UA1-u1 UNIDAD 1 MODELOS MATEMÁTICOS FORMULACIÓN, ANÁLISIS Y APLICACIÓN

CONTENIDO 1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 FUNCIONES O ECUACIONES 1.2.1 EVALUAR UNA FUNCIÓN 1.2.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 1.2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES 1.2.4 DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES 1.3 FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS MEDIANTE FUNCIONES 1.3.1 FUNCIONES COMPUESTAS MUY UTILIZADAS EN ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA 1.3.1 FUNCIONES NO PERIÓDICAS 1.3.1.1 Ejemplo N° 1 Función compuesta (lineal y trigonométrica) 1.3.1.2 Ejemplo N° 2 Función exponencial 1.3.2 FUNCIONES PERIÓDICAS 1.3.2.1 Ejemplo N° 3 Función triangular 1.3.2.2 Ejemplo N° 4 Función compuesta (cuadrada y lineal) 1.3.2.3 Ejemplo N° 5 Función trigonométrica rectificada 1.3.2.4 Ejemplo N° 6 Función exponencial 1.3.2 FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA MAGNITUDES VARIABLES QUE CAMBIAN CON EL TIEMPO (EJEMPLOS DE APLICACIÓN) 1.3.2.1 Ejemplo N° 1 Función polinómica lineal 1.3.2.2 Ejemplo N° 2 Función polinómica cuadrática 1.3.2.3 Ejemplo N° 3 Función raíz cuadrada 1.3.2.4 Ejemplo N° 5 Función racional 1.3.2.5 Ejemplo N° 6 Función racional 1.3.2.6 Ejemplo N° 7 Función polinómica cúbica 1.4 GRÁFICAS DE MODELOS MATEMÁTICOS CON MATLAB 1.4.1 Recta horizontal 1.4.2 Recta inclinada 1.4.3 Parábola o polinomio de segundo orden 1.4.4 Polinomio de tercer orden 1.4.5 Polinomio de tercer orden 1.4.6 Función racional 1.4.7 Función senoidal 1.4.8 Función cosenoidal 1.4.9 Función exponencial 1.4.10 Función hiperbólica y función logarítmica simple 1.4.11 Función cosenoidal amortiguada 1.4.12 Función senoidal amortiguada 1.4.13 Función compuesta lineal y trigonométrica

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UNIDAD 1 MODELOS MATEMÁTICOS FORMULACIÓN, ANÁLISIS Y APLICACIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN Las grandes dificultades que afronta buena parte de los estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la universidad Francisco de Paula Santander (UFPS) en su proceso de formación en el área de matemáticas radica, principalmente, en la presencia de algunas deficiencias en los conceptos utilizados al pasar de la aritmética al álgebra(matemáticas del bachillerato), y del álgebra al cálculo ( matemáticas universitarias).Por esta razón se hace necesario producir documentos que hagan énfasis en los conceptos anteriormente mencionados para que el estudiante, con su respectiva interpretación y adecuada simulación, refuerce los conceptos adquiridos en los cursos de matemáticas desarrollados en la UFPS y, al mismo tiempo, para que una buena cantidad de estudiantes pueda contar con un material bibliográfico que le sirva como referencia, a fin de suplir alguna deficiencia o problema o inquietud que se le haya presentado en el cubrimiento de los temas. Estas dificultades que afrontan los estudiantes en los cursos de matemáticas y circuitos eléctricos, en relación con la aplicación e interpretación de los modelos matemáticos motivan la presentación de este documento, el cual tiene el propósito de servir como una introducción a los cursos de cálculo y de circuitos eléctricos, y como una referencia para la respuesta a algunas inquietudes que surgen en el tratamiento de los temas propios de la matemática y de algunos cursos en el ciclo de formación profesional de la facultad de Ingeniería en la UFPS. Las deficiencias de los estudiantes se hacen notorias cuando pasan de los procesos analíticos literales a los procesos numéricos en el campo de la aplicación de las matemáticas. Por lo tanto, el documento centra su atención en el concepto fundamental de función, el modelo matemático que lo representa, el lugar geométrico o gráfica que suministra mayor información acerca del comportamiento de la variable dependiente o función, y en la propia evaluación del modelo para un valor determinado de la variable independiente como una aplicación a los problemas de ingeniería. En cuanto a la metodología utilizada en el documento, éste se inicia con algunas definiciones sobre el concepto de función, aplicado a la relación de variables físicas como el volumen de líquidos contenidos en recipientes de diferentes formas, las dimensiones variables y constantes de los recipientes y lógicamente relacionada con el tiempo. Posteriormente, y mediante el desarrollo de ocho ejemplos, presenta, en algunos casos, una manera de determinar los modelos matemáticos, su representación gráfica, la evaluación de las funciones y de su primera derivada. Estos ejemplos están conformados por funciones compuestas, continuas y discontinuas,

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periódicas y no periódicas, que a menudo se presentan en las áreas de electricidad y electrónica con las variables voltaje, corriente y potencia. Otro de los propósitos de este documento es el de suministrarle a los estudiantes una referencia en la elaboración de algunos modelos matemáticos mediante varios ejemplos de aplicación, así como las sentencias de algunos programas en Matlab, por medio de la cual se pueden dibujar los lugares geométricos de los modelos y además evaluar las funciones. Debido a que en los fenómenos eléctricos los cambios en los niveles de energía pueden ocurrir en tiempos relativamente muy cortos y que estos tiempos se pueden medir con instrumentos desarrollados por la tecnología actualizada, se hace necesario profundizar en el estudio de los fenómenos transitorios en el área de electricidad y electrónica, por ello en este documento, se evalúan los modelos matemáticos utilizando diferentes unidades de tiempo que van desde las horas hasta los picosegundos. Finalmente, la asimilación de este documento por parte del estudiante, le permitirá conocer más en detalle la terminología y las notaciones utilizadas en aplicaciones de las matemáticas a los problemas de ingeniería, así como la oportunidad de adquirir destrezas en el trabajo de desarrollo algebraico, lo que redunda en una habilidad para asimilar más fácilmente los conceptos de las diferentes asignaturas del ciclo de su formación profesional como ingeniero.

1.2 FUNCIONES O ECUACIONES Muchas relaciones usuales involucran dos variables de tal modo que una depende de la otra, por ejemplo, el área de un círculo y el radio del mismo. Esta relación es expresada mediante la ecuación A = π * r2 , en donde el valor de A depende del valor elegido para r. El área del círculo estará representada por la variable A (dependiente, unidades cuadradas) El radio del círculo estará representado por la variable r (independiente, unidades lineales) El término π = 3.1416, es una constante (adimensional) Sí a cada valor de la variable independiente, le corresponde un solo valor de la variable dependiente, a la ecuación o relación A = π * r2 se le da el nombre de función, se simboliza por: A = f(r), o, A = g(r), o, A = h(r) y se lee que A es función de r. Otra notación es: A(r), la cual significa que A depende de r. 1.2.1 EVALUAR UNA FUNCIÓN O ECUACIÓN Evaluar una función es encontrar el valor de la variable dependiente para un valor dado de la variable independiente. Ejemplos: 1º Cantidades adimensionales. Dada la función A = π * r2, Determine el valor de A para un valor de r = 1.5 ; Hallar A(1.5). Solución: A(1.5) = π * (1.5)2 = 7.068583471, dependiendo de la precisión que se requiere, se puede aproximar a 7.07 Página 3 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

2º Cantidades dimensionadas: Dada la función A = π * r2 , metros2, con r en metros. Determine el valor de A para un valor de r = 1.2 mts ; Hallar A(1.5 m). Solución: A(1.2 m) = π * (1.2)2 = 4.523893421, mts2 dependiendo de la precisión que se requiere, se puede aproximar a 4.53 mts2. Posibles respuestas: A = 4.53x10 – 6 Kmts2 = 4.53x10 4 ctm2 3º Cantidades paramétricas. Dada la función A = π * r2, Determine el valor de A para un valor de r = a ; Hallar A(a). Solución: A(a) = π * (a)2 . Respuesta: A= πa2 1.2.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN O ECUACIÓN La gráfica de una ecuación en dos variables A y r es el conjunto de todos los puntos ( r , A ) en el plano que satisfacen la ecuación. A continuación en la figura N° 1.2.1, se encuentra la gráfica de la función f o sea la gráfica de la ecuación A = π * r2 .

A 80

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

r 0

2

3

4

5

r

3 28.2

4 50.2

r 0

BREVE TABLA DE VALORES

r A= π*r2

-3 28.2

-2 12.5

-1 3.1

0 0

1 3.1

2 12.5

Dominio implícito de la ecuación: - ∞  r  ∞ Dominio explícito de la ecuación: 0 r  ∞ Recorrido o rango de la ecuación: A  0

o

5 78.5

r 0

Figura N° 1.2.1

El dominio implícito de la ecuación corresponde a todo el conjunto de números reales para los que resulta definida la función o variable dependiente A; Son todos los valores posibles que toma la variable independiente en el modelo matemático para la cual existe el valor de la variable dependiente o función. (- ∞  r  ∞) aquí r puede tener valores negativos. El dominio explícito de la ecuación corresponde a todos los valores posibles que toma la variable independiente en la aplicación del modelo matemático, luego, al aplicar el modelo matemático para obtener el área de un circulo, no existe explicación física para considerar un radio de valor Página 4 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

negativo, por lo tanto, el modelo matemático solo se aplicará para r  0, constituyéndose esta expresión en el dominio explícito de la ecuación, en la gráfica de la ecuación corresponde a la curva de la derecha dibujada en línea llena.

