V OLIMPIADA LATINOAMERICANA DE ASTRONOMÍA Y ASTRONÁUTICA Cochabamba - Bolivia, 19 al 23 de octubre de 2013

PRUEBA TEÓRICA GRUPAL 1. A continuación se presenta una curva que muestra la intensidad (normalizada) en función de la longitud de onda de una estrella (en angstroms). Tener en cuenta, que la intensidad va disminuyendo para longitudes de onda menores a 3900. Se incluye además una tabla que muestra la relación entre magnitud absoluta y tipo espectral, otra que muestra las longitudes de onda para diferentes líneas de absorción y, finalmente, los espectros típicos para las clases espectrales.

Con esta información: a. Identifique las cuatro líneas principales de absorción indicando la longitud de onda a la cual se presentan y el elemento al cual corresponden. (4 puntos) b. Justifique su respuesta ¿A qué tipo espectral pertenece la estrella, de acuerdo a la tabla? (6 puntos) c. Estime la temperatura superficial de la estrella, identificando donde se encuentra el máximo de radiación. (5 puntos) d. Asumiendo que la estrella se observa con una magnitud aparente de 9.5, determinar a qué distancia se encuentra. (5 puntos) 2. Un satélite de 300 kg de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Se realiza una maniobra de manera tal que el satélite pasa a una nueva orbita circular, cuyo radio (tomado de centro a centro) es el triple de la anterior, determine: a) Determine la variación de energía mecánica del satélite. (6 puntos) b) Determine la relación entre los periodos de las orbitas. (6 puntos) c) Deduzca la expresión genérica para la velocidad de escape de un satélite desde una distancia r, medida desde el centro de la Tierra y para este problema en particular ¿Cuál es la razón entre las velocidades de escape de las órbitas? (8 puntos) 3. Asuma que la luminosidad L de una estrella de masa M que se encuentra en la secuencia principal cumple con la siguiente relación de proporcionalidad: L ∝ M 4. Considerando que la energía disponible que puede ser irradiada es igual a una fracción de la energía en reposo de la estrella (Mc2): a) Muestre que el tiempo de vida de la estrella, t se relaciona con la masa, según t ∝ M-3 (5 puntos) b) Si se duplicase el valor de la masa de una estrella, ¿Cuál sería la razón entre sus tiempos de vida? (5 puntos) 4. Asuma que el material estelar en la secuencia principal obedece la ley del gas ideal, PV = NkT. a) Para una estrella de radio R y masa M, muestre que PR3 ∝ MT. (4 puntos) b) La estrella está en equilibrio bajo la acción de su propia gravedad (tome esta fuerza proporcional a

M2 ), R2

la cual tiende a colapsarla, y la presión creada por el flujo de energía

de su interior, la cual tiende a expandirla. Demuestre que en este equilibrio se cumple la condición P ∝

M2 R4

. (4 puntos)

c) Encuentre el valor 𝑎 en la siguiente relación de proporcionalidad T ∝ interpretación le da a esta proporcionalidad? (6 puntos)

𝑀 𝑎 . 𝑅

¿Qué

d) Encuentre el valor 𝑏 en la relación de proporcionalidad entre la luminosidad de una estrella que se encuentra en la secuencia principal y su masa: L ∝ M b (considere que la densidad es constante). (6 puntos)

5.

a) Demuestre que la relación entre la latitud y el ángulo horario para el Sol en el horizonte (en el momento del ocaso) es: (8 puntos)

cos H = − tan 𝛿 tan 𝜑 Donde H es el ángulo horario del Sol, es su declinación y es la latitud del observador Para el solsticio de verano en el hemisferio sur: b) A partir de esta relación calcule las horas Sol (el tiempo que el Sol es visible sobre el horizonte sin tomar en cuenta la refracción atmosférica) para el Trópico de Capricornio y el Trópico de Cáncer. (4 puntos) c) A partir de la relación encontrada en el inciso a) construya una gráfica de las horas de Sol en función de la latitud. En la gráfica indique las latitudes de los paralelos que están relacionados con la oblicuidad de la eclíptica. (8 puntos)

Tabla de Constantes 𝑀𝑇 = 5.97 × 1021 kg 𝐺 = 6.67 × 10−11

𝑀𝑇 =Masa tierra

𝑁𝑚 2 𝑘𝑔 2

𝐺 =Gravedad

𝑅𝑇 = 6378 𝑘𝑚

𝑅𝑇 =Radio tierra

Kwien = *T = 0.293 m·K

π = 3.14

Relaciones útiles de trigonometría esférica:

cos 𝑎 = cos 𝑏 ∗ cos 𝑐 + sin 𝑏 ∗ sin 𝑐 ∗ cos 𝐴 cos 𝑏 = cos 𝑎 ∗ cos 𝑐 + sin 𝑎 ∗ sin 𝑐 ∗ cos 𝐵 cos 𝑐 = cos 𝑎 ∗ cos 𝑏 + sin 𝑎 ∗ sin 𝑏 ∗ cos 𝐶

