FORMULARIO CALCULO DIFERENCIAL
Fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas
Máximos y mínimos *Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) < 0, tiene un máximo
Fórmulas de derivadas algebraicas. 𝑑 𝑑𝑥
Derivada de una constante
𝑑 𝒅
𝑑𝑥
𝒄=𝟎
𝒅𝒙
𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠𝑤 ∗
𝑑𝑥
𝑡𝑎𝑛 𝑤 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑤 ∗
𝑑
𝑤
𝑑 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑤 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 ∗
𝑑𝑥
𝑑
𝑤
𝑑 𝑑𝑥
𝒅
𝒙=𝟏
𝑑
Derivada de una constante por una variable 𝒅 𝒅𝒙
𝒄𝒙 = 𝒄
Derivada de una variable elevada a un exponente 𝒅 𝒅𝒙
𝑠𝑒𝑐 𝑤 = 𝑠𝑒𝑐 𝑤 ∗ tan 𝑤 ∗
𝑑𝑥
𝑤
𝒅 𝒅𝒙
√𝒙 =
𝑤
𝑼𝒏 = 𝒏𝑼𝒏−𝟏
𝒅 𝒅𝒙
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑤 =
𝒅
𝒅
𝑑 𝑑𝑥
𝑤
√1−𝑤 2 𝑑 𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑤 =
𝑑 𝑑𝑥
Derivada de la raíz cuadrada de una función.
𝑑 𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑤 = −
𝑑 𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑤 =
𝑤
𝑑
1 + 𝑤2
𝑑𝑥
𝑑 𝑑𝑥
𝑑
𝑤
𝑤√𝑤 2 − 1
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝑤 = −
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑐 𝑤 = −
𝑑 𝑑𝑥
𝑑 𝒅 𝒅𝒙
𝒏
√𝒖 =
𝑑𝑥
𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒏 𝒏−𝟏 𝒏 √𝒖
ln 𝑤 =
𝑑 𝒅𝒙
𝑑𝑥
𝑼𝑽 = 𝑼 ∗ 𝑽´ + 𝑽 ∗ 𝑼´
Derivada del cociente de dos funciones. 𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒗
=
𝑑
𝑤
𝑑𝑥
𝑤
log 𝑎 𝑤 =
𝑑 𝑤∗log𝑎 𝑑𝑥
𝑤
Derivada implícita
𝒗∗𝒖´−𝒖∗𝒗´
𝒅𝒚
𝒗𝟐
𝒅𝒙
=
−𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝑒
𝑑 𝑑𝑥
𝑢−𝑎 (𝑛−1)
𝑛=
𝑑 𝑑𝑥
𝑎𝑤 = 𝑎𝑤 ln 𝑎
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝑑 𝑑𝑥
𝑎𝑔(𝑥) = 𝑎𝑔´(𝑥)
𝑑
𝑎
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
=
−𝑎∗𝑔´(𝑥) [𝑔(𝑥)]2
𝑑 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
=
𝒇′ (𝒂) 𝒈′ (𝒂)
𝑟
𝑛
𝑆 = [2a + (n − 1)r]
+1
2
(a+u)n 2
𝑤
Progresiones Geométricas. Término enésimo 𝒖 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏
𝑤
N° términos
𝑑 𝑑𝑥
log 𝑢 − log 𝑎 + 1 log 𝑟
𝑤
Primer término 𝑎=
Recta tangente 𝒅𝒚
𝒚 − 𝒚𝟏 = (𝒙 − 𝒙𝟏 ) 𝒅𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝒎𝒕𝒈
𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 𝟏+ 𝒎𝟏 ∗𝒎𝟐
𝑔´(𝑥) 𝑎
[email protected]
𝑢
𝑆=
La razón 𝑟=
𝑟 𝑛−1
Suma finita
𝑆=
Ángulo entre curvas: Fórmulas de reducción
𝑢−𝑎
𝑆=
𝑤√𝑤 2 − 1
𝑒𝑤 = 𝑒𝑤
𝑟=
𝑛=
Derivada del producto de dos funciones. 𝒅
𝑑 𝑑𝑥
=
Primer término 𝑎 = 𝑢 − (𝑛 − 1)𝑟 Suma
1 + 𝑤2 𝑑 𝑑𝑥
𝒇′ (𝒙) 𝒈′ (𝒙)
SERIES Y PROGRESIONES
𝑤
√𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐√𝒖
Derivada de la raíz enésima de una función.
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝑤
√1 − 𝑤 2
Derivadas d funciones logarítmicas y exponenciales
𝒖
𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
Término enésimo 𝒖 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒓 La razón N° términos
𝑑
𝑼
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
Derivadas de funciones trigonométricas inversas.
𝟏
Derivada de una función elevada a un exponente
Regla d L´hopital
Progresiones Aritméticas.
