Disertacion i DoktoratÃ«s - Menderes Gashi.pdf

Viewer
Transcript

¨ UNIVERSITETI I PRISHTINES FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE

Menderes Gashi

¨ RASTEVE TE ¨ VEC ¨ STUDIME TE ¸ ANTA TE ¨ RENDIT 49 BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE TE ¨ (PUNIM I DOKTORATES)

¨ 2012 PRISHTINE,

UNIVERSITY OF PRISHTINA FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES

Menderes Gashi

A STUDY OF PARTICULAR CASES OF SYMMETRIC DESIGNS OF THE ORDER 49 (DOCTORAL THESIS)

¨ 2012 PRISHTINE,

¨ UNIVERSITETI I PRISHTINES FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE

¨ RASTEVE TE ¨ VEC ¨ STUDIME TE ¸ ANTA TE ¨ RENDIT 49 BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE TE (Punim i doktorat¨es)

Kandidati: mr. sci. Menderes Gashi

Mentori: dr. sci. Rexhep Gjergji, prof. ordinar

¨ 2012 PRISHTINE,

Ky disertacion i ¨esht¨e dor¨ezuar p¨er vler¨esim Fakultetit t¨e Shkencave Matematike-Natyrore t¨e Universitetit t¨e Prishtin¨es p¨er marrjen e titullit shkencor doktor i shkencave matematike.

P¨ ermbajtja Hyrje I. DISA KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE 1.1. Strukturat e incidenc¨es

1

5 5

1.2. Bashk¨esit¨e e parametrave t¨e bllok skemave simetrike

11

1.3. Rrafshet projektive

13

1.4. Bllok skemat e Hadamardit

17

1.5. Relacionet aritmetike dhe 2-bllok skemat simetrike

20

1.6. Zb¨erthimi taktik

22

1.7. Veprimi i grupit n¨e bashk¨esi

23

1.8. Automorﬁzmet e bllok skemave

25

¨ II. NDERTIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE 2.1. Veprimi i kolineacionit n¨e bllok skem¨en simetrike

28 28

2.2. Bashk¨esia e diferencave t¨e Hamming-ut dhe bashk¨esia e diferencave t¨e prodhimit t¨e loj¨es

32

2.3. Format kanonike dhe kuptimi i izomorﬁzmit t¨e bllok skemave simetrike

35

2.4. Algoritmi i nd¨ertimit dhe klasiﬁkimit t¨e bllok skemave simetrike me an¨e t¨e automorﬁzmeve 2.5. Bllok skemat simetrike me rendin n ≤ 25

38 40

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

44

3.1. Problemet e hapura n¨e lidhje me bllok skemat simetrike t¨e rendit 49

44

3.2. Bllok skemat simetrike me parametra (690, 53, 4) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e grupit t¨e Frobeniusit F53·4 t¨e rendit 212

46

3.3. Bllok skemat simetrike me parametra (496, 55, 6) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e grupit G = ⟨ρ, τ |ρ55 = τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩ t¨e rendit 440

50

3.4. Bllok skemat simetrike me parametra (441, 56, 7) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e koloneacionit t¨e rendit 55

55

3.5. Bllok skemat simetrike me parametra (400, 57, 8) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e kolineacionit ρ t¨e rendit 57

73

3.6. Bllok skemat simetrike me parametra (306, 61, 12) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e kolineacionit ρ t¨e rendit 61

83

3.7. Bllok skemat simetrike me parametra (280, 63, 14) me ndihm¨en e grupit t¨e Frobeniusit F31·3 t¨e rendit 93 3.8.

88

Bllok skemat simetrike me parametra (261, 65, 16) t¨e rendit 49 me ndihmen e kolineacionit ρ t¨e rendit 65

95

3.9. Bllok skemat simetrike me parametra (231,70,21) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e kolineacionit t¨e rendit 23

99

3.10 Bllok skemat simetrike me parametra (220, 73, 24) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e grupit t¨e Frobeniusit F73·3 t¨e rendit 219

118

3.11 Bllok skemat simetrike me parametra (210, 77, 28) t¨e rendit 49 me ndihm¨en e grupit t¨e frobeniusit F19·3 t¨e rendit 57

121

3.12 Bllok skemat simetrike me parametra (196, 91, 42) t¨e rendit 49 me an¨e t¨e grupit t¨e kolineacioneve t¨e rendit 28

132

3.13 Bllok skemat simetrike me parametra (195, 97, 48) t¨e rendit 49 me an¨e t¨e grupit t¨e kolineacioneve t¨e rendit 4956

150

Rezyme

156

Summary

158

Literatura

160

Biografia

165

Shtojca

166

Hyrje Teoria e bllok skemave ka nj¨e bashk¨eveprim gjith¨ep¨erfshir¨es me shum¨e fusha t¨e matematik¨es dhe ndikimi i saj n¨e zhvillimin e shkenc¨es n¨e p¨ergjith¨esi ¨esht¨e gjithnj¨e e m¨e i madh. Sot ajo ka lidhje shum¨e t¨e fuqishme me teorin¨e e grupeve, teorin¨e e grafeve, teorin¨e e numrave dhe fushat e fundme, teorin¨e e kodimit, gjeometrin¨e e fundme, dhe algjebr¨en lineare. Kjo lidhje ¨esht¨e e dyanshme. Teoria e bllok skemave gjen zbatim n¨e disiplina t¨e tjera si n¨e statistik¨e, nd¨ertimin e kompjuterit, kriptograﬁ, n¨e kodime dhe dekodime t¨e porosive me anijet kozmike, n¨ep¨er centrale telefonike etj. Studimi i teoris¨e s¨e bllok skemave, e n¨e ve¸canti t¨e bllok skemave simetrike ka ﬁlluar qysh n¨e shekullin 19, e posa¸c¨erisht rezultate konkrete jan¨e paraqitur n¨e gjysm¨en e par¨e t¨e shekullit 20, me punimet e R.A.Fisher dhe F.Yates n¨e vitet 1930-t¨e. Prej asaj kohe e deri m¨e tash kjo problematik¨e ¨esht¨e b¨er¨e gjithnj¨e e m¨e aktuale dhe sidomos n¨e tri dekadat e fundit ka pasur rezultate t¨e jasht¨e zakonshme. Arritjes s¨e k¨etyre rezultateve i ka kontribuar edhe zhvillimi i teknologjis¨e s¨e kompjuter¨eve. N¨e studimin e bllok skemave simetrike me parametra t¨e dh¨en¨e, problemet kryesore konsiderohen: Ekzistenca, nd¨ertimi dhe klasiﬁkimi i tyre. Ekzistojn¨e shum¨e probleme t¨e hapura n¨e lidhje me bllok skemat simetrike me parametra t¨e caktuar. Ekziston num¨er i madh parametrash t¨e bllok skemave simetrike p¨er t¨e cilat pothuaj se nuk dihet asgj¨e. Rezultate t¨e konsiderueshme p¨er bllok skemat simetrike t¨e rendit katror jan¨e arritur deri te rendi katror 36. P¨er bllok skemat simetrike t¨e rendit katror 49, rezultatet jan¨e t¨e pakta. Struktura e punimit t¨e doktorat¨es ¨esht¨e si vijon: N¨e kapitullin e par¨e, ¨esht¨e dh¨en¨e nj¨e p¨ermbledhje konceptesh dhe pohimesh t¨e cilat nevojiten p¨er t¨e kuptuar pjes¨en tjet¨er t¨e punimit. Shum¨e nga teoremat jan¨e 1

Hyrje

2

dh¨en¨e pa v¨ertetime. K¨etu jepen konceptet baz¨e p¨er strukturat e incidenc¨es, p¨er bllok skemat n¨e p¨ergjith¨esi dhe p¨er bllok skemat simetrike n¨e ve¸canti. N¨e pik¨en 1.1 ¨esht¨e p¨erkuﬁzuar struktura e incidenc¨es si nj¨e dyshe bashk¨esish jo t¨e zbraz¨eta dhe disjunkte me nj¨e relacion incidence nd¨ermjet tyre. Nj¨era nga bashk¨esit¨e quhet bashk¨esi pikash, nd¨ersa tjetra quhet bashk¨esi blloqesh. N¨ese bashkesia e blloqeve ka b elemente, nd¨ersa bashk¨esia e pikave ka v elemente, at¨eher¨e p¨erkuﬁzohet matrica e incidenc¨es A = (aij e tipit v × b ku aij = 1 n¨ese pika pi i takon bllokut Xj dhe aij = 0 n¨e rastin tjet¨er. Izomorﬁzmi nd¨ermjet dy strukturave t¨e incidenc¨es jepet me bijeksionin nd¨ermjet tyre q¨e e ruan incidenc¨en. N¨ese p¨er struktur¨en S me v pika, ekzistojn¨e numrat e plot¨e λ, t, t¨e till¨e q¨e 0 < λ dhe 0 ≤ t ≤ v me vetin¨e q¨e ¸cdo n¨enbashk¨esi me t pika e S ¨esht¨e incidente me pik¨erisht λ blloqe (t¨e p¨erbashk¨et), at¨eher¨e themi q¨e S ¨esht¨e t– struktur¨e p¨er λ. t–struktura uniforme me madh¨esi blloku k quhet t−(v, k, λ) struktur¨e. t − (v, k, λ) struktura pa blloqe q¨e p¨ers¨eriten quhet t–bllok skem¨e. Numrat e plot¨e t, v, b, k, λ, r, n quhen parametra t¨e bllok skem¨es S. Parametrat e till¨e nuk jan¨e t¨e pavarur nd¨ermjet veti. Bllok skema p¨er t¨e cil¨en b = v quhet simetrike. Kusht t¨e nevojsh¨em p¨er ekzistenc¨en e bllok skemave simetrike, n¨e var¨esi nga parametrat jep teorema e Bruck-Ryser-Chowla (Teorema 1.2.5). Kushti i teorem¨es s¨e p¨ermendur nuk ¨esht¨e mjaftuesh¨em. Megjithat¨e, n¨ese parametrat e bllok skem¨es e plot¨esojn¨e kushtin e p¨ermendur nuk ¨esht¨e e sigurt ekzistenca e bllok skemave me k¨eta parametra. N¨e pik¨en 1.5. tregohet q¨e numri i pikave t¨e bllok skemave simetrike t¨e t¨e nj¨ejtit rend, ¨esht¨e nd¨ermjet numrit t¨e pikave t¨e rrafshit projektiv dhe numrit t¨e pikave t¨e bllok skem¨es s¨e Hadamardit t¨e t¨e t¨e nj¨ejtit rend. N¨e pik¨en 1.6. jepet zb¨erthimi taktik i bllok skem¨es, si kuptim i r¨end¨esish¨em dhe si baz¨e e mir¨e p¨er nd¨ertimin e bllok skemave simetrike. N¨e pik¨en 1.8. tregohet se me veprimin e grupit t¨e automorﬁzmeve t¨e bllok skem¨es ﬁtohet nj¨e zb¨erthim taktik dhe Teorema 1.8.8 tregon se p¨er nj¨e automorﬁz¨em t¨e bllok skem¨es simetrike, numri i pikave ﬁkse ¨esht¨e i barabart¨e me numrin e blloqeve ﬁkse. Rrjedhimi 1.8.9. tregon se automorﬁzmi i bllok skem¨es simetrike ka struktur¨e t¨e nj¨ejt¨e ciklike, kur konsiderohet si permutacion n¨e pika dhe n¨e blloqe. N¨e kapitullin e dyt¨e paraqitet metodologjia e pun¨es n¨e nd¨ertimin e bllok skemave simetrike. Kjo metodologji kryesisht bazohet n¨e zbatimin e veprimit t¨e grupit n¨e bllok skema simetrike s¨e bashku me k¨erkime t¨e gjera kompjuterike. P¨erkuﬁzohet gjat¨esia e Hamming-ut p¨er bllokun jo ﬁks B, prodhimi i loj¨es p¨er dy blloqe jo ﬁkse nga orbita

Hyrje

3

t¨e ndryshme dhe paraqitja orbitore e bllokut. N¨e pik¨en 2.2. jepet kriteri q¨e dy blloqe t¨e ndryshme t¨e nj¨e ⟨α⟩–orbite t¨e ken¨e λ pika t¨e p¨erbashk¨eta, ku α ¨esht¨e automorﬁzmi i bllok skem¨es simetrike, si dhe kriteri q¨e dy blloqe t¨e orbitave t¨e ndryshme t¨e ken¨e λ pika t¨e p¨erbashk¨eta. Kapitulli 3, paraqet pjes¨en kryesore t¨e punimit n¨e t¨e cil¨en metoda e pun¨es ¨esht¨e zbatuar n¨e raste t¨e ve¸canta t¨e bllok skemave simetrike t¨e rendit 49. Duke zbatuar metodologjin¨e e zb¨erthimit taktik, jan¨e k¨erkuar bllok skemat simetrike p¨er bashk¨esi parametrash p¨er t¨e cilat nuk ka qen¨e e njohur ekzistenca e tyre. N¨e pik¨en 3.1 jan¨e dh¨en¨e problemet e hapura n¨e lidhje me bllok skemat simetrtike t¨e rendit 49. N¨e pik¨en 3.2. ¨esht¨e v¨ertetuar se nuk ekziston bllok skema simetrike me parametrat (690, 53, 4) n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit F53·4 i rendit 212. N¨e pik¨en 3.3. ¨esht¨e v¨ertetuar se gjat¨e veprimit t¨e grupit G = ⟨ρ, τ |ρ55 = 1, τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩ t¨e rendit 440, n¨e bllok skem¨en ¨ e gjesimetrike me parametra (496, 55, 6) ekziston vet¨em nj¨e struktur¨e orbitore. Esht¨ tur grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture orbitore. Problemi i indeksimit t¨e struktur¨es orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.4. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e 86 struktura orbitore, p¨er bllok skemat simetrike me parametra (441, 56, 7) t¨e nd¨ertuara me grupin ciklik G t¨e rendit 55. Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre strukturave orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.5. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e pik¨erisht pes¨emb¨edhjet¨e struktura orbitore, p¨er bllok skemat simetrike me parametra (400, 57, 8), t¨e nd¨ertuara me ndihm¨en e grupit ciklik t¨e rendit 57. Jan¨e gjetur grupet e plota t¨e automorﬁzmeve t¨e k¨etyre strukturave orbitore. Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre strukturave orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.6. ¨esht¨e v¨ertetuar se gjat¨e veprimit t¨e grupit t¨e rendit 61, n¨e bllok skem¨en simetrike me parametra (306, 61, 12), ekzistojn¨e pik¨erisht dy struktura ¨ e gjetur grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨etyre strukturave orbitore. orbitore. Esht¨ Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre strukturave mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.7. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e pik¨erisht tri struktura orbitore, p¨er bllok skemat simetrike me parametra (280, 63, 14), t¨e nd¨ertuara me ndihm¨en e grupit t¨e frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ31 = µ3 = 1, ρµ = ρ5 ⟩, t¨e rendit 93. Jan¨e gjetur grupet ei plota t¨e automorﬁzmeve t¨e k¨etyre strukturave orbitore. Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre tri strukturave orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.8. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e pik¨erisht dy struktura orbitore, p¨er

Hyrje

4

bllok skem¨en simetrike me parametra (261, 65, 16), t¨e nd¨ertuara me ndihm¨en e grupit ¨ e gjetur grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨etyre strukturave ciklik t¨e rendit 65. Esht¨ orbitore. Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre strukturave orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.9. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e s¨e paku 86 struktura orbitore p¨er bllok skem¨en simetrike me parametra (231, 70, 21), me ndihm¨en e grupit G = ⟨ρ|ρ23 = 1⟩ t¨e rendit 23. N¨e pik¨en 3.10. ¨esht¨e v¨ertetuar se deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekziston pik¨erisht nj¨e struktur¨e orbitore, p¨er bllok skem¨en simetrike me parametra (220, 73, 24), t¨e nd¨ertuar me ndihm¨en e grupit t¨e frobeniusit ¨ e gjetur grupi i plot¨e i autoG⟨ρ, µ|ρ73 = µ3 = 1, ρµ = ρ8 ⟩, t¨e rendit 219. Esht¨ morﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture orbitore. Problemi i indeksimit t¨e struktur¨es orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.11. ¨esht¨e v¨ertetuar se ekzistojn¨e pik¨erisht gjasht¨e struktura orbitore t¨e ndryshme deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet p¨er bllok skem¨en simetrike me parametrat (210, 77, 28) n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit F19·3 i rendit 57. N¨e pik¨en 3.12. ¨esht¨e v¨ertetuar se gjat¨e veprimit t¨e grupit G = ⟨ρ|ρ28 = 1⟩, t¨e rendit 28, n¨e bllok skem¨en simetrike me parametra (196, 91, 42), ekzistojn¨e pik¨erisht 86 struktura orbitore t¨e ndryshme deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet. Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre strukturave orbitore mbetet i hapur. N¨e pik¨en 3.13. ¨esht¨e v¨ertetuar se ekziston sakt¨esisht nj¨e bllok skem¨e simetrike me parametrat (195, 97, 48), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit i rendit 4656. Bllok skema e nd¨ertuar b¨en pjes¨e n¨e serin¨e e bllok skemave t¨e Hadamardit dhe n¨e punim ¨esht¨e paraqitur p¨ermes blloqeve orbitore. N¨e fund, ndjej obligim dhe k¨enaq¨esi t¨e ve¸cant¨e t¨e falenderoj mentorin Prof. dr. Rexhep Gjergjin, p¨er propozimin e problematik¨es, si dhe p¨er ndihm¨en e pakursyer gjat¨e t¨er¨e koh¨es s¨e p¨ergatitjes s¨e punimit. Po ashtu falenderoj Prof. dr. Dervish Kamberin, Prof. dr. Q¨endrim Gashin dhe Prof. dr. Bujar Shit¨en p¨er leximin e kujdessh¨em t¨e punimit dhe p¨er v¨erejtjet dhe sugjerimet e vlefshme t¨e cilat duksh¨em kan¨e ndikuar n¨e cil¨esin¨e dhe vler¨en e punimit. Posa¸c¨erisht, dua t¨e falenderoj Prof. dr. Bujar Shit¨en, p¨er leximin e kujdessh¨em dhe kontrollimin e programeve kompjuterike, p¨er v¨erejtjet dhe sugjerimet e vlefshme, t¨e cilat kan¨e ndikuar n¨e ngritjen e cil¨esis¨e s¨e punimit. Autori

I. DISA KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

1.1. Strukturat e incidenc¨ es Le t¨e jen¨e dh¨en¨e dy bashk¨esi jo t¨e zbraz¨eta P dhe B t¨e tilla q¨e P ∩ B = ∅ dhe relacioni nd¨ermjet tyre I ⊆ P × B. P¨ erkufizimi 1.1.1. Treshen e renditur S = (P, B, I) e quajm¨e struktur¨e t¨e incidenc¨es. Elementet e bashk¨esis¨e P i quajm¨e pika dhe do t’i sh¨enojm¨e me shkronja t¨e vogla, nd¨ersa elementet e bashk¨esis¨e B i quajm¨e blloqe dhe do t’i sh¨enojm¨e me shkronja t¨e m¨edha t¨e alfabetit latin. N¨ese (p, Y ) ∈ I do t¨e themi se pika p ¨esht¨e incidente me bllokun Y , dhe sh¨enohet edhe me pIY . P¨er nj¨e pik¨e p, dhe nj¨e bllok Y t¨e struktur¨es S, me ⟨p⟩, dhe ⟨Y ⟩ do t¨e sh¨enojm¨e, p¨erkat¨esisht, bashk¨esin¨e e blloqeve incidente me pik¨en p, dhe bashk¨esin¨e e pikave incidente me bllokun Y . Ndryshe ⟨p⟩ quhet p¨erb¨erje e pik¨es, kurse ⟨Y ⟩ p¨erb¨erje e bllokut. Numrat kardinal¨e p¨erkat¨es t¨e k¨etyre bashk¨esive i sh¨enojm¨e me |p| := |⟨p⟩| dhe |Y | := |⟨Y ⟩|. P¨ erkufizimi 1.1.2. Struktura e incidenc¨es quhet e fundme n¨ese P dhe B jan¨e bashk¨esi t¨e fundme. Numrin e pikave dhe t¨e blloqeve t¨e struktur¨es S = (P, B, I) e sh¨enojm¨e me v = |P| dhe b = |B|. 5

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

6

N¨ese dy blloqe kan¨e p¨erb¨erje t¨e nj¨ejt¨e t¨e pikave, at¨eher¨e ata quhen blloqe p¨ers¨erit¨es. P¨er t’i larguar blloqet p¨ers¨erit¨es, p¨erkuﬁzojm¨e relacionin e ekuivalenc¨es R n¨e bashk¨esin¨e e blloqeve B me: XRY ⇔ ⟨X⟩ = ⟨Y ⟩. Klas¨et e ekuivalenc¨es t¨e bashk¨esis¨e s¨e blloqeve B n¨e lidhje me R jan¨e CX = {Y ∈ B|Y RX}, X ∈ B. Shum¨eﬁshiteti i bllokut X ¨esht¨e pik¨erisht madh¨esia e R–klas¨es s¨e ekuivalenc¨es s¨e X dhe n¨ese X e ka shum¨eﬁshitetin m¨e t¨e madh se 1, at¨eher¨e themi se X ¨esht¨e bllok i p¨ers¨eritsh¨em. K¨eshtu p¨erkuﬁzojm¨e nj¨e struktur¨e t¨e re t¨e quajtur struktura e redukuar e S dhe e sh¨enojm¨e me S/R, pikat e s¨e cil¨es jan¨e pikat e S, nd¨ersa blloqet jan¨e R–klas¨et e ekuivalenc¨es s¨e blloqeve t¨e S, ashtu q¨e p ∈ CX ⇔ p ∈ X n¨e S. N¨ese nj¨e element i struktur¨es S ¨esht¨e incident vet¨em me nj¨e ose me asnj¨e element tjet¨er t¨e S, at¨eher¨e ai quhet element i izoluar. N¨e an¨en tjet¨er, element i plot¨e quhet elementi i cili ¨esht¨e incident me secilin element tjet¨er t¨e mundsh¨em (d.m.th. pika me blloqe ose blloku me pika). Duke i larguar t¨e gjith¨e elementet e izoluar, pastaj t¨e gjith¨e elementet e plot¨e ﬁtojm¨e struktur¨en e re t¨e quajtur struktur¨e e standardizuar. N¨e fund, struktura ¨esht¨e plot¨esisht e redukuar, n¨ese ¨esht¨e e standardizuar dhe e redukuar. Supozojm¨e q¨e S ¨esht¨e struktur¨e me v-pika, b-blloqe, ku v > 0 dhe b > 0, dhe q¨e pikat e S jan¨e t¨e sh¨enuara me p1 , p2 , · · · , pv , nd¨ersa blloqet e S jan¨e X1 , X2 , · · · , Xb , at¨eher¨e matric¨e e incidenc¨es A = (aij ) p¨er struktur¨en S ¨esht¨e matrica e tipit v × b, ku aij = 1 n¨ese pi ∈ Xj dhe aij = 0 n¨e rastin tjet¨er. V¨erejm¨e q¨e matrica A nuk ¨esht¨e e p¨ercaktuar n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme, meq¨e ajo varet nga sh¨enimi (renditja) i pikave dhe blloqeve t¨e S. Le t¨e jen¨e S dhe T dy t¨e struktura t¨e incidenc¨es. Strukturat S dhe T quhen izomorfe n¨ese ekziston bijeksioni α nga bashk¨esia e pikave t¨e S n¨e bashk¨esin¨e e pikave t¨e T dhe nga bashk¨esia e blloqeve t¨e S n¨e bashk¨esin¨e e blloqeve t¨e T ashtu q¨e pIX ⇔ pα IX α dhe sh¨enojm¨e S ∼ = T . Izomorﬁzmi nga S n¨e S quhet automorﬁz¨em apo kolineacion.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

7

Struktura S quhet uniforme n¨ese secili bllok i saj p¨ermban pik¨erisht k pika, p¨er ndonj¨e k > 0. Uniformiteti i struktur¨es mund t¨e shihet leht¨e nga matrica e incidenc¨es. Struktura S quhet regulare n¨ese secila pik¨e e saj ¨esht¨e incidente me pik¨erisht r blloqe, p¨er ndonj¨e r > 0. Vlen: S ¨esht¨e uniforme ⇔ ∃k > 0 i till¨e q¨e Jm,v A = kJm,b , S ¨esht¨e regulare ⇔ ∃r > 0 i till¨e q¨e AJb,m = rJv,m , ku Jm,n ¨esht¨e matric¨e e tipit m × n me t¨e gjith¨e elementet 1, kurse A ¨esht¨e matric¨e e incidenc¨es p¨er struktur¨en S. Le t¨e jet¨e S struktur¨e me v pika. N¨ese ekzistojn¨e numrat e plot¨e λ, t, t¨e till¨e q¨e 0 < λ dhe 0 ≤ t ≤ v me vetin¨e q¨e ¸cdo n¨enbashk¨esi me t pika e S ¨esht¨e incidente me pik¨erisht λ blloqe (t¨e p¨erbashk¨et), at¨eher¨e themi q¨e S ¨esht¨e t–struktur¨e p¨er λ ose thjesht t–struktur¨e. t–struktura uniforme me madh¨esi blloku k quhet t−(v, k, λ) struktur¨e (uniforme) ose t–struktur¨e p¨er (v, k, λ). t–strukturat uniforme kan¨e vetin¨e q¨e ato jan¨e poashtu edhe s–struktura p¨er ¸cdo s t¨e till¨e q¨e 0 ≤ s ≤ t. Bllok skem¨e quhet struktura uniforme e redukuar. t–bllok skem¨e ¨esht¨e t–struktura e cila ¨esht¨e edhe bllok skem¨e. Teorema 1.1.1. ([29],6). N¨ese S ¨esht¨e t − (v, k, λ) struktur¨e, at¨eher¨e p¨er ¸cdo num¨er t¨e plot¨e s, 0 ≤ s ≤ t, ekzistojn¨e pik¨erisht λs , λs = λ ·

(v − s)(v − s − 1) · · · (v − t + 1) , (k − s)(k − s − 1) · · · (k − t + 1)

blloqe t¨e S t¨e cil¨et jan¨e incidente me ¸cdo s-bashk¨esi t¨e dh¨en¨e t¨e pikave t¨e S. V¨ ertetimi: Le t¨e jet¨e Ps cilado n¨enbashk¨esi e ﬁksuar s pikash n¨e S dhe m numri i blloqeve t¨e S t¨e cil¨et e p¨ermbajn¨e Ps -¨en. Teorem¨en do ta v¨ertetojm¨e duke e llogaritur m dhe duke treguar q¨e m varet vet¨em nga s dhe nuk varet nga zgjedhja e bashk¨esis¨e Ps . P¨er t¨e llogaritur m, p¨erkuﬁzojm¨e dyshet (Pt , Y ), ku Pt ¨esht¨e bashk¨esi

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

8

prej t-pikash q¨e e p¨ermban Ps dhe Y ¨esht¨e bllok q¨e e p¨ermban Pt , dhe pastaj llogarisim numrin e dysheve n¨e dy m¨enyra t¨e ndryshme. Secili nga m blloqet q¨e e p¨ermbajn¨e Ps -n¨e, p¨ermban

(

k−s t−s

p¨ermbajn¨e Ps -n¨e, k¨eshtu q¨e numri i dysheve (Pt , Y ) ¨esht¨e m · ekzistojn¨e

(

)

v−s t−s

)

(

t-bashk¨esi t¨e cilat e

k−s t−s

)

. N¨e an¨en tjet¨er,

m¨enyra p¨er t¨e zgjedhur bashk¨esit¨e Pt prej t pikave t¨e cilat e p¨ermbajn¨e

Ps , dhe ¸cdo nj¨era prej tyre ¨esht¨e pik¨erisht n¨e λ blloqe. K¨eshtu numri i dysheve (Pt , Y ) ¨esht¨e poashtu λ ·

(

v−s t−s

)

. Duke i barazuar k¨eto dy vlera p¨er numrin e dysheve (Pt , Y ),

shohim q¨e m=λ·

(v − s) · · · (v − t + 1) (= λs ) . (k − s) · · · (k − t + 1)

Rrjedhimi 1.1.2. ([29],6). N¨ese S ¨esht¨e t-struktur¨e p¨er (v, k, λ), t > 0 dhe s num¨er i plot¨e i till¨e q¨e 0 < s < t, at¨eher¨e S ¨esht¨e s-struktur¨e p¨er (v, k, λ), dhe n¨e ve¸canti, S ¨esht¨e regulare. Rrjedhim i drejt¨ep¨erdrejt¨e i Teorem¨es 1.1.1 ¨esht¨e joekzistenca e t-struktur¨es uniforme p¨er shum¨e zgjedhje t¨e v, k, λ. (sepse secili nga numr¨e λs (0 ≤ s ≤ t), ku λt = λ duhet t¨e jet¨e num¨er i plot¨e .) P¨er t − (v, k, λ) struktur¨en S me b blloqe, numri i blloqeve n¨ep¨er nj¨e pik¨e ¨esht¨e konstant. K¨et¨e num¨er e sh¨enojm¨e me r dhe e quajm¨e replikacion t¨e struktur¨es. N¨ese t ≥ 2, at¨eher¨e numrin e plot¨e n = r − λ2 e quajm¨e rend t¨e struktur¨es S. (V¨erejm¨e q¨e b = λ0 , r = λ1 dhe λ = λt .) Numrat e plot¨e t, v, b, k, λ, r, n quhen parametra t¨e S. Parametrat e till¨e nuk jan¨e t¨e pavarur dhe relacionet m¨e t¨e r¨end¨esishme nd¨ermjet tyre i jep Rrjedhimi 1.1.3. ([29],7). N¨ese S ¨esht¨e t-struktur¨e p¨er (v, k, λ) at¨eher¨e: (a) b = λ ·

v·(v−1)···(v−t+1) ; k·(k−1)···(k−t+1)

(b) n¨ese t > 0, at¨eher¨e bk = vr; (c) n¨ese t > 1, at¨eher¨e r(k − 1) = λ2 (v − 1).

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

9

P¨ erkufizimi 1.1.3. Flamuj t¨e struktur¨es S i quajm¨e dyshet (p, X), p¨er pIX. 2-ﬂamuj n¨e struktur¨e quajm¨e treshet (p, q, X) t¨e tilla q¨e pIX, qIX. P¨ erkufizimi 1.1.4. Le t¨e jen¨e S1 dhe S2 dy struktura. Antiizomorﬁz¨em α prej S1 n¨e S2 quhet bijeksioni nga bashk¨esia e pikave t¨e S1 n¨e bashk¨esin¨e e blloqeve t¨e S2 dhe nga bashk¨esia e blloqeve t¨e S1 n¨e bashk¨esin¨e e pikave t¨e S2 ashtu q¨e pIX n¨e S1 ⇔

X α Ipα n¨e S2 . Antiautomorﬁzmi i struktur¨es n¨e vet¨evete quhet edhe korelacion. P¨ erkufizimi 1.1.5. Le t¨e jet¨e S = (P, B, I) struktur¨e. Struktur¨en S T =

(B, P, I ′ ) e quajm¨e struktur¨e duale t¨e S. K¨etu pikat dhe blloqet i nd¨errojn¨e rolet: p¨er ¸cdo pik¨e p ekziston blloku p′ i S T dhe p¨er ¸cdo bllok X t¨e S ekziston pika X ′ e S T , kurse incidenca n¨e S T ¨esht¨e dh¨en¨e me: (X ′ , p′ ) ∈ I ′ ⇔ (p, X) ∈ I. ¨ e e qart¨e q¨e (S T )T =S. Esht¨ Lema 1.1.4. ([29],22). N¨ese A ¨esht¨e matric¨e e incidenc¨es p¨er struktur¨en S, at¨eher¨e matrica e transponuar AT e A ¨esht¨e matric¨e e incidenc¨es p¨er S T . Rjedhimi 1.1.5. ([29],23). S ¨esht¨e regulare ⇔ S T ¨esht¨e uniforme. P¨ erkufizimi 1.1.6. Struktura S q¨e e ka vetin¨e S ∼ = S T quhet struktur¨e vet¨eduale. P¨ erkufizimi 1.1.7. Komplement t¨e struktur¨es S, q¨e sh¨enohet me C(S), quajm¨e struktur¨en, pikat e s¨e cil¨es jan¨e pikat e S dhe p¨er ¸cdo bllok X n¨e S, X ∗ ¨esht¨e bllok i C(S), ku < X ∗ >= {p ∈ P|pI\ X}. N¨ese A ¨esht¨e matric¨e e incidenc¨es p¨er S, ku S ka v pika dhe b blloqe, at¨eher¨e Jv,b − A, ¨esht¨e matric¨e e incidenc¨es p¨er C(S), ku Jv,b ishte matric¨e e tipit v × b me t¨e ¨ e e qart¨e q¨e C(C(S)) = S. gjith¨e elementet 1. Esht¨ Le t¨e jet¨e S struktur¨e me v pika. N¨ese ekziston numri i plot¨e λ > 0 me vetin¨e q¨e ¸cdo n¨enbashk¨esi me 2 pika e S ¨esht¨e incidente me pik¨erisht λ blloqe (t¨e p¨erbashk¨et), at¨eher¨e themi q¨e S ¨esht¨e 2−struktur¨e p¨er λ. 2−struktura uniforme me madh¨esi blloku k quhet struktur¨e (uniforme) ose 2−struktur¨e p¨er (v, k, λ). 2−bllok skem¨e ¨esht¨e 2−struktura e incidenc¨es e cila ¨esht¨e bllok skem¨e.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

10

Teorema 1.1.6. ([29],24). N¨ese S ¨esht¨e 2 − (v, k, λ) struktur¨e ku 2 ≤ k ≤ v − 2, at¨eher¨e C(S) ¨esht¨e 2 − (v, v − k, b − 2λ1 + λ) struktur¨e. ¨ e e qart¨e q¨e C(S) ka v pika dhe secili bllok i C(S) p¨ermban V¨ ertetimi. Esht¨ v − k pika. Le t¨e jen¨e p dhe q dy pika t¨e ndryshme t¨e C(S) dhe, poashtu, pika t¨e S. Nga Teorema 1.1.1 p ¨esht¨e incidente me λ1 = λ(v − 1)/(k − 1) blloqe t¨e S. Ngjash¨em q ¨esht¨e incidente me λ1 blloqe dhe p dhe q jan¨e incidente me λ blloqe t¨e p¨erbashk¨et. K¨eshtu, numri i blloqeve t¨e S t¨e cil¨et p¨ermbajn¨e s¨e paku nj¨er¨en nga pikat p ose q ¨esht¨e 2λ1 − λ. Por, secili bllok i S i cili nuk p¨ermban t¨e pakt¨en nj¨er¨en nga pikat p dhe q jep nj¨e bllok t¨e C(S) i cili p¨ermban t¨e dy pikat. K¨eshtu ekzistojn¨e b − 2λ1 + λ blloqe t¨e C(S) incidente me pik¨e p dhe q. Rrjedhimi 1.1.7. ([29],25) N¨ese S ¨esht¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e ku 2 ≤ k ≤ v − 2, at¨eher¨e C(S) ¨esht¨e 2 − (v, v − k, b − 2λ1 + λ) bllok skem¨e. Lema 1.1.8. ([29],25) N¨ese S ¨esht¨e 2-struktur¨e p¨er (v, k, λ), 2 ≤ k ≤ v, at¨eher¨e rendi i S ¨esht¨e i barabart¨e me rendin e C(S). Ngjash¨em sikurse b dhe v, edhe parametri i tret¨e n (rendi), ¨esht¨e i p¨erbashk¨et n¨e S dhe C(S). (Gjeometrikisht, n¨ese p dhe q jan¨e dy pika t¨e ndryshme, at¨eher¨e n ¨esht¨e numri i blloqeve t¨e cil¨et e p¨ermbajn¨e p, por jo edhe q.) Le t¨e jet¨e S struktur¨e dhe p le t¨e jet¨e nj¨e pik¨e e saj, nd¨ersa X nj¨e bllok i saj. P¨ erkufizimi 1.1.8. Struktur¨e e brendshme (ose tkurrje) t¨e S lidhur me p, q¨e e sh¨enojm¨e me Sp , quhet struktura, blloqet e t¨e cil¨es jan¨e t¨e gjith¨e blloqet e S t¨e cil¨et e p¨ermbajn¨e pik¨en p dhe pikat e t¨e cil¨es jan¨e t¨e gjitha pikat e S t¨e ndryshme nga pika p t¨e cilat shtrihen s¨e paku n¨e nj¨erin nga k¨eto blloqe. D.m.th. p¨er p ∈ P, Sp = ({q ∈ P|q ̸= p, qIX, p¨er ndonj¨e XIp}, (p), Iind ). Ngjash¨em, S X p¨erb¨ehet nga t¨e gjitha pikat jo incidente me X dhe prej bashk¨esis¨e s¨e t¨e gjitha blloqeve t¨e cilat jan¨e incidente me s¨e paku nj¨e pik¨e q¨e nuk ¨esht¨e n¨e X. D.m.th. p¨er X ∈ B, S X = (P \ ⟨X⟩, {Y ∈ B|Y Ip, p¨er ndonj¨e pI\ X}, Iind ). Strukturat SX , X ∈ B dhe S p , p ∈ P, p¨erkuﬁzohen si struktura duale, p¨erkat¨esisht, me Sp dhe S X .

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

11

Teorema 1.1.9. ([29],27). Le t¨e jet¨e S struktur¨e dhe le t¨e jet¨e p pik¨e e S. N¨ese S ¨esht¨e t − (v, k, λ) bllok skem¨e, t ≥ 2, at¨eher¨e Sp ¨esht¨e (t − 1) − (v − 1, k − 1, λ) bllok skem¨e. Tkurrja ose struktura e brendshme Sp ¨esht¨e e r¨end¨esishme,dhe poashtu quhet ngushtim i struktur¨es S n¨e pik¨en p. P¨ermes kuptimit t¨e tkurrjes, p¨erkuﬁzojm¨e zgjerimin e bllok skem¨es. P¨ erkufizimi 1.1.9. N¨ese T ¨esht¨e t-bllokskem¨e dhe n¨ese S ¨esht¨e (t − 1)-bllok skem¨e e till¨e q¨e S ∼ = Tq p¨er ndonj¨e pik¨e q t¨e T , at¨eher¨e T ¨esht¨e zgjerim i S. (V¨erejm¨e q¨e p¨er dy pika p, q t¨e struktur¨es s¨e incidenc¨es S nuk ¨esht¨e e th¨en¨e q¨e t¨e vlej¨e Sp ∼ = Sq .). Kriteri p¨er jo ekzistenc¨en e zgjerimit t¨e bllok skem¨es merret nga Teorema 1.1.10. ([29],28). Le t¨e jet¨e dh¨en¨e t − (v, k, λ) bllok skema S me bb(v + 1) blloqe. N¨ese T ¨esht¨e zgjerim i S at¨eher¨e T ¨esht¨e (t + 1) − (v + 1, k + 1, λ) me k+1 blloqe. Rrjedhimi 1.1.11.([29],29). Kusht i nevojsh¨em q¨e t − (v, k, λ) bllok skema t¨e ket¨e zgjerim ¨esht¨e (k + 1)|b(v + 1). Nga sa u tha m¨e lart¨e shihet se p¨er nj¨e struktur¨e t¨e incidenc¨e ekzistojn¨e struktura duale, komplementi i struktur¨es, ngushtimi i struktur¨es lidhur me nj¨e pik¨e apo me nj¨e bllok dhe strukturat duale n¨e lidhje me at¨e ngushtim, t¨e cilat me nj¨e em¨er i quajm¨e struktura shoq¨eruese t¨e struktur¨es s¨e incidenc¨es.

1.2. Bashk¨ esit¨ e e parametrave t¨ e bllok skemave simetrike Nga Rrjedhimi 1.1.3. p¨er parametrat e nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skeme plot¨esohen barazimet: (1) vr = bk, dhe (2) r(k − 1) = λ(v − 1).