V OLIMPIADA LATINOAMERICANA DE ASTRONOMIA Y ASTRONAUTICA Cochabamba, 19 al 23 de octubre de 2013

PRUEBA TEÓRICA INDIVIDUAL 1. Calcular la densidad de un planeta de forma esférica (considere a la densidad uniforme), que tiene un satélite artificial de masa despreciable, en una órbita circular con periodo T=6 h y a una distancia de la superficie del planeta igual a la mitad del radio del planeta R. (R = 6400 km, 𝐺 = 6.67 ∗ 10−11

𝑁𝑚 2 ) 𝑘𝑔 2

2. Qué edad tenía el universo cuando el máximo de radiación cósmica de fondo correspondía a 700 nm. Considere que la temperatura del universo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad y que la constante de proporcionalidad es 1.5x1010 K·s1/2 (Sugerencia considere el universo como un cuerpo negro) 3. La estrella Vega tiene una magnitud aparente de 0.03, una temperatura efectiva de 10000 K y una paralaje de 0.129”. Además, es del tipo A0 V. a) ¿A qué distancia se encuentra Vega? Exprese el resultado en años-luz. b) ¿Qué color presenta y donde estaría ubicada en el diagrama H-R? c) Calcule la magnitud absoluta de Vega. d) Cuántas veces más luminosa es Vega que el Sol? e) Calcule el radio de Vega en unidades de radios solares. f) Calcule la masa de Vega. g) Si nuestro Sol tuviera las características de Vega, cuál sería el flujo radiante en la Tierra? 4. En un determinado sitio el Sol culmina de tal manera que su acimut es mayor en 180° al del polo elevado, con una distancia cenital que es igual a la altura del polo elevado. Cuáles serán las coordenadas acimutales del Sol: a) para un observador que se encuentra ubicado a una longitud 90° al oeste b) en el polo sur. (Utilizar como origen del acimut el punto cardinal SUR)

5. Un estudiante de la olimpiada se encuentra cerca del ecuador terrestre y ve la Luna en el horizonte tal como muestra esquemáticamente la fotografía.

Indique y justifique con la información astronómica que se puede deducir de la imagen, en qué fase está la Luna, qué hora es y si se trata del horizonte occidental u oriental. 6. En las figuras incluidas, se ven varias fotografías superpuestas del movimiento aparente de un planeta en el cielo a lo largo de las semanas, Indique con qué imagen trabajará. Haga un esquema en su hoja e indique y justifique: a) El sentido de movimiento del planeta b) Dónde ocurre la oposición c) Dónde se encuentra estacionario. d) Explique cuál es la causa de la variación del brillo del planeta. Imagen I: Si usted está en el hemisferio sur, la imagen se vería así con el norte abajo

Imagen II: Si usted está en el hemisferio norte, la imagen se vería así con el norte arriba

7. Un sistema de estrellas binarias orbitan alrededor de un punto común. La luz de ambas estrellas es observada desde la Tierra. Asuma que ambas emiten una luz con longitud de onda de 6.58𝑥10−7 𝑚.

a) Cuando las estrellas están en la posición que se muestra en la figura, el observador en la Tierra mide una longitud de onda de 6.58𝑥10−7 𝑚., para ambas estrellas. Explique porque no existe efecto Doppler en este caso

b) Cuando las estrellas están en las posiciones que se muestran en la figura el observador en la Tierra mide dos longitudes de onda para la luz recibida de A es 6.50𝑥10−7 𝑚., y de B es 6.76𝑥10−7 𝑚. Determine la velocidad de las estrellas e indique cuál se está alejando y cuál se está acercando.

Tabla de Constantes 𝑚𝑡 = 5.97 × 1021 kg 𝐺 = 6.67 × 10−11

𝑁𝑚 2 𝑘𝑔 2

𝑚𝑡 =Masa de la Tierra (Massa da Terra) 𝐺 = Constante de gravitación universal

𝑅𝑇 = 6378 𝑘𝑚

𝑅𝑇 =Radio de la Tierra (Raio da Terra)

Kwien = 0.00293 m·K

Kwien = Constante de Wien

𝑊

= 5.67x10−8 𝑚 2 ∗𝐾 4 c = 3 X 108

𝑚 𝑠

𝑀 = 4.74

Constante de Stefan-Boltzmann c = Velocidad de la luz 𝑀 = Magnitud absoluta del Sol