UNIVERSITETI I PRISHTINËS FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE

Bujar Fejzullahu

VETITË ASIMPTOTIKE DHE ZBËRTHIMET FOURIER TË POLINOMEVE ORTOGONALE NË LIDHJE ME DISA PRODHIME SKALARE TË SOBOLEV-IT PUNIM I DOKTORATËS

Prishtinë, 2011

UNIVERSITY OF PRISHTINA FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES

Bujar Fejzullahu

ASYMPTOTIC PROPERTIES AND FOURIER EXPANSIONS OF ORTHOGONAL POLYNOMIALS WITH RESPECT TO SOME SOBOLEV INNER PRODUCTS DOCTORAL THESIS

Prishtina, 2011

UNIVERSITETI I PRISHTINËS FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE

Bujar Fejzullahu

VETITË ASIMPTOTIKE DHE ZBËRTHIMET FOURIER TË POLINOMEVE ORTOGONALE NË LIDHJE ME DISA PRODHIME SKALARE TË SOBOLEV-IT PUNIM I DOKTORATËS Mentorët: prof. dr. Ramadan Zejnullahu prof. dr. Francisco Marcellán

Prishtinë, 2011

Përmbajtja Hyrje

6

1. Sistemi i polinomeve ortogonale

11

1.1. Polinomet ortogonale në lidhje me masat

11

1.2. Polinomet ortogonale klasike

14

1.2.1. Polinomet ortogonale të Gegenbauer-it

14

1.2.2. Polinomet ortogonale të Laguerre-it

16

1.3. Polinomet ortogonale në hapësirat e Sobolev-it

19

1.3.1. Polinomet ortogonale në lidhje me prodhimet skalare të Sobolev-it 1.3.2. Zbërthimet Fourier në hapësirat e Sobolev-it

19 21

2. Zbërthimet ortogonale në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it

24

2.1. Disa pohime ndihmëse

24

2.2. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin ortogonal në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it

32

2.3. Konstanta e Lebesgue-it për zbërthimin ortogonal në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it

34

3. Vetitë asimptotike dhe zbërthimet Fourier të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar jo-diskret të Gegenbauer-Sobolev-it

40

3.1. Polinomet ortogonale të Gegenbauer-Sobolev-it

40

3.2. Vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale të Gegenbauer -Sobolev-it

41

3.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin e Gegenbauer -Sobolev-it

49

3.4. Konditat e nevojshme për konvergjencën sipas Sobolev-normës për zbërthimet e Gegenbauer-Sobolev-it

55

3.5. Divergjenca pothuajse kudo e zbërthimit të Gegenbauer-Sobolev-it

56

4. Vetitë asimptotike dhe zbërthimet Fourier të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar jo-diskret të Laguerre-Sobolev-it

58

4.1. Polinomet ortogonale të Laguerr-Sobolev-it

58

4.2. Vlerësimet e normave të Sobolev-it për polinomet e Laguerre -Sobolev-it

60

4.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin e Laguerre-Sobolev-it

64

4.4. Divergjenca pothuajse kudo e zbërthimit të Laguerre-Sobolev-it

67

5. Polinomet ortogonale në lidhje me prodhimin skalar diskret të Laguerre-Sobolev-it

70

5.1. Polinomet ortogonale diskrete të Laguerre-Sobolev-it

70

5.2. Vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale diskrete të Laguerre -Sobolev-it

71

5.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimet ortogonale në lidhje me prodhimin skalar diskret të Laguerre-Sobolev-it

76

5.4. Ekuacioni diferencial për polinomet ortogonale diskrete të Laguerre -Sobolev-it

81

Literatura

87

Rezyme

93

Summary

94

Biografia e autorit

95

5

Hyrje

Le të jetë µ masë pozitive e Borelit me bartëse në bashkësinë I ⊆ R e tillë që të R gjitha momentet µr = I tr dµ(t), r = 0, 1, ..., ekzistojnë dhe janë të fundme. Atëherë, prodhimi skalar

hf, gi =

Z

f (x)g(x)dµ(x), I

është mirë i përkufizuar në hapësirën vektoriale P e të gjithë polinomeve algjebrike me koeficientë real dhe ekziston vargu i polinomeve {pn }∞ n=0 ortogonale në lidhje me atë prodhim skalar, d.m.th.,

hpm , pn i =

  0

 kn > 0

nëse m 6= n, nëse m = n.

Teoria e polinomeve ortogonale është një lëmi shumë e rëndësishme e matematikës e cila ka një aplikim të madh si në matematikë ashtu edhe në shkencat e tjera, si p.sh.: fraksionet e vazhdueshme, teorinë e operatorëve (operatorët e Jacob-it), funksionet analitike, interpolimet, kuadraturë, teorinë e aproksimimeve, analizë numerike, elektrostatikë, fizikë kuantike, funksionet speciale, teorinë e numrave, teorinë e grafeve, kombinatorikë etj. Ajo ka si qëllim kryesor shqyrtimin e aspektit algjebrik dhe analitik të polinomeve ortogonale, të cilat në një lloj forme janë të lidhura njëra me tjetrën. Aspekti algjebrik i teorisë së polinomeve ortogonale është e lidhur ngusht me funksionet speciale, kombinatorikë dhe algjebër, kryesisht e orientuar në sistemet ortogonale konkrete ose në hierarkinë e sistemeve (shih p.sh. [6], [47], [94]). Sa i përket aspektit analitik të teorisë, ajo ka të bëj me shqyrtimin e polinomeve ortogonale në përgjithësi me metodën e analizës matematike. Një ndër çështjet kryesore këtu është studimi i sjelljeve asimptotike të polinomeve. Kjo pjesë e teorisë të polinomeve ortogonale ka aplikim në proceset e aproksimimeve, siç janë: interpolimet polinomiale dhe racionale, zbërthimet Fourier, proceset e kudraturës, ekuacionet diferenciale etj. (shih p.sh. [39], [89], [92]).

Studimi i polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar të Sobolev-it (më tej shkurt: polinomet ortogonale të Sobolev-it) Z N X hp, qiS = λk p(k) (x)q (k) (x)dµk (x), k=0

Ik

ku λk ≥ 0 dhe µk janë masa pozitive të Borelit me bartëse në bashkësitë Ik ⊆ R përkatësisht, ka zgjuar një interesim të madh në këto njëzet vitet e fundit në shkencën e matematikës (shih p.sh. [63]). Megjithatë, të shumtën e punimeve trajtojnë këto raste të veçanta (0.0.1)

hp, qiS =

Z

p(x)q(x)dµ0 (x) + λ I

Z

p′ (x)q ′ (x)dµ1 (x), I

λ ≥ 0,

ose (0.0.2)

hp, qiS =

Z

p(x)q(x)dµ(x) + λp′ (c)q ′ (c) I

λ ≥ 0,

ku µ, µ0 , µ1 janë masa klasike (Jacob-it, Laguerre-it, Hermite-it) dhe c ∈ R. Prodhimet skalare të trajtës (0.0.1) quhen jo-diskrete, ndërsa ato të trajtës (0.0.2) quhen diskrete. Ekzistojnë disa motivime për shqyrtimin e polinomeve ortogonale në lidhje me këto lloj prodhime skalare jo-standarde, siç janë: • Problemet ekstremale për polinomet. Nga bashkësia e të gjitha polinomeve monike të shkallës n, të gjendet polinomi i cili ka devijim më të vogël nga zero sipas normës || · ||S , ku || · ||S është norma e indukuar me prodhimin skalar të Sobolev-it. Ky problem mund të përgjithësohet edhe në formën: për funksionin e dhënë f, të caktohet polinomi monik Pn i shkallës jo më të madhë se n ashtu që norma ||f − Pn ||S është minimale (shih [57]). • Krahasimi me teorinë e polinomeve ortogonale standarde (λ = 0). Në rastin e polinomeve ortogonale të Sobolevit (λ > 0), dy vetitë bazike të polinomeve ortogonale standarde nuk vlejnë në përgjithësi. E para, për polinomet ortogonale të Sobolev-it nuk vlen vetia e ashtuquajtur relacioni i rekurencës të tre termave, e cila ka një rol shumë të rëndësishëm në shqyrtimin e vetive asymptotike të polinomeve ortogonale standarde. E dyta, zerot e polinomeve ortogonale të Sobolev-it nuk janë në përgjithësi reale dhe të thjeshta si në rastin standard. Ato mund të jenë komplekse dhe madje, nëse janë reale, ato mund të ndodhen jashtë zonave konvekse të supp(µk ). (shih, p.sh., [68], [64]). 7

• Polinomet ortogonale klasike me parametra jo-standard nuk janë ortogonale në kuptimin e zakonshëm, por janë ortogonale në lidhje me prodhime skalare të Sobolev-it (shih, p.sh., [2], [17], [54]). • Teoria spektrale e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Analiza e metodave spektrale për problemet e vlerave kufitare e bazuar në polinomet ortogonale të Sobolevit është më kompetitive se sa për polinomet ortogonale standarde (shih [48]). • Në zbërthimet Fourier, analiza e fenomenit të Gibbs-it mund të interpretohet në mënyrë të suksesshme me anë të polinomeve ortogonale të Sobolev-it (shih [45]). Në përgjithësi, si vetitë algjebrike ashtu edhe vetitë analitike te polinomeve ortogonale të Sobolev-it janë më të komplikuara se të polinomeve ortogonale standarde. Nga ana tjetër, siç u cek më parë, për polinomet ortogonale të Sobolev-it nuk vlen relacioni i rekurencës të tre termave dhe, si rrjedhim, as formula e Christoffel-Darboux për këto polinome nuk mund të gjenerohet si në rastin standard me ndihmën e të cilës do mund të shqyrtohej natyra e zbërthimet Fourier në lidhje me to. Pra, shqyrtimi konvergjencës sipas normës të zbërthimit Fourier në hapësirat e Sobolev-it është më i komplikuar dhe kërkon një aparaturë të ndryshme nga ai i studimit të konvergjencës sipas normës të zbërthimit Fourier në hapësirat e Lebesgue-it. Qëllimet kryesore të këtij disertacioni të doktoratës janë: I. shqyrtimi i zbërthimit Fourier për polinomet e përgjithësuara të Jacob-it, II. studimi i vetive asimptotike dhe zbërthimet Fourier për polinomet ortogonale në lidhje me disa prodhime skalar të Sobolev-it. Disertacioni është i ndarë në pesë kapituj. Në kapitullin e parë shqyrtojmë kuptimet e përgjithshëm të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimet skalare të përkufizuara në hapësirat lineare të polinomeve algjebrike. Në fillim jipen vetitë bazike që i karakterizojnë polinomet ortogonale në lidhje me prodhimet skalare standarde. Në veçanti, vetitë e polinomeve ortogonale klasike të Gegenbauer-it dhe të Laguerre-it, do të shqyrtohen në mënyrë të hollësishme. Një analizë e përgjithësuar mbi polinomet ortogonale në lidhje me prodhimin skalar jostandard të Sobolev-it do të paraqitet në fund të këtij kapitulli. 8

Në kapitullin e dytë shqyrtojmë zbërthimet ortogonale në lidhje me masën e përgjithësuar të Jacob-it. Jabarazimi i tipit të Cohen-it në lidhje me këto zbërthime jipet në Teoremën 2.1. Gjithashtu, shqyrtojmë sjelljet asimptotike të zbërthimit të përgjithësuar të Fourier-Jacob-it në hapësirat e caktuara të normuara, të ashtuquajturën konstantë e Lebesgue-it në literaturën e teorisë të aproksimimeve. Aplikimi i konstantës të Lebesgue-it për funksionet e lëmueshme konkretizohet në Teoremën 2.2. Rezultatet e këtij kapitulli janë derguar për publikim ([36]). Në kapitullin e tretë shqyrtojmë dy probleme të rëndësishme të polinomeve ortogonale ne lidhje me prodhimin skalar (0.0.1) kur µ0 = µ1 është masë e Gegenbauer-it. E para është në lidhje me vetitë asimptotike të atyre polinomeve, siç janë: studimin e vetive asimptotike në bashkësitë kompakte të (−1, 1) dhe në skaje të segmentit të [−1, 1] (të ashtuquajturat formulat e tipit të Mehler-Heine-s). Për më tepër, në bazë të teoremës të Hurwitz-it, formulat e tipit të Mehler-Heine-s shpjegojnë sjelljet asymptotike të zerove të "vogla" të polinomeve ortogonale korresponduese. Problemi i dytë ka të bëjë me zbërthimet ortogonale në lidhje me atë prodhim skalar. Vërtetohet jobarazimi i tipit të Cohen-it, gjenden konditat e nevojshme për konvergjencën sipas Sobolev-normës dhe shqyrtohet divergjenca pothuajse kudo të zbërthimeve Fourier në lidhje me prodhimin skalar të Gegenbauer-Sobolev-it. Rezultatet e këtij kapitulli janë publikuar në punimin [33] dhe janë në proces të publikimit në [35]. Në kapitullin e katërtë shqyrtojmë me zbërthimet ortogonale në lidhje me prodhimin skalar (0.0.1) kur µ0 = µ1 është masë e Laguerre-it. Bazuar në sjelljet asimptotike të Sobolev-normave për polinomet e Laguerre-Sobolev-it, vërtetohet jobarazimi i tipit të Cohen-it dhe ekzistenca e funksioneve zbërthimet Fourier të të cilëve divergjon pothuajse kudo. Rezultatet e këtij kapitulli janë publikuar në punimet [28] dhe [34]. Në kapitullin e pestë shqyrtojmë vetitë asimptotike dhe zbërthimet Fourier të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar diskret (0.0.2) kur I = (0, ∞), dµ(x) =

xα e−x dx + M δ0 dhe c = 0. Në fund të këtij kapitulli, gjendet ekuacioni diferencial zgjidhjet e të cilit janë polinomet ortogonale diskrete të Laguerre-Sobolev-it. Rezultatet e këtij kapitulli janë publikuar në punimin [29] dhe janë derguar për publikim ([96]). Sinqerisht i falënderoj mentorët prof. dr. Ramadan Zejnullahun dhe prof. dr. Francisco Marcellán-in, vërejtjet dhe sygjerimet e të cilëve kontribuan në finalizimin sa më të mirë të disertacionit. Për më tepër, punimet e shumta të profesor Marcellán-it mbi 9

polinomet ortogonale të Sobolev-it kanë pasur një ndikim jashtëzakonisht të madhë në punën time shkencore e në veçanti në këtë punim të doktoraturës dhe për këtë e falënderoj pasaçërisht. Në fund, falënderoj familjen time e posaçërisht bashkëshorten Gëzimen dhe vajzat e mia Fluturën, Rritën dhe Tridonën për përkrahje dhe mirëkuptim për punën time. Atyre edhe ia kushtoj këtë punim.

10

KAPITULL 1

Sistemi i polinomeve ortogonale 1.1. Polinomet ortogonale në lidhje me masat Le të jetë µ masë pozitive e Borelit në bashkësinë I ⊆ R dhe supozojmë se të gjitha vlerat (momentet) µn = ekzistojnë dhe që bartësi i µ-së

Z

xn dµ(x),

n = 0, 1, ...,

I

supp(µ) = {x ∈ I : µ(x − ǫ, x + ǫ) > 0, ∀ǫ > 0} përmban pafund shumë pika. Atëherë, aplikimi i procesit të Gram-Schmidt-it në lidhje me prodhimin skalar hf, giµ =

Z

f (x)g(x)dµ(x), I

në bazën kanonike të P, gjeneron vargun e polinomeve {pn (·, µ)}∞ n=0 , ku pn (x, µ) = κn xn + · · · , κn > 0, n = 0, 1, ..., të tillë që hpn (·, µ), pm (·, µ)iµ =

  0

nëse m 6= n,

 κ2

n

nëse m = n.

Vargu {pn (·, µ)}∞ n=0 quhet sistem i polinomeve ortogonale në lidhje më masën µ. Numrin κn = k (pn ( ·, µ)) e quajmë koeficient kryesor të polinomit pn ndërsa pˆn (·, µ) =

pn (x·,µ) κn

e quajmë polinom ortogonal monik. Nëse masa µ është absolutisht e vazhdueshme, atëherë sipas teoremës së Radon-Nikodym ekziston funksioni i matshëm ω i tillë që dµ(x) = ω(x)dx. Funksioni ω quhet funksion peshë për polinomet ortogonale korresponduese. Në përgjithësi, masa µ mund të zbërthehet si kombinim linear i tre tipeve të ndryshme masash µ = µac + µs + µa ku µac është absolutisht e vazhdueshme, µs është singulare, dhe µa është masë atomike e dhënë në bashkësi diskrete e cila është të shumtën e numrueshme.

Shënojmë me Lp (dµ, I) = Lp (dµ), 1 ≤ p ≤ ∞, hapësirën e funksioneve të matshme f në I të tilla që kf kLp (dµ) < ∞, ku  R
1   I |f (x)|p dµ(x) p kf kLp (dµ) =  ess sup |f (x)|

nëse 1 ≤ p < ∞, nëse p = ∞.

x∈I

Për f ∈ L1 (dµ), zbërthimi Fourier sipas termave të vargut {pn (x, µ)}∞ n=0 është ∞ X

(1.1.1)

k=0

fˆ(k)pk (x, µ), fˆ(k) = hf, pk (·, µ)iµ .

Shënojmë me Sn (f, µ) n-shumën e pjesshme të (1.1.1), d.m.th. Z n X ˆ (1.1.2) Sn (f, µ) = f (k)pk (x, µ) = f (t)Kn (x, t)dµ(t), I

k=0

ku Kn (x, t) =

Pn

k=0

pk (x, µ)pk (x, µ).

Në vazhdim, do të japim disa veti të përgjithshme të polinomeve ortogonale standarde (shih p.sh. [14], [37], [92]). P OHIM 1.1. Le të jetë Pn bashkësia e të gjitha polinomeve të shkallës jo më të madhe se n. Atëherë, inf kf − P kL2 (dµ) = kf − Sn (f, µ)kL2 (dµ) .

P ∈Pn

Pra, n-shuma e pjesshme Sn (f, µ) është përafrimi më i mirë për funksioni f në hapësirën L2 (dµ). P OHIM 1.2. Polinomet ortogonale plotësojnë relacionin e rekurencës të tre termave (1.1.3)

xpn (x, µ) = an+1 pn+1 (x, µ) + bn pn (x, µ) + an pn−1 (x, µ), n = 0, 1, ...,

ku p−1 (x, µ) = 0, p0 (x, µ) = 1, si dhe koeficientët an , bn janë dhënë me k (pn−1 (·, µ)) > 0, n = 1, ..., k (pn (·, µ)) Z bn = tp2n (t, µ)dµ(t), n = 0, 1, .... an =

I

Nga ana tjetër, në bazë të rezultatit të mirënjohur të J. Favard, nëse vargu i polinomeve {pn (x)}∞ n=0 plotëson një relacion të rekurencës të tre termave të formës (1.1.3), ku an > 0 dhe bn ∈ R, atëherë ekziston masa e probabilitetit µ ashtu që këto polinome janë ortogonale në lidhje me masën µ. 12

Rrjedhim i drejtëpërdrejtë i relacionit (1.1.3) është e ashtuquajtura formula e ChristoffelDarboux për bërthamën Kn (x, t) Kn (x, t) =

(1.1.4)

k (pn (·, µ)) pn+1 (x, µ)pn (t, µ) − pn (x, µ)pn+1 (t, µ) k (pn+1 (·, µ)) x−t

Nëse për koeficientët an dhe bn , të dhënë në relacionin (1.1.3), vlen 1 lim an = , 2

lim bn = 0

n→∞

n→∞

atëherë themi se masa korresponduese µ i takon klasës të Nevai-t M (0, 1/2) (shih [81]). Një kriter më i përgjithësuar që një masë µ t’i takoj klasës M (0, 1/2) është dhënë nga E. A. Rakhmanov ([85]): nëse µ′ > 0 p.k. në [−1, 1] atëherë µ ∈ M (0, 1/2). Në vazhdim japim disa pohime për polinomet ortogonale ne lidhje me masën µ e tillë që µ′ > 0 p.k. në [−1, 1]. P OHIM 1.3 ([71]). Le të jetë dµ masë pozitive e Borel-it në [−1, 1] e tillë që µ′ > 0 p.k., dhe le të jetë {pn (x)}∞ n=0 varg i polinomeve ortogonale korresponduese. Nëse g është funksion i matshëm sipas Lebesgue-it në [−1, 1], atëherë për 1 ≤ p < ∞ Z

1 −1

g(x)(1 − x2 )−1/4 µ′ (x)−1/2 p dx

1/p

≤ Clim inf n→∞

Z

1 −1

p

|g(x)pn (x)| dx

1/p

.

P OHIM 1.4 ([72]). Le të jetë dµ0 masë pozitive e Borel-it në [−1, 1] e tillë që µ0 ′ > 0 p.k. në [−1, 1]. Le të jetë dµ masë absolutisht e vazhdueshme në lidhje me dµ0 , me derivat të RadonNikodym-it g = dµ/dµ0 dhe që ekziston polinomi R i tillë që gR dhe g −1 R i takojnë L∞ (dµ). Atëherë, k (pn (·, µ)) 1 lim = exp{− n→∞ k (qn (·, µ0 )) 2π

Z

1 −1

log g(t) √ dt}. 1 − t2

Tani, do të përkufizojmë një klasë të peshave në (a, b)- e ashtuquajtura Ap (a, b) klasa. P ËRKUFIZIM 1.1. Për peshën ω themi se i takon klasës Ap (a, b) nëse Z

ω(x)dx I

 Z

(ω(x))

−1/(p−1)

I

dx

p−1

për çdo interval I ⊆ (a, b), p ∈ (1, ∞), dhe c konstantë pozitive. 13

≤ c|I|p ,

Një zbatim i rëndësishëm i Ap (a, b)- teorisë është në shqyrtimin e konvergjencës sipas normës të (1.1.2) përkatësisht në zbatimin e tij mbi kufizueshmërin e transformimit të Hilbert-it H(f, x) =

Z

b a

Në [44] (shih gjithashtu [38]) është vërtetuar:

f (t) dt. x−t

T EOREMË 1.1. Operatori H : Lp (ω(x)dx, (a, b)) → Lp (ω(x)dx, (a, b)) është i kufizuar atëherë dhe vetëm atëherë kur ω ∈ Ap (a, b). 1.2. Polinomet ortogonale klasike Një klasë shumë e rëndësishme e polinomeve ortogonale është e formuar nga të ashtuquajturat polinomet ortogonale klasike. • Polinomet e Jacob-it. Janë polinome ortogonale në lidhje me masën dµ(x) =

(1 − x)α (1 + x)β dx në intervalin I = (−1, 1). Për α = β ato quhen polinome

të Gegenbauer-it ose ultrasferike; për α = β = −1/2 quhen polinome të Chebyshev-it; për α = β = 0 quhen polinome të Legendre-së. • Polinomet e Laguerre-it. Janë polinome ortogonale në lidhje me masën dµ(x) = xα e−x dx në intervalin I = (0, ∞).

• Polinomet e Hermite-it. Janë polinome ortogonale në lidhje me masën dµ(x) = 2

e−x dx në intervalin I = (−∞, ∞).

Polinomet ortogonale klasike kanë disa veti të veçanta, si p.sh.: janë zgjidhje të një ekuacioni diferencial linear të rendit të dytë, posedojnë një formulë të tipit të Rodriguesit, mund të paraqiten si funksione hipergjeometrike dhe kanë funksione gjeneruese. (α)

1.2.1. Polinomet ortogonale të Gegenbauer-it. Për α > −1/2, shënojmë me {Cn (x)}∞ n=0 vargun e polinomeve të Gegenbauer-it, ortogonale në [−1, 1] në lidhje me masën (α)

dµα (x) = (1 − x2 )α−1/2 dx dhe të normalizuara në mënyrë që Cn (1) =

Γ(n+2α) Γ(2α)Γ(n+1)

(shih,

p.sh., [92, Kapitulli IV], [24, Kapitulli X]). Vërejmë që ky normalizim nuk lejon që α të jetë zero ose numër i plotë negativ. Megjithatë, limitet (shih [92, formula (4.7.8)]) (α)

(α)

Cn (x) 2 = Tn (x), n ≥ 1, α→0 α n

lim C0 (x) = T0 (x), lim

α→0

ku Tn (x) është polinom i Chebyshev-it i llojit të parë, ekzistojnë për çdo x ∈ R. Që (0)

të shmangim konfuzionin në shënim, përkufizojmë Cn si polinome të Chebyshev-it të 14

llojit të parë Tn (x) ashtu si u fituan me limtet e mësipërme, d.m.th., (0)

C0 (x) = T0 (x), Cn(0) (x) =

2 Tn (x), n = 1, 2, .... n

Shënojmë me Cˆn(α) (x) = (knα )−1 Cn(α) (x), ku (shih [92, formula (4.7.31)], [24, formula (8) fq. 184])    2n Γ(n+α) nëse α 6= 0, −1, ..., Γ(α)Γ(n+1) α kn =   2n nëse α = 0, n polinomin monik të Gegenbauerit.

Tani, japim disa veti të polinomeve të Gegenbauer-it të cilat do të shfrytëzohen në vazhdim. Vlen (shih [92, formula (4.7.15)], [24, formula (7) fq. 184])   Z 1 π21−2α−2n Γ(n+1)Γ(n+2α) nëse α 6= 0, Γ(n+α+1)Γ(n+α) (α) 2 [Cˆn (x)] dµ(x) = (1.2.1)  −1 π21−2n nëse α = 0.

