Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

Năm học: 2010- 2011

LUYỆN THI ðẠI HỌC CHUYÊN ðỀ :KHẢO SÁT HÀM SỐ

m

n

Good luckd

huù yù:: Caùc baïn caàn naém vöõng kieán thöùc KSHS , cuøng keát hôïp vôùi caùc daïng Baøi Toaùn döôùi ñaây thì

C

khaû naúng cuûa baïn giaûi quyeát phaàn KSHS trong ñeà thi Ñaïi Hoïc raát deå daøng (Hehe... )vaø ñieàu quan troïng laø caùc baïn caàn phaûi nhôù kó caùc daïng ñeå traùnh söï nhaàm laãn giöõa daïng naøy vôùi daïng khaùc nheù , neáu k thì …..... BA CÔNG THỨC TÍNH NHANH ðẠO HÀM

ðể

số

ñồng

biến

trên

ℝ

a > 0 thì y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0

CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ

+y=

hàm

ax + b ad − bc ⇒ y' = cx + d (cx + d )2

Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số nghịch biến trên ℝ ?

adx 2 + 2aex + (be − cd ) ax 2 + bx + c +y= ⇒ y' = dx + e (dx + e )2

Phương pháp:

+

TXð: D = ℝ

a x 2 + b1 x + c1 y= 1 2 a 2 x + b2 x + c 2

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

(a1b2 − a 2 b1 ) x 2 + 2(a1c 2 − a 2 c1 ) x + b1c 2 − b2 c1 ⇒ y' = ( a 2 x 2 + b2 x + c 2 ) 2 CHUYÊN ðỀ: CÁC CÂU HỎI THỨ HAI TRONG ðỀ THI KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH

ðể

hàm

số

ñồng

biến

trên

ℝ

a < 0 ∆ ≤ 0

thì y ' ≤ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ 

Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số có cực trị?

Phương pháp:

TXð: D = ℝ Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số ñồng biến trên ℝ ?

Phương pháp:

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

www.MATHVN.com

ðồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó

a ≠ 0 ⇔ ∆ > 0

TXð: D = ℝ

Cách học tốt môn Toán là phải làm

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang1/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

Năm học: 2000- 2011

Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Chứng minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số luôn luôn có cực trị?

Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0)?

Phương pháp:

Phương pháp:

TXð: D = ℝ

TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c

2

Ta có: y’ = ax + bx + c Xét phương trình y’ = 0, ta có:

 f '( x0 ) = 0  f ( x0 ) = y0

ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0) thì 

∆ =….>0, ∀m Vậy với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn luôn có cực trị. Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số không có cực trị?

Phương pháp:

Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) và M(x0;y0)∈(C). Viết PTTT tại ñiểm M(x0;y0) ?

Phương pháp:

Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0)

TXð: D = ℝ

Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M(x0;y0) là

Ta có: y’ = ax2 + bx + c Hàm số không có cực trị khi y’ không ñổi dấu trên toàn

a ≠ 0 tập xác ñịnh ⇔  ∆ ≤ 0

y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) Các dạng thường gặp khác : 1/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm có hòanh ñộ x0.

Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại x0?

Ta tìm: + y0 = f(x0)

Phương pháp:

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là

TXð: D = ℝ

y – y0 = f’(x0).( x – x0 )

2

Ta có: y’ = ax + bx + c

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0.

 f '( x0 ) = 0  f ''( x0 ) < 0

ðể hàm số ñạt cực ñại tại x0 thì 

Ta tìm: + f’(x)

Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại x0?

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

a/ song song với ñường thẳng y = ax + b.

 f '( x0 ) = 0 ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x0 thì   f ''( x0 ) > 0

b/ vuông góc với ñường thẳng y = ax + b.

Phương pháp:

Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h tại x0?

Phương pháp: TXð: D = ℝ

Ta có: y’ = ax2 + bx + c số

+Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0 Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C)

TXð: D = ℝ

hàm

+ f”(x) + y0 và f’(x0). Suy ra PTTT.

Phương pháp:

ðể

+ f’(x) ⇒ f’(x0)

ñạt

cực

trị

bằng

h

tại

x0

thì

a/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) song song với ñường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a. Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm) Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược.

 f '( x0 ) = 0   f ( x0 ) = h

Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y0 = a. ( x – x0 )

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang2/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

b/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với ñường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng −

Ta có: f’(x) = −

1 . a

là hoành ñộ tiếp ñiểm)

y = f(x) và

f(x) = g(x) (*)

Số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm của phương trình (*).

Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):

1 . ( x – x0 ) a

Dạng 15: Dựa vào ñồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0

Chú ý:

Phương pháp:

+ ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x.

Ta có: f(x) + g(m) = 0

+ ðường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x. Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]

Phương pháp:

⇔ f(x) = g(m)

(*)

Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của ñồ thị (C): y = f(x) và ñường g(m). Dựa vào ñồ thị (C), ta có:…v.v…

Ta có: y’ = f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0, ta ñược các ñiểm cực trị: x1, x2, x3,…∈ [a;b] Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),… [ a ;b ]

Phương pháp:

 OI = ( x0 ; y0 ) .

[a ;b]

Dạng 13: Cho họ ñường cong y = f(m,x) với m là tham số.Tìm ñiểm cố ñịnh mà họ ñường cong trên ñi qua với mọi giá trị của m.

 x = X + x0 x+2 y= x−3  y = Y + y0

Công thức ñổi trục: 

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C).

Phương pháp:

Ta có: y = f(m,x) Am + B = 0, ∀m

Hoặc Am2 + Bm + C = 0,

Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñiểm I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C).

Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ

max y = ; min y =

Phương pháp chung ta thường lập BBT

⇔

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của y = g(x) là ⇔ f(x) – g(x) = 0

Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược.

Từ ñó suy ra:

Dạng 14: Giả sử (C1) là ñồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là ñồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2).

Phương pháp:

1 (Nghiệm của phương trình này chính a

y – y0 = −

Năm học: 2000- 2011

∀m

(1)

Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C).

(2)

Phương pháp:



ðồ thị hàm số (1) luôn luôn ñi qua ñiểm M(x;y) khi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

ðổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI = ( x0 ;0 )

A = 0  B = 0

Công thức ñổi trục 

(a)

A = 0  Hoặc  B = 0 (b) C = 0 

 x = X + x0 y = Y

(ñối với (1))

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C).

(ñối với (2))

Giải (a) hoặc (b) ñể tìm x rồi→ y tương ứng. Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm.

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang3/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình y = f(x) và y = g(x).

Phương pháp:

Hai ñường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

Năm học: 2000- 2011

Dạng 21: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm bậc 3 có Cð , CT nằm về cung 1 phía ñốI vớI (D).

Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị M 1 (x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 )

( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0)

 f ( x) = g ( x)   f '( x) = g '( x) Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó.

1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt ⇔ x1 < x 2 < 0 ∨ 0 < x1 < x 2 2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì

Dạng 19: Tìm ñiểm A ,từ A kẻ ñc n tiếp tuyến tới ñồ thị y = f (x) (C)

ycbt ⇔ x1 < x 2 < m ∨ 0 < x1 < x 2

Phương pháp

3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì:

+Giả sử A(x 0 , y 0 )

ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c )(ax 2 + by 2 + c ) > 0

+ Pt ñthẳng ñi qua A(x 0 , y 0 ) có hệ số góc k có dạng :

@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)

(d ) : y = k (x − x0 ) + y 0 +ðthẳng (d) tiếp xúc vớI ñồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

Dạng 22: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số (C) cắt ñthẳng (D) tạI 2 ñiểm phân biệt thoả 1 trong nhưng ñkiện sau:

 f (x ) = k (x − x0 ) + y 0 (1)  '  f ( x ) = k ( 2) Thay (2) vào (1) ñược : f (x ) = f ' (x )(x − x 0 ) + y 0 (3) +Khi ñó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tớI ñồ thị (C) Do ñó từ A kẻ ñược k tiếp tuyến tớI ñồ thị (C)

1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔ (I) có nghiệm phân biệt nằm cùng 1 phía ñốI vớI x = m ( (I) là PTHðGð của (C) và (D) ; x = m là t/cận ñứng của (C) ) 2) Cùng 1 phía Oy ⇔ ( I ) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 3)Khác phía Oy ⇔ ( I ) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ ñiểm A (nếu có)

Dạng 23: Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho:

