UNIVERSITETI I PRISHTINЁS “HASAN PRISHTINA” FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE DEPARTAMENTI I MATEMATIKЁS
Msc. Fahri Marevci
KLASAT E OPERATORËVE (M , k ), (M , k )∗ , ( A, k ) , ( A, k )∗ DHE LIDHJET E TYRE ME DISA KLASË TË TJERA TË OPERATORËVE NË HAPËSIRËN E HILBERTIT
PUNIM I DOKTORATЁS
Prishtinë, 2013
2
UNIVERSITY OF PRISHTINA “HASAN PRISHTINA” FACULTY OF MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Msc. Fahri Marevci
CLASSES OF OPERATORS (M , k ), (M , k )∗ , ( A, k ) , ( A, k )∗ AND THEIR CONNECTIONS WITH SOME OTHER CLASSES OF OPERATORS IN HILBERT SPACE
PhD THESIS
Prishtina, 2013
3
UNIVERSITETI I PRISHTINЁS “HASAN PRISHTINA” FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE DEPARTAMENTI I MATEMATIKЁS
Msc. Fahri Marevci KLASAT E OPERATORËVE (M , k ) (M , k )∗ , ( A, k ) , ( A, k )∗ DHE LIDHJET E TYRE ME DISA KLASË TË TJERA TË OPERATORËVE NË HAPËSIRËN E HILBERTIT
PUNIM I DOKTORATЁS
Mentori : Prof. Dr. Muhib Lohaj
Prishtinë, 2013
4
PËRMBAJTJA
Përmbajtja………………………………………………………….…4 Hyrje......................................................................................................6 Qëllimi i punimit……………………………………………………...9 Metodat dhe materialet e hulumtimit………………………………...10
KAPITULLI -IDISA VETI TË KLASAVE TË OPERATORËVE (M , k ) DHE ( M , k ) ∗ .
1.1. Operatorët e zhvendosjes me peshë…………….. ….…….…….…12 1.2. Klasat e operatorëve (M , k ) dhe ( M , k ) ∗ ..............……..…..……..17 1.3. Klasat e operatorëve (M , k )N dhe ( M , k )*N .............…..……………..21
5
KAPITULLI –IIKLASAT E OPERATORËVE (M , k ) , ( M , k ) ∗ , ( A, k ) DHE ( A, k ) ∗
2.1 Disa veti të klasës ( A, k ) lidhur me spektrin e operatorit............30 2.2 Lidhjet e klasave ( M , k ) ∗ dhe ( A, k ) ∗ në varësi të numrit k .............. 44 2.3 Klasat e operatorëve (M , k )N dhe ( A, k ) N ……………………...51 2.4 Klasat e operatorëve (M , k )*N dhe ( A, k )*N ……………………...56
KAPITULLI –IIIDISA VETI TË KLASAVE TË OPERATORËVE ( M , k )∗ , A* [k ] , DHE k -* PARANORMALË
3.1 Klasat e operatorëve ( M , k ) dhe k -paranormalë..……………....… 64 3.2 Disa rezultate lidhur me
operatorët nga klasa A* [k ] dhe
k -*paranormalë .....................................................................................70
Rezyme....................................................................................................82 Summary ................................................................................................83 Literatura…………………………………………………………….....84 Biografia…………………………………………………………...…...88
6
HYRJE
Në teorinë e operatorëve rol të veçantë zënë disa klasa të operatorëve siç janë operatorët e zhvendosjes së njëanshme dhe të dyanshme me peshë, operatorët hipernormalë, paranormalë dhe *-paranormalë në hapësirën e Hilbertit. Me studimin e këtyre operatorëve janë marr shumë matematikanë si p.sh. W. C. Ridge , P. R. Halmos , Joseph G. Stampfli, Ma Jipu, Wang Gongbao etj. Kështu p.sh. W.C.Ridge në punimin me titull "Approximate Point Spectrum of a Weighted Shifts" Amer. Math. Soc. 147 (1970), 349-356 ka gjetur spektrin aproksimativ pikësor
të operatorëve të zhvendosjes me peshë dhe me këtë janë hapur shumë mundësi të studimit të këtyre operatorëve. Pastaj paraqiten me punime autorët e njohur P. R. Halmos, D.A. Herrero dhe në dhjetë vitet e fundit matematikanët kinez W. G. Bao dhe Ma Jipu kanë treguar në hollësi pjesët e spektrit: σ p (T ) -spektrin pikësor, σ ap (T ) -spektrin aproksimativ pikësor, σ c (T ) -spektrin e vazhdueshëm dhe σ r (T ) -spektrin rezidual për operatorët hipernormalë të zhvendosjes me peshë (shih [38]). Në tri dekadat e fundit është bërë një zhvillim i hovshëm i studimeve të këtyre klasave të operatorëve : (M , k ) , (M , k )* ,
M-paranormalë, M-*paranormalë, k-paranormalë, k-*paranormalë,
A(k ) , operatorët absolut k − paranormalë, operatorët absolut k − *
paranormalë etj. Me studimin e këtyre operatorëve janë marr shumë matematikan, si p.sh. S. C. Arora, Takayuki Furuta, Takeaki Yamazaki, Cheon Seoung Ryoo, N. Chennappan, S. Karthikeyan etj. Punimi i doktoratës në vete përmban tre kapituj. Kapitulli i parë përmban tre paragrafe. Në paragrafin e parë është përkufizuar operatori i zhvendosjes se njëanshme dhe të dyanshme me peshë , me vargun e peshave {ω n } si dhe janë dhënë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme që operatori i zhvendosjes të jetë hipernormal, kuazi-hipernormal, përkatësisht *paranormal. Gjithashtu vlen të përmendet se në këtë paragraf është konstruktuar një shembull me ndihmën e operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë i cili tregon se ekziston operatori
7 zhvendosjes me peshë i cili është operator *-paranormal por nuk është operator hipernormal e as kuazi-hipernormal. Në paragrafin e dytë të kapitullit të parë janë paraqitur disa veti të klasave të operatorëve kuazi-hipernormalë, hipernormalë, ( M , k ) , ( M , k )* etj. Në këtë paragraf është treguar se operatori k ∗ 2
T i takon klasës ( M , k ) , për k ≥ 1 atëherë dhe vetëm atëherë nëse (TT ) x ≤ T k x , për çdo *
x ∈ H dhe k ≥ 1 (pohimi 1.2.2.). Në paragrafin e tretë janë treguar disa veti të klasave të operatorëve N-paranormalë, Nhipernormalë, N-kuazi-hipernormalë, N-*paranormalë, ( M , k ) N , ( M , k )*N etj. Ndër rezultatet kryesore të këtij paragrafi janë: Operatori T i takon klasës ( M ,2) N , atëherë dhe vetëm atëherë, nëse operatori T është
N - kuazi-hipernormal (pohimi 1.3.3); Nëse operatori T i takon klasës
së operatorëve ( M , k ) ∗N , atëherë operatori T do t`i takoj klasës ( M , k + 1) N , dhe anasjelltas vlen nëse R (T ) është e dendur në H (pohimi 1.3.6) . Kapitulli i dytë përmban katër paragrafe. Në paragrafin e parë dhe të dytë janë përkufizuar dhe treguar disa veti të klasave të operatorëve ( M , k ) , ( M , k )* , ( A, k ) dhe ( A, k ) ∗ . Këtu janë treguar edhe disa veti spektrale të klasës së operatorëve ( A, k ) , për k ≥ 2 , p.sh. Nëse operatori T i takon klasës ( A, k ) , k ≥ 2 dhe
λ ≠ 0 , atëherë për vargun e vektorëve njësi
(T
∗
{xn } ,
për të cilin
(T − λ )xn → 0 ,
vlejnë:
)
− λ xn → 0 , σ p (T ) − {0} = σ jp (T ) − {0} dhe σ ap (T ) − {0} = σ ja (T ) − {0} (teorema 2.1.4), në
këto dy paragrafe gjithashtu kemi tregu se
çdo operator T që i takon
klasës ( M , k ) ,
përkatësisht ( M , k )* do t`i takoj klasës ( A, k ) , përkatësisht ( A, k ) * për k ≥ 2 (pohimet 2.1.2 dhe 2.2.2). Në paragrafin e tretë dhe të katërt janë bërë disa përgjithësime normale të klasave të operatorëve ( A, k ) , ( A, k ) ∗ , përkatësisht në klasat e operatorëve ( A, k ) N , ( A, k )*N . Gjithashtu këtu janë treguar disa veti të klasave ( A, k ) N , ( A, k )*N që njëkohësisht janë edhe përgjithësim i vetive të klasave ( A, k ) dhe ( A, k ) ∗ . Disa nga rezultatet e arritura lidhur me klasat e operatorëve të lartpërmendura janë: Nëse T ∈ ( A, k ) N dhe T n operator kompakt për ndonjë n ≥ k , atëherë
8 operatori T është kompakt (teorema 2.3.1); Nëse T ∈ ( A, k )∗N dhe T k operator kompakt për ndonjë k ≥ 1 , atëherë operatori T është kompakt (pohimi 2.4.3). Në kapitullin e tretë është treguar se çdo operator nga klasa ( M , k ) , përkatësisht ( M , k ) ∗ është operator k -paranormal, përkatësisht k -*paranormal (teoremat 3.1.1 dhe 3.2.2). Tutje, kemi treguar se: Nëse T1 ∈ B( H 1 ) dhe T2 ∈ B( H 2 ) janë operatorë jozero, atëherë T1 dhe T2 i takojnë klasës A∗ [k ] atëherë dhe vetëm atëherë kur produkti tenzorial T1 ⊗ T2 i takon klasës A∗ [k ] (teorema 3.2.4).
9
QËLLIMI I PUNIMIT
Qëllimi i këtij hulumtimi ka qenë dhe është përkufizimi dhe studimi i klasave të reja të operatorëve dhe studimi i vetive të disa klasave të operatorëve të përkufizuara më herët nga autorë të tjerë. Klasa të reja të operatorëve të përkufizuar në këtë punim të doktoratës janë klasa e operatorëve ( A, k ) dhe ( A, k )* . Gjithashtu, këtu janë bërë edhe disa përgjithësime normale të klasave ( A, k ) dhe ( A, k )* . Pra këtu qëllimi është të tregohen veti të ndryshme të klasave të lartpërmendura, si dhe të shikohen lidhshmëritë ndërmjet këtyre klasave dhe klasave të tjera të operatorëve . Duke e ditur rëndësinë e madhe të spektrit të operatorit dhe pjesëve spektrale të operatorit në teorinë e operatorëve, në këtë punim të doktoratës gjithashtu një ndër qëllimet kryesore ka qenë edhe të tregohen veti të ndryshme të spektrit pikësor, spektrit aproksimativ pikësor dhe pjesëve të tjera spektrale të operatorit, kur operatori i takon klasës ( A, k ) apo klasave të tjera të
operatorëve. Mund të themi se këto qëllime të cilat i përmendëm më lartë në përgjithësi janë arritur dhe janë treguar veti të shumta dhe relacione ndërmjet klasave të ndryshme të operatorëve të cilat edhe janë paraqitë në këtë punim të doktoratës. Qëllimi i punimit ka qenë edhe studimi i disa klasave të operatorëve të përkufizuara më herët, p.sh. në këtë drejtim është punuar mjaft në klasat e operatorëve ( M , k ) dhe ( M , k )* . Vetitë të cilat janë treguar lidhur me këto klasa të operatorëve, janë paraqitë në tre kapitujt e këtij punimi të doktoratës.
10
METODAT DHE MATERIALET E HULUMTIMIT
Në tre dekadat e fundit teoria e operatorëve është një fushë e analizës funksionale e cila zë një vend qendror në studimin e matematikës. Interesimi im për këtë fushë të matematikës erdhi konkretisht duke studiuar dhe analizuar disa monografi dhe punime shkencore të cilat lidhen me këtë fushë të matematikës. Më konkretisht së pari kam studiuar monografinë me titull “A Hilbert Space Problem Book”, të autorit P. R. Halmos. Duke analizuar kapituj të caktuar nga kjo monografi dhe duke i analizuar punime të shumta shkencore unë fillova të shfaqi një interesim të madh
për
klasa të ndryshme të operatorëve si p.sh. klasa e operatorëve hipernormalë,
paranormalë, *-paranormalë, kuazi-normalë, kuazi-hipernormalë etj. Lidhur me këto klasa të operatorëve kam shfrytëzuar një numër të konsiderueshëm të punimeve shkencore të tre dekadave të fundit të botuara në revista të ndryshme me recension ndërkombëtarë. Konkretisht kam studiuar klasat e operatorëve : hipernormalë, kuazi-hipernormalë, k-paranormalë, k- * paranormalë , M-paranormalë , ( M , k ) , ( M , k )* , A(k ) etj. Kam analizuar dhe studiuar punime të shumta nga autorët S.C. Arora, Ramesh Kumar, Takayuki Furuta, Takeaki Yamazaki, Cheon Seoung Ryoo, J.K. Thukral, N. Chennappan, S. Karthikeyan, Pushpa R. Suri etj. Nga punimet e shumta vlen të përmenden punimet vijuese : M - * Paranormal Operators, Glas. Math. Ser. III, Vol. 22, No.1. (1987), 123-129, të autorëve S. C. Arora and J. K. Thukral; *Paranormal Composition Operators, Indian J. Pure Appl. Math., 31(6), (2000), 591-601, të autorëve N. Chennappan dhe S. Karthikeyan dhe A Subclass of Paranormal Operators Including Class of Log-hyponormal and Several Related Classes, Scientiae Mathematicae Vol.1, No. 3(1998), 389403 të autorëve T. Furuta, M. Ito dhe T. Yamazaki. Në këto punime përveç se janë arritur rezultate të reja nga lëmija e operatorëve paranormalë, *-paranormalë , kuazi-*-paranormalë, loghipernormalë, këtu gjithashtu janë përkufizuar edhe klasat e reja të operatorëve, si p.sh. klasa e
11 operatorëve M-*paranormalë , ( M , k ) * , A(k ) , operatorët absolut k − paranormalë etj . Këto klasa kanë qenë mjaft interesante, kështu që kam paraqit një interesim të madh për t`i studiuar vetitë e tyre, përkufizimin e klasave të reja dhe lidhjet e tyre me disa klasë të tjera të operatorëve.
.
12
KAPITULLI I DISA VETI TË KLASAVE TË OPERATORËVE (M , k ) DHE (M , k )∗
1.1. Operatorët e zhvendosjes me peshë Në këtë paragraf do t`i japim përkufizimin e operatorit të zhvendosjes me peshë në hapësirën komplekse të Hilbertit . Gjithashtu ne do të tregojmë kushtet që duhet plotësuar vargu i peshave, nën të cilat operatori i zhvendosjes me peshë të jetë operator hipernormal, kuazihipernormal , përkatësisht *-paranormal. Në këtë punim me H do të shënojmë hapësirën komplekse të Hilbertit, ndërsa me B (H ) do të shënojmë bashkësinë e të gjithë operatorëve linear të kufizuar në hapësirën komplekse të Hilbertit H .
Përkufizim 1.1.1. Le të jetë H hapësirë komplekse e Hilbertit, (en ) n bazë e ortonormuar në H dhe {ω n } varg i kufizuar i numrave kompleksë. Operatori T ∈ B (H ) quhet operator i zhvendosjes me peshë në hapësirën komplekse të Hilbertit H nëse: T (en ) = ω n en +1 për çdo n .
Përkufizim 1.1.2. Operatori T ∈ B (H ) quhet operator i zhvendosjes së njëanshme me peshë, përkatësisht operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, nëse n i takon bashkësisë së numrave të plotë jonegativë, përkatësisht bashkësisë së numrave të plotë. Në qoftë se dim H = n , atëherë operatori T quhet operator i zhvendosjes me peshë me dimension të fundmë nëse ekzistojnë numrat ω1 , ω 2 ,..., ω n −1 dhe baza e ortonormuar e1 , e 2 ,..., e n , të tillë që : Te k = ω k ek +1 , (k < n) , Te n = 0 , (shih [2]).
13
Rrjedhim 1.1.1.([2]). Operatori i zhvendosjes me peshë T është injektiv (1-1), atëherë dhe vetëm atëherë, kur ω n ≠ 0, për çdo n.
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i operatorit të zhvendosjes me peshë. ■
Pohim 1.1.1.([2]). Nëse T është operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, atëherë : T ∗ en = ω n −1en −1 për çdo n .
( I.1)
Nëse T është operator i zhvendosjes së njëanshme me peshë, atëherë : T ∗ en = ω n −1en−1 për çdo n ≥ 1 dhe T ∗ e0 = 0 .
( I.2 )
Vërtetim. Për çdo n dhe k numra të plotë kemi: 〈Ten−1 , ek 〉 = 〈 en−1 , T ∗ek 〉 〈ω n−1en , ek 〉 = 〈 en−1 , T ∗ek 〉 .
Tani për k = n , kemi: 〈ω n −1en , en 〉 = 〈 en−1 , T ∗ en 〉
ω n −1 〈 en , en 〉 = 〈 en −1 , T ∗ en 〉 . Meqenëse 〈en , en 〉 = 〈 en −1 , en −1 〉 = 1 , atëherë:
ω n −1 〈 en −1 , en −1 〉 = 〈 en −1 , T ∗ en 〉 〈 en −1 , ω n−1en −1 〉 = 〈 en −1 , T ∗ en 〉 . Prandaj nga (I.3 ), rrjedhin (I.1) dhe (I.2).■
(I.3)
14 Në vazhdim ne do t`i japim përkufizimet e klasave të operatorëve kuazi-normalë, hipernormalë, kuazi-hipernormalë dhe *-paranormalë si dhe do t`i japim disa pohime të cilat bëjnë lidhjen e operatorëve të zhvendosjes me peshë me klasat e lartpërmendura të operatorëve. Për operatorin T ∈ B (H ) themi se është: 1.
