Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

KÌ THI KSCL HK II - NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN Ngày thi: 01/04/2017 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Mã đề thi 258

Họ, tên thí sinh:...................................... Số báo danh:........................................ Câu 1:

Gọi x0 là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình x 2 + x + 2 = 0 . Tìm số phức

z = x02 + 2 x0 + 3 . A. z = 1 + 7i .

B. z = −2 7i .

C. z =

1 + 7i . 2

−3 + 7i . 2

D. z =

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu. 5   5 5  A.  ; +∞  . B.  0;  . C. ( 0; +∞ ) . D.  ;4  . 2   2 4 

Câu 3:

Cho số thực m thoả mãn

e

sao đây ? A. −5 ≤ m ≤ 0 . Câu 4:

1 + m ln t dt = 0 , các giá trị tìm được của m thỏa mãn điều kiện nào t 1

∫

B. m ≥ −1 .

C. −6 < m < −4 .

D. m < −2 .

Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ a; b ] (với a < b ). Xét các mệnh đề sau: 1. Nếu f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) . 2. Nếu phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm x0 thì f ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 . 3. Nếu f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 2 . B. 0 .

C. 3 .

D. 1.

Câu 5:

Cho x , y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn 2 x = 3 y = 6− z . Tính giá trị biểu thức M = xy + yz + zx . A. M = 3 . B. M = 6 . C. M = 0 . D. M = 1 .

Câu 6:

Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện A. 3 .

Câu 7:

B.

D. 1.

C. 2 .

2.

−2 − 3i z +1 =1. 3 − 2i

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2; 4;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 . Tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I sao cho ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) theo một đường tròn có đường kính bằng 2 . 2

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 4 .

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 3 .

A. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z + 1) = 4 . C. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 3 . Câu 8:

2

2

2

2

2

2

2 . ( 2 x + 1) ln 5

D. y′ =

Tính đạo hàm của hàm số y = log 5 2 x + 1 ta được kết quả A. y′ =

1 . 2 x + 1 ln 5

B. y′ =

1 . ( 2 x + 1) ln 5

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

C. y′ =

2 . 2 x + 1 ln 5

Trang 1/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x +1 2x + m

đi qua điểm A (1;2 ) . A. m = −2 .

B. m = 2 .

C. m = 4 .

D. m = −4 .

Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx + ( m + 1) x − 2 nghịch biến

trên D = [ 2; +∞ ) . A. m ≥ 0 .

B. m ≤ −1 .

C. −2 ≤ m ≤ 1 .

D. m < −1 .

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây: y

1

−1 O

x

−3

−4

Phương trình f ( x ) = π có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt. A. 6 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 .

Câu 12: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + 1 có bảng biến thiên như sau: 0 x1 x2 x –∞ y′ 0 0 − − + −

+∞

y

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b > 0, c < 0 . B. b < 0, c > 0 .

C. b < 0, c < 0 .

D. b > 0, c > 0 .

x + 2 y −1 z − 2 = = . Viết 1 1 2 phương trình đường thẳng d ′ là hình chiếu của d lên mặt phẳng Oxy .  x = −3 + t  x = −3 + t   A. d ′ :  y = 1 + t , ( t ∈ ℝ ) . B. d ′ :  y = t , (t ∈ ℝ) . z = 0 z = 0  

Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d :

 x = −3 + t  C. d ′ :  y = −t , (t ∈ ℝ) . z = 0 

x = 3 − t  D. d ′ :  y = −t , ( t ∈ ℝ ) . z = 0  Câu 14: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 ,

(Q) : x − 2 y + z + 8 = 0

và ( R ) : x − 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt

phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) lần lượt tại A, B , C . Đặt T = A. min T = 54 3 2 .

B. min T = 108 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

AB 2 144 + . Tìm giá trị nhỏ nhất của T . 4 AC

C. min T = 72 3 3 .

D. min T = 96 . Trang 2/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ 0,3m

Câu 15: Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có chiều dài 30 m , thiết diện

thẳng của cống có diện tích để thoát nước là R

4 m 2 (gồm hai phần nửa hình tròn và hình chữ

C. 1,02 m .

D. 1,06 m .

h

nhật) như hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm như hình vẽ) được sử dụng vật liệu bê tông. Tính bán kính R (tính gần đúng với đơn vị m , sai số không quá 0,01 ) của nửa hình tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất? A. 1,15 m . B. 1,52 m . 0,3m

2R

0,3m

10 cm

Câu 16: Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu bằng và hình chiếu đứng).

6 cm 10 cm Hình vẽ 1

Hình vẽ 2

Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ 1m 2 bề mặt cần số tiền 150000 đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ 10000 chi tiết máy là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng). A. 48238 (nghìn đồng). B. 51238 (nghìn đồng). C. 51239 (nghìn đồng). D. 37102 (nghìn đồng). Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện đi qua trục là hình vuông. Tính thể tích V của khố i lăng trụ tứ giác đều nộ i tiếp hình trụ. A. V = 3R 3 .

B. V = 4 R 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

C. V = 2 R 3 .

D. V = 5 R 3 . Trang 3/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 18: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] (với a < b ) và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x )

trên [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b

A. ∫ k . f ( x ) dx = k  F ( b ) − F ( a )  . a a

B.

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . b

C. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b , đồ thị hàm số

y = f ( x ) và trục hoành được tính theo công thức S = F ( b ) − F ( a ) . b

D.

∫ f ( 2 x + 3) dx = F ( 2 x + 3)

b a

.

a

Câu 19: Gọi m0 là giá trị thực của tham số m để hàm số y =

x3 + mx 2 + ( m 2 − 1) x + 1 đạt cực trị tại 3

x0 = 1 , các giá trị của m0 tìm được sẽ thoả mãn điều kiện nào sau đây? A. m0 ≥ 0 .

B. m0 < −1 .

C. m0 ≤ 0 .

D. −1 < m0 < 3 .

y

Câu 20: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

3 ( x + 1) . x−2 3 ( x − 1) C. y = . x−2

2 ( x + 1) . x−2 2 ( x − 1) D. y = . x−2

A. y =

3

B. y =

−1 3 O 2 − 2

x

Câu 21: Cho a, b, x là cá c số thực dương và khá c 1 và cá c mênh ̣ đề

Mênh ̣ đề (I) : log a x b = log a x . b

 ab  log b a + 1 − log b x . = log b a  x 

Mênh ̣ đề (II) : log a 

Khẳ ng đinh ̣ nà o dưới đây là đú ng? A. (II) đú ng, (I) sai. C. (I), (II) đề u sai.

B. (I) đú ng, (II) sai. D. (I), (II) đề u đú ng.

Câu 22: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz , cho hai đường thẳ ng d1 :

x −1 y + 3 z + 3 = = và 1 −2 −3

 x = 3t  d 2 :  y = −1 + 2t , ( t ∈ ℝ ) . Mênh ̣ đề nà o dưới đây đú ng ? z = 0  A. d1 song song d 2 .