Ato plotësojnë relacionin (shih [92, formula (4.7.29)])     (α)  α−1 Cn(α) (x) − Cn−2 (x) nëse α 6= 1, n+α−1 (1.2.2) Cn(α−1) (x) = n ≥ 2,     1 Cn(1) (x) − C (1) (x) nëse α = 1, n−2 n si dhe relacionin vijues për derivate (shih [92, formula (4.7.14]):   2αC (α+1) (x) nëse α 6= 0, d (α) n−1 Cn (x) = (1.2.3)  dx 2C (1) (x) nëse α = 0. n−1 (α)

Polinomet Cn plotësojnë jobarazimet (shih [92, formula (7.33.6)], [25])

(1.2.4)

|Cn(α) (x)| ≤ cnα−1 (1 − x2 )−α/2

për x ∈ (−1, 1) dhe α > 0. Formula e tipit të Mehler-Heine-s për polinomet ortogonale të Gegenbauer-it është (shih [92, Theorem 8.1.1] dhe [92, formula (4.7.1)])   Γ(α+1/2) −(α−1/2)  Jα−1/2 (z) z   Γ(2α) (z/2) −2α+1 (α) (1.2.5) lim n Cn cos = n→∞  n 2√π(z/2)1/2 J−1/2 (z) 15

nëse α 6= 0, nëse α = 0,

ku α është numër real i tillë që α 6= −1, −2, ..., si dhe Jα (z) është funksion i Bessel-it i ¨ llojit të parë. Kjo formulë vlen uniformisht në çdo nnbashkësi kompakte të C. Le të jetë α numër real i tillë që α 6= −1, −2, .... Atëherë, sjellja asimptotike e

(α) Cn (cos θ),

për θ ∈ [ǫ, π − ǫ] dhe ǫ > 0, është e dhënë me (shih [92, Theorem 8.21.8]

dhe [92, formula (4.7.1)])  h i
 cn (α) sin θ cos θ −α cos(kθ + γ) + O(n−1 ) 2 2 (1.2.6) Cn(α) (cosθ) =  cn (α) cos nθ

ku k = n + α, γ = −απ/2, dhe   π −1/2 n−1/2 Γ(α+1/2)Γ(n+2α) Γ(2α)Γ(n+α+1/2) (1.2.7) cn (α) =  2 n

nëse α 6= 0, nëse α = 0,

nëse α 6= 0, nëse α = 0.

Për më tepër, kur α = 0, relacioni (1.2.6) vlen për çdo θ ∈ [0, π]. Për γ > −1, α > −1/2 dhe 1 ≤ p ≤ ∞ (shih [92, fq.391], [66, formula (2.2)])   nα−1 nëse 2γ > pα − 2,  Z 1 1/p   (1.2.8) (1 − x2 )γ |Cn(α) (x)|p dx ∼ nα−1 (log n)1/p nëse 2γ = pα − 2,  −1    n2α−1− 2γ+2 p nëse 2γ < pα − 2,

ku me un ∼ vn kuptojmë që ekzistojnë konstantet pozitive c1 dhe c2 të tilla që c1 un ≤ vn ≤ c2 un për n mjaft të mëdha. (α)

1.2.2. Polinomet ortogonale të Laguerre-it. Për α > −1, shënojmë me {Ln (x)}∞ n=0 vargun e polinomeve të Laguerre-it ortogonale në [0, +∞) në lidhje me masën dµ(x) =
(α) Γ(n+α+1) 1 = Γ(α+1)Γ(n+1) xα e−x dx, dhe të normuara në mënyrë që Ln (0) = n+α (shih [92, Γ(α+1) n Kapitulli V]).

Tani, japim disa veti të polinomeve të Laguerre-it të cilat shfrytëzohen në vazhdim. Vlen formula vijuese mbi integrimin e polinomeve të Laguerre-it (shih [6, fq. 291, formula (6.2.38]) Z

(1.2.9)

∞ 0

α −x L(α+i) (x)L(α) n n (x)x e dx =

Γ(n + α + 1) , Γ(n + 1)

ku i = 0, 1, .... Ato plotësojnë relacionet (shih [92, fq. 101]) (1.2.10)

(α)

(α)

(α) xL(α) n (x) = −(n + 1)Ln+1 (x) + (2n + α + 1)Ln (x) − (n + α)Ln−1 (x).

16

(α)

(1.2.11)

xL(α+1) (x) = (n + α + 1)L(α) n n (x) − (n + 1)Ln+1 (x)

(1.2.12)

Ln(α−1) (x) = L(α) n (x) − Ln−1 (x).

(α)

si dhe relacionin vijues për derivate (shih [92, formula (5.1.14]): d (α) (α+1) L (x) = −Ln−1 (x). dx n

(1.2.13)

(α)

Për çdo n ∈ N, polinomi Ln (x) plotëson ekuacionin diferencial xy ′′ + (α + 1 − x)y ′ = −ny.

(1.2.14)

Uniformisht në nënbashkësitë kompakte të (0, ∞) (shih [92, Paragrafi 8.22]) (α)

√ Ln (x) x/2 −α/2 = e x J (2 nx) + O(n−3/4 ). α α/2 n

(1.2.15)

Formula e tipit të Mehler-Heine-s për polinomet e Laguerre-it është (shih [92, Teorema 8.1.3]) (α)

√ Ln (x/(n + j)) lim = x−α/2 Jα (2 x). α n→∞ n

(1.2.16)

Kjo formulë vlen uniformisht në çdo nënbashkësi kompakte të C dhe për çdo j ∈ N ∪ {0}. Konsiderojmë dy bashkësi të hapësirave të normuara të Lebesgue-it: hapësirën

Lpω(α) =


1 R  f : kf kLp = 0∞ |f (x)e−x/2 |p xα dx p < ∞, ω(α)  f : kf kLp = ess sup |f (x)e−x/2 |< ∞, ω(α) 0
nëse 1 ≤ p < ∞, nëse p = ∞,

për α > −1, si dhe hapësirën klasike Lpu(α) =


1 R  f : kf kLp = 0∞ |f (x)e−x/2 xα/2 |p dx p < ∞, u(α)  f : kf kLp = ess sup |f (x)e−x/2 xα/2 |< ∞, u(α) 0
për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞. 17

nëse 1 ≤ p < ∞, nëse p = ∞,

Në [65, Lema 1], C. Markett vërtetoi rezultatin vijues (shih në [90] komentimin e një gabimi teknik)

(1.2.17) ||Ln(α+γ) ||Lpu(α) ∼

   nα/2−1/4 (log n)1/4        nα/2−1/2+1/p       nα/2−1/2+1/p (log n)1/p   nα/2+γ−1/p        nα/2−1/3+1/(3p)       nα/2+γ−1/p

nëse γ < 0, p = 4, nëse γ < 2/p − 1/2, 1 ≤ p < 4, nëse γ = 2/p − 1/2, 1 ≤ p ≤ 4, nëse γ > 2/p − 1/2, 1 ≤ p ≤ 4, nëse γ ≤ 4/(3p) − 1/3, 4 < p ≤ ∞, nëse γ > 4/(3p) − 1/3, 4 < p ≤ ∞.

Si rrjedhim të (1.2.17) kemi:

P OHIM 1.5. Për j ∈ N ∪ {0}    nj−1/4+α/4 (log n)1/4    ||xj Ln(α+j) ||Lpω(α) ∼ nj−1/2+(α+1)/p     nj−1/3+(α+1/3)/p

nëse α < 2j, p = 4, nëse α + 1/2 − 2(α + 1)/p < j, 1 ≤ p < 4, nëse α + 1/3 − 2(α + 2/3)/p < j, 4 < p ≤ ∞,

dhe

||xj Ln(α+j) ||Lpu(α)

   nj+α/2−1/4 (log n)1/4    ∼ nj+α/2+1/p−1/2     nj+α/2+1/(3p)−1/3

nëse 0 < j, p = 4, nëse 1/2 − 2/p < j, 1 ≤ p < 4, nëse 1/3 − 4/(3p) < j, 4 < p ≤ ∞.

V ËRTETIM . Nëse në (1.2.17) në vend të α dhe γ marrim zëvendësimet 2α/p + 2j dhe α − 2α/p − j, respektivisht, atëherë fitojmë relacionin e parë. Sa i përket relacionit të dytë, në (1.2.17) në vend të α, γ marrim zëvendësimet α + 2j dhe −j, respektivisht.



R RJEDHIM 1.1. Për j > α+1/2−2(α+1)/p nëse 1 ≤ p ≤ 4 dhe j > α+1/3−2(α+2/3)/p nëse 4 < p ≤ ∞

c j (α+j) ||x Ln ||Lpω(α) ≤ cnj−1/2+(α+1)/p , n si dhe për j > 1/2 − 2/p nëse 1 ≤ p ≤ 4 dhe j > 1/3 − 4/(3p) nëse 4 < p ≤ ∞ c j (α+j) ||x Ln ||Lpu(α) ≤ cnj+α/2+1/p−1/2 . n 18

Gjithashtu, nga (1.2.17) kemi (shih [66, Lema 1]): P OHIM 1.6. Për α ≥ 0 p ||L(α) n ||Lω(α)

p ||L(α) n ||Lu(α)

   n(α+1)/p−1/2    ∼ nα/2−1/4 (log n)1/p     nα−(α+1)/p

nëse 1 ≤ p < nëse p = nëse

   nα/2+1/p−1/2    ∼ nα/2−1/2+1/p (log n)1/p     nα/2−1/p

4α+4 2α+1

4α+4 , 2α+1

4α+4 , 2α+1

< p ≤ ∞,

nëse 1 ≤ p < 4, nëse p = 4, nëse 4 < p ≤ ∞.

1.3. Polinomet ortogonale në hapësirat e Sobolev-it 1.3.1. Polinomet ortogonale në lidhje me prodhimet skalare të Sobolev-it. Le të jetë {µk }m k=o , m ∈ N ∪ {0}, varg i masave pozitive të Borel-it me bartëse në bashkësitë

Ik ⊆ R. Nëse me f (k) , k = 0, 1, ..., shënojmë derivatin e rendit k të funksionit f, atëherë relacioni (1.3.1)

hf, giS =

m X k=0

λk

Z

f (k) (x)g (k) (x)dµk (x), Ik

ku λk ≥ 0, përkufizon një prodhim skalar në hapësirën lineare P. Ngjajshëm si në rastin e prodhimit skalar standard, aplikimi i procesit të GramSchmidt-it në lidhje me (1.3.1) në bazën kanonike të P gjeneron vargun e polinomeve të ortonormuar {qn }∞ n=0 . Vërejmë që prodhimi skalar (1.3.1) nuk është standard, d.m.th. hxf, giS 6= hf, gxiS . Prandaj, vetitë e "mira" të polinomeve ortogonale standarde, siç është relacioni i rekurrencës të tre termave, nuk vlejnë për polinomet e Sobolev-it. Si rrjedhim, as formula e Christoffel-Darboux për këto polinome nuk mund të gjenerohet në formën (1.1.4). Nëse masat µk , k = 0, 1, ..., m, janë absolutisht të vazhdueshme atëherë prodhimi skalar i Sobolev-it (1.3.1) quhet jo-diskret, ndërsa nëse µ0 është absolutisht e vazhdueshme dhe µk , k = 1, ..., m, janë masa të Dirac-ut (masa njësi) atëherë (1.3.1) quhet prodhim skalar diskret. Teoria e polinomeve ortogonale të Sobolev-it e ka origjinën në punimet e Lewis [57], Althammer [4], Gröbner [42], Brenner [12], Schäfke [87], Cohen [16], Schäfke dhe Wolf 19

[88] (shih [74] për historinë e polinomeve ortogonale të Sobolev-it). Megjithëse në [57] problemi ekstremal i polinomeve në hapësirat e Sobolev-it nuk shqyrtohet nga aspekti i polinomeve ortogonale, ai punim konsiderohet si pikënisje e teorisë të polinomeve ortogonale në hapësirat e Sobolev-it. Në [4], autori shqyrton problemin e Lewis-it dhe e interpreton atë në varshmëri të polinomeve ortogonale. Gjithashtu autori vëren që, në përgjithësi, nuk mund të ketë analogji të vetive ndërmjet polinomeve ortogonale të Sobolev-it dhe atyre standarde. Vlenë të theksohet se në të gjitha punimet e lartëcekura trajtohen polinomet ortogonale në hapësirat jo-diskrete të Sobolev-it si dhe integrimi me pjesë ka rol thelbësor. Në vitin 1991, autorët Iserles, Koch, Nφrsett dhe Sanz-Serna ([46]), polinomet ortogonale në lidhje me prodhimet skalare jo-diskrete të Sobolev-it i shqyrtojnë nga një aspekt tjetër: nga aspekti i çiftit të masave koherente. P ËRKUFIZIM 1.2. Le të jenë {Pn } dhe {Qn } vargje të polinomeve monike ortogonale në lidhje me masat dµ0 dhe dµ1 , respekivisht . Atëherë, (µ0 , µ1 ) quhet çift i masave koherente nëse ekzistojnë konstantat jo-zero Dn të tilla që Qn (x) =

P ′ n+1 (x) P ′ n (x) + Dn , n ≥ 1. n+1 n

Koncepti i çiftit të masave koherente është treguar mjaft i rëndësishëm në shqyrtimin e vetive algjebrike dhe analitike të polinomeve ortogonale jo-diskrete të Sobolev-it (shih, p.sh., [60], [69]). Klasifikimi i plotë i të gjitha çifteve të masave koherente është dhënë në [76]. Për masat më të përgjithësuara me bartës kompakt, vetitë asimptotike për polinomet ortogonale korresponduese të Sobolev-it janë shqyrtuar në [70]. Në veçanti, është vërtetuar pohimi vijues: T EOREMË 1.2. Le të jetë {µk }m k=o , m ∈ N ∪ {0}, varg i masave pozitive dhe absolutisht të vazhdueshme të Borel-it me bartëse në bashkësitë Ik = I = [−1, 1], k = 0, 1, ..., m, dhe të cilat i takojnë klasës Szegö, d.m.th., Z log µ′ k √ dx > −∞, k = 0, 1, ..., m. 1 − x2 I Atëherë, uniformisht në nënbashkësit kompakte të C\I (k)

Qn (z) 1 lim k , k = 0, 1, ..., m, = n→∞ n Pn−k (z, µm ) [φ′ (z)]m−k 20

ku Qn (·) dhe Pn (·, µm ) janë polinomet monike ortogonale në lidhje më prodhimin skalar (1.3.1) dhe masën µm , respektivisht, si dhe φ është pasqyrimi konform i C\[−1, 1] në jashtësinë e rrethit njësi i dhënë me φ(z) = z +

√

z 2 − 1, z ∈ C\[−1, 1].

Sa i përket prodhimit skalar diskret të Sobolev-it, rezultatet e para të rëndësishme lidhur me vetitë asimptotike të polinomeve korresponduese janë dhënë në [58], [78], [86]. Më saktësisht, aty shqyrtohen disa veti analitike të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar diskret hf, giS =

(1.3.2)

Z

1

f (x)g(x)dµ(x) + −1

Nk K X X

Mk,i f (i) (ak )g (i) (ak ),

k=1 i=0

ku µ ∈ M (0, 1/2) dhe Mk,i > 0. Në punimet e lartëpërmendura, çështje esenciale është paraqitja e polinomeve të Sobolev-it Qn si kombinim i fundëm linear i polinomeve Rn të Q Nk +1 cilat janë ortogonale në lidhje me masën e modifikuar dν(x) = K dµ(x). k=1 |ak − x| Pra,

Qn (x) =

N X

An,k Rn−k (x),

k=0

ku N =

PK

k=1 (Nk

+ 1) dhe koeficientët An,k janë të kufizuar. Meqë, herësi

Rn−k Rn

ka një

veti të fundme asimptotike, atëherë për shqyrtimin e vetive të Qn mjafton të shqyrtohen sjelljet e koeficientëve të kufizuar An,k . Nga ana tjetër, shqyrtimi i vetive si algjebrike ashtu edhe analitike të polinomeve në lidhje me prodhimin skalar diskret (1.3.2) në rastin kur masa µ ka bartës të pakufizuar është shumë më i komplikuar dhe nuk mund të veprohet në të njëjtën mënyrë si në rastin e masës me bartës të fundëm, sepse herësi

Rn−k Rn

nuk ka një veti adekuate të

fundme asimptotike si dhe, në përgjithësi, koeficientët An,k nuk janë të kufizuar (shih, p.sh., [5], [64], [21]). 1.3.2. Zbërthimet Fourier në hapësirat e Sobolev-it. Le të jetë {µk }m k=o , m ∈ N ∪ {0}, varg i masave pozitive të Borel-it me bartëse në bashkësitë Ik ⊆ R. Tani, në hapësirën lineare P përkufizojmë funksionelën || · ||Wµp0 ,...,µm si vijon: ||f ||pWµp ,...,µ m 0

=

m X k=0

λk kf (k) kpLp (dµk ) , 21

1 ≤ p < ∞,

||f ||

Wµ∞ 0 ,...,µm

m X = max{ λk ||f (k) ||L∞ (dµk ) }, k=0

  p për λ ≥ 0. Qartë, hapësirat P, || · ||Wµ0 ,...,µm , 1 ≤ p ≤ ∞, janë hapësira të nor-

muara. Meqë, mbyllja e çdo hapësire të normuar ekziston, atëherë i përkufizojmë   hapësirat e Sobolev-it Wµp0 ,...,µm , || · ||Wµp0 ,...,µm , 1 ≤ p ≤ ∞, si mbyllje të hapësirave   p P, || · ||Wµ0 ,...,µm , respektivisht (shih [1], [53]). Për f ∈ Wµ10 ,...,µm , zbërthimi Fourier i tij në lidhje me polinomet e ortonormuara të

Sobolev-it është ∞ X

(1.3.3)

fˆ(k)qk (x),

k=0

fˆ(k) = hf, qk iS .

Shumimi sipas Cesàro-s i rendit δ ≥ 0 të zbërthimit (1.3.3) është i përkufizuar me (shih [97, fq. 76-77]) σnδ f (x)

=

n X Aδn−k k=0

Aδk

k+δ k




Aδn

fˆ(k)qk (x),

. Qartë, për δ = 0 marrim n-shumën e pjesshme të zbërthimit (1.3.3), P d.m.th., σn0 f = Sn f = nk=0 fˆ(k)qk .

ku

=

Meqë, hapësira lineare e Sobolev-it Wµ20 ,...,µm është hapësirë e Hilbert-it dhe që

hapësira lineare e polinomeve algjebrike P është nënhapësirë e dendur e saj, atëherë ||Sn f ||Wµ20 ,...,µm ≤ c||f ||Wµ20 ,...,µm . Prandaj, natyrshëm shtrohet pyetja në lidhje me ekzistencën e p 6= 2 të tillë që (1.3.4)

||Sn f ||Wµp0 ,...,µm ≤ c||f ||Wµp0 ,...,µm

për çdo f ∈ Wµp0 ,...,µm . Nga ana tjetër, siç u cek më parë, nuk ekziston formula e tipit të Christoffel-Darboux për polinomet e Sobolev-it me ndihmën e së cilës do të shqyrtohej (1.3.4) si në rastin e polinomeve ortogonale standarde. Pra, shqyrtimi konvergjencës sipas normës të zbërthimit Fourier në hapësirat e Sobolev-it është më i komplikuar dhe kërkon një aparaturë të ndryshme nga ai i studimit të konvergjencës sipas normës të zbërthimit Fourier në hapësirat e Lebesgue-it. Megjithëse, vetitë algjebrike (ekzistenca, relacioni i rekurencës, zerot) dhe analitike (vetitë asimptotike, ekuacionet diferenciale) janë studiuar për polinomet ortogonale në hapësirat e shumta të Sobolev-it, shqyrtimi i konvergjencës sipas normës të zbërthimit 22

Fourier është bërë vetëm për disa raste të veçanta të hapësirave të Sobolev-it (shih, p.sh., [26], [27], [30], [31], [62], [86]).

23

KAPITULL 2

Zbërthimet ortogonale në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it 2.1. Disa pohime ndihmëse Konsiderojmë peshën e përgjithësuar të Jacob-it α

ωα,β,{νi } (x) = h(x)(1 − x) (1 + x)

β

m Y i=1

|x − xi |νi ,

ku m është numër natyror i fiksuar, α, β, νi > −1, −1 < x1 < ... < xm < 1, dhe h është funksion real analitik dhe rigorozisht pozitiv në [−1, 1]. Shënojmë me (α,β,{νi }) ∞ }n=0

{pn

vargun e polinomeve ortonormale në lidhje me funksion peshën ωα,β,{νi } .

Në vazhdim, vërtetojmë disa vlerësime për integralet e polinomeve të përgjithësuara të Jacob-it. Problemi i vlerësimit të Lp (ω)−normës për polinomet ortogonale është pa dyshim i një rëndësie të veçantë në teorinë e përgjithshme të polinomeve ortogonale dhe ekstremale. Metodologjikisht fillon me shqyrtimet klasike të S. N. Bernshtein ([11]) mbi vetitë asimptotike të polinomeve ekstremale dhe deri në zbatimet e problemeve bashkëkohore (shih, p.sh., [7]) P OHIM 2.1. Le të jenë γ, κ, µ > −1, α, β ≥ −1/2, νi ≥ 0, i = 1, 2, ..., m, dhe le të jetë {y1 , y2 , ..., ym+1 } një ndarje e segmentit [−1, 1] e tillë që −1 < y1 < x1 < y2 < ... < xm < ym+1 < 1. Atëherë, për 1 ≤ p < ∞ dhe n mjaft të mëdha    c   Z 1  (1 − x)γ |pn(α,β,{νi }) (x)|p dx ∼ log n  ym+1    npα+p/2−2γ−2

nëse 2γ > pα − 2 + p/2, nëse 2γ = pα − 2 + p/2, nëse 2γ < pα − 2 + p/2,

   c   Z yi+1  |x − xi |µ |pn(α,β,{νi }) (x)|p dx ∼ log n  yi    npνi /2−µ−1

   c   Z y1  (1 + x)κ |pn(α,β,{νi }) (x)|p dx ∼ log n  −1    npβ+p/2−2κ−2 (α,β,{νi })

V ËRTETIM . Për polinomet pn

(2.1.1) pn(α,β,{νi }) (x) ≤ C 1 − x + n−2

nëse 2µ > pνi − 2, nëse 2µ = pνi − 2, nëse 2µ < pνi − 2,

nëse 2κ > pβ − 2 + p/2,

nëse 2κ = pβ − 2 + p/2, nëse 2κ < pβ − 2 + p/2.

vlen jobarazimi (shih [8])


−(2α+1)/4 m Y

×

1 + x + n−2

|x − xi | + n−1

i=1

ku C është konstantë e cila nuk varet nga n.


−(2β+1)/4


−νi /2

Atëherë, për α ≥ −1/2, x ∈ [ym+1 , 1], n ∈ N, 1 − x + n−2


−(2α+1)/4

≤ (1 − x)−(2α+1)/4 ,


−(2β+1)/4

≤ (1 + x)−(2β+1)/4 ,

1 − x + n−2 për β ≥ −1/2, x ∈ [−1, y1 ], n ∈ N, 1 + x + n−2

1 + x + n−2 dhe për νi ≥ 0, x ∈ [yi , yi+1 ], n ∈ N;


−(2α+1)/4


−(2β+1)/4

|x − xi | + n−1


−νi /2

|x − xi | + n−1 Nga ana tjetër, jobarazimi

≤ nα+1/2 ;

≤ nβ+1/2 ;

≤ |x − xi |−νi /2 ,


−νi /2

≤ nνi /2 .

nα+1/2 ≤ c(1 − x)−α/2−1/4 vlen për x ∈ [1 − c/n2 , 1); jobarazimi nβ+1/2 ≤ c(1 + x)−β/2−1/4 25

, x ∈ [−1, 1], n ∈ N,

vlen për x ∈ (−1, −1 + c/n2 ]; dhe jobarazimi nνi /2 ≤ c|x − xi |−νi /2 vlen për x ∈ [xi − c/n, xi + c/n]. Prandaj, për n mjaft të mëdha, nga (2.1.1) marrim

(2.1.2)

|pn(α,β,{νi }) (x)| ≤

   cnβ+1/2      −(2β+1)/4   c (1 + x)       c(xi − x)−νi /2    νi /2

cn      c(x − xi )−νi /2      −(2α+1)/4    c (1 − x)    cnα+1/2

nëse −1 < x ≤ −1 + c/n2 , nëse −1 + c/n2 ≤ x ≤ y1 , nëse yi ≤ x ≤ xi − c/n, nëse xi − c/n ≤ x ≤ xi + c/n, nëse xi + c/n ≤ x ≤ yi+1 , nëse ym+1 ≤ x ≤ 1 − c/n2 , nëse 1 − c/n2 ≤ x < 1.

Bazuar në jobarazimet (2.1.2), kemi

Z

1 ym+1

(1 − x)

γ

|pn(α,β,{νi }) (x)|p dx

= O(1)

Z

1−c/n2 ym+1

(1 − x)γ−pα/2−p/4 dx

   c   Z 1  (1 − x)γ dx = O(1) log n + O(1)npα+p/2  2 1−c/n    npα+p/2−2γ−2

nëse 2γ > pα − 2 + p/2, nëse 2γ = pα − 2 + p/2, nëse 2γ < pα − 2 + p/2.

Nga ana tjetër, për n mjaft të mëdha, në bazë të Pohimit 1.3, për µ′ (x) = ωα,β,{νi } (x) dhe g(x) = (1 − x)γ/p χ[ym+1 ,1] (x), ku χ[ym+1 ,1] është funksioni karakteristik i nënbashkësisë [ym+1 , 1] të bashkësisë [−1, 1] i dhënë me

χ[ym+1 ,1] (x) =

  1  0

nëse x ∈ [ym+1 , 1], nëse x ∈ / [ym+1 , 1], 26

kemi Z

1 ym+1

(1 − x)

γ

|pn(α,β,{νi }) (x)|p dx

≥c

Z

1 ym+1

(1 − x)γ−pα/2−p/4 dx

   c   Z 1−c/n2  ≥c (1 − x)γ−pα/2−p/4 dx ∼ log n  ym+1    npα+p/2−2γ−2

nëse 2γ > pα − 2 + p/2, nëse 2γ = pα − 2 + p/2, nëse 2γ < pα − 2 + p/2. 

Në mënyrë të ngjajshme vërtetohen edhe rastet tjera.