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

12

Bashk¨esit¨e e parametrave q¨e plot¨esojn¨e (1) dhe (2) quhen bashk¨esi t¨e mundshme (p¨er t¨e cilat mund t¨e ekzistoj¨e bllok skema me parametrat p¨erkat¨es). Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e. Le t¨e jen¨e p1 , · · · , pv pikat e D dhe X1 , X2 , · · · , Xb blloqet e D; nd¨ersa A matric¨e e incidenc¨es e bllok skem¨es D. Vlen: Teorema 1.2.1. ([4],42). (a) AAT = (r −λ)I +λJ ku I ¨esht¨e matric¨e nj¨esi e tipit v ×v, nd¨ersa J ¨esht¨e matric¨e e tipit v × v, secili element i t¨e cil¨es ¨esht¨e 1. (b) det(AAT ) = (r − λ)v−1 · r · k. Teorema 1.2.3. ([4],43) (Jobarazimi i Fisherit). N¨ese D ¨esht¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e, v > k, at¨eher¨e b ≥ v. P¨ erkufizimi 1.2.1. t − (v, k, λ) bllok skema quhet simetrike, n¨ese b = v. Teorema 1.2.4. ([4],44). Le t¨e jet¨e D nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e, kurse A matrica e incidenc¨es e saj. Pohimet q¨e vijojn¨e jan¨e ekuivalente: 1) b = v d.m.th. D ¨esht¨e simetrike; 2) r = k; 3) AAT = (k − λ)I + λJ; 4) AT A = (k − λ)I + λJ; 5) ¸cdo dy blloqe t¨e ndryshme priten pik¨erisht n¨e λ pika; 6) ¸cdo dy blloqe t¨e ndryshme kan¨e num¨er konstant pikash t¨e p¨erbashk¨eta. Meq¨e te 2 − (v, k, λ) bllok skemat simetrike ¨esht¨e b = v dhe r = k, Rrjedhimi 1.1.3.(c) jep (v − 1)λ = k(k − 1)

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

13

ose v =1+

k(k − 1) . λ

Por, edhe n¨ese v, k, λ jan¨e numra t¨e plot¨e q¨e e plot¨esojn¨e k¨et¨e relacion, kjo nuk na siguron p¨er ekzistenc¨en e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike. Deri m¨e tash nuk ka ndonj¨e rezultat q¨e jep kushtin e mjaftuesh¨em p¨er ekzistenc¨en e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike. Kushtin e nevojsh¨em p¨er ekzistenc¨en e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike e jep: Teorema 1.2.5. (Teorema e Bruck–Ryser–Chowla)([29],56). N¨ese v, k, λ jan¨e numra t¨e plot¨e q¨e plot¨esojn¨e relacionin (v − 1)λ = k(k − 1), at¨eher¨e p¨er ekzistenc¨en e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike ¨esht¨e e nevojshme q¨e (a) n¨ese v ¨esht¨e num¨er ¸cift, at¨eher¨e k − λ ¨esht¨e katror; (b) n¨ese v ¨esht¨e num¨er tek, at¨eher¨e ekuacioni

z 2 = (k − λ)x2 + (−1)

v−1 2

λy 2

ka zgjidhje jotriviale x, y, z n¨e bashk¨esin¨e e numrave t¨e plot¨e. Numri k − λ quhet rend i bllok skem¨es simetrike. Rrjedhimi 1.2.6. ([29],57) N¨ese ekziston bllok skema simetrike me λ = 1 e rend n dhe n¨ese n ≡ 1 ose 2 (mod 4), at¨eher¨e n mund t¨e shprehet si shum¨e e katror¨eve t¨e dy numrave t¨e plot¨e.

1.3. Rrafshet projektive P¨ erkufizimi 1.3.1. Struktura e incidenc¨es D = (P, B, I) quhet rrafsh projektiv at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur plot¨esohen k¨eto kushte: (a) C ¸ do dy pika t¨e ndryshme jan¨e incidente me pik¨erisht nj¨e bllok. (b) ¸cdo dy blloqe t¨e ndryshme jan¨e incidente me pik¨erisht nj¨e pik¨e.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

14

(c) Ekziston kat¨erkulmshi, d.m.th. ekzistojn¨e kat¨er pika, ¸cdo tri prej t¨e cilave nuk i takojn¨e nj¨e blloku. Pohimi 1.3.1. ([6],7) Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) rrafsh i fund¨em projektiv. At¨eher¨e ekziston numri natyral n, q¨e quhet rend i D, q¨e plot¨eson kushtet: (a) |⟨p⟩| = |⟨B⟩| = n + 1, p¨er ¸cdo p ∈ P dhe B ∈ B; (b) |P| = |B| = n2 + n + 1. V¨ ertetimi. Le t¨e jet¨e p cilado pik¨e dhe B cilido bllok i bllok skem¨es D, ashtu q¨e pI\ B. Nga aksiomat (a) dhe (b) t¨e p¨erkuﬁzimit 1.3.1, pasqyrimi π : ⟨B⟩ → ⟨p⟩ i dh¨en¨e me q π = pq p¨er ¸cdo qIB ¨esht¨e bijeksion (k¨etu pq paraqet bllokun e vet¨em incident me p dhe q). K¨eshtu |⟨p⟩| = |⟨B⟩| sa her¨e q¨e pI\ B. K¨eshtu pjesa n¨en (a) e pohimit rrjedh, n¨ese mund t¨e shohim q¨e p¨er ¸cdo dy blloqe t¨e ndryshme B dhe C, ekziston pika p e till¨e q¨e pI\ B, C. Por, sipas aksiom¨es (c) t¨e p¨erkuﬁzimit 1.3.1 ekziston kat¨erkulmshi q, r, s, t. N¨ese secila nga k¨eto pika ¨esht¨e n¨e B ose C, mund t¨e supozojm¨e q¨e q, r ∈ B dhe s, t ∈ C. At¨eher¨e, mund ta zgjedhim p ashtu q¨e t¨e jet¨e prerje e blloqeve qs dhe rt. P¨er ta v¨ertetuar pjes¨en n¨en (b) t¨e pohimit, zbatojm¨e num¨erimin n¨e dy m¨enyra. Zgjedhim pik¨en ﬁkse p dhe num¨erojm¨e t¨e gjith¨e ﬂamujt (q, B) t¨e till¨e q¨e pIB dhe p ̸= q. Nga (a) p¨erkuﬁzimi 1.3.1 marrim |P| − 1 ﬂamuj t¨e till¨e, dhe nga pjesa (a) e pohimit kemi (n + 1) · n ﬂamuj t¨e till¨e. K¨eshtu |P| = n2 + n + 1. Ngjash¨em tregohet se |B| = n2 + n + 1. Pohimi 1.3.2. ([6],7) P¨er ¸cdo fuqi t¨e numrit t¨e thjesht¨e q, ekziston rrafshi projektiv i rendit q. V¨ ertetimi. Le t¨e jet¨e F fush¨e e Galois me q elemente dhe W le t¨e jet¨e hap¨esir¨e vektoriale tre dimensionale mbi fush¨en F . I zgjedhim si pika t¨e gjitha n¨enhap¨esirat 1-dimensionale dhe si blloqe t¨e gjitha n¨enhap¨esirat 2-dimensionale t¨e W . Duke zbatuar formul¨en q¨e lidh dimensionet e shum¨es dhe prerjes s¨e n¨enhap¨esirave t¨e nj¨e hap¨esire lineare me dimension t¨e fund¨em, v¨erejm¨e q¨e plot¨esohen aksiomat (a) dhe (b) t¨e p¨erkuﬁzimit 1.3.1.

P¨er t¨e provuar aksiom¨en (c) zgjedhim pik¨e e1 F, e2 F, e3 F dhe

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

15

(e1 + e2 + e3 )F ku e1 , e2 , e3 ¨esht¨e nj¨e baz¨e e W . Nga fakti q¨e F ¨esht¨e fush¨e me q elemente rrjedh q¨e rrafshi projektiv e ka rendin q. Numri i n¨enhap¨esirave 1-dimensionale t¨e W ¨esht¨e (q 3 − 1)/(q − 1) = q 2 + q + 1. Rrafshi projektiv i rendit q i konstruktuar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e sh¨enohet me P G(2, q). Rrjedhimi 1.3.3. ([6],7) le t¨e jet¨e q fuqi e numrit t¨e thjesht¨e. Rrafshi projektiv P G(2, q) ¨esht¨e 2 − (q 2 + q + 1, q + 1, 1) bllok skem¨e simetrike. Rrafshi projektiv rendit 2 ( 2 − (7, 3, 1) bllok skema): Bashk¨esia e pikave: P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bashk¨esia e blloqeve: B = {(0, 1, 3), (1, 2, 4), (2, 3, 5), (3, 4, 6), (0, 4, 5), (1, 5, 6), (0, 2, 6)}. Rrafshi projektiv i rendit 6 ( 2 − (43, 7, 1) bllok skema): Joekzistenca e rrafshit projektiv t¨e rendit t¨e 6 vjen nga Rrjedhimi 1.2.6., pasi q¨e numri 6 nuk mund t¨e shkruhet si shum¨e e dy katror¨eve t¨e numrave t¨e plot¨e. Rrafshi projektiv i rendit 10:([39],[40],[41]) Meq¨e 10 = 32 + 12 , Teorema Bruck-Ryser-Chowla nuk p¨erjashton mund¨esin¨e q¨e bllok skema e till¨e t¨e ekzistoj¨e. P¨erpjekjet p¨er t¨e konstatuar ekzistenc¨en apo joekzistenc¨en e k¨etij rrafshi projektiv, kan¨e vazhduar me dekada. Pasi q¨e jan¨e eliminuar veprimet e grupeve jotriviale n¨e bllok skem¨en e till¨e, ¨esht¨e konstatuar se grupi i automorﬁzmeve q¨e vepron n¨e bllok skem¨en simetrike ¨esht¨e trivial dhe gjasat p¨er ekzistenc¨en e k¨esaj bllok skeme jan¨e zvog¨eluar duksh¨em. Deri n¨e vitin 1988 nuk ¨esht¨e ditur p¨er ekzistenc¨en apo joekzistenc¨en e k¨esaj bllok skeme. Prej vitit 1988 deri n¨e vitin 1995, pas p¨erpjekjeve t¨e m¨edha, matematikani kanadez C.W.H. Lam ka v¨ertetuar joekzistenc¨en e bllok skem¨es simetrike 2−(111, 11, 1). Joekzistenca ¨esht¨e v¨ertetuar duke provuar nd¨ertimin e rrafshit projektiv ¨ e ﬁlluar (bllok skem¨es me parametrat 2 − (111, 11, 1) ) n¨e m¨enyr¨e aksiomatike. Esht¨ me plot¨esimin e matric¨es s¨e incidenc¨es me 111 rreshta dhe 111 shtylla. P¨er shkak t¨e mund¨esive t¨e shumta gjat¨e plot¨esimit t¨e rreshtave dhe shtyllave, ¨esht¨e shfyt¨ezuar ndihma e kompjuterit p¨er k¨erkime t¨e gjera. Jan¨e zhvilluar programe kompjuterike, ¨esht¨e b¨er¨e k¨erkimi hap pas hapi, duke i zgjeruar zgjidhjet parciale (dhe duke i eliminuar ato izomorfe). N¨e fund ¨esht¨e konstatuar se nuk ekziston rrafshi projektiv i rendit 10.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

16

N¨e vazhdim p¨ermes tabel¨es japim nj¨e pasqyr¨e n¨e lidhje me rrafshet projektive t¨e rendeve t¨e vogla:

Nr Parametrat Rendi

Numri i rrafsheve projektive

P¨ershkrimi

(ekzistenca) ([7],36) 1

(7,3,1)

2

1

PG(2,2)

2

(13,4,1)

3

1

PG(2,3)

3

(21,5,1)

4

1

PG(2,4)

4

(31,6,1)

5

1

PG(2,5)

5

(43,7,1)

6

0

PG(2,6)

6

(57,8,1)

7

1

PG(2,7)

7

(73,9,1)

8

1

PG(2,8)

8

(91,10,1)

9

4

PG(2,9)

9

(111,11,1)

10

0

PG(2,10)

10

(133,12,1)

11

≥1

PG(2,11)

11

(157,13,1)

12

?

PG(2,12)

12

(183,14,1)

13

≥1

PG(2,13)

13

(211,15,1)

14

0

PG(2,14)

14

(241,16,1)

15

?

PG(2,15)

15

(273,17,1)

16

≥ 22

PG(2,16)

16

(307,18,1)

17

≥1

PG(2,17)

17

(343,19,1)

18

?

PG(2,18)

18

(381,20,1)

19

≥1

PG(2,19)

19

(421,21,1)

20

?

PG(2,20)

20

(463,22,1)

21

0

PG(2,21)

21

(507,23,1)

22

0

PG(2,22)

22

(553,24,1)

23

≥1

PG(2,23)

23

(601,25,1)

24

?

PG(2,24)

24

(651,26,1)

25

≥ 17

PG(2,25)

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

Nr Parametrat Rendi

Numri i rrafsheve projektive

17

P¨ershkrimi

(ekzistenca) ([7],36) 25

(703,27,1)

26

?

PG(2,26)

26

(757,28,1)

27

≥3

PG(2,27)

27

(813,29,1)

28

?

PG(2,28)

28

(871,30,1)

29

≥1

PG(2,29)

29

(931,31,1)

30

0

PG(2,30)

30

(993,32,1)

31

≥1

PG(2,31)

31

(1057,33,1)

32

≥6

PG(2,32)

32

(1123,34,1)

33

0

PG(2,33)

33

(1191,35,1)

34

?

PG(2,34)

34

(1261,36,1)

35

?

PG(2,35)

35

(1333,37,1)

36

?

PG(2,36)

36

(1407,38,1)

37

≥1

PG(2,37)

37

(1483,39,1)

38

0

PG(2,38)

38

(1561,40,1)

39

?

PG(2,39)

39

(1641,41,1)

40

?

PG(2,40)

Rendet m¨e t¨e vogla t¨e rrafsheve projektive ekzistenca e t¨e cilave ¨esht¨e ende e dyshimt¨e jan¨e: n = 12, 15, 18, 20,24, 26, 28, 34, 35, 36, 39, 40.

1.4. Bllok skemat e Hadamardit P¨ erkufizimi 1.4.1. a) Bllok skem¨e e Hadamardit quhet bllok skema simetrike me parametrat 2 − (4λ + 3, 2λ + 1, λ). Vlejn¨e barazimet: n = k − λ = λ + 1, k = 2n − 1, v = 4n − 1. b) Matric¨e e Hadamardit quhet matrica H e tipit m × m me elementet nga {−1, 1} ashtu q¨e HH T = mI

dhe H T H = mI.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

18

Lema 1.4.1. ([6],65) Bllok skema simetrike 2 − (4n − 1, 2n − 1, n − 1) ekziston, at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur ekziston matrica e Hadamardit e rendit 4n. V¨ ertetimi. Le t¨e jet¨e H nj¨e 4n × 4n-matric¨e e Hadamardit. Duke shum¨ezuar cilindo rresht apo cil¨endo shtyll¨e me −1 nuk ndryshon barazimi: HH T = H T H = 4nI,

(a)

k¨eshtu q¨e mund t¨e supozojm¨e q¨e t¨e gjith¨e elementet e rreshtit e par¨e dhe t¨e shtyll¨es s¨e par¨e jan¨e +1. Le t¨e jet¨e N = (nij ) matric¨e e ﬁtuar duke fshir¨e rreshtin e par¨e dhe shtyll¨en e par¨e nga H. Rreshtat e N -s¨e i quajm¨e pika, nd¨ersa shtyll¨e e N -s¨e i quajm¨e blloqe, dhe p¨erkuﬁzojm¨e incidenc¨en e rreshtit t¨e i-t¨e dhe shtyll¨es s¨e j-t¨e me ¨ e e qart¨e q¨e secili rresht dhe secila shtyll¨e p¨ermban +1 n¨e 2n − 1 vende, nij = +1. Esht¨ k¨eshtu v = 4n − 1, k = 2n − 1. Marrim n¨e konsiderim rreshtin e h-t¨e dhe t¨e i-t¨e t¨e N . Le t¨e jet¨e x, y, z, w numri i shtyllave me nhj = nij = −1, nhj = +1 ∧ nij = −1, nhj = −1 ∧ nij = +1, nhj = nij = +1, p¨erkat¨esisht. At¨eher¨e marrim k¨et¨e sistem ekuacionesh: x +y +z +w x +y

(b)

x

+z

  = 4n − 1        = 2n − 1    = 2n − 1   

x −y −z +w = −1

,

   

zgjidhja e vetme e t¨e cilit ¨esht¨e: x = n − 1(= λ), y = z = w = n.

(c)

K¨eshtu ﬁtojm¨e 2 − (4n − 1, 2n − 1, n − 1) bllok skem¨en e k¨erkuar simetrike. Anasjelltas, p¨er 2 − (4n − 1, 2n − 1, n − 1) bllok skem¨en e dh¨en¨e simetrike, p¨erkuﬁzojm¨e (1, −1)-matric¨en e incidenc¨es: {

N = (nij ) me nij =

+1 n¨ese pika e i-t¨e ¨esht¨e incidente me bllokun e j-t¨e −1 n¨e rastin tjet¨er.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

19

P¨erkuﬁzojm¨e numrat x, y, z, w si m¨e par¨e. at¨eher¨e t¨e tri ekuacionet e para t¨e (b) i marrim menj¨eher¨e, dhe nga p¨erkuﬁzimi i λ = n − 1 marrim x = n − 1. K¨eshtu, ﬁtohet (c) dhe ekuacioni i kat¨ert (b). N¨ese matric¨es N ia shtojm¨e nj¨e rresht dhe nj¨e shtyll¨e me t¨e gjith¨e elementet +1, marrim 4n × 4n-matric¨en e Hadamardit. Lema 1.4.2. ([6],66). N¨ese H ¨esht¨e m × m-matric¨e e Hadamardit, at¨eher¨e m = 1, m = 2 ose m ≡ 0

(mod 4).

Supozim: Ekziston m × m-matrica Hadamardit p¨er ¸cdo m = 4n, n ∈ IN . Teorema 1.4.1. (Todd 1933). ([6],68). Secila bllok skem¨e e Hadamardit mund t¨e zgjerohet n¨e 3 −(4n, 2n, n −1) bllok skem¨e e cila quhet 3-bllok skem¨e e Hadamardit. Teorema 1.4.2. (Paley 1933). ([4],107). Le t¨e jet¨e q fuqi e numrit t¨e thjesht¨e , q−3 ) bllok skema, e cila ¨esht¨e bllok dhe q ≡ 3 (mod 4). at¨eher¨e, ekziston 2 − (q, q−1 2 4 skem¨e e Hadamardit. N¨e vazhdim, p¨ermes tabel¨es, japim nj¨e pasqyr¨e t¨e rezultateve p¨er bllok skem¨e e Hadamardit me rende t¨e vogla: Nr Parametrat Rendi

Numri i bllok skemave (Ekzistenca) ([7],36)

1

(7,3,1)

2

1

2

(11,5,2)

3

1

3

(15,7,3)

4

5

4

(19,9,4)

5

6

5

(23,11,5)

6

1106

6

(27,13,6)

7

208310

7

(31,15,7)

8

≥ 22478260

8

(35,17,8)

9

≥ 108131

9

(39,19,9)

10

≥ 5.87 × 1014

10

(43,21,10)

11

≥ 82

11

(47,23,11)

12

≥ 55

12

(51,25,12)

13

≥1

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

Nr Parametrat Rendi

20

Numri i bllok skemave (Ekzistenca) ([7],36)

13

(55,27,13)

14

≥1

14

(59,29,14)

15

≥1

15

(63,31,15)

16

≥ 1017

16

(67,33,16)

17

≥1

17

(71,35,17)

18

≥9

18

(75,37,18)

19

≥1

19

(79,39,19)

20

≥ 2071

20

(83,41,20)

21

≥1

1.5. Relacionet aritmetike dhe 2-bllok skemat e Hadamardit N¨ese D ¨esht¨e nj¨e bllok skem¨e simetrike jotriviale me parametra (v, k, λ), at¨eher¨e vlen 2 ≤ k ≤ v − 2, dhe k¨eshtu sipas Rrjedhimit 1.1.7 dhe Lem¨es 1.1.8, C(D) ¨esht¨e bllok skem¨e simetrike me parametrat (v, v − k, v − 2k + λ), me rend t¨e nj¨ejt¨e me D. Meq¨e v dhe n jan¨e dy parametra t¨e p¨erbashk¨et nd¨ermjet bllok skem¨es simetrike dhe komplementit t¨e saj, relacioni nd¨ermjet tyre ka nj¨e interes t¨e ve¸cant¨e. Teorema 1.5.1. ([6], 82 ). N¨ese D ¨esht¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike jotriviale e rendit n, at¨eher¨e 4n − 1 ≤ v ≤ n2 + n + 1.

V¨ ertetimi. Meq¨e v dhe n jan¨e t¨e nj¨ejt¨e p¨er D dhe C(D), mund t¨e supozojm¨e 2k ≤ v. Megjithat¨e, relacioni λ(v − 1) = k(k − 1) implikon q¨e k nuk mund ta pjes¨etoj¨e v, k¨eshtu q¨e kemi 2k < v, dhe meq¨e λ ≥ 1, at¨eher¨e 2n < v.

(1)

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

21

Rrjedhim tjet¨er i v ̸= 2k ¨esht¨e q¨e mesi aritmetik i k dhe v − k ¨esht¨e rigorozisht m¨e i madh se mesi gjeometrik i tyre, d.m.th. √

v > 2 k(v − k).

(2)

Por nga fakti se k = n + λ, rrjedh k(v − k) = (n + λ)(v − k) = nv − nk − λk + λv = nv + λv − k 2 . Megjithat¨e, duke v¨en¨e v = [k(k − 1) + λ]/λ, λv − k 2 = λ − k = −n marrim k(v − k) = n(v − 1). Duke z¨evend¨esuar k(v − k) me n(v − 1) n¨e (2) dhe duke ngritur n¨e katror marrim v 2 > 4nv − 4n. ¨ e e qart¨e q¨e 2n > 1 K¨eshtu (v − 2n)2 > 4n2 − 4n ose (v − 2n)2 ≥ (2n − 1)2 . Esht¨ dhe k¨eshtu, nga (1), rrjedh q¨e t¨e dy shprehjet v − 2n dhe 2n − 1 jan¨e numra t¨e plot¨e pozitiv. Prandaj v − 2n ≥ 2n − 1 ose v ≥ 4n − 1, q¨e duhej v¨ertetuar. Dihet se p¨er ¸cdo dy numra t¨e plot¨e pozitiv a dhe b, vlen a + b − 2 ≤ ab. Meq¨e λ ≥ 1 dhe v > 2k, nga jobarazimi i m¨esip¨erm, p¨er a = λ dhe b = v − 2k + λ marrim: λ(v − 2k + λ) ≥ v − 2k + 2λ − 1. Me llogaritje t¨e ngjajshme, si m¨e par¨e, marrim: λ(v − 2k + λ) = n(n − 1), k¨eshtu q¨e n(n − 1) ≥ v − 2n − 1 ose v ≤ n2 + n + 1. D.m.th., numri i pikave t¨e bllok skemave simetrike t¨e t¨e nj¨ejtit rend, ¨esht¨e nd¨ermjet numrit t¨e pikave t¨e rrafshit projektiv dhe numrit t¨e pikave t¨e bllok skem¨es s¨e Hadamardit t¨e t¨e nj¨ejtit rend.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

22

1.6. Zb¨ erthimi taktik P¨ erkufizimi 1.6.1. Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e, {P1 , · · · , Pd } le t¨e jet¨e nj¨e cop¨etim i P dhe {B1 , · · · , Bc } le t¨e jet¨e cop¨etim i B. Bashk¨esin¨e {P1 , · · · , Pd , B1 , · · · , Bc } e quajm¨e zb¨erthim taktik t¨e D, n¨ese ekzistojn¨e numrat jo negativ¨e ρji dhe kji (j ∈ {1, · · · , d}, i ∈ {1, · · · , c}) t¨e till¨e q¨e (a) Secila pik¨e e Pj ¨esht¨e incidente pik¨erisht me ρji blloqe nga Bi ; ¸ do bllok nga Bi ¨esht¨e incident pik¨erisht me kji pika nga Pj . (b) C P¨er nj¨e zb¨erthim taktik {P1 , · · · , Pd , B1 · · · , Bc } t¨e D sh¨enojm¨e: mi = |Bi |, nj = |Pj |(i ∈ {1, · · · , c}, j ∈ {1, · · · , d}). Bashk¨esit¨e Pj i quajm¨e klas¨e pikash, nd¨ersa Bi i quajm¨e klas¨e blloqesh. Numrat ρji , kji , mi , nj i quajm¨e parametra t¨e zb¨erthimit taktik. Vlejn¨e barazimet: nj · ρji = mi · kji

(i ∈ {1, · · · , c}, j ∈ {1, · · · , d});

k1i + k2i + · · · + kdi = k

(i ∈ {1, · · · , c});

ρj1 + ρj2 + · · · + ρjc = r

(j ∈ {1, · · · , d});

m1 + m2 + · · · + mc = b;

n1 + n2 + · · · + nd = v.

Lema 1.6.1. ([4],211). Le t¨e jet¨e {P1 , · · · , Pd , B1 , · · · , Bc } zb¨erthim taktik me parametrat ρji , kji , mi , nj i 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es D. (a) P¨er ¸cdo j ∈ {1, · · · , d} vlen: c ∑

ρji · kji = λnj + r − λ;

i=1

(b) P¨er t¨e gjith¨e j, h ∈ {1, · · · , d}, t¨e till¨e q¨e j ̸= h, vlen: c ∑ i=1

ρji · khi = λnh .

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

23

V¨ ertetimi. (a) Le t¨e jet¨e p pik¨e ﬁkse nga Pj . N¨e qoft¨e se num¨erojm¨e ﬂamujt (q, B) p¨er q ∈ Pj , q ̸= p, pIB, at¨eher¨e (nj − 1) · λ =

c ∑

ρji · (kji − 1).

i=1

Prandaj nj λ − λ =

c ∑ i=1

ρji · kji −

c ∑

ρji =

i=1

c ∑

ρji · kji − r

i=1

ose c ∑

ρji · kji = λnj + r − λ.

i=1

(b) Marrim p¨ers¨eri nj¨e pik¨e ﬁkse nga Pj dhe num¨erojm¨e ﬂamujt (q, B) t¨e till¨e q¨e q ∈ Ph , pIB nh · λ =

c ∑

ρji · khi .

i=1

Teorema 1.6.2. (Block 1967, Kantor 1969) ([4],212). Le t¨e jet¨e {P1 , · · · , Pd , B1 , · · · , Bc } zb¨erthim taktik i 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es D. (a) Vlen c ≥ d. (b) N¨ese D ¨esht¨e simetrike, at¨eher¨e c = d.

1.7. Veprimi i grupit n¨ e bashk¨ esi Le t¨e jet¨e dh¨en¨e grupi G dhe bashk¨esia Ω ̸= ∅. Veprim i grupit G n¨e bashk¨esin¨e Ω quhet pasqyrimi φ : Ω × G → Ω p¨er t¨e cilin vlen: 1. φ(x, 1) = x, ∀x ∈ Ω, ku 1 ¨esht¨e elementi nj¨esi n¨e G 2. φ(x, gh) = φ(φ(x, g), h), ∀h, g ∈ G, x ∈ Ω. Bashk¨esia joboshe Ω n¨e t¨e cil¨en ¨esht¨e p¨erkuﬁzuar veprimi i grupit G quhet G−bashk¨esi. P¨er grupin G ≤ S(Ω), ku S(Ω) ¨esht¨e grupi simetrik i bashk¨esis¨e Ω,

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

24

dhe x ∈ Ω bashk¨esia Gx = {g ∈ G|xg = x} quhet stabilizator i elementit x gjat¨e veprimit t¨e grupit G n¨e bashk¨esin¨e Ω. G−orbit¨e e elementit x ∈ Ω ¨esht¨e klasa e ekuivalenc¨es e k¨etij elementi n¨e lidhje me relacionin e ekuivalenc¨es (G−lidhshm¨eria): xG = {xg|g ∈ G}. Elementi x quhet element p¨erfaq¨esues i orbit¨es xG. N¨ese grupi i fund¨em G vepron n¨e bashk¨esin¨e Ω, at¨eher¨e ∀x ∈ Ω vlen Teorema 1.7.1: Le t¨e jet¨e G grup i cili vepron n¨e bashk¨esin¨e Ω dhe le t¨e jet¨e Gx stabilizator i elementit x ∈ Ω n¨e lidhje me veprimin e grupit G. P¨er y ∈ xG, ∃g ∈ G p¨er t¨e cilin y = xg dhe Gy = g −1 Gx g. P¨ erkufizimi 1.7.1. G vepron n¨e m¨enyr¨e tranzitive n¨e Ω, n¨ese Ω ¨esht¨e orbita e vetme e G−s¨e, d.m.th. p¨er ¸cdo x, y ∈ Ω ekziston g ∈ G i till¨e q¨e xg = y. P¨ erkufizimi 1.7.2. Grupi G vepron n¨e m¨enyr¨e k−tranzitive (k ≥ 1) n¨e Ω, n¨ese p¨er cilatdo dy k−she t¨e renditura (x1 , x2 , · · · , xk ), (y1 , y2 , · · · , yk ) t¨e elementeve t¨e ndryshme t¨e Ω, ekziston ndonj¨e g ∈ G i till¨e q¨e xi G = yi (1 ≤ i ≤ k). P¨ erkufizimi 1.7.3. N¨ese G ¨esht¨e grup tranzitiv n¨e bashk¨esin¨e Ω dhe Gx = I p¨er ndonj¨e x ∈ Ω, at¨eher¨e G quhet regular mbi Ω. Pohimi 1.7.2. ([29],60). N¨ese G ¨esht¨e regular mbi bashk¨esin¨e Ω at¨eher¨e |G| = |Ω|. V¨erejm¨e q¨e n¨ese G ¨esht¨e regular mbi Ω at¨eher¨e asnj¨eri permutacion i ndrysh¨em nga identiteti, nuk ka elemente ﬁkse. K¨eshtu, p¨er ¸cdo x, y ∈ Ω ekziston elementi i vet¨em g ∈ G i till¨e q¨e xg = y. N¨ese G ¨esht¨e grup abelian i permutacioneve mbi bashk¨esin¨e Ω dhe n¨ese y ∈ xG, at¨eher¨e Gx = Gy . Nga kjo rrjedh Pohimi 1.7.3. ([29],60). N¨ese grupi abelian i permutacioneve ¨esht¨e tranzitiv n¨e bashk¨esin¨e Ω, at¨eher¨e ai ¨esht¨e regular.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

25

1.8 Automorfizmet e bllok skemave Bashk¨esia e t¨e gjith¨e automorﬁzmeve t¨e bllok skem¨es formon grup lidhur me shum¨ezimin e zakonsh¨em t¨e pasqyrimeve (automorﬁzmeve). P¨ erkufizimi 1.8.1. Grupi i t¨e gjith¨e automorﬁzmeve t¨e bllok skem¨es D quhet grup i plot¨e i automorﬁzmeve dhe sh¨enohet me Aut(D). Grup i automorﬁzmeve ¨esht¨e secili n¨engrup i Aut(D). Lema 1.8.1. ([4],221). Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e dhe le t¨e jet¨e G grupi i automorﬁzmeve t¨e D. Le t¨e jen¨e P1 , P2 , · · · , Pd -orbitat e G n¨e P (orbitat e pikave) dhe B1 , B2 , · · · , Bc -orbitat e blloqeve t¨e G n¨e D (orbitat e G n¨e B). At¨eher¨e {P1 , · · · , Pd , B1 , · · · , Bc } ¨esht¨e zb¨erthim taktik i D. Teorema 1.8.2. ([4],222). Le t¨e jet¨e G grup i automorﬁzmeve t¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es D, d numri i orbitave t¨e pikave, dhe c numri i orbitave t¨e blloqeve t¨e grupit G. at¨eher¨e vlen b − v ≥ c − d ≥ 0.

N¨ese D ¨esht¨e bllok skem¨e simetrike, at¨eher¨e c = d. Teorema 1.8.3. ([4],222). Le t¨e jet¨e G grup i automorﬁzmeve t¨e bllok skem¨es D = (P, B,I). (a) N¨e qoft¨e se G ¨esht¨e tranzitiv mbi blloqe, at¨eher¨e G ¨esht¨e tranzitiv mbi pika. (b) N¨e qoft¨e se G ¨esht¨e 2-tranzitiv mbi blloqe, at¨eher¨e G gjithashtu ¨esht¨e 2-tranzitiv mbi pika. (c) N¨e qoft¨e se D ¨esht¨e simetrike, at¨eher¨e vlejn¨e pohimet e anasjellt¨e t¨e (a) dhe (b). P¨ erkufizimi 1.8.2. Le t¨e jet¨e D nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike dhe G ≤ Aut(D). N¨ese G ¨esht¨e regular n¨e pika dhe n¨e blloqe, at¨eher¨e G quhet grup i Singerit i bllok skem¨es simetrike D.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

26

N¨ese G ¨esht¨e grup i Singerit p¨er 2 − (v, k, λ) bllok skem¨en simetrike D, at¨eher¨e p¨er cil¨endo pik¨e t¨e dh¨en¨e p dhe bllok X, n¨enbashk¨esia D = {g ∈ G|pg ¨esht¨e n¨e X} quhet bashk¨esi e diferencave e G, nd¨ersa pika p dhe blloku X quhen elemente baz¨e t¨e D. P¨er k¨et¨e shkruajm¨e D(p, X). Lema 1.8.4. ([29],61). N¨ese G ¨esht¨e grup i Singerit p¨er 2−(v, k, λ) bllok skem¨en simetrike D dhe n¨ese D(p, X) ¨esht¨e bashk¨esi e diferencave, at¨eher¨e |D(p, X)| = k. Lema 1.8.5. ([29],61). N¨ese D ¨esht¨e grup i Singerit i 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike dhe n¨ese D(p, X) ¨esht¨e bashk¨esi e diferencave, at¨eher¨e (a) p¨er ¸cdo a, b ∈ G, a−1 (D(p, X))b = D(pa, Xb); (b) n¨ese D′ ¨esht¨e cilado bashk¨esi tjet¨er e diferencave, at¨eher¨e ekzistojn¨e c, d ∈ G t¨e till¨e q¨e D′ = c−1 (D(p, X))d. Teorema 1.8.6. ([29] ,61). Le t¨e jet¨e nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike me grupin e Singerit G dhe le t¨e jet¨e D bashk¨esi e diferencave t¨e G. At¨eher¨e p¨er ¸cdo g ̸= 1, g ∈ G ekzistojn¨e pik¨erisht λ dyshe t¨e ndryshme ci , di n¨e D t¨e tilla q¨e g = ci d−1 i ; po ashtu ekzistojn¨e pik¨erisht λ dyshe t¨e ndryshme ei , fi n¨e D ashtu q¨e g = e−1 i fi . N¨ese G ¨esht¨e grup i fund¨em, at¨eher¨e n¨enbashk¨esia D e G e till¨e q¨e secili element i ndrysh¨em nga nj¨eshi n¨e G mund t¨e paraqitet pik¨erisht λ her¨e si ci d−1 dhe pik¨erisht i λ her¨e e−1 er ci , di , ei , fi ∈ D, quhet λ−bashk¨esi e diferencave p¨er ndonj¨e λ. i fi p¨ Teorema 1.8.7. ([29],62). Le t¨e jet¨e G grup i rendit v me λ−bashk¨esin¨e e diferencave D t¨e k (< v) elementeve. At¨eher¨e ekziston (v, k, λ) bllok skema simetrike, e vetme deri n¨e izomorﬁz¨em, e till¨e q¨e G ¨esht¨e grup i Singerit p¨er D me bashk¨esin¨e e diferencave D. T¨e shohim tani lidhjen nd¨ermjet numrit t¨e pikave ﬁkse dhe numrit t¨e blloqeve ﬁkse, t¨e nj¨e automorﬁzmi t¨e D. Teorema 1.8.8. (Baer 1947, Parker 1957)([4],227). P¨er ¸cdo automorﬁz¨em t¨e bllok skem¨es simetrike numri i pikave ﬁkse ¨esht¨e i barabart¨e me numrin e blloqeve ﬁkse.

I. KUPTIME THEMELORE NGA TEORIA E BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

27

Rrjedhimi 1.8.9. ([42] 78). Automorﬁzmi i bllok skem¨es simetrike ka struktur¨e t¨e nj¨ejt¨e ciklike, kur konsiderohet si permutacion n¨e pika dhe blloqe. Rrjedhimi 1.8.10. ([42] ,82). N¨ese f ¨esht¨e numri i pikave ﬁkse t¨e automorﬁzmit √ t¨e bllok skem¨es simetrike (v, k, λ) at¨eher¨e f ≤ v − 2n dhe f ≤ k + n, ku n = k − λ. Teorema 1.8.11. ([7],112) Supozojm¨e se ekziston (v, k, λ) bllok skema simetrike me grupin abelian G t¨e rendit v si grup regular i automorﬁzmeve. Supozojm¨e q¨e p ¨esht¨e num¨er i thjesht¨e i till¨e q¨e p > λ, p e pjes¨eton n = k − λ dhe p ¨esht¨e relativisht i thjesht¨e me v. At¨eher¨e pasqyrimi g → pg, g ∈ G, ¨esht¨e poashtu automorﬁz¨em i bllok skem¨es. Teorema 1.8.12. ([42],83) Le t¨e jet¨e D (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike me k < v/2 e till¨e q¨e Aut(D) vepron n¨e m¨enyr¨e 2-tranzitive n¨e pika. At¨eher¨e D ¨esht¨e nj¨e nga rastet n¨e vijim: 1. Nj¨e pik¨e–hiperplan bllok skem¨e me v=

q d+1 − 1 qd − 1 q d−1 − 1 ,k = ,λ = . q−1 q−1 q−1

2. Bllok skema e vetme e Hadamardit me v = 11, k = 5 dhe λ = 2. 3. Bllok skema e vetme simetrike me v = 176, k = 50 dhe λ = 14. 4. Bllok skema e vetme simetrike me v = 22m , k = 22m−1 (2m −1), λ = 22m−1 (2m−1 − 1), p¨er ¸cdo m ≥ 2.

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

2.1. Veprimi i kolineacionit n¨ e bllok skem¨ en simetrike Le t¨e jet¨e {P1 , · · · , Pc , B1 , · · · , Bc } zb¨erthim taktik me parametra mi , nj , rij , kij i 2 − (v, k, λ) bllok skem¨es simetrike D = (P, B, I). At¨eher¨e {B1 , · · · , Bc , P1 , · · · , Pc } ¨esht¨e zb¨erthim taktik i bllok skem¨es duale D∗ = (B, P, I), e cila ¨esht¨e po ashtu simetrike me parametrat e zb¨erthimi: mj ∗ = nj , ni ∗ = mi , rij ∗ = kji , kij ∗ = rji . Nga Lema 1.6.1 kemi: c ∑

kji (

j=1

ni kji − 1) = λ(ni − 1), i ∈ {1, 2, · · · , c}; mj

(1)

dhe c ∑ 1 j=1

mj

kjh kji = λ, ∀i, h ∈ {1, 2, · · · , c}, i ̸= h;

(2)

Le t¨e jet¨e α kolineacion i rendit p, p-num¨er i thjesht¨e, q¨e vepron n¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨en simetrike D = (P, B, I). Sh¨enojm¨e G = ⟨α⟩ grupin e p¨erftuar nga α. Po t¨e sh¨enojm¨e me F(α) = {x ∈ D|xα = x} struktur¨en ﬁkse t¨e kolineacionit α, . at¨eher¨e ⟨α⟩x = 1 p¨er ¸cdo x ∈ D\F(α). Rrjedhimisht, |D\F(α)|..p = | ⟨α⟩ |, q¨e do t¨e thot¨e se ⟨α⟩-orbitat jan¨e t¨e gjat¨esis¨e p ose 1. 28

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

29

Meqen¨ese numri i pikave ﬁkse ¨esht¨e i nj¨ejt¨e me numrin e blloqeve ﬁkse, gjegj¨esisht, numri i ⟨α⟩-orbitave t¨e gjat¨esis¨e 1 ¨esht¨e i barabart¨e n¨e P dhe B, at¨eher¨e edhe numri i ⟨α⟩-orbitave me gjat¨esi p ¨esht¨e i barabart¨e n¨e P dhe B. Supozojm¨e se α ka f pika p¨erkat¨esisht blloqe ﬁkse. Le t¨e jen¨e ato p1 , p2 , · · · , pf p¨erkat¨esisht B1 , B2 , · · · , Bf . At¨eher¨e P1 = {p1 }, P2 = {p2 }, · · · , Pf = {pf } jan¨e ⟨α⟩orbitat me gjat¨esi 1. Orbitat tjera jan¨e me gjat¨esi p. Le t¨e jen¨e ato Pf +1 , · · · , Pc . Po ashtu, kemi edhe p¨er ⟨α⟩-orbitat e blloqeve: B1 = {B1 }, B2 = {B2 }, · · · , Bf = {Bf } me gjat¨esi 1 dhe Bf +1 , · · · , Bc me gjat¨esi p. {P1 , P2 , · · · , Pf , Pf +1 , · · · , Pc , B1 , B2 , · · · , Bf , Bf +1 , · · · , Bc } ¨esht¨e zb¨erthim taktik i D-s¨e, ku {

mi = |Pi | =

{

1, i = 1, · · · , f p, i = f + 1, · · · , c

dhe nj = |Bj | =

1, j = 1, · · · , f p, j = f + 1, · · · , c

Le t¨e jet¨e B nj¨e bllok joﬁks i α q¨e p¨ermban t pika ﬁkse, (1 ≤ t ≤ f ). Meq¨e B ¨esht¨e joﬁks, ai i takon ndonj¨e ⟨α⟩-orbite Bf +s me gjat¨esi p. P¨er i = f + s kemi: {

nf +s = p dhe kj,f +s =

1, j = 1, · · · , t 0, j = t + 1, · · · , f

.