Kuazi-normal nëse T (T ∗T ) = (T *T )T .
2. Hipernormal nëse
T ∗ x ≤ Tx
për çdo x ∈ H
ose
ekuivalente me të nëse
T ∗T − TT ∗ ≥ 0 .
3. Kuazi-hipernormal
nëse T ∗2T 2 − (T ∗T ) 2 ≥ 0 ose në mënyrë ekuivalente nëse
T 2 x ≥ T *Tx për çdo x ∈ H .
4. *-Paranormal nëse T 2 x ≥ T ∗ x
2
për çdo vektor njësi x ∈ H .
Pohim 1.1.2. ([21]). Nëse operatori T ∈ B ( H ) është operator i
zhvendosjes së
njëanshme, atëherë T është operator kuazi-normal.
Pohim 1.1.3.([21]). Nëse operatori T ∈ B ( H ) është operator i zhvendosjes së dyanshme, atëherë T është operator kuazi-normal.
Pohim 1.1.4. ([38]). Operatori i zhvendosjes së njëanshme me peshë T , me vargun e peshave {ω n }, është hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur ω n +1 ≥ ω n , n ∈ N ∪ {0}.
Pohim 1.1.5.([38]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T , me vargun e peshave {ω n }, është hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur ω n +1 ≥ ω n , n ∈ Z . Vërtetimet e pohimeve 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4 dhe 1.1.5 rrjedhin drejtpërdrejti nga përkufizimet klasave përkatëse të operatorëve. Pohimi vijues tregon kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që një
operator i
zhvendosjes së dyanshme me peshë të i takoj klasës së operatorëve kuazi-hipernormalë.
15
Pohim 1.1.6. ([21]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T , me vargun e peshave {ω n },
ω n +1 ≥ ω n
është
kuazi-hipernormal
atëherë
dhe
vetëm
atëherë
kur
për ω n ≠ 0, n ∈ Z .
Vërtetim. Le të jetë (en ) ∞n=−∞ , bazë e ortonormuar në hapësirën e Hilbertit H dhe en vektor i çfarëdoshëm i bazës në hapësirën e Hilbertit H . Atëherë nga supozimi se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T është kuazi-hipernormal, kemi : T 2 e n = T (T (e n )) = ω n T (e n +1 ) = ω n ⋅ ω n +1 e n + 2 = ω n ⋅ ω n +1 . T ∗T (en ) = T ∗ (ω n en+1 ) = ω nT ∗en+1 = ω n ω n en = ω n
2
2
en = ω n .
(I.4)
(I.5)
Operatori T ∈ B ( H ) është kuazi-hipernormal, nëse :
T *2T 2 ≥ (T *T ) 2 ⇔ T 2 x ≥ T *Tx për çdo vektor x ∈ H .
(I.6)
Nga (I.4) , (I.5) dhe (I.6) rrjedh se ω n +1 ≥ ω n për n ∈ Z .
Anasjelltas . Supozojmë se vargu i operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë plotëson mosbarazimin ω n +1 ≥ ω n për n ∈ Z , atëherë nga (I.4) dhe (I.5) shihet qartë se T është operator kuazi-hipernormal. ■
Pohim 1.1.7.([27]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T , me vargun e peshave {ω n },
është *-paranormal atëherë dhe vetëm atëherë kur ω n ω n +1 ≥ ω n −1
2
për çdo
numër të plotë n .
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimi i operatorit *paranormal. Shembulli vijues tregon se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i cili është *-paranormal por nuk është operator hipernormal e as kuazi-hipernormal.
16
Shembulli 1.1.1. ([21]). Le të jetë T ∈ B ( H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } , të përkufizuar si vijon:
1 2 , për n ≤ −1 1, për n = 0 1 , për n = 1 ωn = 2 . 2, për n = 2 1 , për n = 3 4 64, për n ≥ 4
Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T është *- paranormal, por nuk është operator hipernormal e as kuazi-hipernormal. Vërtet, duke u bazuar në pohimin 1.1.7, rrjedh se operatori i zhvendosjes me peshë T është *-paranormal atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave {ω n } plotëson mosbarazimin 2
ω n ω n +1 ≥ ω n −1 për n ∈ Z , e nga kjo shihet se operatori i zhvendosjes me peshë T i përkufizuar me lartë është *- paranormal. Nga ana tjetër, nga pohimet 1.1.5 dhe 1.1.6 rrjedh se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë është hipernormal ose kuazi-hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave Tani nëse marrim
{ω n } plotëson mosbarazimin
n = 0 , shihet se ω 1 =
1 <1= ω 2
0
ω n +1 ≥ ω n për n ∈ Z .
, me çka arritëm në përfundimin se
operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk është operator hipernormal e as kuazihipernormal.
17
1.2. Klasat e operatorëve (M , k ) dhe
(M , k ) ∗
Në këtë paragraf janë gjetur kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme nën të cilat operatori T është nga klasa ( M , k ) , përkatësisht ( M , k ) * . Gjithashtu, nëse operatori kuazinormal T i takon klasës ( M ,2) , atëherë operatori T i takon klasës ( M , k ) për çdo k ≥ 2 . Në vazhdim po japim përkufizimet e klasave ( M , k ) dhe ( M , k ) * . Për operatori linear të kufizuar T në hapësirën e Hilbertit H themi se : 1. I takon klasës ( M , k ) , nëse T ∗k T k ≥ (T ∗T ) k për k ≥ 2 ( k − numër i plotë). Klasa e operatorëve ( M ,2) përputhët me klasën e operatorëve kuazi-hipernormalë 2. I takon klasës ( M , k ) ∗ nëse T ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k për k ≥ 1 ( k − numër i plotë). Klasa e operatorëve ( M ,1) ∗ përputhët me klasën e operatorëve hipernormalë. Nga përkufizimet e klasave të operatorëve ( M , k ) dhe ( M , k ) ∗ shihet se këto janë përgjithësime të klasave të operatorëve kuazi-hipernormalë, përkatësisht hipernormalë. Prandaj vetitë të cilat do të tregohen për këto klasa vlejnë edhe për klasat e operatorëve kuazihipernormalë dhe hipernormalë.
Pohim 1.2.1. ([21]). Le të jetë T ∈ B ( H ) . Atëherë: ∗k
∗
∗
k 2
T T ≥ (T T ) ⇔ (T T ) x ≤ T k x për çdo x ∈ H dhe k ≥ 2 . k
k
Vërtetim. Supozojmë se operatori
T ∈ B ( H ) plotëson mosbarazimin T ∗k T k ≥ (T ∗T ) k
për k ≥ 2 . Atëherë për çdo x ∈ H dhe k ≥ 2 kemi: T ∗k T k ≥ (T ∗T ) k ⇔ T ∗k T k − (T ∗T ) k ≥ 0
18 ⇔ 〈(T ∗k T k − (T ∗T ) k ) x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ 〈T ∗k T k x, x〉 − 〈 (T ∗T ) k x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) k 2
∗
∗
k 2
⇔ 〈T x, T x〉 − 〈(T T ) x, (T T ) x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) k
k
2
2
k 2
∗
⇔ T x − (T T ) x k
≥ 0 ( x∈ H)
k
⇔ T k x ≥ (T ∗T ) 2 x
( x∈ H)
k
⇔ (T ∗T ) 2 x ≤ T k x
( x ∈ H ) .■
Vërejtje 1.2.1. Nga përkufizimi dihet se operatori T i takon klasës ( M , k ) nëse T ∗k T k ≥ (T ∗T ) k për k ≥ 2 . Atëherë nga pohimi 1.2.1 rrjedh se operatori T
i takon klasës
k
( M , k ) atëherë dhe vetëm atëherë kur (T ∗T ) 2 x ≤ T k x për çdo x ∈ H dhe k ≥ 2 .
Pohim 1.2.2. ([21]). Le të jetë T ∈ B ( H ) . Atëherë: k
T ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k ⇔ (TT ∗ ) 2 x ≤ T k x për çdo x ∈ H dhe k ≥ 1 .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T ∈ B ( H ) plotëson mosbarazimin T ∗k T k ≥ (TT * ) k për k ≥ 1 . Atëherë për çdo x ∈ H dhe k ≥ 1 kemi: T ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k ⇔ T ∗k T k − (TT ∗ ) k ≥ 0
⇔ 〈(T ∗k T k − (TT ∗ ) k ) x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ 〈T ∗k T k x, x〉 − 〈 (TT ∗ ) k x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H )
19
k 2
∗
∗
k 2
⇔ 〈T x, T x〉 − 〈(TT ) x, (TT ) x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) k
k
2
∗
k 2
2
⇔ T x − (TT ) x k
≥ 0 ( x∈ H)
k
⇔ T k x ≥ (TT ∗ ) 2 x
( x∈ H)
k
⇔ (TT ∗ ) 2 x ≤ T k x
( x ∈ H ) .■
Vërejtje 1.2.2. Nga përkufizimi dihet
se operatori T i takon klasës ( M , k ) ∗ nëse
T ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k për k ≥ 1 . Atëherë nga pohimi 1.2.2 rrjedh se operatori T
i takon klasës
k
( M , k ) ∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur (TT ∗ ) 2 x ≤ T k x për çdo x ∈ H dhe k ≥ 1 .
Pohim 1.2.3.([21]). Nëse operatori T ∈ B ( H ) është kuazi-normal dhe i takon klasës së operatorëve ( M ,2) , atëherë operatori T i takon klasës ( M , k ) për çdo k ≥ 2 . Vërtetim. Vërtetimi bëhet duke e përdorur induksionin matematik. Supozojmë se operatori T është kuazi-normal dhe se i takon klasës ( M ,2) . Është e qartë se pohimi vlen për k = 2 . Tani supozojmë se pohimi është i vërtet për k = n , e kjo do të thotë se T ∗nT n ≥ (T ∗T ) n ,
respektivisht operatori T i takon klasës ( M , n) . Vërtetojmë se vlen pohimi për k = n + 1 . Pra:
T ∗n +1T n +1 = T ∗ (T ∗n T n )T ≥ T ∗ (T ∗T ) n T
= T ∗ [(T ∗T ) ⋅ (T ∗T ) ⋅ (T ∗T ) ⋅ ⋅ ⋅ (T ∗T )] ⋅ T n − herë
20 = T ∗T ⋅ [(T ∗T ) ⋅ (T ∗T ) ⋅ (T ∗T ) ⋅ ⋅ ⋅ (T ∗T )] n − herë
= T ∗T ⋅ (T ∗T ) n = (T ∗T ) n+1 . Domethënë T ∗n +1T n +1 ≥ (T ∗T ) n +1 , respektivisht operatori T i takon klasës ( M , n + 1) . Atëherë duke u bazuar në induksionin matematik arrijmë në përfundimin se T ∈ ( M , k ) për çdo k ≥ 2 .■
21
1.3. Klasat e operatorëve (M , k )N dhe
( M , k )*N
Në këtë paragraf do të tregojmë disa veti të klasave të operatorëve N − paranormalë, N − hipernormalë, N − kuazi-hipernormalë, N − *paranormalë, ( M , k ) N dhe ( M , k ) ∗N . Klasat ( M , k ) N dhe ( M , k ) ∗N janë përgjithësime normale të klasave ( M , k ) dhe ( M , k ) * . Në vazhdim japim përkufizimet e klasave të lartpërmendura.
Përkufizim 1.3.1. Operatori T ∈ B(H ) themi se i takon klasës ( M , k ) N
nëse
NT ∗k T k ≥ (T ∗T ) k për k ≥ 2 dhe ndonjë numër fiks N > 0 .
Përkufizim 1.3.2. Operatori T ∈ B(H ) themi se i takon klasës ( M , k )∗N
nëse
NT ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k për k ≥ 1 dhe ndonjë numër të fiksuar N > 0 . Për operatorin T ∈ B(H ) themi se është: 1. N-hipernormal nëse N Tx ≥ T ∗ x
për çdo x ∈ H dhe ndonjë numër të fiksuar
N >0. 2. N-kuazi-hipernormal nëse N T 2 x ≥ T ∗Tx
për çdo x ∈ H dhe ndonjë numër të
fiksuar N > 0 . 3. N-paranormal nëse N T 2 x ≥ Tx
2
për çdo vektor njësi x ∈ H dhe ndonjë numër të
fiksuar N > 0 . 4. N-*paranormal nëse N T 2 x ≥ T ∗ x
2
për çdo vektor njësi x ∈ H dhe ndonjë numër
të fiksuar N > 0 .
Pohim 1.3.1. ([21]). Operatori T ∈ B (H ) i takon klasës ( M , k ) N atëherë dhe vetëm atëherë kur :
22 k 2
(T T ) x ≤ N T k x *
për çdo x ∈ H , k ≥ 2 dhe N > 0 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 1.2.1. ■ Pohim 1.3.2. ([21]). Operatori T ∈ B (H ) i takon klasës ( M , k ) ∗N atëherë dhe vetëm atëherë kur : ∗
k 2
(TT ) x ≤ N T k x
për çdo x ∈ H , k ≥ 1 dhe N > 0 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 1.2.2. ■ Pohim 1.3.3. ([21]). Le të jetë T ∈ B (H ) . Atëherë operatori T i takon klasës ( M ,2) N atëherë dhe vetëm atëherë kur operatori T është
N - kuazi-hipernormal.
Vërtetim. Supozojmë se operatori T i takon klasës ( M ,2) N , atëherë NT ∗2T 2 ≥ (T ∗T ) 2 . Tani nga supozimi i mësipërm, për çdo x ∈ H kemi: 〈( NT ∗2T 2 − (T ∗T ) 2 ) x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ 〈( NT ∗2T 2 x, x〉 − 〈 (T ∗T ) 2 x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ N 〈T 2 x, T 2 ( x)〉 − 〈T ∗Tx, T ∗Tx〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ N 〈T 2 x, T 2 x〉 ≥ 〈T ∗Tx, T ∗Tx〉 ( x ∈ H ) 2
⇔ N T 2 x ≥ T ∗Tx ⇔
2
( x∈ H )
N T 2 x ≥ T ∗Tx ( x ∈ H ).
23 Kështu vijmë në përfundim se operatori T i takon klasës ( M ,2) N atëherë dhe vetëm atëherë kur operatori T është
N - kuazi-hipernormal. ■
Rrjedhim 1.3.1. Nëse T ∈ B (H ) i takon klasës ( M ,2) N atëherë operatori T është
N-
paranormal.
Pohim 1.3.4. ([21]). Le të jetë T ∈ ( M , k ) N dhe T k operator kompakt për ndonjë k ≥ 2 . Atëherë, operatori T është kompakt.
Vërtetim. Meqenëse T ∈ ( M , k ) N , atëherë nga pohimi 1.3.1 rrjedh se: ∗
k 2
(T T ) x ≤ N T k x për çdo x ∈ H , k ≥ 2 dhe N > 0 .
(I.7)
Le të jetë ( xn ) varg në hapësirën e Hilbertit H që konvergjon dobët në 0 në hapësirën e Hilbertit H . Tani nga (I.7) dhe supozimi se T k është operator kompakt, kemi :
k 2
∗
(T T ) ( xn ) ≤ N T k ( xn ) → 0, n → ∞
∗
k 2
(T T ) ( x n ) → 0, n → ∞ .
(I.8)
Tani, nga (I.8) rrjedh se T ∗T është operator kompakt, respektivisht operatori T është kompakt (shih [8]).■
Pohim 1.3.5. ([21]). Në qoftë se T ∈ ( M , k ) N∗ dhe T k operator kompakt për ndonjë k ≥ 1 , atëherë T është operator kompakt.
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 1.3.4 ashtu që shfrytëzohet pohimi 1.3.2. ■
24 Shembulli vijues tregon se ekziston operatori T i cili i takon klasës ( M ,2) ∗1 por nuk i N
takon klasës së operatorëve ( M ,2) 1 . N
Shembull 1.3.1. ([21]). Ideja e konstruktimit të këtij shembulli është marr nga shembulli 3.5 në [20]. Le të supozojmë se N > 3 dhe T operator i zhvendosjes me peshë në l 2 , i marr me relacionin
T : l2 → l2
i
T ∗ ( x1 , x 2 ,...) = (α 1 x 3 , α 2 x 4 ,...) me
tillë vargun
T ( x1 , x 2 ,...) = (0,0, α 1 x1 , α 2 x 2 ,...) ,
që e
peshave
α1 = α 2 =
3 N , 2
α3 = α4 = N ,
α 5 = α 6 = N N , α 7 = α 8 = N 2 , α 9 = α 10 = N 2 N ,…. Le të jetë en = (0,0,0,....,
1
termi i n − të
bazë e ortonormuar. Atëherë kemi : 1 2 2 1 ∗2 2 4 ∗ 2 T T − (TT ) (en ) = α n α n + 2 − α n − 2 (en ) ≥ 0 për n > 2 . N N Gjithashtu për n = 1,2 kemi: 1 ∗2 2 1 2 2 ∗ 2 T T − (TT ) (e1 ) = α1 α 3 (e1 ) ≥ 0 , N N dhe 1 ∗2 2 1 2 2 ∗ 2 T T − (TT ) (e2 ) = α 4 α 2 (e2 ) ≥ 0 . N N Nga tri relacionet e mësipërme rrjedh se : 1 〈 T ∗2T 2 − (TT * ) 2 (en ), en 〉 ≥ 0 N për çdo n ∈ N , prandaj operatori T i takon klasës ( M ,2) ∗1 . Nga ana tjetër, meqë: N
1 ∗2 2 1 T T (e1 ) − (T ∗T ) 2 (e1 ) = α 12α 32 − α 14 (e1 ) N N
,0,...)
