solución
Empezamos con el ejemplo (2x 2
-
4x + 1)60, encuentre DxY.
-
Consideramos a y como la sexagésima potencia de una función de x; esto es, y
La función exterior es u
60
= u 60
y
U
= 2x 2
y la función interna es 2x
2
+1 4x + 1. Por tanto,
4x
-
DxY = DuY . Dxu
= (60U 59 )( 4 x - 4) =60(2x 2 -4x+1)59(4x-4)
EJEMPLO 2
Solución
•
Si Y = 1j(2x5 - 7)3, encuentre DxY.
Considérelo de esta manera. u = 2x 5
-
7
Así, DxY = DuY . Dxu = (- 3u-4 )( lOx 4 )
= -34 . lOx 4 u
•
126
CAPíTULO
3
La derivada
D x sen 3 (4x) = 3[sen(4x)Y-l D x sen(4x)
= 3[sen(4x)]2cos(4x)DA4x) = 3[sen ( 4x) ]2 cos ( 4x)4 = 12 cos ( 4x) sen2 ( 4x)
•
EJ EM PLO 6 Encuentre D x sen [cos (x 2 ) ]. Solución
D x sen [cos ( x 2)]
=
cos [cos ( x 2)] . [-sen ( x 2)] . 2x
= -2x sen (x 2) cos [cos (x 2)]
•
EJEMPLO 7 Conforme el Sol se oculta atrás de un edificio de 120 pies de altura, la sombra del edificio crece. ¿Qué tan rápido está creciendo la sombra (en pies por segundo) cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 7T/4? (Véase la figura 1.)
..-----x----
Figura 1
Sea x la longitud de la sombra, en pies, y sea 8 el ángulo de los rayos del Sol. Denótese con t el tiempo medido en segundos. Entonces x es una función de 8, 8 es una función de t. Estamos pidiendo encontrar Dtx. Con base en la figura 1, vemos que x = 120 cot 8, y como la Tierra da una vuelta cada 24 horas, es decir, cada 86,400 segundos, tenemos D t 8 = - 27T/86,400. ( El signo negativo se utiliza ya que 8 disminuye conforme el Sol se oculta.) Utilizando la regla de la cadena y la regla para la derivada de la cotangente (Teorema 3.4B), tenemos
Solución
27T) = 120(-csc2 8) ( - 86,400
_ 7T 2 - 360 csc 8 Cuando 8 = 7T/ 4, tenemos 7T
7T pie ~ 0.01754 s
Dtx = -6 csc 2 3 O
Obsérvese que cuando el Sol se oculta, 8 está disminuyendo (de aquí que, D t 8 sea ne• gativa), mientras que la sombra x está creciendo (por lo que, Dtx es positiva).
SECCIÓN
3.5
127
La regla de la cadena
Revisión de conceptos 1. Si Y = f(u), donde u = g(t), entonces Dty = DuY . En notación de funciones, (f o g)' (t) =
_ _ _o
3. Dxcos[(¡(X))2] = -sen( ) . D x( = (2x + 1)3 sen(x 2), entonces DxY
4. Si Y
o
2. Siw = G(v),dondev = H(s),entoncesD5 w = Dsv.Ennotacióndefunciones (G o H)'(s) =
_ _
).
= (2x + 1)3 .
_ _ _ + sen(x2) . - - -
Conjunto de problemas 3.5 En los problemas del] al 22, encuentre DxY. 1.y=(1+x)15 3. y
= (3 -
2X)5 2x 2
(x 5 -
5x 3
5. y = (x 3 6. Y
=
7. Y = (x 3
8. Y = (x
r
+ 3x + 1)11 + 1TX + 1)101 2 2x + 3x + 1) 111 x + 1)-7
-
2 -
= (x + 3)5
11. Y = sen (x 2
+ x)
13. Y = cos3 X X
+ 1)3
=
17. Y
= cos ( x + 2
=
1 (3x 2 + x - 3) cos(3x 2 - 2x)
9
=
(x - 2 )-3 X-1T
3X2 )
(x
12. Y
16. y
x - 1
19. Y = (3x - 2)2(3 21. Y =
=
14. y = sen4 (3x 2)
15. Y
(
10. Y
=
18. Y X 2 )2
+ 1)2
20. y =
COS3(~) 1-x (2 -
3x2 t(X7
+ 3)3
2x - 3 22 Y = - - -
3x - 4
(x 2 + 4)2
.
=( x 2 + 1)3
(x + 1)2 en (1,32).
2.y=(7+x)5 4. Y = (4 + 2x2
1
9. Y
41. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y 4
42. Un punto P está moviéndose en el plano de modo que sus coordenadas después de t segundos son (4 COS 2t, 7 sen 2t), medidas en pies. (a) Demuestre que P está siguiendo una trayectoria elíptica. Sugerencia: Demuestre que (X/4)2 + (y/7)2 = 1, que es una ecuación de una elipse. (b) Obtenga una expresión para L, la distancia de P al origen en el instante t. (c) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre P y el origen cuando t = 1T/8? Necesitará el hecho de que Du(-V;¡) = 1/(2-V;¡) (véase el ejemplo 4 de la sección 3.2). 43. Una rueda con centro en el origen y de radio 10 centímetros gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad de 4 revoluciones por segundo. Un punto P en el borde está en (10, O) cuando t = O. (a) ¿Cuáles son las coordenadas de P después de t segundos? (b) ¿A qué velocidad se está elevando (o descendiendo) P en el instante t = 1? 44. Considere el dispositivo rueda-pistón de la figura 2. La rueda tiene radio de 1 pie y gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a 2 radianes por segundo. La varilla conectada tiene 5 pies de longitud. El punto P está en (1, O) cuando t = O.
En los problemas del 23 al 28, encuentre la derivada que se indica. 23. D t (
25. Dt ( 27. D x (
3t - 2)3 ---r+s (3t-2)3) t
+5
senx 2
)3
28. D t[senttan(t 2 + 1)]
cos x
En los problemas del 29 al 32, evalúe la derivada que se indica. 2 29. f'(3) sif(x) = (x + 1)3 x+2
30. G'(l) siG(t)
=
(t 2
+ 9)3(t 2
-
2t
2
W 31. F' (1) si F (t) = sen (t + 3t + 1) 32. g'(!)sig(s) = cos1Tssen2 1Ts
(l.0)
En los problemas del 33 al 40, aplique la regla de la cadena más de una vez (véase los ejemplos 5 y 6) para encontrar la derivada que se indica. 34. D [ cos5 (4t - 19)] 33. DA sen4 ( x 2 + 3x)] t
(~ =~) ]
35. D t [ sen3(cos t)]
36. Du [ cos
37. D e[ cos4 (sen (P) ]
38. DA x sen 2(2x)]
39.
DA sen [cos (sen 2x) ]}
4
40. D t { cos2[COS (cos t)]}
x
Figura 2
(a) Encuentre las coordenadas de P en el instante t. (b) Encuentre la ordenada (coordenada y) de Q en el instante t (la abscisa siempre es cero). (c) Determine la velocidad de Q en el instante t. Necesitará el hecho de que DuCVu) = 1/(2 Vil).
132
CAPíTULO
3
La derivada
27. Suponga que f(3) Calcule cada valor.
= 2,f'(3) = -1, g(3) = 3 Y g'(3) = -4.
(a) (f + g)'(3)
(b) (f' g)'(3)
(c) (fjg)'(3)
(d) (f o g)'(3)
35. Suponga que fes diferenciable y que existen puntos Xl y X 2 talesquef(x l ) = x 2 yf(x2 ) = xl·Seag(x) =f(f(f(f(x)))). Demuestre que g' (Xl) = g' (x 2).
36. Sea f (X) =
28. Sif(2) = 4,f'(4) = 6y['(2) = -2, calcule cada valor. (a) :x [t(x)]3 enx
=2
(b) :x
[¡!X)] enx = 2
X2
{
l. sen- SI X =F O X
O
si X
=O
(a) Encuentre [' (x) para x ::¡t Outilizando las reglas de las derivadas.
(c) (f o f)'(2)
(b) Encuentre [' (O) a partir de la definición de la derivada.
Los problemas 29 y 30 hacen referencia a las gráficas de las figuras 3 y 4.
(c) Demuestre que ['(x) es discontinua en
X
=
o.
W
37. El horario y el minutero de un reloj son de 6 y 8 pulgadas de longitud, respectivamente. ¿Qué tan rápido se están separando las manecillas a las 12:20 (véase la figura 5)? Sugerencia: Ley de los cosenos.
y
x
Figura 3
.v
Figura 5
¡
2
3
4
5
6
G [§g 38. Encuentre el tiempo aproximado entre las 12:00 y la 1:00
x
cuando la distancia s entre las puntas de las manecillas del reloj de la figura 5 está aumentando más rápidamente, esto es, cuando la derivada ds j dt es mayor.
Figura 4
29. Encuentre de manera aproximada cada valor. (a) (f + g)'(4)
(b) (f o g)' (6)
39. Proporcione una segunda demostración de la regla para el cociente. Escriba
30. Encuentre de manera aproximada cada valor. (a) (f j g )'(2)
(b) (g o f)'(3)
31. Cada arista de un cubo está aumentando a una velocidad constante de 16 centímetros por minuto. (a) Encuentre la velocidad a la que el volumen del cubo aumenta en el instante cuando la arista mide 20 centímetros. (b) Encuentre la velocidad a la que el área de la superficie total del cubo está aumentando en el instante cuando la arista es de 15 centímetros. [;] 32. Los barcos A y B parten del origen al mismo tiempo. El barco A viaja con rumbo este a una velocidad de 20 millas por hora y el barco B viaja con rumbo norte a la velocidad de 12 millas por hora. ¿Qué tan rápido se están separando después de 3 horas? ¿Después de 6 horas? 33. ¿En dónde intersecta al eje x la recta tangente a la curva
y=x2sen2(x2)enx=
E? '12'
34. La carátula de un reloj común tiene un radio de 10 centímetros. Un extremo de una cuerda elástica se sujeta al borde en el12 y el otro extremo a la punta del minutero, que es de 10 centímetros de longitud. ¿A qué velocidad se está estirando la cuerda a las 12:15 (suponiendo que el reloj no se retrasa debido a este estiramiento)?
f(X))
D r ( g(x)
(
1)
= Dx f(x) g(x)
y utilice la regla para el producto y la regla de la cadena. ~
40. Suponga que f es una función diferenciable.
d (a) Encuentre dx f(¡(x)).
d (b) Encuentre dx f(¡(¡(x))).
d (e) Encuentre dx f(¡(¡(¡(x)))).
(d) Denótese con f[n J a la función definida como sigue f[1J = f y f[n J = f o f[n~ 1J para n ::::: 2.Porlo que,f[2 J = f o f,f[3] = f o f o f, y así sucesivamente. Con base en sus resultados de las partes (a) a la (c), haga una conjetura considerando: f[nJ(x). Demuestre su X conjetura.
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. incremento; !J.yj!J.x; dy du 4. dw dt ds dyjdx 2. ['(x); DxY; dyjdx 3. du dx dt ds dr
136
CAPíTULO
3
La derivada
Problemas sobre la caída de cuerpos Si un objeto se lanza directamente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura inicial de So pies, con una velocidad inicial V o pies por segundo y si S es su altura por arriba del piso en pies, después de t segundos, entonces v = Vo en t = O
s
= -16t2 + vot +
So
Esto supone que el experimento se lleva a cabo cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. El diagrama en la figura 4 describe la situación que tenemos en mente. Obsérvese que velocidad positiva significa que el objeto está moviéndose hacia arriba. EJEMPLO 4 Desde lo alto de un edificio, de 160 pies de altura, se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo.
(a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? (b) ¿Cuál es su altura máxima? (c) ¿Cuándo llega al piso?
Figura 4
(d) ¿Con qué velocidad llega al piso? (e) ¿Cuál es su aceleración en t = 2? Suponga que t = O corresponde al instante cuando la pelota fue lanzada. Entonces So = 160 YV o = 64 (vo es positiva ya que la pelota se lanzó hacia arriba). Así,
Solución
S
= -16t 2 + 64t + 160
v
= - = - 32t + 64
ds dt
dv dt
a = - = -32
(a) La pelota alcanzó su altura máxima en el instante en que su velocidad fue cero, esto es, cuando - 32t + 64 = O o cuando t = 2 segundos. (b) En t = 2, S = -16(2)Z + 64(2) + 160 = 224 pies. (c) La pelota llega al piso cuando s = 0, esto es, cuando -16t 2 + 64t + 160 = Dividiendo entre -16 se obtiene t2
El libro de la naturaleza
"El gran libro de la naturaleza siempre permanece abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en éL ... Pero no podemos leerlo a menos que primero hayamos aprendido el lenguaje de los caracteres en los cuales está escrito .... Está escrito en lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas." Galileo Galilei
-
°
4t - 10 = O
Entonces, la fórmula cuadrática da t = 4
±
V16 + 40 = 4
2
± 2 Vi4
= 2
± Vi4
2
Sólo tiene sentido la respuesta positiva. Así, la pelota llega al piso en t = 2 + Vi4 = 5.74 segundos. (d) Ent =2 + Vi4,v =-32(2 + Vi4) +64 ~-119.73.Así,lapelotallegaal piso con una rapidez de 119.73 pies por segundo. (e) La aceleración siempre es - 32 pies por segundo por segundo. Ésta es la aceleración debida a la gravedad cerca del mar. _
Modelación matemática Galileo pudo haber tenido razón al afirmar que ellibro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático. Ciertamente, la empresa científica parece, en gran medida, un esfuerzo por demostrar que él estaba en lo cierto. La tarea de tomar un fenómeno físico y representarlo en símbolos matemáticos se denomina modelación matemática. Uno de sus elementos básicos es traducir la descripción en palabras al lenguaje matemático. Hacer esto, en especial en conexión con
SECCIÓN
3.7
Derivadas de orden superior
137
tasas de cambio, se volverá cada vez más importante conforme avancemos. A continuación están algunos ejemplos sencillos.
Descripción en palabras
Modelo matemático Si V denota el volumen del agua en el instante t,
De un depósito cilíndrico está saliéndose agua a una razón proporcional a la profundidad del agua.
dV
entonces = -kh. dt
Una rueda está girando a una velocidad constante de 6 revoluciones por minuto, esto es, 6(27T) radianes por minuto.
dO
-
dt
= 6(27T)
Si m denota la masa de los x centímetros de la izquierda del alambre, dm entonces = 2x. dx
La densidad (en gramos por centímetro) de un alambre en un punto es igual al doble de su distancia al extremo izquierdo.
La altura de un árbol continúa aumentando pero a una razón cada vez más lenta.
dh
h
d2 h
->0-< 0 dt ' dt 2
ti
ti
=/(1)
Figura 5 p
Figura 6
El uso del lenguaje matemático no está limitado a las ciencias físicas, también es apropiado en las ciencias sociales, en especial en economía. EJEMPLO 5 Una agencia de noticias reportó en mayo de 1998 que el desempleo en Asia oriental continuaba en aumento a una tasa creciente. Por otra parte, el precio de los alimentos estaba aumentando, pero a una tasa más lenta que antes. Interprete estos enunciados en lenguaje matemático. Solución Sea u = J(t) el número de personas desempleadas en el instante t. Aunque, en realidad, u salta por valores enteros, seguiremos la práctica común de representar a u por medio de una curva suave como en la figura 5. Decir que el desempleo está aumentando equivale a decir duldt > O. Decir que está aumentando a una tasa creciente equivale a decir que la función duldt está aumentando; pero esto significa que la derivada de duldt debe ser positiva. Así, d 2 uldt 2 > O. En la figura 5, obsérvese que la pendiente de la recta tangente aumenta cuando t aumenta. De manera análoga, si p = g( t) representa el precio de los alimentos (e.g., el costo común de los abarrotes de un día para una persona) en el instante t, entonces dp Idt es positiva pero disminuye. Así, la derivada de dp Idt es negativa, de modo que d 2 pi dt 2 < O. En la figura 6, obsérvese que la pendiente de la recta tangente disminuye conforme t aumenta. •
Revisión de conceptos 1. Si Y = f(x), entonces la tercera derivada de y con respecto a x puede denotarse por cualquiera de los siguientes tres símbolos . 2. Si s = f(t) denota la posición de una partícula en un eje coordenado en el instante t, entonces su velocidad está dada por _ _ _, su rapidez está dada por y su aceleración está dada por '
3. Suponga que un objeto se lanza directamente hacia arriba de modo que su altura s en el instante t está dado por s = f(t). El objeto alcanza su altura máxima cuando ds/dt = _ después del cual ds / dt . 4. Si la cantidad W de agua en un tanque en el instante t está aumentando pero a una velocidad cada vez más lenta, entonces dW /dt es y d 2 W /dt 2 es .
142
CAPíTULO
3
La derivada
También satisface x 2 + y2 = 25, ya que x 2 + [h( x) J2 = 25. Pero, ni siquiera es continua en x = 3, de modo que en realidad no tiene derivada allí (véase la figura 3). Aunque el tema de funciones implícitas conduce a preguntas técnicas difíciles (tratadas en cálculo avanzado), los problemas que estudiamos tienen soluciones directas.
y
.--T-__
x
Más ejemplos En los siguientes ejemplos, suponemos que la ecuación dada determina una o más funciones derivables cuyas derivadas puede obtenerse por medio de la derivación implícita. Obsérvese que en cada caso empezamos tomando la derivada, con respecto de la variable apropiada, de cada lado de la ecuación. Después utilizamos la regla de la cadena, cuando sea necesario. EJEMPLO 2 Encuentre dyldx, si x 2 + 5i = x + 9. Solución
.1'=
h(x)
d
d
- (x 2 + 5y 3) = - (x dx dx
Figura 3
2x
dy = 1 dx
+ 15 y 2 dy dx
EJ EM PLO 3
+ 9)
1 - 2x
•
15 y 2
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
y3 -
X
y2 + cos x y = 2
en el punto (O, 1).
Solución Por simplicidad, usamos la notación y' para dy I dx. Cuando derivamos ambos lados e igualamos los resultados, obtenemos
3y2y' - x(2yy') - y2 - (senxy)(xy' + y) =
°
y'(3 y 2 - 2xy - x senxy) = y2 + y senxy y2 + y senxy y' = - - - - - - - - 3y 2 - 2xy - x senxy En (O, 1), y'
= ~ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (O, 1) es y-l=~(x-O)
o
• Otra vez la regla para la potencia Hemos aprendido que Dx(x n) = nxn~l, donde n es cualquier entero. Ahora extendemos esto para el caso en donde n es cualquier número racional.
Demostración Como r es racional, r puede escribirse como piq, donde p y q son enteros con q > O. Sea
Entonces
144
CAPíTULO
3
La derivada
33. Si s2t + t3 = 1, encuentre ds/dt y dt/ds.
+ 2x 3 ,encuentredx/dy. 35. Dibuje la gráfica del círculo x 2 + 4x + y2 + 3
34. Siy = sen(x 2 )
= O, Y luego encuentre ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen.
36. Determine la ecuación de la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente) a la curva 8( x 2 + y2)2 = 100( x 2 y2) en (3, 1). 37. Suponga que xy + y3 = 2. Entonces, derivando implícitamente dos veces con respecto a x, se obtiene, por pasos: (a) x y' + y + 3 y2 y' = O; (b) xy" + y' + y' + 3y2 y" + 6y(y')Z = O. Despeje y' de (a) y sustituya en (b) y después despeje a y". 38. Encuentre y", si x 3 - 4y 2 + 3 = O(véase el problema 37). 39. Encuentre y" en (2, 1), si 2x 2 y - 4y3 = 4 (véase el problema 37). 40. Utilice derivación implícita dos veces para encontrar y" en (3,4), si x 2 + y2 = 25. 41. Demuestre que la recta normal a x 3 + y3 = 3xy en (~ , ~) pasa por el origen. 42. Demuestre que las hipérbolas xy = 1 Y x 2 - y2 = 1 ,se intersectan en ángulos rectos. 43. Demuestre que las gráficas de 2x 2 + y2 = 6 y2 = 4x se intersectan en ángulos rectos. 44. Suponga que las curvas C I y C 2 se intersectan en (x o, Yo) con pendientes m I y n120 respectivamente, como se muestra en la figura 4. Entonces (véase el problema 40 de la sección 2.3) el ángulo positivo ede C l (p. ej., desde la recta tangente a C I en (x o, Yo)) a Cz satisface tanO
m2 - m i
Encuentre los ángulos del círculo x 2 + y2 = 1 al círculo (x 1)2 + y2 = 1 en los dos puntos de intersección. 45. Encuentre el ángulo de la recta y = 2x a la curva x 2 -
xy + 2y2 = 28 en su punto de intersección en el primer cuadrante (véase el problema 44). 46. U na partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x de modo que su posición x y velocidad v = dx/dt satisfacen
m(v2
-
vó) = k(X6 - x2 )
donde vo, X o y k son constantes. Demuestre por medio de derivación implícita que dv m~ =-kx dt siempre que v *- O. 47. La curva x 2 - xy + y2 = 16 es una elipse con centro en el origen y con la recta y = x como su eje mayor. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos en donde la elipse intersecta al eje x. 48. Encuentre los puntos sobre la curva x 2y - xy2 = 2 en donde la recta tangente es vertical, esto es, en donde dx/dy
=
O.
GJ
49. ¿A qué altura, h, debe estar el foco de la figura 5, si el punto (1.25, O) está en el borde de la región iluminada?
Foco
h
y
=~~~~
1
+ m l m2
(1.25, O) -2
x
Figura 5
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 9/ (x 3 - 3) 2. 3/ ~~ dy 2 dy dy p 3. x . 2y dx + / + 3y - - = 3x 2 4. - x p / q - I ; Hx 2 dx dx q.r
Figura 4
3.9 Tasas de cambio relacionadas
Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de tasas de cambio: la tasa a la cual el agua fluye a un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la tasa a la cual el valor de una propiedad está aumentando, etcétera. Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido. Puede ser que, en lugar de conocer a y de manera explícita en términos de t, conozcamos una relación que une a y y a otra variable x, y que también conozcamos algo acerca de dx/dt. Aún podemos ser capaces de encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt
SECCiÓN
3.9
Tasas de cambio relacionadas
145
son tasas de cambio relacionadas (O razones afines). Por lo regular, esto requiere derivación impiícita. t
Dos ejemplos sencillos En la preparación de un procedimiento sistemático para la resolución de problemas con tasas de cambio relacionadas, estudiamos dos ejemplos.
= 16
1=8
¿/]~
t=4
Figura 1
150
Figura 2
EJEMPLO 1 Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura? (Suponga que el globo se suelta desde el nivel del piso.) Solución Sea t el número de segundos contados a partir de que se suelta el globo. Sea h la altura del globo y s su distancia al observador (véase la figura 1). Tanto h como s son variables que dependen de t; sin embargo, la base del triángulo (la distancia desde el observador al punto de lanzamiento) permanece sin cambio conforme t aumenta. La figura 2 muestra las cantidades clave en un diagrama simple. El Antes de avanzar, recordemos un tema estudiado antes en el libro, estimación de la respuesta. Obsérvese que, al inicio, s casi no cambia (ds / dt ~ O), pero eventualmente s cambia casi tan rápido como cambia h (ds/dt ~ dh/dt = 8). Una estimación de ds/dt cuando h = 50 podría se alrededor de un tercio o un medio de dh/dt, o 3. Si obtenemos una respuesta alejada de este valor, sabremos que hemos cometido un error. Por ejemplo, respuesta tales como 17 o aun 7, obviamente son incorrectas. Continuemos con la solución exacta. Para enfatizar, preguntamos y respondemos tres preguntas fundamentales. (a) ¿Qué está dado? Respuesta: dh/dt = 8. (b) ¿Qué queremos conocer? Respuesta: Queremos conocer ds/dt en el instante en que h = 50. (c) ¿Cómo están relacionadas s y h? Las variables s y h cambian con el tiempo (son funciones implícitas de t), pero siempre están relacionadas por medio de la ecuación pitagórica S2 = h 2 + (150)2
Si derivamos de manera implícita con respecto a t y utilizamos la regla de la cadena, obtenemos ds dh
2s- =2hdt dt
o
ds dh s-=hdt dt Esta relación se cumple para toda t > O. Ahora, y no antes de este momento, pasamos al instante específico cuando h = 50. Con base en el Teorema de Pitágoras, vemos que, cuando h = 50, s = V(50?
+ (150)2
= 50
víO
Sustituyendo en s(ds/dt) = h(dh/dt) se obtiene 50
víO ~;
=
50(8)
o
ds = _8_ = 2.53 dt VW En el instante que h = 50, la distancia entre el globo y el observador está aumentando a una velocidad de 2.53 pies por segundo. •
EJEMPLO 2 Fluye agua hacia un tanque cónico a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 4 pies?
146
CAPíTULO
3
La derivada
Denótese la profundidad del agua con h y sea r el radio correspondiente de la superficie del agua (véase la figura 3). Nos dan que el volumen, V, de agua en el tanque está aumentando a una razón de 8 pies cúbicos por minuto; esto es, dV / dt = 8. Queremos saber qué tan rápido está elevándose el agua (esto es, dh/dt) en el instante cuando h = 4. Necesitamos encontrar una ecuación que relacione a Vy a h; después la derivaremos para obtener una relación entre dV / dt Y dh/ dt. La fórmula para el volumen de agua en el tanque V = ~ 7T'r 2h, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr / dt. Sin embargo, por medio de triángulos semejantes (véase el recuadro al margen), tenemos r/h = 6/12, o r = h/2. Sustituyendo esto en V = ~7T'r2 h da
Solución
Ahora derivamos de manera implícita, teniendo en mente que tanto V como h dependen de t. Obtenemos dV 37T'h2 dh
Figura 3
---
dt Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.
12 dt 7T'h 2 dh
----
4 dt Ahora que tenemos una relación entre dV / dt y dh/ dt, y no antes, consideramos la situación cuando h = 4. Sustituyendo h = 4 Y dV / dt = 8, obtenemos 7T'( 4)2 dh 8=--4 dt
a partir de la cual a
A
De geometría aprendemos que razones de lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales. Por ejemplo, b
B
a
A
Este hecho, utilizado en el ejemplo 2, con frecuencia se necesitará en el conjunto de problemas.
dh 2 = - ~0.637 dt 7T' Cuando la profundidad del agua es de 4 pies, el nivel del agua está elevándose a 0.637 pies por minuto. • -
Si reflexiona por un momento en el ejemplo 2, usted se da cuenta que el nivel del agua se elevará cada vez más despacio conforme el tiempo avance. Por ejemplo, cuando h = 10 7T'(10)2 dh 8=--4 dt de modo que dh/ dt = 32/1007T' ~ 0.102 pies por minuto. Lo que estamos diciendo en realidad es que la aceleración d 2h/dt 2 es negativa. Podemos calcular una expresión para ella. En cualquier instante t, 7T'h 2 dh 8=-4 dt de modo que
32 = h2 dh 7T'
dt
Si derivamos implícitamente otra vez, obtenemos 2 O = h 2 d h + dh (2h dh) dt 2 dt dt de la cual
-2(~)' h Ésta es claramente negativa.
148
CAPíTULO
3
La derivada
excede a 640. Por otra parte, seguramente s está aumentando más lentamente que la suma de x y y; es decir, ds/dt < 600 + 640. Nuestra respuesta, ds/dt = 872, es razonable. _ EJEMPLO 4 Una mujer que permanece de pie en un acantilado, observa con un telescopio cómo se aproxima un bote de motor a la playa que está directamente debajo de ella. Si el telescopio está 250 pies por arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por segundo, ¿a qué velocidad está cambiando el ángulo del telescopio, cuando el bote está a 250 pies de la playa?
Telescopio
Solución Paso 1: Dibuje una figura (véase la figura 5) e introduzca variables x y O, como se muestra. Bote
Figura 5
Paso 2: Nos dan que dx/ dt = -20; el signo es negativo ya que x disminuye con el tiempo. Queremos saber dO / dt en el instante cuando x = 250. Paso 3:
Por trigonometría,
x tanO = 250 Paso 4: Derivamos implícitamente usando el hecho de que D () tan O = sec2 O (Teorema 3.4B). Obtenemos 2 dO _ 1 dx sec O dt - 250 dt
Paso 5: En el instante cuando x = 250, Ois 'TT/ 4 radianes y sec2 O = sec2 ( 'TT /4) = 2. Por tanto,
dO 1 2-·=-(-20) dt 250 o
2400 pies 3fh
dO -1 - = - =-0.04 dt 25 El ángulo está cambiando -0.04 radianes por segundp. El signo negativo muestra' que eestá disminuyendo con el tiempo. _
Un problema gráfico de tasas relacionadas Con frecuencia en una situación de la vida real, no conocemos una fórmula para cierta función, sino que tenemos una gráfica determinada de manera empírica para ella. Aún así podemos ser capaces de responder preguntas sobre razones de cambio. EJEMPLO 5 La ciudad de Webster monitorea la altura del agua en su tanque cilíndrico con un dispositivo de registro automático. El agua se bombea de manera constante al tanque a una velocidad de 2400 pies cúbicos por hora, como se muestra en la figura 6. Durante cierto periodo de 12 horas (empezando a la medianoche), el nivel del agua se elevó y descendió de acuerdo con la gráfica en la figura 7. Si el radio del tanque es de 20 pies, ¿a qué velocidad está utilizándose el agua a las 7:00 a.m.?
2400 _!!Y. dI
)
Solución Sean t el número de horas transcurridas después de la medianoche, h la altura del agua en el tanque en el instante t y V el volumen del agua en el tanque en el instante t (véase la figura 6). Entonces dV/ dt es la razón de entrada menos la razón de salida, de modo que 2400 - dV/ dt es la velocidad a la que el agua está utilizándose en cualquier instante t. Como la pendiente de la recta tangente en t = 7 es aproximadamente - 3 (véase la figura 7), concluimos que dh/ dt ~ -3 en ese instante. Para un cilindro, V = 'TTr 2h, y de este modo
Figura 6
18
15 12
V = 'TT(20)2 h entonces 1
2
3
Figura 7
4
5
6
7
8
9
10 11 12
dV dh = 400'TTdt dt
-
t(horas)
En t = 7,
1SO
CAPíTULO
3
La derivada
dez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa, cuando pasa por el punto que se encuentra a! kilómetro del punto que está enfrente del faro? W 16. Una aficionada a la aviación observa un aeroplano volar a una altura constante de 4000 pies hacia un punto que se encuentra directamente sobre de ella. Ella observa que cuando el ángulo de elevación es! radián, éste aumenta a una velocidad de fa radián por segundo. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano?
17. Cristóbal que mide 6 pies de estatura, camina alejándose de un poste de luz, de 30 pies de altura, a una velocidad de 2 pies por segundo. (a) ¿A qué rapidez aumenta la longitud de su sombra, cuando Cristóbal está a 24 pies del poste? ¿A 30 pies? (b) ¿A qué velocidad se mueve el extremo de la sombra? (c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué velocidad angular debe levantar sus ojos Cristóbal cuando su sombra es de 6 pies de largo? 18. El ángulo, 8, opuesto a la base de un triángulo isósceles, con lados iguales de longitud 100 centímetros, aumenta a razón de fa de radián por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo 8 mide 7T /6 radianes? Sugerencia: A = ! ab sen 8. L] 19. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una vía de ferrocarril que está 100 pies por debajo y forma un ángulo recto con él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) está directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora (88 pies por segundo), ¿qué tan rápido se están separando 10 segundos después? 20. Se bombea agua a razón constante de 2 litros por minuto (1 litro = 1000 centímetros cúbicos) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros, respectivamente (véase la figura 10). ¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 30 centímetros? Nota: El volumen, V, de un cono circular recto truncado de altura h y radios inferior y superior a y b es V = ~ 7Th . (a 2 + ab + b 2 ).
22. Las manecillas de un reloj son de 5 pulgadas (el minutero) y de 4 pulgadas (el horario). ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los extremos de las manecillas a las 3:00? 23. Un cilindro circular recto con un pistón en un extremo se llena con gas. Su volumen cambia de manera continua a causa del pistón. Si la temperatura del gas se mantiene constante, entonces, por la Ley de Boyle, PV = k, donde P es la presión (libras por pulgada cuadrada), Ves el volumen (pulgadas cúbicas) y k es una constante. La presión es controlada por medio de un dispositivo de registro en un periodo de 10 minutos. El resultado se muestra en la figura 12. De manera aproximada, ¿qué tan rápido estaba cambiando el volumen en t = 6.5, si el volumen en ese instante fue de 300 pulgadas cúbicas? (Véase el ejemplo 5.) P(lb/pulg2) 80 60 40 I
20
+~~~~J!'~~ ~
~~'~""m+~
!~~~~~~~~~+~~~~ ~~~ ~~~ ~~¡~
+"
~~ ~~",,+
,~~~~~~~
2345678
t(min)
Figura 12 24. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua es una esfera de radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.) 25. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua tiene forma de un hemisferio superior, con radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.) 26. Con respecto al ejemplo 5. Desde la medianoche y hasta mediodía, ¿cuánta agua utilizó, en este periodo de 12 horas, la ciudad de Webster? Nota: Éste no es un problema de diferenciación. L] 27. Una escalera de 18 pies, descansa contra un muro vertical de 12 pies, su extremo superior sobresale del muro. El extremo inferior de la escalera se empuja a lo largo del piso alejándose del muro a 2 pies por segundo.
(a) Encuentre la velocidad vertical del extremo superior de la escalera cuando ésta forma un ángulo de 60° con el piso. (b) Encuentre la aceleración vertical en ese mismo instante. 28. U na bola esférica de acero permanece en el fondo del depósito del problema 21. Responda la pregunta planteada allí, si la bola tiene radio Figura 10
21. Del fondo de un depósito semiesférico, de radio 8 pies, está saliéndose agua a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito estaba lleno en cierto momento. ¿A qué velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 pies? Nota: El volumen de un casquete de altura h en un hemisferio de radio r es 7Th 2 [r - (h/3)]. (Véase la figura 11.)
. (a) 6 pulgadas y
(b) 2 pies.
(Suponga que la bola no afecta el flujo que sale del tanque.) 29. Una bola de nieve se derrite a una razón proporcional al área de su superficie. (a) Demuestre que su radio se contrae a una razón constante. (b) Si en una hora se derrite a 8/27 de su volumen original, ¿cuánto tardará en derretirse por completo? 30. Una bola de acero caerá 16t2 pies en t segundos. Tal bola se deja caer desde una altura de 64 pies a una distancia horizontal de 10 pies de un poste de luz, que tiene una altura de 48 pies. Cuando la bola llega al suelo, ¿con qué rapidez se está moviendo la sombra de la bola?
Figura 11
31. Una niña de 5 pies de estatura camina hacia un poste de luz, de 20 pies de altura, a una velocidad de 4 pies por segundo. Su
L' E TICNLGGIA 3.1
: PNY'ECT .
I1
I
1
4.
1
1
I
ectas secantes y tangentes Por tanto, La ecuación de La recta secante es
ción Se presenia ci - mitodo. Defina g(x) realice 1.a si flfLiiij( ac1 kn comUn xde dierencias c cociente ditet ci
Preparación
uco-
-
Ejercicio I Utilice Ia regla parr ii poteni 1a para cia, la regla para el productoy'1i -eg. I cociente para derivar ILas func iones si-
g'',
tesarrollando (g(2 + h) cia!), d--"
De's
uientes:
1-
,,
e-time ci lImit resuitantc '1fldO '- el ccionando varios valo. es de h
ercar as a ccro y evati ando ci coci nte.
cocier 1te dife-' ConLsLrul a una lahiLa de h y ad i coi'n resonjeur, g. I re ncil . I cpue ite coincideiconsu limi.. pect a aL nrnite. io - 1restut. ,.ado del ejercici
V
'h 'unar
-
,(x2
ft
1)
x2 + 1
enc..cintran ios . u ic) l fri este eje rcrio. Ejercc la reCt a tar1nte a una CUL- utiliz tndo Ia .e La recta tangente es e! lImite de kuea-LIC ç Li' Las rectas se can.es. ( omo un ey nr" rt no tn1
=
Uso de Ia tecnolc gIa El propósito de este pro yecv' es vet iii [car 'e den(pero no demostrar) que I iireg
puntos CS
_.
De'iiente
Proporcione una definiciOn de
la derivada de una función f. Sea f(x) = x(1 - x). Explique qué significa f'() y cómo puede determinarse. Seleccione valores de h cercanos a cero para evaluar el cocien-
b2
puds utilice Las reglas de denivación de este capItu!o para venificar su conjetura.
. E TECN'eLeI(A 3.2 H
Aproximación lineal CIe ut
!uflCjófl
I. Preparación Ejercicio I Revis.e ci mafrrial Je la secn lineal c'e . ción 3.10 sobre la aproximacio: iioxin-aci una función. Encuentre la apr - en los ne 1 para las funciorie s sIigiientes i .
-
-
'ntos dados.
L, dibue It. función lineat junto con La
rantizar que f(x) - L(x) < 0.1?) Puede
apruximación lineal en 1 misma ventana de nsualLzacion. Haga Un acercannento el punto a hasa que la gráfica de La .reciLay la funciór scan casi indistinguibles R.epita
que tenga que hacer varios acercamientos. Repita esta pregunta pana errores de 0.01,
ii a = 2 en a =8
h(x) = cos en i = -
de Ia tecnologia
El pi opósito de este provecto es investigar Ia pre,cisión de Ia- aproximaciOii lineal dc una fiincion. :-
EjerdciJo2 P ira La funciOn f. una vez que usted haya oh- tenido Ia aproxirnación lineal
0.001 y 0.0001. Llene Ia tabla siguiente.
esto para las funciones g y h.
Valor de error absoluto
Defina la función C por e(x) f(A L(x). (La función es ci rot iue iisurgc il usar Ia aproximaciOn lineal) .L)1JU je e(x) en intervalos cada ve' mtts pequerios airededor de a. LCuanto valen Ejercicio 3
(bj g(x) =
Ejercicio 6
tuna acerca del valor de este !nite, y des-
1.
PRVEC1rø
(a)
Reflexión
te (f( + h) - f())/h. Haga una conjeA(2)
A(b)
'. .A coitir" ..
potencias para n = 3 y x
Ejercicio 5 Utilice el método del ejercicio 4 para aproximar La recta tangente a la grá-
1
rosen n este fir,'cu nidere dos puit c , (2,i1(2)) v ( A(b)), donde bes La gr Lfia IL de 2. La Dendie nte - pCro d:ferente cercanu, sevtnte que conecta a e itos dos de Ia re tcL_Cci
Ejercicio 3 Utilice su computarlora araverificar de manera .rôI.Ji ca I-i ltir', rnl)a La
160
i-2
Dibuje Ia función Ay Ia recta secante cerca del punto de interds en La misma ventana de graficación. (Usted tendrá que seleccionar un valor para b.) Ahora, elija valores para b que estén más cercanos a 2.0 hasta que usted obtenga algo que parezca una tangente a Ia curva en (2,A(2)), esto es, encuentre un valor de b (cercano, pero diferente, de 2.0) taL que en efecto tenga una tangente. Escniba los valores de b y A(b), y presente una gráfica 0 irn bosquejo de La curva y su recta secante que sea muy cercana a Ia tangente.
fica de Ia función F(x) = sen x en x = 0 y en x = I2.
O
avance, haga la mejor esLllh1 -"ición que pueda de Ia pendiente y también i )roI )orcione r es eL error de su aproXimaci(Sn, (El- er.or igual a f'(2) - (su estimac1 de f'(2).)
l. 'J so
- 5)(x2 - i)
I encontranios Ii reca:nt I tL .: aia PSI afiLLricOv Vu(2. .t12))=(2,1.8,. , , gerLte en e! puntc
aOl:iLto, a donde f(x) = x2. Haga un acerc: La gráfica de esta furiciOn, cerca del nu ro i dio x 2. ,La grafica parece liiierl Por rn Ló.n entre el de la estimaciOn de La elevaci
(c)
inos Ila c
A(x)
Dibuje la g;rál lica de y =
i
LI
funcio-
vación presentadas en este cap1t nan para producir la derivada. :IC Ircicio 2
1l'aih.
y = A(2) + pendiente(x - 2)
LIme(x
y
Función
0.1
0.01
0.001
0.0001
fg h
hme'(x)? 'I II.
Repita este ejercicio para las funcionc g yh.
Ejercicio 4 ;Gé tan cercana deb esLr x de a para que ci valor a')s() luto del[-rO ci. us sea rnenor que 0.1? ( I:fl otras palal -
1
qué tan pequeflo debe si r
- a r1iara ga-
Reflexión
Ejercicio 5 Escriba un reporte corto que explique cómo encontran La aproximación Lineal para una función. Proponcione a! me-
nos dos ejempLos que sean diferentes de aqueLlos que se estudiaron en esta sección.
Aplicaciones Aplicaciones de Ia la derivada derivada 4.1 Máximos Máximosyy mInimos mínimos 4.1
4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.9
Monotoníayyconcavidad concavidad MonotonIa Máximosyy mInimos mínimoslocales locales Máximos Más problemas sobre máximosyymInimos mínimos Más problemas sobre máximos Aplicaciones a economía Aplicaciones a economIa Elaboraciónde degráficas gráficasmás mássofisticadas sofisticadas Elaboración El Teorema del valor medio medio El Revisión del del capItulo capítulo Revision Problemasadicionales adicionales Problemas Reflexiónyyref refracción de alaluz luz Proyectode detecnologia tecnología4.1 4.1 ReflexiOn Proyecto racciOn de Proyectode detecnologIa tecnología4.2 4.2 Un Unproblema problemade deoptimizaciOn optimización Proyecto
Confrecuencia frecuenciaen enlalavida, vida,nos nos enfrentamos enfrentamoscon concielproblema problemade deencontrar encontrarlalamejor mejorforfor4.1 Con 4.1
Máximos ~ á ~yy mInimos miin i y
v =f(x)
Figura Figura1 1
x
made dehacer haceralgo. algo.Por Porejemplo, ejemplo,un ungranjero granjeronecesita necesitaelegir elegirIalamezcla mezclade decultivos cultivosque quesea sea ma másapropiada apropiadapara paraproducir producirlalamayor mayorganancia. ganancia.Un Unmedico médicodesea deseaseleccionar seleccionarlalamemelalamás unfabricante fabricantelelegustarIa gustaríamiminordosis dosisde deuna unadroga drogaque quecurar curarácierta ciertaenfermedad. enfermedad.AAun nor nimizarelelcosto costode dedistribución distribuciónde desus susproductos. productos.Algunas Algunasveces vecesun unproblema problemadedeeste este nimizar tipopuede puedeformularse formularsede demodo modoque queimplique impliquemaximizar maximizaroominimizar minimizaruna unafunción funciónenen tipo unconjunto conjuntoespecIfico. específico.Si Si es es asI, así, los métodos de cálculo cálculo proporcionan proporcionan una una herramienherramienun poderosapara pararesolver resolverelelproblema. problema. tatapoderosa Entoncessuponga supongaque quesesenos nosdadauna unafunción funciónf fy yunundominio dominioS Scomo comoenenlalafigura figura1.1. Entonces Nuestraprimer primertarea tareaesesdecidir decidirsisif ftiene tieneunun valor máximo o un valor mínimoenenS.S. SuNuestra valor máximo o un valor mInimo Suponiendoque queexisten existentales talesvalores, valores,queremos queremossaber saberenen dónde alcanzan Por úlponiendo dónde se se alcanzan enen S. S. Por ililmínimo.Analizar Analizarestas estastres trestareas tareaseses timo,deseamos deseamosdeterminar determinarlos losvalores valoresmáximo máximoyymInimo. timo, objetivoprincipal principaldedeesta estasecciOn. sección. elelobjetivo Empezamospor porintroducir introducirununvocabulario vocabulariopreciso. preciso. Empezamos
Definición Definición Supóngaseque queS,el S,-eldominio dominiode def,f, contieneelelpunto puntoc.c.Decimos Decimosque: que: Supongase contiene f (c)eseselelvalor valormáximo máximode deffenenS,S,sisif(c) f (c) zf(x) f (x)para paratoda todax xenenS;S ; (i) f(c) f (c) es el valor mínimo de f en S, si f (c) 5 f (x) para toda f(c) es ci valor mInimo de f en S, si f(c) f(x) para toda x xenenS;S; (ii) (iii) f(c) f (c)esesununvalor valorextremo extremodedef en f en valormáximo máximoo oununvalor valormInimo; mínimo; 5, S, si si eses ununvalor (iv) lalafunciOn funciónque quequeremos queremosmaximizar maximizaro ominimizar minimizareseslalafunción funciónobjetivo. objetivo.
161
162
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
La cuestión de la existencia ¿f tiene un valor máximo (o mínimo)? La respuesta depende ante todo del conjunto S. Considere f(x) = l/x en S = (O, (0); no tiene valor máximo ni mínimo (véase la figura 2). Por otra parte, la misma función en S = [1,3] tiene el valor máximo de f(1) = 1 Yel valor mínimo f(3) = ~. En S = (1, 3],f no tiene valor máximo y el valor mínimo de f (3) = ~ . La respuesta también depende del tipo de función. Considere la función discontinua g (véase la figura 3) definida por
y
y =f(r) = .~
g(x) = x En (O, 00), no hay máximo ni mínimo En [1, 3], máximo = 1, mínimo =} En (1, 3], no hay máximo, mínimo =
i
{
X si 1 ::; x < 2 x - 2 si 2 ::; x ::; 3
En S = [1,3], g no tiene valor máximo (se acerca arbitrariamente a 2, pero nunca lo alcanza). Sin embargo, g tiene el valor mínimo g(2) = O. Existe un teorema preciso que responde la pregunta de existencia para algunos problemas que se presentan en la práctica. Aunque intuitivamente es obvio, una demostración rigurosa es muy difícil, la dejamos para textos más avanzados de cálculo.
Figura 2 y
Obsérvese las palabras clave; se requiere que f sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.
1
2
x
3
No hay máximo, mínimo =O
Figura 3
¿En dónde se presentan los valores extremos? Por lo común, la función objetivo tendrá como su dominio a un intervalo l. Pero este intervalo puede ser de cualquiera de los nueve tipos estudiados en la sección 1.3. Algunos de ellos contienen a sus puntos finales (puntos frontera); algunos no. Por ejemplo, 1 = [a, b] contiene ambos puntos frontera; [a, b) sólo contiene a su punto frontera izquierdo; (a, b) no contiene ninguno de sus puntos frontera (véase la figura 4). y
y
y
Máx
!\X~
/
Mín
h
{/
x
x
x Puntos estacionarios
Puntos frontera
Figura 4
\Min
Figura 5
Puntos singulares
Figura 6
Si c es un punto en el que f' (c) = 0, lo llamamos punto estacionario. El nombre proviene del hecho de que un punto estacionario de la gráfica se coloca en una trayectoria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios (véase la figura 5). Por último, si c es un punto interior de 1, en donde f' no exista, decimos que c es un punto singular. Éste es un punto en donde la gráfica de f tiene una esquina, una tangente vertical o quizá un salto, o cerca del cual la gráfica oscila de manera abrupta. Los valores extremos pueden aparecer en puntos singulares (véase la figura 6), aunque en problemas prácticos esto es muy raro. Estas tres clases de puntos (puntos frontera, puntos estacionarios y puntos singulares) son los puntos clave en la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto de estos tres tipos, en el dominio de una función f se denomina punto crítico de f.
EJEMPLO 1 Encuentre los puntos críticos de f(x) = -2x 3 + 3x 2 en
[-!, 2].
Solución Los puntos frontera son -! y 2. Para determinar los puntos estacionarios, resolvemos f'(x) = -6x2 + 6x = 0, para x, obteniendo y 1. No existen puntos singulares. Por tanto, los puntos críticos son -!, 0, 1,2. •
°
SECCIÓN
4.1
Máximos y mínimos
163
Teorema B Teorema de los puntos ctfticos Sea! definida en un intervalo 1 que contiene al punto e. SI f( e) es un valor extremo, entonces e debe serun punto crítico; es decir, e es alguno de los siguientes: (i) • un punto frontera de 1; (ii) ··UI1 punto estacionario de f; es. decir, un punto en donde f'(e) = O; o (iiifun punto singular de f; esto es, un punto en donde f'(e) no existe.
Demostración
Primero considérese el caso en donde f(e) es el valor máximo de f en 1 y suponga que e no es un punto frontera ni un punto singular. Debemos demostrar que e es un punto estacionario. Ahora, como f(e) es el valor máximo, f(x) ::; f(e) para toda x en 1; esto es,
f(x) - f(e) ::; O Por consiguiente, si x < e, de modo que x - e < O, entonces
f(x) - f(e) x - e
(1) y
-----2::
O
mientras que si x > e, entonces y
(2)
-2x' + 3x
x
f(x) - f(e) ::; O x - e
Pero, f'(e) existe ya que e no es un punto singular. En consecuencia, cuando hacemos x --7 e- en (1) Yx --7 e+ en (2), obtenemos, respectivamente, f' (e) 2:: Oy f' (e) ::; O. Concluimos que f'(e) = O, como se quería. El caso en que f(e) es el valor mínimo se maneja de forma análoga. • En la demostración que se acaba de dar, utilizamos el hecho de que la desigualdad::; se preserva bajo la operación de tomar límites.
¿ Cuáles son los valores extremos? En vista de los Teoremas A y B, ahora podemos establecer un procedimiento muy sencillo para determinar los valores máximo y mínimo de una función continua f en un intervalo cerrado l. Paso 1 Encuéntrense los puntos críticos de f en l. Paso 2 Evalúese f en cada uno de estos puntos críticos. El mayor de estos valores es le valor máximo; el valor más pequeño es el valor mínimo.
Figura 7
EJEMPLO 2
Terminología
Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x)
Obsérvese la manera en que los términos se utilizan. El máximo es 1, que es igual a f( -!) y f(l). Decimos que el
en
=
-2x 3 + 3x 2
[-L 2].
Solución
En el ejemplo 1, identificamos -112, 0,1,2 como los puntos críticos. Ahora f(-1I2) = 1,f(0) = O,f(l) = 1 Y f(2) = -4. Así, el valor máximo es 1 (se alcanza en -112 y en 1) y el valor mínimo es -4 (se alcanza en 2). La gráfica de f se muestra en la figura 7. •
máximo se alcanza en -! y en 1. De manera análoga, el mínimo es -4, que se alcanza en 2.
La función F(x) = X 2/3 es continua para todos los reales. Encuentre sus valores máximo y mínimo en [-1,2]. EJEMPLO 3
y
Solución F' (x) = ~ X- l / 3 , nunca es cero. Sin embargo, F'(O) no existe, de modo que O es un punto crítico, así como los puntos frontera -1 y 2. Ahora, F( -1) = 1, F(O) = OY
F(2) = V4 ~ 1.59. Por consiguiente, el valor máximo es ro. La gráfica se muestra en la figura 8. x
Figura 8
\Y4; el valor mínimo es ce•
Problemas prácticos Un problema práctico es aquel que surge de un problema de la vida cotidiana. Tales problemas rara vez tienen puntos singulares; de hecho, para ellos, por lo regular los valores máximo y mínimo aparecen en puntos estacionarios, aunque deben verificarse los puntos frontera. A continuación están dos ejemplos característicos.
166
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Revisión de conceptos 1. Una función en un intervalo siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. 2. El término valor valor mínimo.
denota a un valor máximo o a un
3. Una función puede alcanzar un valor extremo sólo en un punto crítico. Los puntos críticos son de tres tipos: y 4. Un punto estacionario para f es un número c tal que _ un punto singular para f es un número c tal que
_
Conjunto de problemas 4.1 En los problemas del 1 al 16, identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximo y mínimo (véase los ejemplos 1, 2 Y 3).
1. f(x) = x + 4x + 4;/ = [-4,OJ 2
2. h(x) = x 2 + x; / = [-2, 2J
3. 'I'(x) = x 2 + 3x; / = [-2,lJ 4. G(x) = H2x 3 + 3x2 - 12x);1 = [-3, 3J 5. f(x) = x 3 - 3x + 1;1 = (-L 3) Sugerencia: Elabore la
GJ 23. Un granjero tiene 80 pies de valla con la cual planea encerrar un corral rectangular a lo largo de un lado de su establo de 100 pies de largo, como se muestra en la figura 13 (el lado a lo largo del establo no necesita valla). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima?
gráfica. 6. f(x)
= x3
-
3x
+ 1;1 = [-L3]
1 7. h(r) =-;/ = [-1,3J r 1 8. g( x) = - - 2 ; / = [-3, 1 J l+x
9. g( x)
1
= ---2; / =
(-00, (0) Sugerencia: Elabore la grál+x' .
Figura 13
GJ 24. El granjero del problema 23 decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de valla, como se muestra en la figura 14. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen que el área de los corrales sea tan grande como sea posible?
fica. x
10. f(x) = - - 2 ; / = [-1,4J l+x
11. r( O)
= sen O;I = [-
¡,
*]
12. s(t) = sent - cost;/ = [O,7TJ 13. a(x) = Ix - 11; / = [0,3J 14. f(s) = 13s - 21;/ = [-1,4J 15. g(x)
=
..qx;/
=
[-1,27J
Figura 14
25. Suponga que el granjero del problema 23 tiene 180 pies de valla y quiere que el corral quede contiguo a todo el lado del establo de 100 pies, como se muestra en la figura 15. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener área máxima? Obsérvese que en este caso, O :5 X :5 40.
2 5 / ; /
16. s(t) = t = [-1, 32J 17. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Sugerencia: Si x es un número, 10 - x es el otro. 18. ¿Qué número excede a su cuadrado en la máxima cantidad? Empiece por convencerse que este número se encuentra en el intervalo [0,1]. 19. Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un patio rectangular para su perro. Si desea encerrar el área máxima, ¿de qué dimensiones debe ser? 20. Demuestre que para un rectángulo con perímetro dado, K, el de área máxima es un cuadrado. 21. Encuentre el volumen de la caja abierta más grande que'puede fabricarse con un pedazo cuadrado de cartón de 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y luego doblando los lados hacia arriba (véase el ejemplo 4). 22. Un pedazo de alambre de 16 pulgadas de largo, se corta en dos pedazos; una pieza se dobla para formar un cuadrado y la otra se dobla para formar un círculo. ¿En dónde debe hacerse el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima?, ¿máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar.)
x
Figura 15
26. Suponga que el granjero del problema 23 decide utilizar sus 80 pies de valla para construir un corral rectangular que se ajuste a una esquina de 20 por 40 pies, como se muestra en la figura 16 (toda la esquina debe utilizarse y no requiere de valla). ¿Cuáles dimensiones dan el corral con área máxima? Sugerencia: Empiece por decidir sobre los valores admisibles para x.
x y
Figura 16
SECCIÓN
27. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola y = 12 - x 2 , con y 2: O(véase la figura 17). ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?
4.1
Máximos y mínimos
167
ductor obtiene 12 dólares por hora. ¿Cuál es la velocidad más económica a la cual operar el camión en un viaje de 400 millas, si se requiere que la velocidad en la autopista esté entre 40 y 55 millas por hora? 32. Vuelva a resolver el problema 31, suponiendo que el costo de operación es 40 + 0.05x3/2 centavos por milla. 33. Encuentre los puntos P y Q en la curva y = x 2 /4, O:::; x :::; 2 \13, que sean el más cercano y el más alejado del punto (0,4). Sugerencia: El álgebra se simplifica si considera el cuadrado de la distancia pedida en lugar de la distancia misma.
Figura 17
34. Un humidificador utiliza un disco giratorio de radio r, que en parte está sumergido en el agua. La mayor evaporación es cuando la región húmeda expuesta (mostrada como la región superior sombreada en la figura 21) se maximiza. Muestre que esto sucede cuando h (la distancia del centro al agua) es igual a r /~.
28. Un rectángulo será inscrito en un semicírculo de radio r, como se muestra en la figura 18. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si su área debe maximizarse?
Figura 18
29. Un canalón metálico para el agua de lluvia tiene lados de 3 pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman ángulos iguales () con el fondo (véase la figura 19). ¿Cuál debe ser epara maximizar la capacidad de desalojo de agua del canalón? Nota: O:::; () :::; 1T/2.
Figura 21
35. Una caja con tapa se fabricará con una hoja rectangular de cartón, que mide 5 por 8 pies. Esto se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura 22 y luego doblando por las líneas discontinuas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y y Z que maximizan el volumen?
f--x I
Figura 19
y-------J
T z
30. Un gran depósito cónico se fabricará con una pieza metálica circular con radio de 10 metros, cortando un sector con ángulo ey luego soldando los lados rectos de la pieza restante (véase la figura 20). Encuentre e, de mudo que el cono resultante tenga el mayor volumen posible.
1 Figura 22
[§g 36. Para cada función, identifique los puntos críticos yencuentre los valores extremos en [-1, 5].
(a) f (x) = x 3
-
6x 2
+ x + 2 (b) g ( x) = If(x ) I
[§g 37. Siga las instrucciones del problema 36 para f(x) sen + 2. Figura 20
31. El costo de operación de cierto camión es de 25 + x/4 centavos por milla, si el camión recorre x millas por hora. Además, el con-
=
cos x
+x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. continua; cerrado 2. extremo 3. puntos frontera; puntos estacionarios; puntos singulares 4. f' (e) = O; f' (e) no existe
168
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
4.2 Monotonía y concavidad
Considere la gráfica en la figura 1. Nadie se sorprendería cuando decimos que f es decreciente a la izquierda de e y creciente a la derecha de c. Pero, para asegurar que coin~ cidimos en la terminología, damos definiciones precisas.
Definición y
Sea f definida en un intervalo l (abierto, cerrado o ninguno de éstos). Decimos que: (i) f es creciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l,
Xl < X2 =* f(XI) < f(X2) (ii) f es decreciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l, Xl I I
Decreciente:
(iii)
Creciente
I I
e
f
<
X2 =* f(XI)
>
f(X2)
es estrictamente monótona en l si es creciente en loes decreciente en l.
¿Cómo decidiremos en dónde una función es creciente? Alguien podría sugerir que dibujemos su gráfica y la veamos. Pero por lo regular, una gráfica se dibuja trazando unos cuantos puntos y conectándolos por medio de una curva suave. ¿Quién puede asegurar que la gráfica no oscila entre los puntos trazados? Incluso los sistemas de álgebra computacional y las calculadoras gráficas lo hacen conectando puntos. Necesitamos un procedimiento mejor.
x
Figura 1
La primera derivada y monotonía Recuerde que la primera derivada f'(x) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x. Entonces, si f'(x) > 0, la recta tangente asciende hacia la derecha (véase la figura 2). De manera análoga, si f' (x) < 0, la recta tangente desciende hacia la derecha. Estos hechos hacen intuitivamente claro el siguiente teorema. Posponemos una demostración rigurosa hasta la sección 4.7.
y
x
Por lo regular, este teorema nos permite determinar con precisión en dónde una función derivable es creciente y en dónde es decreciente. Es cuestión de resolver dos desigualdades.
Figura 2
EJEMPLO 1 Si f(x) = 2x3 - 3x 2 - 12x dónde es decreciente.
Valores de l' +
O
O
I
I
-1
+
Solución
2
Figura 3
+ 7, encuentre en dónde f es creciente y en
Empezamos por encontrar la derivada de f, f'(x) = 6x 2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)
Necesitamos determinar en dónde
(X + 1)(x - 2) > O
y
y también en dónde
15
(X + 1)(x - 2) < O
x
Este problema fue estudiado a detalle en la sección 1.3, una sección que vale la pena revisar ahora. Los puntos de separación son -1 y 2; ellos dividen al eje X en tres intervalos (-00, -1), (-1,2) Y(2,00). Utilizando los puntos de prueba -2, Y3, concluimos que f'(x) > en el primero y en el último de estos intervalos y que f'(x) < en el intervalo de en medio (véase la figura 3). Así, por el teorema A, f es creciente en (-00, -1] Y en [2,(0); es decreciente en [-1,2]. Obsérvese que el teorema nos permite incluir los puntos frontera de estos intervalos, aunque f' (x) = en esos puntos. La gráfica de f se muestra en la figura 4. •
° °
°
°
Figura 4
EJEMPLO 2 creciente.
Determine en dónde g(x)
= x/(1 + x 2 ) es creciente y en dónde es de-
SECCiÓN
4.2
Monotonía y concavidad
169
Solución
(1
g/ex)
+
O
I
I
-1
1
1 - x2 = (1 + x 2
f
+ x)
(1 - x)(l
(1
+x
2
f
Como el denominador siempre es positivo, g/ex) tiene el mismo signo que el numerador (1- x)(l + x). Los puntos de separación, -1 y 1, determinan tres intervalos (-00, -1), (-1, 1) Y(1,00). Cuando los probamos, encontramos que g/ex) < Oen el primero y en el último de estos intervalos y que g/ex) > Oen el intervalo de en medio (véase lafigura 5). Con base en el Teorema A, concluimos que g es decreciente en (-00, -1] Yen [1,00) y que es creciente en [-1,1]. Posponemos la graficación de g para más adelante, pero si quiere ver la gráfica vaya a la figura 11 y al ejemplo 4. •
Valores de g'
o
=
+ x 2 ) - x(2x) (1 + X 2 )2
Figura 5
La segunda derivada y concavidad Una función puede crecer y aún así tener una gráfica que oscila mucho (véase la figura 6). Para analizar oscilaciones, necesitamos estudiar cómo gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario a las manecillas de reloj, decimos que la gráfica es cóncava hacia arriba (o simplemente cóncava); si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia abajo (o convexa). Ambas definiciones se formulan mejor en términos de funciones y sus derivadas. Definición
Creciente, pero de manera oscilante
Sea J derivable en un intervalo abierto l. Decimos que J (al igual que su gráfica) es cóncava hacia arriba en 1, si f' es creciente en 1, y decimos que J es cóncava hacia abajo en 1, si f' es decreciente en l.
Figura 6
Los diagramas en la figura 7 ayudarán a ac~arar estas nociones. Obsérvese que una curva que es cóncava hacia arriba tiene forma parecida a una copa.
I I
f'
creciente: Cóncava hacia arriba
f'
I
decreciente: Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Figura 7
En vista del Teorema A, tenemos un criterio sencillo para decidir en dónde una curva es cóncava hacia arriba yen dónde es cóncava hacia abajo (convexa). Basta con tener en mente que la segunda derivada de J es la primer derivada de f'. Por lo que, f' es creciente si J" es positiva; es decreciente si J" es negativa.
Para la mayor parte de las funciones, este teorema reduce el problema de determinar concavidad al problema de resolver desigualdades. En esto somos expertos.
EJEMPLO 3 ¿EndóndeJ(x) = ~X3 - x 2 va hacia arriba y cóncava hacia abajo?
-
3x + 4escreciente,decreciente,cónca-
Solución
f' (x) =
x2
-
2x - 3 = (x + 1) (x - 3)
J"(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)
SECCIÓN
Figura 13
4.2
Monotonía y concavidad
171
Solución Antes de que resolvamos este problema, pensemos cómo se verá la gráfica. Al principio, la altura aumentará con rapidez, ya que se necesita poca cantidad de agua para llenar la parte inferior del cono. Conforme se va llenando el depósito, la altura aumentará menos rápido. ¿Qué sugieren estos enunciados con respecto a la función h(t), su derivada h'(t) y su segunda derivada h"(t)? Como el agua se vierte de manera constante, la altura siempre aumentará, de modo que h'(t) será positiva. La altura aumentará más lentamente conforme se eleva el nivel. Por consiguiente, la función h'(t) está disminuyendo, de modo que h"(t) es negativa. Por tanto, la gráfica de h(t) es creciente (ya que h'(t) es positiva) y cóncava hacia abajo (pues h"(t) es negativa). Ahora, una vez que tenemos una idea intuitiva acerca de cómo debe verse la gráfica (creciente y cóncava hacia abajo), resuélvase este problema de manera analítica. El volumen de un cono circular recto es V = ~ 'TTr z h, donde V, r y h son funciones del tiempo. Como el agua fluye hacia el depósito a razón de pulgada cúbica por segundo, la función V es V = t, donde t se mide en segundos. Las funciones h y r están relacionadas; obsérvense los triángulos semejantes en la figura 13. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, tenemos r 1 h 4 ASÍ, r = h/4. Por lo que, el volumen del agua dentro del cono es
!
!
~ 1Tr' h =
V =
; (
¡)\ :s =
h
3
! t. Igualando estas dos expresiones para V se obtiene
Por otro lado, el volumen V =
1 'TT -t = - h3 2 48
v
Cuando h = 4, tenemos t = ~ 43 = ~ 'TT ~ 8.4; asÍ, tarda alrededor de 8.4 segundos llenarse el depósito. Ahora resolviendo para h en la ecuación anterior que relaciona h y t para obtener
200
h
ISO
=1~1
La primera y segunda derivada de h son 100
SO
h'(I)
=D
24
Terminología
Mientras que el mínimo o el máximo de una función es un número, un punto de inflexión siempre es una
I
= ~(24 t)-Z/3
2
'TT'TT
que es positiva, y
h"(t)
Figura 14
1
t'TT
2
= D--
4
t~ 3~ que es negativa. La gráfica de h(t) se muestra en la figura 14. Como se esperaba, la gráfica de h es creciente y cóncava hacia abajo. •
Puntos de inflexión Sea f continua en e. Llamamos a (e, f(e)) un punto de in· flexión de la gráfica de f, si f es cóncava hacia arriba a un lado de e y cóncava hacia abajo del otro lado de e. La gráfica en la figura 15 indica varias posibilidades.
pareja ordenada (c,f(c)).
Cóncava hacia arriba
Figura 15
SECCIÓN
31. feO) = 3; f(3) = O; f(6) = 4; f'(x) < Oen(0,3);f'(x) > Oen(3,6); f"(x) > Oen(0,5);f"(x) < Oen(5,6) 32. feO) = 3; f(2) = 2; f(6) = O; f'(x) < Oen(0,2) U (2,6);1'(2) = O; f"(x) < Oen (0,1) U (2,6);f"(x) > Oen (1,2) 33. feO) = f(4) = 1;f(2) = 2;f(6) = O; f'(x) > Oen(0,2);f'(x) < Oen(2,4) U (4,6); 1'(2) = 1'(4) = O;f"(x) > Oen(O,l) U (3,4); f"(x) < Oen(1,3) U (4,6) 34. feO) = f(3) = 3;f(2) = 4;f(4) = 2;f(6) = O; f'(x) > Oen (O, 2);f'(x) < Oen (2,4) U (4,5); 1'(2) = 1'(4) = O;f'(x) = -1 en (5,6); f"(x) < Oen(0,3) U (4,5);f"(x) > Oen(3,4) 35. Demuestre que una función cuadrática no tiene puntos de inflexión. 36. Demuestre que una función cúbica tiene exactamente un punto de inflexión. 37. Demuestre que, si f'(x) existe y es continua en un intervalo 1 y si f'(x) "* en todos los puntos interiores de 1, entonces fes creciente en todo el intervalo loes decreciente en todo el intervalo l. Sugerencia: Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que no pueden existir dos puntos x] y X 2 de 1 en donde f' tenga signos opuestos. 38. Suponga que f es una función cuya derivada es f'(x) = (x 2 - x + 1)/(x2 + 1). Utilice el problema 37 para demostrar que f es creciente en todas partes. 39. Utilice el Teorema de monotonía para demostrar cada pro1 1 posición, si 0< x < y. 2 (a) x < y2 (b) VX < c) - > x y 40. ¿Qué condiciones sobre a, by c harán que f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d siempre sea creciente? 41. Determine a y'b de modo que f(x) = a VX + bjvx tenga a (4, 13) como un punto de inflexión. 42. Suponga que la función cúbica f(x) tiene tres ceros reales, r], r2 Y r3 . Demuestre que su punto de inflexión tiene abscisa (,] + '2 + r3)/3. Sugerencia: f(x) = a(x-r¡)(x-r2)(X - r3)· 43. Suponga que f'(x) > y g/ex) > para toda x. ¿Qué otras condiciones sencillas (si existen) se necesitan para garantizar que: (a) f(x) + g(x) sea creciente para toda x; (b) f(x) . g(x) sea creciente para toda x; (c) f(g(x)) sea creciente para toda x? 44. Suponga que f"(x) > Oy g"(x) > para toda x. ¿Qué otras condiciones sencillas (si las hay) se necesitan para garantizar que: (a) f(x) + g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x; (b) f(x) . g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x; (c) f(g(x)) sea cóncava hacia arriba para toda x?
4.2
Monotonía y concavidad
47. Sea f'(x) = x 3 - 5x 2 + 2 en 1 ¿en dónde es creciente f?
=
173
[-2,4]. En el intervalo 1,
48. Sea f"(x) = x 4 - 5x 3 + 4x 2 + 4 en 1 valo 1, ¿en dónde es cóncava hacia abajo f?
=
[-2,3]. En el inter-
49. Se vierte café en el vaso mostrado en la figura 18 a razón de 2 pulgadas cúbicas por segundo. El diámetro superior es de 3.5 pulgadas, el diámetro inferior es de 3 pulgadas y la altura de 5 pulgadas. Este vaso se llena con casi 23 onzas. Determine la altura h como función del tiempo t y dibuje la gráfica desde el instante t = hasta el momento en que el vaso esté lleno.
°
t
3 .5Pu
\gj ----r
°
vY
°
(
°
°
Figura 18
50. Se bombea agua a una razón constante de 5 galones por minuto, en un tanque cilíndrico como se muestra en la figura 19. El tanque tiene 3 pies de diámetro y largo de 9.5 pies. El volumen del tanque es 2 2 7Tr 1 = 7T X 1.5 x 9.5 = 67.152 pies cúbicos = 500 galones. Sin hacer cálculos bosqueje una gráfica de la altura del agua como función del tiempo t (véase el ejemplo 5). ¿En dónde es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo h?
-t t
3 pies
1------
D
1
9.5 pies - - - - -....
Figura 19
51. Se vierte un líquido, al contenedor que se muestra en la figura 20, a razón de 3 pulgadas cúbicas por segundo. El contenedor es de 24 pulgadas cúbicas. Bosqueje una gráfica de la altura h del líquido como una función del tiempo t. En su gráfica ponga atención especial a la concavidad de h. 52. Un tonel de 20 galones, como el mostrado en la figura 21, se sale a razón constante de 0.1 de galón por día. Dibuje una gráfica de la altura h del agua como función del tiempo t, suponiendo que en el instante t = O. El tonel está lleno, ponga atención especial a la concavidad de h.
[§Q Utilice una calculadora gráfica o una computadora para resolver
los problemas del 45 al 48. (a) (b) (c) (d) (e)
45. Sea f(x) = sen x + cos(x/2) en el intervalo 1 = (-2,7). Dibuje la gráfica de f en l. Utilice esta gráfica para estimar en dónde f'(x) < en l. Utilice esta gráfica para estimar en dónde f" (x) < en l. Dibuje la gráfica de f' para confirmar su respuesta a la parte (b). Dibuje la gráfica de f" para confirmar su respuesta a la parte (c).
° °
46. Repita el problema 45 para f(x)
=
2
x cos (x/3) en (O, 10).
Figura 20
Figura 21
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. creciente; cóncava hacia arriba 2. l' (x) > O; f" (x) < O 3. un punto de inflexión 4. f" (c) = O; f" (c) no existe.
SECCIÓN
4.3
Máximos y mínimos locales
175
izquierda en la figura 3 aclara esto. Sin embargo, si la derivada es positiva en un lado del punto crítico y negativa en el otro, entonces tenemos un extremo local, como se muestra en las gráficas de en medio y de la derecha de la figura 3.
y
Demostración de (i) Como f'(x) > Opara toda x en (a, e), por el Teorema de monotonía, f es creciente en (a, e]. Además, como f'(x) < O para toda x en (e, b), f es decreciente en [e, b). Por tanto, f(x) < f(e) para toda x en (a, b), excepto por supuesto en x = e. Concluimos que f(e) es un máximo local. Las demostraciones de (ii) y (iii) son semejantes. •
x -1
-2 -3
EJEMPLO 1 Encuentre los valores extremos locales de la funciónf(x) = x 2 - 6x en (-00,00).
-4
Solución
Figura 4
La función polinomial
f
+5
es continua en todas partes, y su derivada,
f'(x) = 2x - 6, existe para toda x. Así, el único punto crítico para f es la solución única de f'(x) = O; esto es, x = 3. Como f'(x) = 2(x - 3) < Opara x < 3, f es decreciente en (-00,3], Y como 2(x3) > O para x > 3, f es creciente en [3, (0). Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(3) = -4 es un valor mínimo local de f. Como 3 es el único punto crítico, no existen otros valores extremos. La gráfica de f se muestra en la figura 4. Obsérvese que, en este caso, f(3) en realidad es el valor mínimo (global). _
y
EJEMPLO 2 en (-00,00).
Encuentre los valores extremos locales de f(x) = ~ x 3
-
x2
-
3x + 4
x
Solución Como f'(x) = x 2 - 2x - 3 = (x + l)(x - 3), los únicos puntos críticos de f son -1 y 3. Cuando usamos los puntos de prueba -2, OY4, sabemos que (x + l)(x - 3) > O en (-00, -1) Y (3,00) Y (x + l)(x - 3) < O en (-1,3). Por la prueba de la primera derivada, concluimos que f( -1) = Jt es un valor máximo local y que f(3) = -5 es un valor mínimo local (véase la figura 5). _
EJEMPLO 3 Figura 5
X)2/3
en (-7T'/6, 27T'/3).
Solución y
,
f(x)
11"
(;
Figura 6
Encuentre los valores extremos de f(x) = (sen
f (x)
(senx)'
11"
"3
11"
"2
211"
3
x
2 cosx = 3 r.
,sen x ) 1/3
'
x
*0
Los puntos Oy 7T'/2 son puntos críticos, ya que 1'(0) no existe y 1'(7T'/2) = O.Ahora,f'(x) < Oen (-7T'/6, O) yen (7T'/2, 27T'/3), mientras que f'(x) > Oen (O, 7T'/2). Por la prueba de la primera derivada, concluimos que feO) = Oes un valor mínimo local y que f( 7T'/2) = 1 _ es un valor máximo local. La gráfica de f se muestra en la figura 6.
176
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Criterio de la segunda derivada Existe otra prueba para máximos y mínimos locales que, a veces, es más fácil de aplicar que la prueba de la primera derivada. Incluye la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a los puntos singulares.
Demostración de (i) Es una tentación decir que, como f"(e) < O,f es cóncava hacia abajo cerca de e y por tanto, concluir que esto demuestra (i). Sin embargo, para asegurar que f es cóncava hacia abajo en una vecindad de e, necesitamos que f"(x) < Oen esa vecindad (no sólo en e) y nada en nuestra hipótesis garantiza esto. Debemos ser un poco más cuidadosos. Por definición e hipótesis,
J"(e) = lím f'(x) - f'(e) = lím f'(x) - O < O x - e x - e x~c
x~c
de modo que podemos concluir que existe un intervalo (posiblemente pequeño) (a, f3) alrededor de e en donde
f'(x) --
x i= e
Pero esta desigualdad implica que f'(x) > Opara a < x < e y f'(x) < Opara e < x < f3. Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(e) es un valor máximo local. La demostración de (ii) es semejante. • Para f(x) = x 2 - 6x identificar extremos locales.
EJEMPLO 4
Solución
+ 5, utilice la prueba de la segunda derivada para
Ésta es la función del ejemplo 1. Obsérvese que
l' (x) = 2x -
6 = 2( x - 3)
J"(x) = 2 y fCr)
=x
Así,f'(3) = OY f"(3) > O. Por tanto, por la prueba de la segunda derivada, f(3) es un valor mínimo local. _
1
EJEMPLO 5 ParaJ(x) = ~X3
x2
-
-
3x
+ 4, utilice la prueba de la segunda deri-
vada para identificar los extremos locales. x
Solución
Ésta es la función del ejemplo 2.
l' (x) = x 2
-
2x - 3 = (x + 1) (x - 3)
J"(x) = 2x - 2 Los puntos críticos son -1 y 3 (1'(-1) = 1'(3) = O). Como f"(-l) = -4 y f"(3) = 4. Por la prueba de la segunda derivada concluimos que f (-1) es un máximo local y que f(3) es un valor mínimo local. -
y
x
Figura 7
Por desgracia, la prueba de la segunda derivada falla, ya que f"(x) puede ser cero en un punto estacionario. Para f(x) = x3 y para f(x) = x4 ,f'(0) = OYf"(O) = O(véase la figura 7). La primera no tiene un valor máximo o mínimo local en cero; la segunda tiene un mínimo local ahí. Esto muestra que si f"(x) = Oen un punto estacionario no podemos sacar una conclusión acerca de máximos o mínimos sin más información.
180
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Solución
2p -1
G'( ) - - - p - p2(1 _ p)2 El único punto crítico es p = 1/2. Para cada valor de p en el intervalo (0,1) el denominador es positivo; por tanto, el numerador determina el signo. Si p está en el intervalo (0,1/2), entonces el numerador es negativo; de aquí que, G'(p) < O. De manera análoga, si p está en el intervalo (1/2,1), G'(p) > O. Así, por el criterio de la primera derivada, G(1/2) = 4 es un mínimo local. Como no tiene puntos frontera o puntos singulares qué verificar, G(1/2) es un mínimo global. La gráfica de y = G(p) se muestra en la figura 2. y 20
15
10
0.2
0.4
0.6
0.8
•
Figura 2
x
Problemas prácticos Cada uno de los ejemplos siguientes es diferente, aunque existen elementos comunes en los procedimientos que utilizamos para resolverlos. Casi al final de la sección, sugerimos un conjunto de pasos para utilizar en la resolución de cualquier problema de máximos y mínimos. EJEMPLO 3 Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de zona de impresión, con márgenes de 4 pulgadas arriba y abajo y márgenes de 2 pulgadas a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones para el volante que utilizaría menos papel? Solución
Figura 3
Sea x el ancho y y la altura del volante (véase la figura 3). Su área es
A = xy Deseamos minimizar A. Como se estableció, A está expresada en términos de dos variables, una situación que no sabemos cómo manejar. Sin embargo, encontraremos una ecuación que relacione a x con y, de modo que una de las variables pueda eliminarse en la expresión para A. Las dimensiones de la zona de impresión son x - 4 Y Y - 8, Ysu área es de 50 pulgadas cuadradas; de modo que (x - 4)(y - 8) = 50. Cuando despejamos a y de esta ecuación, obtenemos 50 y=--+8 x -4 Sustituyendo esta expresión para y en A
Sentido común
Sería difícil hacer cualquier estimación preliminar en el ejemplo 3. Sin embargo, el sentido común nos dice que la altura del volante debe ser mayor que el ancho. ¿Por qué? Porque debemos sacar provecho de los márgenes más angostos a los lados.
= xy se obtiene A
en términos de x:
50x A = - - +8x x -4 Los valores admisibles para x son 4 < x < 00; queremos minimizar A en el intervalo abierto (4,00). Ahora, dA (x - 4)50 - 50x 8x 2 - 64x - 72 8(x + l)(x - 9) -+8------dx (x - 4)2 (x - 4? (x - 4)2 /· /. . / d a x = 9 y x = - 1. puntos cntIcos se o b tIenen resol' L os umcos Vlend o dA dx = O; esta Rechazamos x
= -1 ya que no está en el intervalo (4,00). Como dA/dx < Opara x en
SECCiÓN
4.4
Más problemas sobre máximos y mínimos
181
°
(4,9) Y dA/dx > para x en (9, (0), concluimos que A alcanza su valor mínimo en = 9. Este valor de x hace y = 18 (encontrado por la sustitución en la ecuación que relaciona x y y). De modo que las dimensiones del volante que utilizará la menor can• tidad de papel son 9 pulgadas por 18 pulgadas. x
EJEMPLO 4 Andrés, quién está en un bote de remos a 2 millas del punto más cercano B de una costa rectilínea, observa humo saliendo de su casa, que se encuentra a 6 millas de B, sobre la costa. Él calcula que puede remar a 3 millas por hora y correr a 5 millas por hora. ¿Cómo debe proceder para llegar a su casa·en el menor tiempo?
Solución Interpretamos que el problema significa que debemos determinar la x en la figura 4, tal que haga mínimo el tiempo de recorrido de Andrés. Es claro que debemos restringir x al intervalo cerrado [0,6]. La distancia AD es W+4 millas y el tiempo para remar es W+4/3 horas. La distancia De es 6 - x millas y el tiempo para recorrerla es (6 - x )/5 horas. Así, el tiempo total T en horas es W+4 6-x T= 3 +-5-
Figura 4
Queremos minimizar T en [0,6]. Este tiempo tiene tres puntos críticos, los puntos frontera cionario obtenido haciendo dT /dx igual a cero. -dT = -1 . -1 (2 x
dx
3
2
°y 6 Yun punto esta-
+ 4)-1/2 (2x) - -1 5
x
1
3W+4
5
5x -3W+4 15W+4 Cuando igualamos dT /dx a cero y resolvemos, obtenemos en pasos sucesivos,
x
T
o
1.87
1.5 6
1.73 2.11
Figura 5
5x -3W+4 -------=0 15W+4 5x -3W+4 =0 5x =3W+4 25x 2 = 9(x 2 + 4) 16x 2 = 36 x =~ x = ~ 2
Como el dominio para T es un intervalo cerrado, T tiene un mínimo (Teorema 4.lA) y este mínimo se presenta en un punto crítico (Teorema 4.1B).Así, los puntos críticos son x = 0, x = 1.5 Yx = 6. La figura 5 muestra los valores de T en cada punto crítico. Como el mínimo se presenta en x = 1.5, concluimos que Andrés debe remar hacia el punto 1.5 millas playa arriba y después correr el resto del camino. Él tardará alrededor de 1.73 horas, o 104 minutos. Para un problema similar en el que uno de los puntos • frontera produce el tiempo mínimo, véase el problema 15. EJEMPLO 5 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado.
Figura 6
Solución Sea a la altura y b el radio de la base del cono dado (ambas constantes). Denótese por h, r y V la altura, el radio y el volumen, respectivamente, de un cilindro inscrito (véase la figura 6). Antes de proceder, apliquemos un poco de intuición. Si el radio del cilindro fuese cercano al radio de la base del cono, entonces el volumen del cilindro sería cercano a cero. Ahora, imagínese cilindros inscritos que aumentan de altura,
1-=
183
rección contraria al alargamiento. Por ahora, ignoraremos el signo de la fuerza.) Los costos de fabricación son proporcionales al número de unidades producidas. El número de accidentes automovilísticos es proporcional al volumen del tráfico. Éstos son modelos, yen un experimento en rara ocasión encontramos que los datos observados se ajustan al modelo de manera exacta. Supóngase que observamos la fuerza ejercida por un resorte cuando se alarga x centímetros (véase la figura 7). Por ejemplo, cuando alargamos 0.5 centímetros el resorte, observamos una fuerza de 8 newtons, cuando lo alargamos 1.0 centímetro, observamos una fuerza de 17 newtons, y así sucesivamente. La figura 8 muestra observaciones adicionales y la figura 9 muestra una gráfica de los pares ordenados (Xi' Yi) donde Xi es la distancia que se estira y Yi es la fuerza que se ejerce sobre el resorte. Una gráfica de los pares ordenados como ésta se denomina gráfica de dispersión. Generalizamos el problema a uno en el que se nos dan n puntos (Xl> YI)' (X2' Y2),"·' (X m Yn)' Nuestro objetivo es encontrar la recta que pase por el origen y que se ajuste mejor a estos puntos. Antes de continuar, debemos introducir la notación sigma ( L).
I I
Resorte sin estirar
Más problemas sobre máximos y mínimos
4.4
SECCIÓN
r
I
I I
I I I
:---x-
1
~QQQQQQQQQ6000Q~ Resorte estirado una cantidad x
Figura 7
n
El símbolo
2: ai representa la suma de los números al' a2,· .. , ano Por ejemplo, i=l
3
2: i
2
= 12 + 22 + 32 = 14
i=l
y n
2: XiYi =
Figura 8
+
XIYI
+ ... + XnYn
X2Y2
i=l
En este caso, primero multiplicamos Xi y Yi Y después sumamos. Habrá más sobre la notación sigma en la sección 5.3. Para encontrar la recta que se ajuste mejor a estos puntos, debemos especificar cómo mediremos el ajuste. Nuestra recta que mejor ajusta, y que pasa por el origen, se define como aquella que minimiza la suma del cuadrado de las distancias verticales entre (Xi' Yi) Yla recta y = bx. Si (Xi' y¡) es un punto, entonces (Xi' bxi) es el punto sobre la recta y = bx que se encuentra arriba o abajo de (Xi' y¡). Por lo tanto, la distancia vertical entre (Xi' y¡) Y (Xi' bx¡) es Yi - bXi (véase la figura 10). Así, la distancia al cuadrado es (Yi - bX¡)2. El problema es encontrar el valor de b que minimiza la suma de los cuadrados de estas diferencias. Si definimos
y
40
•
• • 10
•
•
n
0.005
0.Ql0
0.015
0.020
0.025
S =
x
2: (Yi -
bXi)2
i=l
Distancia alargada (metros)
Figura 9 y
entonces debemos encontrar el valor de b que minimiza S. Éste es un problema de minimización como los que se encontraron antes. Sin embargo, tenga en mente, que las parejas ordenadas (Xi' Yi)' i = 1,2, ... , n están fijas; en este problema la variable es b. Procedemos como antes a encontrar dS jdb, igualando el resultado a 0, y resolviendo para b. Como la derivada es un operador lineal, tenemos
dS db
d
n
n
d
2
= db ~ (Yi - bxi)
&t db (Yi =
~ 2(y; -
2
bxJ
bx;) (:b (y; - bx;) )
n
Figura 10
= -2 2: X¡(Yi - bxJ i=l
Igualando este resultado a cero y resolviendo se obtiene
184
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada n
O = -2:¿ X/Yi - bx¡) i=l n
n
0= LXiYi-bLX; i=l n
i=l
n
b LX;
=
i=l
LXiY¡ i=l
n
b
LXiYi =_i=_l_ _ n
LX; i=l
Para ver que esto da un valor mínimo para S, observamos que d2S n
-
=2Lx 2
db 2 i=l 1 que siempre es positiva. No hay puntos frontera que verificar. Así, por el criterio de la
y
n
y = 1512.7x segunda derivada, concluimos que la recta y = bx, con b
40
=
n
LXi yj Lxi, es la reci=l
i=l
ta que mejor ajusta, en el sentido de minimizar S. La recta y = bx se denomina recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen.
EJEMPLO 6 Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen para los datos del resorte en la figura 8. Solución
10
b = 0.005 . 8 0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
x
Distancia alargada (metros)
EJEMPLO 7 La compañía XYZ fabrica estantes. El tamaño de los pedidos de los clientes (llamado tamaño del lote) varía de un pedido al siguiente. Un cliente podría ordenar 10 estantes, el siguiente 14 y el otro 6. El número de horas de mano de obra para producir estantes debe ser proporcional al tamaño del pedido, pero siempre hay un poco de variabilidad. XYZ ha obtenido los datos que se muestran en la figura 12, sobre el tamaño del lote y las horas de mano de obra y que se requirieron. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen y utilícela para predecir el número de horas de mano de obra requeridas para un tamaño de lote de 11 estantes.
Figura 12
Solución La figura 13 sugiere que los puntos caen cerca de una recta que pasa por el origen. (La recta debe pasar por el origen, ya que un pedido de tamaño cero requeriría cero horas de trabajo.) La recta de mínimos cuadrados tiene pendiente
y 30
•
27
024
b
.~
'§ 21 ~ 18 ~ 15
= 650
12
~ 1.989
Por tanto, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es y = 1.989x (véase la figura 13). La predicción para las horas de mano de obra necesarias para un pedido de 11 estantes es
9
4
10
Tamaño del lote
Figura 13
= 10 . 21 + 14 . 25 + 6 . 13 + 7 . 14 + 10 . 18 + 13 . 29 102 + 142 + 62 + 72 + 102 + 13 2 1293
"O
:r::
1512.7
Por tanto, la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es y = 1512.7 x y se muestra en la figura 11. Por consiguiente, la estimación de la constante del resorte es k = 1512.7. •
Figura 11
ti
~
+ 0.010 . 17 + 0.015 . 22 + 0.020 . 32 + 0.025 . 36 0.005 2 + 0.0102 + 0.015 2 + 0.0202 + 0.025 2
12
14
x
y
= 1.989
X 11
<::>
21.9
•
La suposición de que la recta pase por el origen es razonable, cuando una variable es proporcional a otra, pero no es razonable en muchos otros caso. Por ejemplo, el
186
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
10. Resuelva el problema 8, suponiendo que el área de cada corral es de 900 pies cuadrados. Estudie la solución de este problema y del problema 8 y haga una conjetura acerca de la razón x/yen todos los problemas de este tipo. Demuestre su conjetura.
22. Un cono circular recto puede inscribirse en otro cono circular recto de volumen dado, con los mismos ejes y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. ¿Cuál debe ser la razón entre su altura para que el cono inscrito tenga volumen máximo?
W 11.
23. Un alambre de 100 centímetros de largo se corta en dos pedazos; uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para formar un triángulo equilátero. ¿En dónde debe hacerse el corte si (a) la suma de las dos áreas debe ser mínima; (b) máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar.)
Un objeto lanzado desde el borde de un acantilado de 42 pies, 2x 2 sigue la trayectoria dada por y = - 25 + x + 42 (véase la figura 16). Un observador está de pie, a 2.6656 pies del fondo del acantilado. (a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador. (b) Encuentre la posición del objeto cuando está más alejado del observador.
24. Una caja cerrada en forma de paralelepípedo rectangular con base cuadrada tiene un volumen dado. Si el material utilizado para el fondo cuesta 20% más por pulgada cuadrada que el material para los lados y el material de la tapa cuesta 50% más por pulgada cuadrada que cada lado, encuentre las proporciones más económicas para la caja. 25. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, coronado por un domo semiesférico. Si el domo semiesférico cuesta el doble por pie cuadrado que las paredes cilíndricas, ¿cuáles son las proporciones más económicas para un volumen dado? 26. Una masa conectada a un resorte se mueve a lo largo del eje x de modo que su abscisa en el instante t es x
Figura 16
12. La iluminación en un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto a la fuente luminosa y directamente proporcional a la intensidad de la fuente. Si dos fuentes luminosas están separadas s pies y sus intensidades son I 1 el 2' respectivamente, ¿en qué punto entre ellas la suma de sus iluminaciones será mínima? GJ 13. Una pequeña isla está a 2 millas del punto más cercano, P, de una playa rectilínea de un gran lago. Si una mujer en la isla puede remar en una lancha a 3 millas por hora y caminar 4 millas por hora, ¿en dónde debe desembarcar el bote para llegar, en el menor tiempo, a un pueblo que se encuentra a 10 millas del punto P medidas sobre la playa? Véase el ejemplo 4. GJ 14. En el problema 13, suponga que, cuando llegue a la playa, la mujer será recogida por una automóvil que promedia 50 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar? GJ 15. En el problema 13, suponga que la mujer utiliza una lancha de motor, que viaja a 20 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar? 16. Una central eléctrica situada en una ribera de un río rectilíneo que tiene w pies de ancho. Una fábrica está situada en la ribera opuesta del río, L pies río abajo del punto A, que está enfrente a la central eléctrica. ¿Cuál es la ruta más económica para conectar un cable de la central a la fábrica, si cuesta a dólares por pie tender el cable bajo el agua y b dólares por pie en tierra (a > b)? 17. A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo navega con rumbo sureste a 30 millas por hora, ¿cuándo estarán más cerca uno del otro? 18. Encuentre la ecuación de la recta que es tangente a la elipse b2 x 2 + a2i = a2b2 en el primer cuadrante y que forma con los ejes de coordenadas el triángulo con menor área posible (a y b son constantes positivas). 19. Encuentre el volumen máximo que puede tener un cilindro circular recto, si está inscrito en una esfera de radio r. 20. Demuestre que el rectángulo con perímetro máximo que puede inscribirse en un círculo es un cuadrado. 21. ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto, con mayor área de superficie, que puede inscribirse en una esfera de radio r?
= sen 2t +
V3 cos 2t
¿Cuál es la mayor distancia del origen que alcanza la masa?
27. Una jardinera tendrá la forma de un sector circular (una región en forma de rebanada de pastel) de radio r y ángulo en el vértice de e. Encuentre r y e, si su área, A, es constante y el perímetro es mínimo. 28. Una barda de h pies de altura corre paralela a un alto edificio y a w pies de él (véase la figura 17). Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegue del suelo hasta la pared del edificio, pasando por encima de la barda.
Figura 17 29. (Ley de Snell). El Principio de Fermat en óptica dice que la luz viaja del punto A al punto B a lo largo de la trayectoria que requiere del menor tiempo. Suponga que la luz viaja en un medio a la velocidad C1 yen un segundo medio a la velocidad C2' Si A está en el medio 1 y B en el medio 2, y el eje x separa los dos medios, como se muestra en la figura 18, demuestre que sen 81 sen8 2 Cl
Figura 18
c2
4.4
SECCIÓN
30. La luz que proviene de A es reflejada a B por un espejo plano. Utilice el Principio de Fermat (véase el problema 29) para demostrar que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Más problemas sobre máximos y mínimos
187
(d) Trate de demostrar sus conjeturas.
GJ
31. Un extremo de una escalera de 27 pies descansa en el piso y el otro extremo está apoyado en la parte superior de una pared de 8 pies. Cuando el extremo inferior se empuja por el piso hacia la pared, la parte superior sobresale dé la pared. Encuentre la máxima distancia horizontal que sobresale del extremo superior de la escalera.
32. Tengo suficiente plata pura para cubrir un área de 1 metro cuadrado de superficie. Planeo cubrir una esfera y un cubo. ¿Qué dimensiones deben tener, si el volumen total de los sólidos plateados debe ser máximo? ¿Mínimo? (Se permite la posibilidad de que toda la plata se utilice en un sólido.) 33. Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto, como se muestra en la figura 19. Con las partes marcadas como se indica, determine x para: (a) maximizar el área del triángulo A;
z.
Z
_
Figura 19
34. Determine () de modo que el área de la cruz simétrica, que se muestra en la figura 20, se maximice. Después encuentre el área máxima.
;0
+ x + 100. Un
observador se encuentra parado a 2 pies del fondo del acantilado. (a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
[TI 38. Se produce latón en forma de rollos largos a partir de una hoja delgada. Para controlar la calidad, el inspector selecciona al azar una pieza de la hoja, mide su área y cuenta el número de imperfecciones en la superficie de esa pieza. El área varía de pieza a pieza. La tabla siguiente proporciona los datos del área (en pies cuadrados) de la pieza seleccionada y el número de imperfecciones encontrados en la superficie de esa pieza.
Pieza 1 2 3
4 5
Figura 20
!mi 35.
Un reloj tiene horario y minutero de longitudes h y m, respectivamente, con h :::; m. Queremos estudiar este reloj entre las 12:00 y 12:30. Sean (), cP y L, como se muestran en la figura 21, y observe que () aumenta a una razón constante. Por la ley de los cosenos, L = L (()) = (h 2 + m 2 - 2hm cos () ) 1/2, Y
L'(()) = hm(h 2 + m 2
=-
37. La posición de la Tierra en el sistema solar, en el instante t, medido en años, puede describirse de forma aproximada por medio de P(93 COS(21Tt), 93 sen(21Tt)), en donde el Sol está en el origen y las distancias se miden en millones de millas. Suponga que un asteroide tiene posición Q(60 cos[21T(1.51t - 1)], 120 sen[21T(1.51t - 1)]). En el periodo [0,20] (p. ej., en los siguientes 20 años), ¿cuándo el asteroide estará más cerca de la Tierra? ¿Qué tan cerca estará?
l
I¡ t ~ __.
2
de 100 pies, sigue la trayectoria dada por y
GJ!mI
f--y-j
pat: ti
36. Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado
(b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.
(b) minimizar el área del triángulo B; (c) minimizar la longitud
Figura 21
GJ [TI
-
2
2hmcos()t1/ sen()
(a) Para h = 3 Ym = 5, determine L', L YcP en el instante en que L' es máxima. (b) Vuelva a resolver la parte (a) cuando h
=
5 Ym
=
13.
(c) Con base en las partes (a) y (b), haga conjeturas con respecto a los valores de L', L YcP en el instante en que las puntas de las manecillas se separan más rápido.
Área en pies cuadrados
Número de imperfecciones en la superficie
1.0 4.0 3.6 1.5 3.0
12 9 5
3
8
(a) Haga un diagrama de dispersión con el área en el eje horizontal y el número de imperfecciones en el eje vertical. (b) ¿Le parece que una recta que pasa por el origen sería un buen modelo para estos datos? Explique. (c) Encuentre la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen. (d) Utilice el resultado de la parte (c) para predecir cuántas imperfecciones en la superficie tendría una hoja con área de 2.00 pies cuadrados. [TI 39. Suponga que cada orden tomada por la compañía XYZ (véase el ejemplo 8) requiere de exactamente 5 horas de trabajo para el papeleo; este intervalo de tiempo es fijo y no varía de lote a lote. Entonces, el número de horas requeridas y para fabricar y vender un lote de tamaño x sería:
y
=
(número de horas para producir un lote de tamaño x)
+5
198
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
4.7 El Teorema del valor medio
El Teorema del valor medio es la comadrona del cálculo -con frecuencia ayuda a formular otros teoremas que son de mayor importancia. A partir de ahora, con bastante regularidad usted verá la frase "por el Teorema del valor medio", y más adelante en esta sección, lo utilizaremos para demostrar el Teorema de monotonía, que se dejó sin demostración en la sección 4.2. En lenguaje algebraico, el Teorema del valor medio es fácil de formular y entender. Dice que, si la gráfica de una función continua tiene una recta tangente, que no sea vertical, en cada punto entre A y B, entonces existe al menos un punto C en la gráfica entre A y B en el cual la recta tangente es paralela a la recta secante AB. En la figura 1, existe exactamente un punto C; en la figura 2, existen varios.
Demostración del teorema Primero formulamos el teorema en el lenguaje de funciones y después lo demostramos.
A
Figura 1
Demostración Nuestra demostración se apoya en un análisis cuidadoso de la función s(x) = f(x) - g(x), introducida en la figura 3. Aquí y = g(x) es la ecuación de la recta que pasa por (a,f(a» y (b,f(b». Como la recta tiene pendiente [f(b) - f(a)]/(b - a) y pasa por (a,f(a»,la ecuación en la forma punto pendiente es
Figura 2 y
g(x) - f(a) =
f(b) - f(a) b _ a (x - a)
Esto, a su vez, da una fórmula para s(x):
s(x) = f(x) - g(x) = f(x) - f(a) (a,f(a))
Obsérvese de inmediato que s(b) = s(a) =
f(b) - f(a) b _ a (x - a)
°
s' ( x) = f' (x) _
y que, para x en (a, b),
f (b) - f (a ) b-a
x
Figura 3
La clave de una demostración
La clave de esta demostración es que e es el valor en el cual f'(c)
= f(b) - f(a) b -a
y s'(c) = O. Muchas demostraciones tienen una o dos ideas claves; si usted entiende la clave, comprenderá la demostración.
Ahora hacemos una observación crucial. Si supiésemos que hay un número e en (a, b) que satisface s'(c) = 0, estaría todo hecho. Pues entonces la última ecuación diría que o = f'(c) _ f(b) - f(a) b - a que es equivalente a la conclusión del teorema. Para ver que s'(c) = para algún e en (a, b), razónese como sigue. Es claro que s es continua en [a, b], ya que es la diferencia de dos funciones continuas. Así, por el Teorema de existencia de máximo y mínimo (Teorema 4.1A), s debe alcanzar sus valores máximo y mínimo en [a, b]. Si ambos valores se presentan en 0, entonces s(x) es idénticamente en [a, b], yen consecuencia s'(x) = para toda x en (a, b), mucho más de lo que necesitábamos. Si el valor máximo o el valor mínimo es diferente de 0, entonces ese valor se alcanza en un punto interior e, ya que s(a) = s(b) = O. Ahora s tiene derivada en cada punto de (a, b), de modo que, por el Teorema del punto crítico (Teorema 4.1B), s'(c) = O. Esto es todo lo que necesitábamos saber. •
°
°
°
200
CAPíTULO
4
Apl i(acianes de la derivada
Uso del Teorema En la sección 4.2, prometimos una demostración rigurosa del Teorema de monotonía (Teorema 4.2A). Éste es el teorema que relaciona el signo de la derivada de una función con el hecho de que la función sea creciente o decreciente. Demostración del Teorema de monotonía Supongamos que f es continua en 1 y que f'(x) > en cada punto interior de l. Considere cualesquiera dos puntos Xl y x 2 de 1, con Xl < x 2. Por el Teorema del valor medio aplicado al intervalo [Xl' X2], existe un número c en (Xl' X2) que satisface
°
Como f'(c) > 0, vemos que f(x 2) - f(Xl) > O; es decir, f(x 2) > f(x l ). Esto es lo que queremos decir cuando aseguramos que f es creciente en l. El caso en el que f'(x) <
F
°en 1, se maneja de manera análoga. •
Nuestro siguiente teorema se usará de manera repetida en el capítulo siguiente. En palabras, dice que dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, posiblemente la constante cero (véase la figura 7).
G
Figura 7
Geometría y álgebra Como en la mayoría de los temas de este texto, usted debe intentar ver las cosas desde un punto de vista algebraico y uno geométrico. De manera geométrica, el Teorema B dice que si F y G tienen la misma derivada entonces la gráfica de G es una traslación vertical de la gráfica deF.
Demostración
Sea H(x) = F(x)-G(x). Entonces
H'(x) = F'(x) - G'(x) =
°
para toda X en (a, b). Selecciónese Xl' un punto fijo en (a, b) Ysea X cualquier otro punto allí. La función H satisface las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo cerrado con puntos frontera Xl y x. Así que existe un número c entre Xl y X tal que
Pero, por hipótesis H'(c) = O. Por tanto, H(x)-H(XI) = 0, o de manera equivalente, H(x) = H(Xl) para toda X en (a, b). Como H(x) = F(x) - G(x), concluimos que F(x) - G(x) = H(xl).Ahora sea e = H(Xl)' y tenemos la conclusión F(x) = G(x) + C. •
Revisión de conceptos 1. El Teorema del valor medio dice que si f es en [a, b] Yderivable en entonces existe un punto e en (a, b) tal que 2. La función,f(x) = Isen xl satisface las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo [0,1] pero no en el intervalo [-1,1] ya que _
3. Si dos funciones F y G tienen las misma derivada en el inter_ valo (a, b), entonces existe una constante e tal que 4. Como DxCx4 ) = 4x3 , se sigue que toda función F que satisfa_ ce F'(x) = 4x 3 tiene la forma F(x) =
204
CAPíTULO
Aplicaciones de la derivada
4
41. Una barda, de 8 pies de altura, es paralela a un muro de un edificio y a un pie del edificio, ¿Cuál es el tablón más corto que puede pasar por encima de la barda, desde el nivel del piso, para apuntalar el muro?
x3
(a) f(x)
= 3; I = [-3, 3J
(b) F(x)
= X 3/ 5
42. Una página de un libro contiene 27 pulgadas cuadradas de im-
(c) g (x)
= x _ 1 ; I = [2, 3 J
presión. Si los márgenes superior, inferior y de uno de los lados son de 2 pulgadas y el margen del otro lado es de 1 pulgada, ¿qué tamaño de página utilizaría la menor cantidad de papel?
46. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de inflexión de la gráfica de
43. Un abrevadero metálico con extremos semicirculares iguales, sin cubierta superior debe tener una capacidad de 1287T pies cúbicos (véase la figura 1). Determine su radio r y longitud h, si el abrevadero debe requerir la menor cantidad de material para su construcción.
x
+ 1; I
=
[-l,lJ
+1
y = x4
-
6x 3
+
12x 2
-
3x
+1
47. Sea f una función continua con f(l) = -1/4, f(2) = OY f(3) = -1/4. Si la gráfica de y = f'(x) es como la que se muestra en la figura 2, haga un bosquejo de una posible gráfica de y = f(x). ¿Puede dar una representación analítica de f(x)? y 10
x
Figura 1
44. Encuentre el máximo y mínimo de la función definida en el intervalo cerrado [-2,2] por
f (x )
=
{Hx
2
+ 6x + 8), + 4x - 12,)
- 61( x 2
si -2 ::; x ::; O si O ::; x ::; 2
Determine en dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo. Haga un bosquejo de la gráfica. 45. Para cada una de las funciones siguientes, decida si se puede aplicar el Teorema del valor medio en el intervalo, I, que se indica. Si es así, encuentre todos los valores posibles de e, si no, diga por qué. Haga un bosquejo.
Figura 2
48. Haga un bosquejo de la gráfica de una función G con todas las propiedades siguientes: (a) G(x) es continua y G"(x) > Opara toda x en (-00,0) U (0,00); (b) G( .L2) = G(2) = 3; (c)
lím G(x) X~-oo
lím G(x) ( d) r~O+
= 2, =
lím [G(x) - x] x~oo
lím_ G(x)
x~o
=
= O;
oo.
4.9 Problemas adicionales Las desigualdades son un tema muy importante en matemáticas. En algunos casos uno puede utilizar álgebra para demostrar tales desigualdades; en otros casos, el cálculo desempeña un papel muy importante. Exploraremos la demostración de un conjunto de desigualdades relacionadas con la media aritmética y la media geométrica. ~
1. La media aritmética de dos cantidades está dada por
(c) Para tres números positivos a, b y e, la media geométrica se define como (abe) 113 Yla desigualdad requerida está dada por (abe) 1/3
::;
a
+b +e
3 Ahora construimos una demostración de ésta utilizando cálculo. Considérese la función
a+b 2 y la media geométrica de dos cantidades positivas está dada por
Suponga que a >
°
v;;b
y b > O.
(a) Demuestre que la desigualdad siguiente es verdadera, elevando al cuadrado ambos lados de la expresión ~¡;
a+b vab::; - 2
(b) Establezca v;;b ::; (a + b) /2 para a y b positivas, utilizando el método de cálculo. Sugerencia: Elevando al cuadrado ambos la(a + b)2 dos y dividiendo entre b > Oda F(b) = 4b . Si podemos demostrar que F tiene su valor mínimo en a, ya acabamos.
por medio de cálculo, demuéstrese que el mínimo se presenta en b
=
a ; e y está dado por ( a ; b ) 2. Ahora, utilizando el resul-
tado de la parte (b), conclúyase que (abe) 1/3
::;
a
+b +e
3 2. Demuestre que de todas las cajas de tres dimensiones, con un área de su superficie dada, el cubo es la de mayor volumen. Sugerencia: El área de la superficie es S = 2(lw + lh + hw), y el volumen es V = lwh. Utilice el problema 1 para demostrar que (V 2 )1!3 :::; S/6. ¿Cuándo se cumple la igualdad?
'ii PRY!C1FØ DE TECNL1A 4.1 H
R
I
i
a
I
I
a
I
..
1
2 fIexiOn y r.LtrJ.ciL. ue U Iuz F
Ley
dereflex'.on La le' de reflexión
est ablece que .i rigulo de incidencia 9 a un haz de ii es igual al Iingulo di. reflexión 02; esto es, 0 = 02, 0 de man era equivai1ente, a = /3 (vdase La 1áS, Si Ia velocidad de fig ura 1). Adei11 Ia IL'zeneliC edio es constante, ent( rnces la tral ectoria de Ia reilexiOn di'.,sde un pun5to P a in nunto Q con-
x1 = x0
a ,'
'I punto de refi xiOn R. coil ciden en 11 con o en la h1 ura 1. Q
RI
I/)\
y = f(x) y de la aproximaciOn lineal a f(x) en x0.
= C?
E
I
jercicio 4
i) Utilice su aproximación a la raIz del polinomio de cuarto grado oh-
\
tenido en el ejercicio 2, como el valor x0 anterior y calcule la x1 mejo-
Q
Figura 2 GeometrIa de refracci II
iizaciOn del punto de reflexión ...r incluI; ye un poLinomio de cuarto grado:
-
U=
Figura 1
rada del ejercicio 3. Evalüe f(x0) y f(x1). (b') T epita el proceso anterior para
obiier ur x2 que sea una mejor . de - value f(x0), f(x1) y
- cflx3
.
Ejercicio 2 Demue ,tre aue, para los valores a = b = 1, i = 4, = 1 y c2 = 1/2, la ecuación anterur para Ia Inca-I
Ejeirciciol
ii os P v Dados riLospurt quc remos d eterniina 1 ubicacidn del puritc ' refle:dón ei Ii ii terfaz (diga-
desde mos- medi'ua hor1zondhijente untos). Con ii. en 1a figura 1 uno d. . - :gase o1ue los dos 0r unios etáu sesupOrr
op
para los w.n( ) del otrc p01' uria Jistancia 1, y que sus- c!isancias vertihot izontai = relJiectora son a cale s desdi -Ia intertaL., EU': a Ley de e tiramente. -'. -Utiiix y b, r.STC ret1ex n Euca deduci±runa exi ,resiór .. Verifipara x e,i tdrminos k que: Par ii = 50,b -=25 y L = I 50,lc respw 4a correcta P ara x es 100 1
-
1
.
L
ii.
2L(
± [L2(c - + 'b2 - ca2]x2 (2) '-2Lca2x L2c2
x
GeometrI de reflexioi
ir )gIa "de Ia te c:IL.)k Us,
1
ii de r fr ac nado co'i el ángulc - IOn )O medio de Ia ri'lari
sen 0 2 1
&Jfl
6
2CC
it para ayudar a unos buzos a reuliza -
ariarupturadeuntubo(véasela
-
IiLacIOn del nunto de efracción se reLI
duc a
I
F,s
+ SIx2 -
- 32--+6L = 0
h 1Ltima ecuaciul , e
realidad, tie-
r L)ibuje
Ia gráfica ciue nuestre las ubicaciones aroximauas de las dos r1aires. ii por qué c' solo Ufl a ne las (h ExpLiçue ralces es relevaiiie ) ara e.I probleL
LI
d hi' te puede acercarse a 20 pies del 1
L.
o, ,a qué ángulo debe apuntar el fare para iluminar la ruptura en el tuLUD
r k dos raIces reales.
a)
1i ;ura 3). La ruptura en el tubo seencuer 'tra 6 pies por debajo del nivel de Ia F rficie del agua, y el faro 5 pies 'adelasuperficiedelagua.Si r or
IL
na de efrac ión. C
- ri tr (c) EncueuLCe la .rafzi erievant, con 4nificativ ;, y explique dos cifras sig.. -1j' su i 'al :r oara x tiecómo sabe q. r)re'T:ir[. ne esa-----.-is. Ejercicio 3 Sup onga que qeri'mos encontrarli'n ct al que;J = C, v uue rrtna a te nernos un' x0 qi Consid re a x0 corno una aproximación in ru a Ia raIz -. Er Lon es podemos m eior'r 1uestr t iprc xiunaciOn inicia1x0p a cbtene un- a eior 'pro-
1
C
bu? F ara el aire, c1 = 1, y para el agua, C2 = 0. '7
Deduzca la ecuación (2). rencta Inicie con Ia ecuacion (1) y susti tuya las expresiones para sen 6 y sen Utilice un CAS para simplificar Ia expresiOn resultante. En Matemática pued e utilizar el comando Collect introdu 'iendo Collect[expresión. x] para Car potencias iguales de x. El coman'Jo Co lect de Maple funciona di' m 1nerasemejante. EjiE 'rci cio 6
-
I
- -
(1)
2
(véase Ia I igu - ra 2). AquI c1 y c-, son las veic rjuades respectivas de Ia luz, &C ba y d lebajo Cle I i interfaz. En c ontiaste al caso de la reflexión, en dond e i nunto de reflexión p u,..- ii' encont rarse d. .nanera explIcita, la locar 1
,'RfIexión jT j-1 5 'i boteconunfaro,se EIC.LJ
flI
-
..
-: Snc' eli-La h de r etracc 1011 1) Ley dira -IIia iey de Si. ll) establece inter.z cue sepal.ac do; ni.dios ci ángulo de incidenii 9 est a ri i c
f'(x)
en la misma ventana las gráficas de
L-x
-
h
f(x)
(c) Presente una gráfica que muestre
de dos sc'tnentos de recta que
SistI
) Demuestre que esta recta intersecta al eje x en el punto
(I
I. Pr paració n
5 pie-
ximaciOn.
(a) Encuentre La c:;i ia L,_ 6n ic Ia :ecta fllI a Ia g:afica rde que es tanC eute .
J
i
y = f(x) "t
)Ufl( ( x0, f(x0)). [En Ia secc iOn - 3',10, 1..e liamamos a . . ciidn iinea a f(x) ésta la rrnxjma 11.
LI
I
en x0.]
Figura 3
2Opies
PROYECTO DE TECNOLOGIA 4.2
__.J._.___. -- - -.-- ..
Un problema de optimización optimización Un
I
11. Uso USO de Ia la tecnologIa tecnología II.
l. Preparación I. Preparación
Ejercicio 2 La varilla descrita en ci el Con difícil Con frecuencia, frecuencia,la laparte partemás rnás difIcil Ejerciclo con respecto aplicados con respectoa aproblemas problemas aplicadosejercicio 1 tiene longitud máximos yy mInimos mínimos es es plantearplantearde máximos 66 66 los. Una usted encuentra encuentra Ia la los. Una vez que usted L=a+b=--++ cost COSI sen I sent función objetivo, funciOn objetivo, por por lo regular no no es es demasiado difícil determinar ci el ópópdemasiado difIcil 6sect + +6csct = 6sect 6cscl
La+b
timo. tlTIo.
Ejercicio Un pasillo pasillo de de 6 pies de anEjercicio 11 Un
vuelta en en ángulo ángulo recto. recto. cho tiene una vuelta ¿Cuál ,Cuá1 es es la Ia longitud longitud de la varilla más larga que puede transportarse transportarsealredealrededor de la la esquina, esquina, suponiendo suponiendoque queLa la varilla no puede inclinarse? La varilla más más larga larga tocará tocará apeapela esquina la vueita vuelta y nas Ia esquina interna interna de Ia las paredes exteriores exteriores del del pasilo. pasillo.EtiEtiquétese A, B, B, C, D y E coquetese los puntos A, en la la figura figura 1. 1. Sea tI Ia la medida del mo en LABD. ángulo ángulo LABD. (a) Demuestre que tI también también es es Ia la meDemuestre que dida dida de de LACE. (b) Utilice trigonometría trigonometrIa para determinar las longitudes longitudes aa yy b.
6 pies
Figura 11
Encuentre Ia la derivada iguálela derivada dLJdl, dL/dt, iguáiela resuélvala para para t.t. a cero y resuélvaia Ejercicio 3 Para ver si hemos encontrado un unmInimo mínimo0oUfl un máximo, máximo, grafIgrafítrado como iunción función de de 1.l. También quese L como evaluar Ia la segunda derivada derivada de de debe evaluar LL en el de t.l. El valor de tI ci valor óptimo optimo de que encontrO, encontró, Lproporciona ¿proporciona ia la varilia varilla más corta corla o la varilla varilla rnás más larga que ,nás puede transportarse airededor alrededor de de Ia la esquina? esquina? Explique. Expli~ue.Sugerencia: Sugerencia: Si tI es pero positiva, positiva, ,1a ¿la muy cercana a cero, pero varilla será más larga o más más corta? corta? varilla ¿Cabrá ,Cabrá alrededor airededor de la la esquina? esquina? ¿Qué ,Qué sucede si es cercana, pero un poco poco menor, a ir/4 11"/4(p. (p. ej., ej.,900)? 90°)? Ejercicio 4 Ahora, cámbiense las medcl pasillo. pasiilo. Supóngase Supongase que que un cocodidas del rredor rredor es de 6.2 pies de de ancho yy el ci otro otro de 8.6 pies la Ionlonpies de de ancho. Encuentre Encuentre Ia gitud de Ia la varilla varilla más más larga iarga que que puede dar ia la vueita vuelta en Ia la esquina.
105°
Figura 22
111. Ref Reflexión III. Iexión Ejercicio 6 Por üitimo. último, suponga que el una altura altura de de 9.7 9.7 pies, pies, ci techo tiene una los corredores forman un un ánguio ángulo rectoy to y que que ci el ancho ancho de de los los corredores corredores son 6.2 6.2 y 8.6 8.6 pies. pies. Suponiendo Suponiendo que que usted inclinar la la varilla, varilla, ¿cuál es La la puede inclinar cuá1 es longitud de la varilla varilla más larga que que longitud puede transportarse airededor alrededor de de Ia la esquina? Sugerencia: Sugerencia: Este esquina? Este no no es un probiema problema de cálcuio, cálculo, utilice su resrespuesta del del ejercicio ejercicio 4. 4.
Ejercicio problema, suEjercicio 5 Para este prohiema, los corredores corredores no forman póngase que los forman un un un un ángulo anguio recto, recto,sino sinoque qu forman ngulo de 105°, como como se se muestra muestra en Ia ángulo la figura 2. 2. Ambos Ambos corredores corredores con 6 pies figura de ancho. ancho. Nuevamente, Nuevamente, encuentre encuentre la la varilia varilla más larga que longitud longitud de Ia puede dar la vuelta en Ia la esquina.
207
Riemarin recibiO de su
padre, un ministro protestante Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866
alemán, su primera educaciOn. Bernhard
Cuando fue al colegio, en 1846, iba a
estudiar filologIa y teologla. Por fortuna para las matemáticas, escogió
Ia universidad de Gottinga, que entonces era el centro del mundo de los matemáticos y que lo seguirIa siendo por más de 100 años. Bajo Ia
influencia de W. E. Weber, un fisico de primer orden, y de Karl F. Gauss, el
más grande matemático de esa epoca. No pudo haber deseado mejores maestros. En 1851, recibiO su
...yhoyendIa
doctorado en filosofla de manos de
Utilizando las ideas descritas al fi-
Gauss, después de lo cual se dedicó a
nal de Ia secciOn 5.2, los matemáticos calculan Ia velocidad exacta que debe alcanzarse para colocar un satélite en una Orbita alrededor de Ia Tierra.
Ia enseñanza en Gottinga. MuriO de tuberculosis 1 5 años más tarde.
La vida de Riemann fue corta, sOlo
de 39 años.No tuvo tiempo de producir el volumen de matemáticas de un Cauchy o de un Euler, pero su trabajo es impresionante por su calidad y profundidad. Sus manuscritos de matemáticas abren nuevas direcciones en Ia teorla de las
funciones complejas, inician el estudio profundo de lo que hoy se llama topologla y emprende en geometrIa un desarrollo que iba a culminar 50 años más tarde con Ia teorla de Ia relatividad de Einstein. Asociamos a Riemann con este capItulo debido a que,
aunque tanto Newton como Leibniz dieron una versiOn de Ia integral y conocieron el teorema fundamental del cálculo integral, fue éI quien nos proporcionO Ia definiciOn
moderna de integral definida. En su honor se llama integral de Riemann.
208
La integral 5.1
5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Antiderivadas (integrales indefinidas) IntroducciOn a ecuaciones diferenciales Sumas y notaciones sigma IntroducciOn al area
La integral definida El primer teorema fundamental del cálculo El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales EvaluaciOn de integrales definidas 5.8 Revision del capItulo 5.9 5.10 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 5.1 Sumas de Riemann Proyecto de tecnologIa 5.2 Funciones de acumulación
5.1
Antiderivadas (integrales indefinidas)
La mayorIa de las operaciones matemáticas con que trabajamos vienen en pares de inversas: suma y resta, multiplicación y division, elevaciOn a potencias y extracción de raIces. En cada caso, la segunda operación deshace la primera y viceversa. Una razón para nuestro interés en las operaciones inversas es su utilidad en La resolución de eduaciones. Por ejemplo, la resolución de x3 8 implica el uso de extraer raIces. En los ültimos dos capItuLos, hemos estudiado derivación. Si queremos resolver ecuaciones que incluyan derivadas necesitaremos su inversa, denominada antiderivación o integración.
Definición Llamamos a F una antiderivada de f en el intervaLo I si DF(x) f(x) en I, esto es, Si F'(x) = f(x) para toda x en I. (Si x es un punto frontera de I, F'(x) sOlo necesita tener derivada unilateral.) En nuestra definición, utilizamos una antiderivada, en lugar de la antiderivada. Pronto vera por qué. EJEMPLO 1
Encuentre una antiderivada de la funciOn f(x) = 4x3 en (oc, oc).
Solución Buscamos una funciOn F que satisfaga F'(x) = 4x3 para toda x real. De nuestra experiencia con derivación, sabemos que F(x) = x4 es una de tales funciones. U
En cada caso
Figura 1
Un momento de reflexión sugerirá otras soluciones para el ejemplo 1. La función F(x) = x4 + 6 también satisface F'(x) = 4x3; tamhién es una antiderivada de f(x) = 4x3. Dc hecho, F(x) = x4 + C, donde C es cualquier conStante, es una antiderivada de 4x3 en (oc, oc) (véase la figura 1).
209
21 O
CAPíTULO
5
La integral
Ahora planteamos una pregunta importante. ¿Toda derivada de ¡(x) = 4x 3 es de la forma F(x) = x 4 + C? La respuesta es sí. Esto se deduce del Teorema 4.7B, que dice que si dos funciones tienen la misma derivada, deben diferir en una constante. Ésta es nuestra conclusión. Si una función ¡ tiene una antiderivada, tendrá una familia de ellas, y cada miembro de esta familia puede obtenerse de uno de ellos sumando una constante adecuada. A esta familia de funciones le llamamos la antiderivada general de f. Después de acostumbrarnos a esta noción, con frecuencia omitiremos el adjetivo general.
EJEMPLO 2 Encuentre la antiderivada general de ¡(x)
= x 2 en (-00,00).
Solución La función F(x) = x3 no funcionará ya que su derivada es 3x 2 • Pero esto sugiere F(x) = ~X3, la cual satisface F'(x) = ~ . 3x 2 = x 2• Sin embargo, la antideri• vada general es ~ x 3 + c.
Notación para las antiderivadas Como utilizamos el símbolo Dx para la operación de tomar la derivada, sería natural utilizar A x para la operación de encontrar la antiderivada. Así, Ésta es la notación empleada por varios autores y, de hecho, fue usada en ediciones anteriores de este texto. Sin embargo, la notación original de Leibniz continúa gozando de una popularidad aplastante, y por tanto decidimos seguirla. En lugar de A x ' Leibniz utilizó el símbolo dx. Él escribió
J...
j x' dx = ~ x 3
+C
x4
+C
y
j 4x 3 dx
=
Pospondremos, hasta más adelante, la explicación del por qué Leibniz eligió utilizar la s alargada, s, y la dx. Por el momento, basta con considerar a dx como indicación de la antiderivada con respecto a x, al igual que D x indica la derivada con respecto a x. Obsérvese que
J
J...
Dxjf(X)dX=f(X)
Demostración
jDx!(X)dX=f(X)+C
y
Para establecer cualquier resultado de la forma
j f(x) dx
= F(x) + C
todo lo que tenemos que hacer es demostrar que
DA F(x) En este caso, xr+l
D [ - - +C x r-+ 1
]
+ c]
=
f(x)
1 =--(r + l)x r =x r r +1
•
Hacemos dos comentarios con relación al Teorema A. Primero, el teorema incluye al caso r = O; es decir,
SECCIÓN
5.1
Antiderivadas (integrales indefinidas)
211
Segundo, puesto que no se especificó ningún intervalo, la conclusión se entiende que será válida sólo en intervalos en los que x r esté definida. En particular, debemos excluir cualquier intervalo que contenga al origen si r < O. Siguiendo a Leibniz, a veces usaremos el término integral indefinida en lugar de antiderivada. Cabe indicar que antiderivar equivale a integrar. En el símbolo J f(x) dx, se denomina signo de integral y f(x) se llama integrando. Así, integramos el integrando y de este modo evaluamos la integral indefinida. Tal vez Leibniz utilizó el adjetivo indefinida para sugerir que la integral indefinida siempre incluye una constante arbitraria.
J
EJEMPLO 3
Encuentre la antiderivada general de f(x) =
43 X / •
Solución X7/3
J
4 3 X /
•
7 3 + e = ª-X / + e 7
dx = - 7
3
Obsérvese que para integrar una potencia de x aumentamos el exponente en 1 y dividimos entre el nuevo exponente.
Demostración Simplemente obsérvese que DA-cos x) = sen x y DAsen x) = cos x.
La integral indefinida es lineal
•
Recuérdese del capítulo 3 que D x es un ope-
rador lineal. Esto significa dos cosas. 1. DA kf(x)] = kDxf(x) 2. DAf(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x) De estas dos propiedades, de manera automática se deduce una tercera.
3. DAf(x) - g(x)] = Dxf(x) - Dxg(x) Resulta que
J... dx también tiene estas propiedades de un operador lineal.
Demostración Para demostrar (i) y (ii), basta con derivar el lado derecho y observar que obtenemos el integrando del lado izquierdo. Dx [ k J f(x) dx ] Dl[ f(x)dx
+
J g(X)dX]
= kDxJ
f(x) dx
= kf(x)
= DxJ f(x)dx + Dx J = f(x)
g(x)dx
+ g(x)
.La propiedad (iii) se deduce de (i) y (ii). •
EJEMPLO 4
Utilizando la linealidad de
(a) J(3x 2 + 4x)dx
(b)
J, evalúe
f(U 3/2 - 3u + 14)du
(c) J(1/t 2 + Vi)dt
212
CAPíTULO
5
La integral
Solución
j(3x2 + 4x)dx = j 3x 2 dx + j 4x dx
(a)
=3 jx 2 dX +4jXdX
= x 3 + 2x
2
= x 3 + 2x 2
+ (3Cl + 4C2 ) +C
Aparecieron dos constantes arbitrarias C l y C 2, pero se combinaron en una constante, C, una práctica que seguiremos de manera consistente. (b) Obsérvese el uso de la variable u en lugar de x. Esto está bien, mientras que el correspondiente símbolo de la diferencial sea du, entonces como tenemos un cambio completo en la notación
j
3 2 (U / -
3 2 U /
3u + 14)du = j
= ~ U 5/ 2
(c)
j
(~ + \Ít) dt =
du ~ u2
-
3j
+
u du + 14 j
14u
1 du
+C
j (r 2 + t' /2 )dt = jr2 dt + jt'/2 dt el
1
(3/2
+-
=-
-1
2
+C = - - +-
~
(3
(3/2
•
+C
Regla generalizada de la potencia
Recuérdese la regla de la cadena como
se aplicó a una potencia de una función. Si u número racional (r ::j; -1), entonces
= g(x) es una función derivable y r es un
U,+l ]
Dx [ r
+1
= u' . D x u
o, en notación de funciones,
De esto, obtenemos una regla importante para integrales indefinidas.
Para aplicar el Teorema D, debemos ser capaces de reconocer las funciones g y g' en el integrando.
EJEMPLO 5 Evalúe (a) J(x 4 + 3x)30(4x 3 + 3)dx y (b) J senlO x cos x dx. Solución (a) Sea g(x) = x4 + 3x; entonces g'(x) = 4x3 + 3. Así, por el Teorema D,
j(
x 4 + 3x )30( 4x 3 + 3 ) dx
=
j[ g(x) J30 g'(x) dx (x 4 + 3X)3l 31
+C
l
[g(x)Y = 31
+C
SECCIÓN
(b) Sea g(x)
5.1
Antiderivadas (integrales indefinidas)
213
= sen x, entonces g/ex) = cos x. Por tanto,
j
10
sen x cos x dx =
j[
g(x)
JlO
g/(x) dx =
[g(X)J11 11 +C
• El ejemplo 5 muestra por qué Leibniz usó la diferencial dx en su notación J ... dx. Si hacemos u = g(x), entonces du = g/(x)dx. Por tanto, la conclusión del Teorema D es
j
u,+!
u'du = - - +C
r
+1
r *"-1
'
que es la regla común para la potencia con u como variable. Así, la regla generalizada para la potencia es sólo la regla común para la potencia aplicada a funciones. Pero, al aplicarla, siempre debemos estar seguros de que tenemos du para ir con u'. Los ejemplos siguientes ilustran lo que queremos decir. EJEMPLO 6
(c)
Evalúe
+ 6x)\6x 2 + 2 J(x 2/2 + 3?x dx.
(a) J(x
3
12)dx
Solución (a) Seau = x 3 + 6x;entoncesdu = (3x 2 + 6)dx.Así, (6x 2 + 12)dx = 2(3x2 + 6)dx = 2 du, y entonces
j (x 3 + 6x)'(6x 2 + 12)dx = j u5 2du
= 2 j u' du =
2[ ~6 + e]
u6 =-+2C 3
(x 3 + 6X)6 3
+K
Deben notarse dos cosas con respecto a nuestra solución. Primero, el hecho de que (6x 2 + 12) dx es 2du en lugar de du, no causa problema; por la linealidad de la integral, el factor :2 pudo colocarse al frente del signo de la integral. Segundo, terminamos con una constante arbitraria 2C. También ésta es una constante arbitraria; llamémosle K. (b) Sea u = x 2 + 4; entonces du = 2x dx. Así,
j(x2 + 4) lO x dx = j(x2 + 4)10. ~. 2x dx
= ~j ulO du 11
=
~ (u + 2
11
c)
(x 2 + 4)11 22
+K
(c) Sea u = x 2/2 + 3; entonces du = x dx. El método ilustrado en las partes (a) y (b) falla, ya que x 2 dx = x(x dx) = x du, y la x no puede pasarse al frente del signo de
214
La integral
5
CAPíTULO
la integral. (Sólo puede hacerse con un factor constante.) Sin embargo, podemos desarrollar el integrando por medio del álgebra común y después utilizar la regla para la potencia.
1(~2 +
1(:4 + = 1(:6 +
2
3)' x dx =
x7
=-
28
3x2
+ 9 )x2 dx
3x·
+ 9x2 )
3x 5
+5
+3x3
dx
•
+C
Revisión de conceptos 1. La regla de la potencia para derivadas dice que d(xr)ldx = La regla de la potencia para integrales dice que x r dx =
J
_ _ _o
ra integrales dice que J r :f:--l.
3. J(x 4 2. La regla generalizada de la potencia para derivadas dice que d[¡ (x) y / dx = . La regla generalizada de la potencia pa-
dx
=
[¡(x)y+l/(r + 1) + e,
+ 3x 2 + 1t(4x 3 + 6x)dx =
4. Porlinealidad, J[ clf(x)
_
+ C2g(X)] dx =
_
Conjunto de problemas 5.1 Encuentre la antiderivada general F (x) + C para cada una de las funciones siguientes. 1. f(x) = 5
3. f(x) = x 2 +
7T
X5 / 4
5. f(x)
=
7. f(x)
= l/V?
9. f(x) =
11. f(x)
=
2. f(x) = x - 4 4. f(x) = 3x 2 + 6. f(x)
x3
-
3X2/3
=
8. f(x) = 7X- 3 / 4
x2 - x 4x5
v!3
10. f(x)
=
12. f(x)
=
3x2 - 7TX x lOO + X99
= 27x + 3x - 45x + V2x 14. f(x) = X2(X 3 + 5x 2 - 3x + v!3) 7
13. f(x)
5
3
Vh
2
15. f(x) = x 2 - x 3 17. f(x) =
16. f(x) = -x-
+ 3x 4
4x 6
3
3
X
18. f(x) =
3
+ x5
6 --3-
x
x
30. J (5x 2 + 1)Y5x 3
20. J (x
+ 1)2 dx
22. J (z
21. J (x
(Z2
23.
J
+ II
vz
dz
24.
25. J (senfJ - cos fJ) dfJ
3
32. J
33. J"(x) = 3x + 1
34. f"(x) = -2x + 3
3y dy Y2 y 2 + 5 En los problemas del 33 al 38 se da f"(x). Encuentre f(x) antiderivando dos veces. Obsérvese que en este caso su respuesta debe incluir dos constantes arbitrarias, una proveniente de cada antiderivación. Por ejemplo,sif"(x) = x,entoncesf'(x) = x2/2 + Clyf(x) = x3 /6 + C 1x + C2. Las constantes C l y C 2 no pueden combinarse ya que Cl no es una constante. 35. f"(x)
= \IX
36. f"(x) =
37. f"(x)
+ -1 = -x - 3
38. f"(x) =2Vx+1
X
39. Demuestre la fórmula
J
[¡(x)g'(x)
+ V2Z)2 dz
Jses +
~
1)2
ds
26. J (t 2 - 2 cos t) dt
En los problemas del 27 al 32, utilice los métodos de los ejemplos 5 y 6 para evaluar las integrales indefinidas. 27. J (V2x
+ 1)3 V2 dx
29. J (5x 2 + 1 )(5x 3
+ 3x
28. J (7TX
- 8)6 dx
3
+ 1t37Tx2 dx
4 3 X /
4
X
+ \IX)dx
- 2 dx
31. J3t V2t 2 - 11 dt
En los problemas del 19 al 25, evalúe las integrales que se indican. 19. J (x 2 + x)dx
+ 3x
+ g(x)f'(x)] dx = f(x)g(x) + e
Sugerencia: Véase el primer enunciado en la demostración del TeoremaA. 40. Demuestre la fórmula
g(x)f'(x) - f(x)g'(x) - - - - - - - - dx g2(X) J
f(x)
= -- + e g(x)
41. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar
42. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar
J[
-X3
(2x
+ 5)3/2 +
] 3x 2 Y2x + 5 dx
43. Encuentre Jf"(x)dx si f(x)
= x~.
SECCiÓN
2g(x)f'(x) - f(x)g'(x) _ ,
2[g(x)]
Introducción a ecuaciones diferenciales
215
rn 49.
44. Demuestre la fórmula
!
5.2
3/2
-
Algunos paquetes de software pueden evaluar integrales indefinidas. Utilice su software en cada una de las integrales siguientes.
~
~ ~ +C
vg(x)
(a) !6sen(3(X -2))dx
(b) !sen3 (x/6)dX
45. Demuestre la fórmula
!
fm-l(x)gn-l(x)[ nf(x)g'(x)
~
fm(x)gn(x)
+c
+ 1t] cos [(x 2 + 1t](x 2 + 1)3 x dx
Sugerencia: Sea u = sen (X Z + 1 47. Encuentre! Ixl dx.
[illQ~ SO. SeaFo(x) =
xsenxy Fn+1(x) =
Respuestas a la revisión de conceptos: 48. Encuentre ! sen2 x dx.
5.2
Fn(x) dx.
F 16 (X).
t
Introducción a ecuaciones diferencia les
!
(a) Determine F 1(x), Fz(x), F3(x) y F4(x). (b) Con base en la parte (a), haga una conjetura sobre la forma de
46. Encuentre la integral indefinida ! sen3 [(x 2
+ xsen 2x) dx
(c) ! (x 2 cos 2x
+ mg(x)f'(x)] dx
1. r x r - 1; x r + 1/ (r
+ 1) + C,
r =1= -1 2. r[J(x)]'-l f'(x); [f(x)]'f'(x) 3. (x 4 + 3x z + 1t/9 + C 4. c1Jf(x)dx + czJg(x)dx
En la sección anterior, nuestra tarea fue integrar (antiderivar) una función f para obtener una nueva función F. Escribimos
J
= F(x) + e
f(x)dx
y,por definición,esto fue correcto siempre y cuando F'(x) = f(x).Ahora F'(x) = f(x) en el lenguaje de derivadas es equivalente a dF(x) = f(x)dx en el lenguaje de diferenciales (véase la sección 3.10). Por tanto, podemos interpretar la fórmula del recuadro como
J
dF(x)
= F(x) + e
Desde esta perspectiva, integramos la diferencial de una función para obtener la función (más una constante). Éste fue el punto de vista de Leibniz; adoptándolo nos ayudará a resolver ecuaciones diferenciales.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Para motivar nuestra respuesta, empeza-
mos con un ejemplo sencillo.
EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación, en x y y, de la curva que pasa por el punto (-1,2) Ycuya pendiente en cualquier punto de la curva es igual a dos veces la abscisa (coordenada x) de ese punto. Solución
La condición que debe cumplirse en cada punto (x, y) de la curva es
dy -=2x dx Estamos buscando una función y = f(x) que satisfaga esta ecuación y con la condición adicional de que y = 2 cuando x = -1. Sugerimos dos formas de ver este problema.
Método 1 Cuando una ecuación tiene la forma dy jdx = g(x), observamos que y debe ser una antiderivada de g(x); esto es, y En nuestro caso,
=
J
g(x)dx
216
CAPíTULO
5
La integral
y=x 2 +C y
C=2, 1, O, -1, -2
\ I I //
Método 2 Considérese a dy jdx como un cociente de dos diferenciales. Cuando multiplicamos ambos lados de dy jdx = 2x por dx, obtenemos
dy
= 2x dx
Ahora, integramos las diferenciales de ambos lados, igualamos los resultados y simplificamos
j dy j2XdX =
y
+ Cl
= x2
y = x
2
y = x2
x
+ C2 + C2
-
Cl
+C
El segundo método funciona en una gran variedad de problemas que no están en la sencilla forma dy jdx = g(x), como veremos. La solución y = x 2 + C representa la familia de curvas ilustrada en la figura 1. De esta familia, debemos seleccionar aquella para la que y = 2 cuando x = -1; por tanto, queremos que Figura 1
2
= (-1)2 +
C
•
Concluimos que C = 1 Ypor tanto que y = x 2 + 1.
Las ecuaciones dy jdx = 2x y dy = 2x dx se denominan ecuaciones diferenciales. Otros ejemplos son dy dx = 2xy + sen x
ydy=(x 3 +1)dx d2 y dx 2
dy
+ 3 dx
- 2xy = O
Cualquier ecuación en la que la incógnita sea una función y que incluya derivadas (o diferenciales) de esta función desconocida se denomina ecuación diferencial. Cuando una función se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación diferencial. Por tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida. En general, ésta es una tarea difícil y sobre la que se han escrito muchos y extensos libros. Aquí sólo consideraremos el tipo más sencillo, las ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Éstas son ecuaciones que incluyen sólo a la primera derivada de la función desconocida y son tales que las variables pueden separarse, una en cada lado de la ecuación.
Separación de variables
Considere la ecuación diferencial dy x + 3x 2
dx
y2
Si multiplicamos ambos lados por idx, obtenemos y2 dy = (x + 3x 2) dx En esta forma, la ecuación diferencial tiene separadas sus variables; es decir, los términos que incluyen a y están en un lado de la ecuación y los de x en el otro. En forma separada, podemos resolver la ecuación diferencial utilizando el método 2 (integrar ambos lados, igualar los resultados y simplificar), como lo ilustramos ahora. EJEMPLO 2
Resuelva la ecuación diferencial
dy x + 3x 2 dx y2 Después encuentre aquella solución para la cual y = 6 y x
= O.
SECCIÓN
Solución
5.2
Introducción a ecuaciones diferenciales
217
Como se observó anteriormente, la ecuación dada es equivalente a
dY = (x
y2
+
3x 2 ) dx
ASÍ,
j y2 dy = j(x + 3x 2)dx x2
y3
3 + Cl y3
2 + x 3 + C2
=
3x 2 + 3x 3 2 3x 2 = - +3x 3 2 = -
+ (3C 2
-
3C1 )
+C
Para encontrar la constante C, utilizamos la condición y = 6 cuando x = O. Esto da
6=* 216 =C Por tanto,
Para verificar nuestro trabajo podemos sustituir este resultado en ambos lados de la ecuación diferencial original para ver que dé una igualdad. También debemos verificar que y = 6 cuando x = O. Al sustituir en el lado izquierdo, obtenemos
dy 1 dx = 3
(3X 2 )-2/3 2 + 3x + 216 (3x + 9x 3
x
(~X2
2 )
+ 3x 2
+ 3x 3 + 216)2/3
En el lado derecho, obtenemos
x
+ 3x 2 y2
x (~X2
+ 3x 2
+ 3x 3 + 216)2/3
Como se esperaba, las dos expresiones son iguales. Cuando x = O, tenemos
1/3 . 2+ 3 • 03 + 216 = V2i6 = 6
0 Y = ~-2-
ASÍ, Y = 6 cuando x = O, como esperábamos.
•
Problemas sobre movimiento Recuérdese que si s(t), v(t) y a(t) representan la posición, velocidad y aceleración, respectivamente, en el instante t de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado, entonces ds v(t) = s'(t) = dt dv d 2s a(t) = v'(t) = - = -2 dt dt En algún trabajo previo (véase la sección 3.7), supusimos que s(t) era conocida, ya partir de esto calculamos v(t) y a(t). Ahora queremos considerar el proceso inverso; dada la aceleración a(t), encuéntrese la velocidad v(t) y la posición s(t).
218
CAPíTULO
5
La integral
EJEMPLO 3 Problema de un cuerpo que cae Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración a la que cae un objeto, debido a la gravedad es 32 pies por segundo por segundo, siempre y cuando la resistencia se pueda despreciar. Si un objeto se lanza directamente hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies (véase la figura 2) con una velocidad de 50 pies por segundo, encuentre su velocidad y altura 4 segundos después.
Figura 2
Solución Supongamos que la altura s se considera positiva hacia arriba. Entonces v = ds Idt inicialmente es positiva (s está aumentando), pero a = dv Idt es negativa. (La fuerza debida a la gravedad es hacia abajo, por lo que v disminuye.) De aquí que, iniciamos nuestro análisis con la ecuación diferencial dv Idt = -32, con las condiciones adicionales de que v = 50 Y s = 1000 cuando t = O. Cualquiera de los métodos, el1 (antiderivación directa) o el2 (separación de variables), funcionan bien. dv -=-32 dt
J
-32 dI
v =
Como v = 50 en t = O, encontramos que
e
=
-321
+e
= 50, Y así
I v = -32t + 50 I Ahora, v = dsldt, por lo que tenemos otra ecuación diferencial
ds = -32t dt
-
+ 50
Cuando integramos, obtenemos
s
=
J
(-321
= -16t 2
+ 50) dI
+ 50t +
K
Ya que s = 1000 en t = O, K = 1000 Y
I s = -16t2 + 50t + 1000 I Por último, en t = 4,
v = - 32( 4) + 50 = -78 pies por segundo s
= -16(4)2 + 50(4) + 1000 = 944 pies
•
Hacemos notar que si v = va y s = So en t = O, el procedimiento del ejemplo 3 lleva a las conocidas fórmulas de caída de un cuerpo: a = -32 v s
= -32t + 2
va
= -16t + vot +
So
EJEMPLO 4 La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado está dada por a(t) = (2t + 3)-3 en metros por segundo por segundo. Si la velocidad en t = Oes 4 metros por segundo, encuentre la velocidad 2 segundos más tarde.
Solución Empezamos con la ecuación diferencial de la primer línea, de las ecuaciones que se muestran a continuación. Para realizar la integración en la segunda línea, multiplicamos y dividimos entre 2, así preparamos la integral para la regla generalizada para la potencia.
IntroducciOn a ecuaciones diferenciales 219
SECCION 5.2
= (2t +
3)_3
=f(2t +3)32dt
= f(2t +3)3dt i(2t+3Y2
2
2
Desde v =
4
en t =
4(2t + 3)2
0,
4= que da C =
4(3)2
+C
AsI, V
En t =
+c
1
=
4(2t +
3)2
+145 36
2,
v=
1
+
4(49)
145
4.023 metros por segundo
36
U
S
EJEMPLO 5 (opcional) Velocidad de escape La atracción gravitacional F ejercida por la Tierra sobre un objeto de masa m a una distancia s del centro de la Tierra está dado por F = mgR2/s2, donde g (g 32 pies por segundo por segundo) es La aceleraciOn debida a La gravedad en La superficie de la Tierra y R (R 3960 miLLas) es el radio de la Tierra (véase La figura 3). Demuestre que un objeto Lanzado hacia arriba desde La Tierra, con una veLocidad \/2gR 6.93 millas por segundo no regresará a la Tierra. En estos cáLcuinicial v0 los no tome en cuenta la resistencia del aire.
Solución
De acuerdo con La Segunda Ley de Newton, F = ma; es decir,
=m Fm m dvds dsdt dv cit
dv v ds
AsI,
my
dv = ds
mg R2 S
2
Separando variables se obtiene v dv =
fv dv v2
gR2s2 ds
= _gR2f s2 ds =
2
R2 S
Ahora v = v0 cuando s= R, y de este modo C = v - gR. En consecuencia, 2gR2
+v-2gR
Por tiltimo, ya que 2gR2/s se hace pequeflo conforme s aumenta, vemos que v permanece positiva Si, y solo si v0 \/2gR.
220
CAPíTULO
5
La integral
Revisión de conceptos
y3, el pri-
4. Para resolver un problema de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, iniciamos con el hecho experimental de que la aceleración debida a la gravedad es -32 pies por segundo por segundo; es decir, a = dv /dt = -32. Al resolver esta ecuación diferencial se obtiene v = ds /dt = ,y al resolver la ecuación diferencial re_ sultante se obtiene s =
En los problemas del 1 al 4, demuestre que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial que se da; es decir, sustituya la función que se indica por y para ver que produzca una igualdad. y 1. dd -~ =O;y = ~
En los problemas del17 al 20, un objeto se mueve a lo largo de una recta, sujeto a la aceleración, a (en centímetros por segundo por segundo), que se indica, con la velocidad inicial Vo (en centímetros por segundo) y la distancia dirigida So (en centímetros). Encuentre la velocidad v y la distancia dirigida s, después de 2 segundos, (véase el ejemplo 4).
1. dy /dx = 3x 2 + 1 y dy /dx _ llama una la
= xli son ejemplos de lo que se
2. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = g(x, y) es encontrar que, cuando se sustituya por y, proporcione una igualdad.
3. Para resolver la ecuación diferencial dy /dx = mer paso sería _
X
2
Conjunto de problemas 5.2
Y
x
dy 2. -x dx
d2 y 3. dx 2 + y
4.
(~~
17. a = t; V o = 3, So = O 18. a = (1 + t)-4; Vo = O, So = 10
+ y = O; Y = ex
r
O; Y
=
=
C 1 sen x
+ C 2 cos x
+ i = 1; y = sen (x + C) y y = ±1
En los problemas del 5 al 14, primero encuentre la solución general (que incluya una constante C) para la ecuación diferencial dada. Después encuentre la solución particular que satisfaga la condición que se indica. (Véase el ejemplo 2.) 5 dy • dx
= x 2 + 1· y = 1 en x = 1
6 dy • dx
= x-3 + 2· y = 3 en x = 1
dy 7. dx
= y; Y = 1 en x = 1
8.
~~
'
x
-fy;
dz 2 9. dt = t Z2; 10.
dy
dt = y4; Y
= 1/3 en t = 1
ds 11 • dt
= 16t 2 + 4t - l' s = 100 en t = O
12 du • dt
= U 3(t 3
dy 13. dx
= (2x + 1)4; Y = 6 en x = O
y 14. d dx
'
=
21. U na pelota se lanza hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? (Véase el ejemplo 3.) 22. Se lanza una pelota hacia arriba desde la superficie de un planeta en donde la aceleración debida a la gravedad es k (una constante negativa) pies por segundo por segundo. Si la velocidad inicial es v o, demuestre que la altura máxima es -V6/2k.
+ 2 )4 ; y =
25. La tasa de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional al área de su superficie S; es decir, dV /dt = -kS, donde k es una constante positiva. Si el radio de la bola en t = O es r = 2 Yen t = 10 es r = 0.5, demuestre que r = -tat + 2. 26. ¿Desde qué altura sobre la superficie de la Tierra debe dejarse caer una pelota para que llegue al suelo con una velocidad de -136 pies por segundo?
W 27.
t)· U = 4 en t = O '
-i X (x 2
23. En la superficie de la luna, la aceleración debida a la gravedad es -5.28 pies por segundo por segundo. Si un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 56 pies por segundo, encuentre su velocidad y su altura 4.5 segundos más tarde. 24. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto del problema23?
= 1 en t = O
-
= V2t + 1; Vo = O, So = 10
W
y = 4 en x = 1 Z
a
a = (3t + 1)-3; V o = 4, So = O
W '
=
W 19. W 20.
1 en x = O
15. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por (1,2) cuya pendiente en cualquier punto es tres veces su abscisa (véase el ejemplo 1).
16. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por (1,2) cuya pendiente en cualquier punto es el triple del cuadrado de su ordenada (coordenada y).
Determine la velocidad de escape para un objeto lanzado desde cada uno de los siguientes cuerpos celestes (véase el ejemplo 5). Aquí g "'" 32 pies por segundo por segundo.
Luna Venus
Júpiter Sol
Aceleración debida a la gravedad
Radio (millas)
-0.165g -0.85g -2.6g -28g
1,080 3,800 43,000 432,000
28. Si los frenos de un automóvil, cuando se aplican por completo, producen una desaceleración constante de 11 pies por segundo por segundo, ¿cuál es la distancia más corta en la que pueden aplicarse los frenos hasta detenerse, desde una velocidad de 60 millas por hora?
SECCIÓN 5.3 29. ¿Qué aceleración constante causará que un automóvil aumente su velocidad desde 45 a 60 millas por hora en 10 segundos?
30. Un bloque se desliza hacia abajo en un plano inclinado con una aceleración de 8 pies por segundo por segundo. Si el plano inclinado tiene una longitud de 75 pies y el bloque llega a la parte inferior en 3.75 segundos, ¿cuál fue la velocidad inicial del bloque?
Sumas y notaciones sigma
221
(b) Resuelva la ecuación diferencial. (c) Encuentre el volumen del agua después de 10 segundos.
ITJ
36. La población de lobos P en cierto estado ha crecido a una tasa proporcional a la raíz cúbica del tamaño de la población. En 1980 la población se estimó en 1000 Y en 1990 en 1700.
31. Cierto cohete disparado directamente hacia arriba tiene una aceleración de 6t metros por segundo por segundo durante los primeros
(a) Escriba la ecuación diferencial para P en el instante t con las dos condiciones correspondientes.
10 segundos después del despegue, a partir de los cuales el motor se detiene y el cohete sólo está sujeto a la aceleración debida a la gravedad de -10 metros por segundo por segundo. ¿A qué altura llegará el cohete?
(b) Resuelva la ecuación diferencial. (c) ¿Cuándo la población de lobos llegará a 4000?
32. Iniciando en la estación A, un tren acelera a 3 metros por se-
37. En t = O, una pelota se deja caer desde una altura de 16 pies. Si pega con el piso y rebota a una altura de 9 pies (véase la figura 4).
gundo por segundo durante 8 segundos, después viaja a velocidad constante V m durante 100 segundos, y finalmente frena (desacelera) a 4 metros por segundo por segundo, para hacer una parada en la estación B. Encuentre (a) v m y (b) la distancia entre A y B.
(a) Encuentre una fórmula de dos partes para la velocidad v(t) que sea válida hasta que la pelota choque con el piso por segunda ocasión.
33. Partiendo del reposo, un autobús aumenta su velocidad con una aceleración constante al' después viaja a velocidad constante v m' Yfinalmente frena para detenerse a una aceleración constante a2 (a 2 < O). Le toma 4 minutos recorrer las 2 millas entre la parada C y la parada D, y luego 3 minutos para recorrer 1.4 millas entre la parada D y la parada E.
(b) ¿Cuáles son los dos instantes en que la pelota estuvo a una altura de 9 pies?
•
1 1 1 1 1 1 1 1 11 _
(a) Bosqueje la gráfica de la velocidad v como una función del tiempo t, O::; t::; 7. (b) Encuentre la velocidad máxima V m .
16
(c) Si al = -a2 = a, evalúe a.
34. Un globo de aire caliente abandona el piso elevándose a 4 pies por segundo. Dieciséis segundos después, Victoria arroja una pelota directamente hacia arriba a su amigo Calleen, que está en el globo. ¿A qué velocidad ella lanzó el balón para que llegará justo a Calleen?
35. De acuerdo con la ley de Torricelli, la razón de cambio del volumen, V, de agua con respecto al tiempo en un tanque que se está vaciando es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua. Un tanque cilíndrico de radio 1O/V7T centímetros y 16 centímetros de altura, inicialmente lleno, tarda 40 segundos en vaciarse. (a) Escriba una ecuación diferencial para V en el instante t y las condiciones correspondientes.
5.3
Sumas y notaci.ones sigma
16
12
x
Figura 1
l' \ 1 1 11' 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 9
I j Figura 4
Respuesta a la revisión de conceptos: 1. ecuación diferencial 2. función 3. separar las variables 4. -32t + va; -16t2 + vot + So
Hasta ahora hemos considerado funciones cuyo dominio está formado por intervalos de números reales. Un ejemplo típico es f(x) = x 2 , con dominio en el intervalo [0,00). Su gráfica se muestra en la figura 1. Usamos x como la variable del dominio, pero también podríamos utilizar s, t, u o v. Por costumbre, los matemáticos utilizan las últimas letras del alfabeto para nombrar a las variables que tomen valores en un intervalo de la recta real. Cuando queremos nombrar a una variable que sólo toma valores enteros por lo común utilizamos letras de la mitad del alfabeto, tal como i, j, k, m y (en especial) n. Así, en esta sección queremos considerar la función determinada por a(n) = n2 , donde n toma valores positivos; su gráfica se muestra en la figura 2. Una función cuyo dominio consiste de sólo enteros positivos (o algún otro subconjunto de enteros) se denomina sucesión. En lugar de la notación funcional estándar a(n), por convención se utiliza ano Por tanto, podemos decir: Considere la sucesión {anJ determinada por an = n2 y la sucesión {bnJ determinada por bn = l/n. En ocasiones indicamos una sucesión escribiendo los primeros valores seguidos por puntos suspensivos como, por ejemplo, o incluso 1,4,9,16,...
Las sucesiones se estudiarán a detalle en el capítulo 11. Aquí nuestro interés principal es aprender a trabajar con la notación para ciertas sumas.
222
CAPíTULO
5
La integral
Notación sigma En la sección 4.4, brevemente vimos la notación sigma. En este capítulo la usaremos de manera amplia. Considere las sumas
a(n)
•
16
12 + 22 + 32 + 4 + ... + 1002
y
12
•
a(n)
=n Para indicar estas sumas de una manera compacta, escribimos la primera como
4
100
•
Li n
2
¡=1
y la segunda como
n
Figura 2
La¡ ¡=1
Aquí L (sigma mayúscula griega), que corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corre por todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de L y finalizando con el entero arriba de L. Así, 4
L a¡b¡ =
a2 b2 + a3 b3 + a4 b4
¡=2
L -:1 = -11 +-21 +-31 + ... +-n1 n
j=l
y para n
2::
123
k
4
~
]
k2
+1
2
= 1
4
+1 +2 +1 +3 +1 +4 +1 2
2
2
m, n
LF(i) = F(m)
+ F(m + 1) + F(m + 2) + ... + F(n)
¡=m n
Si todas las c¡ en
L c¡ tienen el mismo valor, digamos c, entonces ¡=1
n
L
c¡ = c + c + c + . . . + c
¡=1
\..
n té~inos
}
Como resultado,
En particular, 100
5
L2
= 5(2) = 10,
= 100(-4) = -400
¡=1
¡=1
Propiedades de
L (-4)
L
Considerado como un operador, L opera sobre sucesiones, y
lo hace de una manera lineal.
SECCiÓN 5.3
Demostración
Sumas y notaciones sigma
Las demostraciones son sencillas, sólo consideramos (i).
n
L
223
n
ca¡
= cal + caz + ... + can = c(al + az + ... + a n) = c L
i=l
a¡ •
¡=l
100
100
L a¡ = 60 Y L b¡ = 11. Calcule
EJEMPLO 1 Suponga que
¡=l
¡=l
100
L (2a¡ -
+ 4)
3b¡
¡=l
Solución 100
100
L(2a¡ -3b¡
+4)
100
= L2a¡ -
¡=l
¡=l 100
= 2
L
100
L3b¡
+ L4
¡=l 100
¡=l 100
a¡ - 3 L b¡
¡=l
= 2(60)
+L 4
¡=l
- 3(11)
i=l
•
+ 100(4) = 487
EJEMPLO 2
Sumas telescópicas Demuestre que: n
(a)
L (aHl
- a i) = an+l - al
i=l n
(b)
L [(i + 1? -
iZJ = (n
+ l)Z
- 1
¡=l
Solución
(a) Aquí debemos resistir nuestra inclinación de aplicar la linealidad y en lugar de eso escribimos la suma, esperando algunas convenientes cancelaciones. n
L
(ai+l -
aJ = (az -
al)
+ (a3
- az)
+ (a4
- a3)
+ ... + (an+l
- a n)
i=l
= -al = -al
+ a2 + an+l
a2
+ a3
- a3
+ a4
- ... - a n
+ a n+1
= an+l - al
(b) Esto se sigue de manera inmediata de la parte (a). El símbolo utilizado para el índice no importa. Así, n n n La i = La j = Lak i=l
j=l
•
k=l
a todos éstas son iguales a al + a z + ... + ano Por esta razón, con frecuencia al índice se le llama índice mudo.
Fórmulas para algunas sumas especiales En la sección siguiente, necesitaremos considerar la suma de los primeros n enteros positivos, así como las sumas de sus cuadrados, cubos, etc. Hay fórmulas útiles para éstas; las demostraciones se estudian al final de la sección. n . n(n + 1) 1. Lz=1+2+3+···+n=--i=l 2
~.z 2. L.J z i=l
z
z
z
z
n(n+1)(2n+1)
= 1 + 2 + 3 + ... + n = - - - - - - 6
224
CAPiTULO 5
La integral
+ 1)12
i3=13+23+33+"+n3=
3.
Ln(n 2
i =1
]
4.i4=14+24+34+"+n4- n(n+l)(6n3+9n2+nl) 30 i=1
10
10
10
i; (b)
Calcule: (a)
EJEMPLO 3
i2; y (c)
i4. i=2
i=1
i =1
Solución
10(10 + 1)
10
=
(a)
2
=55
10
10(10 + 1)(20 + 1)
i=1
6
(b)
/
10
i4 =
(c) i=2
'
10
i) 'i=1 I
(
- i4 =
385
10(11)(6000 + 900 + 10 - 1) 1
30
= 25,332 EJEMPLO4
Solución
Calcule
2i(i 5).
Haga uso de la linealidad y del ejemplo 3. 10
(22 - lOi) = 2 i=1
1=1
10
10
10
2i(i - 5) =
i2 -
i
10 i=1
i=1
= 2(385) - 10(55) = 220 EJEMPLO S
Solución
U
(j + 2)(j - 5).
Encuentre una formula para
Hacemos uso de La Linealidad y de las formulas 1 y 2 anteriores.
3j -
(2 3j 10)
+2)(j 5) =
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
6
2
=
10
iOn
[2n2 +3n +1 9n 9-60] n(n2 - 3n - 34)
U
3
EJEMPLO 6 ,Cuántas naranjas contiene una pirámide de 7 niveLes semejante a la que se muestra en la figura 3?
Solución
12 + 22 +
4(5)(9)
+ 42 = i=1
6
= 30
.
EJ EM PLO 7 A una fiesta asistieron 20 personas, cada persona estrecha la mano de Cada una de las otras personas exactamente una vez. ,Cuántos apretones de mano habrá?
Figura 3
So!ución Debemos contar los apretones de mano de una manera inteligente. La primera persona le da La mano a cada una de las otras 19. La segunda persona también da la mano a cada una de las otras personas, pero ya contamos eL apretón de manos con la
Sumas y notaciones sigma
SECCiÓN 5.3
225
primera persona; por tanto, hay 18 saludos que se deben contar. Para la tercera persona, hay 17 apretones de mano por contar. Se continúa el conteo de esta manera. Cuando llegamos a la persona 19, ya se habrán contado todos los apretones de mano con las personas 1 a la 18; el único saludo que contamos es con la persona 20. Ahora, todos los apretones de mano se han contabilizado, incluyendo los de la persona 20. Por tanto, el número total de apretones de manos es: 19.
= 1 + ... + 18 + 19 = :¿ 1 =
19 + 18 + ... + 1
19(19 + 1) 2
i=l
= 190
•
Demostraciones de las fórmulas para las sumas especiales Para demostrar la fórmula de la suma especial 1, iniciamos con la identidad (i + 1f - i2 = 2i + 1, tomamos la suma desde 1 hasta n en ambos lados; en el lado izquierdo aplicamos el ejemplo 2 y en el lado derecho la linealidad. (i + 1)2 - i2 = 2i + 1 n
n
i=l
i=l
:¿[(i +1)2 - i 2J = :¿(2i +1) n
n
i=l
i=l
(n + 1)2 - 12 = 2:¿ i + :¿ 1 n
n2
+ 2n
=
2 :¿ i + n i=l n
:¿i i=l
Utilizamos la fórmula 1 y una técnica similar para obtener la fórmula 2.
(i + 1? - i 3 = 3P + 3i + 1 n
n
i=l
i=l
:¿ [(i + 1? - i 3J = :¿ (3i 2 + 3i + 1) n
n
n
i=l
i=l
i=l
(n +1)3 -1 3 =3:¿i 2 +3:¿i +:¿1 n
n3 + 3n2 + 3n = 3 :¿ ¡2 + 3 i=l
n(n
+ 1) 2
+ n
n
2n 3 + 6n 2 + 6n = 6 :¿ i2 + 3n 2 + 3n + 2n i=l
n(n
+ 1)(2n + 1) 6
n
:¿P i=l
Casi la misma técnica funciona para establecer las fórmulas 3 (problema 47) y 4 (problema 48).
226
La integral
5
CAPíTULO
Revisión de conceptos s y el valor de ~ 2 es
S
1. El valor de ~ 2i es i=l 10
_
3. El valor de la suma telescópica
i=l
±(~ -.
+1 1) es
1=1
l
l
10
2. Si ~ a i i=l
= 9 Y ~ bi = 7, entonces el valor de
n
i=l
10
10
~(3ai -2bi)
i=l
yelvalorde ~(ai +4)
=
i=l
=
n
4. Como ~i =n(n +1)/2y ~i2=n(n +1)(2n +1)/6, i=l i=l
_
6
se deduce que ~ (2i - i 2)
=
i=l
_
Conjunto de problemas 5.3 En los problemas del] al 8, encuentre los valores de la suma indicada. 6
6
2. ~i2 i=l
1. ~ (k - 1) k=l 7 1 3. ~ k + 1
8
4. ~ (l
+ 1)2
1=3
8
7
5. ~ (_1)m2 m- 2
(-l)k 2k
10
+ 4) k=l k=l n n 29. ~ (2i 2 - 3i + 1) 30. ~ (2i - 3)2 i=l i=l A veces es deseable hacer un cambio de variable en el índice para una suma. Por ejemplo, el cambio de variable k = i - 3 da
k=3 (k
13
+ 1)
8. ~ ksen(k7T/2) k=-l n=l En los problemas del 9 aliÓ, escriba la suma que se indica en la notación sigma 7. ~ n cos(mr)
o
k=O k
40
tf1
+ 2bn )
23.
1)
- - --
k
k+1
~ Ck : 1)' - ~2)
10
tf1
24.
100
25. ~ (3i - 2)
-
:~(a, -
2k -
k=O
= i/5,
Y
=a
+ ar + ar 2 + ... + ar n =
a - ar n+1
1- r
(r
*- 1)
Sugerencia: Sea S = a + ar + ... + ar n. Simplifique S - rS y des-
10
(b) ~2k k=l
38. Sume ambos lados de las dos igualdades que siguen, despeje S y de aquí proporcione otra demostración de la fórmula 1. S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n S
a,-I)
10
10
(a) ~Gt k=l
l)
26. ~ [(i - 1) (4i
i=l
Wi
37. Utilice el problema 36 para calcular cada suma
20. ~ (a q - bq - q)
22. ~ (2 k
j(x) = 3x,
i=l
peje S.
En los problemas del 25 al 30, utilice las jórmulas para las sumas especiales ] a 4 para encontrar cada una de las sumas (véanse los ejemplos 3 aI5).
i=l
n
~ ar k
10
(1
~j(w¡)llx si
36. Demuestre la fórmula siguiente para una suma geométrica: 10
p=o q=l En los problemas del 2] al 24, encuentre el valor de cada una de las sumas (telescópicas) (véase el ejemplo 2). 21. ~
(k - 3)Sen(_7T_); i = k - 3 k - 3
=!.
llx
n=l
9
+1
10
18. ~ (3a n
19. ~ (ap+l - b p+l )
k=4
+ 1'
35. Evalúe
10
+ b¡)
f
34.
lÓO
En los problemas del]7 al 20, suponga que ~ ai = 40 Y ~ bi = 50. i=l i=l Calcule cada una de las sumas siguientes (véase el ejemplo]).
i=l
k
10
10
17. ~ (ai
14
32. ~k2k-4;i = k - 4 k=S
=i- 2
33. ~ _ _ i = k
13. al + a3 + as + a7 +
10
~ k3
19
31. ~i(i -2); k i=3
+ 2 + 3 + '" + 41 10. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 50
+ a99 14. b_ 1 + b 1 + b 3 + b s + + b lOOl 15. j(c l ) + j(c 2 ) + ... + j(c n) 16. j(w l )llx + j(w 2 )llx + ... + j(w n )llx
=
i=4 k=l Para los problemas del 3] al 34, haga el cambio de variable en el índice.
9. 1
4 + ~ + ... + lÓO 4 + ~ - ! + ... -
10
~ (i - 3)3
6
6
12. 1 -
28. ~ 5k2(k
6.~-
m=l
11. 1 +
10
27. ~ (k 3 - k2)
+ 3) ]
=
n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 3 + 2 + 1
39. Utilice una deducción como la del problema 38 para obtener una fórmula para la suma aritmética: n
~ (a + kd)
k=O
=a
+ (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) n
40. Demuestre que ~ ~
k=l
1 ¡-; :::::
V
k
vn.
SECCIÓN
En estadística definimos la media :x y la varianza sucesión de números Xl> x 2 , ..• , Xn por
W 41.
1
1
n
:x = - ¿ Xi, n
i=]
Encuentre:X y S2 para la sucesión de números 2,5,7,8,9,10,14.
42. Utilizando las definiciones del problema 41, encuentre :x y S2 para cada sucesión de números. (a) 1,1,1,1,1
(b) 1001,1001,1001,1001,1001
(c) 1,2,3 (d) 1,000,001; 1,000,002; 1,000,003 43. Utilice las definiciones del problema 41 para demostrar que cada igualdad es verdadera.
(a)
~ (Xi -:x) = O
(b)
=
S2
(
227
r(
~ ai b¡ ~ ~ af) ( ~ bT )
Sugerencia: En la notación del problema 49, debemos demostrar que B 2 - AC ::; O. Obsérvese que es un cuarto del discriminante de la ecuación cuadrática At2 + 2Bt + C = O.
51. Establezca la identidad siguiente, que se conoce como suma por partes: n
¿ (ai -
n
ai-l)bi- 1
= anbn - aobo -
i=1
¿ ai(bi -
bi- 1)
i=1
52. Encuentre una fórmula compacta para la suma 111 --+--+--+ ... +n(n -11.2 2.3 3.4 + 1)
(~ ~ XT) -:x2
44. Con base en su respuesta a las partes (a) y (b) del problema 42, haga una conjetura acerca de la varianza de n números idénticos. Demuestre su conjetura.
Introducción al área
50. Demuestre la desigualdad de Cauchy:
n
n
i=]
de una
¿ (Xi - :x)2
=-
S2
S2
5.4
Sugerencla:
1 i(i+1)
1 1 - - -i+1
53. Utilice los diagramas de la figura 4 para establecer las fórmulas 1 y 3.
45. Sean Xl> X2 , .. ·, Xn cualesquiera números reales. Encuentre el valor de c que minimiza
±
(Xi - c
f
i=]
46. Sean X], X2 ,.··, Xm y], Yz, ... , Yn cualesquiera números reales, y sean:X y y, respectivamente, las medias de X], X2 , ... , Xn y de Y¡, Y2, ... , y no Demuestre que n
n
¿(Xi -:X)(Yi -y) = ¿XiYi -n:Xy i=1
i=1
47. Utilice la identidad (i + 1)4 _i 4 = 4i 3 + 6i 2 + 4i + 1 para demostrar la fórmula de la suma especial 3: 3
1
+ 2 + ... + n = 3
3
n(n [
+ 1)]2
n(n + 1)(6n3 + 9n 2 + n - 1) + 24 + ... + n4 = - - - - - - - - - - -
30
49. Sean A
=
n
n
~a2
~
l'
B
i=1
e=
+e
:2:
¿bf i=1
i=]
Demuestre que ArZ + 2Bt rencia: Demuestre que At 2
n
= ¿aibi,
Opara todo número real t. Suge-
+ 2Bt + e =
±
(ai t
i=]
5.4 Introducción al área
+ bY
13 + 2 3+ . . . + n 3
=
Figura 4
2
48. Utilice la identidad (i + 1)5 _i 5 = 5i4 + 10i3 + lOP + 5i + 1 para demostrar la fórmula de la suma especial 4:
14
1+2+ ... +n=
54. En la canción Los doce días de Navidad, mi verdadero amor me dio 1 regalo el primer día, 1 + 2 regalos el segundo día, 1 + 2 + 3 regalos el tercer día, y así sucesivamente durante los 12 días. (a) Encuentre el número total de regalos dados en 12 días. (b) Encuentre una fórmula para T m el número de regalos dados durante una Navidad de n días. 55. Un tendero colocó naranjas en una pila piramidal. Si la capa inferior es rectangular con 10 hileras de 16 naranjas y en la capa superior tiene una sola hilera de naranjas, ¿cuántas naranjas hay en la pila? Responda la misma pregunta, si la capa inferior tiene 50 hileras de 60 naranjas. Generalice al caso de m hileras de n naranjas, m ~ n. Respuestas a la revisión de conceptos:
1.30; 10 2. 13; 49 3. 0.9
4.-49
Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida. Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas si es un problema. Iniciamos definiendo el área de un rectángulo como la conocida largo por ancho, y a partir de esto de manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono. La sucesión de figuras en la figura 1, sugiere cómo se hace esto. Aun en esta sencilla configuración, es claro que el área debe satisfacer cinco propiedades.
228
La integral
CAP1TuL0 5
PolIgono
7TT Rectangulo
Paralelogramo
w
A = 1w
Triangulo
h
A5
Ii
b
b
A=bh
A=bh
A=A +A2+A+A4+A
Figura 1
Uso y abuso del lenguaje Siguiendo con el uso comün, nos permitimos un cierto abuso del Ienguaje. Las palabras triángulo, rectángulo, polIgono y cIrculo serán utilizadas para denotar tanto a las regiones de dos dimensiones de Ia forma indicada como a sus fronteras unidimensionales. Nótese que las regiones tienen areas, mientras que las curvas tienen longitudes. Cuando decimos que un cIrculo tiene area rr2 y circunferencia 2rr, el contexto debe ser claro si "cIrculo" significa la regiOn o La frontera.
El area de una region plana es un nOmero (real) no negativo. El area de un rectánguLo es ci producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas, por ejemplo, pies cuadrados o centImetros cuadrados. Regiones congruentes tienen areas iguales. El area de la union de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta, es la suma de las areas de Las dos regiones. Si una region está contenida en una segunda regiOn, entonces el area de La primer regiOn es menor o iguaL al de la segunda.
Cuando consideramos una region con frontera curva, el problema de asignar un area es significativamente más difIcil. Sin embargo, hace más de 2000 aflos, ArquImedes proporcionó la dave de Ia solución. El dijo, considérese una sucesión de polIgonos inscritos que aproximen a la region curva con precision cada vez mayor. Por ejemplo, para eL cIrcuLo de radio 1, considérese los poLIgonos regulares inscritos P1, P2, P3,... con 4 lados, 8 lados, 16 lados.....como se muestra en La figura 2. El area del cIrculo es eL lImite cuando n - 00 de las areas de P,. AsI, si A(F) denota el area de una regiOn F, entonces
A(cIrculo) = lIm A(P) n*oo
Figura 2
ArquImedes fue más allá, considerando también polIgonos circunscritos T1, T2, T3,... (véase la figura 3). El demostrO que se obtiene el mismo valor para el area del
4-
cIrculo de radio 1 (i.e., ic
3.14159) si se inscriben o circunscriben poiIgonos. SoLo es un
pequeno paso entre Lo que él hizo y nuestro moderno tratamiento del area.
3-
2
v =j(x)=x
R
Figura 3
Area de poilgonos inscritos Considere la region R acotada por la parabola 0
Figura 4
y = f(x) = x2, el eje x y Ia recta vertical x = 2 (véase la figura 4). Nos referiremos a R como la regiOn acotada bajo la curva y = x2, entre x = 0 y x = 2. Nuestra meta es calcuLar su area A(R).
SECCIÓN
o
2
I
I
5.4
Introducción al área
229
Figura 5
La partición del intervalo [0,2] en n subintervalos, como en la figura 5, cada uno de longitud óx = 2/n, por medio de los n + 1 puntos,
o=
Xo < Xl < Xz < ... < Xn
- l
< Xn = 2
Así, Xo =
°
2 Xl = Óx = -
n
4 Xz = 2· Llx = -
n
6 X3 = 3 • Llx = -
n
x·1 =
.
2i
Llx = n-
l·
(n - 1)2 n
Xn-l = (n -1)· Llx = - - -
Xn
= n . Jlx = n( ~) = 2
Considérese el rectángulo representativo con base [X¡-l' Xi] y altura t(X¡-I) = X7-1. SU área es t(X¡-I)ÓX (véase la parte superior izquierda de la figura 6). La unión Rn de todos esos rectángulos forma el polígono inscrito en la parte inferior derecha de la figura 6.
X¡_i
Área
Xi
= !(X¡_I) ~X
X II
_
1
X'I
Polígono circunscrito
Figura 6
El área A(R n ) puede calcularse sumando las áreas de estos rectángulos
A(R n )
= t(x o) Llx
+ t(XI) Llx + t(x z) Llx + ... + t(x n - l ) Llx
Ahora, t(xJóx
2 = ( n8 ) i Z 2i)Z . ;; = x7 Llx = ( -;; 3
230
CAPíTULO
5
La integral
Por tanto,
=~[(n -1)n(2n -1)] n3 6
=i(2 3
(Fórmula para la suma especial 2, con n - 1 en lugar de n)
-~n +~) n2
844 +-2 3 n 3n
=- - -
Concluimos que A(R)
=
lím A(R n )
n~oo
=
lím
n~oo
(~3 - in +~) =~ 3n2 3
Los diagramas de la figura 7 deben ayudarnos a visualizar lo que está sucediendo cuando n se hace cada vez más grande.
Figura 7
Área por medio de polígonos circunscritos Quizá usted aún no esté convencido que A (R) = ~. Podemos dar más evidencia. Considérese el rectángulo con base [X i- 1 , Xi] Yaltura ¡(Xi) = X7 (se muestra en la esquina superior izquierda en la figura 8). Su área es !(x i )f1x. La unión Sn de tales rectángulos forman un polígono circunscrito para la región R, como se muestra en la parte inferior derecha de la figura 8. El área A(Sn) se calcula en analogía con el cálculo de A(Rn).
SECCIÓN
y =./tx)
T
5.4
Introducción al área
231
=x"
f (x)
~ Xi_1
Xi
Área =f(x)l1x
Polígono circunscrito
Figura 8
Como antes, f(xJ dx
A(Sn) =
= xl dx = (8/n 3)i 2, y así
[~(12) + ~(22) + ... + ~(n2)] 3 3 3 n
n
= ~[n(n
n
+ 1)(2n +
3
n
1)]
(Fórmula para la suma especial 2)
6
Otra vez, concluimos que
A( R)
-t v=k
-~
Distancia = k 11 t
Figura 9
/
/ 4[ + -n3+ 2n1]
= n~oo hm A(Sn) = hm n~oo 3
2
8 3
Otro problema, con el mismo tema Suponga que un objeto está viajando a lo largo del eje t de tal manera que su velocidad en el instante t está dada por v = f (t) = ~ t 3 + 1 pies por segundo. ¿Cuánto avanzará entre t = OYt = 3? Este problema puede resolverse por el método de ecuaciones diferenciales (sección 5.2), pero tenemos algo diferente en mente. Nuestro punto de partida es el hecho familiar que, si un objeto viaja a velocidad constante k durante un intervalo de tiempo de longitud D.t, entonces la distancia recorrida es k D.t. Pero esto no es más que el área de un rectángulo, el que se muestra en la figura 9. Ahora considérese el problema dado, en donde v = f (t) = ~ t 3 + 1. La gráfica se muestra en la parte izquierda de la figura 10. Divídase el intervalo [0,3] en n subintervalos de longitud D.t = 3/n por medio de los puntos O = to < tI < t 2 < ... < t n = 3. Después considérense los correspondientes polígonos circunscritos Sn' que se muestran en la parte de la derecha de la figura 10 (también podríamos haber considerado los polígonos inscritos). Su área, A(Sn)' debe ser una buena aproximación de la distancia recorrida, en especial si D.t es pequeña, ya que en cada subintervalo la velocidad real es casi igual a una constante (el valor de v al final del subintervalo). Además, esta aproximación debe ser cada vez mejor conforme n se hace más grande. Llegamos a la con-
232
CAPíTULO
5
La integral
clusión de que la distancia exacta recorrida es lím A(Sn); es decir, es el área de la ren~oo
gión debajo de la curva de la velocidad entre t = OY t = 3. Para calcular A(Sn), obsérvese que ti = y por tanto el área del i-ésimo rectángulo es
3i/n,
81. 3 3 f(t-) ~t = [ -1 (3i) - 3 + 1 ] -3 = l +4 n n 4n 4 n 1
v
tl/_ I
tl/=
3
Figura 10
Por lo que,
=~[n(n +1)]2 +~. 4n 4
2
_ 81 [
- 16 n
2
(n
2
+ 2n + 1)] n4
2 1) =81 - ( 1+-+2 16
n
n
(Fórmula para la suma especial 3)
n
n
+3
+3
Concluimos que
81 1
lím A(Sn) = -6
n~oo
+3 =
129
16 ~ 8.06
El objeto recorrió alrededor de 8.06 pies, entre t = OY t = 3. Lo que fue cierto en este ejemplo, es verdadero para cualquier objeto en movimiento con velocidad positiva. La distancia recorrida es el área de la región bajo la curva de la velocidad.
SECCiÓN
5.4
Introducción al área
233
Revisión de conceptos 1. Si el área(R) = 7 Yel área(S) = 9 Ysi R y S no se sobreponen (excepto posiblemente en una curva), entonces el área( R U S)
2. El área de un polígono subestima (estima por aba_ jo) el área de la región, mientras que el área de un polígono sobrestima (estima por arriba) esta área.
es
3. El área exacta de la región bajo la curva y = Ixl entre Oy 4 . En forma similar, el área bajo esta curva entre -2 Y4 es
4. El valor exacto de la región bajo la curva y 4es
= [x]
entre Oy
_
Conjunto de problemas 5.4 En los problemas deli al 6, encuentre el área del polígono indicado, que puede ser inscrito o circunscrito.
1.
5.
+ 1
y=x+l
x
x
2.
v=·~·x'+1
6.
v=x+\
x
x
En los problemas del 7 aliO, haga un bosquejo de la gráfica de la función que se da en el intervalo [a, b J; después divida [a, bJ en n subintervalos. Por último, calcule el área del correspondiente polígono circunscrito.
7. f(x)
3.
+ 1; a
x
=
-1, b = 2, n = 3
=
8. f(x) = 3x - 1; a = 1, b = 3, n = 4
W 9. W 10. x
4.
y=x+l
x
f(x) = x 2
1; a
-
f(x) = 3x
2
2, b
=
+ x + 1; a
3, n
= =
=
6
-1, b = 1, n = 10
En los problemas del 11 ali6, encuentre el área de la región bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Para hacer esto, divida el intervalo [a, bJ en n subintervalos iguales, calcule el área del correspondiente polígono circunscrito, y después haga n ~ oo. (Véase el ejemplo para y = x 2 en el texto.)
x + 2; a
11. Y
=
O, b = 1
12. Y
= ! x + 1; a = O, b = 1
13. Y
=
2x
14. Y
=
x2; a
=
-2, b
G 15. Y
=
x 3; a
=
O, b
G 16. Y
= x3
=
2
+ 2; a
+
-1, b
=
=
=
=
2
1
x; a = O, b = 1
1. Sugerencia:
2i
Xi
= -1 +n
234
CAPíTULO
5
La integral
17. Suponga que un objeto está viajando a lo largo del eje t de tal manera que su velocidad a los t segundos es v = t + 2 pies por segundo. ¿Qué distancia recorrió entre t = y t = 1? Sugerencia: Véase el análisis del problema de la velocidad al final de esta sección y utilice el resultado del problema 11.
donde enes un polinomio en n de grado m. Supóngase que esto es cierto (que lo es) y, para a 2: 0, sea A~(xm) el área bajo la curva y = xm en el intervalo [a, b].
°
18. Siga las instrucciones del problema 17 dado que v Puede utilizar el resultado del problema 12.
bm +1
(a) Demuestre que
= t t 2 + 2.
Ag(x m ) = (m + 1)
(b) Demuestre que A~(xm)
19. Denótese con A~ el área bajo la curva y = x 2 en el intervalo [a, b]. (a) Demuestre que Ag = b3/3. Sugerencia: Llx = b/ n, de modo que x¡ = ib/n; utilice polígonos circunscritos. (b) Demuestre que A~ = b3 /3 - a 3 /3. Supóngase que a 2: O.
23. Utilice los resultados del problema 22 para calcular cada una de las siguientes áreas.
(a)
A6(x 3 )
(b)
Ai(x 3 )
(e)
Ai(x5 )
(d)
A6(x 9 )
24. Deduzca las fórmulas A n = tnr 2 sen(27T/n) y B n = nr 2 tan ( 7T / n) para las áreas de los polígonos regulares de n lados inscritos y circunscritos en un círculo dímadio r. Jlím;pués demuestre que lim A n y lim B n ambos son 7Tr 2 •
20. Suponga que un objeto, moviéndose a lo largo del eje t, tiene velocidad v = t 2 metros por segundo a los t segundos. ¿Qué distancia viajó entre t = 3 Yt = 5? Véase el problema 19.
n--'>oo
n--'>oo
Respuestas a la revisión de conceptos: cunscrito 3.8; 10 4.6
1. 16
21. Utilice los resultados del problema 19 para calcular el área bajo la curva y = x 2 en cada uno de los intervalos siguientes.
(c) [2,5]
(b) [1,4]
(a) [0,5]
a m +1
bm +1
= m +1 - m +1
22. Con base en las fórmulas 1 a la 4 de la sección 5.3, podría suponer que
5.5 La integral definida
Figura 1
Considere una función
f
definida en un intervalo cerrado
[a, b]. Puede haber valores positivos y negativos en el intervalo, e incluso no necesita y=fCr)
a
Están hechos todos los preparativos; estamos listos para definir la integral definida. Newton y Leibniz introdujeron las primeras versiones de este concepto. Sin embargo, fue Riemann quien nos dio la definición moderna. En la formulación de esta definición, estamos guiados por las ideas analizadas en la sección anterior. La primera noción es la de una suma de Riemann.
Sumas de Riemann
y
2. inscrito; cir-
x
ser continua. Su gráfica podría ser parecida a la de la figura lo Considere una partición P del intervalo [a, b] en n subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) por medio de los puntos a = X o < Xl < X 2 < ... < X n - l < X n = b, Y sea dx¡ = Xi - Xi-l. En cada subintervalo [Xi-l' xJ, selecciónese un punto Xi (que puede ser un punto frontera); le llamamos punto muestra para el i-ésimo subintervalo. Un ejemplo de estas construcciones se muestra en la figura 2 para n = 6. ~XI
Puntos de la partición
a =Xo
Puntos muestra
~X2
~X3
~X5
~X4
~X6
Xl
re.;
Al
\"
Una partición de [a, b] con puntos muestrax¡
Figura 2
A la suma n
Rp =
:¿ f(xJ dX i=l
i
5.5
SECCIÓN
La integral definida
235
le llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la partición P. Su interpretación geométrica se muestra en la figura 3. Obsérvese que la contribución de un rectángulo que está debajo del eje x es el negativo de su área, ya que en este caso f(x¡) < O. Una suma de Riemann interpretada como una suma algebraica de áreas 6
i~1
Y
¡(X;) ~Xi =A , + (-A 2 ) + (-A,) +
(-A~) + A, +A 6
Figura 3
EJEMPLO 1 Evalúe la suma de Riemann R p para
f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 4) = x 3
-
5x 2 + 2x + 8
en el intervalo [O, 5], utilizando la partición P con puntos de la partición O < 1.1 < 2 3.2 < 4 < 5 y los correspondientes puntos muestra Xl = 0.5, X2 = 1.5, X3 = 2.5, X4 = 3.6 Y X5 = 5.
<
Solución 5
Rp = y
¡=l
18
=
15
Irx)
12
:¿ f(x¡) Llx¡
X'
5x'+ 2x + 8
f(XI) LlXI
+ f(X2) LlX2 + f(X3) LlX3 + f(X4) LlX4 + f(X5) LlX5
= f(0.5)(1.1 - O) + f(1.5)(2 - 1.1) + f(2.5)(3.2 - 2)
+ f(3.6)(4
- 3.2)
= (7.875)(1.1)
+ f(5)(5
- 4)
+ (3.125)(0.9) + (-2.625)(1.2) + (-2.944)(0.8) + 18(1)
= 23.9698 Figura 4
La correspondiente representación gráfica aparece en la figura 4.
•
EJEMPLO 2 Evalúe la suma de Riemann para f(x) = x 2 + 1 en el intervalo [-1,2] usando los puntos de la partición, con separación equidistante, -1 < -0.5 < O < 0.5 < 1 < 1.5 < 2, con el punto muestra x¡ como el punto medio del i-ésimo intervalo.
y
Irx) =x' + 1
Solución
Obsérvese el dibujo en la figura 5. 6
Rp =
:¿ f(x¡) Llx¡ ¡=)
= [fe -0.75) + f( -0.25) + f(0.25) + f(0.75) + f(1.25) + f(1.75) ](0.5) - J
I -0.5 I o I -0.75
Figura 5
-0.25
0.25
0.5
I 0.75
1
I 1.25
1.5
I 1.75
2
x
= [1.5625 = 5.9375
+ 1.0625 + 1.0625 + 1.5625 + 2.5625 + 4.0625] (0.5) •
236
CAPíTULO
5
La integral
Definición de la integral definida Ahora supóngase que P, ~Xi' Y Xi tienen los significados dados anteriormente. Además, sea !PI, llamada la norma de P, la longitud del subintervalo más largo de la partición P. Así, en el ejemplo 1,!P1 = 3.22 = 1.2; en el ejemplo 2, IP I = 0.5. Definición
Integral definida
Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a, bJ . Si n
lím
L f(x i) ~Xi
PI~O i=l
existe, decimos que f es integrable en [a, b]. Además,
l'
f (x) dx, denominada integral
definida (o integral de Riemann) de f de a a b, entonces está dada por
l
n
b
L f(Xi) ~Xi IPI~O
f(x) dx = lím
i=l
a
El corazón de la definición es la línea final. El concepto que incluye esa ecuación surge de nuestro análisis del área en la sección anterior. Sin embargo, hemos modificado de forma considerable la noción que se presenta aquí. Por ejemplo, ahora permitimos que f sea negativa en parte o en todo [a, bJ , utilizamos particiones con subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y permitimos que Xi sea cualquier punto del i-ésimo subintervalo. Como hemos realizado estos cambios, es importante establecer de manera precisa cómo se relaciona la integral definida con el área. En general,
l'
f(x) dx da el área con signo de la región encerrada entre la curva y = f(x) y el
eje x en el intervalo [a, bJ , queriendo decir que se asocia un signo positivo a las áreas de partes que están por arriba del eje x y se asocia un signo menos a las áreas de partes que están abajo del eje x. En símbolos,
Figura 6
donde Arriba YAbajo son como se muestra en la figura 6. El significado de la palabra límite en la definición de integral definida es más general que en el uso que se ha dado antes y debe explicarse. La igualdad n
L f(x¡) ~Xi = IPI~O lím
L
i=l
significa que, en correspondencia a cada 8> O, existe un 8 > Otal que
It,f(Xi)~Xi - LI <
E
n
para todas las sumas de Riemann
L f(x¡) ~Xi para f en [a, bJ
para las cuales la nor-
i=l
ma !PI de la partición asociada es menor que 8. En este caso, decimos que el límite dado existe y tiene el valor L. Esto fue un bocado y no lo digeriremos en un momento ahora. Simplemente afirmamos que los teoremas usuales sobre límites también se cumplen para esta clase de límite. Regresando al símbolo
l'f(X) dx, podríamos llamar a a extremo inferior ya b
extremo superior de la integral. Sin embargo, la mayoría de los autores utilizan la terminología límite inferior de integración y límite superior de integración, que está bien a condición de que nos demos cuenta que este uso de la palabra límite no tiene nada que ver con su significado más técnico.
SECCIÓN
En nuestra definición de
5.5
La integral definida
237
lb¡(X) dx, de manera implícita supusimos que a <
b.
Con las definiciones siguientes, eliminamos esa restricción.
[¡(X) dx = O a
¡bf(X) dx
= - [¡(X) dx,
a
a>b
b
Por tanto,
1,\3
y
dx = O,
Por último, señalamos que Xes una variable muda en el símbolo
lb¡ (x) dx. Con
esto queremos decir que x puede reemplazarse por cualquier otra letra (con tal que, por supuesto, ésta se sustituya en cada lugar que se presente). Por tanto
[¡(X) dx -2
v
={(X) = 1', l/x',
-,
Figura 7
x
-1
x:f:.
L x=O
= [¡(I) dI = [¡(u) du
¿ Cuáles funciones son integrables? No toda función es integrable en un intervalo cerrado [a, b] . Por ejemplo, la función no acotada l.
o
f (x)
x2
=
{
s~
X
*- O
1 SI X = O que se gráfica en la figura 7, no es integrable en [-2,2] . Puede demostrarse que para esta función no acotada la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente grande. Por tanto, el límite de la suma de Riemann en [-2, 2] no existe. Incluso algunas funciones acotadas pueden no ser integrables, pero tienen que ser muy complicadas (para un ejemplo, véase el problema 22). El Teorema A (a continuación) es el teorema más importante con respecto a integrabilidad. Desafortunadamente, es demasiado difícil demostrarlo aquí, lo dejamos para libros de cálculo avanzado.
Como una consecuencia de este teorema, las funciones siguientes son integrables en todo intervalo cerrado [a, b] . 1. Funciones polinomiales. 2. Funciones seno y coseno. 3. Funciones racionales, con tal que el intervalo [a, b] no contenga puntos en donde el denominador sea cero.
Cálculo de integrales definidas El saber que una función es integrable, nos permite calcular su integral mediante una partición regular (subintervalos con igual longitud) y la elección de los puntos muestra Xi de cualquier forma conveniente para nosotros. Los ejemplos 3 y 4 incluyen polinomios, que acabamos de aprender que son integrables. EJEMPLO 3
Evalúe ¡:(X
+ 3) dx.
Solución Divídase el intervalo [-2,3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Llx = S/n. En cada subintervalo [X i - 1 ' xJ, utilícese Xi = Xi como el punto muestra. Entonces
238
CAPITULO 5
La integral
x0 = 2
x1 = 2 + Ax = 2 + n
x2 =-2 +2Ax =-2 +2(t)
(5\ x1 =-2 +iAx =-2 +i("nI =3
"n/I
Por tanto,f(x1) = x1 + 3
f() Ax
1 + i(S/n), de modo que
f(x)
=
=[i+i -)1=
j=j
\fl
ni=1
n
fl
.
525[fl(n+l) n
2
n2L
(Formula para la suma especial 1)
i\ =5+ 25/ 2\ 1+-n/I Como P es una partición regular, P
0 es equivaLente a n - 00. Concluimos que
L(x + 3)dx = lIrn A
= lIm [5 +
-L
°°L
-2
f(x+3)dx=A =1
+
fl
Con facilidad podemos verificar nuestra respuesta, ya que la integral pedida da el
y
8642-
2\
35 2
Figura 8
10-
25
area del trapecio de La figura 8. La conocida formula para el area de un trapecio A
v = 2x2- 8
(a +b)hda(1 +6)5 =35/2.
EJEMPLO 4
Eva1e
L(2x2 - 8)dx.
Solución
A/
2
3
AquI no hay fOrmula de geometrIa elemental que nos ayude. La figura 9 sugiere que La integral es A1 + A2, en donde A1 y A2 son las areas de Las regiones por abajo y por encima del eje x, respectivamente.
Sea P una partición regular de [-1, 3] en n subintervalos, cada uno de longitud 4/n. En cada subintervalo [x1, x] , elIjase i, como el punto frontera del lado derecho, de modo que iE, = x1. Entonces Ax
.L](2x2±8)dx=_Ai +A, =::Q
Figura 9
x, = 1 + i Ax = 1 + j1'4 \fl
SECCIÓN
5.5
La integral definida
239
16i 32i z =-6--+n nZ
GJ
En consecuencia,
Sentido común
Dada la gráfica de una función, siempre podemos hacer una estimación para el valor de la integral definida utilizando el hecho de que es el área con signo
n
n
i=1
i=1
:¿ f(x¡) dXi = :¿ f(x¡) dx =
± i=1
[-6 - 16 i + 3; n n
24
Aarriba -
= - -
Aabajo
n
Por lo que, en el ejemplo 4, podríamos estimar el valor de la integral haciendo de cuenta que la parte por arriba del eje x es un triángulo y la parte por abajo del eje x es un rectángulo. Nuestra estimación es ~(1)(1O) - (3)(6) =-13
n
:¿ 1 i=1
64
2
n
p] i
:¿ i + 128 :¿ i n
n
-3
n
i=1
_ -24 \ 64 n(n + 1) - -n- (n) - n Z 2 = -24 - 32 (1 +
n Z
i=1
128 n(n + 1)(2n + 1)
+ -n3 ----6---
l)n + _12_8 (2 + ~n + ~) n Z
6
Concluimos que 3
1
(2x Z
n
-
-1
8) dx
:¿ f(x¡) dXi IP'~O
= lím
i=1
= lím [-24 - 32 (1 + n~O
l)n + 128 (2 + ~n + ~) ] n 6
Z
128 -40 =-24 -32 + - = 3 3 No es de sorprender que la respuesta sea negativa, ya que la región por debajo del eje x parece ser mayor que aquella por encima del eje x (véase la figura 9). Nuestra respues-
ta es cercana a la estimación dada en la nota al margen Sentido común; esto nos reafirma que nuestra respuesta probablemente sea correcta. •
Propiedad aditiva de intervalos Nuestra definición de la integral definida fue motivada por el problema de áreas para regiones curvas. Considérense las dos regiones curvas R 1 y R z de la figura 10 y sea R = R 1 U R z. Es claro que A(R) = A(R 1 U R z ) = A(R 1 )
+ A(R z )
lo cual sugiere que a
Figura 10
b
e
x
[f(X)dX = [f(X)dX
+ [f(X)dX
Rápidamente señalamos que esto no constituye una demostración de este hecho acerca de integrales, ya que, antes que nada, nuestro análisis de área en la sección 5.4 un poco informal y, segundo, nuestro diagrama supone que f es positiva, lo cual no necesariamente es cierto. Sin embargo, las integrales definidas satisfacen esta propiedad aditiva de intervalos, y no importa cómo estén acomodados los tres puntos a, b y c. Dejamos la demostración rigurosa para trabajos más avanzados.
240
CAPíTULO
5
La integral
Por ejemplo,
lo cual la mayoría de las personas en seguida cree. Pero también es cierto que
¡'x ¡3 2
dx
=
x 2 dx
+
¡'x
2
dx
lo cual parece sorprendente. Si usted desconfía del teorema, podría evaluar realmente cada una de las integrales anteriores para ver que se cumple la igualdad.
Revisión de conceptos n
1. Una suma de la forma
L. f(x¡) Ax¡ se denomina
3. Geométricamente, la integral definida corresponde a un área
_
¡=l
con signo. En términos de
2. El límite de la suma anterior para f definida en [a, b J se llama una y se simboliza por medio de _
Arriba
Y Abajo,
1
bf
4. Por tanto, el valor de 1:x dx es
(x) dx
=
.
_
Conjunto de problemas 5.5 En los problemas] y 2, calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura (véase el ejemplo 1).
1.
4. f(x) = -x/2
Xl
+ 3; P:-3 < -1.3 <
= -2, X2 = -0.5, x3 = 0, x4 = 2
°< 0.9 < 2;
5. f (x) = x 2/2 + x; [ -2, 2 J se dividió en ocho subintervalos iguales, x¡ es el punto medio (véase el ejemplo 2).
W
y y
= fv) = -x'+ 4x
4
W
6. f(x) = 4x 3 + 1; [0, 3J se dividió en seis subintervalos iguales, x¡ es el punto del extremo derecho.
/
3 2
I
En los problemas del 7 al]O, utilice los valores que se dan de a y by exprese el límite dado como una integral definida.
-1
-2
7. lím
-3
IPI-+O
-4
8. lím
IPI-+O
2.
i
(x¡? Ax¡; a
i
(x¡
¡=l
+ 1? Ax¡; a = 0, b = 2
¡=l
x2
n
L. --'_Ax¡; a = -1, b = 1 IPI-+O 1+
y
9. lím
¡=l
v
= f(r)
XC -
4x + 3
10. lím
IPI-+O
i
X¡
(sen X¡)2 Ax¡;'a
+ 1) dx
n
L. f(x¡)Ax¡
Sugerencia: Utilice x¡
¡=I
para los datos que se dan. 3. f(x) = x - 1; P: 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7;
= 3, X2 = 4, X3 = 4.75, x4 = 6, Xs = 6.5
1T"
En los problemas del]] al]6, evalúe las integrales definidas utilizando la definición, como en los ejemplos 3 y 4.
11. l \ x En los problemas del 3 al 6, calcule la suma de Riemann
= 0, b =
¡=l
GJ
o
XI
= 1, b = 3
13.
1:
(2x
= 2i/ n.
+ 1T") dx
Sugerencia: Utilice x¡
= -2 + 3i/n.
5.5
SECCIÓN
1
10
16.
-10 (X
2
+ x)dx
En los problemas del17 al 21, por medio de la propiedad aditiva de intervalos y las fórmulas adecuadas para áreas de la geometría plana, calcule
lb
(c) 1¡l lf (x)ldX
1 (d) 11 [-g(X)]dX
(e) l11Xg(X) dx
(f) l1
los cuales f está definida. Comience haciendo una gráfica de la función que se da. 2x
17.
f (x) = 2 {
18. f (x)
=
x
1f3
lb
25. Demuestre que
f( x) dx, donde a y b son los extremos izquierdo y derecho para
x dx
(X)g(X) dx
= ! (b 2 -
gumento siguiente para la partición
a 2) completando el ar-
a = Xo < X¡ < ... < Xn n
= b,
elíjase x¡
= !(X¡-1 + x¡). Entonces, R p =
+2
si O::; x ::; 1 si 1 < x ::; 2
26. Demuestre que
lb
x 2 dx
= ~ (b 3
-
=
!L
¡=1
a 3 ) por medio de un ar-
gumento parecido al del problema 25, pero utilizando x¡
19. f(x)
n
=
(x¡ + X¡-I)(X¡ - X¡-I)' Ahora simplifíquese R p (suma telescópica) y tómese el límite.
< x ::; 2 < x ::; 5
2x { 2 (x - 1)
L x¡ ~x¡
¡=1
si O::; x ::; 1 si 1 si 2
241
La integral definida
=
[~(X7-1
~ si O::; x ::; 1 si 1 < x ::; 2
{x - 1
~ Muchos sistemas de álgebra computacional permite la evaluación de
20. f (x)
- ~ - 2
= { _2x
sumas de Riemann para evaluación del punto frontera izquierdo, punto frontera derecho o punto medio. Utilizando tal sistema, en los problemas 27 al 30, evalúe las sumas de Riemann con 10 subintervalos utilizando evaluaciones del punto izquierdo, punto derecho y punto medio.
si -2 ::; x ::; O si O < x ::; 2
27. 1,2(x 3 + l)dx
22. Demuestre que la función f definida por
f () x =
no es integrable en [0,1] . Sugerencia: Demuestre que no importa qué tan pequeña sea la norma de la partición IPI, la suma de Riemann puede hacerse que tenga el valor Oo 1. 23. Recuerde que [x] denota el mayor entero menor o igual a x. Calcule cada una de las integrales siguientes. Puede utilizar razo-
namiento geométrico y el hecho de que
¡b
x 2 dx
1,1 29. 1,1 28.
1 si x es racional . . { O SI. X es IrraCIOnal
= b 3/3.
(Esto úl-
30.
31.
(b) l:[x
Fdx 32.
(c) 1:(x - [x])dx
cosx dx
1
3 (1/X)dX
~ Muchos sistemas de álgebra computacional y calculadoras gráficas pueden utilizarse para la aproximación numérica de integrales definidas. Utilícelas para aproximar las integrales definidas de los problemas del 31 al 36. (o indique que la función no es integrable es dicho intervalo).
timo se demuestra en el problema 26.)
(a) l:[X]dX
tan x dx
1:(-1 + ¡6
Ixl)dx
sen x dx
(d) 1:(x - [x]? dx 33. 11\x
4
-
3x
2
+ l)dx
(f) l:xlxldx
(e) l:lxldx
34. l)(X -1)/(x
(g) 1¡2¡X I [x] dx
(h) 11\2[x] dx
1,1 36. 1,2 35.
24. Sea f una función impar y g una función par, y suponga que 1,l lf (x)ldX
=
1,l g (X)dX
= 3. Utilice un razonamiento geométri-
ca para calcular cada una de las integrales siguientes:
2
+ l)]dx
(l/x) dx
tan x dx
Respuestas a la revisió.~ de conceptos:
2. integral definida,
¡
l
3. Aarriba
1. suma de Riemann -
Aabajo
4.
242
CAPíTULO
5
La integral
5.6 El primer teorema fundamental del cálculo
El cálculo es el estudio de límites, y los dos límites más importantes que hemos estudiado hasta ahora son la derivada y la integral definida. La derivada de una función f es
f'(x) = lím f(x
+ h)
- f(x)
h
h~O
y la integral definida es
l
bf
(X)dX = lím ±f(x¡)í1x¡ IPI~O ¡=1
a
Estas dos clases de límites, parece que no tienen relación entre sí. Sin embargo, hay una conexión muy estrecha, como lo veremos en esta sección. Por lo común, a Newton y Leibniz se les acredita el descubrimiento del cálculo, de manera simultánea aunque independiente. Sin embargo, los conceptos de pendiente de una recta tangente (que originaron la derivada) se conocían desde hace algún tiempo, y ya habían sido motivo de estudio de Blaise Pascal e Isaac Barrow años antes que Newton y Leibniz. Y Arquímedes había estudiado áreas de regiones curvas 1800 años antes, en el tercer siglo a. de C. Entonces, ¿por qué se les atribuye el crédito a Newton y Leibniz? Ellos entendieron y explotaron la íntima relación que existe entre antiderivadas e integrales definidas. Esta relación importante se denomina primer teorema fundamental del cálculo.
El primer teorema fundamental En su carrera de matemático ha encontrado varios "teoremas fundamentales". El Teorema fundamental de la aritmética dice que un número entero se factoriza de manera única como un producto de primos. El Teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n tiene n raíces, contando las raíces complejas y las multiplicidades. Cualquier "teorema fundamental" debe estudiarse con cuidado y luego consignarlo de manera permanente en la memoria. Casi al final de la sección 5.4, estudiamos un problema en el que la velocidad de un objeto en el instante t está dada por v = f (t) = t 3 + 1. Encontramos que la distancia recorrida desde el instante t = O Yel instante t = 3 es igual a
i
129
n
lím ~ f(tJ í1t = -6 n~oo ¡=1 1 Usando la terminología de la sección 5.5, ahora vemos que la distancia recorrida desde el instante t = OY el instante t = 3 es igual a la integral definida
(3
n
nl~~ ~ f(t¡) ~t
=
Jo
f(t) dt
(Como la velocidad es positiva para toda t 2: O, la distancia recorrida a lo largo del tiempo t es igual a la posición del objeto en el instante t. Si la velocidad fuese negativa para algún valor de t, entonces, en el instante t, el objeto viajaría hacia atrás; en tal caso, la distancia recorrida no sería igual a la posición.) Podemos utilizar el mismo razonamiento para encontrar que la distancia s recorrida desde el instante t = Ohasta el instante t = x es
s(x)
= ¡x¡(t)dt
La pregunta que ahora planteamos es ésta ¿Cuál es la derivada de s? Como la derivada de la distancia recorrida (siempre y cuando la velocidad siempre sea positiva) es la velocidad, tenemos
y
. .I(X)
I 2 = -:;;' +-:;;
s'(x) = v = f(x) En otras palabras, d
d
dx s(x) = dx
Figura 1
(X
Jo
f(t) dt = f(x)
Ahora, definimos A( x) como el área bajo la curva de la gráfica de y = ~ t + ~ , por arriba del eje t y entre las rectas verticales t = 1 Yt = x, donde x 2: 1 (véase la figura 1). Una función como ésta se denomina función de acumulación ya que acumula el área bajo un curva desde un valor fijo (t = 1 en este caso) a un valor variable (t = x en este caso). ¿Cuál es la derivada de A?
SECCIÓN
• La integral indefinida ff(x) dx es una familia de funciones de x. bf • La integral definida (X) dx
l
es un número, siempre que a y b estén fijos. • Si el límite superior en una integral definida es una variable x, entonces la integral
es una función de x. • Una función de la forma
4
243
tG+~t)dt
En este caso podemos evaluar esta integral definida utilizando un argumento geométrico; A(x) es el área de un trapecio, de modo que
A(x)=(x-1)
+ (~ + ~ x)
1
2
1 2 2 5 =-x +-x-6
3
6
Hecho esto, vemos que la derivada de A es ,
d
A (x) = dx
(16" x + 32x - 6"5) 31x + 32 2
=
En otras palabras,
¡Xf(t) dt se denomina
función de acumulación.
y
=
A(x)
definida [e.g., ¡Xf(t) dt]
=
El primer teorema fundamental del cálculo
El área A(x) es igual a la integral definida
Terminología
F(x)
5.6
Defínase otra función de acumulación B como el área debajo de la curva y = t 2 , por arriba del eje t, a la derecha del origen y a la izquierda de la recta t = x, en donde x 2:: O (véase la figura 2). Esta área está dada por la integral definida
fax t' dt. Para encon-
trar esta área, primero construimos una suma de Riemann. Utilizamos una partición regular de [O, x] y evaluamos la función en el extremo de la derecha de cada subintervalo. Entonces!1t = x/n y el extremo derecho del i-ésimo subintervalo es ti = O + i!1.t = ix/ n. Por tanto, la suma de Riemann es
Figura 2
x 3 n (n
n
+ 1) (2n + 1)
3
6
La integral definida es el límite de estas sumas de Riemann.
[t 2 dt
=
}í,~ ~ ¡(ti) J1t x 3 n (n + 1) (2n + 1) ------n~oo n 3 6 /
= hm -
x3 2n 3 + 3n 2 + n lím - - - - - 6 n~oo n3
= -
x3
=6 Así, B(x)
02
x3
=3
= x 3/3, de modo que la derivada de B es B'(x)
d x3
=--
dx 3
En otras palabras, -d
dx
fax t o
2
=x 2
dt = x 2
244
CAPíTULO
5
La integral
Los resultados de las ecuaciones dentro de recuadros sugieren que la derivada de una función de acumulación es igual a la función que se está acumulando. Pero, ¿siempre es éste el caso? Y, ¿por qué esto es así? Suponga que estamos utilizando una brocha "retráctil" para pintar la región debajo de la curva. (Por retráctil, queremos decir que la brocha se hace más ancha o más angosta conforme se mueve hacia la derecha, de modo que siempre cubra justamente la altura que se pinta.) La brocha es ancha cuando los valores del integrando son grandes y es angosta cuando los valores del integrando son pequeños. (Véase la figura 3.) Con esta analogía, el área acumulada es el área pintada, y la tasa de acumulación es la tasa (velocidad) a la cual la pintura se está aplicando. Pero la velocidad a la que se está aplicando es igual al ancho de la brocha, en realidad, la altura de la función. Podemos establecer este resultado como sigue.
y
a
b
Figura 3
La tasa de acumulación en t = x es igual al valor de la función que se está acumulando en t = x.
Esto, en pocas palabras, es el primer teorema fundamental del cálculo. Es fundamental ya que relaciona la derivada y la integral definida, las dos clases más importantes de límites que hemos estudiado hasta ahora.
Bosquejo de la demostración Por ahora, presentamos un bosquejo de la demostración. Este bosquejo muestra las características importantes de la demostración, pero una demostración completa debe espera hasta después que hayamos establecido otros cuantos resultados. Para x en [a, b J, definimos G( x)
d dx
¡X a
=
¡
xf
(t) dt. Entonces para x en (a, b)
f(t) dt = G'(x)
/ G(x +h) -G(h) =hm------h~O h
y
=
líPoH[+hf(t)dt - [f(t)dt]
l1
= lím -h h~O
a
X
x
h
+ f(t) dt
x
La última línea se deduce de la propiedad aditiva para intervalos (Teorema 5.5B). Ahora, cuando h es pequeña, f no cambia mucho en el intervalo [x, x + h] . En este intervalo, f es aproximadamente igual a f(x), el valor de f se evalúa en el extremo izquierdo del intervalo (véase la figura 4). El área bajo la curva y = f(t) de x a x + h es aproximadamente igual al área del rectángulo con ancho h y altura f(x); esto es,
x+ h
Figura 4
1
X+\(t) dt "" hf(x). Por tanto, d
-d X
a
Figura 5
b
x
¡X a
1 f(t) dt ~ lím -h [hf(x) ] = f(x) h~O
•
Por supuesto, el error en este argumento es que h nunca es 0, así que no podemos asegurar que f no cambia en el intervalo [x, x + h] . Daremos una demostración formal al final de esta sección.
Propiedades de comparación La consideración de las áreas de las regiones R1 y Rb en la figura 5, sugiere otra propiedad de las integrales definidas.
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
245
Demostración Sea P: a = Xo < Xl < X2 < ... < Xn = b una partición arbitraria de [a, b] Ypara cada i sea x¡ cualquier punto muestra en el i-ésimo subintervalo [X¡-l' xJ De manera sucesiva podemos concluir que
¡(Xi)
:S
g(x¡)
¡(Xi) dx¡
:S
g(xJ dx¡
n
n
¡=l
¡=l
L ¡(Xi) dx¡:s L g(X¡) dx¡
lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX •
y M
Demostración La gráfica en la figura 6 nos ayuda a entender el teorema. Obsérvese que m(b - a) es el área del pequeño rectángulo inferior, M (b - a) es él área del rectángulo mayor y lb¡(X) dx es el área debajo de la curva. a
Figura 6
b
x
Para demostrar la desigualdad delládo derecho, sea g(x) = M para toda X en [a, b] . Entonces, por el Teorema B,
lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX
1 b
Sin embargo,
•
g ( x) dx es igual al área del rectángulo con ancho b - a y altura M. Así,
lbg(x) dx
= M(b -
al
La desigualdad del lado izquierdo se maneja de manera análoga. •
La integral definida es un operador lineal D"
Al principio aprendimos que
J... dx, y L son operadores lineales. Puede agregar lb... dx a la lista.
246
CAPíTULO
5
La integral
Demostración Las demostraciones de (i) y (ii) dependen de la linealidad de propiedades de límites. Demostramos (ii). b
l
L y las
n
:¿ [f(xJ + g(xJJ dx¡ IPI~O
[f(x) + g(x)Jdx = lím
¡=1
a
±
= lím [ IPI~O
=
¡=1
f(x¡) dx¡
lb
¡(X) dx
+
lb
+
±
¡=1
g(x¡) dX¡]
g(x) dx
La parte (iii) se deduce de (i) y (ii) si se escribe f(x) - g(x) como f(x) + (-l)g(x) .•
Demostración del primer teorema fundamental del cálculo Con estos resultados a la mano, ahora estamos preparados para demostrar el primer teorema fundamental del cálculo. Demostración En el bosquejo de la demostración que se presentó antes, definimos G( x) =
l
x
¡ (1) dI, Yestablecimos el hecho de que
+ h)
G(x
- G(x) =
f(t) dt
Supóngase por el momento que h > Oy sean m y M los valores mínimo y máximo, respectivamente, de f en el intervalo [x, x + h] (véase la figura 7). Por el Teorema C,
y y =f(r)
mh::::;
l
x +h
f(t)dt::::; Mh
x
o
f(x)
mh ::::; G( x x
Figura 7
l
x +h
x
x+h
+
h) - G( x) ::::; M h
Al dividir entre h, obtenemos m::::;
G(x
+ h)
- G(x)
h
::::;M
Ahora m y M en realidad dependen de h. Además, ya que f es continua, tanto m como M deben aproximarse a f(x) cuando h ~ O. Así, por el Teorema del emparedado,
lím
h~O
G(x + h) - G(x) h = f(x)
El caso en donde h < Ose maneja de manera análoga.• Una consecuencia teórica de este teorema es que toda función continua f tiene una antiderivada F dada por la función de acumulación
F(x)
=
l
x
¡(I) dI
Sin embargo, este hecho no es útil para obtener una fórmula sencilla para cualquier antiderivada particular. El proyecto de tecnología 5.2 proporciona varios ejemplos de fun-
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
247
ciones importantes que están definidas como funciones de acumulación. En el capítulo 7 definiremos la función logaritmo natural como una función de acumulación.
[l
EJEMPLO 1 Encuentre :x Solución
Xt3
dt
1
Por el primer teorema fundamental del cálculo,
:x EJEMPLO 2
Encuentre dd [ x
[1'
(X V
12
3 3 t dt] = x
3 t /'
dt].
+ 17
t2
•
Retamos a cualquiera a que resuelva este ejemplo, evaluando primero la integral. Sin embargo, por medio del primer teorema fundamental del cálculo, es un problema trivial.
Solución
~ [{X
12
dx EJEMPLO 3
t
3 2
3 2 /
dt] _ X / Vt 2 +17 -Vx 2 +17 2
Encuentre :x [¡'tan u cosu du
l~
<
x
•
<
3;.
Utilizar la variable muda u en lugar de t no debe preocupar a nadie. Sin embargo, el hecho de que x sea el límite inferior, en lugar del límite superior, es molesto. He aquí cómo manejar esta dificultad.
Solución
:x [¡'tan' u cos u du ] = :x [ = -
_¡Xtan' u cos u du ]
:x
[¡X
tan' u cosu du ] = -tan' x cosx
El intercambio de los límites superior e inferior está permitido si anteponemos un signo menos. (Recuérdese que por definición
1. f a
(x) dx
1
=
-1
f (x) dx.)
•
b
2
EJ EM PLO 4
Encuentre Dx [
x (3t - 1) dt ] de dos formas.
Una manera de encontrar esta derivada es aplicando el primer teorema fundamental del cálculo, aunque ahora tenemos una nueva complicación; el límite superior es x 2 en lugar de x. Este problema puede manejarse por medio de la regla de la cadena. Podemos considerar la expresión entre paréntesis como
Solución y
y= 3t-l
1
a (3t
- 1) dt
donde u
= x'
Por medio de la regla de la cadena, la derivada con respecto a x de esta función composición es
a[la (3t -
D
1) dt] . Dxu = (3u - 1)(2x) = (3x' - 1)(2x) = 6x 3 - 2x
Otra manera de encontrar esta derivada es evaluar primero la integral definida y después utilizar nuestras reglas para derivadas. La integral definida
IX' (3t -
1) dt es
el área debajo de la recta y = 3t - 1 entre t = 1 Yt = x 2 (véase la figura 8). Como el . x2 - 1 3 1 [2 + (3x 2 - l)J = 2 x 4 - x 2 - 2' área de este trapecIo es-2 Figura 8
l
1
x2
1 (3t - 1) dt = -3 x 4 - x 2 - 22
248
CAPíTULO
La integral
5
Por tanto,
• EJEMPLO 5
=
Sea A(x)
lxl3
dI.
(a) Si y = A(x), encuentre dy /dx. (b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial resultante que satisface y = O cuando x = 1.
(c) Encuentre
14/3 dI.
Solución (a) Por el primer teorema fundamental del cálculo, dy
-
dx
= A'(x) = x 3
=
(b) Como la ecuación diferencial dy /dx
x 3 es separable, podemos escribir
dy = x 3 dx
Integrando ambos lados se obtiene y
=
J
3
X4
x dx
Cuandox = 1, debemos tener y
=4 + e
= A(l) =
1'/3 dI = O. AsÍ, elegimos e de mo-
do que, . 14 O = A(l) = 4
+e
Portanto,C = -1I4.Asíque,lasolucióndelaecuacióndiferencialesy (e) Como y = A(x) = x 4 /4 - 1/4, tenemos
1 4
1
1
44
3
1
= x4/4 - 1/4.
255
t dt=A(4)=4-¡=64-¡=4
•
El método descrito en el ejemplo 5 nos da una manera de evaluar integrales definidas. El segundo teorema fundamental del cálculo, que se desarrolla en la sección siguiente, nos da un método más eficiente.
Revisión de conceptos 1. Como 4 :::; x 2 :::; 16 para toda e en [2,4] , la propiedad de acotamiento de la integral definida nos permite decir :s:
/,\2
dx :s:
_
3. Por /,S(x
la
+ VX)dx = 4. Si
1
4f
linealidad, /'SXdX
+
14Cf(X) dx = e .
y
_
(X)dX =5ysig(x):S:f(x)paratodaxen[1,4],en-
tonces la propiedad de comparación nos permite decir que 4g (X)dx:s: _ _
1
o
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
249
Conjunto de problemas 5.6 En los problemas dell al 4, haga la gráfica de la función de acumulación A (x) que es igual al área indicada. 1.
y
7.
l
Z [2 f (X)
+ g(x)]dx
8.
9. j,1[2f (S) +5g(s)]ds
1
1 [2 f (S)
+ g(s)]ds + 2g(x)] dx
10. ¡1[3f (X)
11. ¡Z[3f (t) +2g(t)]dt
+ V2 g (t) + 7T]dt
12. ¡Z[V3f(t)
En los problemas dell3 al 22, encuentre G'(x). 13. G(x)
= ¡X2t dt
14. G(x)
= 112t dt
15. G(x)
= ¡x(2tZ + Vt)dt
16. G(x)
= ¡XCOS3 (2t)tan(t)dt;-7T/2 < x < 7T/2
17. G(x)
=
-1
2.
y
A(x)
1/\s 7r
18. G( x) = ¡Xxt dt
-1
3.
2)cot(2s)ds;O < x < (Tenga cuidado.)
¡"'sen I dI
19. G(x) =
20. G(x)
= ¡"'+< v'2z + sen
21. G(x)
= {X ~ dt Sugerencia: {X = {X + (O?
z dz
J-x 1 + t
J-x
2
4.
7T
Jo
J-x-
senx
l
22. G(x) = y
2
t 5 dt
cosx
23. Demuestre que la gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba en todas partes si
f(x) =
A(x)
(X ~ds, Z
Jo
a+
a =1= O
SZ
Sugerencia: Demuestre que f"(x) > Opara toda real x. 24. Encuentre el intervalo en el que la gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba, si
f(x) = Supóngase que ¡l!(X)dX
y
= 2, ¡Z!(X)dX = 3, ¡lg(X)dX = -1,
¡Z
g( x) dx = 4. Utilice las propiedades de las integrales indefini-
1
+t
En los problemas del 25 al 28, utilice la propiedad aditiva para intervalos y la linealidad para evaluar ¡4f (x) dx. Empiece dibujando una gráfica def
das (linealidad, aditividad para intervalos, etc.) para calcular cada una de las integrales en los problemas del 5 all2.
(X ~dt Z
Jo
25.
f(x)
26. f(x)
={
=
X
Z
x
{~
si O:::; x < 2 si 2 :::; x :::; 4
4-x
si O:::; x < 1 si 1:::; x < 2 si 2:::; x :::; 4
250
CAPíTULO
La integral
5
21
27. f(x) = Ix 28.
f (x) =
3
29. Sea F(x)
, 1 40. Encuentre hm - - 1 x-;.1
+ Ix - 31
= ¡x(t4 + l)dt.
x -
41. Encuentre f(x) si
IX -1 ++2t dt.
1
1
xf
t
(t) dt = 2x - 2.
(a) Encuentre F(O).
42. Encuentre f(x) si ¡Xf(t) dt
(b) Sea y = F(x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = F'(x) = x 4 + 1. Resuelva la ecuación diferencial dy /dx = x 4 + 1.
43. Encuentref(x) si
(c) Encuentre la solución de esta ecuación diferencial que satisface y = F(O) cuando x = O. (d) Demuestre que t(x 4
Jo
30. Sea G(x)
+ l)dx =~.
= ~X3.
=x+
1? Ex-
= ¡Xsen tdt. En los problemas del 45 al 50, decida si la afirmación dada es verdadera o falsa. Después justifique su respuesta.
(c) Encuentre la solución a esta ecuación diferencial que satisface y = G(O) cuando x = o.
45. Si f es continua y f(x) ~ Opara toda x en [a, b] ,entonces
l
¡7rsen x dx = 2.
¡° \/l+7
6
31. Demuestre que 1 :::;
Explique por qué 1 :::;
dx :::; -. Sugerencia:
(X)dX
47. Si l
(f) Haga la gráfica de y = G(x) en el intervalo [O, 41T] . 1
bf
1°
49. Si l
¡4(5 + x 3)dx
35.
1(3 + ~ )
5
tonces
1
4 (X
+ 6)5 dx
Z0
5
dx
36.
~ OYlbf(x) dx = o, entonces f(x)
=
Opara to-
1o
(
1
+ ~r dx
bf
(X) dx
> lbg(x) dx, entonces b [¡(X) - g(x) ] dx
>
O
50. Si f y g son continuas y f(x) > g(x) para toda x en [a, b], en-
21
34.
~ Opara toda x en [a, b].
(X)dX =O,entoncesf(x) = Opara toda x en [a,b].
l
\/4+7 :::; -. (Véase la suge-
[§9 En los problemas del 33 al 38, utilice una calculadora gráfica para graficar cada integrando. Después utilice la propiedad de acotamiento (Teorema C) para encontrar una cota inferior y una cota superior para cada integral definida. 33.
O, entonces f(x)
5
B) Yel resultado del problema 29d.
rencia para el problema 31.)
2
da x en [a, b] .
rrado [O, 1] ; después utilice la propiedad de comparación (Teorema
1
bf
48. Si f(x)
\/l+7 :::; 1 + x 4 para x en el intervalo ce-
32. Demuestre que 2 :::;
O.
2
46. Si lbf(x) dx
(e) Encuentre todos los puntos extremos relativos y de inflexión de G en el intervalo [O, 41T] .
38.
f(t)dt
plique.
(b) Sea y = G( x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = G'(x) = sen x. Resuelva la ecuación diferencial dy /dx = sen x.
37.
Jo
44. ¿Existe alguna función f tal que ¡Xf(t) dt
5
(a) Encuentre G(O) y G(21T).
(d) Demuestre que
(X 2
= x Z•
I[f(x)dXI > l[g(X)dXI
51. Sea f continua en [a, bJ Ypor tanto integrable allí. Demuestre que
I[f(X)dxl [lf(X)ldX os;
Sugerencia: -lf(x)1 :::; f(x) :::; If(x)l; utilice el Teorema B. 52. Suponga que f' es integrable y If'(x) I muestre que If(x)1 :::; If(a)1 + Mlx - al.
:::;
M para toda x. De-
(87r(5 + ~20 senzx) dx
J47r
(O.4( 0.002 + 0.0001 cosz x) dx
Jo.z
,
1 ¡X 1
39. Encuentre hm -
x-;.o X
+t
° - +2t dt.
Respuestas a la revisión de conceptos: 3.
4.5
1. 8; 32 2. sen 3 x;
SEcCIÓN
S.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
5.7 El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
251
El primer teorema fundamental del cálculo, dado en la sección anterior, proporciona la relación inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque aún no es aparente, esta relación nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Esta herramienta se denomina el segundo teorema fundamental del cálculo, y lo aplicaremos con mucha mayor frecuencia que el primer teorema fundamental del cálculo.
¿Es fundamental?
El segundo teorema fundamental del cálculo es importante al proporcionar una herramienta poderosa para la evaluación de integrales definidas. Pero su significado más profundo subyace en la relación que establece entre la derivación y la integración; entre derivadas e integrales. Esta relación es sorprendentemente clara cuando volvemos a escribir la conclusión del teorema con f(x) reemplazada por g'(x).
l
bg
Demostración Para x en el intervalo [a, b] , definase G(x)
=
¡Xf(t) dt. Entonces,
por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(x) = ¡(x) para toda x en (a, b). De esta manera, G es una antiderivada de ¡; pero F también es una antiderivada de f. Del Teorema 4.8B, concluimos que como F' (x) = G' (x) las funciones F y G difieren por una constante. Así, para toda x en (a, b)
F(x) = G(x) +
'(X)dX = g(b) - g(a)
e
Como las funciones F y G son continuas en el intervalo cerrado [a, b] (véase el problema57),tenemosF(a) = G(a) + Cy F(b) = G(b) + C.Así que, F(x) = G(x) + Cen el intervalo cerrado [a, b] . Como G(a)
=
¡"f(t) dI = O, tenemos F(a) = G(a) + e = o + C = e
Por tanto,
F(b) - F(a)
=
[G(b)
+ e] - e = G(b)
=
[f(/) dI •
En la sección 5.1, definimos la integral indefinida como una antiderivada. En la sección 5.5, definimos la integral definida como el límite de una suma de Riemann. Usamos la misma palabra (integral) en ambos casos, aunque en este momento parece haber poco en común entre las dos. El Teorema A es fundamental ya que muestra cómo se relacionan la integración indefinida (antiderivación) y la integración definida (área con signo). Antes de ir a los ejemplos, pregúntese por qué puede utilizar la palabra cualquier, en el enunciado del teorema.
EJEMPLO 1
Demuestre que ¡bk dx
= k( b
- a), k una constante.
Solución F(x) = kx es una antiderivada de ¡(x) do teorema fundamental del cálculo,
= k. De esta manera, por el segun-
¡bkdx =F(b) -F(a) =kb -ka =k(b -a)
EJEMPLO 2
Demuestre que
¡ a
Solución
b
b2
x dx = -
2
•
a2 - -.
2
F(x) = x 2 /2 es una antiderivada de ¡(x) = x. Por tanto,
¡ a
b
b2
a2
x dx = F(b) - F(a) = - - 2 2
•
252
CAPíTULO
5
La integral
EJEMPLO 3
Demuestre que si r es un número racional diferente de -1, entonces b br+1 ar+1 xrdx = - - - - -
l
a r+1 r+1 r 1 Solución F(x) = x + /(r + 1) es una antiderivada de f(x) = x r. Así que, por el segundo teorema fundamental del cálculo, b br+1 ar+1 x r dx = F(b) - F(a) = - - - - a r+1 r+1 Si r < O, requerimos que Ono esté en [a, b] . ¿Por qué? • Es conveniente introducir un símbolo especial para F(b) - F(a). Escribimos
l
F(b) - F(a) = [F(x)]: Con esta notación, 3
{Sx 2 dx = [x ]S = 125 12 3 2 3 EJEMPLO 4
_~ 3
= 117 =39 3
Evalúe ¡:(4X - 6x 2 )dx
(a) utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo de manera directa y (b) el primero, aplicando la linealidad (Teorema 5.6D). Solución
¡:(4X - 6x 2 )dx = [2x 2
(a)
2X3]~,
-
= (8 - 16) - (2
+ 2)
= -12
(b) Primero aplicando la linealidad, tenemos
E(4X - 6x 2 )dx
= 4 Ex
dx - 6 Ex 2 dx
_ [ -x2 ] 2 - 6 [ x3 ] 2 -4 2 -1 3_1
=4(i-i) -6(~+l) •
= -12
EJEMPLO 5
Evalúe ¡"(x I/3
+ X4/3 )dx.
Solución
¡"(X I/3
+ X4/3 )dx = [ix 4/3 + Jx7/3 ]: =
(i . 16 + ~ . 128)
= ~
EJ EM PLO 6 Solución
Encuentre D,
+ 3~1
-
(i . 1 + ~ . 1)
~ 65.68
•
J.x3 sen t dt de dos maneras.
La manera fácil es aplicar el primer teorema fundamental del cálculo.
xJ.x 3 scnt dt = 3 senx
D
Una segunda forma de resolver este problema es aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluat la integral de Oa x; después aplique las reglas de las derivadas.
J.' 3 sent dt =[-3 costM =-3 cosx -
(-3 cosO)
=
-3 cosx
+3
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
253
Entonces
Dx¡X3sentdt =DA-3cosx +3) =3senx
•
En términos del símbolo para la integral indefinida, podemos escribir la conclusión del segundo teorema fundamental del cálculo como
[f(X)dX
=
[J
f(x)dx
I
La parte no trivial de la aplicación del teorema siempre es encontrar la integral indefinida f (x ) dx. La regla generalizada para la potencia de la sección 5.1 puede aplicarse en muchos casos para evaluar una integral definida. Sin embargo, existen muchas funciones que no tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos de funciones elementales.
f
EJEMPLO 7
Evalúe
+ l)dx.
= x 2 + x; entonces du = (2x +
Sea u
Solución
¡4~ (2x
J~
(2x
+ l)dx = =
J
U' /
1) dx. Así que, 2
du
= ju3 / 2 + e
Hx 2 + X)3/2 + C
Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
¡4~ (2x
+ l)dx = [¡(x' + x)'!' + C]ri = [~(20)3/2
+ C] - [O + CJ
= ~ (20f/2 ~ 59.63
•
Obsérvese que la e de la integración indefinida se cancela, siempre será así, en la integración definida. Esto es por lo que en el enunciado del segundo teorema fundamental del cálculo podemos utilizar la frase cualquier antiderivada. En particular, siempre podríamos elegir e = o al aplicar el segundo teorema fundamental. También obsérvese que la derivada de u es precisamente 2x + 1. Esto es lo que hace el trabajo de sustitución. Si la expresión entre paréntesis fuese 3x + 1 en lugar de 2x + 1, la regla generalizada para la potencia no se aplicaría y tendríamos un problema mucho más difícil.
EJEMPLO 8 Solución
Evalúe
=
Sea u
J
¡'/4
sen3 2x cos 2x dx.
sen 2x; entonces du
3
sen 2xcos2x dx
=~
J
=
2 cos 2x dx. De esta manera,
3
(sen 2x)(2cos2x) dx
1 u4
=~
J
u3 du
sen42x
=--+C=--+C 2 4 8
Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
¡
7T/4
o
EJEMPLO 9 Solución
sen3 2x cos 2i: dx =
Evalúe
¡i[
[sen42x]7T/4 1 1 = - - O= 8 o 8 8
x' + (x' + l)'x] dx.
•
254
CAPíTULO
5
La integral
La primer integral es fácil de resolver en forma directa. Para manejar la segunda, hacemos u = x 2 + 1, de modo que du = 2x dx, y escribimos
J
(x'
+
l)'x dx
=~
J
(x
2
+ 1)' 2x dx = ~
J
4
u du
1 u5 (x 2 + 1)5 =--+c= +c 2 5
10
Por tanto,
EJ EM PLO 10 La figura 1 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en (1, 1) yen (5,1). Con base en los que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
y
(a) 1'[(X) dx
(b) [['(X)dX
1'["
(d) [f"'(X)dX
(c)
(x ) dx
Solución x
Figura 1
(a) La función f es positiva para toda x en el intervalo [1,5] ,y la gráfica indica que hay cierta área por arriba del eje x. Parlo que,
1'[(x) dx > O.
(b) Por el segundo teorema fundamental del cálculo,
[nX)dX
= [(5) - [(1) = 1 -1 = O
(c) Otra vez utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo (esta vez con l' como una antiderivada de f"), vemos que
[["(X) dx
= ['(5) - ['(1) = O - ( - 1) = 1
(d) La función f es cóncava hacia arriba en x = 5, de modo que f" (5) > 0, y es cóncava hacia abajo en x = 1, de modo que f"(l) < O. Así que,
[f"'(X)dX
=
["(5) - ["(1) > O
•
Este ejemplo ilustra la notable propiedad que indica lo siguiente: para evaluar una integral definida todo lo que necesitamos conocer son los valores de una antiderivada en los puntos frontera a y b. Por ejemplo, para evaluar
l'["(
x) dx, todo lo que nece-
sitamos conocer era 1'(5) y 1'(1); no necesitábamos conocer l' y f" en los puntos del intervalo abierto (a, b).
El Teorema del valor medio para integrales En este momento usted se debe haber dado cuenta que el Teorema del valor medio para derivadas desempeña un papel importante en cálculo. Existe un teorema del mismo nombre para integrales, que también es importante. Geométricamente, dice que existe algún e en el intervalo [a, b]
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
255
tal que el área del rectángulo con altura f(e) y ancho b - a es igual al área debajo de la curva. (Véase la figura 2.) En la figura 2, el área de bajo de la curva es igual al área del rectángulo sombreado.
a
e
b
Figura 2
[;J Estimación de integrales
El Teorema B con la figura 2 que le acompaña, sugiere una buena manera de estimar el valor de una integral definida. El área de la región bajo la curva es igual al área de un rectángulo. Uno puede hacer una buena estimación de este rectángulo simplemente "echando un vistazo" a la región. En la figura 2, el área de la parte sombreada por arriba de la curva debe coincidir con el área de la parte en blanco por debajo de la curva.
Demostración Sea G(x) =
l
xf
(l) dI,
a s; x
b
S;
Por el Teorema del valor medio para derivadas aplicado a G, existe un punto e en (a, b) tal que
G(b) - G(a) = G'(c)(b - a) Esto es,
[f(t) dI
- O = G'(c)(b -
al
Pero, por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(e) gue. •
= f(e). La conclusión se si-
Obsérvese que si despejamos f(e) en la conclusión del Teorema B obtenemos
f(e)
El número
[a,
l
bf
(l)dI
b - a
1
f( X ) dx/ (b - a) se denomina valor medio, o valor promedio, de f en
b
bJ . Para
ver por qué tiene este nombre, considere una partición regular P: X2 < ... < Xn = b con ~X = (b - a)/n. El promedio de los n valores, f(x l ), f(x 2 ),···, f(x n ) es
a
=
Xo
<
Xl
<
= _1_ if(x¡) b - a
b - a
1
i=l
n
n
=-
b - a
Lf(Xi)dX i=l
La suma en la última expresión es una suma de Riemann para f en [a, se aproxima
lb
f( x) dx cuando n ---+ oo. Así, (
lb
bJ Ypor tanto
f( X ) dx ) / (b - a) aparece como
la extensión natural de la noción familiar de valor promedio.
256
La integral
5
CAPíTULO
Revisión de conceptos 1. Si f es continua en [a, b J y si allí F es cualquier
l
de f, entonces
bf
(X)dX
=
1 3
_
3.
_
Ji =
_
= [_ _ J=! = _ _
J-2
_
[x 3/3
=
{-l X - 2 dx
4.
. 2. El símbolo [F (x) ]:, se establece para la expresión
x 2 dx
o
Conjunto de problemas 5.7 En los problemas del 1 al 14, utilice el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluar cada integral definida.
x
35. f(x)
1. 12x3 dx 3. 11\3x - 2x 5.
+ 3)dx
{4 ~ dw
4. 6.
JI w 2 Vi dt
1 4
7.
9.
11.
1
f(l + :}Y
10.
eos x dx
12.
1'/2 1
13. 1 (2x 4 - 3x 2 + 5)dx
1'S4 s~ 8
39.
ds
1~:22 sen I dI
17.1-1
18.
3
19. 21.
23.
{s 8
Js
1
(t
+ 2)
2
dt
Vh+l d;
ro -v:Y=l
J2
1 13
-v7+2t2 (8t) dt
1'/2 2
eos x sen x dx
22.
1
24.
+ senx)dx
l
dy 47. 49.
{04[ vX + Vh+l]dx
Jo
29. 1\x2 + 2X)2 dx
31. Evalúe
{X t3 dt.
JI
28.
{-11 -
J-4
1
8a
30.
2s
±
i=l
2: n
n-'>oo i=l
[sen ( 7Ti ) ]
[
1
n
48. lím
n
~n
+ -2in + ( -2in ) 2] -n2 n
1
2: i
2
debe ser una buena aproxi-
i=l
1
x 2 dx para n grande. Ahora calcule la expresión de la su-
f
52. Evalúe
J-1
¿ (2i)3 -n -n2
n-'>oo i=l
51. Explique por qué (1/n 3 )
1 13 (a /3 - X / dx
32. Evalúe (x(t
!)S dx x
ma para n = 10 Yevalúe la integral por medio del segundo teorema del cálculo. Compare sus resultados.
+ Itl)dt.
En los problemas del 33 al 38, encuentre el valor promedio de la función dada en el intervalo que se da.
33. f(x) = 4x3;[1,3]
lím
50. lím
+ eosx]dx
2S4 ds
(20( 1 +
JlO
44. f(x) = x 2; [-1, 1] 46. f(x) = Ixl; [-2, 2J
}~~~ (~r ~
sen2 3x eos 3x dx
26. l'/2[4x
+ sen(x 2)]dx
(X) dx/(b - a).
n-HXJ
mación a 27.
bf
2
W 25. l'/2(2X
[3
En los problemas del 47 al 50, primero reconozca el límite dado como una integral definida y después evalúe la integral por medio del segundo teorema fundamental del cálculo.
+ 1 dx 3 Vx + 3x
l'/2
42.
43. f(x) = ~; [0, 3J 45. f(x) = Ixl; [O, 2J
1 dx V2x + 2 x
40.
J-1 1 + x 2
7
20.
1
1 3 -3
~ (3x 2)dx
+ senx)4 dx
En los problemas del 43 al 46, encuentre un valor c en el intervalo dado que satisfaga
En los problemas del 15 al 30, utilice el segundo teorema fundamental del cálculo combinado con la regla generalizada para la potencia para evaluar cada integral definida.
1:
1 2
(5
r _2_ dx
41.
f(c) =
16.
1
27r
dw
1 14. 1 (x 4/ 3 - 2X 1/ 3)dx
15. ¡1(X 2 + 1)1O(2x) dx
2 + Ixl; [-2, 1]
=
grando en los problemas del 39 al 42. Después estime la integral como se sugiere en la nota al margen que acompaña al Teorema B.
t
1~
; [0, 3J
[§Q GJ Utilice una calculadora gráfica para hacer la gráfica del inte-
(3 ~3dt 8
8.
+ 16
37. f(x) = coSX;[O,7TJ 38. f( x) = sen2 x cos x; [0, 7T /2]
2 3 (4X + 7)dx
JI
2
36. f(x) = x + Ixl; [-3,2]
2. 1:X4 dx
2
x
= V
34. f(x)
1:(2[
x] - 31xl) dx.
53. Demuestre que! xlxl es una antiderivada de Ixl y utilice este hecho para obtener una fórmula sencilla para
l
b ¡X dx. I
54. Encuentre una fórmula sencilla para lb [x] dx, b
> O.
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
55. Aseguramos que
la
b
XII dx
+ ~lbl1 vy dy = bn +1 -
la'
a n +1
(a) Utilice la figura 3 para justificar esto por medio de un argumento geométrico. (b) Demuestre el resultado utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo. (c) Demuestre que A n = nB n'
(a) (c)
1 1
3f
3f
1 1
257
3
(X)dX
(b)
l/(X)dX
(d)
f'(X) dx
3f
"'(X)dX
60. La figura 5 muestra la gráfica de una funciónf que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y(4,1). Con base en los que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
y
1 1 4
(a) ¡4f (X) dx
(b)
1 4
(e)
f'(X) dx
4
(d)
!"(x) dx
f'I/(X)dX
y
x
b
a
Figura 3
56. Proporcione una demostración del Teorema del valor medio para integrales (Teorema B) que no utilice el primer teorema fundamental del cálculo. Sugerencia: Aplique el Teorema de existencia de máximos y mínimos y el Teorema del valor intermedio. \
(a) Sea G~x) = lXf(t) dt. Demuestre que G es continua en [a, b]. (b) Sea F( x) cualquier antiderivada de f en [a, b]. Demuestre que F es continua en [a, b]. 58. Proporcione un ejemplo para demostrar que la función de
acumulación G(x)
=
x
1\
57. Suponga que f es continua en [a, b].
¡Xf(X) dx puede ser continua aun si f no es
continua. 59. La figura 4 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y (3, O). Con base en lo que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
\ \
Figura 5
61. Demuestre el segundo teorema fundamental del cálculo siguiendo el método sugerido en el ejemplo 5 de la sección 5.6. 62. La figura 6 muestra la temperatura T como una función del tiempo t (medido en horas después de la medianoche) para un día en San Luis Missouri.
(a) Aproxime la temperatura promedio para el día. (b) ¿Debe existir algún instante cuando la temperatura es igual a la temperatura promedio para el día? Explique.
T
y 60
,
,,
¡¡..
,
50
o
", (1,2)
~
~~~~~~~'~:,~,:~"~,::,~,: ~
::l
E
o..
40 30
E
f-;
20 10
-1
o
x
O
12
16
20
Tiempo (horas desde la medianoche)
Figura 4
Figura 6
24
258
CApíTULO
5
La integral
63. La figura 7 muestra la humedad relativa H como una función del tiempo t (mediodía en días, a partir del domingo) para una edificio de oficinas. Aproxime la humedad relativa promedio para la semana.
30 ~
25
.~
"§
20
~
"2
a ::c
15
;:3
10
o Respuestas a la revisión de conceptos:
F (a) 2. F (b) - F (a) 3.
1. antiderivada; F (b ) -
4.
5.8 Evaluación de integrales definidas
Tiempo (días)
Figura 7
Por lo general la evaluación de integrales definidas es un proceso de dos etapas. Primero, encontramos una integral indefinida; después aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo. Si la integración indefinida es sencilla, podemos combinar los dos pasos, como en 2
[x dX =
[~'J: =~ -t = ~
Sin embargo, si la integración indefinida tiene la suficiente complejidad para requerir sustitución, por lo común la separamos en dos etapas. De esta manera, para calcular
primero escribimos (usando u
[xv?+9dX = x 2 + 9 y du = 2x dx)
Jxv?+9dX
=~ J =
~
v?+9(2xdx)
J
U' /
2
du
1 2 32 -U / 2 3
= -.
+e
= ~ (x 2 + 9)3/2 + e
3 Entonces, aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo. dx = [~(X2 + 9)3/2]4 = 125 _ 27 = 98 o 3 o 3 3 3 El método de sustitución que se acaba de ilustrar se generaliza de dos maneras. Primera, aunque se introdujo en la sección 5.1, sólo para funciones potencia, su aplicación se extiende más allá de ese uso. Segunda, existe una manera de utilizar la sustitución de forma directa en una integral definida. Ahora seguiremos estas dos ideas.
J. 4Xv?+9
El método de sustitución
Considere el problema de encontrar
J (2x + 3)cos(x2 + 3x)dx Si hacemos u = x 2 + 3x de modo que du = (2x + 3)dx, la integral anterior se transforma en cos u du, la cual usted notará que no es la integral de una función potencia. Sin embargo,
J
J (2x + 3)cos(x 2 + 3x)dx
=
= =
J cosu du senu + e sen(x 2 + 3x) + e
SECCIÓN
5.8
Evaluación de integrales definidas
259
En este ejemplo, con facilidad podemos verificar nuestra respuesta, derivando el resultado. Pero, ¿siempre funcionará el método de sustitución? Sí, con tal que podamos demostrar la regla de sustitución para integrales indefinidas. Esta regla desempeña el mismo papel para integrales que aquel que desempeña la regla de la cadena para derivadas. En realidad, la regla de sustitución es la regla de la cadena en sentido inverso.
Cómo crece un Teorema
La regla para la potencia xr+l xrdx = - - +C r +1
J
conduce, vía la sustitución u = g(x) a la regla generalizada para la potencia
J
y
[g(x) g'(x) dx
=
J
r u du
u r +1
=--+C r
+1
[g(X)y+1
r
+C
+1
Pero ésta, a su vez, no es más que un caso muy especial de la regla de la sustitución en la que f(u) = uro
Demostración Es suficiente con demostrar que la derivada del lado derecho es el integrando del lado izquierdo. Pero esto es una aplicación sencilla de la regla de la cadena combinada con el hecho de que F' = f.
DAF(g(x)) +
Sea u
= F'(g(x))g'(x) = ¡(g(x))g'(x) •
sen \IX
J
EJEMPLO 1 Encuentre Solución
C]
vx
dx.
= \IX = X 1/ 2, de modo que du = ~ X- 1/ 2 dx. Entonces
J
sen\IX \IX dx = 2
J
sen \IX
GX-
1 2 /
dx)
= 2 Jsenu du
-2cosu + C
=
= -2cos\IX (v7i/2
EJEMPLO 2 Solución
Evalúe
Jo
•
+C
xsen 3 (x 2 )cos(x2 )dx.
Sea u = sen(x2 ), de modo que du = 2x cos(x 2 )dx. Entonces,
J
x sen3 (x')cos(x 2 ) dx
=
J
~ sen3 (x') . 2x cos(x2 ) dx
1 u4
=--+C 2 4
1 +C 8 Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo, = - sen4 (x 2 )
¡V;;/x 2
[k scn4(x') ]:1 ksen' ( : ) - ~ .
2
=
sen3 (x 2 )cos(x') dx
=
1 O = 32
•
260
CAPíTULO
5
La integral
Obsérvese que en el procedimiento de dos etapas ilustrado en el ejemplo 2 debemos asegurar expresar la integral indefinida en términos de x antes de que apliquemos el segundo teorema fundamental del cálculo. Esto es ya que los límites O y V7i/2 se aplican a x, no a u. Pero, ¿qué pasa si, al hacer la sustitución u = sen(x 2 ), también hacemos los cambios correspondientes en los límites de integración a u = sen(02) = OY u = sen[(V7i/2)2] = V2/2? Entonces, ¿podríamos terminar la integración con la integral definida en términos de u? La respuesta es sí. 1 32 He aquí el resultado general, que nos permite sustituir los límites de integración así como el integrando, con lo cual obtenemos un proceso con menor cantidad de pasos. Sustitución para integrales definidas
Para hacer la sustitución en una integral definida, se requieren tres cambios: 1. Hacer la sustitución en el inte-
grando. 2. Hacer el cambio adecuado en la
diferencial. 3. Cambiar los límites de a y b a
Demostración Sea F una antiderivada de f (la existencia de F está garantizada por el Teorema 5.6A). Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo, 9 (b)
1
g(a) y g(b).
f(u)du = [F(u)U¡~j = F(g(b)) - F(g(a))
g(a)
Por otra parte, por medio de la regla de sustitución para las integrales indefinidas (Teorema A),
J
= F(g(x)) + e
¡(g(x) )g'(x) dx
y aSÍ, otra vez por el segundo teorema fundamental del cálculo, [¡(g(X) )g'(x) dx = [F(g(x)
Evalúe
(
10o
F(g(b)) - F(g( a)) •
+1 )2 dx. + 2x + 6 x
1
EJEMPLO 3
)J: =
x2
Solución Sea u = x 2 + 2x + 6, de modo que du = (2x + 2)dx = 2(x sérvese que u = 6 cuando x = OYque u = 9 cuando x = 1. Así que, 1
10o
+1 + 2x + 6) X
------2 2
(x
dx
= -1
2
10
+ 2 2 dx + 2x + 6) 2x
1
o (x
+ l)dx, yob-
2
• Nótese en el ejemplo 3 cómo hicimos la sustitución en el integrando, para la diferencial, y en los límites de integración.
SECCiÓN
EJEMPLO 4 Solución
Evalúe
Sea u
¡
2 7T /4 cos 0 "r:: 7T 2/9 vX
5.8
Evaluación de integrales definidas
dx.
= 0, de modo que du = 2
¡
7T
dx/(2
0). Así,
2
7T /4 cos 0 2 /9
261
ox
dx = 2
=2
¡7T /4 1 cos 0· "r:: dx 2 7T /9 2 vx (7T/2 cos
u du
J7T/3
=
[2senu]:j~
= 2 -
V3
El cambio en los límites de integración ocurrió en la segunda igualdad. Cuando 2 2 x = 7T 2/9, u = 7T /9 = 7T /3; cuando x = 7T /4, u = 7T /2. •
V
Uso de la simetría Recuérdese que una función par es una que satisface f(-x) = f(x), mientras que una función impar satisface f(-x) = -f(x). La gráfica de la primera es simétrica con respecto al eje x; la gráfica de la última es simétrica con respecto al origen. He aquí un útil Teorema de integración para tales funciones.
Función par Área de la izquierda = área de la derecha
Figura 1
Demostración para funciones pares La interpretación geométrica de este teorema se muestra en las figuras 1 y 2. Para justificar analíticamente los resultados, primero escribimos
~:f(X)dX Función impar El área de la izquierda neutraliza
Figura 2
=
~:f(X)dX + ~nf(X)dX
En la primera de las integrales de la derecha, hacemos la sustitución u = -x, du = -dx.
Sifespar,f(-x) = f(x) y
,{f(X)dX = - ,{f(-X)(-dx) = - [f(U)dU Condiciones erróneas
Asegúrese de darse cuenta de las hipótesis del Teorema de simetría. El integrando debe ser par o impar y el intervalo de integración debe ser simétrico con respecto al origen. Estas condiciones son restrictivas, pero es sorprendente cómo con frecuencia se cumplen en las aplicaciones. Cuando se cumplen, pueden simplificar mucho la integración.
= ~"f(U)dU =
.~nf(X)dX
Por tanto,
~:f(X)dX = .~"f(X)dX + ~"f(X)dX = 2[f(X)dX La demostración para funciones impares se deja como un ejercicio (problema 71). • EJEMPLO 5
Evalúe
~:CosU)dX.
Solución Puesto que cos(-x/4) = cos(x/4),f(x) = cos(x/4) es una función par. Así que,
feos(¡)dx = [cos(¡)dx = [cas(¡) .¡dx 2
8
{7T/4
= 8 Jo
cosu du
=
[8 sen U];/4
= 4 v!2
•
262
CAPíTULO
La integral
5
1 ~+ 5
EJEMPLO 6
Evalúe
x
-5
4
dx.
Solución f(x) = X5/(X 2 + 4) es una función impar. Por lo que, la integral anterior tiene el valor cero. • EJEMPLO 7
Evalúe 1:(x sen4 x
+ x3
-
X')dx.
Solución Los primeros dos términos en el integrando son impares, los últimos son pares. Por eso, podemos escribir la integral como
\xsen4x 1 -2
+ x 3 )dx -12X4 dx
= O - 2 [2 X4 dx
Jo
-2
• Uso de la periodicidad Recuérdese que una función f es periódica, si existe un número p tal que f(x + p) = f(x) para toda x en el dominio de f. El número positivo más pequeño p que cumple con lo anterior se denomina periodo de f. Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones periódicas. y
a
b
Área (A)
a +p
b+p
= Área (B)
Figura 3
---PA, y =f(x)
x
Demostración La interpretación geométrica puede verse en la figura 3. Para demostrar el resultado, sea u = x - p de modo que x = u + P y du = dx. Entonces b bf bf bf Pf + (X)dX = (U + p)du = (U)dU = (X)dX
l
l
a+p
a
Podemos reemplazar f(u
•x
EJEMPLO 8 Evalúe
l
a
l
a
+ p) por f(u) en el segundo paso, ya que f
es periódica. •
¡Z"¡SenXldX.
=Isen xl
Solución
Figura 4 Minutos
Segundos
O
O
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
55 57 60 70 70 70 70 19 O
59 63 65 62 O O O
22 38 35 25 O
Obsérvese que f(x) = ¡sen xl es periódica con periodo 7T (véase la figura 4).
¡Z'lsenxl dx
=
¡"Isen xl dx + ¡Z"¡senXI dx
=
.L"lsenX1dX + ¡"lsenXldX
= 2 ¡"sen Xdx = [-2cosx]~ = 2 - (-2) = 4
•
Funciones definidas por medio de una tabla En todos los ejemplos anteriores, la función que hemos integrado siempre se ha definido en el intervalo completo de integración. Existen muchas situaciones en donde éste no es el caso. Por ejemplo, la velocidad se mide cada minuto, el flujo de agua de un tanque se mide cada 10 segundos, y el área de la sección transversal se mide cada 0.1 milímetro. En todos estos casos, la integral tiene un significado claramente definido. Aunque no podemos obtener la integral de manera exacta, podemos utilizar las sumas de Riemann para aproximar la integral. EJEMPLO 9 Mientras su padre conducía desde San Luis hasta la ciudad de Jefferson, Chris observó la velocidad del automóvil cada 10 minutos, esto es, cada sexto de hora. La tabla del margen muestra estas lecturas del velocímetro. ¿Cuánto viajaron ellos?
SECCiÓN
5.8
Evaluación de integrales definidas
263
Solución
Sea v(t) la velocidad del automóvil en el instante t, en dónde t se mide en horas, contadas a partir del inicio del viaje. Si conocernos v(t) para toda t en el intervalo
(3.5
[0,3.5] ,podernos encontrar la distancia recorrida tornando Jo
v(t) dt. El problema
es, conocernos v(t) sólo para 22 valores de t: t¡ = k/6, donde k = 0,1,2, ... ,21. La figura 5 muestra una gráfica de la información que nos dan. Podernos utilizar una suma de Riemann para aproximar la distancia recorrida. Dividirnos el intervalo [0,3.5] en intervalos de ancho 1/6 (ya que 10 minutos es un sexto de una hora) y tornarnos corno puntos muestra los extremos izquierdos de cada intervalo. Entonces la suma de Riemann se transforma en 21
L v(t¡) dt
21
= dt L v(t¡)
¡=1
¡=1
=
i
(O
°
+ 55 + 57 + 60 + 70 + 70 + 70 + 70 + 19 + + 59
+ 63 + 65 + 62 + O + O + O + 22 + 38 + 35 + 25 + O) 840 6
= - = 140
Ellos condujeron aproximadamente 140 millas.
80 70 60 ~ 1-<
o
'§ ~
g "O
"O
50 40 30
'C)
o ~ ;>
20 10
o
0.5
1.5
2.5
3.5
Tiempo (horas)
•
Figura 5
Revisión de conceptos 1. Con la sustitución de u = x 3 +1, la integral definida x2( x3
+ 1t dx se transforma en la nueva integral definida
2. Si f es una función impar, una función par
1:
f (x) dx =
(2 f (X) dx =
J-2
_
10 _
; si fes
1
3. Utilizando la pregunta 2, podemos escribir
1:(2 +
x
+ x 2 + 3x 5 )dx =
1:(2 +
2
x )dx
+1:(x + 3x S )dx =2(_ _) + __ . 4. La función f es periódica si existe un número p tal que _ _ _ para toda x en el dominio de f. El número positivo más pequeño de tales números se denomina de la función.
