www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Dạng 1

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C1 ) : y1 = f ( x) y ( C ) : y = y =  1 Ta coù: 1 − y Do ñoù ñoà thò

Neáu y ≥ 0 Neáu y ≤ 0

(C1 ) : y1 = f ( x)

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía döôùi Ox laáy ñoái xöùng qua Ox

Dạng 2

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C2 ) : y2 = f ( x ) Nhaän xeùt : Neân

(C2 ) : y2 = f ( x )

laø haøm soá chaün

(C2 ) : y2 = f ( x ) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng.

 f ( x) = y Neáu x ≥ 0 (1) ( C ) : y = f ( x ) =  2 2 Ta coù: Neáu x ≤ 0  f (− x) Do ñoù ñoà thò

(C2 ) : y2 = f ( x )

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía beân phaûi Oy ( Do (1) ta coù) + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün

Dạng 3

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C3 ) : y3 = f ( x) Nhaän xeùt : Neáu M ( x0 ; y0 ) ∈ (C3 ) ⇒ M ( x0 ; − y0 ) ∈ (C3 ) Neân Ta coù:

(C3 ) : y3 = f ( x) nhaän Ox laøm truïc ñoái xöùng.

(C3 ) : y3 = f ( x) = y ⇒ y3 = y Neáu y ≥ 0

www.VNMATH.com

Trang 1

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Do ñoù ñoà thò

(C3 ) : y3 = f ( x)

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox .

Dạng 4

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = u ( x ).v ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C4 ) : y4 = u ( x) .v( x)

Ta coù:

Neáu u ( x) ≥ 0 u ( x ).v ( x) = f ( x ) = y (C4 ) : y4 = u ( x) .v( x) =  −u ( x).v( x ) = − f ( x ) = − y Neáu u ( x ) ≤ 0 Do ñoù ñoà thò

(C4 ) : y4 = u ( x) .v( x)

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm treân mieàn u ( x ) ≥ 0 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm treân mieàn u ( x ) ≤ 0 laáy ñoái xöùng qua Ox

Ta hay gaëp daïng ñôn giaûn sau: Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = ( x − a ).v ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ »

Ta coù:

Neáu x ≥ a ( x − a ).v ( x) = f ( x) = y (C4 ) : y4 = x − a .v( x) =   −( x − a ).v( x) = − f ( x ) = − y Neáu x ≤ a

Do ñoù ñoà thò

(C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ »

coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = a + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân traùi ñöôøng thaúng x = a laáy ñoái xöùng qua Ox.

www.VNMATH.com

Trang 2

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

TOÅNG QUAÙT Töø 4 daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái cô baûn treân ta coù theå suy ra nhieàu daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái khaùc chaúng haïn:

Dạng 5

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C5 ) : y5 = f ( x ) Ñeå veõ

Dạng 6

(C5 ) : y5 = f ( x )

ta laøm 2 böôùc nhö sau:

+ Böôùc 1: veõ

y51 = f ( x ) = g ( x)

döïa vaøo daïng 2

+ Böôùc 2: veõ

y5 = f ( x ) = g ( x)

döïa vaøo daïng 1

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C6 ) : y6 = f ( x ) Ñeå veõ

Dạng 7

(C6 ) : y6 = f ( x )

ta laøm 2 böôùc nhö sau:

+ Böôùc 1: veõ

y61 = f ( x ) = g ( x)

+ Böôùc 2: veõ

y6 = g ( x)

döïa vaøo daïng 2

döïa vaøo daïng 3

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C7 ) : y7 = f ( x ) Ñeå veõ

(C7 ) : y7 = f ( x )

ta laøm 3 böôùc nhö sau:

+ Böôùc 1: veõ

y71 = f ( x ) = g ( x)

+ Böôùc 2: veõ

y72 = f ( x ) = g ( x) = h( x)

+ Böôùc 3: veõ

(C7 ) : y7 = h( x)

www.VNMATH.com

Trang 3

döïa vaøo daïng 2 döïa vaøo daïng 1

döïa vaøo daïng 3

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA Ví duï 1.

3

2

Cho haøm soá y = 2 x − 3 x + 1 coù ñoà thò (C). 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng thaúng x = − 1. 3

2 3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 2 x − 3 x + 2 = m coù boán

nghieäm phaân bieät.