25
1 3 2 3 3 4 2 = N − N (e1 ) N 2 2 =−
45 2 N (e1 ) < 0 , 16
atëherë arrijmë në përfundimin se operatori T nuk i takon klasës ( M ,2) 1 . N
Me anë të shembullit vijues do të tregojmë se ekziston operatori T i cili i takon klasës ( M ,2) 1 por nuk i takon klasës së operatorëve ( M ,2) ∗1 . N
N
Shembull 1.3.2. ([21]). Supozojmë se hapësira e Hilbertit H është dhënë në formën H = R × R ⊕ R × R ⊕ . Le të jetë A dhe B operator pozitivë në R × R . Për çdo numër fiks natyral n përkufizojmë operatorin T = TA, B , n në hapësirën e Hilbertit H si vijon: T ( x1 , x 2 ,...) = (0, Ax1 , Ax 2 ,..., Ax n , Bx n +1 ,...) . Operatori i konjuguar i operatorit T ka formën: T ∗ ( x1 , x 2 ,...) = ( Ax 2 , Ax3 ,..., Ax n +1 , Bx n + 2 ,...) . Në vijim ne do të konsiderojmë se N >
1 . Operatori T i takon klasës ( M ,2) 1 atëherë dhe 2 N
1 0 N dhe B = vetëm atëherë kur AB 2 A − N ⋅ A 4 ≥ 0 . Le të jenë A = 0 0 N
N matrica të cilat N
plotësojnë kushtin AB 2 A − N ⋅ A 4 ≥ 0 , respektivisht operatori T i takon klasës ( M ,2) 1 . Le të N
jetë:
1 1 x = 0,0,...,0, − , ,0,... . 4 4 − N N N 8 8 koordinata e n +1−të
26 Duke u bazuar në përkufizimin e operatorëve A, B dhe T , kemi:
(
)
2
〈 T ∗2T 2 − N (TT ∗ ) 2 x, x〉 = B 2 xn+1 − N A 2 xn+1
2
8 N 4 1 1 − , 4 4 8 N 8 N − N 8 N 4
8N 4 − N = 4 8N
1 1 , , − 4 4 8N − N 8N
1 N 1 , = 0,− , − 4 4 8N − N 8N − N 8N 4
=−
(
N < 0. (8 N − N )8 N 4 4
)
Meqenëse 〈 T ∗2T 2 − N (TT ∗ ) 2 x, x〉 < 0 , atëherë rrjedh se operatori
T nuk i takon klasës së
operatorëve ( M ,2) ∗1 . N
Pohim 1.3.6. ([21]). Le të jetë T ∈ B ( H ) operator që i takon klasës së operatorëve ( M , k ) ∗N . Atëherë vlen inkluzioni vijues: ( M , k ) ∗N ⊂ ( M , k + 1) N . Anasjelltas vlen nëse R (T ) është e dendur në H .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T i takon klasës ( M , k ) ∗N , atëherë për k ≥ 1 rrjedh se : NT ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k . D.m.th.,
〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k ) x, x〉 ≥ 0 për çdo x ∈ H . Tani tregojmë se operatori T i takon klasës ( M , k + 1) N . Meqenëse:
〈 ( NT ∗k +1T k +1 − (T ∗T ) k +1 ) x, x〉 = 〈T ∗ ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k )Tx, x〉
27
= 〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k )Tx, Tx〉 ≥ 0 , nga relacioni i fundit rrjedh se NT ∗k +1T k +1 ≥ (T ∗T ) k +1 , respektivisht operatori T i takon klasës ( M , k + 1) N .
Anasjelltas. Tani supozojmë se operatori T i takon klasës ( M , k + 1) N dhe se R (T ) është e dendur në H . Tani duhet vërtetuar se operatori T i takon klasës ( M , k ) ∗N . Le të jetë x element nga hapësira e Hilbertit H . Meqenëse R (T ) = H , atëherë rrjedh se ekziston vargu i vektorëve ( x n ) në hapësirën e Hilbertit H , ashtu që T ( x n ) → x . Nga ana tjetër, meqenëse operatori T i takon klasës ( M , k + 1) N , kemi:
〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k )T ( x n ), T ( x n )〉 = 〈 ( NT ∗k +1T k +1 − (T ∗T ) k +1 )( x n ), x n 〉 ≥ 0 .
(I.9)
Duke e ditur se produkti skalar është i vazhdueshëm, atëherë nga (I.9) fitojmë relacionin vijues:
〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k )T ( xn ), T ( xn )〉 → 〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k ) x, x〉 kur n → ∞ .
(I.10)
Tani nga (I.9) dhe (I.10) rrjedh se 〈 ( NT ∗k T k − (TT ∗ ) k ) x, x〉 ≥ 0 për çdo x ∈ H , respektivisht
NT ∗k T k ≥ (TT ∗ ) k . Kështu që vërtetuam se operatori T i takon klasës ( M , k ) ∗N .■
Rrjedhim 1.3.2. Nëse operatori T ∈ B ( H ) është N -kuazi-hipernormal me rang të dendur , atëherë ai është operator N -hipernormal.
Pohim 1.3.7. ([21]). Le të jetë H = ⊕ H i , H i ≅ H j dhe T = ⊕ Ti . Nëse operatorët i∈N
i∈N
Ti : H i → H i i takojnë klasës ( M , k ) N , atëherë operatori T ∈ B ( H ) i takon klasës ( M , k ) N dhe k
N T *k T k ≥ T *T .
Vërtetim. Meqenëse Ti ∈ ( M , k ) N , atëherë: NTi *k Ti k ≥ (Ti*Ti ) k . Prandaj:
28
NT *k T k = N ( ⊕ Ti )*k ( ⊕ Ti ) k i∈N
i∈N
= N ( ⊕ Ti*k )( ⊕ Ti k ) i∈N
i∈N
= N ⊕ (Ti *k Ti k ) i∈N
≥ ⊕ (Ti*Ti ) k = ( ⊕ Ti*Ti ) k = (T *T ) k . i∈N
i∈N
Pra :
NT *k T k ≥ (T *T ) k ,
(I.11)
respektivisht T ∈ ( M , k ) N . Tutje, për çdo x ∈ H , x = ∑ xi , xi ∈ H i , kemi: i∈N
∞
Tx = ⊕ Ti xi i =1
∞
Tx = ∑ Ti xi 2
2
i =1
∞
≤ ∑ Ti ⋅ xi . 2
2
i =1
D.m.th.
2
Tx ≤ sup Ti
2
i∈N
∞
∑
xi
2
= sup Ti
2
2
x .
i∈N
i =1
Prandaj :
T
2
2 = sup Tx ≤ sup sup Ti x =1 x =1 i∈N
2
2 2 x = sup Ti . i∈N
(I.12)
Nga ana tjetër, për x = xi ∈ H i rrjedh se Tx = Ti xi dhe Tx = Ti xi . Meqë:
T = sup Tx ≥ sup Ti xi = Ti x =1
për çdo i ∈ N ,
xi =1
atëherë
T ≥ sup Ti . i∈N
(I.13)
29 Tani nga (I.12) dhe (I.13) rrjedh se :
T = sup Ti .
(I.14)
i∈N
Në fund, duke u bazuar në relacionet (I.11) dhe (I.14) arrijmë në përfundimin se k
N T *k T k ≥ T *T .■
Pohimi 1.3.8. ([21]). Le të jetë H = ⊕ H i , H i ≅ H j dhe T = ⊕ Ti . Nëse operatorët i∈N
i∈N
Ti : H i → H i i takojnë klasës ( M , k )*N , atëherë operatori T ∈ B ( H ) i takon klasës ( M , k )*N dhe k
N T *k T k ≥ TT * .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 1.3.7. ■
30
KAPITULLI II
KLASAT E OPERATORËVE (M , k ) , (M , k ) ∗ , ( A, k ) DHE
2.1. Disa veti të klasës
( A, k )
( A, k ) ∗
lidhur me spektrin e operatorit
Në këtë paragraf ne do ta përkufizojmë një klasë të re të operatorëve të cilën do ta shënojmë me ( A, k ) dhe do të shikojmë disa veti të kësaj klase dhe lidhshmëritë e kësaj klase me klasat e operatorëve hipernormalë, kuazi-hipernormalë, ( M , k )
dhe ( M , k ) * . Në këtë
paragraf gjithashtu do të tregojmë edhe disa nga vetitë spektrale të klasës së operatorëve ( A, k ) për k ≥ 2 . Në vijim ne do t`i japim përkufizimet lidhur me spektrin dhe pjesët e spektrit të operatorit linear të kufizuar në hapësirën komplekse të Hilbertit H .
Përkufizim 2.1.1. Spektër të operatorit T ∈ B ( H ) e quajmë
bashkësinë e të gjithë
numrave kompleksë λ për të cilën T − λI nuk është element invertibil në B(H) dhe simbolikisht shënohet me σ (T ) . Pra :
σ (T ) = {λ ∈ C : T − λI ∉ B(H) −1 }. Përkufizim 2.1.2. Komplementi i bashkësisë σ (T ) paraqet bashkësinë rezolvente të operatorit T dhe simbolikisht shënohet me ρ (T ) . Pra:
31
ρ (T ) = {λ ∈ C : T − λI ∈ B(H) −1 } = C \ σ (T ) . Përkufizim 2.1.3. Le të jetë T ∈ B( H ) . Shënojmë me:
σ p (T ) = {λ ∈ C : T − λI − nuk është një − një}, σ ap (T ) = λ ∈ C : inf (T − λI ) x = 0 . x =1
Bashkësitë σ p (T ) dhe σ ap (T )
paraqesin Spektrin pikësor, përkatësisht
Spektrin
aproksimativ pikësor, të operatorit T .
Përkufizim 2.1.4. Le të jetë T ∈ B( H ) . Shënojmë me:
{
(
)
}
σ jp (T ) = λ ∈ C : ∃x ∈ H , ( x = 1), (T − λI )x = 0 dhe T * − λ I x = 0 ,
{
(
)
}
σ ja (T ) = λ ∈ C : ∃x n ∈ H , ( x n = 1, n ∈ N ), (T − λI )x n → 0 dhe T * − λ I x n → 0 . Bashkësitë σ jp (T ) dhe σ ja (T ) paraqesin
Spektrin e përbashkët pikësor, përkatësisht
Spektrin e përbashkët aproksimativ pikësor, të operatorit T .
Përkufizim 2.1.5. Le të jetë T ∈ B(H) . Rrezja spektrale e operatorit T, shënohet me r (T ) dhe përkufizohet me :
r (T ) = sup{λ : λ ∈ σ (T )}.
Teorema vijuese ka të bëjë me llogaritjen e rrezes spektrale.
Teorema 2.1.1. ([22]). (Teorema mbi rrezen spektrale). Për çdo T ∈ B(H) vlen:
r (T ) = lim T n
1 n
n →∞
dhe
r (T ) ≤ T .
32 Në vazhdim po japim përkufizimin klasës ( A, k ) , për k ≥ 2 dhe do t`i paraqesim disa teorema ndihmëse të cilat do t`i shfrytëzojmë për vërtetimin e disa pohimeve lidhur me klasën e operatorëve ( A, k ) .
Përkufizim 2.1.6. Për operatorin T ∈ B ( H ) themi se i takon klasës ( A, k ) 2
T k x ≥ T ∗Tx
k
nëse
për çdo vektor njësi x ∈ H dhe k ≥ 2 ( k -numër i plotë).
Klasa e operatorëve ( A,2) përputhët me klasën e operatorëve kuazi-hipernormalë, respektivisht me klasën e operatorëve ( M ,2) .
Teorema 2.1.2. ([3]). Le të jetë A operator pozitiv . Atëherë për çdo x ∈ H , vlejnë mosbarazimet vijuese:
i) 〈 Ar x, x〉 ≤ 〈 Ax, x〉 r x ii) 〈 Ar x, x〉 ≥ 〈 Ax, x〉 r x
2 (1− r )
për 0 < r ≤ 1 .
2 (1− r )
për r ≥ 1 .
Mosbarazimet e tipit sikur të teoremës 2.1.2 quhen mosbarazime të Hölder-McCarthy-it
Vërejtje 2.1.1. ([32]). Mosbarazimet e Hölder-McCarthy-it mund të paraqiten edhe në formën vijuese
i) A r x ≤ Ax
r
ii) Ar x ≥ Ax
r
x
x
1− r
, për 0 < r ≤ 1 .
1− r
, për r ≥ 1 .
Teorema 2.1.3. ([1]). Le të jetë λ ≠ 0 dhe {xn } varg vektorësh. Atëherë pohimet vijuese janë ekuivalente:
i). (T − λ ) x n → 0 dhe ( T
∗
− λ )xn → 0 .
ii) . ( T − λ ) xn → 0 dhe (U − eiθ ) xn → 0 . iii). ( T ∗ − λ ) xn → 0 dhe (U ∗ − e − iθ ) xn → 0 .
33
Pohim 2.1.1. ([9]). Operatori T ∈ B ( H ) i takon klasës ( M , k ) për k ≥ 2 atëherë dhe vetëm atëherë kur :
T ∗k T k + 2λ (T ∗T ) k + λ2T ∗k T k ≥ 0 për çdo λ ∈ R .
Vërtetim. Le të jetë λ ∈ R dhe x ∈ H të çfarëdoshëm. Atëherë T ∈ ( M , k ) , atëherë dhe vetëm atëherë kur :
∗
k 2
k 2
∗
4 2
2
(T T ) x ≤ T x ⇔ 4 (T T ) x − 4 ⋅ T k x ⋅ T k x ≤ 0 k
2
∗
k 2
2 2
⇔ T x + 2λ (T T ) x + λ2 T k x ≥ 0 k
k
k
⇔ 〈 (T k x, T k x〉 + 2λ 〈 (T ∗T ) 2 x, (T ∗T ) 2 x〉 + λ2 〈T k x, T k x〉 ≥ 0 k
⇔ 〈 (T ∗k T k x〉 + 2λ 〈 (T ∗T ) k x, x〉 + λ2 〈T ∗ T k x, x〉 ≥ 0 ⇔ 〈 (T ∗k T k + 2λ (T ∗T ) k + λ2T ∗k T k ) x, x〉 ≥ 0 ⇔ T ∗k T k + 2λ (T ∗T ) k + λ2T ∗k T k ≥ 0 .■
Rrjedhim 2.1.1. Operatori T ∈ B ( H ) është kuazi-hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur T ∗2T 2 + 2λ (T ∗T ) 2 + λ2T ∗2T 2 ≥ 0 për çdo λ ∈ R .
Pohim 2.1.2. ([9]). Nëse operatori T i takon klasës së operatorëve ( M , k ) për k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k ) .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T i takon klasës së operatorëve ( M , k ) . Atëherë për çdo x vektor njësi nga hapësira H , kemi: 4
T k x = 〈T k x, T k x〉 2 = 〈T ∗k T k x, x〉 2
34
≥ 〈 (T ∗T ) k x, x〉 2 sepse T ∈ ( M , k ) ∗
= 〈 (T T ) ∗
2⋅
k 2
x, x〉 2
≥ 〈 (T T ) x, x〉 2
k ⋅2 2
(mosb. i Hölder-McCarthy-it)
= 〈 (T ∗T ) 2 x, x〉 k = 〈T ∗Tx, T ∗Tx〉 k = T ∗Tx
2k
.
Respektivisht operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k ) . ■
Rrjedhim 2.1.2. Nëse operatori T nga B ( H ) i takon klasës së operatorëve ( M , k )∗ për k ≥ 1 , atëherë operatori T i takon klasës ( A, k + 1) .
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh nga pohimi 1.3.6 dhe pohimi 2.1.2. ■ Pohim 2.1.3. ([9]). Për operatorin T ∈ ( A, k ) vlejnë pohimet vijuese : i). Nëse 0 ≠ λ ∈ σ p (T ) , atëherë λ ∈ σ p (T ∗ ) . ii). Nëse Tx = αx , Ty = βy dhe α ≠ β , atëherë 〈 x, y〉 = 0 .
Vërtetim. i). Nëse T ∈ ( A, k ) , λ ∈ σ p (T ) , λ ≠ 0 dhe x ∈ H vektori njësi për të cilin Tx = λx , atëherë kemi: k
T ∗T
≤ Tkx
k
2
k
T ∗Tx = λ T ∗ x 2
Tkx = λ Tani nga (II.1),(II.2) dhe (II.3), rrjedh se:
2k
.
(II.1) k
(II.2)
(II.3)
35
T ∗x ≤ λ .
(II.4)
Meqenëse :
T ∗x − λ
2
= 〈T ∗ x − λ x, T ∗ x − λx〉
= 〈T ∗ x, T ∗ x〉 − 〈T ∗ x, λ x〉 − 〈λ x, T ∗ x〉 + 〈λ x, λ x〉 2
2
= T ∗ x − λ 〈 x, Tx〉 − λ 〈Tx, x〉 + λ 〈 x, x〉 2
2
2
2
2
2
≤ λ −λ x −λ x +λ x 2
2
2
2
nga (II.4)
2
= λ − λ − λ + λ =0, atëherë T ∗ x = λ x , respektivisht λ ∈ σ p (T ∗ ) .
ii). Nëse Tx = αx , Ty = βy dhe α ≠ β , atëherë :
α 〈 x, y〉 = 〈αx, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈 x, T ∗ y〉 = 〈 x, β y〉 = β 〈 x, y〉 , respektivisht 〈 x, y〉 = 0 .■ Ideja e pohimit vijues rrjedh nga lema 1 në [19]
Pohim
2.1.4. Le të jetë
T ∈ B ( H ) operator i cili
i takon klasës ( A, k ) dhe
N T (λ ) = {x ∈ H : Tx = λx} , për λ ≠ 0 . Atëherë për skalarin λ të fiksuar, nënhapësira N T (λ ) redukton T dhe T1 = T
NT ( λ )
është operator normal.