264
La integral
5
CAPíTULO
Conjunto de problemas 5.8 Utilice el método de sustitución para encontrar cada una de las siguientes integrales indefinidas.
1. J Y3x +2dx 3.
5.
¡ ¡
(6x - 7)1/8 dx cos(3x
+ 2) dx
7. ¡sen (6x - 7) dx
sen e cos e de
34.
¡Tr/6 sene - -3d e o cos e
2. J V2x -4dx
35. ¡lCOS(3X - 3) dx
36.
10o
4. ¡ (5u - 17)21/8 du
37. ¡lxsen(7Tx2)dX
38. ¡Trx 4 cos(2x 5)dx
6. ¡sen (2x - 4)dx
39. ¡Tr/4 (cos 2x
+ sen 2x) dx
{Tr/2 (cos 3x J-Tr/2
+ sen 5x) dx
8.
JX~dX
10.
11. J x(x 2 + 3f12/7 dx
12.
9.
13. ¡x sen (x
2 + 4)dx
(Tr/6
14.
¡ ¡ ¡ ¡
COS(7TV - v7)dv x 2(X 3 + 5)9 dx
33. Jo
40.
3
41.
/
2
sen(27Tx)dx
{o Tr/2 sen x sen (cos x) dx
Jo
42. {Tr/2cosecos(7Tsene)de
43. {01xcos3(x2)sen(x2)dx
J-Tr/2 v(V3 v 2 + 7Tf/8 dv
1
lo
44. . (Tr/2x 2sen 2( x 3)cos(x 3)dx
J-Tr/2 x 2COS(x 3 + 5)dx
1
1 4
45.
dt
vt(vt+1? En los problemas del 47 al 56, utilice la simetría para ayudarse a eva1
15. j' x 2sen (6x 3 -
17.
¡
7) dx
xsen~ ~
dx
16. ¡ v 4 cos( 7TV 5 -
18.
v7) dv
2 Z cos(Vz + 3)
(Vz 2 + 3)2
¡
dz
19. J X2(X 3 + 5)8 cos[(x 3 + 5)9] dx 20. J x 6(7x 7
luar la integral que se da.
49.
Tr /2 senx dx -Tr/2 1 + cos x
1
51.1: 11\1 +
+ 17)8 sen [(7 x 7 + 17)9] dx
+ cosx)dx
47. ¡:(senx
(sen x
21. j'x cos(x2 + 4) Ysen (x 2 + 4) dx
53.
22. J x 6 sen (3x 7
54.
1
x
+ cos X)2 dx + x 2 + x 3)dx
1OO
+ 9) Vcos(3x + 9) dx 7
(
v
+ sen v + v cos v + seIT' V)5 dv
-100
11 (lx31 + 56.1:::(,x, 1
23. j'x 2sen (x 3 + 5)COS 9(X 3 + 5) dx 24. J x-4 sec 2(x- 3 +
25. ¡(X
26.
¡
55.
1
t
o
dt
x +2 2 dx 2 o (x + 4x + 1) 1
31.
(t + 9)2 2
10
(bf(X) d~ en caso
Ja
de que f sea una función par? ¿Una función impar? 58. Demuestre (por medio de una sustitución) que
1
2
(-a f(x) dx con
J-b
l
Utilice el método de sustitución en integrales definidas para evaluar cada una de las siguientes (véanse los ejemplos 3 y 4).
29.
+ Ixl2tanx)dx
57. ¿Cómo se comparan
(0 + 4)2 0 dx
10 (3x + 1)3 dx
5
sen x
1) V'tan(x- 3 + 1) dx
+ 1)sec1/ 2(x 2 + 2x)tan(x 2 + 2x)dx
27.
3 x )dx
10
30.
LV" ~ x dx
{4Tr Jo leos xl dx.
V2t+1 dt
{2 Jo
(-X)dX
= ¡:af(X)dX
59. Utilice la periodicidad (véase el ejemplo 8) para calcular
4
28.
32.
hf
x
(9 -
2 X3
dx ?/2
{4Tr 60. Calcule Jo
Isen 2xl dx.
5.8
SECCIÓN
61. Si f es periódica con periodo p, entonces p
¡a+ f(x) dx =
¡P
Evaluación de integrales definidas
265
65. Encuentre el área de la región sombreada que se muestra en la figura 7.
f(x) dx
y
Convénzase de que esto es cierto dibujando una gráfica y después utilice el resultado para calcular
j,1+1T lsen xl dx.
62. Utilice el resultado del problema 61 para calcular
(2+TT/2 J2 Isen 2xl dx. 63. La temperatura T en cierto día satisfizo
T(t) = 70
+ 8 sen [~ (t
x
Figura 7
- 9) ]
66. Integrales que con frecuencia aparecen en las aplicaciones son en donde t era el número de horas después de la medianoche. Encuentre la temperatura promedio de las 6 a.m. a las 6 p.m.
!ahcos
2
x dx y
!a
21T
sen2 x dx.
(a) Utilizando una identidad trigonométrica, demuestre que
64. Complete la generalización del Teorema de Pitágoras iniciada en el problema 39 de la sección 1.5, demostrando que A + B = e en la figura 6, siendo éstas las áreas de regiones semejantes construidas sobre los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
!ah (sen {21T Jo
y
(c) Concluya que
Jo
+
(hh(x)dx Jo
= tf(x)dx. Jo
x
+ cos 2 x) dx = 27T
(b) Con base en consideraciones gráficas, demuestre que
(a) Convénzase de que la semejanza significa
(b) Demuestre que {ag(x)dx
2
(21T
2
cos X dx
!ahcos
2
= Jo
x dx
=
2
sen x dx.
!ahsen
2
x dx
=
7T.
[§g 67. Para ilustrar algunos resultados de esta sección, sea f(x) = ¡sen xl sen(cos x). (a) ¿f es par, impar o ninguna de las dos? (b) Nótese que f es periódica. ¿Cuál es su periodo? (c) Evalúe la integral definida de f para cada uno de los intervalos siguientes: [O, 7T/2J ' [-7T/2, 7T/2J , [O, 37T/2J , [-3 7T/2, 3 7T/2J , [O, 27T J ' [7T/6, 137T/6J , [7T/6, 47T/3 J , [137T /6, 107T /3 J .
68. Repita el problema 67 paraf(x)
= sen Ixl sen (sen
x)l.
69. En su camino al trabajo, Terri anotó su velocidad cada 3 minutos. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. ¿ Cuál fue la distancia que ella condujo?
o
Tiempo (minutos) Velocidad (mi/h) y =g(x)
o y
= h(x}
a
~ o
Figura 6
3 31
6 54
9 53
12 52
15 35
18 31
21 28
24 O
70. Cada 12 minutos entre las 4:00 p.m. y las 6:00 p.m., se midió la tasa (en galones por minuto) a la cual sale agua del depósito de agua de la ciudad. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. ¿Cuánta agua se utilizó en este espacio de 2 horas? Tiempo Flujo (gallmin)
=f(x)
O
4:00 4:12 4:24 4:36 4:48 5:00 5:12 5:24 5:36 5:48 6:00 65
71
68
78 105 111 108 144 160 152 148
71. Demuestre el Teorema de simetría para el caso de funciones impares.
Respuestas a la revisión de conceptos:
2!a2 f (X)dX 3. !a\2 + x 2)dx;0
1.
~ 12u4 du
2. O;
4.f(x + p) = f(x);periodo.
266
CAPíTULO
5
La integral
5.9 Revisión del capítulo [27T
Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. 1. La integral indefinida es un operador lineal.
f'(x) dx = f(x) para toda función derivable f.
9.
n-l
10.
11. Si
= 10,000.
- 1)
10
10
10
i=l
i=l
i=l
l
L af = 100 Y L ai = 20, entonces L (ai + 1)2 = 150.
14. Si 15. Si
af
(X) dx
l l
bf
!
= O,entoncesf(x) = O para toda x en [a,b].
!
z= !
35. Si
::s;
X+27T
(sen t + cos t) dt es independiente de x.
x
1
5
sen2x dx
= O.
=
¡bf(X) dx 37.
1 1
z(t) dt, entonces z(t) -
-1
F'(x) = f(x)
O
X2
1 --2
1
7
sen2x dx
l+t
[27T
23.
Jo
Isen xl dx
dt
=
]
+
1
= --4' l+x
[27T
Jo
f (X) dx = O.
zes una función impar pa-
= F(b). = 2
-99
/,5 sen2x dx.
id
$
[99bx 2 dx.
Jo
g(x) en [a,b ],entonces
Icos xl dx.
11'
40.1 ~ ail ~ lail·
f (x) dxl
$Il
b
g(x) dxl·
$
f( x) dx
4L Sif es continua en [a,b ],entonces
es positiva.
[¡
1:
para toda x en [O, bJ, entonces
/99 (ax3 + bx2 + cx) dx
39. Sif(x)
21. Si f es continua y positiva en todas partes, entonces
22. Dx
= !F 2(x) + e
38. Sif(x) ::s; g(x) en [a,bJ,entonces l b1f (X)ldx::s; l blg (X)ldx.
18. El operador lím es lineal. 13
~~ dx
f(x)
t ::s; 1.
= O,entoncesf(x) = Oparatodaxen[a,b].
¡
sen x dx
= 1F 3(x) + e
f2(X) dx
32. Si f(x) = 4 en [O, 3J ,entonces toda suma de Riemann para f en el intervalo dado tiene el valor 12.
36. Si
1:
e
31. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
ra-l
b [f(X)]2 dx
17. El valor de
f( v( x) ) dx = F( v( x)) +
34. Sif(x) = f(-x) para toda x en [-a, aJ, entonces
16. Sia > xyG(x) = lxf(z)dz,entoncesG'(x) = -f(x).
20.
29. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
33. Si F'(x) = G'(x) para toda x en [a, b J, entonces F(b) F(a) = G(b) - G(a).
= O.
(X)dX
+ 1 es una
antiderivada de f(x) + 1.
!
12. Si f está acotada en [a, b J ,entonces f es integrable allí.
19.
28. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x)
i=l
i=l
13.
27. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(2x + 1) es una antiderivada de f(2x + 1).
n
L (2i
sen x dx.
25. La antiderivada de funciones impares son funciones pares.
L (ai + ai-l) = ao + a + 2 L ai' i=l 100
= 4 Jo
30. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
8. Si s = -16t 2 + vot da la altura en el instante t de una pelota lanzada directamente hacia arriba desde la superficie de la Tierra, entonces la pelota llegará al suelo con velocidad -va. n
[7T/2
Isen xl dx
antiderivada de f(5x).
3. y = cos x es una solución de la ecuación diferencial (dyjdx)2 = 1 - i. 4. Todas las funciones continuas tienen antiderivadas. 5. Todas las funciones que tienen antiderivadas deben tener derivadas. 6. Si la segunda derivada de dos funciones es igual, entonces las funciones difieren a lo más por una constante.
!
Jo
26. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(5x) es una
2. ![¡(X)g'(X) + g(x)f'(x)]dx = f(x)g(x) + C.
7.
24.
42. lím n--HX)
L sen (2i) n n
i=l
. -2
n
=
¡2 o
11'
f (x) dxl
$
l'¡f(X)1 dx.
senx dx.
43. Si !PI ---+ O, entonces el número de subintervalos en la parti-
ción tiende a oo.
SECCIÓN
Problemas de examen En los problemas del] al]], evalúe las integrales que se indican. 1. ¡\X 3
3.
5.
J J
3x 2 + 3 vX)dx
-
l -
+ 26y-1
9ysen y Y
dy
z(2z 2 - 3)1 /3 dz
2X4 - 3x 2 + 1
24. Si f(x)
2.
J
JY~dY
26. Si f (x)
4.
{1r12 6. Jo cos4 xsen x dx
27. Evalúe
x
2
dx
7. ¡1r(X + 1)tan (3x + 6x)sec 2(3x 2 + 6x)dx
1
X
+ 3 dt, -2 ::; x, encuentre f'(7).
t
-2
~)2 dx.
25. Evalúe ¡3(2 -
= 3x 2 ~,
1,
45X2 -1 2
2
28. Evalúe
2
{'~ dt 4
Jo
9. 12t4(t5 + 5)2 /3 dt
+9
t
J + + J\o/2l + 3l + y
-
1
2
(l - 3y) (l y
2: (3
dy 12. dx = sen x; y dy
dx dy 14. dx 15.
16.
~ dy
=
i
3i -
-
2: (6i 2 -
~
30. Evalúe cada suma.
=
7T
6y
= O
18 en x = 3
en x = O
v2t=1; y = -1 en t = t = 1 en t = 1
= x sec y; y =
(c) ~cos 4
i)
(k7T) 4
31. Escriba en notación sigma.
dy
dy 6x - x 3 17. dx = 2y ; Y = 3 en x = O dy
2: (2 i=l
;y =
= csc y; y =
8i).
i=l
6
2 en x
=
1 ).
(b)
1)
1
dt = t 2 l; Y
18. dx
dx.
i=l 10
dY
En los problemas del 12 al]8, resuelva la ecuación diferencial sujeta a la condición que se indica.
13. -
f en
X
2
11.
encuentre el valor promedio de
[2,5].
29. Evalúe
10.
267
n
2
8.
¡
=
Revisión del capítulo
5.9
7T
en x = O
19. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por (-2, -1), si su pendiente en cada x es el recíproco negativo de la pendiente de la curva con ecuación xy = 2.
111
(a)
1
2 + 3 + 4 + ... + 78
(b) x 2 + 2x4 + 3x6 + 4x8 + ... + 50x 100 32. Haga un bosquejo de la región bajo la curva y = 16 - x 2 entre
x = OY x = 3, muestre el polígono inscrito correspondiente a una partición regular de [0,3 J en n subintervalos. Encuentre una fórmula para el área de este polígono y después encuentre el área debajo de la curva tomando un límite. 33. Si ¡l f (X) dx
= 4, ¡2f (X) dx = 2,
evalúe cada integral. (a)
1
2f
(X) dx
(b)
(c) ¡23f (U)dU
l°
Y ¡2g(X) dx
= -3,
f (X)dX
(d) ¡2[2g(X) -3f(x)]dx
(e) ¡-2f (-x) dx 34. Evalúe cada integral
(b) ¡4[X]dX
(a) ¡4 1x -lldx (c) ¡4(X - [x])dx
20. Si una partícula que se mueve sobre el eje x tiene aceleración a = 15 Vi + 8 en el instante t, y si va = -6, Xo = -44, encuentre su posición x en t = 4. Suponga que x se mide en pies y t en segundos.
35. Supongaquef(x) = f(-x),f(x)::; O,g(-x) = -g(x),
21. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde una to-
¡2f (X) dx
rre de 448 pies de altura, con una velocidad inicial de 48 pies por segundo. ¿En cuántos segundos llegará al suelo y con qué velocidad? Suponga que g = 32 pies por segundo por segundo y desprecio de la resistencia del aire.
(a) l : f (X) dx
(b) 122If (X)1 dx
(c) l : g (X)dX
(d) l)f(X)
22. ¿Qué aceleración constante provocará que un automóvil au-
Sugerencia: En las partes (a) y (b), primero bosqueje una gráfica.
= -4,
mente su velocidad de 45 a 60 millas por hora en 10 segundos?
(e) ¡2[2 g (X)
23. Sea P una partición regular del intervalo [0,2J en cuatro subintervalos iguales, y sea f(x) = x 2 - 1. Escriba la suma de Rie-
36. Evalúe
mann para f sobre P, en la que Xi es el extremo de la derecha de cada subintervalo de P, i = 1,2,3,4. Determine el valor de esta suma de Riemann y haga un bosquejo de la gráfica.
Y ¡2g(X) dx
+ 3f(x)]dx
= 5. Evalúe cada integral
+ f(-x)]dx
(f) l : g (X)dx
{lOO (x 3 + sen 5 x) dx J-100 37. Encuentre c del Teorema del valor medio para integrales para f(x) = 3x2 en [-4, -1].
268
CAPíTULO
La integral
5
38. Encuentre G'(x) para cada función G. (a) G(x)
=
¡ ¡
-2-dt
=
X
+1
t
1
(c) G(x)
1
X
(b) G(x)
=
rg(X)
¡ 1
2
t
t
+1
(a) lím n-'>rx)
(c) G(x)
= ¡Xsen2ZdZ = ~ ¡Xf(z) dz
= ¡-xf(-t)dt
40. Evalúe cada uno de los límites siguientes, reconociéndolo como una integral definida.
39. Encuentre G'(x) para cada función G. (a) G(x)
(f) G(x)
+1
dt
-2-
dg(u)
------;¡;;- du
-2-dt
1
X}
= Jo
(e) G( x)
1
X
(b) G(x)
4 Ln~' ~.n n
n
(b)
i=l
= ¡X+l f (Z)dZ
5X
41. Demuestre que si f (x)
(d) G(x)
= ¡X (¡Uf(t) dt) du
constante en (O, (0).
=
1
2i)2 -;;2
(
}~~ ~ 1 + ~ 1
- dt entonces f es una función
2x t
S.10 Problemas adicionales 1. ¿Cuál de las figuras 1,2 o 3 muestra la solución del problema • . . 1 dy x y (O) =. 1 D'e 1as razones para su · o, ImCIa con con dIClon -d = - -; x y respuesta.
seg O pies/seg 88
30
80
60 66
90 51
120 37
150 26
180 14
210 5
240 O
Utilizando las sumas de Riemann: (a) estime la distancia máxima en pies que necesita el tren para detenerse; (b) estime la distancia mínima en pies que necesita el tren para detenerse; (c) estime la distancia que el tren necesita para detenerse, con base en la velocidad promedio entre cada lectura del velocímetro;
-1
Figura 1
-2
-1
Figura 2
Figura 3
(d) explique por qué en la parte (c) es el promedio de los valores de las partes (a) y (b). 4. Apruebe o refute que la integral del valor promedio es igual
2. En la figura 4, se da la velocidad v(t) para O ~ t ~ 10. Utilice la gráfica para bosquejar una gráfica, a grandes rasgos, de la posición s(t) y de la aceleración a(t) que tiene la velocidad que se indica para O ~ t ~ 10 en el caso cuando: (a) s(O) = O;
(b) s(10)
=
O;
(c) s(5) = O.
a la integral de la función en el intervalo:
lb1 lb dx
=
f(x) dx,
donde 1 es el promedio de una función f en el intervalo [a,
bJ .
5. Suponga que u y v pueden integrarse en el intervalo [a, bJ Yque el valor promedio en el intervalo se denota por u y V, apruebe o refute que:
~
(a) u + v = u + v; (b) ku = ku, donde k es cualquier constante: (c) si u
o ~---+-----t----'r---+----1 -1
-2
Figura 4
3. Un ferrocarril muy largo está intentando detenerse para hacer una parada lo más rápido posible. A tales ferrocarriles tan largos les puede tomar varias millas detenerse. En el instante que el maquinista aplica los frenos, el tren va a 60 millas -por hora (88 pies por segundo). A continuación está una tabla de lecturas del velocímetro tomadas en los 4 minutos que tarda el tren en detenerse.
~
v entonces u ~
v no importa si a <
b o b < a.
6. La corriente eléftrica domiciliaria puede modelarse por medio del voltaje V = V sen (1207Tt + 4», donde t se mide en segundos, V es el valor máximo que V puede alcanzar y 4> es el ángulo de fase. Tal voltaje por lo común es de 60 ciclos, ya que en 1 segundo el voltaje da 60 oscilaciones. El voltaje cuadrado medio, por lo común denotado por V rms se define como la raíz cuadrada del V2. De aquí que
Una buena medida de cuánto calor puede producir un voltaje dado está dado por V rms' (a) Calcule el voltaje promedio durante un segundo. (b) Calcule el voltaje promedio en 1/120 de un segundo.
SECCiÓN
VV2
Problemas adicionales
269
y
= - 2 - calculando la integral para V rms'
(c) Demuestre que ~ms Sugerencia:
5.10
J
sen 2 t dt
1
1
= -"2 cos t sen t + "2 t + c.
15
la
(d) Si el V rms para la corri~nte domiciliaria por lo regular es 120 volts, ¿cuál es el valor V en este caso?
7. Considere la función G( x)
= /, x f( t) dt, donde f(t) oscila al-
rededor de la recta y = 2 sobre la región x [O, 10J Yestá dada por la figura 5.
-5
Figura 6 9. La figura 7 muestra la gráfica de una función f que tiene tercer derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica en los puntos que se indican. Con base en lo que se muestra, ¿qué puede decir acerca de las siguientes integrales definidas? Los resultados, ¿son positivos, negativos o cero, o bien es imposible decirlo?
y
la
y
-5
-10
Figura 5
(a) ¿En qué valores, de esta región, aparecen los máximos y mínimos locales de G(x)? (b) ¿En dónde alcanza G(x) su máximo y su mínimo absolutos? (c) ¿En qué intervalos G(x) es cóncava hacia abajo? (d) Haga un bosquejo de la gráfica de G(x). 8. Realice el mismo análisis que hizo en el problema 7,para la fun-
ción G(x)
Figura 7
(a)
= ¡Xf(t) dt dada parla figura 6, en donde f(t) oscila
alrededor de la recta y
=
2 para el intervalo [0,10].
(c)
113f (X)
l:
dx
f "(X)dX
(b) l:!'(X)dX
(d)
113fll/(X)
dx
Sumas de Riemann 1. Preparación
aproximaciones con el valor exacto.) Copie y complete una tabla parecida a la siguiente:
Todas las funciones continuas tienen antiderivadas, pero no todas tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos de funciones elementales, esto es, polinomios, funciones racionales, funciones con raíces, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, funciones logarítmicas y exponenciales. Cuando f es continua y cuando usted puede encontrar una antiderivada para f en términos de funciones elementales, usted puede evaluar la integral definida
al aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo; es decir, si F es una función que satisface F'(x) = f(x), entonces
¡bf(X) dx
Suma izquierda de Riemann Error para la suma izquierda de Riemann
5 10
20 40
Estudie la columna error. ¿Qué le sucede al error conforme n se duplica?, ¿el error disminuye a la mitad?, ¿disminuye a la tercera parte?, ¿disminuye a la cuarta parte? Ejercicio 4 Ahora utilice el punto de la derecha de cada subintervalo. Ejecute el programa como en el ejercicio 3, y complete una tabla similar. Ahora, ¿qué le sucede al error cuando n se duplica?, ¿el error disminuye a la mitad?, ¿disminuye a la tercera parte?, ¿disminuye a la cuarta parte?
= F(b) - F(a)
En este proyecto, usted investigará la aproximación de las integrales definidas utilizando sumas de Riemann, de modo que debe revisar el concepto de la suma de Riemann en la sección 5.5. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud y evaluaremos el integrando en (1) el punto de la izquierda, (2) el punto de la derecha, y (3) el punto medio del intervalo [X¡_l,x;];a la suma resultante le llamamos suma del punto izquierdo de Riemann, suma del punto derecho de Riemann y suma del punto medio de Riemann, respectivamente. Ejercicio 1 Considere la integral definida ¡5(X 4 + l)dx.Eva-
lúe esta integral utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo.
11. Uso de la tecnología Ejercicio 2 Para la integral del ejercicio 1 utilice un SAC para evaluar la suma izquierda de Riemann, esto es, la suma de Riemann que se obtiene utilizando el punto de la izquierda de cada subintervalo. Ejercicio 3 Ahora, varíe el valor de n (el número de subintervalos), ejecute el programa y observe el efecto sobre la suma de Riemann. Seleccione n = 5,10,20,40,80,160,320,640, 1280. Para cada valor de n, anote la suma de Riemann y el error.
error = ¡suma de Riemann - valor exacto de la integrall (Obsérvese que para este integrando conocemos el valor exacto de la integral definida, de modo que puede comparar las
270
n
Ejercicio 5 Ahora utilice el punto medio de cada subintervalo, Ejecute el programa como en el ejercicio 3, y complete una tabla similar. Ahora, ¿qué le sucede al error cuando n se duplica? ¿el error disminuye a la mitad? ¿disminuye a la tercera parte? ¿disminuye a la cuarta parte? Ejercicio 6
Ahora considere la integral definida
{lO Jo
2
Vl00 - x dx
En este momento del curso, usted no conoce cÓmo encontrar una antiderivada para V100 - x 2 , pero aún puede encontrar un valor exacto para esta integral definida por medio de geometría. ¿Cuál es el valor exacto? Repita los ejercicios del3 al 5 para esta integral definida. Ejercicio 7
Considere la siguiente integral definida
¡'Ir
Vsenxdx
Para esta integral no conoce el valor exacto. Con base en lo que aprendió en los ejercicios del 3 a15, ¿cómo encontraría un valor aproximado para esta integral definida?
111. Reflexión Ejercicio 8 Cuando utiliza un método para aproximar una integral definida, los errores tienden a ser proporcionales a l/n, o 1/n2 , o l/n3, etc., donde n es el número de subintervalos. Con base en las tablas que construyó en los ejercicios del 3 a15, intente detectar este patrón para (1) la suma izquierda de Riemann, (2) la suma derecha de Riemann y (3) la suma del punto medio de Riemann. Explique su razonamiento.
Ii .: f TCNOLSA I' PROYECT 52 I
C1
I
I
unciones de acumulac -
c'
Preparaciór Aigunas funcionec e 3Lh fi dc fifl -
ds oi
D
el area bajo una "..urva a partir cle un pt.nto fijo hasta ILlfl pi.ir1to var1 ab[e. -Ii 'i iThmos Ilamado a )t' 'nciones l...CiOfli T.. "e acumtuacion. IuIi. mrjort.. nte- fuijl__1 1rc S Ia ciOn de acun'--.aci jul- n de es t1J función integalIi sen0, que se define .
I
Si'ix)=J
-_dt nt
o al inLegrawic. I-'ri no está definid.r parr t,
.
En 1'te:iii alica, la función es Sinlntegral y e'-n Ma le la funciOn es Si.
, e) integ ;ii10 h( = 0,1oconio oer
existe?
Ejercicio 5
d
Si(x)?
tr ido Segundo. obsérvese que Si J ji.e;arr
--,o( mo
toma lanlo valores positi cc ilegativos; asI 'iue Ia integral det = Oat=x er[eaiidacI es arrth a - Aabajo.
2
Ekrcki'D 6 Demuestre que y =
Si(x)
y"+
ra estas funciones y haga un dibujo de
x
2x2y = senx.
de acumulaciOn F(x) = ff(t)dt.
2
P' utrt solución de Ia ecuación difereniaI
Esta ;e Haman integrales de Fresnel. Encuentre el nombre que su SAC utiliza pa-
Ejercicio 8 Defina su propia funciOn continua f de modo que, hasta donde Sepa, Jf(x) dx no pueda expresarse en términos de funciones e1emen k Después elija un valor para a y defina Ia función
j,Qué es
1
-.0
=J
"t2 )dt
sen(
III. Reflexión
X -*00
sei.
li
cx
S(x)
C(x) y de S(x) en [0,4] ,en La misma yentana de elaboración de gráficas.
lIm 5i(x)
-
recorcjará I
a.0 3 Ahora utilice una utilerIa p ara r .ia t; gráficas para graficar Si(x).
y
Ej
Ejer Jcio 4
oI.)sérveseIi uns uairtas cc1sa con .
Ejeruci Sin utilizar una L itie ii n' i para realiza.ir gr.áficas intente diLa. 1' ir una grafica de i(x) para x en LU, 3rj.
Utilice un CAS para graficar su función F, y describa algunas de sus propiedades.
Ei '.jercicio 7 Defina
II. Usa.1 c.. 1e I la Lecnuogi i
L C(r)
Ejercic.iol
pai
j
f(t) =
(
real i:zar Sefl,t
La ayuda de una ut1 erla gi:áJfic
=J
/,Tt2 2
cosI(
gr'que IJ
,
eu ci intervaic
cx
-
J, 3].
271
de Siracusa fue, sin
duda, el más grande
matemático de Ia antiguedad. ArquImedes De ancestros griegos, recibiO su
ArquImedes 287-212 aC.
educaciOn en AlejandrIa, el centro de J'
(
Ia sabidurla y a cultura griegas. En su
tiempo, fue famoso como inventor y cientIfico práctico. lnventO un tornillo para elevar el agua, estableciO las
propiedades de las poleas y palancas
("dadme un punto de apoyo y moveré al mundo"), construyó un modelo
...yhoyendIa Dos instrumentos del automOvil, el odOmetro y el velocImetro aplican el teorema fundamental del cálculo. El odOmetro integra Ia rapidez (velocidad) y da Ia distancia recorrida, esto es,
mecánico que reproducla el
movimiento de Ia luna y los planetas; para complacer al rey de Siracusa,
encontrO un modo para determinar Si
a corona del rey era de oro puro sin
necesidad de fundirla (el principio de ArquImedes sobre flotación).
v(t) dt = s(b) - s(a).
Las invenciones y recursos
prácticos eran para ArquImedes meros pasatiempos; sus
mejores escritos y sus intuiciones más penetrantes fueron dedicados a esa parte de las matemáticas que ahora se
conoce como cálculo integral. Usando un método (el método
de exhaustion) en el que sumaba un enorme nümero de cantidades rnuy pequeñas, se anticipó a algunos de los resultados de este capItulo. Entre sus aportaciones se cuentan las fOrmulas del area del cIrculo, del segmento de Ia parabola
y de a elipse; el volumen y el area de Ia esfera, del cono y de otros sOlidos de revoluciOn. Se dice que solicitO a sus amigos que grabaran sobre su tumba una esfera que contuviese un
cilindro inscrito, marcados con a razón del volumen de Ia esfera a Ia del cilindro.
r
CAPiTUS I.: I
r
i
Aplicaciones de Ia integral El area de una region plana
6.1
6.2 Volümenesde sOlidos: rebanadas, discos, arandelas 6.3 Volümenes de sOlidos de revoluciOn: cascarones 6.4 Longitud de una curva plana 6.5 Trabajo 6.6 Momentos, centro de masa 6.7 Revision del capItulo
Problemas adicionales Proyecto de tecnologia 6.1 Proyecto de tecnologIa 6.2
6.8
6.1
El area de una regiOn plana
Volumen de un cilindro elIptico Longitud de arco
El breve estudio de areas en Ia sección 5.4 sirvió para motivar la definición de Ia integral definida. Ahora, con Ia ültima noción firmemente establecida, utilizamos Ta integral definida para calcular areas de formas cada vez más complejas. Comenzaremos con los casos más sencillos.
Una regiOn por arriba del eje x Supóngase que y f(x) determina una cur.va en ci plano xy y supOngase que f es continua y no negativa en el intervalo a x b (como en la figura 1). Considérese Ia region R acotada por las gráficas de y = f(x), x a, x = b y y 0. Nos referiremos a R como Ia regiOn bajo y f(x) entre x a y x = b. Su area A(R) está dada por
V
R
A(R) a
Figura 1
I,
x
EJEMPLO 1
x=2.
f
b
f(x) dx
Encuentre el area de la regiOn R bajo y = x4 - 2x3 + 2 entre x = 1 y
Solución La gráfica de R se muestra en la figura 2. Una estimaciOn razonable para el area de R es su base por una altura promedio, digamos (3)(2) = 6. El valor exac-
toes A(R) =
f2-1
(x4
32
2x3
rx5
+2)dx
- 162 +4j /
'
12
x4
+2x
2 1
1
'\
5
2
/
=
51
10
=5.1 273
Aplicaciones de Ia integral
274 CAPETULO 6
El valor calculado de 5.1 es suficientemente cercano a nuestra estimación, 6, para darnos confianza de su validez.
Una regiOn debajo del eje x
El area es un nümero no negativo. Si la gráfica b
de y = f(x) está por debajo del eje x, entonces f f(x) dx es un nürnero negativo y por tanto no puede ser un area. Sin embargo, solo es el negativo del area de La region acotada por y f(x), x a, x b y y 0. EJEMPLO 2 x
-2yx
Encuentre eL area de la region R acotada por y = x313 - 4, el eje x, 3.
So!ución La region R se muestra en Ia figura 3. Nuestra estimación preliminar pa15. El valor exacto es ra su area es (5)(3)
A(R) Figura 2
13(x2
- x2 +4dx /
4dx
- f37 2 / r =I---+4x1 = - 27 +12 / /
J-2
L
9
9
9
9
\\
--8 / = 145
"8
1
16.11
Estamos tranquilos por Ia cercanIa de 16.11 a nuestra estimaciOn.
R
-3
EJEMPLO 3
U
EncuentreelareadelaregiOnRacotadapory = x3 - 3x2 - x + 3,el
segmento del eje x entre x = -1 y x = 2 y la recta x = 2. Solución La region R está sombreada en La figura 4. Obsérvese que parte de ella está arriba del eje x y parte está debajo. Las areas de estas dos partes, R y R2, deben calcularse por separado. Puede verificar que la curva cruza el eje x en -1, 1 y 3. AsI que,
A(R) = A(R1) + A(R2) p2
11
Figura 3
= J-i /
x + 3)dx
(x3 - 3x2
-J
(x3 - 3x2 - x + 3)dx
I-x -+3x iij- - [4 -x 3
2
L4
=4-
/
7\
X
2
+3x
23
-4
Nótese que podrIamos haber escrito esta area como una integral utilizando el sImbob de valor absoluto.
A(R)
=
- 3x2 - x + 3 dx
Pero ésta, no es una simplificación real, ya que para evaluar esta integral, tendrIamos que separarla en dos partes,justo como bo hicimos antes.
Una manera ütil de pensar Para regiones sencilbas del tipo considerado anteFigura 4
riormente, es muy fácil escribir la integral correcta. Cuando consideremos regiones más complicadas (e.g., regiones entre dos curva), La tarea de seleccionar La integral correcta es más difIcil. Sin embargo, hay una manera de pensar que puede ser muy ütil. Regrese a la definición de area y de integral definida. AquI está en cinco pasos. Paso 1:
Bosqueje La gráfica.
Córtela en pedazos delgados (tiras); marque una pieza representativa. Paso 3: Aproxime el area de esta pieza representativa como si fuese un rectángulo.
Paso 2:
SEccION 6.1
El area de una region plana 275
Paso 4:
Sume las aproximaciones a las areas de las piezas.
Paso 5:
Tome el lImite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero, obteniendo asI una integral definida.
Para ilustrar, consideramos otros ejemplos, aün sencillos. EJEMPLO 4 Formule la integral 0 y x = 4 (véase la figura 5). x
para el area de la region bajo y = 1 + \/i entre
Solución Aproxime el area de una pieza tIpica: AA
(
Sume: A
+ \t,) Ax1 , (1 + \/x,) Ax1
Tome el IImite: A = j
(I + i) dx
Figura 5
Una vez comprendido este procedimiento de cinco pasos, podemos reducirlo a tres; rebane, aproxime, integre. Considere la palabra integre como sumar las areas de las pie-
zas y tomar el ilmite cuando el ancho de las piezas tiende acero. En este proceso zXx se transforma en f... dx cuando tomamos el lImite. La figura 6 proporciona Ia forma abreviada para el mismo problema.
Aproxime
AA =(1+)Ax Integre p
A=
dx
I
Figura 6
Una regiOn entre dos curvas Considérense las curvas y = f(x) y y = g(x) con g(x) < f(x) en a x b. Ellas determinan la regiOn que se muestra en la figura 7. Utilizamos el método rebane, aproxime, integre para encontrar su area. Asegérese de notar que f(x) - g(x) da la altura correcta para la delgada tira, aun cuando la gráfica de g esté por debajo del eje x. En este caso, g(x) es negativa; de modo que restar g(x) es lo mismo que sumar un nilimero positivo. Puede verificar que f(x) - g(x) también da la altura correcta, aun cuando tanto f(x) como g(x) sean negativas.
AA=Jf(x) ±g(x)]Ax
A =f[f(x) g(x)] dx
Figura 7
276 CAPETULO 6
Aplicaciones de a integral EJEMPLO 5
Encuentre el area de la region entre las curvas y =
x4
y y = 2x - x2.
Solución Empezamos por encontrar en dónde se intersectan las dos curvas. Para hacer esto, necesitamos resolver 2x - x2 = x4, una ecuación de cuarto grado, las cuales por lo regular son difIciles de resolver. Sin embargo, en este caso x = 0 y x = 1 son soluciones obvias. Nuestro bosquejo de la región,junto con la aproximación apropiada y la integral correspond iente, se muestran en la figura 8.
AA(2xx2x)z\x A =fo'(2x_x2_x4)dx
Figura 8
Resta una tarea: evaluar la integral.
3511
7 (2x_x2_x4)dx=[x2___-il =1_i_i= 3 3 5 15 L
5]o
U
EJEMPLO 6
Rebanadas horizontales recta 4x = 4. y
Solución 4.4
Encuentre el area de la region entre la parabola y2 = 4x y la
Necesitaremos los puntos de intersecciOn de estas dos curvas. Las ordena-
das de estos puntos pueden determinarse escribiendo la segunda ecuación como 4x = 3y + 4 y luego igualando las dos expresiones para 4x.
4x
=4
y2 = 3y + 4
y2 -
-4=0
(y - 4)(y + 1) = 0
y = 4, 1 (I4' Figura 9
Con base en esto, concluimos que los puntos de intersección son (4, 4) y (, 1). La región entre las curvas se muestra en la figura 9. Ahora imagine que se rebana esta region de forma vertical. Nos enfrentamos a un problema, ya que la frontera inferior consiste de dos curvas diferentes. Las rebanadas en el extremo izquierdo van de Ia rama inferior de la parabola a su rama superior. Para el resto de la regiOn, las rebanadas se extienden de la recta a la parabola. Para resolver el problema con rebanadas verticales se requiere que primero dividamos nuestra region en dos partes, formulando una integral para cada parte y después evaluar ambas integrales.
Un enfoque mucho mejor es rebanar la regiOn de manera horizontal como se muestra en la figura 10, y por eso usamos como variable de integración a y en lugar de x. Obsérvese que las rebanadas horizontales siempre van de Ia parabola (a la izquierda) a la recta (a la derecha). La longitud de tal rebanada es el valor más grande de x, (x (3y + 4)) menos el valor más pequefio de x, (x =
El area de una region plana 277
SECCION 6.1
Ay
A= fl[
-
4
3y+4
y2
]dy
(T) Figura 10
A
f4[3 + 4 - jdy= 4
14
1
4 - y2)dy
(3y
1r3y2
4[2 +4y--I 24+16 64 3 4L\ y
3
125
-1
(3
)\2--4+-3/] 1
5.21
24
Hay dos puntos a observar: (1) El integrando que resulta de Las rebanadas horizontales incluye a y, no a x; y (2) para obtener el integrando, se despeja x de ambas ecuacioU nes y se resta el valor más pequeflo de x del mayor.
Distancia y desplazamiento Considere un objeto que se mueve a lo Largo de una recta con velocidad v(t) en el instante
t.
Si v(t)
0, entonces
f
b
v(t) dt propor-
b (véanse las secciociona la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo a nes 5.4 y 5.6). Sin embargo, si algunas veces v(t) es negativa (que corresponde a que el objeto se mueva en reversa), entonceS
dt =
fb
s(b) - s(a)
mide el desplazamiento del objeto, eSto es, la distancia dirigida desde su posición inicial s(a) hasta su posiciOn final s(b). Para obtener La distancia total que el objeto recorriO
durante a
t
b, debemos calcular
f
b
v(t) dt, eL area entre La curva de La velocidad
y el eje t. Los problemas del 31 aL 33 iLustran estas ideas.
Revision de conceptos Sea R La region entre la curva y = f(x) y el eje x en el interpara toda x en [a, b], entonces A(R) = valo [a, b]. Si f(x) pero si f(x) 0 para toda x en [a, b], entonces A(R) =
Para determinar el area de la region entre dos curvas, es bueno recordar la siguiente frase de tres palabras:
Suponga que las curvas y = f(x) y y = g(x) acotan a una
region R en la que f(x)< g(x). Entonces eL area de R está dada por A(R)
=I
dx, donde a y b se determinan resol-
viendo La ecuación Si p(y)
y = d está dada por A(R) =
278
CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
Conjunto de problem as 6.1 En losproblemas deli allO, utilice el procedimiento detrespasos (rebanar, aproximar, integrar) para formular una integral (o integrales) para el area de Ia region que se indica. 1.
Sugerencia: Para encontrar los puntos de intersección, resuélvase x = 2 - x2.
2.
ÀY
v=x-x+2
7. x
3.
4.
9.
El area de una region plana 279
SECCION 6.1
35. Calcute las areas A, B,C y Den ta figura 11.Verifique calculando A + B + C + D en una sota integraciOn.
10.
V=
(3,9)
(-3,9)
En losproblemas deli] at 28, dibuje Ia region acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su area, formule una integral y calcule el area de Ia región. Haga una estimaciOn del area para confirmar su respuesta.
11. y 12. y 13. y 14. y 15. y 16. y 17. y 18. y
= 3 - x2, y = 0, entre x 0 y x = 3 = 5x - x2,y = 0,entrex = lyx = 3 = 0,entrex = Oyx = 3 = (x - 4)(x + = landx = 4 = 0,entrex = x2 - 4x - 5,y = (x - 7), y = 0, entre x = 0 y x = 2 = x3, y
0, entre x =
3yx
Figura 11
36. Demuestre et principio de Cavalieri. (Bonaventura Cavatieri (1598-1647) desarrottO este principio en 1635). Si dos regiones tienen ta misma altura en cada x en [a, b], entonces tiene la misma area (véase ta figura 12).
9
20. y = \/,y = x - 4,x = 0 21. y = x2 - 2x, y = x2 22. y = x2 - 9,y = (2x - 1)(x + 3) 23. x = - y2, x = 0 24. x = (3 y)(y + 1),x = 0 25. x = 6y2 + 4y,x + 3y 2 = 0 26. x = y2 - 2y,x - y 4 = 0 27. 4y2 - 2x = 0,4y2 + 4x 12 0 28. x = 4y4,x = 8 4y4 29. Haga un bosquejo de la region R acotada por y y
(2,4)
3
= \1/:,y = 0,entrex 2yx = 2 = lO,y = 0,entrex = Oyx = 19. y = (x - 3)(x - l),y = x
-
(-2,4)'
a
b
Figura 12
= x + 6, x3 y 2y + x = 0. Después encuentre su area. Sugerencia: DivI-
37. Utilice el principio de Cavatieri (no integre; véase el problema 36) para demostrar que las regiones sombreadas en Ia figura 13 tienen la misma area.
dase R en dos partes.
30. Por medio de integración, encuentre el area del triángulo con vertices en (-1,4), (2, 2) y (5, 1). 31. Un objeto se mueve a to largo de una recta de modo que su 312 - 24t + 36 pies por segundo velocidad en el instante t es v(t) (véase el ejemplo 3 de la sección 3.7). Encuentre el desplazamiento y <9. Ia distancia total que recorre el objeto para 1
32. Siga las instrucciones del problema 31, si v(t) = y el intervalo es 0 t 3r/2.
33. Iniciando en s
+ sen 21
0 cuando 1 = 0, un objeto se mueve a to
targo de una recta de modo que su velocidad en et instante I es v(t) = 2t - 4 centImetros por segundo. Cuánto tiempo le toma lle-
Figura 13
38. Encuentre el area de la regiOn encerrada entre y = sen x y y
,0x17/6.
gar a s = 12? i,Cuánto tiempo te toma recorrer una distancia totat de 12 centImetros?
34. Considere ta curva y
1/x2 para 1
x <6.
Respuesta a Ia revision de conceptos:
Calcute et area debajo de esta curva. Determine c de modo que Ia recta x = c bisecte el area de la par-
2. rebane, aproxime, integre.
te(a).
4.f[q(y) -
Determine d de modo que la recta y = d bisecte el area de la par-
te(a).
p(y)]dy
1.
/f(x)dx; fr(x)dx
3. g(x) - f(x); f(x) = g(x)
280 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
6.2
VolUmenes de sOlidos: rebanadas, discos, arandelas
El volumen de una moneda Considere una moneda ordinaria, digamos una moneda de 25 centavos.
No es sorprendente que la integral definida pueda utilizarse para calcular areas; se inventó para ese propOsito. Pero los usos de la integral van mucho más allá de esa aplicación. Muchas cantidades pueden considerarse como el resultado de rebanar algo en pequeños pedazos, aproximar cada pedazo, sumarlos y tomar el lImite cuando los pedazos disminuyen su grosor. Este método de rebanar, aproximar e integrar puede utilizarse para encontrar los volámenes de sólidos siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil de aproximar. ,Qué es el volumen? Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros rectos, cuatro de los cuales se muestran en Ia figura 1. En cada caso el sOlido se genera moviendo una region plana (La base) a to largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa region. Y en cada caso el volumen del sólido se define como el area A de la base por la altura h; esto es, V
A . h.
Figura 1
Esta tiene un radio de airededor de 1 centImetro y un grosor de casi 0.2 de centImetro. Su volumen es el area de la base, A r(12), por el grosor h = 0.2; esto es
V = (lir)(0.2)
Ahora considérese un sólido con La propiedad de que su sección transversal perpendicular a una recta dada tiene area conocida. En particular, supOngase que La recta es el eje x y que el area de la secciOn transversal en x es A(x), a (véase la fi-
gura 2). Dividimos el intervalo [a, b] insertando puntos a = x0 < x1 < x2 < = b. Después a través de estos puntos pasamos planos perpendiculares al eje x, con
lo que rebanamos el sólido en capas delgadas o rebanadas (véase la figura 3). El volumen AV1 de una rebanada debe ser aproximadamente el volumen de un cilindro; esto Cs,
0.63
de centImetro cübico.
(Recuérdese que
A(i) Lix, , que se denomina punto muestra, Cs cualquier némero en ci inter.-
valo [x_1, x1].)
'I>
/ a a
x
b
Figura 2
\ xl
_-
xi_I
b
xi
Figura 3
EL "volumen" V del sólido debe estar dado de manera aproximada por medio de la suma de Riemann V
Cuando hacemos que La norma de La partición tienda a cero, obtenemos una integral definida, esta integral se define como eL volumen del sOlido.
fb En tugar de apLicar de manera mecánica Ia fOrmula en ci recuadro para obtener volOmenes, le sugerimos que en cada problema vaya a través del proceso que conduce a ella. Al igual que para areas llamamos a este proceso rebane, aproxime, integre. Se ilustra en los ejemplos siguientes.
SECCION 6.2
VolOmenes de sOlidos: rebanadas, discos, arandelas 281
SOlidos de revoluciOn: Método de los discos Cuando una regiOn piana se encuentra por completo en un lado de una recta fija en su piano, y se hace girar airededor de esa recta, genera un sólido de revolución. La recta fija se denomina eje del sólido de revolución. Como iiustración, si Ia region acotada por un semicIrcuio y su diámetro se hace girar airededor de ese diámetro, barre un sóiido esférico (véase ia figura 4). Si la region dentro de un trianguio rectángulo se hace girar airededor de 11110 de sus catetos, genera un sóiido cónico (véase ia figura 5). Cuando una region circular se hace girar airededor de una recta en su piano y que no intersecta ai cIrculo (véase Ia figura 6), barre un toro (dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.
Eje
Figura 6
Figura 5
Figura 4 EJEMPLO 1
Encuentre el volumen del sólido de revoiución obtenido ai hacer girar la
region plana R, acotada por y = \/i, ci eje x y la recta x = 4, airededor del eje x. Solución La region R, con una rebanada representativa, se muestra como la parte de la izquierda de la figura 7. Cuando se hace girar en tomb al eje x, esta region genera un sOlido de revolución y la rebanada genera un disco, un objeto delgado en forma de moneda. Ax
Ax
AViT(\/)2Ax
y =Vx
V=j0 irxdx
x
4
x
Figura 7
Al recordar que el volumen de un cilindro circular recto es 7rr2h, aproximamos el 1T(V)2 zXx y entonces integramos volumen AV de este disco con LW f4 r214 16
V=ir/ xdx=iII [2]o
ir
2
=825.13
Encuentre el volumen del sólido generado haciendo girar la region acotada por la curva y = x3, ei eje y y la recta y = 3 en tomb al eje y (véase la figura 8). EJEMPLO 2
Aqul rebanamos de manera horizontal, lo cual hace que y sea la eiección corno la variable de integración. Obsérvese que y = x3 es equivalente a x = y
Solución
([)2
Por tanto, el volumen es
91/
13
3
v = f y213 dy =
=
y513
L5
jo
11.76
282
CAPiTuLo 6
Aplicaciones de Ia integral
Ly
x
AVz
/J)2Ay
V=j0iry-7/3 dy
.
Figura 8
Método de las arandelas Algunas veces, a! rebanar un sólido de revolución se obtienen discos con agujeros en medio. Estos discos se conocen con el nombre de arandelas. Véase el diagrama que acompafia a la formula que se muestra en La figura 9. EJEMPLO 3
Encuentre el volumen del sólido generado a! hacer girar la regiOn acotada por Las parábo!as y = x2 y y2 8x en torno a! eje x. V=A .h = 7T(r2 - r12)h
Solución
Las paLabras dave siguen siendo rebane, aproxime, integre (véase la figu-
ra 10).
Figura 9
V=
/ (8x - x4)dx = Jo
r8X2
[2
485o
30.16
AV=ir[(\/)2 (x2)2]x V
Figura 10
fir(8xx)dx
U
SECCION 6.2
Volümenes de sólidos: rebanadas, discos, arandelas 283
-
EJEMPLO 4 La regiOn semicircular acotada por la curva x = y el eje y se hace girar airededor de la recta x = 1. Formule la integral que representa su volumen.
-
Solución Aqul el radio exterior de la arandela Cs 1 + y el radio interior es 1. La figura 11 muestra la solución. Se puede simplificar la integral.
AV=[(1 +4_y2)2_i2]Ay V=ji [(1 +4_y2)2_12]dy x = -]
x
x=-1
x=-1
Figura 11
La parte que está por arriba del eje x tiene el mismo volumen que La parte por debajo de él (que se manifiesta por sI mismo en un integrando par). Por eso, podemos integrar desde 0 hasta 2 y multiplicar el resultado por dos. También, el integrando se simplifica. p2)2
+ V4
- 12]dy
=2f[2V4 y2 +4 y2]dy Ahora véase el problema 35 para ver una forma de evaluar esta integral.
Otros sólidos con secciones transversales conocidas Hasta ahora, nuestros sOiidos han tenido secciones transversales circulares. Sin embargo, el método de encontrar el volumen funciona también para sólidos cuyas secciones transversales son cuadrados o triángulos. En realidad, todo to que se necesita es que las areas de las secciones transversates puedan determinarse, ya que, en este caso, también podemos aproximar ci votumen de La rebanada (una capa) con esta sección transversal. Entonces, el volumen se encuentra por medio de integración. EJEMPLO 5
Sea La base de un sóiido La region plana en el primer cuadrante acotada por y = 1 - x2/4, el eje x y et eje y. Supóngase que Las secciones transversales perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre ci volumen del sólido.
Solución Cuando rebanamos este sóiido de manera perpendicular al eje x, obtenemos cajas cuadradas y delgadas (véase La figura 12), como rebanadas de queso. V
[ x3 x512 = I2(1 _-2 + 16) dx=Ix---+ 6
O'\
80]
L
=2-
8
+
32
16
80 = 15
1.07
284 CApiluLo 6
Aplicaciones de Ia integral LX
(if
AV
\
4
V= Figura 12
EJEMPLO 6 La base de un sólido es la region entre un arco de y = sen x y el eje x. Cada secciOn transversal perpendicular al eje x es un triángulo equilatero apoyado en esta base. Encuentre el volumen del sólido.
Solución
Necesitamos el resultado de que el area de un triángulo equilatero de lado u es \/ u2/4 (véase la figura 13). Procedemos como se muestra en la figura 14. Lx
x
AV
(\?sen2x)Ax
A=f(
vA=u -2-u=
sen2x)dx
Figura 14
Figura 13
Para realizar la integración indicada, usamos la fOrmula para el medio ángulo sen2 x = (1 - cos 2x)/2.
-- 4 L =
1cos2x dx 2
8L0 rI'd 1
= 8 L- -
- cos2x)dx
=
i I cos2x.2dx] 2j0
sen 2x
j
=
0.68 8
.
Revision de conceptos El volumen de un disco de radio r y grosor h es
El volumen de una arandela con radio interno r, radio externo R, y grosor h es
Si la region R, acotada por y = x2, y = 0 y x = 3 se hace girar en tomb al eje x,el disco en x tendrá un volumen AV Si la region R de Ia pregunta 3, se hace girar en tomb a la rec-
ta y = 2, la arandela en x tendrá volumen zXV
SECCION 6.2
Volümenes de sOlidos: rebanadas, discos, arandelas 285
Conjunto de problemas 6.2 En los pro blemas deli al 4, encuentre el volumen del sólido generado cuando Ia region que se indica se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime, integre.
En los problemas deli] al i6, haga un dibujo de Ia region R acotada por las graficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.
1. Ejex
x = y2, x = 0, y = 3
x =,y = 2,y
6,x
0
x =2\/,y = 4,x = 0 15. x
14. x = y2/3,y = 27,x = 0
y312,y = 9,x = 0
16. x
\/4 y2,x
0
Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar en tomb a! eje x Ia regiOn acotada por Ia mitad superior de la elipse
2. Ejex
x2
a2
2
+ b2
=1
y el eje x, y de esta manera encuentra el volumen de un esferoide alargado o elipsoide. Aqul a y b son constantes positivas, con a > b.
Encuentre el volumen del só!ido que se genera a! hacer girar, en tomb a! eje x, la region acotada por Ia recta y = 6x y la parábola y = 6x2.
(a) Ejex (b) Ejey
Encuentre el volumen del sólido que se genera a! hacer girar, en torno a! eje x, la region acotada por !a recta x = 0 y !a parábola y2 = 4x. Encuentre e! volumen de! só!ido que se genera a! hacer girar, en tomb al eje x, la region en el primer cuadrante acotada por el cIrculo x2 + y2 = r2, el eje x y la recta x = r - h, 0 < h < r y asI encontrar el volumen de un casquete esferico de altura h, de una esfera de radio r.
Encuentre el volumen del sólido que se genera a! hacer girar, en tomb a! eje y, la region acotada por la recta y 4x y Ia parábola y 4x2.
(a) Eje x
(b) Ejey
Encuentre el volumen del sólido que se generar a! hacer girar, en torno a la recta y = 2, Ia region en el primer cuadrante acotada por
lasparábolas3x2-16y + 48 = 0yx2-16y + 80 = Oyelejey.
En los problemas del5 al iO, dibuje Ia region R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas, y muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.
y=
x = 4, y = 0
La base de un sOlido está acotada por un arco de y = \/cos x, x ir/2 y el eje x. Cada sección transversal perpendicular at eje x es un cuadrado apoyado en esta base. Encuentre el volumen del só!ido.
ir/2
7.y,x= 2,x=4,y=0 x y
0, entre x
Resuelva el problema 23 suponiendo que cada sección transversal a un plano perpendicular al eje x es un triánguio isósceles con base en el piano xyy aitura 4. Sugerencia: Para compietar la evalua-
ciOn, interprete f V4 - x2 dx como el rea de un semicIrculo.
y = x3, x = 3, y = 0
y = x312, y
La base de un sOlido es la region interior del cIrculo x2 + = 4. Encuentre el volumen del sOlido si cada sección transversal a un piano perpendicular al eje x es un cuadrado. Sugerencia: Véanse los ejemplos 5 y 6.
2yx
3
V9 x2,y 0,entrex = 2yx = 3
y = x2/3, y = 0, entre x = 1 y x = 27
La base de un sOlido es Ia regiOn acotada por y = 1 - x2 y y = 1 - x4. Las secciones transversales del sOlido que son perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sOlido.
286 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
Encuentre el volumen de un octante (un octavo) de la región sólida comün a dos cilindros circulares rectos de radio 1 cuyos ejes se intersectan en ánguios rectos. Sugerencia: Las secciones transversales horizontales son cuadrados. Véase la figura 15.
Figura 17
31. Repita ci problema 30 para r, L1 y L2 arbitrarias.
32. La base de un sólido es Ia region R acotada por y y x2. Cada sección transversal perpendicular a! eje x es un semicIrculo cuyo diámetro se extiende a lo largo de R. Encuentre ci voluy
men del sOlido.
33. Encuentre el volumen del sóiido generado a! hacer girar Ia region en ci primer cuadrante acotada por la curva = x3, la recta x = 4 y ci eje x:
(b) en toro a la recta y = 8.
(a) en torno a ia recta x = 4; Figura 15
Encuentre ei volumen dentro de la "cruz" que se muestra en Ia figura 16. Suponga que ambos cilindros tienen radio de 2 pulgadas y 12 pulgadas de largo. Sugerencia: El volumen es igual a! volumen del primer cilindro más el volumen del segundo cilindro menos el volumen de Ia region comOn a ambos. Utilice ci resultado del problema
34. Encuentre el volumen del sólido generado a! hacer girar la region en el primer cuadrante acotada por Ia curva y2 = x3, Ia recta y = 8y ci eje y:
(b) en torno a La recta y = 8.
(a) en torno a la recta x = 4;
35. CompLete Ia evaluación de la integral del ejemplo 4, observando que
27.
L
2[24 y2 +4 y2]dy =
2f
4 - y2 dy +
f2
- y2)dy
Ahora interprete la primera integral como ci area de un cuarto de cIrculo.
36. Un barril abierto de radio r y altura h, a! inicio está ileno de agua. Se inclina y el agua se derrama hasta que el nivei dci agua coincide con ci diámctro de la base y toca exactamente ci borde superior. Encuentre el volumen del agua que queda en ci barril. Véase la figura 18. Figura 16 Encuentre el volumen interior a la "cruz" de la figura 16, suponiendo que ambos cilindros tienen radio r y largo L.
Encuentre ci volumen interior de la "T" en la figura 17, suponiendo que cada citindro tiene radio r = 2 pulgadas y que las lon= 12 pulgadas y L2 = 8 puigadas. gitudes son
SECCION 6.3
37. Se corta una cufla de un cilindro circular recto de radio r (véase Ia figura 19). La superficie superior de la cufla está en un plano que pasa por el dimetro de Ia base circular y forma un ángulo 0 con Ia base. Encuentre el volumen de la cuña.
VolCimenes de sOlidos de revolución: cascarones 287
Formule la versiOn del principio de Cavalieri para el volumen (véase el problema 36 de Ia sección 6.1). Aplique el principio de Cavalieri para volOmenes de los dos sólidos que se muestran en la figura 21. (Uno es una semiesfera de radio r; el otro es un cilindro de radio r y altura r, del que se eliminó un cono circular recto de radio r y altura r.) Suponiendo que el volumen de un cono circular recto es ), rr2 h, encuentre el volumen de una
semiesfera de radio r.
Figura 19
38. (El reloj de agua, clepsidra.) Un tanque de agua se obtiene haciendo girar, en torno al eje y, Ia curva y = kx4, k > 0. Encuentre V(y), el volumen de agua en el tanque como una funciOn de su profundidad y. El agua sale a través de un pequeno orificio de acuerdo con la
ley de Torricelli (dV/dt = m \/). Demuestre que el five! del agua desciende a una velocidad constante.
39. Demuestre que el volumen de un cono general (véase la figura 20) es Ah, donde A es el area de la base y h es la altura. Utilice este resultado para dar la fOrmula para el volumen de: un cono circular recto de radio r y aitura h. un tetraedro regular con arista de longitud r.
Figura 21
Respuestas a la revision de conceptos: 3. irx zXx 4. [(x2 + 2)2 - 4]x
Figura 20
6.3
Volümenes de sOlidos de revoluciOn: cascarones
Existe otro método para encontrar el volumen de un sOlido de revolución: el método de los cascarones ci!Indricos. Para muchos problemas, es más ficil aplicar que el método de los discos o el de las arandelas. Un cascarón cilIndrico es un sOlido acotado por dos cilindros circulares rectos concéntricos (véase la figura 1). Si el radio interno es r1, el radio externo es r2 y la altura es h, entonces su volumen está dado por
V = (area de la base) (altura)
= (i-r - irr)h = (r2 + r1)(r2 - r1)h = 2ir Figura 1
1. rrh 2. -(R2 - r2)h
/r2 +r1, h(r2 /
\2
r1)
288 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
La expresión (r1 + r2)/2, que denotaremos con r, es el promedio de r1 y r2. Con lo que,
V = 2ir (radio promedio) (altura) (grosor) = 2rrh Ar He aquI una buena forma de recordar esta formula: Si el cascarón fuera muy delgado y flexible (como papel), podrIamos cortarlo por un lado, abrirlo para formar una
hoja rectangular y después calcular su volumen, suponiendo que esta hoja forma una delgada caja rectangular de largo 2irr, altura h y grosor Ar (véase la figura 2). Ar
r V = 2,rrh L r
/
Ar
Figura 2
El método de los cascarones Ahora considérese una region del tipo que se muestra en la figura 3. Rebánela de manera vertical y hágala girar en torno al eje y. Generará un sólido de revolución, y cada rebanada generará una pieza que es aproximadamente un cascarón cilmndrico. Para obtener el volumen de este sólido, calculamos el volumen AV de un cascarón representativo, sumamos y tomamos el lImite cuando el grosor de los cascarones tiende a cero. Por supuesto, lo Ultimo es una integral. y
= f(x)
2irxf(x) Ax
AV
V=2J xf(x)dx
AX
-------->
x
1
Figura 3
EJEMPLO 1
La regiOn acotada por y = 1/\/i, el eje x,x = 1 y x = 4 se hace girar
en torno al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
Solución Con base en la figura 3, vemos que el volumen del cascarón que se genera por la rebanada es,
2rxf(x)Ax
que,paraf(x) = 1/\/i, tenemos
AV27rx
Ax
Entonces el volumen se encuentra por medio de integración. '
V=2 =2
Jif
x
1
- x312 L3
ii
dx = 2ir =2
(2
I
-. 8
\3
x112 dx
2
1) i
28ii3
29.32
SECCION 6.3
Volümenes de sólidos de revolución: cascarones 289
EJEMPLO 2
La region acotada por la recta y = (r/h)x, el eje x y x = h se hace girar alrededor del eje x, y por ello se genera un cono (supongase que r > 0, h > 0). Encuentre su volumen por el método de los discos y por el método de los cascarones.
Solución Método de los discos Siga los pasos sugeridos por Ia figura 4; esto es, rebane, aproxime, integre. Ph
V=
J
h2
r2
x2 dx =
h2
o
3
o
-
irr2h3 3h2
=3
7rr2h
tXV= T(-x)2Ax
V= fr-x2dx
x
Figura 4
Método de los cascarones Siga los pasos sugeridos por la figura 5. Entonces el volumen es f r/ h \ 1
V=
)dy --Y dy=2hJ o\ Y__Y2 r r
J
,/
y3lr
irr2h
= 2h[y
AV2y(h-y)Ay
y
V=f27ry(h_Ly)dy
r
I
I
Ay
x
h
Figura 5
Como era de esperarse, ambos métodos, dan Ia bien conocida fOrmula para el volumen de un cono circular recto. EJEMPLO 3
Encuentre el volumen del sOlido generado al hacer girar en tomb al eje y, la region en el primer cuadrante que está por encima de la parabola y = x2 y por debajo de La parabola y = 2 - x2.
Solución Un vistazo a la region (parte izquierda de la figura 6) debe convencerle que rebanadas horizontales conducen a! método de los discos, que no es la mejor elección (ya que la frontera de la derecha consta de dos partes de dos curvas, haciendo necesario usar dos integrales). Sin embargo, rebanadas verticales, resultan en cascarones esféricos, funcionara bien.
vf
1
1
2x(2 - 2x2) dx = 4 f (x - x3) dx
290 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
AV 2x(2x2---x2)Ax 2-x2-x2
V=fl27rx(2_2x2)dx
x
.
Figura 6
Reuniendo todo Aunque la mayorIa de nosotros puede dibujar razonablemente bien una figura plana, algunos de nosotros lo hará menos bien a! dibujar sOlidos en tres
dimensiones. Pero no existe ley que diga que tenemos que dibujar un sólido para calcular su volumen. Por lo comUn, bastará con una figura plana, siempre que podamos visualizar en nuestras mentes el sólido correspondiente. En el ejemplo siguiente, vamos a imaginar que hacemos girar, con respecto a varios ejes, la region R de la figura 7. Nuestra tarea es formular y evaluar una integral para el volumen del sOlido resultante, y vamos a hacerlo viendo La figura plana. Asegürese de estudiar cuidadosamente el ejemplo. Figura 7
EJEMPLO 4 FormuLe y evaLtie una integral para el volumen del sólido que resulta cuando la region R que se muestra en La figura 7 se hace girar en tomb a
(b) el eje y, (d) La recta x = 4.
(a) el eje x,
(c) la recta y = 1, Solución (a)
y
-
Ax
3 + 2x -
Método de los discos AV-mr(3+2xx2)2Ax
V=rJ(3+2x_x2)2dx
Volümenes de sOlidos de revolución: cascarones 291
SECCION 6.3
(b)
Eje
Método de los cascarones
AV2x (3 + 2x - x2) Ax V=2irfx(3 + 2xx2)dx
V = 2fx(3 + 2x - x2)dx =
70.69
0
(c)
'YAx
TecnologIa
En las cuatro partes de este ejemplo, el integrando resultO ser un polinomio, pero encontrar el polinomio implica algunos largos desarrollos. Una vez que las integrales están configuradas, evaluarlas es una tarea ideal para un CAS.
1 + 3 + 2x -
Método de las arandelas
Eje;y=-
ir[(4+2xx2)2-12]Ax
AV
V= iTf[(4 + 2xx2)2 - 1]dx
V =ii-
(d)
[(4 + 2x - x2)2 - 1]dx
243
=
152.68
Eje YAzx
Método de las arandelas
/
F:;
7
AV
2ir(4x)(3 + 2xx2)Ax
V= 2 J(4x)(3 + 2xx2)dx
t + 2x - x2
x
4x V=
x
2/(4 - x)(3 + 2x - x2)dx =
155.51
Obsérvese que en los cuatro casos los lImites de integración son los mismos; es Ia región plana la que determina estos lImites.
292
Aplicaciones de Ia integral
CAP1TuL0 6
Revision de conceptos El volumen AV de un delgado cascarón cilIndrico de radio x, altura f(x) y grosor Ax está dado por AV
La region triangular R acotada por y = x, y = 0 y x 2, se hace girar en tomb al eje y, generando un sOlido. El método de los cascarones produce la integral como su volumen; el método de las arandelas da la integral como su volumen.
La region R de la pregunta 2, se hace girar en torno a la recta x = 1, generando un sOlido. El método de los cascarones da la integral como su volumen. La region R de la pregunta 2, se hace girar en tomb a la recta y = 1, generando un sólido. El método de los cascarones da la integral como su volumen.
Conjunto de problemas 6.3 En los problemas deli al 12, encuentre el volumen del sólido que se genera cuando Ia region R acotada par las curvas dadas se hace girar en tomb al eje que se indica. Haga esto realizando los pasos siguientes. Dibuje Ia region R.
Muestre una rebanada rectangular representativa marcada de manera adecuada. Escriba una formula para aproximar ci volumen del cascarOn generado par esta rebanada. Formule Ia integral correspondiente. Evaláe Ia integral.
(a) El eje y (arandelas) (b) El eje x (cascarones) (c) La recta y 3 (cascarones) -v
d
x =/(v) C
.y =
x = 1, x = 4, y = 0; alrededor del eje y x
y = x2, x = 1, y = 0; alrededor del eje y
y = V, x
3, y = 0; alrededor del eje y
y = 9 - x2 (x
\/, x
y
= 5, y = 0; alrededor de la recta x = 5
y = 9 - x2 (x
x=3
0), x = 0, y = 0; airededor del eje y
0), x = 0, y = 0; airededor de la recta
x3 + i,y = 1 - x,x
y
=
1;alrededordelejey
y = x2, y = 3x; alrededor del eje y
x = y2, y = 1, x = 0; alrededor del eje x
\/ + 1, y
x
= 4, x = 0, y = 0; alrededor del eje x
x = y2, y = 2, x = 0; alrededor de la recta y = 2 x
y3
=
+ 1, y = 2, x = 0, y = 0; alrededor de la recta
Considere Ia region R (véase la figura 8). Formule una integral para el volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de Ia recta dada, utilice el método que se indica.
(a) El eje x (arandelas) (b) El eje y (cascarones) (c) La recta x = a (cascarones) (d) La recta x b (cascarones) V
Figura 9
15. Dibuje la regiOn R acotada por y 1/x3, x 1, x = 3 y y = 0. Formule (pero no evalOe) integrales para cada uno de los siguientes incisos: El area de R. El volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R en tomb al eje y. El volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de Ia recta y = El volumen del sólido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de Ia recta x = 4.
1.
16. Siga las instrucciones del problema 15 para la region acota-
dapory
= x3 +
lyy
=
Oyentrex
= Oyx = 2.
17. Encuentre el volumen del sOlido que se genera al hacer girar Ia region R acotada por las curvas x = y x = y3/32 alrededor del eje x. 18. Siga las instrucciones del problema 17, pero haga girar R alrededor de la recta y = 4.
19. Se perfora un agujero redondo de radio a, que pasa por el centro de una esfera sOlida de radio b (suponga que b > a). Encuentre el volumen del sOlido que queda. 20. Establezca la integral (utilizando cascarones) para el volumen del toro que se obtiene al hacer girar, alrededor de la recta x = b, la regiOn interior del cIrculo x2 + y2 = a2, en donde b> a. Después evalOe esta integral. Sugerencia: Cuando simplifique, le puede ayudar considerar parte de esta integral como un area.
b
x
Figura 8
Una region R se muestra en la figura 9, Formule una integral para el volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de cada recta. Utilice el método que se indica.
21. La region en el primer cuadrante acotada por x
= 0,
y = sen(x2) y y = cos(x2) se hace girar alrededor del eje y. Encuentre el volumen del sOlido resultante. 22. La regiOn acotada por y = 2 + sen x, y = 0, x = Oy x = 2ir, se hace girar en torno al eje y. Encuentre el volumen que resulta. Sugerencia:
fx sen x dx = sen x - x cos x + C.
SECCION 6.4
Sea R la region acotada por y = x2 y y = x. Encuentre el volumen del sOlido que resulta cuando R se hace girar alrededor de: (c) Ia recta y = x. (a) el eje x; (b) el eje y;
Suponga que conocemos la formula S = 4irr2 para el area de la superficie de una esfera, pero no conocemos la formula correspondiente para su volumen V. Obtenga esta formula rebanando la esfera sólida en delgados cascarones esfericos concOntricos (véase la figura 10). Sugerencia: El volumen AV de un delgado cascarón esférico de radio exterior x es AV 4ii-x2Ax.
Longitud de una curva plana 293
Considere una region de area s en La superficie de una esfera de radio r. Encuentre el volumen del sólido que resulta cuando Cada punto de esta regiOn se conecta con el centro de La esfera por medio de un segmento de recta (véase La figura 11). Sugerencia: Utilice el método de cascarones esféricos mencionado en el problema 24.
Respuestas a Ia revision de conceptos: 2.
2iT/
4.
2iT/ (1 + y)(2 - y)dy
x2dx:
(4 - y2)dy
3.
1. 2ii-x f(x) ZXx
2/
(1 + x)x dx
Figura 10
6.4
Longitud de una curva plana
((J
,CuO1 es Ia longitud de la curva espiral que se muestra en la figura 1? Si fuese un pedazo de cuerda, la mayorIa de nosotros la estirarIamos y la medirIamos con una regla. Pero si es la grafica de una ecuación, esto es un poco más difIcil de hacer. Un poco de reflexiOn sugiere una pregunta previa. ,Qué es una curva plana? Hasta ahora, hemos utilizado el término curva de manera informal, con frecuencia en referencia a Ia grOfica de una función. Ahora es momento de ser mOs precisos, aun para curvas que no son gráficas de funciones. Comenzaremos con varios ejemplos. La gráfica de y = sen x, 0 x iT, es una curva plana (véase La figura 2).También lo es la gráfica de x y2, 2 y 2 (véase la figura 3). En ambos casos, La curva es la
grafica de una función, la primera de la forma y = f(x), la segunda de la forma g(y). Sin embargo, Ia curva espiraL no se ajusta a ninguno de estos patrones. Tampoco el cIrcuLo x2 + y2 = a2, aunque en este caso podrIamos considerarla como la gráfica x
Figura
1
combinada de las dos funciones y =
f(x)
- Va2 - x2.
= Va2 - x2 y y = g(x) ÀY
2Y 2
3
4
-1 -
Figura
Figura 3
2
El cIrculo sugiere otra manera de pensar COfl respecto a las curvas. Recuérdese de trigonometrIa que
x=acost,
y=asent,
0te22iT
describe el cIrculo x2 + y2 = a2 (véase la figura 4). Considere a t como el tiempo y que x y y dan la posición de una partIcula en el instante t. La variable t se denomina pará-
294 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
metro. Tanto x como y se expresan en tdrminos de este parámetro. Decimos que x = a cos t, y = a sen t, 0 < t 2i, son eduaciones paramétricas que describen al cIrcuio. Si tuviésemos que graficar las ecuaciones paramétricas x = t cos t, y t sen t, 0 < t < 5, obtendrIamos una curva parecida a ia espirai con La que iniciamos. E incluso podemos pensar en la curva seno (véase la figura 2) y La parabola (véase ia figura 3) en forma paramétrica. Escribimos
sent,
y
y=
2ir
Figura 4
EJEMPLO
y=
0t3t2I
x = 2/ + 1, y =
8-
x
y
3
0
2
5
3
3
7
8
(7
0
6-
)
(3, 0) 6
Figura 5
t
2
1
1,0
Dibuje La curva determinada por las ecuaciones paramétricas x t
2t + 1,
3.
En realidad, La definición que hemos dado es demasiado ampiia para Los propOsitos que tenemos en mente, asI que de inmediato nos restringiremos a lo que se denomina curva suave. El adjetivo suave se eligió para indicar que un objeto que se mueva a Lo largo de La curva, de modo que su posición en el instante t es (x, y) no sufrirá cambios repentinos de direcciOn (Ia continuidad de f' y de g', aseguran esto) y no se detiene ni regresa por La misma curva (esto se asegura si f'(t) y g'(t) no son cero de manera simuitánea).
(5 3)
(1,
-2
Solución Construimos unatabla de vaiores, con tres columnas, después trazamos Las parejas ordenadas (x, y), y por üitimo conectamos estos puntos en el orden creciente de t, como se muestra en ia figura 5. Para producir tal gráfica, puede utilizarse una caiculadora gráfica o un CAS. Por lo comén, tal software produce una gráfica creando una tabla, al iguai que nosotros, y conecta los puntos.
4-
2
x =
0tii-
AsI, para nosotros, una curva plana está determinada por un par de ecuaciones paramétricas x = f(t), y = a t b, en donde suponemos que f y g son continuas en el intervalo dado. Conforme t aumenta de a a b, ci punto (x, y) traza una curva en el piano. He aquI otro ejemplo.
x = a cos t, y = a sen 1 0
x =
8
Definición Una curva plana es suave si está determinada por un par de ecuaciones paramétricas x f(t), y = g(t), a t b, en donde f' y g' existen y son continuas en [a, b], y f'(t) y g'(t) no son cero de manera simultánea en (a, b). La forma en que una curva se parametriza, esto es La forma en que se eligen Las funciones x(t) y y(t) y eL dominio para t, determinan una dirección positiva. Por ejemplo, cuando t = 0, en el ejemplo 1 (figura 5), La curva está en el punto (1,i), y cuando t = 1, la curva está en (3,0). Cuando t aumenta desde t = 0 hasta t 3, La curva sigue una trayectoria de (1, 1) a (7, 8). Esta dirección, que a menudo se indica por medio de una flecha en la durva, como se muestra en La figura 5, se denomina Ia orientación de La curva. La orientación de una curva es irrelevante para La determinación de su longitud,pero en problemas que encontraremos más adelante en el texto, La orientación es importante.
Longitud de arco Por Ultimo, estamos preparados para La pregunta principal. ,Qué significa Ia longitud de Ia curva suave dada de forma paramétrica por x = f(t), y = g(t),a t b? DivIdase el intervalo [a, b] en n subintervalos por medio de los puntos t:
at0
Esto corta a La curva en n pedazos con correspondientes puntos extremos Q0, Q1, Q2.....Q,,1, Q,, como se muestra en La figura 6. Nuestra idea es aproximar La curva por medio del segmento de LInea poligonal indicada, calcular su Longitud total, y después tomar ci LImite cuando la norma de La partición tiende a cero. En particular, aproximamos la longitud As1 del i-ésimo segmento
(véase la figura 6) por
= V(Ax1)2 + (Ay)2
[f(t1) - f(t11)]2 + [g(t) - g(t11)]2
Longitud de una curva plana 295
SECCION 6.4
y
Q]
x
Figura 6
Del Teorema del valor medio para derivadas (véase la sección 4.7), sabemos que existen puntos 7, y en (t1_1, t) tales que
f(t) - f(t)
= f'(7) g(t1) - g(t_1) = g'() ztj en donde zXt1 =
t, - t, -
Por lo que,
= V[f'(7) t]2 + [g'(I) t]2 =
+ [g'()]2
y la longitud total del segmento de lInea poligonal es n
=
17
+ [g'(I)]2 zt
La ültima expresión es casi una suma de Riemann, la Unica dificultad es que 7, y no parecen ser el mismo punto. Sin embargo, se demuestra en textos de cálculo avan-
zado que en el lImite (cuando la norma de la partición tiende a cero), esto no importa. AsI que, podemos definir la longitud de arco L de la curva como el lImite de la cxpresión anterior cuando la norma de la partición tiende a cero; esto es,
L
=
V[fF(t)]2 + [g'(t)]2dt
J
a
=
f
'(dx)2
b
dt
(dy2
+1
dtj
dt
Dos casos especiales son de gran interés. Si la curva está dada por y = f(x), a tratamos a x corno ci parámetro y el recuadro toma la forma
b,
dx L=f\jl+ /dy2 , dx / I
De manera análoga, si la curva está dada por x = g(y), c mo el parámetro, obteniendo
dx L=fJl+ /\dy/
y
d, consideramos a y co-
\2
dy
Estas formulas dan los resultados conocidos para cIrculos y segmentos de recta, como lo ilustran los dos ejemplos siguientes. Encuentre la circunferencia del cIrculo x2 + y2 = a2. Solución Escribimos La ecuación del cIrculo en forma paramétrica: x = a cos t, y = a a cos t, y por la primera de fluessen t, 0 < t <2. Entonces dx/dt = a sen t, dy/dt tras formulas, EJEMPLO 2
L=
2r
L
\/
sen2 t
+ a2cos2t dt =
fa
di = [at]
=
2a
.
296 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral EJEMPLO 3
y
Solución El segmento de recta se muestra en la figura 7. Obsérvese que la ecuaciOn de la recta correspondiente es y = x + 1, de modo que dy/dx = y asI, por la Segunda de las tres formulas para la longitud,
(5, 13)
12-
Encuentre la longitud del segmento de recta de A(0, 1) a B(5, 13).
9-
L =
6-
fi
f/5
1dx
+
=
[13
212
dx =
1
fi
dx
x]5 = 13
Esto coincide con el resultado que se obtiene por medio de Ia formula de distancia. 6
3
x
9
EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de la curva dada de forma paramétrica por x = 2 cos y = 4 sen t, 0 y aproxime su longitud.
Figura 7
1,
x = 2 cos t, y = 4 sen I 0
0
ir/6
t
x
y
2
0
\/
2
'IT!3
I
7T/2
0
2ir13
5rI6 iT
IT
\/ 2
So!ución La grafica (véase la figura 8) se dibuja, como en el ejemplo 1, construyendo primero una tabla de valores con tres columnas. La figura 9 muestra la curva junto con las poligonales para n = 2,4 y 8. La longitud total de las poligonales puede calcularse de
2\/
fl
TI
=
4
2\/i
i=1
i=1
V(x + (y)2
2
0
Figura 9 Figura 8
Por ejemplo, cuando n = 4, tenemos =
V(2 cos(/4) - 2 cos 0)2 + (4 sen(/4) - 4 sen 0)2
+(2cos(/2) - 2cos(/4))2 + (4sen(/2) - 4sen(/4))2 +(2cos(3/4) - 2cos(i/2))2 + (4sen(3/4) - 4sen(/2))2 +
(2 cos
- 2 cos (3ir/4))2 + (4 sen - 4 sen (3/4))2
9.44982
La tabla siguiente muestra La suma de las longitudes Aw1 para varios valores de n. n 1
2 4
n
wi
4.00000 8.94427
64 128
9.68748 9.68821
9.44982
256
9.68839
8
9.62635
512
9.68843
16
9.67289
1024
9.68844
32
9.68456
2048
9.68845
SECCION 6.4
Longitud de una curva plana 297
La longitud de la curva es el ilmite del proceso anterior. El !Imite de estas sumas es la integral definida L
2f Vsen2t
V(-2 sen t)2 + (4 cost)2 dt
=
f
=
2f Vi + 3cos2tdt
+ 4 cos2t dt
No podemos llevar más adelante Ia evaluación ya que no podemos encontrar una antiderivada para \/1 + 3 cos2 t. De hecho, se ha demostrado que esta función no tiene una antiderivada que pueda escribirse en términos de funciones elementales de cálculo. (Las funciones elementales incluyen polinomios, funciones racionales, funciones con radicales, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y funciones exponenciales y logarItmicas.) Si queremos un valor para La integral, tendremos que encontrarlo por medio de un método de aproximación. La tabla sugiere que la longitud de arco es aproximadamente 9.69. (En el capItulo 10, estudiaremos más formas de aproximar integrales definidas.) La situación en el ejemplo 4 es bastante comün. Muchas integrales que surgen de problemas de longitud de arco no puede evaluarse de manera analItica. Por fortuna, un CAS o una calculadora gráfica puede dar una aproximación precisa para una integral definida. Encuentre La longitud del arco de La curva y = x312 desde el punto (1, 1) hasta el punto (4, 8) (véase la figura 10). EJEM PLO 5
876543-
(4, 8
Solución Empezamos por estimar esta longitud encontrando la Longitud del seg-
mento que va de (1,1) a (4,8): \/(4 - 1)2 + (8 - 1)2 = \58
7.6.
Para el cáLculo exacto, observamos que dy/dx = x2, de modo que _y =Xi:
L_J
1
+
2
X1/2dX =
f\/i +xdx
)
Sea u = 1 + x; entonces du = dx. De aquI que,
2
I 2
4
3
1+xdx=
x
=
Figura 10
I
\/du=93 u3/2+C \3/2
9 1+x 27 ( 4 /
8
+C
Por tanto,
f47
1 +xdx = 4
rL278 ( +)
3/214
/
8
j =27
iO3/2
-
133'2\ 8
)
7.63
Diferencial de Ia longitud de arco Sea f continuamente diferenciable en [a, b]. Para cada x en (a, b), defInase s(x) como
y
s(x)
s(x)
+ [f'(u)]2du
(x. f(x))
Entonces s(x) da La longitud de arco de la curva y = f(u) desde el punto (a, f(a)) a (x, f(x)) (véase La figura ii). Por medio del primer teorema fundamental del cálculo
(a, j(a))
(Teorema 5.6A), a
Figura 11
x
b
U
s'(x)
ds
= dx
= Vi + [f'(x)]2
/
+
(dy\2 dx)
Por lo que, ds, La diferencial de la longitud de arco, puede escribirse como
298 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
En efecto, dependiendo de cómo se haga la parametrizaciOn de la gráfica, liegamos a tres formulas para ds:
dy dx
1+
ds =
Figura 12
V
tdy\2 \dXJ
dx= 1+
(dx\ 1
\dy/
dyI'/dx\2 + /dy2 dt dtj
dtj
Aigunas personas prefieren recordar estas formulas escribiendo (véase La figura 12)
/
(ds)2 =
(dx)2
+ (dy)2
Las tres formas surgen de dividir y muLtiplicar el lado derecho por respectivamente. Por ejemplo,
b
(ds)2
r(dx)2
=[
(dy)21
](dx)2
+
(dx)2
(dx)2
(dx)2,
(dy)2
y (dt)2,
7dy21 = Li + \dxj ](dx)2 E
que da la primera de las tres formulas. Figura 13
Area de una superficie de revolución
Si se hace girar una curva plana sua-
ve airededor de un eje en su piano, genera una superficie de revolución, como se ilustra en la figura 13. Nuestra meta es determinar el area de tal superficie. Para empezar, introducimos la formula para el area de un tronco o cono truncado. Un tronco o cono truncado es ia parte de la superficie de un cono comprendida entre dos pianos perpendiculares al eje del cono (sombreado en la figura 14). Si un cono truncado tiene radios de sus bases r1 y r2, y altura oblicua , entonces su area A está dada por A =
(r1 +r2 2ii-1
V
y =f(x) V
x
Figura 15
= 2ii-(radio promedio) (aLtura oblicua).
/
2
Figura 14
La deducción de este resultado sOlo depende de La fOrmula para ci area de un cIrculo (véase el problema 31). SupOngase que y = f(x), a x < b, determina una curva suave en la mitad superior del piano xy, como se muestra en la figura 15. DivIdase ei intervalo [a, b] en n pedazos por medio de Los puntos a x0 < x1 < < x, b, y por ello también se divide a Ia curva en n partes. Denótese con As1 a la longitud del i-ésimo pedazo y sea y La ordenada de un punto de ese pedazo. Cuando La curva se hace girar alrededor del eje x, genera una superficie, y el pedazo representativo genera una banda angosta. El "area" de esta banda podrIa aproximarse por La de un cono truncado, esto es, aproxi-
madamente 2iry As,. Cuando sumamos Las contribuciones de todos los pedazos y tomamos ci ilmite cuando La norma de Ia partición tiende a cero, obtenemos Lo que definimos como el area de la superficie de revoiuciOn.Todo esto está indicado en La figura 16. AsI, ei area de La superficie es n
A=
2rryAs
iIm
PHO
.
fb
21TJyds (I
=2ff(x)V1 + [f'(x)]2dx
Figura 16 EJEMPLO 6
la curva y = 2
Solución
Encuentre el area de La superficie de revolución generada ai hacer girar x 4, en torno al eje x (véase La figura 17).
\/, 0
AquI, f(x) =
A=2fv x
I4
= 10
Figura 17
=
y f'(x) =
11(2 \/i). AsI,
'1+ 4x dx=2/
\/4x+idx= -
(173/2
36.18
4x
1 2 ._._(4x+1)3/2
_43
13/2)
14x+i \
dx
14
JO
U
SECCION 6.4
Longitud de una curva plana 299
Si la curva está dada en forma paramétrica por x = f(t), y = g(t), a tonces la formula para el area de Ia superficie se transforma en
2fb
2fbg(t) ds
A
b, en-
V[fF(t)]2 + [g'(t)]2 dt
Revision de conceptos sen t, 0
La grafica de las ecuaciones paramétricas x = 4 cos t, y = 4 t <2r, es una curva denominada
La curva determinada por y = x2 + 1, 0 < x <4, puede ponerse en forma paramétrica utilizando a x como el parámetro escri-
,x =
biendoy =
a
t
La fOrmula para la Iongitud L de la curva x = f(t), y = g(t), b, es L =
La demostración de la fOrmula para la longitud de una curva depende fuertemente del teorema anterior liamado
Conjunto de problemas 6.4 En Los problemas deli al 4 encuentre Ia longitud total de los CI segmentos poligonales que unen los puntos (x1, f(x,)), i = 0, 1.....n, en donde a = x0, x1.....x,, = b es una partición regular de [a, b]. Utilice Los valores que se indican para n.
f(x)
= x2,a =
(a)n=2
1,b
3;
(b)n=4
f(x) =
(a)n=2
V,a = 0,b = 4;
(b)n=4
f(x)
=
senx,a
(a)n=2
=
0,b = 2ir;
(b)n=4
f(x)
Un punto F, en el borde de una rueda de radio a, inicialmente se encuentra en el origen. Conforme la rueda avanza a la derecha a lo largo del eje x, P describe una curva denominada cicloide (yease la figura 18). Deduzca las ecuaciones paramétricas para la cicloide, como sigue. El parámetro es 0. Demuestre que OT = aO. Convénzase de que PQ = a sen 0, QC = a cos 0, 0 0 < 3r/2. Demuestre que x = a(0 - sen 0), y = a(1 - cos 0).
(c) n=8
= sen2x, a = 0, b = 2ir;
(a)n=2
(b)n=4
(c) n=8
Utilice una integraciOn en x para determinar Ia longitud del segmento de la recta y = 2x + 3, entre x = 1 y x 3. Verifique por medio de la formula de distancia.
Utilice una integraciOn en y, para encontrar la longitud del segmento de la recta 2y - 2x + 3 = 0, entre y = 1 y y = 3. Verifique por medio de la fOrmula de distancia. En los problemas del 7 al i2, encuentre La Ion gitud de La curva que fl se indica.
y = 4x2entrex = 1/3yx =
S
19. Encuentre la longitud de un arco de la cicloide del problema 18. Sugerencia: Primero demuestre que
8.y(x+1) entrex=lyx=8 2
3/2
2
y = (4 - x213)312 entre x 1 y x = 8 y = (x4 + 3)/(6x) entre x = 1 y x =
3
x = y4/l6 + 1/(2y2) entre y = 3 y y = 2. Sugerenciw Obsérvense los signos; V = u cuando u < 0 30xy3
-
= 15 entre y = 1 y y =
3
En Los problemas del 13 al 16, dibuje La grafica de La ecuación paramétrica dada y encuentre su Longitud.
x = t3/3,y
t2/2;0
x = 3t2 + 2,y = x = x =
t
1
2t3 - 1/2;1
Figura 18
t <4
4sent,y = 4cost - 5;0 t sen2t - 2,y = cos2t -
;0
t
Dibuje la gráfica de la hipocicloide de cuatro vertices x = a sen3 t, y a cos3 t, 0< t <2ii-, y encuentre su longitud. Sugerencia: Por simetria, puede multiplicar por cuatro la longitud de la parte en el primer cuadrante.
(dx2
(2
\dO/
d0)
=
4a2sen2()
20. Suponga que Ia rueda del problema 18 gira a una velocidad constante de w = dO/dt, donde t es el tiempo. Entonces 0 = wt. Demuestre que Ia rapidez, ds/dt de P a lo largo de la cicloide es ds wt = 2aw sen ,Cuándo Ia rapidez es maxima y cuándo es minima? Explique por qué un insecto en Ia rueda de un automóvil que va a 60 millas por hora, en algunos momentos viaja a 120 millas por hora.
21. Encuentre la longitud de cada curva. y
x =
f
- ldu,1
t - sent,y
=
x
1 - cost,0
2 t
4ir
Aplicaciones de Ia integral
300 CAPITULO 6
22. Encuentre La longitud de cada curva.
33. La figura 20 muestra un arco de una cicloide. Sus ecuaciones paramétricas (véase el problema 18) están dadas por
(a)
x =
(b) x = a cost + at sent, y = a sen t - at cost, 1
t
1
En los problemas del 23 al 30, encuentre el area de Ia superficie generada al hacer girar Ia curva dada airededor del eje x.
23. y = 6x, 0
<
a(t - sent),
y =
a(1 - cost),
0
<
2r
t
(a) Demuestre que el area de la superficie generada cuando esta curva se hace girar alrededor del eje x es A =
2a2f
(1 - cost)32dt
1
(b) Con la ayuda de Ia formula para la mitad de un ángulo, 1 - cos y
=
\/25 - x2, 2
y = x3/3, 1
= 2 sen2(t/2), evalUe A.
3
x
y =
(x6 + 2)/(8x2),1
x =
t,y
x =
1 t2,y
2
x
3
'.5 = t3,0 =
t
1
2t,0
0.5
t
29.y=\/r2_x2,_rxr
2
1
ir
4
5
62
x
Figura 20
30. x = rcost,y = rsent,0 31. Si la superficie de un cono de altura oblicua y radio de la base r, se corta a lo largo de un lado y se extiende en el plano, se convierte en el sector de un cIrculo de radio y ángulo central 0 (véase la figura 19).
Demuestre que 0 2irr/ radianes. Utilice La formula 2 para el area de un sector de radio y angulo central 0 para demostrar que el area de Ia superficie lateral de un cono es rrC.
Utilice el resultado de la parte (b) para obtener Ia formula A = 2ii[(r1 + r2)/2]/ para el area lateral de un cono truncado con radios de las bases r1 y r2 y altura oblicua 4.
34. El cIrculo x = a cos t, y = a sen t, 0 t <2r, se hace girar en tomb a la recta x = b, 0 < a < b, con lo que genera un toro (dona). Encuentre el area de su superficie. GC 35. Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas. x = 3cost,y = 3sent,0 t 2r x = 3 cost, y = sen t, 0 < t < 2r x = t cost, y = t sent, 0 x = cost, y sen 2t, 0 t 2ir x = cos 3t, y sen 2t, 0 t
x=cost,y=senirt,0t40 CASI 36. Encuentre las longitudes de cada una de las curvas del problema 35. Primero tiene que formular la integral apropiada y después utilizar una computadora para evaluarla.
37. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = x" en [0, 1] para n = 1, 2,4, 10 y 100. Encuentre la longitud de cada una de estas curvas. Haga una conjetura de la longitud cuando n = 10,000.
ICAS
Figura 19
32. Demuestre que el area de La parte de la superficie de una es-
fera de radio a, entre dos planos paralelos h unidades separados (h < 2a) es 2irah. AsI, demuestre que si un cilindro circular recto está circunscrito alrededor de una esfera, entonces dos planos paralelos a la base del cilindro acotan regiones de la misma area en la esfera y en el cilindro.
6.5
Trabajo
Respuesta a Ia revision de conceptos: 3.
f {[f'(t)]
+ [g'(t)]2}12 dt
1. cIrculo
2. x2 + 1; x
4. Teorema del valor medio
para derivadas.
En fIsica, aprendinios que Si Ufl objeto se mueve una distancia d, a lo largo de una 11flea, mientras se encuentra sujeto a una fuerza constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por la fuerza es Trabajo = (Fuerza) . (Distancia). Esto es,
W=FD
SECCION 6.5
Si Ia fuerza se mide en newtons (la fuerza que se requiere para dane a una masa de 1 kilogramo una aceleraciOn de 1 metro por segundo por segundo), entonces el trahajo está en newton-metros, también ilamados joules. Si la fuerza se mide en libras fuerza y la distancia en pies, entonces el trabajo está en libras-pie. Por ejemplo, una persona que levanta un peso (fuerza) de 3 newtons una distancia de 2 metros realiza 3 2 = 6 joules de trabajo (véase la figura 1) y un trabajador que empuja un carro con una fuerza constante de 150 libras una distancia de 20 pies hace 150 20 = 3000 libras-pie de tra-
2 metros
Figura 1
bajo (véase La figura 2).
Fuerza = 150 lb
4
Trabajo 301
En muchas situaciones prácticas, la fuerza no es constante, sino que varla conforme el objeto se mueve a lo largo de la lInea. Suponga que eL objeto se está moviendo a lo Largo del eje x desde a hasta b sujeto a una fuerza variable de magnitud F(x) en el punto x, en donde F es una función continua. Entonces, i,cuánto trabajo se hizo? Una vez más, la estrategia de rebane, aproxime e integre nos ileva a la respuesta. AquI rebanar significa dividir el intervaLo [a, bJ en pedazos pequefios. Aproximar significa suponer que, en una parte representativa de x a x + Lix, La fuerza es constante con valor F(x). Si la fuerza es constante (con valor F(x1)) en eL intervalo [x11, xJ, entonces eL trabajo requerido para mover el objeto desde x_1 a x es F(x,)(x1 x1) (véase La figura 3). Integrar significa sumar todos los pequeflos trabajos y después tomar el lImite cuando la longitud de los pedazos tiende a cero. De esta manera, el trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b es
20 pies Trabajo = (150)(20) = 3000 pies-lb
Figura 2
AW
W
F(x)A
F(x) x
=
fb dx
W = f1'F(x)dx
OmO a
x1
x2 .. x_1
x
x_1
b
Ar
Figura 3
AplicaciOn a resortes De acuerdo con la ley de Hooke en fIsica, la fuerza F(x) necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargado (o acortado) de su longitud natural (véase la figura 4) está dada por
longitud natural
F(x) = kx AquI, la constante k, la constante del resorte, es positiva y depende del resorte particular bajo consideración. Entre más rIgido sea el resorte mayor será el valor de k.
Estirado x unidades
EJEMPLO 1
Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metro y si es necesaria una fuer-
za de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metro, encuentre el trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metro. Figura 4
So!ución Por la ley de Hooke, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está dada por F(x) = kx. Para evaluar Ia constante del resorte, k, para este resorte en particular, observamos que F(0.04) = 12. Por lo que, k . 0.04 = 12o k = 300, de modo que
F(x) = 300x Cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metro, x = 0; cuando tiene una iongitud de 0.3 metro, x = 0.1. Por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte es
w=f
0.1
300x dx = [150x 210.1 io = 1.5 joules
.
AplicaciOn a bombeo de un lIquido Para bombear agua de un tanque se reFigura 5
quiere tnabajo, como lo sabrá cuaiquiera que ha utilizado una bomba de mano (véase La figura 5). Pero, cuánto trabajo? La respuesta a esta pregunta tiene como base Los mismos pnincipios básicos que se presentaron en el amilisis anterior.
302
CAPiTULO 6
Aplicaciones de Ia integral
EJEM PLO 2 Un depósito, con forma de un cono circular recto (véase la figura 6), está ileno de agua. Si la altura del tanque es de 10 pies y el radio en la parte superior es de 4 pies, encuentre el trabajo hecho (a) al bombear el agua hasta el borde superior del depósito, y (b) al bombear el agua hasta una altura de 10 pies por encima del borde superior del depOsito.
AW
8.(4Y)2(10 y) Ay rtO,4v
W= 5irJ
) (10y)dy 2
x
Figura 6
So!ución Coloque ci depósito en un sistema de coordenadas, como se muestra en La figura 6. Se muestra La vista en tres dimensiones y una sección transversal en dos dimensiones. Imagine que se rebana ci agua en deigados discos horizontales, cada uno de los cuales debe elevarse al borde del depósito. Un disco de grosor Ay a La aitura y tiene radio 4y/lO (por triángulos semejantes). AsI, su volumen es aproximadamente 62.4 es La densi-(4y/lO)2Ay pies cilIbicos, y su peso 8ii-(4y/lO)2Ay, en donde dad (peso) del agua en libras por pie cübico. La fuerza necesaria para elevar este disco de agua es igual a su peso, y el disco debe elevarse una distancia de 10 - y pies. AsI que, ci trabajo AW hecho sobre este disco aproximadamente es
/4y'\2 zXW = (fuerza)
(distancia)
101
Ay (10
- y)
Por tanto,
/4y2
f10
W =
I
'\'O )
Jo
-
(10 - y)dy =
(4r)(62.4) rioy3 25
y411°
4 25
110
J
(by2 - y3)dy
26,138 libras-pie
L
Esta parte es igual a la parte (a), excepto que cada disco de agua ahora debe dcvarse una distancia de 20 - y, en lugar de 10 - y. Por tanto, 1O/4y\\2
W = 6ir
(20 - y)dy
L
4(62.4)(i-) [20y3 =
25
L
3
y41'° I
25
f(2oY - y3)dy
130,690 libras-pie
Nótese que los lImites aün son 0 y 10 (no 0 y 20). ,Por qué?
U
Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta ci borde superior de un depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicircuiares de radio 10 pies, si ci depOsito está lleno hasta una profundidad de 7 pies (véase La figura 7). EJEMPLO 3
Solución Colocamos el extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se muestra en La figura 8. Una rebanada horizontal representativa se muestra en este dibujo de dos dimensiones y en la de tres dimensiones de La figura 7. Esta rebanada es aproximadamente una caja delgada, de modo que calcuiamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor. Su peso es su densidad, 6 = 62.4, por su volumen. Por üLti-
SECCION 6.5
Trabajo
303
8 50(2V100_y2)(Ay)(_y) W= 8J7100\/l00_y2(_y)dy
Figura 8
mo, notamos que esta rebanada debe elevarse una distancia de y (el signo menos resulta del hecho que, en nuestro diagrama, y es negativa).
w= =
6/100 Vioo - y2(y) dy
50I3 10
(100 - y2)I/2(_2y) dy
= [(506)()(100 - y2\3/21-3 j'° = 1o(91)3/26
1,805,616 libras-pie
Revision de conceptos El trabajo realizado por una fuerza F, al mover un objeto a lo largo de una !Inea recta desde a hasta b es , si F es constante pero es si F = F(x) es variable.
La ley de Hooke dice que la fuerza F que se requiere para mantener un resorte estirado x unidades de su longitud natural es
El trabajo hecho a! levantar un disco horizontal de agua de
radio de 5 pies y grosor Ay pies una distancia de 12 - y pies es libras-pie, suponiendo que el agua pesa 62.4 libras por pie cUbico. AsI, si un depOsito cilindrico de 5 pies de radio y 12 pies de al-
tura, está lleno de agua, el trabajo realizado al bombear toda el agua hasta el borde superior está dado por la integral
El trabajo realizado al levantar un objeto, que pesa 30 libras, desde el nivel del suelo hasta una altura de 10 pies es libras-pie.
Conjunto de problem as 6.5 Una fuerza de 6 libras se requiere para mantener estirado un resorte 1/2 pie de su longitud normal. Encuentre el valor de la constante del resorte y el trabajo realizado al estirar el resorte pie de su longitud normal.
Para el resorte del problema 1, cuánto trabajo se realiza a! estirarlo 2 pies? Se requiere una fuerza de 0.6 newton para mantener un resorte, de longitud natural de 0.08 metro, comprimido a una longitud de 0.07 metro. Encuentre el trabajo realizado para comprimir el resorte de su longitud natural a Ia longitud de 0.06 metro. (La ley de Hooke se aplica a compresión al igual que a estiramiento.) Se requiere 0.05 joule (newtons-metro) de trabajo para estirar un resorte desde una longitud de 8 centImetros a 9 centImetros, y otros 0.10 joule para estirarlo de 9 centImetros a 10 centImetros. Evalüe la constante del resorte y encuentre la longitud natural del resorte. Para cualquier resorte que cumple la ley de Hooke, demuestre que el trabajo realizado para estirar el resorte una distancia d estádadoporW kd2.
Para cierto tipo de resorte no lineal, la fuerza requerida pa-
ra mantenerlo estirado una distancia s está dada por la fOrmula F ks413. Si la fuerza requerida para mantenerlo estirado 8 pulgadas
es de 2 libras, cuánto trabajo se realiza para estirar este resorte 27 pulgadas?
Un resorte es tal que la fuerza requerida para mantenerlo estirado s pies esti dada por F = 9s libras. ,Cuánto trabajo se hace para estirarlo 2 pies? Dos resortes similares S1 y S2, cada uno de 3 pies de longitud,
son tales que Ia fuerza requerida para mantener a cualquiera de ellos estirado una distancia de s pies es F = 6s libras. Un extremo de uno de los resortes se sujeta a un extremo del otro, y la combinaciOn se estira entre las paredes de un cuarto de 10 pies de ancho (véase la figura 9). j,Cuánto trabajo se hace a! mover el punto medio, P, un pie hacia la derecha?
sills
1511$ s 10 pies
Figura 9 En cada uno de los problemas del 9 al 12, se muestra una sección transversal vertical de un depósito. Supongase que el depOsito tiene 10 pies
304 CAPiTULO 6
Aplicaciones de Ia integral
de largo, eslá lieno de agua y que se bombea ci agua hasta una aitura de 5 pies por encima del borde superior del depósito. Encuentre ci Irabajo hecho para vaciar ci tan que. 9.
gas se relacionan de manera adiabática (p.ej., sin pérdida de calor) por Ia ley pv'4 = c (una constante), jcuánto trabajo hace el piston al comprimir el gas a 2 pulgadas cübicas? 17. Encuentre el trabajo realizado por el pistOn del problema IC 16, si él area de la cara del piston es de 2 pulgadas cuadradas. Un pie cObico de aire bajo una presión de 80 libras por pulgada cuadrada se expande adiabáticamente a 4 pies cObicos, de acuerdo con La ley pv'4 = c. Encuentre el trabajo realizado por el gas.
Un cable que pesa 2 libras por pie se utiliza para levantar una carga de 200 libras hasta la parte superior de un pozo que tiene 500 pies de profundidad. Cuánto trabajo se realiza? Un mono de 10 libras cuelga del extremo inferior de una calibra por pie. i,Cuánto trabajo realiza al trepar por La cadena hasta su extremo superior? Suponga que el extremo inferior de la cadena está sujeto al mono. dena de 20 pies, que pesa 3 pies
Una cápsula espacial que pesa 5000 libras es impulsada a una altura de 200 millas por arriba de La superficie de la Tierra. Cuánto trabajo se realiza en contra de la fuerza debida a la gravedad? Suponga que la Tierra es una esfera de radio de 4000 millas y que la fuerza debida a la gravedad es f(x) = k/x2, en donde x es La distancia desde el centro de la Tierra a la cápsula (ley inversal del cuadrado). Por tanto la fuerza de elevaciOn que se requiere es k/x2, y esta es igual a 5000 cuando x 4000. De acuerdo a la ley de Coulomb, dos cargas eléctricas iguales se repelen entre sí con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si Ia fuerza de repulsion es de 10 dinas (1 dma = 10 newton) cuando están separadas 2 centImetros, encuentre el trabajo realizado para ilevar las cargas de una separación de 5 centImetros a una separaciOn de 1 centImetro. 6 pies
Encuentre el trabajo realizado a! bombear todo el aceite (densidad 6 = 50 libras por pie cübico) sobre el borde de un depOsito cilIndrico, que está apoyado sobre una de sus bases. Supongase que el radio de La base es 4 pies, la altura es de 10 pies, y que el tanque está ileno de aceite. Resuelva el problema 13, suponiendo que el depOsito tiene secciones transversales circulares de radio 4 + x pies a la altura de x pies por arriba de Ia base.
Un depósito, con peso de 100 libras, se liena con arena, que pesa 500 libras. Una grOa levanta el depósito desde el piso hasta un punto a 80 pies a una velocidad de 2 pies por segundo, pero a! mismo tiempo la arena sale, por una agujero, a razón de 3 libras por segundo. No tomando en cuenta la fricción ni el peso del cable, determine cuánto trabajo se realiza. Sugerencia: Comience estimando AW, el trabajo requerido para elevar el depósito desde y hasta y + Ay. CI 24. Ciudad Central acaba de construir una nueva torre de agua (véase la figura 10). Sus elementos principales consisten en un tanque esférico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cilIndrico con diametro interno de 1 pie. Suponga que se bombea agua desde el nivel del piso hasta el tanque, por medio del tubo. i,Cuánto trabajo se realiza para llenar el tubo y el tanque con agua?
Un volumen v de gas está confinado en un cilindro, un extremo del cual está cerrado por medio de un pistOn móvil. Si A es el area en pulgadas cuadradas de la cara del pistOn y x es la distancia en pulgadas desde la cabeza del cilindro al pistOn, entonces v = Ax. La pre-
sión del gas confinado es una función continua p del volumen p(v) = p(Ax) se denotará por f(x). Demuestre que el trabajo hecho por el pistOn al comprimir el gas desde Un volumen V] = Ax1 a un volumen v2 = Ax2 es W
=Aff(x)dx
Sugerencia: La fuerza total en La cara del piston es p(v) A = p(Ax) A
Af(x).
16. Un cilindro y pistOn, cuya area de secciOn transversal es 1 pulgada cuadrada, contiene 16 pulgadas cUbicas de gas bajo una presiOn de 40 libras por pulgada cuadrada. Si La presion y el volumen del C
Tubo para Ilenar
Figura 10
SECCION 6.6
Una boya cOnica pesa m libras y flota con su vértice V hacia
305
conocer que 6(1Ta2)(8) 300. EL principio de ArquImedes implica que La fuerza necesaria para mantener La boya z pies (0 z <2) por debajo de su posición de flotaciOn es iguaL al peso del agua adicional desplazada.
abajo y h pies por debajo de la superficie del agua (véase la figura ii). Un bote grOa eleva la boya hasta la cubierta, de modo que V esti 15 pies por arriba de la superficie del agua. ,Cuánto trabajo se realiza? Sugerencia: Utilice el principio de ArquImedes, el cual dice que La fuerza requerida para mantener la boya y pies por arriba de su posición original (0 < y h) es igual a su peso menos el peso del agua
Al principio, el tanque de abajo, en La figura 12, estaba lLeno de agua, y eL tanque de arriba estaba vacIo. Encuentre el trabajo realizado aL bombear toda el agua al tanque de arriba. Las dimensiones están en pies.
despiazada por La boya.
(6
\
/
Momentos, centro de masa
4;
V
Ho
Figura 11
Figura 12
En lugar de elevar Ia boya, del problema 25 y figura 11, fuera del agua, suponga que intentamos empuj aria hasta que su extremo superior esté ai ras del nivei del agua. Suponga que h = 8, que el ex-
tremos superior, originalmente, está 2 pies por arriba del nivel del
12
2.kx 3.300 4. 62.4(12 - Y)T(25)zY;62.47r(25)J (12 y)dy
agua, y que la boya pesa 300 libras. LCuánto trabajo se requiere? Sugerencia: No necesita conocer a (el radio al nivei dei agua), pero es Util
6.6
Momentos, centro de masa m1
m,
d,
A
1. F (b - a); f F(x) dx
Respuestas a La revision de conceptos:
SupOngase que dos masas de tarnaños m1 y m2 se colocan en un sube y baja a distancias respectivas d1 y d2 del punto de apoyo (fuicro) y en lados opuestos a él (véase la figura 1). El sube y baja se equilibrará si, y sOlo Si d1m1 d2m2. Un buen modelo rnatemático para eSta situación se obtiene a! reemplazar el sube y baja por un eje coordenado horizontal que tenga su origen en el fuicro (véase la figura 2). Entonces La coordenada x1 (abscisa) de m1 es x1 = d1, la de m2 es x2 = d2, y La condiciOn de equilibrio es
Fuicro
x1m1 + x2m2 = 0
Figura 1
/lI
72
o
2
Figura 2
m
A
El producto de Ia masa de una partIcuia por su distancia dirigida desde un punto (su brazo de palanca) se denomina momento de Ia partIcula con respecto a ese punto (yease La figura 3). Mide la tendencia de La masa a producir una rotación aLrededor de ese punto. La condiciOn para que dos masas a io largo de eSta recta estén en equilibrio es que La suma de sus momentos con respecto al punto sea cero. La situaciOn que seacaba de describir puede generaiizarse. EL momento total M (con respecto al origen) de un sistema de n masas m1, m2.....m ubicados en los puntos x1, x2.....x a Lo largo del eje x es la suma de los momentos individuales; esto es,
x
Momento = (brazo de palanca) (masa)
M=xm
Figura 3
M = x1 m1 + x2 m2 +
+xm=
n
xm
La condición para equilibrio en eL origen es que M 0. Por supuesto, no debemos esperar equiiibrio en el origen, excepto en circunstancias especiaies. Pero seguramente un sistema de masas se equilibrará en aiguna parte. La pregunta es dónde. ,Cul es La abscisa del punto en donde eL fulcro debe colocarse para que el sistema en La figura 4 esté en equilibrio? in1
xI
Figura 4
m4
0
x,
A
in
x,,_I
x,,
Aplicaciones de Ia integral
306 CAPITULO 6
Llámese E a la coordenada deseada. El momento total con respecto a él debe ser cero; esto es,
(x1 - )m1 + (x2 - )m2 +
+ (x -
=0
0
+ x, m = xm1 + xm2 +
x1 m1 + x2 m2 +
Cuando despejamos a
,
+ xm,1
obtenemos
x=
xm
M m
El punto se denomina centro de masa, es el punto de equilibrio. Obsérvese que sólo es el momento total con respecto al origen dividido entre la masa total. 7
6
4
EJEMPLO 1 En los puntos 0,1,2 y 4, a lo largo del eje x, están colocadas masas de 4, 2, 6 y 7 kilogramos, respectivamente (véase la figura 5). Encuentre el centro de masa.
Solución
2
4
Figura 5
x=
(0)(4) + (1)(2) + (2)(6) + (4)(7)
4+2+6+7
=
42 19
2.21
Su intuición debe confirmarle que x = 2.21 es casi el punto de equiLibrio correcto.
DistribuciOn continua de masa a lo largo de una recta Ax
0
a
b
Am5(x)Ax
AM=x5(x)Ax
,n=JS(x)dx
M=f'x6(x)dx
Ahora conside-
re un segmento recto de un alambre delgado de densidad variable (masa por unidad de longitud) para el que queremos encontrar el punto de equilibrio. Colocamos un eje coordenado a lo largo del alambre y seguimos nuestro procedimiento usual de rebanar, aproximar e integrar. Suponiendo que la densidad en x es (x), primero obtenemos la masa total m y después el momento total M con respecto al origen (véase La figura 6). Esto lleva a la fOrmula Pb
x= M m
Figura 6.
I x6(x)dx
= Ia Pb
/ 6(x)dx
Ja
Son pertinentes dos comentarios. Primero, recuérdese esta formula por analogIa con la formula para masas puntuales.
xm, m1
xAm ,Am
Segundo, obsérvese que hemos supuesto que los momentos de todos los pedazos pequeflos de alambre se suman para obtener el momento total, tal como en el caso de las masas puntuales. Esto debe parecerle razonable si imagina que La masa del pedazo representativo de Longitud Ax está concentrada en eL punto x. EJEMPLO 2 La densidad 6(x) de un alambre en eL punto a x centImetros de uno de 3x2 gramos por centImetro. Encuentre el centro de malos extremos está dada por 6(x)
sa del pedazo entre x = 0 y x = 10.
SECCION 6.6
0
O
Momentos, centro de masa
307
Solución Esperamos que , sea más cercana a 10 que a 0, ya que el alambre es mucho más pesado (denso) hacia el extremo derecho (véase Ia figura 7). fIO
Figura 7
/
Jo
ÀY
x3x2dx
[3x/4]° 3110
f3x2 dx
[x Jo
7500
- 1000 -
7.5 cm
Distribuciones de masa en un piano Considérese n masas puntuales de magnitudes m1, m2.....m situadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2).....(x, y,) en el piano v.)
x
coordenado (véase La figura 8). Entonces los momentos totales M y M con respecto a! eje y y a! eje x, respectivamente, están dados por n
n
M=
y m,
M
x1 m,
t=1
i=1 I!!
Las coordenadas (1k, ) del centro de masa (punto de equilibrio) son
Figura 8
x=
7
xm
M
ym
M m
m
Cinco partIculas de masas 1,4,2,3 y 2 unidades, están colocadas en los puntos (6, 1), (2, 3), (-4, 2), (-7, 4) y (2, 2), respectivamente. Encuentre el centro de EJEMPLO 3
mas a.
Solución
x= (a)
(6)(1) + (2)(4) + (-4)(2) + (-7)(3) + (2)(2)
1+4+2+3+2
- 12
(-1)(1) + (3)(4) + (2)(2) + (4)(3) + (-2)(2)
23
1+4+2+3+2
12
U
Ahora consideramos el problema de encontrar el centro de masa de una lámina (hoja plana delgada). Por simplicidad, suponemos que es homogénea; esto es, tiene densidad constante 6. Para una hoja rectangular homogénea, el centro de masa (en ocasiones denominado centro de gravedad) está en el centro geométrico, como lo sugieren los diagramas (a) y (b) en Ia figura 9.
(b)
Figura 9
Considere la lámina homogénea acotada por x = a, x b, y = f(x) y y = con g(x) f(x). Rebane esta lámina en delgadas tiras paralelas al eje y, las cuales, por tanto, tienen forma casi rectangular, e imagine la masa de cada tira concentrada en su centro geométrico. Después aproxime e integre (véase la figura 10). Con base en esto podemos calcular las coordenadas (, 5) del centro de masa utilizando Las formulas M m
m
Cuando lo hacemos, se cancela el factor nemos
fbx[f(x) - g(x)]dx
fb[f(x) - g(x)]dx
,
del numerador y del denominador, y obte1
Pb
2aJ
[(f(x))2
Ib a
- (g(x))2]dx
[f(x) - g(x)]dx
Algunas veces, rebanar en dirección paralela al eje x funciona mejor que rebanar en dirección paralela al eje y. Esto conduce a formulas para y 5 en la que y es la variable de integración. No intente memorizar todas estas fOrmulas. Es mucho mejor recordar cómo se dedujeron. El centro de masa de una lámina homogénea no depende de su masa o densidad, sino solo de la forma de la regiOn correspondiente en el piano. AsI que, nuestro pro-
308 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral ÀY
0I
. a. a
a
a
a
Am
b
AMxö [f(x)g(x)] Ax
[f(x)g(x)] Ax
m=öf[f(x)g(x)] dx
[(f(x))2 - (g(x))2] Ax
AM
M=$[f2(x) g2(x)] dx
= ö $x[ f(x) - g(x)] dx
Figura 10
blema se convierte en un problema geométrico en lugar de uno fIsico. En consecuencia, con frecuencia hablamos del centroide de una region plana, en lugar del centro de masa de una lámina homogenea. EJEMPLO 4
y= Solución
Encuentre el centroide de la region acotada por las curvas y = x3 y
Observe el diagrama en la figura 11.
x3]dx
x=
[X5/2
x5l1
1
-
12
I'x31dx [x3/2_j
- 25
x411 -
Figura 11
- x)dx
+ x)(
Li
f(_x3)dx 1[x2
i11
- 7 Jo 5
12
12
Ji2 -
(x3)2]dx
f(\/_x3)dx
5
57 12
El centroide se muestra en la figura 12. Figura 12
EJEMPLO 5
Encuentre el centroide de la region bajo la curva y = sen x, 0 s x
(véase la figura 13).
Figura 13
Solución Esta regiOn es simétrica con respecto a la recta x = ¶/2, de lo cual concluimos (sin integrar) que = n-/2. En efecto, es tanto intuitivamente obvio como cierto que si una region tiene una recta vertical u horizontal de simetrIa entonces el centroide estará en esa recta. Su intuición también debe decirle que j será menor a , ya que una mayor cantidad de la region está por debajo de que por encima de . Pero para encontrar de manera exacta este nOmero, debemos calcular
SECCION 6.6
I
309
Momentos, centro de masa
1 Isenxdx 2 Jo
senx
fsen x dx
fsen x dx
El denominador es fácii de caicular, tiene valor 2. Para calcular ci numerador, utilizamos la formula del ánguio medio sen2 x = (1 - cos 2x)/2.
i/fIT
IT
I;
sen2 x dx - -
2\
1 dx - I cos 2x dx Jo
o
ir x - sen2x 1
=
2[
2
'IT
2
j0
Por lo que,
.
(7 N
El teorema de Pappus Alrededor de 300 a. de C., ci geOmetra Pappus estableciO un novedoso resultado, el cual relaciona centroides con volOmenes de sólidos de revoiución (véase la figura 14). Te rre ma
A Teorema de Papr s
gi'P
un Ll&.J 'dc de una recta en su piano, se hace girar airedeSi un'a ri n , que está d'¼,. "j' &: sólido res"ltante es igual ai area de R muldoi &esa.ret mtonces c'. vol:umeh tiplicaa ior la distancia recorrida po. su centroide. U Figura 14
En lugar de demostrar este teorema, que en reaiidad es muy sencillo (véase ci problema 28), io ilustraremos. Verifique eiTeorema de Pappus para la region bajo y cuando se hacen girar airededor del eje x (véase la figura 15). EJEMPLO 6
Solución gión es
Esta es la regiOn del ejemplo 5, para La cual
A=f
sen x,0
= ii-/8. El area A de esta re-
senxdx = [cosx]g
2
Figura 15
El volumen V del sólido de revolución correspondiente es r cos2x] dx=Ix--sen2x v=Isen2xdx= 2 2 f[1 2L Jo PIT
1
Para verificar el teorema de Pappus, debemos demostrar que
A (2) = V Pero esto equivale a demostrar que
/
'IT
\.
8)
2
2 2'n--- = que claramente es cierto.
I
2
lIT
= J
2
310
CAPtruLo 6
Aplicaciones de Ia integral
Revision de conceptos Un objeto de masa 4 está en x = 1 y un segundo objeto de masa 6 está en x = 3. La simple intuición geométrica nos dice que el centro de masa estará a la de x = 2. De hecho, = Un alambre homogéneo se encuentra a lo largo del eje x, entre x = 0 y x = 5, equilibrado en é = . Sin embargo, si el alambre tiene densidad 6(x) = 1 + x, se equiiibrará a ia de 2.5. De hecho, se equilibrará en 1, donde
dx/f
La lámina homogenea rectangular con vertices en los puntos = (0,0), (2,0), (2,6) y (0,6) se equilibrará en iE = ,
Una lámina rectangular con vertices en (2, 0), (4, 0), (4, 2) y (2,2) está suj eta a la lámina de la pregunta 3. Suponiendo que ambas láminas tienen la misma densidad constante, la lemma resultante en forma de L se equilibrará en = , =
dx.
Conj unto de problemas 6.6 1. Unas particulas con masas m1
5, m2 = 7 y m3 = 9, están
ubicadas en x1 = 2, x2 = 2 y x3 = 1 a lo largo de una recta. ,En
18. Para la lCmina homogénea que se muestra en la figura 17, encuentre m, M, M, y 5.
dónde está el centro de masa? 2. Juan y Maria, pesan 180 y 110 libras respectivamente, sentados en extremos opuestos de un sube y baja de 12 pies de largo, con el fuicro a la mitad. En dónde debe sentarse su hijo Tom, de 80 iibras, para que se equilibre el sube y baja?
3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad 6(x) = en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la distancia, desde este extremo a! centro de masa. 4. Resuelva el problema 3 si (x) 1 + x3.
5. Las masas y coordenadas de un sistema de partIcuias en el piano coordenado están dadas por: 2, (1, 1); 3, (7, 1); 4, (-2, 5); 6, (-1, 0); 2, (4, 6). Encuentre ios momentos de este sistema con respecto a los ejes coordenados, y encuentre ias coordenadas dei centro de masa.
6. Las masas y coordenadas de un sistema de particulas están dadas por io siguiente: 5, (-3,2); 6, (-2,2); 2, (3,5); 7, (4, 3); 1, (7,i).
/
R
1
2
Figura 17 19. Considere las láminas homogeneas R1 y R2, que se muestran en la figura 18, y la lámina homogénea R3, que es la union de R1 y R2. Para i = 1,2,3, sean m(R1), M(R,) y M(R1) la masa, el momento con respecto al eje y y el momento con respecto a! eje x, respectivamen-
te, de R Demuestre que
in(R3) = m(R1) + m(R2)
M(R3) = M(R1) + M(R2) M(R3) = M(R1) + M(R2)
Encuentre los momentos de este sistema con respecto a ios ejes coordenados y encuentre las coordenadas del centro de masa.
7. Verifique ias expresiones para AM, AMY, M y M en el recuadro que está en la parte inferior de la figura 10. En los problemas del 8 at 16, encuentre el centroide de La region acotada por las curvas dadas. Haga on dibujo y cuando sea posible utili-
V=
ce simetrIa.
8.y=2x,y=0,x=0
9.y=2x2,y=0
10. y = x2,y = 0,x = 4
11. y = x3,y = 0,x = i y = (x2 - 10), y = 0, y entre x = 2 y x = 2
a
y = 2x - 4,y = 2V,x = 1
14.y=x2,y=x+3 x
-
15.x=y2,x=2
- 4,x =
Para cada lámina homogenea R1 y R2 que se muestra en la fi-
gura 16, encuentre m, M, M, y
x
b
Figura 18 20. Repita el problema 19 para las láminas R1 y R2 que se muestran en Ia figura 19. I: V
R1
Figura 19
I;
SECCION 6.6
En los pro blemas del 21 at 24, divida Ia region que se muestra en piezas rectangulares y suponga que los momentos M y M de toda Ia región, puede determinarse sumando los momentos correspondientes de las piezas. (Véanse los problemas 19 at 20.) Utilice esto para determinar el centroide de cada region. 21.
Momentos, centro de masa
311
Utilice el Teorema de Pappus junto con el volumen conocido de una esfera para determinar el centroide de una region semicircular de radio a. Demuestre el Teorema de Pappus suponiendo que la region de area A, en la figura 20, se hace girar alrededor del eje y. Sugeren-
fb
[b
dx)/A.
dx
cia: v
Ja
a
ÀY
K 22.
dY
Y
(-3, 4)
(1, 4) S
S
C a x
x
b
Figura 20
S
29. La region de la figura 20 se hace girar airededor de Ia recta y = K, generando un sOlido.
(1-2)
(-3, 3)5-5
(-2.
Utilice cascarones cilIndricos para escribir una formula para el volumen en términos de w(y).
23.
Demuestre que la formula de Pappus, cuando se simplifica, proporciona el mismo resultado. 30. Considere el triángulo T de Ia figura 21.
Demuestre que
= h/3 (y por tanto que el centroide de un
triángulo está en la intersección de las medianas). Encuentre el volumen del sólido que se obtiene cuando T se hace girar alrededor de y = k (Teorema de Pappus). 24.
2-2
-I
2
4
x
Figura 21
-3 31. Un polIgono regular P con 2n lados esté inscrito en un cIrculo de radio r. Utilice el Teorema de PappUs para encontrar el volumen del sólido obtenido cuando la region acotada por y = x3, y = 0 y x = 1 se hace girar alrededor del eje y (vOase el problema 11 para el centroide). Resuelva el mismo problema por medio del método de los cascarones cilmndricos para verificar su respuesta.
Utilice el Teorema de Pappus para encontrar el volumen del toro que se obtiene cuando la region dentro del cIrculo x2 + y2 = a2 se hace girar alrededor de la recta x = 2a.
Encuentre el volumen del sólido que se obtiene cuando P se hace girar alrededor de uno de sus lados. Verifique su respuesta haciendo n
oo.
32. Sea f una funciOn continua y no negativa en [0, 1].
(a) Demuestre que f xf(sen x) dx =
(/2)f
f(sen x) dx.
(b) Utilice Ia parte (a) para evaluar L x sen x cos4 x dx.
312
CAP1TULO 6
Aplicaciones de Ia integral
33. Sea 0 < f(x) g(x) para toda x en [0,1], y sean R y S las regiones bajo las graficas de f y g, respectivamente. Demuestre o refute que YR Ys id 34. Aproxime el centroide de la lámina que se muestra en la figura 22.Todas las medidas están en centImetros y las medidas horizontales están separadas 5 centimetros una de la otra.
ci 35. Se taladra un agujero con radio de 2.5 centImetros en la lámina que se describe en el problema 34. La ubicación del agujero se mues-
están aproximadas y están en millas. Las distancias dadas, este-oeste, están separadas 20 millas. También necesitará las distancias entre la frontera este del estado y Ia linea que va de forte a sur que forma la frontera este en el centro del estado. Comenzando con las dimensiones de más al norte, las distancias son 13 y 10 millas, e iniciando con las dimensiones de más al sur, las distancias son 85 (en Ia punta sur), 50, 30,25, 15 y 10 millas. Supongase que las demás dimensiones esteoeste se miden a partir de la frontera de más al este.
tra en la figura 23. Encuentre el centroide de la himina resultante. 140
132 139 151
184
179 192
209 212 206
380
191
170 167 155
137
124 95
79 58
Figura 24 Figura 22
Figura 23
ci 36. El centro geografico de una region (condado, estado, pals) se define como el centroide de esa regiOn. Utilice el mapa de Ia figura 24 para aproximar el centro geográfico de Illinois. Todas las distancias
Respuestas a Ia revision de conceptos:
(41 + 63)/(4 + 6) = 2.2 424.40 3 1.I 6'16
1. derecha; 2. 2.5; derecha; x(1 + x); 1 + x
6.7 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. Eláreadelaregionacotadapory cosx,y = 0,x Oyx = IT
cos x dx.
es 0
a2
Los sOlidos que se obtienen a! hacer girar la regiOn del problema
- x2 dx.
0
El area de Ia region acotada por y = f(x), y = g(x), x x
Para calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la re-
gión acotada por y = x2 + x y y = 0 airededor del eje y, uno debe utilizar el método de las arandelas de preferencia sobre del método de los cascarones.
4fa
El area de un circulo de radio a es
Si el radio de Ia base de un cono se duplica, mientras que la altura se divide entre dos, entonces el volumen permanecerá constante.
ay
b,oes f [f(x) - g(x)]dxobiensunegativo.
Todos los cilindros rectos cuyas bases tienen la misma area y cuyas alturas son las mismas, tienen volOmenes idénticos. Si dos sOlidos con bases en el mismo piano tienen secciones transversales de la misma area en todos los pianos paralelos a sus bases, entonces tienen el mismo volumen.
7 alrededor de x = 0 y x = 1 tienen el mismo volumen. Cualquier curva suave en el piano, que se encuentre por completo dentro del circulo unitario tendr longitud finita. El trabajo que se requiere para estirar un resorte 2 pulgadas más de su longitud normal, es el doble del que se necesita para estirarlo una pulgada (supongase que se cumple la ley de Hooke). Se requerirá la misma cantidad de trabajo para vaciar un depósito de forma cónica y depósito cilindrico de agua bombeándola hasta su borde superior si ambos depósitos tienen la misma altura y volumen.
SECCION 6.7
Dos pesos de 100 libras a distancias de 10 y 15 pies del fuicro, equilibran un peso de 200 libras del otro lado del fuicro y a 12.5 pies
dee!.
Revision del capItulo
313
(b) Comprimirlo desde su longitud natural hasta una longitud de 12 pulgadas.
9. Un tanque cilIndrico vertical tiene 10 pies de diOmetro y 10 pies
Si iE es el centro de masa de un sistema de masas rn1, rn2.....rn,1
de altura. Si el agua en el tanque tiene una profundidad de 6 pies,
distribuidas a lo largo de una recta en los puntos con coordenadas x,,,respectivamente,entonces (x1 = 0.
i,cuánto trabajo se realizará al bombear toda el agua hasta el borde superior del tanque?
El centroide de la region acotada por y = cos x, y = 0, x = 0 y x = 2ii está en (VT, 0).
De acuerdo con el Teorema de Pappus, el volumen del sólido ob-
tenido a! hacer girar La regiOn (de Orea 2) acotada por y = sen x, y = 0, x = Oy x
alrededor del eje y es 2(2w)
= 22.
10. Un objeto que pesa 200 libras estO suspendido desde La parte superior de un edificio por medio de un cable uniforme. Si el cable es de 100 pies de Largo y pesa 120 libras, i,cuOnto trabajo se hace a! tirar del objeto y del cable hasta lo alto?
11. Una region R estO acotada por La recta y = 4x y La parbola y = x2. Encuentre ci area de R: considerando a x como la variable de integración, y
El Orea de la region acotada por y =
esf(9
y=0yx=9
- y2)dy.
Si la densidad de un alambre es proporcional al cuadrado de La dis-
tancia a su punto medio, entonces su centro de masa estO en el punto medio.
El centroide de un triángulo con base en el eje x tiene ordenada (coordenada y) iguaL a un tercio de La altura del triángulo. Problemas de examen Los problernas deli at 7 se refieren a Ia region plana R acotada por Ia curva y = x - x2y el eje x (veaselafigura 1).
tomando a y como la variable de integración.
12. Encuentre el centroide de R en el problema 11. 13. Determine el voLumen del sólido de revolución generado a! hacer girar la regiOn R del probLema 11 alrededor del eje x. Verifique utiLizando el Teorema de Pappus.
14. Encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar La regiOn R del probLema 11 aLrededor del eje y. Verifique utilizando el Teorema de Pappus. 15. Encuentre la longitud del arco de Ia curva y = x3/3 + 1/(4x) des-
de x = 1 hasta x = 3. 16. Haga un bosquejo de La gráfica de Las ecuaciones paramétricas
x=t2,
y=(t3-3t)
Después encuentre Ia Longitud del rizo de Ia curva resultante.
17. Un sólido con base semicircular acotada por y =
Figura 1
- x2 y
y = 0 tiene secciones transversales perpendiculares a! eje x que son cuadrados. Encuentre el volumen de este sólido. En los problernas del i8 al 23, escriba una expresiOn que incluya integrales para representar el concepto requerido. Haga referencia a Ia figura2. y
Encuentre el area de R. Encuentre el volumen del sóLido S1, generado a! hacer girar Ia región R alrededor del eje x.
Utilice el método de los cascarones cilIndricos para determinar 2' generado al hacer girar R airededor del eje y. Encuentre el volumen del sOlido S3 generado al hacer girar R alrededor de la recta y = -2. el voLumen del sOLido
Figura 2
Encuentre el volumen del sólido S4 generado a! hacer girar R al-
rededor de la recta x = 3. Encuentre Las coordenadas del centroide de R. Utilice el Teorema de Pappus y los problemas del 1 a! 6 para determinar los volOmenes de los só!idos 1' S3 y S4, anteriores. La longitud natural de cierto resorte es de 16 pulgadas, y se requiere de una fuerza de 8 libras para mantenerlo estirado 8 pulgadas. Encuentre el trabajo realizado en cada caso.
(a) Estirarlo desde una longitud de 18 pulgadas a una longitud de 24 pulgadas.
El area de R. EL volumen del sólido obtenido cuando R se hace girar aLrededor
delejex. El volumen del sólido obtenido cuando R se hace girar alrededor
de x = a. Los momentos M y M de una Lamina homogOnea con forma R, suponiendo que su densidad es La Longitud total de la frontera de R. El area de La superficie total del sOlido del problema 19.
Aplicaciones de Ia integral
314 CAPITULO 6
6.8 Problemas adicionales 1. Cuando se derivan con respecto al tiempo funciones, cuyas unidades son distancias, las derivadas resultantes tienen unidades de distancia/tiempo o velocidad. De manera analoga, al integrar, con respecto a! tiempo, una función que especifica velocidad, dará un resultado que es distancia. En cada caso siguiente, proporcione las unidades de la funciOn F y una descripción fIsica de la cantidad F.
tadora lap top. Entonces, la función de densidad puede utiJizarse para encontrar probabilidades concernientes al tiempo de vida del artIculo. Sea
fa(t) dt, donde a se mide en pies/(segundo)2 yT se
LQué valor debe dársele a A para hacer que f(t) sea una función de densidad?
F(T) =
f (t)
J15At2(4t)2 siOt4 - lo
en caso contrario
donde t se mide en afloS.
mide en segundos.
Cuál es la probabilidad de que una baterIa falle después de tres aflos?
F(s) =
F(r) =
f
f(z) dz, donde f se mide en libras y s en pies.
Encuentre una expresión para la función de distribución acumu-
lada F(t). Sugerencia: F(t) satisface la ecuación diferencial F'(t) = f(t) y F(0) = 0.
f
, donde f se mide en slugs y x se mide en
r
f
I Gd (d) Haga una grafica de la función de densidad y de la función de distribución acumulada en ventanas gráficas diferentes.
5. El valor esperado de una variable aleatoria se define como
pulgadas.
B
La integración desempeha un papel central en Ia teorIa de probabilidad. En los problemas del2 a! 6 exploramos esepapel. Unafunción de distribución acumulativa F(t) satisface las propiedades siguientes:
I
IEXPL
1.
Explique cómo esto puede considerarse como un momento igual a! que se definiO en la secciOn 6.6.
2. limF(t) = 1
lIm F(t) = 0
Si la variable aleatoria es el tiempo de vida de un artIculo, entonces at valor esperado se le denomina tiempo de vida esperado. Encuentre el tiempo de vida esperado para la función de densidad descrita en el problema 4.
4. F es continua por Ia derecha.
3. F es no decreciente.
En lo que sigue supondremos algunas condiciones más fuertes, como que F es derivable, F(0) = Oy que existe algán B talque F(B) = 1. La
derivada F'(t) = f(t) se denominafunción de densidad deprobabilidad o simplemente función de densidad. Una variable aleatoria es una cantidad que varIa dependiendo de un resultado de un experimento aleatorio. Si T es una variable aleatoria con funcion de densidad de probabilidadf(t), entonces laprobabilidad de que T caiga en elintervalo [a, b] es
6. Supóngase que la función
f(t)
B
f(t)dt = 1
f(t)
{A si0t3 0
IA(t2 - 7t)
si 0
[0
en caso contrario.
At2
t
7
si 0 < t < 3 si 3
t
5
EXPL
Ha notado que Ia presiOn en una alberca no depende de la po-
siciOn hacia Ia que están dirigidos sus oIdos, sino sOlo a Ia profundidad
ala quese encuentre?Aqu el principiofisico es quelapresiónp a una
en caso contrario.
f(t) = cA(9 - t)
0
en caso contrarlo
Una interpretaciOn de probabilidad, tal como !a que se calculó en !a parte (c), es como sigue: En muchas reproducciones del experimento aleatorio, Ia proporción de veces que un evento ocurre es igua! a Ia probabilidad de ese evento. Si ponemos 100,000 baterIas a prueba, a! mismo tiempo, ,cuántas de ellas se esperarIa que siguiesen funcionando después de treS aflos?
y utilice este resultado para demostrar que
f(t) =
Si
aflos.
f(t)dt = F(b) - F(a)
donde B es un valor tal que F(B) = 1. 3. Dadas las funciones siguientes, seleccione los valores correctos para cada constante A a fin de que f(t) sea una función de densidad.
10
t)\2
Encuentre la función de distribución acumulada F(t). Encuentre la probabilidad de que una baterIa durará al menos 3
2. Explique por qué
I
1 6 2i 625t
donde t se mide en años, proporciona la función de densidad para el tiempo de vida de una baterIa de automóvil. Haga una gráfica de Ia funciOn de densidad.
dt
I
tf(t)dt
t <9
en caso contrario.
4. En teorIa de fiabilidad, Ia variable aleatoria con frecuencia es el tiempo de vida de algén artIculo, tal como la baterla de una compu-
profundidad h, as el peso delfluido por unidad de volumen w (62.4 Iibras por pie cObico para el agua) por h; esto es, p = wh. Obviamente, Ia presión tiene unidades de peso/(longitud)2. Si esta presión se aplica sobre un area, entonces el resultado será una fuerza (o peso) aplicado a esa area. Podemos utilizar cálculo para calcular tales fuerzas. 7. Si el area de su tImpano es 0.0004 pies2, encuentre la fuerza tota!, en libras, sobre su tImpano y la presión en su timpano a una profundidad de 10 pies debajo de La superficie en una alberca.
8. La fuerza en cada punto a lo largo de Ia pared de una piscina so!o depende de la profundidad D a la que se encuentre. Suponga que
Problemas adicionales
SECCION 6.8
315
Ia profundidad de la piscina es de 10 pies y que el ancho de la pared es de 75 pies. Creamos una particiOn regular del intervalo [0, 10]:
0=h0
Aproxime la fuerza que Ia capa de agua, que se muestra en la figura 1, ejerce sobre el lado de 75 pies de la piscina.
Explique por qué la fuerza total en este lado de la pared es
F = 62.4 f
- h)dh
Figura 3
13. El tanque de un acuario tiene una ventana en la parte inferior, con forma de triangulo isósce!es (véase Ia figura 4), que esta diseñada para resistir una fuerza total de 400 libras sin romperse. i,Cuál es la altura maxima del agua que la ventada soportará sin romperse?
Figura 4
Figura 1
9. Ahora suponga que el lado de Ia piscina es un triángulo equilatero (un lado en la parte superior) con una profundidad maxima de 10 pies (véase la figura 2).
Demuestre que la fuerza total en el lado triangular es
F = 62.4f (10 - h)W(h)dh en donde W(h) es el ancho de la piscina a una altura h por arriba del fondo.
EXPL La potencia, P(t), se define corno Ia velocidad a Ia que se realiza el trabajo, o corno Iaflwrza F(t) por Ia velocidad v(t). Si integrarnos una fuerza con respecto a una distancia, obtenemos el trabajo realizado por esa fuerza. Si integrarnos la potencia sobre un intervalo de tiempo, tarnbién obtenernos el trabajo realizado. Ta! vez las unidades rnás conocidas para las potencias estén dadas por los cabal/os de fuerza. Un caba-
I/o de fuerza es igual a 550 libras-pie/segundo. Tornado de manera litera4 lo que sugiere es que un caballo puede levantar 550 Iibras una distancia del pie en 1 segundo. Si F F(s) es Ia fuerza comofunciOn de Ia posición s, con s pararnetrizada por rnedio del tiempo t,
Demuestre que W(h) = 2h/\/. Utiizando el resultado de la parte (b), evalüe la integral de la parte (a) para encontrar la fuerza total en la cara triangular de Ia piscina.
F(s) = F(s(t)) = F(t), Trabajo = W(s)
P(t) = F(t) . v(t)
dx
10
= W(s(t)) = W(t) dW(t) dt -4 -2
=
f P()dr = JF(r)v(T)dr
P(t)
En los problernas Ply 15 investigarnos Ia relación entre estas cantidades. 0
14. Un automóvil de 3200 libras, iniciando desde el reposo, acelera de manera uniforme hasta una velocidad final de 45 millas por hora 10. Suponga que insertamos, de manera vertical, una delgada placa(66 enpies por segundo) en 6 segundos. Ia piscina. La fuerza total en una cara de la placa puede ser grande. Por ,Cuántos caballos de fuerza se necesitan para hacer esto? supuesto, existe una fuerza total igual en la otra cara de Ia placa, y por i,Puede resolver este problema si supone que el automóvil no tanto la placa no se deformará debido a la presiOn del agua. Encuenacelera de manera uniforme? Si es asI, cuál es Ia respuesta? Figura 2
tre la fuerza total ejercida sobre una cara de una delgada placa con forma de triángulo equilátero, cuyos lados son de 6 pies de largo, cuan-
do un lado se mantiene paralelo al fondo de la piscina y la parte superior de la placa estã al ras del agua.
11. Si Ia placa del problema 10 se bajase otros 3 pies en la piscina, cuál es Ia fuerza total ejercida en una cara? 12. Un depOsito cUbico tiene una pieza en la parte inferior, formada por las curvas y = x2 y y = 2 (véase la figura 3), Ia cual está diseflada para resistir una fuerza total de 200 libras sin desprenderse. ,Cuál es el tamaflo del cubo más grande que puede llenarse hasta arriba con agua sin que la pieza se desprenda?
15. Suponga que este automóvil de 3200 libras está viajando a 45 mihas por hora a lo largo de un camino piano. El automOvil llega a una cuesta (colina) que tiene una pendiente de 0.05. Cuánta potencia adicional (en caballos de fuerza) se necesita para que el automOvil mantenga su velocidad mientras sube la colina? i,Cuántos caballos de fuerza adicionales se necesitan para aumentar Ia velocidad del automóvil a 60 millas por hora en 4 segundos, cuando inicia al escalar Ia colina? ,Cuanto trabajo realiza el motor, si le toma 3 minutos a! automóvil, que va a 45 millas por hora, llegar a la cima de la cohina?
I PISYECTS SE TCNILS1(A 6.1 S
S
I
'C
A
I
Volumen de un cilindro elIptico I. Preparación Sabemos que la ecuación x2 + y2
Ejercicio 1
r2 represen-
ta un cIrculo de radio r. Utilice este hecho para explicar por qué A
r
4r f
1
j1 -
dx
(1) Figura 2
,2
x2
= 1 representa una De mane' a similar, la ecuaciOn - + a b elipse. Justifique las dos formulas
' en, -' 3iUrn Ejerciclo 3 Deduzca la formula siguiente par.a ci 2b: Ii . e s h, e'' ciuSilide 0 V(h), de la gasolilia uando Ia alt.iii i
I-h--h
Aeiipse =
4bf \J1
-
dx
(2)
Aeiipse
4afJl -
dy
(3)
V(h)
21
/1
Lb
(4)
Ej xici 2 Haga la sustitución u = x/a en la integral en (2)
Ejercicio 4 Utilice el curso de cómpul:0 cn que cuentc Jd ra evaluar las integrales de las ecuaciones '1) 2 y (3). (A'rni_ nos paquetes no rca izarán la inte gir tc'iér on parámetros r, a s especIficos para o b. En este caso, susi;ith wd al'uii'.o 'a tas variables y pida a nu sofi .tre ev'ivar aintegra1.)
a alcu1ar de manera .p1Icita Aeijpse Verifique y utilicc su results do 1c cada una de las Iformas siguientes:
Ejercicio 5
para e' area de una elipse.
.1
.
1
Deduzca el r'su.iltacio nueamte utilizando (3). P,emJl str.. qu ii resultado es cierto para el caso de que la e'Au se sea un circulo de radio r.
: SupOnga' que
taniue desclLo anterioiinente tiene largo L = 20 pic, nch 22. = iO,oies ' altura 2b =.5 :
: cc'ium'ias. que conten pies. Construya una tabla con dos respectivamente, h y V(h), para h = 5 ein increm ntos de O.L.'5 pies.
IL Uso de Ia tecnologIa La figura 1 muestra un depósito subterráneo de gasolina, tat como el q" podrIa encontrarse en una estación de servicio. Cada s xicio- ri ransversal del tanque es una elipse cuyos ejes tier n loi it les de 2a pies y 2b pies. El largo del tanque es a manera burda de medir el I- I ducfio sOlo tiene un" de L contt-nic IC: i Siimc rge una vara hasta la parte inferior del depOsitu yirIi nd. a qeiza .ltura está el nivel de gasolina en la vara. UsLed ru e que ayudarle a convertir esta medida, llámela h (en pies) 'l galones de gasolina en el depósito. (Véase la figu-
ir1g ic ''
ra2.)
1.
r ne'-"un L mar"a enla r' ,c Ejercicio 6 Al propietario le gustai1a r6Ao q ueden I1500 tia i1dc i' .i i cLIU vara como advertenia parn"' aiiis). Uti1izan do las galones (1 pie cObico es igu - 7 1 g"Ic'L 'uo -rn el c, eicicio 5, dc t er1:-In mismas dimensiones del taiq i ec.n i a1turaha1aquecin mine, a! centésimo de pie máscercano, '.a I
tener Ia c oao de Ne wton, cidad de encontrar ralces, podrIa utlizar el o bien podria utilizar Ia técnica dC acercamiernio de roy ctos anteriores. marcarse La vara. Sugerencias: Su software i)U..
III. Ref Iexión
ic- ip1ica ' rj"p. 4 ' .que &I voEjercicio 7 Explique por q ci i L v ii.,4jlwp ecte re.. r1r -i- es T lumen total del tan4.ie cilIn±ic tado para verificar sus resultados del ejerci ' 5 p h
Ejercicio 8
Para tanques de dimensiones arLkj' ,.ral L
encuentre V'(h) y V"(h). En qué inter ilos I -
Figura 1
316
i.'valorers cle
0,h = 2.5yh = 5. s11
I y L, cien-
1iba '1 ,Có nca(Ad't ar' te? LEn qué intervalos V(h) es cOncava ha va hacia abajo?
PRSYECTO ei TECNLS1A I
.2
I
Long;tu d de arco
L Preparación Este proyecto implica La aproximación de la longitud de la curva y = f(x), a S b. Ejercicio 1 Considere la curva que representa la gráfica de y = f(.) = V2x + l,0x4.Sean 1
x=i-, =
y1
i=0,1.....n
f(x) = V2x + 1
Los punths (x1, y,), i = 0,1 . . ., n, están en la gráfica de y
= f(x).
Explique por qué Ia longitud total de la Ilnea poligonal que conecta a (x0, y0), (x1, y1) ..., (x, y,) es n
i= 1
Ejercicio 2 la suma
A
)
+(V2x+1_V2x11+1)2
U( i,En qué sentido esta integral definida es ta integral defini'i. diferente de las que ha viis.t antes? i,Puede su recurso de cómputo evaluar esta integral?
Ejercicio
Considere Ia curva definida por medio de la fun1. Evalüe una integral definida que proporcione Ia longitud de arco. Calcule la longitud de Ia lInea poligonal para cada n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Construya una tabla de n, la longitud de arco estimada (p. ej., la longitud total de la lInea poligonal), y del error.
Ut'i'e una Ca. iladnra (no un SAC) para evaluar .i = 1,2 y 4.
Ejercici-Ic,, ' 3 Deduzca una expresión similar para (1) para cualesquiera f, a, b y n. Sugerencia: Primero, defina de manera adecuada x,.
II. Uso de Ia tecnologIa Ejercicio 4 Utilice Ia tecnologIa que tenga y su respuesta al ejercicio 3 para calcular la longitud de Ia ilnea poligonal para f(x) = Vi - x2, a = 1, b = 1 y para cada una de las
x312, 0
III. Reflexión Ejercicio 8 finida
(1)
r LeTl(It, pa
7
cion f(x) =
Suponga que queremos aproximar la integral de-
fb
+ [f'(x)]2dx
con una suma de Riemann, usando los extremos izquierdos de cada intervalo. Srnoniendo una partición regular de [a, bj con n subintervalos, determine esta suma de Riemann. ApPque su formula de la suma de Riemann para Ia integral definiva en el ejercicio 7.
Ejercicio 9 En los ejercicios 1 al 7 aproximamos Ia longitud de una curva por medio de la longitud total de Ia ilnea poligonal. Ahora, tomamos un enfoque diferente para aproximar la longitud de arco. Sea a = x0 < x1 <...
n = 2,4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,512, 1024. Construya una tabla das del punto Q, suponiendo que PQ es tangente a la curva y = f(x) en P. de n y de las longitudes de arco estimadas (p. ej., las longitu-
des totales de las lIneas poligonales).
Después, determine Ia longitud del segmento de recta PQ.
Ejercicio 5
Por Ultimo, sume las longitudes de estos segmentos cuando i va desde l hasta n. (La figura 2 muestra iit paestos segmeos ra la curva y =
Por medio de un argumento geométrico, determi-
ne la longitud de arco d c la curva en el ejercicio 4. Agregue una columna a su tabla que dé el error: I(longitud de arco exacta) - (longitud de arco estimada) ,Que sucede cuando se duplica n? ,El error se reduce a la mitad del anterior? i,Un cuarto de lo que era antes? Ejercicio 6
Determine una integral definida que proporcione la longitud de la curva definida por medio de la función f(x) = \/1 - x2, 1 1. Estudie cuidadosamente es-
Figura 2
para n = 2,4,8.) i,Cuál es Ia relaciOn
entre sus respuest
paralosej' rcic'ios8 y 9?
317
Puede usted imaginar a alguien que escriba el equivalente de 75 libros de matemáticas? Esta es Ia
aportaciOn de Leonhard Euler, Ia
Leonhard Euler 1707-1783
figura dominante de esta ciencia del siglo XVIII y el más prolIfico autor de
matemáticas de todos los tiempos. Nacido cerca de Basel, Suiza, estudiO
bajo Ia direcciOn de su paisano Johann Bernoulli y empezO a publicar sus
trabajos a Ia edad de 18 años. Tuvo cargos en Ia Universidad de Basel, en Ia academia de ciencias de San
...yhoyendia
Petersburgo y en a Academia de
Con el propOsito de producir un arco más fuerte y más hermoso para Ia Gateway to the West en San Luis, el arquitecto Eero Saarinen eligiO una catenaria invertida. El nümero de Euler e interviene en Ia defiriiciOn de esta
Ciencias de Berlin. Cuando murió, se
curva
r
decIa que todos los matemáticos de Europa eran sus alumnos. Los intereses de Euler se
desplegaron sobre todas las matemáticas y Ia fisica. Lo hemos
escogido como representativo de este capitulo debido a sus contribuciones al cálculo de las funciones trascendentales (o
sea, las no algebraicas). En particular, introdujo a e como base de los logaritmos naturales, demostró que e y e2 son
irracionales y descubriO Ia notable relaciOn ex = 1. Aunque quedO ciego durante los ültimos 17 años de su
vida, esto no parece haber dificultado su trabajo. En parte, esto se debiO a su prodigiosa memoria; conocIa de memoria las formulas de trigonometrIa y análisis, asI como numerosos poemas y Ia Eneida completa. Se dice que hacla cálculos con
50 cifras decimales mentalmente.
Euler fue un devoto padre de familia que a menudo gastaba sus tardes construyendo juegos cientificos y leyendo Ia Biblia a sus 13 hijos. Fue un ser humano verdaderamente
notable.
e A P í TULO TUL o CAP
.
."':'~
Funciones trascendentales función logaritmo logaritmo natural 7.1 La La función 7.2 Funciones inversas y sus sus derivadas derivadas 7.3 La La función función exponencial exponencial natural 7.4 Funciones Funciones exponencial generales exponencial yy logarítmica logarItmica generales 7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales exponenciales diferenciales lineales lineales de de primer primer orden 7.6 Ecuaciones Ecuaciones diferenciales funciones trigonométricas yysus 7.7 Las Las fu nciones trigonométricas sus derivadas funciones hiperbólicas 7.8 Las Las funciones hiperbólicasyysus sus inversas inversas del capítulo capItulo 7.9 RevisiOn Revisión del 7.10 Problemas adicionales 7.10 7.1 Funciones especiales especiales Proyecto de tecnología tecnologia 7.1 7.2 Crecimiento poblacional poblacional yy minimos mínimos cuadrados cuadrados Proyecto de de tecnología tecoologia 7.2
7.1
La función La función logaritmo natural
La potencia del del cálculo. cálculo, tanto tanto de de derivadas derivadascomo comode deintegrales, integrales,ya yaha hasido sidoampliamenampliamente demostrada. No obstante obstante que que no no hemos hemos profundizado profundizadoen enlas lasaplicaciones aplicacionespotenciapotenciales. necesitamos ampliar ampliar Ia la clase clase de de funciones funciones con con las las que quepodemos podemostratrales. Para Para ahondar, necesitarnos bajar. Ése es el objetivo de este capítulo. hajar. Ese ci de estc capItulo. Comenzamos pidiéndole pidiéndole que observe un peculiar vaclo Comenzamos vacío en nuestro conocimiento de derivadas.
Dx (x 3 /3) == x2 x2 D(x3/3) DAx2 /2) == Xl D(x2/2) DAx) xO D(x) == 11 == x0 DA????) == [x1 1 Dx(_[l) == [ 2 D(x1) D)_[2/2) == x3 [3 D(x2/2) ¿Existe unaantideantidej,Existe una función funciOncuya cuyaderivada derivadasea seal/x? 1/x?De Dcmanera manera alternativa, aiternativa, ¿existe existe una rivada J1/ x dx? El primer primer teorema teoremafundamental fundamentaldel delcá!culo cálculoestabiece estableceque queIala función función de acumulación F(x) == xf (f) dI
fi/x
lff(t)dI
es es una una función función cuya cuyaderivada derivadaesesf(x), f(x), con con tal talque que ff sea sea continua continua en en un un intervalo intervalo 1I que que contenga a a y a x. x. En En este este sentido, sentido, podemos podemos encontrar encontrar una antiderivada de cualquier función funciOncontinua. continua.La Laexistencia existenciade de una una antiderivada antiderivada no no significa significa que que la Ia antiderivada antiderivada pueda expresarse en términos términos de funciones funciones que el moniento. momento. pueda expresarse quc hemos estudiado hasta ci En este capItulo capítulo introduciremos yy estudiaremos estudiaremos varias varias funciones funciones nuevas. nuevas.
319
320
CAPITULO CAPíTULO 77
Funciones Furiciones trascendentales trascendentales
llenar el hueco observado anteriorNuestra primera función nueva se elige para Ilenar mente. mcnte. Le Le llamamos ilamamos la Ia función función logaritmo logaritmo natural, natural, y'i tiene que ver con el logaritmo estudiado en algebra. álgebra, pero esta esta relaciOn relación sólo sOlo aparecerá aparecerá más más adelante. adelante. Por Por el el momento, momento, sólo sOloacepte acepte elci hecho hecho de de que que vamos a definir una nueva función funciOn yy estudiaremos estudiaremos sus propiedades.
y
\. = II
.
Definición
Función FunciOnlogaritmo logaritmo natural
La función logaritmo natural, denotada por in, In, se define por I
X 2
Si x > L!nxãreadeR 1, In x = área de R Six>
y
R xx ) 2 = áreadeR SiO
Figura 11
Inx lnx==
¡jI dt, X
'1 -dt,
x>O x>O
t El dominio de la función logaritmo natural es es ci el conjunto conjunto de de los los nOmeros números reales positivos. 1
I
Los diagramas en Ia la figura figura I1 indica indica ci el significado significado geométrico geométrico de de in In x. x. La La funciOn función ci nelogaritmo el area área debajo debajo de de Ia la curva y == 1/t l/t entre 11 y x, sisi xx > 11 y el Iogaritnio natural mide ci gativo Ellogaritmo logaritmo natural natural es es una una función función de de acumuiación acumulación ya gativo del dci área area sisi O 0 < xx <<1.1.El ya que acurnula acumula el área bajo bajo Ia la curva curva yy = l/t. Claramente, in In x está bien bien definida definida para para 1/i. Ciaramente, ci area 0 ya ya que que esta integral definida no existe en un x >> 0; O; in In xx no no está está definida definida para x s O un incluya 0. O. intervalo que incluya ¿ yY cuál nueva función? cuál es es la Ia derivada derivada de de esta esta nueva función? Eso Eso es es exactamente exactamente lo in que queremos.
Derivadade delaa función función logaritmo natural Derivada
Con base en el ci primer primer teorenia base en teorema
fundamental dci del cáiculo, cálculo, tenemos
cx1
1 X
'1 1 1 Dx - dt = D r In x = -, dt=Dlnx=--D.I 1 t . x 11
x>O x>O
1
I
Esto puede combinarse Ia regla regia de Ia combinarse con la la cadena. Si u = f(x) derivable, f(x) >>0 Oy ysisiffesesderivable, en to nce S entonces
1 D Inu = = - Dru Dx mu u Du . EJEMPLO 11
Solución Soiución
Encuentre In Encuentre D Dx in
Sea u = =
vX =
D In Dx in EJEMPLO 22
vX. Vi.
l 2 / . xx112.
Entonces
.•
1 1 1 1 1 12 1 vX = -XI/2 .D (x 1/-) = -X1/2 . -1_1/2 X- / = D(x1"2) x 2 2x - 2x = x'2 = x2 2 J
2 Encuentre 2). EncuentreDDln(x2 x -- 2). x ln(x - - x
2 - - xx -- 2 Solución Este Este probiema problema tiene tiene sentido, sentido, siempre siempreque quexx2 2> > 0. O. Ahora Ahora 2 xx2 - x x - 22 = (x -- 2)(x 2)(x++1), 1),que quees espositiva positiva con tal Así, ci el dodotal que que xx < -1 o x >>2.2.AsI. 2 minio 2) es (cc, (-00,1)-1) U (2, (0).En Eneste estedominio, dominio, - - xx -- 2) miniode dcIn(x ln(x2 U (2, cc).
-
D In(x 2 - -x x- 2) 2) = Drlfl(x2 x
=
EJEMPLO 33
11 x2 _
X -
2
x
2) -X x- 2)
Demuestre que que = I Dlnjxi D,lnlxl ~~.
Solución Solución
D (x 2 D(x2
x0
Se x x>>O,0,Ixl x, y Se deben deben considerar considerar dos doscasos. casos.SiSi lxi == x,
in ix = D in x
=-
=
2x -- 11 2x
- xX -- 22
x2 -
•
La función logaritmo natural
SECCION 7.1
Six <
=
321
x,yasI 1
x D(x) =
Dlnx = D1n(x) =
(J-'
N
=
Sabemos que para formula de derivación existe una formula correspondiente de integración. AsI, el ejemplo 3 implica que
fidx = lnx o, con
+ C,
x0
+ C,
u0
u reemplazando a x,
fidu = lnu
Esto ilena el viejo hueco en La regla de la potencia: fur du hablamos excluido el exponente r =
1.
EJEMPLO4
Solución
Encuentre Sea u
f
+7
2x
= 2x + 7, por
f
2x+7
dx
lo
Solución
Sea u
I
I
dx.
11 - du =J272dx=j 'U 1
IJ- 10 x- x2
EvalOe
1
inu + C
=
5
in2x + 7 + C
dx.
2x dx. Entonces [1 dx=-- j du dx=--lf-2x I
x
1
2J
10x2
2
j
u
inu + C = 1n 10 - x2 1
invenciOn de los logaritmos. John Napier (1550-1617) querIa simplificar los complicados ci1culos que surgIan en astronomla y navegaciOn. Su objetivo era reemplazar multiplicaciOn por suma y divisiOn por sustracciOn, exactamente lo que realizan (ii) y (iii). Durante 350 aflos, los logaritmos comunes fueron una ayuda esencial en los cálculos, pero ahora para este propósito utilizamos calculadoras y computadoras. Sin embargo, los logaritmos naturales conservan su importancia por otras razones, como verO.
N
= 10 - x2, por lo que du =
I 10x2
Logaritmos comunes Las propiedades (ii) y (iii) de los logaritmos comunes (logaritmos de base 10) fueron las que motivaron la
+ 1), de la cual
que du = 2 dx. Entonces
5
EJEMPLO 5
= u''/(r
+C
AsI, por el segundo teorema fundamental del cálculo, x
- 10x2 f3
dx
1
[1 lnlO
-=
in1
+
- x2 ln9 =
ln9
Para que los cálculos anteriores sean válidos, 10 - x2 nunca debe ser 0 en el intervalo [-1, 3J. Es fácil verificar que esto es cierto.
Prop iedades del logaritmo natural Debe acordarse de los logaritmos naturales por los resultados de nuestro teorema siguiente. Teorema A Si a y
b son nümeros positivos y
(i)
lnl=0;
(iii)
1n
= ma - mb;
-Txr
;.. r es cuaiquier nümero racional, ILL b; (ii)in ab = in a + in (iv) lnar=rina.
entonces
322
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Demostración (i) In 1 =
11 - dt = O. 1 t
1
(ii) Ya que para x > O, 1 1 D In ax = - . a = x ax x y
1 Dxlnx = -
x
se deduce, con base en el teorema acerca de dos funciones con la misma derivada (Teorema 4.7B), que In ax = In x + C Para evaluar C, sea x
= 1, obteniéndose In a = C. Por lo que, In ax = In x
+ In a
Por último, sea x = b. (iii) Reemplace a por l/b en (ii) para obtener
In
i+
In b
In
=
G.
b ) = In 1 = O
Así,
1
In - = -lnb b Aplicando (ii), nuevamente, obtenemos
In ~
=
In ( a •
i)
=
i
In a + In
=
In a - In b
(iv) Como, x > 0,
1
D (lnx r ) = - r . rx r x x
1
r
= -
X
y
1 r D (r In x) = r . - = X
x
X
se sigue, por el Teorema 4.8B, el cual se utilizó en (ii), que In x r = r In x Sea x = 1, lo cual da C =
+C
o. Por lo que, In x r = r In x
un resultado equivalente a (iv).• EJEMPLO 6
Encuentre dy/dx, si y = In ~(x - 1)/x 2 , x > lo
Solución Nuestra tarea es más sencilla, si primero utilizamos las propiedades del 10garitmo natural para simplificar y. y
=
In(~)1/3 2 x
=
lln(~) 2 3
x
= l [In (x - 1) - In x 2 J = l [In (x - 1) - 2 In x ] 3 3
7.1
SECCiÓN
Así,
dy dx =
1[1 x -
La función logaritmo natural
2] = 3x(2-x - x
3"
1 - ~
1)
323
•
Derivación logarítmica El trabajo de derivar expresiones que incluyan cocientes, productos o potencias con frecuencia se puede reducir de manera sustancial aplicando primero la función logaritmo y usando sus propiedades. Este método, denominado derivación logarítmica, se ilustra en el ejemplo 7. EJEMPLO 7
Derive y =
vT--=--72/3'
(x +
1)
Solución Primero tomamos logaritmo natural; después derivamos implícitamente con respecto a x (recuérdese la sección 3.8).
In y = 1 dY
Y dx
1
2 In (1
- x2 )
2
3" In (x
-
- 2x 2(1 - x
+ 1) -( x
2 2
)
+
3(x
1)
+ 2)
3(1 ~ x 2 )
Así,
dy dx
-y(x + 2) 3(1 - x
2
)
-(x +
vT--=--7 (x
-
3(x
+
+ 2)
1)2/3(1 - x 2 )
2)
•
El ejemplo 7 podría haberse hecho de manera directa sin haber tomado logaritmos, y le sugerimos que lo intente. Usted debe ser capaz de hacer que coincidan las dos respuestas.
La gráfica del logaritmo natural El dominio de In x consiste en el conjunto de todos los números reales positivos, de modo que la gráfica de y = In x está en el semiplano de la derecha. Además, para x > 0,
y
1
D 2x lnx = - x-2 < O
y
La primera fórmula nos dice que la función logaritmo natural es continua (¿por qué?) y crece cuando x aumenta; la segunda nos dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en todas partes. En los problemas 39 y 40, se le pide demostrar que lím lnx =
00
lím lnx =
-00
x~CXJ
y x~O+
-1
-2
Figura 2
Por último, In 1 = o. Estos hechos implican que la gráfica de y = In x se similar, en forma, a la que se muestra en la figura 2. Si su calculadora tiene un botón U!!:], los valores para el logaritmo natural los tiene al alcance de sus manos. Por ejemplo, In 2
~
0.6931
In 3
~
1.0986.
324
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Revisión de conceptos 1. La función In se define por In x = esta función es y su rango es
o
El dominio de
_
2. De la definición precedente, se sigue que D x In x para x > O.
=
_
3. Con mayor generalidad, para x J(l/x)dx = _ _
"* O, D x lnlxl
y así
=
4. Algunas propiedades comunes de In son ln(xy) = ln(x/y) = y ln(x r ) = _
_
Conjunto de problemas 7.1 1. Utilice las aproximaciones In 2 = 0.693 y In 3 = 1.099 junto con las propiedades establecidas en el Teorema A para calcular aproximaciones a cada uno de los logaritmos siguientes. Por ejemplo, In 6 = In(2 . 3) = In 2 + In 3 = 0.693 + 1.099 = 1.792. (a) In6 (d) In
v2
(b) Inlo5
(c) In81
(e) ln(~)
(f) In48
2. Utilice su calculadora para hacer los cálculos de problema 1 de manera directa.
En los problemas del 3 al 14, encuentre la derivada que se indica (véanse los ejemplos 1 y 2). En cada caso, suponga que x está restringida de modo que In está definido. 4. D In (3x 3 + 2x) 3. D x In (x 2 + 3x + 7T) x
dy
7. -
dx
si y
10. -dr. SIr dx
6. Dxln~
In x x 2 lnx 2
= ---
12. h'(x) si h(x)
=
(1)3
J_1_ J J 2x
17.
19. 21.
+1
6v + 9 dv 3v 2 + 9v 21;X dx
X_4_ {3 _ _
Jo
2x 5 +
En los problemas del 31 al 34, haga uso de la gráfica conocida de y = In x para esbozar las gráficas de las ecuaciones.
31. Y
=
lnlxl
32. Y = In
33. y
=
ln(~)
34. Y
x---+o
= In (x - 2)
x
=
2x2
2
In x - x en su dominio. 38. La velocidad de transmisión en un cable telegráfico se observa que es proporcional a x 2 In(1/x), donde x es la razón del radio del núcleo al grosor del aislador (O < x < 1). ¿Qué valor de x da la máxima velocidad de transmisión?
vx
39. Utilice el hecho de que In 4 > 1 para demostrar que In
16.
J_1_ J J 1 1 - 2x
18.
Z - 2 --
+8
2z
-1
22.
7T
mo se quiera seleccionando a x suficientemente grande. ¿Eso qué implica con respecto a lím + In x? 40. Utilice el hecho de que In x = -ln(l/x) y el problema 39 para demostrar que lím In x = -oo. x---+o+
dz
41. Resuelva para x: dx
¡
-1 dt 1/3 t X
=2
l
1
x
-1 dt. t
42. Demuestre.
x(ln X)2
t + 1 -----dt o 2t 2 + 4t + 3
En los problemas del 23 al 26, utilice el teorema A para escribir las expresiones como el logaritmo de una sola cantidad.
24.
4m > m para m > O. Concluya que In x puede hacerse tan grande cox---+o
dx
1
23. 2 In (x + 1) - In x
Vi
37. Encuentre todos los valores extremos locales de f(x)
+ ~)
20. dx
+ 2)2
~~ vx + 1
30.y=
· senx = O. por que'1'1m 36• E xp llque
In (cosx)
dx
+1
3 (x 2 + 3)2/ (3x
x
ln(x
=
~
(x - 4)\12x
35. Haga un dibujo de la gráfica de y = In cos x + In sec x en pero piense antes de comenzar.
En los problemas del 15 al 22, encuentre las integrales (véanse los ejemplos 4 y 5).
15.
•
( -7T /2, 7T /2),
+ ln-
13. 1'(81) sif(x) = In
~) sif(x)
= (x 2 + 3x) (x - 2) (x 2 + 1)
29y=
= 3 In x
11. g'(x) sig(x) = ln(x + ~)
14. 1'(
x + 11 27. y= ~3 ~ vx - 4 28. Y
W
5. D r In (x - 4?
En los problemas del 27 al 30, encuentre dy /dx por medio de la diferenciación logarítmica (véase el ejemplo 7).
! In (x
- 9)
25. In (x - 2) - In (x + 2) + 2 In x 26. In (x 2 - 9) - 2 In (x - 3) - In (x + 3)
+ ! In x
(a) Como l/t
< 1/0 para t > 1, In x < 2( Vi - 1) para x > 1.
(b) lím (In x) / x = O. x---+oo
43. Calcule lím [_1_ + _1_ + ... + ~] n + 1 n + 2 2n
n---+oo
SECCIÓN
]1
1
o
••
+ 1 + n/n ;;
y reconociendo lo último como una suma de Riemann. 44. Un teorema famoso (el Teorema de los números primos) dice que el número de primos menores que n para n grande es aproximadamente n /(ln n). ¿Alrededor de cuántos primos hay menores que
51. Sea f(x) = In (1.5 + sen x). (a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [O,J1T]. (b) Encuentre los puntos de inflexión que haya en [O, J1T].
~
W
(c) Evalúe
45. Encuentre y simplifique f'(1). ax - b) e a2 - b2 (a) f(x) = In ( - - b ,donde e = --b-' ax + 2a
fU cos tdt,dondeJL = 2
1
7T 3
(a)
/
(b)
tan x dx
52. Sea f(x) = cos(ln x). (a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.1,20]. (b) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.01,20].
ln(x 2 + x -1).
¡
ln(1.5 + senx)dx.
~
(c) Evalúe 46. Evalúe
1
37T
1,000,000?
(b) f(x) =
325
Funciones inversas y sus derivadas
50. Demuestre la desigualdad de Napier, la cual dice que, para O < x < y, 1 lny - In x 1 -<
escribiendo la expresión entre corchetes como
1 1 [ 1 + l/n + 1 + 2/n +
7.2
[20 cos(ln x) dx.
10.1
~
53. Dibuje las gráficas de f(x) en (0,1].
7T/3
secx cscx dx
7T/4
=
x ln(l/x) y g(x)
=
x 2 1n (l/x)
(a) Encuentre el área de la región entre estas curvas en (0,1].
2
47. La región acotada por y = (x + 4t1, Y = O, x = 1 Yx = 4, se hace girar alrededor del eje y, generando un sólido. Encuentre su volumen. 48. Encuentre la longitud de la curva y = x 2 /4 - In VX, 1 ::; x ::; 2. 49. Teniendo como base la gráfica de y = l/x, demuestre que
(b) Encuentre el valor máximo absoluto de If(x) - g(x)1 en (O, 1]. ~
g(x)
54. Siga las instrucciones del problema 53 para f(x) = x In x y =
VX In x.
Respuestas a la revisión de conceptos:
1.
IX (l/t)dt;
(O, (0);
1
1 2
1 3
- +- +
o
••
1 n
1 2
1 3
+ - < In n < 1 + - + - +
7.2 Funciones inversas y sus derivadas
O"
1 n-1
(-00,00) 2. l/x 3. l/x;ln Ixl +
+ --
e
4.1nx + lny;lnx -lny;rlnx
El objetivo para este capítulo es ampliar el número de funciones en nuestro repertorio. Una forma para construir nuevas funciones es tomar las antiguas e "invertirlas". Cuando hacemos esto para la función logaritmo natural, nos conducirá a la función exponencial (natural), el tema de la sección 7.3. En esta sección, estudiamos el problema general de invertir una función. He aquí la idea. Una función f toma un número x de su dominio D y le asigna un solo valor y de su rango R. Si tenemos suerte, como en el caso de las dos funciones graficadas en las figuras 1 y 2, podemos invertir a f; esto es, para cualquier y en R, podemos regresar sin ambigüedades y encontrar la x de la cual provino. Esta nueva función que toma a y y le asigna x se denota por f-1. Obsérvese que su dominio es R y su rango es D. Se denomina la inversa de f, o simplemente f inversa. Aquí hemos utilizado el superíndice -1 de una manera nueva. El símbolo f-1 no denota a l/f, como podría haber esperado. Nosotros, y todos los matemáticos, la usan para nombrar a la función inversa.
D
---#-_----L-----.L_~
x
y
f(x);;;;;;
x;;;;;;
f
D-----+----+----'---'------
l(V)
+
R
R
Figura 1
Figura 2
326 CAPITULO 7
Funciones trascendentales
En ocasiones, podemos dar una formula para f'. Si y = f(x) = 2x, entonces x f1(y) y (véase la figura 1). De manera análoga, si y = f(x) = x3 - 1, entonces x f'(y) = + 1 (véase la figura 2). En cada caso, solo resolvemos Ia ecuaciOn que determina f para x en términos de y. El resultado es x = f(y). Pero, la vida es más complicada que estos dos ejempios. No toda función puede invertirse de una manera carente de ambiguedades. Por ejemplo, considere y = f(x) x2. Para una y dada, existen dos x que le corresponden (véase La figura 3).
1(x)
V
No tiene función inversa
Figura 3
La función y = g(x) sen x es aün peor. Para cada y, existe una infinidad de x que le corresponde (véase La figura 4). Tales funciones no tienen inversas; a menos que restrinjamos de algOn modo el conjunto de valores de x, un tema que abordaremos más adelante.
Existencia de funciones inversas SerIa bueno tener un criterio sencillo para decidir si una funciOn f tiene inversa. Tal criterio es que la función sea uno a uno; esto es, x1 x2 implica f(x1) f(x2). Esto es equivalente a la condición geométrica de que toda recta horizontal corte a la gráfica de y = f(x) en a lo más un punto. Pero, en una situación dada este criterio puede ser muy difIcil de aplicar, ya que exige que tengamos un conocimiento completo de La gráfica. Un criterio ms prctico que cubre Ia mayorIa de los ejemplos que surgen en este texto es que una función sea estrictamente monótona. Por esto queremos decir que sea creciente o decreciente en su dominio. V
=
(x) =
rn x
No tiene función inversa
Figura 4
Teorema A Si f es estrictamente monOtona en su dominio, entonces f tiene una inversa. Aunque La conclusion del teorema parece intuitiva, La demostraciOn es un poco difIcil, asI que Ia omitimos.
Este es un resultado práctico, ya que tenemos una manera de decidir si una función diferenciable f es estrictamente monótona, para esto solo examinamos el signo
def'.
EJEMPLO
Demuestre que f(x)
1
x5 + 2x + 1 tiene una inversa.
Solución f'(x) 5x4 + 2 > 0 para toda x. AsI, f es creciente en toda La recta real, de modo que tiene una inversa allI. U No afirmamos que siempre podamos dar una formula para f'. En ci ejemplo que se acaba de considerar, esto requerirIa que fuésemos capaces de despejar a x de x5 + 2x + 1. Aunque podrIamos utilizar un SAC o una caiculadora gráfica para y resolver despejar a x en esta ecuaciOn, para un valor particular de y, no existe una
fOrmula simple que nos de a x en términos de y para una y arbitraria. Existe una manera de salvar La nociOn de inversa para funciones que no tiene inversas en sus dominios naturales. Simplemente restringimos el dominio a un conjunto en el que la gráfica sea creciente o decreciente. AsI, para y f(x) = x2, podemos restringir el dominio a x (x 0 también funcionarla). Para y = g(x) sen x, restringimos ci dominio al intervalo [R-/2, -/2]. Entonces, ambas funciones tienen inversas (véase La figura 5), e incluso podemos dar una fOrmula para la primera:f'(y)
V
x
Dominio restringido ax
Figura 5
Dominio restrincido a [_s, ir]
22
Funciones inversas y sus derivadas 327
SECCION 7.2
Si f tiene una inversa f1, entonces f' también tiene una inversa, a saber, f. AsI, podemos liamar a f y f un par de funciones inversas. Una función deshace (invierte) lo que la otra hizo; es decir,
f1(f(x)) = x
f(f'(y)) = y
y
Demuestre quef(x) = 2x + 6 tiene una inversa,encuentre una fórmula para f(y), y verifique los resultados del recuadro anterior. EJEMPLO 2
Máquinas para deshacer Podemos visualizar una función como una máquina que acepta una entrada y produce una saiida. Si la máquina se colocan en f y la máquina secuencia una junta a Ia otra, ellas deshacen lo que hizo la otra.
f
Solución Corno f es una función creciente, tiene una inversa. Para encontrar f1(y), resolvemos y = 2x + 6 para x, lo cual da x = (y - 6)/2 = f1(y). Por ñltimo, obsérvese que
f(2x +
f'(f(x)) y
(y-6 2
La gráfica de y =
f1(x)
Pf(x)
)
=2
(2x + 6) - 6 2
x
(y-6 2
Supóngase que f tiene una inversa. Entonces
f1(y)
x
f(y)
6) =
y
f(x)
En conseduencia, y = f(x) y x = f1(y) determinan ci mismo par (x, y) y por tanto tienen gráficas idénticas. Sin embargo, es convencional utilizar a x como la variable del do-
f 1
minio para funciones, de modo que ahora preguntaremos por la grafica de y = f'(x) (obsérvese que hemos intercambiado los papeles de x y y). Un poco de reflexión nos convence que intercambiar los papeles de x y y en una gráfica es reflejar la gráfica con respecto a la recta y = x. Por lo que la grafica de y = f'(x) es solo Ia reflexión de Ia grafica de y f(x) con respecto a Ia recta y = x (véase la figura 6). ÀY
(1,5) S
=x
x
x
(a.
Figura 6
Un tema relacionado es ci de encontrar una formula para f_i(x). Para hacerlo, primero encontramos f1(y) y luego reemplazamos y por x en la formula resultante. AsI, proponemos el siguiente proceso de tres pasos para determinar f1(x). Paso 1: Resuélvase la ecuaciOn y = f(x) para x en términos de y. Paso 2: Utilice f(y) para denominar a Ia expresión resultante en y. Paso 3: Reemplácese y por x para obtener la formula para f(x). Antes de intentar ci proceso de tres pasos en una funciOn particular f, usted podrIa pensar en que debemos verificar primero que f tenga una inversa. Sin embargo, si en realidad ilevamos a cabo ci primer paso y obtenemos una soia x para cada y, entonces f existe. (Obsérvese que cuando intentamos esto para y f(x) = x2 obtuvimos
328 CAPITULO 7
Funciones trascendentales
x = + \/, que de manera inmediata muestra que f1 no existe, a no ser que, por supuesto, hayamos restringido el dominio para eliminar uno de los dos signos + o -.) EJEMPLO 3
Solución
Encuentre una fOrmula para f1(x), si y = f(x) = x/(1 - x).
AquI estánlos tres pasos para este ejemplo. x
Paso 1:
1x
(1 - x)y y - xy
= x = x x + xy = y x(1 + y) = y
x= Paso 2:
f1(y)
Paso 3: fH(x)
y
1+y
1 +y X U
1 +x
Derivadas de funciones inversas
Concluimos esta sección investigando La relación entre La derivada de una función y La derivada de su inversa. Primero considere lo que Le sucede a una recta 1 cuando se refleja con respecto a La recta y = x. Como es claro en La mitad izquierda de La figura 7, 1 se refleja para dar La recta 12; además, sus pendientes respectivas m1 y m2, están relacionadas por m2 = 1/rn1, siempre que m1 0. Si sucede que 11 tiene una recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, d), entonces 12 es La recta tangente a La gráfica de f en el punto (d, c) (véase La mitad de La derecha de La figura 7). Liegamos a La conclusion de que
(f)'(d)
= m2
m2==m
1
nii
f(c)
= f'(c)
Figura 7
ALgunas veces los dibujos son engaflosos, de modo que solo podemos afirmar haber hecho plausible el siguiente resultado. Para una demostraciOn formal, véase cualquier texto de cálculo avanzado. Teorema B
Teorema de a funciOn inversa
Sea f derivable y estrictamente monótona en un intervalo I. Si f'(x) 0 en C'ierto x en I, entonces f es derivable en el punto correspondiente y = (x) en ci ian de j y
Funciones inversas y sus derivadas 329
SECCION 7.2
(f-1)'y) = f'(x) Con frecuencia, Ia conclusiOn del Teorema B se escribe de manera simbOlica como
EJEMPLO 4
Sea y
dx
1
dy
dy/dx
f(x) = x5 + 2x + 1, como en el ejemplo 1. Encuentre (f1)'(4).
Solución Aunque en este caso no podemos encontrar una formula para f1, notamos que y = 4 corresponde a x = 1, y como f'(x) = 5x4 + 2,
(f-')'(4)
1
f'(l)
1
5+2
7
.
Revision de conceptos Una funciOn es uno a uno si x1
x2 implica
Una función f, uno a uno, tiene una inversa yf( ) = y.
cef1(f(x)) =
3. Un criterio Util para que f sea uno a uno (y asI tenga una inversa) en un dominio, es que f sea estrictamente alII. Esto significa que f es o bien
f' que satisfa-
4. Sea y = f(x), en donde f tiene La inversa f1. La relaciOn que relaciona las derivadas de f y fH es
Conj unto deproblemas 7.2 En los problernas deli al 6, se muestra la gráfica de y = f(x). En da caso, decida si f tiene una inversa y si es asi, estime f1(2).
Ca-
3.
1.
2. 4.
Funciones trascendentales
330 CAPITULO 7 5.
4
32-
it
II
t
-I
-2
pies_
1
2
3
6 pies
4
Figura 8
6.
30. Una pelota se lanza verticaimente hacia arriba con velocidad v0. Encuentre la aitura maxima H de la pelota como una funciOn de v0. Luego encuentre la veiocidad v0 que se requiere para aicanzar una altura H. En los problemas 31 y 32, restrinja el dominio de fde modo que f tenga una inversa, pero mantenga su ran go tan grande como sea posible. Después encuentre f (x). Sugerencia: Primero haga una grOfica de f.
x
32.f(x)=x2-3x+1
31.f(x)=2x2+x-4
En cada uno de los problemas del 33 al 36, se muestra Ia grdfica de y = f(x). Haga un bosquejo de Ia grafica de y = f'(x) y estime (f-I )'(3). En los pro blemas del 7 at 14, demuestre que f tiene una in versa mostrando que es estrictamente monótona (véase el ejemplo 1).
7.f(x)=-x5-x3 f(0)
0c
= cosO,0
f(x)
8.f(x)=x7+x5
cot x =
COSX
senx
=
(z -
1)2, z
f(x) =
x2 +
x - 6,x
f(x)
=
f
=
/cos4tdt
f(z)
f(r)
0
<
32-
x< 2-
+ t2 + lOdt y
En los problemas del 15 at 28, encuentre una formula para f_I (x) y despues verifique que f'(f(x)) = x y f(f1(x)) = x (véanse los ejem-
plos2y3). 15.
f(x)
= x +
1
16.
f(x)
18.
f(x)
20.
f(x) =
I
I
17 f(x) =
+
1
19. f(x)
21. f(x) 23. f(x)
4x2, x
25. f(x)
:
27. f(x) =
(x -
x3
0
1)
+ 2
x +1
I
f(x) = 24. f(x) 22.
26. f(x) 28.
2
3
=
=
4
V
2-
f(x)
29. Encuentre ci volumen V de agua en ci depOsito cónico, de Ia figura 8, como una funciOn de la altura h. Después encuentre Ia aitura h como una función del volumen V.
,
-2 -
4
x
SECCIÓN
36.
7.3
La función exponencial natural
ax + b 44. Sea f(x) = - - - y suponga que be - ad ex + d (a) Encuentre la fórmula para f-I(X).
y
331
* O.
(b) ¿Por qué es necesaria la condición be - ad * O? (c)
¿Qué condición sobre a, b, e y d harán que f
=
f- I ?
45. Suponga que f es continua y estrictamente creciente en [O, 1] conf(O) = Oyf(l) = 1. Si falf(x)dX =
~,calcule
falf-I(Y)dY.
Sugerencia: Haga un dibujo.
46. Sea f continua y estrictamente creciente en [O, 00) con = OY f(x) ~ 00 cuando x ~ oo. Utilice un razonamiento geométrico para establecer la desigualdad de Young. Para a > O, b > O,
~
f(O)
En los problemas del37 al 40, encuentre (1-1 )'(2) utilizando el Teorema B (véase el ejemplo 4). Observe que por inspección usted puede determinar la x correspondiente a y = 2.
38. f (x) = x 5 + 5x - 4
37. f(x) = 3x 5 + x - 2 7r
ab::; fauf(X) dx + fahf-I(y) dy ¿Cuál es la condición para que se cumpla como igualdad?
47. Sean p > 1, q > 1 y l/p + l/q = 1. Demuestre que la inversa de f(x) = x p - I es f-I(y) = ye¡-I y utilice esto junto con el problema 46 para demostrar la desigualdad de Minkowski:
~
7r
39. f(x) = 2tanx'-2 < x < 2
40. f(x) = ~
aP
ab::; -
41. Suponga que f y g tienen inversas y que h(x) = (f o g) (x) = f(g(x)). Demuestre que h tiene una inversa dada por h~l = g-I o f-I. g(x)
42. Verifique el resultado del problema 41 para f(x) = 3x + 2.
43.Sif(x) = fax
VI
=
P
be¡
+ -, q
a > O, b > O
l/x,
+ cos 2 tdt,entoncesftieneunainver-
sao (¿Por qué?) Sea A = f( 7r /2) Y B = f(57r /6). Encuentre (a) (f-I)'(A) (c)
(b) (f-I)'(B) Y
(f-I)'(O)
7.3 La función exponencial natural
1. f (x 1) -=1=- f (x 2 ) 2. x; f-I(y) 3. monótona; creciente; decreciente 4. (1-1 )'(y) = l/f'(x)
Respuestas a la revisión de conceptos:
La gráfica de y = f(x) = In x se obtuvo al final de la sección 7.1 y se reproduce en la figura 1. La función logaritmo natural es derivable (y por tanto continua) y creciente en su dominio D = (O, (0); su rango es R = (-00, (0). De hecho, es precisamente la clase de función estudiada en la sección 7.2 y por tanto tiene una inversa In- 1 con dominio (-00,00) y rango (0,00). Esta función es tan importante que se le da un nombre especial y un símbolo especial.
y
Definición La inversa de In se denomina función exponencial (natural) y se denota por exp. Así, x
x = exp y
~
y = In x
--1
De inmediato se deduce, de esta definición, que: Figura 1
(i) exp(1n x) = x, (ii) ln(exp y) = y,
x>O para toda y
332
Funciones trascendentales
CAPiTULO 7
Como exp y in son funciones inversas, la grafica de y = exp x es solo la gráfica de y = in x reflejada con respecto a La recta y = x (véase La figura 2). Pero, ,por qué el nombre de función exponencial? Ya io vera. y=x
Empezamos por introducir un fluevo nOmero, el cual, ai igual que ir, es tan importante en matemáticas que tiene un sImbob especial, e. La Letra e es adecuada ya que Leonardo Euler fue el primero en reconocer La importancia de este nümero.
Propiedades de Ia funciOn exponencial y=expx v = In x
Definicion La letra e denota a! tinico nOmero real positivo tal que ln e = 1.
La figura 3 ilustra esta definición; el area bajo La grafica de y = 1/x entre x = 1 y e es 1.También es cierto que exp 1 = e ya que in e = 1. El nOmero e, al igual que ir, es irracional. Se conocen miles de cifras decimaLes en su desarrollo decimal; los primeros dIgitos son 2.718281828459045 e
Figure 2
x
Ahora hacemos una observación crucial, una que depende solo de hechos ya demostrados: La parte (i) anterior y el Teorema 7.1A. Si r es cualquier nümero racional,
e' = exp (ln e') = exp(r ln e) = exp r
Figura 3
Definiciones de e Los autores eligen diferentes formas para definir e.
e = 1n1 1 (nuestra definición) e = lIm(1 + h)h/h
/
Enfatizamos el resultado. Para r racional, exp r es idéntico a er. Lo que se introdujo de una manera más abstracta como La inversa del iogaritmo natural, que a su vez se definió como una integral, resuLtó ser una simple potencia. i,Pero que sucede si r es irracional? AquI le recordamos un hueco en todos los textos de algebra elemental. Nunca se definen potencias irracionaLes mediante algOn enfoque riguroso. i,Qué significa e'? Usted tendrá momentos difIciles para precisar ese nümero con base en algebra elemental. Pero se debe precisar si vamos a hablar de cosas como Dxev. Guiados por lo que aprendimos anteriormente, simplemente definimos ex para toda x (racional e irracional) como
= expx Obsérvese que (i) y (ii) a! inicio de esta secciOn ahora toma La forma siguiente:
e=nco\ lImI1++++ 1
1
1!
2!
e1
En nuestro texto, las definiciones 2 y 3 se vuelven teoremas. (Véase la sección 7.5, Teorema A y ia sección 10.7, ejemplo 3.)
X
= x,
!n(eY) = y
x>0 para toda y
También nótese que (i)' dice que Ln x es el exponente que necesita ponerie a e para obtener x. Esta es solo la definición usual del logaritmo en la base e, como se da en La mayorla de los libros de precáLculo. Ahora con facilidad podemos demostrar dos leyes familiares de Los exponentes. Teorema A
Sean a y b cualesquiera nümeros reales. Entonces eeb = e"
y e'Ve" =
Demostración Para demostrar la primera, escribimos eaeb = exp(Ln ee") = exp(ln ea + Ln eb)
exp(a + b) =
(por (i)) (teorema 7.1A) (por (ii)') (ya que exp x = ex).
EL segundo hecho se demuestra de manera anaLoga.
SECCiÓN
Un ave fénix
El número e aparece a lo largo de las matemáticas, pero su importancia radica seguramente más en su uso como la base para la función exponencial natural. Pero, ¿qué hace a esta función tan importante? "¿Quién no se ha sorprendido al aprender que la función y = ex, como un ave fénix que renace de sus cenizas, es su propia derivada?" Fram;ois Le Lionnais
7.3
La función exponencial natural
333
La derivada de eX Como exp y In son inversas, del Teorema 7.2B sabemos que exp x = eX es derivable. A fin de encontrar una fórmula para Dxe x, podríamos utilizar ese teorema. De manera alternativa, sea y = eX de modo que x = lny Ahora derivamos ambos lados con respecto a x. Utilizando la regla de la cadena, obtenemos
1 l=-Dy
Y
X
Con lo que
DxY = y = eX Hemos demostrado el hecho notable que eX es su propia derivada; esto es,
Así, y = eX es una solución de la ecuación diferencial y' = y. Si u = f(x) es derivable, entonces la regla de la cadena da
EJEMPLO 1 Encuentre Dxe vx .
Solución
Utilizando u
= \IX, obtenemos
D evx X
=
evx D
\IX X
=
e vx
1 12 / . _X-
2
e vx
•
=--
2 \IX
EJEMPLO 2
Solución
= ex2lnx( x 2. ~ + 2x lnx )
•
= xex2lnx( 1 + In x 2 )
o I
l'
EJEMPLO 3 Sea f(x) = xe Xf. Determine en donde f es creciente y decreciente y en donde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Además, identifique todos los valores extremos y puntos de inflexión. Después, haga un bosquejo de la gráfica de f.
+
Solución
-2
f"
o I -4
:::.!tl):::. I I I I I I
-4
+ I I I I I I I I I I I I I I I
2)
x2 xe / + eX / 2 = eX / 2 (x +f'(x) = -2-2
y
y
f"(x) =
.\/12 I I I I I I
-2
x -1
e;2 + (x ~ 2) e;2 = e 2( x; 4) X
/
Teniendo en mente que ex/2 > Opara toda x, vemos que f'(x) < Opara x < -2, f' (- 2) = OYf' (x) > Opara toda x > -2. Por lo que, f es decreciente en ( -00, - 2] Y creciente en [-2, (0), Ytiene su valor mínimo en x = -2, de f( -2) = -2/e ~ -0.7. También,f"(x) < Opara x < -4,f"(-4) = O,y f(x) > O para x > -4; de modo que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (-00, -4) Ycóncava hacia arriba en (-4,00), Y tiene un punto de inflexión en (-4, -4e-2 ) ~ (-4, -0.54). Como lím xe Xf = O, X ---? --00
la recta y = Oes una asíntota horizontal. Esta información apoya la gráfica de la figura 4. Figura 4
•
334
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
La fórmula de la derivada Dxe x = eX de forma automática produce la fórmula de la integral eX dx = eX + C, o, con u en lugar de x.
J
J
I EJEMPLO 4 Solución
Evalúe
=
eH
+
eI
J
e-4x dx.
Sea u = -4x, de modo que du = -4 dx. Entonces
EJEMPLO 5 Evalúe Solución
eH du
-
J
x 2 e- x' dx.
Sea u = - x 3 , de modo que du = - 3x2 dx. Entonces
=-
~
J
eH d u
= -j eH + e
-
= -1e-x3 + C
EJEMPLO 6 Solución
Evalúe,l,3 xe-
3x2
dx.
Sea u = -3x 2 , por lo que du = - 6x dx. Entonces
Así, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
e- 3 - e- 27 --6
~
0.0082978
El último resultado puede obtenerse de manera directa con una calculadora.
_
Aunque el símbolo eY sustituirá en gran parte del resto del libro a exp y, ésta aparece con frecuencia en la escritura científica. Por ejemplo, en estadística, muchas veces uno encuentra la función de densidad normal (véase el problema 48), que es
f(x) =
1
[(X -
~ ¡;:- exp -
cr V 27T
¡..t 2
2cr
)2]
SECCIÓN
7.3
La función exponencial natural
335
Revisión de conceptos 1. La función In es notada por In-lo por
en (0,00) y así tiene una inversa de-
3. Como eX
ln(e
_
2. El número e se define en términos de In por lor con dos decimales es _
; su va-
X
)
= __
= exp x = ln- l x, se sigue que eln x =
y
o
4. Dos hechos notables acerca de eX son que Dx(e X) y Jexdx = - - -
=
_
Conjunto de problemas 7.3 W
1. Utilice su calculadora para calcular cada una de las expresiones siguientes. Nota: En algunas calculadoras existe un botón~. En otras debe presionar los botones [IIDl] y Iln xl. (a) e3 (b) e2.1 (c) e V2 (d) eCOS (ln 4)
37. Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, alrededor del eje x, la región acotada por y = eX, y = O, x = OYx = In 3. 38. La región acotada por y = e -x", y = O, x = OY x = 1 se hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
W
2. Calcule lo siguiente y explique por qué sus respuestas no son sorprendentes.
(b) e(1n64)/2
(a) e3ln2
39. Encuentre el área de la región acotada por la curva y = e-X
y la recta que pasa por los puntos (O, 1) Y(1, l/e). x
En los problemas del 3 al] 0, simplifique la expresión dada. 3. e31nx
4. e-21nx
5. In e cosx
6. In e- 2x -
40.Demuestrequef(x) = - - - ln(l - e-x)esdecrecieneX - 1 te para x > O.
W
41. La fórmula de Stirling dice que para n grande, podemos aproximar n! = 1· 2 . 3 ... n por
3
8. ex - Inx 9. e1n 3 +
2 In x
En los problemas del 11 a122, encuentre DxY (véanse los ejemplos] y 2).
(a) Calcule lO! de manera exacta luego de forma aproximada por medio de la fórmula anterior.
12. Y = e2x"-x
(b) Aproxime 601.
13. y = e~+2
14. y
W
15. y = e2lnx
16. Y = ex/ lnx
11. Y
=
eX + 2
e-l/x"
=
17. y
=
x 3 ex
18. y = ex'lnx
19. y
=
~ + eW
20. y = el/X" + l/ex"
21. eXY + xy
=
2 Sugerencia: Utilice derivación implícita.
22. eX + y = x + y 23. Utilice su conocimiento de la gráfica de y = eX para hacer un dibujo de las gráficas de (a) y = -eX y (b) Y = e-X. 24. Explique por qué a < b => e-a> e-b.
En los problemas del 25 al 28, analice y bosqueje la gráfica de la función que se da, como en el ejemplo 3. 25. f(x)
=
xe- X
27. f(x) = e-(x-2)"
26. f (x)
En los problemas del29 al 36, encuentre cada integral.
J
30.
31.
¡(X + 3 )e x"+6x dx
32.
3x 1 e + dx
¡e-l/X --dx 33. x2
34.
35. lle2x+3 dx
36.
°
J J J
x2 xe - 3 dx eXd x -eX - 1
43. Encuentre la longitud de la curva dada paramétricamente por medio de x = el sen t, Y = el cos t, O :s; t :s; 1T.
W
44. Si clientes llegan a un contador de registro a una tasa promedio de k por minuto, entonces (véase libros sobre probabilidad) la probabilidad de que exactamente n clientes lleguen en un periodo de x minutos está dado por la fórmula ~1(X) =
1X
2 3x e2 / dx -
(kx Y' e- kx ,
n.
,n
=
0,1,2, ...
Encuentre la probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes durante un periodo de 30 minutos, si la tasa promedio para este contador de registro es de 1 cliente cada 4 minutos. 45. Sea f(x) = (a) lím~ f (x) y lím x-+o
x-+oo
lnx 2 para x en (0,00). Encuentre: 1 + (In x)
f (x );
(b) los valores máximo y mínimo de f(x);
x
ex+e dx
1
U tilice este resultado para aproximar eO. 3 y compare su resultado con lo que obtiene calculándolo directamente. (Las computadoras y calculadoras utilizan sumas como ésta para aproximar eX.)
eX + x
=
28. f(x) = eX - e-X
29.
42. Más adelante demostraremos que (sección 11.1) que para x pequeña
(e) F'( ve) si F(x)
y
=
~
l"'f(f) di.
46. Sea R la región acotada por x = O, Y eX que pasa por el origen. Encuentre:
=
eX recta tangente a
336
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
(a) el área de R; (b) el volumen del sólido que se obtiene cuando R se hace girar alrededor del eje x. e 1/ n + e2/ n + ... + en / n 47. Evalúe lím - - - - - - - n-HXJ n
51. Encuentre el área de la región entre las gráficas de y f(x) = exp( - x 2 ) y yl/(x) en [- 3,3]. ~
f (x) =
1
[ ( x - J.L
~ ¡;:;- exp -
2
a- V 271'
52. Dibuje las gráficas de y = xPe- X para diferentes valores de
p utilizando los mismos ejes. Haga conjeturas acerca de: (a) lím x P e~x,
48. La función de densidad (de probabilidades) normal con media J.L y desviación estándar a- se define como
Y=
X-HXJ
(b) la abscisa x del punto máximo paraf(x)
)2]
Demuestre que:
54. Dibuje las gráficas defy f',dondef(x) = J.L
x~o
~a)
1:
2
exp (-1/ x ) dx
[81T
Jo e
(b)
50. Evalúe. lím(l + x )1/x
-O.lx
(b) lím(l + x~o
x~o
7.4 Funciones exponencial y logarítmica generales
xPe- X • e~X)
=
para x grandes
1/(1 + e1/ X ).Des-
pués determine cada uno de los siguientes: (a) lím_f(x) (b) lím_f(x)
± a-.
[§g Utilice una calculadora gráfica o un SAC para resolver los problemas del 49 al 54. 49. Evalúe.
(a)
=
53. Describa el comportamiento de In(x 2 + negativas. Para x grandes positivas.
2a-
(a) su gráfica es simétrica con respecto a la recta x = J.L; (b) tiene un máximo en x = J.L Y puntos de inflexión en x
=
(e)
x~o
lím f(x)
(d) límf'(x)
x~±oo
x~o
(e) Los valores máximo y mínimo de f (si existen).
senx dx
xt
Respuestas a la revisión de conceptos:
1 x /
2. In e
=
1; 2.72
3. x; x
4. eX; eX +
1. creciente; exp
e
En la sección anterior, definimos e \12, e71" y otras potencias irracionales de e. Pero, ¿qué hay acerca de 2\12, 1T7T", 1T e , ~, y potencias irracionales de otros números? De hecho, queremos darle significado a aX para a > O y x cualquier número real. Ahora, si r = p/q es un número racional, entonces a r = Pero, también sabemos que
(vay.
ar = exp(lna r) = exp(r lna) = erina Esto sugiere la definición de la función exponencial para la base a.
¿Qué significa 271"?
En álgebra, 2n se define primero para enteros positivos n. Así, 21 = 2 Y 24 = 2 . 2 . 2 • 2. Después, definimos 2" para cero,
Definición Para a
> O y cualquier número real x,
2° = 1
Y para enteros negativos: 2- n = 1/2"
si
n > O
Esto significa que 2- 3 = 1/23 = 1/8. Por último, usamos las funciones raíces para definir 2r para números racionales r. Así, 27/ 3 = Y.fi! El cálculo se requiere para ampliar la definición de 2x al conjunto de los números reales. Una manera de definir 271" sería decir que es el límite de la sucesión
Por supuesto, esta definición será apropiada sólo si las propiedades usuales de los exponentes son válidas para ella, un tema que en breve abordaremos. Para apuntalar nuestra confianza en la definición, la utilizamos para calcular 32 (con un poco de ayuda de nuestra calculadora):
32 = e 21n3
~
e2 (1.ü986123)
~
9.000000
Tu calculadora puede dar un resultado que difiera un poco de 9. Las calculadoras utilizan aproximaciones para eX y In x, y redondean a un número fijo de decimales (por lo común alrededor de 8). Ahora podemos llenar un pequeño hueco en las propiedades del logaritmo natural que se dejó desde la sección 7.1.
Ir-¡-n-(a-X)-=-ln-(-ex-In-a-)-=-x-I-n-a
i
23,23.1,23.14,23.141, ...
La definición que usamos es 271" = e71"ln2
AsÍ, la propiedad (iv) del Teorema 7.1A se cumple para todo real x, no sólo para x racional, como se afirmó allí. Necesitaremos este hecho en la demostración del teorema A siguiente.
Esta definición implica al cálculo, ya que nuestra definición de logaritmo natural incluye la integral definida.
Propiedades de
aX
El Teorema A resume las propiedades conocidas de los exponentes, todas las cuales pueden demostrarse ahora de una manera completamente rigurosa. El Teorema B nos muestra cómo derivar e integrar aX •
SECCION 7.4
'èorema A
I(JJl
I-' rop? -
a > 0, b > 0 y x y y
C
es
Funciones exponencial y logarItmica generales 337
d ' los 2xponentes
n'es n nUDeros reales, enti.
(ii) a'- =
a'a = a'; jjp (x)Y = a'
ax
(iv) tab) X -
-x
(r Demostración
Contentémonos con demostrar (ii) y (iii), dejándole las demás a usted.
= eln(Y) = emnax_h
= e_11a =
=
(ax)Y = evla = Teorerria E 1
= a-
axv
.Jn xpo. xi,. DX - LU ii xaa = 1- ax+C Taxicx :(
-P;4S -'-a ü
'U.nc J
a1
IL [flU ).
J Demostración
Dxax = Dx(e) - exln1aD(x in a) = a-'1na La formula para ia integral se deduce de inmediato a partir de la fOrmula para ia den-
vada. Encuentre D(3).
EJEMPLO 1
So!ución
Utilizamos la regla de la cadena con=u
D(3) = 31n3 EJEM PLO 2
Encuentre dy/dx, si y
31n3
DX\/
U
2\/
(x4 + 2) +
5x4+2
Solución
dy = 5(x + 2) 4x3 + 5x4+2 in 5 4x3 dx = 4x3[5(x4 + 2) + 5X4+2 1115]
Por qué otras bases? En realidad, L,son necesarias otras bases distintas de e? No. Las formulas ax = y
EJEMPLO 3
logax =
in a
nos permite convertir cualquier problema que impiica funciones exponenciales o funciones logarItmicas con base a a funciones correspondientes con base e. Esto sustenta nuestra terminoiogIa: funciones exponencial natural y logaritmo natural. También explica el uso universal de estas funciones en trabajo avanzado.
.
= 20x3[(x4 + 2) + x+i inS]
Solución
Encuentre
f 23x
dx.
Sea u = x3, por lo que du = 3x2 dx. Entonces
f23x dx
= f23(3x dx) fu =
12U
31n2
+c=
2x3
31n2
+c
du
.
La función I09a Por Oltimo, estarnos preparados para hacer una conexión con los logaritmos que usted estudiO en algebra. Observemos que si 0 < a < 1, entonces f(x) = es una función decreciente; si a > 1, es una función creciente, como puede verificarlo con-
338
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
siderando la derivada. En cualquier caso, f tiene una inversa. A esta inversa le llamamos la función logaritmo de base Q. Esto es equivalente a la definición siguiente.
Definición Sea a un número positivo distinto de 1. Entonces y
= loga x
-#
x = aY
Históricamente, la base más comúnmente utilizada fue la base 10, y los logaritmos resultantes fueron denominados logaritmos comunes. Pero en cálculo y todas las matemáticas avanzadas, la base importante es e. Nótese que loge, al ser la inversa de f(x) = eX, sólo es otro símbolo para In; esto es, logex = lnx
Hemos cerrado el círculo (véase la figura 1). La función In, que introdujimos en la sección 7.1, resultó ser un logaritmo ordinario de una base especial, e. Ahora obsérvese que si y = loga x de modo que x = aY, entonces
Figura 1
lnx
=
ylna
de lo cual concluimos que lnx loga x = - lna
De esto, se sigue que loga satisface las propiedades usuales asociadas con los logaritmos (véase el Teorema 7.1A). También,
1 D x loga x = - I x na EJEMPLO 4 Solución
Si Y = IOglO(X 4
dx
Y=X'
~
dy dx.
Sea u = x 4 + 13 y aplique la regla de la cadena. dy
y
+ 13), encuentre
1 4x 3 - - - - - - . 4x 3 = - - - - - 4 4 (x + 13)ln 10 (x + 13)ln 10
Las funciones aX , xa y XX
Iniciamos comparando las tres gráficas de la figura 2. Con mayor generalidad, sea a una constante. No confunda f(x) = a X, una función exponencial, con g( x) = x a, una función potencia. Y no confunda sus derivadas. Acabamos de aprender que
36
30
I Dia x ) =
24
aXlna
I
¿Qué hay acerca de DAx a )? Para a racional, demostramos, en el capítulo 3, la regla de la potencia, la cual dice que
18
12
Ahora afirmamos que esto es cierto aun si a es irracional. Para ver esto, escríbase
4
Figura 2
•
x
a = x a . - = ax a- 1 x
Funciones exponencial y logarítmica generales
7.4
SECCIÓN
339
La regla correspondiente para integrales también se cumple, aun si a es irracional.
xa+l xadx = - - + C a +1 '
J
a
-1
=1=
Por último, consideramos f(x) = xx, una variable a una potencia variable. Existe una fórmula para DAx X ), pero no le recomendamos que la memorice. En lugar de eso, le sugerimos que aprenda dos métodos para encontrarla, como se ilustra a continuación.
EJEMPLO 5 Si Y = xx, x > 0, encuentre DxY por medio de dos métodos diferentes.
Solución Método 1 Podemos escribir Así, por la regla de la cadena,
~ + Inx)
DxY = exlnx DAxlnx) = xx( X· Método 2
= xX(1 + Inx)
Recuerde la técnica de la diferenciación logarítmica de la sección 7.1.
lny = xlnx
1 1 - D Y = x· - + lnx y
x
x
•
DxY = y(l + lnx) = xX(l + lnx) EJEMPLO 6
Si Y
= (x 2 + 1)1T +
7T
senx
,
encuentre dy/dx.
Solución
-dy = dx
EJEMPLO 7
Solución
Si Y
(2 +
7T X
= (x 2 +
1
)1T-l (2x) +
7T
sen
•
x In 7T • cos x
dy
l)senx,
encuentre dx'
Utilizamos la diferenciación logarítmica. In y = (sen x) In (x 2
+ 1)
1 dy 2x --d = (senx) - 2 - - + (cosx)ln(x 2 + 1) y x x + 1
dY (2 -d = x x
De aX a [f(X)]9(X)
Obsérvese la creciente complejidad de las funciones que hemos considerado. La progresión aX a x a a XX es una cadena. Una cadena más complicada es af(x) a [¡(x)]a a [¡(x) ]g(x). Ahora sabemos cómo encontrar las derivadas de todas estas funciones. Determinar la derivada de la última de éstas se realiza mejor por medio de diferenciación logarítmica, una técnica introducida en la sección 7.1 e ilustrada en los ejemplos 5 y 7.
+ 1)sen x[ 2x2 sen x + x + 1
(COS
(2)-
X) In x + 1
1 51/x
EJEMPLO 8
Solución
Evalúe
Sea u
1
-2 1/2 X
dx.
= l/x, por lo que du = (-1/x 2 ) dx. Entonces
J5~~X
dx
=-
J
51/ X (
5U In 5
-
~2 dx )
=-
51/ x In 5
J
=--+c=--+c
Su du
_
•
340
7
CAPíTULO
Funciones trascendentales
Por tanto, pora el segundo teorema fundamental del cálculo,
1 s1/x
1 1/2
-dx= 2
[SI/X]1
x
-In S
1/2
1 =_(S2_S) In S
20
•
= InS ~ 12.43
Revisión de conceptos 1. En términos de e y In, 7T V3 = _ lidad, aX =
o
Con mayor genera-
x=
3. loga x puede expresarse en términos de In por medio de loga _
4. La derivada de la función potencia f(x) = x a es f'(x) = _ _ _; la derivada de la función exponencial g(x) = aX es
2. Ln x
=
loga x, donde a =
g'(X)
_
=
_
Conjunto de problemas 7.4 En los problemas del 1 al 8, despeje a x. Sugerencia: logab
=
2. logs x = 2
3. 10g4x = ~
4. 10gx64 = 4
~)
=1
6.
10g4(2~)
=
b.
m 34. Sea f(x) =
=
3
M
(ln x)/(ln a) para calcular cada uno de los logaritmos en los problemas del 9 al 12.
10. 10g7(0.11) 12. 10gIO (8.57)?
m En los problemas del 13 alIó, utilice logaritmos naturales para resolver cada una de las ecuaciones exponenciales. Sugerencia: Para resolver y = 11, tome In de ambos lados, obteniendo x In 3 = In 11; entonces x = (In 11) /(ln 3) = 2.1827. 14. 5x
=
Encuentre la derivada o integral que se indica (véanse los ejemplos del 18. Di3zx2_3X)
19. D x 10g3 eX
20. D x 10gIO(X3 +
21. D z [3Zln(z + 5)]
22. De Vlog lO (3
x2 x2 dx
24.
9)
eLe
)
J
10sx - 1 dx
1
\IX dx
En los problemas del 27 al 32, encuentre dy/dx. Observación: Debe distinguir entre los problemas del tipo aX, x ay XX como en los ejemplos deiS al 7. 2 27. y = 10(x ) + (XZ)lO 28. y = sen z x + 2senx
Y
29. y = x + 1 + (7T + 1Y 30. Y = 2V ) + (2 e 31. y = (X Z + 1 )lnx 32. y = (in X2)ZX+3 33. If f(x) = x senx , encuentre 1'(1) 7T
¿Cuál es mayor,f(e) o g(e)?
=
0.67 10glO(0.37 E) + 1.46
donde E es la energía del terremoto en kilowat-hora. Encuentre la energía de un terremoto de magnitud 7. De magnitud 8.
m 38. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor de Alejandro Graham Bell (1847-1922), inventor del teléfono. Si la variación en la presión es de P libras por pulgada cuadrada, entonces la intensidad L en decibeles es
L
=
20 10glO(121.3P)
Encuentre la variación en la presión causada por una banda de rack a 115 decibeles. En la escala igualmente templada a la cual se han afinado los instrumentos de teclas desde la época de 1. S. Bach (1685-1750), las1!"ecuencias de notas sucesivas C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,A,A#, B, (Do, Do sostenido, Re, Re sostenido, Mi, Fa, Fa sostenido, Sol, Sol sostenido, La, La sostenido, Si,l?o, respectivamente) forman una progresión geométrica, en la que tiene el doble de la frecuencia de C. ¿Cuál es la razón r entre las frecuencia~sucesivas? Si la frecuencia de A es 440, encuentre la frecuencia de C.
e
40. Demuestre que 10gz3 es irracional. Sugerencia: Utilice la demostración por contradicción. [§g 41. Usted sospecha que los datos xy están en una curva exponencial y = AbX o bien en una curva potencia y = Cx d . Para verificar, grafique In y contra x en una gráfica y In y contra In x en otra. (Las calcu-
45vX
25.
•
e
17. D x(6zx )
J 1
7T
W 39.
13
1 al 4).
23.
x
m 37. La magnitud M de un terremoto en la escala Richter es
m Utilice logax =
13. 2X = 17 15. 5zs - 3 = 4
=
36. Haga un dibujo de las gráficas de 10gtl3x y logzx, utilizando los mismos ejes de coordenadas.
8. logs (x + 3) - logs x = 1
11. logu (8.12)1/S
Xy g(x)
35. ¿Cómo están relacionados 10gl/ZX Y 10g2x?
7. logz(x + 3) - logzx = 2
9. 10gs 12
7T
¿f'(e) o g'(e)?
1. logz 8 = x
5. 2 10g9 (
c ~ aC
ladoras gráficas y los SAC tienen opciones para hacer que el eje vertical o ambos ejes, vertical y horizontal tengan escala logarítmica.) Explique cómo le pueden ayudar estas gráficas a llegar a una conclusión. 42. (Un pasatiempo) Dado el problema de encontrar y', si y
=
x Y , el estudiante A hizo lo siguiente:
ERROR 1
y = XX y' = x . xx-l. 1 = XX
aplicación errónea de ) ( la Regla de la Potencia
SECCIÓN
Crecimiento y decaimiento exponenciales
(aPlicaCión errónea ) de la Regla de la Función Exponencial
y = XX y' = XX . In X • 1 = XX In x
(u : 1
r
<
e< (u : 1
(c)
ERROR 1 + ERROR 2 = CORRECTO Demuestre que el mismo procedimiento da una respuesta correcta para y = f(xF(x).
De la parte (c) concluya que lím
Y
43. Convénzase usted mismo que f (x) = (xx y g ( x) = x(XX) no son la misma función. Después encuentre f'(x) y g'(x). Observación: Cuando los matemáticos escriben xxx, ellos quieren decir x(XX). X . f() a .. a > 0, a "* 1. Demues44. ConsIdere x =-1 para a fIJa, X a + 1 tre que f tiene una inversa y encuentre una fórmula para f-l(X). 45. Para a > 1 fija, sea f(x) = x a jaX en [0, (0). Demuestre:
° (estudie
(b) f(x) se maximiza en Xo
=
lnf(x)); ajln a;
u
u
u->oo
(1 + !)U = U
e.
[§Q 47. Encuentre x-> límo+ xx. También encuentre las coordenadas del
punto mínimo para f(x)
=
XX en [0,4].
[§Q 48. Dibuje las gráficas de y = x 3 Y y = 3x utilizando los mismos
ejes y encuentre todos sus puntos de intersección. [47T ~ 49. Evalúe Jo
x
sen X
dx.
50. Con referencia al problema 43. Dibuje las gráficas de f y g utilizando los mismos ejes. Después dibuje las gráficas de f' y g' utilizando los mismo ejes.
Respuestas a la revisión de conceptos: =
I
~
(c) x a = a X tiene dos posibles soluciones si a *" e y sólo una solución si a = e; (d)1T e < e 7T . 46. Seafu(x) = xUe- Xpara x ::::: O. Demuestre que para cualquier u > 0, fija: (a) f uC x) alcanza su máximo en Xo
r+
_u_ e< (u + l)U < e. +1
La suma XX + XX In x es correcta (véase el ejemplo 5), de modo que
(a) x->oo lím f(x) =
341
(b) fu(u) > fu(u + 1) y fu+l(U + 1) > fu+I(U) implican
El estudiante B esto: ERRüR2
7.5
u;
7.5 Crecimiento y decaimiento exponencia les
1•
, exlna 2 • e
eV3ln7T.
3. (In x) j (In a) 4. ax a - 1; aX In a
Al principio de 1998, la población mundial era de alrededor de 5900 millones. Se dice que para el año 2020, alcanzará 7900 millones. ¿Cómo se hacen tales predicciones? Para tratar el problema de forma matemática, denótese con y = Jet) al tamaño de la población en el instante t, en donde t es el número de años a partir de 1998. Realmente Jet) es un entero, y su gráfica "da saltos" cuando alguien nace o alguien muere. Sin embargo, para una población grande, estos saltos son tan relativamente pequeños con respecto a la población total que no nos equivocaremos mucho si suponemos que j es una función derivable común. Parece razonable suponer que el incremento ~y de la población (nacimientos menos decesos) durante un breve periodo ~t es proporcional al tamaño de la población al inicio del periodo y al tamaño de ese periodo. Así, ~y = ky~t, o ~y
-=ky dt En su forma de límite, esto da la ecuación diferencial
I dt = ky I Si k > O, la población está creciendo; si k < 0, está disminuyendo. Para la población mundial, la historia indica que k es alrededor de 0.0132 (suponiendo que t se mide en años), aunque algunas agencias reportan una cifra diferente.
Resolución de la ecuación diferencial Iniciamos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales en la sección 5.2, y ahora podría remitirse a esa sección. Queremos resolver dy /dt = ky sujeta a la condición y = Yo cuando t = o. Separando variables e integrando, obtenemos dy = k dt
Y
Jd; = Jkd/ lny = kt
+e
342
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales La condición y = Yo para t = Oda
e=
In Yo' Así,
lny - lnyo = kt o In L = kt
Yo
Al cambiar a la forma exponencial se obtiene
_Y = e kt Yo o, finalmente. [ y
~
yoek¡
I
Cuando k > 0, este tipo de crecimiento se denomina crecimiento exponencial, y cuando k < 0, se llama decaimiento exponencial. Regresando al problema de la población mundial, elegimos para medir el tiempo t en años después del 1 de enero de 1998, y Y en miles de millones de personas. Así, Yo = 5.9 Ycomo k = 0.0132,
Y = 5. geO.0132t Para el año 2020, cuando t = 22, podemos pronosticar que Y será alrededor de Y
=
5.geo.0 132 (22)
;::::j
7.9 mil millones
EJEMPLO 1 Bajo las suposiciones anteriores, ¿cuánto tiempo tardará la población mundial en duplicarse?
Solución
La pregunta es equivalente a preguntar" ¿Dentro de cuántos años, a partir de 1998, la población alcanzará 11.8 mil millones?" Necesitamos resolver 11.8 = 2 =
5.geo.0132t eO.0132t
Para t. Tomando logaritmos de ambos lados se obtiene In 2 = O.0132t t
In2
= --0.0132
;::::j
53 años
•
Si la población mundial se duplicará en los primeros 53 años a partir de 1998, se duplicará en cualquier periodo de 53 años; así, por ejemplo, se cuadriplicará en 106 años. Con mayor generalidad, si una cantidad con crecimiento exponencial se duplica de Yo a 2yo en un intervalo de longitud T, se duplicará en cualquier intervalo de longitud T, ya que
y(t + T) y(t)
T yoé(t+T) = yoé = 2yo = 2 yoé t Yo Yo
denominamos al número T el tiempo de duplicación.
EJEMPLO 2 El número de bacterias en un cultivo que crece con rapidez se estimó que era de 10,000 al mediodía y 40,000 después de 2 horas. Haga una predicción de cuántas bacterias habrá a las 5 p.m.
Solución Suponemos que la ecuación diferencial dy Idt = ky es aplicable, de modo que Y = yoé t • Ahora tenemos dos condiciones (Yo = 10,000 YY = 40,000 en t = 2), de las cuales podemos concluir que 40,000 = 10,000é(2)
SECCIÓN
Crecimiento y decaimiento exponenciales
7.5
343
o
y
4
= e2k
Tomando logaritmos se obtiene
In 4 = 2k o
k = !ln4 = lnV4 = ln2
y,,{l--
_
Así, y = 10,000e(ln 2)t
y, en
t
= 5, esto da y = 10,000eo. 693 (5)
Figura 1
LI-----------
y
Yo
dy
_
-
= ky(L - y)
Obsérvese que para y pequeña, dy /dt ~ kLy, que sugiere un crecimiento del tipo exponencial. Pero cuando y se acerca a L, el crecimiento se reduce y dy /dt se hace cada vez más pequeña, produciendo una curva de crecimiento parecida al de la figura 2. Este modelo se explora en los problemas 24,25 Y35 de esta sección y de nueva cuenta en el proyecto de tecnología 8.2.
Decaimiento radiactivo No todo crece; algunas cosas disminuyen con el tiempo. Por ejemplo, los elementos radiactivos decaen, y lo hacen a una tasa proporcional a la cantidad presente. Así, su cambio también satisface la ecuación diferencial dy
-=
dt
Figura 3
•
El modelo exponencial y = yoé , k > O, para el crecimiento poblacional es erróneo ya que, para el futuro, proyecta crecimiento cada vez más rápido de manera indefinida (véase la figura 1). En la mayoría de los casos (incluyendo el de la población mundial), la cantidad limitada de espacio y recursos eventualmente forzará un descenso en la tasa de crecimiento. Esto sugiere otro modelo para crecimiento poblacional, denominado modelo logístico, en el cual suponemos que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población y y a la diferencia L - y, donde L es la población máxima que puede sostenerse con los recursos. Esto conduce a la ecuación diferencial dt
Figura 2
320,000.
t
y
Yo{ '---
~
ky
pero ahora con k negativa. Aún es cierto que y = yoé t es la solución de esta ecuación. Una gráfica representativa aparece en la figura 3. EJEMPLO 3 El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y decae a una tasa proporcional a la cantidad presente. Su vida media es 5730 años; esto es, tarda 5730 años para que una cantidad dada de carbono 14 decaiga a un medio de su cantidad original. Si originalmente estaban presentes 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 2000 años?
Solución
La vida media de 5730 nos permite determinar k, ya que implica que
!
= 1e k (5730)
2
o, después de tomar logaritmos, -ln2 = 5730k -ln2 k = -5730
~
-0.000121
Así, y = 10e-O.000121t.
344 Copiiuto 7
Funciones trascendentales
En t = 2000, esto da
y = 10e°°°°'212000 7.85 gramos. En el problema 13, demostramos cómo el ejemplo 3 puede utilizarse para determinar a edad de fOsiles y otros seres, aiguna vez, vivientes.
Interés corn puesto Si colocamos 100 dóiares en el banco at 12% de interés cornpuesto mensualmente, al final del primer mes, su valor será 100 dolares(1.01); a! final de 2 meses, 100 dólares(1.01)2 y al final de 12 meses, o un año, de 100 dóiares(1.01)12. Con mayor generalidad, si ponemos A0 dóiares en ci banco al lOOr por ciento cornpuesto n veces por año, su valor será de A(t) dóiares al final de t aflos, donde
r''
/ \
A(t) = A0 1 +
nJ
EJEMPLO 4 Supóngase que Catherine pone 500 dólares en el banco al 4% de interéS, compuesto diariamente. ,Cuánto tendrá al final de 3 aflos?
Solución AquI, r = 0.04 y n = 365, de modo que
/
004\365(3)
A = 5001
$563.74
+ 365)
U
Ahora consideremos lo que sucede cuando ci interés se compone continuamente, esto es, cuando n, el nUmero de periodos de composición en un aflo, tiende a infinito. Entonces afirmamos que / / r finn
A(t) = iIm A01 a -*_h*0 = Ao[lIrn
=A0iIm[
+
\
1+-n/I
]
(1 + h)L]Tt = A0e't
AquI se reemplazO r/n por h y se observó que n oc, corresponde a h *0. Pero ci gran salto es reconocer que la expresión entre corchetes es ci némero e. Este resuitado es su-
ficientemente importante para liamarle teorema. Teorema A
lIm(1 + h)V" = e h*0
Otra mirada a Ia continuidad Recuérdese que decir que una función es continua en x0 significa que
Demostración Primero recuérdese que si f(x) = ln x entonces f'(x) = 1/x y, en particular, f'(l) 1. Entonces, con base en la definición de la derivada y las propiedades de in, obtenemos 1
= f'(l) =
tim f(x) = f(x0)
urn h-0
f(1+h)f(1) h
= lIrn
ln(1+h)inl
h*0
h
X-X()
= 1Irnln(1 + h) = iIrnln(1 + h*0 h*0
Esto es
lImf(x) =fçtcmx) AsI, la continuidad para una función significa que podemos meter un ilmite dentro de la función. Esto es to que hicimos para la función
f(x) = exp(x) casi at final de la
AsI, iIm ln (1 + h ) "
1, un resuitado que utilizaremos en un momento. Ahora, g(x) =
e-' = exp x es una función continua, y por tanto se sigue que podemos pasar ci tImite adentro de la funciOn exponencial en el argumento siguiente:
iIm(1 +
h*0
= lImexp[ln(1 + h*0
= expi =
demostración del Teorma A.
h)h/h]
= exp[lIrnln(1 + [h*0
e
Para otra demostraciOn dci Teorema A, véase el probiema 46 de la secciOn 7.4.
Supongase que ci banco del ejempio 4 compone intereses de manera continua. ,Entonces, cuánto tendrá Catherine al final de 3 aflos? EJEMPLO 5
SECCIÓN
7.5
Crecimiento y decaimiento exponenciales
345
Solución A(t) = Aoe rt = 500e(O,04)(3)
~
563.75 dólares.
Obsérvese que, aunque algunos bancos tratasen de sacar mucho provecho al ofrecer interés compuesto continuamente, la diferencia que se obtiene entre interés continuo e interés compuesto diariamente (el cual ofrecen muchos bancos) es minúsculo. • He aquí otro enfoque al problema de interés compuesto continuamente. Sea A el valor en el instante t de A o dólares invertidos a la tasa de interés r. Decir que el interés se compone de manera continua es decir que la tasa instantánea de cambio de A con respecto al tiempo es rA; es decir,
dA -=rA dt Esta ecuación diferencial se resolvió al inicio de la sección; su solución es A
= Aoert •
Revisión de conceptos 1. La tasa de cambio dy Idt de una cantidad y que crece exponencialmente satisface la ecuación diferencial dy Idt = . En contraste, si y crece de manera logística hacia una cota superior L,
dyldt =
3. El tiempo para que una cantidad y que decae exponencialmente pase de un tamaño Yo a un tamaño Yo/2 se denomina _
_
2. Si una cantidad que crece exponencialmente se duplica al veces mayor después de 3T años. cabo de T años, será
lím
4. El número e puede expresarse como un límite por e _
=
h~O
Conjunto de problemas 7.5 En los problemas del] al 4, resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición que se da. Observe que y( a) denota el valor de yen t = a. dy
1.
dt
3.
dt
4.
dt = -0.003y, y( -2) = 3
= -6y, y(O) = 4
dy
=
0.005y, y(lO)
2. =
dy
dt
=
6y, y(O)
=
1
2
dy
5. Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a su tamaño. Al principio, es de 10,000 y después de 10 días es 20,000. ¿Cuál será la población después de 25 días? Véase el ejemplo 2. 6. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en duplicarse? Véase el ejemplo 1. 7. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en triplicarse? Véase el ejemplo 1.
8. La población de Estados Unidos fue de 3.9 millones en 1790 y 178 millones en 1960. Si la tasa de crecimiento se supone que es proporcional al número presente, ¿qué estimación daría para la población en el año 2000? (Compare su respuesta con la población real de 2000, que es 275 millones.) 9. La población de cierto país crece 3.2 % por año; esto es, si es A al inicio de un año, es 1.032A al final de ese año. Suponiendo que ahora es 4.5 millones, ¿cuál será al final de 1 año?, ¿de 2 años?, ¿de 10 años?, ¿de 100 años? 10. Determine la constante de proporcionalidad k en dYIdt = kY para el problema 9. Después utilice Y = 5é t para encontrar la población al cabo de 100 años.
11. Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 700 años. Si al inicio había 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 300 años? 12. Si una sustancia radiactiva pierde 15% de su radiactividad en 2 días, ¿cuál es su vida media? 13. (Fechado con carbono) Todos los seres vivientes contienen carbono 12, que es estable y carbono 14 que es radiactivo. Mientras una planta o un animal están vivos, la razón de estos dos isótopos de carbono permanece sin cambio, ya que el carbono 14 se renueva de manera constante; al morir, ya no se absorbe más carbono 14. La vida media del carbono 14 es 5730 años. Si los troncos carbonizados de una vieja fortaleza sólo muestran 70% del carbono 14 esperado en la materia viva, ¿cuándo fue incendiada la fortaleza? Suponga que la fortaleza se quemó tan pronto como fue construida con troncos recién cortados.
14. Cabello humano de una tumba en África se probó que sólo tenía 51 % del carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo fue sepultado el cuerpo? Véase el problema 13. 15. La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa a la cual un objeto se enfría es proporcional a la diferencia en la temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Así, si un objeto se saca de un horno a 300°F, y se deja enfriar en una habitación a 75°F, su temperatura T después de t horas satisfará la ecuación diferencial
dT = k(T - 75) dt
-
Si la temperatura descendió a 200°F en ~ hora, ¿cuál será después de 3 horas? 16. Un termómetro registró -20°C en el exterior y después se introdujo a la casa en donde la temperatura era de 24oc. Después de 5 minutos, el termómetro registró o°c. ¿Cuándo marcará 20°C? Véase el problema 15.
346
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
17. Si hoy se ponen 375 dólares en el banco, ¿cuál será su valor al final de 2 años, si el interés es de 9.5% y se compone como se especifica? (a) Anualmente (b) Mensualmente (c) Diariamente (d) Continuamente. 18. Resuelva el problema 17 suponiendo que la tasa de interés es 14.4%. 19. ¿Cuánto tarda el dinero en duplicar su valor para las tasas de interés que se especifican? (a) 12% compuesto mensualmente. (b) 12% compuesto de manera continua. 20. La inflación entre 1977 y 1981 fue de alrededor de 11.5% anual. Con esta base, ¿cuánto esperaría usted que costase en 1981 un automóvil que en 1977 costó 4,000 dólares? 21. Se dice que la isla de Manhatan en 1626 la compró Peter Minuit por 24 dólares. Supóngase que Minuit hubiese puesto los 24 dólares en el banco a16% de interés compuesto de manera continua. ¿Cuál sería el valor de esos 24 dólares en eI2,000? Sería interesante comparar este resultado con el valor real de la isla de Manhatan en el 2000. 22. Si los padres de Matusalén hubiesen puesto para él 100 dólares en el banco cuando nació y los dejaron allí, ¿cuál hubiese tenido Matusalén al morir (969 años después), si el interés era del 8% compuesto cada año? 23. Más adelante se demostrará para x pequeñas que ln(l + x) = x. Utilice este hecho para demostrar que el tiempo de duplicación para el dinero invertido al p por ciento compuesto cada año es alrededor de 70/paños. 24. La ecuación para el crecimiento logístico es dy
dt
Suponga que a =1=- O. 29. Considere un país con una población de 10 millones en 1985, una tasa de crecimiento de 1.2% anual y una inmigración de otros países de 60,000 por año. Utilice la ecuación diferencial del problema 28 para modelar esta situación y predecir la población en 2010. Tome a = 0.012. 30. Se dice que una noticia importante se difunde en una población adulta de tamaño fijo L a una tasa de tiempo proporcional al número de personas que no han escuchado la noticia. Cinco días después de un escándalo en la ciudad, una encuesta mostró que la mitad de las personas lo habían escuchado. ¿Cuánto tardará para que 99% de las personas lo oigan? 31. Supóngase que (1) la población mundial continúa creciendo de forma exponencial con constante de crecimiento k = 0.0132, (2) se necesita acre de tierra para proporcionar alimento para una persona y (3) en el mundo existen 13,500,000 millas cuadradas de tierra cultivable. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el mundo alcance la población máxima? Nota: Existían 5.9 mil millones de personas en 1988 y 1 milla cuadrada es igual a 640 acres.
!
[§g 32. La oficina de censos estima que la tasa de crecimiento k de
la población mundial disminuirá aproximadamente 0.0002 por año, durante las siguientes décadas. En 1998, k era 0.0132. (a) Exprese k como una función del tiempo t, en donde t se mide en años, a partir de 1998. (b) Encuentre una ecuación diferencial que modele la población y para este problema. (c) Resuelva la ecuación diferencial con la condición adicional de que la población mundial en 1998 (t = O) era 5.9 mil millones.
= ky(L - y)
Demuestre que esta ecuación diferencial tiene la solución
y=
tiene solución
Lyo
(d) Haga una gráfica de la población y para los siguientes 150 años. (e) Con este modelo, ¿cuándo alcanzará un máximo la población? ¿Cuándo la población descenderá por debajo del nivel de 1998?
Yo + (L - yo)e- Lkt
1 1 1 Sugerencia: y(L - y) = Ly + L(L - y) .
[§g 33. Repita el ejercicio 32 bajo la hipótesis de que k disminuirá
25. Haga un bosquejo de la gráfica de la solución del problema 24, cuando Yo = 5, L = 16 Yk = 0.00186 (un modelo logístico para la población mundial; véase el estudio al inicio de esta sección). Obsérvese que t-'>eX) lím y = 16.
~
[§g 35. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas para O ~ t ~
26. Encuentre cada uno de los límites siguientes (b) lím(l)l/x (a) lím(l + X)1000
100 de los siguientes dos modelos para el crecimiento de la población mundial (ambos descritos en esta sección).
x~O
(c) lím (1 + X~OT
0.0001 por año.
x~O
S)l/x, s
> O
(d) límj1 + x~o
S)l/x, s
> O
(e) lím (1 + x) l/x x~o
27. Utilice el hecho de que e = lím (1 + h )l/h para encontrar cada límite. h~O (a) lím(l - X)l/x Sugerencia: (1 - X)l/x = [(1 - x)I/(-X)r 1 x~o
(b) lím(l +
2)n
n + (c) lím ( -~ n
3X)I/x
x~o
n~oo
n - 1 )2n (d) lím ( -~ n
34. Sea E una función derivable que satisface E(u + v) = E(u)E(v) para toda u y v. Encuentre una fórmula para E(x). Sugerencia: Primero determine E'(x).
(a) Crecimiento exponencial: y = 5.geo.0132t. (b) Crecimiento logístico: y
=
94.4/(6 + 10e-o.030t ).
Compare lo que predicen los dos modelos para la población mundial en 2010, 2040 y 2090. Nota: Ambos modelos suponen que la población mundial era 5.9 mil millones en 1998 (t = O). [§g 36. Evalúe:
(a) lím (1 x~O
+ x) l/x
(b) lím (1 - x) l/x x~O
El límite en la parte (a) determina e. ¿Qué número especial determina el límite de la parte (b)?
n~oo
28. Demuestre que la ecuación diferencial dy
-
dt
= ay + b
Respuestas a la revisión de conceptos: 3. vida media 4. (1 + h)l/h
1. k y; k y( L - y)
2. 8
SECCIÓN
7.6
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
7.6
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
347
En la sección 5.2 por primera vez resolvimos ecuaciones diferenciales. Allí desarrollamos el método de separación de variables para determinar una solución. En la sección anterior utilizamos el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales que incluyen crecimiento y decaimiento. No todas las ecuaciones son separables. Por ejemplo, en la ecuación diferencial dy dx = 2 - 3y no existe forma de separar las variables de tal manera para tener d y y todas las expresiones que incluyan a y en un lado y a dx todas las expresiones que incluyan a x en el otro lado. Sin embargo, esta ecuación puede ponerse en la forma
dy dx
+ P(x)y
=
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son funciones sólo de x. Una ecuación diferencial de esta forma se dice que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primer orden se refiere al hecho de que la única derivada es la primera derivada. Lineal se refiere al hecho de que la ecuación puede escribirse en la forma Dxy + P( x)1y = Q( x), en donde Dx es el operador derivada, e 1 es el operador identidad (esto es, 1y = y). Ambos, Dx e 1 son operadores lineales. La familia de todas las soluciones de una ecuación diferencial se denomina solución general. Muchos problemas requieren que la solución satisfaga la condición y = b cuando x = a, en donde a y b son dados. Tal condición se llama condición inicial y una función que satisface la ecuación diferencial y la condición inicial se denomina solución
particular.
Resolución de ecuaciones lineales de primer orden Para resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, primero multiplicamos ambos lados por factor de integración (o integrante) e1p(x)dx (La razón para este paso en breve se volverá claro.) Entonces, la ecuación diferencial es
e1p(x)dx dy + e!P(x)dx P(x)y = e!P(x)dXQ(x) dx El lado izquierdo es la derivada del producto y . e!P(x)dx, de modo que la ecuación toma la forma
~ (y . e!P(X)dX) = e!P(X)dxQ(x)
dx La integración de ambos lados da
ye!P!X)dx
=
!
(Q(x)e!P(X1dX) dx
Así, la solución general es
y
~
e-!P(X)dX! (Q(x)eJp(x1dx) dx
No es bueno memorizar este resultado final; el proceso de obtención es fácil recordarlo y es lo que ilustramos. EJEMPLO 1 Resuelva
dy 2 sen3x - + - y = -2dx x x Solución
Nuestro factor integrante es e!P(x)dx = e!(2/x)dx
=
e21nlxl
= e1nx2 = x2
(La constante arbitraria de integración de la integración Jp(x)dx la hemos tomado igual a cero.) La elección de la constante no afecta la respuesta. Véanse los problemas 27 y 28. Multiplicando ambos lados de la ecuación original por x 2 , obtenemos dy x 2 - + 2xy = sen3x dx
348
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
El lado izquierdo de esta ecuación es la derivada del producto x 2 y. Así, d
dx (x
2
y)
= sen
3x
La integración de ambos miembros da
J
sen 3x dx =
o
y = (-~cos3x
EJ EM PLO 2
-~cos3x + e
Encuentre la solución particular de dy - 3y
= xe 3x
dx
que satisface y Solución
•
+ C)x- 2
= 4 cuando x = O.
El factor integrante apropiado es e!(-3)dx
=
e-3x
Al multiplicar por este factor, nuestra ecuación adquiere la forma
-d (e- 3x y) = x dx
o 3x
=
e- y
J
x dx
=
~ x2 + e
Así, el solución general es
La sustitución de y = 4 cuando x = Ohace
e = 4. La solución particular deseada es
1 = - x 2 e 3x +
y
2
4e
3x
•
Aplicaciones Comenzamos con un problema de mezcla, típico de muchos problemas que surgen en química. EJEMPLO 3 Un depósito contiene 120 galones de salmuera, con 75 libras de sal disuelta en solución. Agua con sal que contiene 1.2 libras de sal por galón se introduce al depósito a razón de 2 galones por minuto y la salmuera sale a la misma velocidad (véase la figura 1). Si la mezcla se mantiene uniforme mediante una agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. Figura 1
Un principio general
En problemas de flujo tal como el ejemplo 3, aplicamos un principio general. Supóngase que y mide la cantidad de interés que está en el depósito en el instante t. Entonces la tasa de cambio de y con respecto al tiempo es la tasa de entrada menos la tasa de salida; esto es, dy
dt = tasa de entrada - tasa de salida
Solución Sea y el número de libras de sal en el tanque al final de t minutos. De la salmuera que entra, el tanque gana 2.4 libras de sal por minuto; de la que sale, pierde l~O Y libras por minuto. Así,
1
dy
---¡¡
= 2.4 - 60 y
sujeta a la condición y = 75 cuando t = O. La ecuación equivalente dy
-
dt
1
+-
60
y = 2.4
tiene el factor integrante é/60 y así d
- [ye t / 60 ] = 2.4e t / 60 dt
SECCIÓN
7.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
349
Concluimos que
ye'/6O
~
J
2.4e'/6O dI = (60) (2.4 )e'/6O
+e
Al sustituir y = 75 cuando t = Ose obtiene C = -69, Yasí y = e- t / 60 [144e'/60 - 69] = 144 - 6ge- t / 60
Al final de una hora (t = 60), Y = 144 - 6ge- 1 ~ 118.62 libras Observe que el valor límite para y cuando t ~ 00 es 144. Esto corresponde al hecho de que el tanque tomará finalmente la configuración de la salmuera que entra al depósito. Ciento veinte galones de salmuera con una concentración de 1.2 libras de sal por galón contendrán 144 libras de sal. • Ahora volvemos a un ejemplo de electricidad. De acuerdo con la ley de Kirchhoff, un circuito eléctrico simple (véase la figura 2) que contiene un resistor con una resistencia de R ohms y un inductor con una inductancia de L henrys, en serie con una fuerza electromotriz (una batería o un generador) que proporciona un voltaje de E(t) voltios en el instante t, satisface dI dt
L - + RI = E(t) en donde I es la corriente medida en amperes. Ésta es una ecuación lineal, que se resuelve con facilidad por medio del método de esta sección.
EJEMPLO 4 Considere un circuito (véase la figura 2) con L = 2 henrys, R = 60hms y una batería que proporciona un voltaje constante de 12 voltios. Si I = O en t = O (cuando se cierra el interruptor S, encuentre I en el instante t. Solución
La ecuación diferencial es dI 2 - + 6I = 12 dt
Figura 2
o
dI + 3I = 6 dt
-
Siguiendo nuestro procedimiento estándar (multiplicar por el factor integranté e3t, integrar y multiplicar por e-3t ), obtenemos I = e- 3t (2e 3t
+ C) = 2 + Ce- 3t
La condición inicial, I = Oen t = O, da C = -2; de aquí que I = 2 - 2e-3t
Cuando aumenta t, la corriente tiende hacia una corriente de 2 amps.
•
Revisión de conceptos 1. La ecuación diferencial lineal general de primer orden tiene la forma dy /dx + P(x)y = Q(x). Un factor integrante para esta ecuaciónes _ 2. Al multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial lineal de primer orden de la pregunta 1 por su factor integrante hace el lado . . do dx d ( lzqUler
)
.
3. El factor integrante para dy /dx - (1/x)y = x, en donde x > 0, es Cuando multiplicamos ambos lados por este factor, la ecuación toma la forma . La solución general para esta ecuación es y = _ o
4. La solución para la ecuación diferencial en la pregunta 1, que satisface y(a) = b se denomina solución _
350
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Conjunto de problemas 7.6 En los problemas dell all4, resuelva la ecuación diferencial. dy 1. dx + y = e-X dy 2. (x + 1) - + y = x 2 - 1 dx dy 3. (1 - x 2 ) dx + xy = ax, Ixl < 1
6. y' - ay
8. y' +
x
+1
dy 10. dx + 2y dy Y 11. -d - x
= f(x)
~
x
=
=
= (x + 1)3
E = 120 sen 377t
"V
Figura 4
21. Encuentre 1 como función del tiempo para el circuito de la figura 5, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.
x
R
3x 3 ; Y
= 3
Figura 5 =
1.
dy w 14. senx- + 2y cos x = sen2x;y = 2 cuando x = - . 6 dx 15. Un depósito contiene 20 galones de una solución, con 10 libras de químico A en la solución. En un cierto instante, empezamos a agregar una solución que contiene el mismo químico en una concentración de 2 libras por galón. Vertimos a una velocidad de 3 galones por minuto mientras se drena la solución resultante (perfectamente mezclada) a la misma velocidad. Encuentra la cantidad de químico A en el depósito después de 3 horas. 16. Al principio, un tanque contiene 200 galones de salmuera, con 50 libras de sal en solución. Al tanque entra salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a una tasa de 4 galones por minuto y sala a la misma tasa. Si la mezcla en el tanque se mantiene uniforme por agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al final de 40 minutos. 17. Al inicio, un tanque contiene 120 galones de agua pura. Cuatro galones por minuto de salmuera con una libra de sal por galón entran al tanque, y la solución bien mezclada sale a una tasa de 6 galones por minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque después de t minutos, O::; t ::; 60?
18. Un tanque al principio contiene 50 galones de salmuera, con 30 libras de sal en solución. Entra agua al tanque a 3 galones por minuto y la solución bien mezclada sale a 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará para que haya 25 libras de sal en el tanque?
19. Encuentre la corriente 1 como función del tiempo para el circuito de la figura 3, si el interruptor S se cierra cuando 1 = Oen t = O.
= 106 12
= 100012
E= 120 sen 377t
cuando x = 1.
=
R
= 3.5 H
9. y' + yf(x) = f(x)
e2 x - 3y; Y = 1 cuando x = O. 13. xy' + (1 + x)y = e-x; y = Ocuando x 12. y'
L
dy Y 5. - - - = xe x dx x dy y 1 7. - + - = dx x x
4. y' + y tan x = sec x
20. Encuentre 1 como función del tiempo, para el circuito de la figura 4, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.
22. Supóngase que el tanque 1 al principio contiene 100 galones de solución con 50 libras de sal disueltas, y el tanque 2 contiene 200 galones, con 150 libras de sal disueltas. Al tanque 1 entra agua pura a razón de 2 galones por minuto, la solución bien mezclada sale y entra al tanque 2 a la misma tasa, y finalmente la solución en el tanque 2, se drena también a la misma tasa. Denótese con x(t) y y(t) a las cantidades de sal en los tanques 1 y 2, respectivamente, en el instante t. Encuentre y(t). Sugerencia: Primero encuentre x(t) y utilícela para plantear la ecuación diferencial para el tanque 2. 23. Un depósito con capacidad de 100 galones, al principio está lleno de alcohol puro. La tasa de flujo por el tubo de salida es de 5 galones por minuto; la tasa de flujo del tubo que llena puede ajustarse a c galones por minuto. Una cantidad ilimitada de solución de alcohol al 25% puede introducirse a través del tubo que llena. Nuestra meta es reducir la cantidad de alcohol en el tanque de modo que contenga 100 galones de solución al 50%. Sea T el número de minutos requeridos para realizar el cambio deseado.
(a) Evalúe T, si c = 5 y ambos tubos están abiertos. (b) Evalúe T, si c = 5 Y primero dejamos salir una cantidad suficiente de alcohol puro y luego cerramos el tubo que llena. (c)
¿Para qué valores de c (si existen) la estrategia (b) daría un tiempo más rápido que (a)?
(d) Supóngase que c = 4. Determine la ecuación para T, si al principio abrimos ambos tubos y luego cerramos el que drena. ~
24. La ecuación diferencial para un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra con resistencia al aire proporcional a la velocidad v es dv Idt = -g - av, donde g = 32 pies por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad ya> Oes el coeficiente de resistencia. Demuestre cada uno de los siguientes: (a) v(t) = (va - v=)e- al + v=, donde Va = veO), Y
L=lH
V oo
= -g/ a = 1-+00 lím v(t)
la llamada velocidad terminal. (b) Si y(t) denota la altura, entonces Figura 3
y(t) = Yo + tv oo + (l/a)( Va - v oo )(l - e~al)
SECCiÓN
25. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial Va = 120 pies por segundo. Suponiendo un coeficiente de resistencia de a = 0.05, determine cada uno de lo siguiente: (a) la altura máxima
26. Marcela saltó en paracaídas desde su aeroplano a una altura de 8000 pies, durante 15 segundos descendió en caída libre y después abrió su paracaídas. Suponga que los coeficientes de resistencia son a = 0.10 para caída libre ya = 1.6 con el paracaídas. ¿Cuánto tardó en llegar al suelo? y
x
-
~x =
integrante es e!(-1/x)dx. La antiderivada general a -In x + C.
7.7 Las funciones trigonométricas y sus derivadas y::: sen ,\
Fiqura 1
351
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
(a) Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por exp x
(J(-~)
dx ) = exp (-In x + C), y demuestre que exp(-ln
+ C) es un factor integrante para todo valor de C.
(b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que la solución coincide con la solución obtenida cuando suponemos que C = O.
(b) una ecuación para T, el tiempo cuando la pelota llega al suelo.
27. Para la ecuación diferencial dd
7.7
28. Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial dy = Q(x) por el factor e1P(x)dx+c. dx
+ P(x)y
(a) Demuestre que e 1P (x)dx+c es un factor integrante para todo valor de C. (b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que coincide con la solución general dada antes del ejemplo 1.
x 2 , x > O, el factor
¡(-~)
1. exp (JP (x ) dx)
Respuestas a la revisión de conceptos: dx es igual
d 2.yexp(JP(x)dx) 3.1/x; dx
(y) ~
.
= l;x 2 + Cx 4. partIcular
Las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) se definieron en la sección 2.3, y en ocasiones las hemos utilizado en ejemplos y problemas. Con respecto a la noción de inversa, ellas son funciones con problemas, ya que para cada y en su rango existe un número infinito de x que le corresponden (véase la figura 1). No obstante, vamos a introducir una noción de inversa para ellas. Que esto sea posible tiene como base un procedimiento denominado restricción del dominio, que se analizó brevemente en la sección 7.2.
Seno inverso y coseno inverso En el caso de seno y coseno, restringimos el dominio, manteniendo el rango tan grande como sea posible, mientras insistimos que la función resultante tenga una inversa. Esto puede hacerse de muchas formas, pero el procedimiento acordado se sugiere por medio de las figuras 2 y 3. También mostramos la gráfica de la función inversa correspondiente, obtenida, como es usual, reflejando con respecto a la recta y = x. y
y
x
f ] Dominio
-1r
"2
1r
restringido
'2
Figura 2
y
y
x
[
a
Figura 3
Dominio restringido
]
-1
x
352
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
En una definición, formalizamos lo que hemos mostrado.
Definición Para obtener inversas para seno y coseno, restringimos sus dominios a [ -'TT /2, [O, 'TT ], respectivamente. Así,
x = sen-1 y x = cos-1 y
{:::>
{:::>
Y = sen x
y
y = cosx y
'TT
'TT
2
2
'TT /2]
Y
--~x~-
O~X~'TT
y
A veces se utiliza el símbolo arcsen para sen- 1 y similarmente arccos se utiliza para cos- 1. Considere arcsen como "el arco cuyo seno es" o "el ángulo cuyo seno es" (véase la figura 4). En lo que resta del libro utilizaremos ambas formas.
EJEMPLO 1 Calcule x
(a) sen- 1 (v/2/2), (c) cos (cos- 1 0.6), y
(b) cos- 1 ( - !), (d) sen-1(sen 3'TT /2)
Solución
(a) sen-1
(~)
'TT
2'TT
4
3
Figura 4
(d) sen-1(sen
(c) cos(cos- 1 0.6) = 0.6
3;) = _ ;
La única de éstas que es complicada es (d). Observe que sería incorrecto dar 3'TT /2 como respuesta, ya que sen-1 y siempre está en el intervalo [-'TT /2, 'TT /2]. Resuelva el problema por pasos, como sigue.
sen-1(sen EJEMPLO 2
(a)
cos- 1
3;) =
sen-1(-1) = -Tr/2
•
Calcule (c) sen- 1 (sen4.13)
(b)sen- 1 (1.21),
(-0.61),
Solución Utilice una calculadora en modo de radianes. Ha sido programada para dar respuestas consistentes con las definiciones que hemos dado. (a) cos-1(-0.61) = 2.2268569 (b) Su calculadora debe indicar un error, ya que sen-l(1.21) no existe. (c) sen- 1 (sen4.13) = -0.9884073
•
Tangente inversa y secante inversa Otra manera de decirlo
En la figura 5, mostramos la gráfica de la función tangente, su dominio restringido y la gráfica de y = tan- 1 x.
sen- 1 y
y
y
es el número en el intervalo [-7T /2, 7T /2] cuyo seno es y.
7T -----------"2
cos- 1 y es el número en el intervalo [0, 7T ] cuyo coseno es y.
tan- 1 y es el número en el intervalo (-7T /2, 7T /2) cuya tangente es y.
-7T
----------- 2"""
1I
: I
11 1I 11
:=77: Dominio 77: 2 restringido 2
Figura 5
x
x
-37T / 2 I 'I
7.7
SECCIÓN
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
353
Existe un método estándar para restringir el dominio de la función cotangente, esto es, a (O, 1T), de modo que tenga una inversa. Sin embargo, esta función no desempeña un papel importante en el cálculo. Para obtener una inversa de la secante, graficamos y = sec x, restringimos su dominio de manera adecuada y después graficamos y = sec-1x (véase la figura 6). y
Y
1
I \
1 \ \
\
,
1
-317
I I I
f(' ,
-17
T ..--, T I
¡ 1
1 II I
1,/
:,
\
\
17
~I
I I I \ I \ I
17
I
,1
\
\ \ \
I
,:
x
-1
\
I I I I
\
x
I
:
E--=-<~
o DornmlO
17
restringido
Figura 6
Definición Para obtener inversas de la tangente y la secante, restringimos sus dominios a (-1T /2, 1T /2) y [0, 1T /2) U (1T /2, 1T], respectivamente. Así, x
= tan- 1y
{:::}
x
= sec-1y
{:::}
1T
Y = tanx
y
-- <
Y = secx
y
O:::::: x::::::
2
x
1T
<2
1T
1T,
x*--
2
Algunos autores restringen el dominio de la secante de una manera diferente. Así, si usted consulta otro texto, debe verificar la definición del autor. No tendremos necesidad de definir csc-l, aunque también puede hacerse. EJEMPLO 3
Calcule (b) tan- 1(- v3), (d) sec-1(-1), (f) sec- 1(-1.32)
(a) tan-1 (1), (c) tan- 1(tan 5.236), (e) sec-1(2), y Solución
(b) tan- 1 ( -
(a) tan -1 (1) = :
v3) = _ 1T 3
(c) tan- 1 (tan5.236) = -1.0471853 La mayoría de nosotros tenemos problemas para recordar la secante; además, muchas calculadoras no tienen un botón para ella. Por tanto, le sugerimos que recuerde que sec x = 1/cos x. Con base en esto, se sigue que
sec- 1 y = cos- 1 (~ )
y esto nos permite utilizar hechos conocidos acerca del coseno. (d) sec- 1 (-1) = cos- 1 (-1) =
(e) sec- 1 (2) = cos- 1
G) = ;
1T
354
CAP1TULO 7
Funciones trascendentales
(132)
= cos1 (
cos1(0.7575758)
1.32)
= 2.4303875
Cuatro identidades ütiles El Teorema A da algunas identidades Utiles. Puede recordarlas en relación a Los triángulo en la figura 7. TeoremaA
Vi - x2 cos(sen1 x) = Vi sec(tan x) = Vi + x2 sen (cos' x) =
six1 six 1
IVx2_1,
tan(sec'x) = l_\/x2 - 1,
Demostración Para demostrar (i), recuérdese que sen2 0 + cos2 0 = 1. Si 0 entonces senO = VV2
1
Ahora aplicamos que 0
\/1
0
ir,
- cos2O
cos'x y utilizamos el hecho de que cos(cos1 x) = x para ob-
tener Figura
- cos2(cos' x) =
sen (cos1 x) 7
- x2
La identidad (ii) se demuestra de una manera completamente similar. Para demos1 + tan2 0 en lugar de sen2 0 + cos2 0 = 1.
trar (iii) y (iv), utilice la identidad sec2 0 = EJEMPLO 4
Solución
Calcule sen [2 cos_1(4)].