Giaûi

1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.


TXÑ: D = R 2
y ' = 6 x − 6 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoaëc x = 1
HSÑB treân khoaûng ( −∞ ;0) ; ( 1; +∞ ). HSNB treân khoaûng ( 0;1 ) Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 0; yCÑ = 1 ; Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x =1; yCT = 0 y = ±∞
xlim →±∞


BBT x −∞

y

0

1

ÑÑB: P( − 1; − 4) Q(2;5)

+∞

y’

+ 0 – 0 + 1 +∞ y CÑ CT −∞ 0

4 3 2 1 x

-5 -4 -3 -2 -1


y '' = 12 x − 6 ; y '' = 0 ⇔ x = 1/2 x −∞ y’ – ÑTHS Loài

Q

5

NX: Ñoà thò nhaän ñieåm uoán I laøm taâm ñoái xöùng P

1/2 +∞ 0 + ÑU Loõm I(1/2;1/2)

-1

O

1

2

3

4

5

3 2 y = 2 x − 3 x +1 -3 -2 -4 -5

Hình 1

2) Vieát PTTT cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng thaúng x = − 1 x = − 1 => y = f( − 1) = − 4 => giao ñieåm M( − 1; − 4) pttt coù daïng d: y = f ' ( x 0 ).( x − x 0 ) + y 0 . f '( x0 ) = f '(−1) = 12 => pttt d: y

www.VNMATH.com

= 12( x + 1) − 4 = 12 x + 8 .

Trang 4

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 3

3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 2 x − 3 x + 2 = m coù boán nghieäm 2

phaân bieät. 3

3

2 2 Ta coù: 2 x − 3 x + 2 = m ⇔ 2 x − 3 x + 1 = m − 1 3

2

Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò (C1 ) : y1 = 2 x − 3 x + 1 vaø ñöôøng thaúng d: y = m − 1

 2 x 3 − 3 x 2 + 1 neu á x≥0 y =  T a coù (C1 ) : 1 3 2  −2 x − 3 x + 1 neáu x < 0 => (C1 ) coù 2 phaàn ñoà thò: Phaàn I : Ñoà thò (C) naèm beân phaûi truïc Oy (caû ñieåm naèm treân Oy) Phaàn II : Laáy ñoái xöùng ñoà thò Phaàn I qua Oy vì haøm soá y1 laø haøm soá chaün Veõ (C1 ) ( Hình 2)

y

Q

5 4 3 2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

O

1

2

3

4

5

3

y1 = 2 x −3x2 +1

-4 -5 Döïa vaøo (C1 ) ta coù: 0 < m − 1 < 1

Hình 2

<=> 1 < m < 2

1 4 x − 4 x 2 + 3 coù ñoà thò laø (C) 2 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.

Ví duï 2.

www.VNMATH.com

Cho haøm soá y =

Trang 5

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

b) Ñònh m ñeå phöông trình : bieät.

c) Ñònh m ñeå phöông trình :

1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 4 nghieäm phaân 2

1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 8 nghieäm phaân 2

bieät.

Giaûi a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.


TXÑ: D = R.Haøm soá chaün 3
y ' = 2 x − 8 x ; y ’= 0 <=> x = 0 hoaëc x = ± 2
Giôùi haïn : xlim →±∞

y = +∞

BBT : x −∞ –2 0 2 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + +∞ 3 +∞ y CT CÑ CT –5 –5
HSÑB treân khoaûng (–2;0) vaø (2; +∞ ). HSNB treân khoaûng ( −∞ ;–2) vaø (0;2)
y '' = 6 x 2 − 8 ; y '' = 0 ⇔ x = ±2 3 / 3 BXD y ’’ x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞ y ’’ + 0 – 0 + ÑT (C) Loõm ÑU Loài ÑU Loõm (–2 3 / 3 ;–13/9) (2 3 / 3 ;–13/9)
Ñoà thò: o NX: ñoà thò nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng o ÑÑB: A(–3; 15/2), B(3;15/2)

www.VNMATH.com

Trang 6

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 8 y 7 6 5 4 CÑ ← 3 → 2 1

A

B

x

O

-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 ← → -5 CT -6 -7

b) Ñònh m ñeå phöông trình :