Duke i z¨evend¨esuar k¨eto relacione n¨e (1) gjejm¨e: c ∑

{

kj,f +s

j=1

}

nf +s kj,f +s − 1 = λ(nf +s − 1), mj

apo t ∑

(p − 1) +

j=1

c ∑

kj,f +s (kj,f +s − 1) = λ(p − 1).

j=f +1

Rrjedhimisht, c ∑

kj,f +s (kj,f +s − 1) = (p − 1)(λ − t).

j=f +1

P¨ erkufizimi 2.1.1. Numri H(B) =

c ∑

kj,f +s (kj,f +s − 1) quhet gjat¨esi e Ham-

j=f +1

mingut (apo H-gjat¨esi) p¨er bllokun joﬁks B. K¨eshtu, vlen

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

30

Pohimi 2.1.1. N¨e qoft¨e se B ¨esht¨e bllok joﬁks ndaj kolineacionit α t¨e rendit p, p num¨er i thjesht¨e, at¨eher¨e H(B) = (p − 1)(λ − t). Pohimi 2.1.2. N¨e qoft¨e se B ¨esht¨e bllok ﬁks ndaj kolineacionit α t¨e rendit p, p num¨er i thjesht¨e, at¨eher¨e B-ja p¨ermban cikle t¨e plot¨e (t¨e gjat¨esis¨e p) pikash joﬁkse. Le t¨e jen¨e B1 , B2 dy blloqe joﬁkse n¨e dy ⟨α⟩-orbita t¨e ndryshme Bf +s′ , Bf +s′′ , (0 < s′ < s′′ ). Supozojm¨e se B1 , B2 p¨ermbajn¨e t-pika t¨e nj¨ejta ﬁkse p1 , p2 , · · · , pt dhe pos tyre s’kan¨e pika t¨e tjera ﬁkse. Nga {

mi =

{

1, i = 1, · · · , t p, i = f + 1. · · · , c

dhe kj,f +s′ = kj,f +s′′ =

1, j = 1, · · · , t 0, j = t + 1, · · · , f

dhe relacioni (2) gjejm¨e: t+

c ∑ kj,f +s′ kj,f +s′′ j=f +1

p

= λ,

apo c ∑

kj,f +s′ kj,f +s′′ = p(λ − t), s′ ̸= s′′ .

j=f +1

I nj¨ejti relacion ﬁtohet edhe kur blloqet B1 , B2 , p¨erve¸c pikave t¨e p¨erbashk¨eta ﬁkse kan¨e edhe pika tjera ﬁkse. Gjithashtu, te i nj¨ejti relacion vijm¨e n¨ese B1 , B2 jan¨e blloqe ﬁkse. P¨ erkufizimi 2.1.2. Numri S(B1 , B2 ) =

∑

kj,f +s′ kj,f +s′′ quhet prodhim i loj¨es

apo spiel produkt i blloqeve B1 , B2 . Pohimi 2.1.3. N¨e qoft¨e se kolineacioni α i rendit p vepron n¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨en simetrike D, at¨eher¨e prodhimi i loj¨es i ¸cdo dy blloqeve q¨e ndodhen n¨e ⟨α⟩orbita t¨e ndryshme ¨esht¨e i barabart¨e me p(λ − t), ku t ¨esht¨e numri i pikave ﬁkse t¨e p¨erbashk¨eta p¨er ato blloqe. Le t¨e jet¨e α kolineacion i rendit p, p-num¨er i thjesht¨e, q¨e vepron n¨e (v, k, λ) bllok skem¨en simetrike D = (P, B, I). Supozojm¨e se α ka f pika (blloqe) ﬁkse, pra α ka f v−f orbita jotriviale. ⟨α⟩-orbitat jotriviale do t’i sh¨enojm¨e orbita triviale dhe s = p

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

31

me numrat 1, 2, · · · , S t¨e cil¨et i quajm¨e numra orbitor¨e. Pra I = (I0 , I1 , · · · , Ip−1 ), ku I ∈ {1, 2, · · · , S}. K¨eshtu veprimi i α-¨es n¨e bashk¨esin¨e e pikave mund t¨e jepet me: pα1 = p1 , · · · , pαf = pf , Ijα = Ij+1

(mod p) ,

j = 0, 1, · · · , p − 1

q¨e shprehet me permutacionin: α = (p1 ) · · · (pf )(10 , 11 , · · · , 1p−1 ) · · · (S0 , S1 , · · · , Sp−1 ). Me dh¨enien e kolineacionit α n¨e bashk¨esin¨e P p¨erkuﬁzohet edhe veprimi i α-¨es n¨e bashk¨esin¨e B, duke i identiﬁkuar blloqet me bashk¨esit¨e p¨erkat¨ese t¨e pikave q¨e ato i p¨ermbajn¨e. Kolineacioni α e ka t¨e nj¨ejt¨en struktur¨e ciklike n¨e P dhe n¨e B. Le t¨e jet¨e p−1

α = (A1 ) · · · (Af )(B1 , B1α , · · · , B1α

) · · · (BS , BSα , · · · , BSα

p−1

)

veprimi i α-¨es n¨e bashk¨esin¨e e blloqeve. Le t¨e jet¨e B nj¨e bllok cilido. N¨e qoft¨e se α e ﬁkson B ai mund t¨e p¨ermbaj¨e nj¨e num¨er t¨e caktuar pikash ﬁkse dhe cikle t¨e plot¨e t¨e pikave joﬁkse. N¨e qoft¨e se B ¨esht¨e bllok joﬁks q¨e p¨ermban t pika ﬁkse p1 , p2 , · · · , pt , at¨eher¨e bllokun B mund ta paraqesim n¨e form¨e: (∗)

B = p1 · · · pt 1S1 2S2 · · · NSN

(N ≤ S, t ≤ f )

ku pikat joﬁkse i kemi dh¨en¨e vet¨em me numrat p¨erkat¨es orbitor, nd¨ersa Si jan¨e shum¨eﬁshitetet e paraqitjeve t¨e tyre dhe vlen: t + S1 + S2 + · · · + SN = k. Relacioni (*) quhet paraqitje orbitore e bllokut B. N¨e qoft¨e se nga secila orbit¨e e blloqeve kemi paraqitur nga nj¨e p¨erfaq¨esues n¨e form¨e orbitore, at¨eher¨e themi se kemi gjetur nj¨e struktur¨e orbitore t¨e kolineacionit α. Nga dy pohime t¨e m¨eparshme kemi se t¨e gjith¨e p¨erfaq¨esuesit i plot¨esojn¨e kushtet p¨er gjat¨esi t¨e Hamming-ut dhe prodhim t¨e loj¨es.

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

32

Hapi vijues, i ashtuquajtur indeksim, p¨erb¨ehet nga p¨ercaktimi sakt¨esisht, cilat pika nga orbita e pikave Pi jan¨e incidente me bllokun B t¨e zgjedhur si p¨erfaq¨esues t¨e orbit¨es s¨e blloqeve, p¨er cilindo num¨er Si . P¨ erkufizimi 2.1.3. Bashk¨esia e t¨e gjith¨e indeksave t¨e pikave t¨e orbit¨es Pi t¨e cilat jan¨e incident me p¨erfaq¨esuesin e orbit¨es s¨e blloqeve Bj quhet bashk¨esi indeksash p¨er pozicionin (i, j) t¨e struktur¨es orbitore dhe p¨erfaq¨esuesin e dh¨en¨e.

2.2. Bashk¨ esia e diferencave t¨ e Hamming-ut dhe bashk¨ esia e diferencave t¨ e prodhimit t¨ e loj¨ es Supozojm¨e se t¨e gjitha pikat e B i kemi indeksuar, pra le t¨e jet¨e: B = p1 · · · pt 1a11 · · · 1a1S1 2a21 · · · 2a2S2 · · · NaN 1 · · · NaN SN Formojm¨e bashk¨esit¨e: H1 = {±(a11 − a12 ), · · · , ±(a11 − a1S1 ), ±(a12 − a13 ), · · · , ±(a12 − a1S1 ), · · · , ±(a1,S1 −1 − a1S1 )}, H2 = {±(a21 − a22 ), · · · , ±(a21 − a2S2 ), ±(a22 − a23 ), · · · , ±(a22 − a2S2 ), · · · , ±(a2,S2 −1 − a2S2 )}, ... HN = {±(aN 1 − aN 2 ), · · · , ±(aN 1 − aN SN ), ±(aN 2 − aN 3 ), · · · , ±(aN 2 − aN SN ), · · · , ±(aN,SN −1 − aN SN )}, Sh¨enojm¨e me N

H(B) = ∪ Hi . i=1

Me an¨e t¨e bashk¨esis¨e H(B) jepet kriteri q¨e dy blloqe t¨e nj¨e ⟨α⟩-orbite t¨e ken¨e λ pika t¨e p¨erbashk¨eta. Pohimi 2.2.1. Le t¨e jet¨e B nj¨e bllok joﬁks ndaj kolineacionit α = (p1 ) · · · (pf )(10 , 11 , · · · , 1p−1 ) · · · (S0 , S1 , · · · , Sp−1 ),

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

33

nd¨ersa t numri i pikave ﬁkse t¨e bllokut B . Kusht i nevojsh¨em dhe i mjaftuesh¨em q¨e |B ∩ B α | = λ, i = 1, · · · , p − 1 ¨esht¨e i

H(B) = {1, · · · , 1, 2, · · · , 2, · · · , p − 1, · · · , p − 1}, ku ¸cdo i = 1, 2, · · · , p − 1 paraqet λ − t her¨e. Si rrjedhim kemi k¨et¨e pohim: Pohimi 2.2.2. H(B) = {1, · · · , 1, 2, · · · , 2, · · · , p − 1, · · · , p − 1}, ku ¸cdo i = 1, 2, · · · , p − 1 paraqitet λ-her¨e, at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, n¨e qoft¨e se |B α ∩ B α | = i

j

λ, i ̸= j. Le t¨e jen¨e tani A, B dy blloqe t¨e indeksuar q¨e ndodhen n¨e dy ⟨α⟩-orbita t¨e ndryshme: A = p1 · · · pt pt+1 · · · pt+t1 1a11 · · · 1a1S1 · · · Rar1 · · · RarSr · · · Hah1 · · · HahSh

B = p1 · · · pt pt+t1 +1 · · · pt+t1 +t2 1b11 · · · 1b1S′ · · · Rbr1 · · · RbrS′ · · · Kak1 · · · KakS′ 1

r

k

ku p1 , p2 , · · · , pt jan¨e pika ﬁkse t¨e p¨erbashk¨eta t¨e blloqeve A, B. Formojm¨e bashk¨esit¨e: S1 = {a11 − b11 , · · · , a11 − b1S1′ , a12 − b11 , · · · , a12 − b1S1′ , · · · , a1S1 − b11 , · · · , a1S1 − b1S1′ }, ··· Sr = {ar1 − br1 , · · · , ar1 − brSr′ , ar2 − br1 , · · · , ar2 − brSr′ , · · · , arSr − br1 , · · · , arSr − brSr′ }. Nga Pohimi 2.1.3, kishim: S(A, B) =

∑

Si Si′ = p(λ − t).

Sh¨enojm¨e me: r

S(A, B) = ∪ Sj . j=1

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

34

Me an¨e t¨e bashk¨esis¨e S(A, B) jepet kriteri q¨e dy blloqe t¨e orbitave t¨e ndryshme t¨e ken¨e λ pika t¨e p¨erbashk¨eta. Pohimi 2.2.3. Le t¨e jen¨e A, B dy blloqe t¨e indeksuar q¨e ndodhen n¨e ⟨α⟩-orbita t¨e ndryshme dhe kan¨e t pika ﬁkse t¨e p¨erbashk¨eta. |A ∩ B α | = λ, (i = 1, · · · , p − 1) i

at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, n¨ese S(A, B) = {0, · · · , 0, 1, · · · , 1, · · · , p − 1 · · · , p − 1}, ku ¸cdo i ∈ Z Zp paraqitet λ − t her¨e n¨e S(A, B). Si rrjedhim i k¨etij pohimi ¨esht¨e: Pohimi 2.2.4. |Aα ∩ B α | = λ, p¨er ¸cdo i, j ∈ Z Zp ⇔ S(A, B) = {0, · · · , 0, 1, · · · , i

j

1, · · · , p − 1 · · · , p − 1}, ku ¸cdo i ∈ Z Zp paraqitet λ − t her¨e. P¨ erkufizimi 2.2.1. Bashk¨esia H(B) quhet bashk¨esia e diferencave t¨e Hammingut, nd¨ersa S(A, B) quhet bashk¨esia e diferencave t¨e prodhimit t¨e loj¨es. Pas indeksimit t¨e struktur¨es orbitore, paraqitet problemi i largimit t¨e rasteve izomorfe. P¨er k¨et¨e q¨ellim duhet zbatuar permutacione ndihm¨ese t¨e cilat i ﬁksojn¨e apo i permutojn¨e G-orbitat (si bashk¨esi). N¨e rast t¨e ve¸cant¨e, kur G-orbitat jan¨e triviale, permutacionet e tilla duhet t’i ruajn¨e pikat dhe blloqet ﬁkse. K¨eto kushte i siguron Pohimi 2.2.5. Le t¨e jet¨e G ≤Aut(D). Permutacioni β (β ∈ S(P) × S(B) ku S(S) ¨esht¨e grupi simetrik i bashk¨esis¨e S ) i ruan G-orbitat, at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur β e normalizon grupin G. V¨ ertetimi. Supozojm¨e q¨e β e normalizon G-n¨e. At¨eher¨e p¨er ¸cdo g ∈ G, ekziston h ∈ G ashtu q¨e β −1 gβ = h. Po t¨e jen¨e qi , qj pika t¨e nj¨e G-orbite, at¨eher¨e ekziston g ∈ G, ashtu q¨e qj = qi g . Nga qj β = (qi g )β = qi βh rrjedh se qi β dhe qj β i takojn¨e t¨e nj¨ejt¨es G-orbit¨e. Anasjelltas, v¨ertetimi ¨esht¨e trivial. N¨e qoft¨e se β e normalizon grupin ⟨α⟩, pra n¨ese β −1 αβ = αk , ku αk ¨esht¨e gjenerator i ⟨α⟩, at¨eher¨e p¨er pik¨en ﬁkse q t¨e kolineacionit α kemi: q β = q αβ = q βα

k β −1 β

k

= q βα ,

q¨e do t¨e thot¨e se edhe q β ¨esht¨e pik¨e ﬁkse p¨er kolineacionin α. Pra β i ruan edhe pikat ﬁkse, gjegj¨esisht blloqet ﬁkse. N¨e k¨et¨e rast, β i permuton ⟨α⟩-orbitat (numrat

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

orbitor), kurse indeksat x ∈ {0, 1, · · · , p − 1} i pasqyron n¨e kx gjithashtu nga

(

k

Dβ = (Dα )β = Dβα = Dβ

35

(mod p). N¨e k¨et¨e rast

)α

shohim se α vepron edhe n¨e Dβ dhe D ∼ = Dβ . Kjo tregon se normalizatori i grupit ⟨α⟩ mund t¨e zbatohet p¨er t’i eliminuar bllok skemat izomorfe. N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e bllok skemat nd¨ertohen t¨e ndryshme nd¨ermjet veti deri n¨e izomorﬁz¨em. N¨e ve¸canti, kur β e centralizon ⟨α⟩, gjegj¨esisht kur αβ = βα, at¨eher¨e β i ﬁkson indeksat. Permutacionet q¨e m¨e s¨e shumti p¨erdoren p¨er reduktim jan¨e, t¨e ashtuquajturat, permutacione t¨e shkurt¨era. N¨e fakt, po ta japim veprimin e kolineacionit α n¨e pikat joﬁkse me (10 , 11 , · · · , 1p−1 )(20 , 21 , · · · , 2p−1 ) · · · (S0 , S1 , · · · , Sp−1 ), at¨eher¨e permutacionet αI = (I0 , I1 , · · · , Ip−1 ),

I = 1, 2, · · · , S

komutojn¨e me kolineacionin α, k¨eshtu q¨e duke zbatuar αI , indeksin e ¸cdo numri orbitor I (n¨e nj¨e paraqitje t¨e tij) mund ta zgjedhim sipas d¨eshir¨es.

2.3. Format kanonike dhe kuptimi i G-izomorfizmit Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike dhe G grup i automorﬁzmeve t¨e D, d.m.th. G ≤ Aut(D). P¨er X ∈ B, p ∈ P, g ∈ G sh¨enojm¨e me Xg, pg g-ﬁgurat e p dhe X, nd¨ersa me XG = {Xg|g ∈ G}, pG = {pg|g ∈ G} sh¨enojm¨e ¨ e e njohur q¨e numri i orbitave t¨e pikave ¨esht¨e G-orbitat e X dhe p, p¨erkat¨esisht. Esht¨ i barabart¨e me numrin e orbitave t¨e blloqeve. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me t, nd¨ersa orbitat p¨erkat¨ese me Bi , Pr , 1 ≤ i, r ≤ t. at¨eher¨e t

B = ⊔ Bi , i=1

t

P = ⊔ Pr . r=1

(1)

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

36

ku Bi = Xi G, Pr = pr G p¨er ndonj¨e Xi ∈ B, pr ∈ P, 1 ≤ i, r ≤ t. Simboli ⊔ ¨esht¨e p¨erdorur p¨er unionin e bashk¨esive disjunkte. Sh¨enojm¨e |Bi | = mi , |Pr | = nr . Nga (1) dhe p¨erkuﬁzimi i bllok skem¨es simetrike rrjedh q¨e: ∑

mi =

∑

nr = v,

(2)

r

i

i dhe r l¨evizin n¨ep¨er bashk¨esin¨e {1, 2, · · · , t}. Le t¨e jet¨e X ∈ Bi dhe p ∈ Pr . At¨eher¨e| ⟨X⟩ ∩ Pr | = | ⟨X⟩ g ∩ Pr g| = | ⟨Xg⟩ ∩ Pr |, p¨er ¸cdo g ∈ G, ku me ⟨X⟩ kemi sh¨enuar p¨erb¨erjen e bllokut X. Meq¨e XG = Bi shohim q¨e | ⟨X⟩ ∩ Pr | = γir nuk varet nga zgjedhja e bllokut X, por vet¨em nga Bi dhe Pr . Ngjash¨em, | ⟨p⟩ ∩ Bi | = Γir nuk varet nga zgjedhja e pik¨es p. Nga (1) dhe p¨erkuﬁzimi i bllok skem¨es simetrike rrjedh q¨e ∑ r

γir =

∑

Γir = k.

(3)

i

P¨ erkufizimi 2.3.1. Matrica (γir ) e tipit t × t, rreshtat e t¨e cil¨es i plot¨esojn¨e kushtet e gjat¨esis¨e s¨e Hamming-ut, kushtet e prodhimit t¨e loj¨es dhe relacionet (2) e (3) quhet struktur¨e orbitore e bllok skem¨es simetrike D n¨e lidhje me grupin G. P¨ erkufuzim 2.3.2. Le t¨e jen¨e S1 dhe S2 dy struktura orbitore t¨e nj¨e bllok skeme simetrike D = (P, B, I). N¨e qoft¨e se ekziston nj¨e permutacion f : S1 → S2 i cili i pasqyron rreshtat e S1 n¨e rreshta t¨e S2 dhe shtyllat e S1 n¨e shtylla t¨e S2 , at¨eher¨e f quhet izomorﬁz¨em i struktur¨es orbitore S1 n¨e struktur¨en orbitore S2 dhe themi se strukturat orbitore S1 dhe S2 jan¨e izomorfe me nj¨era-tjetr¨en. P¨ erkufizim 2.3.3. Le t¨e jet¨e S nj¨e struktur¨e orbitore e nj¨e bllok skeme simetrike D = (P, B, I). Struktura orbitore S e cila ﬁtohet me transponimin e struktur¨es orbitore S quhet struktur¨e duale e struktur¨es S. P¨ erkufizim 2.3.4. Le t¨e jen¨e S1 dhe S2 dy struktura orbitore t¨e nj¨e bllok skeme simetrike D = (P, B, I) dhe S2′ struktura duale e struktur¨es orbitore S2 . Izomorﬁzmi i struktur¨es S1 n¨e struktur¨en S2′ quhet dualitet. P¨ erkufizim 2.3.5. N¨e qoft¨e se nj¨e struktur¨e orbitore S ¨esht¨e izomorfe me struktur¨en e saj duale S ′ , ajo quhet struktur¨e vet-duale.

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

37

Themi se {S1, ..., Sp} jan¨e t¨er¨e strukturat orbitore (t¨e nj¨e bllok skeme simetrike) deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, n¨ese p¨er ¸cdo struktur¨e orbitore S (t¨e asaj bllok skeme simetrike) ekziston indeksi i (0 < i < p + 1) i till¨e q¨e S ¨esht¨e izomorfe me Si ose S ′ ¨esht¨e izomorfe me Si (ku S ′ ¨esht¨e duali i S). Le t¨e jet¨e pr ∈ P dhe Pr ≡ pr G. Pikat e Pr i sh¨enojm¨e me pr0 = pr , pr1 , · · · , prnr −1 , ose n¨e nj¨e m¨enyr¨e m¨e t¨e p¨ershtat¨eshme me r0 , r1 , · · · , rnr −1 . N¨e k¨et¨e kontekst shpesh r quhet ”pik¨e e madhe”. K¨eshtu Pr = {r0 , r1 , · · · , rnj −1 }. Tani, p¨er secil¨en orbit¨e Pr grupi i automorﬁzmeve G paraqitet si grup permutacionesh mbi bashk¨esin¨e e indeksave 0, 1, · · · , nj − 1. Ngjash¨em vlen edhe p¨er orbitat e blloqeve. Le t¨e jen¨e X, Y ∈ B. Nga p¨erkuﬁzimi i bllok skem¨es rrjedh q¨e X ̸= Y at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur ⟨X⟩ ̸= ⟨Y ⟩. Prandaj blloqet mund t’i konsiderojm¨e si bashk¨esi t¨e pikave t¨e tyre, k¨eshtu q¨e e identiﬁkojm¨e X me ⟨X⟩. M¨e tutje do t¨e supozojm¨e q¨e bllok skemat simetrike shkruhen si bashk¨esi t¨e blloqeve, secili i paraqitur me bashk¨esin¨e e pikave t¨e tij. Si hap i r¨end¨esish¨em ¨esht¨e futja e kuptimit t¨e formave kanonike t¨e blloqeve dhe bllok skemave. P¨ erkufizimi 2.3.6. Le t¨e jet¨e dh¨en¨e renditja nd¨ermjet orbitave t¨e pikave. Le t¨e jet¨e X ∈ B dhe ⟨X⟩ =

⊔t r=1

˜ i pikave (⟨X⟩ ∩ Pr ). At¨eher¨e ekziston vargu i vet¨em X

t¨e ⟨X⟩ i gjat¨esis¨e k, i till¨e q¨e ˜ ∈ ⟨X⟩ p¨er 1 ≤ i ≤ k dhe X(i) ˜ ̸= X(j) ˜ (i) X(i) p¨er i ̸= j ˜ ∈ Pr , X(j) ˜ ∈ Ps dhe r < s, at¨eher¨e i < j (ii) n¨ese X(i) ˜ ˜ ˜ = ra , X(j) ˜ (iii) n¨ese X(i), X(j) ∈ Pr , X(i) = rb dhe a < b, at¨eher¨e i < j. ˜ quhet form¨e kanonike e X. N¨e vazhdim do t’i identiﬁkojm¨e X ˜ me X. Vargu X

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

38

˜ Y˜ Le t¨e jen¨e X dhe Y dy blloqe n¨e t¨e nj¨ejt¨en struktur¨e orbitore dhe le t¨e jen¨e X, ˜ i paraprin Y˜ n¨e format kanonike t¨e tyre. At¨eher¨e X i paraprin Y kanonikisht n¨ese X m¨enyr¨e natyrore(leksikograﬁke) n¨e kuptim t¨e indeksave t¨e ’pikave t¨e m¨edha’. Supozojm¨e q¨e jan¨e dh¨en¨e renditjet nd¨ermjet orbitave t¨e pikave dhe nd¨ermjet ˜ i p¨erb¨er¨e nga blloqet kanonike orbitave t¨e blloqeve. At¨eher¨e ekziston vargu i vet¨em D D(i) t¨e D ashtu q¨e: ˜ ∈ Bi , p¨er 1 ≤ i ≤ t; (a) D(i) ˜ iu paraprin blloqeve tjera n¨e Bi kanonikisht. (b) D(i) ˜ ˜ dhe D jan¨e n¨e korrespondenc¨e 1 − 1. Vargu D ˜ quhet form¨e Meq¨e Bi = D(i)G, D kanonike e D (n¨e lidhje me {Bi }, {Pr }, G). ˜ me D. N¨e vazhdim do t¨e identiﬁkojm¨e D Le t¨e jen¨e D1 dhe D2 dy bllok skema simetrike me t¨e nj¨ejt¨en struktur¨e orbitore. ˜ 1 i paraprin D ˜ 2 n¨e m¨enyr¨e leksikograﬁke At¨eher¨e D1 i paraprin D2 kanonikisht n¨ese D n¨e kuptim t¨e paraprirjes kanonike t¨e blloqeve t¨e tyre. Kuptimi i G-izomorﬁzmit t¨e bllok skemave do t¨e jet¨e shum¨e i r¨end¨esish¨em p¨er konstruktimin e bllok skemave simetrike. P¨ erkufizimi 2.3.7. Le t¨e jen¨e D1 = (P, B, I1 ) dhe D2 = (P, B, I2 ) dy bllok skema, dhe G ≤ Aut(D1 ) ∩ Aut(D2 ) ≤ S = S(P) × S(B), ku me S(S) kemi sh¨enuar grupin simetrik t¨e bashk¨esis¨e S. Bijeksioni α ∈ S ¨esht¨e G-izomorﬁz¨em prej D1 n¨e D2 n¨ese: (i) α ¨esht¨e izomorﬁz¨em nga D1 n¨e D2 ; dhe (ii) ekziston automorﬁzmi τ : G → G i till¨e q¨e p¨er ¸cdo p, q ∈ P dhe ¸cdo g ∈ G: (pα)(gτ ) = qα ⇔ pg = q. N¨ese I1 = I2 ⊆ P × B, at¨eher¨e α ¨esht¨e G-automorﬁz¨em. Rrjedh Lema 2.3.1.([13],54) Kushti (ii) nga p¨erkuﬁzimi 2.3.3 ¨esht¨e ekuivalent me α ∈ NS (G), d.m.th. α e normalizon G n¨e S.

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

39

V¨ ertetimi. Nga (pα)(gτ ) = qα dhe pg = q rrjedh (pα)(gτ ) = pgα. K¨eshtu q¨e, α(gτ ) = gα dhe, gτ = α−1 gα, ∀g ∈ G. K¨eshtu α−1 Gα = Gτ = G dhe k¨eshtu α ∈ NS (G). E anasjellta ¨esht¨e triviale. Rrjedhim i drejtp¨erdrejt¨e i p¨erkuﬁzimit t¨e G-izomorﬁzmit dhe Lem¨es 2.4.1 ¨esht¨e Lema 2.3.2. ([13],54) Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) bllok skem¨e simetrike, G ≤ Aut(D), S ≡ S(P) × S(B) dhe α ∈ NS (G). At¨eher¨e D ¨esht¨e G-izomorfe me bllok skem¨en Dα = (P, B, Iα ) p¨er t¨e cil¨en (pα, Xα) ∈ Iα ⇔ (p, X) ∈ I.

2.4. Nd¨ ertimi i bllok skemave simetrike me an¨ e t¨ e automorfizmeve K¨etu do t¨e japim algoritmin p¨er nd¨ertimin dhe klasiﬁkimin e bllok skemave simetrike me parametra (v, k, λ) me grupin e dh¨en¨e t¨e automorﬁzmeve. Algorit¨ em 2.4.1 ([13],54)Le t¨e jet¨e D = (P, B, I) nj¨e 2 − (v, k, λ) bllok skem¨e simetrike, G ≤ Aut(D) dhe S ≡ S(P) × S(B). Le t¨e jen¨e P1 , · · · , Pt dhe B1 , · · · , Bt G-orbitat e pikave dhe t¨e blloqeve n¨e renditje t¨e dh¨en¨e dhe Wi = |Bi |, wr = |Pr |, p¨er 1 ≤ i, j ≤ t. S¨e pari i nd¨ertojm¨e strukturat e mundshme orbitore R = (γir ) dhe pastaj bllok skemat duke i ”indeksuar” pikat. Hapi 1. Me an¨e t¨e numrit t¨e Hammingut gjejm¨e t¨e gjith¨e vektor¨et (γir )i , ( ku indeksi i jasht¨em paraqet indeks ﬁks), t¨e cil¨et quhen paraqitje orbitore t¨e bllokut nga ′ ′′ orbita e blloqeve Bi . P¨er dy paraqitje orbitore t¨e bllokut (γir )i dhe (γir )j themi se jan¨e ′ ′′ t¨e t¨e nj¨ejtit tip orbitor, n¨ese ekziston α ∈ NS (G) i till¨e q¨e (Bi )α = Bj dhe γir = γjrα

ku (Pr )α = Prα p¨er ¸cdo r, 1 ≤ r ≤ t. Si tip orbitor p¨erfaq¨esues, zgjedhim at¨e paraqitje t¨e bllokut p¨ermes numrave orbitor, e cila ¨esht¨e e para n¨e renditjen e anasjellt¨e n¨e lidhje me renditjen e zakonshme n¨e IN . I rendisim tipet n¨e renditje t¨e p¨erfaq¨esuesve t¨e renditur me parim t¨e nj¨ejt¨e. E zbatojm¨e renditjen e nj¨ejt¨e n¨e paraqitjet e bllokut p¨ermes numrave orbitor me t¨e nj¨ejtin tip. Pas gjetjes s¨e t¨e gjitha tipeve t¨e mundshme p¨er bllokun orbitor, i nd¨ertojm¨e strukturat orbitore parciale. Struktur¨e orbitore parciale e shtres¨es s¨e j-t¨e ¨esht¨e matrica

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

40

∆(j) = (γir ), 1 ≤ i ≤ j, 1 ≤ r ≤ t, rreshtat e t¨e cil¨es e plot¨esojn¨e kushtin e prerjes n¨e λ pika. I rendisim ato n¨e kuptim t¨e renditjes s¨e m¨eparshme t¨e paraqitjeve t¨e bllokut p¨ermes numrave orbitor. Sh¨enojm¨e me ∆(j) bashk¨esin¨e e t¨e gjitha strukturave parciale t¨e shtres¨es s¨e j-t¨e. K¨eto i konstruktojm¨e n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e: (1) ∆(1) p¨erb¨ehet nga t¨e gjitha tipet p¨erfaq¨esuese p¨er orbit¨en e par¨e. (2) E konstruktojm¨e ∆(j) nga ∆(j−1) duke ia bashkangjitur secil¨es ∆(j−1) si rresht t¨e ri, t¨e gjitha strukturat orbitore t¨e bllokut p¨er Bj ashtu q¨e matrica e ﬁtuar ∆(j) t¨e jet¨e struktur¨e orbitore parciale e shtres¨es s¨e j-t¨e. E fusim matric¨en e till¨e ∆(j) brenda shtres¨es ∆(j) , n¨ese nuk mund t¨e eliminohet me an¨e t¨e ndonj¨e α ∈ NS (G) ashtu q¨e ∆(j)α ≻ ∆(j), n¨e kuptim t¨e paraprirjes s¨e struktur¨es parciale t¨e konsideruar si pjes¨e e t¨er¨e struktur¨es. Meq¨e ∆α ¨esht¨e G-izomorfe me ∆, n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e eliminojm¨e num¨er t¨e madh t¨e strukturave orbitore, duke ruajtur vet¨em ato q¨e jan¨e t¨e parat n¨e kuptim t¨e paraprirjes s¨e p¨erkuﬁzuar. N¨e fund t¨e k¨esaj procedure ∆(t) do t¨e jet¨e bashk¨esia e t¨e gjitha strukturave orbitore t¨e mundshme p¨er problemin e dh¨en¨e. Hapi 2. M¨e tutje merremi me secil¨en struktur¨e orbitore ve¸c e ve¸c. K¨eshtu, le t¨e jet¨e ∆ = (γir ) struktur¨e n¨e shqyrtim. P¨er secilin rresht n¨e ∆ konstruktojm¨e orbit¨e pas orbite t¨e gjith¨e rreshtat kanonik t¨e mundsh¨em. N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e nd¨ertojm¨e bashk¨esin¨e D(j) t¨e bllok skemave parciale D(j) t¨e shtres¨es s¨e j-t¨e, p¨er ¸cdo j, 0 ≤ j ≤ t. Le t¨e jet¨e D(0) bashk¨esi e zbraz¨et. Konstruktojm¨e D(j) nga D(j−1) , 1 ≤ j ≤ t, n¨e m¨enyr¨en si vijon: Secil¨es D(j − 1) ∈ D(j−1) ia bashkangjesim t¨e gjitha blloqet kanonike t¨e mundshme t¨e orbit¨es Bj , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e bllok skem¨es dhe kushtet orbitore p¨er Bj . N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e ﬁtojm¨e bllok skemat parciale t¨e shtres¨es s¨e j-t¨e. Ato bllok skema parciale D(j), t¨e cilat nuk mund t¨e eliminohen me gjetjen e α ∈ NS (G) t¨e till¨e q¨e ∆α = ∆, ashtu q¨e D(j)α ≻ D(j) n¨e kuptim t¨e paraprirjes s¨e bllok skemave parciale t¨e konsideruara si pjes¨e t¨e bllok skemave n¨e fjal¨e, i fusim brenda D(j) . N¨e fund t¨e k¨esaj procedure D(t) do t¨e jet¨e bashk¨esia e t¨e gjitha bllok skemave

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

41

t¨e mundshme me struktur¨en orbitore ∆, me an¨e t¨e grupit t¨e dh¨en¨e t¨e automorﬁzmeve G. Nga se jan¨e b¨er¨e eliminimet e cekura m¨e lart¨e, ato paraqiten n¨e form¨en kanonike. Duke kryer k¨et¨e konstruksion p¨er t¨e gjitha strukturat orbitore ∆, i marrim t¨e gjitha bllok skemat e k¨erkuara. Mund t¨e ndodh q¨e nd¨ermjet bllok skemave t¨e nd¨ertuara t¨e ket¨e ndonj¨e izomorfe apo duale izomorfe. Eliminimi i bllok skemave t¨e tilla ¨esht¨e hapi i fundit n¨e zgjidhjen e problemit t¨e dh¨en¨e.

2.5. Bllok skemat simetrike me rendin n ≤ 25 N¨e vazhdim po i japim t¨e arriturat e deritashme p¨er bllok skemat simetrike me rend deri 25, p¨erve¸c rrafsheve projektive dhe bllok skemave t¨e Hadamardit:

Nr

Parametrat

Rendi i bllok skem¨es

Numri i bllok skemave

simetrike

simetrike (Ekzistenca) ([7],118)

1

(16,6,2)

4

>0

2

(25,9,3)

6

>0

3

(37,9,2)

7

>0

4

(31,10,3)

7

>0

5

(56,11,2)

9

>0

6

(45,12,3)

9

>0

7

(40,13,4)

9

>0

8

(36,15,6)

9

>0

9

(41,16,6)

10

>0

10

(79,13,2)

11

>0

11

(49,16,5)

11

>0

12

(71,15,3)

12

>0

13

(61,16,4)

12

>0

14

(81,16,3)

13

?

15

(69,17,4)

13

>0

16

(121,16,2)

14

?

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

Nr

Parametrat

Rendi i bllok skem¨es

Numri i bllok skemave

simetrike

simetrike (Ekzistenca) ([7],118)

17

(71,21,6)

15

>0

18

(61,25,10)

15

>0

19

(154,18,2)

16

?

20

(115,19,3)

16

?

21

(96,20,4)

16

>0

22

(85,21,5)

16

>0

23

(78,22,6)

16

>0

24

(70,24,8)

16

>0

25

(66,26,10)

16

>0

26

(64,28,12)

16

>0

27

(191,20,2)

18

?

28

(79,27,9)

18

>0

29

(211,21,2)

19

?

30

(155,22,3)

19

?

31

(101,25,6)

19

>0

32

(85,28,9)

19

?

33

(139,24,4)

20

?

34

(121,25,5)

20

>0

35

(131,26,5)

21

?

36

(109,28,7)

21

>0

37

(85,36,15)

21

?

38

(201,25,3)

22

?

39

(127,28,6)

22

?

40

(97,33,11)

22

?

41

(301,25,2)

23

?

42

(103,34,11)

23

?

42

¨ II. NDERTIMI DHE KLASIFIKIMI I BLLOK SKEMAVE SIMETRIKE

Nr

Parametrat

Rendi i bllok skem¨es

Numri i bllok skemave

simetrike

simetrike (Ekzistenca) ([7],118)

46

(175,30,5)

25

>0

43

(352,27,2)

25

?

44

(253,28,3)

25

?

45

(204,29,4)

25

?

47

(156,31,6)

25

>0

48

(133,33,8)

25

>0

49

(120,35,10)

25

?

50

(112,37,12)

25

?

51

(105,40,15)

25

>0

52

(100,45,20)

25

>0

43

Rezultate t¨e konsiderueshme ekzistojn¨e edhe p¨er bllok skemat simetrike t¨e rendeve m¨e t¨e larta se 25. Bllok skema simetrike t¨e rendit katror m¨e t¨e madh se 25 jan¨e ato t¨e rendit 36, p¨er t¨e cilat ¨esht¨e punuar mjaft shum¨e ([19]), nd¨ersa numri tjet¨er me radh¨e q¨e ¨esht¨e katror ¨esht¨e 49-shi. P¨er bllok skemat simetrike t¨e rendit 49 dihet se plot¨esohet kushti i teorem¨es Bruck-Ryser-Chowla. N¨e lidhje me bllok skemat simetrike t¨e rendit 49, mund t¨e themi se ¨esht¨e punuar fare pak. Kjo ¨esht¨e edhe si pasoj¨e e faktit q¨e ndihma e kompjuter¨eve t¨e koh¨es ka qen¨e modeste. Mir¨epo me zhvillimin e teknologjis¨e s¨e kompjuter¨eve, jan¨e shtuar gjasat q¨e t¨e mund t’i hyhet hulumtimit edhe p¨er bllok skemat simetrike t¨e rendit 49.