1.2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Como la mayoría de los problemas en ingeniería o fenómenos de la naturaleza dependen del tiempo, utilizaremos a éste como la variable independiente en la mayoría de los ejemplos. 1 POLINÓMICA ALGEBRAICA FUNCIONES ELEMENTALES

2 RACIONAL 3 EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

TRASCENDENTE

4 TRIGONOMÉTRICA

1.2.4 DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES Una función elemental es aquella que se puede expresar en términos de polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, mediante combinaciones de sumas, restas, productos, cocientes y composición de estas funciones. FUNCION ELEMENTAL:

Una función algebraica es aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces conteniendo potencias t n. La evaluación de la función algebraica, se efectúa mediante el proceso de sumas, restas, divisiones, productos y no requiere el uso obligatorio de la calculadora. FUNCIÓN ALGEBRAICA:

f(t) = an t n + an-1 t n-1 + an-2 t n-2 + …….. + a2 t 2 + a1 t + ao, Dónde: an ≠ 0, n es un número entero positivo y es el grado del polinomio Los términos ai reciben el nombre de coeficientes, ao es el término constante. Ejemplos: f(t) = t 2 + 3 t + 1, polinomio de segundo grado

1 FUNCIÓN ALGEBRAICA:

i(t) = 3 t , la corriente es un polinomio de primer grado v(t) = 5 , el voltaje es un polinomio de grado cero o una constante 2 FUNCIÓN RACIONAL:

Una función racional es un cociente de dos polinomios; f(t) =

g (t ) , h (t )

dónde: g(t) y h(t) son polinomios. Ejemplo: En electricidad: Sí p(t) = 2 t - ⅓ t 2 y v(t) = 12 - 2 t , entonces:

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p(t) 2 t - 13 t 2 = 12 - 2 t v (t) Luego la corriente i(t) es una función racional. p(t) es un polinomio de segundo grado, v(t) es un polinomio de primer grado i(t) =

Una función trascendente es aquella que puede expresarse mediante funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas; es toda aquella función que no es algebraica, La evaluación de la función trascendente, se efectúa mediante el uso obligatorio de la calculadora. FUNCIÓN TRANSCENDENTE:

Una función exponencial es una función de la forma f(t) = a , en donde la base a es un número real fijo, una constante. Nótese que en la función exponencial la variable está en el exponente, mientras que en la función polinómica t n , la variable está en la base. (3 EXPONENCIAL Y LOGARITMICA: t

Las bases más utilizadas son: a = 10 y a = e = 2.718281828459….luego las funciones serán: f(t) = 10t , f(t) = et Una función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, esto es: f(t) = loga(t). El logaritmo en base a del número positivo t , es el exponente a la que hay que elevar a para obtener t f

Por lo tanto, se puede escribir: si f(t) = loga(t), entonces: a (t) = t Cuando a = 10 , recibe el nombre de logaritmo decimal : f(t) = log10(t) o f(t) = log(t) Cuando a = e , recibe el nombre de logaritmo natural : f(t) = loge(t) o f(t) = ln(t) 4 TRIGONOMÉTRICA:

Las funciones trigonométricas son derivadas de la trigonometría elemental, en dónde se definen seis funciones trigonométricas básicas de un ángulo agudo  , en un triángulo rectángulo, como las razones entre pares de lados del triángulo, posteriormente se generaliza esta definición para ángulos dirigidos de tamaño arbitrario. Las funciones básicas son: Sen(), Cos(), tan(), Sec(), Csc(), Cot(), en donde , es el ángulo en radianes o en grados. 2 Para ángulos mayores al agudo en el movimiento circular:  = w t = 2πf t = t , en donde: T w es la frecuencia o velocidad angular en rad./seg. π = 3.1416 radianes, f es la frecuencia del movimiento circular en ciclos/ seg. o vueltas/seg. T es el periodo en segundos por ciclo o segundos por vuelta, lo anterior significa que la función trigonométrica es periódica o sea que se repite cada periodo de tiempo. Por lo tanto las funciones en el dominio del tiempo quedarán: f(t) = Sen(w t), f(t) = Cos(w t), f(t) = Tan(w t), f(t) = Sec(w t), f(t) = Csc(w t), f(t) = Cot(w t) Página 6 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

Las funciones trigonométricas inversas serán: f(t) = Sen-1( t), f(t) = Cos-1( t), f(t) = Tan-1( t), f(t) = Sec-1( t), f(t) = Csc-1( t), f(t) = Cot-1(w t) Nota: Para ecuaciones que contienen funciones polinómicas de grado alto y varias de las funciones transcendentales, despejar la variable independiente es en la mayoría de los casos bastante difícil y dispendioso (en algunos casos es imposible), por lo tanto, para evaluar una función implícita, es preferible utilizar un método numérico, mediante algún programa computacional o utilizando el software de Matlab. 1.3. FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMATICOS MEDIANTE FUNCIONES 1.3.1 FUNCIONES COMPUESTAS MUY UTILIZADAS EN ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA En electricidad y electrónica algunas veces se presentan señales eléctricas las cuales quedan completamente descritas mediante la conformación de funciones simples con su respectivo dominio explícito. Para evaluar la función en un determinado instante, reemplazamos la variable independiente en la función a la cual le corresponde el dominio que incluye la variable independiente. 1.3.1.1 FUNCIONES NO PERIÓDICAS 1.3.1.1.1 Ejemplo Nº 1 Función compuesta (Lineal y trigonométrica) La corriente que circula por una respectiva carga viene expresada por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta continua: i1 = (10 – 2.4 t) A, con t en ms, para 0  t  4.166 ms. i2 = 15 Cos(0.377 t)A , con t en mseg. para 4.166 ms  t  12.5 ms i3 = - 5 A , para 12.5 ms  t  16.66 ms Periodo T = 2π = 16.66 ms , Frecuencia f = 60 hertz La función es discontinua en t = 12.5 ms y en t = 16.66 ms La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 1.3.1

iS = f(t) =

W = 377 r/s

iS(t) 10 A

1 CICLO 0

/2



3/2

2

wt

-5A - 15 A

0

4.166

8.333

12.5

16.66

t (mseg.)

Figura N° 1.3.1

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Valores instantáneos de la señal: iS(0) = (10 – 2.4 (0)) A = 10 A , iS(3 ms) = (10 – 2.4 (3)) A = 2.8 A

iS(4.166 ms) = (10 – 2.4 (4.166)) = 0.0016  0 A iS(4.166 ms) = 15 Cos(0.377 (4.166)) = 0.0032  0 A , iS(8.333 ms) = 15 Cos(0.377 (8.333)) = - 14.99  - 15 A iS(11.6 ms) = 15 Cos(0.377 (11.6)) = - 4.99  - 5.0 A iS(12.5 ms) = 15 Cos(0.377 (12.5)) = 0.00166  0 A iS(13 ms) = - 5 A , iS(15 ms) = - 5 A , iS(13 ms) = - 5 A Valores instantáneos de su primera derivada: Obtenemos la primera derivada de cada una de las ecuaciones en su respectivo dominio:

O sea : iS´ = f(t)´ =

d (10 - 2.4 t ) = - 2.4 Amperios segundo ,con t en ms, para 0  t  4.166 ms dt d (15Cos(377 t ) = - 5.655Sen(0.377 t), Amperios segundo con t en mseg, dt para 4.166 ms  t .12.5 ms d (- 5) = 0 Amperios para 12.5 ms  t  16.66 ms segundo dt

d iS dt

Por lo tanto: Para t entre 0 y 4.166 ms, la corriente se disminuye en 2.4

d iS dt

t 0

= iS´(0) = - 2.4

Amperios segundo

,

d iS dt

t  2 ms

Amperios segundo

= iS´(2 ms) = - 2.4

, o sea que se puede expresar: Amperios segundo

Para t entre 4.166 ms y 12.5 ms, la disminución o aumento de la corriente es variable:

d iS dt

t  8 ms

= iS´(8 ms) = - 5.655Sen(0.377(8)) = - 0.7084

Amperios segundo

, disminuye

d iS dt

t  10 ms

= iS´(10 ms) = - 5.655Sen(0.377 (10) = 3.324

Amperios segundo

, aumenta

Para t entre 12.5 ms y 16.66 ms, la primera derivada de la función es igual a cero, por lo tanto se puede expresar:

d iS dt

d iS dt

t 1 3 ms

t  16 ms

= iS´(13 ms) = 0 = iS´(16 ms) = 0

Amperios segundo

d iS dt

t  15 ms

= iS´(15 ms) = 0

Amperios segundo

,

Amperios segundo

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1.3.1.1.2 Ejemplo Nº 2 Función exponencial La potencia absorbida por una respectiva carga viene expresada por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta continua: p1 = 10 – 10 e- 2 t VA, con t en seg., para 0  t  4 seg. pS = f(t) = p2 = 10 e- 2(t - 4) VA, con t en seg., para 4 seg.  t  8 seg. La función es continua en todos sus intervalos. La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° N° 1.3.2 pS(t) 10 VA

5 VA

0

1

2

3

4

5

6

7

8 t

(seg.)

