ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT SỐ Dành cho sinh viên K59 Thời gian làm bài: 120 phút ———————

Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Toán - Tin

Câu 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất số nguyên dương mn sao cho

mn + 1 2 mn 2 ) ≤3<( ) . n 3 3n √ √ Câu 2. Chứng minh rằng trường Q[ 3] = {a + b 3 | a, b ∈ Q} là một trường sắp (

thứ tự Archimede và không đầy đủ. Câu 3. Giải phương trình sau trên trường các số phức C 3x3 − 9x2 − 4 = 0.

Câu 4. Giải phương trình nghiệm nguyên sau bằng cách sử dụng liên phân số: 13x − 34y = 6.

Câu 5. Tìm số thực α, biết α có biểu diễn liên phân số là [4; 1, (2, 3)]. Câu 6. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x2 + y 2 + 2z 2 = 2011n

luôn có nghiệm nguyên dương x, y, z . Câu 7. Cho phương trình X 2011 = I2 ,

trong đó X là ma trận thực có dạng

a b −b a

(*) !

và I2 là ma trận đơn vị

cấp 2. Chứng minh rằng phương trình (∗) có đúng 2011 nghiệm phân biệt. Tính tổng của tất cả các nghiệm của phương trình (∗).