Vërtetim. Meqenëse operatori T i takon klasës ( A, k ) , për k ≥ 2 , atëherë mund të tregohet se N T (λ ) ⊆ N T ∗ (λ ) . Tani na mbetet të tregojmë se operatori T1 është operator normal. Shihet se për çdo x ∈ N T (λ ) , T1 x = Tx = λx . Në vijim tregojmë se për x ∈ N T (λ ) nga T1 x = λx rrjedh T1* x = λ x . Supozojmë se T1 = T
NT ( λ )
dhe x ∈ N T (λ ) , atëherë :
36
〈T1∗ x, x〉 = 〈 x, T1 x〉 = 〈 x, Tx〉 = 〈 x, λx〉 = λ 〈 x, x〉 = 〈 λ x, x〉 , respektivisht T1* x = λ x . Vërejmë se për x ∈ N T (λ ) , kemi:
T1∗T1 x
2
= λ T1∗ x
2
x , 〈T1∗T1 x, T1T1∗ x〉 = λ
4
= T1∗ λx
2
2
2
=λ λ
2
x
2
=λ
4
2
x .
(II.5)
Në mënyrë analoge tregohet se:
T1T1∗ x
2
=λ
4
2
x
2
dhe 〈T1T1∗ x, T1∗T1 x〉 = λ
4
2
x .
(II.6)
Tani nga (II.5) dhe (II.6) rrjedh se: (T1∗T1 − T1T1∗ ) x
2
= 〈T1∗T1 x − T1T1∗ x, T1∗T1 x − T1T1∗ x〉 = 〈T1∗T1 x, T1∗T1 x〉 − 〈T1∗T1 x, T1T1∗ x〉 − 〈T1T1∗ x, T1∗T1 x〉 + 〈T1T1∗ x, T1T1∗ x〉 2
= T1∗T1 x − 〈T1∗T1 x, T1T1∗ x〉 − 〈T1T1∗ x, T1∗T1 x〉 + T1T1∗ x 4
2
4
2
4
2
4
2
2
= λ x −λ x − λ x + λ x =0 . Me çka vërtetuam se T1∗T1 = T1T1∗ , e kjo do të thotë se T1 është operator normal në nënhapësirën
N T (λ ) të hapësirës H . ■ Pohim 2.1.5. Nëse T ∈ ( A, k ) , atëherë operatori T paraqitet në mënyrë të vetme si shumë e drejtpërdrejtë T = T1 ⊕ T2 e përkufizuar në H = H1 ⊕ H 2 me vetitë vijuese:
i). H1 gjenerohet nga vektorët vetjak të operatorit T . ii). T1 është operator normal. iii). T2 i takon klasës së operatorëve ( A, k ) .
37
iv). Operatori T është operator normal atëherë dhe vetëm atëherë kur T2 është operator normal.
Vërtetim. Vërtetimi i pohimit 2.1.5 është ngjashëm me vërtetimin e teoremës 3 në [35]. i). Le të jetë H1 = ∑ ⊕
{NT (λ )} .Atëherë
λ ∈σ p (T )
H1 gjenerohet nga vektorët vetjak të
operatorit T . Meqë nënhapësira NT (λ ) është e mbyllur dhe lineare , atëherë edhe
{NT (λ )} (T )
H1 = ∑ ⊕ λ ∈σ p
është nënhapësirë e mbyllur dhe lineare. Pra H = H1 ⊕ H1⊥ = H1 ⊕ H 2 ,
ku H 2 = H1⊥ . Le të jetë T1 = T sepse
x∈ H ,
për
H1
dhe T2 = T H , atëherë T = T1 ⊕ T2 është në mënyrë të vetme, 2
x = x1 + x2 ,
ku
x1 ∈ H1
x2 ∈ H 2
,
kemi
Tx = T ( x1 + x2 ) = Tx1 + Tx2 = T1 x1 + T2 x2 . ii).
Le
të
jetë
x ∈ H 1 = N T (λ1 ) ⊕ N T (λ2 ) ⊕ .
Atëherë
x = x λ1 + xλ2 + ... ,
xλ1 ∈ NT (λ1 ), xλ 2 ∈ NT (λ2 ) , ..... Meqenëse :
T1*T1 x = T1*T1 ( xλ1 + x λ2 + ) = T1* (T1 x λ1 + T1 xλ2 + ) = T1* (λ1 x λ1 + λ 2 x λ2 + ) = λ1T1* xλ1 + λ 2T1* xλ2 + 2
2
= λ1 λ1 xλ1 + λ 2 λ 2 xλ2 + = λ1 xλ1 + λ 2 x λ2 + dhe
T1T1* x = T1T1* ( xλ1 + x λ2 + ) = T (T1* xλ1 + T1* xλ2 + ) = T1 (λ1 xλ1 + λ 2 x λ2 + ) = λ1T1 xλ1 + λ 2T1 xλ2 + 2
2
= λ1λ1 xλ1 + λ 2 λ 2 xλ2 + = λ1 xλ1 + λ 2 x λ2 + , atëherë rrjedh se T1 është operator normal.
ku
38
iii). Nëse x ∈ H 2 , atëherë x = 0 + x ∈ H = H1 ⊕ H 2 . Meqë operatori T i takon klasës ( A, k ) , atëherë : k
2
k
T2∗T2 x = T ∗T (0 + x) ≤ T k (0 + x) = T2k x
2
për çdo vektor njësi x nga H 2 .
Pra operatori T2 i takon klasës së operatorëve ( A, k ) .
iv). Supozojmë se operatori T2 është normal. Nga rasti (ii) operatori T1 është normal. Meqë T = T1 ⊕ T2 , atëherë kemi:
T ∗ 0 T 0 . dhe T ∗ = 1 T = 1 ∗ 0 T 0 T2 2 Meqë :
T1 0 T1∗ 0 ⋅ TT = ∗ 0 T 0 T 2 2 ∗
T T ∗ 0 T1∗T1 0 = = 1 1 ∗ ∗ 0 T2T2 0 T2 T2 T ∗ 0 T1 0 ⋅ = T ∗T , = 1 ∗ 0 T 2 0 T2 atëherë rrjedh se operatori T është normal.
Anasjelltas. Tani supozojmë se operatori T është normal. Meqë T = T1 ⊕ T2 , atëherë kemi:
T1∗ 0 T1 0 ∗ . dhe T = T = ∗ 0 T 0 T 2 2 Tutje, nga rasti (ii) operatori T1 është normal, prandaj :
39
T1T1∗ T1∗T1 0 0 ∗ , TT = dhe T T = ∗ ∗ 0 T T 0 T T 2 2 2 2 ∗
respektivisht
T1T1∗ 0 T1∗T1 0 . = ∗ ∗ 0 T2T2 0 T2 T2 E kjo do të thotë se T2 është operator normal. ■
Lema 2.1.1. ([9]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } ( Ten = ωnen +1 ). Atëherë T i takon klasës së operatorëve ( A, k ) atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin vijues:
ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 ≥ ωn
k
për n ∈ Z dhe k ≥ 2 .
Vërtetim. Le të jetë (en ) nn ==∞−∞ bazë e ortonormuar në hapësirën e Hilbertit H dhe en vektor i çfarëdoshëm i bazës në hapësirën e Hilbertit H . Atëherë duke supozuar se operatori i zhvendosjes së dyanshme T i takon klasës së operatorëve ( A, k ) , kemi: 2
T k en
2
= TT ...Ten = (ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 )
2
(II.7)
k − herë
T ∗Ten
k
k
= ωnT ∗en +1 = ωnωnen
k
= ωn
2k
.
(II.8)
Operatori T ∈ B ( H ) i takon klasës ( A, k ) nëse : 2
k
T k x ≥ T ∗Tx , për çdo x ∈ H , x = 1 .
(II.9)
40 k
Tani nga (II.7) , (II.8) dhe (II.9) rrjedh se ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ... ⋅ ω n+ k −1 ≥ ω n .
Anasjelltas . Supozojmë se vargu i operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë k
plotëson mosbarazimin ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ... ⋅ ω n+ k −1 ≥ ω n . Atëherë nga (II.7) dhe (II.8) rrjedh se operatori T i takon klasës ( A, k ) .
Lema 2.1.2.([9]). Le të jetë T operator regular i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n }. Atëherë T −1 i takon klasës ( A, k ) atëherë dhe vetëm atëherë kur : k
ωn −1 ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k për ω n ≠ 0 , n ∈ Z dhe k ≥ 2 .
Vërtetim. Le të jetë (en ) nn ==∞−∞ bazë e ortonormuar në hapësirën e Hilbertit H dhe en vektor i çfarëdoshëm i bazës në hapësirën e Hilbertit H . Atëherë duke supozuar se operatori T −1 i takon klasës ( A, k )∗ , kemi:
2
(T ) e
2
−1 k
n
1 = T −1T −1...T −1en = (ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k k − herë
T ∗−1T −1en
k
=
1
ωn−1
k
T ∗−1en−1 =
1
ωn−1
2k
)
2
.
(II.10)
(II.11)
Operatori T −1 ∈ B ( H ) i takon klasës ( A, k ) nëse :
(T ) x −1 k
2
≥ T ∗−1T −1 x
k
k
për çdo x ∈ H , x = 1 .
Nga (II.10) , (II.11) dhe (II.12) rrjedh se ωn −1 ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k .
(II.12)
41
Anasjelltas . Supozojmë se vargu i operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë k
plotëson mosbarazimin ωn −1 ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k . Atëherë nga (II.10) dhe (II.11) shihet lehtë se operatori T −1 i takon klasës ( A, k ) . ■ Shembulli vijues tregon se ekziston operatori invertibil i zhvendosjes së dyanshme me peshë T që i takon klasës së operatorëve (A,3) mirëpo inversi T −1 nuk i takon klasës së operatorëve (A,3) .
Shembull 2.1.1.([9]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } , të tillë që :
1 2 , për n ≤ −1 1, për n = 0 1 , për n = 1 ωn = 2 . 2, për n = 2 1 , për n = 3 4 16, për n ≥ 4 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3) , por inversi T −1 nuk i takon klasës (A,3) . Vërtet, nëse marrim k = 3 , në lemën 2.1.1 shihet se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3) atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu u peshave plotëson mosbarazimin ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ω n+ 2 ≥ ω n
3
2
ose ω n+1 ⋅ ω n+ 2 ≥ ω n , n ∈ Z . Nga kjo shihet se
operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3) . Tani tregojmë se T −1 nuk i takon klasës (A,3) . Nëse marrim k = 3 , në lemën 2.1.2 shihet se T −1 i takon klasës (A,3) 3
atëherë
dhe
vetëm
atëherë 2
kur
vargu
i
peshave
plotëson
mosbarazimin
ω n−1 ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 ⋅ ω n−3 ose ω n−1 ≥ ω n−2 ⋅ ω n−3 , n ∈ Z . Tutje, nëse marrim n = 2 kemi
42 2
ω
2 1
1 1 = = < ω 4 2
0
⋅ω
−1
= 1⋅
1 1 = , që do të thotë se operatori i zhvendosjes së dyanshme 2 2
me peshë T −1 nuk i takon klasës (A,3) .
Teorema 2.1.4. ([9]). Nëse operatori T i takon klasës ( A, k ) , k ≥ 2 dhe λ ≠ 0 , atëherë për vargun e vektorëve njësi {xn } , për të cilin (T − λ )xn → 0 , vlejnë:
(T
∗
)
− λ xn → 0 , σ p (T ) − {0} = σ jp (T ) − {0} dhe σ ap (T ) − {0} = σ ja (T ) − {0}.
(
)
Vërtetim. Këtu mjafton të vërtetojmë se T ∗ − λ xn → 0 , duke u bazuar në teoremën 2.1.3.
{xn } ,
Për vargun e vektorëve njësi
(T
k
(T − λ )xn → 0
nga supozimi i teoremës kemi
dhe
− λk )xn → 0 . Gjithashtu nga dy relacionet e fundit rrjedh se vlejnë relacionet vijuese : k
Txn → λ dhe T k xn → λ .
(II.13)
Nga pohimi i teoremës operatori T i takon klasës ( A, k ) për k ≥ 2 , atëherë duke u bazuar në (II.13) rrjedh se : 2
2
∗
= T Txn
T xn
2
≤ T xn k
4 k
( )
→ λ
4 k k
4
=λ .
Pra : 2
2
T xn
4
→α ≤λ .
(II.14)
Tani nga (II.14), kemi :
(T
2
2
)
− λ xn
2
(
2
2
) (
2
2
)
= 〈 T − λ xn , T − λ xn 〉 2
2
2
2
2
2
2
2
= 〈 T xn , T xn 〉 − 〈 T xn , λ xn 〉 − 〈 λ xn , T xn 〉 + 〈 λ xn , λ xn 〉 2
2
2
2
4
= T xn − λ 〈Txn , Txn 〉 − λ 〈Txn , Txn 〉 + λ 〈 xn , xn 〉 ,
43
2
= T xn
2
2
2
− 2 λ Tx n 2
2
→ α − 2λ ⋅ λ + λ 4
4
+λ
4
4
4
≤ λ − 2λ + λ = 0. D.m.th.
(T
2
2
)
2
− λ xn → 0 .
(II.15)
Tutje, nga (II.15), rrjedh se :
(T − λ )x = (T + λ )
−1
n
(
2
2
)
⋅ T − λ xn → 0
dhe
(U − e )λ x iθ
n
(
)
= U ( λ − T )xn + U T − eiθ λ xn → 0 .
Kjo d.m.th. se:
(T − λ )x
n
→ 0 dhe (U − eiθ )xn → 0 .
(
)
Prandaj, nga teorema 2.1.3, arrimë në përfundimin se T ∗ − λ xn → 0 . ■
44
(M , k ) ∗
2.2. Lidhjet e klasave
dhe
( A, k ) ∗
në varësi të numrit
k
Në këtë paragraf do ta përkufizojmë klasën e re të operatorëve , klasën ( A, k ) ∗ për k ≥ 1 dhe do t`i tregojmë disa veti të ndryshme të kësaj klase dhe lidhjet e kësaj klase me klasën operatorëve hipernormalë dhe ( M , k ) * .
Përkufizim 2.2.1. Për operatorin T ∈ B (H ) themi se i takon klasës ( A, k ) ∗ Tkx
2
≥ TT ∗ x
k
për çdo vektor njësi x ∈ H dhe k ≥ 1 .
Shihet se klasa e operatorëve (A,2) ∗ përputhët me klasën e operatorëve (M ,2) ∗ .
Pohim 2.2.1. ([9]). Nëse T ∈ ( A,1)∗ , atëherë operatori T është hipernormal. Vërtetim. Supozojmë se T ∈ ( A,1)∗ dhe x ∈ H , x = 1 . Atëherë kemi: 2
Tx ≥ TT ∗ x 1
〈Tx, Tx〉 ≥ 〈TT ∗ x, TT ∗ x〉 2 1
〈Tx, Tx〉 − 〈TT ∗ x, TT ∗ x〉 2 ≥ 0
∗
∗ 2
1 2
〈T Tx, x〉 − 〈 (TT ) x, x〉 ≥ 0 (Mosb. i Hölder-McCarthy-it) 〈T ∗Tx, x〉 − 〈TT ∗ x, x〉 ≥ 0 〈(T ∗T − TT ∗ ) x, x〉 ≥ 0 . D.m.th. T ∗T ≥ TT ∗ , respektivisht operatori T është hipernormal. ■
nëse
45
Rrjedhim 2.2.1. Nëse operatori T i takon klasës (A,1) ∗ , atëherë operatori T i takon klasës (M ,1) . ∗
Pohimi 2.2.2. ([9]). Nëse operatori T ∈ B (H ) i takon klasës së operatorëve ( M , k )∗ për k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k )∗ .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T i takon klasës së operatorëve ( M , k )∗ . Atëherë për çdo vektor njësi x nga hapësira H , kemi: 4
T k x = 〈T k x, T k x〉 2 = 〈T ∗kT k x, x〉 2 ≥ 〈 (TT ∗ ) k x, x〉 2 sepse T ∈ ( M , k )∗ = 〈 (TT ∗ )
2⋅
k 2
x, x 〉 2 k
≥ 〈 (TT ∗ ) 2 x, x〉 2
⋅2
(Mosb. i Hölder-McCarthy-it)
= 〈 (TT ∗ ) 2 x, x〉 k = 〈TT ∗ x, TT ∗ x〉 k = TT ∗ x
2k
.
Respektivisht operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k )∗ . ■
Rrjedhim 2.2.2. Nëse operatori T ∈ B (H ) me rang të dendur në H i takon klasës së operatorëve ( M , k + 1) për k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k )∗ .
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh nga pohimi 1.3.6 dhe pohimi 2.2.2. ■ Lema 2.2.1.([9]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T ∈ B (H ) , me vargun e peshave {ω n } , i takon klasës së operatorëve ( A, k ) * atëherë dhe vetëm atëherë kur :
ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 ≥ ωn −1 për n ∈ Z dhe k ≥ 1 .
k
46
Vërtetim. Le të jetë (en ) ∞n=−∞ bazë e ortonormuar në hapësirën e Hilbertit H dhe en vektor i çfarëdoshëm i bazës në hapësirën e Hilbertit H . Atëherë duke supozuar se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës së operatorëve ( A, k )∗ , kemi: 2
T k en
2
= TT ...Ten = (ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 )
2
(II.16)
k − herë
TT ∗en
k
= ω n−1Ten−1
k
= ω n−1ω n−1en
k
= ω n−1
2k
.
(II.17)
për çdo x ∈ H , x = 1 .