B. d1 ché o d 2 .

C. d1 cắ t và vuông gó c với d 2 .

D. d1 cắ t và không vuông gó c với d 2 .

3 2 3 Câu 23: Tım ̀ tấ t cả giá trị thực củ a tham số m sao cho đồ thi ̣ ( Cm ) : y = x + 3mx − m cắ t đường thẳ ng

d : y = m3 x + 2m3 taị ba điể m phân biêṭ có hoà nh đô ̣ x1 , x2 , x3 thoả mãn x14 + x24 + x34 = 83 . A. m = −1; m = 1. B. m = −1. C. m = 1. D. m = 2. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 4/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ x = 1− t  , Câu 24: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz , cho điể m M (1; 2;3 ) và đường thẳ ng ∆ :  y = t  z = −1 − 4t 

( t ∈ ℝ ) . Viế t phương trıǹ h đường thẳ ng đi qua x +1 y + 2 z + 3 = = . −1 1 −4 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . 1 1 4

A.

M và song song với đường thẳ ng ∆ . x −1 y + 2 z − 3 = = . −2 2 −8 x y − 3 z +1 D. = = . 1 −1 4

B.

Câu 25: Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a môṭ hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ là S = 8a 2 . Đá y củ a nó là hıǹ h vuông canh ̣ a. Tıń h thể tıć h V củ a khố i hôp̣ theo a . 3 7 A. V = a 3 . B. V = 3a 3. C. V = a 3 . D. V = a 3 . 2 4 Câu 26: Goị x1 , x2 là 2 nghiêm ̣ củ a phương trıǹ h 5 x−1 + 5.0, 2 x −2 = 26 . Tıń h S = x1 + x2 A. S = 2. B. S = 1. C. S = 3. D. S = 4. Câu 27: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz cho 4 điể m M (1; 2;3 ) , N ( −1; 0; 4 ) , P ( 2; −3;1) , Q ( 2;1; 2 ) . Căp̣ véctơ nà o sau đây là vé ctơ cù ng phương?       A. OM và NP . B. MP và NQ . C. MQ và NP .

  D. MN và PQ .

Câu 28: Trên quả điạ cầ u, vı ̃ tuyế n 30 đô ̣ Bắ c chia khố i cầ u thà nh 2 phầ n. Tıń h tı̉ số thể tıć h giữa phầ n lớn và phầ n bé củ a khố i cầ u đó . 24 27 9 27 A. . B. . C. . D. . 5 5 8 8 1

Câu 29: Biế t

∫x 0

2

3x − 1 a 5 a dx = 3ln − trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số tố i giả n. + 6x + 9 b 6 b

Tıń h ab ta đươc̣ kế t quả A. ab = −5. B. ab = 27.

C. ab = 6.

D. ab = 12.

Câu 30: Tıń h thể tıć h V củ a khố i lâp̣ phương. Biế t khố i cầ u ngoaị tiế p môṭ hıǹ h lâp̣ phương có thể tıć h 4 là π . 3 8 3 8 A. V = 1. B. V = . C. V = . D. V = 2 2. 9 3

π  Câu 31: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn các điều kiện f ′ ( x ) = 2 + cos 2 x và f   = 2π . Mệnh đề nào 2 dưới đây sai? sin 2 x A. f ( 0 ) = π . B. f ( x ) = 2 x + +π . 2 sin 2 x  π C. f ( x ) = 2 x − +π . D. f  −  = 0 . 2  2 Câu 32: Cho các điểm A, B, C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i , 1 − 7i . Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây? A. z = −2 − 8i . B. z = 4 − 6i . C. z = 4 + 6i . D. z = 2 + 8i . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 5/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 33: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) .

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ, Oxyz cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B (1; −1;3) , C (1; −1; −1) và

mặt phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 15 = 0 . Gọi M ( xM ; yM ; z M ) là điểm trên mặt phẳng ( P ) sao cho 2MA2 − MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = xM − yM + 3 zM . A. T = 5 . C. T = 4 . Câu 35: Cho hàm số y = log

B. T = 3 . D. T = 6 . 3

x . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục Oy . D. Hàm số đã cho có tập xác định D = ℝ \ {0} . Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBC đều cạnh a , góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và đáy là 30° . Thể tích khố i chóp S . ABC là

a3 3 A. V = . 16

a3 3 B. V = . 24

a3 3 C. V = . 32

3a 3 D. V = . 64

Câu 37: Cho số phức z = 1 + 3i . Tính môđun của số phức w = z 2 − i.z . A. w = 146 .

B. w = 5 2 .

C. w = 50 .

D. w = 10 .

Câu 38: Cho khố i lăng trụ ABC . A′B′C ′ có thể tích V , điểm P thuộc cạnh AA′ , Q thuộc BB′ sao cho PA QB′ 1 = = ; R là trung điểm CC ′ . Tính thể tích khố i chóp tứ giác R. ABQP theo V . PA′ QB 3 2 1 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 4 2 Câu 39: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z + z = 2 và z = 2 ? A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 1 .

Câu 40: Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . Diện tích S của tam giác ABC bằng A. S = 2 . B. S = 3 . C. S = 4 . D. S = 1 . Câu 41: Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB = AD = BC = a, CD = 2a. Tính thể tích khố i tròn xoay tạo được khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB. A.

5 3 πa . 4

B.

3− 2 2 3 πa . 3

C. π a 3 .

D.

5 3 πa . 2

Câu 42: Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện đều cạnh a. A. R =

a 3 . 2

B. R = a 2.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

C. R =

a 2 . 2

D. R = a. Trang 6/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 43: Cho phương trình log 5 ( x 3 + 2 ) + log 1 ( x 2 − 6 ) = 0 (1) . Mệnh đề nào dưới đây sai? 5

x + 2 > 0 A. (1) ⇔  x 2 − 6 > 0 .  x3 − x 2 + 8 = 0

3 B. (1) ⇔  x3 + 2 2> 0 . x − x + 8 = 0

2 C. (1) ⇔  x3 − 6 2> 0 . x − x + 8 = 0

 x3 + 2 x2 − 6) > 0 D. (1) ⇔ ( 3 2 )( . x − x + 8 = 0

3

Câu 44: Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Số phức z = 5 − 3i có phần thực là 5 , phần ảo −3. B. Điểm M ( −1;2 ) là điểm biểu diễn số phức z = −1 + 2i. C. Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là a 2 + b 2 . D. Số phức z = 2i là số thuần ảo. Câu 45:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = 4 − x và trục Ox được tính bởi công thức 4

A.

∫

2 x dx + ∫ ( 4 − x ) dx.

0

B.

∫(

∫ 2

)

D.

2 x − 4 + x dx.

0

4

2 xdx + ∫ ( 4 − x ) dx.

0

0

4

C.

2

4

∫ (4 − x −

2

)

2 x dx.