Dạng 20: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð , CT nằm về 2 phía (D)

Tổng các khoảng cách từ ñó ñến 2 t/cận là Min

Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các

ñiểm cực trị M 1 (x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 )

Phương pháp:

(

+Xét M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc (C) ⇔ x 0 , , y 0

( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0)

thoã y = thương +dư /mẫu

1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2

+Dùng BðT Côsi 2 số ⇒ kquả

)

2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2 3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì:

Dạng 24:Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho:khoảng cách từ ñó ñến 2 trục toạ ñộ là Min

ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c )(ax 2 + by 2 + c ) < 0 @ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3)

Phương pháp:

+Xét M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc (C)

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang4/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

+ðặt P = d (M 0 , Ox ) + d (M 0 , Oy ) ⇒ P = x0 + y 0

Năm học: 2000- 2011

⇒ y ' = 0 ⇔ U x' 1V x1 = V x'1U x1 ⇔

+Nháp :Cho x0 = 0 ⇒ y 0 = A; y 0 = 0 ⇒ x0 = B

+ GọI B (x 2 , y 2 ) là ñiểm cực trị của (C m )

GọI L = min ( A , B )

⇒ ........... ⇔ .................... ⇔ .......y 2 =

+Ta xét 2 trường hợp :

TH1: x0 > L ⇒ P > L

Phương pháp:

Phương pháp M ,N,P thẳng hàng ⇔ vetơ MN cùng phương vớI vectơ

−b a

MP ⇔ x M + x N + x P =

+Chia

cx + d y (cx+d :là phần dư của phép = ax + b + y' y'

chia)

⇒ y = (ax + b ) y '+ cx + d

Dạng 26: Tìm trên ñồ thị (C) :y = f(x) tất cả các ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ

+Goi A( (x1 , y1 ), B (x 2 , y 2 ) là 2 ñiểm cực trị của hàm số

(C m )

⇒ y ' x1 = y ' x 2 = 0

+Do A ∈ (C m ) nên y1 = (ax1 + b ) y1 '+ cx1 + d

Phương pháp:

+Tập hợp những ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ trong (Oxy) là ñường thẳng y = x và y = -x .Do ñó : +Toạ ñộ của ñiểm thuộc (C) :y = f(x) ñồng thờI cách ñều

 y = f ( x)  y = x 2 trục toạ ñộ là nghiệm của :  ⇒ kquả  y = f ( x)   y = − x

ax 2 + bx + c a ' x + b'

⇒ y1 = cx1 + d

(1)

+Do B ∈ (C m ) nên y 2 = (ax2 + b ) y 2 '+ cx2 + d

⇒ y 2 = cx 2 + d

(2)

Từ (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị : y = cx + d

Dạng 29:ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm Cð và CT ñốI xứng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n

Dạng 27:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hàm số hữu

(m ≠ 0) Phương pháp:

(C m )

+ðịnh ñkiện ñể hàm số có Cð, CT (1) +Lập pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñiểm cực trị

Phương pháp :

+Gọi I là trung ñiểm ñoạn nốI 2 ñiểm cực trị

U (x) V( x )

(U ) V '

+ có y ' =

(2)

Dạng 28:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hsố bậc 3 (C m ) , khi ko tìm ñc 2 ñiểm cực trị

Dạng 25:Tìm ñkiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M,N,P cung thuộc ñthị (C) thẳng hàng?

ðặt y =

U x' 2 V x' 2

U x' Từ (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị là y = ' Vx

TH2: x0 ≤ L .Bằng ppháp ñạo hàm suy ra ñc kquả

tỉ : y =

U x1 U x' 1 = y1 (1) = V x1 V x'1

( x)

dk (1)  +ycbt ⇔  y = mx + n ⊥ ( D ) ⇒ kq  I ∈ y = mx + n 

− (V( x ) ) U ( x ) '

( x)

(V )

2

( x)

+GọI A (x1 , y1 ) là ñiểm cực trị của (C m )

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang5/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

Dạng 30:Tìm 2 ñiểm thuộc ñthị (C) y = f(x) ñốI xứng nhau qua ñiểm I (x0 , y 0 )

Năm học: 2000- 2011

Dạng 33 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f (x ) (C)

Phương pháp:

+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

Phương pháp:

+Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C1)

+Giả sử M (x1 , y1 ) ∈ (C ) : y1 = f (x1 ) (1) +GọI N (x 2 , y 2 ) ñốI xứng M qua I suy ra toạ ñộ ñiểm N theo x1 , y1

CHUYÊN ðỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH

+Do N thuộc (C): y 2 = f (x 2 ) (2) (1),(2) :giảI hệ , Tìm x1 , y1 ⇒ x 2 , y 2

Caâu 1.Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số

y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A,

Dạng 31:Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C)

B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 2.. Tìm m ñể hàm số

Phương pháp:

y = x3 − mx 2 + (2m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân

+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

biệt có hoành ñộ dương Caâu 3. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số

 f (x ), x ≥ 0(C1 )  f (− x ), x < 0(C 2 )

y = x3 − 3x 2 + 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song

+Có y = f ( x ) = 

với nhau và AB = 4 2

x+m Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị x −1

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( C1 ) và ñồ thị (C 2 )

Caâu 4 Cho hs : y =

VớI : (C1 ) ≡ (C ')

tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B và diện tích tam giác IAB bằng 1

lấy phần x ≥ 0

(C 2 ) là phần ñốI xứng của (C1 ) qua Oy

Caâu 5.Cho hàm số y =

Dạng 32 :Vẽ ñồ thị hàm số y = f (x ) (C)

2x + 1 viết phương trình tiếp x −1

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác có diện tích bằng 8

2x (H) .Tìm các giá trị của m ñể x −1

Phương pháp:

Caâu 6. Cho hàm số y =

+ Vẽ ñồ thị y = f (x ) (C ')

ñường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt ñồ thị ( H ) tại hai ñiểm phân biệt A,B và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất.

 f (x ), f (x ) ≥ 0(C1 ) − f (x ), f (x ) < 0(C 2 )

Caâu 7. Cho hàm số y =

+Có y = f (x ) = 

ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất.

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( C1 ) và ñồ thị (C 2 )

Caâu 8. Cho hàm số y =

VớI (C1 ) ≡ (C ') lấy phần dương của (C') (nằm trên

(C 2 ) là phần ñốI xứng của phần âm (nằm dướI Ox ) của (C') qua Ox

(Cm). Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị cùng với gốc toạ ñộ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4

@:Chú ý :ðồ thi y = f (x ) sẽ nằm trên Ox

www.MATHVN.com

3x + 1 ( H ) và ñường thẳng x −1

y = ( m + 1) x + m − 2 (d) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt 3 (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 Caâu 9. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 3(1 − m) x + 1 + 3m

Ox)

Cách học tốt môn Toán là phải làm

x −1 ( H ) . Tìm ñiểm M thuộc (H) x +1

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang6/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

Caâu 10. Cho hàm số y =

2x +1 Tìm m ñể ñường thẳng x +1

y=-2x+m cắt ñồ thị tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 • Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) • Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(1;3) cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao

cho AB = 2 3 .

Caâu 11. Cho hàm số y = y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn ñiều kiện

x12 + x2 2 + x32 < 4 Caâu 12. Cho hàm số y =

x+2 (H) 2x − 2

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H). 2) Tìm m ñể ñường thẳng (d): y=x+m cắt ñồ thị hàm số (H) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 =

Caâu 13. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2) Lấy trên ñồ thị hai ñiểm A, B có hoành ñộ lần lươt là a, b.Tìm ñiều kiện a và b ñể tiếp tuyến tại A và B song song với nhau Caâu 14. Cho hàm số y =

2m − x ( H ) và A(0;1) x+m

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 2) Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận . Tìm m ñể trên ñồ thị tồn tại ñiểm B sao cho tam giác IAB vuông cân tại A. Caâu 15. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 − m − 1 (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = −1 . 2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Caâu 16 . Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp bằng 1. Caâu 17. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m (1) , với m là tham số thực.