Figura N° 1.3.2

Valores instantáneos de la señal: para 0  t  4 seg. pS(0) = (10 – 10 e- 2(0)) = 0 VA , pS(1s) = (10 – 10 e- 2(1)) = 8.64 VA pS(4 s) = (10 – 10 e- 2(4)) = 9.99  10 VA para 4 seg.  t  8 seg. pS(4.5s) = 10 e- 2((4.5) - 4) = 3.678 VA , pS(5 s) = 10 e- 2((5) - 4) = 1.35 VA pS(8 s) = 10 e- 2((8) - 4) = 0.0033  0 VA Valores instantáneos de su primera derivada: Obtenemos la primera derivada con respecto al tiempo de cada una de las ecuaciones en su respectivo dominio: d (10 - 10 e - 2 t ) ios = 20 e- 2 t Voltiamper ,con t en seg., para 0  t  4 seg. segundo dt d pS O sea : pS´ = f(t)´ = dt d ( 10 e - 2 ( t - 4 ) ) ios = - 20 e- 2( t – 4) Voltiamper ,con t en seg. segundo dt para 4 seg.  t  8 seg. Por lo tanto: Para t entre 0 y 4 seg., se puede expresar: d pS ios ´ - 2 (0) = 20 Voltiamper , la potencia aumenta en ese instante t  0 = pS (0) =20 e segundo dt

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d pS dt

t 2s

= pS´(2 s) =20 e- 2 (2) = 0.366

Voltiamperios segundo

, la potencia aumenta en ese instante

Para t entre 4 seg. y 8 seg.,

d pS dt

t  4.5s

= pS´(4.5 s) = - 20 e- 2( (4. 5) – 4) = - 7.35

Voltiamperios segundo

, la potencia disminuye en ese

instante

d pS dt

t 7s

= pS´(7 s) = - 20 e- 2( (7) – 4)

= - 0.0495

Voltiamperios segundo

, la potencia disminuye en ese

instante 1.3.2 FUNCIONES PERIÓDICAS 1.3.2.1 Ejemplo Nº 3 Función triangular El voltaje aplicado a una respectiva carga viene expresado por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta continua y periódica: Periodo T = 10 ms , Frecuencia f = 100 hertz v1 = 56 t, v con t en ms, para 0  t  6 ms ;

vS = f(t) =

v2 = - 3.335 t + 25.01, v con t en ms, para 6 ms  t  8 ms v3 = 56 t - 506 , v con t en ms, para 8  t  16 ms

La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° N° 1.3.3

vS (v) 5v 0

6

8

10

16

18

20

t(ms) - 1.67 v T = 10 ms

Figura N° 1.3.3

Valores instantáneos de la señal: vS(0) = 0 v , vS(3ms) = 56 (3) = 156  2.5 v , vS(7ms) = - 3.335(7) + 25.01 = 1.665 v Si se desea encontrar voltajes instantáneos, para valores de tiempo que están por fuera del dominio del primer ciclo, se debe obtener el respectivo modelo matemático para ese instante Página 10 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

determinad o utilizar el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo y las funciones adecuadas. Por ejemplo: Determinar el valor del voltaje para t = 9 ms. 1º Utilizando el modelo correspondiente: vS(9ms) =

5 6

(9) - 506 = -

5 6

 - 0.833 v

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, ésto es, t = - 1ms, entonces: vS(9ms) = 56 (-1) = - 56  - 0.833 v Determinar el valor del voltaje para t = 15 ms. 1º Utilizando el modelo correspondiente: vS(9ms) =

5 6

(15) - 506 =

25 6

 v

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, ésto es, t = 5ms, y el valor del voltaje para t = 15ms será: vS(15ms) = 0.833(5) = 4.165 v. Determinar el valor del voltaje para t = 17 ms. 1º No se conoce el modelo matemático, para este valor de tiempo 2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, esto es, t = 7ms, y el valor del voltaje para t = 17ms será: vS(17ms) = - 3.335(7) + 25.01 = 1.665 v Valores instantáneos de su primera derivada: Como las funciones simples son solamente rectas inclinadas, entonces sus primeras derivadas serán constantes en todo su respectivo dominio. 5 d ( t) 6 = 0.833 voltios para 0  t  6 ms segundo dt d vS Luego vS´ = f(t)´ = dt d (-3.335 t  25.01) voltios = - 3.335 segundo para 6 ms  t  8 ms dt Significa que para t entre 0 y 6 ms, el voltaje se incrementa en 0.833

voltios segundo

, o sea que se puede

d vS d vS ´ ´ voltios voltios , t  0 = vS (0) = 0.833 segundo t  2 ms = vS (2 ms) = 0.833 segundo dt dt voltios Para t entre 6 ms y 8 ms, el voltaje se disminuye en 3.335 segundo , o sea que se puede expresar: expresar:

d vS dt

t  6.5 ms

= vS´(6.5 ms) = - 3.335

voltios segundo

,

d vS dt

t  7 ms

= vS´(7 ms) = - 3.335

voltios segundo

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1.3.2.2

Ejemplo Nº 4

Función compuesta (cuadrada y lineal)

El voltaje aplicado a una respectiva carga viene expresado por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta discontinua y periódica: v1 = 10 v, con t en US, para

0  t  5 us

v2 = -10 v, con t en US, para 5 us  t  5 us v3 = 0 v, para 10 us  t  15 us Periodo T = 15 us , Frecuencia f = 6.66x10 4 hertz

vS = f(t) =

La función es discontinua para: t = 0, t = 5 us, t = 10 us, t = 15 us y así sucesivamente La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 1.3.4

vS(t) 10 v

0

5

10

15

20

25

30

t(us)

- 10 v

Figura N° 1.3.4

Valores instantáneos de la señal: vS(1 us) = 10 v , vS(7 us) = - 10 v , vS(11 us) = 0 v Valores instantáneos de su primera derivada: Como las funciones simples son solamente rectas horizontales, entonces sus primeras derivadas serán iguales a cero en todo el dominio de la función.

Luego vS´ = f(t)´ =

d vS dt

d (10 ) voltios = 0 segundo para 0  t  5 us dt d (- 10) voltios = - 0 segundo para 5 us  t  10 us dt d ( 0) voltios = 0 segundo para 10 us  t  15 us dt

Por lo tanto se puede expresar que: d vS d vS ´ voltios t  3 ms = vS (3 ms) = 0 segundo , dt dt

d vS dt

t  12 ms

= vS´(12 ms) = 0

t  7 ms

= vS´(7 ms) = 0

voltios segundo

voltios segundo

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1.3.2.3

Ejemplo Nº 5

Función trigonométrica rectificada

El voltaje aplicado a una respectiva carga, voltaje alterno a través de un thiristor, está expresado por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta discontinua y periódica: v1 = 0 v, para 0  t  1.851 ms

vS = f(t) =

v2 = 100Sen(377 t ) v, con t en seg, para 1.851 ms  t  8.33 ms v3 = 0 v, para 8.33 ms  t  16.666 ms Periodo T = 16.666 ms , Frecuencia f = 60 hertz

La función es discontinua para: t = 1.851 ms, t = 18.517 ms, t = 35.183 ms y así sucesivamente La variable tiempo que se presenta en el eje de las abscisas se puede cambiar a la variable desplazamiento angular  mediante la relación siguiente (rad) = w(rad/seg.) * t(seg), por lo tanto, el modelo matemático para el voltaje en función del desplazamiento angular quedará: v1 = 0 v, para 0    0.6981 rad.=

vS = f() =

2 9

 = 40°

v2 = 100Sen() v, con  en rad., para 0.6981 rad.=

2 9

    3.1416 rad. = π

v3 = 0 v, para 3.1416 rad. = π    6.283 rad = 2π Periodo T = 16.666 ms , Frecuencia f = 60 hertz La función es discontinua para:  = 92  = 0.6981 rad,  = 209  = 6.983 rad, y así sucesivamente La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 1.3.5 vS(t)

w = 377 r/s

100 v

1 CICLO

0  /2  1.851 8.33



2 5/2 3 16.66 24.99

 = 40º =

Wt =

 (rad)

t (mseg.)

= 0.6981 rad = 377 rad/seg* 1.851mseg.

Figura N° 1.3.5

Valores instantáneos de la señal: Para 0  t  1.851 ms., o , para 0    0.6981 rad.= vS(0) = 0 V , vS(1 ms) = 0 V , Para: 1.851 ms 

2 9



vS(0.15 rad) = 0 V , vS(0.5 rad) = 0 V

t  8.333 ms, o, para: 0.6981 rad.=

2 9

    1.5707 rad = π

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vS(4.166 ms) = 100Sen(377 (4.166x10-3) = 99.999  100 V vS(5. 555 ms) = 100Sen(377 (5.555x10-3) = 86.61  86.62 V vS(6.944 ms) = 100Sen(377 (6.944x10-3) = 50.009  50 V vS(1.5707 rad) = 100Sen(1.5707 rad) = 99.999  100 V vS(2.094 rad) = 100Sen(2.094 rad) = 86.62  86.62 V vS(2.617 rad) = 100Sen(2.617 rad) = 50.08  50 V Para 8.33 ms  t  16.666 ms , o , para 1.5707 rad. = π    6.283 rad = 2π vS(10 ms) = 0 V , vS(16 ms) = 0 V ,

vS(2 rad) = 0 V , vS(5 rad) = 0 V

Valores instantáneos de su primera derivada: Obtenemos la primera derivada con respecto al tiempo de cada una de las ecuaciones en su respectivo dominio:

vS´ = f(t)´ =

d vS dt

d (0) voltios = 0 segundo , para 0  t  1.851 ms dt d ( 100Sen(377 t ) voltios = 37700Cos(377 t) segundo ,con t en seg. dt para 1.851 ms.  t  8.333 ms. d (0) voltios = 0 segundo , para 8.333 ms  t  16.66 ms dt

Por lo tanto: Para t entre 0 y 1.851 ms, y para 8.333 ms  t  16.66 ms , se puede expresar:

d vS dt

t  1.0 ms

d vS dt

t  15 ms

= vS´(1.0 ms) = 0 = vS´(15 ms) = 0

voltios segundo

voltios segundo

, el voltaje no varía en ese instante

, el voltaje no varía en ese instante

Para 1.851 ms.  t  8.333 ms

d vS ´ -3 voltios t  4.166ms = vS (4.166 ms) = 37700Cos(377 (4.166x10 ) = 8.08 segundo , el voltaje aumenta en dt ese instante en 8 voltios por segundo, o, 0.008 voltios por milisegundo, prácticamente no varía en ese instante. d vS ´ -3 voltios t  5. 555ms = vS (5. 555 ms) = 37700Cos(377 (5.555x10 ) = - 18844.7 segundo , el voltaje dt disminuye en ese instante en 18844 voltios por segundo, o 18.8 voltios por milisegundo

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d vS ´ -3 voltios t  6.944ms = vS (6.944 ms) = 37700Cos(377 (6.944x10 ) = - 32647.1 segundo , el voltaje dt disminuye en ese instante en 32647 voltios por segundo, , o 32.6 voltios por milisegundo

1.3.2.4 Ejemplo Nº 6

Función exponencial

La corriente como respuesta de un circuito RL en serie, excitado con voltaje continuo, está expresada por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta discontinua y periódica: 0  t  4 seg.

i1 = 10 – 10 e- 2 t A, con t en seg., para

iS = f(t) =

i2 = 0 A, con t en seg., para 4 seg.  t  6 seg. Periodo T = 16.666 ms , Frecuencia f = 60 hertz

La función es discontinua para t = 4 seg., t = 10 seg. y así sucesivamente

La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 1.3.6 iS(t) 10 A

5A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t

(seg.)