0

Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; − 2; 2 ) . Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua A và cắt tia Oz tại điểm B sao cho OB = 2OA . x y z−6 x y z−4 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 −2 −4 −1 2 2 x +1 y z − 6 x y z+6 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . −1 2 4 −1 2 4 Câu 47: Biết

xa

x A. 18 .

2

b2

= x16

( x > 1)

và a + b = 2 . Tính giá trị của biểu thức M = a − b . B. 14 .

C. 8 .

D. 16 .

Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.e x .

∫ f ( x ) dx = x + e + 1 + C . C. ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) e + C . A.

∫ f ( x ) dx = ( x + 1) e + C . D. ∫ f ( x ) dx = x (1 + e ) + C . B.

x

x

x

x

Câu 49: Bất phương trình ln ( 2 x + 3) ≥ ln ( 2017 − 4 x ) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 170 .

B. 169 .

C. Vô số.

D. 168 .

Câu 50: Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015 − 2021 ( 6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1 ” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01% ). A. 1,13% .

B. 1,72% .

C. 2,02% .

D. 1,85% .

----------HẾT---------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 7/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C D A D C C B C A B A A B A B C B A C A D D A D A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D C B D B C B B A D A A B D D A C D C B A C C B D HƯỚNG DẪ N GIẢ I Câu 1:

Gọi x0 là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình x 2 + x + 2 = 0 . Tìm số phức z = x02 + 2 x0 + 3 . A. z = 1 + 7i .

B. z = −2 7i .

1 + 7i . 2 Hướng dẫn giả i C. z =

D. z =

−3 + 7i . 2

Chọn C.  1 x = − + 2 Ta có Ta có: x 2 + x + 2 = 0 ⇔   1 x = − −  2

7 i 2 . 7 i 2

1 7 i. Vì x0 là nghiệm phức có phần ảo là số dương nên x0 = − + 2 2 2

 1  1 7  7  1 7 Vậy z = x + 2 x0 + 3 =  − + i  + 2  − + i  + 3 = + i. 2 2  2 2   2 2  2 0

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu. 5   5 5  A.  ; +∞  . B.  0;  . C. ( 0; +∞ ) . D.  ; 4  . 2   2 2  Hướng dẫn giả i Chọn D. Ta có 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 ⇔ 22 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 (1) . Đặt t = 2 x , t > 0 . Phương trình (1) trở thành t 2 − mt + 2m − 5 = 0 ( 2 ) .

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi chỉ khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2 . ∆ > 0  b  m 2 − 4 ( 2m − 5 ) > 0 − > 0   a m > 0 ⇔ ⇔ c > 0  2m − 5 > 0 a t − t t + t − 1 > 0 2 12 1 ( t − 1)(1 − t ) > 0 1  2

5  5  5 m > m > 2 ⇔ ⇔ ⇔ < m < 4. 2 2  − m + 4 > 0  m − ( 2m − 5 ) − 1 > 0

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 8/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ e

Câu 3:

Cho số thực m thoả mãn sao đây? A. −5 ≤ m ≤ 0 .

1 + m ln t dt = 0 , các giá trị tìm được của m thỏa mãn điều kiện nào t 1

∫

B. m ≥ −1 .

C. −6 < m < −4 . Hướng dẫn giả i

D. m < −2 .

Chọn A. e e e 1 + m ln t ′ Ta có ∫ dt = ∫ (1 + m ln t )( ln t ) dt = ∫ (1 + m ln t ) d ( ln t ) t 1 1 1 e

 ln 2 t  m =  ln t + m  = 1+ . 2 1 2  e

Khi đó

1 + m ln t m dt = 0 ⇔ 1 + = 0 ⇔ m = − 2 . t 2 1

∫

Vậy −5 ≤ m ≤ 0 . Câu 4:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ a; b ] (với a < b ). Xét các mệnh đề sau: 1. Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) . 2. Nếu phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm x0 thì f ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 . 3. Nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 2 . B. 0 . C. 3 . Hướng dẫn giả i Chọn D. 1. Đúng.

D. 1.

x3 2. Sai, ví dụ: Xét hàm số y = f ( x ) = − x 2 + x − 5 . 3 2 Ta có f ′ ( x ) = x − 2 x + 1 . Cho f ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 1 ⇔ x = 1 . Khi đó phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm x0 = 1 nhưng đây là nghiệm kép nên không đổ i dấu

khi qua x0 = 1 . 3. Sai, vì: Thiếu điều kiện f ′ ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Vậy có 1 mệnh đề đúng. Câu 5:

Cho x , y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn 2 x = 3 y = 6− z . Tính giá trị biểu thức M = xy + yz + zx . A. M = 3 . B. M = 6 . C. M = 0 . D. M = 1 . Hướng dẫn giả i Chọn C. x ln 2 x x ln 2 Ta có 2 x = 3 y ⇒ y = ; 2 = 6− z ⇒ z = − . ln 3 ln 6  ln 2 ln 2 2 ln 2  Xét M = xy + yz + zx = x 2  − −   ln 3 ln 3.ln 6 ln 6 

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 9/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/  ln 2.ln 6 − ln 2 2 − ln 2.ln 3  =x   ln 3.ln 6   2

= x2 ⋅ Câu 6:

ln 2 ( ln 6 − ln 2 − ln 3) = 0. ln 3.ln 6

Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện

−2 − 3i z +1 = 1 . 3 − 2i

A. 3 .

D. 1.

B.

C. 2 .

2.

Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ )

Ta có:

−2 − 3i 2 z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ z + i = 1 ⇔ x 2 + ( y + 1) = 1 . 3 − 2i

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 0; −1) , bán kính R = 1 . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , ta có IM = 1 . Ta có: z = OM ≤ OI + IM ≤ 2 . Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2;4;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 . Tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I sao cho ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) theo một đường tròn có đường kính bằng 2 . 2

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 4 .

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 3 .

A. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z + 1) = 4 . C. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 3 .

2

2

2

2

2

2

2 . ( 2 x + 1) ln 5

D. y′ =

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có: d ( I , ( P ) ) =

2 + 4 +1− 4

= 3. 12 + 12 + 12 Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: R 2 = 3 + 1 = 4 2

2

2

⇒ ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 4

Câu 8:

Tính đạo hàm của hàm số y = log 5 2 x + 1 ta được kết quả A. y′ =

1 . 2 x + 1 ln 5

B. y′ =

1 . ( 2 x + 1) ln 5

C. y′ =

2 . 2 x + 1 ln 5

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có: y′ = Câu 9:

2 ( 2 x + 1) ln 5

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x +1 2x + m

đi qua điểm A (1;2 ) . A. m = −2 .