¨ RENDIT III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE 49

3.1. Problemet e hapura n¨ e lidhje me bllok skemat simetrike t¨ e rendit 49 P¨er bllok skemat simetrike t¨e rendit 49 deri tash ka pak studime. Nj¨e prej arsyeve ¨esht¨e se deri n¨e dit¨et tona nuk ka qen¨e e mjaftueshme ndihma e kompjuter¨eve. P¨erve¸c tri punimeve t¨e publikuara ([38],[10],[11]) t¨e cilat shqyrtojn¨e veprimin e grupit t¨e caktuar n¨e dizajne t¨e supozuara me parametra t¨e caktuar, ende mbetet problem i hapur ekzistenca, nd¨ertimi dhe klasiﬁkimi i bllok skemave simetrike t¨e k¨etij rendi. Pasi q¨e k¨eto bllok skema jan¨e t¨e rendit katror (n = m2 ), Teorema e BruckRyser-Chowla plot¨esohet menj¨eher¨e (nj¨e zgjidhje jotriviale e ekuacionit z 2 = m2 x2 + √ (−1)(v−1)/2 λy 2 ¨esht¨e (x, y, z) = (1, 0, m), ku m = n ), prandaj bllok skema t¨e tilla mund t¨e ekzistojn¨e. Bllok skemat simetrike t¨e rendit 49, si¸c dihet, ndodhen nd¨ermjet bllok skemave t¨e Hadamardit t¨e rendit 49 dhe rrafsheve projektive t¨e rendit 49, prandaj p¨er numrin v t¨e pikave t¨e k¨etyre bllok skemave vlen 195 ≤ v ≤ 2451. Nga n = k − λ = 49, dhe v =

k(k−1) λ

+ 1 gjejm¨e 15 mund¨esi p¨er parametrat e

mundsh¨em (v, k, λ), q¨e po i japim n¨e k¨et¨e tabel¨e: 44

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

Nr Parametrat Ekzistenca

45

Em¨ertimi (Seria)

1

(2451,50,1)

+

Rrafshet projektive P G(2, 49)

2

(1276,51,2)

?

3

(885,52,3)

?

4

(690,53,4)

?

5

(496,55,6)

?

6

(441,56,7)

+

Seria 1 (e Wallis-it)

7

(400,57,8)

+

P G2 (3, 7)

8

(306,61,12)

?

9

(280,63,14)

?

10

(261,65,16)

?

11

(231,70,21)

?

12

(220,73,24)

?

13

(210,77,28)

?

14

(196,91,42)

≥ 62

Seria 2 (Seria e Menonit)

15

(195,97,48)

+

Seria e Hadamardit

Shenja + tregon ekzistenc¨en, shenja ≥ tregon ekzistenc¨en e nj¨e numri bllok skemash, nd¨ersa shenja ? tregon se nuk dihet p¨er ekzistenc¨en (jo ekzistenc¨en) e bllok skem¨es simetrike me parametra t¨e dh¨en¨e. Si¸c shihet nga tabela, dihet ekzistenca bllok skemave simetrike si n¨e vijim: − (2451,50,1), Rrafshi projektiv (P G(2, 49)), − (441,56,7), Seria 1 (Seria e Wallisit), − (400,57,8), Seria natyrore (P G2 (3, 7)), − (196, 91,42), Seria 2 (e Menonit), − (195,97,48), Seria e Hadamardit. P¨er bllok skemat me num¨er 14, nga tabela, jan¨e nd¨ertuar 62 bllok skema ([10],[11]) me grupet F13·6 × Z Z3 dhe F7·3 × Z Z6 , edhe pse mbetet ende problem i hapur klasiﬁkimi i tyre. P¨er bllok skemat me num¨er 10, nga tabela, ¨esht¨e treguar se grupi

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

46

F29·7 nuk vepron n¨e ato bllok skema ([38]). N¨e k¨et¨e disertacion t¨e doktorat¨es ¨esht¨e hulumtuar ekzistenca e bllok skemave simetrike t¨e rendit 49 duke vepruar me grupe t¨e caktuara t¨e kolineacioneve. Bllok skemat e studiuara mbajn¨e numrat rendor 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13,14 dhe 15 nga tabela e dh¨en¨e n¨e faqen 45. P¨er bllok skemat me numrat rendor 2 deri 3 nuk ¨esht¨e b¨er¨e studimi, p¨er arsye t¨e v¨eshtir¨esive q¨e shkakton numri i pikave relativisht i madh n¨e krahasim me parametrin λ. Sipas specialist¨eve t¨e k¨esaj l¨emie, si¸c jan¨e Janko, Hall, Hughes e t¨e tjer¨e, supozohet se k¨eto bllok skema simetrike nuk ekzistojn¨e fare.

3.2. Bllok skemat simetrike (690, 53, 4) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e grupit t¨ e Frobeniusit F53·4 t¨ e rendit 212 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (690, 53, 4). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi i Frobeniusit G = F53·4 = ⟨ρ, µ|ρ53 = µ4 = 1, ρµ = ρ23 ⟩ i rendit 212. Lema 3.2.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (690, 53, 4) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 53, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 690 (mod 53), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 53). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 54}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 54 dhe λ = 4, sepse nuk ekziston λ ∈ IN q¨e plot¨eson 4(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 13 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 53. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . ,

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

47

pi52 }, i = 1, 2, . . . , 13, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er t¨e dy p¨erftuesit e grupit mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 152 )(20 21 · · · 252 ) · · · (130 131 · · · 1352 ), nd¨ersa kolineacioni µ i rendit 4 vepron n¨e bllok skem¨e ashtu q¨e i ﬁkson numrat orbitor, nd¨ersa n¨e indeksa vepron µ : x → 23x (mod 53) ose µ = (0)(1, 23, 52, 30)(2, 46, 51, 7)(3, 16, 50, 37)(4, 39, 49, 14)(5, 9, 48, 44)(6, 32, 47, 21) (7, 2, 46, 51)(8, 25, 45, 28)(10, 18, 43, 35)(11, 41, 42, 12)(13, 34, 40, 19)(15, 27, 38, 26) (17, 20, 36, 33) k¨eshtu q¨e shum¨eﬁshitetet e numrave orbitor do t¨e jen¨e ≡ 0, 1 (mod 4). Bllokun ⟨ρ⟩–ﬁks t¨e bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = 153 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩–orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 9a9 10a10 11a11 12a12 13a13 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , a11 , a12 , a13 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 dhe 13 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 53, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 = 52. Kushti |L1 ∩ L2 | = 4 sjell a1 = 4. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ|−1)(λ−1) = (53−1)·(4−1) = 156 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) + a10 (a10 − 1) + a11 (a11 − 1)+ a12 (a12 − 1) + a13 (a13 − 1) = 156

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

48

ose a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) + a10 (a10 − 1) + a11 (a11 − 1)+ a12 (a12 − 1) + a13 (a13 − 1) = 144 dhe 0 ≤ ai ≤ 12, i = 2, 3, . . . , 13. Meq¨e blloku L2 ¨esht¨e µ−invariant, kemi ai ≡ 0, 1 (mod 4), i = 1, 2, · · · , 13. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ a7 ≥ a8 ≥ a9 ≥ a10 ≥ a11 ≥ a12 ≥ a13 . Ekziston vet¨em nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , i cili i plot¨eson kushtet e p¨ermendura: 1.

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 1b7 7b8 1b8 9b9 10b10 11b11 12b12 13b13 , ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 + b11 + b12 + b12 + b13 = 53. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 4, kemi b1 = 4 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 + b11 + b12 + b12 + b13 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 52 · 4 = 208 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1)+ a7 (b7 − 1) + b8 (b8 − 1) + b9 (b9 − 1) + b10 (b10 − 1) + b11 (b11 − 1)+ b12 (b12 − 1) + b13 (b13 − 1) = 208 b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1)+ ose

b7 (b7 − 1) + b8 (b8 − 1) + b9 (b9 − 1) + b10 (b10 − 1) + b11 (b11 − 1)+ b12 (b12 − 1) + b13 (b13 − 1) = 196 dhe 0 ≤ bi ≤ 14, i = 2, 3, . . . , 13.

Meq¨e blloku L3 ¨esht¨e µ−invariant, kemi bi ≡ 0, 1

(mod 4), i = 1, 2, · · · , 13.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

49

Meq¨e Sp(L2 , L3 ) − |ρ| · λ = 53 · 4 = 212, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 + a6 b6 + a7 b7 + a8 b8 + a9 b9 + a10 b10 + a11 b11 + a12 b12 + a13 b13 = 212. Ekzistojn¨e 190080 tipe orbitore p¨er bllokun L3 t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e. 1.

4 9 5 5 4 4 4 4 4 4 4 1 1

2.

4 9 5 5 4 4 4 4 4 4 1 4 1

3.

4 9 5 5 4 4 4 4 4 4 1 1 4

4.

4 9 5 5 4 4 4 4 4 1 4 4 1

5.

4 9 5 5 4 4 4 4 4 1 4 1 4

··· 190076.

4 0 1 4 4 4 4 4 8 5 5 5 5

190077.

4 0 1 4 4 4 4 4 5 8 5 5 5

190078.

4 0 1 4 4 4 4 4 5 5 8 5 5

190079.

4 0 1 4 4 4 4 4 5 5 5 8 5

190080.

4 0 1 4 4 4 4 4 5 5 5 5 8

¨ e e qart¨e q¨e, n¨e mesin e kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ndodhen edhe blloqet Esht¨ L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 , L13 , L14 . Prandaj, nevojitet q¨e nga bashk¨esia e ﬁtuar e kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , t¨e gjejm¨e dymb¨edhjet¨eshet e blloqeve {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 , L13 , L14 } ¸cdo dy prej t¨e cilave jan¨e kompatibile (plot¨esojn¨e prodhimin e loj¨es) n¨e mes veti. Duke vepruar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e, me kompjuter, kemi v¨ertetuar q¨e nuk ekziston asnj¨e 7-she blloqesh {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 }. Nj¨e gjasht¨eshe kompatibile {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 }, duket:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

1. Blloku

50

nr. b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13

L3

1980

4

8

5

5

5

5

4

4

4

4

4

1

0

L4

23439

4

5

5

5

5

0

4

4

4

4

4

1

8

L5

91987

4

4

5

5

1

4

8

5

4

4

0

5

4

L6

92150

4

4

5

5

1

4

5

0

4

4

8

5

4

L7

92379

4

4

5

5

1

4

0

8

4

4

5

5

4

L8

178173

4

0

5

5

5

8

4

4

4

4

4

1

5

Rrjedhimisht, nuk ekziston asnj¨e struktur¨e orbitore gjat¨e veprimit t¨e grupit n¨e bllok skem¨en simetrike me parametra (690, 53, 4). N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Teorema 3.2.2. Nuk ekziston bllok skema simetrike me parametra (690, 53, 4) n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit F53·4 i rendit 212.

3.3. Bllok skemat simetrike (496, 55, 6) t¨ e rendit 49 55 8 me ndihm¨ en e grupit G = ⟨ρ, τ |ρ = τ = 1, ρτ = ρ⟩ t¨ e rendit 440 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (496, 55, 6). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi G = ⟨ρ, τ |ρ55 = 1, τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩, i rendit 440. Lema 3.3.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (496, 55, 6) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutG. N¨ese |⟨ρ⟩| = 55, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 496 (mod 55), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 55) Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 56}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 56 dhe λ = 6, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 6(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

51

N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 9 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 55. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi54 }, i = 1, 2, . . . , 9, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ, mund t¨e shkruajm¨e: (∞)(10 11 · · · 154 )(20 21 · · · 254 )(30 31 · · · 354 ) · · · (90 91 · · · 954 ) nd¨ersa kolineacioni τ i rendit 8, i cili komuton me kolineacionin ρ, vepron n¨e bllok skem¨e ashtu q¨e n¨e indeksa vepron τ : x → x (mod 55), nd¨ersa n¨e numra orbitor vepron: τ = (1)(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). N¨e m¨enyr¨e t¨e drejt¨ep¨erdrejt¨e merret Rrjedhimi 3.3.2. Elementi τ i grupit G i rendit 8 fikson pik¨erisht 56 pika dhe 56 blloqe t¨e bllok skem¨es D. Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es mund ta shkruajm¨e: L1 = 155 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 9a9 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor¨e 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dhe 9 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 55, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 = 54. Kushti |L1 ∩ L2 | = 6 sjell a1 = 6. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = 54 · 5 = 270 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) = 270

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

52

ose a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) = 240 dhe 0 ≤ ai ≤ 16, i = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ekziston nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , i cili i plot¨eson kushtet e p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

6 6 6 6 6 6 6 6 6

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ , ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 8b8 9b9 ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 = 55. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 6, kemi b1 = 6 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ − 1) · λ = 54 · 6 = 324 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) = 324 ose b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) + a9 (a9 − 1) = 294 dhe 0 ≤ bi ≤ 18, i = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 55 · 6 = 330, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 + a6 b6 + a7 b7 + a8 b8 + a9 b9 = 330. Ekzistojn¨e 134464 tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

53

p¨ermendura me par¨e. 1.

6 12 7 5 5 5 5 5 5

2.

6 12 6 6 6 5 5 5 4

3.

6 12 6 6 6 5 5 4 5

4.

6 12 6 6 6 5 4 5 5

5.

6 12 6 6 6 4 5 5 5 ···

134460.

6 1 4 6 7 8 8 8 7

134461.

6 1 4 6 7 8 8 7 8

134462.

6 1 4 6 7 8 7 8 8

134463.

6 1 4 6 7 7 8 8 8

134464.

6 0 7 7 7 7 7 7 7

¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet blloqeve L3 , jan¨e poashtu blloqet L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , Esht¨ L9 , L10 . P¨er k¨et¨e shkak, ne zgjedhim tet¨eshet {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 , L10 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre e plot¨eson kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. Duke vepruar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e n¨e gjet¨em 12879 struktura orbitore. Ishte e pamundur t¨e gjendet numri i sakt¨e i strukturave orbitore t¨e ndryshme deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, p¨er shkak t¨e koh¨es s¨e gjat¨e kompjuterike. N¨e shtojc¨e jan¨e dh¨en¨e programet kompjuterike t¨e shkruara n¨e gjuh¨en programore C, me t¨e cilat i gjet¨em k¨eto struktura orbitore. N¨e vazhdim veprojm¨e me kolineacionin τ t¨e rendit 8, i cili komuton me kolineacionin ρ. Blloqet L1 dhe L2 , jan¨e τ −invariante, prandaj p¨er shum¨eﬁshitetet e bllokut orbitor L2 vlen a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = a8 = a9 . P¨er paraqitjet e tet¨e blloqeve {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 , L10 }, p¨ermes shum¨eﬁshiteteve, mund t¨e shkruajm¨e:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

54

L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 8b8 9b9 Lτ3 = L4 = 1b1 2b3 3b4 4b5 5b6 6b7 7b8 8b9 9b2 2

Lτ3 = L5 = 1b1 2b4 3b5 4b6 5b7 6b8 7b9 8b2 9b3 3

Lτ3 = L6 = 1b1 2b5 3b6 4b7 5b8 6b9 7b2 8b3 9b4 4

Lτ3 = L7 = 1b1 2b6 3b7 4b8 5b9 6b2 7b3 8b4 9b5 5

Lτ3 = L8 = 1b1 2b7 3b8 4b9 5b2 6b3 7b4 8b5 9b6 6

Lτ3 = L9 = 1b1 2b8 3b9 4b2 5b3 6b4 7b5 8b6 9b7 7

Lτ3 = L10 = 1b1 2b9 3b2 4b3 5b4 6b5 7b6 8b7 9b8 Duke pas¨e parasysh¨e q¨e blloqet {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 dhe L10 }, duhet t¨e plot¨esojn¨e kushtin e prerjes n¨e 6 pika t¨e ¸cdo dy prej tyre, me kompjuter, gjejm¨e se ekziston vet¨em nj¨e struktur¨e orbitore:

SO

1

55

55

55

55

55

55

55

55

55

0

55

0

0

0

0

0

0

0

0

1

6

6

6

6

6

6

6

6

6

0

6

7

7

7

7

7

7

7

0

0

6

7

7

7

7

7

7

0

7

0

6

7

7

7

7

7

0

7

7

0

6

7

7

7

7

0

7

7

7

0

6

7

7

7

0

7

7

7

7

0

6

7

7

0

7

7

7

7

7

0

6

7

0

7

7

7

7

7

7

0

6

0

7

7

7

7

7

7

7

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO) = Σ{2,3,4,5,6,7,8,9} i rendit |Aut(SO)| = 40320.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

55

K¨etu, automorﬁzmi x i struktur¨es orbitore ¨esht¨e permutacioni i rreshtave i vijuar me permutacionin e shtyllave ashtu q¨e veprimi i till¨e x n¨e matric¨e, e len at¨e t¨e ¨ e e qart¨e q¨e bashk¨esia e t¨e gjitha automorﬁzmeve t¨e tilla ¨esht¨e grup, pandryshuar. Esht¨ t¨e cilin e quajm¨e grup t¨e plot¨e t¨e automorﬁzmeve t¨e struktur¨es orbitore. Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.3.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(496, 55, 6), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi G = ⟨ρ, τ |ρ55 = τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩ i rendit 440, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekziston pik¨erisht nj¨e struktur¨e orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e struktur¨es orbitore mbetet i hapur.

3.4. Bllok skemat simetrike (441, 56, 7) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e koloneacionit ρ t¨ e rendit 55 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (441, 56, 7). Meq¨e 441 = 1 + 8 · 55, shqyrtojm¨e veprimin e grupit G = ⟨ρ|ρ55 = 1⟩ t¨e rendit 55. Lema 3.4.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (441, 56, 7) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 55, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 441 (mod 55), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 55). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 56}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 56 dhe λ = 7, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 7(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 8 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 55. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi54 }, i = 1, 2, . . . , 8, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

56

K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ (p¨erftuesin e grupit G), mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 154 )(20 21 · · · 254 ) · · · (80 81 · · · 854 ). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = ∞155 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dhe 8 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 56, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 55. Kushti |L1 ∩ L2 | = 7 dhe ∞ ∈ L1 ∩ L2 sjell a1 = 6. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = (55 − 1) · (7 − 1) = 54 · 6 = 324 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1)+ a7 (a7 − 1) + a8 (a8 − 1) = 324 ku 0 ≤ ai ≤ 18, i = 2, 3, · · · , 8. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ a7 ≥ a8 . Ekziston nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , i cili i plot¨eson kushtet p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

6 7 7 7 7 7 7 7

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 8b8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

57

ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 = 56. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 7, kemi b1 = 7 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 = 49 Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 54 · 7 = 378 marrim

b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1)+ b7 (b7 − 1) + b8 (b8 − 1) = 378 ose b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1) + b7 (b7 − 1) + b8 (b8 − 1) = 336 dhe 0 ≤ bi ≤ 19, i = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 55 · 7 = 385, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 + a6 b6 + a7 b7 + a8 b8 = 385. Ekzistojn¨e 16814 tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e. 1.

7 13 6 6 6 6 6 6

2.

7 12 9 7 6 5 5 5

3.

7 12 9 7 5 6 5 5

4.

7 12 9 7 5 5 6 5

5.

7 12 9 7 5 5 5 6

··· 16810.

7

2

5 7 9 9 9 8

16811.

7

2

5 7 9 9 8 9

16812.

7

2

5 7 9 8 9 9

16813.

7

2

5 7 8 9 9 9

16814.

7

1

8 8 8 8 8 8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

58

¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet blloqeve L3 , jan¨e poashtu blloqet L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 . Esht¨ P¨er k¨et¨e shkak, ne zgjedhim shtat¨eshet {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre e plot¨eson kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. Duke vepruar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e, me kompjuter, konstatojm¨e q¨e ekzistojn¨e 86 struktura orbitore gjat¨e veprimit t¨e grupit G n¨e bllok skem¨en simetrike me parametra (441, 56, 7). SO1. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

SO2. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 13 6

6

6

6

6

0 7

6 13 6

6

6

6

6

0 7

6

6 13 6

6

6

6

0 7

6

6 13 6

6

6

6

0 7

6

6

6 13 6

6

6

0 7

6

6

6 13 6

6

6

0 7

6

6

6

6 13 6

6

0 7

6

6

6

6 12 9

4

0 7

6

6

6

6

6 13 6

0 7

6

6

6

6

9

0 7

6

6

6

6

6

0 7

6

6

6

6

4 12 9

7

6 13

SO3. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

4 12

SO4. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 13 6

6

6

6

6

0 7

6 12 9

7

5

5

5

0 7

6

6 12 8

8

5

4

0 7

6

9

4

3

9

9

9

0 7

6

6

8

9

2

8 10

0 7

6

7

3 12 7

7

7

0 7

6

6

8

2

9

8 10

0 7

6

5

9

7 12 5

5

0 7

6

6

5

8

8 12 4

0 7

6

5

9

7

5 12 5

0 7

6

6

4 10 10 4

0 7

6

5

9

7

5

7

9

7

5 12

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO5. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

59

SO6. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 12 9

7

5

5

5

0 7

6 12 9

7

5

5

5

0 7

6

9

4

3

9

9

9

0 7

6

9

3

5 11 8

7

0 7

6

7

3 12 7

7

7

0 7

6

7

5

8

3

9 11

0 7

6

5

9

7 11 8

3

0 7

6

5 11 3

8

7

0 7

6

5

9

7

8

3 11

0 7

6

5

8

7 11 3

0 7

6

5

9

7

3 11 8

0 7

6

5

7 11 9

7

SO7. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

9

3

9 8

SO8. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 12 9

6

6

6

4

0 7

6 12 9

6

6

6

4

0 7

6

9

4

6

6

6 12

0 7

6

8

6

8

5

4 12

0 7

6

6

6 12 9

4

6

0 7

6

8

2

9

8 10 6

0 7

6

6

6

9

4 12 6

0 7

6

6

8

2

8 10 9

0 7

6

6

6

4 12 9

6

0 7

6

5

8

8 12 4

0 7

6

4 12 6

9

0 7

6

4 10 10 4

7

6

6

SO9. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

9

6 6

SO10. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 12 8

8

6

5

4

0 7

6 11 9

9

5

5

4

0 7

6

8

8

4

5

6 12

0 7

6

9

5

5 11 4

9

0 7

6

8

4

5

8 12 6

0 7

6

9

5

5

0 7

6

6

5

8 12 4

8

0 7

6

5 11 4

0 7

6

5

6 12 4

8

8

0 7

6

0 7

6

4 12 6

8

5

0 7

6

7

8

7

4 11 9 9

9

5

5

4 11 9

9

5

4

9

5 11

9

5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO11. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

60

SO12. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 11 9

9

5

5

4

0 7

6 11 9

9

5

5

4

0 7

6

9

5

5 11 4

9

0 7

6

9

5

4 11 9

5

0 7

6

8

7

5

3

9 11

0 7

6

8

3

9

7

0 7

6

7

3

9

8 11 5

0 7

6

7

8

5

3 11 9

0 7

6

5 11 4

9

9

5

0 7

6

5 11 5

0 7

6

3

8 11 7

5

9

0 7

6

3

7

SO13. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

5 11

9

4

9

7 11 8

9

5

SO14. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7

6 11 9

8

7

5

3

0 7

6 10 10 9

6

4

4

0 7

6

9

5

3

8 11 7

0 7

6 10 2

8

8

9

6

0 7

6

8

3 11 5

7

9

0 7

6

9

8

2

8

6 10

0 7

6

7

8

5

9

3 11

0 7

6

6

8

8

2 10 9

0 7

6

5 11 7

3

9

8

0 7

6

4

9

6 10 10 4

0 7

6

3

9 11 8

5

0 7

6

4

6 10 9

7

7

SO15. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

4 10

SO16. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 13 6

6

6

6

6

6

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

6 10 9

8

8

6

2

0 7

9

4

3

6

9

9

9

0 7

6

9

2 10 6

8

8

0 7

7

3 11 8

9

6

5

0 7

6

8 10 6

8

9

0 7

6

6

8

9

2

8 10

0 7

6

8

6

2 10 9

8

0 7

5

9

9

2

8

7

0 7

6

6

8

8

9

2 10

0 7

5

9

6

8

7 11 3

0 7

6

2

8

9

8 10 6

0 7

5

9

5 10 9

7

2

7

3

9 8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO17. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

61

SO18. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

9

3

6

4

9

9

9

0 7

9

3

6

4

9

9

9

0 7

7

6

3 12 7

7

7

0 7

7

6

3 12 7

7

7

0 7

6

4 12 9

6

6

0 7

6

4 12 9

6

6

0 7

5

9

7

6 12 5

5

0 7

5

9

7

6 11 8

3

0 7

5

9

7

6

5 12 5

0 7

5

9

7

6

8

0 7

5

9

7

6

5

0 7

5

9

7

6

3 11 8

7

6

5 12

SO19. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

6

3 11

SO20. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

9

3

6

4

9

9

9

0 7

9

3

5

6 11 8

7

0 7

7

5

5 12 9

6

5

0 7

7

6

5

8

3

9 11

0 7

6

6

8

9

2

8 10

0 7

6

4 12 9

6

6

6

0 7

5 11 3

6

8

7

9

0 7

5

9

9

2

8

7

9

0 7

5

8

6

7 11 3

0 7

5

9

6

8

7 11 3

0 7

5

7 11 6

9

0 7

5

9

5 10 9

7

9

3

8

SO21. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

3

8

SO22. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

9

2

6

8 10 8

6

0 7

8

6

3

5 11 9

7

0 7

6

9

5

3

8 11 7

0 7

8

3

7

9

6

0 7

6

8

3 11 5

7

9

0 7

6

7

7

7

3 12 7

0 7

6

7

8

5

9

3 11

0 7

6

5 12 5

0 7

6

5 11 7

3

9

8

0 7

5

8

0 7

4

9

9

6

3

0 7

4 11 7

7

9

9

7

5 11

9

7

5

6 12 8

6

4

5

7

5 10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO23. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

62

SO24. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

8

6

3

5 11 9

7

0 7

8

5

6

3 11 9

7

0 7

8

3

6 11 5

7

9

0 7

8

3

7

9

0 7

6

7

9

3

5

8 11

0 7

6

8

3 11 9

0 7

6

5 11 7

8

9

3

0 7

6

7

7

0 7

5

8

8 10 2

8

0 7

5

6 12 8

0 7

4 11 5

9

6

0 7

4 11 7

7

8

5

9

SO25. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

7 5

6

5 11 7

5

3 12 7 8

6

4

7

5 10

SO26. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

8

5

6

3 11 9

7

0 7

8

5

5

5 11 10 5

0 7

8

2

9

9

5

7

9

0 7

8

3

6 11 7

0 7

6

9

3

7

5

8 11

0 7

6

8

5

7

3 11 9

0 7

6

7

5 11 8

9

3

0 7

6

7

9

3

8

5 11

0 7

5

8

8

8 10 2

8

0 7

5

6 12 8

6

8

4

0 7

4

9 11 5

6

0 7

4 11 5

9

5

6

7

5

9

SO27. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

9

5

9

SO28. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

8

5

5

5 11 10 5

0 7

8

5

3

9 11 7

6

0 7

8

2

9

9

7

5

9

0 7

8

3

9

5

7

0 7

6

9

3

7

8

5 11

0 7

6

9

4

5

5 11 9

0 7

6

7

8

5

3 11 9

0 7

6

5

9 11 4

9

5

0 7

5

8

6 12 6

8 10 4 10 8

4

0 7

4

9 11 5

7

9

7

8

4

0 7

5

5

6

0 7

4 10 7

9

7

6 11

3

9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO29. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

63

SO30. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

8

5

3

9 11 7

6

0 7

8

5

3

9 10 9

5

0 7

8

3

9

5

6 11 7

0 7

8

3

9

5

9

5 10

0 7

6

8

7

3

9

5 11

0 7

6

9

4

5

5

9 11

0 7

6

5

9 11 5

4

9

0 7

6

5

9 11 3

0 7

5 10 4

4 10 8

0 7

5

8 10 4

0 7

4

9

0 7

4 10 7

7

8

9 10 7

7

3

SO31. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

9

8

7

8 10 4 9

3

7

SO32. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7 12 9

7

6

5

5

5

0 7

8

5

3

9 10 9

5

0 7

7

7

5

4 11 10 5

0 7

8

3

9

5

5 10 9

0 7

7

6

3 12 7

0 7

6

8

7

3 11 5

9

0 7

7

5

8

0 7

6

5

9 11 7

8

0 7

7

3 11 8

9

5

0 7

5 10 4

8

0 7

4

7

3

7

6

7

7

3 11 9 6

8

4

8 10

0 7

6

6

5

8

4 12

9 10 7

7

9

0 7

3 11 9

8

6

7

3

SO33. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

5

SO34. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 9

6

6

6

6

4

0 7 12 9

6

6

6

6

4

0 7

9

2

9

8

7

5

9

0 7

8

6

8

6

5

4 12

0 7

7

6

5

3

8 11 9

0 7

8

2

8

9

6 10 6

0 7

6

8

3 11 5

8 10 9

0 7

5 10 8

0 7 0 7

7

7

7

9

0 7

6

8

2

6

4 12 6

5

9

3

9

0 7

6

6

9

5

8 11 7

3

9

6

0 7

5

8

6 12 8

5

6

9 11 8

3

0 7

4 10 10 6

7

4

6

4

6

9

6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO35. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

64

SO36. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

9

6

3

7

5

8 11

0 7

9

5

3

9

5

8 10

0 7

7

3

6

9 11 8

5

0 7

7

3

9

4

9 10 7

0 7

6

5 11 3

9

0 7

6

9

5

5 11 4

0 7

5 11 5

5

8 10 5

0 7

5 11 7

0 7

5

9

7

8

9

2

9

0 7

5

7

0 7

5

7

9 11 3

8

6

0 7

5

6 11 9

7

7

8

SO37. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

5

9

4 10 7

6 11 9 5

8

3

4

9

SO38. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

9

5

3

9

5

8 10

0 7

9

5

3

8

5 10 9

0 7

7

3

9

4

9 10 7

0 7

7

3

9

7

9

0 7

6

9

5

5 11 4

9

0 7

6

9

5

3 11 8

7

0 7

5 10 9

5

3

9

0 7

5 11 6

9

9

0 7

5

9

9

8 10 3

0 7

5

7 11 5

0 7

5

5 10 11 7

0 7

5

6

7

5

8 4

7

SO39. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

5

4 10 4

4 10 7

7 11 9

8

3

SO40. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

9

5

3

8

5 10 9

0 7

9

5

2

9

7

8

9

0 7

7

3

9

7

9

0 7

7

6

9

3

5

8 11

0 7

6

9

5

3 11 8

7

0 7

6

3

9

7 11 8

0 7

5 10 5 11 7

4

7

0 7

5 11 5

5

8 10 5

0 7

5

9 10 5

3

8

9

0 7

5

9

7

8

9

2

9

0 7

5

5

8 10 3

0 7

5

7

9 11 3

8

6

7

9

9

4 10

7

5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO41. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

65

SO42. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

8

9

2

6

6

8 10

0 7

8

9

2

6

6

8 10

0 7

8

2

8

8

5 10 8

0 7

8

2

6 10 9

0 7

6

6

8

9

8

0 7

6

6

0 7

6

6

5

8 12 8

4

0 7

6

6

0 7

5

8 10 2

8

8

8

0 7

5

8 10 8

0 7

4 10 8 10 4

8

5

0 7

4 10 6

7

2 10

SO43. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

6

8

9

2 10 8

8

8

8

4 12 5 4

4 10

9 10 6

4

SO44. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

8

8

4

6

5

6 12

0 7

8

8

4

5

4 10 10

0 7

8

1

8

8

8

8

8

0 7

8

4

5

8 10 4 10

0 7

6

8

6

8

4 12 5

0 7

6

5

8 12 4

0 7

6

8

5

4 12 8

6

0 7

6

4 10 4

0 7

5

8

6 12 8

4

6

0 7

5 10 4

0 7

4

8 12 5

6

8

0 7

4 10 10 6

7

6

SO45. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

8

6

9 10 6

8 10 8 6

4

4 9

SO46. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

8

8

4

5

4 10 10

0 7

8

8

2

9

6

6 10

0 7

8

1

8

8

8

8

8

0 7

8

1

8

8

8

8

0 7

6

8

5 12 6

4

8

0 7

6

8

8

2

9

6 10

0 7

6

8

4

6 12 8

5

0 7

6

8

5

6

8 12 4

0 7

5

8 10 4

8

4 10

0 7

5

8 10 8

0 7

4

8 10 8

5 10 4

0 7

4

8

7

7

2

8

8

8

8 10 10 4

5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO47. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

66

SO48. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

6

5

8

6

4 12

0 7

8

1

8

8

8

8

8

0 7

8

2

6

8

9 10 6

0 7

6

8

8

9

2

6 10

0 7

6 10 4

9

4 10 6

0 7

6

8

8

2

9

6 10

0 7

6

9

2 10 8

0 7

5

8

8

6

6 12 4

0 7

5

6 12 6

0 7

4

8

8 10 10 4

0 7

4

8

7

5

SO49. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

6

4

8

8

8

8 10 10 4

5

SO50. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 12 8

8

6

6

5

4

0 7 11 10 8

5

5

5

5

0 7

7

9

5

8

3

6 11

0 7 10 5

8

8

8

8

0 7

7

7

6

3

7 12 7

7

7

7

0 7

7

6

3 11 9

0 7

7

5

7

0 7

6

3 11 9

0 7

3 11 9

7

7

2

0 7

8

2 11 7

5

0 7

5

8

7 11 9

6

3

5 11 4 10

0 7

5

8

7

9

2

9

9

3 11

7

8

5

8

7

0 7

5

8

7

6

9

8

6

5

0 7

5

8

7

3

9 11 6

SO51. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

SO52. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 8

5

5

5

5

0 7 11 10 8

5

5

5

5

0 7 10 5

8

8

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

7

2

7

0 7

8

2 11 7

7

7

7

0 7

7

5

8 11 9

6

3

0 7

5

8

7

9

9

9

2

0 7

7

5

8

9

2

9

9

0 7

5

8

7

9

9

2

9

0 7

7

5

8

6

9

3 11

0 7

5

8

7

9

2

9

9

0 7

7

5

8

3

9 11 6

0 7

5

8

7

2

9

9

9

0 7

2 11 8

7

7

7

7

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO53. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

67

SO54. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 8

5

5

5

5

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7 10 5

4

8

8 10

0 7

7

5

8

9

9

9

2

0 7

7

4 10 9

7

3

0 7

7

5

8

9

9

2

9

0 7

7

4

9 10 3

0 7

7

5

8

9

2

9

9

0 7

5

8 11 3

0 7

7

5

8

2

9

9

9

0 7

5

8

0 7

2 11 8

7

7

7

7

0 7

4 10 5

7

SO55. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

4 7

9

9

6

9

7

5 10 3

9

9

7 11 5

7

SO56. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 10 5

4

8

8 10

0 7 10 5

4

4

8

8 10

5

0 7

7

4

9

9 10 3

9

9

7

4

7

0 7

7

4 10 7 11 5

0 7

7

4

9

9

3 10 7

0 7

7

4

0 7

5

8

7

9

6

3 11

0 7

5

8 10 3

0 7

5

8

3 10 9

9

5

0 7

5

8

0 7

4 10 9

9

7

0 7

4 10 7

3

7

SO57. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

3 10 7 9

9

5

3 10 9

9

5

7

5

5 11

SO58. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 10 4

7

3

9

7

9

0 7 10 4

7

3

9

7

9

0 7

7

6

3 11 8

5

9

0 7

7

6

3

9

8 11 5

0 7

7

4

9

9

3 10 7

0 7

7

4

9 10 3

0 7

5 10 4

5

7 11 7

0 7

5 10 4

7

0 7

5

6

8 11 7

3

0 7

5

6

9 11 4

0 7

4

9 10 6

4 10

0 7

4

9 10 4

7

9

6

7

9

7

7

9

5 11 5

6 10 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO59. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

68

SO60. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 10 4

6

4 10 6

9

0 7 10 4

6

4 10 6

9

0 7

7

7

3

9

4

9 10

0 7

7

7

3

9

0 7

7

3 11 9

5

8

6

0 7

7

3

9 10 7

0 7

5

9

8

7 11 6

0 7

5

9

8

0 7

5

7

5 10 11 7

4

0 7

5

7 11 7

0 7

4

9

9

3 10

0 7

4

9

7

3 7

7

SO61. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

5

3

4

9 10 9

4

7 11 6 5

4 10

9 11 5

6

SO62. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7

9

6

5

4

9

5 11

0 7

9

6

5

4

9

5 11

0 7

9

2

8

9

5

9

7

0 7

9

2

7

9

8

9

0 7

6

8

3

7

9 11 5

0 7

6

8

5

7

3 11 9

0 7

5

8 11 3

6

0 7

5

6

9

0 7

4

9

6 10 4

7

7

5

9

7

0 7

5

8 10 3

9

9

5

9 11 4

5

0 7

5

6 11 9

5

4

9

6 10

0 7

4

9

4 10 10 6

6

SO63. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

SO64. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7

9

5

5

4 11 9

6

0 7

9

5

5

4 11 9

6

0 7

9

3

9

7

7 10

0 7

8

5

9

5

0 7

6

8

2 10 6

8

9

0 7

7

3

9 11 8

5

6

0 7

5

9

8

3 10

0 7

6

8

2 10 6

8

9

0 7

5

5

9 11 9

6

4

0 7

5

9

8

5

9

3 10

0 7

4

9

9

5 11 6

0 7

3

9

9

7

7 10 4

7

5 5

4 9

7

3

9 10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO65. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

69

SO66. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

7

7

9

0 7

9

4 10 3

7

7

9

7

9

0 7

8

5

4 10 8

7

7

0 7

9

4 10 3

0 7

9

4

3 10 7

0 7

6

9

4

4 10 10 6

0 7

7

4

7

9

9 10 3

0 7

5

6

9

9 11 4

5

0 7

6

8

5

7

3 11 9

0 7

5

6

9

9

4 11 5

0 7

5 10 5

0 7

4 10 7

7

5

0 7

3

5 11

SO67. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

4 10

4 11 7

8 11 9

6

5

7 7

SO68. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7

9

4

9

5

6

5 11

0 7

9

4

6

5 11 9

5

0 7

9

4

5

6

9 11 5

0 7

8

6

3

9

7

0 7

6

9

2

8

8

0 7

7

4

9

9

3 10 7

0 7

5

6

9

9 11 4

5

0 7

6

9

8

2

6

8 10

0 7

5

6

8 11 3

9

7

0 7

5

6 11 8

9

3

7

0 7

4 10 9

9

7

0 7

3 10 5

8

9

5

7

3

7

6 10

SO69. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

9

5 11

SO70. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7

9

3

9

7

7

4 10

0 7

9

2

9

8

9

5

7

0 7

8

4

4 10 8 10 5

0 7

8

6

7

5

3

9 11

0 7

7

9

3

4

9

7 10

0 7

7

6

3

9

8 11 5

0 7

6

7

9

5

3 11 8

0 7

6

9

4

6 10 4 10

0 7

5

7 10 5 11 7

4

0 7

5

8 10 3

0 7

3

9

8

0 7

3

8

7

7 11 6

5

7

9

9

5

9 11 5

6

7

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO71. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

70

SO72. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 10 7

7

5

5

4

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7

9

2

9

7

9

8

5

0 7

9

7

5

2

8

9

9

0 7

8

6

7

5

3

9 11

0 7

8

5

3 11 6

9

7

0 7

7

6

3 11 8

5

9

0 7

7

2 11 7

8

7

7

0 7

6

9

4

4 10 10 6

0 7

6

8

6

8

9

2 10

0 7

5

8 10 5

2

0 7

3

8

7

7

9

3

9

0 7

5

9

9

7

8

9

9 10 5

9

5

0 7

3

9

7

7 10 9

4

SO73. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

SO74. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7

9

7

2

8

5

9

9

0 7

9

6

8

3

5

7 11

0 7

8

2

9

6

8 10 6

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

7

8

6

3 11 5

9

0 7

7

3

8

6 11 9

5

0 7

6

5

8 11 7

3

9

0 7

6

5

8 11 7

0 7

5

9 10 5

3

8

9

0 7

5

7

8

9

3 11 6

0 7

3

9

9

9

4

0 7

3 11 8

5

9

7

6

9

SO75. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

3 6

9 7

SO76. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7

9

6

8

3

5

7 11

0 7

9

5

8

5

3

9 10

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

7

3

8

6 11 9

5

0 7

7

3

8

6 11 9

5

0 7

6

5

8 11 3

9

7

0 7

6

5

8 11 7

0 7

5

7

8

9

9

2

9

0 7

5 10 8

3

9

0 7

3 11 8

5

7

9

6

0 7

3

9

5 10 5

7

7

9

8

3

9

5

9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO77. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

71

SO78. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7

9

5

8

3

5 10 9

0 7

9

5

8

2

7

9

9

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

3

6 11 5

9

7

0 7

7

5

8

6 11 3

9

0 7

7

8

2

7 11 7

7

0 7

6

3

8 11 7

9

5

0 7

6

6

9

8

8

2 10

0 7

5

9

8

9

3

5 10

0 7

5 11 6

7

3

8

9

0 7

3 10 8

5

9

9

0 7

3

7 10 7

9

9

4

7

5

SO79. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

SO80. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7 11 9

8

7

6

5

3

0 7

9

5

3

8

6 11 7

0 7

9

3

7

4 10 9

7

0 7

8

8

6

2

9

6 10

0 7

8

5

7

9

6

0 7

7

2 11 7

8

7

7

0 7

7

7

7

7

2 11 8

0 7

6

7

5 11 8

3

9

0 7

6

8

2 10 9

0 7

5

9

9

7

8

9

0 7

5 11 7

0 7

3

9

7

7 10 9

4

0 7

3

7

2

SO81. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

3 11 8

6

3

8

6

9

6 11 9

8

7

5

SO82. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 10 10 9

6

6

4

4

0 7 10 9

9

8

5

5

3

0 7 10 6

2

9

8

8

6

0 7

9

5

5

8 10 3

9

0 7

8

6

8

6

2 10 9

0 7

9

5

5

8

3 10 9

0 7

8

4

8

4 10 5 10

0 7

8

8

8

1

8

8

8

0 7

5

4 10 10 8

4

0 7

5 10 3

8

9

9

5

0 7

4 10 6

9 10 6

0 7

5

3 10 8

9

9

5

0 7

4

0 7

3

9

5

5 10

7

9

4

6 10 6

8

4 10

7

9

8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO83. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

72

SO84. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

0 7 10 9

8

8

6

6

2

0 7 10 8

8

8

8

5

2

0 7

9

6

8

6

8

2 10

0 7

8 10 8

5

2

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

2

8

6

9 10 6

0 7

8

5

8

2 10 8

8

0 7

6 10 8

2

6

9

8

0 7

8

2

8 10 5

8

0 7

6

6

8 10 2

8

9

0 7

5

8

8

8

8

2 10

0 7

2

8

8

9 10 6

6

0 7

2

8

8

8

8 10 5

7

SO85. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

7

8

SO86. 1 55 55 55 55 55 55 55 55

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 55 0

0

0

0

0

0

0

1 6

7

7

7

7

7

7

1 6

7

7

7

7

7

7

7

0 7 10 8

8

8

8

5

2

0 7

8

8

8

8

8

8

1

0 7

8

8

8

8

1

8

8

0 7

8

8

8

8

8

1

8

0 7

8

8

8

1

8

8

8

0 7

8

8

8

8

1

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

8

8

8

1

8

8

8

0 7

8

1

8

8

8

8

8

0 7

8

8

1

8

8

8

8

0 7

5

8

8

8

8

2 10

0 7

8

1

8

8

8

8

8

0 7

2

8

8

8

8 10 5

0 7

1

8

8

8

8

8

8

7

N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.4.1 N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra (441, 56, 7), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi ciklik G i rendit 55, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht 86 struktura orbitore. V¨ erejtje: Indeksimi i strukturave orbitore mbetet problem i hapur.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

73

3.5. Bllok skemat simetrike (400, 57, 8) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e kolineacionit ρ t¨ e rendit 57 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (400, 57, 8). Meq¨e 400 = 1 + 7 · 57, shqyrtojm¨e veprimin e grupit G = ⟨ρ|ρ57 = 1⟩, t¨e rendit 57. Lema 3.5.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (400, 57, 8) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 57, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 400 (mod 57), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 57). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 58}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 58 dhe λ = 8, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 8(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 7 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 57. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi56 }, i = 1, 2, . . . , 7, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ (p¨erftuesin e grupit G), mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 156 )(20 21 · · · 256 ) · · · (70 71 · · · 756 ). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es mund ta shkruajm¨e: L1 = 157 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3, 4, 5, 6 dhe 7 n¨e bllokun orbitor L2 .