1 CICLO, T = 6 seg.

Figura N° 1.3.6

Valores instantáneos de la señal: para 0  t  4 seg. iS(0) = (10 – 10 e- 2(0)) = 0 A , iS(1s) = (10 – 10 e- 2(1)) = 8.64 A , iS(3. 9 s) = (10 – 10 e- 2(3. 9)) = 9.99  10 A para 4 seg.  t  6 seg. iS(4. 5s) = 0 A , iS(5 s) = 0 A , pS(5. 5 s) = 0 A Si se desea encontrar voltajes instantáneos, para valores de tiempo que están por fuera del dominio del primer ciclo, se debe obtener el respectivo modelo matemático para ese instante Página 15 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

determinado o utilizar el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo y las funciones adecuadas. Por ejemplo: Determinar el valor del voltaje para t = 8 s. 1º Utilizando el modelo correspondiente: para el intervalo de 6 seg.  t  10 seg. el modelo correspondiente es: i3 = 10 – 10 e- 2( t – 6) A, con t en seg., o sea que:

iS(8 s) = (10 – 10 e- 2(8 - 6)) = 9.81 A 2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, esto es, t = 2 s, entonces: iS(8 s) = (10 – 10 e- 2(2)) = 9.81 A Valores instantáneos de su primera derivada: Obtenemos la primera derivada con respecto al tiempo de cada una de las ecuaciones en su respectivo dominio:

d (10 - 10 e - 2 t ) = 20 e- 2 t dt O sea : iS´ = f(t)´ =

amperios segundo

,con t en seg., para 0  t  4 seg.

d iS dt d ( 0) = 0 dt

amperios segundo

,con t en seg., para 4 seg.  t  6 seg.

Por lo tanto: Para t entre 0 y 4 seg., se puede expresar:

d iS dt d iS dt

t 0

= iS´(0) =20 e- 2 (0) = 20

t 2s

amperios segundo

= iS´(2 s) =20 e- 2 (2) = 0.366

, la corriente aumenta en ese instante

amperios segundo

, la corriente aumenta en ese instante

Para t entre 4 seg. y 6 seg., se puede expresar:

d iS dt d iS dt

t  4. 5 s

t  5. 5 s

= iS´(4. 5 s) = 0 = iS´(5. 5s) = 0

amperios segundo

amperios segundo

, la corriente no existe en ese instante

, la corriente no existe en ese instante

1.3.2 FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA MAGNITUDES VARIABLES QUE CAMBIAN CON EL TIEMPO A continuación se presentan 6 problemas de aplicación tomados del libro Cálculo y geometría analítica de LARSON, HOSTETLER y EDWARDS , para el desarrollo de cada uno de estos Página 16 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

problemas existe la necesidad de formular un modelo matemático para encontrar la respuesta o respuestas solicitadas. 1.3.2.1 Ejemplo Nº 1 función polinómica lineal Se va a construir una caja abierta de volumen máximo con una pieza cuadrada de 24 centímetros de lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba (véase la figura N° 1.3.7). Exprese el volumen de la caja V como una función de la distancia X, exprese el volumen de la caja V como una función de la longitud l. Encuentre las dimensiones de la caja que producen el máximo volumen.

X X

l

l

24 cmt X (24-2X)

l Figura 1.3.7

DATOS DEL PROBLEMA: Lado de la pieza cuadrada: 24 centímetros, constante ASIGNACIÓN DE VARIABLES: Sea X el lado del cuadrado recortado en la esquina, variable. Dominio:

0 < X < 12

Sea l el lado de la caja cuadrada formada, variable. Dominio: 0 < l < 24 Sea X la altura de la caja formada. Sea V el volumen contenido en la caja formada, variable

RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES: l + 2 X = 24

;

l = 24 - 2 X ; l = 2(12 - X ) ,

X = 12 -

Volumen de la caja= Área de la base * Altura Página 17 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

V = l 2 * X, Ecuación.

V = f( X, l ), Notación

El volumen es función de dos variables independientes. De acuerdo con la relación entre las variables independientes podremos expresar el volumen en función de solo una variable independiente, esto es: V = l 2 * X = (24 - 2 X)2 * X = 4 X3 – 96 X2 + 576 X, por lo tanto, el volumen en función de la distancia X quedará. V(X) = 4 X3 – 96 X2 + 576 X V=

l 2 * X = l 2 * (12 -

) = 12 l 2 – 0.5 l 3 , por lo tanto, el volumen en función de la

distancia l quedará: V(l) = 12 l 2 – 0.5 l 3 Para analizar el comportamiento de las funciones, determinaremos sus lugares geométricos teniendo en cuenta sus respectivos dominios explícitos de las función es, o sea, 0 ≤ X ≤ 12 y 0 < l < 24 Lo que significa que X puede tomar los valores entre 0 y 12 y l puede tomar valores entre 0 y 24 Para dibujar el lugar geométrico y también evaluar la función para cualquier valor de X, utilizaremos el programa de Matlab ( volumendecajaenfunciondeX.m) y puede estar conformado por las expresiones siguientes: % El programa dibuja el lugar geométrico de la función % V = 4x^3-96x^2+576x;que representa el volumen de la % caja en función de x (lado de los cuadrados que se cortan) x = 0 : 0.01 : 12 ; V = 4.*x.^3-96.*x.^2+576.*x; hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(x,V,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Distancia x');%Nombre del eje x ylabel('Volumen V');%Nombre del eje y [x.',V.']

En la figura 1.3.8 se encuentra el lugar geométrico o gráfica que se presenta al correr el programa

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Gráfico de la función 1200

1000

X: 4 Y: 1024

Volumen V

800

600

400

200

0

0

2

4

6 Distancia x

8

10

12

Figura 1.3.8

De la figura se puede observar que para obtener el volumen máximo de la caja (1024 cmt 3) la distancia X debe ser igual a 4 cm, o sea que, l debe ser igual a 16 cmt. Algunos resultados numéricos: Distancia X 4.000

Distancia l

Volumen

16.000

1024.00

Para dibujar el lugar geométrico y también evaluar la función para cualquier valor de l, utilizaremos el programa de Matlab (volumendecajaenfuncióndel.m) y puede estar conformado por las expresiones siguientes: % El programa dibuja el lugar geométrico de la función % V = -0.5.*L.^3 + 12.*L.^2; El volumen en función de la longitud % (Lado del cuadrado que se forma l) l = 0 :1 : 24 ; V = -0.5.*l.^3+12.*l.^2; hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(l,V,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Distancia l');%Nombre del eje x ylabel('Volumen V');%Nombre del eje y [l.',V.']

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En la figura 1.3.9 se encuentra el lugar geométrico o gráfica que se presenta al correr el programa

Gráfico de la función 1200

1000

X: 16 Y: 1024

Volumen V

800

600

400

200

0

0

5

10

15

20

25

Distancia l

Figura 1.3.9

De la figura se puede observar que para obtener el volumen máximo de la caja (1024 cmt3) la distancia l debe ser igual a 16 cm, o sea que, x debe ser igual a 4 cmt. 1.3.2.2 Ejemplo Nº 2 Función polinómica cuadrática Un rectángulo tiene un perímetro de 100 metros. Esboce un dibujo que dé una imagen del rectángulo en la cual x represente la longitud de su base, y h a la altura u otro lado del rectángulo. Determine una relación entre los lados del rectángulo. Determine el área del rectángulo en función de uno de los lados del rectángulo. Determine el dominio de cada una de las funciones y dibuje los lugares geométricos. Determine el valor de x para el cual se presenta el área máxima. En la figura 1.3.9 se presenta el rectángulo esbozado de acuerdo con los datos del ejemplo.