B. m = 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

C. m = 4 .

D. m = −4 . Trang 10/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Hướng dẫn giải Chọn A.  m Tập xác định D = ℝ \ −  . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi m ≠ 2 .  2 m Phương trình tiệm cận đứng: ( d ) : x = − . 2 m Yêu cầu bài toán ⇒ − = 1 ⇒ m = −2 ( thoả mãn). 2

Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx + ( m + 1) x − 2 nghịch biến

trên D = [ 2; +∞ ) . A. m ≥ 0 . C. −2 ≤ m ≤ 1 .

B. m ≤ −1 . D. m < −1 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

m +1 , y ′ xác định trên khoảng ( 2; +∞ ) . 2 x −2 1 nhận mọi giá trị trên ( 0;+∞ ) . Nhận xét: khi x nhận giá trị trên ( 2; +∞ ) thì 2 x−2 1 ) Yêu cầu bài toán ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ ( m + 1) t + m ≤ 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) (đặt t = 2 x−2

Ta có: y = mx + ( m + 1) x − 2 ⇒ y ′ = m +

m + 1 ≤ 0 ⇔ ⇔ m ≤ −1 . m + ( m + 1) ⋅ 0 ≤ 0 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

y

Phương trình f ( x ) = π có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt. A. 6 . C. 3 .

B. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải

Chọn A

1

−1 O

x

−3

−4

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 11/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = π cũng là số giao điểm của đường thẳng y = π và đồ thị hàm số y = f ( x ) . Dựa vào đồ thị ta có số giao điểm là 6 . Câu 12: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + 1 có bảng biến thiên như sau:

x y′

–∞

0 −

−

x1 0

+

x2 0

+∞ −

y

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b > 0, c < 0 . B. b < 0, c > 0 .

C. b < 0, c < 0 .

D. b > 0, c > 0 .

Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình y ′ = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

dương  b 2 − 3ac > 0  2b  ⇒  x1 + x2 = − > 0 và hệ số a < 0 do lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = −∞ x →+∞ 3 a  c   x1 .x2 = a > 0 Từ đó suy ra c < 0, b > 0 x + 2 y −1 z − 2 = = . Viết phương 1 1 2 trình đường thẳng d ′ là hình chiếu của d lên mặt phẳng Oxy .

Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d :

 x = −3 + t  A. d ′ :  y = 1 + t , ( t ∈ ℝ ) . z = 0 

 x = −3 + t  B. d ′ :  y = t , (t ∈ ℝ ) . z = 0 

 x = −3 + t  C. d ′ :  y = −t , ( t ∈ ℝ ) . z = 0 

x = 3 − t  D. d ′ :  y = −t , ( t ∈ ℝ ) . z = 0  Hướng dẫn giải

Chọn B

 x = −2 + t  Phương trình tham số của d :  y = 1 + t  z = 2 + 2t   x = −2 + t  Hình chiếu của d lên mặt phẳng ( Oxy ) (có phương trình z = 0 ) là ∆ :  y = 1 + t z = 0  Nhận xét d ′ ở đáp án B có vectơ chỉ phương cùng phương với VTCP của ∆ và có 1 điểm chung với ∆ ⇒ d ′ ≡ ∆ . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 12/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 14: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba mặt phẳng

(Q ) : x − 2 y + z + 8 = 0

và

(R) : x − 2y + z − 4 = 0 .

phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) lần lượt tại A, B, C . Đặt T = A. min T = 54 3 2 .

( P ) : x − 2 y + z −1 = 0 ,

Một đường thẳng d thay đổ i cắt ba mặt AB 2 144 + . Tìm giá trị nhỏ nhất của T . 4 AC

B. min T = 108 . C. min T = 72 3 3 . Hướng dẫn giải

D. min T = 96 .

Chọn A.

Ta có ( P ) // ( Q ) // ( R ) và

T=

AB d ( ( P ) , ( Q ) ) = =3 AC d ( ( P ) , ( R ) )

AB 2 144 AB 2 72 72 AB 2 72.72 + = + + ≥ 33 ⋅ = 54 3 2 . 4 AC 4 AC AC AC 2 4

Câu 15: Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có chiều dài 30 m , thiết diệ n

thẳng của cống có diện tích để thoát nước là 4 m 2 (gồm hai phần nửa hình tròn và hình chữ nhật) như hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm như hình vẽ) được sử dụng vật liệu bê tông. Tính bán kính R (tính gần đúng với đơn vị m , sai số không quá 0,01 ) của nửa hình tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất? A. 1,15 m . B. 1,52 m . C. 1, 02 m .

D. 1, 06 m . 0,3m

Hướng dẫn giải Chọn B

2

1  π R2  2 π R 4 −  = − 2R  2  R 4

P = 2 R + 2h + π R = 2 R + P′ = 2 −

4 πR + R 2

h

⇔h=

π R2 R

ta có S = 4 = 2 Rh +

4 π + R2 2

P' = 0 ⇔ R =

8 4+π

0,3m

2R

0,3m

Bán kính R ≈ 1,52 ( m ) . Câu 16: Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu bằng và hình chiếu đứng).

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 13/28 – Mã đề 258

10 cm

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

6 cm 10 cm Hình vẽ 1 Hình vẽ 2 Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ 1m 2 bề mặt cần số tiền 150000 đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ 10000 chi tiết máy là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng). A. 48238 (nghìn đồng). B. 51238 (nghìn đồng). C. 51239 (nghìn đồng). D. 37102 (nghìn đồng). Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích nửa hình trụ trong và ngoài của chi tiết. S3 , S 4 là diện tích hình vành khăn và diện tích bề mặt trước của chi tiết. Ta có: S1 = π R1l = π .3.10 = 30π , S 2 = π R2 l = π .5.10 = 50π , S3 = π R22 − π R12 = 16π , S 4 = 2.10.2 = 40 . Khi đó, diện tích bề mặt của một chi tiết máy là S = 96π + 40 ( cm 2 ) Số tiền nhỏ nhất cần dùng để mạ 10000 chi tiết máy là:

96π + 40 ⋅150000 ⋅ 10000 ≈ 51238934 ( 10000

đồng). Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện đi qua trục là hình vuông. Tính thể tích V của khố i lăng trụ tứ giác đều nộ i tiếp hình trụ. A. V = 3R3 . B. V = 4 R3 . C. V = 2 R3 . D. V = 5R 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 14/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ B C

O R

A

D 2R B' A'

C'

O' D'

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên đường sinh của hình trụ là: l = 2 R = h . Do lăng trụ tứ giác đều nộ i tiếp hình trụ, nên đáy của lăng trụ là hình vuông có đường chéo:

(

AC = 2 R = AB 2 ⇒ AB = R 2 ⇒ VLT = Bh = R 2

)

2

2 R = 4 R3 .

Câu 18: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] (với a < b ) và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x )

trên [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b

A. ∫ k . f ( x ) dx = k  F ( b ) − F ( a )  . a a

B.

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . b

C. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b , đồ thị hàm số

y = f ( x ) và trục hoành được tính theo công thức S = F ( b ) − F ( a ) . b

D.