R RJEDHIM 2.1. Le të jenë α, β > −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, ..., m) dhe λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2. Atëherë, për 1 ≤ p < ∞

||pn(α,β,{νi }) ||Lp (ωα,β,{νi } )

   c    ∼ (log n)1/p     nλ+1/2−2(λ+1)/p

nëse p <

4(λ+1) , 2λ+1

nëse p =

4(λ+1) , 2λ+1

nëse p >

4(λ+1) . 2λ+1

Pohimi në vazhdim ka një rëndësi të madhe në shqyrtimin e zbërthimeve Fourier përkatësisht në vlerësimin e bërthamës së Christoffel-Darboux në lidhje me polinomet e përgjithësuara të Jacob-it. P OHIM 2.2. Për numrat real a, b, q, dj (j = 1, ..., m), të tillë që aq > −1, bq > −1, dj ≥ 0 (j = 1, ..., m), dhe q > 1, kemi

Z

1 −1


1−y a 1−x


1+y b 1+x

Qm  y−xj 2dj j=1

x−y

x−xj

q − 1 dy

   c   nëse bq 6= q − 1,   (1+x)max(bq,q−1)  − 1 < x < y1 ,     c| log(1+x)|   nëse bq = q − 1,     (1+x)bq    c   nëse 2qdi 6= q − 1, |x−xi |max(2qdi ,q−1) ≤ yi ≤ x ≤ yi+1 (i = 1, ..., m),   i ||   c| log |x−x nëse 2qd = q − 1,  i    |x−xi |2qdi     c   nëse aq 6= q − 1,   (1−x)max(aq,q−1)  ym+1 < x < 1.      c| log(1−x)| nëse aq = q − 1, (1−x)aq 27

V ËRTETIM . Le të jetë −1 < x < y1 dhe le të konsiderojmë integralet në intervalet vijuese     x−1 x−1 −1, , x , (x, x1 ) , (x1 , 1) . , 2 2
x −y , atëherë x − y > x+1 > 0 dhe 1 < xjj −x < c (j = 0, 1, ..., m), ku Nëse y ∈ −1, x−1 2 2

x0 = 1. Prandaj,

I10 =

Z

x−1 2

−1

Nëse y ∈




1−y a 1−x

x−1 ,x 2




q − 1 j=1 x−xj dy x−y "Z x−1  bq Z x−1 # 2 2 1+y −q ≤ c(1 + x) dy ≤ c(1 + x)−q+1 . dy + 1+x −1 −1


1+y b 1+x

Qm  y−xj 2dj

, atëherë 1 <

xj −y xj −x

< c (j = 0, 1, ..., m) dhe

q  2dj m  1 − y a  1 + y b Y y − xj − 1 1−x 1 + x j=1 x − xj q  q  2dj aq  b m   1−y a 1−y 1 + y Y y − xj ≤ − 1 + − 1 1+x 1−x x − xj 1−x j=1  q  q  2dj m  1 + y b Y 1−y a y − xj ≤ c − 1 − 1 + 1+x x − xj 1−x j=1

Nëse e përsërisim këtë procedurë, marrim

q  2dj m  1 − y a  1 + y b Y y − xj − 1 1−x 1 + x j=1 x − xj  q q 2dj m  1 + y b X xj − y ≤ c − 1 , − 1 + 1+x xj − x j=0

ku 2d0 = a dhe x0 = 1. Meqë  q  q xj −y 2dj xj −y 2dj x −x x −x − 1 − 1 1 j j , = xj −y x −x − 1 (xj − x)q x−y j dhe duke pasur parasysh që

(2.1.3)

|z c − 1| ≤ c|z − 1|

  z max(c,0)−1  z min(c,0) 28

nëse z > 1, nëse 0 < z < 1,

kemi q  xj −y 2dj x −x − 1 j ≤ c. x−y

Si rrjedhim,

I20 =

Z

x x−1 2

Nga ana tjetër,




1−y a 1−x


1+y b 1+x

Qm  y−xj 2dj j=1

x−xj

x−y

q − 1 = x−y


q 1+y b − 1 1+x 1+y −1 1+x


1+y b 1+x



dhe në bazë të (2.1.3) marrim

q Z x − 1 dy ≤ c x−1 2



q − 1 dy + c. x−y


1+y b 1+x

1 (1 + x)q

I20 ≤ c(1 + x)−q+1 + c ≤ c(1 + x)−q+1 . 1−x1 2

Nëse y ∈ (x, x1 ) , atëherë

1−y 1−x

<

< 1 dhe 0 <

xj −y xj −x

< 1 (j = 1, ..., m). Me përdorimin

e të njëjtës teknikë dhe procedurë si në rastin e vlerësimit të integralit I20 , marrim x1 I30 = x Z

Meqë 1 <


1−y a 1−x

1+y , 1+x

≤c

Z

j=1

x−xj

x−y

x1 x



q − 1 dy

q Z x1 − 1 dy + c ≤ c(1 + x)−q x−y x


1+y b 1+x

nga (2.1.3) marrim

Kështu që, nëse b > 0

I30

Qm  y−xj 2dj


1+y b 1+x

≤ c(1 + x)

−bq

Z


q 1+y b − 1 1+x 1+y −1 1+x

x1

(1 + y) x

dhe nëse b ≤ 0 I30

≤c

Z

x1 x

bq−q

≤c



1+y 1+x

dy + c ≤

  

q max(b,0)−q

dy + c.

.

c (1+x)max(bq,q−1)

  c| log(1+x)| bq (1+x)

(1 + y)−q dy + c ≤ c(1 + x)−q+1 . 29

q
1+y b − 1 1+x 1+y −1 1+x

nëse bq 6= q − 1, nëse bq = q − 1,

Tani, Le të jetë y ∈ (x1 , 1) , atëherë y − x > x1 − y1 > 0, 1 − y1 < 1 − x < 2, 1 + x1 < 1 + y < 2 dhe 0 ≤

I40 =

Z

1 x+1 2



|xj −y| xj −x


1−y a 1−x

< c (j = 1, ..., m). Prandaj, për aq > −1


1+y b 1+x

q − 1 j=1 x−xj dy x−y Z 1 −bq (1 − y)aq dy + c ≤ c(1 + x)−bq + c. ≤ c(1 + x)

Qm  y−xj 2dj

x+1 2

Pra, për −1 < x < y1 pohimi është i vërtetë. Le të jetë yi < x < yi+1 , i = 1, ..., m. Në vazhdim, konsiderojmë vetëm rastin kur yi < x < xi , i = 1, ..., m sepse rasti kur xi < x < yi+1 , i = 1, ..., m, vërtetohet në mënyrë krejtësisht të ngjajshme. Shqyrtojmë integralet në intervalet vijuese (−1, xi−1 ), (xi−1 , x), (x, xi ), (xi , yi+1 ), (yi+1 , 1). i−1 Nëse y ∈ (−1, xi−1 ), atëherë x−y > yi −xi−1 , 1−x < 1−yi

1−y 1−x

<

2 , 1+yi 1−xi

< 1+x < 1+xi ,

xi − y < 1 + xi , dhe |x − xj | > c (j = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., m). Pra, për bq > −1 xi−1 I1i = −1 Z


1−y a 1−x


1+y b 1+x

q − 1 j=1 x−xj dy x−y Z xi−1 −2qdi (1 + y)bq dy + c ≤ c(xi − x)−2qdi . ≤ c(xi − x)

Qm  y−xj 2dj

−1

Nëse y ∈ (xi−1 , x) atëherë 1 < 1, ..., i − 1), dhe 1 <

1−y 1−x

<

1−xi−1 1+xi−1 , 1+xi 1−xi

<

1+y 1+x

< 1, 0 <

y−xj x−xj

< 1 (j =

xj −y xj −x

< c (j = i + 1, ..., m). Përsëri, përdorim të njëjtën teknikë dhe


1+y b 1+x

Qm  y−xj 2dj

procedurë si në rastin e vlerësimit të integralit I20 dhe marrim x I2i = xi−1 Z


1−y a 1−x

Nëse marrim parasysh që

j=1

x−y

x−xj

q − 1 dy

≤ c(xi − x)−q

xi −y xi −x

Z

q  xi −y 2di x −x − 1 i dy + c. xi −y −1 xi−1 xi −x x

> 1, atëherë rrjedh vlerësimi i integralit I2i . 30

1−xi 1−yi

Nëse y ∈ (x, xi ), atëherë xj −xi xj −yi

dhe

<

1−y 1−x

< 1, 1 <

1+y 1+x

<

1+xi , 1+yi

1<

y−xj x−xj

xj −y xj −x

< c (j = 1, ..., i − 1),

< 1 (j = i + 1, ..., m). Tani, si në rastin e vlerësimit të integralit I20 , kemi q  2dj y−xj Z xi 1−y
a 1+y
b Qm − 1 j=1 x−xj 1−x 1+x I3i = dy ≤ c(xi − x)−q+1 . x−y x

Nëse y ∈ (xi , yi+1 ), atëherë 1, ..., i − 1), dhe yi+1 I4i = xi Z

xj −yi+1 xj −yi


1−y a 1−x

<

xj −y xj −x


1+y b 1+x

Nëse y + x > 2xi , atëherë 1 < ≤ c(xi − x)

Z

yi+1 xi



<

1−y 1−x

< 1, 1 <

1+y 1+x

<

1+xi , 1+yi

1 <

y−xj x−xj

< c (j =

< 1 (j = i + 1, ..., m). Prandaj,

q − 1 j=1 x−xj dy x−y  q 2d Z yi+1 y−xi i − 1 xi −x ≤ c(xi − x)−q y−xi |y + x − 2xi |q dy + c. − 1 xi xi −x

I4i ≤ c.

−q

1−yi+1 1−yi

Qm  y−xj 2dj

Nëse y + x < 2xi , atëherë 0 <

I4i

<

y−xi xi −x

< 1 dhe |y + x − 2xi |q < c(xi − x)q . Nga (2.1.3) marrim

y−xi xi −x

< c dhe |y + x − 2xi |q < c(y − xi )q . Rrjedhimisht,

y − xi xi − x

2qdi −q

(y − xi )q dy + c

≤ c(xi − x)

−2qdi

Z

yi+1 xi

(y − xi )2qdi dy + c ≤ c(xi − x)−2qdi .

Nëse y ∈ (yi+1 , 1), atëherë y − x > yi+1 − xi > 0, 1 − yi < 1 − x < 2, 1 + yi+1 < 1 + y < 2, x −y |xi − y| ≤ c dhe xjj −x < c (j = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., m). Prandaj, për aq > −1 1 I5i = yi+1 Z


1−y a 1−x


1+y b 1+x

Qm  y−xj 2dj j=1

x−xj

x−y

q − 1 dy Z 1

≤ c(x − xi )−2qdi

yi+1

(1 − y)qc dy + c ≤ c(x − xi )−2qdi + c.

Për yi < x < xi , i = 1, ..., m u vërtetua saktësia e pohimit. Përfundimisht, rasti kur ym+1 < x < 1 trajtohet në mënyrë të njëjtë sikur rasti −1 < x < y1 duke vlerësuar integralet në intervalet (−1, xm ), (xm , x),



x+1 x, 2 31

   x+1 ,1 . , 2



Pohimi 2.2 u vërtetua në tërësi. 2.2. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin ortogonal në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it Në [43] Littlewood supozoi se për çdo polinom trigonometrik PN (x) = ku 0 < n1 < ... < nN , N ≥ 2, dhe |ak | ≥ 1 për 1 ≤ k ≤ N, vlen jobarazimi: Z 2π (2.2.1) |PN (x)|dx ≥ c log N,

PN

k=1

ak eink x ,

0

ku c është një konstant absolute. Më vonë, në punimin shumë të njohur [15] Cohen-i  1/8 log N vërtetoi se c log log N është kufiri i poshtëm për (2.2.1). Të motivuar nga ky rezultat, jobarazime të kësaj forme janë vërtetuar për zbërthimet ortogonale klasike dhe për

grupet kompakte (shih [22], [23], [40], [66]). Gjithashtu, jobarazimet e tipit të Cohen-it janë vërtetuar për zbërthimet Fourier në lidhje me disa prodhime skalare të Sobolev-it nga unë dhe F. Marcellán-i (shih [26], [31]). Kështu që, një ndër objektivat e këtij kapitulli është që të vërtetojmë jobarazimin e tipit të Cohen-it për zbërthimin e përgjithësuar të Jacob-it. Për vargun e numrave kompleks {ck,n }nk=0 , n ∈ N ∪ {0}, |cn,n | > 0, përkufizojmë operatorët Tn në Lp (ωα,β,{νi } ) si vijojnë Tn (f ) =

n X

(α,β,{νi }) ck,n fˆ(k)pk .

k=0

Qartë, për ck,n =

Aδn−k Aδn

kemi Tn = σnδ .

T EOREMË 2.1. Le të jenë α, β ≥ −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, ..., m), λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2, p0 =

4λ+4 2λ+3

dhe q0 =

4λ+4 . 2λ+1

Atëherë, ekziston konstanta pozitive

c, e pavarur nga n, e tillë që  2λ+2 − 2λ+3  p 2  n    2λ+1 kTn k[Lp (ωα,β,{νi } )] ≥ c|cn,n | (log n) 4λ+4     2λ+1 − 2λ+2  p n 2

nëse 1 < p < p0 , nëse p = p0 , p = q0 , nëse q0 < p < ∞,

ku me [X] shënojmë hapësirën e të gjithë operatorëve linear të kufizuar T : X → X e pajisur me normën e zakonshme të operatorëve kT k[X] = sup

06=f ∈X

32

kT (f )kX . kf kX

V ËRTETIM . Le të konsiderojmë funksionet gn(α,β,{νi },j) (x)

= (1 −

i +j}) x2 )j p(α+j,β+j,{ν (x) n

m Y i=1

|x − xi |j

ku α, β > −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m), λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2, dhe j ∈ N.

(α,β,{νi },j)

Me aplikimin e operatorëve Tn në funksionet gn

, për ndonjë j > λ + 1/2 − (2λ +

2)/p, marrim Tn

(2.2.2)

gn(α,β,{νi },j)

ku gn(α,β,{νi },j) Prandaj,




ˆ(k) =

Z




=

n X

(α,β,{νi })

ck,n (gn(α,β,{νi },j) )ˆ(k)pk

1 −1

(α,β,{νi })

i +j}) p(α+j,β+j,{ν (x)pk n

(gn(α,β,{νi },j) )ˆ(k) = 0,

(2.2.3)

,

k=0

(x)ωα+j,β+j,{νi +j} (x)dx.

k = 0, 1, ..., n − 1,

dhe në bazë të Pohimit 1.4 kemi   (α,β,{νi }) k pn ∼ (gn(α,β,{νi },j) )ˆ(n) =  = c. (α+j,β+j,{νi +j}) k pn

(2.2.4)

Nga ana tjetër, nga Pohimi 2.1 për j > max{α + 1/2 − 2(α + 1)/p, β + 1/2 − 2(β + 1)/p, ν1 /2 − 2(ν1 + 1)/p, ..., νm /2 − 2(νm + 1)/p} dhe 1 ≤ p < ∞ kemi Z y1 (α,β,{νi },j) p i +j}) (1 + x)jp+β |p(α+j,β+j,{ν (x)|p dx ||gn ||Lp (ωα,β,{ν } ) ≤ c n i

+c

(2.2.5)

−1 m X Z yi+1 i=1

+c

Z

yi

i +j}) |x − xi |νi +jp |p(α+j,β+j,{ν (x)|p dx n

1

ym+1

i +j}) (x)|p dx ≤ c. (1 + x)jp+α |p(α+j,β+j,{ν n

Nga (2.2.2), (2.2.3), (2.2.4) dhe (2.2.5), marrim ||Tn ||[Lp (ωα,β,{νi } )] ≥ [||gn(α,β,{νi },j) ||Lp (ωα,β,{νi } ) ]−1 × ||Tn (gn(α,β,{νi },j) )||Lp (ωα,β,{νi } ) ≥ c|cn,n | ||pn(α,β,{νi }) ||Lp (ωα,β,{νi } ) . Tani, duke u bazuar në Rrjedhimin 2.1 përfundojmë se pohimi i teoremës është i vërtetë për q0 ≤ p < ∞. Pohimi i teoremës për 1 < p ≤ p0 rrjedh nga dualiteti. Për ck,n =

Aδn−k , Aδn

0 ≤ k ≤ n, nga Teorema 2.1 rrjedh: 33



R RJEDHIM 2.2. Le të jenë α, β ≥ −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, ..., m), λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2, dhe le të jetë δ numër i tillë që   0 ≤ δ < 2λ+2 − 2λ+3 nëse 1 < p ≤ p0 , p 2  0 ≤ δ <

2λ+1 2

−

2λ+2 p

nëse q0 ≤ p < ∞.

Atëherë, për p ∈ / (p0 , q0 ) nëse δ = 0 dhe për p ∈ / [p0 , q0 ] nëse δ > 0 ||σnδ ||[Lp (ωα,β,{νi } )] → ∞,

n → ∞.

2.3. Konstanta e Lebesgue-it për për zbërthimin ortogonal në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it Shqyrtimi i konvergjencës sipas normës të zbërthimit të përgjithësuar të Jacob-it është diskutuar nga shumë autorë, si p.sh., V. M. Badkov ([8]), J. J. Guadalupe dhe të tjerët ([41]), P. Vertesi dhe Y. Xu ([93]). Për α, β ≥ −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, ..., m) dhe λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2 vlen ||Sn f ||Lp (ωα,β,{νi } ) ≤ c||f ||Lp (ωα,β,{νi } ) ,

f ∈ Lp (ωα,β,{νi } ),

atëherë dhe vetëm atëherë kur p i takon intervalit (p0 , q0 ). Prandaj është e natyrshme të analizohet konstanta e Lebesgue-it ||Sn f ||[Lp (ωα,β,{νi } )] për p ∈ / (p0 , q0 ). Meqë projeksioni Fourier është i vetë-adjunguar, mjafton të konsiderojmë vetëm rastin kur q0 ≤ p < ∞. Vërejmë se, për zbërthimin ortogonal në lidhje me peshën klasike të Jacob-it, vlerësimi i konstantës të Lebesgue-it është derivuar në [9], [13], [55], [56], [79]. Për më tepër, në [9] dhe [79], dukë shfrytëzuar konstantën e Lebesgue-it, konvergjenca sipas normës e zbërthimit të Fourier-Legendre-t për funksionet e lëmueshëm është diskutuar. T EOREMË 2.2. Le të jenë α, β ≥ −1/2, νi ≥ 0 (i = 1, ..., m) dhe λ = max{α, β, ν1 /2 − 1/2, ..., νm /2 − 1/2} > −1/2. Atëherë, c(log n)1/p ≤ ||Sn ||[Lp (ωα,β,{νi } )] ≤ c log n, ||Sn ||[Lp (ωα,β,{νi } )] ∼ nλ+1/2−(2λ+2)/p ,

p = q0 , q0 < p < ∞.

V ËRTETIM . Qartë, kufiri i poshtëm për ||Sn f ||Lp (ωα,β,{νi } ) është rrjedhim i drejtëpërdrejtë i Teoremës 2.1, prandaj në vazhdim do të tentojmë të vërtetojmë kufirin e sipërm të tij. 34

Le të jenë q0 ≤ p < ∞ dhe f ∈ Lp (ωα,β,{νi } ). Rëndësi të veçantë në studimin e zbërthimeve Fourier në intervalin [−1, 1] është dekompozimi i Pollard-it të bërthamës Kn (x, y) =

n X

(α,β,{νi })

pk

(α,β,{νi })

(x)pk

(y)

k=0

në trajtën (shih [84], [80]): Kn (x, y) = rn T1 (n, x, y) + sn T2 (n, x, y) − sn T3 (n, x, y), ku {rn }, {sn } janë vargje të kufizuara, dhe (α,β,{νi })

T1 (n, x, y) = pn+1

(α,β,{νi })

(x) pn+1

(α+1,β+1,νi )

T2 (n, x, y) = (1 − y 2 )

pn

(α,β,{νi })

(y) pn+1 x−y

(α+1,β+1,νi )

T3 (n, x, y) = (1 − x2 )

pn

Wk,n (f, x) =

(x)

(α,β,{νi })

(x) pn+1 x−y

Le të jenë Z

(y),

(y)

, .

1 −1

Tk (n, x, y)f (y)ωα,β,{νi } (y)dy,

Nw vijim, do të tentojmë t’i vlerësojmë integralet

R1

−1

k = 1, 2, 3.

|Wk,n (f, x)|p ωα,β,{νi } (x)dx, k = 1, 2, 3.

Për k = 1, në bazë të jobarazimit të Hölder-it dhe Rrjedhimit 2.1, kemi Z 1 (α,β,{νi }) (α,β,{ν }) i (x) f (y)pn+1 (y)ωα,β,{νi } (y)dy |W1,n (f, x)| = pn+1 −1 (α,β,{ν }) ≤ c pn+1 i (x) ||f ||Lp (ωα,β,{νi } ) .

Prandaj

Z

1 −1

|W1,n (f, x)|p ωα,β,{νi } (x)dx ≤

Që të vlerësojmë integralin shkruajmë në trajtë (2.3.1) W2,n (f, x) = ku

R1

−1

 c log n

nëse q0 < p < ∞, nëse p = q0 .

|W2,n (f, x)|p ωα,β,{νi } (x)dx, fillimisht termin W2,n (f, x) e

An+1 (x) ωα,β,{νi } (x)

  cnpλ+p/2−2λ−2


1/p

Z

1 −1

ωα,β,{νi } (y)

(α,β,{νi })

An+1 (x) = (1 − x2 )1/4 pn+1


1/p

Bn (y)f (y)K(x, y)dy + En (x),

(x) ωα,β,{νi } (x)


1/2

i) Bn (x) = (1 − x2 )3/4 p(α+1,β+1,ν (x) ωα,β,{νi } (x) n

35


1/2

, ,

En (x) =

An+1 (x) ωα,β,{νi } (x)

K(x, y) =




1/p

1−y 2 1−x2

Z


1/p ωα,β,{νi } (y) Bn (y)f (y) dy, x−y

1 −1

1/4  ω

α,β,{νi } (y)

ωα,β,{νi } (x)

x−y

1/2−1/p

−1

.

Për më tepër, nga (2.1.2) kemi |An+1 (x)| ≤ cdn (x, α, β, νi ) dhe |Bn (x)| ≤ cdn (x, α + 1, β + 1, νi ), ku

(2.3.2) dn (x, α, β, {νi })    nβ+1/2 (1 + x)(2β+1)/4        c       c =   nνi /2 |xi − x|νi /2        c       nα+1/2 (1 − x)(2α+1)/4

nëse −1 < x ≤ −1 + c/n2 , nëse −1 + c/n2 ≤ x ≤ y1 , nëse yi ≤ x ≤ xi − c/n dhe xi + c/n ≤ x ≤ yi+1 , nëse xi − c/n ≤ x ≤ xi + c/n nëse ym+1 ≤ x ≤ 1 − c/n2 , nëse 1 − c/n2 ≤ x < 1.

Kështu që |An+1 (x)| ≤ c dhe |Bn (x)| ≤ c. Nga (2.3.1) kemi

|An+1 (x)| |W2,n (f, x)| =
1/p ωα,β,{νi } (x)

Z

1 −1

ωα,β,{νi } (y)


1/p

|f (y)||K(x, y)|dy + |En (x)| ,

ku bazuar në Teoremën 1.1 rrjedh që ||En ||Lp (ωα,β,{νi } ) ≤ c. Aplikojmë Pohimin 2.2 me a =       1 1 1 1 1 1 1 1 , b = , 2d = ν , (i = 1, ..., m), dhe q = p′ , ku p′ është + α − + β − − i i 4 2 p 4 2 p 2 p 36

numri i konjuguar me p, marrim

Z

1 −1

p′

1/p′

|K(x, y)| dy    c   nëse b 6= 1/p,   (1+x)max(b,1/p)  − 1 < x < y1 ,  ′  c| log(1+x)|1/p    nëse b = 1/p,    (1+x)1/p     c   nëse 2di 6= 1/p, |x−xi |max(2di ,1/p) yi ≤ x ≤ yi+1 (i = 1, ..., m), ≤ ′   c| log |x−xi ||1/p   nëse 2di = 1/p,     |x−xi |1/p     c   nëse a 6= 1/p,   (1−x)max(a,1/p)  ym+1 < x < 1.    c| log(1−x)|1/p′   nëse a = 1/p, (1−x)1/p

Tani, sipas (2.3.2) dhe bazuar në të njëjtën teknikë si në [13], për a, b, 2di 6= 1/p kemi

Z

1 p

−1

|W2,n (f, x)| ωα,β,{νi } (x)dx ≤ cn

(β+1/2)p y1

Z

−1+n−2

(1 + x)

+c

m X

+c

n

pνi /2

i=1

1−n−2

+

Z

×

Z

xi +n−1

yi

i=1

ym+1 1

dx

−1

dx max(bp,1) −1+n−2 (1 + x) Z xi −n−1 Z yi+1 ! m X + + Z

2β+1 p−max(bp,1) 4

Z

xi +n−1

xi −n−1

dx |xi − x|max(2pdi ,1)

|xi − x|pνi /2−max(2pdi ,1) dx

dx + cn(α+1/2)p max(ap,1) (1 − x)

(1 + x)

2α+1 p−max(ap,1) 4

dx

1−n−2

≤ c max{log n, n(λ+1/2)p−2(λ+1) }. Nëse ndonjëri nga a, b, 2di është 1/p, në mënyrë të ngjajshme si me lartë, vërtetohet që Z

1 p

−1

|W2,n (f, x)| ωα,β,{νi } (x)dx 37

1/p

≤ log n.

Meqë W3,n (f, x) =

+

Bn (x) ωα,β,{νi } (x) Bn (x) ωα,β,{νi } (x)

ku K(x, y) = atëherë integrali Z

R1

−1


1/p

1−y 2 1−x2

Z

1 −1 1 −1

ωα,β,{νi } (y)


1/p

An+1 (y)f (y)K(x, y)dy


1/p ωα,β,{νi } (y) An+1 (y)f (y) dy, x−y

−1/4  ω

α,β,{νi } (y)

ωα,β,{νi } (x)

x−y

1/2−1/p

−1

,

|W3,n (f, x)|p ωα,β,{νi } (x)dx vlerësohet në të njëjtën mënyrë, d.mth.

1 p

−1




1/p

Z

1/p

|W3,n (f, x)| ωα,β,{νi } (x)dx   c max{(log n)1/p , n(λ+1/2)p−2(λ+1)−1 } nëse a, b, 2di 6= 1/p, ≤  c log n nëse a ose b ose 2di është 1/p.

Përfundimisht, vërtetimi i teormës u kompletua.



Në vazhdim, do të shohim aplikimin e Teoremës 2.1, kur νi = 0 për i = 0, 1, ..., m, në shqyrtimin e konvergjencës sipas normës të zbërthimit të Fourier-Jacob-it për funksionet e lëmueshme. Me En (f )p,α,β shënojmë përafrimin më të mirë të funksionit f ∈ Lp (ωα,β ), 1 ≤ p ≤ ∞, me polinome algjebrike të shkallës jo më të madhe se n, d.m.th En (f )p,α,β = inf kf (x) − P (x)kLp (ωα,β ) , P ∈Pn

ku Pn është bashkësia e polinomeve algjebrike të shkallës jo më të madhe se n. Tani, përkufizojmë operatorin e diferencimit të rendit r si vijon 1 Dx,α,β = Dx,α,β = (1 − x2 )

d d2 + [β − α − (α + β + 2)x] , 2 dx dx


r−1 r , r = 2, 3, ... . Dx,α,β = Dx,α,β Dx,α,β

Themi që f (x) ∈ ADr (p, α, β) nëse f ∈ Lp (ωα,β ), f (2r−1) (x) është absolutisht i vazh-

r dueshëm në çdo segment [a, b] ⊂ (−1, 1), dhe Dx,α,β f (x) ∈ Lp (ωα,β ), r = 1, 2, ....