(II.18)
Operatori T ∈ B (H ) i takon klasës ( A, k )∗ nëse : 2
T k x ≥ TT ∗ x
k
k
Nga (II.16) , (II.17) dhe (II.18) rrjedh se ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 ≥ ωn −1 . Anasjelltas . Supozojmë se vargu i operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë k
plotëson mosbarazimin ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 ≥ ωn −1 . Atëherë nga (II.16) dhe (II.17) shihet qartë se operatori T i takon klasës ( A, k )∗ . ■ Me anë të shembullit vijues ne do të tregojmë se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë që i takon klasës së operatorëve (A,3)∗ , por operatori T nuk i takon klasës së operatorëve (A,3) .
Shembull 2.2.1. ([9]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë në hapësirën e Hilbertit H , me vargun e peshave {ω n } të dhënë si vijon :
1 5 për n ≤ −1 5 për n = 0 . ωn = 1 për n = 1 5 25 për n ≥ 2
47
Atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve (A,3) ∗ , por nuk i takon klasës së operatorëve (A,3) . Vërtet, nëse marrim k = 3 , në lemën 2.2.1, atëherë shihet se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3) ∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave të operatorit T
3
plotëson mosbarazimin ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ω n+ 2 ≥ ω n−1 , n ∈ Z . Nga kjo rrjedh se
operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3)* . Tani duhet treguar se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë nuk i takon klasës (A,3) . Nëse marrim k = 3 , në lemën 2.1.1, atëherë shihet se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3) atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave të operatorit T
ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ω n+2 ≥ ω n 1 5
3
2
ose ω n+1 ⋅ ω n+ 2 ≥ ω n , n ∈ Z . Nëse marrim
plotëson mosbarazimin n = 0 , atëherë
kemi
2
ω1 ⋅ ω 2 = ⋅ 25 = 5 < ω 0 = 5 2 = 25 , që do të thotë se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i takon klasës (A,3) . Shembulli i mëposhtëm tregon se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë që i takon klasës së operatorëve (A,3) , por operatori T nuk i takon klasës së operatorëve (A,3)∗ .
Shembull 2.2.2. ([9]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } :
1 2 , për n ≤ −1 1, për n = 0 1 , për n = 1 ωn = 2 . 2, për n = 2 1 , për n = 3 4 16, për n ≥ 4
48
Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës së operatorëve (A,3) , por operatori T nuk i takon klasës së operatorëve (A,3) ∗ . Vërtet, në shembulli 2.1.1 është treguar se operatori i zhvendosjes së dyanshme T i takon klasës së operatorëve (A,3) . Tani mjafton të tregohet se operatori i zhvendosjes me peshë nuk i takon klasës së operatorëve (A,3) ∗ . Nëse marrim k = 3 ,
në
operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës
lemën 2.2.1 rrjedh se (A,3) ∗ atëherë dhe vetëm
atëherë kur vargu i peshave të operatorit të zhvendosjes së dyanshme plotëson mosbarazimin 3
ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ω n+2 ≥ ω n−1 ,
n∈Z .
Tani
për
n =1
ω1 ⋅ ω 2 ⋅ ω 3 =
kemi
1 1 1 ⋅2⋅ = 2 4 4
3
< ω 0 = 13 = 1 që do të thotë se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i takon klasës (A,3) ∗ .
Lema 2.2.2. ([9]). Le të jetë T operator regular i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } . Atëherë T −1 , i takon klasës ( A, k )∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin vijues: k
ωn ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k për ω n ≠ 0 , n ∈ Z dhe k ≥ 1 .
Vërtetim. Le të jetë (en ) ∞n=−∞ bazë e ortonormuar në hapësirën e Hilbertit H dhe en vektor i çfarëdoshëm i bazës në hapësirën e Hilbertit H . Atëherë, kemi:
2
(T ) e
2
−1 k
n
1 = T −1T −1...T −1en = (ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k k − herë
)
2
(II.19)
49
T −1T ∗−1 e n
k
=
1 k
ωn
T −1 e n +1
k
=
1
ωn
2k
.
(II.20)
Operatori T −1 ∈ B ( H ) i takon klasës ( A, k )∗ nëse :
(T ) x −1 k
2
≥ T −1T ∗−1 x
k
për çdo x ∈ H , x = 1 .
(II.21)
k
Nga (II.19) , (II.20) dhe (II.21) rrjedh se ωn ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k . Anasjelltas . Supozojmë se vargu i operatorit të zhvendosjes së dyanshme me peshë k
plotëson mosbarazimin ωn ≥ ωn −1 ⋅ ωn − 2 ⋅ ... ⋅ ωn − k . Atëherë nga (II.19) dhe (II.20) shihet qartë se operatori T −1 i takon klasës ( A, k )∗ . ■ Tani me anë të një shembulli do të tregojmë se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë që i takon klasës së operatorëve (A,3)∗ mirëpo inversi i tij nuk i takon klasës së operatorëve (A,3)∗ .
Shembull. 2.2.3. Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } të tillë që: 1 5 për n ≤ −1 5 për n = 0 . ωn = 1 për n = 1 5 25 për n ≥ 2 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,3)* , por operatori invers T −1 nuk i takon klasës (A,3) ∗ .
50
Vërtet, në shembullin 2.2.1 është treguar se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës së operatorëve (A,3)* . Tani duhet të tregojmë se inversi i operatorit të zhvendosjes me peshë nuk i takon klasës së operatorëve (A,3)* . Nëse marrim k = 3 , në lemën 2.2.2 rrjedh se operatori T −1 i takon klasës (A,3)* atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i 3
peshave të operatorit T −1 plotëson mosbarazimin ω n ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 ⋅ ω n−3 , n ∈ Z . Për n = 1 3
kemi ω
3 1
1 1 = = < ω 125 5
0
⋅ω
−1
1 1 1 ⋅ ω − 2 = 5 ⋅ ⋅ = , që do të thotë se operatori 5 5 5
zhvendosjes së dyanshme me peshë T −1 nuk i takon klasës (A,3) ∗ .
i
51
2.3. Klasat e operatorëve (M , k )N dhe
( A, k ) N
Rezultatet që do t`i tregojmë në këtë paragraf do të jenë nga klasat e operatorëve N − hipernormalë, N − kuazi-hipernormalë, ( M , k ) N
, ( A, k ) N
dhe ( M , k ) ∗N . Pasi që
përkufizimet e klasave të operatorëve N − hipernormalë, N − kuazi-hipernormalë, ( M , k ) N dhe ( M , k ) ∗N janë dhënë në paragrafin 1.3 ne këtu do të japim vetëm përkufizimin e klasës së operatorëve ( A, k ) N për k ≥ 2 dhe ndonjë numër të fiksuar N > 0 .
Përkufizim 2.3.1. Për operatorin 2
N T k x ≥ T ∗Tx
k
T ∈ B(H ) themi se i takon klasës ( A, k ) N , nëse
për çdo vektor njësi x ∈ H , k ≥ 2 dhe ndonjë numër të fiksuar N > 0 .
Shihet se klasa e operatorëve ( A,2) N , përputhet me klasën e operatorëve ( M ,2) N .
Pohim 2.3.1. ([11]). Nëse operatori T i takon klasës së operatorëve ( M , k ) N për k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k ) N .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 2.1.2. ■ Rrjedhim 2.3.1. Operatori T i takon klasës ( A,2) N operatori T është operator
atëherë dhe vetëm atëherë
kur
N -kuazi-hipernormal.
Lema 2.3.1.([11]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T ∈ B (H ) , me vargun e peshave {ω n } i takon klasës së operatorëve ( A, k ) N atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin vijues: N ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ... ⋅ ω n+ k −1 ≥ ω n
k
për n ∈ Z dhe k ≥ 2 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e lemës 2.1.1. ■
52
Lema 2.3.2. Le të jetë T ∈ B (H ) operator regular i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } . Atëherë operatori T −1 i takon klasës ( A, k ) N atëherë dhe vetëm atëherë kur : k
N ω n−1 ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 ⋅ ... ⋅ ω n−k për ω n ≠ 0 , n ∈ Z dhe k ≥ 2 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e lemës 2.1.2. ■ T ∈ ( A, k ) N dhe T n operator kompakt për ndonjë n ≥ k ,
Teorema 2.3.1. Në qoftë se atëherë operatori T është kompakt.
T n−k x Vërtetim. Meqenëse T ∈ ( A, k ) N , k ≥ 2 dhe T n−k x
vektor njësi në hapësirën e
Hilbertit H , atëherë kemi: T ∗TT n − k x
k
2
≤ N T n x ⋅ T n−k x
k −2
.
(II.22)
Le të jetë {x m } , x = 1 , varg në hapësirën e Hilbertit H që konvergjon dobët në 0 ∈ H . Tani nga (II.22) dhe supozimi se T n është operator kompakt kemi: T ∗TT n − k x m
k
≤ N T n xm
2
⋅ T n−k xm
k −2
→ 0, m → ∞ .
(II.23)
Nga (II.23) shihet se operatori T ∗TT n − k është kompakt. Tutje, duke e ditur se prodhimi i operatorit kompakt me një operator të kufizuar fitohet prapë një operator kompakt rrjedh se operatori T ∗n −1T n −1 është kompakt, respektivisht T n −1 është operator kompakt (shih teoremën 5.2.4 në [8]). Nëse këtë procedurë e përsërisim disa herë arrimë në përfundimin se operatori T është kompakt. ■
Pohim 2.3.2. Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe i takon klasës ( A, k ) N për k ≥ 2 , atëherë :
53
σ ap
⊆ λ ∈ C : T
≤ λ ≤ T .
1 k −1
k
N (T ∗T ) −1
Vërtetim. Meqë operatori T është regular dhe i takon klasës ( A, k ) N , atëherë për çdo vektor njësi x nga hapësira H kemi: x
k
= (T ∗T ) −1 (T ∗T ) x
k
k
k
≤ (T ∗T ) −1 ⋅ T ∗Tx k
2
≤ (T ∗T ) −1 ⋅ N T k x k
2
k
2
2
≤ N (T ∗T ) −1 ⋅ T k −1 ⋅ Tx .
Pra 2
1 ≤ N (T ∗T ) −1 ⋅ T k −1 ⋅ Tx , respektivisht 1
Tx ≥ T
Tani supozojmë se
k −1
∗
N (T T )
−1 k
1
≥ T
k −1
∗
N (T T )
−1 k
.
(II.24)
λ ∈ σ ap , atëherë ekziston vargu {x n } , xn = 1 i tillë që
(T − λ ) xn → 0, kur n → ∞ . Prandaj nga (II.24) kemi : 1
Txn − λxn ≥ Tx n − λ xn ≥ T
k −1
∗
N (T T )
−1 k
Tutje, nëse në (II.25) lëshojmë n → ∞ , fitojmë: 1
λ≥ T
k −1
∗ −1 k
N (TT )
.
−λ.
(II.25)
54
Me çka erdhëm në përfundim se σ ap
⊆ λ ∈ C : T
1 k −1
N (TT ∗ ) −1
k
≤ λ ≤ T .■
Rrjedhim 2.3.2. Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe i takon klasës ( A, k ) për k ≥ 2 , atëherë :
σ ap
⊆ λ ∈ C : T
1 k −1
(T ∗T ) −1
k
≤ λ ≤ T .
Rrjedhim 2.3.3. Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe kuazi-hipernormal, atëherë:
1 λ T ≤ ≤ . T ⋅ (T *T ) −1
σ ap ⊆ λ ∈ C :
Pohim 2.3.3. Në qoftë se operatori T ∈ B(H ) plotëson kushtin T
4 k k
≥
1 k
N
2
T
4
për
k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës ( A, k ) N .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T plotëson kushtin:
T
4 k k
≥
1 k
N
2
T
4
për k ≥ 2 .
(II.26)
Atëherë për çdo x vektor njësi nga hapësira H , kemi: 4
N 2 T k x = N 2 〈T k x, T k x〉 2 = N 2 〈T ∗k T k x, x〉 2
2
= N 2 〈 T k x, x 〉 2 = N 2 〈 T k
4 k ⋅ k 2
x, x 〉 2
4
≥ N 2 〈 T k k x, x〉 k (Mosb. i Hölder-McCarthy-it)
55
≥ N2〈
1 k
N2
4
T x, x〉 k (nga mosbarazimi (II.26))
k
1 1 〈 T 4 x, x〉 k = N 2 ⋅ 2 〈 T 4 x, x 〉 k = N 2 k N N 2
= 〈 (T ∗T ) 2 x, x〉 k = 〈T ∗Tx, T ∗Tx〉 k = T ∗T 2
2k
.
k
Pra N T k x ≥ T ∗Tx , për çdo vektor njësi nga hapësira x ∈ H , respaktivisht operatori T i takon klasës ( A, k ) N . ■
Rrjedhim 2.3.4. Në qoftë se operatori T ∈ B(H ) plotëson kushtin T k
4 k
≥T
4
për k ≥ 2 ,
atëherë operatori T i takon klasës ( A, k ) . 2
4
Rrjedhim 2.3.5. Në qoftë se operatori T ∈ B(H ) plotëson kushtin T 2 ≥ T , atëherë operatori T është kuazi-hipernormal.
56
2.4. Klasat e operatorëve (M , k )*N dhe
( A, k )*N
Rezultatet e arritura në këtë paragraf janë kryesisht nga klasa e operatorëve ( A, k )*N për k ≥ 1 dhe ndonjë numër të fiksuar N > 0 . Gjithashtu në këtë paragraf do të tregohen lidhjet e kësaj klase me disa klasa të tjera të operatorëve në hapësirën komplekse të Hilbertit H . 2
Përkufizim 2.4.1. Operatori T ∈ B(H ) i takon klasës ( A, k )*N nëse N T k x ≥ TT * x
k
për çdo vektor njësi x ∈ H , k ≥ 1 dhe ndonjë numër të fiksuar N > 0 . Nga vetë përkufizimi shihet se klasa e operatorëve ( A,2) *N përputhet me klasën e operatorëve ( M ,2) *N
Teorema 2.4.1.([11]). Nëse operatori T ∈ B (H ) është kuazi-normal dhe i takon klasës ( A,1) *N , atëherë operatori T i takon klasës ( M , k ) *N për çdo k ≥ 1 .
Vërtetim. Supozojmë se T ∈ ( A,1)*N dhe x ∈ H , x = 1 . Atëherë kemi: 2
N Tx ≥ TT ∗ x 1
N 〈Tx, Tx〉 ≥ 〈TT ∗ x, TT ∗ x〉 2 1
N 〈T ∗Tx, x〉 ≥ 〈 (TT ∗ ) 2 x, x〉 2 ∗
∗
N 〈T Tx, x〉 ≥ 〈TT x, x〉
2⋅
1 2
(Mosb. i Hölder-McCarthy-it)
N 〈T ∗Tx, x〉 ≥ 〈TT ∗ x, x〉 〈 NT ∗Tx, x〉 ≥ 〈TT ∗ x, x〉
57
〈 NT ∗T − TT * x, x〉 ≥ 0 . Pra NT ∗T ≥ TT ∗ , respektivisht operatori T i takon klasës ( M ,1) *N . Prandaj shihet se për k = 1 , pohimi është i vërtet. Tani supozojmë se pohimi është i vërtet për k = n e kjo do të thotë se NT ∗nT n ≥ (TT * ) n , respektivisht operatori T i takon klasës ( M , n) *N . Meqenëse operatori T ∗T komuton me operatorët NT ∗nT n dhe (TT * ) n (sepse T është operator kuazi-normal ), atëherë vlen mosbarazimi N (T ∗nT n )(T ∗T ) ≥ (TT ∗ ) n (T ∗T ) . Tani ne llogarisim veç e veç anën e djathtë dhe të majtë të mosbarazimit të fundit : * * N (T ∗nT n )(T ∗T ) = N T T... T* TT T (T *T ) ... n − herë
n − herë
* * = N T T... T* (T *T )TT ... T n − herë
n − herë
= NT *n +1T n+1 . Respektivisht N (T ∗nT n )(T ∗T ) = NT ∗n+1T n+1 .
(II.27)
Gjithashtu: (TT ∗ ) n (T ∗T ) = (TT ∗ ) n −1 (TT ∗ )(T ∗T ) = (TT ∗ ) n −1 (TT ∗T ∗T ) = (TT ∗ ) n −1 (TT ∗TT ∗ ) = (TT ∗ ) n −1 (TT ∗ ) 2 = (TT ∗ ) n+1 .
Pra (TT ∗ ) n (T ∗T ) = (TT ∗ ) n +1 .
(II.28)
Nga (II.27) dhe (II.28) rrjedh se NT ∗n +1T n +1 ≥ (TT * ) n +1 , respektivisht operatori T i takon klasës ( M , n + 1) *N . Tutje, duke u bazuar në induksionin matematik, arrimë në përfundimin se operatori T i takon klasës ( M , k ) *N për çdo k ≥ 1 .■
58
Pohim 2.4.1.([11]). Për operatorin T ∈ B (H ) , vlejnë pohimet vijuese : i). Operatori T i takon klasës ( M ,1) *N atëherë dhe vetëm atëherë kur operatori T është N -hipernormal. ii). Nëse operatori T i takon klasës ( A,1) *N , atëherë operatori T është
N -paranormal.
Vërtetim. i). Supozojmë se T ∈ ( M ,1) *N , respektivisht NT ∗T ≥ TT ∗ . Tani për x ∈ H kemi 〈 ( NT ∗T − TT ∗ ) x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ 〈 ( NT ∗Tx, x〉 − 〈TT ∗ x, x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) ⇔ N 〈Tx, Tx〉 − 〈T ∗ x, T ∗ x〉 ≥ 0 ( x ∈ H ) 2
⇔ N Tx ≥ T ∗ x ⇔ Respektivisht operatori T është ii). Meqenëse
2
( x∈ H )
N Tx ≥ T ∗ x ( x ∈ H ).