Recuérdese La identidad del ángulo doble sen 20 = 2 sen 0 cos 0. AsI, r
sen 2cos
(21 -
r
2sen cos
=21
1
(2\1 - cos[cos (2
-
224 \31
3
9
Derivadas de funciones trigonométricas Aprendimos en la secciOn 3.4 las formulas de las derivadas para las seis funciones trigonométricas. Deben memorizarse. D cos x = sen x D cot x csc2 x D csc x = csc x cot x
D sen x = cos x D tan x sec2 x D sec x = sec x tan x
Podemos combinar las reglas anteriores con La regla de La cadena. Por ejemplo, si u = f (x) es derivable, entonces
Dsenu
=
cosuDu
Funciones trigonométricas inversas A partir del teorema de la función inversa (Teorema 7.2B), concluimos que sen1, cos', tan' y sec1 son derivables. Nuestro objetivo es encontrar fOrmulas paras sus derivadas. Establecemos los resultados y luego mostramos cómo pueden deducirse.
SECCION 7.7
Derivadas de cuatro funciones trigonométricas inversas
Teorema B
(i)
Las funciones trigonométricas y sus derivadas 355
D sen1
=
Vi - x2'
1
D cos1 x
D tan' x
1
1
= 1 + x2 1
1x
Demostración Nuestras demostraciones siguen el mismo patron en cada caso. Para demostrar (i), sea y = sen' x, de modo que
x = seny Ahora derivamos ambos lados con respecto a x, utilizando Ia regla de La cadena en el lado derecho. Entonces
i = cos y D y = cos(sen' x) D(sen1 x)
Vi - x2 D(sen1 x) En el Ultimo paso, usamos el Teorema A(ii). Concluimos que D(sen' x) = 1 / Vi - x2. Los resultados (ii), (iii) y (iv) se demuestran de manera anáLoga, pero (iv) tiene una pequefia peculiaridad. Sea y = sec1 x, de modo que
x = secy Derivando ambos lados con respecto a x y utilizando el Teorema A(iv), obtenemos
secytanyDy
1
D sec1 x
sec(sec1 x)tan(sec1 x)D(sec1 x)
He aqul otra forma de deducir la formula para La derivada de sec1 x.
x\/x2 - 1 D(sec' x), x(_\/x2 - 1)D(sec' x),
D sec1 x = D cos1 ()
1
1
=
si X
si x
1
xVx2 - 1D(sec'x)
El resultado deseado se sigue de manera inmediata. EJEMPLO 5
Encuentre D sen1(3x - 1).
Solución Utilizamos el Teorema B(i) y la regla de la cadena.
Dsen'(3x 1) = Vi - (3x -
1)2
D(3x - 1)
3
V_9x2 + 6x Por supuesto, cada formula de derivación lieva a una formula de integraciOn, un tema acerca del cual diremos mucho ms en el capItulo siguiente. En particular, (j)
IV
dx
sen1 x + C
2
dx = tan' x + C
,j
1 + x2
f
xVx2 - 1
2
dx = sec'x + C
356
CAPíTULO
Funciones trascendentales
7
1
dx
1/2
EJEMPLO 6
Evalúe
Solución
1
1/2
o
o
..
~.
vI - x 2
1 - - - - dx ~
1
= [sen -1 x ]6/2 = sen-1 -
- sen -10
2 7T
7T
6
6
•
=--0=-
EJEMPLO 7 Un hombre de pie en la cima de un acantilado está a 200 pies por arriba de un lago. Observa un bote que se aleja directamente del pie del acantilado a una velocidad de 25 pies por segundo. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de depresión de su visual cuando el bote está a 150 pies del pie del acantilado? Solución Los detalles esenciales se muestran en la figura 8. Obsérvese que O, el ángulo de depresión, es Hombre
200) O = tan- 1 ( ~ Así,
dO dt Bote
Figura 8
1 1 + (200/X)2
-200
dx
·7· ---¡¡
-200 2 = x + 40,000
dx dt
Cuando sustituimos x = 150 Ydx/dt = 25, obtenemos dO /dt = -0.08 radianes por segundo. •
Revisión de conceptos 1. Para obtener una inversa de la función seno, restringimos su dominio a . La función inversa resultante se denota por _ sen- 1 0por 2. Para obtener una inversa de la función tangente, restringimos su dominio a . La función inversa resultante se denota por tan~ 1 o por
3. D t sen(arcsen x)
=
4. Como D x arctan x
_
=
1/(1
+ x 2 ), se sigue que
41\/(1 + x )dx = - - 2
o
Conjunto de problemas 7.7 En los problemas del] al] 0, encuentre el valor exacto sin utilizar una calculadora.
1. arceos (
~)
2. aresen ( -
¿)
17. cos(sen(tan-12.00l))
En los problemas del]9 al 24, exprese een términos de x utilizando las funciones trigonométricas inversas sen~I, cos- I, tan- I y sec I.
19.
5. arctan ( V3)
6. arcsec(2)
7. arcsen (-D 9. sen (sen ~ 10.4567)
W
10. cos(sen- 10.56)
En los problemas del]] al]8, aproxime cada valor.
11. sen -1 (0.1113)
12. arccos(0.6341)
13. cos(arccot 3.212) 15. sec~1(-2.222)
14. sec(arccos 0.5111) 16. tan- 1(-60.11)
18. sen2 (In (cos 0.5555) )
20.
SECCIÓN
7.7
43. Y = (tan -1 x f
42. Y = eX arcsen x 2
21.
357
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
44. y
tan (cos-
=
46. y =
(sec- 1 x
1
x)
45. Y = sec- 1 (x 3 )
)3
47. y = (1 + sen-1xf
En los problemas del 48 al 58, evalúe cada integral.
49. ¡'sen 2x cos 2x dx
48. ¡x sen (xZ)dx
22.
J
tan x dx =
50. 52.
J
sen x x 51. -d cosx
¡~/Z
o
53.
senzxcosxdx
¡l ¡Vi/2
ezx cos(eZx)dx
o
54.
23.
56.
2
]Z
dx
55.
V2X~
¡~/Z
o
J
sen O 1 + cos z O
57.
dO
1-11
1
~
dx
XZ
- -1- d x 1 +
J
1 d 1 + 4xz x
eX --z-dx 1 + ex
58. x
59. Una pintura de 5 pies de altura está colgada en una pared de modo que su parte inferior está a 8 pies del piso, como se muestra en la figura 9. Una observadora con el nivel de sus ojos a 5.4 pies de pie a b pies de la pared. Exprese O, el ángulo vertical subtendido por la pintura a su ojo, en términos de b, y después encuentre O, si b = 12.9 pies.
24. 3
2
En los problemas del 25 al 28, encuentre cada valor sin utilizar una calculadora (véase el ejemplo 4).
25. cos[2sen-l(-~)]
26. tan[2tan- 1 G)]
27. sen [cos- 1 (~)
+ cos-1 (iJ)]
28. coS[COS-l(~)
+ sen- 1 (H)]
t
5.4 pies
En los problemas del 29 al 32, muestre que cada ecuación es una identidad.
29. tan(sen-
1
30. sen (tan-
1
x
x) = ~Z
60. Encuentre fórmulas para f-I(X) para cada una de las siguientes funciones f, primero indique cómo restringiría el dominio de modo que f tenga una inversa. Por ejemplo, si f(x) = 3 sen 2x, y restringimos el dominio a -7T I 4 :::; x :::; 7T I 4, entonces f-l (x) = 1 sen- 1 (xI3). (b) f(x) = 2sen3x (a) f (x) = 3 cos 2x 1 (d) f(x) = sen (c) f (x) = tan x
x
=
~ 1 + xZ
31. cos(2sen- 1 x) = 1 - 2x z
2x 32. tan(2 tan- 1 x) = - - z 1- x 33. Encuentre cada límite. (a) lím tan- l x X--+oo
b
Figura 9
1 - x
x)
_ _ _L
1
(b)
1
lím tan- x
61. Por medio del uso repetido de la fórmula para la suma,
x--+-oo
tan (x 34. Encuentre cada límite. (a) lím sec- 1 x x--+oo
(b)
40. y = arccos(e x )
cotx)
=
(tan x
+ tan y) / (1 - tan x tan y)
lím sec-1 x
x--+-oo
En los problemas del 36 al 47, encuentre dy/dx. 36. y = et anx 37. y = ln(secx
= -ln(cscx +
+ y)
demuestre que
35. Haga un bosquejo de la gráfica de y = coC1 x, suponiendo que se ha obtenido restringiendo el dominio de la cotangente a (O, 7T).
38. y
x
39. y
+ tanx)
= sen-1 (2xZ)
41. y = x 3 tan- 1 (e x )
62. Verifique que
47T =
4 tan
_1(1) 1) "5 - tan -1( 239
un resultado descubierto por John Machin en 1706 y utilizado por él para calcular los primeros 100 lugares decimales de 7T.
358
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
63. Sin utilizar calculadora, encuentre una fórmula para el área de la región sombreada en la figura 10 en términos de a y b. Observe que el centro del círculo mayor está en el borde del más pequeño.
cuentre b que maximiza el ángulo subtendido por el ojo del observador. (Véase el problema 59.)
74. Exprese dO /dt en términos de x, dx /dt, y las constantes a y b.
(a) ~
x
(b) ~ Figura 10
[§Q 64. Dibuje las gráficas de
y = arcsenx
y =
y
arctan(x/~)
-
utilizando los mismos ejes. Formule una conjetura. Demuéstrela. [§Q 65. Dibuje la gráfica de y tura. Demuéstrela.
=
7T /2 - arcsen x. Haga una conje-
[§Q 66. Dibuje la gráfica de y = sen(arcsen x) en [-1, 1]. Después dibuje la gráfica de y = arcsen(sen x) en [-27T, 27T]. Explique las diferencias que observe.
67. Demuestre que
J__
d_x__ = sen~1 ~ + e, a> O ~ a escribiendo a2 - x 2 = a2[1 - (x/a)2] y haciendo la sustitución u x/a.
=
68. Demuestre el resultado del problema 67 derivando el lado derecho para obtener el integrando.
J
dx - 1 -1 X -tan - + e, a + x a a
ai=O
70. Demuestre que
J
dx
x~
= !sec-ll1 + e, a a
a>O
71. Demuestre, derivando el lado derecho, que
¡
X
~va~dx = -~ - r 2
a2
x
+ -sen~l2 a + e'
a>O
72. Utilice el resultado del problema 71 para demostrar que
l
a
~a
75. Se ha terminado el trabajo estructural de acero de un nuevo edificio de oficinas. Cruzando la calle, a 60 pies de la planta baja del elevador de carga en el edificio, un espectador está de pie y observa el elevador de carga que sube a una velocidad constante de 15 pies por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el ángulo de elevación de la visual del espectador al elevador después de 6 segundos que su visual pase la horizontal? 76. Un aeroplano vuela a una altura constante de 2 millas y a una velocidad constante de 600 millas por hora, en línea recta que pasará directamente por encima de una observadora, que está en el piso. ¿Qué tan rápido está aumentando el ángulo de elevación de la visual de la observadora cuando la distancia de ella al aeroplano está a 3 millas? Proporcione su resultado en radianes por minuto. 77. La luz giratoria de un faro está ubicada en una isla y se encuentra a 2 millas del punto más cercano P de una playa recta en tierra firme. El faro lanza un rayo de luz que se mueve a lo largo de la playa conforme gira. Si la velocidad del rayo de luz sobre la playa es de 57T millas por minuto cuando el punto iluminado está a 1 milla de P, ¿a qué velocidad está girando el faro?
69. Demuestre que -2--2 -
a
7Ta2
~dx=2
78. Un hombre en un muelle jala una cuerda atada a un bote de remos, a una velocidad de 5 pies por segundo. Si las manos del hombre están 8 pies por arriba del punto en donde la cuerda está sujeta al bote, ¿qué tan rápido está cambiando el ángulo de depresión de la cuerda cuando aún quedan 17 pies de cuerda por recoger?
W
79. Una visitante del espacio exterior se aproxima a la Tierra (radio = 6376 kilómetros) a 2 kilómetros por segundo. ¿A qué velocidad aumenta el ángulo O subtendido por la Tierra a su ojo cuando ella está a 3000 kilómetros de la superficie?
¿Por qué es éste el resultado esperado?
73. El borde inferior de un mural, de 10 pies de alto, está 2 pies por encima del nivel del ojo del observador. Encuentre la distancia ideal b a la que debe alejarse de la pared para ver el mural; esto es, en-
Respuestas a la revisión de conceptos:
2. (-7T/2, 7T /2); arctan
3. 1
4.
7T
1. [-7T /2, 7T /2]; arcsen
SECCION 7.8
7.8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas
Las funciones hiperbOlicas y sus inversas 359
En matemáticas y ciencias, aparecen tan frecuentemente ciertas combinaciones de e-' y e_x que se les da nombres especiales.
Definición
Funciones hiperbOlicas
El seno hiperbOlico, coseno hiperbólico y cuatro funciones relacionadas se definen por eX_e_X ex+e
senhx
=
tanhx = sechx =
coshx =
2
senhx
cothx =
cosh x
cschx
coshx
coshx senh x
senhx
La terminologIa sugiere que debe haber alguna relación con las funciones trigonométricas; la hay. Primera, La identidad fundamental para Las funciones hiperbólicas (en reminiscencia de cos2 x + sen2 x = 1 en trigonometrIa) es
cosh2 x - senh2 x = 1
Figura 1
Para verificarla, escribimos e 2x
cosh2 x - senh2 x
+ 2 + e_2x 4
e2x
-2+ 4
e_2x
=1
Segunda, recuerde que las funciones trigonométricas están Intimamente relacionadas con el cIrculo trigonométrico (véase La figura 1), de modo que, en ocasiones, se les llama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramétricas x = cost, y senh describen el cIrculo unitario. En forma similar, las ecuaciones paramétricas x = cosh t, senh t describen la rama derecha de la hipérbola unitaria x2 = 1 (véase la fiy gura 2). Además, en ambos casos el parámetro t está relacionado con el area sombreada A por t 2A, aunque esto no es obvio en el segundo caso (véase el problema 56).
Ya que senh(x) x2-y2= I
Figura 2
senh(x), senh es una función impar; cosh(x) = cosh x,
de modo que cosh es una función impar. De manera correspondiente, La gráfica de y senh = x es simétrica con respecto a! origen y la gráfica de y = cosh x es simétrica con respecto al eje y. De manera análoga, tanh es una funciOn impar y sech es una función par. Las graficas se muestran en la figura 3.
y
2-
-3
-2
2
-2--
Figura 3
V = SCflh x
3
360
CAPiTULO 7
Funciones trascendentales
Derivadas de funciones hiperbOlicas Podemos encontrar D senh x y D cosh x de manera directa a partir de las definiciones
Dsenhx=D
- e_x\ 2
,i
ex + e_x =
2
=coshx
y
Dcoshx = D
ex - e_x
-
2
2
= senh x
Obsérvese que estos hechos confirman el carácter de las gráficas que dibujamos. Por ejemplo, ya que D(senh x) = cosh x > 0, la gráfica de seno hiperbólico siempre está
ascendiendo. De manera análoga, D(cosh x) = cosh x > 0, lo que significa que la gráfica del coseno hiperbólico es cóncava hacia arriba. Las derivadas de las otras duatro funciones hiperbólicas se deducen de las otras dos, combinadas con la regla del cociente. Los resultados se resumen en el Teorema A. Teorema A Derivadas de las funclo ns
r hiiOIica; )
"sh =ser1h
D, senh x = cosh x
L- cothx = -cscki2. -,]-
D tanh x
D sechx=
i
;echx tnh.
ehx = csch x coth x
f)
Otra forma en la que Las funciones trigonométricas y Las hiperbólicas están relacionadas concierne a ecuaciones diferenciales. Las funciones sen x y cos x son soluciones de
La ecuación diferencial de segundo orden y" = y, y senh x y cosh x son soluciones de la ecuación diferencial y" = y.
Encuentre D tanh(sen x).
EJEMPLO 1
Solución
D tanh (sen x) = sech2 (sen x)D(sen x)
= cosxsech2(senx) EJEM PLO 2
Solución
Encuentre D cosh2(3x - 1).
Aplicamos dos veces La regla de La cadena.
Dcosh2(3x - 1) = 2cosh(3x - 1)Dcosh(3x - 1) = 2cosh(3x - 1)senh(3x - 1)D(3x - 1) = 6cosh(3x - 1)senh(3x - 1) EJEMPLO 3
Solución
Encuentre
tanhx dx.
Sea u = cosh x, por lo que du = senh x dx.
I
/senhx 1 dx= Judu tanhxdx= / j coshx = lnu + C = 1ncoshx + C
ln(coshx) + C
PodrIamos quitar los signos de valor ahsoLuto ya que cosh x > 0.
.
SECCIÓN
7.8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas
361
Funciones hiperbólicas inversas Como seno hiperbólico y tangente hiperbólica tienen derivadas positivas, son funciones crecientes y de manera automática tienen inversas. Para obtener inversas para coseno hiperbólico y secante hiperbólica, restringimos sus dominios a x 2: O. Así, x
= senh-1 y ~ y = senh x
x = cos- 1 y ~ y = cosh x x
y
x
2:
O
= tanh -1 y ~ y = tanh x
x = sech-1 y ~ y = sech x
y x
2:
O
Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de eX y e-X, no es sorprendente que las funciones hiperbólicas inversas puedan expresarse en términos de logaritmos naturales. Por ejemplo, considere y = cosh x para x 2: O; esto es, considere y=
x?:O
2
Nuestra meta es resolver esta ecuación para x, la cual dará cosh- 1 y. Multiplicando ambos miembros por 2ex , obtenemos 2ye X = eZx + 1, o x?:O
Si resolvemos esta ecuación cuadrática en ex, obtenemos eX
=
2y + V(2y? - 4 2
= y +
" ¡-z--; V Y~ - 1
La fórmula cuadrática da dos soluciones, la dada antes y (2Y - V (2 y)Z - 4)/2. Esta última solución es extraña ya que es menor a uno, mientras que eX es mayor que 1 para toda x > O. Así, x = ln(y + ~), de modo que x = cosh-1 y = ln(y
+ ~)
Argumentos similares se aplican a cada una de las funciones hiperbólicas inversas. Obtenemos los resultados siguientes (observe que los papeles de x y y se han intercambiado). La figura 3 sugiere las restricciones necesarias del dominio. Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la figura 4. senh-1 x = ln(x +
Vx 2
+ 1)
cosh-1 x = ln(x + ~),
x?:l
1 1+ x tanh- 1 x = - l n - 2 1 - x'
-1 < x < 1
sech-1 x = In
x ' ( 1+~)
O
Cada una de estas funciones es derivable. De hecho,
1
Dx senh- 1 x = -------
v?+l
1 D x cosh-1 X = - - - - - ~' Dxtanh
-1
_ 1 x - -----z' 1- x
-1 D x sech-1 x = ------x~'
x
> 1
-1 < x < 1 O
362
CAPITULO 7
Funciones trascendentales
2-
y = scith
Lv
2-
v=cosh Lv
1.5-2
-I
I-
X
2
-1-
0.5-
-2 0.5
32-
= ianh
(
I
I
1.5
I
2.5
3
v = sech
'.
2
x
Lv
2.5
2-I
-
0.5
1.5-
x 1
-2-3-
0.50.2
0.4
0.6
0.8
x 1
Figura 4 EJEMPLO 4
Demuestre que D senh' x = 1/\/x2 + 1 por medio de dos métodos
diferentes.
Solución Método 1 Sea y = senh1 x, de modo que senh y
x
Ahora derive ambos lados con respecto a x
1 = (coshy)Dy AsI,
Dy
D(senh1x) =
1
cosh
= Vi
+ senh2y Método 2 Utilice la expresión logarItmica para senh1 x.
1 + x2
D(senh1x) = Dln(x + Vx2 +
Una catenaria invertida
1
x +
=
Vx2 + 1 1
D(x+Vx2+1) /
x+Vx2+1\ 1+ Vx2+1J 1
-
U
x2 + 1
V
Aplicaciones: La catenaria Si un cable o cadena flexible homogenea se suspende entre dos puntos fijos a la misma altura, forma una curva denominada catenaria (figura 5). Además (véase el problema 53), una catenaria puede colocarse en un sistema de coordenadas de modo que su ecuación toma la forma
y = a cosh La catenaria
Figura 5
EJEMPLO 5
x = a.
Encuentre Ia longitud de la catenaria y = a cosh(x/a) entre x = a y
SECCIÓN
Solución
7.8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas
363
La longitud deseada (véase la sección 6.4) está dada por
1)1 + (~~r
dx
=
E~l + Senh2(~) dx
=
1)COSh2(~) dx
=
[2a scnh : J:
= 2a senh 1
>::::;
•
2.35a
Revisión de conceptos 1. Senh y cosh están definidos por senh x
y cosh
3. A consecuencia de la identidad de la pregunta 2, la gráfica de _ las ecuaciones paramétricas x = cosh t, Y = senh t es
2. En trigonometría hiperbólica, la identidad correspondiente _ a sen2 x + cos 2 x = 1 es
4. La gráfica de y = a cosh(x/a) es una curva denominada _ _ _; esta curva es importante como un modelo para _
x=
=
_
Conjunto de problemas 7.8 27. Y = senh- 1 (x 2 )
En los problemas del] al 12, verifique que las ecuaciones que se dan son identidades.
= coshx + senhx 3. e-X = cosh x - senh x 1. eX
2. e 2x = cosh 2x + senh 2x
29. y
= tanh- 1 (2x
31. Y
=
7. cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y 8. cosh(x - y)
=
9. tanh(x + y)
= ------
coshxcoshy - senhxsenhy
x)
35. Y = tanh (cot x)
5. senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y 6. senh(x - y) = senhxcoshy - coshxsenhy
- 3)
x cosh- 1 (3x)
33. y = In (cosh- I
4. e- 2x = cosh 2x - senh 2x
28. Y = cosh- 1 (x 3 )
y
=
30. y = coth- I (x 5 ) 32. y
=
x2 senh- 1 (x 5 )
34. y = cosh- 1 (cos x) 36. Y = coth- I (tanh x)
37. Encuentre el área de la región acotada por y = cosh 2x, = OY x = In 3.
O, x
En los problemas del 38 al 45, evalúe cada integral.
tanh x + tanh y
38. J'senh (3x + 2) dx
1 + tanh x tanh y
tanh x - tanh y 10. tanh(x - y) = - - - - - 1 - tanh x tanh y
40.
Jco~vz
dz
39.
41.
11. senh 2x = 2 senh x cosh x 42. / eX senh eX dx
12. cosh 2x = cosh 2 x + senh 2 x
43. / cosxsenh(senx) dx
En los problemas del 13 al 36, encuentre D~y.
13. Y = senh 2 x
15. y
= 5 senh 2 x
17. y = cosh (3x
+ 1)
14. y
= cosh 2 x
16. y
=
cosh 3 x
19. Y
=
ln(senhx)
20. y = ln(cothx)
=
x 2 cosh x
22. y
25. y
= tanh x senh 2x
45. / x coth x 2 In (senh x 2 ) dx
18. Y = senh (x 2 + x)
21. y
23. y = cosh 3x senh x
44. / tanh x In (cosh x) dx
=
x- 2 senh x
y
=
24. y = senh x cosh 4x 26. y
= coth 4x senh x
Yx
46. Encuentre el área de la región acotada por y = cosh 2x, O, x = -In 5 y x = In 5. 47. Encuentre el área de la región acotada por y In 2.
=
= senh x, y = O
364
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
48. Encuentre el área de la región acotada por y = tanh x, y = 0, x
= -8 Yx = 8.
49. La región acotada por y = cosh x, y = O, x = OY x = 1 se hace girar alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante. Sugerencia: cosh2 x = (1 + cosh 2x) I 2. 50. La región acotada por y = senh x, y = O, x = OYx = In 10 se hace girar alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante. 51. La curva y = cosh x, O:::;: x :::;: 1, se hace girar alrededor del eje x. Encuentre el área de la superficie resultante.
W 54. Llame a la gráfica de y
= b - a cosh (x la) una catenaria invertida e imagínela descansando sobre el eje x. Demuestre que si el ancho de este arco a lo largo del eje x es 2a entonces cada una de las afirmaciones siguientes 'es verdadera.
(a) b = a cosh 1
~
1.54308a.
(b) La altura del arco es aproximadamente 0.54308a. (c) La altura de una arco de ancho 48 es aproximadamente 13.
m 55. Un granjero construyó un gran pajar de 100 pies de largo y 48 pies de ancho. Una sección transversal tiene la forma de una catenaria invertida (véase el problema 54) con ecuación y = 37 - 24
52. La curva y = senh x, O:::;: x :::;: 1, se hace girar alrededor del eje x. Encuentre el área de la superficie resultante.
cosh(xI24).
53. Para deducir la ecuación del cable colgante (catenaria), consideremos la sección AP desde el punto más bajo A a un punto general P(x, y) (véase la figura 6) e imagine que el resto del cable se ha retirado. Las fuerzas que actúan sobre el cable son:
(b) Encuentre el volumen del pajar.
1. H
=
2. T
= tensión tangencial que tira en P;
3. W =
tensión horizontal que tira en A;
(a) Haga un dibujo de este pajar.
(c) Encuentre el área de la superficie de la bóveda del pajar. 56. Demuestre que A = t 12, en donde A denota el área en la figura 2 de esta sección. Sugerencia: En algún momento necesitará utilizar la fórmula 44 de las guardas del libro. 57. Demuestre que para cualquier número real r:
os = peso de s pies de cable de densidad b libras por pie.
Para estar en equilibrio, las componentes horizontal y vertical de T, deben equilibrar H y W, respectivamente. Así, T cos e/> = H YT sen e/> = W = os y así
(a) (senh x + cosh xY = senh rx + cosh rx (b) (cosh x - senh xY = cosh rx - senh rx (c) (cosx + isenxY
58. El gudermanniano de t se define como
gd(t) = tan -1 (senh t) Demuestre que:
Pero como tan e/> = dy Idx, obtenemos
(a) gd es impar y creciente con un punto de inflexión en el origen;
os H
(b) gd(t) = sen- 1 (tanht) = llsechudu
y por tanto d2 y
dx 2
= ~ ds
H dx
cosrx + i sen rx
(d) (cosx - isenxY = cosrx + isenrx
Tsene/> os - - - = tane/> = T cose/> H
dy dx
=
~ ~~1 + H
Ahora demuéstrese que y = a cosh(xla) + diferencial con a = H lb.
(d y )2 dx
e satisface esta ecuación
59. Demuestre que el área debajo de la curva y = cosh t, O :5 t :5 x, es numéricamente igual a su longitud de arco. 60. Encuentre la ecuación del Gateway Arch en San Louis Missouri, dado que es una catenaria invertida. Supóngase que descansa sobre el eje x, que es simétrico con respecto al eje y y que tiene 630 pies de ancho en la base y 630 pies de alto en el centro.
61. Dibuje las gráficas de y = senh x, y = ln(x + ~), y y = x, utilizando los mismo ejes y escalados de modo que -3 :::;: x :::;: 3 Y-3:::;: Y :::;: 3. ¿Esto qué demuestra?
rng y
T
~
62. Con referencia al problema 58. Deduzca una fórmula para gd- 1(x). Dibuje su gráfica y también la de gd(x) utilizando los mismos ejes y con esto confirme su fórmula.
Tsenif>
p Teos if>
_H---.-A.., • •• •
s: . u lb/pIes
x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. (ex - e-x) /2; (ex + e-x) /2 2. cosh2 x - senh2 x = 1 3. la gráfica de x 2 - y2 = 1 (una hipérbola) 4. catenaria; un cable (cadena) colgante
Figura 6
SECCIÓN
7.9
Revisión del capítulo
365
7.9 Revisión del capítulo Examen de conceptos
37. In(3 IOO ) > 100.
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
38. In(2x2
18) - In(x - 3) - In (x + 3)
-
In 2, para toda x en ~.
=
39. Si y crece de manera exponencial y si y se triplica entre t = OY
1. Inlxl está definido para todo real x.
t = t b entonces y también se triplicará entre t = 2t l Y t = 3t l .
2. La gráfica de y = In x no tiene puntos de inflexión.
40. El tiempo necesario para que x(t) = Ce- kl caiga a la mitad de In2 su valor es - k . In 41. Si y'(t) = ky(t) Y z'(t) = kz(t), entonces (y(t) + z(t))'
3.l ! e1
t
1
dt = 3
4. La gráfica de una función invertible y = f(x) es intersectada exactamente una vez por toda recta horizontal.
k(y(t) + z(t)).
5. El dominio de ln- I es el conjunto de todos los números reales.
42. Si Yl(t) y yit) satisfacen y'(t) = ky(t) + C, entonces también lo hace (YI(t) + h(t))·
6. In x I In y = In x - In y.
43. lím (1 - h
7. (lnx)4
44. Es ventaja para un ahorrador tener dinero invertido a15% compuesto continuamente en lugar de aI6% compuesto cada mes.
=
h--40
41nx.
8. In(2 e x+l) - ln(2e-t") = 1 para todo x en IR. 9. Las funciones f(x) = 4 + eX y g(x) = ln(x - 4) son inversas entre sí. 10. exp x + exp y
=
exp(x + y).
13. Si a < b, entonces ae X < be x. U
15. lím (In sen x - In x) X--40-
eiJ.
O.
=
17. -
d
dx
18.
J~dx
= In31xl +
20. Si f(x) . exp[g(x)]
=
e-l.
45. Si Dia X) = aXcon a > O, entonces a = e. Problemas de examen
2
12. Si a In x < b In x, entonces a < b.
< b, entonces e <
h
En los problemas del] al 24, derive cada función. x4 1.In 2. sen 2 (x 3)
11. Si x > y, entonces In x > In y.
14. Si a
t l/
3. e x2 - 4x
4. IOglO(X 5 - 1)
5. tan (In eX)
6.
7.2 tanhVX
8. tanh- I (sen x)
9. senh- 1 (tan x)
1
eln cotx
10. 2 sen -1 V 3x
=-
(In 7T)
7T
11. sec- I eX
e
13. 3 In (e 5x
= opara x = Xo, entonces f(x o) = O.
~
12. In sen 2 (
+ 1)
14. In(2x 3
-
)
4x + 5)
15. cos e Vr
16. In (tanh x)
17. 2 cos-1VX
18. 43x + (3X)4
19. 2 csc e 1nvr
20. (loglO 2x )2/3
21. 4 tan 5x sec 5x
22. xtan- 1
25. arcsen(sen x) = x para todos los números reales x.
23. x l + x
24.
26. Si a < b, entonces senh a < senh b.
En los problemas del 25 al 34, encuentre una antiderivada de cada función y verifique su resultado por medio de derivación.
21. DixX)
=
XX In x.
tan x + sec x es una solución de 2y' - y2 = 1. . 4. 4 23. Un factor mtegrante para y' + - y = eX es x. x 24. sen(arcsen x) = x para todos los números reales x.
22. y
=
27. Si a < b, entonces cosh a < cosh b. 28. cosh x 30. tan- l x
s; =
e1xl • sen- l xl cos- 1 x.
32. lím In (sen r--40
29. Isenh
X
x) = 1.
25. e3x - l
xl :::; e1x1 /2. =
31. cosh (In 3) I
r--4-OO
cosh x satisfacen la ecuación diferen-
+
x - 5
ex + 2 2 9X. -e +3 + 1
30. 4x cos x 2
4 31.------;===
32
VI -
35. f(x) = tanh x es una función impar. =
6x + 3 x2
34. sen-l(cosh x) está definida para toda x real.
36. tanto y = senh x como y cial y" + y = O.
t
(1 + x 2
28.
33.. lím tan- x = --2
2
26. 6 cot3x
t. 7T
x2
4x 2
-1 33.
X + x(Inx)
2
cos x • 1 + sen 2 x
34. sech 2 (x - 3)
366
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
En los problemas 35 y 36, encuentre los intervalos en los que f es creciente y los intervalos en los que f es decreciente. Encuentre en dónde la gráfica de f es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo. Encuentre los valores extremos y los puntos de inflexión. Después haga un bosquejo de la gráfica de f -7r
35. f(x) = sen x + cos x, 2
36. f(x) 37. (a) (b) (c)
x2 = ----;,-00
e
< x <
::; x
7r
::;
2
cia el aeroplano. ¿A qué tasa está cambiando el ángulo entre el haz de luz y el piso cuando este ángulo es de 30°?
41. Encuentre la ecuación de la recta tangente para y
=
(cos X )sen x
en (0,1). 42. Un pueblo creció de manera exponencial de 10,000 en 1990 a 14,000 en 2000. Suponiendo que continúa el mismo tipo de crecimiento, ¿cuál será la población en 2010? En los problemas del 43 al 47, resuelva cada ecuación diferencial.
00
Seaf(x) = x 5 + 2x 3 + 4x, -00 < x < oo. Demuestre que f tiene una inversa g = f-l. Evalúe g(7) = f~1(7). Evalúe g'(7).
43. dy + dx
~
dy
= O
44.--
x
x2
dx
dy
45. dx + 2x(y - 1) = O; Y = 3 cuando x = dy
-
2y
x
=0
o.
dy
ax
38. Cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 10 años. ¿Cuánto tiempo pasará para que 100 gramos decaigan a 1 gramo?
46. dx - ay = e
39. Si hoy se depositan 100 dólares en un banco al 12% de interés, ¿cuál será su valor al final de 1 año si el interés se compone como se indica? (b) mensualmente (a) anualmente (d) continuamente (c) diariamente
48. Supóngase que se infunde glucosa en el torrente sanguíneo de un paciente a una tasa de 3 gramos por minuto, pero que el cuerpo del paciente convierte y elimina la glucosa de su sangre a una tasa proporcional a la cantidad que esté presente (con constante de proporcionalidad 0.02). Sea Q(t) la cantidad presente en el instante t, con Q(O) = 120.
40. Un aeroplano vuela de manera horizontal a una altura de 500 pies, con una velocidad de 300 pies por segundo, alejándose directamente de un faro buscador en tierra. El faro se mantiene dirigido ha-
(a) Escriba la ecuación diferencial para Q.
47. dx - 2y
= eX
(b) Resuelva esta ecuación diferencial. (c) Determine qué le sucede a Q a la larga.
7.10 Problemas adicionales ~ Aquí exploramos el interés compuesto. En la sección
7.5 vimos que una cantidad de dinero A o en el banco a un interés de 100%r anual compuesto de manera continua crece a A(t) = Aoe rl , cuando t se mide en años. En los problemas del 1 al 5, investigamos otros escenarios financieros. 1. Encuentre el valor de 1,000 dólares al final de 1 año cuando el interés se compone de manera continua al 5%. Esto se denomina valor futuro. 2. Supóngase que después de un año usted tiene 1000 dólares en el banco. Si el interés se compuso de manera continua a15%, ¿cuánto dinero depositó en el banco un año antes? Esto se denomina valor pre· sente. 3. En muchos casos, usted gana dinero depositándolo en una cuenta bancaria a intervalos regulares. El dinero en el banco por lo general genera interés que se compone de manera continua. Supóngase que deposita 100 dólares cada 30 días y éste genera interés de 5% compuesto continuamente. Después de 60 días tendrá 100eo.05 · (60/365) + 100eo.05 . (30/365). (a) ¿Cuánto dinero tendrá después de 360 días? (b) ¿Puede crear una fórmula compacta que proporcione esta cantidad? 4. Una anualidad es dinero que puede retirar del banco a intervalos regulares. Con frecuencia quiere calcular la cantidad de dinero que debe depositar al inicio para poder retirar una cantidad dada durante cierto número de meses. Supóngase que quiere retirar 144 dólares cada 30 días durante 3,600 días (~ 10 años) de su cuenta, la cual ge-
nera interés del 5%. Supóngase que al final no tendrá dinero en el banco. (a) Demuestre que si el interés se compone cada 30 días, entonces el depósito necesario A o sería 1 - [1
Ao
= 144
+ 0.05 . (30/365)
r
lO
.(365/30)
0.05 . (30/365)
(b) Encuentre una fórmula para A o si los pagos se hacen cada 30 días, pero el interés de15% se compone continuamente. 5. La regla del 70 da una estimación rápida del tiempo que tarda su dinero en duplicarse cuando genera interés de manera continua. La regla establece que si le toma T años duplicarse al dinero en el banco, entonces T ;:::: 70/(tasa de interés dada en por ciento). (a) Demuestre que T satisface la ecuación Aüe rT = 2A ü, donde r es la tasa continua de interés. (b) Demuestre que T ;:::: 70/(100r). (c) Estime cuántos años le tomaría duplicarse el dinero que genera interés al 7%. ~ Además de proporcionar una manera fácil de derivar productos,
la derivación logarítmica también provee de una medida de la tasa de cambio relativa o fraccional, definida como y'/y. En los problemas del 6 al1 Oexploramos este concepto.
6. Demuestre que la tasa de cambio relativa de él como una función de t es k.
SECCIÓN
7. Demuestre que la tasa de cambio relativa de cualquier polinomio se aproxima a cero cuando la variable independiente tiene a infinito. 8. Demuestre que si la tasa de cambio relativa es una constante positiva entonces la función debe representar crecimiento exponencial. 9. Demuestre que si la tasa de cambio relativa es una constante negativa entonces la función debe representar decaimiento radiactivo. 10. El número de condición para una función proporciona una medida de cómo el error en la entrada se refleja como errores en la salida. Supóngase que la entrada af(x) en x = 1.00 sólo se conoce a ±0.01. ¿Cómo se refleja este margen de error en el cálculo de f(x)?
7.10
Problemas adicionales
367
(b) Obsérvese que, si y = Cb x entonces In y = In C + x In b, explique por qué todas las curvas en la figura 1 son rectas que pasan por el punto (O, 1). (c) Con base en la gráfica semilogarítmica de la figura 2, determine C y b en la ecuación y = Cb X •
y
10
8
(a) Demuestre que el error relativo en f(x) debido a un error relativo en la entrada de tamaño L1x es
f(x +
~x)
f(x +
- f(x)
~x)
~x
f(x)
- f(x) . f(x)
(x +
~x)
x
- x
(b) Tomando límites de la expresión anterior, justifique por qué uno podría decir que si Pi = error relativo en f(x) y Px = error relativo en x entonces Pi ;:::; x .
.d d L a cantl a
X·
d ln(¡(x)) dx . Px
Hasta ahora, nuestra experiencia al graficar se restringe al uso de coordenadas espaciadas de manera estándar (linealmente). Cuando se trabaja con funciones exponenciales y logarítmicas puede ser más instructivo utilizar escalas logarítmicas o log-log. En los problemas 11 y 12 exploramos estas técnicas. [§Q 11. En un solo conjunto de ejes, utilice su calculadora para dibujar las gráficas de y = 2X, Y = Y YY = 4x en el intervalo O < x < 4. Haga lo mismo con las funciones inversas y = 10g2 x, y = 10g3 X Y Y = 10g4 x. Si utilizamos un programa de cómputo para graficar que permita el uso de ejes semilogarítmicos (una escala logarítmica en el eje y y una escala normal en el eje x) para graficar las funciones y = 2X, Y = 3X y y = 4X en la región -5 < x < 5 (véase la figura 1) obtenemos tres rectas. (a) Identifique cada una de las curvas de la figura 1. y 100 10
0.1
0.01
Figura 1
-2
0.4
0.6
x
0.8
Figura 2 12. Si utilizamos una escala logarítmica para el eje x así como para el eje y (llamada gráfica log-log) y se hace la gráfica de varias funciones potencia, también obtendremos rectas. Utilizando el resultado de que, después de tomar logaritmos, y = cx r se transforma en log y = log C + r log x, identifique las ecuaciones que se graficaron en la figura 3.
d In (¡(x )) d . , d d' ., dx se enomma numero e con lcwn
del cálculo. (c) Encuentre el número de condición para calcular eX.
-4
0.2
·X
O
4
x
y 80 70 60 50 40 30 20 10 8 7 6 5 4
3
x 10
Figura 3 13. En 1895 una ecuación fue deducida por Korteweg y de Vries para una onda marina de amplitud finita que se mueve sin cambiar en forma de canal. Tales ondas, denominadas solitones, desempeñan un papel muy importante en propagación de señales en fibras ópticas. Si usted se mueve con la onda, la forma satisface la ecuación diferencial ordinaria no lineal T//(x) = T/(x) T//(x) + T/"'(x). Esta ecuación puede integrarse una vez y después multiplicarse por T//(x) e integrarse nuevamente para obtener 3T/2 = T/3 + 3( T//f (b) Verifique que la forma de la onda está dada por la función sech 2, demostrando por sustitución que T/ = 3 sech2(x /2) satisface la ecuación. [§Q (b) Haga una gráfica de la función T/ = 3 sech 2(x/2) para el dominio (-5,5) Yverifique que parece una onda marina.
PROYECTO DE 7.1 PROYECTO DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 7.1
Funciones especiales 1.I. Preparación Preparación Hernos Hemos visto visto varias varias funciones funciones que que se se definen definen por por medio medio de de integrales. integrales. El El proprotecnología 5.2 nos mostró mostró Ia la yecto de tecnologIa función integral integral seno seno yy las integrales de integrales Fresnel. En este este capItulo capítulo definimos definimos el una integral. integral. logaritmo natural como una En muchas muchas aplicaciones aplicaciones tenemos tenemos una función función continua continua ff que no posee una antiderivada sea función función elemenelemenantiderivada que sea tal, se necesita necesita su su antiderivada. antiderivada. tal, pero se ¿Cómo podemos este cacai,Cómo podemos proceder proceder en este so? El primer teorema fundamental del cálculo función F deficálculo nos nos dice que la funciOn nida por
fX F(x) = ¡Xf(t) dt
(1)
es una antiderivada antiderivada bien definida. Esto es cierto exista o no una antiderivada elepara f. f. El El lImite límite inferior inferior aa se se elimental para compatible con con Ia la ge como un valor fijo compatible tradición histOrica histórica particular particularpara paraLa la aplitradición cación específica. caciOn especIfica.
Ejercicio 11 Definimos DefinimosLa la función función logaritmo natural como
Ix'1
I
x
lnx = -dt dt Inx=J t
(2)
1
Para Ia la función logaritmo natural, identifique f,f, F yYaa como como se se utilizó utilizó en la tifique ecuación (1).
Ejercicio Ejercicio 2 Con base base en enLa la ecuaciOn ecuación
!!...- In xx yy lnIn 1.1. (2), evalúe evalue -a--In
Para función función error, error,identiidentiEjercicio 33 Para como se se utilizó utilizó en en Ia la ecuaecuafique f, f, FF yYaacomo ción (1). ciOn
Ejercicio Utilice la la ecuaciOn ecuaClOn (3) Ejercicio 4 Utilice d
para evaluar dx- yy erf(0). erf(O).
11. Uso de Ia la tecnología II. Uso tecnologIa Ejercicio Unafunción funciónespecial especial que que Ejercicio 55 Una probabilidad es es aparece en probabilidad
P(x)
.¡X fXé_12/2:dt e- 2/2 dt V21T Joo y'2; i 11
= --
Utilice su la integral su SAC para evaluar Ia anterior. i,Cuál ¿Cuál es el resultado?
Si su su sistema sistema le le da una resEjercicio 6 Si puesta en puesta en términos términos de de Ia la función error, error, haga un cambio apropiado de variables paes correcta. ra verificar que la respuesta es función especial que Ejercicio 71 Otra función aparece en probabilidad es
LXt212 Q(x) e- 2 2 dt Q(x) = -1 + -1- ¡X 2 y'2; V2 o 1
Esta función dominio (-00,00), función tiene dorninio (oo, oo), y
x. Haga Haga una gráfica gráfica de de Q(x) Q(x) y de de Q'(x). Q'(x). x. Ejercicio 8 Estime los los lImites límites siguientes:
lIm erf(x) lím
-*= xx..... oo
ción abrevia erf, erf,yyse sedefideficiOn error, error, que se abrevia ne como necomo
x ..... oo
erf(x) erf(x)
368
Px (X
= V1i Jo/ e-? e dt Jo
lim Q(x) lím
lIm Q(x) lím " ..... -00
(3)
/
proporciona area bajo proporciona elel área bajo la la curva curva 12 2 (1/V2)et2/2 yy = (1/v'21T)e/ ya la izquierda de y a Ia
dx Otra función función especial especial Util útil es es la la funfun-
2
1
mediante mediante la la evaluación evaluación de de erf(2), erf(2), erf(3), erf(5), erf(6), erf(6), etc. Sugerencia: Las erf(4), erf(5), respuestas exactas son simples enteros.
111. Reflexión
por qué Q(x) Ejercicio 99 Explique Explique por Q(x) ejercicio 7 tiene una una inindefinida en el ejercicio da el el valor de x que hace versa. (Q-l(y) (Q1(y) da región bajo de de la que la region Ia curva (1/\i21T)e- N2,'2 a la izquierda de xx y = (1/V2ir)e área de de y.) y.) tenga un area Ejercicio 10 4Cuáles son el dominio dorninio y el el rango rango de (a) ¿Cuáles Q-l(X)? (b) Haga un bosquejo de Ia la gráfica gráfica de
Q-l(x). Q°(x). (c) Encuentre (Q-l)'(O). (Q1)'(0). Ejercicio 11 11 Defina
[ Lx
cost G(x) G(x) = {X cost 2dt dt t J_ 1 ++ t2 Deduzca tantas tantas propiedades propiedadesconio comopuepueda de esta función. (Por ejemplo, esta función. (Por ejemplo,su sudederivada, G(0), G(O), simetrIa, simetría, el lIrnite límite cuando xx ~ - 00, existencia existencia de una inversa, etcétera.) La biblia biblia para para funciones funciones especiales especiales es Handbook Handbook ofofMathematical MathematicalFuncFunctions with with Formulas, Graphs, Graphs, and andMathMathematical editado por Milton ematical Tables, Tables, editado Milton Abramowitz ee Irene Irene A. Stegun. Abramowitz Stegun. Este gran libro tiene más de 20 capítulos capftulos que analizan las funciones especiales comunes en aplicaciones aplicaciones cientIficas, científicas, muchas cuales están están definidas por medio de de las cuales integrales. Aparece Aparece citada un vasto integrales. vasto nünúmero de veces en la literatura cientIfica científica y usted podrIa podría considerar considerar comprar su copia de la ediciOn edición en rüstica. rústica.
7.2 PROYECTO DE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 7.2
PROYECTO
Creamiento poblacional Crecimiento poblacional yy minimos mínimos cuadrados cuadrados e intersección
I. Preparación 1. Preparación Una poblaciOn que crece crece de manera manera exponencial exponencial satisface satisface población que P == Poekt, P~', donde P0 Po es el tamaño de de Ia la población población en en el el insinstante t = = 0OY y k es logaes Ia la tasa de de crecimiento. crecimiento. Si tomamos el ellogaritmo de ambos lados, obtenemos
lnP In P == lnP0 In Po + kt kt significa que In P contra t es una recta Esto significa que la Iagráfica graficade deyy == In con pendiente k ee intersección intersección con el eje vertical vertical In P0. Po. Este hecho puede utilizarse para aproximar aproximar ci el crecimiento crecimiento constanIc te k yy el el tamafio tamañoinicial inicialde deLa la poblaciOn población P0. Po. Ejercicio 11 La tabla siguiente muestra un un tamaflo tamaño de de poblapoblación 1,2,3,4. para calcular calcular el ciOnpara paratt = 1,2, 3,4. Utilice una calculadora para logantmo natural logaritmo natural (con (con dos dos decirnales) decimales) de cada tamaño de popopuntos (t. (t, In P). blación y llene Ilene la Ia tabla. tabla. Después Después grafique los puntos tt
P
1 2 3 4
75 141 141 264 523
y=InP y= InP
Ejercicio 22 Considere Considere los los datos datos del del ejercicio ejercicio 1. 1.
(a) Haga un bosquejo de la Ia recta recta que parece ajustarse mejor a estos cuatro puntos. (b) Aproxime Ia la pendiente yy Ia la intersección con ci el eje eje vertivertical. (c) Utilice su su aproximación aproximación de de la Iaparte parte (b) (b) para para determinar determinar P términos de en términos del.t. (d) Utilice su respuesta de (c) para predecir predecir el tamaflo tamaño de la Ia poblaci6n para = 5. 5. blación para tt =
II. Uso de la 11. Ia tecnología tecnologIa Ejerciclo 3 En Ia Ejercicio la secci6n la recta de ml0lÍsección 4.4 4.4 establecimos establecimos que Ia nimos cuadrados de los puntos (x¡, (x,, y¡) y.) tiene tiene pendiente
b= b=
n ~X¡y¡
I
()( (n )2
1 (" - -;; ~X¡ )(" ~y¡ )
n - -1 ~x¡ fl n \7j
~X¡ i=l
¡=1
1
a
n
b
H
n
= - ~ Yi i=l
-
-
n
nH
~ Xi
i=l
Utilice estos resultados para determinar Ia la recta de de mInimínimos cuadrados para para los los datos datos del del ejercicio ejercicio 1, 1, y grafique Ia la recmínimos cuadrados cuadrados en en elel diagrama diagramade dedispersiOn. dispersión. ta de mInimos Utilice su recta de mInimos cuadrados para para expresar expresar a P Utilice su mínimos cuadrados como una funciOn función de t y prediga de Ia la pobIación población prediga el tamaño de = 5.5. para el ci instante instante tt = Ejercicio Ejercicio44 La Latabla tablasiguiente siguiente muestra muestra ci el tamaflo tamaño de Ia la popo(en millones). millones), de de Estados EstadosUnidos Unidosde de1790 1790aa1990. 1990. blación, P (en
Año
tt
P P
1790 1800 1810 1820 1830 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
11 2 33 4 55 6 7 88 99 10 10
3.9 5.3 7.2 9.6 12.8 17.1 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9
11 11
yY ==InInP P
Aho Año
tt
P P
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
12 13 13 14 14 15 16 17 17 18 19 19 20 20 21
76.0 92.0 106 123 132 151 179 203 226 249
yy= = InInP P
Calcule yy == inIn PPyy grafique grafique las las parejas ordenadas ordenadas (t, y). Encuentre la recta de de mInimos mínimos cuadrados cuadrados yy grafIquela grafíquela en en el el diadiaduentre Ia grama de dispersion. dispersión. Utilice su recta recta de de regresiOn regresión lineal para como una unafunciOn función de t y utilice expresar aa PP como utilice esta relación pael tamaño de la población de Estados Unidos para ra predecir ci ci año el año 2010. 2010.
III. 11I. Reflexión Reflexión Ejercicio 5 Para los datos de Ejercicio de Ia la poblaciOn población de de Estados Unidos, haga haga una una gráfica gráfica de de dispersión dispersion de (t, P) P) y, y, en La la misma misma venyentana de graficación, graficaci6n, grafique La la curva curva que que predice predice el ci tamaño poblaciOnPP como como una funciOn de La la población funci6n de t. Analice qué tan hien bien el modelo se ajusta a los datos, en especial para años recientes. recientes. dispersion de (t, y) sugiere Ejercicio 6 El diagrama de dispersión sugiere que queLa la pendiente cambiO cambió al al inicio inicio del del siglo sigloxx. xx.Utilice Utiice este diagrama de dispersion dispersión para estimar estimar cuándo cuándo ocurriO ocurrió este camhio. cambio. Despues utilice utilice los los datos datos aa partir partir de ese punto para predecir el tapués maflo de la Ia población poblaciOnde de Estados Estados Unidos para el maño el año año 2010. 2010. Compare su respuesta con Ia la respuesta dci del ejercicio 4. 4.
369
El cálculo: aa er... El
.-." ohann Bernoulli es, es, quizá, el el más más
J
entera de de famoso de una familia entera
Por lo lo matemáticos. Por productivos matemáticos. Johann menos ocho menos ocho matemáticos prominentes
Johann
XVIII tenían apellido suizo suizo del siglo XVIII terilan el apellido
Bernoulli 1667·1748 1667-1 748
se dice que todavIa todavía hay hay de Bernoulli yy se
matemáticos matemáticos activos activos de de ese ese linaje. linaje. Sin Sin embargo, tanto talento talento matemático matemático embargo, familia puede puede no no ser ser una una en una farnilia bendición completa, completa, como como veremos. veremos. Johann yy su su hermano hermanoJacques Jacques después de fueron, después de Newton yy de más importantes padres Leibniz, Leibniz, los más importantes padres Los dos dos fundadores del del cálculo. cálculo. Los fundadores
hermanos compitieron con a hermanos con vigor, vigor, yya menudo amargamente, por por el el
reconocimiento, aunque continuaron reconocimiento, con su su correspondencia entre con entreSi sí yy con con
....yhoyendia y hoy en día
Leibniz en en relaciOn relación con con las las
Los Los programas programas de de software software como Mathematica, Derive, Derive, Maple y Theorist pueden crear hermosas hermosas figuras de objetos objetos matemáticos. matemáticos. También realizar muchos muchos También pueden realizar tipos de cálculos cálculos incluyendo integración integraciOn simbólica.
matemáticas. Johann reclamaria reclamaría resultados que hablan habían sido sido descubiertos descubiertos por por Jacques Jacques (o por otros) otros) yy
Jacqueslele pagaría pagarla con con la Ia misma misma moneda. moneda. Los Los intentos intentos de Leibniz para Jacques
sirvieron para enredarlo en en los los argumentos. argumentos. mediar entre entre ellos ellos sOlo sólo sirvieron
Hasta Daniel, el el hijo de Johann, Johann, quedó quedO envuelto envuelto en en el el conflicto conflicto y fue Hasta Daniel,
obligado aa dejar un premio por el que el hogar hogar cuando cuando ganO ganó un que su su padre dejar el competia. un récord record infeliz para una familia tan Fue un tan competía. Fue
Q Decl&re.t~on3
o { .... (~ ...~.J~
verdaderamente notable.
of·,,(~.;Jld,l • o
o
f·.. (il.~jd
...
f·..
•
o
o f'(l".-'IJ'
, .
Los Bernoulli Bernoulli abordaron toda Los toda clase clase de problemas
••3"J."4)4...
e f·.-.-(~ ..JrdZ
f"
básicosdel del cálculo, cálculo, incluyendo incluyendo puntos de inflexiOn, básicos inflexión,
o
_/",'",'''',32''' .o(!l53.'Je119140ZJI9J4
longitud de infinitas yy técnicas longitud de curvas, curvas, series series infinitas técnicas de *V
*'
[- .fl*)*
integraciOn. Johann Johannescribió escribióelelprimer primer libro libro de de texto texto de integración. cálculo entre 1691 1692,pero pero laa parte relativa 1691 yy 1692, relativa aa cálculo cálculo cálculo integral no Ia de de cálculo cálculo integral no se se publicO publicó sino hasta 1742 1742 y la diferencial hasta el contrario, Guillaume diferencial hasta 1924. 1924. Por el GuillaumeF. F. A. de de
l'Hopital, discipulo publicOelel primer primer texto texto de de I'Hópital, discípulo de Johann, Johann, publicó cálculo en en 1696. 1696. Fue Fueuna unaforma forma un un poco poco alterada del cálculo trabajo de de su su maestro. Quizála Quizá la influencia influenciade deJohann Johann se se manifiesta mejor mejor en en otro otroyymás másfamoso famosode desus sus discIpulos, discípulos, Leonhard Euler. Euler. LJ
I
I
I
Técn icas
de integraciOn 8.1
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
Integración por sustituciOn Algunas integrales trigonométricas Sustituciones para racionalizar Integración por partes IntegraciOn de funciones racionales RevisiOn del capItulo Proyecto de tecnologIa 8.1
Integración por medlo medio de un sistema de algebra computacional IogIstica Proyecto de tecnologIa 8.2 La ecuación diferencial logIstica
8.1
Ahora, nuestro repertorio de funciones incluye a todas las funciones elementales. Estas
Integración por IntegraciOn
son las funciones constantes, las funciones potencias, las funciones logarItmica y exponencial, las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y todas las
S U St itu itu ciO ci on n
funciones obtenidas a partir partir de de ellas ellas por por medio medio de de suma, suma,resta, resta,rnultiplicaciOn, rnultiplicaciOn,divisiOn division y composiciOn. AsI,
f(x)= g(x)
ex + e_x 2
= coshx
1/2 (1 ++ cos4x) cosx)12
3x2-2x
h(x) =
in(x2 ln(x2 + 1)
sen[cos (cosh x)] sen[cos(coshx)]
son funciones elementales.
La derivación derivaciOnde deuna unafunción funciOnelemental elementalesesdirecta, directa,solo sOlo requiere requiere dede Unun1150 uso sistemático de las reglas que hemos aprendido. Y el resultado siempre es una funciOn elemental. La integraciOn integración (antiderivación) (antiderivaciOn)es esun unasunto asuntomuy muy diferente. diferente. Implica Implica unas unas cuantas técnicas y una gran cantidad de trucos; y lo que es peor, no siempre se obtiene una funciOn función elemental. elemental. Por Por ejemplo, ejemplo, se sabe que las antiderivadas de e_X e_x yy (sen (sen x)Ix x)Ix no son funciones elementales. Las dos técnicas principales principales para para integraciOn integración son sustitución (secciones 8.1 a 8.3) 8.3) yy la integración por partes (sección (secciOn8.4). 8.4).El Elmétodo métodode desustituciOn sustituciOnse seintrodujo introdujoen enlas las revisamos secciones 5.1 y 5.8; lo hemos utilizado en ocasiones en los anteriores. AquI, revisarnos el método y lo aplicamos en una amplia variedad de situaciones.
371
372CAP1TULO 372 CAP1TULO 8 8
Técnicas de de integraciOn integraciOn
Por ültimo, ültimo, en en la la secciOn sección 8.5, 8.5, analizamos el problema problema de de la la integraciOn integración de una función racional, Aprenderemos funciOn racional, esto esto es, es, un un cociente cociente de dos funciones polinomiales. Aprenderemos que, en teorIa, siempre podemos realizar tal integración integraciOnyyque queelelresultado resultadoserá seráuna una función elemental. funciOn elemental.
Formas estándar
El uso eficaz del método uso eficaz método de sustitución sustituciOndepende dependede deLa la pronta pronta disponibilidad de una lista de integrales conocidas. Una de tales listas (pero demasiado grande para memorizarla) aparece aparece dentro dentro de de Las las guardas guardas de de este este libro. La lista más breve que se muestra a continuaciOn continuación es tan ütil Utilque quepensamos pensamos que que todo todo estudiante estudiante de de cálculo debe memorizarla. memorizarla.
Formas integrales estándar Constantes, Potencias
1.
I k du = fk
ku + C
J
I
2.
J
r r-1
+ +C
r=-1 r=1
lnu+C
aU au au du = II au ma J
fsen u du = cos u + C
6.
fcos /cos u du =
sen u + C
fsec2udu fsec2u du
8.
fcsc2udu /csc2u du
cotu + C
3.
II eu e' du du = eu e' J
Funciones trigonométricas
S. 5.
7.
j
+C
tanu + C
sec u tan u du = sec u + +C c
9.
ftanudu du 11. ftanu ii.
=
1ncosu + C
=
+ C, a
10.
/csc csc u cot u du
12.
/cotudu fcotu du
f
1
13 13.
rr++ 1
du =
4.
Exponenciales
Funciones algebraicas
r+1
I r du fur
=
=
1, a > 0
csc u + C
1nsenu + C
du du 1 +C =sen sen 14. +C --tan1I - +C a / V2 J - u2 = a2+u2a tan' I\\aJ (u\ + C ==1cos1l I du (a\I + C /I = 1asec1t sec'I\aJ cos'I \a) a
I
I
u\/ua
senh u du = cosh u + C
cosh u du = senh u + C
17.
SustituciOn en integrales indefinidas Supóngase SupOngase que que se enfrenta a una integración integraciOnindefinida. indefinida.Si Sies esuna unaforma formaestándar, estándar,basta bastacon conescribir escribirIa la respuesta. respuesta. Si Si no, no, büsquese una bUsquese una sustituciOn sustitución que queLa la cambie a una forma estándar. estándar. Si Si La la primera primera sustituciOn sustitución que intente no no funciona, funciona, intente intentecon conotra. otra.Tener Tenerhabilidad habilidadenenesto, esto,aL al igual igualque queen enLa la mayorIa de Las las actividades actividades que que valen la Ia pena, dependen de La la práctica. práctica. El método EL métodode desustituciOn sustitución se se dio dio en en el el Teorema Teorema5.8A S.8AyysesevueLve vuelve aa establecer estableceraqul aquf para una fácil referencia. Teorema A SustituciOn en integralrcS in 1n
Jea g una fur ic:ion iOn & "U U 2(r),
ab1e y supOm able supomgase que F S UI .a antiderivada de f. Entonce El
I Ix lx j cos(x)
ff( (x))g'1r; ff( (x))g'(; EJEMPLO 11
Encuentre
fin CS
=
I
2
2
u)du =
I,
(u) +
= F(g(x)) + C
dx.
Solución Analice esta esta integral por por unos unos momentos. momentos. Como Como 1/cos2 x = sec2 x, puede recordarse de La la forma formaestándar estándar fsec2 fsec2 uu du. du. Sea Sea uu = x2, x2, du = 2xdx. Entonces
SECCION 8.1
I
x dx =2 Jcos2(x2)
Solución
I \/59x
dx.
J
Sea u = 3x, por lo que du = 3 dx. Entonces,
Considere / v' 1
.
tan2(x2) + C
2
Encuentre
3
IVs9x dx=I
U2
du=sen
U
5
/ 3x \
.
= sen1,,7_) + c 1
EJEMPLO 3
Encuentre /
6e1
Solución
dx.
x2
J
Considere feu du. Sea u = 1/x, por lo que du = (_1/x2) dx. Entonces,
f6'x2
1
dx = _6f e1/x(2 dx) = _6feudu = _6eu + C =
EJEMPLO 4
Solución
373
2x dx = f sec2u du
1 cos2(x2)
_1- tan u + C = EJEMPLO 2
IntegraciOn por sustituciOn
Encuentre
Considere
f J 4 + 9e2 e
1
I a +u2 2
+C
dx.
du. Sea u = 3ex, por lo que du = 3ex dx. Entonces,
ex
dx = f f J 4+9e2x
1
1
(3ex dx)
=314 -__)+C =tan-1/u) +C=tan 1/3ex\ + u2
3 1
1
1
.
Ninguna ley dice que usted tiene que escribir de manera explIcita la sustitución de u. Si usted puede hacerlo mentalmente, está bien. He aquI dos ilustraciones. EJEMPLO 5
Solución
fx3Vx4 + 11 dx.
Encuentre
Mentalmente, sustituya u = x4 +
fx3Vx4 + 11 dx =
11.
f(x4 + 11)'2(4x dx)
14+ii)32+c =(x 1
EJEMPLO 6
Solución
Encuentre I
a"
J cos2 t
.
dt.
Mentalmente, sustituya u = tan t.
I
atant
cos2t
dt=
/atant(sec2 t dt)
atant
-
.
374
Técnicas de integración
CAPiTULO 8
ManipulaciOn del integrando Antes de que haga una sustitución, debe encontrar Util volver a escribir el integrando de una forma más conveniente. Las integrales con expresiones cuadráticas en el denominador, con frecuencia pueden reducirse a formas estándar completando el cuadrado. Recuérdese que x2 + bx se convierte en un cuadrado perfecto por medio de Ia suma de (b/2)2. EJEMPLO 7
Encuentre /
2
x + 25
dx
Soluciôn
dx=
Ix2 - x + 25
7
/ x2 - 6x + 9 + 16
=7!1
1
j (x-3)+4
=
3)
tan_i(x
dx
dx
+c
Mentalmente hicimos Ia sustitución u = x - 3 en el Ultimo paso.
Cuando el integrando es el cociente de dos polinomios (es decir, una función racional) y el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, siempre primero divida el denominador entre el numerador. EJEMPLO 8
fx2
Encuentre I I
x-2
dx.
Solución Por medio de Ia division larga (véase Ia figura 1),
-x
x+1
x
x+1
x2x
x2 + x
2
x+1
- 2x
- 2x - 2
x+1
De aquI que,
x+1 dx= I(x-2)dx+21Jx+1 I x2x
2
1
Figura 1
1
1
J
dx
=-2x+2Ij x+idx 1
x2 2
2x+21nx+fl+C
Sustitución en integrales definidas Este tema se cubrió en Ia sección 5.8. Es igual a! de Ia sustitución en integrales indefinidas, pero debemos recordar hacer el cambio apropiado en los lImites de integración. EJEMPLO 9
EvalUe
/t\/t2 - 4 dt.
Solución Sea u = t2 - 4, con lo que du = 2t dt; obsérvese que cuando t = 2, u = 0, y cuando t = 5, u = 21. AsI,
/5tVt2 - 4 dt =
L:t2 - 4)'2(2t dt) u'2du r1
= [3- u
1211
- -3 (21)3/2
32.08
.
Integración por sustitución 375
SECCION 8.1
Uso de tablas de integrales Nuestra primera lista de formas estándar es muy corta (17 formulas); Ia lista en cubierta final de este libro es más larga (113 formulas) y potencialmente más Util. Obsérvese que las integrales listadas allI están agrupadas de acuerdo a tipos. Ilustramos el uso de esta lista. EJEMPLO 10
Encuentre
f
r/2
V6x - x2 dx y f (cos x)V6 sen x - sen2 x dx.
Soluciôn Utilizamos Ia formula 102 con a = 3.
fV6x - x2dx
V6x - x2 +
2
3)
sen_1(x
+
En Ia segunda integral, sea u = sen x, de modo que du = cos x dx. Entonces aplicamos de nueva cuenta Ia formula 102. r/2
cos x\/6 sen x - sen2 x dx
L
=L V6u - u2du u2+sen1 2
_[u_32 V6u
u
(
= - v'+9sen _"2
9 ) \3j 2sen'(l)
(
2
.
1.55
Tablas de integrales mucho más extensas se pueden encontrar en Ia mayorIa de las bibliotecas. Una de las mejor conocidas es Standard Mathematical Tables, publicada por Ia Chemical Rubber Company.
Revision de conceptos 1. La sustitución u = 1 + x3 transforma f3x2(1 + x3)5 dx
[r/2 3. La
sustitución
u
1 + sen x
transforma Jo
(1 + senx)3cosxdxen
en
2. La sustituciOn u =
enfl/(4
transforma
fex/(4
+ e2x) dx
4.
+ u2)du.
Para evaluar la integral
fl/(x2 + 2x + 2)dx, nosotros
en el denominador.
Conjunto de problemas 8.1 En los problemas deli al 54, realice las integraciones indicadas.
(x-2)5dx
1.1
2.
2
3. f x(x + i) dx 5.
[ I
fV3xdx
j xVi ex
x2+4 fdx x x2 +
4.
6. 12+ dx
8.
9.
f
2t2
2t2 + 1
fZv
+ z2 dz
I tanz dz J CO5Z 2
x2 dx
sen
dx dt
13. f 15.
Jo
dt
cosx dx 1 + sen2x
10. f
V2t + 1
dt
12. fecosz sen z dz
14.
2x dx
f Vi - x4 [3/4 senVi
16
Jo
-
\/1 - x
dx
376
CAPITULO
17.
3x2 +
Jr 1
19.
2xf
Técnicas de integraciOn
8
x+1
dx
sen(1n4x2)
I
J
18.
dx
x
21.
J16ex Viex dx
23
Jf Viex dx
20.
f
x3 + 7x
x-1
f
dx
sec2(lnx) 2x
dt
M.
-9
t V'2t
I
tan
J \/sec2 x - 4
dx
En los problemas de155 al 66, utilice la tabla de integrales de laspáginas finales del libro, quizá combinadas con una sustitución, para realzar las integraciones que se indican.
dx
x
22
fx4+4 dx
ss. f xV3x + 2 dx
24
fx+4 dx
J 9-16x2
3e2x
f
dx
56.
f2tV3 - 4t dt
58.
I
dx
5x2-11
/6 f1t 312
25.
27
29.
f
dt
26
senx - cosx sen x
dx
28.
fex sec ex dx
f
-t-1
t2 cos(t3 - 2)
dt
sen (t - 2) 3
cos2(t3 - 2)
/t2sen (t - 2) 3
2
1
61.
63.
dt
dt
34.
dx
I
dt
J Vt2 + 2t
-
V16 -
dt
62.
ft2v3 + 5t2 dt
64.
f
Vx +2x-3 dx x+1
sentcost
\/3 sent + 5 dt senx
/ dx 66. f cosxV5 - 4cosx
fl + cos 2x sen2 2x
dx
Encuentre La longitud de La curva y = in (cos x) entre x = 0
yx =
csc2 2t
36.
38.
1+4t2
60. f
J \/5 + 3x2
65. 1
(6t - 1)sen\/3t2 - t -1
2
sen(4t - 1) dt 1 - sen2(4t - 1)
fx2V9 - 2x2dx
dx
secx
V3t2
f
59.
30. fex sec2(ex) dx
1 sec3x + eSe
J
sen x dx
L
dt
Vi + cot 2t
EstabLezca La identidad
secx=
f(t + 1)e_12_21_5 dt
senx cosx + cosx 1 + senx
y después utiLIceLa para deducir La fOrmula
39Ifdt \/16
- 9y4
41.
dy
fx2 senh x3 dx
40.
fcosh3xdx
42.
J V9-4x
fe3' dt J V - e6' 45. I Jo
sen x
16 + cos2x
f1
J x2 + 2x + 5
1
fsecxdx = Lnjsecx + tanx + C
2r xsenx
dx EvaLüe L
dt
I 2tV4t - 1 dx
dx
fdx
J 9x2 + 18x + 10
rl e2x - e_2x
46.
I
Jo e2x + e2x
x2
simetrIa.
Sea R La region acotada por y = sen x y y = cos x entre x = -i-I4 y x = 3i-I4. Encuentre eL voLumen del sOLido obtenido cuando se hace girar R aLrededor de x = -in 4. Sugerencia: UtiLice
dx
1
48. 1
dx. Sugerencia: Haga La sustitución
1 + cos2 x u = x - ir en La integral definida y después utiLice propiedades de La
4x + 9
cascarones ciLIndricos para escribir una soLa integral, haga La sustitución u = x - iI4 y apLique propiedades de La simetrIa.
dx
dx
50 f \/16 + 6x - x2
Respuestas a la revision de conceptos:
1.
[2
x+1 51 dx J 9x2 + 18x + 10
f
52.
3-x
f V16 + 6x - x2
dx
3
J
U3 du
4 compLetarIamos eL cuadrado
fu5 du
2. ex
SECOON 8.2
8.2
Algunas integrales trigonométricas
Algunas integrales trigonométricas 377
Cuando hemos combinado el método de sustitución con un uso adecuado de identidades trigonométricas, podemos integrar una gran variedad de formas trigonométricas. Consideremos tres tipos encontrados comUnmente.
fsennx dx y f cosnx dx fsenmxcosnx dx
[sen mx cos nx dx, fsen mx sen nx dx, fcos mx cos nx dx Identidades Utiles
Tipo 1 (fsen x dx, fcos' x dx) Primero considere el caso en donde n es un en-
Algunas identidades trigonométricas que se necesitan en esta secciOn son
tero positivo. Después factorice el factor sen x o cos x, utilice la identidad sen2 x + cos2
las siguientes.
x = 1. EJEMPLO 1
Identidades pitagóricas sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
n Impar Encuentre /sen5 x dx. Soluciôn
1 + cot2x = csc2x
fsen5xdx = fsen4xsenxdx
Identidades del ángulo medio
sen x = cos x =
1 - cos2x 2
1 + cos2x 2
- cos2x)2senxdx
=
[(1
=
f(i - 2cos2x + cos4x)senxdx
= - [(1 - 2cos2x + cos4x)(senxdx) = cos x + cos3 x - cos5 x + C
.
EJEMPLO 2
n Par Encuentre /sen2x dx y /cos4x dx. Solución AquI hemos utilizado las identidades del ángulo medio.
f sen x dx
=
f
2
dx
fdx - f(cos2x)(2dx)
= =
1 - cos 2x
1
x-
1
sen 2x + C
[(1 + cos2x'\2 1 dx /cosxdx= 2 I )
=
f(i + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
=
/x +
=
fx+ fcos2x(2dx)
/(cos2x)(2)dx +
=x+sen2x+
+ 32
sen4x+C
[(1 + cos4x)dx fcos4x(4dx)
.
378 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Tipo 2
Son diferentes? Las integraciones indefinidas pueden lievar a respuestas que parecen diferentes. Por un método
fsen x cos x dx
(f senmxcosnx dx)
Simon es un entero impar positivo ye! otro exponente es cualquier nümero, factorizamos sen x o cos x y utilizamos Ia identidad sen2
x + cos2x = 1. EJEMPLO 3
m o n Impar Encuentre f sen3 x cos4 x dx.
=
_fcosx(senx)dx
=
cos2x + C
Soluciôn
[sen3xcos_4xdx = [(1 - cos2x)(cos4x)(senx)dx
Por un segundo método
=
fsenxcosxdx = fsenx(cosx)dx = sen2 x + C
- / (cosx - cos4x)(senx dx) (cosx)3
1
3
Pero las dos respuestas deben diferir por a lo más una constante. Sin embargo, obsérvese que
1
+C
1
= sec3x - secx + C
U
- cos2x) + C
sen2x + C =
=
(cosx)'
cos2x + (
+ C)
Ahora reconcilie estas respuestas con una tercer respuesta.
fsen x cos x dx =
fsen 2x dx
= cos2x + C
Si ambos m y n son enteros pares positivos utilizamos las identidades para e! ángu!o
medio, a fin de reducir el grado de! integrando. El ejemplo 4 proporciona una ilustraciOn.
EJEMPLO 4
m y n pares Encuentre
/sen2 x cos4 x dx.
Soluciôn fsen2 x cos4 x dx
f(l
cos2x\(1 + cos2x'2 )
=
=
2
)dx
f(i + cos2x - cos22x - cos32x)dx
/
[
+ cos 2x -
(1 + cos 4x) - (1 - sen2 2x) cos 2x] dx
cos 4x + sen2 2x cos 2x] dx
=f[ -
=[fdx_fcos4x(4dx)+fsen22x(2cos2xdx)]
'x 1[1
8[2
1
sen4x+
1
sen 32x +C
Tipo 3 (f sen mx cos nx dx, f sen mx sen nx dx, f cos mx cos nx dx)
U
Las
integrales de este tipo aparecen en teorIa de corriente alterna, problemas de transferencia de calor y en muchas otras aplicaciones. Para manejar estas integra!es, utilizamos las identidades del producto.
senmxcosnx =
[sen(m + n)x + sen(m - n)x]
senmxsennx = [cos(m + n)x - cos(m - n)x] cosmxcosnx
[cos(m + n)x + cos(m - n)x]
Algunas integrales trigonométricas 379
SECCION 8.2
EJEMPLO 5
Soluciôn
Encuentre
fsen 2x cos 3x dx.
Aplique la identidad 1 del producto.
/[sen 5x + sen (x)] dx
fsen 2x cos 3x dx =
/sen 5x(5 dx)
= 10
= EJEMPLO 6
Si m y
--/
sen x dx
.
1
1
- 10 COS 5x + - cos x + C
n son enteros positivos, demuestre que [iT
sen mx sen nx dx =
sinm
Jo
sin=m
1T
Solución Aplique la identidad 2 del producto. Sim
n, entonces
/sen mx sen nx dx = - f[cos (m + n)x - cos (m - n)x] dx =--
1
m+n
2
sen (m + n)x
1
mn
lIT
sen (m
n)x
I
=0 Sim = f IT
/ sen mx sen nx dx J 1T
lIT
= - f [cos 2mx - 1] dx lIT 1[ 1 sen2mx- xI =--I 2 [2m JIT 1
=[-21T]='Jr EJEMPLO 7
Si
m y n son enteros positivos, encuentre 1L
mi-rx
JL
L
sen
n'rrx
L
dx
Soluciôn Sean u = irx/L, du = iT dx/L. Si x = L, entonces u entonces u = iT. Por lo que 1L
j sen J-L
mirx L
sen
nirx L
ir, y si x =
L,
ciT
dx
L = IrJIT - I sen mu sen flu du 0
sinm
1T
sin=m
L 'Jr
Jo tL
sinm
sin=m
AquI hemos utilizado el resultado del ejemplo 6.
Varias veces en este texto hemos sugerido que debe ver las cosas desde el punto de vista algebraico y desde el punto de vista geométrico. Hasta el momento, esta sección ha sido completamente algebraica, pero con integrales definidas como las de los ejemplos 6 y 7, tenemos oportunidad de ver cosas geométricamente. La figura 1 muestra las gráficas de y = sen (3x) sen (2x) y y = sen (3lTx/10) sen (2iTx/10). Las gráficas sugieren que las areas por arriba y debajo del eje x son iguales, Ilevando a Arriba - Abajo = 0. El ejemplo 7 confirma esto.
380 CAPITULO 8
Técnicas de integración AY
-I -1 Figura 1
-r
r, y figura 2 muestra las gráficas de y = sen 2x sen 2x = sen2 2x, -iiLa figura 10. Estas Estas dos gráficas se (2rx/l0), -10 (2rx/l0) sen (2'n-x/lO) (2rx/10) = sen2 (2irx/10), y = sen (2i-x/10) yen iguales, salvo que la de de la la derecha derecha se se ha ha estirado estirado en en el elsentido sentidohorizontal horizontalpor porun un factor 10/n-, 10/u-, ,entonces entonces tiene sentido que el area aumentará por este mismo factor? factor 10/ui- veces veces Esto harla harIa que que el el area area sombreada sombreada en en la la figura figurade delaladerecha derechafuese fueseigual igualaa10/nel area sombreada en la figura de la izquierda; esto es, el area de la derecha deberIa ser (10/ui-) (10/n-) . = 10, que corresponde al resultado del ejemplo 7 con L = 10. ser y = sem2.v sen2.v
I
-10
I
I
-7.5
-5
-2.5
I'
2.5
I
I
5
7.5
= Sen
10
X
''I'
-10
I
-7.5
-5
-2.5
0
Figura 2
Revision de conceptos Para calcular f cos2 x dx, dx, primero primero la la escribimos escribimos como como Para resolver
f
sen2x xcos3 cos3x xdx, dx,primero primerolalaescribimos escribimos como 3. Para obtener obtener f sen2
fcos3 x dx, primero la escribimos como 4. Para resolver
cos mx cos nx dx, donde m
n, utilizamos
Ia identidad trigonométrica
Conjunto de problemas 8.2 En los problemas del deli1alat16, 16,realice realicelas lasintegraciones integracionesque que se se indican. indican. 1.
3. 5.
fsen2x dx
f f
2. 2.
13.
fsen46x dx dx
I
15. 15.fsen4 j sen4
fsen3xdx sen3 x dx cos5 0 dO
4.
x dx fcos3xx fcos3
6.
f
sen6 0 dO
(w
(w
dw cos2 () dw --)) cos --)
14.
16.
y cos 4y dy fcosycos4y fcos
I sen 3t sen t dt fsen
J
Las integrales dxpueden puedenevaluarse evaluarsefactorizando factorizando integrales de de la la forma formaftannz ftan' xxdx la forma fcot x dx pueden evatan2 x = sec2 x - 1, e integrales de Ia
luarse factorizando cot2 x = csc2 x - 1. Utilice este método para evaluar las integrales en en los los pro problemas blemas del 17 al 22.
7.
fsens4xcos24x dx
8.
f(sen32t)Vcos2t dt
9.
fcos33osen_23o dO fcos3 30 sen2 30 dO
10.
fsenul2 fsenu/22zcos32z 2z cos3 2z dz
19.
fsen43tcos43t 3t cos4 3t dt fsen4
12.
fcos6osen2o fcos6 0 sen2 0 dO dO
21.
11.
fsen4ycos5y fsen 4y cos Sy dy
f f ftan5()do f
17. f tan4 x dx
18.
fcot4 x dx
tan3 tan3 xxdx dx
20.
fcot3 2t dt
tan5 () dO
22.
f
17.
cot5 2t dt
Sustituciones para racionalizar 381
SECCION 8.3
Cuando n es par, las integrales de la forma
cos - cos
ftanni x sec" x dx puede
evaluarse factorizando sec2 x = 1 + tan2 x y aplicar el hecho de que D tan x = sec2 x. Cuando m es impar, las integrales de esta forma pueden evaluarsefactorizando tan x sec x y aplicar el hecho de que D sec x = sec x tan x. Utilice este método para evaluar las integrales en los problemas del 23 al 26.
cos
=
[1 [cosx + cosx + 3
2"1
+cos
2"
1
x ]
(Véase el problema 46 de la sección 2.3.)
Reconozca una suma de Riemann que lleve a una integral definida.
24. ftan_3/2 x sec4 x dx
23. f tan3 x sec4 x dx 25.
ftan3xsec2xdx
26.
(c) Evalüe esta integral definida. 33. Utilice el resultado del problema 32 para obténer la famosa formula de François Viète (1540-1603):
ftan3 x sec112 x dx
fiT
Encuentre
n; m, n enteros
cos mx cos nx dx, m
J
Determine j cos
JL
mrx L
cos
nrx L
dx, m
La region acotada por y = sen2(x2); y = 0 y x = Vir/2 se hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
Y2+V2+ 2
2
n, m, n enteros
La region acotada por y = x + sen x, y = 0, x = ir, se hace girar airededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.
31. Sea f(x) =
2+
2
34. La region sombreada (véase la figura 3) entre una arco de y = sen x, 0 x i, y la recta y = k, 0 k 1, se hace girar alrededor de la recta y = k, generando un sólido. Determine k de modo que S tenga
(b) volumen máximo
(a) volumen mInimo y
a,, sen (nx). Utilice el ejemplo 6 para den=
mostrar cada una de las siguientes proposiciones.
--fiTf(x)sen(mx)dx
{am
sim
N
sim > N 1
ff2(x)dx =
Nota: Las integrales de este tipo aparecen en un tema llamado series de Fourier, que tiene aplicación en calor, cuerdas vibrantes, otros
Figura 3
fenómenos fIsicos.
32. Demuestre que
1. f[(i +
Respuestas a la revision de conceptos:
urn coscos-cos-j"cos-2
senx
2. f(i - sen2 x)cos x dx 3. fsen2 x(1 4. cosrnxcosnx = [cos(m + n)x +
n+oo
-
cos 2x)/2]
dx
sen2 x)cos x dx
cos(m -
n)x]
completando los pasos siguientes.
8.3
Sustituciones para racionalizar
Radicales en un integrando siempre son probiemáticos y por lo comün tratamos de librarnos de elios. qon frecuencia una sustituciOn apropiada racionaiizará el integrando.
Integrandos que incluyen C"ax + b Si v/ax + b aparece sustitución u =
EJEMPLO 1
Soluciôn
en
una integral, la
/ax + b eiiminará el radical.
Encuentre Sea u 1
=
dx
f
JxVi
\/,demodoqueu2 dx
2u
Jx \/Ju2_ =2
u
=
xy2udu = dx.Entonces
1 du=2 fu-1
du
in u-1+C=2in\/i--1+C
382 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Encuentre
EJEMPLO 2
- 4, por lo que u3 = x - 4 y 3u2du = dx. Entonces
Soluciôn Sea u =
- 4dx
=
=
Encuentre
EJEMPLO 3
Soluciôn
Sea u = (x +
/x(x
fx/x - 4 dx. /(u3 + 4)u (3u2du)
3[+ u4]
+C
=
3/(u6 + 4u3)du
=(x
4)7/3
4)4/3
+ 3(x
+C
U
fx/(x + 1)2 dx. 1)1/5, de modo
+ 1)2/5 dx =
que u5 = x + 1 y 5u4 du = dx. Entonces,
/(u5 - 1)u2
5u4 du
5f(uhl - u6)du -
=
5
12
-u 5
7
+ C
=(x+1)l2/S_(x+1)7/5+C
V2 - x2,
Integrandos que incluyen
Va2 + x2 y \/x2 - a2
Para
racionalizar estas tres expresiones, podemos suponer que a es positiva y hacer las siguientes sustituciones trigonométricas. Radical
SustituciOn
\/a - x2
x =
Va2 +
x
x2
\/xa
RestricciOn sobre t
asent = atant
17-/2
t
iT/2
/2 < t < /2 Ot17-,tIT/2
x=asect
Ahora obsérvese las simplificaciones que realizan estas sustituciones.
\/a - x2 = \/a2 Va2 +
x2
a2 sen2
t = \/a2 cos2 t = a cos t = a cos t
= Va2 + a2tan2t = Va2sec2t = a sec t
\/x - a2 = \/a2sec2t - a2 = \/a2tan2t =
= a sect a tan t = +atant
Las restricciones sobre t nos permitieron eliminar los signos de valor absoluto en los primeros dos casos, pero también realizan algo más. Estas restricciones son exactamente las mismas que introdujimos en Ia sección 7.7 para hacer que fuesen invertibles seno, tangente y secante. Esto significa que, en cada caso, podemos resolver las ecuaciones de las sustituciones para t y esto nos permitirá escribir nuestras respuestas finales en los ejemplos siguientes en términos de x. EJEMPLO 4
Encuentre
fVa2 - x2 dx.
Solución Hacemos Ia sustitución
x=asent, Entonces, dx = a cos t dt y
\/a2 - x2 =
--tIT
a cos t. AsI,
IT
Sustituciones para racionalizar 383
SECCION 8.3
fVa fVa
- x2 x2 dx dx =
fa /a cos t
a2/cos2 t dt a2fcos2
a cos costt dt
f11 + cos2t)dt
= a2 2
a2( =It+--sen2t +C 2\ 2 j 1
(t ++ sentcost) ++ C
=
sen tt es es equivalente equivaLente aa x/a x/a ==sen Ahora, x = aasen sent ty,y,como como tt estaba estaba restringida restringida a hacer invertibLe Lafunción función seno, seno, vertible aa la
rJxx
H
7 tt=sen = sen'I,Ixxaj -
\/a2 - x2 x = a sen t
Utilizando el el triángulo triángulo rectángulo rectángulode deLa Ia figura 1 (corno (corno Lo lo hicimos hicimos en La Ia sección sección 7.7), vemos que
Figura 1
[sen_i (x) = \J1 cost == cos cos[sen_i()1
y
x2 a2
=
ia Va 1
a
x2
Por Lo lo que, que, J
7
I
A
±a
1
Va2
a2 _17x 1(x x - x2d x=sen + + Va2_x2+C Iaj a; 2
U
x
El resultado EL resuLtadoen en el eLejemplo ejempLo44nos nospermite permite calcular caLcuLarIaLasiguiente siguienteintegral integral definida definida que representaeL representa el area area de de un unsemicIrcuLo semicIrculo(véase (véaseLa Ia figura figura2). 2).AsI, AsI,eLelcáLcuLo cálculo confirma confirma un reresuLtado que que ya ya conocIamos. conocIarnos. sultado fa r2 / \ ]a la 2 ra2 a (x\ 11x x a 2E[ a2 11-1 a a2 2 21 2 IIi Va2_x2dx=Isen_1 +_Va2_x21 V \aj \a) 2 L2 I-a 22 L2 2 L2 ]_ 2]
A=JaVa2_x2 dx=2 A=jaVa2_x2 Figura 2
+ a x I], =I+I= =I--+--i
a xdx=i--sen
EJEMPLO 55 EJEMPLO
Solución = 33 sec sec t.
Encuentre
i
x /I V9+x
33 tan tant,t, ii-/2 /2 << tt <
Sea x
f dx I V9+x +
I
V9 + x2 x
3 sec2 sec2 tt dt dt y
+ x2
3 sec2 dt = fsec t dt fsectdt /jJ13sec2t 3 sec 3sect t
=
P
i
lnsect Lnsect++tant tant ++ C
paso, Ia integración de sec t,t, fue resuelto El Ultimo ültimo paso, resuelto en en el el probLema problema 68 de Ia la secciOn sección 8.1. 8.1.
3
Ahora, tan tan t = x/3, triánguloen enLa Ia figura figura 3, 3, con x/3, qu,_jgIere qu,jgere eleltriánguLo con base base en en el eL cual cuaLconconcluimos cluimosque quesec sect t==V9 V9 ++ x2/3. x2/3. AsI,
x = 3 tan tt
Figura 3
I dx I V9+x V9+x
=Ln =in
II
xx
V9+x2+x 3
+C
Y+
= in Ln Y+ x2 x2 ++ x - 1n3 + C = inV9 = lnV9 + x2 + xx +K EJEMPLO EJEMPLO 6
CaLcuLe Calcule
[4 Vx2 Vx 12
-2
-.2 -
2
Figura 4
-1
-0.5
0
0.5
1
2
x
-
U
dx.
Solución Sea Sea xx== 22sec sect, donde t, donde 0 0t <
384 CAPiTULO 8
Técnicas de integraciOn
4 = V4sec2t
Vx2
4 = V4tan2t = 2 tant = 2tant
Ahora utilizamos el teorema sobre Ia sustitución en una integral definida (que requiere cambiar los lImites de integracion) para escribir
Vx x
- 4 dx = =
/3
L
2tant 2 sect
2 sect tant dt r/3
I
2tan2tdt = 2
(sec2t - 1)dt
= 2[tant - t]3 = 2V -
1.37
Completando cuadrados Cuando aparece una expresión cuadrática del tipo x2 + Bx + C bajo un radial, completar el cuadrado Ia preparará para una sustitución trigonométrica. dx 2x EJEMPLO 7 Encuentre dx.
JfVx2+2x+26 J fVx2+2x+26 Soluciôn x2+2x+26=x2+2x+l+25=(x+l)2+25.Seanu=x+l y du = dx. Entonces
f
I
f
dx
du
I V+s
Vx2+2x+26
Ahora, sea u = 5 tan t, 17-/2 < t
I
1 5sectdt
du
j
Vu + 25
5 sect
=
fsectdt
= lnsect + tant + C = in
Vu2+25 5
U
+
+C
(por Fig. 5)
= inu2 + 25 + u - InS + C
=lnVx2+2x+26+x+1+K
5
u = 5 tan t
Para resolver Ia segunda integral, escribimos
Figura 5
2x
/ Vx2 +2x+26
dx
=
/
2x+2 dx Vx2 +2x+26
2f Vx2
2x+26
dx
La primera de las integrales de Ia derecha se resuelve por medio de Ia sustitución u = x2 + 2x + 26; Ia segunda es Ia que se acaba de hacer. Obtenemos 2x
/ Vx2+2x+26
dx
= 2Vx2 + 2x + 26 2lnVx2 + 2x + 26 + x + 1 + K
SECCION 8.3
Sustituciones para racionalizar 385
Revision de conceptos 1. Para resolver resolverfx\/x fx\/x- -33dx, dx,sesehace hace LalasustituciOn sustitución
3. Para resolver resolver una una integral integral que que incluya incluya \/4 \/4++x2, x2,se sehace haceLa la sustitución x =
2. Para que incluya incluya \/4 \/4 --x2, sesehace Para resolver una integral que Ia hace La sustitución x =
una integral integral que que incluya incluya \/x2 \/x2 --4, 4,se sehace haceLa la 4. Para resolver una sustitución x =
u=
Conjunto de problemas 8.3 En los problemas deli al 16, realice las integraciones que se indican. 1.
fx\/x fxv'x + 1 dx
2.
fxYx + fx/x
3.
I
4.
fx2+3x fx2+3x dx I
I
I
I V3t+4 V3t+4 [2
5.
tdt
I
di ft(3t + 2)3/2 2)3/2dt IV'4_x2 \/4 - xd
9 Jf 9.
I
dx
x X
hI
8.
10.
1 (x2 +
f3
12.
4)3/2
1_3Vt2_1 Vt2 - 1
13. I 13. 1-2 -2
f
31. Encuentre Encuentre f
I
t3
2z-3 I 2z-3
14.
x
dx por medio de
fx(1 - x)213dx x)2/3dx
una sustitución trigonométrica. Después compare sus resultados.
I' x2dx IJ Vi6-x Vi6x
Sugerencia: fcscx Sugerencia: f cscxdxdx==lncscx lncscx--cotx cotx ++ C.
I
dt di t2Vt2 12 2 t2Vt2 f3
r
di dt
x2
la sustitución La sustitución uu == V'4 V'4 - x2 y
[3
dx
[
haciendo las sustituciones
u=V9+x2, u2=9+x2, 2udu=2xdx
v'i 6.fJo t+1 di dt
./ii V+e 5.I2 7. 7.
Jo V9+x2 + x2
J \/x+4 Vx+4
6.
x3 dx x3dx
Jo
dx
[1
di dt
[3 p3 30. Encuentre I
I
32. Dos Dos cIrculos cIrculos de de radio radio bb se se intersectan intersectan como como se se muestra muestra en en Ia la figura 6 con sus centros 2a unidades separados (0 < a b). EncuenEncuentre el area de la region en que se traslapan.
-1
t
dt
JI f7T -x-1 f ii-x-1 /
dx Vx2 ++ 2 En los problemas del 17 al 26, utilice el método de completar el 15.
15.IIf Vi Vi -
2
dz
16.
Jo
sustituciOntrigonométrica, trigonométrica,sisies esnecesaria, necesaria,para para cuadrado, junto con una sustitución evaluar cada integral.
dx
17I 3x 19I Vx2+2x+5 dx 21. fvs - 4x 4x - x2dx x2+2x+5
dx
23I V4x_x2 25.
2x+1 dx [ fjI x2 + 2x + 2 x2+2x+2
18.
1
20.
1
dx
18.I I x+4x+5 x2 + 4x + 5 2x-1
20.1 I x2 + 4x + 5 x+4x+5 22.
dx
dx
I1V16+6x_x2
f
24. f V4x- x2 dx 2x-1 dx 26. 1 x2 - 6x + 18 JI x2-6x+18 24.
27. La region acotada por y = 1/(x2 ++ 2x 2x ++ 5), 5), yy == 0, 0, xx == 00 yy x = 1, se hace girar airededor alrededor del eje x. Encuentre el volumen del
Figura 6
33. Hipócrates de Quios (aproximadamente 430 a. de C.) demostró que dos regiones regiones sombreadas en la figura que Las las dos figura 77 tienen tienen La la misma area (la cuadratura cuadratura de de La la luna). luna). Obsérvese Obsérvese que que C C es el centro del arco inferior luna. Demuestre el resuLtado de Hipócrates. Hipócrates. inferior de de La la luna. resultado de (a) por medio de calculo cálculo y
sólido resultante. 28. La La region region del del problema problema 27 27 se se hace hace girar girar alrededor airededor del del eje eje y. y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
29. Encuentre
x [[ xxdx I x2 x2++ 99
por medio de
una sustitución algebraica y una sustitución trigonométrica. Después compare sus respuestas. Figura 7
(b) sin cálculo.
386 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Generalice Ia idea del problema problema 33 33 encontrando encontrando una unafOrmula formula para el area de la luna sombreada que se muestra en la figura 8.
denominada tractriz y tiene la propiedad de que la Ia cuerda siempre es tangente tangente aa la la curva curva (véase (véase la Ia figura figura 9). 9). Establezca Establezca una una ecuación ecuación difediferencial para la curva y resuélvala. y
X x
(1
Figura 9
Figura 8
Comenzando en (a, 0), se jala un objeto por medio de una cuerda de longitud a con el extremo que se jala moviéndose a lo largo de Ia la parte positiva del eje y. La trayectoria del objeto es una curva
8.4
IntegraciOn por partes
Respuestas a Ia revision de conceptos:
3.2tant
1. \/x - 3
2. 2 sen t
4.2sect
Si la integración por sustitución falla, puede ser posible utilizar una doble sustitución, mejor conocida como integración por partes. Este método tiene como base Ia la integración de la formula para la derivada de un producto de dos funciones. Sean u = u(x) y v = v(x). Entonces
D[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x) 0
u(x)v'(x) = D[u(x)v(x)] - v(x)u'(x) Una interptretación intemtretacióngeorn&rica geomtrica
Integrando ambos miembros de esta ecuación, obtenemos
de integración por partes
fu(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - fv(x)u'(x)dx
U
u = Ii(v) Ii(v)
Ya que dv = v'(x)dx y du == u'(x)dx, u'(x)dx, la la ecuación ecuación anterior anterior por porlo locomUn comün se escribe de manera simbólica como sigue: J' v du
Integración por partes: Integrales indefinidas
udv=uv
u(a)
f'udv
vdu
La formula correspondiente para integrales definidas es b
b
v(a)
v(b)
fudv=u(b)v(b)u(a)v(a)fvdu dv = u(b)v(b) - u(a)v(a) - v du j7'u Figura 1
V
L
[u(x)v(x)] u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]
v(x)u'(x) - ffv(x)u'(x)dx
dx
La figura 1 ilustra una interpretación geométrica de la integración por partes. Abreviamos esto como sigue: Integración por partes: Integrales definidas
I I
b
dv = [uv]
fb fbv
du
Estas formulas nos permiten transformar el problema de integrar u dv a! al de integrar v du. El éxito depende de la elección apropiada de u y dv, la cual viene con la práctica.
Integración por partes 387
SECCION 8.4
Encuentre
EJEMPLO 1
fx cos x dx.
Deseamos escribir x cos x dx como u dv. Una posibilidad es hacer u = x y este paso podemos = f cos x dx = sen x (ensustitución en un foromitir la constante arbitraria). He aquI un resumen de esta doble mato conveniente.
Soluciôn
dv = cos x dx. Entonces du = dx y v
u=x
dv=cosxdx
du=dx
vsenx
La formula para integración por partes da
Jxcosxd = xsenx/ u
v
u
dv
du
v
= xsenx + cosx + C Tuvimos éxito en nuestro primer intento. Otra sustitución serIa
dv=xdx
u=cosx du = senx dx
x2
v
Esta vez la formula para la integración por partes da
fx2(j)
fcosxxcix = (cosx)t2
que es correcto pero no es Util. La nueva integral del lado derecho es más complicada que la original. AsI, vemos la importancia de una buena elección para u y dv. f2
Encuentre
EJEMPLO 2
Soluciôn
J
lnx dx.
Hacemos las sustituciones siguientes:
dv = dx
u = lnx du
= (s-) dx
v=x
Entonces
I lnxdx = [xlnx] -
fxidx
= 21n2 - f dx
=2ln2-1O.386 EJEMPLO 3
Soluciôn
Encuentre f arcsen x dx. Hacemos las sustituciones
dv=dx
u=arcsenx
du=
1
Vi -
dx x2
v=x
388 CAPITULO 8
Técnicas de integracion
Entonces
[
j arcsenx dx = x arcsen x -
I
Ix I \/1x I
[(1
= x arcsen x +
dx
- x2)2(_2x dx)
1
21/2 xarcsenx+.2(1x) +C
- x2 + C
x arcsen x +
Integracion repetida por partes Algunas veces es necesario aplicar Ia integración por partes varias veces. EJEMPLO 4
Encuentre
/x2 sen x dx.
Solución Sea
U- x du 2xdx
dv
senxdx
v = cosx
Entonces
fx2 sen x dx
x2 cos x + 2 / x cos x dx
Hemos mejorado nuestra situación (el exponente en x ha bajado de 2 a 1), lo cual sugiere volver a aplicar Ia integración por partes a la integral de Ia derecha. En realidad, hicimos esta integración en el ejemplo 1, de modo que haremos uso del resultado obtenido allI.
/ x2 sen x dx = x2 Cos x + 2(x sen x + cos x + C)
x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + K EJEMPLO 5
Encuentre
Solución Tómese u
fex senx dx. ex y dv = sen x dx. Entonces du
fex sen x dx
_ex cos x +
ex dx y v = cos x. AsI,
/ex cos x dx
que no parece haber mejorado las cosas, pero no nos deja nada peor. AsI que, no lo desechemos e intentemos otra vez Ia integración por partes. En Ia integral de Ia derecha, sea u = ex y dv cos x dx, de modo que du ex dx y v sen x. Entonces,
/ex cos x dx = ex sen x - /ex sen x dx Cuando sustituimos esto en nuestro primer resultado, obtenemos
/ ex sen x dx = _ex cos x + ex sen x
- /ex sen x dx
Pasando el Ultimo término al lado izquierdo y reduciendo términos, obtenemos 2
/exsenxdx = ex(senx - cosx) + C
de Ia cual
Jexsenxdx = ex(senx - Cosx) + K
.
SECCION
IntegraciOn por partes 389
8.4
El hecho de que Ia integral que querIamos encontrar vuelva a aparecer en el lado derecho es lo que hace que funcione el ejemplo 5.
FOrmulas de red ucciOn
Una fOrmula de Ia forma
ffn(x)dx
ffk(x)dx,
= g(x) +
f
donde k < n, se denomina formula de reducción (el exponente en se reduce). Con Irecuencia, tales formulas pueden obtenerse por medio de Ia integración por partes. EJEMPLO 6
Soluciôn
Deduzca una formula de reducción para f senn x dx.
Sea u =
sen'x y dv = sen x dx. Entonces
du = (n - 1) sen2 x cos x dx
cos x
v =
y
de lo cual
Jsend x dx
sen'' x cos x + (n
- 1)1
sen2 x cos2 x dx
Si reemplazamos cos2x por 1 - sen2x en Ia Ultima integral, obtenemos
fsenxdx
=
sen'xcosx + (n - 1) /senn_2xdx - (n - i)/
Después de combinar Ia primera y Ia ültima integrales anteriores y despejando a fsen x dx obtenemos Ia formula de reducción (válida para n 2),
I I
J EJEMPLO 7
Solución
Ij
senxdx =
sen''xcosx n
+
n-1
nJ
c
I
senxdx p/2
Utilice Ia formula de reducción anterior para evaluar I
sen8x dx.
Jo
Primero obsérvese que
sen'1xdx
[_senh1_lxcosxl2
1+ n - 1 L sen2x dx
n
L
=0+
Jo
ni
r-/2
n
AsI,
sen2xdx
p/2
A
sen8x dx =
-8 J
sen6x dx
_7 St2 sen'1xdx 6
_7 5
3
5
3
5
3
r/2
864 _7 8 642 7
1
senxdx idx
ir
35
= 256
IT
U
p/2 sen x dx puede encontrarse de una manera análoga La formula general para / Jo (formula 113 en Ia parte posterior del libro).
390 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Revision de conceptos La formula de integración por partes dice que fu dv =
3. Al aplicar la fOrmula de integración por partes se obtiene el flr/2 valor para x senx dx.
J0
Para aplicar esta fOrmula a fx sen x dx, se hace u = y dv =
4. Una formula que expresa
ff"(x) dx en términos de
ffk(x) dx, donde k
Conj unto deproblemas 8.4 En los problemas deli al 40, utilice Ia integración por partes para evaluar cada integral. 1.
fxex dx
2.
fxe3x dx
3.
fte5tt
4.
ft + 7)e2t3dt
s.
fx cos x dx
6.
ft - 3)cos(t - 3) dt
8.
7.
9.
11. 13.
is. 17.
ft\/t
f ffln
+ 1 dt
10.
f(x - p) sen x dx
45.
fet cost dt
46.
ft/2t + 7 dt
47.
fx2 cos x dx
48.
fr2 sen r dr
ln(7x5)dx
49.
f
50.
f
arctan 5x dx
51.
f f
18.
f
31n2x5 2
52 .
dx
1n2 z dz
sen (ln x) dx
fn fn
f
23.
fxcos2xsenxdx
arctan(1/t) dt
24.
f/2 x csc2 x dx
x sec2 x dx
I/4
ftarctantdt
Sugerencia: Utilice los problemas 43y 51.
a158, utilice integraciónporpartespara dedu-
cir Ia formula que se da. 53.
fsen(x)sen(3x)dx
-
ft5 ln(t7)dt
fxsen3xcosxdx
26. 28.
J
f
csc2 x dx
54.
sec1
dx
fx13Vx7 + 1 dx
32dt
32.
fx3V4 - x2dx
dz
34.
fxcosxx
36.
f
38.
fx(3x + 1O)
Z
(4- z)42
fx senh x dx
cos x sen 3x + C
-cos5xcos7x - sen5xsen7x + C
56.
30.
_3 sen x cos 3x +
fcos(Sx)sen(7x)dx
e(asenf3z - f3cosf3z)
55.J /esenizz
+ 4 dx
(7 - 3t4)
f ln x dx
cos (ln x) dx
x)4 dx
r/2
f x\/x f
eat sent dt
Sugerencia: Utilice el problema 43.
"" '"
\/2x ln x3 dx
J
1n2 x20 dx
x)3 dx
''" "j" &.) pi UUC(flU.) Utt
i
f
5
22.
35.
44.
/
21.
31.
f
16.
20.
29.
43.
dx
fz3lnzdz
27.
En losproblemas del4i al52, aplique dos veces Ia integraciónporpartes para evaluar cada integral (véanse los ejemplos 4y 5).
fsen 2x dx
14.
J
fz aZ dz
42. fx5ex2dx
arctan x dx
19.
25.
40.
fx2exdx
12.
ln t dt
fx 2X dx
41.
ln 3x dx
/ V J1
39.
feaz cos
z dz
-
e(a cos z + sen z)
a2+2
+
x1 a+1 lnx (a+1)2 + C a fxa(lnx)2 dx= x1 (lnx) a+1
/ x lnxdx
58.
rp
c
x
2
-2
x
(a+1)2
lnx +
2
x
(a+1)
+
En losproblemas de159 al 65 deduzca Ia formula de reducción que se da utilizando integración porpartes.
sec3 x dx
dx
f
x
e
dx
x°e =
a
/
e' dx
IntegraciOn por partes 391 lntegraciOn
SECCION 8.4 SECCION 8.4
Establezca la Ia identidad dx + d(sec d(sec x tan x) 2 sec3x dx = sec xx dx
I1
XCOS/3X xacosI3x
fxasenpxdx fxsenPxdx
+_a /x1cos/3xdx +/xcos/3xdx
pj p xasenpx a 1I a-i fxacospxdx fxacospx /3J dx /3] x sen/3xdx - p
y utilIcela para deducir una fOrmula para
/3
f(lnx)adx
=
x(lnx)a -
af (inx)1 (lnx)1 dx
EvalOe Evalüe
f f
64
X sen X cosxsenx
COS
a
+
a-1 a
f j/
sen xxdx. sen" dx.Sugerencia: Sugerencia:Primero Primero reescriba reescriba esta fir/2
I
expresiOn en expresión en términos términos de /
- x2) f(a2 - x2)adx = x(a2 x(a2 -- x2)a+ +2af 2afx2(a2 x2(a2 - x2)dx dx
cosaxdx cosa x dx =
f
sen xxdx sen" dxyyluego luegoutilice utiliceIalafOrmula formula
Jo
113 de Ia la parte final del libro.
cos2 x dx cos2xdx
La gré.fica grafica de y = x sen x para x
se bosqueja en la Ia figu-
ra 2.
cOsapx /3x dx 65. f COSa
Encuentre una una fOrmula fOrmula para paraelelOrea area de arco arco n-ésimo. n-ësimo.
cos1f3xsen/3x cos/3xsen/3x a/3 af3
+
a-1 a
El segundo arco se hace girar airededor alrededor del eje y. Encuentre el volumen del sOlido sóiido resultante.
fcos2px dx / cos'2/3xdx
Utilice el problema 59 para deducir
Segundo arco
3) V
f xe dx fxe3x
f sec3 x dx.
x2e3x x4e3v - x3e3x x3e3x ++ x2e3x = x4e3x dx =
xe3x + xe3x
Utilice los probiemas problemas 6Oy6l para deducir
8
e 3x
+C C
fx4 cos 3x dx
/ Primer arco
=
3x + C. sen 3x - x cos cos 3x C. x2 sen sen 3x++x cos cos 3x 3x -_x2 sen3x3x+ +sen sen 3x Utilice el problema 65 para deducir
sen 3xcos5 3x 3x +
3x ++ sen 3xcos3 3x
f
cos6 3x dx =
sen 3xcos 3xcos 3x 3x +
x + C.
Encuentre el el area area de de Ia la regiOn region acotada por Ia la curva curva yy = in x, el eje x y la ei ia recta x = e. Encuentre el ei volumen del dei sOlido sOiido generado al ai hacer girar la ia region regiOn del del problema problema 69 69 airededor alrededor del eje x.
Figura 2
81. El El coeficiente coeficiente de de Fourier Fourier aa =
ri I
I
fIT J
f (x) sen f(x) sen nx nx dx dx de-
sempefia un papel importante en matemáticas aplicadas. sempena aplicadas. Demuestre Demuestre entonces lIm a,1 a,1 = 0. Sugerenque si f'(x) f'(x) es es continua continuaen en [-ii-, [-ir, ii-], r], entonces cia: IntegraciOn Integración por partes.
Ia regiOn acotado por ias las curvas Encuentre el area de la yy = 3e_x/3, 3e3, yy = 0, x 0 y x = 9. Haga un dibujo. volumen del del sOlido sólido generado al hacer girar Ia la Ri 72. Encuentre el volumen region regiOndescrita descritaen enelelproblema problema 71, 71, airededor alrededor del del eje eje x. x. 73. Encuentre Encuentre el el area area de la Ia region regiOnacotada acotadapor porlas lasgráficas graficas de de y = x sen x y y == x cos x, desde x = 0 hasta x = /4. y
1
2)(n
/(n ++ 1)(n n). Demuestre Demuestre que 1)(n + 2)(n + n). 4/e. Sugerencia: Considere ln(G/n), identifIquela
Sea G = lIm (Ga/n) =
corno corno una una suma suma de de Riemann, Riemann, yy utilice utilice el el ejemplo ejemplo 2. 2. 0 =
Encuentre el error en Ia la siguiente "demostraciOn" "demostración" de que -2 dt = t2 dt. Entonces du = 1. En f(1/i') di, haga haga ua = 1/i di y f(1/t) dt, 1/t y dv = di.
uv = 1. La integraciOn por partes da
Encuentre el volumen del del sOlido sólido que se obtiene at al hacer gi-
rar Ia regiOn region bajo bajo Ia gráfica grMica de de y = sen (x/2) desde x = 0 hasta x = 23r 2- alrededor alrededor del eje y. Encuentre el el centroide centroide(véase (véaseIalasecciOn sección6.6) 6.6)de deIalaregiOn region Encuentre acotada por y = in x2 y el eje x desde x = 1 hasta x = EvalOe EvalUe la Ia integral
f
e.
cot x csc2 x dx por partes de dos ma-
f(1/t)dt = 1 - j(_1/t)dt
f(1/t)dt 00 o0
= 1.
SupOngase que quiere calcular la Ia integral
fesx(4 cos 7x ++ 66 sen sen 7x)dx
neras diferentes: (b) Derivando csc x (a) Derivando cot x (c) Demuestre que los dos resultados son equivalentes salvo por una constante.
y de su experiencia sabe sabe que que el el resultado resultado será será de de Ia Iaforma formaeSx(C1 e5x(Ci cos 7x ++ C2 C3.Calcule CalculeC1 C1 yy C2 derivando el resultado resultado yy hOgahagaC2sen sen7x) 7x) ++C3. Ia igual at al integrando.
son antideSi p(x) es un polinomio de grado n y G1, G2..... rivadas sucesivas de g, entonces entonces por por medio medio de de repetidas repetidasintegraciointegraciones por partes,
Muchos resultados teOricos sorprendentes pueden deducirse a traés teóricos sorprendentes del uso de integración por por partes. panes. En todos los casos, casos, uno uno inicia inicia con con una integral. AquI exploramos dos de estos resultados.
Jp(x)g(x)dx = p(x)G1(x) - p'(x)G2(x) + p"(x)G3(x) -
Jp(x)g(x)dx
+ + (-1)p)(x)G+1(x) (-1)p(x)G+1(x) ++ CC
Demuestre que que = ff(x)dx=xf(x) ff(x)dx
fbxfl(x) dx
Utilice este resultado para encontrar cada una de las siguientes integrates: integrales:
(a)
2x)ex dx f(x3 -- 2x)ex dx
(b)
f(x2 - 3x 1)sen xx dx 3x ++ 1)sen
=
(x - a)f(x)
fh(x_a)f(x)dx fh(x - a)f'(x) dx
392
Técnicas de integraciOn
CAPiTULO 8
Utilice el problema 85 y reemplace f que
por f',
para demostrar
fb
f(b) - f(a)
= f'(b)(b - a)
fb(x - a)f"(x)dx
= f'(a)(b - a)
f
-
Supóngase que f(t) tiene La propiedad de que f'(a) = f'(b) = Oy que f(t) tiene dos derivadas continuas. Utilice integración
por partes para demostrar que
b
(x - b)f"(x)dx
Demuestre que
i=1
f'(a) (t - a)' (t a) + f' f1(x)dx, i! n!
fx(ft) Lt
f
utilizando La integración por partes.
GeneraLice La formula dada en el probLema 90 a una para una integral iterada n-veces
xa(1 - x)dx,
con La condición de que a > 0 y /3 > 0.
f
fXfti
Por medio de un cambio de variables, demuestre que
J x(l - x)adx = B(/3,a)
a 1
f
1
(n - 1)!
- t1)1 dt1
B(a - 1, /3 + 1)
a+1 B(a + 1, /3 -
1)
positivos. Utilizando, de manera repetida, el resultado de la parte (b), demuestre que
IntegraciOn de funciones racionales
dx1
UtiLice el resultado del probLema 92 para evaluar
Ahora supóngase que a = n y /3 = m y que n y m son enteros
8.5
.d'P(x)
"
Integrando por partes demuestre que
=
... dt1 =
fexPn(x)dx = ex(_1)J
0
B(a, /3)
f(t)dt
Si P(x) es un poLinomio de grado n, demuestre que
I1
B(a,/3)
- t)dt
=
La funcion Beta, que es importante en muchas ramas de Las matemáticas, está definida como
0. Sugerencia:
Deduzca La formula
siempre que f pueda derivarse n + 1 veces.
=
fbf(t)f(t) dt
Utilice integración por partes derivando f(t) e integrando f"(t). Este resultado tiene muchas aplicaciones en el campo de Las matemáticas aplicadas y en ecuaciones diferenciales parciales.
a
B(a,/3)
(n + m + 1)!
Este resultado aun es válido para el caso en donde n y m no son enteros, con tal que podamos dar significado a n!, m! y (n + m + 1)!.
dx
f(t) = f(a) +
n!m!
B(n, m) =
f(3x + 2x2)ex dx
Respuestas a Ia revision de conceptos: 2. x; sen x dx
3. 1
1. uv = Iv du
4. reducciOn
Una función racional por definición es el cociente de dos funciones polinomiales. Por ejemplo 2
g(x) =
f(x) = (x +
2x+2
h(x)=X+2XX+1
- 4x + 8'
x3 + 5x
De éstas,
f y g son funciones racionales propias, queriendo decir que el grado del numerado es menor que el del numerador. Una función racional impropia (no propia) siempre puede escribirse como una suma de una función polinomial y una función ra-
cional propia. AsI, por ejemplo, h(x) =
x5 + 2x3 - x + 1
x3 + 5x
x2- 3
=x 3+ 2
14x+1 x3 + 5x
x3+5x x+2x-x+ 1 x5 + 5x3 -3x3
-x
-3x3
-15x 14x + 1
Figura 1
un resultado obtenido por medio de division larga (véase Ia figura 1). Ya que los polinomios son ladles de integrar, el problema de integrar funciones racionales realmente es Ia de integrar funciones racionales propias. Pero, ,siempre podemos integrar funciones racionales propias? En teorIa Ia respuesta es si, aunque los detalles prácticos pueden Ilegar a abrumarnos. Primero considere las integrales de las f y g anteriores.
SECCIôN 8.5
Encuentre 1
EJEMPLO 1
j (x+1)
Integración de funciones racionales 393
dx.
Considérese la sustitución u = x + 1.
Solución
I (x+1) 2
2/ (x+1)3dx= 2(x+1)2 2 +C - 1 +c
3dx =
U
(x + 1)2
1
EJEMPLO 2
Encuentre /
2x+2
x2-4x+8 dx.
Solución Primero considérese la sustitución u = x2 - 4x + 8 para la cual du = (2x - 4)dx. Entonces escriba la integral dada como una suma de dos integrales.
2x-4 dx+f 6 dx dx= / x2-4x+8 x2-4x+8 x2-4x+8 2x+2 1
=lnx2-4x+8+6I x2 - 4x + 8
dx
En la segunda integral, complete el cuadrado.
Il
1
/x2 4x+4+4 dx =
1
- +4 I_1(x-2\
(x-2)2+4 dx=tan
Concluimos que
1
2)2
(x
2
dx
)+C
I 2x+2 dx=lnx 4x+8+3tan 1(x-2\i+K J x2-4x+8 \ 2 J 2
I
I
U
Un hecho notable es que cualquier función racional propia puede escribirse como una suma de funciones racionales propias simples como las que se ilustran en los ejempbs 1 y 2. Debemos ser más precisos.
Descomposición en fracciones parciales (factores lineales) Sumar fracciones es un ejercicio algebraico comün: encuentre un comün denominador y sume. Por ejemplo, 2
2(x+l)+3(xl) (xl)(x+l)
3
x1 x+l
5x1
5x1
(xl)(x+l)x21
El proceso inverso de descomponer una fracción en una suma de fracciones más simples es el que ahora nos interesa. Centramos nuestra atención en el denominador y consideramos casos. EJEMPLO 3 Factores lineales simples
Descompóngase (3x - l)/(x2 - x - 6) y luego encuentre
su integral indefinida. Solución Ya que el denominador se factoriza como (x + 2)(x - 3), parece razonable esperar una descomposición de la forma siguiente: (1)
3x1 A B (x+2)(x-3) x+2x-3
Por supuesto, nuestro trabajo es determinar A y B de modo que (1) sea una identidad, una tarea que encontramos más fácil después de que hemos multiplicado ambos lados
por (x + 2)(x - 3). Obtenemos (2)
o de manera equivalente,
3xl=A(x-3)+B(x+2)
Técnicas de integración
394 CAPITULO 8
3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)
(3)
Sin embargo, (3) es una identidad si, y solo Si los coeficientes de potencias iguales de x en ambos lados Son iguales; esto es
A+B=3 3A + 2B = 1 Al resolver este par de ecuaciones para A y B, obtenemos A =
,
B=
.
En conse-
cuencia,
3x - 1
3x - 1
x2x-6
7
x+2+ x-3
(x+2)(x-3)
y
f
Resuelva esta ecuación diferencia! "Con frecuencia, hay poco parecido entre una ecuación diferencial y su solución. Quién supondrIa que una ecuación tan sencilla como
dy_
1
dx -
a2
x2
3x-1 dx=
x-6
1
(a+x +c \ax
Esto parece La transformación de una crisáLida en una mariposa."
Silvanus P Thompson EL método de fracciones parciaLes hace esto una transformación senciLLa. Ve cOmo hacer esto?
5
=lnx+2 +lnx-3 +C Si hubo alguna dificultad en este proceso, fue Ia determinación de A y B. Encontramos sus valores usando "fuerza bruta", pero existe una manera más sencilla. En (2), que queremos sea una identidad (esto es, verdadera para todos los valores de x), sustituya los valores convenientes de x = 3 y x = 2, para obtener
8 = AO + B5
podrIa transformarse en
y = 2alogel
x+2 dx+f13dx 1
7 = A(-5) + BO DeinmediatoestodaB = yA = Acabamos de ser testigos de una extrafla, pero correcta maniobra matemática. La ecuación (1) resulta ser una identidad (cierta para toda x excepto 2 y 3) si, y solo si Ia ecuación equivalente (2) es cierta en 2 y 3. Pregüntese por qué esto es asI. En ültima instancia depende del hecho de que ambos lados de Ia ecuación (2), ambos polinomios lineales, son idénticos si tienen los mismos valores en cualesquiera dos puntos. EJEMPLO 4
Factores lineales distintos
Encuentre
I 5x+3 dx. JI x3 - 2x - 3x
Solución Ya que el denominador se factoriza como x(x + 1)(x - 3), escribimos
5x+3
B
x(x+1)(x-3)
x
x+1
C
x-3
y buscamos determinar A, B y C. La eliminación de las fracciones produce
5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+1) Al sustituir los valores x = 0, x = 1 y x = 3 se obtiene
3 = A(-3)
2 = B(4) 18 = C(12)
o A = 1, B = -, C =
. AsI,
[1 111 dx = I dx I dx + 311 - I x-3 dx 2J x+1 2J Jx I x3-2x2-3x
I
I
5x+3
= lnx -
lnx + 1 +
lnx - 3 + C
.
Integración de funciones racionales 395
SECCION 8.5
EJEMPLO 5
jf (x - 3)
Factores lineales repetidos Encuentre Solución
2
dx.
Ahora la descomposiciOn toma la forma x
A
=
(x-3)2
+
x-3
B
(x-3)2
con A y B por determinar. Después de quitar fracciones, obtenemos
x = A(x - 3) + B Si ahora sustituimos el valor conveniente x = 3 y cualquier otro valor, tal como x = 0, obtenemos B = 3 y A = 1. AsI,
I (x-3)2 x
dx=
jf x-3 dx+31j (x-3)2 dx 1
1
xi3+c
=lnx-3
.
EJEMPLO 6
Factores lineales, algunos distintos y algunos repetidos Encuentre
I
3x2 - 8x + 13
J (x + 3)(x - 1)2
dx
Solución Descomponemos el integrando de la manera siguiente:
3x2-8x+13 (x+3)(x-1)2
A
=
x+3
+
B
C
+
x-1 (x-1)2
Quitando las fracciones esto cambia a
3x2-8x+13=A(x-1)2+B(x+3)(x-1)+C(x+3) Al sustituir x = 1, x = 3 y x = 0 se obtiene C = 2, A = 4 y B = 1. Por lo que, I dx 1 dx I dx I 3x2 - 8x + 13
I
(x+3)(x_l)2dx
4] x+3
I
xi +2] (x-1)2
=4lnx+3 lnx-1
x1
+C
Asegürese de incluir en la descomposiciOn anterior las dos fracciones B/(x - 1) y C/(x - 1)2. La regla general para descomponer fracciones con factores lineales repetidos en el denominador es ésta: Por cada factor (ax + b)k en el denominador, existen k términos en la descomposiciOn en fracciones parciales: A1
ax
+b
+
A2
(ax + b)2
+
A3
(ax + b)3
+
+
Ak
(ax + b)k
Descomposiciôn en fracciones parciales (factores cuadráticos) Al factorizar el denominador de una fracción, bien podrIamos obtener algunos factores cuadráticos (tal como x2 + 1), que no pueden factorizarse en factores lineales sin introducir nümeros complejos. EJEMPLO 7
Un solo factor cuadrãtico
Descomponga
6x2 - 3x + 1 y después encuentre su in(4x + 1)(x2 + 1)
tegral indefinida. Solución
La mejor que podemos desear es una descomposición de la forma
6x2-3x+1
A
(4x+1)(x2+1)4x+i
Bx+C x2+1
396 CAPITULO 8
Técnicas de integraciOn
Para determinar las constantes A, B y C, multiplicamos ambos miembros por (4x + 1)(x2 + 1) y obtenemos
6x2 3x+ 1 =A(x2+ i)+ (Bx+C)(4x+ 1) Al sustituir x = -, x = 0 y x = 1 se obtiene
=A=2
+ 1 = A()
+
1=2+C
=C=1
4 = 4 + (B - 1)5 = B = 1 AsI,
I 6x2-3x+1 dx= I1 2 dx+ IIx-1 dx j 4x+1 j (4x+1)(x2+1) j x2+1 I
1
1 4dx
I dx
1 2xdx
1
2J4x+12Jx2+1 Jx2+1 =
2
ln4x + 1 + 1n(x + 1) - tan'x + C 2
EJEMPLO 8
6x2 - 15x + 22
Un factor cuadrático repetido Encuentre / dx. (x + 3)(x2 + 2)2 Solución En este caso, Ia descomposición apropiada es
6x2lSx+22 A (x+3)(x2+2)2x+3
+
Bx+C Dx+E x2+2 +(x2+2)2
Después de considerable trabajo, descubrimos que A = 1, B = 1, C = 3, D = E = 0.AsI,
I
6x2
- lSx + 22
(x + 3)(x2 + 2)2 dx
y
dx
tx-3
-I - I x+3 x+3
x
x2+25f(x2+2)2 f 2x dx dx + 3 fx2+2 x2+2 2] J
dx
1
= mix + 31 -
2
1n(x2 + 2) +
S
C
2xdx
2j(x2+2)2
tan_i( x
\\/J + 2(x2+2) +
\/
.
Resu men Para descomponer una funciOn racional f(x) = p(x)/q(x) en fracciones parciales, procedemos como sigue: Paso 1: Si f(x) es impropia, esto es, si p(x) es de un grado al menos igual del de q(x), divida p(x) entre q(x), para obtener
f(x) = un polinomio
N(x)
+ D(x)
Paso 2: Factorice D(x) en un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles
con coeficientes reales. Por un teorema de algebra, esto siempre es posible (teóricamente). Paso 3: Por cada factor de Ia forma (ax + b)k, se espera que Ia descomposición tenga los términos A1
(ax + b)
+
A2
(ax + b)2
+...+
Ak
(ax + b)k
Paso 4:
Por cada factor de Ia forma (ax2 + bx + C)m, se espera que Ia descomposición tenga los términos
B1x+C1 ax2 + bx + c
+
B2x+C2 (ax2 + bx + c)2
Bmx+Cm (ax2 + bx +
SECCION 8.5
IntegraciOn de funciones racionales 397
Iguale N(x)/D(x) a Ia suma de todos los términos determinados en los pasos 3 y 4. El nümero de constantes por determinarse debe ser igual al grado del denominador, D(x). Paso 6: Multiplique ambos miembros de Ia ecuaciOn encontrada en el paso 5 por D(x) y despeje las constantes desconocidas. Esto puede hacer por dos métodos: (1) Iguale coeficientes de términos del mismo grado, o (2) asigne valores convenientes a Ia variable x. Paso 5:
Revision de conceptos L Si el grado del polinomio p(x) es menor que el grado de q(x), entonces f(x) = p(x)/q(x) se denomina función racional
a =
2. Para integrar La función racionaL impropia f(x) = (x2 + 4)/ (x + 1), primero La reescribimos como f(x) =
ma
3. Si (x - 1)(x + 1) + 3x + x2 = ax2 + bx + c, entonces ,b= yc= 4.
(3x + 1)/[(x - 1)2(x2 + 1)] puede descomponerse en La for-
Conjunto de problemas 8.5
I'
En losproblemas deli a140, utilice el método de la descomposición en fracciones parciales para realizar la integración que se pide. 1.
3.
fx(x±
1)
j1 x2 - 1
5.
dx
2.
dx
4.
dx
+ 3x - 4
7.
+ 3x - 10
x2 9.
+ 9x -
2x2
3x2 ffffx2
5
dx
10.
x3 - x2 - 2x f2x2
I
(2x - 1)(x2 + x - 6)
f
x - 6x2 + lix - 6
[I x2 +xx - 2 dx 21.
23.
I x + 8x2 + 8
x-4x
I x+1 I (x
I I x2+x-6
I
(2x - i)(x2 +
dx
3)2 dx
3x + 2 dx x3 + 3x2 + 3x + 1
9)
(x - i)2(x Il + 4)2
dx
1
30. I x4 - 16 dx
dx
x3-8x2-i (x + 3)(x2 - 4x + 5)
(sent - 8sen2t - i)cost (sent + 3)(sen2t - 4sent +
f
sen4
cost
t16 dt
35.
38.
cosO
L 1
x3 + x2
I x2+5x+6
20. I
x6 + 4x3 + 4 dx x3 - 4x2
fx2 + 4x + 3
I
dt
x3 - 4x
(x2+l)2
dx
,
x-17
14
x2 + x - 12
dx
dO
dx
41. La Ley de acción de masas en quImica resulta en La ecuación diferencial
5x + 7
22. I x2 + 4x + 4 dx
(1 - sen2O)(sen2O + 1)2
3x+13
dx
5)
(sent)(4cos2t - 1) dt (cost)(l + 2cos2t + cos4t)
I 12x3+5x2+16x I x5+8x+i6x dx
dx
x2 + 19x + 10 dx 2x4 + 5x3
dx
I
'
dx
26. I
dx
dx
dx
18.
dx
I 2x2-3x-36
dx
[
3)
dx
Ix(x + 2)2 + 16x
dx
6x2+22x-23
I
I x2 - 3i,x + 2i,2 I 2x2 - x - 20
1 2x2 + x - 8
Ix+4x
dx
(2x - 1)(3x + 2)(x -
I
I x2 - x - 12 x+Tr I I
3x2 - 21x + 32
J x - 8x2 +
f
J 4x - 28x2 + 56x - 32
19.
dx
I
7x2+2x-3
1
2
+x-2 dx +x-
I
8.
dx
fx2_x(+4)+4 I
6.
1
I x2 + 3x 5x I dx I I 2x + 6x2 I x-7 dx I
x6
(x - 2)2(1 - x)
k>0, a>0, b>0 en donde x es La cantidad de una sustancia en el instante t como resultado de La reacción de otras dos. Supongase que x = 0 cuando
t = 0.
398 CAPITULO 8
Técnicas de integración
Resuelva La ecuación diferencial en eL caso b > a.
La ecuación diferencial dy
Demuestre que x -* a cuando t -* 00 (si b > a). Supóngase que a = 2 y b = 4 y que 1 gramo de sustancia se formó en 20 minutos. ,Cuánta estará presente en 1 hora? ResueLva La ecuación diferenciaL si a = b. 42. En muchoS problemaS de crecimiento pobLacionaL, exiSte un LImite Superior del cuaL La pobLación no puede rebaSar. SupóngaSe que
La Tierra puede SoStener una población de má de 16 mil milloneS y que en 1925 habIa 2 mil milloneS y en 1975 4 mil milloneS. EntonceS, Si ye La pobLación t años a partir de 1925, un modelo apropiado e La ecuación diferencial
dy
= k(y - m)(M - y)
dt con k > Oy 0
m < Yo < M se utiliza para modelar algunos problemas de crecimiento. Resuelva La ecuación y encuentre urn y. Los bioquImicos han propuesto como un modelo para La producción de tripsina a partir del tripsinógeno en La digestion a dy
= k(A - y)(B + y)
dt
donde k > 0, A es La cantidad LImite de tripsinógeno y B es La cantidad original de tripsina. Resuelva esta ecuación diferencial. EvaLüe
= ky(16 - y)
fIT/2
cosx
L16 senx(sen2x + 1) 2
ReSuelva eSta ecuación diferencial. Encuentre La pobLación en 2015. ,Cuándo Será La pobLación de 9 miL milloneS?
Respuestas a la revision de conceptos:
dx
1. propia
ESte modelo, LLamado modelo LogIStico, se eStudió en La Sección 7.5.
43. ReueLva el probLema 42 Suponiendo que el LImite Superior
3. 2;3;-1 4.
2.
para La pobLación eS de 10 miL milloneS.
8.6 Revision del capItulo Examen de conceptos
Para evaluar
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmanométrica.
ciones. Justifique su respuesta.
f
x+2 V_x2 - 4x
dx, se utiliza una sustitución trigo-
fx Sen(x2 )dx, se hace La SuStitución u = x2.
Para evaluar
fx23 - 2x dx, se hace u =
dx, se hace La sustitución u = x2. I J 9 + x4 Para evaluar I dx se hace La sustitución u = x2. J 9 + x4
Para evaluar
f
Para evaluar
X
Para evaluar
f 2x-3
Ix2 - 3x +
Para evaluar
dx, se inicia completando el cua-
Para evaluar 3
J x - 3x +
5
dx, se inicia completando el cua-
drado del denominador. Para evaLuar
Para evaluar
1
f t+2
I
J t3 - 9t
x x.
puedeexpresarse en La forma
x2 -1 x2+2
dt se hace una descomposicion en frac-
x(x2 x(x2 + 1)
Idt, se utiliza integración por
x+2 x2(x2 - 1)
Para evaluar fsen6 x coS2 x dx, se utilizan formulaS del anguLo meA dio. e
ex
dx, se utiliza integración por partes.
B
A
x -1
+
B
x+1 B
C
A x
x-1 + x+1
A x
Bx+C x2+1
puede expresarse en La forma - +
x2+2
11
fx2 Ln x dx, se utiliza integración por partes.
Para evaLuarfsen 2x cos 4x dx, se utilizan formulas del anguLo
ciones parciales.
Para evaluar
dx se hace una sustitución trigo-
medio.
Jf V45x dx, se hace La sustitución u =
Para evaluar
I
I x\/9 - x2
nométrica.
5
drado del denominador. Para evaluar
sen2 x cos5 x dx, se reescribe el integrando como
sen2x(1 - sen2x)2 cos x.
X
Para evaluar
3 - 2x.
puede expresarse en La forma - + puede expresarse en La forma C
x-1 + x+1 Para completar el cuadrado de ax2 + bx, se suma (b/2)2.
Revision del capItulo 399
SECCION 8.6
Cualquier polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en un producto de polinomios lineales con coeficientes reales. Dos polinomios en x tienen Los mismos vaLores para toda x si, y soLo si Los coeficientes de términos del mismo grado son idénticos.
Problemas de examen
1
sen x dx
4.
f4o V9+t2 X
fec0s S.
2.
I y+1 I -4y+ y3 + y
f
2
dy
dx
f \/16+4x_2x2
3x+1
dy
x sen 2x dx
6.
fsen3(2t)dx
8.
I' Jo
(a) (c)
dy
(e)
V2y+1
15
tan x
3 - 4x2
(2x + i) 3x + 1 (x2 + x + 10)2 x5
(x + 3)4(x2 + 2x + 10)2
10 12.
fx2exdx
gión bajo La gráfica de
y=
1
I 1-wa I (lny)5
fsenh x dx
19.
fxcot2xdx
20.][senV
dt
22.
23. feul3 sen 3t dt
25.
24.
3x fsen --cos
29. f tan312 x sec4 x dx
dy
I 37.
J
30.
dx
1+e8x dx dw
dx
1
= x2 + 5x + 6 desde x = 0 hasta x = 3 se hace girar aLrededor del eje x. Calcule el volumen del sóLido que se genera.
1 t+9
dt
j t3 + 9t fcos4()dx
[
38.
49. Encuentre el volumen cuando el area creada por el eje x, el eje y, La curva y = 2(ex - 1) y la curva x = Ln 3 se hace girar aLrededor de La
y = 18/(x2\/x2 + 9),yLasrectasx
I t(t1'6 + 1)
\/x2+
dy a
f sentdt
= \/yx = 3\/.
51. Encuentre el area de La region acotada por La curva s = t/(t - 1)2,
fcos5 xVsen x dx
f
48. Encuentre el volumen del sólido que se crea a! hacer girar la region acotada por el eje x y La curva y = 4xV2 - x aLrededor del ejey.
50. Encuentre el area de La regiOn acotada por el eje x, La curva dt
V 34.] 36.
47. Si La curva dada en el probLema 46 se hace girar aLrededor del eje y, encuentre el volumen del sóLido.
rectax = 1n3.
I
e4X
1w
/
(b) ejey.
46. La region bajo La curva
dy
1+
32.
fe2 V9 - e2
33. fe1n(3cs
1 hasta x = 2 aLrededor del
(a) ejex;
fln(y2 + 9)dy
27. f tan3 2x sec 2x dx
31.
\/3x - x2
x = 4.
17.
Lnt2
dw
16. f
18.]
21. f
desde x
w3
1
45. Encuentre La Longitud de La curva y = x2/16 desde x = 0 hasta
dx
f1ncosx
B
(x-1)2
44. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La re-
dx Isenx+cosx tan x
14.
I \/2+3y
dx
I (i6+x 2\3/2
A
J
13. 1
1
42.
x2(x2 + 3)
(x-1)2(x-1) +
21
2dt
f4x2+3x+6 dx
fcot2(20)do
I3/2
-2
y
e
dy
41
43. Exprese La descomposición en fracciones parciales de cada función racional sin calcular Los coeficientes exactos. Por ejemplo
En los problemas deli al 42, evaláe cada integral.
dt
39.
dx
I1 \/1-6x-x
40.
9 + cosy fsencos,
I v'i + cost
s = 0, t = -6 y t = 0.
fl
52. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La región
{ (x, y): -3 dx
x
1,
6
xVx + 4
o}
aLrededor del eje x. Haga un dibujo. El 53. Encuentre La Longitud del segmento de La curva y = Ln(sen x)
desde x = i,/6 hasta x =
;I i. ; øE T!CNLiA $1
ri ' I" PSYECT
p
I;
kI
l
I
1na ntegración por medio cle un sis.ei.j
I
de áIgbra:t,.rv'jtacional c'ni .x3 -- 5x + 7x * 16
Prepat ación
I.
+ 8x3 + 48x2 + 119x + 210
t
mmV. aciu... I -rnv.i'.t.aciu I de álgeora-- cc. tatherna ica y Maple son s .mas .Ld tiene Li' i.Ld tiene i'T LI' (SAC ampliamente ui1izad' 0s. SiLiiponeiiflri J s cuI1I algun d stos, o una calculadora TI-89 o Tt-92, cilsç) oniLbie flu grates definidas e integras ara ayudar a evali ar ,- :'; i -'eiuiiizarse, nidas. Invesdgaremus eó m o est Jis sistemas p eclen -u.iiizarse, t] i( ncias. asi como algunas 'le sus d.'ii I
.;
Ejercfr
Lla valüe a m mano La integral indefi&'i
6
ISen2 X cos x dx
J
I
Ahora 1 i.tjlir ..e su SAC para evaluar Ia integral M
apda IC
-
/sen2 / sent ,s-; dx
ión- fii'9ercicio 1 Estuaie Ia sintaxisI- -ara hacer iiiteraci:ófl4 Ir1 .iematica, Ia .Jera ii dejflt, jflt., Math Ja e indefinida en su AC En .v. rx]- , xl, yia f 1r-] .ien con Tncg.L fiiida de f(x) se oLt. ntegral
-4
'cate cate [f
Oil Tntec L
efinida
'-J -J
-
i
Seflx Os4X -F
i
trodi'ciendo 2nd
J (x2,x)
re'.pectivamente.
2
'1
I
r2
x
y / x'
r1 .
-inin-
x, 1,2)
2nd
y
2
xcos x dx =
5 sen 3x
(30 sen x
- 3sen5::
240 jsen Thig :Mapleo'.. rei ios comandos combine y expand en:Mapleor A,ida'
]
. oueden evaluar integraLies L e' 'mo
2
X + 2jSrfl j5rfl x
mientra4UC 4ue- 1 athematica da mientra
- II M'ipie'o-' 'o' x, a, b } ]. I as forma orresponientes Cn M'ipie r rLTJQ yTI-Q2 yTI-Q2 (x'.) x=a. .b). L.TJQ (x', it (fix), x)
iit(f
cos2 x sen
r inbo, iviatiematica uti1izaidc et cma-
do Apart) y Maple (con e1 comando convert ) son ca'.'aces '4 r) sieA&fl rci i & una AC,fl en fraccione3 pa rcii .e calcular ta cescorni. funciOn racional.
TrigExpand en Mathematica. nr medio deliiso puesta -er Ia de los comandt s apropiados. transforme unares otra. va1or,:T Ejer ricio 7 Un SAC puede omitir los signos i1 valor:T luto, ca isaui.o con ello resultados incorrectos. Considere lUto, 11
.
-4
t 1
n r-'ianc. a r' Ejercico 2 EvahIe las in.egrakes siguieutes
(a)
f(3x + 10)° 'b Ic I-c
Sugerencia: Utilice intei ,jaciOn por
(c) J
.2
Exp1iqU I,or qué \/9x2 + x4 Expiiqu
fl'0dx +Lr
J
10
Ia tecno) a
para evaluar f V9 -, Utilice SU Utilice su SA
I
2
.1a d U] u na de las inUtilice un SA nara evaluar cad' En cuáles ca'sos (si los ios
1
[i descoir Ejercicio r Utilice su S;A .0 para determinr I.. . ipo sisiaiu'.e 1aintei ia intei ai ción c Iracciones parciales de cada función, cvaiu 1
III. RefIexi III. RefIexi "dictorios Ejercido 8 Si usted ohtiene resuitados contr0''dictorios ceterinifle cuátes resultados son col .rrectos y e: ejerciciu 7 que por que. -1 1
Ejercicio 9
(L,2 x
706
ro
Utilice su SAC para determi nar
ic' iones ee.n££iracciones
.2
,e
dx
para
parciates de
descom
= 0,1,2,... 10.
descomp Identifiq ie i1n patrOn y utilIcelo para predecir lai descompc.
indefinida Ade cada expresión. E
(d)2 x'+ 3x2 ---2x+ 118x + 12C .3:x2, 273x 273x 2
9x + x dx y f V9x +
+ x4
-J
. maflt1 Cihay) Ia Tespuesta del AC difiere de los que obtuvruu.mari" Th lgUnc )5 Caci ejercicio 2? ,Cuá' h. rspues;a es más simple? IF' lgunc término, aUn aun sos, 1os S4 C' multiplicarán e mtegrarán términe a término, cuando funcione un rnétodo más senci:lo.)
(c
x4 dx a mano.
JO
tegkrlJe sinclefinidas del ejericio 2. -
I V9x
Caic ii.
x2(3x3 + 10) dx
x 4 a mano.
II. Uso d
V19x2 -I- x4 dx
Y9x2 + x4 dx
x
Descompong
xI/9
L,nlic iue nor qué
pa -te (b). parter r'1a IaIa pa1
( d)
+ iO)° dx
Ejercicio 3
Ejeruci
x(3x
(n)
x4 dx
jV9x H-
cC
cii fra..ciines pari LIeS para
xl'
-:
--4-. Encuentre
4 ' x7 x una cxpresiór. para Ia descomposiciOn en frac iOfl 2
'1
1'a
ales
mtaendc s parttgerencia: Debe tener una respues de - 2 x iina cuando n es par y otra cuando n es impa Bono: Dc uconjetUr mi1' trt. i.tiiiza do indu.ciOn matemática, quc siuconjetur mi1 cor cta. C
as
I
'Si
I
it
[S
La e':ua cio..r diferencial logIstica I. Prep iraciónII En el capItulo 7 usamos la ecuación diferencial y' = ky para modelar el crecimiento DobIa.ionaI. Este modelo dice que Ia tdsa de crecimiento es proporcional al tamaño y de Ia poblaciOn. Esta ecuación diferencial tiene soiución v= ci. donde Yo es ci tamao micial dc Ia oblación. Este modelo. que conduce crecinüento exponencial, es razonhie hasta que ci tamaflo de Ia poblacion se vu DIve tan grande que los factores. ta'es como espacio y recursos afect In a] recimiento de la pohiaciOn. -i Pierre Verhuist (1804-1849) introuujo .n 183 ci r odeio (1)
y' = ay
dOn se vuelve iiás grande, el término by2 se vuelve significativo, y restringe Ia tasa de crecimiento y fuerza un tamañc. dc d pcblaciOn IIrnite L. Es un hecho notab,le qu.. podemos
iet rninar ci :amafi lirnite de hi L
..iaciOn sin resoer Ja ecuacjOn diferen-
ca.. LL1 Si existe ui nOmero L al curi Ia L
)oAaciOn conve ja ruando t
i (es.
si IImy(i) = L,, entoces
lIm'(i') = 0
12)
Ejercicio 2
i vemtre que ci modelo
en (1) puede escr" se en la forma
y'::ky( y)
.jercicio 6 Haga L i000y y = 2(10, I /arIe ci valor de k haga Ia gráfica de hIS is soiuciones. Descriha ci efecto de k ei I" solucion.
Ill. Reflexión Una eci aciOn autónoma es una ecuaciOn diferenciai de primer arden cie Ia form't 11
Esto demuestra que Ia tasa de crecimiento de Ia pobiaciOn es proporcionai ai tamaflo de la pohlaci'5r y y ai "espa-
cio" que queda rara Ia pobiación por crecer (esto es, h. Lerencia entre ci ta..iaño de ia pobl 'iite Lye! tano de Ia pobiac
it'
Rcsuetvav' L1 y) (rn = 10 Sit-i-(rn con Ia condiei' ci' ,n i ncia1 ncia1 gerencia. Sep varia le3 e 1tegre.
I ajaL aL =
F-I
En otras paiabras, Ia variauie t dci tiem pc, no aparece de nanera xplIcita en la tación diferenc al. Por L1 ecmp!o, y' = 1
L
.y y y' =
L1
ii
h :caiJo a L, entcnces i.'ai tasa d Ic cambic
jcr: casi cero.)
4
v(3
- y) soi autOnoir a,
iientras que y' = no Ic es. Un J,LiIIJ,LIIIp Je una ecjación (1S.fl" ' ifer inr\1'iaesu n conctante con la cia pJ qu .a " te p ropiedad de qu.a I. finciOn o1ista1 y(t) c es Ufld souciOn pa:a a cci aciOn (Jliferenciai. ir por ( . toda ia Ii' EjeiUcic i Expliqie it estacio raices de.1'!'y) =O':n pur os -
-
JL)' fl)0,
k = 0.000
ción para ia ecu LC1C"i ksuca. M'inte-M 1 niendo constantes a L ,r k varIe ci vaior de Hagd un gráfii Je las soluciones resuitantes. i.segOrese de inciuir algunos vaiores'I e Y m2nores V rnayores a L; también (rate coi Yo = - y v L. if If I)escriba los efectos 'fl1 L 'flh soluciOn. Ejercicic 5 Yak=O.Ol fiat :O5 Yo 00. VarIe ci ,alr'r L y grafique las 1'1
'1
irios.
y y = 200 y haga! ai grãica de Ia solu-
jr 8 Encuentre todos ios punESCiCju Los .stacionarios de ia ecu.'iOn logIstic 1. L
1
-
-
y'= v'=
i
J O.002y(5O()
Ii ificado ii
- y). Explique
.. sig-
di de 1.os pi"tos estacionariosHfl cc I
respecto a su relaciOn a! tamaio de la r obiacicn. F" sir. cue tudos " Ic, ii"' E jer cicio 9 ii',r rn"' los esttcionaro de las ecuaciors IC
'"
esciia il' c]f efe o de L so-
y, = 2' i(3
bre la sc'iución.
J1 ,1J' a pobIació se estab'ece
(y)
1
Ejercicio 3
Fjercicio 4
y' = y'.
tca tc i 2stacionario
-(jØI( gIa
II. Uso de Ic
o1uciones. -
I
-
DC en
-
r de modc que- cuando ci ta naño de La
ohlaciOn y es pequeno, la tasa de crecimiento es aproximadarnente proporcional a y. Sin embargo, cdando la pobla-
= ay
r1'c11 é' de ambos lados ( r1c11 det., e que y es una funciOn del tiemp. t) utilicese ci resui tado de (2). Enionces despéjese Ia puhlación iImite L.
by2
Por to comün, ci valor de b es pequeno.
to -es, -
n1?l:
E: cuuOn y '1H Urnuo t by2, tOmese ci ifimLe Ejercicio 1
-
- y)(4 y)(4 --yy )(5y, -
V
yy
y' = y F
uf' + 8y.
rn i
François Antoine de
l'Hôpital es una de las luminarias menores en el Gulllaume Guillaume Guillaume F. A.
firmamento de las matemáticas, matemáticas,
de I'Hôpital
aunque ha sido inmortalizado por el
1661-1704
descubrimiento que Ileva Ileva su su nombre nombre (Ia regla de de I'HOpital). l'Hôpital). Aunque ese
descubrimiento no es propio; se debe aa su su maestro, maestro, Johann Johann Bernoulli. Bernoulli. Y Y por por ahI hay una historia que vale Ia pena volver a narrar. L'Hôpital naciO L'HOpital naciO de de padres padres de Ia
alta nobleza de Francia. Con algo de
talento matemático y mucho dinero, él estuvo de acuerdo en apoyar a Johann Bernoulli a cambio de que después le
permitiera publicar los descubrirnientos de éste. Después de Ia descubrimientos
muerte de l'Hôpital, Bernoulli intentO reclamar esos descubrirnientos descubrimientos como como
propios, pero las evidencias se habIan hablan perdido. Fue hasta 1955 cuando
se encontraron las cartas cartas entre entre Bernoulli Bernoulli yy I'HOpital l'Hôpital donde se especificaban aquellos aquellos arreglos arreglos cuando cuando al al fin fin se se justificO justificó Ia pretensiOn de Bernoulli.
Entre las aportaciones de l'Hôpital se encuentra el primer libro de
...yhoyendIa Los autores potenciales de libros de cálculo están por todas partes y para cada disciplina hay un libro especial de cálculo.
texto de cálculo diferencial, publicado en 1696. En este libro se usa el
tipo de lenguaje que fue fue comün comin entre entre todos todos los los pioneros pioneros del cálculo, el lenguaje de los infinitesimales. LY qué es un infinitesimal? De acuerdo
con l'Hôpital, si dos cantidades difieren en un infinitesimal, pueden considerarse iguales.
Esto parece decir que dos cantidades pueden ser iguales y
desiguales al mismo tiempo. En las manos de gente talentosa como Newton, Leibniz, Bernoulli y Euler, nociones tan ambiguas no parecieron
constituir un obstáculo (y aun puede ser que hayan ayudado) en el descubrimiento Por fortuna fortuna para para los los simples simples descubrimiento de las nuevas matemáticas. Por mortales, los infinitésimos fueron desterrados de las matemáticas durante durante el el siglo siglo XIX XIX yy sustituidos sustituidos por por Ia Ia rigurosa rigurosa nociOn nociOn de de IImite. Ilmite. Sin embargo, en años recientes, los matemáticos embargo, matemáticos han han resucitado resucitado una una aceptable versiOn de esas magnitudes tan despreciadas en una rama de las matemáticas Ilamada análisis no estándar.
Formas
indeterminadas e integrales impropias 9.1 Formas indeterminadas del tipo 0/0 9.2 Otras formas indeterminadas 9.3 Integrales impropias: LImites de integración infinitos 9.4 Integrales impropias: Integrandos infinitos 9.5 RevisiOn del capItulo 9.6 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 9.1 Funciones de densidad de probabilidad Proyecto de tecnologIa 9.2 La distribución normal
9. 1
Formas indeterminadas del tipo 0/0
He aquI tres problemas de lImites conocidos: lim
senx
x*O
X
lim x*3
-9 x2 - x - 6
lim x*a
f(x) - f(a) x-a
El primero se trató con amplitud en la sección 2.7, y el tercero en realidad define la derivada de f'(a). Los tres lImites tienen una caracterIstica en comtin. En cada caso, está incluido un cociente, y en cada caso, tanto el numerador como el denominador tienen a 0 como su lImite. Un intento de aplicar la parte 7 del Teorema principal de lImites (Teorema 2.6A), que dice que el lImite de un cociente es igual al cociente de los lImites,lleva al resultado sin sentido 0/0. En realidad, el teorema no se aplica, ya que requiere que el lImite del denominador sea diferente de 0. No estamos diciendo que estos lImites no existan, solo que el Teorema principal de lImites no los determinará. Puede recordar que un intrincado argumento geométrico nos condujo a la conclusión lIm (sen x)/x = 1 (Teorema 2.7B). Por otra parte, la técnica algebraica de factoxO rizaciOn conduce a Un,
x2-9 x2 -
x-6
(x-3)(x+3)
x+3
=lIm x-3x+2 x-3(x-3)(x+2) =lim
6
5
/,No serIa bueno tener un procedimiento estándar para manejar todos los problemas para los cuales los ilmites del numerador P denominador sean ambos 0? Esto es esperar demasiado. Sin embargo, existe una regla sencilla que funciona de maravilla en una amplia variedad de tales problemas.
404 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
Regla de L'Hôpital
En 1696, Guillaume François Antoine de L'Hôpital publicó el primer libro de texto sobre cálculo diferencial; incluIa la regla siguiente, que él aprendió de su maestro Johann Bernoulli.
Teorema A R rk c' e LHOpi tila para formas del pc 0' 1( :le iiiiif(x) = lIing(x) = 0. Si IIrrif1x)/gF(x)] existe en cualquiL.ra Supngaqu.. I
de los sentidos f'uliltu-' entonces
ir ' (v. ej., si este Iimitc inLiitc
f(x) -" g(x)
urn
f'(x)
= x-" urng'x) --
Aqulu 1)t1de .c sion .Lf icar '!!lrI1ier de Los sfmboos a, a. -
Interpretación geométrica de Ia regla de L'Hópital Estudie los diagramas siguientes. Ellos deben hacer que la regla de L'Hôpital parezca muy razonable. y
esunnümerofinitoo000+c)0),
Antes de tratar de probar este teorema, lo ilustramos. Obsérvese que la regla de L'Hôpital nos permite reemplazar un lImite por otro, el cual puede ser más sencillo y, en particular, podrIa tener la forma 0/0. EJEMPLO 1
= px
0+00.
Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que lIm
g(x) = qx
senx x
x-*O
=1
lIm
y
1 - cosx x
x-*O
=0
Solución Trabajamos duro para demostrar estos dos resultados en la sección 2.7.
x
Después de notar que tratar de evaluar ambos lImites por medio de sustitución conduce a la forma 0/0, ahora podemos establecer los resultados deseados en dos ilneas (pero véase el problema 25). Por la regla de L'HOpital,
lIm f(x) - urn P_P_ iIrn f(x)
x-O g(x)x-O qxqx-Og(x) y
lim
EJEMPLO 2
Solución
-
= lim
Dsenx
x-O Dx
X
1 - cosx x
x-*O
g
senx
lim
x-*O
Encuentre lIm
= lim x-*O
= lim x-*O
D(1 - cosx)
Dx
x2 - 9
y lIm
cosx 1
1
= lim x-O
senx 1
=0
x2 + 3x - 10
x-3x x-6 x-*2x 4x+4 2
2
Ambos lImites tienen Ia forma 0/0, de modo que por la regla de L'Hôpital, -
lim
x2-9
x-*3x2_x_6 urn f(x) - lIrn I (x)
xO g(x) xO g'(x)
x2
+ 3x - 10
2x
6 x-*32x-1 = -5
= lim
2x + 3
x-*22x-4 =oo x-*2x2_4x+4 =lIm lIm
El primero de estos ilmites fl4e manejado al inicio de esta sección factorizando y simplificando. Por supuesto, de cualquier forma obtenemos Ia misma respuesta. U EJEMPLO 3
Solución
tan2x
Encuentre lIm x-*O ln(1 + x)
El numerador y el denominador, ambos, tienen lImite 0. De aqul que, lim
tan2x
'° ln(1 + x)
=lim xO
2 ==2 1/(1 + x)
2sec22x
1
.
Algunas veces lIm f'(x)/g'(x) también tiene la forma indeterminada 0/0. Entonces podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital, como lo ilustramos ahora. Cada aplicaciOn de la regla de L'Hôpital está seflalada con el sImbolo
SEccION 9.1
EJEMPLO 4
Encuentre lIm
Formas indeterminadas del tipo 0/0 405
sen x - x
xO
Por medio de la regla de L'HOpital aplicada tres veces en sucesiOn
Solución
" cosx-1 1Im5-- = nm x-O
x-O
x3
3x2
1Im6x
x-O
COSX
lIm
x-O
6
1
.
6
Aunque tengamos una regla elegante no significa que debamos utilizarla de manera indiscriminada. En particular, siempre debemos asegurar que se puede aplicar; esto es, debemos asegurar que el lImite tiene la forma indeterminada 0/0. De otra forma conducirá a toda clase de errores, como lo ilustramos a continuaciOn. EJEMPLO 5
Encuentre lIm xO
1 - cosx x2 + 3x
Solución
lIm sen x x-O2x+3
lIm 1 - cos x
x-O x2+3x
lIm COS X =
x-O
ERROR 2
2
La primera aplicación de la regla de L'Hôpital fue correcta; la segunda no, ya que en ese paso, el lImite no tenIa la forma 0/0. He aquI lo que debIa hacerse
lIm sen x = o
urn 1 - COS X
x-O x2+3x
DERECHA
x-O2x+3
Detenemos la derivación tan pronto como el numerador o el denominador tenga un iiU mite distinto de cero. Aun silas condiciones de la regla de L'Hôpital se cumplen podrIan no ayudarnos; veamos el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6
Encuentre xoo lim
e
Solución Ya que el numerador y el denominador ambos tienden a 0, el lImite es indeterminado de la forma 0/0. AsI, las condiciones del Teorema A se satisfacen. PodrIamos aplicar la regla de L'Hôpital de manera indefinida.
4' ex = lim ex ='' lim lim x-1 X-2 x-° -
x-°' X-1
D-X
2x-3
=
406 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias V=
Claramente, sOlo estamos complicando el problema. Un mejor enfoque es hacer primero un poco de algebra e_x x lim = lim x - oo
x -*
x
Escrito de esta manera, el lImite es una forma indeterminada de la forma ooloo, el tema de la sección siguiente. Sin embargo, debemos ser capaces de adivinar que el lImite es 0 considerando que ex crece mucho más rápido que x (véase la figura 1). Una demostraciOn rigurosa vendrá más adelante (ejemplo 1 de La secciOn 9.2). x
Figura 1
Teorema del valor medio de Cauchy
La demostración de la regla de L'Hôpital depende de una extension del Teorema del valor medio debida a Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Teorema B
'le Cu':n'
TE DFerna del valor med
h_ n .,(r b' y conhinuas en Ia, bI. Si g'(x) rivaie ntonces .xis 1. U'i imiero c en (a. b) tal que
ujciones ean f y g fr
daxen(a,b
f( 5'
-. a)
dj
p ira to-
f'(c)
g(n) - (a) O
sveseqre . este teorema se re uce al ordinario Teorema del valor rnedio
' riiando g(x' = 1ii 'adas 't'eore (' ma 4 .7/ IlJ
Demostración Es tentador aplicar el Teorema del valor medio a! numerador y a! denominador del lado izquierdo de la conclusion. Silo hacemos, obtenemos f(b) - f(a) = f'(ci)(b - a) y
g(b) - g(a)
=
g'(c2)(b -
a)
para elecciones apropiadas de c1 y c2. Si sOlo c1 y c2 fuesen iguales, podrIamos dividir la primera igualdad entre la segunda y estarIa hecho; pero no existe razón para esperar tal coincidencia. Sin embargo, este intento no es un fracaso cOmpleto, ya que (2) da Ia Va-
liosa información de que g(b) - g(a) 0, un hecho que necesitaremos posteriormente (esto se deduce de La hipótesis que g'(x) para toda x en (a, b)). Recuérdese que la demostraciOn del Teorema del valor medio para derivadas (Teorema 4.7A) se sustenta en La introducción de una funciOn auxiliar s. Si tratamos de imitar esa demostración, ilegaremos a la siguiente elección para s(x). Sea
s(x) =
f(x) - f(a)
f(b) f(a)
-
(b) -
(a)
[g(x) - g(a)]
No hay division entre cero ya que antes establecimos que g(b) - g(a) 0. Obsérvese además que s(a) = 0 = s(b). También, s es continua en [a, bI y derivable en (a, b), esto se sigue de los correspondientes hechos para f y g. AsI, por el Teorema del valor medio para derivadas, existe un nUmero c en (a, b) tal que
s(c)= Pero
s(b)s(a)
ba
s'(c) = f'(c) de modo que,
0-0
ba°
f(b) f(a) g(b) - g(a)
g'(c) =
f'(c)
f(b) - f(a)
g'(c)
g(b) - g(a)
que es lo que deseábamos demostrar.
0
Formas indeterminadas del tipo 0/0 407
SECCION 9.1
DemostraciOn de Ia regla de L'Hôpital Demostración Regrésese al Teorema A, que en realidad establece varios teoremas en lIm. uno. Solo demostraremos el caso en el que L es finito y el lImite unilateral x*a Las hipOtesis para el Teorema A implican más de lo que explIcitamente dicen. En
particular, la existencia de lIm[f'(x)/g'(x)] implica que tanto f'(x) como g'(x) exisx*a ten en al menos un pequeflo intervalo (a, bI y que allI g'(x) 0. En a, aün no sabemos lIm g(x) = 0. AsI, poque f y g estén definidas, pero sabemos que x*a lIm f(x) = 0 yx*a demos definir (o redefinir, si es necesario) a f(a) y a g(a) como cero, y por tanto haciendo a f y a g continuas (por la derecha) en a. Todo esto es para decir que f y g satisfacen las hipótesis del Teorema del valor medio de Cauchy en [a, bi. En consecuencia, existe un nümero c en (a, b) tal que
f(b) f(a) g(b) - g(a) o, como f(a) = 0 = g(a),
Cuando hacemos b
f'(c) g'(c)
f(b)
f'(c)
g(b)
g'(c)
a, y por tanto forzando a que c lim
b*a1
f(b) g(b)
= lim
a, obtenemos
f'(c)
c*a g'(c)
que es equivalente a lo que querlamos demostrar. Una demostración muy semejante funciona para el caso de los lImites por la izquierda y por tanto para lImites por los dos lados. Las demostraciones para los casos en donde a o L es infinito son más difIciles, y los omitiremos.
Revision de conceptos La regla de L'Hôpital es ütil para determinar lIm [f(x)/g(x)], en donde
De ia regia de L'Hôpitai, podemos conciuir que , pero ia regia de L'Hô=
iIm (tan x)/x = iIm x-O x-O
son distintos de cero.
y
pitai no nos da información acerca de 11m0 (cos x) /x porque
La regla de L'Hôpital dice que bajo condiciones apropiadas
lIm f(x)/g(x) =
lIm
La demostración de ia regia de L'Hôpitai depende dei teo-
rema
Conjunto de problemas 9.1 En los problemas deli al 24, encuentre el lImite que se indica. Asegárese de que tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hôpital.
1. tim x-O
2x - sen x
3. lIm x-O 5
X
x - sen 2x
iIm
x2+6x+8
x--2 x
lIm 7. x-1
9.
tan x
lIm x-/2
2
3x - 10
- 2x + 2 -1 ln(senx)3
-X
2.
cos x
lIm x-1T/2l.
-
tan3x
4. lim x-O sen1x 6
lim x-O
8. iIm
iim 13. x-O
- 2x in x2 1
x-O 2 sen x
Vit2 mt tncos2x 7x2
tanxx
iim 15. x-O sen2x - 2x
12. 14.
2 lIri,j
16.
-1 -1
3 sen x
Vx
senx tanx x2 sen x
x2
17
iIm x-Osenx x
x3-3x2+x
x-1 x2
10. iim
11. iim t-
ex_in(1+x)_1 iIm 18 x-
19. iIm x-O
tan1x - x 8x
1 - cos x - x sen x 2cosx - señ2x
21. xi52
20. iIm x-O
coshx - 1 x2
sen x + tan x
iim 22 x-O ex +
e_x - 2
408 CAPITULO 9
ix
Formas indeterminadas e integrales impropias
ix
Vi + sen t dt
\/icost dt
23. urn x-*O
29. Utilizando los conceptos de la sección 6.4, puede demostrar que el area de Ia superficie del elipsoide alargado obtenido al hacer girar la elipse x21a2 + y21b2 = 1 (a > b), alrededor del eje x es [
A = 2ith2 + 27rab I
En la sección 2.7, trabajamos muy duro para demostrar que lIm (sen x)/x = 1; la regla de L'Hôpital nos permite demostrar esto
L V'a
a
- b2
arcsen
\/a2_b2 a
x-*O
en una linea. Sin embargo, aun si tuviésemos la rega de L'Hôpital, digamos al final de la sección 3.2, no nos hubiese ayudado. Explique por qué.
Encuentre lIm x-O
A dónde se aproxima A cuando a - b? Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que esto sucede. Determine constantes a, b y c de tal modo que
x2sen(1/x) tanx
urn
Sugerencia: Comience por decidir por qué la regla de L'Hôpital no es aplicable. Después encuentre el ilmite por otros medios. 27. Para la figura 2, calcule los limites siguientes:
(a) lIm t-*O
(b) lIm
area del triangulo ABC area de la region curva ABC
ax4+bx3+1
x-*1 (x 1)senirx
=c
La regla de L'Hôpital en su forma de 1696 decIa esto: Si
lImf(x)
=
limg(x) = 0, entonces lImf(x)/g(x) = f'(a)/g'(a),
con tal que f'(a) y g'(a) existan y g'(a) 0. Demuestre este resultado sin recurrir al Teorema del valor medio de Cauchy.
area de Ia region curva BD area de la regiOn curva ABC
[CAS
Utilice un SAC para evaluar los lImites de los problemas 32 a135.
lin
cosx - 1 + x2/2
ex - 1 - x - x2/2 - x3/6
34. lim x-*O
1 - cos(x2)
x senx
35. lIm
tanx - x
x-+O arcsen x - x
Para los problemas del 36 al 39, grafique el numerador f(x) y el denominador g(x) en la misma ventana de graficacion para cada uno [Gd
Figura 2
1, 0.1 0.01. 0.1 y 0.01 Con base en Ia grafica, estime los valores de f'(x) y g'(x) y utilIcelos para aproximar el lImite dado. de estos dominios 1 x
28. En la figura 3, CD= DE = DF = t. Encuentre cada lImite.
(a) liry
(b) lImx
36. lIm x-O
3x - senx
38. lIm X-Oe2x FE X P LI
X
x
1
37. urn x-+O
senx/2 x
ex_1
39. lim -x x-Oe
1
40. Utilice el concepto de aproximación lineal a una función
(véase la sección 3.10) para explicar la interpretación geomOtrica de la regla de L'Hôpital en el recuadro al margen próximo al Teorema A.
Respuestas ala revision de conceptos: 1. iirnf(x); lImg(x) 2. f'(x)/g'(x) 3. sec2 x; 1; 119 CO5 x Figura 3
Cauchy
4. del valor medio de
Otras formas indeterminadas 409
SECCION 9.2
9.2
Otras formas indeterminadas
En la soiución al ejemplo 6 de La sección anterior, nos enfrentamos a! siguiente problema de LImite
urn-
x*cxj
Este es un ejemplo tIpico de Ia forma lIm f(x)/g(x), en donde ci numerador y eL dex
nominador crecen indefinidamente; Les liamamos forma indeterminada del tipo oc/oc. Resulta que la regia de L'Hôpital también se aptica en esta situación; esto es, lIm
carrof f(t) carro g
f(x) g(x)
= lIm
f'(x) g (x)
Una demostración rigurosa es muy difIcil, pero existe una manera intuitiva de ver que el resuLtado es cierto. Imagine que f(t) y g(t) representan las posiciones de dos alltomóviies sobre el eje t en el instante t (véase La figura 1). Estos dos automóviles, el auto f y el auto g, están en una viaje sin fin, con veLocidades respectivas f'(t) y g'(t). Ahora, si lim
f'(t)
t*oo g'(t)
=L
entonces básicamente el auto f viaja a casi L veces tan rápido como el auto g. Por tanto, es razonabie decir que, a La larga, viajará casi L veces más lejos; esto es, lIm
f(t)
=L
g(t)
A esto no le ilamamos demostración, pero hace plausible un resultado que ahora estabiecemos de manera formal. Teorema A
r,
Regla de L'HpitaI para forra del :.po 'o/oo. i
= iImg(x)j = °° Si
SupOngase que
I[f'(x)/5'(x)] existe c.n ci
sentido finito o infinito, entonces
lim
f(x' g(x)
= Iiin
-.0
(x)
g (x'
Aqul u puede significar -ualauiera ne los s1mb olo' i.a,
, a, oo o +oo.
La forma indeterminada oo/oo Utilizamos ci Teorema A para terminar ci ejemplo 6 de la sección anterior. EJEMPLO 1
Encuentre tim
x
xoo
Solución Tanto x como ex tienden a oc cuando x cxi De aquI que, por la regla de L'Hôpital, x Dx = tim 1 = 0 lim = lim x x ex x D ex e
.
He aqul un resultado general dci mismo tipo. EJEMPLO 2
a
Demuestre que, si a es cuaiquier nümero real positivo,
ex
= 0.
So!ución Supongase como un caso especial quc a = 2.5. Entonces tres aplicaciones de la regia de L'HôpitaL da
lIm x25 X
lIm X
5x'5
lIm L2.5X1.5)x°5 X
ex
lIm (2.5X1.5X0.5) = 0 X
xO5ex
41 0 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
Un argumento similar funciona para cualquier a > 0. Denótese con m al máximo entero menor que a. Entonces m + 1 aplicaciones de la regla de L'Hôpital da
Vea coma crecen En ciencias de La computación, uno pone cuidadosa atención a La cantidad de tiempo necesaria para reaLizar una tarea. Por ejemplo, para ordenar x elementos por medio del algoritmo "de La burbuja" toma un tiempo proporcional a x2, mientras que el algoritmo "rápido" hace La misma tarea en un tiempo proporcional a x Ln x, una gran mejorla. He aqul una tabla que ilustra cómo algunas funciones comunes crecen cuando x aumenta de 10 a 100 a
iIm
a(a
urn
EJEMPLO 3
1)xa-2 ex
Xm
- aex
Demuestre que, si a es cualquier nümero real positivo, lIm
x*oo
Solución Tanto ln x como Xa tienden a 00 cuando x una aplicación de la regla de L'Hôpital,
00.
lnx
. =
De aquI que, por medio de
1000.
mx VI
2.3
4.6
6.9
3.2
10
31.6
x
10
100
1000
23
461
6908
100
10000
106
xlnx e-
2.2
X io
2.7 X 10
10
lim ifl X =4 lim
x-
x-
Xa
iiX-1 =
axa
'
-
1
-
axa
lim
= 0
.
Los ejemplos 2 y 3 dicen algo que es valioso de recordar: para x suficientemente grande, ex crece más rápido cuando x aumenta que cuaiquier potencia constante de x, mientras que in x crece más ientamente que cuaiquierpotencia constante de x. Por ejemplo, cuando x es suficientemente grande e-' crece más rápido que x100 y ln x crece más 1/ lentamente que La tabla en el margen y la figura 2 ofrecen ilustración adicional. ln x
40
EJEMPLO 4 30
1/
1
Encuentre x-*O lIm
Solución Cuando x tal se puede aplicar,
cotx
0, ln x
00 y cot x
00, de modo
in x
I
que la regla de L'Hôpi-
20
Figura 2
-
iIm lim x0 cotx=x0
10
1/x
1
[_csc2xj
Esto aün es una indeterminaciOn como aparece, pero en lugar de aplicar otra vez la regla de L'Hôpital (lo cual solo hace que las cosas empeoren), reescribimos la expresiOn entre corchetes como
1/x
sen2x
cscx
X
=senx senx X
AsI, lIm
ln x
x*O cotx
= lIm [_senx x*O
senx]
=
01
=
.
Las formas indeterminadas 0 oo y 00 - 00 SupOngase que A(x) *0, pero B(x) oo. çQué ocurre con el producto A(x)B(x)? Trabajan dos fuerzas en competencia, tendiendo a jalar el producto en direcciones opuestas. ,Cuál ganará esta batalla, A o B, o ninguna? Depende de cuál es más fuerte (p. ej., cuál hace su trabajo más rápido) o si están niveladas. La regla de L'Hôpital nos ayudará a decidir, pero solo después de trasformar el problema a la forma 0/0 o oo/oo.
Otras formas indeterminadas 411
SEccION 9.2
EJEMPLO 5
Encuentre x-*ir/2 iIm (tanx. in senx).
iIm tan x = oo, esto es una forma indeterSoluciôn Ya que x-*ir/2 iIm in sen x = 0 y x-*ir/2
minada 0 oo. Podemos reescribiria como una forma 0/0 por medio dei artificio simpie de cambiar tan x por 1/cot x. AsI,
iIm (tan x in Sen x) =
iIm
=
urn
x*rrI2
in sen x
x*rrI2 cotx
-
cos x
senx
x*rrI2
csc x
= iIm (cosxsenx)=O x-
EJEMPLO 6
rI2
U
Ix
Encuentre x-*l\ lIm
-1
mx
Solución Ei primer término crece sin cota; io mismo que ei segundo. Decimos que ei iImite está en una forma indeterminada 00 - 00. La regia de L'Hôpitai determinará ei resuitado, pero sóio después que se reescriba ei probiema en una forma donde se apiique ia regia. En este caso, se deben combinar ambas fracciones, este es un procedimiento que cambia ei probiema a ia forma 0/0. De ias dos apiicaciones de ia regia de L'Hôpitai se tiene:
x
iIm
1
iIm mx ) = x*1
( x*1 \x-1
xinxx+1
- im
(x-1)inx
xinx
-ix-1+xinx
Las formas indeterminadas 00,
iim
x*1
x1/x+inx-1 (x-1)(1/x)+inx
=iim 1+inx = -
i2+inx
2
.
O,
°° Ahora voivamos ia atención a tres formas indeterminadas dei tipo exponenciai. AquI, el truco es no considerar ia expresión originai sino su iogaritmo. Por io comün, ia regia de L'HOpitai se apiicará ai iogaritmo.
Encuentrex*O+ lIm (x + 1)0tx.
EJEMPLO 7
Soluciôn que
Esto adquiere ia forma indeterminada 1°°. Sea y = (x + i)0t x, de modo
my = cotxin(x + 1) =
in(x + 1) tan x
Usando ia regia de L'Hôpitai para formas 0/0, obtenemos
-
Ahora y = e'
Y,
iIm
x*O
n
y=
iIm
x*O
n(x
+
tanx
1)1 =
x+1 =1 Sec2x
urn
x*O
y como ia función exponenciai f(x) = e-' es continua,
=
}+exp(1ny) = exp(imn+iny)
=
expi = e
.
412
CAPITuL09
Formas indeterminadas e integrales impropias
EJEMPLO 8
Soluciôn
Encuentre
X
urn (tan X)CO.
-* ir/2
Esta tiene ia forma indeterminada 000. Sea y = (tan X)0S x de modo que in tan x sec x
in y = cos x in tan x = Entonces
urn iny= iIm
x - 7r12
x - 7r12-
r
in tan x = sec x
secx = lim tan x x - 7TI2
=
iIm
tan x
se c2x
x -rI2 secx tanx
lim
-/2-
cosx =0 sen2x
Por tanto,
urn y = e0 = 1
.
Resu men Hemos ciasificado ciertos probiemas de ilmites como formas indeterminadas, utiiizando siete sImboios 0/0,00/00,0 oo,00- 00,00,000 y Cada uno impiica una competencia de fuerzas opuestas, io cuai significa que ei resuitado no es obvio. Sin embargo, con ia ayuda de ia regia de L'Hôpitai, que sóio se apiica directamente a ias formas 0/0 e oo/oo, por io comün podemos determinar ei ilmite. Existen muchas otras posibiiidades simboiizadas por ejempio, 0/oo, oo/0, 00 + Do, 0o Do, 0° e oo°°. Por qué no iiamar a estas formas indeterminadas? Porque, en cada uno de estos casos, ias fuerzas trabajan juntas, no en competencia. EJEMPLO 9
Encuentre lim(sen X)COtX.
Soluciôn PodrIamos iiamar a esta una forma pero no es indeterminada. Obsérvese que sen x se aproxima a cero y eievada ai exponente cot x, un nümero que está aumentando, sóio sirve para hacer que se aproxime más rápido a cero. AsI,
iIm (sen x)c0tx = 0
x
.
Revision de conceptos L Si lIm g(x) = oc, entonces La regla de L'HôpitaL xa f(x) = lImxa
dice que LImf(x)/g(x) = LIm xa
2. SiLImf(x) = OyLImg(x) = oc, entoncesLImf(x)g(x)
Siete formas indeterminadas se estudiaron en este texto. Se 0 simboLizan por medio de 0/0, y ex
crece más rápido que cuaLquier potencia de x, pero
crece más Lentamente que cuaLquier potencia de x. es una forma indeterminada. Para apLicar La regLa de L'HôpitaL, podemos reescribir este üLtimo LImite como
SEccION 9.2
Otras formas indeterminadas 41 3
Conj unto de pro blemas 9.2 En los problemas del 1 al 40 encuentre cada lImite. Asegárese de que tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hôpital.
1. lim 3. iIm 5.
1nx1000°
2. iIm
X X10000
4. iIm
eX
iIm x-/2
3secx + 5 tanx
(inx)2
in(lOOx + eX) in sen2 x
iIm x-(1/2)
[Gd
V-in
in(4 - 8x)2 tan ii-x
12. lIm 3x2 csc2 x
13. iIm(csc2 x - cot2 x)
14.
15. iIm(3x)X2
16. 1Im(cosx)X
(5cosx)ta1
19. iim(x + ex/3)3
(d) X_OO(
+ 2X)1
lk+2k++nk
Sugerencia: Aunque esto tiene ia forma c/c ia regia de L'Hôpitai no es de ayuda. Piense en otra técnica utiiizada con frecuencia.
46. Sean c1, c2.....c constantes positivas con
18. iIm( csc2x - - 2
(I
23. iIm x1'
24. 1Im(cosx)1/2
25. JIm (tanx)2
26.
27. lIm(senx)X
28. lIm(cosx - sen
1/t
n
'L
22. iIm
c1 = 1 y
sean x1, x2.....x nUmeros positivos. Tome iogaritmos naturaies y desdespués utiiice ia regia de L'Hôpitai para demostrar que
(cos2x)X_2
21. iIm (sen x)cosX x -4
para x > 0. Muestre io que sucede para
(c) lIm(1X + 2X)1
iIm
iIm (tanx - secx)
iIm
43. Grafique y =
45. Para k> 0, encuentre
1
20.
X-O
44. Determine cada iImite. (a) lIm(1X + 2X)1 (b) lIn(1X + 2X)1
2csc2x 10. lim x-O cot2x
cot x
iIm
(d) X-O
x muy pequefla y x muy grande. Indique ei vaior máximo.
x-O 3 in tan x
11. iIm (x in x1000)
17.
(c)
(e)
3x
in(in x1000)
9. iIm
(b)
2X
6. iIm
8.
42. Encuentre cada iImite. (a)
XX
(
n
= X X2X = Hx i=1
AquI fJ significa producto; esto es, fJ a significa a1 'a2.....a. i=1
1
29. iIm csc x
X
- x)
iIrn(e
30. iIm 1+
En particuiar, si a, b, x y y son positivas y a + b = 1, entonces
1X
47. Verifique ia Uitima proposición en ei probiema 46 caicuiando cada uno de ios siguientes iImites.
[Gd
X
X
1
31. iIm (1 + 2e'
32.
33. lIrn(cosx)1R
34. lim(x1/2 in x)
iIm( X-l\X - 1
iIii(ax + by)1 =
in x
(a) ifm(2 + 15t)1/t 9t)1/t (c) iIm (2 + t-0 [Gd
48. Considere f(X) = n2xe'. Haga ia grlfica de f(x) para n = 1,2,3,4,5,6 en [0, 1] en ia misma ventana de graficacion.
35. limec0X
ParaX > 0,encuentreiimf(x).
36. lIm[in(x + 1) - in(x - 1)]
EvaiUe f f(x) dX para n = 1,2,3,4,5,6.
38. lIm(inxcotx)
37. iIm x-O in x
'IX
Haga una conjetura acerca de
Vi + et dt
39. urn
(b) tiIm (2 + 45()1/t -0
X
fXsen tdt
iimf f(x) dx. Después justifi-
que su respuesta de manera rigurosa.
40. iIm
49. Encuentre ios puntos máximo absoiuto y mInimo absoiuto (si existen) para f(x) = (x25 + x3 + 2v)e_ en [0, oo). [Gd
41. Encuentre cada iImite. Sugerencia: Transforme a probiemas que inciuyan una variabie continua x.
(a) iIm
(c) 1Imn('/ - 1)
(b) iIm
Respuestas a Ia revision de conceptos:
(d) 1Imn(Y - 1)
2.iImf(x)/[1/g(x)] o iirng(x)/[1/f(x)] 3.00 4. in x
1. f'(x)/g'(x)
414 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias Pb
9.3
En Ia definición de J f(x) dx, se supuso que el intervalo [a, b] era finito. Sin embar-
I nteg ra I es I m prop i as:
go, en muchas aplicaciones de fIsica, economIa y probabilidad queremos permitir a a o a b (o a ambas) sean cx o oo. Por tanto debemos encontrar la manera de dar significado a sImbolos
LImites de integración
infinitos
f 00
1
I Jo y
1+x2
Jx2 e_x2 dx
f'xe_x2 dx,
dx
Estas integrales se denominan integrates impropias con lImites infinitos. La gráfica de f(x) = e_v en [0,00) se muestra en Ia figura 1. La in-
Un IImite infinito fb tegral / e Jo
dx tiene sentido sin importar qué tan grande se haga b; en realidad, p0-
demos evaluar esta integral de manera expilcita. b
x
L Figura 1
fb
b
Ahora b*cx lIm (1 -
e_b)
e_x(_dx)
- Jo/
e_X dx
= [e] = 1 - e
= 1, de modo que parece natural definir
fe
dx = 1
He aquI la definición general.
Definición
fhf(x)dx
=
a00fbf
dx
a b
f00
f(x)dx
f(x)dx
=
Si los lImites de la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen esos valores. De otra forma, se dice que Ia integral diverge.
EJEMPLO 1
Encuentre, si es posible, f xex dx.
Solución
J.-Ixe-x2 dx = a
I2af
e2(_2x dx)
[_ 1 ex1
L2
]a
12
= - -1 e1 + 2
2
AsI,
I-lxe-x2 dx -00
lIm
r_ e1
a-ooL 2
+1 2
e1]
Decimos que la integral converge y tiene valor 1/(2e).
1
2e
SECCION 9.3
Integrales impropias: IImites de integración infinitos 41 5 p00
EJEMPLO 2
I
Encuentre si es posible,
sen x dx.
Jo
Solución
fcx
b
sen x dx = boo urn
I
v = sen x
Jo
sen x dx o
lIrn [cos x]
b*oo
= b*cxj lIm[1 - cosb] El ültimo lImite no existe;conclujrnos que la integral dada diverge. Considere el significado geornétrico de
sen x dx para apoyar este resultado (véase la figura 2).
U
EJEMPLO 3 De acuerdo con Ia ley del inverso de los cuadrados de Newton, la.fuerza que ejerce la Tierra sobre una cápsula espacial es k/x2, en donde x es la distancia (en millas, por ejemplo) desde la cápsula a! centro de Ia Tierra (véase la figura 3). Por tanto, Ia fuerza F(x) requerida para elevar a Ia cápsula es F(x) = k/x2. ,Cuánto trabajo se realiza a! impulsar una cápsula de 1000 libras fuera del campo de atracciOn terrestre?
Solución Podemos evaluar k observando que en x = 3960 millas (el radio de la Tierra) F = 1000 libras. Esta da k = 1000(3960)2 1.568 x 1010. Por tanto el trabajo realizado en millas-libra es [00
1dx
1.568 x 1010
J3960 x
= lIm 1.568 X b00
lO'°]x L
lo[
1.568 x 10°
--b + 1
lIm 1.568 x 10
b*oo
=
b
1
I
3960]
e3.96x1O6
3960
1
U
Ambos Ilmites infinitos Ahora podemos dar una definición para [f(x) dx. Definición p00
Si
J
f(x) dx y J f(x) dx convergen, entonces se dice que
00
f(x) dx converge
0
y tiene valor
J
f(x)dx
10
=J
f(x)dx
foo
+ J0
f(x)dx
00
En caso contrario, [ f(x) dx o establezca que diverge. JcX0
foo
EJEMPLO 4
EvalUe
1
100 1 + x2
dx o establezca que diverge.
Solución foe
Jo
1
1+x2
[b dx
lirn booJ0
- lIrn b [tan
1
l+x2dx x]0
[tan_i b - tan' 0] = = tIm b>oo
Ya que el integrando es una función par.
2
41 6
Formas indeterminadas e integrales impropias
CAP1TULO 9
eoo
1
2dx= f001+0
1
1+x
J
IT
dx
2
Por tanto, 00
1
eO
1
1+x2 dx=I 001+x2
dx+
100 0
Funciones de densidad de probabilidad
1
1+
x2
dx =
IT
2
+
IT
2
= IT
Muchos fenómenos implican el
azar, o aleatoriedad. Si lanzamos una moneda, podemos obtener cara o cruz; si lanzamos tres monedas, podrIamos contar el nümero N de caras, y obtendrIamos 0, 1,2 o 3. 0 podrIamos lanzar una sola moneda hasta que aparezca una cara; entonces el flumero de lanzamientos M es un nümero en ci conjunto f 1, 2, 3,. . .}. Las variables M y N se denominan variables aleatorias ya que sus valores cambian de un experimento al otro. Las variables aleatorias cuyos posibles resultados pueden colocarse en una lista se denominan variables aleatorias discretas. Otros fenómenos inciuyen un resuitado que (a! menos teóricamente) toma cualquier valor en un intervaio. Por ejemplo, podrIamos colocar un foco en un contacto de ca y observar cuánto tiempo pasa antes de que se funda. 0 podrIamos medir cuánto se estira un resorte cuando le colgamos en uno de sus extremos una masa de 2 kilogramos. Las variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor en un intervalo se haman variables aleatorias continuas. Una función de densidad de probabilidad (o simplemente, función de densidad) para la variable aleatoria continua X es una función f definida en (oc, oo) con las propiedades p oc
1. f(x) 0.25
0,paratodax
2.
J
f(x)dx
=
1
00
La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre a y b es
fb
0.2
dx 0.15
Por ejemplo, el tiempo de vida de un foco (en miles de horas) podrIa ser una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad que se muestra en la figura 4. La
0.1
[6
0.05
probabilidad de que el foco se fundirá entre las 4000 y 6000 horas es / f(x) dx. (Ya
'4
4
Figura 4
6
que el foco no puede tener un tiempo de vida negativo, la probabihidad de que X caiga en cualquier intervalo que se encuentre por completo a la izquierda del cero debe ser 0; esto significa que la funciOn de densidad debe ser 0 para todos los valores negativos
dex.) La media de una variable aleatoria que tiene funciOn de densidad f(x) se define como
= En la sección 6.6, definimos el centro de masa de una distribuciOn decontinua masa a lo largo de una recta que tiene densidad 5(x) como
M m
i(x [00
J
(x)dx
En el contexto de probabilidad tenemos la densidad de probabilidad en lugar de la densidad de masa. También nótese que si reemplazamos la densidad de masa S con la densidad de probabilidad f ci denominador se transforma en
SECCION 9.3
Integrales impropias: Ilmites de integracion infinitos
41 7
por Ia propiedad 1 de las funciones de densidad. AsI, el centro de masa para la densidad de probabilidad es 00
f00
xf(x)dx
[xf(x)dx
f(x)dx
1
f00xf(x)dx
=
Otra caracterIstica importante de una funciOn de densidad es sU varianza, denotada por o2, que se define como
f(x - )2f(x)dx
=
La varianza es una medida de dispersion, o "dispersidad". Cuando o-2 es pequefia, la distribución de probabilidad está, aproximadamente, muy agrupada airededor de Ia media; cuando 2 es grande, la distribución de probabilidad es más extendida.
EJEMPLO 5 La función de densidad de probabilidad más importante es la normal estándar, que se define por 1
f(x) =
e_x 2/2
V21T
La figura 5 muestra una gráfica de y = f(x). Es sorprendentemente difIdil demostrar que V
-2
-1
1
2
x 1
IC
Figura 5
V
ex2/2
dx = 1
27T
aunque lo haremos más adelante (véase la sección 16.4). Utilice este hecho para demostrar que esta función de densidad tiene media 0 y varianza 1; esto es, demuestre Cada una de las siguientes: (a)
1
f
V2r
00
00
xe_x2/2 dx
=0
(b)
2r
00
f xe2/ dx = 1 00
Solución 1
\,/
(a)
I J0
00xe_x2/2
dx
lIm
r_
1
booL V2 1
lIm r
Ibe_x2/2(_x) dx] Jo e_x2/21b
b00L V2
Jo
1
V21T
Como xe_x2/2 Cs una función impar, 1
V2
[
_22 dx= xex/
1-00
1
[00 I
V21r Jo
_2/2dx= xex
1
V2r
AsI, I
I
I0o
/ xe" dx =
V2r Joo
1
0
00
xe_x2/2 dx +
/27T
-00
xe_x2/2 dx
418 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
(b) Como e2/2 es una función par y ya que
f
1
i[002 edx=
1
e_x2/2
- V2
dx
1,
1
2 V2IT Jo Entonces aplicamos integración por partes y la regla de L'Hôpital. b
1
I V'2ir Jo
dx
(_x)(_e_x2/'2x)dx
lIm b-*cxj V2r lIm
0
1
1
x2/2]b
([
boo V2
+
+ f00e_x2/2 dx)
(
I ex2/ dx
JO
V2'lT
1
2
Como x2 e2hI2 es una función par, obtenemos una contribución similar a la izquierda del cero, y asI
y
too
1
V2r
= 1- + 1-
2/2 I x2ex dx
2
J-oo
La paradoja de Ia trompeta de Gabriel
2
=
1
.
Supóngase que la curva y = 1/x en
[1, oo) se hace girar airededor del eje x, con lo que se genera una superficie denominada trompeta de Gabriel (véase la figura 6). Afirmamos que
el volumen V de esta trompeta es finito; el area de la superficie A de La trompeta es infinita.
Figura 6
Al poner los resultados en términos prácticos, parecen decir que la trompeta puede ilenarse con una cantidad finita de pintura, y que aün asI no hay suficiente pintura para pintar su superficie interna. Antes de que tratemos de esciarecer esta paradoja, establecemos (1) y (2). Utilizamos los resultados para el volumen de la sección 6.2 y para el area de la superficie de la secciOn 6.4.
/1\2
p00
I
V
f
-
I
\,x)
J
dx = lIm r I x2 dx b-400
[ = b_*00L hmi---i x]1 7T
oo
A =
I 2ry ds = I
Jl
J1
2iy 1 +
2I1 + (-) 1
(dy\2 dx dx)
dx
x
Pb Vx + 1 dx lIm 21r I b-*oo x3
j1
Ahora,
\/x+1 > \/ x3
AsI,
I
Hans Memling (1425/40-1494). El Juicio Final, detalle del panel derecho: el angel hace sonar una trompeta y el condenado cae al Infierno. Museo Promorskie, Gdansk, Polonia. Scala/Art Resource, N.Y.
bVx4+1 x3
x
x3 Pb
1
I dx=lnb x
y como in b oo cuando b cc, concluimos que A es infinita. ,Hay algo erróneo en nuestras matemáticas? No. Imagine que a Ia trompeta se corta por un lado, se abre y se aplana. Dada una cantidad finita de pintura, posiblemente no podrIamos pintar esta superficie con una capa de pintura de grosor uniforme. Sin embargo, podrIamos hacerlo si permitimos que Ia capa de pintura se haga Ca-
SECCION 9.3
Integrales impropias: Ilmites de integraciOn infinitos
41 9
da vez más delgada conforme nos alejamos del extremos más ancho de la trompeta. Y por supuesto, esto es lo que sucede cuando llenamos la trompeta sin abrir con ir unidades cübicas de pintura. (La pintura imaginaria puede extenderse a grosor arbitrario.)
Este problema implica el estudio de dos integrales de la forma
Gabriel pavimenta una calle
iy converge parap> 1.
Soluciôn En nuestra solución de la trompeta de Gabriel, demostramos que la integral diverge parap = 1. Sip 1,
,Cuánto oro necesitó?
1
be_x
/ 1/x' dx diverge parap
Demuestre que
EJEMPLO 6
h = e
e_x dx = lIm b+ooJ0 Jo ,lIm[_e_x] = 1
dx. Pa-
ra referencia posterior, ahora analizamos esta integral para todos los valores de p.
Cuando se le pidió pavimentar una 1
V =
fiix
dx
fb
I dx= lIm b-*ccJ1
[ x1 lImi xdx= b-*oo[_p + lj
1b I
[1
1
Solo una unidad cübica.
sip<1
oo
l]={1
b[l - Pl[bP_1 lIm
si p> 1
La conclusion se sigue.
Revision de conceptos [00
fb
Ioo
La
existe.
f
no
cosx dx no converge porque
La
Conjunto deproblemas 9.3 tre que diverge.
f°°ex dx 100
3.
fxex dx 19
[00 7. 11
[00 9.
Ji [00 Je
13.
4.
xdx
6.
Vi+x
[00
10.
x99999 1
xlnx
dx
12.
1 lnxd x [1
17.
J 1
J00
I
J10
dx
14.
dx (2x x
Vx + 9
f
sech x dx
f
20.
[00 x
dx
1-00 e2
Sugerencia: Utilice una tabla de integrales
f
1 + x2
dx
x
1-00
Sugerencia: Utilice una tabla de integra-
fex sen x dx dx
xe_x dx
dx (IT - x)213
18.
e_x cos x dx
les o un SAC.
x
f"dx [00
dx
x2 + 2x + 10
dx
csch x dx
(1 + x2)2
J
16.
3)3
1
1-00
fe4xx
8.
x100001
19.
o un SAC.
[00
dx
J2
15.
dx
2.
1.
[00
o
f (1/xP) dx converge si, y solo si
[00
En losproblemas deli al 24, evaláe cada integral impropia o muestra
5.
f(x) dx se dice que diverge si
divergen.
existe y es finito.
2. La
J
dx (x2 + 16)2
Encuentre el area de la region bajo la curva y = 2/(4x2 - 1) a la derecha de x = 1. Sugerencia: Utilice fracciones parciales. Encuentre el area de la region bajo la curva y = 1/(x2 + x) a la derecha de x = 1. SupOngase que la ley de Newton para la fuerza debida a la gravedad tuviese la forma -k/x en lugar de - /c/x2 (véase el ejemplo 3). Demuestre que entonces serIa imposibleenviar cualquier cosa fuera del campo de atracción terrestre. Si una cápsula de 1000 libras solo pesa 165 libras en la luna (radiode 1080 millas), j,cuánto trabajo se hace alimpulsar esta cápsula fuera del campo de atracción gravitacional de la luna (véase el ejemplo 3)?
420 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
29. Supóngase que una compaflIa espera que su utilidad anual dentro de t aflos sea f(t) dólares y que se considera que el interés se compone de manera continua a una tasa anual de r. Entonces el valor presente de todas las utilidades futuras (UF) puede demostrarse que es
FP =
u =
dx (r2 + x2)3/2
Arf
en donde A, r y a son constantes. Evalüe u.
fetf(t)dt
35. Existe una sutileza en la definición de
Encuentre UFsi r = 0.08 y f(t) = 100,000. 30. Resuelva el problema 29 suponiendo que f(t) = 100,000 + 1000t.
31. Una variable aleatoria continua Xtiene una distribución .iniforme si tiene una función de densidad de probabilidades de la forma
do por medio de lo siguiente. Demuestre que
(a)
sen x dx diverge y
iImj
(b)
f
f(x) dx ilustra-
sen x dx = 0.
36. Considere un alambre infinito que coincide con la parte positiva del eje x y que tiene densidad de masa ö(x) = (1 + x2)1, 0
x
f(x)= ba 0
sia
Calcule la masa total del alambre (véase el ejemplo 4). Demuestre que este alambre no tiene centro de masa.
b
sixao xb
37. Proporcione un ejemplo de una region en el primer cuadrante que dé un sólido de volumen finito cuando se hace girar alrededor del eje x, pero que dé un sólido de volumen infinito cuando se hace girar alrededor del eje y.
ff(x) dx = 1.
Demuestre que
Encuentre la media p y la varianza o2 de la distribución uniforme. Si a = 0 y b = 10, encuentre la probabilidad de que X sea menor a 2.
38. Sea f una función continua no negativa en 0 s x < oc
con
32. Una variable aleatoria X tiene una distribución Weibull si tiene función de densidad de probabilidad
f
f(x) dx
Si lImf(x) existe debe ser 0; es posible que }I1 f(x) no exista.
si x >
f(x) =
Demuestre que
six0
{0
f
0
f(x) dx = 1. (Supongase que >
ICAsI
39. Podemos utilizar una computadora para aproximar f(x) dx
tomando b muy grande en 1.)
f
f(x) dx con tal que sepamos que la
primer integral converge. Calcule
Si 0 = 3 y f3 = 2, encuentre la media p y la varianza o2.
Si el tiempo de vida de un monitor de computadora es una variable aleatoria X que tiene distribución Weibull con 0 = 3 y f3 = 2 (en donde la edad se mide en aflos) encuentre la probabilidad de que un monitor se descomponga antes de dos aflos. 33. En teorIa de probabilidad, tiempos de espera tienden a ser va-
f(x) Demuestre que
f
six >
f(x) dx =
0
(1/xP)dx para p =
2,
1.1, 1.01, 1 y 0.99. Observe que esto no da idea de que la integral
I
(1/xP)dx converge para p > 1 y diverge para p
ICA5I
Calcule
ICA5I
Calcule
riables aleatorias continuas que tienen una distribución exponenciat con función de densidad I ae = 0
f
100
f1 a
six0
(1 + x2) 1
f-a V21r
1.
dx para a = 10, SOy 100.
exp(_x2/2) dx para a = 1, 2,3 y 4.
1.
Encuentre la media p y la varianza o2 de la distribución exponencial.
Respuesta a Ia revision de conceptos: Pb
34. En teorIa electromagnética, el potencial magnético u en un punto sobre el eje de una bobina circular está dada por
9-4
Integrales impropias: Integrandos infinitos
lIm b3ooJ0I
1. converge 2.
0
cosxdx 3.
f f(x)dx; f f(x)dx 4.p> 1
Considerando la gran cantidad de integraciones complicadas que hemos hecho, he aqul una que parece muy sencilla pero es incorrecta.
[11 [ i1 /dx=I---J =-1--=---2 J_2x L xj_2 1
2
3
ERROR
Una mirada a la figura 1 nos dice que algo está muy mal. E! va!or de !a integra! (si exis-
te uno) tiene que ser un nümero positivo. (,Por qué?) ,En dónde está nuestro error? Para responder, nos regresamos a !a sección 5.5. Recuérdese que para que una funciOn sea integrab!e en e! sentido estándar (o propio)
Integrales impropias: Integrandos infinitos 421
SECCION 9.4
debe ser acotada. Nuestra función, f(x) = 1/x2, no está acotada, asI que no es integrable en el sentido propio.
ty
x2 dx es una integral impropia con un integrando infinito (integran-
Decimos que 1-2
do no acotado es un término más preciso pero menos interesante). Hasta ahora, hemos evitado con cuidado integrandos infinitos en todos nuestros ejemplos y problemas. PodrIarnos continuar haciendo esto, pero serIa evitar una clase de integrales que tienen aplicaciones importantes. Nuestra tarea para esta sección es definir y analizar esta nueva clase de integrales.
I
/ -2
x
-1
Figura 1
Integrandos que son infinitos en un punto frontera Damos la definición para el caso en donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado derecho del intervalo de integración. Existe una definición completamente análoga para el caso en donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado izquierdo. Defiriición Sea f continua en el intervalo serniabierto [a, b) y supóngase quelIni f(x Entonces
I
00.
Pt
b
f(x)dx = lIm t*b-jI f(x)dx
con tat que este lIrnite exista y sea finito, en cuyo caso decimos que Ia integral converge. De otra forma, decimos que la integral diverge. Obsérvese Ia interpretaciOn geométrica en la figura 2. Jf(x) dx
[2 EJEMPLO 1
Solución Figura 2
EvalOe, si es posible, la integral impropia
4 - x2
lIm f t2lIm
-
rseni (
t_2L Del ejemplo 6 de la secciOn 9.3, aprendimos que
/
11
1
X
EJEMPLO 2
Jo xP
EvalOe,siesposible,
1
I
VX
it
= iIm t2- [sen-i
jj
- sen (O\1
T
\2/]
2
U
dx.
So!ución
dx
I
dx = tO tim f x114 dx = lIm
x
43/41
lim[32 EJEMPLO 3
Solución
r
to+L3
o
dx
converge si, y solo si p < 1. La primera tiene un lImite de integraciOn infinito, la segunda tiene un integrando infinito. Si se siente como en casa con estas dos integrales, también debe Sentirse cómodo con cualesquiera otras integrales impropias con la que se encuentre.
\\2 )
JO
converge si, y solo si p > 1. Del ejemplo 4 de eSta sección, aprendimos que
[11
JV -
Observe que en 2 ci integrando tiende a infinito. [2 dx dx Jo
Dos ejemplos c/ave
dx
EvalUe, si es posible,
f'i- dx
I Jo
x
-
32 3
I - dx. Jo X
1i dx = lIm [in x]
lIm I
t*O+J,
x
= lim [tnt] = oo Concluimos que la integral diverge.
136 314
I
i
U
422 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
EJEMPLO 4
Soluciôn
Muestre que
f-
dx converge si p < 1, pero diverge si p
El ejemplo 3, tomó a su cargo el caso p = 1. Si p
f
1
I
Jo x
dx = lIm I x
lIm t_*O+[_p + I
[1
limi
-p
1
1,
1
ij I
ip
111=
1
-p
p+l
[
dx
1.
00
sip
i
EJEMPLO 5 Haga una gráfica de la hipocicloide de cuatro vertices, x213 + y2/3 = 1 y determine su perImetro.
Soluciôn La gráfica se muestra en la figura 3. Para encontrar el perImetro, es suficiente con determinar la longitud L de la parte del primer cuadrante y multiplicarla por cuatro. Estimamos que L será un poco más de 1.4. Su valor exacto (véase
\/
la sección 6.4) es
L =
/Vi
+ (y')2dx
Por medio de derivación implIcita de x213 + y2/3 = 1, obtenemos
213=j
1/3
+
=o
3
3
Figura 3 0
y1/3
x AsI,
l+(y')2=l+
Y213
x213
=1+ 1 - x x213
= x213
y de esta manera
L=f
1
+
(y')dx
=
1dx L x3
El valor de esta integral impropia puede deducirse de la soluciOn al ejemplo 4; es L = 1/(1 Concluimos que la hipocicloide tiene perImetro 4L = 6. =
-
.
Integrandos que son infinitos en un punto interior
La integral
/l/x2 dx
de nuestra introducción tiene un integrando que tiende a infinito en x = 0, un punto interior del intervalo [-2, 1]. He aqul la definición apropiada para dar significado a tal integral.
Definición Sea f continua en [a, b] excepto en un nümero c, en donde a < c < b, y supOngase jf(x) = 00. Entonces definimos que
I
b
f(x)dx
=
f
c
f(x)dx
+
f
b
f(x)dx
siempre que ambas integrales converjan a la derecha. En caso contrario, decimos que
I; f(x) dx diverge.
SECCION 9.4
Integrales impropias: Integrandos infinitos 423
f1/x2 dx diverge.
EJEMPLO 6 Demuestre que
-2
So!ución
111 101 -2dx= I J_2x J_2x
-dx+
I
111
-dx X
I J
La segunda integral de la derecha diverge, por el ejemplo 4. Esto es suficiente para dar
1.y 4
la conclusiOn.
EJEMPLO 7
So!ución
f(x) = /(x- 1)
Evalüe, si es posible, la integral impropia
El integrando tiende a infinito en x = 1 (véase la figura 4). AsI,
dx
L
(x_1)2/3
[1
dx
Jo (x_1)2/3f
dx +lIm/ s-1 x - 1)2/3 I
= lIm [3(x - i)"] + lIm [3(x - 1)h/3] t-+1-
x
2
dx (x - 1)2/3
'
dx
=iIm/Pt 'Jo (x - 1)2/3 1
dx
L (x -
=3lIm[(t-1)3+1] +3lIm[23-(s-1)3] t-1s-1
Figura 4
= 3 + 3(2)
6.78
Revision de conceptos 1. La integral f (/ \/) dx no existe en el sentido propio, ya que Ia función
I
f(x) = 1/
f(1/V4 - x)dx se define por
en el intervalo (0, 1].
es
2. Considerada como una integral impropia,
(l/)dx a1fX
3. La integral impropia
4. La integral impropia f1(1/xP)dx converge si, y solo si
112dx =
0
Conj unto. de pro blem as 9.4 En los problemas del 1 al 32, evalte cada integral impropia o muestre que diverge.
dx
1.
3.
['° 13
I
4.
\/x-3
(x -
dx
6.
Jo Vix
dx
I
-dx
8.
J- x
9. f x517 dx dx
11.
13.
10.
(2 - 3x)3 1 Jo
x
16-2x2
dx
T/Z
x
21. 101 - cosx
18.
v
/P27
Jo
cscxdx
/
Jo IT! L
dx
23. f tan2 x sec2 x dx [IT
dx
x
(16-x
22/3
dx
25.
dx
Jcosx-1 [1n3
27. Jo
29.
dx
exdx Vex
fe dx
Jj xlnx
dx
r IT/2
20.
22.
I
24.
I
Jo
14.I3 V'9_x2
x213-9
fir/4
2/3dx
LIV1x- x2
0
sen x
-2
x3
dx
- x2 - x + 1
1
j/
12.f
13
dx
16.
19. f tan 2x dx
dx / Jioo Vi + x2
[3 1
7.
17.
V9-x
Jo
dx
12 (x +
dx
[9
dx
[1 5.
2.
(x - 1)1/3
15.
26. 28.
30.
cos x Ysen x
dx
sec2 x
(tanx - 1)2 dx
424 CAPITULO 9 f4c
I J2c
f2c I IC
Formas indeterminadas e integrales impropias
dx
Demuestre que el area de R es finita encontrando su valor.
\/x2 - 4c2 xdx
Demuestre que el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje x es infinita.
c>0
\/x2+xc_2c2
Con frecuencia es posible cambiar una integral impropia por una propia por medio del uso de la integraciOn por partes. Considere f dx Utilice la integraciOn por partes en el inter0JC \/ (1 + x) valo [c, 1] donde c > 0 para demostrar que
ci
dx (1 + x)
JC
2V
=1
+2/IC
C+1
y asI concluir que tomando el lImite cuando c pia puede convertirse en una integral propia.
[' Jo
I
f(x)dx
0 una integral impro-
=
f
f(x)dx
f
+
f
vergencia de
Ji
1
dx
x4(1 + x4)
f
g(x), en
[a, oc],
g(x) dx implica la con-
g(x)dx. Utilice esto para demostrar que
converge.
1/x4.
h
f(x)dx,
1-3 \/9 - x2
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-
dxo
mostrar que f e_x2 dx converge. Sugerencia: e_x2
ex en [1,
).
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de[00
1
mostrar que
Vx+2-1
J2
x
dx diverge.
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-
terminar si
problema 35. f4
f
Sugerencia: En [1,00), 1/[x4(1 + x4)]
en donde c es cualquier punto entre a y b, siempre que, por supuesto, las Ultimas dos integrales converjan. En caso contrario, decimos que la [3 x
Evalüe
f(x)
f(x) dx, y la divergencia de / f(x) dx implica Ja
la divergencia de [cx
0.
dx es impropia? Explique.
46. Prueba de comparación Si 0
a
dx en una integral Vx(1 + x)
C
x
Jo IEXPLI
sen x
ln x dx =
puede demostrarse que la convergencia de
Si f(x) tiende a infinito en a y b, entonces definimos b
f ,La integral
(1 + x)2
Utilice integración por partes y la técnica del problema 33 pa-
ra transformar la integral impropia propia.
f
Encuentre b de modo que
1
jdx16 o demuestre que diverge. Véase - x2
I
Ji
x2ln(x + 1)
dx converge o diverge.
Formule una prueba de comparaciOn para integrales impropias con integrandos infinitos.
problema 35.
Evalüe
dx o demuestre que diverge. f J-i xV-lnx 1
Si lImf(x)
L
(a) Utilice el ejemplo 2 de la sección 9.2 para demostrar que para cualquier nümero positivo n existe un nümero M tal que
f(x)dx
= CX),
0< x'ex
definimos
I f(x)dx C_+oJ lIm
+
lIm
I f(x)dx
h_+ooIi
con tal que ambos lImites existan. En caso contrario, decimos que
L
f(x) dx diverge. Demuestre que
f-
Suponga que f es continua en [0,
dx diverge para todap. cxJ) excepto en x
I
CX). tCOmo definirla
/
53. Función gamma
f(x) dx?
Jo
0para0x <8.
Encuentre el area de la region entre las curvas y = 1/x y
y =
los problemas 51 y
1.
=
x
f°°xi e_x dx, n
e
dx
> 0. Por
52, esta integral converge. Demuestre cada una de
quier nümero positivo real n): (a) F(1)
Sea R la region en el primer cuadrante debajo de la curva
Sea F(n)
f
las siguientes (observe que la funciOn gamma está definida para cual-
1/(x3+x)parao
y = x213 y a la izquierda de x =
ex dx converge.
converge para n > 0.
1, en
Encuentre el area de la region entre las curvas y = (x - 8)2/3
yy =
x'
52. Utilizando el problema 50, demuestre que
IEXPLI
donde lIm f(x)
para x
(b) Utilice la parte (a) y el problema 46 para demostrar que
'1
=
1
x2
=
(c) F(n +
1
(b) F(n +
1) = n!, sin es un entero positivo.
1)
= nF(n)
Integrales impropias: Integrandos infinitos 425
SEccION 9.4
CASI
f00xi e_x dx para n =
54. Evalüe
1,2,3,4 y 5, con lo que
EXPLI
Suponga que 0 < p < q y
56.
se confirma el problema 53(c).
tQué puede decir acerca de p y q?
55. Interprete cada una de las siguientes integrales como un area y después calcule esta area por medio de una integración con respecto a y, evalüe:
Respuestas a Ia revision de conceptos:
11
(b)
)J
- x)dx 4.p <
L
dx converge.
x" +
1. no acotada 2. 2
1
f+xdx
0
9.5 Revision del capItulo
f
Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
1. lIm x_00
3.lrn
x1
=0
ex
1000x4 + 1000
0.001x4 +
00
x11°
2. lIm
lnx
SilImf(x) = lyiImg(x)
= 0
f(x)
Silimf(x) = OyiImg(x) para x
Si
=
1
es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces
f
Si = 0.
iImff(x)dx
Si
f'
f(x) g(x)
=
entonces iIm[f(x) - 3g(x)] =
,
para x
(SupOngase que g(x)
SiiImlnf(x)
=
0.
f(x)
e
ayiimf(x)
Oparax
lIm[1 + f(x)]1
=
en [0,00), entonces
e.
p(x) ex
p(x) ex
f'(x) = L.
= 0.
= p(0).
oo.
Determine cada lImite en los pro blemas deli al 18.
tan2x
2. lim x-0 sen 3x
3. lIm
sen x - tanx
x-O
7. lIm f+00 9.
4. lim
cosx
x-0
x
6. lIm x-1
lnt
x2
ln(1 - x) cot iix 2x3
8. lim x-o in x
10. lImxlnx
lIm (senx)'
x - 0+
11. lIm xx
12. lIm(1 + senx)2
13.x lIm\/lnx - 0+
14. lnt1
-0±
= L,
f(x) dx converge.
Problemas de examen
5. lIm 2x cot x
Si p(x) es un polinomio, entonces lIm
f(x)
e2.
f
dx es una integral impropia.
x
1. lim x-0 tan x
= 0,entonces
Si p(x) es un polinomio, entonces x-oo lIm
x-0 g(x)
L 4x
a.)
2,entonceslImf(x) =
fOOf(x)dx
es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces
4tanx 25.
f(x) = Si lImf(x) = 2 y lImg(x) = 0, entonces lIm x-a g(x)
entonces lIm
existe y es finita, entonces
Lf'(x)dx converge. Si 0
14. Sif(x)
f(x)dx converge, entonces
= OyiImg(x) = oo,entoncesiIm[f(x)g(x)] = 0.
SilImf(x)
11. Si lIm
f
converge.
a.)
SiiImf(x) = -lyiImg(x) = oo,entonces iIm[f(x)g(x)] = _oo.
es una función par y
ff(x)dx converge.
1.
oo,entoncesiIm[f(x)]
dx diverge para toda p> 0.
ff(x)dx converge.
= 1.
x-a g(x) oo,entonces1Im[f(x)]
SilImf(x) = 1, entonces lIm{1Im[f(x)]} =
f
Si
1
Si lIm f(x) = lImg(x) = 00, entonces lIm
(Supongase f(x)
f-
=00
4. lImxe
00
dx converge. x1001
15.
1
lIm( x-40senx
1\ x)
16.
tan3x
lim x-/2 tanx
426 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
lIm (sen x)t x-/2
33
lIm (x tan x x-/2
21.
dx
fcxJ
J
22.
Ll+4 dx
fex dx
36.
/x2e3 dx
38.
/
Jo
ne-
1
1+x2
fj_1 1dx- x ci
dx
26.
x2 + x4
f° J_22x+3
28.
29.
dx x(Lnx)2 Xoo
30. f
dx
32.
(4 - x)23
fIT/2
x
dx
tan x (Ln cos x)2
JIT/3
dx
f-
dx converge y para
f-
dx converge y para
qué valores diverge?
Para qué valores de p La integral
dx
[4
1
Para qué valores de p La integral
cuáLes diverge?
J (2 - x)2
27.
e2x +
1-3 \/9 - x2
dx 24 f21/2 x(Lnx)'5
dx
31.
n
dx
20. / Jo
fe2x dx x +
34.
[3
f
(x+1)2
23. I 25.
evahe hi integral irnnrnnia rlarla
38.
dx
f
x
dx
sec x)
En los problemas del 19 al muestre que diverge. 19
x
Lx2+1
En los problemas del 41 al 44, utilice la prueba de comparación (yease el problema 46 de la sección 9.4) para decidir si cada una de las siguientes integrales convergen o divergen.
dx
Ji \/x-1
dx
41 i
[xe2 dx
43. [
J2
j3
Ln x
x
Lnx
42
Vx+x
e2
dx
Ln x
[
44
x3
J1
dx
dx
9.6 Problemas adicionales 1. Uno puede transformar una integral impropia en una integral
4. Haga un bosquejo de La gráfica de La función de densidad normal
propia cambiando La variable de integración (véase Las secciones 5.8 y 8.1). Si utiliza un cambio de variable dado por u = g(x) en La intefh gral f(x) dx, entonces g(x) debe ser una función derivable para
f(x)=
J
toda x tal que a
Ji 1+x2
dx se transforma en
1
Jl/c1+U2
1
o\/2ii
e
5. La función de densidad de probabilidad de Pareto tiene La forma CMk
f
(x) =
x' 0
LUe La integral.
1
1
x2
dx es igual a
L
1
2
f
x3
dx en La integral propia
L
Defina una función de densidad de probabilidad por
Ce
51 x
six
du y eva-
donde k y M son constantes positivas.
UtiLice un cambio de variable apropiado para convertir La integral
impropia
2
y muestre, por medio de cáLcuLo, que o- es La distancia de La media p a La abscisa de uno de Los puntos de inflexiOn.
du.
Demuestre que bajo La transformación dada en La parte (a) La in-
tegral impropia
L
du.
f(x) =
para k positiva.
Encuentre La constante C que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad.
Encuentre el valor de C que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad. Para el valor de C encontrado en La parte (a), determine el valor de La media p. La media es finita para toda k positiva? Si no, tcómo depende La media de k? Para el valor de C encontrado en La parte (a), determine La varianza cr2. tCómo depende La varianza de k?
6. La función de densidad de probabilidad gamma es
Utilizando el valor de C encontrado en La parte (a), determine La media
=
f
xf(x)dx.
f(x)
{Cxa_1e
Si x > 0 Si x
SECCION 9.4
Integrales impropias: Integrandos infinitos 427
en donde a y /3 son constantes positivas. (Tanto la distribución gamma como la Weibull se utilizan para modelar tiempos de vida de personas, animales y equipo.)
Calcule 1mn f(n) (x), para n = 0, 1,2,3 y demuestre que f()(x)
Recordando que Ia función gamma se define como F(a) f xa 1e dx para a > 0, encuentre el valor de C, que de-
Proporcione un argumento plausible para la conclusion de que f()(x) es una función continua para todos los valores enteros positivos de n.
es una función continua de x para estos valores de n.
= penda de a y /3, que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad.
1i
Para el valor de C determinado en la parte (a), enduentre el valor de Ia media t.
función f(x) está dada por L{f(t) } (s)
Para el valor de C determinado en la parte (a), encuentre la varianza u2
8. La transformada de Laplace, nombrada asI en honor del matemático frances Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), de una
les.
Demuestre que la transformada de Laplace de ta está dada por F(a + i)/sa + y está definida para s > 0. Demuestre que la transformada de Laplace de e" está dada por 1/(s - a) y está definida para s > a. Demuestre que la transformada de Laplace de sen(at) está dada por a/(s2 + a2) y está definida por s > 0. Demuestre que Ia transformada de Laplace de cos(at) est dada por s/(s2 + a2) y está definida para s > 0.
si x > 0 si x 0
=
tiene un nümero infinito de derivadas. Denote
f(t)e_sl dt. Las trans-
formadas de Laplace son Otiles para resolver ecuaciones diferencia-
7. La función
f(x)
f
=
f(x) por f()(x).
(a) Haga un bosquejo de las gráficas de f(x), f(1)(x), f(2)(x) y f(3)(x) para 2
I PRYECTI . Ill11ECNLGGIA 9.1 I
I
I
I
L'
P
de tyobabilidad
'unciones de densid I. Preparación
Ejrcicio 3 1-Iad
grafica cle Ia den-
a fuinión de dis ribuvión acumi'Ja-
Ejercicio
sidad normai con () y a = 2 y Ia densidad de Caur y en . mi3ma gráfica.
I d.. está re1aciJnaL't corila función de densió11 a'cprcbu hiIivad icorn sigEue:
f
SupOngase que ,
1
una
función pa;; esto es, f(x) = f(x). ''emuestre que
xg(x), nuevamente i los mismos ejes.
f'fxdx = 2Jfx)dx Ejercicio 2 SupOngse que g es ma
.unciOn impar; esto es g(x) = g(x). Demuestre que
Ejercicio 4 VarIe j
yy en (1) y trace
Ia funcion de clensida'. d I xp1ique el efecto de p y a en Ia forma y ubicación de la funciOn de densidad de probabilidad.
El
n Do importantes funcioues de Iitribuiin de probabi.id la-des S( n l .. rcrmal
1
f(x' =
4; VI?!
e'
etermine h media de
Ia distrihución I .ormal. Sugerezcia: E I la
tecn'ogu
integral ha, a a sustuciór r = (x FaLLorice las consta. I T.)e pués Liites y saquelas de ii integra.. II r ice su ti'r oIo,' para evaluar 1a graL) ,Exste I ar'1iedi a Je li tjf ribuLión
)/'/o.
-
-
I
L
?120)
[X (t)
rti,1a funciOn 1e disLlihuciOn -- acumuir'ada
Ejercicio 5 (ISO de I
Fx) =
Describa en qué soi' similares estas gráficas y en qué son diterentes.
1g(xdx
(1)
1
Después trace tas Lnciones xf(x) y
de Caucliy? B.'oiciie.
a' :umula La probaoilidal .('je forma ir' C
n recida a come una- fi Li,n 'l(in de acuiflulae ió acurnuia r' ' ea d. ajo una Cu
v.
t li 1shionesde -iercicio 7 3raique i di stribuciói, acu ajIadai ara :a bución norma.I(L.= = 2)yla d..istribución c e C,uc]iiy. -
-
I" R F! .jerr - Jc 'c 8 r3x plique sie mpre es c-icrttO que
por qué no
fIvo
/oo
Thuchy
g(;
=
Ejerciclo E ncuentre Ia varianza de la distribuci&i'nc ira1. j,Existe d va:lalLza u'lä 'Jistribucici de Cauchy? Explique.
J cu
tndo
,
e un aFun r. idOl a' i'npa Ir.
PR'VECTS SE T'ECNØLSGIA 9.2 51
I
' r rmI b jjon .IO. ii La dist'ii' I. Pr
'
Vi
itltaj e? (AsLegi.rese de ajt'cintej,grai'rc s.. tar io ii(r'itc. s.)
La fun .i de.- densidad de r,ro..ibabjjiJda prop )rc iciiia 1 a pr'o IbiliG i om0Un
,s;'la area h ,o una curv"a . Por emp10 densid1;i -.7
2' /2: 1]
'aljr .e d
ta que .I
1
inteirv!'a (
babilidad L) tenl a p ro -
es un nüLi 1 - a, enLIlond ct-, 'olnünmente r d mero ce..cano, p :r diferente de cero. En uentre e valor aprc piado de L para
II. Uso die a tecnologIa
III. Rq.fIex ion
I
I'
ba1 d
Li
a. n puig.aclas es uti nod elc'F )a ra i itlira de los estudiantes hombres d un colegio, entonces Ia prraa 'tilidad de que Ia LudiaI'ite h'bre eleg o altura c un "br s a! azar cxocderi 12 01
Cnn rcnencia es de inte-
Ejercicic 2: I SC1L-iba una integral cue r)roporoiJne 'ai.proc )iIica de que un el..'gidti al azar su - 'dianit ml sn.4 ente 65 y 70 Pulgad ;.t E] nI ra s :é estat'ii 'ga ' su :i j(ili p. = (x e;sLa integral ha ja - ,LiIJ( ( I,. hi integrai r su1t 14A 70)! -1
f(x) =
Eje.! rcci o5
rés 'rn con. rar -
-
L(
a = ft05 ; ara = (U(, Sug'encz: Cor'C:éntrese en
1
jeciicio):'
C
Ctilice tecnologIa para e 'a-k.. his ir..Ite4grales de los ejerri 'irs I y
-
:rc'
E.I
i
f.. dd1sti'
'0 6 C asi cualquier lib ru'esa t'eine ta' las de la uncion "kdis-
t:'ibuciOn acumji da ?ara Ia disribución norrrnai1 (véasc nroyc -fr, de tecnolog:IL. 'a iistril' ja Ic'nacer1paraLc' 9.1), per3s"le a
L2V2
e__7)2/8 dx
Ejercicio 4 Para la distribución norma 1.on m na p. = 0 y varianza o.2 = 1 (ésita s -1enL-mina distribucid'n normal
jr en :utre las probe ii:daaes F
est. uk.), Ejercicic) 1 En sta inte gra 1 ha ,i la IO/.Lj,C uál e;sla s'us1ución u =
428
pa1ra
los iii
P1
valp (-1, 1), (-2,2)
j
1
-
ion rc rmalcion mec1'iap.
-=CJyu
r ii ml pai '.x,ique Ip J que eso e uficieJe (
a
1.
<
oLIflrner probai.1i4 iaaes je ua7uier distrLdción armal. 1
I
Series infinitas Sucesiones infinitas Series infinitas 10.3 Series positivas: el criterio de Ia integral 10.4 Series positivas: otros criterios 10.5 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 10.6 Series de potencias 10.7 Operaciones sobre series de potencias 10.8 Series de Taylor y Maclaurin 10.9 RevisiOn del capItulo Proyecto de tecnologIa 10.1 Uso de series infinitas para aproximar 10.1
10.2
Proyecto de tecnologIa 10.2 DeducciOn de Euler de
12
+ 22 -+
32
+
=
6
I 1 0. 1
En un !enguaje sencillo, una sucesión
Sucesiones infinitas a1, a2, a3, a4,
Patrones
es un arreg!o ordenado de nOmeros reales, uno para cada entero positivo. Más formalmente, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros p0sitivos y cuyo rango es un conj unto de nOmeros reales. Podemos indicar una sucesión por a1, a2, a3.....por {a}1, o simplemente por {aJ. En a!gunos casos, extenderemos un poco esteconcepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o igua!es a un entero especIfico, como en b0, b1, b2, ... y c8, c9, c10.....que deno-
Ta! vez alguien afirme que hay muchas sucesiones diferentes que comienzan con
Una sucesiOn puede quedar especificada dando los términos iniciales suficientes para establecer un patron, como en
tamos como {b}0 y {c}8, respectivamente.
1,4,7,10,13
1,4,7,10,13,...
Estamos de acuerdo. Por ejemplo, la formula
mediante una formula explIcita para el n-ésimo término, como en
3n 2 + (n - 1)(n - 2)
a=3n-2,
(n - 5) genera estos cinco nUmeros. Quién - podrIa pensar esta fOrmula, de no ser un experto? Al pedirle que busque un patron, nos referimos a un patron sencillo y evidente.
n1
o mediante una formula de recursion a1
= 1,
a = a_1 + 3,
n
Observe que cada una de estas ilustraciones describe !a misma sucesión. He aquI otras cuatro formulas exp!Icitas y los primeros términos de las sucesiones que generan.
429
Series infinitas
430 CAPITULO 10
n1: 1234
(1)a=1--, 1
>
(2) b =
0
1 .
... LI
C
'2'3'4'5'6'7'"
(3) c =
n-1 0-'2'3 23 '4'5 45 '6'7 76
(4) d =
n
0.999, 0.999, 0.999, 0.999,
1:
Convergencia Considere Las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se apiLan cerca de 1 (véanse los diagramas de la figura 1). Pero, j,convergencia 1? La respuesta correcta es que las sucesiones {a} y {b} convergen a 1, pero {c) y d) no.
(I
I
h;h,
325476
h.
I,-
C
I... 1 0
Para que una sucesión converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesión se acerquen a 1. Pero deben hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá de cierto valor. Esto descarta a La sucesión (c,j. Además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, dentro de cualquier distancia no nula dada con respecto de 1, lo que descarta La sucesión {d). Aunque La sucesión d} no converge a 1, es correcto decir que converge a 0.999. La sucesión {c} simplemente no converge y decimos que diverge. He aquI la definición formal; debe ser vagamente familiar.
Definición La sucesión {a} converge a L y escribimos
Figura 1
lIm a = L =
n
si para cada nUmero positivo e hay un nümero positivo correspondiente N tal que n > N =
a-
<
Si no hay un nümero finito L al que converja una sucesión, se dice que ésta diverge, o que es divergente. Para ver una relaciOn con los lImites en infinito (secciOn 2.8), consideremos la gráfica de a = 1 - 1/n y a(x) = 1 - 1/x. La (mica diferencia es que en el caso de La sucesión, el dominio se restringe a los enteros positivos. En el primer caso, escribimos lIm a = 1; y en el segundo, lIm a(x) = 1. Observe las interpretaciones de s y N x*oo
n*oo
en Los diagramas de La figura 2.
Ày
Ày
1+
1
. . a
1
S
S
= 1--n
2
3
n
4
N=
a-1
<
N
x
Figura 2 EJEMPLO
1
Muestre que si p es un entero positivo, entonces urn
noo
1
flP
= 0
SECCION 10.1
Sucesiones infinitas
431
So!ución Esto es casi obvio del trabajo anterior, pero daremos una demostración formal. Sea > 0 arbitrario. Elegimos N como cualquier némero mayor que 1/s. Entonces n implica que 1
-
= np
=.< nP - N 1
0
(i/)
=s
U
Todos los teoremas familiares para lImites son válidos para sucesiones convergentes; los establecemos sin demostraciOn. -I
( Teorema A Propieaades de los limites de suesiones
Sean {a,}
b,j sucesiones coilvergentes y k una constante. Entonces:
lImk=k;
n -+00
lIm ka,, =
k tim a
lIm ta,, ± 1,,,) = urn a,, ± Jim b,,;
Fl -00
fl
l-+00
00
4. ,In00(a.b) = 5.
a hm= h
EJEMPLO 2
,,lIma,, -
tim b
siempre que Uni b,, fl+C()
0.
n -I -
3n2 Calcule lIm n*cxj 7n2 +
1
Solución Para decidir lo que le sucede a un cociente de dos polinomios en n cuando n crece, conviene dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de n que aparezca en el denominador. Esto justifica nuestro primer paso más adelante; los otros se justifican apelando a las afirmaciones del Teorema A como se indica mediante los némeros encerrados en un cIrculo. lim
32
ifl2 + I = lim 1
3 7 + (1/n2)
© 11m3 fl - nlIm [7+(1/n2)] lIm3
n-
lIm 7 + lIm 1/n2 fl_cc
n_*c/
3
3
7+ lIm 1/n2
7+0
n-
7
En este momento, los teoremas de ilmite deben ser tan familiares que por lo general pasaremos directamente del primer paso al resultado final. U EJEMPLO 3
,Converge la sucesión {(ln n)/e}? En tal caso, a qué némero?
Solución AquI y en muchos problemas de sucesiones, es conveniente usar el siguiente hecho casi obvio (véase Ia figura 2).
Six*oo lIm f(x) = L, entonces lIm f(n) = L. n-+oo
432 CAPITULO 10
Series infinitas
Esto nos permite aplicar la regla de L'HOpital al problema de la variable continua. En particular, por la regla de L'Hôpital, lim
lnx
= lim x*oo
AsI,
lim
inn
ncx e'
1/x ex
=0
=0
Es decir, {(ln n)/er?} converge a 0.
He aquI otro teorema que ya hemos visto, de un modo ligeramente distinto (Teorema 2.6C).
Teorema r
' emparedadc Teore iia.JeI
Su;L)ongase qiiLetaJ y {c} convergen a y que a ent ro fije',. ntunces (b} también converge a L. Muestre que lIm
EJEMPLO 4
So!ución
b
c, para n a K (K es
-,
1
1, 1/n
Para n
sen3 n
n
= 0.
1/n. Como nlIm (-1/n) = 0, y -*
(sen n)/n
lIm (1/n) = 0, el resultado es consecuencia delTeorema del emparedado.
n -* Do
Para las sucesiones con signo variable, es ütil el siguiente resultado.
Teorem' C Si lIm
fl-*OO
-
-
Demostración Como del emparedado.
es urn
fl-400
-a
el resultado es consecuencia del Teorema
o? Le sugeri,Qué ocurre con los nümeros de la sucesión {0.999"} cuando n mos que calcule O.999' para n = 10, 100, 1000 y 10,000 con su calculadora para tener una mejor idea. Luego observe ei siguiente ejemplo. EJEMPLO 5
r = 0. Muestre que sii
Solución Si r = 0, el resuitado es trivial, de modo que suponemos lo contrario. Entonces 1/lr > 1 y entonces i/r = 1 + p para algUn nümero p > 0. Por la formula del binomio, 1
AsI,
= (1 + p)" = 1 + pn + (términos positivos)
0r
pn
1
pn
Como n*oo lIm (1/pn) = (l/p) iIm (1/n) = 0, elTeorema del emparedado implica que lIm r' = 0. Por el Teorema C, lIm r'2 = 0. lIm r = 0 o, en forma equivalente,fl*cxD noo ,Qué ocurre si r> 1; por ejemplo, si r = 1.5? Entonces r crecerá hacia oc. En este caso, escribimos
SECCION 10.1
Sucesiones infinitas 433
Sin embargo, decimos que La sucesión {r} diverge. Para converger, una sucesión debe tender a un lImite finito. La sucesión In también diverge cuando r
1.
Sucesiones monótonas Consideremos ahora una sucesión no decreciente arbi1. Un ejemplo es la sucesión traria {a}, con lo que queremos decir que a n+1' n = n2; otra es a = 1 - 1/n. Si usted piensa un poco, podrIa convencerse de que una sucesión de este tipo soLo puede hacer una de dos cosas. 0 bien se va a infinito 0, si no puede hacerLo por estar acotada por arriba, entonces debe tender a una orilla (véase La figura 3). He aquI el enunciado formal de este resuLtado tan importante.
ëorema r)
TE?ore
ma rJe a sucesiOn m )nOton
Si U es una cota s urieror para na sucesión ') decreciente {a}, enonce si a su cerp sión converge a 'inlii'mite A que es menor 0 igi Lu ii a U. Dc maneia aná1o, Si L. 'Siur ' Con una cota inferior para una sucesión no creciente }, en toirices la suc. verge a un J"mite que s mayor 0 igual a d
La expresión sucesión monótona se usa para describir una sucesión no decreciente o no creciente; de aquI el nombre del teorema. El Teorema D describe una propiedad importante del sistema numérico real. Es equivalente a la propiedad de completez de los nümeros reales, que en lenguaje comün dice que la recta real no tiene "agujeros" (véanse los problemas 47 y 48). Esta propiedad es la que distingue La recta numérica real de la recta numérica racional (que está ilena de agujeros). Se podrIa decir más de este tema; esperamos que el Teorema D apele a su intuición y que tendrá fe en él, hasta asistir a un curso más avanzado. Haremos otro comentario sobre el Teorema D. No es necesario que las sucesiones a,j y {b} sean monótonas inicialmente; basta que sean monótonas a partir de cierto I punto, es decir, para n K. De hecho, Ia convergencia o divergencia de una sucesión no depende del carácter de los términos iniciales, sino de lo que ocurra para n grande. EJEM PLO 6
Solución
Muestre que la sucesión b = n2/2 converge usando el Teorema D.
Los primeros términos de esta sucesión son 1
25 36
9
49
128'" Para n 3, la sucesión parece ser decreciente (ba> b1), hecho que estableceremos a continuaciOn. Cada una de las siguientes desigualdades es equivalente a las demás.
(n+1)2
2
2n+1
(n + 1)2 2 2n2
> n2 + 2n + 1
- 2n> 1 n(n - 2) >
1
Es claro que la ültima desigualdad es cierta para n 3. Como la sucesión es decreciente (condición más fuerte que la condición de ser no creciente) y está acotada por abajo por cero, el Teorema de la sucesiOn monótona garantiza que tiene un ilmite. Serla fácil usar La regla de L'HOpital para mostrar que el lImite es cero.
434 CAPITULO 10
Series infinitas
Repaso de conceptos Un arreglo de nümeros a1, a2, a3.....se llama
Una sucesión creciente que además es
debe con-
4. La sucesión {r"} converge si y sOlo si
verger.
Decimos que Ia sucesión {a} converge si
Conj unto de problemas 10.1 En los problemas 1-20 se da una formula expilcita para a. Escriba los primeros cinco términos de {a}, determine si la sucesiOn converge o diverge y, si converge, determine tim a. n
1. a = 3. a, =
4n2 + 2
7. a,, = I 1\n
cos (nir)
9. a,, =
e2
11. a,, =
(-7r)
13.a=
e2"
1
5,...
n( 2 - -
1
32. a,, =
2
n+1
1
2!
+
1
+ ... + 1ii!
3!
35. a1 = 1,a,,+1 = 1 + 36. a1 = 2, a,,1 = IC
4fl
(a,,
+
37. Suponga que U1 =
y u,,+1 =
\/3 + u,, , determine
una sucesión convergente y calcule lim u,, con cuatro cifras decimales. + 3n/2
nb0
16. a,, =
1
4'4
4n - 3
34. a = 1 +
esenn
14. a,, = (i)"
15. a,, = 2 + (0.99)"
1
1
3'3
2n - 1
2n - 1
12. a fl =
n2 + 3n - 1
31. a =
n cos(nlr)
10. a,, =
n
1
verge.
V3n2 + 2 2n + 1
8. a,, =
n+2
1
1
2'2
3n2 + 2
6. a,,
n
1
En los problemas 31-36, escriba los primeros cuatro términos de Ia sucesiOn {a,,}. Use luego el Teorema D para mostrar que Ia sucesiOn con-
n+1
4. a,, =
n2 + 3n - 1 n3+ 3n2 + 3n (n + 1)
5. a,, =
3n + 2
2. a,, =
3n - 1
3O
Muestre que la sucesión {u,,} del problema 37 está acotada por arriba y que es creciente. Use el Teorema D para concluir que {u,,} converge. Sugerencia: Aplique la inducciOn matemtica. Calcule lIm u,, del problema 37 en forma algebraica. Sugeren-
lnn
17. a,, =
18. a,, = 2 n/2
(i
19. a,, =
tn (1/n)
(2n)2
20. a,, =
+
cia: Sea u =
\/2n
Luego,como u,,1 =
\/3 + u, u = \/3 + u.
Ahora eleve a! cuadrado ambos lados y despeje u.
Use Ia técnica del probtema 39 para determinar lIm a,, en
Sugerencia: Teorema 7.5A.
el probtema 36.
En los problemas 21-30, determine una formula explIcita a,, =
ci 41. Suponga queu1 = 0 y u,,1 = 11" determinan una sucesion convergente, catcule lIm u,, con cuatro cifras decimates.
para cada sucesiOn, determine si Ia sucesiOn converge o diverge y, si converge, determine tIm a,,. 21
1
2
3
4
2'3'4'5'
22
2311,3, 57' 2
24.1,
3
4
2
1
22
3
4
'2 '2'2
9,...
2
tim
- 22
32
k\1 isen-n) n /
Sugerencia: Escriba una integral definida equivalente.
44. Muestre que
4
3
12
Catcule
5
1- 1- 1-
25.1 22 -
Muestre que {u,,} del problema 41 es creciente y está acotado por arriba por 2.
1
32
42
Il
-
lim[ 1 + (k/n)2] n = 4 k=1
26.
2
1
2
34
,
,
2
4
3
45. Use la definiciOn de lImite para mostrar que limn/(n + 1)
1' 45
= 1; es decir, para e > 0 dado, determine N tat que si n
27. sen 1, 2 sen , 3 sen , 4 sen
2813'9' 4
9
16
27'81'
29. 2 1
2
2
32
42
2
52
n/(n + 1) -
=
46. Comoenelproblema45,demuestreque lImn/(n2 + 1) = 0.
SECCION 10.2
ta ecuación son 4) y 1/4), dos nOmeros que aparecen en Ia fórmuIa explicita para f,,.
47. Sea S = {x : x es racional y x2 <2}. Convénzase de que S no
tiene una minima cota superior en los nUmeros racionales, pero que tiene una cota en los nümeros reales. En otras palabras, la sucesión de nümeros racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414,. . . no tiene lImite dentro de los nümeros racionales.
48. La propiedad de completez de los nümeros reales dice que para cualquier conjunto de nümeros reales que esté acotado por arriha existe un nümero real que es la minima cota superior para el conjunto. Esta propiedad se considera por lo general como un axioma de los nümeros reales. Demuestre el Teorema D usando esta propiedad. IEXPL
Series infinitas 435
Considere un triangulo equiltero que contiene 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2 cIrculos, cada uno de diámetro 1 y apilados co-
mo se indica en la figura 4 para el caso n = 4. Calcule lim A/B, donde A es el area total de los cIrculos y B es el area del triángulo.
A
Demuestre que si urn a = 0 y {b} está acotada, entonces
urn ab = 0.
n -+
Demuestre que si {a} converge y {b} diverge, entonces {a + b} diverge. Si {a} y {b} divergen, Les cierto que {a + b} diverge? EXPL
52. Una famosa sucesiOn {f,,}, liamada sucesión de Fibonacci en
honor de Leonardo Fibonacci, quien la introdujo aproximadamente en el aflo 1200, se define mediante la formula de recursion
f1=f2=1,
Figura 4
Calcule f3 hasta f10.
+ 1.618034. Los griegos ilamaron a este Sea 4) = nUmero la razón áurea, afirmando que un rectangulo cuyas dimensiones estaban en esta razón era "perfecto". Se puede mostrar que 1
Use el hecho de que lImf(x) = 1I%if
para calcular los
/
i'v
1+n_cxD\ lIm
urn
i\
/
fl*QO
2
2
[4)fl
/1
siguientes lImites.
[/1+)n
V5L =
IC
56.1im(1+-)
- (-1)4)]
/2 + n2
1 y n 2. Verifique que esto da el resultado correcto para n El resultado general se puede demostrar por inducción (es un
58. lim n*oo\3 + I
2
(n -
1
57. urn n_oo\fl + 1 59. lIm
/2 +
n*c3 + n 2) I
agradable reto). Más relacionado con esta sección, use esta fórmu-
la expilcita para demostrar que lnf+1/f
4).
(c) Con la ayuda del limite recién demostrado, muestre que 4) satisface la ecuación x2 - x - 1 = 0. Entonces, en otro giro interesante, use la formula cuadrática para mostrar que las dos raIces de es-
10.2
Series infinitas
Figura 1
I
1
I
4
8
16
Respuestas al repaso de conceptos: 2.
a
1. una sucesión
existe (sentido finito) 3. acotada superiormente 4. 1; 1
En una famosa paradoja conocida a! menos hace 2400 aflos, Zenón de Elea dijo que un corredor no puede terminar una carrera, pues primero debe recorrer la mitad de la distancia, luego la mitad de la distancia restante, luego la mitad de la distancia aOn restante, y asI sucesivamente, por siempre. Como el tiempo del corredor es finito, no puede recorrer el nOmero infinito de segmentos del recorrido. AOn asI, sabemos que los corredores realmente terminan las carreras. Imagine un trayecto de la carrera de 1 milla de longitud. Los segmentos del argumento de ZenOn tendran entonces milla, de milla, de milla, etc. (figura 1). En lenguaje matemático, terminar la carrera equivale a evaluar la suma
lo que podrIa parecer imposible. Pero espere. Hasta ahora, la palabra suma se ha definido solo para la suma de una cantidad finita de términos. Hasta ahora, la "suma infinita" no tiene sentido para nosotros.
436 CAPITULO 10
Series infinitas
Considere las sumas parciales Si S2
= 2
13
244
= 1- + - = -
1117 2488
S3 = - + - + - = -
111 S =+++...+=1-1
2
4
1
2"
2
8
Es claro que estas sumas parciales se acercan de manera creciente a 1. De hecho,
i\
/
lImSn=lIm n-nD\
j =1
2
Entonces, la suma infinita se define como ci lImite de la suma parcial Sn. Más en general, considere la serie infinita a1
a0
que también se indica k=i
+ a2 + a3 + a4 + ak. Entonces Sn, la n-ésiina suma parcial, está dada por
Sna1+a2+a3+anak Establecemos La siguiente definición formal.
Definición La serie infinita
a, converge y tiene suma S si la sucesión de sumas parciales
{s}
converge a S. Si {Sn} diverge, entonces La serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.
Serie geométrica
Una serie de la forma
ark_l = donde a
a + ar +
ar2
+ ar3 +
0, es una serie geométrica.
EJEMPLO 1
Muestre que una serie geométrica converge con suma S =
< 1,perodivergesir1. Solución Sea S,, lImite, de modo que
a + ar + ar2 + lSn}
diverge. Si r
a/(1 - r) si
+ ar"1. Si r = 1, S,, = na, lo que crece sin 1, podemos escribir
Sn_rSn(a+ar++arn_i)_(ar+ar2+.+ar)a_arn y entonceS
aar" =
1r 1r 1r a
a
rn
Si r < 1, entonceSnlIm r" = 0 (sección 10.1, ejemplo 5) y asI S = jim n -3
Si r > 1 o r
n
=
a
1r
= 1, la sucesión {r} diverge y en conseduencia también lo hace (Sn}.
.
SECCION 10.2
Series infinitas 437
EJEMPLO 2 Use ci resultado del ejemplo 1 para calcular la suma de las dos series geométricas siguientes.
44 (a)++ 3
4 27
9
+
(b) 0.515151 ... =
4 81
51
100
+ +
51
10,000
+
51
+
1,000,000
Solución
(a)S=1
4
a
r
=1
4
==2
(b)S=
100
100
'100
99 100
33
99
Por cierto, ci procedimiento de la parte (b) sugiere cómo mostrar que cualquier decimal periódico representa un némero racional. EJEMPLO 3 El diagrama de la figura 2 representa un triángulo equilatero con una infinidad de cIrculos, tangentes al triángulo y a los cIrculos cercanos y que ilegan hasta las esquinas. i,Qué fracción del area del triángulo es ocupada por los cIrculos?
So!ución Suponga, por conveniencia, que el cIrculo mayor tiene radio 1, lo que hace que el triánguio tenga lados de longitud 2\/. Observe la pila vertical de cIrculos. Con un pequefio razonamiento geométrico (el centro del cIrcuio mayor está a dos tercios del camino desde el vértice superior hasta la base), vemos que los radios de estos cIrculos son 1, , , ... y concluya que la pila vertical tiene area (12 71\2 / 1 \2 r 12 + I + +
-I \3j + \9)
i
L
27j
r =I1++ L
1
1
9
81
1
729
+I=ILii 1
]
r
1
1
1=
9'7T
8
El area total de todos los cIrculos es el triple de este némero, menos el doble del area del cIrculo grande, es decir, 27r/8 - 2r, o 11i/8. Como el triángulo tiene area 3V, la fracciOn de esta area ocupada por los cIrculos es
Figura 2
Logica
24\/
Considere estas dos afirmaciones: Si
+
0.83
Un criterio general para Ia divergencia Considere la serie geométrica a + ar + ar2 + + ar"' + una vez más. Su n-ésimo término a,, está dado por
a,, converge, entonces
ar'. El ejemplo 1 muestra que una serie geométrica converge si y solo si
a,, =
jim a,, = 0.
lIm a,, = 0.
p2 -* p
Si lim a,, = 0, entonces
a,,
converge.
La primera afirmación es cierta para cualquier sucesión {a,,}; Ia segunda rio. Esto proporciona otro ejemplo de una afirmación verdadera, (la primera) cuyo recIproco es falso. Recuerde que la contrapositiva de una afirmación es verdadera siempre que Ia afirmación lo sea. La contrapositiva de la primera afirmación es Si jim a,, diverge.
0, entonces
a,,
i,Es cierto lo anterior para todas las series? La respuesta es no, aunque la mitad de la afirmaciOn (Ia parte "solo si") es correcta. Esto conduce a un importante criterio de divergencia para las series.
Teor -
A
Cr1 te rio
del n-ésimo término para Ia divergencia
a c 'O nverge, en. F-)11 LC( s lIm a,, =-U." En forma e ..ivalente, si
Si la 'e
U
n
lL. a,,
0-
si n-+ un' a,, no
cci -
?nt 'rPes la serie diverge.
Demostración Sea S,, la n-ésima suma parcial y S = lIm S,,. Observe que a,, =
-
iIm S,,_1 = iIm S = S, se sigue que S,,_1. lIm . Como n*oo noo n-
a,,=n*oo iImS,,n*ooiImS,,_15S0
00
Muestre que
EJEMPLO 4
Solución
n=1 3n3
lIm a,, = lIm
+ 2n2
diverge.
n3 3n3
+
2n2
1
= lIm
n*cx 3 + 2/n
=
1
3
AsI, por ci criterio del n-ésimo término, la serie diverge.
U
La serie armOnica Los estudiantes acostumbran dana vuelta aiTeoremaA y hacerlo decir que a 0 implica la convergencia de La serie armónica
001
1
1
1
2
3
n
muestra que esto es falso. Es ciaro que, jIm a = lIm (1/n) = 0. Sin embargo, la serie fl*00 fl*cC diverge, como mostraremos a continuación. Muestre que la serie armónica diverge.
EJEMPLO 5
Solución
Mostraremos que S,, crece sin lImite. Imagine que n es grande y escriba
1111 S =1+++++...+2345 n 1
i (1 1\ =1++/1\3 +4)i + fi\5+++I+I+...+I+...+8/ \9 16) 1
1
1
2
6
7
124 >1+++++...+2
4
8
8
1
16
n
1111 2222
n
1
n
Es claro que a! hacer n suficientemente grande, podemos introducir en la Ultima expresiOn tantos como queramos. AsI, S, crece sin ilmite, de modo que (Sn) diverge. Por tanto, la serie armónica diverge.
Serie colapsante
Una serie geométrica es una de las pocas series que admiten una formula expilcita para 5n; una serie telescópica es otra (véase ci ejemplo 2 de la sección 5.3). EJEMPLO 6
Muestre que la siguiente serie converge y calcule su suma. 00
k=1
Solución
1
(k + 2)(k + 3)
Use una descomposición en fracciones parciales para escribir
_1
1
1
(k+2)(k+3)k+2 k+3 Entonces
n/i
1
1
3
n+3
+
k+3)
+...+ (1 n+2
1
n+3
Por tanto,
jim S, =
n
La serie converge y tiene suma
.
.
Series infinitas 439
SECCION 10.2
Una nota sobre ía terminologia Este teorema introduce un cambio sutil en la terminologIa. El sImbolo a/< se usa ahora para la serie infi-
Propiedades de las series convergentes
Las series convergentes se comportan de manera similar a las sumas finitas; lo que se espera que ocurra, con frecuencia ocurre. Linealidad de las ser s conve gentes
Teorema B 00
00
nita a1 + a2 +
y para la suma
Si
bk convergen v e
ak y k=1
es
una constant entonces '5
k=1
de esta serie, que es un nümero.
/
(
k=
ca1. E
) tambiën conv'ergen y 00
OC
1cak = K1
cak, k=1
cc
00
+ bk) =
(ak
k=i
ak
+ 'V h. k=1
k=1
Demostración Por hipOtesis,
b existen. AsI, usamos las propie-
ak
dades de las sumas con una cantidad finita de términos y las propiedades de ilmites de sucesiones. 00
n
fl
= lIm
ca/c
lIm C
ca/,
fl-*00
fl-*00 k=1
k=1
00
fl
=clIm -*00 fl
k=1
ak k=1
ak=cak k=1 k=1
(ak + bk) = fllIm -*00
k=1
lIm (ak + bk) = fl00[ ak + k=1
0
ak + lIm = lIm noo k=1 00
EJEMPLO 7
Solución
Calcule
bk k=1
,ak +
=
k=1
5(1)k]
[3(
1\k
71k
5\)
]=3(
00 71\k
00
3- 1 8
Si
bk k=1
Por el Teorema B y el ejemplo 1, 00
TeorE"
]
00
00
fl
b,l k=1
1-73529 2
14
.
C
'akdive rgeycO, entonces
cak ciI lr'erge.
-
-
k=1
Dejaremos a! lector la demostración de este teorema (problema 35). Esto implica, por ejemplo, que
0010011
k=1
k=1
diverge, pues sabemos que la serie armónica diverge. La ley asociativa de la suma nos permite agrupar términos en una suma finita de cua!quier forma. Por ejemplo,
2+7+3+4+5=(2+7)+(3+4)+5=2+(7+3)+(4+5) Pero a veces perdemos el sentido de la definición de una serie infinita como ci lImite de una sucesiOn de sumas parciales, por lo que nuestra intuición puede guiarnos a una paradoja. Por ejemplo, Ia serie
1-1+1-1+.+(-
Series infinitas
440 CAPITULO 10
tiene sumas parciales 1
S3
1-1 =0 = 1-1+1
S4
=
S2
=
=
1
1-1+1-1
= 0
La sucesión de sumas parciales , 1, 0, 1, 0, 1.....diverge; asI, la serie 1 - 1 + 1 - 1 + diverge. Sin embargo, podemos ver la serie como
(1 - 1) + (1 - 1) + y afirmar que la suma es 0. En forma alternativa, podemos ver la serie como
1 - (1 - 1) - (1 - 1) y afirmar que la suma es 1. La suma de la serie no puede ser igual a 0 y a 1. La agrupación de términos en una serie es aceptable siempre que la serie sea convergente; en tal caso podemos agrupar los términos de cualquier manera. Teorema D AgrupadOn de términos z
.nr.s de una serie convergeL Los térmi: Ur; leorden de los términ IO (siempre ye Ia misma suhia quc la serie original.
nia seiic infinLa
se p eder agrupar de cualquier manera Si: e
mantenga) y Ia nueva serie convergerá a
Sea an la serie convergente original y {s} su sucesión de sumas parbm es una serie formada al agrupar los términos de y 5 {Tm} es su sucesión de sumas parciales, entonces cada Tm es una de las S,,. Por ejemplo, T4 podrIa ser
Demostración ciales. Si
T4=a1 + (a2+a3) + (a4+a5+a6) + (a7+a8) en cuyo caso T4 = S8. AsI, { Tm } es una "subsucesión" de { S,, }. Un momento de reflexión le permitirá convencerse de que si S - S entonces Tm > S.
Repaso de conceptos Una expresión de Ia forma a1 + a2 + a3 +
se llama
3. La serie geométrica a + ar + ar2 +
converge si
en este caso, la suma de la serie es
Una serie a1 + a2 +
converge si la sucesión
{s} con-
4. Si la
podemos garantizar que la serie
verge, donde S =
Conj unto deproblemas 10.2 En los problemas 1-14, indique si Ia serie dada converge o diverge. Si converge, determine su suma. Sugerencia: Tat vez le ayude escribir los primeros términos de Ia serie.
8. 00
(k+2)k
(1)2
2.
2
co4k+1
12. [2(
3.
+ 3(]
k
(9)k k=1
1
k-
1) Sugerencia: Ejemplo 6.
k+1
00
13.
3
3
1)2
k2)
3(1)k+1]
k=1
6.
k+2
7(1 =
7k-1
6
k-5 =
[(1)k
4.
k=O
on
11.
k-5
En los problemas 15-20, escriba el decimal dado como una serie infinita; luego determine la suma de Ia serie y por áltimo use el resultado para escribir al decimal coma el cociente de dos enteros (véase el ejemplo 2). 0.22222...
16. 0.21212121...
SECCION 10.2
17. 0.013013013...
18. 0.125125125...
19. 0.49999...
20. 0.36717171...
Evaiüe
r(1 - r)k,0 < r < 2.
Evalüe
(_l)kxk,_l < x < 1.
Muestre que
in
Series infinitas 441
30. Si et patron que aparece en la figura 4 se continua indefinifl damente, ,qué fracción del cuadrado original quedará sombreado?
diverge. Sugerencia: Obtenga
k
1
una formula para S,.
Muestre que
in k=2
(1
1\
-
= 1n2.
Se arroja una peiota desde una altura de 100 pies. Cada vez
que goipea el suelo, ia pelota rebota hasta de su aitura anterior. Caicule ia distancia totai que recorre hasta ilegar a! reposo. Tres personas A, B y C dividen una manzana como sigue. Primero la dividen en cuartos, tomando cada uno un pedazo. Luego dividen el cuarto restante en cuartos, tomando cada uno un pedazo, y asI sucesivamente. Muestre que cada uno recibe una tercera parte de Ia manzana.
Figura 4 Cada triángulo en Ia cadena descendente (figura 5) tiene sus vertices en los puntos medios de los lados del siguiente trianguio ma-
yor. Si el patron indicado de sombreado continua indefinidamente, qué fracción del triángulo original quedará sombreada? ,Es necesario que ei triangulo sea equiiátero para que esto sea cierto?
Suponga que el gobierno inyecta mu miliones de dOiares más a Ia economla. Suponga que cada empresa e individuo ahorra 25% de su ingreso y gasta el resto, de modo que el 75% de los mu mihones originates vuelven a gastarse. De esa cantidad, se gasta 75%, y asI sucesivamente. ,CuáI es el incremento total en el gasto debido a la acción gubernamental? (Esto se llama en economfa ei efecto multiplicador.)
Resueiva el problema 27, suponiendo que sOlo 10% del ingreso se ahorra en cada etapa.
[1 29. Suponga que ei cuadrado ABCD (figura 3) tiene iados de tongitud 1 y que E, F, G y H son puntos medios de los iados. Si el patrón indicado se continua de manera indefinida, i,cuál será el area de ha regiOn sombreada?
LA Figura 5
Se inscriben cIrculos en los triánguios del problema 31, como se indica en la figura 6. Si ei triángulo original es equilátero, qué fracciOn del area quedará sombreada?