Página 20 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

h

x Figura 1.3.9

Como el perímetro del rectángulo es igual a 100 mts, entonces se puede escribir que: 100 = 2 x + 2 h, por lo tanto, x = ; x = 50 – h , h = 50 – x El área del rectángulo A, es igual al producto de la base por la altura. A = x * h ; A = f(x,h) ; El área es función de dos variables. Reemplazando una de las variables, quedará: A = x * (50 – x) = 50 x – x2 ; por lo tanto, A = 50 x – x2 , para 0 < x < 50 Reemplazando la otra variable, quedará: A = (50 – h) * h = 50h – h2 , por lo tanto, A = 50 h – h2 , para 0 < h < 50 Para analizar el comportamiento de la función, determinaremos su lugar geométrico teniendo en cuenta el dominio explícito de la función, o sea, 0 < X < 50 mts, lo anterior significa que X puede tomar los valores entre 0 y 50metros Para dibujar el lugar geométrico y también evaluar la función para cualquier valor de X, utilizaremos el programa de Matlab y puede estar conformado por las expresiones siguientes: % El programa Areadelrectangulo dibuja el lugar geométrico de % la función A = 50x - x^2, que % representa el área del rectangulo en función de la distancia x x = 0 : 0.01 : 50 ; A = 50.*x-x.^2; hold off,clf; figure(gcf), plot(x,A,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Distancia x'); %Nombre del eje x ylabel('Area del rectángulo');%Nombre del eje y [x.',A.']

En la figura 1.3.10 se encuentra el lugar geométrico o gráfica que se presenta al correr el programa

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Gráfico de la función 700

600

X: 25 Y: 625

Area del rectángulo

500

400

300

200

100

0

0

5

10

15

20

25 30 Distancia x

35

40

45

50

Figura 1.3.10

De figura se puede observar que para obtener un rectángulo de área máxima, el valor de x debe ser igual a 25 metros, por lo tanto el valor h = 50-x = 25 metros. O sea que, las dimensiones del rectángulo para que tenga un área máxima son: x = 25 y h = 25, un rectángulo cuya base es igual a la altura, o sea que el rectángulo se convierte en un cuadrado. MÉTODO ANALÍTICO ALTERNO La respuesta al problema # 51, también se puede obtener utilizando el método de máximos y mínimos. A partir de la ecuación de área en función de x, derivamos con respecto a x e igualamos a cero, posteriormente encontraremos el valor de x, que cumple con esta ecuación. A partir de: A = 50 x – x2 , determinamos = 50 -2x ,

y la igualamos a cero.

luego 50 – 2x = 0 , por lo tanto, x = 25 metros.

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1.3.2.3 EJEMPLO Nº 3 Función raíz cuadrada En la ribera de un río de 100 metros de ancho hay una planta eléctrica, en la otra ribera, a 2 kmts, corriente arriba, hay una fábrica. Se desea tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica de tal manera que parte de ellos vayan bajo tierra y parte bajo el agua como lo indica la figura N° 1.3.11 Tender cables por tierra cuesta $ 30000, por cada kilómetro y hacerlo bajo el agua cuesta $ 50000 por cada kilómetro. 2 kmts

x

(2000 – x)

FÁBRICA

O 100 mts AGUA

PLANTA ELÉCTRICA

Figura 1.3.11

Preguntas: 1°. Hallar una ecuación para la longitud total de los cables l en función de la distancia x (variable indicada en la figura) 2°. Determinar el valor de x que produciría la distancia más corta entre la planta y la fábrica. 3º. Hallar una ecuación para expresar el costo total del tendido de los cables c , en función de la distancia x (variable indicada en la figura) 4º. Determinar el valor de x que producirá el menor costo del tendido de cables Determinar la longitud del tendido bajo agua y del tendido bajo tierra Determinar el costo total de la obra DESARROLLO:

1º. Sea O, el punto donde termina el tendido de cables bajo el agua Distancias constantes: Ancho del río = 100 mts Distancia de la planta a la fabrica por la misma ribera = 2000 mts Distancias variables: PO = Distancia del tendido bajo el agua = OF

= Distancia del tendido bajo tierra

100 2  x 2

= (2000 – x)

Sea l = PO + OF = longitud total del tendido de cables = 100 2  x 2 + (2000 – x) Página 23 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

Luego la ecuación que presenta a la longitud total del tendido de cables en función de la distancia x, quedará expresado por: l = 100 2  x 2 + (2000 – x) (Ecuación que contiene función raíz cuadrada y polinómica lineal) 2º. Encontrar el valor de x, que minimiza la longitud l. La menor longitud del tendido del cable es una recta entre la planta y la fábrica, o sea, cuando x = 2000, por lo tanto: l = 100 2  2000 2 = 2002.4984 mts y el tendido de cables será todo bajo agua. 3° Encontrar el costo de la obra en función de x El costo total de la obra es: c = PO * 50 $/mt + OF * 30 $/mt, luego el costo total de la obra en función de la distancia x es:

c =

50 100 2  x 2 + 30 (2000 – x);

notación: c = f(x) A partir de la ecuación obtenida podremos construir la siguiente tabla de valores: 35 64247

x metros C costo $

40 64185

50 64090

60 64030

70 64003

75 64000

80 64003

90 64026

y elaborar la gráfica a continuación, figura 1.3.12, en donde el costo está en las ordenadas y la distancia x en las abscisas C costo

$

64500 $

64000 $

40

50

60

70

75

80

90

x mts

Figura 1.3.12 4º. Para determinar el valor de x que produciría el menor costo de la obra, procederemos de la manera siguiente: Tomamos la derivada con respecto a la distancia x, de la ecuación inmediatamente anterior, c = f(x), la igualamos a cero y encontraremos el valor de x. Tomando la derivada a ambos lados de la ecuación, tendremos:

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d ( 100 2  x 2 ) dc d (2000 - x ) = 50 + 30 = dx dx dx

50 x 100  x

Igualando a cero la primera derivada, tendremos:

2

2

- 30 = 0

50 x 100 2  x 2

= 30 , simplificando y

elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación: 25 x2 = 9*1002 + 9*x2 ;

16 x2 = 90000 ; x = 75

La longitud del tendido bajo agua será: 100 2  75 2 = 125 mts La longitud del tendido bajo tierra será: (2000-75) = 1925 mts El costo total de la obra será: C = 50 100 2  75 2 + 30 (2000-75) = 6250 + 57750 = 64000 $ 1.3.2.3 Ejemplo Nº 4 Función racional Suponga que se encuentra en un bote a 2 millas del punto más próximo de la costa, y se dispone a ir a un punto Q, situado a tres millas de recorrido por la costa y 1 milla tierra adentro (véase la figura 1.3.13). Si rema a 2 millas por hora y camina a 4 millas por hora, exprese la duración total del tiempo t para el viaje desde donde se encuentra el bote hasta Q, como una función de la distancia x.

Figura 1.3.13

DESARROLLO Convenciones: hA es la distancia recorrida por el bote en el agua. hT es la distancia recorrida por la persona en la tierra para llegar al punto Q Las distancias hA y hT son las hipotenusas de los triángulos que se forman, por lo tanto: Página 25 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

hA = √

hT = √

,

= √

El tiempo utilizado en cada trayecto se determina con base en la fórmula siguiente. Tiempo = Por lo tanto, el tiempo gastado en cada trayecto quedaría especificado por:

Tiempo en el agua tA =

=

Tiempo en la tierra tT =

=

√

√

El tiempo total utilizado por la persona hasta llegar al punto Q es

ttotal = tA + tT

Por lo tanto, el tiempo total viene expresado por: ttotal =

√

+

√

=

√

√

=

√

√

Finalmente y de acuerdo con lo solicitado, la duración total del tiempo t para el viaje desde donde se encuentra el bote hasta el punto Q, en función de la distancia x, viene expresado por:

ttotal =

√

√

Para analizar el comportamiento de la función, determinaremos su lugar geométrico teniendo en cuenta el dominio explícito de la función, o sea, 0 ≤ X ≤ 3 millas Lo que significa que X puede tomar los valores entre 0 y 3 millas. Para dibujar el lugar geométrico y también evaluar la función para cualquier valor de X, utilizaremos el programa de Matlab y puede estar conformado por las expresiones siguientes:

% El programa tiempodelviaje dibuja el lugar geométrico de % la función t = (sqrt(16+4x^2)+sqrt(10-6x+x^2))/4, que % representa el tiempo del viaje en función de la distancia x x = 0 : 0.01 : 3 ; t = (sqrt(16+4.*x.^2)+ sqrt(10-6.*x+x.^2))./4; hold off,clf; figure(gcf), plot(x,t,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Distancia x'); %Nombre del eje x ylabel('Tiempo total del viaje');%Nombre del eje y [x.',t.']

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En la figura 1.3.14 se encuentra el lugar geométrico o gráfica que se presenta al correr el programa Algunos resultados: Gráfico de la función 2.1 2.05

Tiempo total del viaje

2 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 X: 1 Y: 1.677

1.7 1.65

0

0.5

1

1.5 Distancia x

2

2.5

3

Figura 1.3.14

Distancia x Primeros valores 0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 Valores intermedios 0.9600 1.0000 1.0400 Valores finales 2.9700 2.9800 2.9900 3.0000

tiempo del viaje 1.7906 1.7882 1.7859 1.7836 1.7813 1.7790 1.6772 1.6771 1.6772 2.0404 2.0445 2.0486 2.0528

CONCLUSIONES: A partir de la gráfica de la función, como de los datos presentados se puede concluir que el viajero gasta el menor tiempo(1.6771 horas), cuando X es igual a uno. Para cualquier otro valor de X utilizado por el viajero gastará un mayor tiempo. El resultado numérico anterior, también se puede obtener por medio del procedimiento de máximos o mínimos, o sea, se obtiene el valor de X para el cual la derivada es igual a cero.