𝑑
𝟐√𝒙
*Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) > 0, tiene un mínimo
𝑑 𝑑 𝑐𝑠𝑐 𝑤 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑤 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑤 ∗ 𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅
𝑤
𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
Derivada de la raíz cuadrada de una variable.
𝒅𝒙
𝑑 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝑤 = − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑤 ∗
𝑑𝑥
Derivada de una variable 𝒅𝒙
𝑑
𝑢𝑟−𝑎 𝑟−1
𝑎1 (𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1
𝑛−1
𝑢
√𝑎
Suma infinita 𝑺=
𝒂 𝟏−𝒓
FORMULARIO CALCULO INTEGRAL L545
1. ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶
2. ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝐶
INTEGRALES POR PARTES
3. ∫[𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑢)] 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 + ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 4. ∫ 𝒖𝒏 𝒅𝒖 = 5. ∫
𝒅𝒖 𝒖
𝒖𝒏+𝟏 𝒏+𝟏
+𝑪
CAMBIO DE VARIABLE ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢
𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
INTEGRALES DEFINIDAS
SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA
CASO
CAMBIO
DERIVADA
TRANSFORMACION
√𝑎 2 − 𝑥 2
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝜃
√𝑎 2 − 𝑥 2 = 𝑎 cos 𝜃
√𝑥 2 + 𝑎2
𝑥 = 𝑎 tan 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
√𝑥 2 + 𝑎2 = 𝑎 sec 𝜃
√𝑥 2 − 𝑎 2
𝑥 = 𝑎 sec 𝜃
𝑑𝑥 = asec 𝜃 tan 𝜃
√𝑥 2 − 𝑎 2 = 𝑎 tan 𝜃
𝒏 ≠ −𝟏
= 𝐥𝐧|𝒖| + 𝑪
6. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
+𝐶
INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES
CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1
A cada factor lineal 𝒂𝒙 + 𝒃, del denominador de una fracción
7. ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶
racional propia, le corresponde una fracción de la forma
8. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶
9. ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶
siendo A una constante por determinar.
10. ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶
11. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶
CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES
𝑨 𝒂𝒙+𝒃
12. ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶
A cada factor cuadrático de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏 , donde 𝑛 ≥ 1 que figure en el denominador de una fracción racional propia, le
13. ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶
corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma 𝑩
14. ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶
(𝒂𝒙+𝒃)𝟐
+
𝑪 (𝒂𝒙+𝒃)𝟑
𝑨 𝒂𝒙+𝒃
+
+ ⋯ siendo A, B, C,.. Constantes a determinar.
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
15. ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶
CASO 3: FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS
1. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
2. 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
16. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶
A cada factor cuadrático irreducible 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde
3. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥
4. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
17. ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶 𝑑𝑢
18. ∫ √𝑎2
una fracción de la forma
𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
siendo A, B las constantes a
= sen−1 + 𝐶 𝑎 > 0 𝑎
1
7. 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − cos 𝑥
CASO 4: FACTORES CUADRATICOS IGUALES 19. ∫ 21. ∫
𝑑𝑢 𝑎2 +𝑢
1
𝑢
𝑎
𝑎
= 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝐶 2
𝑑𝑢 𝑢2 −𝑎2
=
1 2𝑎
ln |
𝑢−𝑎 𝑢+𝑎
|+𝐶
20. ∫ 22. ∫
𝑑𝑢 𝑢√𝑢2 −𝑎 𝑑𝑢 𝑎2 −𝑢2
1
𝑢
𝑎
𝑎
= 𝑠𝑒𝑐 −1 + 𝐶 2
=
1 2𝑎
ln |
𝑎+𝑢 𝑎−𝑢
|+𝐶
𝑑𝑢 +𝑢2
𝑑𝑢
24. ∫ √𝑢2
−𝑎2
𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
= ln(𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 ) + 𝐶
+
𝑪𝒙+𝑫 (𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄)
𝟐 +
constantes a determinar. 𝑑𝑢 = ln|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 1
1
𝑢
2
2
𝑎
1
1
2
2
25. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑎2 − 𝑢2 + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛−1 + 𝐶
1
1
𝑬𝒙+𝑭 (𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄)
𝟑 + …
siendo
1
6. 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 2
1
8. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + cos 𝑥 2
1 2
10. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
A, B, C,… 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =
2
9. 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑦 = [𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)]
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
26. ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑢2 + 𝑎2 + 𝑎2 ln(𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 ) + 𝐶 27. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 ln|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 2 2
2
A cada factor cuadrático irreducible (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒏 que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n factores de la forma: 𝑨𝒙+𝑩
23. ∫ √𝑎2
1
5. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2
determinar.
𝑢
−𝑢2
𝑨𝒙+𝑩
1
2
[ 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) ]
2 1 2 1 2
11. cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
[𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) – 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵)] [cos(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)] [𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵)]