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

74

Meq¨e k = 57, dhe L2 p¨ermban pik¨en ∞, marrim a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a7 = 56. Kushti |L1 ∩ L2 | = 8 sjell a1 = 8. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = 56 · 7 = 392 sjell a1 (a1 −1)+a2 (a2 −1)+a3 (a3 −1)+a4 (a4 −1)+a5 (a5 −1)+a6 (a6 −1)+a7 (a7 −1) = 392 ose a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) + a6 (a6 − 1) + a7 (a7 − 1) = 336 dhe 0 ≤ ai ≤ 20, i = 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ a7 . Ekziston nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , q¨e i plot¨eson kushtet p¨ermendura m¨e par¨e:

1.

8 8 8 8 8 8 8

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 = 57. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 8, kemi b1 = 8 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 56 · 8 = 448 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1) + b7 (b7 − 1) = 448 ose b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) + b6 (b6 − 1) + b7 (b7 − 1) = 392 dhe 0 ≤ bi ≤ 20, i = 2, 3, 4, 5, 6, 7.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

75

Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 57 · 8 = 456, at¨eher¨e

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 + a6 b6 + a7 b7 = 456.

Ekzistojn¨e 2106 tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e.

1.

8 14

7

7

7

7

7

2.

8 13 10 8

6

6

6

3.

8 13 10 7

7

7

5

4.

8 13 10 7

7

5

7

5.

8 13 10 7

5

7

7

··· 2102.

8

3

7

9 11

9

10

2103.

8

3

7

9 10 11

9

2104.

8

3

7

9 10

9

11

2105.

8

3

7

9

9

11 10

2106.

8

3

7

9

9

10 11

¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet blloqeve L3 , jan¨e poashtu blloqet L4 , L5 , L6 , L7 , L8 . Esht¨ P¨er k¨et¨e shkak, ne zgjedhim gjasht¨eshet {L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre e plot¨eson kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. Duke vepruar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e, ne gjet¨em q¨e n¨e af¨ersi deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e pik¨erisht pes¨emb¨edhjet¨e struktura orbitore:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO1.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

14

7

7

7

7

7

0

8

7

14

7

7

7

7

0

8

7

7

14

7

7

7

0

8

7

7

7

14

7

7

0

8

7

7

7

7

14

7

0

8

7

7

7

7

7

14

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO1) ∼ = Σ{3,4,5,6,7,8} , |Aut(SO1)| = 720.

SO2.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

14

7

7

7

7

7

0

8

7

14

7

7

7

7

0

8

7

7

14

7

7

7

0

8

7

7

7

13

10

5

0

8

7

7

7

10

5

13

0

8

7

7

7

5

13

10

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO2) ∼ Z3 , |Aut(SO2) = 36. = Σ{3,4,5} × Z

76

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO3.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

14

7

7

7

7

7

0

8

7

13

9

9

6

5

0

8

7

9

10

3

9

11

0

8

7

9

3

10

9

11

0

8

7

6

9

9

13

5

0

8

7

5

11

11

5

10

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO3) ∼ = ⟨(4 7), (5 6)⟩, |Aut(SO3)| = 4.

SO4.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

10

8

6

6

6

0

8

10

5

4

10

10

10

0

8

8

4

13

8

8

8

0

8

6

10

8

13

6

6

0

8

6

10

8

6

13

6

0

8

6

10

8

6

6

13

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO4) ∼ = Σ{6,7,8} × ⟨(3, 6, 7, 8)⟩, |Aut(SO4)| = 24.

77

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO5.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

10

8

6

6

6

0

8

10

5

4

10

10

10

0

8

8

4

13

8

8

8

0

8

6

10

8

12

9

4

0

8

6

10

8

9

4

12

0

8

6

10

8

4

12

9

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO5) ∼ = ⟨(6 7 8)⟩, |Aut(SO5)| = 3.

SO6.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

10

8

6

6

6

0

8

10

4

6

12

9

8

0

8

8

6

9

4

10

12

0

8

6

12

4

9

8

10

0

8

6

9

10

8

12

4

0

8

6

8

12

10

4

9

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO6) ∼ = ⟨(1)⟩, |Aut(SO6)| = 1.

78

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO7.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

10

7

7

7

5

0

8

10

5

7

7

7

13

0

8

7

7

13

10

5

7

0

8

7

7

10

5

13

7

0

8

7

7

5

13

10

7

0

8

5

13

7

7

7

10

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO7) ∼ Z6 × Z Z3 ∼ =Z = ⟨(3 6 8 5 4 7), (3 4 8)⟩, |Aut(SO7)| = 18.

SO8.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

10

7

7

7

5

0

8

9

7

9

6

5

13

0

8

9

3

10

9

11

7

0

8

7

9

3

9

11

10

0

8

6

9

9

13

5

7

0

8

5

11

11

5

10

7

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO8) ∼ = ⟨(1)⟩, |Aut(SO8)| = 1.

79

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO9.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

13

9

9

7

6

5

0

8

9

9

5

6

7

13

0

8

9

5

6

9

13

7

0

8

7

6

9

13

5

9

0

8

6

7

13

5

9

9

0

8

5

13

7

9

9

6

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO9) ∼ = ⟨(3 5 7), (4 8 6)⟩, |Aut(SO9)| = 3.

SO10.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

12

10

10

6

6

5

0

8

10

6

6

12

5

10

0

8

10

6

6

5

12

10

0

8

6

12

5

10

10

6

0

8

6

5

12

10

10

6

0

8

5

10

10

6

6

12

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO10) ∼ = ⟨(3 4 6 8 5 7)(¯3 ¯6 ¯4 ¯8 ¯7 ¯5), (4 5)(¯4 ¯5), (6 7)(¯6 ¯7)⟩, |Aut(SO4)| = 24.

80

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO11.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

12

10

10

6

6

5

0

8

10

6

6

12

5

10

0

8

9

8

6

4

10

12

0

8

8

4

10

9

12

6

0

8

6

12

5

10

10

6

0

8

4

9

12

8

6

10

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO11) ∼ = ⟨(3 4 6)(5 7 8)(¯3 ¯7 ¯4)(¯5 ¯8 ¯6)⟩, |Aut(SO4)| = 3.

SO12.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

12

10

10

6

6

5

0

8

10

6

5

12

10

6

0

8

9

4

10

8

6

12

0

8

8

9

6

4

12

10

0

8

6

12

6

10

5

10

0

8

4

8

12

9

10

6

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO12) ∼ = ⟨(3 4 6)(5 8 7)(¯3 ¯7 ¯4)(¯5 ¯6 ¯8)⟩, |Aut(SO12)| = 3.

81

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO13.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

12

10

9

8

6

4

0

8

10

6

4

9

12

8

0

8

9

4

12

6

8

10

0

8

8

9

6

10

4

12

0

8

6

12

8

4

10

9

0

8

4

8

10

12

9

6

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO13) ∼ = ⟨(3 8 7 5 4 6)(¯3 ¯6 ¯4 ¯5 ¯7 ¯8)⟩, |Aut(SO13)| = 6.

SO14.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

11

11

10

7

5

5

0

8

11

3

9

9

10

7

0

8

10

9

3

9

7

11

0

8

7

9

9

3

11

10

0

8

5

10

7

11

11

5

0

8

5

7

11

10

5

11

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO14) ∼ = ⟨(3 7 8)(4 6 5)(¯3 ¯7 ¯8)(¯4 ¯6 ¯5)⟩, |Aut(SO14)| = 3.

82

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO15.

1

57

57

57

57

57

57

57

0

57

0

0

0

0

0

0

1

8

8

8

8

8

8

8

0

8

11

10

9

9

7

3

0

8

10

3

11

7

9

9

0

8

9

11

7

3

9

10

0

8

9

7

3

11

10

9

0

8

7

9

9

10

3

11

0

8

3

9

10

9

11

7

83

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO15) ∼ = ⟨(3 4 8 6 7 5)(¯3 ¯5 ¯7 ¯6 ¯8 ¯4)⟩, |Aut(SO15)| = 6. Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.5.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(400, 57, 8), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi ciklik i rendit 57, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht 15 struktura orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre pes¨emb¨edhjet¨e strukturave orbitore mbetet i hapur.

3.6. Bllok skemat simetrike (306, 61, 12) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e kolineacionit ρ t¨ e rendit 61 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (306, 61, 12). Meq¨e 306 = 1 + 5 · 61 shqyrtojm¨e veprimin e grupit ciklik G = ⟨ρ|ρ61 = 1⟩ t¨e rendit 61. Lema 3.6.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (306, 61, 12) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 61, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 306 (mod 61), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 61). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

84

f ∈ {1, 62}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 62 dhe λ = 12, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 12(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 5 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 61. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi60 }, i = 1, 2, . . . , 5, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ (p¨erftuesin e grupit G), mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 160 )(20 21 · · · 260 )(30 31 · · · 360 )(40 41 · · · 460 )(50 51 · · · 560 ). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es mund ta shkruajm¨e: L1 = 161 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3, 4 dhe 5 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 61, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 60. Kushti |L1 ∩ L2 | = 12 sjell a1 = 12. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = 60 · 11 = 660 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) = 660 ose

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

85

a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1) = 528, dhe 0 ≤ ai ≤ 23, i = 2, 3, 4, 5. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 , mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 . Ekziston vet¨em nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , i cili i plot¨eson kushtet p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

12 12 12 12 12

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, e ka form¨en:

L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 , ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 61.

Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 12, kemi b1 = 12 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 + b5 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 60 · 12 = 720 marrim

b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) = 720

ose

b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1) = 588 dhe 0 ≤ bi ≤ 24, i = 2, 3, 4, 5.

Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 61 · 12 = 732, at¨eher¨e

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 = 732.

Ekzistojn¨e 28 tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨erme-

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

86

ndura me par¨e: 1.

12 16 14 11

8

2.

12 16 14

8

11

3.

12 16 11 14

8

4.

12 16 11

8

14

5.

12 16

8

14 11

6.

12 16

8

11 14

7.

12 14 16 11

8

8.

12 14 16

8

11

9.

12 14 14 14

7

10.

12 14 14

7

14

11.

12 14 11 16

8

12.

12 14 11

8

16

13.

12 14

8

16 11

14.

12 14

8

11 16

15.

12 14

7

14 14

16.

12 11 16 14

8

17.

12 11 16

8

14

18.

12 11 14 16

8

19.

12 11 14

8

16

20.

12 11

8

16 14

21.

12 11

8

14 16

22.

12

8

16 14 11

23.

12

8

16 11 14

24.

12

8

14 16 11

25.

12

8

14 11 16

26.

12

8

11 16 14

27.

12

8

11 14 16

28.

12

7

14 14 14

¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , jan¨e poashtu blloqet Esht¨

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

87

L4 , L5 , L6 . P¨er k¨et¨e shkak, ne zgjedhim kat¨ershet e blloqeve {L3 , L4 , L5 , L6 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre t¨e plot¨esoj¨e kushtin e prodhimit e loj¨es. Duke vepruar n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e, kemi v¨ertetuar q¨e n¨e af¨ersi deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e pik¨erisht dy struktura orbitore t¨e bllok skem¨es simetrike me parametrat (306, 61, 12) gjat¨e veprimit t¨e kolineacionit ρ t¨e rendit 61.

SO1

1

61

61

61

61

61

0

61

0

0

0

0

1

12

12

12

12

12

0

12

16

14

11

8

0

12

14

7

14

14

0

12

11

14

8

16

0

12

8

14

16

11

E gjejm¨e grupin e plot¨e t¨e automorﬁzmeve t¨e struktur¨es orbitore. Drejtp¨erdrejt¨e nga struktura orbitore gjejm¨e k¨eto automorﬁzme: 1. (1)(L1 ) 2. (3 5 6)(L3 L6 L5 ) 3. (3 6 5)(L3 L5 L6 ) D.m.th. Aut(SO1) = {1, (3 5 6)(¯3 ¯6 ¯5), (3 6 5)(¯3 ¯5 ¯6)} Struktura e dyt¨e orbitore duket:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO2

1

61

61

61

61

61

0

61

0

0

0

0

1

12

12

12

12

12

0

12

14

14

14

7

0

12

14

14

7

14

0

12

14

7

14

14

0

12

7

14

14

14

88

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve: Aut(SO2) ≡ Σ{3,4,5,6} i rendit |Aut(SO2)| = 24. N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.6.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(306, 61, 12), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi G i rendit 61, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht dy struktura orbitore. V¨ erjetje: P¨er indeksimin e bllokut t¨e par¨e orbitor jo ﬁks, t¨e secil¨es nga strukturat orbitore, ekzistojn¨e

( )5 61 12

mund¨esi, q¨e p¨er momentin ¨esht¨e i pamundsh¨em. Rrjed-

himisht mbetet problem i hapur mund¨esia e indeksimit t¨e k¨etyre strukturave orbitore.

3.7. Bllok skemat simetrike me parametra (280, 63, 14) me ndihm¨ en e grupit t¨ e Frobeniusit F31·3 t¨ e rendit 93 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (280, 63, 14). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi G = ⟨ρ, µ|ρ31 = µ3 = 1, ρµ = ρ5 ⟩, i rendit 93. Lema 3.7.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (280, 63, 14) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 31, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

89

V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 280 (mod 31) d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 31). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 32, 63}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ ∈ {32, 63} pika dhe λ = 14, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 14(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 9 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 31. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi30 }, i = 1, 2, . . . , 9, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er t¨e dy p¨erftuesit e grupit G, mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 130 )(20 21 · · · 230 ) · · · (90 91 · · · 930 ), ku me ∞ ¨esht¨e sh¨enuar pika ﬁkse e kolineacionit, kurse ⟨ρ⟩−orbitat jotriviale jan¨e sh¨enuar me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dhe ∞, 10 , 11 , · · · , 930 jan¨e t¨e gjitha pikat e bllok skem¨es simetrike D, nd¨ersa kolineacioni µ i rendit 3 vepron n¨e bllok skem¨e ashtu q¨e i ﬁkson numrat orbitor, nd¨ersa n¨e indeksa vepron µ : x 7→ 5x

(mod 31)

ose µ = (0)(1, 5, 25)(2, 10, 19)(3, 15, 13)(4, 20, 7)(6, 30, 26)(8, 9, 14)(11, 24, 27) (12, 29, 21)(16, 18, 28)(17, 23, 22) N¨e m¨enyr¨e t¨e drejtp¨erdrejt¨e merret Rrjedhimi 3.7.1. Elementi µ i grupit G i rendit 3 fikson pik¨erisht 10 pika dhe 10 blloqe t¨e bllok skem¨es D. Secila orbit¨e blloqesh p¨ermban bllokun e vet¨em t¨e stabilizuar nga µ. Duke marr¨e p¨er p¨erfaq¨esues t¨e orbit¨es s¨e blloqeve, bllokun e ﬁksuar nga µ, at¨eher¨e shum¨eﬁshitetet e numrave orbitor¨e n¨e bllokun orbitor do t¨e jen¨e ≡ 0, 1

(mod 3).

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

90

Strukturat orbitore Sh¨enojm¨e me L1 bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi mund t¨e shkruajm¨e: L1 = (∞)(10 11 · · · 130 )(20 21 · · · 230 ) ose me an¨e t¨e shum¨eﬁshiteteve t¨e paraqitjeve orbitore L1 = ∞131 231 . Le t¨e jen¨e L2 , L3 , L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 , L10 blloqet p¨erfaq¨esuese t¨e 9 orbitave jotriviale t¨e blloqeve. N¨ep¨er pik¨en ﬁkse ∞ kalojn¨e dy blloqe orbitore joﬁkse. Le t¨e jen¨e ato L2 , L3 . Sh¨enojm¨e L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 9a9 L3 = ∞1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 , 6b6 7b7 8b8 9b9 ku ai , bi jan¨e shum¨eﬁshitetet e paraqitjeve t¨e numrave orbitor¨e n¨e blloqet L2 , L2 . Blloqet L2 dhe L3 me bllokun L1 priten n¨e 14 pika dhe ∞ ∈ Li , i = 1, 2, 3. Prandaj a1 + a2 = 14 − 1 = 13, b1 + b2 = 14 − 1 = 13, a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 = 63 − 1 − 13 = 49, b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 = 63 − 1 − 13 = 49, H(L2 ) = a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + · · · + a9 (a9 − 1) = (|ρ| − 1) · (λ − 1) = (31 − 1) · (14 − 1) = 30 · 13 = 390, H(L3 ) = b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + · · · + b9 (b9 − 1) = 390, Sp(L2 , L3 ) = a1 b1 + a1 b1 + · · · + a1 b1 = (|ρ| · (λ − 1) = 31 · 13 = 403. P¨er bllokun L2 mund t¨e b¨ejm¨e kuﬁzimin me af¨ersi deri n¨e renditjen natyrore t¨e shum¨eﬁshiteteve, d.m.th. a1 ≥ a2 , a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ a7 ≥ a8 ≥ a9 ku 0 ≤ ai ≤ 13, i = 1, 2, 0 ≤ ai ≤ 20, i = 3, 4 · · · , 9, sepse H(L2 ) = 390.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

91

Duke p¨erﬁllur faktet e m¨esip¨erme, me kompjuter gjejm¨e k¨eto 6 tipe t¨e ndryshme orbitore t¨e gjat¨esis¨e s¨e Hemingut p¨er bllokun L2 : 1.

10 3

7

7 7 7 7 7 7

2.

9

4 10 7 7 7 6 6 6

3.

9

4

4.

7

6 10 9 7 7 6 6 4

5.

7

6

9

9 9 6 6 6 4

6.

7

6

9

9 7 7 7 7 3

9

9 7 6 6 6 6

M¨e tutje, duke vepruar me grupin e dh¨en¨e t¨e Frobeniusit G = F31·3 , p¨er bllokun L3 marrim: Numri i tipeve

Numri i dysheve

orbitore p¨er L3

L2 , L3

Tipi 1

1

1

Tipi 2

0

0

Tipi 3

0

0

Tipi 4

0

0

Tipi 5

0

0

Tipi 6

0

0

Blloku L2

K¨eshtu kemi ﬁtuar vet¨em nj¨e dyshe L2 , L3 , p¨erkat¨esisht vet¨em nj¨e treshe L1 , L 2 , L 3 : 1

31

31

31

31

31

31

31

31

31

L1

1

31

31

0

0

0

0

0

0

0

L2

1

10

3

7

7

7

7

7

7

7

L3

1

3

10

7

7

7

7

7

7

7

Sh¨enojm¨e me L4 bllokun e kat¨ert orbitor: L4 = 1c1 2c2 3c3 4c4 5c5 , 6c6 7c7 8c8 9c9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

92

ku ci , i = 1, 2, · · · , 9 paraqesin shum¨eﬁshitetet e paraqitjes s¨e numrave orbitor¨e, n¨e bllokun L4 . Kemi: c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 = 63 H(L4 ) = c1 (c1 − 1) + c2 (c2 − 1) + · · · + c9 (c9 − 1) = (|ρ| − 1) · λ = (31 − 1) · 14 = 30 · 14 = 420 Sp(L4 , Li ) = (|ρ| · λ = 31 · 14 = 434, (i = 2, 3). Nga |L4 ∩ L1 | = 14 marrim: c1 + c2 = 14, prandaj c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 = 63 − 14 = 49. Nga H(L4 ) = 420 marrim 0 ≤ ci ≤ 21, i = 3, 4, · · · , 9, nd¨ersa nga c1 + c2 = 14 marrim 0 ≤ ci ≤ 14, i = 1, 2. Me kompjuter gjejm¨e 2527 tipe orbitore p¨er bllokun L4 : 1.

7 7 13 6 6 6

6

6

6

2.

7 7 12 9 6 6

6

6

4

3.

7 7 12 9 6 6

6

4

6

4.

7 7 12 9 6 6

4

6

6

5.

7 7 12 9 6 4

6

6

6

2523.

7 7

3

4 7 9

7

9

10

2524.

7 7

3

4 7 7 10

9

9

2525.

7 7

3

4 7 7

9

10

9

2526.

7 7

3

4 7 7

9

9

10

2527.

7 7

3

4 6 9

9

9

9

···

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

93

N¨e mesin e kandidat¨eve p¨er L4 ndodhen edhe blloqet L5 , L6 , L7 , L8 dhe L9 . Prandaj, q¨e t¨e gjejm¨e strukturat orbitore, nevojitet q¨e n¨e mesin e kandidat¨eve p¨er bllokun L4 t¨e k¨erkojm¨e gjasht¨eshet e blloqeve {L4 , L5 , L6 , L7 , L8 , L9 }, ¸cdo dy prej t¨e cil¨eve jan¨e kompatibil¨e. Duke p¨erﬁllur kushtet dhe logjik¨en e m¨esip¨erme t¨e pun¨es gjejm¨e t¨e gjitha strukturat orbitore e mandej edhe izomorﬁzmet nd¨ermjet tyre. Si rezultat gjejm¨e tri struktura orbitore t¨e ndryshme deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet:

SO1.

1

31

31

31

31

31

31

31

31

31

1

31

31

0

0

0

0

0

0

0

1

10

3

7

7

7

7

7

7

7

1

3

10

7

7

7

7

7

7

7

0

7

7

13

6

6

6

6

6

6

0

7

7

6

13

6

6

6

6

6

0

7

7

6

6

13

6

6

6

6

0

7

7

6

6

6

13

6

6

6

0

7

7

6

6

6

6

13

6

6

0

7

7

6

6

6

6

6

13

6

0

7

7

6

6

6

6

6

6

13

Leht¨e mund t¨e shihet se grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture orbitore ∑ ∑ ¨esht¨e Aut(SO1) ∼ = {2,3} × {4,5,6,7,8,9,10} i rendit |Aut(SO1)| = 10080 (shih p. 3.3.)

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO2.

94

1

31

31

31

31

31

31

31

31

31

1

31

31

0

0

0

0

0

0

0

1

10

3

7

7

7

7

7

7

7

1

3

10

7

7

7

7

7

7

7

0

7

7

13

6

6

6

6

6

6

0

7

7

6

13

6

6

6

6

6

0

7

7

6

6

13

6

6

6

6

0

7

7

6

6

6

13

6

6

6

0

7

7

6

6

6

6

12

9

4

0

7

7

6

6

6

6

9

4

12

0

7

7

6

6

6

6

4

12

9

Grupi i plot¨e automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture ¨esht¨e Aut(SO2) = ∑

{4,5,6,7}

∑

{2,3}

×

i rendit |Aut(SO2)| = 144 (shih p. 3.3.)

SO3.

1

31

31

31

31

31

31

31

31

31

1

31

31

0

0

0

0

0

0

0

1

10

3

7

7

7

7

7

7

7

1

3

10

7

7

7

7

7

7

7

0

7

7

13

6

6

6

6

6

6

0

7

7

6

12

9

6

6

6

4

0

7

7

6

9

4

6

6

6

12

0

7

7

6

6

6

12

9

4

6

0

7

7

6

6

6

9

4

12

6

0

7

7

6

6

6

4

12

9

6

0

7

7

6

4

12

6

6

6

9

∑ Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture ¨esht¨e Aut(SO3) ∼ = {2,3} ×

⟨(5, 6, 10)⟩ × ⟨(5, 8, 6, 9, 10, 7)⟩ i rendit |Aut(SO3)| = 36 (shih p. 3.3.)

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

95

Grupi i automorﬁzmeve t¨e struktur¨es orbitore do t¨e p¨erdoret p¨er eliminimin e bllok skemave simetrike gjat¨e procesit t¨e indeksimit. Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.7.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(280, 63, 14), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ31 = µ3 = 1, ρµ = ρ5 ⟩ i rendit 93, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht tri struktura orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre tri strukturave orbitore mbetet i hapur.

3.8. Bllok skemat simetrike (261, 65, 16) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e kolineacionit ρ t¨ e rendit 65 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (261, 65, 16). Meq¨e 261 = 1 + 4 · 65, shqyrtojm¨e veprimin e grupit G = ⟨ρ|ρ65 = 1⟩, t¨e rendit 65. Lema 3.8.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (261, 65, 16) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 65, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 261 (mod 65), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 65). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 66}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 66 dhe λ = 16, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 16(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 4 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 65. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi64 }, i = 1, 2, 3, 4, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

96

K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ (p¨erftuesin e grupit G), mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 164 )(20 21 · · · 264 )(30 31 · · · 364 )(40 41 · · · 464 ). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks i bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = 165 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 ku a1 , a2 , a3 , a4 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3 dhe 4 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 65, dhe L1 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 + a4 = 64. Kushti |L1 ∩ L2 | = 16 sjell a1 = 16. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = 64 · 15 = 960 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) = 960 ose a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) = 720 dhe 0 ≤ ai ≤ 31, i = 2, 3, 4. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 ≥ a4 . Ekziston nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 , i cili i plot¨eson kushtet e p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

16 16 16 16

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 4b4

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

97

ku b1 + b2 + b3 + b4 = 65. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 16, kemi b1 = 16 dhe rrjedhimisht b2 + b3 + b4 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 64 · 16 = 1024 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) = 1024 ose

b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) = 784 dhe 0 ≤ bi ≤ 32, i = 2, 3, 4. Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 65 · 16 = 1040, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 = 1040. Ekzistojn¨e n¨ent¨e tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e. 1.

16 21 14 14

2.

16 20 17 12

3.

16 20 12 17

4.

16 17 20 12

5.

16 17 12 20

6.

16 14 21 14

7.

16 14 14 21

8.

16 12 20 17

9.

16 12 17 20

¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet blloqeve L3 , jan¨e poashtu blloqet L4 , L5 . P¨er k¨et¨e Esht¨ shkak, ne zgjedhim treshet {L3 , L4 , L5 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre e plot¨eson kushtin e prodhimit t¨e loj¨es.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

98

Duke p¨erﬁllur kushtet dhe logjik¨en e m¨esip¨erme t¨e pun¨es k¨erkojm¨e t¨e gjitha strukturat orbitore e mandej edhe izomorﬁzmet nd¨ermjet tyre. Si rezultat gjejm¨e pik¨erisht dy struktura orbitore:

SO1

1

65

65

65

65

0

65

0

0

0

1

16

16

16

16

0

16

21

14

14

0

16

14

21

14

0

16

14

14

21

∑ Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture ¨esht¨e Aut(SO1) ∼ = {3,4,5} i

rendit |Aut(SO1)| = 6. SO2

1

65

65

65

65

0

65

0

0

0

1

16

16

16

16

0

16

20

17

12

0

16

17

12

20

0

16

12

20

17

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e k¨esaj strukture ¨esht¨e Aut(SO2) ∼ = ⟨(3, 4, 5) (¯3 ¯5 ¯4)⟩ i rendit |Aut(SO2)| = 3. Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.8.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(261, 65, 16), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi ciklik i rendit 65, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨en dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht dy struktura orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e k¨etyre dy strukturave orbitore mbetet i hapur.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

99

3.9. Bllok skemat simetrike (231, 70, 21) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e kolineacionit ρ t¨ e rendit 23 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (231, 70, 21). Meq¨e 231 = 1 + 10 · 23, shqyrtojm¨e veprimin e grupit G = ⟨ρ|ρ23 = 1⟩, t¨e rendit 23. Lema 3.9.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (231, 70, 21) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 23, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 231 (mod 23), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 23). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 24, 47, 70}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ ∈ {24, 47, 70} pika dhe λ = 21, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 21(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 10 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 23. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi22 }, i = 1, 2, . . . , 10, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ (p¨erftuesin e grupit G), mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 122 )(20 21 · · · 222 ) · · · (100 101 · · · 1022 ), Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = ∞123 223 323 . P¨erve¸c bllokut L1 , n¨ep¨er pik¨en ⟨ρ⟩–ﬁkse ∞ kalojn¨e edhe tri blloqe orbitore (3 · 23 = 69). Le t¨e jen¨e ato L2 , L3 , L4 . Sh¨enojm¨e L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 9a9 10a10 L3 = ∞1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 8b8 9b9 10b10 L4 = ∞1c1 2c2 3c3 4c4 5c5 6c6 7c7 8c8 9c9 10c10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

100

ku ai , bi , ci jan¨e shum¨eﬁshitetet e paraqitjeve t¨e numrave orbitor¨e n¨e blloqet L2 , L3 , L4 . Blloqet L2 , L3 , L4 me bllokun L1 priten n¨e λ = 21 pika dhe ∞ ∈ Li , i = 1, 2, 3, 4. Prandaj

a1 + a2 + a3 = 21 − 1 = 20, b1 + b2 + b3 = 21 − 1 = 20, c1 + c2 + c3 = 20. a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 70 − 1 = 69, b b4 + b5 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 = 70 − 1 = 69, b c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 + c10 = 70 − 1 = 69.b

H(L2 ) = a1 (a1 − 1) + a1 (a1 − 1) + a1 (a1 − 1) + · · · + a10 (a10 − 1) = (|ρ| − 1) · (λ − 1) = (23 − 1) · (21 − 1) = 22 · 20 = 440 H(L3 ) = b1 (b1 − 1) + b1 (b1 − 1) + b1 (b1 − 1) + · · · + b10 (b10 − 1) = 440 H(L4 ) = c1 (c1 − 1) + c1 (c1 − 1) + c1 (c1 − 1) + · · · + c10 (c10 − 1) = 440

Sp(L2 , L3 ) = a1 b1 + a1 b1 + a1 b1 + · · · + a10 b10 = |ρ| · (λ − 1) = 23 · (21 − 1) = 460 Sp(L2 , L4 ) = a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 + · · · + a10 c10 = 460 Sp(L3 , L4 ) = b1 c1 + b1 c1 + b3 c3 + · · · + b10 c10 = 460

P¨er bllokun L2 mund t¨e b¨ejm¨e kuﬁzimin me af¨ersi deri n¨e renditjen natyrore t¨e shum¨eﬁshiteteve, d.m.th.

a1 ≥ a2 ≥ a3 , a4 ≥ a5 ≥ a6 + a7 ≥ a8 ≥ a9 ≥ a10 , ku 0 ≤ ai ≤ 21, i = 1, 2, · · · , 11 sepse H(L2 ) = 440. Ekzistojn¨e 89 tipe p¨er bllokun L2 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura m¨e

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

101

par¨e: 1.

11 6 3

7

7 7 7 7 7 7

2.

11 5 4

8

8 7 7 7 6 6

3.

10 7 3

9

8 7 7 6 6 6

4.

10 7 3

9

7 7 7 7 7 5

5.

10 7 3

8

8 8 7 7 6 5

... 85.

7

7 6 10 9 8 7 6 6 3

86.

7

7 6 10 8 8 8 7 5 3

87.

7

7 6

9

9 9 8 6 4 4

88.

7

7 6

9

9 9 7 7 5 3

89.

7

7 6

9

8 8 8 7 7 2

Gjejm¨e kandidat¨et e mundsh¨em p¨er L3 duke marr¨e parasysh secilin tip orbitor p¨er L2 . N¨e mesin e kandidat¨eve p¨er bllokun L3 gjenden edhe blloqet L4 . Prandaj, p¨er secilin tip orbitor t¨e bllokut L2 , nga tipet orbitore p¨erkat¨ese p¨er bllokun L3 , duhet t¨e gjenden dyshet kompatibile t¨e blloqeve {L3 , L4 }, t¨e cilat plot¨esojn¨e kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. P¨er tipin e par¨e orbitor t¨e bllokut L2 , ekzistojn¨e 2 tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

6

3

2.

3 11

11 7 7 7 7 7 7 7 6

7 7 7 7 7 7 7

Duke vepruar n¨e t¨e nj¨ejt¨en m¨enyr¨e edhe p¨er tipet tjera orbitore t¨e bllokut L2 , marrim nj¨e num¨er t¨e madh tipesh orbitore p¨er L3 . Prandaj k¨erkimin e kuﬁzojm¨e vet¨em p¨er tipin e par¨e orbitor t¨e bllokut L2 . Si rezultat kemi nj¨e dyshe {L3 , L4 }, p¨erkat¨esisht nj¨e treshe {L2 , L3 , L4 } (nj¨e kat¨ershe {L1 , L2 , L3 , L4 }):

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

102

1

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

L1

1

23

23

23

0

0

0

0

0

0

0

L2

1

11

6

3

7

7

7

7

7

7

7

L3

1

6

3

11

7

7

7

7

7

7

7

L4

1

3

11

6

7

7

7

7

7

7

7

Sh¨enojm¨e me L5 bllokun e pest¨e orbitor.

L5 = 1d1 2d2 3d3 4d4 5d5 6d6 7d7 8d8 9d9 10d10

d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 + d8 + d9 + d10 = 70,

H(L5 ) = d1 (d1 − 1) + d1 (d1 − 1) + d1 (d1 − 1) + · · · + d10 (d10 − 1) = (|ρ| − 1) · λ = (23 − 1) · 21 = 22 · 21 = 462 Sp(L3 , Li ) = |ρ| · λ = 23 · 21 = 483, i = 2, 3, 4.

Nga |L5 ∩ L1 | = 21 marrim:

d1 + d1 + d1 = 21,

prandaj d4 + d4 + d4 + d4 + d4 + d4 + d10 = 70 − 21 = 49, ku 0 ≤ di ≤ 22, i = 1, 2, · · · , 10 sepse H(L5 ) = 462. Me kompjuter marrim 16814 tipe orbitore p¨er bllokun L5 :

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

1.

7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

2.

7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

3.

7 7 7 12 9 7 5 6 5 5

4.

7 7 7 12 9 7 5 5 6 5

5.

7 7 7 12 9 7 5 5 5 6

103

... 16810.

7 7 7

2

5 7 9 9 9 8

16811.

7 7 7

2

5 7 9 9 8 9

16812.

7 7 7

2

5 7 9 8 9 9

16813.

7 7 7

2

5 7 8 9 9 9

16814.

7 7 7

1

8 8 8 8 8 8

N¨e mesin e kandidat¨eve p¨er bllokun L5 ndodhen edhe blloqet L6 , L7 , L7 , L9 , L10 dhe L11 , prandaj k¨erkojm¨e shtat¨eshet e blloqeve {L5 , L6 , L7 , L7 , L9 , L10 , L11 } ¸cdo dy prej t¨e cil¨eve jan¨e kompatibil¨e - plot¨esojn¨e kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. K¨eshtu gjejm¨e 86 struktura orbitore.