Figura 6
Figura 3
En otra version de ia paradoja de Zenon,Aquiles puede correr diez veces más rápido que Ia tortuga, pero ha tortuga inicia ia Carrera 100 yardas más adeiante. Aquiies no puede alcanzar a ha tortu-
Series infinitas
442 CAP1TULO 10
ga, afirma ZenOn, porque cuando Aquiles haya recorrido 100 yardas, la tortuga habrá avanzado otras 10 yardas; cuando Aquiles recorra otras 10 yardas, la tortuga habrá avanzado 1 yarda más, y asI sucesivamente. Convenza a ZenOn de que Aquiles alcanzará a Ia tortuga e indique con exactitud cuántas yardas deber recorrer Aquiles para hacerlo. 34. Tom y Joel son buenos corredores y ambos pueden correr a una velocidad constante de 10 millas/hora. Su fabuloso perro Trot puede hacerlo mucho mejor; corre a 20 millas/hora. Partiendo de poblaciones que están a 60 millas de distancia entre sI,Tom y Joel corren uno en dirección del otro, mientras que Trot corre de un lado al otro entre ellos. ,Qué distancia habrá recorrido Trot cuando los muchachos se encuentren? Suponga que Trot comenzó a correr con Tom hacia Joel y que puede dar vueltas instantneas. Resuelva el problema de dos formas. Use una serie geométrica.
C
a, diverge, también lo hace
ca
, Ia coordenada horizontal del centroide de la region.
x
0
Figura 8
42. Sea r un nOmero fijo con r < 1. Entonces se puede mostrar que
Determine una forma más rápida de resolver el problema. 35. Demuestre: Si
y use este hecho para calcular:
kr' converge, digamos con suma S. Use las propiedades de k=1
para
para mostrar que
(1 - r)S
0.
36. Use el problema 35 para concluir que + + + + divergen. 37. Suponga que puede disponer de una cantidad ilimitada de ladrillos, cada uno de 1 unidad de largo.
Convénzase de que pueden colocarse como en Ia figura 7, sin caer. Sugerencia: Considere los centros de masa. ,Qué tan lejos puede sobresalir el ladrillo superior a Ia derecha del
ladrillo inferior usando este método de apilamiento?
2
4
6
=
rk
y luego obtener una formula para 5, generalizando asI el problema 41a.
43. Muchos medicamentos son eliminados del cuerpo en forma exponencial. Asi, si un medicamento se administra en dosis de tamano C en intervalos de tiempo de longitud 1, la cantidad A del medicamento en el cuerpo justo después de la dosis (n + 1) es A
=
C + Ce
+ Ce2kt + ... + Ce'
donde k es una constante positiva que depende del tipo de medicamento. Deduzca una formula para A, la cantidad de medicamento en el cuerpo justo después de una dosis, si una persona ha consumido el medicamento durante mucho tiempo (suponga un tiempo infinitamente largo). EvalUe A si se sabe que la mitad de una dosis se elimina del cuerpo en 6 horas y se administran dosis de 2 miligramos cada 12 horas.
10
44. Determine Ia suma de la serie
Figura 7
2"
Qué tan grande debe ser N para que SN =
(1/k) exce-
da a 4? Nota: Los cálculos con computadora muestran que para que
SN exceda a 20, N N
1.5 x i0.
=
272,400,600 y para que SN exceda 100,
Demuestre que si 'a,, diverge y + b) diverge. Muestre que es posible que aUn asI
converge, entonces
and
Observe la region de la figura 8, primero en forma vertical y luego en forma horizontal para concluir que
Series positivas:
el criterio de Ia integral
45. EvalOe
1
-
i)
donde {fk} es la sucesión de Fibonacci
k=1 fkfk+2
presentada en el problema 52 de la sección 10.1. Sugerencia: Muestre primero que
1_i
diverjan y que
(a + b) converja.
10.3
i)(2k
fkfk+2 - fkfk+1
Respuestas al repaso de conceptos: 2.a1 + a2 + a3 + + a <
1
fk+lfk+2
1. una serie infinita 4. diverge
1;a/(1 - r)
En la sección 10.2 presentamos varias ideas importantes, aunque las ilustramos principalmente con dos tipos muy particulares de series: geométricas y telescópicas. Para estas series podemos dar fOrmulas exactas para las sumas parciales S, algo que rara vez podemos hacer para Ia mayor parte de las series. Nuestra tarea ahora es la de iniciar un estudio de las series infinitas generales. Siempre hay dos preguntas importantes sobre una serie. ,La serie converge? Si converge, cuál es su suma?
,Cómo contestar a estas preguntas? Alguien podrIa sugerir el uso de una computadora. Para responder la primera pregunta, basta sumar más y más términos de la se-
SECCION 10.3
Recordatorios importan tes a1, a2, a3, es una sucesiOn. a1
+ a2 + a3 +
Series positivas: el criterio de Ia integral 443
ne, observando los nUmeros obtenidos como sumas parciales. Si estos nOmeros parecen estabilizarse en un nOmero fijo S, la serie converge. Y en este caso, S es la suma de la senie, lo que responde a Ia segunda pregunta. Esta respuesta simplemente es incorrecta para la primera pregunta y sOlo es parcialmente adecuada para La segunda. Veamos por qué. Considere la serie armónica
es una serie.
S=
a1
+ a2 + a3 +
+ an
es la n-ésima suma parcial de la serie.
'2' es la sucesión de sumas parciales de la serie. La serie converge si y solo si S
tim S
existe y es finito, en cuyo caso S es La suma de la serie.
presentada en la sección 10.2 y analizada en el ejemplo 5 y el problema 38 de esa sección. Sabemos que esta serie diverge, pero una computadora no nos ayudarIa a descubrir este hecho. Las sumas parciales S, de esta serie crecen sin !Imite, pero crecen tan lentamente que se necesitan más de 272 milLones de términos para que S alcance 20 y más de iO términos para que S, LLegue a 100. Debido a la limitación inherente en el nOmero de dIgitos que puede manejar, una computadora darIa en algOn momento vatones repetidos para Sn, lo que sugerirIa incorrectamente que S estarIa convergiendo. Lo que es cierto para la serie armónica es cierto para cualquier serie que diverge lentamente. Enfatizamos to siguiente: Una computadora no puede sustituir los criterios matemáticos para la convergencia y La divergencia, tema que tratamos a continuación. En ésta y la próxima secciOn, restringimos nuestra atención a Las series con términos positivos (o at menos no negativos). Con esta restricción, podremos dar algunos criterios de convergencia notablemente senciltos. Los criterios para series con términos de signo arbitrarios aparecen en la sección 10.5.
Sumas parciales acotadas
Nuestro primer resultado es consecuencia directa del Teorema de la sucesiOn monótona (Teorema 10.1D).
A CritQro d a snma acotad ri-i na serie ak de lérminos no negativos converge ri y sólr si sus slnlas .u. paa1es acntdas por arrw.. e: TeG'rema
j
T.
s
Demostración Como ya es usual, sea S, = a1 + a2 +
+ a. Como ak
0, S,,
S; es decir, {S} es una sucesiOn no decreciente. AsI, por ci Teorema 10.1D, La sucesión S} convergerá si existe un nOmero U tat que S U para toda n. En caso contrario, las S, crecerIan sin lImite, en cuyo caso {S} diverge. EJEMPLO 1
Muestre que la serie -- +
+ -- +
converge.
So!ución Queremos mostrar que Las sumas parciales Sn están acotadas por arriba. Observe pnimero que
y entonces 1/n! < 1/21. AsI,
S =+++...+ 11 +++...+ '
1
1
1
1!
2!
3!
2
4
1
1
2l_1
Estos Ottimos términos provienen de una serie geométnica con r = . Podemos obtener su suma mediante una fOrmula en el ejemplo 1 de la secciOn 10.2. Obtenemos 1
Sn
-(
[ (i11<2 =211II 2) ] L
AsI, por el cnitenio de la suma acotada, la senie dada converge. EL argumento también muestra que su suma S es a lo más 2: Posteniormente mostraremos que S = e 1 1.71828. IcxD
Series e integrales impropias
El comportamiento de
f(k) y J f(x) dx
con respecto de la convergencia es similar y proporciona un cniterio muy poderoso.
444 C.piiuLo 10
Series infinitas
Teorema B
Crterio de a integral
ii .I Sea f una fun :iOn Co. ntinua, positiva, rIL ciecieiL Jfin. n ei intervaio [1,00) y _11I = J(K') para todo ente ro p.. :"sitivr. k. ,i.to nc.s a serie infinita s...pon que 1
ak
k-' converge i1y sól() si la integral impropia
dx
f°o
converge.
Observemos que el entero 1 puede reemplazarse por cualquier entero positivo M en este teorema (véase el ejemplo 4).
Demostración Los diagramas de la figura 1 indican la forma de interpretar las sumas parciales de la serie ak como areas y con ello relacionar la serie con una integral correspondiente. Observe que el area de cada rectángulo es igual a su altura, pues en Cada caso el ancho es 1. Con estos diagramas podemos ver fácilmente que
f(x)dx
2ak
Figura 1
Ahora suponga que
fcof(x) dx converge. Entonces, por la desigualdad izquierda an-
terior, S = a1 +
ak
a1 +
f
f(x)dx
Por tanto, por ci criterio de la suma acotada,
a1 +
ff(x)dx
a converge.
a converge. Entonces, por la desigualdad derecha
Por otro lado, suponga que
n,
anterior, si t
ff(x)dx Como
I f(x) dx crece con t y está acotada superiormente, lIm I f(x) dx debe exis-
ii
tir; es decir,
f
f(x) dx converge.
La conclusion del Teorema B se enuncia con frecuencia de esta manera: La serie I-co
f(k) y la integral impropia
J
f(x) dx convergen o divergen juntas. Usted debe
ver que esto es equivalente a nuestro enunciado.
SECCION 10.3
Series positivas: el criterio de Ia integral 445
EJEMPLO 2
Criterio de la serie p. La serie
001
1
=1+
+
1
+
1
+ k 2 donde p es una constante, es una serie p. Muestre lo siguiente: k=1
3P
4P
La serie p converge si p > 1. La serie p diverge si p 1. Solución Si p 0, La función f(x) = 1/xP es continua, positiva y no creciente en [1, oo) y f(k) = 1/kP. AsI, por el criterio de Ia integral, (1/kP) converge si y sOlo Si lIm
/
(-400 J1
x
dx existe (como un nUmero finito).
Sipi,
/xdx_ip I1
x1
[
J1
1
1
Si p = 1,
fx dx = [lnx]
=
t" = Osip > ly lIm t'
= 00 sip < iycomo cluimos que la Seriep converge sip > 1 y diverge si 0 < p Como lIm
-*00
00
1-
lIm lilt = 1-4 CX)
oo,con-
1.
AOn debemos estudiar el caso p < 0. Ahora, el n-ésimo término de (i/kP), es decir, 1/nP, ni siquiera tiende a 0. AsI, por el criterio del n-ésimo término, la serie diverge.
Observe que el caso p = 1 corresponde a la serie armónica, analizada en la sección 10.2. Nuestros resultados de entonces y los actuales son consistentes. La serie ar-
a
monica diverge. La cola de una serie
La parte inicial de una serie no juega papel alguno en su convergencia o divergencia. Solo la cola es importante. Por Ia cola de una serie entendemos aN + aN+l + aN+2 +
donde N denota un nOmero arbitrariamente grande. Por tanto, al verificar Ia convergencia o divergencia de una serie, podemos ignorar los primeros términos o incluso modificarlos. Sin embargo, claramente, la suma de una serie depende de todos sus términos, incluyendo los iniciales.
Converge o diverge la serie
EJEMPLO 3
So!ución
Por el criterio de La serie p,
k=4 k1001
(i/k1001). La inserción o eliminación de un
námerofinito de términos en una serie no afecta su convergencia o divergencia (aunque puede afectar la suma). AsI, la serie dada converge. U 00
Determine si
EJEMPLO 4
k=2
1
klnk
converge o diverge.
Solución Las hipOtesis del criterio de la integral se cumplen para f(x) = 1/(x mx) en [2,00). El hecho de considerar el intervalo [2,00) en vez de [1,00) no es importante, como observamos después del Teorema B. Ahora,
Jdx fCX)
2
AsI,
1
xlnx
= lIm
1'
1
(1
'\
dx) = 1-400 lIm [lnlnx] = J lnx x
00
2
1/(k ln k) diverge.
EJ EM PLO 5 Por medio de una integral impropia, determine una buena cota superior para el error que surge al usar los primeros cinco términos de la serie convergente 00
n=1
para aproximar La suma de la serie.
So!ución
El error E es
e
446
CAPITULO 10
Series infinitas
La funciOn f(x) = x/e es continua, positiva y no creciente en [5, oc) (véase la figura 2). Entonces, 00
x-'
rcxJ
.
<
n=6 e 1
iIm
dx
15
urn t*00\
Figura 2
7
xe
1
--2) J e2(-2xdx)
/
1 -*00 \.
2)
[e2] =
6.94 x 1012
e25
.
Repaso de conceptos Una serie de términos no negativos converge si y sOlo Si SUS sumas parciales son
El criterio de Ia integral relaciona la convergencia de
La inserción o eliminación de un nOmero finito de términos en una serie no afecta su , aunque puede afectar su suma.
a, y
La serie p
(1/k") converge si y solo si k=1
I
yquefes
f (x) dx, suponiendo que ak =
en[i,00).
y
Conj unto de problem as 10.3 Use el criterio de Ia integral para decidir la convergencia o divergencia de cada una de las series siguientes.
-2 +2
k=1
k=2
8.
4k + 2 3
k=1 (4 + 3k)716
ke'2
11.
10.
k=100 (k + 2)2
k2 + 1
[(flk 15.
,Convergeodivergeiaserie
1000
k(lnk)2
k=IL\2!
k=1
k-i
16.
00/i
i
20.
21.
all!
22.
1/[n inn in(lnn)]?Ex-
Use diagramas, como en la figura 1, para mostrar que
23
ln(n + 1) <1 + - + - +
f
+ - < 1 + inn n
(i/x) dx = inn.
Use el problema 29 para mostrar que la SuceSión
ksen
1
es creciente y está acotada superiormente por 1.
k=1
19.
i/[n(in n)P]? Explique.
B=1+1+++--in(n+1)
k=1 \k2
18.
17.
k±1)
piique.
Sugerencia:
14.
2k+1
(k
i,Para qué valores de p converge
k=1 1 + k3
k=5
k=1 k2 + 5
k(k+1)
1000k2
En los problemas 13-22, use cualquiera de los criterios desarrollados hasta ahora, incluyendo los de Ia sección 10.2, para decidir acerca de Ia convergencia o divergencia de Ia serie. Justifique su conclusion. 13.
1
k=1 e
12.
k=1
1
k=1 1 + k2
3
k=1
7
7.
24.k
k=1 e 00
2k2 + 1 00
6.
23.
3
k2
5.
9.
2k - 3
4.
3.
(véase el ejemplo 5).
3
2.
1.
En los pro blemas 23-26, estime el error cometido al aproximar Ia suma de Ia serie dada mediante la suma de los cinco primeros términos
Use el resuitado del problema 29 para demostrar que lim B
/1
k+1) 1
1 + 4k2
existe. (El lImite, denotado y, se llama la constante de Euler y es apro-
ximadamente 0.5772. En la actualidad, no se sabe si y es racional o irracional. Sin embargo, se sabe que si y fuese racionai, entonceS el denominador en su minima expresión serla al menos 10244663.)
SECCION 10.4
Series positivas: otros criterios
447
Use el problema 29 para obtener cotas superior e inferior buenas para la suma de los primeros 10 miliones de términos de la serie armónica. Del problema 31 podemos inferir que
Use esto para estimar el némero de términos de la serie armOnica necesarios para obtener una suma mayor que 20 y compare con el resultado indicado en el problema 38 de la sección 10.2.
Ahora que hemos mostrado la existencia de la constante de Euler siguiendo el camino difIcil (problemas 29-31), resolveremos un
problema mucho más general de manera sencilla, y veremos cómo surge y de la nada, por asI decirlo. Sea f continua y decreciente en
[1,)y
B = f(1) + f(2) +
+ f(n) - f1f(x)dx
Muestre que A es creciente con n, que A triángulo indicado, y asI, lim A existe.
36. Particularice la función del problema 35 a f(x) = in x. (a) Muestre que =
Observe que B es el area de la region sombreada de la figura 3. (a) tPor qué es obvio que B crece con n? (b) Muestre que B f(1). Sugerencia: Simplemente recorra todos los pequenos pedazos sombreados a la izquierda, dentro del rectángulo indicado.
(c) Concluya que lIm B existe. (d) ,Cómo obtene'i y a partir de esto?
T, donde T es el area del
flnxdx [lnl+1n2 +...+ ln(n-1)+innl 2
[2
I
]
= nlnn - n + 1 - inn! + ln\/ 1
+ ln
(n/e)'/i
(b) Concluya de la parte (a) y el problema 35 que
k = lim
n!
(n/e)
existe. Se puede mostrar que k = \/21T. \/2Trn(n/e)nl, que se llama ia formula (c) Esto significa que n! de Stirling. Use esto para aproximar 15! y compare con el valor que da su calculadora para 15!
Figura 3 35. Sea f continua, creciente y cóncava hacia abajo en [1, oc), como en la figura 4. Además, sea A el area de la region sombreada.
10.4
Series positivas: otros criterios
Respuestas al repaso de conceptos: 1. acotada superiormente 2. f(k); continua; positiva; no creciente 3. convergencia o divergencia 4. p > 1
Hemos analizado por completo la convergencia y divergencia de dos series, la geométrica y la serie p. r
converge si 1 < r < 1, en otro caso diverge
n=1
converge si p > 1, en otro caso diverge En el primer caso, vimos adOnde convergIa la serie, si ésta converge; en el segundo caso no. Estas series proporcionan estándares, o modelos, contra quienes podemos cornparar otraS series. Recuerde que seguimos considerando Series cuyos términos son positivos (o al menos no negativos).
Corn paraciOn de una serie con otra
Una serie con términos menores que los términos correspondientes de una serie convergente debe converger; una serie con términos mayores que los términos correspondientes de una serie divergente debe divergir. Lo que debe ser cierto, es cierto.
Critrio de comparai L.JI.c,..rdinjia b para n Suponga que 0
Teorema A
. .iv .. te, también ore djvci también
Si Si
Demostración Supongamos que N = 1; el caso N > 1 solo es un poco más difIcil. Pa+ a y observe que (Sn} es una sucesión no dera demostrar (i), sea S = a1 + a2 + creciente. Si bn converge, por ejemplo, con suma B, entonces +
S
b2
+ b
+
bn
= B
Por ci criterio de la suma acotada (Teorema 10.3A), an converge. converge, entonces La propiedad (ii) es conseduencia de (i), ya que si
an
tendrIa que converger. EJEMPLO 1
n
,Converge o diverge la serie
52 - 4 ?
Solución PodrIamos pensar que diverge, pues el n-ésimo término se comporta como 1/5n para n grande. De hecho, n
5n2-4 Sabemos que
.
>
11
n Sn2
5
n
diverge, pues es un quinto de la serie armónica (Teorema 10.2C).
AsI, por el criterio de comparaciOn ordinaria, la serie dada también converge. EJEMPLO 2
,Converge o diverge la serie
2n('+
U
1)
Solución PodrIamos pensar que converge, pues el n-ésimo término se comporta como (i/2)n para n grande. Para justificar esto, observemos que
(1\n (i\n
converge (es una serie geométrica con r = ), concluimos que la serie daComo U da converge.
Si hay problemas a! aplicar ci criterio de comparación ordinaria, éstos surgen a! buscar la serie adecuada con la cual comparar la serie en cuestión. Suponga que queremos determinar la convergencia o divergencia de 1
n=3
I
-
')\2 Z)
fl2 - '-Ffl A
3
Sospechamos que converge, de modo que nos inclinamos por comparar 1/(n - 2)2 con 1/n2. Por desgracia, 1
(n-2)2
>1
2
que no sirve (la desigualdad está en ci sentido contrario al deseado). Después de unos cuantos experimentos, vemos que 1
9
(n _2)2n2 para n
3; como
9/n2 converge, también lo hace
1/(n -
2)2.
Series positivas: otros criterios 449
SECCION 10.4
j,Podemos evitar estas contorsiones con las desigualdades? Nuestra intuición nos convergen o divergen juntas, siempre que a y b tengan aproxidice que y madamente el mismo tamaño para n grande (salvo una constante multiplicativa). Este es el contenido esencial de nuestro siguiente teorema. Teorrem
B
-iod' 'omparación de. Imite O,h, > u(\) Jue
C rite
.uponga que a,, c
I
urnb
L
'7
J1
terli 0< L < oo,en..ces
'e:gen o diverg b,,conv'
a,,y
-1
juntas. -Si r
Oy
a,, converge.
:onverge, entonces
C
Demostración Primero consideramos = L/2 en La definición de lImite de una sucesión = fta/b) L < L/2; es decir, (sección 10.1). Existe un nümero N tal que n
L < a
L
b
2
<-L2
Esta desigualdad es equivalente (sumando L) a
Por tanto, para n
L
a
3L
2
b
2
N,
a< 3L2
2
bn
y
Estas dos desiguaLdades, junto con el criterio de comparación ordinaria, muestran que >a y >b convergen o divergen juntas. Dejaremos La demostración de la ültima afir-
macion del teorema al lector (problema 37). EJEM PLO 3
(a)
Determine La convergencia o divergencia de cada serie.
3n-2 n=1 n3
(b)
2n + 11
± 19n
Solución Aplicamos el criterio de comparación del lImite, pero aUn asI debemos decidir contra quién comparamos eL n-ésimo término. Vemos a quién se parece este término para n grande, observando Los términos de mayor grado en el numerador y en el denominador. En el primer caso, el n-ésimo término es como 3/n2; en eL segundo, es como 1/n. 2n2 + ii) (3n 2)/(n3 3n3 2n2 a =LIm =1 lIm (a) lIm n*°° n n 6n2 + 33 3fl3 b 3/n2 (b)
a LIrn
n*oo b
= lim
1/\/n2 + 19n 1/n
fl*cx
n + 19n
inn?
Converge o diverge la serie n=1
So!ución nemos
=1
1/n diverge, concLuimos que la serie en (a) converge y la
Como 3/n2 converge y serie en (b) diverge. EJEMPLO 4
=lIm
n
,Contra qué debemos comparar (ln n)/n2? Si intentamos con 1/n2, obte-
a Lim
n
b
= urn n
oo
inn ± 2
1
= urn in fl
00
n
EL criterio faLla, pues no se cumpien sus condiciones. Por otro Lado, si usamos 1/n, obtenemos
450 CAPITULO 10
Series infinitas
lim
fl -
00
= lim n-
Inn
00
fl2
± 1fl
= lim fl -
inn
00
fl
= 0
De nuevo, el criterio faila.Tai vez aigo entre 1/n2 y 1/n funcione, como 1/n3t2. urn
b
= lim
n*cx
inn
1
2
j3/2
-
= lim
inn
n>cc
=0
(La üitima iguaidad es conseduencia de ia regia de L'Hôpitai.) Conciuimos de ia segunda parte dei criterio de comparación dei limite que (ln n)/n2 converge (pues 1/n312 converge).
Corn paraciOn de una serie con si misma La obtenciOn de resuitados ütiies mediante ios criterios de comparaciOn requiere vision y perseverancia. Debemos elegir adecuadamente una serie conocida para hailar una que sea justamente ia correcta para Ia comparación con ia serie que queremos verificar. ,No serIa bueno que se pudiese comparar una serie consigo misma y asI determinar la convergencia o Ia divergencia? A grandes rasgos, esto es lo que hacemos en el criterio dei cociente.
Criti,ijrr del cociente rrii positivos y supóngase que una serie de CILflOS
Teorema C
a1 n-oo a,, (i) (ii
=p
Jip < 1,1as,:ic cre criv 'rge. Siii. 1ci lIm = xiaserie diverge. ,Ioo :
eicrileri.onoe C jiiclrr'ente. u
(111) Sip
Demostración He aquI io que está detrás del criterio dei cociente. Como
iIrn a1/a *00
fl
=
p, a1
pan; es decir, ia serie se comporta como una serie geomé-
trica con razón p. Una serie geométrica converge cuando su razOn es menor que 1 y diverge cuando su razón es mayor que 1. Nuestra tarea consiste en unir estos argurnentos. (i)
Como p < 1, podernos eiegir un nUrnero r tai que p < r < 1; por ejempio, r = (p + 1)/2. A continuación eiegimos N de modo que si n entonces < r. (Podemos hacer esto porque lIrn a1/a = p < r.) Entonces,
aN+l < raJ\,
aN+2 < ra1 < raAT
aN±3 < ra,2 < ra, Como raN + r2aN + r3aN +
es una serie geornétrica con 0 < r < 1, conver-
ge. Por ei criterio de comparación ordinaria, 00
iohace 'a,,. (ii)
a,, converge, y por tanto tarnbién n=N+1
Como p > 1, exiSte un nUmero N tai que a,,+1/a > 1 para toda n
N. AsI,
aN+1 > a
aN+2 > a1 > a Por tanto, a,, > aN> 0 para toda n > N, io que significa que lIrn a,, no puede fl *00
anularse. Por el criterio del n-ésimo término para ia convergencia, 'a,, diverge. (iii) Sabemos que
1/n diverge, mientras que
1/n2 converge. Para ia primera Serie,
SECCION
lim
afl1 a
1
= lIm
Series positivas: otros criterios 451
10.4 1
= lIm n°°
:
n+1
fl
n
=1
n+1
Para la segunda serie, urn nc
afi
= lim
1
1
lim
:
(n + 1)2
n2
n2
(n + 1)2
=1
AsI, el criterio del cociente no distingue entre la convergencia y la divergencia cuandop = 1. El criterio del cociente nunca será concluyente para una serie cuyo n-ésimo térmi-
no sea una expresión racional en n, pues en este caso p = 1 (los casos a = 1/n y = 1/n2 fueron considerados arriba). Sin embargo, para una serie cuyo n-ésimo término implica n! o r'1, el criterio del cociente trabaja muy bien en general. 2"
Verifique la convergencia o divergencia de la serie:
EJEMPLO 5
n!
So!ución
p = lim
afl1 afi
2n+1
n!
= lim
n*oo (n + 1)! 2"
= lim
2
n+1
=0
El criterio del cociente nos permite concluir que la serie converge. Verifique la convergencia o divergencia de la serie:
EJEMPLO 6
So!ución
20
(
lIm nn+1)
2"
n=1 " 20
2+1 n2o (n + 1)20 2"
= lIm
p= lIm n*cx
U
2=2
Concluimos que la serie dada diverge. ?,
EJEMPLO 7
Verifique la convergencia o divergencia de la serie: n=1
Soluciôn
-. n!
Debemos usar ci hecho de que = lIm (1 + h)h/h = e
n*oo\(1 JIm
fl)
h*0
lo que es conseduencia del Teorema 7.5A. Suponiendo esto, podemos escribir
p=
lim lIm
a1 a
= urn
(n + 1)!
nfl
( n fl_cx\fl + 1 lim
n*cx (n + i)n+1 n!
1
((n + 1)/n)"
=lIm
1
(1 + 1/n)
=<1 1
e
Por tanto, la serie dada converge. Para verificar la convergencia o divergencia de una serie nos positivos, observe con cuidado a. Resu men
Si lIm a fi 3 =
con térmi-
0, concluya del criterio del n-ésimo término que la serie diverge.
Si a implica a n!, r" o if', trate de usar el criterio del cociente. Si a implica solo potencias constantes de n, trate de usar el criterio de comparación del lImite. En particular, si a es una expresión racional en n, use este criterio con b como el cociente de los términos principales del numerador y el denominador.
452
Series infinitas
CAPITULO 10
Si los criterios anteriores no funcionan, trate con el criterio de comparación ordinaria, el criterio de la integral o el criterio de la suma acotada. Algunas series exigen un manejo inteligente o un truco para determinar su convergencia o divergencia.
Repaso de conceptos El criterio de comparacion ordinaria dice que Si bk converge, entonces también ak converge. Suponga que ak
ne
gen o divergen a la vez.
+ .
a
El criterio del cociente dice que una Se-
ak de términoS positivoS converge si
y b > 0. El criterio de comparaciOn del
lImitenosdicequesio <
a
3. Sea p = urn
y Si
,y
, diverge si
puede hacer cualquiera de éStaS Si
(k/Ic) es un candidato obvio para el criterio
4
mientras que rio
k/(k3 - k - 1) es un candidato obvio para el crite-
Con] unto de problemas 10.4 En los problemas 1-4, use el criterio de comparación del límite para determinar la convergencia 0 divergencia de las series dadas. n
2
1.
3n + 1
2.
2 + 2n + 3
22
-4
1
23.
1
1
2
+
°°"/2n+1 nyn' + 1
=
n2
n1
+
1+1
2
22 + 1
+ 1
25. 1 +
3
En los problemas 5-10, use el criterio del cociente para determinar Ia convergencia o divergencia de las series dadas.
1n2 22
+
+
1n3 32
4
+
2
+
1
3V
+
1n4 42
32 + 1
+
42 + 1
+ 32
+
24. 3 +
33
+
34
+
+
+ +
4
ln5
+
52
+
6.
7.
n!
n1 '
n=1
3k+k
10.
(2n)!
n
, n+3
13.
17
2
+
Sugerencia: a = 20
22
+
32
2
21 1
3
32. ,( -
(2n)! 4"
+n
n
n=1 2 + n5" converge. DemueStre que
DemueStre que lIm(n!/n") = 0 analizando Ia Serie n!/n. Sugerencia: Ejemplo 7, Seguido del criterio del n-ésirno tér-
ti n5 - 4n2 + 1 1
2n
converge.
16.
4n3+3n
'
00
30.
Sea a,, > 0 y suponga que
14.
n=1 n!
19
,
2
00
15.
31.
33.
12.
n=1 n + 200
+ cosn
29.
3" + 1
k!
En los problemas 11-34, determine Ia convergencia o divergencia de cada serie. Indique el criterio utilizado. 11.
28.
2 +sen2n
n(
8.
4
18.
2
n2; 1
mino.
23 + 3.4 + 4.5
converge.
0, b > 0 lIrn a/b = oc y
Demuestre que Si a diverge, entonces diverge.
1
n(n + 1)
Suponga que lIm na
+ 42- + - + 24.5
+
00
1. Dernuestre que
diverge.
Dernuestre que Si >a es una Serie convergente con térmi111(1 + a) converge.
2
+
0, b,, > 0 lIrn a/b = 0 y
Dernuetre que Si a converge, entonces
1
1
positivoS, entonceS
3.S 6
+
4
6
7
+
41. Criterio de
Ia raIz
1Irn(a)1" = R,entonceS
Dernuestre que
Si
a>0
y
converge siR < 1 ydivergesiR> 1.
SECCION 10.5
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 453
Compruebe la convergencia o divergencia usando el criterio de la raIz. (a)
44. Sean p(n) y q(n) poiinomios en n con coeficientes no negapara determinar ia convergencia o
OOp(n)
divergencia de
(b)
2(iflfl)
IEXPL
EXPL
(c)
vergencia
43. Compruebe la convergencia o divergencia. En algunos casos, el uso adecuado de las propiedades de los logaritmos simplificará el probiema. 00
ln(1
(a)
00
1
(b)
_)
+
(e)
in[(
+ 2)1
(d)
Inn)\Iflfl
11
n=3 [in (inn)
rinnl2 n=1 [ n j
(f)
n=2 (in n)4
I
10.5
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional s
1
+
1
n
+
1
+
+
1
sen2
(a) n=1
(c)
(b)
\nJ
n=1
/i\] \/i [ 1coslI n)
tan1 \n)
]Inn
00
1
001/
46. Compruebe la convergencia o divergencia.
00
1
n=2
(n+1)2
q(n)
45. Dé condiciones sobre p que determinen ia convergencia o di-
Respuestas del repaso de conceptos: 3. p < 1; p > 1; p =
2. lIrn
1
1. 0
ak
b,
4. Cociente; compara-
ción del lImite
En las dos ültimas secciones hemos considerado series de términos no negativos. Ahora eliminamos esta restricción, permitiendo que algunos términos sean negativos. En particular, estudiaremos las series alternantes; es decir, series de la forma a1 - a2 + a3 a4 +
-
donde an > 0 para toda n. Un ejemplo importante es La serie armónica alternante
Ya hemos visto que la serie armónica diverge; pronto veremos que ia serie armónica alternante converge. decreciente; Un criterio de convergencia Supongamos que ia sucesiOn {an} es es decir, a1 < an para toda n. Además, S, tiene su significado usual. AsI, para la serie alternante a1 - a2 + a3 - a4 + , tenemos S1
a1
S3
S4=a1a2+a3---a4=S3a4
S3
a4
= a1 = a1 - a2 = S1 - a2 = a1 - a2 + a3 = S2 + a3
y asI sucesivamente. La figura 1 muestra una interpretaciOn geométrica de estas sumas parciales. Observe que los términos con nümero par S2, S4, S6,. . . son crecientes y acotados por arriba, por lo que deben converger a un lImite, digamos 5'. De manera análoson decrecientes y acotados por abajo. Tamga, los términos con nümero par l,3' bién deben converger, digamos, a 5". Tanto S' como S" están entre S, y n+1 para toda n (véase La figura 2), de modo que .
IUII4 Hs"
S" -
53
AsI, ia condición a1
I,
n par
5"
+
-S=
00 garantiza que S' 5" y, en consecuencia, 0 cuando n Ia convergencia de la serie a su valor comén, que lLamamos S. Por Ultimo, como S está entre 5n Y S,1, Sn+1 - Sfl = S - Sn
Figura 1
s'
S'
S+
n impar
Es decir, el error generado al usar 5n como aproximación de la suma S de toda la serie no es mayor que La magnitud del primer término despreciado. Hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema A Criterio de a serie alternante
1'
5,
Sea
Figura 2
a1 - a2 + a3
(contináa en Ia siguientepágina)
una
Jt seei ..rnante con a >
> 0. Si lIm a,, = 0, entonces ia sen Let)nv urge. error cometido al isar Ia suma ,, de los prim ros n n miiiios para apro'ima S dej a seri. nc es mayor que
ALdL más, -el
xim ar EJEMPLO
1
-
-
Muestre que La serie armónica aLternante
converge. ,Cuántos términos de esta serie se necesitan para obtener una suma parcial S, a menos de 0.01 de la suma S de toda la serie? Solución La serie armónica alternante satisface Las hipOtesis del Teorema A y por tanto converge. Queremos que S - S 0.01, y esto se cumplirá si a1 0.01. Como = 1/(n + 1),necesitamos que 1/(n + 1) 0.01,lo que se satisface sin 99.AsI, necesitamos considerar 99 términos para garantizar que tenemos la precision deseada. Esto le dará una idea de Lo lento que converge La serie armónica alternante. (Véase el problema 45, donde se muestra una forma inteligente de determinar la suma exacta de esta serie.)
a1
EJEMPLO 2
Muestre que 1
1
1
1
1!
2!
3!
4!
converge. Calcule S y estime eL error cometido al usar esto como un valor para La suma de toda La serie.
Solución El criterio para series aLternantes (Teorema A) se aplica ygarantiza La convergencia.
=1--+----+ 2 24 120 1
1
1
1
6
-
=
S5
06333
.
0.0014 2
EJEMPLO 3
Solución
(_1)n-1
Muestre que
converge.
Para tener una idea de esta serie, escribimos los primeros términos:
1_i 2
25 i1+32
8
36
64+
La serie es alternante y lIm n2/2 = 0 (regLa de L'HopitaL), pero por desgracia, Los térn -f minos no son decrecientes inicialmente. Sin embargo, parecen ser decrecientes después de Los dos primeros términos; esto es bueno, pues lo que ocurre al inicio de una serie no afecta La convergencia o La divergencia. Para mostrar que La sucesión (n2/2) es decreciente a partir del tercer término, consideremos La función
f(x)
=
Observe que si x 3, La derivada
f(x) 2x
2X
-
x22x1n2
22x
x(2 - 0.69x) 2X
-
x2x(2
- xln2) 22x
<0
AsI, f es decreciente en [3, oo) y entonces {n2/2'J es decreciente para n 3. Para una demostración distinta de este ültimo hecho, véase eL ejempLo 6 de La sección 10.1.
Convergencia absoluta
,Converge o diverge una serie como La siguiente?
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 455
SECCION 10.5
en esta serie hay un patron de dos términos positivos seguido de uno negativo. En este caso, el criterio para series alternantes no es aplicable. Sin embargo, como la serie correspondiente de términos positivos
1+
+
+
+
+
+
converge (serie p con p = 2), parece plausible pensar que la misma serie con algunos términos negativos deberla converger (aün mejor). Este es el contenido de nuestro siguiente teorema. t
1
Demostración Usaremos un truco. Sea v, = u, + u,1, de modo que Un
= Vn -
de modo que el criterio de comparación ordinaria garantiza Ahora, 0 que vn converge. El Teorema de linealidad (Teorerna 10.2B) implica que
-
=
U,1) converge.
Una serie 'u,, converge absolutamente si urj converge. El Teorema B afirma que la convergencia absoluta implica La convergencia. Todos nuestros criterios para la convergencia de series con términos positivos se convierten automáticamente en criterios para Ia convergencia absoluta de una serie con algunos términos negativos. En particular, esto es cierto para el criterio del cociente, que reformulamos a continuación. 1 orema C Sc a
Criterio del cociente absoluto
una serie ne términos no nulos y suponga que ufl+1
tim
Iu,I
Si p < 1, Ia serie converge absolutamente (y por tanto converge). Si p > 1, Ia serie diverge iii) Si p = 1, el criter io no s rnc'iye1rite.
Demostración Las demostraciones de (i) y (iii) son consecuencia directa del criterio del cociente. Para (ii) podrIamos concluir del criterio del cociente original que diverge. Como verge, pero aqul estamos afirmando algo más, que Un+1
lIm
fl -*00
di-
>1
Un
N, u+1 > u
se tiene que para n suficientemente grande, digamos n
implica que u > UN > 0 para toda n
. Esto, a su vez,
N, de modo que 1Imu no puede anular-
se. Concluimos mediante el criterio del n-ésimo término que
dj,verge.
3fl
00
EJEMPLO 4
ur
(-1)' -- converge absolutamente.
Muestre que n=1
Solución p = lIm
fl -*00
3n+1
Un+1
lim Un
=lIm
(n + 1)! fl
+
1
n!
=0
El criterio del cociente absoluto implica que Ia serie converge absolutamente (y por U tanto converge).
EJEMPLO 5
cos(n!)
Compruebe Ia convergencia o divergencia de n=1
"
2
So!ución Si usted escribe los primeros 100 términos de esta serie, descubrirá que los signos de los términos varIan de una manera algo aleatoria. De hecho, es difIcil analizar directamente esta serie. Sin embargo, cos(n!)
-
1
de modo que Ia serie converge absolutaniente por el criterio de comparación ordinana. Concluimos del criterio de convergencia absoluta (Teorema B) que la serie converge.
Convergencia cond icional Un error comün consiste en dar la vuelta alTeorema B. Este teorema no dice que la convergencia implique la convergencia absoluta. Es ciaro que esto es falso; basta observar la serie armónica alternante. Sabemos que
converge, pero que
diverge. Una serie es condicionalmente convergente si converge pero ur diverge. La serie armónica alternante es el ejemplo estelar de una serie condicionalmente convergente, pero hay muchas otras.
EJEMPLO 6
(_1)n+1
Muestre que
es condicionalmente convergente.
n=1
(-1)
Solución
1[i/Vi] converge por el criterio para series alterantes. Sin em-
n=1
bargo,
.
1/\/i diverge, pues es una serie p con p =
Las series absolutamente convergentes se comportan mucho mejor que las condicionalmente convergentes. He aquI un bonito teorema acerca de series absolutaniente convergentes. Es espectacularmente falso para series condicionalmente convergentes (véanse los problemas 35-38). La demostración es difIcil, de modo que no la incluiremos aquI. Teorema D Teorema de reordenamiento
Los términos de una serie absolutamente ccrnverg afectar la convergencia o la suma de la s. i..
tc
puec'en reordenarse sin
Por ejemplo, la serie 1
1
1 J1L16481 I
49
converge absolutamente. El reordenamiento
1++++
1
1
49
64
converge y tiene la misma suma que la serie original.
36
+
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 457
SEccION 10.5
Repaso de conceptos Si a para toda n, la serie aiterante a1 - a2 + a3 convergerá siempre que el tamaño de los términos decrezca y
El ejemplo esteiar de una serie condicionalmente convergente es
Los términos de una serie absolutamente convergente Si
converge, decimos que la serie
Uk S
converge, pero
converge
Uk
Uk diverge, decimos que
Uk
pueden
sin afectar su convergencia o su suma.
con-
verge
Conjunto de problemas 10.5 En los pro blemas 1-6, muestre que cada serie alternante converge y luego estime el error cometido al usar la suma parcial S9 como una aproximación a la suma S de Ia serie (véanse los ejemplos 1-3).
(_1)+1
cx
1
(_1)1
27.
+ 1)
28.
n1 \/n + 1 +
(_3)fl+l
(_1)+1
1. n=1
2.
3n+1
29.
(_1)+1
n+
ln(n + 1)
n=1
5.
(-i)"' inn
6.
n
n=1
1
n=1
En los problemas 7-12, muestre que cada serie converge absolutamente. '
10. n=1
n(n±
1)
Dé un ejemplo de dos series tes, tales que diverja.
(i)"
12.
(_1)f1
15.
iOn + 1 1
17.
(_1)1
14.
n
16.
(_1)+1
n1
(_1)+1
18. n=1
(_1)F1
19.
(_1)1
21.
20. n
n2 + 1
cosn
23.
22.
24.
ambas convergen-
n2
(-1)
Muestre que ia serie armónica aiternante
2
(cuya suma real es in 2 0.69) se puede reordenar para converger a 1.3, mediante los pasos siguientes.
Considere una cantidad suficiente de términos positivos 1
(-1)'
y
a
Muestre que los términos positivos de Ia serie armónica alternante forman una serie divergente. Muestre io mismo para los términos negativos.
35.
(-i)"-e"
En los problemas 13-30, clasifique cada serie como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. 13.
diverge, también lo hace
Muestre que los resultados del probiema 33 se cumpien para cualquier serie condicionalmente convergente.
8.
11.
(_1)t+1sen
30.
Demuestre que si
1
(-1)'
3.
2
+
+
para exceder apenas a 1.3.
Sume ahora una cantidad suficiente de términos negativos
-debajo - de- 1.3.10n' + 1
de modo que ia suma parciai S,, quede justo
Sume de nuevo un némero suficiente de términos positivos para exceder 1.3, y asI sucesivamente.
1
n(1 + 1
\/n2_1
(-1)'
+
n-1
sen(nlT/2)
H 36. Use su caiculadora como ayuda para encontrar los 20 primeros términos de Ia serie descrita en el problema 35. Calcule 2O Explique por qué una serie condicionaimente convergente puede reordenarse para converger a cuaiquier nimero dado. Muestre que una serie condicionalmente convergente se puede reordenar, de modo que diverja.
n=1
25.
sen n
26.
nsen(_)
Muestre que lIm a
0 no basta para garantizar Ia conver-
gencia de Ia serie alternante minos de 1/n y -i/n2.
(-1)"'a. Sugerencia: Aiterne los tér-
458
CAPITULO 10
40.
Series infinitas
Analice la convergencia o divergencia de
Vi 1
45. Observe que
+l
111 2n 1--+---+...1
1
i V+i 1
2
3
4
11 +11 / I1+++... =1+++...+23
Demuestre que si
y
1
1
2
a
en (0, 1] tiene longi-
1
1
+i
44. Muestre que Ia gráfica de y = x sen tud innnita.
b convergen, entonces =
a, bk converge absolutamente. Sugerencia: Primero muestre que
1
n+1
3
+
2n
1 n+2 +...+
\.
n
1
2n
Reconozca la ültima expresión como una suma de Riemann y üsela para determinar la suma de la serie armónica alternante.
2akbk
Bosqueje la gráfica de y = (sen x)/x y luego muestre que
L
Respuestas al repaso de conceptos: 1. 1Ima, = 0 2. absolutamente; condicionalmente 3. la serie armónica alternante 4. reordenarse
(sen x)/x dx converge. Muestre que
fsen x/x dx diverge.
10.6
Series de potencias
Hasta ahora hemos estudiado lo que podrIa liamarse series de constantes, es decir, sedonde cada u, es un nümero. Ahora estudiaremos las series de ries de la forma funciones, series de la forma u(x). Un ejemplo tIpico de esta clase de series es sen nx n=1
Series de Fourier La serie de funciones seno mencionada en la introducción es un ejemplo de serie de Fourier, ilamadas asI en honor de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Las series de Fourier son muy importantes en el estudio de fenómenos de onda, pues nos permiten representar una onda compleja como suma de sus componentes fundamentales (ilamadas tonos puros en el caso de las ondas sonoras). Es un campo muy amplio, que dejaremos a otros autores y libros.
-
sen x 1
+
sen 2x sen 3x + 4 9
+...
Por supuesto, en cuanto sustituimos un valor de x (como x = 2.1), regresamos a terntorio familiar; tenemos una serie de constantes. Hay dos preguntas importantes en cuanto a una serie de funciones. i,Para qué valores de x converge la serie? A qué funciOn converge? Es decir, cuá1 es la suma S(x) de la serie?
La situación general es un tema propio de un curso de cálculo avanzado. Sin embargo, aün en el cálculo elemental podemos aprender mucho en el caso particular de una serie de potencias. Una serie de potencias en x tiene la forma = a0 + a1x + a2x2 +
(AquI interpretamos a0x0 como a0 aunque x = 0.) Podemos responder de inmediato nuestras dos preguntas en el caso de una serie de potencias. EJEMPLO 1
i,Para qué valores de x converge la siguiente serie de potencias? cx
ax" = a + ax + ax2 + ax3 + n=0
Cuál es su suma? Suponga que a
0.
So!ución En realidad, estudiamos esta serie en la sección 10.2 (con r en vez de x) y la ilamamos una serie geométnica. Converge para - 1 < x < 1 y tiene suma S(x) dada por
Series de potencias 459
SECCION 10.6
El conjunto de convergencia Liamamos al conjunto donde una serie de potencias converge su conjunto de convergencia. j,Qué tipo de conjunto puede ser el conjunto de convergencia? El ejemplo 1 sugiere que puede ser un intervalo abierto (véase La figura 1). ,Hay otras posibilidades? ,Cuál es ci conjunto de convergencia de Ia siguiente serie?
EJEMPLO 2
x
(n + 1)2
1 + lx --- + 1x2 - 22 + -1x3 22
=
42
3
+
Solución Observe que algunos de los términos pueden ser negativos (si x es un némero negativo). Comprobemos la convergencia absoLuta mediante el criterio del cociente absoLuto (Teorema 10.5C). xn + I
p = lIm -*00 fl
(n +
xn
(n + 1)2
2)2n+1
=lim
n+1 n+2
X
n-*oo2
=
2
La serie converge absolutamente (y por tanto converge) cuando p = x/2 < 1 y diverge cuando x/2 > 1. En consecuencia, converge cuando x < 2 y diverge cuando
>2. Si x = 2 o x = -2, el criterio del cociente falia. Sin embargo, cuando x = 2, la sees La serie armónica, que diverge; y cuando x = -2, es Ia serie armónica alternante, que converge. Concluimos que el conj unto de convergencia para la serie dada es el intervalo -2 x < 2 (figura 2). n
fl
00
Determine ci conjunto de convergencia de
EJEMPLO 3
n=O
Solución
p=
LIm fl -*00
xn+1
xn
(n + 1)!
n!
!Im
=0
fl + 1
Concluimos del criterio del cociente absoluto que La serie converge para cada x (figura3). 00
Determine
EJEMPLO 4
eL
conjunto de convergencia
n!f.
de n=O
Solución
p = fllIm -*00
(n + 1)!x"' n! x
=
lIm (n + l)x =
fl-*00
lo too
Six = 0 Six
Concluimos que La serie converge soLo en x = 0 (figura 4).
En cada uno de nuestros ejemplos, el conjunto de convergencia fue un intervalo (un intervalo degenerado en el üitimo ejempLo). Esto siempre ocurre. Por ejemplo, es imposibLe que una serie de potencias tenga un conjunto de convergencia que conste de dos partes disconexas (como [0, 1] U [2, 3]). Nuestro siguiente teorema nos duenta toda Ia historia. Teorema A n sei ic de n iniuito die -c.river,. ic ce u.. v.j de 11110 de .0s trC3 tik. 1
(i_)
Iiliicu1, unto x = 1
encia. 'ax" c
siempre un inter-
0.
L. ml,terr valo -R,R), incLuyendo p -yJj t:a recta real. Tn
.
-
Aeivente a uno o ambos extremos.
I
En (i), (ii) y (iii), se dic e que La serie vamente.
ur'aeradi' r de convergencia 0, R e 00,1
-dpecti-
0. Entonces Demostración Suponga que la serie converge en x = x1 lIm a x = 0, de modo que existe un nümero N tal que a xj < 1 para n N. Entonces, para cualquier x tal que xI <
a x'
x
=
n
n
x
x1
x1
x/x1j converge, pues es una serie geométrica con razón menor que 1.AsI, por el criterio de comparación ordinaria (Teorema 10.4A), converge. Hemos mostrado que si una serie de potencias converge en x1, en-
lo que se cumple para n> N.Ahora,
tonces converge (absolutamente) para cada x tal que x < x1. Por otro lado, suponga que una serie de potencias diverge en x2. Entonces debe divergir para cada x tal que x > x2, pues si convergiese en x1 tat que x1 > x2, entonces, por to que mostramos antes, convergerIa en x2, contrario a ta hipótesis. Estos dos párrafos eliminan todos los tipos posibles de conjuntos de convergencia, excepto los tres tipos mencionados en el teorema.
En realidad, hemos demostrado un poco más de lo que afirmamos en el Teorema A y vale la pena enunciarto como otro teorema. Teorema B
Una serie de potencias to de convergencia.
H r 1e su inter Vaaxh2 converge absotutamente en e: iliLeriel 1
Por supuesto, la serie podrIa converger absolutamente en los extremos del intervalo de convergencia, pero eso no podemos garantizarlo; revise el ejemplo 2.
Series de potencias en x - a
a(x - a)'1
Una serie de la forma
a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 +
=
es una serie de potencias en x - a. Todo to que hemos dicho acerca de las series de p0tencias en x se aplica simitarmente a las series en x - a. En particular, su conj unto de convergencia es siempre uno de los tres tipos siguientes de intervalos:
El ünico punto x = a. Un intervalo (a - R, a + R), más posibtemente uno o ambos extremos (figura 5). Toda la recta real. 0
EJEMPLO 5
Determine el conjunto de convergencia de n=o
Solución
(x -
1)'1
(n +
1) 2
Aplicamos el criterio del cociente absotuto.
(x - 1)'1' p= tim (n + 2)2 -'°
(x - 1)
tImx-1
(n + 1)2 =
-
(n + 1)2 (n + 2)2
1
AsI,laserieconvergesi x - 1 < 1;esdecir,si0 < x < 2;divergesi x - 1 > 1.También converge (incluso absolutamente) en ambos extremos 0 y 2, como podemos ver al sustituir estos valores. El conj unto de convergencia es et intervalo cerrado [0, 2] (figu-
ra6). EJEMPLO 6
U
Determine el conjunto de convergencia de
(x + 2)2ln2
29
+
(x + 2)3tn3 3
27
+
(x + 2)41n4
481
+
Series de potencias 461
SEccION 10.6
Solucion
(x+2)"lnn
El n-ésimo término es u,, =
plim --
,n
2. AsI,
n3n (x + 2)"'ln(n + 1) (x + 2)" inn (n + 1)3"'
ln(n+1)
,
lIm
noo+
3
x+2
=
inn
3
Sabemos que la serie converge cuando p < 1, es decir, cuando x + 2 < 3, o en forma equivalente, 5 < x < 1, pero debemos verificar qué ocurre con los extremos 5 y 1.
En x = 5, Un =
(3)"lnn
inn
(_'y'
-
3fl
n
(-1)"(1n n)/n converge por el criterio para series alternantes. En x = 1, u,, = (in n)/n y (in n)/n diverge por comparación con la serie armó-
y
nica.
Concluimos que la serie dada converge en el intervalo 5
< 1.
Repaso de conceptos L Una serie de la forma a0 + a1 x + a2x2 +
es una
2. En vez de preguntarnos si una serie de potencias converge,
3. Una serie de potencias siempre converge en un
4. La Serie 5 + x +
debemos preguntar
que
puede o no incluir x2
+
x3
+ .. . converge
en el intervalo
Conj unto deproblemas 10.6 En los problemas 1-20, determine el conjunto de convergencia de Ia sen depotencias dada. Sugerencia: Determine primero unafOrmulapara el n-ésimo término y luego use el criterio del cociente absoluto. 1
x2
i2 23
+
x2
x3
x4
3.4
4.5
+
56
x+
x5
3!
5!
x2
x4
+
2! 2x2
22x2
4!
+
-
-
x
+
81+x+ 9
10
+
23x3
+--
7!
9!
+
6!
+
32x3
17.1+
+
42x4
i3
x2
2 x2
x
-
x3 3
+
+ x3
x4
4
+
18.
+
x5
+
x+i 2
x-
2
x+
5
21. Por el
x2
+
24
5
+
5x5
+ 6
(xi)3
+
(x+2)2
(x+2)3
(x+1)3
+
22
+
2
(x -
2)
x
11 1 - 2
+
32_i
+x222- - x3 2
+
42_i x4
2
-
42
+
(x + 5)4 +
+
x"/n! converge
ejemplo 3, sabemos que
para cada x.
Porquépodemosconc1uirqueiImx"/n! = Oparatodax?
3.5 + +
(x - 2)
+
32
(x + 5)3
(x + 5)2
+
3!
(x+1)2
22
+
+
+
4
2!
(x - 2)2
+
(x-1)4
+
3
22. Sea k un nUmero arbitrario y 1
x
22_1
+
+ i2 23 34 4.5 2O.(x+3)-2(x+3)2+3(x+3)3-4(x+3)4+.. 19.
x4
4x4
2
+
4x4
+
x10
8!
24x4
+
4!
4
16.i+(x+2)+
- 10!
x8
+
24x4
3!
3x3
1
x9
x6
3x3
+
x7
12
1-
22x2
13.1+2x+
+
23x3
x 2x2 14.+ + + x-1 + (x-1)2 15.
x4
x3
x3
x--+
x+
+
22x2
x5
+ x + -- + -- + -- +
1-
+
2x
2!
x
1
12. 1 +
+
52_i
+
k(k urn noo
i)(k
2)
n!
Sugerencia: Véase el problema 21.
<
x
<
(k - n)
1. Demuestre que
x=0
462
Series infinitas
CAPiTULO 10
Determine el conjunto de convergencia para cada serie. (2x 3)" (3x + 1)' (b) (-1)"
Determine el radio de convergencia de
123"n
(a)
13 5"(2n 1)
n2
'F
Consulte el problema 52 de la sección 10.1, donde se definió Ia sucesion de Fibonaccif1 ,f2 ,f3,. . . Determine el radio de convergen-
Determine el radio de convergencia de
(pn)! (n!)PX
ciade
n1
fx".
Suponga que a3 = a y sea S(x) =
donde p es un entero positivo.
x". Muestre que
la serie converge para x < 1 y dé una formula para S(x).
Determine la suma S(x) de
(x
3)n. j,Cuál es el con-
Siga las instrucciones del problema 29 para el caso en que = a para algOn entero positivo fijo p.
junto de convergencia? 26. Suponga que
n0
a(x
3)" converge en x = 1. ,Por qué
Respuestas at repaso de conceptos:
puede concluir que converge en x = 6? PodrIa garantizar que converge en x = 7? Explique.
10.7
Operaciones sobre series de potencias
1. serie de potencias 4. (-1, 1)
3. intervalo; extremos
2. dOnde converge
Por la sección anterior sabemos que el conj unto de convergencia de una serie de p0tencias a0x es un intervalo I. Este intervalo es el dominio de una nueva función S(x), la suma de la serie. La pregunta más obvia acerca de S(x) es Si podemos darle una formula sencilla. Hemos hecho esto para una serie, una serie geométrica. a
1x
,
1
En realidad, no hay mucha razón en esperar que la suma de una serie de potencias arbitraria sea una de Las funciones elementales estudiadas anteriormente en eSte libro, aunque avanzaremos un poco en esa dirección en esta sección y con más detalle en La sección 10.8.
Una mejor pregunta es si podemos decir algo acerca de las propiedades de S(x). Por ejemplo, es diferenciable? Es integrable? La respuesta a ambas preguntas es si.
DerivaciOn e integraciOn término a término Piense en una serie de potencias como un polinomio con una infinidad de términos. Se comporta como un polinomio bajo la integración y la derivación; estas operaciones se pueden realizar término a término, como sigue. Teorema A
Suprga que S(x) es La suma de una sen dILpotencias en un intervalo I; es decir, 00
S(x) = 'a"
a0 + 1x + a2x2 +
a3x +
Entc'nces, si x es interior a I,
D(a
S'(x) = = Lx
S(t'
a1
n)
=
na,
"
+ 2a2x + 3a3x2 +
= ,. L
J at
I .
1 1
1
1:11 +o,X3+a3X4+
El teorema encierra varios aspectos. Afirma que S es diferenciable e integrable, muestra cómo calcutar La derivada y La integral e implica que el radio de convergencia de la serie derivada e integrada es iguaL al radio de la serie original (aunque no habla
SECCION 10.7
Operaciones sobre series de potencias 463
acerca de los puntos extremos del intervalo de convergencia). La demostraciOn del teorema es difIcil. Dejaremos la demostración para libros más avanzados. Una consecuencia agradable del Teorema A es que podemos aplicarlo a una serie de potencias con una fOrmula conocida para Ia suma, con elfin de obtener formulas de suma para otras series. EJEMPLO 1
Aplique el Teorema A a La serie geométrica
1 -x =1+x+x2+x3+,
-1
para obtener formulas para dos nuevas series. Solución
Al derivar término a término obtenemos 1
(1 - x)2
-1
=1+2x+3x2+4x3+,
Al integrar término a término se tiene
LX
dt =
dt +
LXt dt + f
LX1 dt +
1
Es decir,
-1n(1-x)=x+++, Un resultado sobre un punto extremo
La cuestiOn sobre lo que ocurre en un punto extremo del intervalo de convergencia de una serie de potencias es compleja. Un resultado se debe a! más grande matemático noruego, Niels Henrik Abel (18021829). Suponga que
f(x) para x < R. Si f es contirnja en un punto extremo (R o -R) y si la serie converge en ese punto, entonces la fOrmula también es válida en ese punto extremo.
-1
Si reemplazamos x por -x en la Ultima expresión y multiplicamos ambos lados por -1, obtenemos
ln(1 + x) = x -x2- + 2
x3
4+
3
-1
Por el problema 45 de la sección 10.5, sabemos que este resultado es válido en el extremo x = 1 (observe además la nota al margen). EJEMPLO 2
So!ución
Determine la representación en serie de potencias de tan1x.
Recuerde que 1
tan'x
dt = L 1 + t2 De la serie geométrica para 1/(1 - x) reemplazando x por 1
1+t2
=1-
t2
+t-
t2, obtenemos
-1
+
-
AsI,
tan1 x =
LX1 - t2
+
t4
- t° + ) dt
Es decir,
tan1 x
= x -x33- + x55-
-1
+..,
(Por la nota a! margen, esto también es válida en x = ±1.) EJEMPLO 3
Determine una formula para La suma de la serie x2 S(x)=1+x++ 2!
x3
3!
+
Solución Ya hemos visto (ejemplo 3 de la sección 10.6) que estaconverge serie para cada x. Al derivar término a término, obtenemos
S'(x) = 1 + x +
x2
+
x3
+
Es decir, S'(x) = S(x) para cada x. Además, S(0) = 1. Esta ecuaciOn diferencial tiene la (mica solución S(x) = ex (véase la sección 7.5). AsI, x2
ex = 1 + x + EJEMPLO 4
+
x3
.
+
Obtenga La representación en serie de potencias para
e_x2.
Solución Basta sustituirx2 en lugar de x en La serie para ex. 4
e_X2
.
6
-
= 1 - x2 +
+
Operaciones algebraicas Las series de potencias convergentes pueden sumarse o restarse término a término (Teorema 1O.2B). En ese sentido se comportan como poLinomios. Las series de potencias convergentes también se pueden multiplicar y dividir de una manera sugerida por La multipiicación y division "larga" de polinomios. MultipLique (y divida) la serie de potencias para Ln (1 + x) por (entre)
EJEMPLO 5
lade ex.
So!ución Nos referimos a los ejemplos 1 y 3 para las series necesarias. La dave de la multiplicación es encontrar primero el término constante, luego el término en x, luego eL término en x2, y asI sucesivamente. Ordenamos nuestro trabajo como sigue.
O+x
x2
2
+
x3
3
x4 ---+... 4
1+x+ +++ x2
x3
x4
3!
4!
/ 1 1 I)x3 O+(O+1)x+(O+1_1x2 +Io+-----+
2j
\
2
2!
+
=0+x+
+
2
3
/ \
3
0+
1
3!
- 2!21 + 13- - -1'\ 4/
1x4
+
+ 0 x4 +
He aquI cómo se reaLiza La division.
x4 +
1+x+x2+x3+)x_x2+x3_ x + x2 + x3 +
x4 +
x2 -
x2 - x3 -
+ +
x4+
x3+ -
+
4
4
x4 + La pregunta real relativa al ejempLo
5
es Si las dos series obtenidas convergen a
[Ln (1 + x)Jex y [in (1 + x)]/ev, respectivamente. Nuestro siguiente teorema, estableci-
do sin demostración, responde esta cuestión.
Operaciones sobre series de potencias 465
SECCION 10.7
leoreijia B S an i (x) = -I-
p.ara
'
11
i.
y
gc) =
o' "ide a "ibas series convergen al menos
1
< ' Si e reaan las operaciones 'Je suma, resta y multiplicación en estas S
a
'rics como si 'LIv.ese r polinomios, entonces kd serie resuitante convergerá para < r y representa ' x) + g(x,, f(x) - g (c) -- f(x) g(x), respectivamente. Si dvisiOn, pero solo odemos - 'o :respon iente es válido para , ci resull 10 1
g :ar anti: ar su va haez pare
I
siifi CJ.e rite'ment peque no.
i
La operación de sustitución de una serie de potencias en otra también es válida para x suficientemente pequeflo, siempre que el término constante de la serie sustituida sea cero. He aquI un ejemplo. EJEMPLO 6 do 4.
Determine la serie de potencias para etan'x, hasta los términos de gra-
Solución Como
etan
X
u
1+U+
eu
2!
+
u 3!
+
((tan x)3 = 1 + tan' x + tan x) 2!
S. Ramanujan (1887-1920)
Una de las personas más notables de principios del siglo xx fue el matemático de la India, Srinivasa Ramanujan. En gran medida autodidacta, Ramanujan dejó tras su muerte varios cuadernos donde registró sus descubrimientos. Solo hasta ahora es que se han estudiado con detalle estos cuadernos. En ellos hay muchas formulas extraflas y maravillosas, algunas para las sumas de series infinitas. He aqul una.
(4n)![1103 + 26,390n]
1
9801
(n!)4(396)4
FOrmulas como éstas fueron utilizadas en 1989 para calcular el desarrollo decimal de r con más de mu millones de cifras. (Véase el problema 35.)
+
4!
+
3!
/
+
tan1 x)
+
4!
.
Ahora sustituimos la serie para tan1x del ejemplo 2 y agrupamos los términos semejantes. \2
/ etanx = 1 +
7
\
x3
\ x------+"l+ 3
x3 x---+... \ 3 /
)
2!
/
+
x3 x---+... 3 \ / 3!
x3
(x
/
3
4!
=1+/ x+. /+ (x2x4+.) x3
+
2
3
\
(x +
+
(x3+) 6
+...
24 x2
x3
2
6
7x4 24
+...
.
Serie de potencias en x - a Hemos establecido los teoremas de esta sección para series de potencias en x, pero con algunas modificaciones obvias son igualmente válidas para series de potencias en x - a.
Repaso de conceptos 3. Los cuatro primeros términos en el desarrollo en serie de
1. Una serie de potencias puede derivarse o término a término en el de su intervalo de convergencia.
potencias de exp(x2) son
2. Los cinco primeros términos en ci desarrollo en serie de potencias para ln(1 - x) son
4. Los cinco primeros términos en el desarroilo en serie de p0tencias para exp(x2) - ln(1 - x) son
466
Series infinitas
CAPITULO 10
Conf unto de problemas 10.7 En los problemas 1-10, determine Ia representación en serie de potencias para f(x) y especifique el radio de convergencia. Cada una está relacionada en cierto sentido con una serie geométrica (véanse los ejem-
26. Siga las instrucciones del problema 25.
1 + x2 + x4 + x6 + x8 + cosx + cos2x + cos3x + cos4x +
p/os 1y2).
x2
1. f(x)
2. f(x) =
1
3. f(x)
5. f(x) = 7. f(x) =
1
2
1-x
2 - 3x
+ t)dt
9. f(x)
"'3+2x
f(r'1
10. f(x) =
2-x ftan1tdt
decimales.
Sea y = y(x) = x -
Jo 1+t
Sea {f} la sucesiOn de Fibonacci definida por
f0=0,
+
(c)2x+
x 3!
+
4x2
2
x2 4!
+
+
8x3 3
x3 5!
+
24f(x)
+
4
fxTz, muestre que
F(x) - xF(x) - x2F(x) = x y luego use este hecho para obtener una fOrmula sencilla para F(x).
34.Seay = y(x) =
f,dondefescomoenelproble-
1 + ln(1 + x)
ma 33. Muestre que y satisface la ecuación diferencial y" - y' y
0.
35. ,Alguna vez ha pensado cómo las personas han calculado el
pende de Ia siguiente identidad (véase el problema 62 de la sección
dt
16x4
f+2=f+1+f
desarrollo decimal de IT con un gran nOmero de cifras? Un método de-
x - x2 + x3- x4 + x5 1
f1=1,
ex
=
x tan1 t
L
7.7).
dt
25. Determine Ia suma de cada una de las siguientes series, reconociendo su relación con algo familiar.
2!
. Muestre que y
sencilla para y.
18. f(x) = extan_Ix 20. f(x)
e
+
satisface la ecuación diferencial y" + y = 0 con las condiciones y(0) = 0 y y'(0) = 1. A partir de esto, trate de hallar una formula
C
23. f(x)
-
ción 10.6.) Si F(x) =
tan1 x 1 + x2 + x4
[x
+
(Véanse el problema 52 de la secciOn 10.1 y el problema 28 de Ia sec-
f(x) = (tan1x)(1 + x2 + x)
f(x) =
n=O
16.f(x)=e2x_1_2x
f
tan' x
para x < R.
=
14. f(x) = xex2
En los problemas 17-24, use los métodos del ejemplo 5 para determinar la serie de potencias en x para cada funcion
19. f(x) =
n0
Muestre que a = b para toda n. Sugerencia: Sea x = 0; luego derive y haga x = 0 de nuevo. Continue.
En los problemas 13-16, use ci resultado del ejemplo 3 para determinar Ia serie de potencias en x para las funciones dadas.
1 -x
n(n + 1)x".
Determine la representación en serie de potencias de x/(x2 - 3x + 2). Sugerencia: Use fracciones parciales.
Muestre que cualquier nümero positivo M se puede representar mediante (1 + x)/(1 - x), donde x está dentro del intervalo de convergencia de la serie del problema 11. Por tanto, concluya que el logaritmo natural de cualquier ni'imero positivo se puede determinar por medio de esta serie. Determine ln 8 de esta forma, con tres cifras
17. f(x) =
nf.
(b) e1
Suponga que f(x) =
ln[(1 + x)/(1 - x)] = ln(1 + x) - !n(1 - x)
1
n1
(a) tan_1(e - 1)
x3
Obtenga la serie de potencias en x para ln[(1 + x)/(1 - x)]
f(x) =
+
las series de potencias, hasta los términos de grado 3.
y especifique su radio de convergencia. Sugerencia:
15. f(x) = ev + e_x
x8
29. Use el método de sustitución (ejemplo 6) para determinar li
8.f(x)==
1fX
x6
+ -- +
28. Determinelasumade
x
4. f(x)
(1 -
x4
27. Determine la suma de
Sugerencia: Derive el problema 1.
(1 + x)2
+
+
= 16 tan1 @) - 4 tan1 () Calcule las seis primeras cifras de IT usando esta identidad y la serie para tan1x. (Usted necesitará los términos hasta x9/9 para tan1 (i), pero solo el primer término para tan1(1/239).) En 1706, John Machin usO este método para calcular los cien primeros dIgitos de , mientras que en 1973, Jean Guilloud y Martine Bouyer calculó el primer millón de cifras usando una identidad relacionada con Ia anterior,
IT = 48 tan1 () + 32 tan1 () - 20 tan1 ()
Series de Taylor y Maclaurin 467
SECCION 10.8
En 1983, IT se calculó hasta 16 millones de cifras, mediante Un método distinto. Por supuesto, se usaron computadoras en estos cálculos recientes.
M = n!
1
2!
3!
4!
1
(n + 2)!
+
(n + 3)! +...1
1
1
+
n+1
1
1
(n+1)2
+
1
(n+1)3
+...
1
Esta serie también se puede usar para demostrar que e es irracional. Haga esto completando el siguiente argumento. Suponga que e = p/q, donde p y q son enteros positivos. Elija n > q y sea
M=n!(e-1-1-1-1 2!
+
1
e=1+1++++ 1
1
[(n + 1)!
n+1(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3) +
36. El nümero e se calcula fácilmente, con el nümero de cifras que se desee, usando la serie rpidamente convergente 1
[
n
lo que produce una contradicciOn (,a qué?).
Respuestas al repaso de conceptos:
2.'.
3!
4.
M es un entero positivo. (,Por qué?) Además,
x±x+x±
1. integrarse; interior
3.
10.8
La principal pregunta pendiente es ésta: Dada una función f (por ejemplo, sen x o
Series de Taylor
in (cos2x)), ,podemos representarla mediante una serie de potencias en x o, más en general, en x - a? Más precisamente, ,podemos hallar nümeros c0, c1, c2, c3, ... tales que
y Maclaurin
f(x)=c0+c1(xa)+c2(xa)2+c3(xa)3+.. en algUn intervalo en torno de a? Suponga que tal representación existe. Entonces, por el teorema sobre la derivación de una serie (Teorema 1O.7A),
f'(x) = c1 + 2c2(x - a) + 3c3(x - a)2 + 4c4(x - a)3 + f"(x) = 2!c2 + 3!c3(x - a) + 4 3c4(x - a)2 + f"(x) = 3!c3 + 4!c4(x - a) + 5 . 4 3c5(x - a)2 + Al sustituir x = a y despejar c,, obtenemos CO = f(a)
c = f'(a) f" (a)
f"(a) y, más en general, Cn =
f(a)
(Para que esto sea válido en n = 0, definimos f(°)(a) como f(a) y 0! como 1.) AsI, los coeficientes c, están determinados por la funciOn f. Esto muestra también que una función f no puede ser representada mediante dos series de potencias distintas en x - a, un punto importante que hemos dejado pasar hasta ahora. Resumirnos esto en el siguiente teorema.
j:.JU ad Teorema A Teororna d .i_ inic Suponga que f satisrace
J(x) = c0 + c-(x para cada x en .1gi
- a)2 + c3(x - a)3 +
)+ i
t,i no d '.
C,: =
a. Entonces
f(a)
AsI, una función no puede ser representada por más de una serie de potencias en x - a. La representaciOn en serie de potencias de una función en x - a es su serie de Taybr, ilamada asI en honor del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). Si a = 0, la
serie correspondiente es la serie de Maclaurin, liamada asI en honor del matemático escocés Cohn Maclaurin (1698-1746).
Convergencia de series de Taylor Pero la cuestión de La existencia persiste. Dada una función f, ,podemos representarla en una serie de potencias en x - a (que debe ser, necesariamente, La serie de Taylor)? Los dos teoremas siguientes dan Ia respuesta.
P'rrquja de Taylot rrn residuo
Teorema B
derivada f')(x) existe nara cat 3 f una fuiiciOn c :wra (n+l )- sinia terval[0 r qu conti it. a o . nioncIs, para cada .x en 1,
'ir in-
1
- a) +
= J 4 'I) - I J
donde el rtsjdu -
a)2 +
2!
U,
- (x - a)" + R,,(x
0 .or
I esLa dado por Ia fOrmula
Rt' y
f"(a)
es algün puw ntre X
f(fl+ 1) (c)
-
(n + 1)!
ü
Demostración Demostraremos el teorema para el caso particular de n = 4; la demostración para n arbitraria sigue la misma estructura y se deja como ejercicio. (Véase el probLema 37.) Primero definimos la función R(x) en I como
f"(a)
R4(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a) f"(a) 3!
2!
(xa)3 f(4)(a) (xa)4 4!
Ahora pensamos x y a como constantes y definimos una nueva función g en I como
g(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x f(4(t)(x - t) 4!
R4(x)
f"(t)(x - t)2
f"(t)(x - t)3
2!
3!
(x -
(xa)5
Es cLaro que g(x) = 0 (recuerde que x se considera fijo) y
g(a) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)
f4(a)(x - a) 4!
R4(x)
f"(a)(x - a)2 2!
f"(a)(x 3!
(x - a)
(xa)5
= R4(x) - R4(x)
=0 Como a y x son puntos en I con la propiedad de que g(a) = g(x) = 0, podemos aplicar el Teorema del valor medio para derivadas. Por tanto, existe un némero real c entre a y x tal que g'(c) = 0. Para obtener La derivada de g, debemos aplicar varias veces La regla del producto.
SECCION 10.8
g'(t) =
0 - f'(t) - [f'(t)(l) + (x - t)f"(t)] -
Series de Taylor y Maclaurin 469
[f"(t)2(x - t)(-1) + (x - t)2f"(t)]
[f"(t)3(x - t)2(-1) + (x - t)3f(4)(t)] [f()(t)4(x
=4.
- t)3(-1) + (x - t)4f(5)(t)] - R4(x) 5(x(x--t)(-1) a)
(x - t)4f5(t) + 5R4(x)
(x - t)4
(xa)
AsI, por el Teorema del valor medio para derivadas, existe c entre x y a tal que, 0
= g'(c) = -
1
4!
(x - c)4f(5(c) + 5R4(x)
(xc)4
(xa
Esto conduce a 1
4!
(x - c)4f(5(c) R4(x)
= 5R4(x)
f(5)(c)
-
5!
(xc)4
(xa
)5
(x - a)5
Este teorema nos indica el error a! aproximar una función con un nümero finito de términos de su serie de Taylor. En el siguiente capItulo explorarernos con más detalle la relación dada en ci Teorema B. Por ültimo, ahora podemos contestar cuándo una función f se puede representar mediante una serie de potencias en x - a. Teorema C Teorerna de Tay'or
'I con derivadas de todos los órdenes en aigün intervalo ( '1 riciOn Sea f UTi Lii] a + r).L a .eiie de Taylor
f"(a) (x - a1 +
(x - a)2
f(a) - f'(a)(x - a)
3!
f
representa ala función en ci intervalo (a - r, a + r) si y
lirn R,(x)
J nde
'1O si
0
11-400
'-C
r,
es ci residuo en La formula de Taylor.
R,,(x)
f(e) (x - a)'' in + 1)!
y c es algun punto en (a - r, a + r). Advertencia He aqul un hecho que sorprende a muchos estudiantes. Es posible que La serie de Taylor para f(x) converja en un intervalo pero no represente a f (x) ahI. Esto se muestra por ejemplo en el problema 40. Por supuesto que
lIm R(x) en ese ejemplo.
Demostración SOlo necesitamos recordar la formula de Taylor con residuo (Teorema B),
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ...
+
f(a) (x - a) + R(x) n!
de donde se sigue el resultado. Observe que si a = 0, obtenemos la serie de Maclaurin
f(0) + f'(0)x EJEMPLO 1 Determine sen x para cada x.
La
x
f"0)
+
serie de Maclaurin para sen x y pruebe que representa a
Solución
f(x) f'(x)
= senx = cosx
senx f"(x) = cosx f"(x) =
f(4)(x) = senx
f(0) = f'(0)
0
f"(0) =
0
f"(0)
1
=
1
f(4)(0) = 0
AsI,
x-
senx =
x3 3!
+
- x77!
x5
5!
+
y esto Cs válido para cada x, siempre que podamos mostrar que I \ lim Rix)
n*oo
perof(1)(x)
=
= tim
-'
J
x
ncx (n + 1)!
+1
=0
cosx o f(1)(x) = senx,demodoque n+1
R (x)
(n+1)!
PeronlIm x'/n! = 0 para toda x, pUCS f/n! Cs el n-ésimo término de una serie convergente (véanse el ejempLo 3 y Cl probLema 21 de La sección 10.6). Como conseduencia, vemosquelIm R(x) = 0. n -3 = EJEMPLO 2
Determine la serie de MacLaurin para cos x y muestre que representa a cos x para cada x.
Solución PodrIamos proceder como Cii el ejempLo 1. Sin embargo, CS más fácit obtener el resuLtado derivando la serie de ese ejempto (procedimiento váLido de acuerdo a! Teorema 10.7A). Obtenemos
cosx =
1-
x2 2!
+
x4 4!
-
x6 6!
+
EJEMPLO 3
.
Determine La serie de MacLaurin para f(x) = cosh x de dos maneras distintas, y muestre que repreSenta a cosh x para cada x.
Solución
Método 1. Este CS CL método directo.
f(x) f'(x)
= coshx
f(0) =
1
= SCflhX
f'(0) =
0
f"(x)
coshx
f"(0)
1
f"(x) = senhx
f"()
0
AsI,
coshx = 1 +
x2 2!
+
x4 4!
+
x6 6!
Si podemos mostrar que JIm R(x) = 0 para cada x.
+
Series de Taylor y Maclaurin 471
SECCION 10.8
Sea B un nümero arbitrario y supongamos que x ex + e_x
coshx =
eX
-2 +
2
Por un razonamiento similar, senh x mos que
R(x)
e_X
e1
eB
2
2
2
eB. Como
= e'
f("1)(x) es cosh x o senh x, conclui-
f '(c)x1
e'x'
(n + 1)!
(n + 1)! como en el ejemplo 1.
La ültima expresión tiende a cero cuando n Método 2. cion 10.7,
B. Entonces
Usamos el hecho de que cosh x = (e-" + e_-')/2. Por el ejemplo 3 de la sec-
ex
1
e_x
+x+
=1 - x
x2
2!
+
x3
3!
x3 + x2 2! 3!
+ +
x4
4! x4
4!
+
-
El resultado se sigue al sumar las dos Series y dividir entre 2.
U
EJEMPLO 4 Determine la Serie de Maclaurin para senh x y muestre que representa a senh x para cada x. So!ución
Logramosambos objetivos al derivar la Serie para cosh x (ejemplo 3) téry usar el Teorema 10.7A.
mino a término
senh x = x +
La serie binomial
Estamos
x3
3!
x5
+
5!
+
x7
7!
+
familiarizados con la formula del binomio. Para un en-
tero positivo p,
(1+x)=1+
/\ x+ /p2 ++ \1J
\2J
x
p
()
x
donde (p\
p(p-1)(p-2)(pk+1)
p!
kj -
k!(p - k)! -
k!
(p\
Observe que si definimos
como
kj /p\p(p-1)(p-2)"(pk+1) k!
entonces () tiene sentido para cualquier nOmero real p, siempre que k sea un entero positivo. Por supuesto, si p es un entero positivo, entonces nuestra nueva definiciOn se reduce a p!/[k!(p - k)!].
Teorema D Serk binomial Para cualqu.er nürnero real p y x < 1. LI
(1 +
=I+
()
+(
+
-t--
Demostración parcial Sea f(x) = (1 + )P. Entonces
f(x) = (1 + )P f'(x) p(l + )Pl f"(x) = p(p - 1)(1 + X)P2 f"(x) = p(p - l)(p - 2)(1 +
f(0) = 1
f'(o) = p f"(0) = p(p - 1)
p(p - l)(p 2)
f"(o)
Asi, La serie de Maclaurin para (1 + X)P es la indicada en el teorema. Para mostrar qué representa a (1 + x)P, debemos mostrar que jim R(x) = 0. Por desgracia, esto es din-
fIcil, por lo que dejaremos esto para cursos más avanzados. (En el probLema 38 aparece una forma completamente distinta para demostrar el Teorema D.) Si p es un entero positivo,
(p\ \kJ
= 0 para k > p, de modo que La serie binomial se
colapsa a una serie con un némero finito de términos, la formula del binomio usuaL. EJEMPLO 5
Solución
Represente (1 - x)2 en una serie de Maclaurin para - 1 < x < 1. Por eL Teorema D,
(1 + x)2 = 1 + (-2)x +
(-2)(-3) 2!
(-2)(-3)(-4)
2
X+
3!
X+
= 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + AsI,
(1x)2=1+2x+3x2+4x3+ Naturalmente, esto coincide con un resuLtado que obtuvimos mediante un método distinto en eL ejemplo 1 de la sección 10.7. EJEMPLO 6 Represente \/1 + x en una serie de Maclaurin y Usela para aproximar con cinco cifras decimales.
Solución
Por eL Teorema D, 1 G)(-) (1+x)'12=1+x+ 2 2!
+
2
((2)(2)
3
3!
()(-)(-)(-) x+... 4
4!
12x
1
2
8
AsI,
v 1.1=1+ 0.12 - 0.01 + 0.001 16 8
5(0.0001) 128
+...
1.04881
U
f 0.4
EJEMPLO 7
CaLcule /
\/1 + x4 dx hasta cinco cifras decimales.
JO
Solución Por eL ejempLo 6,
V1+x4=1+1x4_!x8+ 1x12_ 5 2
8
16
16
Series de Taylor y Maclaurin 473
SECCION 10.8
AsI,
r
0.4
10
+ x4 dx = I x +
L
[
9
72
10.4
13
+
208
+
0.40102
U
j0
Resu men Concluimos nuestro estudio de las series con una lista de las series de Maclaurin importantes que hemos determinado hasta el momento. Estas series serán ütiles para realizar los problemas, pero, lo que es más importante, tienen aplicaciones diversas en las matemáticas y las ciencias.
Series de Maclaurin importantes
1 -x =1+x+x2+x3+x4+" 2.ln(1+x)= X x22 + x33 - x44 + x55
-1
3.tan1x=x-+-++"
-1x1
1.
x3
x5
x7
x9
3
5
7
9
-1
1
x2 x3 x4 4.ex=1+x+__+__+__+ 2!
4!
3!
x3
x5
x7
x9
3!
5!
7!
9!
x8 6.cosx=1---+-----+---
x2
x4
x6
2!
4!
6!
8!
x3
x5
x7
3!
5!
7!
x2
x4
2!
4!
x9 7.senhx=x+-+--+--+--+ 9!
x6 x8 8.coshx=1+-+--+--+--+ x + 7x2 + 9. (1 + x) = 1 +
1)
6!
8!
\2)
+
3)
4)
-1
+
<
1
Repaso de conceptos cias
Si una función f(x) se representa mediante la serie de potenx k entonces Ck =
La serie de Taylor para una función representa a esta funciOn para aquellos x para los que el residuo R(x) en la formula de
La serie de Maclaurin para sen x representa a sen x para
Los cuatro primeros términos de la serie de Maclaurin para + x)1° son
Taylor satisfaga
Conj unto deproblemas 10.8 En los problemas 1-18, determine los términos hasta x5 de Ia serie de
Maclaurin para f(x). Sugerencia:
Tal vez sea más facil usar series
1
11. f(x) = 1
+x+
x2
12. f(x) -
1
1 - sen x
de Maclaurin conocidas y luego realizar multiplicaciones, divisiones, etc. Por ejemplo, tan x
=
(sen x)/(cos
1. f(x) = tanx
13. f(x) = sen3x ).
2.
f(x) =
14. f(x) =
tanhx
4. f(x) = e_xcosx
3. f(x)
esenx
5. f(x)
(cosx)ln(1 +
f(x)
= ex + x + senx
f(x)
=
x)
(senx)\/1 +
15. f(x) = xsec(x2) +senx
\
1 1 10.f(x)= 1+x in \1+xJ
9. f(x)
1
1-
-ln(1 + x)
1+x
cosx
16. f(x)
=
x 17. f(x) = (1 + x)3/2
cosx - 1 + x2/2 /
6. f(x) =
x(sen2x + sen3x)
18. f(x) =
Vi
+x
(1 -
x2)2/3
En los problemas 19-24, determine Ia serie de Taylor en x - a hasta el
cosh
término (x - a)3.
19. ex, a =
'IT
1
20. senx, a = -
Series infinitas
474 CAPITULO 10
de modo que
22. tan x, a =
21. cos x, a =
a0 = 0,
23. 1 + x2 + x3, a =
1
a1
= 1,
a2 = 0,
a3
3,
y por tanto
24.2- x + 3x2 - x3,a
=
-1
tanx = 0 + x + 0 +
axh1 una función par (f(-x) = f(x)) para x
+
Sea f(x) = en (-R,R). Demuestre que a = 0 si n es impar. Sugerencia: Use el
lo que coincide con el problema 1. Use este método para determinar los términos hasta de cuarto grado en La serie para sec x.
Teorema de unicidad.
35. Use el método del problema 34 para determinar Los términos hasta x5 en La serie de Maclaurin para tanh x.
Establezca y demuestre un Teorema análogo a! del problema 25 para funciones impares.
Recuerde que
sen1x=
36. Use el método del problema 34 para determinar los términos hasta x4 en la serie de Maclaurin para sech x.
37. Demuestre el Teorema B para
di I Jo \/1_t2
el caso particular n = 3, y
Determine los cuatro primeros términos no nulos en la serie de Maclaurin para sen1x.
n arbitrario. 38. Demuestre el Teorema D como sigue. Sea
f(x) =1 +
Dado que senh1 x =
n=1
di I Jo V1+t2
determine los cuatro primeros términos no nu!os en La serie de Maclaurin para senh1x.
ci 29. Calcule con una precision de cuatro cifras decimales,
Demuestre que La serie converge para x < 1. Muestreque(1 + x)f'(x) = pf(x)yf(0) = 1. Resuelva esta ecuación diferencial para obtener f(x) = (1 + 39. Sea
t<0
f(t)
= Explique por qué f(t) no se puede representar mediante una serie de Maclaurin. Muestre además que si g(t) representa La distancia recorrida por un auto estacionario para t < 0 y que se mueve hacia delante para t > 0, entonces g(t) no se puede representar mediante una sen de Mac!aurin.
fcos(x2)dx CI
30. Calcule con una precision de cuatro cifras decimales, p0.5
J Escriba 1/x = 1/[1 -(1 -x)] y use el desarrollo conocido de 1/(1 - x) para determinar la serie de Taylor para 1/x en potencias de
40. Sea
x-1.
f(x) = { Sea f(x) = (1 + x)1/2 + (1 - x)1/2. Determine la serie
de Maclaurin para f y luego Osela para calcular f(4)(0) y f51)(0). En cada caso, determine La serie de Maclaurin para f(x) usando series conocidas y luego Osela para calcular f(4)(0).
(b) f(x) = esenX
(a) f(x) = eX+X2
(c) f(x)
LX
e'
1
(d) f(x)
di
= ecosX = e ecosX -
1
(e) f(x) = lfl(c052x)
senx cos x
x0 0
x=0
Muestre que f'(0) = 0 usando la definición de !a derivada. Muestre que f"(0) = 0. Suponiendo que f()(0) = 0 para toda n, determine !a serie de Mac!aurin para f(x). ,Representa a f(x) la serie de Maclaurin? Cuando a = 0, La fOrmula del Teorema B se llama La formula de Maclaurin. Cuá1 es el residuo en La formula de Maclaurin para
f(x)?
A veces se puede determinar una serie de Maclaurin mediante el método de igualación de coeficientes. Por ejemplo, sea
tanx =
x)P.
=
a0 + a1x + a2x2 +
Luego multiplique por cos x y reemplace sen x y cos x por sus series para obtener
I x-+=(ao+a1x+a2x2+)1-+ x2
(
a0\
/
a1\
Esto muestra que una serie de Maclaurin puede existir y aOn asI no representar a la funciOn dada (el residuo no tiende a 0 cuando n -+ oc). CASI Use un sistema algebraico por computadora para determinar los cuatro primeros términos no nulos en Ia serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones. Compruebe los pro blemas 43-48 para ver si obtuvo las mismas respuestas usando los resultados de la sec-
cion 10.7.
41. senx
42. expx
43. 3senx - 2expx 45. sen(expx - 1)
44.
47. (senx)(expx)
exp(x2)
46. exp(senx) 48. (senx)/(expx)
AsI, a0
a1
1
a0=0, a1=1, a2----=0, a3---=-,
Respuestas a! repaso de conceptos: 2 lim 3-00004l
1.
f(k)(0)/k!
SECCION
RevisiOn del capItulo 475
10.9
10.9 Revision del capItulo Examen de conceptos
1. Si 0
a,, c b,, para toda n en
y lIm b,, existe, entonces urn a,,
Si b,,
a,, para toda n en
Si 0 n" < (2n -1)!.
3. Si tim a,, = L, entonces urn a3,,4 = L. 4. Si tim a2,, 5. Si lIm a,, = L.
am,, =
L para cada entero positivo m
,,=1
(1)
L.
28. Si
1"
-
,
2, entonceslim
29. Si ia serie de potencias
Si lim (a,, - a,,+i) = 0, entonces JIma,, existe yes finito.
también converge en x = 7.
Si {a,,} converge, entonces {a,,/n} converge a 0. ,,=i
,,=i
Si 0 < a,,1 < a,, para toda n en Ni y Jima,, = 0, entonces
(-i)"
a,, converge y su suma S satisface 0 < S <
a,, diverge, entonces su sucesión de sumas parcia-
Si 0
a,,
< b,, para toda n en 1i y si
Co
b,, diverge, entonces =i
diverge.
cia o divergencia de
Si a,, > 0 para toda n en (a,,+1/a,,) < i.
+ 3n +
y
33. Si f(0), f'(0), f"(0),. . . existen, entonces la serie de Mactaurin para f(x) converge a f(x) en una vecindad de x = 0.
-
cial y' + y
n+1 n2 (n in n)2 °°
0 en toda Ia recta real.
Problemas de examen muestra
a,, converge, entonceslIm
En los problemas 1-8, determine si la sucesión dada converge o diverge; si converge, determine JIm a,,.
3. a,, =
9n
V9n2 +
2. a,, 1
(+4)n
Inn =
4. a =
n! 3n
converge.
5. a,, =
converge.
sen2(n/2)
(-1)x/n! satisface la ecuación diferen-
1
converge.
in(n4+ i)
satisface Ia ecuación
Co
1. a,, =
(
a,,/(n + 1).
35. La función f(x) =
2n+3
,,=i 3n4 + 2n3
/ f(x) dx =
./o
a,, =1
15. El criterio del cociente no nos ayuda a determinar la convergenCo
7. a,,
converge.
1
6. a,, = sen2 n
8. a,, = cos
+ / fl3T
\6J
En los problemas 9-18, determine si Ia serie dada converge o diverge; si converge, determine su suma.
,,=1
Si 0 < a,,100 < b,, para toda n en
2.
y Ia serie converge en x = 1.5, enton-
34. La función f(x) = 1 + x + x2 + x3 + diferencial y' = en el intervalo (-1, 1).
les no está acotada. Co
a,,(x - 3) converge en x = -1.1,
32. Toda serie de potencias converge para ai menos dos vaiores de la variable.
a1.
converge y su suma S satisface 1 < S < 2. Si una serie
ces
a,, diverge.
a,, x converge en x = -2, también converge en x =
31. Si f(x) =
a.
a,, converge, también lo hace
Si
< 0.01.
a,, diverge, entonces
30. Si
,,=1
,
Si JIma2,, = L y 1Ima2,,1 = L, entonces Jima,, = L.
Si {a,,} y {b,,} divergen, entonces (a,, + b,,} diverge.
a,,
a,, converge, entonces
y
(-1)a,, converge. 27.
L y Jim a3,, = L, entonces Jim a,,
b,, converge, entonces
converge.
existe.
2. Para cada entero positivo n, es verdadero que n!
(-1)a,, converge.
a,, converge, entonces
Si
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
y
b,, converge, entonces
a,, converge.
9
n=1
Si para alguna c > 0, ca,, > 1/n para toda n en , entonces diverge. + (1)2 + ()3 + + (1)1000 <.
a,, ,,=I
k(1 =
1
\\
i
Vk+1/
11.in+ln+ln+
k=l\k coskr
12. k=0
1
\
k+2)
Series infinitas
476 CAPITuL0 10
00(3
00
4
14.
13.
41.
2 +
k=O
91( 1
0.91919191... =
(112)k
17. 1 1
1
22
2
+ -- -
1+x = 1 - x
26
+
1
n=1 1
20. ,,=1
(_1)nl+1
21.
23.
fl 3
-1
22
n+1
1
n=1
n=1 00
I 1
00
1
2 + 3'
Determine la serie de Maclaurin para sen2x. Para qué valores de x representa esta serie a la función?
Escriba la serie de Maclaurin para f(x) = sen x + cos x. Para qué valores de x representa a f? C 48. Escriba la serie de Maclaurin para f(x) = cos x2 y üsela para aproximar
24.
n+1
(-i)'
iOn + 12
n=1
<1,
y determine una serie de potencias que represente a 1/(1 + x)2. i,Cuál es el intervalo de convergencia?
n=1 e
25.
+ x2 - x3 + x4 -
Calcule los cinco primeros términos de La serie de Taylor para ex con base en el punto x = 2.
n+5
00
n + n2
3fl
Determine una serie de potencias que represente a 1/(1 + x)3 en el intervalo (-1, 1).
En los problemas 19-32, indique si la serie dada converge o diverge y dé una razón para su conclusion. 19.
n!(x + 1)
1
1
1-+-+1
00
42.
Derive la serie geométrica
100)
k=1
18.
\k
3)fl
(x
26.
n2
28.
27.
+ 7
(n+1)! (1
30.
29.
fcos x2 dx i,Cuántos términos de la serie se necesitan para calcular el valor de esta integral correctamente hasta cuatro cifras decimales? CI
49. Calcule la siguiente integral hasta cinco cifras decimales. [0.2 ex --1
I)"
Jo
x
dx
2
Cuántos términos debemos considerar en la serie convergente 2(2)fl
31.
32.
(-1)
En los problemas 33-36, indique si Ia serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente, o divergente.
(_1)l
33.
3fl
(-1)
35.
00
36.
2 n+8
n=l
(-1)"'7i
n2
n=0 n3
+
00
38. 1
(-1)(x
39. n=O
n+1
4)fl
+
vv +
+"
para garantizar que hemos aproximado su suma hasta una tolerancia de 0.001?
00
Use el método más sencillo que se le ocurra para determinar los tres primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones:
(_2)+1 xn
ix (c) e-' - 1
2n+3
(e) e_x sen x
En los problemas 37-42, determine el conjunto de convergencia de la serie de potencias. xn
1
Dé una buena cota para el error máximo cometido al aproximar cos x mediante 1 - x2/2 para -0.1 x 0.1.
34. 1
00
1-
,,_11+lnn
3"x3"
(3n)!
1+x2
(b)
(a)
+ x
(d) x sec x (f)
1
+ sen x
PRYECT I
I'
f:..:4 Jso de ;es_r: 1*-?c irr ttuuLa
ir IF & iECNGL'S'IA 111 I
1
per a al r nximar IT
1i
nc y Ia décima suma parcial. Por t1timo. evalüe el duodécimo t? mino y Ia duodécima suma parci'. ,CuáJ de estas cinco Se'des converge "más tápido"> Si tuviera que estimar r usandc
I. Pi epaiira.uó.j
Ejerci'Cu)
C
1
117
las relacic mes
serier infinitas para Ia funciOn tangente inversa j unto con las expresiones del ejercicio 1 serIa más eficiente?
4tafl1 -
1T
= 12
=
-1 -() 1
Lfl
+
4
tan1 (
1 16tan1() 4+1( talL ,QJ
4 U. jrct-io- 3- Uses sistei1a algebraico or coniputadora pa.
ra evai 'ar 'Os cinco primeros tdrminos y las cinco primeras sus )arciales de Ia serie maCi
,,
Sug 'ren 'ia: Aplique var ias v. ces ta fórffiuI. 11 p aia 1' suma
'ar.
Y)=
tanx + t"'v 1 _-tanxtaiy
(4n)!
=o
39,4n
Use esL os ;es"ltador I,ara evaluar la fracciOn 9801
1)
"deIat. crioqi. 2 Use series deJor ."vI para hail.:ar series infin iL.s LIer:i j u
1103 -- 26,390n'
4
(4n)! (1103 + 26,?90n)
.
ii. 'Jstj
_
.
o
n ra ra P.
(n!4
(1, 1
i, 2, 3,4,5.
tSU
396'
obsr a?
p' -a
(a) t'an1
(c) In
(b")tan1
(5 '%\
99
/l IlL Iefle xvn
(d) tan1
Ejercicio 41 Sin duda iara notado qu Ia expresiOn .n (' 1)1pare. Liverger a ir cuanuo N crcce si Iimite. Este resultado fue 1
.
(e) F vaic ii ni-p .i iéricamente el quinto término de Ja rk Ia 1uirta o ii - i parcial. A ontinuación, evalüe eldécim Oiflu
esLabkut f lo por el Iiatemático de India Srinivasa Ramanujan(i881-19"O). 2 Estime ué tan grande Jebe ser N ?ara aproximar ir hastr. 5th] cifra decirnales,y explique oor "ìé Cree qi' suv 10 rd N es suficiente. 1
1
477
PRSYECTO I'
Deoii
icr.
E 1ICNLiA 10.2 I
1
de Euler de -
++--+...=1
1
22
32
iT2
6
.41 aoOn
I.
c]u Fjerc.r
1
-+ ')-+
r) y P(0) = 1. Muestre que P debe ser de la
2
c ic :10 2 -
x2
Deduzca Ia serie de potencias para Sen X y
4Fai :rr-1e qu valores de x ocurre que
senx x
senx
(1
1+
-
=(
+... = 1'6
Euler consideró a La serie de p ten cias ue
polinomio. Luego ra obtener
(1)
1
Sea P Un polinomio de grado n con La propiedad
forma
FJ
1
(2)
(1, rue 4 a1, a2,.-.,'Ll son ceros di tintos de P (es decir, P(a,) = 0
ira! = pc.
LI
sen x
x4
x6 7!
.1 resr.tado de Los ejercicios 1 y 2 piji' licó eT x8
+
9! I'i
= (1
x
--h-v
2ir) x
.iL
:;-J 'it,
es igual a cero?
como un ran
-- 'iT
Explique cómo este resu1 do es C'oi scuencia de los &.
s: de N Jc. tecnologIa
U.
io 3 Use su tecnologIa para obtener los primeros n s, n = 1,2,3,4,5, de la serie de Maclaurin para la fun-
E
cion f(
.
(1
x
IUC :as I
(1 1. expsones
), luego multiplique (1
- 2IT \ x
-
/
Observe que cada una de estas funciones
mio. Grafique f junto con cada uno de estos poliCc, nte acerca de la cercanIa de estos polinomios con Ia fun ion f.
e' un
cicios 1 y 2. Ahora multipi
Iii
Ejen. 1C1&d'4 En el ejemplo 6 de La sección 10.7 vimos que p01eui-s SUSLituir una serie de potencias en otra para determiua sei.e para la función composición. Como rv' .'1e potencias nar "ii
y asI sucesivameni e A conin' utaciun, use su ecnologIa par multiplicar lo más que p'ie.'d 1 dci laio derecho, to necesario hasta que descubra un patrol or u' 'mo, iguale los coeficirntes de x2 de la izq"ie"da L derect a.. .) era conctuir con relaciOn en (2). I
C
ne ra r, los cáldulos pueden complicarse un poco; por es d, esr. fortun hora tenemos computadoras que realizan gran parte del 1 ebra para nosotros. Use su tecnologIa para determinar Ia sen de potencias para tan(sen x) hasta los términos de grado 6.
III. Reflexión
'
LIU. 5 Aunque las series de potencias no son polinoEjercHr mios, CO:t -frecuencia es ütil pensarlos de esta forma. Leonhard Euler 707-1783) trató informalmente a las series de potencias como polinomios de grado infinito y dedujo varias formulas notaMes. (Por supuesto, un polinomio de grado infinito no es un polinomio en realidad.) En este ejercicio vera cOmo Euler obtuvo uno de sus resultados:
478
Ejercicio 6 Continue con el eirci.io ", a guah..ido .os ccientes de x4. Terminará con un valor para 1
i
++... 1
1
2
34
s fciu1as rn se oUr Debemos destacar que, aunqu es a_ vias omo poinomios de' . considerando a las series &pii teit.. - riormente a l mu do infinito, en realidad son válidas. icPjje, te de Euler, estos resultados fueron demost aoo, i, edia todos más rigurosos.
Métodos numéricos, aproxi maciones La aproximaciOn de Taylor a una funciOn 11.2 lntegraciOn numérica 11.3 Solución numérica de ecuaciones 11.4 El algoritmo de punto fijo 11 .5 Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 11.6 Revision del capItulo Proyecto de tecnologIa 11.1 Polinomios de Maclaurin 11 .1
Proyecto de tecnologia 11 .2 Proyecto de tecnologIa 11.3
11.1
La aproximaciOn de Taylor a una funciOn
IntegraciOn numérica Métodos de bisecciOn, de Newton y de punto fijo
Hasta ahora, en este libro hemos enfatizado lo que podrIan ilamarse métodos exactos. Sin embargo, han surgido algunas excepciones, como cuando escribimos 0.333 o 3.1416. Lo más notable es nuestro análisis de las diferenciales en la sección 3.10, donde usamos la diferencial dy para aproximar el cambio real zXy en y = f(x) cuando x cambiaba en una cantidad Lix. Ese ejemplo ilustra el tipo de métodos de aproximación que queremos resaltar en este capItulo. Dos factores contribuyen a la importancia de los métodos de aproximación. El primero es el hecho de que muchas de las entidades matemáticas que aparecen en aplicaciones no se pueden calcular mediante métodos directos. Por ejemplo, mencionemos fb fb las integrales / sen (x2) dx, de uso amplio en óptica, y / e2 dx, que juega un JO
y
Ja
papel central en estadIstica. En segundo lugar, la invención y la ahora amplia disponibilidad de las computadoras y calculadoras han vuelto prácticos los métodos numéricos aproximados. De hecho, con frecuencia es más fácil calcular algo en forma aproxima-
y
f(x)
da mediante una calculadora (y obtener una respuesta con una precision dada) que usar métodos exactos, incluso cuando se disponga de estos métodos. (a. f(a))
y = P,(x) =f(a) +f'(a) (x - a)
El polinomio de Taylor de orden 1 En Ia sección 3.10 enfatizamos que una funciOn f se puede aproximar cerca de un punto a mediante su recta tangente a través del punto (a, f(a)) (véase la figura 1). Llamamos a esta recta la aproximación lineal a cerca de a y vimos que
f a
Figura 1
x
x
P1(x) = f(a) + f'(a)(x - a) 479
480 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Después de estudiar las series de Taylor en la sección 10.8, usted reconocerá que P1(x) está compuesto por los dos primeros términos, es decir, los términos de orden 0 y 1, de la serie de Taylor de f en torno de a. Por tanto, llamamos a P1 el polinomio de Taylor de orden 1 con base en a. Como sugiere la figura 1, podemos esperar que P1(x) es una
buena aproximación a f(x) solo cerca de x = a. Calcule P1(x) con base en a =1 para f(x) = ln x y üselo para aproximar
EJEMPLO 1
1n0.9ylnl.5. Solución
Como f(x) = ln x, f'(x) = 1/x; asI, f(1) = 0 y f'(l) = 1. Por tanto,
P1(x)=0+1(x-1)=x-1 En consecuencia (véase la figura 2), para x cerca de 1, ln x
x-1
y
lnO.9
lnl.5
Figura 2
0.9 - 1 = 0.1 1.5 1 = 0.5
Los valores de ln 0.9 y ln 1.5 con cuatro cifras correctas son 0.1054 y 0.4055. Como era de esperar, la aproximación es mucho mejor para ln 0.9 que para ln 1.5, pues 0.9 está más cerca de 1 que 1.5.
El polinomio de Taylor de orden n La aproximación lineal P1(x) funciona bien cuando x está cerca de a, pero no tan bien cuando x no está cerca de a. Como el lector podrá imaginar, al agregar términos de orden superior de la serie de Taylor se obtendrá una mejor aproximación. AsI, el polinomio cuadrático
f(a) + f'(a)(x - a)
P2(x)
+
f" (a) (x - a)2 2
compuesto por los tres primeros términos de la serie de Taylor para f, dará una mejor aproximaciOn a f que la aproximación lineal P1(x). El polinomio de Taylor de orden n con base en a es
P(x)=f(a)+f'(a)(xa)+ f"(a) (xa)2+...+ 2!
f(t1)(a) n!
(xa)
EJEMPLO 2 Calcule P2(x) con base en a = 1 para f(x) = ln x y üselo para aproximar ln 0.9 y ln 1.5.
Solución
En este caso, f(x) = ln x, f'(x) = 1/x; f"(x) = 1/x2, de modo que
f(1) = 0,f'(l) = 1 yf"(l) = 1.Portanto, P2(x)
0 + 1(x 1) (x - 1)2
en consecuencia, para x cerca de 1,
lnx
(x - 1) - 12(x - 1)2
y
Figura 3
lnO.9
(0.9 - 1) -
(0.9 - 1)2 = 0.1050
lnl.5
(1.5-1) -
(1.5 - 1)2 = 0.3750
Como era de esperar, éstas son mejores aproximaciones que las obtenidas mediante la aproximaciOn lineal P1(x) (ejemplo 1). La figura 3 muestra la gráfica de y = ln x y la aproximación P2(x).
La aproximación de Taylor a una función 481
SEccION 11.1
Cuando a 0, el polinomio de Taylor de orden n se simplifica como el polinomio de Maclaurin de orden n, que da una aproximación particularmente ütil cerca de x = 0:
Polinomios de Maclaurin
f((0)
x+
f(0) + f'(0)x
f(x)
x
EJEMPLO 3 Calcule los polinomios de Maclaurin de orden n para ex y cos x. Luego aproxime e02 y cos(0.2) usando n = 4. Orden contra grado Hemos elegido La terminologla polinomio de Taylor (y MacLaurin) de orden n, pues La derivada de mayor orden que aparece en su construcción es de orden n. Observe que este poli-
Solución
El cálculo de las derivadas necesarias aparèce en la siguiente tabla. En x = 0
En x = 0
n CX
1
CX
1
nomio puede tener grado menor que
2
f(x) f'(x) f"(x)
CX
1
n,sif(t1)(a) = O.Sinesimparenel
3
f(3)(x)
CX
1
ejemplo 3, entonces el polinomio de Maclaurin de orden n para cos x será de grado n - 1. Por ejemplo, el polinomio de Maclaurin de orden 5 para cos x es
f(fl(x)
CX
1
senx cosx
0
4 5
f(5)(x)
Cx
i
senx
0
1
I
12
2X
14
0 1
cosx
1
sen x cos x
1
0
1
Esto implica que
24X
1 + x + - x2 + - x3 +
ex
un polinomio de 4 grado.
3!
1-
cos x
n!
+ (-1 )n/2
x4 -
x2 +
4,X++X n!
X
(npar)
AsI, usando n = 4 y x = 0.2, obtenemos (0.2)2 e02
1
cos(0.2)
1
+ 0.2 +
+
(0.2)2
(0.2)
2
+
24
(0.2)
+
(0.2)
= 1.2214000
= 0.9800667
Compare estos resultados con los valores con siete cifras correctas, 1.2214028 y 0.9800666.
Para tener una idea visual de la forma en que los polinomios de Maclaurin aproximan a cos x, hemos bosquej ado las graficas de P1(x) a P5(x) y P8(x),junto con la gráfica de cos x, en la figura 4. y
Fx)=1 P8(x)
P2(x)=P3(x)= 1 X2 Aproximaciones de Maclaurin a f(x) = cos x
Figura 4
En el ejemplo 3 usamos el polinomio de Maclaurin de orden 4 para aproximar cos (0.2) como sigue:
482
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
1-
cos (0.2)
(0.2)2 +
(0.2)4
0.980067
Este ejemplo ilustra los dos tipos de error que pueden aparecer en los procesos de aproximación. En primer lugar, existe el error del método. En este caso, aproximamos cos x mediante un polinomio de cuarto grado en vez de evaluar la suma exacta de la serie. En segundo lugar, hay un error de cálculo. Esto incluye los errores debidos al redondeo, como cuando sustituimos el decimal infinito 0.9800666... por 0.9800667 en el ültimo término anterior. Aqul aparece un hecho triste en la vida del analista numérico. Podemos reducir el error del método usando polinomios de Maclaurin de orden superior. Pero el uso de polinomios de mayor orden implica más cálculos, lo que incrementa potencialmente los errores de cálculo. Ser un buen analista numérico significa saber cómo establecer un equilibrio entre estos dos tipos de error. Por desgracia, esto es más un arte que una ciencia. Sin embargo, podemos decir algo definido acerca del primer tipo de error, tema que estudiaremos a continuación.
El error en el método En el capItulo 10 dimos una formula para el error al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor. La formula de Taylor con residuo es
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
+
f" (a) (x - a)2 + 2!
f(a) (x - a) + R(x) + n!
= P(x) + R(x) El error o residuo Rn(x) está dado por f(flFl)(c)
R(x)
= (n + 1)!
(x - a)'
donde c es algUn nümero real entre a y x. Esta formula para el error se debe al matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y con frecuencia se llama la cota del error de Lagrange para polinomios de Taylor. Cuando a = 0, la formula de Taylor se llama formula de Maclaurin. Un problema que tal vez pase inadvertido en este punto es que no conocemos el valor de C; lo Unico que sabemos es que es algUn nümero real entre a y x. Para muchos problemas, debemos establecer una cota para el residuo usando las cotas conocidas para x. El siguiente ejemplo ilustra este punto. EJEMPLO 4
Solución
Aproxime e08 con un error menor que 0.001.
Para f(x) = ex, la formula de Maclaurin proporciona el residuo R
'
/
/
x'1 (n+1)!
y asI
R(0.8)
e
c
(n+1)!
x'1
= (n +1)!
donde 0 < c <0.8. Nuestro objetivo es elegir n grande de modo que R(0.8) < 0.001.
Ahora, ec < e08 < 3 y (0.8)'' < (1)'', y asI
3(1)''
3
(n + 1)! = (n + 1)! Es fácil comprobar que 3/(n + 1)! <0.001 cuando n 6, de modo que podemos obtener la precision deseada usando el polinomio de Maclaurin de orden 6:
SECCION 11.1
La aproximación de Taylor a una función 483
(0.8)
(0.8)
(0.8)
(0.8)
I + (U.3)
(0.8)6
6! 5! 4! + 2! ± 3! Nuestra calculadora da 2.2254948 para esta suma. ,Podemos asegurarnos que este valor está a menos de 0.001 del resultado real?
Ciertamente, el error del método es menor que 0.001. Pero, ,podrIa ocurrir que el error de cálculo distorsione nuestra respuesta? Tal vez, pero son tan pocos los cálculos, que podemos confiar en dar la respuesta de 2.2255 con una precision dentro de
.
0.001.
El valor preciso de R casi nunca se alHerramientas ütiles para acotar canza pues no conocemos c; solo sabemos que c está en cierto intervalo. Por tanto, para c en el intervalo dado. nuestra tarea es encontrar el máximo valor posible de Con frecuencia, es difIcil hacer esto con exactitud, de modo que nos conformaremos Esto implica un uso adecuado de las con obtener una "buena" cota superior para desigualdades. Nuestras herramientas principales son la desigualdad del triángulo a + b y el hecho de que una fracción crece cuando aumentamos el nua±b merador o disminuimos el denominador. EJE M PLO 5
Si se sabe que c está en [2,4], dé una buena cota para el valor máximo de
c2 senc C
Solución
senc
c2 senc
=
c2 + senc
42 + 1 2
C
=8.5
Obtenemos otra cota mejor, como sigue:
senc
sen c
sen C
+
C C
s 4 + - = 4.5
C
C
.
Use un polinomio de Taylor de orden 2 para aproximar cos 62° y luego dé una cota para el error de la aproximación. EJEM PLO 6
Solución Como 62° está cerca de 60° (cuyos coseno y seno son conocidos), usamos la medida en radianes y el polinomio de Taylor con base en a = ir/3.
(r
f(x) = cosx
1
f,(=\/ 2
f'(x) = senx
\\3)
2 1
f"(x) = cosx
ffl(1T \\3)
2
f"(c) = senc
f"(x) = senx Ahora, 62° = -
+
radianes
AsI, 1
1
3)
2
(
4
de modo que
hr
1
1
90)
2
\%)
0.4694654 + R2
_)2+R2(x)
/\2 +R2--+
1r\)
484 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones y
R2 =
senc ( IT 3!
1
0.0000071
k90)
De nuevo, el nümero de cálculos es pequeño, de modo que podemos sentirnos seguros a! informar que cos 62° = 0.4694654 con un error menor que 0.0000071.
El error de cálculo En todos nuestros ejemplos anteriores hemos supuesto que el error de cálculo es lo bastante pequeno como para ser ignorado. Por lo general asumiremos esto en este libro, pues nuestros problemas implicarán siempre una pequena cantidad de cálculos. Sin embargo, nos sentimos obligados a advertirle que al usar computadoras para hacer centenas o miles de operaciones, estos errores de cálculo podrIan acumularse y distorsionar una respuesta. Hay dos fuentes de errores de cálculo que pueden ser de importancia, aün al usar una calculadora. Considere el cálculo de a + b1 + b2 + b3 + ... + bm donde a es mucho mayor que cualquiera de los b; por ejemplo, a = 10,000,000 y
b, = 0.4, i 1,2,..., m. Si usamos la aritmética de punto flotante de ocho dIgitos y trabajamos de izquierda a derecha, sumando primero b1 a a, luego sumando b2 al resultado, y asI sucesivamente, en cada etapa obtendremos siempre 10,000,000. Aün asI, una suma de 25 de los b tendrIa que afectar al séptimo dIgito de la suma total. La moraleja aqul es que al sumar un gran nümero de pequefios términos a uno o más términos grandes, es mejor encontrar primero la suma de los términos pequefios. Una fuente más probable de un error de cálculo se debe a la pérdida de cifras significativas en una resta de nümeros casi iguales. Por ejemplo, al restar 0.823421 de 0.823445, cada uno con seis cifras significativas, se obtiene 0.000024, que solo tiene dos cifras significativas. Esto puede causar problemas, como podemos ver si calculamos una aproximación numérica de una derivada. Considere el cálculo de f'(2) para f(x) = x4 usando el cociente de diferencias
f'(2)
f(2 + h) - f(2)
(2 + i0) - 2
h
10'
En teorla, cuando n crece (y h = lO' decrece en forma correspondiente) el resultado debe parecerse cada vez más al valor correcto. Pero observe lo que ocurre con una calculadora de ocho dIgitos, cuando n es muy grande.
n 2 3 4 5
6 7 8
9
10
(2 + iO) - 2
[(2 + iO) - 24]lOn
0.32240801 0.03202401 0.00320024 0.00032000 0.00003200 0.00000320 0.00000032 0.00000003 0.00000000
32.240801 32.024010 32.002400 32.000000 32.000000 32.000000 32.000000 30.000000 0.000000
Problemas como éste surgen incluso a! usar aritmética de punto flotante de 16 o 32 dIgitos. Sin importar el nümero de cifras significativas utilizadas en los cálculos, el cociente de diferencias de la tabla anterior será 0 para n suficientemente grande. Los analistas numéricos deben tomar en cuenta estos errores de cálculo.
SEccIÔN 11.1
La aproximación de Taylor a una funciOn 485
Repaso de conceptos Si P2(x) es el polinomio de Taylor de orden 2 con base en 1 , P(1) = ,y para f(x), entonces P2(1) =
P(1) = El coeficiente de x6 en el polinomio de Maclaurin de orden
9paraf(x)es
Los dos tipos de errores que surgen en la teorIa de aproxiy macion se llaman Los errores de cálculo al usar la formula de Taylor tienden cuando n crece, mientras que los errores del método tiena cuando n crece. den a
Conj unto deproblemas 11.1 H En los pro blemas 1-8, determine el polinomio de Maclaurin de or-
den 4para f(x) y áselopara aproximarf(O.12).
1. f(x) = e2x
2. f(x) = e_3x
3. f(x) = sen2x 5. f(x) = ln(1 + x)
4. f(x) = tanx
7. f(x) = tan1x
8. f(x) = senhx
Si un objeto con masa en reposo igual a m0 tiene velocidad v, entonces (de acuerdo con la teorIa de la relatividad) su masa m es-
tá dada por m = m0/\/1 - v2/c2, donde c es la velocidad de la luz. Explique cómo obtienen los fIsicos la aproximación
6. f(x) = Vi + x
H En los probl emas 9.14, determine elpolinomio de Taylor de orden 3 con base en a para la función dada.
9. ex;a = 1
10. sen x; a =
11. tan x; a =
12. secx;a=
13. cot1x;a = 1
14. \/;a = 2
mo (v)2
m0 +
m
2 \c
Si se invierte dinero con una tasa de interés r compuesta mensualmente, el dinero se duplicará en n años, donde n satisface
/
(1+
r \12n
=2
12)
(a) Muestre que
Determine el polinomio de Taylor de orden 3 con base en 1 para f(x) = x3 - 2x2 + 3x + 5 y muestre que es una representación exacta de f(x). Determine el polinomio de Taylor de orden 4 con base en 2 de f(x) = x4 y muestre que representa a f(x) exactamente.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden n para f(x) = 1/(1 - x). Uselo después con n = 4 para aproximar lo si-
(b) Use el polinomio de Maclaurin de orden 2 para ln(1 + x) y una descomposición en fracciones parciales para obtener la aproximacion n
(b) f(0.5)
(c) f(0.9)
(a) sen(0.1)
(b) sen(0.5)
(c) sen(1)
(d) sen(10)
19. Use un polinomio de Maclaurin para obtener la aproximación A
r2t3/12 para el area de la region sombreada de la figura 5. Ex-
prese primero a A exactamente y luego aproxime.
r
(d) f(2)
El 18. Determine el polinomio de Maclaurin de orden n (n impar) para sen x. Luego ilselo con n = 5 para aproximar lo siguiente. (Este ejemplo deberá convencerlo de que la aproximación de Maclaurin puede ser demasiado pobre si x está lejos de cero.) Compare sus respuestas con las dadas por su calculadora. j,Qué conclusiones puede extraer?
U69 r
+ 0.029
El (c) Algunas personas utilizan la Regla del 72, n 72/(lOOr), para aproximar n. Complete la tabla para comparar los valores obtenidos mediante estas tres formulas.
guiente.
(a) f(0.1)
1
1
n = 1n2[121 (1 + r/12)j
n
n
n
(Exacto)
(Aproximación)
(Regla de 72)
0.05
0.10 0.15
0.20
La autora de un texto de biologIa afirmó que la menor solues aproximadamente x = 2k, siemciOn positiva de x = 1 pre que k sea pequeño. Muestre cómo llegó ella a esta conclusion y compruébelo para k 0.01. Use un sistema de algebra por computadora para resolver los problemas 23y 24. ICASI
Para cada una de las siguientes funciones, trace en el mismo conjunto de ejes las gráficas de los polinomios de Maclaurin de órdenes 1,2,3 y 4.
(a) sen(ex)
(b) (senx)/(2 + senx)
Siga las instrucciones del problema 23.
(a) exp(_x2)
(b) sen(ln(1 + x))
En los pro blemas 25-32, calcule una buena cota para el valor máximo de la expresión dada, suponiendo que c está en el intervalo dado. Las respuestas pueden variar segán la técnica utilizada. (Véase el ejemplo 5.) Figura 5
e2c + e_2c; [0, 3]
26. tanc + secc;
[o]
486 CAP1TULO 11
27.
[IT
4c sen c
Métodos numéricos, aproximaciones IT
'L4'2
c+4
30.
c+2
ec
29.
31.
c+5 ;[-2,4] c2 + sen c
;[2,4]
10 in c
4c
28.
32.
;[0,1]
Sea f(x) una función con al menos n derivadas en x = a, y sea P(x) el polinomio de Taylor de orden n con base en a. Muestre que
cos C
-c
P(a) = f(a), P(a) = f'(a), P(a) = f"(a),
cos C
En los problemas 33-36, determine una formula para R6(x), el residuo del polinomio de Taylor de orden 6 con base en a. Luego obtenga una buena cota para R6(0.5). Véanse los ejemplos 4 y 6. 33.
ln(2 + x); a =
0
34.
35. sen x; a = IT/4
36.
En la formula para el residuo
R(x)
=
e; a 1
x-3
=
Desarrolle x4 - 3x3 + 2x2 + x - 2 en un polinomio de Taylor de orden 4 con base en 1 y muestre que R4(x) = 0 para toda x.
P$,(a) =
lor de orden 3 con base en IT/4 para sen x. Luego, obtenga una buena cota para el error cometido. Véase el ejemplo 6.
1
;a =
1
Calcule cos 63° mediante el método ilustrado en el ejemplo 6. Elija n suficientemente grande, de modo que R 0.0005. Muestre que si x está en [0,IT/2], el error al usar
f(c) (x - a)n1 (n + 1)!
existe un valor de c para el cual R(x) es el valor exacto del residuo. A veces es átil conocer la estimación minima y la maxima para R(x). En los problemas 37 y 38 exploramos esta situación.
senx
50. Use la formula de Maclaurin en vez de la Regla de L'Hôpital para calcular: hm
lIm
f
usando ese polinomio. Compare los erro-
res estimados máximo y mInimo con el error real en ese punto.
Determine el orden n del polinomio de Maclaurin para e necesario para aproximar e con cinco cifras decimales; es decir, de
modo que R(1)
0.000005 (véase el ejemplo 4).
Determine el polinomio de Maclaurin de tercer orden para (1 + x)3/2 y acote el error R3(x) si -0.1 0. Determine el polinomio de Maclaurin de tercer orden para (1 + x)*2 y acote el error R3(x) si -0.05 0.05. Determine el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para ln[(1 + x)/(1 - x)] y acote el error R4(x) si -0.5 0.5.
Note que el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para sen x es en realidad de tercer grado, pues el coeficiente de x4 es igual a cero. AsI,
senx = Muestre que si 0
x
x-
+ R4(x)
0.5, R4(x)
0.0002605. Use este resulta-
do para aproximar fsen x dx y dé una cota para el error. En analogIa con el problema 43,
cosx = Si 0
x
1 - x2-2 +
x4
24
+ R5(x)
1, dé una buena cota para R5(x) . Luego use su resulta-
do para aproximar
f
cos x dx y dé una cota para el error.
senx-x+x3/6 x5
lar e0' usando ese polinomio. Compare los errores estimados máximo y mInimo con el error real en ese punto. Considere el polinomio de Taylor de orden 3 para sen x en torno del punto a = -. Estime el valor mInimo y máximo del error
x - x3- + x5- - -x7 + x9
es menor que 5 X i0 y, por tanto, que esta formula es lo bastante buena como para construir una tabla de senos con cuatro cifras.
Considere el polinomio de Maclaurin de orden 3 para ex. Estime el valor mInimo y el valor máximo del error cometido al calcu-
cometido al calcular sen
f(a)
Calcule sen 430 = sen 431T/l8O usando el polinomio de Tay-
cosx - 1 + x2/2 - x4/24
EXPLI 51. Sea g(x) = p(x) + x'f(x), donde p(x) es un polinomio de grado mayor o igual a n y f tiene derivadas hasta de orden n. Muestre que p(x) es el polinomio de Maclaurin de orden n para g. EXPLI 52. Recuerde que el criterio de la segunda derivada para extremos locales (sección 4.3) no se aplica cuando f"(c) = 0. Demuestre la siguiente generalización, que puede ayudar a determinar un máximo o un mInimo cuando f"(c) = 0. Suponga que
f'(c) = f"(c) = f"(c) = ... = f()(c) =
0
donde n es impar yf()(x) es continua cerca de c. Sif(')(c) <0,f(c) es un valor máximo local.
Sif')(c) <0,f(c) es un valor mInimo local. Compruebe este resultado con f(x) =
x4.
EXPLI 53. Hay otras aproximaciones polinomiales a funciones, además de los polinomios de Taylor y Maclaurin. AquI consideraremos los polinomios de interpolaciOn de Lagrange como ejemplo especIfico. Muestre que el polinomio
L51(x) =
(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x - x5) (x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4)(x1 - x5)
tiene grado 4 y tiene la propiedad de que L51(x1) = 1, mientras queL51(x1) = Oparaj = 2,3,4,5. Use L51(x) como modelo y construya polinomios de cuarto grado L51(x) que valgan 1 en x, y 0 en x1 para j i, donde i = 2,3,4,5. Considere el polinomio
L5(x) = L51(x)y1 + L52(x)y2 + L53(x)y3 + L54(x)y4 + L55(x)y5
y muestra que L5 es un polinomio de grado menor o igual a 4, que asume el valor y en x = x, i = 1.....5 . Tal polinomio es el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por (es decir, in-
SECCION 11.2
terpola) los puntos (XL, yl), i tintos.
1. 5, donde los x, son todos dis-
(d) Construya el poiinomio de interpolaciOn de Lagrange de Segundo grado que pasa por los puntos (1,2), (2,2.5) y (0, 0). Ubique los puntos (1,2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6). Construya ci polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por estos puntos y muestre que, después de algo de algebra, la respuesta se reduce a x + 1. Se puede mostrar que el error para elpolinomio de interpolaciOn de La-
grange P(x) de grado n para la funcion f(x) está dado por
R(x)
=
-
-
-
f(fl+l)()
(n ±1)!
donde a es algán punto contenido en el intervalo, que incluye todos los puntos x1, x2.....x,1, x. Use esta formula para el error en los problemas 55-57.
Dado que ln 1 = 0, in 3 = 1.099 y in 5 = 1.609, escriba un polinomio de segundo grado que interpole estos valores. Use esta in-
11 .2
IntegraciOn numérica
IntegraciOn numérica 487
terpolación para calcular una aproximación para ln 2. Use Ia fOrmula del error para estimar el error máximo. Compare su estimación del error con el error real en su aproximación a in 2. Dado que e0 = 1, e02 = 1.221, y e03 = 1.350, escriba un poiinomio de segundo grado que interpole estos valores. Use esta interpoiación para caicular una aproximación para e025. Use ia fórmula del error para dar una estimación para el error máximo y ci error mInimo. Compare su estimación del error con el error reai en su aproximaciOn para e025.
Construya un polinomlo de Maclaurin de segundo grado para e. Además, construya un polinomio de interpolaciOn de segundo grado usando los valores e0 = 1,e°-2 = 1.221 ye°3 = 1.350. Use las expresiones para el error en el polinomio de Maciaurin y ci error en el poiinomio de interpolación para calcular una estimación del error máximo para 0 < x 0.3. Compare sus respuestas con el error reai en x = 0.1.
1. f(1); f'(l); f"(l) Respuestas al repaso de conceptos: 3. error de método; error de cáiculo 4. crece;
2. f(6)(0)/6! decrece
Sabemos que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida
f
f(x) dx debe existir. La exiStencia es una cosa; la evaluación es otro asunto muy
distinto. Hay muchas integrales definidas que no se pueden evaluar mediante los metodos que hemos aprendido; es decir, usando el Segundo teorema fundamental del calcub. Por ejemplo, las integrales indefinidas de integrandos como e_X2,
1 - x4,
sen (x2),
sen x
x
no se pueden expresar algebraicamente en términos de funciones elementales; es decir, en términos de funciones estudiadas en un primer curso de cálculo (véanse las observaciones introductorias en la sección 8.1). Aunque algunas integrales indefinidas elementales se pueden encontrar, con frecuencia conviene usar los métodos de aproximación de esta sección, pues estos conducen a algoritmos eficientes que se pueden programar directamente en una calculadora o computadora. En la sección 5.5 vimos cómo usar las sumas de Riemann para aproximar una integral definida. AquI presentamos dos métodos adicionales: la Regla del trapecio y la Regla parabólica.
La Regla del trapecio Considere la gráfica de y = f(x) en [a, b]; esta gráfica debe verse parecida a la curva de la figura 1. Parta el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud h = (b - a)/n, por medio de puntos a = x0 < x1 < x2 < = b. Una las parejas de puntos (x_1, f(x1_1)) y (xi, f(x1)) mediante segmentos de recta, como se muestra en la figura, para formar n trapecios.
a=x0
X2
X3
X4
x5=b
x
488 CAPiTULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Si recordamos La formula para el area que aparece en La figura 2, podemos escribir el area del trapecio como
A=
h
[f(x1) + f(x1)]
A =h c±d =1-(c+d)
Más precisamente, deberIamos hablar del area con signo, pues Ai será negativa en un fb subintervalo donde f sea negativa. La integral definida f(x) dx es aproximadamen-
Figura 2
te igual a A1 + A2 +
J
+ A; es decir, a
[f(xj + f(x2)] +
[f(x0) + f(x1)] +
[f(x1) + f(x)]
+
Esto se simplifica como la Regla del trapecio. Regla del trapecio fb
dx
[f(xo) + 2f(x1) + 2f(x2) +
+
2f(xi) + f(x)]
+ 2f(x) + f(xn)]
= 2
Ilustramos primero esta Regla para una integral definida cuyo valor exacto es conocido. EJEM PLO 1
Use La Regla del trapecio con n = 8 para aproximar fx4 dx
Solución Como n = 8, h = (3 - l)/8 = 0.25, y
f(x0) = (1.00) = 1.0000 f(x1) = (1.25) 2.4414
1.00
x0
x1 = 1.25
f(x2) = f(x3) = f(x4) = f(x5) = f(x6) = f(x7) = f(x8) =
1.50
x2
= 1.75 x4 = 2.00 x5 = 2.25 x6 = 2.50
x7 = 2.75 x8 = 3.00
(l.50) = 5.0625 (1.75)
9.3789
(2.00) = 16.0000 (2.25) = 25.6289 (2.50) = 39.0625 (2.75)
57.1914
(3.00) = 81.0000
AsI,
I
x4dx
[1.0000 + 2(2.4414) +
+ 2(57.1914) + 81.0000]
48.9414
Podemos comparar esto con el valor exacto f3x4
dx
242
=
= 48.4000
Es de suponer que podrIamos obtener una mejor aproximación al elegir una n mayor; esto serIa fácil si usáramos una computadora. Sin embargo, aunque a! considerar n
mayor se reduce el error del método, al menos potencialmente aumenta el error de cálculo. Por ejemplo, no serla adecuado considerar n = 1,000,000, pues los errores potencias por el redondeo compensarIan en mucho ci hecho de que el error del método fuese minOsculo. Mas adelante hablaremos más sobre los errores.
.
SECCION 11.2
EJEMPLO 2
Use la Regla del trapecio con n = 6,12,24,48,96 y 192 para aproximar
fle_x2
EstimaciOn de f
e
6
96 192
0.74512 0.74640 0.74672 0.74680 0.74682 0.74682
f(x0) = 1.0000
x0
= 0.0000
x1
0.1667
f(x1)
0.9726
x2
0.3333
f(x2)
0.8948
x3
= 0.5000
f(x3)
0.7788
x4
0.6667
f(x4)
0.6412
x5
0.8333
f(x5)
0.4994
= 1.0000
f(x6)
0.3679
dx me-
Jo diante Ia Regla del trapeclo 12 24 48
dx
Para n = 6, tenemos h = -. AsI,
Solución
n
lntegraciOn numérica 489
+ 2(0.4994) + 0.3679]
[i.000 + 2(0.9726) +
fle2dx
= 0.7451
La Regla del trapecio se desarrolla con facilidad en un sistema de algebra por computadora. Utilizamos Mathematica para calcular los valores de La tabla. Cuando n crece, las estimaciones de
f
e_x2
dx parecen acercarse a 0.74682.
Como ya mencionamos, esta integral es importante en probabilidad y estadIstica. Como no podemos evaluarla aplicando directamente el Segundo teorema fundamental del cálculo, debemos basarnos en aproximaciones como la obtenida con La Regla del trapecio. El error en Ia Regla del trapeclo En cualquier uso práctico de la Regla del trapecio, debemos tener cierta idea del tamaflo del error correspondiente. Por fortuna, podemos dar una formula para el error del método para funciones que son dos ye-
ces diferenciables. uéorema A
Error en a
egIa tiidtra )e rio
Suponga que f" existe en [a, bJ. Eron'es
dx =
[f(xo) +
2)1
x)
du-tnc le e erroi E,, está dade por
-. j
+ ...
12
LI
es algün unto. entr- c y
+ 2f(x
f(
+
+E,
-f"(c)
.
Omitiremos La demostración de este teorema, La cual aparece en libros más avanzados. En el ejemplo 3 ilustramos su uso. EJEMPLO 3
Dé una cota para el error posible en el ejemplo 2.
So!ución Como f(x) = e'2, f'(x) = _2xe_x2 y f"(x) = e2(4x2 - 2). En realidad, podrIamos hallar el valor máximo de f"(x) en [0, 1], pero basta acotarlo mediante propiedades del valor absoluto.
f"(x)
e_x2(4x2
- 2)
e(4x + 2)
=
e24x2 - 2
1(4 + 2) =
6
490 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones AsI,
E
(ba)3 12n2
f"(c) < (6) = - 12(62)
1
00139
72
Por supuesto, ésta es una cota para el error del método. Sin embargo, n es tan pequefla que el error de cálculo se puede ignorar con seguridad. Podemos informar entonces que
I
e2 dx
= 0.745 1 + 0.0139
Un aná!isis más sofisticado, con base en el hecho de que 4x2 - 2 es creciente en 2 2 en [0,1], y por tanto E <0.0047.
[0, 1], muestra que 4x2
-
EJEMPLO 4 ,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el error del método en el ejemplo 2 sea menor a 0.0001?
Solución
Por el ejemplo 3,
E =
(ba)3 f"(c) 12n2
Queremos que 1/2n2 < 0.0001, lo que vale si n
16
1
12n2 - 2n2 71.
.
La Regla parabOlica (Regla de Simpson) En la Regla del trapecio, aproximamos la curva y = f(x) mediante segmentos de recta. Parece posible que mejoremos esto usando segmentos parabólicos. Como antes, partimos el intervalo [a, bJ en n subintervalos de longitud h = (b - a)/n, pero esta vez con n un némero par. Luego ajustamos segmentos parabólicos a tercias de puntos cercanos, como se muestra en la
figura 3.
Figura 3
tI
Usamos la formula del area de la figura 4 (véase su deducción en el problema 15) para obtener una aproximacion liamada Regla parabólica, también llamada Regla de Simpson, en honor del matemático inglés Thomas Simpson (1710-1761). Regla parabólica (n par)
A=4(c+4d-i-e) Figura 4
I
b
dx
[f(xo) + 4f(xi) + 2f(x2) +
+
4f(x1) + f(x)]
El patron de los coeficientes es 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2,. . ., 2, 4, 1. EJEMPLO 5
Use la Regla parabólica con n = 8 para aproximar
fx4 dx
SECCION 11.2
IntegraciOn numérica 491
Solución Podemos utilizar los cálculos del ejemplo 1. Obtenemos
I
0.25
dx
[1.0000 + 4(2.4414) + 2(5.0625) + 4(9.3789) + 2(16.0000)
+ 4(25.6289) + 2(39.0625) + 4(57.1914) + 81.0000]
.
48.4010
Como era de esperar, la Regla parabólica da una respuesta más cercana al valor real 48.4000 que la Regla del trapecio, la que da 48.9414. Como requiere sOlo un poco más de trabajo, preferimos la Regla parabólica en la mayor parte de los problemas. El hecho de que su error sea menor surge del siguiente teorema (observe el factor n4 en el denominador).
Theorem
L
Error para a P 'Ia parabOli a
e(4).'. u la '.uarta deri va cia j x) lof,. Regla part ' ajica está dado por
t te en [a, b]. Entf)1 .nces el erii,r E en Ia
Sup
(b- a)
E=
180n4
f(4)(c)
para algün c entre a y b. EJEMPLO 6
8 para aproximar
Use la Regla parabólica con n
I
2
(1 + x)'dx
y dé una cota para el error cometido. Solución Como h = en la tabla.
xi
f(x)
0
1
1
1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2
0.50000 0.47059 0.44444 0.42105 0.40000 0.38095 0.36364 0.34783 0.33333
2 3 4 5 6 7 8
Computadoras e integración Un sistema de algebra por computadora como Mathematica o Maple puede evaluar varias integrales definidas en forma exacta. También puede usar métodos numéricos para aproximar integrales definidas. Es importante saber cuándo su sistema esta haciendo una integraciOn exacta y cuándo usa una aproximaciOn. Si un paquete de software usa alguna forma de integraciOn, puede usar una de las Reglas de esta secciOn o algo més sofisticado. En todo caso, al usar las aproximaciones, usted no debe esperar que las respuestas sean exactas.
y f(x) = 1/(1 + x), calculamos los resultados que aparecen
c,
c.f(x,)
1
0.50000 1.88236 0.88888 1.68420 0.80000 1.52380 0.72728 1.39132 0.33333
4 2 4 2 4 2 4 1
Suma = 9.73117
AsI, f2
dx
1+x
24
(9.73117)
0.4055
Para hallar una cota de E8, primero calculamos f(4)(x) como 24/(1 + x)5 y luego
E8
(2-1)
24
180(8)
(1 +
c)5
En conseduencia, 24
180(8)(1 +
-
0.00000102
Si los errores de cálculo fuesen despreciables, podemos confiar en afirmar que Ia respuesta 0.4055 tiene una precision de cuatro cifras decimales.
Métodos numéricos, aproximaciones
492 CAPiTULO 11
Repaso de concepros El patron de coeficientes en la Regla del trapecio es
el denominador, de modo que es de esperar que la segunda dé una mejor aproximación a una integral definida.
El patron de coeficientes en la Regla parabólica es
Si f es positiva y cóncava hacia arriba, entonces la Regla del
El error en la Regla del trapecio tiene n2 en el denominaen dor, mientras que el error en la Regla parabOlica tiene
trapecio dará siempre un valor de f f(x) dx demasiado
Conjunto deproblemas 11.2 En los problemas 1-4, calcule la suma de Riemann
tienen ambas el valor (h/3)[a(6m2 + 2h2) + b(6m) + 6c]. Esto
f()
justifica la formula del area en Ia que se basa la Regla parabólica.
(véase Ia sección 5.5) para una partición equidistante con n = 8 subintervalos; elija el punto muestra , como el punto extremo izquierdo de
cada subintervalo. Luego use Ia Regla del trapecio y la Regla parabólica, ambas con n = 8, para aproximar cada integral definida. A continuación, use el Segundo teorema fundamental del cálculo para determinar el valor exacto de cada integral. 1.
I
Ii [2
3.
/
Jo
-dx x2 3i
2.
\/ dx
4.
Muestre que la Regla parabólica es exacta para cualquier polinomio cObico, de dos maneras distintas.
(a) Mediante un cálculo directo. (b) Mostrando que E = 0. Sabemos que 1n2
13i
tan grande debe ser n?
[3
bOlica.
-dx x
I
f (1/x)dx. Si quisidramos estimar
= ln 2 mediante la Regla del trapecio con un error menor a lU_b, ,qué
Responda la pregunta del problema 17 para la Regla para-
/ x\/x2 + 1 dx
Muestre que la Regla parabólica da el valor exacto de
J1
5. Use la Regla del trapecio con n = 2, 6, 12 para aproximar
fxk dx si k es
L sen x dx. Observe la forma en que estas aproximaciones se acer-
Es interesante que una version modificada de la Regla del trapecio sea más precisa, en general, que Ia Regla parabOlica. Esta
can al valor real, que es 2.
versiOn dice que
ci
6. Siga las instrucciones del problema 5 usando la Regla para-
I
bOlica. CI
7. Aproxime r calculando 11
f(x)dx
T
[f'(b) - f'(a)]h2 12
donde T es la estimaciOn trapezoidal usual. 4
dx
Use esta formula con n = 8 para estimar f x4 dx y observe su
mediante la Regla parabólica con n = 10.
notable precisiOn (en el ejemplo 1, véase T y el valor exacto de es-
I
Jo
CI
1 + x2
8. Use la Regla del trapecio con n = 10 para aproximar
ta integral).
L cos(sen x) dx.
Use esta formula con n = 12 para estimar f sen x dx (el ver-
CI En los problemas 9-12, determine n de modo que Ia Regla del trapecio aproxime Ia integral con un error E tal que E 0.01 (véase el ejemplo 4). Luego, usando esa n, aproxime Ia integral.
9.
fex
ii. CI
10. f°6ex2 dx
f15vcosx dx
12.
f2cos
dadero valor es 2 y T se calculó en el problema 5).
21. Use la Regla del trapecio para aproximar el area del terreno contiguo a un lago que aparece en la figura 5. Las dimensiones se miden en pies.
dx Lago 71
En los problemas 13 y 14, determine n de modo que Ia Regla pa-
rabólica aproxime Ia integral con un error E tal que E
0.005.
75
[6 1 + x
13.
I
12
ci
1-x
57
60
Luego, usando esa n, aproxime Ia integral.
60 52
45
dx
14.
f3lnxdx
45
15. Sea f(x) =' ax2 + bx + c. Muestre que
H
Pm+h
Jf(x)dx y rn - h
[f(m - h) + 4f(m) + f(m + h)]
Figura 5
10
59
Integración numérica 493
SECCION 11.2
22. Use la Regla parabOlica para aproximar la cantidad de agua necesaria para lienar una alberca cuya forma aparece en la figura 6, hasta una profundidad de 6 pies. Todas las dimensiones se miden en pies.
Presentamos distintas situaciones y desarrollamos técnicas numéricas para aproximar las integrales en estas situaciones.
31. Podemos aproximar una integral con un limite de integración infinito aproximando la integral sobre un intervalo finito y obteniendo una cota sobre la porción de la integral que se desprecia. Como x IEXPI
f e2 dx + f e2 dx
L e_x2 dx
= podemos elegir X de modo que la segunda integral sea pequefia. (a) Muestre que 23
21
12 dx <
a
J
1
e'x dx
J
e_X
2
(c) Use la Regla parabOlica con n = 10 para calcular
IC'
-
23. La figura 7 muestra Ia profundidad en pies del agua en un rio, medida a intervalos de 20 pies a lo ancho del rio. Si el rio fluye a 4 millas/hora, ,cuánta agua (en pies cübicos) fluye a través del lugar donde se tomaron las medidas en un dIa? Use la Regla parabólica. IC
- 20
1
(b) Para X= 5 muestre que fe_x2 dx< 10h1.
CI
Figura 6
e
'
dx, ay use este resultado para aproximar 1
2
Je
dx con una estimación para el error de su re-
sultado.
32. Una integral sobre un intervalo infinito o semi-infinito se puede transformar en otra sobre un intervalo finito, mediante la técnica de sustitución. Con frecuencia, esta técnica conduce a problemas donde el integrando es infinito en algün punto del intervalo de inteIEXPLI
graciOn.
Muestre que la sustitución t = ex transforma el intervalo [O,cxD)
en (0, 1] y t Figura 7
x
transforma el intervalo [0, oo) en [0,1).
Muestre que la sustitución
En el ejemplo 9 de la sección 5.8 se dio la velocidad de un auto cada 10 minutos. Use la tabla dada,junto con la Regla del trapecio, para estimar la distancia recorrida por el auto.
(oo,00) en (-1,1).
Resuelva de nuevo el problema 70 de la sección 5.8 usando (a) La Regla del trapecio y (b) la Regla parabOlica. Resuelva de nuevo el problema 34 de Ia sección 6.6 usando (b) la Regla parabólica. (a) La Regla del trapecio y Resuelva de nuevo el problema 35 de la sección 6.6 usando (a) La Regla del trapecio y (b) La Regla parabOlica.
Jo
[2
Jo
dx
4x + xL
dx.
se puede transformar en una propia.
Integre por partes para mostrar que la integral impropia
I
°°senx x
dx existe.
Integre por partes para mostrar que f f(x5) +
f 1+x
.ii
Integre por partes para mostrar que la integral impropia
+
dx se puede
transformar en una integral propia. Sugerencia: Derive el factor
Trace una figura para interpretar esta regla.
Use esta Regla con n = 16 para aproximar f x dx (véase el ejemplo 1).
(d) Use La sustituciOn t = 1/x y la Regla parabólica con
33. En algunos casos, las integrales que son infinitas en un punto extremo se pueden transformar en integrales propias mediante integraciOn por partes.
M, donde f(x3) +
dx en otra integral sobre
n = 10 para evaluar la integral impropia
30. Otra regla de integración numérica de uso comün es la Regla del punto medio. Si n y h tienen su significado usual y n es par,
2h[f(x1) +
+ e2x
un resultado aproximado, con una estimación para el error. IC
LI EXPLI
M=
Vi
transforma el intervalo
+
un intervalo finito, usando la sustitución t = e-. Use la Regla parabOlica con n = 10 sobre Ia integral resultante para obtener
Resuelva de nuevo el problema 36 de la sección 6.6 usando la Regla del trapecio.
fbf(x) dx
= e
(c) Convierta Ia integral
Resuelva de nuevo el problema 69 de la secciOn 5.8 usando (a) La Regla del trapecio y (b) la Regla parabólica.
entonces
=1
1
En los problemas 31-36, consideramos integrales impropias que tienen lImites de integración infinitos, integrandos infinitos, o ambos.
IEXPLI
1/(4 + x). 34. La integración por partes se puede usar para transformar
una integral en una forma que permita obtener resultados más preciSOS mediante rutinas de integración numérica. Como ejemplo especi-
fico,consideremosf x x(4 - x2)4 dx. 0
494 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones fir/2
Integre por partes derivando x, para mostrar que la integral es 1 equivalente a j
EXPLI
(2/5)(4 - x2/4 ) dx.
Jo
Grafiquelasfuncionesx2
/ 4 - x 2\1/4 ) y (2/5)4 - x 2\5/4 ) sobreel
dominio [0,2] y preste particular atención a la pendiente de cada curva. Observe que es dificil realizar una adecuada integración numérica cuando una función tiene una pendiente grande y que vana muy rápido. Esto se refleja en la estimación del error, que depende de las derivadas de orden superior del integrando.
Ic
Separe la integral original en dos partes, P2
IC (2/5)(4 - x)2 5/4 dx + (2/5) / (1/x) .x(4 - x)2 5/4 dx J1
e integre la segunda integral de nuevo por partes. Use la Regla del trapecio (con n 4) con una estimación del error, para aproximar ambas integrales. Explique por qué la estimacion del error no dana un resultado razonable para la integral original.
11.3
Solución numérica de ecuaciones
Ic 35. Aproxime la integral
ln (sen x) dx mediante la Re-
J
gla parabólica con n = 4. Sugerencia: Use ln (sen x) = ln x + . (senx (senx'\ .
ln
.
Ic
x
) y luego use la Regla parabolica para integrar ln
.
x
36. Use el Método de truncamiento del intervalo de integración coo
para determinar X tal que
I
cosx
Ix 1+x4
dx < i0
eligiendo
X = (2n + l)IT/2 y use el hecho de que la función coseno alterna su signo. Explique cómo usar este resultado para aproximar la integral [00
cosx
1 + x4 sultado.
dx. AsegiIrese de indicar cómo estimó el error en su re-
Jo
Respuestas at repaso de conceptos:
2. 1, 4, 2, 4, 2.....4, 1
3.n4
1. 1, 2, 2.....2,
1
4.Grande
En las matemáticas y las ciencias, con frecuencia debemos hallar las raIces (soluciones) de una ecuaciOn f(x) = 0. Si f(x) es un polinomio lineal o cuadrático, existen fOrmulas bien conocidas para escribir las soluciones exactas. Pero para otras ecuaciones al-
gebraicas y ciertamente para ecuaciones trascendentes, es raro contar con formulas para las soluciones exactas. ,Qué puede hacerse en tales casos? Existe un método general para resolver problemas muy conocido por las personas hábiles. Dada una taza de té, agregamos azücar, un poco cada vez, hasta que sabe bien. Dado un tapón muy grande para un agujero, lo rebajamos hasta ajustarlo. Cambiamos la solución un poco cada vez, mejorando la precision, hasta estar satisfechos. Los matemáticos llaman a esto el Método de aproximaciones sucesivas o Método de iteraciones. En esta secciOn presentamos dos de tales métodos para resolver ecuaciones: el Método de bisecciOn y el Método de Newton. Ambos están diseflados para hallar las
raIces reales de f(x) = 0. Ambos requieren muchos cálculos, por lo que será bueno contar con una calculadora.
Primer paso
Figura 1
El Método de bisección En el ejemplo 7 de la secciOn 2.9 vimos cOmo usar el Teorema del valor intermedio para aproximar una soluciOn de f(x) = 0 bisecando de manera sucesiva un intervalo que sabemos contiene una soluciOn. Este Método de bisecciOn tiene dos grandes virtudes: sencillez y confiabilidad. También tiene un vicio principal: el gran nümero de pasos necesarios para lograr la precisiOn deseada (también conocido como lentitud de convergencia). Comience el proceso bosquejando la grafica de f, que suponemos es una funciOn continua (véase la figura 1). Una raIz real r de f(x) = 0 es un punto (técnicamente, la coordenada x de un punto) donde la gráfica cruza el eje x. Como primer paso para localizar este punto, ubicamos dos puntos, a1
cambio de signo mediante el sImbolo [a2, b2j y evalUe f en su punto medio
Segundo paso
Figura 2
= (a2 + b2)/2 (figura 2). El nUmero m2 es nuestra segunda aproximaciOn a r. Repita el proceso, determinando asI una sucesión de aproximaciones m1, m2, m3,... y subintervalos [a1, b1J, [a2, b2j, [a3, b31.....de modo que cada subintervalo contiene a la raIz r y cada uno mide la mitad de la longitud de su predecesor. Pare cuando r quede determinada con la precisiOn deseada; es decir, cuando (b - a)/2 sea menor que el error permisible, que denotaremos por E.
SoluciOn numérica de ecuaciones 495
SECCION 11.3
Afri
t1rn
v -
D
odc)dE 'JISLcciOn
Sea f(x) una funciOn continua y sean a1 y b1 nuners tles ue a
I
.
ra n = 1, 2,... ha5 'a que i's,, < E: -
= (a, + LJ)/2.
Calcule
alcule f(ia,),; si f( ri,1) = 0, PARE LI
4.
Calcule h = (bn - a,1)/'. Sif(an) frni) Q ag a,21 = a..yh'n+] = "tn. 4
<
i,,' jm,3>0h
10
5
myt
= 0'II.
Determine la raIz real de f(x) = x3 - 3x - 5 con un rango de precision
EJEMPLO 1 -- 3x
=
de 0.0000001.
Solución Primero bosquejamos la gráfica de y = x3 - 3x -5 (figura 3) y, como vemos que cruza el eje x entre 2 y 3, comenzamos con a1
2 y b1 = 3.
m1 = (a1 + b1)/2 = (2 + 3)12 = 2.5 Paso 2: f(m1) = f(2.5) = 2.5 - 3 2.5 - 5 = 3.125 Paso 1:
Figura 3
Paso 3:
h1 = (b1 - a1)/2 = (3-2)/2 = 0.5
Paso 4:
Como
f(a1) f(m1) = f(2)f(2.5) = (-3)(3.125) = -9.375 <0 = 2.5.
hacemos a2 = a1 = 2 y b2 = Paso 5:
La condición f(a) f(m) > 0 es falsa.
A continuación incrementamos n de modo que asuma el valor 2 y repetimos estos pasos. Podemos continuar este proceso para obtener los datos de la siguiente tabla: m
n 1
2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21
22 23 24
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.0039063 0.0019532 0.0009766 0.0004883 0.0002442 0.0001221 0.0000611 0.0000306 0.0000153 0.0000077 0.0000039 0.0000020 0.0000010 0.0000005 0.0000003 0.0000002 0.0000001
2.5 2.25 2.375 2.3125 2.28125 2.265625 2.2734375 2.2773438 2.2792969 2.2783203 2.2788086 2.2790528 2.2789307 2.2789918 2.2790224 2.2790071 2.2790148 2.2790187 2.2790207 2.2790197 2.2790192 2.2790189 2.2790187 2.2790188
f(m) 3.125
-0.359 1.271 0.429 0.02811
-0.16729 -0.07001 -0.02106 0.00350
-0.00878 -0.00264 0.00043
-0.00111 -0.00034 0.00005
-0.00015 -0.00005 -0.000001 0.000024 0.000011 0.000005 0.0000014
-0.0000011 0.0000001
Concluimos que r = 2.2790188 con un error de a lo más 0.0000001.
El ejemplo 1 ilustra Ia desventaja del Método de bisección. Las aproximaciones m1, m2, m3,... converge muy lentamente a la raIz r. Pero en realidad converge; es decir,
lIm m = r. El método funciona, y en el paso n tenemos una buena cota para el error
n -*
E = r - m, a saber,
h,.
496
CAPiTULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Método de Newton Sigamos considerando el problema de resolver la ecuación f (x) = 0 en términos de una raIz r. Supongamos que f es diferenciable, de modo que la gráfica de y = f(x) tenga una recta tangente en cada punto. Si podemos hallar una primera aproximacion x1 de r mediante la graficacion o algUn otro medio (véase la figura 4), entonces una mejor aproximación x2 tendrIa que estar en la intersección de la tangente en (x1, f(x1)) con el eje x. Al usar x2 como aproximación, podemos entonces hallar una aproximación x3 aün mejor, y asI sucesivamente. El proceso se puede mecanizar, de modo que sea fácil hacerlo en una calculadora. La ecuación de la recta tangente en (x1, f(x1)) es
y - f(x1) = f'(x1)(x - xi)
Figura 4
y su intersección con el eje x, x2, se encuentra haciendo y = 0 y despejando x. El resultado es f(x1) x2 = x1
f'(x1)
Más en general, tenemos el siguiente algoritmo, también ilamado formula de recursion o esquema de iteraciOn. Algoritmos Los algoritmos han formado parte de las matemáticas desde que las personas aprendieron a hacer las divisiones, pero son las ciencias de la computación quienes han dado a! pensamiento algorItmico su popularidad actual. Qué es un algoritmo? Donald Knuth, decano de los cientIficos de la computación, responde: "Un algoritmo es una secuencia de reglas definida con precision, que indican la forma de producir una información de salida especIfica a partir de una información de entrada dada en un nOmero finito de pasos". qué son las ciencias de la
Algoritmo
Métou de Newton
' Sea f(x) ii, . fini ción dif..èreii ib1e y sa x1 'ma proxaa..i iciL a Ia aIz r de f(x) = 0. Sea E una cota para elieror r- iv, Repita el si uie nte paso para n = 1,2, hasta que xn+l - xn I 1
1. x+1
x
L
f (x,3
Use el Método de Newton para determinar la raIz real r de f(x) = x3 3x - 5 = 0 hasta siete cifras decimales. Solución Esta es la misma eduación del ejemplo 1. Usemos x1 = 2.5 como primera aproximación a r, como lo hicimos entonces. Como f(x) = x3 - 3x 5 y f'(x) = 3x2 3, el algoritmo es EJEMPLO 2
xn+l = xn
x-3x-5 2x+5 3x-3
3x-3
Obtenemos la siguiente tabla.
computaciOn?
De acuerdo con Knuth, "Son el estudio de los algoritmos".
n
xn
1
2.5 2.30 2.2793 2.2790188 2.2790188
2 3
4 5
Después de solo duatro pasos, se repiten los primeros ocho dIgitos. Podemos concluir que r 2.2790188, con una cierta duda acerca del Oltimo dIgito. EJEMPLO 3
Use el Método de Newton para determinar la raIz real de f(x) = x -
e_v = 0 hasta siete cifras decimales. Solución La gráfica de y = x - e_v aparece en la figura 5. Usamos x1 = 0.5 y e_xhI)/(1 + e_x) = (x + 1)/(e + 1) para obtener la siguiente tabla:
x1 = x - (x -
n 1
2 3
4
Figura 5
5
xn 0.5 0.566
0.56714 0.5671433 0.5671433
Solución numérica de ecuaciones 497
SECCION 11.3
Después de solo duatro pasos, obtenemos una repetición de los siete dIgitos posterio0.5671433. res al punto decimal. Concluimos que r
Convergencia del Método de Newton No siempre es cierto que el Método de Newton produzca aproximaciones que convergen a la raIz r, como muestra el diagrama de la figura 6 (véase también el problema 21). En este caso, la dificultad es que x1 no está lo bastante cerca de r como para iniciar un proceso de convergencia. Hay otra dificultad obvia cuando f'(x) se anula en o cerca de r, pues f'(x) aparece en el denominador del algoritmo. Sin embargo, tenemos el siguiente Teorema: Teorema A
Figura 6
Sea f una función dos veces diferenciable ei un intervalo I tal que en su punto medio .lay una raz r de f(x) = 0. Suponga que existen nümeros positivos m y M Larn; I f"(x) I M en 1. Si x1 está en i y está suficientemente certes que f'(x) a de (I x1 - r < 2rn/M bastará), entonces I
k. x
i1)
2m
'' - r)
2
r
Demostración Por Ia formula de Taylor con residuo (Teorema 10.8B), existe un nUmero C entre x y r tal que
f(r)
=
f(x) + f (x)(r - x)
f(c) (r - x)
2
+ 2 Después de dividir ambos lados entre f'(x) y usar el hecho de que f(r) = 0, obtenemos 0 =
f(x) f"(c) (r - x) + r - x, + 2f'(x) f'(x)
y luego, sucesivamente,
f"(c)
- 2f'(x) f"(c)
2f'(x)
=
x1 - r
M ,
(r - x)2 (x - r)
(xr) \fl
2
2
lo que es (i). De (i) podemos mostrar por inducción (problema 18) que
x-r
2m
M
M (2 m
Como (M/2m) x1 - r < 1, el lado derecho de La Oltima desigualdad tiende a 0 cuando n - 00. Esto implica que
I
x-r
también tiende a 0 cuando n - oo, lo que equi-
vale a (ii).
La rapidez de convergencia del Método de Newton es verdaderamente notable; de hecho, tiende a duplicar el nümero de cifras decimales de precision en cada paso. Para ver por qué ocurre esto, supongamos que M/2m 2. Entonces, si el error x, - r en el n-ésimo paso es menor que 0.005, el error x,1 - r en el siguiente paso satisface (por (i))
M Ix - r12 2(0.005)2 0.00005 2m AsI, La precision de x con dos cifras decimales se duplica a una precision de x,1 con cuatro cifras decimales. Por supuesto, no debemos esperar resuLtados tan espectaculares si M/2m es sustancialmente mayor que 2.
- rI
498 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Repaso de conceptos Las virtudes del Método de bisección son su sencillez y confiabilidad; su vicio es su
f
Si es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe una de f(x) = 0 entre a y b. Esto es consecuencia del Teorema del
Tanto el Método de bisección como el Método de Newton son ejemplos de ; es decir, proporcionan una secuencia finita de pasos que, al seguirla, produce una raIz de una ecuación con la precisiOn deseada.
El Método de Newton puede no producir una raIz de f(x) = 0. Esto puede ocurrir si está demasiado lejos de la raIz r 0
51
Conjunto deproblemas 11.3
ii En los problemas 1-4, use el Método de Bisección para aproximar la raIz real de la ecuación dada en el intervalo correspondiente. Cada respuesta debe tener una precision de dos cifras decimales. 1. x3 + 2x -6 = 0;[1,2] 3. 2cosx - e_x = 0;[1,2]
2. x4 + 5x3 + 1 = 0;[-1,0] 4. x -2 + 2lnx = 0;[1,2] H En los probl emas 5-14, use el Método de Newton para aproximar la raIz indicada de la ecuación dada, con una precision de cinco cifras decimales. Trace primero una grafica. La mayor raIz de x3 + 6x2 + 9x +
LaraIzrealde7x3 +
Laraizdex-2
+
x-5 =
1
= 0
Aplique este algoritmo con x1 = 1.2. A continuación, trate con x1 =
0.5. Por Ultimo, grafique y = (1 + ln x)/x para entender sus resultados.
22. Bosqueje la gráfica de y = x1/3. Por supuesto, su ünica intersección con el eje x es cero. Convénzase de que el Método de Newton no converge. Explique esta falla. 23. En la compra de instalaciones, uno quisiera tener una idea de la tasa de interés real (tasa efectiva), pero por desgracia esto implica resolver una ecuación complicada. Si uno compra un articulo con valor $P el dIa de hoy y acuerda realizar pagos de $R al final de cada mes durante k meses, entonces
0
2lnx = 0(véaseelproblema4)
1
iL
La menor raIz positiva de 2 cos x - e_x = 1 (véase el proble-
ma3) La raIz de cos x = 2x La raIz de x ln x = 2
Todas las raIces reales de x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 8 = 0 Todas las raIces reales de x4 + 6x3 + 2x2 + 24x - 8 = 0 La raIz positiva de 2x2 - senx = 0
La raIz positiva de 2 tanx = x Use el Método de Newton para calcular
L
con una precisión de cinco cifras decimales. Sugerencia: Resuelva x3 - 6 = 0. Use el Método de Newton para calcular con una precisión de cinco cifras decimales. qué punto de (IT, 21T) alcanza (sen x)/x un mInimo y cuál es su valor mInimo? 18. Muestre por inducciOn que si
xn+lr
M 2m
(xn-r), 2
entonces
xr
2m7M
2md)
2
n
Ic
= 1,2,...
19. Suponga que usamos el Método de Newton para hallar la raIz positiva de x2 - 2 = 0; es decir, para aproximar Suponga además que sabemos que esta raIz está en el intervalo [1, 2]. Calcule m y M del Teorema A. Use la segunda desigualdad del problema 18 para estimar x6 - \/, dado que x1 = 1.5.
\/.
menzando con i = 0.012, y luego dé la tasa anual r como un porcentaje (r = 1200i). 24. Al aplicar el Método de Newton para resolver f(x) = 0, por lo general se puede decir si la sucesiOn converge, simplemente obser vando los nUmeros x1, x2, x3,... Pero incluso cuando converge, digamos, a , ,podemos estar seguros de que sea una solución? Muestre que la respuesta es afirmativa siempre que y f' sean continuas
f
0.
25. Experimente con el algoritmo xn+1 = 2xn - ax usando distintos valores de a. Haga una conjetura acerca de lo que calcula este algoritmo. Pruebe su conjetura. CASI Algunos paquetes de computadora implantan el Método de Newton. Experimente con su software y algunos de los primeros pro blemas de este conjunto de problemas. Luego determine todas las raIces reales de la siguiente ecuaciOn.
ci 20. ,Qué tan grande debe ser n en el problema 19 para estar 5 x lO'? seguros de que x,, -
26.x6-4=0
H
30. \/x - i
21. Considere la bUsqueda de la raIz real de (1 + In x)/x = 0 mediante el Método de Newton. Muestre que esto conduce al algoritmo
x+1 = 2x +
xn
ln x,,
500n4
Ic (c) Determine i con una precisiOn de cinco cifras decimales, co-
enyf'()
n = 1,2,
(1+i)'
donde i es la tasa de interés mensual. Tom comprO un auto usado por 2,000 dólares y acordó realizar pagos de 100 dólares al final de cada uno de los siguientes 24 meses. Muestre que i satisface la ecuación 20i(1 + i)24 - (1 + i)24 + 1 = 0 Muestre que el Método de Newton para esta ecuación se reduce a [20i + 19n - 1 + (1 + n+l = in
28.
27.x3-3x+1=0
x2 - 2x = cos 3x =
29. x3
- 3x
+
1
= 2 sen 4x
0
Respuestas at repaso de conceptos: 1. lentitud de convergencia 2. raIz; del valor intermedio 3. algoritmos 4. x1; f'(r) = 0
SECCION 11.4
El algoritmo de punto fijo 499
A continuaciOn ofrecemos un método para resolver ecuaciones, tan sencillo que no tiene derecho de funcionar. Sin embargo, funciona en un gran némero de casos. Además, este método tiene numerosas aplicaciones en matemáticas avanzadas.
Suponga que una ecuación de nuestro interés se puede escribir en la forma x = g(x). Resolver esta ecuación implica encontrar un némero r que no es alterado por la función g. Liamamos a tal némero un punto fijo de g. Para determinar este némero, proponemos el siguiente algoritmo. Haga una primera estimación x1. Entonces, haga x2 = g(x1), x3 = g(x2), y asI sucesivamente. Si tenemos suerte, x, convergerá a La raIz r cuando n - cc.
Algi ritmo Algoritmo de punto fijo Sea g( ) 'rc funciOn continua, y sea x1 una aproximaciOn inicial de Ia raIz r de E una cota para el error I r - rn, I. Renita . I siguiente paso para n = 1, 2, hasta que 1. x,1 g(x)
x = g(x)
IlustraciOn del método
I
x,, +
<
x
E:
Comenzaremos con un ejemplo analizado en La sección
anterior (ejemplo 3). EJEMPLO 1
= 0 mediante eL algoritmo de punto fijo.
ResueLva x -
= Solución Escribimos La ecuación como x = e_x y aplicamos al algoritmo x,,+1 con x1 = 0.5. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. n 1
2 3 4 5 6
7 8
9
x
n
x
10
0.5 0.6065307 0.5452392 0.5797031 0.5600646 0.5711722 0.5648630 0.5684381 0.5664095
11
12 13 14 15 16 17 18
n
0.5675596 0.5669072 0.5672772 0.5670674 0.5671864 0.5671189 0.5671572 0.5671354 0.5671478
19 20 21
22 23 24 25 26 27
e_X
x 0.5671408 0.5671447 0.5671425 0.5671438 0.5671430 0.5671435 0.5671432 0.5671433 0.5671433
Aunque necesitamos 27 pasos para obtener una repetición de Los primeros siete dIgitos, el proceso produjo una sucesión que converge, y que lo hace al valor correcto. Además, eL proceso fue muy fácil de realizar. EJEMPLO 2
Resuelva x = 2 cos x.
Solución Observe primero que resolver esta ecuaciOn es equivalente a resolver la pareja de ecuaciones y = x y y = 2 cos x. AsI, para obtener nuestro valor inicial, graficamos estas dos ecuaciones (figura 1) y observamos que las dos curvas se cruzan aproximadamente en x = 1. Al hacer x1 = 1 y aplicar el aLgoritmo x,,1 = 2 cos x , obtenemos los resultados de La siguiente tabLa. x
n 1
1
2
1.0806046 0.9415902 1.1770062 0.7673820
3
4 5
n
x
6 7 8
1.4394614 0.2619155 1.9317916
9
-0.7064109
10
1.5213931
Es cLaro que el proceso es inestable, aunque nuestra estimaciOn inicial esté muy cerca de la raIz real.
Intentemos con otro enfoque. Escribimos Ia ecuación x = 2 cos x como x = (x + 2 cos x)/2 y usamos el algoritmo
x, + 2cosx,, 2
500
CAP1TULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Este proceso produce una sucesión convergente, que se muestra en la siguiente tabla. (La oscilaciOn en el ültimo dIgito se debe probablemente a errores de redondeo.) x
n
n
x
n
x
1
1
7
2 3 4
1.0403023 1.0261107 1.0312046 1.0293881 1.0300374
8
1.0298054 1.0298883 1.0298588 1.0298693 1.0298655 1.0298668
13 14 15 16
1.0298665 1.0298666 1.0298665 1.0298666
5 6
9
10 11 12
Surge ahora una pregunta obvia. ,Por qué el segundo algoritmo produjo una sucesión convergente y el primero no? Además, en el segundo caso, ,podemos estar Seguros de haber obtenido un resultado correcto? Podemos dar una respuesta afirmativa a esta segunda pregunta. La naturaleza del cálculo sugiere que cuando obtenemos una repetición de los primeros siete dIgitos tenemos una precision de a! menos seis digitos. Responderemos la primera pregunta después de considerar otro ejemplo. EJEMPLO 3
Resuelva x3 + 6x - 3 mediante el algoritmo de punto fijo.
Solución La ecuación dada es equivalente a x = (-x3 + 3)/6, de modo que usamos el algoritmo
-x + 3 6
Figura 2
La gráfica de la figura 2 sugiere un valor inicial de x1 = 0.5, pero consideremos también lo que ocurre con = 1.5, x1 = 2.2 y x1 = 2.7. Los resultados aparecen en la tabla. x
n 1
2 3
4 5
6 7 8 9
n
0.5 0.4791667
1
0.4816638 0.4813757 0.4814091 0.4814052 0.4814057 0.4814056 0.4814056
3
2 4 5
6 7 8 9 10 11
x 1.5
-0.0625 0.5000407 0.4791616 0.4816644 0.4813756 0.4814091 0.4814052 0.4814057 0.4814056 0.4814056
x
n
2
-1.2744667
3
0.8451745 0.3993792 0.4893829 0.4804658 0.4815143 0.4813930 0.4814071 0.4814054 0.4814056 0.4814056
2 3 4 5 6
n 1
4 5
6 7 8 9 10 11
12
2.2
1
x 2.7
-2.7805 4.0827578
-10.842521 212.9416
-16909274.5
Parece que si nuestra estimación inicial x1 está lo bastante cerca del punto fijo r, la sucesión converge, pero Si empezamos demasiado lejos de r, la sucesión diverge.
Convergencia del método A veces, el método funciona y a veces no. Podemos darnos una buena idea de lo que ocurre realizando un némero adecuado de pasos del algoritmo. ,Pero no serIa bueno saber de antemano Si será conveniente su uso? Y en caso de que sea conveniente, ,cómo estar seguros de nuestra conclusion? Para hacernos una idea del problema, analicémoslo geométricamente. Observe que podemos pasar de x2 a x1 localizando g(x1), pasando horizontalmente a la recta y = x y proyectando en el eje x (véase la figura 3). Al usar este proceso varias veces, nos enfrentamos a una de las situaciones de la figura 4. jQué determina el éxito o ci fracaso, la convergencia o Ia divergencia? Esto parece depender de la pendiente de La curva y = g(x), es decir, de g'(x), cerca de la raIz r. Si g'(x) es demasiado grande, el método falla; Si I g'(x) es suficientemente pequeña, el método funciona. He aquIun resultado general. Tueo.u1iø *
Se g I ma Figura 3
aliLacea
Tporpm u.....adepuntoiijo
fu1.ri ci ui C untini'a
A)
que 1:eva [a, b] en sí friismo. es decir, una fur'ción que b siehipre que a x b. Entonces g tiene at rnenos un punto
El algoritmo de punto fijo
SECCION 11.4
y=x
y=x
xx4r
x3
501
x
x2
rx
x3
El método funciona
El método falla
El método funciona
El método falla
Figura 4 Figura 5
fijo
xen
--
' C'iiferenciabie, I f ]t'i < I para toi 1a ..s satisac Si adei I g(x) I '11 . ttonce el 1.'11n .. to fij. es ünico y el algoritmo I( [a, hi, co1i P const1nte.
n
-
I(_J
,
Haciendo que funcione ,Podemos hacer que el algoritmo de punto fijo funcione con cada ecuación? No. En primer lugar, podrIa ser imposible escribir la ecuaciOn en la forma x = g(x). En segundo lugar, aunque la ecuación se pudiese escribir de la forma correcta, el algoritmo de punto fijo podrIa producir una sucesiOn divergente. Sin embargo, las ecuaciones se pueden escribir de muchas formas equivalentes, como muestra el ejemplo 4. Nuestro objetivo es entonces hallar una para la cual g'(x) <1. Además, serIa preferible que la derivada fuese tan pequena como sea posible, pues mientras menor sea, más rápida serEi la convergencia. En resumen, hacer que funcione el algoritmo de punto fijo requiere más ingenio que lo que parece a primera vista.
x en 1a b]
=
xn
-
- ido n si'ace.sióii ue con"Verge a r "uar pro uce in. i
Demostración Una gráfica tIpica de una función continua de [a, b] en [a, b] aparece a o g(b) = b, tenemos nuestro punto fijo, de modo que podeen la figura 5. Si g(a) mos suponer que ninguna de estas igualdades es válida. Sea h(x) = g(x) x; observe que h(a) > 0 y h(b) < 0. Por elTeorema del valor intermedio, existe un punto r (tat vez varios puntos) tales que h(r) = 0; es decir, r = g(r). Esto demuestra la primera afirmaciOn de nuestro Teorema. < 1 para toda x en [a, b] y sea r un A continuación, supongamos que g'(x) punto fijo de g. Por el Teorema del valor medio para las derivadas, podemos escribir
g(x)
g(r) = g'(c)(x
r)
donde c es algUn punto entre x y r. AsI,
g(x)
g(r)
g'(c) x
r
Mx
r
Al aplicar esta desigualdad en forma sucesiva a x1, x2,... obtenemos L2 x3
x4 -
r = g(x1) r
g(x2)
= g(x3)
g(r) g(r) g(r)
r M x2 r M x3 - r x1
g(r) r = g(x1) Como Mn1 - 0 cuando n oc, concluimos que x, x
M2 x1
r
x1
r
M"' x1 r r cuando n
r oc.
502
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Por Ultimo, si r y s son dos puntos fijos de g, hemos mostrado que x,, - r y x,, cuando n - oc. Esto es imposible, a menos que r = s. AsI, solo existe un punto fijo.
s
Ahora podemos comprender el comportamiento del ejemplo 2. Si g(x) 2 CO5 x, entonces g'(x) = -2 Sen x I, que es mayor que 1 en una vecindad del punto fijo x 1.03.Porotrolado,sig(x) = (x + 2cosx)/2,entonces g'(x) = senx < 1 cerca de x = 1.03. En el primer caso no debemos esperar la convergencia; en el Segundo podemos garantizarla. En el ejemplo 3, g(x) = (-x3 + 3)/6 y g'(x) = -x2/2. Es claro que g'(x) 1 cerca del punto fijo x 0.48. Podemos confiar en la convergencia si elegimos x1 en el intervalo donde g'(x) 1. En realidad, nuestros experimentos del ejemplo 3 muestran que podemos comenzar tan lejos como x1 = 2.2 (que es más de lo que podrIamos esperar), pero x1 = 2.7 está demasiado lejos. Una ültima observación: Mientras más se acerque a cero g'(x) cerca de la raIz, más rápida será la convergencia del algoritmo de punto fijo. I
-
I
EJEMPLO 4 La ecuación x3 - 3x + 1 0 tiene tres raIces reales (véase la figura 6). Use el algoritmo de punto fijo para determinar la raIz entre 1 y 2.
Solución Procedemos como en el ejemplo 3; escribimos
x= pero por desgracia, g'(x) = x2
x3 +
1
3
= g(x)
en [1, 2]. Otra forma de escribir la ecuación es
x=
= g(x)
En este caso, g'(x) = 2x/(x2 3)2. Esto también puede ser mayor que 1 en el intervalo [1,2] (por ejemplo, g'(l.S) 5.33). Pero hay otras posibilidades. Considere
Figura 6
3 x=----=g(x) 1
x
n 1
1.5
2 3
1.5555556 1.5153061
21 22
1.5320411 1.5321234
33 34
1.5320871 1.5320902
43 44 45
1.5320888 1.5320889 1.5320889
para la que g'(x) = (-3x + 2)/x3. Después de un poco de trabajo (estudiamos g"), yemos que g' es creciente en [1,2], variando desde g'(l) = -1 hasta g'(2) = -. AsI, g'(x) es estrictamente menor que 1, siempre que permanezcamos estrictamente lejos del punto extremo izquierdo x = 1. Con el algoritmo xn+1 =
3
xn
- -xn1
obtenemos los datos en la tabla al margen.
Repaso de conceptos Un punto x que satisface g(x) = x es un El algoritmo de punto fijo para gn es
deg.
= g(x).
3. La condición crItica sobre g necesaria para la convergencia
del algoritmo de punto fijo es que tiene al punto fijo.
en un intervalo que con-
4. La ecuación x = g(x) = x2 -2 tiene a 2 como raIz. AUn asI, el algoritmo x,,+1 = x - 2 puede no converger a esta raIz, pues
SECCION 11.4
503
El algoritmo de punto fijo
Conj unto deproblemas 11.4
H
En los problemas 1-4, use el algoritmo de punto fijo con la x1 indicada para resolver las ecuaciones hasta cinco cifras decimales.
x=
e_2x;xi
Despeje x en forma algebraica en x =
1
+
EvaLüe La siguiente expresión. (Una expresión como ésta es una
1
fracción continua.) x = 2 tan
x; x1 = 2
4. x
=
\/3.2
1+
+ x;x1 = 47
5. < entra sImboLo > S. Considere La ecuación x =
Calcule g'(x) y evaLüeLa en La raIz.
Siga Las instrucciones del probLema 5 para x = 5(x -
x2) = g(x). Explique sus resultados. 7. Considere La ecuación x = (3/2) sen irx = g(x). Bosqueje Las gráficas de y = x y y = g(x). Trate de resolver La ecuación mediante el algoritmo de punto fijo. Determine g'(x) y Usela para explicar sus resultados. 8. Siga Las instrucciones del problema x =
senix
ci
tronomIa. Use el algoritmo de punto fijo para resolver esta ecuación, cuando m = 0.8 y E = 0.2.
Li 17. Si un artIculo que se vende hoy a P dóLares es adquirida en un plan de crédito con pagos mensuales de R dóLares al final de cada uno de Los k meses siguientes con una tasa de interés mensual i, entonces
p
Considere de nuevo x = 5(x - x2) = g(x) del probLema 6. Escriba esta ecuación de modo que el algoritmo de punto fijo converja (véase el probLema 9). Use este algoritmo para resolver la ecuación. H 11. CaLcule La raIz positiva de x3 - x2 - x - 1 = 0. Sugerencia: Véase el ejemplo 4.
H 12. Considere x = Vs + x. Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.
Despeje x en forma algebraica en x = V'S + x.
H
5 +
s + Vs +
13. Considere x = \/1 + x. Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.
Despeje x en forma algebraica en x = EvaLüe
ci
1
+ -.
x (a) Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.
[1 - (1 + j)-k]
Los 48 meses siguientes y con un interés de 18% (Lo que significa que i = 0.18/12 = 0.015). Use algebra para determinar R. Suponga que el pago mensual de La parte es (a) 300 dóLares. ,CuáL
es el valor de i? Sugerencia: Use el algoritmo de punto fijo con i1
= 0.015.
Li 18. Un televisor que cuesta 500 dóLares es adquirido en un plan de crédito, con pagos de 30 dOlares al final de cada mes. ,Cuál es el valor de i, La tasa de interés mensual? Véase el problema 17. EXPLI
f'(x)
19. Considere Ia ecuaciOn x = x - f(x)/f'(x) y suponga que en un intervalo [a, b].
Muestre que si r está en [a, b], entonces r es una raIz si y solo si f(r) = 0. Muestre que el Método de Newton es un caso particular del algoritmo de punto fijo, donde g'(r) = 0. 20. Bosqueje gráficas para convencerse de que cada una de Las siguientes ecuaciones tiene una Unica soLución. Decida si el algoritmo de punto fijo funcionará o no; en caso afirmativo, Uselo. En caso contrario, resuelva mediante el Método de Newton.
(a) sen -1 x=
+ x.
+
+
14. Considere x =
\/1
=
Un auto nuevo con valor de 10,000 dóLares es adquirido en un plan de crédito con pagos de R dOLares al final de cada uno de
Considere de nuevo x = (3/2) sen rx del probLema 7. + sen1Tx = g(x). Muestrequesepuedeescribircomox = Ahora resuelva esta üLtima ecuación mediante el algoritmo de punto fijo. ,Por qué es tan rápida La convergencia? Sugerencia: EvalUe g'(x) 10.
+
H 16. La ecuación de Kepler x = m + E sen x es importante en as-
= g(x)
en La raIz.
= g(x).
a/x) \/. Calcule g'(a) para
15. Observeque\/esunasolucióndex =
Use el algoritmo de punto fijo para calcular ver por qué La convergencia es tan rápida.
9.
Evalüe
1
2(x -
x2) = g(x). Bosqueje La gráfica de y = x y y = g(x) usando eL mismo sistema de coordenadas, y con eLLo ubique en forma aproximada La raIz positiva de x = g(x). Trate de resolver La ecuación mediante eL aLgoritmo de punto fijo, partiendo de x1 = 0.7. Resuelva La ecuación en forma algebraica. 6.
1
1+
3.x=V2.7+x;x1=1
(c) tanH x =
1
senx
(b)cos x
cosx
1
tan x
1. punto fijo 2. Respuestas at repaso de conceptos: < 1 4. 2x > 1 cerca de x = 2 3. g'(x)
x,+1
504
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
11.5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales Una función de dos variables
La función f depende de dos variables. Como y'(x) = f(x, y), la pendiente de una solución depende de las dos coordenadas x y y. En la sección 2.1 presentamos las funciones de dos o mäs variables, las que estudiaremos con mäs detalle en el capf15.
tub
En el capItulo 7 estudiamos varias ecuaciones diferenciables que surgen de aplicaciones fIsicas. Para cada ecuación, pudimos encontrar una solución analItica; es decir, encontramos una función explIcita que satisface la ecuación. Muchas ecuaciones diferenciales no tienen tales soluciones analIticas, de modo que para estas ecuaciones debemos buscar aproximaciones. En esta sección estudiaremos dos formas de aproximar una solución de una ecuación diferencial: un método es gráfico y el otro numérico. Campos de pendientes Considere una ecuación diferencial de primer orden de la forma
y' = f(r, y) Esta ecuación dice que, en el punto (x, y), la pendiente de una solución está dada por f (x, y). Por ejemplo, la ecuación diferencial y' = y dice que la pendiente de la curva que
pasa por el punto (x, y) es igual a y.
Para la ecuación diferencial y' = xy, la pendiente de la solución en el punto (5,3) es y' = 3 = 3; en el punto (1,4), la pendiente es y' = 1 4= Po.
demos indicar gráficamente este ültimo resultado trazando un pequeno segmento de recta por el punto (1, 4) que tenga pendiente (véase figura 1). Si repetimos este proceso para varias parejas ordenadas (x, y), obtenemos un campo de pendientes. Como la graficacion de un campo de pendientes es una tarea tediosa si se realiza a mano, esta tarea es más adecuada para las computadoras: Mathematica y Maple pueden graficar campos de pendientes. La figura 2 muestra un campo de pendientes para la ecuación diferencial y' = xy. Dada una condición inicial, podemos seguir las pendientes para obtener una aproximación gruesa a la solución particular. Con frecuencia, el campo de pendientes nos permite ver el comportamiento de todas las soluciones de la ecuación diferencial.
Pendiente
4// 5-iy
Pendieiite = 3
32-
3-7/ / / // // / / /
0 1
Figura
////
4Z//////////////// Z//////////////// ///// y
1
2
I
I
I
3
4
5
x
2-///// NN\\\ \ \\ \ -2-N\\ I
I
I
/ / I / I / I / / / / / / / / I I / I I / / / / / / / / / / /
///// / / / V/ V/ V/ I
I
\
I
N
I
N
I
\ \ \ \ \\ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \
X
Figura 2
EJEMPLO 1 Suponga que el tamaño y de una población satisface la ecuación diferencial y' = O.2y(l6 - y). El campo de pendientes para esta ecuación diferencial apare-
ce en la figura 3.
Bosqueje la solución que satisface la condición inicial y(0) = 3. Describa el comportamiento de las soluciones cuando
y(0) > l6,y 30
25
(c) 0 < y(0) < 16.
\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\
20 NNNNNNNNNNNNNNNN 15
10
0.5
1
1.5
Figura 3
SECCION 11 .5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 505
Solución La solución que satisface La condición inicial y(0) = 3 contiene a! punto (0, 3). A partir de ese punto y hacia la derecha, la solución sigue las ilneas de pendientes. La curva de la figura 3 muestra una gráfica de la soLuciOn. Si y(0) > 16, entonces Ia soLución decrece hacia La asIntota horizontal y = 16.
Si 0 < y(0) < 16, entonces la solución crece hacia la asIntota horizontal y = 16. Las partes (b) y (c) indican que el tamaflo de la población convergerá hacia el valor 16 para cualquier tamaflo de población inicial.
Método de Euler
y
Recta tangente a Ia solucion en (x0. v) Pendiente =f(x, Yu) Ecuación:
Yo
V
=
De nuevo, consideremos ecuaciones diferenciales de La forma = f(x, y) con condición inicial y(x0) = y. Recuerde que y es una función de x, sin importar que escribamos esto en forma explIcita o no. La condición inicial y(x0) = Yo nos dice que la pareja ordenada (x0, Yo) es un punto de la grafica de La solución. También sabemos un poco más acerca de la solución incognita: Ia pendiente de la recta tangente a la solución, en x0, es f(x0, ye). Esta informaciOn se resume en La figura 4. Si h es positivo, pero pequeflo, es de esperar que la recta tangente (o, en forma equivalente, el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0), cuya ecuación es
+ V (x0)(x - x0)
- x0)
P1(x) = Yo +
Yo +
f(x0, y0)(x - x0)
x
xo
esté "cerca" de la solución y(x) en el intervalo [x0, x0 + h]. Sea x1 = x0 + h. Entonces, en x1 tenemos
Figura 4
P1(x1) = Yo + hy'(x0) = Yo + hf(x0, Yo) Ày
Al hacer Yi = Yo + hf(x0, yo), tenemos una aproximación para La soluciOn en x1 . Véase la figura 5.
Como y' = f(x, y), sabemos que la pendiente de La solución cuando x = y(x) yl Yo
en el punto x2 = x1 + h. Este proceso, que continua de esta forma, se llama Método de Euler, en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). (Euler se pronuncia "oiler".) El parámetro h se conoce con frecuencia como el tamaño de paso.
.v, v0)
xi
xo
h
Figura 5
es
f (xi, y(x1)). En este punto, no conocemos y(x1), pero tenemos su aproximación Yi AsI, repetimos el proceso para obtener Ia estimación Y2 = Yi + hf(x1, Yi) para la solución
x
Agoritmo
vlétodo de Euler
L Para aproximar !r snlución de Ia ecuaciOn rliferencial y' = f(x, .') con condicVn inicial y(x0) = Yo' elija un tamaño de paso h y repita los siguientes pasos para
n
1.
1 HagL i = x,
2. -Iaga y
+
y_ + I
Yn- i)
Recuerde que la solución de una ecuación diferencial es una funcion. El Método de Euler no proporciona una función, sino que da un conj unto de parejas ordenadas que aproximan la solución y. Con frecuencia, este conj unto de parejas ordenadas basta para describir la soLución de la ecuación diferencial.
Observe la diferencia entre y(x) and y,; y(x) general desconocido) es el valor de la solución exacta en x, y y, es nuestra aproximación a Ia solución exacta en x,,. En otras palabras, y, es nuestra aproximación de y(x). EJEMPLO 2
Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de
y'=y, en el intervalo [0, 1].
y(0)=l
Métodos numéricos, aproximaciones
506 CAP1TULO 11
Soludón Para este problema, f(x, y) = y. Comenzamos con x0 = Oy Yo = I para ohtener Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + 0.21 = 1.2
Y2 = 1.2 + 0.21.2 = 1.44 = 1.44 + 0.21.44 = 1.728 = 1.728 + 0.2 1.728' = 2.0736 = 2.0736 + 0.2 2.0736 = 2.48832 n
x,,
0
0.0 0.2
1
5
1.0 1.2
1.00000 1.22140
1728
3
4
e
y,
0:8 1.0
2:0736 2.48832
2:22554 2.71828
U
La ecuación diferencial y' = y dice que y es su propia derivada. AsI, sabemos que una solución es y(x) = ex, y de hecho y(x) = ex es la solución, pues sabemos que y(0) debe ser 1. En este caso, podemos comparar los cinco valores de y estimados mediante el Método de Euler con los valores exactos de y, como se muestra en la tabla al margen. La figura 6a muestra las cinco aproximaciones (xe, ye), i = 1,2,3,4,5, de la solución y; la figura 6 también muestra la solución exacta y(x) = ex. Al elegir un valor menor de h obtenemos por lo general una aproximación más precisa. Por supuesto, si elegimos una h menor, necesitaremos más pasos para llegar hasta x = 1.
Figura 6 EJEMPLO 3
Use el Método de Euler con h = 0.05 y h = 0.01 para aproximar la so-
lución de
y'=y,
y(0)=l
en el intervalo {0, 1].
Solución Procedemos como en el ejemplo 1, pero reducimos el tamaño de paso h a 0.05 y obtenemos la siguiente tabla: n 0 1
2 3
4
n
x
y
0
0.00
1
0.01
2 3
0.02 0.03
1.000000 1.010000 1.020100 1.030301
99 100
0.99 1.00
2.678033 2.704814
5 6 7 8 9 10
x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
y 1.000000 1.050000 1.102500 1.157625 1.215506 1.276282 1.340096 1.407100 1.477455 1.551328 1.628895
n
x
y
11
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
1.710339 1.795856 1.885649 1.979932 2.078928 2.182875 2.292018 2.406619 2.526950 2.653298
12 13 14 15 16 17 18 19
20
La figura 6b muestra la aproximación de la solución al usar el Método de Euler con h
0.05.
Los cálculos son similares para el caso h = 0.01. Los resultados se resumen en la tabla al margen y en la figura 6c. En el ejemplo 1, observe que al disminuir el tamaño de paso h, la aproximación a y(I) (que en este caso es e1 2.718282) mejora. Cuando h = 0.2, el error es aproxima-
SECCION 11.5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 507
damente e - y5 = 2.718282 - 2.488320 = 0.229962. Las aproximaciones del error para otros tamaños de paso aparecen en La siguiente tabLa: h
Aproximaciones de Euler para y(l)
Error = Exacto - Estimado
0.2
2.488320 2.593742 2.653298 2.704814 2.711517
0.229962 0.124540 0.064984 0.013468 0.006765
0.1 0.05 0.01
0.005
Observe en La tabla que aL dividir a la mitad el tamaflo de paso h, eL error también se divide a la mitad (aproximadamente). Por tanto, el error en un punto dado es aproximadamente proporcional al tamaflo de paso h. En La sección 11.2 encontramos un resuLtado similar con La integración numérica. AhI vimos que el error de La Regla del trapecio es proporcional a h2 = 1/n2, donde n es ci némero de subintervalos. La RegLa parabóiica es aün mjor, con un error proporcionaL a h4 = 1/n4. Esto hace surgir La pregunta de si hay un mejor método para aproximar La solución de y' = f(x, y), con condición inicial y(x0) = Yo De hecho, varios métodos son mejores que eL Método de Euler, en el sentido de que el error es proporcional a una potencia mayor de h. AquI solo presentaremos uno, un método que por lo general se llama ci Método de Euler mejorado, o también Método de Heun.
Método de Euler mejorado El resuitado del primer paso en el Método de Euler se puede escribir como Yi - Yo h
Pencliente
v0) +f(x1,
)]
Ày
Solución exacta v(x)
(v1. v)
Pendientef(x, y)
I Pendicnteflx,, v) xo
Figura 7
=f(xo,y0)
El lado izquierdo de esta ecuación nos recuerda el desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal, mientras que el Lado derecho es f(x0, yo), que es igual a y'(x0), La pendiente de La soluciOn en La condición inicial. Pero esto sOlo usa La informaciOn en el punto extremo izquierdo del intervalo [x0, x1]. EL Método de Euler mejorado usa la información de ambos extremos. En el punto extremo derecho del intervaLo [x0, xii, Ia pendiente de La solución es y'(x1) = f(x1, y(x1)). EL problema aquI es que no conocemos y(x1). Sin embargo, si aplicamos el paso de Euler, tendremos una aproximación de y(x1). Al suStituir 5 para y(x1) en f(xi, y(x1)) obtenemos una segunda aproximación, f(x1, 3) a La pendiente de y en x1. Véase La figura 7. EL Método de Euler mejorado usa el promedio aritmético de estas dos estimaciones de La pendiente de la soluciOn en ci intervalo [x0, x1]. Esto da como resultado
YiYo = 1 [f(xo,yo) + f(x1,yi)] h
xl
Al despejar Yi obtenemos la aproximación para Ia soiución en ci punto x1; es decir, Yi = Yo +
[f(x0,y0) + f(x1J1)]
Se repite un proceso similar para obtener una aproximación Y2 de La soluciOn en x2, una aproximaciOn y3 de la solución en x3, y asI sucesivamente.
Algc ritmo NA.éto ae uIer mejoraa'0 Ia solución äe Ia ecuaciOn dLferencial v' = f(x, y) con condiciOn in Paira aroxiinar LUIIL. maño de paso h y repita los siguientes pasos para n = cial = Yo i
2, ]T -laga
x, = x,1 ]higa , = y n + 3.
laga yn
-
yn_
h.
hf(x1, y:). [f(x_1 Yn_) + f(x,1.
)].
508 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones EJEMPLO 4
Aproxime la solución de y' = y, y(0) = 1 en el intervalo [0, 1j usando el Método de Euler mejorado con h = 0.2,0.05 y 0.01. Compare los errores de la estimacion de y(l) con los obtenidos mediante el Método de Euler.
Solución
Con h = 0.2, tenemos
Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + °2Yo = 1.2 y
h
Yi =, Yo +2 -[f(xo,y0) + f(x1,1)]
=1+
0.2
[o + Yi]
= 1 + 0.1[1 + 1.2] = 1.22 Este proceso continUa hasta que x alcanza 1. Los cálculos para h = 0.05 y 0.01 son similares. La siguiente tabla resume los cálculos para h = 0.2, h = 0.05 y h = 0.01.
n
h = 0.2 x
yn
0
0.00
1.000000
h = 0.05 0
h = 0.01
xn
yn
0.00
1.000000
xn
yn
0
0.00
1
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13
1.000000 1.010050 1.020201 1.030454 1.040810 1.051270 1.061835 1.072507 1.083285 1.094177 1.105169 1.116276 1.127495 1.138826 1.150271 1.161831 1.173508 1.185302 1.197214 1.209246 1.221399 2.718237
2 3
4 1
0.05
1.051250
5
6 7 8 9 2
0.10
1.105127
10 11
12 13 14 3
0.15
1.161764
15
0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 1.00
1
0.20
1.220000
4
0.20
1.221305
16 17 18 19 20
5
1.00
2.702708
20
1.00
2.717191
100
La figura 8(a-c) muestra la solución exacta y = ex y las soluciones estimadas mediante el Método de Euler mejorado para h = 0.2, 0.05 y 0.01. La figura 8 indica que estas aproximaciones están muy cerca de la soluciOn exacta. La siguiente tabla muestra que el error del Método de Euler mejorado es considerablemente menor que el error del Método de Euler.
Figura 8
h
Error del Método de Euler
Error del Método de Euler mejorado
0.2 0.05 0.01
0.229962 0.064984 0.013468
0.015574 0.001091 0.000045
En los ejemplos dados hasta ahora, conoclamos la solución exacta y = ex. En situaciones como ésta, por lo general usamos la solución exacta y no nos ocupamos de sus aproximaciones. Sin embargo, muchas ecuaciones diferenciales no tienen una solución anailtica. Para estos problemas, debemos recurrir a aproximaciones numéricas usando un método, como cualquiera de los anteriores.
SECCION 11.5
EJEMPLO 5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 509
Aproxime la solución de y' = -y2 + \/4x2 + y + 2y2, en el interva-
lo [0,41 usando ambos métodos, con h = 0.25.
Solución
Los resultados del Método de Euler y el Método de Euler mejorado aparecen en la siguiente tabla. La figura 9 muestra los resultados de ambos métodos.
Método de Euler n 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
Método de Euler mejorado
x
y
yn
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00
2.0000 1.7906 1.7159 1.7131 1.7634 1.8514 1.9613 2.0794 2.1968 2.3096 2.4171 2.5198 2.6182 2.7129 2.8043 2.8927 2.9785
2.0000 1.8525 1.7731 1.7487 1.7706 1.8287 1.9115 2.0085 2.1119 2.2163 2.3189 2.4185 2.5144 2.6067 2.6955 2.7809 2.8633
3-
-
1.5-
1
2
3
Método de Euler
1
2
3
4
Método de Euler mejorado
Figura 9
Los cursos de análisis numérico analizan estos y otros métodos numéricos para ecuaciones diferenciales con valores iniciales, con mucho más detalle que lo aqul expuesto. Un método, llamado el Método de Runge-Kutta de cuarto orden, tiene un error proporcional a h4. En la práctica, estos avanzados métodos se utilizan con más frecuencia que el Método de Euler, o incluso que el Método de Euler mejorado, pues sus errores son mucho menores. Los métodos avanzados son más complejos, aunque conservan el sabor iterativo de los dos métodos de Euler.
Repaso de conceptos 1. Para la ecuación diferencial y' = f(x, y), una gráfica de seg-
3. La formula recursiva para la aproximación de la solución de
mentos de recta cuyas pendientes son iguales a f(x, y) se llama
una ecuación diferencial mediante el Método de Euler es yn =
2. La base para el Método de Euler es que la a la solución en x0 será una buena aproximación a la solución en el interva-
lo[x0,x0 + h].
4. El Método de Euler mejorado utiliza el
timaciones de la pendiente en x,1 y x,.
de dos es-
510 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Conj unto deproblemas 11.5 En los pro blemas 1-4 se da un campo dependientespara una ecuación diferencial de la forma y = f(x, y). Use el campo de pendientes para bosquejar la solución que satisfaga la condición inicial dada. En cada caso, determine lIm y(x) y aproxime y(2).
y(1) = 3 y 20 18
16
y(0) = 5
14 12
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
y 20 18
10
6 16
/ / /// // // // 7/// /////// -77/ 77 // // /// // // /
/ / / /
I / / / /
/ / /
/ / / / / /
/ / /
/ / /
I / / / / / /
7// 7////////// / / / / / / II / -77 / / / / / / / / / / /
/
/ / / /
/ / / /
/ / / / / / /
/ / / /
/
/
/ / / / /
/
/ / /
/ I / / / /
/ /
-------------------- ------------------- ---------------------------- ------------- ----
//////////////////////// //77//////777//////7777// / / / / / / / / / / / / / / / / / / /7/ / /
y
\\\ \\ \\ \\ \\\ \\\ \\\ \\\\\\\\\\N
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
12
10
\NN
77777777777777777777/7/ / 777777777777777777777777 777777777777777777777777 777777777777777777777777 77777777777777777777777
7/ /'/ V / / 7/7// // // // //
\\\N
N
-7// 7//
7/ 7/ / // /// /// /// /// /// /// // / / / / / / / / / / ,,
/ / / / / / / / / / / / / / / / I
// /////// / / / /
/ /
/
/
A
/
/ III / /// / / / / III /
///////II /
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ \ \\\\ \\\\ \ \\\\ \\\\\\\ \ \ \ \ \ \ \\
16 14
/
/
I I
/ /
I
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
/
I
/
/
/
/
/
I
y
y 18
/
/ I
y(0) = 8
y(0) = 16 20
/ /
/ I / / / / /
y(0) = 6
\\\\\\\\\\\N \\\\\\\\\N \\\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ N \N
14
/ /
En los problemas 5y 6 se da un campo de pendientes para una ecuación diferencial de laforma y' = f(x, y). En ambos caos, cada solución tiene la misma asIntota oblicua (véase la sección 4.6). Bosqueje la solución que satisface la condición inicial dada y determine la ecuación de la asIntota oblicua.
y
16
/ / / / / / /
/
----------------------------------- --------------------- ---------------- ---------------
y(0) = 6
18
/ / / / / / /
/ / / /
/
- - - - ---
-----------------
20
/
-77/////////////// -_77//////// /// // /// // /// // //////
12
6
/ / /
77////// / / / / // ///////// /// // / / II / 777////// -77/////// / / / / / / I
14
10
/ / / / / / / / / /
/
12 10
x
x
SEccIóN 11.6
En los problemas 7-10, grafique un campo de pendientes para cada ecuación diferencial. Use el Método de separación de variables (sección 5.2) o un factor integrante (sección 7.6) para determinar una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial dada, y grafique la solución particular.
ICASI
y' =
y' = -ytanx,
y(0) = 1
Haga una tabla para comparar sus aproximaciones en el intervalo
Deduzca la relación y,, = yo(l + h)"
;y(0) = 3
Explique por qué YN es una aproximación de e.
aproximar la solución en el intervalo indicado.
y' = 2y, y(0) = 3, [0, 1] y' = -y, y(0) = 2, [0, 1] y' = x, y(0) = 0, [0, 1] y' = x2, y(0) = 0, [0, 1]
26. Suponga que la función f(x, y) depende solo de x. La ecuación diferencial se puede escribir entonces como
y' = f(x),
y(x0) = 0
Explique la forma de aplicar el Método de Euler a esta ecuación diferencial.
27. Considere la ecuación diferencial y' = f(x, y), y(x0) = 0 del ejercicio 26. Para este problema, sean f(x) = sen x2, x0 = 0 y h = 0.1.
y' = xy, y(l) = 1, [1,2] y' = -2xy, y(l) = 2, [1,2]
Integre ambos lados de la ecuación diferencial de x0 a
Ic Para los problemas 17-22, use el Método de Euler mejorado con h-0.2 en las ecuaciones de los problemas 11-16. Compare sus respuestas con las obtenidas mediante el Método de Euler.
23. En el ejemplo 4 se aplicó el Método de Euler mejorado a la ecuación y' = y, y(0) = 1, con h = 0.2,0.05 y 0.01. Aplique el Método de Euler mejorado con h = 0.1 y h = 0.005 a este problema. Calcule el error al aproximar y(l) = e y complete la siguiente tabla. LEs el error del Método de Euler mejorado proporcional a h, h2 o a alguna otra potencia de h? ICASI
0.005
con h = 0.2,0.1 y 0.05 a la ecuación
sitivo.
Ic En los problemas 11-16, use el Método de Euler con h=0.2 para
0.2 0.1 0.05 0.01
Ic 24. Aplique el Método de Euler y el Método de Euler mejorado,
25. Aplique el Método de Euler a la ecuación y' = y, y(0) = 1 con un tamaño de paso arbitrario h = 1/N, donde N es un entero po-
y' = -y; y(0) = 4 y' = x - y + 2;y(0) = 4
h
511
[0, 1.57] con la solución exacta y = cos x.
y;y(0) =
y' = 2x - y +
RevisiOn del capItulo
Error del Método de Euler
Error del Método de Euler mejorado
0.229962 0.124540 0.064984 0.013468 0.006765
0.015574 0.001091 0.000045
x1 = x0 + h. Para aproximar la integral, use una suma de Riemann con un solo intervalo, evaluando el integrando en el punto extremo izquierdo. Integre ambos lados de x0 a x2 x0 + 2h. De nuevo, para aproximar la integral, use una suma de Riemann con base en los extrernos izquierdos, pero con dos intervalos.
Continue el proceso descrito en las partes (a) y (b) hasta que = 1. Use una suma de Riemann con base en los extremos izquierdos de diez intervalos para aproximar la integral. Describa la forma en que se relaciona este método con el Método de Euler. 28. Repita los pasos a a c del problema 27 para la ecuación di-
ferencial y' = Vx + 1, y(0) = 0. Respuestas at repaso de conceptos:
1. campo de pendientes
recta tangente (o el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0) Yn-i + hf(x_1, Yn-i) 4. promedio
11.6 RevisiOn del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta. Si P(x) es el polinomio de Maclaurin de orden 2 para f(x), enton-
ces P(0) = f(0), P'(0) = f'(0), y P"(0) = f"(0). El polinomio de Taylor de orden n con base en a para f(x) es ünico; es decir, f(x) solo tiene un polinomio de este tipo.
La formula de Taylor con residuo contiene al Teorema del valor medio para derivadas como un caso particular.
Con una calculadora y la formula [f(a + h) - f(a)]/h, uno puede aproximar f'(a) con cualquier grado de precision deseado, haciendo h suficientemente pequeno. Siempre podemos expresar la integral indefinida de una función elemental en términos de funciones elementales.
f(x) = x5/2 tiene polinomio de Maclaurin de segundo orden.
El polinomio de Maclaurin de orden 3 para f(x) = 2x3 - x2 + 7x - 11 es una representación exacta de f(x). El polinomio de Maclaurin de orden 16 para cos x solo contiene potencias pares de x.
Si f'(0) existe para una función par, entonces f'(0) = 0.
La Regla del trapecio con n = 10 dará una estimación para IC x3 dx menor que el valor real. La Regla parabólica con n = 10 dará el valor exacto de
fx3 dx.
Métodos numéricos, aproximaciones
512 CAPITULO 11
Con una computadora y la Regla parabólica, siempre se puede
f(x)
aproximar haciendo
h
mx = (x - 1) -
1
(x - 1)2 +
1
suficientemente pequeflo.
La función f(x) = e_x2 + 6 en [-1,2]. Si f(x) =
(x - i) +
dx con cualquier grado de precisiOn deseado,
ax2 +
bx
+
c,
+
+ sen(x + 1) satisface
x2
n
(x - 1)" + R(x)
f(x)
LQué tan grande debe ser n para estar seguros de que 0.00005 si 0.8
entonces
Lfx dx = [f(-2) + 4f(0) + f(2)]. 15. Si f es continua en [a, y < 0, entonces ne una raIz entre a y b]
(_1)_1
f(a)f(b)
Rn(x)
1.2?
El 9. Consulte el problema 8. Use el polinomio de Taylor de orden 5 con base en 1 para aproximar f(x)
= 0 tie-
f 1.2
/
b.
16. Una de las virtudes del Método de bisección es su rápida conver-
lnxdx
10.8
gencia.
y dé una buena cota para el error cometido.
17. El Método de Newton producirá una sucesión convergente para la función f(x) =
El 10. Use la Regla del trapecio con n = 8 para aproximar [1.2
convergente a r (a menos que la primera estimación sea exactamen-
lnxdx
/
18. Si f'(x) > 1 en un intervalo abierto que contiene una raIz r de x = f(x), entonces el Método de punto fijo no producirá una sucesión
JO.8
y dé una cota para el error.
te r).
19. El Método de punto fijo permite hallar la maxima raIz de x = 5(x-x2)
LI
11. Use la Regla parabólica con n = 8 para aproximar [1.2
+ 0.01.
lnxdx
/
JO.8
20. El Método de punto fijo producirá una sucesión convergente pa-
ra x =
11 x +
Va/3.
a\.si a > 0 y la primera estimacion es mayor que
-)
y dé una cota para el error.
El 12. Calcule [1.2
21. La solución de la ecuación diferencial y' = 2y que pasa por el punto (2, 1) tiene pendiente 2 en ese punto. 22. El Método de Euler siempre sobrestima la solución de la ecuación diferencial y' = 2y con condición inicial y(0) = 1.
1.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden 1 para
lnxdx
JO.8
mediante el Teorema fundamental del cálculo. Sugerencia:D[x1nx - x] =
Problemas de examen muestra Ic
/
mx.
El 13. Use el Método de Newton para resolver 3x - cos 2x
= 0 con
f(x) = x cos x2 y üselo para aproximar f(0.2).
una precision de seis cifras decimales. Use x1 = 0.5.
El 2. Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x),
14. Use el Método de punto fijo para resolver 3x - cos 2x = menzando con x1 = 0.5.
y üselo para aproximar f(0.1).
(a) f(x)
xex
(b) f(x)
= coshx
Determine el polinomio de Taylor de orden 3 con base en 2 para g(x) = x3 - 2x2 + 5x - 7 y muestre que es una representación exacta de g(x).
Use el resultado del problema 3 para calcular g(2.1).
LI
0, co-
Use el Método de Newton para determinar la solución de x tan x = 0 en el intervalo (ir, 2ir) con una precision de cuatro cifras decimales. Sugerencia: Bosqueje las gráficas de y = x y y = tan x usando los mismos ejes para obtener una buena estimación inicial de x1.
Trate de usar el Método de punto fijo para la ecuación del problema 15. LPor qué no funciona?
Determine el polinomio de Taylor de orden 4 con base en 1 para
f(x)=1/(x+1).
Obtenga una expresión para el término del error R4(x) en el problema 5, y halle una cota para tal término si x = 1.2.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x (1 - cos 2x), y halle una cota para el error R4(x) si x
sen2 x =
0.2. Nota: Se obtiene una cota mejor si observa que R4(x) = R5(x) y luego acota R5(x).
El
8.
Si f(x) = ln x, entonces f(')(x)
= (-1)'(n - 1)!/x'.
AsI, el polinomio de Taylor de orden n con base en 1 para ln x es
Use el Método de Newton para determinar la maxima solución de ex - sen x = 0. Sugerencia: Comience bosquejando y = ex y y = sen x para obtener una estimación inicial x1. Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' = xy con condición inicial y(l) = 2 en el intervalo [1,2]. Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' = con condición inicial y(0)= 2 en el intervalo [0,2].
I
I
k
I
Polinornios de Maclaurin I. Preparación Determine el polinomio
Ejerciclo 1
de Maclaurin de orden 4 para cada uno de los siguientes:
x5
- 3x2 + x + 2x3 - 3x2 + x - x4 + 2x3 - 3x2 + x
x6
+
2x3
x4
x5
- x4 + 2x3 - 3x2 + x
1
hasta tener un error de a lo más 0.002. Muestre sus gráficas y explique su razonarniento. A continuación, utilice la fOrmula para el error, sección 11.1, para determinar qué tan grande debe ser n para garantizar que el error máximo sea a lo más 0.002. Ejercicio 5
1x
Obtenga aproximaciones en serie
(1) tan' x
de estas funciones en tomb de x = 0 y determine Ia primera p0tencia de x para la que difieran es-
1
1x tan1 x + Ejerciclo 2
Considere las dos funcio-
nes sen(tan x) y tan(sen x).
tas series.
1
1x
Como estas dos series se parecen mucho, usted podrIa pensar que
Con base en sus respues-
representan esencialmente a la
tas al ejercicio 1 (y tal vez de otros ejemplos), qué puede decir acerca del polinomio Maclaurin de orden 4
misma función. Grafique ambas funciones en los intervalos [0, in, [0, IT/2] y [0, ir/4]. Explique el comportamiento cerca de ir/2.
cuando f es en sí un polinomio? j,Qué puede decir acerca del polinomio de Maclaurin de orden 4 para la función
f+g?
II. Uso de Ia tecnologIa Suponga que queremos aproximar f(x) sen x para x en el Ejercicio 3
intervalo [0, 2ir]. Use su tecnologIa pa-
III
Reflexión
Ejercicio 6 Para aproximar la función seno, al igual que otras funciones trigonométricas, logarItmicas y exponenciales, las computadoras y calculadoras utilizan por lo general algün
lo cerca del punto x0.). Por ejemplo, no es de esperar que podamos usar el
mismo polinomio para aproximar sen(0.02) y sen(14.02). En este ejerci-
cio, usted utilizará la simetrIa de la función seno para hallar Reglas y aproximar sen x para cualquier x. Como la función seno es periódica con periodo 2ir, podemos usar
una aproximación de sen x en [0, 2in] para aproximar sen x (al menos teóricamente) para cualquier x. Dé un Método de aproximaciOn de sen x para cualquier
valor x usando solo la serie de Maclaurin en [0, 2ir]. j,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el error máximo sea menor que 0.000001?
En realidad, podemos hacer algo mejor. Use la simetrIa de la funciOn seno en torno del punto (11,0)
para dar un Método de aproximación de sen x para cualquier valor de x usando solo la serie de Maclaurin en [0, 7n1. j,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el
error máximo sea menor que 0.000001?
Podemos hacer algo todavIa mejor! Use otra propiedad acerca de Ia simetrIa de la función seno pa-
ra graficar las series de Maclaurin de orden n = 3,5,7,9 en la misma gráfiCa, junto con una gráfica de y = sen x. Además, grafique los errores sen x -
tipo de aproximaciOn polinomial. Para
funciones periódicas como el seno o el coseno, no es razonable suponer que podrIamos hallar una función po-
ra dar un Método de aproxima-
P,L(x) en el intervalo [0, 2ir].
linomial que aproxime a la función pa-.
claurin en [0, in/2]. LQué tan gran-
ra todos los nümeros reales x. (Re-
Ejercicio 4 Continuando con el ejercicio 3, incremente gradualmente n
cuerde que por lo general, Ia serie de Taylor es una buena aproximación so-
de debe ser n para garantizar que el error máximo sea menor que
cion de sen x para cualquier valor de x, usando solo la serie de Ma-
0.000001?
513
IE TECIILA 111.2
PRYECT
p
'
mtLegrlcv'.n numérica r1 'Iepala :uon
1
Errores en aproximaciones de
Ejer.rj J i I Aproxime Ia integral .
f2sen X x
n
dx
4 ;ubintervalos con los siguientes métodos: I Riemann por la izquierda (a) .Juma c.e (b ) Sima - - de L. Piemann por la derecha (c) u.xla - de 'emann con los puntos medios S IRer,h ". d&I trapecio
fr'
32
64 128
Rc g1a p trabOlica
256
El valoexc i ''to de esta integral es Si(2) - Si(1),donde Si es i", Ii" iflC161J srnci-integral, descrita en el proyecto tecnológico
- Si(1) aproximadamente 0.6593299064355120.
-
T=
[
+R
1024
Considere ahora la integral detLda :lnl A =
(2)
f2exdx
El valor exacto de A es e2 - e, que es aproxim lente 4.670774270471605. En cada una de las parter iguier ' des, complete los espacios V justifique sus respuet as. Al aproximar A, obtenemos aproximadan.nente Ia mis..ma precision usando la suma de Riemann p,or la i zquiPr - da con n = que la obtenida usa.ridio la Reghi del trapecio con = 20. -
i[1, + 2Mg]
'2n
512
Ejercicio 3
Pa t ecLnoIogIa
Ejer cici'c 2 Sean L, R y M, las sumas de Riemann por la i zquierd;,, por la derecha y con los puntos medios, resp .,ctiva .mentc,, sando n subintervalos, En el ejercicio 4 le pedi flos que muestre que Ia Regla ud trapecio y la Regla pan'1hólica se Pu ed en-- obtener a partir de estas tres sumas de Pi.eri -auLiji. COLfl'l)sigue: .ic
ahra,s uponga que esto es v'rc1adero. L_ Use estoc resul'
LaC os
T
16
L
Poi
-('-Jx
x
8
I
II. Usc ide
M
R
-
4
us'r iidcn =
1 i2. Si2)
L,,
2se nx
-rara aproximar
I
iSantlo los cinco métodos con n = 4,8,- 16,32,64, 128,256, "12's 1024. J:se la aproximac ion 0.6S299064355120 como si I uese exact p'ti"i " alculir los errt. res en los cinco métoor dc-s. C-nstruya ." y (oiiip1ete las si,,uientes tablas. -
Al aproximar A, obteneis aproximada me nt e la misr11a precision usando la Rela del inLpecio con = __quea obtenida usando la R. 'a parabuI "i wii :tr = 2i. Al aproximar A, obtenemos aproximad meinLLe La mism precision usando suma de WI emariiIn con puntos medios yn= que la obtenida usando hi Regla del trapecio conn = 1000. Al aproximar A, obtenemo p1 :in'adamente Ia mis-
ma precision usando a sum"a de .iemann por Ia iz quierda con n = qjue'Ia obeniáa usando la Reg1 parabOlica con n = 40.
Err.ores en aproximaciones de
n
R 4
8
M
f2senx
J
dx
III. Reflexión Pn
Ejerciclo 4 Muestre que la Reglr del uajecio ' y Ia Regla parabólica se pueden obtener de ia5 tir sumas .. de Riemann como sigue:
T=
a
J12
[L + R
=
[T + 2'
Ejercicio 5 El rror en i ii' ac' iarJee los d métodos Je integraciOn numérica e'.s on. ''nal a aiglina potencia .'e h.24 jalieela se° nau"la an,.,;1 r; determine si cada método tiene un error p"inorcion' I a h,h,2 , 3,oalgunaotra potencia de h. Explique Ia c'acioL "on. os errores establecidos en los Teor i( niu' LLS A..2A . y 11 .2 B.
rp
1
c14
I
I
V
LI'
Me todos
i
1
'IL
I
LI
I
C
.tin y '-le punto fijo 'sción, deT1i iw,.c de h;e::
I. Prerar.ac'n .ui .'e bisi ec;ióij,n,eJ Ill
HALpliqlu LC1M el _/Letod(J
E ieir 'iciu 1
de
'QL
r2 Ii sta seis cifras decimales. Sea f(x) = 3.lx(1 - x). Sobreponga la gráfica de y g(x) = f(f(x,)
i N.- wton y ci Méto-d de pare proxiJ m,ar l'i su 1u' 'unto Lit
cion d
- cos
'
= 0 con uTh ; ciii a rJecimai
S.
1
iso de Ia tecnol jia
II.
I
s. alge'oraic por fr rt-iclo 2 Iise " i sitt.na ,ata proximarla S01iui( co U" 5fl de
cofl'.tpLllta4J ora
-
r - I a! al oritmo Ii Ijercicio 3 Lnplane de nuno LA. fiio en U S iS[ i 1 1 Ii .ma algebraico. Use su programa par' apro.wii,n ,,.Jua; La oii ci ón de x = cos x. V
V
V
V
1
V
El algotitmo 1e punto lii' ) con(i'cCc Ufl rea Ic investigaciOn actual y sirve como niodelo posibh pai a
Ejercicio 4
.
V
turbulencia, uno de los ienómenos menos oi pr'.id 1(los ' r in- i J. ciencia. Los problemas de este e ierc :icio si ver
2
9.61x - 39.401
V
+ 59.582x3 - 29.791x4
sobre su grafca anterior y observe que r1 y r2 parecen ser las dos raices de x g'x donde g'(1 < 1. (c) A = 3.1, con.,inuación. Observe que f(r1) = r2 y que f(r2) = r1. Use esto para mostrar que g'(r1) = g'(r2). (d) A = En este caso, use la iteración para h.allar cuatro atractores:s 1' s,,s3 y s4.Trate de verde qué ecuación L son solución estos valores. (e) A = 3.56. Use la iteración para hallar ocho atractores. (f) A = '3 5', Si c o1_itirnia increm'ntando A mediante cantidades cada v.z1rnenores, duplicará el nümero de atractores en cada etapa, hasta que cerca de 3.57 obtendrá el caos. Ms allá de A = 3.57 ocurren otras cosas extrañas.
I
Lroduccion a esta excitante áia. Cada rob1( ia ILr tta de Ia V
V
tCUdCiOfl
C
Ejercicio 5
Ax"
(1) Co nforme
(a)
A
III. Reflexión Realice experirnentos similares al ejerCiCio
4 con
x)
x = Asenirx
A crece de 2 d 5.
2.5.Bosqueje1asgrcasc1ey = xy fJ .ei
")
(I
-
r "eu 'la ec"tción V
n los mismos ejt-,
) I)orV_V'FF' cuaciór' 'P C1 n
-
-
V
i: LA continuación, resueiv La -' '1 V rest get ri s kicilla, confir1aa1dc s1 3 uesta. 1(1 fi) --- 3.x)usai 11 = i(b)A- 3..Bosquejey V
1
.
do'.ios mismos ejes y rate oe esoi\ - r (1) mec.J'ant .a e> I en la II ción Ic purto fio. (Obs rve que I f'( ai.) '/cr'auey v i 'ie un ado a otro, pero se a c rc& a V
V
1
V
1
V
C
V
V
V
V
V
V
d -s valores r1 y r2,II'liainados 4tractres. Deterniiue rV 1y
Resuma JU. Jescubrimientos en un informe. Para una descripción amena de los extraflos fenómenos descritos en Iics & 1 ios '1- v 5, véase: r, VV uev.L Chac Ivia king ew L,cience. Jamr G1leick, York: P. guun iooks. F 1QJ7. Douglas R. I-'Jofstadter."Strange attra( to:- rs: ina th rn,'aIi-i cal patterns deii 'ate1' oisc ' bev.e.n ()rd er and c'hao s". it ican, vol. 245 novie1 " ScientificAr"i n1br de 19i 2T 1
jec.
aN.
V
V1
1
-
V
-
V
V
515
IL
1
Kepler naciO en Well,
Alemania, de un padre alcohOlico.
Cuando niño contrajo viruela, que Johannes le dejaron las manos lisiadas y pobreza
Johannes Kepler 1571-1 630
visual. Las desgracias persiguieron a
Kepler a lo largo de su vida. Su esposa y varios de sus hijos murieron. Su madre fue acusada de hechicerIa y él mismo sufriO persecuciOn durante las
revueltas religiosas del tiempo. Al lado de todo esto, a menudo padeciO de una alimentaciOn inadecuada. AUn asI,
perseverO en su trabajo cientIfico con
...yhoyendia Los satélites viajan a lo largo de órbitas elIpticas; el sistema de navegación LORAN utiliza hipérbolas; los espejos de los telescopios y las antenas parabOlicas de televisiOn tiene secciones transversales parabOlicas. Las cOnicas aparecen incluso en los negocios.
devociOn e imaginaciOn.
EstudiO matemáticas y astronomIa
en Ia Universidad de Tubingen. Nombrado como asistente de Tycho
Brahe en el observatorlo de Praga, adquiriO datos exactos sobre las Orbitas de los planetas. Estaba
convencido de que Dios habIa diseñado el mundo con una complacencia estética y en una forma matemática simple. Esta perspectiva lo atrajo hacia Ia belleza y armonla del sistema heliocéntrico de Copérnico, que puso al Sol, en lugar de Ia Tierra, en el centro del Universo. Las máximas contribuciones de Kepler fueron sus tres
eyes del movimiento planetarlo: (1) los planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno de sus focos; (2) Ia recta que
une al Sol con un planeta barre areas iguales en tiempos iguales; (3) el cuadrado del periodo de revoluciOn es proporcional al cubo del semieje mayor. Estas eyes, que Kepler hipotetizO sobre bases de observaciOn y necesidades
estéticas, más tarde Isaac Newton demostrO que eran consecuencias de su ley de cuadrados inversos sobre atracciOn de dos masas.
C AP P íI T TU U LLO CA 0
12
.
,
Cónicas COnicas y y coordenadas polares 12.1 La La parábola parabola Elipsesee hipérbolas hipérbolas 12.2 Elipses 12.3 Más 12.3 Más sobre ehpses elipses e hipérbolas 12.4 TraslaciOn 12.4 Traslación de ejes 12.5 Rotación de ejes ejes 12.5 Rotación 12.6 El Elsistema sistemade decoordenadas coordenadas polares 12.7 Gráficas Grá±icasde de ecuaciones ecuaciones polares polares 12.8 Cálculo en 12.8 Cáicuio en coordenadas polares 12.9 Revisión del 12.9 RevisiOn del capítulo capitulo 12.1 Rotaciones Proyecto de tecnologIa tecnología 12.1 Rotaciones en en el el plano piano Proyecto de tecnología tecnologia 12.2 Proyecto 12.2 Otro tipo de de rosa rosa
12.1 12.1
La parábola parabola La
dos hojas hojas yy haga haga pasar pasar pianos planos por por él, él, aa distintos distintos Considere un cono circular recto con dos ángulos, como la figura como secciones secciones se ángulos, como se se muestra muestra en Ia figura 1. 1. Las Las curvas curvas que que obtendrá como llaman, respectivamente, ilaman. respectivarnente. elipse, elipse.parábola parabola ee hipérbola. hipérbola. (También (También puede puede obtener obtener varias recta.) Estas Estas curvas curvas se se formas lIrnite: límite: un un círculo, cfrculo,un unpunto, punto, rectas rectas que que se se cortan, y una recta.) llaman ilaman secciones secciones cónicas, cónicas, oo simplemente cónicas. Esta definiciOn, definición, que debemos aa los los griegos, es es incómoda incOrnodayypronto prontoadoptaremos adoptaremos una una distinta. distinta. Se Sc puede puede mostrar que las griegos, las dos definiciones son consistentes.
Elipse
Parábola ParboIa
Hipérbola
Figura 11
517
518
COnicas y coordenadas polares
CAPiTULO 12
En el piano, sea tuna ilnea fija (La directriz) y Fun punto fijo (el foco) que no esté sobre la LInea, como en La figura 2. El conjunto de puntos P para los que el cociente de La distancia PF del foco entre La distancia PL a La recta es una constante positiva e (La excentricidad), es decir, los puntos que satisfacen
L
PF = ePL
S F
esunacónica.SiO < e < 1,lacónicaesunaelipse;sie = 1,esunaparábola;sie > 1,es una hipérbola. Al trazar Las curvas correspondientes a e = , e = 1, y e = 2, obtenenios las tres curvas que aparecen en La figura 3.
/2'
Figura 2
/2 /2'
Elipse (e =
Parábola(e= 1)
Hipérbola (e = 2)
Figura 3
En cada caso, las curvas son simétricas con respecto de la recta que pasa por el foco y es perpendicular a La directriz. Llamamos a esta recta el eje mayor (o simplemente el eje) de Ia cónica. Un punto donde Ia cOnica cruza a! eje es un venice. La paráboIa tiene un vértice, mientras que La elipse y La hipérbola tienen dos vertices.
La parabola (e = 1) Una parabola es eL conjunto de puntos P que son equidistancias de la directriz
y el foco F; es decir, los puntos que satisfacen
PF = PL Esta definición nos permite deducir la ecuación en xy, y queremos que ésta sea lo más sencilLa posible. La posición de Los ejes de coordenadas no tiene efectos sobre la curva, pero influye sobre La senciLLez de la ecuaciOn de La curva. Como una parabola es simétrica con respecto de su eje, es natural colocar uno de los ejes de coordenadas, como el eje x, a Lo largo del eje de La paraboLa. Ubicamos F, el foco, a La derecha del origen, digamos, en (p, 0); y La directriz a la izquierda, con ecuación x = p. Entonces el vértice está en el origen. La figura 4 muestra todo esto. La condición PF = PL y La formula de la distancia impiican
x=p Figura 4
-
Y
ÀY
F(O,p)
2= -
p)2 + (y - 0)2 =
(x + p)2 + (y
-
y)2
Después de elevar al cuadrado ambos Lados y simplificar, obtenemos = 4px Y=
= 4px
x'=4py Y
Y
EJEMPLO 1
x =p
. F(p,O)
YP
y = 4px
Determine el foco y Ia directriz de la parabola con ecuación y2 = 12x.
Solución Como y2 = 4(3)x, vemos que p = 3. El foco está en (3, 0); la directriz es la
recta x = 3. F(O,p)
Figura 5
Esto se llama la ecuación canónica de una parabola horizontal (con eje horizontal), que abre hacia La derecha. Observe que p > 0 y que p es La distancia del foco a! vértice.
x= 4jv
Hay tres variantes de La ecuación canónica. Si intercambiamos Los papeles de x y y, obtenemos La ecuación x2 = 4py. Esta es la ecuación de una parabola vertical con foco en (0, p) y directriz y p. Por Ultimo, si introducimos un signo menos en un Lado de Ia ecuación, esto hace que la parabola se abra en la dirección opuesta. Los cuatro casos se muestran en la figura 5.
SECCION 12.1
La parabola 519
Determine el foco y La directriz de la parabola x2 = y y bosqueje La
EJEMPLO 2
gráfica. . La forma de La Solución Escribimos x2 = 4()y, de donde concluimos que p ecuación nos dice que la paraboLa es vertical y que abre hacia abajo. El foco está en La gráfica aparece en La figura 6. (0, - ); La directriz es La recta y = .
x
Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen y foco en
EJEMPLO 3
(0,5).
Figura 6
So!ución
La parabola abre hacia arriba y p = 5. La ecuación es x2 = 4(5)y, es decir,
I
x2=20y.
Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen, que pasa por (-2, 4) y abre hacia La izquierda. Bosqueje La grafica. EJEMPLO 4
La ecuación tiene la forma y2 = 4px. Como (-2,4) esta sobre Ia grafica, 4p(-2), de donde p = 2. La ecuación deseada es y2 = 8x y su gráfica apare-
So!ución (4)2
=
ce en la figura 7.
La propiedad óptica Una propiedad geométrica sencilLa de una paraboLa es La base de muchas apLicaciones importantes. Si F es el foco y P es cualquier punto sobre La paraboLa, La recta tangente en P forma ángulos iguaLes con FP y La recta GP, que es paraLela al eje de La paraboLa (véase La figura 8). Un principio de la fIsica dice que cuando un rayo de luz toca una superficie reflej ante, el angulo de incidencia es igual al anguLo de reflexión. Esto impLica que, si una parabola se gira en torno de su eje para formar una capa reflej ante hueca, todos Los rayos de Luz que saLen del foco y tocan La capa se reflejan hacia fuera, paralelos aL eje. Esta propiedad de La parabola se usa en el diseflo de faros, con La fuente luminosa coLocada en el foco. RecIprocamente, se usa en ciertos teLescopios donde los rayos paralelos que Llegan desde una estreLLa distante se enfocan en un solo punto.
= -8x
Figura 7
Figura 8 P(x0, y0)
4 Q(?, 0)
Figura 9
F(p, 0)
EJEMPLO 5
Demuestre La propiedad óptica de La paraboLa.
So!ución En La figura 9, sea QP Ia recta tangente en P y sea GP La recta paralela aL eje x. Debemos mostrar que a = f3. Después de observar que L FQP = J3, reducimos eL probLema a mostrar que eL triángulo FQP es isósceLes. Primero obtenemos La coordenada x de Q. Al derivar y2 = 4px en forma impLIcita obtenemos 2y'y = 4p, de donde podemos concluir que La pendiente de La recta tangente en P(x0, y0) es 2p/y0. La ecuación de esta recta es /
y - y0 = Yo
- x0
520
CAPITUL0 12
COn icas y coordenadas polares
Al hacer y 0 y despejar a x tenemos y0 = (2p/y0)(x - x0), o y/2p. Ahora, y = 4px0, lo que implica, x = x0; Q es decir, x = x0;
x - x0
Q tiene coordenadas (x0, 0). Para mostrar que los segmentos FP y FQ tienen la misma longitud, usamos Ia formula de la distancia
FP =
- 2x0p + p2 + 4px0 - p)2 + y = =\/x+2x0p+p2=x0+p=FQ (x0
El sonido obedece las mismas leyes de reflexión que Ia luz; se usan micrófonos parabólicos para elegir y concentrar sonidos de, por ejemplo, una parte distante de un estadio. Los radares y radio-telescopios también se basan en este principio. Hay muchas otras aplicaciones de las parábolas. Por ejemplo, la trayectoria de un proyectil es una parabola si se desprecia la resistencia del aire y otros factores menores. El cable de un puente colgante con carga uniforme toma la forma de una paráboIa. Con frecuencia, los arcos son parabOlicos. Las trayectorias de algunos cometas son parabOlicas.
Repaso de conceptos El conjunto de puntos P que satisfacen PF = e PL (es de-
3. La parabola y = x2 tiene foco
cir, Ia distancia al foco es igual a e por Ia distancia a la directniz) es una
elipse si
, una parabola si
y directriz
y una hipérbola si
La ecuación canónica de una parabola, con vértice en el ongen y que abre a Ia derecha, es
4. Los rayos de una fuente de luz en el foco de un espejo parabólico se reflejarán en una direcciOn
Conj unto de problemas 12.1 En los problemas 1-8, determine las coordenadas delfoco y la ecuacion de Ia directriz para cada parabola. Haga un bosquejo que muestre laparábola, su foco y su directriz. 1. y2
4x
2. y2 = 12x
Determine Ia ecuaciOn de la parabola que pasa por el punto 5) si su vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje y. Haga un bosquejo. (6,
l6y
3. x2 = l2y
4. x2 =
5. y2 = x
6. y2 + 3x
7. 6y - 2x2 = 0
8. 3x2 -
0
=0
En los problemas 9-14, determine Ia ecuación canónica de cada parábola a partir de Ia informacion dada. Suponga que el vértice está en el origen.
9. El foco está en (2, 0)
16. Determine la ecuación de la parabola que pasa por el punto (-2, 4) si SU vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje x. Haga un bosquejo.
10. La directriz es x = 3
11. La directriz es y - 2 = 0
12. El foco esta en (0, -
13. El foco está en (-4, 0)
14. La directriz es y =
15. Determine la ecuaciOn de Ia parabola con vértice en el ongen y eje a lo largo del eje x si la parabola pasa por el punto (3, 1). Haga un bosquejo.
Determine Ia ecuación de la parabola cuyo vértice es el ongen y su eje es el eje y si la parabola pasa por el punto (-3, 5). Haga un bosquejo. En los problemas 19-26, determine las ecuaciones de Ia tangente y la normal a Ia parabola dada en el punto dado. Bosqueje Ia parabola, Ia tangente y Ia normal.
19. y2 = 16x, (1, 4)
20. x2 = 10y, (2V', 2)
21. x2 = 2y, (4, 8)
22. y2 = 9x, (-1, 3)
23. y2 = 15x, (-3, 3V)
24. x2 = 4y, (4, 4)
25. x2 = 6y, (3v', 3)
26. y2 = 20x, (2, 2'\/iiô)
SECCION 12.1
La pendiente de la tangente a la parabola
y2
5x en un cier-
to punto sobre Ia parabola es \//4. Determine las coordenadas de ese punto. Haga un bosquejo.
La pendiente de Ia tangente a la parabola x2 = l4y en un cierto punto sobre Ia parabola es 2\//7. Determine las coordena-
Determine la ecuación de la tangente a la parabola = 18x que es paralela a la recta 3x - 2y + 4 = 0.
Cualquier segmento de recta que pase por e! foco de Ia parábola, cuyos extremos estén en la parabola, es una cuerda focal. Demuestre que las tangentes a una parabola en los puntos extremos de cualquier cuerda focal se cortan en la directriz. Demuestre que las tangentes a una parabola en los extremos de cualquier cuerda focal son perpendiculares entre si (véase el problema 30). Una cuerda de una parabola, perpendicular al eje y a 1 unidad del vértice tiene longitud de 1 unidad. ,Qué distancia hay del vér-
521
intersección del lado recto con Ia recta que pasa por R y que es paralela al eje. Determine FR + RG y observe que esta suma es constante. Muestre que el conj unto de puntos equidistantes de un cIrcub y una recta fuera del cIrculo es una parabola.
Muestre que la cuerda focal de la parabola
das de ese punto. y2
La parabola
puntos extremos (x1, y1) y (x2, y2) tiene longitud x1 +
y2
= 4px con
+ 2p. Use es-
to para el caso particular del cálculo de la longitud L del lado recto.
Para Ia parabola y2 = 4px de la figura 12, P es cualquiera de sus puntos, excepto el vértice, PB es Ia recta normal, en P, PA es perpendicular al eje de la parabola, y A y B están sobre el eje. Determine AB y observe que esto es constante.
tice a! foco?
Demuestre que el vértice es el punto de una parabola más cercano al foco.
Un asteroide del espacio exterior es observado desde laTierra, y sigue una trayectoria parabólica con la Tierra en el foco. Cuando la ilnea de !a Tierra a! asteroide hace primero un angulo de 90° con el eje de !a parabola, se calcula que el asteroide está a 40 millones de millas. L,Qué tanto se acercará ef'asteroide a la Tierra (véase e! problema 33)? Considere a la Tierra como un punto.
CI 35. Resue!va el problema 34 suponiendo que el angulo mide 75° en vez de 90°.
Los cables de la parte central de un puente colgante tienen Ia forma de una parabola (véase el problema 41). Si las torres están separadas por una distancia de 800 metros y los cables están unidos a éstas en puntos que están a 400 metros arriba del suelo del puente, cuál es la longitud del poste vertical que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca la parte inferior del puente en el punto medio del mismo (figura 10).
Figura 12
Considere Ia plataforma de un puente, con un peso de ö libras por pie lineal, sostenido por un cable, que suponemos de peso despreciable en comparación con la plataforma. La sección de cable OP desde el punto más bajo (el origen) y un punto general P(x, y) aparecen en la figura 13. Las fuerzas que actUan en esta sección del cable son IEXP1
H = tension horizontal que jala en 0 T = tensiOn tangente en P
W=
= peso de x pies de la plataforma Para lograr el equilibrio, los componentes horizontal y vertical de T deben equilibrarse con H y W, respectivamente. AsI,
Tsen = tan Tcos4
=
H
Es decir,
dy
Figura 10
La cuerda focal perpendicular a! eje de una parabola es ellado recto. Para Ia parabola y2 = 4px en la figura 11, sea F el foco, R cualquier punto sobre la parabola a la izquierda del lado recto, y G la
Figura 11
dx - H'
y(0) = 0
Resuelva esta ecuaciOn diferencial para mostrar que el cable cuelga con la forma de una parabola. (Compare este resultado con el de un cable suspendido, sin carga, del problema 53 de la sección 7.8.)
Figura 13
522
CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares
42. Considere la parabola y = x2 en el intervalo [a, b] y sean c = (a + b)/2 el punto medio de [a, b], d el punto medio de [a, c] y
Muestre que A(T1) = (b - a)3/8. Muestre que A(T2) = A(T1)/4. Sea S el segmento parabólico determinado por la cuerda PQ. Muestre que el area de S satisface
IEXPLI
e el punto medio de [c, b]. Sea T1 el triángulo con vertices sobre la parábola en a, c y b y sea T2 la union de los dos triángulos con vertices en la parabola en a, d, c y c, e, b, respectivamente (figura 14). ContinUe construyendo triángulos de esta manera, obteniendo T3, T4,...
A(S) = A(T1) + A(T2) + A(T3) +
=
A(T1)
Este es un famoso resultado de ArquImedes, quien lo obtuvo sin coordenadas. Use estos resultados para mostrar que el area bajo y = x2 entre
aybesb3/3-a3/3. 43. ILustre los problemas 30 y 31 para la paraboLa y = x2 + 2 graficando (en la misma ventana de graficacion) la parabola, su directriz, su cuerda focal paralela al eje x y las rectas tangentes en los extremos de la cuerda focal. ICASI
a
d
e
b
x
Respuestas al repaso de conceptos: 1. e < 1; e = 1; e > 1 2. y2 = 4px 3. (0, 1); y = -1 4. paralela al eje
Figura 14
12.2
Elipses e hipérbolas
Recuerde que la cónica determinada mediante la condición PF = ePL ès una elipse si 0 < e < 1 y una hipérbola si e > 1 (véase La introducción a la sección 12.1). En estos casoS, la cónica tiene dos vertices, que llamamos A'y A. El punto del eje mayor a la mitad de La distancia entre A'y A es el centro de La cOnica. Las elipses y las hipérbolas son simétricas con respecto de sus centros (como demostraremos en breve) y por tanto, se LLaman cónicas centrales. Para deducir Ia ecuación de una cónica central, coLocamos el eje x a lo Largo del eje mayor, con el origen en eL centro. Podemos suponer que el foco es F(c, 0), que la directriz es x = k y los vertices son A'(-a, 0) y A(a, 0), con c, k y a positivos. Las dos disposiciones posibles aparecen en las figuras 1 y 2.
Elipse (0
Figura 1
x=k Hiperbola (e>1)
Figura 2
Elipses e hipérbolas 523
SECCION 12.2
La condiciOn que define a La cOnica, PF = ePL, aplicada prirnero a P = A y luego a P = A implica
a - c = e(k - a) = ek - ea a + c = e(k + a) = ek + ea Al despejar c y k en estas dos ecuaciones, obtenemos a
c=ea
k=-e
y
Sea P(x, y) cualquier punto en la elipse (o hipérbola). Entonces, L(a/e, y) es su proyección sobre la directriz (véase la figura 3 para el caso de La elipse). La condición
PF = ePL se convierte en
- ae)2 + y2 =
a2
e7(x
ej
Al elevar a! cuadrado ambos lados y agrupar términos, obtenemos la ecuaciOn equiva-
lente (por qué es equivalente?) 2a x2-2aex+a2e2+y2e2x2 x+a2\ e e2J 1
0
(1 - e2)x2 + y2 = a2(1 - e2) 0
2 + a2(1 - e2)
=1
Como esta ültima ecuación solo contiene potencias pares de x y y, corresponde a una curva simétrica con respecto de los dos ejes y del origen. Además, debido a esta si-
metrIa, debe haber un segundo foco en (ae, 0) y una segunda directriz en x = a/e. El eje que contiene a los dos vertices (y los dos focos) es el eje mayor, y el eje perpendicular a él (que pasa por el centro) es el eje menor.
EcuaciOn canOnica de Ia elipse
Parala elipse,0
es positivo. Para simplificar la notación, sea b = cién deducida asume la forma
a\/1
- e2. Entonces, la ecuación re-
2
x2
y
a2
b2
que se llama La ecuación canónica de una elipse. Como c = ae, los nOmeros a, b y c satisfacen la relación pitagórica a2 = b2 + c2. En Ia figura 4, el triangulo rectángulo sombreado exhibe La condición a2 = b2 + c2. AsI, el nOmero 2a es el diámetro mayor, mientras que 2b es el diámetro menor. Laelipse(O
Figura 4
524 CAPiTULO 12
COnicas y coordenadas polares
Considere el efecto de cambiar el valor de e. Si e está cerca de 1, entonces b = aV'l - e2 es pequeño con respecto de a; Ia elipse es delgada y muy excéntrica. Por otro lado, si e está cerca de 0 (cerca de la excentricidad nula), b es casi tan grande como a; la elipse es gorda y bien redondeada (figura 5). En ci caso iImite cuando b = a, la ecuación asume la forma
e cerca de I
x2 a
y
2
a
que es equivalente a x2 + y2 = a2. Esta es la ecuación de un cIrculo de radio a con centro en el origen.
e cerca de 0
Figura 5
Bosqueje la gráfica de
EJEMPLO 1
x2
36
+1 2
4
y determine sus focos y excentricidad.
Solución
Como a
6 y b = 2, calculamos
c=\/a2_b2=\/36_4=4\/5.66 Los focos están en (±c, 0) = (±4, 0), y e = c/a 4
36
0.94. La grafica se bosqueja
en la figura 6.
Las elipses bosquejadas hasta ahora se liaman elipses horizontales porque ci eje mayor es ci eje x. Si intercambiamos los papeles de x y y, tenemos ia ecuación de una elipse vertical:
Figura 6
y2
a2
EJEMPLO 2
+=1 x2
x2
0
b2
b2
+
y2
a2
=1
Bosqueje la gráfica de x2
16
2
+
25
=1
y determine sus focos y excentricidad.
Solución El cuadrado mayor está ahora bajo y2, lo que nos dice que el eje mayor es vertical. Observando que a = 5 y b = 4, concluimos que c = \/25 - 16 = 3. AsI, los focos son (0, ±3), y e = c/a = = 0.6 (figura 7).
EcuaciOn canOnica de Ia hipérbola Para la hipérbola, e> 1 y en cosecuencia e2 - 1 es positivo. Si b a\./e2 - 1, entonces ia ecuación x2/a2 + y2/(l - e2) a2 6
1, que dedujimos antes, asume la forma
25
Figura 7
x2
),2
a2
b2
Esto se iiama la ecuación canónica de una hipérbola. Como c ae, ahora obtenemos c2 = a2 + b2. (Observe que esto difiere de la relación correspondiente para una eiipse.) Para interpretar b, observe que si despejamos y en términos de x, obtenemos
y = ± - Vx - a2 Para x grande, x, Vx2 - a2 se comporta como x (es decir, (Vx2 - a2 - x) cuando x
,0
oc; véase ci problema 38) y por tanto y se comporta como
y=x 0 yx b
b
Más precisamente, la gráfica de Ia hipérboia dada tiene estas dos rectas como asIntotas.
SECCION 12.2
Elipses e hipérbolas 525
Los hechos importantes para Ia hipérbola se resumen en Ia figura 8. Como en ci caso de la elipse, existe un triánguio rectánguio importante (sornbreado en el diagrama) con catetos a y b. Este triángulo fundamental determina el rectángulo con centro en el origen que tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales extendidas de este rectángulo son las asIntotas arriba mencionadas. Lahipérbola(e> 1) ÀY a2
Y=
X
b2
C2 = a2 +
b2
. F(c,0)
F'(c, 0)
e= a
x
(1,
Figura 8 EJEMPLO 3
Bosqueje la gráfica de x2 1
16
9
mostrando las asIntotas. ,Cuáles son las ecuaciones de las asIntotas? ,Cuáles son los focos?
Solución Primero determinamos ci triangulo fundamental; tiene como cateto horizontal 3 y como cateto vertical 4. Después de dibujarlo, podemos indicar las asIntotas y
bosquejar la gráfica (figura 9). Las asintotas son y
\/a2 + b2
\/9 + 16
xyy
- x. Como c
5, los focos están en (+5, 0).
Dc nuevo, debemos analizar ci efecto de intercambiar los papeles de x y y. La ecuaciOn asume la forma Figura 9
y2
x2
a2
b2
ÀY
F
Esta es la ecuación de una hipdrbola vertical (eje mayor vertical). Sus vertices están en (0, ±a); sus focos están en (0, ±c). Para la elipse y la hipérbola, a siempre es la distancia dcl centro a un vértice. Para la elipse, a > b; para Ia hipérbola, no hay tal rcquisito. EJEMPLO 4
Determine los focos de x2
-- + y
4
2
9
1
y bosqueje su gráfica.
Solución Notamos de inmediato que ésta es una hipérbola vertical, determinada
// -2--
por el hecho de que el signo más se asocia al término a 3, b = 2, y c \/9 + 4 \/13 3.61. Los focos están en (0, +\/13) (figura 10). Aplicaciones
. F, /
/
4+4 = 1 ' // / Figura 10
Dc acuerdo con Johannes Kepler (1571-1630), los planetas giran alrededor dcl Sol en Orbitas elIpticas, con el Sol en uno de sus focos. Otros ejemplos de órbitas elIpticas son los satélites que orbitan la Tierra y los electrones que orbitan al nCcleo de un átomo. La maxima distancia de la Tierra al Sol es 94.56 millones de millas y su minima distancia es 91.45 milloncs dc millas. ,Cuál es la excentricidad de la órbita? ,Cuáles son los diámetros mayor y menor? EJEMPLO 5
526 CAPiTuL0 12
Cónicas y coordenadas polares
Solución Usamos la notación en la figura 11 y vemos que
a - c = 91.45
a + c = 94.56
Al despejar a y c en estas eduaciones, obtenemos a = 93.01 y c = 1.56. AsI,
e= £ a
1.56 93.01
0.017
y los diámetros mayor y menor (en millones de millas) son, respectivamente, 2a Figura 11
186.02
2b = 2\/a2 - c2
185.99
U
Existen otras aplicaciones de las elipses y las hipérbolas que surgen de las propiedades Opticas de estas durvas; analizaremos esto en la siguiente sección.
Repaso de conceptos La ecuación canónica de la elipse horizontal con centro en (0, 0) es
La ecuación canónica de la hipérbola horizontal con centro en (0,0) es
La ecuación en xy de la elipse vertical con centro en (0,0) que tiene diámetro mayor 8 y diámetro menor 6 es
La hipérbola x2/9 - y2/4 = 1 tiene asintotas
Conj unto deproblemas 12.2 En los problemas 1-8, dé el nombre de Ia cónica (elipse horizontal, hi-
Hipérbola con asIntotas 2x ± 4y = 0 y un vértice en (8,0)
pérbola vertical y asI sucesivamente) correspondiente a la ecuación dada.
Hipérbola vertical con excentricidad \//2 que pasa por (2,4)
2.=1
3.+-=1
4.+-=1
Elipse con focos (±2, 0) y directrices x = ±8 Hipérbola con focos (±4, 0) y directrices x = ±1
Hipérbola cuyas asIntotas son x ± 2y = 0 y que pasa por el punto (4, 3)
5.+=0 7. 9x2 +
=9
Elipse horizontal que pasa por (-5, 1) y (-4, 2)
8. x2 - 4y2 =
4
En los problemas 9-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación dada, mdicando sus vertices, sus focos y, si es una hipérbola, sus asIntotas.
Una entrada tiene Ia forma de un arco elIptico (una semielipse) tiene 10 pies de ancho y 4 pies de altura en el centro. Una caja de 2 pies de alto debe pasar por la entrada. i,Qué tan ancha puede ser la caja?
10.-=1
LQué tan alto es el arco del problema 31 a una distancia de 2 pies a la derecha del centro?
12.-+-=1
,Qué tan largo es el lado recto (cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor) para la elipse x 2/a 2 + y2/b2 = 1?
13. 16x2 + 4y2 = 32
14. 4x2 + 25y2 = 100
de la hipérbola x2/a2 -
15. lOx2 -
16. x2 -
9.g+-=1
= 100
=8
En los problemas 17-30, determine la ecuación de Ia cónica central dada. Elipse con un foco en (-3, 0) y un vértice en (6,0) Elipse con un foco en (6, 0) y excentricidad
Elipse con un foco en (0, 5) y excentricidad Elipse con un foco en (0, 3) y diámetro menor 8 Elipse con un vértice en (5, 0) y que pase por (2, 3) Hipérbola con un foco en (5, 0) y un vértice en (4, 0)
Hipérbola con un vértice en (0, 4) y un foco en (0, 5) Hipérbola con un vértice en (0, 3) y excentricidad
Determine la longitud del lado recto (véase el problema 33) = 1.
IC' 35. El cometa Halley tiene una Orbita elIptica con diámetros mayor y menor de 36.18 UA y 9.12 UA, respectivamente (1 UA es una unidad astronómica, la distancia media de la Tierra al Sol). i,Cuál es su distancia minima al So! (suponiendo que el Sol esth en un foco)? C
36. La Orbita del cometa Kohoutek es una e!ipse con excentrici-
dad e = 0.999925 con el Sol en un foco. Si su distancia minima al Sol es 0.13 UA, cuál es su distancia maxima al So!? Véase el problema 35. C' 37. En 1957, Rusia lanzó el Sputnik I. Su órbita elIptica en torno de la Tierra alcanzó sus distancias maxima y minima a la Tierra de 583 y 132 millas, respectivamente. Suponiendo que e! centro de la Tierra es un foco y que la Tierra es una esfera con 4000 mi!las de radio, determine la excentricidad de la órbita.
Más sobre elipses e hipérbolas 527
SECCION 12.3
-
Muestre que (\/x2 a2 - x) -> 0 cuando x gerencia: Racionalice el numerador.
oo. Su-
Para una elipse, sean p y q las distancias de un foco a los dos vertices. Muestre que b = Vpq, donde 2b es el diámetro menor. La rueda de Ia figura 12 gira a t radianes/segundo, de modo que Q tiene coordenadas (a cos t, a sen t). Determine las coordenadas (x, y) de R en el instante t y muestre que recorre una trayectoria elIptica. Nota: PQR es un triángulo rectángulo cuando P y R Q.
Sea P un punto en una escalera de longitud a + b, donde P está a a unidades del extremo superior. Conforme Ia escalera se desliza con su extremo superior en el eje y y su extremo inferior en el eje x, P describe una curva. Determine Ia ecuaciOn de esta curva. Muestre que una recta que pasa por un foco de una hipérbola y perpendicular a una asIntota interseca esa asIntota en la directriz más cercana al foco. Si una hipérbola horizontal y una hipérbola vertical tienen las
mismas asIntotas, muestre que sus excentricidades e y E satisfacen
e2 + E2
ty
= 1.
Sea C la curva de intersección de un cilindro circular recto y un plano que forma un ángulo 4) (0 < 4) < ir/2) con el eje del cilindro. Muestre que C es una elipse. EXPLI 45. En el mismo conjunto de ejes, trace las cOnicas ±(ax2 + 1)1/2 para 2 x 2 y 2 < y <2 usando a = 2,i, 0.5, 0.1, 0, 0.1, 0.6, 1. Haga una conjetura acerca del modo en que
I GC
y =
x
Ia forma de la figura depende de a.
Respuestas al repaso de conceptos: 2. x2/9
+ y2/16 =
3. x2/a2 - y2/b2 =
1
1. x2/a2 + y2/b2 1
4.
Figura 12
12.3
Más sobre elipses e
hipérbolas I)
f
) Elipse:
PF'
+ PP =
2a
Figura 1
En Ia sección 12.1 dimos la definición de excentricidad de la elipse y la hipdrbola. La
condición PF
ePL determina una elipse si 0 < e < 1 y una hipérbola si e > 1.
Esta definiciOn nos permitiO considerar a eStaS dos curvas de manera unificada. Muchos autoreS prefieren preSentar eStaS curvas por medio de las SiguienteS definiciones alternativas. Una elipse es el conjunto de todos los puntos P en el piano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva dada 2a. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva dada 2a. En este caso, la palabra diferencia se considera como la distancia mayor menos la distancia menor. Para interpretar estas definiciones geométricamente, estudie las figuras 1 y 2. Para la elipse, imagine una cuerda de longitud 2a clavada en sus dos extremos. Si un lápiz estira la cuerda, con su punta en P, éste se puede usar para trazar la elipse (véase también el problema 29). Nos referimos a las propiedades descritas en las nuevas definiciones como las propiedades cordales de la elipse y la hipérbola. Para nosotroS, estas propiedades deberlan ser consecuencia de Ia definición con excentricidad. Ahora las deduciremos.
DeducciOn de las propiedades cordales
Hipérbola:
Figura 2
IPF'IIPFII =2a
En la secciOn 12.2 señalamos que la
elipse y la hipdrbola tienen dos focos y dos directrices. Cuando tal curva se coloca en el sistema de coordenadas con el eje mayor a lo largo del eje x y el centro en el origen, los focos tienen coordenadas (+ae, 0) y las directrices tienen ecuaciones x = +a/e. Estos hechos se indican en la figura 3. AY
P(x, v)
F(ae, 0)
a
x
O
a
x=--a
a
e>1
528
CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
Si consideramos un punto arbitrario P(x, y) sobre la elipse, entonces, de la condi-
ción PF = e PL aplicada primero a! foco y a Ia directriz de la izquierda y luego a los correspondientes de la derecha, obtenemos
PF'
\\
(a PF=et--x =aex e /
a
e(x + - = ex + a ej
y asI
PF' + PF = 2a Ahora, consideremos la hipérbola con P(x, y) en su rama derecha, como se milestra en la parte derecha de Ia figura 3. Entonces 7
=ex+
a
e)
( a'\ PF=etx-ej =exa
ex + a
\
y entonces PF' - PF
2a. Si P(x, y) hubiese estado en la rama izquierda, tendrIamos 2a en vez de 2a. En cualquier caso,
- PF = 2a EJEMPLO 1 Determine la ecuaciOn del conjunto de puntos tales que la suma de sus distancias a (±3, 0) es igual a 10.
So!ución Esta es una elipse horizontal con a = 5 y c = 3. AsI, b = \/a2 y la eduación es x2
25
-
= 4,
,2
+
16
.
=1
EJEMPLO 2 Determine la ecuación del conjunto de puntos tales que la diferencia de sus distancias a (0, ±6) es igual a 4.
