¨ UNIVERSITETI I PRISHTINES FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE
VARGJET PERAFRUESE DHE OPERATORET ABSOLUTISHT TE SHUMUESHEM NE HAPESIRAT E BANACH-UT (Punim i Doktorates)
APPROXIMATE SEQUENCES AND ABSOLUTELY SUMMING OPERATORS IN BANACH SPACES (PhD Thesis )
Kandidati : Mr.sci.Naim Braha
Mentori : Dr.sci.Muhib Lohaj
Prishtin¨ e 2004
1
2 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Abstract
Le te jete X hapesira e Banach-ut (reale ose komplekse ).Me X ∗ do te shenojme hapesiren duale te hapesires X, ndersa me l1 hapesiren e vargjeve te shumueshme te rendit te pare .Shenimet tjera jane marre ne perputhshmeri me ato te dhena ne [10],[9],[1].Ne pjesen e pare te ketij punimi eshte bere karakterizimi i vargjeve µ- perafruese , te cilat jane te normalizuara ne hapesirat e Banach-ut. Ne rastin e hapesirave reale te Banach-ut nje karakterizim i tille eshte dhene ne punimin [5],te titulluare ” On approximate l1 systems in Banach spaces” te botuare me 2002 .Duke u thirrur ne rezultatet e mesiperme ne pjesen e pare te punimit eshte arritur pergjithsimi i vetise se izometrise ne hapesiren komplekse te Banach-ut dhe pastaj permes kesaj vetie mundesohet vleresimi i kufinj¨eve te poshtem dhe te siperm te operatoreve me peshe te zhvendosjes . Ne pjesen e dyte te punimit behet karakterizimi i operatoreve 1-absolutisht te shumueshem nga hapesira e Banach-ut X ne hapesiren e Banach-ut Y ,ne rastin kur hapesira X permbane nje varg bazik te normalizuare,(xn )n∈N , ekuivalente me vargun bazik standard (ei )i∈N , te hapesires l1 .Ne ket¨e rast operatori i ¸cfar¨edoshem T i kufizuar nga hapesira X ne hapesiren Y, eshte 1-absolutisht i shumueshem .Ndersa ne pjesen e trete te punimit b¨ehet karakterizimi i shumueshmerise se operatoreve te adiunguare per rastin kur ata jane bijektiv, te kufizuar nga hapesira X ne hapesiren Y ,me ¸c’rast X permban nje varg µperafrues .
N. Braha
3
Permbajtja
Hyrje
4
Pohime Ndihmese
9
Kapitulli I
15
Kapitulli II
25
Kapitulli III
43
4 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Hyrje
Le te jete X hapesira e Banach-ut (reale ose komplekse).Nese nuk theksohet se per ¸cfare hapesire eshte fjala ,ateher¨e do te konsiderojme se eshte fjala per hapesiren reale ,ne te kunderten do te theksojme kur eshte fjala per hapesiren komplekse. Me X ∗ do te shenojme hapesiren duale te hapesires X,ndersa me l1 do te shenojme hapesiren e vargjeve te shumueshme te rendit te pare. D.m.th (ai )∞ e dhe i=1 ∈ l1 ateher¨ vetem ateher¨e kur: ∞ X ai < ∞. i=1
Ne kete punim simbolet dhe shenimet tjera jane marre sikurse ne monografite me numrat bibliografik¨e [10],[9],[1].Ne vitin 2002 autoret S.Dilworth ,D.Kutzarova ,P.Wojtaszczyk ne punimin me titull ”On approximate l1 systems in Banach spaces” ,japin kuptimin e vargut µ perafrues i cili ¨esht¨e nje pergjithsim i vetise se izometrise per normen ne hap¨esirat e Hilbertit. Rezultatet e punimit te lartepermendur nderlidhen me pohimin e meposhtem: Pohim :Nese (xi )i∈N ¨esht¨e nje varg 0-perafrues ne
P
hapesiren e Banach-ut X ,ateher¨e nga fakti se i∈A ±xi = k(A),ku k(A)-paraqet numrin kardinal te A-se,dhe A ¨esht¨ e nenbashkesi
P
eP{1, 2, . . . , n} ose e N-se,do te vleje relacioni i∈A ai xi = e (ai ) dhe cilindo i∈A ai ,per cilindo varg te numrave real¨ varg te shenjave. Ne pjesen e pare te punimit rezultati i tille pergjithesohet per hapesiren komplekse te Banach-ut dhe kjo tregohet permes
N. Braha
5
pohimit 1.3. Me tej duke shfrytezuar kete fakt t¨e vargjeve µperafruese behet vleresimi i kufirit t¨e posht¨em dhe t¨e siperm t¨e operatoreve t¨e zhvendosjes me peshe, ne nje nenhapesire t¨e hapesires X e cila permban nje varg t¨e vektor¨eve njesi dhe µperafrues .Ky vleresim ¨esht¨e shprehur me ane t¨e pohimit 1.7 dhe ¨esht¨e arritur me ndertimin e nje nenhapesire t¨e hapesires X e cila gjenerohet me vargun bazik 0-perafrues.Ky rezultat pershkruhet me Lemen 1.6. Ekzistenca e nje nenhapesire t¨e ketille ¨esht¨e ilustruar me shembullin 1.5. Tutje ne baze t¨e rezultateve t¨e mesiperme ¨esht¨e arritur vler¨esimi per kufinj¨et e operatoreve t¨e zhvendosjes me peshe ne t¨ere hapesiren L2 (R). Ky vleresim ¨esht¨e arritur duke shfryt¨ezuar ortogonalitetin e vargjeve t¨e polinomeve t¨e Hermitit ne R,t¨e dhena me ane t¨e 1 2 dn −2πx2 relacioneve hn (x) = 2βn4 gn (x),gn (x) = (−1)n · eπ·x · dx ) n (e 1 dhe βn = ((4π)n · n!) 2 , i cili ¨esht¨e shprehur me rrjedhimin 1.8 Ne pjesen e dyt¨e t¨e punimit behet karakterizimi i operatoreve 1-absolutisht t¨e shumueshem ,me t¨e cilat probleme merren nje varg autoresh si J.Lindenstrauss dhe A.Pelczynski .Keta autor¨e me 1968 ne punimin me titull ”Absolutely summing operators in Lp -spaces and their application” ,kane dhene nje karakterizim t¨e operatoreve absolutisht t¨e shumueshem duke mos perdore produktin tenzorial t¨e hapesirave t¨e Banachut, per dallim nga rezultatet e dhena nga A.Grothendick, i cili ne vitin 1956 ne punimin me titull ”Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques ”, jepe nje karakterizimi t¨e shumueshmerise absolute t¨e operatoreve dhe ket¨e e arrin me ane t¨e produktit tenzorial t¨e hapesirave t¨e Banach-ut .Perve¸c rezultateve t¨e dhena nga autoret e mesiperm nje karakterizim i operatoreve absolutisht t¨e shumueshem i cili ne fakt paraqet kushte t¨e nevojshme dhe t¨e mjaftueshme
6 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
per t¨e qene operatori absolutisht i shumueshem ¨esht¨e dhene nga A.Pietsch ne vitin 1967 ne punimin me titull ”Absolute psummierende abbildungen in normierten raumen ”.A.Pietsch bene nje karakterizim t¨e operatoreve absolutisht t¨e shumueshem duke shfryt¨ezuar masen rregulare t¨e probabilitetit t¨e shprehur me ane t¨e pohimit : Pohim . Per operatorin T nga hapesira X ne hapesiren Y, themi se ¨esht¨e absolutisht i shumueshem at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e nese ekziston masa rregulare e probalitetit µ ne rruzullin ∗ njesi BX ∗ nga X ∗ (ne dhe konstanta
kuptim R t¨e w∗ p topologjise) K me vetine T x ≤ K BX ∗ |x | dµ(x∗ ) . Ne kuader t¨e ketij punimi ,ne pjesen e dyt¨e ¨esht¨e bere karakterizimi i operatoreve absolutisht t¨e shumueshem me ane t¨e vargjeve perafruese ne hapesirat e Banach-ut dhe kjo tregohet permes pohimit 2.11,ne t¨e cilin ¨esht¨e treguar se ne rastin kur hapesira e Banach-ut X permban nje varg bazik t¨e vektoreve njesi (xi )i∈N , i cili ¨esht¨e ekuivalent me bazen standarde e hapesires l1 , at¨eher¨ee operatoret e cfardoshem t¨e ku(ei )∞ i=1 t¨ fizuar dhe bijektive nga hapesira X ne hapesiren Y jane operator 1-absolutisht t¨e shumueshem.Rezultati i ketille ¨esht¨e arritur duke shfryt¨ezuar faktin se secili operator i kufizuar ne hapesiren e Banach-ut X, i cili e permban nje varg t¨e vektoreve njesi e bazik (xi )i∈N , ekuivalente me bazen standarde e vektoreve njesi t¨e hapesires l1 , ¨esht¨e operator i cili (ei )∞ i=1 t¨ lejon zberthim neper l1 (pohimi 2.7).Thuhet se nje operatore T- i dhene nga hapesira X ne hapesiren Y lejon zberthim neper nje hapesire t¨e trete Z nese ekzistojne operatoret e kufizuar L dhe H ,t¨e dhene nga X ne Z ,perkat¨esisht Z ne Y ashtu qe t¨e vleje relacioni T = H · L.A.Grothendieck ne punimin me titull ”Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques ”, ka vertetuar se secili operator
N. Braha
7
i kufizuar nga hapesira l1 ne hapesiren l2 ¨esht¨e operator 1absolutisht i shumueshem .Duke shfryt¨ezuar ket¨e rezultat dhe rezultatet e mesiperme ,ne ket¨e punim ¨esht¨e treguar se operatori T bijektiv dhe i kufizuar nga hapesira X ne hapesiren Y ¨esht¨e absolutisht i shumueshem at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur T −1 ¨esht¨e i tille (Pohimi 2.10).Tutje, ipen disa kushte nen t¨e cilat operatori i adijunguare T ∗ i operatorit 1-absolutisht t¨e shumueshem t¨e jete gjithashtu operator 1-absolutisht i shumueshem ne hapesiren e Banach-ut X(Teorema 2.14) . Ne fund ,ne pjesen e trete t¨e punimit ,¨esht¨e treguar se operatori i kufizuar T nga hapesira X ne hapesiren Y , ne rastin kur hapesira X permban nje varg 0- perafrues,t¨e normalizuar dhe bazik (xi )i∈N ,paraqet operator 1-absolutisht t¨e shumueshem .