SO1. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 13 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 13 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 6 13 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 6 6 13 6 6

23 0 7 7 7 6 6 6 6 6 13 6

23 0 7 7 7 6 6 6 6 6 6 13

SO2. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 13 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 13 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 6 13 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 6 6 12 9 4

23 0 7 7 7 6 6 6 6 9 4 12

23 0 7 7 7 6 6 6 6 4 12 9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

104

SO3. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 13 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 6 12 8 8 5 4

23 0 7 7 7 6 6 8 9 2 8 10

23 0 7 7 7 6 6 8 2 9 8 10

23 0 7 7 7 6 6 5 8 8 12 4

23 0 7 7 7 6 6 4 10 10 4 9

SO4. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 9 7 5 5 5

23 0 7 7 7 6 9 4 3 9 9 9

23 0 7 7 7 6 7 3 12 7 7 7

23 0 7 7 7 6 5 9 7 12 5 5

23 0 7 7 7 6 5 9 7 5 12 5

23 0 7 7 7 6 5 9 7 5 5 12

SO5. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 9 7 5 5 5

23 0 7 7 7 6 9 4 3 9 9 9

23 0 7 7 7 6 7 3 12 7 7 7

23 0 7 7 7 6 5 9 7 11 8 3

23 0 7 7 7 6 5 9 7 8 3 11

23 0 7 7 7 6 5 9 7 3 11 8

SO6. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 9 7 5 5 5

23 0 7 7 7 6 9 3 5 11 8 7

23 0 7 7 7 6 7 5 8 3 9 11

23 0 7 7 7 6 5 11 3 8 7 9

23 0 7 7 7 6 5 8 9 7 11 3

23 0 7 7 7 6 5 7 11 9 3 8

SO7. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 9 6 6 6 4

23 0 7 7 7 6 9 4 6 6 6 12

23 0 7 7 7 6 6 6 12 9 4 6

23 0 7 7 7 6 6 6 9 4 12 6

23 0 7 7 7 6 6 6 4 12 9 6

23 0 7 7 7 6 4 12 6 6 6 9

SO8. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 8 8 6 5 4

23 0 7 7 7 6 9 6 2 8 8 10

23 0 7 7 7 6 6 8 9 2 8 10

23 0 7 7 7 6 6 5 8 8 12 4

23 0 7 7 7 6 6 4 10 10 4 9

23 0 7 7 7 6 4 12 6 9 6 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

105

SO9. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 12 8 8 6 5 4

23 0 7 7 7 6 8 8 4 5 6 12

23 0 7 7 7 6 8 4 5 8 12 6

23 0 7 7 7 6 6 5 8 12 4 8

23 0 7 7 7 6 5 6 12 4 8 8

23 0 7 7 7 6 4 12 6 8 8 5

SO10. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 11 9 9 5 5 4

23 0 7 7 7 6 9 5 5 11 4 9

23 0 7 7 7 6 9 5 5 4 11 9

23 0 7 7 7 6 5 11 4 9 9 5

23 0 7 7 7 6 5 4 11 9 9 5

23 0 7 7 7 6 4 9 9 5 5 11

SO11. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 11 9 8 7 5 3

23 0 7 7 7 6 9 5 7 3 11 8

23 0 7 7 7 6 9 5 5 9 4 11

23 0 7 7 7 6 5 11 3 8 9 7

23 0 7 7 7 6 5 4 9 11 9 5

23 0 7 7 7 6 4 9 11 5 5 9

SO12. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 11 9 8 7 5 3

23 0 7 7 7 6 9 5 3 8 11 7

23 0 7 7 7 6 9 4 9 5 5 11

23 0 7 7 7 6 5 11 7 3 9 8

23 0 7 7 7 6 5 9 5 11 4 9

23 0 7 7 7 6 4 5 11 9 9 5

SO13. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 11 9 8 7 5 3

23 0 7 7 7 6 9 5 3 8 11 7

23 0 7 7 7 6 8 3 11 5 7 9

23 0 7 7 7 6 7 8 5 9 3 11

23 0 7 7 7 6 5 11 7 3 9 8

23 0 7 7 7 6 3 7 9 11 8 5

SO14. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 10 10 9 6 4 4

23 0 7 7 7 6 10 2 8 8 9 6

23 0 7 7 7 6 9 8 2 8 6 10

23 0 7 7 7 6 6 8 8 2 10 9

23 0 7 7 7 6 4 9 6 10 10 4

23 0 7 7 7 6 4 6 10 9 4 10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

106

SO15. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 13 6 6 6 6 6 6

23 0 7 7 7 6 10 9 8 8 6 2

23 0 7 7 7 6 9 2 10 6 8 8

23 0 7 7 7 6 8 10 6 2 8 9

23 0 7 7 7 6 8 6 2 10 9 8

23 0 7 7 7 6 6 8 8 9 2 10

23 0 7 7 7 6 2 8 9 8 10 6

SO16. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 4 3 6 9 9 9

23 0 7 7 7 7 3 11 8 9 6 5

23 0 7 7 7 6 6 8 9 2 8 10

23 0 7 7 7 5 9 9 2 8 7 9

23 0 7 7 7 5 9 6 8 7 11 3

23 0 7 7 7 5 9 5 10 9 3 8

SO17. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 3 6 4 9 9 9

23 0 7 7 7 7 6 3 12 7 7 7

23 0 7 7 7 6 4 12 9 6 6 6

23 0 7 7 7 5 9 7 6 12 5 5

23 0 7 7 7 5 9 7 6 5 12 5

23 0 7 7 7 5 9 7 6 5 5 12

SO18. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 3 6 4 9 9 9

23 0 7 7 7 7 6 3 12 7 7 7

23 0 7 7 7 6 4 12 9 6 6 6

23 0 7 7 7 5 9 7 6 11 8 3

23 0 7 7 7 5 9 7 6 8 3 11

23 0 7 7 7 5 9 7 6 3 11 8

SO19. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 3 5 6 11 8 7

23 0 7 7 7 7 6 5 8 3 9 11

23 0 7 7 7 6 4 12 9 6 6 6

23 0 7 7 7 5 9 9 2 8 7 9

23 0 7 7 7 5 9 6 8 7 11 3

23 0 7 7 7 5 9 5 10 9 3 8

SO20. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 3 6 4 9 9 9

23 0 7 7 7 7 5 5 12 9 6 5

23 0 7 7 7 6 6 8 9 2 8 10

23 0 7 7 7 5 11 3 6 8 7 9

23 0 7 7 7 5 8 9 6 7 11 3

23 0 7 7 7 5 7 11 6 9 3 8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

107

SO21. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 6 6 6 6 4

23 0 7 7 7 9 2 9 8 7 5 9

23 0 7 7 7 7 6 5 3 8 11 9

23 0 7 7 7 6 8 3 11 5 7 9

23 0 7 7 7 5 10 8 5 9 3 9

23 0 7 7 7 5 8 11 7 3 9 6

23 0 7 7 7 5 6 7 9 11 8 3

SO22. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 6 3 7 5 8 11

23 0 7 7 7 7 3 7 7 12 6 7

23 0 7 7 7 6 5 9 7 5 12 5

23 0 7 7 7 5 11 6 3 9 8 7

23 0 7 7 7 5 9 5 12 7 6 5

23 0 7 7 7 5 7 11 7 5 4 10

SO23. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 6 3 7 5 8 11

23 0 7 7 7 7 3 6 9 11 8 5

23 0 7 7 7 6 5 11 3 7 8 9

23 0 7 7 7 5 11 5 5 8 10 5

23 0 7 7 7 5 9 7 8 9 2 9

23 0 7 7 7 5 7 9 11 3 8 6

SO24. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 8 7 6 11

23 0 7 7 7 7 6 7 3 7 12 7

23 0 7 7 7 6 3 9 11 7 8 5

23 0 7 7 7 5 11 6 9 3 8 7

23 0 7 7 7 5 9 5 7 12 6 5

23 0 7 7 7 5 7 11 5 7 4 10

SO25. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 2 9 7 8 9

23 0 7 7 7 7 6 9 3 5 8 11

23 0 7 7 7 6 3 9 7 11 8 5

23 0 7 7 7 5 11 5 5 8 10 5

23 0 7 7 7 5 9 7 8 9 2 9

23 0 7 7 7 5 7 9 11 3 8 6

SO26. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 8 7 6 11

23 0 7 7 7 7 5 6 5 9 12 5

23 0 7 7 7 6 5 11 7 3 8 9

23 0 7 7 7 5 11 7 3 8 6 9

23 0 7 7 7 5 10 5 11 5 8 5

23 0 7 7 7 5 5 9 9 11 4 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

108

SO27. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 2 9 7 8 9

23 0 7 7 7 7 5 9 3 8 6 11

23 0 7 7 7 6 5 9 7 5 12 5

23 0 7 7 7 5 11 7 8 3 6 9

23 0 7 7 7 5 10 5 5 11 8 5

23 0 7 7 7 5 5 9 11 9 4 6

SO28. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 9 5 8 10

23 0 7 7 7 7 3 9 4 9 10 7

23 0 7 7 7 6 9 5 5 11 4 9

23 0 7 7 7 5 11 7 5 4 10 7

23 0 7 7 7 5 7 6 11 9 8 3

23 0 7 7 7 5 6 11 9 5 4 9

SO29. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 8 5 10 9

23 0 7 7 7 7 3 9 7 9 4 10

23 0 7 7 7 6 9 5 3 11 8 7

23 0 7 7 7 5 11 6 9 5 4 9

23 0 7 7 7 5 7 11 5 4 10 7

23 0 7 7 7 5 6 7 11 9 8 3

SO30. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 9 5 8 10

23 0 7 7 7 7 3 9 4 9 10 7

23 0 7 7 7 6 9 5 5 11 4 9

23 0 7 7 7 5 10 9 5 3 8 9

23 0 7 7 7 5 9 5 9 8 10 3

23 0 7 7 7 5 5 10 11 7 4 7

SO31. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 5 3 8 5 10 9

23 0 7 7 7 7 3 9 7 9 4 10

23 0 7 7 7 6 9 5 3 11 8 7

23 0 7 7 7 5 10 5 11 7 4 7

23 0 7 7 7 5 9 10 5 3 8 9

23 0 7 7 7 5 5 9 9 8 10 3

SO32. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 7 7 7 7 6 3

23 0 7 7 7 9 7 6 5 3 8 11

23 0 7 7 7 7 5 3 8 11 6 9

23 0 7 7 7 6 4 12 6 8 5 8

23 0 7 7 7 5 11 7 3 9 8 6

23 0 7 7 7 5 10 7 11 5 4 7

23 0 7 7 7 5 5 7 9 6 12 5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

109

SO33. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 9 2 6 8 10 8 6

23 0 7 7 7 6 9 5 3 8 11 7

23 0 7 7 7 6 8 3 11 5 7 9

23 0 7 7 7 6 7 8 5 9 3 11

23 0 7 7 7 6 5 11 7 3 9 8

23 0 7 7 7 4 9 9 9 9 6 3

SO34. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 9 6 2 8 6 8 10

23 0 7 7 7 6 8 8 2 9 6 10

23 0 7 7 7 6 6 9 6 4 12 6

23 0 7 7 7 6 5 6 8 12 8 4

23 0 7 7 7 6 4 10 10 6 4 9

23 0 7 7 7 4 12 6 9 6 6 6

SO35. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 6 3 5 11 9 7

23 0 7 7 7 8 3 6 11 5 7 9

23 0 7 7 7 6 7 9 3 5 8 11

23 0 7 7 7 6 5 11 7 8 9 3

23 0 7 7 7 5 8 8 8 10 2 8

23 0 7 7 7 4 11 5 9 5 9 6

SO36. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 5 3 9 11 7 6

23 0 7 7 7 8 3 9 5 7 6 11

23 0 7 7 7 6 9 4 5 5 11 9

23 0 7 7 7 6 5 9 11 4 9 5

23 0 7 7 7 5 8 10 4 10 8 4

23 0 7 7 7 4 10 7 9 7 3 9

SO37. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 5 3 9 10 9 5

23 0 7 7 7 8 3 9 5 9 5 10

23 0 7 7 7 6 9 4 5 5 9 11

23 0 7 7 7 6 5 9 11 3 8 7

23 0 7 7 7 5 8 10 4 8 10 4

23 0 7 7 7 4 10 7 9 9 3 7

SO38. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 5 3 9 11 7 6

23 0 7 7 7 8 3 9 5 6 11 7

23 0 7 7 7 6 8 7 3 9 5 11

23 0 7 7 7 6 5 9 11 5 4 9

23 0 7 7 7 5 10 4 8 4 10 8

23 0 7 7 7 4 9 10 7 9 7 3

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

110

SO39. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 5 3 9 10 9 5

23 0 7 7 7 8 3 9 5 5 10 9

23 0 7 7 7 6 8 7 3 11 5 9

23 0 7 7 7 6 5 9 11 7 3 8

23 0 7 7 7 5 10 4 8 4 8 10

23 0 7 7 7 4 9 10 7 7 9 3

SO40. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 9 7 6 5 5 5

23 0 7 7 7 8 5 6 3 11 9 7

23 0 7 7 7 8 2 9 9 5 7 9

23 0 7 7 7 6 9 3 7 5 8 11

23 0 7 7 7 6 7 5 11 8 9 3

23 0 7 7 7 5 8 8 8 10 2 8

23 0 7 7 7 4 9 11 5 5 9 6

SO41. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 9 2 6 6 8 10

23 0 7 7 7 8 2 8 8 5 10 8

23 0 7 7 7 6 6 8 9 8 2 10

23 0 7 7 7 6 6 5 8 12 8 4

23 0 7 7 7 5 8 10 2 8 8 8

23 0 7 7 7 4 10 8 10 4 8 5

SO42. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 9 2 6 6 8 10

23 0 7 7 7 8 2 6 9 8 10 6

23 0 7 7 7 6 6 10 2 8 8 9

23 0 7 7 7 6 6 9 10 4 4 10

23 0 7 7 7 5 8 6 8 12 4 6

23 0 7 7 7 4 10 8 8 5 10 4

SO43. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 4 8 6 5 6 12

23 0 7 7 7 6 6 8 8 4 12 5

23 0 7 7 7 6 5 8 4 12 8 6

23 0 7 7 7 5 6 8 12 8 4 6

23 0 7 7 7 4 12 8 5 6 6 8

SO44. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 8 4 5 4 10 10

23 0 7 7 7 8 4 5 8 10 4 10

23 0 7 7 7 6 5 8 12 4 8 6

23 0 7 7 7 6 4 10 4 9 10 6

23 0 7 7 7 5 10 4 8 10 8 4

23 0 7 7 7 4 10 10 6 6 4 9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

111

SO45. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 4 8 5 4 10 10

23 0 7 7 7 6 5 8 12 6 4 8

23 0 7 7 7 6 4 8 6 12 8 5

23 0 7 7 7 5 10 8 4 8 4 10

23 0 7 7 7 4 10 8 8 5 10 4

SO46. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 2 8 8 5 10 8

23 0 7 7 7 6 9 8 2 6 8 10

23 0 7 7 7 6 6 8 9 8 2 10

23 0 7 7 7 5 6 8 6 12 8 4

23 0 7 7 7 4 10 8 10 4 8 5

SO47. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 1 8 8 8 8 8

23 0 7 7 7 6 8 8 9 2 6 10

23 0 7 7 7 6 8 8 2 9 6 10

23 0 7 7 7 5 8 8 6 6 12 4

23 0 7 7 7 4 8 8 10 10 4 5

SO48. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 8 8 6 6 5 4

23 0 7 7 7 8 6 2 10 9 6 8

23 0 7 7 7 8 5 6 4 6 12 8

23 0 7 7 7 6 8 8 9 2 6 10

23 0 7 7 7 6 6 9 4 10 4 10

23 0 7 7 7 5 4 10 10 8 8 4

23 0 7 7 7 4 12 6 6 8 8 5

SO49. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 12 7 7 7 7 6 3

23 0 7 7 7 8 9 7 6 5 3 11

23 0 7 7 7 8 5 6 3 7 11 9

23 0 7 7 7 6 8 3 11 5 9 7

23 0 7 7 7 6 3 7 9 11 5 8

23 0 7 7 7 5 6 12 8 4 8 6

23 0 7 7 7 4 11 7 5 10 7 5

SO50. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 8 5 5 5 5

23 0 7 7 7 10 5 2 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 2 11 7 7 7 7

23 0 7 7 7 5 8 7 11 9 6 3

23 0 7 7 7 5 8 7 9 2 9 9

23 0 7 7 7 5 8 7 6 9 3 11

23 0 7 7 7 5 8 7 3 9 11 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

112

SO51. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 8 5 5 5 5

23 0 7 7 7 10 5 2 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 2 11 7 7 7 7

23 0 7 7 7 5 8 7 9 9 9 2

23 0 7 7 7 5 8 7 9 9 2 9

23 0 7 7 7 5 8 7 9 2 9 9

23 0 7 7 7 5 8 7 2 9 9 9

SO52. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 8 7 7 7 7 2

23 0 7 7 7 10 8 5 5 5 5 11

23 0 7 7 7 8 1 8 8 8 8 8

23 0 7 7 7 5 8 11 9 6 3 7

23 0 7 7 7 5 8 9 2 9 9 7

23 0 7 7 7 5 8 6 9 3 11 7

23 0 7 7 7 5 8 3 9 11 6 7

SO53. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 8 7 7 7 7 2

23 0 7 7 7 10 8 5 5 5 5 11

23 0 7 7 7 8 1 8 8 8 8 8

23 0 7 7 7 5 8 9 9 9 2 7

23 0 7 7 7 5 8 9 9 2 9 7

23 0 7 7 7 5 8 9 2 9 9 7

23 0 7 7 7 5 8 2 9 9 9 7

SO54. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 5 4 4 8 8 10

23 0 7 7 7 7 4 10 7 11 5 5

23 0 7 7 7 7 4 9 9 3 10 7

23 0 7 7 7 5 8 7 9 6 3 11

23 0 7 7 7 5 8 3 10 9 9 5

23 0 7 7 7 4 10 9 3 7 9 7

SO55. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 5 4 4 8 8 10

23 0 7 7 7 7 4 10 9 7 3 9

23 0 7 7 7 7 4 7 9 9 10 3

23 0 7 7 7 5 8 11 3 6 9 7

23 0 7 7 7 5 8 5 10 3 9 9

23 0 7 7 7 4 10 5 7 11 5 7

SO56. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 5 4 4 8 8 10

23 0 7 7 7 7 4 9 9 10 3 7

23 0 7 7 7 7 4 9 9 3 10 7

23 0 7 7 7 5 8 10 3 9 9 5

23 0 7 7 7 5 8 3 10 9 9 5

23 0 7 7 7 4 10 7 7 5 5 11

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

113

SO57. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 4 6 4 10 6 9

23 0 7 7 7 7 7 3 9 4 9 10

23 0 7 7 7 7 3 11 9 5 8 6

23 0 7 7 7 5 9 8 3 7 11 6

23 0 7 7 7 5 7 5 10 11 7 4

23 0 7 7 7 4 9 9 7 7 3 10

SO58. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 4 6 4 10 6 9

23 0 7 7 7 7 7 3 9 4 9 10

23 0 7 7 7 7 3 9 10 7 9 4

23 0 7 7 7 5 9 8 3 7 11 6

23 0 7 7 7 5 7 11 7 5 4 10

23 0 7 7 7 4 9 5 9 11 5 6

SO59. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 4 7 3 9 7 9

23 0 7 7 7 7 6 3 11 8 5 9

23 0 7 7 7 7 4 9 9 3 10 7

23 0 7 7 7 5 10 4 5 7 11 7

23 0 7 7 7 5 6 9 8 11 7 3

23 0 7 7 7 4 9 10 6 6 4 10

SO60. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 10 7 7 5 5 4

23 0 7 7 7 10 4 7 3 9 7 9

23 0 7 7 7 7 6 3 9 8 11 5

23 0 7 7 7 7 4 9 10 3 7 9

23 0 7 7 7 5 10 4 7 7 5 11

23 0 7 7 7 5 6 9 9 11 4 5

23 0 7 7 7 4 9 10 4 6 10 6

SO61. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 9 6 5 5 4

23 0 7 7 7 10 6 2 8 8 6 9

23 0 7 7 7 7 5 8 3 11 9 6

23 0 7 7 7 7 4 9 7 3 9 10

23 0 7 7 7 5 9 5 9 6 11 4

23 0 7 7 7 5 5 9 11 9 4 6

23 0 7 7 7 4 11 7 5 7 5 10

SO62. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 9 6 5 5 4

23 0 7 7 7 10 6 2 8 8 6 9

23 0 7 7 7 7 5 7 5 10 11 4

23 0 7 7 7 7 4 9 7 3 9 10

23 0 7 7 7 5 9 8 3 9 5 10

23 0 7 7 7 5 5 9 11 9 4 6

23 0 7 7 7 4 11 5 9 5 9 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

114

SO63. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 9 6 5 5 4

23 0 7 7 7 10 5 3 8 9 5 9

23 0 7 7 7 7 5 9 2 8 9 9

23 0 7 7 7 7 4 7 10 5 11 5

23 0 7 7 7 5 11 4 6 9 9 5

23 0 7 7 7 5 9 7 8 3 6 11

23 0 7 7 7 4 6 10 9 10 4 6

SO64. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 5 5 3 8 9 9

23 0 7 7 7 7 5 9 9 2 8 9

23 0 7 7 7 7 4 5 11 10 5 7

23 0 7 7 7 5 11 3 8 6 9 7

23 0 7 7 7 5 9 9 5 8 3 10

23 0 7 7 7 4 6 10 6 9 10 4

SO65. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 9 6 5 5 4

23 0 7 7 7 10 4 4 9 6 6 10

23 0 7 7 7 7 10 3 4 9 9 7

23 0 7 7 7 7 3 10 4 9 9 7

23 0 7 7 7 5 7 7 10 11 4 5

23 0 7 7 7 5 7 7 10 4 11 5

23 0 7 7 7 4 9 9 6 5 5 11

SO66. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 4 5 4 8 10 8

23 0 7 7 7 7 10 4 7 5 5 11

23 0 7 7 7 7 3 10 9 7 4 9

23 0 7 7 7 5 7 8 9 3 11 6

23 0 7 7 7 5 7 4 10 11 7 5

23 0 7 7 7 4 9 10 3 9 7 7

1 23 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 23 0 7 7 7 11 9 9 6 5 5 4

23 23 0 7 7 7 10 4 4 9 6 6 10

23 23 0 7 7 7 7 9 5 2 9 8 9

23 23 0 7 7 7 7 5 6 8 9 11 3

23 23 0 7 7 7 5 6 9 8 11 3 7

23 23 0 7 7 7 5 5 11 6 4 9 9

23 23 0 7 7 7 4 11 5 10 5 7 7

SO68. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 4 6 4 9 6 10

23 0 7 7 7 7 6 3 9 8 11 5

23 0 7 7 7 7 5 9 9 2 8 9

23 0 7 7 7 5 11 7 3 6 9 8

23 0 7 7 7 5 9 5 10 8 3 9

23 0 7 7 7 4 5 11 7 10 7 5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

115

SO69. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 3 4 9 7 7 9

23 0 7 7 7 7 9 4 3 9 10 7

23 0 7 7 7 7 7 10 4 5 5 11

23 0 7 7 7 5 7 8 9 3 11 6

23 0 7 7 7 5 4 10 7 11 7 5

23 0 7 7 7 4 10 5 10 8 4 8

SO70. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 2 6 6 9 8 8

23 0 7 7 7 7 9 7 3 4 10 9

23 0 7 7 7 7 8 5 9 6 3 11

23 0 7 7 7 5 9 3 8 10 9 5

23 0 7 7 7 5 5 9 11 4 9 6

23 0 7 7 7 4 7 11 5 10 5 7

SO71. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 10 2 6 6 9 8 8

23 0 7 7 7 7 9 7 3 4 10 9

23 0 7 7 7 7 7 5 11 4 5 10

23 0 7 7 7 5 9 3 8 10 9 5

23 0 7 7 7 5 8 9 5 10 3 9

23 0 7 7 7 4 5 11 9 6 9 5

SO72. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 7 5 2 8 9 9

23 0 7 7 7 8 5 3 11 6 9 7

23 0 7 7 7 7 2 11 7 8 7 7

23 0 7 7 7 6 8 6 8 9 2 10

23 0 7 7 7 5 9 9 7 2 8 9

23 0 7 7 7 3 9 7 7 10 9 4

SO73. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 7 2 8 5 9 9

23 0 7 7 7 8 2 9 6 8 10 6

23 0 7 7 7 7 8 6 3 11 5 9

23 0 7 7 7 6 5 8 11 7 3 9

23 0 7 7 7 5 9 10 5 3 8 9

23 0 7 7 7 3 9 6 9 9 9 4

SO74. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 6 8 3 5 7 11

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 7 3 8 6 11 9 5

23 0 7 7 7 6 5 8 11 7 3 9

23 0 7 7 7 5 7 8 9 3 11 6

23 0 7 7 7 3 11 8 5 9 6 7

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

116

SO75. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 6 8 3 5 7 11

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 7 3 8 6 11 9 5

23 0 7 7 7 6 5 8 11 3 9 7

23 0 7 7 7 5 7 8 9 9 2 9

23 0 7 7 7 3 11 8 5 7 9 6

SO76. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 5 8 3 5 10 9

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 7 5 8 6 11 3 9

23 0 7 7 7 6 3 8 11 7 9 5

23 0 7 7 7 5 9 8 9 3 5 10

23 0 7 7 7 3 10 8 5 9 9 5

SO77. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 5 8 5 3 9 10

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 7 3 8 6 11 9 5

23 0 7 7 7 6 5 8 11 7 3 9

23 0 7 7 7 5 10 8 3 9 5 9

23 0 7 7 7 3 9 8 9 5 10 5

SO78. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 5 3 8 6 11 7

23 0 7 7 7 8 8 6 2 9 6 10

23 0 7 7 7 7 2 11 7 8 7 7

23 0 7 7 7 6 7 5 11 8 3 9

23 0 7 7 7 5 9 9 7 2 8 9

23 0 7 7 7 3 9 7 7 10 9 4

SO79. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 5 8 2 7 9 9

23 0 7 7 7 8 3 6 11 5 9 7

23 0 7 7 7 7 8 2 7 11 7 7

23 0 7 7 7 6 6 9 8 8 2 10

23 0 7 7 7 5 11 6 7 3 8 9

23 0 7 7 7 3 7 10 7 9 9 4

SO80. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 11 9 8 7 6 5 3

23 0 7 7 7 9 3 5 7 8 11 6

23 0 7 7 7 8 7 7 7 2 7 11

23 0 7 7 7 7 4 9 7 10 3 9

23 0 7 7 7 6 10 6 2 9 8 8

23 0 7 7 7 5 9 3 11 8 6 7

23 0 7 7 7 3 7 11 8 6 9 5

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

117

SO81. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 10 10 8 8 5 4 4

23 0 7 7 7 10 6 6 4 4 10 9

23 0 7 7 7 9 2 8 8 10 6 6

23 0 7 7 7 6 9 6 4 10 4 10

23 0 7 7 7 6 8 2 10 8 9 6

23 0 7 7 7 4 8 10 5 8 10 4

23 0 7 7 7 4 6 9 10 4 6 10

SO82. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 10 9 9 8 5 5 3

23 0 7 7 7 9 5 5 8 10 3 9

23 0 7 7 7 9 5 5 8 3 10 9

23 0 7 7 7 8 8 8 1 8 8 8

23 0 7 7 7 5 10 3 8 9 9 5

23 0 7 7 7 5 3 10 8 9 9 5

23 0 7 7 7 3 9 9 8 5 5 10

SO83. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 10 9 8 8 6 6 2

23 0 7 7 7 9 6 8 2 10 6 8

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 6 8 6 2 10 9

23 0 7 7 7 6 8 8 9 6 2 10

23 0 7 7 7 6 2 8 10 9 8 6

23 0 7 7 7 2 10 8 6 8 9 6

SO84. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 10 8 8 8 8 5 2

23 0 7 7 7 8 10 8 5 2 8 8

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 5 8 2 10 8 8

23 0 7 7 7 8 2 8 10 5 8 8

23 0 7 7 7 5 8 8 8 8 2 10

23 0 7 7 7 2 8 8 8 8 10 5

SO85. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 10 8 8 8 8 5 2

23 0 7 7 7 8 8 8 8 1 8 8

23 0 7 7 7 8 8 8 1 8 8 8

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 1 8 8 8 8 8

23 0 7 7 7 5 8 8 8 8 2 10

23 0 7 7 7 2 8 8 8 8 10 5

SO86. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

23 23 11 6 3 7 7 7 7 7 7 7

23 23 6 3 11 7 7 7 7 7 7 7

23 23 3 11 6 7 7 7 7 7 7 7

23 0 7 7 7 8 8 8 8 8 8 1

23 0 7 7 7 8 8 8 8 8 1 8

23 0 7 7 7 8 8 8 8 1 8 8

23 0 7 7 7 8 8 8 1 8 8 8

23 0 7 7 7 8 8 1 8 8 8 8

23 0 7 7 7 8 1 8 8 8 8 8

23 0 7 7 7 1 8 8 8 8 8 8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

118

Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.9.2.

N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra

(231, 70, 21), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi ciklik i rendit 23, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e s¨e paku 86 struktura orbitore.

3.10. Bllok skemat simetrike (220, 73, 24) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e grupit t¨ e Frobeniusit F73·3 t¨ e rendit 219 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (220, 73, 24). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi G = ⟨ρ, µ|ρ73 = µ3 = 1, ρµ = ρ8 ⟩, i rendit 219. Lema 3.10.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (220, 73, 24) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 73, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f . Qart¨e, f ≡ 220 (mod 73), d.m.th. f ≡ 1 √ (mod 73). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 74}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 74 dhe λ = 24, sepse nuk ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 24(v ′ − 1) = k(k − 1) prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 3 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 73. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi72 }, i = 1, 2, 3, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er t¨e dy p¨erftuesit e grupit G, mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 172 )(20 21 · · · 272 )(30 31 · · · 372 ),

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

119

nd¨ersa kolineacioni µ i rendit 3 vepron n¨e bllok skem¨e ashtu q¨e i ﬁkson numrat orbitor, nd¨ersa n¨e indeksa vepron µ : x → 8x

(mod 73) ose

µ = (1, 8, 64)(2, 16, 55)(3, 24, 46)(4, 32, 37)(5, 40, 28)(6, 48, 19)(7, 56, 10)(9, 72, 65) (11, 15, 47)(12, 23, 38)(13, 31, 29)(14, 39, 20)(17, 63, 66)(18, 71, 57)(21, 22, 30) (25, 54, 67)(26, 62, 58)(27, 70, 49)(33, 45, 68)(34, 53, 59)(35, 61, 50)(36, 69, 41) (42, 44, 60)(43, 52, 51) N¨e m¨enyr¨e t¨e drejtp¨erdrejt¨e merret Rrjedhimi 3.10.1. Elementi µ i grupit G i rendit 3 fikson pik¨erisht 4 pika dhe 4 blloqe t¨e bllok skem¨es D. Secila orbit¨e blloqesh p¨ermban bllokun e vet¨em t¨e stabilizuar nga µ. Duke marr¨e p¨er p¨erfaq¨esues t¨e orbit¨es s¨e blloqeve, bllokun e ﬁksuar nga µ, at¨eher¨e shum¨eﬁshitetet e numrave orbitor¨e n¨e bllokun orbitor do t¨e jen¨e numra ≡ 0, 1 (mod 3). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = 173 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L2 = ∞1a1 2a2 3a3 ku a1 , a2 , a3 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor¨e 1, 2 dhe 3 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 73, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 + a3 = 72. Kushti |L1 ∩ L2 | = 24 sjell a1 = 24. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = (73 − 1) · (24 − 1) = 72 · 23 = 1656 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) = 1656

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

120

ose a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) = 1104 dhe 0 ≤ ai ≤ 33, i = 2, 3. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L2 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a2 ≥ a3 . Ekziston vet¨em nj¨e tip orbitor p¨er bllokun i cili i plot¨eson kushtet p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

24 24 24

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 3b3 , ku b1 + b2 + b3 = 73 Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 24, kemi b1 = 24 dhe rrjedhimisht b2 + b3 = 49. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 72 · 24 = 1728 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) = 1728 ose b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) = 1176 dhe 0 ≤ bi ≤ 36, i = 2, 3. Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 73 · 24 = 1752, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 1752. Ekzistojn¨e dy tipe orbitore p¨er bllokun L3 , t¨e cilat i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e: 1.

24 28 21

1.

24 21 28

N¨e mesin e blloqeve L3 , jan¨e poashtu blloqet L4 . P¨er k¨et¨e arsye, ne zgjedhim dyshet nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L3 , t¨e cilat e plot¨esojn¨e kushtin e prodhimit t¨e loj¨es.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

121

Duke p¨erﬁllur kushtet dhe logjik¨en e m¨esip¨erme t¨e pun¨es k¨erkojm¨e t¨e gjitha strukturat orbitore e mandej edhe izomorﬁzmet nd¨ermjet tyre. Si rezultat gjejm¨e vet¨em nj¨e struktur¨e orbitore:

SO

1

73

73

73

0

73

0

0

1

24

24

24

0

24

28

21

0

24

21

28

Struktura ¨esht¨e vet¨eduale. Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve ¨esht¨e: Aut(SO) = {1, (3 4)(¯3 ¯4} Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.10.2. N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra (220, 73, 24), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit G = ⟨ρ, σ|ρ73 = µ3 = 1, ρµ = ρ8 ⟩ i rendit 219, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekziston pik¨erisht nj¨e struktur¨e orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e struktur¨es orbitore mbetet i hapur.

3.11. Bllok skemat simetrike (210, 77, 28) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e grupit t¨ e frobeniusit F19x3 t¨ e rendit 57 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (210, 77, 28). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi i Frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ19 = µ3 = 1, ρµ = ρ7 ⟩ i rendit 57. Nga fakti q¨e 210 = 11 · 19 + 1 konstatojm¨e se kolineacioni ρ vepron n¨e bashk¨esin¨e e pikave me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 11 orbita pikash me gjat¨esi 19.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

122

N¨e vazhdim shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 11 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 19. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi18 }, i = 1, 2, . . . , 11, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, G vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er t¨e dy p¨erftuesit e grupit G, mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 118 )(20 21 · · · 218 ) · · · (110 111 · · · 1118 ), ku me ∞ ¨esht¨e sh¨enuar pika ﬁkse e kolineacionit, kurse ⟨ρ⟩−orbitat jotriviale jan¨e sh¨enuar me numrat 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 dhe ∞, 11 , 12 , · · · , 1118 , jan¨e t¨e gjitha pikat e bllok skem¨es simetrike D, nd¨ersa kolineacioni µ i rendit 3 vepron n¨e bllok skem¨e ashtu q¨e i ﬁkson numrat orbitor, nd¨ersa n¨e indeksa vepron µ : x → 7x (mod 19) ose µ = (0)(1, 7, 11)(2, 14, 3)(4, 9, 6)(5, 16, 17)(8, 18, 12)(10, 13, 15). Duke marr¨e p¨er p¨erfaq¨esues t¨e orbit¨es s¨e blloqeve, bllokun e ﬁksuar nga µ, at¨eher¨e shum¨eﬁshitetet e numrave orbitor¨e n¨e bllokun orbitor do t¨e jen¨e ≡ 0, 1

(mod 3).

Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es D mund ta shkruajm¨e: L1 = ∞119 219 319 419 . P¨erve¸c bllokut L1 , n¨ep¨er pik¨en ⟨ρ⟩−ﬁkse ∞ kalojn¨e edhe kat¨er blloqe orbitore (4 · 19 = 76). Le t¨e jen¨e ato L2 , L3 , L4 , L5 Sh¨enojm¨e L2 = ∞1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 8a8 9a9 10a10 11a11 L3 = ∞1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 8b8 9b9 10b10 11b11 L4 = ∞1c1 2c2 3c3 4c4 5c5 6c6 7c7 8c8 9c9 10c10 11c11 L5 = ∞1d1 2d2 3d3 4d4 5d5 6d6 7d7 8d8 9d9 10d10 11d11 ku ai , bi , ci , di jan¨e shum¨eﬁshitetet e paraqitjeve t¨e numrave orbitor¨e n¨e blloqet L2 , L 3 , L 4 , L 5 . Blloqet L2 , L3 , L4 dhe L5 me bllokun L1 priten n¨e λ = 28 pika dhe ∞ ∈ Li , i = 1, 2, 3, 4, 5. Prandaj

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

123

a1 + a2 + a3 + a4 = 27, b1 + b2 + b3 + b4 = 27, c1 + c2 + c3 + c4 = 27, d1 + d2 + d3 + d4 = 27. a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 77 − 28 = 49, b5 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 + b11 = 77 − 28 = 49, c5 + c6 + a7 + c8 + c9 + c10 + c11 = 77 − 28 = 49, d5 + d6 + d7 + d8 + d9 + d10 + d11 = 77 − 28 = 49. H(L2 ) = a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + · · · a11 (a11 − 1) = (|ρ| − 1) · (λ − 1) = (19 − 1) · (28 − 1) = 486, H(L3 ) = b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + · · · b11 (b11 − 1) = 486, H(L4 ) = c1 (c1 − 1) + c2 (c2 − 1) + c3 (c3 − 1) + · · · c11 (c11 − 1) = 486, H(L5 ) = d1 (d1 − 1) + d2 (d2 − 1) + d3 (d3 − 1) + · · · d11 (d11 − 1) = 486. Sp(L2 , L3 ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · a11 b11 = |ρ| · (λ − 1) = 19 · (28 − 1) = 513, Sp(L2 , L4 ) = a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 + · · · a11 c11 = 513, Sp(L2 , L5 ) = a1 d1 + a2 d2 + a3 d3 + · · · a11 d11 = 513, Sp(L3 , L4 ) = b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 + · · · b11 c11 = 513, Sp(L3 , L5 ) = b1 d1 + b2 d2 + b3 d3 + · · · b11 d11 = 513, Sp(L4 , L5 ) = c1 d1 + c2 d2 + c3 d3 + · · · c11 d11 = 513. P¨er bllokun L2 mund t¨e b¨ejm¨e kuﬁzimin me af¨ersi deri n¨e renditjen natyrore t¨e shum¨eﬁshiteteve, d.m.th.

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 , a5 ≥ a6 ≥ a7 ≥ a8 ≥ a9 ≥ a10 ≥ a11

ku 0 ≤ ai ≤ 22, i = 1, 2, · · · , 11 sepse H(L2 ) = 486. Me kompjuter gjejm¨e k¨eto 21 tipe orbitore p¨er bllokun L2 :

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

124

L2 1 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 1

1 10

9

4

4

9

7

7

7

7

6

6

2

1 10

7

7

3

10

7

7

7

6

6

6

3

1 10

7

7

3

9

9

7

6

6

6

6

4

1 10

7

6

4

10

9

6

6

6

6

6

5

1 10

7

6

4

10

7

7

7

7

7

4

6

1 10

7

6

4

9

9

7

7

7

6

4

7

1

9

9

6

3

10

7

7

7

6

6

6

8

1

9

9

6

3

9

9

7

6

6

6

6

9

1

9

7

7

4

10

9

7

7

6

6

4

10

1

9

7

7

4

9

9

9

6

6

6

4

11

1

9

7

7

4

9

9

7

7

7

7

3

12

1

9

6

6

6

12

7

6

6

6

6

6

13

1

9

6

6

6

10 10

7

6

6

6

4

14

1

9

6

6

6

10

9

7

7

7

6

3

15

1

9

6

6

6

9

9

9

7

7

4

4

16

1

9

6

6

6

9

9

9

7

6

6

3

17

1

7

7

7

6

12

7

7

7

6

6

4

18

1

7

7

7

6

10 10

7

7

7

4

4

19

1

7

7

7

6

10 10

7

7

6

6

3

20

1

7

7

7

6

10

9

9

7

6

4

4

21

1

7

7

7

6

10

9

9

6

6

6

3

Gjejm¨e kandidat¨et e mundsh¨em p¨er L3 duke marr¨e parasysh secilin tip orbitor p¨er L2 . N¨e mesin e kandidat¨eve p¨er bllokun L3 gjenden edhe blloqet L4 , L5 . Prandaj, p¨er secilin rast t¨e L2 −shit, nga tabelat p¨erkat¨ese p¨er L3 , duhet t¨e gjenden treshet kompatibile t¨e blloqeve, {L3 , L4 , L5 }, ¸cdo dy prej t¨e cilave plot¨esojn¨e kushtin e prodhimit t¨e loj¨es.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

125

Me kompjuter marrim rezultatet t¨e cilat i paraqesim n¨e tabel¨en e m¨eposhtme:

Blloku L2

Numri i tipeve

Numri i kat¨ersheve

orbitore p¨er L3

{L2 , L3 , L4 , L5 }

Rasti 1.

969

8

Rasti 2.

1201

15

Rasti 3.

2073

41

Rasti 4.

1847

13

Rasti 5.

2355

6

Rasti 6.

1172

57

Rasti 7.

1401

8

Rasti 8.

1792

21

Rasti 9.

1001

67

Rasti 10.

2001

43

Rasti 11.

1301

23

Rasti 12.

1170

0

Rasti 13.

1371

11

Rasti 14.

1295

35

Rasti 15.

1584

8

Rasti 16.

1902

55

Rasti 17.

1001

11

Rasti 18.

2340

13

Rasti 19.

1026

28

Rasti 20.

1131

46

Rasti 21.

2098

69

Rrjedhimisht, ekzistojn¨e 578 kat¨ershe {L2 , L3 , L4 , L5 } (d.m.th. 578 pes¨eshe {L1 , L2 , L3 , L4 , L5 }).