Esta es una hipérbola vertical - a2 = 32 = 4, y la ecuación es
So!ución c2
x2
32
Lentes
Las propiedades ópticas de las cónicas han sido utilizadas en la elaboración de lentes durante cientos de aflos. Una innovación reciente es la introducción de lentes variables para reemplazar los lentes bifocales en los anteojos. Comenzando por la parte superior, estos lentes se pulen de modo que la excentricidad varle continuamente de e < 1 a e 1 a e > 1, produciendo entonces secciones transversales horizontales que van de elipses a parábolas e hipérbolas, de modo que se permita una vision perfecta de los objetos a cualquier distancia, moviendo en forma adecuada la cabeza.
con a
2
y
c = 6. AsI, b
+=1
.
y2
4
Propiedades Opticas Considere dos espejos, uno con la forma de una elipse y ci otro con la forma de una hipérbola. Si un rayo de luz que emana de un foco toca al espejo, se reflejaré hacia el otro foco en el caso de la elipse y alejándose del otro foco en ci caso de Ia hipérbola. Estos hechos aparecen en Ia figura 4. Recta tangente
Recta tangente
F'(-c, 0)
c =j9
=8
Figura 4
Para demostrar estas propiedades Opticas (es decir, para mostrar que a = /3 en ambas partes de la figura 4), suponemos que las curvas están en posición canónica, de
Más sobre elipses e hipérbolas 529
SECCION 12.3
modo que sus ecuaciones son x2/a2 + y2/b2 = 1 y x2/a2 - y2/b2 = 1, respectivamente. Para la elipse, derivamos de manera impilcita y luego sustituimos (x0, y0), obteniendo asI La pendiente m de la recta tangente. 2x + =0 a2
b2
b2 x
=-; m=----a2yo La eduación de la recta tangente se puede escribir como b2 x0
YYo= Xoi
Yo
- xo) +
a2
xox
+
+ a2
b2
(x0)
- Yo) = 0
yoy
a2
2
a Yo
b2
=1
Una deducción similar para Ia hipérbola conduce a resultados similares, que resumimos en Ia siguiente tabla. Hipérbola
Elipse x2
Ecuación
-
Pendiente de la tangente en (x0,
m
0)
xox
EcuaciOn de Ia tangente en (x0, y0)
a2
+=1
x2
y2
b2x0 yoy b2
=1
b2x0
m
= a2y0 +
y2
---
b2
XoX
=1
a2
= a2y0
YoY_1
b2 -
Para calcular tan a para la elipse, recordamos (problema 40 de la sección 2.3) una formula para la tangente del ángulo medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde una recta a otra recta en términos de sus pendientes respectivas m1 y m:
tana = Yo - 0 Xo - c
a2y0
tan a
1+
1 + mm1
La recta FP y la recta tangente en P. Entonces
Ahora nos referimos a La figura 4 y sea
b2x0
rnrn1
(b2xo(Yo \.
0 a Yo / \X0 - C/
b2cx0 - (b2x + a2y)
- (a2
b2xo(xo - c) - a2y a2yo(xo - c) - b2x0y0 b2cx0 - a2b2
- b2)xo Yo - a2 cy0 - C2 X0 )'
b2(cxo - a2)
b2
cy0(cx0 - a2)
cyo
- a2 c'0
El mismo cálculo con c en vez de c da b2
tan(f3) = cyo de modo que tan /3 = b2/cy0. Concluimos que tan a = tan /3, y en consecuencia, a = /3. Una deducciOn similar establece el resultado correspondiente para la hipérbola.
530 CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares
Foco comün de Ia parabola y la hipérbola F Espejo I
,' \ hiper\bólico
F' Espejo Otro foco parabólico de Ia hipérbola Telescopio de reflexión
Aplicaciones
La propiedad de reflexión de la elipse es la base del efecto de Ia galerIa de murmullos que se puede observar, por ejemplo, en el Capitolio de Estados Unidos, el Tabernáculo de los Mormones y muchos museos de ciencia. Un orador parado en un foco se puede escuchar como un murmullo por otra persona en el otro foco, aunque su voz no sea audible en otras partes del cuarto. Las propiedades ópticas de la parabola y la hipérbola se combinan en el diseflo de un telescopio de reflexión (figura 5). Los rayos paralelos de una estrella se concentran
finalmente en el ocular en F La propiedad cordal de la hipérbola se usa en navegaciOn. Un barco en el mar puede determinar la diferencia 2a en su distancia a dos transmisores fijos midiendo la diferencia en los tiempos de recepciOn de seflales de radio sincronizadas. Esto coloca su trayectoria en una hipérbola, con los dos transmisores F y F'como focos. Si se usa otra pareja de transmisores G y G el barco debe estar en Ia intersección de las dos hipérbolas correspondientes (véase la figura 6). LORAN, un sistema de navegaciOn de largo alcance, se basa en este principio.
Figura 5
Barco
Figura 6
Repaso de conceptos Una elipse es el conjunto de puntos P que satisfacen PF + PF' = 2a, donde F y F'son puntos fijos Ilamados
Un rayo que emana de una fuente de Iuz en el foco de Ufl pejo elIptico se reflejará
es-
de Ia elipse.
De manera analoga, una hipérbola es el conjunto de puntos P que satisfacen
Un rayo que emana de una fuente de luz en el foco de Ufl Cspejo hiperbOlico se reflejará
Conjunto de problemas 12.3 En los problemas 1-4, determine Ia ecuaciOn del conjunto de puntos P que satisfacen las condiciones dadas:
La suma de las distancias de P a (0, ±9) es 26.
2
x2
27
9 2
x2
La suma de las distancias de P a (±4, 0) es 14. La diferencia de las distancias de P a (+7, 0) es 12. La diferencia de las distancias de P a (0, +6) es 10. En los pro blemas 5-12, determine Ia ecuación de la recta tangente a Ia curva dada en elpunto indicado.
+=1en(3,V)
5 x 6.
y
+-
= len(3 2,-2)
x2 x2
ien(,V)
+ y2 = 169 =
-
Cfl
(5, 12)
en (,
)
La curva del problema 1 en (0, 13) La curva del problema 2 en (7, 0) Si dos rectas tangentes a la elipse 9x2 + 4y2 = 36 intersecan al eje y en (0, 6), determine los puntos de tangencia. Si las rectas tangentes a la hipérbola 9x2 - y2 = 36 intersecan at eje y en (0, 6), determine los puntos de tangencia.
SECCION 12.4
-
- 35 = 0
en dos puntos de La hipérbola es - . LCuáles son las coordenadas de Los puntos de tangencia?
Determine las ecuaciones de las tangentes a La elipse
-2
x2 + 2y2
0 que son paralelas a la recta
3x - 3V2y - 7
= 0
Determine el area de La elipse b2x2 + a2y2
a2b2.
Determine el volumen del sOLido obtenido aL girar la elipse = a2b2 en torno del eje y.
b2x2 + a2y2
La region acotada por la hipérbola
una parabola y una elipse, en vez de una parabola y una hipérbola, como en el texto. Una bola colocada en un foco de una mesa de billar eLIptica se golpea con una fuerza tremenda, de modo que continua rebotando en las orillas de manera indefinida. Describa su trayectoria. Sugerencia: Haga un dibujo.
Si La bola del problema 26 está inicialmente en el eje mayor entre un foco y el vértice más cercano a éste, ,qué puede decir acerca de su trayectoria? Muestre que una elipse y una hipérbola con Los mismos focos se intersecan en angulos rectos. Sugerencia: Trace una figura y use las propiedades ópticas.
Describa un aparato cordal para construir una hipérbola.
b2x2 - a2y2 = a2b2 y una recta vertical que pasa por un foco se gira en torno del eje x. Determine el volumen del sólido resultante. Si La elipse del problema 18 se gira en tomb del eje x, determine el volumen del sólido resultante. Determine Las dimensiones del rectángulo con La mayor area posible que puede inscribirse en la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2. Suponga que Los Lados del rectánguLo son paralelos a los ejes de la elipse.
Muestre que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola está a La mitad de la distancia entre Los puntos donde la tangente interseca a las asIntotas. Determine el punto del primer cuadrante donde las hipérbo= 225 y 25x2 + l8y2 450 se intersecan. las 25x2 Determine los puntos de intersección de x2 + 4y2 = 20 y
x + 2y =
531
Bosqueje un diseflo de un telescopio de reflexión que use
La pendiente de la tangente a la hipérbola 2x2
TraslaciOn de ejes
(Hay varias posibilidades.) El sonido viaja a u pies/segundo y una bala de un rifle a v pies/segundo. El sonido del disparo de un rifle y el impacto de Ia baIa en el blanco se escucharon simultáneamente. Si el rifle estaba en A(c, 0), el blanco en B(c, 0) y la persona que escucha estaba en P(x, y), determine la ecuación de La curva donde está P (en términos de u,
vyc). Tres personas situadas en A(-8, 0), B(8, 0) y C(8, 10) registraron los instantes exactos en que escucharon una explosiOn. Si B y C escucharon La explosion al mismo tiempo y A la escuchó 12 segundos despuds, ,dOnde fue La explosion? Suponga que las distancias estan dadas en kilómetros y que el sonido viaja a kilometro/segundo.
Respuestas del repaso de conceptos: 1. focos. 3. hacia el otro foco
= 2a
2.
PF-
4. alejándose del otro foco
6.
1 2.4
Traslación de ejes
Hasta ahora hemos colocado las cónicas en un sistema de coordenadas de un modo muy especial, con el eje mayor a lo largo de uno de Los ejes de coordenadas y con el vértice (en el caso de una parabola) o el centro (en el caso de una elipse o una hipérbola) en el origen. Ahora colocaremos nuestra cOnica en una posición más general, aunque seguiremos pidiendo que el eje mayor sea paralelo a uno de Los ejes de coordenadas. En la sección 12.5 eLiminaremos esta restricciOn. El caso de un cIrculo es instructivo. El cIrculo de radio 5 con centro en (2, 3) tiene la ecuación
(x-2)2+ (y-3)2=25 o bien, en la forma desarrollada equivalente,
x2 + y2 - 4x -
= 12
El mismo cIrculo con su centro en el origen del sistema de coordenadas uv (figura 1) tiene la sencilla eduación
(x-2)2+(y-3)2=25 0 +
Figura 1
= 25
U2
+ v2 = 25
La introducción de los nuevos ejes no cambia la forma o el tamaflo de una curva, pero puede simplificar en gran medida su ecuación. Queremos estudiar esta traslación de ejes y el cambio de variable correspondiente en una ecuación.
532
COn icas
CAPITULO 12
y
P(x. v)
---- P(u. 4
(h, k)
U
x
;)
y coordenadas polares
Traslaciones
Si se eligen nuevos ejes en el piano, cada punto tendrá dos conjuntos de coordenadas: las coordenadas (x, y) con respecto de los ejes anteriores y las coordenadas (u, v) con respecto de Los nuevos ejes. Se dice que ias coordenadas originaies sufren una transformación. Si los nuevos ejes son paralelos, respectivamente, a los ejes originales, y tienen las mismas direcciones, ia transformación es una traslación de ejes. La figura 2 muestra La reLación entre las nuevas coordenadas (u, v) y las anteriores (x, y). Si (h, k) son las coordenadas anteriores del nuevo origen, entonces
Figura 2
u =
x - h,
v =
y-k
o, en forma equivaiente,
x=u+h, EJ EM PLO
y=v+k
Determine las nuevas coordenadas de P(-6, 5) después de una traslación de ejes a un nuevo origen en (2, 4). 1
Solución Como h = 2 y k
= 4, tenemos que
u=xh=-6-2=-8 vyk=5(-4)=9 Las nuevas coordenadas son (-8, 9). EJEMPLO 2 Dada laecuación4x2 + y2 + 40x-2y + 97 = O,determinelaecuación de su gráfica después de una traslación con el nuevo origen (-5, 1).
Solución En la ecuación, reemplazamos x por u =+ hu - Sy y por v + k = v + 1. Obtenemos
4(u-5)2+(v+1)2+40(u-5)-2(v+1)+97=o 0
4u2-40u+100+v2+2v+1+40u-200-2v_2+97=o Esto se simplifica como 4u2 + V2 = 4 0
u2 + 4
=
1
lo que reconocemos como La ecuaciOn de una elipse.
Completar el cuadrado
Dada una ecuación compleja de segundo grado, ,cómo sabemos cuái traslaciOn la simplificará y llevará a una forma reconocible? Podemos completar el cuadrado para eliminar los términos de primer grado de cualquier expresión de la forma
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=O, EJEMPLO 3
AO, CO
Haga una traslación que eLimine los términos de primer grado de
4x2+9y2+8x-90y+193=O y use esta información para bosquejar la gráfica de la ecuación dada.
Solución Recuerde que para completar el cuadrado de x2 + ax debemos agregar a2/4 (el cuadrado de La mitad del coeficiente de x). Usamos esto para reescribir La ecuación dada, sumando Los mismos nOmeros a ambos Lados.
SECCION 12.4
) + 9(y2 - lOy
4(x2 + 2x
Traslación de ejes 533
193
)
4(x2 + 2x + 1) + 9(y2 - lOy + 25) = 193 + 4 + 225
4(x+1)2+9(y5)236 (x+1)2 9
+
(y-5)2 4
=1
La traslaciOn u = x + 1 y v = y - 5 transforma esto en u2
v2
9
4
que es la forma canónica de una elipse horizontal. La gráfica aparece en la figura 3. EJEMPLO 4
U
Use una traslación para simplificar
y2 - 4x - l2y + 28 = 0 Luego, determine la cOnica que representa, enumere las caracterIsticas importantes de esta cónica y bosqueje su grafica.
Solución
Completamos el cuadrado.
y2 - l2y = 4x - 28
y2-12y+36=4x28+36 (y - 6)2 = 4(x + 2) La traslación u = x + 2, v = y 6 transforma esto en v2 = 4u, que reconocemos como una parabola horizontal que abre hacia la derecha, con p = 1 (figura 4). Ahora plantearemos una pregunta importante. ,Será cierto que Ia gráfica de una ecuación de Ia forma
Ecuaciones genera les de segundo grado
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 es siempre una cónica? La respuesta es no, a menos que admitamos ciertas formas iimite. La siguiente tabla indica las posibilidades, con una ecuación muestra para cada una. Cónica
Formas Ilmite
1. (AC = 0) Parabola: y2 = 4x
Rectas paralelas: y2= 4 Una recta: y2= 0
Conjunto vacIo: y2= 1 CIrculo: x2+y2= 4
2. (AC>0)Elipse:
9
4
0
Punto: 2x2+y2= 0 Conjunto vacIo: 2x2 + y2 = 1
=
Rectas que se intersecan: X
x2
3. (AC < 0) Hipérbola: --
x2
-
=0
AsI, las gráficas de la ecuación cuadrática general anterior caen en tres categorlas genéricas, aunque dan nueve posibilidades distintas, incluyendo formas ilmite. EJEMPLO 5
Use una traslación para simplificar 4x2
y bosqueje su gráfica.
-
- 8x -
-5=0
534 CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
Solución
y
Reescribimos la ecuación como sigue: 4(x2
-2
)=s
)(y2+6y
- 2x
4(x2_2x+1)_(y2+6y+9)=5+4_9
-
2u-=O
4(x-1)2(y+3)2=O Sean u = x - 1 y v = y + 3, lo que produce
2it+ p=O
4u2 -
=0
0
(2u - v)(2u + v) = 0
Figura 5
Esta es Ia ecuación de dos rectas que se cortan (figura 5). EJEMPLO 6 Escriba la ecuación de una hipérbola con focos en (1, 1) y (1,11) y vértices en (1,3) y (1,9).
Solución
El centro es (1, 6), a la mitad entre los vertices de un eje mayor vertical. AsI,
a = 3yc = 5,demodoqueb = \/c2 - a2 = 4. Laecuaciónes
Resu men
(y-6)2
(x-1)2
9
16
=1
.
Considere la ecuación general
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si A y C se anulan, tenemos la ecuación de una recta (siempre que, por supuesto, D y E no se anulen simultáneamente). Si al menos uno de los valores A y C es distinto de cero, podemos aplicar el proceso de completar el cuadrado. Obtenemos una de varias formas, siendo las más tIpicas
(y - k)2 = ±4p(x - h)
(xh)2 (yk)2 a2
+
b2
(xh)2
(yk)2
a2
b2
=1
-
Estas se pueden reconocer ya en esta forma como las ecuaciones de una parabola horizontal con vértice en (h, k), una elipse horizontal (si a2 > b2) con centro en (h, k) y una hipérbola horizontal con centro en (h, k). Pero para eliminar cualquier duda, podemos trasladar los ejes mediante las sustituciones u = x - h, v = y - k para obtener
= +4pu u2
v2
a2
b2
u2
v2
a2
b2'
Nuestro trabajo también puede producir esta ecuaciones con u y v intercambiados, o bien obtener una de las seis formas lImite ilustradas en la tabla anterior al ejemplo 5. No hay más posibilidades.
SECCION 12.4
Traslación de ejes 535
Repaso de conceptos La forma cuadrática x2 + ax se convierte en un cuadrado al sumar
3. Además del cIrculo, la elipse, la parabola y la hipérbola, otras gráficas posibles para una ecuación de segundo grado en x y y son
x2 + 6x + 2(y2 - 2y) = 3 es equivalente (después de corn, que es la pietar el cuadrado) a (x + 3)2 + 2(y - 1)2 = 4.
ecuación de una
La grafica de 4x2 -
= 0 consta de
Conjunto de problemas 12.4 Determine Ia distancia entre los vertices de
En los problemas 1-16, dé elnombre de Ia cónica oforma lImite representada por la ecuaciOn dada. Por lo general, deberá usar el proceso para completar el cuadrado (véanse los ejemplos 3-5).
9x2 + 18x + 4y2 + 24y = Determine los focos de Ia elipse
1.x2+y2-2x+2y+iO 2. x2 + y2 + 6x - 2y + 6 =
16(x - 1)2 + 2S(y + 2)2 = 400
0
Determine el foco y directriz de Ia parabola
3.9x2+4y2+72xl6y+l24O 4.
x2 - 6x + 4y + 3
16x2 - 9y2 + 192x + 90y - 495 =
En los problemas 35-44, determine la ecuaciOn de la cónica dada.
16x2 + 9y2 + 192x + 90y + 1000
-6
Elipse horizontal con centro (5, 1), diámetro mayor 10, diámetro menor 8
0
Hipérbola con centro (2, 1), vértice en (4, 1) y foco en
= 0
(5,i)
8.4x2+4y2+8x-28yll=O 3x2 + 3y2 - 6x + l2y + 60 = 4x2 -
- 2x + 2y + 1
Parabola con vértice (2, 3) y foco (2, 5)
0
Elipse con centro (2,3) que pasa por (6, 3) y (2, 5)
= 0
Hipérbola con vertices en (0,0) y (0, 6) y un foco en (0, 8)
11.4x2-4y2+8x+12yS=O 4x2 - 4y2 + 8x + l2y - 6 = 4x2 - 24x + 36 =
0
4x2 - 24x + 35 =
0
Elipse con focos en (2, 0) y (2, 12) y un vértice en (2, 14)
Parabola con foco (2, 5) y directriz x = 10
0
Parabola con foco (2, 5) y vértice (2, 6) Elipse con focos (+2, 2) que pasa por el origen
25x2 + 4y2 + 150x - 8y + 129 =
0
4x2 - 25y2 - 8x + iSOy + 129 =
0
Hipérbola con focos (0, 0) y (0,4) que pasa por (12, 9).
Una curva C que pasa por los tres puntos (-1, 2), (0, 0) y (3, 6). Determine una ecuación para C si C es
En los problemas 17-30, bosqueje la grafica de Ia ecuaciOn dada.
(x+3)2 4
+
(y+2)2 16
(y + 2)2
(x + 3)2
16
24
4
+
una parabola horizontal;
=1
un cIrcuio.
=1
21. (x + 2)2 = 23. (y - 1)2 =
4(x + 3) = (y + 2)2 22. (x + 2)2 4
(x+3)2
una parabola vertical;
4)2 = 25
(x + 3)2 + (y
(y-2)2 8
= 0
0
5.9x2+4y2+72xl6y+l6OO y2 - 5x -
9
=0
25.x2+4y2-2x+i6y+lO
16
1)
es constante). Dé el nombre de la cOnica y2 = Lx + Kx2 de acuerdo con el valor de K y luego muestre que en cada caso L es la longitud del lado recto de Ia cónica. Suponga que L 0. Muestre que las ecuaciones de la parabola y la hipérbola con
vértice (a, 0) y foco (c, 0), c > a > 0, se pueden escribir como
26.25x2+9y2+lSOxi8y+9O 27. 9x2 - l6y2 + 54x + 64y - 127 =
-
46. Los extremos de una cuerda elástica con un nudo en K(x, y) se unen a un punto fijo A(a, b) y un punto P en la orilla de una rueda de radio r con centro en (0, 0). Al girar la rueda, K describe una curva C. Determine la ecuación para C. Suponga que Ia cuerda KP/AP permanecetensayseestirauniformernente(esdecir,a
0
28.x2-4y2-14x32yll0
= 4(c - a)(x - a) y y2 = (b2/a2)(x2 - a2), respectivamente. Entonces use estas expresiones para y2 y muestre que la parabola siempre esta "dentro" de Ia rama derecha de Ia hipérbola.
29.4x2+16x-16y+320 x2 - 4x + 8y =
0
Determine el foco y directriz de la parabola
-
- lOx
= 0
1. a2/4 2. 14; elipse Respuestas al repaso de conceptos: 3. una recta, rectas paralelas, rectas que se cortan, un punto, el conjunto vaclo
4. rectas que se cortan
536 CAP1TULO 12
COn icas y coordenadas polares
12.5
RotaciOn de ejes
Considere Ia ecuaciOn más general de segundo grado en x y y:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 La nueva caracterIstica es la aparición del término del producto cruzado Bxy. ,Sigue siendo cierto que Ia gráfica es una cOnica o una de las formas lImite? La respuesta es afirmativa, pero el eje (o ejes) de la cónica se giran con respecto de Los ejes de coordenadas.
Rotaciones Introducimos una nueva pareja de ejes de coordenadas, los ejes u y v, con el mismo origen que los ejes x y y, pero girados un ángulo 0, como se muestra en la figura 1. Un punto P tiene entonces dos conjuntos de coordenadas: (x, y) y (u, v). Cuál es la relación entre ellos? Si r denota La longitud de OP, y 4 es ci ángulo desde el eje positivo de u hasta OP. Entonces x, y, u y v tienen la interpretación geométrica que muestra el diagrama. Si observamos ci triángulo rectángulo OPM, vemos que cos( Figura 1
de modo que
+ 0) =
= rcos(4 + 0) = r(cos4coso - sen4senO) = (rcos4)cosO - (rsen4)senO
A! considerar el triángulo OPN se muestra que u = r cos
y v = r = sen
. AsI,
x = ucosO - vsenO Un razonamiento similar conduce a
y = usenO + vcosO Estas formulas determinan una transformación liamada rotación de ejes. EJEMPLO 1 Determine La nueva ecuación que resulta de xy = 1 después de una rotación de ejes de 0 = ir/4. Bosqueje la gráfica.
Solución Las sustituciones pedidas son
y
x=ucos--vsen= 'IT
V
y = usenIT+ vcos-'1.
2
2
= 2
(uv) (u + v)
La ecuación xy = I asume la forma 2
(uv) v2 (u+v)=1
que se simplifica como u2
v2
xy = 0 u2
2
Figura 2
2
Reconocemos esto como la ecuación de una hipérbola, con a = b = V. Observe que ci término de producto cruzado ha desaparecido como resultado de La rotaciOn. La elección del ángulo 0 = ir/4 fue justo la correcta para lograr esto. La gráfica aparece en La figura 2.
DeterminaciOn del ángulo 0 ,COmo sabemos qué rotación hacer para eliminar el término de producto cruzado? Considere la ecuación
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O Si hacemos las sustituciones
x = ucosO - vsenO y = u sen 0 + v cos 0
Traslación de ejes
SECCION 12.5
537
esta ecuación asume La forma
du + ev +
au2 + buy + cv2 +
f=
0
donde a, b, c, d, e y f son nUmeros que dependen de 0. PodrIamos hallar Las expresiones de todos ellos, pero en realidad solo nos interesa b. Al hacer el algebra necesaria, vemos que
B(cos20 - sen20) - 2(A - C)senOcos0 = Bcos2O - (A - C)sen20
b =
Para que b = 0, necesitamos que
Bcos2O = (A - C)sen2O 0
cot20
AC =
B
Esta fOrmula responde nuestra pregunta. Para eliminar el término del producto cruzado, elegimos 0 de modo que satisfaga esta formula. En la ecuación xy = 1 del ejemplo 1, A = 0, B = 1 y C = 0, de modo que elegimos 0 tal que cot 20 = 0. Un angulo que funciona es 0 = ir/4. También podrIamos usar 0 = 3'n-/4 o 0 = 51T/4, pero se acostumbra elegir un ángulo en el primer cuadrante, es decir, elegimos 20 tal que 0 20 < 'n-, de modo que 0 < 0
Haga una rotación de ejes para eliminar el término de producto cruza-
do en 4x2 +
2xy + 2y2 + 10V'x + lOy
5
Luego bosqueje la gráfica.
Solución cot 20 =
lo que significa que 20
AC 4-2
1
2\/
B
\/E
-/3 y 0 = ir/6. Las sustituciones adecuadas son
uv
1
2
2
u+v 2
=
2
Nuestra ecuación se transforma primero en
(Vu - v)2 4
+2V'
(u - v)(u
+
v)
4
+2
(u +
+10
4
2
- v +10 u +
2
=5
y, después de simplificar, en 5u2 +
V2
+ 20u
5
Para escribir esta eduación en una forma reconocible, completamos el cuadrado.
5(u2+4u+4)+v2=5+20 (u + 2)2 5 4x2 + 2
\/xy +
+
(u±2)v' Figura 3
1 O\/x + I Oy = 5
+
v2
25
=
1
Identificamos la ültima ecuación como la de una elipse vertical con centro en u =
2
y v = 0 y con a = 5 y b = \/. Esto nos permite trazar la gráfica que se muestra en la figura 3. Si quisiéramos simplificar aUn más, harIamos la traslaciOn r = u + 2, s = v, lo cual produce la ecuación canónica r2/5 + s2/25 = 1.
538 CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
RotaciOn con un ángulo no especial
Nuestros dos ejemplos utilizaron rotaciones con los ángulos especiales i-/4 y /6, respectivamente. Los ángulos no especiales se controlan con las formulas para la mitad de un ángulo.
sen 0 = EJEMPLO 3
cos0 = +
Ii + cos20 I
2
Use una rotación para eliminar el término de producto cruzado en
x2 + 24xy + 8y2 = 136 Luego, bosqueje Ia gráfica.
So!ución
Elegimos 0 tal que
AC 1-8
cot20 (7, 24
B
7
24
24
Elegimos 20 como un ángulo en el segundo cuadrante, con (-7, 24) en su lado final; \/(_7)2 + (24)2 = 25 al origen (figura 4). Esto este punto tiene una distancia r implica que cos 20 = - . Al aplicar las formulas para la mitad de un ángulo tenemos
y
25
sen0=qI1+2
29
7
1
4
25
cos0=
5
2
5
AsI, 0 = sen1()
0.927 radianes 53.1°. A continuación usamos las fórniulas de rotación
x=uv y=u+v 4
3
Figura 4
4
3
Al sustituir estas expresiones en nuestra ecuaciOn, obtenemos
/3u-4v\2 +24 (3u-4v\(4u+3v\ 74u+3v2 +8 5 5 5 5 \ /
/\
\
1
/
=136
Esto se simplifica como
425u2 - 200v2
(136)(25)
0 u2
v2
8
17
La gráfica de la Ultima ecuación es una hipérbola horizontal en el plano uv, con centro en el origen (figura 5). Los ejes uv se giran con respecto de los ejes xy con el an-
gulo053.1°.
+ 24xy +
Figura 5
= 136 o
U
-
=1
El sistema de coordenadas polares
SECCION 12.6
539
Repaso de conceptos La ecuación más general de segundo grado en x y y tiene Ia forma El término de producto cruzado (el término xy) se puede eliminar mediante una rotación de ejes con un ángulo 0 que satisfaga cot 20 =
1 es una
La gráfica de la eduación xy
Para escribir una ecuación general de segundo grado de ejes y en forma canónica, primero hacemos una luego una de ejes.
Conjunto de problemas 12.5 En los problemas 1-12, elimine el término de producto cruzado
18. Recuerde que Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 se
mediante una rotaciOn adecuada de ejes y luego, en caso necesario, traslade los ejes (complete los cuadrados) para escribir la ecuación en forma canónica. Por áltimo, grafique la ecuación mostrando los ejes
transforma en au2 + buy + cv2 + du + ev + f = 0 bajo una rotaciOn de ejes. Determine las fOrmulas para a y c y muestre que a + c + A
girados.
19. Muestre que b2 - 4ac = B2 - 4AC (véase el problema 18). 20. Use el resultado del probLema 19 para convencerse de que Ia gráfica de una ecuación general de segundo grado será una parabola si B2 - 4AC = 0, una elipse si B2 - 4AC < 0, una hipérbola si B2 - 4AC > 0, o formas lImite de las cönicas anteriores. 21. Suponga que Ax2 + Bxy + Cy2 = 1 se transforma en au2 + cv2 = 1 mediante una rotación de ejes, y que A = 4AC - B2 0. Use los problemas 18 y 19 para mostrar que 1/ac = 4/A, 1/a + 1/c = 4(A + C)/A, 1/a y 1/c son los dos valores de
x2 + xy + y2 = 6 3x2 + lOxy + 3y2 + 10 =
4x + xy + 4y2 =
4xy -
= 64
4x - 3xy
= 18
0
56
11x + 96xy + 39y2 + 240x + 570y + 875 =
0
7._x2+7xy_y2_6Vx_6Vy=0 8..x2+xy+y2+Vx+Vy=13
5x2 - 3xy + y2 + 65x - 2Sy + 203 =
0
6x2 - Sxy - 6y2 + 78x + S2y + 26 =
0
C.
(2/A)(A + C + V( - C)2 + B2)
34x2 + 24xy + 4ly2 + 2SOy = -325
16x2 + 24xy + 9y2 - 20x - lSy - 150 =
+
0
22. Muestre que si A + C y A = 4AC - B2 son ambos positivos, entonces La grafica de Ax2 + Bxy + Cy2 = 1 es una elipse (o cIrculo) con area 2/V'. (Recuerde del probLema 17 de Ia sección 12.3, que el area de Ia elipse x2/p2 + y2/q2 = 1 es irpq.) 23. Para qué valores de B ocurre que la gráfica de x2 + Bxy + y2
La gráfica de x cos a + y sen a = d es una recta. Muestre que la distancia perpendicular del origen a esta recta es d, haciendo una rotación de ejes mediante el ángulo a. Transforme la ecuación x'2 + y"2 = a'12 mediante una
rotaciOn de ejes de 450 y luego eleve a! cuadrado dos veces para eliminar los radicales sobre las variables. Identifique Ia curva correspondiente. Despeje u y v en las formulas de rotaciOn, en términos de x y y.
Use los resultados del problema 15 para determinar las coordenadas uv correspondientes a (x, y) = (5, -3) después de una rotación de ejes de 600. Determine los puntos de x2 + l4xy + 49y2 = 100 más cercanos al origen.
= 1 es una eLipse?
un cIrculo? una hipérboLa?
dos rectas paralelas? 24. Use los resultados de los problemas 21 y 22 para determinar La distancia entre los focos y el area de La elipse
25x2 + 8xy + y2 =
1
25. Consulte la figura 1 y muestre que y = u sen 0 + v cos 0.
Respuestas al repaso de conceptos:
Dx + Ey + F =
0
2. (A -
C)/B
3.
1. Ax2 + Bxy + Cy2 + hipérbola 4. rotación,
trasLación
Dos franceses, Pierre de Fermat
(1601-1665)
y René Descartes (1596-1650), introduje-
12.6 ron lo que ahora se llama el sistema de coordenadas cartesianas, o rectangulares. Su
El sistema de coordenadas polares
idea fue especificar cada punto P en el plano, dando dos nUmeros (x, y), sus distancias dirigidas a una pareja de ejes perpendiculares (figura 1). Este concepto es ahora tan familiar que lo usamos casi sin pensar. AOn asI, es la idea fundamental en geometrIa analItica y permite el desarrollo del cálculo segOn lo dado hasta ahora. Dar las distancias dirigidas a una pareja de ejes perpendiculares no es Ia Onica forma de especificar un punto. Otra forma de hacer esto es dar sus coordenadas polares.
540 CAPiTULO 12
COn icas y coordenadas polares
Coordenadas polares Comenzamos con una semi-recta fija, ilamada el eje polar, que emana de un punto fijo 0, ilamado polo u origen (véase la figura 2). Por costumbre, el eje polar se elige como horizontal y apuntando hacia la derecha, por lo que podemos identificarlo con el eje x positivo en el sistema de coordenadas rectangulares. Cualquier punto P (distinto del polo) es la intersección de un Unico cIrculo con centro en 0 y un ünico rayo que emana de 0. Si r es el radio del cIrculo y 6 es uno de los angulos que el rayo forma con el eje polar, entonces (r, 0) es una pareja de coordenadas polares para P (figura 2). La figura 3 muestra varios puntos ubicados en una retIcula polar.
y
-, P(x,v)
0
x
Coordenadas cartesianas
(4.0
Figura 1
(
Coordenadas polares
Figura 3
Figura 2
Observe un nuevo fenOmeno que no ocurrIa con las coordenadas cartesianas. Ca-
da punto tiene una infinidad de coordenadas polares, debido a que los ángulos o + 2ii-n, n = 0, ±1, ±2,... tienen el mismo lado final. Por ejemplo, el punto con coordenadas polares (4, r/2) también tiene coordenadas (4, 5ir/2), (4, 9-/2), (4, -3ii-/2), y asI sucesivamente. Hay otras representaciones rnás, porque permitimos que r sea negativo. En este caso, (r, 0) está sobre el rayo opuesto directamente al lado final de 0 y a r unidades del origen. AsI, el punto con coordenadas polares (-3, ii-/6) es como se muestra en la figura 4, y (-4, 3/2) es otro conj unto de coordenadas para (4, ii-/2). El origen tiene coordenadas (0, 0), donde 0 es cualquier ángulo. (-3.
Ecuaciones polares
Algunos ejemplos de ecuaciones polares son
Figura 4
r=8senO y r=
2
1 - cosO
Las eduaciones polares, como las rectangulares, se visualizan mejor mediante sus gráficas. La grfica de una ecuación polar es el conj unto de puntos tales que cada uno tiene al menos un par de coordenadas polares que satisfacen la eduación. La forma más básica de bosquejar una grafica es construir una tabla de valores, ubicar los puntos correspondientes y luego unir estos puntos. Esto es precisamente lo que hace una calculadora gráfica 0 Ufl sistema algebraico por computadora para graficar una ecuación polar. EJEMPLO 1
Grafique la ecuación polar r = 8 sen 0.
Solución Sustituimos mültiplos de ir/6 para Oy calculamos los valores correspondientes de r. Véase la tabla de la figura 5. Observe que cuando 0 crece de 0 a 2ir, Ia gráfica de Ia figura 5 se recorre dos veces. EJEMPLO 2
Solución
Grafique r = Véase la figura 6.
1 - cos0
.
Observe un fenómeno que no ocurrIa con las coordenadas rectangulares. Las coordenadas (-2, 31?-/2) no satisfacen la ecuación. Pero el punto P(-2, 3ir/2) esta sobre la grafica, debido a que (2, ir/2) especifica al mismo punto y satisface la ecuaciOn.
El sistema de coordenadas polares
SECCION 12.6
(
9
r
0
0
it/6
4
6.93 8
2t/3
6.93
5it/6
4
It
(4,3g.)
(4!)
34i246 8
0
4 6.93 -8
0. o)
511/3
-6.93
(o.i)
1 litI6
-4
4ic/3
3it/2
Figura 5
(34)
(6.93,) (-6.93,)
it/2
7ir/6
it
Y' 2 (_8;t)
ic/3
541
= 8 sen 9
9 0 m/4
6.8
it/2
2
3ir/4
it
1.2 1
5it/4
1.2
3it/2
2
7ic/4
6.8
2it
Figura 6
Concluimos que un conjunto de coordenadas cuyo punto correspondiente está sobre Ia grafica de una ecuación no necesariamente satisface Ia ecuación. Este hecho causa muchas dificultades; debemos aprender a vivir con ellas.
RelaciOn con las coordenadas cartesianas Supongamos que ekeje polar coincide con el eje x positivo del sistema cartesiano. Entonces, las coordenadas polares (r, 0) de un punto P y las coordenadas cartesianas (x, y) del mismo punto se relacionan mediante las eduaciones
Figura 7
Polares a cartesianas
Cartesianas a polares
x = rcosO y = r sen 0
r2 = x2 + y2
tan0 = y/x
El hecho de que esto ocurre para un punto P en el primer cuadrante es claro de la figura 7; es fácil mostrarlo para los puntos de los demás cuadrantes. EJEMPLO 3
Determine las coordenadas cartesianas correspondientes a (4, i-/6) y las
coordenadas polares correspondientes a (-3, \/). Solución Si (r, 0) = (4, i-/6), entonces
x = 4cos
= 4.
y = 4 sen
=4
=2 =2
542 CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares
Si (x, y) = (-3, \/), entonces (véase la figura 8) r2 = (_3)2 + = 12
()2
tanO =
.
Un valor de (r, 6) es (2\/, 5r/6). otro es (-2\/, ir/6). Figura 8
A veces podemos identificar La gráfica de una ecuación polar encontrando su forma cartesiana equivalente. He aqul un ejemplo. EJEMPLO 4
Muestre que La gráfica de r = 8 sen 0 (ejempLo 1) es un cIrculo y que La gráfica de r = 2/(1 - cos 0) (ejempLo 2) es una parabola, cambiando ambas gráficas a coordenadas cartesianas.
Cuidado
Como r puede anularse, existen un peligro potencial de multiplicar ambos lados de una ecuación polar por r o de dividir ambos Lados entre r. En eL primer caso, estarfamos agregando el poio a La gráfica; en el segundo, podrIamos eliminar el polo de la gráfica. En el ejempLo 4 multiplicamos ambos lados de r 8 sen 0 por r, pero no causamos ningün daflo, pues el polo ya estaba en La gráfica, como eL punto con coordenada 0 iguaL a cero.
Solución Si multiplicamos r = 8 sen 6 por r, obtenemos r2 = 8r sen 0 Lo cuaL, en coordenadas cartesianas, es x2 + y2 y que podemos escribir en forma sucesiva como
x2 + y2 x2
+
-
=
0
y2 - 8y + 16 = 16 4)2 = 16
x2 + (y
Esta üLtima es La ecuación de un cIrcuLo de radio 4 con centro en (0, 4). La segunda ecuaciOn se maneja con Los siguientes pasos.
r
2
- 1 - cos0
r - rcosO = 2
r - x =2
r=x+2 r2 = x2 + 4x + 4 x2 + y2 = x2 + 4x + 4 y2 = 4(x + 1) Reconocemos La ililtima eduaciOn como La de una paraboLa con vértice en (-1, 0) y foco en el origen.
Ecuaciones polares para rectas, cIrculos y cónicas Recta
Figura 9
Si una recta pasa por
eL polo, tiene La ecuación senciLLa 0 = 0. Si La recta no pasa por eL polo, está a cierta distancia d > 0 de éL. Si O es el ánguLo entre eL eje polar y La perpendicular desde el polo hasta La recta dada (figura 9) y P(r, 6) es un punto cuaLquiera de La recta, cos(O -
O) = d/r,o P(r,9)
Recta: r
d
cos(0 - o)
Si un cIrcuLo de radio a está centrado en el polo, su ecuación es simpLemente r = a. Si está centrado en (r0, Os), su ecuación es más complicada, a menos que elijamos r0 = a, como en La figura 10. Entonces, por La Ley de Los cosenos, a2 = r2 + a2 -
2ra cos (0 - 0), que se simplifica como CIrculo
Figura 10
CIrculo: r = 2a cos(O - o)
543
El sistema de coordenadas pobres
SECCION 12.6
son particularmente agradables. El primero da r = 2a Los casos 00 = 0 y 00 = cos 0; ci segundo da r = 2a cos (0 - ir/2); es decir, r = 2a sen 0. Este ültimo debe cornpararse con ci ejemplo 1. Por ültimo, si una cónica (elipse, parabola o hipérbola) se coloca de modo que su foco esté en el polo y su directriz esté a d unidades de distancia, como en la figura 11,
P(r,9)
r'
entonces la ecuación familiar que define a la cOnica PF = ePL asume la forma F=O
= e[d - rcos(0 -
os)]
o, en forma equivalente, Cónica
ed
Cónica: r =
Figura 11
1 + ecos(0 - o)
De nuevo, hay un interés especial en los casos 00 0 y 00 = -/2. Observe en par1, d = 2 y 00 = 0, tenemos la ecuación del ejemplo 2. ticular que si e Resumimos nuestros resuitados en ia siguiente tabla. Resumen de ecuaciones polares
Tipo de figura
00=ir/2
00=0
Caso general
d
d
Recta
0
0
COS
= COS 0
sen 0
CIrculo
I
2ci cos (0 t9)
r 2u cos 0
r = 2a sen 0
d
Elipse (0 < e < 1) Parabola (e = 1) Hipérbola (e > 1)
0
/=
r=
+ e cos (0-
I +ecos9
/
- 1 + e sen 0
EJEMPLO 5 Determine la eduación de la elipse horizontal con excentricidad en el polo, y directriz vertical a 10 unidades a ia derecha del poio.
,
foco
Solución
r=
10
1 + cos0
=
10
2 + cos0
.
544 CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares EJEMPLO 6
Identifique y bosqueje la gráfica de r
7
= 2 + 4senO
Solución La ecuación sugiere una cOnica con eje mayor vertical. Al colocarla en la forma que se muestra en la tabla de ecuaciones polares obtenemos
r=
7
I
2 + 4senO
=
1 + 2senO
=
L.4
1 + 2senO
que reconocemos como la ecuación polar de una hipérbola con e = 2, foco en el polo y directriz horizontal, unidades arriba del eje polar (figura 12). Figura 12
Repaso de conceptos Cada punto del piano tiene una ünica pareja (x, y) de coordenadas cartesianas, pero parejas (r, 0) de coordenadas polares.
La gráfica de Ia ecuaciOn polar r = 5 es un fica de 0 = 5 es una
; la gr-
La gráfica de la ecuación polar r = ed/(1 + e cos 0) es una
Las relaciones x = yy= denadas cartesianas y polares; además,
ligan las coor-
= x2 + y2.
Conjunto de problemas 12.6 (1, (2,
1. Ubique ios puntos cuyas coordenadas polares son (3, (0, ir), (1, 4ii), (3, 1T), (, ir) y (4,0). 2. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3, 2ii),
T), (4,
7T), (4,ir), (0, 0), (1, 54T),(3,-ir), (i,ir) y (3, -7T). 3. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3, 2ir),
(-2,), (-2,hr), (-1, 1), (1, 4w), (V',ir), (-2,ir) y
(i, k).
4. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3,
(-2,ir), (-2,i), (-1,i), (1, 7w), (-3,rr), (-2,ir) y
(3,r).
5. Ubique los puntos con las siguientes coordenadas polares. Para cada punto, dé otras cuatro parejas de coordenadas polares, dos con r positivo y dos con r negativo.
(a) (i,i) (c) (V',-iT)
(b) (i,)
(d) (,)
(c) (,
(b) (i,) (d) (-22,
13. y 2 15. x2 + y2 = 4
16. x2 = 4py
En los problemas 17-22, determine las ecuaciones cartesianas de las graficas de las ecuaciones polares dadas.
17.On
18.r=3
19. rcosO + 3 = 0 rsen0 1 = 0
20. r
r2
25. r
27. r
7. Determine las coordenadas cartesianas de los puntos del problema 5.
31. r
8. Determine las coordenadas cartesianas de los puntos del probiema 6.
33. r
9. Determine las coordenadas polares de los puntos con las
35. r =
coordenadas cartesianas dadas.
(a) (3\/,3)
(c) (-2,)
(b) (-2\/,2) (d) (0,0)
10. Determine las coordenadas polares de los puntos con las coordenadas cartesianas dadas.
(a) (-3/, i/)
(b) (/2,
(c) (0,-2)
(d) (3,-4)
/2)
6r cos 0
ScosO = 0
4r sen 0 + 9 = 0
En los problemas 23-36, dé el nombre de la curva con Ia ecuación polar dada. Si es una cónica, dé su excentricidad. Bosqueje la grafica.
29. r
)
3y + 2 = 0
12. x = 0 14. x y = 0
11. x
23.r
6. Ubique los puntos con las coordenadas polares siguientes. Para cada punto, dé otras cuatro parejas de coordenadas polares, dos con r positivo y dos con r negativo.
(a) (3\&ir)
En cada uno de los problemas 11-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación cartesiana dada, y luego determine su ecuación polar.
24.0=
6 3
26. r
senO
28. r
4senO 4
30. r
1 + cosO 6
32. r
2+senO 4
34. r =
2 + 2 cos 0 4
+ cos(O
r)
36. r =
2ir 3
4 cos 0
4 cos U 4
1 + 2seno 6
4cos0 4
2 + 2 cos(0
ir/3)
4
3cos(0
T/3)
Muestre que la ecuación polar del cIrculo con centro (c, a) y radio a es r2 + c2 2rc cos (0 a) = a2. Demuestre que r = a sen 0 + b cos 0 representa un cIrculo, y determine su centro y radio. Determine la longitud del lado recto de Ia cónica general r = ed/[1 + e cos(0 0)] en términos de e y d.
SECCION 12.7
40. Sean r1 y r2 las distancias minima y maxima (perihelio yale-
lio, respectivamente) de Ia elipse r = ed/[1 + e cos(0 - os)] a un foco. Muestre que
= ed/(1 -
r1 = ed/(1 +
el diámetro mayor es = 2ed/(1 - e2) y el diámetro menor es =
2ed/\/1 - e2.
cometa es 1200 (medido desde el punto del perihelio con respecto del Sol at cometa) cuando el cometa está a 100 mittones de millas del Sol. ,Qué tanto se acerca et cometa at Sot? 44. La posiciOn de un cometa con una órbita eliptica altamente excéntrica (e muy cerca de 1) se mide con respecto de un eje p0-
127 Gráficas de ecuaciones polares (r.9
545
lar fijo (el Sot está en un foco pero el eje polar no es un eje de la elipse) en dos instantes, obteniendo los dos puntos (4, ir/2) y (3, ir/4) de la órbita. En este caso, las distancias se miden en unidades astronómicas (1 UA 93 millones de miltas). Para la parte de la órbita cercana
at Sot, suponga que e = 1, de modo que la órbita está dada por
r = d/[1 + ecos(0 Los dos puntos dan dos condiciones sobre d y 0. lilselas para mostrar que 4.24 cos 00 - 3.76 sen 00 - 2 = 0. Determine 00 mediante et método de Newton. ,Qué tanto se acerca el cometa al Sot?
41. El perihelio y el afelio de Ia órbita del asteroide caro son 17 y 183 millones de millas, respectivamente. ,Cuál es la excentricidad de su órbita elIptica? 42. La órbita de la Tierra airededor del Sot es una elipse de excentricidad 0.0167 y diámetro mayor 185.8 millones de millas. Determine su perihelio. 43. La trayectoria de cierto cometa es una parabola, con el Sot en et foco. El ánguto entre el eje de la parabola y un rayo del Sot at
Gráficas de ecuaciones polares
ICASI 45. Para graficar una ecuación polar, como r = f(t), usando un graficador de ecuaciones paramétricas, usted debe reemplazar esta ecuación por x = f(t) cos t y y = f(t) sen t. Estas ecuaciones se pueden obtener at multiplicar r f(t) por cos t y sen t, respectivamente.
Confirme el análisis de las cónicas dado en el texto, graficando r 4e/(1 + e cos I) para e = 0.1,0.5,0.9,1, 1.1 y 1.3 en [or, or].
Respuestas al repaso de conceptos:
1. una infinidad de
2. r cos 0; r sen 0; r2 3. cIrculo; recta 4. cónica
Las ecuaciones polares consideradas en la sección anterior condujeron a gráficas conocidas; principalmente, rectas, cIrculos y cónicas. Ahora centraremos nuestra atención en gráficas más exóticas: cardioides, limaçons, lemniscatas, rosas y espirales. Las ecuaciones potares de estas curvas siguen siendo sencillas; las ecuaciones cartesianas correspondientes son algo complicadas. AsI, vemos una de las ventajas de contar con más de un sistema de coordenadas. Algunas curvas tienen ecuaciones senciltas en un sistema; otras curvas tienen ecuaciones sencitlas en un segundo sistema. Explotaremos esto más adelante; con frecuencia, iniciaremos Ia solución de un problema eligiendo un sistema de coordenadas adecuado. La simetria nos puede ayudar a entender una grafica. AquI hay algunos criterios suficientes para ta simetria en coordenadas polares. Los diagramas at margen te ayudaran a establecer su vatidez.
La grafica de una ecuaciOn polar es simétrica con respecto del eje x (el eje polar) si at reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, IT - 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 1).
Figura 1
La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto del eje y (la recta 0 = IT!2) si al reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, ir - 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 2). La grafica de una ecuaciOn polar es simétrica con respecto del origen (el polo) si at reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, IT + 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 3).
Debido a la representación méltiple de los puntos en coordenadas polares, pueden haber simetrIas no identificadas por estos tres criterios (véase el problema 39).
Figura 2
Cardloides y Iimaçons (r, 0)
Figura 3
Consideremos ecuaciones de la forma
r = a ± bcos0
r = a ± bsen9
con a y b positivos. Sus graficas se llaman limaçons; los casos particulares en que a = b se liaman cardloides. La figura 4 muestraalgunas gráficas tipicas. EJEMPLO 1 Analice la ecuación r = 2 + 4 cos 0, verifique sus simetrIas y bosqueje su gráfica. So!ución Como coseno es una función par [cos(-9) = cos 0], la gráfica es simétrica con respecto del eje x. El otro criterio de simetria falla. La figura 5 contiene una tabta de valores y la grafica.
546 CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares o o
6
itI6
5.5
irI3
4
itI2
2
7m112
1.0
271:/3
0
371:/4
-0.8 -1.5
5it16 71
a>b
a=b
'-2
a
Figura 4
Figura 5
Lemniscatas
Las gráficas de r2
+ a cos 26
r2 = + a sen 26
son curvas con forma de figura de ocho, ilamadas lemniscatas. EJEMPLO 2
Analice la ecuación r2 = 8 cos 20 en busca de simetrIas y bosqueje su
gráfica.
So!ución
Corno cos(-26) = cos 26 y
cos[2(IT - 6)] = cos(2- - 26) = cos(-20) = cos26 la gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes. Es claro que además es simétrica con respecto al origen. La figura 6 muestra una tabla de valores y la gráfica.
0
±2.8
itIl2
±2.6
itI6
±2
71:14
0
.
Figura 6
Rosas
Las ecuaciones polares de la forma
r = acosnEJ
r = asenn6
representan curvas con forma de for ilamadas rosas. La rosa tiene n pétalos si n es impar y 2n pétalos si n es par. EJEMPLO 3
Analice r
4 sen 26 en busca de simetrIa y bosqueje su grMica.
Solución Puede verificar que r = 4 sen 26 satisface los tres criterios de simetrIa. Por ejemplo, cumple el criterio 1, pues
sen2(ir - 6) = sen(2ir - 26) = sen 26 de modo que al reemplazar (r, 0) por (r, r - 6) se obtiene una ecuación equivalente.
SECCION 12.7
Gráficas de ecuaciones polares
547
La figura 7 muestra una tabla con una lista con varios valores de 6 para 0 6 2ii-, y la gráfica correspondiente. Las flechas con menos valores para r/2 sobre la curva indican La dirección en que P(r, 6) se mueve cuando 0 aumenta de 0 a 2ir.
9
r
9
r
o
0
2m13
3.5
icIl2 it/8
2
57t/6
3.5
2.8
It
0
itI6
3.5
7it/6
3.5
m/4
4
4it13
3.5
ic/3
3.5
3ic/2
0
3ic/8
2.8
5it/3
Sm/12
2
llm/6
3.5 3.5
ic/2
0
2ir
0
r = 4 sen 20 U
Figura 7
Espirales La gráfica de r aO es una espiral de ArquImedes; la grafica de r = es una espiral IogarItmica. EJEMPLO 4
So!ución
Figura 8
Bosqueje la gráfica de r = 0 para 0
0.
Omitimos la tabla de valores, pero observe que Ia gráfica cruza el eje polar
en (0,0), (2r, 2-), (4r, 4w), ... y cruza su extension a Ia izquierda en (ir, or), (3ir, 3ir), (5-, It
5).....como en Ia figura 8.
3
En coordenadas cartesiapueden determinar resolviendo nas, todos los puntos de intersección de dos curvas se Las ecuaciones de las curvas en forma simultánea. Pero en coordenadas polares, esto no siempre es asI, pues un punto P tiene muchas parejas de coordenadas polares, y una pareja puede satisfacer La ecuaciOn polar de una curva y una pareja diferente puede satisfacer la ecuación polar de La otra curva. Por ejemplo (véase La figura 9), el cIrculo en dos puntos, eL polo y (2, ir/3) y aOn asI, soLo esr = 4 cos 0 corta a la recta 6 = te Ultimo punto es soluciOn comOn de las dos ecuaciones. Esto ocurre debido a que las coordenadas del polo que satisfacen La ecuaciOn de la recta son (0, ir/3) y aquellas que
IntersecciOn de curvas en coordenadas polares
Figura 9
satisfacen La ecuación del cIrcuLo son (0, -/2 + nir).
Nuestra conclusion es ésta: para determinar todas Las intersecciones de dos curvas dadas sus ecuaciones polares, resuelva Las ecuaciones en forma simultánea; luego grafique las dos ecuaciones con cuidado para descubrir otros posibles puntos de intersecciOn.
EJEMPLO 5 Determine lospuntos de intersecciOn de las dos cardioides r = 1 + cos 0 yr = 1sen 0.
1 -0sen 0. Si eLiminamos r de ambas ecuaciones, obtenemos 1 + =cos lo que da los dos sen 0,0 tan 6 1. Concluimos que 6 = - o 0 = AsI, cos 0 y (1 + \', ir). Sin embargo, las gráficas de puntos de intersección (1 - \[2, La figura 10 muestran que nos falta un tercer punto de intersección, el polo. La razón de su omisión es que r = 0 en r = 1 + cos 0 cuando 0 = -, pero r 0 en r = 1 - sen 0 cuando 0 = -/2. Solución
,
Figura 10
548 CAPiTULO 12
Cónicas y coordenadas polares
Repaso de conceptos La gráfica de r = 3 + 2 cos 0 es una La gráfica de r = 2 + 2 cos 0 es una
n es
La gráfica de r = 4 sen nO es una y 2n pétalos Si n es
con n pétalos Si
La grafica de r = 0/3 es una
Conjunto de problemas 12.7 En los pro blemas 1-32, bosqueje Ia grafica de Ia ecuaciOn polar dada y verifique su simetrIa (véanse los ejemplos 1-3). 1.
02
- v.2/16 =
3. rseno + 4 5. r = 2cOsO
0
= 0
2
7. r =
1 - cosO
2. (r - 3)(0 4. r = -4sec0 6. r
=
8. r
=
r = 1 - cosO,r = 1 + cosO r =
= 0
r = 5, r =
4sen0 4
r2 =
1 + senO
- \/sen0 (cardioide)
API = b. Determine la ecuaciOn po!ar y Ia ecuación rectangular para el conjunto de puntos P (ilamado concoide) y bosqueje su gráfica.
Sean F y F' puntos fijos con coordenadas polares (a, 0) y (-a, 0), respectivamente. Muestre que el conj unto de puntos P que satisface PFHPF'I = a2 es una lemniscata, determinando su ecua-
r = 2 - 3 sen 0 (limacon) r = 5 - 3 cos 0 (limacon)
ción polar.
4 cos 20 (leminscata)
Un segmento de recta L de longitud 2a tiene sus dos extremos en los ejes x y y, respectivamente. El punto P está sobre L y es tal que OP es perpendicular a L. Muestre que el conjunto de puntos P que satisface esta condiciOn es una rosa de cuatro pétalos, determinando su ecuaciOn polar. Determine la ecuaciOn polar de la curva descrita mediante las siguientes ecuaciones cartesianas. (a) y = 45 (b) x2 + y2 = 36 (c) x2 y2 = 1 (d) 4xy = 1 3x + 2 (e) y (f) 3x2 + 4y = 2 (g) x2 + 2x + y2 25 = 0 Las computadoras y calculadoras gráficas ofrecen una maravillosa oportunidad para experimentar con Ia graficacion de ecuaciones polares de laforma r = f(0). En algunos casos, estos apoyos requieren que las ecuaciones se escriban en forma paramétrica. Como x = r
r2 = 9 sen 20 (leminscata)
-16 cos 20 (leminscata)
r = 5 cos 30 (rosa de tres pétalos)
r = 3 sen 30 (rosa de tres petalos) r = 6 sen 20 (rosa de cuatro pétalos)
-
r = 4 cos 20 (rosa de cuatro pétalos)
-
r = 7 cos 50 (rosa de cinco pétalos)
r = 3 sen 50 (rosa de cinco pétalos) r = 0, 0
(espiral de ArquImedes)
r = 20, 0
(espiral de ArquImedes)
r = e°, 0
(espiral logarItmica)
r =
(espiral logarItmica)
e°'2, 0
cosO = f(0)cosoyy = rsen0 = f(0)sen0,ustedpuedeusarlacapacidad de graficacion paramétrica para graficar x = f (t)cos t y y = f (t) sen t como un conjunto de ecuaciones paramétricas. GC 44. Grafique Ia curva r = cos(80/5) usando la capacidad de graficaciOn paramétrica de su calculadora gréfica o computadora. Observe que es necesario determinar el dominio adecuado para 0. Suponiendo que comience en 0 = 0, usted debe determinar el valor de 0 que haga que la curva comience a repetirse a I misma. Explique por qué el dominio correcto es 0 <0 < 10-. 45. Relacione las ecuaciones polares con las gráficas etiquetadas 1-Vill en la figura 11,justificando sus elecciones. (a) r = cos(0/2) (b) r = sec(30) I
r r
, 0 > 0 (espiral recIproca)
=-
,
0 > 0 (espiral recIproca)
En los pro blemas 33-38, bosqueje las curvas dadas y determine sus puntos de intersección.
r =
6,r
=
4 + 4cos0
2\/sen0
Sean a y b némeros positivos fijos y suponga que AP es par-
r = 4 - 3 cos 0 (limacon)
r2 =
4cos2O,r =
te de la recta que pasa por (0, 0), con A sobre la recta x = a y
r = 1 - 2 sen 0 (limacon)
-9 cos 20 (leminscata)
6
1 + 2sen0
nes suficientes, pero no necesarias. Dé un ejemplo de una ecuación polar r = f(0) cuya grafica sea simétrica con respecto del eje y, aunque a! reemplazar (r, 0) por (-r, -0) o (r, ii- - 0) no se obtenga una ecuación equivalente.
r = 1 - sen 0 (card ioide)
r2 =
3sen0
Las condiciones para simetrIa dadas en el texto son condicio-
r = 5 - 5 sen 0 (cardioide)
r2
=
1 - 2cos0
r = 6senO,r
r = 3 - 3 cos 0 (cardioide)
r
3\/cos0,r
SEccION 12.7
(c)
r = 2 - 3sen(50)
r= (g) r (e)
(d) r
=
1 - 2sen(50)
(h) r
1/03/2
= 2cos3O
IV
V
VI
f(O -
a)?
51. Analice Ia familia de curvas dadas por r = a + b cos(n(O + 4))), donde a, b y 4) son nümeros reales y n es un entero positivo. Al responder las siguientes preguntas, asegürese de graficar un nUmero suficiente de ejemplos para justificar sus conclusiones. Cuál es Ia relación de las gráficas tales que 4) = 0 con aquellas Gd
IEXPLI
para las que 4) 0? Cómo cambia la gráfica al aumentar n? Cómo cambian la magnitud relativa y el signo de a y b a Ia naturaleza de la gráfica? Analice la familia de curvas definidas mediante las ecuaciones polares r = cos nO, donde n es algtmn entero positivo. L,Cómo de-
II
III
549
(d) Cuál es [a relación de la gráfica de r = f(0) con la gráfica de =
(f) r = OcosO
cos(O/4)
Gráficas de ecuaciones polares
pende el nümero de pétalos de n? Las gráficas polares se pueden usar para representar varias espirales. Las espirales pueden desenrollarse en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Determine las condiciones sobre c para que la espiral deArquImedes, r = cO, se desenrolle en un sentido o en el otro. Bosqueje la espiral logarlimica dada por r c/fL Para c > 0, i,se desenrolla en la direcciOn de las manecillas del reloj? Las siguientes ecuaciones polares son representadas por seis gráficas en la figura 12. Relacione cada gráfica con su ecuación. (a) r = sen3O + sen22O (b) r = cos2O + cos24O (c) r = sen4O + sen2SO (d) r = cos2O + cos23O (e) r = cos 40 + cos2 40 (f) r = sen 40 + sen2 40
II
VIII
VII
Figura 11
Gd En Los pro blemas 46-49, use una computadora o calculadora gráfica para graficar La ecuación dada. Asegárese de elegir un intervalo suficientemente grande para el parámetro, de modo que se pueda Irazar toda La figura. 46.
r =
Vi
- O.5sen2O
48. r = sen(50/7) IGC
IEXPL
47. r = cos(130/5) 49. r =
1
0.5 1
+ 3cos(O/3)
-3
50. En muchos casos, las gráficas polares están relaciona-
das entre si mediante una rotación. Aqul exploramos este concepto. i,Cul es la relación de las graficas de r = 1 + sen (0 - 'ir/3) y r = 1 + sen(O+ ir/3) conlagráficader = 1 + senO? ,Cuál es la relación de la gráfica de r = 1 + sen 0 con la gráfica de r = 1 - sen 0? i,Cuál es la relación de la gráfica de r = 1 + sen 0 con Ia grafica
der==1 +cos0?
2
'-0.5
-'.5 V
VI
Figura 12
Respuestas al repaso de conceptos: 3. rosa; impar, par 4. espiral
1. limaçon
2. cardioide
COn icas y coordenadas polares
550 CAPITULO 12
12.8
Cálculo en coordenadas polares
Los dos problemas básicos en cálculo son la determinación de la pendiente de una recta tangente y el area de una region curva. Aqul analizaremos ambos problemas, pero en el contexto de coordenadas polares. El problema del area juega un papel central en el resto del libro, asI que lo analizaremos primero. En coordenadas cartesianas, el bloque de construcción fundamental en problemas de area era el rectángulo. En coordenadas polares, es el sector circular (una region con forma de rebanada de paste!, como la de la figura 1). El hecho de que el area de un cIrculo es irr2 nos permite inferir que el area de un sector con ángulo central 0 radianes es (O/2ir)irr2; es decir,
Area de un sector:
A =
Or2
Area en coordenadas polares A =
Para comenzar, supongamos que r = f(0) determina una curva en el plàno, donde f es una función continua, no negativa para a 0 2'n-. Las curvas r = f(0), 0 = a y 0 = /3 acotan una region R (laque y /3 - a se muestra a la izquierda en la figura 2), cuya area A(R) queremos determinar.
9r2
Figura 1
6
Figura 2
Dividimos el intervalo [a, /3] en n subintervalos por medio de nUmeros a = 00 <
/6I /
< O, = /3, rebanando con esto a R en n regiones más pequefios con for01 < 02 < ma de rebanada R R ... R como se muestra en la mitad derecha de la figura 2. Es claro que A(R) = AR1) + (R2) + + A(R).
Aproximamos el area A(R1) de Ia i-ésima rebanada; de hecho, lo hacemos de dos formas. En el i-ésimo intervalo 0k], f alcanza su valor mInimo y su valor máximo, por ejemplo, en u1 y v respectivamente (figura 3). AsI, si AO, = O -
[f(u)]2
A(R)
[f(v)]2
y entonces n
n
n
[f(u)]2
A(R)
i=1
i=1
[f(v)]2 i=1
El primer y tercer miembros de esta desigualdad son sumas de Riemann de la misma in[/3
tegral:
J
[f(o) ]2 do. Si hacemos tender a cero la norma de la partición, obtenemos
(Principio del Emparedado) la formula para el area A =
f[f(o)]2do
Por supuesto, esta formula puede memorizarse, pero preferimos que recuerde cOmo se dedujo. De hecho, notara que las tres palabras familiares rebanada, aproximación e in-
SECCION 12.8
Puntos equicordales Las limaçons comparten con los cIrculos Ia propiedad de tener un
punto equicordal (un punto desde el cual todas las cuerdas tienen la misma longitud). Para la limacon r = 2 + cos 0, todas las cuerdas que pasan por el polo tienen longitud 4. Observe que esta limacon tiene area 9ir/2, mientras que el cIrculo correspondiente de diámetro 4 tiene area 4ir. AsI, el hecho de tener cuerdas iguales en todas las direcciones con respecto de un punto no basta para determinar el area. He aquI un famoso problema no resuelto, planteado por vez primera en 1916. Puede una region plana tener dos puntos equicordales? Una respuesta correcta a esta pregunta (ya sea un ejemplo de tal region o una demostraciOn de que tal region no existe) le harla famoso instantáneamente. Aün asI, le sugerimos que resuelva los problemas a! final de esta sección antes de enfrentar este
Cálculo en coordenadas polares
551
tegración son la dave para los problemas de area en coordenadas polares. Ilustraremos ahora lo que esto significa. EJEMPLO 1
Determine el area de la regiOn dentro de la limacon r = 2 + cos 0.
Solución La gráfica se muestra en la figura 4; observe que 0 varIa de 0 a 2ri-. Rebanamos, aproximamos e integramos. f(9) =2+ COS
AA
A = f(2 + cos 9)2d
Figura 4
Por simetrIa, podemos duplicar la integral de 0 a ir. AsI,
reto.
A=
f(2 + cosO)2d0 =
=
f4do + 4f
=
f
dO +
f(4 + 4cosO + cos20)dO
cosOd0 +
f(i + cos20)dO
4f cos 0 dO + fcos 20 +
+
['senoj
.
9T 2 EJEMPLO 2
2 dO
Determine el area de un pétalo de Ia rosa de cuatro pétalos r = 4 sen 20.
Solución
La rosa completa aparece en el ejemplo 3 de la secciOn anterior. Aqul el pétalo del primer cuadrante (figura 5). Este pétalo tiene 4 unidades de longitud y promedia cerca de 1.5 unidades de ancho, lo cual da 6 como estimaciOn de su area. El area exacta está dada por sOlo mostramos
AA 71/2
A=
Figura 5
(4+sen2O)2d9
552
CAPITuL0 12
COnicas y coordenadas polares Th712
A = 12J0 -I
16 sen2 20 dO = 8
1 - COS 40
L
2
dO
rr/2
4I Jo [49]T/2 EJEMPLO 3
do - I
cos 40
4 dO
Jo
2-
- [sen40]/2
Determine el area de la region fuera de la cardioide r = 1 + cos 0 y
dentro del cIrculo r senO. Solución Las gráficas de las dos curvas aparecen en la figura 6. Necesitaremos las coordenadas 0 de Los puntos de intersección. Tratemos de resolver las dos ecuaciones en forma simultánea.
1 ± cosO = \/sen0 1 + 2cosO + cos2O = 3sen2O 1 + 2 cos 0 + cos2 0 3(1 - cos2 o)
4cos2O + 2cos0 - 2 = 0 2cos2O + cos0 - 1 = 0 (2cosO - i)(cos0 + 1) = 0
cos0=
cos0=-1
o
0 01T
IT
0
AA A
- [3 sen2
=J
(1+ cos0)2] A0
[3 sen2O (1 + cos o)2]dO
Figura 6
Ahora rebanamos, aproximamos e integramos.
A 1f [3sen20 - (1 + coso)2]dO 2
/3
fiT
= - J [3sen2 0 - 1 - 2 cos 0 - cos2 0] dO 1
fiT[3
1
= 2 L/3 L =
(1 - cos 20) - 1 - 2 cos 0 -
hT
1 -
J[
cos 0
2 cos 20] dO
[-2seno - sen20]/3
1r =-12
2[
2
+
2
-
4
1.299
(1 + cos 20)1
Cálculo en coordenadas polares
SECCION 12.8
553
Tangentes en coordenadas polares En coordenadas cartesianas, la pendiente m de la recta tangente a una curva está dada por m = dy/dx. Rápidamente desechamos a dr/dO como la fOrmula correspondiente para la pendiente en coordenadas polares. Si r = f(0) determina La curva, escribimos y = rsenO = f(0)sen9 f(6)cosO x = rcosO AsI,
ty/tXO dy/dO ty Lx -- 1' zO zx/zX0 - dx/d0
dy
dx -Es decir,
m
f(0)coso + f'(0)seno = f(0)seno + f'(0)cosO
Esta fOrmula recién deducida se simplifica cuando La grafica de r = f(0) pasa por f(a) = 0 y f'(a) 0. el polo. Por ejemplo, supongamos que para algOn ánguLo a, r
Entonces (en el polo), nuestra formula para m es
f'(a)sena
f (a) cos a
tan a
Como la recta 0 a también tiene pendiente tan a, concluimos que esta recta es tangente a La curva en el polo. Deducimos el Otil hecho de que las rectas tangentes en el polo se pueden determinar resolviendo Ia ecuación f(0) = 0. Ilustramos esto a continuación. EJEMPLO 4
Considere la ecuación polar r = 4 sen 30.
Determine La pendiente de La recta tangente en 0 = 'n/6 y 0 = ir/4. Determine Las rectas tangentes en el polo. Bosqueje la grafica.
Determine el area de un pétalo. Solución
(a)
f(0)cose + f'(0)senO 4sen3Ocos0 + l2cos30sen0 + f'(0)cose - 4sen30sen0 + l2cos30cosO
f(0)seno En 0 =
41 m=
1
2 1
1
En 0 =
V\/ 2
4
2
2 2
+120-2
.-
=v3
+ 12 . 0.
- 12'2
12
2
2
2-6
2-62
1
2
Hacemos f(0) = 4 sen 30 = 0 y despejamos. Esto implica que 0 = 0, 0 = r, 0 = 4ii/3, y 0 = 5-/3. 0 = 2ii73, 0 Después de observar que sen 3(- - 0) = sen (3m- - 30) = sen 3'n- cos 30 - cos 3ir sen 30 = sen30 lo que implica simetrIa con respecto del eje y, obtenemos una tabla de valores y bosquejamos Ia gráfica que se muestra en La figura 7.
554 CAPiTULO 12
Cónicas y coordenadas polares
o o
ir/12 ir/6 ir/4 rt/3
5it/12 it/2
0 2.8 4
2.8 0
-2.8
-4
Figura 7
(d) A =
f(4 sen 30)2 dO =
8f
sen23O dO 13
4fIT/3 r
(1_cos60)d04f d0-
¶/3
4
cos6O 6d0 0
2
lir/3
[40 - -sen6O 3
= _]o
3
Repaso de conceptos La formula de la pregunta 1 conduce a la fOrmula para el area
A partir de Ia fOrmula de la pregunta 2, concluimos que el area de la region dentro de la cardioide r = 2 + 2 cos 0 se puede cxpresar como A =
A de la region acotada por la curva r = f(0) entre 0 = a y 0 = f3, es decir, A =
Las rectas tangentes a la curva polar r = f(0) en el polo se pueden determinar resolviendo la ecuación
La formula para el area A de un sector de un cIrculo de radio r y angulo 0 (en radianes) es A =
Conj unto de problemas 12.8 En los problemas 1-10, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación dada y determine el area de Ia region acotada por ella.
1. r
a,a >0
2. r = 2acos0,a >0
3. r = 2 + cos0
4. r = 5 + 4cosO
5. r = 3- 3sen0
6. r = 3 + 3sen0
7. r = a(1 + cosO),a > 0
8. r2 = 6cos2O
9. r = 9 sen 20
10. r2 = a cos 20, a > 0
Bosqueje la limaçon r = 3 - 4 sen 0 y determine el area de la region dentro de su ciclo menor. Bosqueje la limaçon r 2 - 4 cos 0 y determine el area de la region dentro de su ciclo menor.
Bosqueje Ia limaçon r = 2 - 3 cos 0 y determine ci area de la region dentro de su ciclo mayor. Bosqueje un pétalo de Ia rosa de cuatro pétalos r = 3 cos 20 y determine el area de la region encerrada por éste.
Bosqueje la rosa de tres pétalos r = 4 cos 30 y determine el area de toda la regiOn encerrada por ella. Bosqueje la rosa de tres pétalos r = 2 sen 30 y determine el area de la region encerrada por ella.
Determine el area de Ia regiOn entre dos cIrculos concéntri-
cosr = 7yr = 10. Bosqueje la region que está dentro del circulo r = 3 sen 0 y fuera de la cardioide r = 1 + sen 0, y calcule su area. Bosqueje la region que está fuera del cIrculo r = 2 y dentro de la lemniscata r2 = 8 cos 20, y calcule su area. Bosqueje la limaçon r = 3 -6 sen 0 y calcule el area de la región que está dentro de su ciclo mayor, pero fuera de su ciclo menor. Bosqueje la region en el primer cuadrante que está dentro de la cardioide r = 3 + 3 cos 0 y fuera de la cardioide r 3 + 3 sen 0 y determine su area.
Bosqueje la regiOn en el segundo cuadrante que está dentro de la cardioide r = 2 + 2 sen 0 y fuera de la cardioide r = 2 + 2 cos 0 y determine su area. Determine la pendiente de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes, en 0 = r/3. (a) r = 2 cos 0 (b) r 1 + sen 0
(c) r = sen 20
(d) r = 4 - 3 cos 0
Determine todos los puntos de la cardioide r = a(1 + cos 0) tales que la recta tangente sea
(a) horizontal, y
(b) vertical.
SECCION 12.9
25. Determine todos los puntos sobre la limaçon-r = 1 - 2 sen 0 donde la recta tangente sea horizontal. 26. Sea r f(0), donde f es continua en el intervalo cerrado [a, /3]. Deduzca la siguiente fOrmula para la longitud L de la curva polar correspondiente de 0 = a a 0 = /3.
L =
fV[f(o)]2
+ [f'(o)]2do
27. Use la fOrmula del problema 26 para determinar el perImetro de Ia cardioide r = a(1 + cos 0).
28. Determine la longitud de la espiral logarItmica r = 0 =
OaO
RevisiOn del capItulo
555
34. Segundo problema del chivo Resue!va el problema 33 de nuevo, pero suponga que el estanque tiene una cerca alrededor, de modo que, al formar la cufla A, la cuerda se enrolla en tomb de la cerca (figura 9). Sugerencia: Si usted es muy ambicioso, trate de usar el metodo de esta secciOn. Pero también puede notar que en la cuña A,
lo que conduce a una suma de Riemann para una integral. La respuesta final es a2(irk2/2 + k3/3), resultado que necesitamos en el problema 35.
e012 de
LAA
2ir.
29. Determine el area total de la rosa r = a cos nO, donde n es un entero positivo. 30. Bosqueje la gráfica de Ia estrofoide r = sec 0 - 2 cos 0 y determine el area de su ciclo.
31. Considere los dos cIrculos r = 2a sen 0 y r = 2b cos 0, con a y b positivos.
Determine el area de la region dentro de ambos cIrculos. Muestre que los dos cIrculos se intersecan en ángulos rectos.
32. Suponga que un planeta de masa m gira airededor del Sol (localizado en el polo) con momento angular constante mr2 dO/dt. Deduzca la Segunda Ley de Kepler: La lInea del So! al planeta barre areas iguales en tiempos igua!es.
33. Primer probiema del chivo Un chivo está atado a la orilla de un estanque circular de radio a mediante una cuerda de longitud ka (0 < k 2). Use el método de esta sección para hallar su area de pastado (el area sombreada de la figura 8). Nota: Ya reso!vimos este problema antes (problema 63 de la sección 7.7); usted debe lograr que sus respuestas coincidan.
Figura
9
35. Tercer problema del chivo Un chivo no atado pasta dentro de un terreno comprendido dentro de una cerca circular de radio a; otro chivo pasta atado fuera de la cerca del prob!ema 34. Determine la longitud de !a cuerda silos dos chivos tienen la misma area de pasIC
tado.
Use una computadora para resolver los problemas 36-39. En cada caso, asegtrese de hacerprimero una estimaciOn mental. Observe Ia formula de Ia longitud en elproblema 26. ICASI
Determine las longitudes de las limaçons r = 2 + cos 0 y r = 2 + 4 cos 0 (véase el ejemplo 1 de esta sección y el ejemplo 1 de la sección 12.7).
Determine el area y Ia longitud de la rosa de tres pétalos r = 4 sen 30 (véase el ejemplo 4).
Determine el area y la longitud de la lemniscata r2 = 8 cos 20 (véase el ejemplo 2 de Ia sección 12.7). Trace la curva r = 4 sen(30/2), 0 ne su longitud.
4, y luego determi-
Respuestas al repaso de conceptos: 1. r20 2.
Figura
8
3.f(2 + 2cosO)2d0 4.f(0) =
f[f(o)]2 du
0
12.9 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
Un vOrtice de !a elipse esté mas cerca de una directriz que de un foco.
El punto sobre una parabola mas cercano a su foco es el vértice.
La grafica de y = ax2 + bx + c es una parabola para todas las opciones de a, b y c.
Las hipérbolas x2/a2 - y2/b2 = 1 y y2/b2 - x2/a2 = 1 tienen las mismas asIntotas.
El vértice de una parabola está a !a mitad entre el foco y la direc-
LacircunferenciaCdelaelipsex2/a2 + y2/b2 = 1,conb < a,satisface 2irb < C < 2ira.
triz.
Cónicas y coordenadas polares
556 CAPITULO 12
(1) sin gráfica
(2) un ünico punto
(3) una ünica recta
(4) dos rectas paralelas
La elipse 6x2 + 4y2 = 24 tiene sus focos sobre el eje x.
(5) dos rectas que se intersecan
(6) un cIrculo
La ecuación x2 - y2 = 0 representa una hipérbola.
(7) una parabola
(8) una elipse
La ecuaciOn (y2 - 4x + 1)2 = 0 representa una parabola.
(9) una hipérbola
(10) ninguna de las anteriores
Mientras menor sea la excentricidad e de una elipse, más circular será la elipse.
Si k
= k es una ecuaciOn de una hipérbola.
0, x2/a2 -
Sik0,x2/a2 + y2/b2
= k es una ecuación de una elipse.
La distancia entre los focos de la gráfica de x2/a2 + y2/b2 = 1 es 2*\/a2 - b2.
(a) x2 - 4y2 =
0
(b) x2 - 4y2
0.01
(c) x2 - 4 =
0
(d) x2 - 4x + 4
La gráfica de x2/9 - y2/8 = 2 no interseca al eje x. La luz que emana de un punto entre un foco y el vértice más cercano de un espejo elIptico se reflejará más allé del otro foco.
(e) x2 + 4y2 = 0
El conjunto de puntos equidistantes del cIrculo x2 + y2 = 1 y la recta x = 3 es una parébola.
(g) x2 + 4y2
La Ley de Kepler sobre las areas barridas nos permite concluir que un planeta, en su órbita elIptica airededor del Sot, aicanza su yelocidad maxima en ci vértice más cercano al Sol. Una elipse que se traza usando una cuerda con 8 unidades de ion-
gitud unida a 2 focos a 2 unidades de distancia tendrá un diámetro unidades. menor de longitud
\/ö
= 0
(f) x2 + 4y2 = x
=x
(h) x2 + 4y2 = (i)
x
1
+ 4y - 1)
(j) 3x2 + 4y2 =
0
x2 + 1
En cada uno de los problemas 2-10, dé el nombre de la cónica que tiene Ia ecuación dada. Determine sus vertices y focos, y bosqueje su gráfica.
La gráfica de x2 + y2 + Cx + Dy + F = 0 es un cIrculo, un pun-
2. y2 - 6x =
to, o ci conjunto vacIo.
La gráfica de 2x2 + y2 + Cx + Dy + F = 0 no puede ser un ünico punto.
La grafica de Ax2 + Bxy + Cy2 + Dyx + Ey + F = 0 es la intersección de un piano con un cono de dos hojas para cuaiquier elecciOn de A, B, C, D, E y F. En un sistema de coordenadas adecuado, la intersecciOn de un piano con un cono de dos hojas tendrá una ecuación de la forma
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F =
4. 25x2 - 36y2 + 900 = 0 6. x2
- 4y2 - 16 = 0
8. 9x2 + 9y2 - 225
r(2 + cos0) =
0.
3. 9x2 + 4y2 - 36 =
0
5. x2 + 9y =
0
0
7. 9x2 + 25y2 - 225 = 0 0
9. r
5
=
2 + 2sen0
3
La grMica de una hipérbola debe pasar por los cuatro cuadrantes.
Si una de las secciones cónicas pasa por los cuatro puntos (1, 0), (-1, 0), (0, 1) y (0,i), debe ser un cIrculo. La grafica de la ecuaciOn polar r = 4 cos(0 - r/3) es un cIrculo.
Cada punto del piano tiene una infinidad de conjuntos de coordenadas polares. Todos los puntos de intersecciOn de las graficas de las ecuaciones
En cada uno de los pro blemas 11-18, determine Ia ecuación cartesiana de Ia cónica con las propiedades dadas.
Vertices (±4, 0) y excentricidad
Excentricidad 1, foco (0, 3) y vértice (0, 0) Excentricidad 1, vértice (0, 0), simétrica con respecto del eje x, y
que pasa por el punto (-1,3)
polares r = f(0) y r = g(0) se pueden encontrar resolviendo estas dos ecuaciones en forma simultánea.
Excentricidad
Si f es una función impar, entonces la grafica de r = f(0) es simétrica con respecto del eje y (Ia recta 0 = r/2).
Parabola con foco (3,2) y vértice (3, 3)
Si f es una función par, entonces la gráfica de r trica con respecto del eje x (Ia recta 0 = 0).
f(0) es simé-
y vertices (0, ±3)
Vertices (±2, 0) y asIntotas x ± 2y = 0
Elipse con centro (1,2), foco (4,2) y diametro mayor 10 Hipérbola con vertices (2,0) y (2, 6) y excentricidad
La gráfica de r = 4 cos 30 es una rosa de tres pétalos cuya area es menor que Ia mitad de la del cIrculo r = 4.
En los problemas 19-22, use el proceso de completar el cuadrado para transformar Ia ecuación dada a una forma canónica. Luego dé el nombre de Ia curva correspondiente y bosqueje su grafica.
Problemas de examen muestra
19. 4x2 + 4y2 - 24x + 36y + 81 =
0
1. De Ia lista numerada, elija la respuesta correcta y anOtela en el espacio en blanco.
20. 4x2 + 9y2 - 24x - 36y + 36 =
0
SECCION 12.9
x2 + 8x + 6y + 28 =
0
RevisiOn del capItulo
44. Relacione cada ecuación polar con su gráfica.
3x2 - lOy2 + 36x - 20y + 68 =
(a) r = 1 - 2sen0
0
Una rotaciOn de ejes con 0 = 450 transforma x2 + 3xy + y2 = 10
en ru2 + sv2 = 10. Determine r y s, dé el nombre de la cónica correspondiente y determine la distancia entre sus focos.
(c) r
1 + 2cos0
(b) r = 1 +
(d) r = 1 +
sen0 2
cos 0 2
24. Determine el ángulo de rotación necesario para eliminar el término de producto cruzado en 7x2 + 8xy + y2 = 9. Luego obtenga la ecuación correspondiente en uv e identifique Ia cOnica que representa. En los problemas 25-36, analice Ia ecuación polar dada y bosqueje su grafica.
26.r=
25. r 00 6cos0
28.r=
27. r = cos20 29. r 00 4 31.
30.
r 00 4 - 3cos0
33 u
=
sen 0
cos 0
5 - Scos0
r
III
Iv
32. r = 2 - 3cos0 34. r
35. r2 = l6sen2O
II
36.
45. Relacione cada ecuación polar con su gréfica.
4sen3O
r=
(a) r (c) r (e) r
6,0
Determine una ecuación cartesiana de la gráfica de
r2 - 6r(cos0 + senO) + 9
4cos2O ScosSO
(b) r (d) r
3cos3O o
3sen2O
4sen4O
0
y luego bosqueje Ia gráfica.
Determine una ecuación cartesiana de la gráfica de r2cos 20 y luego bosqueje la gráfica.
Determine Ia pendiente de Ia tangente a Ia gráfica de r cos 6 en el punto sobre Ia gráfica correspondiente a 0 = ir. Bosqueje las gráficas de r = 5 sen 0 yr sus puntos de intersecciOn.
9
3+3
2 + sen 0 y determine
Determine el area de Ia region acotada por Ia gráfica de r 5 cos 0 (véase el problema 30).
5-
Determine el area de Ia region que está fuera de Ia limaçon r
II
2 + sen 0 y dentro del cIrculo r = 5 sen 0 (véase el problema 40).
El piloto de un auto de carreras corrIa en una pista elIptica x2/400 + y2/lOO 1 y perdió el control en el punto (16, 6); a partir de ese punto, continuó sobre la recta tangente hasta chocar contra un árbol en (14, k). Determine k.
III
Iv
557
DE TECNOLOGIA TECNOLOGíA 12.1 0 DE 121
PROYECT PROYECTO
Rotaciones en Rotaciones en el el plano piano l.I. Preparación Preparación Este proyecto proyecto trata de de las las rotaciones, rotaciones, la sección 12.5. 12.5. Repase descritas en Ia Repase esa y,en en particular, particular, los los ejemplos ejemplos 22yy 3. sección y,
II. tecnologIa 11. Uso Uso de Ia la tecnología Ejercicio funciOn f(x, Ejercicio 11 Considere Ia la funciónf(x, x 2 + 24xy + + 8y2 8 y 2 -- 136. 136.GrafiGrafiy) = x2 que Ia relación f(x, y) = la relación = 0.O. Ejercicio 22 AAcontinuación, continuación, defina defina 0e==ir/12, 7T/12,yydefina definalas lasvariables variablesuuyyvv como como
cos e sen 0e x == uu cos 6 -- vvsen y = usenO u sen e + vcos9 v cos e
Ejercicio 4 Anime las rotaciones descritas arriba, critas arriba, eligiendo eligiendo 6 = 0, ir/12, 71'/12, 2ir/12,.... .,24ir/12. 271'/12, . ,247T/12. Describalo Describa lo que que ocuocurre.
e
Varíe VarIe elelángulo anguloe9yygrafique grafiquef(u f(ucose cos 6-vvsen0, sen e, uusen9 sen e + vcos0) v cos e) = 0. O. SugeSugerencia: rencia: Tendrá Tendrá que que definir 6e y luego hacer una grafica gráfica implIcita implícita sobre sobre algún algün dominio minioaa s u s b y c s v s d. . Ejercicio 3 Varíe nueVarIe el ci ángulo 9e de flue-
u byc v
vo. Para Para cada valor de de 0, e, despliegue despliegue la la vo. expresion para expresión
ff(ucoso (u cos e -- vsenB,usenO v sen e, u sen e + vcos6) v cos e) concéntrese en el término uv. ¿Qué y concéntrese ,Qué valores de e 9 hacen hacen que que el el coeficiente coeficientede deuv iv sea casi igual a cero?
Ejercicio 55 Repita 1-4 paRepita los ejercicios 1-4 rag(x,y) rag(x, y) ==x2 x 2 - 2x+3xy 2x + 3xy + 8y28y2-
26.
111. Refiexión Reflexión III. la función g definida Ejercicio 66 Para Ia en ci el ejercicio 5, la y) = la relación g(x, y) 0 =O describe una una elipse. elipse. Determine Determinelas laslongilongitudes de los ejes mayor y menor y encuentre ambos ambos focos. focos.
PROYECTODE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 12.2 12.2
PROYECTO
Otro tipo ti po de de rosa rosa l. Preparación Este proyecto analiza un tipo particular de rosa en coordenacoordenaal unir unir puntos puntos con con rectas. rectas. das polares. Estos patrones surgen al (Véase Peter M. M. Maurer, "A Rose Is a Rose", American MatMathematical Monthly. Monthly, volumen volumen94. 94,páginas páginas631-645, 631-645, 1987.) 1987.) hematical Ejercicio Juegue a "unir los puntos" Ejerciclo 1 1 puntos" con los siguientes puntos. (Las parejas ordenadas están en coordenadas tos. (Las parejas ordenadas coordenadas polares, polares, excepto que que los los ángulos ángulos están están en en grados. grados, no no radianes. radianes. Los Los arguargumentos de seno también tarnbién están están en grados.) de Ia la funciOn función seno = 0,1,2,3,4,5 (k,sen2k) k = ocurre a! al contmuar continuar este este proceso proceso hasta hasta(360, (360, Describa lo que ocurre sen(2.360)). sen(2·360». Ejercicio 2 Juegue a "unir los puntos" de nuevo, nuevo, esta vez con puntos" de (19k, sen (2·19k», (2.19k)), k = 0,1,2,4,6,8,10,12.
Ejercicio 77 Use su sistema algebraico algebraico por por computadora para construir rosas para n = 4yd = 1,5,7,11,13,19,23,31,37, construirrosaspara 1,5,7,11,13,19.23,31,37, 4l,6l,133y19l. 41,61,133 Y 191. \
Ejercicio 8 Construya unas cuantas rosas más con n = 5 Y y n = = 6. Explique el efecto de n sobre la la forma forma de de la la rosa. rosa.
111. Reflexión vez haya haya observado observado que cuando d es un melEjercicio 9 Tal vez múl2, 3 o 5, hay pocas líneas al usar un niinútiplo de 2,3 lIneas en la rosa, pero pero a! mero como como 7 o 19, hay muchas lineas. líneas. Cuando dd yy 360 son primos relativos, es decir, decir, cuando cuando dd y 360 no tienen mos relativos, es tienen factores factores comunes exceptuando exceptuandoaa1, 1, se se obtiene obtienecielmáximo máximoruImero númerode delilíneas. Explique neas. Explique por qué ocurre esto. Ejercicio 10 Experimente con unas unas cuantas cuantas rosas rosas más. más. ImpriExperimente con más ma y exhiba la rosa que le parezca más
11. Uso Uso de de la Ia tecnología tecnologIa Una rosa de Maurer consta de rectas que unen los puntos
0,d,2d,3d,.,.,360d (k.sen(n.k)) (k,sen(n'k») = 0,d,2d,3d, ... ,360d k = Una curva es cerrada cerrada si si el punto punto inicia! inicial y ci el punto final coincipunto final den. La La figura figura 11 muestra muestra una una rosa rosa de de Maurer Maurer para para n == 7 yY den. d = 29.
Demliestre que una rosa de Maurer es cerrada. Ejercicio 3 Demuestre algebraico por computadora paEjercicio 4 Use su sistema algebraico 1. Explique Explique Ia ra construir Ia la rosa de la de Maurer Maurer para n = 2 Y y dd = 1. relación relaciOn de de esto con el ejercicio 1. Ejercicio 5 Use su sistema sistema algebraico algebraico por computadora papara construir rosas para n = 2yd 2 y d = 1,2,3,4,5,6,7,11,13,19, 1,2,3,4,5,6,7,11,13,19, 23,31,37,41,61,133 23,31,37.41,61, 133 yY191. 191. Ejercicio 6 Use su sistema sistema algebraico algebraico por por computadora computadora paparosas para n = 33yd Yd = 1,5,7,11,13,19,23,31,37, ra construir construirrosas .41, 61, l33yY191. 191. 41,61,133
558
n=7.d=29 11= 7. d= 29 Figura Figura 11
I
I
H
Geometria en el piano, vectores 13.1 Curvas planas: representaciOn paramétrica 13.2 Vectores en el piano: enfoque geométrico 13.3 Vectores en ei piano: enfoque aigebraico 13.4 Funciones con vaiores'vectoriaies y movimiento curviiIneo 13.5 Curvatura y aceieración 13.6 Revision dei capItuio Proyecto de tecnoiogIa 13.1 Hipocicioides Proyecto de tecnoiogIa 13.2 Medición de ia distancia de un cuadranguiar
13.1
Curvas planas: representaciOn
En la secciOn 6.4 dimos la definiciOn general de una curva plana en relaciOn con fluestra deducciOn de La formula para la longitud de arco. Una curva plana queda determi-
nada mediante una pareja de ecuaciones paramétricas
pa ra métrica
No simple, ni cerrada ()
Simple, no cerrada
x=f(t),
y=g(t),
tenl
confyg continuas en el intervalo I. Por to general,Ies un intervalo cerrado [a,b]. Piense en t, ilamado el parámetro, como una medida del tiempo. Cuando t avanza de a a b, el punto (x, y) describe Ia curva en el piano xy. Cuando I es el intervalo cerrado [a, b], los puntos P (x(a), y(a)) y Q (x(b), y(b)) son los puntos extremos inicial y final. Si La curva tiene puntos extremos que coincidan, entonces decimos que la curva es cerrada. Si valores distintos de t producen puntos distintos en el piano (excepto posiblemente para I = a y t = b), decimos que la curva es una curva simple (figura 1). La pareja de relaciones x f(t), y = g(t),junto con el intervalo I se llama La parametrización de La durva.
No simple, cerrada
EliminaciOn del parámetro Para reconocer una curva dada por ecuaciones paramétricas, serIa deseable eliminar el parámetro. A veces esto se puede ilevar a cabo despejando t en una ecuación y sustituyendo en la otra (ejemplo 1). Con frecuencia usamos una identidad conocida, como en el ejemplo 2. EJEMPLO 1
Elimine el parámetro en
x=t2+2t,
y=t-3, 2t3
Luego, identifique la curva correspondiente y bosqueje su gráfica. Simple y cerrada
Figura 1
559
560 CAP1TULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Solución De la segunda ecuación, t = y + 3. Al sustituir esta expresión para t en la primera ecuación tenemos
x=(y+3)2+2(y+3)=y2+8y+15 0
x + 1 = (y + 4)2
Reconocemos esto como una parabola con vértice en (-1, -4) y que abre a la derecha. Al graficar la ecuación dada, debemos tener cuidado en exhibir ünicamente la parte de la parabola correspondiente a -2 3. La figura 2 muestra una tabla de valores y la gráfica. Las flechas indican la orientación de la curva; es decir, la dirección en la que crece t. t
x
y
2
0
5
1
1
4
0
0
1
3
-3 -2
2
8
1
3
15
0
Figura 2 EJEM PLO 2
Muestre que
x = acost,
y =
bsent,
0
2
representa la elipse que se muestra en la figura 3. So!ución
Despejamos cos t y sen t en las ecuaciones, elevamos a! cuadrado y sumamos.
/2 +7\2 aj
x=a cos t,y=b 0
Elipse
Figura 3
t
cos2t + sen2t = 1
b)
sen
2i-
x2
2
a2
b2
Una rápida verificaciOn de unos cuantos valores de t nos convencerá que obtenemos toda la elipse. En particular, t = 0 y t = 2- dan el mismo punto, a saber, (a, 0). Si a = b, obtenemos el cIrculo x2 + y2 = a2. Es posible que distintas parejas de ecuaciones paramétricas den la misma gráfica. En otras palabras, una curva dada puede tener más de una parametrizaciOn. Muestre que cada una de las siguientes parejas de eduaciones paramétricas tiene la misma gráfica, a saber, el semicIrculo que se muestra en la figura 4. EJEMPLO 3
- t2,y = t,-1
(a) x =
(b) x (c) x
cos t, y =
1-t2
l+t2'Y
Solución
t
1
sent, 2t
1+t2'
En cada caso, descubrimos que x2
+
y2
=
1
Luego, solo es cuestión de verificar unos duantos valores de t para garantizar que los intervalos dados para t producen la misma sección del cIrculo. SemicIrculo
Figura 4
EJEMPLO 4 Muestre que cada una de las siguientes parejas de ecuaciones paramétricas producen una rama de una hipérbola.
Curvas planas: representaciOn paramétrica
SECCION 13.1
x = asect,y = btant, x
561
a cosh t, y = b senh t, 00 < t <00
Suponga en ambos casos que a > 0 y b> 0. Solución
(a) En el primer caso,
(y\2
\a)
)=
sec2t - tan2t = 1
(b) En el segundo caso,
(x\2
aj
i'y\2
\bJ - cosh2 t - senh2 t (e' + e1 \ 2
- e' \ 2 =1
2 / j Al verificar unos cuantos valores de t se muestra que, en ambos casos, obtenemos la rama de la hipérbola x21a2 - y2/b2 = 1 que se muestra en la figura 5. 2
En el ejemplo 4, observe que en La parte (a) tenemos una curva paramétrica definida en el intervalo abierto (irI2, rI2), mientras que en la parte (b) tenemos una curva definida en ci intervalo infinito (oo,00). Como la curva no contiene los puntos extremos, no es cerrada. Una cicloide es la curva descrita por un punto P en La orilla de una rueda, conforme ésta rueda a lo largo de una lInea recta sin resbalar (figura 6). La ecuación cartesiana de una cicloide es algo complicada, pero es fácil encontrar ecuaciones paramétricas sencillas, como se muestra en el siguiente ejemplo.
La cicloide
Cicloide
Figura 6 EJEMPLO 5
Determine ecuaciones paramétricas para la cicloide.
Solución Dejemos que La rueda gire a lo Largo del eje x, con P inicialmente en el ongen. Denote el centro de la rueda como C, y sea a su radio. Elija como parámetro t la medida en radianes del ángulo en el sentido de Las manecillas del reloj con eL que el segmento de recta CP ha girado desde su posiciOn vertical cuando P estaba en el origen. Todo esto se muestra en la figura 6.
Como ON = arco PN = at,
x = OM = ON - MN = at - a sent = a(t - sent) y
y = MP =NR = NC + CR = a - acost = a(1 - cost)
AsI, las ecuaciones paramétricas para la cicloide son
x=a(tsent),
y=a(1cost)
.
La cicloide tiene varias aplicaciones interesantes, en particular en mecánica. Es La "curva de descenso más rápido". Si se permite que una partIcula, sobre la cual solo
562
CAPITULO 13
Geometria en el piano, vectores
actüa la gravedad, se deslice desde un punto A hasta un punto B, debajo de A pero que no esté sobre Ia misma recta vertical, entonces la partIcula completa su viaje en el menor tiempo cuando Ia curva es una cicloide invertida (figura 7). Por supuesto, la distancia más corta corresponde a! segmento de lInea recta AB, pero el menor tiempo corresponde a una cicloide; esto se debe a que la aceleración depende de lo inclinado del descenso y a lo largo de una cicloide, la partIcula desarrolla su velocidad más rápido que en el caso de una LInea recta. Otra propiedad interesante es ésta: Si L es el punto más bajo de un arco de una cicloide invertida, el tiempo que tarda una partIcula P en deslizarse por la cicloide hasta L es el mismo, sin importar el punto P en el arco invertido desde donde parta la partIcula; asI, si varias partIculas P1, P2 y P3 se encuentran en distintas posiciones sobre la cicloide (figura 8) y comienzan a deslizarse en el mismo instante, todas llegarán al punto más bajo L en el mismo tiempo. En 1673, el astrónomo holandés Christian Huygens (1629-1695) publicO una descripciOn de un reloj de péndulo ideal. Debido a que el péndulo oscila entre "mejillas" cicloidales, la trayectoria del péndulo es una cicloide (figura 9). Esto significa que el
Figura 7
Figura 8
Cicloide
Cicloide
periodo de oscilación es independiente de la amplitud, de modo que el periodo no cambia al desenrollarse la cuerda del reloj. Un hecho sorprendente es que los tres resultados recién mencionados datan del siglo xvii. Su demostraciOn no es una tarea trivial, como podrá descubrir al revisar cualquier libro sobre la historia del cálculo.
Cálculo para curvas definidas en forma paramétrica Es posible determinar La pendiente de La recta tangente a una curva dada en forma paramétrica, sin eliminar primero el parámetro? La respuesta es afirmativa, de acuerdo con el siguiente teorema: Cicloide
Figura 9
Teorema A
Oi i a
Sean f y g continuamente diferenciables, con f'(t) ecuaciones pararnétricas
x = f(t),
y = g(t)
definen a y corio una función diferenciable de x y
dy dx
dy/dt dx/dt
Demostración Como f'(t)
0 en a
y = g(t) = g(f(x)) = F(x) = F(f(t)) Entonces, por la regla de la cadena, dy dy = F'(f(t))f'(t) dt = dx Como dx/dt 0, tenemos dy dy/dt
dx dt
dx - dx/dt EJEMPLO 6 Determine las dos primeras derivadas dy/dx y d2y/dx2 para la función determinada por
x = 5cost,
y = 4sent,
0< t <3
y evalüelas en t = irI6 (véase el ejemplo 2).
So!ución Hagamos que y' denote dy/dx. Entonces dy dy/dt 4 cos t 4 = = dx dx/dt 5 sen t =--cott 5 d2y
dy'
dy'/dt
csc t
dx2 - dx - dx/dt - 5sent -
4 cos 3 25
Curvas planas: representación paramétrica
SECCION 13.1
563
En t =
4\/
dy dx
d2y
5
dx225
'
32
(8)
25
El primer valor es la pendiente de la recta tangente a la elipse x2125 + y21l6 = 1 en el
punto (5\//2, 2). Usted puede verificar que esto es cierto mediante una derivación implIcita.
A veces, una integral definida implica a dos variables, como x y y, en el integrando y la diferencial, y y puede estar definida como una funciOn de x mediante ecua-
ciones que den a x y y en términos de un parámetro como t. En tales casos, con frecuencia es conveniente evaluar la integral definida expresando el integrando y La diferencial en términos de I y dt y ajustando los lImites de integración antes de integrar con respecto de t. f3 f3 EJEMPLO 7 Evalüe (a) / y dx y (b) / xy2 dx, donde x = 2t - 1 y y = t2 + 2.
Jl
J1
Solución Dc x = 2t - 1, tenemos dx = 2 dt, cuando x = 1, t = 1 y cuando x = 3, t = 2.
f dx =
f(t2
=2r+2 L3
+ 2)2 dt
1
=
26 3
f xy2dx = f2(2t - 1)(t2 + 2)22dt
=2f(2t5_t4+8t3_4t2+8t_4)dt86
.
Determine el area A debajo de un arco de una cicloide (figura 10) y La longitud L de este arco. EJEMPLO 8
So!ución como 2n-a
Cicloide (un arco)
x
Del ejemplo 5, sabemos que podemos representar un arco de La cicloide
y=a(1cost), 0t2
x=a(tsent),
AsI, dx = a(1 - cos t)dt. El area A es entonces
Figura 10
dx
A
(1cost)(1cost)dt =a2f2r Jo 2
= a2
- 2 cos I + cos2 t) dt
L
a2f(1
- 2cost +
+
cos2t)dt
= a2[t - 2sent + sen2t] = 3ia2 Para calcular L, recordamos La fOrmula para La longitud de arco de La sección 6.4:
2 (dy 2 + L=f 7dx \dt)\dt) dt I
564 CAPITULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
En nuestro caso, se reduce a
Dos pulgas en un triciclo Dos pulgas discuten acerca de cuál de ellas tendrá el viaje más largo, cuando Jenny vaya en triciclo de su casa a! parque. La pulga A viajará entre los rayos de Ia rueda frontal; B viajará entre los rayos de una de las ruedas traseras. Termine con la discusión mostrando que sus trayectorias tendrán la misma longitud. El ejemplo 8 le ayudará.
L
=
f
=
af V2(1
-
Va2(1
af2/4
cost)2 + a2(sen2t)dt
- cost) dt dt
sen2
=2af sendt =
t1 [_4acos]
.
= 8a
Repaso de conceptos Un cIrculo es un ejemplo excelente de una curva que es ; una figura de ocho es un ejemplo de curva Ce-
y
La trayectoria de un punto sobre la orilla de una rueda que gira es una
rrada que no es Decimos que dos ecuaciones x = f(t) y y = g(t) es una representación de una curva, y 1 se llama
La fOrmula para dy/dx, dada la representaciOn x = f(t) y dy/dx =
y = g(t), es
Conj unto de problemas 13.1 En cada uno de los problemas 1-20 se da una representaciOn paramétrica de una curva. Grafique Ia curva.
Es cerrada Ia curva? Es simple? Obtenga la ecuación cartesiana de la curva eliminando elparámetro (véanse los ejemplos 1-4).
x=
31, y = 21; 1 en 11 I
x = 4t - 2,y = 2t;0
= 4 1,y = I - 3,y
x =
,y
x = s, y =
;
s
x =
1
4;3
3
- 3,y = 2V4 - t;3
t
2sent,y
=
x = 2 cos2 r, y = 3 sen2 r; 0
r < 2ir
-o; 0
x =
cott - 2,y = 2csct + 5;0
30.x= 4
3cost;0 t 2ir x = 3 sen r, y = 2 cos r; 0 < r < 2iix = 2 sen r, y = 3 cos r; 0 r 4r x =
o; 0
02,
29.x= 1+12 y=
3
I t
=
2s3; s
x =
x =
34 - t;2
2Vt - 2,y
y =
1 - cost,y = 1 + sent;tnii3 - 2cost,y = 1 + 5sent;tnir (2n + 1)r 3tant - l,y = 5sect + 2;t
x =
8
- 2t;-3
- 2t,y
x = 3V1
4
1
6s2,
x =
10
x = t3 - 4t,y = 12_ x = t
x = senO,y =
'ii-
2sen220;Oen II 2cos220;0en!l
x = 202,
3
s<10
1
x = cosO,y =
x
4 1
;0 ;0
= s;1
0
x = 3r2, y = 4r3; T
31
x =
0
x = 9 cos 0, y = 9 sen2 0; 0
En los pro hlemas 21-30, determine dy/dx y d2y/dx2 sin eliminar elparámetro.
x = 21, y = 3t; I en B x l,y t;0 x
9sen2O,y = 9cos20;0
x
2
,y= 1 +t2
t(1t) 0
t(1 +t2)
t0
En los problemas 31-34, determine Ia ecuaciOn de Ia tangente a Ia curva dada en elpunto indicado, sin eliminar el parámetro. Haga un bosquejo. x = 2, y = t3; t = 2
x = 3t, y = 8t; I
=-
SECCION 13.1
x=
e; t =
2e1, y =
x = (2/3)13/2, y =
31 4;0 21 3;-3
2t - l,y
x 2 t,y x =
t,y t3/2;0 t 3 2sent,y = 2cost;0
x =
3t,y
x
x = I+
=
t;0
<
I
,y = int2;1
2\/, para 0
t
2V en torno del eje y.
53. Determine el area de la superficie generada al girar la curva en tomb del t t, para + , y = 12/2 +
0
En los problemas 35-46, determine Ia longitud de Ia curva paramétrica definida en el intervalo dado. x
565
52. Determine el area de la superficie generada al girar la curva
2 tan 1; 1 =
x = 2 sect, y
Curvas planas: representación paramétrica
t + a,paraVt
Evaláe las integrales en los problemas 55 y 56.
3
I
54. Determine el area de la superficie generada al girar Ia curva Ventornodelejex. at,y =
x = 12/2 +
3
1
x = t eje y.
55.
f(x2 - 4y)dx, donde x
= t + 1, y
t
+ 4.
I
2
56.
t4
xydy,dondex = sect,y
J
=
tant.
57. Determine el area de la region entre la curva x = e2', y = et 0 a I = in 5. Haga un bosquejo. y el eje x de 58. La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo con una velocidad de v0 pies/segundo y un angulo a con respecto del suelo está dada por las ecuaciones paramétricas x = (v0coscx)t, y = 16t2 + (v0sena)t 1
x = 2et,y x =
x
1-
3e3112;1n3
21n3
t
t2, y = 1 - 1; 0
4\/,y =
t2 +
t
ln(cosh2t);_3
x = tanht, y x = cost, y =
11
I
1
Muestre que la trayectoria es una parabola. t
Determine el tiempo de vuelo.
3
Muestre que el rango (distancia horizontal recorrida) es In (sect + tan t) - sen I; 0
4
46.x=senttcost,ycost+tseflt;t 47. Determine la longitud de la curva con las ecuaciones paramétricas dadas 2ii0 x = sen 0, y = cos 0 para 0 0 2 x = sen 30, y = cos 30 para 0
Explique por qué las longitudes en las partes (a) y (b) no son
(v/32) sen 2a. Para un v0 dado, ,qué valor de a da el mayor rango posible? 59. Modifique el análisis de la cicloide en el texto (y el diagrama anexo) para el caso en que el punto P está a b < a unidades del centro de la rueda. Muestre que las ecuaciones paramétricas correspondientes son x = at - bsent, y = a - bcost
Bosqueje Ia gráfica de estas ecuaciones (llamada cicloide reducida)
cuandoa = 8yb = 4. 60. Siga las instrucciones del problema 59 para el caso b > a
iguales. (una rueda con brida, como en un tren), mostrando que obtiene las Usted puede generar superficies girando curvas suaves, dadas en forma mismas ecuaciones paramétricas. Bosqueje la grafica de estas ecuaparamétrica, en tomb de un eje de coordenadas. Cuando I va de a a b, ciones (llamada cicloide prolata) cuando a = 6 y b = 8. una curva suave x = F(t) y y = G(t) se recorre exactamente una vez. 61. Considere un cIrculo de radio b que rueda, sin resbalar, denAl girar esta curva en tomb del eje x para y > 0 se obtiene la superfitro de un cIrcuio fijo de radio a, a > b. Un punto P sobre el cIrculo que cie de revolución cuya area de Ia superficie es rueda describe una curva Ilamada hipocicloide. Determine ecuaciones fb I(dx\2 /dy\2 paramétricas para la hipocicloide. Sugerencia: Coloque el origen 0 de + Idt dt / dt) = Ia las coordenadas cartesianas en el centro del cIrculo mayor fijo, y haga que el punto A(a, 0) sea una posiciOn del punto P. Denote como B el Véase Ia sección 6.4. Los pro blemas 48-54 se relacionan con tales supunto mOvil de tangencia de ambos cIrculos, y sea I el parametro daperficies. do por la medida en radianes del ángulo A0B (véase la figura 11). 48. Deduzca una fOrmula para el area de la superficie generada a! girar la curva x = F(t), y = G(t) para a I Z b en tomb del eje y
para x
y muestre que el resultado está dado por fh
S=I2irxII/dx2 \dtj + \dt/
/dyt2
di
Una parametrizaciOn de un cIrculo de radio 1 con centro en (1, 0) en el piano xy está dada por x = 1 + cos t, y = sen t, para 0 <2n. Determine el area de la superficie obtenida al girar esta curva en tomb del eje y. Determine el area de la superficie generada al girar la curva 2ir, en tomb del eje x. cos I, y 3 + sen 1, 0 I x x
Determine el area de Ia superficie generada al girar la curva = 2 + cos t, y = 1 + sen 1,0 t 2-, en tomb del eje x.
Figura 11
566
GeometrIa en el piano, vectores
CAPITULO 13
62. Muestre que si b = a/4 en ci problema 61, las ecuaciones paramétricas de Ia hipocicloide se pueden simplificar como
x = acos3t,
y = asen3t
(a) x = sen t, y = cost (c) x = cos 5t, y = sen 1St
(b) x = sen 31, y = cos 5t (d) x = sen 2t, y = cos 9t
68. A veces, las figuras de Lissajous no parecen ser cerradas. Esto se debe a que la curva se vuelve a trazar sobre si misma. Por ejemplo,lascurvasx = cos2t,y = sen7tyx = cos(2t + O.l),y = sen ICASI
Esto se llama una hipocicloide de cuatro cóspides. Bosquejela con cuidado y muestre que su ecuación cartesiana es x2/3 + y2/3 = a23. 63. La curva descrita por un punto sobre un cIrdulo de radio b
71 se grafican como en las figuras 12 y 13.
cuando éste rueda Sin resbalar sobre la parte externa de un cIrculo fi-
jo de radio a es una epicicloide. Muestre que ésta tiene ecuaciones paramétricas
x=(a+b)costbcos a+b b +b
y = (a + b)t (Véase la sugerencia en el problema 61.)
Figura 12
64. Si b = a, las ecuaciones en el problema 3 son
Figura 13
x = 2acost - acos2t
Use este conocimiento, y las siguientes figuras de Lissajous aso-
2a sen t - a sen 21
ciadas a x = cos at y y = sen bt, para relacionar la figura adecuada con la razón correcta a/b.
y
Muestre que esta epicicloide particular es la cardioide r = 2a(1 - cos 0), donde el polo del sistema de coordenadas polares es el punto (a, 0) en el sistema cartesiano y el eje polar est en la dirección del eje x positivo. Sugerencia: Determine una ecuación cartesiana de la epicicloide eliminando ci parámetro t de las ecuaciones. Luego, muestre que las ecuaciones que relacionan a los sistemas cartesiano y polar son
x = rcos0 + a,
y = rsenO
y use estas ecuaciones para transformar la ecuaciOn cartesiana en
r = 2a(1cos0). 65. Si b = a/3 en el problema 61, obtenemos una hipocicloide de tres cüspides, ilamada deltoide, con ecuaciones paramétricas x
(a =
(2 cost + cos 2t),
(a
y
sen
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
sen
(2 sin t - sin 21)
Determine Ia longitud de la deltoide. 66. Considere la elipse x2/a2 + y2/b2
1.
(a) Muestre que su perImetro es
P=
4af
1 - e cos2 I dt,
donde e es su excentricidad.
Ic
CAS
(b) La integral de la parte (a) es una integral elIptica. Se ha estudiado con ampiitud, y se sabe que ci integrando no tiene una antiderivada elemental, de modo que debemos recurrir a metodos aproximados para evaluar a P. Haga esto cuando a = 1 y e = usando la regla parabólica con n = 4. (Su respuesta debe ser parecida a 2r. i,Por qué?)
(c) Repita la parte (b) usando n
(a) 5/1
(c) 4/5
(d) 3/4
CAS 69. Grafique las siguientes curvas paramétricas. Describa con palabras la forma en que el punto se mueve en Ia curva, en cada caso.
x = cos (t2 - t), y = sen (12 - t) x = cos(2t2 + 31 + 1),y = sen(2t2 + 3t + 1) x = cos (-2 in t), y = sen (-2 in t)
20.
67. La curva paramétrica dada por x = cos 3t y y = sen St es difIcil de trazar a mano. El resultado se conoce como una figura de Lissajous. La coordenada x oscila tres veces entre 1 y 1 cuando t va ICAS
de 0 a 2ir, mientras que la coordenada y oscila cinco veces en ci mismo intervalo para 1. Este comportamiento se repite en cada intervalo de longitud 2ir. El movimiento completo ocurre en un cuadrado unitario. Grafique las siguientes figuras de Lissajous para un rango de t que garantice que Ia figura resultante sea una curva cerrada. En cada caso, cuente ci nUmero de veces que la curva toca los hordes horizontales y verticales del cuadrado unitario.
(b) 2/5
Sugerencia: Si una curva toca una esquina de un cuadrado, esto cuenta como Ia mitad de un contacto.
x = cos(sent),y = sen(sent) 70. Use un sistema de algebra por computadora para graficar las siguientes curvas paramétricas para 0 I 2. Describa la forma de la curva en cada caso y las similitudes y diferencias entre todas las
ICAS
curvas.
(a) x = t, y = t2
(b) x = t, y = t6
(c) x = t4, y = t8
(d) x = t5, y = tiO
SECCION 13.2
71. Trace la grafica de la hipocicloide (véase el problema 61)
ICAS IEXPL
ICASI IEXPLI
x=(ab)cost+bcos ab b
b
para diversos valores de a y b. ,Qué conjeturas puede hacer (véase el problema 71)?
para valores adecuados de t en los siguientes casos:
73. TracelahojadeDescartesx = 3t/(t3 + l),y = 3t2/(t3 + 1).
(b) a = 3, b = 1 (d) a = 7, b = 4
Luego, determine los valores de t para los que esta grafica esté en cada uno de los cuatro cuadrantes.
Experimente con otros valores enteros positivos para a y b y luego conjeture acerca de la longitud del intervalo necesario para t de modo que la curva regrese al punto de partida y acerca del nümero de cüspides. ,Qué puede decir si a/b es irracional?
13.2
Vectores en el piano: enfoque geométrico
7 Figura 1
)))))))))))
Cabeza
Cola
Figura 2
Respuestas al repaso de conceptos:
1. simple; cerrada; simple
2. paramétrica; parmetro 3. cicloide 4. (dy/dt)/(dx/dt)
Muchas cantidades que aparecen en las ciencias (por ejemplo, longitud, masa, volumen y carga eléctrica) se pueden especificar mediante un ünico némero. Estas cant idades (y los némeros que las miden) se liaman escalares. Otras cantidades, como la velocidad, la fuerza, la torca y el desplazamiento, requieren una magnitud y una dirección para su completa especificación. Llamamos a tales cantidades vectores y las representamos mediante flechas (segmentos de recta dirigidos). La longitud de la flecha representa la magnitud, o longitud, del vector; su dirección es la dirección del vector. El vector de la figura 1 tiene longitud 2.3 unidades y dirección 30° a! nortè del este (o 30° desde el eje x positivo). Las flechas que dibujamos, como las que se disparan con un arco, tienen dos extremos: el extremo con la pluma (el punto inicial), liamado cola, y el extremo puntiagudo (el punto final), ilamado cabeza, o punta (figura 2). Dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección (figura 3). Simbolizaremos a los vectores con letras en negritas, como u y v. Como esto es difIcil de lograr en la escritura normal se pueden usar y /. La magnitud de un vector u se simboliza como u.
Operaciones sobre vectores
Para determinar la suma, o resultante, de u y v, movemos v sin cambiar su magnitud o dirección hasta que su cola coincida con la cabeza de u. Entonces u + v es el vector que une la cola de u con la cabeza de v. Este método (ilamado la Ley del Triangulo) se ilustra en la mitad izquierda de la figura 4.
Vectores equivalentes
Figura 3
72. Trace Ia gráfica de la epicicloide (véase el problema 63)
x=(a+b)costbcos a+b b y=(a+b)sentbsen a+b
y=(ab)sentbsen ab b (a) a = 4, b = 1 (c) a = 5, b = 2
Vectores en el piano: enfoque geométrico 567
Dos formas equivalentes de sumar vectores
Figura 4
Como forma alternativa para determinar u + v, mueva v de modo que su cola coincida con la de u. Luego, u + v es el vector con esta cola comén y que coincide con la diagonal del paralelogramo que tiene a u y v por lados. Este método (liamado la Ley del Paralelogramo) se ilustra en la parte derecha de la figura 4. Estos dos métodos son formas equivalentes de definir 10 que entendemos por la suma de dos vectores. Usted deberá convencerse de que la suma de vectores es conmutativa y asociativa; es decir,
u+v=v+u
568 CAPiTULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Si u es un vector, entonces 3u es ei vector.con La misma dirección que u pero tres veces más largo; 2u es el doble de iargo pero con dirección opuesta (figura 5). En general, cu, liamado un mültiplo escalar de u, tiene magnitud c veces la de u y tiene ia misma dirección o la dirección opuesta, segén si c es positivo o negativo. En particular, (-1)u (que por lo general se escribe u) tiene ia misma longitud que u, pero direcciOn opuesta. Se le llama el negativo de u pues, al sumarlo a u, el resultado es un vector que no es más que un punto. Este ültimo vector (el ünico vector que no tiene una direcciOn bien definida) es Ilamado ei vector cero y se denota 0. Es el elemento identidad para la suma; es decir, ii + 0 = 0 + u = u. Por ültimo, ia resta se define como
u - v = U + (v) EJEMPLO 1
Figura 5 w
Solución
En la figura 6, exprese w en términos de u y v.
Como ii + w = v, se tiene que
w=vu
U
Si P y Q son puntos en el piano, entonces PQ denota ei vector con cola en P y ca-
beza en Q. EJEMPLO 2 Figura 6
En la figura 7, A
=
Exprese men términos de ii y v.
Solución
m = u + AB = u + = u + (v - u) Más en general, si Ai
=u+v
= tA, donde 0 < t < 1, entonces
m=(1t)u+tv La expresiOn recién obtenida para m también se puede escribir como
u + t(v - u)
Figura 7
Si permitimos que t varIe sobre todos los escalares, obtenemos el conjunto de todos los vectores con cola en ei mismo punto que la cola de u y cabeza en la recta (véase la figura 8). Este hecho será importante para nosotros más adelante, al describir rectas usando el lenguaje vectorial.
Aplicaciones Una fuerza tiene una magnitud y una dirección. Si dos fuerzas u y v actüan sobre un punto, Ia fuerza resultante en el punto es la suma vectorial de las dos fuerzas. EJEMPLO 3
Un peso de 200 newtons es soportado por dos cables, como muestra la figura 9. Determine la magnitud de la tension en cada cable. Figura 8
330
Solución El peso w y las dos tensiones u y v son fuerzas que se comportan como vectores (figura 10). Cada uno de estos vectores se puede expresar como la suma de un componente horizontal y uno vertical. Para alcanzar el equilibrio, (1) la magnitud de la fuerza de La izquierda debe ser igual a la magnitud de La fuerza de la derecha y (2) la magnitud de la fuerza hacia arriba debe ser igual a la magnitud de la fuerza hacia aba500
jo. AsI,
tucos33° = vcos50°
usen33° + vsen50° = Figura 9
200
Al despejar v en (1) y sustituir en (2), obtenemos cos 330
sen 33° +
cos 50°
sen 50° = 200
SECCION 13.2
Vectores en el piano: enfoque geométrico 200
sen33° + cos33°tan50°
569
129.52 newtons
Entonces =
cos 330
129.52 cos 330
cos50°
cos50°
.
168.99 newtons
Las velocidades tienen dirección y magnitud y se suman como vectores. La magnitud de un vector de velocidad se llama rapidez. Figura 10
EJEMPLO 4 Un rio con 0.62 milla de ancho fluye a 6 millas/hora. El bote Elizabeth viaja a 20 millas/hora en aguas tranquilas. En qué dirección debe apuntar su bote para cruzar el rio en linea recta? ,Cuánto tiempo tardará en cruzar ci rio viajando en esta dirección?
So!ución Lo primero que debemos hacer es determinar a en la figura 11.
sena =
6
'V
a
6
20 17.46°
Figura 11
A continuación determinamos w, la rapidez del bote en la direcciOn de w. 20 cos 17.46°
19.08 miilas/hora
Por ültimo, el tiempo necesario para cruzar el rio es 0.62 19.08
0.0325 hora = 1.95 minutos
Repaso de conceptos Los vectores se distinguen de los escalares por el hecho de que los vectores tienen y Dos vectores son equivalentes si
3. Si la cola de v coincide con la cabeza de ii, entonces u + v es el vector con cola en y cabeza en 4. Dos ejemplos fIsicos de vectores son
Conj unto de problemas 13.2 En los problemas 7-4, trace el vector w. w
w
+ 112 + 113
U+
U
LL
w= w
2u - 3v
7u
+ 112 + 113
y
570 CAPITULO 13
Geometria en el piano, vectores
La figura 12 es un paralelogramo. Exprese w en términos de
uyv.
CI
12. Un objeto que pesa 258.5 libras se mantiene en equi[ibrio
mediante dos cuerdas que forman angulos de 27.34° y 39.22°, respectivamente, con la vertical. Determine la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por cada cuerda. Id 13. Un viento sopla a 45 millas/hora en la dirección N 20° 0. Un avión que vuela a 425 millas/hora en aire tranquilo debe viajar di-
rectamente hacia el norte. ,En qué dirección con respecto del suelo y qué tan rápido deberla dirigirse entonces el avión? Un barco navega hacia el sur a 20 millas/hora. Un hombre
Figura 12 En el triángulo grande de Ia figura 13, m es una mediana (hiseca el lado hacia el cual se traza). Exprese m y n en términos de u y v.
n
Figura 13
En la figura 14, w = - (u + v) y u =
= 1. Determine w.
U
120° 120°
120°
camina hacia el este (es decir, en ángulo recto al lado del barco) a trayes de la cubierta a 3 millas/hora. ,Cuáles son la magnitud y la direcciOn de su velocidad con respecto de la superficie del agua? Al viajar en un viento que sopta a 40 miltas/hora en dirección sur, Julie descubre que su rumbo es hacia el este cuando ella apunta su aeroplano en dirección N 60° E. Determine la velocidad en el aire (rapidez en aire tranquilo) del avión. IC 16. Qué dirección y velocidad en el aire necesita un avión para volar a 837 millas/hora en direcciOn norte si un viento de 63 miilas/ hora sopla en Ia dirección S 11.5° E? Demuestre, usando métodos vectoriales, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer lado. Demuestre que los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero arbitrario son los vertices de un paralelogramo. Sean v1 , .......v,, los lados de un polIgono, en orden cIclico, + v,, = 0. como se muestra en la figura 16. Muestre que v1 + v2 +
w
Figura 14 Resuelva el problema 7, si el ángu!o superior mide 90° y los dos ángulos laterales miden 135°. 9. En la figura 15, cada una de las fuerzas u y v tienen una magnitud de 50 libras. Determine Ia magnitud y dirección de la fuerza w necesaria para contrarrestar u y V.
IC]
N
Figura 16
Considere n puntos distribuidos de manera uniforme en un cIrculo, y v1 , .......v, los vectores del centro del cIrculo a estos n puntos. Muestre que v1 + v2 + + v,, = 0. Considere una tabla triangular horizontal, donde el ángulo en cada vértice es menor que 120°. En cada vértice hay poleas sin fricciOn, sobre las cuales pasan cuerdas anudadas en P, cada una con un peso W, como se muestra en Ia figura 17. Muestre que en el equilibrio, los
tres ángulos en P son iguales; es decir, muestre que a + /3 = a +
y = [3 + y = 120°.
//.
S
Figura 15
fl
10. Mark empuja un poste en la direcciOn S 30° E (30° al este del sur) con una fuerza de 60 libras. Dan empuja el mismo poste en Ia dirección S 60° 0 con una fuerza de 80 libras. Cuáles son Ia magnitud y Ia dirección de Ia fuerza resultante?
11. Un peso de 300 newtons reposa sobre un plano inclinado suave (la fricciOn es despreciable) que forma un ángulo de 30° con la horizontal. LQué fuerza paralela al plano evitarIa apenas que e1 peso se deslice sobre el plano? Sugerencia: Considere la fuerza hacia debajo de 300 newtons como Ia suma de dos fuerzas, una paralela al piano y otra perpendicular a él.
N: w
Figura 17
Muestre que el punto P del triángulo del problema 21 que
minimiza AP + BP + CP es el punto donde los tres ángulos en P son iguales. Sugerencia: Sean A', B' y C' los puntos donde se agre-
gan los pesos. Entonces, el centro de gravedad está localizado a (AA' + BB' + cc') unidades por debajo del plano del triángu-
SECCION 13.3
lo. El sistema está en equilibrio cuando ci centro de gravedad de los tres pesos está en su nivel más bajo. Sean 3w, 4w y 5w, los pesos en A, B y C del problema 21, res-
pectivamente. Determine los tres ángulos en P en equilibrio. j,Qué cantidad geométrica (como en el problema 22) se minimiza ahora? Una compaflIa construirá una planta para fabricar refrigeradores por vender en las ciudades A, B y C en cantidades a, b y c, res-
13.3
Vectores en el piano: enfoque algebra ico
El vector u
Figura 1
Vectores en el piano: enfoque aigebraico
571
pectivamente, cada año. ,Cuái es la mejor ubicación para La pianta? Es decir, cuái es la posición que minimizará los costos de envIo (yease ci probLema 23)?
Respuestas al repaso de conceptos:
1. magnitud; dirección
2. tienen La misma magnitud y dirección beza de v 4. fuerza; veiocidad
3. Ia cola de U; La ca-
Desde la perspectiva geométrica de la sección anterior, un vector se puede describir como una familia de flechas, todas con la misma longitud y direcciOn (figura 1). Ahora nuestro objetivo es colocar a los vectores en un contexto algebraico. He aquI cómo lo haremos. Primero imponemos un sistema de coordenadas cartesianas en ci piano. Entonces, para un vector dado u, elegimos como su representante ia flecha que tiene su cola en ci origen (figura 2). Esta flecha queda determinada de manera ünica mediante las coordenadas u1 y u2 de su cabeza; es decir, el vector u queda descrito totalmente mediante ia pareja ordenada (u1, u2) (figura 3). Al hacer esto, consideramos a (u1, u2) como ci vector; es el vector u en su ropa algebraica. Por cierto, usamos (ui, u2) en vez de (u1, u2) debido a que este ültimo sImbolo ya tiene dos significados: un intervalo abierto y un punto en el plano. ,Pero para qué damos esta nueva interpretación? Tenemos dos buenas respuestas. La primera es que para los vectores, al igual que hemos tratado de enfatizar para otros temas del libro, la interacción entre sus aspectos geométrico y algebraico enriquece y aclara en gran medida el tema. En segundo lugar, el punto de vista algebraico es que se generaliza más fácilmente a dimensiones superiores. Esto se debe a que casi es tan fcii hablar de una n-ada ordenada (u1, u2,.., u) que de una pareja ordenada (u1, u2).
Operaciones con vectores Los nUmeros u1 y u2 son liamados componentes de u = (u1, u2). Dos vectores u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son iguales si y solo si u1 = v1 y u2 = v2. Para sumar u y v, sumamos los componentes correspondientes; es decir,
u + v = (u1 + v1,u2 + v2) Para multiplicar u por un escalar c, multiplicamos cada componente por c. AsI,
uc = cu = (cu1,cu2) En particular,
Se elige Un
u = (u1,u2)
representante especial
y
Figura 2
0 = Ou = (0,0) La figura 4 muestra que estas definiciones son equivalentes a las definiciones geométricas anteriores. i(y
y
2u = (2u, 2u,)
u + v = (u +,, ,+ v,)
x
U = (u ti,)
Se identifica u con Ia pareja ordenada (u, u,) x
Figura 3
-u= Suma vectorial
MultiplicaciOn por un escalar
Figura 4
La interpretación algebraica de los vectores permite estabiecer fácilmente las siguientes reglas para operar con vectores.
572
CAP1TULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Teorema A
_1c las Para cualesquiera vectp s ii, v y w y cualesquiera escalares a y b, se cumphn siguientes relaciones. U+V=V+U
(u + v) + w = u + (v + w) u+0=0+u=u
u + (u) = 0 a(bu) = (ab)u = u(ab)
a(u + v) = au + av (a + b)u = an + bu
in = u
Ilustraremos la demostración por medio de la regla 6. Asegérese de entender por qué cada uno de los siguientes pasos es válido.
Demostración
a(u + v) = a((u1, u2) + (v1, v2)) = a(u1 + v1,u2 + v2) = (a(u1 + v1),a(u2 + v2)) = (au1 + av1,au2 + av2)
= (au1,au2) + (av1,av2) = a(u1,u2) + a(v1,v2) = au + av I
0
id
Longitud y el producto punto La longitud (o magnitud) u del vector C
u = (u1, u2) está dada por
Figura S
=
vu + u
\/42 + (_2)2 = Por ejemplo, si U = (4, 2), entonces u u por ci escalar c, multiplicamos su longitud por c; es decir,
Si multiplicamos
cu =
Figura 6
No se confunda por ci aparente dobie uso del sImbolo . El sImbolo c, ilamado el valor absoluto de c, es Ia distancia del origen a c sobre la recta real (figura 5). El sImbolo u, liamado la longitud de u, es la distancia del origen a la cabeza de u en el plano (figura 6). EJEMPLO 1
Sea u = (4, 3). Determine u y 2u. Determine además un vector v
con la misma dirección que ii, pero de longitud 1.
\/42 + (_3)2 = 5 y 2u 2u= u v, simplemente dividimos u entre su longitud u ; es decir, Solución
v=
(4,-3)
u
1
=
(4,-3)
2
5 = 10. Para determinar
/4 3
= \,
La longitud de v es entonces
=
U
=
1
U
Hemos analizado la multiplicación por un escalar, es decir, la multiplicación de un vector u por un escalar c. El resultado cu es siempre un vector. Ahora presentamos una multiplicaciOn para dos vectores u y v. Se llama el producto punto y se simboliza como u v. Lo definimos mediante la formula
SECCION 13.3
Vectores en el piano: enfoque algebraico 573
Por ejemplo, (4, 3)
(3, 2) = 12 + (-6) = 6. Observe que el producto punto de dos vectores es un escalar. Las propiedades del producto punto son fáci!es de establecer; las enunciamos sin demostración.
oena B Si u, i v w sor vectores y .1
es .ui i'' 1 I.aIaJ , "r ntonces se cumplen estas propiedades.
1.uv vu fi )UV+UW w) 2u'+' c(u v)
(cu) v =
u (cv)
0u-0
5.uu=
.2
Para comprender la importancia del producto punto, ofrecemos una fOrmula alternativa para é!. Si u y v son vectores no nulos, entonces u
v =
u vcosO
donde 0 es el ángulo entre u y v. Por el ángulo entre u y v entendemos el menor ángulo no negativo entre u y v, de modo que 0 < Para deducir esta formula, aplicamos Ia ley de los cosenos al triángulo de La figura 7.
ii - v2
=
u2 + v2 - 2u vcos6
Por otro lado, por las propiedades del producto punto enunciadas en el Teorema B,
=UUUVVU+Vv - 2n v
= u2 +
Al igualar las dos expresiones para u - v2 se tiene el resultado deseado. Una consecuencia extremadamente importante de la formula recién obtenida es el siguiente teorema. Teorema C
Criterio de perpendicularidad
Dos ye. tort u y son per..dicu1ares si y sOlo si SU producto punto u v es 0. Demostración Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si el angulo 0 entre ellos es ir/2; es decir, y solo si cos 0 0. Pero cos 0 = 0 si y sOlo si u v = 0. El resultado es válido para vectores nulos, si acordamos que un vector nub es perpendicular a cualquier otro vector. i
Se dice que los vectores que son perpendiculares son ortogonales. EJEMPLO 2
Deterniine b de modo que u =
(8, 6)
yv =
(3,
b) sean ortogonales.
Solución
AsI,b =
4.
EJEMPLO 3
(8)(3) + (6)(b)
u v
Determine el ángulo entre u =
24
(8, 6)
+ 6b =
0
y v = (5, 12) (véase La figura 8).
Solución cosO =
u
v
uv
=
(8)(5) + (6)(12) (10)(13)
=
112
130
Entonces 0
cos' (0.862)
0.532 (o 30.5°)
0.862
574
CAPITULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Vectores básicos Sean i = (1,0 ) yj = (0,1); observe que estos dos vectores son perpendiculares y de longitud uno. Son llamados vectores básicos, pues cualquier vector u = (u1, u2) se puede representar de manera ünica en términos de I y j. De hecho,
u =
(u1,u2)
= u1(1,0) + u2(0,1) =
u1i
+ u2j
x
La interpretación geométrica se muestra en La figura 9. EJEMPLO 4 ma
u1i
Si u es la flecha desde el punto
P(2, 1) a Q(-3, 7), escriba u en la for-
+ u2j.
So!ución
Primero trasladamos esta flecha de modo que emane del origen (figura 10).
Esto se puede lograr siempre, restando los componentes del punto inicial de los del
punto final. AsI, el vector algebraico correspondiente es ( 3 - 2,7 - (-1)) = (-5, 8). Concluimos que
u=-5i+8j EJEMPLO 5 Determine la medida del ángulo ABC, dOnde A = (4, 3), B(1, 1) y C(6, 4), como en la figura 11.
Solución Figura 10
(4 1)i + (3 + 1)j = 3i + 4j = (3,4) = (6 1)1 + (-4 + 1)j = Si - 3j = (5,-3)
u = BA = v =
+ 42 =
=
A (4,3)
= V52 + (_3)2 =
34
uv= (3)(5) + (4)(-3) =3 cosO
I
U
UV
5\/34
0.1029
1.468 (cerca 84.09°)
U
C (6, 4)
Proyecciones Sean u y v vectores, y sea U el ángulo entre ellos. Por ahora, suponSea w el vector en la dirección de v que tiene magnitud ucos gamos que 0 (véase la figura 12). Como w tiene La misma dirección que v, sabemos que w = cv 0 Por otro lado, La magnitud de w debe ser ucos 0. AsI, c. para algén escalar positivo
= cv = cv
ucos0 = La constante c es entonces
w
c=
ucose
FigiJra 12
cos0=
k'Hiv
=
(u v\ v v
/
IT, definimos w como el vector en la recta determinada por v, pero que apunta en La dirección opuesta a la de v (véase la figura 13). La magnitud de este vec= ucos 0 = cv para algün escalar positivo c. AsI, c = (ucos 0)/(v) tor es Como w apunta en La dirección opuesta a v, tenemos que w = cv = (u v/v2)v. AsI, en ambos casos tenemos w = (u v/v2)v. EL vector w es llamado La proyección vectorial de u en v, o a veces simplemente la proyección de u sobre v y se de-
Para ii-/2 < 0
u v/v2.
U
V
nota pru:
cos 0
Figura 13
2
AsI, w
w
uv
pr U =
v2 /
V
SECCION 13.3
Vectores en el piano: enfoque algebraico 575
La proyección escalar de u sobre v se define como ucos 0. Es positivo, cero o negativo, segün si 0 es agudo, recto u obtuso. Cuando 0 -/2, La proyección escalar es igual a La magnitud de pru, y cuando 1?-/2 < 0 < -, la proyección escalar es iguaL al opuesto de la magnitud de pru. Sean u = (-1,5) y v (3,3). Determine la proyección vectorial de u sobre v y la proyección escalar de u sobre v. EJEMPLO 6
Solución
La figura 14 muestra los dos vectores. La proyección vectorial es
pr(33(-1,5)
((-1,5). (3,3) (33)2
-3 + 15 )(33) = 32 + 32
(3,3) =
2i +
2j
y la proyecciOn escalar es Figura 14
ucos0
= (-1,5)
(-1,5) . (3,3)
-3
+ 15
.
2\/
(-1,5) k,3) - V32 + 32
El trabajo realizado por una fuerza constante F para mover un objeto a Lo largo de La recta de P a Q es la magnitud de La fuerza en la dirección del movimiento por La distancia recorrida. AsI, si D es el vector de P a Q, el trabajo realizado es
(Proyección escalar de F sobre
D)D = F cos 0 D
Es decir, F = $i + 5j
Trabajo
EJEMPLO 7
D6i
FD
Una fuerza F = 8i + 5j en newtons mueve unobjeto de (1, 0) a (7, 1),
donde la distancia se mide en metros (figura 15). Cuánto trabajo se realiza?
(7
Solución
(I ,O)
=
Sea D el vector de (1, 0) a (7, 1); es decir, sea D = 6i +
Trabajo=F D Trabajo
Figura 15
=
FD=
j. Entonces,
(8) (6) + (5) (1) = S3joules
Repaso de conceptos Si ii = (u1, u2) y v = (v1, v2) son vectores, entonces u + v = ,du = ___yuI =
ELproductopuntodeu mo a
(u1,u2)yv = (v1,v2)sedefineco. La formula geométrica correspondiente para
v =
u v es
Los vectores I = (1,0) yj = (0,1) se LLaman
por-
que cualquier vector se puede representar de manera Onica en Ia forma ai + bj. El trabajo realizado por una fuerza F para mover un objeto a lo largo del vector D está dado por
Conj unto de problemas 13.3 Sean a = -21 + da uno de los siguientes:
3j, b
(a)2a-4b (c) a
(b
+
=
2i - 3j y c
= -5j. Determine Ca-
(d) (-2a
(e) aca
(f)
Sean a
=
(3, -1), b
+
3b) . Sc
bb -
= (1,-i) ye = (0,5). Determine
da uno de los siguientes:
(c) (a + b) .
e
Determine el ángulo entre a y b y haga un bosquejo.
Caa
(b) bc
(a) -4a +3b
(e) bh a
(a) a = (1, -3), b = (-1,2) (b) a = (-1, -2), b = (6,0) (c) a = (2,-1),b = (-2,-4) (d) a (4,-7),b = (-8,10)
(b)a.b c)
Determine el coseno del ángulo entre a y b y haga un bosquejo.
(d) 2e (f)
(3a
=
12i,b
=
-Si
a = 41 + 3j,b =
+ 4b)
c2 - ce
-81 -
6j
a=-i+3j,b=2i-6j a = \/i +j,b = 31 +
576 CAPiLO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Escribaçl vector representado por AB en la forma a = a1i + a2j.
(a) A(2, 2), B(-3, 4)
(b) A(0, 4), B(-6, 0)
(c) A(\/,
(d) A(-7, e), B(-4,
B(0, 0)
)
Determine el trabajo realizado por una fuerza de 100 newtons que actUa en la dirección 5 700 E al mover un objeto 30 metros hacia el este. Determine el trabajo realizado por la fuerza F = 61 + 8j libras al mover un objeto de (1, 0) a (6, 8), donde la distancia se mide en pies.
Determine el trabajo realizado por la fuerza F = 51 + 8j, Determine un vector unitario u en la direcciOn de a y expré-
en newtons, al mover un objeto 12 metros hacia el norte.
seloenlaformau = u11 + u2j.
Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
(a) a = (-3,-4)
(b) a = (1,-7)
(c) a = (0, 4)
(d) a = (-5, 12)
<
Demuestre Ia desigualdad del triángulo (véase la figura 16):
Iu + v
u+v Si u + v es perpendicular a u - v, ,qué puede decir acerca de las magnitudes relativas de a y v?
Muestre que (a + v)
(3u - v) = 3u2 - v2 + 2u
v.
u+v
En los problemas 9-12, dé una demostraciOn de Ia propiedad indica-
da.Useu = (u1,u2),v = (v1,v2)yw = (w1,w2).
/
(a + b)u = au + bu Figura 16
10.u(v+w)=uv+uw Sugerencia:
c(u v) = (cu) . v
a + v2
Siu + v = u,entoncesv = 0. Determine un vector con la misma dirección que 6i - 8j pero con el triple de longitud.
Determine un vector con dirección opuesta a 51 + 12j y longitud unitaria.
Muestre que los vectores (6, 3) y (-1, 2) son ortogonales (perpendiculares).
Muestre que los vectores (-5,
\/) y (V, 15) son or-
togonales.
,Para qué nümeros c ocurre que (c, 6) y (c, 4) son ortogonales?
i,Para qué némeros c ocurre que 2ci - 8j y 31 + cj son ortogonales?
Dados a = 31 - 2j y b = 31 + 4j, dos vectores no colineales (es decir, vectores tales que el ángulo entre ellos satisface 0 <6
r = ka + mb. Dados a = 41 + 3j y b
21 - j (dos vectores no colineales) y otro vector r = 6i - 7j, determine escalares k y m tales que
r = ka + mb. Sean a = a1 i + a2j y b = b1 I + b2j vectores no colineales. Si r = r11 + r2j es un vector arbitrario en el plano de a y b, determine escalares k y m tales que r = ka + mb. Muestre que el vector n = ai + bj es perpendicular a la recta con ecuación ax + by = c. Sugerencia: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
dos puntos sobre la recta. Muestre que n P P2 = 0. Determine el trabajo realizado por la fuerza F = 31 + lOj newtons para mover un objeto 10 metros hacia el forte (es decir, en la dirección j).
(a + v).(u + v) = uu + 2uv + vv = u2 + 2u v +
Aplique ahora el problema 27. i,Qué puede decir acerca de los vectores no nulos u y v en cada caso? (a)
+ v2 = 2u v
(b) u2 =
= 2u v
Muestre que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares. Sugerencia: Sean u y v los lados ad-
yacentes. Calcule (a + v) (a - v). Sean A y B los extremos del diámetro de un cIrculo y C cualquier otro punto sobre el cIrculo. Use métodos vectoriales para mostrar que AC es perpendicular a BC.
Demuestre que w = vu + uv biseca el ángulo entre a y v. Determine pru para cada caso:
(a) a = (0,5),v = (3,4)
(b) u = (-3,2),v = (3,4)
Determine una expresión sencilla para cada caso:
(a) pr u
(b) pr_a u
(c) pr (u)
(d) pr_a (a)
Deduzca la formula d = ax0 + by0 + c /\/a2 + b2 para Ia distancia de P(x0, y0) a la recta ax + by + c = 0. Sugerencia: Véase el problema 22. Además, sea Q(x1, y1) un punto sobre la recta. Determine la magnitud de la proyección escalar de QP sobre a.
1. (u1 + v1, u2 + v2); Respuestas al repaso de conceptos: 2. u1v1 + u2v2; u vcos6 3. vectores (cu1, cu2); \/uf + u básicos 4. F D
SECCION 13.4
13.4
Funciones con valores vectoriales y
movimiento curvilIneo
Funciones con valores vectoriales y movimiento curvilineo
577
Recuerde que una función f es una regla que asocia a cada miembro t de un conjunto (el dominio) un ünico valor f(t) de un segundo conj unto (figura 1). El conj unto de valores asI obtenidos es el rango de la funciOn. Hasta este punto del libro, nuestras funciones han sido funciones reales (funciones con valores escalares) de una variable real; es decir, tanto el dominio como el rango han sido conjuntos de nñmeros reales. Un ejemplo tIpico es f(t) = t2, la cual asocia a cada nümero real t el nümero real t2. Ahora ofrecemos la primera de muchas generalizaciones (figura 2). Una función con valores vectoriales F de una variable real t asocia a cada nümero real t un vector F(t). AsI,
F(t) = f(t)i + g(t)j = (f(t), g(t)) donde f y g son funciones ordinarias con valores reales. Un ejemplo tIpico es Dominio
Rango
F(t) = t2i + e'j = (t2, et)
Figura 1
Observe nuestro uso de una letra en negritas; esto nos ayuda a distinguir entre las funciones vectoriales y las funciones escalares. El concepto más fundamental en el cálculo es el de lImite. Intuitivamente, lIm. F(t) = L significa que el vector F(t) tiende hacia
Cálculo para funciones vectoriales
Dominio
Rango
el vector L cuando t tiende a c. Alternativamente, esto significa que el vector F(t) - L tiende a 0 cuando t - c (figura 3). La definición 8-6 precisa es idéntica a la dada para funciones con valores reales en la sección 2.5.
Figura 2
Definición Decir que urn F(t) = L significa que, para cada
> 0 dada (sin importar cuán peque-
fla sea), existe una 6 > 0 correspondiente tal que F(t) - L < < 6; es decir,
,
siempre que 0 <
-
F(i)
Figura 3
El sImbolo F(t) - L representa ahora la longitud del vector F(t) - L. Si expresamos la definiciOn de lImite para F(t) en términos de sus componentes f (t) y g(t), obtenemos un teorema importante, cuya demostraciOn aparece en el apendice A.2,Teorema D. r11 ieoreniA
-r.
g( Entonces F tieltie un lImite en c Si y solo si f y g tienen 11mites en c. En este 'taso,
Sea F(t) = f(i)i
limF(t) =
f(t)]i + [iImg(t)]j
Como usted podrá esperar, todos los teoremas estándar de lIrnite se cumplen. Además, la continuidad tiene su significado usual; es decir, F es continua en c Si lIm t -* F(t) = F(c). Del Teorema A, es claro que F es continua en c si y solo Si tanto fcomo g son continuas ahI. Por ültimo, la derivada F'(t) se define justo como para funciones con valores reales mediante C
F'(t) = lIm. h*O
F(t + h) - F(t) h
Esto también se puede escribir en términos de componentes.
578
CAP1TULO
13
Geometria en el piano, vectores
F'(t) = lIm h-*O
[f(t + h)i + g(t + h)j] - [f(t)i + g(t)j] h
f(t + h) - f(t)
=lun h-*O
h
i+luin h-*O
g(t + h) - g(t) h
j
= f'(t)i + g'(t)j En resumen, si F(t) = f(t)i + g(t)j, entonces
F'(t) EJEMPLO 1 y F"(0)
Si F(t)
f'(t)i + g'(t)j = (f'(t), g'(t))
(t2 + t)i + e'j, determine F'(t), F"(t) y el ángulo 0 entre F'(0)
Solución F'(t) = (2t + 1)1 + e'j F"(0) = 21 + j y F'(0)
F"(0)
(1)(2) + (1)(1) 12 + 12 V22 + 12 -
- F'(0) F"(0) 0
F"(t) = 21 + e'j. AsI, F'(0) = I + j,
y
3
0.3218 (aproximadamente 18.43°)
.
Estas son las reglas para la derivación: Teorema B
FOrmulas de derivaciOn
Sean F y G funciones con valores vectoriales, difere'"ables y i u-iia unCjOfl frcon valores reales, diferenciable, y c es un escalar. EfltOflLc
D,[F(t) + G(t)] D1[cF(t)]
F'(t) + G'(t)
cF'(t)
D[h(t)F(t)] = h(t)F'(t) + h'(t)F(t) DJF(t) G(t)] = F(t) G'(t) + G(. ) F'(t) DJF(h(t))] = F'(h(t))h'(t) (Regla de la cadena) Demostración Demostraremos la formula 4 y dejaremos las demás partes al lector. Sean
F(t) = f1(t)i + f2(t)j,
G(t) = g1(t)i + g2(t)j
Entonces
D1[F(t). G(t)] = D,[f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t)]
= f1(t)g(t) + g1(t)f(t) + f2(t)g(t) + g2(t)f(t) = [f1(t)g(t) + f2(t)g(t)] + [g1(t)f(t) + g2(t)f(t)] = F(t) G'(t) + G(t) . F'(t) Como las derivadas de funciones con valores vectoriales se determinan derivando sus componentes, es natural definir Ia integración en términos de componentes; es decir, si F(t) f(t)i + g(t)j,
fF(t) dt = [ff(t) dt]i
I EJEMPLO 2
(a) D,[t3F(t)]
dt
[fb
+
dt]i
[fg(t) dt]j
[fg(t) dt]j
Si F(t) = t2i + ej, determine (b)
I F(t)dt.
Jo
SECCION 13.4
Funciones con valores vectoriales y movimiento curvilIneo
579
Solución
D[t3F(t)] = 13(2ti - e'j) + 3t2(t2i + e'j) = 5t4i + (3t2 - t3)e_tj
f F(t)dt = (f1t2dt)i =
+
(f1e_tdt
J
+ (1 - e1)j
Movimiento curvilIneo Vamos a usar la teorIa desarrollada hasta el momento para funciones con valores vectoriales y estudiar el movimiento de un punto en el piano. Si t mide el tiempo y suponemos que las coordenadas de un punto móvil P están dadas por las ecuaciones paramétricas x = f(t), y = g(t). Entonces ci vector
r(t) = f(t)i + g(t)j que suponemos sale del origen, es ilamado ci vector de posición del punto. Cuando varIa, ia cabeza de r(t) describe la trayectoria del punto mOvil P (figura 4). Esta es una curva, y ilamamos al movimiento correspondiente un movimiento curvilIneo. En anaiogIa con ci movimiento lineal (en iInea recta), definimos la velocidad v(t) y la aceleración a(t) del punto móvil P como
v(t) = r'(t) = f'(t)i + g'(t)j a(t) = r"(t) f"(t)i + g"(t)j Como
v(t) = lIm
h-O
r(t + h) - r(t) h
es ciaro (de la figura 5) que v(t) tiene la direcciOn de la recta tangente. La magnitud v(t) de la velocidad se llama la rapidez del punto mOvil P. El vector de aceleración a(t) apunta hacia el lado cóncavo de la curva (es decir, el lado hacia el que se dobla la curva).
EJEMPLO 3
Movimiento circular uniforme Suponga que un punto P se mueve en tomb de un cIrcuio con centro en (0, 0) y radio r con una rapidez angular constante de w radianes/ segundo. Si su posición inicial es (r, 0), determine su aceleración.
So!ución El vector de posición en ci instante t es
r(t) = r cos oti + r sen wtj AsI,
v(t) = rw sen wti + rw cos wtj a(t) = rw2 cos wti - rw2 sen wtj Observe que
a(t) = w2r(t)
580 CAPITULO 13
Geometria en el piano, vectores
AsI, si pensamos en a basado en P, entonces a apunta hacia el origen y es perpendicular a v (figura 6). U
w
EJEMPLO 4 Las ecuaciones paramétricas para un punto P que se mueve en el piano son x = 3 cos t y y = 2 sen t, donde t representa el tiempo. Grafique Ia trayectoria de P. Determine expresiones para la velocidad v(t), rapidez v(t) y aceleración a(t). Determine los valores máximo y mInimo de Ia rapidez y los puntos donde ocurren. Muestre que el vector aceleración con base en P siempre apunta hacia el origen.
Solución Como x2/9 + y2/4 = 1, la trayectoria es Ia elipse que se muestra en La figura 7. El vector de posición es
Figura 6
r(t) = 3costi + 2sentj y entonces
3senti + 2costj
v(t)
v(t) = V9sen2t + 4cos2t = V5sen2t + 4
a(t) = 3costi - 2sentj Como la rapidez está dada por V'5sen2 t + 4, la rapidez maxima de 3 ocurre cuan-
do sen t = ±1, es decir, cuando t = -/2 o 3ir/2. Esto corresponde a los puntos (0, ±2) sobre la elipse. De manera analoga, la rapidez minima de 2 ocurre cuando sen t
0, lo que corresponde a los puntos (±3, 0). Observe que a(t) = r(t). AsI, si basamos a(t) en P, este vector apuntará y llegará exactamente al origen. Concluimos que a(t) es máximo en (+3, 0) y mInimo en (0,±2). r (t) = 3 cost i + 2 sen tj
Figura 7
EJEMPLO 5
Un proyectil se lanza desde el origen a un ángulo 0 desde el eje x positivo con una rapidez inicial de v0 pies/segundo (figura 8). Despreciando la fricción, determine expresiones para ia velocidad v(t) y la posición r(t) y muestre que la trayectona es una parabola. Solución La aceleraciOn debida a la gravedad es a(t) = 32j pies/segundo por segundo. Las condiciones iniciales son r(0) 0 y v(0) = v0 cos 01 + v0 sen Oj. Partiendo de
a(t) = 32j, integramos dos veces.
f a(t)dt = J_32dti = 32tj + C
v(t)
La condiciOn v(0) v0 cos 0 1 + v0 sen 0 j nos permite evaluar C y obtener C = cos 0 1 + v0 sen 9 j. AsI,
v(t)
(V0
v0
cos 9)1 + (v0sen0 - 32t)j
y
r(t)
Jv(t) dt = (tvo cos 0)1 + (tvo sen0 - 16t2)j + K
Figura 8
La condición r(0)
0 implica que K = 0, de modo que
r(t)
(tv0cos0)i + (tv0sen0 - 16t2)j
Para determinar La ecuaciOn de Ia trayectoria, eliminamos ci parámetro t en las ecuaciones
x = (v0cosO)t,
y = (v0sen9)t - 16t2
En particular, despejamos t en la primera eduación y sustituimos en la segunda. Ei resultado es
y = (tan9)x la ecuación de una parabola.
74
\
v0 cos 0 /
SECCION 13.4
Funciones con valores vectoriales y movimiento curvilineo
581
Repaso de conceptos Una función que asocia a cada nñmero real un ünico vector
La función F(t) = f(t)i + g(t)j es continua en t = c si y so. La derivada de F está dada en términos de f y g como F(t) = 10 si
Si un punto se mueve a lo largo de una curva de modo que esté en el punto P en el instante t, entonces el vector r(t) desde ei de P. origen hasta P se llama el vector y En términos de r(t), la velocidad del punto P es a . El vector velocidad en t es su aceleración es ia curva, mientras que el vector aceleraciOn apunta hacia el lado de la curva.
Conj unto de problemas 13.4 En los problemas 1-8, determine el lImite pedido o indique que este
En los problemas l9y 20, F(t) = f(g(t)). Determine F'(t) en términos
lImite no existe.
de t.
2. 119[2(t
1. lim[2t1 - t2j] 3
1-1
.Im
4.lImI z__2[
2t2 - lOt - 28.
t
i-OL
[tsent
6. jim I
7t3 I
e,
f(u) = u2i + sen2ujyg(t) = tant. Evaláe las integrales en los problemas 21 y 22.
7t3
t-3 j ]
t+2
sentcost
5. lImI
t2+2t-3 1 t-1 ij
I
1
-
£ _*O+
+
=
r(t) =
-
\/20 - tj. ([
denota Ia función máximo en-
tero.) 10. Indique el dominio de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:
r(t) = e'i + e'j;t1 = 1 r(t) = (3t2 - l)i + tj; t1 =
r(t) = 2costi - 3sen2tj;t1 =
r(t) = in (t' )i + tan1 tj 11. £Para cuáles valores de t es continua cada función del problema 9? 12. Para cuáles valores de t es continua cada función del problema 10?
13. Determine Dr(t) y Dr(t) para las siguientes funciones:
(b) r(t) = sen2 ti + cos 3tj
14. Determine r'(t) y r"(t) para las siguientes funciones:
(b) r(t) = tan2ti + arctantj 15. Si r(t) = e'i - In(t2)j,halie D1[r'(t) . r"(t)]. 16. Si r(t) = sen 3ti - cos 3tj, halle D[r(t) . r'(t)].
(a) r(t) = (et + e_12)i + 2'j
17. Si r(t) = \/t - ii + ln(2t)j
r(t) = 3t2i + t3j;t1 = 2
r(t) = asenti + 2acostj;t1 =
a>0
r(t) = costi - 2tantj;t1 = -
r(t) = ln(t - 1)1 + \/20 - tj
y
h(t) = e_3t,
halle
D[h(t)r(t) 1. 18. Si r(t) = sen2ti + coshtj y h(t) = ln(3t - 2), halle D,[h(t)r(t)].
f[(1 + t)312i + (1 - t)3/2j]dt
r(t) = tan ti + sen tj; t1 =
+ tj
(a) r(t) = (3t + 4)3 i + e'2j
22.
cion, v(t) y a(t), y la rapidez en el instante dado t = t1. Bosqueje una porción de la grafica de r(t) que contiene Ia posición P de Ia partIcula cuando t = t1 y trace v(t1) y a(t1) con sus puntos iniciales en P
(eh/12 t) 8. iIm -30
9. Cuando no se da el dominio en la definición de una función con valores vectoriales, se entiende que este dominio es el conjunto de todos los escalares (reales) para los que la regia que define a Ia función tiene sentido y produce vectores reales (es decir, vectores con componentes reales). Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales: 2
f(ehi + e'j)dt
En cada uno de los pro blemas 23-30, r(t) da Ia posición de una partIcuIa móvil en el instante t. Determine los vectores de velocidad y acelera-
7. urn (ln(t3), t2 in t)
r(t)
21.
1
Jj
7t3
2
f(u) = cosui + e3uj y g(t) = 3t2 - 4.
3)21 - 7t3j]
r(t) = et/2I + etj;t1
2
En los problemas 31-34, use Ia informacion dada para determinar el vector velocidad v(t) y la posición del vector r(t) (véase el ejemplo 5).
a(t) = -32j,v(0) = 0,r(0) = 0 a(t) = tj,v(0) = I + 2j,r(0) = 0 a(t) = I + ej,v(0) = 21 + j,r(0) = 1 + j a(t) = -costi + sentj,v(0) = i,r(0) = I + 3j Un punto se mueve en el cIrculo x2 + y2 = 25 con una rapidez angular constante de 6 radianes/segundo, partiendo de (5,0). Determine expresiones para r(t), v(t), v(t) y a(t) (véase el ejemplo 3). Un punto se mueve de modo que su rapidez es constante; es decir, v(t) v(t) = c (una constante). Muestre que sus vectores de yelocidad y aceleraciOn siempre son perpendiculares entre si.
582
GeometrIa en el piano, vectores
CAPiTULO 13
En el ejemplo 5, supóngase que 0 = 300 y v0 = 96 pies/segundo. ,En qué momento choca el proyectii contra el suelo, con qué rapidez, y a qué distancia del origen?
gundo por segundo (la aceieración de la gravedad en la superficie de la Tierra). Use estos resuitados para mostrar lo siguiente: v
Un punto se mueve en el piano con vector aceleración constante a = aj. Muestre que su trayectoria es una parabola o una lInea recta.
Un punto se mueve sobre la hipérbola x2 tor de posición
= 1 con vec-
cr(t), donde c es una
la rapidez de un satélite que orbita la Tierra a 200 millas sobre su superficie
Ia distancia del centro de la Tierra a un satélite de comunicaciones en órbita sIncrona (gira de modo que permanece directamente sobre un punto de Ia Tierra)
donde w es una constante. Muestre que a(t) = cr(t), donde c es una constante negativa (véase el ejemplo 4).
Si una pelota de béisbol es bateada con un ángulo de 450 con respecto de Ia horizontal y es atrapada pot un jardinero a 300 pies dei "home", ,cuál era la velocidad inicial de ia pelota? (Véase el ejemplo5.) Una pequefla pelota cae desde una mesa horizontal a 4 pies
de aitura, con una rapidez de 20 pies/segundo. Con qué ánguio con qué rapidez golpeara el piso?
y
Una lata abierta en un extremo es atada a la orilla de una rueda giratoria vertical de 60 centImetros de radio, con su extremo abierto dirigido hacia el centro de ia rueda. En la iata hay una canica. Qué rapidez angular debe mantenerse para que la canica no salga? (Véase el problema 44 para encontrar el valor de g.) Un cuerpo de masa m gira en una órbita circular de radio r con rapidez constante v en tomb de un cuerpo de masa M. Del ejemplo 3,
r
mientras que por la iey del cuadrado inverso de Newton, F = GmM/r2, o bien
13.5
Curvatura
47. Trace las trayectorias de la cabeza de r(t) = (4 cos t)i + (3 sen t)j, r'(t) y r"(t), 0 t
ICASI
(a) t = -/6,
(b) t = (d) t =
I = r/3, y
ilustrando con ello que r'(t) apunta en la dirección de ia tangente a Ia trayectoria y r"(t) apunta hacia el iado cóncavo de la trayectoria. CAS 48. Trace las trayectorias de Ia cabeza de r(t) = (a cos t)i + (b sen i)j, r'(t) y r"(t), 0 2ii-, para diversos vaiores de a y b. Haga una conjetura acerca de estas trayectorias y yea si puede demostrarla.
49. Sea r(t) = (3 cost - cos 3t)i + (3 sent - sen 3t)j.Trace las trayectorias de la cabeza de r(t), r'(t) y r"(t) para 0 t ir. Luego, usando estas gráficas, despliegue los vectores correspondientes a ICASI
(a)
(b) t = (d) I = 2r/3.
t
ir/2,y
Respuestas al repaso de conceptos: 1. funciOn con vaiores vectoriales de una variable real 2. y g son continuas en C; f'(t)i + g'(t)j 3. posición 4. r'(t); r"(t); tangente; cóncava
f
Queremos introducir un n6mero liamado curvatura, que mide cuánto se dobla una curVa. Una recta deberIa teller curvatura 0, y una curva que gira rápidamente deberIa tener una durvatura grande (figura 1). Para liegar a una definición adecuada, necesitamos repasar algunas antiguas ideas y presentar algunas nuevas. Para a < t b, sea r(t) = f(t)i + g(t)j = (f(t), g(t)) el vector de posición para un punto P = P(t) del piano. Supongamos que r'(t) existe y es continua, y que r'(t) 0 en ei intervalo (a, b). Entonces (véase la sección 6.4), cuando t aumenta, P describe una curva suave (figura 2) y la longitud s = h(t) de la trayectoria de P(a) a P(t) está dada por
s = h(t)
f[f'(u)]2 +
[g'(u)]2 du =
La rapidez del punto en movimiento es Curvatura pequeña
Figura 1
ace IeraciOn
Curvatura grande
Cuvatura cero
46. La Luna orbita laTierra cada 27.32 dIas. Determine la distancia de la Tierra a la Luna en millas (véase el problema 44).
(k una constante)
Sea T ei tiempo para una revoluciOn, R 3960 millas (el radio de Ia Tierra) y g 32.17 pies/segundo por segundo 980 centImetros/se-
y
ci
(c) t =
a =-
r3 (tercera ley de Kepler para órbitas circulares)
C 45. Aplique los resultados del problema 44 ai problema de la Tierra y un satélite determinando lo siguiente:
r(t) = acoswti + bsenwtj
ma
= ( k
k = gR2
Un punto se mueve sobre la elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 con vector de posición
a = a(t) = w2 r(t)
r
4.2\ T2
r(t) = coshwti + senhwtj donde w es una constante. Muestre que a(t) constante positiva.
=-
ds dt
r'(t)
v(t)
fr'(u)
du
SECCION 13.5
Curvatura y aceleraciOn
583
Como r'(t) 0, se tiene que v(t) > 0, de modo que s crece cuando t crece. Por el Teorema de La funciOn inversa (Teorema 7.2B), s = h(t) tiene una inversa t = h(s) y 1 1 dt ds/dt ds v(t) Sea T(t) el vector tangente unitario en P(t), definido por
T(t)= x
Figura 2 ÀY
v(t) r'(t) = r'(t) v(t)
Cuando P(t) se mueve a lo largo de la curva, el vector unitario T(t) cambia su dirección (figura 3). La razón de cambio de T con respecto de la longitud de arco s, es decir, dT/ds, es el vector de curvatura en P. Por ültimo, definimos La curvatura K (kappa) en P como Ia magnitud de dT/ds; es decir, K = dT/ds. Ahora, por La regLa de la cadena
dT ds
dT di' di' ds
T'(t) v(t)
AsI,
T'(t)
T'(t)
dT ds x
El vector tangente unitario T (t)
Figura 3
r' (t)
Algunos ejemplos importantes
Para convencer a! lector de que la definición
de curvatura es sensible, La ilustraremos con unos ejemplos. EJEMPLO 1
Muestre que la curvatura de una recta
es
idénticamente cero.
So!ución Esto es consecuencia inmediata del hecho de que T es un vector constante. Pero para ilustrar los métodos vectoriales, daremos una demostración algebraica. . Entonces, una yb = Sean P y Q dos puntos fijos sobre la recta, y sean a = forma vectorial para la eduación de la recta es (figura 4) r r(t) = a + tb AsI,
v(t) = r'(t) = b
T(t) =
b
T'(t) 0 = b v(t) Fc0 Figura 4
=0
EJEMPLO 2 Muestre que en cada punto de un cIrculo de radio a, la durvatura es K = 1/a (figura 5).
Solución Podemos suponer que el cIrculo tiene centro en ci origen. Entonces, ecuación vectorial se puede escribir como
su
r(t) = acosti + asentj AsI,
v(t) = r'(t) = asenti + acostj v(t) = [a2sen2t + a2cos2t]l/2 = a
T(t) = K
Figura 5
Como tura.
K
v(t) v(t) = = a v(t)
senti
+ costj
T'(t) costi - sen tj a v(t) =
1
a
es el recIproco del radio, mientras mayor sea el cIrculo, menor será su curva-
I
584 CAPITULO 13 CIrculo de curvatura
GeometrIa en el piano, vectores
El ejemplo del cIrculo conduce a varias ideas nuevas. Sea P un punto sobre una curva, tal que K 0. Considere el cIrculo tangente a la curva en P y que tiene la misma curvatura en ci punto. Su centro estará del lado cóncavo de la curva. Este cIrculo se llama el cIrculo de curvatura (o cIrculo osculador), su radio R = i/K es el radio de curvatura y su centro es ci centro de curvatura. Estas nociones se ilustran en la figura 6. EJEMPLO 3
Determine Ia curvatura y radio de curvatura de Ia hipocicloide r = 8 cos3 ti + 8 sen3 tj
Curva
en Los puntos P y Q, donde t = ir/12 y t = 3ir/4, respectivamente. Luego, bosqueje la
Figura 6
gráfica de esta hipocicloide mostrando los cIrculos de curvatura en P y en Q. So!ución
Para 0 < t < ii-, t
ir/2,
v(t) = r'(t) = 24 cos2 t sen ti + 24 sen2 t cos tj
v(t) = 24sentcost t cos2 t t cos t T(t)= sen i+ sen2 sent cos t sent cos t J
cos ti + sen tj
0
cos ti - sen tj
senti + costj
0
senti - costj
T'(t)
'iT
24sentcost
v(t)
12sen2t
AsI, en P tenemos
(
Kl2) =
l2sen(2
= 6
y
R()
6
y en Q tenemos KI
4
= 1
1
12sen(2
= .
1
12
R(3)
= 12
La figura 7 muestra La gráfica de la hipocicloide y los cIrculos de curvatura.
CIrculo de curvatura en P
Figura 7 Hipocicloide
Curvatura y aceleración
SEccION 13.5
585
Observe que P y Q tienen las coordenadas aproximadas (7.21, 0.14) y (-2.83, 2.83), N respectivamente.
Otras fOrmulas para Ia curvatura Sea 4) el ánguLo medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde i hasta T (figura 8). Entonces T = cos 4)i + sen4)j,demodoque dT d4)
= sen4)i + COS4)J
Ahora, dT/d4) es un vector unitario (de longitud 1) y T dT/d4) = 0. Además,
dT d4)
dTd4)
dT
x
ds - d4) ds - d4)
ds
y en consecuencia, dçb K
ds
Esta formula para K ayuda a nuestra comprensión intuitiva de La curvatura (mide la razón de cambio de 4) con respecto de s) y tarnbién nos permite dar una demostración bastante senciLla del siguiente importante teorema.
leo
r .A
i Uli t cu rva Co.nsidere t
'rn"cuaciOn vec urial
acion s parétris mi
x
- (t) + g( j, es ie11, g(t). En.t()nces
j(t) y y K
,
- v' - f(x
:
.
n
"I
y''l
+
L
1
.
u y == En particuar, s: ià "i'va es la gráfia p" i
I
entonces
'V,,'1
[i + (y)2 12 istro f S LW IiCfl rivrciOi. coi. respe cto u I en a r T r ri Ifóri.iu1a'y c'n respecto de x en i segund-1a. Los
L
Demostración PodrIamos caLcular K directamente de la formula K = T'(t)/r'(t), tarea que proponemos en el problema 66. Es un buen ejercicio (aLgo doloroso) para la derivación y eL manejo algebraico. Pero aqul usaremos la formuLa K = d4)/ds deducida anteriormente. Consulte la figura 8, donde vemos que
dy/dt dx/dt
dy tan 4) = dx
x
Al derivar ambos lados de esta ecuaciOn con respecto de t obtenemos
X)J -
lid)
sec24)dr
=
(x')2
Luego
x'y" - y'x"
x'y" - y'x"
dt -
(x')2 sec2 4) - (x')2(1 + tan2 4))
ylP
x'y" - y'x"
(xF)2(1 + (y')2/(x')2) - (xl)2 + (y')2 Pero
ds
d4) dt
d4)/dt
d4)/dt
dt ds
ds/dt
[(x')2 + (l)2]l/2
586 CAPiTULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
Al unir estos resultados, obtenemos
K=
[(x')2 + ()2]3/2
que es la primera afirmaciOn del teorema. Para obtener la segunda afirmación, simplemente consideramos que y = g(x) co-
rresponde a las ecuaciones paramétricas x = t, y = g(t), de modo que x' = 1 y x" = 0, de donde obtenemos la conclusion. EJEMPLO
4 Determine la curvatura de Ia elipse
x=3cost,
y=2sent
en los puntos correspondientes a t = 0 y t = es decir, en (3, 0) y (0, 2). Bosqueje la elipse mostrando los cIrculos de curvatura correspondientes. Solución
De las eduaciones dadas,
x' = 3 sen t, x" = 3 cos t
= 2 cos t
y" = 2 sen t
AsI,
K = K(t) =
x'y" - y'x"
6sen2 t + 6 cos2
[9sen2t + 4 cost]2
[(x')2 + (y!)2]3/2 6
- [5sen2t + 4]3/2 En consecuencia, 6
3
43/2
4
6
2
7T\ K
Figura 9
2 / = 93/2 -
9
Observe que K(0) es mayor que K(IT/2), como deberla ser. La figura 9 muestra el cIrculo de durvatura en (3, 0), que tiene radio , y el cIrculo en (0, 2), que tiene radio .
EJEMPLO 5
Determine la curvatura de y = lncos x en x =
Solución Utilizamos la segunda fOrmula del Teorema A, observando que los apóstrofes indican ahora derivaciOn con respecto de x. Como y' = tan x y y" = sec2x, sec2 x
(1 + tan2
)3/2
=
sec2 x (sec2
)3/2
=CO5X
Enx=1r/3,K=.
U
Componentes normal y tangencial de Ia aceleraciOn
Sea P = P(t) un
punto sobre una curva suave. Defina un nuevo vector N = N(t), liamado el vector normal unitario en P, como
dT/ds
dT N= dT/ds - K1 ds de modo que
dT ds
KN
SECCION 13.5
Ahora, T = cos 4
I
+ sen
Curvatura y aceleración
587
4j, y entonces
dT
dTdçb
ds - d
(seni + cosj) dçb ds
=
ds
de donde obtenemos que T N = 0. AsI, N es un vector unitario perpendicular a T y que apunta (problema 50) al lado cóncavo de Ia curva. Queremos expresar el vector aceleración a en términos de T y N; es decir, queremos descomponer a en sus componentes tangente y normal a la curva. Como ci vector velocidad satisface v
= vT =
T
se tiene que a
dv d2s ds dT T + = dt = dt2 dt dt =
d2s dt2
T+
-
ds dT ds
dt ds dt
AsI,
(ds
d2sT
2
dt;
dt2
KN
resuitado que ilustramos en la figura 10. Interpretemos ci resuitado para la conductora de un auto, que pisa ci aceicrador cuando viaja a io largo de un camino recto y luego entra a una curva. Dc acuerdo con Ia segunda icy de Newton, fuerza es igual a masa por accleración. AsI, ia fuerza sobre el auto de masa m es
F = ma = m
d2s dt2
7ds2
T + mi
\dtj
N
La conductora de masa m0 también experimenta una fuerza. En ci camino recto, donde K = 0, eiia siente solo un empuje del asiento contra su cuerpo de magnitud m0d2s/dt2, debido a que pisa ci aceierador. Al entrar a ia curva, eiia siente un empuje adicionai hacia el interior de ia curva, de magnitud m0K(ds/dt)2. Observe que este empuje es proporcionai a ia curvatura y ai cuadrado de ia veiocidad. Mientras más pronunciada sea ia curva y más rápido vaya ci auto, más fuerte será el empuje. EJEMPLO 6 Una partIcula se mueve de modo que su vector de posición t21 + t3j, t 0. Exprese a(t) en términos de T y N y evaiüe cuando t = 2.
Solución v(t)
=
2t1
+
ds
dt -d2s dt2 K
v(t)
4
-
7ds"2
dt) -
t2j
= V4t2 + t4 =
tV + t2
+ 2t2 4
+2 - y'x"
"ds2
[(x')2 + (y)2]3/2
(2t)(2t) - (t2)(2)
tV4
+ t2
dt /
-
- y'x" ds/dt
2t2
2t
t4 + t2
V4 + t2
es r(t) =
588 CAP1TULO 13
GeometrIa en el piano, vectores
AsI,
a(t)
d2s
- dt2
T+
7ds)2N
K
dt
4+2t2 - V4+t2 T+ 2t N V4+t2 y
N=3VT+N
T+
a(2)=
.
Hemos expresado a en la forma
a = aTT + aNN donde los componentes tangente y normal son aT
(ds\2
d2s = dt2
a, = Kd)
Y
Para calcular aN, parece que debemos calcular K. Sin embargo, podemos evitar esto observando que T y N son perpendicular y, por tanto,
a2 = a + EJEMPLO 7
r = t2i +
Sin calcular K,
1/3tj,tO.
determine aT y aN para el movimiento dado por
So!ución El movimiento es igual a! del ejemplo 6, de modo que nuestro cálculo de aT es consecuencia de lo obtenido en ese ejemplo. v =
2ti + t2j
a = 21 + 2tj
ds = dt aT =
=
tV4
+ t2
d2s
4 + 2t
dt2
V4 + t2
Por Ia formula del recuadro anterior,
aa aN=V
2-4+4t2 aT-
(4 + 2t2)2
4t2
4+t2
4+t2
2t
Repaso de conceptos Si el vector tangente unitario T se considera como una función de la longitud de arco s, entonces podemos definir la curvatura K COmo K =
La curvatura de un cIrcu!o de radio a es constante y tiene va. La curvatura de una recta es br K =
3. El radio de curvatura R se relaciona con la curvatura
K co-
mo 4. El vector aceleración a se puede expresar en términos del vec-
tor tangente unitario T y el vector normal unitario N como a=
Curvatura y aceleración
SECCION 13.5
589
Conj unto de problemas 13.5 r(t) = cos3 ti + sen3 tj; t1 =
En los pro blemas 1-12, determine el vector tangente unitario T(t) y la curvatura K(t) en elpunto donde t = t1. Para calcular K, le sugerimos que use el Teorema A, como en el ejemplo 4.
+ etj;t1 =
r(t) =
e'i
1 + 3t, y(t) =
r(t)
= 3ti + 3t2j; t1 =
x(t)
s(t)
= 3t2i + 3tj;t1 =
x(t) = e'sent,y(t)
u(t) r(t)
= 4t2i +
=
4tj;t1
t3i + t2j;t1 =
=
r(t)
=
4
=
e3i + e'j;t1
N
= 0
x(t) = 1- t2,y(t) = 1- t3;t1 = 1 x(t) = senh t, y(t) = cosh t; t1 = in 3 x(t) e_t cos t, y(t) = e' sen t; t1 = 0 r(t)
=
tcosti
+
tsentj;t1
=
y = 2x2,(1,2)
N
17. y =
\ 18. y
2lnx, (1, 0)
19. y2 - 4x2 = cos 2x,(
23. y
1nsenx,(-,-inV)
,
=
27. y
= ?Fx, (1,1)
tanx, (r/4,
24. y
26.
1)
=
bsenwtj
47. Bosqueje la trayectoria de una partIcula tal que su vector de posición es r = sen t I + sen 2t j, 0
r(t) = (cost + tsent)i + (sent - tcost)j
20, (2, -6)
Muestre que la rapidez ds/dt = t. Muestre que aT = 1 y aN = I. 49. Si, para una partIcula, aT = 0 para toda t, j,qué puede conciuir acerca de su rapidez? Si aN = 0 para toda I, qué puede conciuir acerca de su curvatura?
22. y = coshx, (0,1)
21. y =
r(t) = acoswti +
48. El vector de posiciOn de una partIcuia en ei instante I > 0 es
= Cx - x,(0,1)
20. y2 - 4x2 =
20,(2,6)
25. y
x(x - 4)2(40) x - 1,(1,0)
16. y2
/
2
dT/dt dT/dt
46. Use ia formula del problema 45 para caicuiar N para la elipse
1
14. y =
( senx,--,
dT/ds = dT/ds
Ia fOrmula para N en tOrminos de un parámetro arbitrario I:
En los problemas 13-28, bosqueje Ia curva. Luego, para el punto dado, determine Ia curvatura y el radio de curvatura. For altimo, trace el cIrculo de curvatura en elpunto. Sugerencia: Para Ia curvatura, use Ia segunda formula del Teorema A, como en el ejemplo 5.
15. y =
e'cost;t1 =
Deduzca de la definición
e'i + e'j;t1 = 1n2
r(t) = e' cos t I + e' sen tj; t1 = r(t)
2 - 6t; t1 = 2
Demuestre que ia segunda fOrmula en ei Teorema A también se puede escribir como K = y" cos3 4, donde es el ánguio de inclinaciOn de ia recta tangente a la gráfica de y = f(x).
1
1(t) = 3costi + 4sentj;t1
0
e_x2,(1,)
50. Muestre que N apunta hacia el lado cOncavo de la curva. Sugerencia: Un método consiste en mostrar que
y=
28. y = tanh x, (in 2,
)
N = (-sen4i + cosj) En los problemas 29-34, determine el punto de la curva donde Ia curvatura alcanza un máximo.
x; -r
29. y = in x
30. y =
31. y = cosh x
32. y = senh x
sen
casos dçb/ds > 0 (ia curva se dobla hacia Ia iz-
y d/ds < 0 (ia curva se dobla hacia la derecha). 51. Muestre que N es perpendicular a T derivando T T
quierda)
x
=
1
con respecto de s.
52. Un objeto se mueve a lo largo de la curva y = sen 2x. Sin
y = y =
Luego considere los
dçb/ds
hacer cálculos, decida dOnde aN = 0.
lncosxpara-3r/2 < x <
i/2
En los problemas 35-43, determine Los componentes tangencial y normal (aTy aN) del vector de aceleración en t. Entonces evalOe en I = t1. Véanse los ejemplos 6y 7. r(t)
3ti +
r(t)
= t2i +
r(t)
=
r(t)
r(t) =
(2t
+
3t2j;t1 tj;t1
1)1
=
= 1
+ (t2 -
2)j;t1
+ asentj;t1 = acoshti + asenhtj;t1
= -1
acosti
1n3
53. Un perro corre en sentido contrario al de las manecillas del reioj en torno del cIrculo x2 + y2 = 400 (las distancias se miden en pies). En ei punto (-12, 16), corre a 10 pies/segundo y acelera a 5 pies/segundo por segundo. Exprese su aceleraciOn a en el punto, primero en términos de T y N y iuego en términos de i y j. 54. Un objeto se mueve a lo iargo de la parabola y = x2 con rapidez constante 4. Exprese a en ei punto (x, x2) en términos de T y N. 55. Un auto viaja con rapidez constante v y rodea una curva de nivei, que consideraremos como un cIrculo de radio R. Si ci auto evita ei deslizamiento hacia fuera, ia fuerza de fricciOn horizontal F ejercida por ei camino sobre los neumáticos debe al menos equiiibrar Ia
590
GeometrIa en el piano, vectores
CAPITULO 13
r = 4(1 + cosO)en0 =
fuerza centrifuga que lo jala hacia fuera. La fuerza F satisface F ,iimg, donde p. es el coeficiente de friccion, m es la masa del auto y g es la aceleración de la gravedad. AsI, p.mg > mv2/R. Muestre
r = e36 en 0 =
que vR, la rapidez ilmite después de la cual ocurre el derrape, satisface VR
r/2
1
r = 4(1 + senO) en 0 = ir/2
= \/p.gR
y use esto para determinar VR para una curva con R = 400 pies y p. = 0.4. Use g = 32 pies/segundo por segundo. 56. Considere de nuevo el auto del problema 55. Suponga que la curva está cubierta de hielo en su peor punto (p. = 0), pero que
Muestre que la curvatura de la curva polar r = e6° es proporcional a 1/r.
tiene un peralte con un angulo 0 con respecto de la horizontal (figura 11). Sea F la fuerza ejercida por el camino sobre el auto. Entonces, con Ia rapidez crItica VR, mg = Fcos0 y mv/R = Fsen0.
Deduzca la primera formula para la curvatura en elTeorema A trabajando directamente con K =
Muestre que la curvatura de la curva polar r2 = cos 20 es di-
rectamente proporcional a r para r > 0.
Gd 67. Trace la gráfica de x = 4 cos t, y = 3 sen(t + 0.5), 0 2. Estime sus curvaturas maxima y minima observando ia grMica (la t
I
\/Rg tan o.
Muestre que VR =
Determine '0R para una curva con R = 400 pies y 0 =. 100.
curvatura es ei recIproco del radio de curvatura). Luego use una calculadora gráfica o un sistema algebraico por computadora para aproximar estos dos nOmeros con cuatro cifras decimales.
F : Fuerza ejercida por el camino
'9
0
ma de estas curvas. Use esta conjetura y el ejemplo 4 para determinar las curvaturas maxima y minima.
mv,/R: Fuerza centrIfuga
68. Trace la gráfica dcx = 2.5 cost + 0.5cos(t - 20), y t 2ir, para 0 = 0, 0 = = /3, 0 = /2 y 0 = 3/4. Haga una conjetura acerca de la for-
dAS
2.5 sent - 0.5 sen(t - 20), 0
cc;
69. Generalice el problema 68 trazando las gráficas para diversos valores de a, b y 0 de
'00
ICASI
Of mg: Peso del auto
=
Figura 11 IEXPL
57. Deduzca la formula para la curvatura en coordenadas polares r2 +
2(r')2 - rr"
K
(r2 + (r!)2)3/2 donde las derivadas se calculan con respecto de 0.
En los pro blemas 58-63, use Ia formula del problema 57para determinar Ia curvatura K de lo siguiente:
El cIrculo r = 4 cos 0
Elcardioider = 1 + cos Oen 0 = r = Oen 0 =
y=
0
a+b cost + a-b cos(t - 20) 2
2
a+b sent a-b sen(t - 20) 2
-
2
0
Respuestas al repaso de conceptos: 1. dT/ds 2. 1/a; 0 3. K =
1/R 4. (d2s/dt2)T + (ds/dt)2 KN
1
13.6 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
Si u y v son vectores unitarios, entonces ci ángulo 0 entre ellos satisface cos 0 = u v. El producto punto de vectores satisface la ley asociativa.
La representación paramétrica de una curva es ünica.
Si u y v son dos vectores cualesquiera, entonces ii v
La gráfica de x = 2t3, y = t3 es una recta.
uv
Si x = f(t) y y = g(t), entonces podemos hallar una función h tal que y = h(x).
La curva con representación paramétrica x = in t y y = t2 - 1 pasa por el origen. Si x = f(t) y y = g(t) y si f" y g" existen, entonces d2y/dx2 = g"(t)
y f"(t) siempre que f"(t)
0.
Una curva puede tener más de una recta tangente en un punto sobre la curva.
Los vectores 21 - 3j y 61 + 4j son perpendiculares.
= u v para los vectores no nulos u y
V 51
y sOlo si
v. U
es un
mOltiplo escalar de v.
Siu
=
=
u+v,entoncesu=v=0.
Si a + v y a - v son perpendiculares, entonces u = v.
= u2 +
Para cualesquiera dos vectores u y v, u +
+
2u v. La funciOn con valores vectoriales (f(t), g(t)) es continua en si y sOlo si ambas funciones f y g son continuas en = a. t
D,[F(t) . F(t)] = 2F(t) . F'(t).
t
= a
SECCION 13.6
La curvatura de la curva determinada por x = 3t + 4y y = 21 1 es cero para toda 1.
La curvatura de la curva determinada por x = 2 cos I y y = 2 sen t es 2 para toda t.
Si y = f(x) y y" = 0 en todas partes, entonces Ta curvatura de esta curva es igual a cero.
591
Sean a = (2, 5), b = (1, 1) y c = (-6, 0). Determine lo siguiente.
(a) 3a - 2b
(b) ab
(c) a (b + c)
(d) (4a + 5b) 3c
(e) ccb
(f) cc-
Si T = T(t) es un vector unitario tangente a una curva suave, entonces T(t) y T'(t) son perpendiculares.
Si v = es Ia rapidez de una partIcula que se mueve a lo largo de una curva suave, entonces dv/dt es la magnitud de la aceleración.
RevisiOn del capItulo
Determine el coseno del ángulo entre a y b y haga un bosquejo.
(a) a = 31 + 2j,b + (c) a (7,0),b = (5,1)
4j
(b) a = 51 - 3j,b
21 - j
Dados a = 21 y b 31 - 2j y otro vector r = 51 - 4j, determine escalares k y m tales que r = ka + mb. Determine un vector de iongitud 3 paralelo a la recta tangente a y = x2 en (-1, 1).
Si y = f(x) y y" es una constante, entonces Ia curvatura de esta curva es constante.
Dos fuerzas F1 = 2i - 3j y F2 = 3i + 12j se aplican en un punto. Qué fuerza F debe aplicarse en el punto para contrarrestar Ia resultante de estas dos fuerzas?
Si u v = 0, entonces u = 0 o v = 0, o ambos son 0.
Si r(t) = 1 para toda t, entonces r'(t) es constante. Si v v = constante, entonces v
Determine un vector de longitud 10 que hace un ángulo de 1500 con el eje x positivo.
,Qué dirección y velocidad en el aire necesita un aviOn para voiar a 450 millas/hora en dirección norte si sopia un viento de 100 milias/hora en direcciOn N 60° E?
= 0.
Problemas de examen muestra
16. Si r(t) = (e2', e'), determine lo siguiente:
En los problemas 1-4 se da una representación paramétrica de una
(a) Im0 r(t)
curva. Elimine el parámetro para obtener Ia ecuación cartesiana correspondiente. Bosqueje Ia curva dada.
(c)
(b)
fr(t) dt
r(0 + h) - r(0) Im0
(d) D1[tr(t)]
x = 6t + 2,y = 2t;oo < t <
(e) D,[r(3t + 10)]
x = 4t2 y = 4t
17. Caicule r'(t) y r"(t) en los siguientes casos:
t
2
(a) r(t) = (lnt)i - 3t2j
3.x=4sent-2,y=3cost+1;0t22
(f) D[r(t) .r'(t)] (b) r(t) = senti + cos2tj
(c)r(t)=tantit4j 18. Determine Ia longitud del arco r(t) = 413/21 + 3tj de t = 0 a t = 2.
-'-I-
4. x = 2sect,y = tant;--- <1<
2
En los pro blemas 5 y 6, determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal en t = 0.
En los problemas 19y 20, Ia posición de una partIcula en movimiento en el instante t está dada por r(t). Calcule los vectores velocidad y aceleración, v(t) y a(t), y sus valores en el instante dado t = t1 Además, determine Ia rapidez de Ia partIcula para I =
1
5. x = 2t3 - 4t + 7,y = t + ln(t + 1)
19. r(t) = 2t21 + (4t + 2)j;t1 =
6. x = 3e-/ ,y =
20. r(t) = 4(1 - sent)i + 4(t + cost)j;t1 = ir.
1
21. Determine la curvatura k de la curva dada en P.
7. Determine Ia longitud de la curva
(a) y = x2 - x en P(1, 0).
x = cost + t sent
(b) r(t) = (t + t3)i + (t + t2)j en P(2, 2)
y = sent - tcost
(c) y = acosh(x/a)enP(a,acoshl) 22. Determine el vector tangente unitario T(t) para la curva r(t -) = ti + - 13J. En el punto P(1) sobre Ia curva, donde I = 1, determine T(1). Caicule la curvatura K(l) de la curva en P(1). Bosqueje la cur-
de 0 a 2i-. Haga un bosquejo.
va y trace et vector tangente unitario T(1) con su punto inicial en P(1).
8. Determine ii y u si u es el vector de p1 a
(a) P1 = (2,4),P2 = (-1,5)
h
23. Si r(t) = (1 - 12)1 + 2tj, calcule los componentes tangencial y nor-
(b) P1 = (-3,0),P2
(-4,5)
mal,aTyaN,delaaceleraciónaenp(0,2).
PROYECTO DE PROYECTO DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 13.1 13.1 H ipociclo ides Hipocicloides l. Preparación En este proyecto, proyecto, usted estudiará propiedades de curvas paraparticular, del del cIrculo círculo unitario unitarioyyIa la hipocicloide. hipocicloide. métricas, en particular, Las ecuaciones xx = cos t, Y v == sen t, con con el el parámetro t intervalo [0, [O, 2ir}, 27T], dan paramétrica en el intervalo dan una representación parametrica familiar del cIrculo círculo unitario x 22 + y2 = = 1. 1.Si SilaIaposición posicióndedeunun el instante t está dada por r(t) = (¿os objeto en ci (cos t, sen sen t ), entonces Ia la velocidad del objeto es v(t) = r'(t) = = ((sen -sent,t,cos cos tt) yY su rapidez es es
= \/(x(t))2 v(t) = = Iv(t)¡ v(t) = Y(x'(t»)2 ++(y'(t))2 (y'(t»)2 = Y(-sent)2 /(sent)2 ++(cost)2 = (cost? = 11 Así, esta círculo unitario recorre recorre el el cIrcucírcuAsI, esta parametrización del cIrculo con una rapidez constante igual lo con igual aa 1. 1.
Un hipocicloide con b/a = =1/4 1/4
Figura 11
1 Muestre que las ecuaciones paramétricas paramdtricas Ejercicio 1
1t2
1 - t2 x1(t) = = 1 + r2' Xl(t) 1+t2
2t v1(t) = = 1 + t 2' YI(t) 1+t2
00 << tt << 00 -00 00
otra representación representación del del cIrcuio círculo unitario. unitario. (Técnicamente, (Técnicamente, dan otra falta O).) falta el ci punto punto (-1, (-1,0).)
Ia tecnología tecnologIa 11. Uso de la Ejercicio 22
algebra por computadora para trazar (a) Use un sistema sistema de álgebra t), 0O$; t $; 2ir. 27T. la Ia curva r(t) r(t) = (cos t, sen t). (b) de (h) Use su sistema para hacer una gráfica paramétrica de
= =
x1(t) Xl(t)
1 - t2 --2'
1+t
y1(z)
2t
= 1 + t2'
A
-A
$;
t
$;
A A
para A = = 1,2,5, 10,20,40,50 100. Analice 1,2,5, 10.20,40, 50 yY 100. Anaiice el ci "punto "punto faltande iImites. límites. te" en términos términos de
Ejercicio 33 Para Ia la parametrizaciOn parametrización (x1(:), (x¡(t), v1(t)), yI(t», haga una tabla con los valores de x, y y Ia la rapidez v, para los puntos 5, 4,..., 3.4. ci elmodo t = -4, ... , 3,5.4, Describa 5. Describa modoenenque quevarIa varíaIa la rapirapi= -5, y1(t» (t)) se se mueve mueve en el ci círculo cIrcuio unidez cuando cuando ci el punto puntoP(x1 P(x I(a'), (t),y¡ tario. tario. La hipocicloide es es la la curva curva generada generada por un círculo cIrcuio de de radio b que gira dentro de de un un cIrculo círculo mayor mayor de de radio radio a. a. Véase Véase la la hipocicloide Ia figura figura 1. I. Las ecuaciones de Ia hipocicloide dadas dadas en forma parametrica son paramétrica son x(t) x(t)
W
(a - b
a - b ) = (a = (a - b)cost b)cost + + bcos ( b - tt
iabb t)t\) , y(t) (a - b)sent - bsen - b y(t)=(ab)sentbsen(, =
(
a b
a>b a>b
Podríamos ecuación y PodrIamos cancelar canceiar el ci factor factor de escala escala a en cada ecuación estudiar la familia familia de hipocicloides hipocicloides en en términos términos de de un solo parámetro, b/a. bla. En En vcz vez de esto, esto, hacemos aa == 1I pero pero etiquetaetiquetaparametro,
592
Un hipocicloide con b/a h/a = 1/3
Figura 22
gráficas en términos del cociente bla (véanse ias las mos nuestras graficas b/a (véanse función de de posiciOn posición r(t) tiene tiene figuras I1 yy 2). Decimos que una función = r(t) periodo PP si si r(t r(t + P) = el menor nümero número positivo periodo r(t) y P es ci con esta propiedad. En ci el siguiente ejercicio usted analizará ci el de una una hipocicioide. hipocicloide. periodo de Experimente trazando la la hipocicloide, hipocicloide, para determinar su periodo en ci = 1 yY b = 1/k, 11 k, con el caso en que a = k == 3,4,5,6, ... CuáIes ¿Cuálesson son los los periodos? periodos? 3,4,5, 6,... Ejercicio 44
Sugerencia:
Si usted sospecha, sospecha. por por ejemplo, ejemplo, que que el ci periodo Si 47T, entonces entonces trace trace Ia la hipocicloide hipocicloide en en ios los intervaios intervalos[0, [O,3.SirJ, 3.57T], es 4ir, [O, 3.87T [O, 3.97T) curva "se"se estáestá cerran[0, 3.8ir],l, [0, 3.9irl yY[O, [0,47T] 4r} para paraver versiSilaia curva cerrando".
Ejercicio continuación,trace traceias lashipocicloides hipocicloides para para aa = Ejercicio55 AAcontinuación, = 1 i/k, conk == 3,4,5,6, 3,4,5,6,..., en cada domi... 12; ,12;en cadacaso. caso, use use un undomiyyb b = 1/k,conk un periodo periodo completo. completo. Describa Ia la naturaleza nio que muestre un de las gráficas. ,,Que ocurre cuando k ---+ oo? gráficas. ¿Qué oo?
Ejercicio 6 Determine Determine las las longitudes longitudes de de arco arcode deIa la hipocicioihipocicloideparaa de para a == i,b 1, b = 11 k, con k == 3,4,5,6,7 Y 8. i/k,conk 3,4,5,6,7y8.
Sugerencia: Es mejor determinar Ia Sugerencia: la longitud de arco de un un "lóbulo" lóbulos. Haga "lObulo" yy luego luego multiplicar multiplicar por por el el número nümero de lóbulos. sisterna de de álgebra algebra por computadora que su sistema computadora simplifique simplifique ci el integrando antes de tratar de de evaluarlo. evaluarlo. la longitud de arco para para kk acerca de de Ia Haga una conjetura acerca Cuál es es el ilmite arbitraria. ¿Cuál límite de Ia la longitud longitud de arco cuando kk -~oo? oo?
graficos para deEjercicio 7 Realice algunos experimentos gráficos terminar el ci periodo cuandoaa = 1 yY b = = terminar periodo de Ia la hipocicloide hipocicloide cuando j/k,parak 12,l3,14y15. j/k, para k == l6yj 16 Yj= =1,2,3,4,5,6,7,9,10,11, 1,2,3,4,5,6,7,9,10.11,12,13,14 Y15. (Observe que que omitimos omitimos jj = 8. j,Puede ver por qué?) Haga (Observe ¿Puede ver Haga una tahia la siguiente: siguiente: tabla con contres trescolumnas, columnas,como comoLa
jj
.. . . términos Intenores interiores kj en terminas
1
16 Hi !
1
2 2
I
Periodo P P
2ir
8
Haga una conjetura acerca de una fórmula formula para el periodo de la hipocicloide hipocicloidecon conaa== 11 Y y bh == j/16. Sugerencia: Observe el numerador en Ia la fracción fracción reducida reducida
f/k. j/k.
Repitaelejercicioparaa = 11Yyb b == jf/k,k /k, k = = 20.] 20, j = = 1,2, 1,2, Repita el ejercicio para a = 3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18 3,4, 5,6,7,8,9,11, 12,13, 14, 15, 16, 17,18 yY19. 19. Ejercicio 8 Use sus resultados del ejercicio 7 para dar una Ejercicio una fórmula la hipocicloide hipocicloide con fOrmulapara paraelci periodo periodo de de Ia con aa == 1 yY j /k, donde donde j y k son b = j/k, son enteros enteroscon conj j << k.
Ejercicio 9 Trace Ejercicio Trace la en Ia hipocicloide hipocicloidepara paraaa== 11 Yy bb == 1/7r 1/ir en [O, 2L'xr]. 2L7r]. Varíe la dominios de Ia la forma forma [0, varios dominios Vane LL e imprima Ia gráfica más bonita.
111. Ref Reflexión Ill. Pexión Ejercicio 10 Explique el resultado Ejercicio resultado limite límite del del ejercicio ejercicio 6, 6, aa Ia la luz del que Ia la circunferencia circunferencia del del cIrculo círculo unitario unitario es es Iuz del hecho de que 27r. 2ir.
correspondientes aa Ejercicio 11 11 Las parejas de hipocicloides correspondientes f/k en general, general,l/k 1/k yy 11 -j /k dadas dadas por por 1/3 1/3 yy 2/3, 2/3, oo 1/4 1/4 y 3/4. 3/4, oo en 1/k, tienen Ia la misma misma grafica, gráfica, pero existen existen algunas algunas diferencias. diferencias. 1/k, tienen Cuales! Sea ¿Cuáles? Sea lo lo mäs más especifico específico posible. posible. Ejerciclo 12 ¿Qué Ejercicio de la la hipocicloide hipocicloide si si j,Qué puede decir acerca de a/b es irracional?
593
PRO y E e T o oDE E TTECNOLOGIA Ee N o L o G í A 1 3 . 2 PROYECTO 13.2
"1,
r:,~~:' ~.»,:R
Medición de Ia la distancia distancia de un cuadrangular 1.I. Preparación
yY
de 1998, 1998, Mark McGwire. McGwire, El 16 de mayo de de los Cardenales Cardenales de de St. St. Louis. Louis, bateó un cuadrangular de de 545 pies en el cuadrangular 545 pies el Busch Busch Louis) en un juego contra Stadium (St. Louis) LosMarlins Mariins de de Florida. Florida. La cifra 545 pies los es en realidad una una estimación de de Ia la distancia que Ia habrIa recorrido de la pelota habría haher haber ilegado llegado a! al nivel nivel del campo. En ci el caso de este cuadrangular, cuadrangular,Ia la peiota pelotago!golpeó peOuna unaseñal señaldel deljardín jardin central central colgada nivel superior del del parque. En esen un nivel fornia en te proyecto, usted estudiará Ia la forma que se estiman las distancias estiman Las distancias de de los cuadranguiares. drangulares. Ejercicio ejemplo 55 de Ia la Ejerciclo 11 Repase el ejemplo secciOn13.4. 13.4.Muestre Muestre que que sisi la la altura altura de sección la el bate es Ia pelota pelota al hacer contacto con ci c, entonces entonces la Ia altura y como funciOn e, función de Ia posición horizontal x es la
(1)
y(x) --
16 -
v~COS20 vcos28
xx2
+ (tanO)x (tan O)x ++Ce donde donde v0 V oes la velocidad inicial inicial yy 6Oes el angulo ángulo inicial de la trayectoria de de Ia la pe-
iota después despues del contacto contacto con con ci lota el bate. Sea d la distancia distancia horizontal recorrida pelota antes antes de chocar con algupor La la pelota na parte del estadio yy sea h Ia la altura de ci Lapelota pelota al al chocar. Por ültirno, la último, sea cIJ 4) el ángulo que forma ángulo forma Ia la trayectoria de Ia la pelota con Ia la horizontal al chocar. Véafigura 3. se La la figura Explique por qué y(d) = h
~ 0--------------------------1....
Figura 3
594 594
y'(d) tan 4) y'(d) == -tancIJ
(2)
Ejercicio 22 Para medir medir la la distancia del cuadranguiar. cuadrangular, es decir, Ia la distancia horihorizontal que huhiera la pelota pelota sisi hubiera recorrido recorrido la Ilegara llegara ai al nivel del campo, se estiman las las distancias dd yy hh yYel el angulo ángulo4). cIJ. Muchos Muchos clubes clubes tienen tienen una unatabla tablaque quedadalas lasdistandistancias y alturas de de cada cada asiento asientoen eneleljarjarestirnan dín. dIn. Con Con los datos d, h yYcIJ, 4), ellos estiman la Ladistancia distanciadel delcuadrangular cuadrangular D. No se conocen Ia la veiocidad velocidad inicial inicial v0 V ni el o ci ángulo inicial (J. 6. Sin Sinembargo, embargo, podemos podemos determitidades dados d, h yY4). cIJ. nar estas can cantidades partir de de (1) (1) yy sustituya dd Calcule y' a partir
en vez de de x. x. Use Use (2) (2) para paradespejar despejar en vez vv~cos cos20Oyyobtener obtener 32d
V cos 6 = -------------o tan cIJ + tan4) + tan tan0(J
V2 COS2 (J
Luego, Luego, sustituya sustituya esta esta expresión en (1) yY despeje 6. (J. La deducciOn deducción es es un poco larga, pero pero debe concluir con
6 (J
I + tanl(tan4) = tan( tan cIJ +
2(li 2(h -- c) e») d
d
(Nota: En La mayor parte de los la mayor los sistesistecomputadora, tan tan- I se denota mas por computadora, Luego, despeje despejev0. vo' arctan.) Luego, Ejercicio 3 Para determinar determinarLa la distancia del dci cuadrangular, cuadranguiar, debemos resolver cia Apiique Ia y(x) ==0. O.Aplique la formula fórmula cuadrática significado de para hailar hallar x. Explique el sigmficado dos soluciones soluciones de de la Ia ecuación ecuación cuadrácuadrálas dos tica. elegiría? i,Por ¿Por qué? tica. ¿Cuál i,Cul elegirla?
II. USO Uso de de la Ia tecnología tecnologIa 11.
Ref Iexión III. Reflexión 111.
Estime Ia Ejercicio 4 Estime la distancia distancia del del cuacuadrangular para una pelota que goipea drangular golpea un
T
-----tl
d -----------------------------1
del home home a una altura aitura objeto a 360 pies del de 30 pies y con un ángulo ángulo de de 30 30 grados. grados. Suponga que ci el jugador hace contacto con la Ia pelota cuando ésta se encuentra a 3 pies sobre el suelo. Si una pelota de cuadranEjercicio 55 Si gular golpea una señal señal dcl del jardIn jardín central a 430 pies del home y 80 pies arriba arriha del del campo, ¿qué ,que angulo ángulo deberIa debería formar formar Ia la trayectoria trayectoria de de Ia la pelota pelota con con Ia la horizontal horizontal el punto puntode deimpacto, impacto,para paraque queLala disdisen el cuadrangular sea tancia del cuadrangular sea de de 545 pies? Sugerencia: Sugerencia: Fije dd = 430 430 yY h == 80 80 yYvavaríe cIJ hasta que Ia la distancia del cuadranrIe 4) 545. ¿Cuál gular sea aproximadamente 545. ,CuáI velocidad inicial inicial v0? vo? es la velocidad el Busch Busch Stadium. Stadium, Ia la Ejercicio 66 En el barda del jardIn jardín central mide mide 8 pies de alto yy está está aa 402 pies del home. Dé alto Dé cinco cinco combinaciones de 6Oyy v0 V que o que produzcan un cuadrangular sobre la barda del jarjardIn dín central. Ejercicio 77 En En ci el Fenway Park Park de Boston, Ia la pared del del jardIn jardín izquierdo, izquierdo, Ilallamada el Monstruo Monstruo Verde, Verde, tiene 37 pies est aa310 de altura y está 310pies pies del del home. home. Dé combinaciones de V oque procinco combinaciones de 6Oyy v0 duzcan un cuadrangular cuadrangular sobre sobre ci el MoosMonstruo truo Verde. Ejercicio 8 Dé un un ejemplo ejemplode deuna unaparepareja (0, v0) que produzca un cuadrangular (O, vo) que produzca un cuadrangular sobre el jardIn jardín central del del Busch Busch StaStadium. diurn, pero no un cuadrangular sobre el jardmn izquierdo del del Fenway Fenway Park, Park, yyvicevicejardín izquierdo versa.
vane el ánanEjercicio 9 En el ejercicio 4, varíe resultados. ¿Cuál i,Cuái es guLo gulo cIJ los resultados. 4) y observe Los
el efecto de de un un error errorde de5°5°en enLa la estimación de continuaciOn varle de 4)? cIJ? A continuación varíe Ia la altuc. ¿Cuál LCuáies eselciefecto efectode deun un error error ra inicial C. a! estimar c? de 2 pies al e?
Ejercicio interpretación del Ejercicio 10 Otra interpretaciOn concepto "distancia del cuadrangular" serla la Lalongitud longitudde dearco arcode de la latrayectoria trayectoria sería de Ia la pelota. De Dc acuerdo con esta definiciOn,calcule calculelaIadistancia distanciadel dcl cuadrancuadrannición, guiar de mayo de Mark McGwire gular del 16 de Ia información del ejercicio 5. usando la
CAPITILI'I I
14
GeometrIa en el espacio, vectores 14.1 Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional 14.2 Vectores en el espacio tridimensional 14.3 El producto cruz 14.4 Rectas y curvas en el espacio tridimensional 14.5 Velocidad, aceleraciOn y curvatura 14.6 Superficies en el espaclo tridimensional 14.7 Coordenadas cilIndricas y esféricas 14.8 Revision del capItulo Proyecto de tecnologIa 14.1 Curvas en el espaclo tridimensional Proyecto de tecnologIa 14.2 La rueda de Ia fortuna y Ia montana rusa en espiral
14.1
Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional Sistema de mano derecha
/
y
Sistema de mano izquierdaa
/ 0
x
Hemos liegado a una transición importante en nuestro estudio del cálcuio. Hasta ahora, hemos viaj ado a través de ese ámbito ampiio y piano conocido como ei piano euciidiano, o espaciobidimensional. Hernos aplicado los conceptos del cáicuio a funciones de una soia variable, funciones cuyas graficas se pueden trazar en el piano. Las montañas están frente a nosotros. Nuestro trayecto pasará por el espacio tridimensionai y ocasionaimente por el espacio n-dimensionai.Vamos a estudiar ei cálculo de variables, ei cáicuio que se aplica a funciones de dos o más variabies. Exploraremos todas las ideas familiares (como iImite, derivada, integral) desde una perspectiva superior. Para comenzar, considere tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares (los ejes x, y, z) con sus ceros en un punto comñn 0, llamado el origen. Aunque estas lIneas se pueden orientar de cuaiquier fornia deseada, seguiremos una costumbre al pensar en los ejes y y z como si estuvieran en el piano del papei, con sus direcciones positivas hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente. El eje x es entonces perpendicular al papel, y suponemos que su extremo positivo apunta hacia nosotros, formando asI un sistema de mano derecha. Le ilamamos asI porque, silos dedos de la mano derecha se doblan de modo que se curven desde el eje x positivo hacia ei eje y positivo, el pulgar apunta en la dirección del eje z positivo (figura 1). Los tres ejes determinan tres pianos, los pianos yz, xz y xy, que dividen al espacio en ocho octantes (figura 2). A cada punto P del espacio le corresponde una tercia ordenada de nümeros (x, y, z), sus coordenadas cartesianas, que miden sus distancias dirigidas a los tres pianos (figura 3). La ubicación de puntos en ei primer octante (el octante donde las tres coordenadas son positivas) es relativamente fácii. En las figuras 4 y 5 ilustramos algo más difIcil, lo-
calizando dos puntos de otros octantes, los puntos P(2, 3, 4) y Q(-3, 2, 5).
Figura 1
595
596 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
piano yz
piano xz F
o.
planoxy
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
La
fOrmula de Ia distancia
Considere dos puntos Pi(x1, Yi, z1) y P2(x2, y2, z2)
en el espacio tridimensional (x1 x2, Yi z1 z2). Ellos determinan un paralelepIpedo (es decir, una caja rectangular) con P1 y P2 como vertices opuestos y con aristas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 6). Los triángulos P1QP2 y P1RQ son triángulos rectángulos y, por el Teorema de Pitágoras,
z
'(:,
P1Q 2+ QP2 2
Pip2 2
Y
v,. 2,)
y 2
R(v. v. zi
N Q(x. V,
P1 R
y )
2
+ IRQI2
AsI, P1P22
Figura 6
= FIR2 + RQI2 + QP22 = (x2
- x1)2
+ (Y2 -
Yi)2
+ (z2
- z1)2
Esto da la formula de la distancia en el espacio tridimensional.
pip2 =
x) + (Y2 - Yi)2 +
(z2
- z1)2
La formula es correcta, aunque algunas de las coordenadas sean idénticas. EJEMPLO
Calcule la distancia entre los puntos P(2, 3,4) y Q(-3,2, 5),graficados en las figuras 4 y 5. 1
Solución
PQ =
V(-3 -
2)2 + (2 +
3)2
+
(5
4)2
V131
11.45
Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional
SECCION 14.1
597
Esferas y sus ecuaciones Hay un pequeño paso de la formula de la distancia a la ecuación de una esfera. Por una esfera entendemos el conj unto de todos los puntos del espacio tridimensional que están a una distancia constante (el radio) de un punto fijo (el centro). (Recuerde que un cIrculo se define como el conjunto de puntos en un piano que están a una distancia constante de un punto fijo.) De hecho, si (x, y, z) es un punto sobre la esfera de radio r con centro en (h, k, 1), entonces (véase la figura 7)
Az
(x,
(x_h)2+(y_k)2+(z_l)2=r2 y
Liamamos a esto la ecuación canónica de una esfera. En forma desarrollada, la ecuación del recuadro se puede escribir como
x2 + y2 + z2 + Gx + Hy + Iz +J0 RecIprocamente, La gráfica de cuaLquier ecuación de eSta forma es una esfera, un punto (una esfera degenerada) o el conjunto vaclo. Para ver por qué, considere el siguien-
Figura 7
te ejemplo.
Determine el centro y el radio de La esfera con ecuación
EJEMPLO 2
x2 + y2 + z - lox - 8y - 12z + 68
0
y bosqueje su gráfica.
So!ución
Usamos el proceso de completar el cuadrado.
(x2lOx+ y
)+(y2-8y+ )+(z2-12z+ )=-68
(x2 - lOx + 25) + (y2 - 8y + 16) + (z2 - 12z + 36) = 68 + 25 + 16 + 36
(x_5)2+(y_4)2+(z_6)2=9 AsI, la ecuación representa una esfera con centro en (5, 4, 6) y radio 3. Su gráfica aparece en la figura 8. Si después de completar el cuadrado en el ejemplo 2, la ecuación hubiera sido
Figura 8
(x_5)2+(y_4)2+(z_6)2=O entonces la gráfica serIa el Onico punto (5,4, 6); si el lado derecho fuese negativo, La gráfica serIa el conj unto vacIo.
Otro resultado sencillo que es conseduencia de la Formula de la Distancia es la
formula del punto medio. Si P1(x1,y1, z1) y P2(x2,y2, z2) son los extremos de un segmento de recta, entonces el punto medio M(m1, m2, m3) tiene coordenadas
m1=
x1+x2 2
'
m2=
Y1+Y2 2
'
m3=
z1+z2 2
En otraS palabras, para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento, solo hay que considerar el promedio de Las coordenadas correspondientes de Los extremos.
Determine la ecuación de la esfera tal que uno de sus diámetros es el segmento de recta que une (-1,2, 3) y (5, 2,7) (figura 9). So!ución El centro de la esfera está en el punto medio del segmento, es decir, en EJEMPLO 3
(5,2,7)
(2, 0, 5); el radio r satisface
=(5_2)2+(_2_O)2+(7_5)2=17 Concluimos que La ecuación de la esfera es (-1
3)
Figura 9
(x - 2)2 + y2
-F (z
5)2
= 17
.
Gráficas en el espacio tridimensional Fue natural considerar primero una ecuación cuadrática debido a su relación con la formula de la distancia. Pero es de suponer que una ecuación lineal en x, y, z, es decir, una ecuación de la forma
598 CAPiTULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Ax+By+Cz=D,
(0,0,6)
3x + 4y + 2z = 12
A2+B2+C20
deberIa ser más fácil de analizar. De hecho, en la siguiente sección mostraremos que la gráfica de una ecuación lineal es un plano. Suponiendo por el momento que esto es verdad, veamos cómo graficar tal ecuaciOn. Si, como ocurrirá con frecuencia, el plano corta a los tres ejes, primero determinamos estos puntos de intersecciOn; es decir, encontramos las intersecciones con los ejes x, y, z. Estos tres puntos determinan el plano y nos permiten obtener sus trazas (con los pianos de coordenadas), que son las rectas de intersección de ese plano con los planos de coordenadas. Entonces, con solo un poco de arte, podemos sombrear ci plano.
El piano
EJEMPLO 4 Bosqueje la gráfica de 3x + 4y + 2z = 12.
(0,3,0) (4,0,0)
Solución Para determinar la intersecciOn con el eje x, hacemos y y z iguales a cero y despejamos x, obteniendo x = 4. El punto correspondiente es (4,0,0). De manera similar, las intersecciones con los ejes y y z son (0,3,0) y (0,0,6). A continuación, unimos estos puntos mediante segmentos de recta para obtener las trazas. Luego sombreamos (Ia parte del primer octante de) el plano, obteniendo con ello el resultado que aparece en la figura 10. U LQué pasa si el piano no corta a los tres ejes? Esto puede ocurrir, por ejemplo, si falta una de las variables en la eduaciOn del piano (es decir, tiene un coeficiente nub).
Figura 10 z
EJEMPLO 5
Bosqueje la gráfica de la ecuación lineal
2x + 3y
6
en el espacio tridimensional.
Solución Las intersecciones con los ejes x y y Son (3, 0, 0) y (0, 2, 0), respectivamente, y eStoS puntos determinan la traza en el plano xy. El plano nunca cruza el eje z (x y y no pueden anularse simultáneamente), de modo que el plano es paralelo al eje z. Hemos bosquej ado la gráfica en la figura 11.
Figura 11
Observe que en cada uno de nuestros ejemplos, la gráfica de una ecuación en el espacio tridimensional fue una superficie. Esto contrasta con ci caso del espacio bidimensional, donde la gráfica de una eduación era por lo general una curva. Diremos mucho más acerca de Ia graficaciOn de ecuaciones y las superficies correspondientes en la sección 14.6.
Repaso de conceptos Los n6meros x, y, z en (x, y, z) se ilaman las
de
un punto en el espacio tridimensional. La distancia entre los puntos (-1,3,5) y (x, y, z) es
La ecuación (x + 1)2 + (y mina una esfera con centro
3)2
+ (z
5)2 = 16 deter-
y radio
La gráfica de 3x - 2y + 4z = 12 es un cuya intersección con ci eje x es ,con ci eje y es y con ci eje z es
Conj unto de problemas 14.1 Localice los puntos con coordenadas (1, 2, 3), (2, 0, 1), (-2, 4, 5), (0, 3, 0) y (-1, -2, -3). En los casos adecuados, muestre la "caja", como en las figuras 4 y 5.
Siga las instrucciones del problema 1 para
(0, ir,-3), (-2,, 2) y (0,0, e).
(\/, -3,3),
Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del piano yz? ,Y los puntos del eje z? ,Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del plano xz? Y los puntos del eje y?
Calcule la distancia entre las siguientes parejas de puntos.
(a) (6,-i, 0) y (1,2,3) (c) (e, , 0) y (-v,
,
(b) (-2, -2,0) y (2, -2, -3) )
Muestre que (4, 5, 3), (1, 7, 4) y (2, 4, 6) son vertices de un
tringulo equilátero.
Muestre que (2, 1, 6), (4,7, 9) y (8, 5, -6) son vertices de un triángulo rectángulo. Sugerencia: Solo los triángulos rectángulos satisfacen ci Teorema de Pitágoras.
SECCION 14.2
Caicule Ia distancia de (2, 3,i) a (b) el eje y, y (a) el piano xy, (c) ei origen. Una caja rectangular tiene sus caras paralelas a los pianos
Vectores en el espacio tridimensional
599
Determine las ecuaciones de las esferas tangentes con radios iguales y centros en (-3, 1, 2) y (5, 3, 6). Determine Ia ecuación de la esfera tangente a los tres pianos de coordenadas si su radio es 6 y su centro está en el primer octante.
de coordenadas y tiene a (2,3,4) y (6, 1,0) como los extremos de una diagonal principal. Bosqueje la caja y calcule las coordenadas de sus ocho vertices.
Determine la ecuación de la esfera con centro (1, 1, 4) que es tangente a! piano x + y = 12.
El punto P(x, 5, z) está en una lInea que pasa por Q(2, 4, 3) y es paralela a uno de los ejes de coordenadas. Qué eje debe ser y qué valores tienen x y z?
sional.
Escriba la ecuación de la esfera con el centro y radio dados.
(b) (-2, 3,
(a) (1,2,3); 5 (c) (, e, 2); V
Determine Ia ecuación de la esfera con centro en (2, 4, 5) y que es tangente al piano xy.
En los problemas 13-16, complete los cuadrados para determinar el centro y ci radio de Ia esfera con Ia ecuaciOn dada (véase ci ejemplo 2).
En los pro biemas 17-24, bosqueje las graficas de las ecuaciones dadas. Comience bosquejando las trazas en los pianos de coordenadas (véanse los ejemplos 4 y 5). + 2z 24 18. 3x 17. 2x + 6y + 3z = 12
23. x2 + y2 + z2
20. 3x + 2y + z = 6
6
(d)xyz0
(c)xy=0
(f) zV9x2y2
La esfera (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 10 cort al planoz = 2 en un cIrculo. Determine el centro y el radio del cIrculo.
Un punto P se mueve de modo que su distancia a (1, 2, 3) es el doble de su distancia a (1,2,3). Muestre que P está sobre una esfera y determine el centro y el radio de ésta.
0
14.x2+y2+z2+2x6y1OZ+340 15.4x2+4y2+4z24x+8Y+16Z130 16.x2+y2+z2+8x4y22Z+770
19. x + 3y - z 21. x + 3y = 8
(b)x=y
(a)z=2
(e)x2+y24
);
x2 + y2 + z2 - 12x + 14y - 8z + 1
Describa ia gráfica de cada ecuaciOn en el espacio tridimen-
Un punto P se mueve de modo que su distancia a (1, 2, 3) es igual a su distancia a (2, 3, 2). Determine la ecuación del piano donde se encuentre P.
Las bolas (x - 1)2 + (y - 2)2 + 2)2 + (y
4)2 + (z
3)2
(z
- 1)2 < 4
(x -
4 se intersecan en un sóiido. Calcule su
volumen.
Resuelva el probiema 33 suponiendo que la segunda boia es
(x_2)2+_4)2+(z3)29.
22. 3x + 4z = 12 9
24. (x-2)2+y2+z24
25. Determine ia ecuación de Ia esfera que tiene al segmento que une (-2, 3, 6) y (4,i, 5) como diámetro (véase el ejemplo 3).
14.2
Vectores en el espacio tridi mensional
1. coordenadas Respuestas al repaso de conceptos: 5)2 3. (-1, 3, 5); 4 4. piano; (x + 1)2 + (y 3)2 + (z 2. 4;-6;3
El material de las secciones 13.2 y 13.3 sobre vectores en ei piano se puede repetir casi palabra por palabra para vectores en el espacio. Prácticamente La (mica diferencia es que un vector ii tiene ahora tres componentes; es decir,
u = (u1,u2,u3) = u1i + u2j + u3k En este caso, I = (1,0, 0),j = (0,1,0) y k = (0,0, 1), son los vectores unitarios canónicos, liamados vectores básicos, en las direcciones de los tres ejes positivos de coordenadas (figura 1). Por la fOrmula de la distancia, Ia longitud de u, denotada u , está dada por
Los vectores en el espacio se suman, se multiplican por escalares y se restan justo como en ei piano, y las ieyes aigebraicas que se satisfacen coinciden con las estudiadas anteriormente. El producto punto de u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) se define como Figura 1
U
V = U1V1 + U2V2 + U3V3
y tiene la interpretaciOn geométrica observada en el capItulo anterior,
600 CAPTULO 14
GeometrIa en el espaclo, vectores
A (1, --23)
donde 0 es el ángulo entre u y v. En consecuencia, sigue siendo cierto que dos vectores son perpendiculares si, y solo si, su producto punto es cero. EJEMPLO 1
(figura 2). B( 2,4, --6)
Figura 2
('(5-3. 2)
CalculeelánguloABCsiA = (i,-2,3),B = (2,4,-6)yC = (5,-3,2)
SoluciónPrirnero determinamos vectores u y v (que salen del origen) equivalentes a BA and BC. Logramos esto restando las coordenadas de los puntos iniciales de las coordenadas de los puntos finales; es decir,
u = (1 - 2,-2 - 4,3 + 6) = (-1,-6,9)
v = (5 2,-3 - 4,2 + 6) = (3,-7,8) AsI,
cosO =
v
(-1)(3) + (-6)(-7) + (9)(8)
uUv
V1+36+81V9+49+64
u
0 = 0,3894 (aproximadamente 22.3 1°)
0.9251 U
EJEMPLO 2 Exprese u = (2,4, 5)corno la suma de un vector m paralelo a v = (2,i, 2) y un vector n perpendicular a v.
Solución
La figura 3 nos muestra el camino. Primero encontramos m = pru, la proyección de u sobre v (véase la secciOn 13.3).
m= n.y
-
Figura 3
(2,4,5) (2, 1, 2)
(2, 1, 2)
(2)(2) + (4)(i) + (5)(-2)
4+1+4
(2,i,-2)
10 20\
=
9 '9'9
Luego
/38 26 25
n=u-m
=\
,---
Si usted duda que m y n sean perpendiculares, calcule Sn producto punto. Usted obtendrá que ese producto es cero.
Angulos y cosenos directores
Los ángulos (más pequeflos y no negativos) entre un vector no nub a y los vectores básicos i,j y k son los ángulos directores de a; se denotan como a, /3 y y, respectivamente (figura 4). Por lo general es más conveniente trabajar con los cosenos directores cos a, cos /3 y cos y. Si a = a1i + a2j + a3k, entonces
cosa=
ai = aUi
a1
a
y de manera similar
cos/3= Figura 4
a2 ,
cosy=-a3
Observe que cos2 a + cos2 [3 + cos2 y = 1 De hecho, el vector (cos a, cos /3, cos y) es un vector unitario con la misma dirección que el vector original a.
Vectores en el espacio tridimensional
SECCION 14.2
601
Calcule los ángulos directores para el vector a = 41 - 5j + 3k. V42 + (_5)2 + 32 So!ución Como a 5V EJEMPLO 3
2\/
4
COSa
=
=
cos/3
,
-v =
cosy
'
2
3\/ =
10
y
a EJEMPLO 4 /3
1 = 135°
55.55°,
y
64.90°
.
Determine un vector de 5 unidades de longitud que tenga a = 32° y
= 100° como dos de sus ánguios directores.
So!ución
Primero observemos que el tercer ángulo director y debe satisfacer cos2y = 1 - cos232° - cos2lOO°
0.25066
AsI,
+0.50066
cos y
Dos vectores cumplen los requisitos del problema. Son
5(cosa, cos/3, cosy)
5'(0.84805,-0.17365, 0.50066) = (4.2403, 0.8683,2.5033)
y (4.2403,-0.8683,-2.5033).
Pianos Una manera fructIfera de describir un piano utiliza el lenguaje de los vectores. Sea n = (A, B, C) un vector fijo no nub y P1(xj, Yi, z1) un punto fijo. El conjunto de puntos P(x, y, z) que satisfacen P1 P n = 0 es el piano que pasa por P1 perpendicular a n. Como cada piano contiene un punto y es perpendicular a algün vector, un piano se puede caracterizar de esta manera. Para obtener Ia ecuación cartesiana del piano, escriba el vector P1 P en forma de componentes; es decir, Entonces
iF
P1P = n
(x - x1,y - y1,z - z1)
0 es equivalente a
A(xx1)+B(yy1)+C(zz1)=0 Esta ecuaciOn (en La que ai menos uno de Los nUmeros A, B y C es distinto de cero) se llama Ia forma canónica para la ecuación de un piano o ecuación canónica de tin piano. Si eiiminamos los paréntesis y simpbificamos, Ia ecuación en el recuadro asume ia forma de la ecuación lineal general
Ax+By+Cz=D,
A2+B2+C20
AsI, cada piano tiene una ecuación lineal. RecIprocamente, Ia grafica de una ecuación lineal en el espacio tridimensional es siempre un piano. Para ver esto ültimo, sea (x1, Yi, z1) un punto que satisface la ecuación; es decir, Ax1 + By1 + Cz1 = D
Al restar esta ecuaciOn de La anterior, obtenemos ia ecuación del recuadro, y ya sabemos que ésta representa un piano. EJEMPLO 5 Determine la ecuación del piano que pasa por (5, 1,-2) yes perpendicular a n = (2, 4, 3). Luego, calcube el ángubo entre este piano y eb piano con ecuación 3x - 4y + 7z = 5.
Solución Para realizar la primera tarea, simpbemente aplique ia ecuaciOn canónica de un piano al problema en cuestiOn, con lo que se obtiene
602 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
2(x-5)+4(y-1)+3(z+2)O o, en forma equivalente,
2x + 4y + 3z = 8 Un vector m perpendicular al segundo piano es m = (3, 4,7). El angulo 0 entre dos planos es ci ángulo entre sus normales (figura 5). AsI,
cos9 = 0
mn
(3)(2) + (-4)(4) + (7)(3)
mHn
V9+16+49V4+16+9
0.2375
76.260
En realidad, hay dos ángulos entre dos pianos, pero estos son suplementarios. El proceso recién descrito llevará a alguno de elios. El otro, si se desea, se obtiene restando el primer valor de 180°. En nuestro caso, serIa 103.74°.
Figura 5
EJEMPLO 6
Muestre que la distancia L del punto (x0,
Yo,
z0)
ai piano
Ax + By + Cz = D está dada por Ia fOrmula
Ax0 + By0 + Cz0 - D A2 + B2 + C2 So!ución Sea (xi, y1, z1) un punto en el piano y sea m = (x0 - x1, y, z0 - z1) ci vector de (x1, y1, z1) a (x0, y0, z0), como en Ia figura 6. Ahora, n = (A, B, C) es un vector perpendicular al piano dado, aunque podrIa apuntar en la direcciOn opuesta a ia de nuestra figura. El nOmero L que buscamos es la longitud de
-
n=(4,B,C)
la proyecciOn de m sobre n. AsI,
L = mcosO A(xo - x1) + B(yo - Yi) + C(zo - z1) VA2 + B2 + c2
Ax3 + By0 + Cz0 - (Ax1 + By1 + Czi) VA2 + B2 + C2 Pero (x1, Yi z1) está en ei piano, de modo que Figura 6
Ax1 + By1 + Cz1 = D Al sustituir este resultado en la expresiOn para L obtenemos la formula deseada.
Calcule la distancia entre los pianos paralelos 3x - 4y + 5z = 9 y 3x -
EJEMPLO 7
4y + 5z
U
4.
Solución Los pianos son paralelos,pues el vector (3, 4,5) es perpendicuiar a ambos (figura 7). Es fácii ver que el punto (1, 1,2) está en el primer piano. Encontramos ia distancia L de (1, 1,2) al segundo piano usando la formula del ejemplo 6.
L=
3(1) - 4(1) + 5(2) - 4 V9 + 16 + 25
5\/
0.7071
U.
SECCION 14.2
Vectores en el espacio tridimensional
603
Repaso de conceptos 1. Sean u = (2, 3, V) y La longitud de u es
=
= (3,2, 2V) dos vectores. ,y
ti.v =
el producto punto de u y v es
3(x - 2) - 2(y + 1) + 4z que pasa por ei punto
, donde
0 la ecuación de un piano es un vector perpen-
dicular al piano.
2.. Dos vectores son perpendiculares si, y solo si, su
es
El ángulo (más pequeflo y no negativo) 0 entre los vectores u y v se puede determinar mediante Ia fOrmula geométrica para el producto punto, u v = . Esto implica que 0 =
Conj unto de problemas 14.2 1. Para cada pareja de puntos P1 y P2 dada a continuación, dibuje el segmento de recta dirigido P1 P2 y luego escriba el vector co-
(a)u=-3i+2j+k
rrespondiente en Ia forma ai + bj + ck. P1(l,2,4),P2(4,5,6) P1(-1, 3,204), P2(-14, 52,26)
vector u, determine dos valores posibles para el tercer ángulo (véase el ejemplo 4).
2. Siga las instrucciones del problema 1.
19. El vector u = 21 + 3j + zk sale del origen y apunta hacia el primer octante. Si lul = 5, calcule z.
P1(0,i, e),P2(\/,-5,)
20. Si u = 21 + 3j + zk y v = 21 + 6j - 3k son perpendicu-
3. Determine la longitud y los cosenos directores de cada uno de los siguientes vectores:
(b) 2i - 3j + 7k
21. Determine dos vectores perpendiculares u y v tales que cada uno sea perpendicular a w = (-4, 2, 5).
el punto medio del segmento que une (3, 2,i) y (5, 7, 2).
(b) (-1,2,-2)
5. Determine el vector unitario con la misma direcciOn que (3, 4, 5). Además, determine un vector de longitud 5 orientado en la dirección opuesta. 6. Determine un vector de longitud 10 con dirección opuesta a
41 + 3j + 2k.
7. Caicule el ángulo entre (4, 3, 1) y (-2, 3, 5). 8. Determine el ángulo entre 41 + 2j + 3k y 2i + j + 5k. 9. Determine dos vectores de longitud 10, cada uno de los cua-
les es perpendicular a 4i + 5j + k and 41 + j. 10. Determine todos los vectores perpendiculares a (1, 2, 3) y (-3, 2, 0). 11. Determine el ángulo ABC Si A = (1, 2, 3), B = (-4, 5, 6), y C = (1, 0, 1) (véase el ejemplo 1). 12. Muestre que el triángulo ABC es un triánguio rectángulo si
A = (6, 3, 3), B = (3, 1, 1) y C = (-1, 10, 2.5). Sugerencia: Compruebe el ángulo en B.
13. Calcule la proyección escalar de u = i + 5j + 3k sobre v = + j - k. La proyecciOn escalar es la magnitud con signo de la proyección vectorial (ejempio2);es decir,es ucosO u v/v.
v=
lares, calcule z.
22. Determine el vector que surge del origen cuyo punto final es
4. Siga las instrucciones del problema 3.
(a) (2,-1,-2)
14. Caicule Ia proyecciOn escalar de u = Si + 5j + 2k sobre + + k.
15. Si u 31 + 2j + k y v = 31 + 5j - 3k, exprese u como la suma de un vector in paralelo a v y un vector n perpendicular
23. ,Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido?
(a) u(v.w) (c) i(v w)
(d) (u v)w
(e) (uv) . w
(f) uv
16. Siga las instrucciones del probiema 15 para u
(b) (u . w) + w
24. Sean a, b, c, y d vectores que surgen del origen y terminan en A, B, C, y D, respectivamente. Use la notaciOn vectorial para expresar una condiciOn necesaria y suficiente para que la figura ABCD sea un paralelogramo.
25. Determine Ia ecuaciOn del plano que pasa por P y es perpendicular a n (véase el ejemplo 5).
P(1,2,-3),n = 21 - 4j + 3k P(-2,-3,4),n = 31 - 2j - k 26. Determine el menor de los ángulos positivos entre los pia7 y 4x - 3z = 2 (véase el ejemplo 5).
nos 3x - 2y + Sz
27. Determine el menor de los ángulos positivos entre los dos pianos del problema 25.
28. Determine la ecuaciOn de un piano que pasa por (i,2,-3) y es paralelo al piano 2x + 4y - z = 6. 29. Determine la ecuaciOn del piano que pasa por (-4,i, 2) y que es paralelo al piano xy,
ai plano 2x -
- 4z = 0
30. Calcule la distancia de (1,i, 2) al piano
a v (véase el ejemplo 2).
y V = I + j.
(b)u=3i+6jk
18. Si a = 46° y f3 = 108° son los ángulos directores para un
P1(-2, 2, 2), P2(-3, 4, 5)
(a) 41 + j + 2k
17. Calcule los ángulos directores para cada vector.
x + 3y + z = 7
ei + rj + k
(véase el ejemplo 6).
604 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Determine el punto que está a una quinta parte del camino
Calcule la distancia de (2, 6, 3) a! piano
de (2,3,i) a (7,-2,9).
3x + 2y + z = 9
Suponga que los tres pianos de coordenadas que acotan al
Calcule la distancia entre los pianos paralelos
primer octante son espejos. Un rayo de luz con dirección
3x+2y+z9 y 6x-4y-2z=l9
ai + bj + ck se refleja de manera sucesiva en el piano xy, el piano
(véase ei ejemplo 7).
xz y el piano yz. Determine la dirección del rayo después de cada reflexión y establezca una agradable conclusion en relación con el rayo reflejado final.
Calcule ia distancia entre ios pianos paraieios
5x-3y-2z5 y 5x+3y+2z7 Determine ia ecuación dei piano tat que todos sus puntos son equidistantes de (-2,1,4) y (6, 1,-2).
Demuestre que u + v2 + a rencia: w2 = w w. Demuestre que u v =
= 2n2 + 2v2. Suge-
Calcule la distancia de la esfera x2 + y2 + z2 + 2x + 6y -
8z = Oalplano3x + 4y + z = 15. cia
Refine el método del ejempio 7, mostrando que la distanlos pianos paralelos Ax + By + Cz = D y
L entre
Ax + By + Cz = E es
+ v2 - a - v2.
Determine ei ángulo entre una diagonal principal de un cubo y una de sus caras. Determine un vector unitario cuyos ángulos directores sean iguaies.
L=
-E A2 + B2 + C2
Seana = (a1,a2,a3) yb = (b1,b2,b3) vectoresfijos.Mues-
tre que (x - a) (x - b) = 0 es la ecuación de una esfera, y determine su centro y su radio.
-
Determine el menor ángulo positivo entre las diagonales principales de una caja rectangular de 4 por 6 por 10 pies. Caicule los ángulos formados por las diagonales de un cubo.
Se aplica una fuerza constante de F = 4k newtons a un objeto para moverlo de (0, 0, 8) a (4, 4, 0), las coordenadas están in-
dicadas en metros. Calcule el trabajo realizado. (Recuerde que W = F D; véase la sección 13.3.) Se apiica una fuerza constante de F = 31 - 6j + 7k a un objeto para moverlo de (2, 1, 3) a (9, 4, 6), las coordenadas están indicadas en pies. Calcule el trabajo realizado.
,Cuánto trabajo es realizado por una fuerza de 5 newtons que actüa en ia dirección 21 + 2j - k al mover un objeto de (0, 1,2) a (3, 5,7), con las distancias en metros? (Véase ei problema 41.)
Muestre que el trabajo realizado por una fuerza constante F sobre un objeto que se mueve completamente airededor de una trayectoria poligonai cerrada es igual a cero.
Las medianas de un triángulo se encuentran en un punto P (el centroide, por ei problema 30 de la sección 6.6) que está a dos tercios del camino de un vértice a! punto medio dei lado opuesto. Mues-
tre que P es la cabeza del vector de posición (a + b + c)/3, donde a, b, y c son los vectores de posición de los vertices, y use esto para de-
terminar P silos vertices son (2, 6, 5), (4,i, 2), y (6, 1, 2). Sean a, b, c, y d los vectores de posición de los vertices de un tetraedro. Muestre que las rectas que unen ios vertices con los centroides de las caras opuestas se cortan en un punto P, y dé una agradable formula vectorial para él, generalizando con ello el problema 51.
Un peso de 30 iibras está suspendido por tres cables con ten-
1. 4; 6 2. producto pun-
sionesresuitantes3i + 4j + 15k, 81 - 2j + lOk,yai + bj + ck.
Respuestas al repaso de conceptos:
Determine a, b y c, suponiendo que k apunta directamente hacia
to;0 3. (2,-1,0); 3,-2,4) 4. IuIIvIcosO;cos'(u v/IuIIvI)
arriba.
14.3
El producto cruz
Ei producto punto de dos vectores es un escalar. Hemos explorado algunos de sus usos en secciones anteriores. Ahora presentamos el producto cruz (o producto vectorial);
también tendrá muchos usos. El producto cruz ii x v de u = (u1, u2, u3) y v = (vj, v2, v3) se define como
u Xv
(u2v3 - u3v2,u3v1 - u1v3,u1v2 - u2v1)
En esta forma, la formula es difIcil de recordar y su significado no es obvio. Observe lo Onico que es obvio: el producto cruz de dos vectores es un vector. Para ayudarnos a recordar la formula para el producto cruz, recordemos un tema de un curso anterior de matemáticas, a saber, ios determinantes. En primer lugar, el valor de un determinante 2 X 2 es
ab cd
= ad - bc
Entonces, el valor de un determinante 3 X 3 es (desarroliando a to largo del primer rengion)
Torca
El producto cruz juega un papel importante en meclinica. Sea 0 un punto fijo en un cuerpo, y suponga que se aplica una fuerza F en otro punto del cuerpo. Entonces F tiende a girar el cuerpo en tomb de un eje que pasa por 0 y que es perpendicular al piano de OP y F. El vector T
a1
a2
a3
b1
b2
b3
Cl
C2
C3
= a1
a1
a1
a2
a3
a1
a2
a3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a2 b1
b2
b3
+ a3 b1
b2
b3
C1
C2
C3
Cl
C2
C3
C1
C2
C3
b2
b3
C2
C3
ij
- a2 b1
b3
+ a3
C3
C1
b1
b2
Cl
C2
605
Al usar determinantes, podemos escribir la definiciOn de ii X v omo
UXV= u1
= OP x F
k
u2
Vj
es la torca. Apunta en la dirección del eje y tiene magnitud OPHFsen 0, justarnente el momento de fuerza en tomb al eje debido a F.
El producto cruz
14.3
SECCION
V2
u3 =
U2
U3
U1
U3
V2
V3
V1
V3
j+
U1
U2
V1
V2
k
V3
Observe que los componentes del vector u de la izquierda aparecen en el segundo reriglOn, mientras que los del vector v de la derecha están en el tercer renglón. Esto es importante, pues si intercambiamos las posiciones de u y v, estamos cambiando el segundo y tercer renglones del determinante, lo que cambia el signo de su valor, como usted podrá comprobar. AsI,
(v x u)
uxv
F
que a veces se llama Ia ley anticonmutativa. EJEMPLO 1
sean u = (1, 2,i) y v = (-2,4, 1). Calcule u x v y v x u usando
la definición de determinante.
Solución I
UXv
1
2 I
VXU=
2 1
jk 2 1 4
1
2 1
21 11 41 2 1
1
jk 4
=1
+k 21
2 4
= 21 + j + Ok =1
2 J 21 4
1
1
1
1
+k 21
4
2
==-2ij+Ok
lnterpretaciOn geométrica de u x V Como el producto punto, el producto cruz adquiere un significado de su interpretaciOn geométrica. Teorema A
Sean u y v vectores en el espacio tridimensional y 0 el ángulo entre ellos. Entonces:
u (u x v) = 0 = v (u x v),esdecir,u x vesperpendiculartanto aucomoav; u, v, y u x v forman un sistema de mano derecha; lu X vi = IuIivisen0.
DeinostraciónSeanu = (u1,u2,u3) yv = (v1,v2,v3). uxv
6
Figura 1
u (u x v) = u1(u2v3 - u3v2) + u2(u3v1 - u1v3) + u3(u1v2 - u2v1).Aleliminar paréntesis, los seis términos se cancelan por parejas. Ocurre algo similar al de-
sarrollar v (u x v). El significado de obtener un sistema de mano derecha con la tercia u, v, ii X v se ilustra en la figura 1. AhI, 0 es el ángu!o entre u y v, y los dedos de la mano derecha se doblan en la dirección de la rotaciOn con ángulo 9 que hace a u coincidir con v. Es difIcil establecer en forma analItica que la tercia indicada es de la mano derecha, pero usted podrIa comprobarlo con unos cuantos ejemplos. Observe en particular que I x j = k, y por definiciOn sabemos que la tercia i,j, k es de mano derecha. Necesitamos la identidad de Lagrange
ii x v = u2v2 - (u
v)2
606 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
cuya demostración es Ufl ejercicio algebraico sencillo (problema 25). Usamos esta identidad para escribir
xv
u2v2 - (u v cos 0)2 = u2v2(1 - cos20) = u2v2 sen2 0
Como 0
0. Al calcular las raIceS cuadradas principales obtenemos
Sen 0
ii x v = uvsen0 + Es importante contar con interpretaciones geométricas para u v y u x v. Aunque originalmente definimos tales productos en términos de sus componentes, los que dependen de La elección de un sistema coordenado, en realidad son independientes de Los sistemas de coordenadas. Son cantidades geométricas intrInsecas, y usted obtendrá los mismos resultados para u v y u x v sin importar cómo introduzca Las coordenadas utilizadas para caLcuLarlos.
He aquI una senciLla consecuencia del Teorema A (parte 3) y del hecho de que los vectores son paralelos si y solo si el ángulo 0 entre ellos Cs 00 o 1800. Teorema B
Dos vectores u y v en el espacio tridimensional on p alel
'
;
Aplicaciones Nuestra primera aplicación consiste en hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos no colineales. EJEMPLO 2
Determine la ecuaciOn del piano (figura 2) que pasa por los tres puntos
P1(1, 2, 3), P2(4, 1, 2) y P3(-2, 3, 0).
= (-6, 4,2). Por la primera
= (-3, 3, 5) y v So!ución Sean u = parte del Teorema A sabemos que I
jk
uXv 3 3 5 =141-24j-6k
642
Figura 2
es perpendicular a u y v y con ello al plano que los contiene. El plano que pasa por (4, 1, 2) con normal 141 - 24j - 6k tiene la ecuación (véase la Sección 14.2)
14(x-4)-24(y-1)-6(z+2)O 0
14x-24y-6z44 EJEMPLO 3 b sen 8
U
Muestre que el area de un paralelogramo con a y b como lados adyacen-
tesesa X b. Solución Recuerde que eL area de un paralelogramo es el producto de la base por la altura.Ahora observe La figura 3 y use el hecho de que a x b = allbsen0.
a
Figura 3
EJEMPLO 4
Muestre que el volumen del paralelepIpedo determinado por los vecto-
res a, b, y c es V =
a. (b x c) =
a1
a2
a3
b1
b2
b,
C'
C2
C3
Solución Revise La figura 4 y considere el paralelogramo determinado por b y c como La base del paralelepIpedo. El area de esta base es lb x ci por el ejemplo 3; la altura k del paralelepIpedo es el valor absoluto de la proyección escalar de a sobre
b x c. AsI,
SECCION 14.3
bXc
h = aHcosO =
aa
(b x c) allb x c
a
El producto cruz 607
(b x c) xc
y
V=hbxc=a b
Figura 4
Compruebe los casos extremos
Nunca lea un libro de matemáticas en forma pasiva; es mejor piantearse preguntas al ir leyendo. En particular, usted debe revisar los casos extremos siempre que sea posible. En este caso nos fijamos en el caso donde los vectores a, b y c están en el mismo piano. El volumen del paraieiepIpedo debe ser igual a cern; y en realidad, la fOrmula sigue dando el valor cern. i,Qué ocurre en ci ejemplo 3 silos vectores a y b son paralelos?
(bxc)
V también se puede expresar como un determinante; podemos establecer este hecho desarrollando a (b x c) en términos de sus componentes y comparando después con el valor del determinante indicado. Suponga que los vectores a, b y c del ejemplo anterior están en el mismo piano. En este caso, el paralelepIpedo tiene aitura cero, de modo que ci volumen debe ser igual a cero. Obtenemos de la formula para ci volumen que V = 0? Si a está en el piano determinado por b y c, entonces cualquier vector perpendicuiar a b y c también será per-
pendicular a a. El vector b X c es perpendicular a perpendicular a a. AsI a (b X c) = 0.
b
y C; por lo tanto,
b
X c es
Propiedades algebraicas
Las reglas para el cálculo del producto cruz se resumen en el siguiente teorema. La demostración de este teorema consiste en escribir todo en términos de componentes y se dejará como ejercicio.
Teorrem
C
e ri tu .nensioPat' y k e 3U[e u ii scalar, entonces: Siu,v ,y'wso n '.. ctores.i.espa-itridit ii x v = ---(v ( u) ley anticoni nutati 'a); 1ff]laizquhrda); u x ( + w) ..t. jdislributivapL :1ev ( X ') + (u x w) I
.
(
(
3./x(u
x v) = (k.
X
v = u X (kv);
x =:x 4.uO 0. j=lLUXU=I); 5 (ix v) w= 6. u x (' X w) = (1wv (u v)w. ii
)
Una vez que se dominen las regias del Teorema C, los cálculos complicados con vectores se pueden realizar con facilidad. Por ejemplo, calcularemos un producto cruz de otra manera, para io que necesitaremos los siguientes productos, sencillos pero irnportantes.
ixj=
jXk=i
kXi=j k
Figura 5
1 x j = k,
J xk
1,
kxi=j
Estos resultados tienen un orden cIclico, que puede recordarse recurriendo a la figura 5. EJEMPLO 5
Calcule ii X V si u = 31 - 2j + k y v = 41 + 2j - 3k.
Solución Recurrimos al Teorema C; en particular, a la icy distributiva y a la iey anticonmutativa.
uxv=(3i-2j+k)x(4i+2j-3k) = 12(i x i) + 6(1 x j) - 9(1 x k) - 8(j x 1) - 4(j x j) + 6(j x k) + 4(k x 1) + 2(k x j) - 3(k x k)
= 12(0) + 6(k) - 9(j) - 8(k) - 4(0) + 6(1) + 4(j) + 2(i) - 3(0) = 41 + 13j + 14k Los expertos podrIan hacer Ia mayor parte de esto en su mente; a los novatos podrIa pareceries mejor el método del determinante.
608 CAPiTULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Repaso de conceptos El
El producto cruz de u = (-1, 2, 1) y v = (3, 1, 1) está dado por un determinante especIfico; at evaluar este determinante ohtenemos U X v =
UXv
Geométricamente, ii x v es un vector perpendicular al pia= no de u y v y tiene longitud u X
es 0.
producto
cruz
es
anticonmutativo;
es
decir,
si, y solo si, su producto cruz
Dos vectores son
Conjunto de problemas 14.3 Sean
a = 3i + 2j - 2k,
b
+ 2j - 4k,
(a)axb
19. Sea K el paralelepIpedo determinado por u = (3,2, 1),
y
v = (1,1,2) yw = (1,3,3).
c = 71 + 3j - 4k. Determine 10 siguiente:
(b)ax(b+c)
Calcule el volumen de K. Caicule el area de Ia cara determinada por u y v. Calcule el angulo entre u y el plano que contiene a la cara determinada por v y w.
(d) a x (b x c) (c) a (b + c) Sia = (3,3,i),b = (-2,i3O),yc = (-2,-3,i),determine lo siguiente:
(a)axb
(b)ax(b+c)
(c) a (b x c)
(d) a x (b x c)
Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vec-
toresa = i + 2j + 3kyb = 21 + 2j - 4k. Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vec-
toresa = 21 + 5j - 2kyb = 31 2j + 4k. Determine los vectores unitarios perpendiculares ai piano determinado por ios tres puntos (1, 3, 5), (3,i, 2) y (4, 0, 1). Determine los vectores unitarios perpendiculares al piano determinado por los tres puntos (-1, 3, 0), (5, 1, 2) y (4, 3,i).
Calcule el area del paraletogramo con a = b = 41 + 2j - 4k como lados adyacentes.
b=
+ j - 3k y
Caicule el area del paralelogramo con a = 2i + 2j - k y + j - 4k como lados adyacentes.
Calcule el area del triangulo con (3, 2, 1), (2, 4, 6) y (-1, 2, 5) como vertices.
Calcule el area del triánguio con (1,2,3), (3, 1,5) y (4,5,6)
20. La fOrmula para el volumen de un paraielepIpedo deducida en ei ejemplo 4 no debe depender de la forma en que nombramos a los vectores como a, b o c. Use este resultado para expiicar por qué
a(bxc) = b(axc) = c(axb)
21. ,Cuáies de las siguientes expresiones no tienen sentido?
(a) u(vXw) (c) (ab) Xc (e) (ab) + k
(b) u + (v X w) (d) (a X b) + k (f) (a + b) X (c + d) (h) (ku) X v
(g) (u X v) X w
22. Muestre que si a, b, c y d están todos en el mismo pIano, entonces
(a x b) x (c x d) = 0 23. Se sabe que el votumen de un tetraedro está dado por (area de la base)(altura). Use esto para mostrar que el volumen del tetraedro con aristas a, b y c es a (b x c)
24. Calcule el volumen del tetraedro con vertices (-1, 2, 3), (4, 1,2), (5,6, 3) y (1, 1, 2) (véase el problema 23).
como vertices.
25. Demuestre la identidad de Lagrange,
Determine la ecuación del piano que pasa por (1, 3, 2), (0, 3, 0) y (2, 4, 3) (véase el ejemplo 2). Determine la ecuación del piano que pasa por (1, 1, 2), (0,
2x -
Determine la ecuación del piano que pasa por (-1, 2, 3) es perpendicular a los pianos x - 3y + 2z = 7 y
- z = 3.
Determine la ecuaciOn del piano que pasa por (2, 3, 2) y que es paralelo at piano de los vectores 41 + 3j - k y 21 - 5j + 6k.
Determine la ecuación del piano que pasa por (6, 2, 1) y
que es perpendicular a la recta de intersección de los pianos
4x - 3y + 2z + 5 = Oy3x + 2y - z + ii = 0. Sean a y b vectores no paralelos y sea c un vector cualquiera
no nub. Muestre que (a x b) x c es un vector en el piano de a y b. Calcule el volumen del paralelepIpedo con aristas (2, 3, 4),
(0,4,i) y (5,1,3) (véaseelejemplo4). Caicule el voiumen del paralelepIpedo con aristas
31 - 4j + 2k,i + 2j + k,y3i - 2j + 5k.
v)2
sin usar el Teorema A.
0,1) y (-2,-3,0).
y que
u2v2 - (u
x v2
26. Demuestre la ley distributiva por la izquierda,
UX (v + w) = (U X v) + (u X w) 27. Use ei problema 26 y la ley anticonmutativa para demostrar Ia ley distributiva por la derecha.
28. Si u X V = 0 y u V = 0, ,qué puede concluir acerca de ii y
29. Use el ejempbo 3 para desarrollar una formula para el area del triángulo con vertices P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), y R(0, 0, c) que aparece en la parte superior de la figura 6.
30. Muestre que el triangulo con vertices (x1, yi)' (x2, Y2)' y (x3, y3) tiene area igual a la mitad del valor absoluto del determinante x1
Yi
X2
Y2
x3
y3
1
1
SECCION 14.4
Rectas y curvas en el espacio tridimensional
609
Un Teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional Como en Ia figura 6, sean P Q, R y 0 los vertices de un tetraedro (con un ángulo recto) y sean A, B, C y D las areas de las caras opuestas, res-
pectivamente. Muestre que A2 + B2 + C2 = D2. Sean a, b y c vectores con su punto inicial comün, de modo que determinen un tetraedro; sean m, n, p y q vectores perpendiculares a las cuatro caras, apuntando hacia fuera, y cuya longitud es igual al area de la cara correspondiente. Muestre que m + n + p + q = 0. Sean a, b y a - b las tres aristas de un triánguio con longitudes a, b y c, respectivamente. Use la identidad de Lagrange y la fórmu-
la 2a b = a2 + b2 - a - b2 para demostrar la formula de HerOn para el area A de un triángulo,
A = \/s(s - a)(s - b)(s - c) donde s es el semiperImetro (a + b + c)/2. si u
Use el método del ejemplo 5 para mostrar directamente que u1 1 + u2j + u3 k y v = v3 I + v2j + v3 k, entonces
a x v = (u2v3 - u3v2)i + (u3v1 - u1v3)j + (u1v2 - u2v1)k Respuestas al repaso de conceptos:
1. (-3,2, 7 o 31 + 2j -
7k 2. uHvsenO 3.(v x a) 4.paralelos
Nuestro estudio de las rectas y curvas en el piano se extienden con facilidad ai espacio tridimensional. Una curva en el espacio queda determinada por una tercia de ecuaciones paramétricas
x = f(t),
y = g(t),
z = h(t),
tEI
con f g y h continuas en el intervalo I. En lenguaje vectorial, una curva queda especificada mediante el vector de posición r = r(t) de un punto P = P(t); es decir,
r = r(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t)k La punta de r describe la curva conforme t varIa en el intervaio I, como vemos en la figura 1. Rectas La más simple de todas las curvas es una recta. Una recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector fijo v = ai + bj + ck. Es ei conjunto de todos los puntos P tales que PP es paralelo a v; es decir, que satisfacen
=tv son los vectores de posición aP y r0 = de P y P0, respectivamente, entonces P0 P = r - r0, y la ecuación de la recta se puede escribir como para algilmn nümero real t (figura 2). Sir=
r = r0 + tv Si escribimos r = (x, y, z) yr0 = (x0, Yo, z0) e igualamos los componentes en la ültima ecuación, obtenemos
x=x0+at,
y=y0+bt,
z=z0+ct
Estas son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (x0, Yo z0) y que es paralela a v = (a, b, c). Los nümeros a, b y c se llaman nuimeros directores para la recta. No son ünicos; cualesquiera mültiplos no nulos ka, kb y kc también son nümeros directores.