N - hipernormal .
T ∈ ( A,1)*N dhe x ∈ H , x = 1 , atëherë operatori T
është
N-
hipernormal. Tani nga (i), pohimi 1.3.6 dhe rrjedhimi 1.3.1 arrimë në përfundimin se operatori T është
N -paranormal .■
Pohim 2.4.2. Nëse operatori T nga B (H ) i takon klasës së operatorëve ( M , k )*N për k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës së operatorëve ( A, k )*N .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 2.2.2. ■ Lema 2.4.1.([11]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } ( Ten = ωnen +1 ). Atëherë T i takon klasës ( A, k ) ∗N atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin vijues:
59
N ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ... ⋅ ω n+ k −1 ≥ ω n−1
k
për n ∈ Z dhe k ≥ 1 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e lemës 2.2.1. ■ Dy shembujt vijues do të tregojnë se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T që i takon klasës së operatorëve (A,2) ∗4 , por që nuk i takon klasës së operatorëve
( A,2) 4 dhe anasjelltas që ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T që i takon klasës së operatorëve ( A,2) 4 por që nuk i takon klasës (A,2) ∗4 .
Shembull 2.4.1.([11]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshëm me peshë në hapësirën e Hilbertit H dhe {ω n } vargu i peshave i operatorit T , i përkufizuar si vijon:
1 4 , për n ≤ −1 1, për n = 0 . ωn = 1 , për n = 1 4 4, për n ≥ 2 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,2)*4 , por operatori T nuk i takon klasës ( A,2) 4 . Vërtet, nëse marrim k = 2 dhe N = 4 , në lemën 2.4.1 rrjedh se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T
i takon klasës (A,2)*4 atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave
plotëson mosbarazimin
4 ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n−1
kjo shihet se operatori i zhvendosjes T
2
për n ∈ Z ose 2 ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n−1
2
për n ∈ Z , nga
i takon klasës (A,2)*4 . Tani tregojmë se operatori i
zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i takon klasës ( A,2) 4 . Nëse marrim k = 2 dhe N = 4 , në lemën 2.3.1 rrjedh se operatori T i takon klasës (A,2) 4 atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin
4 ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n
2
për n ∈ Z ose 2 ⋅ ω n+1 ≥ ω n për
60
n ∈ Z . Për n = 0 kemi 2 ⋅ ω
1
= 2⋅
1 1 = <ω 4 2
0
= 1 , që do të thotë se operatori i zhvendosjes së
dyanshme me peshë T nuk i takon klasës ( A,2) 4 .
Shembull 2.4.2.([11]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshëm me peshë, me vargun e peshave {ω n } , të tillë që : 1 4 , për n ≤ −1 1 ω n = , për n = 0 . 2 1 , për n ≥ 1 4 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës ( A,2) 4 , por operatori T nuk i takon klasës (A,2)*4 . Vërtet, nga shembulli 2.4.1 është e qartë se operatori T i takon klasës (A,2) 4 atëherë dhe
vetëm
atëherë
4 ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n
2
kur
vargu
i
peshave
i
operatorit
T
plotëson
mosbarazimin
për n ∈ Z ose 2 ⋅ ω n+1 ≥ ω n për n ∈ Z . Meqenëse vargu i peshave të
operatorit të zhvendosjes T plotëson mosbarazimin 2 ⋅ ω n+1 ≥ ω n për n ∈ Z , rrjedh se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës ( A,2) 4 . Prapë duke u bazuar në zgjidhjen shembullit 2.4.1 shihet se operatori i zhvendosjes T i takon klasës (A,2)*4 , atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin 2 ⋅ ω n ⋅ ω n +1 ≥ ω n−1
2
2
<ω
2 0
për
n∈Z .
Për
2
4 ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n−1 për n ∈ Z ose n =1
kemi,
2⋅ ω
1
⋅ω
2
1 1 1 = 2⋅ ⋅ = 4 4 8
1 1 = = që do të thotë se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i 4 2
takon klasës (A,2)*4 .
61
Lema 2.4.2.([11]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator regular i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave ω n . Atëherë T −1 , i takon klasës ( A, k ) ∗N atëherë dhe vetëm atëherë kur : k
N ω n ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 ⋅ ... ⋅ ω n−k për ω n ≠ 0 , n ∈ Z dhe k ≥ 1 .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e lemës 2.2.2. ■ Shembulli vijues tregon se ekziston operatori invertibil i zhvendosjes së dyanshme me peshë T që i takon klasës së operatorëve (A,2)*4 mirëpo inversi T −1 nuk i takon klasës së operatorëve (A,2)*4 .
Shembull 2.4.3.([11]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n } , të përkufizuar si vijon:
1 4 , për n ≤ −1 1, për n = 0 . ωn = 1 , për n = 1 4 4, për n ≥ 2
Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës së operatorëve (A,2)*4 , mirëpo operatori invers T −1 nuk i takon klasës së operatorëve (A,2)*4 . Vërtet, në shembullin 2.4.1 është treguar se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (A,2)*4 . Tani tregojmë se inversi T −1 nuk i takon klasës (A,2)*4 . Nëse marrim k = 2 dhe N = 4 , në lemën 2.4.2 rrjedh se operatori T −1 i takon klasës (A,2) 4 atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin 2
n ∈ Z ose 2 ⋅ ω n ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 për n ∈ Z . Për n = 1 kemi
2
4 ⋅ ω n ≥ ω n−1 ⋅ ω n−2 për
62 2
2ω
2 1
2 1 1 = 2⋅ = = < ω 4 16 8
dyanshme me peshë T
−1
0
⋅ ω −1 = 1 ⋅
1 1 = , që do të thotë se operatori i zhvendosjes së 4 4
nuk i takon klasës (A,2)*4 .
Pohim 2.4.3. Nëse T ∈ ( A, k )∗N dhe T k operator kompakt për ndonjë k ≥ 1 , atëherë operatori T është kompakt.
Vërtetim. Meqë T ∈ ( A, k )∗N , atëherë kemi: TT ∗ x
k
≤ N Tkx
2
për çdo x ∈ H , x = 1 , N > 0 dhe k ≥ 1 . (II.29)
Le të jetë {x n } varg i vektorëve njësi në hapësirën e Hilbertit H që konvergjon dobët në 0 ∈ H . Tani nga (II.29) dhe supozimi se T k është operator kompakt, kemi : TT ∗ xn
k
≤ N T k xn
TT ∗ xn
k
2
→ 0, n → ∞
→ 0, n → ∞
TT ∗ xn → 0, n → ∞ .
(II.30)
Tutje, nga (II.30) rrjedh se TT ∗ është operator kompakt respektivisht operatori T është kompakt (shih [8]). ■
Pohim 2.4.4. Në qoftë se T është operator regular dhe i takon klasës ( A, k ) ∗N për k ≥ 1 , atëherë kemi :
σ ap
⊆ λ ∈ C : T
1 k −1
N (TT ∗ ) −1
≤ λ ≤ T .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 2.3.2. ■ Rrjedhim 2.4.1. Në qoftë se T është operator regular dhe i takon klasës ( A, k ) ∗ për k ≥ 1 , atëherë kemi :
63
σ ap ⊆ λ ∈ C :
1 T
k −1
(TT ∗ ) −1
≤ λ ≤ T .
Pohim 2.4.5. Në qoftë se operatori T ∈ B(H ) plotëson kushtin T k
4 k
≥
1 k
N2
T*
4
për
k ≥ 2 , atëherë operatori T i takon klasës ( A, k )*N .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 2.3.3. ■ Rrjedhim 2.4.2. Në qoftë se operatori T ∈ B(H ) plotëson kushtin T k atëherë operatori T i takon klasës ( A, k )∗ .
4 k
4
≥ T ∗ , për k ≥ 2 ,
64
KAPITULLI III
DISA VETI TË KLASAVE TË OPERATORËVE k -*
( M , k ) ∗ , A* [ k ]
DHE
PARANORMALË
3.1. Klasat e operatorëve
(M , k )
dhe k -paranormalë
Në këtë paragraf ne do t`i marrim disa rezultate të arritura në punimin [24] lidhur me klasat e operatorëve ( M , k ) dhe k − paranormalë. Gjithashtu ne këtu do të tregojmë një vërtetim tjetër teoremës 2.4 në [24], e cila tregon se klasa e operatorëve ( M , k ) përmbahet në klasën e operatorëve k − paranormalë ( k − numër i plotë). k
Përkufizim 3.1.1. Operatori T ∈ B (H ) quhet k -paranormal nëse Tx ≤ T k x për çdo vektor njësi x ∈ H për k ≥ 2 .
Teorema 3.1.1. ([24]). Nëse operatori T ∈ B (H ) i takon klasës së operatorëve ( M , k ) , atëherë operatori T është k -paranormal.
Vërtetim. Për të vërtetuar teoremën mjafton të vërtetojmë se vlejnë mosbarazimet vijuese:
k
∗
k 2
Tx ≤ (T T ) x , nëse k − është numër çift dhe
65
Tx
k
≤ T (T ∗T )
k −1 2
x , nëse k − është numër tek
për çdo vektor njësi x në hapësirën H . Tani vërtetojmë këto mosbarazime me anë të induksionit matematik. Le të jetë x vektor njësi nga hapësira e Hilbertit H . Atëherë : 2
Tx = 〈Tx, Tx〉 = 〈T *Tx, x〉 ≤ T *Tx 4
Tx ≤ T *Tx
2
= 〈T *Tx, T *Tx〉 = 〈TT *Tx, Tx〉 4
Tx ≤ TT *Tx ⋅ Tx 3
Tx ≤ TT *Tx . Le të jetë rezultati i vërtet për të gjitha k < m . Tani provojmë për k = m . Nëse m është numër tek atëherë m + 1 = 2n për n ∈ N , është e qartë se n < m . Tani :
Tx
m +1
Tx
= Tx
m +1
2n
( ) ≤ (T T ) n 2
= Tx
n 2
*
n 2
2
x , nëse n është çift
n 2
∗
≤ 〈 (T T ) x, (T T ) x〉 = 〈T (T T ) *
Tx
*
m +1
Tx
Tx
≤ T (T *T ) n−1 x ⋅ Tx m
m
≤ T (T *T ) n−1 x
≤ T (T *T )
m −1 2
x .
n n + −1 2 2
x, Tx〉
66 Nëse n është numër tek atëherë kemi:
Tx
m +1
≤ T (T T ) *
m +1
Tx
Tx
n −1 2
2
x = 〈T (T ∗T )
≤ 〈T (T *T ) m +1
Tx
Tx
n −1 2
n −1 n −1 +1+ −1 2 2
x, T (T *T )
n −1 2
x〉
x, Tx〉
≤ T (T *T ) n−1 x ⋅ Tx m
m
≤ T (T *T ) n−1 x
≤ T (T T ) *
m −1 2
x .
Në mënyrë analoge vërtetohet rasti kur m është çift, me çka teorema u vërtetua. Në vijim ne do të japim një vërtetim tjetër të teoremës 3.1.1. Supozojmë se T ∈ ( M , k ) , k ≥ 2 dhe x ∈ H , x = 1 , atëherë :
Tkx
2
= 〈T k x, T k x〉 = 〈T ∗k T k x, x〉 ≥ 〈 (T ∗T ) k x, x〉 (sepse T ∈ ( M , k ) , k ≥ 2 ) ≥ 〈T ∗Tx, x〉 k x
2 (1− k )
= 〈Tx, Tx〉 k = Tx D.m.th. T k x ≥ Tx paranormal. ■
k
2k
( Mosb. Hölder-McCarthy-it)
.
për k ≥ 2 dhe x ∈ H , x = 1 .Respektivisht operatori T është operator k –
67
Rrjedhim 3.1.1. Nëse operatori T nga B (H ) i takon klasës së operatorëve ( M , k )∗ për k ≥ 1 , atëherë operatori T është k + 1 -paranormal.
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh nga pohimi 1.3.6 dhe teorema 3.1.1. ■ Pohim 3.1.1.([10]). Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular k - paranormal, atëherë:
σ ap (T ) ⊆ λ ∈ C :
(T
T −1
≤ λ ≤ T .
)
k
⋅T
Vërtetim. Meqë operatori T është regular dhe k - paranormal atëherë për çdo vektor njësi x nga hapësira H kemi: k
k
k
k
k
x = T −1Tx ≤ T −1 ⋅ Tx ≤ T −1 ⋅ T k x k
k
1 ≤ T −1 ⋅ T k −1 ⋅ Tx ≤ T −1 ⋅ T
1
Tx ≥ T
Tani supozojmë se
−1 k
⋅T
k
T
−1
=
(T
T −1
⋅T
k −1
)
k
⋅ Tx
.
λ ∈ σ ap (T ) , atëherë ekziston vargu {x n } i tillë që
(III.1)
xn = 1 dhe se
(T − λ ) xn → 0, kur n → ∞ . Prandaj nga (III.1) kemi:
Txn − λxn ≥ Txn − λ xn ≥
Tutje, nëse në (III.2) lëshojmë n → ∞ , fitojmë :
(T
T −1
⋅T
)
k
−λ.
(III.2)
68
λ≥
(T
T E kjo do të thotë se σ ap (T ) ⊆ λ ∈ C : T −1 ⋅ T
(
T −1
)
k
⋅T
)
k
.
≤ λ ≤ T .■
Rrjedhim 3.1.2. Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe paranormal, atëherë:
T σ ap (T ) ⊆ λ ∈ C : T −1 ⋅ T
(
)
2
≤ λ ≤ T .
Teorema 3.1.2. ([24]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë, me vargun e peshave {ω n }. Atëherë T i takon klasës së operatorëve ( M , k ) atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave plotëson mosbarazimin vijues:
ω n+1 ⋅ ω n+2 ⋅ ... ⋅ ω n+k −1 ≥ ω n
k −1
për n ∈ Z dhe k ≥ 2 .
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i klasës së operatorëve ( M , k ) . ■ Teorema 3.1.3.([24]). Për k > 2 , ekziston operatori i cili i takon klasës së operatorëve ( M , k ) , por nuk është kuazi-hipernormal.
Vërtetim. Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë me vargun e peshave {ω n } të dhënë si vijon
1 2 , për n ≤ −1 1 ω n = , për n = 0 3 n , për n ≥ 1. n + 1
69
Për n = 0 dhe k > 2 nga teorema 3.1.3 fitojmë ω 1⋅ ω 2⋅ ... ⋅ ω operatori T sepse ω 0 =
k −1
≥ω
k −1 0
. Prandaj shihet se
i takon klasës ( M , k ) , për k > 2 , por operatori T nuk është kuazi-hipërnormal, 1 1 > ω 1 = .■ 2 3
Pohim 3.1.2.([11]). Nëse operatori T i takon klasës ( A, k ) për k ≥ 2 , atëherë operatori T është k − paranormal.
Vërtetim. Supozojmë se T ∈ ( A, k ) . Atëherë për çdo vektor njësi x ∈ H kemi:
Tkx
4
≥ T *Tx
2k
= 〈T *Tx, T *Tx〉 k
= 〈 (T ∗T ) 2 x, x〉 k ≥ 〈T ∗Tx, x〉 2 k ( Mosb. i Hölder-McCarthy-it) = 〈Tx, Tx〉 2 k = Tx Pra T k x ≥ Tx
k
4k
.
për çdo vektor njësi x ∈ H , respektivisht operatori T është k − paranormal.■
Vërejtje 3.1.1. Klasa e operatorëve ( M , k ) për k ≥ 2 në punimin [24] është quajtur klasa e operatorëve k -kuazi-hipernormalë.
70
3.2. Disa rezultate lidhur me operatorët nga klasa
A* [ k ]
dhe
k -*paranormalë
Në këtë paragraf ne do t`i tregojmë disa veti të klasave të operatorëve ( M , k ) ∗ , A* [k ] dhe klasës së operatorëve k − *paranormalë si dhe lidhshmëritë ndërmjet këtyre klasave. Meqenëse në paragrafin 1.2 ne e kemi dhënë përkufizimin e klasës së operatorëve ( M , k ) ∗ , atëherë ne në vijim do t`i japim vetëm përkufizimet e klasave të operatorëve A* [k ] dhe klasës së operatorëve k − *paranormalë.
Përkufizim 3.2.1. Operatori T ∈ B (H ) i takon klasës A* [k ] nëse T k
2 k
≥ T∗
2
për k ≥ 1 .
Klasat e operatorëve (M ,1) ∗ dhe A* [1] përputhën me klasën e operatorëve hipernormalë. k
Përkufizim 3.2.2. Operatori T ∈ B (H ) quhet k -* paranormal nëse T * x ≤ T k x
për
çdo vektor njësi x ∈ H dhe k ≥ 2 .
Pohimi 3.2.1. ([10]). Operatori T ∈ B (H ) i takon klasës ( M , k ) ∗ për k ≥ 1 atëherë dhe vetëm atëherë kur : T ∗k T k + 2λ (TT ∗ ) k + λ2T ∗k T k ≥ 0 për çdo λ ∈ R .