38

T EOREMË 2.3. Le të jenë 1 ≤ p ≤ ∞, dhe α ≥ β ≥ −1/2. Atëherë, për f (x) ∈

ADr (p, α, β)

 2α+2 − 2α+3 −2r  p 2  cn , 1 ≤ p < p0 ,    kf (x) − Sn (f, x)kLp (ωα,β ) ≤ c log2r n , p = p0 , p = q0 , n     − 2α+2 −2r cn 2α+1 2 p , q0 < p ≤ ∞.

V ËRTETIM . Në [18] (shih gjithashtu [19]), për f (x) ∈ ADr (p, α, β) dhe α ≥ β ≥ −1/2, është vërtetuar që ekziston Pn ∈ Pn i tillë që (2.3.3)

En (f )p,α,β = kf (x) − Pn (x)kLp (ωα,β ) ≤

c . n2r

Tani, bazuar në jobarazimin e Minkowski-t marrim kf (x) − Sn (f, x)kLp (ωα,β ) ≤ kf (x) − Pn (x)kLp (ωα,β ) + kPn (x) − Sn (f, x)kLp (ωα,β ) ≤

c + kSn (Pn − f, x)kLp (ωα,β ) . n2r

Nga ana tjetër, sipas Teoremës 2.2, kur νi = 0 për i = 0, 1, ..., m, (shih gjithashtu [13] për p = ∞) dhe (2.3.3) marrim

kSn (Pn − f, x)kLp (ωα,β )

Çka duhej të vërtetuar.

 2α+3 2α+2   n p − 2 , 1 ≤ p < p0 ,    ≤ ckPn (x) − f (x)kLp (ωα,β ) log n, p = p0 , p = q0 ,     − 2α+2 n 2α+1 2 p , q0 < p ≤ ∞.  2α+2 − 2α+3 −2r  p 2  cn , 1 ≤ p < p0 ,    c log n ≤ , p = p 0 , p = q0 , n2r     − 2α+2 −2r cn 2α+1 2 p , q0 < p ≤ ∞.

39



KAPITULL 3

Vetitë asimptotike dhe zbërthimet Fourier të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar jo-diskret të Gegenbauer-Sobolev-it 3.1. Polinomet ortogonale të Gegenbauer-Sobolev-it Le të jetë dµ(x) = (1 − x2 )α−1/2 dx, α > −1/2, masë e Gegenbauer-it në intervalin (−1, 1) dhe le të përkufizojmë në hapësirën lineare P prodhimin skalar jo-diskret të Sobolev-it (3.1.1)

hf, giS =

Z

1

f (x)g(x)dµ(x) + λ −1

Z

1

f ′ (x)g ′ (x)dµ(x) −1

(α)

ku λ > 0. Shënojmë me {Qn (x)}∞ n=0 vargun e polinomeve ortogonale në lidhje me (α)

(3.1.1), të normuara me konditën që Qn (α−1)

klasik i Gegenbauer-it Cn

ka të njëjtin koeficient kryesor si polinomi

. Këto polinome i quajmë polinome të Gegenbauer-Sobolev-

it. Vërejmë se (µ, µ) paraqet një çift të masave simetrikisht koherente (shih [46], [75]). Polinomet ortogonale të Gegenbauer-Sobolev-it janë studiuar nga shumë autorë në aspekte të ndryshme algjebrike dhe analitike. Vetitë algjebrike e në veçanti zerot e polinomeve të Gegenbauer-Sobolev-it janë studiuar nga Meijer në [75] dhe Pérez në punimin e saj të doktoranturës [83]. Për më tepër, është vërtetuar se zerot e poli(α)

nomeve ortogonale Qn janë reale e të thjeshta dhe ato gërshetojnë me zerot e polinomeve ortogonale klasike të Gegenbauer-it. Për α ≥ 1/2 ato ndodhen në intervalin [−1, 1] dhe për −1/2 < α < 1/2 ekziston të shumtën një çift i zerove simetrike në lidhje me origjinën jashtë intervalit [−1, 1]. (α)

Nga ana tjetër, sjelljet asimptotike të polinomeve ortogonale Qn

në bashkësitë

kompakte të C\[−1, 1] janë studiuara në [61] dhe [67]. Është vërtetuar se unifromisht në bashkësitë kompakte të C\[−1, 1] vlen (3.1.2)

ˆ (α) Q 2 n (z) = ′ , (α) n→∞ C ˆn (z) φ (z) lim

ˆ (α) ku Q n është polinomi monik i Gegenbauer-Sobolev-it. Duke marrë parasysh se funksioni φ është analitik dhe nuk ka zero në C\[−1, 1], atëherë si rrjedhim i menjëhershëm (α)

i formulës (3.1.2) është se të gjitha zerot e polinomit Qn (z) akumulohen në [−1, 1], d.m.th.

∞ \ [

(α)

{z : Qk (z) = 0} = [−1, 1].

n≥1 k=n

3.2. Vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale të Gegenbauer-Sobolev-it Në [67, formula (3)] (shih gjithashtu [61, Pohimi 6] dhe [46]) është dhënë relacioni ndërmjet polinomeve monike të Gegenbauer-Sobolev dhe të Gegenbauer. Më saktësisht, vlen ky pohim: P OHIM 3.1. Për α > −1/2 (α) (α) ˆ ˆ (α) ˆ (α) Cˆn(α) (x) − ξˆn−2 Cˆn−2 (x) = Q n (x) − dn−2 (α)Qn−2 (x),

ku ξˆn(α) =

(n + 2)(n + 1) , 4(n + α + 1)(n + α)

n ≥ 2,

(α)

dˆn (α) = ξˆn(α)

kCˆn k2L2 (dµ) (α)

ˆ n k2 2 kQ Wµ

.

Për më tepër, në bazë të (1.2.1) dhe [67, Teorema 2], kemi (α) ξˆn (α) (n+α)(n+α−1)2 (n+α−2) 1 + 8(ξˆn−2 )2 n(n−1)(n+2α−1)(n+2α−2) + 4λn2 (n+α)(n+α−1) n(n+2α−1)

≤ dˆn (α) ≤ Prandaj, dˆn (α) ∼ =

(α) ξˆn

1 + 4λn2 (n+α)(n+α−1) n(n+2α−1)

1 . 16λn2

R RJEDHIM 3.1. Për α > 0 (3.2.1)   

ku

  (α) (α) Cn (x) − Cn−2 (x) nëse α 6= 1, (α) Q(α)   n (x) − dn−2 (α)Qn−2 (x) =   1 Cn(1) (x) − C (1) (x) nëse α = 1, n−2 n

(3.2.2)

α−1 n+α−1

dn−2 (α) = dˆn−2 (λ)

knα−1 ∼ 1 . α−1 = 4λn2 kn−2

Tani, duke u bazuar në (1.2.2), (1.2.3) dhe (3.2.1) marrim: 41

n ≥ 2,

.

R RJEDHIM 3.2. Për α > 1/2 (α)

Cn(α−1) (x) = Q(α) n (x) − dn−2 (α)Qn−2 (x),

(3.2.3)

n ≥ 2,

dhe për α > 0 (α)

(α)

(α)

B(α)Cn−1 (x) = Q′ n (x) − dn−2 (α)Q′ n−2 (x),

(3.2.4) ku

  2(α − 1)

B(α) =

 2

n ≥ 3,

nëse α 6= 1, nëse α = 1. (α)

Nëse përdorim (3.2.3) dhe (3.2.4) në mënyrë të përsëritur, atëherë polinomet Qn (α)

dhe Q′ (α) n mund të paraqiten si kombinim linear i termave të {Cn }n≥0 n

Q(α) n (x) =

(3.2.5)

[2] X

(n)

(α−1)

ai (α)Cn−2i (x),

α > 1/2,

i=0

n

(α) Q′ n (x)

(3.2.6)

= B(α)

[2] X

(n)

(α)

ai (α)Cn−2i−1 (x),

α > 0,

i=0

(n)

(n)

ku a0 (α) = 1 dhe ai (α) =

Qi

j=1

dn−2j (α). (n)

P OHIM 3.2. Ekziston konstanta c > 1 e tillë që koeficientët ai (α) në (3.2.5) dhe (3.2.6) (n)

plotësojnë jobarazimin ai (α) <

c n2 2i

për 1 ≤ i ≤ [n/2].

V ËRTETIM . Shqyrtojmë vetëm rastin kur n është numër çift, d.m.th. n = 2m, m ∈ N. Vërtëtimi i rastit tjetër bëhet në mënyrë të ngjajshme. Meqë, nga (3.2.2) kemi limm 2(2m + 4)d2m (α) = 0, atëherë ekzistojnë m0 ∈ N dhe konstanta c > 1 të tilla që 2(2m + 4)d2m (α) < 1 për çdo m ≥ m0 dhe 2(2m+4)d2m (α) < c për m = 1, ..., m0 −1. Prandaj, për 1 ≤ i ≤ m−m0 , (2m)

ai

(α) =

i Y

d2m−2j (α) <

j=1

1 , (2m)2 2i

dhe për m − m0 ≤ i ≤ m, (2m) ai (α)

=

m−m Y0

d2m−2j (α)

j=1

i Y

d2m−2j (α)

j=m−m0 +1

≤

1

(2m)2 2m−m0

(c/2)i−m+m0 = ci−m+m0

1 1 ≤ c m0 . 2 i (2m) 2 (2m)2 2i 

42

(α)

Në vazhdim japim disa vlerësime dhe veti asimptotike për polinomet Qn dhe Q′ (α) n . P OHIM 3.3.

(α)

(a) Polinomet Qn plotësojnë jobarazimin α−2 |Q(α) (1 − x2 )−(α−1)/2 n (x)| ≤ cn

për x ∈ (−1, 1) dhe α > 1.

(b) Polinomet Q′ (α) n plotësojnë jobarazimin (α)

|Q′ n (x)| ≤ cnα−1 (1 − x2 )−α/2 për x ∈ (−1, 1) dhe α > 0. V ËRTETIM . (a) Nga (1.2.4), për α > 1 dhe i = 0, 1, ..., [ n2 ] − 1  α−2 n − 2i (α−1) |Cn−2i (x)| ≤ c nα−2 (1 − x2 )−(α−1)/2 . n Rrjedhimisht, në bazë të (3.2.5) dhe Pohimin 3.2 marrim [n/2]

|Q(α) n (x)|

≤

X i=0

(n)

(α−1)

(n)

ai (α)|Cn−2i (x)| ≤ ca[n/2] (α) + cnα−2 (1 − x2 )−(α−1)/2 ×

[n ]−1  2

X i=0

n − 2i n

α−2

1 n2 2 i

≤ cnα−2 (1 − x2 )−(α−1)/2 .

Nga ana tjetër, pohimi i rastit (b) vërtetohet në mënyrë të njëjtë duke u bazuar në relacionin (3.2.6) dhe Pohimin 3.2.



P OHIM 3.4. Për α > 1 2α−3 max |Q(α) , n (x)| ≤ cn

−1≤x≤1

dhe për α > 0 (α)

max |Q′ n (x)| ≤ cn2α−1 .

−1≤x≤1

V ËRTETIM . Është e njohur se polinomet e Gegenbauer-it plotësojnë jobarazimin (shih [92, Teorema 7.33.1]) max |Cn(α) (x)| ≤ cn2α−1 ,

−1≤x≤1

për α > 0. Prandaj, për 0 ≤ j ≤ n − 1 max

−1≤x≤1

(α) |Cn−j (x)|

≤c



n−j n

2α−1

n2α−1 .

Tani, vërtetimi i pohimit bëhet në të njëjtë mënyrë si në Pohimin 3.3. 43



R RJEDHIM 3.3. Për α > 1   cnα−2 θ−α+1 (π − θ)−α+1 (α) |Qn (cos θ)| ≤  cn2α−3

nëse c/n ≤ θ ≤ π − c/n, nëse 0 ≤ θ ≤ c/n dhe π − c/n ≤ θ ≤ π,

dhe për α > 0 (α)

|Q′ n (cos θ)| ≤

  cnα−1 θ−α (π − θ)−α

nëse c/n ≤ θ ≤ π − c/n,

 cn2α−1

nëse 0 ≤ θ ≤ c/n dhe π − c/n ≤ θ ≤ π.

V ËRTETIM . Jobarazimet

n2α−3 ≤ cnα−2 θ−α+1 , α > 1, n2α−1 ≤ cnα−1 θ−α , α > 0, vlejnë për θ ∈ (0, c/n], dhe jobarazimet n2α−2 ≤ cnα−2 (π − θ)−α+1 , α > 1, n2α−1 ≤ cnα−1 (π − θ)−α , α > 0, vlejnë për θ ∈ [π − c/n, π). Tani, saktësia e pohimit implikohet nga Pohimi 3.3 dhe Pohimi 3.4.

 (α)

Në vijim tregojmë se polinomet e Sobolev-it Qn (x) arrijnë vlerat ekstreme në skaje të segmentit [−1, 1]. Më saktësisht, vlen: P OHIM 3.5. (a) Për α > 1 (α) (α) 2α−3 max |Q(α) . n (x)| = Qn (1) = |Qn (−1)| ∼ n

−1≤x≤1

(b) Për α > 0 (α)

(α)

(α)

max |Q′ n (x)| = Q′ n (1) = |Q′ n (−1)| ∼ n2α−1 .

−1≤x≤1

V ËRTETIM . (a) Nga (3.2.2), (3.2.3) dhe Pohimi 3.4 marrim (α)

(α−1) Q(α) (x) + dn−2 (α)Qn−2 (x) = Cn(α−1) (x) + O(n2α−5 ). n (x) = Cn

Tani, nga [92, Teorema 7.33.1] rrjedh rezultati. Duke u mbështetur në (3.2.4), rasti (b) vërtetohet në të njëjtën mënyrë si (a). 44



(α)

(α)

Në vijim, gjejmë formulën e tipit të Mehler-Heine-s për Qn dhe (Qn )′ . Kjo formulë shpjegon sjelljet asimptotike të polinomeve përkatëse në afërsi të skajeve të segmentit [−1, 1]. Për më tepër, në bazë të teoremës të Hurwitz-it, kjo formulë sqaron sjelljet asimptotike të zerove të "vogla" për polinomet ortogonale korresponduese. P OHIM 3.6. Le të jetë α numër real i tillë që α 6= 0, −1, .... Atëherë, uniformisht në nënbashkësitë kompakte të C (a)

(3.2.7)

(b)

(3.2.8)

   Γ(α−1/2) (z/2)−(α−3/2) Jα−3/2 (z)

nëse α 6= 1,

   Γ(α−1/2) (z/2)−(α−1/2) Jα−1/2 (z)

nëse α 6= 1,

 z Γ(2α−2) cos = lim n−2α+3 Q(α) n n→∞  n 2√π(z/2)1/2 J−1/2 (z) (α)

lim n−2α+1 Q′ n

n→∞

 z 2Γ(2α−2) = √ cos  n  π(z/2)−1/2 J1/2 (z)

nëse α = 1,

nëse α = 1.

V ËRTETIM . (a) Shumëzojmë në (3.2.3) me n−2α+3 dhe fitojmë 2α−3   z n−2 −2α+3 (α−1) cos Yn (z) = n Cn Yn−2 (z), + dn−2 (α) n n
(α) ku Yn (z) = n−2α+3 Qn cos nz .
(α−1) Nga (1.2.5), për α 6= 0, −1, ..., rrjedh që {n−2α+3 Cn cos nz }∞ n=1 është uniformisht

i kufizuar në nënbashkësit"e kompakte të C. Prandaj, për çdo bashkësi kompakte të fiksuar K ⊂ C ekziston konstanta B, e varur vetëm nga K, e tillë që kur z ∈ K  z  −2α+3 (α−1) cos Cn < B, n ≥ 1. n n

Nga ana tjetër

dn−2



n−2 n

2α−3

= O(n−2 ).

Si pasoj, ekziston n1 ∈ N i tillë që 2α−3  n−2 < 1/2, n ≥ n1 . dn−2 n Pra, për z ∈ K |Yn (z)| ≤ B + 1/2|Yn−2 (z)|, n ≥ n1 . 45

Tani, duke shfrytëzuar të njëjtat argumente si në [67] (shih gjithashtu [61]) përfundojmë që Yn (z) është uniformisht i kufizuar në K ⊂ C. Si përfundim,  z Yn (z) = n−2α+3 Cn(α−1) cos + O(n−2 ), n

z ∈ K,

dhe në bazë të (1.2.5) rrjedh rezultati i teoremës në rastin (a).

(b) Meqë në (3.2.7) kemi konvergjencë uniforme, atëherë relacioni (3.2.8) rrjedh në bazë të 

vetive të derivatit të funksionit të Bessel-it. (α)

Vetitë asimptotike të Qn dhe të derivatit të tij në bashkësitë kompakte të (−1, 1) jepen në pohimin vijues: P OHIM 3.7. Le të jetë α numër real i tillë që α 6= 0, −1, .... Për θ ∈ [ǫ, π − ǫ] dhe ǫ > 0 " # −α+1 θ θ (α) −1 (3.2.9) Qn (cos θ) = cn (α − 1) sin cos cos(kθ + γ1 ) + O(n ) , 2 2 (3.2.10)

(α)

Q′ n (cos θ) = B(α)cn−1 (α)

"

sin

θ θ cos 2 2

−α

#

cos(kθ + γ2 ) + O(n−1 ) ,

ku k = n + α − 1, γ1 = −(α − 1)π/2, γ2 = −απ/2, dhe cn (α) është dhënë në (1.2.7). (α)

V ËRTETIM . Nga Pohimi 3.3(a) kemi që {Qn (x)/nα−2 }n është uniformisht i kufizuar në

nënbashkësi kompakte të (−1, 1). Pjestojmë në (3.2.3) me nα−2 , dhe fitojmë α−2  (α) (α) (α−1) Qn−2 (x) Qn (x) Cn (x) n−2 = + d (α) . n−2 nα−2 nα−2 n (n − 2)α−2 Meqë dn−2 (α) kemi

(α)



n−2 n

α−2

=O



1 n2



,

(α−1)


Qn (x) Cn (x) −2 = + O n . nα−2 nα−2 Në bazë të (1.2.6), rrjedh relacioni (3.2.9). Sa i përket (3.2.10), ai fitohet në të njëjtën mënyrë duke shfrytëzuar (3.2.4) dhe Pohimi 3.3(b).



Në pohimin në vijim japim vlerësimet e normave të Sobolev-it për polinomet e Gegenbauer-Sobolev-it. Këto vlerësime kanë rëndësi të madhe në shqyrtimin e konditave të nevojshme për normë-konvergjencën e zbërthimit Fourier në lidhje me vargun e polinomeve korrespondues. 46

P OHIM 3.8. Për α > 0 dhe 1 ≤ p ≤ ∞    nα−1    p (3.2.11) ||Q(α) nα−1 (log n)1/p n ||Wµ ∼     n2α−1− 2α+1 p

nëse (2α + 1)/α > p, nëse (2α + 1)/α = p, nëse (2α + 1)/α < p,

p , 1 ≤ p ≤ ∞, janë përkufizuar në paragrafin 1.3. ku normat || · ||Wµp = || · ||Wµ,µ

V ËRTETIM . Për të vërtetuar kufirin e sipërm të (3.2.11) mjafton të vërtetojmë (α) p ||Q(α) n ||Wµ ≤ c||Cn ||Lp (dµ) .

(3.2.12)

Nëse përdorim (3.2.1) në mënyrë të përsëritur, marrim ]−1 [n 2 (n)

(α)

(3.2.13) Q(α) n (x) = a[n/2] (α)Qn−2[n/2] (x) +

X i=0

  (n) (n) (α) (α) ai (α)D2i (α) Cn−2i (x) − Cn−2i−2 (x) ,

ku (n) D2i (α)

=

    

(α−1) n−2i+α−1

nëse α 6= 1,

1 n−2i

nëse α = 1. (α)

Tani, zbatojmë jobarazimin e Minkowski-it dhe konsiderojmë faktin se deg Qn−2[n/2] ≤ 1 për të fituar (α) ||Q(α) n (x)||Lp (dµ) ≤ c||Cn (x)||Lp (dµ) [n/2]−1

+c

X i=0

  (α) (α) (n) ai (α) ||Cn−2i (x)||Lp (dµ) + ||Cn−2i−2 (x)||Lp (dµ) , 1 ≤ p ≤ ∞.

Lehtë tregohet se, për α > 0 dhe i = 0, 1, ..., [n/2] − 1, nga (1.2.8) (α)

(α)

||Cn−2i ||Lp (dµ) ||Cn ||Lp (dµ) ≤ c . (n − 2i)α−1 nα−1 Prandaj, (α) ||Cn−2i ||Lp (dµ)

≤



n − 2i n

α−1

||Cn(α) ||Lp (dµ) .

Zbatojmë këtë dhe Pohimin 3.2 që të fitojmë [n/2]−1

X i=0

(n) (α) ai (α)||Cn−2i ||Lp (dµ)

≤

c||Cn(α) ||Lp (dµ)

[n/2]−1 

47

X i=0

n − 2i n

α−1

1 2 i n2

≤ c1 ||Cn(α) ||Lp (dµ) .

Në mënyrë të ngjajshme tregohet që [n/2]−1

X i=0

(α)

(n)

ai (α)||Cn−2i−2 ||Lp (dµ) ≤ c||Cn(α) ||Lp (dµ) .

Pra, (α) ||Q(α) n ||Lp (dµ) ≤ c||Cn ||Lp (dµ) .

(3.2.14)

Nga ana tjetër, prej (3.2.6) dhe jobarazimit të Minkowski-it [n/2] (α) ||Q′ n ||Lp (dµ)

(3.2.15)

≤c

X i=0

(α)

(n)

ai (α)||Cn−2i−1 ||Lp (dµ) ≤ c||Cn(α) ||Lp (dµ) .

Si përfundim, relacionet (3.2.14) dhe (3.2.15) implikojnë (3.2.12). Për të vërtetuar kufirin e poshtëm në (3.2.11), nevojitet pohimi vijues: P OHIM 3.9. Për α > 0 dhe 1 ≤ p ≤ ∞    cnα−1    (α) (3.2.16) ||Q′ n ||Lp (dµ) ≥ cnα−1 (log n)1/p     2α−1− 2α+1  p cn

nëse (2α + 1)/α > p, nëse (2α + 1)/α = p, nëse (2α + 1)/α < p.

V ËRTETIM . Qartë, për p = ∞ marrim Pohimin 3.5(b), prandaj në vazhdim do të supozojmë

1 ≤ p < ∞. Akorduar në (3.2.8) dhe duke zbatuar të njëjtën teknikë si në [92, Theorem 7.34] marrim Z

1 0

(1 − x)

α−1/2

>

(α) |Q′ n (x)|p dx

Z

ω/n

θ 0

2α

∼

Z

π/2 0

(α)

θ2α |Q′ n (cos θ)|p dθ

(α) |Q′ n (cos θ)|p dθ

∼ = cnp(2α−1)−2α−1

Z

≥ cn ω

0

−2α−1

Z

0

ω

t (α) t2α |Q′ n (cos )|p dt n

t2α |t−(α−1/2) Jα−1/2 (t)|p dt Z ω p(2α−1)−2α−1 = cn t2α−pα+p/2 |Jα−1/2 (t)|p dt. 0

Nga ana tjetër, prej [91, Lema 2.1], për α > −1/2 dhe 1 ≤ p < ∞   Z ω c nëse γ < p/2 − 1, γ p t |Jα−1/2 (t)| dt ∼  0 log ω nëse γ = p/2 − 1.

Prandaj, për (2α + 1)/α ≤ p dhe ω mjaft të madhe, rrjedh relacioni (3.2.16). 48

Në fund, nga (3.2.10) Z π/2 Z 2α ′ (α) p θ |Q n (cosθ)| dθ > 0

π/2 π/4

(α)

θ2α |Q′ n (cosθ)|p dθ ∼ (cn−1 (α))p ∼ (nα−1 )p .

Vërtetimi i Pohimit 3.9 është kompletuar.



Nga (3.2.16), për α > 0 dhe 1 ≤ p ≤ ∞    cnα−1    p ≥ || (3.2.17) ||Q(α) cnα−1 (log n)1/p Wµ n     cn2α−1− 2α+1 p

nëse (2α + 1)/α > p, nëse (2α + 1)/α = p, nëse (2α + 1)/α < p.

Tani, nga (3.2.12) dhe (3.2.17) rrjedh saktësia e Pohimit 3.8.



3.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin e Gegenbauer-Sobolev-it Për f ∈ Wµp dhe për vargun e numrave real {ck,n }nk=0 , n ∈ N ∪ {0}, i tillë që cn−i,n =

o(n2 cn,n ), i = 1, 2, përkufizojmë operatorët Tn me anë të Tn (f ) =

n X

ck,n fˆ(k)Qk ,

k=0

(α)

(α) (α) fˆ(k) = (kQk k2W 2 (µ) )−1 hf, Qk iS .

Qartë, për ck,n = 1, k = 0, ..., n, marrim Tn (f ) = Sn (f ) dhe për ck,n = kemi Tn (f ) = σnδ (f ).

Aδn−k , Aδn

0 ≤ k ≤ n,

T EOREMË 3.1. Për α > 0

ku q0 =

2α+1 α

 2α+1 −α−1   n p   α kTn k[Wµp ] ≥ c|cn,n | (log n) 2α+1     nα− 2α+1 p

nëse 1 ≤ p < p0 , nëse p = p0 , p = q0 , nëse q0 < p ≤ ∞,

dhe p0 është numër i konjuguar me q0 .

Nëse ck,n = 1, k = 0, ..., n, atëherë nga Teorema 3.1 marrim: R RJEDHIM 3.4. Le të jenë dhënë α, p0 , q0 , dhe p të përcaktuar si në Teoremën 3.1. Për p 6= (p0 , q0 )

Nëse ck,n =

kσn0 k[Wµp ] → ∞, Aδn−k , Aδn

n → ∞.

0 ≤ k ≤ n, atëherë nga Teorema 3.1 marrim: 49

R RJEDHIM 3.5. Për α > 0   0 < δ < dhe p ∈ / [p0 , q0 ]

2α+1 p

 0 < δ < α −

−α−1

nëse 1 ≤ p < p0 ,

2α+1 p

nëse q0 < p ≤ ∞,

kσnδ k[Wµp ] → ∞,

n → ∞.