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1.3.2.5 Ejemplo Nº 5 Función racional Una recta que pasa por el punto (3,2) forma con los ejes un triángulo rectángulo en el primer cuadrante (véase figura 1.3.16). Expresar la longitud L de la hipotenusa en función de x . Y 4

( 0, y )

3

(3,2)

2 1

( x,0) 1

2

3

4

5

6

X

Figura 1.3.15 A partir de la ecuación de la recta que tiene pendiente m y atraviesa el eje y a una distancia Como la recta pasa por los tres puntos indicados, las coordenadas de los tres puntos deben satisfacer la ecuación de la recta, obteniéndose así los valores de m y b en función de x, esto es: Para: ( 0 , y ) , y = m(0) + b , luego b = y (A) Para: ( x , 0 ),

0 = m x + b , luego m = -

(B)

Para: ( 3 , 2 ),

2 = 3m + b , luego b = 2 – 3m (C)

A partir de las ecuaciones formadas podremos encontrar la variable y en función de la variable x, para lo anterior reemplazamos A y B en C, por lo tanto, tendremos: y=b = A partir de la gráfica podremos determinar la longitud de la hipotenusa L en función de los catetos del triángulo formado, esto es: L = √ L =

√

, reemplazando la variable y en función de x, tendremos: , simplificando,

L =

√

, finalmente, la hipotenusa en

función de la variable x se puede escribir:

L = √

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La hipotenusa L en función de la distancia x es una función racional, cuyo lugar geométrico se puede obtener por medio de un método computacional como el programa de matlab Se puede observar que la función tiene un dominio para valores positivos de x, y presenta una discontinuidad para x = 3 Para dibujar el lugar geométrico y también evaluar la función para cualquier valor de x utilizaremos el programa de Matlab (hipotenusaenfuncióndex.m) y puede estar conformado por las expresiones siguientes: % El programa hipotenusaenfunciondex.m dibuja el lugar geométrico de % la función L = sqrt((x^4-6x^3+13x^2)/(x^2-6x+9)), que representa % la longitud de la hipotenusa de un triángulo en función de la distancia x x = 0 : 0.01 : 6 ; L = sqrt((x.^4-6.*x.^3 + 13.*x.^2)./(x.^2-6.*x + 9)) ; hold off,clf; figure(gcf), plot(x,L,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Distancia x'); %Nombre del eje x ylabel('Longitud de la hipotenusa');%Nombre del eje y [x.',L.']

En la figura 1.3.16 se encuentra el lugar geométrico o gráfica que se presenta al correr el programa

Gráfico de la función 700

Longitud de la hipotenusa

600

500

400

300

200

100

0

0

1

2

3 Distancia x

4

5

6

Figura 1.3.16

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Algunos resultados alrededor de x = 3 X

L

2.9700

198.0223

2.9800

298.0149

2.9900

598.0075

3.0000

Inf

3.0100

602.0075

3.0200

302.0151

3.0300

202.0227

1.3.2.6 EJEMPLO Nº 6 Función polinómica cúbica En un depósito cónico con el vértice hacia abajo, sí sale o entra un líquido, el volumen del líquido en el depósito V, el radio r, y la altura h del nivel del líquido son todas magnitudes variables que dependen del tiempo t. En la figura 1.3.17, se observan dos instantes diferentes del recipiente cónico, en donde se presentan los respectivos volúmenes del líquido contenido y las diferentes magnitudes variables del nivel del líquido y constantes del recipiente cónico

r

h

r

H

V

H h

R Instante t1

V R Instante t2

Figura 1.3.17 ESPECIFÍCACIONES:

Sea H la altura del recipiente cónico, Magnitud Constante Sea R el radio del área transversal del recipiente cónico, Magnitud Constante Sea V el volumen del líquido contenido en el recipiente, Magnitud Variable Sea h la altura del nivel superior del líquido contenido, Magnitud Variable Sea r el radio del área del nivel superior del líquido contenido, Magnitud Variable

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Formulación u obtención del modelo: Para cualquiera de los dos instantes presentados, el volumen del líquido contenido se puede hallar mediante la fórmula: V = ⅓ área de laπ base * altura = ⅓ π r2 h, encontrándose de esta manera una ecuación que nos de el volumen del líquido contenido en función del radio r, y la altura h del nivel del líquido. Modelo Matemático: V= f(r,h) ; V= ⅓ π r2 h (1) En algunos casos habrá necesidad de expresar el volumen en función de una de las dos variables solamente, para ello encontraremos la relación entre el radio y la altura a partir de los datos del recipiente las cuales son constantes. Si se dibuja un corte transversal vertical del depósito, figura 1.3.18, podremos encontrar las relaciones entre las diferentes variables:

r

H

h



R Corte transversal vertical

Relación de las variables: r R r tan() = = , por lo tanto: h = y H h tan(θ) H R r = h* tan(), también: h = r y r = h R H Luego el volumen puede quedar expresado por: R2 V = ⅓ π 2 h3 ; V= f(h) (2) H H 3 V =⅓ π r ; V= f(r) (3) R

Figura 1.3.18

Razones o ritmos de cambio: A partir de las ecuaciones (1), (2) y (3) podremos encontrar las diferentes razones o ritmos de cambio de cada una de las variables consideradas, por aplicación de la derivada con respecto al tiempo a cada una de las ecuaciones. Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (1), tendremos: dV dV dh dr dr dh = ⅓ π[2rh + r2 ] , Notación: = f( r, h, , ) , en donde: dt dt dt dt dt dt

dV es la razón de cambio del volumen del líquido. dt dr es la razón de cambio del radio del área del nivel superior del líquido. dt

dh es la razón de cambio de la altura del nivel superior del líquido. dt

Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (2), tendremos: Página 31 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

R2 dV dV dh dh = π 2 h2 , Notación: = f(h, ), luego la función inversa es: dt dt dt dt H H2 1 dV dV dh dh = , Notación: = f(h, ) 2 2 dt dt R h dt dt Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3), tendremos: dV H 2 dr dV dr =π r , Notación: = f(r, ), luego la función inversa es: dt R dt dt dt

R 1 dV dV dr dr = , Notación: = f(r, ) 2 dt dt dt H r dt

Ejemplos numéricos: Un recipiente cónico tiene 2 mt. de altura y 0.5 mt. de radio en el área transversal, se bombea agua en el a razón de 0.01 mt3/seg. 1°. Determine las funciones que se presentan relacionando las variables del líquido dentro del depósito. Datos del problema: H = 2 mt, R = 0.5 mt,

dV = 0.01 mt3/seg dt

Diferentes ecuaciones que se presentan: tan() =

R 0 .5 = = 0.25 ,  = 14.03º , r = 0.25 h ; r = f(h) H 2

V=

h3

V =

π r3

dh 2 h dt

; V = 0.06544 h3 ;

V= f(h)

; V = 4.1887 r3 ;

V= f(r)

=

dV dt

,

dr 2 r = dt

,

h = 4 r ; h = f(r)

dV dt

2º. ¿A qué ritmo está subiendo el nivel del agua cuando la altura es 0.8 mt. ¿Cuánto vale Solución:

dh ; para cuando h = 0.8 mt dt

H2 1 dV 22 dh 1 = = (0.01) = 0.0795 mt/seg. 2 2 2 dt R h dt  (0.5) (0.8) 2

3º. ¿A qué ritmo está aumentando el radio del área del nivel del agua cuando el mismo está en 0.2 mt. Página 32 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

¿Cuánto vale Solución:

dr ; para cuando r = 0.2 mt dt

R 1 d V 0.5 1 dr = = (0.01) = 0.01989 mt/seg. dt  2 (0.2) 2 H r2 dt

4º. ¿Cuales son todas las dimensiones del recipiente cónico? Radio, R = 0.5 mts ,

Altura, H = 2 mts

Volumen, V= ⅓ π R2 H = ⅓ π (0.5)2 (2) = 0.5235 mt3 5º. ¿Cuánto demora el recipiente en llenarse si éste estaba vacío cuando empezó a entrar el líquido? Desarrollar la ecuación diferencial:

dV = 0.01 mt3/seg dt

Separando los diferenciales: dV = 0.01 dt , integrando a ambos lados de la ecuación, tendremos: V

t

dV =

 (0.01) dt

0

0

;

V = 0.01 t , o sea que t =

0.5235 mt 3 = 52.35 seg. 3 mt 0.01 seg.

Razones de cambio entre las dimensiones del recipiente: A partir de las ecuaciones (1), (2) y (3) podremos encontrar las diferentes razones de cambio entre las diferentes variables consideradas del recipiente, por aplicación de la derivada con respecto a cada una de las variables. Tomando la derivada con respecto a r de la ecuación (1), tendremos: dV dr dV dh dh = ⅓ π[2rh + r2 ] , Notación: = f(r, h , ), en donde: dr dr dr dr dr dV es la razón de cambio del volumen del líquido con respecto al radio del área del nivel dr

superior. dr = 1, es la razón de cambio del radio del área del nivel superior del líquido con respecto a si dr

mismo. dh es la razón de cambio de la altura del nivel superior del líquido con respecto a su radio. dr

Tomando la derivada con respecto a la altura h del nivel del líquido en la ecuación (2), tendremos: Página 33 de 50 07/08/2016 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

R2 R2 dV dV dV dh = π 2 h2 , o sea que, = π 2 h2 , Notación: = f(h), (A) dh dh dh dh H H Tomando la derivada con respecto al radio del área del nivel superior en la ecuación (3), tendremos: dV H 2 dr dV H 2 dV =π r , o sea que, =π r , Notación: = f(r), (B) dr R dr dr R dr

Diferenciales, ecuaciones diferenciales y su respectiva solución: Las ecuaciones (A) y (B) obtenidas en el proceso inmediatamente anterior, son ecuaciones diferenciales, en las cuales cada una está en función de dos variables solamente. Escrita éstas como diferenciales, tendremos: h2 dh

dV = π

(A)

(B) dV = π

r2 dr

Desarrollando las ecuaciones diferenciales podremos volver a las funciones iniciales o primitivas. Separando las variables e integrando a ambos lados de la ecuación (A), tendremos: V

(A)  d V = 0

h

 0

R2 2 h dh H2

;

V= ⅓ π

R2 3 h H2

Separando las variables e integrando a ambos lados de la ecuación (B), tendremos: V

(B)  d V = 0

r

H

 R r 0

2

dr

;

V =⅓ π

H 3 r R

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1.4 GRÁFICAS DE MODELOS MATEMÁTICOS ELABORADOS CON MATLAB 1.4.1 Dibujar el lugar geométrico del modelo: v = 5 voltios , v = f(t) , recta horizontal Función polinómica de grado cero.