Vërtetim. Le të jetë λ ∈ R dhe x ∈ H të çfarëdoshëm. Atëherë T ∈ ( M , k )∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur: k ∗ 2
k ∗ 2
4 2
2
(TT ) x ≤ T ( x) ⇔ 4 (TT ) x − 4 ⋅ T k x ⋅ T k x ≤ 0 k
2
k ∗ 2
2 2
⇔ T x + 2λ (TT ) x + λ2 T k x ≥ 0 k
71
k
k
⇔ 〈 (T k x, T k x〉 + 2λ 〈 (TT ∗ ) 2 x, (TT ∗ ) 2 x〉 + λ2 〈T k x, T k x〉 ≥ 0 k
⇔ 〈 (T ∗k T k x〉 + 2λ 〈 (TT ∗ ) k x, x〉 + λ2 〈T ∗ T k x, x〉 ≥ 0 ⇔ 〈 (T ∗k T k + 2λ (TT ∗ ) k + λ2T ∗k T k ) x, x〉 ≥ 0 ⇔ T ∗k T k + 2λ (TT ∗ ) k + λ2T ∗k T k ≥ 0 .■
Rrjedhim 3.2.1. Operatori T ∈ B (H ) është hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur T ∗T + 2λTT ∗ + λ2T ∗T ≥ 0 për çdo λ ∈ R .
Lema 3.2.1. ([10]). Operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T , me vargun e peshave {ω n } , i takon klasës së operatorëve ( M , k ) ∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur :
ωn ⋅ ωn +1 ⋅ ... ⋅ ωn + k −1 ≥ ωn −1
k
për n ∈ Z dhe k ≥ 1 .
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i klasës së operatorëve ( M , k ) ∗ . ■ Në vazhdim ne do t`i marrim disa shembuj të operatorëve të zhvendosjes së dyanshme me peshë nga klasa e operatorëve ( M , k ) ∗ .
Shembull. 3.2.1. ([10]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë me vargun e peshave {ω n } i përkufizuar si vijon:
1 2 , për n ≤ −1 2, për n = 0 ω n = 1 , për n = 1 2 4 , për n = 2 16, për n ≥ 3.
72 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T
i takon klasës (M ,3)∗ , por
T ∉ ( M , k )∗ për k = 1,2 . Vërtet, nëse marrim k = 3 , në lemën 3.2.1 rrjedh se operatori i zhvendosjes me peshë T i takon klasës (M ,3)∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave të operatorit T plotëson 3
mosbarazimin ω n ⋅ ω n+1 ⋅ ω n+ 2 ≥ ω n−1 për n ∈ Z . Nga kjo shihet se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T
i takon klasës (M ,3)* . Tani tregojmë se operatori i zhvendosjes së
dyanshme me peshë T nuk i takon klasës së operatorëve ( M , k ) ∗ për k = 1,2 . Nëse marrim k = 2 , në lemën 3.2.1 rrjedh se operatori i zhvendosjes me peshë T
i takon klasës (M ,2) ∗
atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave të operatorit T plotëson mosbarazimin
ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n−1
2
1 2 për n ∈ Z . Për n = 1 kemi ω1 ⋅ ω 2 = ⋅ 4 = 2 < ω 0 = 2 2 = 4 , që do të thotë 2
se operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i takon klasës (M ,2) ∗ . Tutje, nëse marrim k = 1 në lemën 3.2.1 rrjedh se operatori i zhvendosjes me peshë T
i takon klasës
(M ,1) ∗ atëherë dhe vetëm atëherë kur vargu i peshave të operatorit T plotëson mosbarazimin
ω n ≥ ω n−1 për n ∈ Z . Tani, për n = 1 kemi ω1 =
1 < ω0 = 2 , që do të thotë se operatori i 2
zhvendosjes së dyanshme me peshë T nuk i takon klasës (M ,1) ∗ , respektivisht operatori T nuk është hipernormal.
Shembull. 3.2.2. ([10]). Le të jetë T ∈ B (H ) operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë me vargun e peshave {ω n } , të dhënë si vijon:
1 3 , për n ≤ −1 1, për n = 0 1 , për n = 1 ωn = 3 . 3, për n = 2 1 , për n = 3 9 729, për n ≥ 4.
73
Atëherë operatori zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (M ,2) ∗ , por T ∉ ( M , k )∗ për k = 1,3 . Vërtet, operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T i takon klasës (M ,2) ∗ , sepse 2
vargu i peshave të operatorit T plotëson mosbarazimin ω n ⋅ ω n+1 ≥ ω n−1 , për n ∈ Z . Ndërsa operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T (M ,3) ∗ sepse ω
1
=
1 <ω 3
0
nuk i takon klasës (M ,1) ∗ , përkatësisht
= 1 , përkatësisht ω1 ⋅ ω2 ⋅ ω3 = =
1 1 1 3 ⋅ 3 ⋅ = < ω 0 = 13 = 1 . 3 9 9
Me anë të shembullit vijues ne do të tregojmë se ekziston operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë që i takon klasës së operatorëve ( M , k ) ∗ , për
k ≥ 2 por nuk është
hipernormal.
Shembull. 3.2.3.([10]). Le të jetë T operator i zhvendosjes së dyanshme me peshë në hapësirën e Hilbertit H me vargun e peshave {ω n } të tillë që :
1 2 , për n ≤ −1 1 ω n = , për n = 0 3 n , për n ≥ 1. n + 1 Atëherë operatori i zhvendosjes së dyanshme me peshë T
i takon klasës ( M , k ) ∗ , k ≥ 2 por
operatori T nuk është hipërnormal. Vërtet, nëse marrim n = 1 në lemën 3.2.1 fitojmë ω1 ⋅ ω 2 ⋅ ... ⋅ ω k ≥ ω0k për k ≥ 1 . Prandaj, shihet se operatori T i takon klasës ( M , k ) ∗ për k ≥ 2 , por operatori T nuk është hipërnormal, sepse ω 0 =
1 1 > ω 1= . 2 3
74
Lema 3.2.2. ([32]) Le të jenë a dhe b dy
numra real pozitivë. Atëherë vlen
mosbarazimi:
λ a + µ b ≥ aλ ⋅bµ për λ > 0 , µ > 0 të tillë që λ + µ = 1 .
Pohim 3.2.2. ([10]). Operatori T ∈ B (H ) është k -* paranormal atëherë dhe vetëm atëherë kur : T ∗k T k − kλk −1TT ∗ + (k − 1)λk I ≥ 0
(III.3)
për çdo λ > 0 , k ≥ 2 , x ∈ H dhe x = 1 .
Vërtetim. Supozojmë se operatori T ∈ B (H ) është operator k -* paranormal
x ∈ H dhe x = 1 . Atëherë nga lema 3.2.2 kemi: k −1 k
1
k −1 1 1− k k 〈 λ T x, T k x〉 + 〈 λx, x〉 ≥ 〈 λ1− k T k x, T k x〉 k 〈 λx, x〉 k k
=λ
1− k k
1
〈T k x, T k x〉 k λ
= T x k
2 k
k −1 k
〈 x, x〉
k −1 k
2
≥ T ∗ x = 〈TT ∗ x, x〉 .
Pra:
λ1− k 〈T ∗k T k x, x〉 + λ (k − 1)〈 x, x〉 − k 〈TT ∗ x, x〉 ≥ 0 〈(T ∗k T k − kλk −1TT ∗ + (k − 1)λk I ) x, x〉 ≥ 0 , respektivisht T ∗k T k − kλk −1TT ∗ + (k − 1)λk I ≥ 0 për çdo λ > 0 , x ∈ H , dhe x = 1 . Anasjelltas.
Tani,
supozojmë
se
vlen
relacioni
(III.3),
x∈ H,
λ = 〈T ∗ x,T ∗ x〉 > 0 . Atëherë, nëse λ = 〈T ∗ x, T ∗ x〉 e zëvendësojmë në (III.3) kemi :
x =1
dhe
75
〈T k x, T k x〉 − k 〈T ∗ x, T ∗ x〉 k −1 〈T ∗ x, T ∗ x〉 + (k − 1)〈T ∗ x, T ∗ x〉 k ≥ 0 2
T k x − k T ∗x
2k
+ (k − 1) T ∗ x 2k
2
T k x − T ∗x Pra
T k x ≥ T ∗x
k
2k
≥0
≥ 0.
për çdo vektor njësi x ∈ H , respektivisht operatori T është k -*
paranormal. ■
Rrjedhim 3.2.2. Operatori T ∈ B (H ) është *-paranormal atëherë dhe vetëm atëherë kur T ∗2T 2 − 2λTT ∗ + λ2 I ≥ 0 për çdo λ > 0 .
Pohim 3.2.3. ([10]). Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe k -* paranormal, atëherë:
σ ap (T ) ⊆ λ ∈ C :
(T
T ∗ −1
)
k
⋅T
≤ λ ≤ T .
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 3.1.1. ■ Rrjedhim 3.2.3. Në qoftë se T ∈ B (H ) është operator regular dhe * paranormal, atëherë:
σ ap (T ) ⊆ λ ∈ C :
(T
T ∗ −1
⋅T
)
2
≤ λ ≤ T .
Matematikanët N. Chennappan dhe S. Karthikeyan në teoremën 3.7 të punimit me titull * Paranormal Composition Operators të botuar në Indian J. Pure Appl. Math., 31 (2000), No. 6, 591-601, tregojnë se klasa e operatorëve (M ,2) * përmbahet në klasën e operatorëve *paranormal. Këtë teoremë do ta tregojmë në vijim.
76
Teorema 3.2.1. ([20]). Nëse operatori T i takon klasës (M ,2) * , atëherë operatori T është *paranormal.
Vërtetim. Meqë operatori T ∈ (M ,2) * , atëherë T ∗2T 2 ≥ (TT * ) 2 ⇒ 〈 (T ∗2T 2 − (TT ∗ ) 2 ) x, x〉 ≥ 0 për çdo x ∈ H ⇒ 〈T ∗2T 2 x, x〉 − 〈 (TT ∗ ) 2 x, x〉 ≥ 0 për çdo x ∈ H ⇒ 〈 (T 2 x, T 2 x〉 − 〈TT ∗ x, TT ∗ x〉 ≥ 0 për çdo x ∈ H ⇒ T 2x
2
≥ TT ∗ x
⇒ TT ∗ x ≤ T 2 x
2
për çdo x ∈ H
për çdo x ∈ H
(III.4)
Tani, meqë: T ∗x
2
= 〈T ∗ x, T ∗ x〉 = 〈TT ∗ x, x〉 ≤ TT ∗ x ⋅ x .
(III.5)
Atëherë nga (III.4) dhe (III.5), kemi: T ∗x
2
≤ T 2x ⋅ x ,
respektivisht operatori T është *paranormal.■ Teorema në vazhdim e përgjithëson teoremën 3.2.1.
Teorema 3.2.2. ([10]). Nëse T ∈ ( M , k )∗ për *paranormal.
k ≥ 2 , atëherë operatori T është k -
77
Vërtetim. Së pari vërtetojmë se çdo operator T ∈ ( M , k )∗ , i takon klasës A∗ [k ] . Supozojmë se T ∈ ( M , k ) ∗ . Atëherë kemi :
Tk
2 k
(
= T ∗k T k
) ≥ (TT ) 1 k
1 ∗ k⋅k
(sepse T ∈ ( M , k ) ∗ )
2
= TT ∗ = T ∗ . Pra T k
2 k
2
≥ T ∗ për k ≥ 2 , respektivisht T ∈ A∗ [k ] .
Në vazhdim supozojmë se T ∈ A∗ [k ] , atëherë për çdo vektor njësi x ∈ H kemi:
2
2
T k x = 〈T k x, T k x〉 = 〈T ∗k T k x, x〉 = 〈 T k x, x〉 = 〈 T k
2 ⋅k k
x, x〉
2
≥ 〈 T k k x, x〉 k (Mosb. i Hölder-McCarthy-it) 2
≥ 〈 T ∗ x, x〉 k (sepse T ∈ A∗ [k ] )
= 〈TT ∗ x, x〉 k = 〈T ∗ x, T ∗ x〉 k = T ∗ x
2k
.
k
Me çka erdhëm në përfundim se T k x ≥ T ∗ x për çdo x ∈ H , x = 1 dhe k ≥ 2 , respektivisht operatori T është k − *paranormal. ■
Rrjedhim 3.2.4. Le të jetë T ∈ B (H ) operator kuazi-normal. Nëse operatori T ∈ B (H ) është hipernormal atëherë ai është k -* paranormal.
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh drejtpërdrejtë nga teorema 3.11 në [20] dhe teorema 3.2.2. ■ Rrjedhim 3.2.5. Nëse operatori T ∈ ( M , k + 1) ka rang të dendur në hapësirën H , atëherë operatori T është k -* paranormal.
Vërtetim. Vërtetimi rrjedh nga pohimi 1.3.6 dhe teorema 3.2.2. ■
78
Teorema 3.2.3.([10]). Le të jetë T operator që i takon klasës A∗ [k ] për k ≥ 1 dhe α
αI 0 vlerë vetjake e operatorit T . Gjithashtu le të jetë T = i përkufizuar në hapësirën 0 T1 H = ker(T − αI ) ⊕ ker(T − αI ) ⊥ , ku operatori T1
është i përkufizuar në nënhapësirën
ker(T − αI ) ⊥ . Atëherë operatori T1 i takon klasës A∗ [k ] për k ≥ 1 .
Vërtetim. Supozojmë se T ∈ A∗ [k ] për k ≥ 1 . Atëherë kemi :
0≤ T
0 Pra 0
2 k k
−T
∗ 2
α 2 = 0
≥ 0 , e kjo domethënë se T1k ∗ − T1
0 2 k k 1
T
2 0 α 2 − k k T1 0
2 k
0 0 = ∗ 2 T1 0
≥ T1∗
2
2 k k 1
T
. − T1∗
0
për k ≥ 1 , respektivisht
T1 ∈ A∗ [k ] .■ Teorema vijuese tregon se produkti tenzorial i dy operatorëve jozero i takon klasës A∗ [k ] atëherë dhe vetëm atëherë kur ato dy operator jozero i takojnë klasës A∗ [k ] . Para se të formulojmë dhe të vërtetojmë teoremën në vijim ne do t`i japim disa pohime ndihmëse dhe do t`i tregojmë disa veti lidhur me produktin tenzorial për dy operatorë jozero, të cilat veti do të na ndihmojnë në vërtetimin e teoremës . Le të jetë H 1 dhe H 2
hapësira të Hilbertit . Për operatorët
T1 ∈ B( H 1 )
dhe
T2 ∈ B( H 2 ) , T1 ⊗ T2 paraqet produktin tenzorial në hapësirën H 1 ⊗ H 2 (shih [5] ). Produkti tenzorial i dy operatorëve jozero T1 ∈ B( H 1 ) dhe T2 ∈ B( H 2 ) , plotësojnë barazimet mëposhtme : a) (T1 ⊗ T2 ) (T1 ⊗ T2 ) = T1∗T1 ⊗ T2∗T2 . ∗
e
79
b). T1 ⊗ T2
p
p
= T1 ⊗ T2
p
për çdo numër real pozitiv p (shih p.sh.[12],[28]).
c). (T1 ⊗ T2 ) k = T1k ⊗ T2k për çdo numër të plotë k ≥ 1 .
Pohim 3.2.4. ([17]). Le të jetë T1 , T2 ∈ B( H 1 ) , S1 , S 2 ∈ B( H 2 ) operatorë pozitivë. Nëse operatorët T1 dhe S1 janë operatorë jozero, atëherë pohimet vijuese janë ekuivalente: i) T1 ⊗ S1 ≤ T2 ⊗ S 2 . ii) ekziston c > 0 i tillë që T1 ≤ cT2 dhe S1 ≤ c −1 S 2 .
Pohim 3.2.5. ([5]). Për çdo α , β ∈ C , T , T1 , T2 ∈ B( H 1 ) dhe S , S1 , S 2 ∈ B( H 2 ) , vlejnë barazimet vijuese: i). αβ (T ⊗ S ) = αT ⊗ β S . ii). (T1 + T2 ) ⊗ (S1 + S 2 ) = T1 ⊗ S1 + T2 ⊗ S1 + T1 ⊗ S 2 + T2 ⊗ S 2 . iii). (T1 ⊗ S1 ) (T2 ⊗ S 2 ) = T1T2 ⊗ S1 S 2 . iv). (T ⊗ S ) = T ∗ ⊗ S ∗ , ∗
v). T ⊗ S = T S . Nëse T dhe S janë invertibilë , atëherë i tillë është edhe T ⊗ S , si dhe vlen barazimi vijues: vi). (T ⊗ S ) = T −1 ⊗ S −1 . −1
Teorema 3.2.4. ([10]). Le të jetë T1 ∈ B( H 1 ) dhe T2 ∈ B( H 2 ) operatorë jozero. Atëherë
T1 dhe T2 i takojnë klasës A∗ [k ] atëherë dhe vetëm atëherë kur produkti tenzorial T1 ⊗ T2 i takon klasës A∗ [k ] për k ≥ 1 .
80
Vërtetim. Supozojmë se operatorët T1 dhe T2 i takojnë klasës A∗ [k ] , për k ≥ 1 . Atëherë nga pohimi 3.2.5 dhe nga vetitë e produktit tenzorial kemi: 2 k k
(T1 ⊗ T2 )
= T ⊗T
≥ T1∗
Pra (T1 ⊗ T2 )
2 k k
≥ (T1 ⊗ T2 )
∗ 2
2 k k 2
k 1
2
2
⊗ T2∗
2 k k 1
=T
2 k k 2
⊗T
= T1∗ ⊗ T2∗
2
= (T1 ⊗ T2 )
∗ 2
.
, respektivisht T1 ⊗ T2 i takon klasës A∗ [k ] .
Anasjelltas. Supozojmë se T1 ⊗ T2 i takon klasës A∗ [k ] . Atëherë nga pohimi 3.2.5 dhe vetitë e produktit tenzorial, kemi: ∗ 2 1
T
∗ 2 2
⊗T
∗ 2 2
∗ 1
= T ⊗T
= (T1 ⊗ T2 )
∗ 2
2 k k
≤ (T1 ⊗ T2 )
= T1k
2 k
2
⊗ T2k k .