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = −2 . 2) Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 . Caâu 18 . Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 (1), với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = −1 . 2)Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. Caâu 19. Cho hàm số

y = f ( x ) = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m2 − 5m + 5

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số với m =1 2/ Tìm các giá trị của m ñể ®å thÞ hµm sè có các ñiểm cực ñại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. Caâu 20. Cho hàm số y =

37 2

Baøi taäp

Năm học: 2000- 2011

1 3 x − 2 x 2 + 3 x (1) 3

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) . 2)Gọi A, B lần lượt là các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số (1). Tìm ñiểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. Caâu 21. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 4 (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) 2)Xác ñịnh k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai tiếp ñiểm là M 1 , M 2 . Viết phương trình ñường thẳng qua M 1 và M 2 theo k . Caâu 22. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 4 (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) 2. Giả sử A, B , C là ba ñiểm thẳng hàng thuộc ñồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại A, B , C tương ứng cắt lại (C) tại

A' , B ' , C ' . Chứng minh rằng ba ñiểm A' , B ' , C ' thẳng hàng. Caâu 23. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)ðường thẳng ( ∆ ): y = mx + 1 cắt (C) tại ba ñiểm. Gọi A và B là hai ñiểm có hoành ñộ khác 0 trong ba ñiểm nói ở trên; gọi D là ñiểm cực tiểu của (C). Tìm m ñể góc ADB là góc vuông. Caâu 24. Cho hàm số

y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 (1), với m là tham số thực. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang7/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

2. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O . Caâu 25. Cho hàm số y = ( x − 2 )

2

( 2 x − 1)

(1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2.Tìm m ñể ñồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = mx . Giả sử M , N là các tiếp ñiểm. Hãy chứng minh rằng trung ñiểm của ñoạn thẳng MN là một ñiểm cố ñịnh (khi m biến thiên) Caâu 26. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)Gọi d k là ñường thẳng ñi qua ñiểm A ( −1;0 ) với hệ số góc k ( k ∈ R ) . Tìm k ñể ñường thẳng

d k cắt ñồ thị (C) tại ba ñiểm phân biệt và hai giao ñiểm B, C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 . Caâu 27. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)Cho ñiểm I ( −1;0 ) . Xác ñịnh giá trị của tham số thực

m ñể ñường thẳng d : y = mx + m cắt ñồ thị (C) tại ba ñiểm phân biệt I , A, B sao cho AB < 2 2 .

Caâu 28. Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong ñó m là tham số. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = - 1. 2)Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại xCð, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2Cð= xCT. Caâu 29. Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là tham số 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số khi m=0 2)Tìm các giá trị của m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương. Caâu 30. Cho hàm số y =

m−x (Hm). Tìm m ñể ñường x+2

thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao

3 8 3 Caâu 31. Tìm m ñể hàm số y = x − mx + 2 cắt Ox tại một cho tam giác OAB có diện tích bằng

ñiểm duy nhất

Caâu 32. Cho hàm số y =

2x + 4 (H). Gọi d là ñường 1− x

k ñể d cắt (H) tại A, B mà AB = 3 10

Caâu 33. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + 2m cắt trục Ox tại một ñiểm duy nhất

www.MATHVN.com

Caâu 34. Cho hàm số: y =

x+2 (C) x −1

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành Caâu 35. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) 2) Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà MN = 2 6 Caâu 36. Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số

y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A,

B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 37. Tìm m ñể hàm số

y = x3 − mx 2 + (2m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân

biệt có hoành ñộ dương Caâu 38. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số

y = x3 − 3x 2 + 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song

với nhau và AB = 4 2

Caâu 39. Cho hs : y =

x+m Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ x −1

thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B và diện tích tam giác IAB bằng 1 Caâu 40. Cho hàm số y =

2x + 1 viết phương trình tiếp x −1

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác có diện tích bằng 8 Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðIỂM CỰC ðẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ Câu 1) Cho hàm số y =

1 3 x − mx 2 − x + m + 1 3

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu và khoảng cách giữa ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất Câu 2) Cho hàm số y =

1 3 x − mx 2 + mx − 1 3

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại x1 ; x 2 thoả mãn

x1 − x2 ≥ 8

thẳng có hệ số góc k ñi qua M(1;1). Tìm

Cách học tốt môn Toán là phải làm

Năm học: 2000- 2011

Baøi taäp

Câu 3) Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= -8 b) Tìm m ñể hàm số có ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại cực tiểu vuông góc với ñường thẳng y=3x-7

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang8/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

b) Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với ñường thẳng IM.