∫ f ( 2 x + 3 ) dx = F ( 2 x + 3 )

b a

.

a

Hướng dẫn giải Chọn A a

Ta có ∫ f ( x ) dx = −  F (b) − F ( a )  ⇒ B sai. b b

Diện tích S = ∫ f ( x ) dx ⇒ C sai. a b

1

∫ f ( 2 x + 3) dx = 2 F ( 2 x + 3)

b a

⇒ D sai.

a

b

Theo tính chất của tích phân ∫ k . f ( x ) dx = k  F ( b ) − F ( a )  ⇒ A đúng. a

Câu 19: Gọi m0 là giá trị thực của tham số m để hàm số y =

x3 + mx 2 + ( m2 − 1) x + 1 đạt cực trị tại 3

x0 = 1 , các giá trị của m0 tìm được sẽ thoả mãn điều kiện nào sau đây? A. m0 ≥ 0 .

B. m0 < −1 .

C. m0 ≤ 0 .

D. −1 < m0 < 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 15/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Hướng dẫn giải Chọn C

 y′ ( x0 ) • Để hàm số y ( x ) đạt cực trị tại x 0 = 1 ⇔   y′ ( x0 ) ®æi dÊu qua x0 TXĐ: R . y′ ( x ) = x 2 + 2mx + ( m2 − 1) m = 0 y (1) = m 2 + 2m = 0 ⇔   m = −2 x =1  x = −1

+) Với m = 0 , ta có y′ = x 2 − 1 = 0 ⇔  Khi đó ta có x −∞ y′

−1 0 2 3

+

y

−

1 0

+∞ + +∞

2 − 3

−∞

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên m = 0 thỏa mãn.

x = 1 x = 3

+) Với m = −2 , ta có y′ = x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  Khi đó ta có x −∞ y′

1 0 7 3

+

y

−

3 0

+∞ + +∞

1

−∞

y

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên m = −2 thỏa mãn. Suy ra m0 ≤ 0 . Câu 20: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

3 ( x + 1) . x−2 3 ( x − 1) C. y = . x−2

2 ( x + 1) . x−2 2 ( x − 1) D. y = . x−2

A. y =

3

B. y =

−1 3 O 2 − 2

x

Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận ngang y = 3 , tiệm cận đứng x = 2 ⇒ loại đáp án B, D .

 

3 2

Đồ thị hàm số đi qua điểm  0; −  . Câu 21: Cho a, b, x là cá c số thực dương và khá c 1 và cá c mênh ̣ đề : b Mênh ̣ đề (I) : log a x = log a x b

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

 ab  logb a + 1 − log b x . = logb a  x 

Mênh ̣ đề (II) : log a 

Trang 16/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Khẳ ng đinh ̣ nà o dưới đây là đú ng ? A. (II) đú ng, (I) sai. B. (I) đú ng, (II) sai. C. (I), (II) đề u sai. Hướng dẫn giải Chọn D

D. (I), (II) đề u đú ng.

1 log a x b = b.log a x = log a x ⇒ (I) đúng. b  ab  log b    ab   x  = log b a + log b b − log b x = log b a + 1 − log b x ⇒ (II) đung. log a   = ́ log b a log b a log b a  x  b

Câu 22: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz , cho hai đường thẳ ng d1 :

x −1 y + 3 z + 3 = = và 1 −2 −3

 x = 3t  d2 :  y = −1 + 2t , ( t ∈ ℝ ) . Mênh ̣ đề nà o dưới đây đú ng ? z = 0  A. d1 song song d 2 .

B. d1 ché o d 2 . D. d1 cắ t và không vuông gó c với d 2 .

C. d1 cắ t và vuông gó c với d 2 .

Hướng dẫn giải Chọn D t ′ + 1 = 3t  Xét hệ phương trình −2t ′ − 3 = −1 + 2t  −3t ′ − 3 = 0

(1) ( 2) ( 3)

t ′ = −1 Từ (1) và ( 2 ) ta được:  . Thay vào ( 3) đúng. Vậy d1 cắ t d 2 . t = 0  Có u1 = (1; −2; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 .  u2 = ( 3; 2; 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d 2 .   ⇒ u1 ⋅ u2 = 3 − 4 + 0 = −1 ⇒ d1 không vuông gó c với d 2 . 3 2 3 Câu 23: Tım ̀ tấ t cả giá trị thực củ a tham số m sao cho đồ thi ̣ ( Cm ) : y = x + 3mx − m cắ t đường thẳ ng

d : y = m 2 x + 2m3 taị ba điể m phân biêṭ có hoà nh đô ̣ x1 , x2 , x3 thoả mãn x14 + x24 + x34 = 83 . A. m = −1; m = 1. B. m = −1. C. m = 1. D. m = 2. Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và d : x 3 + 3mx 2 − m 3 = m 2 x + 2m3 (1) ⇔ x 3 + 3mx 2 − m 2 x − 3m3 = 0 ⇔ x ( x 2 − m 2 ) + 3m ( x 2 − m 2 ) = 0 ⇔ ( x 2 − m 2 ) ( x + 3m ) = 0

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 17/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

x = m ⇔  x = −m  x = −3m

( Cm )

cắt d tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔m≠0 4

Khi đó, x14 + x24 + x34 = 83 ⇔ m 4 + m 4 + ( 3m ) = 83 ⇔ 83m 4 = 83 ⇔ m = ±1 . [Phương pháp trắc nghiệm]

Thay

m = 1 ta được phương trình:

 x = −3 x + 3x − x − 3 = 0 ⇔  x = 1  x = −1 3

2

(thỏa điều kiện

x14 + x24 + x34 = 83 )

Thay m = −1 ta được phương trình:

x = 3 (thỏa điều kiện x − 3 x − x + 3 = 0 ⇔  x = 1  x = −1 3

2

x14 + x24 + x34 = 83 )

x = 1− t  Câu 24: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz , cho điể m M (1; 2;3) và đường thẳ ng ∆ :  y = t ,  z = −1 − 4t 

( t ∈ ℝ ) . Viế t phương trıǹ h đường thẳ ng đi qua x +1 y + 2 z + 3 = = . −1 1 −4 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . 1 1 4

A.

M và song song với đường thẳ ng ∆ .

x −1 y + 2 z − 3 = = . −2 2 −8 x y − 3 z +1 D. = = . 1 −1 4 Hướng dẫn giải

B.

