Julio 1, 2011. TIJUANA, B.C.

Modelos matemáticos para enfermedades causados por tiempo. Higuera Perez Ely Karell*, Mendez Medina Ailin Melany*, Pinedo Ruvalcaba Paulina Montserrat*

Resumen — El modelo más usado para estudiar malaria es SIRS, un sistema de ecuaciones diferenciales, donde se distinguen 3 grupos en la población, los susceptibles (S) son aquellos que están en riesgo de contagio, los infectados (I) que están infectados y esparcen el virus, y los removidos (R) que son los recuperados de la infección. La población se mueve de S a I a R y de regreso a S. Se analizaran el modelo básico y dos variantes: Inmunidad dependiente del tiempo y parásitos resistentes a la droga. SIRS es un sistema de ecuaciones diferenciales por categorías Palabras claves: — Malaria, susceptibles, infectados, removidos, variables, virus.

I

INTRODUCCIÓN I. DESARROLLO

Se asume que los S se infectan en proporción a su número de integrantes. En segunda instancia, por la naturaleza de la malaria, una gran parte de los que se recuperan del virus, solo se recuperan parcialmente. Los que se consideran infectados son los que presentan síntomas severos. La mayoría de los que se recuperan siguen infectados pero con síntomas mínimos. El grupo removido, se refiere a este grupo, los parcialmente recuperados. El movimiento entre los grupos, en conjunto con las estadísticas y es modelo del sistema se ve así: = −hx + ρy + β(h)z, = hx − ρy − ry, = ry − β(h)z. Esto es un modelo por categorías, los que dejan un grupo lo hacen para entrar en otro. Las soluciones tienden a un punto estacionario único global. Las variables x, y, y z, todas funciones de t, denotan

respectivamente el tamaño de los grupos S, I y R respectivamente. Como estos son tamaños relativos, la suma de estos es 1 o 100%: x(t) + y(t) + z(t) = 1, t≥ 0. Implícitamente la mortalidad actual equitativamente en los 3 grupos. Inicialmente, x = 1 and y = z = 0.

En la figura, h es la infección o índice en que esta ocurre. El parámetro r es el índice de los recuperados, esto es el índice de transición del grupo y al grupo z. 1/h es el tiempo para la infección, y 1/r el tiempo de recuperación. El índice de recuperación ρcorresponde a que tan rápido sale el parásito del cuerpo. El termino β(h)y permite tener un patrón de regresión para el grupo parcialmente recuperado. β debería de disminuir con el aumento de h. la relación exacta en relación a t es: β(h) = he−hτ / 1 − e−hτ, donde t es la duración de recuperación parcial.

Modelo de inmunidad según el tiempo (TID) Entendiendo que inmunidad se obtiene y desarrolla con exposición al virus durante un tiempo, r = r(t). La suposición es que inicialmente la inmunidad es nula, r(0) = 0, que después de exposición, hay una tardanza de inmunidad, r(0) = 0, y que aparece como un valor limitado, R. = (rate) · t · (R − r), r(0) = 0, Siendo v la exposición, denotando el doble del parámetro. Resolviendo esta ecuación diferencial: r = R(1 – e −vt2 ).

Julio 1, 2011. TIJUANA, B.C. Con esta modificación del sistema, tenemos el modelo Para este cálculo y representara a los infectados con de la inmunidad dependiendo del tiempo: (TDI) parásitos sensibles, y Y a los infectados con parásitos resistentes y, posiblemente, sensibles. Entonces u = −hx + ρy + β(h)z, será la probabilidad de que este infectados de cepas resistentes, y 1 – u la de que este solo contaminado = hx − ρy − R(1 – e −vt2 )y, con cepas resistentes. = R(1 – e −vt2 )y − β(h)z. La modificación no tiene efecto en valores estacionarios como r R como t ∞. Así que el punto estacionario es el mismo con R en vez de r.

A. Modelo resistente a la droga Mientras que los modelos anteriores tratan en su mayoría con el curso natural de la enfermedad, en esta sección asumimos que todo el grupo a estudiar está siendo tratado con drogas para deshacerse de los parásitos internos. El tratamiento y el control se han vuelto más difíciles en los años recientes debido a la propagación de cepas de P. Falciparums resistentes a la droga. Para proceder distinguimos infectivos resistentes (los infectados con parásitos que son resistentes a las drogas) de infectivos sensibles. Mientras que este modelo no puede llevar la dinámica entre cepas sensibles y resistentes de parásitos, en áreas conde el uso de drogas es extensivo, se seleccionan las cepas resistentes para incrementar su número, puede mostrar el efecto en la gráfica de prevalecencia y el punto estacionario.

II

FASE DE DESARROLLO

1. Planeación. Se realizó un estudio acerca de la expansión del virus de la maralia y cómo afecta a una población determinada en un tiempo específico, el cual resulto ser cíclico por la transferencia de la enfermedad. 2. Pruebas. Se estudió a las personas que se infectaron con el virus de la malaria y se siguió su avance por la recuperación, el riesgo de infección y de recuperación. 3. Integración de los sistemas. Se realizaron estudios estadísticos acerca de la rotación del virus por la población desde el riesgo de la infección hasta la supuesta recuperación pasando por la enfermedad. 4. Validación del prototipo. Realizando encuestas medicas se validaron los 3 diferentes grupos de personas con sus relaciones al virus y se usó un modelo de dos variables para predecir el curso del virus. 5. Códigos usados en maple.

Se asume que todos los individuos infectados han recibido tratamiento. Se asume que las personas sensibles responderán rápidamente y regresaran a ser susceptibles (S). Por otro lado, aquellos con la cepa resistente a la droga no responderán y tendrán que obtener inmunidad y pasar por los parcialmente recuperados (Removidos, R) para finalmente llegar al estado se susceptibilidad (S). III FUTURO

CONCLUSIONES Y TRABAJO

La implementación del prototipo es funcional y su origen radica en la re utilización de componentes que ya se confirman que están fuera de servicio como lo es la impresora al utilizar el mecanismo de posición de motor a pasos por medio de la cremallera, reproductor de DVD, uso

Julio 1, 2011. TIJUANA, B.C. IV REFERENCIAS de la guía lineal para el suministro de monedas a través de un motor de corriente directa. [1] Ronald W. Shonkwiler, James Herod, "Mathematical Biology An Introducition with Maple and Matlab", En el ámbito académico, es importante ejercer prácticas que Springer, 2009. favorezcan el aprendizaje en este caso se conceptualizo el prototipo didáctico para los temas de mecánica clásica, el diseño es flexible ya que permite modificar su complejidad e implementar técnicas avanzadas de programación. Relación de programas de aplicación utilizados para el desarrollo del prototipo didáctico Nombre Logotipo Compañía de URL Descripción funcional software Microsoft Windows http://www.microsoft.com/en- Sistema operativo que permite el manejo Microsoft XP us/default.aspx de software y la computadora. Service Pack 3 Microsoft

Word

office.microsoft.com/enus/word/

Utilizado para crear documentos de texto.

Microsoft

Power Point

office.microsoft.com/enus/powerpoint/

Utilizado para hacer la presentación del proyecto.

Maple

Maple 12

www.maplesoft.com/products /maple/

Programa usado para la realización de cálculos matemáticos y graficos