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

126

Sh¨enojm¨e me L6 bllokun e gjasht¨e orbitor: L6 = 1e1 2e2 3e3 4e4 5e5 6e6 7e7 8e8 9e9 10e10 11e11 e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 + e7 + e8 + e9 + e10 + e11 = 77, H(L6 ) = e1 (e1 − 1) + e2 (e2 − 1) + e3 (a3 − 1) + · · · e11 (e11 − 1) = (|ρ| − 1) · λ = (19 − 1) · 28 = 504, Sp(L6 , Li ) = |ρ| · λ = 19 · 28 = 532, i = 2, 3, 4, 5. Nga |L6 ∩ L1 | = 28 marrim: e1 + e2 + e3 + e4 = 28, prandaj e5 + e6 + e7 + e8 + +e9 + e10 + e11 = 77 − 28 = 49, dhe 0 ≤ ai ≤ 23, i = 1, 2, · · · , 11, sepse H(L6 ) = 504. N¨e mesin e kandidat¨eve p¨er L6 ndodhen edhe blloqet L7 , L8 , L9 , L10 , L11 dhe L12 , prandaj k¨erkojm¨e shtat¨eshet {L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 } ¸cdo dy prej t¨e cil¨eve jan¨e kompatibil¨e - plot¨esojn¨e kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. Me kompjuter marrim rezultatet t¨e cilat i paraqesim n¨e tabel¨en e m¨eposhtme:

N¨enrasti p¨er

Numri

kat¨ershet

i tipeve or-

{L2 , L3 , L4 , L5 }

bitore p¨er L6

1

1

48

0

1

2

48

0

2

3

40

0

2

4

40

0

2

6

60

0

2

8

60

0

Rasti p¨er L2

Numri i shtat¨esheve {L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 }

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

Rasti p¨er L2

N¨enrasti p¨er

Numri i tipeve

kat¨ershet

orbitore

{L2 , L3 , L4 , L5 }

L6

p¨er

Numri i shtat¨esheve {L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 }

3

3

32

0

3

4

22

0

3

12

78

0

3

13

33

0

3

14

20

0

3

15

23

0

3

16

23

0

3

18

33

0

3

19

79

0

5

1

120

12

5

6

48

0

6

42

48

0

7

8

25

0

9

22

22

0

9

59

7

1

9

60

22

1

9

63

36

0

10

41

45

4

11

1

48

0

11

2

48

0

11

10

32

0

11

17

39

0

13

7

45

4

13

10

32

0

13

11

39

0

14

4

25

0

15

3

22

1

15

5

25

0

15

6

25

0

15

7

36

0

15

8

36

0

16

23

36

0

16

24

7

1

16

29

39

0

16

54

74

0

16

55

74

0

127

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

Rasti p¨er L2 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

N¨enrasti p¨er

Numri i tipeve

kat¨ershet

orbitore

{L2 , L3 , L4 , L5 }

L6

3 5 11 1 2 3 5 6 15 20 21 22 23 26 27 7 9 10 34 11 43 45 46 47 48 56 57 59 61 63 64 65 66 N¨enrastet tjera

60 23 36 40 78 60 33 20 22 32 36 22 32 74 36 40 33 23 32 78 36 7 39 45 7 39 7 39 7 74 39 45 36 <7

p¨er

128

Numri i shtat¨esheve {L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 } 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 0 1 0 1 0 0 4 0 0

Nga tabela e m¨esip¨erme shihet se ekzistojn¨e 75 n¨enraste, p¨er t¨e cilat numri i tipeve orbitore p¨er L6 ¨esht¨e m¨e i madh se 6, dhe p¨er ato n¨enraste kemi k¨erkuar shtat¨eshet {L6 , L7 , L8 , L9 , L10 , L11 , L12 }, p¨erkat¨esisht, kemi k¨erkuar strukturat orbito-

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

129

re. P¨er k¨eto 75 n¨enraste gjet¨em 38 struktura orbitore. Pas largimit t¨e rasteve izomorfe mbet¨en pik¨erisht 6 struktura orbitore, t¨e cilat po i japim n¨e vijim: SO1.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 10 7 6 4 10 7 7 7 7 7 4

19 19 7 10 4 6 4 7 7 7 7 7 10

19 19 6 4 7 10 7 10 7 7 7 4 7

19 19 4 6 10 7 7 4 7 7 7 10 7

19 0 10 4 7 7 7 4 9 7 6 6 10

19 0 7 7 10 4 4 10 9 7 6 7 6

19 0 7 7 7 7 9 9 3 6 4 9 9

19 0 7 7 7 7 7 7 6 3 12 7 7

19 0 7 7 7 7 6 6 4 12 9 6 6

19 0 7 7 4 10 6 7 9 7 6 10 4

19 0 4 10 7 7 10 6 9 7 6 4 7

SO2.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 10 7 6 4 10 7 7 7 7 7 4

19 19 7 10 4 6 4 7 7 7 7 7 10

19 19 6 4 7 10 7 10 7 7 7 4 7

19 19 4 6 10 7 7 4 7 7 7 10 7

19 0 10 4 7 7 6 4 9 9 6 6 9

19 0 7 7 10 4 4 9 7 7 10 6 6

19 0 7 7 7 7 10 6 4 4 9 6 10

19 0 7 7 7 7 7 9 10 3 4 9 7

19 0 7 7 7 7 7 9 3 10 4 9 7

19 0 7 7 4 10 6 6 7 7 10 9 4

19 0 4 10 7 7 9 6 9 9 6 4 6

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

130

SO3.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 7 7 7 6 10 10 7 7 6 6 3

19 19 7 7 7 6 10 3 7 7 6 6 10

19 19 7 7 4 9 4 6 10 7 9 7 6

19 19 6 6 9 6 4 9 4 7 7 9 9

19 0 10 3 9 6 7 6 7 7 10 6 6

19 0 9 9 6 4 6 9 9 4 6 6 9

19 0 9 9 4 6 7 6 4 10 7 9 6

19 0 6 6 9 7 6 6 10 9 3 9 6

19 0 6 6 6 10 9 7 6 3 7 10 7

19 0 6 6 6 10 7 9 6 9 6 3 9

19 0 3 10 9 6 7 6 7 7 10 6 6

SO4.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 7 7 7 6 10 9 9 6 6 6 3

19 19 7 7 7 6 9 6 3 10 6 6 9

19 19 7 7 4 9 6 4 10 6 7 7 9

19 19 6 6 9 6 3 9 6 6 9 9 7

19 0 10 3 9 6 6 6 9 9 6 6 7

19 0 9 9 6 4 7 9 7 4 6 6 10

19 0 9 9 4 6 6 6 6 9 9 9 4

19 0 6 6 9 7 10 4 6 4 9 9 7

19 0 6 6 6 10 7 9 6 7 10 3 7

19 0 6 6 6 10 7 9 6 7 3 10 7

19 0 3 10 9 6 6 6 9 9 6 6 7

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

131

SO5.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 9 6 6 6 10 10 7 6 6 6 4

19 19 7 7 7 6 6 6 6 10 9 3 9

19 19 7 7 7 6 6 6 6 3 9 10 9

19 19 4 7 7 9 6 6 9 9 4 9 6

19 0 10 9 3 6 6 6 6 9 6 9 7

19 0 9 3 9 7 7 7 7 7 4 7 10

19 0 7 6 6 9 10 3 9 6 9 6 6

19 0 7 6 6 9 3 10 9 6 9 6 6

19 0 6 10 9 3 7 7 10 6 6 6 7

19 0 6 6 10 6 7 7 4 9 9 9 4

19 0 4 9 6 9 9 9 4 6 6 6 9

SO6.

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

19 19 9 6 6 6 10 10 7 6 6 6 4

19 19 7 7 7 6 6 6 6 10 9 3 9

19 19 7 7 7 6 6 6 6 3 9 10 9

19 19 4 7 7 9 6 6 9 9 4 9 6

19 0 10 7 7 4 6 6 10 7 4 7 9

19 0 9 6 6 7 7 6 3 10 7 10 6

19 0 7 7 7 7 3 9 9 7 10 7 4

19 0 7 6 6 9 10 3 9 6 9 6 6

19 0 6 10 3 9 7 9 6 6 6 6 9

19 0 6 3 10 9 7 9 6 6 6 6 9

19 0 4 10 10 4 9 7 6 7 7 7 6

Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.11.1. N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra (210, 77, 28), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit F19·3 i rendit 57, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht gjasht¨e struktura orbitore. V¨ erejtje: Problemi i indeksimit t¨e strukturave orbitore mbetet i hapur.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

132

3.12.Bllok skemat simetrike me parametra (196, 91, 42) t¨ e rendit 49 me ndihm¨ en e kolineacionit ρ t¨ e rendit 28 Le t¨e jet¨e D nj¨e (196, 91, 42) bllok skem¨e simetrike. Nga fakti q¨e 196 = 7 · 28 konstatojm¨e se kolineacioni ρ i rendit 28 vepron n¨e bashk¨esin¨e e pikave t¨e D me 7 orbita pikash t¨e gjat¨esis¨e 28. K¨eshtu, kolineacionin ρ e paraqesim: ρ = (10 11 · · · 127 )(20 21 · · · 227 )(30 31 · · · 327 ) · · · (70 71 · · · 727 ). P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e par¨e t¨e bllok skem¨es D, t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L1 = 1a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 ku a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1, 2, 3, 4, 5, 6 dhe 7 n¨e bllokun orbitor L1 . Meq¨e k = 91, marrim a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a7 = 91. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L1 , H(L1 ) = (|ρ| − 1) · λ = 27 · 42 = 1134 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) + a3 (a3 − 1) + a4 (a4 − 1) + a5 (a5 − 1)+ a6 (a6 − 1) + a7 (a7 − 1) = 1134 dhe 0 ≤ ai ≤ 34, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pa humbur nga p¨ergjith¨esimi, p¨er bllokun L1 mund t¨e shfryt¨ezojm¨e reduksionin a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ a7 . Ekzistojn¨e 19 tipe orbitore p¨er bllokun L1 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura m¨e par¨e:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

1.

19 12 12 12 12 12 12

2.

18 15 13 12 11 11 11

3.

18 15 12 12 12 12 10

4.

18 14 14 12 12 11 10

5.

18 13 13 13 13 12

6.

17 16 14 11 11 11 11

7.

17 16 13 13 11 11 10

8.

17 15 15 12 11 11 10

9.

17 15 14 13 12 11

9

10.

17 14 13 13 13 13

8

11.

16 16 15 12 12 10 10

12.

16 16 14 14 11 10 10

13.

16 15 15 14 11 11

9

14.

16 15 15 13 13 10

9

15.

16 15 14 14 12 12

8

16.

16 14 14 14 14 11

8

17.

15 15 15 15 12 10

9

18.

15 15 15 14 13 11

8

19.

14 14 14 14 14 14

7

9

Blloku i dyt¨e orbitor L2 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L2 = 1b1 2b2 3b3 4b4 5b5 6b6 7b7 ku b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 = 91. Meq¨e H(L2 ) = (|ρ| − 1) · λ = 27 · 42 = 1134 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) + b3 (b3 − 1) + b4 (b4 − 1) + b5 (b5 − 1)+ b6 (b6 − 1) + b7 (b7 − 1) = 1134

133

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

134

dhe bazuar n¨e tipet orbitore p¨er L1 , max{a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 } = 19, kemi 0 ≤ bi ≤ 19, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Meq¨e Sp(L1 , L2 ) = |ρ| · λ = 28 · 42 = 1176, at¨eher¨e

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5 + a6 b6 + a7 b7 = 1176.

P¨er tipin e par¨e orbitor p¨er L1 , ekzistojn¨e 2106 tipe orbitore t¨e bllokut L2 , t¨e cil¨et i plot¨esojn¨e kushtet e p¨ermendura me par¨e:

1

12 19 12 12 12 12 12

2

12 18 15 13 11 11 11

3

12 18 15 12 12 12 10

4

12 18 15 12 12 10 12

5

12 18 15 12 10 12 12

··· 2102

12

8

12 14 16 14 15

2103

12

8

12 14 15 16 14

2104

12

8

12 14 15 14 16

2105

12

8

12 14 14 16 15

2106

12

8

12 14 14 15 16

T¨e nj¨ejtin veprim e kryejm¨e edhe p¨er t¨e gjitha tipet tjera orbitore p¨er bllokun ¨ e e qart¨e q¨e, nd¨ermjet blloqeve L2 , jan¨e po ashtu blloqet L3 , L4 , L5 , L6 , L7 . L1 . Esht¨ P¨er k¨et¨e shkak, ne zgjedhim gjasht¨eshet {L2 , L3 , L4 , L5 , L6 , L7 } nd¨ermjet kandidat¨eve p¨er bllokun L2 , ashtu q¨e ¸cdo dyshe nd¨ermjet tyre e plot¨eson kushtin e prodhimit t¨e loj¨es. K¨et¨e veprim e b¨ejm¨e p¨er t¨e gjitha tipet orbitore t¨e bllokut L1 , ve¸c e ve¸c. Rezultatet e ﬁtuara i paraqesim n¨e tabel¨en vijuese:

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

Blloku

Numri i tipeve

Numri i gjasht¨esheve

L1

orbitore p¨er L2

{L2 , L3 , L4 , L5 , L6 , L7 }

Rasti 1.

2106

15

Rasti 2.

321

20

Rasti 3.

300

8

Rasti 4.

307

24

Rasti 5.

300

8

Rasti 6.

300

8

Rasti 7.

307

26

Rasti 8.

307

22

Rasti 9.

300

54

Rasti 10.

300

8

Rasti 11.

300

17

Rasti 12.

300

17

Rasti 13.

307

22

Rasti 14.

307

26

Rasti 15.

307

24

Rasti 16.

300

8

Rasti 17.

300

8

Rasti 18.

321

20

Rasti 19.

2106

15

135

Duke krahasuar strukturat orbitore nga t¨e gjitha rastet e m¨esip¨erme, ne gjet¨em q¨e n¨e af¨ersi deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekzistojn¨e sakt¨esisht 86 struktura orbitore t¨e bllok skem¨es simetrike me parametrat (196,91,42) t¨e nd¨ertuara me veprimin e kolineacionit t¨e rendit 28.

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

136

SO1. 28 28 28 28 28 28 28

SO2. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 19 12 12 12 12 12

12 19 12 12 12 12 12

12 12 19 12 12 12 12

12 12 19 12 12 12 12

12 12 12 19 12 12 12

12 12 12 19 12 12 12

12 12 12 12 19 12 12

12 12 12 12 18 15 10

12 12 12 12 12 19 12

12 12 12 12 15 10 18

12 12 12 12 12 12 19

12 12 12 12 10 18 15

SO3. 28 28 28 28 28 28 28

SO4. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 19 12 12 12 12 12

12 18 15 13 11 11 11

12 12 18 14 14 11 10

12 15 10

9

12 12 14 15

8

12 13

18 13 13 13

12 12 14

15 14 16

12 11 15 13 18 11 11

12 12 11 14 14 18 10

12 11 15 13 11 18 11

12 12 10 16 16 10 15

12 11 15 13 11 11 18

SO5. 28 28 28 28 28 28 28

SO6. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 18 15 13 11 11 11

12 18 15 13 11 11 11

12 15 10

9

12 15

12 13

18 13 13 13

9

8

14 16

15 15 15

9

9

15 15 15

11 17 14 13

12 13 11 14

9

14 13 15

12 11 15 13 17 14

9

12 11 17

12 11 15 13 14

9

17

12 11 14 15 13 17

9

12 11 15 13

17 14

12 11 13 17 15

14

9

9

15 17

9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

137

SO7. 28 28 28 28 28 28 28

SO8. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 18 15 12 12 12 10

12 18 15 12 12 12 10

12 15 10 12 12 12 18

12 14 12 14 11 10 18

12 12 12 18 15 10 12

12 14

12 12 12 15 10 18 12

12 12 14

12 12 12 10 18 15 12

12 11 14 14 18 10 12

12 10 18 12 12 12 15

12 10 16 16 10 15 12

SO9. 28 28 28 28 28 28 28

SO10. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 18 14 14 12 11 10

12 17 15 15 11 11 10

12 14 14 10 11 12 18

12 15 11 11 17 10 15

12 14 10 11 14 18 12

12 15 11 11 10 17 15

12 12 11 14 18 10 14

12 11 17 10 15 15 11

12 11 12 18 10 14 14

12 11 10 17 15 15 11

12 10 18 12 14 14 11

12 10 15 15 11 11 17

SO11. 28 28 28 28 28 28 28

SO12. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 17 15 15 11 11 10

12 17 15 15 11 11 10

12 15 11 11 17 10 15

12 15 11 10 17 15 11

12 14 13 11

12 14

12 13

9

9

15 17

15 14 17 11

8

15 14 16 12

9

8

14 16 15

15 13 11 17

12 13 14 11

9

17 15

12 11 17 10 15 15 11

12 11 17 11 15 10 15

12

12

9

14 17 13 11 15

9

13 17 14 15 11

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

138

SO13. 28 28 28 28 28 28 28

SO14. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

19 12 12 12 12 12 12

12 17 15 14 13 11

12 16 16 15 12 10 10

9

12 15 11

9

12 14

17 11 13 15

9

14 17 13

8

12 15 14

14 14 15 12 8

9

12 11 17 13

15 14

12 10 15 12 16 16 10

13 15 17 14 11

12 10 12 16 15 10 16

SO15. 28 28 28 28 28 28 28

SO16. 28 28 28 28 28 28 28

19 12 12 12 12 12 12

18 15 13 12 11 11 11

12 16 15 14 14 12

15 10

9

13

17 14 15 12 11

12

9

12 15

8

8

16 12 14 14

12 14 16 12

8

12 14 12

16 15 14

8

12 12 14 14 15 12

8

14 15

8

16

14 15 14 16 12

12 12 14 14

14 12 16

12 13 14 11 15 9

17

12 16

9

8

16 15

12 15 15 15

12 12 14 15

8

11 15 15

14 13 15

8

14 16

11 15 12 14 13 17

9

11 15 11 16 15

14

9

SO17. 28 28 28 28 28 28 28

SO18. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

15

12 10 15 15 15

15

9

13 12

9

13 12

18 13 13 13

9

12 10 15 15 15 9

18 13 13 13

12 10 18 15 12 12 12

12 10 18 15 12 12 12

11 15 13 12 18 11 11

11 15 13 12 17 14

9

11 15 13 12 11 18 11

11 15 13 12 14

9

17

11 15 13 12 11 11 18

11 15 13 12

17 14

9

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

139

SO19. 28 28 28 28 28 28 28

SO20. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

15

15

9

12 10 15 15 15

9

11 12 17 14 13

13 11 11 18 15 12 11

13 12 11 14

12 12 14 15

12 10 18 15 12 12 12

11 17

9

8

14 16

12 14 13 15

11 15 15

8

9

15 17

14 13 15

11 14 15 12 13 17

9

11 15 12 14 13 17

9

11 13 17 12 15

14

11 15 11 16 15

14

9

9

SO21. 28 28 28 28 28 28 28

SO22. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

15

14 12

9

14

13 15 12 11 17

8

12 14 16 14 12

12 15 11

9

12 14

17 11 13 15

9

14 17 13

9

11 17 15 13

12 13 13 13

9

18 13

12 13 14 11 15

9

17

12 11 18 11 15 13 11

12 11 17 13

15 14

11 14 12 18 14 12 10

9

10 15 15 15 15 12

9

10 17 13 11 13 11 16

SO23. 28 28 28 28 28 28 28

SO24. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

14 12

9

14 11 12

14

12 17 11 13 15

9

12 13 15

11 17 15 13

9

11 14 17

14

9

12 14

9

17 15 13

13 15 12 11 17 9

17 15 13 11

12 11 17 13 14 15

9

12 13 13 13

11 14 14 14 16

14

11 12 18 14 14 12 10

10 17 11 15 11 15 12

10 17 13 11 13 11 16

8

9

18 13

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

140

SO25. 28 28 28 28 28 28 28

SO26. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

14 11 12

14 11 11 11 17 16 11

14

8

12 15

9

17 15 13

15 15 11 13 15

14

9

12 14 11 13

9

14 11 17

13 11 14 17

9

12 17 13 11 15

12 13 11 17 14 15

9

12 13 15

11 14 14 14 16

14

11 12 18 14 12 14 10

10 15 17 11 11 15 12

10 17 11 15 15 11 12

SO27. 28 28 28 28 28 28 28

SO28. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

14 11 11 11 17 16 11

14 11

9

14

15 15 13 11 15

14

15 11 13 12 17

9

12 15 10 11 11 17 15

8

12 15

8

13 14 11 17

12 13 14 11

9

9

9

17 15

15 17 13 12

17 15

12 11 15 17 10 15 11

11 14 12 18 12 14 10

11 14 16 10 16 14 10

10 15 17 11 15 11 12

10 16 13 15 13

9

15

SO29. 28 28 28 28 28 28 28

SO30. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

14 11

9

14 11

9

14

15 11 12 17 13

14

15 11 15 11 16

9

12 14 13

15 17 13 12

9

15 11 17

9

15 16 15 11

12 15 10 11 11 15 17

12 11 15 17 11 10 15

12 11 15 17

11 16 10 14 10 16 14

11 14 16 10 14 16 10

10 15 16 13 15 13

10 16 13 15 15

9

9

14 13

9

13

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

141

SO31. 28 28 28 28 28 28 28

SO32. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 13 12 11 11 11

18 15 13 12 11 11 11

14 11

9

13 13 11 10 17 16 11

14

15 11 11 16 15

9

12 14 13

15 16 15 11

9

17 11 15

12 11 15 17 13

9

14

13 12

9

18 13 13 13

13 11 14 12 13

9

9

17 15

17 14 15 11 12

11 16 10 14 10 14 16

12 14 12 11 14 10 18

10 15 16 13 13 15

9

9

17 15 14 12 13 11

SO33. 28 28 28 28 28 28 28

SO34. 28 28 28 28 28 28 28

18 15 12 12 12 12 10

18 15 12 12 12 12 10

15

14 12 14 12 11 10 18

8

15 14 13 11 15

13 12 11

9

12 14

17 11 13 15

9

14 17 15

14

8

12 14

14 15 12 16 12 8

12 14 16 15

11 16 14 11 15

9

15

12 12 15 10 18 12 12

11 14 17 13

15 12

11 14 12 18 14 10 12

9

11 12 13 15 17 14

9

10 16 16 12 10 15 12

SO35. 28 28 28 28 28 28 28

SO36. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

15 12

9

15 11

9

13

12 15 17 14 11

13

15 10 15 16 13

9

12 11 17

13 11 14 17

9

9

15 11 14 16

13 14 15

12 15 11 11 17 10 15

11 17 11 11 14 16 11

11 17 13 11 10 16 13

11 15 13 14 15

8

11 13 12 17 15 14

11 13 15 17

14 12

9

15

9

11 12 17 15 11 10 15

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

142

SO37. 28 28 28 28 28 28 28

SO38. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

15 11

9

15 11

9

13

15 10 15 16 13

13

15 13 15 10 16

9

15 11 14 16

9

14 11 16 15

12 15 11 11 17 10 15

12 15 11

11 16 15 11

11 17 12 15 11 10 15

9

14 15

11 15 11 15 14 16

9

11 11 16 17 13 10 13

9

17 14 13

11 13 17 11 10 16 13 11 12 13 17 15 14

9

SO39. 28 28 28 28 28 28 28

SO40. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

15 11

9

15 11

13

15 13 15 10 16

9

12 15 11

14 11 16 15

9

17 14 13

8

13 12 15 12

9

15 13 14 15 9

11 14 17

15 13 17 14 11

11 16 11 17 13 10 13

11 17 11 11 14 16 11

11 15 16 11

11 15 13 14 15

8

11 13 15 17

14 12

9

14 15

11 11 15 15 14 16

9

9

15

SO41. 28 28 28 28 28 28 28

SO42. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

14 15

8

14 15

8

14

14 14 11 16 14

14

12 16 15 12 14

8

12 12 14 16

12 12 14 15 14

8

16

8

12 12 15

12 12 14 16

8

16 14 14

12 12 11 14 18 14 10

12 12 14 14 10 18 11

11 14 16

14 14 14

11 14 16 14 10 10 16

10 16 14 16 10 14 11

10 16 12 15 16 12 10

8

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

143

SO43. 28 28 28 28 28 28 28

SO44. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

14 14 10 12 11 12 18

14 14 10 11 10 16 16

14

14 14 14 14 14

14 10 11 14 16 10 16

12 14 12 14 10 18 11

12 11 14 18 10 14 12

12 14 11 10 18 14 12

12 10 16 10 15 16 12

11 14 12 18 14 10 12

11 16 10 14 16 14 10

10 14 18 11 12 12 14

10 16 16 12 12 10 15

SO45. 28 28 28 28 28 28 28

SO46. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

14 14 10 11 10 16 16

14 14

8

14

14

14 14 14 14 14

7

7

14 14 14 14 14

7

15 12 12 16

12 14 11 18 12 10 14

12 14 14

12 14 10 12 18 14 11

12 14 11 12 14 18 10

11 14 16 10 14 10 16

11 14 16 14

10 14 16 14 11 16 10

10 14 14 16 16 10 11

SO47. 28 28 28 28 28 28 28

SO48. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

18 14 14 12 12 11 10

14 14

7

14 12 11 14 12 10 18

14

14 14 14 14 14

7

14 14 14 14

12 14 14 15

8

12 14 14

15 12 16

8

12 16

14

8

8

15 12 16

8

14 14

12 14 15 16 12

12 16 10 15 10 16 12 12 15 12

8

16 14 14

11 14 14 12 12 18 10

11 12 18 12 10 14 14

10 14 14 16 16 10 11

10 14 14 16 16 10 11

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

144

SO49. 28 28 28 28 28 28 28

SO50. 28 28 28 28 28 28 28

18 14 14 12 12 11 10

17 16 14 11 11 11 11

13 15 11 14

9

16 11

8

13 13 12

9

13 18 13

14

17 13 13 13 13

13 12

17 15 14 11

9

12 17

8

14 14 14 14

11 14 13 17 15 12

13 11 13 11 17 10 16

11 14 13 15

12

9

11 14 13 12 15

9

17 15 13 14 12 11

17 15 11 14 13

11 14 13

9

8

9

15 15 9

17

15 17 12

SO51. 28 28 28 28 28 28 28

SO52. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 14 11 11 11 11

17 16 14 11 11 11 11

16 11

8

14 14

14

17 13 13 13 13

8

14 14 14 14

7

14 14 14 14

13 11 14 17 15 12

11 14 13 15 15 15

8

13 11 14 15

11 14 13 15 15

8

15

13 11 14 12 15

11 14 13 15

8

15 15

11 14 13

15 15 15

8

13 11 14 8

9

8

9

15 15 9

17

15 17 12

17 14 13 13 13 13

SO53. 28 28 28 28 28 28 28

SO54. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 14 11 11 11 11

17 16 13 13 11 11 10

14 14

16 11 10 10 14 14 16

7

14 14 14 14

13 11 14 15 15 15

8

13 10 16 15 13

9

15

13 11 14 15 15

8

15

13 10 13 15 15 16

9

13 11 14 15

8

15 15

13 11 14

15 15 15

8

8

17 14 13 13 13 13

11 14 17

9

11 14 11 16

12 15 13 9

15 15

10 16 11 13 17 11 13

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

145

SO55. 28 28 28 28 28 28 28

SO56. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

16 11 10 10 14 14 16

16 11 10 10 14 14 16

13 10 16 13 17 11 11

13 10 15 15 16

9

13 10 15 15

16 13

13 10 15 15

9

16 13

9

11 14 16

9

15 15 11

16 15 15 11

11 14

16 15 15 11

9

13 15 13

10 16 13 13 11 11 17

SO57. 28 28 28 28 28 28 28

SO58. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

16 10 13

9

16 10 13

9

13 12

17 14 11 15

13 12

15 14 17 11

9

11 14 13 15 12 11 14

9

10 16 15

9

13 10 15 15

17

15 13 15

9

16 13

9

9

13 10 15 16

13

15 13 15

9

13 15

11 16 10 11 13 17 13

11 16 10 13 13 11 17

11 12 15 14 17 13

9

11 12 15 15 17 10 11

10 15 16 12 12 10 16

10 15 16 10 12 16 12

SO59. 28 28 28 28 28 28 28

SO60. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

16 10 12 10 16 12 15

16 10 12 10 16 12 15

13 13

9

13 13

9

13

17 15 11 14 12

13

15 16 13 15 10

9

11 15 14

15 10 15 16

9

13 17 12

9

11 15 14

15 10 15 16

9

13 17 12

11 13 11 16 17 13 10

11 13 17 13 11 10 16

10 15 15 13 13

10 15 11 15 17 11 12

9

16

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

146

SO61. 28 28 28 28 28 28 28

SO62. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

15 12 11 10 15 11 17

15 12 11 10 15 11 17

15

14 15 11 15 13

15

9

13 15 17 11

12 14 11 13

9

9

11 14 16

15 15 11

8

12 14

11 14 17

12 15 13

8

13 15 14 15 11

9

17 15

11 12 15 15 17 10 11

11 12 17 15 11 10 15

10 15 12 16 10 12 16

10 15 10 16 16 12 12

SO63. 28 28 28 28 28 28 28

SO64. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

15 11 11 10 17 15 12

15 11 11 10 17 15 12

15

15 13 10 13 16

14 11 15 11

8

13

9

12 14

16 12 14 15

11 15 14 11 15

9

16

9

12 14

9

15 16

15 17 14 11 12 8

16 12 14 15

11 11 15 17 15 12 10

11 15 14 11 15

10 15 15 11 11 17 12

9

9

16

15 15 13 13 16 10

SO65. 28 28 28 28 28 28 28

SO66. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

15 10 16

9

15 10 16

15 10

16 13 13 15

9

13 13 15

9

13 13 15

14 11 10 16 14 10 16

12 15 10 10 16 16 12

13 10 13 15 15 16

11 12 15 15 17 10 11

12 14 11 13

11 12 15 15 10 17 11

11 16 11 10 17 13 13

10 16 13 13 11 11 17

9

9

9

17 15

14 17 15 12 11 13

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

147

SO67. 28 28 28 28 28 28 28

SO68. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

15 10 15 11 12 11 17

15 10 12 11 17 15 11

15 10 11 12 15 17 11

14 12

12 15

13 10 15 15

9

11 12 15 15 17 10 11

12 15 14

12 14 16

11 12 14 17

9

11 12 17 14 15

10 16 15

13 15 13

8

14 14 12 16

9

15 13

9

9

15 13 11 17

8

16 13

9

13

16 11 15 14 15 11

SO69. 28 28 28 28 28 28 28

SO70. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 16 13 13 11 11 10

15

15

9

15 13 13 10 16

8

15 14 15 11 13

14 10 10 16 14 16 11

14 12 13 11

13 15

13 12

9

10 15 13 16

12 13 15 11

9

17 14

9

11 14 16

9

9

SO71. 28 28 28 28 28 28 28

15 17

15 14 17 11

12 15 10 12 16 10 16

11 13 16 11 17 13 10 15 13 17 12 11 14

9

9

15 15 11

14 15 17 11 12 13

SO72. 28 28 28 28 28 28 28

17 16 13 13 11 11 10

17 15 14 13 12 11

15

15 13 11

8

14 11

9

17 12 15 13

13

17 13 14 13 13

8

15 13 15 14 11

14 12 13 11 13 12

9

9

15 17

17 14 11 15

8

9

14 15 15

12 15 10 10 16 16 12

12 14 12 14 15

8

11 14 16 11 15

11 15 15 13

14 15

9

9

15

14 15 16 11 15 11

9

8

16

15 13 13 16 15 10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO73. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11

9

15 13

8

14

15 12 14 16 12

8

13 14 12

14 11 15 15

9

17 11 15

12 11 14 17 13

9

11 15 16 11

14 15

9

9

15

15 12 15 15 15 10

SO75. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11

9

15 12 14

9

14 14

7

14 14 14 14

13

14 12 17 15 11

9

12 11 14 17

11 13 17

9

11 13 14 15 15 9

9

15 11 14

9

14 14

14 14 14 14

9

11 16 15

9

9

15

14 17 13 15 11

11 15 14 15

9

9

14 14

7

14 14 14 14

13

14 12 17 15 11

9

11 13 17

12 11 14 17 13

9

11 13 14 15

17 12

9

9

11 16

16 14 11 15 15 11

15

17 14 11 15 12 13

SO76. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11 15 11 14 11

9

9

15 16

14 14

7

13

14 12 17 15 11

9

14 14 14 14

11 16 14

15

9

15 12 14

8

17 15 14 13 12 11

12

17 15 14 13 12 11

12 11 14 17 13

SO77. 28 28 28 28 28 28 28

13 11 14 12 17

SO74. 28 28 28 28 28 28 28

15 13

17 14 11 13 15 12

7

148

9

9

9

15

15 11 15

15 14 15 11 16 11

SO78. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11 15 11 14 14

9

13 14

8

9

13 15 15

12 17 11 15 13 8

13 17 13 13

12 12 15 14 14

8

11 17 12 13

14 15

9

9

16

13 16 13 15 15 10

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO79. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11 15 11

9

14 14 12 13

8

9

SO80. 28 28 28 28 28 28 28 17 15 14 13 12 11 15

8

14 11 13 15 12

9

13 13 13 13

17 14

15 12 16

17 13 14 13 13 9

11 15 15 13

14 15

8

15

15 13 13 16 15 10

SO81. 28 28 28 28 28 28 28

9

9

14 12 17 13

12 13 11 17 14

9

149

12 14

13 10 16 15 13

8

11 17 13 9

8

17

16 15 14 12 9

14 12 15

12 17 15 14 13 11

SO82. 28 28 28 28 28 28 28

16 16 15 12 12 10 10

16 15 15 14 11 11

9

16 12

15 11 11 14 16

9

15

15 11 11 14

9

16 15

14 10 14 10 16 11 16

14 14 14

7

14 14 14

11 10 16 16 14 14 10

11 16

9

14 15 15 11

10 16 12 10 15 16 12

11

9

16 14 15 15 11

10 15 12 16 12 10 16

9

15 15 14 11 11 16

8

15 14 14 12

14 12 14 12

8

16 15

SO83. 28 28 28 28 28 28 28

SO84. 28 28 28 28 28 28 28

16 15 14 14 12 12

8

16 14 14 14 14 11

15 12 14 12 14

16

14 16 14 11

8

14 14

7

14

14 12 15 16 12

8

12 16 14

14 14 14 14

8

12 12 14 16 8

14 14

7

14 11 14

8

16 14 14

14

8

11 14 14 14 14

14 14 15 16 12 12

8

14 14

14 14 14 14

12 15 14 14 15

8

8

8

14 16 11 14 14 8

16

14 14 14 14 16 11

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

SO85. 28 28 28 28 28 28 28 16 14 14 14 14 11

8

SO86. 28 28 28 28 28 28 28 14 14 14 14 14 14

7

14 14 14 14 14

7

14

14 14 14 14

7

14 14

14 14 14

7

14 14 14

14 14

7

14 14 14 14

16

14

7

14 14 14 14 14

14 14 14 14 16 11

7

14 14 14 14 14 14

14 14 14 14

7

14 14 14

7

14 14 14

14 14

7

14 14 14 14

14

14 14 14 14 14

7

11 14 14 14 14 8

150

14 14

8

Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Pohimi 3.12.1. N¨e qoft¨e se ekziston bllok skema simetrike me parametra (196, 91, 42), n¨e t¨e cil¨en vepron grupi ciklik i rendit 28, at¨eher¨e deri n¨e izomorfiz¨em dhe dualitet ekzistojn¨e pik¨erisht 86 struktura orbitore. V¨ erejtje: Indeksimi i k¨etyre tet¨edhjetegjasht¨e strukturave orbitore mbetet problem i hapur.

3.13. Bllok skemat simetrike (195, 97, 48) t¨ e rendit 49 me an¨ e t¨ e grupit t¨ e kolineacioneve t¨ e rendit 4656 Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (195, 97, 48). Supozojm¨e q¨e n¨e D vepron grupi G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩ izomorf me grupin e Frobeniusit F97·48 t¨e rendit 4656. Lema 3.13.1. Le t¨e jet¨e D bllok skem¨e simetrike me parametrat (195, 97, 48) dhe le t¨e jet¨e ⟨ρ⟩ n¨engrup i AutD. N¨ese |⟨ρ⟩| = 97, at¨eher¨e ⟨ρ⟩ fikson sakt¨esisht nj¨e pik¨e dhe nj¨e bllok t¨e D. V¨ ertetimi. Sipas teorem¨es 1.8.8, grupi ⟨ρ⟩ ﬁkson num¨er t¨e nj¨ejt¨e pikash dhe ¨ e e qart¨e q¨e f ≡ 195 (mod 97), d.m.th. blloqesh. E sh¨enojm¨e k¨et¨e num¨er me f. Esht¨ √ f ≡ 1 (mod 97). Duke p¨erdorur formul¨en f ≤ k + k − λ nga rrjedhimi 1.8.10, marrim f ∈ {1, 98}. Nuk ekziston bllok skema simetrike me v ′ = 98 dhe λ = 48, sepse nuk

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

151

ekziston k ∈ IN q¨e plot¨eson 48(v ′ − 1) = k(k − 1), prandaj mbetet p¨er shqyrtim vet¨em rasti kur ⟨ρ⟩ ﬁkson vet¨em nj¨e pik¨e. M¨e tutje shqyrtojm¨e rastin kur kolineacioni ρ vepron me nj¨e pik¨e ﬁkse dhe 2 orbita jotriviale t¨e pikave (blloqeve) t¨e gjat¨esis¨e 97. I sh¨enojm¨e me Pi = {pi0 , pi1 , . . . , pi96 }, i = 1, 2, orbitat jotriviale. Rrjedhimisht, ρ vepron n¨e secil¨en orbit¨e t¨e till¨e t¨e pikave n¨e m¨enyr¨e t¨e vetme si grup i permutacioneve, deri n¨e em¨ertimin e pikave. K¨eshtu, p¨er kolineacionin ρ mund t¨e shkruajm¨e: ρ = (∞)(10 11 · · · 196 )(20 21 · · · 296 ), nd¨ersa kolineacionin µ t¨e rendit 48 i cili n¨e bllok skem¨e vepron n¨e at¨e m¨enyr¨e q¨e i ﬁkson numrat orbitor, nd¨ersa n¨e indeksa vepron µ : x 7→ 2x (mod 97), mund ta shkruajm¨e: µ = (0)(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 31, 62, 27, 54, 11, 22, 44, 88, 79, 61, 25, 50, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 95, 93, 89, 81, 65, 33, 66, 35, 70, 43, 86, 75, 53, 9, 18, 36, 72, 47, 94, 91, 85, 73, 49) (5, 10, 20, 40, 80, 63, 29, 58, 19, 38, 76, 55, 13, 26, 52, 7, 14, 28, 56, 15, 30, 60, 23, 46, 92, 87, 77, 57, 17, 34, 68, 39, 78, 59, 21, 42, 84, 71, 45, 90, 83, 69, 41, 82, 67, 37, 74, 51). Rrjedhimisht shum¨eﬁshitetet e numrave orbitor do t¨e jen¨e ≡ 0, 1 (mod 48). Bllokun ⟨ρ⟩−ﬁks t¨e bllok skem¨es simetrike D mund ta shkruajm¨e: L1 = 197 . P¨erfaq¨esuesi i ⟨ρ⟩−orbit¨es s¨e dyt¨e t¨e bllok skem¨es D t¨e nd¨ertuar me kolineacionin ρ, mund t¨e shkruhet n¨e form¨en: L1 = ∞1a1 2a2 ku a1 , a2 jan¨e shum¨eﬁshitete t¨e paraqitjes s¨e numrave orbitor 1 dhe 2 n¨e bllokun orbitor L2 . Meq¨e k = 97, dhe L2 p¨ermban pik¨en ﬁkse ∞, marrim a1 + a2 = 96. Kushti |L1 ∩ L2 | = 48 sjell a1 = 48. Gjat¨esia e Hamming-ut e bllokut L2 , H(L2 ) = (|ρ| − 1)(λ − 1) = 96 · 47 = 4512 sjell a1 (a1 − 1) + a2 (a2 − 1) = 4512

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

152

ose a2 (a2 − 1) = 2256 dhe a2 = 48. Ekziston vet¨em nj¨e tip orbitor p¨er bllokun L2 i cili i plot¨eson kushtet p¨ermendura m¨e par¨e: 1.