8 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Faleminderim Shfryt¨ezoj rastin qe t¨e falenderoj para se gjithash organizaten e Universiteteve Europiane ”Coimbra Group ”, me seli ne Bruksel e cila gjat¨e viteve 2002 dhe 2003 m¨e ka mundesuar qendrimin ne Universitetin e Geneves(Zvicer) ,me ¸c’rast falederoj Profesor Gerhard Wanner, si dhe ne Universitetin e Jenes (Germani),me ¸c’rast falederoj edhe Prof. Erich Novak,t¨e cilet (q¨e t¨e dy) treguan nje mikepritje shume t¨e ngrohte .Gjithashtu do t¨e falenderoja Profesor James Hagler nga Universiteti i Denverit i cili me shume kenaqesi me dergoi punimin e vete t¨e Disertacionit , falenderoj edhe antaret e komisionit Profesor Muharrem Berishen dhe Profesor Ramadan Zejnullahun , ne ve¸canti i shprehi mirenjohje t¨e thella mentorit dhe udheheqesit t¨e temes ,Profesor Muhib Lohaj.
N. Braha
9
Pohime ndihmese
Ne kete kapitull do te japim kuptimet themelor dhe disa pohime ndihmese te cilat do t’i shfrytezojm¨e per te vertetuar rezultatet kryesore ne kete punim .Ne vazhdim me X do te shenojme gjithkund hapesiren reale te Banach-ut,perve¸c ne disa raste me ¸c’rast do te theksojme nese ¨esht¨e fjala per hapesiren komplekse . Me X ∗ do te shenojme hapsiren duale te hapesires X dhe me lp ,1 ≤ p < ∞,do te shenojme hapesiren (ai )i∈N P e vargjeve p per te cilat siq dihet plotesohet kushti < ∞.Lidhur i |ai | me normen ne hapesiren lp , 1 ≤ p < ∞ ,do te konsiderojme normen standarde e cila perkufizohet me relacionin: X
1 p p
(ai ) = . |a | i p i
Ne vazhdim do te japim disa perkufizime te cilat jane te lidhura me vargjet dhe disa veti te tyre. Perkufizimi 0.1 Le te jete dhene vargu i vektoreve (xi )i∈N nga hapesira e Banach-ut
X.Themi se vargu i dhene ¨esht¨e varg i normalizuar nese xi = 1 per ¸cdo indeks i. Tutje ,le te jene (xi )i∈N dhe (yi )i∈N dy baza te ndryshme ne hapesiren X . Perkufizimi 0.2 Per bazat (xi )i∈N dhe (yi )i∈N ,themi se jane ekuivalente ne mes veti ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur
10 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
nga konvergjenca e serise ∞ X
ai x i
i=1
do te rrjedhe konvergjenca e serise se dyte ∞ X
ai y i
i=1
dhe anasjelltas. Le te marrim tani edhe nje perkufizim tjeter ne lidhje me vargjet e vektoreve ne hapesirat e Banach-ut ,i cili jep kuptimin e kufizueshmerise se plote ne hapesiren X (boundedly complete) . Perkufizimi 0.3 Le te jete (xi )i∈N nje varg bazik i vektor¨eve ne hapesiren X ,themi se vargu i vektoreve te tille ¨esht¨e plotesisht i kufizuar nese per ¸cdo varg te skalareve (ai )i∈N , te tille qe : n
X
sup ai xi ≤ ∞, n
konvergjon seria
i=1 ∞ X
ai x i .
i=1
Tutje , vlene kjo veti e rendesishme te cilen po e paraqesim me ane te ketij pohimi . Pohimi 0.4 [1]Ne qofte se hapesira X ¨esht¨e hapesire e Banach-ut me vargun bazik (xi )i∈N ,plotesisht te kufizuar ,ate-
N. Braha
11
her¨e X ¨esht¨e izomorf me hapesiren duale X ∗ . Ne vazhdim japim edhe nje kuptim te vargjeve te vektoreve ne hapesirat e Banach-ut i cili ka nje rendesi te ve¸cante ne studimin e hapesirave te vargjeve . Perkufizimi 0.5 Le te jete (xi )i∈N nje varg i vektoreve nga hapesira X .Do te themi se vargu (xi )i∈N konvergjon ne menyre jo te kushtezuar (unconditionaly),nese plotesohet njeri nga kushtet e dhena ne vazhdim , e te cilat jane ekuivalente ne mes veti (shihe [1], [17],[18 ]): P 1. seria ∞ esht¨e seri konvergjente per ¸cdo permutan=1 xπ(n) ¨ cioni π te numrave natyrale P 2. seria ∞ cdo nenvarg n1 < n2 . . . . n=1 xni konvergjon per ¸ P 3. seria ∞ cdo zgjedhje te vargut te n=1 θn xn konvergjon per ¸ shenjave θn , ku θn = ±1 Duke pasur parasysh perkufizimet e mesiperme, si dhe pohimin 0.4, do te jemi ne gjendje te vertetojme teoremen e Dvoretzky-Rogers-it([16]),ne lidhje me vargjet t¨e cilat konvergjojne ne menyre jo te kushtezuar. Ne kete teoreme po e japim pa vertetim e cila paraqet nje rezultat fundamental ne teorine e operatoreve absolutisht te shumueshem . Teorema 0.6 Le te jete X hapesire e Banach-ut me dimension te pafundem dhe (ai )i∈N ,nje varg skalaresh me vetine qe seria ∞ X a2i i=1
12 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
te konvergjoje,ateher¨e ekziston nje baze (xi )i∈N ne X e cila konvergjon ne menyre jo te kushtezuar dhe per te cilen vlene:
xn = an , per ¸cdo n ∈ N. Me ane te pohimeve te meposhtme do te japim disa veti te vargjeve bazik ne hapesirat l1 dhe c0 , te cilat jane te lidhura me vetite e vargjeve te cilet konvergjojne ne menyre jo te kushtezuar : Pohimi 0.7 [2] Secili varg i normalizuare bazik i cili konvergjon ne menyre jo te kushtezuare ne hapesiren l1 ose c0 , ¨esht¨e ekuivalente me vargun nj¨esi ,bazik te asaj hapesire . Ne vazhdim do te japim disa veti te vargjeve te cilat konvergjojne pa kushte dhe lidhmerine e tyre me vargjet bazik ,ne hapesiren e ¸cfar¨edoshme te Banach-ut: Pohimi 0.8 [23]Hapesira e Banach-ut X themi se ka nje varg te vetem bazik i cili konvergjon pa kushte, deri ne ekuivalence ,ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur hapesira X ¨esht¨e izomorfe me njeren nga hapesirat l1 ,l2 apo c0 . Me L(X, Y ) , do te shenojme hapesiren e operatoreve te perkufizuar nga X ne Y . Ndersa hapesiren e operatoreve te vazhdueshem (d.m.th edhe te kufizuar ,shihe [10],[8]) ,do ta shenojme me B(X, Y ).Me X ∗ , do te shenojme hapesiren duale te hapesires X ,ndersa me T ∗ ,operatorin e adiunguare te operatorit T .
N. Braha
13
Ne vazhdim marrim disa veti themelor te operatoreve te cilet do te na nevoiten per pune te metutjeshme .Pohimi ne vazhdim shpreh kushtet nen te cilat nje operator ¨esht¨e invertibil : Pohimi 0.9 [19]Le te jete T operator bijektive nga X ne Y ,themi se operatori i tille ¨esht¨e operator invertibil nese ekzistojne konstantet pozitive m dhe M te tilla qe te vleje relacioni
m · x ≤ T x ≤ M · x per ¸cdo x ∈ X. Ndersa tani shohim se cilat jane kushtet e nevojshme dhe te mjaftueshme qe operatori T te jete invertibil .Kjo ipet me ane te ketij pohimi: Pohimi 0.10[13]Kusht i nevojshem dhe i mjaftueshem qe operatori T te jete invertibil ¨esht¨e qe operatori T ∗ te jete i tille. Ne fund te ketij kapitulli shohim edhe disa veti te polinomeve te Hermitit ,te cilat jane te shprehura me ane te relacioneve te meposhtme 1
24 · gn , hn = βn ku vargu i polinomeve (gn ) ¨esht¨e i dhene me 1 dn −2πx2 gn (x) = (−1) · e · ne dhe βn = ((4π)n · n!) 2 . dx Per vargun e mesiperm te polinomeve vlene pohimi:
n
π·x2
14 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Pohimi 0.11 [9]Bashkesia e funksioneve {hn : n ∈ N} ,formon nje baze te ortonormuare ne L2 (R).
N. Braha
15
Kapitulli I
Zbatime te vargjeve µ perafruese ne Hapesirat e Banach-ut
Me X do te shenojme hapesiren reale te Banach-ut dhe varesisht nga rastet te cilat paraqiten ,do te theksojme nese ¨esht¨e fjala per hapesiren komplekse.Ne punimin [5] autoret S.Dilworth ,D.Kutzarova dhe P.Wojtaszczyk ,kane dhene kuptimin e vargut µ-perafrues i cili perkufizohet si vijon: Perkufizimi 1.1Le te jete (xn )∞ n=1 nje varg i vektoreve njesi ne hapesiren X,dhe µ ≥ 0 nje numer real i ¸cfardoshem.Themi se vargu i dhene (xn )n∈N ¨esht¨e varg µ-perafrues ne l1 ,nese vlene relacioni
X
±x i ≥ k(A) − µ
(1)
i∈A
ku k(A),paraqet numrin kardinale te bashkesise A, A ¨esht¨e nenbashkesi e fundme e {1, 2, . . . , n} ose e N-s¨e dhe ky relacion vlene per ¸cdo zgjedhje te vargut te shenjave. Gjithashtu ne punimin [5] ipet ky karakterizim per vargun e vektoreve te cilet plotesojne relacionin (1).