Chọn D

 Đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳ ng ∆ nên nhận u∆ = ( −1;1; −4 ) làm vectơ chỉ phương. x −1 y − 2 z − 3 Phương trình chính tắc: = = 1 −1 4 −1 3 − 2 −1 − 3 Với B ( 0;3; −1) có: = = = −1 . Nên đường thẳng đã cho có phương trình chính 1 −1 4 x y − 3 z +1 tắc nữa là: = = . 1 −1 4 Câu 25: Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a môṭ hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ là S = 8a 2 . Đá y củ a nó là hıǹ h vuông canh ̣ a. Tıń h thể tıć h V củ a khố i hôp̣ theo a . 3 7 A. V = a 3 . B. V = 3a 3 . C. V = a 3 . D. V = a 3 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi chiều cao của hình hộp chữ nhật là b . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 18/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ 3 a 2 3 3 Vậy thể tích của khố i hộp: V = S đáy .b = a 2 ⋅ a = a3 . 2 2

Stp = S2 đáy + S4 mat bên = 2a 2 + 4ab = 8a 2 ⇔ b =

Câu 26: Goị x1 , x2 là 2 nghiêm ̣ củ a phương trıǹ h 5 x−1 + 5.0, 2 x − 2 = 26 . Tıń h S = x1 + x2 . A. S = 2. B. S = 1. C. S = 3. D. S = 4. Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 1 5 x−1 + 5.0, 2 x −2 = 26 ⇔ 5 x −1 + 5. x −2 = 26 ⇔ ( 5x ) − 26.5x + 125 = 0 . 5 5 75 Ta có S = x1 + x2 ⇒ 5S = 5 x1 + x2 = 5x1 .5 x2 = = 375 ⇒ S = log 5 375 = 4 . 1 5 Câu 27: Trong không gian với hê ̣ toa ̣ đô ̣ Oxyz cho 4 điể m M (1; 2;3) , N ( −1;0; 4 ) , P ( 2; −3;1) ,

Q ( 2;1;2 ) . Căp̣ véctơ nà o sau đây là vé ctơ cù ng phương ?         A. OM và NP . B. MP và NQ . C. MQ và NP . D. MN và PQ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có      OM = (1; 2;3) , NP = ( 3; −3; −3) ; MP = (1; −5; −2 ) , NQ = ( 3;1; −2 ) ; MQ = (1; −1; −1) ;   MN = ( −2; −2;1) , PQ = ( 0; 4;1)   1 −1 −1 = Xét đáp án C ta thấy = ⇒ MQ và NP cùng phương. 3 −3 −3 Câu 28: Trên quả điạ cầ u, vı ̃ tuyế n 30 đô ̣ Bắ c chia khố i cầ u thà nh 2 phầ n. Tıń h tı̉ số thể tıć h giữa phầ n lớn và phầ n bé củ a khố i cầ u đó . 24 27 9 27 A. . B. . C. . D. . 5 5 8 8 Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích chỏm cầu: Tại điểm có hoành độ x ∈ [ R − h; R ] dựng mặt phẳng (α ) y

vuông góc Ox cắt mặt cầu ( O, R ) theo một đường tròn có bán kính rx . rx

Gọi S ( x ) là diện tích hình tròn này. Thể tích khố i chỏ m cầu có chiều cao h của khối cầu bán kính R là : R

Vc hom cau =

R

∫ S ( x ) dx = ∫ π ( r ) x

R −h

2

R

dx =

R− h

∫ π (R

2

-R

R

O R-h

x

x

− x 2 ) dx

R −h

R

 x3  h  = π  R2 x −  = π h2  R −  3  R−h 3  

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 19/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Áp dụng bài toán: ta có h = IC =

π 5 R3 R . Vậy Vc hom .cau = . 2 24

4 5π R 3 π R3 − 24 = 27 Vậy t ỉ số là: 3 3 5 5π R 24 1

Câu 29: Biế t

∫x

2

0

a 3x − 1 a 5 là phân số tố i dx = 3ln − , trong đó a, b là hai số nguyên dương và b + 6x + 9 b 6

giả n. Tıń h ab ta đươc̣ kế t quả . A. ab = −5. B. ab = 27.

C. ab = 6. Hướng dẫn giải

D. ab = 12.

Chọn D 1

1

3x − 1 3x − 1 ∫0 x 2 + 6 x + 9 dx = ∫0 ( x + 3)2 dx Đặt t = x + 3 ⇒ dt = dx; x = t − 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 4 1

Khi đó: K = ∫ 0

3x − 1

( x + 3)

= 3ln 4 − 3ln 3 −

4

4 3 ( t − 3) − 1 10  4  3 10   dt =  − 2  dt =  3ln t +  3 2 ∫ t t t  t   3 3

dx = ∫ 2

5 4 5 = 3ln − ⇒ a = 4, b = 3 ⇒ a.b = 12 . 6 3 6

Câu 30: Tıń h thể tıć h V củ a khố i lâp̣ phương. Biế t khố i cầ u ngoaị tiế p môṭ hıǹ h lâp̣ phương có thể tıć h 4 là π . 3 A. V = 1.

B. V =

8 3 8 . C. V = . 9 3 Hướng dẫn giải

D. V = 2 2.

Chọn B Kết quả: Mặt cầu ngoại tiếp hın ̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t (hın ̀ h lâ ̣p phương) có: Tâm: trù ng với tâm đố i xứng củ a hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương). Tâm I là trung điể m củ a AC ′ . AC ′ Bá n kı́nh: bằ ng nửa đô ̣ dà i đường ché o hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương) ⇒ R = . 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 20/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Áp dụng: khố i cầ u ngoaị tiế p môṭ hıǹ h lâp̣ phương có thể tıć h 4 là π 3 AC ′ 4 4 ⇒ π R3 = π ⇒ R = 1 ⇒ = 1 ⇒ AC ′ = 2 3 3 2

D'

A'

B'

C'

⇒ AA′2 + AC 2 = 2

I

⇔ AA′2 + 2 AA′2 = 2 ⇒ AA′ =

2 3

A

.

D

3

⇒ VLP

O

 2  8 3 =  = 9  3

B

C

π  Câu 31: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn các điều kiện f ′ ( x ) = 2 + cos 2 x và f   = 2π . Mệnh đề nào 2 dưới đây sai? sin 2 x A. f ( 0 ) = π . B. f ( x ) = 2 x + +π . 2 sin 2 x  π C. f ( x ) = 2 x − +π . D. f  −  = 0 . 2  2 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2 x Ta có: f ( x ) = 2 x − + π ⇒ f ′( x) = 2 − 2 cos 2 x không thỏa mãn. 2

Câu 32: Cho các điểm A, B, C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i ,

1 − 7i . Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây? A. z = −2 − 8i . B. z = 4 − 6i . C. z = 4 + 6i . D. z = 2 + 8i . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: A(1;3) , B (−2; 2) , C (1; −7) . Gọi D ( xD ; yD ) .

   x −1 = 3 Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC ⇔  D ⇒ D (4, −6)  y D − 3 = −9 Câu 33: Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y′ = 3x2 − 6 x ; y ′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2

Bảng biến thiên: x −∞ y′

+

0 0 −1

−

2 0

+∞ + +∞

y

−∞ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

−5 Trang 21/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Hàm nghịch biến trên ( 0;1) . Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; 0 ) , B (1; −1;3) , C (1; −1; −1) và

mặt phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 15 = 0 . Gọi M ( xM ; yM ; zM ) là điểm trên mặt phẳng ( P ) sao cho 2MA2 − MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = xM − yM + 3zM .