48 48

Blloku i tret¨e orbitor L3 , i nd¨ertuar me kolineacionin ρ, ka form¨en: L3 = 1b1 2b2 , ku b1 + b2 = 97. Meq¨e |L1 ∩ L3 | = 48, kemi b1 = 48. Meq¨e H(L3 ) = (|ρ| − 1) · λ = 96 · 48 = 4608 marrim b1 (b1 − 1) + b2 (b2 − 1) = 4608 ose b2 (b2 − 1) = 2352 prej nga marrim b2 = 49. Meq¨e Sp(L2 , L3 ) = |ρ| · λ = 97 · 48 = 4656, at¨eher¨e a1 b1 + a2 b2 = 4656. P¨er b1 = 48, b2 = 49 plot¨esohet relacioni i m¨esiperm, prandaj konstatojm¨e se ekziston vet¨em nj¨e tip orbitor p¨er bllokun i cili i plot¨eson kushtet e p¨ermendura me par¨e: 1.

48 49

K¨eshtu v¨ertetuam q¨e n¨e af¨ersi deri n¨e izomorﬁz¨em dhe dualitet, ekziston pik¨erisht nj¨e struktur¨e orbitore e bllok skem¨es simetrike me parametrat (195, 97, 48) e ﬁtuar gjat¨e veprimit t¨e kolineacionit ρ t¨e rendit 97.

SO

1

97

97

1

0

97

0

97

1

48

48

97

0

48

49

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

153

Grupi i plot¨e i automorﬁzmeve t¨e struktur¨es orbitore ¨esht¨e: Aut(SO) = {1}. Le t¨e jet¨e G grup i automorﬁzmeve t¨e bllok skem¨es simetrike D, q¨e vepron me shp¨erndarjen e gjat¨esive (ω1 , ω2 , · · · ωt , ), (Ω1 , Ω2 , · · · Ωt , ). Thuhet q¨e grupi i automorﬁzmeve ¨esht¨e gjysm¨estandard n¨ese, pas rinum¨erimit t¨e mundsh¨em t¨e orbitave, do t¨e kemi: ωi = Ωi p¨er i = 1, 2, · · · , t. Lema 3.13.2. Le t¨e jet¨e G = ⟨ρ, µ⟩ grup i Frobeniusit i rendit 5656 i p¨erkufizuar m¨e par¨e, D bllok skema simetrike me parametrat (195, 97, 48) dhe G ≤ AutD. At¨eher¨e G vepron n¨e m¨enyr¨e gjysm¨estandarde n¨e D me shp¨erndarje gjat¨esish¨e (1, 97, 97). V¨ ertetimi: B¨erthama e Frobeniusit ⟨ρ⟩ e rendit 97 vepron n¨e D me shp¨erndarje gjat¨esish orbitore (1, 97, 97). Meq¨e ⟨ρ⟩▹G, elementi µ i rendit 48 i pasqyron ⟨ρ⟩−orbitat n¨e ⟨ρ⟩−orbita. K¨eshtu, e vetmja mund¨esi p¨er shp¨erndarjen e gjat¨esive orbitore ¨esht¨e (1, 97, 97). Stabilizatori i secilit bllok nga orbita e blloqeve t¨e gjat¨esis¨e 97 ¨esht¨e i konjuguar me ⟨ρ⟩. K¨eshtu, elementet n¨e struktur¨en orbitore q¨e iu p¨erkasin orbitave t¨e pikave dhe blloqeve t¨e gjat¨esis¨e 97 duhet t¨e plot¨esojn¨e kushtin γjr ≡ 0, 1 (mod 48). Struktura orbitore e plot¨eson k¨et¨e kusht. Vazhdojm¨e me indeksimin e struktur¨es orbitore. Indeksimi i pjes¨es ﬁkse t¨e struktur¨es orbitore ¨esht¨e nj¨e pun¨e triviale. K¨eshtu q¨e, do ta shqyrtojm¨e vet¨em pjes¨en e djatht¨e t¨e poshtme t¨e struktur¨es orbitore t¨e rendit 2. Si blloqe p¨erfaq¨esuese p¨er orbitat e blloqeve t¨e gjat¨esis¨e 97 zgjedhim blloqet ﬁkse sipas ⟨µ⟩. K¨eshtu, bashk¨esit¨e e indeksave, t¨e num¨eruara prej 0′ deri n¨e 3′ , t¨e cilat mund t¨e paraqiten n¨e bllok skemat e nd¨ertuara nga struktura orbitore SO jan¨e nd¨ermjet atyre n¨e vijim: 0’ ={1,2,4,8,16,32,64,31,62,27,54,11,22,44,88,79,61,25,50,3,6,12,24,48, 96,95,93,89,81,65,33,66,35,70,43,86,75,53,9,18,36,72,47,94,91,85,73,49} 1’ ={5,10,20,40,80,63,29,58,19,38,76,55,13,26,52,7,14,28,56,15,30,60,23,46, 92,87,77,57,17,34,68,39,78,59,21,42,84,71,45,90,83,69,41,82,67,37,74,51}

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

154

2’ ={0,1,2,4,8,16,32,64,31,62,27,54,11,22,44,88,79,61,25,50,3,6,12,24,48, 96,95,93,89,81,65,33,66,35,70,43,86,75,53,9,18,36,72,47,94,91,85,73,49} 3’ ={ 0,5,10,20,40,80,63,29,58,19,38,76,55,13,26,52, 7,14,28,56,15,30,60,23, 46,92,87,77,57,17,34,68,39,78,59,21,42,84,71,45,90,83,69,41,82,67,37,74,51} P¨er eliminimin e rasteve izomorfe gjat¨e procesit t¨e indeksimit p¨erdorim automorﬁzmin e rendit 96, i cili n¨e secil¨en ρ−orbit¨e t¨e pikave t¨e gjat¨esis¨e 97, vepron me x 7→ 5x (mod 97). Veprimi i k¨etij automorﬁzmi n¨e bashk¨esin¨e e bashk¨esive t¨e indeksave {0′ , 1′ , 2′ , 3′ }, ¨esht¨e (0′ , 1′ )(2′ , 3′ ). Procesi i indeksimit t¨e struktur¨es orbitore SO na shpie deri te nj¨e bllok skem¨e simetrike, t¨e sh¨enuar me D. I paraqesim blloqet baz¨e, duke p¨erfshir¨e edhe pjes¨en ﬁkse, p¨ermes pikave 0, 1, 2, · · · , 193 dhe 194 duke p¨erdorur pasqyrimin ra 7→ (r − 1) · 97 + a, r ∈ {1, 2}, a ∈ {0, 1, · · · , 96} dhe ∞ 7→ 194. L1 (blloku ﬁks): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96. L2 : 5, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 26, 28, 29, 30, 34, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 45, 46, 51, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 63, 67, 68, 69, 71, 74, 76, 77, 78, 80, 82, 83, 84, 87, 90, 92, 98, 99, 100, 101, 103, 105, 106, 108, 109, 113, 115, 119, 121, 122, 124, 128, 129, 130, 132, 133, 140, 141, 144, 145, 146, 147, 150, 151, 158, 159, 161, 162, 163, 167, 169, 170, 172, 176, 178, 182, 183, 185, 186, 188, 190, 191, 192, 193, 194. L3 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16, 18, 22, 24, 25, 27, 31, 32, 33, 35, 36, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 53, 54, 61, 62, 64, 65, 66, 70, 72, 73, 75, 79, 81, 85, 86, 88, 89, 91, 93, 94, 95, 96,

¨ RENDIT 49 III. BLLOK SKEMAT SIMETRIKE TE

155

97, 98, 99, 100, 101, 103, 105, 106, 108, 109, 113, 115, 119, 121, 122, 124, 128, 129, 130, 132, 133, 140, 141, 144, 145, 146, 147, 150, 151, 158, 159, 161, 162, 163, 167, 169, 170, 172, 176, 178, 182, 183, 185, 186, 188, 190, 191, 192, 193. Blloqet tjera i marrim duke vepruar me automorﬁzmin ρ t¨e rendit 97, i cili tani duket: ρ = (0, 1, · · · , 96)(97, 98, · · · , 193)(194). Duke llogaritur numrin e tresheve q¨e kan¨e 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, p¨erkat¨esisht 48 pika t¨e p¨erbashk¨eta, marrim rezultatet si n¨e tabel¨e: Pika t¨e p¨erbashk¨eta

0

Treshe

97

Pika t¨e p¨erbashk¨eta

24

Treshe

19 27936 25

582000 37248

20 62080

21

55872 37248

26 55872

22

27

23 268496

28 1-18 ose 29-48

62080 27936

0

Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar Teorema 3.13.1. Ekziston pik¨erisht nj¨e bllok skem¨e simetrike me parametra (195, 97, 48) n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩ i rendit 4656.

Rezyme Ky punim i doktorat¨es ¨esht¨e i ndar¨e n¨e 3 kapituj. N¨e kapitullin i par¨e, ¨esht¨e dh¨en¨e nj¨e p¨ermbledhje konceptesh dhe pohimesh lidhur me bllok skemat simetrike. N¨e kapitullin e dyt¨e paraqitet metodologjia e pun¨es n¨e nd¨ertimin e bllok skemave simetrike. Kjo metodologji kryesisht bazohet n¨e zbatimin e veprimit t¨e grupit n¨e bllok skema simetrike s¨e bashku me k¨erkime t¨e gjera kompjuterike. N¨e kapitullin e tret¨e, e cila ¨esht¨e pjesa kryesore e punimit, hulumtohen raste t¨e veanta t¨e bllok skemave simetrike t¨e rendit 49. Jan¨e studiuar 12 bashk¨esi t¨e caktuara parametrash, duke vepruar me grupe t¨e caktuara. P¨er veprimet e grupeve t¨e dh¨ena, ¨esht¨e shqyrtuar numri i pikave ﬁkse, jan¨e gjetur strukturat orbitore. Rezultatet e arritura s¨e bashku me problemin e indeksimit po i japim t¨e p¨ermbledhura n¨e tabel¨en vijuese:

Nr. Parametrat

Struktu-

Numri i

ra

bllok

orbitore

skemave

1

0

0

Grupi i

Pika

kolineacioneve

fikse

G = F53·4 = ⟨ρ, µ|ρ

= µ = 1, ρ = ρ ⟩

53

4

µ

23

1

(690, 53, 4)

2

(496, 55, 6)

G = ⟨ρ, τ |ρ55 = 1, τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩

1

1

Problem i hapur

3

(441, 56, 7)

G = ⟨ρ|ρ55 = 1⟩

1

86

Problem i hapur

(400, 57, 8)

G = ⟨ρ|ρ

1

15

Problem i hapur

(306, 61, 12)

G = ⟨ρ|ρ

1

2

Problem i hapur

1

3

Problem i hapur

4 5 6

(280, 63, 14)

57 61

G = ⟨ρ, µ|ρ

31

= 1⟩ = 1⟩

= µ = 1, ρ = ρ ⟩ 3

µ

5

(261, 65, 16)

G = ⟨ρ|ρ

= 1⟩

1

2

Problem i hapur

8

(231, 70, 21)

G = ⟨ρ|ρ

= 1⟩

1

≥ 86

Problem i hapur

9

(220, 73, 24)

1

1

Problem i hapur

1

6

Problem i hapur

0

86

Problem i hapur

1

1

1

7

10 (210, 77, 28) 11 (196, 91, 42) 12 (195, 97, 48)

65 23

G⟨ρ, µ|ρ73 = µ3 = 1, ρµ = ρ8 ⟩ G = ⟨ρ, µ|ρ

19

= µ = 1, ρ = ρ ⟩ 3

G = ⟨ρ|ρ G = ⟨ρ, µ|ρ

97

µ

7

28

= 1⟩

48

= 1, ρ = ρ ⟩

=µ

µ

156

2

Rezyme

157

Nga tabela shihet se ¨esht¨e kryer indeksimi i bllok skem¨es me parametra (195, 97, 48), e cila i takon seris¨e s¨e bllok skemave t¨e Hadamardit, p¨ermes veprimit t¨e grupit t¨e Frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩. Me k¨et¨e ¨esht¨e v¨ertetuar kjo: Teorem¨ e:

Ekziston pik¨erisht nj¨e bllok skem¨e simetrike me parametra

(195, 97, 48) n¨e t¨e cil¨en vepron grupi i Frobeniusit G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩ i rendit 4656, me p¨erftuesit ρ = (10 )(I0 I1 · · · I96 ), I = 2, 3, dhe µ = (10 )(I0 )(I1 I2 I4 I8 I16 I32 I64 I31 I62 I27 I54 I11 I22 I44 I88 I79 I61 I25 I50 I3 I6 I12 I24 I48 ) I96 I95 I93 I89 I81 I65 I33 I66 I35 I70 I43 I86 I75 I53 I9 I18 I36 I72 I47 I94 I91 I85 I73 I49 ) (I5 I10 I20 I40 I80 I63 I29 I58 I19 I38 I76 I55 I13 I26 I52 I7 I14 I28 I56 I15 I30 I60 I23 I46 I92 I87 I77 I57 I17 I34 I68 I39 I78 I59 I21 I42 I84 I71 I45 I90 I83 I69 I41 I82 I67 I37 I74 I51 ), I = 2, 3. Blloqet baz¨e jan¨e: B1 = 20 21 · · · 296 B2 = 10 25 210 220 240 280 263 229 258 219 238 276 255 213 226 252 27 214 228 256 215 230 260 223 246 292 287 277 257 217 234 268 239 278 259 221 242 284 271 245 290 283 269 241 282 267 237 274 251 31 32 34 38 316 332 364 331 362 327 354 311 322 344 388 379 361 325 350 33 36 312 324 348 396 395 393 389 381 365 333 366 335 370 343 386 375 353 39 318 336 372 347 394 391 385 373 349 B3 = 21 22 24 28 216 232 264 231 262 227 254 211 222 244 288 279 261 225 250 23 26 212 224 248 296 295 293 289 281 265 233 266 235 270 243 286 275 253 29 218 236 272 247 294 291 285 273 249 30 31 32 34 38 316 332 364 331 362 327 354 311 322 344 388 379 361 325 350 33 36 312 324 348 396 395 393 389 381 365 333 366 335 370 343 386 375 353 39 318 336 372 347 394 391 385 373 349

Summary This doctoral study is divided in three chapters. The ﬁrst chapter provides a summary of concepts and statements regarding symmetric block designs. The second chapter describes the methodology of work used in building the symmetric block designs. This methodology is largely based on the implementation of the action of the symmetric block designs along with other extensive research carried out through computer. The third chapter, which is the main part of the study, explores speciﬁc cases of symmetric block designs of order 49. Indeed, the 12 sets of assigned parameters have been studied by operating of certain groups. For the assigned operating groups, the number of ﬁxed points has been analyzed, where orbital structures have been found. The results obtained along with the indexing problem have been summarized in the following table: No. of

No. of

No. of

fixed

orbit

symmetric

points

structures

block designs

1

0

0

No Parameters

Automorphism group

1

(690, 53, 4)

G = F53·4 = ⟨ρ, µ|ρ

2

(496, 55, 6)

G = ⟨ρ, τ |ρ55 = 1, τ 8 = 1, ρτ = ρ⟩

1

1

Open problem

3

(441, 56, 7)

G = ⟨ρ|ρ55 = 1⟩

1

86

Open problem

(400, 57, 8)

G = ⟨ρ|ρ

1

15

Open problem

(306, 61, 12)

G = ⟨ρ|ρ

1

2

Open problem

(280, 63, 14)

G = ⟨ρ, µ|ρ

1

3

Open problem

(261, 65, 16)

G = ⟨ρ|ρ

= 1⟩

1

2

Open problem

8

(231, 70, 21)

G = ⟨ρ|ρ

= 1⟩

1

≥ 86

Open problem

9

(220, 73, 24)

G = ⟨ρ, µ|ρ73 = µ3 = 1, ρµ = ρ8 ⟩

1

1

Open problem

10 (210, 77, 28)

G = ⟨ρ, µ|ρ

1

6

Open problem

11 (196, 91, 42)

G = ⟨ρ|ρ

0

86

Open problem

12 (195, 97, 48)

G = ⟨ρ, µ|ρ

1

1

1

4 5 6 7

53

57

= µ = 1, ρ = ρ ⟩ 4

µ

= 1⟩

61

= 1⟩ 31

65 23

19

28

= µ = 1, ρ = ρ ⟩ 3

µ

5

= µ = 1, ρ = ρ ⟩ 3

µ

7

= 1⟩ 97

48

=µ

= 1, ρ = ρ ⟩ µ

2

158

23

Summary

159

From the table, we can see that the indexing process of symmetric block designs with parameters (195, 97, 48), which belongs to the series of Hadamard symmetric block designs, has been done through the operating Frobenious group G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩. With this, the following has been proven: Theorem: There is exactly one symmetric block design with parameters (195, 97, 48) upon which the Frobenious group G = ⟨ρ, µ|ρ97 = µ48 = 1, ρµ = ρ2 ⟩ of order 4656 operates, with generators: ρ = (10 )(I0 I1 · · · I96 ), I = 2, 3, and µ = (10 )(I0 )(I1 I2 I4 I8 I16 I32 I64 I31 I62 I27 I54 I11 I22 I44 I88 I79 I61 I25 I50 I3 I6 I12 I24 I48 ) I96 I95 I93 I89 I81 I65 I33 I66 I35 I70 I43 I86 I75 I53 I9 I18 I36 I72 I47 I94 I91 I85 I73 I49 ) (I5 I10 I20 I40 I80 I63 I29 I58 I19 I38 I76 I55 I13 I26 I52 I7 I14 I28 I56 I15 I30 I60 I23 I46 I92 I87 I77 I57 I17 I34 I68 I39 I78 I59 I21 I42 I84 I71 I45 I90 I83 I69 I41 I82 I67 I37 I74 I51 ), I = 2, 3. Base blocks are: B1 = 20 21 · · · 296 B2 = 10 25 210 220 240 280 263 229 258 219 238 276 255 213 226 252 27 214 228 256 215 230 260 223 246 292 287 277 257 217 234 268 239 278 259 221 242 284 271 245 290 283 269 241 282 267 237 274 251 31 32 34 38 316 332 364 331 362 327 354 311 322 344 388 379 361 325 350 33 36 312 324 348 396 395 393 389 381 365 333 366 335 370 343 386 375 353 39 318 336 372 347 394 391 385 373 349 B3 = 21 22 24 28 216 232 264 231 262 227 254 211 222 244 288 279 261 225 250 23 26 212 224 248 296 295 293 289 281 265 233 266 235 270 243 286 275 253 29 218 236 272 247 294 291 285 273 249 30 31 32 34 38 316 332 364 331 362 327 354 311 322 344 388 379 361 325 350 33 36 312 324 348 396 395 393 389 381 365 333 366 335 370 343 386 375 353 39 318 336 372 347 394 391 385 373 349

Literatura [1] E. Ademaj, E. Gashi, Algjebra e p¨ergjithshme, FSHMN, Prishtin¨e (1983). [2] E. Ademaj, Biplanes of order 14 with a group of order 28, Punime matematike, No. 3 (1988), 19-21. [3] M. Aschbacher, On collineation groups of symmetric designs, J. Combin. Theory, 11 (1971) [4] A. Beutelspacher, Einf¨ urung in die Endliche Geometrie I, Bibliographisches Institut, Mannheim-Wien-Z¨ urich,1985. [5] N. L. Biggs, A.T. White, Permutation groups and combinatorial structures, Cambridge, London, New York, Melburne, 1979. [6] T.Beth, D. Jungnickel and H.Lenz, Design Theory, Cambridge University Press, 1999. [7] Colbourn, C. J. and Dinitz, J.H. (eds.): The CRC Handbook of Combinatorial Designs. Boca Raton: CRC Press, 2007. [8] D. Crnkovi´c, On Symmetric (36,15,6) designs, Glasnik Matematiˇcki III. Ser. 34, No.2, 105-108 (1999). [9] D. Crnkovi´c, Symmetric (36,15,6) design having U (3, 3) as an automorphisms group, Glasnik Matematiˇcki III. Ser. 34, No.1, 1-3 (1999) 160

Literatura

161

[10] D. Crnkovi´c, Some new Menon designs with parameters (196, 91, 42), Mathematical Communications 10(2005), 169 - 175. [11] D. Crnkovi´c, A Construction of Some Symmetric Designs with Parameters (196,91,42), International Mathematical Forum, 2, 2007, no. 61, 3021 - 3026 [12] D. Crnkovi´c, M-O. Pav¸cevi´c, Some new symmetric designs with parameters (64,28,12), Discrete Mathematics 237 (2001) 109-118 ´ [13] V. Cepuli´ c, On symmetric block designs (40,13,4) with automorphisms of order 5, Dicrete mathematics 128(1994) 45–60. ´ c, On symmetric block designs (45,12,3) with automorphisms of order [14] V. Cepuli´ 5, Ars Combinatorica 37(1994) 33–48. ´ [15] V. Cepuli´ c, On symmetric block designs (40,13,4) with automorphisms of order 13, Glasnik matematiˇcki Vol. 3 (51) (1996) 11–23. ´ [16] V. Cepuli´ c and Lj. Maranguni´c, On the nonexistence of symmetric block design (81,16,3) with involutory homology, Glasnik Matematiˇcki, Vol29(49)(1994),205215. ´ [17] V. Cepuli´ c, The unique symmetric block design (61,16,4) admitting an automorphism of order 15 operating standardly, Discrete Mathematics 175(1997) 259–263. [18] M. Essert, Algoritmi konstrukcije dvoravnina, Doktorska disertacija, Zagreb (1986). [19] R. Gjergji, Studimi i grupeve t¨e kolineacioneve t¨e bllok skemave simetrike t¨e rendit 36, Disertacion i doktorat¨es, Prishtin¨e (1987) [20] R. Gjergji, On the Symmetric block design (155,56,20) with a collineation group G = F31·3 × Z4 , Punime matematike, No.2 (1987), 31-33.

Literatura

162

[21] R. Gjergji, On the Symmetric block design (155,56,20) with Frobenius groups of order 155, Punime matematike, No. 2 (1987), 34-41. [22] R. Gjergji, On Symmetric block design with parameters (259,43,7) with Frobenius group of order 222, Radovi Matematiˇcki, Vol. 6(1990), 341-346. [23] R. Gjergji, A study of symmetric block design with parameters (171,51,15) using Frobenius groups, Radovi Matematiˇcki, Vol. 9(1999), 157-167. [24] M. Hall, Combinatorial theory, Waltham-Toronto-London, 1957 (p¨erkth. rus. 1970). [25] D. Held and M-O. Pavˇcevi´c, Symmetric (79,27,9)-designs admitting a faithful action of a Frobenius group of order 39, Europ.J.Combinatorics (1997) 18, 409416. [26] D. Held–J.Hrabˇe de Angelis–M-O. Pavˇcevi´c, P Sp4 (3) as a symmetric (36,15,6)design, Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, Vol.101 (1999). [27] D. Held–M-O. Pavˇcevi´c, A Series of Hadamard designs with large automorphism groups, Journal of Algebra 234, 620-626 (2000). [28] K. Horvati´c-Baldasar, E. Kramer, I. Matuli´c-Bedeni´c, On 2 − (85, 28, 9) design, Punime matematike, No.5 (1990),3-8. [29] D.R. Hughes & F.C. Piper, Design Theory, Cambridge University Press, Cambridge (1985). [30] Z. Janko & T. Trung, The existence of symmetric block design for (78,24,8), Mitt.Math.Sem.Gissen 165, 17-18 (1984). [31] Z. Janko & T. trung, Construction of a new symmetric block design (78,22,6) with the help of tactical decomposition, J. Comb. Theory., A35, (1984).

Literatura

163

[32] Z. Janko & T. Trung, Construction of the symmetric block design for (71,21,6), Discrete Math. 55,327-328 (1985) [33] Z. Janko, Coset Enumeration in groups and constructions of symmetric designs, 1992. [34] Z. Janko, On symmetric designs with parameters (176,50,14), Journal of Combinatorial Theory, Ser. A Vol. 72 (1995), 310-314. [35] Z. Janko, The existence of symmetric designs with parameters (189,48,12), Journal of Combinatorial Theory, Ser. A Vol. 80,(1997), 334-338. [36] Z. Janko & V. D. Tonchev, New designs with block size 7, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A 83, 152-157 (1998). [37] D. Kamberi, Dizajnet simetrike ndatrmjet atyre t¨e Hadamardit dhe rrafsheve projektive, Disertacion i doktorat¨es, Prishtin¨e (1991). [38] D. Kamberi, On symmetric block design of order 49, Punime matematike 2, 49-54 (1987). [39] C.W.H. Lam, L.H. Thiel, S. Swiercz, A computer search for a projective plane of order 10 Algebraic, external and metric combinatorics, Pap.Conf. Montreal (Can. 1986, Lond. Math. soc. Lect. Note Ser.)131,155-165(1988). [40] C.W.H. Lam, The Search for a finite projective plane of order 10. Am. Math. Mon. 98, No.4. 305-318(1991). [41] C.W.H. Lam, The search for a finite projective plane of order 10, Barwrin, J. (ed.) et al.,Organic mathematics. Pr. of workshop, S.F. University, Canada, dec. 12-14.1995. [42] E. S. Lander, Symmetric Designs: An Algebraic Approach, London Math. Soc Lecture Note Series 74, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983.

Literatura

164

[43] Lj. Maranguni´c, On Involutions acting on symmetric (81,16,3)-block designs, Ars Combinatorica, Vol.4 (1995), 261–269. [44] Lj. Maranguni´c, On symmetric block design (81,16,3) with involutory automorphisms fixing 17 points, Glasnik Matematiˇcki, Vol.30(50) (1995), 9–16. [45] Lj. Maranguni´c, The Classification of biplanes (56,11,2) admitting an automorphism of order 8 which fixes some point, Radovi Matematiˇcki, Vol. 2 (1986), 99–111. [46] D. Passman, Permutation groups, Yale University, New York, Amsterdam, 1968. [47] M-O. Pavˇcevi´c, Symmetric (144,66,30)-designs with Frobenius group of order 78 as full automorphisms group, Glasnik Matematiˇcki, Vol.31(51) (1996), 39-45. [48] M-O. Pavˇcevi´c, Symmetric designs of menon series admitting an action of Frobenius groups, Glasnik matematiˇcki, Vol.31(51) (1996), 209-223. [49] M-O. Pavˇcevi´c, On Symmetric (69,17,4)-designs admitting an action of Frobenius groups, Journal of Statistical Planing and Inference 94 (2001) 277-285. [50] M-O. Pavˇcevi´c, Some new designs for (256,120,56), Glasnik Matematiˇcki, Vol.34(54) (1999), 123-128. [51] M-O. Pavˇcevi´c, E. Spence, Some new designs with λ = 10 having an automorphism of order 5, Discrete Mathematics196 (1999) 257–266. [52] M-O. Pavˇcevi´c, E. Spence, Some new symmetric designs, J. Comb. des. 7: 426– 430, 1999.

Biografia U linda m¨e 5.6.1964 n¨e Begrac¨e t¨e Ka¸canikut. Shkoll¨en ﬁllore e kam mbaruar n¨e Begrac¨e, nd¨ersa t¨e mesmen n¨e Ka¸canik. N¨e vitin shkollor 1983/84 jam regjistruar n¨e Seksionin e Matematik¨es t¨e Fakultetit t¨e Shkencave Matematike-Natyrore n¨e Prishtin¨e, nd¨ersa kam diplomuar m¨e 16.9.1987 me not¨e mesatare 9.41. Gjat¨e studimeve tri her¨e kam marr¨e pjes¨e n¨e garat nd¨erkomb¨etare t¨e matematikan¨eve t¨e rinj. Kam qen¨e shfryt¨ezues i burs¨es s¨e Universitetit, si dhe jam nderuar me mir¨enjohjen universitare “Student i dalluar”. Studimet pasuniversitare i kam mbaruar n¨e Seksionin e Matematik¨es t¨e FSHMN n¨e Prishtin¨e me not¨e mesatare 9.25 ku edhe e kam mbrojur tem¨en e magjistratur¨es me titull: ”Problemi i klasiﬁkimit t¨e bllok skemave simetrike” (viti 2002). Q¨e nga viti shkollor 1987/88 jam angazhuar, n¨e Seksionin e Matematik¨es, n¨e mbajtjen e ushtrimeve apo ligj¨eratave nga disa l¨end¨e: Algjebra e p¨ergjithshme, Teoria e funksioneve me variab¨el kompleks, Analiza III, Topologjia, Analiza funksionale, Strukturat algjebrike, Programimi linear, Matematika p¨er kompjuter, Algjebra (n¨e Seksionin e Fizik¨es), Analiza matematike I (n¨e Seksionin e Fizik¨es), Programet aplikative II, Hyrje n¨e shkencat kompjuterike, dhe Programimi matematik.

Menderes Gashi

165

Shtojcë: /************************************************************/ /* SQARIM * Me kete program jane kerkuar blloqet L2 (fq 52) */ /* Punuar dhe testuar ne MS Visual Studio 6.0 */ /* Tipet orbitore per L2 te bs (496,55,6) me Z55 */ /************************************************************/ #include void main() { int a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,hemi; long int w1=0;

/* te panjohurat ne faqen 52 */

/* numerimi i zgjidhjeve */

FILE *fi; printf("** (496,55,6) tipet orbitore per L2 **\n\n"); if((fi=fopen("d496_L2.TXT","wt"))==NULL) { printf("\a\aNuk,mund ta hapi file %s\n","d496_L2.TXT"); return; } for(a1= 6; a1>=6; a1--) { for(a2=16; a2>=0; a2--) { for(a3=a2; a3>=0; a3--) { for(a4=a3; a4>=0; a4--) { for(a5=a4; a5>=0; a5--) { for(a6=a5; a6>=0; a6--) { for(a7=a6; a7>=0; a7--) { for(a8=a7; a8>=0; a8--) { a9=54-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8); if ((a9>a8) | (a9>16) | (a9 <0))

continue;

hemi=a1*(a1-1)+a2*(a2-1)+a3*(a3-1)+a4*(a4-1)+ a5*(a5-1)+a6*(a6-1)+a7*(a7-1)+a8*(a8-1)+a9*(a9-1); if (hemi != 270) continue; w1=w1+1; printf("%2ld %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d, %2d, %2d \n", w1,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9); fprintf(fi,"%2ld { %2d, %2d, %2d, %2d, %2d, %2d, %2d, %2d, %2d} \n", w1,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9); } /* for a8 */ } /* for a7 */ } /* for a6 */ } /* for a5 */ } /* for a4 */ } /* for a3 */ } /* for a2 */ } /* for a1 */ fclose(fi); printf("Fund !\n"); }

/************************************************************/ /* SQARIM * Me kete program jane kerkuar blloqet L3 (fq 52) */ /* Punuar dhe testuar ne MS Visual Studio 6.0 */ /* Tipet orbitore per L3 te bs (496,55,6) me Z55 */ /************************************************************/ #include void main() { int a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,hemi; /* te panjohurat ne faqen 52 */ int b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,sp32; /* te panjohurat ne faqen 52 */ long int w1; /* numerimi i zgjidhjeve */ FILE *fo; printf("** (496,55,6) tipet orbitore per L3 **\n\n"); if((fo=fopen("d496_L3R.TXT","wt"))==NULL) { printf("\a\aNuk,mund ta hapi file-in %s\n","d496_L3.TXT"); return; } a1=6; a2=6; a3=6; a4=6; a5=6; a6=6; a7=6; a8=6; a9=6; printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n\n", a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9); w1=0; for(b1=6; b1>=6; b1--) { for(b2=18; b2>=0; b2--) { for(b3=18; b3>=0; b3--) { for(b4=18; b4>=0; b4--) { for(b5=18; b5>=0; b5--) { for(b6=18; b6>=0; b6--) { for(b7=18; b7>=0; b7--) { for(b8=18; b8>=0; b8--) { b9=55-(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8); if ((b9<0) | (b9>18)) goto stb8; hemi = b1*(b1-1)+b2*(b2-1)+b3*(b3-1)+b4*(b4-1)+ b5*(b5-1)+b6*(b6-1)+b7*(b7-1)+b8*(b8-1)+b9*(b9-1); if (hemi != 324) goto stb8; sp32=a1*b1+a2*b2+a3*b3+a4*b4+a5*b5+a6*b6+a7*b7 +a8*b8+a9*b9; if (sp32 != 330) goto stb8; w1=w1+1; printf("%2ld %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", w1,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9); fprintf(fo,"%2ld %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", w1,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9); stb8: ; } /* for b8 */ } /* for b7 */ } /* for b6 */ } /* for b5 */ } /* for b4 */ } /* for b3 */ } /* for b2 */ } /* for b1 */ fclose(fo); printf("Fund !\n");}

/************************************************************/ /* SQARIM * Me kete program jane kerkuar blloqet L3 (fq 53) */ /* Punuar dhe testuar ne MS Visual Studio 6.0 */ /* bs (496,55,6) me Z55 */ /************************************************************/ /* Strukturat orbitore */ /* duke marre parasyshe te gjitha tipet orbitore per L3 */ /************************************************************/ #include int l3[134464][9]; /* Te gjitha tipet orbitore per bllokun L3 faqe 53 (merren nga file-i "D496_L3.TXT"*/ void main() { int l2[1][9]= { { 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6} }; /* blloku L2 */ int RENDI=134464; /* numri i tipeve orbitore per L3 */ int i,j; int i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,sp ; /* per blloqet L3,L4,L5,L6,L7,L8,L9,L10 */ double w1; double wz; /* numerimi i zgjidhjeve */ FILE *fi, *fo; printf("* (496,55,6) strukturat orbitore nga tipet orbitore per L3 *\n\n"); if((fi=fopen("D496_L3.TXT","rt"))==NULL) { printf("\a\aNuk,mund ta hapi file-in %s\n","D496_L3.TXT"); return; } if((fo=fopen("d496L3L10.TXT","wt"))==NULL) { printf("\a\aNuk,mund ta hapi file-in %s\n","d496L3L7.TXT"); return; } wz=0; /* leximi nga file-i dhe mbushja e matrices l3 */ for(i=0; i
/* Blloku L3 */ goto kli3; goto kli3; goto kli3; goto kli3; goto kli3; goto kli3; goto kli3;

for (i4=i3+1; i4
if (l3[i3][5]==l3[i3][6]&& l3[i4][5]
/* Blloku L5 */ && l3[i4][1]==l3[i4][2] && && l3[i4][2]==l3[i4][3] && && l3[i4][3]==l3[i4][4] && && l3[i4][4]==l3[i4][5] && && l3[i4][5]==l3[i4][6] && && l3[i4][6]==l3[i4][7] && && l3[i4][7]==l3[i4][8] &&

/* prodhimi i lojes L3,L5 */ =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i3][j] * l3[i5][j]; if (sp != 330 ) goto kli5;

/* prodhimi i lojes L4,L5 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i3][j]*l3[i5][j]; if (sp != 330 ) goto kli5; for (i6=i5+1; i6
/* prodhimi i lojes L4,L6 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i4][j]*l3[i6][j]; if (sp != 330 ) goto kli6; /* prodhimi i lojes L5,L6 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i5][j]*l3[i6][j]; if (sp != 330 ) goto kli6; for (i7=i6+1; i7
l3[i6][2]==l3[i6][3] && l3[i8][2]
&& l3[i7][2]==l3[i7][3] l3[i4][3]==l3[i4][4] && && l3[i7][3]==l3[i7][4] l3[i4][4]==l3[i4][5]

&& l3[i7][4]==l3[i7][5] l3[i4][5]==l3[i4][6] && && l3[i7][5]==l3[i7][6] l3[i4][6]==l3[i4][7]

&&

&& l3[i7][6]==l3[i7][7] l3[i4][7]==l3[i4][8] && && l3[i7][7]==l3[i7][8]

/* prodhimi i lojes L3,L8 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i3][j]*l3[i8][j]; if (sp != 330 ) goto kli8; /* prodhimi i lojes L4,L8 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i4][j]*l3[i8][j]; if (sp != 330 ) goto kli8; /* prodhimi i lojes L5,L8 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i5][j]*l3[i8][j]; if (sp != 330 ) goto kli8; /* prodhimi i lojes L6,L8 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i6][j]*l3[i8][j]; if (sp != 330 ) goto kli8; /* prodhimi i lojes L7,L8 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i7][j]*l3[i8][j]; if (sp != 330 ) goto kli8; for (i9=i8+1; i9
&&

/* Blloku L9 */

/* prodhimi i lojes L3,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i3][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9; /* prodhimi i lojes L4,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i4][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9;

/* prodhimi i lojes L5,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i5][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9; /* prodhimi i lojes L6,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i6][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9; /* prodhimi i lojes L7,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i7][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9; /* prodhimi i lojes L8,L9 */ sp =0; for(j=0;j<9;j++) sp = sp + l3[i8][j]*l3[i9][j]; if (sp != 330 ) goto kli9; for (i10=i9+1; i10
wz++; printf(" %8.0f %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", wz, 0,55,0,0,0,0,0,0,0,0); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 1,l2[0][0],l2[0][1],l2[0][2],l2[0][3],l2[0][4],l2[0][5] ,l2[0][6],l2[0][7],l2[0][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i3][0],l3[i3][1],l3[i3][2],l3[i3][3],l3[i3][4], l3[i3][5] ,l3[i3][6],l3[i3][7],l3[i3][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i4][0],l3[i4][1],l3[i4][2],l3[i4][3],l3[i4][4],l3[i4][5],l3[i4][6], l3[i4][7],l3[i4][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i5][0],l3[i5][1],l3[i5][2],l3[i5][3],l3[i5][4],l3[i5][5] ,l3[i5][6],l3[i5][7],l3[i5][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i6][0],l3[i6][1],l3[i6][2],l3[i6][3],l3[i6][4],l3[i6][5] ,l3[i6][6],l3[i6][7],l3[i6][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i7][0],l3[i7][1],l3[i7][2],l3[i7][3],l3[i7][4],l3[i7][5] ,l3[i7][6],l3[i7][7],l3[i7][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i8][0],l3[i8][1],l3[i8][2],l3[i8][3],l3[i8][4],l3[i8][5] ,l3[i8][6],l3[i8][7],l3[i8][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i9][0],l3[i9][1],l3[i9][2],l3[i9][3],l3[i9][4],l3[i9][5] ,l3[i9][6],l3[i9][7],l3[i9][8]); printf(" %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d \n", 0,l3[i10][0],l3[i10][1],l3[i10][2],l3[i10][3],l3[i10][4],l3[i10][5] ,l3[i10][6],l3[i10][7],l3[i10][8]); fprintf(fo," %8.0f %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", wz, 0,55,0,0,0,0,0,0,0,0); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 1,l2[0][0],l2[0][1],l2[0][2],l2[0][3],l2[0][4],l2[0][5] ,l2[0][6],l2[0][7],l2[0][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i3][0],l3[i3][1],l3[i3][2],l3[i3][3],l3[i3][4],l3[i3][5] ,l3[i3][6],l3[i3][7],l3[i3][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i4][0],l3[i4][1],l3[i4][2],l3[i4][3],l3[i4][4],l3[i4][5] ,l3[i4][6],l3[i4][7],l3[i4][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i5][0],l3[i5][1],l3[i5][2],l3[i5][3],l3[i5][4],l3[i5][5] ,l3[i5][6],l3[i5][7],l3[i5][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i6][0],l3[i6][1],l3[i6][2],l3[i6][3],l3[i6][4],l3[i6][5] ,l3[i6][6],l3[i6][7],l3[i6][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i7][0],l3[i7][1],l3[i7][2],l3[i7][3],l3[i7][4],l3[i7][5] ,l3[i7][6],l3[i7][7],l3[i7][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i8][0],l3[i8][1],l3[i8][2],l3[i8][3],l3[i8][4],l3[i8][5] ,l3[i8][6],l3[i8][7],l3[i8][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n",

0,l3[i9][0],l3[i9][1],l3[i9][2],l3[i9][3],l3[i9][4],l3[i9][5] ,l3[i9][6],l3[i9][7],l3[i9][8]); fprintf(fo," %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d %2d\n", 0,l3[i10][0],l3[i10][1],l3[i10][2],l3[i10][3],l3[i10][4],l3[i10][5] ,l3[i10][6],l3[i10][7],l3[i10][8]); kli10:; } /* for i10 */ kli9:; } /* for i9 */ kli8:; } /* for i8 */ kli7:; } /* for i7 */ kli6:; } /* for i6 */ kli5:; } /* for i5 */ kli4:; } /* for i4 */ kli3:; } /* for i3 */ fclose(fo); printf("Fund !\n");}

Disertacion i DoktoratÃ«s - Florim Isufi.pdf