V ËRTETIMI I T EOREMËS 3.1. Në bazë të parimit të dualitetit, mjafton të supozojmë që q0 ≤ p ≤ ∞. Konsiderojmë test-funksionet (3.3.1) gnα−1,j (x) = (1 − x2 )j Cn(α−1+j) (x)   (α + j − 1) (α+j) 2 j (α+j) = (1 − x ) Cn (x) − Cn−2 (x) n+α+j−1

ku j ∈ N\{1}.

Nga [66, formula (2.8)] dhe [92, formula (4.7.1)] kemi (1 − x2 )j Cn(α+j) (x) = Bn (α, j)(1 − x2 )j Pn(α−1/2+j,α−1/2+j) (x) = Bn (α, j)

2j X

m=0

(α−1/2,α−1/2)

bm,j (α − 1/2, n)Pn+m

= Bn (α, j)

2j X

m=0

ku

(x) (α)

(Bn+m (α, 0))−1 bm,j (α − 1/2, n)Cn+m (x),

Γ(α + 1/2 + j) Γ(n + 2α + 2j) , Γ(2α + 2j) Γ(n + α + 1/2 + j) b0,j (α − 1/2, n) = c0,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c0,j (α − 1/2, α − 1/2, n), Bn (α, j) =

b1,j (α − 1/2, n) = −c0,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c1,j (α − 1/2, α − 1/2, n) + c1,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c0,j (α − 1/2, α − 1/2, n + 1), b2,j (α − 1/2, n) = c0,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c2,j (α − 1/2, α − 1/2, n) − c1,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c1,j (α − 1/2, α − 1/2, n + 1) + c2,j (α − 1/2, α − 1/2 + j, n)c0,j (α − 1/2, α − 1/2, n + 2), c0,j (α, β, n) =

2j Γ(n + α + j + 1)Γ(2n + α + β + 2) ∼ = 1, Γ(n + α + 1)Γ(2n + α + β + j + 2) 50

c1,j (α, β, n) =

2j A1−j−1 (n + 1)Γ(n + α + j + 1)Γ(2n + α + β + 3) ∼ −j−1 = A1 , Γ(n + α + 2)Γ(2n + α + β + j + 3)

c2,j (α, β, n) = 2j A2−j−1 (n + 1)(n + 2)(2n + α + β + 5) ×

Γ(n + α + j + 1)Γ(2n + α + β + 3) ∼ −j−1 = A2 . Γ(n + α + 3)Γ(2n + α + β + j + 4)

Prandaj, (3.3.2) gnα−1,j (x) =

(α + j − 1) n+α+j−1

× Bn (α, j)

2j X

m=0

(α)

(Bn+m (α, 0))−1 bm,j (α − 1/2, n)Cn+m (x)

2j (α + j − 1)Bn−2 (α, j) X (α) − (Bn+m−2 (α, 0))−1 bm,j (α − 1/2, n − 2)Cn+m−2 (x) n+α+j−1 m=0

Gjatë aplikimit të operatorëve Tn për funksionet gnα−1,j , për ndonjë j > α + 1 − (2α + 1)/p dhe n mjaft të mëdha, marrim Tn (gnα−1,j ) =

(3.3.3)

n X

(α)

ck,n (gnα−1,j )ˆ(k)Qk ,

k=0

ku (α)

(α)

(gnα−1,j )ˆ(k) = (kQk k2Wµ2 )−1 hgnα−1,j , Qk iS ,

k = 0, 1, ..., n,

dhe (shih (3.2.11)) 2 2α−2 kQ(α) . n kWµ2 ∼ n

Duke pasur parasysh (3.2.13) dhe (3.3.2), për 0 ≤ k ≤ n − 3 Z 1 (α) gnα−1,j (x)Qk (x)dµ(x) = 0. −1

Nëse k = n − 2 Z

1 −1



(α) gnα−1,j (x)Qn−2 (x)dµ(x)

(α + j − 1)a(n−2) (α)D(n−2) (α)b (α − 1/2, n − 2)B (α, j)(B (α, 0))−1 0,j n−2 n−2 0 0 ≤ n+α+j−1 Z 1 2 (α) Cn−2 (x) dµ(x) ≤ cn2α+j−4 . × −1

51

Nëse k = n − 1 Z 1 (α) α−1,j g (x)Q (x)dµ(x) n−1 n −1 (α + j − 1)a(n−1) (α)D(n−1) (α)b (α − 1/2, n − 2)B (α, j)(B (α, 0))−1 1,j n−2 n−1 0 0 ≤ n+α+j−1 Z 1 2 (α) × Cn−1 (x) dµ(x) ≤ cn2α+j−4 . −1

Nëse k = n Z 1 α−1,j (α) g (x)Q (x)dµ(x) n n −1 (α + j − 1)a(n) (α)D(n) (α)b (α − 1/2, n)B (α, j)(B (α, 0))−1 0,j n n 0 0 ≤ n+α+j−1 Z 1
2 Cn(α) (x) dµ(x) × −1 (α + j − 1)a(n) (α)D(n) (α)b (α − 1/2, n − 2)B (α, j)(B (α, 0))−1 2,j n−2 n 0 0 + n+α+j−1 Z 1
2 Cn(α) (x) dµ(x) × −1 (α + j − 1)a(n) (α)D(n) (α)b (α − 1/2, n − 2)B (α, j)(B (α, 0))−1 0,j n−2 n−2 0 0 + n+α+j−1 Z 1 2 (α) × Cn−2 (x) dµ(x) −1 (α + j − 1)a(n) (α)D(n) (α)b (α − 1/2, n − 2)B (α, j)(B (α, 0))−1 0,j n−2 n−2 1 2 + n+α+j−1 Z 1 2 (α) Cn−2 (x) dµ(x) ≤ cn2α+j−4 . × −1

Nga ana tjetër, prej (3.3.1) dhe [92, formula (4.7.17)]

(3.3.4)


′
′ gnα−1,j (x) = (1 − x2 )j Cn(α−1+j) (x)

(α+j)

= −2j(1 − x2 )j−1 xCn(α−1+j) (x) + 2(α − 1 + j)(1 − x2 )j Cn−1 (x) =

j(n + 2α + 2j − 3) −j(n + 1) (α−1+j) (1 − x2 )j−1 Cn+1 (x) − n+α+j−1 n+α+j+1 (α−1+j)

× (1 − x2 )j−1 Cn−1 52

(α+j)

(x) + 2(α − 1 + j)(1 − x2 )j Cn−1 (x).

Pra, për 0 ≤ k ≤ n − 1 Z

1 −1


′ gnα−1,j (x)

 ′ (α) Qk (x) dµα (x)

−j(n + 1) = n+α+j−1

Z

1

(α−1+j) Cn+1 (x)

−1

j(n + 2α + 2j − 3) − n+α+j+1

Z

1 −1



(α) Qk (x)

(α−1+j) Cn−1 (x)

+ 2(α − 1 + j)

Z

1 −1

′

(1 − x2 )α−1+j−1/2 dx

 ′ (α) Qk (x) (1 − x2 )α−1+j−1/2 dx

(α+j) Cn−1 (x)

 ′ (α) Qk (x) (1 − x2 )α+j−1/2 dx = 0,

dhe për k = n Z

1 −1


′ gnα−1,j (x)


′ Q(α) n (x)

j(n + 2α + 2j − 3) dµα (x) = − n+α+j+1 !

Z

1 −1

(α−1+j)

Cn−1

(x)

knα−1 (α−1+j) (x) + rn−2 (x) (1 − x2 )α−1+j−1/2 dx α−1+j Cn−1 kn−1 ! Z 1 α−1 k (α+j) (α+j) Cn−1 (x) n nα+j Cn−1 (x) + sn−2 (x) + 2(α − 1 + j) kn−1 −1 ×

n

× (1 − x2 )α+j−1/2 dx, ku deg rn−2 ≤ n − 2 dhe deg sn−2 ≤ n − 2. Nga [92, formula (4.7.15)] j(n + 2α + 2j − 3) nknα−1 α−1+j n + α + j + 1 kn−1

k α−1 2(α − 1 + j)n nα+j kn−1

Z

Z

1 −1

1 −1

 2 (α−1+j) Cn−1 (x) (1 − x2 )α−1+j−1/2 dx ∼ = cn2α+j−3 ,

 2 (α+j) Cn−1 (x) (1 − x2 )α+j−1/2 dx ∼ = cn2α+j−2 .

Kështu që,   (α)  hgnα−1,j , Qk i = 0,       α−1,j (α,β)  , Qn−2 i ≤ cn2α+j−4 , hgn  α−1,j (α,β)  , Qn−1 i ≤ cn2α+j−4 ,   hgn     hg α−1,j , Q(α) ∼ 2α+j−2 . n i = cn n 53

0 ≤ k ≤ n − 3,

Si përfundim,    (gnα−1,j )ˆ(k) = 0,       |(g α−1,j )ˆ(n − 2)| ≤ cnj−2 , n

(3.3.5)

0 ≤ k ≤ n − 3,

  |(gnα−1,j )ˆ(n − 1)| ≤ cnj−2 ,       (g α−1,j )ˆ(n) ∼ = cnj . n

Tani, le të vlerësojmë normën

kgnα−1,j kpWµp = kgnα−1,j kpLp (dµ) +λk(gnα−1,j )′ kpLp (dµ) .

(3.3.6)

Nga (1.2.8) dhe (3.3.1) (3.3.7)

kgnα−1,j kpLp (dµ) =

për j > α − 1 −

Z

1 −1

(1 − x2 )α−1/2+jp |Cn(α−1+j) (x)|p dx ≤ cnp(α−2+j)

2α+1 . p

Përsëri, nga (1.2.8), për j > α + 1 −

2α+1 p

||(1 − x2 )j−1 Cn(α−1+j) ||Lp (dµ) ∼ nα−2+j , dhe për j > α −

2α+1 p

||(1 − x2 )j Cn(α+j) ||Lp (dµ) ∼ nα−1+j . Prandaj, nga (3.3.4) ||(gnα−1,j )′ ||Lp (dµ) ≤ cnα−1+j

(3.3.8) për j > α + 1 −

2α+1 . p

Duke u bazuar në (3.3.7) dhe (3.3.8), nga (3.3.6) gjejmë se ||gnα−1,j ||Wµp ≤ cnα−1+j ,

(3.3.9) për j > α + 1 −

2α+1 . p

54

Prej (3.3.3), (3.3.5) dhe (3.3.9) kTn k[Wpµ ] ≥ [kgn(α−1,j) kWµp ]−1 kTn (gn(α−1,j) )kWµp ≥ cn1−α−j (α) α−1,j p )ˆ(n − 1) ||Qn−1 ||Wµp × cn,n (gnα−1,j )ˆ(n) ||Q(α) n ||Wµ − cn−1,n (gn (α) p − cn−2,n (gnα−1,j )ˆ(n − 2) ||Qn−2 ||Wµp ≥ cn1−α |cn,n |||Q(α) n ||Wµ   ccn−1,n ccn−2,n − . × 1 − 2 n cn,n n2 cn,n

Tani, nga Pohimi 3.8 rrjedh saktësia e teoremës.



3.4. Konditat e nevojshme për konvergjencën sipas Sobolev-normës për zbërthimin e Gegenbauer-Sobolev-it Çështja e konvergjencës sipas normës të serisë Fourier në lidhje me vargun e polinomeve ortogonale të Gegenbauer-it është diskutuar nga shumë autorë. Shih, për shembull, [80], [82], [84], [71] dhe referencat e tyre. Duke u bazuar në Pohimi 3.8, marrim Wµp -normat për polinomet ortonormale të (α)

(α)

(α)

Gegenbauer-Sobolev-it qn (·) = (kQk kWµ2 )−1 Qn (·). P OHIM 3.10. Për α > 0 dhe 1 ≤ p ≤ ∞    c    ||qn(α) ||Wµp ∼ (log n)1/p     nα− 2α+1 p

nëse (2α + 1)/α > p, nëse (2α + 1)/α = p, nëse (2α + 1)/α < p.

Pohimi vijues jep konditat e nevojshme të norm-konvergjencës të zbërthimit Fourier (α)

sipas termave të vargut {qn }∞ n=0 . T EOREMË 3.2. Le të jenë α > 0 dhe 1 < p < ∞. Nëse ekziston konstanta c > 0 e tillë që (3.4.1)

kSn f kWµp ≤ ckf kWµp ,

për çdo f ∈ Wµp , atëherë p ∈ (p0 , q0 ). V ËRTETIM . Për vërtetimin e teoremës shfrytëzojmë të njëjtat argumente si në [82]. Supozojmë që vlen jobarazimi (3.4.1). Atëherë, khf, qn(α) iS qn(α) kWµp = kSn f − Sn−1 f kWµp ≤ 2ckf kWµp . 55

Konsiderojmë funksionelet Ln (f ) = hf, qn(α) iS ||qn(α) ||Wµp në Wµp . Pra, për çdo f në Wµp kemi supn |Ln (f )| < ∞. Kjo implikon, në bazë të teoremës së Banach-Steinhaus-it, që supn ||Ln || < ∞. Nga ana tjetër, në bazë të parimit të dualitetit (shih [1, Teorema 3.8]) kemi ||Ln || = ||qn(α) ||Wµp kqn(α) kWµp . ku p i konjuguar me q. Prandaj, kqn(α) kWµp kqn(α) kWµp < ∞. Nga Pohimi 3.10 rrjedh se jobarazimi i fundit është i saktë atëherë dhe vetëm atëherë kur p ∈ (p0 , q0 ).

 3.5. Divergjenca pothuajse kudo e zbërthimit të Gegenbauer-Sobolev-it

Nëse ||Sn f ||Wµ∞ është uniformisht i kufizuar në bashkësinë, themi E, me masë pozitive në [−1, 1], atëherë ||fˆ(n)qn(α) ||Wµp < c, n ∈ N. Prandaj, (α)

|fˆ(n)q ′ n (x)| < c, n ∈ N, p.k. në E. Në bazë të teoremës të Egorov-it (shih, p.sh., [95, Theorem 4.17]) rrjedh që ekziston nënbashkësia E1 ⊂ E me masë pozitive e tillë që (α)

|fˆ(n)q ′ n (x)| < c uniformisht për ∀x ∈ E1 . Nga ana tjetër, nga (3.2.10) dhe Pohimi 3.8 " # −α θ θ (α) sin cos q ′ n (cos θ) = An cos(kθ + γ2 ) + O(n−1 ) 2 2 ku An ∼ =

21/2−α √ . πλ

Kështu që,
|fˆ(n) cos(kθ + γ2 ) + O(n−1 ) | < c

uniformisht për cos θ ∈ E1 . Tani, në bazë të teoremës të Cantor-Lebesgue-it, siç është përshkruar në [73] (shih gjithashtu [97, f.316]), marrim (3.5.1)

|fˆ(n)| < c. 56

T EOREMË 3.3. Le të jetë α > 0. Ekziston f ∈ Wµp , 1 ≤ p ≤ p0 , zbërthimi Fourier i të cilit

divergjon pothuajse kudo në [−1, 1] sipas normës Wµ∞ . V ËRTETIM . Konsiderojmë funksionelet lineare

Ln (f ) = fˆ(n) = hf, qn(α) iS në Wµp , 1 ≤ p ≤ p0 . Në bazë të [1, Teorema 3.8] kemi ||Ln || = kqn(α) kWµp , q0 ≤ p ≤ ∞. Nga Pohimi 3.10 sup ||Ln || = ∞. n

Pra, nga teorema e Banach-Steinhaus-it rrjedh ekzistenca e funksionit f ∈ Wµp , 1 ≤ p ≤ p0 , i tillë që sup |Ln (f )| = ∞. n

Meqë ky rezultat është kontradiktor me (3.5.1), atëherë përfundojmë se për këtë funksion f zbërthimi Fourier i tij divergjon p.k. në [−1, 1] sipas normës të Wµp .

57



KAPITULL 4

Vetitë asimptotike dhe zbërthimet Fourier të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalare jo-diskret të Laguerre-Sobolev-it 4.1. Polinomet ortogonale të Laguerre-Sobolev-it Le të jetë dµ(x) = xα e−x dx, α > −1, masë e Laguerre-it në intervalin (0, ∞) dhe le të përkufizojmë në hapësirën P prodhimin skalar jo-diskret të Sobolev-it

(4.1.1)

hf, giS =

Z

∞

f (x)g(x)dµ(x) + λ

0

Z

∞

f ′ (x)g ′ (x)dµ(x)

0

(α)

ku λ > 0. Shënojmë me {Sn (x)}∞ n=0 vargun e polinomeve ortogonal në lidhje me (α)

(4.1.1), të normuara me konditën që Sn (α)

klasik i Laguerre-it Ln (x) =

(−1)n n!

ka të njëjtin koeficient kryesor si polinomi

xn +... . Këto polinome i quajmë polinome të Laguerre-

Sobolev-it. Polinomet ortogonale të Laguerre-Sobolev-it janë studiuar nga shumë autorë. Rasti i veçant α = 0 i prodhimit skalar (4.1.1) u studiua në [12]. Një tretman shum të mirë të (α)

vargut të polinomeve {Sn (x)}∞ n=0 ortogonale në lidhje me (4.1.1) paraqitet në punimin [59]. Aty shqyrtohen disa relacione algjebrike e diferenciale, relacionet e rekurencës të (α)

katër termave, formula e tipit të Rodrigues dhe disa veti të zerove të polinomeve Sn . (α)

Vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale Sn në bashkësitë kompakte të C\[0, ∞) (α)

janë studiuara në [60], ndërsa vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale Sn

në

bashkësitë kompakte të (0, ∞), formula e tipit të Mehler-Heine-s, formula e tipit të (α)

Plancherel-Rotach si dhe disa vlerësime të sipërme për polinomet Sn

janë vërtet-

uar në punimin [3]. Në punimin [77] është arritur të gjendet funksioni gjenerues për këto polinome. Tani, le t’i përmbledhim disa veti të polinomeve të Laguerre-Sobolev-it të cilat nevoiten në vazhdim. Vlen relacioni vijues ndërmjet polinomeve të Laguerre-Sobolev-it dhe

atyre të Laguerre-it: (α)

Ln(α−1) (x) = Sn(α) (x) − an−1 Sn−1 (x),

(4.1.2)

n ≥ 1,

ku (α)

an =

(4.1.3)

kLn k2L2

ω(α)

(α) kSn k2W 1,2 ω(α)

.

Për më tepër, lim an =

n→∞

1 = a ∈ (0, 1). φ((λ + 2)/2)

Duke shfrytëzuar (4.1.2) në mënyrë të përsëritur dhe bazuar në (1.2.12) marrim (shih [3]) (4.1.4)

Sn(α) (x) =

n X

(n)

(α−1)

bi Ln−i (x) =

i=0

n X

(n)

bi

i=0



 (α) (α) Ln−i (x) − Ln−i−1 (x) ,

n ≥ 0,

(n)

(n)

ku b0 = 1 si dhe ekzistojnë konstantat C > 1 dhe 0 < r < 1 të tilla që 0 < bi

< Cri ,

n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n.

 ′ (α) Në vazhdim, japim vetitë asimptotike të Sn në bashkësitë kompakte të (0, ∞)

dhe C, përkatësisht.

P OHIM 4.1. Le të jetë α > −1. Uniformisht në nënbashkësitë kompakte të (0, ∞) p S ′ (α) n (x) x/2 −α/2 = −e x J (2 (n − 1)x) + O(n−1/4 ). α α/2 (n − 1)

(4.1.5)

V ËRTETIM . Vërtetimin e pohimit e bejmë në mënyrë të njëjtë si në [3, Teorema 3.1]. Në bazë të (1.2.13) dhe (4.1.2) kemi (α)

(α)

(α)

S ′ n (x) = −Ln−1 (x) + an−1 S ′ n−1 (x), përkatësisht  ′ (α) Sn (x) (n −

1)α/2−1/4

=−

(n

(α) Ln−1 (x) − 1)α/2−1/4

+ an−1



(α)

n−2 n−1

α/2−1/4

n ≥ 1,  ′ (α) Sn−1 (x)

(n − 2)α/2−1/4

,

n ≥ 1.

Në bazë të [92, Teorema (8.22.1)] vargu {Ln−1 (x)/(n − 1)α/2−1/4 }n është uniformisht i ku
α/2−1/4 → a ∈ (0, 1), atëherë arfizuar në nënbashkësitë kompakte të (0, ∞). Meqë an−1 n−2 n−1  ′ (α) gumentet standarde implikojnë kufizueshmërinë uniforme të vargut Sn (x) /(n − 1)α/2−1/4 në nënbashkësitë kompakte të (0, ∞).

59

Përfundimisht,  ′ (α) Sn (x) (n −

1)α/2

=

(α) Ln−1 (x) − (n − 1)α/2

+

an−1 (n − 1)1/4



n−2 n−1

α/2−1/4



(α)

Sn−1 (x)

′

(n − 2)α/2−1/4 (α)

L (x) = − n−1 α/2 + O(n−1/4 ) (n − 1) uniformisht në nënbashkësitë kompakte të (0, ∞). Tani, saktësia e pohimit rrjedh nga (1.2.15).  P OHIM 4.2. Le të jetë α > −1. Uniformisht në nënbashkësitë kompakte të C  ′ (α) Sn (z/n) √ 1 −α/2 =− z Jα (2 z). (4.1.6) lim α n→∞ n 1−a V ËRTETIM . Në [3, Teorema 3.3] është vërtetuar se (α)

√ Sn (z/n) 1 −(α−1)/2 z) = z J (2 α−1 n→∞ nα−1 1−a lim

uniformisht në nënbashkësitë kompakte të C. Nëse derivojmë relacionin e mësipërm dhe marrim parasysh vetitë e funksionit të Bessel-it, atëherë rezultati i pohimit rrjedh menjëherë.



4.2. Vlerësimet e normave të Sobolev-it për polinomet e Laguerre-Sobolev-it Në fillim, le të përkufizojmë dy bashkësi të hapësirave të normuara të Sobolev-it:   f : kf kp p = kf kp p +λkf ′ kp p < ∞, if 1 ≤ p < ∞, Wω(α) Lω(α) Lω(α) p Wω(α) =  f : kf kW ∞ = max{||f ||L∞ , λ||f ′ ||L∞ } < ∞, if p = ∞, ω(α) ω(α) ω(α)

për α > −1, dhe   f : kf kp p = kf kp p +λkf ′ kp p < ∞, Wu(α) Lu(α) Lu(α) p Wu(α) =  f : kf kW ∞ = max{||f ||L∞ , λ||f ′ ||L∞ } < ∞, u(α) u(α) u(α)

if 1 ≤ p < ∞, if p = ∞,

për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞, ku hapësirat Lpω(α) dhe

Lpu(α) janë përkufizuar në paragrafin 1.2.2. Vërejmë që L2ω(α) ≡ L2u(α) , dhe si rrjedhim

2 2 Wω(α) ≡ Wu(α) .

 ′ (α) Në fillim, vlerësojmë kufirin e poshtëm për Sobolev-normat e polinomeve Sn . 60

P OHIM 4.3. Për α > −1/2 dhe


′ || Sn(α) ||Lpω(α)

(4.2.1)

4α+4 2α+1

≤p≤∞

   cn(α+1)/p−1/2    ≥ cnα/2−1/4 (log n)1/p     cnα−(α+1)/p

nëse 1 ≤ p <

4α+4 , 2α+1

nëse p = nëse

4α+4 , 2α+1

4α+4 2α+1

< p ≤ ∞.

Për 4 ≤ p < ∞ dhe α > −2/p ose për p = ∞ dhe α ≥ 0


(α) ′

|| Sn

(4.2.2)

||Lpu(α)

   cnα/2+1/p−1/2    ≥ cnα/2−1/2+1/p (log n)1/p     cnα/2−1/p

nëse 1 ≤ p < 4, nëse p = 4, nëse 4 < p ≤ ∞.

V ËRTETIM . Konstatojmë që rasti kur p = ∞ rrjedh nga (4.1.6), kështu që në vazhdim supozojmë që 1 ≤ p < ∞. Bazuar në (4.1.5) kemi Z

(n−1)π 2 4 π2 4(n−1)

|


′ Sn(α) (x) e−x/2 |p xβ dx

≥ cn

pα/2

Z

(n−1)π 2 4

|Jα+1 (2

π2 4(n−1)

≥ cn

pα−β−1

p (n − 1)x)|p xβ−pα/2 dx

Z

(n−1)π

t2β−pα+1 |Jα+1 (t)|p dt.

π

Në [91, Lema 2.1], Stempak tregoi që, për α > −1, γ > −1 − pα dhe 1 ≤ p < ∞, vlenë    c   Z ω  tγ |Jα (t)|p dt ∼ c log ω  0    cnγ−p/2+1

nëse γ < p/2 − 1, nëse γ = p/2 − 1. nëse γ > p/2 − 1.

Tani, për β = α relacioni (4.2.1) pason dhe për β = pα/2 marrim (4.2.2). R RJEDHIM 4.1. Për α > −1/2 dhe

p ||Sn(α) ||Wω(α)

4α+4 2α+1

≤p≤∞

   cn(α+1)/p−1/2    ≥ cnα/2−1/4 (log n)1/p     cnα−(α+1)/p 61

nëse 1 ≤ p < nëse p = nëse

4α+4 2α+1

4α+4 , 2α+1

4α+4 , 2α+1

< p ≤ ∞.



Për 4 ≤ p < ∞ dhe α > −2/p ose për p = ∞ dhe α ≥ 0    cnα/2+1/p−1/2    p ≥ cnα/2−1/2+1/p (log n)1/p ||Sn(α) ||Wu(α)     cnα/2−1/p

dhe

P OHIM 4.4. Për α ≥ 0 dhe n mjaft të mëdha   n(α+1)/p−1/2    (α) p ||Sn ||Wω(α) ∼ nα/2−1/4 (log n)1/p     nα−(α+1)/p

p ||Sn(α) ||Wu(α)

   nα/2+1/p−1/2    ∼ nα/2−1/4 (log n)1/p     nα/2−1/p

nëse 1 ≤ p < 4, nëse p = 4, nëse 4 < p ≤ ∞.

nëse 1 ≤ p < nëse p = nëse

4α+4 2α+1

4α+4 , 2α+1

4α+4 , 2α+1

< p < ∞,

nëse 1 ≤ p < 4, nëse p = 4, nëse 4 < p < ∞. (α)

p . Vlerësimi V ËRTETIM . Do të analizojmë vetëm vlerësimin e kufirit të sipërm për ||Sn ||Wω(α)

(α)

p i kufirit të sipërm për ||Sn ||Wu(α) bëhet në mënyrë analoge. Bazuar në (4.1.4) dhe jobarazimin

e Minkowski-t marrim ||Sn(α) ||Lpω(α)

≤

n X i=0

(α−1) (n) ||Lpω(α) bn−i ||Li

≤

n X i=0

(α) (n) bn−i ||Li ||Lpω(α)

+

n X i=0

(n)

(α)

bn−i ||Li−1 ||Lpω(α) .