A. T = 5 .

B. T = 3 . C. T = 4 . Hướng dẫn giải:

D. T = 6 .

Chọn A.

    Gọi I ( x; y; z ) là điểm thỏa mãn 2 IA − IB + IC = 0. 2 (1 − x ) − (1 − x ) + (1 − x ) = 0 x = 1       Khi đó 2 IA − IB + IC = 0 ⇔ 2 ( 2 − y ) − ( −1 − y ) + ( −1 − y ) = 0 ⇔  y = 2 ⇒ I (1; 2; −2 ) .   z = −2  2 ( 0 − z ) − ( 3 − z ) + ( −1 − z ) = 0   2   2   2 2MA2 − MB 2 + MC 2 = 2 MI + IA − MI + IB + MI + IC     = 2 MI 2 + 2 IA2 − IB 2 + IC 2 + 2 MI . 2 IA − IB + IC = 2MI 2 + 2 IA2 − IB 2 + IC 2

(

) (

) (

)

(

2

2

2

)

2

Do đó 2MA − MB + MC nhỏ nhất ⇔ 2MI nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của I lên ( P ) .  Gọi ∆ là đường thẳng qua qua I (1; 2; −2 ) và nhận nP = ( 3; −3; 2 ) là một vectơ chỉ phương.  x = 1 + 3t  Phương trình tham số ∆ :  y = 2 − 3t ⇒ M (1 + 3 t; 2 − 3 t; −2 + 2 t ) .  z = −2 + 2t 

Điểm M ∈ ( P ) ⇒ 3 (1 + 3t ) − 3 ( 2 − 3t ) + 2(−2 + 2t ) − 15 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M ( 4; −1; 0 ) .

Vậy T = xM − yM + 3zM = 5 . Câu 35: Cho hàm số y = log

3

x . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục Oy . D. Hàm số đã cho có tập xác định D = ℝ \ {0} . Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: x > 0 nên TXĐ D = ( 0; +∞ ) . Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBC đều cạnh a , góc

giữa mặt phẳng ( SBC ) và đáy là 30° . Thể tích khố i chóp S . ABC là A. V =

a3 3 . 16

B. V =

a3 3 . 24

C. V =

a3 3 . 32

D. V =

3a 3 . 64 Hướng dẫn giải

Chọn A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 22/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Vì tam giác SBC đều nên suy ra AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC thì AM ⊥ BC . Mà BC ⊥ SA nên BC ⊥ SM .  = 300 Do đó: ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA

S

a

3 . Vì tam giác SBC đều nên SM = a 2

 3 0 SA = SM .sin 30 = a 4 Xét tam giác vuông SAM , ta có:   AM = SM .cos 300 = 3a  4 Vậy, thể tích khố i chóp S . ABC là:

C

A M B

1 1 1 3a a 3 3 VS . ABC = S ABC SA = AM .BC.SA = . .a. = a3 . 3 3 3 4 4 16

Câu 37: Cho số phức z = 1 + 3i . Tính môđun của số phức w = z 2 − i.z . A. w = 146 .

B. w = 5 2 .

C. w = 50 .

D. w = 10 .

Hướng dẫn giải Chọn A 2

w = z 2 − iz = (1 + 3i ) − i (1 − 3i ) = −11 + 5i ⇒ w = 146 . Câu 38: Cho khố i lăng trụ ABC. A′B′C ′ có thể tích V , điểm P thuộc cạnh AA′ , Q thuộc BB′ sao cho PA QB′ 1 = = ; R là trung điểm CC ′ . Tính thể tích khố i chóp tứ giác R. ABQP theo V . PA′ QB 3 2 1 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B

A'

C'

B'

R

B'

A'

Q

P

Q

C

A

P B

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

A

T B

Trang 23/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Cách 1: Nếu bài toán đúng với mọ i hình lăng trụ thì bài toán cũng phải đúng với hình lăng trụ đặc biệt. Giả sử ABC. A ' B ' C ' là khố i lăng trụ đứng có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = 4 ; AA′ = 4 . Chọn hệ trục tọa độ với AB ≡ Ax , AC ≡ Ay ; AA′ ≡ Az

Thể tích khố i lăng trụ VABC . A′B′C ′ = S ABC ⋅ AA′ =

1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32 . 2

1 Diện tích S ABQP = S APTB + S PTQ = 4.1 + .4.2 = 8 2 Chiều cao hình chóp R. ABPQ : d ( R, ABQP ) = d ( R, Oxz ) = y R = 4

( Vì R ( 0; 4; 2 ) ; ( Oxz ) : y = 0 ) 1 1 32 Suy ra thể tích khố i chóp: VR. ABPQ = S ABQP .d ( R , ( ABQP ) ) = .8.4 = 3 3 3 V 1 Vậy R. ABPQ = . VABC . A′B′C ′ 3 1 1 2 1 Cách 2: VR. ABQP = VR. ABB′A′ = ⋅ VABC . A′B′C ′ = VABC . A′B′C ′ . 2 2 3 3

Câu 39: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z + z = 2 và z = 2 ? A. 2 .

B. 4 .

C. 3 . Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) , ta có: 2 2 2  2  z.z + z = 2  x + y + x + yi = 2  ( 4 + x ) + yi = 2 ( 4 + x ) + y = 4 ⇔ ⇔ ⇔    2  2 2 2  z = 2  x 2 + y 2 = 2  x + y = 4  x + y = 4 8 x + 16 = 0  x = −2 ⇔ 2 ⇔ . Vậy có đúng một số phức z thỏa đề.  2 x + y = 4  y = 0

Câu 40: Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . Diện tích S của tam giác ABC bằng A. S = 2 . B. S = 3 . C. S = 4 . D. S = 1 . Hướng dẫn giải Chọn D x = 0 3 y ′ = −4 x + 4 x; y′ = 0 ⇔  x = 1  x = −1 A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số nên A ( 0;1) , B (1; 2 ) , C ( −1;2 ) .

Đường thẳng BC có phương trình y = 2 , nên khoảng cách từ điểm A đến BC là: y A − 2 = 1  BC = ( −2;0 ) ⇒ BC = 2 .

Diện tích tam giác ABC là S ABC =

1 BC.d ( A, BC ) = 1 . 2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 24/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 41: Cho hình thang ABCD có AB€CD và AB = AD = BC = a , CD = 2a . Tính thể tích khố i tròn

xoay tạo được khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB . A.

5 3 πa . 4

B.

3− 2 2 3 πa . C. π a 3 . 3 Hướng dẫn giải

D.