16 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Teorema 1.2[5]Le te jete (xi )ni=1 nje varg vektoresh njesi ne X me vetine qe
X
n
±x i = n
i=1
ateher¨e vlene relacioni:
X
X n
n
ai x i |ai |
=
i=1
(2)
i=1
per vargun e ¸cfardoshem (ai ) te numrave reale . Ne vazhdim do te shohim se nje veti e tille e shprehur me relacionin (2) vlene edhe ne rastin e vargut te numrave komplekse i cili ne fakt paraqet nje pergjithesim te teoremes (1.2) dhe kjo tregohet me ane te kesaj teoreme: Teorema 1.3 Le te jete X hapesire komplekse e Banach-ut dhe (xi )i∈N nje varg vektoresh njesi .Nese
i·ξ
e 1 · x1 + · · · + ei·ξn · xn = n ∀ξ1 , . . . , ξn ∈ [0, 2π] ,ateher¨e vlene relacioni
X
X n
n
ai x i |ai |
= i=1
i=1
per ai ∈ C,i = 1, . . . , n. Vertetim: Le te jene ξk = arg ak , k = 1, 2, ..., n dhe x0 =
n X k=1
eiξk · xk
N. Braha
17
, ateher¨e nga Teorema e Hanh-Banach-ut ekziston funksionali x∗ ∈ X ∗ , ||x∗ || = 1 me vetine qe
X X n n
iξk
eiξk · xk = x∗ e · x k = n
k=1
k=1
perkatesisht n X
eiξk x∗ (xk ) = n
(3)
k=1
ku xk ,k=1,2,...n jane vektore njesi.Meqe ||x∗ || = 1 ateher¨e marrim |x∗ (xk )| ≤ 1.Tani nga relacioni (3) marrim eiξk ·x∗ (xk ) = 1 dhe perfundimisht x∗ (xk ) = e−iξk .Per me tej , X
n
∗ n ∗ X
x
a · x ≤ x · a · x k k k k ,
k=1
k=1
prej nga X X
n n
∗ ≤
a · x (x ) a · x k k k k
k=1
(4)
k=1
Nga relacionet e mesiperme do te marrim
X
X X n
n
n ∗ i arg a −i arg a k k
ak x (xk ) |ak |e e |ak |
= = k=1
k=1
k=1
Si rezultate i relacioneve (4) dhe (5) vlen relacioni:
X
n X
n
. |ak | ≤ a · x k k
k=1
k=1
Nga ana tjeter vlene vleresimi :
X
X n n X
n
|ak | | ak | kxk k = ak x k ≤
k=1
k=1
k=1
(5)
18 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Me ¸cka edhe perfundon vertetimi i Teoremes . Vlene te theksohet edhe kjo veti e vargjeve µ-perafruese ne hapesiren e Banach-ut X e dhene ne punimin [5],me ane te pohimit: Teorema 1.4[5]Supozojme se (xi )i∈N ¨esht¨e nje varg µperafrues ne hapesiren l1 .Per vargun e ¸cfardoshem zvoglues te numrave (i ), 0 < i < 1 ekziston nenvargu i vektoreve (yi )i∈N te vargut (xi )i∈N me vetine qe te plotesohet relacioni
∞
∞
X
X
ai y i (1 − i )|ai |,
≥ i=1
i=1
per vargun e ¸cfardoshem te numrave (ai ) ∈ l1 . Duke u mb¨esht¨etur ne perkufizimet dhe pohimet e mesiperme jemi ne gjendje te japim vleresimin per kufirin e siperm dhe te poshtem te normes se operatoreve te zhvendosjes me peshe nga nenhapesira e hapesires X e cila permban ne vete nje varg µ-perafrues .Per kete marrim keto shenime . Me L do te shenojme nenhapesiren e hapesires se Banachut X te gjeneruar me sistemin e vektoreve njesh (xi )i∈N te cilet e plotesojne relacionin
X
= k(A) ±x (6) i
i∈A
Ku k(A) shenon numrin kardinal te bashkesise A,per ¸cdo nenbashkesi te fundme A nga I = {1, . . . , n} ose I = N , dhe per ¸cdo zgjedhje te vargut te shenjave .
N. Braha
19
Le te jete T operator i perkufizuar nga nenhapesira L ne nenhapesiren L me ane te relacionit T : xi → λi xi+1 ku (λi )i∈N , ¨esht¨e nje varg i kufizuar .Ateher¨e ¸cdo vektore P x ∈ X do te kete paraqitjen x = i∈N ai xi . Shohim nga shembulli se nje nenhapesire e tille ekziston . Shembull 1.5.Le te jene L dhe Y hapesira te Banach-ut me vetine qe L te jete izometrikisht izomorfe me hapesiren e Banach-ut l1 .Ateher¨e shuma direkte L ⊕ Y ¨esht¨e gjithashtu hapesire e Banach-ut .Vargu i vektoreve bazik ne hapesiren l1 ¨esht¨e e1 = (1, 0, 0, ....) . . . en = (0, 0, ....., 0,
1 |{z}
, 0, ...) . . .
pozita e n−te
Meqe , ||ei ||l1 = 1 per ¸cdo i ∈ N ,ateher¨e vlene
X
n
= (±1, ±1, ...., ±1, 0, 0, .....) = ±e i
l1 i=1
l1
n X
| ± 1| = n ≡ k(A)
i=1
ku A = {1, 2, ..., n}, n ∈ N ,me ¸cka u tregua se nje nenhapesire e tille ekziston . Per nenhapsiren L vlene kjo veti e shprehur me ane te kesaj leme: Leme 1.6 Nenbashkesia L ¨esht¨e nenhapesire e mbyllur e hapesires se Banach-ut X.
20 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Vertetim Le te jete (yn ) nje varg i Koshi-t dhe ky varg ∞ P i vektoreve le te kete k¨ete paraqitje yn = ai (n) xi .Ateher¨e , i=1
vlen¨e relacioni
ym − yn ≤ Tani duke marre parasysh Teoremen 1.2 vlen¨e ky relacion: ∞
X
ym − yn = |ai (m) − ai (n) | ≤ i=1
Me kete ¨esht¨e treguar se vargu i numrave reale (ai (n) )i∈N ¨esht¨e varg i Koshi-t ne R,per ¸cdo numer natyral n.Le te marrim se ∞ P ai (n) → ai (0) , i → ∞ dhe shenojme me y0 = ai (0) xi .Shihet i=1
qarte se ,y0 = lim yn dhe me kete ¨esht¨e treguar se L ¨esht¨e n→∞ nenhapesire e mbyllur e hapesires se Banach-ut X. Tani me perkufizimet dhe rezultatet e mesiperme jemi ne gjendje te bejme vleresimin e normes nga ana e siperme dhe ana e poshtme per operatoret e zhvendosjes , te dhene ne nenhapesiren L te hapesires se Banach-ut X , i cili fakt paraqet edhe rezultatin kryesore te ketij kapitulli dhe kjo shprehet me ane te kesaj teoreme : Teorema 1.7.Le te (X, ||.||) hapesire reale e Banach-ut dhe (ei )i∈N nje sistem vektoresh njesi te cilet plotesojne relacionin (1).Ateher¨e per vargun e ¸cfardoshem te kufizuar te skalareve (λi ) , ekziston nenhapesira L ne X si dhe operatori me peshe T : L → L ,i definuare si me larte ,me vetin¨e qe
inf (1 − i ) λi · ||x|| − K ≤ T x ≤ sup |λi | · ||x|| i
i
N. Braha
21
per ¸cdo x ∈ L ,ku K-konstante dhe per ¸cfaredo vargu zvoglues te numrave ,(i ) te tille qe 0 < i < 1 . Vertetim .Vargu (ei )i∈N ¨esht¨e nje varg 0-perafrues i vektoreve ne l1 (kjo shihet nga (1)).Me tutje le te jete dhene vargu (ai ) ∈ l1 ,ateher¨e nga teorema 1.4 ekziston nenvargu (yi ) i vargut (ei ) ashtu qe te vleje relacioni
X ∞
X
∞
ai y i (1 − i )|ai | (7)
≥
i=1
i=1
per vargun e ¸cfardoshem (ai ) ∈ l1 . Ne vazhdim shenojme me {zi : i ∈ N} = {ei : i ∈ N} \ {yi : i ∈ N}, ateher¨e do te kemi keto shenime: ∞ X
ai ei =
∞ X
i=1
bi y i +
i=1
X
ci zi .
i∈I
Meqe relacioni (7) ¨esht¨e i vertet¨e per ¸cdo (ai ) ∈ l1 ,ai do te jete i vertet edhe per vargun (bi )(pasi qe (bi ) ⊂ (ai )),e kjo do te thote se vlen vleresimi
X
X ∞
∞
bi y i (1 − i )|bi | (8)
≥
i=1
i=1
Tani do te vleresojme kete shprehje:
X
X
X
∞ X
∞
X
∞
=
≥
a e b y + c z (1 − )|b |− c z i i i i i i i i i i
i=1
i=1
i∈I
i=1
i∈I
X
X
X
ci zi ≤ |ci | zi ≤ (1 + i )|ci | ⇒
i∈I i∈I i∈I
X
X X
≥ (1 − )|c | − 2 |ci | c z − i i i i
i∈I
i∈I
i∈I
22 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Prej nga marrim se:
∞
∞ X X
X
X
a e ≥ (1 − )|b | + (1 − )|c | − 2 |ci | = i i i i i i
i=1
i=1
i∈I
∞ X
i∈I
(1 − i )|ai | − K
i=1
Ne vijim do te shenojme me L nenhapesiren e gjeneruar me ane te vargut te vektoreve (ei )i∈N .Perkufizojme operatorin T me peshe nga nenhapesira L ne L me vargun e kufizuar te peshave (λi ),me ane te relacionit : T : ei → λi · ei+1 ateher¨e secili vektore x ∈ L ka paraqitjen e trajtes x = P i∈N ai ei .Nga keto relacione, per vleresim te normes se operatorit do te marrim:
X ∞
X
T x =
(1 − i )|λi ||ai | − K ai · λi · ei+1 ≥
i=1
i∈N
≥ inf (1 − i )|λi | i
X
|ai | − K = inf (1 − i )|λi | x − K i
i∈N
(nga Teorema 1.2) Nga ana tjeter vlene ky vleresim :
∞
X ∞
X
T x =
λi ai ei+1 ≤ |ai ||λi |||ei+1 ||
i=1
=
X i∈N
i=1
|λi | · |ai | ≤ sup λi ||x|| i
me ¸cka merr fund edhe vertetimi i teoremes .