610 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores EJEMPLO 1 Determine ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por (3,-2,4) y (5, 6, 2) (véase la figura 3).
z
Solución
Un vector paralelo a la recta dada es
v = (5 - 3,6 + 2,-2 - 4) = (2,8,-6) (3,-2.4) -
Si elegimos (x0, Yo,
z0)
como (3, 2,4), obtenemos las ecuaciones paramétricas
x=3+2t,
z=4-6t
y=-2+8t,
Observe que t = 0 determina a! punto (3, 2, 4), mientras que si t = 1, entonces (5, 6, 2). De hecho, 0
t
1 corresponde al segmento que une estos dos puntos.
Si despejamos t en cada una de las ecuaciones paramétricas (suponiendo que a, b y c son todos no nulos) e iguaiamos los resultados, obtenemos las ecuaciones simétricas para La recta que pasa por (x0, Yo, z0) con nUmeros directores a, b, c; es decir,
X - X0 a
Figura 3
-
Y - Yo b
-
Z - Zo c
Esta es la conjunción de las dos eduaciones
xxo_yyo a
-
yyo_zzo
b
-
b
C
que son eduaciones de pianos (figura 4); por supuesto, Ia intersección de dos planos es una recta. EJEMPLO 2
Determine las ecuaciones simétricas de la recta que es paralela al vector
(4, 3,2) y pasa por (2,5,i). Solución
x-2 yS z+i 3
4
EJEMPLO 3
2
.
Determine las ecuaciones simétricas de la recta de intersección de los
pianos
2xy-5z=-14 y 4x+5y+4z=28
Figura 4
Solución Primero encontramos dos puntos sobre la recta. Cualesquiera dosson puntos Utiles, pero optamos por determinar los puntos donde La recta corta al piano yz y al piano xz (figura 5). Obtenemos el primero haciendo x = 0 y resolviendo las eduaciones re-
f
4-
sultantes y - 5z = 14 y 5y + 4z = 28 en forma simuitnea. Esto produce el punto (0,4,2). Un procedimiento similar con y = 0 produce ei punto (3,0,4). En consecuencia, un vector paralelo a ia lInea requerida es
(0,4,2)
(3 - 0,0 - 4,4 - 2) = (3,-4,2) Ai usar (3, 0, 4) como (x0, Yo z0), obtenemos
x-3 yO z-4
y
/(
4
3
Jz
2
Una solución alternativa se basa en el hecho de que la lmnea de intersección de dos pianos es perpendicular a Las dos normaies a estos planos. El vector u = (2,i, 5) es normal ai primer piano; v = (4,5,4) es normal a! segundo. Como
Figura5
I
j
k
uXv= 2
4545 =21i=28j+14k
ei vector w
(21, 28, 14) es paraleio a la recta pedida. Esto impiica que (3, 4,2) también tiene esta propiedad. A continuación, determine otro punto sobre Ia ilnea de intersección, como (3, 0, 4), y proceda como en la solución anterior. w
Rectas y curvas en el espacio tridimensional
SECCION 14.4
611
EJEMPLO 4 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (1,-2, 3) y que es perpendicular al eje x y la recta
x4y3 2
-1
5
Solución El eje x y la recta dada tienen direcciones u = (1, 0,0) y v = (2, 1,5), respectivamente. Un vector perpendicular a u y v es I
jk
00 215
UXv=
1
01 - 5j - k
La recta pedida es paralela a (0,-5,-1) y también a (0,5,1). Como el primer nUmero director es cero, la recta no tiene ecuaciones simétricas. Sus eduaciones paramétricas son
z3+t
y=-2+St,
x=1, Recta tangente a una curva
U
Sea
r = r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k el vector de posición que determina a una curva en el espacio tridimensional (figura 6). En completa analogla con lo que hicimos en el piano (secciOn 13.4),definimos r'(t) como
r'(t) = urn. h-O
r(t + h) - r(t) h
Esto implica que r'(t), si existe, tiene la dirección de Ia recta tangente a la curva en el punto P(t) correspondiente a t. Además, r'(t) existe si y solo si f'(t), g'(t), y h'(t) existen y, en este caso,
r'(t) = f'(t)i + g'(t)j + h'(t)k Figura 6
AsI, f'(t), g'(t) y h'(t) son nOrneros directores para la recta tangente en P. EJEMPLO 5
Determine las eduacioneS Simétricas para la recta tangente a la curva de-
terminada por
r(t) = ti + t2j + tk en P(2) = (2, 2,
).
Solución
r'(t) = i + tj + tk y
r'(2) = I + 2j + 4k de modo que la recta tangente tiene dirección(1, 2, 4). Sus ecuaciones SimétricaS
x-2y2z 1
2
4
SOfl
612
GeometrIa en el espacio, vectores
CAPiTULO 14
Repaso de conceptos Las ecuaciones paramétricas para una recta que pasa por (1,
Si r(t) = t2i - 3tj + t3k, entonces r'(t) =
3, 2) y que es paraiela al vector (4, 2, 1) son x =
,z=
Las ecuaciones simétricas para Ia recta de la pregunta 1
Un vector paralelo a Ia recta tangente en t = 1 a la curva determinada por el vector de posiciOn r(t) de Ia pregunta 3 es Esta recta tangente tiene ecuaciones simétricas
son
Conjunto de problemas 14.4 En los problemas 1-4, determine las ecuacionesparamétricas de Ia recta que pasa por Ia pareja dada de puntos.
1. (1,-2,3),(4,5,6) 3. (4,2,3),(6,2,-1)
2. (2,-1,-5),(7,-2,3) 4. (5,-3,-3),(5,4,2)
En los problemas 5-8, escriba las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para Ia recta que pasa por el punto dado, paralela al vector indicado.
5. (4,5,6), (3,2, 1) 7. (1,1,1), (-1O,-100,-1000)
6. (-1,3,-6), (-2,0,5) 8. (-2,2,-2), (7,-6,3)
En los pro blemas 9-12, determine las ecuaciones simétricas de Ia lInea de intersección de Ia pareja dada de pianos.
9. 4x + 3y - 7z = 1,lOx + 6y - Sz = 10
10. x+yz2,3x-2y+z=3
11. x + 4y - 2z = 13,2x - y - 2z = 5
12. x-3y+z=-1,6xSy+4z=9 13. Determine las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por (4,0, 6) y que es perpendicular al piano x - 5y + 2z = 10. 14. Determine las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por
(-5,7, 2) y que es perpendicular a (2, 1, 3) y (5,4, 1). 15. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (5, 3, 4) y que corta ai eje z en ángulo recto. 16. Determine las ecuaciones simétricas de Ia recta que pasa por (2, 4, 5) paralela al piano 3x + y = 5 y perpendicular a ia rec-
-
ta
x+8 2
-
y-5 z 1 3
-1
17. Determine Ia ecuaciOn del piano que contiene a las rectas paralelas
x=-2+2t y=1+4t
z=2t
y
x=2-2t y=3-4t z=1+t
18. Muestre que las rectas
x-1 y2 z-4 4
y
3
2
x-2 y1 z+2 1
1
6
se cortan, y encuentre la eduación del piano determinado por elias.
19. Determine la ecuaciOn del piano que contiene a Ia recta
x = 1 + 2t,y = 1 + 3t,z = 4 + tyalpunto(1,-1,5).
20. Determine la ecuaciOn del piano que contiene a la recta x = 3t, y = 1 + t, z = 2t y que es paralelo a la intersecciOn de los
planos2x - y + z = Oyy + z + 1 = 0. 21. Calcule Ia distancia entre las rectas x = 2 - t, y = 3 + 4t,
z = 2t y x = 1 + t, y = 2, z = 1 + 2t mediante los pasos siguientes. Observe, haciendo t = 0 que (2, 3, 0) está en ia primera recta. Determine la ecuación del piano r que pasa por (2,3,0) paralelo a ambas rectas (es decir, cuya normal sea perpendicular a ambas). Determine un punto Q sobre Ia segunda recta. Calcule la distancia de Q ai piano i. (Véase el ejemplo 6 de la sección 14.2.) Véase el probiema 30 para otra forma de resolver este problema.
22. Calcule la distancia entre las rectas x = 1 + 2t,
y = 3 + 4t,z = 1 tyx = 4 2t,y = 1 + 3t,z = 2t(véase el problema 21). 23. Determine las ecuaciones simétricas de Ia recta tangente a la curva con ecuación
r(t)
2 cos ti + 6 sen tj + tk
en t = 24. Determine las ecuaciones paramétricas de Ia recta tangente a la curva x = 2t2, y = 4t, z = en t = 1.
25. Determine Ia ecuación del piano perpendicular a la curva
2,z = ent = 1.
x = 3t,y
26. Determine la ecuación del piano perpendicular a Ia curva
r(t) = t sen ti + 3tj + 2t cos tk en t = 27. Considere la curva r(t) = sen t cos ti + sen2 tj + cos tk, 0
t
2ii-.
Muestre que Ia curva está sobre una esfera con centro en el origen.
Dónde corta Ia recta tangente en t = IT!6 al piano xy? 28. Distancia de an punto a un piano Sea P Un punto sobre un piano con normal n y Q un punto fuera del piano (figura 7). Muestre que Ia distancia d de Q al piano está dada por
d=
SECCION 14.5
61 3
y use este resultado para calcular la distancia entre cada pareja de rectas en las partes (a) y (b).
y use este resuitado para caicular Ia distancia de (4, 2, 3) a! piano + 2z = 2. Compare su resuitado con el ejemplo 6 de ia sec4x cion 14.2.
(a)
29. Distancia de un punto a una recta Sea P un punto sobre una recta con direcciOn n y Q un punto fuera de la recta (figura 8). Muestre que la distancia d de Q a la recta está dada por
d=
Velocidad, aceleraciOn y curvatura
x-3 1
y+2 z1
x+4
=
3
=
1
2
y+S
z
4
5
=
(b)x=1+2t, y-2+3t, z=-4t y x=3t, y=1+t, 5t z
PQxn
y use este resultado para calcular cada distancia en las partes (a) y (b).
De Q(1, 0, 4) a la recta
x-3 y+2
De Q(2, 1, 3) a la recta x
2 =
2
z1 1
1 + 2t, y = 1 + 3t, z =
6t
(1
Figura 9
Figura 8
1. 1 + 4t; 3 - 2t; 2 - t
Respuestas a! repaso de conceptos:
30. Distancia entre rectas Sean P y Q puntos sobre rectas que nc se cortan ni son paralelas, con direcciones n1 y n2, y sea n = n1 X n (figura 9). Muestre que la distancia d entre estas rectas está dada pot
Velocidad, aceleraciOn
+3z2
x1
2-
4
4.(2,-3,3);
PQ . ii
14.5
2
3.2ti - 3j + 3t2k
1
z1
x-1 y+3 2
=
3
=
3
Todo lo que hicimos con el movimiento curviiIneo en el piano (secciones 13.4 y 13.5) se generaliza de manera natural ai espacio tridimensionai. Sea
r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k,
y curvatura
a
t
b
el vector de posición para un punto P = P(t) que describe una curva conforme t all0, en cuyo camenta (figura 1). Suponemos que r'(t) existe y es continua, con r'(t) so se dice que Ia curva es suave. La iongitud s del arco de P(a) a P(t) está dada por
s=
11
/ Ja
r' ( u) du =
ftV[fF(u)]2 + [g'(u)]2 + [h'(u)]2du a
Si t mide el tiempo, podemos definir ia velocidad, rapidez y aceleración del punto móvii P como Velocidad:
Rapidez: Figura 1
Aceieración:
v(t)
r'(t)
= r'(t)
v(t)
a(t) = r"(t)
Un ejemplo: Ia hélice circular SupongaqueunpuntoPsemuevedemodoque su vector de posición en ci instante t es
r(t) = acosti + asentj + ctk donde a y c son constantes positivas. Entonces P describe una curva que da vueltas en torno del cilindro circular recto con ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, pero que sube y sube, pues z = Ct crece con t. La curva es una hélice circular, parte de la cual se muestra en Ia figura 2.
614 CAPiTULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores EJEMPLO
1
Determine Ia longitud de arco de Ia hélice circular para 0
2ir.
Solución
f V(asent)2
=
+ (a cost)2 + c2dt
P 2ir
I Va + c2 dt
=
Jo
=
2Va2 + c2
Observe que cuando c = 0 esto se reduce a 2ra (La circunferencia de un cIrculo ra- de dio a), como deberla ser. U
(0, a, 0) '
EJEMPLO 2 Para el movimiento r(t) = a cos t I + a sen tj + calcule la aceieración a en t = 2'ir.
Ct
k descrito arriba,
Solución
asenti + acostj + ck = r"(t) = acosti - asentj
v(t) = r'(t) =
a(t)
Figura 2
a(2ir) = EJEMPLO 3
al
U
Comenzando en t = 0, una abeja voló de modo que su vector de posiciOn
era r = t cos ti + t sen tj + tk hasta el instante t = 4ir, para luego volar sobre una tangente con la rapidez alcanzada hasta ese momento. ,Cuál fue la longitud total de su trayectoria de vuelo en el intervalo 0 4ir + 3? t So!ución La trayectoria consta de una parte espiral y una parte lineal con longitudes L1 y L2, respectivamente. En La parte espiral,
r'(t) = (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k y
r'(t) = [(cost - t sent)2 + (sent + t cos t)2 + 111/2 =
2 + t2
Usamos la formula 44 a! final del libro para ver que L1 =
fv2 + t2t\
= [
V2 + t2 + in t +
+ t21
82.336
Adems, L2 =
Concluimos que L1 + L2
3r'(4
=
3V2 + 162
37937
120.273.
Curvatura Como observamos en ia sección 14.4, v(t) = r'(t) es un vector con La misma dirección que La tangente a la curva en P(t). AsI,
T=T(t)=
v(t) r'(t) = r'(t) v(t)
es un vector tangente unitario en P(t). denota Ia longitud de arco medida desde cierto punto fijo en la dirección en que t crece, dT/ds mide La razOn de cambio de dirección de La tangente con respecto de la distancia a Lo largo de la curva. Por La regla de la cadena,
dT ds
dT dt dt ds
T'(t) v(t)
AsI, como en ci caso de las curvas pianas, podemos definir la curvatura en ci espacio como
K = K(t) =
dT
T'(t)
ds
v(t)
K
de una curva
Velocidad, aceleraciOn y curvatura
SECCION 14.5
EJEMPLO 4
61 5
Calcule la curvatura de La hélice circular
r(t) = acosti + asentj + ctk,
a>0
Solución
v(t) = asenti + acostj + ck T(t) =
v(t) = v(t)
K(t) =
T'(t) 1 = a2 + c2 v(t)
1
a2 + c2
asenti + acostj + ck)
(
acosti - asentj
a
a2 + c2 AsI, para La héLice circular, K es una constante.
El radio de durvatura R es el recIproco de K. En el ejemplo anterior, R = (a2 + c2)/a. Esto se reduce a R = a cuando c = 0, lo que corresponde al hecho de que el movimiento se realiza a lo largo del cIrcuio r = a cos ti + a sen tj en el piano xy. Cuando c crece, R también, como era de esperar.
Corn ponentes de Ia Ace IeraciOn Como en el caso del piano, definimos el vector normal unitario principal N en P como
dT/ds
1 dT K ds
N= dT/ds
Es obvio que N es un vector unitario. Al derivar T T = 1 con respecto de s obtenemos
2T
dT ds
=
lo que implica que dT/ds es perpendicular a T, y entonces N es normal (perpendicular) a La curva. Con estos hechos a mano, podemos reproducir una derivación realizada en el caso del piano (sección 13.5) para obtener (figura 3) a
d2s
= dt2
T+
/ds"\2
\dt)
KN = aTT + aNN
Si calculamos ei producto punto de este ültimo resultado con T, obtenemos
Ta = aTTT + aNTN = aT 0
r'r"
aT = T a
Si obtenemos el producto cruz de T con a, obtenemos
Tx a= aT(T x T) + aN(T x N) = aN(T x N) de modo que
x a = aNT x N
aNTHNsenO = aN
0 aN =
x
a=
r' X r"
616 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
(ds/dt)2K = r'2K, concluimos que
Como aiv
r' X r"
EJEM PLO 5 viiIneo
En ci punto (1, 1, fl, determinar T, N, aT, aN y K para el movimiento cur-
r(t)
ti + t2j + t3k
Solución
r'(t) = 1 + 2tj + t2k
r"(t) = 2j + 2tk En t = 1, lo que da el punto (1, 1, fl, tenemos
r'
I + 2j + k
r"
2j + 2k
T= aT =
i + 2j + k
r'
r'r" r' X r"
6
ijk
121 21 - 2j + 2k = 022 N= aaT(2j+2k)(i+2j+k)_l+k
aN =
1
1
aN
r' X r" 3
aN
r'
2=
6
Binormal en P Dada una curva C y ci vector tangente unitario Ten P, hay, por supuesto, una infinidad de vectores unitarios perpendiculares a T en P (figura 4). Elegimos uno de cilos, Figura 4
N
dT/ds
= dT/ds
y lo liamamos el normal principal. El vector
B=TxN y
El triedro móvil
Figura 5
se llama ci binormal. También es un vector unitario y es perpendicular a T y a N. (j,Por qué?) Si ci vector tangentc unitario T, ci normal principal N y ci binormal B tienen sus puntos iniciales en P, forman un sistema de vectores unitarios de mano derecha, mutuamente perpendiculares, conocidos como el triedro en P (figura 5). Este triedro móvii juega un papel crucial en un tema liamado geomctrIa diferencial. El piano de T y N se llama el piano osculador en P.
Velocidad, aceleraciOn y curvatura 617
SECCION 14.5
Repaso de conceptos Si r(t) es el vector de posiciOn para un punto P = P(t) que se mueve a lo largo de una curva, entonces la velocidad de este punto es el vector y Ia aceleraciOn es
La longitud de arco de la curva en la pregunta 1 entre P(a) y P(b) está dada por
a! vector tande la curva.
Como en el caso del piano, r'(t) es
gente en P(t),y r"(t) apunta hacia ellado
Si T = T(s) denota ei vector tangente unitario expresado en términos de la longitud de arco, entonces la curvatura K se define comoK =
Conjunto de problemas 14.5 En los problemas 1-12, determine Ia velocidad pidez s en el instante indicado t = t1.
Ia aceleración a y ra-
v,
r(t) = t3i + r(t)
r(t)
+ 5(t2 - 1)j + 2tk;t1 = 1 = ti + (t - 1)2j + (t - 3)3k;t1 = 0 = (1/t)i + (t2 - 1)1j + t5k;t1 = 2
r(t)
= t6i + (6t2 - 5)6j + tk; t1 =
r(t) r(t)
=
4ti
i +
(f'x2 dxj
= 2
r(t) = sen 2ti
+ cos
3tj
x =
IT
=
+ cos 4tk; t1
r(t) =
=
tanti + 3e'j + cos4tk;t1
f1ex dx)i
+
7fen
4
e dO)j
+ t213k; t1
2
Muestre que si la rapidez de una partIcu!a en movimiento es constante, entonces su vector aceleración siempre es perpendicular a su vector velocidad.
Demuestrequer(t)esconstantesi,ysolosi,r(t) . r'(t) =
0.
En los problemas 15-24, calcule Ia longitud de Ia curva con la ecuación vectorial dada.
= ti + sentj + costk;0
r(t) = tcosti r(t) = V't21
-
23.
t t
r(t) = t3i - 2t3j + 6t3k;0
t
=
= e2 cos ti + e2' sen tj
+ cosh3tj +
t
1
ir/2
+ e2tk;
3tk;0
0
t
+ (2t +
3)j
=
t < ii-/2
=
t,y
t2,z
r(t) = cos3ti
=
+ sen3tk,t
r(t) = csenh(t/c)i =
t3,t =
1
=
+ tk,t
tsenti + tcostj +
=
t2k,t =
tcosti + tsentj + t2k,t
=
1
+ e'costj + e'sentk,t
r(t) =
e'i +
r(t) =
senhti +
=
e' sen tj + e' cos tk, t =
tj
+ coshtk,t
= ir/3
hétice dada por r(t) = senti + costj + (t2 - 3t + 2)k, donde et componente en k mide Ia altura en metros sobre el suelo, y t 0. En a!gün momento la partIcula se mueve hacia abajo?
t t
+ (t2 - 4t)k;t1
<
Considere el movimiento de una partIcula a to largo de una
IT
En los problemas 25-34, determine Ia curvatura, el vector tangente unitario, el normal principal y el binormal en = t1.
r(t) = (t2 - 1)i
= t2,z =
et,y
r(t) = e'i
1
= senhti + coshtj + tk;0
senh3ti
= t2;t1 = 2
1(t) = ti + t3j + t1k,t =
1
<
t,y
r(t) =
2
t
x
6
\/t1 - \/tj + 6t7k; 0
= cos3ti + sen3tj;0 < t
lnt,y = 3t,z
=0
En los problemas 43-51, determine los vectores T, N y B en el punto indicado.
r(t)
t3j + 6tk;3
r(t) = t2i - 2t3j + 6t3k;0
r(t) r(t) r(t) r(t) r(t)
2
t
+ tsentj + \/tk;0
+
+ e2j + 2\/tk; t1
2t,z = r(t) = (t - 2)21 - t2j + tk t3)j + tk r(t) = (t - t3)i - (t + r(t) = ti + t3j + tk,t > 0 r(t) = (lnsent)i + (lncost)j + tk,0 r(t) = t sen ti + t cos tj + t2k x =
r(t) = tsen'rti + tcoslTtj + e'k;t1 = 2 r'(t) = inti + int2j + lnt3k;t1 = 2
r(t)
1
r(t) = (t + 1)i+3tj +t2k
2
x =
r(t) =
11-12
tj; t1 =
En los problemas 35-42, determine los componentes vectoriales tangencial y normal aT y aN del vector aceleraciOn en cualquier instante t.
=
costi + sentj + tk;t1
r/9
1(t) = e7tcos2ti + e7' sen2tj + e7k;t1 =
r(t) = e2'i =
= 2
= cos3ti + sen3tk;t1 =
r(t) = 3 cosh (t/3)i +
r(t) = ft[x2i + 5(x - 1)3j + (sen ¶x)k] dx; t1 = 2 r(t)
1
x = 7 sen 3t, y = 7 cos 3t, z = 14t, t1 =
1
+ t23k; t1
=
t3k;t1
x = sen 3t, y = cos 3t, z = t, t1
r(t)
r(t) =
t2k;t1
t2i + tj +
=
=2
LEn aigUn momento se detiene Ia partIcu!a?
i,En qué instantes alcanza una posición a 12 metros sobre el suelo?
618 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Cul es la velocidad de la partIcula cuando está a 12 metros sobre el suelo? Si la partIcula deja la hélice y se mueve a lo largo de la recta tangente a la hélice cuando esté a 12 metros sobre el suelo, dé un vector que describa su trayectoria. 53. En muchos lugares del sistema solar, una luna gira en torno de un planeta, el cual orbita alrededor del Sol. En aigunos casos, las órbitas son casi circulares. Supondremos que estas órbitas son circulares, con el So! en el centro de la órbita del planeta y el planeta en el centro de la órbita de la luna. Además, supondremos que todo el movimiento está en un piano xy. Suponga que en ei tiempo en que ei pianeta gira una vez en tomb del So!, la luna gira diez veces en torno del pianeta. Si el radio de la órbita de la luna es Rm y el radio de Ia Orbita del EXPL
pianeta en torno del So! es R, muestre que el movimiento de la tuna con respecto del so! en el origen podria estar dado por x
Rcost + RmCOS1OI,
y =
Rsent + R,sen10t
Sugerencia: P5(x) debe satisfacer las seis condiciones P5(0) = 0, P(0) = 0,P'(0) = 0,P5(1) = 1,P(1) = 0,yP(1) = 0.Useestas seis condiciones para determinar a0.....a5 de manera (mica y determine con el!o P5(x).
Muestre que e! vector unitario binormal B = T X N o tiene ia propiedad de que
es perpendicular a B. ds Muestre que el vector unitario binormal B = T X N tiene
Ia propiedad de que
que
debe ser paralelo a N y, en consecuencia, debe haber un ds (B nümero T que depende de s tal que = T(s)N. La función T(s)
es liamada Ia torsion de la curva y mide el torcimiento de la curva con respecto del plano determinado por T y N.
Muestre que para una curva plana, la torsion T(s) = 0.
la luna esté inmóvil con respecto del so!.
r(t) = [93cos(2irt) + 0.24 cos(26t)]i
+ [93sen(2irt) + 0.24 sen(26in)]j donde r(t) se mide en millones de millas. ,Cules son las unidades adecuadas para t? Cuál es el periodo de cada uno de los dos movimientos? ,Cuál es ia distancia maxima de Ia Luna al So!? ,Cuá1 es ia distancia minima de Ia Luna al Sol? ,Hay algün momento en que la Luna esté estacionaria con respecto del So!?
LCuái es la ve!ocidad, rapidez y aceleración de la Luna cuando = 1/2?
Muestre que para una lInea recta r(t) = r0 + a0ti + b0tj
+ c0tk tanto K como
=
sent3i + cost3j + t3k = sen(t3 + + 13j + cos(t3 + 71)k =
tsenti + tcostj + tk (2senhi + r2costj + tk,t > 0
= 12
sen (in t)i + ln tj +
t2
cos (in t)k, t > 1
56. Muestre que la curva
10
se anulan.
cuandot = 0)? 64. La molécula de ADN en humanos es una dob!e hélice, cada una con cerca de 2.9 x 108 vueitas completas. Cada hélice tiene un radio aproximado de 10 angstroms y sube cerca de 34 angstroms en caIC
da vuelta completa (un angstrom mide cerca de 108 centimetros). j,Cuél es la longitud total de tal hélice (véase el ejemplo 1)? 65. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales vectoriales (c y c son constantes) sujetas a r = r0 en t = 0.
(a)=0
(b)=c
= c sujeto ademas a r' = v0 en t = 0
dr
senti + costj + tk
=
=
T
63. Una mosca camina por una hélice de alambre de modo que su vector de posición es r(t) = 6 cos rti + 6 sen lrtj + 2tk, t 0. ,En qué punto tocará la mosca a la esfera x2 + y2 + z2 = 100? ,Qué distancia habrá recorrido hasta llegar ahi (suponiendo que comenzó IC
55. Describa en términos generales los siguientes movimientos de tipo "helicoidal"
r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t)
es perpendicu!ar a T.
Use el resultado obtenido en los problemas 58y 59, muestre
Determine valores para R, R, y t de modo que en el instante t 54. Suponiendo que las órbitas de la Tierra en torno del So! y la Luna en torno de la Tierra están en el mismo piano y son circulares, podemos representar el movimiento de la Luna por
ds
si x0 si
x>0
tiene primeras derivadas continuas y curvatura en todos los puntos. 57. Determine una curva dada por un polinomio P5(x) que proporcione una transición suave entre dos rectas horizontales. Es decir, supongauna función de la forma P5(x) = a0 + a1 x + a2x2 + a3x3
= cr dt 66. Una abeja volaba a lo largo de una trayectoria helicoidal, de modo que su vector de posición en el instante t era r(t) = costi + sentj + l6tk.Ent = 12,tuvounataquecardiacoy murió instantaneamente. Dónde aterrizO (es decir, golpeo el plano xy)? Suponga que la distancia se mide en pies, el tiempo en segundos y g = 32 pies/segundo por segundo. Sugerencia: Mida el tiempo desde el instante del ataque cardiaco y use el resultado del probiema 65(c).
67. ,Dónde tocara la abeja del ejemplo 3 al piano x + y = 30? 68. Demuestre que para cualesquiera funciones con valores vec-
toriales y diferenciables F(t) y G(t)
IEXPL
+ a4x4 + a5x5, que proporcione una transición suave entre y = 0 para x de modo que la funciOn, su derivay y = 1 para x da, y su curvatura son todas continuas para todos !os va!ores de x. 0
y=
P5(x) 1
si xO
si 0
si x1
[F(t) x G(t)] = F(t) x G'(t) + F'(t) x G(t) y use esto para mostrar que
d
- [r(t) x r'(t)] = r(t) X r"(t)
69. Demuestre !o siguiente: si un objeto esta sujeto ünicamente a una fuerza central, es decir, r"(t) = cr(t), entonces el objeto se mue-
ye en un piano. Sugerencia: Muestre que r(t) x r'(t) es constante.
SECCION 14.6
70. El momento angular L(t) y torca T(t) de una partIcula en movimiento de masa m y vector de posición r(t) son
T(t) = mr(t) x a(t)
L(t) = mr(t) X v(t),
Superficies en el espacio tridimensional
619
tre que el momento angular L(t) es (mr2 dO/dt)k. Nota: Este resultado, junto con los probiemas 69 y 70 y el problema 32 de la sección 12.8, establecen ha Segunda Ley de Kepler.
Determine ia ecuación del piano osculador en P(i, 1,
Muestre que
)
para el movimiento del ejempio 5.
L'(t) = T(t), Si T(t) = 0 para toda t, entonces L(t) es constante (la Ley de
Demuestre que N = B x T.
conservación del momento angular), y el momento angular se conserva para una partIcula que se mueye bajo una fuerza central.
Respuestas al repaso de conceptos:
71. Sea r = r cos Oi + r sen Oj, donde r y 0 son coordenadas
3. paralelo; cóncavo 4. dT/ds
polares de un objeto de masa m que se mueve en el piano xy. Mues-
14.6
1. r'(t); r"(t) 2.
fr'(t) dt
La gráfica de una ecuación en tres variables es por lo general una superficie. Ya hemos
Superficies en el visto dos ejemplos: la gráfica de Ax + By + Cz = D es un piano; Ia gráfica de espacio tridimensional (x - h)2 + (y - k)2 + (z - 1)2 = r2 es una esfera. La graficación de superficies puede ser muy complicada. Puede reaiizarse mejor encontrando las intersecciones de ia superficie con pianos eiegidos de manera adecuada. Estas intersecciones son las secciones transversaies (figura 1); aquelios intersecciones con los pianos de coordenadas se haman también trazas. EJEMPLO 1
Bosqueje la gráfica de x2
1625
9
Solución
Para encontrar la traza en ei piano xy, hacemos z = 0 en Ia eduación dada. La gráfica de la ecuación resultante x2
16
Una sección transversal
+
y2
25
=1
es una eiipse. Las trazas en los planos xz y yz (obtenidas haciendo y = 0 y x = 0, respectivamente) también son eiipses. Estas tres trazas aparecen en ia figura 2 y nos ayudan a obtener una buena imagen de la superficie pedida (iiamada elipsoide).
Figura 1
Eiipsoide: 16
+ V1 + 2
y
Trazaxz
\
Traza xy
Figura 2
Si ia superficie es muy comphicada, podrIa ser ütil mostrar las secciones transversaies con muchos pianos paraieios a los pianos de coordenadas. En este caso, una computadora con capacidad gráfica puede ser muy ütii. En ia figura 3 mostramos una gráfica comün generada por computadora, la gráfica de ia "siiha del mono" z = x3 - 3xy2. Hablaremos más sobre las gráficas generadas por computadora en el siguiente capItuho. = x3
Figura 3
3x
Ciii n d ros
Seguramente usted conoce los cihindros circuiares rectos, por ia geometrIa del bachihierato. En este caso, la palabra cilindro denotará una ciase mucho más ampiia de superficies.
620 CAPiTULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Sea C una curva plana y I una recta que corte a C pero que no esté en el piano de C. El conj unto de todos los puntos sobre rectas que son paraielas a I y que corten a C se llama un cilindro (figura 4). Los cilindros aparecen de manera natural al graficar una ecuación en el espacio tndimensional, que implique solo a dos variables. Considere como primer ejemplo
AZ
Curva ,....-generatriz C V
I
y2
x2
a2
b2
=1
donde falta la variable z. Esta ecuación determina una curva C en el piano xy, una hipérbola. Además, si (x1, Yi, 0) satisface Ia ecuación, también lo hace (x1, Yi, z). Conforme z recorre todos los valores reaies, el punto (x1, Yi, z) describe una recta paralela al eje z. Concluimos que la gráfica de la ecuación dada es un cilindro, un cilindro hiperbOlico (figura 5). Un segundo ejempio es la gráfica de z = sen y (figura 6).
K Figura 4 Az
Superficies cuádricas Si una superficie es Ia gráfica en el espacio tridimensional de una ecuación de segundo grado, se le llama una superficie cuádrica. Las secciones planas de una superficie cuádrica son cónicas. La ecuaciOn general de segundo grado tiene la forma
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J0 Se puede mostrar que cualquier ecuación de este tipo se puede reducir, mediante rotación y traslación de los ejes de coordenadas, en una de las formas Ax2 + By2 + Cz2 + J 0
'0
0
Cilindro
Ax2 + By2 + Iz = 0
hiperbOlico = 1-
Figura 5
= scfl
-7-
7,
Las superficies cuádnicas representadas por la primera de estas ecuaciones son simétricas con respecto a los pianos de coordenadas y al origen. Estas se llaman cuádricas centrales. En las figuras 7 a 12 mostramos seis tipos generales de superficies cuádricas. Estü-
dielas con cuidado. Las gráficas fueron trazadas por un artista técnico; no esperamos que la mayonIa de nuestros lectores pueda duplicarlas al hacer los probiemas. Un dibuV
jo más razonable para La mayorIa de las personas es como ei que mostramos en La figura 13 de nuestro siguiente ejempio. SUPERFICIES CUADRICAS
ELIPSOIDE:
x2 a
+
y2 b
+
z2 c2
=1
Figura 6
F
Piano
SecciOn transversai
Piano xy Piano xz
Elipse Eiipse Eiipse Eiipse, punto o conjunto vaclo Eiipse, punto o conjunto vaclo Eiipse, punto o conjunto vaclo
Planoyz Paraielo ai piano xy Paralelo al piano xz Paraieio a! piano yz
- -
.1/_ -.
/10
y
Figura 7 z
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
x2 a
2
+
b
-
Piano
Sección transversal
Piano xy Piano xz Piano yz Paraieio ai piano xy Paralelo al piano xz Paraieio ai piano yz
Elipse Hipérboia Hiperbola Elipse Hipérboia Hipérbola
z2
=1
c2
V
Figura 8
Superficies en ei espacio tridimensionai
SECCION 14.6
SUPERFICIES CUADRICAS (continuaciOn)
x2 --
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:
a2
-
y b
2
2
-
Piano
SecciOn transversal
Pianoxy
Hipérboia Hipérboia
Piano xz Piano yz Paralelo a! piano xy Paraieio a] piano xz Paraieio ai piano yz
z c
Az
2 7
=1
Conj unto vacIo
/o
Hipérboia Hipérbola Eiipse, punto o conj unto vaclo
Figura 9 z
+
z=
PARABOLOIDE ELIPTICO:
a2
b2
Piano
SecciOn transversai
Piano xy Piano xz Piano yz Paraieio ai piano xy Paraieio a] piano xz Paraieio al piano yz
Punto Par2Iboia
Paráboia Eiipse, punto o conj unto vacIo Paráboia Paraboia
Figura 10
z=
PARABOLOIDE HIPERBOLICO:
y2 b2
-
x2 a2
Piano
SecciOn transversai
Piano xy Piano xz Piano yz Paralelo al piano xy
LIneas rectas que se cortan Paráboia Paráboia Hipérbola o rectas que se cortan Paráboia Parabola
Paraieio ai piano xz Paralelo al piano yz
/
Figura 11 x2
v2
a2
h2
CONO ELPTICO: - +
-
2
c2
=0
Piano
SecciOn transversai
Piano xy Piano xz Piano yz Paraleio ai piano xy Paraielo a] piano xz
Punto Rectas que se cortan Rectas que se cortan Eiipse o punto Hipérboia o rectas que se cortan Hipérboia o rectas que se cortan
Paraieio ai piano yz
Figura 12
621
622 CAPITULO 14
GeometrIa en el espacio, vectores
Analice la ecuación
EJEMPLO 2
+ =1
x2
4
y2
z2
9
16
y bosqueje su gráfica.
Solución Las trazas en los tres pianos de coordenadas se obtienen haciendo z = 0, y = 0, y x = 0, respectivamente. piano xy: piano xz: piano yz:
,2
x2
+
x2
z2
- 16 y2
9
-
= 1,
una elipse
=
una hiperbola
z2
una hi pérbola
1
16
Estas trazas se grafican en ia figura 13. También mostramos las secciones transversales
en los pianos z = 4 y z = 4. Observe que a! sustituir z = +4 en la ecuación original obtenemos 16 4
16
9
que es equivalente a 2
2
18
8
=1
una eiipse. Figura 13
Indique el nombre de la gráfica de cada una de las siguientes eduaciones:
EJEMPLO 3
(a) 4x2 + 4y2
(c) x2 -
(b) y2 + z2 - l2y = 0 =0 (d) 9x2 + 4z2 -
25z2 + 100 = 0
=0
Solución Al dividir ambos iados de esta ecuaciOn entre 100 obtenemos la forma x2
25
+=1
- 25y2
z2
4
Su gráfica es un hiperboloide de dos hojas. No corta a! piano xy, pero las secciones transversales en ios pianos paraielos a este piano (y a! menos a 2 unidades de distancia de éi) son cIrculos. La variable x no aparece, de modo que la gráfica es un ciiindro paralelo a! eje x. Co-
mo la ecuaciOn se puede escribir en la forma (y - 6)2 + z2 = 36, su gráfica es un ciiindro circular. Como falta la variable y, la grafica es un cilindro. La ecuación dada se puede escri-
bir como (x - z)(x + z) = 0; de modo que su gráfica consta de los dos planos
x = z y x = z. La ecuación se puede escribir como x2
z2
4
9
que tiene un paraboloide elIptico como gráfica. Es simétrica con respecto del
ejey.
U
SECCION 14.7
Coordenadas cilindricas y esféricas
623
Repaso de conceptos Las intersecciones de una superficie con los pianos de coordenadas se ilaman Más en general, las intersecciones con cualquier piano se ilaman
Al graficar las ecuaciones que impiican solo dos variables
En particular, la grafica de x2 + y2 = 1 es un cilindro circular recto comOn cuyo eje es ci
La gráfica de 3x2 + 2y2 + 4z2 = 12 es una superficie hamada
en el espacio tridimensionai, éstas generan superficies liamadas
La gráfica de 4z = x2 + 2y2 es una superficie liamada
Conj unto de problemas 14.6 En los problemas 1 -20, indique el nombre y bosqueje la grafica de Cada una de las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional.
1. 4x2 + 36y2 = 144
2. y2 + z2 = 15
3.3x+2z=10
4.z2=3y
5. x2 + y2 - 8x + 4y + 13 = 0 6. 2x2 - 16z2 = 0
Determine la ecuaciOn de ha superficie que se obtiene al gi-
rar la curva z = 2y en tomb del eje z. Determine ha ecuación de la superficie que se obtiene ai girar Ia curva 4x2 + 3y2 = 12 en tomb del eje y. Determine la ecuación de ha superficie que se obtiene ai girar la curva 4x2 - 3y2 12 en torno del eje x. Determine las coordenadas de los focos de ha eiipse dada co-
7. 4x2 + 9y2 + 49z2 = 1764
mo la intersección de z = x2/4 + y2/9 con el plano z = 4.
8. 9x2 - y2 + 9z2 - 9 = 0 9. 4x + 16y2 - 32z = 0
mo Ia intersección de z = x2/4 + y2/9 con x = 4.
10. -x2 + y2 + z2 = 0
12. 6x - 3y =
y = e2
13.x2-z2+y=0 9x + 4z2 -
Determine las coordenadas del foco de la parabola dada co-
14.x2+y2-4z2+4=0 0
9x2 + 25y2 + 9z2 = 225
5x + 8y - 2z = 10
19.z=\/16_x2_y2
18. y = cosx
20.z=Vx2+y2+1
La gráfica de una ecuaciOn en x, y y z es simétrica con respecto del piano xy si a! reemplazar z por -z se obtiene una ecuaciOn equivalente. i,Qué condición conduce a una gráfica que es simétrica con respecto a lo siguiente?
(a) Planoyz (c) Eje x
(b) Ejez (d) Origen
i,Cules de las ecuaciones de los problemas 1-20 tienen una gráfica que es simétrica con respecto de lo siguiente? (a) Piano xy (b) Eje z Si la curva z = x2 se gira en torno del eje z, la superficie resultante tiene la ecuación z = x2 + y2, obtenida como resultado de
reemplazar x por Vx2 + y2. Si y = 2x2 se gira en tomb del eje y, i,cuál es la ecuaciOn de la superficie resultante?
14.7
Coordenadas cilIndricas y esféricas
Calcule ci area de la sección transversal elIptica obtenida de
la superficie x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 a! cortarla con el plano z = h, -c < h < c. Recuerde: El area de la elipse x2/A2 + y2/B2 = 1
esAB. Muestre que el volumen del sóhido acotado por ci paraboloide elIptico x2/a2 + y2/b2 h - z, h > 0, y el piano xy es abh2/2, es decir, el volumen es la mitad del area de la base por la altura. Sugerencia: Use el método de las rebanadas de ha secciOn 6.2. Muestre que la proyecciOn en el piano xz de Ia curva dada x2 + z2 es como la intersecciOn de las superficies y = 4 - x2 y y una elipse, y determine sus diámetros mayor y menor. Bosqueje ci triangulo en ci piano y = x que está arriba del
piano z = y/2, por debajo del plano z = 2y, y dentro del cilindro x2 + y2 = 8. Luego calcule ci area de este triángulo. Muestre que ha espiral r = t cos ti + t sen tj + tk del ejem-
- z2 = 0. En qué superficie está la espiralr = 3tcosti + tsentj + tk? Muestre que ha curva determinada por r = 11 + tj + t2k
plo 3 de la secciOn 14.5 está sobre el cono circular x2 +
es una parabola y determine las coordenadas de su foco.
Respuestas al repaso de conceptos: 1. trazas; secciones transversales 2. cilindros; eje z 3. elipsoide 4. paraboloide elIptico
El simple hecho de proporcionar las coordenadas cartesianas (rectangulares) (x, y, z) es solo una de muchas formas de especificar la posición de un punto en ci espacio tridimensional. Otros dos tipos de coordenadas que juegan un papel importante en ci cálculo son las coordenadas cilIndricas (r, 0, z) y las coordenadas esféricas (p, 0, 4). El significado de los tres tipos de coordenadas se ilustra para ci mismo punto P de la figura 1. El sistema de coordenadas cilIndricas usa las coordenadas polares r y 0 (sección 12.6) en vez de las coordenadas cartesianas x y y en el piano. La coordenada z es la misma que en coordenadas cartesianas. Por lo general, pediremos que r > 0, y restringiremos 0 de modo que 0 0 < 2-.
Un punto P tiene coordenadas esféricas (p, 0, ) si p (rho) es la distancia OP del origen a P, 0 es ci ángulo polar asociado con la proyecciOn P' de P sobre ci
GeometrIa en el espacio, vectores
624 CAPITULO 14
Coordenadas esféricas
Coordenadas cilIndricas
Coordenadas cartesianas z
P(.
z z
y
Figura 1
piano xy y mos que !3
4)
es ci ánguio entre el eje z positivo y el segmdnto de recta OP. Pedire-
pO,
OO<21T,
O4)7T
Y
Coordenadas CilInd ricas Si un sóiido o una superficie tiene un eje de simetrIa, con frecuencia es bueno orientarlo(a) de modo que su eje sea ci eje z, para luego usar coordenadas cilIndricas. En particular, observe la senciilez de la ecuación de un cilindro circular con eje de simetrIa en ci eje z (figura 2) y ia de un piano que contiene al eje z (figura Los cilindros r =
1,
r = 2, r = 3
Figura 2
3). En la figura 3 hemos permitido que r < 0. Las coordenadas cilIndricas y cartesianas están relacionadas med iante las siguientes eduaciones:
CilIndricas a cartesianas x = rcosO y
Cartesianas a cilmndricas r = Vx2 + y2 tanO = y/x
= rsen9
z=z
z=z
Estas reiaciones nos permiten ir y regresar entre los dos sistemas de coordenadas. EJEMPLO
Determine
1
Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas ciiIndricas (4, 2ir/3, 5) y las coordenadas ciiIndricas dci punto con coordenadas cartesianas (-5, 5, 2). Solución
(a)x=4cos 2'nLos pianos 6=0, 6=f, 0 =
y = 4sen
Figura 3
2
=4. i\ =-2 /
=
2
)
2V
z=5 AsI, las coordenadas cartesianas de (4, 2'ir/3, 5) (b)
son (-2, 2\/, 5).
r = V(_5)2 + (_5)2 = tanO
5 = _
z =2 /2 y ir. Como tan 0 = 1, debemos tener 0 = Sii-/4. Las coordenadas cilIndricas de (-5, 5, 2) son entonces (sV, 5ir/4, 2). La figura 4 indica que 0 está entre
Figura 4
EJEMPLO 2 Determine las ecuaciones en coordenadas cilIndricas del paraboioide y ci ciiindro cuyas eduaciones cartesianas son x2 + y2 = 4 - z y x2 + y2 = 2x.
Coordenadas cilIndricas y esféricas
SECCION 14.7
625
So!ución
Paraboloide:
r2 = 4 - z
Cilindro:
r2 = 2r cos 0 o (en forma equivalente)
r
2 cos 0
La divisiOn de una ecuación entre una variable crea La posibilidad de perder una soluciOn. 0. De mane1 y se pierde la solución x Por ejemplo, al dividir x2 = x entre x da x ra analoga, a! dividir r2 2r cos 0 entre r se obtiene r 2 cos 0 y parece perderse La
solución r = 0 (ci origen). Sin embargo, ci origen satisface La eduación r = 2 cos 0 con coordenadas (0, ir/2). AsI, r2 = 2r cos 0 y r = 2 cos 0 tiene gráficas polares idénticas (véase CUIDADO en el margen de la sección 12.6).
EJEMPLO 3 Determine las eduaciones cartesianas de las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas cilIndricas son r2 + 4z2 16 y r2 cos 29 = z.
Solución
Como r2 = x2 + y2, La superficie r2 + 4z2 16 tiene La ecuación cartesia-
na x2 + y2 + 4z2 = 16 o x2/16 + y2/16 + z2/4 1. Su gráfica es un elipsoide. cos2 0 - sen2 0, la segunda ecuación se puede escribir como Como cos 29 r2cos2 0 - r2sen2 0 z. En coordenadas cartesianas se convierte en x2 ya gráfica es un paraboloide hiperbólico. y
Figura 5 1z
\\ /ø=ø
= z, cu-
Coordenadas esféricas
Cuando un sólido o una superficie es simétrica con respecto a un punto, es muy probable que Las coordenadas esféricas jueguen un papel de simplificaciOn. En particular, una esfera con centro en el origen (figura 5) tiene La sencilla ecuación p = Po Además, observe que la ecuación de un cono con eje a lo largo del eje z y vértice en ci origen (figura 6) es 4 = Es fácil determinar las relaciones entre coordenadas esféricas y cilIndricas y entre las coordenadas esféricas y cartesianas. La siguiente tabla muestra estas relaciones.
Esféricas a cartesianas
Cartesianas a esféricas
x = psencos0
p = Vx2 + y2 + z2
y = p sen 4i sen 0
tan 0 = y/x
z = pcos4
cos4=
z -
Vx2 + y2 + z2
Determine las coordenadas cartesianas del punto P con coordenadas esféricas (8, ir/3, 2'ir/3). EJEMPLO 4
Solución
Figura 6
En la figura 7 hemos ubicado a! punto P.
x=8sen
2
y=8sen
2
z
8cos
r
cos--=8 sen--=8 =
2 2
2
:6
8(_) 4
AsI, P tiene coordenadas cartesianas (2\/, 6, 4). EJEMPLO 5
Describa La gráfica de p = 2 cos 5.
Solución Cambiaremos a coordenadas cartesianas. Multiplicamos ambos lados por p para obtener Figura 7
p2
2pcos
x2 + y2 + z2 = 2z
x2 + y2 + (z - 1)2 = 1
626 CAPiTULO 14
GeometrIa en el espaclo, vectores
La gráfica de una esfera de radio 1 con centro en el pinto con coordenadas cartesianas
(0,0,1). EJEMPLO 6
Determine la ecuaciOn del paraboloide z = x2 + y2 en coordenadas es-
féricas.
Solución
Al sustituir las expresiones para x, y y z obtenemos p cos 4) = p2 sen2 4) cos2 9 + p2 sen2 4) sen2 0
pcos4) = p2sen24)(cos2o + sen20) pcos4) = p2sen24) psen24)
cos4)
p = cos4)csc24) Observe que 4) = -/2 produce p = 0, lo que muestra que no perdimos al origen al cancelar p en el cuarto paso.
Coordenadas esféricas en geog raf ía Los geografos y navegantes usan un sistema de coordenadas intimamente relacionado con las coordenadas esféricas, el siste-
Meridiano de Greenwich :1
Paris
/
Calcuta
N
ma de latitud y longitud. Suponga que la Tierra es una esfera con centro en el origen, que el eje z positivo pasa por el Polo Norte y que el eje x positivo pasa por el meridiano de Greenwich (figura 8). Por convención, las longitudes se especifican en grados al este o al oeste del meridiano de Greenwich, y las latitudes en grados al norte o al sur del Ecuador. Es muy sencillo determinar las coordenadas esféricas a partir de estos datos. EJEMPLO 7
Suponiendo que la Tierra es una esfera de radio igual a 3960 millas, determine la distancia (siguiendo un cIrculo máximo) de Paris (longitud 2.2° E, latitud 48.4° N) a Calcuta (longitud 88.2° E, latitud 22.3° N).
Solución
/
Ecuador
Primero calculamos los ángulos esféricos 9 y
6 = 2.2°
Paris:
Figura 8
4)
4)
para las dos ciudades:
0.0384 radian
= 90° - 48.4° = 41.6°
0 = 88.2°
Calcuta:
4)
0.7261 radian
1.5394 radianes
= 90° - 22.3° = 67.7°
1.1816 radianes
Usando estos datos y p 3960 millas, determinamos las coordenadas cartesianas, como se muestra en el ejemplo 4. Paris:
P1(2627.2, 100.9, 2961.3)
Calcuta:
P2(115.1, 3662.0, 1502.6)
A continuación, en relación con la figura 9, determinamos y, el ángulo entre OP y
cosy= çaicta
Parfs_-----P1%\
/P
op1 op2
(2627.2)(115.1) + (100.9)(3662) + (2961.3)(1502.6) (3960)(3960)
0.3266
_----Y---1
Asi, y Figura 9
OF1 . oF2
1.2381 radianes y la distancia d con un circulo máximo es
d = py
(3960)(1.2381)
4903 millas
U
Coordenadas cilIndricas y esféricas
SECCION 14.7
627
Repaso de conceptos En coordenadas cilIndricas, La gráfica de r = 6 es un(a) en coordenadas esféricas, La grafica de p = 6 es un(a)
La ecuaciOn
es un(a) En coordenadas cilIndricas, Ia gráfica de 0 = en coordenadas esféricas, Ia grafica de 4) = ir/6 es un(a)
vierte en la ecuación gulares.
relaciona p con r y z.
La ecuación p2 = 4p cos 4) en coordenadas esféricas se con-
al escribirla en coordenadas rectan-
Conj unto de problemas 14.7 Haga una tabla como la que está justo antes del ejemplo 4, proporcionando Las relaciones entre las coordenadas cilIndricas y esféricas. Cambie Lo siguiente de coordenadas ciLIndricas a esféricas.
(b) (-2, /4, 2)
(a) (1, ir/2, 1)
Cambie lo siguiente de coordenadas cilIndricas a cartesianas (rectangulares).
(b) (4, 4/3, -8)
(a) (6, ir/6, -2)
Cambie Lo siguiente de coordenadas cartesianas a esféricas.
(b) (-, 2,2) (b) (4\/,-4,6)
En los pro blemas 7-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuaciOn cilIndrica o esferica dada.
7. r
8. p =
= 5
11.
= 3cos4)
15. r + z2
= 9
4
En los pro blemas 1 7-30, haga el cambio pedido en Ia ecuación dada. x2
+
y2
-
2
= 9 a coordenadas cilIndricas
25 a coordenadas cilIndricas
x2
+ y2 + 4z2 = 10 a coordenadas cilIndricas
x2
+ y2 + 4z2
-
-
ii 34. Determine la distancia mediante cIrculos máximos entre Nueva York (longitud 74° 0, latitud 40.4° N) y Greenwich (Longitud Determine La distancia mediante circulos máximos entre St. Paul (longitud 93.1° 0, Latitud 45° N) y Turin, Italia (Longitud 7.4° E, latitud 45° N).
,Cuá1 es la distancia a to Largo del paralelo a 45° entre St. Paul y Turin? Véase el probtema 35.
d =
{(Pi -
P2)2 +
2p1p2[1 - cos(01 - 02)sen4)1 sen4)2
- cos 4) cos 4)21}
1/2
Sean (a, 01, 4)) y (a, 02,4)2) dos puntos sobre la esfera p = a. Muestre (usando ci problema 38) que La distancia mediante un cIrculo máximo entre este puntos es ay, donde 0 y y
cosy = cos(01 - 02)sen4)1sen4)2 + cos4)1cos4)2
10 a coordenadas esféricas
2x2 + 2y2 - 4z2 = 0 a coordenadas esféricas x2
33. Determine la distancia mediante cIrcuLos máximos entre St. Paul (longitud 93.1° 0, latitud 45° N) y Oslo (longitud 10.5° 0, Latitud 59.6° N). Véase el ejemplo 7.
Sean (P1 0 4)i) y (P2' 02, 4)2) las coordenadas esféricas de dos puntos y sea d La distancia en linea recta entre ellos. Muestre que
14. p = sec4) 16. r2cos2O + z2 =
La parabola 2x2 - z2 = 2 se gira en tomb del eje z. Escriba la ecuación de La superficie resultante en coordenadas cilIndricas.
CI 37. ,Qué tanto se acerca al Polo Norte La ruta del circulo máximo de St. Paul a Turin? Véase el problema 35.
12. r = 2sen2O
r = 3cos0
13. p
5
10. 0 =
9. 4) =
La parabola z = 2x2 se gira en tomb del eje z. Escriba La ecuación de la superficie resultante en coordenadas cilindricas.
0°, Latitud 51.3° N).
Cambie lo siguiente de coordenadas cartesianas a ciLIndricas.
(a) (2,2,3)
p sen 4) = 1 a coordenadas cartesianas
id
Cambie lo siguiente de coordenadas esféricas a cartesianas. (b) (4, ir/3, 31T/4) (a) (8, /4, r/6)
(a) (2,-2,4)
r2 cos 20 = z a coordenadas cartesianas
= 1 a coordenadas esféricas
r2 + 2z2 = 4 a coordenadas esféricas p = 2 cos 4) a coordenadas cilIndricas
x + y = 4 a coordenadas cilindricas
x + y + z = 1 a coordenadas esféricas x2 + y2 = 9 a coordenadas esféricas
r = 2 sen 0 a coordenadas cartesianas
Como tal vez haya imaginado, hay una formula sencilla para expresar La distancia mediante cIrculos máximos directamente, en términos de la longitud y La latitud. Sean (a1 ,Pi) y (a2, 132) Las coordenadas de longitud y Latitud de dos puntos sobre La superficie de La Tierra, donde interpretamos N y E como positivos y S y 0 como negativos. Muestre que La distancia mediante un circulo maximo entre ir y estos puntos es 396Oy millas, donde 0 y
cosy = cos(a1 - a2)cospicosf32 + sen/31senf32 CI 41. Use el probLema 40 para determinar La distancia mediante un cIrculo máximo entre cada pareja de iugares. (a) Nueva York y Greenwich (véase ci probtema 34)
628 CAPiTuL0 14
GeometrIa en el espacio, vectores
St. Paul y Turin (véase el problema 35)
42. Es facil ver que la gráfica de p = 2a cos 4 es una esfera de radio a situada sobre el plano xy en el origen. Qué es la gráfica de
Turin y el Polo Sur (use a = a2)
p =
2asen?
Nueva York y Ciudad del Cabo 18.4° E, 33.9° 5)
Dos puntos sobre el ecuador, con longitudes 1000 E y 80° 0, respectivamente
Respuestas al repaso de conceptos:
1. cilindro circular; esfera
2. plano; cono 3. p2 = r2 + z2 4. x2 + y2 + (z - 2)2 = 4
14.8 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de Las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta. Cada punto del espacio tridimensional tiene un Unico conjunto de coordenadas cartesianas.
La ecuaciOn x2 + y2 + z2 - 4x + 9 = 0 representa una esfera. La ecuación lineal Ax + By + Cz = D representa un piano en el espacio tridimensional, siempre que A, B y C no sean todos iguales a cero.
En el espacio tridimensional, Ia ecuación Ax + By = C representa una recta.
Los pianos 3x - 2y + 4z = 12 y 3x - 2y + 4z = -12 son paralelos y están a 24 unidades de distancia.
El vector (1, -2,3) es paralelo al plano 2x - 4y + 6z = La recta x = 2t - 1, y = 4t + 2, to (0, 4, -2).
z
5.
6t - S pasa por el pun-
Si u = ai + bj + ck es un vector unitario, entonces a, b y c son los cosenos directores de u.
Para cualquier vector u,
Para cualquier vector u, u
u = u
Si v es perpendicular a a, entonces la trayectoria del movimiento debe ser un cIrculo. Las Onicas curvas con curvatura constante son las lineas rectas y los circulos.
Las curvas dadas por r1(t) = senti + costj + t3k y r2(t) sen t3 i + cos t3j + t9 k para 0 t 1 son idénticas. Los movimientos a lo largo de las curvas dadas por r1(t) = sen ti + cos tj + t3k y r2(t) = sen t3i + cos t3j + t9k para 0 t 1 son idénticos.
La longitud de una curva dada es independiente de Ia parametrización utilizada para describir la curva.
Si una curva está sobre un plano, entonces el vector binormal B debe ser constante.
Si r(t) = constante, entonces r'(t) =
0.
La curva dada como la intersecciOn de la esfera x2 + y2 + z2 =
=
1
y el piano ax + by + cz = 0 tiene curvatura constante 1.
x u. 0.
El producto cruz de dos vectores unitarios es un vector unitario. Al multiplicar cada componente de un vector v por el escalar a se multiplica Ia longitud de v par a.
Para cualesquiera vectores no nulos y no perpendiculares a y v
con ángulo 0 entre ellos, a x v/(u . v) = tan 0.
0 y u x v = 0, entonces a o v es 0.
El volumen del paralelepIpedo determinado por 21, 2j y j x I es 4.
Para todos los vectores u, v, y w,
a x (v X w)
Si v es perpendicular a a, entonces Ia rapidez de movimiento a lo largo de Ia curva debe ser constante.
u.
Si u es un mOltiplo escalar de v, entonces u x v
=
T, N, y B dependen solo de la forma de la curva y no de la rapidez del movimiento a lo largo de Ia misma.
=
Para cualesquiera vectores u y v, ii x v =
Si u v
Si la velocidad del movimiento a lo largo de la curva tiene magnitud constante, entonces no puede haber aceleraciOn.
= (a x v) >< w
Si a1 i + a2j + a3k es un vector en el plano b1 x + b2y + b3z = 0, entoncesa1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.
Cualquier recta se puede representar mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas. Cuando K(t) = 0 para toda t, la trayectoria es una linea recta. Una elipse tiene su curvatura maxima en los puntos del eje mayor.
La curvatura depende de la forma de la curva y de Ia rapidez con que uno se mueve a lo largo de Ia curva.
La gráfica de la ecuación z = p es el eje z (en este caso, p es una coordenada esférica).
La grafica de y = x2 en el espacio tridimensional es un paraboloide. 0
Si restringimos p, 0 y de modo que p 0 < 2ii-, y 0, 0 ir, entonces cada punto del espacio tridimensional tiene
un Onico conj unto de coordenadas esféricas.
Problemas de examen muestra Determine la ecuación de la esfera con (-2, 3, 3) y (4, 1,5) coma extremos de un diámetro.
Determine el centro y el radio de la esfera con ecuación x2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 8z = 0. Bosqueje los dos vectores de posición a = 2i - j + 2k y
b = Si +
j-
3k. Luego encuentre lo siguiente: sus longitudes sus cosenos directores el vector unitario con la misma dirección que a el ángulo 0 entre a y b
Sección 14.8
4. Seana = 2i j + k,b = i + 3j + 2k,yc = 1 + 2j - k.Determine lo siguiente:
etsenti + etcostj + etk,
5. Determine todos los vectores perpendicutares a los dos vectores 6. Determine los vectores unitarios perpendiculares al piano deter-
minado por los tres puntos (3, 6,4), (2, 1, 1) y (5,0, 2). 7. Escriba la ecuación del piano que pasa por el punto (-5,7, 2) y que satisfaga cada condición. Paralelo al piano xz Perpendicular al eje x Paralelo a los ejes x y y
Determine v(t),a(t),yK(t) ent = 1n2. Si r(t) = Ii + 12j + t3k es ei vector de posiciOn de una partIcuia en movimiento en ei instante t, determine ios componentes tangen1. cial y normal aT y aN, del vector aceieración en t Para cada ecuación en los problemas 22-30, indique el nombre y bosqueje la grafica en el espacio tridimensional.
+z
x2 + y2 = 81
7
8. Un piano que pasa por (2, 4, 5) es perpendicular a Ia recta que une los puntos (-1,5, 7) y (4, 1, 1). Escriba una ecuación vectorial para el piano. Determine una ecuación cartesiana para el piano. Bosqueje ei piano dibujando sus trazas.
9. Determine el valor de C tal que el piano x + Sy + Cz + 6
23. x2 + y2 + z2
81
24. z2 =
25. x2 + z2 =
26.3y-6zl2O
27.3x+3y-6z-12=O
28. x2 + y2 - z2 - 1 = 0 29. 3x2 + 4y2 + 9z2 - 36 = 0 0
sea perpendicular a! piano 4x - y + z - 17 = 0. 10. Determine una ecuación cartesiana para ei piano que pasa por
los tres puntos (2, 3, 1), (-1, 5,2) y (-4, 2,2). 11. Determine ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por
(-2,1,5) y (6,2,-3). 12. Determine los puntos donde la recta de intersecciOn de los pia-
nos x - 2y + 4z - 14 = 0 y x + 2y - 5z + 30 = 0 corta a los pianos yz y xz.
13. Escriba Ia ecuación de la recta del problema 12 en forma paramétrica.
30. 3x2 + 4y2 + 9z2 + 36 = 0 Escriba las siguientes ecuaciones cartesianas por medio de coordenadas cilIndricas.
(a) x2 + y2 = 9 (c) x2 + y2 = 9z
(b) x2 + 4y2 = 16 (d) x2 + y2 + 4z2 = 10
Determine ia ecuación cartesiana correspondiente a cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas ciiIndricas.
(a) r2 + z2 = 9 (c) r2cos2O + z2 = 1
(b) r2 cos2 o + z2 = 4
Escriba ias siguientes ecuaciones por medio de coordenadas
14. Determine ecuaciones simétricas para la recta que pasa por (4, 5, 8) y es perpendicular al piano 3x + 5y + 2z = 30. Bosqueje el piano y la recta. 15. Escriba una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, 2, 1)
y(-3,2,4). 16. Bosqueje la curva cuya ecuación vectorial es r(t) = ti + t2j +
t3k,-2
t
r(t) = e'i + ej + 21k
31 + 3j - kyi - 2j + 4k.
Paraielo al piano 3x -
1
Suponga que un objeto se mueve de modo que su vector de p0sición en el instante I es
(d) ax (b xc)
(c) a(b Xc)
Calcule la longitud de ia curva
r(t)
(b)ax(b+c)
(a)axb
RevisiOn del capItulo 629
t
3.
17. Determine las ecuaciones simétricas para la recta tangente a Ia curva del probiema 16 en el punto donde t = 2. Además, determine la ecuaciOn del piano normal en este punto.
18. Determine r'(r/2), T(n-/2), y r"(ir/2) si
r(t) = (tcost,tsent,2t)
esféricas.
(a) x2 + y2 + z2 = 4 (c) x2 - y2 - = 1
(b) 2x2 + 2y2 - 2z2 = 0 (d) x2 + y2 = z
Determine ia distancia (en iInea recta) entre los puntos cuyas coordenadas esféricas son (8, ir/4, /6) y (4, r/3, 3/4).
Determine la distancia entre los pianos paraieios 2x 3y +
= 4y2x - 3y +
= 9.
Determine el anguio agudo entre los pianos 2x - 4y + z = 7 y
3x + 2y - 5z = 9. Muestre que si la rapidez de una partIcula en movimiento es constante, entonces sus vectores de veiocidad y aceieraciOn son ortogonales.
•
-
PRO Y E e T O oDE E TTECNOLOGIA E e N O L O G I A 14.1 1 4 . 1 PROYEC.TO
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•
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Curvas en Curvas enel& espacio espaclotridimensional tridimensonaI 1. Preparación Preparación I. Ejercicio11 La representaciOn representación paraméparameEjerckio una esfera esfera con con radio aa trica canónica de una y su interior es (1)
x = rcosOsençb x=rcosOsene/>
y = rsen0sen4) r sen Osen e/>
con O0 ::s con st
=:; 7Tr y Yn = 0,1,2... 0,1,2 .. controlancontrolan-
el némero número de de vueltas vueltas (u (u órbitas) órbitas) de de do ci nuestra curva en en el el espacio. espacio. Ejercicio 22 Use su su sistema de algebra álgebra Ejercicio por computadora computadora para para generar generarIala gráfigráfica paramétrica en tres dimensiones para para n= 0,1,2 y3. O,l,2y3. =
zz = rrcos4) cose/> O e/> ::s 7T, Y 0 =:; r =:; a, O 0 =:; 4) y S ir, Verifique que que(x, (x, y, z) defi2r. Verifique 0O ::s O 0 =:; 27T. nido de esta forma está sobre o dentro la esfera sOiida sólida con centro de Ia con radio r y centro (0,0, O). en (0,0,0).
con
11. Uso de Ia la tecnología II. Uso tecnologIa Para obtener una curva curva especial de las ecuaciones en (1), primero hacemos hacemos ecuaciones en (1), primero r = 11 para obtener la la representación representación paramétrica de de la la superficie de la Ia esfera unitaria. Luego, Luego, para para obtener obtener una representación paramétrica de una curva curva sola superficie superficie de Ia la esfera unitaria, bre Ia términos de de Un un 9 en términos especificamos e/> 4) y (J único común t. Para una curünico parámetro parámetro comUn va la va que que comienza comienza en en el el Polo Polo Norte de Ia esfera, que que gira gira en en torno tomb de la esfera n esfera, terminaen encielPolo PoloSur, Sur,hahaveces y luego termina = t Ydamos y damosaatteirango cemos el rango [O,ir]. [O, 7T ]. cemos e/>b = Esto nos ileva lleva del Polo Norte a! al Polo Polo Sur. Para obtener las n vueltas vueltas en en torno tomb 2nt. así, asI.tenetenede la esfera, hacemosU() == 2nt. esfera, hacemos mos la la siguiente siguiente representación representación paramétrica de nuestras curvas que giran en Ia la esfera:
(2)
x = (cos2nt)(sent) y = (sen2nt)(sent) cos t zz = = cost
630
Ejercicio 3 Verifique (algebraicamenpara cada cada valor valor de de nn 2= 1, la curte) que para va especificada especificada en sobre la la va en (2) (2) está sobre la esfera unitaria. superficie de Ia Ejercicio 4 Use su sistema de algebra álgebra computadora para para graficar graficar la la curva curva por computadora paramétrica como como dada en forma paramétrica
(3)
x = (cos2nt)(sent)
y= = (sen2nt)(sent)
Longitud de Longitud de arco arco
n 33 44
12.6116 16.4951 16.4951 20.4185 24.364 28.3231 32.2911
5 66
7 88
Ejercicio 55 Verifique estos cáicuios cálculos con su sistema de algebra álgebra por por compucomputadora y continue continúe hasta n = 12. Ejerciclo silas Ejercicio 66 Parece como si las longitude las las curvas curvas que que giran giran sosodes de arco de bre Ia la esfera tendieran tendieran aa 4n, 4n, donde donde nn es es el nilmero número de vueltas. vueltas. Estudie esta esta conconci jetura jeturapara para,zn mayor mayoryyyea vea sisi es es válida. válida. Ejercicio 7 Repita Repita los los ejercicios ejercicios 55 yy 6 para para las las curvas definidas por por las ecuaciones(3). nes (3).
z == 33cost cost I-. Verifique que O que estas estasecuacioecuacioo ::s t ::s 7T. nes paramétricas corresponden corresponden aa curvas que giran que giran en en tomb torno del del elipsoide 2+ + y2 xx2 T + z2/9 z2/9 = 1.
Ahora trataremos Ahora trataremosde decalcular calcularlas laslonlongitudes de arco arco de algunas aigunas curvas. Como es el ci caso típico tIpico de las integrales integrates de ionlongitud de arco, no podemos obtener la gitud la respuesta exacta. Por ejemplo, el integrando para la longitud de arco de de las las ecuación (2) es es curvas dadas curvas dadas en en la ecuación \.!l + 2n2 2n 2 -- 2n2 2n 2cos cos 2t 2t. que que parece parece relativamente relativamente sencillo. sencillo, pero no puede puede inintegrarse con exactitud. Al usar ci Al el integrador integrador numérico numérico de Mathematica obtenemos los los siguientes siguientes valores para ia la longitud de arco.
III. Reflexión 111. Reflexión formula obtenida para Ejercicio 8 La fórmula era el integrando de los los ejercicios 5 y 66 era
v'1 ++ 2n2 2n2 -- 2n2 2n2cos cos21 2t que podemos escribir como V'l
+ 2n2(1 - cos2t)
Use ci el hecho de que 11 es es despreciabie despreciable comparado con n2. n2 , para n, grande, para expiicar ci resultado numérico del explicar el del ejerejercicio 6. Sugerencia: Después Despues de de eliminar eli, el 1,
use una una identidad trigonométrica para use obtener obtener aigo algo que pueda integrar integrar en foranalltica. ma analítica.
y E e T o oDE E TECNOLOG1A T E e N o L o G í A 114.2 4 . 2 PROYECTO
" J~,~]~~?~
PRO
,:1!:"i (.
!.ii.¿;¡
4. •• '"
.~!..1:: \~
La rueda de la Ia fortuna fortuna yy Ia La rueda la montana montañarusa rusa en en espiral espiral Los modernos parques parques de diversiones tienen juegos antiguos como Ia la rueda de Ia la fortuna yy nuevos nuevos como como Ia la montafla montaña rusa en espiral. En este proyecto, proyecto, usted estudiará algunas de las propiedades propiedades fisicas físicas de tales juegos.
z
1. Preparación Ejercicio 11 Comenzaremos con Ia la rueEjercicio da de Ia la fortuna. Dé cantidades razonaradio r yy Ia la velocidad angular bles para el radio aw (en (en radianes/segundo) radianes/segundo) para una rueda rueda de la Ia fortuna. Escriba las ecuaciones ecuaciones paraparamétricas para función de posición de para La la función un vagón sobre Ia la rueda, suponiendo que la rueda de Ia la fortuna es (1) el ci centro de Ia el origen, (2) (2) la Ia rueda está en su punto punto más bajo hajo en en el el instante instantert ==0,O,yY(3) (3) eI el moel sentido de las manecillas vimiento es en ei del reloj (véase (véase Ia la figura figura 1). 1). i.Cuái ¿Cuál es el vector velocidad? velocidad? ¿Y jY el el vector vector aceleraaceleracion? ,Y Ia ción? ¿Y la rapidez? n su p iIor
I'
a = <0, ra
fJ
-mg g
a = <0. rw
Figura 11
continuación,considere considere Ejercicio 2 AAcontinuación, Ia montana rusa en espiral. Suponga que Ia la montaña la realizada por un asiento de trayectoria realizada la montaña hélice a lo lo largo Ia montana rusa es una hélice del eje x. Dé Dé cantidades razonables para el radio r, r,la ci la distancia d entre los puntos máximos rnáximos consecutivos y la velocidad veiocidad an2). Escriba las las gular w (véase la figura 2). para Ia la función ecuaciones paramétricas para de posición de un asiento de Ia la montafla montaña velocidad? ¿Y ,Y ci rusa. ¿,Cuál Cuál es ci el vector velocidad? el vector aceleración?
11. Uso Uso de de la Ia tecnología tecnologIa Considere primero nuestra rueda de la Considere fortuna del ejercicio ejercicio 1. 1. Siempre hay dos actúan sobre usted fuerzas verticales que actüan al sentarse en un asiento de ia la rueda rueda de de Ia la fortuna:
y
x Figura 2
1. Ia la fuerza hacia arriba n que ci el asiento ejerce sobre usted, evitando evitando que que caiga 2. la fuerza fuerzadebida debidaaalalagravedad, gravedad,-mg. mg.
La segunda Ley del movimiento de de Newton, FF == ma, ma,dice diceque que Ia la suma suma de estas dos fuerzas fuerzas debe igualar a su su masa masa m m por por la aceleración Así, accleración a. AsI,
(1)
(-mg) ==ma ma n + (mg)
Cuando usted se encuentra en Ia la parencuentra en te superior de La la rueda rueda de de la Ia fortuna, fortuna, el ci 2 componente y de ; de la Iaaceleración aceleraciónes es-rw rw2; es negativo debido a que Ia la aceleración siempre está dirigida hacia el centro del círculo, cIrculo,yycuando cuando usted usted está está en en la Ia parte superior de Ia la rueda, rueda. el el centro está aba30, queconsideramos consideramos como como dirección jo, loloque negativa. De Dc manera manera similar, similar. Ia la fuerza debida debida aa Ia la gravedad gravedades esnegativa. negativa.AsI, Así, al aplicar (1),
nsup + (--mg) (-mg) = m(rw2) m( -r~)
Al despejar nninf obtenemos
fljf ninf = m(g m(g ++rw2) rw2 ) Ejercicio 3 Calcule nsup y Yn ninf para su de Ia la fortuna. fortuna. j,Necesita ¿Necesita un un cintucinturueda de ron el juego? Explique. rón de seguridad para para ci
Ejercicio 4 Determine el componenEjercicio componenfuerzannejercida ejercida por por el asienla fuerza te y de La to en cada posición de la Ia rueda rueda de Ia to posición de la fortuna. Grafique esta fuerza como funGrafique esta fuerza como ción del tiempo t.t. Ejercicio 5 ¿Hasta debería ,Hasta qué valor deherla incrementar la velocidad incrementar La velocidad angular angular w para para que nsup = = 0? O? cQué ¿Qué ocurre ocurre sisi se se increincrementa atin aún más Ia la velocidad angular? Ejercicio los cálculos cálculos de deLas las Ejerciclo 6 Repita Repita los fuerzas descritos anteriormente para su montana ,Necesita un montaña rusa en espiral. ¿Necesita un cinturón de seguridad para su montaña? montana? Explique.
Al despejar n sup obtenemos n sup
m(g -- rw2) rw2 ) = m(g
Cuando usted se se encuentra encuentraen enIalaparparCuando usted te inferior de Ia la rueda de Ia la fortuna, el componente yy de delalaaceleraciOn aceleraciónes esrw2. rw2 • componente La La fuerza fuerza debida a Ia la gravedad gravedad sigue sigue siendo -mg. Aplicamos(1) (1) de de nuevo nuevo siendo mg. Aplicamos para obtener
- mg mg ==m(rw2) m(rw2 )
III. Reflexión 111. Ejercicio Envista vistade desus sus cálculos cálculos en Ejercicio 77 En los ejercicios Los ejercicios 4 y 6, ¿fueron fueron razonables la rueda sus elecciones para r y w w (para Ia la fortuna) yy r,r, w y dd (para Ia la montade Ia na ña rusa)? Explique. Explique.
n ninf
631
en Turin, Lagrange pro-
viene de ancestros italianos y
Nacido franceses. Su padre era rico, Joseph-Louis Lagrange
pero despilfarrO toda su fortuna. En su
1736-1 813
esto fue un desastre afortunado, pues-
vida posterior, Lagrange proclamO que
to que "si yo hubiera heredado una
fortuna, probablemente no hubiera probado mi suerte con las matemáticas".
.yhoyendia
Vuelto hacia las matemáticas por
Los mapas de contorno (estudiados en este capItulo) incluyen los mapas de temperatura que encontramos en muchos periOdicos y los mapas de elevaciOn de un terreno utilizados por los arquitectos. La foto que ilustra esta página, de un eclipse de sol en 1980, es un mapa
tenia 52 años. Este libro, notable por
de contorno con cOdigos de cob-
su completa escasez de diagramas, uni-
res que muestra Ia brillantes del campo magnético del sol.
ficO Ia mecánica, convirtiéndola en lo
Ia lectura de un ensayo sobre el cálcu-
lo, con rapidez dominO esta ciencia. A Ia edad de 19 años, quizá, comenzO su
obra maxima, Mécanique analytique, aunque no Ia publicO hasta cuando
que Hamilton IlamO "un poema cientI-
fico". Cuando Lagrange enviO a Euler algunos de sus descubri-
mientos, el famoso matemático reconociO de inmediato Ia brillantez del joven y pospuso Ia publicaciOn de algunos de sus
propios trabajos para que Lagrange pudiera publicar primero (un raro ejempbo de generosidad académica).
La carrera de Lagrange fue ilustre, incluyendo 20 años como matemático de Ia corte de Federico el Grande en Berlin y, más tarde, el primer profesor en Ia Ecole Normale de Paris.
En Ia época de Ia revoluciOn, fue favorito de Maria Antonieta y después de NapoleOn. En ParIs, ayudO a perfeccionar el sistema
métrico de pesas y medidas. Fueron muchas sus contribuciones a las matemáticas e in-
cluyen el método de multiplicadores de Lagrange que se estudian en ese capItulo.
CAP
TU L0
en el espacio
de dimensiOn n 15.1
15.2 15.3
15.4 1 5.5
15.6 1 5.7
15.8 15.9
Funciones de dos o más variables Derivadas parciales Limites y continuidad
Diferenciabilidad Derivadas direccionales y gradientes La regla de Ia cadena PIanos tangentes, aproximaciones Máximos y minimos
Método de Lagrange 15.10 Revision del capItulo Proyecto de tecnologIa 15.1 Proyecto de tecnologIa 1 5.2
15.1
Método de Newton para dos ecuaciones con dos incOgnitas VisualizadOn de Ia derivada direccional
Hasta ahora hemos enfatizado dos tipos de funciones. El primero, ejemplificado por
Funciones de dos f(x)
o más variables
= x2, asocia a! nUmero real x otro nürnero real f(x). La ilamamos una funciOn real de una variable real. El segundo tipo de función, ilustrado por f(x) = (x3, ex), asocia a! nümero real x un vector f(x). La ilamamos una función vectorial de una variable real. Ahora nos fijaremos en una función real de dos variables reales, es decir, una función f (figura 1) que asigna a cada pareja ordenada (x, y) en aig(in conjunto D del plano un (ünico) nümero real f(x, y). Dos ejemplos son:
f(x, y) = x2 + 3y2 g(x, y) =
2x\/
Observe quef(-1, 4) = (_1)2 + 3(4)2 = 49 y g(-1, 4) Dominio
Figura 1
Rango
4.
2(-1)V = El conjunto D es el dominio de la función. Si éste no se especifica, consideramos a D como el dominio natural, es decir, el conjunto de todos los puntos (x, y) en el piano para los que la regla de la función tiene sentido y proporciona un valor numérico real. Para f(x, y) = x2 + 3y2, el dorninio natural es todo el plano; para g(x, y) = 2x\/i, es {(x, y): XE l, y o}. El rango de una funciOn es su conjunto de valores. Si z = f(x, y), decimos que X y y son las variables independientes y z es la varia-
ble dependiente. Todo to que hemos dicho se extiende de manera natural a funciones reales de tres variables reales (o incluso de n variables reales). Nos sentiremos con Ia libertad de usar tales funciones sin mayores comentarios.
634 CAPiTULO 15
La derivada en el espaclo de dimension n EJEM PLO 1
En el piano xy, bosqueje el dominio natural de
f(x,y)
=
2
+ (y -
1)2
Solución Para que esta regla tenga sentido, debemos excluir a {(x, y): y < x2} y at pinto (0, 1). El dominio resultante se muestra en la figura 2. x
Gráficas Por Ia gráfica de una función f de dos variables entendemos La gráfica de Ia ecuación z = f(x, y). Esta gráfica será por lo general una superficie (figura 3) y, co-
Figura 2
mo a cada (x, y) del dominio le corresponde Unicamente un valor z, cada recta perpendicular al plano xy corta a la superficie en a lo más un punto.
:=/(x, y)
EJEMPLO 2
Bosqueje La gráfica de f(x, y) =
\/36 - 9x2 - 4y2.
Solución Sea z = V'36 - 9x2 - 4y2 y observe que z do ambos lados y simplificamos, obtenemos La ecuación
9x2+4y2+9z2=36
Y
Dominio
Figura 3
0. Si eievamos aL cuadra-
que reconocemos como la ecuación de un eiipsoide (véase la sección 14.6). La gráfica de la funciOn dada es La mitad superior de este elipsoide; aparece en la figura 4. EJEMPLO 3
Bosqueje La gráfica de z = f(x, y) = y2 - x2.
Solución
\36
9
La gráfica es un paraboloide hiperbólico (véase la sección 14.6) y ésta aparece en La figura 5.
4v
Gráficas por computadora Varios paquetes de software, incluyendo Maple y Mathematica, pueden producir complicadas gráficas tridimensionales con faciiidad. En las figuras 6 a 9 le mostramos cuatro de tales gráficas. Para mejorar La presentación visual, podemos mostrar estas gráficas con varias orientaciones. Con frecuencia, como en estos cuatro ejemptos, optamos por mostrar La gráfica con el eje y apuntando hacia el observador, en vez de mantenerlo en el plano del papei. Además, con frecuencia mostramos los ejes en un marco en torno del exterior de la gráfica, en vez de su posición usuaL, que podrIa interferir con nuestra vista de la gráfica.
Figura 4
44 z = y2 -
Figura 5
z=
z = -4x3y2
Figura 6
Figura 7
-
- +y2
SECCION
z = xy
exp(x2
=.
z = e4" cos/v?y
Figura 9
Curvas de nivel cion z = f(x, y) de
v)
Funciones de dos o más variables 635
2)
Figura 8
Superfcie
15.1
Bosquejar la superficie correspondiente a la gráfica de una fun-
es con frecuencia una tarea difIcii. Los fabricantes de mapas nos proporcionan otra forma, por lo general más sencilla, de dibujar una superficie, el mapa de contornos. Cada piano horizontal z = c corta a la superficie en una curva. La proyección de esta curva sobre el piano xy es una curva de nivel (figura 10) y una colecciOn de tales curvas es una grálIca de contorno o mapa de contorno. En la figura 11 mostrarnos un mapa de contorno para una superficie con forma de coiina. Con frecuencia mostraremos los contornos sobre la propia gráfica tridimensional, como en el diagrama superior de la figura 11. Al hacer esto, por lo generai haremos que el eje y se aleje del observador y el eje x vaya a la derecha. Esto nos ayudará a ver ia reiación entre la gráfica tridimensional y la gráfica de contorno. EJEMPLO 4
dos variables
Trace los mapas de contorno para las superficies correspondientes a z =
- x2 (véanse los ejemplos 2y 3, y las figuras 4y 5). \/36 - 9x2 - 4y2 correspondientes a z 0, Solución Las curvas de nivel de z 1, 1.5, 1.75, 2 aparecen en la figura 12; todas son elipses. De manera amlioga, en la figu- x2 para z = 5, 4, 3, ..., 2, 3, 4. ra 13, mostramos las curvas de nivel de z =
Figura 10
\/36 - 9x2 - 4y2 y z =
Estas curvas son hipérbolas.
Mapa de contorno z =
Mapadecontorno z=\/36_9x2_4y2
x y
y
Z'//
-
Superficie
I ROOu pies
7000 pie5
6000 pies 5000 pies
Mapa de contorno con curvas de nivel
/1; '/ /Y/
\
La derivada en el espacio de dimensiOn
636 CAPITULO 15
Mapadecontorno z=xy
EJEMPLO 5
Bosqueje un mapa de contorno para z = f(x, y) = xy.
Solución Las curvas de nivel correspondientes a z = 4, 1, 0, 1, 4 aparecen en la figura 14. Se puede mostrar que son hipérbolas. Al comparar el mapa de contorno de la figura 14 con el de la figura 13, se sugiere que la grafica de z = xy podrIa ser un paraboloide hiperbOlico, pero con los ejes rotados 450 La sugerencia es correcta. U
Gráficas por computadora y curvas de nivel
r .0
En las figuras 15 a 19 hemos
trazado otras cinco superficies, pero ahora mostramos adems las curvas de five! COrrespondientes. Una tercera gráfica es una gráfica tridimensional, con las curvas de nivel sobre la superficie; estas gráficas fueron generadas con Mathematica. Observe que hemos girado el plano xy de modo que el eje x apunte hacia la derecha, facilitando la re!aciOn entre la superficie y las curvas de nivel.
0
Figura 14
2.5
0
-2.5
-5 .75
Figura 15 y
-2
y
(I +x2+y2)
Figura 16
5
x
5
y
0-
3-
2
-0.05-.._-.
f_3.8 z=-I +cos Figura 17
4
I,
I
-2
-]
I
0
I
2
X
Funciones de dos o más variables 637
SECCION 15.1
2
2
z=e
Figura 18
2
y
2
y
4-
AZ 0.4 0.2
0.2 -
0
0-.
0-
-0.2 -
-0.2 -0.4
-2 -4 I
-4
-2
0
I
I
2
4
x
s
z=e
+
4
sen(x\/'15J1)
Figura 19
5
y
Aplicaciones de las gráficas de contorno
5
Con frecuencia, los m-apas de
contorno se utilizan para mostrar condiciones climáticas o de otros tipos en diversos puntos de un mapa. Por ejemplo, la temperatura varIa de un punto a otro. Podemos pensar a T(x, y) como igual a la temperatura en la posición (x, y): Las curvas de nivel para temperaturas iguales se ilaman isotermas o curvas isotermas. La figura 20 muestra un mapa de isotermas para Estados Unidos. El 9 de abril de 1917, un fuerte terremoto con epicentro cercano al rio Mississipi, justo al sur de St. Louis, se sintió tan a! forte como Iowa y tan a! sur como Mississipi.
La intensidad de un temblor se mide de I a XII, donde los nilmeros mayores corresponden a un terremoto más severo. Un terremoto de magnitud VI provocaria un daño fIsico a las estructuras. La figura 21 muestra un ejemplo de otro tipo de mapa de contorno. Si pensamos la intensidad I como una función de la posiciOn (x, y), entonces podemos ilustrar La intensidad del terremoto usando un mapa cuyas curvas de five! 50
50 60
: 80
Figura 20
638 CAPiTULO 15
La derivada en el espaclo de dimension n
/I / -WIS. Madison
tIt L II IOWA
es Mln s
NE: R.
-
/
-/- -- -. \
-
MICH,
D
Indianpo1is
iANk
I
'KY
"Nashvill TENN.
IMeppf's
TEX
J
OS
* Epicen r o Vllntensi ad
MISS.
ALA.
Figura 21
correspondan a intensidades iguales. Las curvas con intensidad constante se ilaman curvas isosIsinicas. La figura 21 muestra que las regiones que experimentaron una intensidad VI incluyen el area de St. Louis y una franja en el sureste de Missouri. La mayor parte del este de Missouri y ci suroeste de Illinois experimentaron una intensidad entre V y VI. Como Kansas City y Memphis están cerca de La misma curva isosIsmica, la intensidad fue casi la misma en ambas ciudades.
Funciones de tres o más variables Varias cantidades dependen de tres o más variables. Por ejemplo, La temperatura en un auditorio grande puede depender de la posicion (x, y, z); esto conduce a La función T(x, y, z). La velocidad de un fluido puede depender de La posición (x, y, z) y del tiempo t; esto conduce a La función V(x, y, z, t). Por Ultimo, La calificación promedio en un examen apLicado a un grupo de 50 estudiantes depende de las 50 calificaciones x1, x2.....x50; esto conduce a La función A(x1, x2.....x50). Podemos visualizar las funciones de tres variables graficando superficies de nivel, es decir, superficies en el espacio tridimensional que conducen a un valor constante para la función. Las funciones de cuatro o más variables son mucho más difIciles de visualizar. EL dominio natural de una función de tres o más variables es el conjunto de todas las tercias ordenadas (o cuartetas, quintetas, etc.) para Los que la función tiene sentido y proporciona nümeros reales. EJEMPLO 7
Determine el dominio de cada función:
f(x, y, z) = Vx2 + y2 + z2 -
g(w,x,y,z)
1
1
Vw2 + x2 + y2 + z2
1
Solución Para evitar raIces de nñmeros negativos, Ia tercia ordenada (x, y, z) debe satisfacer x2 + + - 1 > 0. AsI, el dominio para f consta de todos Los puntos (x, y, z) que están en o fuera de La esfera unitaria. La cuarteta ordenada (w, x, y, z) debe satisfacer w2 + x2 + + - 1 > 0, pues debemos evitar raIces de nUmeros negativos y La division entre cero.
Funciones de dos o más variables 639
SECCION 15.1
Repaso de conceptos
es una
Una función f determinada mediante z = f(x, y) es una
3. El mapa de contorno de z = x2 + y2 consta de
La proyección de la curva z = f(x, y) = c sobre el piano xy , y una colección de tales curvas es un
4. El mapa de contorno de z = x2 consta de
Conj unto de problemas 15.1 Sea f(x, y)
x2y + V. Determine cada valor.
21.z=
(b) f(3,0) (d) f(a, a)
(a) f(2,1) (c) f(1, 4) (e) f(1/x, x4)
(f) f(2, 4)
LCual es el dominio natural de esta función?
x2 + y ,k=0,1,2,4 x + y2
z = y - senx,k = 2, 1, 0, 1,2 Sea T(x, y) la temperatura en un punto (x, y) del plano.Tra, 0 si ce las curvas isotermas correspondientes a T ,
Sea f(x, y) = y/x + xy. Determine cada valor.
T(x,y)
(b) f(,4)
(a) f(1,2) (c) f(4, )
(d) f(a, a) (f) f(0, 0)
(e) f(1/x, x2)
Cuál es el dominio natural de esta función?
Si V(x, y) es ci voltaje en un punto (x, y) en el plano, las curvas de nivel de V se liaman curvas equipotenciales. Trace las curvas equipotenciales correspondientes a V = , 1, 2, 4 para
Sea g(x, y, z) = x2sen yz. Determine cada valor. IC
(b) g(2,1,/6) (d) g(r,r,ir)
IC
(e) g(1.2, 3.1, 4.2)
(a) g(1,,2) (c) g(4,2,r/4) Sea g(x, y, z) =
cos y + z2. Determine cada valor.
(b) g(-9,,3)
(a) g(4,0,2) (c) g(2, ii/3, 1)
ICI
(d) g(3, 6, 1.2)
IC
(e) g(-2,2,3)
Determine F(f(t), g(t)) si F(x, y) = x2y y f(t) = t cost, g(t) = sec2t.
Determine F(f(t), g(t)) si F(x, y) = ex + y2 y f(t) lnt2, g(t) = c"2.
V(
26. La figura 22 muestra un mapa de contorno para la presión
i,Qué parte del pals tuvo la menor presión barométrica? ,Y la mayor? Si estuviera en St. Louis, i,en qué direcciOn tendria que viajar para moverse lo más rápido posible hacia una presiOn barométrica menor? i,Y hacia una presión barométrica mayor? Si saliera de St. Louis, i,en qué direcciones podria partir para permanecer aproximadamente en la misma presión barométrica?
10.f(x,y)=6x2
f(x, y) =
16 -
f(x, y) =
16 - 4x2 - y2
- y2
13.f(x,y)=3x2y2
14.f(x,y)=2xy2
15. f(x, y) = e22
16. f(x, y) = x2/y, y> 0
En los problemas 17-22, bosqueje Ia curva de nivel z = k para el valor indicado de k.
1020
1015
z = (x2 + y2),k = 0,2,4,6,8
,k
z=
2, 1,0, 1,2
y2
z=
,k y
4, 1,0, 1,4
z = x2 + y, k = 4, 1, 0, 1, 4
(x - 2)2 + (y + 3)2
barométrica en milibarios. Las curvas de nivel para la presión barométrica se llaman isobaras.
8. f(x,y) = 6 x
9.f(x,y)=6x-2y
)
25. La figura 20 muestra isotermas para Estados Unidos. (a) jCuál de las ciudades San Francisco, Denver o Nueva York tenia aproximadamente la misma temperatura que St. Louis? Si usted estuviera en Kansas City y quisiera viajar hacia un clima frIo lo más rápido posible, ,en qué dirección viajarIa? ,Qué pasaria si quisiera viajar hacia un clima más templado? Si saliera de Kansas City, i,en qué direcciones podria partir para estar aproximadamente a la misma temperatura?
En los problemas 7-16, bosqueje Ia grdfica de f.
f(x,y) = 6
x2 + y2
Figura 22
La derivada en el espacio de dimension n
640 CAPITULO 15
En los problemas 27-32, describa geométricamente el dominio de Cada twa de las funciones indicadas de tres variables.
27. f(x,y,z) = Vx2 + y2 + z2 16 28. f(x, y, z) = + y2 - z2 - 9 29. f(x,y,z) = V144 - 16x2 - 9y2 - 144z2 30.
f(x, y,
(144 - 16x2 z)
16y2 + 9z2)3/2
xyz ln(x2 + y2 + z2)
31. f(x, y, z)
32. f(x,y,z)
-
=
zln(xy)
A
Una superficie de nivel para una funcion fde tres variables es Ia gráfica del conjunto de puntos en e! espacio tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación f(x, y, z) = k, donde k es una constante. Describa geométricamente las superficies de nivel de las funciones definidas en Los problemas 33-38. 33. 34.
f(x,y,z) = x2 + y2 + z2;k > 0 f(x,y,z) = 100x2 + l6y2 + 25z2;k > 0
3000 pies
Figura 23
42. Identifique la gráfica de f(x, y) = x2 - x + 3y2 + l2y - 13, indique dOnde alcanza su valor mInimo, y determine ese valor mInimo.
35. f(x, y, z) 16x2 + l6y2 - 9z2; k E 36. f(x,y,z) = 9x2 - 4y2 - z2;kED 37. f(x,y,z) = 4x2 - 9y2;kEft
CAS Para cada una de Las funciones de los problemas 43-46, trace La grafica y La grafica de contorno correspondiente.
38. f(x, y, z) e2 39.
f(w,x,y,z) =
2
1
Vw2 +
g(x1,x2.....x) h(xi,x2.....x,,)
=
=
x2 + y2 + z2
exp(-4 -
- - x)
\/1 - (x + x +
2
+ x)
2
43.
f(x,y)
= senV2x2 + y2;
44.
f(x,y)
= sen(x2 + y2)/(x2 +
Determine el dominio de cada función. x
2,-2 <
x
y2),f(0,0)
2
y
= 1;
2
y
45. f(x, y) = (2x - y2)exp(x2 - y2);_2 y
2,-2
x
2,
2
Bosqueje (lo mejor que pueda) la gráfica de la silla de montar z = x(x2 - 3y2). Comience fijándose dónde z = 0.
2 y f(x, y) = (senxseny)/(1 + x2 + y2); 2
El mapa de contorno de la figura 23 muestra las curvas de nivel para una montana de 3000 pies de altura. i,Qué tiene de particular el camino hasta la cima indicado por AC? LQué tiene de particular BC? Haga buenas estimaciones de las longitudes totales de los cami-
Respuestas al repaso de conceptos: 1. funciOn real de dos variables reales 2. curva de nivel; mapa de contorno 3. cIrculos concéntricos 4. rectas paralelas
nosACyBC.
15.2
Derivadas parciales
46.
x
2,
2
Suponga que f es una función de dos variables x y y. Si y se mantiene constante, digamos, y = Yo, entonces f(x, Yo) es una función sOlo de la variable x. Su derivada en x = x0
es la derivada parcial def con respecto de x en (x0, Yo) y se denota f(xo, yo). AsI,
f(xo,yo) =
f(xo + lIm
x,y0) - f(x0,yo)
zx
De manera análoga, la derivada parcial de f con respecto de y en (x0, Yo) se denota f(x0, Yo) y está dada por lIm f(xo, Yo) = Ly-*O
f(xo,yo +
y) -
Yo)
En vez de calcular f(x0, Yo) y f5(x0, Yo) directamente a partir de las definiciones en
los recuadros, por lo general hallamos f(x, y) y f(x, y) usando las reglas usuales para las derivadas; luego, sustituimos x = x0 y y = Yo
Derivadas parciales
SECCION 15.2
641
Determine f(1, 2) y f(1, 2) Si f(x, y) = x2y + 3y3.
EJEMPLO 1
Solución Para calcular f(x, y), consideramos y como conStante y derivamos con respecto de x para obtener
f(x, y) = 2xy + 0 AsI,
f(1,2) =212=4 Análogamente, consideramos x como constante y derivamos con respecto de y para obtener f(x, y) x2 + 9y2 y entonces
f(1,2)=12+9.22=37
Si z = f(x, y), usamos las SiguienteS notaciones alternativas:
f(x,y) = f(xo,yo) =
af(x, y) az = ax ax
f(x,y)
az
=
f(x0,y0)
ax (0, Yo)
af(x, y)
az ay az ay
ay
(x0, Yo)
El sImbolo es particular de las matemáticas y se llama el signo de derivada parcial. Los
r
/
sImbolos
Dy
aax
y
aay
representan operadores lineales, parecidos a los operadores lineales
que encontramos en el capItulo 3.
y
EJEMPLO 2
Si
z = x2 sen(xy2), determine az/ax y az/ay.
Solución
Q
az ax
J(x0, Yo) = pendiente de I
Figura 1
=x
2a ax
[sen(xy2)] + sen(xy2)
a
(x)2
ax"
= x2cos(xy2) : (xy2) + sen(xy2) 2x x2cos(xy2) y2 + 2xsen(xy2) x2 y2 cos(xy2) + 2x sen(xy2) az = x2cos(xy2) ay
S.
/
v
f(x0, Yo) = pendiente de I
Figura 2
Posición de la cuerda en el instante 1/ -
'I
)
2xy
2x3ycos(xy2)
Interpretaciones geométrica y fIsica
Considere Ia superficie cuya ecuaciOn es z = f(x, y). El piano y = Yo corta a esta superficie en la curva plana QPR (figura 1) y ei valor de f(xo, y) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P(x0, Yo, f (x0, Yo)) De manera análoga, el piano x x0 corta a ia superficie en la curva piana LPM (figura 2) y f(x0, Yo) es la pendiente de ia recta tangente a esta curva en P. Las derivadas parciales también se pueden interpretar como razones de cambio (instantáneas). Suponga que una cuerda de violin se fija en los puntos A y B y vibra en el plano xz. La figura 3 muestra la posición de la cuerda en un instante tIpico y. Si
z = f(x, t) denota Ia altura de la cuerda en el punto P con abscisa x en el instante t, entonces az/ax es la pendiente de la cuerda en P y az/at es Ia razón de cambio de la altura de P con respecto del tiempo y a lo largo de La recta vertical indicada. En otras palabras, az/at es La veiocidad vertical en P.
A
Figura 3
x
B
- 2x2 - y ci plano y = 1 se corLa superficie z = f(x, y) = tan en una curva, como en ia figura 1. Determine ecuaciones paramétricas para la recEJEMPLO 3
ta tangente en (V', 1,2).
642
CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Solución
f(x, y) =
\/.
de modo que f(V, 1)
- 2x2 - y2)'12(-4x) Este nOmero es la pendiente de la recta tangente a
La curva en (\/, 1,2); es decir, \//1es eL cociente entre la elevaciOn ye! desplazamiento horizontal a lo largo de la recta tangente. Esto implica que esta recta tiene nOmeros directores (1, 0, y, coino pasa por (\/, 1, 2),
_\/)
yi, z=2Vt
x=\/+t,
son las ecuaciones paramétricas pedidas. EJEMPLO 4 El voLumen de cierto gas está reLacionado con su temperatura T y su presión P mediante la icy de los gases PV = lOT, donde V se mide en pulgadas cObicas, P en libras/puLgada cuadrada y T en grados Kelvin. Si V se mantiene constante en 50, ,cuál es la razón de cambio de la presión con la temperatura cuando T = 200?
Solución
Como P = 1OT/V,
aP
10
TV
AsI,
aP aT
10
1
- 50 - 5
T=200,V=50
AsI, La presión aumenta a razón de libra/pulgada cuadrada por cada grado Kelvin.
Derivadas parciales de orden superior Como una derivada parcial de una función de x y y es, en general, otra función de estas mismas dos variables, se puede derivar parcialmente con respecto de x o y, con lo que se obtienen las derivadas parelates segundas de f, f,
a (af
a2f
ax \ax
ax2
(f) EJEMPLO 5
a (af
a2f
= ay kay)
a (af
a2f
-
ay \ax) = ayax
X
ay2
a /af
a2f
ax \ay)
axay
Determine las cuatro derivadas parciales segundas de
f(x,y) = xe - sen(x/y) + x3y2 Solución 1 e - cosi -/x+ 3x2y2 y \yj
f(x,y)
x (x f,(x,y)=xe+ 2cost \y/+2x3y y
f(x,
1
)
=
y
2
7x\ sen - + 6xy2
\yI
f(x,y) = xe' +x2sen(x \3)I y x
7x
y
\y,/
f(x,y) = e - sen f(x,y) =
I
+
x - i-sen -+ y
\yi
2x y
cos/x- + 2x3
'yJ
cosI(x-
1
y
1
y
'yj
+ 6x2y
(x 2cosl - + 6x2y
'yj
SECCION 15.2
Derivadas parciales 643
Observe que en el ejemplo 5, f = f, igualdad que ocurre por lo general para las funciones de dos variables que aparecen en un primer curso. En la sección 15.3 (Teorema B) damos un criterio para que se dé esta igualdad. Las derivadas parciales de tercer y mayor orden se definen de manera análoga, y su notación es similar. AsI, si f es una función de dos variables x y y, la tercera denvada parcial de f obtenida al derivar f parcialmente, primero con respecto de x y luego dos veces con respecto de y, se indica como a
H (af1_ a (a2f
a3f
ax)] - 3y ayaxj - ay2ax
0y Lay
-
En total, hay ocho derivadas parciales de tercer orden.
Más de dos variables Sea f una función de tres variables, x, y y z. La derivada parcial del con respecto de x en (x, y, z) se denota como f(x, y, z) o af(x, y, z)/ax y se define como
f(x,y,z) =
lIm
f(x + x, y, z) - f(x, y, z) Lx
AsI, f(x, y, z) se puede obtener considerando a y y z como constantes y derivando con respecto de x. Las derivadas parciales con respecto de y y z se definen de manera analoga. Las derivadas parciales de funciones de cuatro o más variables se definen de manera simique implican Ia delar (véase el problema 49). Las derivadas parciales como f y rivaciOn con respecto de más de una variable se llaman derivadas parciales cruzadas. EJEMPLO 6
Si f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, determine
f y f.
pensamos y y z como constantes y derivamos con respec-
So!ución Para obtener to de la variable x. AsI,
f(x, y, z) = y + 3z Para determinar f, consideramos a x y z como constantes y derivamos con respecto de y:
f(x, y, z) = x + 2z Dc manera similar,
f(x,y,z) = 2y + 3x EJEMPLO 7
parciales
Solución
a2T
Si
T(w, x, y, z) = z ew2+x2 a2T
awax'axaw
y
2
determine todas las primeras derivadas
a2T az2
Las duatro primeras parciales son aT
a
aw
aw
ar
a
ax
ax
a
a
ay
ay
aT
a
az
az
(z
ew2+x2+Y2)
(z ew2+x2+Y2)
(z
ew2+x2+Y2)
(z ew2+x2+Y2)
= 2wz ew2+x2+y2 = 2xz
ew2+x22
= 2yz ew2+x2+y2
ew2+x2+y2
644
La derivada en el espacio de dimension n
CAPITULO 15
Las otras derivadas parciales son 82 T
82
OwOx
OwOx
82 T
82
OxOw
OxOw
8z2 - 8z2
(2xz ew2+x2+Y2)
4wxz ew+x+y
(2wz ew2+x2+Y2)
= 4wxz ew+x+y
Ow 8
(z ew2+xZ+Y2)
Ox
82
82T
8
(z ew+x)
8
(z ew2+x2+Y2)
.
(ew2+x2+Y2)
Repaso de conceptos Como ifmite,f(x0, Yo) se define como la
3. Otra notaciOn paraf(x, y) es
y se llama
en (x0, Yo)
Si f(x, y) = x3 + xy, entonces f(1, 2) =
4. Sif(x, y) = g(x) + h(y), entoncesf(x, y) =
y
f(1,2) =
Conj unto de problemas 15.2 En los problemas 1-16, determine todas las primeras derivadas parciales de cada funcion. 1.
f(x, y) = (2x
-
3. f(x,y) =
-
2. f(x, y) = (4x
6. f(x,y) = (3x2 + y2l/3 8. f(u, v) = ChlV 10. f(s, t) = ln(s2 - t2)
tan(4x - 7y)
12.F(w, z) = w sen1 \Z) 13. f(x,y) = yCOS(x2 + y2)
14. f(s, t)
15. F(x,y) = 2senxcosy
16. f(r,O) = 3r3cos2O
e'22
En los problemas 17-20, verifique que
02f
32f
Oy Ox - Ox Oy
17. f(x, y) = 2x2y3 - x3y5
18. f(x, y) = (x3 + y2)
19. f(x,y) = 3e2xcosy
20. f(x,y) = tanxy
Si F(x, y) =
to(2,i,). Caicule la pendiente de Ia tangente a la curva de intersección
4. f(x,y) = evcosy
xy
5. f(x,y) = esenx 7. f(x,y) = \/x2 9. g(x,y) e11. f(x,y)
y2)3/2
Calcule Ia pendiente de ia tangente a ia curva de intersección
de ia superficie 2z = \/9x2 + 9y2 - 36y ei piano y = 1 en ei pun-
2x-y xy
del cilindro 4z = 5'\/16 - x2 y el piano y = 3 en ei punto
(2,3, 5/2). El volumen V de un ciiindro circular recto está dado por V = irr2h, donde r es el radio y h es ia altura. Si h se mantiene fijo en h = 10 pulgadas, determine Ia razón de cambio de V con respecto de r cuando r = 6 puigadas. La temperatura en grados Celsius en una placa metálica en ei piano xy está dada por T(x, y) = 4 + 2x2 + y3. i,Cuál es ia razOn de cambio de Ia temperatura con respecto de Ia distancia (medida en pies) si comenzamos a movernos desde (3, 2) en la dirección dei eje y positivo? De acuerdo con la ley del gas ideai, la presión, la temperatura y el voiumen de un gas se reiacionan mediante PV = kT, donde k es una constante. Determine la razón de cambio de la presión (libras/pulgada cuadrada) con respecto de la temperatura cuando la temperatura es de 300°K si ei voiumen se mantiene fijo en 100 puigadas cübicas. Muestre que, para Ia ley del gas del problema 31, V
OV
, determine F(3, -2) y F(3, -2).
Si f(x, y)
f(\/, -2).
tan' (y2/x), determine
+T
OP
aT
=0
v
OPOVOT OV aT
Una funciOn de dos variables que satisface Ia ecuación de Laplace,
Si F(x, y) = in (x2 + xy + y2), determine F(-1, 4) y
F(-1, 4).
OP
f(\/, -2) y
Sif(x, y) = eYcoshx,determinef(-i, 1) yf(-1, 1).
82f Ox2
02f 8y2
=
es armónica. Muestre que las funciones definidas en los problemas 33 y 34 son funciones armOnicas.
f(x, y) = x3y - xy3 f(x,y) = ln(4x2 + 4y2)
Caicule la pendiente de la tangente a la curva de intersecciOn de la superficie 36z = 4x2 + 9y2 y el piano x = 3 en el punto (3, 2, 2).
Si F(x, y) = 3x4y5 - 2x2 y3, determine 03F(x, y)/8y3.
Sif(x, y) = cos(2x2 - y2)determinea3f(x y)/Oy Ox2.
Calcule Ia pendiente de Ia tangente a la curva de intersecciOn
de la superficie 3z = \/36 - 9x2 - 4y2 y el piano x = 1 en ei punto (1, -2, /3).
+
Exprese io siguiente con la notación 0.
(a)
f
(b) f
(c)
SECCION 1
5.3
LImites y continuidad
645
38. Exprese lo siguiente con notación de subIndices. a5f a3f a4f (c) (b) (a) 2 3 2 2 2
axay
axay
axay
39. Si f(x, y, z) = 3x2y - xyz + y2z2, determine lo siguiente.
(a) f(x,y,z)
(b) f(0,1,2)
(x + y2 + z)4, determine to siguiente.
40. Si f(x, y, z)
(a) f(x, y, z) 41.
(c) f(x,y,z)
(b)
f(° 1,1)
(c) f(x, y, z)
Sif(x,y,z) = e_xyz - in(xy - z2),determinefx(x,y,z). Figura 4
42. Si f(x, y, z) = (xy/z)12, determine f(-2, 1, 8).
43. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada x4 + xy3 + 12 con el piano x 1. En ei como Ia intersección de z punto (1, 2, 5), salió por la recta tangente. tEn dónde tocó la abeja a! piano xz? (Véase el ejemplo 3.)
44. Sea A(x, y) el ára de un rectangulo no degenerado de dimensiones x y y, de modo que ei rectánguio esté dentro de un cIrcuto de radio 10. Determine el dominio y ei rango de esta funciOn.
45. El intervaio [0, 1] debe separarse en tres partes, haciendo cortes en x y y, Sea A(x, y) el area de cualquier triángulo no degenerado que pueda formarse con estas tres partes. Determine el dominio y el rango de esta función. 46. La ecuación de onda c2 a2 u/ax2 = a2u/at2 y la ecuación del
calor c a2u/ax2 = au/at son dos de las ecuaciones más importantes en fIsica (c es una constante). Estas se liaman ecuaciones diferenciales parciales. Muestre to siguiente:
e' senx y u
para calcular y graficar las derivadas parciaies. Trace las gráficas de las siguientes:
(b) Dsen(x + y2) (d) D(Dsen(x +
(a) sen(x + y2)
(c) Dsen(x +
y2)
t_h/2e_x2/(4c1) satisfacen la ecuaciOn del calor.
47. Para el mapa de contorno de z
(d)
(c) G(w, x, y, z) (e)
az
A(x, y, z, t)
a0b1b2.....b,,) Determine cada derivada parcial.
(a)
a
aw
(senwsenxcosycosz) (b)
a
ax
[xln(wxyz)] I cos x
(c) A1(x,y,z,t),dondeA(x,y,Z,t) = 1 + xyzt
f(x, y) que aparece en la Respuestas al repaso de conceptos:
figura 4, estime cada valor.
lirn[f(xo +
x, Yo) - f(xo, yo) ]/ x; derivada parcial de
(a) f(1, 1)
(b) f(-4, 2)
1.
(c) f(-5, 2)
(d) f(° 2)
con respecto de x 2. 5; 1 3. a2f/ay ax 4. 0
15.3
LImites y continuidad y
jf (IN b
0
Figura 1
y2))
Dé definiciones en términos de iImites de las siguientes derivadas parciaies. (b) f(x, y, z) (a) f(x, y, z)
ev cosh Ct satisfacen la ecuación de onda,
u = cos x cos ci y u u
Se puede utilizar un sistema de algebra por computadora
CAS
f
Aunque la derivada parciai es un concepto para funciones de varias variables, Ia teorIa necesaria hasta ahora solo era de funciones de una variable (pues todas las variables se mantenlan fijas, excepto una). En particular, la noción de lImite en la sección 15.2 era ia ya conocida y estudiada en ia secciOn 2.5. Para dar un paso adelante, necesitaremos una noción más general de iImite. Nuestro objetivo es dar sentido al sIrnbolo
f(x,y) iIm (x,y)*(a,b)
=L
que tiene ei significado intuitivo usual: los valores de f(x, y) se acercan cada vez más al nOmero L cuando (x, y) tiende a (a, b). El problema es que (x, y) puede tender a (a, b) en una infinidad de formas distintas (figura 1). Queremos una definición que dé la misma L, sin importar el carnino que (x, y) siga al tender a (a, b). Por fortuna, ia definición formal dada primero para funciones reales de una variable (sección 2.5) y luego para funciones vectoriales de una variable (secciOn 13.4) sigue siendo adecuada, siempre que Ia interpretemos en forma correcta (véase Ia figura 2).
646 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Definición Decir que
f(x, y)
L significa que para cada > 0 (sin importar qué tan pequefio sea) existe un 6> 0 correspondiente de modo que f(x, y) - L < , siem(x y)(a b)
pre que 0 < (x, y) - (a, b) < 6.
Solo necesitamos una breve explicación. Para interpretar I (x, y) - (a, b) I, piense en (x, y) y (a, b) como vectores. Entonces
(x,y) - (a,b) = V(x - a)2 + (y - b)2 y los puntos que satisfacen 0 < (x, y) - (a, b) I < 6 son aquellos puntos dentro de un cIrculo de radio 6, excluyendo a! centro (a, b) (véase la figura 3). Note algunos aspectos de esta definición.
Figura 2
La trayectoria de acercamiento a (a, b) no es importante. Esto significa que si distintas trayectorias de acercamiento conducen a distintos valores L, entonces el iimite no existe. (a, b)
El comportamiento de f(x, y) en (a, b) no es importante; la función ni siquiera tiene que estar definida en (a, b). Esto es conseduencia de la restricción 0 < (x,
y) - (a,b)I.
La definición se expresa de modo que se extienda de manera inmediata a funciones de tres (o más) variables. Solo reemplace (x, y) y (a, b) por (x, y, z) y (a, b, c) siempre que aparezcan.
Figura 3
Lo que es de esperar, generalmente es cierto. Por ejemplo, (x, y)(l,2) [x2y+3y1=12.2+3.2=8 lIm
lIm
(x, y)(3,4)
Vx2+y2=32+42=5
De hecho, todos los teoremas usuales de !Imites también son válidos para este nuevo tipo de ilmite. Pero el siguiente ejemplo ilustra que debemos tener cuidado. EJEMPLO 1
Muestre que Ia funciOn f definida como
f(x,y)=
-
x +y 2
2
no tiene lImite en el origen (figura 4).
f(O,y)=-1
Figura 4
Solución La función f está definida en todas partes en el piano xy, excepto en el origen. En todos los puntos del eje x distintos del origen, el valor de f es
f(x,0)
-0 x2 + 0
=1
AsI, el lImite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo del eje x es
SECCION 1 5.3
lIm
(x,O)(O,O)
f(x,0) =
LImites y continuidad 647
-0
= +1 lIm (x,O)(O,O) x2 + 0
De manera similar, el lImite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo del eje y es lIm
(°(°'°)
f(0 y) =
0 - y2
lIm
(°'(°'°) 0 + y2
=1
AsI, obtenemos distintos valores dependiendo de la forma en que (x, y) - (0, 0). De hecho hay puntos arbitrariamente cerca de (0, 0) en los que el valor de f es 1 y otros puntos igualmente cercanos en los que el valor de f es 1. Por lo tanto, el lImite no puede existir en (0, 0).
En el problema 17 aparece un ejemplo a(in menos usual, donde un lImite no existe; en el problema 27 enfocaremos de otra forma al ejemplo 1.
Continuidad en un punto Para decir que f(x, y) es continua en el punto (a, b) pediremos lo siguiente: (1) f tiene un valor en (a, b), (2) f tiene un lImite en (a, b) y (3) el valor de f en (a, b) es igual al lImite ahI. En resumen, pedimos que
(x,yL(a,b)R'
=
f(a,b)
Este es esencialmente el mismo requisito para la continuidad de una función de una variable. Intuitivamente, esto significa de nuevo que f no tiene saltos, grandes fluctuaciones 0 Ufl comportamiento no acotado en (a, b). Como en el caso de las funciones de una variable, las sumas, productos y cocientes de funciones continuas es continua (siempre que, en el ültimo caso, evitemos la di-
vision entre cero). Esto implica que las funciones polinomiales de dos variables son continuas en todas partes, pues son sumas y productos de las funciones continuas ax, by y c, donde a, b y c son constantes. Por ejemplo, La funciOn f(x, y) 5x4y2 2xy3 + 4 es continua en todos los puntos del plano xy. Las funciones racionales de dos variables son cocientes de funciones polinomiales y por tanto son continuas siempre que el denominador no se anule. Por ejemplo, f(x, y) = (2x + 3y)/(y2 - 4x) es continua en todas partes en el plano xy, excepto en los puntos de la parabola y2 = 4x. Como en el caso de las funciones de una variable, una función continua de una función continua es a su vez continua.
P.
'5
Teorema A ComposiciOn de funciones
Si una funciOn g de dos variables es continua en (a, b) y una función f de una va-
riable es continua en g(a, b), entoices la composición f ° g, definida como (f o g)(x, y) = f(g(x, y)) es continua en (a, b). Una vecindad en el espacio bidimensional
La demostraciOn de este teorema es similar a la demostraciOn del teorema 2.9E. EJEMPLO 2 del plano.
Muestre que F(x, y)
cos(x3 - 4xy + y2) es continua en cada punto
La función g(x, y) = x3 - 4xy + y2, un polinomio, es continua en todas partes. Además, f(t) cos t es continua en cada nOmero t en L. Concluimos del teorema A que F(x, y) = f(g(x, y)) es continua en todo (x, y) del plano.
Solución
Continuidad en un conjunto
Una vecindad en el espacio tridimensional
Figura 5
Decir que f(x, y) es continua en urì conjunto S significa decir que f(x, y) es continua en cada punto del conj unto. Esto significa, pero hay algunas sutilezas relacionadas con este enunciado que deben aclararse. Primero debemos introducir cierto lenguaje relativo a los conjuntos en el piano (y en los espacios de dimensiOn mayor). Por una vecindad de radio S de un punto P, en-
tendemos el conjunto de todos los puntos Q que satisfacen Q - P < S. En el espacio bidimensional, una vecindad es el "interior" de un cIrculo; en el espacio tridi-
648 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn n
mensional, es el interior de una esfera (figura 5). Un punto P es un punto interior de un conjunto S si existe una vecindad de P contenida en S. El conjunto de todos los puntos interiores de S es el interior de S. Por otro lado, P es un punto frontera de S si cada vecindad de P contiene puntos que están en S y puntos que no están en S. El conjunto de todos los puntos frontera de S es la frontera de S. En la figura 6, A es un punto interior y B es un punto frontera de S. Por Ultimo, un conjunto es abierto si todos sus puntos son puntos interiores y es cerrado Si contiene a todos sus puntos frontera. Es posible que un conjunto no sea abierto ni cerrado. Esto, por cierto, explica el uso de "intervalos abiertos" e "intervalos cerrados" en el espacio unidimensional. Si S es un conjunto abierto, decir que f es continua en S significa precisamente que f es continua en cada punto de S. Por otro lado, si S contiene algunos o todos sus puntos frontera, debemos tener cuidado en dar la interpretaciOn correcta de continuidad en tales puntoS (recuerde que en el espacio unidimensional tuvimos que hablar de la continuidad por la izquierda y por la derecha en los puntos extremos de un intervalo). Decir que f es continua en un punto frontera P de S significa que f(Q) debe tender a f(P) cuando Q tiende a P mediante puntos de S. He aquI un ejemplo que nos ayudará a aclarar lo que hemos dicho (véase la figura 7). Sea
Figura 6 4z
Six2 + y2
f(x,y)
1
en caso contrario
Si S es el conjunto {(x, y) : x2 + y2 1}, es correcto decir que f(x, y) es continua en S. Por otro lado, serla incorrecto decir que f(x, y) es continua en todo el plano. En la sección 15.2 dijimos que para la mayor parte de las funciones de dos variables estudiadas en un primer curso, f = f; es decir, el orden de derivación en las derivadas parciales cruzadas no es importante. Ahora que hemos definido la continuidad, podemos establecer de manera sencilla condiciones para que eSto sea cierto.
y
Figura 7
Teorema B
Si f
Igualdad de las parciales cruzadas
y f son continuas en un conjunto abierto 5, entonces f
punto de S.
= f en cada
Una demostración de este teorema aparece en libros de cálculo avanzado. En el problema 32 damos un contraejemplo para el que falla la continuidad de Nuestro análisis de Ia continuidad se ha referido principalmente a las funciones de dos variables. Creemos que usted puede hacer los sencillos cambios necesarios para describir la continuidad para funciones de tres o más variables.
f,.
Repaso de conceptos 1IIT12)f(X y)
Enunlenguajeintuitivo,decirque nifica que f(x, y) se acerca a
3 sig-
cuando
Que f(x, y) sea continua en (1, 2) significa que
El punto P es un punto interior del conj unto S si existe una yecindad de P ta] que
El conj unto S es abierto si cada punto de S es cerrado si S contiene a todos sus
; S es
Conjunto de problemas 15.3 En Los problemas 1-8, determine el lImite indicado o diga si no existe.
(x, y)(-2,
(xy3
En Los pro biemas 9-14, describa ci mayor conjunto S donde sea correc-
- xy + 3y2)
to afirmar quefes continua.
(X,Y)2,)[x cos xy - sen(xy/3)] 4. 6.
tim
xy - y3
(x,y)(-I2) (x + y + jim
(x, y)
(0,0)
1)2
5.
tan(x2 + x2 + y2
-
tIm (x, y)(00) x2 + y2
(X,Y)(l,3)(3x y - xy3)
7.
(x,
f(x,y) = sen(x2 + y2) jim )-(0,0) 3x2 + 3y2 x2 + y2
jim (x,y((0,0( x4 - y4
f(x, y)
f(x,y) =
x3 + xy - 5 x2 + y2 +
ln(1 -
x2
1
- y2)
x2 + 3xy +
y-
y2
LImites y continuidad 649
SECCION 15.3
sen(xy) f(x,
xy=O
-y+
=
f(x, y) =
1
nua en el origen. Cada una de ias siguientes funciones tiene el valor 0 en (0, 0). Cuá1es de ellas son continuas en (0, 0) y cuáles son discontinuas ahI?
2)-l/2
(4 - x2
xy jim (x, )(0,0) x2 + y2
(c) f(x,y)
(e) f(x,y)
+ y3 urn (x, y)(O.0) x2 + y2 xy
no existe. 17. Sea f(x, y) = x2y/(x4 + y2). Muestre que f(x, y) - 0 cuando (x, y) - (0, 0) a lo largo de cualquier iInea recta y = mx. Muestre que f(x, y) - cuando (x, y) - (0, 0) a lo largo de la parabola y = x2. Qué conclusion puede extraer?
+
(x
xy2
x2 +
y2
+ y2)(x2 +
y2)]
=
o.
y2)
x2
-
+
y2.
En los problemas 19-24, bosqueje el conjunto indicado. Describa Ia frontera del conjunto. Por OJtimo, indique si el conjunto es abierto, Cerrado o ninguno de éstos.
{(x,y):2
(b)
Vx2 + y2 x713
= x2
16. Muestre que
Muestre que (InT0 O)[Y/(
xy
(a) f(x,y)
no existe, considerando una trayectoria al origen a lo largo del eje x y luego otra trayectoria a lo largo de Ia recta y = x.
Sugerencia:
= cos20
lo que asume todos los valores entre 1 y 1 en cada vecindad del onY) no existe y que f noes contigen. Concluimos que (x y)(O,O)
Muestre que
18.
cos2 0 - r2 sen2 0 r2
xy
y)
f(x,y)
r2 f(x,y)
+
(d)
f(x,y)
xy = =
2
+
2
xy-2 x2
+
y2
x2 y2
= x2 +
f(x, y)
(f) f(x, y)
y4
2
xy2
= x2 +
y4
Sea f(x, y) la minima distancia que una gota de liuvia que cae en ia latitud x y la longitud y en el estado de Colorado debe recorrer para llegar a un océano. En qué punto de Colorado es discontinua esta función?
Sea H la capa semiesférica x2 + y2 + (z - 1)2
1, 0
2}. z < 1, Ia cual aparece en Ia figura 8 y sea D = {(x, y, z): 1 z Para cada una de las funciones definidas a continuaciOn, determine su conjunto de discontinuidades dentro de D.
f(x, y, z) es el tiempo necesanio para que una partIcula arrojada desde (x, y, z) llegue al nivel z = 0. f(x, y, z) es el area del interior de H (que suponernos es opaca) que puede verse desde (x, y, z). f(x, y, z) es el érea de la sornbra de H en el piano xy debido a una fuente luminosa puntual en (x, y, z). f(x, y, z) es Ia distancia a lo largo de Ia trayectoria más corta de (x, y, z) a (0, 0, 0) que no entra en H. z
x
4,1
5}
y
{(x,y):x2 + y2 < 4} {(x,y):0
4}
{(x,y):x > O,y < sen(i/x)} {(x, y): x = 0, y = 1/n, n un entero positivo } Sea x2 - 4y2
f(x,y)=
x-2y g(x)
Si f
es
Figura 8
x2y Sea f una función de 12 variables, continua en un conjunto abier-
x =
continua en todo el piano, encuentre una formula para g(x). Demuestre que
urn (x,y)(a,/)
[f(x,y)
+ g(x,y)] = (x, y)(a, h)
f(x, y) +
y)(a. h)
g(x, y)
siempre que los dos Oltirnos lImites existan.
En ocasiones, es más fácil analizar ia continuidad de f(x, y) ii.. ..\ - 7..2 ..2\ /f.2 1h(0 d OU1UCUdUdS pUidItS. c I
ra (x, y) polares,
(0, 0) y f(0, 0)
- Y 1/tA Y I II ' Y) = 0 (véase el ejemplo 1). En coordenadas
to D y supongamos que P está en D y que f(P0) > 0. Demuestre que existe una > 0 tal que f(P) > 0 en una vecindad de P0 con radio El ferrocarril frances Suponga que Paris esta en el onigen del piano xy. Las vIas férreas salen de Paris a lo largo de todos los rayos, y éstas son las Onicas vias. Determine el conjunto de discontinuidades de las siguientes funciones. f(x, y) es la distancia de (x, y) a (1, 0) en el ferrocarnil frances. g(u, v, x, y) es la distancia de (u, v) a (x, y) en el ferrocarril fran.
cés.
32. Sea f(x, y) = xy --i--- -
x+
si(x, y)
y f(0, 0) =
y2
Muestre que f(0, 0) f(0, 0) mediante los pasos siguiente''
650 CAPTULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn n
Muestre que f(°, y) =
lIrn
f(O + h,y) - f(0,y)
-
y pa-
Dé las definiciones de continuidad en un punto y continuidad en un conjunto para una función de tres variables.
ra todo y.
Muestre que la funciOn definida como
De manera análoga, muestre que f(x, 0) = x para toda x. f(0 + h,0) - f(0,0)
Muestre quef(0, 0) = lIn
-
f(x,y,z)
h
xyz =
para(x,y,z)
x +y +z 3
(0,0,0)
y f(0, 0, 0) = 0 no es continua en (0, 0, 0).
De manera análoga, muestre que f(0, 0) = -1.
Muestre que Ia función definida como
33. Trace la gráfica de la función mencionada en el prob]ema 32. Puede ver por qué esta superficie se llama a veces Ia si/la del perro? ICAS
2
f(x, y, z) = (y
+ 1)
x +z 2
para (x, y, z)
34. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones en x 2, -2 < y 2 y determine en que puntos de este conj unto es discontinua Ia función. f(x,y) = x2/(x2 + y2),f(o,o) = 0 f(x, y) = tan(x2 + y2)/(x2 + y2),f(0, 0) 0
y f(0, 0, 0) = 0 no es continua en (0, 0, 0).
35. Trace la gráfica de f(x, y) x2y/(x4 + y2) en una orientaciOn que exhiba sus caracterIsticas inusuales (véase el problema 17).
interior de S; puntos frontera
CAS
(0, 0, 0)
-2 <
ICAsI
15.4 D if e re n cia bill dad
Respuiestas al repaso de conceptos: y)
2.
1. 3; (x, y) tiende a (1, 2)
f(1,2) 3. esté contenida enS 4. un punto
Para una funciOn de una sola variable, la diferenciabilidad de f en x significa Ia existencia de la derivada f'(x). Esto a su vez era equivalente a que la gráfica de f tuviese una recta tangente no vertical en x.
Ahora nos preguntamos: ,Cuál es el concepto correcto de diferenciabilidad para una funciOn de dos variables? Con seguridad, debe corresponder de manera natural a la existencia de un plano tangente, y es ciaro que esto requiere más que la simple existencia de las derivadas parciales de f, ya que ellas reflejan el comportamiento de f en solo dos direcciones. Para enfatizar este punto, considere
f(x, y)
-10xy
que aparece en Ta figura 1. Observe que f(0, 0) y f(0, 0) existen y son iguales a 0; aOn asI, nadie podrIa afirmar que Ia gráfica tiene un piano tangente en ei origen. La razón, por supuesto, es que la grMica de f no queda bien aproximada por cualquier plano (en particular, por el piano xy) excepto en dos direcciones. Un piano tangente tendrIa que aproximar la gráfica de manera adecuada en todas las direcciones.
Figura 1
z=-IO \/IxyI
Considere una segunda pregunta. ,Qué juega el papel de Ia derivada para una función de dos variables? De nuevo, las derivadas parciales se quedan cortas, tan solo sea porque son dos. Para responder estas dos preguntas, comenzamos eliminando la distinción entre el punto (x, y) y el vector (x, y). AsI, escribimos p = (x, y) = (x, y) y f(p) = f(x, y). Recordemos que (1)
f'(a) =
El análogo parecerIa ser
lim
- f(a)
xa
=hm
f(a + h) - f(a) h
SECCION 15.4
lIm f'(po) = PPo
(2)
f(p) -
f(po)
PPo
= lIm
651
Diferenciabilidad
f(po + tt) - f(po)
h*O
h
pero, por desgracia, la division entre un vector no tiene sentido. Pero no nos demos por vencidos tan rápido. Otra forma de ver la diferenciabilidad de una función de una sola variable es la siguiente. Si f es diferenciable en a, entonces existe una recta tangente que pasa por (a, f(a)) que aproxima la función para valores de x cercanos a a. En otras palabras, f es casi lineal cerca de a. La figura 2 ilus-
tra esto para una función de una variable; cuando nos acercamos a la gráfica de y = f(x), vemos que la recta tangente y la funciOn se vuelven casi indistinguibles. Ày
2.3
2.6
2.28
2.4 -
2.26
2.2
2.24
2.22
2
2.8
2.6
3.2
3
3.4
Para ser rnás precisos, decimos que una función f es localmente lineal en a si existe una constante m tal que
f(a +
h) =
f(a)
+ hm + hE(h)
donde c(h) es una función que satisface Im0e(h) = 0. At despejar E(h) tenemos
f(a
h) - f(a)
+
m
h
La función e(h) es La diferencia entre La pendiente de La recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)) y La pendiente de Ia recta tangente que pasa por (a, f (a)). Si f es localmente Lineal en a entonces [f(a + h) - f(a) 1 lImE(h) lImi ml 0 h h-OL ] to que significa que lIm
h*O
f(a
+
h) - f(a) h
=m
Concluimos que f debe ser diferenciabte en a y que m debe ser iguat a f'(a). RecIprof(a + camente, si f es diferenciable en a, entonces irr f (a) = m; por
h) f(a) h
to tanto, f es localmente lineal. Por lo tanto,en el caso de una variable, f es localmente lineal en a si, y solo si, f es diferenciable en a. Este concepto de Linealidad local se generaliza al caso en que f es una función de dos variables y usaremos esta caracterIstica para definir La diferenciabilidad de una función de dos variables. En primer lugar, definimos la Linealidad local para una función de dos variables.
Definición Decimos que f es localmente lineal en (a, b) Si
f(a
+ h1,b + h2) =
dondes1(h1,h2)
f(a,b)
h1f(a,b) + h2f(a,b) + Ocuando(h1,h2) Oye2(hi,h2) +
h1e1(h1,h2) + h2e2(h1,h2)
Ocomo(h1,h2)
- 0.
652
CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
90
86 84
80
82
70 80
1.2
Figura 3
AsI como h era un pequeflo incremento en x para el caso de una variable, podemos pensar h1 y h2 como pequenos incrementos en x y y, respectivamente, para el caso de dos variables. La figura 3 muestra lo que ocurre cuando hacemos un acercamiento sobre Ia grá-
fica de una función de dos variables. (En Ia figura 3 hacemos un acercamiento sobre la gráfica en el punto (x, y) (1, 1).) Si nos acercamos lo suficiente, la superficie tndimensional se parece a un piano, y la gráfica de contorno parece constar de rectas paralelas. Podemos simplificar la definición anterior, haciendo Po = (a, b), h = (h1, (e1(h1, h2), e2(hi, h2)). (La función e(h) es una función vectorial de h2), y E(h) una variable vectorial.) AsI,
f(p0 + h) f(p0) + (f(0),f(0)) h + e(h) h Esta formulación se generaliza fáciimente ci caso en que f es una función de tres (o ms) variables. Ahora definiremos la diferenciabilidad como sinónimo de iinealidad local. Definición La funciOn f es diferenciable en p Si es localmente lineal en p. La función f es diferenciable en un conjunto abierto R Si es diferenciable en cada punto en R.
El vector (f(p),f,(p)) = f(p)i + f(p)j se denota \7f(p) y se llama el gradiente de f. AsI, f es diferenciable en p si, y sOlo Si,
f(p + h)
f(p) + Vf(p)h +
donde e(h) 0 como h - 0. El operador V se conoce como el operador gradiente. En el sentido anterior, el gradiente se convierte en el análogo de la derivada. Destacamos varios aspectos de nuestras definiciones. La derivada f'(x) es un nOmero, mientras que el gradiente Vf(p) es un vector. Los productos \7f(p) h y e(h) h son productos punto. Las definiciones de diferenciabilidad y gradiente se extienden con facilidad a cualquier nOmero de dimensiones.
El siguiente teorema da una condiciOn que garantiza la diferenciabilidad de una función en un punto. Teorema A
Sif(x, y) tiene denivadas parciales continuas f(x, y) y f(x, y) en un disco D cuyo interior contiene a (a, b), entonces f(x, y) es diferenciable en (a, b).
SECCION 15.4
Diferenciabilidad
653
Demostración Sean h1 y h2 los incrementos en x y y, respectivamente, tan pequenos que (a + h1, b + h2) está en el interior del disco D. (Estos valores h1 y h2 existen por-
que ci interior del disco D es un conjunto abierto.) La diferencia entre f(a + h1, b + h2) y f(, b) es (3)
f(a + h1, b + h2) - f(a, b)
[f(a + h1,b) - f(a,b)] + [f(a + h1,b + h2) - f(a + h1,b)] Ahora aplicamos ci Teorema del valor medio para derivadas (Teorema 4.7A) dos yeces: una a la diferencia f(a + h1, b) - f(a, b) y otra a la diferencia f(a + h1, b + h2) f (a + h1, b). En ci primer caso, definimos g1(x) f(x, b) para x en el intervalo [a, a + h1]; por el Teorema del valor medio para derivadas concluimos que existe un valor en (a, a + h1) tal que
g1(a + h1) - g1(a) = f(a + h1, b) - f(a, b) = h1 g(c1)
h1 f(ci, b)
Para el segundo caso, definimos g2(y) = f(a + h1, y) para y en ci intervalo [b, b + h2]. Existe c2 en ci intervalo (b, b + h2) tal que g2(b + h2) - g2(b) h2g(c2) Esto implica que
g2(b + h2) - g2(b)
f(a + h1,b + h2) - f(a + h1,b) h2g(c2) = h2f(a + hi,c2)
La ecuación (3) se convierte en
f(a + h1,b + h2) - f(ab)
hif(ci,b) + h2f(a + hi,c2)
f(a, b) - f(a, b)] +h2[f(a + h1,c2) + f(a,b) - f(a,b)]
= hi[f(ci, b)
+
= hif(a,b) + h2f(a,b) +hi[f(ci,b) - f(a,b)] +h2[f(a + h1,c2)
- f(a,b)]
Ahora,seanE1(h1,h2) = f(c1,b) - f(a,b) y82(h1,h2) f(a + h1,c2) - f(a,b). Como c1 E (a, a + h1) y c2 n (b, b + h2), concluimos que c p a y c2 - b cuando h1, h2 - 0. AsI,
f(a + h1, b + h2) - f(a, b) = h1f(a, b) + h2f(a, b) + h181(h1, h2) + h282(h1, h2) donde r1(h1, h2) - 0 y r2(h1, h2) - 0 cuando (h1, h2) - (0, 0). Por lo tanto, f es localmente lineal y por tanto diferenciabie en (a, b). Si Ia función f es diferenciable en Po' entonces, cuando h tiene magnitud pequefla,
f(p0+ h)
f(p0) + Vf.h
Si hacemos p = Po + h, vemos que la función T definida como
T(p) = f(po) + Vf(p0) (p - Po) debe ser una buena aproximación a f(p) si p está cerca de Po La ecuaciOn z = T(p) define un piano que aproxima f cerca de p. Naturalmente, este plano se llama el piano tangente. Véase la figura 4.
Muestre que f(x, y) = xe + x2y es diferenciable en todas partes y calcule su gradiente. Luego determine la ecuación z = T(x, y) del piano tangente en (2, 0). EJ EM PLO 1
Figura 4
654 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn
So!ución
Observemos primero que af ax
=e+
af
2xy
= xe + x2
8y
Ambas funciones son continuas en todas partes y asI, por el Teorema A, f es diferenciable en todas partes. El gradiente es Vf(x, y) = (eY
+
2xy)i +
(xeY +
x2)j
(eY
+
2xy,
xe + x2)
AsI,
I + 6j = (1,6)
Vf(2,0)
y La ecuación del piano tangente es z = f(2,
0) +
2 +
=
+ 6y = x + 6y
2
.
Para f(x, y, z) = x sen z + x2y, determine Vf(1, 2, 0).
EJEMPLO 2
Solución
(1,6) (x - 2,y)
+x-
2
(x - 2, y)
0)
Vf(2,
Las derivadas parciales son af ax
= sen z +
= x, 2
2xy,
ay
x cos z az
En (1,2,0), estas parciales tienen los valores 4, 1 y 1, respectivamente.AsI,
Vf(1,2,0)=41+j+k Reglas para los gradientes En muchos aspectos, los gradientes se comportan como Las derivadas. Recuerde que D, considerado como operador, es Lineal. EL operador V también es lineal. Teorema B
Propiedades de V
V es un operador lineal; es decir,
V[f(p) + g(p)] = Vf(p) + Vg(p) V[af(p)] aVf(p) Además, tenemos la regla del producto.
V[f(p)g(p)] = f(p)Vg(p) + g(p)Vf(p) Demostración Los tres resultados son consecuencia de los hechos correspondientes para las derivadas parciales. Demostraremos (iii) en el caso de dos variables, eliminando eL punto p por brevedad.
Vfg=
a(fg)
ax
ag
(
f
ax
ay
+g
ax
(ag.
=fl
a(fg)
1+
1+
J
af\
ax;
ag
(
i+tf \
ay
(af.
ag 1
ay,
+gI
\ax
+g
1+
af
ay;
j
af ay
J
= fVg + gVf
Continuidad y diferenciabilidad
Recuerde que para funciones de una variable, la diferenciabilidad implica la continuidad, pero no al revés. Esto también es cierto ahora.
Teorema C Si f
es diferenciable en p, entonces f es continua en p.
Demostración Como f es diferenciable en p, f(p +h) f(p) = Vf(p)h +
SECCION 15.4
Diferenciabilidad
655
AsI,
f(p
+ h) f(p)
Vf(p).h + =
Vf(p)hHcos0 +
h
Los dos ültimos términos tienden a 0 cuando h - 0, de modo que
lImf(p + h)
f(p)
Esta ültima igualdad es una manera de formular la continuidad de f en p.
El campo gradiente
El gradiente Vf asocia a cada punto p del dominio de f un vector Vf(p). El conj unto de todos estos vectores es el campo gradiente para f. En las figuras 5 y 6 mostramos las gráficas de la superficie z = - y2 y el campo gradiente correspondiente. ,Sugieren estas figuras algo acerca de la dirección en la que apuntan los vectores gradiente? Exploraremos este tema en la siguiente sección.
/// \\\\\ // /1\ \N y
z = x2 - y2
/ V
N
\
4
/
\
\
N
x
/
N\ \\ 1/ /' \\ I //
\\\ ft// \
¶
t
Figura 6
Figura 5
Repaso de conceptos El análogo de Ia derivada f'(x) para una función de más de una variable es el denotado por Vf(p).
3. Para una función f de dos variables, el gradiente es V AsI, si f(x, y) = xy2, Vf(x, y) f(p) =
La función f(x, y) es diferenciable en (a, b) si, y solo si, f es en (a, b).
4. Que f(x, y) sea diferenciable en (x0, Yo) es equivalente a Ia a la gráfica en este punto. existencia de un
Conjunto de problemas 15.4 En los probiemas 1-10, determine el gradiente Vf. 2. f(x, y) = x3y - y3 1. f(x, y) = x2y + 3xy 4. f(x,y) = x2ycosy 3. f(x,y) = 6. f(x,y) = sen3(x2y) 5. f(x,y) = x2y/(x + y)
f(x, y, z) = Vx2 + y2 + z2 8. f(x,y,z) x2y + y2z + z2x 9. f(x,y,z) = x2yex_z 10. f(x,y,z) = xzln(x + y + z) 7.
f(x, y) = x3y + 3xy2, p = (2, 2) f(x, y) = cos -x sen -y + sen 2iry, p = (-1,
f(x,y)
=
11. f(x,y) = x2y -
xy2,p = (-2,3)
=
(2,i)
En los problemas 15 y 16, determine Ia ecuación w = T(x, y, z) del "hiperpIano"tangente en p.
f(x, y, z) = 3x2 - 2y2 + xz2, p = (i, 2, 1) (2,0, 3) xyz + x2, p f(x, y, z) Muestre que
gVf - fVg
En los problemas 11-14, determine el vector gradiente de Ia funcion dada en elpunto indicado p. Luego determine Ia ecuaciOn del piano tangente en p (véase el ejemplo 1).
,p
)
g2
Muestre que
V(fr) = rfr_lVf
656 CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Determine todos los puntos (x, y) en los que ci piano tangente a la grafica de z = x2 - 6x + 2y2 - by + 2xy sea horizontal. Determine todos los puntos (x, y) en los que el piano tangente a Ia gráfica de z = x3 sea horizontai.
Determine ecuaciones paramétricas para ia recta tangente a la superficie z = y + x3y en ei punto (2, 1, 9) cuya proyecciOn sobre el piano xy es (a) paraiela al eje x; (b) paralela ai eje y;
Use el resuitado del probiema 24 para mostrar que si Vf(p) = \7g(p) para todo p en un conj unto convexo S, entonces f y g difieren por una constante en S.
Determine ia función más general f(p) que satisfaga V
f(p)
= p.
27. Trace la gráfica de f(x, y) diente. ICAS
=-
xy junto con su campo gra-
(c) paraiela a Ia recta x = y. Determine ecuaciones paramétricas para ia recta tangente a
Con base en esto y en las figuras 5 y 6, haga una conjetura acerca de ia dirección en que apunta un vector gradiente.
Ia superficie z = x2y3 en el punto (3, 2, 72) cuya proyección sobre ci piano xy es
,Es f diferenciabie en ci origen? Justifique su respuesta.
(a) paraieia al eje x; (b) paraleia al eje y; (c) paralcia a la recta x = Consuite la figura 1. Determine Ia ecuación del plano tangente a z = 1OVxy en (1, 1). Recuerde: d x /dx x /x para x 0.
y.
28. Trace Ia gráfica de f(x, y) = sen x + sen y - sen(x + y) en 2r. Trace además ci campo gradiente para ver si su conjetura en ci probiema 27(a) es válida. CAS
x <2ir, 0 < y
0
29. Demuestre el teorema B para el caso de tres variables y
ci caso de n variables. Sugerencia: Denote los vectores unitarios canónicos como i1 , i2.....i,.
Teorema del valor medio para varias variables Si f es diferenciable en cada punto dci segmento de recta de a a b, entonces existe en ese segmento un punto c entre a y b tal que
f(b) f(a) = Vf(c)(b - a) Suponiendo que este resultado es vélido, muestre que si f es diferenciable en un conjunto convexo S y si Vf(p) = 0 en S, entonces f es constante en S. Nota: Un conj unto S es convexo si cada par de puntos en S pueden unirse mcdiante un segmento de recta en S.
15.5
Derivadas direccionales y grad ientes
Respuestas al repaso de conceptos: +
lineal 3.
af(p) ay
j; y i + 2xyj 2
1. gradiente 2. localmente 4.
piano tangente
Considerc de nuevo una funciOn f(x, y) de dos variabics. Las derivadas parciales f(x, y) y f(x, y) midcn la razón de cambio (y la pcndiente de la recta tangente) en direcciones paraieias a los ejes x y y. Nucstro objetivo es estudiar la razón de cambio de f en una dirección arbitraria. Esto conduce al concepto de derivada direccional, quc a su vez est rciacionado con ci gradiente. Será convcnicnte usar Ia notación vectorial. Sea p = (x, y) y sean i, j los vectores unitarios en las direcciones positivas de x y y. Entonces las dos derivadas parciales en p se pueden escribir como sigue:
f() = lim f(p + hi)h - f(p) -
h-*O
lIm fy(p) = h-O
f(p + hd) - f(p) h
Para obtencr ci concepto que estamos buscando, io Unico que debemos hacer es reemplazar 1 o j por un vector unitario arbitrario u. Def in ición
Para cualquier vector unitario u, sea
Df(p)
(:;n. f' .x. fl
h-O
f(p+hu) f(p) h
Este ilmite, si existe, se llama la derivada direccional de f en p en la dirección u.
y
Figura 1
= urn
AsI, Df(p) = f() y Df(p) = f(p). Como p = (x, y), también usamos la notación Duf(x, y). La figura 1 proporciona la interpretación geornétrica de Duf(xo, Yo). El vector u determina una recta L en el plano xy que pasa por (x0, yo). El plano que pasa por L perpendicular ai plano xy corta a ia superficie z = f(x, y) en una curva C. Su tangente en el punto (x0, y, f(x0, Yo)) tiene pendiente DJ(x0, Yo). Otra Otil interpretación es que DJ(x0, Yo) mide ia razón de cambio de f con respecto de ia distancia en la dirección u.
SECCION 1 5.5
RelaciOn con el grad iente
Derivadas direccionales y gradientes 657
Recuerde de la sección
que Vf(p) está dado por
15.4
f(p)i + f(p)j
Vf(p) Teorema A
f
.ii una derivada direccional en p en la diSea diferenciable en p. 1 niLoJi ces ,f tene u1i -I- uj y rección del vector unitario u
D,p) fi =u'Vf(p) Es decir,
Df(x, y) = u1f(x, y) + u2f(x, y) Demostración
Como f es diferenciable en p, f(p + hu) - f(p) = Vf(p) . (hu) + e(hu)
donde
8(hu) - 0 cuando h
0.
(hu)
AsI,
f(p + hu)
f(p) Vf(p) . u +
(hu)
h
Obtenemos La conclusion calculando los lImites cuando h
xy + 3y2, determine la derivada direccional de f en en la dirección del vector a = 41 + 3j.
EJEMPLO 1 (2, 1)
0.
Si f(x, y) = 4x2
Solución EL vector unitario u en La direcciOn de a es ()i + ()j. Además;f(x, y) = 8x y y f(x, y) = x + 6y; asI, f(2, 1) 17 y f(2, 1) = 8. En consecuencia, por el Teorema A,
Df(2, 1)
= (,
)
. (17, 8)
=
(17) +
Aunque no entraremos en detalles, afirmamos que to que hemos hecho es válido para funciones de tres o más variables, con modificaciones obvias. Veamos un ejemplo. Determine La derivada direccional de La función f(x, en el punto (1, 2, ir/2) en La dirección del vector a = I + 2j + 2k. EJEMPLO 2
z = x2 - y2
y, z) = xy
sen z
Solución El vector unitario u en La dirección de a es (1 + j + k. Además, f(x, y, z) = y sen z, f(x, y, z) = x sen z, y f(x, y, z) = xy cos z, y entonces
f(1,2,/2) = 2,f(1,2,/2) = 1,yf(1,2,r/2) = 0.Concluimosque
Df(1,2)
=
(2) +
(1) +
.
(0)
RazOn maxima de cambio Para una función f y un punto p, es natural preguntar en qué direcciOn crece la función más rápidamente, es decir, ,en qué dirección es mayor Duf(p)? Gracias a La formula geométrica para el producto punto (sección 14.2) podemos escribir D11f(p)
u Vf(p) = u Vf(p) cos9
Vf(p) cos 0
donde 0 es el anguto entre u y Vf(p). AsI, Df(p) se maximiza cuando 0 = 0 y se minimiza cuando 6 = IT. En resumen, Teorema B
p en la dii ción del graJiLIte (con razón Una función Lrece mis rpidamente Vf(p) ) y d'crece más rápidamenk e-i La diirección opuesta (con razón - V I
EJEMILO 3 Suponga que un escarabajo está sobre eLparaboloide hiperbólico z = en el punto (1, 1, 0), como en La figura 2. En qué dirección debe moverse para La Figura 2
subida más pronunciada? y ,cuál es La pendiente al comenzar a moverse?
658 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Solución
Sea f(x, y) =
- x2. Como f(x, y) = 2x y f(x, y) = 1) =
f(1, 1)1 + f(1, 1)j = 21 + 2j
AsI, el escarabajo debe moverse desde (1, 1, 0) en la dirección 2i + 2j, donde la pen-
diente será 21 + 2j = \/. Vf(x0, Yo)
Curvas de nivel y gradientes
x
Figura 3
Recuerde de la secciOn 15.1 que las curvas de nivel de una superficie z = f(x, y) son las proyecciones sobre el piano xy de las curvas de intersección de Ia superficie con pianos z = k que son paralelos ai piano xy. El valor de la función en todos los puntos de la misma curva de nivel es constante (figura 3). Denotemos por L a la curva de nivel de f(x, y) que pasa por un punto elegido al azar P(x0, Yo) en ei dominio de f, y sea u el vector unitario tangente a L en P. Como ei valor de f es el mismo en todos los puntos de ia curva de nivel L, su derivada direccional Df(xo, yo), que es la razOn de cambio de f(x, y) en la dirección u, es igual a cero cuando u es tangente a L. (Esta afirmación, que parece muy clara intuitivamente, requiere una justificación, la cual omitiremos, pues el resultado que queremos también se sigue de un argumento que daremos en la sección 15.7.) Como
0 = Df(x0, Yo) = Vf(x0, Yo) u concluimos que V/f y u son perpendiculares, resultado que merece el nivel de teorema. Teorema C
El gradiente de f en un punto P es perpendicular a la curva de nivel de f ç por P. La curva de nivel de z =
quepasaporP(2, 1)
+ y2
pasa
EJEMPLO 4 Para el paraboloide z = x2/4 + y2, determine Ia ecuación de su curva de nivel que pasa por el punto P(2, 1) y bosquéjela. Determine el vector gradiente del paraboloide en P y trace el gradiente con su punto inicial en P.
Solución La curva de nivel del paraboloide que corresponde al piano z = k tiene La ecuaciOn x2/4 + y2 = k. Para determinar eL valor de k correspondiente a la curva de five! que pasa por P, sustituimos (2, 1) en vez de (x, y) y obtenemos k = 2.AsI, la ecuación de la curva de nivel que pasa por P es La elipse 2
8
2
2
A continuaciOn, sea f(x, y) = x2/4 + y2. Como f(x, y) = x/2 y f(x, y) = 2y, el gradiente del paraboloide en P(2, 1) es Figura 4
1) =
f(2, 1)1 + f(2, 1)j = I + 2j
I. U.
La curva de nivel y el gradiente en P aparecen en Ia figura 4.
Para dar más ejemplos de Los Teoremas B y C, pedimos a nuestra computadora
que trazara la superficie z = xy , junto con su mapa de contorno y campo gradiente. Los resultados aparecen en la figura 5. Observe que los vectores gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel y que reaLmente apuntan en la dirección de mlximo incremento de z.
x
SECCION 15.5
Derivadas direccionales y gradientes 659
El concepto de curvas de nivel para funciones de dos variables se generaliza a superficies de nivel para funciones de tres variables. Si f es una función de tres variables, la superficie f(x, y, z) = k, donde k es una constante, se llama una superficie de nivel para f. En todos los puntos de una superficie de nivel, el valor de la funciOn es el mismo, y el vector gradiente de f(x, y, z) en un punto P(x, y, z) en su dominio es normal a la superficie de nivel de f que pasa por P.
Dimensiones superiores
En los problemas de conducción de calor en un cuerpo homogéneo, donde w = f(x, y, z) da la temperatura en el punto (x, y, z), la superficie de nivel f(x, y, z) = k se llama una superficie isoterma, pues todos sus puntos tienen la misma ternperatura k. En cualquier punto dado del duerpo, el calor fluye en la dirección opuesta a la del gradiente (es decir, en la dirección de mayor decremento en la temperatura)
y por lo tanto perpendicular a la superficie isoterma que pasa por el punto. Si w = f(x, y, z) da ci potencial electrostático (voltaje) en cualquier punto en un campo de potencial eléctrico, las superficies de nivel de esta función se llaman superficies equipotenciales. Todos los puntos de una superficie equipotencial tienen el mismo potencial electrostático y la dirección de flujo de la electricidad es a lo largo del negativo del gradiente, es decir, en la dirección de mayor caIda de potencial. 1)r 2 i
z =f(x, y)
La grafica es una superficie.
f(x, y,) = k determina una curva de nivel en el piano xy.
Vfes un vector normaJ a la curva de nivel.
w =f(x, y,
z)
No podemos trazar Ia gráfica porque necesitamos un espacio de cuatro dimensiones.
f(x, y, z) = k determina una supeficie de nivel en ei espacio xyz.
Vfes un vector normal a la superficie de nivel.
660 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n EJEMPLO 5 Si la temperatura en cualquier punto de un cuerpo homogeneo está dada por T = exy - xy2 - x2yz, ,cuál es la dirección de mayor descenso de temperatura en
el punto (1, 1, 2)?
Solución El mayor descenso de temperatura en (1, 1, 2) está en Ia direcciOn del negativo del gradiente en ese punto. Como VT = (yexY - y2 - 2xyz)i
que VT en (1, 1, 2) es
+
(xexY
- 2xy - x2z)j + (_X2y)k, vemos
(e_1_3)i_e_1j_k Repaso de conceptos La derivada direccional de f en p en Ia direcciOn del vector
unitarjo u se denota Df(p) y se define como In Si u = u11 + u2j es un vector unitario, entonces podemos calcular Df(x, y) a partir de la formula Df(x, y) =
El vector gradiente V/f siempre apunta en la dirección de de f. El vector gradiente de f en P siempre es perpendicular a la de f que pasa por P.
Conjunto de problemas 15.5 En los problemas 1-8, determine Ia derivada direccional defen elpuntop en la direcciOn de a.
f(x,y) = x2y;p
(l,2);a = 31 - 4j
La temperatura en (x, y, z) de una bola con centro en el ongen está dada por
f(x,y) = y2lnx;p = (1,4);a = i-j f(x, y) = 2x2 + xy
-
f(x,y)
200
p = (3, 2); a = i - j
f(x,y) = x2 - 3xy + 2y2;p
T(x,y,z) = 5 + x2 + y2+ z2
(-1,2);a = 21j
exseny;p = (0,-/4);a = i +
f(x, y) = eY;p = (1, 1);a =
+
f(x,y,z) = x3y - y2z2;p = (-2,1,3);a = I - 2j + 2k
f(x,y,z) a
x2 + y2 + z2;p = (1,-1,2);
-j-k
En los problemas 9-12, determine tin vector unitario en Ia dirección en quefcrece mOs rápidamente en p. /Cudl es Ia razón de cambio en esta dirección?
f(x,y) = x3 - y5;p = (2,i) f(x,y) &'senx;p = (5ii-/6,0) f(x,y,z) = x2yz;p = (1,-1,2)
- y2 decre-
En qué dirección a ocurre que f(x, y) = sen(3x - y) decrece más rápido en p = (ii-/6, ir/4)?
Bosqueje Ia curva de nivel de f(x, y) = y/x2 que pasa por p = (1, 2). Calcule el vector gradiente \7f(p) y trace este vector, colocando su punto inicial en p. Qué debe ocurrir con \7f(p)? Siga las instrucciones del problema iS para f(x, y)
x2 +
4y2yp = (2,1). Determine la derivada direccional de f(x, y, z)
(i, 1, i) en la direcciOn hacia (5, 3, 3).
Por inspección, decida dOnde la bola está ms caliente. Determine un vector que apunte en Ia dirección de mayor incremento de temperatura en (1, 1, 1). Apunta el vector de la parte (b) hacia el origen? La temperatura en (x, y3 z) de una bola con centro en el ongen es T(x, y, z) = lOOe_(x Y +Z ) Observe que esta bola está más caliente en el origen. Muestre que la direcçion de mayor incremento en la temperatura es siempre un vector que apunta hacia fuera del origen.
Determine el gradiente de f(x, y, z) = sen\/x2 + y2 + z2 Muestre que el gradiente siempre apunta hacia el origen o hacia fuera del origen. Suponga que Ia temperatura T en el punto (x, y, z) depende solo de Ia distancia al origen. Muestre que la direcciOn de méximo incremento en kTsiempre apunta hacia el origen o hacia fuera del ongen.
f(x, y, z) = xeYz; p = (2, 0, 4) En qué dirección u ocurre que f(x, y) = i ce más rápido en p = (i, 2)?
Determine Ia derivada direccional de f(x, y) = e cos y en (0, ir/3) en Ia direcciOn hacia el origen.
xy + z2 en
La elevaciOn de una montana sobre el nivel del mar en el punto (x, y) es f(x, y). Un montaflista en p nota que la pendiente en la dirección este es - y la pendiente en la dirección norte es . LEn qué direcciOn debe moverse para el més répido descenso?
-
Dado que f(2, 4) = 3 y f(2, 4) = 8, determine la derivada direccional de f en (2, 4) en la dirección hacia (5, 0). La elevaciOn de una montana sobre el nivel del mar en (x, y)
es 3000e( +2y)/1OO metros. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo apunta hacia el forte. Una montañista está directamente sobre (iO, 10). Si la montaflista se mueve hacia el forte, Lascenderá o descenderá y con qué pendiente?
SECCION 15.6
La regla de Ia cadena 661
Estimef en C,f en Dy DJ en E, donde u
26. Si la temperatura de una placa en el punto (x, y) es f(x,
(1 +
- y2, determine Ia trayectoria de una partIcula que busca calor (la cual siempre se mueve en la dirección de mayor incremento en la temperatura) seguirIa si parte de (-2, 1). Sugerencia: La partIcula se mueve en la dirección del gradiente y) = 10 + x2
VT =
2xi - 2yj
Podemos escribir la trayectoria en forma paramétrica como
r(t) = x(t)i + y(t)j y queremos x(0) = 2 y y(0) = 1. Moverse en la direcciOn requerida significa que r'(t) debe ser paralelo a VT. Esto se satisface si
x'(t)
y'(t)
2x(t) -
2y(t)
x
junto con las condiciones x(0) = 2 y y(0) = 1. Ahora, resuelva esta ecuación diferencial y evalüe la constante de integración arbitraria. 27. Resuelva el problema 26, suponiendo que T(x, y)
Figura 6
20 2x2
y2.
28. El punto P(1, 1, 10) está sobre la superficie z = 10\/xy (véase la figura 1 de la sección 15.4). Partiendo de F, ,en qué dirección u = u1i + u2j debe uno moverse en cada caso? Para subir más rápidamente. Para permanecer en el mismo nivel. Para subir con pendiente 1. 29. La temperatura T en grados Celsius en (x, y, z) está dada por T = 10/(x2 + y2 + z2), donde las distancias están en metros. Una abeja vuela alejándose del punto más caliente en el origen siguiendo una trayectoria espiral, de modo que su vector de posición en el instante t (en segundos) es r = t cos 7rt I + t sen rtj + tk. Determine la razón de cambio de T en cada caso. Con respecto de la distancia recorrida en t = 1. Con respecto del tiempo en t = 1. (Piense en dos formas de hacer esto.) (31 - 4j)/5 y v = (4i + 3j)/5 y suponga que en al30. Sean u
gén punto F, DJ =
6 y Df
= 17.
Determine Vf en P. Note que Vf 2 = (DJ)2 + (Df)2 en la parte (a). Muestre que esta relaciOn siempre es válida si ii y v son perpendiculares. 31. La figura 6 muestra el mapa de contorno de una colina de 60 pies de altura, la que suponemos tiene ecuaciOn z = f(x, y). Una gota de liuvia que cae en la colina sobre el punto A llegar al piano xy en A' siguiendo la trayectoria de descenso más pronunciado desde A.Trace esta trayectoria y üsela para estimar A'. Haga lo mismo para ei punto B.
1 5.6
La regla de Ia cadena
32. De acuerdo con el Teorema A, la diferenciabilidad de f en p implica la existencia de DJ(p) en todas las direcciones. Muestre que el recIproco es falso, considerando
f(x,y)
=
1 SiO
en el origen.
33. Trace la grafica de z =
- y2 en 5
x 5, y < 5; trace además su mapa de contorno y campo gradiente, ilustrando con ello los Teoremas B y C. Luego estime las coordenadas xy del punto donde una gota de lluvia que cayO sobre el punto (-5,
IcAsi
5
0, 1) saldrá de Ia superficie. IcAsi
34. Siga las instrucciones del problema 33 para z = x - x3/9 - y2.
< 5, 5 y - 3xy2 en 5 35. Para la silla del mono z = 5, estime las coordenadas xy del punto donde una gota de liuvia que cayó sobre el punto (5, 0.2) saldrá de la superficie.
IcAsi
IcASI
36. ,En qué punto llegará al reposo una gota de lluvia que ca-
yó sobre el punto (4, 1) sobre la superficie z = sen x + sen y sen(x +
1. [f(p + hu) - f(p)]/h Respuestas al repaso de conceptos: 2. u1f(x, y) + u2f(x, y) 3. máximo incremento 4. curva de nivel
La regla de la cadena para la composición de funciones de una variable es ahora familiar para todos nuestros lectores. Si y = f(x(t)), donde f y x son funciones diferenciables, entonces
dy
dy dx
dt - dx dt Nuestro objetivo es obtener generalizaciones para funciones de varias variables.
Primera versiOn Si z = f(x, y), donde x y y son funciones de t, entonces tiene sentido preguntarse por dz/dt, y por tanto debe existir una formula para ella.
662
La derivada en el espacio de dimensiOn n
CAPFTULO 15
Teorema A Regla de Ia cadena
Sean x = x(t) y y = y(t) diferenrahl
..i L-, y ser z = f(x, y) diferenciab i en (x(t), y(t)). Entonces z = f(x(t), y(t)) es ,.. 1ifereiiLI.iaJ' ii.. n z y ôz d dz +
dtäxdt
Demostración
Belleza y generalidad ,Se cumple el análogo general de Ia regla de la cadena para una variable (Teorema A, sección 3.5)? Si, y he aqul un enunciado particularmente elegante de él. Sean II el espacio euclidiano de dimension n, g una función de en B", y f una función de en l. Si g es diferenciable en t y si f es diferenciable en g(t), entonces la composiciOn f ° g es diferenciable en g(t) y
(f ° g)'(t) = Vf(g(t)) g'(t) Ya disponemos de toda la maquinaria necesaria para demostrar esto; yea si puede dar la demostración.
La regla de Ia cadena: el caso de dos variables He aqul una forma que permite recordar Ia regla de Ia cadena. z =f(x,
)
dydt
Imitamos Ia demostración para una variable del apéndice A.2, Teore-
ma B. Para simplificar la notaciOn, sean p = (x, y), Ap = (Ax, Ay), y Az f(p + Ap) - f(p). Entonces, como f es diferenciable,
Az = f(p + Ap) - f(p) = Vf(p) Ap + s(Ap)
= f(p)Ax + f(p)Ay
+ E(Ap)
L\p
con 8(Ap) - 0 cuando Ap - 0. Al dividir ambos lados entre At, obtenemos Az
(1)
= f(p)
Ax At
'Ax Ay\
+ f(p)
Ay At
+ E(Ap).
/Ax Ay \A
'dx dy\
Ahora, (
\At , At/) tiende a \dt dt/) cuando At - 0. Además, cuando At - 0, tan,
to Ax como Ay tienden a 0 (recuerde que x(t) y y(t) son continuas, por ser diferenciables). Esto implica que Ap - 0 y por tanto E(Ap) - 0 cuando At - 0. En consecuencia, cuando hacemos At - 0 en (1), obtenemos
dy dx dz dt dt + f(p) dt resultado equivalente a nuestra afirmación original. EJEMPLO 1
Suponga que z
x3y, donde x
2t y y = t2. Determine dz/dt.
Solución 0z dx
dz
Variable dependiente
dtaxdt
+
az dy
aydt
= (3x2y)(2) + (x)(2t) = 6(2t)2(t2) + 2(2t)3(t) =40t4
Variables intermedias
PodrIamos haber resuelto el ejemplo 1 sin usar la regla de la cadena. Por una sustitución directa, di
z = x3y = (2t)3t2 = 8t5 Variable independiente
z dx
di
axdt
ay di
de modo que dz/dt = 40t4. Sin embargo, el método de sustitución directa no siempre está disponible o no es conveniente; observe el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2
Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio r y altura h aumentan; por lo tanto, también lo hace el area S de su superficie. Suponga que en el instante en que r = 10 centImetros y h = 100 centImetros, r está creciendo a razón de 0.2 centImetros/hora y h aumenta a 0.5 centImetros/hora. ,Qué tan rápido crece S en ese instante?
Solución
La formula para el area total de la superficie de un cilindro (figura 1) es
S = 2rh + 2irr2
Figura 1
AsI, r
dS dt
0Sdr
8rdt
+
0Sdh
andt
= (27th + 4rr)(0.2) + (27rr)(0.5)
SECCION 15.6
La regla de Ia cadena 663
Enr = lOyh = 100, dS
= (2ir 100 + 4ir 10)(0.2) + (2r 10)(0.5)
dt
= 58r centImetros cuadrados/hora El resultado del Teorema A se extiende con facilidad a una función de tres variables, como veremos ahora.
Suponga que w = x2y + y + xz, donde x = cos 6, y = sen 6 y z Determine dw/dO y evalüelo en 6 = EJEMPLO 3
La regla de ía cadena: el caso de tres variables
62
So!ución
dw dO
awdy
awdz azdo = (2xy + z)(-senO) + (x2 + 1)(cos0) + (x)(26) awdx axdO
+
+
aydo
= -2 cos 6 sen2 0 - 62 sen 6 + cos3 0 + cos 0 + 20 cos 0
En6
= 7T/3,
dw dO dw
aw dx
deax d6
ay dO
z dO
SegundaversiOn
2-24 -2
3
1
\/E 2
9
1
T2V
8
18
\1 2 i + \4-+1I-+ )2 3
2
+T
3
Supongaquez = f(x,y),dondex = x(s,t)yy
y(s,t).Enton-
ces tiene sentido preguntarse por az/as y az/at. Teorema B
Regla de Ia cadena
Sean x = x(s. t) y y = y(s, t) funciones con primeras derivadas parciales en (s, t) y sea z = f( , ) diferenciable en (x(s, t), y(s, t)). Entonces z = f(x(s, t), y(s, t)) tiene primera derivadas parciales dadas por 8z 8y az ax .. 8z z äx äz 8y 8: + , (ii) (1) - = - --- + 8y at ax at at 8y 8s 8x as 8s Demostración Si s se mantiene fijo, entonces x(s, t) y y(s, t) se convierten en funciones solo de t, lo que significa que el Teorema A se puede aplicar. Al usar este teorema, reemplazando a por d para indicar que s está fijo, obtenemos la fOrmula en (ii) para az/at. La fOrmula para az/as se obtiene de manera similar, manteniendo fijo a t. EJEMPLO 4
Si z = 3x2
- y2, donde x = 2s + 7t y y
5st, determine az/at y expré-
selo en términos de s y t.
Solución az at
azax + azay
axat
ayat
= (6x)(7) + (-2y)(Ss) = 42(2s + 7t) - lOst(5s) = 84s + 294t - 50s2t
.
He aquI el resultado correspondiente para tres variables intermedias, ilustrado mediante un ejemplo. EJEMPLO 5
mine aw/at.
Siw = x2 + y2 + z2 + xy,dondex
st,y = s-tyz
s + 2t,deter-
664 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Solución 8w
at
=
8w öx 8w 8)) 8w 8z + + 8x at ay at 8z at
= (2x + y)(s) + (2y + x)(-1) + (2z)(2) (2st + s - t)(s) + (2s - 2t + st)(-1) + (2s + 4t)2 = 2s2t + s2 - 2st + 2s + lOt Funciones impilcitas Suponga que F(x, y) = 0 define a y de manera implIcita como una función de x, por ejemplo, y = g(x), pero que la función g es difIcil o imposible de determinar. AOn asI, podemos determinar dy/dx. Un método para hacer esto, la derivaciOn implIcita, fue analizado en La secciOn 3.8. He aquI otro método. Derivemos ambos lados de F(x, y) 0 con respecto de x usando la regla de la Cadena. Obtenemos
8Fdx 8xdx
+
8Fdy =0 8ydx
Al despejar dy/dx obtenemos Ia formula dy dx EJEMPLO 6
8F/8x 8F/8y
Determine dy/dx si x3 + x2y - 10 y4 = 0 usando
(a) la regla de La cadena y
(b) La derivación implIcita.
Solución
Sea F(x, y) = x3 + x2y - 10 y4. Entonces dy
8F/8x
dx -
8F/8y -
3x2 + 2xy x2 - 40y3
Derivamos ambos Lados con reSpecto de x para obtener
3x2 + x2
dy dy + 2xy - 40y3 =0 dx dx
Al despejar dy/dx obtenemos ci mismo resultado que con la regia de la cadena.
.
Si z es una funciOn implIcita de x y y definida mediante la ecuación F(x, y, z) entonces aL derivar ambos ados con reSpecto de x, manteniendo y fijo, obtenemos
0,
8F8x aF8y 8F8z + + =0 8x8x ayax 8z8x Si despejamos 8z/8x y observanios que ay/ax = 0, obtenemos la primera de las fOrmulas siguientes. Un c2Ilculo similar, con x fijo, y derivando con reSpecto de y produce la segunda fOrmula. 8z
8F/8x
8z
8x
8F/8z'
ay -
8F/ay 8F/az
Si F(x, y, z) = x3e - y sen(x - z) = 0 define a z de manera implIcita como una función de x y y, determine 8z/8x. EJEMPLO 7
Solución 8z 8x
8F/8x 8F/8z
- ycos(x - z) x3eY+z + ycos(x - z)
3x2eY+z
.
La regla de Ia cadena 665
SECCION 15.6
Repaso de conceptos Si z = f(x, y), donde x = g(t) y y = h(t), entonces la regla de la cadena dice que dz/dt =
3. Si z = f(x, y), donde x = g(s, t) y y = h(s, t), entonces la regla de la cadena dice que Oz/Ot 2 + 2, entonces Oz/Ot
4. AsI, si z = xy2, donde x = st
AsI, si z = xy2, donde x = sen t y y = cos t, entonces
ens = lyt = itieneelvalor
dz/dt =
Conj unto deproblemas 15.6 En los problemas 1-6, determine dw/dt mediante Ia regla de Ia cadena. Exprese su respuesta final en términos de t.
w = x2y3; x = t3, y =
w = x2y - y2x; x = cost, y = sent w = e- sen y + e sen x; x
3t, y
2t
w = In(x/y);x = tant,y = sec2t w = sen(xyz); x = t3, y = t2, z w
t
xy + yz + xz;x = t2,y = 1 t2,Z = 1
En los problemas 7-12, determine ow/at usando Ia regla de Ia cadena. Exprese su respuesta final en términos de s y I.
w = x2y;x
decir, dx/dt = dy/dt = 2). Desde Ia perspectiva del escarabajo, i,cOmo cambia la temperatura con el tiempo cuando éste cruza el origen?
Un niño pierde su barco de juguete a orillas de un rio recto. La corriente lo arrastra 5 pies/segundo. Un viento cruzado sopla hacia la orilla contraria, a 4 pies/segundo. Si el niflo corre a lo largo de la orilla a 3 pies/segundo siguiendo su barco, que tan rápido se aleja el barco de él cuando t = 3 segundos? Se deposita arena en una pila cónica de modo que en cierto instante, la altura es de 100 pulgadas y crece a razOn de 3 pulgadas/minuto, mientras que el radio es de 40 pulgadas y crece a 2 pulgadas/minuto. i,Qué tan rápido aumenta el volumen en ese instante?
En los pro blemas 21-24, use el método del ejemplo 6a para determinar dy/dx.
x3 + 2x2y - y3 = 0 ye_x + 5x - 17 0
st,y = s - t
w = x2 - ylnx;x = s/t,y = s2t w= = ssent,y = tsens
x sen y + y cos x = 0
w=1n(x+y)-1n(xy);x=te,ye
Si 3x2z + y3 - xyz3 = 0, determine az/ax (ejemplo 7). Si ye-' + z sen x = 0, determine Ox/Oz (ejemplo 7).
w=
x2cosy - y2senx = 0
+ y2 + z2; x = cosst, y = senst, z = s2t
w = evY+; x = s + t,y = s - t, z = Si z = x2y, x = 2t + s, y y = 1 - st2, determine
Si T = f(x, y, z, w) y x, y, z y w son cada una funciones de s y t, escriba una regla de la cadena para OT/Os.
Sea z = f(x, y), donde x = r cos 0 y y
r sen 0. Muestre
que
Oz
at
Oz2 (Oyj
2
s=1,1
2
(Ox)
Si z = xy + x + y, x = r + s + t, y y = rst, determine
2
1 /Oz'\2
(Or)
La ecuación de onda de la fisica es la ecuación diferencial
Oz Os r= I,sI,i=2 Si w = u2 - u tan v, u = x, y v =
parcial 02y
x, determine
dw dx x=1/4 Si w = x2 y + z2, x = p cos 0 sen 4), y = p sen 0 sen 4), y z = p cos 4), determine Ow
at2
=C
202y Ox2
donde c es una constante. Muestre que si f es cualquier función dos veces diferenciable, entonces
y(x,t) = [f(x - Ct) + f(x + ct)] satisface esta ecuación.
00 p2, O=i, cb=i/2
La parte de un árbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un sólido con forma aproximada de un cilindro circutar recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece pulgada/ano y la altura aumenta 8 pulgadas/aflo, ,qué tan rápido aumenta el volumen cuando el radio es de 20 pulgadas y la altura es de 400 pulgadas? Exprese su respuesta en pies cuadrados/aflo (1 pie cuadrado mide 12 por 12 pulgadas).
La temperatura de una placa metálica en (x, y) es e3 grados. Un escarabajo camina hacia el norte a razón de \/ pies/minuto (es
30. Muestre que si w = f(rs, s - t, t - r), entonces Ow Or
+
Ow Os
+
Ow
-0
Ot -
Ph()
31. Sea F(t) = /
f(u) du, donde f es continua y g y h son
Jg(t)
diferenciables. Muestre que
F'(t) = f(h(t))h'(t) - f(g(t))g'(t)
666 CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn n
ci 33. Saliendo del mismo punto P, el avión A vuela hacia el este, mientras que el aviOn B vuela en la direcciOn N 500 E. En cierto instante, A está a 200 millas de P, volando a 450 millas/hora, mientras que B está a 150 millas de P volando a 400 millas/hora. ,Qué tan rápido se están separando en ese instante?
y use este resultado para determinar F'(\/), donde [12
F(t)
V9 + u4du JSCfl \/
71-1
32. Liame a una función f(x, y) homogenea de grado 1 si f(tx, ty) = tf(x, y) para toda t > 0. Por ejemplo, f(x, y) x + ye1- satis-
34. Recuerde la Ley de gravitación de Newton, la cual afirma que Ia magnitud F de Ia fuerza de atracción entre objetos de masas M
face este criterjo. Demuestre el Teorema de Euler: tal función satisface
f(x,y) = x
of Ox
+y
y m es F = GMm/r2, donde r es Ia distancia entre ellos y G es una conStante universal. Consideremos un objeto de masa M colocado en el origen y supongamos que un segundo objeto de masa cambiante m (digamos, por consumo de combustible) se aleja del origen de mo-
a Oy
do que su vector de posición es r = xi + yj + zk. Obtenga una
Nota: Sea f(x, y) el valor de producción de x unidades de capital y y unidades de mano de obra. Entonces f es una función homogénea (por ejemplo, al duplicar el capital y la mano de obra se duplica la producción). El Teorema de Euler garantiza entonces una importante ley económica que puede establecerse como sigue: El valor de Ia producción f(x, y) es igual al costo del capital más el costo de la mano de obra, si se pagan con sus tasas marginales respectivas af/ax y af/ay.
15.7
Pianos tangentes, aproxi macjones Z
P1ano tangente
fOrmula para dF/dt en términos de las derivadas con respecto del tiempo de m, x, y y z.
Ozdx azdy -+ Oxdt Oydt cos3 t - 2 sen2 t cost
Respuestas al repaso de conceptos:
y2 cos t + 2xy(sen t) OzBx OxOt
1.
+ 412 OzOy OyOt
En la secciOn 15.4 presentamos el concepto de plano tangente a una superficie, pero solo trabajamos con superficies determinadas por ecuaciones de Ia forma z = f(x, y) (figura 1). Ahora queremos considerar el caso más general de una superficie determinada por F(x, y, z) = k. (Observe que z = f(x, y) se puede escribir como F(x, y, z) = f(x, y) - z 0.) Considere una curva sobre esta superficie que pase por el punto (x0, Yo, z0). Si x = x(t), y = y(t) y z = z(t) son ecuaciones paramétricas de esta curva, entonces, para cada t,
F(x(t), y(t), z(t)) = k -' )
Por Ia regla de la cadena,
dF
OF dy OF dx dk OF dz + + = Ox dt dt Oz dt ay dt
dt y
=0
Podemos expresar esto en términos del gradiente de F y la derivada de la expresión vectorial para la curva r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k como
VF
=
Figura 1
Como ya hemos visto (sección 14.4), dr/dt es tangente a la durva. En resumen, el gradiente en (x0, Yo' zo) es perpendicular a la recta tangente en este punto. El argumento anterior es vélido para cualquier curva que pase por (x0, Yo, z0) que esté sobre la superficie F(x, y, z) = k (figura 2). Esto sugiere Ia siguiente definiciOn general. VP(x0, Yo' z0)
Piano tangente
I -
(x0, y0, z0)
Figura 2
SECCION 15.7
PIanos tangentes, aproximaciones 667
Definición Supongamos que F(x, y, z) = k determina una superficie y que F es diferenciable en el punto P(x0, Yo, z0) de esta superficie, con \7F(x0, yo, zo) 0. Entonces el piano que pasa por P y es perpendicular a VF(x0, Yo, z0) es ei piano tangente a ia superficie en P. Como conseduencia de esta definiciOn y de la sección 14.2, podemos escribir ia ecuación dei piano tangente. Teorema A Pianos tangentes Para Ia supei [icie F(x,
VF(xo,
Yo' z0)
F(xo, y
y, z) =
k, Ia ecuación del piano tangente en (x0, y, z0)
(X - X, Y - x0) + i
sfji
En particuiar, pala lit upei. Yo' f(x0, Yo)) es
z-
z0
Yo' Z -
z0) =
- yo) + F(xo,
,
e z
f(x,
es
0; es decir,
- z0) =
Yo'
0
y), la ecuación del piano tangente en (x0,
= f(xo, y0)(x - x0) +
f(x0,
Yo)(Y - Yo)
Demostración La primera afirmación es inmediata, y La segunda es consecuencia de ésta, considerando F(x, y, z) = f(x, y) - z. Si z es una función de x y y, digamos, z = f(x, y), entonces, por la segunda parte del Teorema A, podemos escribir la ecuaciOn del piano tangente como
z - f(x0, y)
(x, y) y Po = (x0, ye), vemos que la ecuación del piano tangente es
Si hacemos p z =
= Piano tangente 2x + 2)' -Z = 2
f(x0, y) + (f(xo, y0),f(x0, Yo)) (x - x0, y f(p0)
+
Vf(p0)
(p -
- y)
Po)
AsI, nuestra definición de esta sección coincide con La definición de un piano tangente dada en la sección
1,2)
j'.
= f(xo, y0)(x - x0) + f(x0, Yo)(Y - Yo)
15.4.
Determine Ia ecuación dei
EJEM PLO 1
piano tangente (figura 3) a z
x2 + y2 en ei
punto (1, 1, 2).
Solución
Sea f(x, y) = x2 + y2 y observe que \7f(x, y) = 21 + 2j y, por el Teorema A, la eduaciOn pedida es
1)
2x1
+
2yj. AsI, \7f(1,
z-2=2(x-1)+2(y-1) Figura 3
0
2x + 2y - z =
2
U
EJEMPLO 2 Determine ia ecuación del piano tangente y ia recta normal a la superficie x2 + y2 + 2z2 23 en (1,2, 3).
Solución 2yj
+
4zk y
Sea F(x, y, z) = x2 + y2 + 2z2, de modo que VF(x, y, z) = 2xi + \7F(1, 2, 3) = 21 + 4j + 12k. De acuerdo con ci Teorema A, Ia ecuaciOn del
piano tangente en (1, 2, 3) es
2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0 Dc manera similar, las ecuaciones simétricas de la recta normal por (1, 2, 3) son
x-1 y-2 2
4
z-3 12
U
Diferenciales y aproximaciones Le sugerimos que repase ia secciOn 3.10, donde consideramos los temas de diferenciales y aproximaciones para funciones de una variable.
668 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
Sean z = f(x, y) y P(x0, Yo, z0) un punto fijo en la superficie correspondiente. Introducimos nuevos ejes de coordenadas (los ejes dx, dy y dz) paralelos a los ejes onginales, con P como origen (figura 4). En el sistema original, el piano tangente en P tenla la ecuaciOn
z - z0 =f(xo,yo)(x - x0) +f(x0,y0)(y - y) pero en el nuevo sistema asume la sencilla forma
dz
=f(x0,y0)dx +f(x0,y0)dy
Esto sugiere una definición. Figura 4
Definición Sea z = f(x, y), donde f es una función diferenciable y sean dx y dy (llamadas las diferenciales de x y y) variables. La diferencial de la variable dependiente, dz, también ilamada la diferencial total de f y que se escribe df(x, y), se define como
df(x, y) = f(x, y)dx + f(x, y)dy
dz
La importancia de dz surge del hecho de que si dx = Ax y dy = Ay representan pequenos cambios en x y y, respectivamente, entonces dz será una buena aproximación de Az, el cambio correspondiente en z. Esto se ilustra en la figura 5 y, aunque dz no parece ser una buena aproximación de Az, usted puede ver que será cada vez mejor cuando Ax y Ay sean cada vez menores.
Ii _______-\ 0, Yo
JIAo, yj))
Piano tangente ",
dz =f,(x0, y0)Ax +f(x0, y0)Ay
I-Az =f(x0 + Ax, Yo + Ay) f(x0,
y0)
=
+ Ax, y0 + Ay, f(x0 + Ax, y0 + Ay)) Y
Figura 5 EJEMPLO 3
Sea z = f(x, y) = 2x3 + xy - y3. Calcule Az y dz cuando (x, y) cambia
de (2, 1) a (2.03, 0.98).
Solución
Az = f(2.03, 0.98) - f(2, 1)
= 2(2.03) + (2.03)(0.98) - (0.98) - [2(2)3 + 2(1) - 13] = 0.779062
dz = fx(X, y) Ax + f(x, y) Ay
= (6x2 + y)Ax + (x - 3y2)Ay En (2, 1) con Ax = 0.03 y Ay = 0.02,
dz = (25)(0.03) + (-1)(O.02) = 0.77 EJEM PLO 4 La formula P = k(T/V), donde k es una constante, da la presión P de un gas confinado de volumen V y temperatura T. Determine, de manera aproximada, el error porcentual mInimo en P introducido por un error de ±0.4% a! medir la temperatura y un error de ±0.9% al medir el volumen.
SECCION 15.7
PIanos tangentes, aproximaciones 669
Solución El error en P es AP, que aproximaremos mediante dP. AsI,
dP =
8T
T+
(+0.004T) + =
0V
kT V2
(+0.009V)
(0.004 + 0.009) = 0.013
= 0.013P
El error máximo relativo, L\P /P, es aproximadamente 0.013, y el error porcentual maximo es aproximadamente 1.3%. U
El tema de aproximación va mucho más al!á de lo que hemos hecho aquI. Recuerde que, para funciones de una variable, la aproximación de primer orden
f(x)
f(x0) + f'(x0)(x - xo)
se extendió a la aproximaciOn de Taylor de segundo orden
f(x)
f(x0) + f'(x0)(x - xo) + f"(x0)(x - xo)2
y luego a aproximaciones de Taylor de orden n (véase la sección 11.1). Los análogos para funciones de dos variables son
f(x,y)
f(x0,y0) + f(xo, y0)(x - x0) + f(x0, Yo)(Y - Yo)
y
f(x,y)
f(x0,y0) + f(xo,yo)(x - x0) + f(xo,yo)(y - Yo) +[f(xo,yo)(x - x0)2 + 2f(xo,yo)(x - x0)(y - Yo)
+f(xo,yo)(y
)2]
Además, estos se extienden al caso de orden n y a funciones de más de dos variables. Es mejor dejar los detalles a libros de nivel superior.
Repaso de conceptos Suponga que F(x, y, z) = k determina una superficie. La dia la superficie. rección del vector gradiente V/f es Suponga que z = x2 + xy determina una superficie. Un vector en (1, 1, 2) perpendicular a esta superficie es
Suponga que xy2z3 = 2 determina una superficie. Una ecuaciOn para el plano tangente en (2, 1, 1) es
Definimos la diferencial total de f(x, y) mediante df(x, y) =
Conj unto de problemas 15.7 En los probiemas 1-8, determine/a ecuación del piano tangente ala superficie dada en elpunto indicado.
x2 + y2 + z2 = 16; (2, 3,
8x2 + y2 + 8z2 = 16; (1,2,
)
/2)
x2 - y2 + z2 + 1 = 0;(1,3,) x2 + y2 -
= 4;(2,1,1)
z=+;(2,2,2) z
xe2Y;(1,0,l)
z = 2e3' cos 2x; (T/3, 0, 1) z
x112 + y'/2;(1,4,3)
En los probiemas 9-12, use la diferencial total dz para aproximar ci cambio en z cuando (x, y) se mueve de P a Q. Luego use una calculadora para determinar el cambio exacto correspondiente z (con Ia precisio,i de su caiculadora). Véase ci ejemplo 3. C
9. z = 2x2y3; P(1, 1), Q(0.99, 1.02)
C
10. z = x2 - 5xy + y; P(2, 3), Q(2.03, 2.98)
C
11. z = ln(x2y);P(_2,4),Q(_1.98,3.96)
C
12. z = tan1 xy; P(-2, 0.5), Q(-2.03, 0.51)
-
Determine todos los puntos sobre Ia superficie z = x2 - 2xy - 8x + 4y donde el plano tangente es horizontal.
Determine un punto sobre Ia superficie z = 2x2 + 3y2 donde el plano tangente sea paralelo al plano 8x - - z = 0.
La derivada en el espaclo de dimension n
670 CAPITULO 15
Muestre que las superficies x2 + 4y +
z2
0 y x2 + y2 + z2
0 son tangentes entre si en (0, 1, 2); es decir, muestre que tienen el mismo piano tangente en (0, 1, 2). 6z + 7 =
Muestre que las superficies z = y y = x2 + se cortan en (1, 1, 1) y tienen pianos tangentes perpendiculares ahI. Determine un punto sobre la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 12 donde ei piano tangente es perpendicuiar a la recta con ecuaciones paramétricas x = 1 + 2t, y = 3 + 8t, z = 2 - 6t. Muestre que Ia ecuaciOn del piano tangente al elipsoide x2
y2
z2
a2
b2
c2
en (x0, Yo' z0) se puede escribir en la forma X0X
a2
+
YoY
b2
+
Z0Z
y
g(x, y, z) = 2x2 - y2 + 3z2 - 10 = 0 en el punto (1, 2, 2). Sugerencia: Esta recta es perpendicular a Vf(1, 2, 2) y Vg(1, 2, 2).
Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a Ia curva de intersección de las superficies x = z2 y y = z3 en (1, 1, 1) (véase el problema 19). Al determinar la gravedad especIfica de un objeto, se ye que su peso en el aire es A = 36 libras, mientras que su peso en el agua es W = 20 libras, con un posible error de 0.02 libras en cada medición. Determine, aproximadamente, el error máximo posible al calcular su gravedad especIfica S, donde S = A/(A - W). Use diferenciales para determinar la cantidad aproximada de cobre en los cuatro lados y el fondo de un tanque de cobre rectangular que mide 6 pies de largo, 4 pies de ancho y 3 pies de profundidad en el interior, si la hoja de cobre tiene pulgadas de espesor. Sugerencia: Haga un bosquejo. El radio y la altura de un cono circular recto se miden con errores de a lo más 2% y 3%, respectivamente. Use diferenciales pa-
1 5.8
error porcentual máximo en T debido a un error de 0.5% al medir L y 0.3% al medir g.
La formula 1/R = 1/R1 + 1/R2 determina la resistencia combinada R cuando las resistencias, con resistencias R1 y R2, se conectan en paralelo. Suponga que R1 y R2 midieron cerca de 25 y 100 ohms, respectivamente, con errores posibles de 0.5 ohms en cada medición. Calcule R y dé una estimación para el error méximo en este valor. x2 + y2 + 2z2 =
= 9x2 + 4y2 + 4z2 - 41 = 0
Máximos y mInimos
El periodo T de un péndulo de longitud K esté dado por T = 2ITVL/g, donde g es la aceleración de la gravedad. Muestre que dT/T = [dL/L - dg/g], y use este resultado para estimar el
Una abeja sentada en el punto (1, 2, 1) sobre el elipsoide 6 (distancias en pies). En t = 0, comenzó a volar a
-1
c2 -
Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies
f(x, y, z)
ra estimar el error porcentual máximo en el volumen calculado (yease el ejemplo 4).
lo largo de la recta normal, a una rapidez de 4 pies/segundo. i,Cuándo y dónde tocó al piano 2x + 3y + z = 49?
Muestre que un piano tangente en cualquier punto de la superficie xyz = k forma con los planos de coordenadas un tetraedro de volumen fijo y calcule ese volumen.
Determine y simplifique la eduación del piano tangente en
\/ + V'
(x0, Yo' z0) a la superficie \/ + = a. Luego muestre que la suma de las intersecciones de este piano con el eje de coordenadas es a2.
29. Para la funciOn f(x, y) = \/x2 + y2, determine la aproximaciOn de Taylor de segundo ordn con base en (x0, Yo) = (3, 4). Luego estime f(3.1, 3.9) usando IC
la aproximación de primer orden, la aproximaciOn de segundo orden, y
su calculadora directamente.
Respuestas al repaso de conceptos:
2. (3,1,i) 4.
af
1. perpendicular
3.x 2 + 4(y 1) + 6(z 1)
= 0
dx+dy ay
Nuestro objetivo es extender los conceptos del capItulo 4 a funciones de varias variables; será de utilidad un rápido repaso de ese capItulo, en particular las secciones 4.1 y 4.3. Las definiciones ahI dadas se extienden casi sin modificaciones, pero por claridad las repetiremos. En lo sucesivo, sean p = (x, y) y Po = (x0, Yo) un punto variable y uno fijo, respectivamente, del espacio bidimensional (también podrIan ser puntos del espacio de dimension n).
Definición Sea f una función con dominio S y sea Po un punto en S. f(p0) 1. f(p0) es un valor máximo global de f en S si f(p0) f(p) para todo p en S. f(p0) es un valor mInimo global de f en S si f(p0) f(p) para todo p en S. f(p0) es un valor extremo global de f en S si f(p0) es un valor máximo global o un valor mInimo global. Obtenemos las definiciones para valor máximo local y valor mInimo local si en (1) y (2) pedimos que las desigualdades solo valgan en N fl S, donde N es una vecindad de Po f(p0) es un valor extremo local de f en S si f(p0) es un valor máximo local o un valor mInimo local.
SECCION 1 5.8
Máximos y mInimos 671
Máximo local Máximo global
S
MInimo local
S
MInimo global
Figura 1
La figura 1 da una interpretación geométrica de los conceptos que hemos definido. Observe que un miximo (o mInimo) global es automáticamente un máximo (o mlnimo) local. Nuestro primer teorema es de los grandes: difIcil de demostrar, pero intuitivamente claro. Teorema A Teorema de existencia de máximos y rnInimos.
Si f es continua en un conjunto cerrado y acotado S, entonces f alcanza un valor máximo (global) y un valor mInimo (global) en dicho conj unto. La demostración se puede encontrar en la mayor parte de los libros de cálculo avanzado.
LDOnde aparecen los valores extremos?
La situación es análoga a La del Ca-
so de una variable. Los puntos crIticos de f en S son de tres tipos. Puntos frontera. Véase la secciOn 15.3. Puntos estacionarios. Decimos que p es un punto estacionario Si Po es Un punto interior de S donde f es diferenciable y \7f(p0) 0. En tal punto, el piano tangente es horizontal. Puntos singulares. Decimos que Po es un punto singular si Po es Un punto interior de S donde f no es diferenciable; por ejemplo, un pinto donde la gráfica de f tiene Un
Ahora podemos establecer otro gran teorema; en realidad, podemos demostrar éste. Teorema B
Teorema del punto crItico
Sea f definida en un conj unto S que contiene a Po Si f(p0) es un valor extremo, entonces Po debe ser un punto crItico; es decir, Po es un punto frontera de S; o un punto estacionario de f; o un punto singular de f.
Demostración Suponga que Po no es un punto frontera ni un punto singular (de modo que Po es un punto interior donde \7f existe). Terminaremos si podemos mostrar que \7f(p0) 0. Para mayor sencillez, hagamos Po (x0, yo); Los casos de dimensiones superiores se demuestran de manera similar. Como f tiene un valor extremo en (x0, yo)' la funciOn g(x) f(x, Yo) tiene un valor extremo en x0. Además, g es diferenciabie en x0, pues f es diferenciable en (x0, Yo) y por tanto, por ci teorema del pinto crItico para funciones de una variable (teorema 4.1B),
g'(x0) =f(x0,y0) = 0 De manera similar, Ia funciOn h(y) = f(x0, y) tiene un valor extremo en Yo y satisface h'(y0) f(x0, y) 0 El gradiente es 0 debido a que ambas parciales son cero.
672
CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn n
El teorema y su demostración son vilidos sin importar que los valores extremos sean globales o locales. EJEMPLO 1 2x + y2/4.
Determine los valores máximos y mInimos locales de f(x, y) =
x2
-
Solución La funciOn dada es diferenciable en su dominio, el plano xy. AsI, los ünicos puntos crIticos posibles son los puntos estacionarios, obtenidos al igualar a cero f(x, y) y f(x, y). Pero f(x, y) 2x 2 y f(x, y) = y/2 se anulan solo cuando x 1 y y = 0. Solo falta decidir Si (1, 0) proporciona un máximo, un mInimo, o ninguno de ellos. Desarrollaremos pronto una sencilla herramienta para esto, pero por el momento debemos usar un poco de ingenio. Observe que f(1, 0) = 1 y
f(x,y)
x2 - 2x + = (x - 1)2 +
1
a-
= x2
- 2x + 1 + 1
-i
AsI, f(1, 0) es en realidad un mInimo global de f. No hay valores máximos locales.
EJEMPLO 2 Determine los valores máximos y mInimos locales de f(x, y) = x2/a2 + y2/b2. Solución
y f(x, y)
Los Unicos puntos crIticos se obtienen al igualar a cero f(x, y) = 2x/a2 = 2y/b2. Esto proporciona el punto (0, 0), que no da rnáximo ni rnInirno (yea-
se la figura 2). Es un punto silla. La función dada no tiene extremos locales. Figura 2
El ejemplo 2 ilustra el problemático hecho de que \7f(x0, Yo) = 0 no garantiza que exista un extremo local en (x0, yo). Por fortuna, existe un criterio agradable para decidir lo que ocurre en un punto estacionario (nuestro siguiente tema).
Condiciones suficientes para los extremos
Usted debe pensar el siguiente
teorema como un análogo del criterio de la segunda derivada para funciones de una variable (Teorema 4.3B). La demostraciOn se puede encontrar en libros de cálculo avanzado. Teorema C
Criterio de las segundas parciales
Suponga que f(x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de (x0, y) y que Vf(x0, Yo) 0. Sea
D = D(xo, Yo) = f(xo, yo)f(xo, Yo) - f(x0, Yo) Entonces
Si D > 0 yf(x0, Yo) < 0, f(x0, Yo) es un valor máximo local; Si D > 0 y f(x0, Yo) > 0, f(x0, Yo) es un valor mInimo local; si D < 0, f(x0, y) no es un valor extremo ((x0, Yo) es un punto silla); si D = 0, el criterio no es concluyente. EJEMPLO 3 Determine los extremos, si existen, de la funciOn F definida como F(x, y) = 3x3 + y2 - 9x + 4y.
Solución Corno F(x, y) = 9x2 - 9 y F(x, y) = 2y + 4, los puntos crIticos, obtenidos al resolver las ecuaciones simultáneas F1(x, y) = F(x, y) = 0, son (1, 2) y (-1,
2).
Ahora, F(x, y) = 18x, F(x, y) = D
= 0. AsI, en el punto crItico (1, 2),
F(1,-2) F(1,-2) - F(1,-2) = 18(2) - 0
Además, F(1, 2) local de F.
2y
= 36 > 0
= 18 > 0 y entonces, por (ii), F(1, 2) = 10 es un valor mInimo
SECCION 1 5.8
Máximos y minimos 673
Al comprobar la funciOn dada en el otro punto crItico, (-1, 2), vemos que
F(-1, 2) = 18, F(-1, 2)
= 2 y F(-1, 2) = 0, lo que hace que D = <0. AsI, por (iii), (-1, 2) es un punto silla y F(-1, 2) no es un extremo. EJEMPLO 4 = x2y + 4.
36
Determine la distancia maxima entre el origen y la superficie
z2
So!ución Sea P(x, y, z) cualquier punto de la superficie. El cuadrado de la distancia + y2 + z2. Buscamos las coordenadas de P que hacen de entre el origen y P es d2 = d2 (y por tanto d) minima. Como P está sobre la superficie, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la superficie. Al sustituir z2 = x2y + 4 y d = x2 + y2 + z2, obtenemos d2 como una función de dos variables x y y. d2 = f(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 Para determinar Los puntos crIticos, hacemos f(x, y) = 0 y f(x, y) = 0, para obtener
2x+2xy0 y 2y+x20
Al eliminar y de estas ecuaciones, obtenemos
2x - x3 =
0
AsI, x = 0 o x = ±V. Al sustituir estos valores en La segunda de las ecuaciones, obtenemos y = 0 y y = 1. Por lo tanto, los puntos crIticos son (0, 0), (V,-i), y
(-\/, 1).
Para verificar cada uno de estos puntos, necesitamos f(x, y) = f(x,y) = 2, f(x,y) = 2x,y D(x, y) = f = 4 + 4y - 4x2
8
ff -
(\/,
2 + 2y,
(_\/, 1)
pro1) o < 0, ninguno de los puntos = porciona un extremo. Sin embargo, D(0, 0) = 4 > 0 y f(0, 0) = 2 > 0; por tanto, (0, 0) proporciona la distancia minima. Al sustituir x = 0 y y = 0 en la expresión para d2, vemos que d2 = 4.
Como D(±\/, 1)
La distancia minima entre el origen y la superficie dada es 2. EJEMPLO 5 Determine los valores máximos y mInimos de f(x, y) = 2 +
U
x2 + y2 en
elconjuntocerradoS = {(xY): x2 + Soluciôn La figura 3 muestra la superficie z = f(x, y) junto con el conjunto S, que aparece en eL pLano xy. Las primeras derivadas parciales son f(x, y) = 2x y f(x, y) = 2y. AsI, eL ünico punto crItico interior posible es (0, 0). Como =4 > 0 D(0, 0) = f(0, 0)f(0, 0) - f(0, 0) = 2 . 2 y f(0, 0) = 2 > 0, sabemos que f(0, 0) = 2 es un mInimo.
Figura 3
674 CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimensiOn n
El mximo global debe aparecer entonces en la frontera de S. La figura 3 muestra también la frontera de S proyectada hacia arriba en la superficie z = f(x, y); en algOn punto sobre esta curva, f debe alcanzar un máximo. Podemos describir la frontera de S en forma paramétrica, como x = cost,
2sent,
y =
t
0
2ii-
El problema de optimización se reduce entonces a optimizar la función de una variable
g(t) = f(cost,2sent),
0
2ir
2x(sent) +
2y(2
Por la regla de la cadena (Teorema 15.6A),
g'(t)
f dx
8f dy
Bxdt
aydt
=
cost)
= 2 sen t cos t + 8 sen t cos t
= 6 sen t cos t = 3 sen 2t Al hacer g'(t) = o tenemos t = o,
,y 2. Entonces, g tiene cinco puntos crIti-
,
cos en [0, 2ii-]. Estos cinco valores para t determinan los cinco puntos crIticos (1, 0), (0, 2),
(-1, 0), (0, 2) y (1, 0) para f; el Oltimo punto es igual al primero, debido a que un ángulo de 2ir proporciona el mismo punto que un ángulo 0. Los valores correspondientes de f son
f(1,0)
3
f(0,2)
f(-1,0) = 3
f(0,-2)
=
6
= 6
En el punto crItico interior a S tenemos que f(0, 0) = el valor mInimo de f en S es 2, y el valor máximo es 6.
2. Por lo tanto, concluimos que
Repaso de conceptos Si f(x, y) es continua en un conj unto alcanza un valor máximo y un valor mInimo en S.
S, entonces f
Si (x0, Yo) es un punto estacionario de f, entonces f es diferenciable ahI y
Si f(x, y) alcanza un valor máximo en un punto (x0, yo)' eno un punto o un pun-
En el criterio de las segundas parciales para una funciOn f de dos variables, el nümero D = juega un papel crucial.
tonces (x0, Yo) es un punto to
Conj unto de problemas 15.8 En los problemas 1-10, determine todos los puntos crIticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mInimo local 0 si es un punto silla. Sugerencia. Use el Teorema C.
f(x,y) f(x,y)
= x2 + 4y2 - 4x
x2 + 4y2 - 2x + 8y 1
f(x, y) = 2x4 - x2 +
f(x, y) = xy2 - 6x2 - 3y2
f(x, y) = 0
<
9.f(x,y)=cosx+cosy+cos(x+y);o
=
x2 + a2 - 2axcosy;r
En los pro blemas 11-14, encuentre el valor máximo globaly el valor mlnimo global de f en S e indique dOnde aparece cada uno.
f(x, y) = xy
f(x, y) = 3x + 4y;
f(x,y)
S
f(x, y)
= x3 + y3 - 6xy
xy +
x
= {(x,y):0
x
f(x, y) = x2 + y2;
+
y
S
= {(x,y):i
1,i
3,i
y
i}
y
4}
Máximos y mInimos 675
SECCION 15.8
13. f(x,y)
=
x2 - y2 + 1;S
{(x,y):x2 + y2
6-
1}(véa-
se el ejemplo 3).
(y.mx.b)
-
f(x,y) = x2 - 6x + y2 - 8y i} S = {(x,y):x + y2
+ 7; Y
Exprese un nümero positivo N como una suma de tres nümeros positivos, de modo que el producto de estos tres nümeros sea
mx+ b -
mximo. Use los métodos de esta sección para determinar Ia distancia más corta del origen al piano x + 2y + 3z = 12.
2
Determine la forma de la caja rectangular cerrada de volumen V0 con area de la superficie minima.
b-
Determine la forma de la caja rectangular cerrada de volumen V0 para la que la suma de las longitudes de las aristas sea mIni-
0'
ma.
19. Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 pies cübicos de lIquido. ,Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción? 20. Una caja rectangular, cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas, se inscribe en el elipsoide 96x2 + 4y2 + 4z2 = 36. ,tuál
24. Determine la minima distancia entre las rectas con ecuacios + 2, z =
2s - 1.
25. Convénzase de que los valores máximo y mInimo de una funax + by + c sobre un conjunto poligonal cerración lineal f(x, y) do (es decir, un polIgono y su interior) siempre aparece en un vérticc del poiIgono. Luego use este hecho para determinar lo siguiente:
valor máximo de 2x + 3y + 4 en el poiIgono cerrado con vértices (-1,2), (0, 1), (1, 0), (-3, 0) y (0, 4).
valor mInimo de 3x + 2y + 1 en el poiIgono cerrado con vértices (-3, 0), (0, 5), (2, 3), (4, 0) y (1, 4). 26. Use el resultado del problema 25 para maximizar 2x + y suy y > 0. Su jeto a las restricciones 4x + y 8, 2x + 3y 14, x gerencia: Comience graficando ci conj unto determinado por las restricciones. 27. Determine los valores máximo y mInimo de z = y2 - x2 (figura 2) en el triángulo cerrado con vertices (0, 0), (1, 2) y (2, 2).
28. MInimos cuadrados Dados n puntos (x1, y1), (x2, y2)..... (x, y) en el plano xy, queremos determinar la recta y = mx + b tal que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta sea minima; es decir, queremos minimizar
f(m,b) =
(y - mx - b)2 i=1
(Véase la figura 4. Además, recuerde que los x, y los y están fijos.)
I
4
I
5
Calcule af/am y af/ab e iguale estos resultados a cero. Muestre que esto conduce al sistema de ecuaciones
mx+bx,= i=1
22. Determine la minima distancia entre el punto (1, 2, 0) y el cono cuádrico z2 = x2 + y2.
nesparamétricassx=t-1,y=2t,z=t+3yx3s,y
3x
Figura 4
es el mayor volumen posible para tal caja? 21. Determine el vector tridimensional con longitud 9 tal que la suma de sus componentes sea un máximo.
23. Se construirá un canal abierto con sección transversal en la forma de un trapecio con angulos iguales en la base, doblando franjas iguales a ambos lados de una larga pieza de metal de 12 pulgadas de ancho. Determine los ángulos en la base y el ancho de los lados para obtener la mayor capacidad de carga.
I
I
I
2
1
m
i=1
x1 + nb
=
x1y, i=1
xy,
Resuelva este sistema en términos de m y b. Use el criterio de las segundas parciales (Teorema C) para mostrar que f se minimiza para esta elección de m y b.
Determine la recta de minimos cuadros (problema 28) para los datos (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 4) y (7, 5). Determine los valores máximos y mInimos de z = 2x2 + y2 - 4x - 2y + 5 (figura 3) en el conjunto acotado por ci triangulo cerrado con vertices (0, 0), (4, 0) y (0, 1).
Suponga que la temperatura T en la placa circular {(x, y) x2 + y2 i} está dada por T = 2x2 + y2 - y. Determine los puntos más caliente y mas frIo en ia piaca. Un cable de longitud k debe cortarse en (a lo más) tres pedazos para formar un circulo y dos cuadrados, cuaTuiera de los cuales puede ser degenerado. i,COmo debe hacerse esto para maximizar y minimizar el area encerrada de esta forma? Sugerencia: Reduzca ci
problema al de optimizar x2 + y2 + z2 en la parte dcl piano
2Vx + 4y + 4z
= k en ci primer octante. Luego dé un razonamiento geométrico. Determine la forma dcl triangulo de mayor area que puede inscribirse en un circulo de radio r. Sugerencia: Sean a, /3 y y los anguios centrales que subtienden los tres iados del triangulo. Muestre que ci area dcl trianguio es r2[sen a + sen /3 - sen(a + /3)]. Maximice.
Sea (a, b, c) un punto fijo en ci primer octantc. Determine ci piano que pasa por este punto y que forma en ci primer octante cItetraedro de volumen minimo, y determine ci volumen resultante. CASI A veces, Ia determinación de los extremos para una funcion de dos variables se puede controlar mejor mediante métodos del sentido comán y una computadora. Como ejemplo, observe las imágenes de las superficies y los mapas de contorno correspondientes para las cmco funciones graficadas en las figuras 15-19 de la sección 15.1. Obser-
676 CAPITULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
ye que estas graficas sugieren que podemos ubicar los extremos de manera visual. Con Ia capacidad adicional para evaluar Ia funcion en algunos puntos, podemos aproximar de manera experimental los máximos y mInimos con buena precision. En los problemas 35-45, use su tecnologIa para determinar el punto donde el máximo o mInimo mdicado ocurre y dé el valor de Ia función en ese punto. Observe que los pro blemas 35-39 se refieren a las cinco funciones de Ia sección 15.1.
35. f(x, y) = x - x3/9 - y2/2; 3.8
46. Considere tres brazos de longitudes 6, 8 y 10 que emanan de
N, como se muestra en la figura 5. Sean K(a, /3) y L(a, /3) el area y perImetro, respectivamente, del triángulo ABC determinado por estos brazos.
Determine formulas para K(a, /3) y L(a, 13). Determine (a,/3)
3.8, 3.8
maximiza
y 3.8; punto máximo local cerca de (2, 0); también el máximo global. Verifique mediante el cálculo. 36. f(x, y) = y/(1 + x2 + y2); 5 x 5, 5 y 5; punto máximo global y mInimo global. Verifique mediante el cálculo. 37. f(x, y) = + cos(y/(1 + x2 + y2)); 3.8 3.8, 3.8 3.8; mInimo global. 38. f(x,y) = exp(_x2 - y2 + xy/4);-2 2, 2; máximo global y mInimo global. Verifique mediante el cálculo.
enD = {(a,p):0
ir,0
que
K(a, /3).
Determine (a, /3) en D
que maximiza
L(a, /3).
C
1
2y 5 1
39. f(x,y)
exp(_(x2 + y2)/4)sen(xV) - 5
43. f(x,y) = cos(x +
y2)
x
f(x,y)
= 2senx + seny - sen(x 2; máximo global y mInimo global.
15.9
Método de Lagrange
+ y);O
A
Figura 5
3, 3
+ lox exp(_x2 - y2);2
y s 2; máximo global y mInimo globaL 44. f(x,y) = (x2 - x - 5)(i - 9y)senxseny;-6 s 6; máximo global y mInimo global. 45.
1,
< 3,-3
+ y); 3
8
/3
5; mximo global y mInimo global. 40. f(x, y) = _x/(x2 + y2), f(0, 0) = 0; 1 y 1; mximo global y mInimo global. Tenga cuidado.
42. f(x, y) = (senx)/(6 + x 3; máximo global y mInimo global.
0
5,
y
41. f(x,y) = 8cos(xy + 2x) + x2y2;-3 3; máximo global y mInimo global.
2 6
x
10
x
2, 6,
x < 2ir,
Respuestas al repaso de conceptos: 1. cerrado y acotado 2. frontera; estacionario; singular 3. Vf(x0, Yo) 0 \ ./:2(
4( \(
Yo)JXo, Yo) -
xykXo, Yo
Comenzaremos distinguiendo entre dos tipos de problemas. Para determinar el valor mInimo de x2 + 2y2 + z4 + 4 es un problema con extremos libres. Para determinar el mInimo de x2 + 2y2 + z4 + 4 sujeto a la condiciOn de que x + 3y - z = 7 es un problema de extremos con restricción. Muchos de los problemas del mundo real, en particular los de economIa, son del segundo tipo. Por ejemplo, un fabricante podrIa tratar de maximizar las ganancias, pero es probable que esté restringido por la cantidad de materia prima disponible, el tamaño de su mano de obra, y asI sucesivamente. El ejemplo 4 de la sección anterior fue un problema de extremos con restricción. Se nos habla pedido determinar la distancia minima de la superficie z2 = x2y + 4 a! origen. Formulamos el problema como el de minimizar d2 = x2 + y2 + z2 sujeto a la restricción z2 = x2y + 4. Manejamos este problema sustituyendo el valor de z2 dado por la restricción en la expresión para d2 y luego resolvimos el problema resultante con extremos libres (es decir, sin restricciones). El ejemplo 5 de la secciOn anterior era también un problema de optimizaciOn con restricción. SabIamos que el maximo debia aparecer en la frontera de la regiOn S, de modo que pasamos al problema de maximizar z = 2 + x2 + y2 sujeto a la restricción x2 + y2 = 1. Este problema se resolvió determinando una parametrizaciOn para la restricción para luego maximizar una función de una variable (donde la variable es el parámetro en la restricción). Sin embargo, con frecuencia ocurre que en la eduación de restricción no se puede despejar fácilmente una de las variables o que la restricción no se puede parametrizar en términos de una variable. Aunque se puede aplicar una de estas técnicas, otro método puede ser más sencillo: el método de los multiplicadores de Lagrange.
SECCION 15.9
Método de Lagrange 677
Restricción g(x,y) = 0
20 5
l0
Curvas de nivel def(x,y) x
Figura 1
lnterpretaciOn geométrica del método
Parte del problema en ci ejempLo 5 de la sección anterior era el de maximizar La función objetivo f(x, y) = 2 + x2 + y2 sujeta a la restricción g(x, y) = 0, donde g(x, y) = x2 + y2 - 1. La figura 1 milestra la superficie z = f(x, y) junto con la restricción; el cilindro elIptico representa La restricción. La segunda parte de La figura 1 muestra Ia intersección de La restricciOn y la superficiez = f(x, y). El problema de optimización consiste en determinar en qué punto de esta curva de intersección alcanza Ia función un máximo o un mInimo. Tanto la segunda como la tercera parte de la figura 1 sugieren que el máximo y el mInimo ocurrirán cuando una curva de nivel de la función objetivo f sea tan gente a la curva de restricción. Esta es la idea fundamental detrás del método de los multiplicadores de Lagrange. Ahora considere el probLema general de optimizar f(x, y) sujeto a La restricciOn g(x, y) = 0. Las curvas de nivel de f son Las curvas f(x, y) = k, donde k es una constante. Estas aparecen en la figura 2 para k = 200, 300, ..., 700. La grafica de la restricción g(x, y) = 0 también es una curva y aparece en La figura 2. Maximizar f sujeta a la restricción g(x, y) = 0 significa determinar La curva de nivel con la maxima k posible que corte La curva de restricción. Es evidente de la figura 2 que tal curva de nivel es tan gente a la curva de restricción en un punto Po (x, Yo) y por tanto que ci valor máximo de f sujeta a la restricción g(x, y) = 0 es f(x0, Yo). El otro punto de tangen(x1, Yi), da ci valor mInimo f(x1, Yi) de f sujeta a la restricciOn g(x, y) = 0. cia, Pi
x
Figura 2
El método de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico para determiComo en tales puntos la curva de nivel y la curva de restricción nar Los puntos Po y son tangentes (es decir, tienen una recta tangente comün), las dos curvas tienen una
678
CAPiTULO 15
La derivada en el espacio de dimension n
perpendicular comün. Pero en cualquier punto de una curva de nivel el vector gradiente V/f es perpendicular a la curva de nivel (secciOn 15.5) y, de manera similar, \/g es perpendicular a la curva de restricción. AsI, V/f y Vg son paralelos en Po y también en pi; es decir, Vf(p0) A0 Vg(p0) y Vf(p1) = A1 Vg(p1) para ciertos nOmeros no nulos X y X. El argumento anterior es decididamente intuitivo, pero puede formalizarse cornpletamente bajo las hipótesis adecuadas. Además, este argumento también sirve para el problema de maximizar o minimizar f(x, y, z) sujeta a La restricción g(x, y, z) 0. Simplemente consideramos superficies de nivel en vez de durvas de niveL. De hecho, el resultado es váLido para cuaLquier nOmero de variables. Todo esto sugiere la siguiente formulación del método de multiplicadores de Lagrange. Ày
Teorema A Método de Lagrange
Para maximizar o minimizar f(p) sujeta a la restricción g(p) = ma de ecuaciones
-
0.
u'
i siste
Vf(p) = AVg(p) y g(p) = 0
(x,y)
para p y X. Cada uno de tales puntos p es un punto crItico part' "i proh Jerna de extremos con restricción y el nUmero X correspondiente es un multipi.icailcr de- Lagrange. .
2
Aplicaciones ilustramos el método con varios ejemplos. x
EJEMPLO 1 i,Cuál es La maxima area que puede tener un rectángulo si La longitud de su diagonal es 2?
Figura 3
Solución Coloque el rectángulo en el primer cuadrante, con dos de sus Lados a lo largo de los ejes de coordenadas; Luego el vértice opuesto al origen tiene coordenadas (x, y), con x y y positivos (figura 3). La longitud de su diagonal es \/x2 + y2 = 2, y su area es xy. AsI, podemos formular el problema como el de maximizar f(x, y) = xy sujeta a La restricción g(x, y) = + y2 - 4 = 0. Los gradientes correspondientes son
Curvas de nivelf(x, y) = xy
Vf(x, y) = f(x, y)i + f(x, y)j = yi + xj
Vg(x, y) = g(x, y)i + g(x, y)j = 2xi + 2yj Curva de nivel máximo
Las ecuaciones de Lagrange se convierten en
y = A(2x) k=4 k=3 k=2
x = A(2y)
k= 1 k=O.5
0
2
Restricción
x2 + y2 X
4
Superficie y curvas de nivel paraf(x, y) = xy
+y4=0
4
que debemos resolver en forma simultánea. Si multipLicamos la primera ecuación por y y La segunda por x, obtenemos y2 2Xxy y x2 = 2Xxy, de donde
De (3) y (4), vemos que x yy= a! sustituir estos valores en (1) obtenemos A = AsI, La soluciOn a las ecuaciones (1) a (3), con x y y positivos, es .
x=
2
.5
0.5
ly
yA =
Concluimos que el rectángulo de area maxima con diagonal 2 es eL cuadrado cuyos lados miden \/. Su area es 2. La figura 4 muestra una interpretación geornétrica de este problema. EJEMPLO 2
nirnos de
Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y ml-
x
Figura 4
f(x, y) = sobre Ia elipse x2/4 + y2 =
1.
-
SECCION 15.9
Método de Lagrange 679
Solución Revise La figura 2 de La secciOn 15.8, donde aparece una grMica del para- x2. Esta figura nos permite estimar que el valor boloide hiperbólico z = f(x, y) = mInimo aparece en (±2, 0) y el valor máximo en (0, ±1). Pero justifiquemos esta conjetura. Podemos escribir las restricciones como g(x, y) = x2 + 4y2 - 4 = 0. Ahora,
2xi +
Vf
2yj
y
Vg = 2xi + 8yj
Las ecuaciones de Lagrange son
2x =
A2x
= A8y
x2+4y24 Observe de Ia tercera ecuación que x y y no se pueden anular simultáneamente. Si x 0, La primera ecuación implica que A. = 1, y La segunda ecuación exige entonces que y = 0. Concluimos de La tercera ecuación que x = ±2. AsI, hemos obtenido los puntos crIticos (±2, 0).
implica que A = de La segunda ecuación, luego x = 0 de La primera, y finalmente =y ±1 de La tercera eduación. Concluimos que (0, ±1) también son puntos crIticos. Ahora, para f(x, y)
Exactamente el mismo argumento con y
4 f(-2,0) = 4 f(2,0)
f(0,1)
=
1
f(0,-1)
=
1
El valor mInimo de f(x, y) en La elipse dada es 4; el valor máximo es 1.
Determine el mInimo de f(x, y, z) = 3x + 2y + z + 5 sujeto a La restricción g(x, y, z) 9x2 + 4y2 - z = 0. EJEMPLO 3
Solución Los gradientes de f y g son Vf(x, y, z) 31 + 2j + k y Vg(x, y, z) = l8xi + 8yj - k. Para determinar los puntos crIticos, resolvemos Las ecuaciones
Vf(x, y, z) = AVg(x, y,z)
g(x, y, z) = 0
y
en términos de (x, y, z, A.), donde A. es un multiplicador de Lagrange. Esto es equivalen-
te, en nuestro problema, a resolver el siguiente sistema de cuatro eduaciones simultáneas en las cuatro variables x, y, z y A.. 3
= l8xA
2 = 8yA 1
9x2 +
4y2 - z
=
A 0
De (3), A. = 1. Al sustituir este resultado en las ecuaciones (1) y (2), obtenemos x = - y y = - . Al introducir estos valores de x y y en la ecuación (4), obtenemos AsI, La solución del sistema de cuatro ecuaciones simultáneas es (- , - , , z = y el ünico punto crItico es (- , - , ). Por lo tanto, el mInimo de f(x, y, z), suj eta a Ia = 4. (Cómo sabemos que este valor es restricciOn g(x, y, z) = mInimo y no máximo?)
1),
.
0, es f(-,-,)
680 CAPITULO 15
La derivada en el espaclo de dimensiOn n
Cuando se impone más de una restricción sobre las variables de una función que debe maximizarse o minimizarse, se usan rnas multiplicadores de Lagrange (uno por cada restricciOn). Por ejemplo, si buscamos los extremos de una función f de tres variables sujeta a las dos restricciones g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0, resolvemos las ecuaciones
Vf(x, y, z) = A Vg(x, y, z) +
Vh(x, y, z), g(x, y, z) = 0,
h(x, y, z) = 0
en términos de x, y, z, X y , donde 2y t son multiplicadores de Lagrange. Esto es equivalente a hallar las soluciones del sistema de cinco ecuaciones simultáneas en las varia-
blesx,y,z,Xyt.
f(x, y, z) = Ag(x, y, z) + h(x, y, z) f(x, y, z) = Ag(x, y, z) + h(x, y, z) f(x, y, z)
Ag(x, y, z) + h(x, y, z)
g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 Obtenemos los puntos crIticos mediante las soluciones de este sistema. Elipse
z
EJEMPLO 4
Determine los valores máximos y mInimos def(x, y, z) x + 2y + 3z sobre la elipse dada como la intersección del cilindro x2 + y2 = 2 y el piano y + z = 1 (véase la figura 5).
Solución Queremos maximizar y minimizar f(x, y, z) suj eta a g(x, y, z) = x2 + y2 2 = 0 y h(x, y, z) y + z - 1 = 0. Las ecuaciones de Lagrange correspondientes son 1 = 2Ax 2
2Ay + ii
3=Ii x2 + y2 - 2 = 0
y+z-1=0 Figura 5
De(1),x
1/2A;de(2)y(3),y = 1/2A.AsI,de(4),(1/2A)2 + (-1/2A)2
implica que A
±
.
La solución A =
2,loque
proporciona el punto crItico (x, y, z) = (1, 1,
2) y A = - da el punto crItico (x, y, z) = (-1, 1,0). Concluimos que f(1, 1,2) es el valor máxirno yf(-1, 1,0) = 1 es el valor mInimo.
5
Repaso de conceptos Maximizar f(x, y) es un problema de extremos maximizar f(x, y) suj eta a g(x, y) = 0 es un problema de extremos
AsI, para usar el método de Lagrange, intentamos resolver las ecuaciones \7f(x, y) = XVg(x, y) y en forma simultánea.
El método de multiplicadores de Lagrange depende del hecho de que en un extremo los vectores V/f y Vg son
En ocasiones, un sencillo razonamiento geométrico proporciona una soluciOn. El valor máximo de f(x, y) x4 + y4 en el cIrcub (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2 ocurre claramente en
SECCION 15.9
Método de Lagrange 681
Conjunto de problemas 15.9 Determine el mInimo de f(x, y) = x2 + y2 sujeta a Ia restric-
ción g(x, y) = xy - 3 = 0. Determine el máximo de f(x, y) = xy sujeta a la restricción
g(x,y) = 4x2 + 9y2-36
0.
Determine el máximo de f(x, y) = 4x2 - 4xy + y2 sujeta a la restricción g(x, y) = x2 + y2 = 1. Determine el mInimo de f(x, y) = x2 + 4xy + y2 sujeta a la
restricción g(x, y) = x - y - 6 = 0. Determine el mInimo de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeta a la restricción g(x, y) = x + 3y - 2z 12. Determine el máximo de f(x, y, z) = 4x - 2y + 3z sujeta a la restricción g(x, y) = 2x2 + y2 - 3z = 0. ,Cuáles son las dimensiones de la caja rectangular sin tapa que tiene volumen máximo cuando el area de la superficie es 48? Determine Ia minima distancia entre el origen y el piano
x + 3y-2z
4.
El material para ei fondo de una caja rectangular costa el triple por pie cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la maxima capacidad que tat caja puede tener si la cantidad totat de dinero disponible para el material es 12 dólares y el material para el fondo cuesta 0.60 dólar el pie cuadrado. Determine la minima distancia entre el origen y Ia superficie x2y - z2 + 9 = 0. Determine ei volumen máximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a los pianos de coordenadas, inscrita en el elipsoide x2
y2
z2
a2
b2
c2
Determine el volumen máximo de la caja rectangular en el primer octante, con caras paralelas a los pianos de coordenadas, un vértice en (0, 0, 0) y con el vértice diagonalmente o.puesto en el plano x z y
abc
Vuelva a resolver el problema 34 de Ia sección 15.8 de Ia manera fácil, usando multipiicadores de Lagrange. Sugerencia: Con-
sidere at plano como x/A + y/B + z/C = 1. Determine Ia forma del triángulo de mayor perimetro que se puede inscribir en un circulo de radio r. Sugerencia: Sean a, y ' como en Ia figura 6 y reduzca at problema a maximizar P = 2r(sen
a/2 + sen 3/2 + sen y/2) sujeto a a +
+ y = 2ir.
Considere el modelo de producción de Cobb-Douglas para un proceso de manufactura que depende de tres entradas x, y y z con costos unitarios a, b y c, respectivamente, dados por
P=kxayPZY, a>O,>O,y>O,a++yl
Figura 6
sujeto a la restricciOn de costos ax + by + cz = d. Determine x, y y z para maximizar Ia producción P. Determine la distancia minima del origen a ia recta de intersecciOn de los dos planos
x+y+z=8 y 2x-y+3z=28 Determine el máximo y el minimo de f(x, y, z) = -x + 2y + 2z en la elipse x2 + y2 = 2, y + 2z = 1 (véase el ejemplo 4).
Seaw
x1x1x.
Maximice w sujeta ax1 + x2 + + x,1 = 1 y todo x1 > 0. Use la parte (a) para deducir la desigualdad de Ia media aritmética y la media geométrica para nUmeros positivos a1, a2.....a; es decir,
/a1a2a,
a1+ a2 +
Maximice w = a1x1 + a2x2 +
x+x+
+ a,,
n + a,,x,1, con a > 0, sujeta a
+ x,2 = 1.
CASI El trazo de superficies y curvas de nivel, junto con un poco de sentido comán, nos pueden permitir resolver algunos problemas de extremos con restricciones. Resuelva to siguienle, basado en lasfunciones de las figuras 6 a 9 de la secciOn 15.1.
Maximice z = -4x3y2 suj eta a x2 + y2 = 1. Minimice z = x - x3/8 - y2/3 sujeta a x2/16 + y2 = 1.
Maximice z = xy exp(-x2 - y2) sujeta a xy = 2.
Minimice z = exp(_x)cosV'x2 + y2 sujeta a x2 + y2/9 = 1.
Respuestas al repaso de conceptos: 2. paralelos 3. g(x, y) = 0 4. (2, 2)
1. libres; con restricción
15.10 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con cierto o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
Las curvas de nivel de z = 2x2 + 3y2 son elipses.
Si f(0, 0) = f(0, 0), entonces f(x, y) es continua en el origen. Si f(0, 0) existe, entonces g(x) = f(x, 0) es continua en x = 0.
Si
tim (x.y)-(O,O)
f(x, y) = L, entonces y-O tim f(y, y) = L.
Si f(x, y) = g(x)h(y), donde g y h son continuas para todo x y y, respectivamente, entonces f es continua en todo el piano xy. Si f(x, y) = g(x)h(y), donde g y h son ambas dos veces diferenciables, entonces
82f 82f = g"(x)h(y) + g(x)h"(y) 8x2 + ay2
682
La derivada en el espacio de dimension n
CAPITULO 15
Si f(x, y) y g(x, y) tienen el mismo grad iente, entonces son13. Determine Vf(1, 2, 1). idénticas.
(a) f(x,y,z) = x2yz3
El gradiente de f es perpendicular a la gráfica de z = f(x, y). Si f es diferenciable y Vf(a, b) = 0, entonces Ia gráfica de z = f(x, y) tiene un piano tangente horizontal en (a, b). Si Vf(p0) = 0, entonces f tiene un valor extremo en Po Si T = e sen x da Ia temperatura en un punto (x, y) en el pIano, entonces un objeto que busca el calor se moverá alejándose del on-
(b) f(x,y,z) = y2senxz
14. Determine la derivada direccional def(x, y) = tan1(3xy). Cuá1
es el valor en el punto (4,2) en la dirección u = ( \//2)i - (1/2)j? 15. Determine Ia pendiente de Ia recta tangente a la curva de intersecciOn del piano vertical x + 2V3 - 1 = Oy la superficie z = x2 + y2 en el punto (1, 2, 5).
gen en La direcciOn I.
/x2 + y4 tiene un valor mInimo glo-
La función f(x, y) bal en el origen.
La función f(x, y) =
+ y4 no tiene un valor mInimo
global ni un valor m6ximo global.
Sif(x, y) = 4x + 4y, entonces Df(x, y)
qué dirección crece f(x, y)
9x4 + 4y2 más rápidamente
en(1,2)? 17. Para f(x, y) = x2/2 + y2, determine la ecuaciOn de su curva de nivel que pasa por el punto (4, 1) en su dominio;
4.
Si Duf(x, y) existe, entonces D_f(x, y) = D11f(x, y). El conjunto {(x, y) : y = x, 0 < x < 1 } es un conjunto cerrado en el plano. Si f(x, y) es continua en un conj unto cerrado y acotado S, entonces f alcanza un valor máximo en S.
Si f(x, y) alcanza su valor máximo en un punto interior (x0, Yo) de S, entonces Vf(x0, Yo)
16.
determine el vector gradiente Vf en (4, 1); trace Ia curva de nivel y dibuje el vector gradiente con su punto inicial en (4, 1).
18. SiF(u,v) = tan1(uv),u = Vxy,yv =
- V,determi-
ne 8F/ax y 8F/8y en términos de U, V, X y y.
0.
La función f(x, y) = sen(xy) no alcanza un valor máximo en el conjunto {(x, y) : x2 + y2 < 4}. Si f(x0, Yo) y f(x0, Yo) existen, entonces f es diferenciable en (x0, Yo)
19. Si f(u, v) = u/v, u = x2 - 3y + 4z, y v = xyz, determine f3 ' f en términos de x, y y z.
20. Si F(x, y) = x3 - xy2 - y4, x = 2 cos 3t, y y = 3 sent, determine dF/dt en t = 0.
Problemas de examen muestra
Determine y bosqueje el dominio de cada función de dos variables dada, mostrando claramente los puntos de la frontera del dominio que pertenecen a éste.
(b)z=V2xy-1
(a)z=Vx2+4y2_100
Bosqueje las curvas de nivel de f(x, y) = (x + y2) para k
0, 1,
2,4. En los problemas 3-6, determine af/ax,
f(x,y) = 3x4y2 + 7x2y7
5. f(x, y) = e tan x
f/ax2 y 32f/ay ax.
9z2 - 34 en el punto P(1, 2, 1). Escniba Ia ecuación del piano tangente a La superficie F(x, y, z) = 0 en el punto dado.
Determine la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie z = x2 + y2/4 y el pIano x = 2 en el punto (2, 2, 5). i,Para cuáles puntos es continua la función f(x, y) = xy/(x2 - y). +
? Explique.
En cada caso, determine el lImite indicado o indique que tal lImite no existe.
(a)
lIm
-
(x,y)(2,2) x2 + 2y
(c)
- 4y4 Y)(°'°) x2 + 2y lIm
,
(b)
a 1 radian/segundo. Si c = 10 pulgadas y b = 8 pulgadas cuando a = ii-/6, qué tan rápido está cambiando entonces el area?
6. f(x, y) = e_x sen y
5x2yz4, determinef(2, 1, 1),f(2, 1, 1), yf(2, 1, 1).
xy
22. Un triángulo tiene vertices A, B y C. La longitud del lado c = AB está aumeitando a razón de 3 pulgadas/segundo, el lado b = AC aumenta una pulgada/segundo, y el angulo entre ellos a está creciendo
23. Determine el vector gradiente de F(x, y, z) = 9x2 + 4y2 +
Si f es la función de tres variables definida por f(x, y, z) = xy3 -
(x, y)-*(O,O)
determine dF/dt en términos de x, y, z y t.
4. f(x,y) = cos2x - sen2y
SiF(x,y) = 5x3y6 - xy7,determinea3F(x,y)/axay2.
i,Existe
21. Si F(x, y, z) = (5x2y/Z3), x = t372 + 2, y = ln4t, y z = e3',
lIm
24. Un cilindro circular recto tiene un radio de 10 ± 0.02 pulgadas y una altura de 6 ± 0.01 pulgadas. Calcule su volumen y use diferenciales para dan una estimación del error posible. 25. Si f(x, y, z) = xy2/(1 + z2), use diferenciales para estimarf(1.01, 1.98, 2.03).
26. Determine los extremos de f(x, y) = x2y -
- 3x2.
27. Una caja rectangular cuyos lados son paratelos a los ejes de coordenadas se inscribe en el elipsoide 36x2 + 4y2 + 9z2 = 36. j,CuCl es el mayor volumen posible para tal caja?
x2 + 2y
28. Use multiplicadores de Lagrange para determinar el maximo y el mInimo de f(x, y) = xy sujeta a la restnicción x2 + y2 = 1.
-
29. Use multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensio-
(x,y)(2,2) x2
nes del cilindro circular recto con volumen máximo si el area de su superficie es 241T.
PROYECTODE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 15.1 15.1
PROYECTO
I
;,
Método de Newton Newtonpara parados dosecuaciones ecuaciones con con dos dos incOgnitas incógnitas Método de l.I. Preparación Ejercicio 11 Repase el método de Newton Newton de de Ia la sección 11.3 11.3 (iselo para para aproximar aproximar la Ia solución soiución de y úselo x-cosx x - cosx22 =0 = 0
11. II. Uso Uso de de la Ia tecnología tecnologIa Suponga que tenemos las dos funciones = f(x, y) y Z = g(x, g(x, y) y) zz = z = y queremos determinar una pareja ordenada ordenada (x, (x, y) y) que que satissatis0 y g(x, faga en forma forma simultánea simuitánea f(x, f(x, y) = OY = 0.Tenemos O. Tenemos g(x, y) y) = un valor inicial (x1, Yi)yybuscamos huscamos un un mejor mejor valor usando las (x¡, YI) aproximaciones lineales de f yy g. g.
f
f(x1,y1)(x x1)++fy(x¡, f(x1,y)(y (1) z = f(x1,y1) f(XI' Y¡) ++ fiXl> y¡)(x - - Xl) y¡)(y - Yi) YI) (1) z
g(x1,yj)(x -- Xl) x1)++ gy{X¡,YI)(Y g(x1,y1)(y-- YI) y1) z = g(x1,y1) g(x¡,y¡) + gx(XI,Yt)(X
Ejercicio 2 Para plano xy los Para determinar determinar dónde dOnde cortan al piano dos planos 0 en cada una de las pianos descritos en (1), hacemos z = =O ecuaciones ecuaciones en (1) (1) y despejamos despejamos (x, (x, y). y). Denotamos Denotamospor por(x2, (X2'Y2) Y2)
la solución de este sistema de ecuaciones. Usted encontrará que f(x1, Yi)-- g(x1, f(XI' y1)g..(x1, y¡)gy{x l , YI) g(x¡, y1)f(x1, YI)fy(x¡,Yi) Y¡) x2 x1 X2 = X¡ f(x1,yi)g(x1,y1) g(xj. y¡)fy{x¡, v1)f(x1,v1) (2) fx(x¡, y¡)gy{x l , YI) - - gix¡, Y¡) (
2
g(x1,y1)f(x1,y1) f(x1.y1)g(x1y1) g(x¡, YI)fi x ¡, YI) - - f(XI' YI)gix¡, Yt) Y2 = YI - f(xi,yi)g(xiyi) fixI' YI)gy{x¡, Y¡) -- g(xi,yj)f(xi,yi) gx(x¡, y¡)fy(x¡, Y¡)
Y2 - Yi
Ejercicio obtiene Ejercicio 33 La siguiente pareja pareja ordenada ordenada(x3, (X3' y3) h) se obtiene de manera similar a partir de (x2, y,). Bajo las condiciones manera similar a partir de (X2' Y2)' Bajo las condicionescocorrectas, 1, 2, ... ... convergerá convergerá aa una rrectas, Iala sucesiOn sucesión (x1, (x;. y.), y;), ii = = 1,2, unasolusolu0. Este Este esquema iteción del sistema f(x, y) y) = 0OY y g(x, y) y) = O. rativo es ci el método de Newton para para dos dos ecuaciones ecuaciones en en dos dos incógnitas. Considere el sistema de ecuaciones 2 + y2 2 x2 48 = 0 X +y -48=0 x+y+6=O algebra por computadora para (a) Use su sistema sistema de álgebra para hacer hacer gráficas implícitas implIcitas (en (en la Ia misma misma ventana ventana de graficacion) gráficas graficación) para las dos ecuaciones. ecuaciones. Una Una forma forma de de hacer esto es crear una gráfica de contorno contorno con con una una Unica única curva de nivel para k = 0. O. Use su grafica implIcita para para determinar cuántas (b) gráfica implícita cuántas soluciosoluciones tiene este sistema. obtener valores su gréfica gráfica impiIcita implícita para para"obtener valoresiniciales iniciales(x1, (Xl> (c) Use Use su Yi) ci método de Newton. YI) para el (d) Use el método de Newton Newton para paraaproximar aproximarlas lassoluciones. soluciones.
x+y+6=0
Los Ejercicio 4 EnEn lossiguientes siguientesejercicios, ejercicios, usted usted usará el método de Newton para determinar determinar Ia la distancia minima mínima entre una una superficie dada por zz = h(x. h(x, y) y) y un punto p = (p, q, r) que que no esté sobre sobre ia la superficie. Un buen buen erifoque enfoque consiste consiste en en miniminimizar Ia la función F(x, y) y) = (distancia entre entre pp yy(x, (x, y, y, h(x, h(x, y)))2 y»)Z
Explique la Ia forma en que la Explique la minimización minimización de de FFconduce conduceaaLas las ecuaciones xx -- pp ++ (h(x, (h(x,y) r)h..(x,y) y) -- r)h(x, y) = O 0 0 y -- qq + (h(x,y) (h(x, y)- - r)hy(x,y) r)h(x, y) = O y 2 y) = x2 x + 4y2, de modo que Ia la superfiEjercicio + 4y2, Ejercicio 55 Sea Sea h(x, h(x, y) superficie es un paraboloide (véase Ia la figura 1). Deduzca el par de de ecuaciones la distancia minima. mínima. ecuaciones por por resolver resolver para para determinar determinar La Usted deberá obtener Usted deberá obtener 3 xy2 ++(1(1-- 2r)x 2x3 0 (3) f(x,y) f(x, y) = = 2x ++ 88.rv2 2r)x -- p = O (3) 2 g(x,y) 0 32y3++ 8x 8x2y (1 - 8r)y g(x, y) = = 32y3 y ++(18r)y -- q = O Observe que para para determinar determinarLa la distancia distancia mínima mInima entre entre (p, Ia superficie zz = h(x, y), podemos de q, podemoscalcuiar calcularciel valor valor de q. r) r) y y la (x, y) que minimiza el la distancia, F(x, y). y). el cuadrado de Ia
I
Ejercicio = (4,1, Ejerciclo 6 6 Sea (p, q, r) = (4, 1, O). 0).La La tarea tarea ahora consiste en resolver las las ecuaciones (3). La obtención de buenos valores en resolver ecuaciones (3). x yx yy en el método de de Newton iniciales inicialespara para y en ci método Newtonesesahora ahoramucho mucho más difícil que més difIcil que para para el elcaso casode de una una variable. variable.En En algunos algunos casos, casos, usted puede puede estimar En este caso, usted estimar (x, (x, y) observando observandoIalagrafica. gráfica. En este caso, la (x, y) y) debe estar Ia figura figura11muestra muestra que que la Ia pareja pareja ordenada ordenada (x, debe estar más cerca del del ongen origenque que(4,(4,1); 1); usaremos usaremoscielpunto puntoiniciai inicial (2, (2, más cerca 0.5). puedehacer haceresto estocon conuna unagráfica gráficaimplIciimplíci0.5).Usted Usted también también puede ta, como como en ta, enciel ejercicio ejercicio 3. 3. Una x1yyYI' y, aplique Una vez vez disponibles los valores iniciales XI aplique el el determinar Ia minima entre entre método de Newton para determinar la distancia mínima (Deberá obtenerrespuesobtener respues(4,1, O) yYIa la superficie zz = = x2 x2 + + 4y2. 4y2. (Deberá (4, 1,0) tas cercanas a x = 1.12 yYy = 0.089.) las Ejercicio 77 Repita Repita ci para el punto punto (P, (p, q, r) == (2,2,0). Ejercido el ejercicio 6 para (2,2, O).
III. Reflexión 111. Ejercicio 88 Repila Repitaelel ejercicio ejercicio 66 para para ci el punto punto (p, (p, q. q, r) = (4, 1, 4).Comience Cornience trazando trazando las implIcitas (o graficas 1,4). las gráficas gráficas implícitas gráficas de contorno, con una una curva curva de nivei contorno, con nivel para z = = 0) O) para para determinar" determinar ci punto inicial. Deberá tener tener tres tres candidatos candidatos para para tal punto el punto inicial. Deberá tal punto inicial. ¿Cuál 1,CuáIde deestos estos conduce conduce a Ia la distancia mínima distancia minimareal? real?¿Qué Qué decir de los los otros? puede decir AZ
-=-
h(x,y)=x24y h(x,y) =.r+4y'
40 40
20
0
I
-ï
44 4 4 Figura Figura 11
683
PROYECTO DE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 15.2 15.2
PROYECTO
VisuaIzaciôn de de la Iaderivada derivadadireccion~1 direccionI Visualización l.I. Preparación
el concepto concepto de de derivada derivada didiEn este proyecto exploraremos exploraremos el reccional. Ejercicio 1 1 Ejercicio
Caicule directamente Ia Calcule la derivada direccional de
f(x, y) = 3x + 4y + 44 en el punto (1, una de deLas las (1,-1) 1) en cada una direcciones
(b)i j+j (b) +j (e) -i -i (h) i - j
a(t) dt. Jor'"a(t) Jo
evaluar I
(e) j (f) -i - j (i) i + tj
(h) ij
3 Ejercicio 66 Ahora, Ejercicio Ahora, sean sean¡(x, f(x, y) y) = xx3 + 4y3, 4y3, x0 X o = 1, = 1 y e = Yo = -1 Y e = 0.2. Repita el 3 para función 0.2. Repita ci ejercicio esta función y Yo compare sus sus resuitados resultados del del ejercicio ejercicio 2. 2. compare
Ejercicio 2 Repita ejercicio 11 para Repita el ejercicio para lalafunciOn función f(x, x3 + 4y3. y) = = x3 4y3.
11. II. Uso Uso de la Ia tecnología tecnologIa En Ia la primera parte partede deesta estasección secciónvisualizaremos visualizaremosLos los resultados de los ejercicios I1 yy 2. 2. Ejercicio 3 (a) Construya una una grafica gráfica tridimensional tridimensional yy una gráfica de contomb de f(x, y) == 3x + torno + 4y 4y ++44para paraeleldominio dominio S == {(x, y): -2 2}.Ahora, Ahora, imagine que es un esy) : 2$ xx $ 2,2,-22 $ Y $ 21. posado sobre sobre laIasuperficie superficieeneneleipunto punto(1,(1,-1, 1, f(l, f(1, carabajo posado 1)). SiSiusted ustedda daun unpaso paso(ci (elpaso paso de de un un escarahajo escarabajo mide 0.2 unidades) en suhirá o bajará? Antes de dar unidades) enLa la direcciOn dirección i, ¿subirá el paso, su altitud altitud (es (es decir, decir, su su coordenada coordenada z) z) era era f(1, el paso, su f(l,
-1».
1) = 3;3;después despuésde dedar dare! paso,¿cuál Lcul es essu sualtitud? altitud?¿Cuál Cuél -1) el paso, es la Ia pendiente pendiente al dar el paso? (b) Repita Ia la parte (a) (a) para para Ia la dirección direcciónj. j. parte (a) (a) para la dirección -i --j. (c) Repita La la parte j. las pendientes pendientes halladas haliadas en las partes (a). (d) j,Coinciden ¿Coinciden las (a), (b) yy (c) resultados obtenidos directamente (e) con los resultados directamente en en ci el ejerciejerciExplique por qué sus resultados coinciden o difieren. cio 1? Explique
1,
Ejercicio4 Seanf(x,y) = 3x + 4y + 4,x0 1,y0 = + 4y 4,xo = 1,yo = -1, 0.2. Para Para tt en el ci intervalo [0, 2i-], yyee = = 0.2. 21T J, defina h(t) = f(xo f(xo + ecost,y0 ecost, Yo + esent)
a() a(t) =
f(x0 f(xo + + ecost,y0 ecost,yo + esent) -- f(x0,y0) f(xo,yo) e
e
7 Repita el ejercicio 4 para f(x, y) y) = x 3 ++ 4y3, 4y3, = x3 X0 = yee = xo = 1, Yo = -1 = 0.2. 0.2. Luego Luego cambie cambie ee por poree = = 0.002 Y y re1, Yo - IY pita ci el ejercicio ejercicio 4. 4. pita Ejercicio Eje~'Cicio
Ejercicio 8
La función deIa la elecciOn elección de e; por funciOn a(t) depende depende de
Jor'"a(t) di depende de e. e. Use Use su su a(t) di' p 2ir
tanto, Ia la integral integral definida definida I
Jo
a(i) dt dt para JoJoIr'"a(t) para ee= = 0.2, 0.2, 0.02 0.02~ p 2ir
tecnologfa para aproximar tecnología aproximar
0.002, 0.0002 0.002, 0.0002Yy 0.00002. 0.00002.Haga Hagauna unaconjetura conjeturaen en cuanto cuanto a
¡
p 2'" 2ir
lIm lím
/ e-O e->O o
a(t)dt.
III. Reflexión 111. Ejercicio 9 Seanf(x,y) = x3 Sean f(x, y) = x0 = Ejercicio9 x 3 ++4y3. 4y3,xo = 2y 2yyo = 2. DcDeYo = + fina h(t) v ++sen h(t) = = f(x0 f(x o + cos t,, Yo sen t). (Observe que ésta ésta es es Ia la = 1.) 1.) misma h definida anteriormente, pero con e =
(a) Construya una una grafica gráfica tridimensional tridimensional de de Ia la superficie superficie [(x,y)y)y yuna unagrafica gráficatridimensional tridimensionaldedeIalacumva curvadefinidefinizz == f(x, da de manera sent,t, h(t» manera paramétrica paramétricapor por(x0 (xo ++ cos cos t, vYo + sen li(s)) en en la la misma ventana ventana de de graficacion. graficación. = t0 < t" = 21T 2ir una particion t o < tI < ... < t,_1 t"-1 < partición (b) Sea 0O = regular (es (es decir, decir, con con espacios espacios iguales) del intervalo [0, [O, 21r]. Sea M¡ As la la longitud longitud del segmento de recta que 21T J. Sea que une une (x0 cost1_1, Yo Y + sent1_1) (x o + + cost¡_I, sent;_I) y (x (xo + + cost1, cost;,Yo Yo + sent1). sent;)' Considere la suma 11
Trace la la gráfica gráfica de de h(t). h(t). Explique Explique lo lo que que representa representa esta (a) Trace grafica. gráfica. Ia gráfica de a(t). Explique (b) Trace la Explique lo lo que quesignifica significa lo lo siguiensiguiente, y la forma en que esto se relaciona relaciona con una parte parte del del ejercicio 3: 3: a(O), a(0), a(1T/2), a(ir/2), a(5ir/4) a(S). a(51T/4)yya(t). Ejercicio Ejercicio 55
(a) j,Parece ¿Parece que que Ia la gráfica gráfica de de a(S) a(t) tiene aiguna alguna relación relacióncon conlas las
funciones trigonometricas? Sin Sin hacer hacer el el cálculo, cálculo, ¿podría ,podrIa funciones trigonométricas? f2r hacerse una idea del valor de I a(t) dt?
¡2'" Jo
684
la formula fórmula para a(S) a(t) y use su tecnologIa tecnología para (e) Deduzca Ia p Zir
(a)ii (a) (d) -i + +jj (g) -j costi + sentj (j) costi
(d)i (g)j
a(S)para para aproximar, aproximar, (b) Haga un acercamiento a Ia la gráfica de a(t) maximiza 0(t). a(t). De con dos cifras decimales, el valor de t que maximiza Dc nuevo, nuevo, suponga suponga que que es es un escarabajo sobre la superficie y) = 3x + 4y + 44 en (1,(1, -1,1, 3).3). ¿Qué di- dide f(x, y) enelcipunto punto ,Qué seguir para para irir io lo más alto posible en un paso? rección debe seguir
h(s1) 2.: h( t¡} ils¡ s1
¡=1
Esta Ésta es una suma de Riemann para ,cuál ¿cuál integral integral definida? definida? (En el capItulo capítulo 17 estudiaremos estudiaremos integrales integrales corno como ésta.) ésta.) (En el
(e) Use su tecnologIa tecnología para evaluar Ia la integral definida de la la parte (b). (b). el piano plano xy xy (d) Suponga que quiere colgar una cortina desde ci hasta la superficie. La parte parte inferior de la cortina corlina debe essuperficie. La tar aa lo lo largo largo del del cIrculo círculo (x, y) y) = (xo + cos t,t, Yo ++ sen sen t), (x0 + 0$ 21T, en el piano plano xy. i,Cuántas ¿Cuántas unidades cuadradas 0 t $ 2ir, de material se necesitan?
CAPITLO A'
I
16
La integral en el espacio de dimensiOn n 16.1 Integrales dobles sobre rectangulos 16.2 Integrales iteradas 16.3 Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 16.4 Integrales dobles en coordenadas polares 16.5 Aplicaciones de las integrales dobles 16.6 Area de una superficie 16.7 Integrales triples (coordenadas cartesianas) 16.8 Integrales triples (coordenadas cilmndricas y esféricas) 16.9 RevisiOn del capItulo Proyecto de tecnologIa 16.1 Ley de Ia Gravitación de Newton Proyecto de tecnologIa 16.2 Integración de Monte Carlo
16.1
Integrales dobles sobre rectángulos
La derivación y la integración son los procesos fundamentales del cálculo. Hemos estudiado la derivación en el espacio de dimension n (capItulo 15); es tiempo de considerar la integración en el espacio de dimension n. Generalizaremos la teorIa y las aplicaciones de las integrales sencillas (de Riemann) a las integraLes mOltiples. En el capItulo 6 usamos las integrales sencillas para caldular el area de regiones planas curvas, para determinar Ia longitud de curvas planas y para determinar el centro de masa de alambres rectos con densidad variable. En este capItulo usaremos las integrales mUltiples para calcular el volumen de sólidos generales, el area de superficies generales y el centro de masa de láminas y sólidos de densidad variable. La Intima relación entre La integración y la derivaciOn fue formulada en los teoremas fundamentales del cálculo; estos teoremas proporcionan Las principales herramientas teóricas para evaluar integraLes sencillas. Aqul reducimos la integración mUltiple a una serie de integraciones sencillas, donde nuevamente jugará un papel central el segundo teorema fundamental. Comprobaremos Las habilidades de integraciOn que aprendió en los capItulos 5 a 8. La integral de Riemann para una función de una variable fue definida en la secciOn 5.5, sección que vale La pena revisar. Recuerde que formamos una partición P del
intervalo [a, b] en subintervalos de Longitud Axk, k = 1, 2.....n, elegimos un punto muestra Xk del k-ésimo subintervalo, y luego escribimos
fb dx
= Procedemos de una manera muy similar para definir La integral para una función de dos variables.
686
CAPITLILO 16
La integral en el espacio de dimension n Sea
R un rectángulo con lados paralelos a Los ejes de coordenadas; es decir, sea R
= {(x,y):a
b,c
d}
Formamos una partición P de R por medio de rectas paralelas a Los ejes x y y, como en La figura 1. Esto divide a R en subrectángulos, digamos n, que denotamos por Rk, k = 1, 2.....n. Sean .Xk y Ayk las longitudes de los lados de Rk, y sea = 1\Xk Ayk su area. En Rk, elija un punto muestra (Xk, yk) y forme La suma de Riemann n
k=1
f(k,
)LAk
que corresponde (si f(x, y) 0) a La suma de los volümenes de n cajas (figuras 2 y 3). AL hacer la partición cada vez más fina, de modo que todos los Rk sean más pequeflos, tendremos el concepto deseado. z=f(x,y)
Volumen
=f(
Figura 1
Y,)LA
Figura 2
Figura 3
Estamos listos para una definiciOn formal. Usamos La notaciOn introducida arriba,
agregando que La norma de la partición F, denotada P , es La Longitud de La mayor diagonal de cualquier subrectánguLo en la partición.
Definición
La integral doble
Sea f una funciOn de dos variables, definida en un rectánguLo cerrado R. Si II
lIm k=1
existe, decimos que f es integrable en R. Además, doble de f en R, está dada entonces por
If
)dA =
lIm k=1
// f(x, y) dA, ilamada la integral
fGk,)zAk
R
Esta definición de la integral doble contiene el lImite cuando P - 0. Este no es un lImite en el sentido del capItulo 2, de modo que debemos aclarar lo que realmente significa. Decimos que
f(,
)
= L si para cada E> 0 existe ö > 0
SECCION 16.1
=f(x,
Integrales dobles sobre rectángulos 687
tal que para cada partición P del rectángulo mediante rectas paralelas a los ejes x y y que satisfaga P < y para cualquier elección de los puntos muestra (Xk, yk) en el
)
k-ésimo rectángulo, tenemos /(
Recuerde que si f(x) va y
0,
=I
f
f(x, yk) Ak - L <
.
b
f(x) dx representa el area de La regiOn bajo la cur-
f(x) entre a y b. De manera similar, si f(x, y)
0,
fff(x
y) dA representa ci
y
R
Volumen = fff(x, y)dA R
Figura 4
volumen del sólido bajo la superficie z = f(x, y) y sobre el rectángulo R (figura 4). De hecho, consideramos esta integral como La definición del volumen de tal sóLido.