(nombre del programa: Funrecta0.m)

%El programa Funrecta0 presenta el lugar geométrico de una función % polinómica de grado cero v = 5 ; v = f(t) t = 0 : 0.1 : 10; v = (t./t)- 6 ; plot(t,v,'r'), grid on,xlabel('Tiempo t ') ylabel('Función v(t) ' ), title('Recta paralela al eje t')

En la figura 1.4.1 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Recta paralela al eje t -4 -4.2 -4.4

Función v(t)

-4.6 -4.8

X: 3 Y: -5

-5 -5.2 -5.4 -5.6 -5.8 -6

0

1

2

3

4

5 Tiempo t

6

7

8

9

10

Figura 1.4.1

El lugar geométrico es una recta paralela al eje t Para el tiempo t = 3 seg. v(3seg,) = 5 voltios

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1.4.2 Dibujar el lugar geométrico del modelo: i = 2 t + 5 amperios, i = f(t), recta inclinada Función polinómica de grado uno.

( nombre del programa: Funrecta1.m)

%El programa Funrecta1 presenta el lugar geométrico de una función % polinómica de grado uno i = 3*t + 2 t = -5 : 0.1 : 10; i = 2.*t + 5 ; plot(t,i,'r'), grid on,xlabel('Tiempo t ') ylabel('Función i(t) ' ), title('Recta que atraviesa el eje t')

En la figura 1.4.2 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Recta que atraviesa el eje t 25

20

Función i(t)

15 X: 2.5 Y: 10

10

5

0

-5 -5

0

5

10

Tiempo t

Figura 1.4.2

El lugar geométrico es una recta que atraviesa el eje y por -5. Atraviesa el eje t por -

= - 2.5

Para el tiempo t = 2.5 seg. i(2.5seg,)

=

10 amperios

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1.4.3 Dibujar el lugar geométrico del modelo q = t2 - 3t + 1 culombios, q = f(t) Parábola o función polinómica de grado dos.

( nombre del programa: Funcurva2.m)

%El programa Funcurva2 presenta el lugar geométrico de una función % polinómica de grado dos q = t^2 - 3t + 1 (dos raíces reales) t = -1 : 0.001 : 4; q = t.^2 - 3.*t + 1; plot(t,q,'r'), grid on,xlabel('Tiempo t ') ylabel('Función q(t) ' ) title('curva que atraviesa el eje t en dos puntos')

En la figura 1.4.3 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. curva que atraviesa el eje t en dos puntos 5

4

Función q(t)

3

2

1 X: 0.382 Y: -7.6e-005

0

-1

-2 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Tiempo t

2

2.5

3

3.5

4

Figura 1.4.3

El lugar geométrico es una curva que atraviesa el eje t en dos puntos; t1 = 0.3819

y

t2 = 2.6180, para q(t) = 0

Los puntos son las raíces del polinomio cuadrático

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1.4.4 Dibujar el lugar geométrico del modelo p = t3 – 2 t2 - 5 t + 6 vatios, q = f(t) Función polinómica de grado tres.

(nombre del programa: Funcurva3.m)

%El programa Funcurva3 presenta el lugar geométrico de una función % polinómica de grado tres p = t^3 - 2t^2-5t+6 (tres raíces reales) t = -4 : 0.001 : 5; p = t.^3 - 2.*t.^2 - 5.*t + 6 ; plot(t,p,'r'), grid on,xlabel('Tiempo t ') ylabel('Función p(t) ' ) title('curva que atraviesa el eje t en tres puntos')

En la figura 1.4.4 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo.

curva que atraviesa el eje t en tres puntos 60

40

20

Función p(t)

X: 1 Y: 0

0

-20

-40

-60

-80 -4

-3

-2

-1

0 1 Tiempo t

2

3

4

5

Figura 1.4.4

El lugar geométrico es una curva que atraviesa el eje t en tres puntos; t1 = -2.0

y

t2 = 1.0 , t3 = 3.0

para p(t) = 0

Los puntos son las raíces del polinomio cúbico

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1.4.5 Dibujar el lugar geométrico del modelo y = x3 – 4 x2 + 9 x - 10 , y = f(x) Función polinómica de grado tres, con raíces imaginarias. ( nombre del programa: Funcurva31.m) %El programa Funcurva3-1 presenta el lugar geométrico de una %función polinómica de grado tres y = x^3 - 4x^2+9x - 10 % (una raíz real y dos imaginarias conjugadas) x = 0 : 0.01 : 5; y = x.^3 - 4.*x.^2 + 9.*x - 10 ; plot(x,y,'r'), grid on,xlabel('Variable independiente x ') ylabel('Variable dependiente o Función y(t) ' ) title('curva de 3° grado que atraviesa el eje x en un solo punto')

En la figura 1.4.5 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. curva de 3° grado que atraviesa el eje x en un solo punto 60

Variable dependiente o Función y(t)

50

40

30

20

10 X: 2 Y: 0

0

-10

0

0.5

1

1.5

2 2.5 3 3.5 Variable independiente x

4

4.5

5

Figura 1.4.5

El lugar geométrico es una curva que atraviesa el eje x en un solo punto. x1 = 2.0 , la cual corresponde a una raíz real El polinomio cúbico, tiene una raíz real y dos imaginarias conjugadas. x2 = 1 + 2 i , x3 = 1 – 2 i Las raíces imaginarias no aparecen en el plano real.

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1.4.6 Dibujar el lugar geométrico del modelo Z = (2t-(1/3)t^2)/(12-2t), z = f(t) Función racional (división de dos polinomios). ( nombre del programa: Funracional.m) % El programa Funracional.m dibuja el lugar geométrico de la % función racional, división de dos polinomios % Z = (2t-(1/3)t^2)/(12-2t), donde Z es la función y t es % la variable independiente t = 0 : 0.1 : 5; Z = (2.*t-(1./3).*t.^2)./(12-2.*t); plot(t,Z,'r'), grid on, title('Z = (2t-(1/3)t^2)/(12-2t)') xlabel('Tiempo t'), ylabel('FUNCIÓN RACIONAL Z = f(t)')

En la figura 1.4.6 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Z = (2t-(1/3)t 2)/(12-2t) 0.9 0.8

FUNCIÓN RACIONAL Z = f(t)

0.7 0.6

X: 3 Y: 0.5

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 Tiempo t

3

3.5

4

4.5

5

Figura 1.4.6

El resultado es una recta que pasa por el origen Algunos valores: Para t = 3.0 , Z = (2(3)-(1/3)(3)^2)/(12-2(3)) = ( 6 – 3)/(12 – 6) = 0.5 Para t = 3.0 , Z = (2(4)-(1/3)(4)^2)/(12-2(4)) = ( 8 –

)/(12 – 8) = 0.6666

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1.4.7 Dibujar el lugar geométrico del modelo v = Sen(t) , v = f(t), senoide Función trigonométrica simple.

( nombre del programa: curvadelseno.m)

%El programa curvadelseno.m dibuja el lugar geométrico de % la función seno v = Sen(t) % para un valor del tiempo entre -4 y 4 t = -4 : 0.1 : 4; v = sin(t); plot(t,v,'r'),grid on legend('sen(t)'), xlabel('Tiempo t'), ylabel('Función v = f(t)') title('Grafica del Seno') [t.',v.']

En la figura 1.4.7 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Grafica del Seno 1 sen(t) 0.8 0.6

X: 0.4 Y: 0.3894

Función v = f(t)

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4

-3

-2

-1

0 Tiempo t

1

La gráfica de la función seno es periódica, con un dominio de

2

3

4

- ∞ < t < ∞ y un rango de -1 ≤

v ≤ 1. Algunos valores: Para t = 0.4 rad ,

v = 0.38941 voltios

;

para t = 22.91° , v = 0.38928 voltios

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1.4.8 Dibujar el lugar geométrico del modelo v = 8 Cos(5t + 27.5°) , v = f(t) , cosenoide Función trigonométrica simple. ( nombre del programa: curvadelcoseno.m)

% El programa curvadelcoseno.m dibuja el lugar geométrico de la función % v = 8.* Cos(5.*t - 27.5), en donde v es el voltaje de una onda, % t es el tiempo en segundos; v = f(t) t = 0 : 0.01 : 6; v = 8.* cos(5.*t - 0.4799); hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(t,v,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Tiempo t');%Nombre del eje x ylabel('Magnitud del voltaje en voltios');%Nombre del eje y [t.',v.']

En la figura 1.4.8 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Gráfico de la función 8

Magnitud del voltaje en voltios

6 4 2 0 X: 3 Y: -2.989

-2 -4 -6 -8

0

1

2

3 Tiempo t

4

5

6

Figura 1.4.8

La gráfica de la función coseno es periódica, con un dominio de

- ∞ < t < ∞ y un rango de

-1 ≤ v ≤ 1, por lo tanto, el dominio del modelo matemático es: -8 ≤ v ≤ 8 Algunos valores: Para t = 3 rad ,

v = 8 Cos( 5(3) – 0.4799) = - 2.9891 voltios

Para t =

v = 8 Cos( 5(5) – 0.4799) =

5 rad ,

6.545 voltios

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1.4.9 Dibujar el lugar geométrico del modelo i = 8 e -2 t, i = f(t) Función exponencial simple.