Lehtë tregohet që, për α ≥ 1/2, 1 ≤ p < ∞ dhe i = 0, 1, ..., n, nga Pohimi 1.6 (α)

p ||Li ||Lpω(α) ≤ ||L(α) n ||Lω(α) .

Nga ana tjetër, n X i=0

(n) bn−i

=

n X

(n) bi


i=0

n X

ri = C

i=0

1 − rn+1 C → . 1−r 1−r

Kështu që, për α ≥ 1/2 dhe 1 ≤ p < ∞ p ||Sn(α) ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) .

Ngjajshëm tregohet rasti kur 0 < α < 1/2 dhe p ≥ 0 ≤ α < 1/2 dhe 2(α + 1) < p <

α+1 . α

α+1 α

ose p ≤ 2(α + 1). Tani, le të jetë

Meqë (1 − δ)n − n/2 ≥ 1, për 0 < δ < 1/2 − 1/n dhe 62

n mjaft të mëdha, atëherë ekziston no ∈ N i tillë që n/2 ≤ n0 ≤ (1 − δ)n. Përsëri, në bazë të Pohimit 1.6 n X i=0

(n) (α) bn−i ||Li ||Lpω(α)

=

≤

n0 X i=0

(n) (α) bn−i ||Li ||Lpω(α)

(α) c||L0 ||Lpω(α)

n0 X

(n) bn−i

+

n X

n=n0 +1

+

i=0

(n)

(α) c||Ln0 +1 ||Lpω(α)

≤c ku

n0 X

rn−i = rn−n0

i=0

dhe

n X

r

(n)

bn−i

i=n0 +1 n−i

i=0

+

p ||L(α) n ||Lω(α)

n X

rn−i ,

i=n0 +1

1 1 − rn−n0 → . 1−r 1−r

rn−i =

n X

p bn−i ||Li ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) .

n X

p bn−i ||Li−1 ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) .

i=0

Ngjajshëm,

n0 X

n X

1 − rn0 +1 p ≤ crδn ≤ c||L(α) n ||Lω(α) , kur n → ∞, 1−r

i=n0 +1

Prandaj,

(α)

bn−i ||Li ||Lpω(α)

i=0

(n)

(α)

(n)

(α)

Pra, për 0 ≤ α < 1/2 dhe 2(α − 1) < p <

α+1 α

p ||Sn(α) ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) .

Përfundimisht, për α ≥ 0 dhe 1 ≤ p < ∞ p ||Sn(α) ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) .

Nga ana tjetër, nga (1.2.13), (4.1.4) dhe jobarazimi i Minkowski-t (α) ||S ′ n ||Lpω(α)

≤

n X i=0

(n)

(α)

bn−i ||Li−1 ||Lpω(α) .

Krejtësisht ngjajshëm si më lartë, tregohet që (α)

p ||S ′ n ||Lpω(α) ≤ c||L(α) n ||Lω(α) ,

ku α ≥ 0 dhe 1 ≤ p < ∞. 

Pohimi u vërtetua në tërësi. 63

4.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimin e Laguerre-Sobolev-it   p p Për f ∈ Wω(α) f ∈ Wu(α) dhe për vargun e numrave kompleks {ck,n }nk=0 , n ∈

N ∪ {0}, me |cn,n | > 0, përkufizojmë operatorët Tn me Tn (f ) = Qartë, për ck,n =

n X

(α) ck,n fˆ(k)Sk ,

k=0

Aδn−k , Aδn

σn0 (f ) = Sn (f ).

(α) (α) fˆ(k) = (kSk k2W 2 )−1 hf, Sk iS . ω(α)

ku 0 ≤ δ dhe 0 ≤ k ≤ n, kemi Tn (f ) = σnδ (f ), e në veçanti

T EOREMË 4.1. Për α > −1/2

ku q0 =

4α+4 2α+1

 2α+2 − 2α+3  p 2  n    2α+1 p kTn k[Wω(α) (log n) 4α+4 ] ≥ c|cn,n |     − 2α+2 n 2α+1 2 p

nëse 1 ≤ p < p0 , nëse p = p0 , p = q0 , nëse q0 < p ≤ ∞,

dhe p0 është numër i konjuguar me q0 .

Për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞  2 − 23  p  n    1 p ≥ c|c | kTn k[Wu(α) n,n (log n) 4 ]     n 12 − p2

nëse 1 ≤ p < p0 , nëse p = p0 , p = q0 , nëse q0 < p ≤ ∞,

ku q0 = 4 dhe p0 është numër i konjuguar me q0 .

V ËRTETIM . Për vërtetimin e teoremës do të shfrytëzojmë test-funksionet (shih [66, formula (1.17)]) (α+j−1)

α−1,j (4.3.1) gn+1 (x) = xj Ln+1

(α+j−1)

= xj Ln+1

(x) −

(x) − s

s

(n + 1)(n + 2) (α+j−1) xj Ln+3 (x) (n + α + j + 1)(n + α + j + 2)

(n + 2)(n + 3) (α+j−1) xj Ln+3 (x) (n + α + j + 1)(n + α + j + 2) (α+j−1)

+ An (α, j)xj Ln+3 √ √ (n+2)(n+3)− (n+1)(n+2) ∼ 1 ku j ∈ N\{1} dhe An (α, j) = √ = n. (n+α+j+1)(n+α+j+2)

64

(x).

α−1,j Aplikojmë operatorët Tn në test-funksionet gn+1 dhe marrim α−1,j Tn (gn+1 )

(4.3.2)

=

n X

(α)

α−1,j ck,n (gn+1 )ˆ(k)Sk ,

k=0

ku (α)

(α)

α−1,j α−1,j , Sk i, (gn+1 )ˆ(k) = (kSk k2W 2 )−1 hgn+1 ω(α)

k = 0, 1, ... , n,

dhe (shih (1.2.9) dhe (4.1.3)) nα . kSn(α) k2W 2 ∼ = ω(α) a Në bazë të (4.3.1), për 0 ≤ k ≤ n − 1 Z

∞ 0

(α) α−1,j gn+1 (x)Sk (x)xα e−x dx

−

s

=

Z

∞ 0

(α+j−1)

Ln+1

(n + 1)(n + 2) (n + α + j + 1)(n + α + j + 2)

Z

(α)

(x) xSk (x)xα+j−1 e−x dx ∞

(α+j−1)

Ln+3

0

(α)

(x) xSk (x)xα+j−1 e−x dx = 0,

dhe për k = n Z

∞ 0

α−1,j gn+1 (x)Sn(α) (x)xα e−x dx

=

Z

∞ 0

(α+j−1)

Ln+1

= −(n + 1)

Z

(x) xSn(α) (x)xα+j−1 e−x dx

∞ 0

Nga ana tjetër, nga (1.2.13) and (4.3.1) (4.3.3)

 2 (α+j−1) Ln+1 (x) xα+j−1 e−x dx ∼ = −nα+j .


′ α−1,j α,j−1 gn+1 (x) = jgn+1 (x) − xj Ln(α+j) (x) s

(n + 1)(n + 2) (α+j) xj Ln+2 (x). (n + α + j + 1)(n + α + j + 2)

+

Pra,

për 0 ≤ k ≤ n.

Z

∞ 0


′ α−1,j gn+1 (x)



(α) Sk (x)

′

xα e−x dx = 0,

Si përfundim, (4.3.4)

  (g α−1,j )ˆ(k) = 0,

0 ≤ k ≤ n − 1,

n+1

 (g α−1,j )ˆ(n) ∼ = −anj . n+1

Tani, le t’i vlerësojmë Sobolev-normat α−1,j p ||gn+1 ||W p

ω(α)

α−1,j p = ||gn+1 ||Lp

ω(α)

65

α−1,j ′ p + λ||(gn+1 ) ||Lp

ω(α)

,

α−1,j p ||gn+1 ||W p

u(α)

α−1,j p = ||gn+1 ||Lp

u(α)

α−1,j ′ p + λ||(gn+1 ) ||Lp

u(α)

.

Bazuar në [66, fq. 827], Rrjedhimi 1.1 dhe (4.3.1), për j > max{α − 1/2 − 2α/p, α − 2/3 − 2(α − 1/3)/p} α−1,j ||gn+1 ||Lpω(α) ≤ cnj−1/2+α/p , 1 ≤ p ≤ ∞,

(4.3.5)

dhe për j > max{1/2 − 2/p, 1/3 − 4/(3p)} α−1,j ||gn+1 ||Lpu(α) ≤ cnj+α/2+1/p−1/2 , 1 ≤ p ≤ ∞.

(4.3.6)

Nga ana tjetër, bazuar në [66, fq. 827], (4.3.5) dhe (4.3.6), prej relacionit (4.3.3) rrjedh
α−1,j ′ ||Lpω(α) ≤ cnj−1/2+(α+1)/p , 1 ≤ p ≤ ∞, || gn+1

për j > max{α + 3/2 − 2(α + 1)/p, α + 4/3 − 2(α + 2/3)/p}, dhe
α−1,j ′ ||Lpu(α) ≤ cnj+α/2+1/p−1/2 || gn+1

për j > max{3/2 − 2/p, 4/3 − 4/(3p)}.

Pra, për j > max{α + 3/2 − 2(α + 1)/p, α + 4/3 − 2(α + 2/3)/p} α−1,j p ||Wω(α) ≤ cnj−1/2+(α+1)/p , 1 ≤ p ≤ ∞, ||gn+1

(4.3.7)

dhe për j > max{3/2 − 2/p, 4/3 − 4/(3p)} α−1,j p ||gn+1 ||Wu(α) ≤ cnj+α/2+1/p−1/2 , 1 ≤ p ≤ ∞.

(4.3.8)

Përfundimisht, nga (4.3.2), (4.3.4), (4.3.7) dhe (4.3.8) (α−1,j)

p ≥ [||gn+1 ||Tn ||Wω(α)

(α−1,j)

p ]−1 ||Tn (gn+1 ||Wω(α)

p )||Wω(α) p , ≥ c|cn,n | n1/2−(α+1)/p ||Sn(α) ||Wω(α)

(α−1,j)

p ≥ [||gn+1 ||Tn ||Wu(α)

(α−1,j)

p ]−1 ||Tn (gn+1 ||Wu(α)

p )||Wu(α) p . ≥ c|cn,n | n−α/2−1/p+1/2 ||Sn(α) ||Wu(α)

Tani, Rrjedhimi 4.1 implikon saktësinë e pohimit të teoremës për q0 ≤ p ≤ ∞. Vërtetimi i pohimit të teoremës për 1 ≤ p ≤ p0 rrjedh nga parimi i dualitetit. 66



R RJEDHIM 4.2. Le të jenë α, p0 , q0 , dhe p të definuara si në Teoremën 4.1. Atëherë, për ck,n = 1, k = 0, ..., n, dhe p ∈ / (p0 , q0 ) p ||σn0 ||[Wω(α) ] → ∞,

n → ∞,

p ||σn0 ||[Wu(α) ] → ∞,

n → ∞.

R RJEDHIM 4.3. Le të jenë ck,n =   0 < δ < dhe p ∈ / [p0 , q0 ], atëherë

 0 < δ <

Aδn−k , Aδn

0 ≤ k ≤ n. Nëse α > −1/2

2α+2 p

−

2α+3 2

nëse 1 ≤ p < p0 ,

2α+1 2

−

2α+2 p

nëse q0 < p ≤ ∞,

p ||σnδ ||[Wω(α) ] → ∞,

n → ∞.

Për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞   0 < δ < 2 − 3 nëse 1 ≤ p < p0 , p 2 dhe p ∈ / [p0 , q0 ], atëherë

 0 < δ <

1 2

−

2 p

nëse q0 < p ≤ ∞,

p ||σnδ ||[Wu(α) ] → ∞,

n → ∞.

4.4. Divergjenca pothuajse kudo e zbërthimit të Laguerre-Sobolev-it   ∞ ∞ është i kufizuar, atëherë ||σn0 f ||Wu(α) Nëse ||σn0 f ||Wω(α) ||fˆ(n)Sn(α) ||W 1,∞ < c ω(α)



 (α) ˆ ||f (n)Sn ||W 1,∞ < c , n ∈ N. u(α)

Prandaj, (α) |fˆ(n)S ′ n (x)e−x/2 | < c

  ′ (α) −x/2 α/2 ˆ |f (n)S n (x)e x | < c , n ∈ N,

p.k. në (0, ∞). Tani, teorema e Egorov-it implikon ekzistencën e bashkësisë E ⊂ (0, ∞) me masë pozitive e tillë që (α) |fˆ(n)S ′ n (x)e−x/2 | < c



(α) |fˆ(n)S ′ n (x)e−x/2 xα/2 | < c

uniformisht për x ∈ E. 67



Nga ana tjetër, prej (4.1.5) dhe bazuar në vetitë asimptotike të funksionit të Bessel-it Jα (x) (shih, p.sh., [91, formula (2.1)]) marrim (α)

S ′ n (x) = për x ∈ [ǫ, ω].

 p  ex/2 (n − 1)α/2−1/4 cos 2 (n − 1)x − απ/2 − π/4 + O(nα/2−3/4 ), π 1/2 xα/2+1/4

Kështu që, |n

α/2−1/4

  p −1/2 ˆ ) |
uniformisht për x ∈ E. Bazuar në teoremën e Cantor-Lebesgue (shih, p.sh., [73, Paragrafin 1.5]) kemi nα/2−1/4 |fˆ(n)| < c.

(4.4.1)

4α+4 2α+1

T EOREMË 4.2. Për α > −1/2 dhe

q < q ≤ ∞ ekziston funksioni f ∈ Wω(α) për të

cilin zbërthimi Fourier ∞ X

(4.4.2)

ck,n fˆ(k)Sk , (α)

k=0

(α) (α) fˆ(k) = (kSk k2W 2 )−1 hf, Sk iS , ω(α)

∞ divergjon puthuajse kudo në (0, ∞) sipas normës Wω(α) .

V ËRTETIM . Meqë nα/2−1/4 |fˆ(n)| ≥ cn−α/2−1/4 |hf, Sn(α) iS |. Konsiderojmë funksionelet lineare Ln (f ) = n−α/2−1/4 hf, Sn(α) i q në Wω(α) ,

4α+4 2α+1

< q ≤ ∞. Bazuar në [1, Teorema 3.8] kemi p ||Ln || = n−α/2−1/4 ||Sn(α) ||Wω(α) , 1≤p<

4α + 4 . 2α + 3

dhe mbështetur në Rrjedhimin 4.1 sup ||Ln || = ∞. n

q Tani, teorema e Banach-Steinhaus-it implikon ekzistencën e funksionit f ∈ Wω(α) ,

∞, i tillë që sup |Ln (f )| = ∞, n

68

4α+4 2α+1


dhe kështu që sup nα/2−1/4 |fˆ(n)| = ∞. n

Meqë ky rezultat është kontradiktor me (4.4.1), atëherë për këtë funksion f zbërthimi Fourier i ∞ tij divergjon p.k. në (0, ∞) sipas normës Wω(α) .



Në mënyrë të ngjajshme vërtetohet teorema vijuese. q T EOREMË 4.3. Për α > −1/2 dhe 4 < q ≤ ∞ ekziston funksioni f ∈ Wu(α) për të cilin

∞ zbërthimi Fourier (4.4.2) divergjon puthuajse kudo në (0, ∞) sipas normës Wu(α) .

V ËRTETIM . Konsiderojmë funksionelet lineare Tn (f ) = n−α/2−1/4 hf, Sn(α) iS 1,q në Wu(α) , 4 < q ≤ ∞. Përsëri, bazuar në [1, Theorem 3.8] kemi

4 p ||Tn || = n−α/2−1/4 ||Sn(α) ||Wu(α) , 1≤p< , 3 dhe mbështetur në Rrjedhimin 4.1 sup ||Tn || = ∞. n

q Teorema e Banach-Steinhaus-it implikon ekzistencën e funksionit f ∈ Wu(α) , 4 < q ≤ ∞, i

tillë që sup |Tn (f )| = ∞, n

dhe kështu që sup nα/2−1/4 |fˆ(n)| = ∞. n

Meqë ky rezultat është kontradiktor me (4.4.1), atëherë për këtë funksion f zbërthimi Fourier i ∞ tij cilit divergjon p.k. në (0, ∞) sipas normës Wu(α) .

69



KAPITULL 5

Polinomet ortogonale në lidhje me prodhimin skalar diskret të Laguerre-Sobolev-it 5.1. Polinomet ortogonale diskrete të Laguerre-Sobolev-it Në hapësirën lineare P, le të përkufizojmë prodhimin skalar diskret të Sobolev-it Z ∞ f (x)g(x)dµ(x) + M f (0)g(0) + N f ′ (0)g ′ (0), (5.1.1) hf, giS = 0

ku dµ(x) =

1 xα e−x dx, Γ(α+1)

M, N ≥ 0 dhe α > −1. Në punimin [49], autori përkufi(α,M,N ) ∞ }n=0

zoi vargun e polinomeve {Ln (α,M,N )

me konditën që Ln (α)

Ln (x) =

(−1)n n!

ortogonale në lidhje me (5.1.1), të normuara

ka të njëjtin koeficient kryesor si polinomi klasik i Laguerre-it

xn +... . Këto polinome i quajmë polinome diskrete të Laguerre-Sobolev-

it. Këto polinome diskrete të Laguerre-Sobolev-it janë përgjithësim i polinomeve të përgjithësuara të Laguerre-it të përkufizuara nga T. H. Koornwinder në [52]. Në [49] dhe [50], autorët analizuan disa veti analitike të zerove, paraqitjen hipergjeometrike, formulën e tipit të Christoffel-Darboux, si dhe relacionet e rekurencës të pesë termave të polinomeve ortogonale në lidhje me prodhimin skalar (5.1.1). Më vonë, në (α,M,N )

punimin [5], autorët shqyrtuan vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale Ln

në

bashkësitë kompakte të C\[0, ∞) dhe të (0, ∞), si dhe formulën e tipit të Mehler-Heines. Në [51], autorët zbatuan formulën e inverzionit, të përkufizuar nga H. Bavinck në [10], për të gjetur ekuacionin diferencial të formës M

∞ X

(i)

ai (x)y (x) + N

i=0

∞ X

bi (x)y (i) (x)

i=0

+ MN

∞ X i=0

ci (x)y (i) (x) + xy ′′ (x) + (α + 1 − x)y ′ (x) + ny(x) = 0,

ku koeficientët ai (x), bi (x) dhe ci (x) për i ≥ 1 janë të pavarur nga n si dhe koeficientët a0 (x), b0 (x) dhe c0 (x) janë të pavarur nga x, i cili plotësohet nga polinomet diskrete të (α,M,N )

Laguerre-Sobolev-it Ln

(x).

Kohët e fundit, për M = 0 dhe N > 0, në [20] autorët gjejnë ekuacionin diferencial linear të rendit të dytë zgjidhjet e të cilit janë polinomet diskrete Laguerre-Sobolev-it (α,M,N )

Ln

(x).

5.2. Vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale diskrete të Laguerre-Sobolev-it (α,M,N )

Tani, le t’i shqyrtojmë disa veti të polinomeve Ln (α,M,N )

Ln

(x). Paraqitja i polinomeve

sipas termave të vargut të polinomeve të Laguerre-it është (shih [5], [49]) (α+2)

(α+4)

) 2 L(α,M,N (x) = B0 (n)L(α) n n (x) + B1 (n)xLn−1 (x) + B2 (n)x Ln−2 (x)

(5.2.1)

(α)

ku, me marrëveshje, Li (x) = 0 për i = −1, −2 dhe B0 (n) = 1 − B1 (n) = − B2 (n) = +

N Γ(n + α + 2) , α + 1 Γ(α + 4)(n − 2)!

(α + 2)N Γ(n + α + 1) M Γ(n + α + 1) − , α + 1 Γ(α + 1)n! (α + 1)(α + 3) Γ(α + 3)(n − 2)!

N Γ(n + α + 1) (α + 1)(α + 2)(α + 3) Γ(α + 2)(n − 1)! (α +

MN Γ(n + α + 1) Γ(n + α + 2) . + 2)(α + 3) Γ(α + 1)n! Γ(α + 3)(n − 1)!

1)2 (α

Duke u bazuar në vetitë e funksionit Gamma (shih, psh. [6, Kapitulli 1]) marrim vlerësimet asimptotike të koeficientëve Bi (n), i = 0, 1, 2 : (a) nëse M > 0 dhe N > 0, atëherë B0 (n) ∼ = 2α+2 MNn B2 (n) ∼ , = (α+1)Γ(α+3)Γ(α+4) (b) nëse M = 0 dhe N > 0, atëherë B0 (n) ∼ = B2 (n) ∼ =

−N nα+3 , (α+1)Γ(α+4)

B1 (n) ∼ =

−N (α+2)nα+2 , (α+1)Γ(α+4)

−N nα+3 , (α+1)Γ(α+4)

B1 (n) ∼ =

−N (α+2)nα+2 , (α+1)Γ(α+4)

N nα+1 , (α+1)Γ(α+4)

(c) nëse M > 0 dhe N = 0, atëherë B0 (n) = 1, (α,M,N )

Nëse shënojmë me {Ln

B1 (n) ∼ =

−M nα , Γ(α+2)

B2 (n) = 0.

(x)}n≥0 vargun e polinomeve ortonormale në lidhje me

prodhimin skalar (5.1.1), d.m.th. Z ∞ ) ) L(α,M,N (x)L(α,M,N (x)dµ(x) δn,m = n m 0

) ) ) ′ ) ′ + M L(α,M,N (0)L(α,M,N (0) + N (L(α,M,N ) (0)(L(α,M,N ) (0), n m n m

atëherë ) ) (x) L(α,M,N (x) = λn L(α,M,N n n

71

ku, bazuar në (1.2.8), për n ≥ 2 kemi ) ) (x)i λ−2 = hL(α,M,N (x), L(α,M,N n n n ) = [B0 (n) − nB1 (n) + n(n − 1)B2 (n)]hL(α,M,N (x), (−1)n xn /n!i n

=

Γ(n + α + 1) [B0 (n) − nB1 (n) + n(n − 1)B2 (n)] n!Γ(α + 1)

[B0 (n) − (n + α + 1)B1 (n) + (n + α + 2)(n + α + 1)B2 (n)]. Si përfundim, bazuar në vlerësimet për B0 (n), B1 (n) dhe B2 (n) të dhënë më lartë, marrim: P OHIM 5.1. Për α > −1. Atëherë,  (α+1)Γ(α+3)Γ(α+4) −5α/2−4   n  MN   p λn ∼ = Γ(α + 1) (α+1)Γ(α+4) n−3α/2−3 N (α+2)      Γ(α+2) n−3α/2−1 M (α,M,N )

P OHIM 5.2. Paraqitja e polinomeve Ln

Laguerre-it

(α) Ln

nëse M > 0, N > 0, nëse M = 0, N > 0, nëse M > 0, N = 0.

sipas termave të polinomeve ortonormale të

është (α+2)

(α+4)

) 2 L(α,M,N (x) = b0 (n)L(α) n n (x) + b1 (n)xLn−1 (x) + b2 (n)x Ln−2 (x)

ku (a) nëse M > 0 dhe N > 0, atëherë Γ(α + 3) −α−1 1/2 ∼ n , b0 (n) = B0 (n)λn {h(α) =− n } M p Γ(α + 1)Γ(α + 3) −α−1 (α + 2) (α+2) n , b1 (n) = B1 (n)λn {hn−1 }1/2 ∼ =− M s Γ(α + 1) (α+4) 1/2 ∼ , b2 (n) = B2 (n)λn {hn−2 } = Γ(α + 5) (b) nëse M = 0 dhe N > 0, atëherë b0 (n) ∼ =− s

1 , α+2

Γ(α + 1) , Γ(α + 3) s Γ(α + 1) 1 , b2 (n) ∼ = α + 2 Γ(α + 5) b1 (n) ∼ =−

72

(c) nëse M > 0 dhe N = 0, atëherë Γ(α + 2) −α−1 b0 (n) ∼ n , = M s Γ(α + 1) , b1 (n) ∼ =− Γ(α + 3) b2 (n) = 0. Tani, duke u bazuar në Pohimin 5.1 dhe [5, Teorema 2, (b)], fitojmë formulën e tipit (α,M,N )

të Mehler-Heine-s për polinomet ortonormale Ln

. Vërejmë që kjo formulë mund

të vërtetohet edhe në mënyrë tjetër duke u mbështetur në (1.2.16) dhe Pohimin 5.2. P OHIM 5.3. Nëse shënojmë me √ gi (x) = x−α/2 Jα+2i (2 x), atëherë (α,M,N )

lim

(x/(n + j)) nα/2

Ln

n→∞

   g2 (x)    p 1 = Γ(α + 1) g (x) − g1 (x) − α+2 2     −g (x) 1

nëse M > 0, N > 0, 1 g (x) α+2 0

nëse M = 0, N > 0, nëse M > 0, N = 0,

uniformisht në nënbashkësitë kompakte të C dhe ∀j ∈ N ∪ {0}. (α,M,N )

P OHIM 5.4. Polinomet Ln

plotësojnë jobarazimin

) |e−x/2 L(α,M,N (x)| ≤ cnα/2 d(x, ν) n

në [0, +∞), ku

d(x, ν) =

   1       (xν)−α/2−1/4

nëse 0 ≤ x ≤ 1/ν, nëse 1/ν ≤ x ≤ ν/2,

  (xν)−α/2 (ν(ν 1/3 + |x − ν|))−1/4       (xν)−α/2 e−cx

ν = 4n + 2α + 2, dhe c është konstantë pozitive. 73

nëse ν/2 ≤ x ≤ 3ν/2, nëse 3ν/2 ≤ x,

(α)

V ËRTETIM . Dihet që polinomet Ln plotësojnë jobarazimin (shih [65]) α/2 |e−x/2 L(α) d(x, ν). n (x)| ≤ cn

Nëse zëvendësojmë n dhe α me n − i dhe α + 2i, i = 0, 1, 2, respektivisht, marrim 4(n − i) + 2(α + 2i) + 2 = ν dhe

(α+2i)

|e−x/2 Ln−i (x)| ≤ cn

= cn

α+2i 2

   1,       (xν)−i (xν)−α/2−1/4 ,

  (xν)−i (xν)−α/2 (ν(ν 1/3 + |x − ν|))−1/4 ,       (xν)−i (xν)−α/2 e−cx ,    ni ,       x−i (n/ν)i (xν)−α/2−1/4 , α/2

0 ≤ x ≤ 1/ν, 1/ν ≤ x ≤ ν/2, ν/2 ≤ x ≤ 3ν/2, 3ν/2 ≤ x 0 ≤ x ≤ 1/ν, 1/ν ≤ x ≤ ν/2,

  x−i (n/ν)i (xν)−α/2 (ν(ν 1/3 + |x − ν|))−1/4 ,       x−i (n/ν)i (xν)−α/2 e−cx ,

Prandaj,

(α+2i)

|e−x/2 xi Ln−i (x)| ≤ cn

   (xn)i ,       (n/ν)i (xν)−α/2−1/4 , α/2

  (n/ν)i (xν)−α/2 (ν(ν 1/3 + |x − ν|))−1/4 ,       (n/ν)i (xν)−α/2 e−cx ,

ν/2 ≤ x ≤ 3ν/2, 3ν/2 ≤ x.