N. Braha
23
Ne vazhdim shohim si rrjedhim te pohimit te mesiperm vleresimin e normes nga ana e siperme dhe e poshtme per operatoret e zhvendosjes me peshe,te perkufizuar ne tere hapesiren L2 (R) .Ky vleresim arrihet duke shfrytezuar vargun e polinomeve ortogonale te Hermitit.Vertet le te shenojme ne vazhdim me X = L2 (R) hapesiren e Banach-ut te te gjitha klaseve ekuivalente te funksioneve te shumueshme sipas Lebegut me rend te shumueshmerise 2 dhe me produktin skalare (meqe kjo e fundit ¨esht¨e edhe hapesire e Hilbertit )te perkufizuar me: Z x(t) · y(t)dt. (x, y) = (9) R
Le te shenojme me 1
24 hn (x) = · gn βn vargun e polinomeve te Hermitit.Ne vazhdim marrim edhe keto shenime 2
1
gn (x) = Gn (x) · e−πx , βn = ((4π)n n!) 2 Vargu i polinomeve hn (x) paraqet vargun e polinomeve te Hermitit te rendit te n-te (pohimi 0.11 ),shihet se vlene ky vleresim per vargun e polinomeve te tilla
X X
p
=
= k(A) h (h , h ) i i i
i∈A
i∈A
per ¸cdo nenbashkesi te fundme A te bashkesise se numrave natyral¨e N.Kjo do te thote se vargu i polinomeve te Hermitit ¨esht¨e nje varg 0-perafrues ne kuptim te perkufizimit 1.1 dhe si rezultat i kesaj mund te marrim vleresimet per operatoret e zhvendosjes ne hapesiren L2 (R) te pershkruar si me poshte.
24 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Le te jete T operator i zhvendosjes ,i perkufizuar me ane te relacionit : T : hi → λi · hi+1 ku (λi ) ¨esht¨e nje varg i kufizuar i numrave.Ateher¨e si rrjedhim te teoremes 1.7 do te kemi : Rrjedhim 1.8 Le te jete L2 (R) hapesire e Hilbertit me produktin skalare te dhene me (9) dhe (hi ) vargu i polinomeve te Hermitit .Ateher¨e per operatorin e zhvendosjes T te perkufizuar si me larte, do te kemi kete vleresim te normes :
inf (1 − i ) λi · x − K ≤ T x ≤ sup |λi | · x i
i
,per ¸cdo x ∈ L2 (R) ,¸cdo varg te kufizuar te skalareve (λi )i∈N , K-konstante dhe per cilindo varg zvogluese te skalareve (i ),0 < (i ) < 1.
N. Braha
25
Kapitulli II
Karakterizimi i operatoreve absolutisht te shumueshem me ane te vargjeve bazik te normalizuara ne hapesirat e Banach-ut
Ne kete kapitull behet karakterizimi i operatoreve absolutisht te shumueshem ne hapsirat e Banach-ut me koeficient te shumueshmerise 1 ,e kjo realizohet nen kushtin kur vargu bazik i hapesires se Banach-ut X ¨esht¨e varg ekuivalent me vargun standard te vektoreve njesi ,nga hapesira l1 . Ne vazhdim do te japim kuptimin e shumueshmerise absolute te operatoreve .Le te jete T operator nga hapesira L(X, Y ) ,ateher¨e me perkufizim : Perkufizim 2.1[14]Themi se operatori T ¨esht¨e operator p-absolutisht i shumueshem ,nese ekziston konstanta K ashtu qe per ¸cdo zgjedhje te numrit n ∈ N dhe vargut te fundem te vektoreve {x1 , x2 , . . . , xn } te vleje relacioni X n i=1
T xi p
p1 ≤ K sup ||x∗ ||≤1
X n
∗ x (xi ) p
p1 .
(10)
i=1
Bashkesine e operatoreve te cilet jane te shumueshem dhe kane rend te shumueshmerise p do ta shenojme me Πp (X, Y ).
26 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
¨ e treguar se nje hapesire e tille ¨esht¨e po ashtu hapesire e Esht¨ Banach-ut (shih [14]) .Konstanten me te vogel K per te cilen vlene relacioni (10) do ta shenojme me πp (T ). Tregohet se per ¸cdo p ,hapesira Πp (X, Y ) ¨esht¨e nenhapesire e hapesires L(X, Y )(shih [1],[14])dhe se πp (T ) perkufizon norme ne Πp (X, Y ). Per pune te metutjeshme na nevoiten edhe keto veti te operatoreve te cilat jane te lidhura me shumueshmerine absolute te operatoreve,e nder to edhe teorema e idealit mbi operatoret absolutisht te shumueshem ( [14]): Teorema 2.2 [14]Le te jete 1 ≤ p < ∞ dhe v ∈ Πp (X, Y ) operatore p-absolutisht i shumueshem .Ateher¨e kompozimi i operatorit v me secilin operatore te kufizuar ¨esht¨e gjithashtu operatore p-absolutisht i shumueshem . Me tutje marrim edhe disa veti tjera te operatoreve te cilat jane te lidhura me konceptin e faktorizimit te opertoreve ,kuptim i dhene nga J.Lindenstrauss dhe A.Pelczynski ne [2] . Perkufizimi 2.3[2] Le te jete dhene operatori T ∈ L(X, Y ).Per operatorin T, themi se lejon faktorizim sipas nje hapesire te trete Z, nese ekzistojne operatoret e kufizuar H dhe K nga hapesira X ne Z ,perkatesisht nga Z ne Y, te cilet plotesojne kushtin T =K ·H Nje kushte i nevojshem dhe i mjaftueshem qe shprehe faktin se kur nje operator i dhene T nga hapesira L(X, Y ) lejon zberthim sipas nje hapsire te trete Z ,¨esht¨e dhene me ane te
N. Braha
27
kesaj teoreme Teorema 2.4[3] Le te jete dhene operatori T nga L(X, Y ) dhe operatoret K e H te perkufizuar nga hapesira X ne Z ,perkatesisht nga Z ne Y.Per operatorin e dhene T diagrami K / Y AA A H T AA
X AA
Z ¨esht¨e komutative ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur ker K ⊂ ker T . Duke u bazuar ne kete teoreme dhe ne perkufizimin e mesiperm shihet se nje operator T-i dhene nga hapesira X ne hapesiren Y lejon faktorizim sipas nje hapesire te trete Z ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur diagrami i operatoreve te mesiperm ¨esht¨e komutative dhe operatoret K dhe H jane operatore te kufizuar. Ne vazhdim le t¨e marrim edhe keto fakt te cilat vlejne ne lidhje me operatoret absolutisht te shumueshem. Teorema 2.5 [4] C ¸ do operator i kufizuar nga hapesira l1 ne hapesiren l2 ,¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem. Le te jene dhene vargjet bazik (xi )i∈N nga hapesira X ,perkatesisht (yi )i∈N nga hapesira Y.Ateher¨e per keto dy vargje te vektoreve merret kuptimi i ekuivalences si ne [20] : Perkufizim 2.6[20] Themi se vargu (xn )∞ n=1 i vektoreve nga X ¨esht¨e (K1 , K2 ) ekuivalent me vargun e vektoreve (yn )∞ n=1
28 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
nga Y ,nese ekziston ¸cifti i konstanteve pozitive K1 ,K2 te tilla qe:
X
X
X
m
m
m
K1 a y ≤ a x ≤ K a y n n n n 2 n n
Y
n=1
n=1
X
n=1
Y
per ¸cdo varg te fundem te numrave (an )m n=1 . Ne vazhdim do te vertetojme se kur nje operator i kufizuar nga hapesira e Banach-ut X ne hapesiren Y lejon faktorizim sipas hapesires l1 .Vertet vlene ky pohim: Leme 2.7 Nese (xi )i∈N ¨esht¨e varg bazik ,i normalizuar ne X ,i cili ¨esht¨e ekuivalent (ne kuptim te perkufizimit 2.6) me vektoret standard bazik te hapesires l1 ,ateher¨e secili operator T ∈ B(X, Y ) lejon faktorizim sipas hapesires l1 . Vertetim: Nga ekuivalenca e vargut bazik (xi )i∈N me vargun standard te vektoreve njesi (ei )i∈N ,ekzistojne konstantet pozitive K1 dhe K2 te tilla qe
X
X
X
n
n
n
≤
≤ K2
. a x a e a x K1 i i i i i i
i=1
i=1
i=1
Le te jete H operator i perkufizuar nga hapesira X ne hapesiren l1 me ane te relacionit : X X H:x= ai x i → ai ei , i
i
ateher¨e operatori H ¨esht¨e i kufizuar dhe kjo kufizueshmeri shihet nga relacioni i meposhtem
X
X
Hx = H
a e a x = i i i i
i
i
N. Braha
29
X
= K2 x . a x ≤ K2 · i i
i
H ¨esht¨e bijektive ne baze te perkufizimit te operatorit H . Vlene implikacioni x ∈ ker H ⇒ x ∈ ker T .Vertet nga: X X x ∈ ker H ⇒ Hx = 0 ⇒ H ai x i = 0 ⇒ ai ei = 0 i
i
prej nga marrim: Tx = T
X
ai x i
= 0.