Câu 4) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + m a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñối xứng qua ñường thẳng y =

1 5 x− 2 2

Câu 7) Cho hàm số y =

2

2

2

y = − x + 3 x + 3(m − 1) x − 3m − 1 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu cách ñều gốc toạ ñộ O. Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TIẾP TUYẾN VÀ ðƯỜNG TIỆM CẬN 3

Câu 1) Cho hàm số y = x − mx − m + 1 (Cm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m ñể tiếp tuyến tại giao ñiểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ ñộ một tam giác có diện tích bằng 8 Câu 2) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 (Cm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0 b) Tìm m ñể ñường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 ñiểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau. Câu 3) Cho hàm số y =

x+m ( Hm) x−2

2mx + 3 ( Hm) * x−m

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 2) Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8 Câu 5) Cho hàm số y =

Câu 6) Cho hàm số y =

Câu 9) Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 mà qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị Câu 10) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng y=2 mà từ ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 3 − 3 x Câu 11) Tìm những ñiểm thuộc trục tung qua ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 4 − 2 x 2 + 1 Câu 12) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng x=2 từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 3 − 3 x

ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y =

Câu 14) Cho hàm số y =

x +1 x −1

x+m x −1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Với giá trị nào của m ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng y=2x+1 tại 2 ñiểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến với ñồ thị tại 2 ñiểm ñó song song với nhau. Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ðỒ THỊ

2x (H ) * x +1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

 19  A ;4  ñến ñồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 5  12 

Câu 113) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy qua ñó chỉ kẻ

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m ñể từ A(1;2) kẻ ñược 2 tiếp tuyến AB,AC ñến (Hm) sao cho ABC là tam giác ñều (A,B là các tiếp ñiểm) Câu 4) Cho hàm số y =

2x (H ) * x+2

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số (H) ñến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu 8) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ ñiểm

Câu 5) Cho hàm số 3

Năm học: 2000- 2011

1 4

Câu 1) Cho hàm số y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 − 4m 2 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox Câu 2) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 3 − m 2

2x − 1 (H ) * x −1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang9/10-LTðH-2010

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè

b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 ñiểm phân biệt

Năm học: 2000- 2011

Câu 10) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − x − 3 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

x4 5 Câu 3) Cho hàm số y = − 3x 2 + 2 2

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

x2 − 1(

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b) Tìm ñể phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt

x 4 − 6 x 2 + 5 = m 2 − 2m Câu 4) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 − 6mx

x+3 ) = 2m + 1 3

Phần bốn: CÁC CÂU TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHOẢNG CÁCH Câu 1) Tìm M thuộc (H) y =

3x − 5 ñể tổng khoảng x−2

cách từ M ñến 2 ñường tiệm cận của H là nhỏ nhất

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1/4 3

b) Biện luận số nghiệm 4 x − 3 x 2 − 6 x − 4a = 0

Câu 2) Tìm M thuộc (H) : y =

x −1 ñể tổng khoảng cách x +1

từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất

Câu 5) Cho hàm số y = 4 x 3 − 3 x (C )

Câu 6) Tìm m ñể hàm số y=-x+m cắt ñồ thị hàm số a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C )

y=

b) Tìm m ñể phương trình 4 x 3 − 3 x = 4 m 3 − 4 m

2x + 1 tại 2 ñiểm A,B mà ñộ dài AB nhỏ nhất x+2

có 4 nghiệm phân biệt Câu 6) Cho hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − ( m 2 − 1) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương

Zzzzzz g

Câu 7) Cho hàm số

y = x 3 + 2(1 − 2m) x 2 + (5 − 7 m) x + 2(m + 5) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 5/7 b) Tìm m ñể ñồ thị hs cắt Ox tại 3 ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1. Câu 8) Tìm m ñể hàm số

y = 2 x 3 − 3( m + 3) x 2 + 18mx − 8 có ñồ thị tiếp xúc với trục Ox Câu 9) Cho hàm số y = x 4 − 3x 2 + 2 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hs b) Biện luận số nghiệm phương trình

x 2 − 2 ( x 2 − 1) = m

Cách học tốt môn Toán là phải làm

www.MATHVN.com

Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó


,

d

Trang10/10-LTðH-2010