La cuestiOn de Ia existencia No toda funciOn de dos variables es integrable en un rectángulo dado R. Las razones son las mismas que en el caso de una variable (seeción 5.5). En particular, una funciOn que no esté acotada en R no es integrable. Por fortuna, hay una generalizaciOn natural del Teorema 5.5A, aunque su demostración está más allá del nivel de un primer curso.
de int'grabiIidad Teorema 4 Thorema C. LC '0 C';ci:rd :110 R v Si fes 'a aco..ada en el rc :tángui I
-' es continua ahI, excepto en un nüsuaves, entonces i' es in te grable en R. En particular, sif es con:
mero finito d.. c ur
tinua en todo R, entonces fes integr 1DF e alit En consecuencia, La mayor parte de las funciones comunes (siempre que estén acotadas) son integrables en cada rectángulo. Por ejemplo,
f(x,y) = e(xy) - y3cos(x2y) es integrable en cada rectángulo. Por otro lado,
g(x,y)=
x2y - 2x
yx
2
dejarIa de ser integrable en cualquier rectángulo que corte a La parabola y x2. La funciOn escalonada de la figura 5 es integrable en R porque sus discontinuidades ocurren a lo largo de dos segmentos de recta.
z
Función escalonada
y
/
R
Figura 5
Propiedades de Ia integral doble propiedades de la integral simple.
La integral doble hereda muchas de las
688 CAPITULO 16
La integral en el espaclo de dimensiOn n
1. La integral doble es lineal; es decir,
ff kf(x,y)dA = kfff(xy)dA; ff [f(x,y) + g(x,y)]dA ff f(x,y)dA + ffg(xY)dA. R
R
=
R
R
R
R
R2
R
La integral doble es aditiva en tectángulos (figura 6) que se traslapan solo en un segmento de recta.
fff(xY)dA
Figura 6
fff(xY)dA
+
fff(xy)dA
Se cumple La propiedad de comparaciOn. Si f(x, y) entonces
g(x, y) para todo (x, y) en R,
ffg(xY)dA
fff(xY)dA
Todas estas propiedades se cumplen en conjuntos más generales que los rectángulos, pero esto lo estudiaremos en la sección 16.3.
Evaluación de integrales dobles Este tema recibirá más atención en La siguiente sección, donde desarrollaremos una poderosa herramienta para evaluar integrales dobLes. Sin embargo, ya podemos evaluar unas cuantas integrales, y podemos aproximar otros. Observe primero que si f(x, y) = 1 en R, entonces La integral doble es el area de R y de eSto se sigue que
ffk dA = kff 1 dA R
EJEMPLO 1
Sea
= kA(R)
R
f La función escalonada de la figura 5; es decir, sea f(x,y)=
CaLculefff(xY)dA,dondeR
1 0x3,0y1 2 0x3,1y2 3 0x3,2y3 {(x,y):0
x
3,0
3}.
R
Solución
Introducimos los rectángulos R1, R2 y R3 como sigue: R1
{(x,y):0
x
3,0
R2
= {(x,y):0
x
3,1
y
2}
R3
{(x,y):0
x
3,2
y
3}
i}
Luego usamos la propiedad aditiva de la integral dobLe para obtener
fff(x
y) dA =
fff(x
y) dA +
f/f(x
y) dA +
f/f(x
y) dA
1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)
=13+23+33=18 En eSta deducción usamos el hecho de que eL valor defen La frontera de un rectángulo no afecta el valor de la integral.
Integrales dobles sobre rectangulos 689
SECCION 16.1
f(x, y) =
(64 -
8x + y2)
(0,8,8)
p
El ejemplo 1 fue un éxito menor, y para ser honestos, no podemos hacer mucho sin más herramientas. Sin embargo, siempre podemos aproximar una integral doble calculando una suma de Riemann. En general, podemos esperar que la aproximación sea mejor si usamos una partición cada vez más fina. EJEMPLO 2
fff(x
Aproxime
(OO4)-i -
y) dA, donde
R
64 - 8x f(x,y)
/ (4,
0, 2)
/
___I___
8
y
7(1) (5>
(2
(6)
(4)
(3)
7)
+ y2
16
y
R
8)
= {(x,y):0
4,0
8}
Haga esto calculando la sunia de Riemann obtenida dividiendo R en ocho cuadrados iguales y usando el centro de cada cuadrado como el punto muestra (figura 7).
Figura 7
Solución Los puntos muestra requeridos y los valores correspondientes de la función son como sigue:
f(1) =
(1,1),
f(2,2)
(22) = (1,3), (1,5),
=
= (1,7),
=
-
= (3,1),
(66)
(8) AsI, como AAk =
=
f(x5,y5)
41
= 16
(3,3),
f(6,6) =
= (3,5),
= 89
= (3,7),
f(x8,y8)
= 16
4,
8
11 R
f(x,y)dA k=1
=4f(k,k) k=1
4(57+65+81
+
105+41+49+65+89)
= 138
16
En la sección 16.2 veremos cómo calcular el valor exacto de esta integral, que es
138.
690 CAPETULO 16
La integral en el espacio de dimensiOn n
Repaso de conceptos Suponga que el rectángulo R ha sido dividido en n subrectángulos de area IXAk con puntos muestra (Xk, yk), k = 1, 2.....n. Entonces
fff(x
Sifes
en R,entoncesfes integrable ahI.
Sif(x,y)
y) dA = lIm IPI -* 0
entonces
= 6enelrectánguloR =
fff(x
{(x,y):1x2,0y2},
y) dA tiene el valor
R R
Sif(x, y)
en R, entonces
fff(x
y)
dA se puede interpre-
tar geometricamente como
Conj unto de problemas 16.1 Enlosproblemasl-4,seaR = {(x,y):1 láe
x
4,0
y
/ff(x, y) dA, dondefes lafuncion dada (éase el ejemplo 1).
lx<3,0y2
1.f(x,y)=112
3x4,0y2
1x4,0v<1
1-i
2.f(x,y)=1
1x4,1;2 lx<3,0y<1 lx<3,1y2 3x4,0y2
2
2
3.f(x,y)=1 13
= {(x, y): 0
x
fff(x, y) dA
3,
2, 1
2,0
x
y
0
y
Vx + y
CI
14. f(x, y) =
y
2},
5y
ff(6
ff(i + x) dA, dondeR = {(x, y): 0 en R, entoncesfff(x, y) dA
y)
Suponga que m
y) dA = 2.
0.
MA(R)
CI Sea R el rectángulo que aparece en Ia figura 8. Para la partición indicada en 12 cuadrados iguales, calcule las sumas de Riemann
R
y C tales que
ffVx + y2dA y
[2g(x,y) + 3]dA
Enlosproblemas 9-14, R = {(x, y): 0 x 6,0 y 4} y Pes Ia partición de R en seis cuadrados iguales mediante las rectas x = 2,
2
r R
y) dA calculando Ia suma de Rie-
R
f(xk, Yk)
2,
maxima y minima parafJ Yx2 + y2 dA y obtenga con ello nOmeros
8.
mann correspondiente
x
M en R y muestre que
ff f(x,y)dA
mA(R) si-
f(x, y)
+ 5g(x,y)]dA
fff(x
1,
R
- g(x,y)]dA
Aproxime
x
i}. Véase Ia sugerencia en el problema 15.
ra mostrar que si f(x,
//g(x
- y)dA,dondeR = {(x,y):0
Use la propiedad de comparación de las integrales dobles pa-
C
2.
=
Calcule
guientes.
x = 4y y =
f(x, y)
13.
4x - 3y)
y i}. Sugerencia: Esta integral representa el volumen de cierto sólido. Bosqueje el sólido y calcule su volumen mediante principios elementales.
Use las propiedades de las integrales para evaluar cada una de las
ff[2f(xY)
(48 -
C
2}. Suponga, además, que
ffg(x, y) dA
ff[3f(x,y)
=
0
Ri={(x,y):0x2,oyl},y = {(x, y): 0
f(x,y)
3x4,1y2
1
Suponga que R
=
x2
lO.f(x,y)=10y2
+ 2y2
f(x, y)
Calcule
lx4,0y<1 lx<3,1y2
12
4.f(x,y)=3
R2
9.f(x,y)12xy
2}.Eva-
Ak, suponiendo
que (xk, Yk)
son los centros de los seis cuadrados (véase el ejemplo 2).
x
Figura 8
C
Integrales iteradas
SECCION 16.2
Evalueffx cos2 (xy) dA, donde R es el rectángulo de la fj gura 8. Sugerencia: Tiene alguna simetrIa la grafica del integrando? Recuerde que x]I es la funciOn máximo entero. Para el rectángulo R de Ia figura 8, evalüe:
ffx]Y]idA
- -... 30 25 28
20
20
+ yfldA
(b)
9
/44
-
40
R
(a)
Z
24
691
(io
2
R
x
Suponga que el rectángulo de la figura 8 representa una placa delgada (lámina) cuya densidad de masa en (x, y) es ö(x, y)
4-
(digamos, en gramos/centImetro cuadrado). i,Qué representa
ff6(x
46 44
3
y)dA?
42 40 38
R
Colorado es un estado rectangular (si ignoramos Ia curvatura de la Tierra). Sea f(x, y) el nümero de pulgadas de agua de iluvia
y 2-
36 34
durante 1999 en el punto (x, y) de ese estado. i,Qué representa
fff
32 22
(x, y) dA? i,Qué representa este nümero dividido entre el area
-I
I
I
2
24
28
26
30 4
3
x
Colorado
de Colorado? Sea f(x, y) = 1 siX y y son nümeros racionales y f(x, y) = 0 en caso contrario. Muestre que f(x, y) no es integrable en el rectángulo R de la figura 8. Use las dos graficas de la figura 9 para aproximar
fff(x y)dA; R = {(x, y):
0
x
4,0
y
4}
Figura 9
Respuestas al repaso de conceptos: 1.
-
lumen del sólido bajo z = f(x, y) y sobre R 3. continua
2. el vo4. 12
R
16.2
Integrales iteradas
Ahora enfrentaremos seriamente el problema de evaluar el rectánguio R
= {(x,y):a
b,c
x
y
[[f(x, y) dA, donde R es R
d}
en R, de modo que podamos interpretar la inSuponga por el momento que f(x, y) tegral dobie como el volumen V del sólido bajo La superficie de la figura 1. (1)
1
V =
fff(xY)dA
Hay otra forma de calcular ci volumen de este sólido, que al menos intuitivamente parece igual de válida. Rebanamos ci sólido en láminas deigadas por medio de pianos paralelos al piano xz. Una de estas láminas aparece en ia figura 2(a). El area de ia cara de esta lámina depende de su distancia ai piano xz; es decir, depende de y. Por tanto, denotamos esta area por A(y) (véase la figura 2(b)). El volumen AV de Ia lámina está dado aproximadamente por
Figura 1
A(y)y y, recordando nuestro antiguo lema (rebanar aproximar, integrar) , podemos escribir
fd
Por otro lado, para y fijo podemos calcular A(y) por medio de una integral simple ordinaria; de hecho, b
A(y) =
ff(xY)dx
692
CAPiTULO 16
La integral en el espacio de dimension n
- áreaA(y)
/
-
-Ly
La iámina correspondiente de voiumen A(y) Ly
Rebanamos con pianos y = constante (a)
(b)
Figura 2
Qué ocurre si I es negativa?
Si f(x, y) es negativa en una parte de
AsI, tenemos un sólido cuya area de la sección transversal es A(y). El problema de calcular el volumen de una region cuyas secciones transversaies son conocidas fue considerado en la secciOn 6.2. Concluimos que
fd[fb]
R,
entonces
fff(x, y) dA proporciona
el volumen con signo del sOiido entre la superficie z = f(x, y) y el rectángulo R del piano xy.
(2)
V
La ültima expresiOn se llama una integral iterada. Al igualar las expresiones para V de (1) y (2), obtenemos el resultado que queremos.
IIIrdr Pbf(xy)dx]dy f(x,y)dA
R
=
J
I
LJa
De haber comenzado el proceso anterior rebanando el sólido con pianos paralelos al plano yz, habrIamos obtenido otra integral iterada, donde las integraciones aparecen en el orden opuesto.
L
//
PbE
El volumen real de este sólido es
fff(xy) dA
Pd
f(x,y)dA = / / f(xy)dy]dx I,/ Ja LJ R Debemos hacer dos comentarios. Primero, aunque hemos deducido los dos resultados de los recuadros suponiendo que f era no negativa, los resultados son válidos en general. En segundo lugar, todo el ejercicio no tendrIa sentido, a menos que se puedan evaluar las integrales iteradas. Por fortuna, las integrales iteradas suelen ser fáciles de evaluar, como mostramos a continuación.
Eva luación de integrales iteradas Comenzamos con un ejemplo sencillo. f3[ f2 1 EJEMPLO 1 Evalue / / (2x + 3y) dx dy.
Jo Ui
]
Solución En la integración interior, y es constante, de modo que 2
I (2x + 3y)dx = [x2 + 3yx] = 4 + 6y - (1 + 3y) = 3 + 3y
En consecuencia,
13[122x
f3[3+3yy =
+ 3Y)dx]dY =
[3y +
y2]
U
f2[ f3 EJEMPLO 2
Evalüe I
/
I
J1 [Jo
Integrales iteradas 693
16.2
SEccION
1
(2x + 3y)dy dx. ]
Solución Observe que simplemente hemos invertido el orden de integración del ejemplo 1; esperamos tener la misma respuesta que en ese ejemplo.
L
3(2x
= 6x +
1
3
+ 3y)dy = [2xY + 27
2
AsI,
f2[f3
+ 3y) dy] dx =
f2[6x
+
]dx= [3x2+
=12+27 3+ 2)
x]2
2
.
A partir de ahora, por lo general omitiremos los corchetes en la integral iterada. EJEMPLO 3
Evalüe
Una nota sobre Ia notación
El orden de dx y dy es importante, pues especifica cuál integración debe realizarse primero. La primera integración implica a! integrando, el sImbolo de integral más cercano a él a Ia izquierda y el primer sImbolo dx o dy a su derecha. A veces nos referiremos a esa integral como la integral interior y a su valor como la integración interior.
f8f4
16
[64 - 8x + y2]dxdy.
So!ución Observe que esta integral iterada corresponde a la integral doble del ejemplo 2 de la sección 16.1 para la cual afirmamos la respuesta 138 2/3. Con frecuencia omitiremos la consideración separada de la integral interior, y trabajaremos de adentro hacia fuera.
f8f4
16
[64 -
f[64x
+ y2]dx dy =
= 16
- 4x2 + xy2] dy
f8[256 64 + 4y2]dy
= IP8/112+1y2)dy 4 Jo
= [12Y +
= 96
z
Cálculo de volümenes
/T\\
18
12
2 512 = 138 3 12
U
Ahora podemos calcular el volumen de una gran vane-
dad de sólidos.
Determine ci volumen V del sólido bajo la superficie z = 4 x2 - y y so2} (véase la figura 3). 1,0 x y bre ci rectángulo R = {(x, y): 0 Ei EM PLO 4
So!ución Estimaremos este volumen suponiendo que ci sólido tiene altura constante 2.5, dando un volumen de (2.5)(2) = 5. Si ci siguiente cálculo da una respuesta que no sea cercana a 5, sabremos que hemos cometido un error.
-r
V
4--y
R
(1,2,0)
Figura 3
//(4 - x2 - y)dA = f2f1 - x - y)dxdy f2[4x_ = [4Y
yx]dY
Y Y 10=8 - 2 -
=
16
694 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n
Repaso de conceptos d
1. La expresión
f [f f(x, y) dy] dx es una integral
3. Para una funciOn generaifdefinida en R, fff(x y) dA se R
2. Sea R = {(x, y): -1
2, 0
x
2}. Entonces
y
fff (x, y) dA se puede expresar como una integral iterada,
como
puede interpretar como el volumen del sólido entre la superficie z f(x, y) y el piano xy; Ia parte por arriba de este piano recibe un signo ; y por abajo, un signo
4. AsI, si una integral doble tiene un valor negativo, sabemos que más de la mitad del sólido
R
0
Conjunto de problemas 16.2 En los problemas 1-12, evalae cada una de las integrales iteradas. p2
1.
p3
x2 y dy dx
JJ 0
2.
1
5.
I
[I f2
(xy + y2) dx dy
I
Ji Jo
4.
I
J-i
j
/
/
6.
9.
10.
ex+Ydydx
1
I1
/ xexy dy dx
[f,
II
y
1
,
y = 2.
25. Muestre que si f(x, y) = g(x)h(y) entonceS
f
dxdy 2
12.
0
-,.
2
1
xy exy2 dy dx
fl
24. El sólido en el primer octante encerrado entre z = 4 - x y
Jo J0
2x./x + y dx dy
/ / JoJo
0
21. Eisólidobajoelplanoz = x + y + lysobreR = {(x,y): < x < 11 < < 3 '
- 22. El sOiido bajo el piano z = 2x + 3y y sobreR = {(x, y): 12x2,0o4y4}. 23. El sólido entre z = x2 + y2 + 2 y z = y arriba de I(r < il \_'u-1 '' 0
R
/
8.
P1n3
11.
ln2
.L 11
x sen xy dy dx
Jo Jo f3 fl
I (x2 + y2) dx dy 11
1n3
flf'xsenydxdy Pr/2 Cl
7.
(x + y2) dy dx
J-1 J
En los problemas 21-24, ca/cute el volumen del sólido dado. En primer lugar, bosqueje elsólido;luego calcule su volumen;por áltimo, determine su valor exacto.
1
f2 f3 3.
p2
4
/ .L +x
2
b
d
b
TJe i'1 nrchlem, ')S puta%..Yalu ai
dy dx
En los problemas 13-16, evaláe Ia integral iterada doble en R.
27. EvaltIe
f
fxYe
13.ffxY3dA;R={(x,y):Ox1,_1yi} L
R
ff(x2 + y2)dA;R = {(x,y):-1
x
1,0
y
2}
z =
d
ff(xy)dydx= [fg(x)dx][fh(y)dy]
1+Y
dydx
e2Y dy dx
28. Calcule ci volumen del sólido encerrado entre la superficie cos x cos y y el piano xy, donde --
En los problemas 29-31, evaláe cada integral iterada.
ffsen(x + y)dA; 29. R
{(x,y):0
ffxyvi
x
IT/2,0
y
IT/2}
ff
R
R = {(x,y):0
x
,1
y
2}
Evalüe
En los pro blemas 17-20, bosqueje el sOlido cuyo volumen es Ia integral
iterada dada.
ffx9y3dydx
fV fl 8x / Jo / (x2+y2+1) 2 dy dx. Sugerencia: InvierJo
ta ci orden de integración. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz para integrales:
/fdxdy ff(2 - x - y)dydx ff(x2 + y2)dydx
30.
y3dydx
31.
+ x2dA;
x2 y3 dydx
[I
bf(x)g(x)dx]2
fbf2(x)dxfbg2(x)dx
Sugerencia: Considere la integral doble de 20.
f2f2
- y2)dydx
F(x, y) = [f(x)g(y) - f(y)g(x)]2 sobre ci rectángulo R = {(x, y): a
b, a
y
b}.
SECCION 16.3
34. Suponga quefes creciente en [a, b] y que Demuestre que
f
f(x) dx
>
/ f(x) dx> 0.
Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 695
1. iterada
Respuestas at repaso de conceptos:
Ja
3. con signo;
2.
a +b
más; menos 4. está abajo del piano xy
2
y dé una interpretación fIsica de este resultado. Sugerencia: Sea F(x, y) = [y - x][f(y) - f(x)]; use la sugerencia del probiema 33.
16.3
Integrales dobles sobre regiones no rectangulares
Consideremos un conjunto cerrado y acotado arbitrario S en el piano. Encerramos S con un rectánguio R cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas (figura 1). Suponga que f(x, y) está definida en S y definimos (o redefinimos, en caso necesario) f(x, y) = 0 en ia parte de R que está fuera deS (figura 2). Decimos quefes integrabie en S si es integrabie en R y escribimos
fff(x
y) dA =
f/f(x
y) dA
Afirmamos que la integral dobie en conjuntos generales S es (1) lineal, (2) aditiva en conjuntos que se traslapan solo en curvas suaves y (3) satisface la propiedad de S
comparaciOn (véase la secciOn 16.1).
EvaluaciOn de integrales dobles en conjuntos generales
Los conjuntos
con fronteras curvas pueden ser muy complicados. Para nuestros fines, bastará considerar conjuntos x-simpies y y-simp!es (y uniones finitas de tales conjuntos). Un conjunto S es y-simple si es simple en Ia dirección de y, io que significa que una recta en esta direcciOn corta a S en un solo intervaio (o to corta en un punto o no lo corta del todo). AsI, un conj unto S es y-simple (figura 3) si existen funciones 4 y en [a, b] tales que
Figura 1
S
{(x,y):1(x)
2(x),a
Un conj unto S es x-simple (figura 4) si existen funciones I2 en [c, d] tales que S
{(x,y):i(y)
x (i/i
i2(y),c
b}
es Ia letra griega psi) y d}
La figura 5 exhibe un conjunto que no es x-simple ni y-simple.
ÀY
Un conjunto y-simple
= fl
Un conjunto x-simple
Figura 2 d
S
S
C
0 Figura 3
a
b
x
0 Figura 4
696 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n Un conjuntoque no es x-simple ni y-simple y d
S
0
a
x
Figura S
b
x
Figura 6
Ahora, suponga que queremos evaluar la integral doble de una función f(x, y) sobre un conjunto y-simple S. Encerramos S en un rectángulo R (figura 6) y hacemos f(x, y) = 0 fuera de S. Entonces
fff(xY)dA
=
fb[fdf(x,y)dy]dx
ff f(x,y)dA f2x)
b
1
Lf(x,y)dyjdx Jth1(x
En resumen,
IfPb
f(x,y)dA S
=
f(x,y)dydx
JJ a
En La integraciOn interior, x se mantiene fijo; asI, esta integración se realiza a lo largo de La recta vertical gruesa de la figura 6. Esta integración proporciona el area A(x) de la sección transversal que aparece en La figura 7. Por ültimo, A(x) se integra de a a b.
Si el conjunto S es x-simple (figura 4), un razonamiento similar conduce a La formula IfPd
f(x,y)dA
=JJ c
S
P1/12(Y)
f(x,y)dxdy
1/'i(Y)
Si el conj unto S no es x-simple ni y-simple (figura 5), por lo general se puede considerar como una union de piezas que tienen una propiedad o la otra. Por ejemplo, el anillo de la figura 8 no es simple en ninguna dirección, pero es La union de dos conjun-
s,,
y
a
S SI = (.1
Figura 7
I
Figura 8
SEccION 16.3
Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 697
tos y-simples S y S2. Las integrales de estas piezas pueden calcularse y sumarse para obtener la integral sobre S.
Algunos ejemplos
Para tener una ligera visiOn preliminar, evaluamos dos integrales iteradas, donde los lImites de la integral interior son variables. EJEMPLO 1
EvalOe la integral iterada
f5fX2
+
lOy)dydx
So!ución Primero realizamos la integración interior con respecto de y (pensando temporalmente a x como constante) para obtener
f5fx2
+
lOy)dydx =
f[4xy
+ 5y21X2dx
= f5[(4x3 + 5x4) - (-4x2 + 5x2)] dx = f5(5x4 + 4x3 - x2)dx = [x5 + x4
.
=3393.
Observe que para integrales iteradas, la integral exterior no puede tener lImites que dependan de otra variable de integración. EJEMPLO 2
EvalOe la integral iterada
f f2yex fl[ f
Solución
flfY22yex
dx dy
2yex dxl dy
dx dy =
f [2yex]2 dy
=
f
(2yeY2
- 2ye°)dy
- 2f f =[eY2]_21=e1_2=e_2 =
e2(2ydy)
ydy
U
L2]0
y
Ahora estudiaremos el problema de cáiculo de volOmenes por medio de integrales iteradas.
Figura
EJEMPLO 3 Use una integración doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los pianos de coordenadas y el piano 3x + 6y + 4z - 12 = 0.
9
So!ución Sea S ia region triangular en el piano xy que forma ia base del tetraedro (figuras 9 y 10). Buscamos ei volumen del sólido bajo la superficie z = (4 - x 2y) y arriba de la region S. El plano dado corta al piano xy en la recta x + 2y - 4 = 0, segmento que pertenece a la frontera de S. Como esta ecuaciOn se puede escribir y = 2 x12 y x = 4 podemos pensar en S como el conj unto y-simple
-
Ày
2S I
i
Figura 10
'I
X
IH
= x
{(x, y): 0
x
x
4,0
2
o como el conj unto x-simple S
= {(x,y):0
4 2y,O
y
2}
698 CAPITULO 16
La integral en el espaclo de dimension n
Consideraremos a S como un conjunto y-simple; el resultado final será el mismo de cualquier forma, como usted podrá verificar. El volumen V del sólido es
v=
x - 2y)dA
Jf(4 -
A! escribir esto como una integral iterada, fijamos x e integramos a lo largo de una recta (figura 9) de y = 0 a y 2 - x12 y luego integramos el resultado de x = 0 a x 4. AsI,
2x/2
v=ff4
=f[f 4
3
f4 3
3
(4x-2y)dydx
2-x/2
(4_x-2y)dyldx
[4yxyy]0
212_X/2
dx
.10
14
3
16
J
(16 - 8x + x2)dx
r
x314
=16L16x_4x2+ 3]4 Tal vez usted recuerde que el volumen de un tetraedro es un tercero del area de Ia base, por la aitura. En nuestro caso, V = (4)(3) = 4. Esto confirma nuestra respuesta.
z
EJEMPLO 4
(0, 0, 4)
Paraboloide
z=x2+y2
Calcule el volumen del sólido en ci primer octante (x O,y 0, 0) acotado por ci paraboloide circular z = x2 + y2, ci cilindro x2 + y2 = 4 y los pianos de coordenadas (figura 11). z
Solución La region S en ci primer cuadrante del piano xy está acotada por un duar= 4 y las rectas x = 0 y y = 0. Aunque S puede pensarse como to del cIrculo x2 + una region y-simple o una region x-simpie, consideraremos a S como en ei segundo caso y escribimos sus curvas frontera como x = \/4 y2, x = 0 y y = 0. AsI,
-
S={(x,y):0xV4_y2,0y2}
,,L
La figura 12 muestra ia region s en el piano xy. Ahora queremos calcular
/
v = ff(x2 + y2)dA Fgura 11
s
/
por medio de una integral iterada. Esta vez fijamos y e integramos a io largo de una recta (figura 10) de x = 0 a x = \/4 y2 y luego integramos ei resultado de y = 0 a
-
y
/
2
2.
v
ff(x2
2
+ y2) dA
f2[1 (4 p I
/4_y2
2
x
p2)3/2
Gracias a ia sustitución trigonométrica y
bir como Figura 12
=
ff
+ y2V4
(x2 + y2) dx dy
y2] dy
20 sen, esta i:iitima integral se puede escri-
Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 699
SECCION 16.3
f2[cos3e
+
8sen2ecose]2cosede '2r16
L [r/2
16 3
cos2 9 (1 - sen2 0 + 3sen2 o) dO Jo
16 f2
J
= 3
[/2
16
-
1
cos4 e + 16 sen2 9 cos2 9 dO
3
(cos2ü + 2sen2Ocos2O)dO
(cos9+2sen22O)dO 1 - cos
fir/2 "1 + cos 29
16
2
+
4
)
dO
2r
razonable esta respuesta? Observe que el volumen del cuarto de cilindro en ir(22)(4) = 4r. La mitad de este nümero es ciertamente u'i valor razonable para el volumen requerido. ,Es
La figura 10 es irr2 h = EJEMPLO 5
Mediante un cambio de orden de integración, evalüe 4
2
e2 dy dx 0
x/2
Solución La integral interior no se puede evaluar tal cual, pues e2 no tiene una antiderivada elemental. Sin embargo, reconocemos que La integral iterada dada es igual a
ffeY2 dA y
{(x,y):x/2 y 2,0 x 4} = {(x,y):0 2} 2y,O y (véase Ia figura 13). Si escribimos esta integral doble como una integral iterada realizando primero la integración con respecto de x, obtenemos dondeS
2S
[2 -
y
Jo Jo
x
2y
/
2
e
dx dy =
f[xeY21
dy
2
Figura 13
IC
2ye2 dy = [e-2] = e4 - 1
Repaso de conceptos 1. Para un conjunto arbitrario S, definimos
fff(x
y) dA como
3. Si S es un conj unto y-simple, como en la pregunta 2, entonces
la integral doble sobre S se puede escrihir como la integral iterada
S
fff(x
y) dA, donde R es
y f(x, y)
fuera deS.
fff(xY)dA 4.
2. Un conjunto S es y-simple si existen funciones
talesqueS = {(x,y):
,a
x < b}.
y 12 en [a, b]
Si S es el triángulo en eL primer cuadrante acotado por
x + y = 1, entonces ff2x dA se puede escribir como la integral iterada
, con eL valor
La integral en el espacio de dimensiOn n
700 CAPITULO 16
Conjunto de pro blem as 16.3 Evaláe las integrales iteradas en los problemas 1-12. p1
1.
f3x
x2dydx
JJ
2.
22. El sólido en el primer octante acotado por los pianos de coor-
denadas y los pianos 2x + y - 4 = 0 y 8x + y - 4z = 0 23. El sOlido en ei primer octante acotado por la superficie 9x2 + 4y2 = 36 y el piano 9x + 4y =0
f2f'YdYdx
0
0
y2)dxdy [3 f2y
xe dxdy
5.
JJ-y
7.
I I cos(irx) dy dx Jl/2J0
1
p1
f2x
. LL
- y)dydx
24. El sOlido en el primer octante acotado por la superficie z = 9 - x2 - y2 y los pianos coordenados
11
dydx
y los pianos x = 0, z = 0 y y + z = 1 26. El sóiido acotado por el cilindro parabólico x2 = 4y y los pianos z = 0 y Sy + 9z - 45 = 0
6.
ii Jo x2 + y2 fir/4 f\/coSO rdrdO 8. / / Jo JV
f1T/9 f3r
I
sec20d0dr
I
flr/2
/
Jo
11.
ex cos y dx dy
Jo
A
tan
28. El sOlido en el primer octante acotado por la superficie z = e-, el plano x + y = 1 y ios pianos coordenados 29. El sólido en el primer octante acotado por la superficie
Sen y
2f\/4x2
27. El sOlido en el primer octante acotado por el cilindro z
x2 y los pianos x = y, x = 1 y y = 0
JIT/4
JO
25. El sólido en el primer octante acotado por el cilindro y = x2
9z = 36 - 9x2 - 4y2 y los pianos coordenados
(x+y)dydx
30. El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circularesx2 + = 16, y2 + z2 = 16 y los pianos coordenados
sen9
12.
fi-/2
f 6r cos 0 dr dO
En los problemas 13-18, evalüe Ia integral doble dada cambiándola por una integral iterada.
En los problemas 31-36, escriba la integral iterada dada como una integral iterada con el orden de integraciOn intercambiado. Sugerencia: Comience bosquejando una region S y represéntela de dos formas, como en el ejemplo 5.
fXf(
ffxy dA; S es la region acotada por y = x2 y y = 1.
y) dy dx
31. f
S
ç
ff (x + y) dA; S es la region triangular con vertices (0,0),
33.
32.
fff(x y) dx dy
fx114
/ I f(x,y)dydx JO Jx2
34. f]1/2
x3
(0,4) y (1,4).
is. ff(x2 + 2y)dA; S es la regiOn entre y = x2 y y
35.
V.
fff(xY)dxdY
S
16.
10
ff(x2 - xy) dA; S es la region entre y
xyy
36.
3x - x2.
IV'y+l
JJ
f(x,y)dxdy
-1
S
2 17.ff 1+x
37. EvaiUe ff xy2 dA, donde S es la regiOn que aparece en la 2
dA; S es la region triangular con vertices en
S
figura 14.
(0,0),(2,2) y (0,2).
ffx dA; S es la region entre y = x y y = x3. (Observe que
ÀY
4S tiene dos partes.) En los problemas 19-30, bosqueje elsólido indicado. Luego determine el volumen mediante una integración iterada.
32-
El tetraedro acotado por los pianos de coordenadas y el pia-
no z = 6- 2x El tetraedro acotado por los pianos de coordenadas y el pia-
no 3x + 4y + z - 12 = 0
x
La cufla acotada por los pianos de coordenadas y los pianos x
5 y y + 2z - 4 = 0
Figura 14
Integrales dobles en coordenadas polares 701
SECCION 16.4
ffxy dA, donde S es la region de Ia figura 15.
38. EvalOe
4L EvalOe if(x2 + xy)dA,dondeS
{(x,y):l
+ y2
4}.
Sugerencia: Use la simetria para reducir el problema al de evaluar y
4[ ffx2 dA +
ff
EvalOe
if
x2
dA] donde S1 y S2 son como en la figura 16.
x2 dA, donde S es la region entre la elipse
S
x2 + 2y2
S
= 4 y el cIrculo x2
+ y2
= 4.
La figura 17 muestra un mapa de contorno para la profundidad de un rio entre una presa y un puente. Aproxime el volumen de agua entre la presa y el puente. x Presa
Figura 15 Puente
EvalOe
if
sen
(y3)
dA, donde S es la regiOn acotada por
10 pies
40 pies
S
10
y = y = 2 y x = 0. Sugerencia: Si un orden de integraciOn no funciona, intente con el otro. EvatOe
10 pies
ffsen (xy2) dA, donde S es el anillo {(x, y): 1
< 4}. Sugerencia: Sin meditarlo, este problema es dificil; pero al usar simetrIa es trivial. x2 + y2
pies
-.4
20
pies
1100 pies
Figura 17
Respuestas al repaso de conceptos:
1. Un rectOngulo que con-
tieneaS;O
Figura 16
16.4
Integrales dobles en coordenadas polares
/
Ciertas curvas en el piano, como los cIrculos, las cardioides y las rosas, son más fáciles de describir en términos de coordenadas polares que en coordenadas cartesianas (rectangulares). AsI, es de esperar que las integrales dobles sobre regiones comprendidas entre tales curvas se evalUen más fácilmente mediante coordenadas polares. Sea R con la forma que aparece en la figura 1, que llamaremos un rectángulo polar, y que describiremos en forma analItica en un momento. Sea z = f(x, y) una superficie sobre R y suponga que fes continua y no negativa. Entonces el volumen V del solido bajo esta superficie y arriba de R (figura 2) está dado por
v
(1)
0=0
=
fff(xY)dA
En coordenadas polares, un rectángulo R tiene la forma R Eje polar
= {(r,0)':a
b,a
/3}
702
CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n
donde a
y
- a <2i. Además, Ia eduaciOn de la superficie se puede escribir como
f(x, y)
z
= f(r cos 9, r sen 9) = F(r, 0)
Vamos a calcular el volumen V de una nueva forma, usando coordenadas polares. Dividimos R en rectángulos polares menores R1, R2.....R por medio de una cuadrIcula polar y sean Ark y AOk las dimensiones del pedazo tIpico Rk, como se muestra en la figura 3. El area A(Rk) está dada por (véase el problema 30)
I Figura 2
y
A(Rk) = rk Ark
AOk
donde rk es ci radio promedio de Rk. AsI, V
Ark AOk
Al considerar ci lImite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtendrIamos ci volurnen real. Este ilmite es una integral doble. =
(2)
ffr
9)r dr dO =
fff(r cos 9, r senO)r dr dO
Ahora tenemos expresiones para V, es decir, (1) y (2). Al igualarlas tenemos
fff(rcosOrsenO)rdrd0
fff(xY)dA
Hemos deducido el resultado del recuadro bajo la hipótesis de quefera no negativa, pero es válida para funciones muy generales; en particular, para funciones continuas de signo arbitrario.
Integrales iteradas El resultado anunciado arriba se vuelve Otil al escribir La integral doble polar como una integral iterada, enunciado que iiustramos a continuación. EJEMPLO
1
Calcule el volumen Vdel sólido por arriba del rectángulo polar (figura 4),
R = {(r,O):
y bajo la superficie z
r
1
3,0
0
= ex2+y2
Solución Como x2 + y2 = r2, Jfex2+Y2dA
v
R
-
3er2r
Figura 4 /4
=L =
drl dO
[edo 1
2
f(e9 -
e)dO =
'iT
8
(e9
- e)
3181
Sin La ayuda de Las coordenadas polares, no podrIamos haber resuelto este probiema. Ob-
serve que el factor adicional r era justo Lo que necesitábamos para integrar er .
Regiones generales
Recuerde La forma en que extendimos la integral doble sobre un rectángulo comOn R a la integral sobre un conj unto general S. Simplemente encerramos S en un rectánguio y damos a La función por integrar el valor cero fuera de S. Podemos hacer lo mismo para integrales polares dobles, excepto que usamos rectán-
gulos polares en vez de rectángulos ordinarios. Omitiremos los detalles, afirmando simplemente que el resultado establecido en un recuadro anterior es válido para conjuntos generates S.
Integrales dobles en coordenadas polares 703
SECCION 16.4
0=/3
/
r=
0=
i
IJ2(r)
0= a 0
0 Un conjunto r-simple
Un conjunto 0-simple
Figura 5
Figura 6
Los conjuntos de particular interds para la integración polar son los r-simples y los O-simples. Decimos que un conjunto S es r-simple Si tiene Ia forma (figura 5) S
= 2(1 -
= {(r,O):(9)
r
2(0),a
0
decimos que es 0-simple si tiene la forma (figura 6) S 0=0
EJEMPLO 2
= {(r, 0): a
< J2(r)}
b, /i1(r) < 0
r
Evalüe
ff R
Figura 7
donde S es la region del primer cuadrante que está fuera del cIrculo r = 2 y dentro de la cardioide r = 2(1 + cos 0) (véase la figura 7). Solución Como S es un conjunto r-simpie, escribimos la integral dada como una integral polar iterada, con r como la variable interior de integración. En esta integral interior, 0 se mantiene fija; la integración se realiza a lo largo de la lInea gruesa de la figura 7,der = 2ar = 2(1 + cos0). z
ffydA S
fj 17/2
=
2(1+cosO)
17r/2rr3
= =
(rsen0)rdrd0 12(10s6)
3 J[_sen6] o
dO 2
[(1 + cosO)3senO - senO]dO f17/2
=[_i(1+cosO)4+cosO 4
/
z = x + y2
y
8r
L-°-
(z = r2)
Figura 8
1
1ir/2 Jo
1
(-4+1)]
22 3
EJEMPLO 3
Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z = x2 + y2, sobre el piano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = 2y (figura 8).
Solución Por simetrIa, podemos duplicar el volumen del primer octante. Al usar x = r cos 0 y y = r sen 0, la ecuación de la superficie se convierte en z = r2 y la del cilindro, r = 2 sen 0. Sea S la region que se muestra en la figura 9. El volumen requerido V está dado por
704
La integral en el espacio de dimension n
CAPITULO 16
V = 2Jf(x2 + y2) dA =
8-
L] 82j
71/2
f
2 senO
r2r dr dO
fir/2 sen4OdO Jo
f-/2rr412senO
=2]
2f
dO = 8/
37T
i?f'
2
Evaluamos la ültima integral por medio de La formula 113 en la tabla de integrales del final del libro.
Figura 9
Una integral de probabilidad
En el capItulo 9 analizamos la función de densidad de probabilidad normal canónica
Sentido comUn
Para estimar el volumen del ejemplo 3, observe que la altura del cilindro que aparece en la figura 8 es 4 (sean x = Dy y = 2 en z = x2 + y2). AsI, el volumen deseado es poco menos que Ia mitad del volumen de un cilindro de radio 1 y altura 4, es decir, menor que () (12)4 = 2ir. La respuesta obtenida, 3rI2, es razonable.
1
f(x)
e_x2/2
En ese momento afirmamos, pero no podIamos demostrar, que ff(x)dx = 1.En los dos ejemplos siguientes demostraremos este resuitado. EJEMPLO 4
fe2 dx =
Muestre que I =
/2.
Solución Vamos a resolver este problema de una manera un tanto larga, pero ciertamente ingeniosa. Recuerde primero que
1= z = e -X2 )2
dx
b>oo
Ahora, sea Vb el volumen del sóiido (figura 10) que está bajo la superficie
z=e
y sobre el cuadrado con vertices (±b, ±b). Entonces Vb =
1
Ie2 dx = tim
Jo
b
Y
=
ffe
dy dx = £e_x2[ fY2
fe_x2 dxf e2 dy
dy] dx
[fe_x2 dx] = 4[ Lbe_x2 dx]
=
Esto implica que el volumen de La regiOn bajo z = e_x2_y2 sobre todo el piano xy es
Figura 10
r fb
V = LIm Vb = lIm 41
(1)
b*co U0
b*cx
2
4[
I
f e2
dx]
2
e_x dx
12
4J2
Por otro lado, también podemos calcular V usando coordenadas polares. En este
caso, Vesel lImite, cuando a - oc, de Va, el volumen del sólido bajo la superficie
z = e_r2
z = e_X
/
---
-
e_r sobre la region circular de radio a con centro en el origen (figura 11). P271-
-
(2)
I
i:
V=limV. a*cxD
lIm
/
a*c'o Jo
Pa
P2iE
/ e2 r dr dO = lIm I a_*ooJ0
Jo
L
i
- 2 er2 Jo dO
P27r
y
-[i - ea2] = lfm1 - I [1 - e_a] dO = tim a *0°
-° 2 Jo
Al igualar Los dos valores obtenidos para V en (1) y (2) tenemos que 4J2 = ir, o Figura 11
I = \/,comosedeseaba.
Integrales dobles en coordenadas polares 705
SECCION 16.4
EJEMPLO 5
1 ex2/2 dx = 1. Muestre que f - V2
So!ución Por simetrIa, I
too
I
'
PCXD
I' eX2/ dx = 2 I
e_x2/2 dx
V2 J- V2 Ahora hacemos La sustitución u = x/\./, de modo que dx = Jo
du. Los ilmites
en la integral siguen siendo bo mismo, de modo que tenemos too
/ J-
' e_u\/ du
too
I
I
i
dx = 2 I
Jo
f2eudu
2
=
j
\/2r Jo 2
22
1
Para obtener La OLtima lInea, usamos eL resultado del ejemplo 4.
U
Repaso de conceptos Un rectángulo polar R tiene la forma R = ((r, 0): La expresión dy dx de las integrales en las coordenadas carpara las integratesianas (rectangulares) se transforma en les en coordenadas polares.
La integral
JJ
(x +
y2) dA, donde S es el semicIrculo aco-
tado por y = \/4 - x2 y y = 0, se convierte en la integral iterada en coordenadas polares. EL valor de la integral de la pregunta 3 es
Conjunto de problemas 16.4 En los problemas 1-4, evalüe las integrales iteradas.
f/2 fseno
i-/2 fcoso
r2 senO dr dO I I Jo Jo fir fsenO r2 dr dO 3. I I 1.
Jo Jo
r dr dO I Jo fir fJ-cos6 rsen 0 dr dO 4. / I Jo Jo 2.
I Jo
. ff V4 - x2 - y2 dA, donde S es el sector circular del priS
mer cuadrante del cIrculo x2 + y2 = 4 entre y = 0 y y = x 1
13. II
JJ 4+x +y 2
2
dA, donde S es como en el problema 12
En los problemas 5-10, calcule el area de Ia region dada S calculando ffr dr dO. Asegárese de hacerprimero an bosquejo de Ia region.
ff dA, donde S es el rectángulo polar del primer cuadranS
S es la region dentro del cIrculo r = 4 cos 0 y fuera del cIrcub
r = 2.
te dentro de x2 + y2 = 4 y fuera de x2 + y2 = 1 i
S es la menor regiOn acotada por 0 =
/6 y r = 4 sen 0.
S es un pétalo de La rosa de cuatro pétalos r = a sen 20.
S es la regiOn dentro de la cardioide r = 6 - 6 sen 0. S es La regiOn dentro del ciclo mayor de la limaçon r = 2-4 sen 0.
S es La region fuera del cIrculo r = 2 y dentro de la lemniscata r2 = 9 cos 20. En los problemas 11-18, evaláe usando coordenadaspolares. Bosqueje primero Ia region de integración.
/I
Jo
S
x2 + y2 = 4
dA, donde S es La region encerrada por
(4 - x2
2)-l/2 dy dx
0
ff
sen(x2 + y2)dx dy
ffx2dydx
/ 18. J2 I
11. ff
Vix2
2x_x2
(x2 +
2)-I/2 dy
dx
JO
19. Calcule eL volumen del sOlido en eL primer octante abajo del
paraboloide z = x2 + y2 y dentro del cilindro x2 + y2 = 9 usando coordenad as.
706 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n
Use coordenadas polares para calcular el volumen del sOli-
doacotadoporarribapor2x2 + 2y2 + z2 = 18,abajoporz = 0,ylateralmente por x2 +
= 4.
Cambie a coordenadas rectangulares y luego evairie 5secO
47T/3-
r3 sen2 U dr dO 3i-/4
22. Sean V =
0
ffsenx2
A
---- c
a
+ y2dA,y
Figura 12
w
=
ff senVx2 + y2 dA, donde
S es la region dentro del cIrcu-
= 4.2
lo x2 +
Sin calcular, determine el signo de V. EvalUe V.
Evahie W.
23. Los centros de dos bolas de radio a están separados a una
Hay una explicación sencilla para el notable resultado del problema 27. Muestre que el area de las secciones transversales de los dos sOlidos (anillo A y bola B) de Ia figura 12, determinada por un piano horizontal a aitura h tienen el mismo tamaño, io que implica que los sOlidos bajo este piano tienen el mismo volumen. (Este es justamente ei principio de Cavalieri para el volumen; véase el problema 40 de Ia secciOn 6.2.) Determine una fOrmula agradabie para este volumen en.términos de h y b.
Muestre que
distancia 2b, con b a. Caicule el volumen de su intersecciOn en términos de d = a - b.
24. La profundidad (en pies) del agua distribuida por un aspersor en una hora es ke'°, 0 < r < 10, donde r es Ia distancia al aspersor y k es una constante. Determine k si se distribuyen 100 pies cribicos de agua en una hora.
25. Calcule el volumen del sólido recortado de la bola r2 + z2 a2 por el cilindro r = a sen 0. 26. Calcule el volumen de la cufla formada por un cilindro circular recto alto de radio a y un piano que pasa por un diámetro de su base y forma un ángulo a (0 < a < irI2) con la base (compare con el probiema 37 de la secciOn 6.2).
27. Considere el aniiio A de altura 2b obtenido de una bola de radio a cuando se perfora un agujero de radio c (c < a) por el centre de la bola (parte izquierda de ia figura 12). Muestre que ei volumen de A es 47rb313 , lo que es notable por dos razones: es independiente dei radio a, y es iguai a! volumen de una esfera de radio b (parte derecha de Ia figura 12).
16.5
Aplicaciones de las integrales dobles y
1
LL( 1+x2+y2)2
dy dx
4
Recuerde Ia fOrmula A = r2O para el area de un sector circular de radio r y ángulo central 0 radianes (sección 12.8). Use esto para obtener ia fOrmula r1 + r2 A
=
2
(r2 - r1)(02 - o)
paraelareadelrectángulopolar{(r,o):r1
r
r2,01
02}.
Muestre que
f= J-=
1
e_(x_)2/22 dx =
1
para todo t y todo a- > 0. Sugerencia: Use el resultado del ejemplo 5.
Respuestas ai repaso de conceptos:
2. r dr dO 3.
f/ o
1. a
r
b; a
0
/3
r3 dr dO 4. 4
Jo
La aplicaciOn más obvia de las integrales dobles es el cálculo de volUmenes de sólidos. Hemos ilustrado ampliamente este uso de las integrales dobles, de modo que ahora yeremos otras aplicaciones (masa, centro de masa, momento de inercia y radio de giro). Considere una hoja plana, tan delgada que podamos considerarla bidimensional. En Ia secciOn 6.6 llamamos a tal hoja una lámina, pero ahI consideramos solo láminas de densidad constante. AquI queremos estudiar láminas de densidad variable, es decir, láminas hechas de material no homogeneo (figura 1). Suponga que la !ámina cubre una region s del piano xy y denotemos la densidad (masa por unidad de area) en (x, y) por 6(x, y). Dividimos S en pequeflos rectángulos R1, R2,. . , Rk, como se muestra en la figura 2. Elegimos un punto (Xk, Yk) en Rk. Luego, la masa de Rk es aproximadamente yk)A(Rk), y la masa total de la lOmina es aproximadamente .
S
m
)A(Rk) k=1
Material no homogéneo
Figura 1
La masa real m se obtiene considerando el lImite de la expresión anterior cuando la norma de la partición tiende a cero, lo que es, por supuesto, una doble integral.
Aplicaciones de las integrales dobles 707
SECCION 16.5
m =
ff(xY)dA
EJEMPLO 1 Una lámina con densidad (x, y) = xy está acotada por el eje x, La recta x = 8 y La curva y = x213 (figura 3). Calcule su masa total.
Solución 8
ffxYdA=ff
x213
xydydx
S
r8r21x2/3
10L2]0
(8 dx =
2J0
768
1O/3]
= 153.6
[
Centro de masa S .
dx
2:
Le sugerimos que repase el concepto de centro de masa de La
sección 6.6. AhI aprendimos que si m1, m2,. . , m, es una coLecciOn de masas puntuales situadas en (x1, yi), (x2, Y2),. . , (x, y,), respectivamente, entonces los momentos totales con respecto del eje y y el eje x están dados por .
)
.
=
Xk mk
M=
ykmk
k=1
Además, las coordenadas (, j) del centro de masa (punto de equilibrio) son n
n
-
Yx,.m,.I'
M
k=1
--
Y.ykmk x
k=1
-m
-m
m
-
Considere ahora una lámina de densidad variable 6(x, y) que cubre una region S en el piano xy, como en La figura 1. Dividimos esta lámina como en La figura 2 y supb-
nemos como aproximaciOn que La masa de cada Rk está concentrada en (k yk)' k = 1, 2.....n. Por Oltimo, consideramos el lImite cuando La norma de la partición tiende a cero. Esto conduce a Las formulas
ffx(xY)dA x=
EJEMPLO 2
m
ffY6(x y) dA
-
M
M m
- ff(x,Y)dA
ff6(xY)dA
Determine el centro de masa de La lámina del ejemplo 1.
So!ución En el ejemplo 1 mostramos que La masa m de esta Lámina es mentos M y M con respecto de los ejes y y x son
M = ffx(xY)dA
= 12
f8
J
x1013
dx =
f8fX2/3x2ydydx
12,288 13
945.23
768
Los mo-
708 CAPITULO 16
ff8
La integral en el espacio de dimension n
y6(x,y)dA =
=
S
1
18
II Jo Jo
x213
xy2dydx
1024
3o/ x3dx=
3
Concluimos que
M
x=
2
=6 13
m
6.15,
=
M m
2 =2-2.22 9
Observe que el punto (if, ) está en la parte superior derecha de S, lo que era de esperar, pues una !ámina con densidad S(x, y) xy es más pesada cuando la distancia a los ejes x y y aumenta. U
y
EJEMPLO 3
Determine ci centro de masa de una lámina con la forma de un cuarto de cIrculo de radio a cuya densidad es proporcional a la distancia al centro del cIrculo (figura 4).
Solución
Por hipótesis, 6(x, y) = kVx2 + y2, donde k es una constante. La forma
de S sugiere ci uso de coordenadas polares. m
=
ff kVx2
a
kf
+ y2 dA =
dr dO JO
0
S
Pir/2 a3
a
3
Jo
Figura 4
dO
kra3 6
Además, fir/2
M=
xkVx2 + y2dA = k I
Jo
S
ir/2
k
cosOdO
r ka4
[4 I
Pa
I (rcosO)r2drdO
Jo
1 T/2
=
senOl
ka4
Jo
4
Concluimos que
y
M
ka4/4
m
k-a3/6
3a 2ir
Debido a la simetrIa de la lmina, reconocemos que 5 = cer más cálculos.
las de la secciOn 6.6, que sOlo usan integrales sencillas? La respuesta es afirmativa. Para dar una justificación parcial, considere el cálculo de M para una region y-simple (figura 5).
pb l2(x)
b
M
x
xkdA = kJ
a
Figura 5
asI que no necesitamos ha-
Un lector perceptivo podrIa plantearse una pregunta en este momento. ,Qué ocurre si una lámina es homogenea? Es decir, ,qué odurre si 8(x, y) = k, una constante? ,Coincidirán las formulas deducidas en esta secciOn, que usan integrales dobles, con
S
a
,
J41(x)
xdydx = kj x[2(x)
-
a
La integral sencilla de Ia derecha es la dada en la sección 6.6.
Momento de inercia
La fIsica nos dice que la energIa cinética, KE, de una partIcula de masa m y velocidad v, que se mueve en una lInea recta, es (1)
KE = mv2
Si en vez de moverse en lInea recta, la partIcula gira en torno de un eje con una velocidad angular de w radianes por unidad de tiempo, entonces su velocidad lineal es v = rw, donde r es el radio de su trayectoria circular. Al sustituir esto en (1), obtenemos
SECCION 16.5
Aplicaciones de las integrales dobles 709
KE = (r2m)w2 La expresión r2m es el momento de inercia de la partIcu!a y se denota I. AsI, para una partIcula giratoria,
KE = Iw2
(2)
Concluimos de (1) y (2) que el momento de inercia de un cuerpo en movimiento circular juega un papel similar a la masa de un cuerpo en movimiento lineal.
Para un sistema de n partIculas en el piano con masas m1, m2.....m y con distancias r1, r2.....r con respecto de la recta L, el momento de inercia del sistema en torno de L se define como
mr + m2r +
I
+ mr
mkrk
En otras palabras, sumamos los momentos de inercia de las partIculas individuales. Ahora, considere una lámina con densidad 6(x, y) que cubre una region S del plano xy (figura 1). Si dividimos S como en la figura 2, aproximamos los momentos de inercia de cada pieza Rk, sumamos y consideramos el lImite, liegamos a las siguientes formulas. Los momentos de inercia (también ilamados segundos momentos) de la lámina en tomb de los ejes x, y, z están dados por
Ix =
=
ffY26(xY)dA
ff(x2
ffx2o(x,y)dA
Jy
y2)(x,y)dA
+
Ix + i
Determine los momentos de inercia en tomb de los ejesx, y, z de la himina del ejemplo 1. EJEMPLO 4
Solución x2'
8
ix
ffxy3 dA
= S
ff 8
=
ff xydA =
dy dx =
x1
J
0
dx
6144
=
877.71
8
x213
ff x3ydydx
1f x3dx = 6144
= 2
S
iz=Ix+Iy=
49 152 '
.
7O21.71
Considere el problema de reemplazar un sistema general de masas con masa total m por una Unica masa puntual m con el mismo momento de inercia I con respecto de una recta L (figura 6). ,A qué distancia debe estar este punto de L? La respuesta es r m
L
,
donde m = I. El nUmero
-r = II
\Jm
es el radio de giro del sistema. AsI, la energIa cinética del sistema que gira en tomb de L con velocidad angular es
710 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n
Repaso de conceptos Si la densidad en (x, y) es x2y4, entonces Ia masa m de Ia lámina S está dada por m = La coordenada y del centro de masa de la lámina de la pregun=
ta 1 está dada por
El momento de inercia con respecto del eje y de la lámina S de la pregunta 1 está dado por I Si S = {(x,y): 0
y
1}, un razonamiento geoméque
Conj unto de problemas 16.5 En los pro blemas 1-8, determine Ia masa m y el centro de masa (, ) de Ia lámina acotada por las curvas dadas y con Ia densidad indicada. x
0,x = 4,y = O,y
1y
y+1
- x2;6(x,y) = y
y = O,y =
y = O,y =
3;6(x,y)
senx,0
x
ir;6(x,y)
y
y = 1/x, y = x, y = 0, x = 2; 6(x, y) = x y =
e,y = 0,x = 0,x = 1;6(x,y)
y = ex,y = 0,x = 0,x = 1;6(x,y) = r = 2seri0;6(r,O)
y2
a
a
x
2x+y Figura 7
r
y = x2, y = 4; 6(x, y) = y
Teorema del eje paralelo Considere una lámina S de masa m junto con las rectas paralelas L y L' en el piano de 5, de modo que Ia recta L pase por el centro de masa de S. Muestre que si I e I' son los momentos de inercia de S en tomb de L y L', respectivamente, entonces I' = I + &m, donde d es la distancia entre L y L'. Sugerencia: Suponga que S está en el plano xy, L es ei eje y, y que L' es la recta x = d.
El cuadrado con vertices (0,0),(0,a),(a, a),(a,0);6(x,y) = x + y El triángulo con vertices (0, 0),(0, a),(a, 0); 6(x, y) = x2 + y2
Recuerde ia lmina del problema 11, para Ia que encontramos I = 5a5112. Calcule
r = 1 + cosO;6(r,9) = r En los pro blemas 9-12, determine los momentos de inercia I, I',, e I para Ia lámina acotada por las cun'as dadas y con la densidad indicada 6. y =
,x = 9,y = 0;6(x,y)
=
x+y
Determine el radio de giro de la lámina del probiema 11 con respecto del eje x. Determine el radio de giro de Ia lámina del problema 12 con respecto del eje y.
Determine el momento de inercia y radio de giro deuna lámina circular homogenea (6 constante) de radio a, con respecto de uno de sus diámetros.
(a)m
(b)
E
(c) 'L
donde L es una recta que pasa por (, 5) paralela al eje y (véase el problema 20). Use el teorema del eje paralelo junto con el problema 15 para resolver el problema 17 de otra manera.
Determine I, J e I para la lámina de dos partes de densidad constante k que aparece en la figura 8 (véanse los problemas 15 y 20).
Muestre que el momento de inercia de una lámina rectangular con lados de longitudes a y b en tomb de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa es
I
(a3b + ab3)
En este caso, k es la densidad constante. Determine el momento de inercia de la lámina del problema 15 en tomb de una recta tangente a su frontera. Sugerencia: Considere el cIrculo r = 2a sen 0; entonces la recta tangente es el eje x. La formula 113 al final del libro puede ayudarle con Ia integración.
Figura 8
Considere la lámina S de densidad k acotada por la card ioi-
de r = a(1 + sen 0), como se muestra en Ia figura 7. Determine su centro de masa y momento de inercia con respecto del eje x. Sugerencia: El problema 7 de la sección 12.8 sugiere el Otil hecho de que S tiene Crea 3iia2/2; ademCs, la fOrmula 113 al final del libro puede ser de utilidad.
Determine el centro de masa de la parte de la cardioide del problema 18 que está fuera del cIrculo r = a.
El teorema del eje paralelo también es válido para rectas que sean perpendiculares a una iámina. Use este hecho para determinar el momento de inercia de la lámina rectangular del problema 16 en torno de un eje perpendicular a la lámina y que pase por una esquina. Sean y 2 láminas ajenas en ei piano xy de masas m1 y m2 con centros de masa y (2 y2). Muestre que el centro de masa (x, ) de Ia lámina combinada Si - S satisf ace
i)
SECCION 16.6
-
m1
x = x1
m1 + m2
+ x2
m2
m1 + m2
con una fOrmula similar para . Concluya que, al determinar (, 5), las dos láminas se pueden considerar como si fuesen masas puntua-
les en (i ,
y (2 Y2)
Sean S1 y S2 las láminas circulares homogéneas de radios a
Area de una superficie 711
to de S con respecto de L es 0. Nota: Esto muestra que una lámina se equilibrara sobre cualquier recta que pasa por su centro de masa.
Para la lámina del ejemplo 3, determine la ecuaciOn de la recta de equilibrio que forme un ángulo de 135° con el eje x positivo
(véase el problema 27). Escriba su respuesta en la forma Ax + By
C.
y Ia (t > 0) con centro en (a, a) y (Ia, 0), respectivameñte. Use el probiema 25 para determinar el centro de masa de S1 u S2.
Respuestas al repaso de conceptos:
1.
ffx2y4dA
Sea S una lámina en el plano xy con centro de masa en el origen, y sea L la recta ax + by = 0, que pasa por el origen. Mues-
2. ff x2y5 dA/m 3. ff xy4 dA 4. mayor
tre que la distancia (con signo) d de un punto (x, y) a L es d = (ax + by)/\/a2 + b2,yuseestoparaconcluirqueelmomen-
16.6
Are de una S u pe rf I ci e
ZP(x
y,,, zfl,)
Hemos visto algunos casos particulares del area de una superficie. AsI, en ci ejemplo 3 de la secciOn 14.3 encontramos ci area de un paralelogramo en ci espacio.También hemos visto (problemas 29 y 30 de la sección 6.4) que ci area de la superficie de una esfera es 4rr2. En esta sección desarrollaremos una formula para el area de una superficie definida por z = f(x, y) sobre una region dada. Suponga que G es tal superficie, sobre la region cerrada y acotada S en el piano xy. Suponga además queftiene primeras derivadas parciales continuasf yf. Comenzamos creando una partición P de la region S con rectas paralelas a los ejes x y y (yea1,2.....n, los rectángulos resultantes que están completase la figura 1). Sean Rm, m mente dentro de S. Para cada m, sea Gm la parte de la superficie que se proyecta sobre Rm y sea Pm el punto de Gm que se proyecta sobre la esquina de R7 con las menores coordenadas x y y. Por Oltimo, sea Tm el paralelogramo del piano tangente en m que se proyecta sobre Rm, como se muestra en la figura 1, y luego con más detalle en la figura 2.
Tm
/
S
Figura 2
Figura 1
cuya proyección es A continuación calculamos el area del paralelogramo Sean 11m y v7 los vectores que forman los lados de Tm. Entonces
= /.xrni + f1(x,1, y)x,1k Vm
Ymj + fy(Xm, ynjymk
Dc la secciOn 14.3, sabemos que el area del paralelogramo
es u x vrn
,
donde
712 CAPiTULO 16
La integral en el espacio de dimensiOn n
X
Urn
V
I
j
k
LXXrn
0
0
LXyrn
fx(-m,Yrn)1rn fy(Xrn,yrn)ym
= (0 - fx(Xm, yrn)
rn
yrn)i - (fy(Xm, Yrn)
- 0)j
Xm
+(LXrnLym - 0)k =
ymHfx(Xrn, Yrn) - fy(Xm, ym)j + k]
Xrn
A(Rrn)[fx(Xrn, ym)i - fy(Xm, ym)j + k]
Por tanto, el area de Tm es A(Trn)
Urn
X
Vm
= A(Rm)V[fx(Xrn, Yrn)12 + [fy(Xm, ym)]2 + 1
Luego sumamos las areas de estos paralelogramos tangentes Tm, m = 1, 2,. . , n, y consideramos el iImite para obtener el area de la superficie de G. .
A(G) z
A(1)
=
rn=1 n
= lIm
+ [fy(Xrn, ym)]2 + 1 A(Rm)
PHO rn=1
[f(x,y)]2 + [f(x,y)]2 + idA
=// II
o, de manera más concisa,
ff\/f
A(G) =
+f + idA
Trazamos la figura 1 como si Ia region s del piano xy fuese un rectánguio; esto no necesariamente ocurre. La figura 3 muestra lo que ocurre cuando S no es un rectánguio.
Figura 3
Algunos ejemplos ilustraremos la fOrmula para ei area de una superficie dada en el recuadro mediante tres ejemplos. z=
/
- x2
EJEMPLO 1 Si S es la region triangular en ei piano xy acotada por las rectas x = 0, x = l,y = 0 yy = 2,caicule el area deJa parte de la superficie cilIndrica z = V'4 - x2
que se proyecta sobre S (figura 4).
Seaf(x, y) =
Solución
- x2. Entoncesf = x/\/4 - x2,f = 0, y
A(G) = fJ\/f +f + idA
flf22dd Figura 4
EJEMPLO 2
=
ff4
+ idA
dA ff /1 dx4sen1=2 4 V4_x2 3 2
1
.0
L
2]
U
Calcule ei area de la superficie z = x2 + y2 bajo ei piano z = 9.
Solución La parte indicada G de ia superficie se proyecta sobre la regiOn circular S dentro del cIrculo x2 + y2 9 (figura 5). Sea f(x, y) x2 + y2. Entoncesf = 2x,f = 2y y
A(G)
/fV4x2
+ 4y2 + 1 dA
La forma de S sugiere ei uso de coordenadas poiares.
SECCION 16.6 2ir
A(G)
=
z=
f f V4r + 1 r dr dO 13
- (4r2 + 1)3/2 Jo dO
=
+ y2
713
3
f2ir 1 [2
0. 9)
Area de una superficie
(373/2
12
=
(373/2
- 1) dO =
- 1)
117.32
Un cilindro circular recto (con altura igual al diámetro) y una esfera inscrita tienen la notable propiedad de que las superficies entre dos pianos paralelos (erpendicuiares al eje del ciiindro) tienen la misma area. Nuestro siguiente ejemplo demuestra esta propiedad para un hemisferio, mostrando que las dos superficies de la figura 6 tienen la misma area. Los pasos se extienden con faciiidad para mostrar que la propiedad es válida para una esfera. Figura 5
,t
h
7
Figura 6
EJEMPLO 3 Muestre que ci area de la superficie G formada en el hemisferio x2 + y2 + z2 = a2, x 0, y 0, por los pianos z = h1 y z = h2 (0 h1 h2 a) es
A(G) = 2Tra(h2 - h1) Muestre que esto también es el area de La superficie del cilindro circular recto x2 + = a2 entre los pianos z h1 y z = h2.
y2
Sea h = h2 - h1. La superficie del hemisferio está definida como
Solución
z = \/a2 - x2 donde h (véase La figura 7). EL area de la superficie dci hey c = V'a2 b = \/a2 misferio entre los dos pianos horizontales es
y la region S abajo de esto en el plano xy es ci anillo b
x2 + y2
c,
-
-
A(G)=ff/[8
2
Va2_x2_ y2I
Ox
+
[8
2
a2_x2_y2 +ldA
Oy
S
+
=1k a2 - x2 -
a2 -
:_
+
idA
2
S
a
- x2
=11 S
dA
- y2
Esta integral se resuelve mas fácilmente mediante coordenadas polares.
f2lrfc A(G) = 0
=
b
t2r
a
\/a2_r2
2a[\/a2 -
b2
-
Jr
dr dO
\/a2
=
J0
a[_Va2
-
- C2] = 2ira(h2 - h1)
c2 + Va2 - b2] dO
=
2rah
714 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n
V
C
Figura 7
Como el area de la superficie del cilindro es la circunferencia (2lTa) del cIrculo por la altura h, el area de ia superficie de la parte del cilindro entre los dos pianos es 2'7rah, io que por supuesto coincide con el area de la superficie del hemisferio.
Repaso de conceptos El area de un paralelogramo con lados iguales a los vectores
misferio de radio a. Al evaluar esta integral, obtenemos ia conocida fórmulaA
MOs en general, si z = f(x, y) determina una superficie G que se proyecte sobre la region S del piano xy, entonces el area de G está dada por Ia fOrmula A(G) =
Conside,re una esfera inscrita en una lata ciiIndrica de radio a. Dos pianos, perpendiculares al eje del cilindro y separados una dis-
ii y V es
tancia h, conforman regiones en el ciiindro y la esfera, con area
Al aplicar el resultado de Ia pregunta 2 con z (a2 - se liega a ia fOrmula integral A = para el area de un he-
Conjunto deproblemas 16.6 En los problemas 1-14, determine el area de la superficie indicada. En cada caso, haga un bosquejo.
7. La parte de la superficie cónica x2 + y2 = z2 que está directamente sobre el triánguio del piano xy con vertices (0,0), (4,0) y (0,4)
La parte del piano 3x + 4y + 6z = 12 que está arriba del rectánguio del piano xy con vertices (0, 0), (2, 0), (2, 1) y (0, 1)
nosx = 0,x = l'y = Oyy = 2
La parte del piano 3x - 2y + 6z = 12 acotada por los pianos x = O,y Oy3x + 2y 12 La parte de la superficie z = - y2 directamente arriba del cuadrado en ei piano xy con vertices (1,0), (2,0), (2, 1) y (1, 1)
-
La parte de Ia superficie z = en ei primer octante que estO directamente arriba del cIrcuio x2 + y2 = 4 en ei piano xy La parte del cilindro x2 + y2 = 9 que estO directamente sobre ei rectángulo del piano xy con vertices (0, 0), (2, 0), (2, 3) y (0, 3)
La parte dei paraboloide z = x2 + y2 recortada por el piano
z =4
8. La parte de la superficie z = x214 + 4 cortada por los pla9. La parte de Ia esfera x2 + y2 + z2 = a2 dentro del ciiindro b2, donde 0 < b a 10. La parte de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 dentro del cilindro eiIptico b2x2 + a2y2 = a2b2, donde 0 < b 0 circular x2 + y2
12. La parte del ciiindro x2 + y2 = ay dentro de ia esfera x2 + y2 + z2 = a2, a > 0. Sugerencia: Proyecte sobre el piano yz para obtener la regiOn de integraciOn.
13. La parte de la silia az = x2 + y2 = a2,a > 0
- y2 dentro del ciiindro
SECCION 16.7
La superficie del sólido dado por la intersecciOn de los dos cilindros sOlidos x2 + z2 a2. Sugerencia: a2 y x2 + y2 + senO)' dO = Tat vez necesite la formula de integración
f(i
tan[(- - 20)/4] + C.
y S sus proyecciones sobre los tres pianos de coordenadas (fi-
gura 9). Muestre que
[A(s)]2 = [A(s)]2 + [A(s)]2 + [A(s)]2
Determine el centroide (centro de masa) de la parte de la esfera homogenea x2 + y2 + z2 = a2 entre los pianos z = h1 y z = h2, < h2 a.
a
Muestre que el casquete polar (figura 8) de una esfera de 4
715
Sea S una region plana en el espacio tridimensional, y sean
S)
Los problemas 15-17 eslán relacionados con el ejemplo 3.
radio a determinado mediante el ánguio esférico 2a2(1 - cos q).
Integrales triples (coordenadas cartesianas)
tiene area
Suponga que la region s de la figura 9 está sobre el piano z = f(x, y) = ax + by + c y que S está por arriba del piano xy. Mues-
tre que el volumen del cilindro sólido bajo S es A(S)f(, 5;), don-
de (, 5;) es el centroide de La casa de Joe tiene una base rectangular con techo de dos aguas, y la casa de Alex tiene Ia misma base, con un techo de tipo piramidal (véase la figura 10). Las pendientes de todas las partes de ambos techos son iguales. Cuál techo tiene menor area?
Figura 10
Figura 8
17. Otro problema del chivo (véase el conjunto de problemas 12.8) Cuatro chivos tienen areas de pastado A, B, C y D, respectivamente. Los primeros tres chivos están detenidos mediante cuerdas de longitud b, el primero en un piano horizontal, el segundo en el exterior de una esfera de radio a y el tercero en el interior de una esfera de radio a. El cuarto chivo debe permanecer dentro de un anillo de radio b sobre una esfera de radio a. Determine fOrmulas para A, B, C y D y ordénelas segUn su tamaflo. Suponga que b < a.
Muestre que ei area de la superficie de un piano no vertical sobre una region s en el piano xy es A(S)sec y, donde y es el ángulo agudo entre un vector normal al piano y el eje z positivo. Sea y = y(x y,f(x, y)) ei ángulo agudo entre el eje z y un vector normal a la superficie z = f(x, y) en el punto (x, y, f(x, y)) sobre la
superficie. Muestre que secy =
+ f + 1. (Note que esto da
otra fOrmula para ei area de una superficie: A(G) =
ffsecy dA.) S
Respuestas al repaso de conceptos:
1. u X v
2
2rah Figura 9
16.7 El concepto implicado en las integrales sencillas y dobles se extiende de manera natu-
Integrales triples (coordenadas cartesianas)
ral a las integrates triples o incluso de orden n. Considere una funciOnfde tres variables definida en una regiOn con forma de caja B, con caras paralelas a los planos de coordenadas. Ya no podemos graficar f (necesitarIamos cuatro dimensiones), pero podemos dibujar B (figura 1). Forme una partición P de B pasado pianos por B paralelos a los planos de coordenadas, cortando asI a B en pequenas cajas B1, B2.....B; la figura 1 muestra una subcaja Bk. En Bk, elegimos un punto muestra (k Yk, Zk) y considere la suma de Riemann
716 CAPITULO 16
La integral en el espacio de dimension n z
(k
4)
LXk
/
B
y
Figura 1
donde AVk = Axk Ayk Azk es el volumen de Bk. Sea P la norma de la partición, es decir, la longitud de la mayor diagonal de todas las subcajas. Entonces definimos la in-
tegral triple como
Ill f(x,y,z)dV
= urn PH-+0 k=1
B
siempre que este lImite exista. AquI surge la pregunta del tipo de funciones que son integrables, como en el Caso de las integrales sencillas y dobles. Ciertamente es suficiente quefsea continua en B. En realidad, podemos permitir que haya algunas discontinuidades; por ejemplo, en un nUrnero finito de superficies suaves. No demostraremos esto (es una tarea muy difIcil) pero afirmamos que es cierto. Como es de esperar, Ia integral triple tiene las propiedades usuales: linealidad, aditividad en conjuntos que se traslapan solo en una superficie frontera, y la propiedad de comparaciOn. Por ültirno, las integrales triples se pueden escribir como integrales triples iteradas, como ahora mostrarernos. EJEMPLO 1
EvalOe
fff x2yz dv, donde B es la caja
B = {(x,y,z):1
2,0
1,0
2}
z
Solución P2
JIf B
x2 yz
dV
P1
12
J JOJI/
= .0
[2 [1[1
JJ
xyz dx dy dz
[-x
1
YZ]
[2 [17 dydz
=jj
-yzdydz
Integrales triples (coordenadas cartesianas)
SECCION 16.7
A
Hay seis órdenes posibles de integración. Cada uno da la respuesta
z
I' .7
Regiones genera les
717
.
Considere un conjunto cerrado y acotado S en ol espacio
tridimensional y enciérrelo en una caja B, como se muestra en La figura 2. Sea f(x, y, z) definida en S, y dé a f el valor cero fuera de S. Entonces definimos
ffff(x y, z) dV =
fff f(x, y, z) dv B
S
/
La integral de la derecha fue definida en nuestras observaciones iniciales, pero no significa que sea fácil de evaluar. De hecho, si el conj unto S es suficientemente complicado, tal vez no podamos hacer La evaivación. Sea S un conjunto z-simpie (las rectas verticales cortan a S en un solo segmento de recta) y sea S, su proyección en el piano xy (figura 3). Entonces
Figura 2
ffff(xz)dv = ff S
sxy
2(X, y)
f(x, y, z) dz] dA L1x,Y)
Si además S es un conj unto y-simple (como se muestra en La figura 3), podemos rescribir la integral dobie exterior como una integral iterada
ffff(xyz)dv
Figura 3
f'2(x,Y)
f(x,y,z)dzdydx
Es posible que haya otros órdenes de integración, segün la forma de S, pero en cada caso esperamos que los iImites de ia integral interior sean funciones de dos variables, que los de la integral intermedia sean funciones de una variable, y que los de La integral exterior sean constantes. Daremos varios ejemplos. El primero simplemente ilustra La evaluación de una integral triple iterada. EJEMPLO 2
Evalile la integral iterada 3x
5
LImites de integraciôn
2
Los ilmites de integraciOn en la inte-
gral más a! interior puede depender de las otras dos variables de integra-
f(x)
fa2
= I I I Ja1 J1(x) J1(x,y)
4 dz dy dx 0
y
Solución 5
ciOn. Los lImites de integraciOn de la
integral intermedia puede depender solo de La variable de integración niás
20
x+2
3x
5
tegración para la integral exterior no pueden depender de las variables de integración.
x+2
4dz)dydx
y
=
externa. Por üitimo, los lImites de in-
3x7
4dzdydx =
53x
L2L [4z]2dydx
f2j4x - 4y + 8)dydx
EJEM PLO 3
=
L[4xy - 2y2 - 8y]
=
L:_6x2 + 24x)dx = 14
EvalUe la integral triple de f(x, y, z)
dx
.
2xyz sobre La region sOlida S aco-
tada por el cilindro parabOlico z = 2 - x2 y los pianos z = 0, y = x y y = 0.
718 CAP1TULO 16
La integral en el espaclo de dimension n
La region piana S
El piano
El piano
y=o
'V
z
La superficie
2
2
La region sólida S
Figura 4
So!ución La region sóiida S aparece en la figura 4. La integral triple
Jjf2xyz dV se puede evaluar mediante una integral iterada. Observe primero que S es un conj unto z-simple y que su proyección S en el piano xy es y-simp!e (también es x-simple). En la primera integración, x y y están fijos; integramos a lo largo de una recta vertical de z = 0 a z = 2 - x212. El resultado se integra entonces sobre ci conjunto
fff 2
fff2xyz dV S
=
2
=
x
x
2x2/2
2xyz dz dy dx
2x2/2
Li [xyz2]0
f2fX/ P2/
J
dydx
- 2x3y + "
4 2x3x5+x7 dx=3 8 j 1
dydx U
En ci ejemplo 3 hay varios órdenes posibies de integración. liustraremos otra forma de resolver este probiema. EJEMPLO 4
EvaiUe la integral del ejemplo 3 haciendo la integración en ci orden dy
dxdz. Solución Observe que el sóiido S es y-simpie y que se proyecta sobre ci conjunto piano S que aparece en la figura 5. Primero integramos a lo largo de una recta horizontal de y = 0 a y x; iuego integramos el resultado sobre S.
SECCION 16.7
La region plana S,
fj f \/4-2z
2
fff2xyz dV
z
=
S
Integrales triples (coordenadas cartesianas)
2
= L2
=
x
2xz dy dx dz
x3zdxdz = If2
L
fiZ -
719
16z2
- 2z)4zdz
.
+ 4z3)dz =
Masa y centro de masa Los conceptos de masa y centro de nîasa se generalizan con facilidad a regiones sóiidas. En este momento, el proceso que conduce a la fOrmula correcta es ya conocido y se puede resumir en nuestro lema: rebanar, aproximar, integrar. La figura 6 muestra toda la idea. El sImboio (x, y, z) denota la densidad (masa por unidad de volumen) en (x, y, z). Figura 5 S
Masa de Bk Yk' 4)M' Momento de Bk en tomb del piano xy Zk ) AVk Yk'
V
y
sxy
Figura 6
Las fOrmulas integrales correspondientes a la masa m del sOlido S, ei momento de S con respecto del piano xy, y la coordenada z del centro de masa, , son
m=
fff6(xYz)dv S
=
z=
fffz6(xyz)dV m
Existen fOrmulas similares para
E
y 5'.
EJEMPLO 5
Determine la masa y el centro de masa del sólido S del ejemplo 3, suponiendo que su densidad es proporcional a la distancia a su base en ei piano xy.
Solución Por hipótesis, 6(x, y, z) = kz, donde
f ff 2
m
=
fff
= kf2
kzdV
f
x1(
kf(2x
=
x
k
es una constante. AsI,
2-x2/2
kzdzdydx
2 x22 dydx = kf f 2 x2 +
- x3 +
2
x5)dx =
k[X2
x(
=
1
'
x4 dydx
720 CAP1TULO 16
La integral en el espacio de dimensiOn n
=
S
_/
fff
3j0 J
2
- 6x3
I2
\ x6dydx 1
-I2f-6x2
1x7)dx
x5
8
0
3k[4x2
--
+
x1
fff
kyz dV
=
S
1
6
4
64
x
2
=
kz2 dz dy dx
X2'3 (2--2j dydx
3
3
2-x2/2
Ix/
P2
k
x
2
fffkz2 dV
fff
12
x8
4 = k 3 Jo
2-x2/2
kyz dz dy dx
/ x22 dYdxkJ x2 2-yI2_) 2/dx kJJo2 Ix 1
2
2
2
12 1
\
o
127
kJ
1
kxz dV =
m
y=
m
x
m-
=
=
4k/3 4k/3
x6 dx =105k
16
)
x
Iff
kxz dz dy dx
Jo
S
z=
64
1
x2--x4+ 2 P2
ff/
7
128 105
k
=1
64k/lOS
16
4k/3
35
128k/105
32
4k/3
35
U
Repaso de conceptos
f/li dV da el
del sólido
f'f1ff(xz)dYdxdz = fl fl
Si la densidad en (x, y, z) es xyz , entonces la rnasa de S es
fh(y)
/ / / f(x, y, z) dx dy dz, Jo JO Jg(y) donde g(y) =
y h(y) =
Sea S la bola unitaria con centro en el origen. Luego, por sime-
trIa,concluimos que
fff(x + y + z) dV =
Integrales triples (coordenadas cartesianas)
SEccION 16.7
721
Conj unto de problemas 16.7 El volumen del sólido acotado por el cilindro y = x2 + 2 y los pianos y = 4, z = 0 y 3y - 4z = 0.
En los problemas 1-8, evaláe las integrates iteradas.
L f:
dz dy dx
f ff
z = 1,x = O,y = 0 y z = 0 si la densidad es proporcional a la suma de las coordenadas del punto.
dzdydx
El centro de masa del sólido acotado por el cilindro + y2 = 9 y los pianos z = 0 y z = 4 si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. El centro de masa de la parte de la bola {(x, y, z): x2 + y2 + z2
x2
y+2z
I f_li: 2z
4
El centro de masa del tetraedro acotado por los pianos
dxdydz
a9 que está en el primer octante, suponiendo que tiene densidad constante.
J Li 6xz3 dx dy dz
2zV
ff f fff ff4 f x+l
7.
firl2 fO
/
JO
+y+
x
sen(x + y +
tado por el cilindro y2 + z2 = 4 y los pianos x - y = 0, x = 0 y z = 0 si la densidad 5(x, y, z) = z. Sugerencia: Tendrá que desarrollar su propia formula: rebanar, aproximar, integrar.
z)dxdydz
En los problemas 27-30, escriba la integral iterada dada como una integral iterada con el orden de integración indicado.
\/2y/x
3xyzdzdydx
7x' sen -
ci fVi_y2 f\/i_y2_z
/ / JoJo
f2yz
/
fi
El momento de inercia I en tomb del eje x del sóiido aco-
2xyz dy dx dz
\YI
Jsen2z JO
J
dx dy dz
f2
28.
S =
/
z
2,0
y
V4
x z
-
x
y,0
S =
{(x,y,z):0
x
\/j,0
S
{(x,y,z):0
x
3z,
y 4 x - 2z,0
{(x,y,z):0
x
4,0
y
4,0
x}
z
y2,O
2}
y
,0
z
i}
S es la regiOn del primer octante acotada por Ia superficie
S es la regiOn dei primer octante acotada por el cilindro = 4.
5 es ia menor region acotada por el cilindro x2 + y2 = Oylosplanosx-y = 0,z = Oyz = 3. En los problemas 19-26, use integrates triples iteradas para determinar las cantidades indicadas.
El volumen del sOlido en el primer octante acotado por y = 2x2yy + 4z = 8. El volumen del sOlido en el primer octante acotado por el cilindro elIptico y2 + 64z2 = 4 y el piano y = x.
El volumen del sólido acotado por ios ciiindros x2 = y y =
yyelplanoy
=
1.
/7
Figura 7 z
= 9 - x - y2 y los pianos de coordenadas.
y2 + z2 = 1 y ios pianos x = 1 y x
Jr
x=1
2}
z
S es el tetraedro con vertices (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0) y (0,0,2). z
f(x, y, z) dz dy dx; dz dx dy
Jo
2x + y + 2z = 6 z =1
3}
{(x,y,z):0
S =
1010
3,
S =
0
9x2
(12 - 3x - 2y)}
{(x,y,z):0 0
1,0
x
f(x, y, z) dx dz dy; dz dy dx
f29.
30. 0
4-2yz
2x y, z) dz dy dx; dy dx dz ff(x f [2 [9x 2
f/f f(x, S = {(x,y,z):0
ff 4-2y
En los pro blemas 9-18, bosqueje elsólido S. Luego escriba una integral iterada para
f(x, y, z) dx dz dy; dz dy dx
/
Jo
31. Considere el sólido (figura 7) en el primer octante recorta-
doenelcilindrocuadradoconladosx = 0,x = 1,z = Oyz = 1 por el piano 2x + y + 2z = 6. Calcule su volumen de tres maneras. De la manera difIcil: mediante una integración dz dy dx. De una manera más fácii: mediante una integración dy dx dz.
De la manera más fácil: por el problema 19 de la sección 16.6.
32. Si la densidad del sólido de Ia figura 7 es una constante k, determine el momento de inercia del sóiido con respecto del eje y. 33. Si la temperatura en (x, y, z) es T = 30 - z grados, determine la temperatura promedio del sólido de Ia figura 7. Además, determine la coordenada z de su centroide. 34. El problema de Ia lata de refresco Una lata de refresco liena, de aitura h, está sobre el piano xy. Perfore un agujero en la base y observe (la coordenada z del centro de masa) cuando el refresco se derrama. Comenzando en hi2, baja gradualmente a un mInimo y luego sube a h12 cuando la lata está vacla. Muestre que es mInimo cuando coincide con la altura de la lata. (No desprecie la masa de la
722
CAPiTULO 16
La integral en el espacio de dimensiOn n
propia lata.) ,ValdrIa la misma conclusion para una botella de refresco? Sugerencia: No calcule; piense geométricamente. CASI
35. Sea S = {(x, y, z): x2/a2 + y2/b2 + z2/c2
Jff(xy
Respuestas al repaso de conceptos: i}. EvalOe
1. volumen 2.
f/fxyz dV
3. y; \/ 4.0
+ xz + yz)dV.
S
16.8
Integrales triples (coordenadas cilIndricas y esféricas)
Cuando una region sólida S en el espacio tridimensional tiene un eje de simetrIa, la evaluación de las integrales triples sobre S se facilita con frecuencia mediante las coordenadas cilIndricas. Dc manera análoga, si S es simétrica con respecto de un punto, Las coordenadas esféricas pueden ser de utilidad. Presentamos las coordenadas cilIndricas y esféricas en Ia sección 14.7; tal vez quiera repasar esta sección antes de continuar.
Coordenadas cilIndricas
La figura 1 nos recuerda el significado de las coordenadas cilIndricas y muestra los sImbolos que usaremos. Las coordenadas cilIndricas y cartesianas (rectangulares) están relacionadas mediante Las ecuaciones
Coordenadas cilIndricas
x
y = r sen 6,
r cos 0,
x2 + y2 = r2
Como resultado, Ia funciOn f(x, y, z) se transforma en
f(x, y, z) = f(r cos 0, r sen 0, z)
F(r, 0, z)
al escribirla en coordenadas cilIndricas. r
y
Suponga ahora que queremos evaluar fff f(x, y, z) dV, donde S es una region S
Figura 1
sOlida. Divida S por medio de una cuadrIcula cilIndrica, donde el elemento de volumen tIpico tiene la forma que se muestra en la figura 2. Como esta pieza (ilamada cuña cilIndrica) tiene volumen /Vk = rk/.rkLXOkLzk, Ia suma que aproxima La integral tiene Ia forma
)zkrk0k
F(, 6k
Al considerar el lImite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos una flueva integral que sugiere una fOrmula importante para cambiar de las coordenadas cartesianas a las cilIndricas en una integral triple. Sea S un sOlido z-simple y suponga que su proyección S en el pLano xy es r-sirnplc, como se muestra en la figura 3. Si f es continua en S, entonces
ffff(xyz)dv S
ff 02
r2(0)
i(0)
ig2(r,0)
/
Jg1(r,6)
f(rcoso,rsene,z)rdzdrdo z
z = g2 (r, 9)
z=g(r, 8) y sxy
r=r)(o) r= r1(9)
Figura 2
Figura 3
Integrales triples (coordenadas cilIndricas y esféricas)
SECCION 16.8
723
El hecho fundamental es que las coordenadas dz dy dx se convierte en r dz dr dO en coordenadas cilIndricas. EJEM PLO 1 Determine la masa y el centro de masa de un cilindro sólido 5, suponiendo que la densidad es proporcional a la distancia a la base.
z
So!ución Con S orientada como se muestra en la figura 4, podemos escribir La funciOn de densidad como ö(x, y, z) = kz, donde k es una constante. Entonces
fff(xYz)dV
m
h
=
kffh2rdrdO kh2f
=
Figura 4
kf fafhdddo
=
a2dO =
kh2qra2
= f/f z(x,y,z)dv = =
kh2ffrdrd9
k/f
kffjz2rdzdrdo kh3f fr dr dO
h3rdr dO =
= kh3ira2 kh3'n-a2
x2+V2=4Z
mPor simetrIa,
2
-
kh2ira2 - 3
= 0.
=
U
Determine el volumen de la region sólida S acotada por arriba por el paraboloide z = 4 - x2 - y2, abajo por z = 0 y lateralmente por y = 0 y el cilindro EJEMPLO 2 x2
+ y2 = 2x, como se muestra en la figura 5.
So!ución En coordenadas cilIndricas, el paraboloide es z = 4 - r2 y ci cilindro es r = 2 cos 0. AsI, fir/2 f2cos8
v=fff ldV=/Jü
Figura 5
4-r2
r dz dr dO
I
Jo
0
S
Az
ir/2
2cosO
r(4 - r2)dr dO = = (0
f
[2r2
-
1
2cos@
r
dO
/2
/ (8 cos2 0 - 4
Ø1T)
=8
=
i/2
22 -
-4.
0) dO
82 -
4
Usamos la fOrmula 113 de la tabla de integrales al final del libro para hacer los ültimos cálculos.
Coordenadas esféricas
La figura 6 nos recuerda el significado de las coordenadas esféricas, que presentamos en la sección 14.7. AhI vimos que las ecuaciones
x = p sen 4) cos 0,
Coordenadas esféricas
Figura 6
p sen 4) sen 9, z = p cos 4) relacionan las coordenadas esféricas y las coordenadas cartesianas. La figura 7 muestra el elemento de volumen en coordenadas esféricas (una cuña esferica). Aunque omitiremos los detalles, se puede mostrar que el volumen de la dna esférica indicada es y
724 CAPiTULO 16
La integral en el espaclo de dimension n
= sen4).zpzOz4) donde (, 0, 4)) es un punto elegido en forma adecuada en Ia cufla. Dividimos un sólido S por medio de una cuadrIcula esférica, formamos la suma adecuada, y consideramos el lImite para obtener una integral iterada en donde dz dy dx se reemplaza por p2 sen 4) dp dO d4). ffff(x y, z) dV S
fff f(p sen4) cos 0, p sen4) sen0, p cos 4))p2sen4) dp dO d4)
=
Ilmites adecuados
EJEMPLO 3 Determine la masa de una bola sOlida S nal a la distancia al centro.
Si
su densidad (5es proporcio-
Solución Colocamos la bola con centro en el origen, con radio a. La densidad (5 está dada por (5 = k\./x2 + y2 + z2 = kp. AsI, la masa m está dada por
dV = k f f2
=
Una cuña esférica
f2
sen 4) dp dO d4)
Figura 7
ffsen4) dO dçb =
k -
klTa4f
sen4) dçb
klTa4
EJEMPLO 4 Determine ci volumen y ci centro de masa del sólido homogéneo S que está acotado por arriba por la esfera p = a y abajo del cono 4) a, donde a y a son constanteS (figura 8).
Solución El volumen V está dada por a
I
I p2sen4)dpdOd4)
IP2ir Jo Jo
=
o
121r(a)\
La
=
i
sen4)ded4)
2a3 f
2a3
d4)
(1 - cosa)
Esto implica que la masa m del sólido es Figura 8
m=kV=
2ira3k
(1cosa)
donde k es la densidad constante. Por simetrIa, ci centro de masa está sobre ci eje z; es decir, lar , primero calculamos
=
f/f kzdV
=
fff
fa f2r fa I I kp sen 4) cos 4) dp dO d4)
=I
JO
Jo
ff2
=
f
Jo
ka sen4) cos
4)
dO d4)
ka sen4)cs4) d4) =
a4ksen2a
E
= 0. Para calcu-
SEccION 16.8
Integrales triples (coordenadas cilIndricas y esféricas) 725
AsI, 1
Z
4iicsen2 a
3asen2 a
8(1 - cosa)
a3k(1 - cosa)
=
=a(1+cosa) Las dos formulas de los recuadros de esta secciOn y la de La sección 16.4 son ejemplos de fOrmulas de cambio de variable. Ilustran un resultado muy general que quisiéramos anaLizar brevemente. Suponga que
Cambio de variables en integrales mUltiples
x = m(u, v)
y = n(u, v)
relacionan las variables x y y con nuevas variables u y v. Defina una función J(u, v), ilamada ci jacobiano, corno ax ax au av J(u,v) = ay ay au
av
Entonces, bajo condiciones adecuadas sobre las funciones m y n con lImites adecuados bajo los signos de integral,
fff(xy)dxdY = fff[m(uv)n(uv)1 J(u,v) du dv Observe, por ejemplo, que si x
rcos0,
rsen0
y
entonces
J(r, 0)
ax
ax
ar ay ar
ao
cos0
rsenO
ay
senO
rcosO
=r
ae
Este es precisamente ci factor adicional que apareció al cambiar de coordenadas rectangulares a polares en la sección 16.4. En ci caso de tres variables, donde x
m(u, v, w),
y = n(u, v, w),
z
p(u, v, w)
el jacobiano J(u, v, w) se define como
J(u,v,w)
ax au ay au az au
ax av ay av
az av
ax aw ay aw az aw
Dc nuevo, J(u, v, w) es el factor adicional que apareció en la integral transformada. En los problemas 22 y 23, le pediremos mostrar que
J(r,0,z)
r,
J(p,0,4)
p2sen
son los jacobianos correspondientes a los cambios de coordenadas rectangulares a cilIndricas y a coordenadas esféricas, respectivamente. Para más detailes acerca dci probiema de cambio de variable, consuite cualquier libro sobre cá!cuio avanzado.
726
La integral en el espacio de dimensiOn n
CAPiTULO 16
Repaso de conceptos 1. dz dy dx asume Ia forma en coordenadas cilIndricas y la forma en coordenadas esféricas.
\x2
2.
fI
f j
Si S CS la bola unitaria con centro en el origen, entonces Jffz2 dv, escrita como una integral iterada en coordenadas esféri-
3
xy dz dy dx se convierle en
en
S
cas, se convierte en
coordenadas cilmndricas.
El valor de la integral de la pregunta 3 es
Conj unto deproblemas 16.8 En los problemas 1-6, use coordenadas cilIndricas para delerminar Ia cantidad indicada.
El volumen del sólido acotado por z
el
bide z
r2. Resuelva en forma simultinea para obtener Ia proyección en el piano xy.
paraboloide
16. Determine el volumen del sólido dentro de las esferas
p = 2cosyp = 2.
x2 + y2 y el piano z = 4
El volumen del sólido acotado por arriba por Ia esfera
17. Para una bola de radio a, determine cada distancia promedio.
x2 + y2 + z2 = 9, abajo por el piano z = 0 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 4
Al centro
A un diámetro
El volumen del sOlido acotado por arriba por Ia esfera r2 +
z2
= 5 y abajo por el paraboloide r2 = 4z
El volumen del sOlido bajo la superficie z = xy, por arriba del plano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = 2x
El centro de masa del sólido homogeneo acotado por arriba por z = 12 - 2y2 y abajo por z = x2 + y2
El centro de masa del sólido homogeneo dentro de x2 + y2 = 4, fuera de x2 + y2 = 1, bajo z = 12 x2 - y2 y arriba de z 0 En los problemas 7-14, use coordenadas esfericas para determinar Ia cantidad indicada.
7. La masa del sOlido dentro de Ia esfera p = b y fuera de la esfera p = a (a < b) si Ia densidad es proporcional a Ia distancia al origen
A un punto en su frontera (considere p = 2a cos 18. Para cualquier sOlido homogéneo 5, muestre que el valor promedio de la función lineal f(x, y, z) = ax + by + cz + d en S es ), donde (, , ) es el centro de masa.
f(,
,
19. Una bola homogénea de radio a tiene centro en el origen. Para la sección S acotada por los semiplanos 0 = a y 0 = a (como una sección de una naranja), determine cada valor. La coordenada x del centro de masa La distancia promedio al eje z
20. Todas las bolas de este problema tienen radio a, densidad constante k y masa m. Calcule, en términos de a y m, el momento de inercia de lo siguiente:
8. La masa de un sólido dentro de una esfera de radio 2a y fuera de un cilindro circular de radio a cuyo eje es un dinmetro de la esfera, Si la densidad es proporcional al cuadrado de Ia distancia al centro de la esfera
Una bola en torno de su diámetro
9. El centro de masa de un hemisferio sólido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia del centro de la esfera
El sOlido formado por las dos bolas de la figura 9, en tomb del
Una bola en tomb de una recta tangente a su frontera (el teorema del eje paralelo también es válido para sólidos; véase el problema 20 de la sección 16.5) eje z
10. El centro de masa de un hemisferio sóiido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia al eje de simetrIa 11. El momento de inercia del sólido del problema 10 con respecto de su eje de simetrIa 12. El volumen del sólido dentro de Ia esfera x2 + y2 + \/x2 + y2, y por arriba del piano xy fuera del cono z
z2
de 300
[3 [V9-x2 [V -x-z 1-3 J_\/9
(x2 + y2 + z2)3/2 dy dz dx X
15. Determine el volumen del sólido acotado por arriba por el piano z = y y abajo del paraboloide z = x2 + y2. Sugerencia: En coordenadas cilIndricas, el plano tiene la ecuación z r sen 0 y el parabo-
/ - b --
= 16,
13. El volumen de la menor cuña cortada en la esfera unitaria mediante dos pianos que se cortan en un diámetro con un ángulo
14.
z
Figura 9
-
y
21. Suponga que Ia bola izquierda de la figura 9 tiene densidad k y la bola derecha tiene densidad ck. Calcule la coordenada y del
SECCION 16.9
Repaso del capitulo 727
Determine también el momento de inercia de este sólido en torno del eje z, suponiendo que tiene densidad constante k.
centro de masa de este sólido con dos bolas (convénzase de que es válido el análogo del probiema 25 de Ia sección 16.5).
Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas
dpdOd
Determine el volumen del elipsoide x2/a2 + y2/b2 + 1 haciendo el cambio de variable x = ua, y = vb y z = cw.
z2/c2
1. r dz dr dO; p2 sen 4
Respuestas at repaso de conceptos:
cartesianas a cilIndricas tiene valor r. Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas tiene valor p2 sen 4.
.
[2
f
JO
0
/fr3cosOsenodzdrdo
2.1
[1p4cos2sendpdOd 4. 4/15 JO
16.9 Revision del capltulo Examen de conceptos
Probtemas de examen muestra
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
En los problemas 1-4, evaláe cada integral.
fhfb
[fb
fl fx
fl fy
xy dy dx
/ /
Jo J
r/2
/
/ f(x,y)dydx
JOJo
JoJo
n(x3y3)dx dy
0
1
= .
fL
ex2+2)2 dy dx =
f2 [2 I sen(x/y) dx dy
I
4f
f
ex2+2y2 dy dx
5.
Ji Jo
Sifes continua y no negativa en R y f(x0, Yo) > 0, donde (x0,y0)
Si
fff(x y) dA
Jjg(x
f 0
fff(x
/ / J-2 J_\/4_y2
2xy2 dx dy
3
))
0
+
En los problemas 5-8, rescriba Ia integral iterada con el orden de integraciOn indicado. Haga primero un bosquejo.
2
es un punto interior de R, entonces
2.
2senO
1f 4.fJf
/ f(x,y)dxdy
= /
(2 f\/4_y2
PV1
11
1.
6.
[1f(x,y)dydx;dxdy Jx
[1
fcosHy
/
I
y) dA > 0.
(1-x)/2
1 -x-2y
f(x,y,z)dzdydx;dxdzdy
ffI
7.
y)dA,entoncesf(x,y)
f(x,y)dxdy;dydx
Jo Jo
g(x,y)enR.
1 J21 Jo1
8.
f(x, y, z) dz dy dx; dx dy dz
Jo
Si f(x, y)
en R y
fff(x
y) dA = 0, entonces f(x, y) = 0 pa-
R
ra todo (x, y) en R. Si (x, y) = k da la densidad de una iámina en (x, y), las coordenadas del centro de masa de la lámina no implican a k. Si ö(x, y) = y21(l + x2) da la densidad de la iámina {(x, y): 0 > 1,0 y 1}, sabemos, sin calcular, que
SiS = {(x,y,z):1
x2 + y2 + z216},entonces
x
f/f dV
Si la parte superior de un cilindro circular recto de radio 1 se recorta con un piano que forma un ángulo de 30° con ia base del cilin-
9. Escriba las integrales triples iteradas para el volumen de una esfera de radio a en cada caso.
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilIndricas Coordenadas esféricas
10. Evalüe
xyy
f2 f2 [1 / / / dr dO dz representa el volumen de un cilindro circuJo Jo Jo tar recto de radio 1 y altura 2. Si f <2 y f <2, entonces la superficie G determinada por f(x, y) , 0 x 1,0 y 1, tiene area a lo más 3. z
+ y) dA, donde S es la region acotada por y = sen
= Oentrex = Oyx =
11. EvalOe
dro, el area de la parte inciinada resultante es 2\/'n-/3. Hay tres posibles Ordenes de integración para una integral triple iterada.
ff(x
f/f z2 dv, donde S es Ia region acotada por x2 + z
= 1, y
y2 + z = 1 y el piano xy.
12. EvalOe
x2 + y 2 JJ S
dA, donde S es la regiOn entre los cIrculos
x2 + y2 = 4yx2 + y2 = 9.
13. Determine el centro de masa de la lámina rectangular acotada porx = 1,x = 3,y = Oyy = 2siladensidades(x,y) = xy2.
728 CAPITULO 16
La integral en el espaclo de dimension n
Determine el momento de inercia de la lámina del problema 13 con respecto del eje x.
Determine la masa del sólido entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 9 Si la densidad es proporcional a La distancia al on-
Determine el area de la superficie del cilindro z2 + y2 = 9 que está en el primer octante, entre los pianos y = x y y = 3x.
gen.
Evalüe cambiando a coordenadas cilIndricas o esféricas.
[3 [V9xL Jo
[2
Determine La masa del sólido en el primer octante, bajo el pLano
I
1010
x/a + y/b + zlc = 1 (a, b, c positivos) si La densidad es (x, y, z) = kx.
Vx + y2 dz dy dx
Jo
1V4_xL
Determine el centro de masa de la Lámina homogenea acotada por Ia cardioide r = 4(1 + sen 0).
/
Calcule el volumen del sóLido acotado por z = x2 + y2, z = 0 y _1)2 = 1 x2 +
- x2 - y2 dz dy dx
10
I Ii PIVECTGDE TC'N9LO''iIA 16.1 I
I_
I
i
I
IJ
-
I' r 'taci5n de Ia gavl ,.i de N,wDn
Le
I. Pr'pa racin
GMm
pi r jj.Ltial
De acuerdo con Ia ley de rravitación de N v1on, la fuerza enre rkjs rjarticuL ori masa M y n 2,(r rp 1CL "timente, separa-
dasp r 'na disiicia'd, tiene maiiituu (1)
Fpuntuai
Ejercicio 1
'-i ique;o V.1Jiustifique las formulas dad Haga UL - as
arribaparad,AM;'-ns v. : Ejercicio 2 Supor'r. iiuuQ ' la vaaciOn vertical de la furz' es despreciablec on nsp'ecto del.1 ie1gddo ' espesor h, muestn .
GMm i
q2
=
GesIacoi..t n'- ante de gravitación universal. La ilamamos porqe s e la fuerza entre las dos partI1c, (U .d-que supo,i nLal neniLOs cc ii icert iiradas enpurs d e I espacin. La I uerza IflIII ac-
b artIcrla es que la fuerza que ac1 I sobre ia
d .ondc
-
F = - mhpo
L
t'aa1oIargodeiWi. que"fl,r ue 1LL
1' reei
1
1
nbL.c nrarthulas. Si los obje-
to:s no son partIcul c eitonces la pregunta natural es si L3 iuerza 'er dos oDjCtL '-s e igual a la fuerza entre dos masas puntuah se aradas p u una distancia igr1 Lii a Ia distancia t.'ntre los I
Ejercicio 3
I
a
x
a
-a
y
a
h
-
h
Ahoradividimos1aregion
-con
una partición regular. Considere un elernento de volumen tIpico COil largo x, ancho Ay, centro (Xk, Yk, 0), y altura h. La fuerza vertical que actUa en la partIcula debido a este elemento de volumen es
GinLMcosa
-
-dxdy
f itr.rnula para Ia fuerza se paentm dccmasas puntualet dat' en (2), t que ia expresión resultante ec nnuesse 1
nw
a
-
ti/2 I '/2 1
.,'
1
-dxdy
II. Uso de Ia tecnologia Ejerciclo 4 Use su sistema'CIc á1?,;bra por' on riitau..,r para evaluar la integ l en ci ej.. ricic. -. ' J. 11aga ri a =:1 en caso necesario, y su sistema aCm no pueue- evaluar la ,1tegr ii, entonces haga q = 1.) Es cierto que F = -
I
Ejerciclo 5
Por simetria, la fuerza resultante está totalmente en La direccion z.
/
J -a2 .,a/2 d
GM F=--2/J-/'I
ucnliostrO que. .. 'stc es cierto cuando un objeto es una capa es-
R = (x, y, z): -
2/a/2
Para quc nuest, a
rezca más a la fuer: elimineladens:cfa '
cer.LIDS de masa de Los objetos originales. (Noa: Isauc Newton
férica y, ci 'ro es una partIcula.) ii es' e proyecto, usted estudiará la fuerza entre ma particula ci masa m localizada en el punto Q(O, 0, q) (es ueciT, obre e e je - v u' 'i delgada placa cuadrada de espesor h y de den idad conMaI te p que ocupa la region
'a/.
Repita I0 s ejercicios I a 4 supni uiendoque=aç]i
r cii ca es un disco circu" ii ho c12 y espes 1(11 eon r,d
Ii.
III. Reflexión Ejercicio 6 En ci ejer"io LU 4, haga a = I y calcie u? el co' te F/Fp,ituai rra q = 1, 2,4 R 1 , 32,64, 1" y 256. Consti ' r' C2ie . qu& F F complete una :ao L o.rni la si UIItu" " kc'L.,con mr cuando q LOs 'sLt c,] gande Sc COflOCCfl Mmo resultados lejanos en I 'ThIc'g afa ii" cientIfica.) -
L
1
d2
donde d =
+
+ q, zIM = ph Ex y, y cos a = q/d.
Observe que si un objeto con la misma masa que la placa estuviese concentrado en el origen (que, por simetrIa, es el centro de masr. ' placa cuadrada), entonces Ia fuerza sobre el objeto en Q estarla dada por I
q 1
2 4
Jeau ..e I 3) Fm "anf
F mediante (3) Wa'
F,untuaj
-
. Ii E TC'UIeLOGIA 16.2 I: PIOV'ECTØ I_
H
H
A
n
+. La estimaciOn de La integral es entonces
1. Preparacinn i Lméric ' ara integraciOn analizaNiuchos de los niétodos- ru dos en ci capItulo 11 se pueden enera1izar a integrales dcl*s, triples, o inciuso de .irnensiOn it .in embargo, para di-
mensiones altas. las gner 1izaci.ies de los métodos de Ia sección 11.2 pueden ser inefi ientes. n este proyecto presentamos Ia integración de Monte Carlo. q ie ha sido uti1izad con éxito para aproximar integrales de dimension alta. Comenzaremos analizando l métouo de Monte Carlo para integrales oples. 1
x2 en cJ intefvalc Ejercicio 1 Bosqueje Ia ?ráfka f(x -' sobre ci eje x, y entre as [0, 2], La rgiOn S baj. esta curv t41 ' 1I corn-ph tarnei :e c :ote: ida e n ire. crectas.' = J',i = 2 4. es l raz" I) ,. x <'2,"u.cy.rj angulo R = {i,y):O -nrc el area de S r aLea d R
estimaciOn de A(S)
(rnimero de puntos en S1
= area uel rectangulo
. :oI i ( l area de Usamos Mathem LC ii 'i para apro'imar n = 1000, y vimos que 273 de los 1000 ç Uflt'os e"taba a e fl Los puntos de Ia figura 1 muestran nuestras parejas uren idas aleatorias. As". tuestra estimación ra 'i -
1
-
:'lL .. ' ci r ectáL.r ;ulo R, , Irtc .) Ttl azJ .- DS uin 'ii rcicio 2 SiP1Jgim.: ;,c'iál L es La pr(3alDllh td & .i ie cai i en Ia ret iOn 5? Si..'dig'le" e] recii i az Lr .a (: ; = 1,2 . 5uu i iar.ios 5600 puiilos ,,x,, E :I
-
-
-
I
- en S? tái gulo, cuntos 'e ;p era rIalT.ios qinc cay.clan
LI
-
-
da
LI
I. ]
:S) =
x(1 - x)seii2(lOOx(1 Jo
C
-
(nümero de parejas ordenadas /
de A(S) es Ji ación -
=
0.25)
(1
(11 ..J6S7
U
j-
' liez Ejecute nfl u. programa Je Mon. T'aro
F :rcu cio 3
-
cad a una con 1000 pun -tos aleatoric pa .i ' int ra 1 daion' 1eitoria ue las iiareas orda arri'baU Fbido ala generac'' d.lenadas, sus respu e\ tas v-ariarán. ces,
-
-
i'a 'ntegra I: n d, Ion.te ( El prin icr r 1S ) pare api i :eg:ri2les u.e dl]rne1siOn n. Cj -'n ,. en enceirra'r la relo a las "al jill 1 C: 1: pióii u'e ..egrac1O - i una cija de uiineris1n fl uyc.) vclurn. risi co.Hder aLl itos ... -- ac'. L ue ' Liar ron fciIi ien se i.n.da. caicu i os l i im rc e fJnto' punto ' iz r en1.a L iia on de me . .ón l nü ro de punregi( n. I ra entre caen dentro Ia 'e er" ii L.aeii 'JelILl" de .. gi' lare .,iiy tos-ue--' .-' mum ,totader'ntos iL :azóL CLLe el 'OlU m er de es e"nonees ' - una "-.tLna estn Ii eisi: en a aj Cgf1 ye' volir Pt L guic.te ercicio, u lar: ioi. -
.'
II. Uso de Iat ec :nologIa
51
LI
. ovieie dcl rso :1.e omLre integra ióri de Mont.C Carlo nj El nüm eros aleatorios 'L n realidad, seudoaletoi10 ;) L' iuea es a. ro: ir-irei area"e un r'gión observando el nümero de c as que caen IC ntro C;, la region y pa eias or'.lena'ias iltori c'' aer arjera. ,'imro de l is 4111 el LI. r !- ro -a aa M.011te Ca 1 no es m ;c aic' La Lj rr cle iu mar U] .a ii' tLzral como La del ejercicio 1, qi' pue :rt medic 'rnte el segundo teorema fundamental d se fa'iime i..,, c lic .. E é1 todo es más ütiI uando el interando tiene mu'L Dscilacr nes, pues en este caso la integral es difIcil de 1c métodos de a sección 11.2. Para el erciaproxi mar')n.JL cio 3, cjuideremos la integral -
:
-
-
-
L
-
-
i
1
-
ancu eijd
-
-
.",
rnJe1
'
di
ted aproximara 'volumen de una esfera de raUio i en el espacio ti Id Tnensional.
L
i
jx(l - x)sen2(lOOx(1 - x))dx 0.2-'J puntos) es La curva la figura 1 (ignore por el momento 1cs una gráfc del integrando. Podernos ver que la i:e gi.iflj- S aba'1 contejo de Ia curva y encima del eje x está complet In, eiu,..
nida en el rectánguio R = {(x, y): 0 !S-
sigLiL.L
1, 0
El método de Monte Carlo implica entonces los
0-IS-I-
y
u-li
1)asOS. 005
:1' i al ar parejas ordenadas (x,, y1), i = 1, 2,.. . , n en el Hij -. 'gulo R. r nareja ordenada está en Ia regiOn S. D..etei,-miri Si cada r' C .,ntl. p nümero de las n parejas ordenadas (x1, y1) que e stán 'n la region s.
0.2
p1
-
t
0.6
0.4
0.8
---
II
x
Figura 1
729
Ejerc
o 4 Gene.. puntos aleatorios en el cubo tridimen-
3. Calcule
el pr om dio
C =
{(x,y,z):-1
1,i
x
1,i
Para cada punto aleatorio (x y, z), calcule x +
i}
y + z. Si
y.
if f(x ax
sional
4.LaestimaciOnpparr
(b -
a)i
'ntonces
y,.
x + y + z < 1, entonces (x y, z,) está dentro de la esfera; en caso contrario, está fuera (o sobre) la esfera. Repita este proceso diez veces, cada uno con al menos 1000 puntos aleatorios. Registre sus estimaciones para el volumen de la esfera. Ejerciclo 5
El volumen de La esfera de radio r = 1 es 4/3 IT. Divida sus aproximaciones del ejercicio 4 entre IT y obtendrá aproximadamente 4/3. Cuál es Ia relación con sus resultados?
Explique por qué este método debe dar una cs4 ;Limación razonable para la integral. Sugerencia: Considere el valor promedio de Ia
Ejercicio 9
dada
Configure y evalüe (con su sistema de algebra por computadora, en caso necesario) una integral simple para determinar el area de un cfrculo. (Tal vez le ayude determinar el area de un semicIrculo y duplicarla.) A continuación, configure y evalüe una integral triple para determinar el volumen de una esfera de dimension 4. Además: Conligure y evalüe una integral de dimension 4 para determinar el volumen de una esfera de dimension 5. Ejercicio 8 He aquI otra version de Ia integración de Monte Carlo para aproximar
fbf(x) dx. a
2.Calculey1 = f(x1),y2 = f(x2),...,y
730
Use la versi 6n de Ia intel r.,Jón de Mnnte u Carl -, aproximar p b
L
x(1 -
Repita este ejercicio (l
x'ic T2(i00 L.. mrcs.
cada un c i n = 1000
III. Ref Iexión
Ejercicio 10 E que Ia forma en que la version de Ia inteMonte Carlo descrita en el ej rcT "C io 8 puede gene-
gración de
ralizarse a
integrales dobles y integrales triples. Ejercicio 11
1. Considere n puntos x1, x2.....x,, al azar en el intervalo [a, b].
f(x).
ens'
en el ejercicio 8
Ejerciclo 6 Use la integración de Monte Carlo para estimar el volumen de una esfera de dimension 4 de radio 1. El volumen real es un mültiplo de IT2. ,Qué mültiplo cree que sea? Ejercicio 7
1ició n
intervalo [a, b].
r ejcrci& Compare s us cliez ejecicic )I1 Les de1 con sus diez ejecuciones u .Tt iercicio 9. En cuál de los cc:. juntos de diez ejecu"iones 'y -nenos -/ariaciOn? CuI mé. do parece ser más el ienl -
CAY TULO I.
1
Calculo vectorial 17.1
17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8
17.1
Campos vectoriales
Campos vectoriales Integrales de IInea Independencia de Ia trayectoria Teorema de Green en el piano Integrales de superficie Teorema de ia divergencia de Gauss Teorema de Stokes Revision dei capitulo Proyecto de tecnologIa 17.1 Integrales de ilnea y trabajo Proyecto de tecnologIa 17.2 Superficies parametrizadas
Todo lo que hemos hecho se relaciona de cierta manera con el concepto de función. Hemos generalizado este concepto y el cálculo asociado con él a lo largo de esta obra.
Funciones con valores reales de una variable real (capItulos 1-12). Funciones con valores vectoriales de una variable real (capItuios 13 y 14). Funciones con valores reales de varias variables reales (capItulos 15 y 16).
Usted pensará, correctamente, que ci siguiente paso es ci estudio de las funciones vectoriales de varias variables reales, to que de hecho es la tarea principal de este capItulo. Este es et paso final de un primer curso de cálculo; los cursos más avanzados llevarán el proceso de generalizaciOn más lejos: a funciones con valores complejos de una variable compleja, a funciones con valores reales de una infinidad de variables, etcetera. Considere entonces una funciOn F que asocie a cada punto p en ci espacio de dimensiOn n un vector F(p). Un ejemplo tIpico en ci piano es
F(p) Figura 1
F(x,y) =
fyi +
xj
Por razones históricas, nos referimos a tat funciOn como un campo vectorial, nombre que surge de una imagen visual que describimos a continuación. Inîagine que a cada punto p de una region del espacio se le aflade un vector F(p) que emana de p. No p0demos trazar todos estos vectores, pero una muestra representativa nos dará una buena idea de un campo. La figura 1 es una de tales imágenes para el campo vectorial
F(x, y) = yi + xj antes mencionado. Es ci campo de velocidades de una rueda que gira a una razón constante de radian por unidad de tiempo (véase et ejemplo 2). La figura 2 podrIa representar ci campo de vetocidad para el agua que fluye en un tuFigura 2
bo curvo.
731
732
Cálculo vectorial
CAPITULO 17
Otros campos vectoriales que surgen naturalmente en la ciencia son los campos eléctricos, campos magnéticos, campos de fuerzas y campos gravitacionales. Solo consideraremos ci caso en que estos campos son independientes del tiempo, que ilamaremos campos vecloriales estacionarios. En contraste con un campo vectorial, una función F que asocia un nOmero a cada punto en el espacio es un campo escalar. La función que da la temperatura en cada punto serIa un buen ejemplo fIsico de un campo escalar.
Dibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial
EJEMPLO 1
F(x,y)= xi/ + yj
x
Vx2 + y2
Solución F(x, y) es un vector unitario que apunta en la misma dirección que xi + yj, es decir, aiejándose del origen. Varios de estos vectores aparecen en la figura 3. EJ EM PLO 2
Muestre que cada vector del campo vectorial
Figura 3
F(x,y)
fyi + xj
es tangente a un cIrculo con centro en el origen y tiene longitud igual a La mitad del radio de ese cIrculo (véase la figura 1).
Solución
Si
r
xi + yj es ci vector de posición del punto (x, y), entonces r
F(x,y) = xy + xy = 0
AsI, F(x, y) es perpendicular a r y por tanto es tangente al cIrculo de radio r. Por Oltimo,
F(x, y) = V(- y)2 + ( x)2 = Dc acuerdo con Isaac Newton, ia magnitud de la fuerza de atracción entre objetos de masas M y m, respectivamente, está dada por GMm/d2 , donde d es la distancia entre los objetos y G es una constante universal. Esta es la famosa ley del cuadrado inverso de la atracción gravitacional. Nos proporciona un importante ejemplo de un campo vectorial. Como Los vectores representan fuerzas, ilamaremos a tal campo un campo de fuerzas. AZ
/
EJEMPLO 3 Suponga que un objeto esférico de masa M (por ejemplo, laTierra) tiene su centro en el origen. Deduzca la fOrmula para la fuerza gravitacional de Ia fuerza F(x, y, z) ejercida por esta masa sobre un objeto de masa m localizada en un punto (x, y, z) del espacio. Luego, bosqueje este campo.
/
Solución Suponemos que podemos considerar a! objeto de masa M como una masa puntual localizada en el origen. Sea r = xi + yj + zk. Entonces la magnitud de F es
GMm r2
y
F está dirigido hacia ci origen; es decir, F tiene la direcciOn del vector unitario - r/r. Concluirnos que
F(x,y,z) Figura 4
GMm r
GMm
r2
Este campo se bosqueja en la figura 4.
El grad iente de un campo escalar Sea f(x, y, z) un campo escalar, con f diferenciabie. Entonces el gradiente de f, que se denota Vf, es ci campo vectorial dado por
F(x,y,z)
Vf(x,y,z) =
af. ax
1+
afj+ af k
ay
8z
Conocimos los campos gradiente en las secciones 15.4 y 15.5. AhI aprendimos que Vf(x, y, z) apunta en Ia direcciOn de máximo incremento de f(x, y, z). Un campo vectorial F
Campos vectoriales 733
SECCION 17.1
que es el gradiente de un campo escalar f se llama un campo vectorial conservativo, y f es su función potencial (en la sección 17.3 aclararemos el origen de estos nombres). Tales campos y sus funciones potenciales son importantes en fIsica. En particular, los campos que obedecen la ley del cuadrado inverso (por ejemplo, los campos eléctricos y los gravitacionales) son conservativos, como mostraremos ahora. EJEMPLO 4
Sea F la fuerza resultante de una ley del cuadrado inverso; es decir, sea
cr
F(x,y,z) =
=
c
xi+yj+zk (x2 + y2 +
z2)3
2
donde c es una constante (véase el ejemplo 3). Muestre que C
f(x, y, z) =
(x2 + y2 + z2)
1/2
= c(x2 + y2 + z2)
-1/2
es una función potencial para F y que por tanto, F es conservativo (para r
0).
Solución
af.
Vf(x,y,z)
ax
u+
af
j ay
af
+
az
k
=;C(x2+y2+c)2 -3/2 (xi+2yj+2zk) ,-,
I
=F(x,y,z)
En realidad, el ejemplo 4 fue demasiado sencillo, pues dimos la funciOn f. Un problema más difIcil e importante es ci siguiente: Dado un campo vectorial F, decidir si es conservativo; en tal caso, hallar su funciOn potencial. Analizaremos este problema en la secciOn 17.3.
La divergencia y el rotacional de un campo vectorial Un campo vectorial F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k tiene asociados otros dos campos importantes. El primero, liamado la divergencia de F, es un campo escalar; el segundo, llamado el rotacional de F, es Ufl campo vectorial.
Definición
divergencia y rotacional
Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial para el que aM/ax, aN/ay y aP/az existen. Entonces aN a aM divF= ax + + ay az Qué significan? Para ayudarle a visualizar la divergencia y el rotacional, le ofrecemos esta interpretación fIsica. Si F denota el campo de velocidad de un fluido, entonces div F en un punto p mide la tendencia de ese fluido a alejarse de p (div F> 0) y a acumularse en torno de p (div F < 0). Por otro lado, rot F elige la dirección del eje en torno del cual gira el
fluido ms rápidamente, y rot F es una medida de la rapidez de tal rotación. La dirección de rotación va de acuerdo con la regla de La mano derecha. Desarrollaremos este análisis con detalle más adelante.
rotF=IfaP ay
(M aP j+ - aN\ Ii+ - ax i az az /
N
(ax
-
aM
ay)
k
En este momento, es difIcil ver la importancia de estos campos; pero La veremos más adelante. Por ahora, nos interesa aprender a calcular la divergencia y el rotacional Iacilmente y relacionarlo con el operador gradiente V. Recuerde que V es ci operador a
a
ax
ay
+
az
Cuando V opera sobre una funciOn f, produce el gradiente Vf, que también escribimos como grad f. Con un ligero (pero ütil) cambio de notaciOn, podemos escribir
VF=[ ax 1+aya j+kaza (Mi+Nj+Pk) j a
ax
+
N ay
+
aP az
=divF
734 CAPITULO 17
Cálculo vectorial
ii VxF
k
a
a
a
ax
ay
az
MNP 1aP
- \ay
aN
az/
laP- aMlj+(aN \ax \ax azi
aM
ayj
k = rot F
AsI, grad f, div F y rot F se pueden escribir en términos del operador V; de hecho, ésta es la forma de recordar Ia definición de estos campos. EJEMPLO 5
Sea
F(x, y, z) = x2yzi + 3xyz3j + (x2 - z2)k Calcule div F y rot F.
Solución
div F = V F = 2xyz + 3xz3 rot F = V X F
j
k a
a
a
ax
ay
x2yz
3xyz3
az
x2
-
= (9xyz2)i - (2x - x2y)j + (3yz3 - x2z)k
.
Repaso de conceptos Una función que asocia a cada punto (x, y, z) dei espacio un vector F(x, y, z) es una
En particular, la función que asocia a la función escalar f(x, y, z) el vector Vf(x, y, z) es un
3. Dos ejemplos importantes de campos vectoriales en fIsica y que surgen como gradientes de campos escalares son y
4. Dado un campo vectorial F = Mi + Nj + Pk, introducimos el campo escalar correspondiente div F y un campo vectorial rot F. Estos pueden definirse de manera simbóiica como div F = y
rot F =
Conj unto de problemas 17.1 En los problemas 1-6, bosqueje una muestra de vectores para el campo vectorial dado F.
1. F(x, y)
3. F(x, y) =
2. F(x, y) = xi - yj 4. F(x, y) = 3xi + yj
xi + yj + 2yj
17. F(x,y,z) = excosyi + exsenyj + zk 18. F(x, y, z)
(y + z)i + (x + z)j + (x + y)k
19. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Indique cuáles de los siguientes son campos escalares, campos vectoriales o no tienen sentido.
F(x,y,z) = xi + Oj + k
F(x, y, z) = zk En los problemas 7-12, determine Vf.
f(x, y, z) = x2 - 3xy + 2z 9. f(x, y, z) = in xyz
f(x, y, z) = sen (xyz)
f(x,y,z) = (x2 + y2 + z2) f(x, y, z) = xecosz
16. F(x,y,z) = cosxi + senyj + 3k
12. f(x, y, z) = y2e2z
En los problemas 13-18, determine div F y rot F.
F(x, y, z) = x2i - 2xyj + yz2k F(x, y, z) = x2i + y2j + z2k
F(x, y, z) = yzi + xzj + xyk
(a) divf
(b) gradf
(c) rot F rot (grad f) (g) rot (rot F) (i) grad (grad f) (k) rot (div(grad f))
(d) div (grad f) (f) grad (div F) (h) div (div F) (j) div (rot (grad f))
20. Suponiendo que las derivadas parciales requeridas existan y sean continuas, muestre que
(a) div (rot F) = 0; (b) rot (grad f) = 0; div (f F) = (f)(div F) + (grad f) F;
rot(f F) = (f)(rotF) + (gradf) x F.
SECCION 17.2
Integrales de Ilnea 735
21. Sea F(x, y, z) = cr/r3 un campo para la ley del cuadrado inverso (véanse los ejemplos 3 y 4). Muestre que rot F = Oy div F = 0. Sugerencia: Use ci problema 20 con f =
cular a xi + yj y que v = w\/x2 + y2. AsI, v describe un fluido que gira (como un sóiido) en torno del eje z con velocidad angular constante w. Muestre que div v = 0 y rot v = 2wk.
22. Sea F(x, y, z) = cr/rm, c 0, m 3. En contraste con ci probiema 21, muestre que div F 0, aunque rot F = 0. = x2 + y2 + z2yf 23. Sea F(x,y,z) = f(r)r,donder = es una funciOn escalar diferenciable (excepto posibiemente en r = 0). Muestre que rot F = 0 (excepto en r = 0). Sugerencia: Muestre priInero que grad f = f'(r)r/r y luego aplique el problema 20d.
27. Un objeto de masa m, que gira en una órbita circular con yelocidad angular constante w, está sujeto a Ia fuerza centrIfuga dada por
24. Sea F(x, y, z) como en ci problema 23. Muestre que si div F = 0 entonces f(r) = cr3, donde c es constante.
es una función potenciai para F.
25. Este problema se relaciona con la interpretaciOn de div y rot dada en recuadro al margen después de su definición. Considere los cuatro campos de velocidad F, G, H y L, que tienen para cada z la configuración que aparece en la figura 5. Deduzca lo siguiente mediante un razonamiento geométrico.
LLa divergencia en p es positiva, negativa o nula?
Dada una rueda con paletas y eje vertical en p (figura 4, secciOn 17.7), i,ésta girará en el sentido de las manecillas, en sentido contrario, o no gira?
AhoraseaF
cj,G = e2j,H =
e2j,yL
=
(xi + yj)/\/x2 + y2, que puede modelarse como en la figura 5. Calcuie Ia divergencia y ci rotacionai para cada uno de estos campos y confirme con elio sus respuestas de las partes (a) y (b).
mw2(xi + yj + zk)
F(x,y,z) = mw2r Muestre que
f(x,y,z)
=
mw2(x2 + y2 + z2)
Vf (que también se 28. La funciOn escaiar div(grad f) = V escribe V2f) es ci Laplaciano, y una función f que satisface V2f = 0 es una función armónica, ambos son conceptos importantes en fIsica. Muestre que V2f = f + f + f. Caicule entonces V2f para cada una de las siguientes funciones y decida cuáles de eilas son armOnicas.
f(x, y, z) = 2x2 - y2 - z2 f(x, y, z) = xyz f(x, y, z) = x3 - 3xy2 + 3z f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)/2 29. Muestre que
div(FxG) =
GrotF - FrotG
div(Vf x Vg) = 0 30. Por analogIa con definiciones anteriores, defina io siguiente:
F(x, y, z) = L F(x, y, z)es continua en (a, b, c)
4Y
H
Figura 5 26. Considere ci campo de velocidad v(x, y, z) = wyi + wxj, w> 0 (véase el ejemplo 2 de la figura 1). Observe que v es perpendi-
1 7.2
Integrales de IInea
1. funciOn con valores vecRespuestas al repaso de conceptos: toriales de tres variables reaies; o un campo vectorial 2. campo gradiente 3. campos gravitacionales; campos eléctricos 4. V . F; V X F
Una forma de generalizar la integral definida
[f(x) dx reempiazando ci conjunto
[a, b] sobre ci cual integramos por conjuntos de dimensiOn dos y tres. Esto nos conduce a las integrales dobles y triples del capItuio 16. Una generalización muy distinta se ob-
tiene reemplazando [a, b] por una curva C en ei piano xy. La integral resultante
[f(x, y) ds se conoce como una integral de lInea, pero serIa más adecuado liamar-
Jc
la integral de curva. Sea C una curva plana suave; es decir, sea C dada en forma paramétrica por x = x(t),
y
= y(t),
a
t
b
donde x' y y' son continuas y no se änuian simultáneamente en (a, b). Decimos que C está orientada positivamente si su dirección corresponde a los vaiores crecientes de t. Suponemos que C está orientada positivamente y que C se recorre sOlo una vez cuando t varIa de a a b. AsI, el punto inicial de C es A = (x(a), y(a)) y su punto final es B = (x(b),
Cálculo vectorial
736 CAPITULO 17
y(b)). Considere la partición P del intervalo [a, bJ del parámetro, obtenida mediante los
Ay
puntOS
Q
a=t0
Esta partición de [a, hi produce una division de la curva C en n subarcos P,_1P,, donde el punto P, corresponde a t. Sean M la longitud del arco P1_1P, y P la norma de la partición P; es decir, sea P el mayor zt1 = t1 - t1_1. Por Ultimo, elegimos un punto muestra 'j) en ci subarco P,_1P1 (véase la figura 1). Ahora considere la suma de Riemann
M
I-1 P2
P1
A = P0
x
Figura 1
Si f es no negativa, esta suma aproxima el area de la cortina curva vertical que aparece en la figura 2. Si f es continua en una region D que contiene a la curva C, entonces esta suma de Riemann tiene un lImite cuando P p 0. Este lImite se llama la integral de IInea del a lo largo de C de A a B con respecto a Ia longitud de arco; es decir, n
f(x,y)ds
=
lIm 'Vf(J71)Ls -'
PHO I=i
Az
z=f(x,y)
\
'7 y
P2
A = P0
Qi
Figura 2
Ella representa, para f(x, y)
0, el area exacta de la cortina curva de la figura 2.
La definición no proporciona una buena manera de evaluar
I f(x, y) ds. Un me-
Jc
jor camino consiste en expresar todo en términos del parámetro t, to que conduce a B
una integral definida comén. Si ds = \/[xF(t)]2 + [y'(t)]2 (véase La sección 6.4) entonces
L
f(x, y) ds =
ff((t) y(t))V[x(t)]2
+ [y'(t)]2 dt
Por supuesto, una curva se puede parametrizar de muchas formas, pero, por fortuna, se C3
Cl
puede demostrar que cualquier parametrización produce el mismo valor de
C2
A
Figura 3
ff(x, y) ds.
Jc
La definiciOn de una integral de lInea se puede ampliar al caso donde C, aunque no necesariamente suave, es suave por partes; es decir, consta de varias curvas suaves C, C2.....C unidas entre 51, como se muestra en la figura 3. Simplemente definimos la integral sobre C como la suma de las integrates sobre las curvas individuales.
Ejemplos y aplicaciones te de un cIrculo.
Comenzaremos con dos ejemplos donde C es una par-
SECCION 17.2
x = 3 cos t, y =
x = Solución
fx2y ds, donde C está dada por las ecuaciones paramétricas
Evalüe
EJEMPLO 1
-
sen t,
3
Integrales de Ilnea 737
0
y = y,O
ir/2. Muestre también que La parametrización da el mismo valor.
3,
Con La primera parametrización obtenemos
fx2yds =
ir/2
f
(3cost)2(3sent)V(_3sen t)2 + (3cos)2dt
flT/2
= 81 /
cos2tsen tdt
[
1/2
Jo
=
81
Lcos3t 3
=
27
Jo
Para la segunda parametrizaciOn, usamos La formuLa para ds dada en la sección 6.4, de donde I
+
ds =
dy\/1+
\dyj
v
9y2
dy=
3
dy
V9y2
y
fx2y
ds = =
EJEMPLO 2
f(9 - y2)y y2)3/2]
[(9
2
3fV9 -
dy
y dy
= 27
Un alambre delgado se dobla con La forma semicircular
yasent,
x=acost,
a>0
0t'n,
Si La densidad del alambre en un punto es proporcional a su distancia al eje x, determine La masa y el centro de masa del alambre.
So!ución Nuestro antiguo lerna, rebanar, aproximar, integrar sigue siendo váLido. La masa de un pequeno pedazo de alambre de longitud As (figura 4) es aproximadamente (x, y)Ax, donde ö(x, y) = ky es La densidad en (x, y) (k es una constante). AsI, Ia masa m de todo el alambre es m =
fka sen tVa2 sen2 t +
Jky ds =
=
ka2fsentdt
=
[ka cost]o
a2
cos2 t dt
= 2ka 2
El momento del alambre con respecto del eje x está dado por M =
f ky ds ka3 2
ka3
= 2
=
[(1 -
fka3 sen2 t dt cos2t)dt
[tsen2t]= ka3lT 2 1
AsI,
M m
ka37r
1
2ka2
Por simetrIa, i = 0, de modo que ci centro de masa está en (0, ii-a/4).
738 CAPiTULO 17
Cálculo vectorial
Todo 10 que hemos hecho se extiende con facilidad a una curva suave C en el espacio tridimensional. En particular, si C está dada en forma paramétrica como
x = x(t),
y = y(t),
z
= z(t),
a
t
b
entonces
L
fbf((t) y(t), z(t))[x'(t)
f(x, y, z) ds
]2
+ [y'(t)]2 + [z(t)]2 dt
EJEMPLO 3 Determine la masa de un alambre de densidad 6(x, y,z) = forma de Ia hélice C con parametrización
x=3cost,
y=3sent,
kz
si tiene la
z=4t,
Solución
L kzds
kj(4t)9sen2t + 9cos2t + l6dt = 20k
I
t
dt
Jo
= 20k L
t21
2j
= 10kr2
Las unidades para m dependen de las unidades de longitud y densidad.
.
Trabajo
Suponga que la fuerza que actüa en un punto (x, y, z) del eSpacio está dada por el campo vectorial
F(x, y, z) z
M(x, y, z)i +
N(x,
y, z)j + P(x, y,
z)k
donde M, N y P son continuas. Queremos calcular el traba.jo W realizado por F al mover una partIcula a lo largo de una curva suave orientada C. Sea r = xi + yj + zk el vector de posición para un punto Q(x, y, z) en la curva (figura 5). Si T es el vector tangente
unitario dr/ds en Q, entonces F T es el componente tangencial de F en Q. El trabajo realizado por F al mover La partIcula desde Q una corta distancia As a lo largo de la curva es aproximadamente F T As, y en consecuencia, el trabajo realizado al mover Ia partIcula de A a B a lo largo de C se define como
[F
Jc
T ds. EL trabajo es una can-
tidad escalar, pero puede ser positivo o negativo. Es positivo cuando el componente de la fuerza a lo Largo de la curva está en la direcciOn del movimiento del objeto y es negativo cuando dicho componente está en la dirección opuesta al movimiento del objeto. De La secciOn 13.5, sabemos que T = (dr/dt)(dt/ds), de modo que tenemos La siguiente fOrmula alternativa para el trabajo.
W=fF.Tds=fF.dt=fF.dr
Figura 5
Para interpretar la Oltima expresiOn, piense que F dr representa el trabajo realizado por F al mover una partIcula a lo largo del vector tangente "infinitesimal" dr, formulaciOn preferida por muchos fIsicos y matemáticos aplicados. Hay otra expresión para el trabajo, que con frecuencia es Otil en los cálculos. Si escribimos dr = dxi + dyj + dzk, entonces Fdr = (Mi + Nj + Pk)(dxi + dyj + dzk) = Mdx + Ndy + Pdz y
w
fF.dr= jMdx + Ndy+ Pdz
SECCION 17.2
Las integrales
IM
Jc
dx,
Integrales de lInea
739
/ N dy, y JcI P dz son un tipo particular de integral de ilnea,
Jc
que se definen justo como definimos ff ds al principio de esta secciOn, excepto que Jc As1 se reemplaza por Ax1, Ay1 y Az, respectivamente. Sin embargo, debemos destacar que aunque As1 siempre es positivo, Ax1, Ay1 y Az1 pueden ser negativos en una trayectoria C. El resultado de esto es que un cambio en la orientación de C cambia el signo AZ
de
1M dx, N dy, y P dz mientras que el de f ds no se altera (véase el proJc Jc Jc Jc
blema 31).
Calcule el trabajo realizado pore! campo de fuerzas de la ley del cuadra-
EJEMPLO 4
do inverso
F(x,y,z) =
y
cr = c(xi + yj + zk) = Mi + Nj + Pk (x2 + y2 + z2)
3/2
a! mover una partIcula a lo Largo de !a lInea recta C de (0, 3, 0) a (4, 3, 0) que aparece en La figura 6.
So!ución A Lo largo de C, y = 3 y z = 0, de modo que dy = dz = 0. Usamos x como parámetro para obtener
Ixdx+ydy+zdz
W= IIMdx+Ndy+PdzcIIc
Figura 6
Jc
[4
- cj
x 9)3/2
dx
[
-
c
(x2 + y2 +
z2)3/2
14_-2c
L (x2 + 9)1/2 ] - 15
(x2 + Por supuesto, hay que asignar Las unidades adecuadas, dependientes de Las unidades para !a Longitud y La fuerza. Si c > 0, entonces e! trabajo realizado por el campo de fuerzas F es negativo. i,Esto tiene sentido? En este problema, !a fuerza siempre apunta hacia el origen, de modo que el componente de fuerza a lo !argo de la curva está siempre en La dirección opuesta a La trayectoria de movimiento de Ia partfcuLa (véase la figura 7). Cuando esto ocurre, el trabajo es negativo. He aquI una version plana de La integral de lInea presentada en Ia formula del recuadro anterior. Evalüe La integral de IInea
EJEMPLO 5 Figura 7
f(x2 - y2)dx + 2xy dy a lo Largo de !a curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x = t2, y = t3, 0 < t
3/2.
Solución Como dx = 2t dt y dy = 3t2dt, i 3/2
-
(x2
IC
Ày
y2) dx + 2xy dy
=
I EJEMPLO 6
[(t4 - t6)2t + 2t5(3t2)] dt
J0 3/2
(2t5 + 4t7)dt
8505
= 512
16.61
Eva!Ue jx2 dx + xy2 dy a lo Largo de la trayectoria C = C1 U C2
que aparece en La figura 8. Además, evahIe esta integral a lo largo de !a trayectoria C3 de (0, 2) a (3, 5). En C1, y = 2, dy
So!ución
fxy2 dx + xy2 dy =
x
Figura 8
0, y
EnC2,x
=
3,dx =
O,y
f4x dx = [2x2]
= 18
740 CAPITULO 17
Cálculo vectorial
I
P5
xy2 dx + xy2 dy
J
=
C2
3y2 dy =
= 117
2
Concluimos que
I En C3, y = x + 2, dy
xy2dx + xy2dy = 18 + 117 = 135
dx, de modo que
fxy2 dx + xy2 dy =
2fx(x
+ 2)2dx
=2/P3 (x3+4x2+4x)dx=21
+
L4
Jo
4x3
13
+2x2I
3
_jo
297 2
Observe que las dos trayectorias de (0, 2) a (3, 5) dan distintos valores para la in-
tegral.
U
Repaso de conceptos Una curva C dada en forma paramétrica por x = x(t), y = y(t), a t b, está orientada positivamente Si SU dirección p0sitiva corresponde a
La integral de lInea ff(x, y) ds, donde C es Ia curva orien-
Jc
tada positivamente de la pregunta 1, se define como
La integral de ilnea de la pregunta 2 se transforma en la in-
I
tegral comün
dt.
Si r = x(t)i + y(t)j es el vector de posición de un punto sobre la curva C de la pregunta 1 y si F = M(x, y)i + N(x, y)j es un campo de fuerzas en ci plano, entonces ci trabajo W realizado por F
frn0
al mover un objeto a lo largo de C está dado por /
dt.
Jc
Conjunto de problemas 17.2 En los pro blemas 1-16, evaláe cada integral de lInea.
f(x3 + y)ds;cesiacurvax
fxY2/Sds;Ceslacurvax
f dx + x2 dy; C es la curva en ánguio recto de (0, 1) a (4, 1) a (4,3).
= 31,y = t3,0t1. t,y = t512,0
t
fy3 dx + x3 dy; C es la curva en ángulo recto de (-4, 1)
1.
a (-4, 2) a (2, 2). 3.
L (sen x + cos y) ds; C es ci segmento de recta de (0, 0)
fy3 dx + x3 dy; C es ia curva x = 2t, y = t2 - 3, 2
a(3r,21r).
t
1.
4.
fxeY ds; C es ci segmento de recta de (-1,2) a (1, 1).
5.
L (2x + 9z) ds; C es la curva x = t, y = t2, z
t3, 0
f(x2 + y2 + z2)ds;Ccslacurvax = 4cost,y z = 3t, 0
t
t
1 (x + 2y) dx + (x - 2y) dy; C es el segmento de recta Jc de (1,1) a (3, 1). 1.
4scnt,
2i-.
dx + x2 dy; C es la curva x = 2t, y = t2 - 1,0
f
dx + x dy; C es la curva y = x2, 0
f(x
Jc
x
1.
+ y + z) dx + x dy - yz dz; C es ci segmento de
rectade (1,2,1) a (2,1,0). t
2.
/xzdx + (y + z)dy + xdz;C cs
JC
y = e1, z = e2', 0
I
1.
Ia
curva x
e',
SECCION 17.3
Independencia de Ia trayectoria
741
Use una integral de lInea para determinar el area de la par-
(x+y+z)dx+(x-2y+3z)dy+(2x+yz)dZ;
te del cilindro x2 + y2 = ay dentro de Ia esfera x2 + y2 + z2 = a2
C es Ia trayectoria con segmentos de recta de (0, 0, 0) a (2, 0, 0) a (2,
(compare con el problema 12, secciOn 16.6). Sugerencia: Use coorde[r2 + (dr/dO)2I12 do. nadas polares, donde ds
1.5. IC
3,0) a (2,3,4). La misma integral que en el problema 15; C es el segmento de recta de (0,0,0) a (2,3,4). Determine Ia masa de un alambre con la forma de la curva y
Dos cilindros circulares de radio a se intersecan de modo que sus ejes se cortan en ángulo recto. Use una integral de lInea para calcular el area de la parte de uno cortada por el otro (compare con el problema 14, secciOn 16.6). Véase la figura 9.
x2 entre (-2,4) y (2,4) si la densidad está dada por ö(x, y) =
Un alambre de densidad constante tiene la forma de la héli-
ce x = a cos t, y = a sen t, z = bi, 0 <
3. Determine su masa y
I
su centro de masa. En los pro blemas 19-24, calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F al mover una partIcula a lo largo de Ia curva C.
F(x, y) = (x3 - y3)i + xy2j; C es la curva x = t2, y =
1
0.
I
F(x,y) = ei - ej;Ceslacurvax = 3lnt,y = ln2t,1
t
; 5.
F(x, y) = (x + y)i + (x - y)j; C es Ia cuarta parte de la ir/2. F(x, y, z) = (2x - y)i + 2zj + (y - z)k; C es el segmento de recta de (0,0,0) a (1,1,1). El mismo F del ejercicio anterior; C es la curva 1. x sen(rt/2), y sen(3fl/2), z 1,0 yi + zj + xk; C es la curva x = t, y = 12, z = F(x, y, z) elipse x = a cos t, y = b sen t, 0
t
Figura 9
Evalüe
fX2 y ds usando Ia parametrización x
3senl,y = 3cost,0
1
0
t
I < r/2, que invierte la orientación de C en el ejemplo 1, y
2.
Christy planea pintar los dos lados de una cerca cuya base es-
xy2 dx + xy2 dy mediante la parametrización x = 3 -
tá en el plano xy, con Ia forma x = 30 cos3l, y = 30 sen3t, 0 t ir/2, y cuya altura en (x, y) es 1 + y, todo medido en pies. Dibuje la cerca y decida cuánta pintura necesitará si un galón cubre 200 pies cuadrados. Una ardilla que pesa 1.2 libras subió un árbol cilIndrico siguiendo la trayectoria helicoidal x = cos t, y = sen t, z = 4t, 0 <1 < 8 (distancia medida en pies). j,Cuánto trabajo realizó? Use una integral de lInea, pero luego piense en una manera trivial de responder esta cuestión.
Use una integral de lInea para calcular el area de La parte = a mediante la escortada en el cilindro cuadrado vertical x + fera x2 + y2 + z2 = a2. Compruebe su respuesta hallando una manera trivial de hacer este problema.
Un alambre de densidad constante k tiene la forma x + y = a. Determine su momento de inercia con respecto del eje
14
y = 5 - 1, 0 < I
3, y note que C4 tiene la orientación opuesta
a la de C3 en el ejemplo 6.
Las parametrizaciones que invierten la orientaciOn no cambian el sig-
no de
IC
ds, pero cambia el signo de los otros tipos de integra-
les de lInea consideradas en esta secciOn.
Respuestas al repaso de conceptos: 1. valores crecientes de t 2.
f(,
3. f(x(t), y(t))[x'(t) ]2 + [y'(t) ]2
4. F dr/dt
y y con respecto del eje z.
17.3
Independencia de Ia trayectoria
La herramienta básica para evaluar las integrales definidas comunes es el segundo teorema fundamental del cálculo, que en sImbolos dice fb
dx = f(b) - f(a) Ahora nos preguntamos: j,Existe un Teorema análogo para las integrales de lInea? La respuesta es afirmativa. En lo sucesivo, interpretaremos r(t) como x(t)i + y(t)j si ci contexto es ci espacio bidimensional y como x(t)i + y(t)j + z(t)k si es ci espacio tridimensional. En correspondencia, f(r) indicará f(x, y) en el primer caso y f(x, y, z) en el segundo.
742
CAPITULO 17
Cálculo vectorial or Teorema A Teorema fundamental par a ir LeJaIe de Ilnea
Sea C una curva suave por partes d da .n iorma paramétrica como = r(t. a
I Vf(r)dr = f('n). - f(a)
Jc Demostración
Supongamos primero que C es suave. Entonces
Vf(r) . dr =
L:;fr(t) . r'(t)]dt
f(r(t))dt = f(r(b)) - f(r(a)) f =f(b) f(a) =
Observe que primero escribimos la integral de lInea como una integral definida ordinaria y luego aplicamos la regla de la cadena, para finalmente usar el segundo teorema fundamental del cálculo. Si C no es suave, sino solo suave por partes, simplemente aplicamos el resultado anterior a cada parte. Dejaremos los detafles al lector. EJEMPLO 1
Recuerde del ejemplo 4 de la sección 17.1 que
f(x, y, z) = f(r) = C- = r
C
Vx2+y2+z2
es una funciOn potencial para el campo de la ley del cuadrado inverso F(r) = cr/r3. Calcule
[F(r)
dr, donde C es cualquier curva simple suave por partes de (0, 3, 0) a
(4,3, 0) que no pasa por el origen.
Solución Como F(r) = Vf(r), fF(r)
f Vf(r) . dr
dr
f(4,3;0) - f(0, 3,0)
=
V16+9
15
Ahora compare el ejemplo 1 con el ejemplo 4 de La secciOn anterior. AhI calculamos la misma integral, pero para una curva especIfica C, el segmento de recta de (0, 3, 0) a (4,3,0). De manera sorprendente, siempre obtendremos La misma respuesta, sin importar la curva que tomemos de (0, 3, 0) a (4, 3, 0). Decimos que La integral de lInea dada es independiente de Ia trayectoria.
Criterios para Ia independencia de Ia trayectoria Decimos que un conjunto D es conexo si cuaLesquiera dos puntos en D pueden unirse mediante una curva suave por partes totalmente contenida en D (figura 1). Entonces decimos que
D
F(r) Un conjunto conexo
D
dr es independiente de Ia trayectoria en D Si para cualesquiera dos puntos
A y B en D, Ia integral de lInea tiene el mismo valor para cualquier trayectoria C en D orientada positivamente de A a B. Una consecuencia del Teorema A es que si F es el gradiente de otra función f, en tonces I F(r) . dr es independiente de La trayectoria. El recIproco también es cierto.
Ic
Teorema B Un conjunto disconexo
Figura 1
Teorema de Ia independencia de a trayectoria
Sea F(r) continua en un conjunto abierto y conexo D. Vinton Irr-s la mt'egri al deIfnea
/ F(r) . dr es independiente de la trayectoria si y solo si F(r) = Vj(.r) para alguIc na función eScalar f; es decir, si y solo Si F es un campo vectorial conservativo en D.
Independencia de Ia trayectoria
SECCION 17.3
743
Demostración El Teorema A se encarga de la parte "Si". Suponga entonceS que (x,y)...N
(x,y)
IF(r)
dr es independiente de Ia trayectoria en D. Nuestra tarea consiSte en cons-
Jc
D
(x,y0)
truir una función f que satisfaga Vf = F; es decir, debemos hallar un potencial para ci campo vectorial F. Por simplicidad, nos restringiremos al caso bidimensional, donde D es un conjunto piano y F(r) = M(x, y)i + N(x, y)j. Sea (x0, Yo) un punto fijo de D y sea (x, y) cualquier otro punto de D. Elegimos un tercer punto (x1, y) en D y ligeramente a la izquierda de (x, y) y lo unimos con (x, y) mediante un segmento horizontal en D. Luego unimos (x0, y) con (x1, y) mediante una curva en D. (Todo esto es posible debido a que D es abierto y conexo, véase la figura 2a.) Por ültimo, sea C la trayectoria de (x0, Yo) a (x, y) compuesta por dos partes, y definimos f como
f(x,y) =
F(r)
(xl,y)
dr =
dr
La independencia de la trayectoria nos garantiza que obtenemos un Unico valor. La prirnera integral de La derecha en la ecuación anterior no depende de x; la Segunda, con y fijo, se puede escribir como una integral definida ordinaria usando, por ejemplo, t como parámetro. Esto implica que
fx
Figura 2
F(r) (x1, y)
(x0,y0)
C
(x,y)
(x,y)
F(r) dr +
)dt = M(x,y)
=
+ La ültima igualdad es consecuencia del Primer Teorema fundamental del cálculo (Teorema 5.6A). Un argumento similar, usando la figura 2b, muestra que af/ay = N(x, y). Conclui-
mos que Vf = M(x, y)i + N(x, y)j = F, como se deseaba. La condición de que
Jc
F(r) dr sea independiente de la trayectoria en D impli-
ca que Si C es cualquier curva cerrada orientada en D, entonces 1F(r)
Jc
dr = 0. Pa-
ra ver esto, consideremos C como compuesta por dos curvas orientadas C1 y C2, como se muestra en la figura 3. Sea C2 la curva C2 con orientaciOn opuesta. Como C1 y C2 tienen los mismos puntos inicial y final, La independencia de la trayectoria garantiza que IC
Figura 3
F(r)dr= [F(r).dr+ [F(r).dr Ic2
Jc1
=
dr - fC2F(r) fF(r).dr=o JF(r).dr_
fF(r)
dr
C.1
C1 = Cl Este argumento es reversible. Por tanto, tenemos tres condiciones equivalentes.
Vf para alguna función f (F es conservativo).
F
fF(r)
dr es independiente de la trayectoria.
C
I: F(r) dr = 0 para cualquier trayectoria cerrada. La condición 3 tiene una interesante iriterpretación fIsica. El trabajo realizado por un campo de fuerzas conservativo al mover una partIcula en tomb de una trayectoria cerrada es cero. En particular, esto es cierto para los campos gravitacionaies y los cam05 eléctricos, pues son conservativos. Aunque cada una de Las condiciones 2 y 3 implican que F es el gradiente de una funciOn escalar f, no son particularmente ütiles en este contexto. Un criterio más ütil está dado en ci siguiente Teorema. Sin embargo, necesitamos imponer una condiciOn adicionai en D, la de ser simplemente conexo. En ci espacio bidimensional, esto signi-
744 Cpiiuto 17
Cálculo vectorial
fica que D no tiene "agujeros" y en el espacio tridimensional no tiene "tüneles" en todo D. (Para la definición técnica, consulte cualquier libro de cálculo avanzado.) Teorema C
Sea F = Mi + Nj + Pk, donde M, N y P
soy ontinua junto con sus derivad as parciales de primer orden en un conjunto abierto y con e'o D, que aclemás es sir1rpiemente conexo. Entonces F es conservativo (F = V"? ¶j s ysOlosirotF = O,esue1
L
cir, si y solo si
8MaN
8M8P
ay - ax'
az
V
a.
ôz
b
En particular, en el caso de dos variables, donde F = Mi
3y 4
es conservativo
Si y
sOlo si
aN
- ax La parte "sOlo Si" es fácil de demostrar (problema 17). La parte "si" es consecuencia del Teorema de Green (Teorema 17.4A) en el caso de dos variables y del Teorema de Stokes en ci caso de tres variables (véase el ejemplo 4 de la sección 17.7). El problema 25 muestra la necesidad de que el conj unto sea simplemente conexo.
RecuperaciOn de una funciOn a partir de su gradiente
Suponga que se da un campo vectorial F que satisface las condiciones del Teorema C. Entonces sabemos que existe una función f tal que Vf = F. Pero cómo determinamos f? Ilustraremos la respuesta prirnero para un campo vectorial bidimensional. EJEMPLO 2 Determine si F = (4x + 9x2y2)i + (6xy + 6y)j es conservativo y, en tal caso, determine la funciOn f de la cual es gradiente.
Solución M(x, y) =
4x3 + 9x2y2 y N(x, y) = 6x3y + 6y5. En este caso bidimensional, las condiciones del Teorema C se reducen a mostrar que
aM
aN
- ax Ahora,
18xy, 2
8N ax
=l8xy 2
de modo que se satisface la condiciOn y f debe existir. Para determinar f, primero observamos que
Vf=
af
af i+ j=Mi+Nj ax ay
AsI,
ax
= 4x + 9x2y2,
ay
= 6x3y + 6y5
Si integramos la ecuación de la izquierda con respecto de x, obtenemos
f(x, y) = x4 +
3x3 y2 + C1(y)
donde la "constante" de integración C1 puede depender de y. Pero la parcial con respecto de y de la expresión en (2) debe ser igual a 6x3y + 6y5; asI,
6x3y + C(y) = 6xy + 6y5 Concluimos que C1'(y) = 6y5. Otra integración da como resultado
SECCION 17.3
Independencia de Ia trayectoria 745
C1(y) = y6 + C donde C es una constante (independiente de x y y). Al sustituir este resultado en (1) tenemos
.
f(x,y)=x4+3x3y2+y6+C
A continuación usamos el resultado del ejemplo 2 para calcular una integral de ilnea.
EJEMPLO 3
F(r) dr
Sea F(r) = F(x, y) = (4x + 9X2y2)j + (6xy + 6y5)j. Calcule
f(4x3
+ 9x2y2)dx + (6x3y + 6y5)dy, donde C es cualquier tra-
yectoria de (0, 0) a (1, 2).
So!ución
El ejemplo 1 niuestra que F = Vf, donde
f(x,y)
x4 + 3x3y2 + y6 + C
y asI la integral de lInea dada es indepeiîdiente de la trayectoria. De hecho, por el Teorema A,
F(r) dr
[x4 + 3x3y2 +
y6
+
IC
=1+12+64=77 EJEMPLO4 MuestrequeF = (e-'cosy + yz)i + (xz - exseny)j + xykes conservativo, y determine f tal que F = Vf. Solución
N = xZ - ex sen y,
M = ex cos y + yz,
P = xy
y entonces 3M 3y
=_exseny+z
3N 3x
3M ,
3z
=y=
aP
aN
ax
3z
3P
que son las condiciones del Teorema C. Ahora,
af af (3)
ay
af 3z
= excosy + yz = xz - ex sen y = xy
Al integrar la primera de estas ecuaciones con respecto de x, obtenemos (4)
f(x,y,z) = excosy + xyz + C1(y,z)
Ahora derivamos (4) con respecto a y e igualamos el resultado con la segunda expresión en (3),
_ex sen y + xz +
ad ay
= xz - ex sen y
0
aC1(y, z) 3y
=0
Al integrar lo anterior con respecto de y tenemos
C1(y,z) = C2(z) que a su vez sustituimos en (4).
746
CAPITULO 17
Cálculo vectorial
f(x,y,z)
(5)
=
excosy + xyz + C(z)
Al derivar (5) con respecto de z e igualar el resultado con la tercera expresión en (3), obtenemos
af
=
xy + C(z)
= xy
o C2'(z) = 0 y C2(z) = C. Concluimos que
f(x,y,z)
.
= e-cosy + xyz + C
ConservaciOn de Ia energIa Daremos una aplicación a la fIsica y al mismo tiemp0 una razón para el nombre campo de fuerzas conservativo. Estableceremos La Ley de conservación de la energIa, La cual establece que La suma de La energIa cinética y La energIa potencial de un objeto debidas a una fuerza conservativa, es constante. Suponga que un objeto de masa m se mueve a lo largo de una curva suave C dada por r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,
a
t
bajo la influencia de una fuerza conservativa F(r) = Vf(r). La fIsica nos enseña tres hechos acerca del objeto en ci instante t.
F(r(t))
ma(t) = mr"(t) (segunda leyde Newton).
KE = m r'(t) 2 (KE = energIa cinética). PE
= f(r) (PE = energIa potencial).
AsI,
+ PE) = =
r' (t)
2
- f(r)1
md - [r'(t) r'(t)]
= in r"(t)
[af dx
Ldy
+
dzl
[
r'(t) - Vf(r) r'(t)
= [mr"(t) - Vf(r)] r'(t) [F(r) - F(r)] r'(t) =0 Conciuimos que KE + PE es constante.
Repaso de conceptos Sea C dada por r = r(t), a I by sea a r(a) yb = r(b). Entonces, por el Teorema fundamental para integrales de lInea,
fVf(r) dr 1F(r) dr es independiente de Ia trayectoria si y solo si F
Jc
es un campo vectorial
para alguna función escalar f.
, es decir, si y solo si F(r) =
3. Si rot F = en un conjunto abierto, conexo y simplemente conexo D, entonces F = Vf para cierta funciOn f definida en D. RecIprocamente, rot(Vf) =
4. Sea F f(x)i + g(y)j un campo vectorial bidimensional. Como af/ay = ag/ax, concluimos que
SECCION 17.3
Independencia de a trayectoria 747
Conjunto de problemas 17.3 En los problemas 1-10, determine si el campo dado F es conservativo. En tal caso, halleftal que F = Vf; en caso contrario, indique que F no es conservativo. Véanse los ejemplos 2 y 4.
Siga las indicaciones del problema 18 para F(x, y, z) dirigido en contra del origen, con magnitud proporcional a la distancia al origen.
F(x, y) = (lOx - 7y)i - (7x - 2y)j F(x, y) = (12x2 + 3y2 + 5y)i + (6xy - 3y2 + 5x)j
F(x,y) = (45x4y2 - 6y6 + 3)1 + (18xy - 12xy5 + 7)j F(x, y) = (35x4 - 3x2y4 + y9)i - (4xy - 9xy8)j
5.F(xy)= (6x2 \5y2!
(4x3Ij
-
F(x, y) = (2eY yex)i + (2xeY - e-')j _e_v in yi + e_xy_lj F(x, y) = F(x,y,z) 3x2i + 6y2j + 9z2k =
F(x, y, z) = [g(x2 + y2 + z2)](xi + yj + zk) donde g es una función continua de una variable, entonces F es conSugerencia: F = Vf, donde servativo. Muestre que f(x,y,z) = h(x2 + y2 + z2)yh(u) fg(u)du.
Suponga que un objeto de masa m se mueve a lo largo de una curva suave C descrita por
\5y31
F(x, y) = 4y2 cos (xy2)i + 8x cos (xy2)j
F(x,y,z)
Generalice los problemas 18 y 19 mostrando que si
r = r(t) =
(2xy + z2)i + x2j + (2xz + rcosz)k
(3,1)
(y2 + 2xy) dx + (x2 + 2xy) dy (-1,2) (1,
ir/2)
exsenydx + excosydy
(0,0)
(1,1,1)
(6xy3 + 2z2)dx + 9x2y2 dy + (4xz + 1) dz (0,0,0)
Sugerencia: Intente con la trayectoria que consta de segmentos de
recta de(O,0,O)a(1,0,0)a(1,1,0)a(1,1,1).
(yz+1)dx+(xz+1)dy+(xy+1)dz
(-1,0,r)
(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz (0,0,0)
(T0)
F.dr=[ r'(b)
b
rF(a)2]
Sugerencia : F(r(t)) = mr"(t). Mtt moviO un objeto pesado sobre el sueio, de A a B. El objeto estaba en reposo ai principio y al final. ,Implica el problema 21 que Matt no realizó trabajo? Explique. Por lo general, consideramos que ia fuerza gravitacional de la Tierra sobre un objeto de masa m está dada por F = -gmk, pero, por supuesto, esto solo es válido en regiones cercanas a La superficie de la Tierra. Determine la función potencial f para F y Osela para mostrar que el trabajo realizado por F al mover un objeto de (x1, Yi' z1) a un punto cercano (x2, y2, z2) es mg(z1 - z2).
24. La distancia de Ia Tierra (masa m) al Sol (masa M) varla desde un mximo (afelio) de 152.1 millones de kilómetros hasta un mInimo (perihelio) de 147.1 millones de kilómetros. Suponga que es válida la ley del cuadrado inverso de Newton, F = -GMmr/r con newton-metro2/kilogramo2, M = 1.99 X i0° kiG = 6.67 X 10 logramos y m = 5.97 x 10" kilogramos. i,Cuánto trabajo realiza F para mover la Tierra en cada caso? Del afelio al perihelio
(cos x + 2yz) dx + (sen y + 2xz) dy
En toda una Orbita
(0.0,0)
+ (z + 2xy)dz Suponga que Vf(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, donde M, N y P tienen derivadas parciales de primer orden continuas en un conjunto abierto D. Demuestre que 3M
t
IC
(1,1,1)
(0,1,0)
a
sujeto solamente a la fuerza continua F. Muestre que el trabajo realizado es igual al cambio en Ia energIa cinética del objeto; es decir, muestre que
En los pro blemas 11-16, muestre que Ia integral de lInea dada es independiente de Ia trayectoria (use el Teorema C) y luego evaláe Ia integral
(ya sea usando una trayectoria conveniente o, silo prefiere, hallando una funciOn potencia fy aplicando el Teorema A).
x(t)i + y(t)j + z(t)k,
aN
- 3x '
3M
0P
3z - ax'
aN
3P
3z
3y
en D. Sugerencia: Use el Teorema 15.3B con f.
Para cada (x, y, z), sea F(x, y, z) un vector que apunta hacia el origen, con magnitud inversamente proporcional a Ia distancia a! origen; es decir, sea
F(x,y,z)
-k(xi + yi + zk)
25. Este problema muestra la necesidad de que el conjunto sea simplemente conexo en la parte "si" del Teorema C. Sea F = (yi xj)/(x2 + y2) en el conjunto D = {(x, y): x2 + y2 0}. Muestre lo siguiente: La condición 0M/ay = 3N/3x se cumple en D.
F no es conservativo en D. Sugerencia: Para estabiecer la parte (b), muestre que I
Jc
F dr =
-237
donde C es el cIrculo con ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen t, 0
t
2ir.
26. Sea f(x, y)
=
tan(y/x). Muestre que Vf
(yi -
xj)/(x2 + y2), que es Ta función vectorial del problema 25. Por qué Ia sugerencia de dicho problema no viola el Teorema A?
x2 + y2 + z2
Muestre que F es conservativo, hallando una función potencial para F. Sugerencia: Si esto le parece difIcil, véase el problema 20.
Respuestas al repaso de conceptos: 1. f(b) - f(a) 2. gradiente o conservativo; Vf(r) 3. 0; 0 4. F es conservativo
748
Cálculo vectorial
CAPETULO 17
17.4
Comenzaremos con otro vistazo al segundo teorema fundamental del cálculo,
Teorema de Green en el piano
f'(x) dx
fb
=
f(b) - f(a)
Este dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, bI es igual a una función relacionada con la anterior (la antiderivada) evaluada de cierta manera en la frontera de S, que en este caso consta solamente de los dos puntos a y b. En el resto del capItuto daremos tres generalizaciones de este resultado: los Teoremas de Green, Gauss y Stokes. Estos teoremas tienen aplicaciones en fIsica, particularmente en el estudio del calor, la electricidad, el magnetismo y el flujo de fluidos. El primero de estos teoremas se debe a George Green (1793-1841), fIsico matemático autodidacta inglés. Supongamos que C es una curva simple cerrada (secciOn 13.1) que forma la frontera de una region S en el plano xy. Consideremos a C orientada de modo que al re-
correrla en su dirección positiva, S siempre queda a la izquierda (la orientación en sentido contrario at de las manecillas del reloj). La integral de lInea correspondiente de F(x, y) = M(x, y)i ± N(x, y)j en tomb de C se denota
M dx + N dy Teorema A Teorema de Green
Sea C una curva simple cerrada, suave por partes, que forma la frontera de una región S en el piano xy. Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en S y su frontera C, entonces
S
[[(aN
aMdA
JJ \X
8Y1
S
b
a
Figura 1
ces el Teorema de Green nos dice que
Mdx + N dy
f(x),a
{(x,y):g(x)
b}
Su frontera C consta de cuatro arcos C1, C2, C3 y C4 (aunque C2 o C4 podrIan ser degenerados) y
dx =
JM dx + fM dx + fM dx + fM dx
= 0
A su vez, esto implica que el campo Mi + Nj es conservativo. Esto es F parte de to que afirmamos en el Teorema 17.3C para el caso de dos varia-
Las integrales sobre C2 y C4 se anulan, pues en estas curvas x es constante, de modo que dx = 0. AsI, fhM(X,g(x))dx + faM(x,f(x))dx cM
dx
fb[M(f) - M(x,g(x))]dx
bles.
= SI
£Mdx + Ndy
Jc
Demostración Demostraremos el teorema para el caso en que S es un conjunto xsimple y y-simple y luego analizaremos su extension at caso general. Como S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir, S
Un resultado prometido Suponga que aN/ax = aM/ay. Enton-
=
fb ff(x) 8M(x, y) Ia Ig(x)
=IIjjIf aM dA
dy dx
3y
ay
S2
S
De manera análoga, considerando a S como un conj unto x-simple, obtenemos
ycNdY=ffdA Con esto concluimos que elTeorema de Green es válido en un conjunto que sea x-simpie y y-simple. Figura 2
El resuitado se extiende fácilmente a una region S que se descompone en una union de regiones ....... 5k' que sean x- y y-simples (figura 2). Simpiemente apli-
Teorema de Green en el piano 749
SECCION 17.4
camos el teorema en La forma que hemos demostrado a cáda uno de estos conjuntos y luego sumamos los resultados. Observe que las contribuciones de las integrales de Linea se cancelan en las fronteras compartidas por las regiones adyacentes, pues estas fronteras se recorren dos veces, pero en direcciones opuestas.
El Teorema de Green incluso es válido en una region S con uno o más agujeros (figura 3), siempre que cada parte de su frontera quede orientada de modo que S esté siempre a la izquierda al recorrer la curva en su dirección positiva. Simplemente la descomponemos en regiones comunes, como se muestra en la figura 4.
Ejemplos y aplicaciones A veces, el Teorema de Green proporciona la fornia más sencilla de evaluar una integral de LInea. EJEMPLO
Sea C la frontera del triángulo con vertices (0,0), (1,2) y (0,2) (figura
1
5). Calcule
4x2ydx + 2ydy (a) por el método directo y (b) por el Teorema de Green. Solución
EnC1,y = 2xydy
2dx,demodoque
f4x2y dx + 2y dy =
f8x3 dx + 8x dx
[2x4 + 4x2]
6
Ademas,
J 8x2 dx =
I 4x2 y dx + 2y dy
[8x310 3
1
10
/ 4x2y dx + 2y dy Jc3
=
[y2]
J 2y dy
i
- - -38
=
2
AsI,
I 4x2ydx + 2ydy = 6 4 = Por el Teorema de Green,
4x2y dx + 2y dy = ff(o - 4x2)dy dx
f(_8x2
f[_4x2y1xdx
[-8x3 3
+ 8x3)dx
+2x4]=_ 2 1
U
EJEMPLO 2
Muestre que si una region S en el plano tiene frontera C, donde C es una curva simple cerrada suave por partes, entonces el area de S está dada por
(ydx + xdy)
A(S) = Solución
Sean M(x, y) = y/'2 y N(x, y) = x/2; aplicamos el Teorema de Green.
(y dx + x dy
=
ff
(1
1
+
dA = A(S)
.
750
CAP1TULO 17
Cálculo vectorial EJEMPLO 3 Use el resultado del ejemplo 2 para determinar el area encerrada por la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
So!ución
La elipse dada tiene las eduaciones paramétricas x =
acost,
y =
bsent,
0
2ir
AsI,
y dx + x dy) 1
(b sen t)(a sent dt) + (a cos t)(b cost dt))
2
=f
ab(sen2t + cos2t)dt f2ir
.
=abl dt=ab 2 Jo 1
EJEMPLO
4 Use elTeorema
de
Green para evaluar la integral de lInea
(x3 + 2y) dx +
(4x - 3y2) dy
donde C es La elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
Solución Sean M(x, y) = x3 + 2y y N(x, y) = 4x - 3y2 de modo que 3M/0y = aN/ax = 4. Por el Teorema de Green y el ejemplo 3, (x3 +
2y)dx + (4x - 3y2)dy =
ff(4 -
2)dA
= 2A(S) = 2'rab
Form as vectoriales del Teorema de Green
Nuestro siguiente objetivo es reestablecer el Teorema de Green para el plano en su forma vectorial y de dos maneras distintas. Estas formas serán las que generalicemos después como dos importantes Teoremas en el espacio tridimensional. Supongamos que C es una curva simple cerrada suave, en el piano xy, con una orientación en sentido contrario a! de las manecillas del reloj, por medio de su parametrizaciOn por longitud de arco x = x(s) y y = y(s). Entonces
T=
dx.
dy
ds
ds
1+
j
es un vector tangente unitario y S
Figura 6
11=
dy dx. ds
1
ds
J
es un vector normal unitario que apunta hacia fuera de ia region S acotada por C (figura 6). (Observe que T n = 0.) Si F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j es un campo vectorial, entonces
SECCION 17.4
(Mi+Nj) (dY.
n ds = =
ds
8x If(8M
+
8N
ayj
Teorema de Green en el piano 751
dx
ds/j ds=
(N dx + M dy)
dA
S
La ültima igualdad es consecuencia del Teorema de Green. Por otro lado,
divF=VF=
8N aM + ax ay
Concluimos que
I
F nds = ffdivFdA
=
ffv. FdA
resultado que a veces se conoce como el Teorema de La divergencia de Gauss en el piano. Daremos una interpretación fIsica a esta üitima fOrmula y con eLLo entenderemos
el origen del término diver gencia. Imagine una capa uniforme de un fluido de densidad constante que se mueve a través del piano xy, con una capa tan delgada que p0damos considerarla bidimensional. Queremos calcuiar la razón con ia que ei fluido contenido en una region S cruza la curva frontera C (figura 7). Sea F(x, y) = v(x, y) el vector velocidad del fluido en (x, y) y sea As La longitud de un pequeflo segmento de La curva, con punto inicial (x, y). La cantidad de fluido que cruza este segmento por unidad de tiempo es aproximadamente ci area del paralelogramo de ia figura 7, es decir, v n As. La cantidad (neta) de fluido que sale de S por unidad de tiempo, liamado ci flujo del campo vectorial F a través de la curva C en Ia direcciOn hacia fuera, es entonces
flujo de F a través de C =
Jc
F n ds
Ahora corisideremos un punto fijo (x0, Yo) en S y un pequeno cIrcuio Cr de radio r con centro en éi. En Sr, la region circular con frontera Cr, div F será aproximadamente igual a su valor div F(x0, Yo) en el centro (estamos suponiendo que div F es continua); entonces, por ei Teorema de Green,
flujo de F a través de Cr =
n ds
Jfdiv F dA
div F(xo, yo)(lTr2)
Concluimos que div F(x0, Yo) mide Ia razón con ia que ei fluido "diverge hacia fuera" de (x0, yo). Si div F(x0, Yo) > 0, existe una f uente de fluido en (x0, yo); si div F(x0, Yo) <0,
existe un sumidero para el fluido en (x0, yo). Si el flujo a través de la frontera de una región es igual a cero, entonces las fuentes y Los sumideros en la region deben equilibrarse entre si. Por otro lado, si no hay fuentes ni sumideros en la regiOn 5, entonces div F = 0 y, por el Teorema de Green, existe un flujo neto nub a través de la frontera de S. Existe otra forma vectorial para el Teorema de Green. Tracemos de nuevo la figu-
ra 6, pero ahora como un subconjunto del espacio tridimensionai (figura 8). Si F = Mi + Nj + Ok, entonces ci Teorema de Green dice que
I
FTds= Mdx+Ndy= I
aN
ff(8x
- aM
dA
752
CAP1TULO 17
Cálculo vectorial
Por otro lado,
ii
rot F = V x F =
k
aa 0x
0y
(aN
0M\
0x
0y1
0z
MN
k
0
de modo que
(rot F) k =
73N \0X
3M 0y
El Teorema de Green asume entonces la forma
F Tds = ff(rot F) kdA que a veces se llama Teorema de Stokes en el piano. Si aplicamos este resultado a un pequeno cIrculo Cr con centro en (x3, ye), obtenemos
F T ds
(rot F(xo, Yo))
k (irr2)
Esto dice que el flujo en la dirección de la tangente a Cr (la circulación de F en tomb de Cr) se mide mediante el rotacional de F. En otras palabras, rot F mide la tendencia del flu ido a girar en tomb de (x0, yo). Si rot F = 0 en una region S, el flujo de fluido correspondiente es irrotacional. EJEMPLO 5 El campo vectorial F(x, y) = yi + xj = Mi + Nj es el campo de velocidad de una rotaciOn estacionaria (en sentido contrario al de las manecillas del
reloj) de una rueda en tomb del eje z (véase el ejemplo 2 de la sección 17.1). Calcule
Jc
F n ds y
Jc
F T ds para cualquier curva cerrada C en el piano xy.
Solución Si S es la region encerrada por C,
£F.n ds = [I div FdA
Ic
JJ
ff(rot S
=
+
8y)
dA =
S
S
T ds
[[(3M JJ \0x
F)
k dA =
ff
( \\0x
3M \
3yj
dA
S
ff
.
= A(S)
S
Repaso de conceptos 1. Sea C una curva simple cerrada que acota una region s en el
piano xy. Entonces, por el Teorema de Green,, dA.
1/
2. AsI, si C es la frontera del cuadrado S = {(x, y):
Mdx + N dy =
dA= C S
Teorema de Green en el piano 753
SECCION 17.4
4. Por otro lado, rot F(x, y) mide La tendencia del fluido a
3. div F(x, y) mide La razón con La que un flujo de un fluido homogéneo con campo de velocidades F diverge desde (x, y). Si div F(x,
y) > 0, existe un(a) existe un(a)
de fluido en (x, y); si div F(x, y) <0, de fluido en (x, y).
en tomb de (x, y). Si rot F(x, y) = 0 en una regiOn, el flujo es
Conj unto de problemas 17.4 En los problemas 1-6, use el Teorema de Green para evaluarla integral de lInea dada. Comience dibujando Ia regiOn S.
Determine el trabajo reaLizado por F = (x2 + y2)i - 2xyj al mover un cuerpo en sentido contrario a! de Las manecilLas del reloj en torno de La curva C del probLema 14.
2xy dx + y2 dy, donde C es La curva cerrada formada
pory = x/2andy = Ventre(0,0)y(4,2)
no de C del problema 14; es decir, caLcule
\/ dx + V dy, donde C es La curva cerrada formada por y = 0, x = 2, y y = x2/2
Ic
F T ds.
Muestre que el trabajo reaLizado por una fuerza constante aL mover un cuerpo en torno de una curva simple cerrada es 0. Use el Teorema de Green para demostrar el caso piano del Teorema 17.3C; es decir, muestre que 8N/8x = 8M/ay impiica que
(2x + y2)dx + (x2 + 2y)dy, donde C es la curva Ce-
3.
Si F = (x2 + y2)i + 2xyj, calcule La circulaciOn de F en tor-
I
M dx + N dy = 0, lo que implica que F = Mi + Nj es conser-
vativo.
rrada formada por y = 0, x = 2 y y = x3/4
19. Sea
xy dx + (x + y) dy, donde C es eL triángulo con vérti-
4.
Jc ces(0,0),(2,0) y(O,l)
F=
(x + 4xy)dx + (2x2 + 3y)dy, donde C es La eLipse
(e3x + 2y) dx + (x2 + sen y) dy, donde C es eL rectángulo con vertices (2, 1), (6, 1), (6,4) y (2,4). En los problemas Y'y 8, use el resultado del ejemplo 2 para calcular el area de la regiOn indicada S. Haga un bosquejo.
S está acotada por las curvas y = 4x y y 2x2. S eStá acotada por las curvas y = x3 y y = x2. En los pro blemas 9-12, use las formas vectoriales del Teorema de Green
paracalcular(a)
Jc
ndsy (b)
Jc
F Tds.
F = y2i + x2j; C es La frontera del cuadrado unitario con
x2 + y2
x +y2j=Mi+Nj
Muestre que aN/ax = aM/ay.
Muestre, usando la parametrización x = cos t, y = sen t, que
I
9x2 + 16y2 = 144
2x
y
M dx + N dy = 2ir, donde C es eL cIrculo unitario.
,Por qué esto no contradice el Teorema de Green?
20. Sea F como en el problema 19. Calcule fM dx + N dy, C donde C es La elipse x2/9 + y2/4 = 1 C es el cuadrado con vertices (1, 1), (1, 1), (-1, 1)
y (-1, 1) C es eL triángulo con vertices (1, 0), (2, 0) y (1, 1).
Sea C una curva simple cerrada suave por partes, que es Ia frontera de una region S en el piano xy. Modifique el argumento del ejemplo 2 para mostrar que
vertices (0,0), (1,0), (1, 1) y (0, 1).
F = ayi + bxj; C como en el problema 9. F
(y)dx = fxdy
y3i + x3j; C es el cIrculo unitario.
F = xi + yj; C es eL cIrculo unitario. Suponga que las hitegrales
fF . T ds
a Lo Largo de Los cIrcu-
los x2 + y2 = 36 y x2 + y2 = 1 son recorridos en sentido contrario al de Las maneciLias del reLoj de 30 y 20, respectivamente. CalcuLe
If (rot F)
A(S) =
k dA, donde S es la regiOn entre los cIrculos.
M=
1
y2 dx,
M=
C
Si F = (x2 + y2)i + 2xyj, calcuLe el flujo de F a través de la frontera C del cuadrado unitario con vertices (0, 0), (0, 1), (1, 1) y
F nds.
2dy C
CaLcule el area de La astroide x213 + y213 = a213. Sugerencia:
Parametrice con x = a cos3t, y = a sen3t, 0
S
(0, 1); es decir, calcule
Sean S y C como en el problema 21. Muestre que Los momentos M y M en torno de los ejes x y y están dados por
t <23T.
CaLcule el trabajo realizado por F = 2y1 - 3xj al mover un objeto en tomb de La astroide del problema 23.
Cálculo vectorial
754 CAPITULO 17
25. Sea F(r) = Muestre que
r/r2
fF
Jc
= (xi + yj)/(x2 + y2).
y) y el campo gradiente correspondiente F = Vf en S = {(x, y): 3 3 }. Observe que, en cada caso, rot F = 0 (Teorema 17.3C), y entonces no hay tendencia a Ia rotación en ningün punto.
x <3, 3 y
n ds = 2, donde C es el cIrculo de radio a
con centro en el origen y n = (xi +
yj)/\/x2
27. Sea f(x, y) = + y2 es el vector
normal unitario exterior a C. Muestre que div F 0. Explique por qué los resultados de las partes (a) y (b) no contradicen la forma vectorial del Teorema de Green. Muestre que si C es una curva simple cerrada suave, entonces
/ F n ds es igual a 2 o 0, segén si el origen está dentro o
Jc
ra deC.
Examine visuaimente el campo F para ver dónde div F es positiva y dOnde es negativa, y luego calcule div F para ver si está en io correcto.
26. Area de un polIgono Sean V0(x0, Yo)' V1(x1, Yi).....V(x, y) los vertices de un polIgono simple P, etiquetado en sentido contrario al de las manecillas del reloj y con V0 = V,. Muestre lo siguiente:
fx dy =
Caicule el flujo de F a través de la frontera de S; luego calcule el flujo a través de la frontera de T = {(x, y): 0 x 3,0 y 3}.
+ x0)(y1 + Yo), donde C es la arista V0V1
C
30. Sea f(x, y) = exp((x2 + y2)/4).Trate de ver dónde div F es positiva y dónde es negativa. Luego, determine esto en forma ana-
n
Area (P) =
2
x2 + y2.
Examine visualmente el campo F y convénzase de que div F> 0 en S. Luego, calcule div F. Calcule ei flujo de F a través de la frontera de S. 28. Sea f(x, y) = ln(cos(x/3)) - ln(cos(y/3)). Trate de ver si div F es positiva o negativa en unos cuantos puntos, y luego caicule div F para ver si está en lo correcto. Calcule el flujo de F a través de la frontera de S. 29. Sea f(x, y) = sen x sen y.
-
lItica.
El area de un poilgono con vertices que tienen coordenadas enteras es siempre un méltiplo de La formula de la parte (b) da la respuesta correcta para el poll.
cAsI
Integrales de superficie
Bx
By
2. 2; 2
3. fuente; sumidero 4. girar; irrotacional
En coda uno de los siguientes problemas, trace la grafica de f(x,
17.5
aM
Respuestas al repaso de conceptos:
gono con vertices (2, 0), (2, 2), (6, 2), (6, 0), (10,4) y (-2,4).
Una integral de lInea generaliza la integral definida comOn; de manera análoga, una integral de superficie generaliza una integral doble. Sea G la superficie dada por la gráfica de z = f(x, y), donde (x, y) varIa sobre un rectángulo R en el piano xy. Sea P una partición de R en n subrectángulos R1; esto produce una particiOn correspond iente de ia superficie G en n partes G1 (figura 1). Elegimos un punto muestra (, ) en R y sea (, 5, z) )) el punto correspondiente en G1. Entonces definimos la integral de superficie de g sobre G mediante
= (, j, f(,
ffg(x
y, z) dS = ilm
,
)AS1
i=1
G
donde AS, es el area de G1. Por ültimo, extendemos la definiciOn al caso en que R sea un conj unto general, cerrado y acotado en el piano xy de la manera usual (dando a g ei valor 0 fuera de R).
/
Integrales de superficie 755
SECCION 17.5
Eva IuaciOn de integrales de superficie Una definición no es suficiente; necesitamos una manera práctica de evaluar una integral de superficie. El desarrollo de la sección 16.6 sugiere el resultado correcto. AhI mostramos que bajo las hipótesis adecuadas, el area de una parte pequena G, (figura 2) de la superficie es aproximadamente u, X vJ, donde u y v son lados de un paralelogramo que es tangente a la su-
AZ V.
7,
Zf(X,y)
Ui
G,
perficie. AsI,
u X vA V(f(x, y))2 + Esto conduce a! siguiente Teorema.
A(G)
y
(f(x, y))2 + 1
Teorema A
Sea G una superficie dada por z = f(x, y,,. done - (x,), está en f. s;1 f 1ie e dLicontiy)) vadas parciales de primer orden contiiva v g(x , y, ) = gi x, y,) nua en R, entonces
yi
ffg(x, y, z) dS
Figura 2
=
t' f + ldydx
Jj g(x, '. f(x,'
G
R
Observe que cuando g(x, y, z) = 1, el Teorema A da la formula para el area de una superficie dada en la sección 16.6. EJEMPLO 1
EvalOe
ff(xy
+ z) dS, donde G esla parte del piano 2x - y + z = 3
G
por arriba del triángulo R de la figura 3.
So!ución
En este
y), f = 2, f = 1,
z = 3 + y - 2x = f(x,
caso,
y
g(x, y, z) = xy + 3 + y - 2x. AsI,
+ 3 + y - 2x)(_2)2 + 12 + 1 dydx
f1f
ff(xy + z)dS
=vrj11[xY22 +3y+-2xydx Jo 3x2] =V J0L2 +3x 2 dx- 9\/ Y2
Figura 3
I
EJEMPLO 2
.
8
Evale ff xyz dS, donde G es La parte del cono z2
= x2 + y2 entre los
G
pianos z = 1 y z = 4 (figura 4). Solución
Podemos escribir
z = (x2 + 2)l/2 = f(x, y) de donde
it'
f +f + 1 =
= X2 + y2
2+
+ 2
y2
2+
+1=2 2
AsI,
ffxyz dS
ffxyx2 + y2
dy dx
G
Después de un cambio a coordenadas polares, esto se convierte en Figura 4
\[2ff(r cosO)(r sen O)r2 dr dO = V2f [sen
o cosO
756 CAPiTULO 17
Cálculo vectorial EJEMPLO 3
La parte de la superficie esférica G con ecuación z =
f(x,y)
- x2 - y2
=
donde x y y satisface 0 x2 + y2 4 tiene una cubierta metáiica deigada cuya densidad (x, y, z) es 6(x, y, z) = z. Determine La masa de esta cubierta.
So!ución Sea R la proyección de G en el piano xy; es decir, sea R = {(x, y): 0 x2 + y2 4 }. Entonces
ff(x y, z) dS = ffzVf
m
G
=
f
+
+ 1 dA
R
If / x iizi If V9x2y2+ 9x2y2
ffz
+ldA
dA = 3(22) = 12
Sea G la superficie dada por una eduaciOn de la forma y = h(x, z) y sea R su proyección en el piano xz. Entonces La formula adecuada para La integral de superficie es ffg(x, y, z) dS =
ffg(x, h(x, z), z)Vh
+
+ 1 dx dz
Hay una formula correspondiente cuando ia superficie G está dada por x = k(y, z). EJEMPLO 4 Evaiüe ff(x2 + z2)dS, donde G es La parte dei paraboloide y =
-
1
G
que se proyecta sobre R
x2 + z2
{(x, z):
1}.
Solución ff(x2 + z2)dS =
ff(x2
+ z2)V4x2 + 4z2 + 1 dA
Si usamos coordenadas poiares,esto se convierte en 2ir
r2V4r2 + 1 r dr dO
Figura 5
En Ia integral interior, sea u Obtenemos 1
16 El
Figura 6 z
C
V4r2 +
1,
de niodo que u2 = 4r2 + 1 y u du = 4r dr.
2
LI
(u2 - 1)u2 du dO
(25
=
+ 60
fiujo de un campo vectorial a través de una superficie
Para nuestra
próxima discusiOn y para posteriores aplicaciones, necesitamos Limitar aUn más los tipos de superficies por considerar. La mayor parte de las superficies que surgen en La práctica tienen dos iados. Sin embargo, es sorprendentemente fácii construir una superficie con sOlo un iado. Tome una banda de papeL (figura 5), córtela por La iInea punteada, dé medio giro a uno de los extremos, y péguela de nuevo (figura 6). Usted obtendrá una superficie con un lado, ilamada banda de Möbius. A partir de este momento, sOlo consideraremos superficies con dos iados, de modo que tenga sentido habiar de un fluido que fluye a través de ia superficie de un iado al otro, como si la superficie fuese una pantalla. Además, suponemos que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector normal unitario n que varIa en forma continua. Sea G tal superficie suave, con dos lados, y suponga que se le sumerge en un fluido con un campo de velocidad continuo F(x, y, z). Si AS es ei area de una pequefla parte de G, entonces F casi es constante ahI, y ci volumen AV de fluido que cruza este pedazo en La dirección del vector normal unitario n (figura 7) es
F n AS Conciuimos que Figura 7
2.979
flujo de F a través de G
= ff F n dS
SECCION 17.5
Integrales de superficie
757
Calcule el flujo hacia arriba de F = yi + xj + 9k a través de la parte
EJEMPLO 5
de La superficie esférica G determinada por
- x2 - y2,
z = f(x,y) =
0
x2
+
y2
4
Observe que el campo F es una corriente giratoria que fluye en La dirección del eje z positivo. La ecuación de la superficie se puede escribir como
Solución
x2
- y2 = z - f(x,y) = 0
fri - fj + k
(x/z)i + (y/z)j + k
Vf + f + 1
V(x/z)2 + (y/z)2 + 1
9-
H(x,y,z) = z y asI
11=
VH VH
es un vector unitario normal a La superficie. El vector n también es normal a La superficie, pero, como queremos obtener el vector unitario normal que apunta hacia arriba, n es la eLección correcta. Un cálcuLo directo, usando el hecho de que x2 + y2 + z2 = 9, produce
(x/z)i + (y/z)j + k 3/z
x. y. =i+j+k z
(Un sencillo argumento geométrico dará también este resultado; eL vector normal debe apuntar directamente hacia fuera del origen.) EL flujo de F a través de G está dado por
ff F n dS
flujo
=
G
(yi+xj+9k)
= =
33
If/x
y
+k3 dS /
ff3zdS G
Por üLtimo, escribimos esta integral de superficie como una integral doble, usando el + f + 1 = 3/z. hecho de que R es un cIrculo de radio 2y que flujo =
ff3z dS = ff3z
dA = 9(
22)
= 36
R
G
El flujo total a través de G en una unidad de tiempo es 36ir unidades cUbicas. U
Después de observar La cancelación ocurrida en el ejempLo 5, un Lector observador sospechará que un teorema anda cerca. Tee rema B
', y) "ta .1 a pa: z = j (-, y), doiic' G na superficie suave, on ios Iados, dJa riI r 7. S en1R, v sea n ci vec Lor: rmai initari had .a ar... en ( i f tiene : 'meras ie ri .L , yrtdas Parcia1e continua ', F = Mi + Nj + Pk cs Lili campo vei'to- rial colilnlu -rjces el fluin de F a :ravés de( et Jade'por entu. SL a
-
-
'Li
L
flu
.udS
de F
MtNf+P lxdy
= Demostración
Si escribimos H(x, y, z) = z - f(x, y), entonces 11=
VH VH
fifj+k f+f+1
758 CAPiTULO 17
Cálculo vectorial
El Teorema A implica que
ffF. ndS = ff(Mi + Nj + Pk) fri - f G
+k
Vf+f+1dxdy
R
ff(Mf - Nf + P) dx dy R
Tal vez quiera resolver de nuevo el ejemplo 5 usando el Teorema B. Le daremos un ejemplo distinto. EJEMPLO 6 Evaiüe el flujo para el campo vectorial F = xi + yj + zk a través de la parte G del paraboloide z = 1 - x2 - y2 que está arriba del plano xy, considerando a n como el vector normal hacia arriba.
Solución
f(x, y) = 1 -
x2
- y2,
f
=
Mf Nf+ P = 2x2 + 2y2 + z
2x,
f
=
2y
=2x2+2y2+1_x2_y2=1+x2+y2
ff F ndS
=
G
ff(i + x2 +
If R
=
1(1
+ r2)rdrdO
U
1T
Jo
Repaso de conceptos Una generaliza la integral doble comün, de manera similar a la forma en que una integral de lInea generaliza la integral definida. Si G es una superficie,
ffg(x, y, z) dS
Considere el cono con eje a lo largo del eje z, con vértice en el origen y que forme un ángulo de 30° con el eje z. Si G es la parte de este cono por arriba del conjunto R = {(x, y): x2 + y2 < 9}, enton-
cesffds
=
G
G
=
ff
dydx =
R
Sea G una superficie dada por z = f(x, y), donde (x, y) está en R. Entonces
dydx.
ffg(x,y,z)ds = ffg(xYf(xY)) G
R
Conjunto de problemas 17.5 En los problemas 1-8, evaláe
ffg(x
g(x, y, z) z; G es el tetraedro acotado por los pianos de coordenadas y el piano 4x + 8y + 2z = 16.
y, z) dS.
En los problemas 9-12, use el Teorema B para calcular elfiujo de F a través de G.
l.g(x,y,z)=x2+y2+z;G:z=x+y+1,
1,0 y 1 2. g(x,y,z) = x;G:x +
o
y + 2z = 4,0
Oyl3. 4. g(x, y, z) = 2y2 + z; G: z = g(x, y, z) = V4x2 + 4y2 +
x
- y2, 0 1; G es
1,0
y
1
x2 + y2
la
1
parte de
z = x2 + y2 por debajo de y = z.
g(x,y,z)
=
y;G:z = 4 y2,O
3,0
y
2
g(x, y, z) = x + y; G es Ia superficie del cubo<0 x < 0
y
1,0
1.
F(x,y,z) =
+
xj;Geslapartedelplanoz
=
8x - 4y-5
F(x, y, z) = yi - xj + 2k; G es la superficie determinada
porz = z
1,
yi
por arriba del triángulo con vertices (0,0,0), (0, 1, 0) y (1, 0,0). F(x, y, z) = (9 - x2)j; G es la parte del piano 2x + 3y + 6z = 6 en el primer octante.
1 - y,0
5.
F(x, y, z) = 2i + 5j + 3k; G es la = (x2 + y2)'12 que está dentro del cilindro x2 +
parte del cono y2 = 1.
Calcule la masa del triánguio con vertices (a, 0,0), (0, a, 0) y (0, 0, a) si su densidad satisf ace 6(x, y, z) = kx2.
SECCION 17.6
Calcule la masa de la superficie z = 1 - (x2 + y2) sobre x 1,0 1,z = 0,siö(x,y,z) = kxy. 0 Determine el centro de masa del triángulo homogéneo con vertices (a, 0,0), (0, a, 0) y (0, 0, a). Consulte el ejemplo 3. La superficie semiesférica z = y2 tiene una delgada cubierta metálica con x2 f(x, y) = densidad ö(x, y, z) = z. Determine la masa de esta cubierta. Observe que no es posible aplicar el Teorema A directamente, pues f y f no están definidas en la frontera x2 + y2 = 9 de R. Por lo tanto, primero consideramos la region R dada por 0 x2 + y2 (3 - )2, ha0. Vera que obtiene cemos los cálculos y luego hacemos tender e Ia misma respuesta que obtendrIa si ignorase este sutil punto.
- -
Sea G la esfera x2 + y2 + z2 = a2. EvalOe lo siguiente:
(a) JJzdS (c)
(b)
ff(x2 + y2 + z2) dS
ff(x2
= a2 tiene densidad de area constan18. La esfera x2 + y2 + z2 te k. Determine cada momento de inercia.
En torno de un diámetro. Con respecto de una recta tangente (suponga cierto el Teorema del eje paralelo, problema 20 de la sección 16.5). 19. Determine la fuerza total contra la superficie de un tanque lleno de cierto lIquido con densidad de peso k para cada forma de tanque. Esfera de radio a Hemisferio de radio a con base plana. Cilindro vertical de radio a y altura h. Sugerencia: La fuerza contra un pequefio pedazo de area AG es aproximadamente kd AG, donde des la profundidad del agua en el pedazo. 20.
Determine el centro de masa de la parte de la esfera
x2 + y2 + z2 = a2 entre los planos z = h1 y z = h2, donde 0 a. Haga esto mediante los métodos de esta sección y luego comh2 pare con el problema 15 de la sección 16.6.
ffx2 dS G
G
(e)
(d)
ttx+y3+senz dS 1+z JJ
Teorema de Ia divergencia de Gauss 759
+ y2)dS
Respuestas al repaso de conceptos:
Sugerencia: Use propiedades de simetrIa para hacer que el problema sea trivial.
17.6
Teorema de Ia divergencia de Gauss
1. integral de superficie
3.\/f + f + 1 4.2;lSlT
2.
Los Teoremas de Green, Gauss y Stokes relacionan una integral sobre un conjunto S con otra integral sobre la frontera de 5. Para enfatizar Ia similitud de estos teoremas, introducimos la notación as para representar Ia frontera de S. AsI, una forma del Teorema de Green (sección 17.4) se puede escribir como
Fnds= ffdivFdA as
S
Dice que el flujo de F a través de la frontera as de una region plana cerrada y acotada 5 es igual a la integral doble de div F sobre esa region. El Teorema de Gauss (también ilamado Teorema de la diver gencia) aumenta una dimensiOn a este resultado. S
/
Figura 1
Teorema de Gauss Sea 5 un sólido cerrado y acotado en el espacio tridimensional, completamente encerrado por una superficie suave por partes as (figura 1).
Teorema A Teorem de jjuSS (' prir eras deSea = V'1 + Nj + Pk Un tmp ) vectorial tal que M, N y P tier'n LID LI 'o S con frontera as. Si ii denoa el vector norL rt'uas en Ufl CG.i in rivaua.is rp ;ia "s 11
11
mal unita:iu
:eriur a as, eni
es
ffF.ndS= f/f divFdV En otras palabras, el flujo de F a través de la frontera de una region cerrada en el espacio tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre Ia region. Es Otil para las aplicaciones y para la demostración establecer la conclusiOn del Teorema de Gauss en su forma cartesiana (no vectorial). Podemos escribir n = cosai + cos/3j + cosyk donde a, /3 y y son los ángulos directores para n. AsI, = Mcosa + Ncosf3 +
Fn
Pcosy
760
CAPITULO 17
If3M
Cálculo vectorial
y asI, La formula de Gauss se convierte en
(Mcosa
+
Ncosf3 + Pcosy)dS =
as
fff(0x
+
3N 0y
+ 3z) - dV
S
Demostración del Teorema de Gauss Primero consideremos el caso en que La region S es x-simple, y-simple y z-simple. Basta que mostremos que
ffMcoscxdS= fff3MdV aN
JfNcosI3dS
=
Jff
ffPcosydS= fffdV Como estas demostraciones son similares, solo mostraremos La tercera. Como S es z-simple, puede describirse mediante las desigualdades f1(x, y) f2(x, y). Como en la figura 2,85 consta de tres partes: S1, correspondiente a z = f1(x, y); S2, correspondiente a z = f2(x, y); y la superficie lateral S3, que puede ser vacIa. En 53, cos y cos 900 = 0, de modo que podemos ignorar su contribución. Además, por el probLema 22 de La sección 16.6 y el Teorema 17.5A,
n
z=f2(x,y)
n
ffPcosyds =
ffP(xYf2(x,y))dxdy R
z=f(x,y) y
El resultado al que hemos hecho referencia supone que el vector normal n apunta hacia arriba. Por lo tanto, al aplicarlo a s1, donde n es una normal inferior (figura 2), debemos cambiar de signo.
R
ffcos y dS
= _ff P(x, y, f1(x, y))dx dy
Figura 2
Esto implica que
ffcos y dS
=
ff[P(x, y, f2(x, y)) f2(x,y)
a
P(x, y, f1(x, y))] dx dy
1
=ff[ Idzldxdy j ,) 8Z
R
=
f/f
JJJ
0z
dV
S
El resultado que hemos demostrado se extiende fácilmente a regiones dadas como uniones finitas del tipo considerado. Omitiremos los detalLes. EJEMPLO 1 x2 + y2 + z2
(b)
Verifique elTeorema de Gauss para F = xi + yj a2 }
fff div F dV. S
+ zk y S
= ((x, y, z):
F n dS y
calculando de manera independiente (a) as
tz
(0,2,3)
yz3k a través de y
(1,2,0)
Figura 3
n la cara x = 1, n = 1, y F de modo que
= x2y
l2y = y,
f3f2 If // F n dS = / / y dy dz = 6. Con cálculos similares podemos JoJo
JJ
x=1
completar La siguiente tabla:
Ca ra
n
Fn
i
y
-i
0
00
j
2xz
9/2
-2xz
-9/2
k
27y
54 54
-k
0
00
ffF.nds cara
x=1 x=0 y=2 y=0
z=3 z=O
j
66
119922
AsI,
F ndS = 6 + 0 + - - - + 54 + 0 = 60
as
as
S
flf2f3 (2xy + 3yz2) dz dy dx =JJJ =
EJEMPLO 3 EJEMPLO
11
flf2 (6xy + 27y) dy dx JJ
54)dx = [6x2 + 54x] = 60
U
Sea S ci cilindro sOlido acotado por x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3, y sea n
el vector normal unitario exterior a La frontera 3S (figura 4). Si F = (x3 + tan yz)i + (y3 - e)j - (3z + x3)k, determine el flujo de F a través de 8S.
ff
ladificultad dificultadpara paraevaluar evaluar ff F n dS en forma directa. Sin emImagine la Solución Imagine Figura 4
bargo,
as
762
CAPiTULO 17
Cálculo vectorial
divF = 3x2 +
3y2
+ 3 = 3(X2 +
y2
+ 1)
y asI, por el Teorema de Gauss y un cambio a coordenadas cilIndricas,
ffF. ndS = 3fff (x2 + y2 + 1)dv as
S
=
3fff(r2 + 1)rdzdrdO 9ff(r3 + r)dr dO
9/Jo
6d0=lO8ir
Extensiones y aplicaciones Hasta ahora hemos supuesto de manera implIcita que el sólido S no tiene agujeros en su interior y que su frontera aS consta de una superficie conexa. De hecho, el Teorema de Gauss es válido para un sólido con agujeros, como un pedazo de queso suizo, siempre que n apunte hacia fuera del interior del solido. Por ejemplo, sea S la capa só!ida entre dos esferas concéntricas con centro en el origen. El Teorema de Gauss se puede aplicar, siempre que reconozcamos que ahora 0S consta de dos superficies (una superficie exterior, donde n apunta hacia fuera del origen y una superficie interior, donde n apunta hacia ci origen.) EJEMPLO 4
Sea S el sólido determinado por x2
1
+
y2
+
z2
y sea F = xi + (2y + z)i + (z + x2)i. Evalüe
Jf F n Solución
JfF.ndS
=
ffJdivFdV
=
f/f(l + 2+ 1)dV ll2ir
4[(23) -
.
Recuerde de La sección 17.1 que el campo gravitacional F debido a una masa puntual M en el origen tiene la forma
Az
Masa puntual M
3
Superficie ÔS
F(x, y, z) =
n
Normales unitarios exteriores
cM
r
donde r = xi + yj + zk y c es una constante. SeaS una region sólida que contiene unamasa puntual M cone! origen en su ulterior y con el campo correspondiente F = cMr/r3. Muestre que el flujo de F a través de 0S es 4-cM, independientemente de la forma de S. EJEMPLO 5
as0
Figura 5
Solución Como F es discontinuo en el origen, ci Teorema de Gauss no se aplica directamente. Sin embargo, imaginemos que hemos quitado a S una pequefla esfera sólida Sa con centro en el origen y radio a, quedando un sólido W con frontera exterior 3S y frontera interior as (figura 5). Al aplicar el Teorema de Gauss a W, obtenemos
Teorema de Ia divergencia de Gauss 763
SECCION 17.6
ffF.nds + ffF.nds = ffF.nds aW
=
fffdivFdV
Pero div F = 0, lo que es fácil de comprobar (problema 21 de la sección 17.1), y entonces
f/F
ndS =
_JfF. ndS
En la superficie 3Sa, n = r/r y r = a. En consecuencia,
ffF.nds =-ff( as
cM3)
.
rJ
,
asa
=
_cMff rr dS aSa
=
ff-dS as
.
(4n-a) = 4'n-cM
Podemos extender el resultado del ejemplo 5 a! caso en que un sólido S contiene k masas puntuales M1, M2.....Mk en su interior. El resultado, que se conoce como ley de Gauss, da el flujo de F a través de as como ffF
ndS
4c(Mi + M2 +
+ Mk)
as
Por Oltimo, la ley de Gauss se puede extender a un cuerpo B con una masa de tamaño M distribuida continuamente en partes pequeflas y aproximar estas partes por masas puntuales. El resultado es
ff F ndS = as
para cualquier region s que contenga a B.
Repaso de conceptos Los Teoremas de Green, Gauss y Stokes relacionan una intede S, que se denota gral sobre S con otra integral sobre la
Otra forma de establecer el Teorema de Gauss es decir que el
flujo de F a través de la frontera de S es igual a fff
dV.
S
En particular, el Teorema de Gauss dice que
fffdivFdv s
=
ff as
dS.
Una consecuencia del Teorema de Gauss es que la del campo gravitacional debido a una masa M a través de Ia frontera de cualquier sólido S que contenga a M es 4rcM; es decir, es indede S. pendiente de
Cálculo vectorial
764 CAPITULO 17
Conjunto de problemas 17.6 En los probiemas 1-JO, use ci Teorema de Ia divergencia de Gauss pa-
F n dS.
ra caicular
F = x2i;Seselcuboo
(as
x
1,0
1,0
y
z
1. 1.
F = (x + z)i + (y + x)j + (z + y)k;Seseltetraedroforma-
F(x, y, z) = zi + xj + yk; S es el hemisferio
-
o
F = x2i + y2j + z2k;Seslabola(x - 2)2 + y2 + z2
do en ei primer octante por el plano 3x + 4y + 2z = 12.
- y2.
F
o
y
F(x, y, z) = xi + 2yj + 3zk; S es el cubo 0 1,0 z 1.
x
a,0
F(x, y, z) = x2yzi + xy2zj + xyz2k; S es la caja 0 b,0 z c.
z2
9.
x
1,
x31 + y3j + z3k; S es como en Ia parte (a).
F
(xi + yj)ln(x2 + y2); S es el cilindro sólido x2 + y2
0
z
4,
2.
16. Calcule ff F ndS.Encadacaso,r = xi + yj + zk.
F(x, y, z) = 3xi - 2yj + 4zk; S es la bola x2 + y2 + F = r/r3;Seslabo1a (x - 2)2 + y2 + z2
F(x, y, z) = x2i + y2j + z2k; S es el sólido parabólico 0
z < 4 - x2 - y2.
F
F(x, y, z) (x2 + cos yz)i + (y - ez)j + (z2 + x2)k; S es el sólido acotado por x2 + y2 = 4, x + z = 2, z = 0.
F(x, y, z) = (x + z2)i + (y - z2)j + xk; S es el sólido 0
y2 + z2
1,0
x
2.
F(x, y, z) = x2i + y2j + z2 k; S es el sólido encerrado por 4, x = 0, y 0, z = 0.
x+y+z shell 9 1
F = r/r3; S es la bola x2 + y2 + z2
r/r2; S es como en la parte (b).
F = f(r)r, f es cualquier función escalar; S es como en el inciso (b). F = r"r, n 0; S es la bola x2 + y2 + z2 en coordenadas esféricas).
Lapf
=ffF.nds as
Use el resultado del probiema 11 para verificar la formula para el volumen de un cilindro circular recto de altura h y radio a. Considere el piano ax + by + cz d, donde a, b, c y d son todos positivos. Use ei problema 11 para mostrar que el volumen del
a cos 4
=
v2f
- [ + 32f + - 3x2 ay2
a2f 3z2
Demuestre que
Sea F(x, y, z) = xi + yj + zk y sea S un sólido al que puede aplicarse el Teorema de la divergencia de Gauss. Muestre que el volumen de S está dado por
V(S)
az (p
17. Hemos definido el laplaciano de un campo escalar como
F(x, y, z) = 2xi + 3yj + 4zk; S es la capa esférica sólida x2 + y2 + z2 25.
F(x, y, z) = 2zi + xj + z2k; S es la capa esférica sólida x2 + y2 4,0 z 2.
a2.
ffDnfdS as
=
fff V2f dV 5
En este caso, DJ es la derivada direccional (sección 15.5) en la direcciOn del vector normal unitario n.
18. Suponga que V2f es idénticamente cero en una region S. Muestre que
fffDnfdS = as
fffvf2dv 5
tetraedro formado en el primer octante por este piano es dD/(3\/a2 + b2 + c2), donde D es el area de la parte del piano en
19. Establezca Ia primera identidad de Green
ei primer octante. Sea F un campo vectorial constante. Muestre que
ff F n dS
fff as
Dg dS
=
fff (fV2g + Vf. Vg)dV s
= 0
as
para cualquier sólido "bueno" S. Qué queremos decir con "bueno"?
Calcule ff F n dS para los siguientes. Visto de un lado adecuado, todos son bastante fáciles e incluso algunos son triviales. F = (2x + yz)i + 3yj + z2k; S es Ia bola x2 + y2 + z2 1. F = (x2 + y2 + z2)S/3(xi + yj + zk);Scomoenlaparte(a).
aplicando el Teorema de la divergencia de Gauss a F = fVg. 20. Establezca la segunda identidad de Green:
jj(fDng - gDf)dS =
Respuestas al repaso de conceptos: 3.divF
(fV2g - gV2f)dv
1. frontera; 85 2. F .
ii
SECCION 17.7
1 7.7
Teorema de Stokes
Teorema de Stokes
765
En la sección 17.4 mostramos que La conclusiOn del Teorema de Green se podria escri-
bircomo
FTds = fJ(rot F) kdA
os Figura 1
Como lo establecimos, éste era un Teorema para un conj unto piano S acotado por una curva simple cerrada as. Vamos a generalizar este resultado al caso en que S es una superficie curva en el espacio tridimensional. Esta forma del Teorema se debe a! cientIfico irlandés George Gabriel Stokes (1819-1903). Necesitaremos ciertas restricciones sobre la superficie S. En primer lugar, supondremos que S tiene dos lados, con un normal n unitario que varIa continuamente (al tener un lado, la banda de Möbius de la secciOn 17.5 queda eliminada de nuestro análisis). En segundo lugar, pediremos que Ia frontera as sea una curva simple cerrada suave por partes, orientada de manera consistente con n. Esto significa que, si usted se para cerca de la orilla de la superficie con su cabeza en la dirección n y sus ojos miran en la dirección de la curva, la superficie está a su izquierda (figura 1). Teorema A Teorema de Stokes
Sean S, y n como arriba y suponga que F = Mi + Nj + Pk es un campo vectorial, donde M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en S y su frontera 8S. Si T denota el vector unitario tangente a 3S, entonces
F T ds = ff(rot
F) n dS
S
Ejemplos y aplicaciones La demostración del Teorema de Stokes es más adecuada para un curso de cálculo avanzado. Sin embargo, podemos a! menos comprobar el Teorema en un ejemplo. EJEMPLO 1 Verifique el Teorema de Stokes para F = yi - xj + yzk si 5 es el paraboloide z = x2 + y2 con el cIrculo x2 + y2 = 1, z = 1 como su frontera (figura 2).
z
Solución Podemos describir as mediante las ecuaciones paramétricas
y = sent,
x = cost,
n
z
Entonces dz = 0 y (véase la secciOn 17.2) S
T ds =
dx - x dy =
_f[sen2t Por otro lado, para calcular Figura 2
+ cos2t] dt
ff(rot S
rot F = V x F =
F)
n dS obtenemos primero
ii
k
a
a
a
ax
ay
az
y
Entonces, por el Teorema 17.5B,
f[sen t(sen t) dt - cos t cos t dt]
x
= zi + Oj - 2k
ff(rot F) . ndS =
ff[z(2x)
- O(2y) - 2]dxdy
=
2ff [xz +
=
_2ff [x(x2 + y2) + 1]dxdy
=
_2f
=
_2f[
f [r3cose + 1]rdrdO cosO
+
do = 2
4)2 = 10 por deSea S la parte de La superficie esférica x2 + y2 + (z bajo del piano z = 1, y sea F = yi - xj + yzk. Use el Teorema de Stokes para calcular
EJEMPLO 2
ff(rot F)ndS donde n es ei vector normal unitario hacia arriba.
Solución
Observe que el campo F es el mismo del ejemplo 1 y que S tiene el mismo cIrculo como curva frontera. Conciuimos que
ff(rot
F) n dS =
fF
n ds = 2
S
De hecho, concluimos que eL flujo de rot F es 2ir para todas las superficies S que tienen al cIrculo aS de la figura 2 como su frontera orientada.
EJEMPLO 3
Use el Teorema de Stokes para evaluar
Jc
FTds, donde
F = 2zi + (8x - 3y)j + (3x + y)k y C es la curva triangular de la figura 3. z
(0, 0, 2)
(0, 1,0) y
(1,0,0)
Figura 3
Solución Podemos considerar que S es cualquier superficie con C como frontera orientada, pero podemos aprovechar y eLegir La más sencilla de tales superficies, el trián-
gulo piano T. Para determinar n en este caso, observamos que los vectores
A=(0-1)i+(0-0)j+(2-0)k=i+2k B = (0-1)1 + (1 0)j + (0 0)k
i +j
SECCION 17.7
están en esta superficie y por tanto
Teorema de Stokes 767
ijk
N=AxB= 1 0 2 = 21 - 2j - k
11
0
es perpendicular a ella. El vector normal unitario hacia arriba n es entonces 11=
2i+2j+k V4+4+1
2. 2. --i+j+k j 3
Además, k
j
rot F =
a
a
ax 2z
ay
= i - j + 8k
az
8x-3y 3x+y
y rot F n = . Concluimos que T ds =
ff(rot
F)
n dS =
(area de T) =
() = 4
EJEMPLO 4 Sea Fel campo vectorial y D la region que satisfacen las hipótesis delTeorema 17.3C. Muestre que si rot F = 0 en D, entonces F es conservativo ahI.
Solución
El análisis de la sección 17.3 nos permite concluir que basta mostrar que
F dr = 0 para cualquier trayectoria simple cerrada C en D. Sea S una superficie que tiene a C como su frontera y que está orientada de manera consistente con C (podemos usar el hecho de que D es simplemente conexo para garantizar la existencia de tal superficie). Entonces, por el Teorema de Stokes,
F.Tds=ff(rot F)ndS=0
JF. dr =
.
S
lnterpretación ilsica del rotacional
En Ia secciOn 17.4 ofrecimos una interpretaciOn del rotacional. Ahora podemos ampliar ese análisis. Sea C un cIrculo de radio a con centro en el punto P. Entonces
Tds se llama la circulación de F en torno de C y mide la tendencia de un fluido con camp0 de velocidad F a circular en tomb de C. Ahora, si F es continuo y C es muy pequeno, el Teorema de Stokes implica
T ds =
ff(rot
F)
n dS
[rot F(P)] n(a2)
S
La expresión de Ia derecha tendrá magnitud maxima si n tiene la misma direcciOn que rot F(P). Suponga que una pequena rueda con paletas se coloca en ci fluido con centro en P y eje con dirección n (figura 4). Esta rueda girará más rapidamente si n tiene la dirección de rot F. La dirección del giro será determinada por la regla de la mano derecha.
768
CAPiTULO 17
Cálculo vectorial
Repaso de conceptos El Teorema de Stokes en el espacio tridimensional dice que bajo hipótesis adecuadas,
fF
T dS
dS. En este
ff
=
tiene al cortar una banda cilindrica comiin, dándole medio giro y pegándola de nuevo.
caso, S es una superficie y aS es su frontera.
El Teorema de Stokes implica que para todas las superficies con dos lados y Ia misma frontera as obtenemos el mismo valor para
Una de estas hipótesis es que S tenga dos lados. Un ejemplo importante de una superficie con un lado es Ia que se ob-
Una rueda con paletas con centro en P e inmersa en un fluido con campo de velocidad F girar más rápidamente en torno de P Si 11 tiene la dirección de
Conjunto de problemas 17.7 En los problemas 1-6, use el Teorema de Stokes para calcular
ff(rot F).ndS 1. F = x2i + y2j + z2k;
z = V'i - x2
-
S es el y2 y n es el vector normal superior.
hemisferio
F = xyi + yzj + xzk; S es la superficie triangular con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (0,2, 1) y n es el vector normal superior. F = (y + z)i + (x2 + z2)j + yk; 5 es la mitad del cilindro z = \/1 - x2 entre y = 0 y y = 1 y ii es el vector normal superior.
F = xz2i + x3j + cos xzk; S es la parte del elipsoide x2 + y2 + 3z2 = 1 por debajo del plano xy y n es el vector normal inferior.
=
!!0t F) . (gi - gj + k)dA
donde n es el vector hacia arriba normal a S y S es la proyecciOn de S en el plano xy.
14. Sean F = x2i - 2xyj + yz2k y as Ia frontera de la superficie z = xy, 0 x 1,0 < y 1, orientada en sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba. Use elTeorema de Stokes y el
F Tds.
problema 13 para evaluar as
15. Sean F = 21 + xzj + z3k y as la frontera de la superficie z = xy2, 0
x
1,0
y
1, orientada en sentido contrario al de las
manecillas del reloj visto desde arriba. EvalOe
F . T ds. Jas
F = yzi + 3xzj + z2k;
S
es
la
x2 + y2 + z2 = 16 por debajo del plano z = exterior.
parte
de la esfera n es el vector normal
F = (z - y)i + (z + x)j - (x + y)k;Ses la parte del paraboloide z = 1 - y2 por arriba del piano xy y n es el vector normal hacia arriba.
En los problemas 7-12, use el Teorema de Stokes para calcular
Jc
Jf(rot F) . ndS
Tds.
F = 2zi + xj + 3yk; C es la elipse dada como Ia intersecciOn del plano z = x y el cilindro x2 + = 4, orientado en el sentido de las manecillas del reloj visto desde arriba.
F = yi + zj + xk; C es Ia curva triangular con vertices (0, 0,0), (2,0,0) y (0,2,2) orientado en sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba.
F = (y - x)i + (x - z)j + (x - y)k; C es Ia frontera del piano x + 2y + z = 2 en el primer octante, orientado en el sentido de
16. Sean F = 2i + xzj + z3k y as la frontera de la superficie z = x2y2,x2 + y2- a2, orientada en sentido contrario al de las maneas
17. Sean F = 2zi + + 2yk y as Ia intersección del cilindro x2 + y2 = ay con el hemisferio z = V'a2 - x2 - y2, a > 0. Suponga que las distancias están dadas en metros y la fuerza en newtons, y calcule el trabajo realizado por Ia fuerza F al mover un objeto en tomb de as en sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba.
18. Una fuerza central es aquella de la forma F = f(r)r, donde f tiene una derivada continua (excepto posiblemente en = 0). Muestre que el trabajo realizado por tal fuerza al mover un objeto en tomb de una trayectoria cerrada que no pasa por el origen es igual a cero.
19. Sea S una esfera sOlida (o cualquier sólido encerrado por una superficie S "buena"). Muestre que
If (rot F).ndS=0
las manecillas del reloj visto desde arriba.
F = y(x2 + y2)i - x(x2 + y2)j; C es la trayectoria rectangu-
larde (0,0,0) a (1,0,0) a (1,1,1) a (0,1,1) a (0,0,0). F = (z - y)i + yj + xk; C es la intersección del cilindro x2 + y2 = x con la esfera x2 + y2 + z2 = 1, orientado en sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba.
F Tds.
cillas del reloj visto desde arriba. EvalOe
as
Usando el Teorema de Stokes. Usando el Teorema de Gauss. Sugerencia: Muestre que div(rot
F) = 0. 20. Muestre que
(fVg) Tds =
F = (y - z)i + (z - x)j + (x - y)k;Ceslaelipsedadacomo la intersección del plano x + z = 1 y el cilindro x2 + y2 = 1,
ff(vf X Vg) ndS
orientado en el sentido de las manecillas del reloj visto desde arriba. Suponga que la superficie S está determinada por Ia formula z = g(x, y). Muestre que la integral de superficie en el Teorema de Stokes se puede escribir como una integral doble de Ia siguiente manera:
Respuestas al repaso de conceptos: MObius 3.
ff(rot
F) . n dS 4. rot F
1. (rot F) n 2. banda de
SECCION 17.8
RevisiOn del capItulo 769
17.8 Revision del capItulo Examen de conceptos
(b)
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
[xydx + zcosxdy + zdz;Cesla curvax
z
sen t, 0
Un fIsico podrIa estar interesado en rot(grad f) y grad(rot F).
Si f tiene segundas derivadas parciales continuas, entonces rot (grad f) = 0. El trabajo realizado por un campo de fuerzas conservativo a! mover un objeto en torno de una trayectoria cerrada es cero. Si
[F(r) dr
= 0 para cada trayectoria cerrada en un conjun-
Jc
to abierto y conexo D, entonces existe una función f tal que Vf = F en D. El campo F(x, y, z) = (2x + 2y)i + 2xj + yz2k es conservativo. El Teorema de Green es válido para una region s con un agujero, siempre que toda la frontera de S está orientada en forma correcta. La integral doble es un caso particular de una integral de superficie.
Una superficie siempre tiene dos lados.
Si no hay fuentes ni sumideros en una region, entonces ei flujo neto a través de la frontera de la region es cero. Si S es una esfera con vector normal hacia fuera n y F es un campo vectorial constante, entonces
ff(F. n)dS = 0
t,y
=
cost,
t
Los campos de Ia ley del cuadrado inverso son conservativos. La divergencia de un campo vectorial es otro campo vectorial.
=
Jc
fy2 dx + 2xy dy es independiente de Ia trayecto-
Muestre que
na, y use esto para calcular la integral en cualquier trayectoria de (0,0) a (1,2). Calcule el trabajo realizado por F = y2i + 2xyj al mover un objeto de (1, 1) a (3,4) (véase el problema 6). EvalOe (véase el problema 4b) [(1 I
4)
(yz - ex) dx + (xy + eY) dy + xy dz
J(0,0,0)
9. EvalOe 56xydx + (x2 + y2)dysi C es la trayectoria cuadrada de (0,0) a (1,0) a (1, 1) a (0,1) a (0,0);
C es la trayectoria triangular de (0, 0) a (2, 0) a (2, 1) a (0,0): C es el cIrculo x2 + y2 = 1 recorrido en el sentido de las manecihas del reloj.
10. Calcule el flujo de F = xi + yj a través de la curva cuadrada C
con vertices (1, 1), (-1, 1), (-1, 1) y (1, 1); es decir, calcule
.1 F nds. 11. Calcule el flujo de F = xi + yj + 3k a través de la esfera x2 + y2 + z2 =
1.
12. EvalOe ff xyz dS, donde G es la parte del plano z
x + y so-
G
bre la regiOn triangular con vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 2,0).
Problemas de examen muestra 1. Bosqueje una muestra de vectores del campo vectorial
13. EvalOe ff (rot F)
2 Determine div F, rot F, grad(div F) y div(rot F) si F(x, 2xyzi -
.
n dS, donde
G
F(x. y) = xi ± 2yj. z) =
i
F
3y2j + 2y2zk.
(xyz\
x3yi + &'j + ztan,
41
k
3. En el problema 20, secciOn 17.1, mostramos que
rot(fF) = f(rot F) + Vf >< F y en el problema 17, sección 17.3, vimos que
rot(Vf) =
0
14 EvalUe
ff F n dS, donde G
F =
Use estos hechos para mostrar que
rot(fVf)
y G es Ia parte de la esfera x2 + y2 + z2 2 sobre el piano z = 1 y n es :l vector normal unitario hacia arriba.
= 0
4. Determine una función f que satisface (2xy + y)i + (x2 + x + cosy)j; Vf Vf = (yz - e)i + (xz + eY)j + xyk.
senxi + (1 - cosx)yj + 4zk
y G es la superficie cerrada acotada por z"/9 - x2 - y2 , y z 0 con vector normal unitario exterior n. 15. Sea C el cIrculo dado como ia intersección del piano ax + by + z = 0 (a 0, b 0) y Ia esfera x2 + y2 + z2 = 9. Para yi - xj + 3yk, evaltIe F
5. EvalOe:
(a)
f(i - y2)ds; C es el cuarto de cIrculo de (0, 1) a (1,0), con centro en el origen.
Tds Sugerencia: Use el Teorema de Stokes.
IPHOYECTO DE TECNOLOGIA 17.1 I
I
L
I
Integrales de Ilnea y trabajo I. Preparación
II. Uso de Ia tecnologIa
Una noción importante asociada con las integrales de lInea es independencia de Ia trayectoria; es decir, al ir del punto A al punto B, importa la trayectoria? Si la aplicación es Ia longitud de arco, por ejemplo, la respuesta evidente es afirmativa; asI, parece un poco sorprendente que en muchos problemas con integrales de ilnea la respuesta es negativa. El asunto de la independencia de la trayectoria es particularmente importante en las aplicaciones que implican al trabajo, ya que con frecuencia se quiere minimizar la cantidad de trabajo, energIa, etc., asociada con una tarea dada.
Ejercicio 2
Ejercicio 1 Suponga que quiere lievar un bote de A(O, 0) a B(2, 1) y que Ia primera observación es que Ia fuerza del viento generaimente actUa en contra. Usted estudiará ci efecto de considerar varias trayectorias de A a B. Suponga que las fuerzas de viento tienen componentes negativos, lo que indica que
ci viento se opone a la dirección de la trayectoria. El trabajo realizado por el viento será entonces negativo. El trabajo que usted realiza para contrarrestar al viento es el negativo del trabajo realizado por el viento. En todo este proyecto, suponga que el agua no tiene fricciOn, de modo que el ünico trabajo rea-
lizado consiste en contrarrestar el efecto del viento. Si la fuerza del viento es F = bj, donde a > 0 y b > 0, caicule ci trabajo realizado a lo largo de ia trayecto-
ai -
na recta entre A y B (véase figura 1). A continuaciOn, calcule ci trabajo rca-
lizado a lo largo de una segunda trayecto-
na (de A a B) de su
B(2,1)
,Importa aqul cuál trayectoria elecciOn. A(O,O)
se
use?
Figura 1
Debido al efecto de la ensenada a la que está entrando, ia aeYj, donde a > 0. Dc fuerza del viento es F = nuevo, calcule ci trabajo a lo iargo de las dos trayectorias, como en la parte (a). ,Importa aqul la trayectoria? Ahora, sea F ai - aeYj, para c > 0. Calcule ci trabajo W a lo largo de Ia trayectonia lineal de A a B y muestre que
ai -
Use su tecnoiogIa para graficar los campos vectoriales para las funciones de fuerza F = ai - aeYj y F =
ai - ae_Y+j.
Ejercicio 3 Una pregunta importante en varios campos de aplicaciOn es la siguiente. i,Existe una trayectoria optima (por ejemplo, para minimizar ci trabajo)? En tal caso, i,cuál es? Usted expiorará estos temas con respecto de Ia fuerza de viento aeY+xj del ejercicio 2. En este ejercicio, usted F= considerará algunas trayectonias nuevas de A(0, 0) a B(2, 1). En particular, considere la familia de trayectonias parabOlicas
ai -
x(t) = 2t,
1 - e2 1 - 2c
Para c = 0, su resuitado debe coincidir con ia parte (b). (d) Ahora, una pequefla sorpresa. Para la fuerza de Ia parte (c), calcule ci trabajo a lo largo de Ia trayectoria con segmentos de recta que va hasta (0, 1) y luego a (2, 1). Explique por qué no se tiene independencia de ia trayectonia para esta fuerza.
770
0
Si la trayectoria parabólica debe ir de (0,0) a (2, 1), muestre que /3 debe ser iguai a
1+4a 2
Use su tecnologIa para trazar las gráficas paramétricas de las trayectorias parabOlicas para diversos valores de a; en Ia misma ventana de graficacion, trace ci campo vectorial F = ai - aeYj, donde c = 0.1. Muestre que para a > 1, Ia trayectonia se dirige "hacia el norte"; es decir, pasa sobre Ia recta y = 1 antes de ilegar a B(2, 1). j,Qué ocurre cuando a = 0? Ajuste a hasta que Ia trayectoria parezca iiegar al destino final horizontalmente. Demuestre en forma analItica que su conjetura de la parte (c) es correcta. Caicule ahora el trabajo para ir de (0, 0) a (2, 1) a io largo de diversas trayectorias parabóiicas (es decir, al menos cinco). j,Cuál es la situación con respecto de Ia minimización del trabajo cuando no hay restricciones sobre la trayectoria parabOlica? i,Es esto sorprendente de alguna manera? El mismO pnoblema de ia parte (c), excepto que ahora se tiene la restricción de que Ia trayectonia no puede diriginse "hacia ci forte" debido a ia costa (véase Ia figura 2). Existe una trayectonia optima en este caso. i,Cuál es?
=-
W= 2+
y(t) = 2t(/3 - 2at),
. B(2,1) A(O 0)
Figura 2
(h) Hasta ahora hemos supuesto que a> 0. i,Qué ocurre para a <0, en ci aspecto gráfico y en ci trabajo?
Ejercicio 4 Ahora a (1, 2 'lescrita por
.
asidere la siguiente tra"" =
2t + sen 2irt t2 +
y
para 0
(c) Calculi eli "hajo en esta trayectoria para la fuerza 1j ,Cuál es su relación con el trabajo a F = ai - ae lo largo de las trayectorias parabólicas?
de (0,0)
r
cos'irt
1
-
III. Reflexion
1.
f
Ejercicio 5 ,En qué sentido serIa distinto el problema de los ejercicios y4 si hubiese una fuerza constante debida a Ia fric-
)ar2 trtzar una gráfica ramé ca paJa curva y UA L impo vectorial F = ai - ae -y- ° LIia. Ca1c ile- la kongitu Li de a,c de ta trayeco
Use- sL'ite cno] g'a S.'
ción, n'ie a siemnre la misma sin importar Ia dirección de movimient
:
I . PR'YECTI E TECNSLIA 17.2 a
Superl:'
r
'
a
:
[
ki
I
'S.
I
FA
'U ire...meLriza'as .'
I. Pre..'pari non
s t b. Hernos supuesto que x(t) y y(t) (f don Hemos VISLO que las cur'iais en el tilano sc ii ieden exj resar como (x(t:), y)), Lte vimos cómo esta idea se podia ilevar a ier n LJ. rn a simultánea Posteriorn r ii ( 'i ,e anu "1E Ln co v y" ' an dierenciables y rue 4 s b, donde x'(t), y'(t) y z'(t) no se anui '(t 1,j va como (x(t. v(t) cur las ,'urvas del espacio tridime.son, xprsando : ))' i rr arámetro. uLLaLi1a, 'v'v y t e e a de p-arauëtric -a ltán. sta .a reprsentaciOn .. s im lan en rrn& j,QL O(!irre Si hay 00! S paráPtros, con r. s 1' '
!'
1
s DI' i L) escriba y U squ je estos con LjJfltO"1 .d1t os C
:jercii..0 ¶)
y, =t,
z= 0,
V. = I,
z
=
el e' racic ti idirnen S1L na1:
1
P
donde0s2, d
1,
=at),
x=(c,l'I,
0
3,
st
b, ctd
dnndea
=Z(s,t),
Z
c:
donde.s3, 0st1
z: s+t
La repiresta
onL'1-
/C ti shre 1s _._t_ funciones x(s, t), y(s, t) y z(s, t). 3c,__ es un a sipei-t..iciee n e' esj Icio t111mensiona1 bajo condficiones rLJuab1e :
II. Us.;r) th Ejercicio 2
tecn:IogIa
I
Use su sisema de algebra por con ripi jtau or x
-n i os t,
i
rficie paramétrica oar titraz ar L.a sr1e.
z=
= se c se
dondL 0 - s
OSS,
0
k'n-/8,
2'n-
"gráfc ts1 liquee1efectodelparámetros. 0i! as och, kaga iina .rnrnacio:i ) pos.. a ihle,ii. parak = 1,2,..., U.Fser ' pw ainétrica Jse i.' sistema d. álgeh,r 'or coniipii.tadcSra, ar traar la supeicie Ejercicic 3 I
LL
1
X = eijSC,.os t,
y -. sen s
n t,
z -= cc>s. ,
-uncoiia ias o' '- k, haga ma aiiaciólj para k = 1,2, ... & De er posto] .
Ejer&1co :1
4 Us
donde 0
s
ir,
0
t
kir/4
o gáfic s. Explique el efecto del parámetro t.
a iin iadora pa. arrar t. .zl' .eii' ie paramétrica
u sis .ema de algebra ior comii1
x-eu,
z = sent,
y = cosssent
r' d i arn,:jirdc obtene algo narcido al cilinro ie1 Ust'u derá .
-
LC
11 fib
0ss
2ii-,
0
t
2ir
r' 771
Figura 1
Ejercicio 5
El area de una superficie definida en forma paramétrica
x
x(s, t),
y
y(s, t),
z = z(s, t),
(s, t) ER
se puede calcular a partir de la formula
(ayaz
(2)
1/
as
at
azay2 as
at)
as at
axaz"
(axay
as atj
as at
---dA
as at)
Use esta formula para calcular el area de la superficie del cilindro aplastado del ejercicio 4. Ejercicio 6
Use Ia fOrmula en (2) para calcular el area de la superficie de una esfera de radio r.
Ejercicio 7 Suponga que ci cilindro aplastado se cubre en La parte superior y Ia inferior con tapas planas. Calcle c volumen total encerrado por esta superficie. Sugerencia: Puede hacer esto mediante una sola integral simple. Considere sOlo'. ia m itad superior de la regiOn. Para una altura fija z, tenemos x = sen s, y = z cos x. LCuál es la forma de la secciOn transversal a una altura de z? i,Cuál es el area de la sección transversal?
Ejercicio 8 El cilindro aplastado es un ejemplo de superficie que se corta a si misma, aunque esta intersección tiene una forma más bien sencilla. Trace la superficie dada en forma paramétrica como
x = senscost,
y =
senssent,
z =
cost
Observe que las ecuaciones pararnétricas son casi las mismas que para la esfera, pero La superficie es totalment di ;tiu a. Esta superficie tiene un patron complicado de auto-intersección. Examine esta superficie desde varios puntos de vi ;ay t exp.Iiqiue cómo se corta a si misma.
III. Reflexión Ejercicio 9
Explique por qué la gráfica de las ecuaciones paramétricas
x = sens cost,
y = sen s sen t,
z = cos 5,
dondeO s s
0
2ir
es una esfera. Sugerencia: Haga referencia a las coordenadas esféricas. Ejercicio 10
Deduzca la ecuación (2). Sugerencia: Haga una partición de la region R, determine los vectores Jy v los lados de los paralelogramos sobre ci rectangulo Rk, calcule el producto cruz e integre.
772
forman 1ue_...
CAP
TU
1
0
18
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones lineales homogeneas 18.2 Ecuaciones no homogéneas 18.3 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden 18.4 RevisiOn del capItulo Proyecto de tecnologIa 18.1 Cuerda vibrante Proyecto de tecnologIa 18.2 Retratos fase 18.1
I 18.1
Ecuaciones lineales homogéneas
Liamaremos a una ecuación que implica una o más derivadas de una funciOn incOgnita una ecuación diferencial. En particular, una ecuación de la forma
F(x, y,
(l),
(2)y(fl))
0
en donde (k) denota la k-ésima derivada de y con respecto de x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Algunos ejemplos de orden 1,2 y 3 son
y' + 2senx = 0 d2y
dy
dx2
+3x dx
d3y
(dy\2
2y=O
+1 \\dxj dx3
Si a! sustituir f(x) en vez de y en La ecuación diferencial, la ecuación resultante es una identidad para cada x en algOn intervalo, entonces f(x) es una solución de la ecuación diferencial. AsI, f(x) = 2 cos x + 10 es una solución de y' + 2 sen x = 0, pues
f'(x) + 2senx
2senx + 2senx = 0
para cada x. Decimos que 2 cos x + C es la solución general de Ia ecuaciOn dada, pues se puede mostrar que cada soluciOn se puede escribir de esta forma. En contraste, 2 cos x + 10 es una solución particular de La ecuación. Las ecuaciones diferenciales ya hablan aparecido en este libro, principalmente en tres secciones. En la sección 5.2 presentamos la técnica lLamada separación de variables y La usamos para resolver una amplia gama de ecuaciones de primer orden. En la see-
774 Cphuto 18
Ecuaciones diferenciales
ción 7.5 resolvimos Ia ecuaciOn diferencial y' = ky del crecimiento y decaimiento exponencial, y en la sección 7.6 estudiamos las eduaciones diferenciales lineales de primer orden y algunas de sus aplicaciones. En este capItulo solo consideraremos las eduaciones diferenciales lineales de orden n, es decir, las eduaciones de Ia forma y(fl) + a1(x)y(1) + + a(x)y' + a(x)y = k(x)
donde n 2. (Observe que y y todas sus derivadas aparecen elevadas a la primera p0tencia.) Esta es una ecuación lineal debido a que, al escribirla con notación de operador, [D + a1(x)D1 + + ai(x)D + a(x)]y = k(x) entonces el operador entre corchetes es un operador lineal. AsI, si L denota este operador y si y g son funciones y c es constante, entonces
f
L(f + g)
=
L(f) + L(g)
L(cf) = cL(f) L obtiene estas propiedades de las propiedades correspondientes para los operadores de derivada D, D1, D2.....D. Por supuesto, no todas las ecuaciones diferenciales son lineales. Muchas ecuaciones diferenciales importantes, como dy + y2 = 0 dx son no lineales. La presencia del exponente 2 en y basta para eliminar la linealidad, como usted podrá comprobar. La teorIa de eduaciones diferenciales no lineales es cornpleja y fascinante, pero es mejor dejarla para cursos más avanzados.
Ecuaciones lineales de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal de
segundo orden tiene la forma
y" + a1(x)y' + a2(x)y = k(x) En esta secciOn usamos dos hipótesis para simplificar nuestro análisis: (1) a1(x) y a2(x) son constantes, y (2) k(x) es idénticamente nula. AsI, nuestra tarea inicial consiste en resolver
y"+a1y'+a2y=0 Una ecuaciOn diferencial para Ia que k(x) = 0 es hornogénea. Para resolver una ecuaciOn de primer orden, debIamos hacer una integración, lo que llevó a una soluciOn general con una constante arbitraria. Por analogIa, es de esperar que al resolver una eduación de segundo orden se necesiten dos integraciones y que la solución general tenga dos constantes arbitrarias. Nuestra corazonada es correcta. Dc hecho, una ecuaciOn diferencial lineal homogénea de segundo orden siempre tiene dos soluciones fundarnentales u1(x) y u2(x), que son independientes entre 51 (es decir, ninguna de las funciones es un rnliltiplo de la otra). Por la linealidad del operador D2 + a1D + a2, C1u1(x) + C2u2(x) también es una soluciOn. Además, se puede mostrar que cada soluciOn tiene esta forma.
La ecuaciOn auxiliar Corno Dx(ex) = re', parece probable que e' sea una soluciOn de nuestra ecuaciOn diferencial para una elecciOn adecuada de r. Para verificar esta posibilidad, primero escribimos la ecuaciOn en la forma de operador
(D2+a1D+a2)y=o Ahora,
(D2 + a1D + a2)e
= D2(erx)
=
+ a1D(e') + a2e
r2 erx + a1 rerx + a2 eTx
= erx(r2
+ a1r + a2)
La ültima expresiOn se anula, siempre que
r2 + a1r + a2 = 0
Ecuaciones lineales homogéneas 775
SECCION 18.1
La ecuaciOn (2) es la ecuación auxiliar para (1) (note la forma similar). Es una ecuaciOn cuadrática comün y se puede resolver por factorización, o, en caso necesario, median-
te la formula cuadrática. Hay que considerar tres casos: si la ecuación auxiliar tiene dos ralces reales distintas, una sola raIz repetida o dos raIces complejas conjugadas. Teorema A
Ralces reales distintas
Si r1 y r2 son ralces reales distintas de la ecuación auxiliar, entonces Ta solución ge-
neral de y" +
y' + a2y = 0 es y = Cienlx +
C2er2x
Determine la solución general de y" + 7y' + l2y
EJEMPLO 1
Solución
a1
0.
La ecuaciOn auxiliar
r2+7r+12=(r+3)(r+4)0 tiene dos raIces reales, 3 y 4. Como e_3x y e_4x son soluciones independientes, la solución general de la ecuación diferencial es y
EJEMPLO 2
C1 e3 + C2 e_4-'
-y
Determine la soluciOn de y" -
0 que satisface y(0)
0y
y'(0) = Solución La ecuación auxiliarr2 - 2r - 1 = 0 se resuelve más fácilmente mediante la fOrmula cuadrática,
_b±Vb2_4ac
r
2a
=
2+4+4
1+V2
2
La soluciOn general de la ecuación diferencial es entonces +V)x + C2 e( -\)x C1 e(' y
La condición y(0) = 0 implica que C2 = C1. Entonces
- c1(i -
c1(i + de modo que
2=y'(0)=C1(1+)Ci(1)2CiV Concluimos que
C1
y
I
-
y
Todo está bien si Ia ecuación auxiliar tiene raIces reales distintas. (,Pero qué ocurre si tiene la siguiente forma?
r2 - 2r1r + r
- r1)
0
Entonces nuestro método produce una sola solución fundamental e' X y debemos haliar otra soluciOn independiente de ésta.Tal solución es xe1x, como veremos ahora. (D2 - 2r1 D + r)xer1 X = Dl(xerl x) - 2r1 D(xenl
x)
+ r xenl
(xr er X + 2r1 en1 x) - 2r1(xr1 en x + en x) + r xer
=0 Teorema B
Lina sola raIz repetida
Si Ta eduación auxiliar tiene una sola raIz repetida r1, entonces Ia solución general
dey" + a1y' + a2y = Oes = Ciet1x + C2xe'"
776 CAP1TULO 18
Ecuaciones diferenciales
Considere la ecuación diferencial de segundo orden y" + a1y' + a2
Solución
- 6y' + 9y
Resuelva y"
EJEMPLO 3
= 0.
La eduación auxiliar tiene a 3 como raIz repetida. AsI, C1e3-' + C2xe3x
y
0
con ecuaciOn auxiliar r2 + a1 r + a2 = 0
Por ültimo, consideremos el caso en que la eduación auxiliar tiene raIces complejas conjugadas. La sencilla ecuaciOn
La ültima ecuaciOn puede tener dos raIces reales r1 y r2 o dos ralces complejas a + f3i.
(D2 + /32)y = 0
con ecuaciOn auxiliar r2 + /32 = 0 y raIces +13i nos da una pista. Es fácil ver que sus soluciones fundamentales son sen f3x y cos /3x. Usted puede verificar mediante una denvaciOn directa que la solución general es como sigue.
Ralces
SoluciOn de a ecuación diferencial
r1
y = C1e'1
r! = r2
y = CienIx + C2xe
Teorema C
c±
y = C1ecosf3x + C2e senf3x
Si la ecuación auxiliar tiene raIces complejas conjugadas a ±
f3i
+ C2er2x
RaIces complejas conjugadas f3i,
entonce La solu-
ción general de y" + a1y' + a2y = 0 es y = C1 e EJEMPLO 4
Resuelva y"
cos 13x +
- 4y' + l3y
C2 e'--
sen f3x
= 0.
Solución Las raIces de la ecuaciOn auxiliar r2 - 4r + 13 = 0 son 2 ± 3i. Por tanto, Ia solución general es y
C1e2xcos3x + C2e2-sen3x
Ecuaciones de orden superior Todo lo que hemos hecho se extiende a eduaciones lineales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes. Para resolver y(n)
+ a1y(1) +
+ a_ly' + any
= 0
calculamos las raIces de la ecuaciOn auxiliar
r'+ar++a r+a =0 nI n
1
y hacemos las generalizaciones obvias al caso de segundo orden. Por ejemplo, si la ecuaciOn auxiliar es 7
\1 ir - r2) [r - (a +/31)j[r - rl)r
(a /3z)j
1
= 0
la soluciOn general de la ecuaciOn diferencial es y = C1 er
EJEMPLO 5
So!ución
x + (c2 +
Resuelva
C3 x
+
d4y
d3y
dx4
dx3
C4 x2)er2x
- 20
d2y dx2
+ e[C5 cos /3x +
C6
sen px]
= 0.
La ecuación auxiliar es
r4r3-20r2=r2(r-5)(r+4)=0 con raIces 4, 5 y una raIz doble en 0. Por tanto, Ia soluciOn general es
y= C1 + C2x+ C3e5x+ C4e4x
.
SECCION 18.1
Ecuaciones lineales homogeneas 777
Repaso de conceptos La ecuaciOn auxiliar correspondiente a la ecuación diferencial (D2 + a1 D + a2)y = 0 es Esta ecuación puede tener dos raIces reales, una sola raIz repetida, o La solución genera! de (D2 - l)y = 0 es y =
La
solución
genera!
de
(D2
-
2D + l)y
0
es
La solución general de (D2 + l)y = 0 es y =
Conjunto de problemas 18.1 En los problemas 1-16, resuelva cada ecuación diferencial.
l.y"-Sy'+6y=O
22. Muestre que !a sustituciOn x = e transforma !a ecuaciOn de
= O;y = O,y' = 4enx = 0
y" + 6y' -
21. Resuelva x2y" + 5xy' + 4y = 0 haciendo primero !a sustitución x = ez.
Euler ax2y" + bxy' + cy = 0 en una ecuación !ineal homogenea con coeficientes constantes.
y" - 3y' - lOy = O;y = l,y' = lOenx = 0 y" - 4y' + 4y = 0
y" + by' + 25y = 0
y" - 4y' + y
24. Muestre que si a ± f3i son raIces comp!ejas conjugadas de La ecuación auxiliar, entonces y = C1 e cos f3x + C2e" sen /.3x es una so!ucióndey" + a1y' + a2y = 0.
0
=0
y" + 6y' -
2enx = O,y = 3enx
y" + 4y = O;y
23. Muestre que si r1 y r2 son ralces reales distintas de !a ecuaciOn auxiliar,entonces y = C1 enIx + C2er2 es una solución de y" + a1y' + a2y = 0.
y" + 9y = O;y = 3,y' = 3enx
IT/3
25. Recuerde que !os nümeros comp!ejos tienen la forma a + bi, donde a y b son rea!es. Estos nümeros se comportan de manera simi!ar a los nUmeros rea!es, agregando que i2 = -1. Muestre Jo siguiente:
= cos b + i sen b Sugerencia: Use Ia serie de Mac!aurin para e", cos u y sen u.
y" + 2y' + 2y = 0
et1
y" + y' + y = 0
De(c+!3o)x = (a + f3i)e(c+I3o)x
(4)
(4)
+ 3y" - 4y" = 0
= e"(cosb + isenb)
26. Sean a ± /3i !as raIces de la ecuación auxiliar r2 + a1r +
a2 = 0. El problema 25c implica que, como en el caso rea!, y = c1e(P1)x + c2e(_P1)x satisface (D2 + a1D + a2)y = 0. Mues-
- y=0
(D + 3D2 - 4))) = 0
tre que esta so!ución se puede escribir como
y = C1e"'cos/3x + C2eax sen /3x
16.[(D2+1)(D2_D_6)]y=0 17. Resuelva y" -
= 0 y exprese su respuesta en términos de !as funciones hiperbólicas cosh y senh.
18. Muestre que la solución de
d2y dx2
dy
-2b dx -c2y=0
se puede escribir como
y = ebx(Di coshVb + c2 x + D2 senhbL + c2 x) 19. Resuelva (4) + 2y(3) + 3y" + 2y' + y = 0. Sugerencia: Muestre primero que La ecuación auxiliar es (r2 + r + 1)2 = 0.
20. Resuelva y" - 2y' + 2y = 0 y exprese su respuesta en Ia forma cev sen (f3x + y). Sugerencia: Sean sen y = C1/c y cos y = C2/c, donde c = + C.
dando otro punto de vista de! Teorema C. CASI Use tin sistema de algebra par computadora para resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
27. y" - 4y' - 6y = 0; y(0) = 1, y'(0) = 2 28. y" + Sy' + 6.25y
0; y(0) = 2, y'(0) = -1.5
29. 2y" + y' + 2y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1.25
30. 3y" - 2y' + y
0; y(0) = 2.5, y'(0)
-1.5
Respuestas de repaso de conceptos: 1. r2 + ar + a2 = 0; ralces comp!ejas conjugadas 2. C1 e + C2ex
3.(C1 + C2x)ex
4. C1cosx + C2senx
778
CAPITULO 18
Ecuaciones diferenciales
18.2
Considere la ecuación lineal no homogénea general con coeficientes constantes,
Ecuaciones
no homogéneas
y(fl) + a1y(1) +
+ ay' + ay = k(x)
La solución de esta ecuación se puede reducir a tres pasos:
Determinar la solución general
C1u1(x) + C2u2(x) +
Yh
+ Cu(x)
de la ecuación hornogénea, corno se describe en la sección 18.1.
Hallar una solución particular y de la ecuación no homogénea. Sumar las soluciones de los pasos 1 y 2.
Establecemos el resultado de manera formal.
TeoremaA Si y es cualquier solución particular de la ecuación no homogenea
L(y) = (D + a1D"1 +
+ aD + a)y = k(x)
y si Yh es la solución general de Ia ecuación homogénea correspondiente, entonces
YYP+Yh es la solución general de (1).
Demostración La linealidad del operador L es el elemento dave de la demostración. Sean y y Yh segUn lo descrito. Entonces
L(y + y entonces y
y+
Yh
Yh) =
L(y) + L(yh) = k(x) + 0
es una solución de (1).
RecIprocamente, sea y cualquier solución de (1). Entonces
L(y
de modo que y -
-
L(y) - L(y)
k(x) - k(x)
0
es una solución de la ecuación homogénea. En consecuencia,
y + (y -
se puede escribir como y más una soluciOn de la ecuaciOn homogénea, como querIamos mostrar. y
Ahora aplicaremos este resultado a las ecuaciones de segundo orden.
El método de coeficientes indeterminados Los resultados de la secciOn anterior nos muestran cOmo obtener La soluciOn general de una ecuaciOn homogénea. El trabajo consiste en hallar una soluciOn particular de la ecuaciOn no homogenea. Un método para encontrar tal solución, el método de coeficientes indeterminados, implica establecer una conjetura acerca de la forma de y,, dada la forma de k(x). Se puede ver que las funciones k (x) más susceptibles que aparecen en las aplicaciones son los polinomios, las exponenciales, los senos y Los cosenos. Para estas funciones, presentaremos un procedimiento para encontrar
con base en soluciones de
prueba. Si k(x) =
Trate con y,, =
b,f1++b1x+b0
Bmx++Btx+Bo
be
Be
b cos f3x + c sen /3x
B cos f3x + C sen J3x
ModificaciOn: Si un término de k(x) es una soluciOn de Ia ecuaciOn homogénea, multiplique la soluciOn de prueba por x (o tal vez por una potencia mayor de x).
en seis casos. Para ilustrar Ia tabla, sugerimos la soLución de prueba adecuada Los tres primeros son directos; los tres ültimos son modificaciones debido a que un término del lado derecho de la ecuación diferencial aparece en La solución de la ecuación homogénea.
SECCION 18.2
1.y"-3y'-4y=3x2+2
-
y" -
Ecuaciones no homogeneas 779
y=B2x2+B1x+B0
= e2x
= Be2x
y" + 4y = 2 sen x
y
4.y"+2y'=3x2+2
B cos x + C sen x
y=B2x3+B1x2+B0x
(2 es una soluciOn de la ecuación homogenea) = e4x Bxe4x y" (e4-' es una soluciOn de la ecuación homogenea) y" + 4y sen 2x y,, = Bx cos 2x + Cx sen 2x (sen 2x es una solución de la ecuaciOn homogénea)
-
A continuación desarrollamos los detalles en cuatro ejemplos especIficos.
Resuelva y" + y'
EJEMPLO 1
-
= 2x2 - lOx + 3.
Solución La ecuaciOn auxiliar r2 + r Yh
2 = 0 tiene raIces 2 y 1, de modo que
= C1e_2x + C2ex
Para determinar una solución particular de la ecuación no homogenea, tratamos con
= Ax2 + Bx + C Al sustituir esta expresiOn en la ecuación diferencial tenemos
2A+(2Ax+B)_2(Ax2+Bx+C)=2x2_lOx+3 Al igualar los coeficientes de x2, x y 1, obtenemos
2A=2,
2A-2B=-10, oA = 1,B = 4yC = .Portanto
2A+B-2C=3
y = x2 + 4x y
y = x2 + 4x Resuelva y"
EJEMPLO 2
-
-
i2 + Cie_2x + C2ex
.
= 8e3x.
Solución Como la ecuación auxiliar r2 - 2r - 3 = 0 tiene raIces 1 y 3, tenemos Yh = C1e_x + C2e3x
Observe que k(x) 8e3v es una soluciOn de la ecuación homogénea. AsI, usamos la solución de prueba modificada = Bxe3x
Al sustituir
en Ia ecuación diferencial tenemos
(Bxe3x)" - 2(Bxe3x)' - 3Bxe3x = 8e3x 0
(9xBe3x + 6Be3x) - 2(3Bxe3x + Be3-) - 3Bxe3x
8e3'
o finalmente, 4Be3x = 8e3x
Concluimos que B = 2 y y = 2xe3x + C1 e_' + C2 e3-' Si 3 hubiese sido una raIz doble de la ecuación auxiliar en el ejemplo 2, hubiéramos usado Bx2e3x como so!uciOn de prueba.
780 CAP1TULO 18
Ecuaciones diferenciales
Solución
= cos2x.
Resuelva y" - 2y' -
EJEMPLO 3
La ecuaciOn homogenea coincide con la del ejemplo 2, de modo que C1e-1 + C2e3x
Yh
Como solución de prueba y usamos
= B cos 2x + C sen 2x Ahora,
Dy,,, = 2B sen 2x + 2C cos 2x D2 y,,,
4B cos 2x - 4C sen 2x
Por tanto, al sustituir y en Ia ecuación diferencial tenemos (después de agrupar términos)
(-7B - 4C)cos2x + (4B - 7C)sen2x = cos2x AsI, 7B - 4C
1 y 4B - 7C
0, lo que implica que B
7/65 y C = 4/65. Con-
cluimos que
cos2x -
y=
.
8e3x + cos2x.