Tutje, duke u bazuar në pohimin 3.2.4 rrjedh se ekziston numri real pozitiv c , i tillë që:
T1∗
2
2 k
≤ c T1k
2
2
dhe T2∗ ≤ c −1 T2k k .
(III.6)
Prandaj nga mosbarazimi i Hölder-McCarthy-it, për çdo vektor njësi x ∈ H 1 , kemi : T1∗
2
= sup〈T1∗ x, T1∗ x〉 = sup〈T1T1∗ x, x〉 x =1
x =1
2 k
2
= sup〈 T1∗ x, x〉 ≤ sup〈 c T1k
2 k k 1
= c sup〈 T x =1
x, x〉
x =1
x =1
k 2 1
x, x〉 ≤ c sup〈 T x =1
1
x, x〉
1 k
1
= c sup〈T1*k T1k x, x〉 k = c sup〈T1k x, T1k x〉 k x =1
x =1
81
= c T1k
2 k
2
2
≤ c T1 = c T1∗ .
Pra , T1∗ ≤ c T1∗ në H 1 . Ngjashëm vërtetohet se T2∗ ≤ c −1 T2∗ në H 2 . Nga dy mosbarazimet e fundit shihet se c = 1 . Me çka erdhëm në përfundimin se T1 , T2 ∈ A∗ [k ] .■
Rrjedhim 3.2.6. Le të jetë T1 ∈ B( H 1 ) dhe T2 ∈ B( H 2 ) operatorë jozero. Atëherë T1 ⊗ T2 është hipernormal atëherë dhe vetëm atëherë kur T1 dhe T2 janë hipernormalë.
Pohim 3.2.6.([11]). Nëse operatori T i takon klasës ( A, k ) * për k ≥ 2 , atëherë operatori T është k − *paranormal.
Vërtetim. Vërtetimi është analog me vërtetimin e pohimit 3.1.2. ■
82
REZYME Në këtë punim të doktoratës përveç se janë treguar disa veti të operatorëve të cilët kanë qenë të përkufizuar më parë, janë përkufizuar edhe klasë të reja të operatorëve dhe janë treguar disa veti të tyre. Klasë të reja të përkufizuara në këtë punim janë klasa e operatorëve ( A, k ) dhe ( A, k )* .Gjithashtu, këtu janë arritur edhe disa përgjithësime normale të këtyre klasave të operatorëve. Në kapitullin e parë
disa nga rezultatet e arritura për klasat e operatorëve
( M , k ) , ( M , k ) ∗ , ( M , k ) N dhe ( M , k ) ∗N janë: Operatori T i takon klasës ( M , k ) * , për k ≥ 1 , k
atëherë dhe vetëm atëherë, nëse (TT ∗ ) 2 x ≤ T k x për çdo x ∈ H dhe k ≥ 1 (pohimi 1.2.2); Nëse operatori T i takon klasës së operatorëve ( M , k ) ∗N , atëherë operatori T do t`i takoj klasës ( M , k + 1) N dhe anasjelltas vlen nëse R (T ) është e dendur në H (pohimi 1.3.6) . Në kapitullin e dytë janë studiuar klasat e operatorëve ( M , k ) , ( M , k ) ∗ , ( A, k ) dhe ( A, k )* . Disa nga rezultatet kryesore të këtij kapitulli janë: Nëse operatori T i takon klasës ( A, k ) , k ≥ 2 dhe λ ≠ 0 , atëherë për vargun e vektorëve njësi {xn } , për të cilin (T − λ )xn → 0 , vlejnë :
(T
∗
)
− λ xn → 0 , σ p (T ) − {0} = σ jp (T ) − {0} dhe σ ap (T ) − {0} = σ ja (T ) − {0} (teorema
2.1.4); Nëse T ∈ ( A, k ) N dhe T n operator kompakt për ndonjë n ≥ k , atëherë operatori T është kompakt (teorema 2.3.1.) . Në kapitullin e tretë janë treguar disa veti të klasave të operatorëve ( M , k ) , ( M , k ) ∗ , A∗ [k ] , k -paranormal dhe k -* paranormal dhe lidhshmëritë në mes këtyre klasave. Në këtë kapitull kemi treguar se çdo operator nga klasa ( M , k ) , përkatësisht ( M , k ) ∗ është operator k paranormal, përkatësisht k -*paranormal (teoremat 3.1.1. dhe 3.2.2). Gjithashtu, në këtë kapitull kemi treguar se: Nëse T1 ∈ B( H 1 ) dhe T2 ∈ B( H 2 ) janë operatorë jozero, atëherë T1 dhe T2 i takojnë klasës A∗ [k ] atëherë dhe vetëm atëherë kur produkti tenzorial T1 ⊗ T2 i takon klasës A∗ [k ] (teorema 3.2.4).
83
SUMMARY In this PhD thesis are shown several properties of some operators that have been introduced by other authors. Some new classes of operators such as ( A, k ) and ( A, k )* , are introduced as well. There have been achieved some natural generalizations of these classes. Some of the results achieved in the first chapter for classes of operators such as ( M , k ) , ( M , k ) ∗ , ( M , k ) N and ( M , k ) ∗N are as follows: The operator T belongs to the ( M , k ) * k
class for k ≥ 1 , if and only if
(TT ∗ ) 2 x ≤ T k x , for all x ∈ H and k ≥ 1 (Proposition 1.2.2); if
the operator T belongs to the ( M , k ) ∗N class, then the operator T also belongs to the ( M , k + 1) N class, and the converse statement holds true if R (T ) is dense in H (Proposition 1.3.6). In the second chapter of this thesis there are studied classes of operators such as ( M , k ) , ( M , k ) ∗ , ( A, k ) and ( A, k )* . Some of the results achieved in the first chapter for those classes of operators are: If the operator T belongs to the ( A, k ) class, for k ≥ 2 and λ ≠ 0 , then for the sequence {xn } of the unit vectors, for which (T − λ )xn → 0 , the following statements hold true:
(T
∗
)
− λ xn → 0 , σ p (T ) − {0} = σ jp (T ) − {0} and σ ap (T ) − {0} = σ ja (T ) − {0} (Theorem 2.1.4); if
T ∈ ( A, k ) N and T n is a compact operator for some n ≥ k , then the operator T is a compact, too (Theorem 2.3.1). In the third chapter there are shown some properties of the operators that belong to the classes of ( M , k ) , ( M , k ) ∗ , A∗ [k ] , k -paranormal and k -* paranormal, and there are also studied some of the relations between these classes. It is proved that every operator form ( M , k ) class, respectively ( M , k ) ∗ class, is k -paranormal operator, respectively k -*paranormal (Theorems 3.1.1. and 3.2.2). Further on, there it is proved that if T1 ∈ B( H 1 ) and T2 ∈ B( H 2 ) are non-zero operators, then T1 and T2 belong to the A∗ [k ] class if and only if the tensor product T1 ⊗ T2 belongs to the A∗ [k ] class (Theorem 3.2.4).
84
Literatura [1] A. Aluthge and D. Wang , The Joint Approximate Point Spectrum of
an
Operator, Hokkaido Math. J., 31 (2002), 187-197. [2]. Abdellatif Bourhim, Bounded Point Evaluations and Local Spectral Theory, Dissertation presented to ICTP Mathematics section in Candidacy for the Diploma Degree. arXiv:math./0008197v1[math.FA] 25 Aug 2000. [3]. C. A. McCarthy, c p , Israel J. Math., 5 (1967), 249-271. [4] C. S. Kubrusly and N. Levan, Preservation of Tensor Sum and Tensor Product, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXXX, 1 (2011), pp. 133-142. [5] Carlos S. Kubrusly, A Concise Introduction to Tensor Product, Far East J. Math. Sci. 22(2006), 137-174. [6] D. J. Harrington and R. Whitley, Seminormal Composition Operators, J. Operator
Theory 11(1984), no. 1. 125-135. [7] D.A. Herrero, Approximation of Hilbert Space Operators, Vol. I. Research Notes in Math., 72 (London-Boston-Melbourne: Pitman Books Ltd., 1982). [8] E. Brian Davies, Linear Operators and Their Spectra, Cambridge University Press, 2007. [9] F. Marevci and M. Lohaj, Some Properties of Operator Classes ( M , k ), ( M , k )∗ , ( A, k ) and ( A, k ) ∗ , International Journal of Mathematical Analysis , Vol. 6, 2012, No. 32, 1583 – 1596. [10] F. Marevci and M. Lohaj, Some Properties of Operator Classes ( M , k ) ∗ , A∗ [k ] and k −* Paranormal Operator, International Mathematical Forum, Vol. 7, 2012, No. 45, 2239 – 2252.
85
[11] F. Marevci, Notes on Operator Classes ( A, k ) N and ( A, k ) *N , International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, No. 3, 105 –112. [12] I. H. Kim, Weyl`s Theorem and Tensor Product for Operators Satisfying 2
T *k T 2 T k ≥ T *k T T k , J. Korean Math. Soc. 47 (2010), No. 2, 351-361. [13] In Hyoun Kim*, On Spectral Continuities and Tensor Products of Operators, Journal of the Chungcheong Mathematical Society, Volum 24, No. 1, 113-119 March 2011. [14] I. Istratescu and V. Istratescu , On Some Classes of Operators I, Proc. Japan Acad., No. 7 , vol. 43, 605-606, (1967). [15] Joseph G. Stampfli, Hyponormal Operators, Pacific J.Math 12 (1962) 1453-1458. [16] Jiangtao Yuan and Zongsheng Gao , Weyls Spectrum of Class A(n) and
n − Paranormal Operators , Interg. Equ. Oper. Theory 60 (2008), 289-298.
[17] J. Stochel, Seminormality of Operators from Their Tensor Product. Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 135-140. r
r p+r r [18] M. Ito and T. Yamazaki, Relations Between two Inequalities B 2 A p B 2 ≥ B r
and A B r A p 2
p 2
p p+r
≥ A p and its Applications, Integr. Equ. Oper. Theory, 44
(2002), 442-450. [19] Mi Young Lee, Sang Hun Lee and Cheon Seoung Ryoo, Some Remarks on The Structure of k − * Paranormal Operators, Kyungpook Math. J. 35 (1995), 205-211. [20] N. Chennappan, S. Karthikeyan, * Paranormal Composition Operators, Indian J. Pure Appl. Math., 31 (2000), No. 6, 591-601.
86
[21] N. L. Braha, M. Lohaj, F.H.Marevci, Sh. Lohaj, Some Properties of Paranormal and Hyponormal Operators, Bull. Math. Anal. Appl.,v.1, Issue 2, (2009), 23-35. [22] P.R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Van Nostrand, Princeton, 1967. [23] P. R. Halmos, Ten Problems in Hilbert Space, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970) 887- 933. [24] Pushpa R, Suri and N. Singh, Some Results on k -Quasi – hyponormal Operators, Bull. Austral. Math. Soc. Vol. 32 (1985), 351-355. [25] P.A. Fillmore, J.G. Stampfli, J.P. Williams, On the Essential Numerical Range, the Essential Spectrum, and a Problem of Halmos. Acta Sci. Math.(Szeged) 33 (1972), 179-192.
[26] S. C. Arora and Ramesh Kumar, M -Paranormal Operators, Publ. Inst. Math., Nouvelle serie 29 (43) (1981), 5-13. [27] S. C. Arora and J. K. Thukral, M - * Paranormal Operators, Glas. Math. Ser. III, Vol. 22, No.1. (1987), 123-129. [28] S. Panayappan, N. Jayanthi and D. Sumathi, Weyl , s Theorem and Tensor Product for Class Ak Operators, Pure Mathematical Sciences, Vol. 1, 2012, No. 1, 13-23. [29] Sang Hun Lee and Cheon Seoung Ryoo, Some Properties of Certain Nonhyponormal Operators, Bull. Korean Math. Soc. 31 (1994), No1, pp. 133-141. [30] S. Panayappan, A. Radharamani, On a Class of Quasiparahyponormal Operators, Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 2, 2008, No. 15, 741-745. [31] Sterling K. Berberian, Introduction to Hilbert Space, Chelsea Publishing Company, New York, 1976. [32] T. Yamazaki and M. Yanagida, A Further Generalization of Paranormal Operators, Scientiae Mathematicae Vol.3, No. 1(2000), 23-31.
87 [33] T. Furuta, M. Ito dhe T. Yamazaki, A Subclass of Paranormal Operators Including Class of Log-hyponormal and Several Related Classes, Scientiae Mathematicae Vol.1, No. 3(1998), 389-403 [34] T. Furuta, Invitation to Linear Operators, London and New York, 2001. [35] T. Veluchamy and A. Devika , Some Properties of Quasi-*Paranormal Operators, Journal of Modern Mathematics and statistics 1 (1-4): 35-38, 2007. [36] Youngsik Park and Cheonseoung Ryoo , Some Results
on k ∗ − Paranormal
Operators, East Asian Math J. 14 (1998), No 1, pp. 27- 34. [37] W.C.Ridge, Approximate Point Spectrum of a Weighted Shifts, Amer.Math.Soc. 147 (1970), 349-356 . [38] Wang Gong-bao, Ma Ji-pu, Spectral Characterization of Hyponormal Weighted Shifts*, Submitted on 22 Feb 2003, arXiv:math/0302275. [39] Wang Gong-bao, Ma Ji-pu, Note on Near Subnormal Weighted Shifts*, Submitted on 22 Feb 2003, arXiv:math/0302274
88
Biografia Fahri Marevci është i lindur më 20.05.1974 në fshatin Marevc të Komunës së Lipjanit. Më 24.05.1995, ka mbaruar Shkollën e Lartë Pedagogjike Dega Matematikë, në Universitetit e Prishtinës me notën mesatare 8.17, me çka ka fituar titullin Arsimtar i matematikës. Para se t`i përfundoj studimet në SHLP, ka filluar studimet në Fakultetin e Shkencave MatematikeNatyrore, Departamenti i Matematikës, në Prishtinë të cilin e ka përfunduar me notën mesatare 8.22 , ndërsa temën e diplomës me titullin “Algjebrat e Banachut” e ka mbrojtur me notën 10-të, më 09.12.2002 me çka ka fituar titullin Profesor i matematikës. Në vitin 2005 ka filluar studimet posdiplomike-Master në Departamentin e Matematikës, të Fakultetit të Shkencave Matematike-Natyrore në Universitetin e Prishtinës, kështu që të gjitha provimet e parapara me rregulloren e studimeve posdiplomike i kreu me notën mesatare 9.33. Më 21.05.2008, me sukses ka mbrojtur tezën e masterit me titull “ Operatorët Subnormalë dhe Hipernormalë të
Çvendosjes në Hapësirat e Hilbertit ” , dhe me këtë rast ka marr thirrjen Master i Shkencave të Matematikës. Në vitin 2009 ka regjistruar studimet e doktoratës në Universitetin e Prishtinës. Deri më tani ka publikuar këto punime në revistat me recension ndërkombëtar : 1. N. L. Braha, M. Lohaj, F. H. Marevci, Sh. Lohaj,
Some properties of
paranormal and hyponormal operators, Bull. Math. Anal. Appl.,v.1, Issue 2, (2009), 23-35, MR2578108. 2. F. Marevci and M.
Lohaj,
Some Properties of Operator Classes
( M , k ), ( M , k )∗ , ( A, k ) and ( A, k ) ∗ , International Journal of Mathematical Analysis, Vol. 6, 2012, No. 32, 1583 – 1596. 3. F. Marevci and M. Lohaj, Some Properties of Operator Classes ( M , k ) ∗ , A∗ [k ] and k −* Paranormal Operator, International Mathematical Forum, Vol. 7, 2012, No. 45, 2239 – 2252.
89
4. F. Marevci, Notes on Operator Classes ( A, k ) N
and ( A, k ) *N ,
International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, No. 3, 105 –112. Prej vitit 1995 e deri ne vitin 2003 ka punuar profesor i matematikës në Shkollën e mesme “ Ulpiana ” në Lipjan. Në vitin 2003 është zgjedhur asistent i ri për grup lëndësh nga Matematika në Universitetit e Prishtinës, përkatësisht në Fakultetin e Edukimit dhe tani është asistent i rregullt në Fakultetin e Edukimit dhe asistent i angazhuar në FSHMN. Aktualisht mban ushtrimet e lëndëve vijuese: 1. Logjika matematike me teori të bashkësive, në Fakultetin e Edukimit, Prog. Matematikë.-Informatikë. 2. Matematika I dhe II, në Fakultetin e Edukimit, Programi Fizikë-Kimi. 3. Analiza matematike II, në Fakultetin e Edukimit, Programi Matematikë-Informatikë. 4. Probabiliteti dhe statistika , në Fakultetin e Edukimit, Programi MatematikëInformatikë. 5. Gjeometria deskriptive, në Fakultetin e Edukimit, Programi Matematikë-Informatikë. 6. Kombinatorika, në Fakultetin e Edukimit, Programi Matematikë-Informatikë. 7. Analiza matematike III, në Fakultetin e Edukimit, Programi Matematikë-Informatikë. 9. Funksionet me shumë ndryshore, në FSHMN, Departamenti i Matematikës. 10. Integralet e shumëfishta, në FSHMN, Departamenti i Matematikës. 11. Matematika fizike I dhe II, në FSHMN, Departamenti i Fizikës. 12. Metodat matematike në fizikë I dhe II, në FSHMN, Departamenti i Fizikës. 13. Analiza funksionale , Studimet Master, në FSHMN, Departamenti i Matematikës.
![,' ,]i,,'](https://p.pdfkul.com/img/300x300/-i_5a117fb61723ddf794d0b5d8.jpg)
![,' ,]i,,'](https://p.pdfkul.com/img/300x300/-i_5a28dee31723dd525be77cae.jpg)