i
Nga pohimi 2.4 dhe relacionet e mesiperme shohim se diagrami i dhene me ane te shprehjes : H / l1 @@ @@ L T @@
X @@
Y
¨esht¨e diagram komutativ per ndonje operator te pershtatshem L ∈ L(l1 , Y ),kjo d.m.th se vlene relacioni T = L · H. Meqe operatort T dhe H jane te kufizuar¨e dhe H bijektiv ateher¨e vlene T · H −1 = L. Nga barazimi i fundit perfundojme se L ¨esht¨e gjithashtu operator i kufizuar ,d.m.th T lejon faktorizim sipas hapesires l1 ,me ¸cka pohimi u vertetua. Ne vazhdim mund te vertetojme pohimin i cili jep kushtet nen te cilat nje operator i kufizuar T nga L(X, l2 ) ,ku X
30 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
permban nje varg bazik te normalizuar , ekuivalente (ne kuptim te perkufizimit 2.6) me bazen standarde te l1 -se ,¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem. Pohimi 2.8 Nese (xi )i∈N ¨esht¨e nje varg i normalizuar dhe bazik ne hapesiren X,i cili ¨esht¨e ekuivalent me bazen standarde te vektoreve njesi te hapesires l1 (ne kuptim te perkufizimit 2.6),ateher¨e operatori T ∈ B(X, l2 ) ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem. Vertetim Meqenese (xi )i∈N ¨esht¨e ekuivalente me vargun standard (ei )i∈N te vektoreve njesi te hapesires l1 ,ateher¨e ekzistojne konstantet K1 dhe K2 te tilla qe te vleje relacioni.
X
X
X
n
n
n
≤
≤ K2 a x a e a x K1 i i i i i i
i=1
i=1
i=1
Nga lema 2.7 , T lejon faktorizim sipas hapesires l1 ,d.m.th ekzistojne operatort H dhe L te perkufizuar nga X ne l1 ,perkatesisht nga l1 ne l2 te tille qe T = L · H.Le te jete (yi )ni=1 nje varg i fundem i vektoreve ne X ,ateher¨e (yi ) kane paraqitjen ∞ X (i) yi = ak x k k=1
Ne vazhdim vleresojme shprehjen: X X ∞ n ∞ n n X X
X (i) (i)
T
T yi = x a LH x = a k k = k k
i=1
i=1
k=1
i=1
X n ∞ n X X
(i)
Lti
L e = a k k
i=1
k=1
i=1
k=1
N. Braha
31
P (i) ,ku ti = ∞ e nga shumueshmeria absolute k=1 ak ek ∈ l1 ,ateher¨ e L-se merret: n n n X X X X
∗ ∗ ∞ (i)
Lti ≤ K sup x (ti ) = K sup x a e k k ||x∗ ||=1 i=1
i=1
||x∗ ||=1 i=1
≤ K sup
n X ∞ X
k=1
|ak (i) |
||x∗ ||=1 i=1 k=1
X ∞ X n X n (i)
∞ X (i) ak = K sup ak ek = K sup
∗ ∗ ||x ||=1 k=1
||x ||=1
i=1
l1
k=1 i=1
,ku K ¨esht¨e konstante .Me tej nga ekuivalenca e vargut bazik (xn ) me vargun standard (en ) te l1 -se si dhe duke shfrytezuare rrjedhimin e Teoremes se Hahn-Banach-ut, marrim kete vleresim:
X n n X
∞ X (i)
Lti ≤ K · K2 sup
±1 · a x k k
∗ ||x ||=1
i=1
k=1 i=1
X
X n X
n ∗
0
x (yi ) .
= K sup ±1 · yi = K sup ∗ ∗ 0
||x ||=1
i=1
||x ||=1 i=1
Me ¸cka pohimi u vertetua. Ne vazhdim japim nje veti elementare per vektoret njesi ne hap¨esirat e Banach-ut e cila na nevoitet per pune te metejme.Ne te vertete vlene ky jobarazim i shprehur me ane te kesaj leme : Leme 2.9 Per numrin e fundem te vektoreve njesi {x1 , . . . , xn } nga hapesira e Banach-ut X dhe per numrat e ¸cfardoshem {a1 , . . . , an } reale dhe pozitive ,vlene relacioni
32 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
a1 · x1 + · · · + an · xn ≤ max {ai } x1 + · · · + xn . 1≤i≤n
(11)
Nje vleresim i ngjashem vlene edhe ne rastin e kundert ,perkatesisht per minimum,d.m.th vlene relacioni
a1 · x1 + · · · + an · xn ≥ min {ai } x1 + · · · + xn . 1≤i≤n
(12)
Vertetim Vertetimin do ta bejme me ane te induksionit matematik vetem per relacionin (11) pasi relacioni tjeter tregohet ne menyre analoge .Mjafton te tregohet relacioni i dhene per dy vektor¨e te dhene .Le te jene dhene dy vektor¨e njesi x, y nga X dhe a , b numra real¨e pozitiv¨e .Supozojme se a > b ,ateher¨e per vektorin a · x + b · y ∈ X ne baze te rrjedhimit te Teoremes s eHahn-Banach-ut ,ekziston funksionali x∗ ∈ X ∗ me vetine qe
∗
x = 1 dhe
x∗ (a · x + b · y) = a · x + b · y . Nga relacioni: |x∗ (x + y)| ≤ ||x∗ || · ||x + y|| do te marrim kete vleresim: |ax∗ (x)+ax∗ (y)| ≤ |a|·||x+y|| ⇒ |ax∗ (x)+ax∗ (y)+bx∗ (y)−bx∗ (y)| ≤ |a| · ||x + y||. Nga vleresimet e mesiperme marrim:
ax + by + (a − b)x∗ (y) ≤ |a| · ||x + y||.
(13)
N. Braha
33
Nga perkufizimi i funksionalit x∗ shihet se vlene ky vleresim −1 ≤ x∗ (y) ≤ 1. Ne vazhdim dallojme keto dy raste : I)0 ≤ x∗ (y) ≤ 1,ateher¨e nga (13) ne menyre te drejtperdrejt rrjedh vleresimi i kerkuare . II)−1 ≤ x∗ (y) ≤ 0,ateher¨e nga relacioni (13) do te kemi kete vleresim ||ax + by|| − |(a − b)||x∗ (y)| ≤ ||ax + by|| + (a − b)x∗ (y) prej nga perseri marrim se vlen pohimi i dhene me larte d.m.th ||ax + by|| ≤ |a| · ||x + y||. Ne vazhdim do te japim lidhmerine ne mes te shumueshmerise absolute te operatorit T dhe shumueshmerise absolute te operatorit inverz .Ky fakt ipet me ane te ketij pohimi : Pohimi 2.10 Le te jete X hapesire e Banach-ut dhe T operator i kufizuar dhe bijektive nga hapesira X ne hapesiren Y . T ¨esht¨e absolutisht i shumueshem ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur T −1 ¨esht¨e i tille . Vertetim Supozojme se T ¨esht¨e absolutisht i shumueshem dhe tregojme se edhe T −1 ¨esht¨e i tille .Le te jete T absolutisht i shumueshem ,ateher¨e ekziston konstanta k e tille qe per ¸cdo numer natyral m dhe per vargun e ¸cfardoshem te vektoreve te fundem (xn )m n=1 , vlene relacioni: m m X X
∗
T xn ≤ k sup x (xn ) n=1
||x∗ ||≤1
n=1
(14)
34 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Le te jete (yi )si=1 nje varg i ¸cfardoshem i vektoreve ne Y ,ateher¨e nga bijektiviteti i T-se ekziston vargu i vektoreve (zi )si=1 nga X ,ashtu qe yi = T (zi ). Meqe relacioni (13) vlene per ¸cdo varg te fundem te vektoreve nga X , ai do te vleje edhe per vargun e vektoreve (zi )si=1 dhe pa e prishur pergjithsimin mund te marrim se s = m.Kjo d.m.th se vlene relacioni : m m X X
∗
yn ≤ k sup x (zn ) . ||x∗ ||≤1 n=1
n=1
Supozojme se T −1 nuk ¨esht¨e absolutisht i shumueshem ,ateher¨e ekziston nje l ∈ N e tille qe : l l X X
−1 ∗
T yn > K sup x (yn ) , ||x∗ ||≤1 n=1
n=1
per ¸cdo konstante te marre K.Nga relacionet e mesiperm do te kemi kete vleresim: l l X
−1 ∗ X
−1
T yn > k T sup x (zn ) ≥ ||x∗ ||≤1 n=1
n=1
l X ∗ x (yn ) K sup ||x∗ ||≤1 n=1
(ne kete relacion kemi marre koeficientin l pasi relacionin (13) vlene per ¸cdo numer te fundem natyral ) .Nga teorema e Hanh-Banach-ut dhe relacioni i mesiperm do marrim kete vleresim :
X
X
l
l
−1
θ y θ z ≥ K sup k T sup n n n n
n=1
n=1
N. Braha
35
ku θn = ±1 .Prej nga perfundimisht marrim vleresimin :
X
X
l
l
−1
sup θ · z = sup θ · T (y ) n n n n
∗ ∗
||x ||≤1
||x ||≤1
n=1
n=1
l
−1
X
θ · y ≤ sup T
n n
||x∗ ||≤1
n=1
X
−1 k −1
l
≤ T · T sup θn · zn ·
. ∗ K ||x ||≤1 n=1 Meqenese K ishte e ¸cfardoshme ,mund te marrim
konstanta
−1 2
K > k· T .Mirepo ,kjo na sjell ne kontradiksion me relacionin e fundit .D.m.th supozimi se T −1 , nuk ¨esht¨e absolutisht i shumueshem ,¨esht¨e i gabuar .Me ¸cka vertetohet njera ane e relacionit .Ana tjeter vertetohet ne menyre analoge . Duke u thirrur ne faktt dhe pohimet e mesiperme mund te formulojme dhe vertetojme pohimin kryesor te ketij kapitulli,i cili paraqet kushtet nen te cilat operatori T ∈ B(X, Y ) ¨esht¨e absolutisht i shumueshem . Teorema 2.11 Le te jete (xn )∞ n=1 nje varg bazik i normalizuar nga hapesira X ,i cili ¨esht¨e ekuivalent me bazen standarde te vektoreve njesi ne l1 (ne kuptim te perkufizimit 2.6).Ateher¨e secili operator i kufizuar dhe bijektiv ,nga hapesira X ne hapesiren Y ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem . Vertetim Le te jete (xn )n∈N varg bazik ne X ekuivalent me vargun standard te vektoreve njesi nga l1 .d.m.th ekzistojne
36 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
konstantet K1 dhe K2 ashtu qe :
X
X
X
m
m
m
K1 b x ≤ b e ≤ K b x n n n n 2 n n .