Resuelva y" - 2y' -
EJEMPLO 4
Solución
sen2x + Cie_x + C2e3x
Al combinar los resultados de los ejemplos 2 y 3 y usar la linealidad del
operador D2 - 2D - 3, obtenemos
y = 2xe3x -
cos 2x -
sen 2x + C1 e_x + C2 elX
El método de variación de parámetros
.
Un método más general que el de coeficientes indeterminados es el método de variación de parámetros. Si u1(x) y u2(x) son soluciones independientes de la eduación homogénea, entonces se puede mostrar (véase el problema 23) que existe una soluciOn particular de la ecuación no homogénea, de la forma v -'p
V 1 (x)u1(x)
+ v2(x)u2(x)
donde v'1u1
+ v'2u2 = 0
vu + vu = k(x) Ahora mostraremos cómo funciona este método en un ejemplo. EJEMPLO 5
Solución
Determine la solución general de y" + y = sec x.
La solución general de la ecuación homogénea es Yh =
C1cosx + C2senx
Para hallar una solución particular de la ecuaciOn no homogénea, hacemos
y = v1(x)cosx + v2(x)senx e imponemos las condiciones
vcosx + vsenx = 0 vsenx + vcosx = secx
SECCION 18.2
Ecuaciones no homogeneas 781
Al resolver este sistema de eduaciones en términos de v'1 y v'2, obtenemos v'1
-tan x
y v'2 = 1. AsI,
f(_tanx)dx
v1(x)
v2(x)
=
lncosx
f dx = x
(Podemos omitir las constantes arbitrarias en las integraciones anteriores, pues nos siryen cualesquiera dos soluciones v1 y v2.) Por tanto, una soluciOn particular es
= (lncosx)cosx + xsenx lo que podemos verificar fácilmente sustituyendo directamente en Ia ecuaciOn diferencial original. Concluimos que y
(lncosx)cosx + xsenx + C1cosx + C2senx
.
Repaso de conceptos La solución general de una ecuación no homogenea tiene la y Yh es la solución general de
El método de coeficientes indeterminados sugiere intentar con una solución particular de la forma y
6 tiene la soAsI, después de observar que y" - y' lución particular y = -6, concluimos que la solución general es
El método de coeficientes indeterminados sugiere intentar con una soluciOn particular de la forma y
y=
para y" - y' -
forma y = y + y11, donde y es una
para y" - y' -
x2.
= C3x.
Conjunto de problemas 18.2 En los problemas 1-16, use ci método de coeficientes indeterminados pa-
21. y" - 3y' + 2y =
ra resolver cada ecuación diferencial.
1. y" - 9y = x
2. y" + y' -
3.y"-2y'+y=x2+x
4.y"+y'=4x
5. y" - 5y' + 6y = Cx 7. y" + 4y' + 3y = e_3x
6. y" + 6y' + 9y
9. y" - y' -
= 2 sen x
= 2x2
22. y" - Sy' +
Sea L(y) = y" + by' + cy = 0 con soluciones u1 y u2, y
2c
L(y)
v1(u + bu1- cui) + v2(u + bu + cu2)
8. y" + 2y' + 2y = 3e_2x
+ b(vçu1 + vu2) + (vu1 + vu2)' + (vu + v'u)
10. y" + 4y' = cos x
2 cos 2x
12. y" + 9y
13. y" + 9y
sen x + e2x
14. y" + yl = e-' + 3x
y" - 5y' + 6y 2ex;y = l,y' = Osix y" - 4y 4senx;y 4,y' = Osix = 0
sen 3x
AsI, silas condiciones del método de variaciOn de parámetros son válidas,
L(y1,) = (v)(0) + (v2)(0) + (b)(0) + 0+ k(x) = k(x)
0
En los problemas 17-22, resuelva cada ecuación diferencial por variación de parámetros.
19. y" + y = csc x cot x
1
sea y = v1u1 + v2u2. Muestre que
11. y" + 4y
y" - 3y' + 2y = 5x + 2
Cx
18. y" - 4y = 20. y" + y = cot x
Resuelva y" + 4y = sen3 x
Respuestas de repaso de conceptos: la
1. solución particular de
ecuación no homogénea; ecuaciOn homogénea 2. -6 +
C1e2- + C2e3x 3. y = Ax2 + Bx + C 4. y = Bxe3-
782
CAPITULO 18
Ecuaciones diferenciales
18.3
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden
Muchos problemas de la fIsica conducen a ecuaciones diferenciales lineales de Segundo orden. Primero consideramos el problema de un resorte vibrante con diversas hipótesis. Luego regresaremos y generalizaremos una aplicación anterior a los circuitos eléctricos.
Un resorte vibrante (movimiento armOnico simple) Considere un resorte con el peso de un objeto A y que cuelga en forma vertical de un soporte, como en La figura la. Queremos considerar el movimiento del punto P si el resorte se jala y0 unidades por debajo de su posición de equiLibrio (figura ib) con una veLocidad inicial v0. Supondremos que La fricciOn es despreciable. De acuerdo con La Ley de Hooke, La fuerza F que tiende a ilevar a P a su posición de equilibrio en y 0 satisface F = ky, donde k es una constante que depende de Las caracterIsticas del resorte y y es la coordenada y de P. Pero por La segunda Ley de Newma (w/g)a, donde w es el peso del objeto A, a es La aceLeración de P y g ton, F es La constante de aceLeración debida a La gravedad (g = 32 pies por segundo por segundo). AsI,
wui2y g dt2 (a)
(b)
Figura 1
=ky
k>0
es la ecuación diferencial del movimiento. La soLución y debe satisfacer las condiciones iniciales y(0) v0, donde y0 y v0 son La posición y La velocidad miy0 y y'(0) ciales, respectivamente. Si B2 kg/w k/rn, entonces esta eduación asume La forma d2
dt2
Movimiento armónico simple
+ B2y
0
y tiene la soLución general
y = C1cosBt + C2senBt Las condiciones y = y0 y y' = v0 en t = 0 determinan Las constantes C1 y C2. Si el objeto se libera con una velocidad inicial nula, entonces C1 y0 y C2 = 0. AsI, Periodo =
Figura 2
y
y0cosBt
Decimos que el resorte ejecuta un movimiento armónico simple con amplitud y0 y periodo 2ir/B (figura 2). EJEMPLO 1 Cuando un objeto que pesa 5 libras se sujeta a La parte inferior P de un resorte que cuelga verticalmente, el resorte se extiende 6 puLgadas. EL peso de 5 Libras se reemplaza por un peso de 20 libras y se permite que el sistema liegue al equilibrio. Si eL peso de 20 libras se jala ahora hacia abajo otros 2 pies y luego se le Libera, describa el movimiento del punto inferior P del resorte.
Solución
La primera afirmaciOn del ejemplo nos permite determinar la constante del resorte. Por La Ley de Hooke, F = ks, donde s es La cantidad en pies en que se ha estirado el resorte, de modo que 5 k(), o k 10. Ahora colocamos el origen en el punto de equiLibrio después de colocar el peso de 20 Libras. La deducción anterior a es-
te ejemplo muestra que y = cos Bt. En nuestro caso, y0 = 2 y B2 = kg/w = (10)(32)/20 = 16.Concluimosque 2cos4t y El movimiento de P es armOnico simple, con periodo y amplitud 2 pies. Es decir, P oscila hacia arriba y hacia abajo 2 pies por debajo de 0 hasta 2 pies arriba de 0 y luego hasta 2 pies debajo de 0 cada ir 1.57 segundos.
VibraCiones amortiguadas Hasta ahora hemos supuesto una situaciOn simplificada, donde no hay fricción en el resorte o debida a La resistencia del aire. Podemos tomar en cuenta La fricción suponiendo La existencia de una fuerza de retardo proporcional a Ia velocidad dy/cit. La ecuación diferencial que describe el movimiento asume entonces la forma
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden 783
SECCION 18.3
wd2y g dt2 qg/w y B2
Al hacer E
dy
ky
k>0,q>0
kg/w, esta ecuación se puede escribir como d2y dt2
dy
+ E-dt+ B2y
0
una ecuación a La que podemos aplicar los métodos de la secciOn 18.1. La ecuaciOn auxiliar para esta ecuaciOn diferencial lineal de segundo orden es r2 + Er + B2 0, de modo que las ralces son 2
±
- 4B2
2
Debemos considerar los casos en que E2 - 4B2 es negativo, cero o positivo.
-+
\/4B - E2 E2 - 4B2 < 0 En este caso, las raIces son complejas: r a ± /3i. Observe que a y /3 serán ambos positivos. La solución general de la ecua-
Caso 1:
ción diferenciaL es entonces
e'(C1cospt + C2senf3t)
y
que se puede escribir en La forma (véase e! problema 15) y
Ae' sen (f3t + y)
El factor et, ilamado factor de amortiguamiento, hace que La amplitud del movimiento tienda a cero cuando t (figura 3a).
Iy
1y
(a)
(c)
(b)
Figura 3 aso 2: E2 - 4B2 = 0 En este caso, la eduación auxiliar tiene la dobLe raIz a y la solución genera! de la ecuación diferencial es
y = C2 e' + C2 tet El rnovirniento descrito por esta ecuación se llama crIticamente arnortiguado.
E2 - 4B2> 0 Las ecuaciones auxiLiares tiene ralces genera! de !a ecuaciOn diferencia! es Caso 3:
y
y a2 y La solución
C1 e' + C2 e2l
Describe un movimiento ilamado sobreamortiguado. Las gráficas de Los casos crIticamente amortiguado y sobreamortiguado cruzan el eje t a lo más una vez y pueden parecerse a las figuras 3b y 3c. EJEMPLO 2 Si se impone una fuerza de amortiguamiento con q = 0.2 sobre el sistema del ejemplo 1, determine !a ecuación de movimiento.
Solución E
qg/w
(0.2)(32)/20 = 0.32 y B2
que debemos resolver
d2y dt2
+ 0.32
dy + l6y = 0 dt
(10)(32)/20
16, de modo
784
CAPITULO 18
Ecuaciones diferenciales
0 tiene raIces r = 0.16 + \/15.9744i
La ecuación auxiliar r2 + 0.32r + 16 0.16 ± 4i, y entonces
e_0161(C1 cos 4t + C2 sen 4t)
y
0 en t
Al imponer las condiciones y = 2 y y'
0, vemos que C1 = 2 y
C2 = 0.08. En consecuencia,
e°16'(2cos4t + 0.08 sen4t)
y
U
Circuitos eléctricos
/v R
()
Considere un cirduito (figura 4) con una resistencia (R ohms), un inductor (L henrios) y un condensador (C farads)en serie, con una fuente de fuerza electromotriz que proporciona E(t) voltios. La nueva caracterIstica, en cornparaciOn con los cirduitos de la sección 7.6 es la presencia de un condensador. En este caso, la icy de Kirchhoff dice que la carga Q sobre el condensador, medida en coulombs, satisface
Figura 4
L
(1)
d2Q dt2
+R
dQ di'
+-QE(t) C 1
La corriente I dQ/dt, medida en amperes, satisface la ecuación obtenida al derivar Ia ecuación (1) con respecto de t; es decir,
LdI + RdI + 11 di' C
(2)
dt2
= E'(t)
Cualquiera de estas ecuaciones se puede resolver mediante los métodos de las secciones 18.1 y 18.2.
Determine la carga Q y la corriente I como funciones del tiempo ten un cirduito RCL (figura 4), si R = 16, L = 0.02, C 2 X 10 y E = 12. Suponga que EJEMPLO 3
Q = 0 e I = 0 en t = 0 (cuando el interruptor está cerrado).
Solución Por la ley de Kirchhoff expresada en la ecuación (1), d2Q dt2
+ 800
dQ di'
+ 250 000Q = 600
La ecuación auxiliar tiene raIces
800 ± \/640,000 - 1,000,000 2
400 ± 300i
de modo que
Qh = e_4001(C1 cos 300t + C2 sen 3001') Por inspección, una solución particular es 2.4 x 10. Por tanto, La solución general es Q = 2.4 X i0 + e4001(C1 cos 300t + C2 sen 300t)
Al imponer las condiciones iniciales dadas, vernos que C1 = 2.4 X 10 C2 = 3.2 X i0. Concluimos que Q = 10-[2.4 - e_400'(2.4cos300t + 3.2sen300t)] y, al derivar, tenemos que
dQ
= di'
= 2e4°°' sen300t
y
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden 785
SECCION 18.3
Repaso de conceptos Un resorte que vibra sin fricciOn obedecerá una ley de movimiento como y = 3 cos 2t. Decimos que realiza un movimiento armóy periodo nico simple con amplitud
Un resorte que vibra con fricción obedecerá una icy de movimiento como y = 3e°1 cos 2t, liamado movimiento armónico amortiguado. El "periodo" sigue siendo a! aumentar el tiempo. plitud
, pero ahora la am-
Si la fricción es muy grande, la ley de movimiento asumirá la forma y = 3e°1 + te01', ci caso crIticamentc amortiguado, donde al avanzar el tiempo. y va decayendo lentamente a
Conjunto de problemas 18.3
r
Un resorte con una constante de resorte k de 250 newtons/metro se carga con una masa de 10 kg y se deja que alcance ci equi-
C=2X106F
librio. Luego se eleva 0.1 metros y se libera. Determine la ecuación de movimiento y ci periodo. Desprecie Ia fricción.
E= 1201
Un resorte con una constante de resorte k de 100 libras por pie se carga con una masa de 1 libra y se deja que alcance el equiiibrio. Luego se estira otra pulgada más y se libera. Determine la ecuación de movimiento, la amplitud y el periodo. Desprecie la fricción.
Figura 6
En ci problema 1, ,cuál es ci valor absoluto de la velocidad del peso en movimiento al pasar por la posición de equilibrio?
Un peso de 10 libras estira un resorte 4 pulgadas. Este peso se retira y se reemplaza con un peso de 20 libras, que luego se deja para liegar al equiiibrio. El peso se eleva luego 1 pie y se libera con una velocidad inicial de 2 pies por segundo hacia abajo. /,Cuál es la ecuación de movimiento? Desprecie la fricción. Un resorte con una constante de resorte k de 20 libras por pie se carga con una masa de 10 libras y se deja que alcance el equilibrio. Luego se despiaza 1 pie hacia abajo y se libera. Si el peso experimenta una fuerza de retardo en libras, igual a un décimo de su velocidad, determine la ecuación de movimiento. Determine ci movimiento del problema 5 si la fuerza de retardo es igual a cuatro veces su velocidad en cada punto.
satisface una ecua-
La icy de Kirchhoff dice que un ciOn diferencial lineal de segundo orden.
sen 377t
)
12. Use la figura 7 para determinar la corriente como función dci tiempo si ci condensador no tiene carga inicialmente y S cstá ccrrado en t = 0. Sugerencia: La corriente en t = 0 scrá igual a 0, pues Ia corriente que pasa por un inductor no puede cambiar en forma instantánea.
L=102H
E=20V
C=10-7F
Figura 7 13. Use Ia figura 8 para determinar ia corriente de estado estacionario como función dcl tiempo; es decir, determine una formula oc). para I quc sea váiida cuando t sea muy grande (t
En el problerna 5, cuánto tiempo tardarán en disminuir las oscilaciones hasta un décimo de su amplitud original?
R = 1000
En ci probiema 5, ,cuái será la ecuación de movimiento si el L = 3.5 H
peso recibe una velocidad hacia arriba de 1 pie por segundo al momen-
to de liberarlo? Use la figura 5 para determinar la carga Q sobre el condensador en función del tiempo si S cstá cerrado en t = 0. Suponga que ci condensador no tiene carga inicialmente.
1.
-
IT
C=2
X 106 F
Figura 8
14. Suponga que un resorte no amortiguado ueda sujeto a una fuerza periódica externa, de modo que su ecuaciOn diferencial tiene ia forma
R= 1O2 r
E = 120 sen 377t
1
d2 y S.
C= 10F
E=IV L
Figura 5
Determine la corriente I en funciOn del tiempo en ci problema 9, si el condensador tiene una carga inicial de 4 couiombs. Use la figura 6. Determine Q como funciOn del tiempo. Suponga que el condensador no tiene carga inicialmente. Determine I como función del tiempo.
dt2
c>0
+B2y=csenAt
Mucstre quc ia ccuaciOn de movimiento para A y = C1 cos Bt + C2 sen Bt +
C
B2
A2
es
sen At
Resuciva la ccuación diferenciai cuando A = B (ci caso con resonancia). /,Qué ocurre con ia ampiitud dci movimicnto en ia partc (b) cuanoc? do t 15. Muestre que C1 cos f3t + C2 sen /3t sc puede escribir en Ia + c, sen forma Ascn(/3t + y). Sugerencia: Sean A = y = C1/Aycosy = C2/A.
786
CAPiTULO 18
Ecuaciones diferenciales
Muestre que el movimiento de la parte (a) del problema 14 es periódico si B/A es racional.
La ecuación deducida en el problema 17 no es lineal, pero para 0 pequefla se acostumbra aproximar mediante la ecuación
Consulte Ia figura 9, donde aparece el peso de un péndulo, con masa m, soportado por un alambre sin peso de longitud L. Deduzca Ia ecuación de movimiento; es decir, deduzca la ecuaciOn diferencial satisfecha por 0. Sugerencia: Use el hecho (sección 13.5) de que el cornponente tangencial escalar de la aceleración es d2sldt2 , donde s mide Ia longitud de arco en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
d20 dt2
--0 =0 L
En este caso, g = GM/R2, donde G es una constante universal, M es la masa de la Tierra y R es la distancia del péndulo al centro de la Tierra. Se colocan dos relojes con péndulos de longitud L1 y L2 a las distancias R1 y R2 al centro de la Tierra, y con periodos p1 y p2, respectivarnente. Muestre que
Pi P2
=
R1\/7 R2\/L2
Determine la altura de una montana, si en un reloj que mantiene la hora exacta al nivel del mar (R = 3960 millas) con L = 81 pulgadas, se reduce la longitud de su péndulo hasta L = 80.85 pul-
gadas para mantener Ia hora exacta en la cima de la montana. mg
Respuestas de repaso de conceptos: 3. 0 4. circuito eléctrico
1. 3; ir 2. i-; disminuye
Figura 9
18.4 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con cierto o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
1. y" + y2
0 es una ecuación diferencial lineal.
2. y" + x2y
y" + 4y' + 4y 3ex 7. y" + 4y' + 4y = e_2x y" + 4y = 0; y = 0, y' = 2 cuando x = 0 y" + 6y' + 25y = 0 10. y" + y sec x tan x 11. y" + 2y" - 8y' = 0 12. (4) - 3y" - lOy = 0 (4) 13. - 4y" + 4y = 0 6.
0 es una ecuación diferencial lineal.
3. y = tan x + sec x es una solución de 2y' - y2 = 1.
4. La solución general de [D2 + aD + b]3y = 0 debe implicar ocho constantes arbitrarias. 5. D2 es un operador lineal. 6. Si u1(x) y u2(x) son dos soluciones de y" + a1 y' + a2y = f(x), entonces C1u1(x) + C2u2(x) también es una solución.
7. La solución general de y" + 3y" + 3y' + y = 0 es y =
C1e_x + C2xe_x + C3x2e_x.
8. Si u1(x) y u2(x) son soluciones de Ia ecuación diferencial lineal L(y) = f(x), entonces u1(x) - u2(x) es soluciOn de L(y) 0.
9. La ecuaciOn y" + 9y = 2 sen 3x tiene una solución particular de Ia forma y B sen 3x + C cos 3x. 10. Una expresion de la forma C1 cos 18t + C2 sen t se puede escribir siempre en la forma A sen(f3t + y).
14. Suponga que se introduce glucosa al flujo sanguIneo de un paciente a razOn de 3 gramos/minuto, pero el cuerpo del paciente convierte y elimina glucosa de su sangre a una razón proporcional a la cantidad presente (con constante de proporcionalidad 0.02). Si Q(t) es la
cantidad presente en el instante t y Q(0) = 120, escriba Ia ecuación diferencial para Q; resuelva esta ecuaciOn diferencial; determine lo que ocurre con Q a largo plazo. 15. Un resorte con una constante de resorte k de 5 libras/pie se carga con una masa de 10 libras y se deja que alcance el equilibrio. Luego se eleva 1 pie y se libera. ,Cuáles son la ecuación de movimiento, la amplitud y el periodo? Desprecie la fricción. 16. En el problema 15, cuál es el valor absoluto de Ia velocidad del peso en movirniento cuando pasa por la posición de equilibrio? 17. Suponga que el interruptor del circuito de la figura 10 est cerrado en t = 0. Determine I como función del tiempo si C no tiene carga inicialmente. (La corriente en t = 0 será igual a cero, pues la co-
rriente que pasa por un inductor no puede cambiar en forma instantánea.
Problemas de examen muestra
R=2
En los pro blemas 1-13, resuelva cada ecuación diferencial.
d2y
dx
2
+
dy
ax
= e Sugerencia: Sea u = dy/dx. L= 1 H
y" - y = 0 y" - 3y' + 2y = 0, y = 0, y' = 3 cuando x = 0
4.4y"+l2y'+9y=0
5.y"_y=l
E=
lv
Figura 10
C= -F
L PRVECTO I
I
I
b
j
I
r TECNL'(A 181 I..
I
I
g
a
C j' 'rda vibrante:
I.
r iuerza nertiu IamiI..ntej - (dy,Idr uia de at........u e .de.=; 's th, una fuerza T)roporcior. LI 1ave1OLi(1 t ay/l", U). lk.,ganio a ia ecuac: in diferenci
Preparación
-
I
ciiup nga que UI1 obji L' "01 nasa ir peso w = mg se suje n ri1' de resorte k. - Si no hay una fuer t a a ml resorte con coustaLe
21 ;a ue amortiguarniento, Ia ecuación diferencaI que control2. elI
+
comportamiento ul sisema masa-resorte es d2 y/dt2 +
I = O,donde B = Vk/ni ='\t./kg/wasoIuciondee-
B
cuaciOn diferencial es y = C cos Bt
La
V=
U don"e E = q/m = 1g/.i. a w G E2 4 B2-< 0, las ralces de ± /3i,v1. t5fl y es ia soLui
C2 sen Bt.
Ia ecuaciOn auxiliar so flI: ..
Determine las constantes C: Y
F.:Jercicio 1
2de modo que
solución y satisfaga las condiciones iniciales y(0) = y
1.1 IC-
y=Asen(B1
(1)
I 1or dl :imo. si E2
y)
races negativas,
Sugerencia: Comience con (1) y desarrolle usando Ia :egla de Ia suma para Ia función seno. Luego iguale con La soluciór (t) para obtener C1 y C7.
tient una do-
EI' Ia soiui.ión ye
a
+c
=L
anulan. Ia a iplitud no es tan 'vidente. Mue 1re que La s lu'iOn se puede escribir en La forma
.
.' ir a'..'xili,.
hi r afza,donde L:e
fá :il determinar Ia amplitud de hi vibración. Cuando ambas se L. -
-
= 0, entow es Ia' ecuad
Si F
Cuando uiia de las constarUes C1 o C2 Sc anula, es
,
: st + L.._2se npt)
y =
'
= v0. Ejc rcjcjo 2
U
4B2 > 0, [a ecuaciór duxilial iiene du y a2, y Ia soljción U es
yC1e au + Cprcicio 4 Repita las tres ?artes del e,ercici' D 3 suponien-J do que ci objeto experimenta i ia fuc rza de amort'guai rilento en newtons, igual a un quinto de La velocidad. Determire i' grafique Ia ecuaciOn ne movimiento. El
II. Uso de Ia tecnulogIa fllercicio 3 Suponga que colocarnos un objeto de 1 kg et res orte con constante de resort K = 2 Iewtons/metro.
i. ii
Jetermine y grafique Ia ecuación .ie movimiento si desplazamos el objeto 0.05 metros. comprimiendo el resoi e y liberándolo con una velocidad inicial de 0.025 metros/segundu en Ia direcciOn de ecuilibrio.
Repita este ejercicio con m = 2,4,8 y 16 ..omo masa rn.
Repita este ejercicio de nuevo, ..ista ye con ..
1, 'ei
flexión .jercicio 5 Ex'rimente variando la constante de resorte k ci cceficiente de amot tiguamiento q y La masa m. hasta enenc' el efecto '1e cada uno. Luego xplique los efecto
1i rv Je k, q y in sobr el riu"imiei:o resultante del resorte viru
-
raie.
conk = O.5,1.2y4.
I t PRYECTS IE TECMSLSI,A 11.2 i
R
tratsr fase
I. Pntpa ació I Ejercicio'
-1 jeLL r-'lri() I cpfljen do jue -...:esOr jercici.IC) ' .epiia k eL el te tiie ma fuerza Zk i mort'iamen 'I_ to de ..- q ',n d y,"dt, oo 'b Ej ..
Sup ongia 1 coi"oca.mos u &oie Lo de 1 kg 'n u" iii ue ti ei&. col - i ;t-"L ..e de r.'scirte k = 3 ne Vvtons/retrc I L I m '1 iristante t." yoi r rtte) de ui eo Sea y (t) -1 despazamie. 1 ' I im r!. ga q ue nei 1iay uer7a i.e a- mortlbJl ' 'iue
resort-e
1
:
Iutera C eS. 1azamos "1 '" jetej C.' '2 metros.. coiripriimimos el L,
.
1
res )r Le,y k 'Jau T"'iia veloc ida I i. icia1 de ai ., iiietru._. MIseI r un )r gintido en Ia direcciO: , (1e eci ' :qlJjj 11 io. )é ... i.. e' i..eio.i dikfr ..1Lr'ial qi' edL SC' 1) t' Imovimientode1objco. Rc c,i Du.
a La
'ciuauón dif rneLia' eir
'lin vt t) C,
i
". y(t). -s ue m,jflc
i
.
d'
q= 0.25.
.
.
II. Uso de IaI tt- cnnL - .dO9I Ejercidt .1CL ill Para .1 siti"vi
('IlSL
ha -n el e,e_'rcic .i_i_o 1 ( es decir, sin de -
r I 'i haga u1a i.n0rtuami(.1.o,, "r f.,. -ir or. áfica arara-i.-'étrica UI Ii t\ ) ). Ta! rJica es un rerato fase. (y( ), y'
't'
La ,u. d .
se L curvra ri )dC,?
del rirato icY'sC es c er rada? Vuelv: recorre I
1-r' r En tal cso, ,cua1 es 511 pen a. Lgün rnoneitu?
787
Ta tilayc r pat-te de los programas
software no indican la orentaciOn ( es decir, la dirección en que t crece). Describa a or 'a ción de la gráfica paramétrica de la parte (a). p
I lap u
'e jetura acerca de Ia forma de la gráfica en La 'a UI
rt it)
1,
-
Aplique el método de Euler a la ecuac . ni de segundo o den del ejercicio 2 cuan '¼ I'iiaya alrLt rjor iguamiento.
ord er.iadas (y ,, v, ) y compare su grá fica con el retrato tase obtenido en e eircicio 4. Grafique las pak. p
1
e su conjetura.
Ejercicio 4
:'lonu.IaVa. (b)'Va'i el valor de q. (Elija algunos valores menores que 0.25 y oti ')S ma.vores 'tue 0.25, pero tenga cuidado de no elegir c c iasiJuc gn nde, pues el sistema estarIa sobreamortiuauo.) I)se'.:iba el efecto de la cunstante de amortiguamienr.sif, s 0' re La forma del retrato fase.
i ndo una ecuación diferencial de segundo orden no pu de icsol\ru :e . en forma analItica mediante los métodos de critoseneste capItulo, por lo genel debemos basarnos en un r'.aét)aO' 1 ur rico para aproximar la solución. El método de F u1er,c4e: s.rito en la sección 11.5, se puede generalizar a las Iacic.Lesá rn ecL... 'ir
I e ángu 1y La ec" it'n dii. ;e.ncial qt ie describe ngitud L y" = y (véase la figura 9 de la se ciOn 18.3). 1- sta e uación S upe'e que no hay amortiguamieni
Ejercicio 7
(a) 11 ta t..:1111 ;t.,trato fase para la situación descrita en el ejem)lso 3 , cuando haya amortiguamiento. Describa la orienta-
nciales de segundo orden.
ritmo Método de Euler para ecuaciones
Ak
Ejercicio 6
de segundo orden
Par aproximar la solución de la ecuación diferencial y" f(t, y, y') con condiciones iniciales y(t0) = y0 y y'i 0' = v U' eli.ja un tamaflo de paso h y repita los siguientes pa'iSOS para n = 1,2,...:
-
Es esta ecuación lineal o no? I plique.
Aplique el método de Euler jIç .ra a.roxjI1ar Ia so;- i(n cuando y0 = ir/4 y v0 = 0. I
III. Ref Iexiôn Ejercicio 8 La figura 1 es un retrato fase que muestraelr. mor iniciales. vimiento de un pénduio ç)arJ d :versis o.idiciones I
Describa el significado fIsico de Las ctidiciones inicia les y(0) = y0yy'(0) v0si(y0 v0) n 'da uno de Los
tosA,B,CyD. Para cada uno de estos puntos de partida. d esc'nba
minos fisicos el mwim"ro ___1CJ11 posterior- dd )éfldUl;.0. 1.
1
Haga t, = t,1_1 + h.
Haga y = y-1 + hv1. '-Taga , = v,_1 + hf(t_1,y_1,v1).
\
Ejercicio 5
A' 'ique el método de Euler a la ecuaciOn de segundo orde.i del ejercicio 1. (-""4que las parejas ordenadas
H
Este no es un retra-
to fac.e, pues y, y v son solo aproximaciones a y(t,1) y y'(t,,),
respecu vamente. Sin embargo, tal gráfica muestra las estimacjones de (y(t), y'(t)) para nuestra ecuación.
Parec cerrada su gráfica de La parte (b)? Compare esta gráfica con el retrato fase obtenido en el ejercicio 3.
788
(g/L)s. ,t
formado por un pendulo
Figura 1
--/ 7
/
ten-
Apéndice A.1
A.2
A.3
A.1
Inducción matemática
InducciOn matemática Demostración de varios teoremas Teorema A Teorema principal de Ilmites Teorema B Regla de Ia cadena Teorema C Regla de Ia potencia Teorema D LImites vectoriales Una vision retrospectiva
Con frecuencia, en matemáticas nos enfrentamos a la tarea de querer establecer Si una (o tat vez para cada entero cierta proposición P, es verdadera para cada entero n N). He aquI algunos ejemplos: n
1. P:
12
+
22
+
32
+
+ fl2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
2.Q: 21>n+20 3. R,: n2 - n + 41 es primo La proposición P, es verdadera para cada entero positivo, y Q, es verdadera para cada entero mayor o igual a 5 (como mostraremos en breve). La tercera proposición, R, es interesante. Observe que para n = 1, 2, 3,..., los valores de n2 - n + 41 Son 41, 43, 47, 53, 61,... (nOmeros primos hasta este momento). De hecho, obtendremos un nOmero primo para cada n hasta 40; pero en n = 41, la formula proporciona el nOmero compuesto 1681 = (41)(41). Mostrar la verdad de una proposición para 40 casos mdividuales (o 40 millones) puede hacer plausible una proposición, pero ciertamente esto no demuestra que sea verdadera para cada n. El salto entre cualquier nOmero finito de casos y todos los casos es infinitamente grande. ,Qué hay que hacer? Hay un procedimiento para establecer que una proposición sea verdadera para toda n? Una respuesta afirmativa la da el principio de inducción matemática.
790 Apéndice Principio de hijcluirii n matem.. t&tjca
-
Sea {P} una serie'de proposicione ,. :s (enunci dos) que satisfacen esta ciones:
os ondi-
'N es verdadera (por lo gen Ci r' , 1' será 1). La certeza d P, implica la 'ìç racidad de P+1, i
ir . para cada e itero n Entonces P es ye rda d.
N.
No demostraremos este principio; con frecuencia se considera como un axioma, y esperamos que sea evidente. Después de todo, si la primera ficha de dominO cae y Cada ficha golpea a la siguiente, entonces toda La serie de fichas caerá. Nuestro esfuerzo ira dedicado a ilustrar La forma de usar la inducción matemática.
Demuestre que
EJEM PLO 1
P:12+22+32+ +n _n(n+1)(2n+1) 6 2
es verdadera para cada n
1.
'Solución Observamos primero que P1:
12
=
1(1 + 1)(2 + 1) 6
es un enunciado verdadero. En segundo lugar, demostraremos Ia implicación (ii). Comenzamos escribiendo Los enunciados P1 y P11. :
12
+ 22 +
+ i2
i(i + 1)(2i + 1) 6
+: 12+22+...+j2+(i+1)2= (i+ 1)(i+2)(2i+3) 6 Debemos mostrar que P1 implica P, ± 1,de modo que suponemos que P, es verdadera. Entonces el lado izquierdo de P11 se puede escribir como sigue (* indica donde usamos P,):
[12+22+...+i2]+(i+1)2
i(i + 1)(2i + 1) 6
+(i+1)2
=(i+1) 2i2 + i 6+ 6i + 6 =(i+1) 2i2 +67i + 6 (i+ 1)(i+2)(2i+3) 6.
Esta cadena de igualdades conduce a! enunciado P1 + . AsI, La verdad de P1 realmente implica La verdad de P1 + Por el principio de inducción matemática, P,, es verdadera para cada entero positivo n. .
EJEMPLO 2
Demuestre que P: 2 > n + 20 es verdadera para cada entero n
5.
Solución Primero observemos que la proposición 2P5: > 5 + 20 es verdadera. En segundo lugar, supongamos que P1: 21> i + 20 es verdadera y tratemos de deducir a partir de esto que P, + : 2' + 1 > + 1 + 20 es verdadera. Pero 21+1
= 22'
2(i + 20) = 2i + 40> i + 21
Lelda de izquierda a derecha, ésta es la propoSición P1 dadera para n 5.
+
.
ConcLuimos que P,, es
lnducciOn matemática 791
SECCION A.1
EJEMPLO 3 Demuestre que
P: x - y es un factor de x" es verdadera para cada entero n
1.
Solución Trivialmente, x - y es un factor de x - y, de modo que P1 es verdadera. Suponga que x - y es un factor de x' - y'; es decir,
- y1 =
Q(x,y)(x - y)
para algün polinomio Q(x, y). Entonces xi+1
yi+1
=
x'' - x'y + x'y -
=
x(x - y) + y(x' yi) x'(x - y) + yQ(x, y)(x - y) + yQ(x,y)](x - y)
=
lo que muestra a x - y como un factor. AsI, la verdad de P1 realmente implica la verdad de P1 + . Concluimos por el principio de inducción matemática que P,, es verdadera
paracadan
1.
Conjunto de pro blemas A. 1 En los pro blemas 1-8, use elprincipio de inducción matemáticapara demostrar que Ia proposición dada es verdadera para cada entero n 1.
n(n + 1) 2
2.1+3+5++(2n-1)=n2 3.1.2+23+34++n(n+1) 4.12+32+52++(2fl_1)2=
n(n + 1)(n + 2)
En los problemas 21-27, decida para cuáles n es verdadera Ia proposicion dada y luego use inducción matemOtica (tal vez en alguna de las formas alternativas que haya descubierto en los problemas 13-20) para demostrar lo siguiente.
x + y es un factor de x" + y". La suma de las medidas de los angulos internos de un pollgono convexo con n lados (sin agujeros ni dientes) es (n - 2)ir.
3
[2]
El nümero de diagonales de un polIgono convexo con n Ia-
[n(n + 1)12
6. 1+24+34++n4=
1
es verdadera.
3
n(2n - 1)(2n + 1)
i implica que P1 +
P es verdadera y P. verdadera para j
doses
n(n+1)(6n3+9n2+n_1)
n(n - 3) 1
n+1
30
+
1
n+2
+
+...+->2n 3
1
1
n+3
5
n3 - n es divisible entre 6.
n3 + (n + 1) + (n + 2) es divisible entre 9. En los pro blemas 9-12, determine el primer entero Npara el que sea ver-
dadera la proposición para cada n N. sición para cada n
3n + 25 < 3"
10.
N, y luego demuestre la propo-
Sean f0 = 0, f1 1yf +2 Ta sucesión de Fibonacci). Entonces
n - 100 > log10n
nsen x para cada x 12. sen nx 2" En los problemas 13-20, indique Ia conclusiOn sobre P, que puede ex-
fn =
11.
traerse con Ia información dada. P5 es verdadera y P verdadera implica que P1 + 2 es verdadera. P1 ' P2 son verdaderas y P1 verdadera implica que P, + 2 es verdadera. P30 es verdadera y P1 verdadera implica que P1_1 es verdadera.
P30 es verdadera y P1 verdadera implica que P +1 y P, - son verdaderas. P1 es verdadera y P, verdadera implica que P4, y P, son verdaderas. P1 es verdadera y P21 verdadera implica que P2 + es verdadera. P1 y P2 son verdaderas y P1 y P1 verdaderas implican que
P2 es verdadera.
fn +
1
+ f,, para n
(ésta es
1 [(1+" (12
Sean a0 = 0,a1 =
2
)
1 ya2 = (a1 + a)I2 para n
0.En-
tonces a =
2[ 3[1
(
1fl 2)
i,Cuál es el error en el siguiente argumento, que propone mostrar que todas las personas en cualquier conjunto de n personas tienen la misma edad? La afirmación es verdadera para un conjunto que consta de una persona. Suponga que es verdadera para cualquier conjunto de i personas,y considere un conjunto W de i + 1 personas. Podemos pensar W como la union de conjuntos X y Y, cada uno con i personas (por ejemplo, trace una figura cuando W tiene 6 personas). Por hipótesis, cada uno de estos conjuntos consta de personas con la misma edad. Pero X y Y se traslapan (en X fl Y) de modo que todos los elementos de W = X U Y tienen la misma edad.
792 Apéndice
A.2 DemostraciOn de varios teoremas
Teorema A Teorema principal de In Sea n un entero p iLvo, - k una con tanEe ces
vfy
n g fun ciones con iiiiites en c. Entou-
urn k=k X 3C tIm x = C x+ C
urn kf(x) = k tim f(x) x*c -
+ g(x)1 = X--z lIm f() iimf(x) lImIf(x) g(x)1 -
lImlf(x) x*c'-_
k1 I
ii
-
= tIm f(.
urn If(x) xC_ ----- -.
, .
II
-';
limf(x)
f(x) xc g(x)
7. tim
21C g(x)
siempre q ie Jim (x) x pc
in
xiIm[f(.)j = [ifmf(t) Lx-*c j -\/irnf(t)
lImKVf()
X+C
DemostraciOn
sitinpre que IImf(x) > 0 cuando n sea par
Casi al final de la sección 2.6 demostramos las partes 1 a 5, de modo que
deberIamos comenzar con la parte 6. Sin embargo, primero demostraremos un caso particular de la parte 8:
iIm [g(x)]2 = [tIm g(x)]2
xc
Para ver esto, recuerde que hemos dernostrado que tim x2 = c2 (ejemplo 6 de la secxción 2.5), de modo que f(x) = x2 es continua en todas partes. Asi, por el teorema de composición de limites (teorema 2.9E), C
iim[g(x)]2
limf(g(x)) = f[timg(x)] = [iImg(x)]2
Ahora escribimos
f(x)g(x) =
{[f(x) + g(x)]2 - [f(x) - g(x)]2}
y aplicamos las partes 3, 4y 5, más lo que acabamos de demostrar. Se desprende ta parte 6. Para demostrar la parte 7, apticamos el teorema de composición de iImites con
f(x) = lIx y usamos el ejempto 7 de la secciOn 2.5. Entonces urn
1
x*c g(x)
= tim xc f(g(x)) = f(tIm g(x))
Por Uttimo, por la parte 6,
f(x) xc g(x) tim
r
ii
lImlf(x) g(x) j L I
1
lIm g(x) x-
C
1
lIm tImf(x) xc xc g(x)
de donde se sigue ci resuitado. La parte 8 es conseduencia del uso repetido de Ia parte 6 (técnicamente, por inducción matemática). Demostraremos Ia parte 9 sOlo para raIces cuadradas. Sea f(x) = V, que es continua para nürneros positivos, por el ejemplo 4 de La sección 2.5. Por el Teorema de composición de limites, Jim
f(x) g(x)
= Jim
[J\J
que es equivalente al resultado deseado.
1
x-C g(x) ] = lImf(x)
Jim
k-
g(x)
SECCION A.2
Teorema B
DemostraciOn de varios teoremas 793
Rega de Ia cadena
Sigesu 'renciableenay f c s ii erenci
eu
g(i), entonces f
°
g es diferencia-
bk en a y
(f
a) =
g')
j(g(a))g'(a)
Demostración Daremos una demostración que se generaliza con facilidad a dimensiones superiores (véase La sección 15.6).
Por hipótesis, f es diferenciable en b = g(a); es decir, existe un nümero f'(b) tal que lirn
(1)
f(b +
f(b)
u)
= f'(b)
L1u
Definimos una función r que depende de LIu como
(Lu) =
f(b+ Lu) f(b)
f'(b)
Lu
y multipLicamos ambos lados por zXu para obtener
f(b + Lu)
f(b) =
f'(b)u +
u8(Lu)
0 cuando iu -> 0 en (2). La existencia del lImite en (1) es equivalente a que (u) Si en (2) reempLazamos zXu por g(a + zx) - g(a) y b por g(a), obtenemos
f(g(a +
x)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g(a + + [g(a +
x)
x) - g(a)]
g(a)]u)
o bien, al dividir ambos lados entre zIx,
f(g(a + 1x))
f(g(a))
Lx
= f'(g(a))
g(a +
g(a)
x) LIx
g(a + 1x)
g(a)
+ En (3), hagamos iXx iXx
0 impLica que iXu
urn
Es decir, f
0. Como g es diferenciabLe en a, es continua ahI, de modo que 0; esto a su vez impLica que (iXu) -+ 0. Concluimos que
f(g(a))
f(g(a + Ztx °
= f(g(a))
urn
g(a +
x)
g(a)
+0
g es diferenciable en a y
(f 0 g)'(a) = f'(g(a))g'(a)+ I ueoiema
-F
yI
e a peida
'i
Si r e s racie'ial, er I
nces . e diferenciabTii, en uak1iL; x r -1 S. c real V H dende X o abierto
Dr(Xr) = rx1
sié
ui. ir'teI va-
794 Apéndice Demostración Considere primero el caso en que r = 1/q, q con un entero positivo. Recuerde que - b' se factoriza como
- b = (a - b)(a_1 + a-2
+
+
ab2 + b1)
de modo que
ab -
1
-1 + a2b +
bq
q-2
+
+ b"'
AsI, si f(t) =
-x
f'(x) = lIm t-x
= lIm (t1/) t-x
(xh/)'
1 11m t-x (-fl/ +
+
+
(-l)/
11/q-1
1
= qx(l)/
q
Ahora, por la regla de la cadena y con p entero,
D(xP/) =
= p(x11)' D(xl/) q
Teorema D
q
LImites vectoriales
Sea F(t) = f(t)i + g(t)j. Entonce F iene un Ilmite en C Si y solo si f y g tienen 11mites en c. En ese caso,
lImF(t) = 11 IImf(t)]i + Film g(t)]j Li
Lt*c
Demostración Primero, observe que para cualquier vector u = u1i + u2j, U1
U2
U2J
Este hecho se ye fácilmente en la figura 1.
UI'
Ahora suponga que lIm F(t) = L = ai + bj. Esto significa que para cualquier e > 0 existe un > 0 correspondiente tal que
0
Figura 1
Pero, por la parte izquierda de Ja desigualdad en el recuadro,
f(t) - a y entonces
F(t) - L
SECCION A.3
Una visiOn retrospectiva 795
Esto muestra que lIm f(t) = a. Un argumento similar establece que lIm g(t) = b. Esto concluye la primera mitad de nuestro teorema. RecIprocamente, suponga que
lImf(t) =a 1c
y
lImg(t) = b
1*c
y sea L = ai + bj. Para cualquier 6 > 0, tal que
> 0 existe 0 <
-c<
impli-
ca que
f(t) - a
6
<-2
6
y
2
Por tanto, por la parte derecha de la desigualdad en el recuadro,
0
6
AsI,
lImF(t) = L = ai + bj = lImf(t)i + lImg(t)j t>c
A.3 Una visiOn retrospect iva
Debemos felicitar a todos los que han persistido hasta el final de este libro. Ahora es tiempo de dar la vuelta, de observar ci camino recorrido, para desarrollar una cierta perspectiva. ,Qué hemos estudiado? ,Qué es ci cálculo, este tema con tantas facetas que hemos ilamado la más grande invención de la mente humana? Suponga que separamos las matemáticas escolares en tres grandes areas: geometrIa, algebra y cálculo. Entonces, un autor ha dicho que la geometrIa es ci estudio de la f orma, el algebra es el estudio de La cantidad y eL cálculo es el estudio del cambio. Cier-
tamente, la parte de nuestro tema conocida como cálculo diferencial (incluy' do Las ecuaciones diferenciales) es en gran medida el estudio de razones de cambio. LPero qué hay del cáLculo integral? Otro autor ha sugerido que podemos distinguir entre eL algebra y eL cálculo diciendo que ci algebra trata con procesos finitos (suma, multipiicaciOn, exponenciaciOn, etcétera), mientras que el cálculo trata con procesos infinu'os (derivación, integra'ciOn, suma de series, etcetera). Preferimos definir el cálculo como eL estudio de los lImites. El concepto de lImite está presente en todo el cálcuio; cada una de las ideas principaLes queda determina mediante cierto tipo de LImite. EL siguiente diagrama tiene La palabra LImite en el centro; los conceptos principales (en óvalos sombreados) emanan de él. La maquinaria del cálcuLo está comprendida en sus teoremas. Si incLuimos los resultados establecidos en los problemas, los teoremas de este libro se contarán por centenas. Sin duda, tal vez usted pretenda olvidar Ia mayor parte (practica que en reaLidad favorecemos). Es mejor dominar los más importantes y saber cómo se acopLan entre Si. Para ayudarLe con esta tarea, nuestro diagrama enumera los principales teoremas del cá!culo (en rectangulos) y sugiere su reLaciOn con los conceptos y Los demás teoremas.
Un estudiante que comprende lo que representa nuestro diagrama está bien preparado para los temas que se construyen con base en eL caLculo elemental. Cuáles? Basta mencionar ci cáLculo avanzado, las eduaciones diferenciales ordinarias y parciaLes, las ecuaciones integrales, las series de potencias, las series dé Fourier, el analisis real, Ia geometrIa diferencial, ci analisis complejo, La probabilidad, la integración de Lebesgue, La teorla de la medida, ci cálculo de variacione y el analisis abstracto. Hay gran
cantidad de material para explotar lo mejor de todos nosotros.
796
Apéndice
Regla de Ia cadena
Regla de sustituciOn
§3.5
§5.8
Teoremas fundamentales del cálcUlo § 5.6, 5.7 Antiderivada §5.1
Teorema del valor medio
§4.8
Teorema de monotonicidad § 4.2
Teorema del punto crItico
Formula de Taylor 10.8
§ 4.1
Teorema de existencia de máximos y mInimos Derivada
§ 4.1
Integr1 d inida l
§3.2
A
Teoreni
Teorema del valor intermedio § 2.9
igrabi1idad §5.5 -
Continuidad § 2.9
Series dc
)l
ias
§ IC
4 Derivada parcial
Series infinitas
§ 1.2
* lt_,
Gradiente § 15.4
Li
Teorema fundamental de inteU ;nea § 5.8
Teorema de Green § 17.4
Teui Lia l (! 11.6
A
flriv
?ireHonal 15..)
Integral
§ ii..
I
Teoreri de Stok § 1 1.7
ml ,ra1 de §
,erf ie
Te
Respuestas
los problemas impares
a
Conjunto de problemas 1.1 3. -148
1. 16
5
I 24
91
-4 -3 -4
15. 2
13.
-1
0
-3 -2
-1
0
(Ii)
29. t - 7
2(3x + 10) -(t + 4)(x - 7) 33. x(x + 2) (x - l)(t - 5) 35. (a) 0; (b) Indefinido; (c) 0; (d) Indefinido; (e) 0; (f) 1 37. (a) Falso; (b) Verdadero; (c) Falso; (d) Verdadero; (e) Verdadero; (f) Falso 41. (a) Verdadero; (b) Falso; (c) Falso; (d) Verdadero; (e) Verdadero; (f) Falso; (g) Verdadero; (h) Verdadero 43. (a) 3 3 3 3 3 o 35; (b) 1 127; 31.
2.2.3.5.5.17022.3.52.17; (d) 2173
49. (a) Racional; (b) Racional; (c) Irracional; Irracional; (e) Racional; (f) Irracional 55. (a) RecIproco: Si obtengo un 10 en este curso, entonces hare toda mi tarea. ContrarrecIproca: Si no obtengo un 10 en este curso, entonces no hare toda mi tarea. (b) RecIproco: Si x no es un entero, entonces x es un nümero real. ContrarrecIproca: Si x no es un entero, entonces x no es un nümero real. (c) RecIproco: Si AABC es un triángulo isósceles, entonces AABC es un triángulo equilátero. ContrarrecIproca: Si AABC no es un triángulo isósceles, entonces AABC no es un triángulo equilátero.
I
I
-3
-2
I
-4
5. 3.6666...
5
13. Aquellos nümeros racionales que se pueden expresar como un decimal finito seguido de ceros 21. 20.39230485 19. Iracional 23. 0.00028307388 25. 12.43322783
27. 0.000691744752
31. 132,700,874 pies
33. 651,441 pies de tablones 35. (a) 286.866542; (b) 9.16925; (c) 16.34874967; (d) 4.292 37. (a) -2; (b) -2; (c) ; (d) 1; (e) ; (f) \/
1. (a)
-4
-4 -4
-3 -3
-3 -2 -2
-2 -1 -1
-1
0
0
0
2
1
1
2
I
3
3
4
I
I
I
2
3
4
4
4
3
4
11
[ [
I
I
-1
[I
I
I
0
I
1
I
I
I
2
3
4
I
I
-4
.1
-2
-3 I
-4
9.(-2,1);
-3
-1
0
'
-4
-3
0
4
3
I.
I
I
-2 -1
'
2
1
I
I
2
I
_______ -2 -1 0
4
3
1..
I I
2
I
4
3
2\.
1
2'3)'
-
-I -
33
13. (,3);
0
_1
3
I
I
1 3
4
1
3
1
(I
I
I
I
15. (-1 -
V13);
17. (-cc, -3) U (, cc); 19. [-4,3);
2
3
4
-5
-4
-3
I
I
0
I
I
I
-1
0
1
2
3
(
_'
I
1)1 -
I
-2
I
I
-4 -3
-2
-1
21. (-cc, 0) U (, cc);
0
2
I
4
3
I
5333
-4 -3
23. (-cc, ) U [, cc);
-2 -I I
5553
0
I
2
1
0
I
)
I
1
I
5
I I
'
-2
-4 -3
-1
6
I
0
(
2
1
-2 -1
[
I
I
4
3
J
)
7
I
I
o'
I
I
[
2
1
4
3
63236
I
-1
25.(-2,1)U(3,cc);
I
I
I
0
2
1
4
3
5
) 6
31. (a) (-2, 1); (b) (-2, cc); (c) Sin valores 33. (a) [-3,-i] U [2,cc); (b) (-cc,-2] U [2,cc);
(c) (-2,-i) U (1,2) 35. (a) (2.1 '
1.99);
4.98).
5.02
(
3.01 '2.99 '
I
I
I
I
0.49
0.495
(i
-1.668
-1.667
I
0.500
-1.666
I
I
0.505
I
0.510
-1.665
(1-2(3+8) i-2(3-s) \
3-e
3+ R
Conj unto de problemas 1.3
3
I
-2
29. (-cc,-i) U (0,6);
99
2
2
1
-4 -3
5. [-,co); 7.(2,oc);
0
1. 0.08333... 333
4
I
Conjunto de problemas 1.2
7 41254
3
]
-1
3.(-2,oc);
I
27. (-cc, ] U [3, cc);
3. 0.142857...
2
49
17. -6 19. 21. 3x2 - x - 4 23. 6x2 - 15x - 9 27. x + 2 25. 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1 11.
-2
40
Conj unto de problemas 1.4 1. (-3, -1) 3. (-cc, - ) U (, cc)
5. (-8, 0) 9. (-cc, -3] U [2, cc) 11. (-cc, -5) U (-, 0) U (0, cc) 13. (-cc, -1] U [4, cc) 7. (-cc, 2) U (5, cc)
R-1
R-2
Respuestas a los problemas impares
15. (-oo, -6) U (, x)
21.
Conjunto de problemas 1.7
23.
27. (-oc, ) U (5, cx)
25. 0.0064 pulgadas
29
1 l
4
16
5,3
1.
3.
5.
7.
Conjunto de problemas 1.5 1. 2 3. \/170 V
10
- (4,5)
-.(1, 1) S
(3, 1)
-10
-5
-5
(5,-8)
-10
5. 106.151
.
100
1(56.34, 89.56)
I
I
9.
100 I
-100
I
I
I
_(1.345, -1.234)
-100
9. (7, 3), (7, -1); (-1,3), (-1, -1); (1, 1), (5, 1)
11.13.(x-1)2+(y-1)2=1 15. (x-2)2+(y+1)2=25
17. (x-2)2+(y-5)2=5
13.
15. 10
21. Centro = (1, 3); radio =
19. 1 + 23. Centro
(6, 0); radio = 1
lox
-10
25. Centro = (-2, - ); radio
= 27. Inscrito: (x 4)2 + (y - 1)2 = 4; circunscrito: (x 4)2 + (y - 1)2 = 8 35. 29. Más barato por avión; $1,344.78 37. 42.6 41. 18 + 2\/i + 4ir 38.8
-10
-5
d = 2\/ + 4
17.
19.
21.
23.
25.
27.
Conjunto de problemas 1.6 3. 5. 7. -1.028 9. y = -x + 4;x + y -4 = 0
1. 1
11. y = 2x + 3;2x - y + 3 = 0
- 2;Sx - -4 = 0 13. y = 15. x = 2; x + Dy - 2 = 0 17. Pendiente = - ; intersecciOn con el eje y = 19. Pendiente = -5; intersecciOn con el eje y = 4
21.(a)y=2x-9; (b)y=-x-; (c)y=-x-1;
(d)y=x-; (e)y=-x-; (f)x=3; (g)y=-3
25. Está arriba de la recta. 23. y = x + 2 29. (3,l);y = -x + 5 x+ 27. (-1,2);y 31.
33.
35.
37. V = 120,000 - 9600t
39. N = 12,000n + 700,000; 1,000,000 41. (a) P es negativo, lo que indica que se ha perdido dinero. (b) 450; es la cantidad de dinero agregada a la ganancia por artIculo vendido.
45.y=x+
47.r=1
49.x+y=12 y x-\/y=1253.8
Respuestas a los problemas impares
27.(x-6)2+(y-2)2=20
29.
29.5
3L(a)y=x+; (b)y=x+4; (c)y=x+;(d)x=-2;(e)y=x+3 33. (b) 35.
37.
33.
/9
1
(9
1
\2
2
,-6 +
/ 39. (0,4)y(3,7)
Conjunto de problemas 2.1 1. (a) 0; (b) -3; (c) 1; (d) 1 - k2; (e) -24; (t2 - 1) (f) (g) 1 - 9t2; (h) 1 - 4x2; (i) ;
37.
35.
1
3. (a) -1; (b) -1000; (c) 100; (d) (-1.65, -3.95),
(1.41, 1.41),
(-1.41, -1.41) 39. (a) (2) (b) (1) (c) (3) (d) (4) 41. Seis
(0.85, 3.55)
(e)
Repaso del capItulo 1.8
x+1
;
(0
1-x
2
(a) No es una función;
(c) f(x) =
(x2
- 1);
(c) 0.841
(b)
f(x)
9.4a+2h
3.F
5.F
7.F
9.V
V 21. V 31. V
13. V 23. V 33. V
15. F
17. V 27. V 37. F
19. V 29. V 39. F
11.
25. V 35. V
13.
(a) {z n
1 -x
(c)
{xnftx
15.
Par
3
11.
x2 - 4x + hx - 2h +
-};
z
+ x
(d) f(x)
Examen de conceptos
1.F
2
1
5. (a) Indefinido; (b) 2.658; 7.
y -1
3};
(d)
{v E
{yy (b)
v 5}
17. Ninguna
Problemas de examen muestra (b) 1,9,49;
1. (a)
64,8,; (d) 1,
(c)
,
7. 2.66
5X
9. {x:x <};(-oo;);
3
11.
{x:
x
3}; [,3];
13.
{t:
t
}; {];
33i
0
1 3
1 3
4
1
3
-'1
-2 -i 3
15.
{x:-4
17.
{x:x
x
19.
Ninguna
21.
23.
Ninguna
25. Par
Impar
]__J_-..
I
I
[
I
0
332
4
1
1
3
5
2
33
3}; [-4, 3]; -4
-3
-2
0
-1
2
1
4
3
ox> i};(-oo,-] U (1,00); iI-'----------------k:
-4
19. Cualquier nümero negativo
-3
-2
21. t
-1
5
0
1
2
3
4
25.
-5
-5
4
R-3
R-4 Respuestas a los problemas impares 27. Ninguna
29. Ninguna
Conjunto de problemas 2.2
yII!
+1+
3. (a) t3 51
(d)
(z3
+ i);
x
100};
1-
(C)
1-
(1)
+ 2x - 3;(gof)(x) = 1 + Vx2
4
p = fog o hsif(x) = logx,g(x) = V,h(x) = x2 + 1; p = fog o hsif(x) = 1og,g(x) = x + 1,h(x) = x2 17.
.v
I
I
(b) 240 millas
I
I
I
ip
I
8X
-5
2d _d2 {dEO
21.
19.
39. (a) B(0) = 0 (b) B() = B(1) = (c)
(c)
13.
-2
37. A(d)
+ 1;
r
(f) 25
,f(x) = x + 7; 11. (a) g(x) = (b) g(x) = x15,f(x) = x2 + x
100}
15.
35. (a) E(x) = 24 + 0.40x;
(d) 4; (e) 16;
;
(b)
5. (fog)(x) = Vx2 9. 4.789 7. 1.188
-5
31. T(x) = 5000 + 805x, {xE:0 u(x) 5000 + 805, {xE:0 < x 33. E(x) = x - x2
(b) 0; (c)
1. (a) 9;
=
020 v=B(c)
0.15 -
0.100.05 -
43. (a) f(1.38)
(b) x
1.0 C
0.5
0.2994,f(4.12)
f(x) = x + 1) 3.6852
27.
f(x)
(a) P =
-4.05 -3.1538 -2.375
33. (a)
-1
-1.8 -1.25 -0.2
35.
1
2
1.125
3
2.3846 3.55
4
1
1 -x
;
(b) x; f2
fL
fl f3
{f(x) E
:
-22
f(x)
f4 f5 f6
13};
[-1.1, 1.7] U [4.3, 5] 37.
47.
(a) (, 0), (0,
);
(b) I:
(c) x = -3, x = 2; (d) y = 0
39.
7
t
{5O,00Ot2 - 180,000t + 90,000 Sit> 1
fl fi
+ 27; (b) P
+
Si 0
29. D(t)
-4 -3 -2 0
45.
(b) Impar; (c) Par; (d) Par; (e) Impar 25. No, en ambos casos. (Considere f(x) = x2 + x y 23. (a) Par;
0.00 0.0
(c) 1 - x f3 f3 f4
f3 f4
f5 f6
fl
f5
f3 f4
f6 f5
f4 f4 f3 f6 f5 f2
f6 f2
f6 f6 f5 f4
fl
f3
f4 f3
f2
f5 f5
fl
1
Respuestas a los problemas impares 19.
41. (a)
R-5
; desplazamiento: 2 unidades hacia arriba
Periodo =
x
Periodo = r; amplitud = 7; desplazamiento: 21 unidades hacia arriba, unidades a Ia izquierda 21.
-2
-4
23.
2
x
4
unidades a la derecha
Periodo = ; desplazamiento
Conjunto de problemas 2.3 1. (a)
;
31T;
(e)
(b) (f)
(c) -; (d) j; (g) (h) -; (i) ;
;
;
(a) 0.5812; (b) 0.8029; (c) -1.1624; (d) 4.1907; (e) -6.4403; (f) 0.1920; (g) 0.3927; (h) 6.2657; (i) -2.1180 5. (a) 68.37; (b) 0.8845; (c) 0.4855; (d) -0.3532; (e) 0.9355; (f) -0.3775 7. (a) 46.097; (b) 0.0789 3.
9.
(a)
(b) -1;
(c) -; (d) 1;
271 .4
1
(b)
y
(c) Impar; (d) Par;
2-\/ 4
.
336 rev/mIn 28 rev/seg 39. (a) ; (b) 41. (a) 0.1419; (b) 1.8925; 35. 37.
(c) 1.7127 2
45. r2sen - cos -
43. 25 cm2
(e) 1; (1) -1 15. (a)
(a) Par; (b) Par; (e) Par; (f) Impar 25.
47.
S(n) =
n(n + 1)
49.
2
+
sen2 -
S(n) = n2(n + 1)2
51. 67.5°F 53. Cuando 2ir
(c)
t aumenta, el punto de in orilla de la rueda se moverá en tomb de un cIrculo de radio 2. -1.176; 0.618; x(6) 1.902; y(2) x(2) -1.618;x(1O) = O;y(lO) = 2;x(0.) = O;y(0) = 2 y(6) x(t) -2sen(t), y(t) 2cos(t) El punto está en (2,0) cuando t = ; es decir, cuando 55.
(c) Aisen(wt +
+ A2sen(ot + 4)2) + A3sen(wt + 4)3)
= (A1 cos 4 + A2 cos 4)2 + A3 cos 4)) sen wt
+ (A1sen4)i + A2sen4)2 + A3sen4)3)coswt 57.
17.
(b)
(a)
Periodo = ir;Amplitud = 2
Y
A 1.25
-0.5
-075
0.6
(c) 1.05
-0.1
-0.0
0.05
0.95
0.9
'.lX
R-6 Respuestas a los problemas impares
Conj unto de problemas 2.4
1. -2
3. -1
25. 0
7. 4
5.
15. 36
13.
37. AsIntota horizontal y = 0 AsIntota vertical x = -1
17. 4
11. -2t
9. 12 21. 0
19. 0.5
23. 2
27. 0.25
29. (a) 2; (b) 1; (c) No existe; (d) (e) 2; (f) No existe; (g) 2; (h) 1
;
(a) 0; (b) No existe; (c) 2; (d) 2
31.
33.
39. AsIntota horizontal y = 2 AsIntota vertical x 3
(a) 0; (b) No existe; (c) 1; (d)
41. AsIntota horizontal y = 0 Sin asIntotas verticales
35. No existe 37. (a) No existe; (b) 0
39.a=-1,0,1
41. (a) No existe; (b) -1; (c) -3; (d) No existe 43. No existe 45. 0 47. 49. No existe 51. 6 53. -3
43. La asIntota oblicua y = 2x + 3. 45. (a) Decimos que lImf(x) = -00 si para cada nUmero negativo M corresponde > 0 tal que
Conjunto de problemas 2.5
1.0
0
5.0
(b)
corresponde
27. (b), (c)
29. (a)
- x2 - 2x - 4 x - 4x3 + x2 + x + 6'
(b) No;
51.
1
3.-3
19. -1
15.2 21.
17.
\/iô
29. -
37. 0 47. (a) 1; (b) 0
59. -1
11. 2
x+2
3. 1
39. 0
25. 6
27. 12
13. 2 25. 00
3. -1
2\/
61. -oo
5. No es continua; lim
5. -1
55. 1
63. e
3. No es continua; lim
43. -1
41.
7. 3
11. 0
9.
13. 7
Conjunto de problemas 2.8 1. 1
53.
= f(x) > M.
> 0 tal que 0
00
57. oo
65. 1
1. Continua
23. -6
5.
si para cada nümero positivo M
Conjunto de problemas 2.9
5
Conjunto de problemas 2.7 1. 1
00
49. (a) No existe. (b) 0 (c) 1 (d) (e) 0 (f) (g) No existe. (h) 0
(c) 3
Conjunto de problemas 2.6 1. 3 3. -3 5. -5 7. 2 9. -1
= f(x)
Decimos que lImf(x) =
7.
9.
15. 2 17. 0 19. -00 27. -X) 29. 5 31. 0
11.
21. 00
33. -1
3
23. 00 35. -00
7. Continua 11. Continua
y h(3) no existen.
-
y h(3) no existen.
9. No es continua; h(3) no existe. 13. Continua 15. Continua
17. (-00,-)u[-,4]u(4,6)U[6,8]U(8,00) 19. Definaf(3) = -12. 21. Define H(1) = 23. Defina F(-1) = -sen 2. 25. 3, ir 27. Cada 0 = nr + donde n es cualquier entero. 29. -1 31. (-oo, -2) U (2, oo) 33. 1 35. Cada t = n + donde n es cualquier entero.
R-7
Respuestas a los problemas impares (c)
37.
I
I
I
I
I
-5
I
5X
-5
= 1 + x,h(x) = x2,k(x) = senx (b) -0.6; (c) -0.96; (d) -1.333; (e) 0.8; (f) -0.8 (a) -0.8;
11. f(x) =
Discontinua en todo punto, excepto x = 0
13.
17. 2
15. 18.85 pulgadas
57. (a)
21.
19.
23. 4
29. (a) x = -1,1; (b) f(-1) -1 27. -1 31. (a) 14; (b) -12; (c) -2; (d) -2; (e) 5; (1) 0 33. a 2, b = -1
25. -1
Conjunto de problemas 3.1 1. 4 5.
3.
Repaso del capItulo 2.10 Examen de conceptos
5. F
3. V 13. V 23. V 33. V 43. V
1. V 11. F 21. F 31. F 41. V
15. V 25. F 35. F 45. V
9. V
7. V 17. F 27. V 37. F 47. F
19. V 29. F 39. V 49. V
5
8X
-2
2
(c) 2; (d) 2.01;
7. (a), (b)
(e) 2
Problemas de exa men muestra
1. (a) -
;
(d)!_11; 3.
(a) {xel:x
(c) {x E
5. (a)
(c) No existe;
(b) 4;
x
(e)
t
-1,1}; (b) {xEBx
-}
2};
(b)
y-
-(x -1) 1
13. (a) 16 pies; (b) 48 pies; (c) 80 pies/seg; (d) 96.16 pies/seg; (e) 96 pies/seg
(c)
15. (a)
7. V(x) = x(32 - 2x)(24 - 2x), {xED:O c x
9.(a)
1
(b)
12}
1
V2a
pies/seg; +
(b) 1.5 seg
1
17. (a) 0.02005 g; (b) 2.005 g/h; (c) 2 g/h 19. (a) 49 g/cin; (b) 27 g/cm 23. 29,167 gal/h; 75,000 gal/h 21. 4 25. (a) 0.5 °F/dIa (b) 0.067 °F/dIa (c) Enero y julio (d) Marzo y noviembre 29. 24 km2/dIa 27. (a) Creciente (b) Decreciente 31.
4
(a) 7;
(b) 0;
(c) -1; (d) 17.92
33. 2.818
R-8 Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 3.2 1. 2
3. 5
5. 2
7. 6x
13. -
11. 3x2 + 4x
Conj unto de problemas 3.4 9. 2ax + b
1. 2 cos x - 3 sen x 3. 0 5. seg x tan x 7. seg2 x 11. -x2 sen x + 2x cos x 13. 2 tan x seg2 x 15. y - 0.5403 = -0.8415(x - 1) 17. -60 pies/seg
12
15.
9. seg2 x
(x2 + 1)2 17.
19.
4)2
(x
21.
2\/3x
19. y = x
2(x - 2)3/2
25.-
23. 2x -3
27. f(x) = 2x3enx = 5 (x - 5) 2 29. f(x) = x2enx = 2 31. f(x) x2enx 33. f(t) = ent 35. f(x) = cosxenx 37.
21. x = f + k donde k es un entero. 27. x0 = , tan'(-3) 29. (a)
6;5;
15 10
f(x) = xsenxes
5
un contraejemplo;
39.
24.93
Conjunto de problemas 3.5 1. 15(1 + x)14 3. -10(3 - 2x)4 5. 11(3x2 - 4x + 3)(x3 - 2x2 + 3x + 1)10 7. 111(3x2 - 4x + 3)(x3 - 2x2 + 3x + 1)110
41. (a) , , 1.8, -0.6; (b) 0.5; (c) 5; (d) 3, 5; (e) 1, 3, 5; (f) 0; (g) -0.7, 1.5, (5, 7)
9.
43.
11. (2x + 1)cos(x2 + x)
(x + 3)6
6(x + 1)2
13. -3 sen x cos2 x
3x2+12x
17
45. f aparece con guiones cortos; g g' aparece con guiones largos
47.m=4,b=-4 51.
f' tiene una lfnea sólida;
49.(a)m; (b)-m
is
25
(3x
f'(x) <0.
27.
5. -4x3
3. ir
1. 4x
11. 2x + 2
x2
9
500
21.
x3
(t+5)2
1
+2
33. 4(2x + 3)sen3(x2 + 3x)cos(x2 + 3x)
4l.y-32=224(x-1) 43. (a) (10 cos 83rt, 10 sen 8irt); (b) 803r cm/seg 45. (a) (cos 2irt, sen 2irt); (b) sen 2irt + \/25 - cos2 2ii-t;
23. 3x2 + 1
25. 8x + 4 27. 5x4 + 6x2 + 2x 29. 5x4 + 42x2 + 2x - 51 31. 60x3 - 30x2 - 32x + 14 6x (3x2 + 1)2
6x2 + 20x + (3x + 5)2
45. (a) 23; 49. y = 1
-8x + 3
2
(4x2 - 3x + 9)2
(x + 1)2
41.
4x2 + 4x - 5
X-1
(2x + 1)2
(x2 + 1)2
(b) 4; (c) -
y = -2x + 9 59. 3V'
61. 681 cm3 por semana
(c) 23T cos 21rt( 1 +
57. y = 2x + 1,
sen 2irt
\/25 - cos223rt )
47. 0.0405 cm/seg
49. (a)
2xx2 - 1
x -1 2
;
(b) cotxsenx
51. 16
53. (a)
51. (0,0)y(,-)
53. (2.817, 0.563) y (-2.817, -0.563) 55. (a) -24 pies/s; (b) 1.25 seg
29. 48
cos4 2x
39. -2 cos[cos(sen 2x)]sen(sen 2x)(cos 2x)
- 4x5
17. - -
2x2
(t + 5)4
37. -80 cos3(sen 02)sen(sen 02)(cos 02)
13. 4x3 + 3x2 + 2x + 1
19. - -- + --
23.
4)2
35. -3 sent sen2(cos t) cos (cost)
7. - -
15. 7ix6 - lOx4 + 10x3
x+2)
3sen2x(cosxcos2x + 2senxsen2x)
31. 1.4183
Conjunto de problemas 3.3
/ 3x2
senf
(6t + 47)(3t - 2)2
aumenta, en el caso
-5 -10 -15 -20
(x - i)
19. 2(3x - 2)(3 - x2)(9 + 4x - 9x2) 51(3t - 2)2 (x + 1)(3x - 11) 21.
(a) (0, ); (b) (0, ); (c) f(x) decrece cuando x
10
(x+2)2
15.
Impar
R-9
Respuestas a los problemas impares Par
(b)
d3s
(c)
dt3
ds
(e)
y
d2s
<0, d2s
dt2
>0
d2s
(d)
'
dt2 ds
tienden a cero;
dt2
10 mph/mm
es constante.
41. (a) C = f(t) denota el costo en el tiempo
d2C dC > 0, dt dt2
>0;
(d) 1
(c) 0.678;
f(t) denota el consumo de petróleo en ci instante t.
df
Conjunto de problemas 3.6 5. 2x
3. 0.0081
1. 1.5
11. 2xseg(x2)
9. sen2x
7.
<0
dt
(x + 1)2 4(x2 + 1)3(2xcosx + senx + x2 senx) 13.
16x
dP dt
c0s5 x
(x2_2)2
(x2+2\iseni(x2+2
cosl
\x2-2
\x2-2)
23. -9Trr2 - 22r - 6i
21. 3(sen2 t cost - sent cos2 t)
-5; (b) -11; (c)
27. (a)
25. 29. (a) 2;
>0
dt2
P == f(t) denota la población mundial en ci tiempo t.
15. sen2xcos(x2) - 2xsen2xsen(x2) 17. 8xsen3(x2 + 3)cos(x2 + 3) 19.
d2f
d2P
>0
U = f(t) denota el ángulo en el instante t.
> 0,
P = f(t) denota Ia ganancia en ci instante t.
> 0,
(I) R = f(t) denota el ingreso en el instante t. R < 0,
(d) 4
;
<0
dt2
n
(b) -1 (b) 2880 cm2/min
dj?
< 0;
>
n!
coeficiente binomial
(n - k)!k!
37. 0.38 puig/min
33.
dP
k)D(u)D(v) donde () es ci
43. Duv) =
31. (a) 19,200 cm3/min,
> 0;
20
(b) -1.2826
45. (a)
Conjunto de problemas 3.7 1. 6
(x - i)
9. 2
15. -900 (c) 0
13. 2ir2 11. 19. (a) 0; (b) 0;
Conjunto de problemas 3.8
-24;f"(3) = 24
21. f"(-5) 23. (a)
6
5. -343 cos(7x)
3. 162
v(t) = 12 - 4t;a(t) = -4 (b) (-oo,3); (c) (3,oc);
y
(d) Toda t; (e)
)t=3 v=0 1=0
y
-s
0
9.
v(t) = 3t2 - 18t + 24; a(t) = 6t - 18; (-oo,2) U (4,00); (c) (2,4); (d) (-oo,3);
25. (a)
t0
16
v(t) = 2t -
(0,2); (e)
; a(t) = 2 +
;
- 3xy2
lS.yl
3?
(b) (2, no); 25
4
29
2Y'(3x2 - 4x)3
6x2 + '
3(x + 2x)5
27
2x + cosx 2Vx2 + sen x
(x + 1)sen(x2 + 2x)
X2CO5X + 2xsenx
31
2{1 + cos(x2 + 2x)]3
3(x2 senx)4
29. v(1) = 11;v(4) = -16 31. (a) s; (b) s,s; (c) 0s, 33. (a) 48 pies/seg;
(b)
137 pies/seg 35. 581 pies/seg
s;
(b)
d2s dt2
33.
s
(c) 292 pies;
37. (-oo, -2) U (1, 4) 39. s = f(t) denota la distancia. == ks;
+2-
20
t=2
ds
5y
19.5x2/3+
12
(a)
2xy
13.y-3--(x-1)
(d) Ninguna t;
v=0
Sx
12x + 7y2 6y2 - l4xy
1 - y2
5.
3
2\/Sxy
t)
(e)
27. (a)
3.-
1.
(d) 5.77 s;
(e)
35.
ds
dt = -
s2 + 3t2 dt 2st 'ds
-
2st s2 + 3t2
y+x0,\/y-x0
37. (a) Y =
45.Oss2.0344
x+3y 2'
(b) y" =
2xy
(x+3y2)
39. -15;
47.y=2(x+4);y2(x-4)
49.
R-1 0
Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 3.9 1. 1296 pulg3/seg 3. 392 mi/h 5. 471 mi/h 7. 0.258 pie/seg 9. 0.0796 pie/seg 11. pie/seg 13. 1.018 pulg2/seg 15. 15.71 km/mm 17. (a) pie/seg; (b) pies/seg (c) radianeslseg 19. 110 pies/seg 21. -0.016 pie/hora 23. 134 pulg3/min 25. 4049 pies3/hora
5. 15x
7. 3z2 + 8z + 2
9.
-24t2 + 60t + 10 (6t2 + 2t)2
-4x + lOx2 + 2
13.
(x3 + x)2.
V(x2 +
15. -sen 0 + 6 sen2 0 cos 0 - 3 cos3 0
4)3
17. 20 cos (02)
19. 2- sen(sen(r0))cos(sen(n-0))cos(rO) -csc2 x - 2x cot x tan x2
21. 3 seg23O
27. (a) -1.125 pies/seg; (b) -0.08 pie/seg2 29. (a) Demostración omitida; (b) 3 horas
23. 672
31.
31. F'(r(x) + s(x))(r"(x) + s"(x)) + (r'(x) + s'(x))2 F"(r(x) + s(x)) + s"(x)
25.
sec x2
27. 16 - 4
29. 458.8
pies/s cuando la mujer está por lo menos a 30 pies del poste de luz y pies/seg cuando ella está a menos de 30 pies del poste.
33. 27z2cos(9z3)
Conjunto de problemas 3.10 1. dy = (2x + 1)dx 3. dy = -8(2x + 3)_S dx 5. dy = 3(senx + cosx)2(cosx - senx)dx
35.
D
37.
D
7. dy = - (14x + 3)(7x2 + 3x - 1)_5/2 dx 9. ds (2t + csc2t)\/t2 - cott + 2 dt 11.
13.
---=t
dx i.sx
-1.5
15. (a) zy = 17. (a) zy = 67 (b) zy 0.1706
-0.3 y dy = 34 dy = 0.17
(b)
39. 314 m3 por cada metro de incremento en el radio. 41. 0.167 pies/mm
19. 5.9917 21. 39.27 cm3 23. 893 pies3 25. 12.6 pies 27. 4189 ± 63 cm3; error relativo 29. 79.097 ± 0.729 cm; error relativo 0.0092
y - dy
31. dy = 0.01;
0.000003
43. (a) (1,3) 0.015
33. 754 cm3
37. (a) L(x) = x; (b) L(x) = 3x + 4
35. 9.5%
(b) a(1) = -6,a(3) = 6; (c) (2,00) y2+2xy x2y3 - x2 45. (a) (b) (c) 2 y ' x2+2xy y -x3y2' 2x - sen(xy) - xycos(xy) x2cos(xy)
Repaso del capItulo 3.11
tan(xy) + xysec2(xy)
Examen de conceptos
x2 sec2(xy)
1. F
3. V
5. V
11. V 21. V 31. V
13. F 23. V 33. V
15. V 25. V 35. V
7. V 17. F 27. F 37. F
9. V 19. V 29. V
(b) lOx4 + 3; (c) -
6x
(3x2 + 2) (g)
X ;
2'
(e)
3
2V3x (h) -sr sen rx
;
49. (a) 84;
47. 0.0714
(b) 23;
3x2'
53. (a) cot0sen0; (b) -tan0cos0
51. 104 mi/h
9. (b) L(x) = x - ; L(x) = 0 cuando x
L(x) = 0.25x - 0.85; L(x) = 0 cuando x = 3.4. f(x) = 0 en x = 3.41 f(x) 1.25
0.75 0.5
0.25
(h) f(x) =
= 2.6, que es
menor que 3, por lo que debe descartarse.
(0 3 cos 3x;
(c) f(x) = \/enx = 1; (d) f(x) = senxenx = f(x) = enx; (f) f(x) = -sen3xenx; ;
(d) 26
7. En x = 0, dy = dx en ambos casos. El error no siempre tiene el mismo signo que dx.
1
Vx2 + 5 3. (a) f(x) = 3x en x = 1; (b) f(x) = 4x3 en x = 2;
(g) f(x) = tanxenx
(c) 20;
Problemas adicionales 3.12
Problemas de exa men muestra 1. (a) 9x2;
x
1
enx
5
-025
4
5
6
7
8
9
x
Respuestas a los problemas impares
13. (a) %g
Lg g
19. Creciente en (no, 2] U [2, no), decreciente en [-2, 2]; cóncava hacia arriba en (0, no), cóncava hacia abajo en (no, 0)
(b) dP = 41.37 v/pg
11. (a) 0.054 ct/pulg2
0.0323 pies/seg2;
zg g
R-1 1
0.0010;
0.10; dg =
x 100
Los valores exacto y aproximado del cambio absoluto, relativo y porcentual en g son los mismos. Lg
(b) Zg
g
dg g (c)
zXg
zg g
dg g
0.0916;
x 100
0.29; dg
0.0029; 0.00612; X 100
0.0029;
g
dg g g
X 100
0.29
1.913 X iO;
0.019; dg
1.913 X i0;
21. Creciente en [1, no) decreciente en (no, 1]; cóncava hacia arriba en (no, 0) U (, no), cóncava hacia abajo en (0, )
0.0918;
0.00612;
dg x 100 g
0.019
cóncava hacia arriba en
Conjunto de problemas 4.1 1. Puntos crIticos: 4, 2, 0; valor máximo 4, valor mInimo 0 3. Puntos crIticos: 2, - , 1; valor máximo 4, valor mInimo 5. Puntos crIticos: 1, 1; sin valor máximo, valor mInimo 1 7. Puntos crIticos: 1,3; sin valor máximo, sin valor mInimo 9. Puntos crIticos: 0; valor máximo 1, sin valor mInimo 11. Puntos crIticos: -
,
; valor máximo
23. Creciente en (no, 1] U [1, no), decreciente en [-1, 1];
2
abajoen
(_no_
(_.1 ,OU( 1
) U (o
V2
cóncava hacia
).
valor mInimo
1
13. Puntos crIticos: 0, 1, 3; valor máximo 2, valor mInimo 0 15. Puntos crIticos: 1, 0, 27; valor máximo 3, valor mInimo 1 21. 1024 pulg3 19. 50 pies por 50 pies 17. 5 y 5 25. 40 pies por 100 pies 27. 4 por 8 23. 20 pies por 40 pies
31. 55 mi/h 35. x = 1, y = 3, z = 3 29.
25. Creciente en [0, ], decreciente en [, ir]; cóncava hacia abajo en (0, ir).
33. P(2\/, 2), Q(0, 0)
37. (a) Valor máximo 3.57, valor mInimo 2.71 (b) Valor máximo 3.57, valor mInimo 0
Conj unto de problemas 4.2 1. Creciente en (no, no) 3. Creciente en [-1, no), decreciente en (no, 1] 5. Creciente en (no, 1) U [2, no), decreciente en [1, 2] 7. Creciente en [2, no), decreciente en (no, 2] 9. Creciente en [0, ] U [, 2ir], decreciente en [, 11. Cóncava hacia arriba para toda x; sin puntos de inflexión 13. Cóncava hacia arriba en (0, no), cóncava hacia abajo en (no, 0); punto de inflexión (0, 0) 15. Cóncava hacia arriba en (no, 1) U (4, no), cóncava hacia abajo en (-1, 4); puntos de inflexión (-1, 19) y (4, 499) 17. Cóncava hacia arriba para toda x; sin puntos de inflexión
27. Creciente en [0, ], decreciente en (no, 0] U [, no); cóncava hacia arriba en (no, - ), cóncava hacia abajo en (-ky 0)U (0, no).
R-1 2
Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 4.3 1. Puntos crIticos: 0,4; mInimo local en x = 4; máximo local en
x=0
3. Sin puntos crIticos; sin mInimos locales ni máximos locales en (0,::) 31.
33.
5. Punto crItico: 0; minimo local en 0 = 0 7. Puntos crIticos: -1, 1; valor mInimo local f(1) = -2; valor
máximolocalf(-1) = 2
9. Puntos crIticos 0, ; valor minimo local H() = - ; sin máximo local 11. Punto crItico: 2; sin valores minimos locales; valor máximo
localg(2) =
41. a =
,b =
43. (a) No se requieren condiciones;
f(x) >
f'(x) g(x) para toda x; - g'(x)
No se requieren condiciones 45. (a)
13. Sin puntos crIticos No hay valores mInimos locales ni máximos locales 15. Sin puntos crIticos No hay valores mInimos locales ni máximos locales 17. Valor mInimo -4; valor máximo 19. Valor mInimo 125; sin valores máximos 21. 277 23. MInimo local en x = 0 25. MInimo local en x = 4; máximo local en x = 3 27. MInimo local en x = 3; máximo local en x = -2 29. (a) Creciente en (-oo, -3] U [-1, 0); decreciente en [-3, -1] U (0, oc); Cóncava hacia arriba en (-2, 0) U (0, 2); cóncava hacia abajo en
(-oo,-2) U (2,00); MInimo local x = -3; mInimo local en x = -1;
x = -2, 2 31. MInimo local f(-2) = 12, f(\/) (b) (1.3,5);
(c) (-0.25,3.1) U (6.5,7]
-6.4; máximo local 14.4,f(2.5) = 23.53125 33. Máximo local f(0) -2; mInimo local f(-0.745) = f(0.745) -0.306
f(_\/)
Conjunto de problemas 4.4 1. -4 y 4
3.
2
. (_
(
= 15\/ pies, y = 20\/. pies
7. x
=
10\/.pies, y = 6
15 pies
11. (a) (28, 7.28) (b) (6.8267, 45.098) 13. 2.27 millas rio abajo desde la orilla en P
17. 8:09 A.M.
47. [-0.598, 0.680] 49. h =
2400 IT
t + 27000 - 30
21. h
4IT
19. T
= \/r, x
r3
donde h es Ia altura del cilindro
x es el radio del cilindro y r es el radio de la esfera, 23. (a) 43.48 cm desde un extremo; la longitud menor se dobla para formar un cuadrado (b) No se corta, el alambre se dobla para formar un cuadrado
25. altura =
(3v\113 J
, radio =
27. r = \/,0 = 2 51.
15. En el pueblo
33.
(a) f;
(b)
;
113V\113
31. 11.18 pies (c)
L' = 3, L = 4, 4 = 90°; L' = 5,L = 12,4 = 90°; = 90°,L = \/m2 - h2,L' = h 37. t 13.8279, distancia 0.047851 millones de millas 35. (a)
Respuestas a los problemas impares 39. (a) b (b)
b
=
-
(
11.
x
(c) 50.179 horas
3.0119
Conj unto de problemas 4.5 1. $55 5. n
3. p(n)
= 300 -
R(n)
= 300n 15.
13.
= 200
17.
10
y
19.
7. 1.92 dólares por unidad; 1.33 dólares 9.
(a) R(x) = 20x + 4x2
£; dR 3
dx
= 20 + 8x - x2
-5 -10
(b)0x10 (c)4 = 25,
dR
= Oenx1
11.
x1
13.
p(x) = 8.4 - 0.0006x; 4.20 dólares por yarda
15. (a) C(x)
dx
16000 + 1.40x 16000 + 1.60x
si0
x
21.
23.
25.
27.
4500
si4500
11 - 0.00lx (c) 4500 Ganancia maxima de 4172.50 dólares en x = 450
(b) p(x) = 17. 5.000
4,000
P(x)
0.9
3,000 2,000 1,000
100 200 300 400 500 -1
Conj unto de problemas 4.6 1.
10
29.
Th
31.
3.
-8
-10
5.
-0.1
7.
35.
2X
R-1 3
R-14 Respuestas a los problemas impares 37
(b)
39.
MInimo global: (-
43.
1)
,
Máximo global: (, 3)
Puntos de inflexión: (, ), (,
\2II
(c)
45. 81
c=0
MInimo global: (-
1.5) o (, 1.5)
,
Máximo global: (ir, 3) o (ir, 3) 0
Puntos de inflexión: (-2.2, 0.87), (-0.6, 1.29), (0.6, 1.29), (2.2, 0.87)
(d)
47.
MInimo global: (, 2)
4
Máximo global: (-
,
2)
Puntos de inflexión: (0, 0),
(-2.13, 0.7), (-1.02, 0.8), (1.02,
0.8), (2.13, 0.7) 2X 2 49. (a) No es posible; (b) No es posible;
(c)
(e)
y
x
MInimo global: (2.17, 1.9) Máximo global:
51. (a)
0.97, 1.9)
Puntos de inflexión: (-f, 0), (, 0), (-2.47, 0.54), (-0.67, 0.55), (0.41, 0.40), (2.73, 0.40) 53.
2)
MInimo global: (- , Máximo global: (, 2) Puntos de inflexión: (- , - ), (-
,-
Respuestas a los problemas impares
5. c = -1
7. c = 1
9.c=3-\/o1.27
11.c=0.59
R-1 5
MInimo global: (-1, -6.9)
Máximo global: (7, 48.0)
Puntos de inflexión: (2.02, 11.4) (b)
2
120 100 80 60
2
13. c
(3)3/2
15. C =
0.46
MInimo global: (0, 0) Máximo global: (7, 124.4) Puntos de inflexiOn: o(2.34, 48.09)
19. c =
17. No se aplica, T(0) no es continua en 0 =
1.41
Máximo o mInimo no global
Puntos de inflexión. 0
-5
3X
0
21. No se aplica,f(x) no es diferenciable en x = 0 10
6
4
MInimo global:
(3, -0.9)
Máximo global:
(-1, 1.0) o (7, 1.0)
Puntos de inflexiOn: (0.05, 0.3), (5.9, 0.3)
/
-4
-2
4
2
23. oo1.5,3.75,7
Conjunto de problemas 4.7
Repaso del capItulo 4.8
1.1
Examen de conceptos
2
2X
3.c=0
1. V 11. F 21. F 31. F
3. V 13. V 23. V 33. V
5. V 15. V 25. V
7. V 17. V 27. V
9. V 19. F 29. V
Problemas de exa men muestra 1. Puntos crIticos: 0, 1, 4; valor mInimo f( 1) = -1; valor máximo
f(4) = 8
R-1 6
Respuestas a los problemas impares
3. Puntos crIticos: -2,- ; valor mInimo f(-2) = ; valor
35.
máximos globales puntos de
máximo f(- ) = 4 5. Puntos crIticos: -, 0, 1; valor mInimo f(0)
37.
y
inflexión
0; valor
máximof(1) = 1 7. Puntos crIticos: -2,0, 1,3; valor mInimo f(1) = -1; valor maximof(3) = 135
mInimo global
9. Puntos crIticos: -1, 0, 2, 3; valor mInimo f(2) = -9; valor
maximof(3) = 88
39.
11. Puntos crIticos:
,
,
; valor mInimo f()
-0.87; valor
máximo f() = 1 13. Creciente: (-oo, ]; cóncava hacia abajo: (-no, no) 15. Creciente: (-oo, -1] U [1, oo); cóncava hacia abajo: (-no, 0) 17. Creciente: [0, ]; cóncava hacia abajo: (, no)
19. Creciente: (-no, ]; cóncava hacia abajo: (-oo, 0) U (, cx))
41. 11.18 pies
21. Creciente: (-oo, 0] U [, oo); decreciente: [0, Valor mInimo local f() = Valor máximo local f(0) = 0
45. (a) c =
Punto de inflexión: (4
];
43. r = 4/,h = 8/ (b) No se aplica, F'(0) no existe
10
128)
(c) c = 1 + 23.
y 15
global IOX
global
27.
47.
29.
puntos de
-
inflexión
31.
3X
0
Problemas adicionales 4.9 5. P = s/n 7. radio = \/A/63r, altura = 2r
global
33.
máximo 2 global
Conjunto de problemas 5.1 1. 5x + C
7.3/+C minimo
puntos
global
de inglexion
mInimo global
3.
x3
+ i-x + C
5.
x914 + C
9.x3-x2+C 11.x6-x4+C J3.x8+x6_x4+x2+C
Respuestas a los problemas impares
15.-++C
17.x4+x2+C
19.x3+x2+C
21.(x+1)3+C
z912 +
27.
(\/x + i) + C
z5"2
33.
5x+2
41.x2\/x_1+C
(n + 1)(2a + nd)
41.
2
45. c =
55. 715; 55,675;S =
iE
= 7.86; s2
12.41
m(m + 1)(3n - m + 1)
Conjunto de problemas 5.4
17 2
2
7. A =
8
6
A
9
1243
- 216
2Vx + 1
0,-x2 + Csix <0
Csix
+
+ C1x + C2
x3 +
37.x3++C1x+C2
35.x52+C1x+C2
47.
sen 0 + C
29.
- ii) + C
(2t2
31.
25. -cos 0 (5x3 + 3x - 8) + C
+ 2z112 + C
23.
39.S=
R-1 7
Conjunto de problemas 5.2 + x + C;y = x3 + x 5. y = 7. y = 9.
+Vx + C;y 3
Z
=c
= 3
t'
= 10-
11.s=t3+2t2-t+C; s=t3+2t2-t+100 13.y=(2x+1)5+C; y=j(2x+1)5+ 15.
17. v = 5 cm/seg; s =
y = x2 +
19. v
2.83 cm/seg; s
cm
12.6 cm
11. 13. 4 15. 17. 2 pies 21. (a) i4; (b) 21; (c) 39
23. (a) 4; (b)
(c) 10.5;
(d) 102.4
Conjunto de problemas 5.5 1. 5.625
23. v = 32.24 pies/seg; s = 1198.54 pies 21. 144 pies 27. Luna: 1.470 mu/seg; Venus: 6.257 mi/seg JUpiter: 36.812 mi/seg; So!: i382.908 mi/seg 29. 2.2 pies/seg2 31. 5500 m 36 mi/h; 33. (a) 40 0.9 mi/mm2
;
[1 9.
II.
3. 15.6875 x2
dx
J- 1 +
1.
27
1
+
5. 2.625
hi.
f
13. 3ir - 3
11. 4 r
7.
1
x3 dx
15.
2
7Ti'L
23. (a) -3; (b) 19; (c) 3; (d) 2; (e) 9; (f) 0; (g) 1; (h) 2 27. Izquierdo: 5.24; Derecho: 6.84; Punto medio: 5.98 29. Izquierdo: 0.8638; Derecho: 0.8178; Punto medio: 0.8418 31. 4 33. 0.6 35. No es integrab!e
30 mi/hr 20
II I
10
I
1
2
4
3
I
5
Conjunto de problemas 5.6 1. A(x) = (x - 1)(-1 + x),x> 1
7X
6
y
,V(0) = 1600,V(40) =
35. (a)
=
(b) V =
(-20t + 800)2;
C1
(b) t
(c) 900 cm3
para0
1-32t
37. (a) v(t)
= -32(t 0.66, 1.75 seg
- 1) + 24 paral
2.5
11.
481
280
150
i1
19. -10
13.
7.3
85
1=1
a21
i-1
37. (a) 1
17. 90
i=1
-
25. 14,950
6
35.
1=1
(1)10
sI0x1
etc. f(c1)
15.
23. -
29.
9. n
i=1
21.
27. 2640 33.
5
0
2+(x-1) si1
41
3
-1
2x
Conjunto de problemas 5.3 1. 15
432-
0;
(b) 211 - 2
17
(k + 2)k
31. k=1
5. 6
7. 14
15. 2x2 +
\/
9. -31 11. 23 13. 2x 17. -(x - 2) cot 2x 19. 2x sen(x2)
R-1 8 Respuestas a los problemas impares 21.
2x5
Conjunto de problemas 5.8
x2
+
1+x4
1+x2 1.
27. 4;
25. 10;
(3x + 2)3/2 + C
9.
(x2 +
11. -(x2 +
+C
29. (a) 0 (b) x5 + x + C (c)
[sen(x2 +
21.
+x
+C
27. !
29.
sen 3
41. 1 - cosi
39. 1
43.
1 - cos4l
49. 0 51. 2r 53. f-a fb 57. Par: / f(x)dx / f(x)dx; J-b
45.
8
47. 0
6-
)9]
23. -cos10(x3 + 5) + C
+C
31.
35. Cota inferior ; cota superior 20
+C
sen[(x3 +
19.
25. sec2(x2 + 2x) + C
33. Cota inferior 20; cota superior 276
3)_5/7
15. -cos(6x3 - 7) + C
13. -cos(x2 + 4) + C 17. _cos\/x2 + 4 + C 4)]3/2
+C
7.-cos(6x-7)+C
5.sen(3x+2)+C 4)3/2
7)9/8
(6x
3.
55.
Ja
Impar:
=
_f6f(x)dx 2
59. 8 I
I
I
dx = 2
61. f
63. 883.2
65.
-2
67. (a) Par; (b) 2ir
37. Cota inferior 20i-; cota superior
(c)
Intervalo
Valor de Ia integral
[o,]
0.46
0.92 4
2
6
-0.46 -0.92
8
43. \//2
41. 2 45. Verdadero 39.
[0,2r]
49. Verdadero
47. Falso
[ir
Conjunto de problemas 5.7 1. 4
3. 15 2047
13.
25.
+1
7.
-
96
19. 122
17.
27. 14
a 1783
16
29.
1250-
31.
41.
0
-0.44 -0.44
[I3rr I&r
[6' 11. 1
21. 0
x4 -
23.
33. 40
37.0
35. 39.
5.
0
13i,
[6' 6 [r 4r [6' 3
69. Con una suma de Riemann por la izquierda, d
Repaso del capItulo 5.9 Examen de conceptos
1. V 11. V 21. F 31. F 41. V
3.2
14.2 millas
3. V 13. V 23. V 33. V 43. V
5. V 15. V 25. V 35. F
7. F
9. V
17. V 27. F 37. V
19. V 29. F 39. F
Problemas de examen muestra
3.y3+9cosy-+C
1.
5.
43.
45. 1
47. 9
51.
= 0.385;
0.333
49. 2
59. (a) positivo, (b) negativo, (c) negativo, 63.
25
11.
(2z2
3)4/3
+C
tan3(3r2)
7.
13. y = 2Vx + 1 + 14 17. y = V3x2 - x4 + 9
(2y3 + 3y2 + 6y)415 + C
15. y = (2t - 1)3/2 - 1 (d) positivo
19. y =
+1
9. 46.9
21. 7 seg; -176 pies/seg
Respuestas a los problemas impares 23.
27.
25.
29. 1870
(b)
31. (a) n=2 "
nx2u1 fl = 1
-2; (b) -4; (c) 6; (d) -12; (e) 2 -8; (b) 8; (c) 0; (d) -16; (e) -2 37. c = -\/ 39. (a) sen2x; (b) f(x + 1) 33. (a) 35. (a)
(c)
- f f(z)dz +
(e) g'(g(x))g'(x);
(d)
ff(t)dt; 22
4
(f) -f(x)
33. 6 seg; 2 + 2V seg
31. 130 pies; 194 pies
Problemas adicionales 5.10
9;A(B) = 7;A(C) = j;A(D) = 44. 3,
35. A(A)
1. Figura 1 (b) 8370 pies; (c) 9690 pies; (d) (a) usa el mayor y (b) el menor valor de cada pareja. (c) promedia cada pareja, de modo que el valor total es el promedio de (a) y (b). 7. (a) MInimos locales en 0, 3.8, 5.8, 7.9, 9.9 (b) máximos locales en 3.1, 5, 7.1, 9 9. (a) positivo; (b) negativo; (c) negativo; (d) positivo
A(A+B+C+D)=36
3. (a) 11,010 pies;
Conjunto de problemas 6.2 1
206ir
256ir
3. (a)
15
(b) 8n7.
5.
Conjunto de problemas 6.1 3 42
1. 6
2
2
253 12
2
13.
11.
1024 Sir
IT
4
11.
9.
zx
24
6
17.
15.
243ir
Al
3
S
13.
2
17 6
6561ir
32r
19. 17.
4
ab2 ir
25. 2
21.
19.
29. 2rr2 L -
27.
31. iTr2(Li + L2) 33. (a) 37. 3
1024iT;
r3 tan 0
23.
128 3
r3
r3
(b)
39. (a)
35. 2ir + r2 h;
(b)
r3
41.
R-1 9
R-20
Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 6.3
15.
1. (a), (b)
f-dx;
It:V
2ithx;
zW
2'Tf-dx;
2'zTf dx;
irf (_-+_)dx; X
61T
2f( 3. (a),(b)
2irx32
zW
x;
f3
17.
21T / x312 dx; JO
36V
23. (a)
(b)
;
;
3. (a) 6.2832
iW
(c)
25.
rS
Conjunto de problemas 6.4 1. (a) 10.2462
5. (a), (b)
21. r(\/ - 1)
2 3/2 (b2 - a)
19.
2ir(5x1"2 - x3"2)zx
2Tf (5x2 - x312)dx
5. 2\/ 13.
(b) 11.0897
(b) 7.4484
(181V181
7.
- 13\/13)
9. 9
11
595 144
15.
v
4O\/
7. (a),(b)
zV
21T(x4 + x2)zx;
2f(x4 + x2)dx
x
i(2\/_ 1)
4ir
3
17.
6a 23i30
9. (a),(b)
y
(c) iW
2ii-y3
y;
2fY3dY
19.8a
21. (a) 27.
x
11. (a), (b)
iV
2ir(2y2 - y3)Ly
2f (2y2 - y3)dy; 13. (a)
fb
- g(x)2]dx;
2f x[f(x)
- g(x)]dx;
2f(x - a)[f(x) - g(x)]dx;
2f (b - x)[f(x) - g(x)]dx
(4\/ - 1);
(b) 16
(i0\/iO - 1)
23. 6\/37-
29. 4irr2
R-21
Respuestas a los problemas impares
2. = 8,M,(R1) = 16°'
= ,M(R1)
17. m(Ri) =
M(R2) = 46, M(R2) = 8.
m(R2) = 26, X2 = 2, 2 =
21.=-J=
25.
27. El centroide está a unidades en dirección perpendicular al centro del diámetro. ( = , = 0)
2fd(e
29. (a) V
31. (a) 4irr3 n sen
- y)w(y)dy 35. iE = -7,
cos2
0.669
Repaso del capItulo 6.7 Examen de conceptos
7.F
15. V
17. V
; V(S3) =
; V(s) =
13. V
11. F
9.F
5.V
3.F
1.F
Examen de conceptos
6
6
11 6
SIT
7. V(S1) =
; V(S2) =
11. (a), (b)
9. 205,837 pies-lb
37. 0
17. 36
15.
13.
2O48iT
f[f2(x) - g2(x)]dx
19.
0
fb
0 0
n = 1;L n = 10: L
1.48;n = 4:L 1.41;n 2:L 1.95 1.75; n = 100: L
21. M,
- g(x)]dx
M
f6[f2(x) - g2(x)]dx
1.60
23.
2f f(x)\/l
+ [f'(x)]2dx
Conjunto de problemas 6.5 1. 1.5 pies-lb
3. 0.012 Joules
7. 18 pies-lb
11. 76,128 pies-lb
13. 125,664 pies-lb
17. 2075.83 puig-Ib
19. 350,000 pies-lb
21. 952,381 mi-lb
23. 43,200 pies-lb
25.
3,hi
+ 15m
Ja
+[f2(a) - g2(a)] + r[f2(b) - g2(b)] Problemas adicionales 6.8
27. 86,934 pies-lb
Conjunto de problemas 6.6 1521 3.521 5. M,, = 17,M = -3; = 1,i = 11.
9.
/ g(x)1 + [g'(x)]2dx
+2
9. 52,000 pies-lb
1. (a) pies/seg; F(t) es ei cambio en velocidad de 6 segundos a T segundos; (b) pie-libra; F(s) es el cambio en el trabajo de 3 pies a s pies; (c) puigadas; F(r) es el centro de masa de un objeto con una longitud de r pulgadas, cuya masa en x es f(x). 3. (a)
;
5. (b) 2
(c)
(b)
7. F = 0.2496 lb P
624 lb/pie2
13. 4.54 pies 11. 4602.96 lb 9. (c) F 12,009 lb 15. (a) 19 hp; (b) 88 hp; (c) 1,898,424 pies-lb
Conj unto de problemas 7.1 1. (a) 1.792;
=
=
(e) -3.584;
2x+3
15.
5
x2 + 3x + ir
3
x-4
7.
-X-
192
'
27 -Y - 19
=
=0
in2x + 1 + C
19. (ln x)2 + C (x + 1)2 23. in x
x 1
9. 2x + 4xlnx + (inx)2 15.
(d) 0.3465;
(c) 4.396;
(b) 0.406; (1) 3.871
Vx2+1
17. ln3v2 + 9v + C
21.
25. In
[in (486 + n-) - in ir]
x2(x - 2)
x+2
1
13 .243
R-22
Respuestas a los problemas impares 3
27.
+ 33x2 + 8
2(x3
lOx2 + 219x - 118
29.
4)3/2
6(x -
31.
Conjunto de problemas 7.3
+ 13)'2(2x +
4)2(x
33.
1. (a) 20.086;
(b) 5. cos x
3. x3 11.
8.1662;
(d) 1.20
(c) 4.1;
7. 3 in x - 3x
9. 3x
e'x+2
e2
13.
17. x2ex(x + 3)
23. (a)
15. 2x
2Vx + 2 19.
x'\/ex + x
21. - y-
e
x
(b)
y
35.
25. 37.
MInimof(1) = -1
39.
45. (a) 1
43. in 2
(b) 3
iIm mx = oc 47. r In 4
41.
x=
27.
3
4355
51. (a) Máximos: (, 0.916), (, 0.916); mmnimo: (, -0.693); (b) (3.871, -0.182), (5.553, -0.183); 53. 0.35
(c) 4.042
(a) 0.139;
e31 + C
29.
(b) 0.260
- 1)
35. 0.15 0.1 0.05
0.4
0.6
43.
0.8
Conjunto de problemas 7.2 1. f1(2) = 4 3. Sin inversa
15.f(x)=x-1 f(x) = 3 -
21.
5. f(2)
=
-1
f(x) = -
37. 4ii-
33.
29.V=4; 27
+ 33)of(x) =
3. 8
13. 4.08746
h=33/V 21
(-i
35.
5
- 1)
45. (a) 0; 0 (b) Máximo: (e, ); mfnimo: (, - ) (c) e-1 49. (a) 3.11; (b) 0.910 51. 4.2614 53. Se comporta como -x; se comporta como 2 in x
1. 3
31. (-oc, -0.25] o [-0.25,oc); entonces
f(x) = (-i - V8x
(b) 8.31 X 1081
\/
Conjunto de problemas 7.4
25.f1(x)_l+X 1 -x
f(x) = /2_x)l/3 -1
\/(e
ev + C
33.
3-e
47.
17.f'(x)=x2-1,x0
23.f(x)=1+ 27.
ex2+6x + C
41. (a) 3,628, 800; 3,598, 696; 0.2
19.
31.
+ V8x + 33)
3Z
5. 9
7. 1
17. 2 . 62x in
15. 1.9307
1
[z+5
+ in(z +
11. 0.1747
9. 1.544
5)in3
19.
6
1
in 3
2x21
I
23.
27. 102xin10 + 20x19 29. (r + 1)x + (i + 1)xin(3r + 1) l)lflX(in(x + 1) 2xinx\ 31. (x2
+)
in2
+C
25.
40
inS
33.senl
35. iog1,,2x = -iog2x x
37.
E
5.017 x 108 kW-h para magnitud 7;
E 39.
(r1),
(r1)'3
10
-
47.
1.560 X 1010 kW-h para magnitud 8 r = 21/12 1.0595; frecuencia de C = 440'/
lImX
= 1; mInimo: (e, ee)
523.25
49. 20.2259
39. 43. (a)
1;
(b)
;
(c)
45.
Conjunto de problemas 7.5 1. y = 4e6t
3. y = 2eOOO5(tO)
5. 56,125
7. 15.9 dIas
R-23
Respuestas a los problemas impares 9. 4.64 millones; 4.79 millones; 6.17 millones; 105 millones 15. 81.6° 13. hace 2950 años 11. 7.43 g 17. (a) $449.63; (b) $453.13; (c) $453.46; (d) $453.47 19. (a) 5.805 aflos (5 aflos 10 meses); (b) 5.776 años (5 años, 9 meses, 9 dIas) 21. 133.6 miles de millones de dólares 25.
Conj unto de problemas 7.7
3.-i
1.
7. -
5.
9. 0.4567
11. 0.1115
13. 0.9548
15. 2.038
17. 0.6259
19.
21. 0
sen9
- tan
23. 0 = tan
25.
(a) *; (b) -
33.
27.
0 = sen1
35.
27. (a) -; (b) e;
(c) e2;
e
(d)
1
e2
37. sec x
31. 81.4 aflos desde 1998
29. 15.25 millones
33. (a) k = 0.0132 - 0.000lt (b) y' = (0.0132 - 0.000lt)y y = 5.9e00132t_000005t2
4x
39.
3
x 3(1 + sen -1)2
sen22x + C
10
51.
La población maxima ocurre cuando t = 132, que es el aflo 2130; el modelo predice que la población regresará al nivel de 1998 en el año 2262. 35.
Crecimiento
exponenciaI,.,
/
15
5
53.j
arctan 2x + C
57.
55.
59. 0 = tant
7.6
- b2cos
63.
Crecimiento logistico
10
seni 2
300'
200
100
5)
- tan1 b
2a
2.6
Si b = 12.9,0
- 2a2sen
b
+
2a
2
0.3335
bV4a2 - b2
65. 50
100
Crecimiento exponencial: 6.91 miles de millones en 2010; 10.27 miles de millones en 2040; 19.87 miles de millones en 2090; Crecimiento logIstico: 7.29 miles de millones en 2010; 10.74 miles de millones en 2040; 14.28 miles de millones en 2090
73. 4.9 pies
rad/seg
75.
77. 1 rev/mm
x io rad/seg
Conjunto de problemas 7.6
79. 3.96
3.y=a+C(1_x2)h/2 1.y=e_x(x+C) 5.y=xex+Cx 7.y=1+Cx1
Conjunto de problemas 7.8
- ff(xdx ' 11. y = x4 + 2x pasa por (1,3). 9. y = 1 + Ce 15. 38.506 lb. 13. y = e_x(1 - x) pasa por (1, 0).
17. 3 senh (3x + 1)
17. y(t)
+ 3tan_1(ex)]
x/x6 - 1
1 + x2
sene
[1 + e2x
- 4x4
)2 3(tanI x
xex
41. x2[
= 2(60 -
t)
-
()(60
13. 2 senh x cosh x = senh 2x
- t)3pasapor(0,0).
19. 1(t) = 10_6(1 - exp(-106t)) pasapor (0,0). 23. Sea y el nUmero de galones de alcohol puro en el tanque en el instante t. (b) 26.67 mm (a) 21.97 mm 120. (d) 400e_O04T + T
25. (a) 200.32 pies
(c) C > 7.7170
(b) 95 - 4T - 95e_OOST
25. 2 tanh x cosh 2x + senh 2x sech2 x
33. 39.
1
2(x2 - 3x + 2) 1
Vx - 1 cosh1 x
49.
31.
+
senh2
51.
3x
\/9x2 - 1
27.
2x
Vx
+1
+ cosh 3x
35. -csc x sech2(cot x)
37.
41. 2 cosh(2z14) + C
senh(irx2 + 5) + C
43. cosh (sen x) + C 0
21. x2 senh x + 2x cosh x
19. coth x
23. cosh 3x cosh x + 3 senh 3x senh x
29.
21. 1(t) = 0.12 sen 377t
15. 10 senh x cosh x = 5 senh 2x
45.
[ln(senh x2)]2 + C
-+
senh2
47.
R-24 Respuestas a los problemas impares 55. (a)
42,200 pies3; 5640 pies2
3. (a) $1232.61; (b)
lOOe°°5 (30/365) - lOOe°°5 (390/365)
1 - e°°5301365
5. (c) 10 aflos 11. (a) En orden de pendiente creciente: y = 2x; , = 3x y (b) in y es lineal con respecto de x; (c) b = 25/2; c = 23/2
4X;
13.(b) 61.
y = senhxy y = ln(x + Vx2 + 1) son funciones inversas.
Repaso del capItulo 7.9 Examen de conceptos
1. F 11. V 21. F 31. F 41. V
3. V 13. V 23. V 33. V 43. F
5. V
7. F 17. F 27. F 37. V
15. V 25. F 35. V 45. V
9. V 19. V 29. V 39. V
3. (2x - 4)ex24x
13. -2cosV + C
x2 - x + lnx + 1 + C 19. _cos(ln4x2) + C 23. -3\/1 - e2x + C 25. 1/in 3 27. x - lnsenx + C 29. lnsecex + tanex + C 17.
5. sec2x
7.
sech2\/
31. tan x +
9. secx 15
19.
11.
1
Ve2x
esene' 2\/
29.
e3x_l + C
25.
ln(e3 + 1) e
33.
39.
sen1()
+C
43.
sen'(-)
+C
47.
tan
2
+C
33. -tan1(ln x) + C 35. Creciente: [-f, -i]; decreciente: [, ]; cóncava hacia arriba: (- , - ); cóncava hacia abajo: (); punto de infle-
+C
37.
coshx + C
41.
tan1()
45.
49.tan1(3x+3)+C
)
ln9x2 + 18x + 10 + C
51.
31. 2 sen1 2x + C
,
0); mInimo global: (-
,
-1); máximo global: (,
55. -(9x - 4)(3x + 2)3/2 + C
in
57.
(4x - 9)\/9 - 2x2 + 81\/
59. 61.
23
1
)+C
53. sec1 (
,
xión: (-
+C
3sen(t3 - 2)
35. - [cot(t3 - 2) + t3] + C
eSx + 1
21. 20sec5x(2sec2 5x - 1)
23. x1(lnx + 1 + )
+C
15e
1
17
CSC \/i cot \/i
27. -cos ex + C
13
-1
15. tan1
21. 6 sen1 (ex) + C
Problemas de examen muestra 1.
Conj unto de problemas 8.1 1. (x - 2)6 + C 3. 1302 5. tan_1() + C 7. ln(x + 4) + C 9. 2(4 + z2)3/2 + C 11. tan2z + C
4x + 3
4x - 3
+C
)+C
sen
lnVx + V3x2 + 5 + C
63. mt + 1 + Vt2 + 2t - 3 + C 65. 49
37. (b) 1 (c) 39. (a) $112; (b) $112.68; (c) $112.75;
'll.y=l
43.y=Cx1
45. y = 1 + 2e_x2
47. y = _ex + Ce2x
Problemas adicionales 7.10 1. $1051.27
(d) $112.75
(3 sen t - 10)\/3 sent + 5 + C
67. ln
2
Conj unto de problemas 8.2 1. x - sen2x + C 3. -cos x + cos3 x + C 5.
7. -
cos3 4x +
cos5 4x -
9. - csc 30 - sen3O + C 11. t - seni2t + 32sen24t + C 13. cosy - cos9y + C 15.
w-
sen 2w -
sen3 w + C
cos7 4x + C
+1
R-25
Respuestas a los problemas impares 17.
tanx - tanx + x + C
tan2 x +
19.
+C
1ncos x
21. tan4() - tan2() - 2 in cosj + C 25. ) sec4 x - sec2 x +C 23. - tan2 x + 1ntan x + C .4
29.---+
45.
47. x2 sen
52
3.
cost)
+
x
(in 2)2
1n2
2X + C
43. z in2 z - 2z in z + 2z + C
+C
+C
2x cos x - 2 sen x
[sen(inx) - cos(lnx)] + C 51. x In x - 3x in2 x + 6x in x - 6x + C 49.
2
Conj unto de problemas 8.3 1.
e(sent +
2X
39.
41. x2ex - 2xex + 2ex + C
n, pues sen kir = 0 para cada entero k.
27. 0 para m
+C
37. 2\ In x - 4
+ 1)3/2 + C (x + 1)5/2 + 4)3/2 (3t + 4)1/2 + c (3t
69. 1
71. 9 -
(+e
5. 2\/ - 2 - 2eln l+e 7.
(3t + 2)7/2 -
9. 2 In 11.
-
2 -
+
x x
4\/x2 + 4
+ 2)5/2 + C
(3t
V4 - x2 + C
13.-
+C
2
9
sec
8
75.
1
z2 - 3sen1 z + C
15. -2\/1 -
e2+1
3
y =
,
=
e-2
17. in Vx2+2x+5+x+1 +C
77. (a) (x3 - 2x)ex - (3x2 - 2)ex + 6xex - 6ex + C
19. 3\/x2 + 2x + 5 - 3m Vx2 + 2x + 5 + x + 1 +C (x±2) x + 2 V5 - 4x - x2 + C se:1 21.
(b) (x2 -
23.sen
- tan
+
31. 2in
29.
)
2 - V4 -
+
x
0
si
79. i35 .....(n-i) 2ir
+ 4 - 2Inx - 1 + C + 5 - lnx - 2 + C
5. 3inx
- x2
7. 4inx
9. 2ln2x te5'
11.
-
+C
15. in2x
7.(t-3)sen(t-3)+cos(t3)+C 11. xin3x - x + C C 15. -
t(t + 1)3/2 - (t + 1)5/2 + C 13. x arctanx - in(1 + x2) + C
9.
17.
(e32 +
19.
2)
z4 in z -
21. t arctan() + in(i + t2) + C
27. 29. 31.
IT
IT
- 6\/
12 + 23 -in\3/2
x3(x3 + 4)
6(7 - 3t)2
- 4/3 + 4)5/2 + C
+ (7 - 3t)12 +
+-in4-z 4 4(4-z4) 1
33.
35. xcoshx - senhx + C
+C
25.
2 + 4inlx + i + C - inx + 1 + inx - 2 + C - 1 - 1nx + 3 + 3inx - 2 + C
x2 - 2inx + 7inx + 2 + 7inx - 2 + C
21. inx - 3
z4 + C
23. -cos3x + senx - sen3x + C
19.
IT
2V3
i - lnx + 5 + C
in3x -
13. 2inx
+C
cosx
sinespar
3. -inx + 1 + lnx - ij + C
V4 - x2 + C
Conjunto de problemas 8.4 5. xsenx +
n es impar
1.inx-inx+1+C
x
3.
+ 2cosx + C
Conj unto de problemas 8.5
1n x2 + 9 + C
\/a2 35.y=_\/a2_x2_ain a -
1. xex - ex + C
(2x - 3)(-senx)
93. ex(3x4 - 12x3 + 38x2 - 76x + 76)
25. inx2 + 2x + 2 - tan1 (x + 1) + C 27.
+ 1)(-cosx) -
246
+C
2
3x
x-3
+C
25.2inx+lnx-4+ +
1n2
23.
x+1
+
2(x+1)2
+
1
x-4
27. -21nxj + tan() + 2injx2 + 4 + C 29. -21n2x - 1 + inx2 + 9 + C 31.
-
c
1nx -
i
25(x- 1) +
33. sent -
2
125
In k +
1
25(x + 4)
1nsent + 3 - tan'(sent - 2)
-
insen2 t - 4 sent + 5
c
R-26 Respuestas a los problemas impares 5
1n x2 +
35.
(x + 3)2
+
+1
Ax+B
1
+- tan -
6V
2x2 + X
ab(1 - e((1)ko) 41. (a) x(t) = b - ae(a)kt (c) 1.65 gramos
(d)x(t)=a =
53.
2)
(2x2 + x + i0)
47. 2 in 51. 1n7
-
9
3)
tn(
1 + 4e5°'3
Conjunto de problemas 9.1 1. 1 3. -1 5. 7. -EX 9. 0 11. 13. 15. 17. -oc 19. -
(c) La población será de 9 mit millones en 2108. ACe
(A + B)kt
= 1 + Ce()kt
Repaso del capItulo 8.6
21. -oc
Examen de conceptos
33.
1. V 11. F 21. F
(2x2 + x + 10)2
(b) 5.94 mit millones
8
1
D
(x + 3)4
Gx+H + x2+2x+10 (x2+2x+lo)2 Cx+D Ex+F +
+
1
+
Ex+F
49. 4[2 - tn3 - (1n3)2]
\akt + 1 ) 10
43. (a)
+ 10
+ 4 in
45.
akt
7
C
(x + 3)3 +
+ 2(x2 + 4)
in
45. y(t)
B
+
x+3
2x-5
37. tan 39
A
+C
+ 2(x2 + 1)
3. F
5. V
7.V
13. V 23. V
9.V
15. V
17.F
19.V
23. 1
27. (a)
;
(b)
29. 4-b2
35.2
37.
Problemas de examen muestra
3.e-1
1.2 5.
+ 2y - 21n1 + y + C
y3 -
7.tny2-4y+2+C 11.
- 1)
sen1
9.et+2tnet-2+C
+C
+y+C
+
in
13.
15. -in incosx + C 17. coshx + C 19. -xcotx - x2 + 1njsenx + C 21. [In(t2)]2 + C 23. - e3(9 cos 3t - sen 3t) + C
25. -cosx - cos2x + C 27. sec(2x) - sec(2x) + C tan52 x + tan92 x + C 31. -'\/9 - e2' + C 33. 3 sen x + C 35. tanH (e4x) + C 37. (w + 5)3/2 - 10(w + 5)1/2 + C 29.
39. -tan' 7 cos2 y 41. tnx 43.(a)
2x + 1
A
x-1 +
+
39.
+C
21 - -tn x2 + 3 + x2 A
La razón entre las pendientes es 1/2, to que indica que el tImite de tat razOn debe estar cerca de 1/2.
B
(2x + 1)2
B
+
+
C
2
tan1\ C
(2x + i) +
D
(x-1)2 2-x (2-x)2 Ax+B Cx+D + x +x+1O (x2+x+10) 2
)+C
+
1;,
(2-x)3
0.01
2
A
1-x
+
B
(1 - x)2
+
C
1+x +
+
-0.01 -0.005
0.005 0.01x
D -0.01
(1 + x)2
Ex+F x2-x+10
+
Gx+H (x2_x+10)2
La razón entre las pendientes es -1/1 = -1, to que indica que et lImite de tat razón debe estar cerca de -1.
Respuestas a los problemas impares R-27
Conjunto de problemas 9.2
Repaso del capItulo 9.5
13. 1 11. 0 9. 7. 0 5. 3 3. 0 25. 0 23. 1 21. 1 19. e4 17. 0 33. 1 31. 00 29. 0 27. 1 39. 1 37. 0 35. El lImite no existe. 41. (a) 1; (b) 1; (c) in a; (d) 00
Examen de conceptos
43.
1. 4
1. 0 15. 1
1.V
7.V9.V 19.V
5. F
3. F 13. V 23. V
11. F 21. V
17.F
15. V 25. F
Problemas de exa men muestra
9. 0
7. 0
5. 2
3. 0
2.0
25. 1 -
1.0
21.
27. Diverge
33. Diverge
0.5
19. 1
17. 1
15. 0 .5
40
60
Cuando x -+ 0, y - 0. Cuandox - oc, y
-f
1.
(b) 4.163;
47. (a) 3.162;
1. (b)
(c) 4.562 25
49. No hay mInimo absoluto; máximo absoluto en x
Conjunto de problemas 9.3 3.
9. Diverge
11. Diverge
15. -
17. Diverge
13.
43. Diverge
(a) C = k; (b) 0
(a) C = k; (b)
=
k-i , finita cuando k >1;
kM2
(k - 2)(k - 1)2
7. 100,000
cuando k > 2
7. (a)
(ln2 + 1) 21. r
19.
5.
3.
(c) (72 =
5. Diverge
1. Diverge
1
Problemas adicionales 9.6
Valor máximo eL en x = e.
45. 0
31. 6
29.
37. 0
35.
41. Converge
80
23. Diverge
e2
39. Converge: p > 1; diverge: p 20
13. 0
11. 1
23.
(b - a)2 25.
in3
39.
I
1100
1100 1
-
dx = 0.99; I 1
101 100
ff100
1
099
41.
1
1
X.
Jl
X
J1
31. (b)
29. $1,250,000
dx
(c)
12
3.69
1001
dx
4.50; f -dx = lnlOO
dx
4.71
exp(-0.5x2)dx
0.6827;
exp(-0.5x2)dx
0.9545;
exp(-0.5x2)dx
0.9973;
4.61;
-15
(b)
lImf(x) = Oparai = 0,1,2,3
Conjunto de problemas 10.1
exp(-0.5x2)dx
ff3 -44
21. a
3. 2\/
11.
7. Diverge
5.
(2'° - 102/3)
13. Diverge
9
19. Diyerge
21. Diverge
23. Diverge
25. Diverge
27. 2V
43. (a) 3
35. 0
45. No
37. Diverge
49. Converge
n
2n - 1' 2
2 29. a; diverge n 2
3
33 34'3'8'5
29. Diverge
39.
5
(i +
41. 6 55. (a)
;
(b)
53.
_
2V3
9. 0
7. Diverge 17. 0
15. 2
23. a = (-i) 2n-
:
=
25. a
21
15. Diverge
17. Diverge
31. ln(2 +
13. 0
11. Diverge
0.9999
Conjunto de problemas 9.4 1.
5. 1
3. 4
1.
-3
19. e diverge
1 27. a = nsen-;i
1
5
9
13
31 2' 4' 8' 16
7 15 37. 2.3028 35. 1, 32'4' 8 43. 1 - cosi 41. 1.1118
\/I)
55. e2
57. e2
59. e1
51. No
R-28 Respuestas a los problemas impares Conjunto de problemas 10.2 1. 3. 5. Diverge 7. -1
23.V 9.
13.
- e) 21. 1
15.
3
17.
33. 111 aflos
27. $4 mu millones
29.
31.
37. (b) Indefinitivamente
41. (a) 2; (b) 1
(b)
ekt
mg
a0 + a1x + a2x2
5.-2 + 3x-4 +
9x2
1
Conjunto de problemas 10.3 1. Diverge 7. Diverge
3. Diverge 5. Diverge 9. Converge 11. Converge 13. Diverge 15. Diverge 17. Diverge 19. Converge 21. Converge 23. 0.0404 25. 0.1974 27. p > 1 31. La racionalidad de y es un problema aün no resuelto.
7. x2 +
x6
2
6
12
3. S -
1.33;
(b) 1
+
-
<
n-oon!
0, entonces
n!
x5
3!
4!
5!
2x4
+
2!
2x6
+
4!
+...
6!
23830 +
x2
x3
+
21.x+
2x3
23x+
x3
3x4
+
6
11x5
40
29x7 + 105
13x5
+ 15
3
+
x4 3x5 +-+ +
6
x4
3x5
612 +
40
ex - (1 +
(b)
1+x
0.833
45.
1
no convergerá.
x)
(c) -ln(1
x2
2x)
X
27.
(1 - x)2' 1
6 '''6
2
19. -6 2 x c -4 21. Si jim
x4
2'
x2
17. -3
2
x3
x3 29.(a)x+-----
l.-1x1
15. 0
x2
X
ln2
Conjunto de problemas 10.6 3.Todax 5.-1
2x2
25. (a)
13. Condicionalmente convergente 15. Divergente 17. Condicionalmente convergente 19. Absolutamente convergente 21. Condicionalmente convergente 23. Condicionalmente convergente 25. Absolutamente convergente 27. Condicionalmente convergente 29. Divergente
35. (a) 1 +
+;1
+
19.x-x2 +
0.417
S9
20
x+ --+---
171+
Conjunto de problemas 10.5 S9
; 1
x5
2x5
2x3
11.2x+
152+
3. Converge 5. Converge 7. Diverge 9. Converge 11. Diverge; criterio del n-ésimo término 13. Converge; criterio de comparación de lfmites 15. Converge; criterio del cociente 17. Converge; criterio de comparación de lImites 19. Converge; criterio de comparación de lImites 21. Converge; criterio de comparación de Ilmites 23. Converge; criterio del cociente 25. Converge; criterio de la integral 27. Diverge; criterio del n-ésimo término 29. Converge; criterio de comparación de lImites 31. Converge; criterio del cociente 33. Converge; criterio del cociente 43. (a) Diverge; (b) Converge; (c) Converge; ( d) Converge; (e) Diverge (f) Converge 45. Converge para p> 1, diverge para p 1.
+
x4
2
9.--+------+...; 1 x4
Conjunto de problemas 10.4
5. S -
1
".;-3
+
16
+
x1°
x3
13 1
1. Diverge
+
27x3
+
8
x2
33. 272,404,866
0.065 0.230
<
x
,
1Conjunto de problemas 10.7 3.1+3x+6x2+10x3+;1
45. 1
1. S - S9
(b) -
l.1-x+x2-x3+x4-x5+..1
Cekt
43. (a)
<;
x
19.
29. S(x) =
25. 500 pies
1
Diverge 27. (a) -1
e
4-x ;2
25.
x 31.-+ 2
3x2
4
(h1-1-r+r2-I-
++ 7x3
33.
8
x
5x3
k...
35. 3.14159
1-x-x2
Conjunto de problemas 10.8 1.
x3
7r5
3
15
3.x+x2+----
x+_:_+__
3
x2 x3 5. x----+ 2 6
3x5
9.1+x+ 3x2 + 2
3x3
11. 1 -
3
+
x + x3 -
.1+3x+-+--+-2 24 60
37x4
24
x2
+
37x5 24
13. x3
2 x3
15. 2x - -17. 1
7
40
+ 3x --
61x5
+ 120 3x2
+8-
L+ 16
30
3x4
3x5
128 - 256
x4
x5
Respuestas a los problemas impares R-29 19. e + e(x
21.-
-1) (
1
2
- 1)2 +
+
- i)
\ 1/ x_-)_x_-)
21. (c)
2
+ 12
4.650
13.889 6.959 4.649
14.4 7.2 4.8
3.495
3.494
3.6
0.05
13.892
0.10
6.960
0.15
0.20
29. 0.9045
23. (a)
31. 1-(x-1)+(x-1)2-(x-1)3+(b) -3;
33. (a) 25;
-
n (regla 72)
(exacto)
\3
(
23.3 +5(x-1)+4(x-1)2+(x-1)3 27. x +
n (aprox.)
n
r
2x5
x3
41. x
+ 15
47.x+x2+
5x3
-
43. -2 + x -
(d) 4e;
(c) 0;
x5
3
30
x5
x3
x7
120 - 5040
6 +
45. x +
6
x3
-
-4
(e)
x2
5x4
23x5
2
24
120
(b)
Repaso del capItulo 10.9 Examen de conceptos
3. V
1. F 9. V 17. F 25. V 31. V
5. 13. 21. 29. 35.
11. V 19. V 27. V 33. F
F F
7.
15. V 23. V
V V V
17. cos 2
15.
e-I
11. Diverge
19. Diverge
41.1
x3
x4
+ x -2!- - -3! + -4! +
49. 0.21046
x5
5!
1) +
13.
-
- 1)
+
17
101n2
8.719 x 10
ir )7;
x
2.685
x
10-8
4.17 X 10_6; error real: 4.08 X 106
x3; R3(x)
2.15 X 106
6.19 x 108
53. (b) L52 = L53
=
L54
=
L55
=
(x - Xi)(X (x2 - x1)(x2
(x - Xi)(X (x3 - x1)(x3
(X-Xi)(X (x4 - x1)(x4
(X-Xj)(X (x5
- x1)(x5
0.623; R2(2) = -
1 para a e [1,5]; error real
0.07.
Conjunto de problemas 11.2
- i)
- 1)2 - 1(x - i)
15.7 +2(x-1)+(x-1)2+(x-1)3 17. (a) 1.1111; (b) 1.9375;
31.
57. Polinomio de Maclaurin: R2(x) 0.0060744, error = 0 0.0004753, error = 0.001 Poiinomio de integración: R2(x)
\2
11.
e
+ x2 39. n 41. 1 43. 0.1224; Error 0.00013025
55. in 2
x; 0.1133 - 1)2 +
- 5040
29.
(d) -0.75x2 + 2.75x
4/ 4/(x-) + 8( +x_)+
e + e(x -
COSC7
37. 3.77 x 10
51. 0.000004167
5. x + 7. x - x;0.1194
7(2 + c)7'
todax
Conjunto de problemas 11.1 1. 1 + 2x + 2x2 + x3 + x4; 1.2712 3. 2x - x; 0.2377
9.
33. R6(x) =
2ir
47. 0.681998; R3
39.3
x2
27.
1
45.-1-(x-1)2+(x-1)3+(x-1)4
25. Diverge 21. Converge 23. Converge 27. Converge 29. Diverge 31. Converge 35. Diverge 33. Condicionalmente convergente
37.-1x1
25. e6 +
35. R6(x) =
Problemas de examen muestra 7. 0 9. 1 1. 3 3. e 5. 1 13.
F
(c) 4.0951;
(d) 31
1. 1.1865; 0.6766; 0.6671;
6)
3. 1.6847; 1.8615; 1.8755;
7. 3.1416 5. 1.5708;1.9541;1.9886 9. n = 5;0.74 11. n = 5; 0.27; 13. n = 16; -7.219 17. n 40,825 21. 4570 pies2 23. 1,074,585,600 pies3
25. (a) 11.6 millas (b) 14.2 millas
R-30 Respuestas a los problemas impares 27. (a) m = 355; M = 7675; M, = 1630.625; = 4.59; (b) m = 356.67; M = 7716.67; M = 21.64;
= 21.62;
3.
y(x) 20 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N N \ N N N N \ \ N
NN\\\\\\N\NNN\N\\\\\NNNNN N NN\N \\\N\N N N N NN N \ \ N N N N N N
1642.9;
\NNNNNN\NNNNNNNNNNNNNNNNN
= 4.61
29. m = 57,000; M = 12,002,800; M = 4,994,480; E = 210.6; = 87.6 31. (c) 0.99997; E10 0.0236 35. -1.0889
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN NNNNNN
"N". NNN'.NNN
15
N".
10
Conj unto de problemas 11.3 1. 1.46 3. 1.45 7. 1.37015 5. -0.12061 9. 0.45018 11. 2, 0.58579, 3.41421 13. 0.52658 15. 1.81712 19. 1.08 X 1019 17. 4.49341;-0.21723 21. Si x1 1.2, el algorimo no converge. Si x1 = 0.5, r 0.36788. 23. (c) i 0.0151308; r 18.157% 25. (a) El algoritmo calcula la raIz de - a = 0 para x1 cercano a 27. -1.87939, 0.34730, 1.53209 29. -2.08204, 0.09251, 0.91314, 1.62015, 1.85411
limy(t) = Oyy(2) 5.
\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\\\ \\\NN= \\\NN
N NNN \\ \\\\\\\\\NNN\\ \\ \\ \ \\ \\ \\\ N \ \NN-
\ \\\ \\\NN'--.'-.-------\ \ \ \ \\NN-
\\NN-.---.----- 7/ ,_// / \N \ NN-.'----77//I/ // // // NNN '-.__--.------____7/ / / / / / / / /
77///////// I/ -_7//// _7//// // //I /// /// /// /// I// II/ / / 7////// / / / /
///// ///I/ /// II / // // I // // II /
3. 2.21756
I/I / / I / / /
5. (a)
6
y(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \
Conj unto de problemas 11.4 1. 0.09237
2
1
0.5;
x
/
/ / / /
La asIntota oblicua es y = x.
;
g'(x) = 2 - 4x;0
7.
y(x)
/////////////////////////
5
4 ///////////////////////// - ,-' ,- ,- ,- - ,- - - - - - - - - - - , - - - --- - -
3 _._7____7777777________ - --- -------------
7. (a)
3x y = 9.
cos ipx, g'(x) > 1 en una vecindad de los puntos fijos
ex/2
y(x)
NNNNNNNNNNN.-------' N \\NNNNNNN-.'.------NNNNNNNN-.---.-------
El algoritmo no produce una sucesión convergente.
g'(x) =
1
4
NNNNN..'-.'-.'--.------.--NNNN -'--..---'---- -
9. (b) 0.81673,-0.81673 11. 1.839 13. (a) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1.4142136, x4 = 1.553774,
__,_,-__'////////// / / /
x5 = 1.5980532;
(b) x = 15. 1.7725
+
(c) x = 1.618034 (b) 0.01599
1.618034
17. (a) 293.75
-'7.-','//// / / / / // // // / I/ // .---".-'77//////////// _____-'__.-',_///// / / / / / / / / / / / / / ///////////// / / I / / / / / I / I 2
1
Conjunto de problemas 11.5 1.
Ay(x)
20\\\\ \\\\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\ \\ \\\\ \ \ \\ \\ \\ \\
y=x+1+
x
ex.
Nota: Las soluciones de los problemas 17-21 se dan junto con las soluciones correspondientes a 11-15.
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 15
x
l0
2
lImy(t) = l2yy(2)
10.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Método de Euler y,
Método mejorado de Euler y
3.0 4.2 5.88 8.232 11.5248 16.1347
3.0 4.44 6.5712 9.72538 14.39356 21.30246
Respuestas a los problemas impares 13., 19.
x
Método de Eulery
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
deEuIery
0.0 0.0 0.04 0.12 0.24 0.40
1.0
3. Foco en (0, -3); directriz y = 3
Método mejorado
0.0 0.0 0.04 0.12 0.24 0.40
15., 21.
x
Método de Eulery
5. Foco en (, 0); directriz x = -
Método mejorado de Eulery
1.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
'OX
-10
1.0 1.0
1.2
1.0408 1.12739 1.27080 1.49039
1.488 1.90464
2.51412 3.41921
-1
3 X
23. Error del
Error del
método de
método mejorado
Euler
de Euler
0.229962 0.124539 0.064984 0.013468 0.006765
0.015574 0.004201 0.001091 0.000045 0.000011
h
0.2 0.1
0.05 0.01 0.005
7. Foco en (0, ); directriz y = -
El error es propui%ional a h2.
27. (a) y(x1)
0
(b) y(x2)
(c) Cuando n = 10, y(x10) =
9. y2 = 8x
0.00099998
y(l)
0.269097
11. x2 =
-8y
15. y2 =
Repaso del capItulo 11.6 Examen de conceptos 1. V 7. V
3. V 9. F
13. V
15. V 21. V
19. F
5. V 11. V 17. F
Problemas de examen muestra
3. 3 + 9(x - 2) + 4(x - 2)2 + (x - 2)
1. x;0.2 5.
-
7. x2 -
- 1) +
- 1)2 -
x; R4(x) < 2.85
9. -0.00269867; Error
- i) +
36,
- i)
X 10
-10
1.63 X 10
11. -0.00269939; E8 < 2.04 x io 15. 4.49341
17. x2
17. -3.18306
19. 638.6016
Conjunto de problemas 12.1 1. Foco en (1, 0); directriz x = -1
13. 0.281785
19. y = -2x - 2;y =x -
13. y2 = -16x
R-31
R-32
Respuestas a los problemas impares
21. y = 4x - 8;y =-x + 9
11.
9.
5-
I
I
5X
-5
-5 -
15.
13.
23
.y=2x- 2;y=- 2\/
X
21\/
2
2
17.
25. y =
-Vx +
3;y =
36
+
27
=1
19.
200
+
225
=1
23.-=1 25.-=1 29.-=1
-6
2b
31. 8.66 pies 37. 0.05175
35. 0.58 UA
a 41.
a2
+ b2
=1
45.
27. (4, 2\/) Conjunto de problemas 12.3 2
x2
x2
y2
1+1691 3.36-j-=l 7.x-Vy=9
9.5x+12y=169
13. (_\/,), (\/,) 29. y = x - 3 37. 2p
31. 14.8 millones de millas
39. L = 4p
41. y =
2H
43.
17. 7rab
19.
b 3a2
21. a\/porb\/ 25.
[(a2 + b2)3/2 - 3a2Va2 + b2 + 2a3]
23. (6, 5\/.)
Espejo elIptico
4'
de Ia parabola
y Ia elipse
3. Hipérbola vertical 7. Elipse vertical 5. Parabola vertical (abre hacia arriba) 1. Elipse horizontal
F' Otro foco de Ia elipse
ll.yi3
15. (-7,3),(7,-3)
'Ycomun
Conjunto de problemas 12.2
5.x+V'y=9
Espejo parabólico
Respuestas a los problemas impares R-33
Conjunto de problemas 12.4 1. CIrculo
5. Punto
7. Parabola 11. Rectas que se cortan 13. Recta
3. Elipse
9. Conjunto vacIo
Conjunto de problemas 12.5 1.
15. Elipse 17.
u2
3.112+
21.
v2
16
=1
25. u2
5.4v2
36_i
29.
(u-2) 4
3
31. Foco en (, 1); directriz x-- - 20 33. (-2, 2), (4, 2)
35.
37.(x-2)2=8(y-3) 41. (y
5)2
45. (a) y =
(c) (x -
5\2
= 16(x - 6)
(y - 1)2
5)2
(x 25
=
16
(y-3)2 9
x2
161 - 2)2
43.
1
4
=1
- x; (b) x = y2 - y;
+ (y -
5\2
-2
47. Si K < 1, la cónica es una elipse vertical. Si K = 1, la cónpa es cIrculo. Si 1 < K < 0, la cónica es una parabola hoioiTt4Si7c = 0, la cónica es una parabola horizontal. Si K > 0, la cónica es una hipérbola horizontal.
(v+3)2
(u+2)2 2
+
=1
R-34 Respuestas a los problemas impares (u
/1O)2
11.
2/10)2
(v
11. r =
+
13. r = 2csc0
15. u = x cos 0 + y sen 0, v = x sen 0 + y cos 0 17
2
3senO - cos0
(17\(1 7 " 5, 5)''\5'5
5
23. (a) 2 < B < 2; (b) B
0;
(c) B < 2 o B > 2;
(d)B=±2 -5
Conjunto de problemas 12.6 -5
1.
15. r = 2
17. x
3.
0
19. x = 3
23. CIrculo 10
-10
10
-10
5.
25. Recta 5
-5
(1, hr), (1,
(-1, fir), (-1,
(1, - ir), (1, jr), (-1, - ir), (-1, ir)
-5
,1r) (,),(V,),(/,ir),(v/2\
27. CIrculo
(V,),(V,),(v,),(\/1T)
7. (a) (0,1);
(b) (-
2' - 2)'
(c)
(c) (2,
'ir);
2
-2
(d) (0, -\/) 9. (a) (6, ir); (b) (4,
'ir);
(d) (0, 0)
)'
21. y = 1
Respuestas a los problemas impares 29. Parabola; e = 1
e = 0.9
31. Elipse; e =
e= 1
33. Parabola; e = 1
e = 1.1
35. Hipérbola; e
2
e = 1.3
39. 2ed
41. 0.83
43. 25 millones de millas
45. e = 0.1
Conjunto de problemas 12.7 1.
3.
-5
e = 0.5
-5
5.
7.
R-35
R-36
Respuestas a los problemas impares
9.
11.
13.
15.
37.
43. (a) r =
(d)r=+ (1) r = (g) 19.
17.
45 senO
(b) r = 6; (c) r = +
;
1
V2sen2o
;
(e)r=
\/cos2O
2
senO - 3cosO
- 2 sen U + \/4 sen2 U + 6 cos2 U 3cos2U
r = cos U + 2 sen U ± \/(cos U - 2 snU)2 + 25;
45. (a) VII (b) I (c) VIII (d) III (e) V (f) II (g) VI (h) IV 47.
23.
21.
49.
= 0 es la gráfica para girada un ángulo 4) 4 en sentido contrario al de las manecillas del reloj en tomb del polo. (b) Cuando n crece, el nümero de "hojas" aumenta. 53. La espiral se desenrolla en el sentido de las manecillas del reloj para c < 0. La espiral se desenrolla en sentido contrario a! de las manecillas del reloj para c > 0.
51. (a) La gráfica de
27.
25.
55. (a) III; (b) IV; (c) I; (d) II; (e) VI; (f) V
Conjunto de problemas 12.8 31.
29.
3.
1.
2a
9
35.
33.
7.
2a
2a 27
(6, ), (6,
)
00 '
2
'3
Respuestas a los problemas impares 11.
9.
3. Elipse
5. Parabola
Focos en (o, ±v')
Foco en (o, -)
Vertices en (0, +3)
Vértice en (0, 0) 5
17 9
2
IT - l7sen
9V 4
I
5
-5
9. Parabola Foco en (0,0)
7. Elipse Focos en (+4,0) Vertices en (±5, 0)
_cos1+3\/
I
2
15.
13.
I
x
Vértice en (0,
)
V
10
41T
17. 5lir 21.
19.
lox
-10
-10
11.
9\/-
4\/-IT 23. (a)
1
(b) -1
25. (-1, ), (3, ), (
(d)
(c)
, sen
), (, IT -
27. 8a 29. iTa2 si n es par. 31. (a) a2 tan + b2( - tan 33. a2[(k2
35. 1.26a 39. 63.46
17.
4
sen
,2
x2
+
=1
13.
(x - 1)2
(y - 2)2
25
16
19. CIrculo
2
= -9x
=1 21. Parabola
1 1'
,
lTa2 Si 11 es impar.
) - ab
- 1)IT + (2 - k2)coS1()
kV4 - k2] 2
37. 4IT;26.73
23. r = ; s = - ; hipérbola; 4V 25.
27.
29.
31.
Repaso del capItulo 12.9 Examen de conceptos
1.F 9.F 17.V 25.V
3.F
5. V
7. V
11.V
13. F 21. F 29. V
15. V 23. F
19. V 27. F
Problemas de examen muestra 1. (a) (5); (b) (9); (c) (4); (d) (3); (e) (2); (f) (8); (g) (8); (h) (1); (i) (7); (j) (6)
15.
-
=1
R-37
R-38
Respuestas a los problemas impares
33.
35.
9.
(a)
(b) No simple; ni cerrada
y 10
-20
A
20X
I, -10
37.
(x-3)2+ (y-3)2=9
11. (a)
Simple; no cerrada
-x28 +
13.
39. 1 45. (a) I;
41.
r
(a)
18
=1
Simple; cerrada
43.
(b) IV; (c) III;
,2
+ 4
(d) II; (e) V
9
=1
x
Conjunto de problemas 13.1 1. (a)
Simple; no cerrada
15.
No simple; cerrada
(a)
y=
x2
4
5.
(a)
,2
+
9
=1
Simple, no cerrada
No simple; cerrada
y = (x + 1)
x+ y =9
Simple; no cerrada
19. (a)
No simple; ni cerrada
y = V4 - x
y = 8x2(1 - x2)
Simple; no cerrada
y=
21.
dy dx
2T,
d2y
1
dx 2
3T
23.
25.
dy d2y = cot t; = csc3 t dx dx2
27.
dy d2y 5 = sent; dx 3 dx2
5
= cos3t 9
dy = dx
3\/ 4
d2y 0
3\/
'dx2 = 160
Respuestas a los problemas impares R-39 29.
(1 - 2t)(1 + t2)2 dy = dx 2t3(1 - t)2 d2y
dx2 -
(3t5 + 7t4 - 6t3 + lOt2 - 9t + 3)(i + t2)2 4t5(1 - t)3
33.y+=_2(x v4
31.y-83(x-4)
(d)
35. 3\/13 41.
39. 16\/' - 8
(31V31 - 8)
37.
713 "713243227V227
45.
43.
& AVAt
ln2
47. (a) 21T; (b) 6ir; (c) La curva de La parte (a) da una vuelta airededor del cIrculo unitario. La curva de la parte (b) da vuelta al cIrculo unitario tres
69. (a) 0 < t < 2
veces.
49. 4-
51. 4r
53.
(29V29
1)
55. _44
57. 8
(b) 0
59.
t
s
1
V
16
0.25 I
I
I
I
I
I
I
2
t
I
18iX
-4
61. x = (a - b)cost + bcos(\\
-b
'\
b
y=(ab)sentbsen (a -a b t)"/ 65.L= 67. (a)
1 6a
0 < t < 2r 1
.75 .5 .25
-1 -.75-5-25 - .25 -.5 -1
.25
.5
.75
R-40 Respuestas a los problemas impares 71. (a)
7
3. (a)
5\/
(c) 0
(d)
51
\/2665
5. (a) -Si + 2j; (b) -6i - 4j; (c) -\/1 + irj;
- e)j
(d) 31 +
7. u
73. El cuadrante I para t > 0, cuadrante II para -1 < t < 0, cuadrante III para ninguna t, cuadrante IV para t < -1.
r1 b2 - r2 b1
a1 r2 - a2 r1
a1b2 - a2b1
a1b2 - a2b1
29. (a) u =
25. 94 pies-lb 33. (a)
= 0
19.k=,m=-
17.+2\/
21.k=
15. (6,3)(-1,2)
13. 181- 24j
= v
12
v;
23. 100 Joules
(b) U = 60°
(b) (-,-)
16
-,--);
Conjunto de problemas 13.4 1. 2i 3. i - 4j 5. 7. Noexiste
-j
9.
1
(a) {tEIR:t
3};
(b)
{tED:t
20}
11. (a) {t E R: t < 3}; (b) {t e R: t < 20, t2 no entero} 13. (a) 9(3t + 4)2i + 2tet2j; 54(3t + 4)1 + 2(2t2 + 1)et2j;
(b) sen 2ti - 3 sen 3tj; 2 cos 2ti - 9 cos 3tj
42
Conjunto de problemas 13.2 1.
15. 2e2' + - - - ln(t2)
3. I
U
UI
W
\
17.
et
) + e3t ln(2t2)
19. -6tsen(3t2 - 4)i + 18te9t212j 5.
u+v
11. 150 N
7. 1
9. w
79.34; S 7.5° W
13. N 2.08° E; 467 mi/h
15. 80 mi/h
23. c + /3 = 143.13°,/3 + y = l26.87°,a + y = 90°
Conjunto de problemas 13.3 1. (a) -12i + 18j; (b) -13; (c) -28; (d) 375;
(e) -15V
(f) 13 -
21. (e-1)i+(1-e)j 23. v = -e1i + ej;a =
ei + ej;v
= \/e_2 + e2
Respuestas a los problemas impares
3V. j;a=-1+3J;v= 25.v=\/i 2
R-41
(c) 2
(d)
27. v = 12i + 12j;a = 61 + 12j;v
12V'
49. r(t)
29.v=i-4j;a=i+8j;v
33
r'(t)
r"(t)
31. v(t) = 32tj; r(t) = 16t2j 33. v(t) = (t + 2)i + (2 - et)j; r(t) = (t2 + 2t + 1)i+ (2t + et)j 35. r(t) = Scos(6t)i + Ssen(6t)j; 3Osen(6t)i + 3ocos(6t)j; v(t) = 30; a(t) = 180 cos(6t)i - 180 sen(6t)j 37. 3 s; 96 pies/s; 144\/ pies
41. V'9600 = 40\/ pies/s
43. 4.04 rad/s
Conjunto de problemas 13.5
45. (a) 17,253 mi/hr; (b) 26,240 mi 5.
47. (a)
2
1. 3
51 +
(b)
18
1
424\/
-
5' 125
92. \/ l3.K=
j;13
3..J,13 6 4
17\/i7
17VI
4
1
1
1
+ 11
J'
-
1
½e .
1+
1
,_J; \[ V2\/
l5.K=
2
;R= 3\/ 2
R-42 Respuestas a los problemas impares
17.K=
2
R=
2
67.
;R =
19. K =
max
21. K = ; R = 4
Repaso del capItulo 13.6
;R½
23. K =
0.1248
0.7606; mm
Exa men de conceptos
3. F 9. F
1. F 7. V 13. V 19. V 25. V
5. F 11. V 17. V 23. F
15. V 21. V
Problemas de examen muestra
25.K= 5\// ;R= 5\/ 4 4
1.
3
5½ö'
16
3
5. y = -(x - 7);y = 2(x - 7) 29
1
1n2
(½' - 2 ) 12 35.aT= r,aN13 39.aT=
43. a =
40a
3½1
31. (0,1)
,aN=
18
3a
33. (-
37 a,
7. 2r2
1n2,
= \/,aN = V
4l.aT=0,aN=V2
aN =
9. (a) (4, -17) (b) -3 (c) -15 (d) -234 (e) -36 (f) 30
47.
11. k
,m
13. 5(-½,1)
2
15. N 12.22° W; 409.27 mi/h
17. (a)
(sec2 t, -4t3); (2 sec2 t tan t, -12t2);
49. La rapidez es constante; la curvatura es nula.
53. ST + 5N; -i - 7j 63.
(i,6t); (_-_6);
(cost, -2 sen 2t); (-sent, -4 cos 2t);
(0,0); (1,0), (-1,0)
55. 72 pies/s
59.
61.
8½
19. v
(-4,4);a = (4,0);v
21. (a)
½'
1
(b)
(y-1)2
(x+2)2
y=(x-2)
;
(c)
23. a = ½,aN = ½
4½ 1
a cosh2 1
+
9
=
R-43
Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 14.1
Conjunto de problemas 14.2
1. A(1, 2,3), B(2, 0,1), C(-2, 4,5), D(0, 3,0), E(-1, -2, -3)
1. (a)
(b)
-13i + 55j - 178k
3i + 3j + 2k 0; x = 0, y = 0
3. x 5. (a)
;
(b) 5;
(c) V(e +
)2
+(
4
(a) longitud = V'i; cos a =
3.
,, cos 1
21
+ 4)2 + 3
2
cosy =
9. 2
(b) longitud = \/; cos a
3
,cos=
,
7
cosy = 5
11. (a)
(x-1)2+(y-2)2+(z3)2°°25; (x + 2)2 + (y + 3)2 + (z + 6)2 = 5;
(x_)2+(y_e)2+(z)2= 13. (6, -7,4); 10
/
\sV'
7. cos1
1 \/
240
V'593
\/593
\/593
10
40
1
15. (, -1, -2);
V593 11. cos
21.
zt
23.
k
V593
13.
\/129
17. (a) a
k;
240
593
- k;n = -i +
15. m = -i + (b) a
5 '
40
9.
4
3
\ \/247
10
19.
17.
5/\ 62
4
3
57.69°,y
143.30°,/3
27.79°,y
63.75°,f3
74.50°
98.48°
23. (a), (b), (f) 19. 2V' + 3z = -15; (b) 3x 25. (a) 2x 29. (a) z = 2; (b) 2x 27. 56.91°
31. 0
37. 35.26°
33.
- z = -4
- 4z
(a1+b1 a2+b2 a3+b3\
25. (x_1)2+(y_1)2+(z_)2=
27.(x-6)2+(y-6)2+(z-6)236 29. (a) Piano paralelo a xy, 2 unidades arriba del piano xy; piano perpendicular al piano xy, cuya traza en el piano es la
recta x = y; Union del piano yz (x = 0) y el piano xz (y = 0); Union de los tres pianos de coordenadas; Ciiindro de radio 2, paralelo a! eje z;
(1) Mitad superior de la esfera con centro (0, 0, 0) y radio 3 33.
,
2
'
2
'
2
-13
39. 37.86°
45. (3,2, 1)
43. 15 joules
41. 32 joules
+
);fla - b
47. 0
51. (4,2,3)
Conjunto de problemas 14.3 1. (a) -4i - lOj - 4k; (b) -6i - 36j - 27k; (c) 8; (d) -981 - 59j + 88k
3. c(-14i - 2j + 6k),cen
5. +(,
,
)
11.2x-y-z°°-3 7.2V 13.7x+5y+4z-5 15.-x+lOy+17z-3 9.4'\/
19. (a) 9; (b) 29. \/a2b2 + a2c2 + b2c2 17. 69
\/; (c) 40.01°
21. (c), (d)
R-44 Respuestas a los problemas impares
Conjunto de problemas 14.4
1.x=1+3t,y=-2+7t,=3+3t 3.x=4+t,y=2,z=3-2t 5 z-6 y S.x=4+3t,y=5+2t,z=6+t; x-4 3 - 2 1
7.
-50
-6
x-4
y
1
= -5 =
z-6
27 13.
10
2
19.3x-2y=5
17.x+y+6z=11
(d) \/
21. (b) 2x + y - z = 7; (c) (-1, 2, -1); 23.
x -1
y - 3Vi
-Vi
3
7 (h (3V'
Z
25. 3x - 4y + Sz = -22
1
8\/
,
7
3Vi
Sección 14.5 1.
v(1) = 4i + iOj + 2k;a(i) = 10j;s(1) = 2\/
3.
v(2) = -i 22/3
+
9.
37. a3(t) =
a(t)
47. T
N,i B=
2
Vi
viii
B=i 4
4
2\/t
3N =
Vi
+ cot2t + tan2t Vcsct + 4csc2tsec2t + sec4t
Vi + cot2t + tan2t
,);N =
2
\/cOSh2
+1
2
1
-
/
. 1
-
cosh
IT\ k
)'
i-j + 2i-k);
j
= 's/i +
(2
Icosh-i+k); 6c
1
1
-
2)., B
1
7
1
[(Sir3 + 6ir)i + (-2 - 5ir2)j + 2k]
Vi
1
V21
j
B=
1
[2IT1+(2+2ir2)j+(2+
ir2)k]
V8 + 16ir2 + Sir4
2Vi
j;
2Vi
B= \/i+(3Vi- \/)j-(3Vi+ \/)k 51. T =
I+
j+
sech
tanh
k;
N = -tanhj + sechk;
j+
4
V21
k;
B
1
1
IT
1
IT
= Vi' - Vsech3J - Vith3k
53. (b) R = 10 Rm t =
4
6
N=-
5+2t2
i+Vi. i-Vi
1
5
1+
-
-
1
k
2
21Vi'
i+
2
1
5
aJ\T(t) - 2
i/i 49.Ti+_i)j+(1+1k; Vi)
21.
j+k;
2
1
27
Viii
19.
2ir2j + e2k;
Vi senh r ioVi
i_
V(8 + 16ir2 + 5ir4)(i + Sir2)
17. 144
;T=
i
VCOSh2+1( B =j
11. v(2) = 2IT1 + j - e2k; a(2) = 2'n-i s(2) = V4IT2 + 1 + e
25. K=
k
Vi
e2' - e2' ; a1(t) = 2 Ve2t + 4 + e2
=
s() = \/4 + 9e2
23.
1
= V2t V2t + 3 tantsec2t - cottcsc2t
43. T =
v(-) = -j + k;a(IT) = i,s(IT) = Vi v() = 2i + 3e4j; a() = 41 + 3e4j + 16k;
15. 2\/
V10+4t2
N=
1
k;a(2) = 4j
4t
4t3
41. aT(t) =
45. T=
2'
16+
s(2) = 7.
35. a(t) =
36
v(2) = 4j
1_
1.
j + 160k;
\/8,294,737
s(2) = 5.
+
;T=--i+-j+ 2 2 1
2\/
aN(t)
+ 80k;a(2) =
-)
9
15. x = 5t, y = -3t, z = 4
2
N=
31.K=sech2;T=tanhi+sechj;
x+8yz+
z
2
,o,
B=K_\/0, 33.K=
1
1
9x-4y+5
(_
=
N = sechi - tanhj; B = -k
x=l+t,y=1+iOt,z=i+iOOt;
x-1 u-i - 10 - 100
29. K =
k
55. (a) Se enrolla hacia arriba, en tomb del cilindro circular recto x = sen t, y = cos t, cuando t crece. (b) Lo mismo que la parte (a), pero se enrolla mucho más rápido por un factor 3t2.
Respuestas a los problemas impares Con la orientación estándar de los ejes, el movimiento es enrollarse hacia la derecha en tomb del cilindro circular recto
17. Plano
R-45
19. Hemisferio
x = sen t, z = cos 1. Forma una espiral hacia arriba, con radio creciente, a lo largo de Ta espiral x = t sen t, y = t cos t. Forma una espiral hacia arriba, con radio decreciente, a lo largo de Ta espiral x = - sent, y = - cost. (I) Forma una espiral hacia Ta derecha, con radio creciente, a To
largodelaespiralx = t2sen(lnt),z = t2cos(lnt). 63. (6,0,8); 8V9r2 + 1
57. P(x) = lOx3 - 15x4 + 6x5
65. (a) r(t) = r0;
(b)
r(t) = ct + r0;
21. (a) Al reemplazar x por -x se obtiene una ecuación equivalente. (b) Al reemplazar x por -x y y por -y se obtiene una ecuación equivalente. (c) Al reemplazar y por -y y z por -z se obtiene una ecuación equivalente. (d) AT reemplazar x por -x, y por -y y z por -z se obtiene una ecuación equivalente.
25. 4x2 + 3y2 + 4z2 = 12 rab(c2 - h2)
23. y = 2x2 + 2z2
(c) r(t) = ct2 + v0t + r0; (d) r(t) = roedl 67.
(167r2 + 30 l2Oir - 162 16r2 + 30 4
+1
4i + 1
'
'
4
+1
Conjunto de problemas 14.6 3. Plano
1. Cilindro elIptico
27. (o,+2V',4)
29.
31. Diámetro mayor 4; diámetro menor 2'\/'
33. x2 + 9y - 9z2 = 0
Conjunto de problemas 14.7 1. CilIndricas a esféricas: p = \/r2 + z2, cos 4) =
z
\/r2 +
0=0 Esféricas a cilIndricas: r = p sen 4), z = p cos 4), 0
0
3. (a) (3\/, 3, -2); (b) (-2, -2V', -8) 5. (a) (4
9. Paraboloide elIptico
7
i-\.
L, 3 , 4),
I,.\ f LP
3ir 4
r
'6
7.
9.
11.
13.
7. Elipsoide
5. Cilindro circular
L
') 5i
11. Cilindro
/ V
13. Paraboloide hiperbólico
15.
15. Paraboloide elIptico
17. r = 3 23. p2 =
19. r2 + 4z2 4
1 + cos24)
27. p2 sen2 4) = 9
33. 4029 millas
10
25. r =
-1 21. cos2 4:i -3 4
sen0 + cos0 31. z = 2r2 29. x2 - y2 = z
35. 4552 millas
37. 2252 millas
R-46
Respuestas a los problemas impares (c) 9331 millas;
41. (a) 3485 millas; (b) 4552 millas; (d) 7798 millas; (e) 12,441 millas
p = 2; (b)
33. (a)
Repaso del capItulo 14.8
(c)
Examen de conceptos
35. 1.25
1. V 7. V
3.V
5.F
9. V
13.F 19. V
15. V 21. V
11. V 17. V
25.V
27.F
31. V
33. F
p2
=
cos2 4)
=
1
2sen24)cos2e
- 1'
(Son posibles otras formas.)
(d) r
cot 4) csc 4)
Conjunto de problemas 15.1 1. (a) 5; (b) 0; (c) 6; (d)
37.F
a6 + a2; (e) 2x2; (f) (2, -4) no está en el dominio de f. El dominio es el conjunto de todos los (x, y) tales que y > 0. 3. (a) 0; (b) 2; (c) 16; (d) -4.2469; (e) 0.6311 5. t2
Problemas de exa men muestra
7.
23.F 29. V
35.F
9.
1. (x-1)2+(y-2)2+(z-4)211 3.
A
3;\/35;
(a)
5
13.
15.
17.
19.
21.
V35 + k;
(d) cos'
1
V35
5. c(10,-11,-3),cenft 7. (a) y = 7; (b) x = -5; (c) z = -2; 3x - 4y + z -45 9.1 11.x=-2+8t,y=1+t,z=5-8t 13. x = 2t, y = 25 + t, z = 16 15. (2, -2,1) + t(5, -4, -3) 17. Recta tangente:
'-2
x-2 =
z
=
2
4
Piano normal: 3x + 6y + 12z = 50
- e)
19.
11.
3
1
V35 V35
i-
(b)
21. aT
23. Esfera
22
2V19
\/14
\/14
25. Paraboloide circular
23.
29. Elipsoide
27. Piano
(b) noroeste; sureste (c) suroeste o noreste 27. El conj unto de todos los puntos en y fuera de la esfera x2 + 25. (a) San Francisco
,r /
%/
/
z = 16.
2\/
29. El conj unto de todos los puntos en y dentro del elipsoide 31. (a)
r = 3; (b) r2
(d) r2 +
4z2
= 10
16
1 + 3sen 2U
(c) r2 = 9z;
x2/9 + y2/16 + z2/1 = 1. 31. Todos los puntos de excepto el origen (0, 0, 0). 33. El conjunto de todas las esferas con centros en el origen.
y2
+
Respuestas a los problemas impares R-47 35. Un conjunto de hiperboloides de revolución en tomb del eje z. 37. Un conjunto de cilindros hiperbólicos paralelos a! eje z. 39. Todos los puntos de excepto (0,0,0,0). 41. (a) ascenso leve, ascenso pronunciado; (b) 6700 pies, 3040 pies 43.
13.
f(x, y) = -2xy sen (x2 + y2);
f(x,y)
= --2y2sen(x2 + y2) + cos(x2 + y2)
15. F(x,y) = 2cosxcosy;F(x,y) = -2senxseny 17. f(x, y) = 12xy2 - 15x2y4 = f(x, y) 19. f(x, y) = -6e2 sen y = f(x, y)
21. F(3,-2) =;F(3,-2) 23.
=-
f(\/, -2) = - f(\/, -2) = -4V/21 ;
25. 1 29. l2Oir 27. 3 31. k/100 33. a2f/ax2 = 6xy; 82f/3y2 = -6xy 35. 180xy2 - 12x2 37. (a) a3f/ay3; (b) af/ay 8x2; (c) a4f/ay3 ax
39. (a) 6xy - yz; (b) 8; (c) 6x - z 41.
- y(xy -
yze
43. (1,0,29)
45. {(x,y):x <.y > ,y < x + U {(x,y): x > , y <,x
2
47. (a) -4; (b)
I -2
45.
z2)1
49. (a) f(x,y,z)
urn
(d)
f(x, y, z +
a
z) - f(x, y, z)
G(w, x +
urn
-A(x,y,z,t) az
y, z) - f(x, y, z)
zz
z -0
G(w, x, y, z) 0
;
f(x, y +
= lIm
(b) f(x, y, z) =
-1
(c)
;
/36}
= urn
x, y, z) - G(w, x, y, z) z, t) - A(x, y, z, t)
A(x, y, z +
z-*0
LZ
a2Sob1b2.....b) = =
(S(b0b1b2 +
b2.....b) - s(b0,b1,b2.....b,1)
lIrn b2
Conjunto de problemas 15.3 1. -18 3. 2 5. 7. No existe. 9. Todo el piano.
11. {(x, y): y
13. {(x,y):y x + i} 15. tIm f(x, 0) = lIm [0/(x2 + 0)] =
x2}
0;
= tIn [x2/(x2 + x2)]
lInf(x,x)
17. (a) lImfI x, mx) = urn mx3/(x4 + m2x2) x-0 x-0 = lIrn mx/(x2 + m2) = 0; (b) tIm
(c)
Conjunto de problemas 15.2 1. f(x, y) = 8(2x - y)3; f(x, y) = -4(2x -
f(x, y) 5. f(x, y) 3.
7. 9.
y)3
f(x,
lIm
x2) = tIn
(x,y)(O,O)
x/(x + x) =
f(x, y) No existe.
19. La frontera consta de los segmentos de recta que forman Ia oriila externa del rectánguio dado; el conjunto es cerrado. 21. Frontera; {(x, y): x2 + y2 = 4} U {(o, 0)}; el conjunto no abierto ni cerrado.
23. Frontera;{(x,y):y
sen(1/x),x > 0}U{(x,y):x
0,
= (x2 + y2)/(x2y);f(x, y) = -(x2 + y2)/(xy2)
y < 1}; el conjunto es abierto.
=
25. g(x) = 2x 27. (a) Continua; (b) discontinua; (c) continua; (d) continua;
cos x;f(x, y) = e sen x 2 -1/2 x(x - y) -y(x 2 ;f(x, y)
f(x, y) g(x y) = -ye; g(x, y) = -xe 2
11. f(x, y) = 4/[1 + (4x - 7y)2]; f(x, y) -7/[1 + (4x - 7y)2]
- y)2 --1/2
(e) continua;
(I) discontinua
29. (a) {(x,y,z):x2 + y2 1,1 2}; z (b) {(x,y,z):x2 + y2 = i,z = 1}; (c) {(x,y,z):z (d) conjunto vacIo.
1};
R-48 Respuestas a los problemas impares 31.
(a) {(x,y):x > o,y =
(b) {(u,v,x,y):x,y)
=
Conjunto de problemas 15.5
ku,v,k
> 0,(u,v
(0,0)}
33.
3. 3\//2
1.
9. 13
(\/
5.
V)/4
+
7.
52 3
13. (1/\/)(-i + 2j)
11.
15. Vf(p) = -41 + j es perpendicular a la recta tangente 17. 19. (a) (0,0,0); (b) -i + j - k; (c) si.
en p.
21. (x2 + y2 + z2)2cosVx2 + y2 + z2 (x,y,z) -o5
25. Desciende; -300\/e
23. N 63.43°E x
29. (a) -10/\/2 +
i2 grados/m;
31. (a) (100,
(b) (190, 25);
120);
27. x
= -2y2
(b) -10 grados/s
(c) -
, 0,
33. Sale aproximadamente en (-0.1, -5). 35.
5).
35. Sale aproximadamente en (3,
Conjunto de problemas 15.6 1. 12t11
+ 2 cos 7. 2s3t - 3s2t2
3. e3(3 sen
5. 7tcos(t7)
2t
2t)
+ e2(3
cos 3t
+ 2 sen
3t)
9. (2s2 sent cost + 2t sen2 s) exp(s2 sen2 t + t2 sen2 s) 13. 72 15. - (IT + 1) 11. st(i + s4t2)2 17. 244.35
19.
pies por aflo
Vô pies/s
Conjunto de problemas 15.4 3. e'(1 + xy)i + x2e'j 1. (2xy + 3y)i + (x2 + 3x)j
21. (3x2 + 4xy)/(3y2 -
5. (x + y)2[(x2y + 2xy2)i + x3j]
25. (yz3 - 6xz)/(3x3 - 3xyz2) 27. aT/as = (aT/ax)(ax/as) + (8T/ay)(ay/as) + (aT/az)(az/as) + (3T/8w)(8w/3s)
+ y2 + z2)2(xi + yj + zk) 9. xez[(yx + 2y)i + xj - xyk] 11. (-21,16),z = -21x + l6y - 60 13. (0, -2-), z = -2iry + IT - 1 15. w = 7x - 2z + 3 21. (a) x = 2 + t,y = 1,z = 9 + 12t 7. (x
= 1 + lOt,z = 9 + lOt x= x = 2- t,y = 1- t,z = 9- 22t 23. z = -5x + Sy 27.
2x2)
23. (ysenx - seny)/(xcosy
31. i0\/ - 3ITV'
33.
+
cosx)
288 millas/h
Conjunto de problemas 15.7
1.2(x-2)+3(y-3)+(z-)0 3.(x-i)-3(y-3)+(z-\)0 5.x+y-z=2 7.z+1=-2(x)-3y 11. -0.03; -0.03015 101
9. 0.08; 0.08017992
13. (3,-1,-14) 15. (0, 1, 1) es normal a ambas superficies en (0,-i, 2)
17. (1,2,-i) y (-1, -2, 19. x = 1 + 32t; y = 23. 7%
25. 20 +
29. (a) 4.98;
i)
2-
19t; z
0.34
27.
2 - i7t
21. 0.004375 lb
V = 9k/2
(b) 4.98196; (c) 4.9819675
Conjunto de problemas 15.8
. "''''I TTtt, I
(a) El gradiente
t
apunta en la dirección de máximo incremento de
la función. (b) No.
1. (2,0): punto mInimo local.
3.
(0, 0): punto silla;
(+
, 0); puntos mInimos locales.
5. (0, 0): punto silla (se requiere un argumento especial).
9. No hay puntos crIticos. 7. (1,2): punto mInimo local. 11. Máximo global de 7 a (1, 1); mInimo global de -4 a (0, -1). 13. Máximo global de 2 a (+1,0); mInimo global de 0 a (0, +1). 17. Un cubo. 15. Cada uno de los tres nUmeros es N/3. 21. 3\/ (1 + 19. Base 8 pies por 8 pies; profundidad 4 pies. 23. 2IT/3; 4 pulg 25. (a) 8; (b) -ii
j
+ k)
Respuestas a los problemas impares 27. Máximo de 3 en (1,2); mInimo de -
en (, -i).
29.y=x+ 31. (±\//2, -) donde T
= 9/4; (0, 1/2), donde T =
-1/4
33. Triángulo equilátero.
23. 18i + 16j - 18k;9x + 8y - 9z =
39. Máximo globalf(1.13, 0.79) = f(1.13, -0.79) = 0.53 mInimo global f(-1.13, 0.79) = f(-1.13, -0.79) = -0.53. 41. Máximo global f(3, 3) f(-3, 3) 74.9225 mInimo global f(1.5708, 0) = f(-1.5708, 0) = -8.
1. 14 3. 12 5. 4 7. 3 9. 168 11. 520 13. 52.57 15. 5.5 19. c = 15.30, C = 30.97
25. Aproximadamente 458.
Conjunto de problemas 16.2 1. 5. 1 3. 7. ir/2 - 1
f( \/, \/) = f(-\/, -/) = 6
[31 - 9\/]
9.
3. f(2/\/, _1/\/) = f(-2/V, 1/\/) =
s
f6 18 12\72 Jk7' 7' 7) - 7 7. La base es 4 por 4; la profundidad es 2. 11. 8abc/3\/ 10\/ pies3
= 3,V =
Conjunto de problemas 16.1
Colorado en 1999; precipitación promedio en Colorado durante 1999.
Conjunto de problemas 15.9
x/a + y/b + z/c
29. Radio 2; altura 4.
23. NUmero de pulgadas cübicas de liuvia que cayeron en todo
45. Maximoglobal:f(2.1,2.1) = 3.5; mInimo global: f(4.2, 4.2) = -3.5.
13.
27. 16\//3
25. 0.7728
34
21. (a) -6; (b) 6
43. Máximo global: f(0.67, 0) = 5.06; mInimo global: f(-0.75, 0) = -3.54.
9.
13. (a) -4i - j + 6k; -4(cos ii + sen lj - cos 1k) +2 17. (a) x2 + 2y2 = 18; (b) 4i + 2j 19. (x2 + 3y - 4z)/x2yz; (-x2 - 4x)/xy2z; (3y - x2)/xyz2 21. lSxy\/i/z3 + 5x2/tz3 - 45x2ye3'/z4
37. Máximo global: f(0, 1) = f(0, -1) = -0.12.
S
3. 12x3y2 + 14xy7; 36x2y2 + 14y7; 24x3y + 98xy6 5. e' sec2 x; 2e sec2 x tan x; -e' sec2 x 7. 450xy - 42y5 9. 1 11. No existe. 15. \/E
35. Máximo local:f(1.75, 0) = 1.15; máximo global: f(-3.8, 0) = 2.30
1.
R-49
13.0
11. 1 - ln3
4.110
0.4507
15.2
17.
abc
15. x = ad/a, y 13d/b, z = yd/c 17. f(-1, 1, 0) = 3, f(1, -1, 1) = -1
21. f(4, 0) = -4
23. f(0, 3) = f(0, -3) = -0.99
19.
Repaso del capItulo 15.10 Examen de conceptos
1.V
3.V
5.V
7.F
9.V
11. V
13. V
15. V
17.V
19.F
Problemas de examen muestra 1. (a) {(x,y):x2 + 4y2 ioo} 21. 7
23.
(e - 1)2
27.
-
31. 5 -
29. (a)
Conjunto de problemas 16.3 3. 240
1.
(b) {(x,y):2x - y
i}
5.
9. (3 ln 2 - IT)/9 17. 4 tan 2 - ln 5
13. 0
11.
19. 6
27. -ln(cos1)
25.
fI
ff(x,y)dxdy
I1L 39.
,y)dydx +
(1 - cos8)
15.
21. 20
23. 10
29. 3i-
I
31.
7. -\//(2ir)
(e27 - e)
I
33.
ff
V
f(x,y)dxdy
fff(xy)dydx
41. lSir/4
43. aproximadamente 4,133,000 pies3
37.
256 15
R-50
Respuestas a los problemas impares [12/5
Conjunto de problemas 16.4 1.
5. 2\/ +
3.
+ 6V 13. (irin2)/8
(e - 1)
/ Jo
322.716
23.
ird2(3a - d) (3 f(9-x)/3 f(I8-2x-6y)/O 15.
Conjunto de problemas 16.5 1. m = 30;i = 2;5 = 1.8 3. m = IT/4; E = ir/2; = 16/(9r) 0.281;
0.1056;
7. m = 32/9;
9. I
= V'5/12a
17. 5ia4/4 21. (a) a3;
/
J2x/3
JO
f(x,y,z)dzdydx
/
JO
0.581
5a5/6
15. I = ira4/4; = a/2
0.6455a
= 0,
19.
(3,2,0)
5463
5194;I
11. I = I, = 5a5/12;I 13.
/
= 6/5
= 0;
269;I
f(x,y,z)dydzdx
0.421
a3(3ir - 4)
5. m
/
Jo
Jx/3
31.809
19.
25.
f(4-x)/2 f4-x-2z
/
168.384
15. ir(2 -
0.272
81r/8 21. 625(3\/ + 1)/12 17.
7. ira/8
7.653 11.
35.525
9. 8
13.
[4 [Ify,l_z2z) dy dz dx 17.f(x, Jo Jo 11
= (15r + 32)a/(6ir + 48)
(c) 11a5/144
(b) 7a/12;
23. I = irka4/2, I = l7kira4/2, I = 9'rka
Conjunto de problemas 16.6 1.
\/i/3
3.
7. 8V 11. 2a2(- - 2)
r/3
4i-a(a - \/a2 - b2) 13. ira2(5\/ - 1)
5. 9 sen
9.
15. E =
()
= 0,
=
+ h2)
17. A = -b2, B = 27ra2[1 - cos(b/a)],C =
D=b2[2a/(a+ \/a2_b2)],B
9.
3
fff
(1/6)(12-3x-2y)
f(x,y,z)dzdydx
4fffdzdydx = 2 23.=== 25.===3a/8 19
27.
128
21.
15
ffI f 2
2--z
VI-x2-y2
f(x,y,z)dzdydx
9-x2
f(x,y,z)dydxdz
29. f f f
33. PromT = 29.54,
31. 4
35. fabc(ab + ac + bc)
=
Conjunto de problemas 16.8 3. 23r(5\/ - 4)/3 15.038 1. 87T
5.==0;=
7.k(b4-a4)
13. ir/9 15. ir/32 17. (a) 3a/4; (b) 3ira/16; (c) 6a/5 19. (a) 3irasena/16a; (b) 3ra/16
9. E =
11.
fffx
= 0;
= 2a/5
11. kir2a6/16
21. (a + b)(c - 1)/(c + 1) y, z) dx dy dz
Repaso del capItulo 16.9 Examen de conceptos 1. 9.
Verdadero Verdadero
3. Verdadero 5. Verdadero 11. Verdadero 13. False
Problemas de examen muestra 1
1.
i(
3.
5.
I'v
/o Jo/ f(x,y)dxdy
7. False 15. Verdadero
Respuestas a los problemas impares
ff l-2y
7.
f1/2
9.
(a)
8ff a
8f
17/2
l-2y--z
Ya2_x2
f
a
f
Va2x2_y2
mfh(d/dt)[r7(t) . r'(t)]dt
dz dy dx;
\/a2_r2
=[m r'(t)
rdzdrdO;
I
I
Jo
Jo
11. 0.8857
I
p2 senq5 dp d dO
17. 80n-k
1
15. 6
= ; = 19. ka2 bc/24
7() 2]
4 15
.
35
U
.
9. (a) 0; (b) 0 11. (a) 0; (b) 0 13. 50 15. -2 19. (c) M y N tienen una discontinuidad en (0,0). 23. 3ira2/8 27. (a) div F = 4; (b) 144 29. (a) div F < 0 en los cuadrantes I y III;
Conjunto de problemas 17.1 3.
y
-
Conjunto de problemas 17.4
Jo
13.
2 - 'm[r'(b) 2
ja
mfb(d/dt) r'(t)
-gmz
23. f(x, y, z)
fir/2 fir/2 fa 8
fbmr7(t) . r'(t)dt
21. f F dr
f(x,y,z)dxdzdy
R-51
div F > 0 en los cuadrantes II y IV;
(b) 0;-2(1 - cos3)2
Conjunto de problemas 17.5
1. 8\//3
ttl ttttt
5.
3. 2 + IT/3
13. \/ka/12
11. 20
5. 5/8
7. 6
17. (a) 0; (b) 0; (e) 8ITa4/3 19. (a) 4kira3; (b) 2kITa3; (c) hkii-a(a + h)
Conjunto de problemas 17.6 1. 0 3. 3a2b2c2/4 5. 64r/3 7. 4-
7. (2x - 3y)i - 3xj + 2k
9. x1i + y1j + z1k
11. e cos zi + xe cos zj - xe sen zk
13. 2yz; z2i - 2yk
15. 0; 0
17. 2ex cos y + 1; 2ex sen yk 19. (a) No tiene sentido; (b) campo vectorial; (c) campo vectorial; (d) campo escalar; (e) campo vectorial; (0 campo vectorial; (g) campo vectorial; (h) sin sentido; (1) sin sentido;
(j) campo escalar;
(k) sin sentido.
25. (a) divF = 0,divG < 0,divH = 0,divL > 0; en el sentido de las manecillas del reloj para H, no para los otros.
div F = 0, rot F = 0, div G = -2ye2, rot G = 0, div H = 0, rot H -2xe2k, div L = 1/\/x2 + y2, rot L = 0
Conjunto de problemas 17.2
1. 14(2\/ -1) 7.
3. 2\/
9. 144
11. 0
17. k(17\/i - 1)/6 23. 2 - 2/11-
9. 2
= a/3
= = (c) 4ira4; (d) 4ira4/3; 15.
s.
13.
19. -
25. 2.25 gal
-
(14\/i
ffF. n dS = Jff3 dV
3V(S).
15. (a) 2Oir/3; (b) 4ir; (c) l6ir/3; (d) 1; (e) 36; (1) l2ii-/5; (g) 32ITln2
Conjunto de problemas 17.7 1. 0 3. -2 5. -48i 7. 8ir 15. 1/3
17.
9. 2
11. ir/4
a2joules
Repaso del capItulo 17.8 Examen de conceptos
3.F
1.V 9.V
5.V
7.F
11.V
3. rot(fVf) = frot(Vf) + Vf x Vf = 0 + 0 = 0
15. 19
27. 211-a2
29. 4a2
31. (a) 27; (b) -297/2
Conjunto de problemas 17.3
5. f(x,y) = x3y2 + C
3 y entonces
Problemas de exa men muestra
21. -(a2 + b2)
1. f(x, y) = 5x2 - 7xy + y2 + C
11. V F
9. 117611-
3. No conservativo.
7. f(x,y) = 2xe - yex + C
9. f(x, y, z) = x3 + 2y3 + 3z3 + C 11. 14 15. -ir 19. f(x, y, z) = k(x2 + y2 + z2)
13. 6
5. (a) ir/4; (b) (3IT - 5)/6 7. 47 9. (a) (b) ; (c) 0 11. 613. 0 ;
15. 9(3a - 2)/a2 + b2 + 1 Conjunto de problemas 18.1 1. y = C1e2x + C2e3x 3. y = 5. y = (C1 + C2x)e2x 7. y = e(C1 e 9. y = 3 sen 2x + 2 cos 2x
11. y = e(C cos x + C2 sen x) 13. y = C1 + C2x + C3e4x + C4e'
+ C2 e)
R-52 Respuestas a los problemas impares 15. y
= Ciex + C2e_x + C3cos2x + C4sen2x
17. y
= D1 cosh 2x + D2 senh 2x
19. y =
e2[(Ci + C2x) cos(V'/2)x +(c3 + C4x)sen(V/2)x]
21. y =
(C1 + C2lnx)x2
27. y =
0.5e5l6226x + 0.5e_ll62278x
11. (a)
Q = 2.4 X i0 sen 377t;
(b)
I = 9.05 X 102 cos 377t
I
12 X 10_2 sen 377t
13.
17. d20/dt2 = -(g/L) sen 0
Repaso del capItulo 18.5 Examen de conceptos
5.V
29. y = 1.29099e_O25x sen (0.968246x)
1.F 7.V
Conjunto de problemas 18.2
Problemas de examen muestra
= C1 e3 + C2
1. y
-x
C1 e2x + C2 e3X +
9. y = e3(C1 cos 4x + C2 sen 4x)
ex
7. y = C1 e3x + C2 ex 9. y = C1 e2 + C2 ex - sen x + cos x 11. y = C1cos2x + C2sen2x + xsen2x 13.
y = C1 cos 3x + C2 sen 3x + sen x +
15.y=e2x_e3x+ex 19. y =
11. y = C1 + C2e
15. y = -cos 4t; l;IT/2
17.y=Cie2x+C2ex+x+i?
Conjunto de problemas 18.3 5. y 9. Q =
3. 0.5 m/seg
e1&(cos 8t + 0.02 sen 8t)
10(1 - et)
+ (C3 + C4 x)ex 17. I et sent
e2x
C2 sen x + C3 cos x - x sen x - cos x in sen x
= 0.1 cos 5t; 2ir/5
+ C3e2x
13. y = (C1 + C2 x)e
21. y = Diex + D2e2x + (ex + e2') ln(1 + e_x)
1. y
3. y = 3e2x - 3eX 7. y = (c + C2x +
= ex + C1 eiX + C2 5. y = C1ex + C2e_x - 1 1. y
3. y = (C + C2x)ex + x2 + 5x + 8 5. y
3.V 9.F
7. 14.4 seg
Conjunto de problemas A.1 9. N = 4
11. N =
5
13. P5, P7, P9,... son verdaderas
15. P30, P29, P28,... son verdaderas
17. P, es verdadera para cada i 19. P, es verdadera para cada i 21. Verdadero para n = 1,3,5.....La demostración es por inducción. 23. Verdadero para cada n 3. La demostración es por inducción. 25. Verdadero para cada n 2. La demostración es por inducción. 27. Verdadero para cada n 0. La demostración es por inducción.
índice Abel, Niels Henrik, 463 Abscisa, 19 Aceleración, 106, 134-35, 586-88 en el espacio tridimensional, 613-14,615-16 en movimiento curvilíneo, 579 Acercamiento, solución de ecuaciones mediante, 36 Afelio, 545 Agrupación de términos en una serie infinita, 440 Algoritmo(s), 496 de ordenamiento por burbuja, 410 de ordenamiento rápido, 410 de punto fijo, 499-502, 515 convergencia, 500-502 Amplitud de funciones trigonométricas, 52-54 Ángulo(s) de inclinación, 58 directores, 600-601 rotación de ejes de cónicas y, 536-37,538 Antiderivadas (integrales indefinidas), 209-15 definición, 209 generales, 210 linealidad de, 211-12 notación, 210-11 sustitución en, 372-73 Anualidad, 366 Aproximación(es), 152-54,667-69 lineal, 153-54 a una función, 160 método de, sucesivas, 494 Aproximación de Taylor a una función, 479-87 computarizadas, 491 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 herramientas para acotar R n , 483-84 integración numérica, 487-94, 514 regla del punto medio, 493 regla del trapecio, 487-90, 507 regla parabólica (regla de Simpson), 490-91 para ecuaciones diferenciales, 504-11 campos de pendientes, 504-5 método de Euler, 505-9 para resolver ecuaciones, 494-503 algoritmo de punto fijo, 499-502, 515 método de bisección, 90, 494-95, 515
método de Newton, 496-97, 515 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 polinomio de Taylor de orden 1,47980 polinomio de Taylor de orden n, 480 Aproximaciones numéricas, 479-515 Arandelas, método de, 282-83, 291 Arccos, 352 Arcsen, 352 Área, 227-34 de un cono truncado, 298 de un polígono, 754 de una región plana, 372-79 de una superficie de revolución, 298-99 entre dos curvas, 275-76 por debajo del eje x, 274 sobre el eje x, 273-74 de una superficie, 711-15 en coordenadas polares, 550-52 mediante polígonos circunscritos, 230-31 mediante polígonos inscritos, 228-30 velocidad y,231-32 Arquímedes, 228 espiral de, 547, 549 Asíntota(s),40 horizontal,83 límites y,83-84 oblicua, 85,194 vertical, 83 Axioma de completez, 10 Bernoulli, Johann, 404 Bombeo de un líquido, 301-3 Boyle, ley de, 150 Cabeza de un vector, 567 Calculadoras, 7-8 gráficas, 30, 35 Cálculo de varias variables, 595 diferencial, 107 para funciones vectoriales, 577-79 Cálculo vectorial, 731-32 campos vectoriales, 731-35 campo de fuerzas, 732 conservativos, 733 divergencia y rotacional de, 733-34 estacionario, 732 flujo, 751, 756-58
integrales de línea, 735-47 aplicaciones, 749-50 definición, 736 independencia de la trayectoria de, 741-47,770 Teorema fundamental para, 742 trabajo y, 738-40, 770-71 integrales de superficie, 754-59 definición, 754 evaluación, 755-56 Teorema de Green, 748-54, 765 aplicaciones, 749-50 formas vectoriales de, 750-52 Teorema de la divergencia de Gauss, 751,759-64 demostración, 760 extensiones y aplicaciones, 762-63 Teorema de Stokes, 752, 765-68 aplicaciones, 764-67 interpretación física del rotacional y,767 Campo(s) de pendientes, 504-5 escalar, 732 gradiente de, 732-33 gradiente, 655 vectorial,731-35 campo de fuerzas, 732 conservativo, 733 divergencia y rotacional, 733-34 estacionario, 732 flujo, 751, 756-58 Cantidades discretas y cantidades continuas, 188 Capas cilíndricas, método de, 287-93 esféricas, 293 Carbono 14,343 Cardioides, 545 Carrera, 23 Catenaria, 362-63 Cauchy Augustin Louis, 71, 406 desigualdad de, 227 Teorema del valor medio de, 406 Schwarz, desigualdad de, 576 para integrales, 694 Cavalieri, principio de, 279, 287
1-1
1-2
índice
Centro de curvatura, 584 de masa, 306-9, 416-17 integración doble para calcula~ el, 707-8 integración triple para calcula'r el, 719-20 para la densidad de probabilidad, 417 de un círculo, 20 de una cónica, 522 geográfico, 312 Centroide, 308-9 Cicloide, 299, 561-62 acortada, 565 prolata, 565 Cilindro, 619-20 recto, 280 volumen, 16 Circuitos eléctricos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aplicadas a, 784 Circulación, 767 Círculo(s) de curvatura (círculo osculador), 584 ecuación, 20-21 ecuaciones polares, 540 unitario, 55-56 Cocientes de funciones, 4~-44 Coeficiente de fricción, 590 Cola de un vector, 567 de una serie, 445 Completando el cuadrado, 21, 384, 532-33 Componentes de vectores, 571 Composición de funciones, 647 Computadoras, 7-8 integración y,491 Concavidad y segunda derivada, 169-71 Condición inicial, 347 Cónica(s),517-39 aplicaciones, 530 central,522 centro, 522 definición, 518 ecuación general de segundo grado, 533-34 ecuaciones polares, 540 elips~517,518,522-31
definición, 527 ecuación 'canónica, 523-24 ecuación polar, 543 ejes, 523' excentricidad, 524 horizontal, 525 propiedad de reflexión, 530 propiedades con cuerdas, 527-28 propiedades ópticas, 528-29 vértices, 522
hipérbola, 517, 518, 522-31 definición, 527 ecuación canónica, 524-26 ecuación polar, 543 ejes, 523 propiedades con cuerdas, 527-28, 530 propiedades ópticas, 528-29, 530 vértices, 522 parábola, 31, 517-22 ecuación canónica, 518 ecuación polar, 543 eje mayor, 518 focos y directriz, 518-19 propiedad óptica, 519-20.530 vértice, 518 rotación de ejes, 536-39 con ángulos no particulares, 538 determinación del ángulo (theta), 536-37 traslación de ejes, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 Conjunto(s) abierto, 648 centrales, 522 cerrado, 648 conexos, 742-44 continuidad en, 647-48 convergencia, 459 generales, integrales dobles sobre, 695-97 r-simple, 703 simplemente conexo, 743-44 x-simple, 695 z-simple,703 Cono área de un, truncado, 298 elíptico, 621 Constante del resorte, 301 Continuidad de funciones, 86-93 de funciones de dos o más variables, 645-50, 654-55 de funciones familiares, 86-89 diferenciabilidad y,110-11 en un conjunto, 647-48 en un intervalo, 89 en un punto, 647 Contrapositiva, 3, 437 Convergencia condicional, 456 de una serie de Taylor, 468-71 del algoritmo de punto fijo, 500-502 del método de Newton, 497 lentitud de, 494 radio de, 459-60 Coordenada(s),2 cilíndricas, 623-25 integrales triples en, 722-23
esféricas, 623-24, 625-26 en geografía, 626 integrales triples en, 723-25 x (abscisa), 19 y (ordenada), 19 Corriente, 107 Cosecante, 54-55 Coseno(s),49-52 directores, 600-601 hiperbólico, 359-62 Costo fijo, 188, 189 marginal, 28, 189 variable, 188, 189 variable promedio, 189 Cota superior, 10 Cotangente, 54-55 Coulomb, ley de, 304 Crecimiento de la población, 369 y decaimiento exponencial, 341-46,401 Criterio(s) común de comparación, 448 de comparación, 424 de comparación para límites, 449-50 de convergencia absoluta, 454-55 de comparación de límites, 449-50 de comparación ordinario, 448 de la integral, 444-46 de la suma acotada, 443 del cociente, 450-52 para series armónicas alternantes, 453-54 de la integral, 444-46 de la primera derivada, 175 de la raíz, 452 de la serie 7T, 445 de la suma acotada, 443 de las segundas parciales, 672 de perpendicularidad, 573 del cociente, 450-52 del n-ésimo término para la divergencia, 437-38 del valor absoluto del cociente, 455,456 Cuadrados, 17 Cuadrantes, 19 Cuádricas centrales, 620 Cuantificadores, 3 Cuarta derivada, 133 Cuerda focal,521 vibrante, 782, 787 Cuña cilíndrica, 722 esférica, 723-24
índice Curva(s) cerrada, 559 de nivel gradientes y, 658 para funciones de dos o más variables, 658-60 en el espacio, 609 en el espacio tridimensional, 609-13, 630 en el sistema de coordenadas polares, intersección de, 547 equipotenciales, 639 isosísmicas, 638 isotérmicas (isotermas), 637 orientación, 294 osculatriz (círculo de curvatura), 584 planas, 559-67 cálculo para, definidas en forma paramétrica, 562-64 cerradas, 559 cicloides, 299, 561-62 definición, 559 eliminación del parámetro en la ecuación de, 559-61 longitud de, 293-300 orientada positivamente, 735 simples, 559 recta tangente, 611 representación paramétrica, 771 simple, 559 suave,294 Curvatura, 582-86 centro de, 584 círculo de (círculo osculador), 584 da Vinci, Leonardo, 74 de una curva en el espacio, 614-15 definición, 583 otras fórmulas, 585-86 radio, 584 Decaimiento radiactivo, 343·44 Decibeles, 340 Decimales, 6-7 Delta (o), 15 Deltoide, 566 Demostración por contradicción, 3 Densidad,7 Derivada(s), 99-207, 242 aceleración, 134-35 aplicaciones económicas, 188-92 cálculo, 107-9, 113-20 regla de la función constante, 113 regla de la función identidad, 113-14 regla de la potencia, 114, 142-43 regla de la resta, 115-16 regla de la suma, 115 regla del cociente, 117-19 regla del múltiplo constante, 114 regla del producto, 116-17
concavidad y, 169-71 de funciones con valores vectoriales, 577-79 de funciones de dos o más variables, 633-84 diferenciabilidad,650-56 direccionales y gradientes, 656-61, 684 límites y continuidad, 645-50, 654-55 máximos y mínimos, 670-76 método de Lagrange, 676-81 método de Newton, 683 parciales, 640-45 planos tangentes, 653-54, 666-70 regla de la cadena, 661-66 de funciones hiperbólicas, 360 de funciones inversas, 328-29 de funciones trigonométricas, 120-23 inversas, 354-56 de la función coseno, 121 de la función exponencial natural, 333 de la función logarítmica natural, 320 de orden superior, 133-39 definición, 107 direccional, 684 definición, 656 gradientes y, 656-61, 684 máxima razón de cambio, 657-58 en la modelación matemática, 136-37 formas equivalentes, 109-10 globales, 174 locales, 174-79 máximos y mínimos, 161-67, 179-88 definición, 161 en intervalos abiertos, 179-80 globales, 174 locales, 174-79 método de solución, 182mínimos cuadrados, 182-85 Teorema de existencia, 162 Teorema del punto crítico, 163 monotonicidad y, 168-69 notación de Leibniz, 128-32, 133 parciales, 640-45 cruzadas,643,648 de orden superior, 642-43 interpretaciones geométricas y físicas, 641-42 pendiente de la recta tangente, 99-101,103 problemas de caída de cuerpos, 136 realización de gráficas, 192-97 de funciones polinomiales, 193 de funciones racionales, 194 de funciones utilizando raíces, 195 regla de la cadena, 123-31 aplicaciones, 124-26 demostración parcial, 130-31
1-3
simétrica, 112 tasas relacionadas, 144-51 Teorema del valor medio para, 198-202 demostración, 198 ilustración, 199 Teorema de monotonicidad demostrado mediante, 200 velocidad, 134-35 velocidad instantánea, 99, 101-4 Descartes, René, 19, 539 Descomposición en fracciones parciales factores cuadráticos, 395-97 factores lineales, 393-95 Desigualdad(es), 10-14 compuesta, 10 con valores absolutos, 14-16 de Cauchy, 227 de Cauchy-Schwarz, 576 para integrales, 694 de Minkowski, 331 de Napier, 325 de Young, 331 de la media geométrica y la media aritmética, 18, 681 del triángulo, 18, 576 solución, 10, 11-13 Desplazamiento, 277 Diámetro mayor y menor, 523 Diferenciabilidad continuidad y, 110-11 de funciones de dos o más variables, 650-56 Diferenciación, 107 de funciones compuestas, 124 de series de potencias, 462-64 implícita, 139-44 logarítmica, 323, 339 Diferencial(es), 151-54, 667-69 de la longitud de arco, 297-98 de la variable dependiente, 668 Dirección de vectores, 567 Directriz, 518 Discriminante de la ecuación cuadrática, 16 Distancia, 277 dirigida, 2 Distribución(es) de masa continua a lo largo de una línea, 306-7 en el plano, 307 exponencial,420 normal,428 uniforme, 420 Weibull,420 Divergencia, 733-34, 751 Teorema de la, de Gauss, 759-64 demostración, 760 extensiones y aplicaciones, 762-63
1-4
índice
División, definición, 2 Dominio de una función, 37, 38-39 natural,38-39 restricción de, 351 D x (notación), 123 dy/dx (símbolo), 128-29
e, 332,333 Ecuación(es) autónoma, 401 auxiliar, 774-76 canónica, 523 cúbica, 36 de elipses, 523-24 de hipérbolas, 524-26 de la esfera, 597 de la parábola, 518 del círculo, 20 de onda, 645 de una recta vertical, 25-26 del calor, 645 diferenciales, 215-21, 773-88 aproximaciones numéricas, 504-11 definición, 215-16, 773 lineales de orden n, 774 lineales de primer orden, 347-51 lineales homogéneas, 774-77 lineales no homogéneas, 778-81 logísticas, 401 método de solución por variación de parámetros, 780-81 no lineales, 774 ordinarias de orden n, 773-74 parciales, 645 problemas de movimiento, 217-20 separables de primer orden, 216 separación de variables, 216-17 solución de, 216, 773 general de segundo grado, 533-34 gráficas de, 545-49 lineal, 26, 597-98 paramétricas, 294, 609-10 polares, 540-41 para rectas, círculos y cónicas, 542-44 simétricas, 610 Efecto multiplicador, 441 Eje(s) de cónicas, de rotación, 536-39 con ángulos no particulares, 538 determinación del ángulo (theta), 536-37 de cónicas, de traslación, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 ecuación general de segundo grado, 533-34
de coordenadas, 19 de elipses, 523 de hipérbolas, 523 de un sólido de revolución, 281 mayor de la parábola, 518-23 menor, 523 polar, 540 Elementos neutros, 2 Elevación, 23 Elipse(s), 517, 518, 522-31 definición, 527 diámetros mayor y menor, 523 ecuación canónica, 523-24 ecuación polar, 543 ejes, 523 mayor y menor, 523 excéntricas, 524 horizontal,525 propiedad de reflexión, 530 propiedades con cuerdas, 527-28 propiedades ópticas, 528-29 vértices, 522 Elipsoide, 620 Enteros, 1 Epicicloide, 566 Épsilon (e), 15 Error(es) absoluto, 153 del método de Euler, 507, 508 mejorado, 508,509 del método de Runge-Kutta de cuarto orden,509 en la aproximación de Taylor a la función, 482-483 en el cálculo, 484 en la regla del trapecio, 489-90 estimación, 153 para la regla parabólica, 491 relativo, 153 Escalares, 567 Esferas, 597 Esferoide prolato, 285 Espacio n-dimensional derivada(s),633-84 direccionales y gradientes, 656-61, 684 diferenciabilidad,650-56 límites y continuidad, 645-50 654-55 máximos y mínimos, 670-76 método de Lagrange, 676-81 método de Newton, 683 parciales, 640-45 planos tangentes, 653-54, 666-70 regla de la cadena, 661-66 integración en, 685-730 área de una superficie, 711-15 cambio de variables en, 725
integrales dobles, 684-711 integrales triples, 715-22 Espacio tridimensional, 595-631 coordenadas cartesianas en, 595-99 esferas, 597 fórmula de la distancia, 596 gráficas, 597-98 sistemas de mano derecha e izquierda, 595 coordenadas cilíndricas, 623-25 integrales triples en, 722-23 coordenadas esféricas, 623-24, 625-26 en geografía, 626 integrales triples en, 723-25 curva(s) en, 630 movimiento curvilíneo en, 613-19 velocidad, rapidez y aceleración, 613-14,615-16 rectas y curvas en, 609-13 superficies en, 619-23 cilindros, 619-20 cuádrica, 620-22 Teorema de Pitágoras en, 609 vectores en, 599-604 ángulos y cosenos directores, 600-601 binormal,616 longitud de, 599 planos y, 601-2 producto cruz, 604-9 producto punto de, 599-600 Espiral logarítmica, 547 Estimación, 8-9, 145 errores, 153 Estrofoides, 555 Euler constante de, 446 Leonhard,332,478, 505 método de aproximación numérica para ecuaciones diferenciales, 505-9 mejorado (método de Heun), 507-9 para ecuaciones de segundo orden, 788 Teorema de, 666 Excentricidad,518 Exponenciales, formas integrales canónicas para, 372 Extremos. Véase Máximos y mínimos Faetor(es) cuadráticos, descomposición en fracciones parciales, 395-97 de amortiguamiento, 783 integrante, 347 lineales, descomposición en fracciones parciales con, 393-95
índice Fermat, Pierre de, 19, 539 Fibonacci, sucesión de, 435 Flujo, 751 irrotacional,752 Foco,518 Forma(s) canónica para la ecuación de un plano, 601-2 indeterminadas, 403-13 de la forma 00 - 00, 410-11 de la forma O . 00,410-11 de las formas O; 00; 1,411-12 del tipo 00/00, 409-10 integral canónica para la constante, 372 punto-pendiente de la ecuación de una recta, 24-25, 26 Fórmula(s) cuadrática, 16 de la distancia, 19-20 en el espacio tridimensional, 596 explícita para una sucesión infinita, 429 para el punto medio, 21, 597 para sucesiones infinitas, 429 para sumas (Sigma), 223-25 recursiva para una sucesión infinita, 429 reducción, 389 Fourier Jean Baptiste Joseph, 458 series de, 381, 458 Fracción continua, 503 Frecuencia circular de oscilación, 59 circular de oscilación v, 59 Fresnel, integrales de, 368 Frontera de un conjunto, 648 Fuerza, 300-305 Función(es) acumulación, 43, 242-44 algebraicas, formas integrales canónicas de,372 aplicaciones, 362-63 aproximación de Taylor, 479-87 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 herramientas para acotar, 483-84 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 polinomio de Taylor de orden 1, 479-80 polinomio de Taylor de orden n, 480 aproximación lineal, 160 armónica, 644 beta, 392 circulares, 49, 359 composición, 45-46, 647 compuesta, 45-46 diferenciación, 124
con valores vectoriales, 577-79 constante, 47 continua, 344 continua por la derecha, 89 continua por la izquierda, 89 continuidad, 86-93, 344 cuadrática, 47 de acumulación, 43, 242-44 de densidad de probabilidad, 314, 41618,427 Cauchy, 427 exponencial, 420 gamma, 426-27 normal, 417-18,427-28, 704-6 Pareto, 426 uniforme, 420 Weibull,420 de densidad de probabilidad gamma, 426-27 de densidad de probabilidad normal, 336 de densidad de probabilidad normal canónica, 417 de densidad de probabilidad Pareto, 426 de distribución acumulada, 314, 427 de dos o más variables, 504 con valores reales, 633-38 derivadas. Véase Derivada(s) diferenciabilidad,650-56 definición, 73 mediante una tabla, 262-63 definiciones, 359 derivadas, 360 diferenciación de la composición, 124 discontinuas, 86 dominio, 37, 38-39 especial(es),368 estrictamente monótona, 326 exponencial, 338 con base a, 336-37 general, 336-41 natural,331-36 formas canónicas integrales algebraicas, 372 gamma,424 gráficas, 39-40 corrimiento y cambio de escala, 97 hiperbólicas, 359-64 inversas, 361-62 identidad, 47 impares, 40-41 inversas, 325-31 derivadas de, 328-29 existencia de, 326-27 gráfica de, 327-28 invertible, 158 jacobiano, 725
1-5
lineales, 47,115 localmente lineal, 651-52 loga' 337-38 logarítmicas, 337-40 logaritmo natural, 319-25 definición, 320 derivada, 320-21 diferenciación implícita, 323 gráfica, 323 propiedades, 321-23 máximo entero, 41 no creciente, 202 no decreciente, 202 notación, 38 objetivo, 161 operaciones, 43-49, 87 pares, 40-41 Teorema de simetría, 261 polinomial, 47, 86. Véase también Funciones polinomiales graficación, 193 polinomiales, 47, 86 de dos variables y su continuidad, 647 potencia, 338 potencial, 733 racional, 47, 86 de dos variables y su continuidad, 647 definición, 392 graficación, 194 impropia, 392 integración, 392-99 propia, 392 raíz n-ésima, 87 rango, 37, 38-39 trascendente(s), 319-69 exponencial natural, 331-36 exponencial y logarítmica generales, 336-41 hiperbólicas, 359-64 logaritmo natural, 319-25 inversas, 325-31 trigonométricas inversas, 351-58 traslaciones, 46-47 trazo, 164 trigonométricas, 49-60 deriv~das, 120-23 formas integrales canónicas, 372 identidades, 56 inversas, 351-58 límites, 77-80 periodo y amplitud, 52-54 seno y coseno, 4?-52 tangente, cotangente, secante y cosecante, 54-55 trigonometría de ángulos y,55-56 trigonométricas inversas, 351-58 derivadas de, 354-56 identidades para, 354
1-6
índice
límites de, 77-80 periodo y amplitud, 52-54 seno inverso y coseno inverso, 351-52 uno a uno, 326 valor absoluto, 41, 86-87 valores extremos, 162. Véase también Máximos y mínimos Galería de murmullos, 530 Galileo Galilei, 99,136 Ganancia marginal, 28, 189 total,188 Geografía, coordenadas esféricas en, 626 Géométrie, La (Descartes), 19 Gradiente(s),652 curvas de nivel y, 658 de un campo escalar, 732-33 derivadas direccionales y,647 recuperación de la función a partir de su, 744-46 reglas, 654 Grado, 24 de una función polinomial, 47 Gráfica(s) cuadrática, 31 cúbica, 31 de contorno, 635-38 de dispersión, 183 de ecuaciones, 29-33 dé funciones, 39-40 corrimiento y cambio de escala, 97 de funciones inversas, 327-28 de la función logarítmica natural, 323 de una ecuación polar, 540, 545-49 del seno y el coseno, 50-52 en el espacio tridimensional, 597-98, 634-35,636 intersecciones, 31-32 con los ejes, 30-31 simetría, 29-30 Graficación derivadas y, 192-97 de funciones con radicales, '195 de funciones polinomiales, 193 de funciones racionales, 194 mediante la tecnología, 35 Green George, 748 Teorema de, 748-54, 765 aplicaciones, 749-50 formas vectoriales, 750-52 Gudermanniano, 364 Hélice circular, 613·14 Herón, fórmula de, 609 Heun, método de (método de Euler mejorado),507-9
Hipérbola, 517, 518, 522-31 definición, 527 ecuación canónica, 524-26 ecuación polar, 543 ejes, 523 propiedades con cuerdas, 527-28, 530 propiedades ópticas, 528-29, 530 vértices, 522 Hiperboloide de dos hojas, 621 de una hoja, 620 Hipocicloide, 565, 592-93 de cuatro cúspides, 566 de tres cúspides (deltoide), 566 Hipócrates de Chios, 385 Hoja de Descartes, 567 Hooke, ley de, 182-83 Huygens, Christian, 562 Identidades de cofunciones, 56 de funciones trigonométricas, 56 inversas, 354 impar-par, 56 para el doble de un ángulo, 56 para el producto, 56 para la mitad de un ángulo, 56, 377 para la suma, 56 pitagóricas, 56, 377 Igualación de coeficientes, método para calcular series de Maclaurin, 474 Igualdad de las parciales cruzadas, 648 Incrementos, 128 Independencia de la trayectoria para integrales de línea, 741-47, 770 conservación de la energía y,746 criterios para, 742-44 recuperación de la función a partir de su gradiente, 744-46 Índice falso, 223 Inducción matemática, 3, 789-91 Infinitesimales, 129 Ingreso marginal, 189 total,188 Integración, 211, 371-401 computadoras e, 491 de funciones racionales, 392-99 descomposición en fracciones parciales (factores cuadráticos), 395-97 descomposición en fracciones parciales (factores lineales), 393-95 de series de potencias, 462-64 en el espacio n-dimensional, 685-730 área de una superficie, 711-15 cambio de variables en, 725
integrales dobles, 684-711 integrales triples, 715-22 interior, 693 límites de, 236, 717 Monte Carlo, 729-30 numérica, 487-94, 514 regla del punto medio, 493 regla del trapecio, 487-90, 507 regla parabólica (regla de Simpson), 490-91 por partes, 386-92 en integrales definidas, 386-88 en integrales indefinidas, 386 fórmulas de reducción, 389 repetidas, 388 por sustitución, 371-76 en integrales definidas, 374 en integrales indefinidas, 372-73 manejo del integrando, 374 uso de un sistema de álgebra por computadora, 400 Integral(es), 209-317 antiderivadas (integrales indefinidas), 209-15 definición, 209 generales, 210 linealidad,211-12 notación, 210-11 sustitución, 372-73 área, 227-34 de una región plana, 372-79 mediante polígonos circunscritos, 230-31 mediante polígonos inscritos, 228-30 velocidad y,231-32 de línea, 735-47 aplicaciones, 736-38 definición, 736 independencia de la trayectoria, 741-47,770 Teorema fundamental, 742 trabajo y, 738-40, 770-71 de probabilidad, 704 de superficie, 754-59 definición, 754 evaluación, 755-56 definición, 686 definidas, 227, 234-41, 242, 685 evaluación, 258-65 integración por partes, 386-88 integración por sustitución, 374 linealidad, 245-46 propiedad de la suma por intervalos, 239-40 sumas de Riemann y, 234-35, 270 Teorema de integrabilidad, 237 dobles, 685-711 aplicaciones, 706-11
índice sobre conjuntos generales, 695-97 sobre regiones no rectangulares, 695-701 en coordenadas cilíndricas, 722-23 en coordenadas esféricas, 723-25 en coordenadas polares, 702-6 evaluación, 688-89, 695-97 generalización, 754. Véase también Integrales de superficie impropias, 414-25 con límites infinitos, 414-15 convergentes, 414 definición, 414 divergentes, 414 interior, 693 iteradas, 691-95, 702 definición, 692 evaluación, 692-93 para el cálculo de volúmenes, 693 paradoja de la trompeta de Gabriel, 418-19 propiedades, 687-88 seno, 368 sobre rectángulos, 685-91 sobre regiones no rectangulares, 695-701 trigonométricas, 377-81 triples, 715-27 definición, 716 en coordenadas cartesianas, 715-22 Integrando(s),211 infinitos, 420-25 en un punto extremo, 421-22 en un punto interior, 422-23 manejo para la integración por sustitución, 374 radicales en, 381-86 Interés compuesto, 344-45 Interior de un conjunto, 648 Intersecciones con el eje x, 30 con el eje y, 30 de gráficas, 31-32 con los ejes, 30-31 Intervalos, 10 abiertos, 10 extremos en, 179-80 cerrado, 10 continuidad en, 89 partición regular de, 237-38 Inverso aditivo (opuesto), 2 multiplicativo (recíproco), 2 Isobaras, 639 Jacobiano, 725 Joules, 301
Kepler ecuación de, 503 Johannes, 99, 525 tercera ley de las órbitas circulares de, 582 Kirchhoff, ley de, 349 Knuth, Donald, 496 Lado recto, 521 Lagrange identidad de, 608 Joseph Louis, 482 método de, 676-81 aplicaciones, 678-80 interpretación geométrica de, 676~ 78 multiplicadores de, 676 polinomios de interpolación de, 486~87 L'Hopital Guillaume Franc;ois Antoine de, 404 regla de, 432 para formas indeterminadas del tipo 00/00,409 para formas indeterminadas del tipo O/O, 404-6, 407 Láminas, 706 centro de masa de, 307-8 volumen de, 280 Laplace ecuación de, 644 Pierre Simon de, 427 transformada de, 427 Le Lionnais, Franc;ois, 333 Leibniz Gottfried Wilhelm von, 71, 116, 128,242 notación de, 128-32, 133 Lemniscatas, 546 Lentes, 528 Lentitud de convergencia, 494 Ley(es) anticonmutativa, 605, 607 asociativas, 2 conmutativas, 2 de conservación de la energía, 746 de la gravitación de Newton, 159, 728 del cuadrado inverso para la atracción de la gravedad,.732 del paralelogramo, 567 del tercero excluido, $ del triángulo, 567 distributiva, 2 por la izquierda,1607 Limac;ons, 545, 551 Límite(s), 60-85, 645-50, 654-55 asíntotas y, 83-84 cálculo como estutlio de, 60, 795 de funciones de dos o más variables, 645-50,654-55 de integración, 717 demostracione~ de, 67-70
1-7
en infinito, 81-82 inferior de integración, 236 infinitos, 82-83, 414-15 laterales, 63-70 por la izquierda, 63 significado intuitivo, 60-61 preciso, 65-67 superior de integración, 236 Teoremas de, 72-76 de funciones trigonométricas, 77-80 Teorema de sustitución, 74 Teorema del emparedado, 75-76 Teorema del límite de la composición, 88-89 Teorema principal de límites, 72-73, 74-75,82 vectoriales, demostración de, 794-95 Línea(s) de mínimos cuadrados, 185 distribución continua de masa a lo largo de, 306-7 ecuaciones de, 26 ecuaciones polares para, 540 en el espacio tridimensional, 609-13 forma punto-ordenada al origen para la ecuación de, 25, 26 forma punto-pendiente para la ecuación de, 24-25, 26 normal,144 paralelas, 26 pendiente de, 23-24 perpendiculares, 26-27 real,2 orden en, 3 recta, 23-28 secante, 99,160 tangente, 160 vertical, ecuación de, 25-26 Lipschitz, condición de, 201 Lissajous, figura de, 366 Logaritmos comunes, 321, 338 Longitud (magnitud) de arco, 294-98, 317 diferencial de, 297-98 de una curva plana, 293-300 de vectores, 572- ~3 en el espacio tridimensional, 599 Luz, reflexión y refracción, 206 ~achin,John,357
Maclaurin Colin, 468 fórmula de, 474, 482 serie de, 467-74 método de igualación de coeficientes para calcular, 474 serie binomial, 471-73
1-8
índice
Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas, 368 Mapas de contorno, 635-38 aplicaciones, 637 Maple (software), 8, 400 Máquina discontinua, 86 Masa centro de, 306-9, 416-17 integración doble para calcular, 707-8 integración triple para calcular, 719-20 para la densidad de probabilidad, 417 Mathematica (software), 8, 400 Máximos y mínimos, 161-67, 179-88 de funciones de dos o más variables, 670-76 condiciones suficientes para, 672 definición, 670 Teorema de existencia máx-mín, 671 Teorema del punto crítico, 671 definición, 161 en intervalos abiertos, 179-80 globales, 174,670,671 locales, 174-79 criterio de la primera derivada para, 175 criterio de la segunda derivada para, 176-78 método de solución, 182 mínimos cuadrados, 182-85,675 Teorema de existencia, 162 Teorema del punto crítico, 163 McGwire, Mark, 594 Media, 227, 416 aritmética, 18,204 geométrica, 18,204 Medición del tiempo, 135 Medida de la distancia de un cuadrangular, 594 Memorización, 117 Método de aproximaciones sucesivas (método de iteraciones), 494 de bisección, 90, 494-95, 515 de coeficientes indeterminados, 778-80 de discos, 281-82 de Euler mejorado (Método de Heun), 507-9 de iteraciones, 494 de las capas cilíndricas, 287-93 de Runge-Kutta de cuarto orden, 509 de sustitución, 258-61 de variación de parámetros, 780-81 Mínima cota superior, 10 Mínimos cuadrados, 182-85, 369, 675 Minkowski, desigualdad de, 331 Mobius, banda de, 756 Modelación matemática, 136-37, 188
Modelos, 54 Momentos, 305-6 de inercia, integración doble para calcular, 708-9 Monotonicidad y primera derivada, 168-69 Montaña rusa en espiral, 631 Movimiento armónico simple, 782 circular, 59 circular uniforme, 579-80 críticamente amortiguado, 783 curvilíneo en el espacio tridimensional, 613-19 vectores y, 579-82 sobreamortiguado, 783-84 Multiplicación propiedad de orden, 3 propiedades de campo, 2 Múltiplo escalar, 568 Napier desigualdad de, 325 John, 321 Negación, 3 n-ésima suma parcial, 436, 443 Newton Isaac, 71,99,242, 732 ley de gravitación de, 159,728 ley del cuadrado inverso de, 582 ley del enfriamiento de, 345 método de, 496-97, 515 para dos ecuaciones en dos incógnitas, 683 segunda ley de, 182 Newtons-metro,301 Norma,236 Notación con apóstrofes, 133 D,133 de Leibniz, 128-32, 133 o minúscula, 152 para antiderivadas, 210-11 para funciones, 38 sigma, 221-27 Números complejos, 2 de condición, 367 directores, 609 impares, 5 irracionales, 2, 7 representaciones decimales de, 7 naturales, 1 primos, 5 racionales, 1-2, 7 representación decimal de, 6-7 reales, 2 propiedad de completez, 10,435
Operaciones algebraicas en series de potencias, 46465 aritméticas, 2 Operador, 113 lineal, 115,347 Opuesto (inverso aditivo), 2 Órbita síncrona, 582 Ordenada, 19 Orientación de una curva, 294 Origen, 19,595 recta de mínimos cuadrados por el, 184 simétrico con respecto del, 30 polo, 540 Pappus, Teorema de, 309 Parábola, 31, 517-22 ecuación canónica, 518 ecuación polar, 543 eje mayor, 518 foco y directriz, 518-19 propiedad óptica, 519-20, 530 vértice, 518 Paraboloide, 621 elíptico, 621 hiperbólico, 621 Paradoja del cuerno de Gabriel, 418-19 Paralelepípedo, 596 Parámetro, 293, 559 Pareja ordenada, 19 Partición regular, 237-38 Paso, 24 Pendiente ordenada al origen, forma de la ecuación de una recta, 25, 26 de una recta, 23-24 tangente, 99-101, 103 Perihelio, 545 Periodicidad y evaluación de integrales definidas, 262 Periodo de funciones trigonométricas, 52-54 Pies-libra, 301, Pitágoras, Teorema de, 19 en el espacio tridimensional, 609 generalización, 265 Plano(s) distribuciones de masa en, 307 forma canónica para la ecuación de, 601-2 osculador, 616 rotaciones en, 558 tangente, 653-54, 666-70 vectores en el espacio tridimensional y, 601-2 Población mundial, 341-42 Polígonos, área de, 754 mediante, circunscritos, 230-31 mediante, inscritos, 228-30
índice Polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82, 513 Potencia(s) de funciones, 43-44 definición, 316 formas integrales canónicas, 372 Potencial magnético, 420 Precálculo, 60 Precio, 188 marginal,189 Primer Teorema fundamental del cálculo, 242-50 demostración, 244, 246-47 Primera derivada, monotonicidad y, 168-69 Problema(s) con extremo libre, 676 con extremos restringidos, 676 de caída de cuerpos, 136,218 de movimiento, 217-20 gráfico de tasas relacionadas, 148-49 Productos aplicaciones, 606-7 cruz, 604-9 de funciones, 43-44 interpretación geométrica, 605-6 propiedades algebraicas, 607 punto de vectores, 572-73 en el espacio tridimensional, 599-600 Propiedad(es) de acotación, 245 de aditividad en un intervalo, 239-40 de campo,2 de comparación, 244-45 de completez de los números reales, 435 de cuerdas, 530 de elipses, 527-28 de hipérbolas, 527-28, 530 de orden, 3-4 de reflexión de la elipse, 530 ópticas de elipses, 528-29 de hipérbolas, 528-29, 530 de una parábola, 519-20, 530 Proyección escalar, 575 vectorial,574-75 Punto(s) continuidad en un, 647 crítico, 162 de inflexión, 171-72 de prueba, 11-12 de separación, 11-12 de silla, 672 equicordales, 551 estacionario, 162,401,671 _extremo inicial, 559 extremos finales, 559 frontera, 648, 671
interior, 647-48 muestra, 234, 685 singular, 162, 671 Quinta derivada, 133 Racionalización de sustituciones,
381-86 RadicareS en integrandos, 381-86 Radio;20 de convergencia, 459-60 de curvatura, 584 de giro, 709 Raíces complejas conjugadas de la ecuación auxiliar, 776 cuadradas, 16-19 principal, 16 graficación de funciones utilizando, 195 reales distintas de la ecuación auxiliar, 775 simple repetida de la ecuación auxiliar, 775-76 Ramanujan, Snirivasa, 465, 477 Rango de una función, 37, 38-39 Rapidez, 569 de movimiento curvilíneo, 579 en el espacio tridimensional, 613-14 velocidad y, 104, 135 Razón áurea, 435 de cambio, 104 de tiempo, 144 fraccionaria, 366 relativa, 366 Rebanadas, método de integración mediante aproximación con, 274-76 Recíproco, 3 (inverso multiplicativo), 2 Recta normal,144 paralelas, 26 perpendiculares, 26-27 real,2 orden en, 3 secante,99,160 tangente, 160 a una curva, 611 definición, 100 pendiente de, 99-101, 103 Rectángulo(s) integrales dobles sobre, 685-91 polar, 701 Reflexión, 36 de la luz, 206 Refracción de la luz, 206 Regla(s)
1-9
de la cadena, 123-31 aplicaciones, 124-26 para funciones de dos o más variables, 661-66 de la función constante, 113 de la función exponencial, 337 de la función identidad, 113-14 de la potencia, 210, 259 demostración, 793-94 generalizada, 212-213 para calcular derivadas, 114, 142-43 de la resta, 115-16 de la suma, 115 de sustitución para integrales definidas, 260-61 para integrales indefinidas, 259-60 del cociente, 117-19 del múltiplo constante, 114 del producto, 116-17 del punto medio, 493 del trapecio, 487-90, 507 error en, 489-90 generalizada de la potencia, 212-13,259 parabólica (regla de Simpson), 490-91, 507 Resortes, 301 vibrantes, 782, 787 Resta de funciones, 43-44 definición, 2 Restricción del dominio, 351 Resultante de vectores (suma), 567 Retratos fase, 787-88 Richter, escala, 340 Riemann, integral de. Véase Integrales definidas sumas de, 234-35, 270 Rolle, Teorema de, 201 Rosas, 546-47, 558 Rotación(es) de ejes de cónicas, 536-39 determinación del ángulo (theta), 536-37 mediante ángulos no particulares, 538 en el plano, 558 Rotacional de un campo vectorial, 733-34 interpretación física, 767 Rueda de feria, 631 Secante, 54-55 Secciones transversales, 619 Segunda derivada, 133 concavidad y, 169-71 derivadas parciales, 642-43
1-10 índice Segundo Teorema fundamental del cálculo, 251-58,741 demostración, 251 Teorema del valor medio y,254-55 Seno, 49-52 derivada de la función, 120-21 hiperbólico, 359-62 Separación de variables, 773-74 Series alternantes, 453-58 armónicas, 453 criterio de convergencia absoluta para, 454-55 criterio del valor absoluto del cociente para, 455, 456 criterios de series alternantes para, 453-54 binomial,471-73 cola de, 445 de potencias, 458-76 conjunto de convergencia, 459 de Taylor y Maclaurin, 467-74 en x-a, 460-61, 465 operaciones con, 462-67 de Taylor y Maclaurin, 467-74 definición, 443 infinitas, 435-78 agrupación de términos, 440 armónicas, 438 con términos positivos, 442-53 convergentes, 436, 439-40 de potencias, 458-75 divergentes, 436,437-38 geométricas, 436-38 para aproximar, 477 telescópicas, 438 resultado en un punto extremo, 463 telescópica, 438 Sigma, notación, 221-27 Signo de integral, 211 Símbolos para clases de números, 2 Sistema algebraico por computadora (CAS), 35 integración mediante, 400 de coordenadas cartesianas (rectangulares), 19-23, 539 de mano derecha, 63, 70 de mano izquierda, 595 en el espacio tridimensional, 595-99 integrales triples en, 715-22 numérico real, 1-6 relación con el sistema de coordenadas polares, 541-42 de coordenadas polares, 539-55 cálculo en, 550-55 integrales dobles en, 547 relación con las coordenadas • cartesianas, 541-42
Snell, ley de, 186,206 Sólidos volumen de, 280-93 cilindro elíptico, 216 de revolución, 281 método de arandelas, 282-83, 291 método de capas, 287-93 método de discos, 281-82 método de rebanadas, 280 Solitones, 367 Solución(es) analíticas, 504 aproximaciones numéricas para resolver ecuaciones, 494-503 algoritmo de punto fijo, 499-502,515 método de bisección, 90, 494-95, 515 método de Newton, 496-97, 515 de ecuaciones diferenciales, 216, 773 general, 347, 773 independientes de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, 774 particular, 347, 773 Stirling, fórmula de, 335, 447 Stokes George Gabriel, 765 Teorema de, 752, 765-68 aplicaciones de, 764-67 interpretación física del rotacional y, 767 Sucesión(es), 221 de sumas parciales, 443 definición, 443 infinitas, 429-35 convergentes, 430-33 divergentes, 430 fórmulas para, 429 monótonas, 433 Suma(s) aritmética, 226 de funciones, 43-44 de Riemann, 234-35, 270 de vectores, 567 fórmulas especiales para, 223-25 geométrica, 226 notación sigma y,221-27 parciales, sucesión de, 443 por partes, 227 propiedades de, 222-23 campo, 2 orden, 3 telescópica, 223 Superficie(s) de nivel, 640, 659 de revolución, área de, 298-99 en el espacio tridimensional, 619-23
cilindros, 619-20 superficie cuádrica, 620-22 equipotenciales, 639, 659 isotérmicas, 659 parametrizada, 771-72 Tabla(s) de integrales, 375 funciones definidas mediante, 262-63 Tamaño de lotes, 184 de paso, 505 Tangente, 54-55 en coordenadas polares, 553-54 Tasas relacionadas, 144-51 problema gráfico de, 148-49 Taylor, aproximación a una función, 479-87 Brook,468 convergencia de, 468-71 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 fórmula con residuo, 468 herramientas para acotar Rn , 483-84 polinomio de, de orden 1,479-80 polinomio de, de orden n, 480 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 series de, 467-74 Teorema de, 469 Temperatura Celsius,18 Fahrenheit, 18 relación de Celsius con Fahrenheit, 18 Teorema(s),3 de existencia, 162 máximo-mínimo, 671 de integrabilidad, 237, 687 de la función inversa, 328-29, 354 de monotonicidad demostrado mediante el, del valor medio, 200 de reordenación, 456 de simetría, 261-62 de sustitución, 74 de unicidad, 467 del eje paralelo, 710 del emparedado, 75-76,432 del límite de la composición, 88-89 del punto crítico, 163, 671 del valor intermedio, 89-91 fundamental de la aritmética, 5 fundamental del cálculo, 685. Véase también Primer Teorema fundamental del cálculo y Segundo Teorema fundamental del cálculo fundamental para integrales de línea, 742
índice principal de límites, 82 aplicaciones, 72-73 demostración, 74-75, 792 Teoría de relatividad especial, 85 Tercera derivada, 133 Thompson, Silvanus P, 394 Tiempo(s) de duplicación, 342 de espera, 420 de ordenamiento, 410 medición, 135 Torca,605 Torricelli, ley de, 221 Trabajo, 300-305 bombeo de un líquido, 301-3 integrales de línea y, 738-40, 770-71 resortes, 301 Tractriz, 386 Transformaciones, 532 Transitividad,3 Traslación(es) de ejes de cónicas, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 ecuación general de segundo grado, 533-34 de funciones, 46-47 Trazas, 598, 619 Triángulo(s) fundamental, 525 semejantes, 146 Tricotomía, 3 Triedro, 616 Trigonometría de ángulos y funciones trigonométricas, 55-56 Unión, 12 Uso y abuso del lenguaje, 228 Valor(es) absolutos, 14-19 desigualdades con, 14-16 propiedades de, 14 esperado de una variable aleatoria, 314 extremo global, 670, 671 extremo local, 174-75, 670, 671 futuro, 366 máximo global, 174,670,671 máximo local, 670, 671
medio (valor promedio), 255 mínimo global, 174, 670, 671 mínimo local, 670, 671 presente, 366 Variable(s) aleatoria, 314,416 aleatorias continuas, 416 aleatorias discretas, 416 dependiente, 39, 633 diferencial de, 151,668 falsa, 237 independiente, 39, 633 diferencial de, 151 separación de, 773-74 Varianza, 227 de una función de densidad de probabilidad,417 Vecindad,647 Vector(es),567-94 aceleración, 586-88 aplicaciones, 568-69 base, 574, 599 binormal,616 cero,568 cola y cabeza de, 567 componentes, 571 curvatura y, 582-86 centro de, 584 círculo de (curva osculatriz), 584 definición, 583 otras fórmulas para, 585-86 radio de, 584 de curvatura, 583 de posición, 579 definición, 567 dirección de, 567 en el espacio tridimensional, 599-604 ángulos y cosenos directores, 600-601 binormal,616 longitud, 599 planos y,601-2 producto cruz, 604-9 producto punto, 599-600 equivalentes, 567 magnitud (longitud), 572-73, 599 movimiento curvilíneo y,579-82 circular uniforme, 579-80
1-11
rapidez de, 579 velocidad y aceleración en, 579 normal unitario, 586 principal,615 operaciones en, 567-68, 571-72 ortogonales, 573 producto punto de, 572-73, 599-600 proyecciones, 574-75 tangente unitario, 583, 614 Velocidad,134-35 angular, 121 área y,231-32 de escape, 219 en el espacio tridimensional, 613-14 instantánea, 99, 101-4 movimiento curvilíneo y,579 promedio, 101-4 rapidez y, 104, 135 Verhulst, Pierre, 401 Vértice(s) de elipses, 522 dé hipérbolas, 522 de una parábola, 518 Vibraciones amortiguadas, 782-84 Vida media, 343 Volumen(es),687 de sólidos, 280-93 cilindro elíptico, 316 de revolución, 281 método de arandelas, 282-83, 291 método de cascarones, 287-93 método de discos, 281-82 método de rebanadas, 280 de un cilindro, 16 de una moneda, 280 integración doble para calcular, 706 integrales iteradas para, 693 Weibull, distribución de, 420 Weierstrass, Karl, 71 Whitehead, Alfred, N., 117 Young, desigualdad de, 331 Zenón de Elea, 435 paradoja de, 441-42
Créditos de fotografías Al reverso de la portada Descartes Newton Leibniz Euler Kepler Pascal L'Hopital Bernoulli Lagrange Gauss Cauchy Riemann Lebesgue Agnesi Weierstrass Kovalevsky Gibbs
Frans Hals/Louvre Library of Congress The Granger Collection, New York Library of Congress Library of Congress Courtesy of lnternational Business Machines C?rporation. Unauthorized use not permitted The Granger Collection, New York The Granger Collection, New York New York Public Library The Granger Collection, New York Corbis The Granger Collection, New York The Granger Collection, New York Library of Congress Corbis Library of Congress Corbis
Texto p.219 p.224 p.362 p.418
Kennedy Space Center/NASA Susan Van Etten/PhotoEdit David Frazier/Photo Researchers, lnc. Scala/Art Resource, NY
(-1
'-'-JI'I
L
r-'\'-lVI
-------------------------------------------------~i-----------------------------------------------~i.----------------------------------------------
..o 1'3
..o 13
010-
GEOMETRíA
b~
Q:
010-
INTEGRALES
ro
Triángulos 1. Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2
a
.1
a
'Y
¡
3. 1 Ángulos a + f3 + 'Y
=
b
6.
Circunferencia
e =
Área
A = 7rr 2
27rr
7. 8.
0~
Cilindros Área de la superficie S = 27rr 2 + 27rrh Volumen V = 7rr 2h
9. 10.
6SJ CG
Conos Área de la superficie S = 7rr 2 + 7rr~ Volumen
V = ~7rr2h
12.
]\rea de la superficie S = 47rr 2
14.
V = ~ 7rr 3
15. 16.
CONVERSIONES 1 pulgada
1 litro
=
2.54 centímetros
=
1000 centímetros cúbicos
1 kilogramo 7r
radianes
=
=
2.20 libras
180 grados
17.
1 kilometro = 0.62 millas
1 litro = 1.057 cuartos 1 libra = 453.6 gramos
1 pie cúbico
=
acompaña a
CÁLCULO, 8 a edición e
1 1 1 1 1 1
7.48 galones
18.
Pureell, Varberg y Rigdon
e
senu du = -cosu + cos u du = sen u +
e
sec 2 u du = tan u +
e
csc 2 U du = -cot u +
e
DERIVADAS
e
sec u tan u du = sec u +
Dxx r = rx r -
csc u cot u du = -csc u + tanu du = -lnlcosul +
13. 1 cotu du = lnlsen ul +
Esferas
Volumen
11.
.1
1 1 1 1 1
19. 1
Formulario que
n *-1
'
e
5. 1 a"du = -a" + lna
Círculos
G
e
~dU = lnlul + e
4. 1 e" du = e" +
Cualquier triángulo
ro
v du
1800
Área A = ~bh
1
1
2. 1undu = _1_ un + 1 + n + 1
Triángulo rectángulo
/SI
u dv = uv -
Q
e e
secu du = lnlsecu + tanul + cscu du = lnlcscu - cotul +
1 ~du = sen- I -u + a2 - u 2 a
e
e
=
cos x
Dxcosx = -senx
D x tan x
=
sec2 x
D x cot x
+
e e
-csc 2 X
=
D x sec x = sec x tan x
D x csc x = -csc x cot x
D x senh x
D x coth x
=
cosh x
=
-csch2 X
D x cosh x = senh x
D x sech x = -sech x tanh x
sech 2 x
D x csch x = -csch x coth x
D x tanh x
=
=
~
1
1
Dxlogax
Dxe x = eX
e
~dU = !sec-II~I u2 - a2 a a
D x sen x
Dxlnx
-2-1- d u = ~ln 1 lu -+al + a - u2 2a u - a
u
Dxlxl = ~
e
e
I -u + 1 -2-1- d u = -tana + u2 a a
Ixl
I
Dxa x = a Xlna
1
Dxsen-1x= ~
Dx tan
= xlna
Dxcos
-1
_
1
-1
x = 1 + x2
-1
x- ~
1
Dxsec-1x =
Ixl~
'-'-JI'I
L
r-'\'-lVI
-------------------------------------------------~i-----------------------------------------------~i.----------------------------------------------
..o 1'3
..o 13
010-
GEOMETRíA
b~
Q:
010-
INTEGRALES
ro
Triángulos 1. Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2
a
.1
a
'Y
¡
3. 1 Ángulos a + f3 + 'Y
=
b
6.
Circunferencia
e =
Área
A = 7rr 2
27rr
7. 8.
0~
Cilindros Área de la superficie S = 27rr 2 + 27rrh Volumen V = 7rr 2h
9. 10.
6SJ CG
Conos Área de la superficie S = 7rr 2 + 7rr~ Volumen
V = ~7rr2h
12.
]\rea de la superficie S = 47rr 2
14.
V = ~ 7rr 3
15. 16.
CONVERSIONES 1 pulgada
1 litro
=
2.54 centímetros
=
1000 centímetros cúbicos
1 kilogramo 7r
radianes
=
=
2.20 libras
180 grados
17.
1 kilometro = 0.62 millas
1 litro = 1.057 cuartos 1 libra = 453.6 gramos
1 pie cúbico
=
acompaña a
CÁLCULO, 8 a edición e
1 1 1 1 1 1
7.48 galones
18.
Pureell, Varberg y Rigdon
e
senu du = -cosu + cos u du = sen u +
e
sec 2 u du = tan u +
e
csc 2 U du = -cot u +
e
DERIVADAS
e
sec u tan u du = sec u +
Dxx r = rx r -
csc u cot u du = -csc u + tanu du = -lnlcosul +
13. 1 cotu du = lnlsen ul +
Esferas
Volumen
11.
.1
1 1 1 1 1
19. 1
Formulario que
n *-1
'
e
5. 1 a"du = -a" + lna
Círculos
G
e
~dU = lnlul + e
4. 1 e" du = e" +
Cualquier triángulo
ro
v du
1800
Área A = ~bh
1
1
2. 1undu = _1_ un + 1 + n + 1
Triángulo rectángulo
/SI
u dv = uv -
Q
e e
secu du = lnlsecu + tanul + cscu du = lnlcscu - cotul +
1 ~du = sen- I -u + a2 - u 2 a
e
e
=
cos x
Dxcosx = -senx
D x tan x
=
sec2 x
D x cot x
+
e e
-csc 2 X
=
D x sec x = sec x tan x
D x csc x = -csc x cot x
D x senh x
D x coth x
=
cosh x
=
-csch2 X
D x cosh x = senh x
D x sech x = -sech x tanh x
sech 2 x
D x csch x = -csch x coth x
D x tanh x
=
=
~
1
1
Dxlogax
Dxe x = eX
e
~dU = !sec-II~I u2 - a2 a a
D x sen x
Dxlnx
-2-1- d u = ~ln 1 lu -+al + a - u2 2a u - a
u
Dxlxl = ~
e
e
I -u + 1 -2-1- d u = -tana + u2 a a
Ixl
I
Dxa x = a Xlna
1
Dxsen-1x= ~
Dx tan
= xlna
Dxcos
-1
_
1
-1
x = 1 + x2
-1
x- ~
1
Dxsec-1x =
Ixl~
LUK I t AllUI
--------------------------------------------------,-------------------------------------------------r-------------------------------------------------Q) I
Q) I
~13
g: g
Identidades básicas tant = sen t cost sect
cott
cott
1 ese t = sen t
1
=--
cost
1 + tanet
cost sen t
=
2: g
TRIGONOMETRíA
1 tant
=
Funciones trigonométricas inversas
(a, b)
()
1 + cot 2 t = csc 2 t
y = sen- 1x #
x
=
sen y, -7T /2 ::.; Y ::.; 1! /2
cos- 1X #
x
=
cos y,
Y = tan- 1x #
x
=
tan y, -7T /2 < y < 7T /2
sec- 1x #
x
= secy,O::.; y::.; 7T,y
Y
sen 2 t + cos 2 t = 1
sec 2 t
=
~13
=
Y
=
°::.;
y ::.; 7T
* 7T/2
sec- 1 x = cos- I (l/x)
(1, O)
Identidades de cofunción sen ( ~ -
t)
COS
=
t
cos (
~-
t)
=
sen
t
~-
tan (
t)
= cott
;dentidades par-impar sen(-t) = -sent
cos (-t)
=
COS t
sen t
sen 8
tan(-t) = -tant tan t = tan 8 =
Fórmulas para la suma sen(5 + t)
=
sen5 cost + COS5 sent
sen (5 - t) = sen 5 cos t - COS 5 sen t
cos (5 + t)
=
COS 5 COS t - sen 5 sen t
cos (5 - t)
=
tan5 + tant 1 _ tan 5 tan t
tan5 - tant tan (5 - t) = 1 + tan 5 tan t
tan (5 + t)
=
y
b r
~
= !!.-
x
cos t
cos 8 = x =
a r
x a cot t = cot 8 = - = y b
a
Funciones hiperbólicas 1
senh x = 2
(ex - e-x)
coshx =
tanh x = senh x coshx
COS 5 COS t + sen 5 sen t
1 -(ex + e-x) 2
coth x = cosh x senh x
1
1
se eh x = cosh x
csch x = senh x
Gráficas
Fórmulas para el doble de un ángulo sen 2t
=
tan 2t =
2 sen t cos t
2 tan t 1 - tan 2 t
Series
cos 2t = cos 2 t - sen 2 t = 1 - 2 sen 2 t = 2 cos 2 t - 1
_1_ = 1 + x + x 2 + x 3 + ... -1 < x < 1 1- x '
Fórmulas para la mitad de un ángulo
sen-t 2
=
±
Ffii-
cost --2
cos-t 2
~+ cost ± ---
=
in (1 + x) = x -
1 - cost tan-t = -2 sen t
2
tan
-1
=
=
sen (5 + t) + sen (5 - t) 2 cos 5 COS t
2COs5sent = sen(5 + t) - sen(5 - t)
=
eX =
COS (5 + t) + cos (5 - t)
2sen5sent = COS(5 - t) - COS (5 + t)
x -
5 -
t
5
+ t
sen 5 - sen t
5
=
+ t
5 -
t
2 cos -2- sen -2-
COS 5 + cos t
x3 sen x = x - -
3!
5
=
+ t
5 -
t
cos X =
2 cos -2- cos -2-
COS 5 - COS t = -2 sen 5 + t sen 5 - t I 2
I I I I I I I I
2
Leyes de los senos y cosenos
~ e
sen a = sen f3 a b
ti =
b 2 + e2
-
sen y
7T
-1
2be cos a
2
I I
I I I I I I I I I
37T
27T
Y = ese
t
n
7T
'2 I I I
: I I I
\:'"" I I I
n~
x2 1- 2! X"
senh x = x + -
3!
7T
2I I I
I I I I
5
7
+
5x - 7x
+ "', -1 < x ::.; 1 •
+ "', -1 ::.; x ::.; 1
x5 5!
x7 7!
+ - - - + ... x4 4!
x6 6!
+ - - - + ... x5
+ -
5!
x7
+ -
7!
+ ...
x2 x4 x6 cosh x = 1 + - + - + - + ...
2!
I
-1
x4
3 - 4
x2 x3 1 + x + - + - + ... 2! 3!
Fórmulas de factorización sen 5 + sen t = 2 cos -2- sen -2-
3x
x3
+
3
x
Fórmulas para el producto 2 sen 5cos t
x2
2
(1 + x)p = 1 +
(~)
4!
(~) x
+
6!
(~) x
2
+
(~) x
p(p - l)(p - 2)"'(p - k +
k!
3
+ "', -1 < x < 1
Tabla de integrales fORMAS ELEMENTALES
5 Jaudu =
~ +e lna e
sec 2 u du = tan u +
8 /
17
e e
secudu = lnlsecu + tanul +
du 1 -1 u -2 - - = - tan - + a a J a + u2
e
e
sin -:1=-1
e
csc 2 Udu = -cot u +
e
7 J cos u du = sen u +
e
12 /
tanu du = -lnlcosul +
15 /
cscu du = lnlcscu - cotul +
18
.f
a2
~
u2
LInl: ~ :1
=
e
J duu = lnlul +
3
6 J sen u du = -cos u + 9 /
11 / cscu cotu du = -cscu + 14 /
JU n du = _1_ un +1 + n + 1
2
1 J u dv = uv -.- J v du
+
e
secu tanu du
13 /
cotu du = lnlsenul +
16 /
du = sen 1 ~ + ~ a du
u~
e
secu +
10 /
19/
e
e
=
e e
=!sec-11~I+c a
a
fORMAS TRIGONOMÉTRICAS 20
11
sen 2 u du = Z" u -
/
4" sen 2u
e
+
21 /
cos 2 u du =
e
23 /
cot 2 u du = -cot u - u +
25 /
cos 3 u du =
27 /
cot 3 u du = -
29
csc 3 udu = -Z"cscucotu + Z"lnlcscu - cotul +
30 31 32
~ (2
+ cos 2 u) sen u +
~ cot
2
U - lnlsenul +
1
/
/ /
e
1
e
sen(a - b)u sen(a + b)u ( ) + ( ) + 2a-b 2a+b
e
cos(a - b)u cos(a + b)u 2( a _ b) 2( a + b) +
sen au cos bu du = -
33 J sennudu
=
-~senn-1ucosu
¡
28
sec 3 udu = Z"secutanu + Z"lnlsecu + tanul +
/
si n -:1= 1
34 J cosnudu 36 J
csc nu du =
~ csc n- 2 Ucotu n - 1
csc n- 2 Udu
si n -:1= 1
/
sen nu cos mu du =
n - 1 / senn-1 u cosm+ 1U + --n+m n+m
senn+1 u cosm- 1U m - 1 / + --n+m n+m
40 / u sen u du = senu - u cos u +
e
42 / un sen u du = -un cos u + n / u n- 1COS U du
2
u + In Icos ul +
1
38 /
39b
~ tan
sen 2 u) cos u +
e
e
tan 3 u du =
si n -:1= 1
/
~ (2 +
tan 2 u du = tan u - u +
26 /
see- 2 u du
sen nu cos mu du = -
22 /
sen3 u du = -
see u du = _1_ sec n- 2 u tanu + n - 2 / n-1 n-1
39a
e
24 /
37 /
+ n - 2/ n - 1
sen 2u +
e
1
e
e
+ n: 1 J sen n- 2 udu
35 J tan nu du = _1_ tan n- 1u - J tan n- 2 u du n - 1
+
e
_ sen(a - b)u _ sen(a + b)u senau sen bu du 2(a _ b) 2(a + b) + . cos au cos bu du =
J
e
~u
=
cotn u du =
sen n- 2 u cos mu du sen nu cosm- 2 Udu
~cosn-1usenu ~ cot n- 1u n - 1
+ n: 1 J cosn- 2 udu
- J cot n- 2 u du
si n -:1= -m si m -:1= -n
41 / u cos u du = cos u + u sen u +
e
43 /unCOSUdU = unsenu - n /u n- 1 senudu
si n -:1= 1
fORMAS QUE IMPLICAN
VU 2 ±
a2
44
J~dU=~~±a2In[u+~I+c 2 2
45
46
J
47
48 49 51
~ du
= ~ - a In (a+~) +
u
u
JU2~ du U2 du J ~
J
=
~8 (2u 2 ± a2)~ -
u a2 = - ~ =f - In lu + 2
~ 2 du
~+
53 J(u 2 ± a2?/2 du
u
= ~ (2u 2 ± 8
8
Vu2 -± a2
e
50
In [u + ~I +
e
52
5a2)~ +
fORMAS QUE IMPLICAN
~[
+
2
= -
u
4
a In[u +
e
Va
2
1
4
3a Inlu + 8
~[+C J ~~=ln[u+ vu ± a 2
J
2
~ u - - - - d u = ~ - asec- 1 - + u
a
e
+ J
du
= =f
U2~
J
~[
e
du 3/2 (u 2 ± a2)
+
=
~ a2u
±u a2~
e
+ +
e
.
e
u
2
-
55
J~du~~-alnla+~I+c
57
u a4 u U2~ du = - (2u 2 - a2)~ + - sen-1 - +
59
J
J
8
8
a
~ du = - ~ - sen-lU- + e ~
u
a
fORMAS EXPONENCIALES Y LOGARíTMICAS 63 JueUdu
=
(u -l)eU +
65 J In u du = u In u - u +
67 J eau sen bu du =
64 J une Udu
e e
66
~ (a sen bu a + b
- b cos bu) +
e
J
= uneU - n J un-1e u du
un In u du
=
68 Je au cosbu du
un+l un+1 - - 1 In u 2 + n + (n + 1) =
~ (a cosbu a + b
e
+ b sen bu) +
e
fORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 69 J sen-1udu
=
usen-1u +
~
71 J sec-1udu = usec-1u - Inlu +
70 J tan- 1u du = u tan-1u -
e
~[
73 Ju tan-1u du = 1:.- (u 2 + 1) tan-1u -
2
+
+
e
~2 + e
74 Jusec-1udu
un+l 1 J u n+1 unsen-1udu=--sen-1u--du sin'#-l n+1 n+1 ~ J un+l 1 J un+1 76 un tan-1u du = --tan-1u - - - - 2 du sin '#-1 n+1 n+1 l+u J J
un+l 1 J unsec-1udu = --sec-1u - - n + 1 n + 1
un u2 - 1
~du
+ u2) +
72 J u sen-1u du = ¡(2u2 - 1)sen-1u +
75
77
~ In(l
sin '#-1
=
e
¡~ + e
~2 sec-1u - ~~ + e
e
FORMAS HIPERBÓLICAS 78
81
j' j'
=
cosh u +
coth u du
=
In Isenh ul +
84 1 senh 2 u du 2
87 ,1 coth u du 90
j'
e
senh u du
¡
=
e
~+e
senh 2u -
u - coth u +
=
sech u tanh u du
.1
cosh u du
= senh u + e
82
,1
sech u du
=
tan-llsenh ul +
85 1 cosh 2 u du =
e
-sech u +
=
79
2
88 ,1 sech u du
e
¡
senh 2u +
tanh u +
=
e
~+e
80
,1
83
J
tanh u du = In (cosh u) +
cschu du
~ Inltanh ~I
e
+e
86 ,1 tanh 2 u du = u - tanh u +
e
89 ,1 csch 2 u du = -coth u +
e
e
= -csch u + e
91 ,1 csch u coth u du
FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS 92 94
95 96 97
98
j'
l
(u' :'u2)"
104
105 107
108
lu~ du
b llnlau + bl + a
(au + b 2 a
t+
~ (3au 15a~
=
lun~ du
,
I
(au + b -n+2
e -
93 lu(au ,
b) + n+l
--
- 2b)(au + b)3/2 +
3)
e
l
sin
(a'
~ [ln1au a
+ bl + _b_] + e au + b
-1,-2
:~Ir-I)
si n '" 1
e
lun-I~dU)
1~~=~(aU-2b)~+C V au + b 3a~. du = Zl~
=1=
+ br2 du =
2 (ufl(au + b)3/2 - nb a(2n + 3) ,
=
,
99
-
~-lnl~ y¡; I + e y¡;
~+Y¡;
du ~ ,1 uflY;;;; + b - - b(n - 1)u n- 1
sib>
o
I~~= ( 2 )(un~-nb/~u~) V au + b a 2n + 1 , V au + b
,
100b 1
,
du = _2- tan - I Jau + b u~ yCb -b
+ e sib < o
(2n - 3)a 1 du si n =1= 1 (2n - 2)b, un-I~ U- a a2 u - a 1 du u - a ~u - u 2 du = - - Y2au - u 2 + - sen- I - - + e 103 = sen- I - - + e 2 2 a , Y2au - u 2 a 2 ufl-I(2au U )3/2 (2n + l)a 1 fl u Y2au - zi du = + u n- 1 Y2au - zi du .1 n+2 n+2 , undu u n- I (2n - l)a 1 un-Idu, 1 Y2au - u 2 u - a =- Y2au - u 2 + , 106 du = Y2au - u 2 + a sen- 1 - - + , . y 2au - zi n n , y2au - u 2 u a 2 2 2 V2au - u (2au - U )3/2 n - 3 1 Y2au - u du = + du , (3 - 2n)au n u n- I (2n - 3)a , 1 un du V2au - u 2 n - 1 1 du n +--fl (2n - l)a, u n- IV2au - u 2 u Y2au - u 2 - a(l - 2n)u
j' ---
-
I
e
j.
109 I(Y2au - u 2 ,
110
a
-
~ 2a1(n1 _ 1) Ca 2 ±UU 2)"-1 + (2n -
,
,
102
= -
u(au + b)n du =
,1
100a 1 101
u
u(au + brldu
r
du ,1 (V2au - u 2
du = u - a (2au - u 2 n+1 -
r-
r/
2
+
~ I(V2au n+1,
- u2
r-
2
du
u - a ( .. / _ 2)2-n n - 3 1 du 2 V 2au u + 2 (n - 2)a (n - 2)a, (V2au - u 2
r
2
INTEGRALES DEFINIDAS 111
(Xune-lIdu = f(n + 1) = n!
Jo
(n
2:
112
O) 1.3.5
113
1T/2 1
,o
l
,o
sen fl u du
11T/2 =
,o
cos n u du =
2 .4 .6
(n-1)~
n
2·4·6· .. ··(n-1)
!
3·5·7· .. ··n
2
x e-all 2
du
1~ -
= -
2
a
(a > O) ~
2
si n es un entero impar y n
~
si n es un entero par y n
3
K
CAL CULO I
I' U' ctava edici.n
i3,iceff
'4
'
'1
''
II
14
'4
hi objetivo c4e esta obra es hacer que el curso de cãlculo sea accesibie e interesante aun para los esU
tudiantes que tienen dificultades con Ia materia. Los autores dirigen Ia atenciOn del alumno en los I conceptos básicos, hrciendo énfasis en el aspecto geométrico y numérico para desarrollar éstos. En esta octava ediciOn se relizO una revibiOn y actualizaciOn del conenkio. El cesarrolIo de los temas es ameno y al mismo tiempo riguroso. Los conceptos, definiciones y teoremas se discuten con sumo detalle; los teoremas se demuestran siempre que sea Util para facilitar su comrrensiOn. Los conjuntos de ejercicios y problemas fueron seleccionados a conciencia para permitir que el lector evalUe sus conocimientos, además, cabe indicr que esta obra coniene mãs e 6,500 problemas. Li
Li
En Ia mayor parse de ésèos se presentan argumentos que facilitan ei entendimiento del resultado. Las secciones tienen aproximadamente Ia misma extensiOn, esto permite que ei instructor distribuya el material del curso en una secciOn cli&ia.
Mediante probkmas y proyectos se enseña a los alumnos a utilizar Ia tecnologia disponible: calculaJoras cientificas, calculadoras con funciones de grãficas y el software de matemticas. U
Adicionalmenfe se cuenta con una página en Internet (nuestra Companion Web). La lista parcial del contenido de Ia mima es: Series de preguntas cierto/fifiso por capitulo, ls cuales exigen Ia lectura cuidadosa por parse de 1 los estudiantes; además los rsultdos pudGn ser envidos a sus profesores por Internet. Ejemplos interactivos acompanados de preguntas y actividades conescenarios qué sucederla Si". Vinculos con otros sitios. Sugerencis para Ia enseñanza y el estudlo. OTRAS ORAS DE INTERES PUBLICADAS POR PEARSON: .1:1 EWARS
Iii. y PEiN'EY: Ecuaciories dferencials, curta ediciOn I
I
GEIAL yUI WHEATLEY: AnOlisis numQrico con aplicaciones, sexta ediciOn 'II II lineal con aplicacionesy MA TLA B, sexta ediciOn KW..NAN: Algera LAY: Algebra linealysus aplicaciones, segunda ediciOn actualizada Al
MARIEN y T!OPsA: Cálculo vectorial, cuarta ediciOn N'MLE, SAFF y SNIDER: Ecuaciones dferenciaies y pro blemas con valores en lafrontera, tercera ediciOn
THØAS y FINNEY: Cálculo: una variable, novena ediciOn WA'LPOLE: Probabilidad y estadistica para ingenieros, sexa ediciOn
Companion
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N8SI
EN ESPANOL:
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LA HERRAMIENTA MAS LJTIL DE ENSENANZA V APRENOIZAJE EN LINEA
Pearson Educación www.pearsenedlatino.com
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