1

2

3 y=

4

5

6

1 4 x − 4x2 + 3 2

← →

CT

1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 4 nghieäm phaân bieät. 2

YCBT <=> −5 < lg m < 3 <=> lg10−5 < lg m < lg103 ⇔ 10−5 < m < 103

1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 8 nghieäm phaân bieät. 2 1 Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò (C1 ) : y1 = x 4 − 4 x 2 + 3 vaø ñöôøng thaúng 2 d: y = m − 1

c) Ñònh m ñeå phöông trình :

y

Neáu y ≥ 0

− y

Neáu y ≤ 0

T a coù : (C1 ) : y1 = y =  Do ñoù ñoà thò

(C1 ) : y1 = f ( x)

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía döôùi Ox laáy ñoái xöùng qua Ox y 5 4 3 2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-2 -3

1 y1 = x4 − 4x2 + 3 2

www.VNMATH.com

-4 -5

Trang 7

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. YCBT <=> 0 < lg m < 3 <=> lg1 < lg m < lg103 ⇔ 1 < m < 1000

Veõ đồ thị hàm số

Ví duï 3.

Ta veõ ñoà thò haøm soá

x2 (C1 ) : y1 = x −1

x2 (C ) : y = x −1 8 7 6 5 4 3 2 1

x2 (C) : y = x −1

-5

-4

-3

-2

-1

y

x 1

-1 -2 -3

x2 (C1 ) : y1 = Döïa vaøo (C) ta coù: x −1

2

3

4

5

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = 1 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân traùi ñöôøng thaúng x = 1 laáy ñoái xöùng qua Ox.

x2 (C1 ) : y1 = x −1

-5

-4

www.VNMATH.com

-3

-2

-1

8 7 6 5 4 3 2 1

y

-1 -2 -3

Trang 8

x 1

2

www.VNMATH.com

3

4

5

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

Ví duï 4.

Veõ đồ thị hàm số

Ta veõ ñoà thò haøm soá

(C1 ) : y1 =

(C ) : y =

x −1 x +1

x −1 x +1

y 5 4

(C) : y =

3

x −1 x +1

2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

x −1 ( C ) : y = 1 1 Döïa vaøo (C) ta coù: x +1

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox .

y 5 4 3

(C1): y1 =

2

x −1 x +1

1 x -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

www.VNMATH.com

Trang 9

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

Veõ đồ thị hàm số

Ví duï 5.

Döïa vaøo ñoà thò haøm soá

x2 (C5 ) : y5 = x −1

x2 (C5 ) : y5 = x −1

x2 (C ) : y = x −1

ôû ví duï 3 ta coù:

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía beân phaûi Oy + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün

8 7 6 5 4 3 2 1

x2 (C 5 ) : y5 = x −1 -5

-4

Ví duï 6.

-3

-2

Veõ đồ thị hàm số

Döïa vaøo ñoà thò haøm soá

www.VNMATH.com

-1

-1 -2 -3 -4 -5

y

x 1

2

3

4

5

x2 (C6 ) : y6 = x −1

x2 (C5 ) : y5 = x −1

Trang 10

www.VNMATH.com

ôû ví duï 5 ta coù:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

x2 (C6 ) : y6 = x −1

coù 2 phaàn ñoà thò :

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò

(C5 ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C5 ) naèm phía döôùi Ox laáy ñoái xöùng qua Ox

8 7 6 5 4 3 2 1

x2 (C 6 ) : y 6 = x −1 -5

-4

Ví duï 7.

-3

-2

-1

Veõ đồ thị hàm số

-1 -2 -3 -4 -5

y

x 1

2

3

4

5

x2 (C7 ) : y7 = x −1

Döïa vaøo ñoà thò haøm soá

x2 (C6 ) : y6 = x −1

x2 (C7 ) : y7 = x −1

coù 2 phaàn ñoà thò :

ôû ví duï 6 ta coù:

+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C6 ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox .

www.VNMATH.com

Trang 11

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.

x2 (C7 ) : y7 = x −1 -5

-4

www.VNMATH.com

-3

-2

7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Trang 12

y

x 1

www.VNMATH.com

2

3

4

5

www.VNMATH.com