n=1
n=1
n=1
0 T xn Vargu yn = T (xn ) ¨esht¨e bazik ne Y,ndersa yn =
T xn ¨esht¨e varg njesi dhe ekuivalente me bazen standarde te vektoreve njesi ne l1 .Para se gjithash ,meqe T ¨esht¨e bijektive ekzistojne konstantet m dhe M ashtu qe te vleje vleresimi
m x ≤ T x ≤ M x
(lema 0.9). Nga relacioni i fundit dhe faktt e mesiperme duke shfrytezuare lemen 2.9 do te kemi
X
m
X
m
X
m
1 T x 0 n
=
≤ T ·sup
b x b y b n n n n n
T xn
T x n n n=1 n=1 n=1
X
m
, ≤ T · F · K1 b e n n
n=1
ku F ¨esht¨e konstante .Nga ana tjeter
X
X
X
m
m
m
−1
≤ K2
= K2
b e b x b T (y ) n n n n n n
n=1
n=1
n=1
m
m
T xn
−1 X
−1 X
≤ K2 T · b y = K T · b T x n n 2 n n
T xn n=1 n=1
m
−1
X 0 bn y n ≤ K2 T sup T xn
n
n=1
X
−1
m 0 ≤ K2 · T · Z · bn yn
, n=1
N. Braha
37
ku Z ¨esht¨e konstante . Le te jete H operator i perkufizuar nga hapesira X ne l2 , me ane te relacionit : X X 0 ai x i → ai ei , H:x= i
i 0
ku (ei ) ¨esht¨e baze standarde ne l2 .Operatori H ¨esht¨e i kufizuar dhe bijektiv .Me te vertete,nga
X
X 0 X X
Hx =
a e ≤ a = a e ≤ K a x i i i i i i 2 i
i
i
i
i
= K2 x (ku (ei )i∈N ,baza standarde ne l1 ), kemi se H ¨esht¨e i kufizuar. Tutje, per vertetim te bijektivitetit perkufizojme operatorin E nga X ne l1 me ane te relacionit X X E:x= ai x i → ai ei , i
i
ku (ei )i∈N ¨esht¨e baze standarde ne l1 .Ne baze te perkufizimit E ¨esht¨eP i kufizuar dhe bijektive . Le te jete me tej y ∈ l2 ,ateher¨e 0 y = i bi ei .Nga teorema e Dvoretzky-Rogers(pohimi 0.6) , fakti se X ¨esht¨e izomorfe me l1 si dhe pohimet (0.7) dhe (0.8) ekziston nje baze e vetme (zn )n∈N ,deri ne ekuivalence e cila konvergjon ne menyre jo te kushtezuar , me vetine qe
zn = bn . Kjo baze ¨esht¨e ekuivalente me (xn ).Vertet E(zn ) ¨esht¨e ekuivalente me (en ) dhe kjo e fundit me (xn ),ateher¨ Pe edhe E(zn ) ¨esht¨e ekuivalente me (xn ). Le te jete k = i bi xi , tregojme se ky vektor ¨esht¨e nga X ,prej nga do te vlente relacioni
38 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
P
P H( i bi xi ) = y.Per kete mjafton te shohim se i bi E(zi ) ≤ ∞. Vertet
X
X X
bi · zi = E · bi · bi
bi E(zi )
≤ E ·
i
i
i
X 2 bi ≤ ∞, = E · i
me ¸cka u provue bijektiviteti i H-se .Vlene perfshirja ker H ⊂ ker T e me kete diagrami H / l2 @@ @@ L T @@
X @@
Y
¨esht¨e komutative per ndonje operator te pershtatshem L ∈ L(l2 , Y ).Tani shumueshmeria absolute e operatorit T merret nga Pohimet 2.10 dhe 2.8. Duke shfrytezuar pohimet e mesiperme mund te behet karakterizimi i shumueshmerise absolute te operatorit te adiunguar T ∗ per operatorin T, i cili ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem.Per kete se pari shohim se vlene kjo leme. Leme 2.12 Le te jete (xi )i∈N varg bazik , i normalizuar i cili ¨esht¨e ekuivalent(ne kuptim te perkufizimit 2.6) me vargun standard (ei )i∈N ,te vektoreve nga hapesira l1 .Ateher¨e vargu (xi )i∈N ¨esht¨e plotesisht i kufizuar ( boundedly complete). Vertetim Nga (2.6) ekzistojne konstantet K1 dhe K2 me vetine qe te vleje relacioni :
N. Braha
39
m
m
m
X
X
X
K1 b x ≤ b e ≤ K b x n n n n 2 n n ,
n=1
n=1
(15)
n=1
per vargun e ¸cfardoshem te skalareve (bi )i∈N . Ne vazhdim tregojme se (xi )i∈N ¨esht¨e nje varg plotesisht i kufizuar .Per te treguare kete duhet supozuare se:
X
n
sup a x i i < ∞,
n
(16)
i=1
dhe nga kjo duhet te rrjedhe konvergjenca e serise : ∞ X
ai x i .
i=1
Meqe relacioni (15) vlene per ¸cdo varg te fundem skalaresh ai vlene edhe per vargun (ai )i∈N .Tani duke shfrytezuare relacionin (16) do te kemi :
X m m X
X
m ai =
ai ei ≤ K2
a x i i ≤ ∞.
i=1
i=1
i=1
Prej nga marrim se X ai ≤ ∞. i
Nga relacioni i fundit dhe (15) do te kemi kete vleresim
m
X
m X X
m
ai =
≥ K a x a e 1 i i . i i
i=1
i=1
i=1
Duke vepruar me limit ne relacionin e fundit ,kur m → ∞ do te marrim vertetimin e pohimit .
40 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Ne vazhdim mund te fomulojme dhe vertetojme kete teoreme: Teorema 2.13 Le te jete (xn )∞ n=1 varg bazik dhe ekuivalente me bazen standarde te vektoreve njesi (en )∞ n=1 ne l1 (ne kuptim te perkufizimit 2.6) .ateher¨ee operatori i adiunguare T ∗ i operatorit invertibil T ∈ B(X, Y ), ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem . Vertetim Ne baze te lemes paraprake vargu (xi )i∈N ¨esht¨e varg plotesisht i kufizuar ( boundedly complete) dhe hapesira X ¨esht¨e hapesire izomorfe me hapesiren duale X ∗ (pohimi 0.4).D.m.th ekziston operatori P i perkufizuar nga hapesira X ne hapesiren X ∗ , me vetin qe te vleje P (X) = X ∗ . Le te jete H operator i perkufizuar nga hapesira X ne l2 me ane te relacionit : X 0 X ai ei , H:x= ai x i → i
i
0
ku (ei ) ¨esht¨e baze standarde ne l2 .Operatori H ¨esht¨e i kufizuar dhe bijektiv .Kufizueshmeria rrjedh nga relacioni :
X 0 X X
X
Hx =
a e ≤ a = a e ≤ K a x i i i i i 2 i i
i i i i
= K2 x . Ne vazhdim shohim bijektivitetin. Le te jete E operator i perkufizuar nga X ne l1 me ane te relacionit: X X E:x= ai x i → ai ei , i
i
ku (ei )i∈N baze standarde ne l1 .Shihet drejtperdrejt se E ¨esht¨e i kufizuar dhe bijektive . Tutje ,le te jete y ∈ l2 ,ateher¨ee
N. Braha
41
P 0 y = i bi ei .Ne baze te teoremes se Dvoretzky-Rogers(pohimi 0.6) , fakti se X ¨esht¨e izomorf me l1 si dhe pohimet (0.7) dhe (0.8) do te kemi se ekziston nje baze e vetme (zn )n∈N ,deri ne ekuivalence ,e cila konvergjon ne menyre jo te kushtezuar , me vetine qe
zn = bn . Kjo baze ¨esht¨e ekuivalente me (xn ).Vertet E(zn ) ¨esht¨e ekuivalente me (en ) dhe kjo e fundit me (xnP ),ateher¨e edhe E(zn )¨esht¨e ekuivalente me (xn ). Le te jeteP k = i bi xi .Ky element ¨esht¨e nga X dhe vlene
P barazimi H( i bi xi ) = y.Per kete mjafton te shohim se i bi E(zi ) ≤ ∞.Vertet
X
X X bi · bi
bi · zi = E ·
b E(z ) i i ≤ E ·
i
i
i
X 2 bi ≤ ∞, = E · i
e me kete ¨esht¨e treguar se H ¨esht¨e bijektive .Tutje per berthamat e operatorve H dhe T.Vlene ker H ⊂ ker T .D.m.th diagrami H / l2 @@ @@ L T @@
X @@
Y
¨esht¨e komutativ per ndonje operator L te pershtatshem nga hapesira L(l2 , Y ).Meqe diagrami ¨esht¨e komutativ vlene relacioni T = L · H.