0 ≤ x ≤ 1/ν, 1/ν ≤ x ≤ ν/2, ν/2 ≤ x ≤ 3ν/2, 3ν/2 ≤ x

dhe bazuar në faktin që ν ∼ n marrim

(α+2)

|e−x/2 xLn−1 (x)| ≤ cnα/2 d(x, ν) dhe (α+4)

|e−x/2 x2 Ln−2 (x)| ≤ cnα/2 d(x, ν). Nga jobarazimet e mësipërme dhe Pohimi 5.1, rrjedh saktësia e pohimit. P OHIM 5.5. Le të jenë M ≥ 0, N ≥ 0 dhe 1 ≤ p ≤ ∞. Për α > −1/2   cn−1/4 (log n)1/p , p = 4α+4 , 2α+1 (α,M,N ) (5.2.2) ||Ln ||Lpω(α) ≥  4α+4 cnα/2−(α+1)/p , < p ≤ ∞, 2α+1 74



dhe për α > −2/p ) ||L(α,M,N ||Lpu(α) ≥ n

(5.2.3)

  cn−1/4 (log n)1/p ,  cn−1/p ,

p = 4, 4 < p ≤ ∞.

V ËRTETIM . Vërejmë që rasti kur p = ∞ rrjedh nga Pohimi 5.3, prandaj në vazhdim supozojmë që 1 ≤ p < ∞. Bazuar në Pohimin 5.3 kemi Z

∞ 0

Z

) |L(α,M,N (x)e−x/2 |p xβ dx > n

√ 1/ n ) |L(α,M,N (x)e−x/2 |p xβ dx n

0

≥ cn−β−1 ×

Z

×

Z

√ 0

0

n

Z

√

n

0

) |L(α,M,N (t/n)|p tβ dt ∼ = cnpα/2−β−1 n

tβ |c2 g2 (t) − c1 g1 (t) − c0 g0 (t)|p dt ≥ cnpα/2−β−1 √ 24n

t2β−pα+1 |c2 Jα+4 (t) − c1 Jα+2 (t) − c0 Jα (t)|p dt.

Nga [91, Lema 2.1], për α > −1, γ > −1 − pα, dhe 1 ≤ p < ∞ marrim Z

m 0

tγ |c2 Jα+4 (t) − c1 Jα+2 (t) − c0 Jα (t)|p dt ≥

  c,

γ < p/2 − 1,

 c log m,

γ = p/2 − 1.

√ Le të jetë m ∈ N i tillë që m ≤ 2 4 n < m + 1. Për β = α rrjedh relacioni (5.2.2) ndërsa për β = pα/2 marrim (5.2.3).



Tani, duke u bazuar në (1.2.8), Pohimin 1.6, Pohimin 5.2 dhe Pohimin 5.5 marrim pohimin vijues: R RJEDHIM 5.1. Le të jenë α ≥ 0 dhe M, N ≥ 0. Atëherë, ) ||L(α,M,N ||Lpω(α) n

dhe

∼

  n−1/4 (log n)1/p  nα/2−(α+1)/p

) ||L(α,M,N ||Lpu(α) ∼ n

  n−1/4 (log n)1/p  n−1/p

75

nëse p = nëse

4α+4 2α+1

4α+4 , 2α+1

< p ≤ ∞,

nëse p = 4, nëse 4 < p ≤ ∞.

5.3. Jobarazimi i tipit të Cohen-it për zbërthimet ortogonale në lidhje më prodhimin skalar diskret të Laguerre-Sobolev-it Në fillim, le të përkufizojmë dy bashkësi të hapësirave diskrete të Sobolev-it:   f : kf kp p = kf kp p +M |f (0)| + N |f ′ (0)| , 1 ≤ p < ∞, Ωω(α) Lω(α) p Ωω(α) =  f : kf kW ∞ = ||f ||L∞ , p = ∞, ω(α) ω(α)

për α > −1, dhe   f : kf kp p = kf kp p + + M |f (0)| + N |f ′ (0)| , Ωu(α) Lu(α) p Ωu(α) =  f : kf kW ∞ = ||f ||L∞ , u(α) u(α)

1 ≤ p < ∞, p = ∞,

për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞, ku hapësirat Lpω(α) dhe Lpu(α) janë përkufizuar në paragrafin 1.2.2. Vërejmë që L2ω(α) ≡ L2u(α) , dhe si rrjedhim Ω2ω(α) ≡ Ω2u(α) .   Për f ∈ Ωpω(α) f ∈ Ωpu(α) dhe për vargun e numrave kompleks {ck,n }nk=0 , ku n ∈

N ∪ {0} dhe |cn,n > 0|, përkufizojmë operatorët Tnα,M,N me anë të Tnα,M,N (f )

=

n X

ck,n fˆ(k)Lk , (α)

k=0

Qartë, për ck,n = σn0 (f ) = Sn (f ).

Aδn−k , Aδn

(α) fˆ(k) = hf, Lk iS .

ku 0 ≤ δ dhe 0 ≤ k ≤ n, kemi Tnα,M,N (f ) = σnδ (f ), e në veçanti

T EOREMË 5.1. Për α > −1/2

ku q0 =

4α+4 2α+1

 2α+2 − 2α+3  p 2  n    2α+1 kTnα,M,N k[Ωpω(α) ] ≥ c|cn,n | (log n) 4α+4     − 2α+2 n 2α+1 2 p

nëse 1 ≤ p < p0 , nëse p = p0 , p = q0 , nëse q0 < p ≤ ∞,

dhe p0 është numër i konjuguar me q0 .

Për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞  2 − 23  p  n nëse 1 ≤ p < p0 ,    1 kTnα,M,N k[Ωpu(α) ] ≥ c|cn,n | (log n) 4 nëse p = p0 , p = q0 ,     n 12 − p2 nëse q0 < p ≤ ∞,

ku q0 = 4 dhe p0 është numër i konjuguar me q0 . 76

Për vërtetimin e teoremës do të shfrytëzojmë test-funksionet s " # (n + 1)(n + 2) (α+j) gnα,j (x) = n−α/2 xj Ln(α+j) (x) − xj Ln+2 (x) , (n + α + j + 1)(n + α + j + 2) ku j ∈ N\{1}. Vërejmë që gnα,j (0) = 0 dhe (gnα,j )′ (0) = 0. Këto test-funksione mund të paraqiten në trajtën (shih [66, formula (2.15)]) gnα,j (x)

=n

−α/2

j+2 X

(α)

am,j (α, n)Ln+m (x),

m=0

ku Γ(n + α + j + 1) ∼ j =n, Γ(n + α + 1)

a0,j (α, n) = aj+2,j (α, n) = (−1)j+1

s

(n + 1)(n + 2) Γ(n + j + 3) ∼ = (−1)j+1 nj . (n + α + j + 1)(n + α + j + 2) Γ(n + 3)

Me aplikimin e operatorëve Tnα,M,N në test-funksionet, për ndonjë j > α − 1/2 − (2α + 2)/p, marrim Tnα,M,N (gnα,j )

(5.3.1)

=

n X

(α,M,N )

ck,n (gnα,j )ˆ(k)Lk

,

k=0

ku (α,M,N )

(gnα,j )ˆ(k) = hgnα,j , Lk

iS ,

k = 0, 1, ... , n.

Nga Pohimi 5.2 Γ(α +

1)(gnα,j )ˆ(k)

= n

−α/2

j+2 X

am,j (α, n)

m=0

= n

−α/2

b0 (k)

j+2 X

Z

∞ 0

am,j (α, n)

m=0

+ n

−α/2

b1 (k)

j+2 X

am,j (α, n)

m=0

+ n

−α/2

b2 (k)

j+2 X

am,j (α, n)

m=0

(α,M,N ) α −x

(α)

Ln+m (x)Lk Z Z Z

∞ 0 ∞ 0 ∞ 0

(α)

(α)

(α) −1/2 (α) L(α) Ln (x) n (x) = (hn )

77

(α+2)

Ln+m (x)xLk−1 xα e−x dx (α)

(α+4)

Ln+m (x)x2 Lk−2 xα e−x dx

ku 0 ≤ k ≤ n dhe, me marrëveshje, Li (x) = 0 për i = −1, −2. Meqë

(α)

Ln+m (x)Lk xα e−x dx

= I1 (k, n) + I2 (k, n) + I3 (k, n), (α)

x e dx

(α)

ku, në bazë të (1.2.9), hn = I1 (k, n) = n

−α/2

R∞ 0

(α) [Ln (x)]2 dµ(x) ∼ =

(α) b0 (k)(hk )−1/2

j+2 X

am,j (α, n)

m=0

Prandaj, për 0 ≤ k ≤ n − 1

nα , Γ(α+1)

Z

∞ 0

atëherë (α)

(α)

Ln+m (x)Lk xα e−x dx.

I1 (k, n) = 0. Le të jetë n ≥ 0. Atëherë, −1/2 I1 (n, n) = n−α/2 b0 (n)(h(α) a0,j (α, n) n )

Ngjajshëm, për 0 ≤ k ≤ n − 1

Γ(n + α + 1) ∼ j p = n Γ(α + 1)b0 (n). Γ(n + 1)

I2 (k, n) = 0, dhe, për n ≥ 1 nga (1.2.11) s

Γ(α + 3)Γ(n) b1 (n)a0,j (α, n) Γ(n + α + 2) Z ∞ p (α+1) α −x ∼ Γ(α + 3)b1 (n)nj . L(α) (x)L x e dx − × = n n

I2 (n, n) = −n1−α/2

0

Për 0 ≤ k ≤ n − 1

I3 (k, n) = 0, dhe nga (1.2.11) për n ≥ 2 marrim s

Γ(α + 5)Γ(n − 1) b2 (n)a0,j (α, n) Γ(n + α + 3) Z ∞ p (α+2) α −x × L(α) x e dx ∼ = Γ(α + 5)b2 (n)nj . n (x)Ln

I3 (n, n) = n(n − 1)n−α/2

0

Që të vlerësojmë

(gnα,j )ˆ(k),

do t’i dallojmë tri raste.

1. Nëse M > 0 dhe N > 0, atëherë

Prandaj,

p Γ(α + 1) j−α−1 Γ(α + 3) I1 (n, n) ∼ n , =− M p (α + 2)Γ(α + 3) Γ(α + 1) j−α−1 ∼ n , I2 (n, n) = − M p I3 (n, n) ∼ = Γ(α + 1)nj .

(gnα,j )ˆ(n) = I1 (n, n) + I2 (n, n) + I3 (n, n) ∼ = 78

p Γ(α + 1)nj .

2. Nëse M = 0 dhe N > 0, atëherë p Γ(α + 1)nj , α+1 p I2 (n, n) ∼ = Γ(α + 1)nj , p Γ(α + 1)nj ∼ . I3 (n, n) = α+1

I1 (n, n) ∼ =−

Prandaj, (gnα,j )ˆ(n) ∼ = 3. Nëse M > 0 dhe N = 0, atëherë I1n,n

p

Γ(α + 1)nj .

p Γ(α + 1) j−α−1 Γ(α + 2) ∼ n , = M p I2n,n ∼ = Γ(α + 1)nj , I3n,n = 0.

Prandaj, (gnα,j )ˆ(n) ∼ = Si përfundim,

(5.3.2)

p

  (g α,j )ˆ(k) = 0,

Γ(α + 1)nj .

0 ≤ k ≤ n − 1,

n

p  (g α,j )ˆ(n) ∼ = Γ(α + 1)nj . n

Nga ana tjetër, prej [66, formula (3.3)] (5.3.3)

kgnα,j kΩpω(α) = kgnα,j kLpω(α) ≤ cnj−α/2−1/2+(α+1)/p ,

dhe nga [66, formulat (1.19), (2.12)] (5.3.4)

kgnα,j kΩpu(α) = kgnα,j kLpu(α) ≤ cn−α/2 n(α+j)/2 nj/2−1/2+1/p = cnj−1/2+1/p .

Tani, me të dhënat e mësipërme, mund të vërtetojmë Teoremën 5.1. V ËRTETIMI I T EOREMËS 5.1. Bazuar në parimin e dualitetit, mjafton të supozojmë që q0 ≤ p ≤ ∞. Duke shfrytëzuar relacionet (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3) dhe (5.3.4) marrim (5.3.5)

kTnα,M,N kΩpω(α) ≥ [kgn(α,j) kΩpω(α) ]−1 kTnα,M,N gn(α,j) kΩpω(α) ) ≥ c|cn,n | nj n−j+α/2+1/2−(α+1)/p kL(α,M,N kΩpω(α) , n

79

(5.3.6)

kTnα,M,N kΩpu(α) ≥ [kgn(α,j) kΩpu(α) ]−1 kTnα,M,N gn(α,j) kΩpu(α) ) ≥ c|cn,n | nj n−j+1/2−1/p kL(α,M,N kΩpu(α) . n

Nga Pohimi 5.5, për α > −1/2 (5.3.7)

) kL(α,M,N kΩpω(α) ≥ n

  cn−1/4 (log n)1/p  cnα/2−(α+1)/p

nëse p = q0 , nëse q0 < p ≤ ∞,

dhe për α > −2/p nëse q0 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 për p = ∞   cn−1/4 (log n)1/p nëse p = q0 , (α,M,N ) (5.3.8) kLn kΩpu(α) ≥ c  cn−1/p nëse q0 < p ≤ ∞.

Në fund, nga (5.3.5), (5.3.6), (5.3.7) dhe (5.3.8) rrjedh saktësia e pohimit të teoremës.



R RJEDHIM 5.2. Le të jenë α, p0 , q0 , dhe p të definuara si në Teoremën 5.1. Atëherë, për ck,n = 1, k = 0, ..., n, dhe p ∈ / (p0 , q0 ) ||σn0 ||[Ωpω(α) ] → ∞,

n → ∞,

||σn0 ||[Ωpu(α) ] → ∞,

n → ∞.

R RJEDHIM 5.3. Le të jenë ck,n =   0 < δ < dhe p ∈ / [p0 , q0 ], atëherë

 0 < δ <

Aδn−k , Aδn

0 ≤ k ≤ n. Nëse α > −1/2

2α+2 p

−

2α+3 2

nëse 1 ≤ p < p0 ,

2α+1 2

−

2α+2 p

nëse q0 < p ≤ ∞,

||σnδ ||[Ωpω(α) ] → ∞,

n → ∞.

Për α > −2/p nëse 1 ≤ p < ∞ dhe α ≥ 0 nëse p = ∞   0 < δ < 2 − 3 nëse 1 ≤ p < p0 , p 2 dhe p ∈ / [p0 , q0 ], atëherë

 0 < δ <

1 2

−

2 p

nëse q0 < p ≤ ∞,

||σnδ ||[Ωpu(α) ] → ∞, 80

n → ∞.

5.4. Ekuacioni diferencial për polinomet ortognale diskrete të Laguerre-Sobolev-it Në fillim, gjejmë një relacion, të ndryshëm nga (5.2.1), që jep lidhshmërinë ndërmjet (α,M,N )

polinomeve diskrete të Sobolev-it Ln

, M, N ≥ 0, dhe atyre të Laguerre-it.

P OHIM 5.6. Vlenë (α+2)

(α+2)

) L(α,M,N (x) = b0 (n)L(α+2) (x) + b1 (n)Ln−1 (x) + b2 (n)Ln−2 (x), n n

(5.4.1) ku

b0 (n) = B0 (n) − nB1 (n) + n(n − 1)B2 (n), b1 (n) = −2B0 (n) + (2n + α + 1)B1 (n) − 2(n − 1)(n + α + 2)B2 (n), b2 (n) = B0 (n) − (n + α + 1)B1 (n) + (n + α + 1)(n + α + 2)B2 (n). (α,M,N )

V ËRTETIM . Zbërthejmë Ln

(α+2) n }k=0

(x) sipas bazës {Ln

të hapësirës lineare të poli-

nomeve të shkallës jo më të madhe se n, d.m.th. ) L(α,M,N (x) n

=

n X

(α+2)

ak L k

(x),

k=0

ku an =

(α,M,N )

k(Ln

(α+2)

k(Ln

)

)

(α,M,N )

ak =

hLn

= B0 (n) − nB1 (n) + n(n − 1)B2 (n) dhe (α+2)

, Lk

iα+2 (α+2) (α+2) hLk , Lk iα+2

=

k! (α+2) ) hL(α,M,N , Lk iα+2 , k = 0, 1, ..., n − 1. n Γ(k + α + 3)

Për k = 0, ..., n − 1 (α+2)

) hL(α,M,N , Lk n

(α+2)

) iα+2 = Γ(α + 1)hL(α,M,N , x 2 Lk n

i.

Prandaj, ak = 0 për k = 0, ..., n − 3. Nga (5.2.1) (α+2) ) hL(α,M,N , Ln−2 iα+2 n

= B0 (n) + B1 (n) + B2 (n)

Z

Z

Z

∞ 0 ∞

0 ∞ 0

81

(α+2)

2 L(α) n (x)x Ln−2 (x)dµα (x) (α+2)

(α+2)

Ln−1 (x)xLn−2 (x)dµα+2 (x) (α+4)

(α+2)

Ln−2 (x)Ln−2 (x)dµα+4 (x).

Nga ana tjetër, (α+2)

(α+2)

x2 Ln−2 (x) =

k(Ln−2 ) (α) k(Ln )

L(α) n (x) +

=

(α+2)

Ln−2 (x) =

(α)

γk1 Lk (x),

k=0

(α+2)

(α+2) xLn−2 (x)

n−1 X

k(Ln−2 )

(α+2) Ln−1 (x) (α+2) k(Ln−1 )

(α+2) k(Ln−2 ) (α+4) Ln−2 (x) (α+4) k(Ln−2 )

+

n−2 X

(α+2)

(x),

(α+4)

(x).

γk2 Lk

k=0

+

n−3 X

γk3 Lk

k=0

Duke u bazuar në këto dhe relacionin (1.2.10) marrim (α+2)

) hL(α,M,N , Lk n

n(n − 1)Γ(n + α + 1)B0 (n) n! (n − 1)Γ(n + α + 2)B1 (n) Γ(n + α + 3)B2 (n) − + . (n − 1)! (n − 2)!

iα+2 =

Si përfundim, an−2 = B0 (n) − (n + α + 1)B1 (n) + (n + α + 1)(n + α + 2)B2 (n). Tani, do ta njesojmë koeficientin an−1 . Përsëri, nga (1.2.10) Z ∞ (α+2) (α+2) (α,M,N ) L(α) hLn , Ln−1 iα+2 = B0 (n) n (x)Ln−1 (x)dµα+2 (x) 0 Z ∞ (α+2) (α+2) xLn−1 (x)Ln−1 (x)dµα+2 (x) + B1 (n) 0 Z ∞ (α+4) (α+2) + B2 (n) Ln−2 (x)Ln−1 (x)dµα+4 (x). 0

Nga (1.2.12) (α+2)

(α+2)

(α+2) L(α) (x) − 2Ln−1 (x) + Ln−2 (x), n (x) = Ln

dhe, si rrjedhim, Z ∞ 0

Z

∞

0

(α+2) L(α) n (x)Ln−1 (x)dµα+2 (x)

= −2

(α+4) (α+2) Ln−2 (x)Ln−1 (x)dµα+4 (x)

Z

= −2

∞ 0

Z

 2 (α+2) Ln−1 (x) dµα+2 (x),

∞ 0



(α+4) Ln−2 (x)

Nga ana tjetër, bazuar në (1.2.10) Z Z ∞ (α+2) (α+2) xLn−1 (x)Ln−1 (x)dµα+2 (x) = (2n + α + 1) 0

Prandaj,

∞ 0



2

(α+2)

dµα+2 (x).

Ln−1 (x)

2

dµα+2 (x).

an−1 = −2B0 (n) + (2n + α + 1)B1 (n) − 2(n − 1)(n + α + 2)B2 (n), 82



Vërtetimi i pohimit u kompletua. Në vazhdim do t’i shprehim në trajtë eksplicite koeficientët bi (n), i = 0, 1, 2. (a) Nëse M = 0 dhe N > 0, atëherë b0 (n) =

b1 (n) = − b2 (n) =

(α + 1)Γ(α + 4)(n − 2)! + N (nα + 2n − α − 1)Γ(n + α + 1) , (α + 1)Γ(α + 4)(n − 2)!

2(α + 1)Γ(α + 4)(n − 2)! + N (2nα + 4n + α2 + 3α + 4)Γ(n + α + 1) , (α + 1)Γ(α + 4)(n − 2)! (α + 1)Γ(α + 4)(n − 1)! + N (n + α + 1)(2n + nα + 1)Γ(n + α + 1) . (α + 1)Γ(α + 4)(n − 1)!

(b) Nëse M > 0 dhe N = 0, atëherë b0 (n) =

b1 (n) =

Γ(α + 2)n! + M nΓ(n + α + 1) , Γ(α + 2)n!

−2Γ(α + 2)n! − M (2n + α + 1)Γ(n + α + 1) , Γ(α + 2)n! b2 (n) =

Γ(α + 2)n! + M Γ(n + α + 2) . Γ(α + 2)n!

(c) Nëse M > 0 dhe N > 0 atëherë b0 (n) =

1 (α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)(n − 1)!(n − 2)!

× {(α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)(n − 1)!(n − 2)! + N Γ(α + 3)(nα + 2n − α − 1)Γ(n + α + 1)(n − 1)! + M (α + 1)(α + 2)Γ(α + 4)Γ(n + α + 1)(n − 2)! + M N Γ(n + α + 1)Γ(n + α + 2)}, b1 (n) = −

1 (α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)n!(n − 2)!

× {2(α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)n!(n − 2)! + N Γ(α + 3)(2nα + 4n + α2 + 3α + 4)Γ(n + α + 1)n! + M (α + 1)(α + 2)Γ(α + 4)(2n + α + 1)Γ(n + α + 1)(n − 2)! + 2M N (n + α + 2)Γ(n + α + 1)Γ(n + α + 2)}, 83

b2 (n) =

1 (α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)n!(n − 1)!

× {2(α + 1)Γ(α + 3)Γ(α + 4)n!(n − 1)! + N (2α + 5)Γ(α + 3)(n + α + 1)Γ(n + α + 1)n! + M (α + 1)(α + 2)Γ(α + 4)(n + α + 1)Γ(n + α + 1)(n − 1)! + M N (n + α + 1)(n + α + 2)Γ(n + α + 1)Γ(n + α + 2)}. V ËREJTJE 5.1. Për M > 0 dhe N = 0, nga (1.2.12) dhe Pohimi 5.6 kemi (α,M,0)

Ln

(x) (α+1) = L(α+1) (x) + d(n)Ln−1 (x), n b0 (n)

ku d(n) = 2 +

b1 (n) (α + 1)M Γ(n + α + 1) =− . b0 (n) Γ(α + 1)n! + M nΓ(n + α + 1)

V ËREJTJE 5.2. Për M = 0 dhe N > 0 relacioni (5.4.1) është vërtetuar në [21] në një mënyrë më të komplikuar se ajo e paraqitur këtu. Në bazë të (1.2.10) (5.4.2)

(α)

Ln−2 (x) = −

n 2n − x + α − 1 (α) L(α) Ln−1 (x), n (x) + n+α−1 n+α−1

dhe duke shfrytëzuar Pohimin 5.6, kemi: R RJEDHIM 5.4. Vlen (α+2)

) L(α,M,N (x) = c0 (n)L(α+2) (x) + c1 (x, n)Ln−1 (x), n n

ku n b2 (n), n+α+1 2n − x + α + 1 c1 (x, n) = b1 (n) + b2 (n). n+α+1 c0 (n) = b0 (n) −

Që të gjejmë ekuacionin diferencial, zgjidhjet e të cilit janë polinomet ortogonale (α,M,N )

Ln

përdorim të njëjtën teknikë dhe mënyrë si në [32].

Bazuar në (1.2.14) dhe (5.4.1) marrim
′′
′ ) ) x L(α,M,N (x) + (α + 3 − x) L(α,M,N (x) n n (α+2)

(α+2)

= −nb0 (n)L(α+2) (x) − (n − 1)b1 (n)Ln−1 (x) − (n − 2)b2 (n)Ln−2 (x), n 84

dhe, duke marrë në konsideratë (5.4.2),

(5.4.3)

) x L(α,M,N (x) n


′′

) + (α + 3 − x) L(α,M,N (x) n


′

(α+2)

= d0 (n)L(α+2) (x) + d1 (x, n)Ln−1 (x), n

ku n(n − 2) b2 (n) − nb0 (n), n+α+1 (n − 2)(2n − x + α + 1) d1 (x, n) = −(n − 1)b1 (n) − b2 (n). n+α+1 d0 (n) =

(α+2)

(α+2)

(α,M,N )

Tani, do t’i shprehim Ln (x) dhe Ln−1 (x) si kombinim linear të Ln (x) dhe  ′ (α,M,N ) Ln (x) me koeficient funksione racionale. Nëse derivojmë relacionin (5.4.1) dhe pastaj shumëzojmë atë me x, si dhe duke shfrytëzuar (1.2.10, (1.2.13) dhe (5.4.2),

marrim  ′  ′
′
′ (α+2) (α+2) ) (α+2) x L(α,M,N (x) = b (n)x L (x) + b (n)x L (x) + b (n)x L (x) 0 1 2 n−1 n−2 n n (α+2)

= nb0 (n)L(α+2) (x) + [(n − 1)b1 (n) − (n + α + 2)b0 (n)]Ln−1 (x) n (α+2)

(α+2)

+ [(n − 2)b2 (n) − (n + α + 1)b1 (n)]Ln−2 (x) − (n + α)b2 (n)Ln−3 (x) = nb0 (n)L(α+2) (x) + [(n − 1)(b1 (n) + b2 (n)) − (n + α + 2)b0 (n)] n (α+2)

(α+2)

× Ln−1 (x) + [(x − n − α + 1)b2 (n) − (n + α + 1)b1 (n)]Ln−2 (x), dhe shfrytëzojmë përsëri (5.4.2), (5.4.4) ku


′ (α+2) ) x L(α,M,N (x) = e0 (x, n)L(α+2) (x) + e1 (x, n)Ln−1 (x), n n e0 (x, n) = nb0 (n) + nb1 (n) −

n(x − n − α + 1) b2 (n), n+α+1

e1 (x, n) = −(n + α + 2)b0 (n) + (x − n − α − 2)b1 (n)   (x − n − α + 1)(2n − x + α + 1) b2 (n). + n−1+ n+α+1 Tani, nga Rrjedhimi 5.4 dhe (5.4.4), marrim sistemin vijues   ) (α+2) (α+2) L(α,M,N (x) = c0 (n)Ln (x) + c1 (x, n)Ln−1 (x) n  ′  ) (α+2) (α+2) x L(α,M,N (x) = e0 (x, n)Ln (x) + e1 (x, n)Ln−1 (x). n 85

(α+2)

Zgjidhjet e të cilit sipas Ln

(α+2)

dhe Ln−2 janë (α,M,N )

(5.4.5)

(5.4.6)

L(α+2) = n

(α+2)

e1 (x, n)Ln

Ln−1 =

 ′ (α,M,N ) (x) − xc1 (x, n) Ln (x)

c0 (n)e1 (x, n) − c1 (x, n)e0 (x, n)

 ′ (α,M,N ) (α,M,N ) xc0 (n) Ln (x) − e0 (x, n)Ln (x) c0 (n)e1 (x, n) − c1 (x, n)e0 (x, n)

,

.