5 3 πa . 2

Chọn A. D

C

2a

a 3 2 a

A

B

a

2

Ta có ABCD là hình thang cân. Gọi V1 là thể tích khối trụ bán kính r1 =

3π a3 a 3 . , chiều cao h1 = 2a . Khi đó V1 = π r12 h1 = 2 2

Gọi V2 là thể tích khối nón bán kính r2 =

1 π a3 a 3 a , chiều cao h2 = . Khi đó V2 = π r22 h2 = . 2 2 3 8

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tìm. Khi đó V = V1 − 2V2 =

5π a 3 . 4

Câu 42: Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện đều cạnh a. A. R =

a 3 . 2

B. R = a 2 .

C. R =

a 2 . 2

D. R = a .

Hướng dẫn giải Chọn C. S

a

A

D

O B C

S/

Mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều cạnh a có tâm là điểm O = AC ∩ BD . Khi đó bán kính của mặt cầu này là R = OA =

a 2 . 2

Câu 43: Cho phương trình log 5 ( x 3 + 2 ) + log 1 ( x 2 − 6 ) = 0 (1) . Mệnh đề nào dưới đây sai? 5

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 25/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

 x3 + 2 > 0  A. (1) ⇔  x 2 − 6 > 0 .  x 3 − x 2 + 8 = 0  2 C. (1) ⇔  x 3 − 62> 0 . x − x + 8 = 0

 3 B. (1) ⇔  x 3 + 22> 0 . x − x + 8 = 0

 x 3 + 2 )( x 2 − 6 ) > 0 D. (1) ⇔ ( 3 . 2 x − x + 8 = 0 Hướng dẫn giải

Chọn D. 3  x + 2 > 0 Điều kiện của phương trình là  2 .  x − 6 > 0

Do đó với ( x 3 + 2 )( x 2 − 6 ) > 0 ta không thể suy ra điều kiện này. Khi đó:

(1) ⇔ log5 ( x3 + 2 ) − log5 ( x2 − 6 ) = 0 ⇔ log5

x3 + 2 x3 + 2 = 0 = log 1 ⇔ = 1 ⇔ x3 − x 2 + 8 = 0 . 5 2 2 x −6 x −6

Câu 44: Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Số phức z = 5 − 3i có phần thực là 5 , phần ảo −3 . B. Điểm M ( −1; 2 ) là điểm biểu diễn số phức z = −1 + 2i . C. Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là a 2 + b 2 . D. Số phức z = 2i là số thuần ảo. Hướng dẫn giải Chọn C.

Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là z = a 2 + b 2 . Câu 45:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = 4 − x và trục Ox được tính bởi công thức: 4

A.

∫

4

2 x dx + ∫ ( 4 − x ) dx .

0

∫(

B.

0

4

C.

2

∫

2 x dx + ∫ ( 4 − x ) dx .

0 2

)

D.

2 x − 4 + x dx .

0

4

∫ (4 − x −

2

)

2 x dx .

0

Hướng dẫn giải Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 26/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/

Ta có:

2 x = 0 ⇔ x = 0 ; 4 − x = 0 ⇔ x = 4 và

x ≤ 4 4 − x ≥ 0 2x = 4 − x ⇔  ⇔ x=2 2 ⇔  2 2 x = ( 4 − x )  x − 10 x + 16 = 0 2

4

0

2

Khi đó S = ∫ 2 xdx + ∫ ( 4 − x ) dx . Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; − 2; 2 ) . Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua A và cắt tia Oz tại điểm B sao cho OB = 2OA . x y z−6 x y z−4 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 −2 −4 −1 2 2 x y z+6 x +1 y z − 6 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 4 −1 2 −1 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A. B thuộc tia Oz ⇒ B ( 0; 0; b ) , với b > 0 .

OA = 3 , OB = b . b = 6 OB = 2OA ⇔ b = 6 ⇔  .  b = −6 ( l )  ⇒ B ( 0; 0; 6 ) , BA = (1; − 2; − 4 ) .

 Đường thẳng ∆ đi qua B ( 0;0;6 ) và có VTCP BA = (1; − 2; − 4 ) có phương trình là: ∆:

x y z −6 = = . 1 −2 −4

Câu 47: Biết

xa

x A. 18 .

2

b2

= x16

( x > 1)

và a + b = 2 . Tính giá trị của biểu thức M = a − b . B. 14 .

C. 8 . Hướng dẫn giải

D. 16 .

Chọn C.

xa

2

b2

= x16 ⇔ x a

2

− b2

= x16 ⇔ a 2 − b 2 = 16 ⇔ ( a − b )( a + b ) = 16 (1) .

x Mà: a + b = 2 nên (1) ⇔ 2 ( a − b ) = 16 ⇔ a − b = 8 . Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.e x .

∫ f ( x ) dx = x + e + 1 + C . C. ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) e + C . A.

∫ f ( x ) dx = ( x + 1) e + C . D. ∫ f ( x ) dx = x (1 + e ) + C . B.

x

x

x

x

Hướng dẫn giải Chọn C.

∫ x ⋅ e dx = ∫ x ⋅ d ( e ) = x ⋅ e − ∫ e dx = x.e x

x

x

x

x

− e x + C = ( x − 1) e x + C .

Câu 49: Bất phương trình ln ( 2 x + 3) ≥ ln ( 2017 − 4 x ) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 170 .

B. 169 .

C. Vô số. Hướng dẫn giải

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

D. 168 .

Trang 27/28 – Mã đề 258

Cậpnhậtđềthimớinhấttạihttp://toanhocbactrungnam.vn/ Chọn B.

 1007  x ≥ 3 ≈ 335, 7 2 x + 3 ≥ 2017 − 4 x ⇔ Ta có: ln ( 2 x + 3) ≥ ln ( 2017 − 4 x ) ⇔  . 2017 − 4 x > 0  x < 2017 = 504, 25  4 Vì x ∈ Z ⇒ x ∈ {336;337;...;504} . Vậy bất phương trình có 169 nghiệm nguyên dương. Câu 50: Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015 − 2021 ( 6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1 ” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01% ). A. 1,13% .

B. 1,72% .

C. 2,02% .

D. 1,85% .

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi x ( x ∈ N* ) là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2015 . Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm. Số người mất việc năm thứ nhất là: x ⋅ r . Số người còn lại sau năm thứ nhất là: x − x ⋅ r = x (1 − r ) . Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là: x (1 − r ) r . 2

Số người còn lại sau năm thứ hai là: x (1 − r ) − x (1 − r ) ⋅ r = x (1 − r ) . 5

⇒ Số người mất việc sau năm thứ sáu là: x (1 − r ) ⋅ r . 2

5

Tổng số người mất việc là: x ⋅ r + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r + ... + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r = 10, 6% x 2

5

⇔ r + (1 − r ) r + (1 − r ) r + ... + (1 − r ) r = 0,106 6 r 1 − (1 − r )    = 0,106 ⇒ r ≈ 0, 0185 . ⇔ 1 − (1 − r )

Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là 1,85% .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưutầmvàbiêntập

Trang 28/28 – Mã đề 258