(17)
42 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Nga relacioni (17) drejteperdrejt shihet se L ¨esht¨e bijektive. Gjithashtu ker P ⊂ ker H e me kete edhe diagrami P / X∗ BB BB H1 H BB! l2
X BB
¨esht¨e komutative per ndonje operator H1 te pershtatshem nga L(X ∗ , l2 ) D.m.th H = H1 · P.
(18)
Operatori H1 ¨esht¨e gjithashtu operator bijektive.Meqe operatori (T ∗ )−1 ekziston (pohimi 0.10)dhe per te njejtat arsye si me siper vlene perfshirja ker(T ∗ )−1 ⊂ ker H1 ,diagrami (T ∗ )−1 ∗ X CC / Y ∗ CC CC H2 C H1 CC! l2
¨esht¨e komutative per ndonje operator H2 te pershtatshem nga L(Y ∗ , l2 ), prej nga marrim se vlene H1 = H2 · (T ∗ )−1 .
(19)
Operatori H2 gjithashtu ¨esht¨e bijektive .Vertetimi i pohimit rrjedh nga relacionet (15),(16) ,(17) dhe pohimet (2.2) e (2.10). Rrjedhim 2.14 Le te jete (xn )n∈N nje varg i normalizuar dhe bazik ne X i cili ¨esht¨e ekuivalent (ne kuptim te perkufizimit (2.6)) me vargun standard te vektoreve njesi (en )n∈N nga l1 .Ateher¨e operatori invertibile T ∈ B(X, Y ) ¨esht¨e absolutisht i shumueshem ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur operatori i adiunguare T ∗ ¨esht¨e i tille .
N. Braha
43
Kapitulli III
Karakterizimi i operatorve te adiunguare ,absolutisht te shumueshem me ane te vargjeve µ-perafruese ne hapesirat e Banach-ut
Ne kete kapitull do te bejme karakterizimin e shumueshmerise absolute te operatorve te adiunguare permes vargjeve µ-perafruese , te cilat plotesojne kushtin (2) te dhene me heret(shih kapitullin I). Per kete ne vazhdim tregojme se nje pohim analog me ate te dhene me ane te lemes 2.7 vlene gjithashtu edhe ne rastin kur hapesira X permban nje varg µ-perafruese .Vlene kjo : Leme 3.1 Le te jete (xi )i∈N varg i normalizuare dhe bazik ne X,i cili e ploteson relacionin (1)(Kapitulli I).Ateher¨e, secili operator T nga B(X, Y ) lejon faktorizim sipas hapesires l1 . Vertetim Le te jete (ai )i∈N ,nje varg i ¸cfardoshem i skalareve i tille qe |ai | = 6 0,ateher¨e nga relacioni (2) vlene :
X
X n
n
ai
a x = i i
i=1
i=1
(20)
44 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Le te jete H operator i perkufizuar nga hapesira X ne hapesiren l1 me ane te relacionit: X X H ai x i = ai ei . i
i
Operatori i mesiperm ¨esht¨e operator i kufizuar dhe bijektiv. Kufizueshmerine e operatorit H e tregojme duke shfrytezuar relacionin (2).Vertet
X
X X
Hx =
a e = a = a x i i = x . i i i
i
i∈N
i
Ndersa bijektiviteti rrjedh ne menyre te drejtperdrejt nga perkufizimi i H-se dhe relacioni (1).Tutje,verejme se per x ∈ ker H, rrjedh x ∈ ker T ,qe d.m.th se diagrami H / l1 @@ @@ L T @@
X @@
Y ¨esht¨e komutative per ndonje operator te pershtatshem L ∈ L(l1 , Y ) .Gjegjesisht T = L · H ,e kjo do te thote se T lejon faktorizim sipas hapesires l1 .Meqe H ¨esht¨e bijektive dhe i kufizuar ,do te kemi se L = T · H −1 . Ne vazhdim do te vertetojme nje rezultat analog me ate te pohimit 2.8, ne rastin kur hapesira e Banach-ut X permban nje varg µ-perafrues . Pohimi 3.2 Le te jete (xi )i∈N varg i normalizuar dhe bazik ne hapesiren X ,i cili ploteson relacionin (1).Ateher¨e secili operator T ∈ B(X, l2 ) ¨esht¨e operator 1-absolutisht i shumueshem .
N. Braha
45
Vertetim Nga lema paraprake ,T lejon faktorizim sipas hapesires l1 .Kjo do te thote se ekzistojne operatoret e kufizuar H nga X ne l1 dhe operatori L nga l1 ne l2 me vetine qe T = L · H. Le te jete (yi )ni=1 nje varg i fundem i vektoreve te ¸cfardoshem nga hapesira X . Ateher¨e per vektoret e tille do te kemi kete paraqitje: ∞ X (i) yi = ak x k , k=1
sipas bazes
(xi )∞ i=1 . n X
n X
T yi = i=1
i=1
T
Tutje, X ∞ k=1
X X n ∞
(i) (i)
LH
ak x k = a x k k
i=1
k=1
X n n X ∞ X
(i)
Lti ,
= = L a e k k
i=1 (i) k=1 ak ek
i=1
k=1
P∞
ku ti = ∈ l1 .Tani nga shumueshmeria absolute e L-se rrjedh : n n X n X X X ∗ ∗ ∞ (i)
Lti ≤ K sup x ti = K sup x a e k k i=1
||x∗ ||=1 i=1
||x∗ ||=1 i=1
k=1
n X ∞ X (i) ak ≤ K sup ||x∗ ||=1 i=1 k=1
X
∞ X n X n (i)
∞ X
(i) ak = K sup
= K sup |a |x k k
∗ ∗ ||x ||=1 k=1
||x ||=1
i=1
k=1 i=1
( nga relacioni (2))
X n
∞ X (i) ±1 · a x = K sup k k
∗ ||x ||=1
k=1 i=1
46 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
X n X
n
∗
= K sup x (yi ) . = K sup ±1 · y i
∗ ∗ ||x ||=1
||x ||=1 i=1
i=1
Me ¸cka pohimi u vertetua . Ne vazhdim shqyrtojme shumueshmerine absolute te operatorve T nga B(X, Y ),ne rastin kur X permban nje varg te normalizuar dhe bazik te vektoreve te cilet plotesojne relacionin (1).Nje rezultat i tille ¨esht¨e analog me pohimin (2.11) te dhene ne kapitullin e meparshem dhe shprehet me ane te kesaj teoreme : Teorema 3.3 Le te jete (xi )i∈N nje varg i normalizuar dhe bazik ne X, i cili e ploteson relacionin (1).Ateher¨e secili operator T ∈ B(X, Y ) ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem . Vertetim Le te jete H operator i perkufizuar nga hapesira X ne hapesiren l2 me ane te relacionit X X 0 H:x= ai x i → ai ei , i
i
0
ku vargu i vektoreve (ei )i∈N ¨esht¨e varg standard i vektoreve njesi ne hapesiren l2 .Ateher¨e operatori H ¨esht¨e i kufizuar dhe bijektive .Kufizueshmeria merret nga relacioni:
X
X X
X
0
Hx =
a e ≤ a = a e = a x i i i i i i i
i
i
i
i
= x . Bijektiviteti tregohet si ne rastin e pohimeve te meparshme ku tani vargu njesi (ei )i∈N ¨esht¨e vargu standard i vektoreve ne
N. Braha
47
l1 ,ndersa per berthamat e operatorve H dhe T vlene perfshirja ker H ⊂ ker T .D.m.th diagrami : H / l2 @@ @@ L T @@
X @@
Y
¨esht¨e komutative per ndonje operator te pershtatshem L ∈ L(l2 , Y ).Me tej vertetimi i pohimit rrjedh nga pohimi (3.2) dhe pohimi (2.2). Nje veti e rendesishme mbi vargjet µ-perafruese dhe vargjet plotesisht te kufizuara shprehet me ane te pohimit : Leme 3.4 Le te jete (xi )i∈N varg bazik i normalizuar i cili ploteson relacionin (1).Ateher¨e ky varg ¨esht¨e plotesisht i kufizuar ( boundedly complete). Vertetim Nga relacioni (1) ,vlene
n n X
X ai =
a x i i ,
i=1
i=1
per vargun e ¸cfardoshem te skalareve (ai )i∈N . Supozojme se
X
n
sup a x i i < ∞,
n i=1
ateher¨e ne baze te relacionit (2) edhe seria X ai < ∞ i
konvergjon.
48 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Ne vazhdim japim pohimin kryesor te ketij kapitulli ,i cili shpreh disa kushte nen te cilat nje operator i adiunguare i operatorit bijektive , ¨esht¨e operator 1-absolutisht i shumueshem. Teorema 3.5 Nese (xi )i∈N ¨esht¨e nje varg i normalizuar dhe bazik ne hapesiren X , i cili e ploteson kushtin (1).ateher¨e operatori i adiunguare T ∗ i operatorit invertibile T ∈ B(X, Y ) ¨esht¨e 1-absolutisht i shumueshem. Vertetim Vargu (xi )i∈N ¨esht¨e varg plotesisht i kufizuar ( boundedly complete ) dhe hapesira X ¨esht¨e hapesire izomorfe me hapesiren duale X ∗ (pohimi 0.4).D.m.th ekziston operatori P i perkufizuar nga hapesira X ne hapesiren X ∗ , ashtu qe P (X) = X ∗ .Le te jete H operator i perkufizuar nga X ne l1 me ane te relacionit X X H:x= ai x i → ai ei . i
i
Operatori H ¨esht¨e i kufizuar dhe bijektiv ,vertetimi si ne pohimin e mesiperm .Ne vazhdim tregojme se vlene ky vleresim per berthamat e operatorve K dhe T, ker K ⊂ ker T .D.m.th diagrami K X @@ / l2 @@ @@ L T @@
Y ¨esht¨e komutative per ndonje operator L te pershtatshem nga L(l2 , Y ) .Gjegjesisht vlene: T = L · K.