(nombre del programa: curvaexpon.m)

% El programa curvaexpon.m dibuja el lugar geométrico de la función % i = 8.* exp(-2.*t),en donde i es la magnitud de la corriente en amp % y t es el tiempo en seg. t = 0 : 0.1 : 4; i = 8.* exp(-2.*t); hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(t,i,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Tiempo t');%Nombre del eje x ylabel('Magnitud de i en amp');%Nombre del eje y [t.',i.']% imprime los valores

En la figura 1.4.9 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Gráfico de la función 8 7

Magnitud de i en amp

6 5 4 3 2

X: 1 Y: 1.083

1 0

0

0.5

1

1.5

2 Tiempo t

2.5

3

3.5

4

Figura 1.4.9

Algunos valores: Para t = 0.5, i(0.5 seg.) = 8 * e – 2(0.5) = 2.9430 Para t = 1, i(1 seg.) = 8 * e – 2(1) = 1.0826

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1.4.10 Dibujar los lugares geométricos de los modelos equilátera y p = ln(t) ;

y = 1/t; y = f(t), función hipérbola

p = f(t) , función logarítmica simple

(nombre del programa: curvahiperlogar.m) % El programa curvahiperlogar.m presenta la gráfica de y = 1/t % y de P = ln(t), donde p es la potencia en watt y t el tiempo % en segundos t = 0.1 : 0.00001 : 3; y = 1./t ; p = log(t); [t.',y.',p.']; figure(1),plot(t,Z,'-'), grid on,title('y = 1/t'), pause figure(2), plot(t,p,'r'), grid on, title('p = ln(t)') xlabel('Tiempo t en seg.'), ylabel('Magnitud de p en watt')

En la figura 1.4.10 se encuentra el lugar geométrico de la hipérbola equilátera entregado por el programa al correrlo. y = 1/t 10 9 8 7 6 5 4 3 2

X: 1 Y: 1

1 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 1.4.10

Algunos valores: Para t = 1.0 , y = 1/(1) = 1 Para t = 2 , y = 1/(2) = 0.5

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En la figura 1.4.11 se encuentra el lugar geométrico de la función logarítmica entregado por el programa al correrlo.

p = ln(t) 1.5 1 X: 2.719 Y: 1

Magnitud de p en watt

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

0

0.5

1

1.5 Tiempo t en seg.

2

2.5

3

Figura 1.4.11

Algunos valores: Para t = 1 , p = ln(1) = 0 vatios

Para t = e = 2.7172 , , p = ln(e) = 1.0 vatio

1.4.11 Dibujar el lugar geométrico del modelo i = 1.56 e-0.22 t Cos(4.9*t) amp ; i = f(t) Función cosenoidal amortiguada. ( nombre del programa: cosenamortig.m) % El programa cosenamortig.m dibuja el lugar geométrico de la función % i = 1.56.* exp(0.22*t)* Cos(4.9*t); i = f(t) % i: Función Vs t: tiempo t = 0 : 0.00001 : 3; i = 1.56.* exp(-0.22.*t).* cos(4.9.*t); hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(t,i,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Tiempo t');%Nombre del eje x ylabel('Función i(t)');%Nombre del eje y [t.',i.']

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En la figura 1.4.12 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo.

Gráfico de la función 2

1.5

Función i(t)

1 X: 1 Y: 0.2364

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 0

0.5

1

1.5 Tiempo t

2

2.5

3

Figura 1.4.12

Algunos valores: Para t = 0 , i = 1.56.* e

(-0.22(0))

* Cos(4.9(0)) = 1.56 amp

Para t = 1 , i = 1.56.* e

(-0.22(1))

* Cos(4.9(1)) = 0.2335 amp -t

1.4.12 Dibujar el lugar geométrico del modelo p = 8* e Sen(5 t + 30°) ; p = f(t) Función senoidal amortiguada. ( nombre del programa: senoamortig.m) % El programa senoamortig.m dibuja el lugar geométrico de la función % p = 8* exp(-t)* Sin(5*t+0.5235); p = f(t) t = 0 : 0.01 : 6; p = 8.* exp(-t).* sin(5.*t+0.5235); hold off,clf, subplot(111); figure(gcf), plot(t,p,'r'),grid, title('Gráfico de la función') xlabel('Tiempo t');%Nombre del eje x ylabel('Magnitud de p en vatios');%Nombre del eje y [t.',p.']

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En la figura 1.4.13 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo.

Gráfico de la función 8

Magnitud de p en vatios

6

4

2

0 X: 1 Y: -2.027

-2

-4

0

1

2

3 Tiempo t

4

5

6

Figura 1.4.13

Algunos valores: Para t = 0 ,

y = 8e

(-0)

Sen(5(0) + 0.5235) = 4.0

Para t = 1 ,

y = 8e

(-1)

Sen(5(1) + 0.5235) = -2.0268

1.4.13 Dibujar el lugar geométrico del modelo matemático siguiente: La corriente que circula por una respectiva carga viene expresada por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta continua: Lineal y trigonométrica i1 = (10 – 2.4 t) A, con t en ms, para 0  t  4.166 ms. i2 = 15 Cos(0.377 t)A , con t en mseg. para 4.166ms  t  12.5 ms i3 = - 5 A , para 12.5 ms  t  16.66 ms Periodo T = 2π = 16.66 ms , Frecuencia f = 60 hertz La función es discontinua en t = 12.5 ms y en t = 16.66 ms A continuación se encuentran las respectivas sentencias del programa Matlab, por medio del cual

iS = f(t) =

podremos dibujar la gráfica de la corriente en una sola ventana, incluyendo las tres funciones que representan el modelo, esto es:

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% El programa funciongeneral.m presenta la gráfica del modelo % matemático conformado por las funciones: % F1 = 10 - 2.4 t para o < t < 4.166 mseg. % F2 = 15 Cos(0.377 t) para 4.166 mseg. < t < 12.5 mseg. % F3 = -5 para 12.5 mseg. < t < 16.66 mseg. t1 = 0 : 0.1 : 4.166; i1 = 10-2.4.*t1; t2 = 4.166 : 0.001 : 12.5; i2 = 15.*cos(0.377.*t2); t3 = 12.5 : 0.1 : 16.66; i3 = [t3./t3]-6; T = [t1,t2,t3]; I = [i1,i2,i3]; plot(T,I,'r'), grid on,title('Gráfica del modelo matemático de la corriente') xlabel('Tiempo t en mseg.'), ylabel('Corriente i(t)en Amp.') [T.',I.']% imprime todos los valores

En la figura 1.4.14 se encuentra el lugar geométrico entregado por el programa al correrlo. Gráfica del modelo matemático de la corriente 10

Corriente i(t)en Amp.

5

0

-5 X: 6.066 Y: -9.847

-10

-15

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo t en mseg.

14

16

18

Figura 1.4.14

Algunos valores obtenidos del gráfico: Para t = 2 mseg.

i(2 mseg.) = 5.2 Amp

Para t = 6.066 mseg. Para t = 14 mseg.

i(6.066 mseg.)

= - 9.8465 Amp

i(14 mseg.) = - 5 Amp

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1.14.14 Dibujar el lugar geométrico de la primera derivada de la corriente del punto 1.14.13 anterior. La derivada de la corriente viene expresada por: i1 = – 2.4

i´S = f´(t) =

,

i2 = -5.655 Sen(0.377 t) i3 = 0

para 0  t  4.166 ms. , con t en mseg. para 4.166ms  t  12.5 ms

, para 12.5 ms  t  16.66 ms

A continuación se encuentran las respectivas sentencias del programa Matlab, por medio del cual podremos dibujar la gráfica de la primera derivada de la corriente en una sola ventana, incluyendo las tres funciones que representan el modelo, esto es: % El programa derivfunciongen.m presenta la gráfica del modelo % matemático conformado por las derivadas de las funciones: % F1 = 10 - 2.4 t para o < t < 4.166 mseg. G1 = -2.4 A/seg. % F2 = 15 Cos(0.377 t) para 4.166 mseg. < t < 12.5 mseg. A/seg. % G2 = -5.655cos(0.377t) % F3 = -5 para 12.5 mseg. < t < 16.66 mseg. G3 = 0 A/seg. t1 = 0 : 0.1 : 4.166; d1 = (t1./t1)-3.4; t2 = 4.166 : 0.001 : 12.5; d2 = -5.655*sin(0.377.*t2); t3 = 12.5 : 0.1 : 16.66; d3 = (t3./t3)-1; T = [t1,t2,t3]; D = [d1,d2,d3]; plot(T,D,'r'), grid on,title('Gráfica de la primera derivada de la corriente') xlabel('Tiempo t en mseg.'), ylabel('Primera derivada de la corriente en Amp/seg.') [T',D']% imprime todos los valores

En la figura 1.14.15 a continuación se encuentra el lugar geométrico de la primera derivada de la corriente.

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Gráfica de la primera derivada de la corriente

Primera derivada de la corriente en Amp/seg.

6

4

2

X: 8 Y: -0.7084

0

-2

-4

-6

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo t en mseg.

14

16

18

Figura 1.14.15 Algunos valores obtenidos del gráfico: Para t = 2 mseg.

i´(2 mseg.) = – 2.4

Para t = 8 mseg.

i´(8 mseg.) = - 0.7084

Para t = 10 mseg.

i´(10 mseg.) = 3.324

Para t = 15 mseg.

i´(15 mseg.) = 0

,

disminuye la corriente , disminuye la corriente , aumenta la corriente

, la corriente no aumenta, no disminuye

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