Kombinimi i (5.4.5) dhe (5.4.6) me (5.4.3) implikon saktësinë e pohimit të teoremës vijuese: (α,M,N )

T EOREMË 5.2. Le të jenë M ≥ 0 dhe N ≥ 0. Për çdo n ∈ N, Ln

(x) plotësojnë

ekuacionin diferencial ) A(x; n) L(α,M,N (x) n

ku


′′


′ ) ) + B(x; n) L(α,M,N (x) + C(x; n)L(α,M,N (x) = 0, n n

A(x; n) = x (c0 (n)e1 (x, n) − c1 (x, n)e0 (x, n)) , B(x; n) = (α + 3 − x) (c0 (n)e1 (x, n) − c1 (x, n)e0 (x, n)) + xd0 (n)c1 (x, n) − xd1 (x, n)c0 (n), C(x; n) = d1 (x, n)e0 (x, n) − d0 (n)e1 (x, n).

86

Literatura [1] R. A. Adams, “Sobolev spaces”, Academic Press, New York, 1975. [2] M. Alfaro, M. Álvarez de Morales, and M. L. Rezola, Orthogonality of the Jacobi polynomials with negative parameters, J. Comput. Appl. Math. 145 (2002), 379-386. [3] M. Alfaro, J. J. Moreno-Balcázar, and M. L. Rezola, Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials: asymptotics for coherent pairs of type II, J. Approx. Theory 122 (2003), 79-96. [4] P. Althammer, Eine Erweiterung des Orthogonalitätsbegriffes bei Polynomen und deren Anwendung auf die beste Approximation, J. Reine Angew. Math. 211 (1962), 192-204. [5] R. Alvarez-Nodarse and J. J. Moreno-Balcázar, Asymptotic properties of generalized Laguerre orthogonal polynomials, Indag. Math. N. S. 15 (2004), 151-165. [6] G. E. Andrews, R. Askey, and R. Roy, “Special Functions”, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, New York, 1999. [7] A. I. Aptekarev, V. S. Buyarov, and I. S. Degesa, Asymptotic behavior of the Lp -norms and the entropy for general orthogonal polynomials, Russian Acad. Sci. Sb. Math. 82 (1995), 373-395. [8] V. M. Badkov, Convergence in the mean and almost everywhere of Fourier series in polynomials orthogonal on an interval, Math. USSR. Sb. 24 (1974), 223-256. [9] V. M. Badkov, Approximate properties of Fourier series in orthogonal polynomials (Russian) Uspekhi Mat. Nauk 33 (1978), 51-106. [10] H. Bavinck, A direct approach to Koekoek’s differential equation for generalized Laguerre polynomials, Acta Math. Hungar. 66 (1995), 247-253. [11] S. N. Bernshtein, Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini, J. Math. Pures Appl. 9 (1930), 127-177. [12] J. Brenner, Über eine Erweiterung des Orthogonalitätsbegriffes bei Polynomen, In G. Alexits and S. B. Stechkin, editors, ”Constructive Theory of Functions”, Akadémiai Kiadó Budapest, (1972), 77-83. [13] D. I. Cartwright, Lebesgue constants for Jacobi expansions, Proc. Amer. Math. Soc., 87 (1983), 427-433. [14] T. S. Chihara, "An Introduction to Orthogonal Polynomials", Gordon and Breach, New York, 1978. [15] P. J. Cohen, On a conjecture of Littlewood and idempotent measures, Amer. J. Math. 82 (1960), 191-212. [16] E. A. Cohen, Zero distribution and behavior of orthogonal polynomials in the Sobolev space W 1,2 [−1, 1]. SIAM J. Math. Anal. 6 (1975), 105-116. [17] R. S. Costas-Santos and J. F. Sánchez-Lara, Extensions of discrete clas-sical orthogonal polynomials beyond the orthogonality, J. Comput. Appl. Math. 225 (2009), 440-451. [18] Z. Ditzian, Fractional derivatives and best approximation, Acta Math. Hungar., 81(1998), 323-348.

[19] Z. Ditzian, Polynomial approximation and ωφr (f, t) twenty years later, Surv. Approx. Theory, 3(2007), 106151. [20] H. Dueñas and F. Marcellán, The Laguerre-Sobolev-Type Orthogonal Polynomials. Holonomic equation and Electrostatic interpretation, Rocky Mountain J. Math. 41 (2011), 95-132. [21] H. Dueñas and F. Marcellán, The Laguerre-Sobolev-type orthogonal polynomials, J. Approx. Theory 162 (2010), 421-440. [22] B. Dreseler and P. M. Soardi, A Cohen type inequality for ultraspherical series, Arch. Math. 38 (1982), 243-247. [23] B. Dreseler and P. M. Soardi, A Cohen-type inequality for Jacobi expansions and divergence of Fourier series on compact symmetric spaces, J. Approx. Theory 35 (1982), no. 3, 214-221. [24] A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, and F. G. Tricomi, "Higher transcendental functions, Vol. II", McGraw-Hill, New York, 1953. [25] T. Erdélyi, A. P. Magnus, and P. Nevai, Generalized Jacobi weights, Christoffel functions, and Jacobi polynomials, SIAM J. Math. Anal. 25 602-614 (1994). [26] B. Xh. Fejzullahu, A Cohen type inequality for Jacobi-Sobolev expansions, J. Inequal. Appl. (2007) Art. ID 93815, 10pp . [27] B. Xh. Fejzullahu, Divergent Cesàro means of Jacobi-Sobolev expansions, Rev. Mat. Complut. 21 (2008), 427-433. [28] B. Xh. Fejzullahu, On divergence a.e. of Fourier expansions with respect to non-discrete Laguerre-Sobolev inner product, Funct. Anal. Approx. Comput. 1:1 (2009), 1-12. [29] B. Xh. Fejzullahu and F. Marcellán, A Cohen type inequality for Laguerre-Sobolev expansions, J. Math. Anal. Appl. 352 (2009), 880-889. [30] B. Xh. Fejzullahu and F. Marcellán, On convergence and divergence of Fourier expansions with respect to some Gegenbauer-Sobolev type inner product, Commun. Anal. Theory Contin. Fract. 16 (2009), 1-11. [31] B. Xh. Fejzullahu and F. Marcellán, A Cohen type inequality for Fourier expansions of orthogonal polynomials with a nondiscrete Jacobi-Sobolev inner product, J. Inequal. Appl., (2010), Art. ID 128746, 22pp. [32] B. Xh. Fejzullahu and R. Xh. Zejnullahu, Orthogonal polynomials with respect to the Laguerre measure perturbed by the canonical transformations, Integral Transforms Spec. Funct. 21 (2010), 569 - 580. [33] B. Xh. Fejzullahu, Asymptotic properties and Fourier expansions of orthogonal polynomials with a nondiscrete Gegenbauer-Sobolev inner product, J. Approx. Theory 162 (2010), 397-406. [34] B. Xh. Fejzullahu, A Cohen-type inequality for Fourier expansions with respect to non-discrete LaguerreSobolev inner product, Numer. Funct. Anal. Optim. 31 (2010), 1330-1341. [35] B. Xh. Fejzullahu, A Cohen type inequality for Fourier expansions of orthogonal polynomials with a nondiscrete Gegenbauer-Sobolev inner product, Math. Nachr. 284 (2011), 240-254. [36] B. Xh. Fejzullahu, On orthogonal expansions with respect to the generalized Jacobi weight, submitted. [37] G. Freud, "Orthogonal Polynomials", Akadémiai Kiadó, Pergamon Press, Budapest, 1971.

88

[38] J. García-Cuerva and J. L. Rubio de Francia, "Weighted norm inequalities and related topics", North-Holland Mathematics Studies, 116. Notas de Matemática [Mathematical Notes], 104. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1985. [39] W. Gautschi, “Orthogonal polynomials:Computation and Approximation”, Numerical Mathematics and Scientific Computation, Oxford University Press, New York, 2004. [40] S. Giulini, P. M. Soardi, and G. Travaglini, A Cohen type inequality for compact Lie groups, Proc. Amer. Math. Soc. 77 (1979), 359-364. [41] J. J. Guadalupe, M. Pérez, F. J. Ruiz, and J. L. Varona, Weighted Lp -boundedness of Fourier series with respect to generalized Jacobi weights, Publ. Mat. 35 (1991), 449-459. [42] W. Gröbner, Orthogonale Polynomsysteme, die gleichzeitig mit f (x) auch deren Ableitung f ′ (x) approximieren, Funktionalanalysis, Approximationstheorie, Numerische Mathematik ISNM 7, Birkhäuser, Basel,(1967), 24-32. [43] G. H. Hardy and J. E. Littlewood, A new proof of a theorem on rearrangements, J. London Math. Soc. 23 (1948), 163-168. [44] R. Hunt, B. Muckenhoupt, and R. Wheeden, Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform, Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 227-251. [45] A. Iserles, P. E. Koch, S. P. Nφrsett, and J. M. Sanz-Serna, Orthogonality and approximation in a Sobolev space, Algorithms for approximation (J. C. Mason and M. G. Cox, Editors), Chapman and Hall, London, 1990. [46] A. Iserles, P. E. Koch, S. P. Nφrsett, and J. M. Sanz-Serna, On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products, J. Approx. Theory 65 (1991), 151-175. [47] M. E. H. Ismail, “Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable”, Encyclopedia in Mathematics, Cambridge University Press, 2005. [48] I. H. Jung, K. H. Kwon, D. W. Lee, L. L. Littlejohn, Sobolev orthogonal polynomials and spectral differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), 3629–3643. [49] R. Koekoek and H. G. Meijer, A generalization of Laguerre polynomials, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993), 768-782. [50] R. Koekoek and H. G. Meijer, A generalization of Laguerre polynomials, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993), 768-782. [51] J. Koekoek, R. Koekoek and H. Bavinck, On differential equations for Sobolev-type Laguerre polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 347-393. [52] T. H. Koornwinder, Orthogonal polynomials with weight function (1−x)α (1+x)β +M δ(x+1)+N δ(x−1), Canad. Math. Bull. 27 (1984), 205-214. [53] A. Kufner, "Weighted Sobolev Spaces", John Wiley and Sons, Wiley-Interscience, New York, 1985. (−k)

[54] K. H. Kwon and L. L. Littlejohn, The orthogonality of the Laguerre poly-nomials {Ln integer k, Ann. Numer. Math. 2 (1995), 289-304.

89

(x)} for a positive

[55] J. Levesley and A. K. Kushpel, On the norm of the Fourier-Gegenbauer projection in weighted Lp spaces, Constr. Approx. 15 (1999), 369-379. [56] J. Levesley and A. K. Kushpel, On the norm of the Fourier-Jacobi projection, Numer. Funct. Anal. Optim. 22 (2001), 941-952. [57] D. C. Lewis, Polynomial least square approximations, Amer. J. Math. 69 (1947), 273-278 [58] G. López-Lagomasino, F. Marcellán, W. Van Assche, Relative asymptotics for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product, Constr. Approx. 11 (1995), 107-137. [59] F. Marcellán, T. E. Pérez, and M. A. Pinar, Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 71 (1996), 245-265. [60] F. Marcellán, H. G. Meijer, T. E. Pérez, and M. A. Pinar, An asymptotic result for Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 87 (1997), 87-94. [61] F. Marcellán, A. Martínez-Finkelshtein, and J. J. Moreno-Balcázar, Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials for symmetrically coherent pairs of measures with compact support, J. Comput. Appl. Math. 81 (1997), 217-227. [62] F. Marcellán, B. P. Osilenker, and I. A. Rocha, On Fourier series of a discrete Jacobi-Sobolev inner product, J. Approx. Theory 117 (2002), 1-22. [63] F. Marcellán and and A. Ronveaux, "A bibliography of Sobolev orthogonal polynomials", Internal Report Universidad Carlos III de Madrid, 2005. [64] F. Marcellán and J. J. Moreno-Balcázar, Asymptotics and zeros of Sobolev orthogonal polynomials on unbounded supports, Acta Appl. Math. 94 (2006), 163-192. [65] C. Markett, Mean Cesàro summability of Laguerre expansions and norm estimates with shifted parameter, Anal. Math. 8 (1982), 19-37. [66] C. Markett, Cohen type inequalities for Jacobi, Laguerre and Hermite expansions, SIAM J. Math. Anal. 14 (1983), 819-833. [67] A. Martínez-Finkelshtein, J. J. Moreno-Balcázar, and H. Pijeira-Cabrera Strong asymptotics for GegenbauerSobolev orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 81 (1997), 211-216. [68] A. Martínez-Finkelshtein, Analytic aspects of Sobolev orthogonal polynomials revisited, J. Comput. Appl. Math. 127 (2001), 255-266. [69] A. Martínez-Finkelshtein, J. J. Moreno-Balcázar, T.E. Pérez, M.A. Piñar, Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials for coherent pairs, J. Approx. Theory 92 (1998) 280-293. [70] A. A. Martínez-Finkelshtein, H. Pijeira Cabrera, Strong asymptotics for Sobolev orthogonal polynomials, J. Anal. Math. 78 (1999), 143-156. [71] A. Máté, P. Nevai, and V. Totik, Necessary conditions for weighted mean convergence of Fourier series in orthogonal polynomials, J. Approx. Theory 46 (1986), 314-322. [72] A. Máté, P. Nevai, and V. Totik, Extensions of Szegö’s theory of orthogonal polynomials II, Constr. Approx. 3 (1987), 51-72.

90

[73] Ch. Meaney, Divergent Cesàro and Riesz means of Jacobi and Laguerre expansions, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), 3123-3128. [74] H. G. Meijer, A short history of orthogonal polynomials in a Sobolev space. I. The non-discrete case, Nieuw Arch. Wisk. 14 (1996), 93-112. [75] H. G. Meijer, Coherent pairs and zeros of Sobolev-type orthogonal polynomials, Indag. Math. N.S. 4(2) (1997), 321-343. [76] H. G. Meijer, Determination of all coherent pairs, J. Approx. Theory 89 (1997), 321-343. [77] H. G. Meijer and M. A. Piñar, A generating function for Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory 120 (2003), 111-123. [78] A. F. Moreno and F. Marcellán, Strong asymptotics on the support of the measure of orthogonality for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product, Methods Appl. Anal. 4 (1997), 53-66. [79] V. P. Motornýi, Approximation of functions by algebraic polynomials in the Lp metric (Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), 874-899. [80] B. Muckenhoupt, Mean convergence of Jacobi series, Proc. Amer. Math. Soc. 23 (1969), 306-310. [81] P. Nevai, "Orthogonal Polynomials", Memoirs Amer. Math. Soc., vol. 213, Amer. Math. Soc., Provindence, RI, 1979. [82] J. Newman and W. Rudin, Mean convergence of orthogonal series, Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 219-222. [83] T. E. Pérez, “Polinomios ortogonales respecto a productos de Sobolev: el caso continuo”, Ph.D. Thesis, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Granada, 1994. [84] H. Pollard, The mean convergence of orthogonal series. II, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 355-367. [85] E. A. Rakhmanov, On the asymptotics of the ratio of orthogonal polynomials, Math. USSR Sbornik, 46 (1983), 105-117. [86] I. A. Rocha, F. Marcellán, and L. Salto, Relative asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials with a discrete Sobolev inner product, J. Approx. Theory 121 (2003), 336-356. [87] F. W. Schäfke, Zu den Orthogonalpolynomen von Althammer, J. Reine Angew. Math. 252 (1972), 195-199. [88] F. W. Schäfke and G. Wolf, Einfache verallgemeinerte klassische Orthogonalpolynome, J. Reine Angew. Math. 262/263 (1973), 339-355. [89] H. Stahl and V. Totik, “General Orthogonal Polynomials”, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 43, Cambridge University Press, New York, 1992. [90] K. Stempak Heat-diffusion and Poisson integrals for Laguerre expansions, Tohoku Math. J. 46 (1994), 83104. [91] K. Stempak, On convergence and divergence of Fourier-Bessel series, Electron. Trans. Numer. Anal. 14 (2002), 223-235. [92] G. Szegö, “Orthogonal polynomials”, Amer. Math. Soc. Colloq. Pub. 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1975. [93] P. Vértesi and Y. Xu, Mean convergence of orthogonal Fourier series and interpolating polynomials, Acta Math. Hungar. 107 (2005), 119-147. 91

[94] N. J. Vilenkin, “Special Functions and Theory of Group Representations”, Translations of Math. Monographs 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968. [95] R. L. Wheeden and A. Zygmund, “Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis", Marcel Dekker, New York, 1977. [96] R. Xh. Zejnullahu and B. Xh. Fejzullahu On a differential equation for Laguerre-Sobolev type orthogonal polynomials, submitted. [97] A. Zygmund, "Trigonometric series: Vols. I, II", Cambridge University Press, London, 1968.

92

Rezyme

Në këtë tezë të doktoratës, janë shqyrtuar dy probleme të rëndësishme të polinomeve ortogonale në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it si dhe për polinomet ortogonale në lidhje me disa prodhime skalare të Sobolev-it. E para ka të bëjë me vetitë asimptotike për ato polinome ortogonale. Problemi tjetër ka të bëjë me zbërthimet Fourier në lidhje me polinomet ortogonale përkatëse. Këto dy probleme janë ngusht të lidhura njëri me tjetrin, në fakt, fokusimi kryesor për të përcaktuar vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale është zbatimi i tyre në zbërthimet ortogonale. Më saktësisht, në këtë punim zbërthimet ortogonale në lidhje me peshën e përgjithësuar të Jacob-it, jashtë intervalit të konvergjencës sipas normës, janë studiuar. Në këtë drejtim, jobarazimi i tipit të Cohen-it dhe konstanta e Lebesgue-it për këto zbërthime ortogonale janë vërtetuar. Gjithashtu, në këtë punim janë studiuar konvergjencat sipas normës të zbërthimeve Fourier për disa prodhime skalare të Sobolev-it. Meqë, për polinomet ortogonale të Sobolev-it nuk vlen vetia e ashtuquajtur relacioni i rekurrencës të tre termave dhe, si rrjedhim, as formula e Christoffel-Darboux për këto polinome nuk mund të gjenerohet si në rastin standard, atëherë për shqyrtimi konvergjencës sipas normës të zbërthimeve Fourier në hapësirat përkatëse të Sobolev-it janë shfrytëzuar vetitë asimptotike të polinomeve ortogonale korresponduese.

Summary

In this thesis, it was analyzed two important problems of orthogonal polynomials with respect to generalized Jacobi weight as well as of orthogonal polynomials with respect to some Sobolev inner products. The first one concerns asymptotics for those orthogonal polynomials. The other problem concerns Fourier expansions in terms of respective orthogonal polynomials. These two problems are intimately related to each other, in fact, the main focus to determine asymptotics for orthogonal polynomials is its application in orthogonal expansions. More precisely, in this thesis the orthogonal expansions with respect to the generalized Jacobi weight, outside the interval of the norm convergence, has been studied. In this direction, the Cohen type inequality and Lebesgue constant for those orthogonal expansions have been proved. Also, in this thesis the norm convergence of the Fourier expansions with respect to some Sobolev inner products have been study. Since, for Sobolev orthogonal polynomials the three-term recurrence relation do not hold and, therefore, the ChristoffelDarboux formula for these polynomials can not be obtained as in the standard case, then the asymptotic properties of the corresponding orthogonal polynomials have been used for the study of the norm convergence of Fourier expansions in the respective Sobolev spaces.

Biografia e autorit Autori mr. sci. Bujar Fejzullahu, u lind më 25.07.1974 në fshatin Rahovicë të komunës së Preshevës. Shkollën fillore e kreu në Rahovicë kurse gjimnazin në Preshevë drejtimin- Bashkëpuntorë i Shkencave Matematike-Natyrore. Në vitin shkollor 1993/94 i regjistroi studimet në Seksionin e matematikës të FSHMN-së pranë Universitetit të Prishtinës dhe i mbaroi më 1997 me notë mesatare 8.91. Prej shtatorit të vitit 1997 deri në gusht të vitit 2000, punon në gjimnazin "Eqrem Çabej" në Prishtinë. Nga tetori i vitit 2000 deri në maj të vitit 2003 angazhohet në Seksionin e matematikës të FSHMN-së si bashkëpuntorë i jashtëm në mbajtjen e ushtrimeve nga lëndët: Analiza matematike I dhe II, Topologjia, Analiza reale, Hapësirat metrike, Teoria e polinomeve, Gjeometria deskriptive, Matematika për kimist. Në maj të vitit 2003 kalon në marrdhënie të rregullt pune-asistent mësimor në Seksionin e matematikës të FSHMN-së në U.P. në të cilin cilësi ndodhet edhe tani. Studimet postdiplomike të magjistraturës i regjistron në vitin shkollor 2002/03 në Seksionin e matematikës të FSHMN-së në U.P. Të gjitha provimet e parapara me rregulloren e studimeve postdiplomike i përfundon në afat rekord në qershor të vitit 2004 me notë mesatare 10. Më 12.07.2005 mbron punimin e magjistraturës me titull: "Teorema e Jackson-it për një modul të përgjithësuar të lëmueshmërisë të përkufizuar me anë të një operatori josimetrik të translacionit të përgjithësuar ". Prej 4 deri më 9 korrik merr pjesë në konferencën "Conference on Approximation Theory, Computer Aided Geometric Design, Numerical Methods and Applications" që organizohet nga Universidad de Jaén, Spanjë. Aty, autori prezanton punimin shkencor "A Cohen type inequality for Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Jacobi-Sobolev inner product" ku dhe shpërblehet me mirënjohje nga organizatorët e asaj konference. Në tetor të vitit 2010, prej Universitetit të Prishtinës, fiton bursën për qëndrim katër mujor në Universidad Carlos III de Madrid. Atje, autori qëndroi nga dhjetori i vitit 2010 deri në mars të vitit 2011. Deri më tani, si autorë ose koautor ka publikuar këto punime shkencore: 1. A Riemann-Lebesgue Lemma for Fourier-Jacobi coefficients, Mat. Bilten 30 (2006), 43-48.

2. Divergent Cesaro means of Fourier expansions with respect to polynomials associated with the measure (1 − x)α (1 + x)β + M ∆−1 , Filomat 21 (2007), 153-160. 3. A Cohen type inequality for Jacobi-Sobolev expansions, J. Inequal. Appl. (2007) Art. ID 93815, 10pp . 4. A Cohen type inequality for Legendre-Sobolev expansions, Filomat 22:1 (2008), 23-31. 5. A Cohen type inequality for polynomial expansions associated with the measure (1 − x)α (1 + x)β dx + M δ−1 + N δ1 , J. Math. Sci. Univ, Tokyo 15 (2008), 243-255. 6. Divergent Cesàro means of Jacobi-Sobolev expansions, Rev. Mat. Complut. 21 (2008), 427-433. 7. Divergent Legendre-Sobolev polynomial series, Novi Sad J. Math. 38 (2008), 35-41. 8. On convergence and divergence of Fourier expansions associated to Jacobi measure with mass pointms, Filomat 23:1 (2009), 61-68. 9. A Cohen type inequality for orthogonal expansions with respect to the generalized Jacobi weight, Results Math. 55 (2009), 373-381. 10. On divergence a.e. of Fourier expansions with respect to non-discrete LaguerreSobolev inner product, Functional Analysis, Approximation and Computation 1:1 (2009), 1-12. 11. A Cohen type inequality for Laguerre-Sobolev expansions, J. Math. Anal. Appl. 352 (2009), 880-889, (koautor me F. Marcellán) 12. Lebesgue constants for polynomial expansions associated with weight function (1 − x)α (1 − x)β + M δ−1 + N δ1, Int. Journal of Math. Analysis 3 (2009), 1701 - 1709, (koautor me R. Zejnullahu). 13. On convergence and divergence of Fourier expansions with respect to some Gegenbauer-Sobolev type inner product, Commun. Anal. Theory Contin. Fract. 16 (2009), 1-11, (koautor me F. Marcellán). 14. Asymptotics for orthogonal polynomials with respect to the Jacobi measure modified by a rational factor, Math. Balkanica (N.S.) 24 (2010), 41-50.

96

15. Asymptotic properties and Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Gegenbauer-Sobolev inner product, J. Approx. Theory 162 (2010), 397-406. 16. Asymptotic properties of orthogonal polynomials with respect to a non-discrete Jacobi- Sobolev inner product, Acta Appl. Math. 110 (2010), 1309-1320, (koautor me F. Marcellán). 17. Orthogonal polynomials with respect to the Laguerre measure perturbed by the canonical transformations, Integral Transforms Spec. Funct. 21 (2010), 569 - 580, (koautor me R. Zejnullahu). 18. A Cohen type inequality for Fourier expansions of orthogonal polynomials with a nondiscrete Jacobi-Sobolev inner product, J. Inequal. Appl., (2010), Art. ID 128746, 22pp. 19. A Cohen-type inequality for Fourier expansions with respect to non-discrete Laguerre-Sobolev inner product, Numer. Funct. Anal. Optim. 31 (2010), 13301341. 20. A Cohen type inequality for Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Gegenbauer-Sobolev inner product, Math. Nachr. 284 (2011), 240-254.

97