(21)
Nga relacioni i fundit rrjedh bijektiviteti i operatorit L .Gjithashtu vlene edhe perfshirja ker P ⊂ ker K e me kete diagrami
N. Braha
49
P / X∗ BB BB H1 K BB! l2
X BB
¨esht¨e komutative per ndonje operator H1 te pershtatshem nga L(X ∗ , l2 ).D.m.th vlene : K = H1 · P.
(22)
Nga relacioni (22) merret se operatori H1 ¨esht¨e operator bijektive.Meqe operatori (T ∗ )−1 ekziston (0.10) dhe per berthamat vlene perfshirja ker(T ∗ )−1 ⊂ ker H1 ,ateher¨e edhe diagrami (T ∗ )−1 ∗ X CC / Y ∗ CC CC H2 C H1 CC! l2
¨esht¨e komutative per ndonje operator H2 te pershtatshem nga L(Y ∗ , l2 ), perkatesisht vlene : H1 = H2 · (T ∗ )−1 ,
(23)
ku H2 ¨esht¨e bijektive .Vertetimi i pohimit merret drejtperdrejt nga relacionet (21),(22) ,(23) dhe nga relacioni (2.2). Si rezultat i pohimeve te mesiperme merret ky rrjedhim : Rrjedhim 3.6 Le te jete (xn )n∈N nje varg i normalizuar dhe bazik ne X i cili e ploteson kushtin (1).Ateher¨e operatori invertibile T ∈ B(X, Y ) ¨esht¨e absolutisht i shumueshem, ateher¨e dhe vetem ateher¨e kur operatori i adiunguare T ∗ ¨esht¨e absolutisht i shumueshem .
50 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Rezime
Ne kete punim jane studiuar disa probleme lidhur me vargjet perafruese te normalizuara dhe operatort absolutisht te shumueshem ,ne hapesirat e Banach-ut ,me koeficient te shumueshmerise 1. Ne vitin 2002 autoret S.Dilworth ,D.Kutzarova dhe P.Wojtaszczyk ne punimin me titull ”On Approximate l1 systems in Banach Spaces” te botuar ne revisten J.Approx.Theory 114(2002),214241, japin kuptimin e vargut µ-perafrues i cili ¨esht¨e nje pergjithesim i vetise se izometrise ,ne hapesirat reale te Banach-ut.Duke u bazuare ne rezultatet e ketyre autoreve ,ne pjesen e pare te punimit, vetia e izometrise ¨esht¨e pergjithesuar ne rastin e hapesires komplekse te Banach-ut.Me tej ,behet vleresimi i kufirit te poshtem dhe te siperm te operatorve te zhvendosjes me peshe ,ne nje nenhapesire te hapesires X ,e cila permban nje varg te vektoreve njesi dhe µ-perafrues.Tutje ¨esht¨e arritur vleresimi per kufijte e operatorve te zhvendosjes ,ne tere hapesiren L2 (R). Ne pjesen e dyte te punimit ,behet karakterizimi i operatorve 1-absolutisht te shumueshem me ane te vargjeve perafruese ne ¨ e treguar se ne rastin kur hapesira hapsirat e Banach-ut .Esht¨ X permbane nje varg bazik (xi )i∈N te vektoreve njesi ,ekuivalent me bazen standarde (ei )i∈N , te hapesires l1 ,ateher¨ee operatoret e ¸cfardoshem ,te kufizuar dhe bijektiv nga hapesira X ne Y ,jane operator¨e 1-absolutisht te shumueshem . Ne fund ,ne pjesen e trete te punimit ,¨esht¨e treguar se operatori i kufizuar T nga hapesira X ne Y ,ne rastin kur X
N. Braha
51
permban nje varg 0-perafrues ,te normalizuar dhe bazik (xi )i∈N ,paraqet operator 1-absolutisht te shumueshem .
52 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Summary
In this dissertation there are studied some problems about normalized approximation sequences and absolutely summing operators in Banach spaces, with summability coefficient 1. In 2002 ,authors S.Dilworth, D.Kutzarova and P.Wojtaszcyk in their paper titled ” On approximate l1 systems in Banach Spaces” published in the journal J.Approx. Theory 114(2002),214-241, gave the meaning of µ- approximation sequence which is the generalization of isometry feature in the real Banach space X. Based on the results of the authors in the first chapter of the dissertation the isometry feature in the complex Banach spaces is generalized.Further ,the lower bound and upper bound for the weighted shift operators defined in the subspace of the space X which contains a µapproximate sequence of the unit vectors ,are estimated .Further on ,the bounds of the weighted shifts operators in whole space L2 (R) are estimated . In the second chapter of the dissertation there it is given the characterization of the 1-absolutely summing operators by the approximate sequences in the Banach spaces .There it is shown that in the case when X contains a basic sequence (xi )i∈N of the unit vectors,equivalent to the standard vector basis (ei )i∈N in l1 ,then every bounded bijective linear operator defined from the space X in Y , is 1-absolutely summing . At the end in the third chapter there it is shown that the bounded linear operator T from the space X in Y for the case when X contains a normalized , 0-approximate basic sequence
N. Braha
(xi )i∈N represents a 1-absolutely summing operators.
53
54 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
Bibliography [1] J.Lindenstrauss ,L.Tzafriri ,Classical Banach Spaces ,Part I(Sequence spaces),Springer -Verlag Berlin Heildelberg New York (1979). [2] J.Lindenstrauss ,A.Pelczynski,Absolutely summing operators in Lp -spaces and their applications ,Studia Math. T.xxix,275-326 (1968) [3] S.S.Kutateladze,Osnovii iza,Novosibirsk,2001
funkcionalnogo
anal-
[4] A.Grothendieck,Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques.Bol.Soc.Mat.Sao Paulo 8,179 (1956) [5] S.J.Dilworth,D.Kutzarova , and P.Wojtaszczyk, On Approximate l1 systems in Banach Spaces, J.Approx.Theory 114(2002),214-241. [6] M.Lohaj and N.Braha ,Some properties of µ approximate l1 sequences in Banach Spaces,Mat.Bilten.27(2003),8794. [7] S.J.Dilworth,D.Kutzarova ,On the optimality of a theorem of Elton on l1 n subsystems,Israel J .Math.124 (2001),215-220. 54
N. Braha
55
[8] T.Kato,Perturbation theory for linear operators,Springer -Verlag Berlin Heildelberg New York (1966). [9] D.W.Stroock,A concise Introduction to the Theory of Integration,Birkhauser,Boston-Berlin-Basel,1999. [10] N.Dunford,J.Schwartz,Linear operators part I, New York (1958). [11] N.Braha ,Characterization of the absolutely summing operators in a Banach spaces(ne botim ) [12] N.Braha ,Characterization of the adjoint absolutely summing operators in a Banach spaces(ne botim ) [13] L.V.Kantorovic,G.P.Akilov,Funkcionalnii Analiz,Moskva ,Nauka ,1984 [14] J.Diestel,H.Jarchow,A.Tonge ,Absolutely summing operators ,Cambrige University Press ,1995 [15] A.Pietsch ,Absolute p-summierende abbildungen in normierten raumen ,Studia Math .28,333-353(1967) [16] Dvoretzky.A,Rogers.C.A,Absolute and ditional convergence in normed linear ,Proc.Nat.Acad.Sci.(U.S.A) 36,192-197(1950)
unconspaces
[17] S.G.Delabriere,Classical sequences in Spaces,New York-Basel-Hong Kong,1992
Banach
[18] L.Yang,Unconditional basic sequences in Lp (µ) and its lp -stability,Pro.Math.Soc.127.(1999).455-464 [19] S.Kurepa,Funkcionalna Analiz,Zagreb,1980 [20] D.Mitra ,Two characterizations of the standard unit vectors in l1 ,arXiv:math.FA/00101128v1.
56 Vargjet perafruese dhe operatoret absolutisht te shumueshem ne hapesirat e Banach-ut
[21] A.Pelczynski ,Projections in certain Banach spaces .Studia Math.19,209-228(1960). [22] N.Braha ,Every bounded linear operator defined from l2 in Banach space X ,is 1-absolutely summing (ne botim ). [23] J.Lindenstrauss ,M.Zippin ,Banach spaces with a unique unconditional basis.J.Funct.Anal.3,115-125 (1969).
N. Braha
57
Biografia
Naim Braha u lind me 07.03.1970 ne Ferizaj .Shkollen fillore dhe te mesme e kreu ne vendlindje, ndersa studimet themelor i regjistroi ne FSHMN (Seksionin e Matematikes) ne Prishtine , me 1989 dhe i perfundoi me 1993 , me note mesatare 9.45. Ne vitin 1995 i regjistroi studimet pasuniversitare , ne lemin e Analizes Matematike ,ne seksionin e Matematikes te FSHMN -se ne Prishtine, te cilat i perfundoi ne vitin 2000 .Me sukses mbrojti punimin e magjistratures me titull ”Zbatimi i moduleve te pergjithsuara te lemueshmerise ne vertetimin e teoremave te Jackson-it”. Gjate viteve 2001 deri me 2003 ,ka marre pjese ne disa seminare te matematikes ne universitetet Europiane , ne Gjeneve ,Budapest , ne institutin e matematikes ”Alfred Renyi” dhe ne katedren e matematikes ne Universitetin e Jenes (Gjermani). Naim Braha ,¨esht¨e duke punuar ne Seksionin e Matematikes (FSHMN) ne Prishtine prej vitit 1994, ne fillim ne thirrje te asistentit per lendet Analize Matematike I,Analize Matematike II dhe Analize Matematike III. Prej vitit 2004 ¨esht¨e ligjerues per lendet Matematika per kimist¨e, Bazat e te dhenave dhe Bazat e punes me kompjuter.
